ხშირად იღებენ ნომერს ე = 2,718281828 . ლოგარითმები დასრულდა ეს მიზეზიუწოდებენ ბუნებრივი. ბუნებრივი ლოგარითმებით გამოთვლების შესრულებისას, ჩვეულებრივია მოქმედების ნიშანი ლნ, მაგრამ არა ჟურნალი; ხოლო ნომერი 2,718281828 , ბაზის განსაზღვრა, არ მიუთითოთ.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფორმულირება ასე გამოიყურება: ბუნებრივი ლოგარითმინომრები Xარის მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ე, მისაღებად x.
Ისე, ln(7,389...)= 2 იმიტომ ე 2 =7,389... . თავად რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ე= 1 იმიტომ ე 1 =ედა ერთიანობის ბუნებრივი ლოგარითმი ნული, იმიტომ ე 0 = 1.
თავად ნომერი ეგანსაზღვრავს მონოტონური შემოსაზღვრული მიმდევრობის ზღვარს
გამოითვალა რომ ე = 2,7182818284... .
ხშირად, მეხსიერებაში ნომრის დასაფიქსირებლად, საჭირო ნომრის ციფრები ასოცირდება ზოგიერთთან გამოჩენილი თარიღი. რიცხვის პირველი ცხრა ციფრის დამახსოვრების სიჩქარე ეათობითი წერტილის შემდეგ გაიზრდება, თუ შენიშნავთ, რომ 1828 არის ლეო ტოლსტოის დაბადების წელი!
დღეს არის საკმარისი სრული ცხრილებიბუნებრივი ლოგარითმები.
ბუნებრივი ჟურნალის გრაფიკი(ფუნქციები y=n x) არის მაჩვენებლის გრაფიკის შედეგი სარკის გამოსახულებაშედარებით სწორი y = xდა ასე გამოიყურება:
ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება მოიძებნოს ყველა პოზიტივისთვის ნამდვილი რიცხვი აროგორც მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი წ = 1/xსაწყისი 1 ადრე ა.
ამ ფორმულირების ელემენტარული ბუნება, რომელიც ერგება ბევრ სხვა ფორმულას, რომელშიც ჩართულია ბუნებრივი ლოგარითმი, იყო მიზეზი სახელწოდების „ბუნებრივი“ ჩამოყალიბებისა.
თუ გავაანალიზებთ ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რეალური ცვლადის რეალური ფუნქცია, მაშინ ის მოქმედებს შებრუნებული ფუნქციაექსპონენციალურ ფუნქციამდე, რომელიც ამცირებს იდენტობამდე:
ln(a)=a (a>0)
ln(e a)=a
ყველა ლოგარითმის ანალოგიით, ბუნებრივი ლოგარითმი გამრავლებას გარდაქმნის შეკრებად, გაყოფა გამოკლებად:
ლნ(xy) = ლნ(x) + ლნ(წ)
ლნ(x/y)= lnx - ლნი
ლოგარითმი შეიძლება მოიძებნოს ყველა დადებითი ბაზისთვის, რომელიც არ არის ერთის ტოლი და არა მხოლოდ ე, მაგრამ სხვა ფუძეების ლოგარითმები განსხვავდება მხოლოდ ბუნებრივი ლოგარითმისგან მუდმივი ფაქტორიდა ჩვეულებრივ განისაზღვრება ბუნებრივი ლოგარითმის მიხედვით.
გაანალიზებული ბუნებრივი ჟურნალის გრაფიკი,ჩვენ ვხვდებით, რომ ის არსებობს დადებითი ღირებულებებიცვლადი x. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების დომენში.
ზე x → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა ( -∞ ).თან x → +∞ ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა ( + ∞ ). დიდად xლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x aდადებითი მაჩვენებლით აიზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე ლოგარითმი. ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები.
გამოყენება ბუნებრივი ლოგარითმებიძალიან რაციონალურია გავლისას უმაღლესი მათემატიკა. ამრიგად, ლოგარითმის გამოყენება მოსახერხებელია იმ განტოლებებზე პასუხის საპოვნელად, რომლებშიც უცნობები ვლინდება მაჩვენებლის სახით. ბუნებრივი ლოგარითმების გამოყენება გამოთვლებში შესაძლებელს ხდის დიდად გაადვილებს დიდი რიცხვი მათემატიკური ფორმულები. ბაზის ლოგარითმები ე იმყოფებიან მნიშვნელოვანი რიცხვის ამოხსნაში ფიზიკური დავალებებიდა ბუნებრივად შედის მათემატიკური აღწერაინდივიდუალური ქიმიური, ბიოლოგიური და სხვა პროცესები. ასე რომ, ლოგარითმები გამოიყენება გამოსათვლელად დაშლის მუდმივიამისთვის ცნობილი პერიოდინახევარგამოყოფის პერიოდი, ან რადიოაქტიურობის პრობლემების გადაჭრისას დაშლის დროის გამოთვლა. ისინი ასრულებენ წამყვანი როლიმათემატიკის მრავალ დარგში და პრაქტიკული მეცნიერებები, მათ გადასაჭრელად მიმართავენ ფინანსების სფეროში დიდი რიცხვიამოცანები, მათ შორის საერთო ინტერესი.
ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, მნიშვნელობების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, წარმოებული, ინტეგრალი, გაფართოება დენის სერიადა წარმოადგენს ln x ფუნქციას რთული რიცხვების მიხედვით.
განმარტება
ბუნებრივი ლოგარითმიარის ფუნქცია y = n x, ინვერსიული მაჩვენებლის, x \u003d e y , და რომელიც არის ლოგარითმი e რიცხვის ფუძის მიმართ: ln x = log e x.
ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, რადგან მის წარმოებულს აქვს უმარტივესი ფორმა: (ln x)′ = 1/ x.
დაფუძნებული განმარტებები, ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი ე:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
y = ფუნქციის გრაფიკი n x.
ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკი (ფუნქციები y = n x) მიიღება მაჩვენებლის გრაფიკიდან სარკისებური ასახვით სწორი წრფის შესახებ y = x.
ბუნებრივი ლოგარითმი განისაზღვრება x-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების დომენში.
როგორც x → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა ( - ∞ ).
როგორც x → + ∞, ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა ( + ∞ ). დიდი x-ისთვის ლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x a დადებითი მაჩვენებლით a იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი.
ბუნებრივი ლოგარითმის თვისებები
განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება
ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.
ln x მნიშვნელობები
ჟურნალი 1 = 0
ძირითადი ფორმულები ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის
შებრუნებული ფუნქციის განმარტებიდან გამომდინარე ფორმულები:
ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები
ბაზის შეცვლის ფორმულა
ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმებით ბაზის ცვლილების ფორმულის გამოყენებით:
ამ ფორმულების მტკიცებულებები წარმოდგენილია "ლოგარითმის" განყოფილებაში.
ინვერსიული ფუნქცია
ბუნებრივი ლოგარითმის ორმხრივი მაჩვენებელია.
თუ, მაშინ
თუ , მაშინ .
წარმოებული ln x
ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >
ინტეგრალური
ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით:
.
Ისე,
გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით
განვიხილოთ z რთული ცვლადის ფუნქცია:
.
გამოვხატოთ რთული ცვლადი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ
:
.
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
.
ან
.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დავაყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვა n-სთვის.
ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.
დენის სერიის გაფართოება
იყიდება, გაფართოება ხდება:
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
საკმაოდ კარგი, არა? სანამ მათემატიკოსები ეძებენ სიტყვებს, რათა მოგაწოდოთ გრძელი, ჩახლართული განმარტება, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ მარტივ და ნათელს.
რიცხვი e ნიშნავს ზრდას
რიცხვი e ნიშნავს უწყვეტ ზრდას. როგორც წინა მაგალითში ვნახეთ, e x საშუალებას გვაძლევს დავაკავშიროთ პროცენტი და დრო: 3 წელი 100%-იანი ზრდის შემთხვევაში იგივეა, რაც 1 წელი 300%-ით, ექვემდებარება "შეერთებულ ინტერესს".
თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი პროცენტული და დროის მნიშვნელობები (50% 4 წლის განმავლობაში), მაგრამ უმჯობესია დააყენოთ პროცენტი 100% მოხერხებულობისთვის (გამოდის 100% 2 წლის განმავლობაში). 100%-ზე გადასვლით შეგვიძლია ფოკუსირება მხოლოდ დროის კომპონენტზე:
e x = e პროცენტი * დრო = e 1.0 * დრო = e დრო
ცხადია, e x ნიშნავს:
- რამდენად გაიზრდება ჩემი წვლილი დროის x ერთეულში (100% უწყვეტი ზრდის გათვალისწინებით).
- მაგალითად, 3 დროის ინტერვალის შემდეგ მე მივიღებ e 3 = 20,08-ჯერ მეტ "ნივთს".
e x არის სკალირების ფაქტორი, რომელიც გვიჩვენებს, თუ რა დონემდე გაიზრდებით x დროის პერიოდებში.
ბუნებრივი ლოგარითმი ნიშნავს დროს
ბუნებრივი ლოგარითმი არის e-ს შებრუნებული, ასეთი ლამაზი ტერმინი საპირისპიროდ. უცნაურობებზე საუბარი; ლათინურად მას უწოდებენ logarithmus naturali, აქედან მოდის აბრევიატურა ln.
და რას ნიშნავს ეს ინვერსია ან საპირისპირო?
- e x საშუალებას გვაძლევს ჩავრთოთ დრო და მივიღოთ ზრდა.
- ln(x) საშუალებას გვაძლევს ავიღოთ ზრდა ან შემოსავალი და გავარკვიოთ რა დრო სჭირდება მის მიღებას.
Მაგალითად:
- e 3 უდრის 20.08. სამი პერიოდის შემდეგ გვექნება 20.08 ჯერ უფრო მეტიცსადაც დავიწყეთ.
- ln(20.08) იქნება დაახლოებით 3. თუ თქვენ გაინტერესებთ 20.08x ზრდა, დაგჭირდებათ 3-ჯერ (ისევ, 100% უწყვეტი ზრდის ვარაუდით).
ისევ კითხულობ? ბუნებრივი ლოგარითმი გვიჩვენებს სასურველ დონემდე მისასვლელად საჭირო დროს.
ეს არასტანდარტული ლოგარითმული რაოდენობა
თქვენ გაიარეთ ლოგარითმები - ეს არის უცნაური არსებები. როგორ მოახერხეს გამრავლების მიმატებად გადაქცევა? რაც შეეხება გამოკლებად დაყოფას? მოდით შევხედოთ.
რის ტოლია ln(1)? ინტუიციურად ჩნდება კითხვა: რამდენი ხანი უნდა ველოდოთ, რომ მივიღო 1-ჯერ მეტი ვიდრე მაქვს?
Ნული. Ნული. Არაფერს. ერთხელ უკვე გაქვს. 1-ლი დონიდან 1-ლ დონეზე გაზრდას დრო არ სჭირდება.
- ჟურნალი (1) = 0
კარგი, რაც შეეხება წილადი მნიშვნელობა? რამდენი დრო დაგვჭირდება იმის 1/2 რომ დაგვრჩა? ჩვენ ვიცით, რომ 100% უწყვეტი ზრდის შემთხვევაში, ln(2) ნიშნავს გაორმაგებისთვის საჭირო დროს. Თუ ჩვენ დროის უკან დაბრუნება(ანუ დაველოდოთ დროის უარყოფით რაოდენობას), შემდეგ მივიღებთ იმის ნახევარს, რაც გვაქვს.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
ლოგიკურია, არა? თუ უკან (დროში) 0,693 წამით დავბრუნდებით, ხელმისაწვდომი თანხის ნახევარს ვიპოვით. ზოგადად, შეგიძლიათ გადაატრიალოთ წილადი და აიღოთ უარყოფითი მნიშვნელობა: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. ეს ნიშნავს, რომ თუ დროში დავბრუნდებით 1.09-ჯერ, ვიპოვით მიმდინარე რიცხვის მხოლოდ მესამედს.
კარგი, რაც შეეხება უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმს? რამდენი დრო სჭირდება ბაქტერიების კოლონიის "გაზრდის" 1-დან -3-მდე?
Ეს შეუძლებელია! თქვენ ვერ მიიღებთ უარყოფით ბაქტერიებს, არა? თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ნულის მაქსიმუმი (უჰ... მინიმალური), მაგრამ არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლიათ მიიღოთ ამ პატარა არსებების უარყოფითი რიცხვი. IN უარყოფითი რიცხვიბაქტერიას უბრალოდ აზრი არ აქვს.
- ln(უარყოფითი რიცხვი) = განუსაზღვრელი
"გაუზუსტებელი" ნიშნავს, რომ უარყოფითი მნიშვნელობის მისაღებად ლოდინის დრო არ არის.
ლოგარითმული გამრავლება უბრალოდ სასაცილოა
რამდენი დრო დასჭირდება ოთხმაგ ზრდას? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ln(4). მაგრამ ეს ძალიან მარტივია, ჩვენ სხვა გზით წავალთ.
თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ გაორმაგება, როგორც გაორმაგება (მოითხოვს ln(2) დროის ერთეულს) და შემდეგ ისევ გაორმაგებას (საჭიროებს სხვა ln(2) დროის ერთეულებს):
- დრო 4x ზრდამდე = ln(4) = გაორმაგების დრო და შემდეგ ისევ გაორმაგება = ln(2) + ln(2)
საინტერესოა. ნებისმიერი ზრდის ტემპი, ვთქვათ 20, შეიძლება ჩაითვალოს გაორმაგდება 10-ჯერ გაზრდისთანავე. ან იზრდება 4-ჯერ, შემდეგ კი 5-ჯერ. ან გასამმაგდა და შემდეგ ზრდა 6666-ჯერ. ნახე ნიმუში?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A-ჯერ B-ის ლოგარითმი არის log(A) + log(B). ამ ურთიერთობას მაშინვე აზრი აქვს, თუ ზრდის თვალსაზრისით მოქმედებთ.
თუ თქვენ გაინტერესებთ 30x ზრდა, შეგიძლიათ ან დაელოდოთ ln(30) ერთჯერადად, ან დაელოდოთ ln(3) გასამმაგს და შემდეგ სხვა ln(10) გამრავლებას ათზე. Საბოლოო შედეგიიგივე, ასე რომ, რა თქმა უნდა, დრო უნდა დარჩეს მუდმივი (და რჩება).
რაც შეეხება გაყოფას? კერძოდ, ln(5/3) ნიშნავს: რამდენი დრო სჭირდება 5-ჯერ გაზრდას და ამის შემდეგ 1/3-ის მიღებას?
შესანიშნავია, 5-ის კოეფიციენტი არის ln(5). 1/3-ჯერ გაზრდას დასჭირდება -ln(3) ერთეული დრო. Ისე,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
ეს ნიშნავს: ნება მიეცით გაიზარდოს 5-ჯერ და შემდეგ „დაბრუნდით დროში“ იქამდე, სადაც ამ თანხის მხოლოდ მესამედი რჩება, ასე რომ თქვენ მიიღებთ 5/3 ზრდას. ზოგადად, გამოდის
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
იმედი მაქვს, ლოგარითმების უცნაური არითმეტიკა იწყებს შენთვის აზრს: ზრდის ტემპების გამრავლება ხდება ზრდის დროის ერთეულების დამატება, ხოლო გაყოფა ხდება დროის ერთეულების გამოკლება. არ დაიმახსოვროთ წესები, შეეცადეთ გაიგოთ ისინი.
ბუნებრივი ლოგარითმის გამოყენება თვითნებური ზრდისთვის
კარგი, რა თქმა უნდა, - ამბობთ, - ყველაფერი კარგია, თუ ზრდა 100%-ია, მაგრამ 5%-ზე რას ვიღებ?
Არაა პრობლემა. "დრო", რომელსაც ჩვენ ვიანგარიშებთ ln()-ით არის რეალურად საპროცენტო განაკვეთისა და დროის კომბინაცია, იგივე X e x განტოლებიდან. ჩვენ უბრალოდ ავირჩიეთ პროცენტის დაყენება 100%-ზე სიმარტივისთვის, მაგრამ თავისუფლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნებისმიერი რიცხვი.
ვთქვათ, გვინდა მივაღწიოთ 30x ზრდას: ავიღოთ ln(30) და მივიღოთ 3.4 ეს ნიშნავს:
- e x = სიმაღლე
- e 3.4 = 30
ცხადია, ეს განტოლება ნიშნავს "100% ანაზღაურება 3.4 წლის განმავლობაში იძლევა 30-ჯერ." ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს განტოლება ასე:
- e x = e განაკვეთი*დრო
- e 100% * 3.4 წელი = 30
ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ "განაკვეთის" და "დროის" მნიშვნელობები, სანამ მაჩვენებელი * დრო რჩება 3.4. მაგალითად, თუ ჩვენ გვაინტერესებს 30-ჯერადი ზრდა, რამდენ ხანს მოგვიწევს ლოდინი 5%-იანი საპროცენტო განაკვეთით?
- log(30) = 3.4
- მაჩვენებელი * დრო = 3.4
- 0.05 * დრო = 3.4
- დრო = 3.4 / 0.05 = 68 წელი
მე ასე ვმსჯელობ: "ln(30) = 3.4, ასე რომ, 100%-იანი ზრდისას დასჭირდება 3.4 წელი. თუ ზრდის ტემპს გავაორმაგებ, საჭირო დრო განახევრდება."
- 100% 3.4 წელიწადში = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200% 1.7 წელიწადში = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 50% 6.8 წელიწადში = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 5% 68 წელზე მეტი = .05 * 68 = 3.4 .
მშვენიერია, არა? ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი საპროცენტო განაკვეთით და დროით, სანამ მათი პროდუქტი მუდმივი რჩება. თქვენ შეგიძლიათ გადაიტანოთ ცვლადების მნიშვნელობები რამდენიც გსურთ.
ცუდი მაგალითი: სამოცდათორმეტის წესი
სამოცდათორმეტის წესი არის მათემატიკური ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ რამდენი დრო დასჭირდება თქვენი ფულის გაორმაგებას. ახლა ჩვენ გამოვიყვანთ მას (დიახ!) და უფრო მეტიც, შევეცდებით გავიგოთ მისი არსი.
რამდენი დრო სჭირდება თქვენი ფულის გაორმაგებას 100%-იანი განაკვეთით, რომელიც ყოველწლიურად იზრდება?
ოპ-პა. ჩვენ გამოვიყენეთ ბუნებრივი ლოგარითმი უწყვეტი ზრდის შემთხვევაში და ახლა თქვენ საუბრობთ წლიურ დარიცხვაზე? ეს ფორმულა არ გახდება უვარგისი ასეთი შემთხვევისთვის? დიახ, ასე იქნება, მაგრამ რეალური საპროცენტო განაკვეთებისთვის, როგორიცაა 5%, 6%, ან თუნდაც 15%, განსხვავება წლიურ შერევასა და სტაბილურად ზრდას შორის მცირე იქნება. ასე რომ, უხეში შეფასება მუშაობს, უჰ, უხეშად, ასე რომ, ჩვენ ვაპირებთ ვიფიქროთ, რომ გვაქვს სრულიად უწყვეტი დარიცხვა.
ახლა კითხვა მარტივია: რამდენად სწრაფად შეგიძლიათ გააორმაგოთ 100%-იანი ზრდით? ln(2) = 0.693. 0,693 ერთეული დრო სჭირდება (ჩვენს შემთხვევაში წლები) ჩვენი თანხის გაორმაგებას 100%-იანი უწყვეტი ზრდით.
მაშ, რა მოხდება, თუ საპროცენტო განაკვეთი არ არის 100%, მაგრამ ვთქვათ 5% ან 10%?
მარტივად! ვინაიდან კურსი * დრო = 0.693, ჩვენ გავაორმაგებთ თანხას:
- მაჩვენებელი * დრო = 0.693
- დრო = 0.693 / კურსი
ასე რომ, თუ ზრდა არის 10%, გაორმაგებას დასჭირდება 0,693 / 0,10 = 6,93 წელი.
გამოთვლების გასამარტივებლად, მოდით გავამრავლოთ ორივე ნაწილი 100-ზე, შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ "10" და არა "0.10":
- გაორმაგების დრო = 69.3 / ფსონი, სადაც ფსონი გამოხატულია პროცენტულად.
ახლა დროა გაორმაგდეს 5%, 69,3 / 5 = 13,86 წლით. თუმცა, 69.3 არ არის ყველაზე მოსახერხებელი დივიდენდი. ავირჩიოთ ახლო რიცხვი, 72, რომელიც მოხერხებულად იყოფა 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 8-ზე და სხვა რიცხვებზე.
- გაორმაგების დრო = 72 / ფსონი
რაც სამოცდათორმეტის წესია. ყველაფერი დაფარულია.
თუ თქვენ გჭირდებათ დროის გამონახვა გასამმაგებისთვის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ln(3) ~ 109.8 და მიიღოთ
- გასამმაგების დრო = 110 / ფსონი
სხვა რა არის სასარგებლო წესი. "წესი 72" ვრცელდება ზრდაზე საპროცენტო განაკვეთები, მოსახლეობის ზრდა, ბაქტერიების კულტურები და ყველაფერი, რაც ექსპონენტურად იზრდება.
Რა არის შემდეგი?
ვიმედოვნებ, რომ ბუნებრივი ლოგარითმი ახლა გასაგებია თქვენთვის - ის აჩვენებს დროს, რომელიც სჭირდება ნებისმიერი რიცხვის ექსპონენციურად გაზრდას. მე ვფიქრობ, რომ მას ბუნებრივს უწოდებენ, რადგან e არის ზრდის უნივერსალური საზომი, ამიტომ ln შეიძლება ჩაითვალოს უნივერსალურ გზად იმის დასადგენად, თუ რამდენი დრო სჭირდება ზრდას.
ყოველ ჯერზე, როცა ხედავთ ln(x-ს), დაიმახსოვრეთ "დრო, რომელიც სჭირდება x-ჯერ გაზრდას". მომავალ სტატიაში მე აღვწერ e და ln-ს ერთად, რათა მათემატიკის ახალი არომატი შეავსოს ჰაერი.
დანამატი: ე.-ის ბუნებრივი ლოგარითმი
სწრაფი ვიქტორინა: რამდენი იქნება ln(e)?
- მათემატიკის რობოტი იტყვის: ვინაიდან ისინი განსაზღვრულია როგორც ერთმანეთის ინვერსია, აშკარაა, რომ ln(e) = 1.
- გაგებული ადამიანი: ln(e) არის რამდენჯერმე იზრდება "e"-ჯერ (დაახლოებით 2,718). თუმცა, თავად რიცხვი e არის ზრდის მაჩვენებელი 1-ის კოეფიციენტით, ამიტომ ln(e) = 1.
ნათლად იფიქრე.
2013 წლის 9 სექტემბერიასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი ძალა. თუ აიღებთ რიცხვს ქვედა ხაზიდან, მაშინ ადვილად იპოვით ძალას, რომელზედაც თქვენ უნდა აწიოთ ორი ამ რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 16-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეოთხე ხარისხზე. და 64-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აიყვანოთ ორი მეექვსე ხარისხამდე. ეს ჩანს ცხრილიდან.
ახლა კი - სინამდვილეში, ლოგარითმის განმარტება:
x არგუმენტის a ფუძის ლოგარითმი არის ძალა, რომლითაც უნდა გაიზარდოს რიცხვი x რიცხვის მისაღებად.
აღნიშვნა: log a x \u003d b, სადაც a არის საფუძველი, x არის არგუმენტი, b არის რეალურად რა უდრის ლოგარითმს.
მაგალითად, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ის მე-2 ლოგარითმი არის სამი, რადგან 2 3 = 8). შეიძლება ასევე ჩაწეროთ 2 64 = 6, რადგან 2 6 = 64.
მოცემულ ფუძეზე რიცხვის ლოგარითმის პოვნის ოპერაციას ლოგარითმი ეწოდება. მოდით დავამატოთ ახალი მწკრივი ჩვენს ცხრილს:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| ჟურნალი 2 2 = 1 | ჟურნალი 2 4 = 2 | ჟურნალი 2 8 = 3 | ჟურნალი 2 16 = 4 | ჟურნალი 2 32 = 5 | ჟურნალი 2 64 = 6 |
სამწუხაროდ, ყველა ლოგარითმი ასე მარტივად არ განიხილება. მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ჟურნალი 2 5 . რიცხვი 5 არ არის ცხრილში, მაგრამ ლოგიკა გვკარნახობს, რომ ლოგარითმი იქნება სადმე სეგმენტზე. რადგან 2 2< 5 < 2 3 , а чем მეტი ხარისხიორი, მით უფრო დიდი იქნება რიცხვი.
ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ: ათწილადის შემდეგ რიცხვები შეიძლება განუსაზღვრელი ვადით დაიწეროს და ისინი არასოდეს მეორდებიან. თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, უმჯობესია ასე დავტოვოთ: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ლოგარითმი არის გამოხატულება ორი ცვლადით (ბაზა და არგუმენტი). თავდაპირველად, ბევრი ადამიანი იბნევა სად არის საფუძველი და სად არის არგუმენტი. Თავის არიდება სამწუხარო გაუგებრობებიუბრალოდ დააკვირდით სურათს:
ჩვენს წინაშე სხვა არაფერია, თუ არა ლოგარითმის განმარტება. გახსოვდეთ: ლოგარითმი არის ძალა, რაზეც არგუმენტის მისაღებად საჭიროა საფუძვლის ამაღლება. ეს არის ბაზა, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე - სურათზე იგი ხაზგასმულია წითლად. გამოდის, რომ ბაზა ყოველთვის ბოლოშია! ამ შესანიშნავ წესს ვეუბნები ჩემს მოსწავლეებს პირველივე გაკვეთილზე - და არ არის დაბნეულობა.
ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება - რჩება ვისწავლოთ როგორ დავთვალოთ ლოგარითმები, ე.ი. მოიშორეთ "ლოგი" ნიშანი. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ განმარტებიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი ფაქტი:
- არგუმენტი და ბაზა ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი. ეს გამომდინარეობს ხარისხის განსაზღვრებიდან რაციონალური მაჩვენებელი, რომელზედაც შემცირებულია ლოგარითმის განმარტება.
- საფუძველი უნდა განსხვავდებოდეს ერთიანობისგან, რადგან ნებისმიერი სიმძლავრის ერთეული მაინც ერთეულია. ამის გამო უაზროა კითხვა „რომელ ძალამდე უნდა აწიო ადამიანი, რომ მიიღო ორი“. ასეთი ხარისხი არ არსებობს!
ასეთ შეზღუდვებს ე.წ ფართობი დაშვებული ღირებულებები (ოძ). გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ ასე გამოიყურება: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები რიცხვზე b (ლოგარითმის მნიშვნელობა) არ არის დაწესებული. მაგალითად, ლოგარითმი შეიძლება იყოს უარყოფითი: log 2 0.5 \u003d -1, რადგან 0,5 = 2 −1 .
თუმცა, ჯერჯერობით მხოლოდ განვიხილავთ რიცხვითი გამონათქვამები, სადაც არ არის საჭირო ლოგარითმის ODZ-ის ცოდნა. ყველა შეზღუდვა უკვე გაითვალისწინეს პრობლემების შემდგენელებმა. მაგრამ როცა მიდიან ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობა, DHS მოთხოვნები გახდება სავალდებულო. მართლაც, საფუძველსა და არგუმენტში შეიძლება იყოს ძალიან ძლიერი კონსტრუქციები, რომლებიც აუცილებლად არ შეესაბამება ზემოხსენებულ შეზღუდვებს.
ახლა განიხილეთ ზოგადი სქემალოგარითმის გამოთვლები. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:
- ფუძე a და არგუმენტი x გამოთქვით, როგორც სიმძლავრის მქონე უმცირესი შესაძლო ფუძე ერთზე მეტი. გზაში სჯობს თავი დავაღწიოთ ათობითი წილადებს;
- ამოხსენით b ცვლადის განტოლება: x = a b ;
- შედეგად მიღებული რიცხვი b იქნება პასუხი.
Სულ ეს არის! თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, ეს უკვე პირველ ეტაპზე ჩანს. მოთხოვნა, რომ ბაზა ერთზე მეტი იყოს, ძალიან აქტუალურია: ეს ამცირებს შეცდომის ალბათობას და მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. ანალოგიურად, ათობითი წილადების შემთხვევაში: თუ მათ დაუყოვნებლივ გადააქცევთ ჩვეულებრივ წილადებში, შეცდომები ბევრჯერ ნაკლები იქნება.
ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს სქემა კონკრეტული მაგალითებით:
დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 5 25
- წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ხუთის ხარისხად: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- მივიღე პასუხი: 2.
შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი:
დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 4 64
- წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
ჟურნალი 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - მივიღე პასუხი: 3.
დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 16 1
- წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - მიიღო პასუხი: 0.
დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 7 14
- წარმოვადგინოთ საფუძველი და არგუმენტი შვიდის ხარისხად: 7 = 7 1 ; 14 არ არის წარმოდგენილი შვიდის ხარისხად, რადგან 7 1< 14 < 7 2 ;
- წინა პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმი არ განიხილება;
- პასუხი არ იცვლება: ჟურნალი 7 14.
პატარა შენიშვნა ბოლო მაგალითი. როგორ დავრწმუნდეთ, რომ რიცხვი არ არის სხვა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრე? ძალიან მარტივია - უბრალოდ გააფართოვეთ იგი ძირითადი ფაქტორები. თუ გაფართოებაში სულ მცირე ორი განსხვავებული ფაქტორია, რიცხვი არ არის ზუსტი სიმძლავრე.
დავალება. გამოარკვიე არის თუ არა რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ზუსტი ხარისხი, რადგან არის მხოლოდ ერთი მულტიპლიკატორი;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 არ არის ზუსტი სიმძლავრე, რადგან არსებობს ორი ფაქტორი: 3 და 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ზუსტი ხარისხი;
35 = 7 5 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;
14 \u003d 7 2 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;
ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ჩვენ მარტივი რიცხვებიყოველთვის არის საკუთარი თავის ზუსტი ძალა.
ათწილადი ლოგარითმი
ზოგიერთი ლოგარითმი იმდენად გავრცელებულია, რომ მათ აქვთ სპეციალური სახელი და აღნიშვნა.
x არგუმენტის ათობითი ლოგარითმი არის ფუძე 10 ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი 10, რომ მიიღოთ რიცხვი x. აღნიშვნა: lg x.
მაგალითად, ჟურნალი 10 = 1; ჟურნალი 100 = 2; lg 1000 = 3 - და ა.შ.
ამიერიდან, როდესაც სახელმძღვანელოში გამოჩნდება ფრაზა „Find lg 0.01“, იცოდეთ, რომ ეს შეცდომა არ არის. ეს არის ათობითი ლოგარითმი. თუმცა, თუ არ ხართ მიჩვეული ასეთ აღნიშვნას, ყოველთვის შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი:
ჟურნალი x = ჟურნალი 10 x
ყველაფერი, რაც მართალია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის, მართალია ათწილადებისთვისაც.
ბუნებრივი ლოგარითმი
არსებობს კიდევ ერთი ლოგარითმი, რომელსაც აქვს საკუთარი აღნიშვნა. გარკვეული გაგებით, ის კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ვიდრე ათობითი. ეს დაახლოებითბუნებრივი ლოგარითმის შესახებ.
x-ის ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუძე e ლოგარითმი, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი e უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: ln x .
ბევრი იკითხავს: კიდევ რა არის ნომერი e? ეს ირაციონალური რიცხვი, მისი ზუსტი ღირებულებაშეუძლებელია პოვნა და ჩაწერა. აქ არის მხოლოდ პირველი ნომრები:
e = 2.718281828459...
ჩვენ არ განვიხილავთ რა არის ეს რიცხვი და რატომ არის საჭირო. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი:
ln x = log e x
ამრიგად ln e = 1; ჟურნალი e 2 = 2; ln e 16 = 16 - და ა.შ. მეორეს მხრივ, ln 2 არის ირაციონალური რიცხვი. ზოგადად, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ირაციონალურია. გარდა, რა თქმა უნდა, ერთიანობისა: ln 1 = 0.
ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის მოქმედებს ყველა წესი, რომელიც მართებულია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის.
ლოგარითმი მოცემული ნომერიეძახიან მაჩვენებელს, რომელზეც გსურთ სხვა რიცხვის აწევა, დარეკვა საფუძველილოგარითმი მოცემული რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 100 რიცხვის ლოგარითმი 10-ის ბაზამდე არის 2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 10 უნდა იყოს კვადრატი, რომ მიიღოთ რიცხვი 100 (10 2 = 100). თუ ნ- მოცემული ნომერი, ბ- ფონდი და ლარის ლოგარითმი, მაშინ bl = n. ნომერი ნასევე უწოდებენ ბაზის ანტილოგარითმს ბნომრები ლ. მაგალითად, ანტილოგარითმი 2-დან 10-მდე არის 100. ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც ჟურნალი b n = ლდა ანტილოგი ბ ლ = ნ.
ლოგარითმის ძირითადი თვისებები:
ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, გარდა ერთიანობისა, შეიძლება იყოს ლოგარითმების საფუძველი, მაგრამ, სამწუხაროდ, გამოდის, რომ თუ ბდა ნრაციონალური რიცხვებია, მაშინ იშვიათი შემთხვევებიარის რაციონალური რიცხვი ლ, Რა bl = n. თუმცა, შეიძლება განისაზღვროს ირაციონალური რიცხვი ლმაგალითად, ისეთი, რომ 10 ლ= 2; ეს ირაციონალური რიცხვია ლშეიძლება დაახლოება ნებისმიერი საჭირო სიზუსტით რაციონალური რიცხვი. გამოდის, რომ ამ მაგალითში ლარის დაახლოებით 0,3010-ის ტოლი და ლოგარითმის ეს მიახლოებითი მნიშვნელობა მე-2 რიცხვის 10-ის საფუძველთან შეგიძლიათ იხილოთ ოთხნიშნა ცხრილებში. ათობითი ლოგარითმები. 10 ფუძის ლოგარითმები (ან ათობითი ლოგარითმები) იმდენად ხშირად გამოიყენება გამოთვლებში, რომ მათ ე.წ. ჩვეულებრივილოგარითმები და იწერება როგორც log2 = 0.3010 ან log2 = 0.3010, ლოგარითმის ფუძის აშკარა მითითების გამოტოვებით. ბაზის ლოგარითმები ე, ტრანსცენდენტული რიცხვი დაახლოებით 2.71828-ის ტოლია, ეწოდება ბუნებრივილოგარითმები. ისინი ძირითადად გვხვდება მათემატიკური ანალიზისა და მისი გამოყენების სამუშაოებში სხვადასხვა მეცნიერებები. ბუნებრივი ლოგარითმები ასევე იწერება ფუძის მკაფიოდ მითითების გარეშე, მაგრამ სპეციალური აღნიშვნის ln გამოყენებით: მაგალითად, ln2 = 0.6931, რადგან ე 0,6931 = 2.
ჩვეულებრივი ლოგარითმების ცხრილების გამოყენება.
რიცხვის ჩვეულებრივი ლოგარითმი არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც თქვენ უნდა აწიოთ 10 მოცემული რიცხვის მისაღებად. ვინაიდან 10 0 = 1, 10 1 = 10 და 10 2 = 100, მაშინვე მივიღებთ log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 და ა.შ. 10-ის მთელი ძალაუფლების გაზრდისთვის. ანალოგიურად, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 და შესაბამისად log0.1 = -1, log0.01 = -2 და ა.შ. ყველა მთელი რიცხვისთვის უარყოფითი ძალები 10. დარჩენილი რიცხვების ჩვეულებრივი ლოგარითმები ჩასმულია 10-ის უახლოესი მთელი ხარისხების ლოგარითმებს შორის; log2 უნდა იყოს ჩასმული 0-დან 1-მდე, log20 1-დან 2-მდე და log0.2 -1-დან 0-მდე. ამრიგად, ლოგარითმს აქვს ორი ნაწილი, მთელი რიცხვი და ათობითი წილადი 0-სა და 1-ს შორის. მთელი რიცხვი ეწოდება დამახასიათებელილოგარითმი და განისაზღვრება თავად რიცხვით, წილადი ნაწილი ეწოდება მანტისადა შეგიძლიათ იპოვოთ ცხრილებიდან. ასევე, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2-ის ლოგარითმი არის 0,3010, ამიტომ log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. ანალოგიურად, log0.2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. გამოკლებით მივიღებთ log0.2 = -0.6990. თუმცა, უფრო მოსახერხებელია log0.2 წარმოდგენა როგორც 0.3010 - 1 ან როგორც 9.3010 - 10; შეიძლება ჩამოყალიბდეს და ზოგადი წესი: 10-ის ხარისხზე გამრავლებით მოცემული რიცხვიდან მიღებულ ყველა რიცხვს აქვს იგივე მანტისა მოცემული რიცხვის მანტისას ტოლი. უმეტეს ცხრილებში მოცემულია 1-დან 10-მდე რიცხვების მანტისები, რადგან ყველა სხვა რიცხვის მანტისები შეიძლება მიიღოთ ცხრილში მოცემულებიდან.
ცხრილების უმეტესობა იძლევა ლოგარითმებს ოთხი ან ხუთი ათობითი ადგილით, თუმცა არის შვიდნიშნა ცხრილები და ცხრილები კიდევ უფრო მეტი ათობითი ადგილებით. ასეთი ცხრილების გამოყენების სწავლა ყველაზე მარტივია მაგალითებით. log3.59-ის საპოვნელად, უპირველეს ყოვლისა, გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი 3.59 არის 10 0-დან 10 1-მდე, ამიტომ მისი მახასიათებელია 0. ცხრილში ვპოულობთ რიცხვს 35 (მარცხნივ) და მწკრივის გასწვრივ გადავდივართ სვეტში. რომელსაც აქვს ნომერი 9 თავზე; ამ სვეტისა და 35-ე მწკრივის კვეთა არის 5551, ამიტომ log3.59 = 0.5551. ოთხი რიცხვის მანტისას პოვნა მნიშვნელოვანი პირები, აუცილებელია მივმართოთ ინტერპოლაციას. ზოგიერთ ცხრილში ინტერპოლაციას ხელს უწყობს პროპორციული ნაწილები, რომლებიც მოცემულია ცხრილის ყოველი გვერდის მარჯვენა მხარეს ბოლო ცხრა სვეტში. იპოვე ახლა log736.4; რიცხვი 736.4 დევს 10 2-სა და 10 3-ს შორის, ამიტომ მისი ლოგარითმის მახასიათებელია 2. ცხრილში ვხვდებით მწკრივს, რომლის მარცხნივ არის 73 და სვეტი 6. ამ მწკრივისა და ამ სვეტის გადაკვეთაზე არის რიცხვი. 8669. წრფივ ნაწილებს შორის ვხვდებით მე-4 სვეტს 73-ე მწკრივის და მე-4 სვეტის გადაკვეთაზე არის ნომერი 2. 8669-ს 2-ის მიმატებით მივიღებთ მანტისას - ის უდრის 8671-ს. ამრიგად, log736.4 = 2.8671.
ბუნებრივი ლოგარითმები.
ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები და თვისებები მსგავსია ჩვეულებრივი ლოგარითმების ცხრილებისა და თვისებების. ამ ორს შორის მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ბუნებრივი ლოგარითმის მთელი რიცხვი არ არის მნიშვნელოვანი პოზიციის განსაზღვრაში. ათობითი წერტილი, და, შესაბამისად, განსხვავება მანტისასა და მახასიათებელს შორის არ თამაშობს განსაკუთრებულ როლს. რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმები 5.432; 54.32 და 543.2 არის, შესაბამისად, 1.6923; 3.9949 და 6.2975. ამ ლოგარითმებს შორის კავშირი აშკარა ხდება, თუ განვიხილავთ მათ შორის განსხვავებებს: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; ბოლო ნომერისხვა არაფერია თუ არა რიცხვი 10-ის ბუნებრივი ლოგარითმი (დაწერილი ასე: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; ბოლო რიცხვია 2ln10. მაგრამ 543.2 \u003d 10ґ54.32 \u003d 10 2 ґ5.432. ამრიგად, მოცემული რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმით აშეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმები, სამუშაოების ტოლინომრები ანებისმიერი ხარისხით ნნომერი 10 თუ k ln ადაამატეთ ln10 გამრავლებული ნ, ე.ი. ln( აґ10ნ) = ჟურნალი ა + ნ ln10 = ln ა + 2,3026ნ. მაგალითად, ln0.005432 = ln(5.432´10 -3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3´2.3026) = - 5.2155. მაშასადამე, ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები, ისევე როგორც ჩვეულებრივი ლოგარითმების ცხრილები, ჩვეულებრივ შეიცავს მხოლოდ რიცხვების ლოგარითმებს 1-დან 10-მდე. . თუ x= ლნ წ, ეს წ = e x, და წეწოდა მაჩვენებელს x(ტიპის აკრეფის მოხერხებულობისთვის, ისინი ხშირად წერენ წ= ექსპ x). მაჩვენებელი ასრულებს რიცხვის ანტილოგარითმის როლს x.
ათობითი და ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ ლოგარითმების ცხრილები ნებისმიერ ბაზაში, გარდა 10 და ე. თუ ჟურნალი ბ ა = x, ეს ბ x = ადა, შესაბამისად, შესვლა c b x= ჟურნალი გ აან xჟურნალი გ ბ= ჟურნალი გ ა, ან x= ჟურნალი გ ა/ლოგი გ ბ= ჟურნალი ბ ა. ამიტომ, ამ ინვერსიის ფორმულის გამოყენებით ლოგარითმების ცხრილიდან ფუძემდე გთქვენ შეგიძლიათ ააგოთ ლოგარითმების ცხრილები ნებისმიერ სხვა ბაზაზე ბ. მულტიპლიკატორი 1/ლოგი გ ბდაურეკა გარდამავალი მოდულიმიწიდან გბაზამდე ბ. არაფერი უშლის ხელს, მაგალითად, ინვერსიის ფორმულის გამოყენებას, ან ლოგარითმების ერთი სისტემიდან მეორეზე გადასვლას, ჩვეულებრივი ლოგარითმების ცხრილიდან ბუნებრივი ლოგარითმების პოვნას ან საპირისპირო გადასვლის განხორციელებას. მაგალითად, log105,432 = log ე 5.432/ლოგი ე 10 \u003d 1.6923 / 2.3026 \u003d 1.6923´0.4343 \u003d 0.7350. რიცხვი 0,4343, რომლითაც უნდა გავამრავლოთ მოცემული რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ჩვეულებრივი ლოგარითმის მისაღებად, არის ჩვეულებრივი ლოგარითმების სისტემაზე გადასვლის მოდული.
სპეციალური მაგიდები.
ლოგარითმები თავდაპირველად გამოიგონეს მათი თვისებების ჟურნალის გამოსაყენებლად აბ= ჟურნალი ა+ლოგი ბდა შესვლა ა/ბ= ჟურნალი ა- ჟურნალი ბ, პროდუქციის გადაქცევა ჯამებად, ხოლო კოეფიციენტები განსხვავებად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ჟურნალი ადა შესვლა ბცნობილია, მაშინ შეკრებისა და გამოკლების დახმარებით ადვილად ვიპოვით ნამრავლის ლოგარითმს და კოეფიციენტს. თუმცა ასტრონომიაში ხშირად დააყენეთ ღირებულებებიჟურნალი ადა შესვლა ბუნდა მოძებნო ჟურნალი ( ა + ბ) ან ჟურნალი ( ა – ბ). რასაკვირველია, პირველ რიგში, ლოგარითმების ცხრილებიდან შეიძლება იპოვოთ ადა ბ, შემდეგ შეასრულეთ მითითებული შეკრება ან გამოკლება და, ისევ ცხრილებზე მითითებით, იპოვეთ საჭირო ლოგარითმები, მაგრამ ასეთი პროცედურა დასჭირდება ცხრილების სამ მგზავრობას. ზ.ლეონელმა 1802 წელს გამოაქვეყნა ცხრილები ე.წ. გაუსის ლოგარითმები- ჯამებისა და განსხვავებების დამატების ლოგარითმები - რამაც შესაძლებელი გახადა ცხრილებზე ერთი წვდომის შეზღუდვა.
1624 წელს ი.კეპლერმა შემოგვთავაზა პროპორციული ლოგარითმების ცხრილები, ე.ი. რიცხვების ლოგარითმები ა/x, სად ა- რაღაც დადებითი მუდმივი. ამ ცხრილებს ძირითადად იყენებენ ასტრონომები და ნავიგატორები.
პროპორციული ლოგარითმები ზე ა= 1 ეწოდება ლოგარითმებიდა გამოიყენება გამოთვლებში, როდესაც საქმე გვაქვს პროდუქტებთან და კოეფიციენტებთან. რიცხვის ლოგარითმი ნლოგარითმის ტოლია საპასუხო ნომერი; იმათ. კოლოგი ნ= log1/ ნ= - ჟურნალი ნ. თუ log2 = 0,3010, მაშინ colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. ლოგარითმების გამოყენების უპირატესობა ის არის, რომ ფორმის გამონათქვამების ლოგარითმის მნიშვნელობის გაანგარიშებისას pq/რგაამამაგა დადებითი ჯამი ათწილადებიჟურნალი გვ+ლოგი ქ+ კოლოგი რუფრო ადვილი მოსაძებნია, ვიდრე ლოგის შერეული ჯამი და სხვაობა გვ+ლოგი ქ- ჟურნალი რ.
ამბავი.
პრინციპი, რომელიც საფუძვლად უდევს ლოგარითმების ნებისმიერ სისტემას, ცნობილია დიდი ხნის განმავლობაში და შეიძლება აღმოჩნდეს ძველ ბაბილონურ მათემატიკაში (დაახლოებით ძვ. წ. 2000 წ.). იმ დროს ინტერპოლაცია შორის ცხრილის მნიშვნელობებიმთლიანი დადებითი გრადუსიმთელი რიცხვები გამოყენებული იყო რთული პროცენტის გამოსათვლელად. მოგვიანებით, არქიმედესმა (ძვ. წ. 287–212) გამოიყენა 108-ის ძალა, რათა იპოვა ქვიშის მარცვლის რაოდენობის ზედა ზღვარი, რომელიც საჭიროა იმ დროისთვის ცნობილი სამყაროს სრულად შესავსებად. არქიმედესმა ყურადღება გაამახვილა მაჩვენებლების თვისებაზე, რომელიც საფუძვლად უდევს ლოგარითმების ეფექტურობას: ძალაუფლების ნამრავლი შეესაბამება მაჩვენებლების ჯამს. შუა საუკუნეების დასასრულსა და ახალი ეპოქის დასაწყისში მათემატიკოსებმა სულ უფრო ხშირად დაიწყეს გეომეტრიული და არითმეტიკული პროგრესიების ურთიერთკავშირის მოხსენიება. მ.შტიფელი თავის ნარკვევში მთელი არითმეტიკა(1544) მისცა 2 რიცხვის დადებითი და უარყოფითი ძალების ცხრილი:
შტიფელმა შენიშნა, რომ პირველ რიგში (მწკრივთა მწკრივი) ორი რიცხვის ჯამი უდრის ორის მაჩვენებელს, რომელიც შეესაბამება ქვედა მწკრივის ორი შესაბამისი რიცხვის ნამრავლს (მაჩვენებლების მწკრივი). ამ ცხრილთან დაკავშირებით შტიფელმა ჩამოაყალიბა ოთხი წესი, რომელიც ექვივალენტურია ოთხი თანამედროვე წესებიმოქმედებები მაჩვენებლებზე ან ლოგარითმებზე მოქმედებების ოთხი წესი: ზედა ხაზის ჯამი შეესაბამება ქვედა ხაზის ნამრავლს; ზედა მწკრივში გამოკლება შეესაბამება ქვედა მწკრივში გაყოფას; ზედა მწკრივში გამრავლება შეესაბამება ქვედა მწკრივში გაძლიერებას; ზედა მწკრივში გაყოფა შეესაბამება ფესვის ამოღებას ქვედა რიგში.
როგორც ჩანს, შტიფელის წესების მსგავსმა წესებმა მიიყვანა ჯ.ნაპერმა ესეში ლოგარითმების პირველი სისტემის ოფიციალური დანერგვამდე. საოცარი ლოგარითმის ცხრილის აღწერა 1614 წელს გამოქვეყნებული. მაგრამ ნაპიერის აზრები პროდუქციის თანხებად გადაქცევის პრობლემას ეხებოდა, რადგან მისი ნაშრომის გამოქვეყნებამდე ათ წელზე მეტი ხნის წინ ნაპიერმა მიიღო ინფორმაცია დანიიდან, რომ მის თანაშემწეებს ტიხო ბრაჰეს ობსერვატორიაში ჰქონდათ ნამუშევრების გადაკეთების მეთოდი. თანხები. ნაპიერის კომუნიკაციაში აღწერილი მეთოდი ეფუძნებოდა გამოყენებას ტრიგონომეტრიული ფორმულებიტიპი
ასე რომ, ნაპიერის ცხრილები ძირითადად ლოგარითმებისგან შედგებოდა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მიუხედავად იმისა, რომ ბაზის ცნება არ იყო ცალსახად შეტანილი ნაპიერის მიერ შემოთავაზებულ განმარტებაში, მის სისტემაში ლოგარითმების სისტემის ფუძის ეკვივალენტურ როლს ასრულებდა რიცხვი (1 - 10 -7)ґ10 7, დაახლოებით 1/. ე.
ნეუპერისგან დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად, ლოგარითმების სისტემა, ტიპით საკმაოდ ახლოს, გამოიგონა და გამოაქვეყნა ჯ. ბურგიმ პრაღაში, რომელმაც გამოაქვეყნა 1620 წ. არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესირების ცხრილები. ეს იყო ანტილოგარითმების ცხრილები ბაზაში (1 + 10 -4) ґ10 4, რიცხვის საკმაოდ კარგი მიახლოება ე.
ნაპიერის სისტემაში 10 7 რიცხვის ლოგარითმი მიიღეს როგორც ნული, ხოლო რიცხვების შემცირებით ლოგარითმები იზრდებოდა. როდესაც G. Briggs (1561-1631) ეწვია ნაპიერს, ორივე შეთანხმდა, რომ უფრო მოსახერხებელი იქნებოდა გამოეყენებინათ რიცხვი 10 საფუძვლად და განვიხილოთ ერთის ლოგარითმი ნულის ტოლი. შემდეგ რიცხვების ზრდასთან ერთად მათი ლოგარითმები გაიზრდებოდა. ასე მივიღეთ თანამედროვე სისტემაათობითი ლოგარითმები, რომელთა ცხრილი ბრიგსმა გამოაქვეყნა თავის ესეში ლოგარითმული არითმეტიკა(1620 წ.). ბაზის ლოგარითმები ე, თუმცა არც თუ ისე ნაპიერის მიერ შემოღებული, ხშირად მოიხსენიებენ როგორც ნაპიერს. ტერმინები „მახასიათებელი“ და „მანტისა“ შემოგვთავაზა ბრიგსმა.
პირველი ლოგარითმები მოქმედებს ისტორიული მიზეზებიგამოიყენა მიახლოებები რიცხვებთან 1/ ედა ე. ცოტა მოგვიანებით, ბუნებრივი ლოგარითმების იდეა დაიწყო ჰიპერბოლის ქვეშ მდებარე ტერიტორიების შესწავლასთან. xy= 1 (ნახ. 1). მე-17 საუკუნეში ნაჩვენები იყო, რომ ამ მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი, ღერძი xდა ორდინატებს x= 1 და x = ა(ნახ. 1-ში ეს ტერიტორია დაფარულია უფრო სქელი და იშვიათი წერტილებით) იზრდება არითმეტიკული პროგრესია, Როდესაც აიზრდება ში გეომეტრიული პროგრესია. სწორედ ეს დამოკიდებულება წარმოიქმნება ექსპონენტებზე და ლოგარითმებზე მოქმედებების წესებში. ამან საფუძველი მისცა ნაპიეს ლოგარითმებს „ჰიპერბოლური ლოგარითმები“ ეწოდებინა.
ლოგარითმული ფუნქცია.
იყო დრო, როდესაც ლოგარითმები განიხილებოდა მხოლოდ გამოთვლის საშუალებად, მაგრამ მე-18 საუკუნეში, ძირითადად, ეილერის მუშაობის გამო, ჩამოყალიბდა კონცეფცია. ლოგარითმული ფუნქცია. ასეთი ფუნქციის გრაფიკი წ= ლნ x, რომლის ორდინატები იზრდება არითმეტიკული პროგრესიით, ხოლო აბსცისი იზრდება გეომეტრიულ პროგრესიაში, ნაჩვენებია ნახ. 2, ა. შებრუნებული, ან ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) ფუნქციის გრაფიკი y = e x, რომლის ორდინატები იზრდება ექსპონენტურად, ხოლო აბსცისი ზრდის არითმეტიკას, წარმოდგენილია, შესაბამისად, ნახ. 2, ბ. (მრუდები წ= ჟურნალი xდა წ = 10xმსგავსი ფორმის მოსახვევებში წ= ლნ xდა წ = e x.) ასევე შესთავაზეს ალტერნატიული განმარტებებილოგარითმული ფუნქცია, მაგალითად,
kpi ; და, ანალოგიურად, ბუნებრივი ლოგარითმები -1 არის რთული რიცხვებისახეობა (2 კ + 1)პი, სად კარის მთელი რიცხვი. მსგავსი განცხადებები ასევე მართალია საერთო ლოგარითმებიან ლოგარითმების სხვა სისტემები. გარდა ამისა, ლოგარითმების განმარტება შეიძლება განზოგადდეს ეილერის იდენტობების გამოყენებით რთული რიცხვების რთული ლოგარითმების ჩათვლით.
ლოგარითმული ფუნქციის ალტერნატიული განმარტება იძლევა ფუნქციური ანალიზი. თუ ვ(x) – უწყვეტი ფუნქცია ნამდვილი რიცხვი x, რომელსაც აქვს შემდეგი სამი თვისება: ვ (1) = 0, ვ (ბ) = 1, ვ (UV) = ვ (u) + ვ (ვ), ეს ვ(x) განისაზღვრება, როგორც რიცხვის ლოგარითმი xმიზეზით ბ. ამ განმარტებას აქვს მრავალი უპირატესობა ამ სტატიის დასაწყისში მოცემულ განმარტებასთან შედარებით.
აპლიკაციები.
ლოგარითმები თავდაპირველად გამოიყენებოდა მხოლოდ გამოთვლების გასამარტივებლად და ეს პროგრამა ჯერ კიდევ ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანია. პროდუქტების, კოეფიციენტების, სიმძლავრისა და ფესვების გამოთვლას ხელს უწყობს არა მხოლოდ ლოგარითმების გამოქვეყნებული ცხრილების ფართო ხელმისაწვდომობა, არამედ ე.წ. სლაიდის წესი- გამოთვლითი ინსტრუმენტი, რომლის პრინციპი ეფუძნება ლოგარითმების თვისებებს. სახაზავი აღჭურვილია ლოგარითმული სასწორებით, ე.ი. მანძილი 1 ნომრიდან ნებისმიერ რიცხვამდე xარჩეულია ჟურნალის ტოლი x; ერთი მასშტაბის მეორეზე გადაცვლით შესაძლებელია ლოგარითმების ჯამი ან სხვაობა, რაც შესაძლებელს ხდის სკალადან პირდაპირ წაიკითხოს შესაბამისი რიცხვების ნაწარმოებები ან ნაწილები. რიცხვების ლოგარითმული ფორმით წარმოდგენით ისარგებლოს ე.წ. ლოგარითმული ქაღალდი გამოსახატავად (ქაღალდი ლოგარითმული მასშტაბებით დაბეჭდილია ორივე კოორდინატთა ღერძის გასწვრივ). თუ ფუნქცია აკმაყოფილებს ფორმის ძალის კანონს y = kx n, მაშინ მისი ლოგარითმული გრაფიკი სწორ ხაზს ჰგავს, რადგან ჟურნალი წ= ჟურნალი კ + ნჟურნალი xარის წრფივი განტოლება ლოგის მიმართ წდა შესვლა x. პირიქით, თუ რაიმე ფუნქციური დამოკიდებულების ლოგარითმული გრაფიკს აქვს სწორი ხაზის ფორმა, მაშინ ეს დამოკიდებულება არის ძალაუფლების კანონი. ნახევრად ლოგარითმული ქაღალდი (სადაც y ღერძი ლოგარითმულია, ხოლო აბსციზა ერთგვაროვანი) სასარგებლოა, როდესაც გსურთ იდენტიფიცირება ექსპონენციალური ფუნქციები. ფორმის განტოლებები y = kb rxწარმოიქმნება მაშინ, როდესაც რაოდენობა, როგორიცაა პოპულაცია, რადიოაქტიური მასალის რაოდენობა ან საბანკო ბალანსი, მცირდება ან იზრდება ხელმისაწვდომის პროპორციული სიჩქარით ამ მომენტშიმოსახლეობის რაოდენობა რადიოაქტიური ნივთიერებაან ფული. თუ ასეთი დამოკიდებულება გამოიყენება ნახევრად ლოგარითმული ქაღალდზე, მაშინ გრაფიკი სწორ ხაზს ჰგავს.
ლოგარითმული ფუნქცია წარმოიქმნება სხვადასხვა ბუნებრივ ფორმებთან დაკავშირებით. მზესუმზირის ყვავილების ყვავილები ლოგარითმულ სპირალებში რიგდება, მოლუსკის ჭურვები ტრიალდება ნაუტილუსი, მთის ცხვრის რქები და თუთიყუშების წვერები. ყველა ეს ბუნებრივი ფორმებიშეიძლება იყოს ლოგარითმული სპირალის სახელით ცნობილი მრუდის მაგალითი, რადგან პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში მისი განტოლება არის r = ae bq, ან ლნ რ= ლნ ა + ბქ. ასეთი მრუდი აღიწერება მოძრავი წერტილით, რომლის პოლუსიდან დაშორება ექსპონენტურად იზრდება, ხოლო მისი რადიუსის ვექტორით აღწერილ კუთხე არითმეტიკულად. ასეთი მრუდის და, მაშასადამე, ლოგარითმული ფუნქციის ყოვლისმომცველი არსებობა კარგად არის ილუსტრირებული იმით, რომ ის წარმოიქმნება სხვადასხვა სფეროებში, როგორც ექსცენტრიული კამერის კონტური და ზოგიერთი მწერის ტრაექტორია, რომელიც მიფრინავს სინათლისკენ.
