ដេរីវេនៃរូបមន្តដេរីវេ មុខងារថាមពល(x ទៅនឹងអំណាចនៃ a) ។ ដេរីវេនៃឫសពី x ត្រូវបានពិចារណា។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល លំដាប់ខ្ពស់ជាង. ឧទាហរណ៍នៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ដេរីវេនៃ x ទៅអំណាចនៃ a គឺ x ទៅអំណាចនៃដកមួយ:
(1) .

ដេរីវេនៃឫសទី n នៃ x ទៅអំណាច mth គឺ៖
(2) .

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលមួយ។

ករណី x > 0

ពិចារណាមុខងារថាមពលនៃអថេរ x ជាមួយនិទស្សន្ត a:
(3) .
នៅទីនេះ a គឺបំពាន ចំនួនពិត. ចូរយើងពិចារណាករណីនេះជាមុនសិន។

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ (3) យើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ថាមពល ហើយបំប្លែងវាទៅជាទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
.

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេដោយអនុវត្ត៖
;
.
នៅទីនេះ

រូបមន្ត (1) ត្រូវបានបង្ហាញ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃឫសនៃដឺក្រេ n នៃ x ទៅដឺក្រេ m

ឥឡូវពិចារណាមុខងារដែលជាឫសគល់នៃទម្រង់ខាងក្រោម៖
(4) .

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ យើងបំប្លែងឫសទៅជាមុខងារថាមពល៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយរូបមន្ត (៣) យើងឃើញថា
.
បន្ទាប់មក
.

តាមរូបមន្ត (១) យើងរកឃើញដេរីវេ៖
(1) ;
;
(2) .

នៅក្នុងការអនុវត្ត មិនចាំបាច់ទន្ទេញរូបមន្ត (2) នោះទេ។ វាកាន់តែងាយស្រួលជាងមុនក្នុងការបំប្លែងឫសទៅជាមុខងារថាមពល ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកដេរីវេរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត (1) (សូមមើលឧទាហរណ៍នៅចុងបញ្ចប់នៃទំព័រ)។

ករណី x = 0

ប្រសិនបើ នោះអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ផងដែរសម្រាប់តម្លៃនៃអថេរ x = 0 . ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ (3) សម្រាប់ x = 0 . ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ៖
.

ជំនួស x = 0 :
.
ក្នុង​ករណី​នេះ តាម​និស្សន្ទវត្ថុ យើង​មាន​ន័យ​ថា ដែនកំណត់​ខាង​ស្តាំ​ដៃ​ដែល .

ដូច្នេះយើងបានរកឃើញ៖
.
ពីនេះគេអាចមើលឃើញថានៅ, .
នៅ , ។
នៅ , ។
លទ្ធផលនេះក៏ទទួលបានដោយរូបមន្ត (១)៖
(1) .
ដូច្នេះរូបមន្ត (1) ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ x = 0 .

ករណី x< 0

ពិចារណាមុខងារ (៣) ម្តងទៀត៖
(3) .
សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ constant a វាក៏ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ តម្លៃអវិជ្ជមានអថេរ x ។ និយាយឱ្យចំទៅ ចំនួនសមហេតុផល. បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជា ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។:
,
ដែល m និង n ជាចំនួនគត់ដោយគ្មាន ការបែងចែកទូទៅ.

ប្រសិនបើ n ជាសេស នោះអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ផងដែរសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ n = 3 និង m = 1 យើងមានឫសគូបនៃ x:
.
វាក៏ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃ x ផងដែរ។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល (3) សម្រាប់ និងសម្រាប់ តម្លៃសមហេតុផលថេរ a ដែលវាត្រូវបានកំណត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងតំណាងឱ្យ x ក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
.
បន្ទាប់មក ,
.
យើងរកឃើញដេរីវេដោយយកថេរចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

.
នៅទីនេះ ប៉ុន្តែ
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក
.
បន្ទាប់មក
.
នោះគឺរូបមន្ត (1) ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់៖
(1) .

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងនៃមុខងារថាមពល
(3) .
យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញដំបូងរួចហើយ៖
.

ដោយយកចំនួនថេរចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញដេរីវេទី 2៖
.
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី និងទីបួន៖
;

.

ពីទីនេះវាច្បាស់ណាស់។ ដេរីវេនៃលំដាប់ទី 0 បំពានមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
.

សម្គាល់​ឃើញ​ថា ប្រសិនបើ a គឺជាលេខធម្មជាតិ, បន្ទាប់មក ដេរីវេទី n គឺថេរ៖
.
បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ៖
,
នៅ។

គំរូដេរីវេ

ឧទាហរណ៍

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
.

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងបំប្លែងឫសទៅជាថាមពល៖
;
.
បន្ទាប់មកមុខងារដើមមានទម្រង់៖
.

យើងរកឃើញដេរីវេនៃដឺក្រេ៖
;
.
ដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ៖
.

កម្រិតដំបូង

ដេរីវេនៃមុខងារ។ ការណែនាំដ៏ទូលំទូលាយ (2019)

តោះស្រមៃមើលផ្លូវត្រង់ឆ្លងកាត់តំបន់ភ្នំ។ ពោល​គឺ​ឡើង​ចុះ ប៉ុន្តែ​មិន​បត់​ស្តាំ ឬ​ឆ្វេង​ទេ។ ប្រសិនបើអ័ក្សត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ដេកតាមបណ្តោយផ្លូវ និងបញ្ឈរ នោះខ្សែផ្លូវនឹងស្រដៀងទៅនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តមួយចំនួន៖

អ័ក្សគឺជាកម្រិតជាក់លាក់នៃកម្ពស់សូន្យនៅក្នុងជីវិតយើងប្រើកម្រិតទឹកសមុទ្រដូចវា។

ការឆ្ពោះទៅមុខតាមផ្លូវបែបនេះ យើងក៏កំពុងរំកិលឡើង ឬចុះក្រោម។ យើងក៏អាចនិយាយបានដែរថា: នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស abscissa) តម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សកំណត់)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតពីរបៀបដើម្បីកំណត់ "ភាពចោត" នៃផ្លូវរបស់យើង? តើតម្លៃនេះអាចជាអ្វី? សាមញ្ញ​ណាស់៖ តើ​កម្ពស់​នឹង​ផ្លាស់​ប្តូរ​ប៉ុន្មាន​នៅ​ពេល​ឈាន​ទៅ​មុខ​ចម្ងាយ​ជាក់លាក់។ ជាការពិតណាស់ នៅលើផ្នែកផ្សេងគ្នានៃផ្លូវ ឆ្ពោះទៅមុខ (តាមអ័ក្ស abscissa) សម្រាប់មួយគីឡូម៉ែត្រ យើងនឹងកើនឡើង ឬធ្លាក់ចុះដោយ ចំនួនទឹកប្រាក់ផ្សេងគ្នាម៉ែត្រទាក់ទងទៅនឹងកម្រិតទឹកសមុទ្រ (តាមអ័ក្ស y) ។

យើងបង្ហាញពីវឌ្ឍនភាពទៅមុខ (អាន "delta x") ។

អក្សរក្រិក (ដីសណ្តរ) ត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាបុព្វបទមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" ។ នោះគឺ - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរទំហំ, - ការផ្លាស់ប្តូរមួយ; បន្ទាប់មកតើវាជាអ្វី? ត្រឹមត្រូវហើយ ការផ្លាស់ប្តូរទំហំ។

សំខាន់៖ កន្សោមគឺជាអង្គភាពតែមួយ អថេរមួយ។ អ្នកមិនគួរហែក "ដីសណ្ត" ចេញពី "x" ឬអក្សរផ្សេងទៀតទេ! នោះគឺជាឧទាហរណ៍។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ឈាន​ទៅ​មុខ​ដោយ​ផ្ដេក។ ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបបន្ទាត់នៃផ្លូវជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ តើយើងសម្គាល់ការកើនឡើងដោយរបៀបណា? ប្រាកដណាស់, ។ នោះ​គឺ​ថា​នៅ​ពេល​ដែល​ឈាន​ទៅ​មុខ​យើង​ឡើង​ខ្ពស់​នៅ​លើ​។

វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាតម្លៃ៖ ប្រសិនបើនៅដើមដំបូងយើងនៅកម្ពស់មួយ ហើយបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីយើងនៅកម្ពស់មួយ ពេលនោះ។ ប្រសិនបើចំណុចបញ្ចប់ប្រែទៅជាទាបជាងចំណុចចាប់ផ្តើម វានឹងអវិជ្ជមាន - នេះមានន័យថាយើងមិនឡើងទេ ប៉ុន្តែចុះ។

ត្រលប់ទៅ "ភាពចោត"៖ នេះគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាកម្ពស់កើនឡើងប៉ុន្មាន (ចោត) នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខក្នុងមួយឯកតាចម្ងាយ៖

ឧបមាថានៅលើផ្នែកខ្លះនៃផ្លូវនេះ នៅពេលទៅមុខដោយគីឡូម៉ែត្រ ផ្លូវឡើងដោយគីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកភាពចោតនៅកន្លែងនេះគឺស្មើគ្នា។ ហើយ​បើ​ផ្លូវ​ដែល​ហែល​តាម​ម៉ែត្រ​លិច​តាម​គីឡូម៉ែត្រ? បន្ទាប់មកជម្រាលគឺស្មើគ្នា។

ឥឡូវពិចារណាលើកំពូលភ្នំ។ ប្រសិនបើអ្នកយកដើមនៃផ្នែកពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្រទៅកំពូលហើយចុងបញ្ចប់ - ពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្របន្ទាប់ពីវាអ្នកអាចមើលឃើញថាកម្ពស់គឺស្ទើរតែដូចគ្នា។

នោះគឺយោងទៅតាមតក្កវិជ្ជារបស់យើងវាប្រែថាភាពចោតនៅទីនេះគឺស្ទើរតែស្មើនឹងសូន្យដែលច្បាស់ណាស់មិនពិត។ ជាច្រើនអាចផ្លាស់ប្តូរបានត្រឹមតែប៉ុន្មានម៉ាយពីចម្ងាយប៉ុណ្ណោះ។ តំបន់តូចៗចាំបាច់ត្រូវពិចារណាសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ និងត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតអំពីភាពចោត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់នៅពេលផ្លាស់ទីមួយម៉ែត្រ លទ្ធផលនឹងមានភាពត្រឹមត្រូវជាង។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែភាពត្រឹមត្រូវនេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើមានបង្គោលនៅកណ្តាលផ្លូវយើងអាចរអិលឆ្លងកាត់វាបាន។ តើយើងត្រូវជ្រើសរើសចម្ងាយប៉ុន្មាន? សង់ទីម៉ែត្រ? មីលីម៉ែត្រ? តិចគឺល្អ!

អេ ជីវិត​ពិតការវាស់ចម្ងាយទៅមីលីម៉ែត្រជិតបំផុតគឺច្រើនជាងគ្រប់គ្រាន់។ ប៉ុន្តែ​អ្នក​គណិត​វិទូ​តែង​តែ​ព្យាយាម​ដើម្បី​ភាព​ល្អឥតខ្ចោះ។ ដូច្នេះគំនិតគឺ គ្មានដែនកំណត់នោះគឺតម្លៃម៉ូឌុលគឺតិចជាងលេខណាមួយដែលយើងអាចដាក់ឈ្មោះបាន។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិយាយថា៖ មួយពាន់ពាន់លាន! តិច​ប៉ុន្មាន? ហើយអ្នកចែកលេខនេះដោយ - ហើយវានឹងតិចជាង។ ល។ បើ​យើង​ចង់​សរសេរ​ថា​តម្លៃ​គឺ​តូច​បំផុត យើង​សរសេរ​ដូចនេះ៖ (យើង​អាន “x ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ”)។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ ថាចំនួននេះមិនស្មើនឹងសូន្យ!ប៉ុន្តែនៅជិតវា។ នេះមានន័យថាវាអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា។

គំនិតផ្ទុយពីតូចគ្មានកំណត់ គឺធំគ្មានកំណត់ ()។ អ្នកប្រហែលជាបានជួបប្រទះវារួចហើយ នៅពេលអ្នកកំពុងធ្វើការលើវិសមភាព៖ ចំនួននេះគឺធំជាងនៅក្នុងម៉ូឌុលជាងចំនួនណាមួយដែលអ្នកអាចគិតបាន។ ប្រសិនបើអ្នកឡើងជាមួយនឹងចំនួនធំបំផុតដែលអាចធ្វើបាន គ្រាន់តែគុណវាដោយពីរ ហើយអ្នកនឹងទទួលបានកាន់តែច្រើន។ ប៉ុន្តែនៅតែគ្មានទីបញ្ចប់ ជាងនេះ។អ្វីដែលនឹងដំណើរការ។ តាមការពិត ទំហំធំ និងតូចគ្មានកំណត់ គឺបញ្ច្រាស់គ្នាទៅវិញទៅមក ពោលគឺ នៅ និងច្រាសមកវិញ៖ នៅ។

ឥឡូវនេះត្រឡប់ទៅផ្លូវរបស់យើងវិញ។ ជម្រាលដែលបានគណនាតាមឧត្ដមគតិ គឺជាជម្រាលដែលបានគណនាសម្រាប់ផ្នែកតូចមិនកំណត់នៃផ្លូវ នោះគឺ៖

ខ្ញុំចំណាំថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅតូចមិនចេះចប់ ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់ក៏នឹងតូចមិនចេះចប់។ ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា តូចមិនចេះចប់ មិនមែនមានន័យទេ។ សូន្យ. ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកលេខមិនកំណត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក អ្នកអាចទទួលបានច្រើន។ លេខធម្មតា។, ឧទាហរណ៍, ។ នោះគឺតម្លៃតូចមួយអាចធំជាងតម្លៃមួយទៀតពីរដង។

ហេតុអ្វីទាំងអស់នេះ? ផ្លូវ ផ្លូវចោត... យើងមិនដើរលេងទេ តែយើងរៀនគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហៅថាខុសគ្នា។

គំនិតនៃដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់។

បង្កើននៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។ តើអាគុយម៉ង់ () បានផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាននៅពេលផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ហើយកំណត់ដោយចំនួនមុខងារ (កម្ពស់) បានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខតាមអ័ក្សដោយចម្ងាយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនមុខងារនិងត្រូវបានសម្គាល់។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺទាក់ទងទៅនឹងពេលណា។ យើងសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារ ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលពីខាងស្តាំខាងលើ៖ ឬសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេររូបមន្តដេរីវេដោយប្រើសញ្ញាណទាំងនេះ៖

ដូចនៅក្នុងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្លូវនៅទីនេះ នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាគឺអវិជ្ជមាន។

ប៉ុន្តែតើនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងសូន្យឬ? ពិតប្រាកដ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបើកបរលើផ្លូវផ្តេក ភាពចោតគឺសូន្យ។ ជាការពិតកម្ពស់មិនផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះ​វា​គឺ​ជា​មួយ​នឹង​ដេរីវេ (Derivative) : ដេរីវេ មុខងារអចិន្រ្តៃយ៍(ថេរ) គឺសូន្យ៖

ចាប់តាំងពីការបង្កើនមុខងារបែបនេះគឺសូន្យសម្រាប់ណាមួយ។

សូមលើកឧទាហរណ៍ពីកំពូលភ្នំ។ វាបានប្រែក្លាយថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំចុងបញ្ចប់នៃចម្រៀកតាមរបៀបបែបនេះ ភាគីផ្សេងគ្នាពីខាងលើ កម្ពស់នៅខាងចុងគឺដូចគ្នា ពោលគឺផ្នែកគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស៖

ប៉ុន្តែផ្នែកធំគឺជាសញ្ញានៃការវាស់វែងមិនត្រឹមត្រូវ។ យើងនឹងលើកផ្នែករបស់យើងឡើងស្របទៅនឹងខ្លួនវា បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងថយចុះ។

នៅទីបញ្ចប់ នៅពេលដែលយើងស្ថិតនៅជិតកំពូលគ្មានកំណត់ ប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងក្លាយទៅជាតូចគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះ វានៅតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស ពោលគឺភាពខុសគ្នានៃកម្ពស់នៅចុងរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (មិនមានទំនោរ ប៉ុន្តែស្មើនឹង)។ ដូច្នេះដេរីវេ

នេះអាចយល់បានដូចខាងក្រោម៖ នៅពេលដែលយើងឈរនៅកំពូល ការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយទៅឆ្វេង ឬស្តាំផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់របស់យើងដោយធ្វេសប្រហែស។

វាក៏មានការពន្យល់អំពីពិជគណិតសុទ្ធសាធផងដែរ៖ នៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ មុខងារកើនឡើង ហើយនៅខាងស្តាំ វាថយចុះ។ ដូចដែលយើងបានរកឃើញរួចមកហើយនៅពេលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាមានអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែវាផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងរលូនដោយគ្មានការលោត (ដោយសារតែផ្លូវមិនផ្លាស់ប្តូរជម្រាលរបស់វាយ៉ាងខ្លាំងគ្រប់ទីកន្លែង) ។ ដូច្នេះរវាងអវិជ្ជមាននិង តម្លៃវិជ្ជមានត្រូវ​តែ​ជា។ វានឹងក្លាយជាកន្លែងដែលមុខងារមិនកើនឡើង ឬថយចុះ - នៅចំណុចកំពូល។

ដូចគ្នានេះដែរគឺសម្រាប់ជ្រលងភ្នំ (តំបន់ដែលមុខងារថយចុះនៅខាងឆ្វេងនិងកើនឡើងនៅខាងស្តាំ):

បន្តិចទៀតអំពីការកើនឡើង។

ដូច្នេះយើងប្តូរអាគុយម៉ង់ទៅជាតម្លៃ។ តើយើងប្តូរពីតម្លៃអ្វី? តើគាត់ (អាគុយម៉ង់) ឥឡូវនេះបានក្លាយជាអ្វី? យើងអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងរាំពីវា។

ពិចារណាចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ។ តម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើនដូចគ្នា៖ បង្កើនកូអរដោណេដោយ។ តើអ្វីជាអាគុយម៉ង់ឥឡូវនេះ? ងាយស្រួលណាស់៖ ។ តើអ្វីទៅជាតម្លៃនៃមុខងារឥឡូវនេះ? កន្លែងដែលអាគុយម៉ង់ទៅ មុខងារទៅទីនោះ៖ . ចុះការបង្កើនមុខងារវិញ? គ្មានអ្វីថ្មីទេ៖ នេះនៅតែជាចំនួនដែលមុខងារបានផ្លាស់ប្តូរ៖

អនុវត្តការស្វែងរកការកើនឡើង៖

1. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ស្មើនឹង។
2. ដូចគ្នាសម្រាប់មុខងារនៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

អេ ចំណុចផ្សេងគ្នាជាមួយនឹងការកើនឡើងដូចគ្នានៃអាគុយម៉ង់ ការបង្កើនមុខងារនឹងខុសគ្នា។ នេះមានន័យថា ដេរីវេនៅចំណុចនីមួយៗមានរបស់វា (យើងបានពិភាក្សារឿងនេះនៅដើមដំបូង - ភាពចោតនៃផ្លូវនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាគឺខុសគ្នា) ។ ដូច្នេះ ពេល​យើង​សរសេរ​និស្សន្ទវត្ថុ យើង​ត្រូវ​ចង្អុល​បង្ហាញ​ត្រង់​ចំណុច​ណា៖

មុខងារថាមពល។

អនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់មានកម្រិតខ្លះ (ឡូជីខលមែនទេ?)

និង - ក្នុងកម្រិតណាមួយ: .

ករណីសាមញ្ញបំផុត។គឺនៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺ៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វានៅចំណុចមួយ។ ចងចាំនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរពីទៅ។ តើការបង្កើនមុខងារជាអ្វី?

ការកើនឡើងគឺ។ ប៉ុន្តែមុខងារនៅចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដូច្នេះ៖

ដេរីវេគឺ៖

ដេរីវេនៃគឺ៖

ខ) ឥឡូវពិចារណា មុខងារបួនជ្រុង (): .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងចាំថា។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃការកើនឡើងអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ព្រោះវាមានទំហំតូចបំផុត ហើយដូច្នេះវាមិនសំខាន់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃពាក្យផ្សេងទៀត៖

ដូច្នេះយើងមានច្បាប់មួយទៀត៖

គ) យើងបន្តស៊េរីឡូជីខល៖ .

កន្សោមនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ បើកតង្កៀបទីមួយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់គុណអក្សរកាត់នៃគូបនៃផលបូក ឬ decompose កន្សោមទាំងមូលទៅជាកត្តាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប។ ព្យាយាមធ្វើវាដោយខ្លួនឯងតាមវិធីណាមួយដែលបានណែនាំ។

ដូច្នេះ, ខ្ញុំទទួលបានដូចខាងក្រោម:

ហើយម្តងទៀត ចងចាំរឿងនោះ។ នេះមានន័យថាយើងអាចធ្វេសប្រហែសពាក្យទាំងអស់ដែលមាន៖

យើង​ទទួល​បាន: ។

ឃ) ច្បាប់ស្រដៀងគ្នាអាចទទួលបានសម្រាប់អំណាចធំៗ៖

ង) វាប្រែថាច្បាប់នេះអាចត្រូវបានទូទៅសម្រាប់អនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តបំពាន មិនមែនសូម្បីតែចំនួនគត់៖

(2)

អ្នកអាចបង្កើតច្បាប់ដោយពាក្យថា "ដឺក្រេត្រូវបាននាំមកជាមេគុណហើយបន្ទាប់មកថយចុះ" ។

យើងនឹងបញ្ជាក់ច្បាប់នេះនៅពេលក្រោយ (ស្ទើរតែដល់ទីបញ្ចប់)។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. (តាមវិធីពីរយ៉ាង៖ ដោយរូបមន្ត និងការប្រើប្រាស់និយមន័យនៃដេរីវេ - ដោយរាប់ការបង្កើនមុខងារ);

1. . ជឿឬមិនជឿ នេះគឺជាមុខងារថាមពល។ ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរដូចជា "តើវាយ៉ាងម៉េច? ហើយសញ្ញាបត្រនៅឯណា?”, ចាំប្រធានបទ“”!
   បាទ, បាទ, ឫសក៏ជាដឺក្រេមួយ, តែប្រភាគមួយ :.
   ដូច្នេះឫសការ៉េរបស់យើងគ្រាន់តែជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តមួយ៖
   .
   យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តដែលបានរៀនថ្មីៗនេះ៖

   បើ​ដល់​ចំណុច​នេះ​វា​មិន​ច្បាស់​ម្ដង​ទៀត ធ្វើ​ប្រធាន​បទ "" ម្ដង​ទៀត!!! (អំពីសញ្ញាបត្រជាមួយ សូចនាករអវិជ្ជមាន)

2. . ឥឡូវនេះនិទស្សន្ត៖

   ហើយឥឡូវនេះតាមរយៈនិយមន័យ (តើអ្នកភ្លេចទេ?)៖
   ;
   .
   ឥឡូវនេះ ដូចធម្មតា យើងមិនអើពើនឹងពាក្យដែលមាន៖
   .

3. . ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃករណីមុន: .

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ខាងក្រោមនេះយើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិតមួយពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់៖

ពេលបញ្ចេញមតិ។

អ្នកនឹងរៀនភស្តុតាងនៅឆ្នាំដំបូងនៃវិទ្យាស្ថាន (ហើយដើម្បីទៅដល់ទីនោះអ្នកត្រូវប្រឡងឱ្យបានល្អ) ។ ឥឡូវ​នេះ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​បង្ហាញ​វា​ជា​ក្រាហ្វិក៖

យើងឃើញថានៅពេលដែលមុខងារមិនមាន - ចំណុចនៅលើក្រាហ្វត្រូវបានដាល់។ ប៉ុន្តែកាន់តែខិតទៅជិតតម្លៃ មុខងារកាន់តែខិតទៅជិត។ នេះគឺជា "ការខិតខំ" យ៉ាងខ្លាំង។

លើសពីនេះទៀតអ្នកអាចពិនិត្យមើលច្បាប់នេះដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ បាទ បាទ កុំខ្មាស់គេ យកម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងមិនទាន់ប្រឡងទេ។

ដូច្នេះសូមសាកល្បង៖ ;

កុំភ្លេចប្តូរម៉ាស៊ីនគិតលេខទៅរបៀបរ៉ាដ្យង់!

ល។ យើងឃើញថាទំហំតូចជាង អត្ថន័យកាន់តែជិតទំនាក់ទំនងទៅ។

ក) ពិចារណាមុខងារមួយ។ ជាធម្មតាយើងរកឃើញការកើនឡើងរបស់វា៖

ចូរបង្វែរភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុសទៅជាផលិតផល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្ត (ចងចាំប្រធានបទ ""): ។

ឥឡូវនេះដេរីវេ៖

ចូរធ្វើការជំនួស៖ . បន្ទាប់មក​សម្រាប់​ទំហំ​តូច​ក៏​តូច​មិន​ចេះ​ចប់​ដែរ ៖ . កន្សោម​សម្រាប់​មាន​ទម្រង់៖

ហើយឥឡូវនេះយើងចងចាំវាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិ។ ផងដែរប្រសិនបើគ្មានកំណត់ ទំហំ​តូចអាចត្រូវបានមិនអើពើនៅក្នុងផលបូក (នោះគឺនៅ) ។

ដូច្នេះយើងទទួលបាន ច្បាប់បន្ទាប់:ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស:

ទាំងនេះគឺជានិស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន ("តារាង")។ នៅទីនេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីតែមួយ៖

ក្រោយមកយើងនឹងបន្ថែមពីរបីទៀតទៅពួកវា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺសំខាន់បំផុតព្រោះវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។

ការអនុវត្ត៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ៖

1. ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅហើយបន្ទាប់មកជំនួសតម្លៃរបស់វាសម្រាប់វា៖
   ;
   .
2. នៅទីនេះយើងមានអ្វីមួយដែលស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តោះព្យាយាមនាំនាងទៅ
   ទិដ្ឋភាពធម្មតា៖
   .
   យល់ព្រម ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើរូបមន្ត៖
   .
   .
3. . អេ... ស្អី????

មិនអីទេ អ្នកនិយាយត្រូវ យើងនៅតែមិនដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបែបនេះ។ នៅទីនេះយើងមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទជាច្រើននៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើការជាមួយពួកគេ អ្នកត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនបន្ថែមទៀត៖

និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ។

មានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដេរីវេនៃណាមួយគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ខ្លួនវាសម្រាប់ដូចគ្នា។ វាត្រូវបានគេហៅថា "និទស្សន្ត" ហើយជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

មូលដ្ឋាននៃមុខងារនេះគឺថេរ - វាគ្មានកំណត់ ទសភាគនោះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល (ដូចជា)។ វាត្រូវបានគេហៅថា "លេខអយល័រ" ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។

ដូច្នេះក្បួនគឺ៖

វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។

អញ្ចឹង​ទៅ​មិន​ឆ្ងាយ​ទេ​ចាំ​គិត​ភ្លាម មុខងារបញ្ច្រាស. មុខងារមួយណាដែលបញ្ច្រាស់ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល? លោការីត៖

ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖

លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។

តើស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដ​ណាស់, ។

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ចម្លើយ៖ អ្នកតាំងពិព័រណ៍ និង លោការីតធម្មជាតិ- មុខងារគឺសាមញ្ញតែមួយគត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតនឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងពិភាក្សានៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពី ចូរយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់ភាពខុសគ្នា

ច្បាប់នៃការបែងចែក

តើច្បាប់អ្វីខ្លះ? ម្តងទៀត ពាក្យថ្មី។ទៀតហើយ?!...

ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។

មានតែនិងអ្វីៗទាំងអស់។ តើពាក្យអ្វីផ្សេងទៀតសម្រាប់ដំណើរការនេះ? មិន proizvodnovanie... ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។

នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖

សរុបមាន ៥ ច្បាប់។

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។

ប្រសិនបើ - ខ្លះ ចំនួនថេរ(ថេរ) បន្ទាប់មក។

ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យឬងាយស្រួលជាង។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. នៅចំណុច;
2. នៅចំណុច;
3. នៅចំណុច;
4. នៅចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖

1. (ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ព្រោះវាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ សូមចាំ?);

ដេរីវេនៃផលិតផល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ យើងណែនាំមុខងារថ្មី និងស្វែងរកការបន្ថែមរបស់វា៖

ដេរីវេ៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និង;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលណាមួយ ហើយមិនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)

ដូច្នេះតើលេខមួយណា។

យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមនាំយកមុខងាររបស់យើងទៅកាន់មូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើច្បាប់សាមញ្ញមួយ: . បន្ទាប់មក៖

ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។

បានកើតឡើង?

នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖

រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្ត៖ ដូចដែលវាគឺ វានៅតែមាន មានតែកត្តាមួយបានលេចឡើង ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។

ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខទេ ពោលគឺគ្មានវិធីសរសេរវាបន្ថែមទៀតទេ។ ទម្រង់សាមញ្ញ. ដូច្នេះហើយ យើងទុកវាក្នុងទម្រង់នេះក្នុងចំលើយ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

នៅទីនេះវាស្រដៀងគ្នា៖ អ្នកដឹងពីដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិរួចហើយ៖

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរក arbitrary ពីលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖

យើងត្រូវនាំយកលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖

មានតែឥឡូវនេះជំនួសឱ្យយើងនឹងសរសេរ:

ភាគបែងប្រែថាគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺសាមញ្ញណាស់៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ស្ទើរតែរកមិនឃើញនៅក្នុងការប្រឡង ប៉ុន្តែវានឹងមិននាំអោយអ្នកស្គាល់ពួកវានោះទេ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាតង់ហ្សង់ធ្នូទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាលោការីតហាក់ដូចជាពិបាកសម្រាប់អ្នក សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការ) ប៉ុន្តែបើនិយាយពីគណិតវិទ្យាវិញ ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" នោះទេ។

ស្រមៃមើលឧបករណ៍បញ្ជូនតូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ និងធ្វើសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយនឹងវត្ថុមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ​រុំ​របារ​សូកូឡា​ក្នុង​កន្សែង​រុំ ហើយ​ទីពីរ​ចង​វា​ដោយ​ខ្សែបូ។ វាប្រែចេញវត្ថុផ្សំបែបនេះ៖ របារសូកូឡារុំនិងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើ សកម្មភាពបញ្ច្រាសក្នុង លំដាប់បញ្ច្រាស.

ចូរបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងធ្វើការការ៉េនៃលេខលទ្ធផល។ ដូច្នេះ គេឲ្យលេខមួយមកយើង (សូកូឡា) ខ្ញុំរកកូស៊ីនុស (ក្រដាសរុំ) ហើយបន្ទាប់មកអ្នកដាក់ការ៉េអ្វីដែលខ្ញុំទទួលបាន (ចងវាដោយខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះជាឧទាហរណ៍ មុខងារស្មុគស្មាញ: នៅពេល ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងធ្វើសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរផ្សេងទៀតជាមួយនឹងអ្វីដែលបានកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃទីមួយ។

យើងប្រហែលជាធ្វើជំហានដូចគ្នាក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ដំបូងអ្នកការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំរកមើលកូស៊ីនុសនៃលេខលទ្ធផល៖ ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ លក្ខណៈសំខាន់មុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលអ្នកផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃសកម្មភាព មុខងារនឹងផ្លាស់ប្តូរ។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .

ឧទាហរណ៍ទីមួយ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .

សកម្មភាពចុងក្រោយដែលយើងធ្វើនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្តដំបូង - រៀងគ្នា។ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។

ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណាជាមុខងារខាងក្នុង៖

ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងទៅនឹងការជំនួសអថេរ៖ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងអនុគមន៍

1. តើ​យើង​នឹង​ចាត់​វិធានការ​អ្វី​មុន​គេ? ដំបូងយើងគណនាស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកយើងលើកវាទៅជាគូប។ ដូច្នេះ​វា​ជា​មុខងារ​ខាងក្នុង មិន​មែន​ជា​មុខងារ​ខាង​ក្រៅ​ទេ។
   ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ .
2. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
3. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
4. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
5. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារ។

មែនហើយឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយកសូកូឡារបស់យើង - រកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស់៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ បន្ទាប់មកយើងគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង។ បានអនុវត្តទៅ ឧទាហរណ៍ដើមវាមើលទៅដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

ដូច្នេះ ទីបំផុត​យើង​នឹង​បង្កើត​ច្បាប់​ជា​ផ្លូវ​ការ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?

តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖

ដំណោះស្រាយ៖

1) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

2) ផ្ទៃក្នុង: ;

(កុំព្យាយាមកាត់បន្ថយឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីត្រូវបានយកចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសទេនៅចាំ?)

3) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

វាច្បាស់ណាស់ថាមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញបីកម្រិតនៅទីនេះ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងនៅតែទាញយកឫសពីវា ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (ដាក់សូកូឡាក្នុងរុំ។ និងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូបយួរមួយ) ។ ប៉ុន្តែ​គ្មាន​ហេតុផល​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​ខ្លាច​ឡើយ៖ ទោះ​បី​ជា​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ យើង​នឹង “ស្រាយ” មុខងារ​នេះ​តាម​លំដាប់​ដូច​ធម្មតា៖ ពី​ចុង​បញ្ចប់។

នោះ​គឺ​ជា​ដំបូង​យើង​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា​នៃ​ឫស បន្ទាប់​មក​កូស៊ីនុស ហើយ​បន្ទាប់​មក​បាន​តែ​កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។

ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​សកម្មភាព​ក្នុង​លំដាប់​ណា​ដើម្បី​គណនា​តម្លៃ​នៃ​កន្សោម​នេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖

នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត មុខងារដែលត្រូវគ្នានឹង "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើន។ លំដាប់នៃសកម្មភាព - ដូចពីមុន៖

នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរកំណត់ផ្លូវនៃសកម្មភាព។

1. ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់. .

2. ឫស។ .

3. ស៊ីនុស។ .

4. ការ៉េ។ .

5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖

ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីមេ

ដេរីវេនៃមុខងារ- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់៖

និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖

ច្បាប់នៃការបែងចែក៖

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃផលបូក៖

ផលិតផលដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃកូតា៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

1. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
2. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
3. យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។

ជាមួយនឹងវីដេអូនេះ ខ្ញុំចាប់ផ្តើមមេរៀនដ៏វែងមួយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុ។ មេរៀននេះមានផ្នែកជាច្រើន។

ជាដំបូង ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកពីអ្វីដែលជានិស្សន្ទវត្ថុជាទូទៅ និងរបៀបគណនាវា ប៉ុន្តែមិនមែននៅក្នុងភាសាសិក្សាដ៏ស្មុគ្រស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែតាមវិធីដែលខ្ញុំយល់ដោយខ្លួនឯង និងរបៀបដែលខ្ញុំពន្យល់វាដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំ។ ទីពីរ យើងនឹងពិចារណាពីច្បាប់សាមញ្ញបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលយើងនឹងរកមើលដេរីវេនៃផលបូក ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នា និងដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល។

យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍រួមបញ្ចូលគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ដែលអ្នកនឹងរៀន ជាពិសេសថាបញ្ហាស្រដៀងគ្នាដែលទាក់ទងនឹងឫស និងសូម្បីតែប្រភាគអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល។ លើសពីនេះទៀត ពិតណាស់វានឹងមានភារកិច្ចជាច្រើន និងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចំពោះ កម្រិតផ្សេងគ្នាការលំបាក។

ជាទូទៅ ពីដំបូង ខ្ញុំនឹងថតវីដេអូខ្លីរយៈពេល 5 នាទី ប៉ុន្តែអ្នកអាចឃើញដោយខ្លួនឯងថាវាមកពីអ្វី។ ដូច្នេះគ្រប់គ្រាន់នៃអត្ថបទចម្រៀង - តោះចុះទៅអាជីវកម្ម។

តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ?

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមពីចម្ងាយ។ ជាច្រើនឆ្នាំមុន នៅពេលដែលដើមឈើកាន់តែបៃតង ហើយជីវិតកាន់តែសប្បាយ គណិតវិទូបានគិតអំពីរឿងនេះ៖ ពិចារណាមុខងារសាមញ្ញដែលផ្តល់ដោយក្រាហ្វរបស់វា ចូរហៅវាថា $y=f\left(x \right)$។ ជាការពិតណាស់ ក្រាហ្វមិនមានដោយខ្លួនឯងទេ ដូច្នេះអ្នកត្រូវគូរអ័ក្ស $x$ ក៏ដូចជាអ័ក្ស $y$ ។ ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងជ្រើសរើសចំណុចណាមួយនៅលើក្រាហ្វនេះ ណាមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ។ តោះហៅ abscissa $((x)_(1))$, ordinate ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន នឹងក្លាយជា $f\left(((x)_(1)) \right)$។

ពិចារណាចំណុចមួយទៀតនៅលើក្រាហ្វដូចគ្នា។ មិន​ថា​មួយ​ណា​ទេ រឿង​សំខាន់​គឺ​ខុស​ពី​ដើម។ វាមាន abscissa ម្តងទៀត សូមហៅវាថា $((x)_(2))$ ក៏ដូចជា ordinate - $f\left(((x)_(2)) \right)$ ។

ដូច្នេះ យើងទទួលបានពីរចំណុច៖ ពួកគេមាន abscissas ផ្សេងគ្នា ហើយដូច្នេះ អត្ថន័យផ្សេងគ្នាមុខងារ ទោះបីជាជម្រើសចុងក្រោយគឺស្រេចចិត្ត។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលសំខាន់នោះគឺថាយើងដឹងពីវគ្គសិក្សា Planimetry ថាបន្ទាត់ត្រង់មួយអាចត្រូវបានគូសតាមរយៈចំណុចពីរ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ នៅទីនេះ តោះដំណើរការវា។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​គូរ​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​ដំបូង​គេ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស x ។ ទទួលបាន ត្រីកោណកែង. ចូរហៅវាថា $ABC$ មុំខាងស្តាំ $C$។ ត្រីកោណនេះមានតែមួយ ទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍៖ ការពិតគឺថាមុំ $\alpha$ តាមពិត ស្មើនឹងមុំក្រោមដែលបន្ទាត់ត្រង់ $AB$ ប្រសព្វជាមួយនឹងការបន្តនៃអ័ក្ស abscissa ។ វិនិច្ឆ័យដោយខ្លួនឯង៖

1. បន្ទាត់ $AC$ គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស $Ox$ ដោយសំណង់
2. បន្ទាត់ $AB$ កាត់ $AC$ ក្រោម $\alpha $,
3. ដូច្នេះ $AB$ ប្រសព្វ $Ox$ ក្រោម $\alpha $ ដូចគ្នា។

តើយើងអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពី $\text()\!\!\alpha\!\!\text( )$? គ្មានអ្វីជាក់លាក់ទេ លើកលែងតែក្នុងត្រីកោណ $ABC$ សមាមាត្រនៃជើង $BC$ ទៅជើង $AC$ គឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំនេះ។ ដូច្នេះសូមសរសេរ៖

ជាការពិតណាស់ $AC$ នៅក្នុង ករណីនេះងាយស្រួលពិចារណា៖

ដូចគ្នាដែរសម្រាប់ $BC$៖

ម្យ៉ាងទៀត យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text()=\frac(f\left(((x)_(2))\right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

ឥឡូវ​នេះ យើង​បាន​យល់​អស់​ហើយ សូម​ត្រឡប់​ទៅ​តារាង​របស់​យើង ហើយ​មើល​ទៅ ចំណុចថ្មី។$B$ ។ លុបតម្លៃចាស់ ហើយយក $B$ កន្លែងណាមួយដែលនៅជិត $((x)_(1))$ ។ ចូរយើងសម្គាល់ abscissa របស់វាម្តងទៀតថា $((x)_(2))$ ហើយការកំណត់របស់វាជា $f\left(((x)_(2)) \right)$ ។

សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវត្រីកោណតូចរបស់យើង $ABC$ និង $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ នៅខាងក្នុងវា។ វាច្បាស់ណាស់ថាវានឹងជាមុំខុសគ្នាទាំងស្រុង តង់សង់ក៏នឹងខុសគ្នាដែរ ពីព្រោះប្រវែងនៃផ្នែក $AC$ និង $BC$ បានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង ហើយរូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំមិនផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ - នេះនៅតែជាសមាមាត្ររវាងការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ និងការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់។

ជាចុងក្រោយ យើងបន្តផ្លាស់ទី $B$ កាន់តែជិត និងខិតទៅជិតចំណុចដំបូង $A$ ជាលទ្ធផល ត្រីកោណនឹងថយចុះកាន់តែច្រើន ហើយបន្ទាត់ដែលមានផ្នែក $AB$ នឹងមើលទៅកាន់តែច្រើនឡើងៗដូចជាតង់សង់ទៅ ក្រាហ្វនៃមុខងារ។

ជាលទ្ធផល ប្រសិនបើយើងបន្តទៅជិតចំនុច ពោលគឺកាត់បន្ថយចម្ងាយទៅសូន្យ នោះបន្ទាត់ $AB$ នឹងប្រែទៅជាតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៅចំណុចនេះហើយ $\text( )\!\!\ alpha\!\ !\text( )$ នឹងផ្លាស់ប្តូរពីធាតុត្រីកោណធម្មតាទៅមុំរវាងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស $Ox$។

ហើយនៅទីនេះយើងបន្តយ៉ាងរលូនទៅនិយមន័យនៃ $f$ ពោលគឺដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច $((x)_(1))$ គឺជាតង់សង់នៃមុំ $\alpha $ រវាងតង់ហ្សង់ទៅ ក្រាហ្វនៅចំណុច $((x)_( 1))$ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស $Ox$៖

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text()\!\!\alpha\!\!\text()\]

ត្រលប់ទៅក្រាហ្វរបស់យើងវិញ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាជា $((x)_(1))$ អ្នកអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយនៅលើក្រាហ្វ។ ជាឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចដកចេញនូវជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅចំណុចដែលបង្ហាញក្នុងរូប។

ចូរហៅមុំរវាងតង់សង់ និងទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស $\beta $ ។ ដូច្នោះហើយ $f$ ក្នុង $((x)_(2))$ នឹងស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំនេះ $\beta $ ។

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text()\!\!\beta\!\text()\]

ចំនុចនីមួយៗនៃក្រាហ្វនឹងមានតង់សង់របស់វា ហើយជាលទ្ធផល តម្លៃរបស់វាផ្ទាល់នៃមុខងារ។ ក្នុងករណីនីមួយៗ បន្ថែមពីលើចំណុចដែលយើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នា ឬផលបូក ឬដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល វាចាំបាច់ក្នុងការយកចំណុចមួយទៀតដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយខ្លះពីវា ហើយបន្ទាប់មក ដឹកនាំចំណុចនេះទៅចំណុចដើម ហើយជាការពិតណាស់ ស្វែងយល់ពីរបៀបក្នុងដំណើរការ ចលនាបែបនេះនឹងផ្លាស់ប្តូរតង់ហ្សង់នៃមុំទំនោរ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល

ជាអកុសល និយមន័យនេះមិនសមនឹងយើងទាល់តែសោះ។ រូបមន្ត រូបភាព មុំទាំងអស់នេះមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវគំនិតតិចតួចបំផុតអំពីរបៀបគណនាដេរីវេពិតប្រាកដនៅក្នុង ភារកិច្ចជាក់ស្តែង. ដូច្នេះ ចូរយើងដកឃ្លាបន្តិចពីនិយមន័យផ្លូវការ ហើយពិចារណាអំពីរូបមន្ត និងបច្ចេកទេសដែលមានប្រសិទ្ធភាពបន្ថែមទៀត ដែលអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងបានហើយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសំណង់សាមញ្ញបំផុត ពោលគឺមុខងារនៃទម្រង់ $y=((x)^(n))$, i.e. មុខងារថាមពល។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖ $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$ ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដឺក្រេដែលមាននៅក្នុងនិទស្សន្តត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងមេគុណនៅខាងមុខ ហើយនិទស្សន្តខ្លួនវាត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយឯកតា ឧទាហរណ៍៖

\[\begin(align)&y=((x)^(2)) \\&(y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

ហើយនេះគឺជាជម្រើសមួយផ្សេងទៀត៖

\[\begin(align)&y=((x)^(1)) \\&(y)"=((\left(x\right))^(\prime))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\&((\left(x\right))^(\prime))=1 \\\end(align)\]

ការប្រើប្រាស់ទាំងនេះ ច្បាប់សាមញ្ញចូរយើងព្យាយាមដកចេញនូវជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៃឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

\[((\left(((x)^(6)) \\right))^(\prime))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

ឥឡូវ​យើង​ដោះស្រាយ​កន្សោម​ទីពីរ៖

\[\begin(align)&f\left(x\right)=((x)^(100)) \\&((\left(((x)^(100)) \right))^(\ បឋម ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ជាការពិតណាស់ទាំងនេះគឺខ្លាំងណាស់ កិច្ចការសាមញ្ញ. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាពិតប្រាកដគឺស្មុគស្មាញជាង ហើយវាមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះអំណាចនៃមុខងារនោះទេ។

ដូច្នេះក្បួនលេខ 1 - ប្រសិនបើអនុគមន៍ត្រូវបានតំណាងជាពីរផ្សេងទៀតនោះ ដេរីវេនៃផលបូកនេះគឺស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

\[((\left(f+g\right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

ដូចគ្នានេះដែរ ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃដេរីវេទីវៈ

\[((\left(f-g \right))^(\prime))=(f)"-(g)"\]

\[(((\left(((x)^(2))+x\right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2))\right))^(\ បឋម ))+(((\left(x\right)))^(\prime))=2x+1\]

លើសពីនេះទៀតមានមួយបន្ថែមទៀត ច្បាប់សំខាន់៖ ប្រសិនបើ $f$ មួយចំនួនត្រូវបាននាំមុខដោយ $c$ ថេរ ដែលអនុគមន៍នេះត្រូវបានគុណ នោះ $f$ នៃសំណង់ទាំងមូលនេះត្រូវបានពិចារណាដូចខាងក្រោម៖

\[(((\left(c\cdot f \right))^(\prime))=c\cdot (f)"\]

\[(((\left(3((x)^(3)))\right))^(\prime))=3(((\left(((x)^(3)))\right))^(\ បឋម ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

ជាចុងក្រោយ ច្បាប់សំខាន់មួយទៀត៖ នៅក្នុងបញ្ហា ជារឿយៗជួបប្រទះពាក្យដាច់ដោយឡែកដែលមិនមាន $x$ ទាល់តែសោះ។ ជា​ឧទាហរណ៍ យើង​អាច​សង្កេត​ការណ៍​នេះ​ក្នុង​កន្សោម​សព្វ​ថ្ងៃ​របស់​យើង។ ដេរីវេនៃថេរ ពោលគឺ លេខដែលមិនអាស្រ័យតាមវិធីណាមួយនៅលើ $x$ គឺតែងតែស្មើនឹងសូន្យ ហើយវាមិនមានបញ្ហាអ្វីទាំងអស់ដែលតម្លៃថេរ $c$ ស្មើនឹង៖

\[((\left(c\right))^(\prime))=0\]

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ៖

\[((\left(1001\right))^(\prime))=((\left(\frac(1)(1000)\right))^(\prime))=0\]

ជាថ្មីម្តងទៀតចំណុចសំខាន់ៗ៖

1. ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺតែងតែស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖ $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. សម្រាប់ហេតុផលស្រដៀងគ្នា ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃដេរីវេពីរ៖ $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. ប្រសិនបើអនុគមន៍មានមេគុណថេរ នោះថេរនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖ $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. ប្រសិនបើអនុគមន៍ទាំងមូលជាថេរ នោះដេរីវេរបស់វាតែងតែសូន្យ៖ $((\left(c\right))^(\prime ))=0$ ។

តោះមើលរបៀបដែលវាដំណើរការទាំងអស់គ្នា ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង. ដូច្នេះ៖

យើងសរសេរចុះ៖

\[\begin(align)&((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime )))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)))\right))^(\prime))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2))\right))^(\prime))+0=5((x) ^(4))-6x \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងឃើញទាំងដេរីវេនៃផលបូក និងដេរីវេនៃភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ ដេរីវេគឺ $5((x)^(4))-6x$។

ចូរបន្តទៅមុខងារទីពីរ៖

សរសេរដំណោះស្រាយ៖

\[\begin(align)&((\left(3((x)^(2))-2x+2\right))^(\prime ))=((\left(3((x))^( 2)) \right))^(\prime))-(((\left(2x\right)))^(\prime))+(2)"= \\&=3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

នៅទីនេះយើងបានរកឃើញចម្លើយ។

ចូរបន្តទៅមុខងារទីបី - វាកាន់តែធ្ងន់ធ្ងររួចទៅហើយ៖

\[\begin(align)&((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \\right)) ^(\prime))=((\left(2((x)^(3)))\right))^(\prime))-(((\left(3((x)^(2))))\right ))^(\prime )))+((\left(\frac(1)(2)x\right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime))-3((\left(((x)^(2))\right))^(\prime))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

យើង​បាន​រក​ឃើញ​ចម្លើយ។

ចូរបន្តទៅកន្សោមចុងក្រោយ - ស្មុគស្មាញបំផុត និងវែងបំផុត៖

ដូច្នេះយើងពិចារណា៖

\[\begin(align)&((\left(6((x)^(7)))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime)))=( (\left(6((x)^(7))\right))^(\prime))-((\left(14((x)^(3))\right))^(\prime)) +((\left(4x\right)))^(\prime))+(5)"= \\&=6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយមិនបញ្ចប់ត្រឹមហ្នឹងទេ ព្រោះយើងមិនត្រឹមតែត្រូវដកចេញដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វានៅចំណុចជាក់លាក់មួយ ដូច្នេះយើងជំនួស −1 ជំនួសឱ្យ $x$ ទៅក្នុងកន្សោម៖

\[(y)"\left(-1\right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

យើងបន្តទៅមុខទៀត ហើយបន្តទៅកាន់តែស្មុគស្មាញ ឧទាហរណ៍គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍. ចំនុចនោះគឺថារូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយដេរីវេថាមពល $((\left(((x)^(n))\right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ មានវិសាលភាពទូលំទូលាយជាងការជឿទូទៅ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រភាគ ឫស។ល។ នេះជាអ្វីដែលយើងនឹងធ្វើឥឡូវនេះ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងសរសេររូបមន្តម្តងទៀត ដែលនឹងជួយយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល៖

ហើយឥឡូវនេះការយកចិត្តទុកដាក់៖ រហូតមកដល់ពេលនេះយើងបានចាត់ទុកត្រឹមតែ $n$ ប៉ុណ្ណោះ។ ចំនួនគត់ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមិនជ្រៀតជ្រែកក្នុងការពិចារណាប្រភាគ និងសូម្បីតែ លេខអវិជ្ជមាន. ឧទាហរណ៍យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

\[\begin(align)&\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\&(((\left(\sqrt(x)\right)))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2)))\right))^(\prime))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x))) \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

គ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ ដូច្នេះសូមមើលពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះនឹងជួយយើងនៅពេលដោះស្រាយបន្ថែមទៀត កិច្ចការប្រឈម. ដូច្នេះឧទាហរណ៍៖

សរសេរដំណោះស្រាយ៖

\[\begin(align)&\left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime))+((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime)) \\& ((\ ឆ្វេង(\sqrt(x)\right))^(\prime))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\&(((\left(\sqrt(x))\right)))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)))\right))^(\prime))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2))))) \\& (( \left(\sqrt(x)\right))^(\prime))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime)) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

សូមត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍របស់យើងហើយសរសេរ៖

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2)))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

នេះគឺជាការសម្រេចចិត្តដ៏លំបាកមួយ។

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ទីពីរ - មានពាក្យតែពីរប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែពួកវានីមួយៗមានទាំងសញ្ញាបត្របុរាណ និងឫសគល់។

ឥឡូវនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលដែលលើសពីនេះទៀតមានឫស៖

\[\begin(align)&((\left(((x)^(3))\sqrt((((x)^(2))))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2)))\right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3)))\right))^(\prime))= \\&=(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \\right))^(\prime)))=((\left(((x)^(\frac(11))(3 ))) \right))^(\prime))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x)\right))^(\prime )))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3)))\right))^(\prime)))=((\left(((x)^(7\frac(1))(3 ))) \right))^(\prime))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានគណនា វានៅសល់ដើម្បីសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

យើង​បាន​រក​ឃើញ​ចម្លើយ។

ដេរីវេនៃប្រភាគនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ថាមពលមួយ។

ប៉ុន្តែលទ្ធភាពនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលមិនបញ្ចប់នៅទីនោះទេ។ ការពិតគឺថាដោយមានជំនួយរបស់វាអ្នកអាចរាប់មិនត្រឹមតែឧទាហរណ៍ជាមួយឫសប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងប្រភាគផងដែរ។ នេះគ្រាន់តែជាឱកាសដ៏កម្រដែលជួយសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដល់ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍បែបនេះ ប៉ុន្តែជារឿយៗមិនត្រឹមតែត្រូវបានអើពើដោយសិស្សប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងដោយគ្រូទៀតផង។

ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងនឹងព្យាយាមបញ្ចូលគ្នានូវរូបមន្តពីរក្នុងពេលតែមួយ។ នៅលើដៃមួយ, ដេរីវេបុរាណនៃមុខងារថាមពលមួយ។

\[((\left(((x)^(n)) \\right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងដឹងថាកន្សោមនៃទម្រង់ $\frac(1)(((x)^(n)))$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $((x)^(-n))$ ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

\[\left(\frac(1)(((x)^(n)))\right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x)\right))^(\prime))=\left((((x)^(-1))\right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2))))\]

ដូច្នេះនិស្សន្ទវត្ថុ ប្រភាគសាមញ្ញដែលភាគយកជាចំនួនថេរ ហើយភាគបែងជាដឺក្រេ ក៏ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តបុរាណផងដែរ។ តោះមើលរបៀបដែលវាដំណើរការក្នុងការអនុវត្ត។

ដូច្នេះមុខងារទីមួយ៖

\[(((\left(\frac(1)(((x)^(2))))\right))^(\prime)))=((\left((((x)^(-2))) \ ស្តាំ))^(\prime))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3))))\]

ឧទាហរណ៍ទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយ យើងបន្តទៅទីពីរ៖

\[\begin(align)&((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \\right))^(\prime))=\ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))))\right))^(\prime))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \right))^(\prime))+((\left(2((x)^(3)))\right))^(\prime)))-((\left( 3((x)^(4)) \\right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))) \\right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)(((\left(\frac(1)(((x)^(4))))\right))^(\prime))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4))\right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4\right) \\cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5)))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))^ (3))) \right))^(\prime))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3)))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)))\right))^(\prime))=\frac(2)( 3) \\ cdot ឆ្វេង (-3 \\ ស្តាំ) \\ cdot ((x) ^ (-4)) = \\ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & (( \\ ឆ្វេង ( \frac(5)(2)((x)^(2)) \\right))^(\prime))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\&((\left(2) ((x)^(៣)) \right))^(\prime))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\&((\ ឆ្វេង(3((x)^(4)) \\right))^(\prime))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...

ឥឡូវនេះយើងប្រមូលពាក្យទាំងអស់នេះក្នុងរូបមន្តតែមួយ៖

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

យើងទទួលបានការឆ្លើយតប។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មុននឹងបន្ត ខ្ញុំចង់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកចំពោះទម្រង់នៃការសរសេរកន្សោមដើមដោយខ្លួនឯង៖ ក្នុងកន្សោមទីមួយ យើងសរសេរ $f\left(x \right)=...$, នៅទីពីរ៖ $y =...$ សិស្សជាច្រើនវង្វេងពេលឃើញ ទម្រង់ផ្សេងៗគ្នាកំណត់ត្រា។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង $f\left(x\right)$ និង $y$? តាមពិតគ្មានអ្វីទេ។ ពួកវាគ្រាន់តែជាធាតុផ្សេងគ្នាដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នា។ នៅពេលដែលយើងនិយាយថា $f\left(x\right)$ ពេលនោះ យើងកំពុងនិយាយជាដំបូងអំពីមុខងារ ហើយនៅពេលដែលវាមកដល់ $y$ នោះ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានន័យ។ បើមិនដូច្នោះទេ វាគឺដូចគ្នា ពោលគឺ ដេរីវេត្រូវបានចាត់ទុកថាដូចគ្នានៅក្នុងករណីទាំងពីរ។

បញ្ហាស្មុគស្មាញជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុ

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាពីបញ្ហាស្មុគស្មាញមួយចំនួនដែលរួមបញ្ចូលគ្នាដែលប្រើអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបានពិចារណាថ្ងៃនេះក្នុងពេលតែមួយ។ នៅក្នុងពួកគេ យើងកំពុងរង់ចាំឫស និងប្រភាគ និងផលបូក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះនឹងស្មុគស្មាញតែក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃមេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ពីព្រោះមុខងារដេរីវេដ៏ស្មុគស្មាញពិតប្រាកដនឹងកំពុងរង់ចាំអ្នកនៅខាងមុខ។

ដូច្នេះ ផ្នែកចុងក្រោយនៃមេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ រួមមានកិច្ចការពីរបញ្ចូលគ្នា។ តោះចាប់ផ្តើមជាមួយទីមួយ៖

\[\begin(align)&(((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3))\right))^(\prime))-(((\left(\frac(1)(((x))^(3)) )) \right))^(\prime))+\left(\sqrt(x)\right) \\&((\left(((x)^(3))\right))^(\prime) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3)))) \\right))^(\prime )))=((\ left(((x)^(-3)) \\right))^(\prime))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& (((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime)))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ដេរីវេនៃមុខងារគឺ៖

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x))^ (2)))))\]

ឧទាហរណ៍ដំបូងត្រូវបានដោះស្រាយ។ ពិចារណាបញ្ហាទីពីរ៖

ក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នានេះ៖

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3))) )) \right)))^(\prime)))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))\right))^(\prime)))+((\left (\sqrt(x) \\right))^(\prime)))+((\left(\frac(4)(x\cdot\sqrt(((x)^(3)))))\right))^ (\prime))\]

ចូរយើងគណនាពាក្យនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖

\[\begin(align)&((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))\right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-៤)) \right))^(\prime))=-2\cdot \left(-4\right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(៥))) \\&((\left(\sqrt(x)\right)))^(\prime )))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))) \\& ((\ ឆ្វេង(\frac(4)(x\cdot\sqrt(((x)^(3)))))\right))^(\prime))=((\left(\frac(4)(x\cdot)" ((x)^(\frac(3)(4))))\right))^(\prime))=((\left(\frac(4)(((x))^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))))\right))^( \prime ))= \\&=4\cdot \left(-1\frac(3)(4)\right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4)\right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(២))\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(៣)))) \\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ត្រូវបានរាប់។ ឥឡូវនេះត្រឡប់ទៅ រូបមន្តដើមហើយបន្ថែមពាក្យទាំងបីជាមួយគ្នា។ យើងទទួលបានថា ចម្លើយចុងក្រោយនឹងមានៈ

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(២))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់។ នេះជាមេរៀនដំបូងរបស់យើង។ នៅក្នុងមេរៀនខាងក្រោម យើងនឹងពិនិត្យមើលបន្ថែមទៀត រចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញហើយ​ក៏​ស្វែង​រក​ផង​ដែរ​ថា​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​ត្រូវ​ការ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទាល់​តែ​សោះ។

ការគណនាដេរីវេ- មួយ​នៃ​ភាគច្រើន ប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗក្នុង ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល. ខាងក្រោមនេះគឺជាតារាងសម្រាប់ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ មុខងារសាមញ្ញ. ច្រើនទៀត ច្បាប់ស្មុគស្មាញភាពខុសគ្នា សូមមើលមេរៀនផ្សេងទៀត៖

• តារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត

ប្រើរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យជាតម្លៃយោង។ ពួកគេនឹងជួយអ្នកសម្រេចចិត្ត សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងភារកិច្ច។ នៅក្នុងរូបភាព នៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ មាន "សន្លឹកបន្លំ" នៃករណីសំខាន់ៗនៃការស្វែងរកដេរីវេនៅក្នុងទម្រង់ដែលអាចយល់បានសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ នៅក្បែរនោះគឺជាការពន្យល់សម្រាប់ករណីនីមួយៗ។

ដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ

1. ដេរីវេនៃលេខមួយគឺសូន្យ
ស´ = ០
ឧទាហរណ៍៖
5' = 0

ការពន្យល់:
ដេរីវេបង្ហាញអត្រាដែលតម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ។ ដោយសារលេខមិនផ្លាស់ប្តូរតាមមធ្យោបាយណាមួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌណាមួយ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វាគឺតែងតែសូន្យ។

2. ដេរីវេនៃអថេរមួយ។ស្មើនឹងមួយ។
x' = ១

ការពន្យល់:
ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ (x) ដោយមួយតម្លៃនៃអនុគមន៍ (លទ្ធផលគណនា) កើនឡើងដោយចំនួនដូចគ្នា។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ y = x គឺពិតជាស្មើនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់។

3. ដេរីវេនៃអថេរ និងកត្តាមួយស្មើនឹងកត្តានេះ។
sx´ = ស
ឧទាហរណ៍៖
(3x)´ = ៣
(2x)´ = ២
ការពន្យល់:
ក្នុងករណីនេះ រាល់ពេលដែលអាគុយម៉ង់មុខងារ ( X) តម្លៃរបស់វា (y) កើនឡើង ជាមួយម្តង។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអាគុយម៉ង់គឺពិតជាស្មើនឹងតម្លៃ ជាមួយ.

ពីណាមក
(cx + b)" = គ
i.e. ឌីផេរ៉ង់ស្យែល មុខងារលីនេអ៊ែរ y=kx+b គឺ មេគុណមុំជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់ (k) ។

4. ដេរីវេនៃម៉ូឌុលនៃអថេរគឺស្មើនឹងកូតានៃអថេរនេះទៅនឹងម៉ូឌុលរបស់វា។
|x|"= x / |x| បានផ្តល់ថា x ≠ 0
ការពន្យល់:
ដោយសារដេរីវេនៃអថេរ (សូមមើលរូបមន្តទី 2) គឺស្មើនឹងមួយ ដេរីវេនៃម៉ូឌុលមានភាពខុសគ្នាតែនៅក្នុងនោះតម្លៃនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចដើម (ព្យាយាមគូរក្រាហ្វ នៃអនុគមន៍ y = |x| ហើយមើលដោយខ្លួនឯង នេះជាតម្លៃពិតប្រាកដ ហើយត្រឡប់កន្សោម x / |x| ពេល x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - មួយ។ នោះគឺជាមួយនឹងតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ តម្លៃនៃអនុគមន៍ថយចុះដោយតម្លៃដូចគ្នាពិតប្រាកដ ហើយជាមួយនឹងតម្លៃវិជ្ជមាន ផ្ទុយទៅវិញវាកើនឡើង ប៉ុន្តែពិតប្រាកដ តម្លៃដូចគ្នា។

5. ដេរីវេនៃថាមពលនៃអថេរមួយ។គឺស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួននៃថាមពលនេះ និងអថេរនៅក្នុងថាមពល កាត់បន្ថយដោយមួយ។
(x c)"= cx c-1បានផ្តល់ថា x c និង cx c-1 ត្រូវបានកំណត់ និង c ≠ 0
ឧទាហរណ៍៖
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ដើម្បីទន្ទេញរូបមន្ត:
យកនិទស្សន្តនៃអថេរ "ចុះ" ជាមេគុណ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថយនិទស្សន្តដោយខ្លួនវាមួយ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ x 2 - ពីរគឺនាំមុខ x ហើយបន្ទាប់មកថាមពលកាត់បន្ថយ (2-1 = 1) គ្រាន់តែផ្តល់ឱ្យយើង 2x ។ រឿងដដែលនេះបានកើតឡើងសម្រាប់ x 3 - យើងបន្ថយបីដង កាត់បន្ថយវាមួយ ហើយជំនួសឱ្យគូបមួយ យើងមានការ៉េ នោះគឺ 3x 2 ។ តិចតួច "មិនវិទ្យាសាស្រ្ត" ប៉ុន្តែងាយស្រួលចងចាំណាស់។

6.ដេរីវេនៃប្រភាគ 1/x
(1/x)" = − 1/x 2
ឧទាហរណ៍៖
ដោយសារប្រភាគអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការបង្កើនទៅ ថាមពលអវិជ្ជមាន
(1/x)" = (x -1)" បន្ទាប់មកអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5 នៃតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ
(x −1)" = −1x −2 = − 1 / x 2

7. ដេរីវេនៃប្រភាគ ជាមួយនឹងអថេរនៃសញ្ញាបត្របំពាននៅក្នុងភាគបែង
(1/x c)" = - គ / x គ + ១
ឧទាហរណ៍៖
(1 / x 2)" = − 2 / x 3

8. ដេរីវេនៃឫស(ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសការ៉េ)
(√x)" = 1 / (2√x)ឬ 1/2 x −1/2
ឧទាហរណ៍៖
(√x)" = (x 1/2)" ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសនៃសញ្ញាបត្របំពាន
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា។

ជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់មុខងារសាមញ្ញបំផុត (និងមិនសាមញ្ញបំផុត) ដោយកំណត់និស្សន្ទវត្ថុជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងទៅនឹងការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុបានបង្ហាញខ្លួន និងពិតប្រាកដ។ ច្បាប់ជាក់លាក់ភាពខុសគ្នា Isaac Newton (1643-1727) និង Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលធ្វើការក្នុងវិស័យស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

ដូច្នេះនៅក្នុងសម័យរបស់យើង ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ណាមួយ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការគណនាដែនកំណត់ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើនៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់នោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវប្រើតារាងតែប៉ុណ្ណោះ។ នៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមគឺសមរម្យសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេ។

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេអ្នកត្រូវការកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល បំបែកមុខងារសាមញ្ញនិងកំណត់នូវសកម្មភាពអ្វី (ផលិតផល ផលបូក)មុខងារទាំងនេះគឺពាក់ព័ន្ធ។ និស្សន្ទវត្ថុបន្ថែម មុខងារបឋមយើងរកឃើញនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងរូបមន្តសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុនៃផលិតផល ផលបូក និងកូតា - នៅក្នុងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍ពីរដំបូង។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា យើងរកឃើញថាដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ គឺជាផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ ពោលគឺឧ។

ពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញថាដេរីវេនៃ "X" គឺស្មើនឹងមួយ ហើយដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺកូស៊ីនុស។ យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះនៅក្នុងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេទីវេដែលទាមទារដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ បែងចែកជាដេរីវេនៃផលបូក ដែលក្នុងពាក្យទីពីរជាមួយនឹងកត្តាថេរ វាអាចត្រូវបានដកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖

ប្រសិនបើនៅតែមានសំណួរអំពីថាតើអ្វីមួយមកពីណានោះ តាមក្បួនមួយ ពួកគេនឹងច្បាស់បន្ទាប់ពីអានតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់សាមញ្ញបំផុតនៃភាពខុសគ្នា។ យើងនឹងទៅរកពួកគេឥឡូវនេះ។

តារាងដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ

1. ដេរីវេនៃថេរ (ចំនួន) ។ លេខណាមួយ (1, 2, 5, 200...) ដែលមាននៅក្នុងកន្សោមអនុគមន៍។ សូន្យជានិច្ច។ នេះមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការចងចាំ ព្រោះវាត្រូវបានទាមទារជាញឹកញាប់
2. ដេរីវេនៃអថេរឯករាជ្យ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ "x" ។ តែងតែស្មើនឹងមួយ។ នេះក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការចងចាំ
3. ដេរីវេនៃសញ្ញាបត្រ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកត្រូវបំប្លែងឫសមិនការ៉េទៅជាថាមពល។
4. ដេរីវេនៃអថេរទៅអំណាចនៃ -1
5. ដេរីវេ ឫស​ការេ
6. ដេរីវេនៃស៊ីនុស
7. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស
8. ដេរីវេនៃតង់សង់
9. ដេរីវេនៃកូតង់សង់
10. ដេរីវេនៃ arcsine
11. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសធ្នូ
12. ដេរីវេនៃតង់សង់ធ្នូ
13. ដេរីវេនៃតង់សង់បញ្ច្រាស
14. ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ
15. ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត
16. ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត
17. ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ច្បាប់នៃការបែងចែក

1. ដេរីវេនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នា
2. ដេរីវេនៃផលិតផល
2 ក. ដេរីវេនៃកន្សោមមួយគុណនឹងកត្តាថេរ
3. ដេរីវេនៃកូតា
4. ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

វិធាន 1ប្រសិនបើមុខងារ

អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយ បន្ទាប់មកមុខងារដូចគ្នានៅចំណុចដូចគ្នា។

និង

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍គឺ ផលបូកពិជគណិតដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះ។

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើមុខងារពីរផ្សេងគ្នាខុសគ្នាដោយថេរ នោះដេរីវេនៃពួកវាគឺ, i.e.

ក្បួនទី 2ប្រសិនបើមុខងារ

មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចមួយចំនួន បន្ទាប់មកផលិតផលរបស់ពួកគេក៏មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចដូចគ្នា។

និង

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃផលនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃអនុគមន៍នីមួយៗ និងដេរីវេនៃមុខងារផ្សេងទៀត។

លទ្ធផល ១. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ:

លទ្ធផល ២. ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារផ្សេងគ្នាជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃដេរីវេនៃកត្តានីមួយៗ និងកត្តាផ្សេងៗទៀត។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់មេគុណបី៖

ក្បួនទី 3ប្រសិនបើមុខងារ

ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយ។ និង , បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ កូតារបស់ពួកគេក៏ខុសគ្នាដែរ។u/v , និង

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងប្រភាគដែលភាគបែងគឺជាភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃភាគបែង និងដេរីវេនៃភាគយក និងភាគយក និងដេរីវេនៃភាគបែង ហើយភាគបែងគឺជាការ៉េនៃអតីតភាគយក .

កន្លែងដែលត្រូវរកមើលនៅលើទំព័រផ្សេងទៀត។

នៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃផលិតផល និងកូតានៅក្នុងបញ្ហាពិត វាតែងតែតម្រូវឱ្យអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ ដូច្នេះហើយ ឧទាហរណ៍ច្រើនទៀតនៅលើដេរីវេទាំងនេះ - នៅក្នុងអត្ថបទ"ដេរីវេនៃ​ផលិតផល​មួយ​និង​កូតា".

មតិយោបល់។អ្នក​មិន​គួរ​ច្រឡំ​លេខ​ថេរ​មួយ​ជា​ពាក្យ​ក្នុង​ផលបូក​និង​ជា​កត្តា​ថេរ! ក្នុងករណីពាក្យមួយ ដេរីវេរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ ហើយក្នុងករណី កត្តាថេរវាត្រូវបានដកចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ នេះ​គឺជា កំហុសធម្មតា។ដែលកើតឡើងនៅលើ ដំណាក់កាលដំបូងសិក្សានិស្សន្ទវត្ថុ ប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយភាគពីរ សិស្សមធ្យមលែងធ្វើកំហុសនេះទៀតហើយ។

ហើយប្រសិនបើនៅពេលបែងចែកផលិតផល ឬកូតាខុសគ្នា អ្នកមានពាក្យ យូ"v, ម្ល៉ោះ យូ- លេខឧទាហរណ៍ 2 ឬ 5 នោះគឺថេរ បន្ទាប់មកដេរីវេនៃលេខនេះនឹងស្មើនឹងសូន្យ ហើយដូច្នេះពាក្យទាំងមូលនឹងស្មើនឹងសូន្យ (ករណីបែបនេះត្រូវបានវិភាគក្នុងឧទាហរណ៍ 10) .

ផ្សេងទៀត កំហុសទូទៅ - ដំណោះស្រាយមេកានិចដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍សាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញឧទ្ទិសដល់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងយើងនឹងរៀនស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។

នៅតាមផ្លូវអ្នកមិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកប្រហែលជាត្រូវបើកក្នុងសៀវភៅណែនាំ windows ថ្មី។ សកម្មភាពដោយអំណាច និងឫសគល់និង សកម្មភាពជាមួយប្រភាគ .

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះនិស្សន្ទវត្ថុដោយអំណាច និងឫស នោះគឺជាពេលដែលមុខងារមើលទៅដូច បន្ទាប់មកអនុវត្តតាមមេរៀន "ដេរីវេនៃផលបូកនៃប្រភាគដែលមានអំណាច និងឫស"។

ប្រសិនបើអ្នកមានភារកិច្ចដូច បន្ទាប់មកអ្នកស្ថិតនៅក្នុងមេរៀន "ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ"។

ឧទាហរណ៍មួយជំហានម្តង ៗ - របៀបស្វែងរកដេរីវេ

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងកំណត់ផ្នែកនៃកន្សោមមុខងារ៖ កន្សោមទាំងមូលតំណាងឱ្យផលិតផល ហើយកត្តារបស់វាគឺផលបូក ដែលនៅក្នុងទីពីរនៃពាក្យមួយមានកត្តាថេរ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល៖ ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃមុខងារនីមួយៗ និងដេរីវេនៃមុខងារផ្សេងទៀត៖

បន្ទាប់មក យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលបូក៖ ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ក្នុងផលបូកនីមួយៗ ពាក្យទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ នៅក្នុងផលបូកនីមួយៗ យើងឃើញទាំងអថេរឯករាជ្យ ដេរីវេនៃដែលស្មើនឹងមួយ និងថេរ (ចំនួន) ដេរីវេនៃដែលស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ "x" ប្រែទៅជាមួយហើយដក 5 ទៅជាសូន្យ។ នៅក្នុងកន្សោមទីពីរ "x" ត្រូវបានគុណនឹង 2 ដូច្នេះយើងគុណពីរដោយឯកតាដូចគ្នានឹងដេរីវេនៃ "x" ។ យើង​ទទួល​បាន តម្លៃខាងក្រោមនិស្សន្ទវត្ថុ៖

យើងជំនួសនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរកឃើញទៅក្នុងផលបូកនៃផលិតផល និងទទួលបានដេរីវេនៃមុខងារទាំងមូលដែលត្រូវការដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងតម្រូវឱ្យស្វែងរកដេរីវេនៃកូតានិក។ យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងប្រភាគដែលភាគបែងជាភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃភាគបែង និងដេរីវេនៃភាគយក និងភាគយក និងដេរីវេនៃភាគបែង និង ភាគបែងគឺជាការ៉េនៃអតីតភាគយក។ យើង​ទទួល​បាន:

យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃកត្តានៅក្នុងភាគយកក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 រួចហើយ។ ចូរយើងកុំភ្លេចថាផលិតផលដែលជាកត្តាទីពីរនៅក្នុងភាគយកនៅក្នុង ឧទាហរណ៍បច្ចុប្បន្នយកដោយសញ្ញាដក៖

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាបែបនេះដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារមួយ ដែលជាកន្លែងដែលមានគំនរបន្តនៃឫស និងដឺក្រេ ដូចជាឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មកសូមស្វាគមន៍មកកាន់ថ្នាក់ "ដេរីវេនៃផលបូកនៃប្រភាគដែលមានអំណាចនិងឫស" .

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវស្វែងយល់បន្ថែមអំពីដេរីវេនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងផ្សេងៗទៀត អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនោះគឺនៅពេលដែលមុខងារមើលទៅដូច បន្ទាប់មកអ្នកមានមេរៀន "ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ" .

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងមុខងារនេះ យើងឃើញផលិតផលមួយ កត្តាមួយគឺជាឫសការ៉េនៃអថេរឯករាជ្យ ជាមួយនឹងដេរីវេនៃដែលយើងស្គាល់ខ្លួនឯងនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ដោយច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផលនិង តម្លៃតារាងដេរីវេនៃឫសការ៉េយើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ៦ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងអនុគមន៍នេះ យើងឃើញ កូតាយ៉ង់ ដែលជាភាគលាភដែលជាឫសការ៉េនៃអថេរឯករាជ្យ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតាដែលយើងបានធ្វើម្តងទៀត និងអនុវត្តក្នុងឧទាហរណ៍ទី 4 និងតម្លៃតារាងនៃដេរីវេនៃឫសការ៉េ យើងទទួលបាន៖

ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគក្នុងភាគយក គុណភាគយក និងភាគបែងដោយ .