Subiect:„Metode de soluție ecuații trigonometrice».
Obiectivele lecției:
educational:
Să formeze abilități de a distinge tipuri de ecuații trigonometrice;
Aprofundarea înțelegerii metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice;
educational:
Cresterea interes cognitiv la procesul educațional;
Formarea capacității de analiză a sarcinii;
în curs de dezvoltare:
Să-și formeze abilitățile de a analiza situația cu alegerea ulterioară a celei mai raționale ieșiri din ea.
Echipament: afiș cu formule trigonometrice de bază, computer, proiector, ecran.
Să începem lecția repetând tehnica de bază pentru rezolvarea oricărei ecuații: reducerea ei la vedere standard. Prin transformare ecuatii lineare reduceți la forma ax \u003d în, pătrat - la forma ax2+bx +c=0.În cazul ecuațiilor trigonometrice, este necesar să le reduceți la cele mai simple, de forma: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, care pot fi rezolvate cu ușurință.
În primul rând, desigur, pentru aceasta este necesar să folosiți baza formule trigonometrice care sunt prezentate pe poster: formule de adunare, formule unghi dublu, scăzând multiplicitatea ecuației. Știm deja cum să rezolvăm astfel de ecuații. Să repetăm câteva dintre ele:
În același timp, există ecuații, a căror rezolvare necesită cunoașterea unor tehnici speciale.
Tema lecției noastre este luarea în considerare a acestor tehnici și sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
1. Convertiți în ecuație pătratică cu privire la o funcție trigonometrică, urmată de o schimbare a variabilei.
Să luăm în considerare fiecare dintre metodele enumerate pe exemple, dar ne vom opri asupra ultimelor două mai detaliat, deoarece le-am folosit deja pe primele două la rezolvarea ecuațiilor.
1. Transformarea într-o ecuație pătratică în raport cu orice funcție trigonometrică.
2. Rezolvarea ecuațiilor prin metoda factorizării.
3. Rezolvarea ecuațiilor omogene.
Ecuațiile omogene de gradul I și II se numesc ecuații de forma:
respectiv (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
La rezolvarea ecuațiilor omogene, ambele părți ale ecuației sunt împărțite termen cu termen prin cosx pentru (1) al ecuației și cu cos 2 x pentru (2). O astfel de împărțire este posibilă, deoarece sinx și cosx nu sunt egale cu zero în același timp - se transformă la zero în puncte diferite. Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor omogene de gradul I și II.
Rețineți această ecuație: atunci când luăm în considerare următoarea metodă - introducerea unui argument auxiliar, o vom rezolva într-un mod diferit.
4. Introducerea unui argument auxiliar.
Luați în considerare ecuația deja rezolvată prin metoda anterioară:
După cum puteți vedea, se obține același rezultat.
Să ne uităm la un alt exemplu:
În exemplele luate în considerare, a fost în general clar în ce trebuie împărțită ecuația inițială pentru a introduce un argument auxiliar. Dar se poate întâmpla să nu fie evident ce divizor să alegeți. Există o tehnică specială pentru aceasta, pe care acum o vom lua în considerare vedere generala. Să fie dată ecuația:
Împărțiți ecuația la Rădăcină pătrată din expresia (3), obținem:
asinx + bcosx = c ,
atunci a 2 + b 2 = 1 și deci a = sinx și b = cosx . Folosind formula cosinusului diferenței, obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică:
care se rezolva usor.
Să rezolvăm o altă ecuație:
Reducem ecuația la un argument - 2 x utilizând formulele cu unghi dublu și coborând gradul:
Similar cu ecuațiile anterioare, folosind formula sinusului sumei, obținem:
care este și ușor de rezolvat.
Decideți singur prin predefinirea metodei de rezolvare:
Rezultatul lecției este verificarea soluției și evaluarea elevilor.
Teme: p. 11, rezumat, Nr. 164 (b, d), 167 (b, d), 169 (a, b), 174 (a, c).
Ecuațiile trigonometrice elementare sunt ecuații de forma, unde este una dintre funcțiile trigonometrice: , .
Ecuațiile trigonometrice elementare au infinit de rădăcini. De exemplu, ecuația este satisfăcută următoarele valori: , etc. Formula generala prin care se găsesc toate rădăcinile ecuației, unde este:
Aici poate lua orice valori întregi, fiecare dintre ele corespunde unei anumite rădăcini a ecuației; în această formulă (precum și în alte formule prin care se rezolvă ecuații trigonometrice elementare) se numește parametru. De obicei, îl notează, subliniind astfel că parametrul poate lua orice valoare întreagă.
Soluțiile ecuației, unde, se găsesc prin formula
Ecuația se rezolvă prin aplicarea formulei
iar ecuația --- conform formulei
Să notăm mai ales câteva cazuri speciale de ecuații trigonometrice elementare, când soluția poate fi scrisă fără a folosi formule generale:
La rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice rol important joacă perioada funcțiilor trigonometrice. Prin urmare, prezentăm două teoreme utile:
Teorema În cazul în care un --- de bază perioada funcției, atunci numărul este perioada principală a funcției.
Se spune că perioadele funcțiilor și sunt proporționale dacă există numere întregi si ce.
Teorema În cazul în care un functii periodiceși, au proporțional și, apoi au perioada generala, care este perioada funcțiilor, .
Teorema spune care este perioada funcției și nu neapărat perioada principală. De exemplu, perioada principală a funcțiilor și este --- , iar perioada principală a produsului lor este --- .
Introducerea unui argument auxiliar
Modul standard de a transforma expresiile formei este următorul truc: let --- injecție, dat de egalităţi, . Pentru orice și astfel de unghi există. Prin urmare. Dacă, sau, în alte cazuri.
Schema de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice
Schema principală după care ne vom ghida atunci când rezolvăm ecuațiile trigonometrice este următoarea:
decizie ecuația dată se rezumă la o decizie ecuații elementare. Instrumente de soluție --- transformări, factorizări, schimbare de necunoscute. Principiul călăuzitor este de a nu pierde rădăcinile. Aceasta înseamnă că atunci când trecem la următoarea ecuație (ecuații), nu ne este frică de apariția rădăcinilor suplimentare (străine), ci doar avem grijă ca fiecare următoarea ecuație„lanțul” nostru (sau setul de ecuații în cazul ramificării) a fost o consecință a celui precedent. Unul dintre metode posibile selectarea rădăcinilor este o verificare. Observăm imediat că, în cazul ecuațiilor trigonometrice, dificultățile asociate cu selecția rădăcinilor, cu verificare, de regulă, cresc brusc în comparație cu ecuațiile algebrice. La urma urmei, este necesar să se verifice seria constând din un număr infinit membrii.
Mențiune specială trebuie făcută asupra schimbării necunoscutelor în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. În cele mai multe cazuri, după înlocuirea necesară, se dovedește ecuație algebrică. Mai mult, nu este neobișnuit pentru ecuații care, deși sunt trigonometrice în aspect, de fapt, nu sunt, pentru că deja după primul pas --- înlocuiri variabilele --- se transformă în algebrice, iar revenirea la trigonometrie are loc numai în stadiul rezolvării ecuaţiilor trigonometrice elementare.
Să ne amintim încă o dată: înlocuirea necunoscutului ar trebui să se facă cât mai curând posibil, ecuația rezultată după înlocuire trebuie rezolvată până la sfârșit, inclusiv etapa de selectare a rădăcinilor și abia atunci se va întoarce la necunoscutul inițial. .
Una dintre caracteristicile ecuațiilor trigonometrice este că răspunsul în multe cazuri poate fi scris căi diferite. Chiar și pentru rezolvarea ecuației, răspunsul poate fi scris astfel:
1) sub forma a doua serii: , ;
2) în formă standard, care este o unire a seriei de mai sus: , ;
3) întrucât, atunci răspunsul poate fi scris sub forma, . (În continuare, prezența unui parametru sau în înregistrarea răspunsului înseamnă automat că acest parametru preia toate valorile întregi posibile. Vor fi specificate excepții.)
Evident, cele trei cazuri enumerate nu epuizează toate posibilitățile de scriere a răspunsului la ecuația luată în considerare (există la infinit de multe).
De exemplu, când egalitatea este adevărată. Prin urmare, în primele două cazuri, dacă, putem înlocui cu.
De obicei, răspunsul este scris pe baza paragrafului 2. Este util să ne amintim următoarea recomandare: dacă munca nu se termină cu rezolvarea ecuației, este încă necesar să se efectueze un studiu, selectarea rădăcinilor, atunci cea mai convenabilă formă de înregistrare este indicată în paragraful 1. (O recomandare similară ar trebui dată pentru ecuație.)
Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează ceea ce s-a spus.
Exemplu Rezolvați ecuația.
Decizie. Cel mai evident este următoarea cale. Această ecuație se împarte în două: i. Rezolvând fiecare dintre ele și combinând răspunsurile obținute, găsim.
Altă cale. Din moment ce, atunci, înlocuirea și prin formulele de scădere a gradului. După mici transformări, ajungem unde.
La prima vedere, niciuna beneficii speciale a doua formulă nu are niciuna în comparație cu prima. Totuși, dacă luăm, de exemplu, se dovedește că, i.e. ecuația are o soluție, în timp ce prima cale ne conduce la răspuns. „A vedea” și a dovedi egalitatea nu este atât de ușor.
La orele de algebră, profesorii spun că există o clasă mică (de fapt, foarte mare) de ecuații trigonometrice care nu pot fi rezolvate în moduri standard- nici prin factorizare, nici printr-o schimbare de variabilă, nici măcar prin termeni omogene. În acest caz, intră în joc o abordare fundamental diferită - metoda colț auxiliar.
Ce este această metodă și cum se aplică? Mai întâi, să ne amintim formulele pentru suma/diferența sinusului și suma/diferența cosinusului:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]
Cred că aceste formule vă sunt bine cunoscute - formulele sunt derivate din ele dublu argument, fără de care trigonometria nu este deloc. Dar acum să luăm în considerare o ecuație simplă:
Împărțiți ambele părți la 5:
Rețineți că $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, ceea ce înseamnă că există cu siguranță un unghi $\alpha $ pentru care aceste numere sunt cosinus și, respectiv, sinus. Prin urmare, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
Și acest lucru este deja ușor de rezolvat, după care rămâne doar să aflăm de ce este egal cu unghiul$\alpha $. Cum să aflați, precum și cum să alegeți numărul potrivit pentru a împărți ambele părți ale ecuației (în acest exemplu simplu am împărțit la 5) - despre asta în tutorialul video de astăzi:
Astăzi vom analiza soluția ecuațiilor trigonometrice, sau mai degrabă, o singură tehnică, care se numește „metoda unghiului auxiliar”. De ce această metodă anume? Doar pentru că în ultimele două-trei zile, când lucram cu studenții, despre care am vorbit despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, și am analizat, printre altele, metoda unghiului auxiliar și toți elevii ca unul singur fac aceeași greșeală. Dar metoda este în general simplă și, în plus, este una dintre tehnicile principale în trigonometrie. Prin urmare, mulți probleme trigonometrice altfel decât prin metoda unghiului auxiliar nu se rezolvă deloc.
Prin urmare, acum, pentru început, vom lua în considerare câteva sarcini simple, apoi vom trece la sarcini mai serioase. Cu toate acestea, toate acestea, într-un fel sau altul, ne vor necesita să folosim metoda unghiului auxiliar, a cărei esență o voi descrie deja în prima construcție.
Rezolvarea unor probleme trigonometrice simple
Exemplul #1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
Să ne schimbăm puțin expresia:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \stanga(-1 \dreapta) \dreapta.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Cum o vom rezolva? Recepție standard este de a extinde $\sin 2x$ și $\cos 2x$ folosind formulele unghiului dublu, apoi rescrieți unitatea ca $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ , obține ecuație omogenă, aduceți-l la tangente și rezolvați. Cu toate acestea, aceasta este o cale lungă și plictisitoare care necesită o mulțime de calcule.
Vă sugerez să vă gândiți la asta. Avem $\sin$ și $\cos$. Amintiți-vă formula pentru cosinusul și sinusul sumei și diferenței:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
Să revenim la exemplul nostru. Să reducem totul la sinusul diferenței. Dar mai întâi, ecuația trebuie să fie ușor transformată. Să găsim coeficientul:
$\sqrt(l)$ este același factor prin care ambele părți ale ecuației trebuie împărțite astfel încât numerele să apară în fața sinusului și cosinusului, care sunt ele însele sinusuri și cosinus. Să ne împărțim:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
Să ne uităm la ce am găsit în stânga: există astfel de $\sin $ și $\cos $ astfel încât $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ și $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Evident că există: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Prin urmare, ne putem rescrie expresia după cum urmează:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]
Acum avem formula pentru sinusul diferenței. Putem scrie astfel:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
În fața noastră se află cea mai simplă construcție trigonometrică clasică. Lasă-mă să-ți amintesc:
Iată ce scriem pentru expresia noastră specifică:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]
\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(align) \dreapta.\]
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Nuanțe ale soluției
Deci, ce ar trebui să faceți dacă întâlniți un exemplu similar:
- Modificați designul dacă este necesar.
- Găsiți factorul de corecție, luați rădăcina din acesta și împărțiți ambele părți ale exemplului după el.
- Ne uităm la ce valori ale sinusului și cosinusului sunt obținute din numere.
- Descompunem ecuația după formulele sinusului sau cosinusului diferenței sau sumei.
- Rezolvăm cea mai simplă ecuație trigonometrică.
În acest sens, studenții atenți vor avea probabil două întrebări.
Ce ne împiedică să scriem $\sin $ și $\cos $ în etapa de găsire a factorului de corecție? — Suntem împiedicați de identitatea trigonometrică de bază. Faptul este că rezultatul $\sin $ și $\cos $, ca oricare altul cu același argument, ar trebui să însumeze exact „unu” la pătrat. În procesul de rezolvare, trebuie să fii foarte atent să nu pierzi „deuce” în fața „X”.
Metoda unghiului auxiliar este un instrument care ajută la reducerea unei ecuații „urâte” la una perfect adecvată și „frumoasă”.
Exemplul #2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Vedem că avem $((\sin )^(2))x$, deci să folosim calculele de reducere. Cu toate acestea, înainte de a le folosi, să le scoatem. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă cum să găsiți cosinusul unui unghi dublu:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
Dacă scriem $\cos 2x$ în a treia variantă, obținem:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Voi scrie separat:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
Același lucru se poate face și pentru $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Avem nevoie doar de primele calcule. Să trecem la treabă la sarcină:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
Acum folosim calculele cosinusului diferenței. Dar mai întâi, să calculăm corecția $l$:
Să rescriem având în vedere acest fapt:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
În acest caz, putem scrie că $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$ și $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Să rescriem:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
Să punem „minus” în paranteză într-un mod complicat. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
Revenim la expresia noastră și ne amintim că în rolul $\varphi $ avem expresia $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Prin urmare, scriem:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos X\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
Pentru a rezolva o problemă similară, trebuie să rețineți următoarele:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Să aruncăm o privire la exemplul nostru:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Să calculăm fiecare dintre aceste ecuații:
Si al doilea:
Să scriem răspunsul final:
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
Nuanțe ale soluției
De fapt, această expresie este rezolvată în multe moduri diferite, dar este metoda unghiului auxiliar care este în acest caz optim. În plus, folosind exemplul acestui design, aș dori să vă atrag atenția asupra mai multor trucuri și fapte interesante:
- Formule de reducere a gradului. Aceste formule nu trebuie memorate, dar trebuie să știi cum să le obții, despre care v-am povestit astăzi.
- Rezolvarea ecuațiilor de forma $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Adăugând „zero”.
Dar asta nu este tot. Până acum, $\sin$ și $\cos$, pe care le-am scos ca argument suplimentar, am crezut că ar trebui să fie pozitive. Prin urmare, acum vom rezolva probleme mai complexe.
Analiza problemelor mai complexe
Exemplul #1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
Să transformăm primul termen:
\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]
Și acum înlocuim toate acestea în construcția noastră originală:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]
Să introducem corectarea noastră:
Scriem:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
$\alpha $ astfel încât $\sin $ sau $\cos $ ar fi egal cu $\frac(3)(5)$ și $\frac(4)(5)$ în tabel trigonometric Nu. Prin urmare, să scriem și să reducem expresia la sinusul sumei:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]
Aceasta este caz special, cea mai simplă construcție trigonometrică:
Rămâne de găsit cu ce este egal $\varphi $. Aici mulți studenți greșesc. Faptul este că două cerințe sunt impuse pentru $\varphi $:
\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
Să desenăm un radar și să vedem unde apar aceste valori:
Revenind la expresia noastră, scriem următoarele:
Dar această intrare poate fi îmbunătățită puțin. Pentru că știm următoarele:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
atunci în cazul nostru îl putem scrie astfel:
Exemplul #2
Acest lucru va necesita o înțelegere și mai profundă a metodelor de rezolvare sarcini standard fara trigonometrie. Dar pentru a rezolva acest exemplu, folosim și metoda unghiului auxiliar.\[\]
Primul lucru care vă atrage atenția este că nu există grade mai mari decât primul și, prin urmare, nimic nu poate fi descompus conform formulelor de expansiune a gradelor. Utilizează inverse:
De ce am răspândit $5$. Uite aici:
Unitate conform principalului identitate trigonometrică putem scrie ca $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Ce ne oferă un astfel de record? Cert este că în prima paranteză există un pătrat exact. Hai să-l rulăm și să obținem:
Propun să introducem o nouă variabilă:
\[\sin x+\cos x=t\]
În acest caz, obținem expresia:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
În total obținem:
\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
Desigur, elevii cunoscători vor spune acum că astfel de construcții se rezolvă ușor prin reducerea la una omogenă. Cu toate acestea, vom rezolva fiecare ecuație folosind metoda unghiului auxiliar. Pentru a face acest lucru, mai întâi calculăm corecția $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
Împărțiți totul la $\sqrt(2)$:
\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(align) \right.\]
Să reducem totul la $\cos$:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]
\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ dreapta)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]
Să aruncăm o privire la fiecare dintre aceste expresii.
Prima ecuație nu are rădăcini, iar iraționalitatea în numitor ne va ajuta să dovedim acest fapt. Rețineți următoarele:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]
În total, am demonstrat clar că se cere ca $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ să fie este egal cu numărul, care este mai mare decât „unu” și, prin urmare, această construcție nu are rădăcini.
Să ne ocupăm de al doilea:
Să rezolvăm acest design:
În principiu, puteți lăsa răspunsul așa, sau îl puteți picta:
Puncte importante
În concluzie, aș vrea să vă atrag încă o dată atenția asupra lucrării cu argumente „urâte”, adică. când $\sin$ și $\cos$ nu sunt valori de tabel. Problema este că dacă spunem că în ecuația noastră $\frac(3)(5)$ este $\cos $ și $\frac(4)(5)$ este $\sin $, atunci în final, după ce vom decide designul, trebuie să luăm în considerare ambele cerințe. Obținem un sistem de două ecuații. Dacă nu luăm în considerare acest lucru, obținem următoarea situație. În acest caz, vom obține două puncte și în loc de $\varphi $ vom avea două numere: $\arcsin \frac(4)(5)$ și $-\arcsin \frac(4)(5)$, dar ultimul în niciun caz mulțumit. Același lucru se va întâmpla cu punctul $\frac(3)(5)$.
Această problemă apare doar atunci când vorbim despre argumente „urâte”. Când avem valorile tabelului, atunci nu e nimic.
Sper că lecția de astăzi v-a ajutat să înțelegeți ce este metoda unghiului auxiliar și cum să o aplicați cu exemple. diferite niveluri dificultăți. Dar aceasta nu este singura lecție dedicată rezolvării problemelor folosind metoda unghiului auxiliar. Asa ca ramai cu noi!
Rezumatul lecției pentru clasele 10-11
Subiectul 1 : Metoda de introducere a argumentelor auxiliare. Derivarea formulelor.
Obiective:
Formarea cunoașterii unei noi metode de rezolvare a sarcinilor în trigonometrie, în care aplicarea acesteia este posibilă sau necesară;
Formarea abilităților de a analiza starea problemei, de a compara și de a găsi diferențe;
Dezvoltarea gândirii, logica și validitatea enunțurilor, capacitatea de a trage concluzii și de a generaliza;
Dezvoltarea vorbirii, îmbogățirea și complicația vocabular, însuşirea proprietăţilor expresive ale limbajului de către elevi;
Formarea atitudinii față de subiect, entuziasm pentru cunoaștere, crearea condițiilor pentru o abordare creativă non-standard a stăpânirii cunoștințelor.
Cunoștințe necesare, aptitudini și abilități:
Să poată deriva formule trigonometrice și să le folosească în munca in continuare;
Să fii capabil să rezolvi sau să ai o idee despre cum să rezolvi sarcini trigonometrice;
Cunoașteți formulele trigonometrice de bază.
Nivelul de pregătire al elevilor pentru percepția conștientă:
Echipament: AWP, prezentare cu condiții de sarcină, soluții și formulele necesare, carduri cu sarcini și răspunsuri.
Structura lecției:
1. Stabilirea scopului lecției (2
Pregătirea pentru studiul de material nou (12 min).
Cunoașterea materialului nou (15 min).
Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat (10 min).
Stabilirea temelor (3 min).
Rezumatul lecției (3 min).
În timpul orelor.
1. Stabilirea scopului lecției.
Verificați pregătirea elevilor și a echipamentului pentru lecție. Este indicat să vă pregătiți din timp teme pentru acasă la bord pentru a discuta soluția. Rețineți că scopul lecției este de a extinde cunoștințele despre metodele de rezolvare a unor sarcini din trigonometrie și de a încerca mâna să le stăpânească.
2. Pregătirea pentru studiul de material nou.
Discutați temele: amintiți-vă formulele trigonometrice de bază, valorile funcțiilor trigonometrice pentru cele mai simple argumente. Revedeți temele pentru acasă.
Formule:
; 
;
; 
;
Sarcină: Exprimați expresia ca un produs.
Este posibil ca studenții să ofere următoarea soluție:
pentru că cunosc formulele de conversie a sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs.
Propunem o alta solutie la problema: . Aici, la rezolvare, s-a folosit formula pentru cosinusul diferenței a două argumente, unde este auxiliară. Rețineți că în fiecare dintre aceste metode pot fi utilizate și alte formule similare.
3. Cunoașterea materialului nou.
Se pune întrebarea, de unde a venit argumentul auxiliar?
Pentru a obține un răspuns, luați în considerare decizie comună problema, transformăm expresia într-un produs, unde și sunt numere arbitrare diferite de zero.
introducem un unghi suplimentar (argument auxiliar), unde , , atunci expresia noastră va lua forma:
Astfel, avem formula: .
Dacă unghiul este introdus conform formulelor, atunci expresia va lua forma și vom obține o formă diferită a formulei: .
Am derivat formule pentru unghiul suplimentar, care sunt numite formule ale argumentului auxiliar:
Formulele pot avea, de asemenea, o formă diferită (este necesar să se acorde atenție acestui lucru Atentie specialași arată cu exemple).
Rețineți că în cele mai simple cazuri, metoda de introducere a unui argument auxiliar se reduce la înlocuirea numerelor; ; ; ; unu; funcții trigonometrice colțurile corespunzătoare.
4. Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat .
Pentru a consolida materialul, se propune să luăm în considerare câteva exemple de sarcini suplimentare:
Exprimați ca produs al expresiei:
Este indicat să analizați sarcinile 3 și 4 în clasă (analiza sarcinilor este prezentă în materialele pentru ore). Sarcinile 1, 2 și 5 pot fi luate pentru solutie independenta(răspunsurile date).
Pentru a analiza caracteristicile condițiilor sarcinilor tipice în care poate fi utilizată metoda de soluție considerată, pot fi utilizate diverse metode. Rețineți că sarcina 1. poate fi efectuată în diferite moduri, iar pentru a finaliza sarcinile 2 - 5 este mai convenabil să folosiți metoda introducerii unui unghi auxiliar
În cursul unei conversații frontale, trebuie discutat cum aceste sarcini sunt similare cu exemplul luat în considerare la începutul lecției, care sunt diferențele, dacă metoda propusă poate fi aplicată pentru a le rezolva și de ce utilizarea ei este mai convenabilă. .
Similaritate: în toate exemplele propuse, este posibil să se aplice metoda introducerii unui argument auxiliar, iar aceasta este o metodă mai convenabilă care duce imediat la rezultat.
Diferență: în primul exemplu, este posibilă o abordare diferită, iar în toate celelalte, este posibilă o metodă de aplicare a unui argument auxiliar folosind nu una, ci mai multe formule.
După ce discutați sarcinile, îi puteți invita pe băieți să rezolve singuri restul acasă.
5. Declarație de teme.
Acasă, ești invitat să studiezi cu atenție rezumatul lecției și să încerci să rezolvi următoarele exerciții.
Subiectul lecției: O metodă pentru introducerea unui unghi auxiliar în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
Actualizare.
Profesor.
Baieti! Ne-am familiarizat cu diferite tipuri de ecuații trigonometrice și am învățat cum să le rezolvăm. Astăzi vom generaliza cunoștințele metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice diferite feluri. Pentru aceasta, vă rog să lucrați la clasificarea ecuațiilor care vi se propun (vezi ecuațiile nr. 1-10 din Anexă - la sfârșitul rezumatului în format PDF)
Completați tabelul: indicați tipul de ecuație, metoda de rezolvare a acesteia și potriviți numerele ecuațiilor cu tipul căruia îi aparțin.
Elevi. Completați tabelul.
| Tip de ecuație | Metoda de rezolvare | Ecuații |
| Protozoare | Formule de rădăcină | №1 |
| Reductibil la pătrat | Metoda de înlocuire variabilă | №2,3 |
| Vedere trigonometrică complexă | Simplificați la forma cunoscută folosind formule de trigonometrie | №4,5 |
| Gradul I omogen | Împărțiți termenul ecuației cu termen la cosinusul variabilei | №6 |
| Gradul II omogen | Împărțiți termenul ecuației cu termen la pătratul cosinusului variabilei | №7 |
Problematizare.
Completând tabelul, elevii se confruntă cu o problemă. Ei nu pot determina tipul și metoda de rezolvare a trei ecuații: Nr. 8,9,10.
Profesor. Ați reușit să clasificați toate ecuațiile după forma și metoda de soluție?
Răspunsul elevilor. Nu, trei ecuații nu au putut fi plasate în tabel.
Profesor. De ce?
Răspunsul elevilor. Nu arată ca specie celebră. Metoda de rezolvare nu este clară.
Stabilirea obiectivelor.
Profesor. Cum, atunci, vom formula scopul lecției noastre?
Răspunde elevilor. Definiți Descoperit tip nou ecuații și găsiți o metodă de rezolvare a acestora.
Profesor. Se poate formula tema lecției dacă nu cunoaștem tipul ecuațiilor descoperite și metoda de rezolvare a acestora?
Răspunsul elevului. Nu, dar o putem face mai târziu, când ne dăm seama cu ce avem de-a face.
Planificarea activității.
Profesor. Să ne planificăm activitățile. De obicei definim tipul și apoi căutăm o metodă de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. În situația noastră actuală, este posibil să dăm un nume specific tipului de ecuații descoperite? Și, în general, aparțin aceleiași specii?
Răspunsul elevilor. Este greu de făcut.
Profesor. Atunci gândește-te, poate ceva îi unește sau sunt asemănătoare cu un anumit tip?
Răspunsul elevilor. Partea stângă a acestor ecuații este aceeași cu cele omogene, dar partea dreaptă a acestora nu este egală cu zero. Deci, împărțirea la cosinus nu va face decât să complice soluția.
Profesor. Poate că vom începe prin a căuta o metodă de soluție și apoi vom determina tipul ecuației? Care dintre cele 3 ecuații crezi că este cea mai simplă?
Elevii răspund dar nu există un consens. Poate cineva va ghici că coeficienții din ecuația nr. 8 ar trebui să fie exprimați ca sinus și cosinus al unghiului tabelului. Și apoi clasa va determina ecuația care poate fi rezolvată mai întâi. Dacă nu, profesorul sugerează să luați în considerare ecuație suplimentară (vezi ecuația nr. 11 din Anexă - la sfârșitul rezumatului în format PDF). În ea, coeficienții sunt egali cu sinusul și cosinusul unui unghi cunoscut, iar elevii ar trebui să observe acest lucru.
Profesorul dă ordinea activităților. ( Vedea ecuații din apendice - în format PDF la sfârșitul rezumatului).
- Rezolvați prima ecuație (№11), prin înlocuirea coeficienților cu valorile sinusului și cosinusului unghiului cunoscut și aplicând formula pentru sinusul sumei.
- Încercați să convertiți alte ecuații în forma primei și aplicați aceeași metodă. ( vezi ecuația #8,9,12)
- Generalizați și extindeți metoda la orice coeficienți și construiți un algoritm general de acțiuni (vezi ecuația #10).
- Aplicați metoda pentru a rezolva alte ecuații de același tip. (vezi ecuațiile nr. 12, 13, 14).
Implementarea planului.
Profesor. Ei bine, ne-am făcut un plan. Să începem să o implementăm.
La tablă, elevul rezolvă ecuația nr. 11.
Al doilea elev rezolvă următoarea ecuație nr. 8, după ce o împarte la număr constantși, prin urmare, reducând situația la o soluție deja găsită.
Profesorul sugerează rezolvarea singur a ecuațiilor nr. 9.12. Verifică corectitudinea transformărilor și a setului de soluții.
Profesor. Băieți, cum puteți numi unghiul care apare în locul coeficienților ecuației și ne ajută să ajungem la o soluție?
Răspunsul elevilor. Adiţional. (Opțiune: auxiliară).
Profesor. Nu este întotdeauna ușor să găsești un astfel de unghi auxiliar. Este posibil să-l găsiți dacă coeficienții nu sunt sinus și cosinus colțuri cunoscute? Ce identitate trebuie să satisfacă astfel de coeficienți dacă vrem să-i reprezentăm ca sinus și cosinus al unghiului auxiliar?
Răspuns. Identitatea trigonometrică de bază.
Profesor. Foarte bine! Corect! Deci sarcina noastră este să obținem coeficienți astfel încât suma pătratelor lor să fie egală cu unu! Încercați să găsiți un număr cu care trebuie să împărțiți ecuația, astfel încât condiția pe care am indicat-o să fie îndeplinită.
Elevii se gândesc și, poate, se oferă să împartă totul la rădăcina pătrată a sumei pătratelor coeficienților ecuației. Dacă nu, profesorul îi conduce la acest gând.
Profesor. Rămâne să alegem pe care dintre noii coeficienți să desemnăm ca sinus al unghiului auxiliar și pe care ca cosinus. Există două opțiuni. Trecerea la cea mai simplă ecuație cu un sinus sau un cosinus depinde de alegere.
Elevi oferă o soluție, iar profesorul o completează, acordând atenție formei de înregistrare a raționamentului și a răspunsului. Rezolvați ecuația 10.
Profesor. Am descoperit o metodă de rezolvare a unui nou tip de ecuație? Cum numim acest tip?
Răspuns. Am lucrat prin metoda găsirii unui unghi auxiliar. Poate că ecuațiile ar trebui să fie numite ecuații care sunt rezolvate folosind unghiuri auxiliare?
Profesor. Sigur ca poti. Vă puteți gândi la o formulă pentru ei? Va fi mai scurt.
Răspuns. Da. Ecuații cu coeficienții A, B și C.
Profesor. Să generalizăm metoda pentru coeficienți arbitrari.
Profesorul discută și scrie pe tablă formulele pentru sinusul și cosinusul unghiului auxiliar pentru coeficienți generalizați. Apoi, cu ajutorul lor, rezolvă ecuațiile nr. 13 și 14.
Profesor. Am stăpânit suficient de bine metoda?
Răspuns. Nu. Este necesar să se rezolve astfel de ecuații și să se consolideze capacitatea de a utiliza metoda unghiului auxiliar.
Profesor. De unde știm că metoda a fost stăpânită?
Răspuns. Dacă rezolvăm noi înșine mai multe ecuații.
Profesor. Să stabilim o scară calitativă pentru stăpânirea metodei.
Familiarizați-vă cu caracteristicile nivelurilor și plasați-le pe o scară care reflectă nivelul de stăpânire a acestei abilități. Corelați caracteristica nivelului și scorul (de la 0 la 3)
- Pot rezolva ecuații cu coeficienți diferiți
- Nu pot rezolva ecuații
- Pot rezolva ecuații complexe
- Pot rezolva ecuații cu coeficienți tabulari
Profesor.(După ce elevii răspund) Deci, scala noastră de evaluare este următoarea:
După același principiu, estimăm muncă independentă subiect în lecția următoare.
Și acum, vă rugăm să rezolvați ecuațiile nr. 1148 g, 1149 g, 1150 g și să determinați nivelul dvs. de asimilare a subiectului.
Nu uitați să completați intrările din tabel și să denumiți subiectul: „Introducerea unui unghi auxiliar la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”.
Reflectarea modului de atingere a scopului.
Profesor. Băieți, am atins scopul lecției?
Răspunsurile elevilor. Da, am învățat să recunoaștem un nou tip de ecuație.
Am găsit o metodă de rezolvare a acestora folosind un unghi auxiliar.
A învățat să aplice metoda în practică.
Profesor. Cum ne-am comportat? Cum am ajuns să înțelegem ce trebuie să facem?
Răspuns. Am luat în considerare câteva cazuri speciale de ecuații cu coeficienți „recognoscibili” și am extins această logică la orice valori ale lui A, B și C.
Profesor. Acesta este un mod inductiv de gândire: am derivat o metodă din mai multe cazuri și am aplicat-o în cazuri similare.
Perspectivă. Unde putem aplica acest mod de a gândi? (răspunde elevul)
Ai făcut o treabă bună azi la clasă. Acasă, citiți descrierea metodei unghiurilor auxiliare din manual și rezolvați nr. 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Sper că în lecția următoare veți fi cu toții grozavi la utilizarea acestei metode atunci când rezolvați ecuații trigonometrice.
Mulțumesc pentru lecție!
