A fost necesară compararea valorilor și cantităților în rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.

Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că împotriva unghi mai mare cea mai lungă latură este în triunghi. Arhimede, în timp ce calcula circumferința unui cerc, a descoperit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci și unu din diametru.

Scrieți simbolic relațiile dintre numere și cantități folosind semnele > și b. Intrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Ați întâlnit și inegalități numerice în note mai mici. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau nu. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) este corectă inegalitatea numerică, 0,23 > 0,235 - inegalitate numerică incorectă.

Inegalitățile care includ necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți seta sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai puțin frecvent decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice sunt reduse la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.

Unele inegalități sunt singurele mijloace auxiliare, care vă permite să dovediți sau să infirmați existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.

Inegalități numerice

Poți compara numere întregi? zecimale. Cunoașteți regulile de comparație fracții obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărători diferiți; cu aceiași numărători dar numitori diferiți. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.

Comparația numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.

Definiție. Numărul a este mai mare decât numărul b dacă diferența a-b pozitiv. Numărul a mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.

Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.

Teorema. Dacă același număr este adăugat la ambele părți ale inegalității, atunci semnul inegalității nu se schimbă.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.

Știi că egalități numerice Puteți adăuga și înmulți termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și de a multiplica inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni vă ajută să rezolvați problemele de evaluare și comparare a valorilor expresiei.

La hotărâre diverse sarcini de multe ori trebuie să adăugați sau să înmulțiți termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale inegalităților. Se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua zi, atunci se poate argumenta că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci se poate argumenta că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.

Luând în considerare aceste exemple, următoarele teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:

Teorema. Când adunăm inegalități de același semn, obținem o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.

Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, pentru care părțile din stânga și din dreapta sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.

Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Împreună cu inegalitățile stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare decât sau egal cu b, adică nu mai mic de b.

Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.

Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că să rezolvi seria sarcini aplicate trebuie sa faci un model matematic sub forma unei ecuatii sau a unui sistem de ecuatii. În continuare, vei afla că modele matematice pentru a rezolva multe probleme sunt inegalități cu necunoscute. Vom introduce conceptul de rezolvare a unei inegalități și vom arăta cum să verificăm dacă număr dat rezolvarea unei anumite inegalități.

Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax unde a și b sunt date numere și x este necunoscut, este numit inegalități liniare cu unul necunoscut.

Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului pentru care această inegalitate se transformă într-o adevărată inegalitate numerică. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate soluțiile ei sau a stabili că nu există.

Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se tinde să le reducă cu ajutorul proprietăților la forma celor mai simple inegalități.

Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă

Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere și \(a \neq 0 \) sunt numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea inegalității
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c \) pot fi considerate ca găsirea de goluri în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) este pozitivă sau valori negative Pentru a face acest lucru, este suficient să analizați modul în care graficul funcției \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos , dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) găsiți discriminantul trinom pătrat\(ax^2+bx+c \) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axa x și desenați schematic o parabolă prin punctele marcate, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus la a > 0 sau în jos la a 0 sau în jos la a 3) găsiți goluri pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0 \)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitatea
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor

Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul funcției în intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5). ) \) și \( (5; +\infty) \)

Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.

Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele considerate este indicat în tabel:

În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerourile funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero, semnul acesteia se schimbă.

Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale

Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalelor.

Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului.

Rezolvați inegalitatea:

\(x(0,5-x)(x+4) Evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Aplica pentru axa numerica zerouri ale funcției și calculați semnul pe fiecare interval:

Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.

Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

concept inegalitatea matematică originar din cele mai vechi timpuri. Acest lucru s-a întâmplat când om primitiv era nevoie de numărare și acțiuni cu diverse articole comparați numărul și dimensiunea acestora. Încă din cele mai vechi timpuri, inegalitățile au fost folosite în raționamentul lor de către Arhimede, Euclid și alți oameni de știință celebri: matematicieni, astronomi, designeri și filozofi.

Dar ei, de regulă, au folosit terminologia verbală în lucrările lor. Pentru prima dată semne moderne pentru a desemna conceptele de „mai mult” și „mai puțin” în forma în care fiecare școlar le cunoaște astăzi, au inventat și pus în practică în Anglia. Matematicianul Thomas Harriot a făcut un astfel de serviciu descendenților. Și s-a întâmplat acum aproximativ patru secole.

Există multe tipuri de inegalități. Printre acestea sunt simple, care conțin una, două sau mai multe variabile, pătrate, fracționale, rapoarte complexe și chiar reprezentate printr-un sistem de expresii. Și pentru a înțelege cum să rezolvi inegalitățile, cel mai bine este să folosiți diverse exemple.

Nu rata trenul

În primul rând, imaginați-vă că un rezident mediu rural se grăbește mai departe gară, care se afla la o distanta de 20 km de satul sau. Pentru a nu pierde trenul care pleacă la ora 11, trebuie să plece din casă la timp. La ce oră trebuie făcut acest lucru dacă viteza de mișcare a acestuia este de 5 km/h? Soluție la asta sarcină practică se reduce la îndeplinirea condiţiilor expresiei: 5 (11 - X) ≥ 20, unde X este ora plecării.

Acest lucru este de înțeles, deoarece distanța pe care trebuie să o depășească un sătean până la stație este egală cu viteza de deplasare înmulțită cu numărul de ore pe drum. vino omul mai devreme poate, dar nu poate întârzia. Știind cum să rezolvăm inegalitățile și aplicând abilitățile noastre în practică, vom obține în cele din urmă X ≤ 7, care este răspunsul. Aceasta înseamnă că săteanul ar trebui să meargă la gara la șapte dimineața sau puțin mai devreme.

Număr goluri pe linia de coordonate

Acum să aflăm cum să mapam relațiile descrise pe inegalitatea obținută mai sus nu este strictă. Înseamnă că variabila poate lua valori mai mici de 7 și poate fi egală cu acest număr. Să dăm alte exemple. Pentru a face acest lucru, luați în considerare cu atenție cele patru cifre de mai jos.

Pe primul se vede imagine grafică interval [-7; 7]. Este format dintr-un set de numere situate pe linia de coordonate și situate între -7 și 7, inclusiv limitele. În acest caz, punctele de pe grafic sunt afișate ca cercuri pline, iar intervalul este înregistrat folosind

Al doilea desen este reprezentare grafică inegalitate strictă. În acest caz, numerele de margine -7 și 7, afișate prin puncte perforate (necompletate), nu sunt incluse în set specificat. Și intervalul în sine este înregistrat în parantezele după cum urmează: (-7; 7).

Adică, după ce ne-am dat seama cum să rezolvăm inegalitățile de acest tip și după ce am primit un răspuns similar, putem concluziona că este format din numere care se află între granițele luate în considerare, cu excepția -7 și 7. Următoarele două cazuri trebuie să fie evaluat în mod similar. A treia figură prezintă imaginile golurilor (-∞; -7] U

Acum să complicăm puțin sarcina și să luăm în considerare nu doar polinoamele, ci și așa-numitele fracții raționale ale formei:

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt aceleași polinoame de forma $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ sau produsul unor astfel de polinoame.

Aceasta va fi o inegalitate rațională. Punctul fundamental este prezența variabilei $x$ în numitor. De exemplu, aici este - inegalități raționale:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Și aceasta nu este o inegalitate rațională, ci cea mai comună, care este rezolvată prin metoda intervalului:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Privind în viitor, voi spune imediat: există cel puțin două moduri de a rezolva inegalitățile raționale, dar toate într-un fel sau altul sunt reduse la metoda intervalelor deja cunoscută nouă. Prin urmare, înainte de a analiza aceste metode, să ne amintim faptele vechi, altfel nu va mai avea sens din noul material.

Ce trebuie să știi deja

Nu sunt multe fapte importante. Avem nevoie de doar patru.

Formule de înmulțire prescurtate

Da, da: ne vor urma pe tot parcursul curiculumul scolar matematică. Și la universitate. Există destul de multe dintre aceste formule, dar avem nevoie doar de următoarele:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\dreapta); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ dreapta). \\ \end(align)\]

Atenție la ultimele două formule - aceasta este suma și diferența de cuburi (și nu cubul sumei sau diferenței!). Sunt ușor de reținut dacă observați că semnul din prima paranteză este același cu semnul din expresia originală, iar în a doua paranteză este opusul semnului din expresia originală.

Ecuatii lineare

Acestea sunt cele mai multe ecuații simple de forma $ax+b=0$, unde sunt $a$ și $b$ numere obișnuiteși $a\ne 0$. Această ecuație este ușor de rezolvat:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Observ că avem dreptul de a împărți la coeficientul $a$, deoarece $a\ne 0$. Această cerință este destul de logică, deoarece cu $a=0$ obținem asta:

În primul rând, nu există nicio variabilă $x$ în această ecuație. Acest lucru, în general, nu ar trebui să ne încurce (așa se întâmplă, să zicem, în geometrie și destul de des), dar totuși nu mai suntem o ecuație liniară.

În al doilea rând, soluția acestei ecuații depinde numai de coeficientul $b$. Dacă $b$ este și zero, atunci ecuația noastră este $0=0$. Această egalitate este întotdeauna adevărată; prin urmare, $x$ este orice număr (de obicei scris ca $x\în \mathbb(R)$). Dacă coeficientul $b$ nu este zero, atunci egalitatea $b=0$ nu este niciodată satisfăcută, adică. nici un răspuns (scris $x\în \varnothing $ și citiți „setul de soluții este gol”).

Pentru a evita toate aceste complexități, presupunem pur și simplu $a\ne 0$, ceea ce nu ne împiedică în niciun fel de la reflecții ulterioare.

Ecuații cuadratice

Permiteți-mi să vă reamintesc că aceasta se numește ecuație pătratică:

Aici în stânga este un polinom de gradul doi și din nou $a\ne 0$ (altfel, în loc de ecuație pătratică obținem liniară). Următoarele ecuații sunt rezolvate prin discriminant:

1. Dacă $D \gt 0$, obținem două rădăcini diferite;
2. Dacă $D=0$, atunci rădăcina va fi una, dar a celei de-a doua multiplicități (ce fel de multiplicitate este și cum să o luăm în considerare - mai multe despre asta mai târziu). Sau putem spune că ecuația are două rădăcini identice;
3. Pentru $D \lt 0$ nu există deloc rădăcini, iar semnul polinomului $a((x)^(2))+bx+c$ pentru orice $x$ coincide cu semnul coeficientului $a $. Apropo, asta este foarte fapt util, despre care din anumite motive uită să vorbească în lecțiile de algebră.

Rădăcinile în sine sunt calculate după formula binecunoscută:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

De aici, de altfel, restricțiile asupra discriminantului. La urma urmelor Rădăcină pătrată din număr negativ nu exista. În ceea ce privește rădăcinile, mulți studenți au o mizerie groaznică în cap, așa că am notat în mod special intreaga lectie: ce este o rădăcină în algebră și cum se calculează - vă recomand să o citiți. :)

Operații cu fracții raționale

Tot ce a fost scris mai sus, știi deja dacă ai studiat metoda intervalelor. Dar ceea ce vom analiza acum nu are analogi în trecut - acesta este un fapt complet nou.

Definiție. O fracție rațională este o expresie a formei

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt polinoame.

Este evident că este ușor să obțineți o inegalitate dintr-o astfel de fracție - este suficient doar să atribuiți semnul „mai mare decât” sau „mai puțin decât” la dreapta. Și puțin mai departe vom constata că rezolvarea unor astfel de probleme este o plăcere, totul este foarte simplu acolo.

Problemele încep atunci când există mai multe astfel de fracții într-o expresie. Ele trebuie aduse la numitor comun- și tocmai în acest moment este permis un numar mare de greșeli jenante.

Prin urmare, pentru solutie de succes ecuații raționale Două abilități trebuie stăpânite cu fermitate:

1. Factorizarea polinomului $P\left(x \right)$;
2. De fapt, aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Cum se factorizează un polinom? Foarte simplu. Să avem un polinom de forma

Să-l echivalăm cu zero. Obținem ecuația de gradul $n$-al-lea:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am obținut rădăcinile $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nu vă faceți griji: în cele mai multe cazuri nu va exista mai mult de două dintre aceste rădăcini) . În acest caz, polinomul nostru original poate fi rescris astfel:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: coeficientul principal $((a)_(n))$ nu a dispărut nicăieri - va fi un factor separat în fața parantezelor și, dacă este necesar, poate fi inserat în oricare dintre aceste paranteze (practica arată că cu $((a)_ (n))\ne \pm 1$ există aproape întotdeauna fracţii printre rădăcini).

Sarcină. Simplificați expresia:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Decizie. În primul rând, să ne uităm la numitori: toate sunt binoame liniare și nu există nimic de factorizat aici. Deci, să factorizăm numărătorii:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\dreapta)\stanga(x-1\dreapta); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta). \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în al doilea polinom, coeficientul senior „2”, în deplină conformitate cu schema noastră, a apărut mai întâi în fața parantezei, apoi a fost inclus în prima paranteză, deoarece o fracțiune a ieșit acolo.

Același lucru s-a întâmplat și în al treilea polinom, doar că acolo se confundă și ordinea termenilor. Totuși, coeficientul „−5” a ajuns să fie inclus în a doua paranteză (rețineți: puteți introduce un factor într-o singură paranteză!), ceea ce ne-a scutit de neplăcerile asociate rădăcinilor fracționale.

În ceea ce privește primul polinom, totul este simplu acolo: rădăcinile lui sunt căutate fie în mod standard prin discriminant, fie folosind teorema Vieta.

Să ne întoarcem la expresia originală și să o rescriem cu numărătorii descompusi în factori:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Răspuns: $5x+4$.

După cum puteți vedea, nimic complicat. Un pic de matematică de clasa a 7-a-8 și atât. Scopul tuturor transformărilor este de a transforma o expresie complexă și înfricoșătoare în ceva simplu și ușor de lucrat.

Cu toate acestea, acest lucru nu va fi întotdeauna cazul. Deci acum vom lua în considerare o problemă mai serioasă.

Dar mai întâi, să ne dăm seama cum să aducem două fracții la un numitor comun. Algoritmul este extrem de simplu:

1. Factorizați ambii numitori;
2. Luați în considerare primul numitor și adăugați la el factorii prezenți în al doilea numitor, dar nu și în primul. Produsul rezultat va fi numitorul comun;
3. Aflați ce factori îi lipsesc fiecărei fracții originale, astfel încât numitorii să devină egali cu cel comun.

Poate că acest algoritm ți se va părea doar un text în care sunt „multe litere”. Deci, să aruncăm o privire la un exemplu specific.

Sarcină. Simplificați expresia:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Decizie. Astfel de sarcini voluminoase sunt cel mai bine rezolvate pe părți. Să scriem ce este în prima paranteză:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Spre deosebire de problema anterioară, aici numitorii nu sunt atât de simpli. Să factorizăm pe fiecare dintre ele.

Trinomul pătrat $((x)^(2))+2x+4$ nu poate fi factorizat deoarece ecuația $((x)^(2))+2x+4=0$ nu are rădăcini (discriminantul este negativ) . O lasam neschimbata.

Al doilea numitor, polinomul cubic $((x)^(3))-8$, la o examinare mai atentă este diferența de cuburi și poate fi descompus cu ușurință folosind formulele de înmulțire abreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

Nimic altceva nu poate fi factorizat, deoarece prima paranteză conține un binom liniar, iar a doua este o construcție deja familiară nouă, care nu are rădăcini reale.

În cele din urmă, al treilea numitor este un binom liniar care nu poate fi descompus. Astfel, ecuația noastră va lua forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \dreapta))-\frac(1)(x-2)\]

Este destul de evident că $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ va fi numitorul comun și, pentru a reduce toate fracțiile la acesta, trebuie să trebuie să înmulțiți prima fracție la $\left(x-2 \right)$, iar ultima la $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Apoi, rămâne doar să aduceți următoarele:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ dreapta))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta)). \\ \end(matrice)\]

Atenție la a doua linie: când numitorul este deja comun, i.e. în loc de trei fracții separate, am scris una mare, nu ar trebui să scapi imediat de paranteze. Este mai bine să scrieți o linie suplimentară și să rețineți că, să zicem, a existat un minus înainte de a treia fracție - și nu va merge nicăieri, dar se va „atârna” în numărătorul din fața parantezei. Acest lucru vă va scuti de multe greșeli.

Ei bine, în ultima linie este utilă factorizarea numărătorului. Mai mult, acesta este un pătrat exact, iar formulele de înmulțire prescurtate ne vin din nou în ajutor. Noi avem:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză în același mod. Aici voi scrie pur și simplu un lanț de egalități:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrice)\]

Revenim la problema inițială și ne uităm la produs:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: \[\frac(1)(x+2)\].

Semnificația acestei probleme este aceeași cu cea anterioară: să arate cât de mult se poate simplifica expresii rationale, dacă abordați cu înțelepciune transformarea lor.

Și acum, când știi toate acestea, să trecem la subiectul principal al lecției de astăzi - rezolvarea inegalităților raționale fracționale. Mai mult decât atât, după o astfel de pregătire, inegalitățile în sine vor face clic ca nucile. :)

Principala modalitate de a rezolva inegalitățile raționale

Există cel puțin două abordări pentru rezolvarea inegalităților raționale. Acum vom lua în considerare una dintre ele - cea care este general acceptată în curs şcolar matematică.

Dar mai întâi, să notăm detaliu important. Toate inegalitățile sunt împărțite în două tipuri:

1. Strict: $f\left(x \right) \gt 0$ sau $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestrict: $f\left(x \right)\ge 0$ sau $f\left(x \right)\le 0$.

Inegalitățile de al doilea tip sunt ușor reduse la primul, precum și ecuația:

Această mică „adăugare” $f\left(x \right)=0$ duce la un lucru atât de neplăcut precum punctele umplute - le-am întâlnit din nou în metoda intervalului. În caz contrar, nu există diferențe între inegalitățile stricte și non-strictive, așa că haideți să analizăm algoritmul universal:

1. Colectați toate elementele diferite de zero de pe o parte a semnului de inegalitate. De exemplu, în stânga;
2. Aduceți toate fracțiile la un numitor comun (dacă există mai multe astfel de fracții), aduceți unele similare. Apoi, dacă este posibil, factorizați în numărător și numitor. Într-un fel sau altul, obținem o inegalitate de forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, unde bifa este semnul inegalității.
3. Echivalează numărătorul cu zero: $P\left(x \right)=0$. Rezolvăm această ecuație și obținem rădăcinile $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Apoi avem nevoie de că numitorul nu era egal cu zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Desigur, în esență, trebuie să rezolvăm ecuația $Q\left(x \right)=0$ și obținem rădăcinile $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (în problemele reale cu greu vor fi mai mult de trei astfel de rădăcini).
4. Marcam toate aceste rădăcini (atât cu cât și fără asteriscuri) pe o singură linie numerică, iar rădăcinile fără stele sunt pictate peste, iar cele cu stele sunt perforate.
5. Punem semnele plus și minus, selectăm intervalele de care avem nevoie. Dacă inegalitatea are forma $f\left(x \right) \gt 0$, atunci răspunsul vor fi intervalele marcate cu „plus”. Dacă $f\left(x \right) \lt 0$, atunci ne uităm la intervale cu „minusuri”.

Practica arată că punctele 2 și 4 provoacă cele mai mari dificultăți - transformări competente și aranjarea corectă a numerelor în ordine crescătoare. Ei bine, la ultimul pas, fiți extrem de atenți: plasăm întotdeauna semne pe baza ultima inegalitate scrisă înainte de a trece la ecuații. Aceasta este regulă universală, moștenit din metoda intervalului.

Deci, există o schemă. Sa exersam.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Decizie. Înaintea noastră inegalitate strictă de forma $f\left(x \right) \lt 0$. Evident, punctele 1 și 2 din schema noastră au fost deja completate: toate elementele inegalității sunt adunate în stânga, nimic nu trebuie adus la un numitor comun. Deci, să trecem la al treilea punct.

Setați numărătorul la zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

În acest loc, mulți oameni rămân blocați, pentru că, în teorie, trebuie să notați $x+7\ne 0$, așa cum este cerut de ODZ (nu puteți împărți la zero, asta-i tot). Dar la urma urmei, în viitor vom scoate punctele care au venit de la numitor, așa că nu ar trebui să vă complicați încă o dată calculele - scrieți un semn egal peste tot și nu vă faceți griji. Nimeni nu va deduce puncte pentru asta. :)

Al patrulea punct. Marcăm rădăcinile obținute pe dreapta numerică:

Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă

Notă: toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea originală este strictă. Și aici nu mai contează: aceste puncte au venit de la numărător sau de la numitor.

Ei bine, uită-te la semne. Luați orice număr $((x)_(0)) \gt 3$. De exemplu, $((x)_(0))=100$ (dar ați fi putut lua la fel de bine $((x)_(0))=3.1$ sau $((x)_(0)) = 1\000\000$). Primim:

Deci, în dreapta tuturor rădăcinilor avem o zonă pozitivă. Și atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă (nu va fi întotdeauna cazul, dar mai multe despre asta mai târziu). Prin urmare, trecem la al cincilea punct: plasăm semnele și alegem pe cel potrivit:

Revenim la ultima inegalitate, care era înainte de rezolvarea ecuațiilor. De fapt, coincide cu cea originală, deoarece nu am efectuat nicio transformare în această sarcină.

Deoarece este necesar să se rezolve o inegalitate de forma $f\left(x \right) \lt 0$, am umbrit intervalul $x\in \left(-7;3 \right)$ - este singurul marcat cu semnul minus. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-7;3 \right)$

Asta e tot! Este dificil? Nu, nu este greu. Într-adevăr, a fost o sarcină ușoară. Acum să complicăm puțin misiunea și să luăm în considerare o inegalitate mai „fantezică”. Când o rezolv, nu voi mai da astfel de calcule detaliate - voi indica pur și simplu puncte cheie. În general, îl vom aranja așa cum l-am aranja muncă independentă sau examen. :)

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Decizie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\ge 0$. Toate elementele diferite de zero sunt colectate în stânga, numitori diferiti Nu. Să trecem la ecuații.

Numărător:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Numitor:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Nu știu ce fel de pervers a alcătuit această problemă, dar rădăcinile nu au ieșit foarte bine: va fi dificil să le aranjezi pe o linie numerică. Și dacă totul este mai mult sau mai puțin clar cu rădăcina $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (acesta este singurul număr pozitiv - va fi în dreapta), atunci $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ și $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ necesită un studiu suplimentar: care dintre ele este mai mare?

Puteți afla asta, de exemplu:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Sper că nu este nevoie să explic de ce fracția numerică $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Dacă este necesar, vă recomand să vă amintiți cum să efectuați acțiuni cu fracții.

Și marchem toate cele trei rădăcini pe linia numerică:

Punctele de la numărător sunt umbrite, de la numitor sunt decupate

Am pus semne. De exemplu, puteți lua $((x)_(0))=1$ și puteți afla semnul în acest moment:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima inegalitate dinaintea ecuațiilor a fost $f\left(x \right)\ge 0$, deci ne interesează semnul plus.

Avem două seturi: unul este un segment obișnuit, iar celălalt este o rază deschisă pe linia numerică.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

O notă importantă despre numerele pe care le înlocuim pentru a afla semnul din cel mai din dreapta interval. Nu este necesar să înlocuiți un număr apropiat de rădăcina din dreapta. Puteți lua miliarde sau chiar „plus-infinit” - în acest caz, semnul polinomului din paranteză, numărător sau numitor este determinat numai de semnul coeficientului principal.

Să aruncăm o altă privire la funcția $f\left(x\right)$ din ultima inegalitate:

Conține trei polinoame:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Toate sunt binoame liniare și toate au coeficienți pozitivi (numerele 7, 11 și 13). Prin urmare, atunci când înlocuiți foarte numere mari polinoamele în sine vor fi, de asemenea, pozitive. :)

Această regulă poate părea excesiv de complicată, dar numai la început, când analizăm probleme foarte ușoare. În inegalități grave, substituția „plus-infinit” ne va permite să descoperim semnele mult mai rapid decât standardul $((x)_(0))=100$.

Ne vom confrunta foarte curând cu astfel de provocări. Dar mai întâi, să ne uităm la o modalitate alternativă de a rezolva inegalitățile raționale fracționale.

Mod alternativ

Această tehnică mi-a fost sugerată de unul dintre elevii mei. Eu însumi nu l-am folosit niciodată, dar practica a arătat că este cu adevărat mai convenabil pentru mulți studenți să rezolve inegalitățile în acest fel.

Deci, datele originale sunt aceleași. Trebuie să decizi inegalitatea rațională fracțională:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Să ne gândim: de ce polinomul $Q\left(x \right)$ este „mai rău” decât polinomul $P\left(x \right)$? De ce trebuie să luăm în considerare grupuri individuale rădăcini (cu și fără asterisc), gândiți-vă la punctele perforate etc.? Este simplu: o fracție are un domeniu de definiție, conform căruia fracția are sens doar atunci când numitorul ei este diferit de zero.

În rest, nu există diferențe între numărător și numitor: îl echivalăm și cu zero, căutăm rădăcinile, apoi le notăm pe linia numerică. Deci, de ce să nu înlocuiți bara fracțională (de fapt, semnul diviziunii) înmulțire obișnuită, și scrieți toate cerințele ODZ ca o inegalitate separată? De exemplu, așa:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vă rugăm să rețineți: această abordare vă va permite să reduceți problema la metoda intervalelor, dar nu va complica deloc soluția. La urma urmei, oricum, vom echivala polinomul $Q\left(x\right)$ cu zero.

Să vedem cum funcționează în sarcini reale.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Decizie. Deci, să trecem la metoda intervalului:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Prima inegalitate este rezolvată elementar. Doar setați fiecare paranteză la zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Cu a doua inegalitate, totul este, de asemenea, simplu:

Marcam punctele $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$ pe linia reală. Toate sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă:

Punctul potrivit s-a dovedit a fi perforat de două ori. Este în regulă.

Atenție la punctul $x=11$. Se dovedește că este „de două ori tăiat”: pe de o parte, îl scoatem din cauza severității inegalității, pe de altă parte, din cauza cerință suplimentară ODZ.

În orice caz, va fi doar un punct perforat. Prin urmare, punem semne pentru inegalitatea $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ultimul pe care l-am văzut înainte de a începe rezolvarea ecuațiilor:

Suntem interesați de regiunile pozitive, deoarece rezolvăm o inegalitate de forma $f\left(x \right) \gt 0$ și le vom colora. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Folosind această soluție ca exemplu, aș dori să vă avertizez împotriva unei greșeli comune în rândul studenților începători. Și anume: nu deschideți niciodată paranteze în inegalități! Dimpotrivă, încercați să factorizați totul - acest lucru va simplifica soluția și vă va economisi o mulțime de probleme.

Acum să încercăm ceva mai dificil.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Decizie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\le 0$, deci aici trebuie să monitorizați cu atenție punctele completate.

Să trecem la metoda intervalului:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nou 0. \\ \end(align) \right.\]

Să trecem la ecuație:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Luăm în considerare cerința suplimentară:

Marcam toate rădăcinile obținute pe linia numerică:

Dacă un punct este eliminat și completat în același timp, acesta este considerat eliminat.

Din nou, două puncte se „suprapun” unul pe celălalt - acest lucru este normal, așa va fi întotdeauna. Este important doar să înțelegeți că un punct marcat atât ca perforat, cât și ca completat este de fapt unul perforat. Acestea. „Gouging” este o acțiune mai puternică decât „picting over”.

Acest lucru este absolut logic, deoarece prin perforare marchem puncte care afectează semnul funcției, dar nu participă ei înșiși la răspuns. Și dacă la un moment dat numărul nu ne mai convine (de exemplu, nu intră în ODZ), îl ștergem din considerare până la sfârșitul sarcinii.

În general, încetează să filosofezi. Aranjam semnele și pictăm pe acele intervale care sunt marcate cu semnul minus:

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Și din nou am vrut să vă atrag atenția asupra acestei ecuații:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Încă o dată: nu deschideți niciodată paranteze în astfel de ecuații! Doar îți faci totul mai greu. Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Prin urmare, ecuația dată pur și simplu „se destramă” în câteva mai mici, pe care le-am rezolvat în problema anterioară.

Ținând cont de multiplicitatea rădăcinilor

Din problemele anterioare este ușor de observat asta cea mai mare dificultate reprezintă tocmai inegalități nestricte, deoarece trebuie să țină evidența punctelor completate.

Dar există un rău și mai mare în lume - acestea sunt rădăcini multiple în inegalități. Aici este deja necesar să urmăriți nu unele puncte umplute acolo - aici semnul inegalității nu se poate schimba brusc la trecerea prin aceleași puncte.

Nu am luat încă în considerare așa ceva în această lecție (deși problema similara des întâlnită în metoda intervalelor). Deci, să introducem o nouă definiție:

Definiție. Rădăcina ecuației $((\left(x-a \right))^(n))=0$ este egală cu $x=a$ și se numește rădăcina multiplicității $n$.

De fapt, nu ne interesează în mod deosebit valoare exacta multiplicitate. Singurul lucru important este dacă acest număr $n$ este par sau impar. Pentru că:

1. Dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității pare, atunci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin ea;
2. Și invers, dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității impare, atunci semnul funcției se va schimba.

Un caz special al unei rădăcini de multiplicitate impară sunt toate problemele anterioare luate în considerare în această lecție: acolo multiplicitatea este egală cu unul peste tot.

Și mai departe. Înainte de a începe să rezolvăm probleme, aș dori să vă atrag atenția asupra unei subtilități care pare evidentă unui student cu experiență, dar care îi duce pe mulți începători într-o stupoare. Și anume:

Rădăcina multiplicității $n$ apare numai atunci când întreaga expresie este ridicată la această putere: $((\left(x-a \right))^(n))$, și nu $\left(((x)^( n) )-a\dreapta)$.

Încă o dată: paranteza $((\left(x-a \right))^(n))$ ne oferă rădăcina $x=a$ a multiplicității $n$, dar paranteza $\left(((x)^( n)) -a \right)$ sau, așa cum se întâmplă adesea, $(a-((x)^(n)))$ ne oferă o rădăcină (sau două rădăcini, dacă $n$ este par) a primei multiplicități , indiferent ce este egal cu $n$.

Comparaţie:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Totul este clar aici: toată paranteza a fost ridicată la puterea a cincea, așa că la ieșire am obținut rădăcina gradului al cincilea. Si acum:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Avem două rădăcini, dar ambele au prima multiplicitate. Sau iată altul:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Și nu vă confundați cu gradul al zecelea. Principalul lucru este că 10 este număr par, deci avem două rădăcini la ieșire și ambele au din nou prima multiplicitate.

În general, fiți atenți: multiplicitatea apare numai atunci când gradul se aplică întregii paranteze, nu doar variabilei.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \dreapta))^(5)))\ge 0\]

Decizie. Să încercăm să o rezolvăm cale alternativă- prin trecerea de la particular la produs:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\dreapta.\]

Ne ocupăm de prima inegalitate folosind metoda intervalului:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \dreapta))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

În plus, rezolvăm a doua inegalitate. De fapt, am rezolvat-o deja, dar pentru ca recenzenții să nu găsească defectul soluției, este mai bine să o rezolvăm:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Rețineți că nu există multiplicități în ultima inegalitate. Într-adevăr: ce diferență are de câte ori se taie punctul $x=-7$ pe dreapta numerică? Cel puțin o dată, de cel puțin cinci ori - rezultatul va fi același: un punct perforat.

Să notăm tot ce avem pe linia numerică:

După cum am spus, punctul $x=-7$ va fi în cele din urmă eliminat. Multiplicitățile sunt aranjate pe baza soluției inegalității prin metoda intervalului.

Rămâne de plasat semnele:

Deoarece punctul $x=0$ este o rădăcină a multiplicității pare, semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Punctele rămase au o multiplicitate ciudată și totul este simplu cu ele.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Fii atent la $x=0$ din nou. Din cauza multiplicității uniforme, apare un efect interesant: totul în stânga este pictat peste, în dreapta - de asemenea, iar punctul în sine este complet pictat.

În consecință, nu trebuie să fie izolat atunci când înregistrați un răspuns. Acestea. nu trebuie să scrieți ceva de genul $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (deși formal un astfel de răspuns ar fi și el corect). În schimb, scriem imediat $x\în \left[ -4;6 \right]$.

Astfel de efecte sunt posibile numai pentru rădăcini de multiplicitate pară. Și în următoarea sarcină, vom întâlni „manifestarea” inversă a acestui efect. Gata?

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Decizie. De data aceasta vom urma schema standard. Setați numărătorul la zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x \right)\ge 0$, rădăcinile de la numitor (care au asteriscuri) vor fi tăiate, iar cele de la numărător vor fi pictate peste .

Aranjam semnele și mângâiem zonele marcate cu „plus”:

Punctul $x=3$ este izolat. Aceasta este o parte a răspunsului

Înainte de a scrie răspunsul final, aruncați o privire atentă asupra imaginii:

1. Punctul $x=1$ are o multiplicitate pară, dar este el însuși perforat. Prin urmare, va trebui să fie izolat în răspuns: trebuie să scrieți $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ și nu $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Punctul $x=3$ are și el o multiplicitate pară și este umbrit. Dispunerea semnelor indică faptul că punctul în sine ni se potrivește, dar un pas spre stânga și dreapta - și ne aflăm într-o zonă care cu siguranță nu ni se potrivește. Astfel de puncte se numesc izolate și sunt scrise ca $x\în \left\( 3 \right\)$.

Combinăm toate piesele obținute într-un set comun și notăm răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definiție. Rezolvarea inegalității înseamnă găsiți setul tuturor soluțiilor sale, sau dovediți că acest set este gol.

S-ar părea: ce poate fi de neînțeles aici? Da, adevărul este că seturile pot fi specificate în moduri diferite. Să rescriem răspunsul la ultima problemă:

Citim literalmente ceea ce este scris. Variabila „x” aparține unei anumite mulțimi, care se obține prin unirea (simbolul „U”) a patru mulțimi separate:

• Intervalul $\left(-\infty ;1 \right)$, care înseamnă literal „toate numerele mai mici decât unu, dar nu unul în sine”;
• Intervalul este $\left(1;2 \right)$, adică. „toate numerele între 1 și 2, dar nu și numerele 1 și 2 în sine”;
• Mulțimea $\left\( 3 \right\)$, constând dintr-un singur număr - trei;
• Intervalul $\left[ 4;5 \right)$ care conține toate numerele între 4 și 5, plus 4 în sine, dar nu 5.

Al treilea punct este de interes aici. Spre deosebire de intervale, care definesc seturi infinite de numere și denotă doar limitele acestor mulțimi, mulțimea $\left\( 3 \right\)$ definește exact un număr prin enumerare.

Pentru a înțelege că enumeram numerele specifice incluse în set (și nu stabilim limite sau orice altceva), sunt folosite bretele. De exemplu, notația $\left\( 1;2 \right\)$ înseamnă exact „o mulțime formată din două numere: 1 și 2”, dar nu un segment de la 1 la 2. În niciun caz nu confundați aceste concepte .

Regula de adunare a multiplicității

Ei bine, la sfârșitul lecției de astăzi, o mică conserve de la Pavel Berdov. :)

Elevii atenți probabil și-au pus deja întrebarea: ce se va întâmpla dacă aceleași rădăcini se găsesc la numărător și numitor? Deci următoarea regulă funcționează:

Multiplicații rădăcini identice aduna. Mereu. Chiar dacă această rădăcină apare atât la numărător, cât și la numitor.

Uneori este mai bine să decizi decât să vorbești. Prin urmare, rezolvăm următoarea problemă:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \dreapta))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Până acum, nimic deosebit. Setați numitorul la zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Se găsesc două rădăcini identice: $((x)_(1))=-2$ și $x_(4)^(*)=-2$. Ambele au prima multiplicitate. Prin urmare, le înlocuim cu o singură rădăcină $x_(4)^(*)=-2$, dar cu o multiplicitate de 1+1=2.

În plus, există și rădăcini identice: $((x)_(2))=-4$ și $x_(2)^(*)=-4$. Ele sunt de asemenea din prima multiplicitate, deci rămâne doar $x_(2)^(*)=-4$ din multiplicitatea 1+1=2.

Vă rugăm să rețineți: în ambele cazuri, am lăsat exact rădăcina „decupată” și am aruncat-o pe cea „vopsită peste” din considerare. Pentru că, chiar și la începutul lecției, am fost de acord: dacă un punct este șters și pictat în același timp, atunci tot îl considerăm perforat.

Ca rezultat, avem patru rădăcini și toate s-au dovedit a fi scoase:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Le marchem pe linia numerică, ținând cont de multiplicitatea:

Amplasăm semnele și pictăm peste zonele care ne interesează:

Tot. Fără puncte izolate și alte perversiuni. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regula înmulțirii

Uneori apare o situație și mai neplăcută: o ecuație care are rădăcini multiple este ea însăși ridicată la o anumită putere. Acest lucru modifică multiplicitățile tuturor rădăcinilor originale.

Acest lucru este rar, așa că majoritatea studenților nu au experiență în rezolvarea unor astfel de probleme. Iar regula aici este:

Când o ecuație este ridicată la o putere $n$, multiplicitatea tuturor rădăcinilor sale crește, de asemenea, cu un factor de $n$.

Cu alte cuvinte, ridicarea la o putere are ca rezultat înmulțirea multiplicităților cu aceeași putere. Să luăm ca exemplu această regulă:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Decizie. Setați numărătorul la zero:

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Totul este clar cu primul multiplicator: $x=0$. Și aici încep problemele:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, ecuația $((x)^(2))-6x+9=0$ are o rădăcină unică a celei de-a doua multiplicități: $x=3$. Întreaga ecuație este apoi pătrat. Prin urmare, multiplicitatea rădăcinii va fi $2\cdot 2=4$, pe care am notat-o ​​în cele din urmă.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nicio problemă cu numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

În total, am obținut cinci puncte: două eliminate și trei completate. Nu există rădăcini care coincid în numărător și numitor, așa că le marchem doar pe linia numerică:

Aranjam semnele ținând cont de multiplicitățile și pictăm pe intervalele care ne interesează:

Din nou un punct izolat și unul perforat

Din cauza rădăcinilor chiar și a multiplicității, am primit din nou câteva elemente „non-standard”. Acesta este $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nu $x\in \left[ 0;2 \right)$ și, de asemenea, un punct izolat $ x\în \left\( 3 \right\)$.

Răspuns. $x\în \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

După cum puteți vedea, totul nu este atât de dificil. Principalul lucru este atenția. Ultima secțiune a acestei lecții este dedicată transformărilor - chiar acelea despre care am discutat chiar la început.

Preconversii

Inegalitățile pe care le vom discuta în această secțiune nu sunt complexe. Totuși, spre deosebire de sarcinile anterioare, aici va trebui să aplicați abilități din teoria fracțiilor raționale - factorizarea și reducerea la un numitor comun.

Am discutat această problemă în detaliu chiar la începutul lecției de astăzi. Dacă nu sunteți sigur că înțelegeți despre ce este vorba, vă recomand cu tărie să vă întoarceți și să repetați. Pentru că nu are rost să înghesuim metodele de rezolvare a inegalităților dacă „înoți” în conversia fracțiilor.

LA teme pentru acasă Apropo, vor exista și multe sarcini similare. Ele sunt plasate într-o subsecțiune separată. Și acolo vei găsi exemple foarte non-triviale. Dar asta va fi în teme, dar acum să analizăm câteva astfel de inegalități.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Decizie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Aducem la un numitor comun, deschidem parantezele, dăm termeni asemănători la numărător:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ dreapta))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Acum avem o inegalitate rațională fracțională clasică, a cărei soluție nu mai este dificilă. Îmi propun să o rezolv printr-o metodă alternativă - prin metoda intervalelor:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Nu uita de constrângerea care vine de la numitor:

Marcam toate numerele și restricțiile pe linia numerică:

Toate rădăcinile au prima multiplicitate. Nici o problema. Punem doar semnele și pictăm peste zonele de care avem nevoie:

E tot. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Desigur, acesta a fost un exemplu foarte simplu. Deci acum să aruncăm o privire mai atentă asupra problemei. Și apropo, nivelul acestei sarcini este destul de consistent cu independent și munca de control pe această temă în clasa a VIII-a.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Decizie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Înainte de a aduce ambele fracții la un numitor comun, descompunem acești numitori în factori. Deodată vor ieși aceleași paranteze? Cu primul numitor este ușor:

\[((x)^(2))+8x-9=\stanga(x-1 \dreapta)\stanga(x+9 \dreapta)\]

Al doilea este puțin mai dificil. Simțiți-vă liber să adăugați un multiplicator constant la paranteza în care a fost găsită fracția. Amintiți-vă: polinomul original a avut coeficienți întregi, deci este foarte probabil ca factorizarea să aibă și coeficienți întregi (de fapt, va avea întotdeauna, cu excepția cazului în care discriminantul este irațional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

După cum vedem, există paranteză comună: $\stânga(x-1\dreapta)$. Revenim la inegalitate și aducem ambele fracții la un numitor comun:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ stânga(3x-2\dreapta))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Setați numitorul la zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinia)\]

Fără multiplicități și fără rădăcini care coincid. Marcam patru numere pe o linie dreaptă:

Punem semnele:

Scriem răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ dreapta)$.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

>> Matematică: inegalități raționale

O inegalitate rațională cu o variabilă x este o inegalitate a formei - expresii raționale, i.e. expresii algebrice, compus din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere naturală. Desigur, variabila poate fi notată cu orice altă literă, dar în matematică, litera x este cel mai adesea preferată.

La rezolvarea inegalităților raționale se folosesc cele trei reguli care au fost formulate mai sus în § 1. Cu ajutorul acestor reguli, o inegalitate rațională dată este de obicei convertită la forma / (x) > 0, unde / (x) este un algebric fracție (sau polinom). Apoi, descompuneți numărătorul și numitorul fracției f (x) în factori de forma x - a (dacă, desigur, acest lucru este posibil) și aplicați metoda intervalului, pe care am menționat-o deja mai sus (vezi exemplul 3 din precedentul). paragraf).

Exemplul 1 Rezolvați inegalitatea (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Decizie. Se consideră expresia f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Se transformă în 0 la punctele 1,-1,2; marcați aceste puncte pe linia numerică. Linia numerică este împărțită de punctele indicate în patru intervale (Fig. 6), pe fiecare dintre acestea păstrând expresia f (x) marca permanenta. Pentru a verifica acest lucru, vom efectua patru argumente (pentru fiecare dintre aceste intervale separat).

Luați orice punct x din intervalul (2, Acest punct este situat pe linia numerică în dreapta punctului -1, în dreapta punctului 1 și în dreapta punctului 2. Aceasta înseamnă că x > -1, x > 1, x > 2 (Fig. 7). Dar atunci x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0 și, prin urmare, f (x) > 0 (ca produs al unei inegalități raționale de trei numere pozitive). Deci, inegalitatea f (x) > 0 este valabilă pentru întregul interval.

Luați orice punct x din intervalul (1,2). Acest punct este situat pe linia numerică la dreapta punctului-1, la dreapta punctului 1, dar la stânga punctului 2. Prin urmare, x\u003e -1, x\u003e 1, dar x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Luați orice punct x din intervalul (-1,1). Acest punct este situat pe linia numerică la dreapta punctului -1, la stânga punctului 1 și la stânga punctului 2. Deci x > -1, dar x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (ca produs a două numere negative și a unui număr pozitiv). Deci, pe intervalul (-1,1) este valabilă inegalitatea f (x)> 0.

În cele din urmă, luați orice punct x din raza deschisă (-oo, -1). Acest punct este situat pe linia numerică la stânga punctului -1, la stânga punctului 1 și la stânga punctului 2. Aceasta înseamnă că x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Să rezumam. Semnele expresiei f (x) în intervalele selectate sunt cele prezentate în Fig. 11. Ne interesează acelea dintre ele asupra cărora este satisfăcută inegalitatea f (x) > 0. Folosind modelul geometric prezentat în fig. 11, stabilim că inegalitatea f (x) > 0 este satisfăcută pe intervalul (-1, 1) sau pe fasciculul deschis
Răspuns: -1 < х < 1; х > 2.

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea
Decizie. Ca și în exemplul precedent, desenăm informatie necesara din fig. 11, dar cu două modificări față de exemplul 1. În primul rând, deoarece ne interesează ce valori ale lui x satisfac inegalitatea f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки În al doilea rând, suntem mulțumiți și de acele puncte la care este satisfăcută egalitatea f (x) = 0. Acestea sunt punctele -1, 1, 2, le notăm în figură cu cearcăne și le includem în răspuns. Pe fig. 12 prezintă un model geometric al răspunsului, din care nu este dificil să trecem la o înregistrare analitică.
Răspuns:
EXEMPLUL 3. Rezolvați inegalitatea
Decizie. Să factorizăm numărătorul și numitorul fracției algebrice fx conținute în partea stângă a inegalității. În numărător avem x 2 - x \u003d x (x - 1).

Pentru a factoriza trinomul pătrat x 2 - bx ~ 6 conținut în numitorul fracției, găsim rădăcinile acestuia. Din ecuația x 2 - 5x - 6 \u003d 0 găsim x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Prin urmare, (am folosit formula pentru factorizarea unui trinom pătrat: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Astfel, am transformat inegalitatea dată în formă

Luați în considerare expresia:

Numătorul acestei fracții se transformă în 0 la punctele 0 și 1 și se transformă în 0 la punctele -1 și 6. Să marchem aceste puncte pe dreapta numerică (Fig. 13). Linia numerică este împărțită de punctele indicate în cinci intervale, iar pe fiecare interval expresia fx) păstrează un semn constant. Argumentând în același mod ca în Exemplul 1, ajungem la concluzia că semnele expresiei fx) în intervalele selectate sunt cele prezentate în Fig. 13. Ne interesează unde inegalitatea f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 răspuns: -1

Exemplul 4 Rezolvați inegalitatea

Decizie. Când rezolvăm inegalitățile raționale, de regulă, ei preferă să lase doar numărul 0 în partea dreaptă a inegalității.De aceea, transformăm inegalitatea în forma

Mai departe:

După cum arată experiența, dacă partea dreaptă a inegalității conține doar numărul 0, este mai convenabil să raționăm atunci când atât numărătorul, cât și numitorul din partea stângă au un coeficient de conducere pozitiv. Și ce avem? Avem totul în numitorul fracției în acest sens în ordine (coeficientul principal, adică coeficientul de la x 2, este 6 - un număr pozitiv), dar nu totul este în ordine la numărător - coeficientul principal (coeficientul de la x) este - 4 (număr negativ) Înmulțind ambele părți ale inegalității cu -1 și schimbând semnul inegalității la opus, obținem o inegalitate echivalentă

Să extindem numărătorul și numitorul fracție algebrică pentru multiplicatori. La numărător, totul este simplu:
Pentru a factoriza trinomul pătrat conținut în numitorul unei fracții

(am folosit din nou formula pentru factorizarea unui trinom pătrat).
Astfel, am redus inegalitatea dată la forma

Luați în considerare expresia

Numătorul acestei fracții se transformă în 0 la punct și numitorul - la puncte.Notăm aceste puncte pe linia numerică (Fig. 14), care este împărțită la punctele indicate în patru intervale, iar pe fiecare interval expresia f (x) păstrează un semn constant (aceste semne sunt indicate în Fig. 14). Suntem interesați de acele intervale pe care inegalitatea fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

În toate exemplele luate în considerare, am transformat inegalitatea dată într-o inegalitate echivalentă de forma f (x) > 0 sau f (x)<0,где
În acest caz, numărul de factori din numărătorul și numitorul unei fracții poate fi oricare. Apoi punctele a, b, c, e au fost marcate pe linia numerică. și a determinat semnele expresiei f (x) pe intervalele selectate. Am observat că în partea dreaptă a intervalelor selectate este satisfăcută inegalitatea f (x) > 0, iar apoi semnele expresiei f (x) alternează de-a lungul intervalelor (vezi Fig. 16a). Această alternanță este ilustrată convenabil cu ajutorul unei curbe ondulate, care este desenată de la dreapta la stânga și de sus în jos (Fig. 166). Pe acele intervale în care această curbă (uneori se numește curba semnelor) este situată deasupra axei x, inegalitatea f (x) > 0 este satisfăcută; unde această curbă este situată sub axa x, inegalitatea f (x)< 0.

Exemplul 5 Rezolvați inegalitatea

Decizie. Noi avem

(ambele părți ale inegalității anterioare au fost înmulțite cu 6).
Pentru a utiliza metoda intervalului, marcați punctele pe linia numerică (în aceste puncte numitorul fracției din partea stângă a inegalității dispare) și puncte (în aceste puncte numitorul fracției indicate dispare). De obicei, punctele sunt marcate schematic, ținând cont de ordinea în care urmează (care este la dreapta, care este la stânga) și fără a acorda o atenție deosebită scalei. Este clar că Situația este mai complicată cu cifrele.Prima estimare arată că ambele numere sunt puțin mai mari decât 2,6, din care este imposibil de concluzionat care dintre numerele indicate este mai mare și care este mai mică. Să presupunem (la întâmplare) că Atunci
S-a dovedit inegalitatea corectă, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră a fost confirmată: de fapt
Asa de,

Marcam cele 5 puncte indicate în ordinea indicată pe linia numerică (Fig. 17a). Aranjați semnele expresiei
pe intervalele obținute: în dreapta - semnul a +, iar apoi alternează semnele (Fig. 176). Să desenăm o curbă de semne și să selectăm (prin umbrire) acele intervale la care este satisfăcută inegalitatea f (x) > 0 care ne interesează (Fig. 17c). Să luăm în sfârșit în considerare asta vorbim despre inegalitatea nestrictă f (x) > 0, ceea ce înseamnă că ne interesează și acele puncte în care expresia f (x) dispare. Acestea sunt rădăcinile numărătorului fracției f (x), adică. puncte le marcam in Fig. 17 în cercurile întunecate (și, desigur, includeți în răspuns). Acum iată poza. 17c oferă un model geometric complet pentru soluțiile inegalității date.