Konečne sa mi dostala do rúk rozsiahla a dlho očakávaná téma analytická geometria . Najprv niečo o tejto časti vyššej matematiky... Určite ste si teraz spomenuli na kurz školskej geometrie s početnými teorémami, ich dôkazmi, kresbami atď. Čo skrývať, pre značnú časť študentov nemilovaný a často nejasný predmet. Analytická geometria sa napodiv môže zdať zaujímavejšia a prístupnejšia. Čo znamená prídavné meno „analytický“? Okamžite sa mi vynoria dve vyrazené matematické frázy: „grafická metóda riešenia“ a „ analytická metóda riešenia“. Grafická metóda , je samozrejme spojená s konštrukciou grafov, nákresov. Analytický rovnaký metóda zahŕňa riešenie problémov prevažne cez algebraické operácie. V tomto ohľade je algoritmus na riešenie takmer všetkých problémov analytickej geometrie jednoduchý a transparentný, často je celkom presný. potrebné vzorce- a odpoveď je pripravená! Nie, samozrejme, bez nákresov sa to vôbec nezaobíde, okrem toho sa ich pre lepšie pochopenie materiálu pokúsim priniesť nad rámec potreby.
Otvorený kurz hodín geometrie si nenárokuje na teoretickú úplnosť, je zameraný na riešenie praktických problémov. Do svojich prednášok zaradím len to, čo je z môjho pohľadu dôležité v z praktického hľadiska. Ak potrebujete viac plná pomoc v akejkoľvek podsekcii odporúčam úplne nasledujúce dostupnú literatúru:
1) Vec, ktorú, bez vtipu, pozná niekoľko generácií: Školská učebnica geometrie, autori - L.S. Atanasyan and Company. Tento vešiak do školskej šatne vydržal už 20 (!) reedícií, čo, samozrejme, nie je limit.
2) Geometria v 2 zväzkoch. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Toto je literatúra pre stredná škola, budete potrebovať prvý zväzok. Zriedkavo sa vyskytujúce úlohy môžu vypadnúť z môjho zorného poľa a tutoriál poskytne neoceniteľnú pomoc.
Obe knihy sú na stiahnutie zadarmo online. Môžete tiež použiť môj archív s hotové riešenia, ktorý nájdete na stránke Stiahnite si príklady z vyššej matematiky.
Z nástrojov opäť ponúkam vlastný vývoj - softvérový balík na analytickú geometriu, čo výrazne zjednoduší život a ušetrí veľa času.
Predpokladá sa, že čitateľ je oboznámený so zákl geometrické pojmy a obrazce: bod, čiara, rovina, trojuholník, rovnobežník, kváder, kocka atď. Je vhodné zapamätať si niektoré vety, aspoň Pytagorovu vetu, ahoj opakovače)
A teraz postupne zvážime: koncept vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice. Ďalej odporúčam prečítať najdôležitejší článok Bodový súčin vektorov, ako aj Vektorový a zmiešaný súčin vektorov. Miestna úloha nebude zbytočná - Rozdelenie segmentu v tomto ohľade. Na základe vyššie uvedených informácií môžete rovnica priamky v rovine s najjednoduchšie príklady riešení, čo umožní naučiť sa riešiť problémy v geometrii. Nasledujúce články sú tiež užitočné: Rovnica roviny v priestore, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine, ostatné úseky analytickej geometrie. Prirodzene, štandardné úlohy sa budú brať do úvahy.
Koncept vektora. voľný vektor
Najprv si zopakujme školskú definíciu vektora. Vektor volal riadený segment, pre ktorý je uvedený jeho začiatok a koniec:
AT tento prípad začiatok segmentu je bod, koniec segmentu je bod. Samotný vektor je označený . Smer je nevyhnutné, ak preusporiadate šípku na druhý koniec segmentu, získate vektor, a to už je úplne iný vektor. Je vhodné identifikovať pojem vektor s pohybom fyzické telo: súhlas, vstúpiť do dverí ústavu alebo vyjsť z dverí ústavu sú úplne iné veci.
Je vhodné uvažovať jednotlivé body roviny, priestoru ako tzv nulový vektor. Takýto vektor má rovnaký koniec a začiatok.
!!! Poznámka: Tu a nižšie môžete predpokladať, že vektory ležia v rovnakej rovine alebo môžete predpokladať, že sú umiestnené v priestore - podstata prezentovaného materiálu platí pre rovinu aj priestor.
Označenia: Mnohí hneď upozorňovali na palicu bez šípu v označení a povedali, že šíp dali aj hore! Presne tak, šípkou môžete napísať: , ale prípustné a záznam, ktorý použijem neskôr. prečo? Zrejme sa takýto zvyk vyvinul z praktických úvah, moje strieľačky na škole a univerzite sa ukázali byť príliš rôznorodé a strapaté. AT náučnej literatúry niekedy sa vôbec netrápia klinovým písmom, ale zvýrazňujú písmená zvýraznene: , čo znamená, že ide o vektor.
To bol štýl a teraz o spôsoboch písania vektorov:
1) Vektory je možné písať dvoma veľkými latinskými písmenami: 
atď. Kým prvé písmeno nevyhnutne označuje začiatočný bod vektora a druhé písmeno označuje koncový bod vektora.
2) Vektory sa tiež píšu malými latinskými písmenami:
Najmä náš vektor môže byť pre stručnosť znovu označený malým latinské písmeno.
Dĺžka alebo modul nenulový vektor sa nazýva dĺžka segmentu. Dĺžka nulového vektora je nula. Logicky.
Dĺžka vektora je označená znamienkom modulo: ,
Ako zistiť dĺžku vektora, sa naučíme (alebo zopakujeme, pre koho ako) o niečo neskôr.
To bola základná informácia o vektore, známa všetkým školákom. V analytickej geometrii tzv voľný vektor.
Ak je to celkom jednoduché - vektor je možné nakresliť z akéhokoľvek bodu:
Sme zvyknutí nazývať takéto vektory rovnocennými (definícia rovnakých vektorov bude uvedená nižšie), ale čisto s matematický bod videnie je ROVNAKÝ VEKTOR resp voľný vektor. Prečo zadarmo? Pretože v priebehu riešenia problémov môžete „pripojiť“ jeden alebo druhý vektor k AKÝKOĽVEK bodu roviny alebo priestoru, ktorý potrebujete. Toto je veľmi cool nehnuteľnosť! Predstavte si vektor ľubovoľnej dĺžky a smeru – dá sa „klonovať“ nekonečne veľakrát a v akomkoľvek bode priestoru v skutočnosti existuje VŠADE. Existuje také študentské príslovie: Každý lektor v f ** u vo vektore. Koniec koncov, nielen vtipná rýmovačka, všetko je matematicky správne - dá sa tam pripojiť aj vektor. Ale neponáhľajte sa radovať, študenti sami trpia častejšie =)
takze voľný vektor- Toto kopa identické smerové segmenty. definícia školy vektor, uvedený na začiatku odseku: „Smerovaný segment sa nazýva vektor ...“, znamená špecifické smerovaný segment prevzatý z danej množiny, ktorý je pripevnený k určitému bodu v rovine alebo priestore.
Treba si uvedomiť, že z hľadiska fyziky pojem voľného vektora v všeobecný prípad je nesprávna a na mieste aplikácie vektora záleží. Skutočne, priamy úder rovnakej sily do nosa alebo do čela stačí na rozvinutie môjho hlúpeho príkladu rôzne dôsledky. však nie zadarmo vektory sa nachadzaju aj v priebehu vyshmatu (tam nechoďte :)).
Akcie s vektormi. Kolinearita vektorov
V kurze školskej geometrie sa zvažuje množstvo akcií a pravidiel s vektormi: sčítanie podľa pravidla trojuholníka, sčítanie podľa pravidla rovnobežníka, pravidlo o rozdiele vektorov, násobenie vektora číslom, skalárny súčin vektorov atď. Ako základ zopakujeme dve pravidlá, ktoré sú obzvlášť dôležité pre riešenie problémov analytickej geometrie.
Pravidlo sčítania vektorov podľa pravidla trojuholníkov
Zvážte dva ľubovoľné nenulové vektory a: 
Je potrebné nájsť súčet týchto vektorov. Vzhľadom k tomu, že všetky vektory sú považované za voľné, odkladáme vektor z koniec vektor: 
Súčet vektorov je vektor . Pre lepšie pochopenie pravidla je vhodné dať mu fyzikálny význam: nech nejaké telo urobí cestu pozdĺž vektora a potom pozdĺž vektora . Potom súčet vektorov je vektorom výslednej dráhy, ktorá začína v mieste štartu a končí v mieste príchodu. Podobné pravidlo je formulované pre súčet ľubovoľného počtu vektorov. Ako sa hovorí, telo môže ísť svojou cestou silne cik-cak, alebo možno na autopilota - pozdĺž výsledného súčtového vektora.
Mimochodom, ak je vektor odložený z začať vector , potom dostaneme ekvivalent paralelogramové pravidlo pridávanie vektorov.
Najprv o kolinearite vektorov. Tieto dva vektory sa nazývajú kolineárne ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Zhruba povedané, hovoríme o paralelných vektoroch. Ale vo vzťahu k nim sa vždy používa prívlastok „kolineárny“.
Predstavte si dva kolineárne vektory. Ak sú šípky týchto vektorov nasmerované rovnakým smerom, potom sa takéto vektory nazývajú spolusmerný. Ak šípky ukazujú na rôzne strany, potom budú vektory opačne smerované.
Označenia: kolinearita vektorov sa zapisuje obvyklou ikonou rovnobežnosti: , pričom detailovanie je možné: (vektory sú smerované spolu) alebo (vektory smerujú opačne).
práca nenulového vektora číslom je vektor, ktorého dĺžka sa rovná , a vektory a sú spolu zamerané na a opačne nasmerované na .
Pravidlo pre násobenie vektora číslom je ľahšie pochopiteľné s obrázkom: 
Rozumieme podrobnejšie:
1) Smer. Ak je multiplikátor záporný, potom vektor mení smer k opaku.
2) Dĺžka. Ak je faktor obsiahnutý v alebo , potom dĺžka vektora klesá. Dĺžka vektora je teda dvakrát menšia ako dĺžka vektora . Ak je modulo multiplikátor väčší ako jedna, potom dĺžka vektora zvyšuje na čas.
3) Vezmite prosím na vedomie všetky vektory sú kolineárne, zatiaľ čo jeden vektor je vyjadrený prostredníctvom iného, napríklad . Platí to aj naopak: ak jeden vektor môže byť vyjadrený v termínoch iného, potom sú takéto vektory nevyhnutne kolineárne. takto: ak vynásobíme vektor číslom, dostaneme kolineárny(v porovnaní s originálom) vektor.
4) Vektory sú kosmerné. Vektory a sú tiež kosmerné. Ktorýkoľvek vektor z prvej skupiny je opačný ako ktorýkoľvek vektor z druhej skupiny.
Aké vektory sú rovnaké?
Dva vektory sú rovnaké, ak sú kosmerné a majú rovnakú dĺžku. Všimnite si, že spoločný smer znamená, že vektory sú kolineárne. Definícia bude nepresná (nadbytočná), ak poviete: "Dva vektory sú si rovné, ak sú kolineárne, spolu nasmerované a majú rovnakú dĺžku."
Z hľadiska konceptu voľného vektora sú rovnaké vektory tým istým vektorom, o ktorom sme už hovorili v predchádzajúcom odseku.
Vektorové súradnice v rovine a vo vesmíre
Prvým bodom je zvážiť vektory v rovine. Zobrazme karteziánske pravouhlý systém súradnice a od počiatku vyčleníme slobodný vektory a:
Vektory a ortogonálne. Ortogonálny = kolmý. Odporúčam pomaly si zvykať na pojmy: namiesto rovnobežnosti a kolmosti používame slová resp kolinearita a ortogonality.
Označenie: ortogonalita vektorov sa zapisuje obvyklým kolmým znamienkom, napríklad: .
Uvažované vektory sú tzv súradnicové vektory alebo orts. Tieto vektory sa tvoria základ na povrchu. Čo je základ, je podľa mňa mnohým intuitívne jasné, viacerí detailné informácie nájdete v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ.Jednoducho povedané, základ a pôvod súradníc určuje celý systém - ide o akýsi základ, na ktorom vrie plnohodnotný a bohatý geometrický život.
Niekedy sa vybudovaný základ tzv ortonormálny základ roviny: „ortho“ – pretože súradnicové vektory ortogonálny, prídavné meno „normalizovaný“ znamená jediný, t.j. dĺžky základných vektorov sú rovné jednej.
Označenie: základ sa zvyčajne zapisuje zátvorkách, vnútri ktorej v prísnom poradí základné vektory sú uvedené, napríklad: . Súradnicové vektory je zakázané vymeniť miesta.
akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta vyjadrené ako: 
, kde - čísla, ktoré sú tzv vektorové súradnice v tomto základe. Ale samotný výraz 
volal vektorový rozkladzáklad .
Podávaná večera:
Začnime prvým písmenom abecedy: . Výkres jasne ukazuje, že pri rozklade vektora z hľadiska základu sa používajú práve uvažované:
1) pravidlo násobenia vektora číslom: a ;
2) sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka: .
Teraz mentálne odložte vektor z akéhokoľvek iného bodu v rovine. Je celkom zrejmé, že jeho korupcia ho „neúnavne prenasleduje“. Tu je, sloboda vektora - vektor "nesie všetko so sebou." Táto vlastnosť samozrejme platí pre akýkoľvek vektor. Sranda je, že samotné základné (voľné) vektory nemusia byť vyčlenené z počiatku, jeden môže byť nakreslený napríklad vľavo dole a druhý vpravo hore a na tomto sa nič nezmení! Je pravda, že to nemusíte robiť, pretože učiteľ tiež ukáže originalitu a na neočakávanom mieste vám nakreslí „prihrávku“.
Vektory , presne ilustrujú pravidlo pre násobenie vektora číslom, vektor je smerovaný spolu so základným vektorom , vektor smeruje opačne k základnému vektoru . Pre tieto vektory sa jedna zo súradníc rovná nule, možno ju presne zapísať takto:
A základné vektory, mimochodom, sú takéto: (v skutočnosti sú vyjadrené cez seba).
A nakoniec: , . Mimochodom, čo je to vektorové odčítanie a prečo som vám nepovedal o pravidle odčítania? Niekde v lineárna algebra, Nepamätám si kde, všimol som si, že odčítanie je špeciálny prípad sčítania. Takže expanzie vektorov "de" a "e" sú pokojne napísané ako súčet: 
. Usporiadajte výrazy na miestach a sledujte nákres, ako jasne v týchto situáciách funguje staré dobré sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka.
Uvažovaný rozklad formy 
niekedy nazývaný rozklad vektorov v systéme ort(t. j. v sústave jednotkových vektorov). Toto však nie je jediný spôsob, ako napísať vektor, bežná je nasledujúca možnosť:
Alebo so znamienkom rovná sa:
Samotné vektory bázy sú zapísané takto: a
To znamená, že súradnice vektora sú uvedené v zátvorkách. AT praktické úlohy Používajú sa všetky tri možnosti.
Pochyboval som, či mám hovoriť, ale aj tak poviem: vektorové súradnice nie je možné preusporiadať. Prísne na prvom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru, striktne na druhom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru. Vskutku, a sú dva rôzne vektory.
Zistili sme súradnice v lietadle. Teraz zvážte vektory v trojrozmernom priestore, všetko je tu takmer rovnaké! Pridá sa už len jedna súradnica. Je ťažké vykonávať trojrozmerné kresby, takže sa obmedzím na jeden vektor, ktorý pre jednoduchosť odložím od pôvodu: 
akýkoľvek 3D priestorový vektor jediná cesta
expandovať na ortonormálnom základe: 
, kde sú súradnice vektora (čísla) v danom základe.
Príklad z obrázku: 
. Pozrime sa, ako fungujú pravidlá vektorovej akcie. Najprv vynásobte vektor číslom: (červená šípka), (zelená šípka) a (purpurová šípka). Po druhé, tu je príklad sčítania niekoľkých, v tomto prípade troch, vektorov: . Vektor súčtu začína na štartovací bod odchod (začiatok vektora ) a šťuchnutie do konečného bodu príchodu (koniec vektora ).
Všetky vektory trojrozmerného priestoru sú, samozrejme, tiež voľné, skúste mentálne odložiť vektor z akéhokoľvek iného bodu a pochopíte, že jeho expanzia „zostáva s ním“.
Podobne ako v prípade lietadla, okrem písania 
verzie so zátvorkami sú široko používané: buď .
Ak v expanzii chýba jeden (alebo dva) súradnicové vektory, namiesto toho sa umiestnia nuly. Príklady:
vektor (starostlivo 
) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo 
) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo 
) – zapíšte si .
Bázové vektory sú zapísané takto:
Tu je snáď všetkých minimum teoretické poznatky potrebné na riešenie problémov analytickej geometrie. Možno je tam príliš veľa pojmov a definícií, preto odporúčam figurínom, aby si ich znovu prečítali a pochopili táto informácia znova. A každému čitateľovi bude z času na čas užitočné, aby sa naň odvolal základná lekcia pre lepšie pochopenie látky. Kolinearita, ortogonalita, ortonormálna báza, vektorová dekompozícia – tieto a ďalšie pojmy budú často používané v nasledujúcom texte. Podotýkam, že materiály stránky nestačia na absolvovanie teoretického testu, kolokvia z geometrie, pretože všetky vety (a bez dôkazov) starostlivo šifrujem - na úkor vedecký štýl prezentácia, ale plus pre vaše pochopenie témy. Pre podrobné teoretické informácie vás žiadam, aby ste sa poklonili profesorovi Atanasyanovi.
Teraz prejdime k praktickej časti:
Najjednoduchšie problémy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súradniciach
Úlohy, ktoré sa budú posudzovať, je veľmi žiaduce naučiť sa ich riešiť úplne automaticky a vzorce zapamätať si, naschvál si to ani nepamätajte, zapamätajú si to sami =) Je to veľmi dôležité, pretože iné problémy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších elementárnych príkladoch a bude to otravné míňať dodatočný čas jesť pešiakov. Na košeli si nemusíte zapínať vrchné gombíky, veľa vecí poznáte zo školy.
Prezentácia materiálu bude mať paralelný priebeh – pre rovinu aj pre vesmír. Z toho dôvodu, že všetky vzorce ... uvidíte sami.
Ako nájsť vektor daný dvoma bodmi?
Ak sú zadané dva body roviny a, potom má vektor tieto súradnice: 
Ak sú dané dva body v priestore a, potom má vektor tieto súradnice:
t.j. zo súradníc konca vektora musíte odčítať príslušné súradnice vektorový štart.
Cvičenie: Pre rovnaké body si zapíšte vzorce na nájdenie súradníc vektora. Vzorce na konci lekcie.
Príklad 1
Vzhľadom na dva body v rovine a . Nájdite vektorové súradnice
rozhodnutie: podľa zodpovedajúceho vzorca:
Alternatívne je možné použiť nasledujúci zápis:
Estéti sa rozhodnú takto:
Osobne som zvyknutý na prvú verziu platne.
odpoveď:
Podľa podmienky nebolo potrebné zostaviť výkres (čo je typické pre problémy analytickej geometrie), ale aby som vysvetlil niektoré body figurínom, nebudem príliš lenivý: 
Treba pochopiť rozdiel medzi bodovými súradnicami a vektorovými súradnicami:
Súradnice bodu sú obvyklé súradnice v pravouhlom súradnicovom systéme. Odložte si body za súradnicová rovina Myslím, že to zvládne každý od 5. do 6. ročníka. Každý bod má prísne miesto v lietadle a nemôžete ich nikam presunúť.
Súradnice rovnakého vektora je jeho rozšírenie vzhľadom na základ , v tomto prípade . Akýkoľvek vektor je voľný, preto ho v prípade potreby môžeme ľahko odložiť z iného bodu v rovine. Zaujímavé je, že pre vektory nemôžete vôbec postaviť osi, pravouhlý súradnicový systém, potrebujete iba základňu, v tomto prípade ortonormálnu základňu roviny.
Záznamy súradníc bodov a vektorových súradníc sa zdajú byť podobné: , a zmysel súradníc absolútne rôzne a mali by ste si byť dobre vedomí tohto rozdielu. Tento rozdiel samozrejme platí aj pre priestor.
Dámy a páni, plníme si ruky:
Príklad 2
a) Dané body a . Nájdite vektory a .
b) Prideľujú sa body 
a . Nájdite vektory a .
c) Dané body a . Nájdite vektory a .
d) Prideľujú sa body. Nájdite vektory 
.
Možno dosť. Toto sú príklady pre nezávislé riešenie, skús ich nezanedbávať, oplatí sa to ;-). Výkresy sa nevyžadujú. Riešenia a odpovede na konci hodiny.
Čo je dôležité pri riešení úloh analytickej geometrie? Je dôležité byť VEĽMI OPATRNÝ, aby ste sa vyhli majstrovskej chybe „dva plus dva sa rovná nule“. Vopred sa ospravedlňujem ak som sa pomýlil =)
Ako zistiť dĺžku segmentu?
Dĺžka, ako už bolo uvedené, je označená znamienkom modulu.
Ak sú zadané dva body roviny a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca
Ak sú zadané dva body v priestore a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca
Poznámka: Vzorce zostanú správne, ak sa vymenia zodpovedajúce súradnice: a , ale prvá možnosť je štandardnejšia
Príklad 3
rozhodnutie: podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď: 
Pre prehľadnosť urobím nákres 
Segment čiary - nie je to vektor, a nemôžete ho nikam posunúť, samozrejme. Okrem toho, ak dokončíte výkres v mierke: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dve tetradové bunky), potom je možné odpoveď skontrolovať pomocou bežného pravítka priamym meraním dĺžky segmentu.
Áno, riešenie je krátke, ale má niekoľko ďalších dôležité body Chcel by som objasniť:
Najprv v odpovedi nastavíme rozmer: „jednotky“. Podmienka nehovorí, ČO to je, milimetre, centimetre, metre alebo kilometre. Preto bude všeobecná formulácia matematicky kompetentným riešením: „jednotky“ - skrátene „jednotky“.
Po druhé, zopakujme školský materiál, čo je užitočné nielen pre uvažovaný problém:
dávaj pozor na dôležité technika
– vyberanie multiplikátora spod koreňa. Ako výsledok výpočtov sme dostali výsledok a dobrý matematický štýl zahŕňa odstránenie faktora spod koreňa (ak je to možné). Proces vyzerá podrobnejšie takto: 
. Samozrejme, že ponechanie odpovede vo formulári nebude chybou - ale určite je to chyba a vážny argument na hnidopišstvo zo strany učiteľa.
Tu sú ďalšie bežné prípady: 
Často pod koreňom sa ukáže dosť veľké číslo, Napríklad . Ako byť v takýchto prípadoch? Na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné 4:. Áno, úplne rozdeliť, takto: 
. Alebo možno číslo možno opäť vydeliť 4? . takto: 
. Posledná číslica čísla je nepárna, takže delenie 4 tretíkrát zjavne nie je možné. Skús deliť deviatimi: . Ako výsledok:
Pripravený.
záver: ak pod odmocninou dostaneme úplne neextrahovateľné číslo, tak sa pokúsime vybrať faktor spod odmocniny - na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atď.
Počas rozhodovania rôzne úlohy korene sú bežné, vždy sa snažte extrahovať faktory spod koreňa, aby ste sa vyhli nižšiemu skóre a zbytočným problémom s finalizáciou riešení podľa poznámky učiteľa.
Zopakujme súčasne kvadratúru odmocnín a ostatných mocnín: 
Pravidlá pre akcie s titulmi v všeobecný pohľad možno nájsť v školská učebnica v algebre, ale myslím si, že z uvedených príkladov je už všetko alebo takmer všetko jasné.
Úloha pre nezávislé riešenie so segmentom v priestore:
Príklad 4
Dané body a . Nájdite dĺžku segmentu.
Riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Ako zistiť dĺžku vektora?
Ak je daný rovinný vektor, jeho dĺžka sa vypočíta podľa vzorca.
Ak je daný priestorový vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca 
.
V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Je to v poriadku, niekedy sa to stane úplné šťastie, okrem toho bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto sekcii vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, možno až dosť na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako rovnaký skalárny produkt, dokonca typické úlohy bude menej. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí uvidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)
Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo odkúpiť základné znalosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú praktická práca
Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dopadlo to dobre. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvomi súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie - vektor a zmiešaný produkt vektory sú definované a fungujú trojrozmerný priestor. Už jednoduchšie!
V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.
Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Existujú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať krížový súčin vektorov týmto spôsobom, v hranaté zátvorky s krížikom.
A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sú teda dva vektory tiež znásobené v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:
Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:
Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu aj označenia líšiť, ja použijem písmeno .
Definícia krížového produktu
Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.
Definícia: krížový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavený na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu: 
Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!
Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:
1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. Deje sa kolineárne vektory bude vhodné zvážiť trochu neskôr.
2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia o opačné poradie, potom dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť 
.
3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.
Poznámka : výkres je schematický a, samozrejme, nominálna dĺžka krížového produktu sa nerovná ploche rovnobežníka.
Pamätáme si jeden z geometrické vzorce: plocha rovnobežníka sa rovná produktu susedné strany sínusom uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového súčinu:
Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:
Dajme si sekundu dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dve časti rovnaký trojuholník. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:
4) Nie menej ako dôležitý fakt je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj 
. Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.
5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka . Mentálne spojiť ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec - vektorový súčin sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( index a stredné prsty ) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor rôznymi smermi. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)
... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)
Vektorový súčin kolineárnych vektorov
Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov nula, a preto je plocha nulová
Teda ak , tak 
. Presne povedané, samotný vektorový produkt je nulový vektor, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa to jednoducho rovná nule.
špeciálny prípad je krížovým súčinom vektora a samotného:
Pomocou krížového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a túto úlohu okrem iného budeme tiež analyzovať.
Pre riešenia praktické príklady môže byť požadované trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.
No, založme oheň:
Príklad 1
a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak 
b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak 
rozhodnutie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!
a) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:
Odpoveď:
Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.
b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:
Odpoveď:
Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve, rozmer je štvorcových jednotiek.
Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopicha - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že tomu nerozumie jednoduché veci a/alebo nepochopili podstatu úlohy. Tento moment musí byť vždy pod kontrolou a vyriešiť akýkoľvek problém vyššia matematika aj v iných predmetoch.
Kde sa stratilo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.
Populárny príklad pre nezávislé riešenie:
Príklad 2
Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak 
Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.
V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.
Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:
Vlastnosti krížového súčinu vektorov
Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, zaradím ich však do tohto zoznamu.
Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:
1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.
2) 
- o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.
3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?
4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.
Ako ukážku zvážte krátky príklad:
Príklad 3
Nájdite ak 
rozhodnutie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru: 
(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.
(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.
(3) Čo nasleduje, je jasné.
Odpoveď: 
Je čas hodiť drevo do ohňa:
Príklad 4
Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak 
rozhodnutie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca 
. Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:
1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!
(1) Dosadíme výrazy vektorov .
(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.
(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.
(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:
(5) Uvádzame podobné výrazy.
V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie: 
2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia pripomína príklad 3: 
3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka: 
Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.
Odpoveď:
Uvažovaný problém je celkom bežný v kontrolná práca, tu je príklad riešenia „urob si sám“:
Príklad 5
Nájdite ak
Rýchle riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, akí pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)
Krížový súčin vektorov v súradniciach
uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:
Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť: 
Príklad 10
Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b) 
rozhodnutie: Overenie založené na jednom z tvrdení túto lekciu: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): 
.
a) Nájdite vektorový produkt: 
Takže vektory nie sú kolineárne.
b) Nájdite vektorový súčin: 
Odpoveď: a) nie kolineárne, b)
Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.
Táto sekcia nebude veľmi veľký, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrický zmysel a pár funkčných vzorcov.
Zmiešaný súčin vektorov je produkt troch vektory:
Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.
Najprv opäť definícia a obrázok:
Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.
Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou: 
Poďme sa ponoriť do definície:
2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.
3) Pred komentovaním geometrického významu podotýkam zrejmý fakt: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.
A-priorstvo zmiešaným produktom je objem kvádra, postavený na vektoroch (obrázok je nakreslený červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.
Poznámka : Výkres je schematický.
4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Zjednodušene povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .
Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.
7.1. Definícia krížového produktu
Tri nekoplanárne vektory a, b a c v uvedenom poradí tvoria pravú trojicu, ak od konca tretieho vektora c najkratšiu odbočku z prvého vektora a do druhého vektora b vidíme proti smeru hodinových ručičiek a ľavý v smere hodinových ručičiek (pozri obr. . šestnásť).
Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:
1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;
2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.
3. Vektory a , b a c tvoria pravú trojicu.
vektorový produkt označené a x b alebo [a,b]. Z definície vektorového produktu priamo vyplývajú nasledujúce vzťahy medzi orts, j a k(pozri obr. 18):
i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Dokážme to napríklad i xj \u003d k.
1) k ^ i , k ^ j;
2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;
3) vektory i, ja k tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).
7.2. Vlastnosti krížových produktov
1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmení znamienko, t.j. a xb \u003d (b xa) (pozri obr. 19).
Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). To jest axb = -(bxa).
2. Vektorový súčin má asociatívna vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l (a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).
Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a)x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l ale ležia v rovnakej rovine). Takže vektory l(a xb) a ( l a)x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:
Takže l(a xb)= l a xb. Dokazuje sa to podobne aj pre l<0.
3. Dva nenulové vektory a a b sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b<=>a xb \u003d 0.
Konkrétne i*i=j*j=k*k=0.
4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:
(a+b) xs = a xs + b xs .
Prijmite bez dôkazu.
7.3. Vyjadrenie krížového produktu z hľadiska súradníc
Použijeme vektorovú tabuľku krížových produktov i , j a k:
ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.
Nech dva vektory a =a x i +a y j+az k a b=bx i+ podľa j+bz k. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):
Výsledný vzorec možno napísať ešte kratšie:
keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.
7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu
Stanovenie kolinearity vektorov
Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka
Podľa definície krížového súčinu vektorov a a b |a xb | =| a | * |b |sin g , teda S par = |a x b |. A preto D S \u003d 1/2 | a x b |.
Určenie momentu sily okolo bodu
Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).
Z fyziky je známe, že krútiaci moment F vzhľadom na bod O nazývaný vektor M , ktorý prechádza cez bod O a:
1) kolmá na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;
2) číselne sa rovná súčinu sily a ramena
3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B .
Preto M \u003d OA x F.
Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania
Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v \u003d w x r, kde r \u003d OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).
Predtým, ako uvedieme pojem vektorového súčinu, prejdime k otázke orientácie usporiadanej trojice vektorov a → , b → , c → v trojrozmernom priestore.
Na začiatok odložme vektory a → , b → , c → z jedného bodu. Orientácia trojice a → , b → , c → je pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora c → . Zo smeru, v ktorom je najkratší obrat z vektora a → do b → od konca vektora c → , sa určí tvar trojice a → , b → , c →.
Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov a → , b → , c → správny ak v smere hodinových ručičiek - vľavo.
Ďalej zoberte dva nekolineárne vektory a → a b → . Odložme potom vektory A B → = a → a A C → = b → z bodu A. Zostrojme vektor A D → = c → , ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C → . Pri konštrukcii vektora A D → = c → teda môžeme urobiť dve veci a dať mu buď jeden smer alebo opačný (pozri obrázok).
Usporiadaná trojica vektorov a → , b → , c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora.
Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu vektorového súčinu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.
Definícia 1
Vektorový súčin dvoch vektorov a → a b → budeme volať taký vektor daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:
- ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude to nula;
- bude kolmá na vektor a → aj vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- jeho dĺžka je určená vzorcom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
- trojica vektorov a → , b → , c → má rovnakú orientáciu ako daný súradnicový systém.
Krížový súčin vektorov a → a b → má nasledujúci zápis: a → × b → .
Súradnice krížových produktov
Keďže každý vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, je možné zaviesť druhú definíciu krížového súčinu, ktorá vám umožní nájsť jeho súradnice z daných súradníc vektorov.
Definícia 2
V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) vektor nazývame c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kde i → , j → , k → sú súradnicové vektory.
Vektorový súčin možno znázorniť ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok sú orta vektory i → , j → , k → , druhý riadok obsahuje súradnice vektora a → a tretí riadok sú súradnice vektora b → v danom pravouhlom súradnicovom systéme, tento determinant matice vyzerá takto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnosť: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Vlastnosti krížových produktov
Je známe, že vektorový súčin v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , potom na zákl. vlastnosti determinantu matrice nasledujúci Vlastnosti vektorového produktu:
- antikomutatívnosť a → × b → = - b → × a → ;
- distributivita a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- asociativita λ a → × b → = λ a → × b → alebo a → × (λ b →) = λ a → × b → , kde λ je ľubovoľné reálne číslo.
Tieto vlastnosti nemajú zložité dôkazy.
Môžeme napríklad dokázať antikomutatívnosť vektorového súčinu.
Dôkaz antikomutatívnosti
Podľa definície a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ak sa vymenia dva riadky matice, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, teda a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , čo a dokazuje antikomutatívnosť vektorového súčinu.
Vektorový produkt – príklady a riešenia
Vo väčšine prípadov ide o tri typy úloh.
V úlohách prvého typu sa zvyčajne udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi, ale musíte nájsť dĺžku krížového produktu. V tomto prípade použite nasledujúci vzorec c → = a → b → sin ∠ a → , b → .
Príklad 1
Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov a → a b → ak je známe a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .
rozhodnutie
Pomocou definície dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → riešime tento problém: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .
odpoveď: 15 2 2 .
Úlohy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, obsahujú vektorový súčin, jeho dĺžku atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) .
Pre tento typ úloh môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nie súradnice vektorov a → a b → , ale ich expanzie v súradnicových vektoroch tvaru b → = b x i → + b y j → + b z k → a c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , alebo vektory a → a b → môžu byť dané súradnicami ich počiatočné a koncové body.
Zvážte nasledujúce príklady.
Príklad 2
Dva vektory sú nastavené v pravouhlom súradnicovom systéme a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Nájdite ich vektorový produkt.
rozhodnutie
Podľa druhej definície nájdeme krížový súčin dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Ak vektorový súčin zapíšeme pomocou maticového determinantu, potom riešenie tohto príkladu je nasledovné: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
odpoveď: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Príklad 3
Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k → , kde i → , j → , k → - orty pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.
rozhodnutie
Najprv nájdime súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom pravouhlom súradnicovom systéme.
Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1 ; - 1 ; 0) a (1 ; 1; 1). Nájdite dĺžku vektorového súčinu pomocou maticového determinantu, potom máme i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Preto vektorový súčin i → - j → × i → + j → + k → má súradnice (- 1 ; - 1 ; 2) v danom súradnicovom systéme.
Dĺžku vektorového súčinu zistíme podľa vzorca (pozri časť o zisťovaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Príklad 4
Súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3) , C (1, 4, 2) sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.
rozhodnutie
Vektory A B → a AC → majú nasledujúce súradnice (-1; 2; 2) a (0; 4; 1). Keď sme našli vektorový súčin vektorov A B → a A C → , je zrejmé, že ide o kolmý vektor podľa definície k A B → aj A C → , to znamená, že je riešením nášho problému. Nájdite to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedným z kolmých vektorov.
Problémy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po jeho aplikácii získame riešenie daného problému.
Príklad 5
Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžky sú 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .
rozhodnutie
Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Vlastnosťou asociatívnosti vyberáme číselné koeficienty za znamienkom vektorových súčinov v poslednom výraze: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Vektorové produkty a → × a → a b → × b → sa rovnajú 0, pretože a → × a → = a → a → sin 0 = 0 a b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , potom 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .
Z antikomutatívnosti vektorového súčinu vyplýva - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .
Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Podľa podmienky sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný π 2 . Teraz zostáva len nahradiť nájdené hodnoty do zodpovedajúcich vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = = 5 a → × b → = 5 a → b → hriech (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.
odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .
Dĺžka krížového súčinu vektorov je podľa definície a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pretože je už známe (zo školského kurzu), že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. Preto sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, konkrétne súčinu strán vo forme vektorov a → a b → , odložených z jedného bodu sínusom. uhla medzi nimi sin ∠ a → , b → .
Toto je geometrický význam vektorového súčinu.
Fyzikálny význam vektorového produktu
V mechanike, jednom z odvetví fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vzhľadom na bod v priestore.
Definícia 3
Pod momentom sily F → , pôsobiacim na bod B , relatívne k bodu A budeme rozumieť nasledujúci vektorový súčin A B → × F → .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Definícia Usporiadaná zbierka (x 1 , x 2 , ... , x n) n reálnych čísel sa nazýva n-rozmerný vektor a čísla x i (i = ) - komponentov alebo súradnice,
Príklad. Ak má napríklad určitá automobilka za zmenu vyrobiť 50 osobných automobilov, 100 nákladných áut, 10 autobusov, 50 súprav náhradných dielov na osobné autá a 150 súprav na nákladné autá a autobusy, potom výrobný program tohto závodu možno napísať ako vektor (50, 100, 10, 50, 150), ktorý má päť zložiek.
Notový zápis. Vektory sú označené tučnými malými písmenami alebo písmenami s pruhom alebo šípkou v hornej časti, napr. a alebo. Tieto dva vektory sa nazývajú rovný ak majú rovnaký počet komponentov a ich zodpovedajúce komponenty sú rovnaké.
Komponenty vektora nemožno zamieňať, napr. (3, 2, 5, 0, 1) a (2, 3, 5, 0, 1) rôzne vektory.
Operácie na vektoroch. práca
X= (x 1 , x 2 , ... , x n) na reálne čísloλ nazývaný vektorλ X= (Ax1,Ax2,...,Axn).
súčetX= (x 1, x 2, ..., x n) a r= (y 1 , y 2 , ... ,y n) sa nazýva vektor x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).
Priestor vektorov. N -rozmerný vektorový priestor R n je definované ako množina všetkých n-rozmerných vektorov, pre ktoré sú definované operácie násobenia reálnymi číslami a sčítania.
Ekonomická ilustrácia. Ekonomická ilustrácia n-rozmerného vektorového priestoru: priestor tovaru (tovar). Pod tovar budeme rozumieť nejakému tovaru alebo službe, ktoré sa začali predávať v určitom čase na určitom mieste. Predpokladajme, že je k dispozícii konečný počet statkov n; množstvá každého z nich zakúpené spotrebiteľom sú charakterizované súborom tovaru
X= (x 1 , x 2 , ..., x n),
kde x i označuje množstvo i-tého tovaru zakúpeného spotrebiteľom. Budeme predpokladať, že všetky tovary majú vlastnosť ľubovoľnej deliteľnosti, takže je možné kúpiť akékoľvek nezáporné množstvo každého z nich. Potom všetky možné množiny tovarov sú vektormi priestoru tovarov C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).
Lineárna nezávislosť.
systém e 1 , e 2 , ... , e m n-rozmerných vektorov sa nazýva lineárne závislé ak sú také číslaλ1, λ2, ..., λm , z ktorých aspoň jeden je nenulový, čo spĺňa rovnosťλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; inak sa tento systém vektorov nazýva lineárne nezávislé, teda táto rovnosť je možná len v prípade, keď všetky 
. Geometrický význam lineárnej závislosti vektorov v R 3, interpretované ako smerované segmenty, vysvetlite nasledujúce vety.
Veta 1. Systém pozostávajúci z jedného vektora je lineárne závislý práve vtedy, ak je tento vektor nulový.
Veta 2. Aby boli dva vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli kolineárne (paralelné).
Veta 3 . Aby boli tri vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli koplanárne (ležali v rovnakej rovine).
Ľavá a pravá trojica vektorov. Trojica nekoplanárnych vektorov a, b, c volal správny, ak pozorovateľ z ich spoločného pôvodu obchádza konce vektorov a, b, c Zdá sa, že v tomto poradí postupuje v smere hodinových ručičiek. Inak a, b, c -vľavo trojitý. Všetky pravé (alebo ľavé) trojice vektorov sa nazývajú rovnako orientovaný.
Základ a súradnice. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanárne vektory v R 3 tzv základ a samotné vektory e 1, e 2 , e 3 - základné. Akýkoľvek vektor a môže byť rozšírený jedinečným spôsobom z hľadiska bázových vektorov, to znamená, že môže byť reprezentovaný vo forme
a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
volajú sa čísla x 1 , x 2 , x 3 v expanzii (1.1). súradnicea v základe e 1, e 2 , e 3 a sú označené a(x 1, x 2, x 3).
Ortonormálny základ. Ak vektory e 1, e 2 , e 3 sú párovo kolmé a dĺžka každého z nich je rovná jednej, potom sa základ nazýva ortonormálny a súradnice x 1 , x 2 , x 3 - pravouhlý. Bázové vektory ortonormálnej bázy budú označené i, j, k.
Budeme predpokladať, že vo vesmíre R 3 pravý systém karteziánskych pravouhlých súradníc (0, i, j, k}.
Vektorový produkt. vektorové umenie a na vektor b nazývaný vektor c, ktorý je určený týmito tromi podmienkami:
1. Dĺžka vektora cčíselne sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a a b, t.j.
c=
|a||b| hriech( a^b).
2. Vektor c kolmo na každý z vektorov a a b.
3. Vektory a, b a c, brané v tomto poradí, tvoria pravú trojicu.
Pre vektorový produkt c uvádza sa označenie c=[ab] alebo
c = a
× b.
Ak vektory a a b sú kolineárne, potom hriech( a^b) = 0 a [ ab] = 0, najmä [ aa] = 0. Vektorové produkty orts: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.
Ak vektory a a b uvedené v zákl i, j, k súradnice a(a 1, a 2, a 3), b(b1, b2, b3), potom
Zmiešaná práca. Ak krížový súčin dvoch vektorov a a b skalárne vynásobené tretím vektorom c, potom sa takýto súčin troch vektorov nazýva zmiešaný produkt a je označený symbolom a bc.
Ak vektory a, b a c v základe i, j, k nastavené ich súradnicami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c1, c2, c3), potom
.
Zmiešaný produkt má jednoduchú geometrickú interpretáciu - je to skalár, v absolútnej hodnote rovnajúci sa objemu kvádra postaveného na troch daných vektoroch.
Ak vektory tvoria pravú trojicu, potom ich zmiešaný produkt je kladné číslo rovnajúce sa uvedenému objemu; ak tí traja a, b, c - vľavo teda a b c<0 и V = - a b c, teda V =|a b c|.
Predpokladá sa, že súradnice vektorov, s ktorými sa stretávame v úlohách prvej kapitoly, sú dané vzhľadom na správnu ortonormálnu bázu. Jednotkový vektor kosmerný k vektoru a, označené symbolom a o. Symbol r=OM označené vektorom polomeru bodu M, symboly a, AB alebo|a|, | AB |moduly vektorov sú označené a a AB.
Príklad 1.2. Nájdite uhol medzi vektormi a= 2m+4n a b= m-n, kde m a n- jednotkové vektory a uhol medzi nimi m a n rovný 120 o.
rozhodnutie. Máme: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, takže a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0,5)+1 = 3, takže b = . Nakoniec tu máme: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.
Príklad 1.3.Poznanie vektorov AB(-3,-2,6) a pred Kr(-2,4,4), vypočítajte výšku AD trojuholníka ABC.
rozhodnutie. Označením oblasti trojuholníka ABC pomocou S dostaneme:
S = 1/2 pred Kr. Potom AD=2S/BC, BC== 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC |.
AC=AB+BC, teda vektor AC má súradnice
.
.
Príklad 1.4 . Dané dva vektory a(11,10,2) a b(4,0,3). Nájdite jednotkový vektor c, ortogonálne k vektorom a a b a nasmerované tak, aby usporiadaná trojica vektorov a, b, c mal pravdu.
rozhodnutie.Označme súradnice vektora c vzhľadom na daný pravý ortonormálny základ v zmysle x, y, z.
Pokiaľ ide o c ⊥ a, c ⊥b, potom cca= 0, cb= 0. Podmienkou úlohy sa vyžaduje, aby c = 1 a a b c >0.
Na nájdenie x,y,z máme sústavu rovníc: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Z prvej a druhej rovnice sústavy dostaneme z = -4/3 x, y = -5/6 x. Dosadením y a z do tretej rovnice budeme mať: x 2 = 36/125, odkiaľ
x=±
. Použitie podmienky a b c > 0, dostaneme nerovnosť
S prihliadnutím na výrazy pre z a y prepíšeme výslednú nerovnosť v tvare: 625/6 x > 0, z čoho vyplýva, že x>0. Takže x =, y = -, z = -.
