1 Primárne a sekundárne odborné vzdelanie M. I. Bašmakov
2 ZÁKLADNÉ A STREDNÉ ODBORNÉ VZDELÁVANIE M. I. BASHMAKOV MATEMATIKA Odporúčaná federálnym štátnym orgánom “ Federálny inštitút rozvoj vzdelávania“ ako učebnica na použitie v vzdelávací proces vzdelávacie inštitúcie implementačné programy základného a stredného odborného vzdelávania Revue registračné číslo 174 z 28. apríla 2009 FGU "FIRO" 5. vydanie, opravené akademiom "Moskovské vydavateľské centrum "Academy" 2012
3 LBC 22.1ya722 B336 Recenzenti: učiteľ Moskovskej štátnej vzdelávacej inštitúcie vysoká škola polytechnická N.A. Kharitonova; učiteľ matematiky a štatistiky GOU SPO Moskva štátna technická škola technológie, ekonomika a právo. L.B.Krasina T.N.Sinilová; učiteľ matematiky GOU SPO Vysoká škola automatizácie a informačných technológií 20 Moskva T.G.Kononenko B 336 Bashmakov M.I. Matematika: učebnica pre inštitúcie zač. a priem. Prednášal prof. vzdelanie / M.I. Bashmakov. 5. vydanie, rev. M.: Edičné stredisko „Akadémia“, s. ISBN Učebnica bola napísaná v súlade s učebnými osnovami pre štúdium matematiky na základných a stredných odborných školách a pokrýva všetky hlavné témy: teóriu čísel, odmocniny, mocniny, logaritmy, priamky a roviny, priestorové telesá, ako aj základy trigonometria, analýza, kombinatorika a teória pravdepodobnosti. Pre študentov v zariadeniach základného a stredného odborného vzdelávania. UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 Pôvodná úprava tejto publikácie je majetkom Vydavateľského centra Academy a jej reprodukcia akýmkoľvek spôsobom bez súhlasu držiteľa autorských práv je zakázaná. Vydavateľské centrum "Akadémia", 2010
4 Základný zápis Všeobecné matematické symboly absolútna hodnota (modul) čísla a [a] celá časťčísla a = rovné a približne rovné > väčšie ako< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>V dôsledku toho<=>je ekvivalentné práve vtedy, ak kombinatorika ha! faktoriál Počet usporiadaní od r do r C počet kombinácií od r do m Pn počet permutácií z n prvkov Množiny 0 prázdna množina N prirodzených čísel Y. celé čísla Q racionálne čísla R reálne čísla C komplexné čísla AUfi spojenie množín APW-priesečník množín aea a patrí do množiny A a "a a nepatrí do množiny A g f zloženie zobrazení fug Komplexné čísla i imaginárna jednotka z komplexné číslo konjugované s K Z \r\ absolútna hodnota (modul) komplexného čísla z Geometria A(x; y) , AB bod A so súradnicami x a y priame roviny priamka a je rovnobežná s priamkou b priamka a pretína priamka b priamka a je kolmá na priamku b priamka a pretína rovinu a v bode P rovina a je rovnobežná s rovinou p rovina a je kolmá na rovinu p vektor Postupnosť a funkcie K ) A/ df f\x) b \f(x) d. x postupnosť prírastok funkcie f diferenciál funkcie) derivácia funkcie 1 v bode x množina primitív, alebo neurčitý integrál funkcie / určitý integrál funkcie f od a do b
5 Predslov Matematika za 2500 rokov svojej existencie nazhromaždila najbohatší nástroj na štúdium sveta okolo nás. Ako však poznamenal akademik A.N. Krylov, vynikajúci ruský matematik a staviteľ lodí, človek sa obracia na matematiku, „nie preto, aby obdivoval nespočetné poklady“. V prvom rade sa potrebuje zoznámiť s „stáročiami overenými nástrojmi a naučiť sa ich správne a zručne používať“. Táto kniha vás naučí používať matematické nástroje, ako sú funkcie a ich grafy, geometrické obrazce vektory a súradnice, derivácia a integrál. Zatiaľ čo väčšina z týchto konceptov vám bola prvýkrát predstavená skôr, táto kniha ich znovu predstavuje. To je výhodné pre tých, ktorí trochu zabudli na predtým študovaný materiál, a je to užitočné pre každého, pretože aj známe veci odhalia nové aspekty a súvislosti. Pre uľahčenie práce s učebnicou sú zvýraznené najdôležitejšie ustanovenia a formulácie. Ilustrácie zohrávajú dôležitú úlohu, preto je potrebné starostlivo zvážiť kresbu súvisiacu s textom pre lepšie pochopenie textu (už v staroveku používali túto metódu štúdia matematiky na kreslenie kresby a povedali: „Pozri sa!“ ). Okrem nepochybných praktickú hodnotu získaných matematických vedomostí zanecháva štúdium matematiky nezmazateľnú stopu v duši každého človeka. S matematikou si mnohí spájajú objektivitu a čestnosť, túžbu po pravde a triumf rozumu. Mnohí majú celoživotné sebavedomie, ktoré vzniklo pri prekonávaní nepochybných ťažkostí, s ktorými sa stretli pri štúdiu matematiky. Napokon, väčšina z vás je otvorená vnímaniu harmónie a krásy sveta, ktorý matematika pohltila, preto by ste nemali ku každej strane učebnice, ku každej úlohe pristupovať s hodnotením, či sa využije v novom živote, ktorý Vás čaká po ukončení štúdia. Témy, ktorým je učebnica venovaná, teória čísel, priestorové telesá, esnovy matematická analýza, princípy teórie pravdepodobnosti majú nielen použitá hodnota. Obsahujú bohaté nápady, oboznámenie sa s nimi je potrebné pre každého človeka. Chcel by som dúfať, že štúdium matematiky, ktoré / učebnica by vám malo pomôcť, vám umožní overiť vysoký stupeň svojich schopností posilní túžbu pokračovať vo vzdelávaní a prinesie mnoho radostných chvíľ spoločenstva s „neotrasiteľnými zákonmi, ktoré poznačia celý poriadok vesmíru“.
6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись prirodzené čísla má dlhú históriu. Moderná spoločnosť používa desiatkovú sústavu, do ktorej sa zadáva 10 číslic: 1,2 \u003d 1 + 1,3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 a 0. Číslo nasledujúce po čísle 9 sa píše ako 10. Ďalej , počítajúc v desiatkach, stovkách (10 x 10), tisíckach atď., každé prirodzené číslo je reprezentované ako a0 + + a ak10 k (ak f 0), kde 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в rôznych systémov Desatinná sústava 2010 Rímska sústava MMX Hieroglyfická sústava starých Egypťanov (= 3000 pred Kr.) O n 2010 = 2 X Babylonská (šestnástková) sústava ("3500 pred Kr.) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10
7 alebo jednotiek; m-krát braný n-tý zlomok jednotky (typ prirodzených čísel) je racionálne číslo. Dá sa zapísať ako obyčajný zlomok. Rovnakú sumu je možné získať použitím rôznych akcií. Napríklad je jasné, že piroga a piroga sú to isté. ^ ^ Dva obyčajné zlomky a sú medzi sebou rovné Щ n2 (to znamená, že ide o záznamy rovnakého racionálneho čísla) práve vtedy, ak sa prirodzené čísla ml t9 txn2 a t2nx zhodujú: - = -<=>tgp2 = t2Hz. Пп 2 Po zostrojení kladných racionálnych čísel sa k nim obvyklým spôsobom pripočítajú záporné jednotky a nula. Množinu racionálnych čísel označujeme písmenom Q. Celé čísla m sa stotožňujú so zlomkami. 1 Existujú inklúzie N so Z s Q. 4. V množine racionálnych čísel Q sú definované dve aritmetické operácie, sčítanie a násobenie, ktoré sa riadia známe zákony komutatívny, asociatívny, distributívny. Prečo ľudia potrebujú čísla? V prvom rade na účet. Na porovnanie počtu predmetov boli najskôr použité niektoré štandardné predmety (prsty, kamienky, palice). Potom boli vynájdené symboly na označenie počtu v súboroch (zbierky, sady), ktoré majú rovnaké položky. Ďalším zdrojom rozvoja pojmu číslo bol problém merania. Pri výbere mernej jednotky pre množstvo (napríklad dĺžku) je možné s ňou porovnávať. V tomto prípade môžete použiť nielen celú jednotku, ale aj jej zlomky.
8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il obyčajné zlomky pri výpočte s racionálnymi číslami? I^UITIIVId Ako bolo uvedené, rovnaké racionálne číslo možno zapísať v rôznych zlomkoch. Spojenie medzi nimi popisuje nasledujúca veta., _ tl t9 t9 t3 Veta. Ak \u003d - a \u003d - W "s Dôkaz. W "s potom Je potrebné dokázať, že jj ^ definícia rovnosti zlomkov na to musíte skontrolovať rovnosť celých čísel: m ^ n3 \u003d m3ni. Používame tieto rovnosti: m1p2 = m2px a m2p3 = m3p2 Vynásobte prvú z nich n3 a druhú n1. Získame mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Celé čísla m2p1p3 a m2p3nx sa navzájom rovnajú; využívame vlastnosť tranzitivity celých čísel: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. Rovnosť celých čísel m1p2p3 = m3p2nx prepíšeme ako n2(m1p3 - m3rii) = 0. Číslo n2 (menovateľ stredného zlomku) sa nemôže rovnať nule. Ak je však súčin dvoch celých čísel nula, potom aspoň jedno z nich musí byť nula. Dostaneme, že txp3 - t3p1 = 0, t.j. mxn3 = m3nx, čo sa malo dokázať. Ako vykonávate aritmetické operácie s bežnými zlomkami? 1. Zníženie frakcií. 28 Tlačiareň. Frakcia sa môže znížiť. Tento koláčový graf ukazuje rozdelenie hlasov v parlamente medzi tri strany modrá, sivá a biela. Toto rozdelenie možno zapísať ako zlomky: = 180 celkový počet Miesta; " " 4 Ako celkový podiel si môžete vybrať ^: 12 Aká časť objemu banky sa naplní, keď sa vypúšťajú kvapaliny z dvoch rovnakých baniek? možno vykonať postupne, nájsť spoločné faktory čitateľa a menovateľa a rozdeliť ich:
9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 Odčítanie m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 Násobenie wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg menovateľa k ich najväčšiemu spoločný deliteľ(GCD): T_ "Zlomok je neredukovateľný. Jeho čitateľ a menovateľ 15 sú prvočísla. 2. Sčítanie (odčítanie) zlomkov. 5 3 Príklad Na sčítanie je potrebné priviesť zlomky do spoločný menovateľ. Na tento účel je vhodné rozložiť menovateľov na prvočísla a vziať ich najmenší spoločný násobok (LCM): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ Násobenie (delenie) zlomkov "Príklad. ( ):. Re- A * V25 63J 7 výsledok zapíšeme v tvare jediného zlomku. a znížte ho: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Otázky a cvičenia 1. Ktorý z nasledujúcich výrazov má hodnotu 1: 14 a stred ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) A \u003d)) A \u003d 2,36-1,12-0,88 + 0,64; 7) A =? 4) l L.“. C Náklady na tovar boli prvýkrát znížené o a %, druhýkrát o b % z novej ceny. V ktorých prípadoch v dôsledku toho náklady na tovar dosiahli 60% pôvodnej ceny: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10? 02) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; osem
10 t číselné výrazy: 1) počet „šťastných“ lístkov na autobus: IT" " 2) pravdepodobnosť, že v triede 30 ľudí sú zhodné narodeniny: \100% J, l d 180 1, Odhadnite, ktoré z nasledujúcich čísel je najbližšie k číslo: )0,001; 2) 0,01; 3) 0,1; 4)1. 5. V tabuľke sú uvedené teploty topenia ľadu a teploty varu vody v štyroch teplotných stupňoch Celzia (C), Fahrenheita (F), Kelvina (K) a Réaumura (R). Za predpokladu, že teplota ľudského tela v stupňoch Celzia je 37, vypočítajte ju v iných mierkach, ak je vzťah medzi stupnicami lineárny: Indikátor Mierka C F K R Vriaca voda Topenie ľadu Lekcia 2 Reálne číslaČo znamená skutočné číslo? 1. Reálne číslo. Racionálne čísla nestačili na riešenie problémov s meraním. Na to prišli pred viac ako 2,5 tisíc rokmi starogrécki matematici, ktorí dokázali, že uhlopriečku štvorca s jednotkovou stranou nemožno merať iba pomocou racionálnych čísel, kým iné vtedy ešte nepoznali. Čo sa týka nastavenia prirodzených čísel, môžete použiť špecifické objekty (prsty, palice) a pre úlohy merania si môžete zvoliť štandardnú hodnotu dĺžky segmentu a čísla nastaviť geometricky po segmentoch, alebo skôr podľa ich vzťahu k vybranému jednotkový segment (jednotka mierky). E \- T 4 Všeobecné opatrenie 3 A 9 4
11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj
12 čísel sú čísla V2, ktorých pätnásť desatinných miest bolo uvedených vyššie, alebo číslo k (pomer obvodu k priemeru): l \u003d 3. Množina všetkých reálnych čísel je označená písmenom R: N c Z c Q c R. Prečo ste potrebovali reálne čísla a stačili na vyriešenie úloh? Ako bolo poznamenané, pridanie nových, iracionálnych čísel k racionálnym číslam bolo spôsobené potrebou merať dĺžky akýchkoľvek segmentov. Pomocou takto zostrojených reálnych čísel sa už ukázalo, že je možné merať aj mnohé iné veličiny, ktoré sa nazývali skalárne. Vznik nových problémov si vyžiadal ďalší rozvoj pojmu číslo, o ktorom budeme diskutovať neskôr. Prečo sa uhlopriečka štvorca so stranou rovnajúcou sa jednej nedá zmerať racionálnym číslom? Táto otázka obsahuje formuláciu slávnej vety, dokázanej v VI. pred Kr. Dôkaz. Predpokladajme, že dĺžku uhlopriečky jednotkového štvorca môžeme zapísať ako zlomok, ktorý budeme považovať za nezredukovateľný. Pytagorovou vetou získame rovnosť I = I m 1, t.j. I _ m 1 \u003d\n) U alebo m 2 \u003d 2n 2. Keďže vpravo je párne číslo, potom číslo m g vľavo, a teda číslo m, sú párne čísla: m \u003d 2k . Dosadením a zmenšením o 2 dostaneme: 2k 2 = n 2. Z tej istej úvahy dostaneme, že teraz n musí byť tiež párne číslo. Skutočnosť, že zlomok niuio wiiv ^ vudi galinun reálnych čísel Desatinné číslo - \u003d 0, n 2 1, pokračujúci zlomok - \u003d 2 + L F \u003d Riadok n 2, koláčový graf Bod na číselnej osi B (-2) 0 1 l (2,5) 11
13 Dcjmnnc MdieMdiHKH na časovej osi - 600"" Pytagorov čitateľ a menovateľ sa ukázali ako párne čísla, čo je v rozpore s podmienkou neredukovateľnosti zlomku. Tento rozpor dokazuje teorém Euklida Archimeda Diophantusa Al-Khwarizmiho Fibonacciho Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov Ako pracujú s reálnymi číslami? Nekonečné desatinné číslo je postupnosť aproximácií konečnými desatinnými miestami k danému reálnemu číslu. Na vykonávanie aritmetických operácií s nekonečnými desatinnými zlomkami sa tieto operácie vykonávajú s konečnými desatinnými zlomkami. Napríklad pridáme = 1, Dostaneme: = 4 1,4 + 3,1 = 4,5 1,41 + 3,14 = 4,55 1,141 = 4,555 1,1415 = 4,5557 1,14159 = 4,55580 atď. Podobne l 72 \u003d 4. Samozrejme, takéto výpočty sa musia vykonávať pomocou kalkulačky, ale zároveň sledujte, koľko číslic výsledku možno považovať za správne. Reálne čísla môžu byť znázornené ako bodky na číselnej osi. Ak sú dve čísla a a b znázornené bodmi A(a) a B(b) na reálnej osi, potom sa vzdialenosť medzi bodmi A a B rovná modulu rozdielu medzi číslami a a b: \AB\ = \b - a\. Modul má dve najdôležitejšie vlastnosti: \ab\ = \a\ b( a \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?
14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu ČÍSLO f 7. Nasledujúce čísla zapíšte ako periodické desatinné zlomky: x> 2,1, 3, 4 , ALE ; 6) Dokážte iracionalitu nasledujúcich čísel: 1) 0, ; 2) 0, lekcia 3 Približné výpočty Čo je užitočné vedieť o približných výpočtoch? 1. L “3 Približné hodnoty k I 1. Približná hodnota. Nech je dané číslo x. Číslo a sa nazýva približná hodnota čísla x vypočítaná do h > 0, ak nerovnosť \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13
15 3. f16 = 3, Hz. kg "A.. w -, Ct.. a W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. Pod znamienkom odmocniny je za desatinnou čiarkou V0 napísané číslo so 40 deviatkami, Vypočítajte odmocninu so 40 desatinnými miestami. 4. Skontrolujte, či je správne zaokrúhlenie nasledujúcich čísel na druhé desatinné miesto: 1) a = 1,1683, a ~ 0,17; 3) 72"1,41; 5) to 2 "9,86. 2) a = 0,2309, a ~ 0,23; 4) ^1 0,86; 2 5. Je pravda, že relatívna chyba výpočtu je menšia ako 1%: 1) n «3,16; 3) oblasť kruhu s polomerom) ^ "21; 2) 210"1000; približne rovnaké; 5) 9 11 a 3 Yu 10? Lekcia 4 Komplexné čísla Grafické znázornenie komplexných čísel m r = a + s M (a; b) Čo je komplexné číslo a ako sa vykonávajú aritmetické operácie s komplexnými číslami? 1. Komplexné čísla. Komplexné číslo je číslo v tvare a + bi, kde a a b sú reálne čísla, a i je symbol nazývaný imaginárna jednotka. 16
18 Množinu komplexných čísel označujeme písmenom C. Reálne číslo a identifikujeme s komplexným číslom a + 0 r. Rozšírime tak reťaz inklúzií rôznych číselných množín: N c Z c Q c R c C Každé komplexné číslo z je nejaký symbol v tvare a + b.i. Číslo a sa nazýva reálna časť čísla z a číslo b je jeho imaginárna časť. Definícia sčítania ukazuje, že pri sčítaní komplexných čísel sa ich reálna a imaginárna časť sčítavajú oddelene. 2. Pravidlá sčítania a násobenia komplexných čísel. Komplexné čísla sa sčítavajú podľa nasledujúceho pravidla: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Podľa pravidla násobenia i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, t.j. druhá mocnina imaginárnej jednotky sa rovná reálnemu číslu -1. Pri násobení komplexných čísel jednoducho otvorte zátvorky podľa zvyčajných pravidiel a r 2 nahraďte -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- že nielen z 2 = = -1, ale aj (-i) 2 = Konjugované komplexné čísla. Komplexné čísla a + bi a a - bi sa nazývajú navzájom konjugované. Ich súčin sa rovná reálnemu kladnému číslu a 2 + b 2. Ak z \u003d a + N f 0, potom a 2 + b 2 f 0 a môžeme zapísať identitu: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Z toho je zrejmé, že číslo je 2 + b 2 a 2 + b 2 je prevrátená hodnota čísla a + bi. Vedieť počítať recipročné číslo, môžete deliť jedno komplexné číslo druhým (iným ako nula). 4. Obraz komplexných čísel. Číslo z = a + bi môže byť vyjadrené bodom v rovine so súradnicami (a, b) (napríklad M(a, b)). Pri takomto obrázku pridanie komplexných čísel zodpovedá 2 + z Reálna os Konjugované čísla z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ы = \om\ Komplexné číslo modul 17
19 Sčítanie komplexných čísel Určitú interpretáciu násobenia komplexných čísel rozoberieme v kapitole o rotácii a goniometrických funkciách. Konjugované čísla z \u003d a + bi a z \u003d a - bi sú reprezentované bodmi symetrickými okolo osi x. Číslo l/a 2 + b 2, čo je vzdialenosť od bodu reprezentujúceho číslo z (hovoria jednoducho od bodu z) po počiatok, sa nazýva modul komplexného čísla a označuje sa \r\. Zaznamenávame jednoduché identity: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z<=>Reálne číslo. Opačné komplexné číslo Odčítanie komplexných čísel I = 2 Prečo potrebujeme komplexné čísla? S využitím komplexných čísel majú matematici nové možnosti. Poďme sa na niektoré z nich pozrieť. 1. Bolo možné nájsť korene akéhokoľvek algebraické rovnice. Gaussova veta, ktorá sa nazýva základná veta algebry, hovorí, že každá algebraická rovnica má aspoň jeden komplexný koreň. 2. Rovinné transformácie (rovnobežný posun, rotácia, rovnosť, osová súmernosť a ich kombinácie) sa zapisujú ako jednoduché operácie na komplexných číslach. 3. Oscilačné procesy v mechanike a fyzike (šírenie zvukových a svetelných vĺn, elektromagnetické javy, vlastnosti striedavého prúdu) sa študujú oveľa jednoduchšie pomocou komplexných čísel. Nasledujúca veta sa zdá byť pre každého inžiniera veľmi zmysluplná: „Zvážte vodič, cez ktorý preteká prúd so silou I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (ampéry), hoci na prvý pohľad vyzerá ako „imaginárny“ prúd nemôže mať fyzikálny význam. osemnásť
20 I IV/ J - komplexné čísla je vhodné umiestniť geometrické útvary do roviny? Je to založené na nasledujúcom jednoduchom pravidle. Veta. Modul rozdielu dvoch komplexných čísel sa rovná vzdialenosti medzi bodmi reprezentujúcimi tieto čísla. Obrázok ukazuje, že vektory spájajúce bod z2 s bodom zu a počiatok s bodom + (~z2) sú si navzájom rovné. Preto číslo zx - z2\, ktoré sa rovná vzdialenosti od bodu + (~z2) po počiatok, sa rovná vzdialenosti medzi bodmi a z2, ktorá sa mala dokázať. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ Modul rozdielu dvoch komplexných čísel Ako sa vykonávajú výpočty s komplexnými číslami? 1. Aritmetické operácie: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i) (5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4) (-5))i = r; i_ (-5 + 7i) (3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i) (3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + ak = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Zápis rovníc rôznych kriviek pomocou geometrickej interpretácie modulu rozdielu dvoch komplexných čísel: 1 ) kružnica s polomerom R so stredom v počiatku: r = R; 2) kružnica s polomerom R so stredom v bode r0: z - Zq\ = R; 3) elipsa je definovaná ako ťažisko bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností k dvom bodom v rovine je konštantný: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Elipsa s ohniskom.fi(-1; 0) a F2(l; 0) 19
21 Otázky a cvičenia 1. Vypočítajte: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r) (; 5) r3; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. Rozbaliť do lineárne faktory 1) a2 + 4b2; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a4 - b4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x Nakreslite do roviny množinu komplexných čísel, ktoré spĺňajú nasledujúce podmienky: 1) \r\ \u003d 3; 3) g g< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >jeden; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >b. Vytváranie riešení tejto rovnice
22 celých čísel (a nula). Rovnica v tvare ax = b, kde a a b sú celé čísla a a Ф 0, tiež nemá vždy celočíselné riešenia. Zavedením racionálnych čísel získame možnosť zapísať riešenia tejto rovnice pre ľubovoľné celé čísla a a b (s rovnakým obmedzením a Ф 0). Neriešiteľnosť v racionálnych číslach rovnice x 2 = 2 spôsobila objavenie sa reálnych čísel, ktoré si teraz predstavujeme vo forme nekonečných desatinných zlomkov. Medzi nimi v prvom rade vynikali tie, ktoré boli vyjadrené prostredníctvom radikálov, t.j. cez korene rovníc tvaru x n = a (a > 0). O týchto číslach budeme podrobnejšie diskutovať v kap. 2. Samozrejme, s pomocou odmocniny podarilo preskúmať problém riešenia kvadratických rovníc. Al-Khwarizmiho metóda hľadania kladného koreňa kvadratickej rovnice l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Kubickú rovnicu vyriešili pomocou radikálov talianski matematici v 16. storočí. Riešenie kubickej rovnice x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 algebraický zápis komplexné korene kvadratickej rovnice geometrický obraz koreňov rovnice x 3 \u003d 1 Je pozoruhodné, že v prípade, že rovnica má tri skutočné korene, bude pod štvorcovým radikálom záporné číslo a skutočný koreň zapísaný ako súčet konjugovaných komplexných čísel. Takže späť v 16. storočí. matematici prišli na potrebu zaviesť „imaginárne“ čísla. Taliani rýchlo znížili rovnicu štvrtého stupňa na kubická metóda jeho riešenie navrhnuté L. Ferrari publikoval D. Cardano v roku 1545 vo svojej slávnej knihe Ars Magna. 21
23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () Cardanov vzorec na nájdenie koreňov rovnice x 3 + px + q = 0: Ďalší krok trval takmer tristo rokov, keď nórsky matematik N. Henrik Abel (paralelne s Talianom P. Ruffinim) dokázal, že neexistuje všeobecný vzorec vyriešiť rovnicu piateho stupňa. Úplný popis rovníc, ktorých korene možno vyjadriť pomocou ich koeficientov pomocou aritmetických operácií a extrakcie koreňov, podal približne v rovnakom čase pozoruhodný francúzsky matematik E. Galois. Žil len 21 rokov a zomrel v súboji v roku 1832, no práve s jeho menom sa spája zrod modernej algebry. Hlboké diela Galois boli pochopené až koncom 19. storočia. Stručne sme teda načrtli jeden riadok hľadania koreňov polynómu, vyjadrenie koreňov rovnice prostredníctvom jej koeficientov pomocou aritmetických operácií. Ďalšia línia je vo väčšej miere spojená s matematickou analýzou. Otázka zániku funkcie definovanej polynómom je typickou otázkou v teórii funkcií. To, že reálne čísla nestačia na opis koreňov polynómu, sa ukázalo až po práci Talianov v 16. storočí. Prirodzenú otázku, či existuje dostatok komplexných čísel na nájdenie koreňa akéhokoľvek polynómu, či je potrebné ku komplexným číslam pridať nejaké nové čísla, vyriešil nemecký matematik K.F.Gauss a publikoval ju koncom 18. storočia. Dokázal, že každá rovnica (aj s komplexnými koeficientmi) má zložitý koreň. Axiómy Konštruktívny spôsob, ktorý sme opísali ako odpoveď na otázku: „Čo je číslo? nie je jediný. Namiesto odpovede na túto otázku moderná matematika navrhuje presnejšie formulovať, čo sú
24 vlastností čísel, aké operácie s nimi možno vykonávať. Rôzne číselné sústavy majú rôzne vlastnosti týchto operácií. Najbohatším systémom je pole. Číselná sústava tvorí pole, ak obe operácie (sčítanie a násobenie) umožňujú vykonať inverzné operácie (odčítanie a delenie). Každý číselný systém, ktorý má dve operácie, pre ktoré platí deväť axióm, sa nazýva pole. Množiny Q racionálnych čísel, R reálnych čísel sú polia. Množiny prirodzených čísel N, celých čísel Z, kladných čísel R* nie sú polia. Axiómy poľa úplne nepopisujú všetky vlastnosti reálnych čísel, ktoré potrebujeme. Hovoria len o aritmetické operácie nad nimi. Existuje tiež rozsiahla skupina vlastností spojených s pojmami nerovnosť a vzdialenosť medzi číslami. K týmto vlastnostiam sa vrátime pri štúdiu princípov matematickej analýzy (pozri kapitolu 9). Okrem „štandardných“ polí Q a R existuje mnoho ďalších polí. Medzi nimi sú obzvlášť dôležité takzvané konečné polia, t.j. systémy pozostávajúce z konečného počtu prvkov, ktoré sú súčasne poľami. Ak vezmeme jedno ľubovoľné prvočíslo p a zvážime zvyšky po vydelení ďalšieho ľubovoľného celého čísla p (bude presne p: 0, 1, 2, ..., p - 1), potom môžeme definovať sčítanie a násobenie zvyškov takým prirodzeným spôsobom, že vytvoria pole. Aby ste to dosiahli, musíte vykonať obvyklé operácie so zvyškami ako s celými číslami a nahradiť výsledné číslo zvyškom po delení p (hovoria: vypočítajte modulo p). Napríklad so zvyškami delenia číslom 5 môžete vykonávať všetky operácie: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, t.j. -3 = 2 a -2 = 3 a tak ďalej. Axiómy 1. Sčítanie a násobenie sú komutatívne a asociatívne, t.j. platia nasledujúce identity: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc). 2. Sčítanie a násobenie majú neutrálne prvky (nula pre sčítanie a jedna pre násobenie): 5) a + 0 = a; 6) 1a = a. 3. Inverzné operácie sú možné: 7) pre každé číslo a existuje opačné číslo(-a tie. a + + (-a) = 0; 8) ku každému číslu a Ф 0 pripadá inverzné číslo a -1, t.j. a-a" 1 = Distribučný zákon: 9) a(b + c) = ab + ac.
25 n n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 prirodzené číslo; ale ľubovoľné číslo. Potom „súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a: a 2 \u003d a-a štvorec čísla a; a 3 \u003d a-a-a kocka čísla a. p 2“ Prirodzené čísla sa určujú postupne, počnúc od jedného (N \u003d 1, 2, 3...). Ak poznáme nejaké číslo n, ďalšie číslo bude n + 1. Rovnakým spôsobom môžeme postupne určiť stupne s prirodzený indikátor: veríme, že a 1 = a; poznajúc a", nastavíme a n + 1 = a p a. 2. Zovšeobecnenie pojmu stupňa na ľubovoľné celočíselné exponenty. Pre ľubovoľné číslo a * 0 definujeme a p = a p kde p je prirodzené číslo. Doplňte definíciu a stupňa s exponentom: a 0 = a"" = 1, a * O. a" nula 24
26 3. Vlastnosti stupňov s celočíselnými medzerami: násobenie: a t a n = a m + n; delenie: a t: a n = a t ~ n; umocnenie: (a n) n = a mp. 4. Geometrická progresia. Geometrická postupnosť je postupnosť daná prvým členom a1 a rekurenciou an+1 = an q, ktorá umožňuje vypočítať ktorýkoľvek z jej členov so znalosťou predchádzajúceho. Konštantné číslo q sa nazýva menovateľ progresie. Vzorec všeobecného výrazu: ap \u003d ax q p ~ 1. Súčet n členov: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1). q-1 5. Závislosti napájania a funkcie. Výberom ľubovoľného celého čísla m možno zostrojiť mocninovú funkciu y = kx m definovanú pre všetky x, ak je m prirodzené číslo, a pre všetky x okrem nuly, ak m< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х kvadratickej funkcie y \u003d X 2 Kubická funkcia (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. Pri umocnení sa exponenty násobia, pri násobení mocniny sa sčítajú 2. Usporiadajte stupne vo vzostupnom poradí:
27 rat / un fupptspp pri lp zredukujeme všetky stupne na jeden základ: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. Pretože číslo 2 > 1 a 2 * > 0 pre ľubovoľné celé číslo k, potom 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k pre ľubovoľné celé číslo k. Preto usporiadame exponenty vzostupne: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. Určte prvý člen zo vzorca -jedna]. x Graf ukazuje, že funkcia y klesá v určenom intervale. Preto má najväčšiu hodnotu M na ľavom 1_ 1 konci intervalu: M = -2 ~ 2 5. Určte výšku príspevku. Banka ročne pripisuje x % z vkladu. Na konci roka sa k vkladu pripočítavajú úroky. Aký bude príspevok za n rokov? Označme počiatočný príspevok A. Na konci roka sa bude rovnať A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ teda príspevok za rok získame vynásobením číslom ^ = 1 x Jqq „Geometrická progresia A , Aq, Aq 2,... udáva postupnosť príspevkov pre každý rok.26
28 vzorec pre príspevok An po n rokoch Lp =.A^l + j sa nazýva zložený úrokový vzorec. Zložený úrokový vzorec А =А Otázky a úlohy 1. Vypočítajte: 1) 2 10 ; 3) "2,3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0,1) "6 - (4-3) - 2. Zjednodušte: 5 "IttI: 3. Ktoré z čísel je väčšie: 1) alebo Z 20; 2) a 3) Z99 3 alebo () 3; 2) alebo; 4. Nájdite x z rovnice: 4) 9 "2 alebo) 2 x \u003d 2) 10 2d:" 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) Prvý člen geometrickej postupnosti (a) sa rovná 1 a menovateľ q \u003d 1.1. Pri akom najmenšom n bude člen a väčší ako dva? 6. Určte z grafu, pre ktoré x sú hodnoty funkcie y \u003d 2x 2 väčšie alebo rovné hodnotám funkcie y \u003d X s. 7. Aká je množina hodnôt \u200b\u200 funkcií y \u003d x k pre k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x ~ 2 na intervale [-3; -2]. _8_ 27 "Základ lekcie 2 n-tý stupeňČo je koreň n-tý stupeň a ake ma vlastnosti? 1. Definícia. Nech n > 1 je prirodzené číslo; ale ľubovoľné číslo. N-tá odmocnina z a je číslo b také, že b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a za a\u003e 0 \/a "\u003d y / a za a\ u003e 0 27
29 p sfn 2 1,41 3 1,24 6 2,45 7 2,65 8 2,16 Hrana kocky /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv Štvorcová uhlopriečka Napríklad číslo 3 je koreň 4. stupňa z čísla 81, keďže Z 4 \u003d 81. Číslo -3 je tiež 4. odmocninou čísla 81, keďže (-3) 4 je tiež 81. V reči rovníc môžeme povedať, že n-tý odmocninec rovnice z čísla a je koreň x n = a. 2. Existencia. Pre a > 0, pre akékoľvek prirodzené číslo n > 1 existuje jednoznačnosť kladný koreň n-tý stupeň od čísla a. Označuje sa radikálovým znamienkom: pre a > 0 je y/a číslo b také, že b > 0 a b n = a. Zápis \[a sa rozširuje na a = 0: \/0 = 0 a na a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, prirodzené číslo) má nasledujúci počet koreňov: 1) n je párne: pre a neexistujú žiadne korene< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n je nepárne: jeden koreň l/a pre ľubovoľné a. 4. Vlastnosti radikálov: 1) = a, b > 0; Uhlopriečka kocky 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^a. Prečo sú predstavené korene n-tého stupňa? Nájdenie n-tého koreňa alebo, ako sa tradične hovorí, extrahovanie koreňa n-vi stupeň Toto je inverzná operácia zvýšenia kladného čísla na mocninu:
30 a p = b<=>a = "
31 Zjednodušte nasledujúce výrazy obsahujúce radikály:. Vl-2^3+^9. Pod druhou odmocninou je plné námestie I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. Pri extrakcii druhej odmocniny z a 2 sme brali do úvahy znamienko a: 1_z / z<0=>^/3-1>0. Teda: l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. a IVUTUpUi "U pauii" * "" vieme, že takéto číslo je jedinečné. Skontrolujme, či číslo y[a spĺňa tieto podmienky. Je kladné (ako súčin dvoch kladných čísel) a jeho n-tý stupeň sa rovná ab: (Va Ф)У = (Ta)" (Tfc)" = a b. Ako sa riešia problémy pomocou koreňov? Dané: postupnosť frekvencií zvukov tvorí geometrickú postupnosť; ag = a; a10 = 2a. Nájdite: q. Riešenie: keďže a10 \u003d axq 9, potom q spĺňa rovnicu 2a \u003d a q g, t.j. q g \u003d 2 a \u003d V (= 1/3-1; 1 "Vynásobíme čitateľa a menovateľa neúplným štvorcom súčet čísel a 1 (n/2 + 1) a dostaneme čísla pod znamienkom radikálu, mocninami základné čísla a použitie) \J ^/2-l/z 5 ^ Otázky a úlohy 1. Ktoré z nasledujúcich čísel sú racionálne: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) +; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Sú rovnosti vždy pravdivé 1) =а 3 ; 2) = 4? 3. Vypočítajte: 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-V125-^216; 3) 4) ^9-4>/5. tridsať
32 1),/0,999 alebo 0,999; 3) 3/10 000 alebo 21; 2) ^2009 alebo 2^2008; 1 + V2 4) ^ + alebo 2^2-3? 5. Zjednodušte výraz: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 "3) 1-4/2" 4) V2 + V3 + V5 "Lekcia 3 stupne Čo znamená stupeň s ľubovoľným exponentom? 1. Stupne a x pre rôzne priradenia čísla x. Nech je kladné číslo a byť dané. Ako ho umocniť na x?Odpoveď závisí od toho, ako je dané číslo x: 1) x je celé číslo. Ako sa určuje stupeň s ľubovoľným exponentom celého čísla, sme si zopakovali skôr, 2) x je racionálne číslo zapísané v k ako x-, pral., kde u k je celé číslo, n je podľa definície a n = \a k., dané postupnosťou racionálnych aproximácií x0, x1r x2,..., xn,. .. Čísla xt sú racionálne. Možno ich zapísať ako k ako obyčajné zlomky x, =. Potom sa Wh stanú jednoznačne určenými číslami h.] Postupnosť y0, yi..., yk1 je postupnosť aproximácií k určitému číslu y , čo sa berie ako sila sekery. vaše tituly. Vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi sa prenášajú na stupne s akýmikoľvek exponentmi: Odkaz na históriu Pozitívne zlomkové ukazovatele ako prvý použil francúzsky vedec N. Orem (). Nula a celé čísla negatívne ukazovatele sa objavil o viac ako 100 rokov neskôr a tiež vo Francúzsku (N. Shuke). Grafy mocninových funkcií s kladnými zlomkovými exponentmi Príklad Na výpočet stupňa 2 n znázorníme číslo ts ako nekonečný desatinný zlomok l \u003d 3, Postupnosť desatinných aproximácií k číslu l zapíšeme v tvare XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000 atď. "31
33 Potom uvažujme čísla 2 x "= 8, 2*i = 8,574, 2*2= 10^2 iit = 8,815, atď. Táto postupnosť definuje nejaké číslo y, čo je mocnina čísla 2". Prvé desatinné miesta čísla 2 "sú nasledovné: 2" \u003d 8, Vlastnosti stupňov (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a v b 3! l U 3 J g "b 12 Príklady pri násobení exponentov na stupne; Z 2 Z 3 \u003d \u003d Z 5 po vynásobení sa exponenty sčítajú. Skutočne, ak r \u003d \u003d \u003d, TO Ajrtg \u003d "2 P 1-" 2 Na jednej strane a r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32
34 2) ak zmeníme postupnosť racionálnych aproximácií na rovnaké číslo, priblížia sa zodpovedajúce postupnosti mocnin k rovnakému číslu? 3. Vlastnosti stupňov s racionálnymi exponentmi sa dokazujú na základe vlastností radikálov a potom sa prenášajú na ľubovoľné exponenty. Ako sa pri riešení problémov používajú stupne s ľubovoľným ukazovateľom? 1. Výpočet stupňov cez odmocniny: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. Redukcia na jeden základ: 1 z zapíšeme čísla 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I ako mocniny čísla 3 s racionálnym exponentom: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (Z 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = h! 3. Transformácia výrazov 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. Riešenie najjednoduchších rovníc: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1 ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. Bernoulliho nerovnosť Pri porovnávaní mocností treba často použiť rôzne nerovnosti. užitočná nerovnosť(špeciálny prípad známej Bernoulliho nerovnosti): nech x > 0, n > 1, potom (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. Zostáva skontrolovať nerovnosť pre n = 2. V skutočnosti Bernoulliho nerovnosť platí nielen pre x > 0, ale aj pre -1< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >ra a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8 "r - 1) a s-r
35 Otázky a cvičenia 1. Napíšte ako stupeň s racionálnym ukazovateľom: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; v"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>I); j) jedľa. 3. Urobte nasledovné: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. Usporiadajte čísla vo vzostupnom poradí: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 h; s L 5 5) Tsa 2) s J ; 6) "1" 93 2) I z I; s; 9 Z; 34; 3) 2 4; ; (-3) 4; ; J1 4) Z 3; (-2) 3; 2 e. 5. Dokážte nerovnosť :)< ;) 33 >4^ > 55; 4) >1. 6. Riešte rovnice vynesením mocninových funkcií (alebo ich kombinácií) do jeho ľavej a pravé časti: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 m 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2
36 Lekcia 4 Logaritmy Čo je to logaritmus? 1. Definícia. Logaritmus čísla c so základom a je číslo b také, že a b = c, t.j. exponent, na ktorý sa musí základňa zvýšiť, aby sa získalo c: b = logac. Základ a číslo pod znamienkom logaritmu musia byť kladné. Okrem toho sa predpokladá, že a Ф 1. Ak je základ a \u003d 10, potom sa takýto logaritmus čísla c nazýva desiatkový a označuje sa lgc, t.j. lgc = log10c. 2. Vlastnosti logaritmov. Vlastnosti stupňov a logaritmov sú vzájomne prepojené: Historické pozadie Prvé logaritmové tabuľky v skutočnosti zostavil nemecký matematik M. Stiefel (). Škótsky matematik J. Napier vo svojom diele „Popis úžasnej tabuľky logaritmov“ (1614) načrtol vlastnosti logaritmov, pravidlá používania tabuľky a uviedol príklady výpočtov. Odvtedy sa logaritmy dlho nazývali „non-Peer“. Vlastnosti mocností logaritmy log(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga s n 3. Základná logaritmická identita. Rovnosti a b = c a b = logac vyjadrujú rovnaký vzťah medzi číslami a, b a c. Ak do rovnosti a b = c dosadíme reprezentáciu čísla b vo forme logaritmu, dostaneme hlavnú logaritmickú identitu: a log c = c. Dosadením mocninovej reprezentácie c do rovnosti b = logac získame ešte jednu identitu: logaa ft = b. 4. Prechod na novú základňu. Logaritmus čísel je z rôznych dôvodov navzájom úmerný: J. Napier () Bez ohľadu na J. Napiera švajčiarsky matematik, astronóm a hodinár I. Burgi (), ktorý spolupracoval s veľkým I. Keplerom, publikoval v roku 1620 podobné , aj keď menej dokonalé, logaritmické tabuľky. Základná logaritmická identita logax = fclogbx. alog C _c
37 Aplikácie logaritmov 1. Let rakety s premenlivou hmotnosťou. Ciolkovského vzorec dáva do súvislosti rýchlosť rakety a jej hmotnosť m: v = kvx\g, m kde v1 je rýchlosť vystupujúcich plynov; m0 štartovacia hmotnosť rakety; k koeficient. Rýchlosť výstupu plynu Wj pri spaľovaní paliva je nízka (v súčasnosti je menšia alebo rovná 2 km/s). Logaritmus rastie veľmi pomaly a na dosiahnutie vesmírnej rýchlosti je potrebné, aby bol pomer veľký, t.j. dať takmer všetku štartovaciu hmotnosť na palivo. 2. Zvuková izolácia stien. Koeficient zvukovej izolácie stien sa meria podľa nasledujúceho vzorca: kde p0 je akustický tlak pred absorpciou; p je tlak zvuku prechádzajúceho stenou; A nejaká konštanta, ktorá sa vo výpočtoch rovná 20 dB. Ak je koeficient zvukovej izolácie Da 20 dB, potom lg ^ - \u003d 1 a P p0 \u003d Yur, t.j. stena zníži akustický tlak 10-krát (drevené dvere majú takúto zvukovú izoláciu). Р Použitie vlastností logaritmov 1. Výpočet logaritmov. log2256 = log22 8 = 8; lg0,001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Koeficient úmernosti k sa vypočíta takto: k = log, a alebo k = logab. Nazýva sa modul premeny z jednej bázy logaritmus na iný. Najmä logax = log!-, rx, pretože loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C Prečo sú potrebné logaritmy? Život astronómov. Skutočne, prvý účel logaritmov bolo zjednodušiť zložité výpočty, v ktorých bolo násobenie pomocou logaritmov nahradené sčítaním. Až donedávna nosil každý inžinier vo vrecku logaritmické pravítko, pomocou ktorého ste mohli vykonávať rôzne výpočty, ktoré sa dnes vykonávajú na kalkulačke. Pomocou logaritmy je možné riešiť problémy, ktoré sú inverzné k umocňovaniu: ak a x = b, potom neznáme x môžeme zapísať ako logab. V tomto prípade nie je dôležitá možnosť zápisu, ale skutočnosť, že zmena b , teda ak vezmeme do úvahy x = loga & ako funkciu bj objavíme nové ha funkčná závislosť. Logaritmické funkcie výrazne doplnili zásoby relatívne dostupných závislostí jednoduché štúdium. Prečo majú logaritmy také pohodlné vlastnosti? 1. Dôkaz pravidiel pre logaritmy. Všetky logaritmické pravidlá sú dokázané pomocou mocninových vlastností. Dokážme napríklad pravidlo pre logaritmus súčinu: logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov. 36
38 Označte logac! = bly logac2 = b2. Podľa hlavnej logaritmickej identity máme Y \u003d cx, ah \u003d c2- Vynásobte tieto rovnosti: abiabz \u003d CiC2\u003e Podľa vlastnosti stupňov a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, t.j. Clc2 \u003d a bl + b2. Podľa definície logaritmu bz + + b2 = loga(cic2), potom l0ga(c!c2) = logac! + logac2, čo sme chceli dokázať. odkiaľ loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta Tento vzorec sa často číta takto: logaritmus čísla k novému základu je logaritmus čísla k starému základu vydelený logaritmom nového základu k starému základu Faktor úmernosti môže byť zapísané ako k = log ab, pretože logai > logba = 1 (do vzorca vložte x = b) 2. Logaritmus 2 f Dané: A = (looa 3 &j. Nájdite: lga. Riešenie. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. Zosilnenie (nájdenie výrazu jeho logaritmom) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 = log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Prechod na jeden základ. Dané: A = logj a - log^a og8a. 4 Prejdite na základňu 2. Riešenie. Všimnite si, že log22* = k vám to pomôže verbálne nájsť modul prechodu. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ Otázky a cvičenia 1. Vypočítajte: 1) log a, log, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3, 1 a f? daný výraz v základni A: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab
39 3. Nájdite výraz A pomocou logaritmu: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - V cos L; (In je logaritmus so základom e (e "2,71828), nazývaný prirodzený logaritmus); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Určte, ktoré z čísel je väčšie: 5) log34 alebo 1; 1) log32 alebo 0; 2) logj3 alebo 0; 6) prihláste sa! alebo 1; n 8 9) log! 7 alebo log, 10; 10) log, ALEBO log!. Z 5 Z 7 3) log-alebo 7) log23 alebo log25; 4) logx alebo 0; 8) log27 alebo 1 g2-; 5. Nahraďte logaritmy log, a, log8a, log! a, log2a, log3a v základných logaritmoch Nájdite: 1) logg9 ak logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915, ak log25 = a; Lekcia 5 Exponenciálne a logaritmické funkcie Sedem aritmetických operácií Sčítanie Násobenie Umocňovanie a + b = c Odčítanie Delenie Extrahovanie odmocniny Logaritmus c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logac = b Aké nové mocniny a logaritmy dávajú pre štúdium funkcií? 1. Jedna závislosť tri funkcie. Uvažujme tri premenné x, y a z, spojené závislosťou z x = y. Hodnotu premennej r = a zafixujeme požiadavkou, aby boli splnené podmienky a > 0 a Φ 1. Vzťah medzi ďalšími dvoma premennými môžeme zapísať ako y = ax. Ľubovoľnou zmenou x získame exponenciálnu funkciu alebo exponenciálu. Vyjadrime premennú x ako funkciu y z rovnakého vzťahu y = ax: x = logay. Zmenou y ako argumentu dostaneme logaritmickú funkciu. Ak v rovnakom pomere r x = y fixujeme index x = k, dostaneme už známu mocninnú funkciu y = z k. Viac softvéru
40 dostane jednu mocninnú funkciu, 1 z až y \ z = y k. Samozrejme, pri všetkých týchto prechodoch sa musia dodržiavať obmedzenia, ktoré sú na premenné kladené. Už sme to urobili pre exponenciálnu funkciu y = a x, za predpokladu, že a > 0 a Φ 1. Pre logaritmickú funkciu x = logay musíme navyše vyžadovať, aby y bolo kladné, pretože a x > 0, a určiť x z vzťah a x = y je potrebný na to, aby y bolo väčšie ako 0. Sami si premyslite, aké obmedzenia musíte na premenné zaviesť, aby ste zvážili mocninné funkcie. 2. Vlastnosti a graf exponenciálnej funkcie y \u003d a x: definičný obor: množina všetkých reálnych čísel R; monotónnosť: pre a > 1 sa funkcia y \u003d a x zvyšuje, pre 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; intervaly konštantného znamienka: - pre a> 1 y = 0 pre x = 1; pri< 0 при 0 < х < 1; у >0 pre x > 1; - o 0< а < 1 у < 0 при х >jeden; y > 0 pri 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 sa zvyšuje v celej doméne definície pri 0< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2
41 Rádioaktívny rozpad Nárast populácie Barometrický vzorec Tabuľka logaritmov a log2a log a 2 1 0,47712 až 1,01030 (Nájdite vzťahy medzi číslami v tejto tabuľke!) predchádzajúca lekcia). rádioaktívny rozpad. Zmena hmotnosti rádioaktívnej látky nastáva podľa vzorca m(t) = m0-2~ s, kde m0 je hmotnosť látky v počiatočnom okamihu t = 0; t je hmotnosť hmoty v čase t; k je nejaká konštanta (polčas rozpadu). Rast populácie. Zmena počtu obyvateľov v krajine za krátke obdobie je s dobrou presnosťou opísaná vzorcom N = N02 at, kde N0 je počet ľudí v čase t = 0; N je počet ľudí v čase t; ale nejaké konštantné. Podobný vzorec sa používa na výpočet zmeny počtu jedincov v populáciách zvierat za určitých podmienok (napríklad keď je dostatok potravy a neexistujú žiadni vonkajší nepriatelia). barometrický vzorec. Tlak vzduchu klesá s výškou (pri konštantnej teplote) podľa zákona p = p0e n, kde p0 je tlak na hladine mora (h = 0); p tlak vo výške h; H je určitá konštanta v závislosti od teploty. Pri teplote 20 CJ - 7,7 km. 2. Úloha nadácie a. Je potrebné uvažovať exponenciálne a logaritmické funkcie s rôznymi základmi a? V skutočnosti by stačilo obmedziť sa na jeden základ, napríklad ak vezmeme a = 10. Skutočne, a* = 10**, kde k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga. Podľa vzorca pre prechod na inú základňu získame loga * = k \ gx, kde k \u003d!. lga Preto namiesto funkcií tvaru y \u003d a x môže zvážiť funkcie s rovnakým základom, ale s koeficientom na hodnote argumentu: y = 10** Podobne pre logaritmické funkcie 40
42 Uvažujeme funkcie s pevnou bázou, ale s koeficientom na hodnote funkcie: y = k\gx. Niektoré základy a hrajú osobitnú úlohu: a \u003d 10 (desatinný logaritmus). Keďže čísla píšeme v desiatkovom zápise, písanie čísla v tvare A \u003d Yu "jednotka pomáha pochopiť poradie čísla A. Všimnite si, že pre prirodzené číslo A číslo + 1 ukazuje počet číslic v desiatkový zápis čísla A ([a] označuje celú časť čísla a); a \u003d 2 (binárny logaritmus. V informatike sa používa systém binárnych čísel; a \u003d e (prirodzený logaritmus). Toto číslo je pomenovaná po L. Eulerovi, je iracionálna a rovná sa približne 2,7 Prečo sú uvedené vlastnosti exponenciály a 1. Monotónnosť exponenciálnej funkcie Vezmime základ a > 1. Dokážeme, že xx< х2 =>a* 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 pre x > 0 (premýšľajte prečo). Ďalej vykonajte transformáciu: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). Oba faktory v tomto súčine sú kladné, takže a* 2 > a* 1. Nahradením a by dostaneme dôkaz a, že y = a x je 0< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. Dokážme, že 0< < х2 =>logax!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 pre x > 1 (premýšľajte prečo). Vykonajte transformáciu: loga x2 - loga xr = => 0, pretože 0< хг < х2 =>> Nahraďte a za, potom 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41
43 grafov funkcií y \u003d a "a y \u003d logax a definície. 3. Symetria grafov funkcií y \u003d a x a y \u003d loga; t. Grafy týchto funkcií sú navzájom symetrické vzhľadom na priamka y \u003d x. Vezmime si bod P(c; d) na grafe funkcie y \u003d a x. Podľa podmienky d = a. Potom c = logad a bod Q(d; c) leží na grafe funkcie y = \ogax. Body PhQ sú navzájom symetrické vzhľadom na priamku y = x. Ako sa vlastnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií využívajú pri riešení problémov? Porovnanie hodnôt číselných výrazov a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, a< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. Funkcia je rastúca na celej reálnej osi, takže pre ľubovoľné čísla xx a x2 také, že xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Použili sme monotónnosť výkonová funkcia y \u003d x 4 pre x\u003e 0: pre ľubovoľnú 0< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. Preto 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). Odpoveď: x< 0 и х >4 alebo xe (-oo; 0) au (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). Teraz je potrebné splniť súčasne dve nerovnosti (x > 0; s t.j. D: x > 4. x-4> 0, 42
44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. Nájdenie rozsahu (OZ) funkcie danej na intervale: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x. 2 Funkcia y - 2 x sa zvyšuje pozdĺž celej číselnej osi 2. Jej najmenšia hodnota na intervale sa dosiahne na ľavom konci, t. j. pri x \u003d 0 (s y \u003d -), najväčšia hodnota na pravý koniec 2 x \u003d 2 => y \u003d 2. Keď sa x zmení z 0 na 2, hodnoty funkcie y vyplnia medzeru od do 2. 2 Odpoveď:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0 a F1; a > 1, x1< х2 =>a*i< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a>1,0<х1<х2=>=> prihlásiť sa*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo «a* = x log X log x logax a logax = log X a ^ Otázky a úlohy 1. Označte, ktoré z nasledujúcich exponenciálnych funkcií sa na celej číselnej osi zvyšujú a ktoré znižujú: 1) g/ = 5*; 3) j = fjj; 5) y = 2 x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. Zostavte grafy nasledujúcich funkcií: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3*; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2*-1; 6) r/ = 4 x Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcií uvedených na intervale: 1) y = 2 X + 2, [-1; jeden]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43
45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x2);/ = log2(1-x2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Nájdite rozsahy funkcií definovaných na intervale: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1); 4) y = log x + log2jc, . 6. lekcia Ukážka a logaritmické rovnice a nerovnice Príklady 1. Riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg Riešenie najjednoduchších logaritmických rovníc: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d Riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovností: 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" g 2<=>x > lg Riešenie najjednoduchších logaritmických nerovníc: log2x > -1; x>1. Si ODZ: x > 0; jeden< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >jeden; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; dvadsať< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. Čo je užitočné mať na pamäti pri riešení rovníc a nerovníc obsahujúcich exponenciálne a logaritmické funkcie? 1. Riešenie najjednoduchšej exponenciálnej rovnice: (a > 0, a # 1), a x = a k<=>x = k mocniny porovnávame s rovnakým základom. (a > 0, a Ф 1, b > 0) a x = b<=>x = logaf. 2. Riešenie najjednoduchšej logaritmickej rovnice: (a > 0, a Ф 1), logax = logafe<=>x = k; logax = b<=>x = a b. 3. Riešenie najjednoduchších exponenciálna nerovnosť: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >a k<=>X< k; (а >1, b > 0), zatiaľ čo x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0) a x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >b<=>x je ľubovoľné číslo. 4. Riešenie najjednoduchšej logaritmickej nerovnosti: (a > 1, k > 0), logax > logafe
46 (a > 1), logax< Ь <=>O< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 Odpoveď: (-4; -3) a (0; 1). Grafické riešenie exponenciálnych nerovníc Ukazovateľ je funkciou x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 o x = 1 - log25. Namiesto zapisovania 5 \u003d 2 1o6a5 môžete obe časti rovnice logaritmovať v základe 2: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. Výrazy sa od 5 x líšia iba konštantnými faktormi : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1,2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 žiadne riešenia => x \u003d 1. -0,37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0,37 45
47 logaritmických nerovností \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. Teraz prechod nezachováva ekvivalenciu koreňa lineárna rovnica 2 - x = = 5-2x nespadá do ODZ pôvodnej rovnice. Pri x \u003d 3 sú hodnoty funkcií pod znamienkom logaritmu skutočne rovnaké: 2-3 \u003d \u003d -1, ale záporné => neexistujú žiadne korene. 7 log! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 Prejdime k základu 2: Rovnica v tvare 2 nx) \u003d 2 je ekvivalentná rovnici f (x) \u003d a. Vo všeobecnosti sa rovnica a 2x + pa x + q \u003d O redukuje na kvadratickú rovnicu y 2 + py + q \u003d O zmenou premennej a x \u003d y. Pri „potenciovaní“ rovnice, t.j. pri prechode z rovnice na rovnicu, log2/(x) = fix) = 2“, nie je potrebné sa obávať o ODZ, t.j. nie je potrebné kontrolovať podmienku f(x) > 0, pretože pre ľubovoľné x spĺňajúce rovnicu fix) = 2", hodnota f(x) rovná 2", je kladná. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Prepíšte rovnicu: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. Prechody na najjednoduchšie nerovnice sa vykonávajú podobne ako x<-<^2 2х <2" 2 <^>2<-2<^ х>a log2(2 -x)<0=>2<1=>w>1. Prechod nebol vyrovnaný. Musíme pridať podmienku 2-x>0<=>X<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>(2-x<1, х>1. Odpoveď: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46
48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Zx-5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2 x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2 "x 17 20) 2x -2 x Vyriešte nerovnosti: 1 1) 2 x< 16; 3) >jeden; 2 5) 4 x 1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; štyri)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > Riešte rovnice: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(1 - 3x) = 3; 4) log4(2-x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; h 4. Vyriešte nerovnice: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); 9) log3(x-5) = log3(2-x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. KONVERZÁCIA Výpočet mocnin a logaritmov Pozadie Teraz, keď sa každý človek môže ľahko vyzbrojiť kalkulačkou alebo výkonnejším výpočtovým nástrojom, je ťažké si predstaviť, koľko problémov spôsobili výpočty človeku v minulosti. Vynález logaritmov bol obrovským krokom k riešeniu praktické úlohy spojené s výpočtovou technikou. Schopnosť používať logaritmy na zníženie násobenia na sčítanie a konštrukciu 47
49 k sile násobenia bolo potrebné zostaviť podtabuľky logaritmov, ktoré existovali od začiatku 17. storočia. Až donedávna mali knižnice veľké objemy tabuliek, v ktorých boli uvedené hodnoty logaritmov s mnohými desatinnými miestami, samostatná „Tabuľka štvorciferných logaritmov“ bola zahrnutá do povinného súboru školských učebníc a každý inžinier nosil posuvné pravítko vo vrecku, s ktorým mal vedieť pracovať každý školák. Vznikajúca jednoduchosť pri vykonávaní samotných výpočtov zhoršila ďalší problém: či človek rozumie, že chce počítať, ako nastaviť výpočtovú úlohu pre počítač alebo iné technické zariadenie, ako túto úlohu preložiť do jazyka zrozumiteľného pre toto zariadenie. Pri výpočte stupňov sa treba naučiť vidieť za ich rôznymi názvami a označeniami zdravý rozum, precíťte medzi nimi prepojenie, získajte skúsenosti a dôveru, že vždy (možno aj s pomocou kníh a učiteľov) dokážete prísť na zložité a ťažkopádne vzorce. Logaritmy (napriek zložitosti ich zápisu) sú presne prispôsobené na spojenie rôznych problémov spojených s mocninami. Vo výpočtových problémoch existujú mocniny rôznych čísel. (2.1) rôzne kombinácie, napríklad pri výpočte výrazu A \u003d 3 je potrebné zvýšiť rôzne čísla na mocninu, vynásobiť a rozdeliť mocniny. Prečo toľko stupňov? Dá sa vystačiť s titulmi jedného základu? Áno, určite môžete. Na výpočet výrazu A pomocou kalkulačky, ktorá dokáže 10 5 *i - K) 10 * 2 vypočítať 10*, musia byť všetky čísla zmenšené na mocninu 10: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ kde ^ k 2n k3 logaritmy čísel 2,1; 7 a 3 v základe 10. Pozorný čitateľ si môže dodatočne všimnúť, že 3 7 2,1 = a urobiť zjednodušenia: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, čím sa zbaví logaritmu čísla 2,1. Pravidlá pre výpočet právomocí Prvé pravidlo. Vyberte si jednu pohodlnú základňu, napríklad a, a znížte akýkoľvek výkon na základňu a, t.j. predstavujú ľubovoľnú mocninu c* v tvare a kx pre nejaké k. Tento koeficient k je logaritmus: c \u003d a log e, takže logac označujeme k, dostaneme: c x \u003d (a "" g "c f \u003d \u003d a kx. Toto pravidlo vám umožňuje použiť jednu základňu V niektorých problémoch je vhodné vziať a = 10 ( desiatkové logaritmy), v iných (najmä diskrétne úlohy) a = 2, v iných univerzálna báza e, ktorá je vhodná v prípadoch, keď musíte odhadnúť rýchlosť rastu ( prirodzené logaritmy).
50 Druhé pravidlo. Pri logaritmoch si tiež môžete vybrať jeden vhodný základ a zredukovať všetky logaritmy na tento základ. Existuje na to špeciálny vzorec, ktorý bol odvodený skôr. V niektorých úlohách je vhodné brať logaritmy so základom 10 (desatinné logaritmy), v iných úlohách budú užitočné prirodzené logaritmy, v tretích (diskrétnych) úlohách sa často používa binárne logaritmy logaritmy so základom 2. Preto je dôležité si uvedomiť, že matematika vytvorila aparát na zjednodušenie práce s mocninami, ktorý umožňuje spájať rôzne reprezentované výrazy a funkcie.
51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50
52 priamka a rovina nemajú spoločné body: priamka je rovnobežná s rovinou. 4. Usporiadanie dvoch čiar: dve čiary ležia v rovnakej rovine. Potom sú dve možnosti: buď sa pretínajú, teda majú jeden spoločný bod, alebo sú rovnobežné, t.j. nemajú spoločné body (a nezabudnite, že v tomto prípade čiary ležia v rovnakej rovine); neležte v rovnakej rovine. Takéto čiary sa nazývajú pretínajúce sa. Zošikmené čiary samozrejme nemajú spoločné body, inak by ležali v rovnakej rovine. 5. Ako zistiť, či sa dve priamky pretínajú: nájdite rovinu, v ktorej leží jedna z týchto priamok, a druhá túto rovinu pretína, ale zároveň v bode, ktorý neleží na prvej priamke; musíte vedieť, že nie sú rovnobežné, ale môžu byť umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách. Prečo je výpočet vzájomnej polohy priamok a rovín správny? Toto je dosť ťažká otázka. Z vizuálneho hľadiska je všetko (alebo takmer všetko) vyššie uvedené zrejmé. Všetky uvedené fakty však nebude možné dokázať, používajú niektoré počiatočné, počiatočné pojmy bodu, priamky, roviny, priestoru a nemáme sa o čo oprieť, okrem našich vizuálnych zobrazení a intuície. Od čias Euklida je vzťah medzi primárnymi pojmami opísaný istými konvenciami axióm, z ktorých možno logickým spôsobom získať nové dôsledky. Samozrejme, že sa urobilo príliš veľa počiatočných zhôd axióm (a niektoré ďalšie, tiež potrebné na rigorózne dôkazy, neboli sformulované), ich počet by sa mohol znížiť. Dokážme napríklad prvé kritérium pre šikmé čiary s odkazom na predchádzajúce tvrdenia. Usporiadanie priamky a roviny a a Usporiadanie dvoch priamok a p b = O «IIb 51 I
53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, obsahujúce priamku a majúce len jeden spoločný bod P s priamkou 12. Treba dokázať, že priamky Zx a 12 sa pretínajú, t.j. ležať v rovnakej rovine. Ak by priamky a 12 ležali v nejakej rovine (3), tak v tejto rovine by ležala priamka li a bod P, ktorý na tejto priamke neleží.. Tie isté objekty ležia v rovine a. Keďže je len jedna rovina obsahujúca priamku a nie jej prislúchajúci bod, potom sa rovina p zhoduje s rovinou a. Priamka 12 však podľa podmienky neleží v rovine a a má s ňou len jeden spoločný bod Získaný rozpor dokazuje teorém.plochy kocky?Prvé znamienko pretínajúcich sa priamok Dané: 12 e a, n a = P, P e 12 Dokážte: 1x-12. Uvažujme kocku ABCDA "B" C "D". Priamky a roviny prechádzajúce vrcholmi , hrany alebo steny kocky označíme písmenami označujúcimi vrcholy. Napríklad priamku AB alebo rovinu AA „BB“. Jednu hranu zafixujme, napr. AA. 1) Ktoré hrany sú rovnobežné s okraj AA "? Sú to hrany BB", SS", DD". 2) Aké hrany ležia na priamkach pretínajúcich sa s priamkou AA"? Sú to hrany AD, AB, A"D" a A"B". 3) Aké hrany ležia na priamkach, ktoré sa pretínajú s priamkou AA "? Sú to hrany B "C", C "D", BC a CD. Na dôkaz môžete použiť znamienko šikmých čiar. Takže rovina A "B" BA obsahuje priamku AA " a pretína sa s priamkou B "C". Podobné roviny možno nájsť pre zvyšné tri hrany. 4) Koľko párov rovnobežných hrán je? Jedna hrana má tri hrany rovnobežné s ňou. Hran je celkovo 12. Takže ich je 52
54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC rovnobežne s druhým) bude 3 12 = 36. Jednoducho bude o polovicu menej paralelných párov, pretože každý z nich sa počíta dvakrát (napríklad AA "BB", BB "AA"). Odpoveď: 18 párov. 5) Koľko párov pretínajúcich sa hrán a párov krížiacich sa hrán je? Výpočet sa vykonáva rovnakým spôsobom: (4 12) : 2 = 24 a (4 12) : 2 = 24. Skontrolujeme, či sú zohľadnené všetky dvojice hrán. Celkovo je počet párov (1211):2 = 66. Na druhej strane = 66. Každý zo 66 párov hrán spadal presne do jednej skupiny párov rovnobežných, pretínajúcich sa alebo krížiacich sa. Podobne môžeme vypočítať, že z (6-5) : 2 = 15 párov rovín obsahujúcich steny kocky sú 3 páry rovnobežných (páry protiľahlých stien) a 12 párov pretínajúcich sa: (4-6) : 2. Par (priamka, rovina) je spolu 12-6 = 72. Takých párov, pre ktoré priamka leží v rovine, je 6-4 = 24. Priamka je 6-4 = 24 párov. priamka je rovnobežná s rovinou a rovnaký počet párov, pre ktoré priamka pretína rovinu. Odpoveď: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD Otázky a cvičenia 1. Ako je možné špecifikovať rovinu? 2. Ako je možné lokalizovať dve roviny? 3. Ako je možné lokalizovať priamku a rovinu? 4. Ako je možné lokalizovať dve priamky ? 5. Ako zistiť, či sú dve priamky zošikmené? 6. Aké dvojice hrán štvorbokého ihlanu ležia na šikmých priamkach? 7. Daná kocka ABCDA"B"C"D. Pomenujte hrany rovnobežné s hranou AA" . 8. Je daná kocka ABCDA"B"C"D". Vypíšte hrany, ktoré ležia na priamkach pretínajúcich priamku AA". 9. Daná kocka ABCDA"B"C"D". Vypíšte hrany, ktoré ležia na priamkach pretínajúcich priamku AA". 53
55 mimo prednej hrany MCJJCO otu irimush p pretína rovinu BB"D"D pozdĺž nejakej priamky, ktorá musí byť rovnobežná s MN (znak 2). Bod R leží na tejto priesečníku. Túto priamku teda získame nakreslením priamky v rovine BB "D" D cez bod R, rovnobežne s uhlopriečkou B.D. Táto čiara pretína hrany BB" a DD" v niektorých bodoch S a T. Požadovaný úsek je päťuholník MSPTN. Ak vezmeme bod P na priamke CC "o niečo vyššie ako bod C", dostaneme v reze šesťuholník, ktorého jedna zo strán bude rovnobežná s MN (črta 3). Keď táto časť prechádza stredom kocky, získate pravidelný šesťuholník. Skontrolujte toto tvrdenie a sami zvážte ďalšie úseky kocky prechádzajúce úsečkou MN. Otázky a cvičenia 1. Formulujte znak rovnobežnosti priamky a roviny. 2. Formulujte znak rovnobežnosti dvoch rovín. 3. Aké údaje možno získať v sekcii trojboký hranol lietadlo? 4. Aké obrazce možno získať v reze kocky rovinou? 5. Dokážte, že roviny prechádzajúce bodmi (A, D, B") a (C", B, D) kocky ABCDA"B"D"C" sú rovnobežné. 6. Ktoré hrany kocky ABCDA "B"D "C" sa pretína s priamkou MN Lekcia 3 Uhly medzi priamkami a rovinami Uhol medzi priamkami Ako sú definované uhly medzi priamkami a rovinami? vertikálne uhly). Ak chcete nastaviť uhol medzi dvoma priamymi čiarami v priestore, musíte si vybrať ľubovoľný bod a nakresliť cez neho čiary rovnobežné s údajmi. Hodnoty zostrojených rovinných uhlov nebudú závisieť od výberu počiatočného bodu. 56
56 dve priamky v priestore, ktoré zodpovedajú pravému uhlu, sa nazývajú kolmé. 2. Priamka, kolmá na rovinu. Toto je názov čiar kolmých na akúkoľvek čiaru v tejto rovine. Pomocou tohto konceptu je možné definovať ortogonálny priemet bodu do roviny. Priemetom bodu P, ktorý neleží v tejto rovine, do roviny a je bod P" patriaci do roviny a tak, že priamka PP" je kolmá na rovinu a. Za tento bod samotný sa považuje priemet bodu ležiaceho v rovine a. Ak chcete premietnuť určitý obrazec do roviny a, musíte naň premietnuť všetky body tohto obrazca. 3. Uhol medzi priamkou a rovinou. Premietnime priamku na rovinu. Ak je čiara kolmá na rovinu, jej priemet bude jeden bod. Ak nie, potom bude projekcia nejaká priamka. V tomto prípade sa hovorí, že čiara je naklonená k rovine. Uhol medzi naklonenou rovinou a rovinou je uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny. 4. Uhol medzi dvoma rovinami. Na meranie uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami je potrebné vybrať bod na priesečníku týchto rovín a nakresliť cez neho priamku v každej rovine, kolmú na priesečník. Uhol medzi týmito čiarami sa považuje za uhol medzi rovinami. Dve roviny sú kolmé, uhol medzi nimi je pravý. if Prečo potrebujeme pojem kolmosti v priestore? Priamka je kolmá na rovinu m±n, m±a, mlb, m±c Ortogonálne premietanie ^^ Uhol medzi rovinami v Pomocou kolmosti možno určiť a vypočítať rôzne vzdialenosti v priestore. 1. Vzdialenosť od bodu k rovine sa vypočíta ako dĺžka kolmice spadnutej z tohto bodu na rovinu (vzdialenosť od daného bodu k jej priemetu do roviny). 57
57 L a ± P Určenie vzdialeností ta 2. Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežné roviny uvažuje sa dĺžka segmentu spoločnej kolmice na tieto roviny, uzavretého medzi týmito rovinami. 3. Ak je v rovine daný určitý obrazec, potom vzdialenosť od ľubovoľného bodu v priestore k tomuto obrazcu je definovaná ako najmenšia zo vzdialeností od daného bodu k ľubovoľnému bodu tohto obrazca. Premietnite tento bod do roviny. Potom bude bod obrazca najbližšie k danému bodu aj najbližšie k jeho priemetu a naopak, aby sme našli bod obrazca najbližšie k danému bodu, stačí nájsť bod najbližšie k jeho priemetu. 4. Uhol medzi priamkou a rovinou, definovaný ako uhol medzi priamkou a jej priemetom, bude najmenší spomedzi uhlov, ktoré táto priamka zviera s ľubovoľnými priamkami roviny. 5. Vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami sa vypočíta ako dĺžka spoločnej kolmice. a-b, ajua, h ± a, h ± b Ako rozumne určiť a vypočítať uhly medzi priamkami a rovinami v priestore? Na tento účel je užitočné použiť vektorový počet a goniometrické funkcie. O tejto otázke sa bude diskutovať ďalej (pozri kap. 5). Teraz ako dobrý príklad zvážte uhly medzi rôznymi čiarami a rovinami v kocke. 1. Každá hrana kocky, napríklad hrana AA", je kolmá na dve steny kocky. Je kolmá na všetky čiary ležiace v týchto stranách, najmä na osem hrán. 2. Každá strana kocky je kolmá na štyri ďalšie steny. 3. Uvažujme ľubovoľnú uhlopriečku kocky, napríklad AC ". Jeho priemet na rovinu ABCD bude uhlopriečka základne AC. Uhol a sklonu uhlopriečky AC "k rovine základne je uhol C" AC. Je ľahké vypočítať trigono-
58 metrických funkcií uhla a pomocou pravouhlého trojuholníka AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. Uvažujme rez prechádzajúci dvoma protiľahlými hranami kocky (diagonálny rez), napríklad rez AB "C" D. Jeho uhol so základnou rovinou ABCD je definovaný ako uhol medzi priamkami C "D a DC. Tento uhol je rovnaký. Uhol A "OA bude požadovaný, pretože AO a A" O sú kolmé na priesečník rovín: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ Otázky a cvičenia 1. Ako určiť uhol medzi šikmými čiarami v priestore? 2. Aká priamka sa nazýva kolmá na rovinu? 3. Ako sa určuje uhol medzi priamkou a rovinou? 4. Ako sa vypočíta uhol medzi dvoma rovinami? 5. Ako sa určuje vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami? 6. Ako sa určuje vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami? SH KONVERZÁCIA Euklidova geometria Úvod Modelom logickej dokonalosti na viac ako dvetisíc rokov je výklad princípov geometrie, ktorý uskutočnil Euklides v 3. storočí. pred Kr. Dá sa povedať, že tento výklad je jediným príkladom rigoróznej matematickej teórie v dejinách ľudstva, s ktorou 59
59 Euklides (koniec 43. storočia pred n. l.) Starogrécky matematik, autor diela „Začiatky“ v 13 knihách, ktoré načrtávajú základy geometrie, teórie čísel, metódu určovania plôch a objemov vrátane prvkov teórie limitov a oveľa viac. Pomenujem osobu. Doteraz sa väčšina učebníc geometrie uberala cestou naznačenou Euklidom a napríklad anglickí školáci donedávna jednoducho používali ako učebnicu moderný preklad Euklidových prvkov. Samozrejme, do konca XX storočia. šírili sa aj iné názory. Patria k rôzne problémy. Tu sú niektoré z nich. Je možné (a je to užitočné) študovať geometriu a opustiť jej axiomatický základ? Je vôbec potrebné v rámci všeobecnej vzdelanosti a kultúry sa oboznamovať s nejakou axiomatickou teóriou? Ak áno, je na to vhodná Euklidova geometria a je možné nájsť jednoduchšie a dostupnejšie príklady? Aká bezchybná je samotná euklidovská geometria? Týchto problémov sa nebudeme dotýkať. Samotná štruktúra tejto knihy dáva kladnú odpoveď na otázku, či je možné sa pri štúdiu matematiky zaobísť bez znalosti axiomatickej metódy. Ale veríme, že všetci človek kultúry by mal poznať históriu otázky euklidovskej geometrie, avšak bez toho, aby ju spájal buď so samotným štúdiom geometrie, alebo s cieľom osvojiť si novú matematickú metódu. Euklidova axiomatika Prvá strana Euklidových prvkov (vydanie z roku 1505) Euklidove prvky (presnejšie každá z trinástich kníh tvoriacich toto dielo) sa otvára definíciami základných pojmov. Tu je niekoľko definícií z prvej strany Počiatkov: „Bod je to, čo nemá časti“; „Čiara je dĺžka bez šírky. Konce čiary sú bodky; „Plocha je taká, ktorá má len dĺžku a šírku. Konce povrchu čiary "; „Hranica je to, čo je extrémom niečoho“; "Číslo je to, čo je obsiahnuté v akýchkoľvek hraniciach." Za definíciami nasledujú hlavné ustanovenia prijaté bez dôkazu,
60vj. Euklidovský rozdiel medzi postulátmi a axiómami nie je veľmi jasný.) Tu je niekoľko príkladov. 1. Z každého bodu do každého druhého bodu možno nakresliť priamku. 2. Ak priamka padajúca na dve priamky zviera na jednej strane vnútorné uhly, ktorých súčet je menší ako dve priamky, potom sa tieto priamky pretínajú na tejto strane, sú predĺžené na neurčito. Toto je slávny piaty postulát, ekvivalentný axióme jedinečnosti paralely. Potom sa pomocou základných pojmov a axióm dokazujú vety (výroky) čisto logickým spôsobom. Takže ako štvrtá veta Euklides dokazuje „prvý znak rovnosti trojuholníkov“. Samozrejme, Euklides používa veľa vecí, ktoré v skutočnosti nie sú v axiómach (napríklad tu nie je nič o prekrývaní figúrok, ktoré sa často používa ako druh myšlienkového experimentu). S výnimkou niekoľkých redakčných a lingvistických detailov sa však Euklidova úroveň prísnosti až do konca 19. storočia považovala za celkom uspokojivú. Moderná axiomatika euklidovskej geometrie Ako bolo zdôraznené, takmer všetky školské učebnice geometrie reprodukujú jednu alebo druhú axiomatickú a spravidla na začiatku kurzu. Zároveň sa snažia, aby bol zoznam čo najjednoduchší a zároveň pohodlný na dokazovanie viet. Predlohou takejto konštrukcie, berúc do úvahy výdobytky a jazyk matematiky, ktorý sa vyvinul do konca 19. storočia, je pozoruhodný (hoci nie veľmi jednoduchý) systém axióm nemeckého matematika Hilberta, ktorý vytvoril v r. 1899. D. Hilbert rozlišuje tri systémy nedefinovaných (základných) objektov: body, čiary a roviny. Potom sa postulujú „vzťahy“ medzi nimi (patria, sú medzi, sú rovné, zhodné). Tieto ustanovenia tvoria päť skupín axióm. Do druhej skupiny axióm („axiómy poriadku“), na ktorú v roku 1882 upozornil nemecký geometer G. Pasch ako na nevyhnutnú axiómu, spadal napríklad nasledujúci výrok: „Ak priamka vstupuje do vnútra trojuholníka cez jednu z jeho strán, ale nie cez vrch, potom musí z neho vychádzať cez druhú stranu. Štvrtú skupinu tvorí jedna axióma o rovnobežnosti: "Akýmkoľvek bodom ležiacim mimo priamky a prechádza najviac jedna priamka rovnobežná s a." 61
61 d" piata skupina obsahuje dve akišmy o kontinuite, vrátane takzvanej Archimedovy axiómy: "Pre ľubovoľné segmenty a a b môžu byť segmenty rovné a položené pozdĺž b toľkokrát, že pokrývajú segment b." Neeuklidovská geometria Dvetisíc rokov nikto nepochyboval (a nikto nepochybuje dodnes) o hodnote Euklidovej axiomatiky. Jediná otázka, ku ktorému sa profesionálni matematici aj amatéri neustále vracali, znela takto: "Nie je možné dokázať, odvodiť piaty Euklidov postulát zo zvyšku axióm ako určitú vetu." Na túto tému boli napísané tisíce kníh a článkov, ale najlepšie, čo sa urobilo, je nahradiť axiómu paralelizmu iným tvrdením, ktoré sa zdalo oveľa očividnejšie (a preto často prehliadané), no ukázalo sa, že je presne ekvivalentné piaty postulát. Do polovice XIX storočia. ukázalo sa, že piaty postulát je nezávislý od zvyšku Euklidovej axiomatiky v pozoruhodnom zmysle, že pridaním axiómy, ktorá popiera piaty postulát, k tomuto zvyšku systému (napríklad v takej forme, že prechádzajú aspoň dve čiary cez ktorýkoľvek bod rovnobežný s daným), získame nový, neprotirečivý systém, v ktorom môžeme vyčleniť vety, ktoré sú rovnako vzdialené a zmysluplné ako tie, ktoré boli získané v Euklidovej geometrii. Takýto systém, v ktorom je uvedený zoznam axióm splnený (vrátane negácie piateho postulátu), sa začal nazývať „neeuklidovská geometria“. Prvýkrát takýto systém jasne opísal pozoruhodný ruský matematik N.I.Lobačevskij, ktorý predniesol správu na Kazanskej univerzite v roku 1826, a o štyri roky neskôr podrobne od Nikolaja Ivanoviča Lobačevského () ruský matematik; autor" Geometrický výskum o teórii rovnobežných čiar“, preložené do nemecký, tvorca „neeuklidovskej geometrie“ (Lobačevského geometria). Bol nazývaný „Kopernik v geometrii“, keďže úplne otočil celý existujúci systém názorov na geometriu. Pre rozvoj matematiky boli dôležité nielen konkrétne vety dokázané Lobačevským, ale v oveľa väčšej miere jeho prístup k základom vedy. K podobným výsledkom dospel aj K. Gauss, no nenašiel odvahu ich doplniť a zverejniť, no mal vedeckú poctivosť predviesť Lobačevského k voľbám za člena korešpondenta Göttingenskej vedeckej spoločnosti a o voľbe ho osobne upovedomiť. .
62 matematik J. Boyai publikoval prácu s podobným obsahom. Po ďalších 40 rokoch boli skonštruované príklady povrchov, na ktorých sa vykonáva Lobačevského geometria. Od geometrie k logike Význam pohybu od Euklida k Lobačevskému a ďalej k Hilbertovi (alebo aspoň jeden z týchto významov) spočíva v oslobodení sa od geometrickej vizualizácie. V Hilbertovom systéme nepotrebujete vedieť, ako „vyzerajú“ body a čiary. Môže (a malo by sa) s nimi zaobchádzať ako s predmetmi, o ktorých je známe len to, čo je opísané v axiómach. Ak teda vychádzame z axióm, nové výsledky získame len pomocou logiky. Tento pohľad vyvoláva dve nové otázky. V prvom rade o samotnej geometrii. Získanie veľkého množstva dostatočne hlbokých výrokov ako dôsledkov axióm (ako to urobil napríklad Lobačevskij) samo osebe nedokazuje konzistentnosť vybudovaného systému. Už na konci XIX storočia. ukázalo sa, že konzistentnosť nových systémov je možné dokázať pomocou modelov, ktoré implementujú axiómy systému. Hilbert teda naznačuje model konštrukcie euklidovskej geometrie pomocou čísel. Ďalší problém súvisí s analýzou samotnej logiky, ktorá sa s veľkou intenzitou robila v 20. storočí.
63 Kombinatorika Anotácia 1 Kombinatorické konštrukcie Morseova abeceda Abeceda pozostáva z dvoch znakov: bodka a pomlčka. Konštrukcia slov Slová dĺžky. 1 Aké konštrukcie (konštrukcie) sa najčastejšie používajú v kombinatorike? 1. Konštrukcia slov. Zvážte niekoľko znakov. Tieto symboly sa budú nazývať písmená a celá skupina písmen sa bude nazývať abeceda. Slová dĺžky 2 Slovo je postupnosť písmen v danej abecede. Slová dĺžky 3 Každé písmeno abecedy možno použiť raz, niekoľkokrát alebo vôbec. Úloha 1. Spočítajte počet slov dĺžky k v abecede n písmen. V slove s dĺžkou k je k miest. Na prvé miesto dáme ľubovoľné z n písmen. Keď sa zaplní ďalšie miesto, počet možností sa n-krát zvýši. Odpoveď: n p... n = n k Počet slov dĺžky k k krát v abecede s n písmenami sa rovná n k. 2. Umiestnenie. Zvážte súbor objektov. Pripravte si sériu prázdne miesta. Rozlišujeme poradie miest prvé, druhé atď. Vyplniť riadok znamená umiestniť na každé jeho miesto nejaký predmet z danej množiny (každý predmet je možné použiť len raz). 54
64 Riadok vyplnený objektmi danej množiny sa nazýva umiestnenie (umiestňujeme objekty na určité miesta). Nech je počet objektov v množine rovný n a dĺžka radu (počet miest v ňom) je rovná k. Úloha 2. Vypočítajte počet A k n umiestnení n objektov na k miestach. Na rozdiel od úlohy 1, kde je možné písmeno použiť viackrát, v tejto úlohe po umiestnení predmetu na určité miesto ho vezmeme zo sady (vrecko s predmetmi) a už ho nemáme (nemôže sa znova objaviť ). Na prvé miesto dáme ktorýkoľvek z n objektov. Pri každom ďalšom kroku sa počet možností zníži o jednu. Odpoveď: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h faktorov + 1). Všimnite si, že posledný faktor je n - (k - 1) = n - k + 1. Všimnite si, že ak k > n, potom jeden z faktorov bude nula, keďže je nemožné, aby n objektov zaberalo počet miest väčší ako n. 3. Permutácia. Uvažujme množinu obsahujúcu n objektov. Chceme ich dať do poriadku, t.j. zariadiť. To sa dá dosiahnuť číslovaním objektov. Usporiadaná množina objektov sa nazýva permutácia. Tento pojem vznikol preto, že najprv sa predmety brali, nejako usporiadali a iné spôsoby usporiadania si vyžadovali preskupovanie týchto predmetov. Úloha 3. Vypočítajte počet Pn permutácií n objektov. Je zrejmé, že tento problém sa zhoduje s problémom umiestnenia v prípade, keď sa počet objektov zhoduje s počtom miest, usporiadame všetkých n objektov pomocou n dostupných miest. Opakovanie zdôvodnenia úlohy 2 vedie k tejto odpovedi: n(n - 1) Keďže počet faktorov je n, posledné číslo bude 1. Je vhodné preusporiadať faktory a zapísať výsledok ako súčin všetkých faktorov. prirodzené čísla od 1 do n: n = = n\ (čítaj "n faktoriál"). Dvojpísmenové slová v abecede troch písmen aa ab ac ba bb bc ca s SS Umiestnenie Umiestnenie troch predmetov na dve miesta Umiestnenie n predmetov na k miest Počty miest Počet možných umiestnení 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 Celkový počet možností: n (n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)
65 návrhov na vyriešenie kombinatorické problémy? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Príklady Permutácia P4 = 4! = = 24 Umiestnenie P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)! l! l! l! = = l! (l-l)! Ach! Anagram cab cabd cadb cdab dcab slovo s preskupenými písmenami (umiestnenie, permutácia) Konštrukcia, spôsob skladania a výpis možností by mal byť analyzované 1. Binárne odpovede Osoba dostane 10 otázok, na každú z nich odpovie „áno“ alebo „nie“. rôzne možnosti odpovede na všetkých 10 otázok? Na odpoveď na prvú otázku sú 2 možnosti. Ak už boli vytvorené odpovede na niekoľko otázok, potom odpoveď na ďalšiu zdvojnásobí počet možností. Odpoveď = 2 10 = Samozrejme, v tomto probléme bola konštrukcia konštruovania slov v abecede dvoch písmen. 2. Testy s viacerými možnosťami. Osobe bol ponúknutý test so 6 otázkami. Na každú otázku je potrebné odpovedať jednou z 5 možných odpovedí. Koľko rôznych odpovedí existuje na všetkých 6 otázok v teste? Na prvú otázku je 5 možných odpovedí. Pri prechode na ďalšiu otázku sa počet možností zvýši 5-krát. Odpoveď: = 5 6 = Dizajn zostal zachovaný. Počet písmen v abecede sa zmenil, teraz sú to slová s rôznymi písmenami. V abecede je 10 písmen. Koľko slov dĺžky 3 možno zostaviť z neopakujúcich sa písmen? Na prvé miesto dáme ľubovoľné z 10 písmen, na druhé akékoľvek, okrem toho, ktoré už bolo prevzaté ako prvé. Dostávame 10-9 možností. Na tretie miesto môžete dať ktorékoľvek z 8 nepoužívaných písmen. Odpoveď: = 720. Návrh umiestnení bol použitý na troch miestach (bez opakovaní) bolo umiestnených 10 písmen. 4. Anagramy slov s rôznymi písmenami. Koľko anagramov existuje pre slovo KATER? Všetkých päť písmen tohto slova je odlišných. Môžete zmeniť usporiadanie 5 písmen 5! spôsoby. Odpoveď: P5 = 5! =
66 fy Otázky a cvičenia 1. Čo znamená slovo v tejto abecede? 2. Koľko slov s dĺžkou 5 je v abecede pozostávajúcej zo 6 písmen? 3. Existuje abeceda n písmen. Do úvahy sa berú slová pozostávajúce z m neopakujúcich sa písmen. Aký koncept kombinatoriky by sa mal použiť na opis takýchto slov? 4. Koľko slov s dĺžkou 3 obsahuje neopakujúce sa písmená v abecede pozostávajúcej zo 6 písmen? 5. Čo je to permutácia? 6. Koľko permutácií 6 písmen existuje? 7. Ako spolu súvisia pojmy „umiestnenie“ a „permutácia“? 8. Koľkokrát je počet umiestnení 10 predmetov na štyroch miestach menší ako počet umiestnení tých istých predmetov na šiestich miestach? Lekcia 2 Pravidlá kombinatoriky Aké sú základné pravidlá kombinatorických výpočtov? 1. Pravidlo pridávania. Nech množina A má m prvkov a množina B n prvkov. Ak množiny A a B nemajú spoločné prvky, potom počet prvkov v ich spojení je m + n. Môžeme povedať toto: ak dve vrecká obsahujú rôzne predmety a zlejeme ich dohromady, potom, aby sme zistili ich celkový počet, musíte pridať počet predmetov v každom z vreciek. Ak pre konečnú množinu X označíme X počet jej prvkov, potom pravidlo sčítania môžeme napísať takto: ak A n B = 0, potom \A a B\ = \A\ + \B\. Toto pravidlo možno ľahko zovšeobecniť na prípad, keď množiny A a B majú spoločnú časť. 2. Pravidlo zahrnutia výnimky. Nech množiny A a B majú spoločnú časť s k prvkami. Potom pri spojení množín A a B je počet prvkov rovný m + n - k, t.j. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. Je jasné, že sčítaním typu čísel počítame spoločné prvky dvakrát. Pravidlá kombinatoriky Pravidlo sčítania A n B \u003d 0 J] A a B\ \u003d A + B
Vylučovacie inklúzie A u B\ = A + B - \A n B\ sa rozširujú na spojenie ľubovoľného počtu množín. 3. Pravidlo násobenia. Počet dvojíc vytvorených z prvkov množín A a B sa rovná súčinu prvkov týchto množín. Súbor párov prvkov dvoch súborov sa často označuje znakom produktu. Potom možno pravidlo násobenia zapísať takto: [A x B\ \u003d A x B. Pravidlo násobenia možno ľahko vysvetliť pomocou tabuľky. Ak spravíme obdĺžnikovú tabuľku a jej riadky očíslujeme (označíme) prvkami množiny A a stĺpce prvkami množiny B, bunky tabuľky budú zodpovedať párom (a; b), kde a e A, b e B. Počet buniek v tabuľke sa zjavne rovná súčinu počtu riadkov a počtu stĺpcov. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 Pravidlo násobenia \A x B = A x B Ako sa pri riešení úloh uplatňujú pravidlá kombinatoriky? 1. Počet termínov. Uvažujme súčin (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). Koľko monomiálov (pred zmenšením podobných) získame vynásobením „zátvoriek zátvorkami“? Rovnakú otázku je možné preformulovať takto: „Koľko párov možno vytvoriť z monočlenov v prvej a druhej zátvorke? Vyberieme si ktorýkoľvek z troch monomilov v prvej zátvorke a ktorýkoľvek zo šiestich v druhej. Počet párov je 3-6 = 18 podľa pravidla násobenia. 2. Menu. V ponuke je 5 predjedál, 3 prvé chody, 4 druhé chody a 3 dezerty. Na koľko spôsobov je možné objednať štvorchodové jedlo? Pri premýšľaní nad objednávkou robíme štyri názvy: 1) snack; 2) prvý kurz; 3) druhý kurz; 4) dezert. Do prvého riadku z tejto štvorice zadáme ktorúkoľvek z piatich daných možností, do druhého riadku ktorúkoľvek z troch atď. Celkový počet
68 [=180. Toto je príklad zovšeobecnenia pravidla násobenia. Vyrábame nielen dvojice, ale aj sady dvoch, troch, štyroch alebo viacerých predmetov. 3. ŠPZ áut. Číslo auta sa skladá z troch písmen a troch číslic. Používa sa 20 písmen a všetkých 10 číslic. Platné je aj číslo, ktoré má všetky 3 nuly (napríklad A000AA). Koľko takýchto čísel sa dá vyrobiť? Miestnosť má 6 miest na sedenie. Prvý, piaty a šiesty sú pre písmená, druhý, tretí, štvrtý pre čísla. Sedadlá sa obsadzujú nezávisle od seba. Odpoveď: = Počet slov. V abecede sú 4 písmená. Koľko slov možno vytvoriť z písmen tejto abecedy, ktoré nemajú viac ako 3 písmená? Počet slov dĺžky k z abecedy 4 písmen je 4*. Súbory slov rôznych dĺžok nemajú spoločné prvky. Aplikujeme pravidlo sčítania. Odpoveď: = = Počet študentov. Každý študent sa v triede učí jazyk. Zároveň 20 študentov študuje anglický jazyk, 12 francúzsky jazyk a 7 študentov oba jazyky. Koľko žiakov je v triede? Ak spočítame počet študentov, ktorí sa učia angličtinu a francúzštinu, potom započítame všetkých študentov, ale tí, ktorí sa učia dva jazyky, sa započítajú dvakrát. Aplikujeme pravidlo inklúzie. Odpoveď: = "Aspoň raz." Kocka sa hádže dvakrát za sebou. Koľkokrát padne číslo 6 aspoň raz? Všetky prípady rozdelíme do dvoch tried: nikdy nevypadne číslo 6, aspoň raz vypadne číslo 6. Tieto triedy nemajú spoločné prvky. Celkom možnosti, t.j. počet sekvencií dvoch číslic s okrajom 6 číslic je b 2, s okrajom 5 číslic (všetky okrem šiestich) je 5 2. Použite pravidlo sčítania: b 2 \u003d x. Odpoveď: b = 11. Jedlo Počet chodov Predjedlo 5 Prvé 3 Druhé 4 Dezert 3 Počet možností štvorchodovej večere: = 180. ŠPZ A000AA Počet číslic: = Počet slov Počet písmen v abecede 4 Dĺžka slova k Počet slov 4* k = 3 => Podľa pravidla sčítania: = 84 Počet žiakov Počet žiakov v triede: = 25 „Aspoň raz“ 1. známka: Nikdy nehádžte 6. 2. známka: Hoďte aspoň raz 6. 69
69 Otázky a cvičenia 1. Ako určiť celkový počet prvkov v dvoch množinách, ak je známy počet prvkov v každej množine a niektoré prvky môžu byť spoločné? 2. Čo je pravidlo násobenia? 3. V testovacej úlohe sú štyri príklady. Na každý príklad je 5 odpovedí. Koľkými spôsobmi si môžete vybrať odpoveď na otázku? štyri. Kocky hodený dvakrát za sebou. Pre každý možný súčet hodených bodov spočítajte počet možných možností. Kontrola: Pridaním možností pre každú možnú sumu by ste mali získať celkový počet možností. Lekcia 3 Počet obehov Obežná dráha je množina rovnakých (ekvivalentných) možností Umiestnenie Umiestnenie bez opakovaní z k prvkov po m prvkov Príklady môžete usadiť 6 osôb v rade 6! (720) spôsoby; sedenie 6 osôb pri okrúhlom stole môže byť 5! (120) spôsoby; Ak je 5 chlapcov a 5 dievčat, existuje 5!5!2 5 spôsobov, ako vytvoriť stĺpec dvojíc chlapec – dievča. Ako kombinatorické výpočty zohľadňujú kombinácie, ktoré sa považujú za rovnaké? Pri počítaní počtu možností je často potrebné zvážiť rovnaké (identifikovať) možnosti podľa nejakého atribútu. Ak skombinujeme všetky možnosti, ktoré sa považujú za rovnaké, dostaneme množinu, ktorá sa nazýva orbita. 1. Okrúhly stôl. Usadíme 6 ľudí v rade. Dá sa to urobiť 6! spôsoby. Teraz ich položme za okrúhly stôl. Budeme uvažovať o rovnakých spôsoboch usporiadania ľudí, ktoré je možné získať otočením stola v kruhu. Zoberme si jeden aranžmán a otočíme stôl. Dostaneme obežnú dráhu šiestich usporiadaní. Celkový počet obehov bude 6-krát menší ako počet všetkých usporiadaní. 6! Odpoveď: = 5! = Počet párov. Je tu 5 chlapcov a 5 dievčat. Koľkými spôsobmi ich možno usporiadať do stĺpca, ktorý tvoria dvojice chlapec – dievča? Za rovnaké budeme považovať stĺpce, v ktorých chlapec stojí vľavo alebo vpravo. Potom sa celkový počet spôsobov môže vypočítať takto: výber riadku pre chlapcov
70 ^V/^y pilulka^u ^VDUICIV 5! spôsoby. Zoberme si jedno usporiadanie vo dvojiciach a začnime vo dvojiciach meniť ľavú a pravú pozíciu. Z jedného usporiadania dostaneme 2 5 = 32 ďalších (v každej dvojici meníme polohy nezávisle od seba). Skombinovaním možností do obežných dráh a poznamenaním, že počet prvkov na každej dráhe je rovnaký, rovný 32, dostaneme výsledok. 1 /.\ Odpoveď: (5!) V "Počet kombinácií. Akým počtom spôsobov možno vybrať podmnožinu (neusporiadanú!) k prvkov z množiny obsahujúcej n prvkov? Ak by sme usadili ľudí na k miest v poradí, dostali by sme odpoveď v tvare n(n - 1)... (n - k + 1) počet umiestnení Skombinujte aranžmány do obežných dráh prehodením (preusporiadaním) vybraných k ľudí. k\ spôsobmi. Počet obehov je n (n-l) -. ..-(n-ft + l) sa bude rovnať. Získali sme vzorku prvkov, v ktorých na poradí prvkov nezáleží. Predtým boli podmnožiny sa nazývali kombinácie, takže výsledné číslo sa nazýva "počet kombinácií od n do k" a označuje sa c*. zápis = Ck _ n(n-l)- v-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Vlastnosť CS = С""* kombinácie 4. Počet anagramov. Skôr sme spočítali počet anagramov slov s rôznymi písmenami. Ak je počet písmen v slove rovný n, potom sa tento počet rovná počtu permutácií n prvkov, t.j. číslu n\. II f a t Počet podskupín Koľkými spôsobmi možno vybrať podskupinu troch zo skupiny šiestich? Najprv si pripravíme tri miesta a umiestnime na ne troch ľudí podľa poradia. Dá sa to urobiť == 120 spôsobmi. Teraz spájame do jedného orbitu aranžmány, ktoré sa nelíšia zložením trojky, ale líšia sa len poradím, v akom sú vysadené. Na každej obežnej dráhe budú 3! = 6 súhvezdí Odpoveď: 20. 3! (D Príklad Počet kombinácií Daná množina prvkov: x = (1, 2, 3). Z tejto množiny je potrebné vytvoriť dvojprvkové podmnožiny. Budú tri: (1, 2), (1 , 3), (2, 3). Z prvkov každej podmnožiny môžu tvoriť 2! obežné dráhy dĺžky 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) ( 3, 2), čo sú usporiadania bez opakovania troch prvkov dva a ich počet sa rovná Al = 3 2 = 6. Na druhej strane sa toto číslo rovná 2! C => a A? Al \u003d 2 ! C - "3 - 2! 71
71 Počet kombinácií Na rovinke sa zbieralo desať bodov. Koľko segmentov bolo získaných, ktorých konce sú tieto body? c "=t=th 45 - Newtonov dvojčlen (a + b) n = a "(1 + x) n (v zátvorkách a" a označený b / a až Zvážte rozšírenie dvojčlenu (1 + x) n v mocninách x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". Koeficienty ak sú dané vzorcom k \ Vynásobíme n zátvoriek tvaru 1 + x na seba. Získame stupeň x k, z nich je potrebné vybrať x v L a zvyšok n - k 1. Počet možností výberu k objektov z n možných je počet kombinácií, ktoré sme určili od n do k, t.j. C *. Pre pohodlie predpokladáme = 1 a napíšeme binomický vzorec takto: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. identické písmená. Napríklad nájdime počet anagramov slova O. Toto je slovo z ôsmich písmen a písmeno O sa v ňom vyskytuje 4-krát, K dvakrát a písmená L a T raz. Rozlišme tie isté písmená (napríklad ich napíšme iné písmo K a K). Teraz je všetkých 8 písmen rôznych a počet anagramov tohto slova je 8!. Spojme ich do obežných dráh, identifikujme rovnaké, ale inak napísané písmená O a K. Preusporiadanie rôzne pravopisy písmenami O (4! spôsoby) a K (2! spôsobmi), dostaneme obežnú dráhu 4! 2! = 48 slov. Ak chcete získať počet anagramov pôvodného slova, potrebujete 8! delené dĺžkou obežnej dráhy. osem! Odpoveď: = ! Ako zvýšiť súčet jednočlenov na mocninu? 1. Newtonov binomický vzorec. Slovné spojenie „Newtonov binom“ je už dlho symbolom náročnosti a nezrozumiteľnosti matematiky. v skutočnosti v otázke o celkom jednoduchej veci: ak zoberiete binomiku (binomiku) a + b, umocníte ju a pridáte podobné členy, dostanete súčet monočlenov tvaru a k b l s nejakými koeficientmi. Vzorec na výpočet týchto koeficientov je spojený s menom I. Newtona, hoci sa používal oveľa skôr. Pri umocnení a + b na binomickú mocninu dostaneme vzorec: Poznáte 2, 3, 4. Čísla C* sa nazývajú binomické koeficienty 2. Vlastnosti binomických koeficientov 1) Jednotlivé prípady Je vhodné si zapamätať prvý koeficienty: _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72
72 a) uu/iato h-krkz fiktiriyl. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - možno previesť do symetrickejšej podoby, k\ vynásobením čitateľa a menovateľa číslom (ga - A;)!. V čitateli sa obnovia všetky čísla od 1 do ha. Dostaneme vzorec C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + slnko) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = Pre 2. 2 AC = av3. Odpoveď: 1) 0; 2) av3. Výrazy v zátvorkách musia byť vynásobené členmi a musia brať do úvahy, že i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Vzdialenosť. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi AG a A2 v priestore možno vypočítať pomocou skalárneho súčinu:. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. Skalárny štvorec zapíšeme v súradniciach: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. Dostaneme vzorec \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + („2 ~ *i f, čo zovšeobecňuje Pytagorovu vetu pre priestor.
84 pojmov v jazyku súradníc a vektorov? Toto sa robí s cieľom vytvoriť výpočtové algoritmy na riešenie geometrické problémy. Základom sú rovnice rôznych obrazcov v priestore a predovšetkým rovnice roviny a gule (povrchu gule). 1. Rovnica roviny. Rovina môže byť definovaná jedným bodom v nej obsiahnutým i^oc-^o? J/o! 2 o) a vektor n kolmý na túto rovinu (nazýva sa normálový vektor na rovinu). Nevyhnutné a dostatočný stavže bod P(x; y; d) patrí do roviny je nasledovné: [op-op0) 1 n alebo v tvare - * rovnosť PP0 n = 0. Po zadaní súradníc normály p(a; B) ; C), získame rovinu rovnice v súradnicovom tvare: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. Otvorenie zátvoriek a označenie čísla (Ax0 + + Vy0 + Cz0) cez D, dostaneme štandardná rovnica rovina v tvare Ax + By + Cz + D = = 0. Je to obdoba známej rovnice priamky na rovine. Všimnite si, že normálny vektor n nie je jednoznačne definovaný, môže byť vynásobený ľubovoľným číslom. 2. Rovnica gule. Bod P(x; y; r) sa nachádza na gule so stredom C(a; b; c) a polomerom R, ak je splnená podmienka \PC\ 2 = R 2. Túto podmienku je možné jednoducho prepísať do súradníc: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. Táto rovnica zovšeobecňuje kruhovú rovnicu v rovine. produkty v súradniciach a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 Rovnica roviny PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 Zostavte rovnicu roviny za nasledujúcich podmienok: p (1; 2; 3), PO (1; 0; 0). Riešenie: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. Rovnica roviny má tvar: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. Rovnica gule ^ Otázky a cvičenia 1. Ako sa určuje skalárny súčin vektorov? 2. Ako sa vypočíta skalárny súčin v súradniciach? 3. Aké sú hlavné vlastnosti skalárneho súčinu? 85
85 súradníc? 5. Napíšte rovnicu roviny. 6. Napíšte rovnicu gule. Lekcia 4 Kolmosť čiar a rovín Znaky kolmosti: čiara a rovina 1 t I X t, I ± n, t n n \u003d (0) \u003d\u003e I _L a dve roviny On, Zep \u003d p_La dve priame čiary n ± a, t 1 I , li premietanie I na a => ij _L t Ako môžete skontrolovať kolmosť priamok a rovín pomocou súradníc a vektorov? 1. Kolmosť priamky a roviny. Podľa definície je priamka kolmá na rovinu, ak je kolmá na akúkoľvek priamku v tejto rovine. Je ťažké overiť takéto tvrdenie, pretože v rovine možno nakresliť nekonečné množstvo čiar. Ukazuje sa, že stačí skontrolovať kolmosť iba dvoch pretínajúcich sa čiar. Veta (veta o dvoch kolmiciach). Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky nejakej roviny, potom je kolmá na ktorúkoľvek inú priamku tejto roviny, a teda kolmá na samotnú rovinu. 2. Kolmosť dvoch rovín. Veta. Ak rovina prechádza kolmicou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé. 3. Kolmosť dvoch priamok. Veta (veta o troch kolmých). Ak je priamka neležiaca v rovine kolmá na nejakú priamku ležiacu v rovine, potom je na túto priamku kolmý aj priemet pôvodnej priamky do roviny. Naopak, ak je priemet priamky do roviny kolmý na nejakú priamku ležiacu v rovine, potom je na túto priamku kolmá aj pôvodná priamka. 86
OBSAH1. Čísla, funkcie a grafy 7
§ jeden Číselná os 7
§ 2 karteziánske súradnice v rovine 12
§ 3 Pojem funkcie 19
§ 4 Rovnice a nerovnice 35
Úlohy a otázky 42
2. Derivát a jeho použitie 51
§ 5 Zavedenie derivátu 51
§ 6 Výpočet derivátu 60
§ 7 Skúmanie funkcie pomocou derivácie 69
§ 8 Aplikácie derivátu 85
§ 9 Rozdiel 91
§ 10 Maximálne a minimálne úlohy 98
Úlohy a otázky 104
3. Rovnobežnosť priamok a rovín 114
§ 11 Vzájomné usporiadanie priamok a rovín H4
§ 12 Znaky rovnobežnosti 122
§ 13 Axiomatická konštrukcia geometrie 130
Úlohy a otázky 134
4. Vektory
§ 14 Riadené segmenty
§ 15 Vektorové súradnice
§ 16 Aplikácia vektorov v mechanike § 17 Vektorový priestor
Úlohy a otázky
5. Goniometrické funkcie 166
§ 18 Uhly a otáčky 166
§ 19 Vymedzenie goniometrických funkcií 175
§ 20 Štúdium sínusov a kosínusov 185
§ 21 Tangenta a kotangens 193
§ 22 Derivácie goniometrických funkcií 197
§ 23 Schémy znižovania 201
Úlohy a otázky 205
6. Bodový produkt 210
§ 24 Vektorové premietanie 210
§ 25 Vlastnosti vnútorného výrobku 213
Úlohy a otázky 220
7. Trigonometrické identity a rovnice 222
§ 26 Sčítacie vzorce 222
§ 27 Najjednoduchšie goniometrické rovnice 230
§ 28 Riešenie goniometrických rovníc 237
§ 29 Inverzné funkcie 242
Úlohy a otázky 252
8. Kolmosť priamok a rovín 259
§ 30 Vektorové priradenie priamky 259
§ 31 Vektorové priradenie roviny 265
§ 32 Dihedrálne uhly 274
Úlohy a otázky 278
9. Priestorové telesá 283
§ 33 Valce a kužele 283
§ 34 Orb a sféra 291
§ 35 Hranoly a ihlany 295
§ 36 Polyhedra 303
Úlohy a otázky 310
10. Exponenciálne a logaritmické funkcie 320
§ 37 Mocniny a logaritmy 320
§ 38 exponenciálna funkcia 327
§ 39 Logaritmická funkcia 332
§ 40 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice 336
Úlohy a otázky 342
11. Integrál a jeho aplikácie 348
§ 41 Definícia integrálu 348
§ 42 Výpočet integrálu 356
§ 43 Aplikácia integrálu 362
§ 44 Diferenciálne rovnice 371
Úlohy a otázky 379
12. Plochy a objemy 384
§ 45 Plochy rovinných obrazcov 384
§ 46 Objemy priestorových telies 393
§ 47 Plocha 399
Úlohy a otázky 401
13. Rovnice a nerovnice 407
§ 48 Riešenie rovníc a nerovníc s jednou neznámou 407
§ 49 Sústavy rovníc 418
§ 50 Zostavovanie rovníc 424
Úlohy a otázky 434
Doslov 435
Dodatok 441
Odpovede 448
Index 460
Recenzenti: Laboratórium matematiky (Výskumný ústav odbornej pedagogiky Pedagogickej akadémie ZSSR); Dr. Phys.-Math. vedy, prof. S. V. Vostokov (Štátna univerzita Leningradu A. A. Ždanova)
Príručka je napísaná v súlade s programom jednotného kurzu matematiky, ktorý vypracovala skupina leningradských matematikov.
Algebra, začiatky analýzy a geometrie sú prezentované ako jeden predmet "Matematika". Prezentáciu materiálu sprevádza veľké množstvo príkladov. Pre žiakov a učiteľov stredných odborných škôl.
Nakladateľstvo " absolventská škola“, 1987
Predslov
Kniha je experimentálnym kurzom matematiky, zodpovedajúcim stredoškolským osnovám. stredná škola, bez tradičného delenia na rôzne disciplíny - algebra a začiatok analýzy, geometria. Toto vydanie je založené na „Experimentálnom učebné materiály"(M., Vyššia škola, 1982) a príručky" Matematika "(M., Vzdelávanie, 1983).
V rámci vyučovania experimentálneho kurzu matematiky na stredných odborných školách v Leningrade a niektorých ďalších regiónoch krajiny v rokoch 1974-1985. nájdené potvrdenie správnosti voľby hlavného metodické princípy stanovené v programe jednotného kurzu matematiky. Hlavné myšlienky tohto kurzu sa ukázali byť dobre koordinované s hlavnými smermi reformy všeobecného vzdelávania a odborná škola a prispieť k jeho praktickej realizácii. Program takéhoto kurzu vypracovala skupina leningradských vedcov v rámci vedecký výskum Výskumný ústav odborného vzdelávania Akadémie pedagogiky ZSSR.
Na príprave knihy sa podieľali pracovníci katedry. vyššia matematika Leningradský elektrotechnický inštitút. V. I. Uljanov (Lenin). Všetkým, ako aj svojim početným kolegom na ústavoch, školách a odborných učilištiach v Leningrade, autor vyjadruje úprimnú vďaku.
Úvod autora
Vážený čitateľ!
Máte experiment tutoriál matematiky. Matematika za 2500 rokov svojej existencie nahromadila najbohatší nástroj na štúdium sveta okolo nás. Ako však poznamenal akademik A.N. Krylov, vynikajúci ruský matematik a staviteľ lodí, človek sa obracia na matematiku, „nie preto, aby obdivoval nespočetné poklady“. V prvom rade sa potrebuje zoznámiť s „stáročiami overenými nástrojmi a naučiť sa ich správne a zručne používať“.
Táto kniha vás naučí, ako zaobchádzať s matematickými nástrojmi, ako sú funkcie a ich grafy, geometrické tvary, vektory a súradnice, derivácie a integrály. Hoci ste sa s väčšinou týchto pojmov prvýkrát stretli už predtým, táto kniha vám ich znovu predstaví. To je výhodné pre tých, ktorí zabudli predtým študovaný materiál, a užitočné pre každého, pretože aj známe veci odhalia nové aspekty a súvislosti.
Na uľahčenie práce s manuálom sú zvýraznené najdôležitejšie ustanovenia a formulácie. Ilustrácie zohrávajú veľkú úlohu: ak úplne nerozumiete školiacemu textu, dôkladne zvážte kresbu, ktorá s ním súvisí. Dokonca aj v staroveku používali túto metódu štúdia matematiky - nakreslili kresbu a povedali: pozri!
Každá časť knihy je rozdelená na odseky. Na konci odsekov sú cvičenia. Tieto cvičenia, samozrejme, nestačia na zvládnutie potrebných zručností. Ich účelom je ukázať hlavný smer úsilia potrebného na zvládnutie príslušného materiálu.
Pomerne úplný súbor úloh a cvičení je umiestnený na konci každej kapitoly.
SUBJECT INDEX
ALE
Aditivita 361 Axióma 118, 131 Axióma stereometrie 132 Argument 22 Arkosínus 234, 250 Arkotangens 236, 251 Arkásínus 232, 233, 250 Arktangens 236, 251
AT
Vektor 137, 138, 149, 150, 157 – nula 140
Kolineárne vektory 260, 262 Г
Funkčný graf 23, 32, 33 D
Tlak 89
Redukčné diagramy 201-203 Funkčný diferenciál 91, 92 Derivácia 51, 53, 348, 355 Obvod 401
A
Integrálna 348-350, 352, 354, 366 K
Tangenta ku krivke 53 Štvorec 130
Harmonické kmity 191, 22 £ Kužeľ 285, 289, 290
- skrátené 287
Súradnice vektora 148, 149, 151
- body 7, 13, 147
- - rotujúce 175 Aritmetické korene 321
- Rovnice 25
- 25 funkcií
Kosínus 175, 178, 186-189, 191, 197 Kotangens 175, 179, 186, 193, 196, 199, 203
Kocka 305
L
Logaritmus 325
- prírodný 331
M
Hmotnosť 368
3 - prúty 87, 93
Elektrický náboj 88, 93, 368 stupňov uhol mier 169
Maximálna hodnota funkcie 98 - - radián 170
- - najmenej 98 Gaussova metóda 423
- intervaly 39 Mnohosten 303, 308 Modul 138
- prechod 326
- čísla 9
Monotónnosť funkcie 29 N
Smerový vektor priamky 259 Iracionálne nerovnosti 413
- ekvivalent 409
- racionálna 413 Nerovnosť 35, 407
- štvorec 37
- najjednoduchšie 339
O
Platný rozsah 409
-- funkcie 83
- definície funkcií 24, 246 Rozsah 393, 394
- kocka 393
- valec 393, 395 Oktaedrón 307
Orty osí 149 Číselná os 7
P
Paleta 393
Rovnobežník 299, 300 Prvok 356 Rovnobežnosť línií 126 Premenné 19 Posun 368 Prechod do limitu 56 Obdobie 185
Periodicita 176, 185 Pyramída 297, 298
Roviny rovnobežné 120, 124, 125
- pretína 120
- kolmá 276 Rovina 114, 119, 130
- Tangenta 293 Oblasť 362
- kužeľ 400
- kruh 90
- polygón 388
- rovnobežník 387
- podgrafika 389
- hranoly 400
- trojuholník 386-388
- ľubovoľné čísla 389
- valec 400 Lineárna hustota 87 Guľôčkový povrch 400 Presnosť 96
Pravidlá kreslenia vektorov 139-141
Pravidlo mnohouholníka 140
- rovnobežnosten 141
- rovnobežník 140, 141
- tri body 140 Hranol 295, 296
Znak rovnobežnosti dvoch rovín 124
--- rovno 123
- kolmosť priamky a roviny 267
- kríženie čiar 117 Znaky rovnobežnosti 122 Prírastok argumentu 59
- funkcie 59 Vektorové premietanie 211
- ortogonálne 272
- 210 bodov
Skalárny súčin 210, 213-216 Produktivita práce 90 Derivácia 51-53, 57, 60-63, 69 Číselný interval 8 Vektorový priestor 157 Priamka 114, 119, 130 Priame rovnobežky 114, 132
- križuje 114, 132
- prešiel 114, 126, 132
R
Práca 87, 88, 93, 367 Rovnosť vektorov 260 radiánov 170
Vektor polomeru 142, 153 Rozšírenie vektora 145, 147 Rozmery 145, 158, 159
Napätie 140 Roztiahnutie tela lineárne 83 Riešenie rovnice 37
S
Vlastnosti rotačného pohybu 172-174
- integrálna 360
- nerovnosti 35
- radikály 321
- 324 stupňov
Parabolický segment 103 Axiálny kužeľový rez 287 Sinus 175, 178, 186, 187-189, 191, 197 Geografický súradnicový systém 14
-- Karteziánska 12, 147
- nekompatibilné 419
- spoj 419 Linkové systémy 422
- symetrický 421 Speed 85, 155, 365
- okamžité 55, 60, 156
- rast funkcie 56
- priemer 55, 59
- roh 229
Trojuholníkové pomery 167 Aritmetický priemer 37
- Geometrické 37 stupňov 323
Integrálne súčty 350, 351 Guľa 291
T
Tangenta 175, 179, 186, 193-195, 198, 203
Revolučné telesá 288 Kosínusová veta 216
- Newton - Leibniz 358
- asi tri kolmice 270
- Pytagoras 167
-- priestorová 301, 302
- Euler 305, 308 Tepelná kapacita 89 Teplo 88 Bod 114, 130
- kritické 75
- miestne maximum 26
- minimálne 26
- špeciálne 84
- extrémny 82
Trigonometrické identity 179, 236
- rovnice 230, 237
- vzorce s dvojitým uhlom 224
-- doplnky 240
- funkcie 249-251
-- Polovica dreveného uhlia 225
o
Svah Tangenta 52 Uhly 116, 169, 170
- dvojstena 274, 275
- lineárny 275
- mnohosten 309 Uhol kužeľa 287 Rovnica 407
- pohyby 372 vektor 152
- diferenciál 371, 374
- iracionálny 413
- harmonické vibrácie 376, 377
- logaritmický 336
- o druhej 373
-- prvých 373
- orientačné 337
- rovno 18, 260
- racionálne 413 Homogénne rovnice 241
- prvoky 183
- ekvivalent 37, 409 Zrýchlenie 86, 153
Podmienka rovnobežnosti priamky a roviny 268
-- rovno 262
- kolmosť vektorov 217- 219
-- rovný a plochý 268
-- rovno 262
- rovnosť 140
F
Aproximačné vzorce 94, 199, 200
- vrhá 180, 222
- dodatky 222-224
- trigonometrické dvojité uhly 224
Funkcie sú vzájomne inverzné 242, 243, 249
- monotónna 246
- spätný chod 243, 244, 245
- periodické 176, 185
- orientačné 327, 329, 341, 375
- trigonometrické 175, 177, 181 Funkcia 22, 70
- logaritmické 332, 333
- nepárnych 81
- dokonca 80
C
Valec 283, 284, 289
Dokonca 178 Číslo 7
- skutočný 8
-e 330
- iracionálny 324
- prírodný 8
- záporné 35
- pozitívny 35
- racionálne 8,323
H
Štvoruholník 130
W
Lopta 291, 292
Matematika. Bašmakov M.I.
3. vyd. - M.: 2017.- 256 s. M.: 2014.- 256 s.
Učebnica bola napísaná v súlade s programom štúdia matematiky na inštitúciách NPO a SPO a pokrýva všetky hlavné témy: teóriu čísel, odmocniny, mocniny, logaritmy, priamky a roviny, priestorové telesá, ako aj základy trigonometrie, analýzy. , kombinatorika a teória pravdepodobnosti. Pre študentov v zariadeniach základného a stredného odborného vzdelávania.
formát: pdf(2017, 256 s.)
Veľkosť: 8,6 MB
Sledujte, sťahujte:drive.google
formát: pdf(2014, 256 s.)
Veľkosť: 52,6 MB
Sledujte, sťahujte:drive.google
Obsah
Základná notácia 3
Predslov 4
Kapitola 1. VÝVOJ POJMU ČÍSLA 7
Lekcia 1. Celé čísla a racionálne čísla 7
Lekcia 2. Reálne čísla 11
Lekcia 3. Približné výpočty 15
Lekcia 4. Komplexné čísla 18
Konverzácia. Čísla a korene rovníc 22
Kapitola 2
Kontrola lekcie 1 26
Lekcia 2. n-tá odmocnina 29
Lekcia 3. Stupne 33
Lekcia 4. Logaritmy 37
Lekcia 5. Exponenciálne a logaritmické funkcie 40
Lekcia 6. Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice 46
Konverzácia. Výpočet mocnín a logaritmov 49
Kapitola 3. ČIARY A ROVINY VO VESMÍRE 52
Lekcia 1. Vzájomné usporiadanie priamok a rovín 52
Lekcia 2. Rovnobežnosť priamok a rovín 56
Lekcia 3. Uhly medzi čiarami a rovinami 58
Konverzácia. Geometria Euklida 61
Kapitola 4. KOMBINATORIKA 66
Lekcia 1. Kombinatorické konštrukcie 66
Lekcia 2. Pravidlá kombinatoriky 69
Lekcia 3. Počet obehov 72
Konverzácia. Z histórie kombinatoriky 77
Kapitola 5. SÚRADNICE A VEKTORY 79
Kontrola lekcie 1 79
Lekcia 2. Súradnice a vektory v priestore 83
Lekcia 3. Bodový súčin 85
Lekcia 4. Kolmosť priamok a rovín 88
Konverzácia. Vektorový priestor 90
Kapitola 6. ZÁKLADY TRIGONOMETRIE 93
Lekcia 1. Uhly a rotačný pohyb 93
Lekcia 2, Trigonometrické operácie 98
Lekcia 3. Transformácia goniometrických výrazov 103
Lekcia 4. Goniometrické funkcie 109
Lekcia 5. Goniometrické rovnice 114
Konverzácia. Z histórie trigonometrie 120
Kapitola 7. FUNKCIE A GRAFIKA 122
Preskúmanie relácie 1 všeobecné pojmy 122
Lekcia 2. Schéma štúdia funkcie 127
Lekcia 3. Transformácie funkcií a ich pôsobenie 131
Lekcia 4. Symetria funkcií a transformácia ich grafov 136
Lekcia 5: Kontinuita funkcií 139
Konverzácia. Vývoj konceptu funkcie 141
Kapitola 8, Mnohosteny a okrúhle telesá 143
Lekcia 1. Geometrický slovník 143
Lekcia 2. Rovnobežníky a hranoly 145
Lekcia 3. Pyramídy 148
Lekcia 4. Guľaté telesá 151
Lekcia 5. Pravidelné mnohosteny 154
Konverzácia. Platónske telesá 157
Kapitola 9. ZAČIATOKY MATEMATICKEJ ANALÝZY 159
Lekcia 1. Proces a jeho modelovanie 159
Sekvencie lekcie 2 165
Lekcia 3. Koncept derivátu 171
Lekcia 4. Diferenciačné vzorce 176
5. lekcia. Derivácie elementárnych funkcií 180
Lekcia 6. Aplikácia derivácie na štúdium funkcií 183
7. lekcia Aplikované úlohy 187
Lekcia 8. Prijímač 193
Konverzácia. Taylor Formula 195
Kapitola 10. INTEGRÁL A JEHO APLIKÁCIE 198
Lekcia 1. Plochy rovinných útvarov 198
Lekcia 2. Newtonova-Leibnizova veta 201
Lekcia 3. Priestorové telesá 207
Konverzácia. Integrálne množstvá 213
Kapitola 11. PRVKY TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI A MATEMATICKEJ ŠTATISTIKY 219
Lekcia 1. Pravdepodobnosť a jej vlastnosti 219
lekcia 2 Opakované testy 222
Lekcia 3. Náhodná premenná 225
Konverzácia. Pôvod teórie pravdepodobnosti 228
Kapitola 12. ROVNICE A NEROVNOSTI 230
Lekcia 1 Ekvivalencia rovníc 230
Lekcia 2. Základné techniky riešenia rovníc 233
Lekcia 3 Systémy rovníc 238
Lekcia 4. Riešenie nerovností 242
Konverzácia, Riešiteľnosť algebraických rovníc 247
Odpovede 249
Predslov
Matematika za 2500 rokov svojej existencie nahromadila najbohatší nástroj na štúdium sveta okolo nás. Ako však poznamenal akademik A.N. Krylov, vynikajúci ruský matematik a staviteľ lodí, človek sa obracia na matematiku, „nie preto, aby obdivoval nespočetné poklady“. V prvom rade sa potrebuje zoznámiť s „stáročiami overenými nástrojmi a naučiť sa ich správne a zručne používať“.
Táto kniha vás naučí zaobchádzať s matematickými nástrojmi, ako sú funkcie a ich grafy, geometrické tvary, vektory a súradnice, derivácie a integrály. Hoci ste sa mohli prvýkrát stretnúť s niektorými z týchto pojmov skôr, kniha predstavuje x nanovo. To je výhodné pre tých, ktorí trochu zabudli na predtým študovaný materiál, a je to užitočné pre každého, pretože aj známe veci odhalia nové aspekty a súvislosti.
Pre uľahčenie práce s učebnicou sú zvýraznené najdôležitejšie ustanovenia a formulácie. Ilustrácie zohrávajú dôležitú úlohu, preto je potrebné dôkladne zvážiť kresbu súvisiacu s textom pre lepšie pochopenie textu (už v staroveku používali túto metódu štúdia matematiky - nakreslili kresbu a povedali: "Pozri!" ).
Okrem nespochybniteľnej praktickej hodnoty získaných matematických vedomostí zanecháva štúdium matematiky nezmazateľnú stopu na duši každého človeka. S matematikou si mnohí spájajú objektivitu a čestnosť, túžbu po pravde a triumf rozumu. Mnohí majú celoživotné sebavedomie, ktoré vzniklo pri prekonávaní nepochybných ťažkostí, s ktorými sa stretli pri štúdiu matematiky. Napokon, väčšina z vás je otvorená vnímaniu harmónie a krásy sveta, ktorý matematika pohltila, preto by ste nemali ku každej strane učebnice, ku každej úlohe pristupovať s hodnotením, či sa využije v novom živote, ktorý Vás čaká po ukončení štúdia.
Témy, ktorým je učebnica venovaná - teória čísel, priestorové telesá, základy matematickej analýzy, začiatky teórie pravdepodobnosti - nemajú len aplikovaný význam. Obsahujú bohaté nápady, oboznámenie sa s nimi je potrebné pre každého človeka.
Chcel by som dúfať, že štúdium matematiky, ktorému /učebnica by mala pomôcť, Vám umožní presvedčiť sa o vysokej úrovni Vašich schopností, posilní chuť ďalej sa vzdelávať a prinesie veľa radostných minút komunikácie s „neotrasiteľnými zákonmi“. ktoré označujú celý poriadok vesmíru."
Dohoda
Pravidlá registrácie používateľov na stránke „ZNAČKA KVALITY“:
Je zakázané registrovať používateľov s prezývkami ako: 111111, 123456, ytsukenb, lox atď.;
Je zakázaná opätovná registrácia na stránke (vytváranie duplicitných účtov);
Je zakázané používať údaje iných ľudí;
Je zakázané používať e-mailové adresy iných osôb;
Pravidlá správania na stránke, fóre a v komentároch:
1.2. Zverejnenie osobných údajov ostatných užívateľov v dotazníku.
1.3. Akékoľvek deštruktívne akcie vo vzťahu k tomuto zdroju (deštruktívne skripty, hádanie hesla, narušenie bezpečnostného systému atď.).
1.4. Používanie obscénnych slov a výrazov ako prezývky; prejavy, ktoré porušujú zákony Ruská federácia, normy etiky a morálky; slová a frázy podobné prezývkam administrácie a moderátorov.
4. Porušenie 2. kategórie: Trestiteľné úplným zákazom posielania správ akéhokoľvek typu až na 7 dní. 4.1 Umiestňovanie informácií podľa Trestného zákona Ruskej federácie, Správneho poriadku Ruskej federácie av rozpore s Ústavou Ruskej federácie.
4.2. Propaganda v akejkoľvek forme extrémizmu, násilia, krutosti, fašizmu, nacizmu, terorizmu, rasizmu; podnecovanie medzietnickej, medzináboženskej a sociálnej nenávisti.
4.3. Nesprávna diskusia o diele a urážky autorov textov a poznámok uverejnených na stránkach „ZNAČKY KVALITY“.
4.4. Vyhrážky voči členom fóra.
4.5. Úmyselné uvádzanie nepravdivých informácií, ohovárania a iných informácií diskreditujúcich česť a dôstojnosť používateľov aj iných osôb.
4.6. Pornografia v avataroch, správach a citátoch, ako aj odkazy na pornografické obrázky a zdroje.
4.7. Otvorená diskusia o činnosti administratívy a moderátorov.
4.8. Verejná diskusia a hodnotenie existujúcich pravidiel v akejkoľvek forme.
5.1. Mat a vulgarizmy.
5.2. Provokácie (osobné útoky, osobná diskreditácia, vytváranie negatívnej emocionálnej reakcie) a obťažovanie účastníkov diskusií (systematické používanie provokácií vo vzťahu k jednému alebo viacerým účastníkom).
5.3. Vyvolávanie vzájomných konfliktov používateľov.
5.4. Hrubosť a hrubosť voči partnerom.
5.5. Prechod k jednotlivcovi a vyjasnenie osobných vzťahov na vláknach fóra.
5.6. Povodeň (identické alebo nezmyselné správy).
5.7. Úmyselné nesprávne napísané prezývky a mená iných používateľov urážlivým spôsobom.
5.8. Úprava citovaných správ, skresľovanie ich významu.
5.9. Zverejňovanie osobnej korešpondencie nie je výslovne uvedené výslovný súhlas hovorca.
5.11. Deštruktívny trolling je účelová premena diskusie na šarvátku.
6.1. Precitovanie (nadmerné citovanie) správ.
6.2. Použitie červeného písma, určeného na opravy a komentáre moderátorov.
6.3. Pokračovanie diskusie o témach uzavretých moderátorom alebo administrátorom.
6.4. Vytváranie tém, ktoré nenesú sémantický obsah alebo sú obsahovo provokatívne.
6.5. Vytvorenie názvu témy alebo príspevku úplne alebo čiastočne veľkými písmenami alebo in cudzí jazyk. Výnimku tvoria názvy stálych tém a témy otvárané moderátormi.
6.6. Vytvorenie popisku fontom väčším ako je font príspevku a použitím viac ako jednej palety farieb v popise.
7. Sankcie uplatňované na porušovateľov pravidiel fóra
7.1. Dočasný alebo trvalý zákaz prístupu na fórum.
7.4. Odstránenie účtu.
7.5. IP blokovanie.
8. Poznámky
8.1 Uplatňovanie sankcií zo strany moderátorov a administratívy môže byť vykonané bez vysvetlenia.
8.2. Tieto pravidlá podliehajú zmenám, ktoré budú oznámené všetkým členom stránky.
8.3. Používatelia majú zakázané používať klony počas obdobia, keď je blokovaná hlavná prezývka. AT tento prípad klon je zablokovaný na neurčito a hlavná prezývka dostane ďalší deň.
8.4 Správu obsahujúcu obscénne výrazy môže upraviť moderátor alebo administrátor.
9. Administrácia Administrácia stránky "ZNAK QUALITY" si vyhradzuje právo vymazať akékoľvek správy a témy bez udania dôvodu. Administrácia stránky si vyhradzuje právo upravovať správy a profil užívateľa, ak informácie v nich len čiastočne porušujú pravidlá fóra. Tieto právomoci sa vzťahujú na moderátorov a administrátorov. Správa si vyhradzuje právo tieto Pravidlá podľa potreby zmeniť alebo doplniť. Neznalosť pravidiel nezbavuje užívateľa zodpovednosti za ich porušenie. Administrácia stránky nemôže kontrolovať všetky informácie zverejnené užívateľmi. Všetky správy vyjadrujú iba názor autora a nemožno ich použiť na hodnotenie názorov všetkých účastníkov fóra ako celku. Správy zamestnancov a moderátorov stránky sú ich vyjadrením osobný názor a nemusí sa zhodovať s názorom redakcie a vedenia stránky.
Mark Bashmakov sa narodil 10. februára 1937 v Petrohrade. Otec, rodák z roľníkov z provincie Tver, matka pochádza z Vinnitsy. V roku 1954 ukončil školu so zlatou medailou a vstúpil na Fakultu matematiky a mechaniky Štátnej univerzity v Petrohrade. V roku 1959 bol prijatý na promóciu, potom pôsobil ako asistent, docent a profesor. Následne obhájil doktorandskú dizertačnú prácu.
S aktívnou prácou so školákmi začal už ako študent a pokračoval v nej začiatkom 60. rokov. Podieľal sa na tvorbe a práci krúžkov najskôr na fakulte, potom v obvodoch mesta Petrohrad, potom v niektorých mestách severozápadu. Bol medzi organizátormi prvého regionálne olympiády v matematike v mestách Murmansk, Syktyvkar, podieľal sa na príprave prvej celozväzovej olympiády pre školákov v matematike. Súbežne so svojou prácou viedol Bašmakov od roku 1977 15 rokov Katedru vyššej matematiky na Štátnej elektrotechnickej univerzite v Petrohrade pomenovanú po V.I. Uljanov.
V 80. rokoch tri roky učil na stredných odborných školách v Petrohrade. Pre svoj časový program z matematiky pre stredné odborné školy vytvoril inovatívny, učebnica matematiky, ktorú napísal, bola opakovane dotlačená a je stále žiadaná v systéme základného a stredného odborného školstva. Dôkazom uznania jeho zásluh bolo udelenie jeho odznaku „Vynikajúci pracovník v odbornom školstve ZSSR“.
V meste Petrohrad bol pod vedením profesora otvorený v roku 1992 inštitút produktívne učenie. V ďalších rokoch bol ÚPV účastníkom a organizátorom množstva medzinárodných a národných projektov, ktorých cieľom bol rozvoj metód produktívneho učenia a ich využitie vo vzdelávacej praxi.
V rokoch 2002 až 2010 viedol Laboratórium produktívneho učenia v Inštitúte pre obsah a metódy vzdelávania Ruskej akadémie vzdelávania. V roku 2011 sa stal vedúcim laboratória produktívnej pedagogiky ústavu vzdelávanie učiteľov a vzdelávanie dospelých RAO.
V roku 1993 bol zvolený za riadneho člena Ruskej akadémie vzdelávania. Neskôr za súbor učebníc „Matematika pre všetkých“ získal Cenu vlády Ruskej federácie v oblasti vzdelávania a získal titul „Laureát Ceny vlády Ruskej federácie v odbore vzdelanie."
Vedecká práca a hlavné výsledky matematika sa týkajú algebry a teórie čísel. Hlavný smer výskumu: aplikácia moderného aparátu algebry a topológie na riešenie klasických problémov v teórii diofantínskych rovníc, algebraická teóriačísla, algebraická geometria.
Profesor získal množstvo informatívnych výsledkov, ktoré boli všeobecne známe a premietli do prehľadových monografií. Svetová matematická literatúra zahŕňa také pojmy, ktoré nesú jeho meno, ako „Bashmakovova veta“, „Bashmakovov problém“ a „Bashmakovova metóda“. Vytvoril vedeckú školu, z ktorej vyšlo množstvo známych matematikov, viac ako dve desiatky kandidátov a doktorov fyzikálnych a matematických vied.
Na základe skúseností z práce na internáte sa rozvíjal a rozvíja pedagogická koncepcia produktívne učenie. Koncept je pedagogický systém, ktorá realizuje vzdelávací proces používaním jednotlivé trasy, s akciami, ktoré zabezpečujú osobný rast, sociálne sebaurčenie účastníkov, rast ich úlohy pri formovaní, realizácii a hodnotení ich náučná cesta. Ukázalo sa, že prístupy sú blízke prístupom implementovaným vo forme Medzinárodnej siete produktívnych škôl. K zaradeniu ruskej linky do tejto siete došlo na kongrese INEPS.
Mark Ivanovich je autorom veľkej série učebníc o matematike novej generácie. Tieto učebnice spĺňajú základné potreby štúdia matematiky od 1. do 11. ročníka všeobecnovzdelávacích škôl rôzneho zamerania, inštitúcií základného a stredného odborného vzdelávania. Séria obsahuje viac ako 20 zahrnutých učebníc federálny zoznam učebnice, ako aj viac ako 30 rôznych vzdelávacích podporných materiálov. Aktívny účastník a organizátor systému celozväzových olympiád pre školákov, člen redakčných rád populárno-náučného časopisu Kvant a časopisu Matematika v škole.
V rámci implementácie koncepcie produktívneho učenia sa pod jeho vedením vznikol systém hromadných didaktických hier a súťaží. Vzorom takýchto súťaží bola matematická súťaž „Kengura“, ktorej sa zúčastňujú školy z viac ako 20 krajín.
