Druhy paradoxov

V určitej oblasti vznikajú paradoxy vedecké poznatky v procese historického vývoja vedy, keď sa objavuje rozpor medzi istým ustáleným systémom poznania a novými faktami, medzi smermi bádania zafixovanými v určitých paradigmách a novými objavmi, ktoré do týchto paradigiem nezapadajú. Vedecké objavy v kozmológii, kvantovej fyzike a biológii uskutočnené v 20. storočí sú teda v rozpore s klasickými teóriami v týchto odvetviach vedy a sú z pohľadu klasických teórií interpretované ako paradoxné.

V každom odvetví vedecké poznatky objavujú sa špecifické paradoxy – fyzikálne, chemické, biologické, matematické atď.

Paradoxy, ktoré vznikajú v rámci istej vedeckej teórie, odhaľujú nekonzistentnosť samotného pohybu hmotných predmetov, ktoré veda študuje, „dualitu“ povahy samotného predmetu štúdia, čo predurčuje prehodnotenie základných princípov a paradigiem konkrétna veda. Napríklad v teórii kvantovej chémie sa zistilo, že elektrón okolo jadra je v každom okamihu v každom elementárnom bode v priestore, hoci elektrón je elementárna častica.

Druhy paradoxov

Paradoxy podľa typov logiky boli rozdelené na sémantické a logické.

V uvažovaní vznikajú sémantické paradoxy:

V procese spájania jazykových výrazov s ich objektívnym významom, teda denotátom;

Keď sa zmiešajú dve úrovne symbolickej reprezentácie predmetov úvah, menovite úroveň objektového jazyka a metafilmov;

Pri použití abstraktu neurčitá časová os, pod ktorý si môžete priniesť akýkoľvek predmet;

Keď je problém určiť pravdivosť alebo nepravdivosť tvrdení v určitom kontexte.

Medzi sémantické paradoxy patria: paradox „klamára“, heterologický paradox, paradox teórie mien, paradox (antinómia) pomenovacieho vzťahu.

Logický paradox „klamára“ je klasifikovaný ako antinómia. Prvýkrát ho sformuloval starogrécky filozof Eubulides z Milétu a má dva varianty vyjadrenia: 1. Niekto povie „klamem“; 2. Kréťan Epimenides povedal: "Všetci Kréťania sú klamári."

Význam paradoxu „klamár“ spočíva v tom, že nemožno jednoznačne určiť pravdivosť alebo nepravdivosť výroku „klamem“. Takže, ak Epimenides neklame, potom je jeho výrok pravdivý, a preto je Epimenides klamár; ak Epimenides klame, potom sú jeho výroky nepravdivé, preto Epimenides nie je klamár. Dostávame antinómiu – „Epimenides klame a neklame“ alebo „Výrok „klamem“ je pravdivý, pretože je nepravdivý, a nepravdivý, pretože je pravdivý.“

Ďalšiu modifikáciu paradoxu „klamára“ sformuloval anglický logik P. Jourdain: „Výrok napísaný na prvej strane tejto karty je pravdivý a na druhej strane tej istej karty je napísané: Výrok napísaný na druhá strana tejto karty je falošná." Ak je prvé tvrdenie pravdivé, potom je pravdivé aj druhé tvrdenie, pretože prvé tvrdenie uvádza, že druhé tvrdenie je pravdivé. Ale ak je druhý výrok pravdivý, potom „prvý výrok je nepravdivý“ je nepravdivý. Takže z dvoch možných predpokladov pravdivosti týchto dvoch tvrdení vzniká rozpor.

Vedci navrhli mnoho spôsobov, ako vyriešiť paradox klamárov. Napríklad poľský logik A. Tarski navrhol jasne rozlišovať medzi rovinami jazyka – objektom a metafilmom. Práve výroky „klamem“ sú formulované objektový jazyk, a to, že je paradoxné, sa zisťuje na úrovni jeho metalogickej analýzy pomocou metafilmov. Na to je potrebné vytvoriť formalizovaný jazyk, ktorý obsahuje výroky A, pravdivostný predikát G. Vzorec P1 (A) g A (výrok A je pravdivý práve vtedy, ak A). To znamená: výrok A je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je výrok A pravdivý, to znamená, že fixuje (odráža) existenciu predmetu, na ktorý sa výrok vzťahuje.

Výrok krétskeho Epimenida „Všetci Kréťania sú klamári“ je vyjadrený aj v objektovej reči. Podľa metalogickej analýzy je Epimenides tiež klamár, pretože ako Kréťan patrí do triedy obyvateľov ostrova Kréta. Ak by Epimenides nebol Kréťan, potom výrok „Všetci Kréťania sú klamári“ by nebol paradoxný.

Heterologický paradox sformuloval K. Grelling (1886 - 1941). Ide o paradox, ktorý vzniká v dôsledku zvýraznenia takých prejavov reči ako prídavných mien, ktorých význam má vlastnosti, napríklad „červený“, „nový“, „starý“, „ukrajinský“. Slovo, ktoré má vlastnosť P, ktorého názov je, sa nazýva autologické. Slovo, ktoré nie je autologické, sa nazýva heterologické. Ak slovo (prídavné meno) označuje vlastnosť, ktorá je sama osebe vlastná, potom sa nazýva autologická. Ide napríklad o slovo „ukrajinský“ a slová „biely“, „čierny“ nie sú autologické slová, sú teda heterologické. K akému druhu slov - autologickému alebo heterologickému patrí slovo "heterologický"? Dostávame antinómiu: "Ak je slovo "heterologický" heterologické, potom nie je heterologické, a ak nie je heterologické, potom je heterologické."

Paradox teórie mien je sémantický paradox, ktorý vznikol v rámci teórie logickej sémantiky, ktorú rozvinuli G. Frege, B. Russell, G. Carnap a ďalší logici, nahrádzajúci krstné meno popis a naopak, vlastný popis mena (pozri 2.2.4). Vlastné meno je jednoduchý znak, ktorý označuje jeden (individuálny) objekt. Popis - komplexné znamenie, ktorý definuje vlastnosti objektu alebo vzťahy medzi triedami. Ak sa v určitom kontexte nahradí vlastné meno opisom, vzniká sémantický paradox. Napríklad pre By. Russell, vlastné meno „Walter Scott" a opis „autor Waverley" poukazujú na jeden predmet, respektíve výrok. „Kráľ Henrich IV. chce vedieť, či je autorom Waverley Walter Scott" neobsahuje paradox, ale ak sa nahradí vlastné meno „Walter Scott“ opis „autora Waverley“, dostaneme výrok: „Kráľ Henrich IV. chce vedieť, či Walter Scott je Walter Scott“, čo je paradoxné.

Logické paradoxy sú paradoxy, ktoré vznikli v rámci určitej logickej teórie v procese rozvoja vedy o logike. Logické paradoxy zahŕňajú paradoxy materiálnej implikácie, paradoxy striktnej implikácie, paradoxy epistemickej logiky, paradoxy logiky existencie atď. (obsah týchto paradoxov bude určený v kontexte analýzy konkrétnej logickej teórie, kde tieto paradoxy vznikol).

Paradox teórie tried (množín). V logicko-matematickej teórii tried (množín) anglický logik a matematik B. Russell objavil logickú nejednotnosť, ktorá sa nazývala paradox (antinómia) tried (množín). Všetky sady je možné rozdeliť na nasledujúce typy: 1. Súbory, ktoré nie sú samy osebe prvkami. Takéto množiny sa nazývajú správne. Napríklad množina všetkých stavov, všetkých prirodzených čísel, všetkých kníh v vedecká knižnica Univerzita mesta N. atď. 2. Súbory, ktoré sú prvkami samých seba. Takéto súpravy sa nazývajú nesprávne. Prvý typ sád je označený symbolom M. a druhý - symbolom M2. Ďalej predpokladáme, že je možné vytvoriť množinu M z tých a len tých množín, ktoré sú vlastné, teda všetkých tých množín, ktoré samy seba neobsahujú ako prvky. Toto je množné číslo- - je protirečivé, pretože podľa definície patrí k počtu svojich prvkov vtedy a len vtedy, ak nepatrí do ich počtu.

Vyriešiť paradox teórie množín By. Russell vyvinul teóriu typov, ktorej podstatou je toto. Všetky sady je možné rozdeliť na typy, z ktorých každý oddeľuje prvky, ktoré patria len k jednému typu a nepatria k inému. Takto sa vytvára hierarchia typov množín: typ null obsahuje iba prvky, ktoré majú vlastnosť P, prvý typ obsahuje prvky, ktoré majú vlastnosti G.; druhý typ - má vlastnosti P2 a pod. Každý typ znamená určitú úroveň abstrakcie a zovšeobecnenia množín: a) obyčajná množina; b) neobvyklá množina (súbor všetkých množín), t.j. množina, ktorá obsahuje seba ako prvok. Do ktorej množiny patrí množina všetkých obyčajných množín? Podľa B. Russella teória typov tiež umožňuje vyčleniť hierarchiu množín a tým prekonať paradox teórie množín.

Obľúbenými verziami paradoxu teórie množín sú paradoxy „Starosta obce“ a „Kaderník“.

Paradox „Municipality Mayor“ sformuloval americký logik S. Kleene (1909-1994) ako populárny variant paradoxu teórie množín. "Každá obec v Holandsku musí mať starostu a dve rôzne obce nemôžu mať toho istého starostu. Niekedy sa ukáže, že starosta nebýva vo svojej obci. Predpokladáme, že bol prijatý zákon, podľa ktorého je pridelená určitá oblasť. len pre takých starostov, ktorí nebývajú vo svojich obciach a zaväzuje všetkých starostov, aby sa na tomto území usadili.Takisto predpokladajme, že starostov je toľko, že toto územie N. tvorí obec.Kde by mal starosta obce Y. žiť?"

Barber Paradox je druhý populárny variant paradoxu teórie množín. "Holič holí len tých mužov z jednej dediny, ktorí sa neholia sami. Alebo sa holič holí sám?"

Aristoteles. Diela: V 4 zväzkoch - M., 1978. Belnap N., Steele T. Logika otázok a odpovedí. - M., 1981. Voishvillo E. Koncept ako forma myslenia. - M., 1989. G. von Wright. Heterologický paradox // Logicko-filozofické výskumy. - M., 1986.

Jolls K. Úvod do modernej logiky. - K., 1992.

Ivin A. Umenie správne myslieť. - M., 1986.

Ivin A. Logik. - K., 1996.

Kayberg G. Pravdepodobnosť a induktívna logika. - M., 1978. Kant I. Diela: V 6 zväzkoch - M., 1964. Konversky A. Logika (tradičná a moderná). - K., 2004. Kondakov N. Logický slovník-príručka. - M., 1975. Leibniz G. Diela: V 4 zväzkoch - M., 1984. Logický slovník "Defort". - M., 1994. Minto V. Deduktívna a induktívna logika. - S.-Pb., 1995.

Frege G. Logika a logická sémantika. - M., 2000. Khomenko I. Logika pre právnikov. - K., 2001. Shuman A. Moderná logika: Teória a prax. - M., 2004.

Kotarbinski T. Kurs logiki. - Warzawa, 1955.

Je známe, že sformulovať problém je často dôležitejšie a náročnejšie ako ho vyriešiť. „Vo vede,“ napísal anglický chemik F. Soddy, „správne položený problém je viac ako z polovice vyriešený. Proces mentálnej prípravy potrebný na zistenie, že existuje určitá úloha, často zaberie viac času ako samotná úloha.

Formy, ktorými sa problémová situácia prejavuje a realizuje, sú veľmi rôznorodé. Zďaleka nie vždy sa prezradí vo forme priamej otázky, ktorá vznikla na samom začiatku štúdia. Svet problémov je rovnako zložitý ako proces poznania, ktorý ich generuje. Identifikácia problémov je jadrom kreatívneho myslenia. Paradoxov je najviac zaujímavý prípad implicitné, nespochybňujúce spôsoby kladenia problémov. Paradoxy sú bežné v raných fázach vývoja vedeckých teórií, keď sa prvé kroky robia v ešte neprebádanej oblasti a naj všeobecné zásady prístup k nej.

Paradoxy a logika

Paradoxom je v širšom zmysle pozícia, ktorá sa ostro rozchádza so všeobecne akceptovanými, ustálenými, ortodoxnými názormi. „Všeobecne uznávané názory a to, čo sa považuje za vec dávno rozhodnutú, si najčastejšie zaslúžia výskum“ (G. Lichtenberg). Paradox je začiatkom takéhoto výskumu.

Paradoxom v užšom a špecializovanejšom zmysle sú dve protikladné, nezlučiteľné tvrdenia, pre každé z nich existujú zdanlivo presvedčivé argumenty.

Najostrejšou formou paradoxu je antinómia, zdôvodnenie, ktoré dokazuje ekvivalenciu dvoch tvrdení, z ktorých jeden je negáciou druhého.

Paradoxy v najprísnejších a exaktné vedy- matematika a logika. A to nie je náhoda.

Logika je abstraktná veda. Nie sú v nej žiadne experimenty, dokonca ani fakty v obvyklom zmysle slova. Pri budovaní svojich systémov logika nakoniec vychádza z analýzy skutočného myslenia. Ale výsledky tejto analýzy sú syntetické, nediferencované. Nie sú to vyhlásenia o žiadnych samostatných procesoch alebo udalostiach, ktoré by teória mala vysvetliť. Je zrejmé, že takúto analýzu nemožno nazvať pozorovaním: vždy sa pozoruje konkrétny jav.

Vedec pri konštrukcii novej teórie zvyčajne vychádza z faktov, z toho, čo možno pozorovať v experimente. Nech je jeho tvorivá predstavivosť akokoľvek slobodná, musí rátať s jednou nevyhnutnou okolnosťou: teória má zmysel len vtedy, keď súhlasí s faktami, ktoré sa k nej vzťahujú. Teória, ktorá nesúhlasí s faktami a pozorovaniami, je pritiahnutá a nemá žiadnu hodnotu.

Ale ak neexistujú žiadne experimenty v logike, žiadne fakty a žiadne pozorovanie samotné, čo potom brzdí logickú fantáziu? Aké faktory, ak nie fakty, sa berú do úvahy pri vytváraní nových logických teórií?

Rozpor medzi logickou teóriou a praxou reálneho myslenia sa často odhaľuje v podobe viac-menej akútneho logického paradoxu, ba niekedy až v podobe logickej antinómie, ktorá hovorí o vnútornej nejednotnosti teórie. To len vysvetľuje dôležitosť, ktorá sa pripisuje paradoxom v logike, a veľkú pozornosť, ktorej sa v nej tešia.

Varianty paradoxu „klamára“.

Najznámejší a možno aj najzaujímavejší zo všetkých logických paradoxov je paradox klamára. Bol to on, kto preslávil meno Eubulida z Milétu, ktorý ho objavil.

Existujú varianty tohto paradoxu alebo antinómie, z ktorých mnohé sú paradoxné len zdanlivo.

V najjednoduchšej verzii "Klamár" človek hovorí iba jednu frázu: "Klamem." Alebo povie: "Vyhlásenie, ktoré teraz robím, je nepravdivé." Alebo: "Toto vyhlásenie je nepravdivé."

Ak je vyhlásenie nepravdivé, hovorca povedal pravdu, a preto to, čo povedal, nie je lož. Ak vyhlásenie nie je nepravdivé a hovorca tvrdí, že je nepravdivé, potom je toto vyhlásenie nepravdivé. Ukazuje sa teda, že ak rečník klame, hovorí pravdu a naopak.

V stredoveku bola bežná formulácia:

„To, čo povedal Platón, je nepravdivé,“ hovorí Sokrates.

„To, čo povedal Sokrates, je pravda,“ hovorí Platón.

Vynára sa otázka, ktorý z nich vyjadruje pravdu a ktorý je lož?

A tu je novodobý paradox tohto paradoxu. Predpokladajme, že na prednej strane karty sú napísané iba slová: "Na druhej strane tejto karty je napísané pravdivé tvrdenie." Je jasné, že tieto slová predstavujú zmysluplné vyhlásenie. Otočením karty musíme buď nájsť sľúbený výpis, alebo tam nie je. Ak je to napísané na zadnej strane, potom je to buď pravda, alebo nie. Na zadnej strane sú však slová: „Na druhej strane tejto karty je napísané nepravdivý výrok“ – a nič viac. Predpokladajme, že tvrdenie na prednej strane je pravdivé. Potom musí byť tvrdenie na zadnej strane pravdivé, a teda tvrdenie na prednej strane musí byť nepravdivé. Ale ak je tvrdenie na prednej strane nepravdivé, potom tvrdenie na zadnej strane musí byť tiež nepravdivé, a preto tvrdenie na prednej strane musí byť pravdivé. Výsledkom je paradox.

Paradox klamárov urobil na Grékov obrovský dojem. A je ľahké pochopiť prečo. Otázka, ktorú kladie na prvý pohľad, vyzerá celkom jednoducho: klame ten, kto hovorí len to, že klame? Ale odpoveď „áno“ vedie k odpovedi „nie“ a naopak. A reflexia vôbec neobjasňuje situáciu. Za jednoduchosťou a dokonca rutinou otázky odhaľuje určitú nejasnú a nezmerateľnú hĺbku.

Existuje dokonca legenda, že istý Filit Kossky, ktorý sa zúfalo snažil vyriešiť tento paradox, spáchal samovraždu. Hovorí sa tiež, že jeden zo slávnych starogréckych logikov, Diodorus Kronos, sa už vo svojich rokoch zaprisahal, že nebude jesť, kým nenájde riešenie „klamára“, a čoskoro zomrel bez toho, aby niečo dosiahol.

V stredoveku sa tento paradox označoval ako takzvané nerozhodnuteľné vety a stal sa predmetom systematickej analýzy.

V modernej dobe „Klamár“ dlho nepútal žiadnu pozornosť. V súvislosti s používaním jazyka nevideli žiadne, ani menšie ťažkosti. A to len v našom tzv moderné časy vývoj logiky konečne dosiahol úroveň, v ktorej sa problémy, ktoré sa zdajú byť za týmto paradoxom, môžu byť formulované už striktne.

Teraz je „klamár“ – tento typický bývalý sofizmus – často označovaný za kráľa logických paradoxov. Venuje sa mu rozsiahla vedecká literatúra. A predsa, rovnako ako v prípade mnohých iných paradoxov, nie je celkom jasné, aké problémy sa za tým skrývajú a ako sa ich zbaviť.

Jazyk a metajazyk

Teraz sa „Klamár“ zvyčajne považuje za charakteristický príklad ťažkostí, ku ktorým vedie zámena dvoch jazykov: jazyk, v ktorom sa hovorí o realite, ktorá leží mimo neho, a jazyk, v ktorom sa hovorí o samom prvý jazyk.

AT každodenný jazyk medzi týmito úrovňami nie je rozdiel: hovoríme tým istým jazykom o realite ao jazyku. Napríklad osoba, ktorej rodným jazykom je ruština, nevidí veľký rozdiel medzi tvrdeniami: „Sklo je priehľadné“ a „Je pravda, že sklo je priehľadné“, hoci jeden z nich hovorí o skle a druhý o tvrdení o sklo.

Ak by niekoho napadlo, že je potrebné hovoriť o svete v jednom jazyku a o vlastnostiach tohto jazyka v inom, mohol by použiť dva rôzne existujúcich jazykov Povedzme rusky a anglicky. Namiesto toho, aby som len povedal „Krava je podstatné meno“, povedal by som „Krava je podstatné meno“ a namiesto „Vyhlásenie „Sklo nie je priehľadné“ je nepravdivé, povedal by som „Tvrdenie „Sklo nie je priehľadné“ je nepravdivé. ". Pri tomto použití dvoch rôzne jazyky to, čo sa hovorí o svete, by sa jasne líšilo od toho, čo sa hovorí o jazyku, ktorým sa hovorí o svete. V skutočnosti by sa prvé vyhlásenie týkalo ruského jazyka, zatiaľ čo druhé by odkazovalo na angličtinu.

Ak by sa náš expert na jazyky chcel ďalej vyjadrovať o niektorých okolnostiach, ktoré sa už týkajú anglického jazyka, môže použiť iný jazyk. Povedzme nemecky. Ak chcete hovoriť o tom druhom, mohli by ste sa uchýliť, povedzme, k španielskemu jazyku atď.

Ukazuje sa teda akýsi rebrík alebo hierarchia jazykov, z ktorých každý sa používa na veľmi špecifický účel: v prvom sa hovorí o objektívnom svete, v druhom - o tomto prvom jazyku, v tretí - o druhom jazyku atď. Takéto rozlišovanie medzi jazykmi podľa oblasti ich použitia je zriedkavým javom bežný život. Ale vo vedách, ktoré sa podobne ako logika špeciálne zaoberajú jazykmi, sa to niekedy ukazuje ako veľmi užitočné. Jazyk používaný na rozprávanie o svete sa zvyčajne nazýva objektový jazyk. Jazyk používaný na opis jazyka predmetu sa nazýva metajazyk.

Je jasné, že ak sa takto vymedzí jazyk a metajazyk, výrok „klamem“ sa už nedá formulovať. Hovorí o nepravdivosti toho, čo sa hovorí v ruštine, a preto odkazuje na metajazyk a musí byť vyjadrené v anglický jazyk. Konkrétne by to malo znieť takto: „Všetko, čo hovorím po rusky, je falošné“ („Všetko, čo hovorím po rusky, je falošné“); tento anglický výrok o sebe nič nehovorí a nevzniká žiaden paradox.

Rozdiel medzi jazykom a metajazykom umožňuje odstrániť paradox „klamára“. Takto je možné správne, bez protirečení, definovať klasický pojem pravdy: pravdivé je tvrdenie, ktoré zodpovedá realite, ktorú opisuje.

Pojem pravdy, ako všetky ostatné sémantické pojmy, má relatívny charakter: vždy ho možno pripísať určitému jazyku.

Ako ukázal poľský logik A. Tarsky, klasická definícia pravda musí byť formulovaná v širšom jazyku, než je jazyk, pre ktorý je určená. Inými slovami, ak chceme naznačiť, v čom je slovné spojenie „výrok pravdivý daný jazyk“, je potrebné okrem výrazov tohto jazyka používať aj výrazy, ktoré sa v ňom nenachádzajú.

Tarski predstavil koncept sémanticky uzavretého jazyka. Takýto jazyk zahŕňa okrem výrazov aj ich názvy a, čo je dôležité zdôrazniť, aj výroky o pravdivosti viet v ňom formulovaných.

V sémanticky uzavretom jazyku neexistuje hranica medzi jazykom a metajazykom. Jeho prostriedky sú také bohaté, že umožňujú nielen tvrdiť niečo o mimojazykovej realite, ale aj hodnotiť pravdivosť takýchto tvrdení. Tieto prostriedky postačujú najmä na reprodukovanie antinómie „klamár“ v jazyku. Sémanticky uzavretý jazyk sa tak ukazuje ako protirečivý. Každý prirodzený jazyk je evidentne sémanticky uzavretý.

Jediným prijateľným spôsobom, ako odstrániť antinómiu a tým aj vnútornú nekonzistentnosť, je podľa Tarského upustiť od používania sémanticky uzavretého jazyka. Táto cesta je prijateľná, samozrejme, iba v prípade umelých, formalizovaných jazykov, ktoré umožňujú jasné rozdelenie na jazyk a metajazyk. V prirodzených jazykoch s ich nejasnou štruktúrou a schopnosťou rozprávať o všetkom v rovnakom jazyku nie je tento prístup príliš reálny. Nemá zmysel nastoľovať otázku vnútornej konzistentnosti týchto jazykov. Ich bohaté výrazové možnosti majú aj svoju odvrátenú stránku – paradoxy.

Iné riešenia paradoxu

Existujú teda výroky, ktoré hovoria o vlastnej pravde alebo nepravde. Myšlienka, že tieto druhy vyhlásení nie sú zmysluplné, je veľmi stará. Bránil ju starogrécky logik Chrysippus.

V stredoveku anglický filozof a logik W. Ockham uviedol, že výrok „Každý výrok je nepravdivý“ je nezmyselný, keďže okrem iného hovorí o vlastnej nepravdivosti. Z tohto tvrdenia priamo vyplýva rozpor. Ak je každý výrok nepravdivý, potom je nepravdivý aj samotný výrok; ale to, že je nepravdivé, znamená, že nie každý návrh je nepravdivý. Podobne je to aj s výrokom „Každý výrok je pravdivý“. Musí byť tiež klasifikovaný ako nezmyselný a tiež vedie k rozporu: ak je pravdivé každé tvrdenie, potom je pravdivá aj samotná negácia tohto tvrdenia, teda tvrdenie, že nie každé tvrdenie je pravdivé.

Prečo však výrok nemôže zmysluplne hovoriť o svojej vlastnej pravde alebo nepravde?

Už ako súčasník Ockhama, francúzsky filozof 14. storočie J. Buridan s jeho rozhodnutím nesúhlasil. Z pohľadu bežných predstáv o nezmyselnosti sú výrazy ako „klamem“, „Každý výrok je pravdivý (nepravdivý)“ atď. celkom zmysluplné. O čom môžete premýšľať, čo môžete povedať - to je všeobecný princíp Buridanu. Človek môže premýšľať o pravdivosti výroku, ktorý vyslovuje, čo znamená, že o ňom môže hovoriť. Nie všetky vyhlásenia o sebe sú nezmyselné. Napríklad výrok „Táto veta je napísaná v ruštine“ je pravdivý, ale výrok „V tejto vete je desať slov“ je nepravdivý. A obe dávajú dokonalý zmysel. Ak sa pripúšťa, že výpoveď môže hovoriť sama o sebe, prečo potom nemôže zmysluplne hovoriť o takej vlastnej vlastnosti, ako je pravda?

Samotný Buridan nepovažoval výrok „klamem“ za nezmyselný, ale za falošný. Zdôvodnil to takto. Keď niekto potvrdí návrh, potvrdí tým, že je pravdivý. Ak veta o sebe hovorí, že je sama o sebe nepravdivá, tak je to len skrátená formulácia viac komplexný prejav tvrdiť svoju pravdu aj nepravdu. Tento výraz je protirečivý, a preto nepravdivý. Ale v žiadnom prípade to nie je bezvýznamné.

Buridanov argument sa dodnes niekedy považuje za presvedčivý.

Existujú aj ďalšie línie kritiky riešenia paradoxu „klamára“, ktorý podrobne rozpracoval Tarski. Naozaj neexistuje protijed na paradoxy tohto typu v sémanticky uzavretých jazykoch – a všetky prirodzené jazyky sú predsa?

Ak by to tak bolo, potom by sa pojem pravdy dal definovať rigoróznym spôsobom iba vo formalizovaných jazykoch. Len v nich je možné rozlíšiť predmetový jazyk, v ktorej hovoria o svete okolo seba, a metajazyku, v ktorom o tomto jazyku hovoria. Táto hierarchia jazykov je založená na osvojovaní si cudzieho jazyka pomocou rodného jazyka. Štúdium takejto hierarchie viedlo k mnohým zaujímavým záverom a v určitých prípadoch je to nevyhnutné. Ale v prirodzenom jazyku neexistuje. Diskredituje ho to? A ak áno, do akej miery? Koniec koncov, pojem pravda sa v nej stále používa a zvyčajne bez akýchkoľvek komplikácií. Je zavedenie hierarchie jediný spôsob, ako odstrániť paradoxy ako Klamár?

V 30. rokoch sa odpovede na tieto otázky zdali nepochybne kladné. V súčasnosti však neexistuje bývalá jednomyseľnosť, hoci tradícia odstraňovania paradoxov tohto typu „stratifikáciou“ jazyka zostáva dominantná.

V poslednej dobe vzbudzujú čoraz väčšiu pozornosť egocentrické prejavy. Obsahujú slová ako „ja“, „toto“, „tu“, „teraz“ a ich pravdivosť závisí od toho, kedy, kým a kde sú použité.

Vo vyhlásení „Toto vyhlásenie je nepravdivé“ sa vyskytuje slovo „toto“. Na aký predmet sa vzťahuje? „Klamár“ môže naznačovať, že slovo „to“ neodkazuje na význam daného tvrdenia. Ale čo to potom znamená, čo to znamená? A prečo sa tento význam stále nedá označiť slovom „toto“?

Bez toho, aby sme tu zachádzali do detailov, stojí za zmienku len to, že v rámci rozboru egocentrických prejavov je „Klamár“ naplnený úplne iným obsahom ako doteraz. Ukazuje sa, že už nevaruje pred zámenou jazyka a metajazyka, ale poukazuje na nebezpečenstvo spojené so zneužívaním slova „toto“ a podobných egocentrických slov.

Problémy, ktoré sa po stáročia spájali s „Klamárom“, sa radikálne zmenili v závislosti od toho, či bol považovaný za príklad nejednoznačnosti, alebo ako výraz, ktorý sa navonok javí ako príklad zmesi jazyka a metajazyka, alebo napokon, ako typický príklad zneužívanie egocentrických výrazov. A nie je isté, že s týmto paradoxom sa v budúcnosti nebudú spájať ďalšie problémy.

Známy moderný fínsky logik a filozof H. von Wright vo svojom diele o Klamárovi napísal, že tento paradox v žiadnom prípade nemožno chápať ako lokálnu izolovanú prekážku, ktorú možno odstrániť jedným invenčným myšlienkovým pohybom. Klamár sa dotýka mnohých najdôležitejších tém v logike a sémantike. Toto je definícia pravdy, výklad protirečenia a dôkazov a celý rad dôležitých rozdielov: medzi vetou a myšlienkou, ktorú vyjadruje, medzi použitím výrazu a jeho zmienkou, medzi významom mena a objekt, ktorý označuje.

Podobne je to aj s ďalšími logickými paradoxmi. „Antinómie logiky,“ píše von Wright, „nás mátli od svojho objavu a pravdepodobne nás budú mátať vždy. Myslím si, že by sme ich nemali považovať ani tak za problémy, ktoré čakajú na vyriešenie, ale za nevyčerpateľný materiál na zamyslenie. Sú dôležité, pretože premýšľanie o nich sa dotýka najzákladnejších otázok celej logiky, a teda aj myslenia.

Na záver tohto rozhovoru o „klamárovi“ si môžeme pripomenúť kurióznu epizódu z čias, keď sa v škole ešte vyučovala formálna logika. V učebnici logiky vydanej koncom 40. rokov 20. storočia boli žiaci ôsmeho ročníka požiadaní ako domáca úloha – takpovediac na rozcvičku –, aby našli chybu v tomto jednoducho vyzerajúcom výroku: „Klamem“. A nech sa to nezdá divné, verilo sa, že väčšina školákov sa s takouto úlohou úspešne vyrovnala.

2. Russellov paradox

Najznámejší z paradoxov objavených už v našom storočí je antinómia objavená B. Russellom a ním komunikovaná v liste G. Fergeovi. O rovnakej antinómii diskutovali súčasne v Göttingene nemeckí matematici Z. Zermelo a D. Hilbert.

Nápad bol vo vzduchu a jeho zverejnenie vyvolalo dojem vybuchujúcej bomby. Tento paradox spôsobil v matematike podľa Hilberta efekt úplnej katastrofy. Vyhrážal sa tým najjednoduchším a najdôležitejším logické metódy, najbežnejšie a najužitočnejšie koncepty.

Okamžite sa ukázalo, že ani v logike, ani v matematike ako celku dlhá história za ich existencie sa nevypracovalo absolútne nič, čo by mohlo slúžiť ako základ na odstránenie antinómie. Je zrejmé, že odklon od zaužívaných spôsobov myslenia bol nevyhnutný. Ale odkiaľ a akým smerom? Aké radikálne malo byť odmietnutie zavedených spôsobov teoretizovania?

S daľší výskum antinómii, presvedčenie o potrebe zásadne nového prístupu neustále rástlo. Špecialisti na základy logiky a matematiky L. Frenkel a I. Bar-Hillel už polstoročie po objavení bez výhrad konštatovali: , zatiaľ bez výnimky zlyhali, na tento účel zjavne nepostačujú.

Moderný americký logik H. Curry o tomto paradoxe o niečo neskôr napísal: „V zmysle logiky známej v 19. storočí sa situácia jednoducho vzpierala vysvetleniu, aj keď, samozrejme, v našej vzdelanej dobe môžu byť ľudia, ktorí vidia (resp. si myslia, že vidia), aká je chyba?

Russellov paradox vo svojej pôvodnej podobe súvisí s pojmom množina, čiže trieda.

Môžeme hovoriť o množinách rôznych predmetov, napríklad o množine všetkých ľudí alebo o množine prirodzených čísel. Akýkoľvek prvok prvej množiny bude individuálna osoba, prvkom druhého je každé prirodzené číslo. Za nejaké objekty je možné považovať aj množiny samotné a hovoriť o množinách. Dokonca je možné zaviesť také pojmy ako množina všetkých množín alebo množina všetkých pojmov.

Sada obyčajných súprav

Pokiaľ ide o ľubovoľnú množinu, zdá sa byť rozumné položiť si otázku, či je jej vlastným prvkom alebo nie. Množiny, ktoré samy seba neobsahujú ako prvok, sa budú nazývať obyčajné. Napríklad množina všetkých ľudí nie je osoba, rovnako ako množina atómov nie je atóm. Sady, ktoré sú správnymi prvkami, budú nezvyčajné. Napríklad množina, ktorá spája všetky množiny, je množina, a preto obsahuje samú seba ako prvok.

Zvážte teraz množinu všetkých bežných množín. Keďže ide o súpravu, možno sa na ňu aj opýtať, či je obyčajná alebo nevšedná. Odpoveď je však odrádzajúca. Ak je obyčajný, potom podľa definície musí obsahovať sám seba ako prvok, pretože obsahuje všetky bežné množiny. To ale znamená, že ide o nezvyčajnú zostavu. Predpoklad, že naša množina je obyčajná množina, teda vedie k rozporu. Takže to nemôže byť normálne. Na druhej strane to nemôže byť ani nezvyčajné: nezvyčajná zostava obsahuje seba ako prvok a prvky našej zostavy sú len obyčajné zostavy. V dôsledku toho prichádzame k záveru, že množina všetkých obyčajných množín nemôže byť ani obyčajná, ani mimoriadna.

Množina všetkých množín, ktoré nie sú vlastnými prvkami, je teda vlastným prvkom vtedy a len vtedy, ak takýmto prvkom nie je. To je jasný rozpor. A bolo získané na základe tých najpravdepodobnejších predpokladov a pomocou zdanlivo nespochybniteľných krokov.

Rozpor hovorí, že takýto súbor jednoducho neexistuje. Ale prečo nemôže existovať? Koniec koncov, pozostáva z predmetov, ktoré spĺňajú presne definovanú podmienku a samotná podmienka sa nezdá byť nejako výnimočná alebo nejasná. Ak takto jednoducho a jasne definovaná množina nemôže existovať, aký je potom v skutočnosti rozdiel medzi možnými a nemožnými množinami? Záver o neexistencii uvažovaného súboru vyznieva nečakane a vyvoláva úzkosť. On robí naše všeobecný pojem je amorfný a chaotický a neexistuje žiadna záruka, že nie je schopný generovať nejaké nové paradoxy.

Russellov paradox je pozoruhodný svojou extrémnou všeobecnosťou. Na jeho stavbu nie sú potrebné zložité technické koncepty, keďže v prípade niektorých iných paradoxov postačujú pojmy „množina“ a „prvok množiny“. Ale táto jednoduchosť hovorí o jej základnej povahe: dotýka sa najhlbších základov nášho uvažovania o množinách, pretože nehovorí o niektorých špeciálnych prípadoch, ale o množinách všeobecne.

Iné varianty paradoxu

Russellov paradox nie je špecificky matematický. Používa koncept množiny, ale nedotýka sa žiadnych špeciálnych vlastností spojených špeciálne s matematikou.

Toto sa ukáže, keď je paradox preformulovaný v čisto logických termínoch.

Pri každej vlastnosti sa možno s najväčšou pravdepodobnosťou pýtať, či je na ňu použiteľná alebo nie.

Vlastnosť byť horúci, napríklad, sa nevzťahuje na neho samého, pretože sám nie je horúci; vlastnosť byť konkrétny sa tiež nevzťahuje na seba, pretože je to abstraktná vlastnosť. Ale vlastnosť byť abstraktný, byť abstraktný, je aplikovateľný na seba. Nazvime tieto vlastnosti nepoužiteľné pre seba nepoužiteľné. Platí vlastnosť byť nepoužiteľný na seba? Ukazuje sa, že neuplatniteľnosť je neuplatniteľná, len ak nie je. To je, samozrejme, paradoxné.

Logická verzia Russellovej antinómie súvisiaca s majetkom je rovnako paradoxná ako matematická verzia súvisiaca s množinami.

Russell tiež navrhol nasledujúcu populárnu verziu paradoxu, ktorý objavil.

Predstavte si, že rada jednej dediny definovala povinnosti holiča takto: oholiť všetkých mužov z dediny, ktorí sa neholia sami, a len týchto mužov. Mal by sa oholiť sám? Ak áno, bude sa to týkať tých, ktorí sa holia sami, a tých, ktorí sa holia sami, by sa nemal holiť. Ak nie, bude patriť k tým, ktorí sa neholia sami, a preto sa bude musieť oholiť sám. Dospievame tak k záveru, že tento holič sa oholí vtedy a len vtedy, ak sa neholí sám. To je, samozrejme, nemožné.

Argument o holičovi je založený na predpoklade, že taký holič existuje. Výsledný rozpor znamená, že tento predpoklad je nepravdivý a neexistuje taký dedinčan, ktorý by oholil všetkých a len tých dedinčanov, ktorí sa neholia sami.

Povinnosti kaderníka sa na prvý pohľad nezdajú protirečivé, a tak záver, že jeden nemôže byť, vyznieva akosi nečakane. Tento záver však nie je paradoxný. Podmienka, ktorú musí dedinský holič splniť, je v skutočnosti protichodná, a teda nemožná. V obci nemôže byť taký kaderník z toho istého dôvodu, že v nej nie je človek, ktorý by bol starší ako on sám, alebo ktorý by sa narodil pred jeho narodením.

Hádka o kaderníčke sa dá nazvať pseudoparadoxom. Vo svojom priebehu je striktne analogický s Russellovým paradoxom a práve preto je zaujímavý. Ale stále to nie je skutočný paradox.

Ďalším príkladom toho istého pseudo-paradoxu je známa úvaha o adresári.

Istá knižnica sa rozhodla zostaviť bibliografický katalóg, ktorý by obsahoval všetky a len tie bibliografické katalógy, ktoré neobsahujú odkazy na seba. Mal by takýto adresár obsahovať odkaz na seba?

Je ľahké ukázať, že myšlienka vytvorenia takéhoto katalógu nie je realizovateľná; jednoducho nemôže existovať, pretože musí súčasne obsahovať odkaz na seba a nie zahŕňať.

Je zaujímavé poznamenať, že katalogizáciu všetkých adresárov, ktoré neobsahujú odkazy na seba, možno považovať za nekonečný, nikdy nekončiaci proces. Povedzme, že v určitom bode bol skompilovaný adresár, povedzme K1, vrátane všetkých ostatných adresárov, ktoré neobsahujú odkazy na seba. S vytvorením K1 sa objavil ďalší adresár, ktorý neobsahuje odkaz na seba. Keďže cieľom je vytvoriť kompletný katalóg všetkých adresárov, ktoré sa neuvádzajú, je zrejmé, že K1 nie je riešením. Jeden z týchto adresárov nespomína – seba. Vrátane tejto zmienky o sebe v K1 dostaneme katalóg K2. Spomína K1, ale nie samotnú K2. Pridaním takejto zmienky ku K2 dostaneme KZ, ktorá opäť nie je úplná kvôli tomu, že sa sama o sebe nezmieňuje. A ďalej bez konca.

3. Paradoxy Grellinga a Berryho

Zaujímavý logický paradox objavili nemeckí logici K. Grelling a L. Nelson (Grellingov paradox). Tento paradox možno formulovať veľmi jednoducho.

Autologické a heterologické slová

Niektoré slová označujúce vlastnosti majú práve tú vlastnosť, ktorú pomenúvajú. Napríklad prídavné meno „ruský“ je samo o sebe ruské, „viacslabičné“ je samo viacslabičné a „päťslabičné“ má päť slabík. Takéto slová odkazujúce na seba sa nazývajú sebavýznamové alebo autologické.

Takých slov nie je až tak veľa, prevažná väčšina prídavných mien nemá vlastnosti, ktoré pomenúva. „New“ nie je, samozrejme, nové, „hot“ je horúce, „jednoslabičné“ je jednoslabičné a „angličtina“ je angličtina. Slová, ktoré nemajú vlastnosť, ktorú označujú, sa nazývajú aliasy alebo heterologické. Je zrejmé, že všetky prídavné mená označujúce vlastnosti, ktoré sa nevzťahujú na slová, budú heterologické.

Toto rozdelenie prídavných mien do dvoch skupín sa zdá byť jasné a bez výhrad. Môže sa rozšíriť na podstatné mená: „slovo“ je slovo, „podstatné meno“ je podstatné meno, ale „hodiny“ nie sú hodiny a „sloveso“ nie je sloveso.

Hneď po položení otázky nastáva paradox: ku ktorej z týchto dvoch skupín patrí samotný prívlastok „heterologický“? Ak je autologický, má vlastnosť, ktorú označuje a musí byť heterologický. Ak je heterologický, nemá vlastnosť, ktorú nazýva, a preto musí byť autologický. Existuje paradox.

Analogicky s týmto paradoxom je ľahké formulovať ďalšie paradoxy rovnakej štruktúry. Napríklad, je alebo nie je samovrah, ktorý zabije každého nesamovražedného človeka a nezabije žiadneho samovraha?

Ukázalo sa, že Grelligov paradox bol v stredoveku známy ako antinómia výrazu, ktorý sám seba nepomenúva. Možno si predstaviť, aký je postoj k sofizmom a paradoxom v modernej dobe, keby sa na problém, ktorý si vyžadoval odpoveď a vyvolal živú diskusiu, zrazu zabudlo a znovu sa objavil až o päťsto rokov neskôr!

Ďalšiu, navonok jednoduchú antinómiu naznačil na samom začiatku nášho storočia D. Berry.

Množina prirodzených čísel je nekonečná. Množina tých názvov týchto čísel, ktoré sú dostupné napríklad v ruskom jazyku a obsahujú menej ako, povedzme, sto slov, je konečná. To znamená, že existujú také prirodzené čísla, pre ktoré v ruštine neexistujú mená, ktoré pozostávajú z menej ako sto slov. Medzi týmito číslami je zjavne najmenšie číslo. Nedá sa nazvať ruským výrazom obsahujúcim menej ako sto slov. Ale výraz: „Najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré v ruštine neexistuje názov zlúčeniny, zložený z menej ako sto slov“ je len názov tohto čísla! Tento názov bol práve sformulovaný v ruštine a obsahuje iba devätnásť slov. Zjavný paradox: Pomenované číslo sa ukázalo ako číslo, pre ktoré neexistuje žiadne meno!

4. Neriešiteľný spor

Jadrom jedného slávneho paradoxu je to, čo sa zdá byť malým incidentom, ktorý sa stal pred viac ako dvetisíc rokmi a na ktorý sa dodnes nezabudlo.

Slávny sofista Protagoras, ktorý žil v 5. stor. pred Kr., tam bol študent menom Euathlus, ktorý študoval právo. Podľa dohody, ktorú medzi sebou uzavreli, mal Euathlus zaplatiť za školenie, iba ak by vyhral svoj prvý súdny spor. Ak tento proces prehrá, nie je povinný platiť vôbec. Evatl sa však po ukončení štúdia do procesov nezapájal. Trvalo to pomerne dlho, učiteľovi došla trpezlivosť a na svojho žiaka podal žalobu. Pre Euathlu to bol teda prvý súdny proces. Prótagoras odôvodnil svoju požiadavku takto:

„Bez ohľadu na rozhodnutie súdu, Euathlus mi bude musieť zaplatiť. Buď vyhrá svoj prvý pokus, alebo prehrá. Ak vyhrá, zaplatí na základe našej zmluvy. Ak prehrá, zaplatí podľa tohto rozhodnutia.

Euathlus bol zrejme schopný študent, ako odpovedal Prótagorovi:

- Vskutku, buď ten proces vyhrám, alebo prehrám. Ak vyhrám, súdne rozhodnutie ma oslobodí od povinnosti platiť. Ak rozhodnutie súdu nebude v môj prospech, potom som prehral svoj prvý prípad a nebudem platiť na základe našej zmluvy.

Riešenie Protagoras a Euathlus paradox

Protagoras, zmätený týmto obratom veci, venoval tomuto sporu s Euathlusom špeciálnu esej „Litigation for Payment“. Bohužiaľ, ako väčšina toho, čo napísal Protagoras, sa k nám nedostalo. Napriek tomu treba vzdať hold Protagorasovi, ktorý za jednoduchým súdnym incidentom okamžite vycítil problém, ktorý si zaslúži osobitnú štúdiu.

Tento spor bral vážne aj G. Leibniz, sám vzdelaním právnik. Vo svojej doktorandskej dizertačnej práci „Štúdia zložitých prípadov práva“ sa pokúsil dokázať, že všetky prípady, dokonca aj tie najzložitejšie, ako napríklad súdne spory Protagoras a Euathlus, musia nájsť správne rozlíšenie na základe zdravého rozumu. Podľa Leibniza by mal súd odmietnuť Protagorasa pre predčasné podanie žaloby, ponechať mu však právo požadovať od Evatla vyplatenie peňazí neskôr, a to až po prvom víťaznom procese.

Bolo navrhnutých mnoho ďalších riešení tohto paradoxu.

Poukázali najmä na to, že rozhodnutie súdu musí mať veľkú silu než súkromná dohoda medzi dvoma ľuďmi. Dá sa odpovedať, že bez tejto dohody, akokoľvek bezvýznamnej sa môže zdať, by neexistoval ani súd, ani jeho rozhodnutie. Veď súd musí rozhodnúť práve pri svojej príležitosti a na jej základe.

Apelovali aj na všeobecnú zásadu, že každé dielo, a teda dielo Prótagorasa, musí byť zaplatené. Ale je známe, že tento princíp mal vždy výnimky, najmä v spoločnosti, ktorá vlastní otrokov. Navyše to jednoducho nie je použiteľné na konkrétnu situáciu sporu: koniec koncov Protagoras, ručenie vysoký stupeňškolenia, sám odmietol prijať platbu v prípade neúspechu svojho študenta v prvom procese.

Niekedy sa takto rozprávajú. Protagoras aj Euathlus majú čiastočne pravdu a ani jeden z nich vo všeobecnosti. Každý z nich berie do úvahy len polovicu možností, ktoré sú pre neho prospešné. Úplná alebo komplexná úvaha otvára štyri možnosti, z ktorých len polovica je výhodná pre jedného z diskutujúcich. O tom, ktorá z týchto možností bude realizovaná, rozhodne nie logika, ale život. Ak bude mať verdikt sudcov väčšiu silu ako zmluva, Euathl bude musieť zaplatiť len vtedy, ak prehrá proces, t.j. na základe rozhodnutia súdu. Ak je však súkromná dohoda umiestnená vyššie ako rozhodnutie sudcov, potom Protagoras dostane platbu iba v prípade prehry v procese s Evatlusom, t.j. na základe dohody s Protagorasom.

Tento apel na život nakoniec všetko zamotá. Čím, ak nie logikou, sa môžu sudcovia riadiť v podmienkach, keď sú všetky relevantné okolnosti úplne jasné? A čo to bude za vedenie, ak Protagoras, ktorý sa domáha platby súdnou cestou, to dosiahne len prehrou v procese?

Leibnizove riešenie, ktoré na prvý pohľad pôsobí presvedčivo, je však o niečo lepšie ako nejasný protiklad logiky a života. Leibniz v podstate navrhuje so spätnou platnosťou zmeniť znenie zmluvy a stanoviť, že prvou žalobou týkajúcou sa Euathlusa, ktorej výsledok rozhodne o otázke platby, by nemal byť proces s Protagorasom. Táto myšlienka je hlboká, ale nesúvisí s konkrétnym súdom. Ak by v pôvodnej dohode bola takáto klauzula, súdne spory by vôbec neboli potrebné.

Ak riešením tohto problému pochopíme odpoveď na otázku, či má Euathlus zaplatiť Prótagora alebo nie, potom sú všetky tieto, ako všetky ostatné mysliteľné riešenia, samozrejme neudržateľné. Nie sú ničím iným ako odklonom od podstaty sporu, sú takpovediac rafinovanými trikmi a prefíkanosťou v bezvýchodiskovej a neriešiteľnej situácii. Spor totiž nemôže vyriešiť ani zdravý rozum, ani žiadne všeobecné zásady týkajúce sa spoločenských vzťahov.

Nie je možné realizovať zmluvu v jej pôvodnej podobe a rozhodnutie súdu, nech už je akékoľvek. Na dôkaz toho stačia jednoduché logické prostriedky. Rovnakým spôsobom možno preukázať, že zmluva je napriek svojmu úplne nevinnému vzhľadu v rozpore so sebou samým. Vyžaduje si to realizáciu logicky nemožného návrhu: Euathlus musí za vzdelanie zaplatiť a zároveň nezaplatiť.

Pravidlá, ktoré vedú do slepej uličky

Ľudská myseľ, zvyknutá nielen na jej silu, ale aj pružnosť, ba až vynaliezavosť, sa, samozrejme, ťažko zmieruje s touto absolútnou beznádejou a priznáva, že bola zahnaná do slepej uličky. To je obzvlášť ťažké, keď slepú uličku vytvára samotná myseľ: tá sa takpovediac z ničoho nič potkne a upadne do vlastných sietí. Treba však priznať, že niekedy, a mimochodom, nie tak zriedka, spontánne alebo vedome zavedené dohody a systémy pravidiel vedú k neriešiteľným, beznádejným situáciám.

Príklad z nedávneho šachového života túto myšlienku opäť potvrdí.

Medzinárodné pravidlá pre šachové súťaže ukladajú šachistom povinnosť zaznamenať hru ťah po ťahu zreteľne a čitateľne. Pravidlá donedávna tiež stanovovali, že šachista, ktorý pre nedostatok času zmeškal záznam niekoľkých ťahov, musí „hneď ako sa jeho časové problémy skončia, ihneď vyplniť formulár, pričom si zameškané ťahy zapíše“. Na základe tohto pokynu jeden rozhodca na šachovej olympiáde v roku 1980 (Malta) prerušil hru, ktorá prebiehala v ťažkých časových problémoch, a zastavil hodiny s vyhlásením, že kontrolné ťahy boli vykonané, a preto je čas zaradiť záznamy hier v poradí.

„Ale prepáčte,“ zvolal účastník, ktorý bol na pokraji prehry a rátal len s intenzitou vášní v závere hry, „veď ešte nepadla ani jedna vlajka a nikto nikdy nemôže (ako je to napísané aj v pravidlách) vie povedať, koľko ťahov bolo vykonaných.

Rozhodcu však podporil hlavný arbiter, ktorý povedal, že skutočne, keďže časová tieseň skončila, je potrebné podľa pravidiel začať evidovať zmeškané ťahy.

V tejto situácii bolo zbytočné sa hádať: samotné pravidlá viedli do slepej uličky. Ostávalo už len zmeniť ich znenie tak, že podobné prípady nemohol v budúcnosti vzniknúť.

Stalo sa tak na kongrese Medzinárodnej šachovej federácie, ktorý sa konal v rovnakom čase: namiesto slov „akonáhle pominú časové problémy“, teraz pravidlá hovoria: „akonáhle vlajka označí koniec času“.

Tento príklad jasne ukazuje, ako na to mŕtve body. Je zbytočné polemizovať o tom, ktorá strana má pravdu: spor je neriešiteľný a víťaz v ňom nebude. Zostáva len vyrovnať sa s prítomnosťou a postarať sa o budúcnosť. Na to je potrebné preformulovať pôvodné dohody alebo pravidlá tak, aby nikoho iného nepriviedli do rovnakej bezvýchodiskovej situácie.

Samozrejme, takýto postup nie je riešením neriešiteľného sporu ani východiskom z bezvýchodiskovej situácie. Ide skôr o zastavenie pred neprekonateľnou prekážkou a cestou okolo nej.

Paradox "krokodíl a matka"

AT Staroveké Grécko veľmi populárny bol príbeh o krokodílovi a matke, ktorý sa svojím logickým obsahom zhodoval s paradoxom „Protagoras a Evatl“.

Krokodíl vytrhol jej dieťa Egypťanke stojacej na brehu rieky. Na jej prosbu o vrátenie dieťaťa krokodíl, ktorý ako vždy ronil krokodíliu slzu, odpovedal:

„Tvoje nešťastie sa ma dotklo a dám ti šancu získať tvoje dieťa späť. Hádajte, či vám ho dám alebo nie. Ak odpoviete správne, dieťa vrátim. Ak neuhádneš, nevrátim ti to.

Matka sa zamyslela a odpovedala:

Dieťa mi nedáš.

"Nedostaneš to," uzavrel krokodíl. Buď si povedal pravdu, alebo nie. Ak je pravda, že sa dieťaťa nevzdám, tak sa ho nevzdám, lebo inak to nebude pravda. Ak to, čo bolo povedané, nie je pravda, tak ste neuhádli a ja dieťa dohodou nedám.

Táto úvaha sa však matke nezdala presvedčivá.

- Ale ak som povedal pravdu, potom mi dáte dieťa, ako sme sa dohodli. Ak som neuhádol, že dieťa nedáš, tak ho musíš dať mne, inak to, čo som povedal, nebude nepravda.

Kto má pravdu: matka alebo krokodíl? K čomu zaväzuje sľub daný krokodílovi? Aby dieťa dávali, alebo naopak nedávali? A obom zároveň. Tento prísľub si protirečí, a preto ho nemožno splniť na základe zákonov logiky.

Misionár sa ocitol u kanibalov a prišiel práve včas na večeru. Nechali ho vybrať si, ako sa bude stravovať. Na to musí vyrieknuť nejaký výrok s podmienkou, že ak sa tento výrok ukáže ako pravdivý, uvaria ho, a ak sa ukáže ako nepravdivý, upečú.

Čo by mal misionár povedať?

Samozrejme, mal by povedať: "Vysmažíte ma."

Ak je naozaj vyprážaný, ukáže sa, že hovoril pravdu, a preto musí byť varený. Ak je uvarený, jeho tvrdenie bude nepravdivé a mal by byť len vyprážaný. Kanibali nebudú mať východisko: z „vyprážania“ nasleduje „varenie“ a naopak.

Táto epizóda prefíkaného misionára je, samozrejme, ďalšou parafrázou sporu medzi Prótagorom a Euathluom.

Paradox Sancha Panzu

Jeden starý paradox známy v starovekom Grécku sa odohráva v Don Quijote od M. Cervantesa. Sancho Panza sa stal guvernérom ostrova Barataria a spravuje súd.

Prvý k nemu prichádza nejaký návštevník a hovorí: „Senior, hlboká rieka delí istý statok na dve polovice... Tak cez túto rieku prehodili most a tam na okraji stojí šibenica a existuje niečo ako súd, na ktorom zvyčajne sedia štyria sudcovia, a tí súdia na základe zákona vydaného vlastníkom rieky, mosta a celého panstva, ktorý zákon je zostavený takto: a ktokoľvek klame, bez akejkoľvek zhovievavosti pošlite na šibenicu, ktorá sa tam nachádza, a popravte. Od čias, keď bol tento zákon vyhlásený v celej svojej prísnosti, sa mnohým podarilo prejsť cez most a len čo sa sudcovia ubezpečili, že okoloidúci hovoria pravdu, nechali ich prejsť. Ale potom jedného dňa muž, ktorý zložil prísahu, prisahal a povedal: Prisahá, že prišiel, aby ho zavesili práve na túto šibenicu a pre nič iné. Táto prísaha zmiatla sudcov a povedali: „Ak bude tomuto mužovi dovolené pokračovať bez prekážok, bude to znamenať, že porušil prísahu a podľa zákona sa vystavuje smrti; ak ho obesíme, potom prisahal, že prišiel len preto, aby bol obesený na tejto šibenici, preto sa ukazuje, že jeho prísaha nie je falošná a na základe toho istého zákona je potrebné nechať ho prejsť. A tak sa vás pýtam, pán guvernér, čo by mali sudcovia urobiť s týmto mužom, pretože sú stále zmätení a váhaví...

Sancho, možno nie bez prefíkanosti, navrhol, aby bola polovica toho, kto povedal pravdu, prepustená a tá, ktorá klamala, bola obesená, a tak by sa vo všetkých formách dodržiavali pravidlá prechodu cez most. Táto pasáž je zaujímavá z viacerých hľadísk.

V prvom rade je to jasná ilustrácia skutočnosti, že patovej situácii opísanej v paradoxe možno čeliť – a nie v čistá teória, ale v praxi - keď už nie skutočný človek, tak aspoň literárny hrdina.

Východisko, ktoré navrhol Sancho Panza, samozrejme nebolo riešením paradoxu. Ale toto bolo len riešenie, ku ktorému sa v jeho pozícii musel uchýliť.

Kedysi dávno Alexander Veľký namiesto toho, aby prefíkaný gordický uzol rozviazal, čo sa ešte nikomu nepodarilo, jednoducho ho prestrihol. Sancho urobil to isté. Snaží sa vyriešiť hádanku na nej vlastné podmienky bola zbytočná - je jednoducho neriešiteľná. Ostávalo tieto podmienky zahodiť a zaviesť si vlastné.

A jeden moment. Cervantes touto epizódou jasne odsudzuje prehnane formálny rozsah stredovekej spravodlivosti, preniknutý duchom scholastickej logiky. Ale aké rozšírené boli v jeho dobe – a to bolo asi pred štyristo rokmi – informácie z oblasti logiky! Tento paradox pozná nielen samotný Cervantes. Spisovateľ zisťuje, že je možné pripísať svojmu hrdinovi, negramotnému sedliakovi, schopnosť pochopiť, že stojí pred neriešiteľnou úlohou!

5. Iné paradoxy

Uvedené paradoxy sú argumenty, ktorých výsledkom je rozpor. V logike však existujú aj iné typy paradoxov. Poukazujú aj na niektoré ťažkosti a problémy, no robia to menej drsným a nekompromisným spôsobom. Ide najmä o paradoxy, o ktorých sa hovorí nižšie.

Paradoxy nepresných pojmov

Väčšina pojmov nielen prirodzeného jazyka, ale aj jazyka vedy je nepresná, alebo, ako sa im hovorí, rozmazaná. Často sa to ukáže ako príčina nedorozumení, sporov alebo dokonca jednoducho vedie k patovej situácii.

Ak je koncept nepresný, hranica oblasti objektov, na ktoré sa vzťahuje, je bez ostrosti, rozmazaná. Vezmime si napríklad pojem „hromada“. Jedno zrnko (zrnko piesku, kameň atď.) ešte nie je hromada. Tisíc zŕn je už, samozrejme, kopa. A tri zrnká? A desať? Aký počet zŕn sa pridáva na vytvorenie kôpky? Nie veľmi jasné. Rovnako nie je jasné, s odstránením akého zrna halda zmizne.

Nepresné sú empirické charakteristiky „veľký“, „ťažký“, „úzky“ atď. Takéto bežné pojmy ako „múdry človek“, „kôň“, „dom“ atď. sú nepresné.

Neexistuje žiadne zrnko piesku, o ktorom po odstránení môžeme povedať, že s jeho odstránením sa to, čo zostane, už nedá nazývať domovom. Ale koniec koncov to zrejme znamená, že v žiadnom momente postupného rozoberania domu – až po jeho úplné zmiznutie – nie je dôvod vyhlasovať, že tam žiadny dom nie je! Záver je jednoznačne paradoxný a skľučujúci.

Je ľahké vidieť, že argument o nemožnosti vytvoriť hromadu sa uskutočňuje pomocou dobre známej metódy matematická indukcia. Jedno zrno nevytvorí kopu. Ak n zŕn nevytvorí kopy, potom n+1 zŕn nevytvorí kopy. Preto žiadny počet zŕn nemôže vytvárať hromady.

Možnosť tohto a podobných dôkazov vedúcich k absurdným záverom znamená, že princíp matematickej indukcie má obmedzený rozsah. Nemalo by sa používať pri uvažovaní s nepresnými, vágnymi pojmami.

Dobrým príkladom toho, ako tieto koncepty môžu viesť k neriešiteľným sporom, je kuriózny súdny proces, ktorý sa odohral v roku 1927 v Spojených štátoch. Sochár C. Brancusi sa obrátil na súd so žiadosťou, aby jeho diela boli uznané za umelecké diela. Medzi dielami zaslanými do New Yorku na výstavu bola aj socha „Bird“, ktorá je dnes považovaná za klasiku abstraktného štýlu. Ide o modulovaný stĺp z lešteného bronzu vysoký asi jeden a pol metra, ktorý nemá vonkajšiu podobnosť s vtákom. Colníci kategoricky odmietli uznať Brancusiho abstraktné výtvory ako umelecké diela. Zaradili ich pod hlavičku „Kovové nemocničné a domáce potreby“ a uvalili na ne vysoké clo. Pobúrený Brancusi zažaloval.

Colníctvo podporovali umelci – členovia Národnej akadémie, ktorí obhajovali tradičné postupy v umení. Na súde vystupovali ako svedkovia obhajoby a kategoricky trvali na tom, že pokus vydávať „Vtáčika“ za umelecké dielo bol jednoducho podvod.

Tento konflikt živo zdôrazňuje náročnosť práce s pojmom „umelecké dielo“. Sochárstvo sa tradične považuje za formu výtvarného umenia. Ale miera podobnosti sochárskeho obrazu s originálom sa môže meniť vo veľmi širokých medziach. A v ktorom momente sochársky obraz, čoraz viac sa vzďaľujúci od originálu, prestáva byť umeleckým dielom a stáva sa „kovovým riadom“? Na túto otázku sa odpovedá rovnako ťažko ako na otázku, kde je hranica medzi domom a jeho ruinami, medzi koňom s chvostom a koňom bez chvosta atď. Mimochodom, modernisti sú vo všeobecnosti presvedčení, že socha je objektom expresívnej formy a vôbec to nemusí byť obraz.

Narábanie s nepresnými pojmami si tak vyžaduje istú dávku opatrnosti. Nebolo by lepšie sa im úplne vyhnúť?

Nemecký filozof E. Husserl bol naklonený vyžadovať od vedomostí takú extrémnu prísnosť a presnosť, aké sa nenachádzajú ani v matematike. V súvislosti s tým Husserlovi životopisci s iróniou spomínajú na príhodu, ktorá sa mu stala v detstve. Bol mu predložený perový nôž, a keď sa rozhodol urobiť čepeľ čo najostrejšou, brúsil ju, až z čepele nezostalo nič.

Presnejšie pojmy sú v mnohých situáciách vhodnejšie ako nepresné. Obvyklá túžba objasniť použité pojmy je celkom opodstatnená. Ale musí to mať, samozrejme, svoje hranice. Aj v jazyku vedy je značná časť pojmov nepresná. A to súvisí nie so subjektívnymi a náhodnými chybami jednotlivých vedcov, ale so samotnou podstatou vedeckého poznania. V prirodzenom jazyku sú nepresné pojmy ohromujúce; to okrem iného hovorí o jeho pružnosti a latentnej sile. Každý, kto vyžaduje maximálnu presnosť od všetkých konceptov, riskuje, že zostane úplne bez jazyka. „Zbavte slová akejkoľvek nejednoznačnosti, akejkoľvek neistoty,“ napísal francúzsky estetik J. Joubert, „premeňte ich... na jediné číslice – hra zanechá reč a s ňou aj výrečnosť a poéziu: všetko, čo je mobilné a premenlivé v náklonnosti duše, nemôže nájsť svoj výraz. Ale čo hovorím: zbaviť ... poviem viac. Zbavte slovo akejkoľvek nepresnosti - a stratíte dokonca aj axiómy.

Logici aj matematici dlho nevenovali pozornosť ťažkostiam spojeným s fuzzy pojmami a ich zodpovedajúcimi množinami. Otázka bola položená takto: pojmy musia byť presné a čokoľvek vágne nie je hodné vážneho záujmu. V posledných desaťročiach však tento príliš prísny postoj stratil na príťažlivosti. Sú konštruované logické teórie, ktoré špecificky zohľadňujú jedinečnosť uvažovania s nepresnými pojmami.

Aktívne sa rozvíjajúci matematická teória takzvané fuzzy množiny, nevýrazne definované kolekcie objektov.

Analýza problémov nepresnosti je krokom k priblíženiu logiky k praxi bežného myslenia. A môžeme predpokladať, že prinesie ešte veľa zaujímavých výsledkov.

Paradoxy induktívnej logiky

Snáď neexistuje žiadna časť logiky, ktorá by nemala svoje vlastné paradoxy.

Induktívna logika má svoje paradoxy, o ktoré sa aktívne, no zatiaľ bez väčšieho úspechu, bojuje už takmer polstoročie. Zvlášť zaujímavý je potvrdzovací paradox, ktorý objavil americký filozof K. Hempel. Je prirodzené to predpokladať všeobecné ustanovenia, najmä vedecké zákony, potvrdzujú ich pozitívne príklady. Ak sa povedzme vezme do úvahy výrok „Všetko A je B“, potom jeho pozitívnymi príkladmi budú objekty, ktoré majú vlastnosti A a B. Podpornými príkladmi pre výrok „Všetky havrany sú čierne“ sú najmä objekty, ktoré sú havranmi aj havranmi. čierna. Toto tvrdenie sa však rovná tvrdeniu „Všetky veci, ktoré nie sú čierne, nie sú vrany“ a potvrdenie toho druhého musí byť aj potvrdením toho prvého. Ale „Všetko nie je čierne, nie je vrana“ potvrdzuje každý prípad nečierneho predmetu, ktorý nie je vrana. Ukazuje sa teda, že pozorovania „Krava je biela“, „Topánky sú hnedé“ atď. potvrďte výrok "Všetky vrany sú čierne."

Zo zdanlivo nevinných priestorov vyplýva nečakaný paradoxný výsledok.

V logike noriem vyvoláva znepokojenie množstvo jej zákonov. Keď sú formulované zmysluplnými termínmi, ich nesúlad so zvyčajnými pojmami dobra a zla sa stáva zrejmým. Napríklad jeden zo zákonov hovorí, že z príkazu "Pošli list!" nasleduje príkaz „Pošli list alebo ho spáľ!“.

Iný zákon hovorí, že ak niekto porušil niektorú zo svojich povinností, má právo robiť si, čo chce. Naša logická intuícia sa nechce zmieriť s takýmto druhom „záväzkových zákonov“.

V logike poznania sa veľa diskutuje o paradoxe logickej vševedúcnosti. Tvrdí, že človek pozná všetky logické dôsledky, ktoré z pozícií, ktoré zastáva, vyplývajú. Napríklad, ak človek pozná päť postulátov Euklidovej geometrie, potom pozná celú túto geometriu, pretože z nich vyplýva. Ale nie je. Človek môže súhlasiť s postulátmi a zároveň nemôže dokázať Pytagorovu vetu a teda pochybovať o jej všeobecnej platnosti.

6. Čo je to logický paradox

Neexistuje žiadny vyčerpávajúci zoznam logických paradoxov a je to nemožné.

Uvažované paradoxy sú len časťou všetkých doteraz objavených. Je pravdepodobné, že v budúcnosti budú objavené mnohé ďalšie paradoxy a dokonca aj úplne nové typy. Samotný pojem paradox nie je taký jednoznačný, aby bolo možné zostaviť zoznam aspoň už známych paradoxov.

„Paradoxy teórie množín sú veľmi vážnym problémom, nie však pre matematiku, ale skôr pre logiku a epistemológiu,“ píše rakúsky matematik a logik K. Gödel. "Logika je nekonzistentná. Neexistujú žiadne logické paradoxy,“ hovorí matematik D. Bochvar. Takéto nezrovnalosti sú niekedy významné, inokedy verbálne. Ide najmä o to, čo presne sa myslí logickým paradoxom.

Zvláštnosť logických paradoxov

Nevyhnutnou vlastnosťou logických paradoxov je logický slovník.

Paradoxy, ktoré sú logické, musia byť formulované v logických termínoch. V logike však neexistujú jasné kritériá na rozdelenie pojmov na logické a nelogické. Logika, ktorá sa zaoberá správnosťou uvažovania, sa snaží obmedziť pojmy, od ktorých závisí správnosť prakticky aplikovaných záverov, na minimum. Toto minimum však nie je vopred určené jednoznačne. Okrem toho môžu byť nelogické výroky formulované aj v logických termínoch. Či konkrétny paradox využíva len čisto logické premisy, nie je možné vždy jednoznačne určiť.

Logické paradoxy nie sú pevne oddelené od všetkých ostatných paradoxov, rovnako ako nie sú jasne odlíšené od všetkého neparadoxného a v súlade s prevládajúcimi myšlienkami.

Na začiatku skúmania logických paradoxov sa zdalo, že ich možno rozlíšiť porušením nejakého dosiaľ neprebádaného postavenia či pravidla logiky. Princíp začarovaného kruhu, ktorý zaviedol B. Russell, bol obzvlášť aktívny pri presadzovaní úlohy takéhoto pravidla. Tento princíp hovorí, že kolekcia objektov nemôže obsahovať členov definovaných len tou istou kolekciou.

Všetky paradoxy majú jedno spoločné – sebauplatnenie, čiže kruhovosť. V každom z nich sa predmetný predmet vyznačuje nejakým súborom predmetov, ku ktorým sám patrí. Ak vyberieme napríklad najprefíkanejšieho človeka, robíme to s pomocou populácie ľudí, do ktorej tento človek patrí. A ak povieme: „Toto vyhlásenie je nepravdivé,“ charakterizujeme vyhlásenie, ktoré nás zaujíma, odkazom na súhrn všetkých nepravdivých vyhlásení, ktoré ho zahŕňajú.

Vo všetkých paradoxoch ide o samoaplikovateľnosť pojmov, čo znamená, že existuje pohyb v kruhu, ktorý nakoniec vedie k východiskovému bodu. V snahe charakterizovať objekt, ktorý nás zaujíma, sa obraciame na súbor objektov, ktorý ho zahŕňa. Ukazuje sa však, že pre svoju definitívnosť sama potrebuje uvažovaný predmet a bez neho sa nedá jasne pochopiť. V tomto kruhu možno leží zdroj paradoxov.

Situáciu však komplikuje skutočnosť, že takýto kruh existuje v mnohých úplne neparadoxných argumentoch. Kruhový je veľké množstvo najbežnejšie, neškodné a zároveň pohodlnými spôsobmi výrazov. Príklady ako „najväčšie zo všetkých miest“, „najmenšie zo všetkých prirodzených čísiel“, „jeden z elektrónov atómu železa“ atď. ukazujú, že nie každý prípad vlastnej aplikácie vedie k rozporu a že je dôležitá nielen v obyčajný jazyk ale aj v jazyku vedy.

Na diskreditáciu paradoxov teda nestačí poukázať na používanie samoaplikovateľných pojmov. Na oddelenie sebauplatnenia, čo vedie k paradoxu, od všetkých ostatných prípadov je potrebné nejaké dodatočné kritérium.

Na tento účel bolo predložených veľa návrhov, ale nenašlo sa žiadne úspešné objasnenie kruhovosti. Ukázalo sa, že je nemožné charakterizovať kruhovosť tak, že každé kruhové uvažovanie vedie k paradoxu a každý paradox je výsledkom nejakého kruhového uvažovania.

Pokus nájsť nejaký špecifický princíp logiky, ktorého porušenie by charakteristický znak všetky logické paradoxy, neviedli k ničomu definitívnemu.

Nepochybne by bola užitočná istá klasifikácia paradoxov, ktorá by ich rozdelila na typy a typy, niektoré paradoxy zoskupila a postavila proti iným. Nič udržateľné sa však ani v tomto prípade nedosiahlo.

Anglický logik F. Ramsey, ktorý zomrel v roku 1930, keď ešte nemal dvadsaťsedem rokov, navrhol rozdeliť všetky paradoxy na syntaktické a sémantické. Prvý zahŕňa napríklad Russellov paradox, druhý - paradoxy „klamára“, Grellinga atď.

Podľa Ramseyho paradoxy prvej skupiny obsahujú iba pojmy patriace do logiky alebo matematiky. Tie zahŕňajú pojmy ako „pravda“, „definovateľnosť“, „pomenovanie“, „jazyk“, ktoré nie sú striktne matematické, ale súvisia skôr s lingvistikou alebo dokonca s teóriou poznania. Zdá sa, že sémantické paradoxy nevďačia za svoj vznik nejakej chybe v logike, ale vágnosti alebo nejednoznačnosti niektorých nelogických pojmov, preto sa problémy, ktoré predstavujú, týkajú jazyka a musia ich riešiť lingvistika.

Ramseymu sa zdalo, že matematici a logici sa nemusia zaujímať o sémantické paradoxy. Neskôr sa však ukázalo, že niektoré z najvýznamnejších výsledkov modernej logiky boli získané práve v súvislosti s hlbším štúdiom práve týchto nelogických paradoxov.

Rozdelenie paradoxov, ktoré navrhol Ramsey, bolo spočiatku široko používané a dodnes si zachováva určitý význam. Zároveň je čoraz jasnejšie, že toto rozdelenie je dosť vágne a opiera sa predovšetkým o príklady, a nie o hĺbkovú komparatívnu analýzu týchto dvoch skupín paradoxov. Sémantické pojmy sú teraz dobre definované a je ťažké nerozpoznať, že tieto pojmy sú skutočne logické. S rozvojom sémantiky, ktorá definuje jej základné pojmy z hľadiska teórie množín, sa Ramseyho rozdiel čoraz viac stiera.

Paradoxy a moderná logika

Aké závery pre logiku vyplývajú z existencie paradoxov?

Po prvé, prítomnosť veľkého množstva paradoxov hovorí o sile logiky ako vedy, a nie o jej slabosti, ako by sa mohlo zdať.

Nie náhodou sa objavovanie paradoxov zhodovalo s obdobím najintenzívnejšieho rozvoja modernej logiky a jej najväčších úspechov.

Prvé paradoxy boli objavené ešte pred vznikom logiky ako špeciálnej vedy. V stredoveku bolo objavených veľa paradoxov. Neskôr sa však ukázalo, že sú zabudnuté a boli znovuobjavené už v našom storočí.

Stredovekí logici nepoznali pojmy „množina“ a „prvok množiny“, zavedené do vedy až v druhej polovici 19. storočia. Ale zmysel pre paradoxy sa v stredoveku vycibril do takej miery, že už v tom ranom období boli vyjadrené určité obavy z konceptov, ktoré sa dajú použiť. Najjednoduchším príkladom toho je pojem „byť vlastným prvkom“, ktorý sa objavuje v mnohých dnešných paradoxoch.

Takéto obavy, ako všetky varovania pred paradoxmi vo všeobecnosti, však až do nášho storočia neboli systematické a definitívne. Neviedli k žiadnym jasným návrhom na prehodnotenie zaužívaných spôsobov myslenia a vyjadrovania.

Až moderná logika vytiahla zo zabudnutia samotný problém paradoxov, objavila alebo znovu objavila väčšinu špecifických logických paradoxov. Ďalej ukázala, že spôsoby myslenia tradične skúmané logikou úplne nepostačujú na odstraňovanie paradoxov a naznačila zásadne nové spôsoby ich riešenia.

Paradoxy predstavujú dôležitá otázka: v čom vlastne zlyhávajú niektoré z bežných metód tvorby koncepcií a uvažovania? Pôsobili napokon úplne prirodzene a presvedčivo, až kým sa neukázalo, že sú paradoxné.

Paradoxy podkopávajú presvedčenie, že zaužívané metódy teoretické myslenie samy o sebe a bez akejkoľvek špeciálnej kontroly nad nimi poskytujú spoľahlivý pokrok smerom k pravde.

Paradoxy, ktoré si vyžadujú radikálnu zmenu príliš dôverčivého prístupu k teoretizovaniu, sú tvrdou kritikou logiky v jej naivnej, intuitívnej forme. Zohrávajú úlohu činiteľa, ktorý riadi a obmedzuje spôsob budovania deduktívnych systémov logiky. A túto ich úlohu možno porovnať s úlohou experimentu, ktorý testuje správnosť hypotéz v takých vedách, ako je fyzika a chémia, a núti ich tieto hypotézy meniť.

Paradox v teórii hovorí o nezlučiteľnosti predpokladov, ktoré sú jej základom. Pôsobí ako včas zistený príznak ochorenia, bez ktorého by sa dala prehliadnuť.

Samozrejme, choroba sa prejavuje mnohými spôsobmi a nakoniec je možné ju odhaliť aj bez takých akútnych príznakov, akými sú paradoxy. Napríklad základy teórie množín by sa analyzovali a zdokonaľovali, aj keby neboli objavené žiadne paradoxy v tejto oblasti. Nebola by však taká ostrosť a naliehavosť, s akou paradoxy v nej objavené vyvolali problém revízie teórie množín.

Rozsiahla literatúra je venovaná paradoxom, navrhuje sa veľké číslo ich vysvetlenia. Ale žiadne z týchto vysvetlení nie je všeobecne akceptované a nejako úplný súhlas v otázke pôvodu paradoxov a spôsobov, ako sa ich zbaviť, nie.

„Za posledných šesťdesiat rokov sa cieľu vyriešiť paradoxy venovali stovky kníh a článkov, ale výsledky sú v porovnaní s vynaloženým úsilím prekvapivo slabé,“ píše A. Frenkel. „Vyzerá to tak,“ uzatvára H. Curry svoju analýzu paradoxov, „že je potrebná úplná reforma logiky a matematická logika sa môže stať hlavným nástrojom na uskutočnenie tejto reformy.“

Eliminácia a vysvetlenie paradoxov

Treba poznamenať jeden dôležitý rozdiel.

Odstraňovanie paradoxov a ich riešenie nie je to isté. Odstrániť paradox z určitej teórie znamená reštrukturalizovať ju tak, aby sa v nej paradoxné tvrdenie ukázalo ako nepreukázateľné. Každý paradox sa opiera o veľké množstvo definícií, predpokladov a argumentov. Jeho teoretickým záverom je určitý reťazec uvažovania. Formálne povedané, možno spochybniť ktorýkoľvek z jeho článkov, odhodiť ho, a tým pretrhnúť reťaz a odstrániť paradox. V mnohých dielach sa to robí a je obmedzené na toto.

Ale to ešte nie je vyriešenie paradoxu. Nestačí nájsť spôsob, ako to vylúčiť, treba presvedčivo zdôvodniť navrhované riešenie. Samotná pochybnosť o nejakom kroku vedúcom k paradoxu musí byť opodstatnená.

Po prvé, rozhodnutie opustiť určité logické prostriedky, použitý pri odvodzovaní paradoxného výroku, by mal byť spojený s našimi všeobecnými úvahami o povahe logický dôkaz a iné logické intuície. Ak to tak nie je, ukáže sa, že odstránenie paradoxu nemá pevné a stabilné základy a zvrhne sa na prevažne technickú úlohu.

Navyše, odmietnutie predpokladu, aj keď eliminuje nejaký konkrétny paradox, nezaručuje automaticky odstránenie všetkých paradoxov. To naznačuje, že paradoxy by sa nemali „loviť“ jeden po druhom. Vylúčenie jedného z nich by malo byť vždy natoľko opodstatnené, aby existovala istá záruka, že rovnakým krokom budú odstránené aj ďalšie paradoxy.

Zakaždým, keď sa objaví paradox, A. Tarsky píše, „musíme podrobiť svoje spôsoby myslenia dôkladnej revízii, odmietnuť niektoré predpoklady, ktorým sme verili, a zlepšiť metódy argumentácie, ktoré sme používali. Robíme to v snahe nielen zbaviť sa antinómií, ale aj zabrániť vzniku nových.

A napokon, nedomyslené a nedbalé odmietnutie príliš mnohých alebo príliš silných predpokladov môže jednoducho viesť k tomu, čo sa ukáže, aj keď neobsahuje paradoxy, ale oveľa viac slabá teória len so súkromným záujmom.

Aký môže byť minimálny, najmenej radikálny súbor opatrení, aby sa predišlo známym paradoxom?

Logická gramatika

Jedným zo spôsobov je vyčleniť popri pravdivých a nepravdivých vetách aj nezmyselné vety. Túto cestu si osvojil B. Russell. Paradoxné úvahy označil za nezmyselné s odôvodnením, že porušujú požiadavky logickej gramatiky. Nie každá veta, ktorá neporušuje pravidlá bežnej gramatiky, má zmysel – musí spĺňať aj pravidlá špeciálnej, logickej gramatiky.

Russell vybudoval teóriu logických typov, akúsi logickú gramatiku, ktorej úlohou bolo odstrániť všetky známe antinómie. Následne bola táto teória podstatne zjednodušená a nazvala sa jednoduchou teóriou typov.

Hlavnou myšlienkou teórie typov je prideľovanie logicky odlišných typov objektov, zavedenie akejsi hierarchie alebo rebríčka uvažovaných objektov. Najnižší alebo nulový typ zahŕňa jednotlivé objekty, ktoré nie sú množinami. Prvý typ zahŕňa množiny objektov nulového typu, t.j. jednotlivcov; do druhého - súbory súborov jednotlivcov atď. Inými slovami, rozlišujú sa predmety, vlastnosti predmetov, vlastnosti vlastností predmetov atď. Zároveň sa zavádzajú určité obmedzenia týkajúce sa konštrukcie návrhov. Vlastnosti možno priradiť objektom, vlastnosti vlastností vlastnostiam atď. Nie je však možné zmysluplne tvrdiť, že objekty majú vlastnosti vlastností.

Zoberme si sériu návrhov:

Tento dom je červený.

Červená je farba.

Farba je optický jav.

V týchto vetách sa výraz „tento dom“ vzťahuje na určitý predmet, slovo „červený“ označuje vlastnosť, ktorá je vlastná tento predmet, "byť farbou" - na vlastnosti tejto vlastnosti ("byť červený") a "byť". optický jav“ - ukazuje na vlastnosť vlastnosti „be color“, ktorá patrí do vlastnosti „be red“. Tu máme do činenia nielen s predmetmi a ich vlastnosťami, ale aj s vlastnosťami vlastností („vlastnosť byť červená má vlastnosť byť farbou“) a dokonca aj s vlastnosťami vlastností vlastností.

Všetky tri vety z vyššie uvedenej série sú, samozrejme, zmysluplné. Sú postavené v súlade s požiadavkami teórie typov. A povedzme, že veta „Tento dom je farba“ tieto požiadavky porušuje. Pripisuje predmetu tú vlastnosť, ktorá môže patriť iba vlastnostiam, ale nie predmetom. Podobné porušenie obsahuje veta "Tento dom je optický jav." Oba tieto návrhy treba klasifikovať ako nezmyselné.

Jednoduchá teória typov eliminuje Russellov paradox. Na odstránenie paradoxov Klamára a Berryho však už nestačí len rozdelenie posudzovaných predmetov na typy. V rámci samotných typov je potrebné zaviesť nejaké dodatočné objednávanie.

Odstránenie paradoxov sa dá dosiahnuť aj nepoužívaním príliš veľkých množín, ako je množina všetkých množín. Túto cestu navrhol nemecký matematik E. Zermelo, ktorý spojil zdanie paradoxov s neobmedzenou konštrukciou množín. Prípustné množiny definoval nejakým zoznamom axióm formulovaných tak, aby z nich neboli odvodené známe paradoxy. Tieto axiómy boli zároveň dostatočne silné na to, aby z nich vyvodili obvyklé argumenty klasickej matematiky, no bez paradoxov.

Ani tieto dva, ani iné navrhované spôsoby eliminácie paradoxov nie sú všeobecne akceptované. Neexistuje konsenzus, ktorý umožňuje ktorákoľvek z navrhovaných teórií logické paradoxy namiesto toho, aby ste ich jednoducho zahodili bez hlbokého vysvetlenia. Problém vysvetľovania paradoxov je stále otvorený a stále dôležitý.

Budúcnosť paradoxov

G. Frege, najväčší logik minulého storočia, bol, žiaľ, veľmi zlý charakter. Okrem toho bol bez výhrad a dokonca krutý voči svojej kritike svojich súčasníkov.

Možno aj preto sa jeho prínos k logike a základom matematiky dlho nedočkal uznania. A keď k nemu začala prichádzať sláva, mladý anglický logik B. Russell mu napísal, že v systéme uverejnenom v prvom zväzku jeho knihy The Fundamental Laws of Arithmetic vzniká rozpor. Druhý diel tejto knihy už bol v tlači a Frege ho mohol len dopĺňať špeciálna aplikácia, v ktorej načrtol tento rozpor (neskôr nazvaný „Russellov paradox“) a priznal, že sa mu ho nepodarilo odstrániť.

Dôsledky tohto uznania však boli pre Fregeho tragické. Zažil najväčší šok. A hoci mal vtedy len 55 rokov, ďalšie významné dielo o logike nepublikoval, hoci žil viac ako dvadsať rokov. Nereagoval ani na živú diskusiu, ktorú vyvolal Russellov paradox, a nijako nereagoval ani na mnohé navrhované riešenia tohto paradoxu.

Dojem, ktorý novoobjavené paradoxy vyvolali na matematikov a logikov, dobre vyjadril D. Hilbert: dlho neznesiteľné. Zamyslite sa nad tým: v matematike – v tom modeli istoty a pravdy – vedie formovanie pojmov a priebeh inferencií, ako ich každý študuje, učí a aplikuje, k absurdite. Kde hľadať spoľahlivosť a pravdu, aj keby matematické myslenie zlyhať?"

Frege bol typickým predstaviteľom logiky koniec XIX storočia, bez akýchkoľvek paradoxov, logiky, sebavedomý vo svoje schopnosti a vyhlasujúci, že je kritériom prísnosti aj pre matematiku. Paradoxy ukázali, že absolútna prísnosť dosiahnutá údajne logikou nebola ničím iným ako ilúziou. Nepopierateľne ukázali, že logika – v intuitívnej podobe, ktorú mala na prelome storočí – potrebuje hlbokú revíziu.

Od začiatku živej diskusie o paradoxoch uplynulo asi storočie. Prijatá revízia logiky však neviedla k ich jednoznačnému vyriešeniu.

A zároveň takýto stav dnes už takmer nikoho netrápi. Postupom času sa postoje k paradoxom stali pokojnejšími a dokonca tolerantnejšími ako v čase, keď boli objavené. Nejde len o to, že paradoxy sa stali niečím známym. A, samozrejme, nie, že by si ich potrpeli. Stále zostávajú v centre pozornosti logikov, hľadanie ich riešení aktívne pokračuje. Situácia sa zmenila predovšetkým preto, že paradoxy sa ukázali byť takpovediac lokalizované. Svoje definitívne, aj keď problémové miesto našli v široký rozsah logický výskum. Ukázalo sa, že absolútna strohosť, ako bola vykresľovaná koncom minulého a niekedy aj začiatkom tohto storočia, je v zásade nedosiahnuteľným ideálom.

Zistilo sa tiež, že neexistuje jediný problém paradoxov, ktorý by stál sám o sebe. Problémy s nimi spojené sú rôzneho druhu a ovplyvňujú v skutočnosti všetky hlavné časti logiky. Objav paradoxu nás núti hlbšie analyzovať naše logické intuície a zapojiť sa do systematického prepracovania základov vedy o logike. Túžba vyhnúť sa paradoxom zároveň nie je jediná a možno ani Hlavná úloha. Hoci sú dôležité, sú len príležitosťou na zamyslenie ústredné témy logika. Pokračujúc v porovnávaní paradoxov s obzvlášť výraznými príznakmi choroby by sa dalo povedať, že túžba okamžite odstrániť paradoxy by bola ako túžba odstrániť takéto príznaky bez veľkého záujmu o chorobu samotnú. Nevyžaduje sa len riešenie paradoxov, ale ich vysvetlenie, ktoré prehlbuje naše chápanie logických vzorcov myslenia.

7. Pár paradoxov, alebo ako sa na ne podobajú

A na záver tejto krátkej diskusie o logických paradoxoch uvádzame niekoľko problémov, nad ktorými sa čitateľ môže zamyslieť. Je potrebné rozhodnúť, či uvedené tvrdenia a úvahy sú skutočne logickými paradoxmi, alebo sa len zdajú. Aby sme to dosiahli, je samozrejme potrebné nejakým spôsobom reštrukturalizovať zdrojový materiál a pokúsiť sa z neho odvodiť rozpor: potvrdenie aj popretie toho istého o tej istej veci. Ak sa nájde paradox, môžete premýšľať o tom, čo spôsobuje jeho výskyt a ako ho odstrániť. Môžete dokonca skúsiť vymyslieť vlastný paradox rovnakého typu, t.j. postavené podľa rovnakej schémy, ale na základe iných konceptov.

1. Ten, kto hovorí: „Nič neviem“, robí zdanlivo paradoxné, protirečivé tvrdenie. V podstate tvrdí: "Viem, že nič neviem." Ale poznanie, že neexistuje poznanie, je stále poznanie. To znamená, že hovorca na jednej strane uisťuje, že nemá žiadne vedomosti, a na druhej strane samotným tvrdením hovorí, že nejaké vedomosti má. O čo tu ide?

Keď sa zamyslíme nad touto ťažkosťou, možno pripomenúť, že Sokrates podobnú myšlienku vyjadril opatrnejšie. Povedal: "Viem len, že nič neviem." Ale iný starogrécky, Metrodorus, s úplným presvedčením tvrdil: „Nič neviem a ani neviem, že nič neviem.“ Je v tomto tvrdení paradox?

2. Historické udalosti sú jedinečné. História, ak sa opakuje, je podľa známeho výrazu prvýkrát ako tragédia, druhýkrát ako fraška. Z originality historické udalosti niekedy sa odvodzuje názor, že história nič neučí. "Možno, najväčšia lekcia Dejiny, - píše O. Huxley, - skutočne spočívajú v tom, že z histórie sa nikto nikdy nič nenaučil.

Je nepravdepodobné, že táto myšlienka je správna. Minulosť je presne to, čo sa študuje hlavne preto, aby sme lepšie pochopili prítomnosť a budúcnosť. Ďalšou vecou je, že „poučenia“ z minulosti sú spravidla nejednoznačné.

Nie je presvedčenie, že história nič neučí, protirečivé? Ostatne to samo vyplýva z histórie ako jedno z jej poučení. Nebolo by pre zástancov tejto myšlienky lepšie formulovať ju tak, aby neplatila pre nich samých: „História učí jediné – nedá sa z nej nič naučiť,“ alebo „História neučí nič iné ako toto poučenie? jej"?

3. "Dokázané, že neexistujú žiadne dôkazy." Zdá sa, že ide o protirečivé tvrdenie: je to dôkaz alebo predpokladá už vykonaný dôkaz („bolo dokázané, že...“) a zároveň tvrdí, že dôkaz neexistuje.

Známy antický skeptik Sextus Empiricus navrhol nasledovné riešenie: namiesto uvedeného tvrdenia prijmite tvrdenie „Bolo dokázané, že neexistuje iný dôkaz ako tento“ (alebo: „Dokázalo sa, že nie je dokázané nič iné). než toto”). Nie je však toto východisko iluzórne? Koniec koncov, v podstate sa tvrdí, že existuje len jeden a jediný dôkaz – dôkaz o neexistencii akéhokoľvek dôkazu („Existuje jeden a jediný dôkaz: dôkaz, že neexistujú žiadne iné dôkazy“). Aká je teda operácia samotného dokazovania, ak ho, súdiac podľa tohto tvrdenia, bolo možné vykonať iba raz? V každom prípade, Sextov vlastný názor na hodnotu dôkazov nebol príliš vysoký. Napísal najmä: „Ako majú pravdu tí, ktorí sa zaobišli bez dôkazu, majú pravdu aj tí, ktorí majú sklon pochybovať a bezdôvodne zastávajú opačný názor.

4. "Žiadny výrok nie je negatívny", alebo jednoduchšie: "Neexistujú žiadne negatívne výroky." Samotný tento výraz je však konštatovaním a je presne negatívny. Vyzerá to ako paradox. Aká preformulácia tohto tvrdenia by mohla zabrániť paradoxu?

Stredoveký filozof a logik Zh. Somár, ako každé iné zviera, sa snaží vybrať to najlepšie z dvoch vecí. Dve náruče sú od seba úplne na nerozoznanie, a preto nemôže uprednostniť ani jednu z nich. Tento „buridanský somár“ sa však nenachádza v spisoch samotného Buridana. V logike je Buridan dobre známy, a to najmä vďaka svojej knihe o sofizmoch. Obsahuje nasledujúci záver, relevantný pre našu tému: žiadne vyhlásenie nie je negatívne; preto existuje negatívny návrh. Je tento záver opodstatnený?

5. Známy je opis N.V.Gogoľa Čičikovovej hry dámy s Nozdrevom. Ich hra sa nikdy neskončila, Čičikov si všimol, že Nozdryov podvádza a odmietol hrať zo strachu z prehry. Nedávno odborník na návrh zrekonštruoval z poznámok tých, ktorí hrali priebeh tejto hry, a ukázal, že Chichikovova pozícia ešte nie je beznádejná.

Predpokladajme, že Čičikov napriek tomu pokračoval v hre a nakoniec hru vyhral, ​​napriek triku svojho partnera. Podľa dohody mal porazený Nozdryov dať Čičikovovi päťdesiat rubľov a „nejaké šteniatko zo strednej triedy alebo zlatý pečatník na hodinky“. Nozdryov by však s najväčšou pravdepodobnosťou odmietol zaplatiť, poukazujúc na to, že sám celú hru podviedol a nehranie podľa pravidiel nie je hra. Čičikov mohol namietať, že hovoriť o podvode tu nie je na mieste: porazený sám podvádzal, čo znamená, že musí zaplatiť o to viac.

Naozaj, musel by Nozdryov v takejto situácii platiť alebo nie? Na jednej strane áno, pretože prehral. Ale na druhej strane nie, keďže hra, ktorá nie je podľa pravidiel, nie je vôbec hrou; V takejto „hre“ nemôže byť víťaz ani porazený. Ak by Chichikov sám podvádzal, Nozdryov by, samozrejme, nebol povinný zaplatiť. Bol to však porazený Nozdryov, ktorý podvádzal ...

Je tu cítiť niečo paradoxné: „na jednej strane ...“, „na druhej strane ...“, a navyše na oboch stranách je rovnako presvedčivé, hoci tieto strany sú nezlučiteľné.

Mal by Nozdryov stále platiť alebo nie?

6. "Každé pravidlo má výnimky." Ale toto vyhlásenie je samo osebe pravidlom. Rovnako ako všetky ostatné pravidlá, musí mať výnimky. Takouto výnimkou by bolo zrejme pravidlo „Existujú pravidlá, ktoré nemajú žiadne výnimky“. Nie je vo všetkom paradox? Ktorý z predchádzajúcich príkladov pripomína tieto dve pravidlá? Je dovolené uvažovať takto: každé pravidlo má výnimky; Znamená to, že existujú pravidlá bez výnimiek?

7. "Každé zovšeobecnenie je nesprávne." Je jasné, že toto tvrdenie zhŕňa skúsenosť mentálnej operácie zovšeobecňovania a samo je zovšeobecnením. Rovnako ako všetky ostatné zovšeobecnenia, musí byť nesprávne. Takže musia existovať skutočné zovšeobecnenia. Je však správne argumentovať takto: každé zovšeobecnenie je nesprávne, preto existujú skutočné zovšeobecnenia?

8. Istý spisovateľ zložil „Epitaf pre všetky žánre“, ktorý má dokázať, že literárne žánre, rozdiel medzi ktorými vyvolal toľko kontroverzií, sú mŕtve a nemožno si ich zapamätať.

Ale epitaf je istým spôsobom aj žáner, žáner nápisov na náhrobných kameňoch, ktorý sa vyvinul v staroveku a vstúpil do literatúry ako druh epigramu:

Tu odpočívam: Jimmy Hogg.
Nech mi Boh odpustí moje hriechy,
Čo by som robil, keby som bol Bohom
A on je zosnulý Jimmy Hogg.

Epitaf teda ku všetkým žánrom bez výnimky hreší akoby nedôsledne. Aký je najlepší spôsob, ako to preformulovať?

9. "Nikdy nehovor nikdy." Keď zakážete používanie slova „nikdy“, musíte toto slovo použiť dvakrát!

Zdá sa, že to isté platí aj pre radu: „Je čas, aby tí, ktorí hovoria ‚je čas‘, povedali niečo iné ako ‚už je čas‘.“

Je v takýchto radách zvláštna nejednotnosť a dá sa tomu vyhnúť?

10. V básni „Neverte“, uverejnenej, samozrejme, v časti „Ironická poézia“, jej autor odporúča neveriť ničomu:

... Neverte v magickú silu ohňa:
Horí, kým je v ňom uložené palivové drevo.
Neverte v koňa so zlatou hrivou
Nie na žiadne sladké perníky!
Neverte, že hviezdne stáda
Ponáhľať sa v nekonečnej smršti.
Ale čo vám potom zostane?
Never tomu, čo som povedal.
neverte.

(V. Prudovský)

Je však táto všeobecná nedôvera skutočná? Zjavne je to protichodné, a teda logicky nemožné.

11. Predpokladajme, že na rozdiel od všeobecného presvedčenia existujú ešte nezaujímaví ľudia. Poďme ich mentálne pozbierať a vybrať si z nich tie najmenšie na výšku, najväčšie na váhu, alebo nejaké iné „naj...“. Tento človek by bol zaujímavý na pohľad, preto sme ho zbytočne zaradili do zoznamu nezaujímavých. Po jeho vylúčení nájdeme medzi zvyšnými opäť „toho istého...“ v rovnakom zmysle atď. A to všetko dovtedy, kým nezostane len jeden človek, ktorý nemá nikoho na porovnanie. Ukazuje sa však, že práve toto ho zaujíma! V dôsledku toho prichádzame k záveru, že nezaujímaví ľudiač. A hádka začala tým, že takíto ľudia existujú.

Možno sa najmä snažiť nájsť medzi nezaujímavými ľuďmi tých najnezaujímavejších zo všetkých nezaujímavých. V tomto bude nepochybne zaujímavý a bude musieť byť vylúčený z nezaujímavých ľudí. Medzi zvyškom je opäť to najmenej zaujímavé a tak ďalej.

V týchto argumentoch je rozhodne cítiť paradox. Je tu chyba a ak áno, čo to je?

12. Povedzme, že ste dostali prázdny hárok papiera a dostali pokyn, aby ste naň tento hárok opísali. Píšete: toto je list obdĺžnikový tvar, biele, takých a takých rozmerov, vyrobené z lisovaných drevených vlákien atď.

Zdá sa, že popis je úplný. Ale to je zjavne neúplné! V procese popisu sa objekt zmenil: objavil sa na ňom text. Preto je tiež potrebné k popisu dodať: a okrem toho na tomto liste papiera je napísané: toto je list obdĺžnikového tvaru, biely ... atď. do nekonečna.

Vyzerá to tu ako paradox, však?

Známa riekanka:

Kňaz mal psa
Miloval ju
Zjedla kúsok mäsa
Zabil ju.
Zabitý a pochovaný
A na tabuľu napísal:
"Kňaz mal psa..."

Mohol by tento pop milujúci psov niekedy dokončiť svoj náhrobný kameň? Nepripomína zloženie tohto nápisu Celý popis list papiera na ňom?

13. Jeden autor dáva túto "jemnú" radu: "Ak vám malé triky neumožňujú dosiahnuť to, čo chcete, uchýlite sa k veľkým trikom." Tieto rady sú ponúkané pod nadpisom „Obchodné triky“. Je však skutočne jedným z týchto trikov? „Malé triky“ totiž nepomáhajú a práve z tohto dôvodu sa musíte uchýliť k tejto rade.

14. Hru nazývame normálnou, ak sa končí konečným počtom ťahov. Príkladmi normálnych hier sú šach, dáma, domino: tieto hry vždy končia buď víťazstvom jednej zo strán, alebo remízou. Hra, ktorá nie je normálna, pokračuje donekonečna bez výsledku. Predstavme si aj pojem superhra: prvým ťahom takejto hry je určiť, ktorá hra sa má hrať. Ak máte napríklad v úmysle zahrať si super hru a ja som vlastníkom prvého ťahu, môžem povedať: „Poďme hrať šach.“ Potom ako odpoveď urobíte prvý ťah šachovej partie, povedzme, e2 - e4, a my pokračujeme v hre, kým sa neskončí (najmä z dôvodu uplynutia času určeného turnajovými pravidlami). Ako prvý krok môžem navrhnúť hranie piškvoriek a podobne. Ale hra, ktorú si vyberiem, musí byť normálna; nemôžete si vybrať hru, ktorá nie je normálna.

Vzniká problém: je samotná superhra normálna alebo nie? Predpokladajme, že ide o normálnu hru. Keďže si ako prvý ťah môže vybrať ktorúkoľvek z normálnych hier, môžem povedať: "Poďme hrať super hru." Potom sa super hra začala a ďalší krok v nej je váš. Máte právo povedať: "Poďme hrať super hru." Môžem zopakovať: „Poďme hrať super hru“ a tým môže proces pokračovať donekonečna. Preto sa superhra nevzťahuje na bežné hry. Ale vzhľadom na skutočnosť, že superhra nie je normálna, nemôžem navrhnúť superhru s mojím prvým ťahom v superhre; Musím si vybrať normálnu hru. Ale výber normálnej hry, ktorá má koniec, je v rozpore s overeným faktom, že superhra nepatrí k tým normálnym.

Je teda superhra normálna hra alebo nie?

Pri pokuse o zodpovedanie tejto otázky by sme, samozrejme, nemali ísť jednoduchou cestou čisto verbálneho rozlišovania. Najjednoduchšie je povedať, že normálna hra je hra a super hra je len žart.

Aké ďalšie paradoxy pripomína tento paradox, že superhra je normálna aj nenormálna zároveň?

Literatúra

Bayif J.K. Logické úlohy. - M., 1983.

Bourbaki N. Eseje o dejinách matematiky. - M., 1963.

Gardner M. Hádaj! – M.: 1984.

Ivin A.A. Podľa zákonov logiky. - M., 1983.

Klini S.K. Matematická logika. - M., 1973.

Smallian R.M. Ako sa volá táto kniha? – M.: 1982.

Smallian R.M. Princezná alebo tiger? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Základy teórie množín. - M., 1966.

testovacie otázky

Aký význam majú paradoxy pre logiku?

Aké riešenia boli navrhnuté pre paradox klamárov?

Aké sú vlastnosti sémanticky uzavretého jazyka?

Čo je podstatou paradoxu mnohých obyčajných množín?

Existuje riešenie sporu medzi Prótagorom a Euathluom? Aké riešenia boli navrhnuté pre tento spor?

Čo je podstatou paradoxu nepresných mien?

Aká by mohla byť zvláštnosť logických paradoxov?

Aké závery pre logiku vyplývajú z existencie logických paradoxov?

Aký je rozdiel medzi odstránením a vysvetlením paradoxu? Aká je budúcnosť logických paradoxov?

Témy abstraktov a správ

Koncept logického paradoxu

Paradox klamárov

Russellov paradox

Paradox "Protagoras a Euathlus"

Úloha paradoxov vo vývoji logiky

Vyhliadky na riešenie paradoxov

Rozdiel medzi jazykom a metajazykom

Odstraňovanie a riešenie paradoxov

1. októbra 2014

Vedci a myslitelia už dlho radi zabávajú seba a svojich kolegov nastoľovaním neriešiteľných problémov a formulovaním najrôznejších paradoxov. Niektoré z týchto myšlienkových experimentov zostávajú relevantné už tisíce rokov, čo poukazuje na nedokonalosť mnohých populárnych vedeckých modelov a „dier“ vo všeobecne akceptovaných teóriách, ktoré sa dlho považovali za základné.

Pozývame vás, aby ste sa zamysleli nad tými najzaujímavejšími a najúžasnejšími paradoxmi, ktoré, ako sa dnes hovorí, „rozbili mozog“ nejednej generácii logikov, filozofov a matematikov.

1. Aporia "Achilles a korytnačka"

Paradox Achilla a korytnačky je jedným z paradoxov (logicky správnych, no protirečivých tvrdení), ktoré sformuloval starogrécky filozof Zenón z Eley v 5. storočí pred Kristom. Jeho podstata je nasledovná: legendárny hrdina Achilles sa rozhodol súťažiť v behu s korytnačkou. Ako viete, korytnačky sa v rýchlosti nelíšia, takže Achilles dal súperovi náskok 500 m. Keď korytnačka prekoná túto vzdialenosť, hrdina začne prenasledovať rýchlosťou 10-krát väčšou, to znamená, kým sa korytnačka plazí 50 m. , Achillovi sa darí zabehnúť daný 500 m náskok . Potom bežkyňa prekoná ďalších 50 m, ale v tomto čase sa korytnačka plazí o ďalších 5 m, zdá sa, že Achilles ju už dobieha, ale súper je stále vpredu a zatiaľ čo on beží 5 m, ona dokáže postúpiť ešte pol metra a tak ďalej. Vzdialenosť medzi nimi sa nekonečne zmenšuje, ale teoreticky sa hrdinovi nikdy nepodarí dobehnúť pomalú korytnačku, nie je veľa, ale vždy pred ním.

© www.student31.ru

Samozrejme, z hľadiska fyziky paradox nedáva zmysel - ak sa Achilles pohybuje oveľa rýchlejšie, predbehne sa aj tak, no Zenón chcel v prvom rade svojou úvahou demonštrovať, že idealizované matematické predstavy tzv. „bod v priestore“ a „časový okamih“ nie sú príliš vhodné na správnu aplikáciu na skutočný pohyb. Apória odhaľuje rozpor medzi matematicky fundovanou predstavou, že nenulové intervaly priestoru a času možno deliť donekonečna (korytnačka teda musí byť vždy vpredu) a realitou, v ktorej hrdina, samozrejme, preteky vyhráva.

2. Paradox časovej slučky

The New Time Travelers od Davida Toomeyho

Paradoxy, ktoré opisujú cestovanie v čase, sú už dlho zdrojom inšpirácie pre autorov sci-fi a tvorcov sci-fi filmov a televíznych relácií. Existuje niekoľko variantov paradoxov časovej slučky, jeden z najjednoduchších a najnázornejších príkladov takéhoto problému uviedol vo svojej knihe The New Time Travelers David Toomey, profesor z University of Massachusetts.

Predstavte si, že cestovateľ v čase si kúpil v kníhkupectve výtlačok Shakespearovho Hamleta. Potom odišiel do Anglicka za čias panenskej kráľovnej Alžbety I. a keď našiel Williama Shakespeara, podal mu knihu. Prepísal ho a vydal ako svoje dielo. Ubehnú stovky rokov, Hamlet je preložený do desiatok jazykov, nekonečne opakovaný a jeden z výtlačkov skončí práve v tom kníhkupectve, kde si ho cestovateľ v čase kúpi a daruje Shakespearovi, ktorý urobí kópiu a tak ďalej... Koho treba v tomto prípade počítať, autora nesmrteľnej tragédie?

3. Paradox dievčaťa a chlapca

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

V teórii pravdepodobnosti sa tento paradox nazýva aj „Deti pána Smitha“ alebo „Problémy pani Smithovej“. Prvýkrát ho sformuloval americký matematik Martin Gardner v jednom z vydaní časopisu Scientific American. Vedci sa o paradoxe hádajú už desaťročia a existuje niekoľko spôsobov, ako ho vyriešiť. Po premyslení problému môžete ponúknuť svoju vlastnú verziu.

Rodina má dve deti a je s určitosťou známe, že jedným z nich je chlapec. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa je mužského pohlavia? Na prvý pohľad je odpoveď celkom jasná – 50 na 50, buď je to naozaj chlapec alebo dievča, šance by mali byť rovnaké. Problémom je, že pre dvojdetné rodiny sú možné štyri kombinácie pohlaví detí – dve dievčatá, dvaja chlapci, starší chlapec a mladšie dievča a naopak – staršie dievča a mladší chlapec. Prvé možno vylúčiť, keďže jedno z detí je určite chlapec, ale v tomto prípade sú možné tri možnosti, nie dve, a pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa je chlapec, je jedna ku trom.

4. Paradox Jourdainovej karty

Problém, ktorý na začiatku 20. storočia navrhol britský logik a matematik Philippe Jourdain, možno považovať za jednu z odrôd známeho paradoxu klamárov.

Philippe Jourdain

Predstavte si – držíte v rukách pohľadnicu, na ktorej je napísané: „Schválenie pre opačná strana pohľadnice pravdivé. Otočením karty sa objaví fráza "Vyhlásenie na druhej strane je nepravdivé." Ako viete, existuje rozpor: ak je prvé tvrdenie pravdivé, potom je pravdivé aj druhé, ale v tomto prípade musí byť prvé nepravdivé. Ak je prvá strana pohľadnice nepravdivá, potom frázu na druhej tiež nemožno považovať za pravdivú, čo znamená, že prvé tvrdenie sa opäť stáva pravdou... Ešte zaujímavejšia verzia klamárovho paradoxu je v nasledujúcom odseku.

5. Sofizmus "Krokodíl"

Na brehu rieky stojí matka s dieťaťom, zrazu k nim pripláva krokodíl a vtiahne dieťa do vody. Bezútešná matka žiada vrátiť svoje dieťa, na čo krokodíl odpovedá, že súhlasí s tým, že ho vráti zdravé, ak žena správne odpovie na jeho otázku: „Vráti jej dieťa? Je jasné, že žena má dve odpovede – áno alebo nie. Ak tvrdí, že krokodíl jej dá dieťa, potom všetko závisí od zvieraťa - vzhľadom na to, že odpoveď je pravdivá, únosca dieťa pustí, ale ak povie, že sa matka mýlila, tak to neuvidí. dieťa, podľa všetkých pravidiel zmluvy.

© Corax zo Syrakúz

Ženina negatívna odpoveď veci značne skomplikuje – ak sa ukáže, že je to pravda, únosca musí splniť podmienky obchodu a dieťa prepustiť, no takto matkina odpoveď nebude zodpovedať realite. Aby sa zabezpečila nepravdivosť takejto odpovede, krokodíl potrebuje vrátiť dieťa matke, čo je však v rozpore so zmluvou, pretože jej chyba by mala opustiť dieťa s krokodílom.

Stojí za zmienku, že krokodílom ponúkaná dohoda obsahuje logický rozpor, takže jeho sľub je nesplniteľný. Autor tohto klasického sofizmu je považovaný za rečníka, mysliteľa a politická osobnosť Corax zo Syrakúz, ktorý žil v 5. storočí pred Kristom.

6. Aporia "Dichotómia"

© www.student31.ru

Ďalší paradox od Zena z Elea, demonštrujúci nesprávnosť idealizovaného matematický model pohyb. Problém možno popísať takto – povedzme, že sa vydáte prejsť nejakú ulicu vo vašom meste od začiatku do konca. Aby ste to dosiahli, musíte prekonať jeho prvú polovicu, potom polovicu zostávajúcej polovice, potom polovicu ďalšieho segmentu atď. Inými slovami - prejdete polovicu celej vzdialenosti, potom štvrtinu, jednu osminu, jednu šestnástinu - počet klesajúcich segmentov cesty má tendenciu k nekonečnu, pretože akúkoľvek zostávajúcu časť možno rozdeliť na dve časti, čo znamená, že nie je možné prejsť celú cestu. Formulovaním na prvý pohľad trochu pritiahnutého paradoxu chcel Zeno ukázať, že matematické zákony odporujú realite, pretože v skutočnosti môžete ľahko prejsť celú vzdialenosť bez stopy.

7. Aporia "Lietajúci šíp"

Slávny paradox Zena z Elea sa dotýka najhlbších rozporov v predstavách vedcov o povahe pohybu a času. Aporia je formulovaná nasledovne: šíp vystrelený z luku zostáva nehybný, pretože v každom okamihu spočíva bez pohybu. Ak je šíp v každom okamihu v pokoji, potom je vždy v pokoji a vôbec sa nepohybuje, pretože neexistuje žiadny časový okamih, v ktorom by sa šíp pohyboval v priestore.

© www.academic.ru

Vynikajúce mysle ľudstva sa po stáročia pokúšali vyriešiť paradox letiaceho šípu, no z logického hľadiska je to absolútne správne. Aby sme to vyvrátili, je potrebné vysvetliť, ako môže konečný časový interval pozostávať z nekonečného počtu časových momentov – ani Aristoteles, ktorý presvedčivo kritizoval Zenónovu apóriu, to nedokázal. Aristoteles správne poukázal na to, že časový úsek nemožno považovať za súhrn nejakých nedeliteľných izolovaných momentov, no mnohí vedci sa domnievajú, že jeho prístup sa do hĺbky nelíši a nevyvracia existenciu paradoxu. Stojí za zmienku, že predstavením problému lietajúceho šípu sa Zeno nesnažil vyvrátiť možnosť pohybu ako takého, ale odhaliť rozpory v idealistických matematických konceptoch.

8. Galileov paradox

Galileo Galilei / © Wikimedia

Galileo Galilei vo svojich Rozhovoroch a matematických dôkazoch o dvoch nových odvetviach vedy navrhol paradox, ktorý demonštruje zvláštne vlastnosti nekonečných množín. Vedec sformuloval dve rozporuplné priateľ úsudku. Po prvé, existujú čísla, ktoré sú druhými mocničkami iných celých čísel, napríklad 1, 9, 16, 25, 36 atď. Existujú aj ďalšie čísla, ktoré túto vlastnosť nemajú – 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 a podobne. teda Celkom Musí existovať viac presných štvorcov a pravidelných čísel ako len dokonalé štvorce. Druhý návrh: pre každé prirodzené číslo existuje jeho presná druhá mocnina a pre každý štvorec existuje celé číslo Odmocnina, teda počet štvorcov sa rovná počtu prirodzených čísel.

Na základe tohto rozporu Galileo dospel k záveru, že uvažovanie o počte prvkov sa vzťahuje len na konečné množiny, hoci neskorší matematici zaviedli pojem mocniny množiny – s jeho pomocou sa dokázala správnosť Galileovho druhého úsudku aj pre nekonečné množiny. .

9. Paradox vreca zemiakov

© nieidealne-danie.blogspot.com

Predpokladajme, že istý farmár má vrece zemiakov vážiace presne 100 kg. Po preskúmaní jeho obsahu farmár zistí, že vrece bolo uskladnené vo vlhku - 99 % jeho hmoty tvorí voda a 1 % zvyšných látok obsiahnutých v zemiakoch. Rozhodne sa zemiaky trochu vysušiť, aby ich obsah vody klesol na 98% a vrece presunie na suché miesto. Na druhý deň sa ukázalo, že jeden liter (1 kg) vody sa naozaj vyparil, ale hmotnosť vrecka klesla zo 100 na 50 kg, ako je to možné? Počítajme - 99% zo 100 kg je 99 kg, čo znamená, že pomer hmotnosti sušiny a hmotnosti vody bol pôvodne 1/99. Po vysušení voda obsahuje 98 % z Celková váha vrece, potom je pomer hmotnosti suchého zvyšku k hmotnosti vody teraz 1/49. Keďže hmotnosť zvyšku sa nezmenila, zvyšná voda váži 49 kg.

Samozrejme, že pozorný čitateľ hneď odhalí tú najneslušnejšiu matematická chyba vo výpočtoch - pomyselný komiks „paradox vreca zemiakov“ možno považovať za vynikajúci príklad toho, ako pomocou zdanlivo „logických“ a „vedecky podložených“ úvah môžete doslova od nuly vybudovať teóriu, ktorá odporuje zdravému rozumu. .

10 Havranský paradox

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Problém je známy aj ako Hempelov paradox – svoje druhé meno dostal na počesť nemeckého matematika Carla Gustava Hempela, autora jeho klasickej verzie. Problém je formulovaný celkom jednoducho: každý havran je čierny. Z toho vyplýva, že čokoľvek, čo nie je čierne, nemôže byť havranom. Tento zákon sa nazýva logická protipozícia, to znamená, že ak určitá premisa „A“ má dôsledok „B“, potom negácia „B“ je ekvivalentná negácii „A“. Ak človek vidí čierneho havrana, posilňuje to jeho presvedčenie, že všetky havrany sú čierne, čo je celkom logické, avšak v súlade s kontrapozíciou a princípom indukcie je logické tvrdiť, že pozorovanie nečiernych predmetov (napr. , červené jablká) tiež dokazuje, že všetky vrany sú natreté čiernou farbou. Inými slovami, to, že človek žije v Petrohrade, dokazuje, že nežije v Moskve.

Z hľadiska logiky vyzerá paradox perfektne, no odporuje skutočnému životu – červené jablká v žiadnom prípade nemôžu potvrdiť fakt, že všetky vrany sú čierne.

Tu sme už s vami mali výber paradoxov -, ako aj najmä, a Pôvodný článok je na webe InfoGlaz.rf Odkaz na článok, z ktorého je vytvorená táto kópia -

Filozof Stephen Reed o klamárskom paradoxe, sémantických paradoxoch a ich priamej súvislosti so základmi matematiky.

Rozhovor o logických paradoxoch stojí za to začať malým príbehom, ktorý Cervantes rozpráva vo svojej knihe Don Quijote. V jednom momente v Don Quijote opustí Sancha Panzu ako guvernéra ostrova Barataria a kým je guvernérom, nechá sa oklamať svojimi „poddanými“. Jedného rána sa zobudil a povedal: "Pred raňajkami musíš posúdiť jednu vec." A v Španielsku bolo v tom čase veľa vagabundov, takže na ľudí ste museli byť veľmi opatrní. A teraz pozemkom jedného zemepána preteká rieka, cez ktorú je prehodený most, a aby sa ubezpečil, že všetci okoloidúci sú dôveryhodní, umiestnil pri moste šibenicu a strážcu, ktorý od každého vyžaduje. okoloidúci vysvetliť, kam a prečo ide. Ak okoloidúci povie pravdu, smie prejsť cez most a ak klame, čaká ho šibenica. A všetko bolo v poriadku, pomáhalo rozlišovať, kto je tulák a kto kupec, až kým jedného dňa neprišiel muž, ktorý povedal: Mojím cieľom je byť obesený na tejto šibenici a nič viac. A strážca to ohromilo, pretože si pomyslel: „No, ak ho obesíme, ukáže sa, že povedal pravdu, mali sme ho nechať prejsť, ale ak ho necháme prejsť, dopadne to že klamal, potom by sme ho mali nechať zavesiť.“ "Takže, Sancho Panza, ako máme posúdiť tento prípad?" A Sancho Panzovi nejaký čas trvá, kým si ten paradox uvedomí, no nakoniec sa rozhodne: obesiť polovicu toho, kto klamal, a nechať prejsť tú polovicu, ktorá povedala pravdu.

To všetko znie ako zábavné, ale pre ľudí, ktorí chcú prísť na podstatu vecí, ako je pravda, uvažovanie, jazyk atď., to poukazuje na niečo veľmi znepokojujúce v povahe jazyka. Zdá sa, že je veľmi ľahké upadnúť do paradoxu: jednoducho nevieme, či výrok toho človeka bol pravdivý alebo nie, či klamal alebo nie. A toto sa vracia k pôvodnému paradoxu klamára, ktorý sformuloval Eubulides v 4. storočí pred Kristom. Povýšil to na umelecké dielo, povedal: "Myslite na to, že poviete 'klamem'." Ak poviem: „Klamem“, samozrejme, môžem mať na mysli nejaký iný môj výrok, ale ak použijem mimoriadne opatrnú formuláciu, potom môžem povedať: „Nie, klamem práve v tej vete, ktorú hovorím. teraz je toto moje tvrdenie nepravdivé. A znova, ak sa nad tým zamyslíte, poviete si: „Ak by to bola pravda, tak keďže hovorí, že jeho tvrdenie je nepravdivé, z toho vyplýva, že musí byť nepravdivé, a nie pravdivé, to znamená, že nemôže byť pravdivé – to musí byť nepravdivé. Ale ak je to nepravdivé, pretože to hovorí, že je to nepravda, že klamal, musí to byť pravda." Takže skončíme s paradoxom úhľadne zabaleným do jednej vety.

Takýchto paradoxov je veľa a je ľahké pochopiť, prečo sa nazývajú logické paradoxy: rozpor v nich obsiahnutý sa odhaľuje pomocou logiky. Niektorí počuli o Epimenidovi: bol rodákom z Kréty a bol natoľko sklamaný schopnosťou svojich krajanov povedať pravdu, že raz povedal: "Všetci Kréťania sú klamári." Ak mal pravdu, ak boli skutočne všetci Kréťania klamári, alebo ak iní Kréťania vždy klamali, potom jeho vlastné tvrdenie musí byť paradoxné. Ak totiž povie: „Všetci Kréťania sú klamári,“ potom hovorí, že jeho vlastný výrok je nepravdivý, ale v tomto prípade by skutočne každý jeden Kréťan bol klamár, čo znamená, že hovoril pravdu, keď povedal, že všetci Kréťania - klamári. Východiskom z paradoxu je samozrejme to, že ak by niektorí Kréťania hovorili pravdu, jeho tvrdenie by bolo jednoducho nepravdivé, nie paradoxné.

Takže máme veľké množstvo takéto paradoxy. Tu je jeden paradox, ktorý sa mi obzvlášť páči: vezmite si kartu, na ktorej je na jednej strane nápis: „Vyhlásenie na zadnej strane tejto karty je pravdivé.“ Otočíte ju a zobrazí sa: "Vyhlásenie na zadnej strane tejto karty je nepravdivé." A ak sa nad tým zamyslíte, je to len paradoxné, pretože ak je pravdivé tvrdenie na prvej strane, potom je pravdivé aj tvrdenie na zadnej strane, pretože to hovorí prvé tvrdenie; ale na druhej strane je napísané, že prvé tvrdenie je nepravdivé, teda ak je prvé tvrdenie pravdivé, je tiež nepravdivé. Ale to je nemožné, takže druhý výrok musí byť nepravdivý; ale hovorí, že prvý výrok je nepravdivý, potom prvý výrok nemôže byť nepravdivý – musí byť pravdivý. Ale už sme videli, že ak je prvé tvrdenie pravdivé, potom je nepravdivé, takže dostaneme čistý paradox.

Niektorí stredovekí myslitelia radšej opísali tento paradox v termínoch Sokrata a Platóna alebo niekedy Platóna a Aristotela. Platón bol teda Aristotelovým učiteľom a považoval ho za svojho najlepšieho žiaka, a tak jedného dňa povedal: "Všetko, čo Aristoteles hovorí, je pravda." Ale Aristoteles nebol najviac vzorný študent v tom zmysle, že chcel spochybniť Platónovo učenie, preto povedal: „Všetko, čo Platón hovorí, je falošné“, čo je veľmi podobné kartovému paradoxu.

Všetko to boli paradoxy na poli pravdy, lži a jazyka. Ale v 20. storočí sme v matematike čelili paradoxom. Stručná história otázky je takáto: po nástupe kalkulu a potom po práci s nekonečnými sériami v 18. storočí sa základy matematiky ukázali ako nestabilné, ľudia sa pýtali: „Ako fungujú nekonečné rady bez toho, aby sme rozpory v matematike?“. A v 19. storočí sa rozvinulo veľké hnutie, ktorého účelom bolo hľadanie stabilných základov matematiky. Potom sa takýmto základom stala teória množín. Množina je súbor objektov definovaných prostredníctvom nejakej vlastnosti: napríklad môže existovať množina všetkých prirodzených čísel, množina párnych čísel alebo dokonca množina ryžových nákypov – môžete si vziať rôzne sady. V matematike sa samozrejme používajú len číselné množiny.

A to všetko vyzeralo dobre až do konca 19. storočia. Frege, Dedekind a mnohí ďalší myslitelia založili matematiku alebo to, čo sa zdalo byť pevným základom teórie množín. Ale potom si Bertrand Russell, slávny britský filozof, ktorý čítal Fregeho diela, pomyslel: „Môžete nastaviť veľa čísel, môžete dať veľa súborov; môžete zadať množinu množín, ktoré zahŕňajú samy seba, alebo môžete určiť množinu množín, ktoré samy seba neobsahujú. A potom si pomyslel: „Počkaj chvíľu, ak máme súbor súborov, ktoré samy seba nezahŕňajú, bude tento súbor obsahovať sám seba alebo nie?“ Ak by takáto množina mala zahŕňať samu seba, potom nesmie zahŕňať seba, pretože podľa konvencie berieme len tie množiny, ktoré samy seba nezahŕňajú. Bolo by teda lepšie, keby táto sada sama seba nezahŕňala, ale ak sama seba nezahŕňa, tak je to sada, ktorá sama seba nezahŕňa a musí byť súčasťou tejto sady. A ako som povedal, všetky tieto paradoxy spočiatku vyzerajú ako zábava pre myseľ, ale teraz, na začiatku 20. storočia, sme našli paradox, rozpor v samom srdci toho, čo by malo byť základmi matematiky. Ako je všeobecne známe, bolo veľká rana pre Fregeho: chystal sa vydať druhý zväzok svojich Základných zákonov aritmetiky a musel pridať dodatok, v ktorom napísal: „Bertrand Russell poukázal na slabosť v samom srdci mojej teórie, ale myslím, že môžem vyriešiť tento problém“ a navrhol riešenie, no ako sa ukázalo, nebolo správne.

V krátkosti sa vrátim k paradoxom v teórii množín, pretože je tu ešte jeden pomerne zaujímavý paradox, ktorý nás privádza späť k diskusii o paradoxoch súvisiacich s pravdou, alebo o takzvaných sémantických paradoxoch. Takže asi o 40 rokov neskôr, okolo roku 1940, sa americký matematik a logik Haskell B. Curry zamyslel nad Russellovým paradoxom a povedal: „Russellov paradox je založený na negácii – hovorí o množstve množín, ktoré samy seba nezahŕňajú.“ Je možné získať rovnaký paradox bez použitia negácie? Existuje nejaký spôsob? A povedal, že existuje spôsob. Vezmite sadu všetkých sád; ak zahŕňajú seba, potom sa nula rovná jednej. Podľa teórie množín ide o úplne prípustnú množinu. Ale ak začneme uvažovať o takejto množine, ak zahŕňa seba, potom splní podmienku, že ak zahŕňa seba, nula sa rovná jednej.

A predpokladali sme, že zahŕňa seba, preto sa nula skutočne rovná jednej. Ale je celkom zrejmé, že nula sa nemôže rovnať jednej, takže všetko hráme obrátene a predpokladáme, že množina nemôže obsahovať samu seba. Ak nezahŕňa seba, okamžite z toho vyplýva, že buď nezahŕňa seba, alebo sa nula rovná jednej. Ale to je to isté, ako keby ste povedali, že ak zahŕňa seba, nula sa skutočne rovná jednej – to je to isté, ako keby ste povedali, že buď nezahŕňa seba, alebo nula sa rovná jednej. A to je ako povedať, že ak množina zahŕňa sama seba, potom nie je nezahrnutá, potom sa nula rovná jednej. Ale potom zahŕňa seba, to znamená, že sme dokázali, že zahŕňa seba, ale keďže sme to dokázali, nula sa rovná jednej. Uložiť! Práve sme dokázali, že nula sa rovná jednej! Takže priamo v srdci matematiky máme opäť skutočný paradox nočnej mory.

A o niekoľko rokov neskôr sa tento paradox zmenil na jeden zo sémantických paradoxov, o ktorých som hovoril predtým, a dostal podobu výroku: „Ak je toto tvrdenie pravdivé, potom sa nula rovná jednej.“ Alebo dokonca: "Ak je tento výrok pravdivý, potom Boh existuje." A potom len pár riadkami dokážeme, že Boh existuje alebo čokoľvek iné: nula sa rovná jednej, Boh existuje, v Moskve dnes prší – takýmto tvrdením dokážeme čokoľvek. Ľudia veľa premýšľajú o pravde, takže je to veľmi nebezpečné: je pravda naozaj taká? Je pravda naozaj kontroverzný pojem?

A skončím krátkym rozprávaním o ďalšom paradoxe, aby som ukázal, že tam paradoxy nekončia. Tu je výrok: „Nepoznáš tento výrok“ – nepoznáš samotný výrok, ktorý teraz vyslovujem. Teraz predpokladajme, že ho poznáte. Pojmy poznanie a pravda nám hovoria, že môžete vedieť len to, čo je pravda, takže ak to viete, je to pravda, v takom prípade to neviete, pretože to tak hovorí. Ak teda predpokladáme, že ho poznáte, potom sa ukáže, že ho nepoznáte. Takže sme dokázali, že ho nepoznáte, ale hovorí, že ho nepoznáte, takže sme ho dokázali. A samozrejme, ak sme niečo dokázali, potom je to pravda, potom to vieme, pretože máme dôkaz. A ukázalo sa, že sme dokázali, že toto vyhlásenie poznáte a že ho neviete, takže máme opäť epistemický paradox.

Poďme si to zhrnúť. Opísal som niekoľko sémantických paradoxov, ktoré súvisia najmä s pojmom pravda, a tiež som ukázal, že sú veľmi podobné paradoxom spojeným s teóriou množín, ktoré sú jadrom matematiky. Okrem toho sme sa zoznámili s epistemickými paradoxmi, ktoré sa spájajú nielen s pojmom pravda, ale aj s pojmom poznanie. Takže sme analyzovali niekoľko sémantických paradoxov, ako je paradox klamára, Epimenidov paradox a paradox kariet, ktoré sú založené na koncepte pravdy (v nich hovoríme o lži, nepravde, pravde atď.) a potom sme analyzovali niekoľko paradoxov, ktoré vznikajú v matematike, sú spojené s teóriou množín. A na záver sme hovorili aj o inom type paradoxu – epistemických paradoxoch.

Okamžite vidíte, aké je pre nás dôležité nájsť riešenie týchto paradoxov, keďže je v nich matematika, pretože sme hľadali pevné základy matematiky, aby sme sa uistili, že nerobíme chyby - a teraz sme našli rozpor v nich. Takže naozaj potrebujeme riešenie, pokiaľ ide o matematické paradoxy súvisiace s teóriou množín, ale potrebujeme ho aj pre sémantické paradoxy. Mnoho filozofov premýšľa o pojmoch pravdy a chcú pochopiť podstatu pravdy, čo je pravdivé tvrdenie. Je prirodzené predpokladať, že výrok je pravdivý, ak je všetko tak, ako hovorí; teraz sa pozri na paradox klamára: je to pravda, ak klamem - je to paradoxné a vedie to k rozporu. Musíme teda prehodnotiť pojem pravdy, niektorí chcú prehodnotiť logiku, ktorá sa za ním skrýva, a metódy dokazovania, ktoré nás viedli k rozporu. A je veľmi dôležité, aby sme to urobili, ak chceme získať úplné pochopenie pojmov pravdy a poznania.

gif: postnauka.ru/ Stephen Reid

Podľa zákonov logiky Ivin Alexander Arkhipovič

ČO JE LOGICKÝ PARADOX?

Neexistuje žiadny vyčerpávajúci zoznam logických paradoxov a je to nemožné.

Uvažované paradoxy sú len časťou všetkých doteraz objavených. Je pravdepodobné, že v budúcnosti budú objavené mnohé ďalšie a dokonca úplne nové typy. Samotný pojem paradox nie je taký jednoznačný, aby bolo možné zostaviť zoznam aspoň už známych paradoxov.

„Paradoxy teórie množín sú veľmi vážnym problémom, nie však pre matematiku, ale skôr pre logiku a epistemológiu,“ píše rakúsky matematik a logik K. Gödel. "Logika je nekonzistentná. Neexistujú žiadne logické paradoxy, – hovorí sovietsky matematik D. Bochvar. - Takéto nezrovnalosti sú niekedy výrazné, inokedy slovné. Ide najmä o to, čo presne znamená „logický paradox“.

Nevyhnutnou vlastnosťou logických paradoxov je logický slovník. Paradoxy, ktoré sú logické, musia byť formulované v logických termínoch. V logike však neexistujú jasné kritériá na rozdelenie pojmov na logické a extralogické. Logika, ktorá sa zaoberá správnosťou uvažovania, sa snaží obmedziť pojmy, od ktorých závisí správnosť prakticky aplikovaných záverov, na minimum. Toto minimum však nie je vopred určené jednoznačne. Okrem toho môžu byť nelogické výroky formulované aj v logických termínoch. Či konkrétny paradox využíva len čisto logické premisy, nie je možné vždy jednoznačne určiť.

Logické paradoxy nie sú pevne oddelené od všetkých ostatných paradoxov, rovnako ako nie sú jasne odlíšené od všetkého neparadoxného a v súlade s prevládajúcimi myšlienkami.

Na začiatku skúmania logických paradoxov sa zdalo, že ich možno rozlíšiť porušením nejakého dosiaľ neprebádaného postavenia či pravidla logiky. „Princíp bludného kruhu“, ktorý zaviedol B. Russell, bol obzvlášť aktívny pri presadzovaní úlohy takéhoto pravidla. Tento princíp hovorí, že kolekcia objektov nemôže obsahovať členov definovaných len tou istou kolekciou.

Všetky paradoxy majú jedno spoločné – sebauplatnenie, čiže kruhovosť. V každom z nich sa predmetný predmet vyznačuje nejakým súborom predmetov, ku ktorým sám patrí. Ak vyčleníme napríklad človeka ako najprefíkanejšieho v triede, robíme to pomocou množiny ľudí, do ktorej patrí aj tento človek (pomocou „svojej triedy“). A ak povieme: „Toto vyhlásenie je nepravdivé,“ charakterizujeme vyhlásenie, ktoré nás zaujíma, odkazom na súhrn všetkých nepravdivých vyhlásení, ktoré ho zahŕňajú.

Vo všetkých paradoxoch dochádza k sebauplatniteľnosti, čo znamená, že existuje pohyb v kruhu, ktorý nakoniec vedie k východiskovému bodu. V snahe charakterizovať objekt, ktorý nás zaujíma, sa obraciame na súbor objektov, ktorý ho zahŕňa. Ukazuje sa však, že pre svoju definitívnosť sama potrebuje uvažovaný predmet a bez neho sa nedá jasne pochopiť. V tomto kruhu možno leží zdroj paradoxov.

Situáciu však komplikuje fakt, že takýto kruh existuje aj v mnohých úplne neparadoxných argumentoch. Kruhový je obrovská škála najbežnejších, neškodných a zároveň pohodlných spôsobov vyjadrovania. Príklady ako „najväčšie zo všetkých miest“, „najmenšie zo všetkých prirodzených čísiel“, „jeden z elektrónov atómu železa“ atď. ukazujú, že nie každý prípad vlastnej aplikácie vedie k rozporu a že je dôležité nielen v bežnom jazyku, ale aj v jazyku vedy.

Na diskreditáciu paradoxov teda nestačí poukázať na používanie samoaplikovateľných pojmov. Na oddelenie sebauplatnenia, čo vedie k paradoxu, od všetkých ostatných prípadov je potrebné nejaké dodatočné kritérium.

Na tento účel bolo predložených veľa návrhov, ale nenašlo sa žiadne úspešné objasnenie kruhovosti. Ukázalo sa, že je nemožné charakterizovať kruhovosť tak, že každé kruhové uvažovanie vedie k paradoxu a každý paradox je výsledkom nejakého kruhového uvažovania.

Pokus nájsť nejaký špecifický princíp logiky, ktorého porušenie by bolo charakteristickým znakom všetkých logických paradoxov, neviedol k ničomu definitívnemu.

Nepochybne by bola užitočná istá klasifikácia paradoxov, ktorá by ich rozdelila na typy a typy, niektoré paradoxy zoskupila a postavila proti iným. Nič udržateľné sa však ani v tomto prípade nedosiahlo.

Anglický logik F. Ramsey, ktorý zomrel v roku 1930, keď ešte nemal dvadsaťsedem rokov, navrhol rozdeliť všetky paradoxy na syntaktické a sémantické. Prvý zahŕňa napríklad Russellov paradox, druhý - paradoxy „klamára“, Grellinga atď.

Podľa F. Ramseyho paradoxy prvej skupiny obsahujú iba pojmy patriace do logiky alebo matematiky. Tie zahŕňajú pojmy ako „pravda“, „definovateľnosť“, „pomenovanie“, „jazyk“, ktoré nie sú striktne matematické, ale súvisia skôr s lingvistikou alebo dokonca s teóriou poznania. Zdá sa, že sémantické paradoxy nevďačia za svoj vznik nejakej chybe v logike, ale vágnosti alebo nejednoznačnosti niektorých nelogických pojmov, preto sa problémy, ktoré predstavujú, týkajú jazyka a musia ich riešiť lingvistika.

F. Ramseymu sa zdalo, že matematikov a logikov nemusia zaujímať sémantické paradoxy.

Neskôr sa však ukázalo, že niektoré z najvýznamnejších výsledkov modernej logiky boli získané práve v súvislosti s hlbším štúdiom práve týchto „nelogických“ paradoxov.

Rozdelenie paradoxov, ktoré navrhol F. Ramsey, bolo spočiatku široko používané a dodnes si zachováva určitý význam. Zároveň je čoraz jasnejšie, že toto rozdelenie je dosť vágne a opiera sa predovšetkým o príklady, a nie o hĺbkovú komparatívnu analýzu týchto dvoch skupín paradoxov. Sémantické pojmy sú teraz dobre definované a je ťažké nerozpoznať, že tieto pojmy sú skutočne logické. S rozvojom sémantiky, ktorá definuje svoje základné pojmy z hľadiska teórie množín, sa rozdiely, ktoré urobil F. Ramsey, čoraz viac stierajú.

Z knihy Dialektika mýtov autora Losev Alexej Fjodorovič

a) extralogická povaha spoliehania sa na vnem; a) Vyššie sme totiž uviedli, že poznanie logicky predpokladá mimologickú konfrontáciu medzi poznávajúcim a poznaným. Je ľahké vidieť, že to nie je nič iné ako postulát vnímania (alebo vnímania). Inými slovami, my

Z knihy Materializmus a empiriokritika autora Lenin Vladimír Iľjič

1. ČO JE HMOTA? ČO JE SKÚSENOSŤ? Prvú z týchto otázok neustále otravujú idealisti, agnostici vrátane machiánov až po materialistov; s druhým - materialistami až machistami. Skúsme prísť na to, o čo tu ide.“ Avenarius na otázku hmoty hovorí: „Vnútri

Z knihy Dejiny filozofie autora Skirbekk Gunnar

Logický pozitivizmus Medzi prvou a druhou svetovou vojnou nový filozofické myšlienky. Mnohé z nich boli stimulované rozvojom neklasickej fyziky a stali sa predmetom serióznej epistemologickej analýzy logickým pozitivizmom.

Z knihy Úvod do filozofie autor Frolov Ivan

3. Logická analýza (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) je svetoznámy anglický vedec, filozof a verejná osobnosť. Ako šestnásťročný prečítal Autobiografiu svojho krstného otca J. S. Milla, čo naňho urobilo veľký dojem. peru milla

Z knihy Sociálna filozofia autora Krapivenskij Šalamún Eliazarovič

2. Logický pozitivizmus V roku 1922 sa na Katedre prírodnej filozofie Viedenskej univerzity, ktorú po smrti E. Macha viedol profesor M. Schlick, zišla skupina mladých vedcov, ktorí si dali smelý cieľ – reformovať veda a filozofia. Táto skupina je v

Z knihy Západná filozofia 20. storočia autora Zotov Anatolij Fedorovič

Historické a logické metódy Celkovo vzaté empirickej úrovni vedecké poznatky samé o sebe nestačia na to, aby prenikli do podstaty vecí, vrátane zákonitostí fungovania a vývoja spoločnosti. V určitej fáze, keď viac ako

Z knihy Ježiš Kristus od Kaspera Waltera

§ 1. Logický atomizmus B. Russella „Starými otcami“ logického pozitivizmu sú Moore a Russell. Anglickí výskumníci zvyčajne zdôrazňujú úlohu Moora (1873-1958). Spočíval v tom, že upriamil pozornosť na rozbor významu slov a výrokov používaných filozofmi.

Z knihy Teória vedomia autor kňaz Steven

3. Teologický charakter Božieho kráľovstva Príchod Božieho kráľovstva v tradícii Starého zákona a judaizmu znamená Boží príchod. Centrom eschatologickej nádeje bol Bohom určený a uskutočnený „Deň Jahveho“, deň, keď Boh bude „všetko vo všetkom“, keď

Z knihy Viedenský kruh. Vznik neopozitivizmu autor Kraft Victor

KAPITOLA 2 LOGICKÝ BEHAVIORIZMUS Logický behaviorizmus je teória, že byť v duševnom stave znamená byť v behaviorálnom stave. Myslieť, dúfať, vnímať, pamätať si atď. - toto všetko treba chápať buď ako správanie, alebo ako posadnutie

Z knihy Chaos a štruktúra autora Losev Alexej Fjodorovič

II. LOGICKÁ ANALÝZA JAZYKA Pre teoretickú konštrukciu matematiky bola vyvinutá nová logika. Vo Viedenskom kruhu sa vo všeobecnosti stala prostriedkom na vytváranie teórie vedy. Na rozdiel od čistej logiky sa aplikovaná logika používala na zdokonalenie filozofie

Z knihy Umenie správneho myslenia autora Ivin Alexander Arkhipovič

15. INFINITESIMÁLNO-LOGICKÝ SLOVNÍKb Týmto končíme náš krátka správa o aplikácii metódy infinitezimál na logiku. Nie je to skôr odkaz, ale iba návrh, iba skromný náznak oblasti, ktorá nemôže byť obrovská. Logika a matematika nie

Z knihy Filozofia. Kniha tretia. Metafyzika autora Jaspers Karl Theodor

ČO JE LOGICKÝ PARADOX? Neexistuje žiadny vyčerpávajúci zoznam logických paradoxov. Uvažované logické paradoxy sú len časťou všetkých doteraz objavených. Je pravdepodobné, že v budúcnosti budú otvorené mnohé ďalšie.

Z knihy Marxistická filozofia v 19. storočí. Kniha prvá (Od vzniku marxistickej filozofie k jej rozvoju v 50. - 60. rokoch XIX. storočia) od autora

2. Logický kolaps – To, čo sa dá preukázať alebo čo treba dokázať, je konečná znalosť niečoho špeciálneho. Existencia a transcendencia v zmysle tohto bytia neexistujú. Ak sa nad nimi zamyslíme, tak myšlienka nadobudne logické formy, ktoré

Z knihy 12 popredných filozofov našej doby od Camp Gary

„Logické“ a „historické“ metódy výskumu V „Kapitáli“, najmä v jeho štvrtom zväzku, sa premietol dôležitý epistemologický problém vzťahu medzi logickou výstavbou teórie objektu a historickými metódami jeho skúmania – druhý z

Z knihy Logika. Návod autora Gusev Dmitrij Alekseevič

Carnapov logický pozitivizmus Logický pozitivizmus je modifikovanou formou empirizmu. Empirizmus vo svojej najčistejšej forme je doktrína, že všetko poznanie pochádza zo zmyslovej skúsenosti. Logický pozitivizmus vyzerá v jednom ohľade slabšie. dôležitý bod, ale silnejší v

Z knihy autora

2.9. Logický štvorec Vzťahy medzi jednoduchými porovnateľnými výrokmi sú schematicky znázornené pomocou logického štvorca, ktorý vyvinuli stredovekí logici. Ako vidíte, vrcholy štvorca označujú štyri typy jednoduchých úsudkov a jeho strany a