Trigonometry - seksyon agham ng matematika, na nag-aaral ng mga function ng trigonometriko at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula noong panahong iyon sinaunang Greece. Noong Middle Ages, ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay gumawa ng mahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng agham na ito.

Ang artikulong ito ay tungkol sa mga pangunahing konsepto at mga kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng pangunahing trigonometriko function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan sa konteksto ng geometry ay ipinaliwanag at inilarawan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function, na ang argumento ay isang anggulo, ay ipinahayag sa pamamagitan ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.

Mga kahulugan ng trigonometriko function

Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.

Ang cosine ng anggulo (cos α) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse.

Ang tangent ng anggulo (t g α) ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi.

Ang cotangent ng anggulo (c t g α) ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.

Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!

Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.

AT tatsulok ABC na may tamang anggulo C sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio binti BC hanggang hypotenuse AB.

Ginagawang posible ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent na kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng isang tatsulok.

Mahalagang tandaan!

Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine: mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga tangent at cotangent na halaga ay ang buong linya ng numero, iyon ay, ang mga ito ang mga function ay maaaring tumagal ng anumang halaga.

Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay tumutukoy sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot ay ipinakilala, ang halaga nito, hindi katulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado ng mga frame mula 0 hanggang 90 degrees. Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula sa - ∞ hanggang + ∞.

Sa kontekstong ito, maaaring tukuyin ng isa ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin ang isang bilog na yunit na nakasentro sa pinagmulan ng Cartesian coordinate system.

Ang panimulang punto A na may mga coordinate (1 , 0) ay iniikot sa gitna bilog na yunit sa ilang anggulo α at papunta sa puntong A 1 . Ang kahulugan ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong A 1 (x, y).

Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot

Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). sinα = y

Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x

Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi tinukoy kapag ang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa puntong may zero abscissa (0 , 1) at (0 , - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng punto ay naglalaho.

Mahalagang tandaan!

Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.

Ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Ang cotangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kapag nagpapasya praktikal na mga halimbawa huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na mula sa konteksto ay malinaw na kung ano ang nakataya.

Numero

Paano naman ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?

Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ang isang numero ay tinatawag, na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.

Halimbawa, ang sine ng 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.

May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado.

Anumang tunay na numero t Ang isang punto sa bilog ng yunit ay inilalagay sa pagsusulatan sa gitna sa pinagmulan ng hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng Cartesian. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinukoy sa mga tuntunin ng mga coordinate ng puntong ito.

Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1 , 0).

positibong numero t

Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan lilipat ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw nang pakaliwa sa kahabaan ng bilog at dadaan sa daan t .

Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng numero at ang punto sa bilog ay naitatag, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine (kasalanan) ng numerong t

Sine ng isang numero t- ordinate ng punto ng unit circle na tumutugma sa numero t. kasalanan t = y

Cosine (cos) ng t

Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog ng yunit na naaayon sa numero t. cos t = x

Padaplis (tg) ng t

Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t

Ang mga huling kahulugan ay naaayon sa at hindi sumasalungat sa kahulugan na ibinigay sa simula ng seksyong ito. Ituro ang isang bilog na katumbas ng isang numero t, ay tumutugma sa punto kung saan ang panimulang punto ay dumadaan pagkatapos na lumiko sa anggulo t radian.

Trigonometric function ng angular at numerical argument

Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa tiyak na halaga sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng padaplis. Ang cotangent, tulad ng nabanggit sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α, maliban sa α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Masasabi nating ang sin α , cos α , t g α , c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function argumentong numero. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Ang lahat ng mga numero maliban sa π 2 + π · k , k ∈ Z, ay tumutugma sa halaga ng padaplis. Ang cotangent ay katulad na tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k , k ∈ Z.

Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya

Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.

Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.

Bumalik tayo sa data sa pinakasimula ng mga kahulugan at ang anggulong alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Mga kahulugan ng trigonometric Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ganap na naaayon sa mga geometric na kahulugan na ibinigay gamit ang mga ratio ng mga gilid ng isang right triangle. Ipakita natin.

Kumuha ng isang bilog na yunit na nakasentro sa isang hugis-parihaba Sistema ng Cartesian mga coordinate. Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit mula sa resultang puntong A 1 (x, y) patayo sa x-axis. Sa resultang tamang tatsulok, ang anggulo A 1 O H katumbas ng anggulo turn α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng punto A 1 (x, y) . haba ng binti, sa tapat ng sulok, ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.

Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse.

kasalanan α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Nangangahulugan ito na ang kahulugan ng sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kung gagawa tayo ng unit circle na nakasentro sa pinanggalingan at nagtatakda ng arbitrary na halaga ng argumento x0 at bilangin mula sa axis baka iniksyon x 0, pagkatapos ang anggulong ito sa bilog ng yunit ay tumutugma sa ilang punto A(Larawan 1) at ang projection nito sa axis Oh magkakaroon ng punto M. Haba ng gupit OM ay katumbas ng ganap na halaga punto abscissa A. binigay na halaga argumento x0 nakamapang halaga ng function y= cos x 0 bilang abscissa ng isang punto PERO. Alinsunod dito, ang punto AT(x 0 ;sa 0) nabibilang sa function graph sa= cos X(Larawan 2). Kung punto PERO matatagpuan sa kanan ng axis OU, ang tocosine ay magiging positibo, kung sa kaliwa ito ay magiging negatibo. Ngunit sa anumang kaso, ang punto PERO hindi makaalis sa bilog. Samakatuwid, ang cosine ay mula -1 hanggang 1:

-1 = cos x = 1.

Karagdagang pag-ikot sa anumang anggulo, maramihang 2 p, nagbabalik ng isang punto A sa parehong lugar. Samakatuwid, ang pag-andar y= cos xp:

kasi( x+ 2p) = cos x.

Kung kukuha tayo ng dalawang halaga ng argumento na pantay sa ganap na halaga ngunit magkasalungat sa tanda, x at - x, maghanap ng kaukulang mga punto sa bilog Isang x at A-x. Gaya ng nakikita sa fig. 3 ang kanilang projection sa axis Oh ay ang parehong punto M. Kaya

cos(- x) = cos( x),

mga. cosine - kahit function, f(–x) = f(x).

Kaya, maaari nating tuklasin ang mga katangian ng function y= cos X sa segment , at pagkatapos ay isaalang-alang ang parity at periodicity nito.

Sa X= 0 puntos PERO namamalagi sa axis Oh, ang abscissa nito ay 1, at samakatuwid ay cos 0 = 1. Sa pagtaas X tuldok PERO gumagalaw sa paligid ng bilog pataas at sa kaliwa, ang projection nito, siyempre, sa kaliwa lamang, at para sa x = p Ang /2 cosine ay nagiging 0. Point A sa sandaling ito ay tumataas sa pinakamataas na taas, at pagkatapos ay patuloy na lumilipat sa kaliwa, ngunit bumababa na. Ang abscissa nito ay patuloy na bumababa hanggang sa umabot ito ang pinakamaliit na halaga, katumbas ng –1 sa X= p. Kaya, sa segment, ang function sa= cos X bumababa nang monotonically mula 1 hanggang -1 (Fig. 4, 5).

Ito ay sumusunod mula sa parity ng cosine na sa pagitan [– p, 0], monotonically tumataas ang function mula -1 hanggang 1, na kumukuha ng zero value sa x =–p/2. Kung kukuha ka ng ilang mga panahon, makakakuha ka ng kulot na kurba (Larawan 6).

Kaya ang function y= cos x tumatagal ng mga zero na halaga sa mga punto X= p/2 + kp, saan k- anumang integer. Naabot ang maximum na katumbas ng 1 sa mga punto X= 2kp, ibig sabihin. na may hakbang 2 p, at ang minimum na katumbas ng –1 sa mga puntos X= p + 2kp.

Function y \u003d sin x.

Sa bilog ng unit x 0 ay tumutugma sa punto PERO(Larawan 7), at ang projection nito sa axis OU magkakaroon ng punto N.Z halaga ng function y 0 = kasalanan x0 tinukoy bilang ordinate ng isang punto PERO. Dot AT(iniksyon x 0 ,sa 0) nabibilang sa function graph y= kasalanan x(Larawan 8). Ito ay malinaw na ang function y= kasalanan x periodic, ang period nito ay 2 p:

kasalanan( x+ 2p) = kasalanan ( x).

Para sa dalawang halaga ng argumento, X at - , projections ng kanilang mga kaukulang punto Isang x at A-x bawat ehe OU matatagpuan simetriko tungkol sa punto O. Kaya

kasalanan(- x) = –kasalanan( x),

mga. Ang sine ay isang kakaibang function, f(– x) = –f( x) (Larawan 9).

Kung ang punto A umikot tungkol sa isang punto O sa gilid p/2 counterclockwise (sa madaling salita, kung ang anggulo X Dagdagan ng p/2), kung gayon ang ordinate nito sa bagong posisyon ay magiging katumbas ng abscissa sa luma. Ibig sabihin

kasalanan( x+ p/2) = cos x.

Kung hindi, ang sine ay ang cosine, "nahuli" ng p/2, dahil ang anumang halaga ng cosine ay "uulit" sa sine kapag ang argument ay tumaas ng p/2. At upang makabuo ng sine graph, sapat na upang ilipat ang cosine graph sa pamamagitan ng p/2 sa kanan (Larawan 10). sukdulan mahalagang ari-arian Ang sine ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay

Ang geometric na kahulugan ng pagkakapantay-pantay ay makikita mula sa Fig. 11. Dito X - ito ay kalahati ng arko AB, at kasalanan X - kalahati ng kaukulang chord. Malinaw, habang lumalapit ang mga puntos PERO at AT ang haba ng chord ay palapit ng palapit sa haba ng arko. Mula sa parehong figure, madaling makuha ang hindi pagkakapantay-pantay

|kasalanan x| x|, wasto para sa alinman X.

Formula (*) mathematician ang tawag kahanga-hangang limitasyon. Mula rito, lalo na, sinusundan nito ang kasalanang iyon X» X sa maliit X.

Mga pag-andar sa=tg x, y=ctg X. Dalawang iba pang trigonometric function - tangent at cotangent ay pinakamadaling tukuyin bilang mga ratio ng sine at cosine na alam na natin:

Tulad ng sine at cosine, ang tangent at cotangent ay mga pana-panahong pag-andar, ngunit ang kanilang mga panahon ay pantay p, ibig sabihin. sila ay kalahati ng sine at cosine. Ang dahilan para dito ay malinaw: kung ang sine at cosine ay parehong nagbabago ng mga palatandaan, kung gayon ang kanilang ratio ay hindi magbabago.

Dahil mayroong isang cosine sa denominator ng tangent, ang tangent ay hindi tinukoy sa mga punto kung saan ang cosine ay 0 - kapag X= p/2 +kp. Sa lahat ng iba pang mga punto ito ay tumataas nang monotonically. Direkta X= p/2 + kp para sa padaplis ay ang vertical asymptotes. Sa mga punto kp padaplis at dalisdis ay 0 at 1, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 12).

Ang cotangent ay hindi tinukoy kung saan ang sine ay 0 (kapag x = kp). Sa iba pang mga punto ito ay bumababa nang monotonically, at ang mga linya x = kp – kanyang vertical asymptotes. Sa mga punto x = p/2 +kp ang cotangent ay nagiging 0, at ang slope sa mga puntong ito ay -1 (Larawan 13).

Parity at periodicity.

Tinatawag ang isang function kahit na f(–x) = f(x). Ang cosine at secant function ay even, at ang sine, tangent, cotangent at cosecant function ay kakaiba:

kasalanan(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

Ang mga katangian ng parity ay sumusunod mula sa simetrya ng mga puntos P a at R- a (Larawan 14) tungkol sa axis X. Sa gayong simetrya, ang ordinate ng punto ay nagbabago ng sign (( X;sa) pumupunta sa ( X; -y)). Ang lahat ng mga function - periodic, sine, cosine, secant at cosecant ay may periodic na 2 p, at tangent at cotangent - p:

kasalanan (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
kayumanggi (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
seg (α + 2 kπ) = sec	cosec (α + 2 kπ) = cosecα

Ang periodicity ng sine at cosine ay sumusunod mula sa katotohanan na ang lahat ng mga puntos P isang + 2 kp, saan k= 0, ±1, ±2,…, nag-tutugma, at ang periodicity ng tangent at cotangent ay dahil sa katotohanan na ang mga puntos P isang + kp salit-salit na nahuhulog sa dalawang diametrically magkasalungat na punto mga bilog na nagbibigay ng parehong punto sa tangent axis.

Ang mga pangunahing katangian ng trigonometriko function ay maaaring ibuod sa isang talahanayan:

Function	Domain	Maraming halaga	Pagkakapantay-pantay	Mga lugar ng monotonicity ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
kasalanan x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	kakaiba	nagdaragdag sa x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), bumababa bilang x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
cos x	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	kahit	Tumataas nang may x O((2 k – 1) p, 2kp), bumababa sa x Ay (2 kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	kakaiba	nagdaragdag sa x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	kakaiba	bumababa sa x O ( kp, (k + 1) p)
sec x	x № p/2 + p k	(–Ґ , –1] AT [+1, +Ґ )	kahit	Tumataas nang may x Ay (2 kp, (2k + 1) p), bumababa sa x O((2 k– 1) p , 2 kp)
dahilan x	x № p k	(–Ґ , –1] AT [+1, +Ґ )	kakaiba	nagdaragdag sa x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), bumababa bilang x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Mga formula ng cast.

Ayon sa mga formula na ito, ang halaga ng trigonometric function ng argument a, kung saan p/2 a p , ay maaaring bawasan sa halaga ng function ng argument a , kung saan 0 a p /2, parehong pareho at karagdagang dito.

Pangangatwiran b	– a	+ a	p– a	p+ a	+ a	+ a	2p– a
sinb	kasi a	kasi a	kasalanan a	– kasalanan a	-cos a	-cos a	– kasalanan a
cosb	kasalanan a	– kasalanan a	-cos a	-cos a	– kasalanan a	kasalanan a	kasi a

Samakatuwid, sa mga talahanayan ng mga pag-andar ng trigonometriko, ang mga halaga ay ibinibigay lamang para sa mga talamak na anggulo, at sapat na upang ikulong ang ating sarili, halimbawa, sa sine at tangent. Ang talahanayan ay naglalaman lamang ng mga pinakakaraniwang ginagamit na formula para sa sine at cosine. Mula sa kanila ay madaling makakuha ng mga formula para sa tangent at cotangent. Kapag nag-cast ng isang function mula sa isang argumento ng form kp/2 ± a , kung saan k ay isang integer, sa isang function mula sa argument a :

1) ang pangalan ng function ay nai-save kung k kahit na, at mga pagbabago sa "complementary" kung k kakaiba;

2) ang tanda sa kanang bahagi ay tumutugma sa tanda ng reducible function sa punto kp/2 ± a kung ang anggulo a ay talamak.

Halimbawa, kapag nag-cast ng ctg (a - p/2) siguraduhin na ang isang - p/2 sa 0 a p /2 ay nasa ikaapat na kuwadrante, kung saan negatibo ang cotangent, at, ayon sa panuntunan 1, binago namin ang pangalan ng function: ctg (a - p/2) = –tg a .

Mga formula ng karagdagan.

Mga formula ng maraming anggulo.

Ang mga formula na ito ay direktang hinango mula sa mga formula ng karagdagan:

kasalanan 2a \u003d 2 kasalanan a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

kasalanan 3a \u003d 3 kasalanan a - 4 kasalanan 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

Ang pormula para sa cos 3a ay ginamit ni François Viet sa paglutas cubic equation. Siya ang unang nakahanap ng mga expression para sa cos n a at kasalanan n a , na kalaunan ay nakuha pa simpleng paraan mula sa formula ni De Moivre.

Kung sa mga formula dobleng argumento palitan ang a ng isang /2, maaari silang ma-convert sa kalahating anggulo na mga formula:

Pangkalahatang mga formula ng pagpapalit.

Gamit ang mga formula na ito, ang isang expression na kinasasangkutan ng iba't ibang trigonometriko function ng parehong argumento ay maaaring muling isulat bilang makatwirang pagpapahayag mula sa isang function tg (a / 2), ito ay kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang ilang mga equation:

Mga formula para sa pag-convert ng mga kabuuan sa mga produkto at mga produkto sa mga kabuuan.

Bago ang pagdating ng mga computer, ang mga formula na ito ay ginamit upang pasimplehin ang mga kalkulasyon. Ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang logarithmic table, at kalaunan - panuntunan ng slide, dahil Ang mga logarithms ay pinakaangkop para sa pagpaparami ng mga numero, kaya lahat ng orihinal na expression ay nabawasan sa isang form na maginhawa para sa logarithms, i.e. para sa mga gawa tulad ng:

2 kasalanan a kasalanan b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2 cos a cos b= cos( a-b) + cos ( a+b);

2 kasalanan a cos b= kasalanan ( a-b) + kasalanan ( a+b).

Ang mga formula para sa tangent at cotangent function ay maaaring makuha mula sa itaas.

Mga formula ng pagbabawas ng degree.

Mula sa mga formula ng maraming argumento, ang mga formula ay hinango:

kasalanan 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
kasalanan 3 a \u003d (3 kasalanan a - kasalanan 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4.

Gamit ang mga formula na ito trigonometriko equation maaaring bawasan sa mga equation mababang antas. Sa parehong paraan, ang mga formula ng pagbabawas para sa mas mataas na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring makuha.

Mga derivative at integral ng trigonometriko function
(kasalanan x)` = cos x;	(cos x)` = -kasalanan x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t kasalanan x dx= -cos x + C;	t cos x dx= kasalanan x + C;
t tg x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg x dx = ln|kasalanan x| + C;

Ang bawat trigonometriko function sa bawat punto ng domain ng kahulugan nito ay tuloy-tuloy at walang katapusan na naiba. Bukod dito, ang mga derivatives ng trigonometriko function ay trigonometric function, at kapag isinama, trigonometric function o ang kanilang mga logarithms ay nakuha din. Ang mga integral ng mga makatwirang kumbinasyon ng trigonometriko na pag-andar ay palaging elementarya na pag-andar.

Representasyon ng mga function ng trigonometriko sa anyo ng serye ng kapangyarihan at walang katapusang mga produkto.

Ang lahat ng trigonometriko function ay maaaring palawakin sa serye ng kapangyarihan. Sa kasong ito, ang mga function ay kasalanan x b cos x lumitaw sa mga hilera. convergent para sa lahat ng mga halaga x:

Ang mga seryeng ito ay maaaring gamitin upang makakuha ng tinatayang mga expression para sa kasalanan x at cos x para sa maliliit na halaga x:

sa | x| p/2;

sa 0x| p

(B n ay mga numero ng Bernoulli).

mga function ng kasalanan x at cos x ay maaaring katawanin bilang walang katapusang mga produkto:

Trigonometric system 1, cos x, kasalanan x, dahil 2 x, kasalanan 2 x, ¼, cos nx, kasalanan nx, ¼, mga form sa pagitan [– p, p] orthogonal system of functions, na ginagawang posible na kumatawan sa mga function sa anyo ng trigonometric series.

ay tinukoy bilang analytic na mga pagpapatuloy ng kaukulang trigonometriko function ng isang tunay na argumento sa kumplikadong eroplano. Oo, kasalanan z at cos z maaaring tukuyin gamit ang serye para sa kasalanan x at cos x, kung sa halip na x ilagay z:

Ang mga seryeng ito ay nagtatagpo sa buong eroplano, kaya kasalanan z at cos z ay mga buong function.

Ang tangent at cotangent ay tinutukoy ng mga formula:

tg function z at ctg z ay mga meromorphic function. Mga poste tg z at sec z ay simple (1st order) at matatagpuan sa mga punto z=p/2 + pn, mga poste ng ctg z at cosec z ay simple din at matatagpuan sa mga punto z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Ang lahat ng mga formula na may bisa para sa trigonometric function ng isang tunay na argumento ay may bisa din para sa isang kumplikado. Sa partikular,

kasalanan(- z) = -kasalanan z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

mga. kahit at kakaibang pagkakaparehas ay pinapanatili. Ang mga formula ay nai-save din

kasalanan( z + 2p) = kasalanan z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

mga. ang periodicity ay pinapanatili din, at ang mga panahon ay kapareho ng para sa mga function ng isang tunay na argumento.

Ang mga function na trigonometric ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isang exponential function ng isang puro haka-haka na argumento:

pabalik, e iz ipinahayag sa mga tuntunin ng cos z at kasalanan z ayon sa formula:

e iz= cos z + i kasalanan z

Ang mga formula na ito ay tinatawag na mga Euler formula. Ipinakilala sila ni Leonhard Euler noong 1743.

Ang mga function ng trigonometric ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng hyperbolic function:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

kung saan ang sh, ch at ika ay hyperbolic sine, cosine at tangent.

Trigonometric function ng kumplikadong argumento z = x + iy, saan x at y- tunay na mga numero, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng trigonometric at hyperbolic function ng mga tunay na argumento, halimbawa:

kasalanan( x+iy) = kasalanan x ch y + i cos x sh y;

kasi( x+iy) = cos x ch y + i kasalanan x sh y.

Ang sine at cosine ng isang kumplikadong argumento ay maaaring tumagal ng mga tunay na halaga na higit sa 1 sa ganap na halaga. Halimbawa:

Kung ang isang hindi kilalang anggulo ay pumasok sa equation bilang isang argumento ng trigonometriko function, kung gayon ang equation ay tinatawag na trigonometric. Ang ganitong mga equation ay karaniwan na ang kanilang mga pamamaraan ang mga solusyon ay napaka detalyado at maingat na idinisenyo. Sa tulong iba't ibang trick at mga formula, ang mga trigonometric equation ay binabawasan sa mga equation ng form f(x)= a, saan f- alinman sa pinakasimpleng trigonometric function: sine, cosine, tangent o cotangent. Pagkatapos ay ipahayag ang argumento x ang function na ito sa pamamagitan ng alam nitong halaga a.

Dahil ang trigonometriko function ay panaka-nakang, pareho a mula sa hanay ng mga halaga mayroong walang katapusang maraming mga halaga ng argumento, at ang solusyon ng equation ay hindi maaaring isulat bilang isang solong function ng a. Samakatuwid, sa domain ng kahulugan ng bawat isa sa mga pangunahing trigonometriko function, ang isang seksyon ay pinili kung saan kinukuha ang lahat ng mga halaga nito, ang bawat isa ay isang beses lamang, at isang function ay natagpuan na kabaligtaran dito sa seksyong ito. Ang mga naturang function ay itinalaga sa pamamagitan ng pag-attribute ng prefix arc (arc) sa pangalan orihinal na function, at tinatawag na inverse trigonometriko function o arc function lang.

Inverse trigonometriko function.

Para sa kasalanan X, cos X, tg X at ctg X maaaring tukuyin kabaligtaran na mga pag-andar. Ang mga ito ay itinalaga ayon sa pagkakabanggit arcsin X(basahin ang "arxine x"), arcos x, arctg x at arcctg x. Sa pamamagitan ng kahulugan, arcsin X may ganyang numero y, Ano

kasalanan sa = X.

Ang parehong ay totoo para sa iba pang mga inverse trigonometric function. Ngunit ang kahulugan na ito ay naghihirap mula sa ilang mga kamalian.

Kung masasalamin natin ang kasalanan X, cos X, tg X at ctg X na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong quadrants coordinate plane, pagkatapos ang mga pag-andar dahil sa kanilang periodicity ay nagiging hindi maliwanag: ang parehong sine (cosine, tangent, cotangent) ay tumutugma sa isang walang katapusang bilang ng mga anggulo.

Upang mapupuksa ang kalabuan, isang seksyon ng curve na may lapad ng p, habang kinakailangan na ang isa-sa-isang pagsusulatan ay obserbahan sa pagitan ng argumento at ang halaga ng function. Pinili ang mga lugar na malapit sa pinanggalingan. Para sa sinus habang ang "interval ng one-to-one" ay kinuha ang segment [- p/2, p/2], kung saan ang sine monotonically ay tumataas mula –1 hanggang 1, para sa cosine - ang segment , para sa tangent at cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ang mga pagitan (– p/2, p/2) at (0, p). Ang bawat kurba sa pagitan ay makikita tungkol sa bisector at ngayon ay maaari mong tukuyin ang mga inverse trigonometric function. Halimbawa, hayaang maibigay ang halaga ng argumento x 0 , na ang 0 J x 0 Ј 1. Pagkatapos ay ang halaga ng function y 0 = arcsin x 0 kalooban iisang kahulugan sa 0 , ganyan- p/2 J sa 0 Ј p/2 at x 0 = kasalanan y 0 .

Kaya, ang arcsine ay isang function ng arcsin a, tinukoy sa pagitan [–1, 1] at katumbas ng bawat isa a ganoong halaga a , - p/2 a p /2 na kasalanan a = a. Ito ay lubos na maginhawa upang katawanin ito gamit ang isang bilog na yunit (Larawan 15). Kapag | isang| 1 mayroong dalawang puntos sa bilog na may ordinate a, simetriko tungkol sa axis y. Isa na rito ang anggulo a= arcsin a, at ang isa ay ang anggulo p - a. Sa isinasaalang-alang ang periodicity ng solusyon ng sine mga equation ng kasalanan x= a ay nakasulat tulad ng sumusunod:

x =(–1)n arc kasalanan a + 2p n,

saan n= 0, ±1, ±2,...

Ang iba pang mga simpleng trigonometriko equation ay malulutas din:

cos x = a, –1 =a= 1;

x=±arcos a + 2p n,

saan P= 0, ±1, ±2,... (Larawan 16);

tg X = a;

x= arctg a + p n,

saan n = 0, ±1, ±2,... (Larawan 17);

ctg X= a;

X= arcctg a + p n,

saan n = 0, ±1, ±2,... (Larawan 18).

Ang mga pangunahing katangian ng inverse trigonometriko function:

arc kasalanan X(Larawan 19): ang domain ng kahulugan ay ang segment [–1, 1]; saklaw - [- p/2, p/2], isang monotonically pagtaas ng function;

arccos X(Larawan 20): ang domain ng kahulugan ay ang segment [–1, 1]; hanay ng mga halaga - ; monotonically nagpapababa ng function;

arctg X(Larawan 21): domain ng kahulugan - lahat ng tunay na numero; hanay ng mga halaga – pagitan (– p/2, p/2); monotonically pagtaas ng function; tuwid sa= –p/2 at y \u003d p / 2 - pahalang na asymptotes;

arcctg X(Larawan 22): domain ng kahulugan - lahat ng tunay na numero; hanay ng mga halaga - pagitan (0, p); monotonically nagpapababa ng function; tuwid y= 0 at y = p ay ang mga pahalang na asymptotes.

,

Para kahit kanino z = x+iy, saan x at y ay tunay na mga numero, may mga hindi pagkakapantay-pantay

½| e\ey–e-y| ≤|kasalanan z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

kung saan y® Ґ asymptotic formula ang sumusunod (pare-parehong may kinalaman sa x)

|kasalanan z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Ang mga function na trigonometric ay lumitaw sa unang pagkakataon na may kaugnayan sa pananaliksik sa astronomy at geometry. Ang mga ratio ng mga segment sa isang tatsulok at isang bilog, na mahalagang trigonometriko function, ay matatagpuan na sa ika-3 siglo. BC e. sa mga gawa ng mga mathematician ng Sinaunang Greece – Euclid, Archimedes, Apollonius ng Perga at iba pa, gayunpaman, ang mga ratio na ito ay hindi malayang bagay pag-aaral, upang ang mga trigonometriko na pag-andar tulad nito ay hindi nila pinag-aralan. Ang mga ito ay orihinal na isinasaalang-alang bilang mga segment at sa anyong ito ay ginamit ni Aristarchus (huli sa ika-4 - ika-2 kalahati ng ika-3 siglo BC), Hipparchus (ika-2 siglo BC), Menelaus (1st siglo AD). ) at Ptolemy (ika-2 siglo AD) noong paglutas ng spherical triangles. Inipon ni Ptolemy ang unang talahanayan ng mga chord para sa mga talamak na anggulo hanggang 30 "na may katumpakan na 10 -6. Ito ang unang talahanayan ng mga sine. Bilang isang ratio function ng kasalanan a ay matatagpuan na sa Aryabhata (huli ng ika-5 siglo). Ang mga function na tg a at ctg a ay matatagpuan sa al-Battani (ika-2 kalahati ng ika-9 - unang bahagi ng ika-10 siglo) at Abul-Vef (ika-10 siglo), na gumagamit din ng sec a at cosec a. Alam na ni Aryabhata ang formula (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, at gayundin mga formula ng kasalanan at cos kalahating anggulo, sa tulong ng kung saan siya ay nagtayo ng mga talahanayan ng mga sine para sa mga anggulo sa pamamagitan ng 3 ° 45 "; batay sa mga kilalang halaga ng mga function ng trigonometriko para sa pinakasimpleng mga argumento. Bhaskara (ika-12 siglo) ay nagbigay ng isang paraan para sa pagbuo ng mga talahanayan hanggang 1 gamit ang mga pormula ng karagdagan. Ang mga pormula para sa pag-convert ng kabuuan at pagkakaiba ng mga trigonometriko na pag-andar ng iba't ibang Mga Argumento sa produkto ay hinango nina Regiomontanus (ika-15 siglo) at J. Napier kaugnay ng pag-imbento ng mga huling logarithms (1614). Nagbigay si Regiomontanus ng talahanayan ng mga halaga ng sine hanggang 1 ". Ang pagpapalawak ng trigonometriko function sa serye ng kapangyarihan ay nakuha ni I. Newton (1669). AT modernong anyo ang teorya ng trigonometriko function ay ipinakilala ni L. Euler (ika-18 siglo). Siya ang nagmamay-ari ng kanilang kahulugan para sa tunay at kumplikadong mga argumento, ang simbolismong tinatanggap na ngayon, ang pagtatatag ng isang koneksyon sa exponential function at orthogonality ng sistema ng mga sine at cosine.

Sa artikulong ito, ipapakita namin kung paano mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo at numero sa trigonometry. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng mga talaan, magbigay mga graphic na ilustrasyon. Sa konklusyon, gumuhit kami ng parallel sa pagitan ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent sa trigonometry at geometry.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent

Sundin natin kung paano nabuo ang konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent kurso sa paaralan matematika. Sa mga aralin sa geometry, ibinibigay ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. At kalaunan ay pinag-aralan ang trigonometrya, na tumutukoy sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot at ang numero. Ibinibigay namin ang lahat ng mga kahulugang ito, nagbibigay ng mga halimbawa at nagbibigay ng mga kinakailangang komento.

Talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok

Mula sa kurso ng geometry, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay kilala. Ang mga ito ay ibinibigay bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ipinakita namin ang kanilang mga pormulasyon.

Kahulugan.

Sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Cosine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa katabing binti.

Kahulugan.

Cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa tapat na binti.

Ang notasyon ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ipinakilala din doon - sin, cos, tg at ctg, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, kung ang ABC ay isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, kung gayon ang sine ng talamak na anggulo A ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti BC sa hypotenuse AB, iyon ay, sin∠A=BC/AB.

Ang mga kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang matinding anggulo mula sa kilalang haba ng mga gilid ng isang right triangle, pati na rin mula sa kilalang halaga sine, cosine, tangent, cotangent at ang haba ng isa sa mga gilid upang mahanap ang mga haba ng iba pang mga panig. Halimbawa, kung alam natin na sa isang right triangle ang leg AC ay 3 at ang hypotenuse AB ay 7 , pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang cosine ng acute angle A sa pamamagitan ng kahulugan: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Anggulo ng pag-ikot

Sa trigonometrya, sinimulan nilang tingnan ang anggulo nang mas malawak - ipinakilala nila ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot. Ang anggulo ng pag-ikot, hindi tulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado ng mga frame mula 0 hanggang 90 degrees, ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree (at sa radians) ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na numero mula −∞ hanggang +∞.

Sa ganitong liwanag, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay hindi na isang matinding anggulo, ngunit isang anggulo ng di-makatwirang magnitude - ang anggulo ng pag-ikot. Ang mga ito ay ibinibigay sa pamamagitan ng x at y na mga coordinate ng point A 1 , kung saan ang tinatawag na initial point A(1, 0) ay dumadaan pagkatapos itong umikot sa isang anggulo α sa paligid ng point O - ang simula ng isang rectangular Cartesian coordinate system at ang gitna ng bilog na yunit.

Kahulugan.

Sine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ordinate ng point A 1 , iyon ay, sinα=y .

Kahulugan.

cosine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay tinatawag na abscissa ng punto A 1 , iyon ay, cosα=x .

Kahulugan.

Tangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 sa abscissa nito, iyon ay, tgα=y/x .

Kahulugan.

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 sa ordinate nito, iyon ay, ctgα=x/y .

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo α, dahil palagi nating matutukoy ang abscissa at ordinate ng punto, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng anggulong α. At ang tangent at cotangent ay hindi tinukoy para sa anumang anggulo. Ang tangent ay hindi tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang paunang punto ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) o (0, −1) , at ito ay nagaganap sa mga anggulo na 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Sa katunayan, sa ganitong mga anggulo ng pag-ikot, ang expression na tgα=y/x ay hindi makatuwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Tulad ng para sa cotangent, hindi ito tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa isang punto na may zero ordinate (1, 0) o (−1, 0) , at ito ang kaso para sa mga anggulo 180° k , k ∈Z (π k rad).

Kaya, ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo ng pag-ikot, ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), at ang cotangent ay para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Ang mga notasyong kilala na natin ay lumilitaw sa mga kahulugang sin, cos, tg at ctg, ginagamit din ang mga ito upang tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot (kung minsan ay makikita mo ang notasyong tan at cot na tumutugon sa tangent at cotangent). Kaya ang sine ng anggulo ng pag-ikot na 30 degrees ay maaaring isulat bilang sin30°, ang mga tala tg(−24°17′) at ctgα ay tumutugma sa tangent ng anggulo ng pag-ikot −24 degrees 17 minuto at ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α . Alalahanin na kapag isinusulat ang radian na sukat ng isang anggulo, ang notasyong "rad" ay madalas na tinanggal. Halimbawa, ang cosine ng isang anggulo ng pag-ikot ng tatlong pi rad ay karaniwang tinutukoy na cos3 π .

Sa pagtatapos ng talatang ito, nararapat na tandaan na sa pag-uusap tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot, ang pariralang "anggulo ng pag-ikot" o ang salitang "pag-ikot" ay madalas na tinanggal. Iyon ay, sa halip na ang pariralang "sine ng anggulo ng pag-ikot alpha", ang pariralang "sine ng anggulo ng alpha" ay karaniwang ginagamit, o kahit na mas maikli - "sine ng alpha". Ang parehong naaangkop sa cosine, at tangent, at cotangent.

Sabihin din natin na ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay pare-pareho sa mga kahulugan na ibinigay para sa sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang rotation angle mula 0 hanggang 90 degrees. Papatunayan natin ito.

Numero

Kahulugan.

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero Ang t ay isang numerong katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot sa t radians, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang cosine ng 8 π ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang numero na katumbas ng cosine ng isang anggulo ng 8 π rad. At ang cosine ng anggulo ay 8 π rad katumbas ng isa, samakatuwid, ang cosine ng numerong 8 π ay katumbas ng 1 .

May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Binubuo ito sa katotohanan na ang bawat tunay na numero t ay nauugnay sa isang punto ng bilog ng yunit na may sentro sa simula hugis-parihaba na sistema coordinates, at ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinukoy sa mga tuntunin ng mga coordinate ng puntong ito. Pag-isipan natin ito nang mas detalyado.

Ipakita natin kung paano naitatag ang pagsusulatan sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto ng bilog:

• ang numero 0 ay itinalaga ang panimulang punto A(1, 0) ;
• positibong numero ang t ay itinalaga sa punto ng unit circle, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa counterclockwise na direksyon at pumunta tayo sa daan haba t;
• negatibong numero t ay tumutugma sa isang punto sa bilog ng yunit, na maaabot natin kung lilipat tayo sa paligid ng bilog mula sa panimulang punto sa direksyong pakanan at dadaan sa landas na may haba |t| .

Ngayon ay lumipat tayo sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng numerong t. Ipagpalagay natin na ang numerong t ay tumutugma sa isang punto ng bilog na A 1 (x, y) (halimbawa, ang numerong &pi/2; ay tumutugma sa puntong A 1 (0, 1) ).

Kahulugan.

Ang sine ng isang numero t ay ang ordinate ng unit circle point na tumutugma sa numerong t , iyon ay, sint=y .

Kahulugan.

Ang cosine ng isang numero Ang t ay tinatawag na abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numerong t , iyon ay, cost=x .

Kahulugan.

Tangent ng isang numero t ay ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na tumutugma sa numerong t, iyon ay, tgt=y/x. Sa isa pang katumbas na pagbabalangkas, ang tangent ng numerong t ay ang ratio ng sine ng numerong ito sa cosine, iyon ay, tgt=sint/cost .

Kahulugan.

Cotangent ng isang numero Ang t ay ang ratio ng abscissa sa ordinate ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, ctgt=x/y. Ang isa pang pagbabalangkas ay ang mga sumusunod: ang padaplis ng numerong t ay ang ratio ng cosine ng numerong t sa sine ng numerong t : ctgt=cost/sint .

Dito ay napapansin namin na ang mga kahulugan na ibinigay ay sumasang-ayon sa kahulugan na ibinigay sa simula ng subsection na ito. Sa katunayan, ang punto ng bilog na yunit na tumutugma sa numerong t ay tumutugma sa puntong nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa isang anggulo ng t radian.

Ito rin ay nagkakahalaga ng paglilinaw sa puntong ito. Sabihin na nating may sin3 entry tayo. Paano maiintindihan kung ang sine ng numero 3 o ang sine ng anggulo ng pag-ikot ng 3 radian ay pinag-uusapan? Karaniwan itong malinaw mula sa konteksto, kung hindi, malamang na hindi ito mahalaga.

Trigonometric function ng angular at numerical argument

Ayon sa mga kahulugang ibinigay sa nakaraang talata, ang bawat anggulo ng pag-ikot α ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga sin α , pati na rin ang halaga cos α . Bilang karagdagan, ang lahat ng mga anggulo ng pag-ikot maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ay tumutugma sa mga value na tgα , at maliban sa 180° k , k∈Z (π k rad ) ay ang mga halaga ng ctgα . Samakatuwid ang sinα, cosα, tgα at ctgα ay mga pag-andar ng anggulo α. Sa madaling salita, ito ay mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga function na sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numerical argument. Sa katunayan, ang bawat tunay na numero t ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sint , pati na rin ang gastos . Bilang karagdagan, ang lahat ng mga numero maliban sa π/2+π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value tgt , at ang mga numerong π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value na ctgt .

Tinatawag ang mga function na sine, cosine, tangent at cotangent pangunahing mga function ng trigonometriko.

Karaniwang malinaw mula sa konteksto na tayo ay nakikitungo sa mga trigonometriko na pag-andar ng isang angular na argumento o isang numerical na argumento. Kung hindi, maaari nating isaalang-alang ang independiyenteng variable bilang isang sukatan ng anggulo ( angular na argumento), pati na rin ang isang numeric na argumento.

Gayunpaman, ang paaralan ay pangunahing nag-aaral mga function ng numero, iyon ay, mga function na ang mga argumento, pati na rin ang kanilang mga katumbas na halaga ng function, ay mga numero. Samakatuwid, kung nag-uusap kami partikular tungkol sa mga function, ito ay nararapat na isaalang-alang ang trigonometriko function bilang mga function ng numerical arguments.

Koneksyon ng mga kahulugan mula sa geometry at trigonometry

Kung isasaalang-alang natin ang anggulo ng pag-ikot α mula 0 hanggang 90 degrees, kung gayon ang data sa konteksto ng trigonometrya ng kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot ay ganap na naaayon sa mga kahulugan ng sine, cosine , tangent at cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok, na ibinibigay sa kursong geometry. Patunayan natin ito.

Gumuhit ng unit circle sa rectangular Cartesian coordinate system na Oxy. Tandaan ang panimulang punto A(1, 0) . Iikot natin ito sa pamamagitan ng isang anggulo α mula 0 hanggang 90 degrees, makuha natin ang puntong A 1 (x, y) . Ibagsak natin ang patayo A 1 H mula sa puntong A 1 patungo sa axis ng Ox.

Madaling makita na sa isang kanang tatsulok ang anggulo A 1 OH ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti OH na katabi ng anggulong ito ay katumbas ng abscissa ng punto A 1, iyon ay, |OH |=x, ang haba ng binti A 1 H sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng punto A 1 , ibig sabihin, |A 1 H|=y , at ang haba ng hypotenuse OA 1 ay katumbas ng isa , dahil ito ang radius ng unit circle. Pagkatapos, ayon sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng isang matinding anggulo α sa isang tamang tatsulok A 1 OH ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, iyon ay, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . At sa pamamagitan ng kahulugan mula sa trigonometrya, ang sine ng anggulo ng pag-ikot α ay katumbas ng ordinate ng punto A 1, iyon ay, sinα=y. Ipinapakita nito na ang kahulugan ng sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α para sa α mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, maipapakita na ang mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng isang matinding anggulo α ay pare-pareho sa mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng anggulo ng pag-ikot α.

Bibliograpiya.

1. Geometry. 7-9 baitang: pag-aaral. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev at iba pa]. - ika-20 ed. M.: Edukasyon, 2010. - 384 p.: may sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometry: Proc. para sa 7-9 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Enlightenment, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra at elementarya na pag-andar : Pagtuturo para sa mga mag-aaral sa ika-9 na baitang mataas na paaralan/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; In-edit ni Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin. - 4th ed. Moscow: Edukasyon, 1969.
4. Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. Sa 2 p. Ch. 1: isang tutorial para sa institusyong pang-edukasyon (antas ng profile)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra at magsimula pagsusuri sa matematika. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - I .: Edukasyon, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Mga Kahulugan

Ang mga kahulugan ng trigonometric function ay ibinibigay sa tulong ng isang trigonometric na bilog, na nauunawaan bilang isang bilog ng unit radius na nakasentro sa pinanggalingan.

Isaalang-alang ang dalawang radii ng bilog na ito: naayos (nasaan ang punto) at nagagalaw (nasaan ang punto). Hayaan ang movable radius na bumuo ng isang anggulo sa nakapirming isa.

Ang bilang na katumbas ng ordinate ng dulo ng unit radius na bumubuo ng isang anggulo na may fixed radius ay tinatawag sine ng anggulo : .

Ang bilang na katumbas ng abscissa ng dulo ng unit radius na bumubuo ng isang anggulo na may nakapirming radius ay tinatawag cosine ng anggulo : .

Kaya, ang punto na ang dulo ng movable radius na bumubuo sa sulok ay may mga coordinate.

Tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulong ito sa cosine nito: , .

cotangent ng isang anggulo ay ang ratio ng cosine ng anggulong ito sa sine nito: , .

Geometric na kahulugan ng trigonometriko function

Ang geometric na kahulugan ng sine at cosine sa isang trigonometric na bilog ay malinaw mula sa kahulugan: ito ang abscissa at ordinates ng intersection point ng movable radius, na gumagawa ng isang anggulo na may nakapirming radius, at ang trigonometric na bilog. I.e, .

Isaalang-alang ngayon ang geometric na kahulugan ng tangent at cotangent. Ang mga tatsulok ay magkatulad sa tatlong anggulo (,), pagkatapos ay ang kaugnayan ay humahawak. Sa kabilang banda, sa, samakatuwid.

Katulad din sa tatlong sulok (,), pagkatapos ay humahawak ang kaugnayan. Sa kabilang banda, sa, samakatuwid.

Isinasaalang-alang ang geometric na kahulugan ng tangent at cotangent, ang konsepto ng axis ng tangents at ang axis ng cotangents ay ipinakilala.

Ang mga ax ng tangents ay tinatawag na axes, ang isa sa mga ito ay humipo sa trigonometriko na bilog sa isang punto at nakadirekta pataas, ang pangalawa ay humipo sa bilog sa isang punto at nakadirekta pababa.

Ang mga cotangent axes ay tinatawag na mga axes, ang isa sa mga ito ay humahawak sa trigonometric na bilog sa isang punto at nakadirekta sa kanan, ang pangalawa ay nakadikit sa bilog sa isang punto at nakadirekta sa kaliwa.

Mga katangian ng trigonometriko function

Isaalang-alang natin ang ilang mga pangunahing katangian ng trigonometriko function. Ang iba pang mga katangian ay tatalakayin sa seksyon sa mga graph ng trigonometriko function.

Saklaw at hanay ng mga halaga

Tulad ng nabanggit kanina, ang sine at cosine ay umiiral para sa anumang mga anggulo, i.e. ang domain ng kahulugan ng mga function na ito ay ang set tunay na mga numero. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang tangent ay hindi umiiral para sa mga anggulo, ngunit ang cotangent para sa mga anggulo, .

Dahil ang sine at cosine ay ang ordinate at abscissa ng isang punto sa isang trigonometric na bilog, ang kanilang mga halaga ay nasa pagitan. Ang lugar ng halaga ng tangent at cotangent ay ang hanay ng mga tunay na numero (madaling makita ito sa pamamagitan ng pagtingin sa mga axes ng tangents at cotangents).

Kahit/Kakatwa

Isaalang-alang ang trigonometric function ng dalawang anggulo (na tumutugma sa movable radius) at (na tumutugma sa movable radius). Simula noon, ang punto ay may mga coordinate. Samakatuwid, i.e. sine - kakaibang pag-andar; , ibig sabihin. ang cosine ay isang pantay na function; , ibig sabihin. ang padaplis ay kakaiba; , ibig sabihin. kakaiba din ang cotangent.

Mga agwat ng tuluy-tuloy

Mga palatandaan ng trigonometriko function para sa iba't-ibang coordinate quarters sundin mula sa kahulugan ng mga function na ito. Tandaan na dahil ang tangent at cotangent ay mga ratio ng sine at cosine, positibo sila kapag ang sine at cosine ng isang anggulo ay magkatulad na mga palatandaan at negatibo kapag naiiba.

Periodicity

Ang periodicity ng sine at cosine ay batay sa katotohanan na ang mga anggulo na naiiba sa pamamagitan ng isang integer buong rebolusyon, tumutugma sa pareho Kaugnay na posisyon gumagalaw at nakapirming beam. Alinsunod dito, ang mga coordinate ng punto ng intersection ng gumagalaw na sinag at ang trigonometric na bilog ay magiging pareho para sa mga anggulo na naiiba sa isang integer na bilang ng mga kumpletong rebolusyon. Kaya ang panahon ng sine at cosine ay at kung saan.

Malinaw, iyon din ang panahon para sa tangent at cotangent. Ngunit mayroon bang mas maliit na panahon para sa mga function na ito? Pinatunayan namin na ang pinakamaliit na panahon para sa tangent at cotangent ay.

Isaalang-alang ang dalawang anggulo at. Op geometric na kahulugan padaplis at cotangent, . Ang mga tatsulok ay pantay sa gilid at ang mga anggulo na katabi nito at, samakatuwid, ang kanilang mga panig ay pantay din, na nangangahulugang at. Katulad nito, ang isa ay maaaring patunayan kung saan. Kaya, ang panahon ng tangent at cotangent ay.

Trigonometric function ng mga pangunahing anggulo

Mga formula ng trigonometrya

Para sa matagumpay na solusyon mga problema sa trigonometriko kailangang magkaroon ng maramihan mga formula ng trigonometriko. Gayunpaman, hindi na kailangang isaulo ang lahat ng mga formula. Kailangan mong malaman sa puso ang mga pinakapangunahing mga, at kailangan mong ma-deduce ang iba pang mga formula kung kinakailangan.

Pangunahin trigonometriko pagkakakilanlan at mga kahihinatnan mula rito

Lahat ng trigonometriko function di-makatwirang anggulo magkakaugnay, i.e. alam ang isang function, palagi mong mahahanap ang iba. Ang koneksyon na ito ay ibinibigay ng mga formula na isinasaalang-alang sa seksyong ito.

Theorem 1 (Basic na trigonometric identity). Para sa alinman, ang pagkakakilanlan

Ang patunay ay binubuo sa paglalapat ng Pythagorean theorem para sa isang right triangle na may mga binti at hypotenuse.

Ang isang mas pangkalahatang teorama ay totoo rin.

Teorama 2. Upang ang dalawang numero ay kunin bilang cosine at sine ng parehong tunay na anggulo, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng isa:

Isaalang-alang ang mga kahihinatnan ng pangunahing trigonometric identity.

Ipahayag natin ang sine sa mga tuntunin ng cosine at cosine sa mga tuntunin ng sine:

Sa mga formula na ito, ang plus o minus sign sa harap ng ugat ay pinili depende sa quarter kung saan ang anggulo ay namamalagi.

Ang pagpapalit ng mga formula na nakuha sa itaas sa mga formula na tumutukoy sa tangent at cotangent, nakukuha natin:

Ang paghahati sa pangunahing termino ng pagkakakilanlan ng trigonometric sa pamamagitan ng termino ng o nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit:

Ang mga ratio na ito ay maaaring muling isulat bilang:

Ang mga sumusunod na formula ay nagbibigay ng ugnayan sa pagitan ng tangent at cotangent. Mula noong, at kailan, nangyari ang pagkakapantay-pantay:

Mga formula ng cast

Sa tulong ng mga pormula ng pagbabawas, maaaring ipahayag ng isa ang mga halaga ng mga trigonometriko na pag-andar ng mga di-makatwirang anggulo sa mga tuntunin ng mga halaga ng mga pag-andar ng isang talamak na anggulo. Ang lahat ng mga formula ng pagbabawas ay maaaring gawing pangkalahatan gamit ang sumusunod na panuntunan.

Anumang trigonometriko function ng anggulo, sa absolute value, ay katumbas ng parehong function ng anggulo, kung ang numero ay even, at ang co-function ng anggulo, kung ang numero ay kakaiba. Bukod dito, kung ang pag-andar ng anggulo ay positibo, kapag ang isang talamak na positibong anggulo, kung gayon ang mga palatandaan ng parehong mga pag-andar ay pareho, kung negatibo, kung gayon sila ay magkaiba.

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo

Teorama 3 . Para sa anumang tunay at ang mga sumusunod na formula ay totoo:

Ang patunay ng natitirang mga formula ay batay sa mga formula para sa pagbabawas at kahit/kakaiba para sa trigonometriko function.

Q.E.D.

Teorama 4. Para sa anumang tunay at ganoon

1. , ang mga sumusunod na formula ay wasto

2. , wasto ang mga sumusunod na formula

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng tangent

Ang huling pagbabago ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator ng fraction na ito.

Katulad din para sa cotangent (ang numerator at denominator sa kasong ito ay hinati ng):

Q.E.D.

Dapat bigyan ng pansin ang katotohanan na ang kanan at kaliwang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay ay mayroon iba't ibang lugar pinahihintulutang halaga. Samakatuwid, ang paggamit ng mga formula na ito nang walang mga paghihigpit sa posibleng mga halaga ang mga sulok ay maaaring humantong sa mga maling resulta.

Mga formula ng doble at kalahating anggulo

Mga pormula dobleng anggulo ay nagbibigay-daan sa amin na ipahayag ang trigonometriko function ng isang arbitrary na anggulo sa mga tuntunin ng mga function ng isang anggulo kalahati ng orihinal. Ang mga formula na ito ay mga kahihinatnan ng mga formula para sa kabuuan ng dalawang anggulo, kung ilalagay natin ang mga anggulo sa kanila na katumbas ng bawat isa.

Ang huling formula ay maaaring mabago gamit ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan:

Kaya, para sa cosine ng isang dobleng anggulo, mayroong tatlong mga formula:

Dapat ito ay nabanggit na ibinigay na pormula balido lamang kapag

Ang huling formula ay wasto para sa, .

Katulad ng mga function ng double angle, maaaring makuha ang mga function ng triple angle. Narito ang mga formula na ito ay ibinigay nang walang patunay:

Ang mga half-angle formula ay mga kahihinatnan ng mga double-angle na formula at nagbibigay-daan sa iyong ipahayag ang trigonometric function ng isang partikular na anggulo sa mga tuntunin ng mga function ng isang anggulo nang dalawang beses sa orihinal.

1. Trigonometric function ay elementarya function na ang argumento ay iniksyon. Sa tulong ng mga function ng trigonometriko, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at matutulis na sulok sa isang tamang tatsulok. Ang mga lugar ng aplikasyon ng trigonometriko function ay lubhang magkakaibang. Kaya, halimbawa, ang anumang mga pana-panahong proseso ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga function ng trigonometriko (Fourier series). Madalas na lumilitaw ang mga function na ito kapag nilulutas ang mga differential at functional equation.

2. Kasama sa mga trigonometric function ang sumusunod na 6 na function: sinus, cosine, padaplis,cotangent, secant at cosecant. Para sa bawat isa sa mga tinukoy na function mayroong kabaligtaran na trigonometric function.

3. Geometric na kahulugan trigonometriko function ay maginhawang ipinakilala gamit bilog na yunit. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang bilog na may radius r=1. Ang puntong M(x,y) ay minarkahan sa bilog. Ang anggulo sa pagitan ng radius vector OM at ang positibong direksyon ng Ox axis ay α.

4. sinus ang anggulo α ay ang ratio ng ordinate y ng punto M(x,y) sa radius r:
sinα=y/r.
Dahil r=1, kung gayon ang sine ay katumbas ng ordinate ng puntong M(x,y).

5. cosine ang anggulo α ay ang ratio ng abscissa x ng punto M(x,y) sa radius r:
cosα=x/r

6. padaplis ang anggulo α ay ang ratio ng ordinate y ng punto M(x,y) sa abscissa x nito:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangent ang anggulo α ay ang ratio ng abscissa x ng punto M(x,y) sa kanyang ordinate y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secant Ang anggulo α ay ang ratio ng radius r sa abscissa x ng punto M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecant ang anggulo α ay ang ratio ng radius r sa ordinate y ng punto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Sa unit circle, ang mga projection x, y ng mga puntos na M(x,y) at ang radius r ay bumubuo ng isang right triangle, sa aling x,y ay mga binti, at ang r ay ang hypotenuse. Samakatuwid, ang mga kahulugan sa itaas ng trigonometric function bilang inilapat sa kanang tatsulok ay nabuo sa ganitong paraan:
sinus Ang anggulo α ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse.
cosine Ang anggulo α ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
padaplis Ang anggulo α ay tinatawag na kabaligtaran na binti sa katabi.
Cotangent Ang anggulo α ay tinatawag na katabing binti sa tapat.
Secant ang anggulo α ay ang ratio ng hypotenuse sa katabing binti.
Cosecant Ang anggulo α ay ang ratio ng hypotenuse sa tapat na binti.

11. graph ng function ng sine
y=sinx, domain: x∈R, domain: −1≤sinx≤1

12. Graph ng cosine function
y=cosx, domain: x∈R, range: −1≤cosx≤1

13. tangent function graph
y=tanx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domain: −∞

14. Graph ng cotangent function
y=cotx, domain: x∈R,x≠kπ, domain: −∞

15. Graph ng secant function
y=secx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domain: secx∈(−∞,−1]∪∪)