វិសមភាពលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានអថេរផ្សេងគ្នា។ ការងាររបស់ Manov "វិសមភាពលោការីតក្នុងការប្រឡង"

ឯកជនភាពរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមអានគោលការណ៍ឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណ ឬទាក់ទងបុគ្គលជាក់លាក់។

អ្នកអាចនឹងត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះដែលយើងប្រមូលបាន៖

នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាស័យដ្ឋានរបស់អ្នក។ អ៊ីមែលល។

របៀបដែលយើងប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

ប្រមូលដោយពួកយើង ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នក និងជូនដំណឹងដល់អ្នកអំពី ការផ្តល់ជូនពិសេសការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
យូរៗម្ដង យើងអាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹង និងសារសំខាន់ៗដល់អ្នក។
យើងក៏អាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងដូចជា សវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និង ការសិក្សាផ្សេងៗដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ជូន និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួត ឬការលើកទឹកចិត្តស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

បើចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ សណ្តាប់ធ្នាប់តុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង/ឬផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពី ទីភ្នាក់ងាររដ្ឋាភិបាលនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - បង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬហេតុផលផលប្រយោជន៍សាធារណៈផ្សេងទៀត។
នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅកាន់អ្នកស្នងតំណែងភាគីទីបីដែលពាក់ព័ន្ធ។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាពីការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

រក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទាក់ទងការអនុវត្តឯកជនភាព និងសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

ក្នុងចំណោមពូជទាំងអស់។ វិសមភាពលោការីតដោយឡែកពីគ្នាសិក្សាវិសមភាពជាមួយ មូលដ្ឋានអថេរ. ពួកវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរូបមន្តពិសេស ដែលសម្រាប់ហេតុផលខ្លះ កម្របង្រៀននៅសាលា៖

កំណត់ហេតុ k (x ) f ( x ) ∨ កំណត់ហេតុ k ( x ) g ( x ) ⇒ ( f ( x ) − g ( x )) ( k ( x ) − 1 ) ∨ 0

ជំនួសឱ្យ jackdaw "∨" អ្នកអាចដាក់សញ្ញាវិសមភាពណាមួយ៖ តិច ឬច្រើន ។ រឿងចំបងគឺថានៅក្នុងវិសមភាពទាំងពីរសញ្ញាគឺដូចគ្នា។

ដូច្នេះយើងកម្ចាត់លោការីត និងកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាវិសមភាពសនិទាន។ ក្រោយមកទៀតគឺកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ ប៉ុន្តែនៅពេលបោះបង់លោការីត ឫសបន្ថែមអាចលេចឡើង។ ដើម្បីកាត់ពួកវាវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការស្វែងរកតំបន់ តម្លៃអនុញ្ញាត. ប្រសិនបើអ្នកភ្លេច ODZ នៃលោការីត ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងឱ្យធ្វើវាឡើងវិញ - សូមមើល "តើលោការីតគឺជាអ្វី" ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទាក់ទងនឹងជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានត្រូវតែសរសេរចេញ និងដោះស្រាយដោយឡែកពីគ្នា៖

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ ១.

វិសមភាពទាំងបួននេះបង្កើតជាប្រព័ន្ធ ហើយត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ នៅពេលដែលជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានត្រូវបានរកឃើញវានៅតែឆ្លងកាត់វាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ វិសមភាពសមហេតុផល- ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

ដំបូងយើងសរសេរ ODZ នៃលោការីត៖

វិសមភាពពីរដំបូងត្រូវបានអនុវត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ ហើយចុងក្រោយនឹងត្រូវសរសេរ។ ចាប់តាំងពីការ៉េនៃលេខ សូន្យប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើចំនួនខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យ យើងមាន៖

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0 ។

វាប្រែថា ODZ នៃលោការីតគឺជាលេខទាំងអស់ លើកលែងតែលេខសូន្យ៖ x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞) ។ ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាពចម្បង៖

យើងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរពីវិសមភាពលោការីតទៅសនិទានភាព។ នៅក្នុងវិសមភាពដើមមានសញ្ញា "តិចជាង" ដូច្នេះវិសមភាពលទ្ធផលក៏គួរតែមានសញ្ញា "តិចជាង" ផងដែរ។ យើងមាន:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

សូន្យនៃកន្សោមនេះ: x = 3; x = −3; x = 0. លើសពីនេះទៅទៀត x = 0 គឺជាឫសគល់នៃមេគុណទីពីរ ដែលមានន័យថា នៅពេលឆ្លងកាត់វា សញ្ញានៃអនុគមន៍មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ យើងមាន:

យើងទទួលបាន x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ។ សំណុំនេះមានទាំងស្រុងនៅក្នុង ODZ នៃលោការីត ដែលមានន័យថានេះគឺជាចម្លើយ។

ការផ្លាស់ប្តូរនៃវិសមភាពលោការីត

ជាញឹកញាប់វិសមភាពដើមខុសពីអ្វីដែលខាងលើ។ នេះគឺងាយស្រួលក្នុងការជួសជុលដោយ ច្បាប់ស្តង់ដារធ្វើការជាមួយលោការីត - សូមមើល "លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត" ។ ពោលគឺ៖

លេខណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ;
ផលបូកនិងភាពខុសគ្នានៃលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានជំនួសដោយលោការីតតែមួយ។

ដោយឡែកពីគ្នា ខ្ញុំចង់រំលឹកអ្នកអំពីជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ ដោយសារវាអាចមានលោការីតជាច្រើននៅក្នុងវិសមភាពដើម វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក DPV នៃពួកវានីមួយៗ។ ដូច្នេះ គ្រោងការណ៍ទូទៅដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលោការីតមានដូចខាងក្រោម៖

ស្វែងរក ODZ នៃលោការីតនីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលក្នុងវិសមភាព។
កាត់បន្ថយវិសមភាពតាមស្តង់ដារដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមនិងដកលោការីត។
ដោះស្រាយវិសមភាពលទ្ធផលតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

ស្វែងរកដែននិយមន័យ (ODZ) នៃលោការីតទីមួយ៖

យើងដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល។ ការស្វែងរកលេខសូន្យនៃភាគយក៖

3x − 2 = 0;
x = 2/3 ។

បន្ទាប់មក - សូន្យនៃភាគបែង៖

x − 1 = 0;
x = ១.

យើងសម្គាល់លេខសូន្យ និងសញ្ញានៅលើព្រួញកូអរដោនេ៖

យើងទទួលបាន x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ។ លោការីតទីពីរនៃ ODZ នឹងដូចគ្នា។ បើមិនជឿអាចឆែកមើលបាន។ ឥឡូវនេះ យើងបំប្លែងលោការីតទីពីរ ដូច្នេះមូលដ្ឋានគឺពីរ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ បីដងនៅមូលដ្ឋាន និងមុនពេលលោការីតបានរួមតូច។ យើងទទួលបានលោការីតពីរពី មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ចូរយើងដាក់វាជាមួយគ្នា៖

កំណត់ហេតុ ២ (x − ១) ២< 2;
កំណត់ហេតុ ២ (x − ១) ២< log 2 2 2 .

យើងបានទទួលវិសមភាពលោការីតស្តង់ដារ។ យើងកម្ចាត់លោការីតដោយរូបមន្ត។ ដោយសារមានសញ្ញា "តិចជាង" នៅក្នុងវិសមភាពដើម លទ្ធផល ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលគួរតែ តិចជាងសូន្យ. យើងមាន:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3) ។

យើងទទួលបានពីរឈុត៖

ODZ៖ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
ចម្លើយបេក្ខជន៖ x ∈ (−1; 3) ។

វានៅសល់ដើម្បីឆ្លងកាត់ឈុតទាំងនេះ - យើងទទួលបានចម្លើយពិតប្រាកដ:

យើងចាប់អារម្មណ៍លើចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំ ដូច្នេះយើងជ្រើសរើសចន្លោះពេលដែលមានស្រមោលនៅលើព្រួញទាំងពីរ។ យើងទទួលបាន x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ចំនុចទាំងអស់ត្រូវបានវាយ។

មេរៀននៃវិសមភាពមួយបង្កើតជាជំនាញនៃការងារស្រាវជ្រាវ ដាស់គំនិតរបស់សិស្ស អភិវឌ្ឍភាពឆ្លាតវៃ និងបង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សក្នុងការងារ។ វាជាការប្រសើរក្នុងការដឹកនាំវានៅពេលដែលសិស្សបានរៀន គំនិតចាំបាច់និងបានវិភាគវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់មួយចំនួនសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពលោការីត។ នៅក្នុងមេរៀននេះ សិស្សគឺជាអ្នកចូលរួមយ៉ាងសកម្មក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

ប្រភេទមេរៀន

. មេរៀនក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាពក្នុងស្ថានភាពថ្មី។ (មេរៀននៃការរៀបចំប្រព័ន្ធ និងទូទៅនៃសម្ភារៈសិក្សា)។

គោលបំណងនៃមេរៀន

អប់រំ

វិធីផ្សេងគ្នា

សកម្មភាពផ្ទាល់ខ្លួន

សម្ភារៈអប់រំ

កំពុងអភិវឌ្ឍ

អប់រំ

ទំនាក់ទំនងមនុស្សធម៌

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់។

1. ពេលរៀបចំ។

ការងារមាត់។

2. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ។

សរសេរប្រយោគជាភាសាគណិតវិទ្យា៖ “លេខ a និង b គឺនៅម្ខាងនៃឯកភាព” “លេខ a និង b ស្ថិតនៅលើ ភាគីផ្សេងគ្នាពីការរួបរួម” និងបង្ហាញពីវិសមភាពលទ្ធផល។ ( នៅលើក្ដារខៀន សិស្សម្នាក់បានរៀបចំដំណោះស្រាយជាមុន ) ។

3. រាយការណ៍អំពីប្រធានបទនៃមេរៀន គោលបំណង និងគោលបំណងរបស់វា។

ការវិភាគជម្រើសសម្រាប់ការប្រឡងចូលគណិតវិទ្យា គេអាចសម្គាល់ឃើញថា ពីទ្រឹស្តីលោការីតក្នុងការប្រឡង វិសមភាពលោការីតតែងតែកើតឡើងដែលមានអថេរនៅក្រោមលោការីត និងក្នុង មូលដ្ឋាននៃលោការីត.

មេរៀនរបស់យើងគឺ មេរៀនក្នុងវិសមភាពមួយ។, មានអថេរនៅក្រោមលោការីត និងនៅមូលដ្ឋានលោការីតដោះស្រាយតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ វាត្រូវបានគេនិយាយថា វាជាការប្រសើរក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពមួយ ប៉ុន្តែក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា ជាងវិសមភាពជាច្រើនក្នុងវិធីដូចគ្នា។ ជាការពិតណាស់ អ្នកគួរតែអាចពិនិត្យមើលការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នក។ ពិនិត្យកាន់តែប្រសើរទេ ជាងការដោះស្រាយកិច្ចការក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា និងទទួលបានចម្លើយដូចគ្នា (អ្នកអាចមកប្រព័ន្ធដូចគ្នា វិសមភាពដូចគ្នា សមីការក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា)។ ប៉ុន្តែមិនត្រឹមតែគោលដៅនេះទេដែលត្រូវបានបន្តនៅពេលដោះស្រាយភារកិច្ចតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្សេងៗ ដោយពិចារណាលើករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់ ការវាយតម្លៃសំខាន់ពួកគេក្នុងគោលបំណងដើម្បីបន្លិចសមហេតុផលបំផុត, ស្រស់ស្អាត, គឺ កត្តាសំខាន់មួយ។ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតគណិតវិទ្យា នាំឱ្យឆ្ងាយពីគំរូ។ ដូច្នេះហើយ ថ្ងៃនេះ យើងនឹងដោះស្រាយវិសមភាពតែមួយគត់ ប៉ុន្តែយើងនឹងព្យាយាមរកវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយវា។

4. កម្មវិធីច្នៃប្រឌិតនិងការទទួលបានចំណេះដឹង ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តនៃសកម្មភាពដោយការដោះស្រាយកិច្ចការដែលមានបញ្ហា ដោយផ្អែកលើចំណេះដឹង និងជំនាញដែលទទួលបានពីមុនក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពកំណត់ហេតុ x (x 2 - 2x - 3)< 0.

នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពនេះ ដែលយកចេញពីក្រដាសប្រឡងមួយ។ មើលឱ្យជិតហើយព្យាយាមវិភាគដំណោះស្រាយ។ (ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារខៀនជាមុន)

កំណត់ហេតុ x (x 2 − 2x − 3)< log x 1;

ក) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 − 2x − 3< 1;

x 2 − 2x − 3 = 0; x 2 − 2x − 4< 0;

x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3; x 2 − 2x − 4 = 0;

គ) ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ

ការពន្យល់របស់សិស្សដែលអាចធ្វើបាន៖

នេះមិនមែនជាសមីការទេ ប៉ុន្តែជាវិសមភាព ដូច្នេះនៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីវិសមភាពលោការីតទៅ សញ្ញាសមហេតុផលវិសមភាពនឹងអាស្រ័យលើមូលដ្ឋាននៃលោការីត និង monotonicity មុខងារលោការីត.

ជាមួយនឹងការសម្រេចចិត្តនេះវាអាចទៅរួចក្នុងការទិញ ការសម្រេចចិត្តក្រៅប្រព័ន្ធឬការបាត់បង់ដំណោះស្រាយ ហើយវាអាចទៅរួចដែលថាជាមួយនឹងការសម្រេចចិត្តមិនត្រឹមត្រូវ ចម្លើយត្រឹមត្រូវនឹងត្រូវបានទទួល។

ដូច្នេះ តើចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយវិសមភាពនេះដោយរបៀបណា ដែលអថេរស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងនៅមូលដ្ឋានលោការីត?!

វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រព័ន្ធវិសមភាពពីរ។

ប្រព័ន្ធវិសមភាពទីមួយមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាពនឹងមាន

នៅក្នុងការស្នើរសុំដំណោះស្រាយវិសមភាពពីក្រដាសប្រឡង ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។ ហេតុអ្វី?

ការឆ្លើយតបរបស់សិស្សដែលអាចធ្វើបាន៖

ដោយសារដែននៃអនុគមន៍នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពមានលេខធំជាង 3 ដូច្នេះមុខងារ y = log x t កំពុងកើនឡើង។ ដូច្នេះចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។

តើគេអាចសរសេរដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវតាមគណិតវិទ្យាក្នុងក្រដាសប្រឡងដោយរបៀបណា?

II វិធី។

យើងរកឃើញដែននៃអនុគមន៍នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព ហើយបន្ទាប់មកដោយគិតគូរពីដែននៃនិយមន័យ សូមពិចារណាតែករណីមួយប៉ុណ្ណោះ។

តើវិសមភាពនេះអាចដោះស្រាយបានដោយរបៀបណា? តើរូបមន្តអ្វីខ្លះអាចត្រូវបានអនុវត្ត?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី a > 0, a 1

III វិធី។

IV វិធី។

តើអាចអនុវត្តចំពោះវិសមភាពដោយខ្លួនឯងបានទេថាលោការីតតិចជាងសូន្យ?

បាទ។ កន្សោមខាងក្រោមលោការីត និងមូលដ្ឋានលោការីតគឺនៅម្ខាងនៃឯកភាពគ្នា ប៉ុន្តែវិជ្ជមាន!

នោះគឺយើងទទួលបានប្រព័ន្ធវិសមភាពពីរដូចគ្នាម្តងទៀត៖

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាទាំងអស់នាំទៅរកសំណុំនៃប្រព័ន្ធពីរនៃវិសមភាព។ ក្នុងករណីទាំងអស់ ចម្លើយដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។ វិធីសាស្រ្តទាំងអស់គឺត្រឹមត្រូវតាមទ្រឹស្តី។

សំណួរទៅសិស្ស៖ តើអ្នកយល់យ៉ាងណាដែរ ហេតុអ្វីបានជាសំណួរសួរក្នុងកិច្ចការផ្ទះដែលមិនទាក់ទងនឹងសម្ភារៈសិក្សានៅថ្នាក់ទី ១១?

ដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតនោះ។ កំណត់ហេតុ a b< 0 , ប្រសិនបើ កនិង ខនៅសងខាង 1

កត់ត្រា a b> 0 ប្រសិនបើ កនិង ខនៅផ្នែកម្ខាងនៃ 1 អ្នកអាចទទួលបានការចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំង វិធីដែលមិននឹកស្មានដល់ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងអត្ថបទ "ទំនាក់ទំនងលោការីតដែលមានប្រយោជន៍មួយចំនួន" នៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិ Kvant លេខ 10 ឆ្នាំ 1990 ។

កំណត់ហេតុ g(x) f(x) > 0 ប្រសិនបើ

កំណត់ហេតុ g(x) f(x)< 0, если

(ហេតុអ្វីលក្ខខណ្ឌ g(x) 1 មិនចាំបាច់សរសេរទេ?)

ការដោះស្រាយវិសមភាព កំណត់ហេតុ x (x 2 − 2x − 3)< 0 មើលទៅដូចនេះ៖

ក) x 2 – 2x – 3 > 0; ខ) (x − 1) (x 2 − 2x − 4)< 0;

គ) ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធវិសមភាព

VI វិធី។

វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល។ (“ការដោះស្រាយវិសមភាពលោការីតដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល” គឺជាប្រធានបទនៃមេរៀនបន្ទាប់)។

5. លទ្ធផលនៃការងារដែលបានធ្វើ។

1. តើវិសមភាពត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបណា? តើមានវិធីប៉ុន្មានដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

តើយើងបានរកឃើញវិសមភាពទេ?

2. តើមួយណាសមហេតុផលជាងគេ? ស្អាត?

3. តើអ្វីជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពនៅក្នុងករណីនីមួយៗ?

4. ហេតុអ្វីបានជាវិសមភាពនេះគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍?

លក្ខណៈគុណភាពនៃការងាររបស់ថ្នាក់ដោយគ្រូ។

6. ទូទៅនៃសម្ភារៈសិក្សា។

តើវាអាចនឹងចាត់ទុកវិសមភាពនេះថាជា ករណីពិសេសបញ្ហាទូទៅបន្ថែមទៀត?

វិសមភាពនៃទម្រង់ កំណត់ហេតុ g(x) f(x)<(>) កំណត់ហេតុ g(x) h(x)អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាវិសមភាព កំណត់ហេតុ g(x)p(x)<(>) 0 ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាព។

ដោះស្រាយវិសមភាព

កំណត់ហេតុ x (x 2 + 3x − 3) > 1

ដោយវិធីណាមួយខាងលើ។

7. កិច្ចការផ្ទះការណែនាំសម្រាប់ការអនុវត្តរបស់វា។
.

1. ដោះស្រាយវិសមភាព (ពីជម្រើសសម្រាប់ការប្រលងចូលមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា)៖

2. នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាអំពីវិសមភាពលោការីត ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល។ ធ្វើម្តងទៀតនូវក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល។

3. រៀបចំលេខតាមលំដាប់ឡើង (ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលការរៀបចំនេះ)៖

កំណត់ហេតុ 0.35; ; ; កំណត់ហេតុ ០.៥ ៣ (ធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់មេរៀនបន្ទាប់) ។

វិសមភាព LOGARITHIC ក្នុងការប្រើប្រាស់

Sechin Mikhail Alexandrovich

បណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រខ្នាតតូចសម្រាប់និស្សិតនៃសាធារណរដ្ឋកាហ្សាក់ស្ថាន "អ្នកស្វែងរក"

MBOU "អនុវិទ្យាល័យសូវៀតលេខ 1" ថ្នាក់ទី 11 ទីប្រជុំជន។ ស្រុកសូវៀតស្គី

Gunko Ludmila Dmitrievna, គ្រូបង្រៀន MBOU"សាលាសូវៀតលេខ 1"

ស្រុកសូវៀត

គោលដៅនៃការងារ៖ការសិក្សាអំពីយន្តការសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពលោការីត C3 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមិនស្តង់ដារកំណត់អត្តសញ្ញាណ ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍លោការីត។

មុខវិជ្ជាសិក្សា៖

3) រៀនដោះស្រាយវិសមភាពលោការីត C3 ជាក់លាក់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមិនស្តង់ដារ។

លទ្ធផល៖

មាតិកា

សេចក្តីផ្តើម……………………………………………………………………………… ៤

ជំពូកទី 1. ផ្ទៃខាងក្រោយ………………………………………………………...5

ជំពូកទី 2. ការប្រមូលអសមភាពលោការីត ………………………… ៧

២.១. ការផ្លាស់ប្តូរសមមូលនិងទូទៅ វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល…………… 7

២.២. វិធីសាស្រ្តសនិទានកម្ម…………………………………………………… ១៥

២.៣. ការជំនួសមិនស្តង់ដារ………………………………………………………………………………………………………… ២២

២.៤. កិច្ចការដែលមានអន្ទាក់…………………………………………………… ២៧

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន …………………………………………………………………… ៣០

អក្សរសិល្ប៍…………………………………………………………………។ ៣១

សេចក្តីផ្តើម

ខ្ញុំនៅថ្នាក់ទី 11 ហើយខ្ញុំមានគម្រោងចូលសកលវិទ្យាល័យនៅឯណា ប្រធានបទប្រវត្តិរូបគឺជាគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំធ្វើការច្រើនជាមួយកិច្ចការនៃផ្នែក C. ក្នុងកិច្ចការ C3 អ្នកត្រូវដោះស្រាយ វិសមភាពមិនស្តង់ដារឬប្រព័ន្ធនៃវិសមភាព ដែលជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងលោការីត។ ខណៈពេលដែលកំពុងរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង ខ្ញុំបានជួបប្រទះនឹងបញ្ហានៃកង្វះវិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេសក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពលោការីតនៃការប្រឡងដែលមាននៅក្នុង C3 ។ វិធីសាស្រ្តដែលត្រូវបានសិក្សានៅក្នុង កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាលើប្រធានបទនេះ កុំផ្តល់មូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការ C3។ គ្រូគណិតវិទ្យាបានស្នើឱ្យខ្ញុំធ្វើការជាមួយកិច្ចការ C3 ដោយខ្លួនឯង ក្រោមការណែនាំរបស់នាង។ លើសពីនេះទៀត ខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍លើសំណួរ៖ តើលោការីតមាននៅក្នុងជីវិតរបស់យើងទេ?

ជាមួយនឹងគំនិតនេះ ប្រធានបទត្រូវបានជ្រើសរើស៖

"វិសមភាពលោការីតក្នុងការប្រឡង"

គោលដៅនៃការងារ៖ការសិក្សាអំពីយន្តការសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា C3 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមិនស្តង់ដារ បង្ហាញពីការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍អំពីលោការីត។

មុខវិជ្ជាសិក្សា៖

1) ស្វែងរក ព័ត៌មានចាំបាច់អូ វិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលោការីត។

2) ស្វែងរក ព័ត៍មានបន្ថែមអំពីលោការីត។

៣) រៀនសម្រេចចិត្ត ភារកិច្ចជាក់លាក់ C3 ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារ។

លទ្ធផល៖

សារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងគឺដើម្បីពង្រីកឧបករណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា C3 ។ សម្ភារៈនេះ។អាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងមេរៀនមួយចំនួន សម្រាប់ធ្វើរង្វង់ សកម្មភាពក្រៅកម្មវិធីសិក្សាគណិតវិទ្យា។

ផលិតផលគម្រោងនឹងក្លាយជាបណ្តុំ "វិសមភាពលោការីត C3 ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ"។

ជំពូកទី 1. ផ្ទៃខាងក្រោយ

ក្នុងកំឡុងសតវត្សទី 16 ចំនួននៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលបានកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស ជាចម្បងនៅក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រ។ ការកែលម្អឧបករណ៍ ការសិក្សាអំពីចលនារបស់ភព និងការងារផ្សេងទៀត ទាមទារឱ្យមានបរិមាណច្រើន ជួនកាលច្រើនឆ្នាំ ការគណនា។ តារាសាស្ត្រពិតជាមានគ្រោះថ្នាក់នៃការលង់ទឹកក្នុងការគណនាដែលមិនបានសម្រេច។ ភាពលំបាកក៏កើតមាននៅក្នុងតំបន់ផ្សេងទៀតដែរ ឧទាហរណ៍ ក្នុងអាជីវកម្មធានារ៉ាប់រង តារាងត្រូវការ ការប្រាក់រួមសម្រាប់ អត្ថន័យផ្សេងគ្នាភាគរយ។ ការលំបាកចម្បងគឺគុណ, ការបែងចែក លេខច្រើនខ្ទង់ជាពិសេសបរិមាណត្រីកោណមាត្រ។

ការរកឃើញលោការីតគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិល្បីនៃវឌ្ឍនភាពនៅចុងសតវត្សទី 16 ។ អំពីទំនាក់ទំនងរវាងសមាជិក វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ q, q2, q3, ... និង វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធសូចនាកររបស់ពួកគេគឺ 1, 2, 3, ... Archimedes បាននិយាយនៅក្នុង "Psalmite" ។ តម្រូវការជាមុនមួយទៀតគឺការពង្រីកគោលគំនិតនៃសញ្ញាបត្រទៅជាអវិជ្ជមាន និង សូចនាករប្រភាគ. អ្នកនិពន្ធជាច្រើនបានចង្អុលបង្ហាញថា មេគុណ ការបែងចែក ការលើកទៅជាអំណាចមួយ និងការដកឫសអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវគ្នានឹងនព្វន្ធ - ក្នុងលំដាប់ដូចគ្នា - បូក ដក គុណ និងចែក។

នេះគឺជាគំនិតនៃលោការីតជានិទស្សន្ត។

នៅក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រនៃការអភិវឌ្ឍន៍គោលលទ្ធិនៃលោការីត ដំណាក់កាលជាច្រើនបានកន្លងផុតទៅ។

ដំណាក់កាលទី 1

លោការីតត្រូវបានបង្កើតឡើងមិនយូរជាង 1594 ដោយឯករាជ្យដោយ Baron ស្កុតឡេន Napier (1550-1617) និងដប់ឆ្នាំក្រោយមកដោយមេកានិចស្វីស Burgi (1552-1632) ។ អ្នកទាំងពីរចង់ផ្តល់មធ្យោបាយងាយស្រួលថ្មី។ ការគណនានព្វន្ធទោះបីជាពួកគេបានដោះស្រាយបញ្ហានេះតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នាក៏ដោយ។ Napier kinematically បង្ហាញអនុគមន៍លោការីត ហើយដោយហេតុនេះ បញ្ចូលទៅក្នុង តំបន់ថ្មី។ទ្រឹស្តីមុខងារ។ Bürgi នៅតែឈរលើមូលដ្ឋាននៃការពិចារណាលើវឌ្ឍនភាពដាច់ដោយឡែក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ និយមន័យលោការីតសម្រាប់ទាំងពីរគឺមិនស្រដៀងទៅនឹងសម័យទំនើបនោះទេ។ ពាក្យ "លោការីត" (លោការីត) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Napier ។ វាកើតឡើងពីការរួមបញ្ចូលគ្នា ពាក្យក្រិក: និមិត្តសញ្ញា - "ទំនាក់ទំនង" និង ariqmo - "លេខ" ដែលមានន័យថា "ចំនួនទំនាក់ទំនង" ។ ដំបូង Napier បានប្រើពាក្យផ្សេងគ្នា: numeri artificiales - "លេខសិប្បនិម្មិត" ផ្ទុយទៅនឹង numeri naturalts - "លេខធម្មជាតិ" ។

នៅឆ្នាំ 1615 នៅក្នុងការសន្ទនាជាមួយ Henry Briggs (1561-1631) សាស្រ្តាចារ្យគណិតវិទ្យានៅមហាវិទ្យាល័យ Gresh ក្នុងទីក្រុងឡុងដ៍ លោក Napier បានស្នើឱ្យយកសូន្យសម្រាប់លោការីតមួយ និង 100 សម្រាប់លោការីតដប់ ឬតើបរិមាណដូចគ្នា 1. នេះជារបៀប លោការីតទសភាគហើយតារាងលោការីតដំបូងត្រូវបានបោះពុម្ព។ ក្រោយមកទៀត តារាង Briggs ត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយអ្នកលក់សៀវភៅជនជាតិហូឡង់ និងគណិតវិទូ Andrian Flakk (1600-1667)។ Napier និង Briggs ទោះបីជាពួកគេបានមកដល់លោការីតមុននរណាម្នាក់ក៏ដោយបានបោះពុម្ពតារាងរបស់ពួកគេយឺតជាងអ្នកផ្សេងទៀត - នៅឆ្នាំ 1620 ។ កំណត់ហេតុ និងកំណត់ហេតុត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ ១៦២៤ ដោយ I. Kepler ។ ពាក្យ "លោការីតធម្មជាតិ" ត្រូវបានណែនាំដោយ Mengoli ក្នុងឆ្នាំ 1659 បន្ទាប់មកដោយ N. Mercator ក្នុងឆ្នាំ 1668 ហើយគ្រូបង្រៀននៅទីក្រុងឡុងដ៍ លោក John Spadel បានបោះពុម្ពតារាងនៃលោការីតធម្មជាតិនៃលេខពី 1 ដល់ 1000 ក្រោមឈ្មោះ "លោការីតថ្មី" ។

ជាភាសារុស្សី តារាងលោការីតដំបូងត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ ១៧០៣។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងតារាងលោការីតទាំងអស់ កំហុសត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងការគណនា។ តារាងដែលគ្មានកំហុសដំបូងត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1857 នៅទីក្រុងប៊ែកឡាំងក្នុងដំណើរការនៃគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ K. Bremiker (1804-1877) ។

ដំណាក់កាលទី 2

ការអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតនៃទ្រឹស្តីលោការីតត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងច្រើនទៀត កម្មវិធីធំទូលាយ ធរណីមាត្រវិភាគនិងការគណនាគ្មានកំណត់។ នៅពេលនោះ ការបង្កើតការតភ្ជាប់រវាង quadrature នៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល និង លោការីតធម្មជាតិ. ទ្រឹស្តីលោការីតនៃសម័យកាលនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូមួយចំនួន។

គណិតវិទូ អាឡឺម៉ង់ តារាវិទូ និងវិស្វករ Nikolaus Mercator នៅក្នុងអត្ថបទរបស់គាត់។

"Logarithmotechnics" (1668) ផ្តល់នូវស៊េរីដែលផ្តល់នូវការពង្រីកនៃ ln (x + 1) នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ

អំណាច x៖

កន្សោមនេះត្រូវគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដទៅនឹងដំណើរនៃការគិតរបស់គាត់ ទោះបីជាការពិតណាស់ គាត់មិនបានប្រើសញ្ញា d, ... , ប៉ុន្តែជានិមិត្តសញ្ញាពិបាកជាង។ ជាមួយនឹងការរកឃើញនៃស៊េរីលោការីត បច្ចេកទេសសម្រាប់ការគណនាលោការីតបានផ្លាស់ប្តូរ៖ ពួកគេបានចាប់ផ្តើមកំណត់ដោយប្រើស៊េរីគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងការបង្រៀនរបស់គាត់ "គណិតវិទ្យាបឋមជាមួយ ចំណុចខ្ពស់បំផុតទិដ្ឋភាព” អានក្នុងឆ្នាំ 1907-1908 លោក F. Klein បានស្នើឱ្យប្រើរូបមន្តជាចំណុចចាប់ផ្តើមសម្រាប់ការសាងសង់ទ្រឹស្ដីលោការីត។

ដំណាក់កាលទី 3

និយមន័យនៃអនុគមន៍លោការីតជាអនុគមន៍នៃច្រាស

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល, លោការីតជានិទស្សន្ត ដីនេះ។

មិនត្រូវបានបង្កើតឡើងភ្លាមៗទេ។ ស្នាដៃរបស់ Leonhard Euler (១៧០៧-១៧៨៣)

"ការណែនាំអំពីការវិភាគនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់" (1748) បានបម្រើការបន្ថែមទៀត

ការអភិវឌ្ឍទ្រឹស្តីនៃមុខងារលោការីត។ ដូច្នេះ

134 ឆ្នាំបានកន្លងផុតទៅចាប់តាំងពីលោការីតត្រូវបានណែនាំជាលើកដំបូង

(រាប់ពីឆ្នាំ 1614) មុនពេលគណិតវិទូបានបង្កើតនិយមន័យមួយ។

គោលគំនិតនៃលោការីត ដែលឥឡូវនេះជាមូលដ្ឋាននៃវគ្គសិក្សារបស់សាលា។

ជំពូកទី 2. ការប្រមូលផ្តុំវិសមភាពលោការីត

២.១. ការផ្លាស់ប្តូរសមមូល និងវិធីសាស្រ្តទូទៅនៃចន្លោះពេល។

ការផ្លាស់ប្តូរសមមូល

ប្រសិនបើ a > 1

ប្រសិនបើ 0 < а < 1

វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេលទូទៅ

វិធីសាស្រ្តនេះ។ជាសកលបំផុតក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពស្ទើរតែគ្រប់ប្រភេទ។ គ្រោងការណ៍នៃដំណោះស្រាយមើលទៅដូចនេះ:

1. នាំយកវិសមភាពទៅជាទម្រង់បែបនោះ ដែលមុខងារស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង
និង 0 នៅខាងស្តាំ។

2. ស្វែងរកវិសាលភាពនៃមុខងារ
.

3. រកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍មួយ។
នោះគឺដោះស្រាយសមីការ
(ហើយការដោះស្រាយសមីការជាធម្មតាងាយស្រួលជាងការដោះស្រាយវិសមភាព)។

4. គូរដែននៃនិយមន័យ និងសូន្យនៃអនុគមន៍នៅលើបន្ទាត់ពិតប្រាកដមួយ។

5. កំណត់សញ្ញានៃមុខងារ
នៅចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។

6. ជ្រើសរើសចន្លោះពេលដែលមុខងារយក តម្លៃដែលត្រូវការហើយសរសេរចម្លើយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដំណោះស្រាយ៖

អនុវត្តវិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល

កន្លែងណា

សម្រាប់តម្លៃទាំងនេះ កន្សោមទាំងអស់នៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីតគឺវិជ្ជមាន។

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដំណោះស្រាយ៖

ទី 1 វិធី . ODZ ត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាព x> 3. ការយកលោការីតសម្រាប់បែបនោះ។ xនៅក្នុងមូលដ្ឋាន 10 យើងទទួលបាន

វិសមភាពចុងក្រោយអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការអនុវត្តច្បាប់ decomposition, i.e. កត្តាប្រៀបធៀបជាមួយសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុង ករណីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ចន្លោះពេលនៃសញ្ញានៃអនុគមន៍

ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេលអាចត្រូវបានអនុវត្ត។

មុខងារ f(x) = 2x(x- ៣.៥)lgǀ x- 3ǀ គឺបន្តសម្រាប់ x> 3 និងបាត់នៅចំណុច x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ដូេចនះ េយងកំណត់ចំេណលៃនអងគតៃនអនុគមន៍ f(x):

ចម្លើយ៖

វិធីទី 2 . អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តគំនិតនៃវិធីសាស្រ្តនៃចន្លោះពេលដោយផ្ទាល់ទៅនឹងវិសមភាពដើម។

ចំពោះបញ្ហានេះយើងចាំថាការបញ្ចេញមតិ កខ- កគ និង ( ក - 1)(ខ- 1) មានសញ្ញាមួយ។ បន្ទាប់មកវិសមភាពរបស់យើងសម្រាប់ x> 3 គឺស្មើនឹងវិសមភាព

ឬ

វិសមភាពចុងក្រោយត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ៖

អនុវត្តវិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 4

ដំណោះស្រាយ៖

ចាប់តាំងពី 2 x 2 - 3x+ 3> 0 សម្រាប់ពិតទាំងអស់។ x, នោះ។

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពទីពីរ យើងប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល

នៅក្នុងវិសមភាពទីមួយ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ

បន្ទាប់មកយើងមកដល់វិសមភាព 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yដែលបំពេញវិសមភាព -0.5< y < 1.

មកពីណាព្រោះ

យើងទទួលបានវិសមភាព

ដែលត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ xដែល 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ឥឡូវនេះ ដោយពិចារណាលើដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពទីពីរនៃប្រព័ន្ធ ទីបំផុតយើងទទួលបាន

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ដំណោះស្រាយ៖

វិសមភាពគឺស្មើនឹងសំណុំនៃប្រព័ន្ធ

ឬ

អនុវត្តវិធីសាស្រ្តចន្លោះពេលឬ

ចម្លើយ:

ឧទាហរណ៍ ៦

ដំណោះស្រាយ៖

វិសមភាពគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ

បន្ទាប់មក y > 0,

និងវិសមភាពទីមួយ

ប្រព័ន្ធយកទម្រង់

ឬពង្រីក

ត្រីកោណការ៉េសម្រាប់មេគុណ,

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តចន្លោះពេលទៅវិសមភាពចុងក្រោយ,

យើងឃើញថាដំណោះស្រាយរបស់វាបំពេញលក្ខខណ្ឌ y> 0 នឹងមានទាំងអស់។ y > 4.

ដូច្នេះ វិសមភាពដើមគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយវិសមភាពគឺទាំងអស់។

២.២. វិធីសាស្រ្តសមហេតុផល។

ពីមុនវិធីសាស្រ្តនៃសនិទានភាពនៃវិសមភាពមិនត្រូវបានដោះស្រាយទេវាមិនត្រូវបានគេដឹងទេ។ នេះគឺជាសម័យទំនើបថ្មី។ វិធីសាស្ត្រមានប្រសិទ្ធភាពដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត" (ដកស្រង់ពីសៀវភៅដោយ Kolesnikova S.I.)
ហើយបើទោះបីជាគ្រូស្គាល់គាត់ក៏ដោយ ក៏មានការភ័យខ្លាចដែរ ប៉ុន្តែតើគាត់ដឹងទេ? ប្រើអ្នកជំនាញហេតុអ្វីបានជាពួកគេមិនឱ្យវានៅក្នុងសាលារៀន? មានស្ថានភាពនៅពេលដែលគ្រូបាននិយាយទៅកាន់សិស្សថា: "តើអ្នកទទួលបានវានៅឯណា? អង្គុយចុះ - 2" ។
ឥឡូវនេះវិធីសាស្រ្តត្រូវបានផ្សព្វផ្សាយនៅគ្រប់ទីកន្លែង។ ហើយសម្រាប់អ្នកជំនាញមាន ការណែនាំភ្ជាប់ជាមួយវិធីសាស្រ្តនេះ និងនៅក្នុង "ភាគច្រើន ការបោះពុម្ពពេញលេញ ជម្រើសស្តង់ដារ... "ដំណោះស្រាយ C3 ប្រើវិធីនេះ។
វិធីសាស្រ្តគឺអស្ចារ្យណាស់!

"តារាងវេទមន្ត"

នៅក្នុងប្រភពផ្សេងទៀត។

ប្រសិនបើ a >1 និង b >1 បន្ទាប់មកកត់ត្រា a b>0 និង (a -1)(b -1)>0;

ប្រសិនបើ a > 1 និង 0

ប្រសិនបើ 0<ក<1 и b >1 បន្ទាប់មកកត់ត្រា a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ប្រសិនបើ 0<ក<1 и 00 និង (a -1)(b -1)> 0 ។

ហេតុផលខាងលើគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែគួរឱ្យកត់សម្គាល់ធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលោការីតមានភាពសាមញ្ញ។

ឧទាហរណ៍ 4

កំណត់ហេតុ x (x 2 -3)<0

ដំណោះស្រាយ៖

ឧទាហរណ៍ 5

កំណត់ហេតុ 2 x (2x 2 −4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ. (0; 0.5) យូ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពនេះ យើងសរសេរ (x-1-1) (x-1) ជំនួសឱ្យភាគបែង ហើយផលិតផល (x-1) (x-3-9 + x) ជំនួសឱ្យភាគយក។

ចម្លើយ : (3;6)

ឧទាហរណ៍ ៧

ឧទាហរណ៍ ៨

២.៣. ការជំនួសមិនស្តង់ដារ។

ឧទាហរណ៍ ១

ឧទាហរណ៍ ២

ឧទាហរណ៍ ៣

ឧទាហរណ៍ 4

ឧទាហរណ៍ 5

ឧទាហរណ៍ ៦

ឧទាហរណ៍ ៧

log 4 (3 x −1) log 0.25

ចូរធ្វើការជំនួស y = 3 x −1; បន្ទាប់មកវិសមភាពនេះកើតឡើងជាទម្រង់

កំណត់ហេតុ 4 កំណត់ហេតុ 0.25
.

ដោយសារតែ កំណត់ហេតុ 0.25 = -កំណត់ហេតុ ៤ = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y បន្ទាប់មកយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពចុងក្រោយជា 2log 4 y -log 4 2 y ≤។

ចូរធ្វើការជំនួស t =log 4 y ហើយទទួលបានវិសមភាព t 2 -2t +≥0 ដំណោះស្រាយដែលជាចន្លោះពេល - .

ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ y យើងមានសំណុំនៃវិសមភាពសាមញ្ញបំផុតពីរ
ដំណោះស្រាយនៃការប្រមូលនេះគឺចន្លោះពេល 0<у≤2 и 8≤у<+.

ដូច្នេះ វិសមភាពដើមគឺស្មើនឹងសំណុំនៃវិសមភាពអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលពីរ។
នោះគឺសរុប

ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពដំបូងនៃសំណុំនេះគឺចន្លោះពេល 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ដូច្នេះ វិសមភាពដើមមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ពីចន្លោះពេល 0<х≤1 и 2≤х<+.

ឧទាហរណ៍ ៨

ដំណោះស្រាយ៖

វិសមភាពគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធមួយ។

ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពទីពីរដែលកំណត់ ODZ នឹងជាសំណុំនៃអ្នកទាំងនោះ x,

សម្រាប់អ្វីដែល x > 0.

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពទីមួយ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវិសមភាព

ឬ

សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពចុងក្រោយត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ

ចន្លោះពេល៖ -១< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, យើងទទួលបាន

ឬ

ជាច្រើននាក់នោះ។ xដែលបំពេញនូវវិសមភាពចុងក្រោយ

ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ ( x> 0) ដូច្នេះជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ

ដូច្នេះហើយ វិសមភាពដើម។

ចម្លើយ៖

២.៤. ភារកិច្ចជាមួយអន្ទាក់។

ឧទាហរណ៍ ១

.

ដំណោះស្រាយ។ ODZ នៃវិសមភាពគឺទាំងអស់ x បំពេញលក្ខខណ្ឌ 0 . ដូច្នេះ x ទាំងអស់ពីចន្លោះពេល 0
ឧទាហរណ៍ ២

log 2 (2x +1-x 2)> log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? ចំនុចនោះគឺថាលេខទីពីរគឺច្បាស់ជាង

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការស្វែងរកវិធីសាស្រ្តពិសេសសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា C3 ពីប្រភពអប់រំផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ក្នុងអំឡុងពេលនៃការងារដែលបានធ្វើ ខ្ញុំអាចសិក្សាវិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារសម្រាប់ការដោះស្រាយវិសមភាពលោការីតស្មុគស្មាញ។ ទាំងនេះគឺ៖ អន្តរកាលសមមូល និងវិធីសាស្ត្រទូទៅនៃចន្លោះពេល វិធីសាស្រ្តនៃសនិទានកម្ម , ការជំនួសមិនស្តង់ដារ , ភារកិច្ចជាមួយអន្ទាក់នៅលើ ODZ ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះគឺអវត្តមាននៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗគ្នា ខ្ញុំបានដោះស្រាយវិសមភាពចំនួន 27 ដែលផ្តល់ជូននៅ USE ក្នុងផ្នែក C ពោលគឺ C3 ។ វិសមភាពទាំងនេះជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តបានបង្កើតមូលដ្ឋាននៃការប្រមូល "វិសមភាពលោការីត C3 ជាមួយដំណោះស្រាយ" ដែលបានក្លាយជាផលិតផលគម្រោងនៃសកម្មភាពរបស់ខ្ញុំ។ សម្មតិកម្មដែលខ្ញុំបានដាក់ចេញនៅដើមដំបូងនៃគម្រោងត្រូវបានបញ្ជាក់៖ បញ្ហា C3 អាចដោះស្រាយបានយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាព ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់។

លើសពីនេះទៀតខ្ញុំបានរកឃើញការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍អំពីលោការីត។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការធ្វើវា។ ផលិតផលគម្រោងរបស់ខ្ញុំនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់ទាំងសិស្ស និងគ្រូ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

ដូច្នេះគោលដៅនៃគម្រោងត្រូវបានសម្រេចបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ ហើយខ្ញុំទទួលបានបទពិសោធន៍ពេញលេញ និងសម្បូរបែបបំផុតនៅក្នុងសកម្មភាពគម្រោងនៅគ្រប់ដំណាក់កាលនៃការងារ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើការលើគម្រោង ផលប៉ះពាល់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ចម្បងរបស់ខ្ញុំគឺទៅលើសមត្ថភាពផ្លូវចិត្ត សកម្មភាពទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការផ្លូវចិត្តឡូជីខល ការអភិវឌ្ឍន៍សមត្ថភាពច្នៃប្រឌិត គំនិតផ្តួចផ្តើមផ្ទាល់ខ្លួន ទំនួលខុសត្រូវ ការតស៊ូ និងសកម្មភាព។

ការធានានៃភាពជោគជ័យនៅពេលបង្កើតគម្រោងស្រាវជ្រាវសម្រាប់ ខ្ញុំបានក្លាយជា៖ បទពិសោធន៍សាលាដ៏សំខាន់ សមត្ថភាពក្នុងការទាញយកព័ត៌មានពីប្រភពផ្សេងៗ ពិនិត្យមើលភាពជឿជាក់របស់វា ចាត់ចំណាត់ថ្នាក់វាតាមសារៈសំខាន់របស់វា។

ក្រៅពីចំណេះដឹងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដោយផ្ទាល់ គាត់បានពង្រីកជំនាញជាក់ស្តែងរបស់គាត់ក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ទទួលបានចំណេះដឹង និងបទពិសោធន៍ថ្មីៗក្នុងវិស័យចិត្តវិទ្យា បង្កើតទំនាក់ទំនងជាមួយមិត្តរួមថ្នាក់ និងរៀនសហការជាមួយមនុស្សពេញវ័យ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃសកម្មភាពគម្រោង ជំនាញ និងសមត្ថភាពអប់រំទូទៅរបស់អង្គការ បញ្ញា និងទំនាក់ទំនងត្រូវបានបង្កើតឡើង។

អក្សរសិល្ប៍

1. Koryanov A.G., Prokofiev A. A. ប្រព័ន្ធវិសមភាពដែលមានអថេរមួយ (កិច្ចការធម្មតា C3)។

2. Malkova A.G. ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យា។

3. S. S. Samarova ដំណោះស្រាយវិសមភាពលោការីត។

4. គណិតវិទ្យា។ បណ្តុំនៃការងារបណ្តុះបណ្តាល កែសម្រួលដោយ A.L. Semyonov និង I.V. យ៉ាសឆេនកូ។ -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

ក្នុងចំណោមវិសមភាពលោការីត វិសមភាពដែលមានមូលដ្ឋានអថេរត្រូវបានសិក្សាដោយឡែកពីគ្នា។ ពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងតាមរូបមន្តពិសេសដែលសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនកម្រត្រូវបានបង្រៀននៅសាលា។ បទបង្ហាញបង្ហាញពីដំណោះស្រាយចំពោះកិច្ចការ C3 USE - 2014 ក្នុងគណិតវិទ្យា។
ទាញយក៖

មើលជាមុន៖
ដើម្បីប្រើការមើលជាមុននៃបទបង្ហាញ សូមបង្កើតគណនី Google (គណនី) ហើយចូល៖ https://accounts.google.com

ចំណងជើងស្លាយ៖
ការដោះស្រាយវិសមភាពលោការីតដែលមានអថេរនៅមូលដ្ឋានលោការីត៖ វិធីសាស្រ្ត បច្ចេកទេស ការផ្លាស់ប្តូរសមមូល គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា MBOU អនុវិទ្យាល័យលេខ 143 Knyazkina T.V.
ក្នុងចំណោមវិសមភាពលោការីត វិសមភាពដែលមានមូលដ្ឋានអថេរត្រូវបានសិក្សាដោយឡែកពីគ្នា។ ពួកវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តពិសេស ដែលហេតុផលមួយចំនួនកម្រត្រូវបានបង្រៀននៅក្នុងសាលា៖ កំណត់ហេតុ k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 ជំនួសឱ្យប្រអប់ធីក “∨” អ្នកអាចដាក់សញ្ញាវិសមភាពណាមួយ៖ ច្រើន ឬតិច។ រឿងចំបងគឺថានៅក្នុងវិសមភាពទាំងពីរសញ្ញាគឺដូចគ្នា។ ដូច្នេះយើងកម្ចាត់លោការីត និងកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាវិសមភាពសនិទាន។ ក្រោយមកទៀតគឺកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ ប៉ុន្តែនៅពេលបោះបង់លោការីត ឫសបន្ថែមអាចលេចឡើង។ ដើម្បីកាត់វាចេញ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ កុំភ្លេច ODZ នៃលោការីត! អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទាក់ទងនឹងជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានត្រូវតែសរសេរចេញ និងដោះស្រាយដោយឡែកពីគ្នា៖ f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. វិសមភាពទាំងបួននេះបង្កើតជាប្រព័ន្ធ ហើយត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ នៅពេលដែលជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានត្រូវបានរកឃើញ វានៅតែត្រូវឆ្លងកាត់វាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពសមហេតុផល - ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់។
ដោះស្រាយវិសមភាព៖ ដំណោះស្រាយ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងសរសេរ ODZ នៃលោការីត វិសមភាពពីរដំបូងត្រូវបានអនុវត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ ហើយចុងក្រោយនឹងត្រូវលាបពណ៌។ ដោយសារការេនៃចំនួនមួយស្មើនឹងសូន្យ ហើយប្រសិនបើលេខខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យ យើងមាន៖ x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 ។ វាប្រែថា ODZ នៃលោការីតគឺជាលេខទាំងអស់ លើកលែងតែលេខសូន្យ៖ x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞) ។ ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាពចម្បង៖ យើងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរពីវិសមភាពលោការីតទៅសនិទានភាព។ នៅក្នុងវិសមភាពដើមមានសញ្ញា "តិចជាង" ដូច្នេះវិសមភាពលទ្ធផលក៏គួរតែមានសញ្ញា "តិចជាង" ផងដែរ។
យើងមាន៖ (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)
ការបំប្លែងវិសមភាពលោការីត ជារឿយៗវិសមភាពដើមខុសគ្នាពីចំណុចខាងលើ។ វាងាយស្រួលក្នុងការជួសជុលដោយប្រើច្បាប់ស្តង់ដារសម្រាប់ធ្វើការជាមួយលោការីត។ ឈ្មោះ៖ លេខណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ផលបូកនិងភាពខុសគ្នានៃលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានជំនួសដោយលោការីតតែមួយ។ ដោយឡែកពីគ្នា ខ្ញុំចង់រំលឹកអ្នកអំពីជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ ដោយសារវាអាចមានលោការីតជាច្រើននៅក្នុងវិសមភាពដើម វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក DPV នៃពួកវានីមួយៗ។ ដូច្នេះ គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយវិសមភាពលោការីតមានដូចខាងក្រោម៖ ស្វែងរក ODZ សម្រាប់លោការីតនីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលក្នុងវិសមភាព។ កាត់បន្ថយវិសមភាពតាមស្តង់ដារដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមនិងដកលោការីត។ ដោះស្រាយវិសមភាពលទ្ធផលតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ។
ដោះស្រាយវិសមភាព៖ ដំណោះស្រាយ ចូរយើងស្វែងរកដែននិយមន័យ (ODZ) នៃលោការីតទីមួយ៖ យើងដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រនៃចន្លោះពេល។ រកលេខសូន្យនៃភាគយក៖ 3 x − 2 = 0; x = 2/3 ។ បន្ទាប់មក - ភាគបែងសូន្យ៖ x − 1 = 0; x = 1. យើងសម្គាល់លេខសូន្យ និងសញ្ញានៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ៖
យើងទទួលបាន x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) ។ លោការីតទីពីរនៃ ODZ នឹងដូចគ្នា។ បើមិនជឿអាចឆែកមើលបាន។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបំប្លែងលោការីតទីពីរ ដើម្បីឱ្យមានពីរនៅមូលដ្ឋាន៖ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ បីដងនៅមូលដ្ឋាន និងនៅពីមុខលោការីតត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ ទទួលបានលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ បន្ថែមពួកវា៖ កំណត់ហេតុ ២ (x − ១) ២
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
យើងចាប់អារម្មណ៍លើចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំ ដូច្នេះយើងជ្រើសរើសចន្លោះពេលដែលមានស្រមោលនៅលើព្រួញទាំងពីរ។ យើងទទួលបាន៖ x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - ចំនុចទាំងអស់ត្រូវបានវាយ។ ចម្លើយ៖ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
ការដោះស្រាយភារកិច្ចនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមឆ្នាំ 2014 ប្រភេទ C3
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព ដំណោះស្រាយ។ ODZ៖  ១) ២)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព 3) −7 −3 − 5 x −1 + + + − − (ត)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព 4) ដំណោះស្រាយទូទៅ៖ និង -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (ត)
ដោះស្រាយវិសមភាព (ត) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
ដោះស្រាយវិសមភាព ដំណោះស្រាយ។ ODZ: 
ដោះស្រាយវិសមភាព (ត)
ដោះស្រាយវិសមភាព ដំណោះស្រាយ។ ODZ:  −2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2