លក្ខណៈសម្បត្តិប្រភាគមិនមែនជាការរំភើប និងមិនមែនជាផ្លែផ្កានៃការស្រមើស្រមៃទំនេររបស់អ្នកគណិតវិទូនោះទេ។ តាមរយៈការសិក្សាពួកគេ យើងរៀនបែងចែក និងទស្សន៍ទាយ លក្ខណៈសំខាន់ៗវត្ថុ និងបាតុភូតជុំវិញយើង ដែលពីមុនបើមិនអើពើទាំងស្រុង ត្រូវបានគេប៉ាន់ប្រមាណត្រឹមតែជាលក្ខណៈគុណភាពដោយភ្នែកប៉ុណ្ណោះ។ ជាឧទាហរណ៍ ដោយការប្រៀបធៀបទំហំប្រភាគនៃសញ្ញាស្មុគ្រស្មាញ ខួរក្បាល ឬការរអ៊ូរទាំបេះដូង គ្រូពេទ្យអាចធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យជំងឺធ្ងន់ធ្ងរមួយចំនួននៅដំណាក់កាលដំបូង នៅពេលដែលអ្នកជំងឺនៅតែអាចជួយបាន។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, អ្នកវិភាគ, ការប្រៀបធៀបឥរិយាបថមុននៃតម្លៃ, នៅដើមដំបូងនៃការបង្កើតគំរូនេះអាចព្យាករណ៍ពីការអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតរបស់ខ្លួន, ដោយហេតុនេះជៀសវាងកំហុសសរុបនៅក្នុងការព្យាករ។

ភាពមិនទៀងទាត់នៃ fractal

ទ្រព្យសម្បត្តិដំបូងនៃ fractal គឺភាពមិនទៀងទាត់របស់ពួកគេ។ ប្រសិនបើ fractal ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ នោះទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពមិនទៀងទាត់នៅក្នុងពាក្យគណិតវិទ្យានឹងមានន័យថាមុខងារបែបនេះមិនមានភាពខុសប្លែកគ្នានោះទេ ពោលគឺមិនរលូននៅចំណុចណាមួយ។ តាមពិតទៅ វាមានទំនាក់ទំនងផ្ទាល់បំផុតទៅនឹងទីផ្សារ។ ការប្រែប្រួលតម្លៃជួនកាលប្រែប្រួលខ្លាំង និងអាចផ្លាស់ប្តូរបាន ដែលវាធ្វើឱ្យឈ្មួញជាច្រើនមានការភ័ន្តច្រឡំ។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺដើម្បីដោះស្រាយភាពវឹកវរទាំងអស់នេះហើយនាំវាទៅតាមលំដាប់។

តើអ្នកដឹងទេថា:ពូជដ៏ធំទូលាយបែបនេះ ឱកាសវិនិយោគដែល Alpari ផ្ដល់ឱ្យ គ្មានឈ្មួញកណ្តាល Forex ផ្សេងទៀតអាចមានអំនួតតាមរយៈ។

ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractal

ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនិយាយថា fractal គឺជាវត្ថុដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នា។ នេះគឺជាគំរូដែលបង្កើតឡើងវិញ ដែលផ្នែកនីមួយៗដែលកើតឡើងម្តងទៀតនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា ការអភិវឌ្ឍន៍នៃគំរូទាំងមូលទាំងមូល ហើយត្រូវបានផលិតឡើងវិញតាមមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចមើលឃើញ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការផ្លាស់ប្តូរនៅតែកើតមានឡើង ដែលអាចប៉ះពាល់ដល់ការយល់ឃើញរបស់យើងយ៉ាងខ្លាំងចំពោះវត្ថុ។

ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងមានន័យថាវត្ថុមិនមានមាត្រដ្ឋានលក្ខណៈទេ៖ ប្រសិនបើវាមានមាត្រដ្ឋានបែបនេះ អ្នកនឹងបែងចែកការចម្លងធំនៃបំណែកពីរូបភាពដើមភ្លាមៗ។ វត្ថុ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​ដោយ​ខ្លួន​ឯង​មាន​ចំនួន​មាត្រដ្ឋាន​គ្មាន​កំណត់​សម្រាប់​គ្រប់​រសជាតិ។ ខ្លឹមសារនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានពន្យល់នៅក្នុង ឧទាហរណ៍បន្ទាប់. ស្រមៃថាអ្នកមានរូបភាពនៃបន្ទាត់ធរណីមាត្រ "ពិតប្រាកដ" "ប្រវែងគ្មានទទឹង" ដូចដែល Euclid បានកំណត់បន្ទាត់ ហើយអ្នកកំពុងលេងជាមួយមិត្តម្នាក់ ដោយព្យាយាមទាយថាតើគាត់បង្ហាញអ្នកនូវរូបភាពដើម (ដើម) ឬរូបភាព នៃបំណែកនៃបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយ។ មិនថាអ្នកខំប្រឹងយ៉ាងណា អ្នកនឹងមិនអាចបែងចែកដើមពីការពង្រីកនៃបំណែកបានទេ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបដូចគ្នានៅគ្រប់ផ្នែករបស់វា វាស្រដៀងនឹងខ្លួនវា ប៉ុន្តែទ្រព្យសម្បត្តិដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់របស់វា វាត្រូវបានលាក់ដោយរចនាសម្ព័ន្ធមិនស្មុគ្រស្មាញនៃបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនវា "ភាពត្រង់" របស់វា (រូបភាពទី 7) ។

ប្រសិនបើអ្នកក៏មិនអាចបែងចែករូបថតនៃវត្ថុមួយចំនួនពីរូបថតដែលពង្រីកបានត្រឹមត្រូវនៃបំណែកណាមួយរបស់វានោះ អ្នកមានវត្ថុស្រដៀងនឹងខ្លួនឯង។ ប្រភាគទាំងអស់ដែលមានយ៉ាងហោចណាស់ស៊ីមេទ្រីខ្លះគឺស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ហើយនេះមានន័យថាបំណែកខ្លះនៃរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ពួកគេត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់។ ជាក់ស្តែង វត្ថុទាំងនេះអាចមានលក្ខណៈធម្មជាតិណាមួយ ហើយរូបរាង និងរូបរាងរបស់វានៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរដោយមិនគិតពីមាត្រដ្ឋាន។ ឧទាហរណ៍នៃ fractal ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង៖

ក្នុងផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុ គំនិតនេះមិនមែនជាការអរូបីដែលគ្មានមូលដ្ឋានទេ ប៉ុន្តែជាការបញ្ជាក់ឡើងវិញតាមទ្រឹស្តីនៃទីផ្សារជាក់ស្តែងដែលនិយាយថា ចលនានៃភាគហ៊ុន ឬរូបិយប័ណ្ណគឺស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង ដោយមិនគិតពីពេលវេលា និងតម្លៃ។ អ្នកសង្កេតការណ៍មិនអាចប្រាប់បានទេ។ រូបរាងក្រាហ្វមិនថាទិន្នន័យសំដៅទៅលើការផ្លាស់ប្តូរប្រចាំសប្តាហ៍ ប្រចាំថ្ងៃ ឬម៉ោងនោះទេ។

ជាការពិតណាស់ មិនមែន fractal ទាំងអស់មានរចនាសម្ព័ន្ធដដែលៗឥតឈប់ឈរបែបនេះទេ ដូចជាការតាំងពិពណ៌ដ៏អស្ចារ្យនៃសារមន្ទីរសិល្បៈ fractal នាពេលអនាគត ដែលកើតចេញពីការស្រមើលស្រមៃរបស់គណិតវិទូ និងវិចិត្រករ។ fractal ជាច្រើនដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងធម្មជាតិ (ផ្ទៃកំហុស ថ្មនិងលោហធាតុ, ពពក, សម្រង់រូបិយប័ណ្ណ, លំហូរច្របូកច្របល់, ពពុះ, ជែល, វណ្ឌវង្កនៃភាគល្អិតនៃម្សៅ។ Fractals ដែលមានទម្រង់មិនលីនេអ៊ែរនៃការអភិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយ Mandelbrot ថាជាពហុហ្វ្រេទិក។ ពហុហ្វ្រេទិកគឺជាវត្ថុពាក់កណ្តាលប្រភាគដែលមានវិមាត្រប្រភាគអថេរ។ តាមធម្មជាតិ វត្ថុ និងដំណើរការពិតត្រូវបានពិពណ៌នាដោយពហុហ្វ្រេទិក។

ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងតាមស្ថិតិ ឬភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងជាមធ្យម បែងចែក fractal ក្នុងចំណោមសំណុំ វត្ថុធម្មជាតិ.

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេស៖

នៅក្នុងតួលេខទាំងនេះ យើងឃើញថាពួកវាស្រដៀងគ្នា ខណៈពេលដែលមានមាត្រដ្ឋានពេលវេលាខុសគ្នានៅក្នុងរូបភព។ និងមាត្រដ្ឋាន 15 នាទីនៅក្នុងរូបភព។ b មាត្រដ្ឋានតម្លៃប្រចាំសប្តាហ៍។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ សម្រង់ទាំងនេះមិនមានសមត្ថភាពក្នុងការនិយាយឡើងវិញបានល្អឥតខ្ចោះនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងអាចចាត់ទុកវាស្រដៀងគ្នា។

សូម្បីតែ fractal សាមញ្ញបំផុត - ធរណីមាត្រដែលស្រដៀងនឹង fractal ដោយខ្លួនឯង - មានលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតា។ ជាឧទាហរណ៍ ផ្កាព្រិលវ៉ន កុច មានបរិមាត្រនៃប្រវែងគ្មានកំណត់ ទោះបីជាវាកំណត់តំបន់កំណត់ក៏ដោយ (រូបភាពទី 9) ។ លើសពីនេះ វាមានភាពច្របូកច្របល់ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់ទៅវានៅចំនុចណាមួយនៃវណ្ឌវង្ក (គណិតវិទូម្នាក់នឹងនិយាយថា ផ្កាព្រិលវ៉ន កុច មិនអាចបែងចែកបានឡើយ ពោលគឺមិនរលោងនៅចំណុចណាមួយឡើយ)។

Mandelbrot បានរកឃើញថាលទ្ធផលនៃការវាស់វែងប្រភាគនៅតែថេរសម្រាប់កម្រិតផ្សេងៗនៃការពង្រឹងភាពមិនទៀងទាត់របស់វត្ថុ។ ម្យ៉ាងទៀត មានភាពទៀងទាត់ (ភាពត្រឹមត្រូវ សណ្តាប់ធ្នាប់) សម្រាប់ភាពមិនប្រក្រតីណាមួយ។ នៅពេលដែលយើងចាត់ទុកអ្វីមួយជាការចៃដន្យ វាបង្ហាញថាយើងមិនយល់ពីធម្មជាតិនៃចៃដន្យនេះទេ។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទីផ្សារ នេះមានន័យថា ការបង្កើតទម្រង់ធម្មតាដូចគ្នា ត្រូវតែកើតឡើងក្នុងពេលវេលាខុសៗគ្នា។ គំនូសតាងមួយនាទីនឹងពណ៌នាអំពីការបង្កើតប្រភាគតាមរបៀបដូចគ្នានឹងប្រចាំខែ។ "ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង" នេះដែលបានរកឃើញនៅលើតារាងទំនិញនិងទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុបង្ហាញពីសញ្ញាទាំងអស់ដែលថាសកម្មភាពរបស់ទីផ្សារគឺខិតទៅជិតគំរូនៃអាកប្បកិរិយានៃ "ធម្មជាតិ" ជាងអាកប្បកិរិយានៃការវិភាគជាមូលដ្ឋាននៃសេដ្ឋកិច្ច។

នៅក្នុងតួលេខទាំងនេះអ្នកអាចរកឃើញការបញ្ជាក់ខាងលើ។ នៅខាងឆ្វេងគឺជាក្រាហ្វដែលមានមាត្រដ្ឋាននាទី នៅខាងស្តាំគឺជាតារាងប្រចាំសប្តាហ៍។ គូរូបិយប័ណ្ណ USD/Yen (រូបទី 9 (a)) និង Euro/Dollar (Fig ។ 9 (b)) ត្រូវបានបង្ហាញនៅទីនេះជាមួយនឹងមាត្រដ្ឋានតម្លៃខុសៗគ្នា។ ទោះបីជាគូរូបិយប័ណ្ណ JPY/USD មានភាពប្រែប្រួលខុសគ្នាទាក់ទងនឹង EUR/USD ក៏ដោយ យើងអាចសង្កេតមើលរចនាសម្ព័ន្ធចលនាតម្លៃដូចគ្នា។

វិមាត្រប្រភាគ

ទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃ fractal គឺថាវត្ថុ fractal មានវិមាត្រក្រៅពី Euclidean (និយាយម្យ៉ាងទៀតវិមាត្រ topological) ។ វិមាត្រប្រភាគគឺជារង្វាស់នៃភាពស្មុគស្មាញនៃខ្សែកោង។ តាមរយៈការវិភាគការឆ្លាស់គ្នានៃផ្នែកដែលមានវិមាត្រប្រភាគផ្សេងគ្នា និងរបៀបដែលប្រព័ន្ធត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកត្តាខាងក្រៅ និងខាងក្នុង មនុស្សម្នាក់អាចរៀនទស្សន៍ទាយឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធ។ ហើយសំខាន់បំផុតគឺដើម្បីធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យនិងព្យាករណ៍ស្ថានភាពមិនស្ថិតស្ថេរ។

នៅក្នុងឃ្លាំងនៃគណិតវិទ្យាទំនើប Mandelbrot បានរកឃើញរង្វាស់បរិមាណដ៏ងាយស្រួលនៃភាពមិនល្អឥតខ្ចោះនៃវត្ថុ - ភាពមិនស្មើគ្នានៃវណ្ឌវង្ក ការជ្រីវជ្រួញនៃផ្ទៃ ការប្រេះស្រាំ និងរន្ធញើសនៃបរិមាណ។ វាត្រូវបានស្នើឡើងដោយគណិតវិទូពីរនាក់គឺ Felix Hausdorff (1868-1942) និង Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970) ។ ឥឡូវនេះនាងសមនឹងពាក់ ឈ្មោះដ៏រុងរឿងអ្នកបង្កើតរបស់ពួកគេ (វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich) - វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich ។ តើវិមាត្រគឺជាអ្វី ហើយហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការវាទាក់ទងនឹងការវិភាគទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុ? មុននោះ យើងបានស្គាល់តែប្រភេទវិមាត្រមួយប៉ុណ្ណោះ - topological (រូបភាពទី 11)។ វិមាត្រ​របស់​វា​បង្ហាញ​ថា​វត្ថុ​មាន​ទំហំ​ប៉ុន្មាន។ សម្រាប់ផ្នែកមួយ បន្ទាត់ត្រង់ វាស្មើនឹង 1, i.e. យើងមានវិមាត្រតែមួយ គឺប្រវែងនៃផ្នែក ឬបន្ទាត់ត្រង់។ សម្រាប់យន្តហោះមួយ វិមាត្រនឹងមាន 2 ដោយសារយើងមានវិមាត្រពីរ ប្រវែង និងទទឹង។ សម្រាប់លំហ ឬវត្ថុរឹង វិមាត្រគឺ ៣៖ ប្រវែង ទទឹង និងកម្ពស់។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍នៃហ្គេមកុំព្យូទ័រ។ ប្រសិនបើហ្គេមនេះត្រូវបានផលិតជាក្រាហ្វិក 3D នោះវាមានលំហរ និងមានពន្លឺ ប្រសិនបើនៅក្នុងក្រាហ្វិក 2D ក្រាហ្វិកត្រូវបានបង្ហាញនៅលើយន្តហោះ (រូបភាព 10)។

មិនធម្មតាបំផុត (វានឹងជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការនិយាយ - មិនធម្មតា) នៅក្នុងវិមាត្រ Hausdorff-Besikovich គឺថាវាអាចយកមិនត្រឹមតែចំនួនគត់ដែលជាវិមាត្រ topological ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងតម្លៃប្រភាគផងដែរ។ ស្មើនឹងមួយសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ (គ្មានកំណត់ ពាក់កណ្តាលគ្មានកំណត់ ឬសម្រាប់ផ្នែកកំណត់) វិមាត្រ Hausdorff-Besicovitch កើនឡើងនៅពេលដែល tortuosity កើនឡើង ខណៈដែលវិមាត្រ topological មិនអើពើនឹងការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ដែលកើតឡើងជាមួយបន្ទាត់។

វិមាត្រកំណត់លក្ខណៈនៃភាពស្មុគស្មាញនៃសំណុំ (ឧទាហរណ៍បន្ទាត់ត្រង់) ។ ប្រសិនបើវាជាខ្សែកោងដែលមានវិមាត្រ topological ស្មើនឹង 1 (បន្ទាត់ត្រង់) នោះខ្សែកោងអាចស្មុគស្មាញដោយចំនួនពត់ និងមែកដែលមិនកំណត់រហូតដល់ទំហំដែលវិមាត្រ fractal របស់វាខិតជិតពីរ ពោលគឺឧ។ នឹងបំពេញស្ទើរតែយន្តហោះទាំងមូល (រូបភាព 12)

ដោយការបង្កើនតម្លៃរបស់វា វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich មិនផ្លាស់ប្តូរវាភ្លាមៗទេ ដោយសារវិមាត្រ topological នឹងធ្វើ "នៅកន្លែងរបស់វា" ការផ្លាស់ប្តូរពី 1 ភ្លាមៗទៅ 2 ។ វិមាត្រ Hausdorff-Besikovich - ហើយនេះនៅ glance ដំបូងអាចហាក់ដូចជាមិនធម្មតា។ ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល យកតម្លៃប្រភាគ៖ ស្មើនឹងមួយ។សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ វាក្លាយជា 1.15 សម្រាប់បន្ទាត់ sinuous បន្តិច 1.2 សម្រាប់បន្ទាត់ sinuous ច្រើន 1.5 សម្រាប់បន្ទាត់ sinuous និងដូច្នេះនៅលើ។

វាគឺដើម្បីបញ្ជាក់ពីសមត្ថភាពនៃវិមាត្រ Hausdorff-Besikovich ដើម្បីយកតម្លៃប្រភាគ និងមិនមែនជាចំនួនគត់ ដែល Mandelbrot បានបង្កើត neologism ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ ដោយហៅវាថា វិមាត្រប្រភាគ។ ដូច្នេះ វិមាត្រប្រភាគ (មិនត្រឹមតែ Hausdorff-Besikovich ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែផ្សេងទៀត) គឺជាវិមាត្រដែលអាចយកតម្លៃមិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែក៏ជាប្រភាគផងដែរ។

សម្រាប់ fractal ធរណីមាត្រលីនេអ៊ែរ វិមាត្រកំណត់លក្ខណៈស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ពិចារណារូបភព។ 17(A) បន្ទាត់មាន N=4 ចម្រៀកដែលនីមួយៗមានប្រវែង r = 1/3 ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមាមាត្រ៖

D = logN/log(1/r)

ស្ថានភាព​គឺ​ខុស​គ្នា​ខ្លាំង​នៅ​ពេល​ដែល​យើង​និយាយ​អំពី​ពហុហ្វ្រេទិក (មិន​មែន​លីនេអ៊ែរ)។ នៅទីនេះវិមាត្របាត់បង់អត្ថន័យរបស់វាជានិយមន័យនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃវត្ថុមួយ ហើយត្រូវបានកំណត់តាមរយៈការធ្វើទូទៅផ្សេងៗ ដែលមានលក្ខណៈធម្មជាតិតិចជាងវិមាត្រតែមួយគត់នៃវត្ថុស្រដៀងគ្នា។

នៅក្នុងទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេស វិមាត្រអាចកំណត់លក្ខណៈនៃភាពប្រែប្រួលនៃសម្រង់តម្លៃ។ គូរូបិយប័ណ្ណនីមួយៗមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វាទាក់ទងនឹងតម្លៃ។ សម្រាប់គូផោន/ដុល្លារ (រូបភាព 13(a)) វាស្ងប់ស្ងាត់ជាងសម្រាប់ប្រាក់អឺរ៉ូ/ដុល្លារ (រូបភាព 13(ខ))។ អ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនោះគឺថារូបិយប័ណ្ណទាំងនេះផ្លាស់ទីក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធដូចគ្នាទៅកម្រិតតម្លៃទោះជាយ៉ាងណាពួកគេមានវិមាត្រខុសៗគ្នាដែលអាចប៉ះពាល់ដល់ការជួញដូរក្នុងពេលថ្ងៃ និងការផ្លាស់ប្តូរគំរូដែលគេចផុតពីរូបរាងដែលគ្មានបទពិសោធន៍។

នៅលើរូបភព។ 14 បង្ហាញពីវិមាត្រដែលទាក់ទងទៅនឹងគំរូគណិតវិទ្យា ដើម្បីឱ្យអ្នកជ្រាបចូលកាន់តែជ្រៅទៅក្នុងតម្លៃ។ ពាក្យនេះ។. ចំណាំថាតួលេខទាំងបីបង្ហាញពីវដ្តដូចគ្នា។ នៅលើរូបភព។ ហើយវិមាត្រគឺ 1.2 នៅក្នុងរូបភព។ b, វិមាត្រគឺ 1.5 ហើយនៅក្នុងរូបភព។ ក្នុង 1.9 ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាមួយនឹងការកើនឡើងនៅក្នុងវិមាត្រការយល់ឃើញនៃវត្ថុកាន់តែស្មុគស្មាញទំហំនៃការយោលកើនឡើង។

នៅក្នុងទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុ វិមាត្រត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងមិនត្រឹមតែជាការប្រែប្រួលតម្លៃប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាព័ត៌មានលម្អិតនៃវដ្ត (រលក) ផងដែរ។ សូមអរគុណដល់វា យើងនឹងអាចបែងចែកថាតើរលកមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់មាត្រដ្ឋានពេលវេលាជាក់លាក់ដែរឬទេ។ នៅលើរូបភព។ 15 បង្ហាញគូអឺរ៉ូ/ដុល្លារនៅលើមាត្រដ្ឋានតម្លៃប្រចាំថ្ងៃ។ យកចិត្តទុកដាក់ អ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នូវវដ្ដដែលបានបង្កើតឡើង និងការចាប់ផ្តើមនៃវដ្តថ្មីដែលធំជាងនេះ។ ប្តូរទៅមាត្រដ្ឋានរៀងរាល់ម៉ោង និងពង្រីកលើរង្វង់មួយ យើងអាចមើលឃើញរង្វង់តូចជាង ហើយផ្នែកនៃរង្វង់ធំមួយមានទីតាំងនៅ D1 (រូបភាព 16)។ រង្វិលជុំលម្អិត, i.e. វិមាត្ររបស់ពួកគេអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូងអំពីរបៀបដែលស្ថានភាពអាចអភិវឌ្ឍនាពេលអនាគត។ យើងអាចនិយាយបានថាៈ វិមាត្រប្រភាគឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈវិចារណញាណខ្នាតនៃសំណុំដែលកំពុងពិចារណា។

គំនិតនៃភាពមិនប្រែប្រួលត្រូវបានណែនាំដោយ Mandelbrot ពីពាក្យ "sealant" - អាចធ្វើមាត្រដ្ឋានបានពោលគឺឧ។ នៅពេលដែលវត្ថុមួយមានលក្ខណសម្បត្តិនៃ invariance វាមានមាត្រដ្ឋានបង្ហាញខុសៗគ្នា។

នៅលើរូបភព។ 16 រង្វង់ A គូសបញ្ជាក់រង្វង់តូច (រលកលម្អិត) រង្វង់ B - រលកនៃវដ្ដធំជាង។ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែវិមាត្រដែលយើងមិនអាចកំណត់គ្រប់វដ្តនៅលើមាត្រដ្ឋានតម្លៃដូចគ្នា។

យើងនឹងនិយាយអំពីបញ្ហានៃការកំណត់ និងការអភិវឌ្ឍអចលនទ្រព្យនៃវដ្តមិនទៀងទាត់នៅក្នុងផ្នែក "វដ្តនៅក្នុងទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេស" ឥឡូវនេះរឿងសំខាន់សម្រាប់ពួកយើងគឺត្រូវយល់ពីរបៀប និងកន្លែងដែលវិមាត្របង្ហាញខ្លួនឯងនៅក្នុងទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុ។

ដូច្នេះ យើងអាចនិយាយបានថា ប្រភាគជាគំរូត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅពេលដែលវត្ថុពិតមិនអាចតំណាងឱ្យក្នុងទម្រង់នៃគំរូបុរាណ។ ហើយនេះមានន័យថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងលក្ខណៈមិនកំណត់ (ចៃដន្យ) នៃទិន្នន័យ។ ភាពមិនលីនេអ៊ែរក្នុងន័យមនោគមវិជ្ជាមានន័យថា ភាពចម្រុះនៃផ្លូវអភិវឌ្ឍន៍ លទ្ធភាពនៃជម្រើសពី វិធីជំនួសនិងអត្រាជាក់លាក់នៃការវិវត្តន៍ ក៏ដូចជាភាពមិនអាចត្រឡប់វិញបាន។ ដំណើរការវិវត្តន៍. ភាពមិនលីនេអ៊ែរក្នុងន័យគណិតវិទ្យាមានន័យថា ប្រភេទជាក់លាក់សមីការគណិតវិទ្យា (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ) ដែលមានបរិមាណដែលចង់បាននៅក្នុងអំណាចធំជាងមួយ ឬមេគុណដែលអាស្រ័យលើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តមិនលីនេអ៊ែរ៖

Johnny លូតលាស់ 2 អ៊ីញក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រព័ន្ធនេះពន្យល់ពីរបៀបដែលកម្ពស់របស់ Johnny ផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា។ សូមឱ្យ x(n) ជាកម្ពស់របស់ចននីនៅឆ្នាំនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាកើនឡើង ឆ្នាំក្រោយនឹងត្រូវបានសរសេរជា x (n + 1) ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរប្រព័ន្ធថាមវន្តក្នុងទម្រង់សមីការ៖

x(n+1) = x(n) + 2 ។

ឃើញទេ? តើនេះមិនមែនជាគណិតវិទ្យាសាមញ្ញទេ? ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលកម្ពស់របស់ Johnny ថ្ងៃនេះ x (n) = 38 អ៊ីង បន្ទាប់មកនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបានកម្ពស់របស់ Johnny នៅឆ្នាំក្រោយ x (n+1) = 40 អ៊ីញ៖

x(n+1)=x(n)+2=38+2=40។

ការផ្លាស់ទីពីស្តាំទៅឆ្វេងក្នុងសមីការត្រូវបានគេហៅថា ការធ្វើឡើងវិញ (ពាក្យដដែលៗ) ។ យើងអាចធ្វើសមីការម្តងទៀតដោយបញ្ចូល កំណើនថ្មី។ចននីមានទំហំ 40 អ៊ីង នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (ឧទាហរណ៍ x(n) = 40) ហើយយើងទទួលបាន x(n+1) = 42។ ប្រសិនបើយើងធ្វើម្តងទៀត (ធ្វើម្តងទៀត) សមីការ 3 ដង យើងទទួលបានកម្ពស់របស់ Johnny បន្ទាប់ពី 3 ឆ្នាំគឺ 44 អ៊ីញចាប់ផ្តើមពីកម្ពស់ 38 អ៊ីញ។

នេះគឺជាប្រព័ន្ធឌីណាមិកកំណត់។ ប្រសិនបើយើងចង់ធ្វើឱ្យវាមិនកំណត់ (stochastic) យើងអាចបង្កើតគំរូដូចនេះ៖ Johnny លូតលាស់ 2 អ៊ីញក្នុងមួយឆ្នាំ តិចឬច្រើន ហើយសរសេរសមីការដូចជា៖

x(n+1) = x(n) + 2 + e

ដែល e គឺជាកំហុសតូចមួយ (តូចទាក់ទងទៅនឹង 2) តំណាងឱ្យការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការកំណត់ដើមវិញ។ សមីការដើម x(n+1) = x(n) + 2 គឺជាលីនេអ៊ែរ។ លីនេអ៊ែរ មានន័យថា អ្នកកំពុងបន្ថែមអថេរ ឬថេរ ឬគុណអថេរដោយថេរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

គឺលីនេអ៊ែរ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកគុណអថេរ ឬលើកពួកវាទៅជាថាមពលធំជាងមួយ សមីការ (ប្រព័ន្ធ) នឹងក្លាយទៅជាមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ

x(n+1) = x(n) ២

មិន​មែន​លីនេអ៊ែរ​ទេ ព្រោះ x(n) ជា​ការេ។ សមីការ

មិន​មែន​លីនេអ៊ែរ ដោយសារ​អថេរ​ពីរ x និង y ត្រូវ​បាន​គុណ។

នៅពេលយើងអនុវត្តគំរូបុរាណ (ឧទាហរណ៍ និន្នាការ តំរែតំរង់។ អាស្រ័យទាំងស្រុងលើលក្ខខណ្ឌដំបូង និងអាចទទួលយកបានចំពោះការព្យាករណ៍ច្បាស់លាស់។ អ្នកអាចអនុវត្តគំរូមួយក្នុងចំណោមគំរូទាំងនេះនៅក្នុង Excel ដោយឯករាជ្យ។ ឧទាហរណ៍ ម៉ូដែលបុរាណអាចត្រូវបានតំណាងថាជានិន្នាការធ្លាក់ចុះឬកើនឡើងឥតឈប់ឈរ។ ហើយយើងអាចទស្សន៍ទាយអាកប្បកិរិយារបស់វាដោយដឹងពីអតីតកាលនៃវត្ថុ (ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ការធ្វើគំរូ) ។ ហើយ fractal ត្រូវបានប្រើក្នុងករណីដែលវត្ថុមានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ ហើយស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងដែលវាស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ នោះគឺយើងកំពុងព្យាយាមក្លែងធ្វើការអភិវឌ្ឍន៍ដ៏ច្របូកច្របល់។ ប្រព័ន្ធនេះគឺជាទីផ្សារប្តូរប្រាក់បរទេសអន្តរធនាគារ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងហៅថា fractal ជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាផ្ទាល់។

នៅលើរូបភព។ 17(A) បង្ហាញខ្សែកោង Koch ។ យកផ្នែកបន្ទាត់មួយ ប្រវែងរបស់វា = 1, i.e. នៅតែជាវិមាត្រ topological ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងបែងចែកវាជាបីផ្នែក (នីមួយៗ 1/3 នៃប្រវែង) ហើយយកផ្នែកកណ្តាលទីបីចេញ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងជំនួសផ្នែកកណ្តាលដោយផ្នែកពីរ (នីមួយៗ 1/3 នៃប្រវែង) ដែលអាចត្រូវបានតំណាងជាពីរជ្រុងនៃត្រីកោណសមមូល។ នេះគឺជាដំណាក់កាលទី 2 (ខ) នៃការរចនាដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ១៧(ក)។ នៅចំណុចនេះយើងមាន 4 ផ្នែកតូចជាង 1/3 នៃប្រវែងនីមួយៗ ដូច្នេះប្រវែងទាំងមូលគឺ 4(1/3) = 4/3 ។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើម្តងទៀតនូវដំណើរការនេះសម្រាប់ផ្នែកនីមួយៗនៃ 4 lobes តូចៗនៃបន្ទាត់។ នេះគឺជាដំណាក់កាលទីបី (គ) ។ នេះនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវ 16 ផ្នែកបន្ទាត់តូចជាងនេះ ដែលនីមួយៗមានប្រវែង 1/9 ។ ដូច្នេះប្រវែងទាំងមូលគឺ 16/9 ឬ (4/3) 2 ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានវិមាត្រប្រភាគ។ ប៉ុន្តែមិនត្រឹមតែនេះទេដែលបែងចែករចនាសម្ព័ន្ធលទ្ធផលពីបន្ទាត់ត្រង់។ វាបានក្លាយទៅជាភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់នៅចំណុចណាមួយរបស់វា (រូបភាព 17 (B)) ។

មាតិកា

ការរកឃើញដ៏ប៉ិនប្រសប់បំផុតនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអាចផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង ជីវិតមនុស្ស. វ៉ាក់សាំង​ដែល​បាន​បង្កើត​ឡើង​អាច​ជួយ​សង្គ្រោះ​មនុស្ស​រាប់​លាន​នាក់ ការ​បង្កើត​អាវុធ ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ ឆក់​យក​ជីវិត​មនុស្ស​ទាំង​នេះ។ ថ្មីៗនេះ (ជាមាត្រដ្ឋាន ការវិវត្តន៍របស់មនុស្ស) យើងបានរៀន "ទប់" អគ្គិសនី ហើយឥឡូវនេះយើងមិនអាចស្រមៃថាជីវិតដោយគ្មានឧបករណ៍ងាយស្រួលទាំងអស់នេះដែលប្រើអគ្គិសនីនោះទេ។ ប៉ុន្តែក៏មានរបកគំហើញដែលមានមនុស្សតិចណាស់ដែលចាប់អារម្មណ៍ បើទោះបីជាវាមានឥទ្ធិពលយ៉ាងខ្លាំងលើជីវិតរបស់យើងក៏ដោយ។

របកគំហើញមួយក្នុងចំណោមរបកគំហើញ "ដែលមិនអាចយល់បាន" ទាំងនេះគឺ fractal ។ អ្នក​ប្រហែល​ជា​ធ្លាប់​ឮ​ពាក្យ​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​នេះ​ហើយ ប៉ុន្តែ​តើ​អ្នក​ដឹង​ទេ​ថា​វា​មាន​ន័យ​យ៉ាង​ណា ហើយ​មាន​អ្វី​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ប៉ុន្មាន​ដែល​លាក់​ក្នុង​ពាក្យ​នេះ?

មនុស្សគ្រប់រូបមានការចង់ដឹងចង់ឃើញពីធម្មជាតិ ប្រាថ្នាចង់រៀនអំពីពិភពលោកជុំវិញខ្លួន។ ហើយនៅក្នុងសេចក្តីប្រាថ្នានេះមនុស្សម្នាក់ព្យាយាមប្រកាន់ខ្ជាប់នូវតក្កវិជ្ជាក្នុងការវិនិច្ឆ័យ។ ការវិភាគដំណើរការដែលកើតឡើងនៅជុំវិញគាត់ គាត់ព្យាយាមស្វែងរកតក្កវិជ្ជានៃអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង និងកាត់បន្ថយភាពទៀងទាត់មួយចំនួន។ ចិត្តធំជាងគេនៅលើភពផែនដី រវល់នឹងកិច្ចការនេះ។ និយាយ​ឲ្យ​ចំ​ទៅ អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​កំពុង​ស្វែង​រក​គំរូ​មួយ​ដែល​វា​មិន​គួរ​ធ្វើ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ សូម្បី​តែ​ក្នុង​ភាព​ចលាចល ក៏​គេ​អាច​រក​ឃើញ​ទំនាក់ទំនង​រវាង​ព្រឹត្តិការណ៍។ ហើយការតភ្ជាប់នេះគឺ fractal ។

កូន​ស្រី​តូច​របស់​យើង​ដែល​មាន​អាយុ​បួន​ឆ្នាំ​កន្លះ​ឥឡូវ​នេះ​គឺ​នៅ​ក្នុង​វ័យ​ដ៏​អស្ចារ្យ​នោះ​នៅ​ពេល​ដែល​ចំនួន​នៃ​សំណួរ "ហេតុអ្វី?" ច្រើនដងច្រើនជាងចំនួនចម្លើយដែលមនុស្សពេញវ័យមានពេលផ្តល់ឱ្យ។ មិនយូរប៉ុន្មាន ក្រឡេកមើលទៅមែកឈើដែលងើបពីដី កូនស្រីខ្ញុំស្រាប់តែសង្កេតឃើញថា មែកឈើនេះ មានមែក និងមែក មើលទៅហាក់ដូចជាដើមឈើ។ ហើយជាការពិតណាស់ សំណួរធម្មតា "ហេតុអ្វី?" បានធ្វើតាម ដែលឪពុកម្តាយត្រូវស្វែងរកការពន្យល់សាមញ្ញដែលកុមារអាចយល់បាន។

ភាពស្រដៀងគ្នានៃមែកឈើតែមួយជាមួយនឹងដើមឈើទាំងមូលដែលកុមារបានរកឃើញគឺជាការសង្កេតដ៏ត្រឹមត្រូវបំផុត ដែលជាថ្មីម្តងទៀតផ្តល់សក្ខីកម្មដល់គោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងឡើងវិញនៅក្នុងធម្មជាតិ។ ទម្រង់សរីរាង្គ និងអសរីរាង្គជាច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិត្រូវបានបង្កើតឡើងស្រដៀងគ្នា។ ពពក, សំបកសមុទ្រ, "ផ្ទះ" របស់ខ្យង, សំបកឈើនិងមកុដនៃដើមឈើ, ប្រព័ន្ធ​ឈាម​រត់ហើយដូច្នេះនៅលើ - រាងចៃដន្យនៃវត្ថុទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយក្បួនដោះស្រាយ fractal ។

⇡ Benoit Mandelbrot: បិតានៃធរណីមាត្រ fractal

ពាក្យ "Fractal" បានលេចឡើងដោយសារអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យ Benoît B. Mandelbrot ។

គាត់បានបង្កើតពាក្យខ្លួនឯងនៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1970 ដោយបានខ្ចីពាក្យ fractus ពីឡាតាំង ដែលវាមានន័យថា "ខូច" ឬ "កំទេច" ។ តើ​វា​គឺជា​អ្វី? សព្វថ្ងៃនេះពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់បំផុត។ រូបភាពក្រាហ្វិករចនាសម្ព័ន្ធដែលស្រដៀងនឹងខ្លួនវានៅលើមាត្រដ្ឋានធំជាង។

មូលដ្ឋានគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការកើតឡើងនៃទ្រឹស្តីនៃប្រភាគត្រូវបានដាក់ជាច្រើនឆ្នាំមុនពេលកំណើតរបស់ Benoit Mandelbrot ប៉ុន្តែវាអាចអភិវឌ្ឍបានតែជាមួយការមកដល់នៃឧបករណ៍កុំព្យូទ័រប៉ុណ្ណោះ។ នៅដើមដំបូងរបស់គាត់។ សកម្មភាពវិទ្យាសាស្ត្រ Benoist បានធ្វើការនៅមជ្ឈមណ្ឌលស្រាវជ្រាវ IBM ។ នៅពេលនោះ បុគ្គលិករបស់មជ្ឈមណ្ឌលកំពុងធ្វើការលើការបញ្ជូនទិន្នន័យពីចម្ងាយ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការស្រាវជ្រាវ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការបាត់បង់ដ៏ធំដែលកើតចេញពីការរំខានដោយសំឡេង។ មុនពេល Benois ឈរស្មុគស្មាញនិងខ្លាំងណាស់ កិច្ចការសំខាន់- យល់ពីរបៀបទស្សន៍ទាយការកើតឡើងនៃសំលេងរំខាននៅក្នុងសៀគ្វីអេឡិចត្រូនិចនៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រស្ថិតិមិនមានប្រសិទ្ធភាព។

ដោយក្រឡេកមើលលទ្ធផលនៃការវាស់សំលេងរំខាន Mandelbrot បានទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះគំរូចម្លែកមួយ - ក្រាហ្វសំលេងរំខាននៅមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗគ្នាមើលទៅដូចគ្នា។ គំរូដូចគ្នាត្រូវបានគេសង្កេតឃើញដោយមិនគិតពីថាតើវាជាគ្រោងសំឡេងសម្រាប់មួយថ្ងៃ មួយសប្តាហ៍ ឬមួយម៉ោងនោះទេ។ វាមានតម្លៃផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាននៃក្រាហ្វ ហើយរូបភាពត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតរាល់ពេល។

ក្នុងអំឡុងពេលនៃជីវិតរបស់គាត់ Benoit Mandelbrot បាននិយាយម្តងហើយម្តងទៀតថាគាត់មិនបានដោះស្រាយជាមួយរូបមន្តទេប៉ុន្តែគ្រាន់តែលេងជាមួយរូបភាព។ បុរសម្នាក់នេះគិតក្នុងន័យធៀប ហើយបានបកប្រែបញ្ហាពិជគណិតណាមួយទៅក្នុងវិស័យធរណីមាត្រ ដែលយោងទៅតាមគាត់ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺតែងតែជាក់ស្តែង។

គ្មានអ្វីចម្លែកទេ ដែលបុរសមានទ្រព្យសម្បត្តិបែបនេះ ការស្រមើលស្រមៃ spatialបានក្លាយជាឪពុកនៃធរណីមាត្រ fractal ។ យ៉ាងណាមិញ ការសម្រេចបាននូវខ្លឹមសារនៃ fractals កើតឡើងយ៉ាងជាក់លាក់ នៅពេលអ្នកចាប់ផ្តើមសិក្សាគំនូរ ហើយគិតអំពីអត្ថន័យនៃលំនាំ swirl ចម្លែក។

គំរូប្រភាគមិនមានធាតុដូចគ្នាទេ ប៉ុន្តែមានភាពស្រដៀងគ្នានៅគ្រប់ខ្នាត។ បង្កើតរូបភាពនេះជាមួយ សញ្ញាបត្រខ្ពស់។ការ​លម្អិត​ដោយ​ដៃ​ពីមុន​គឺ​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ វា​ត្រូវ​ការ ចំនួនទឹកប្រាក់ដ៏អស្ចារ្យកុំព្យូទ័រ។ ជាឧទាហរណ៍ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Pierre Joseph Louis Fatou បានពណ៌នាអំពីឈុតនេះជាងចិតសិបឆ្នាំមុនពេលការរកឃើញរបស់ Benoit Mandelbrot ។ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនោះ ពួកគេត្រូវបានលើកឡើងនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Leibniz និង Georg Cantor ។

គំនូរមួយក្នុងចំណោមគំនូរដំបូងនៃ fractal គឺជាការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃសំណុំ Mandelbrot ដែលកើតចេញពីការស្រាវជ្រាវរបស់ Gaston Maurice Julia ។

Gaston Julia (តែងតែបិទបាំង - របួស WWI)

គណិតវិទូជនជាតិបារាំងម្នាក់នេះឆ្ងល់ថាតើសំណុំមួយនឹងមើលទៅដូចអ្វី ប្រសិនបើវាត្រូវបានបង្កើតចេញពីរូបមន្តសាមញ្ញដែលធ្វើម្តងទៀតដោយរង្វិលជុំ មតិកែលម្អ. ប្រសិនបើពន្យល់ថា "នៅលើម្រាមដៃ" នេះមានន័យថាសម្រាប់លេខជាក់លាក់មួយ យើងរកឃើញតម្លៃថ្មីដោយប្រើរូបមន្ត បន្ទាប់ពីនោះយើងជំនួសវាម្តងទៀតទៅក្នុងរូបមន្ត និងទទួលបានតម្លៃផ្សេងទៀត។ លទ្ធផលគឺជាលំដាប់លេខធំ។

ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពេញលេញនៃសំណុំបែបនេះអ្នកត្រូវធ្វើការគណនាយ៉ាងច្រើន - រាប់រយរាប់ពាន់លាន។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើវាដោយដៃ។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលឧបករណ៍កុំព្យូទ័រដ៏មានអានុភាពបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការចោលរបស់អ្នកគណិតវិទូ ពួកគេអាចមើលរូបមន្ត និងកន្សោមដែលចាប់អារម្មណ៍ជាយូរមកហើយ។ Mandelbrot គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលប្រើកុំព្យូទ័រដើម្បីគណនា fractal បុរាណ។ ដោយបានដំណើរការលំដាប់ដែលមានតម្លៃមួយចំនួនធំ Benoit បានផ្ទេរលទ្ធផលទៅជាក្រាហ្វ។ នេះជាអ្វីដែលគាត់ទទួលបាន។

ក្រោយមក រូបភាពនេះត្រូវបានលាបពណ៌ (ឧទាហរណ៍ វិធីមួយក្នុងការដាក់ពណ៌គឺតាមចំនួននៃការធ្វើឡើងវិញ) ហើយបានក្លាយជារូបភាពដ៏ពេញនិយមបំផុតមួយដែលមិនធ្លាប់បានបង្កើតដោយមនុស្ស។

ដូចពាក្យថា ពាក្យបុរាណសន្មតថា Heraclitus នៃអេភេសូរ "អ្នកមិនអាចចូលទៅក្នុងទន្លេដូចគ្នាពីរដង" ។ វាស័ក្តិសមបំផុតសម្រាប់ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃ fractal ។ មិនថាយើងពិនិត្យមើលរូបភាព fractal លម្អិតប៉ុណ្ណានោះទេ យើងនឹងឃើញគំរូស្រដៀងគ្នាជានិច្ច។

អ្នក​ដែល​ចង់​ឃើញ​ថា​តើ​រូបភាព​នៃ​លំហ Mandelbrot នឹង​មាន​រូបរាង​យ៉ាង​ណា​នៅ​ពេល​ដែល​ត្រូវ​បាន​ពង្រីក​ច្រើន​ដង​អាច​ធ្វើ​ដូច្នេះ​បាន​ដោយ​ការ​ផ្ទុក​ឡើង GIF មាន​ចលនា។

⇡ Lauren Carpenter: សិល្បៈដែលបង្កើតឡើងដោយធម្មជាតិ

ទ្រឹស្តីនៃ fractals ត្រូវបានរកឃើញឆាប់ៗនេះ ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង. ចាប់តាំងពីវាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការមើលឃើញនៃរូបភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលថាអ្នកដំបូងដែលទទួលយកក្បួនដោះស្រាយនិងគោលការណ៍សម្រាប់ការសាងសង់ទម្រង់មិនធម្មតាគឺជាសិល្បករ។

សហស្ថាបនិកនាពេលអនាគតនៃស្ទូឌីយោ Pixar រឿងព្រេងនិទាន Loren C. Carpenter បានចាប់ផ្តើមធ្វើការនៅឆ្នាំ 1967 នៅក្រុមហ៊ុន Boeing Computer Services ដែលជាផ្នែកមួយនៃសាជីវកម្មដ៏ល្បីដែលចូលរួមក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍យន្តហោះថ្មី។

នៅឆ្នាំ 1977 គាត់បានបង្កើតបទបង្ហាញជាមួយនឹងគំរូគំរូនៃការហោះហើរ។ Lauren ទទួលខុសត្រូវក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍រូបភាពនៃយន្តហោះដែលត្រូវបានរចនាឡើង។ គាត់ត្រូវបានគេសន្មត់ថាបង្កើតរូបភាពនៃម៉ូដែលថ្មីដោយបង្ហាញពីយន្តហោះនាពេលអនាគតជាមួយ ភាគីផ្សេងគ្នា. នៅចំណុចខ្លះ អនាគតស្ថាបនិក Pixar Animation Studios បានបង្កើតគំនិតច្នៃប្រឌិត ដើម្បីប្រើរូបភាពភ្នំជាផ្ទៃខាងក្រោយ។ សព្វថ្ងៃនេះ សិស្សណាម្នាក់អាចដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបាន ប៉ុន្តែនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សចុងក្រោយនេះ កុំព្យូទ័រមិនអាចទប់ទល់នឹងការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញបែបនេះបានទេ - អ្នកកែសម្រួលក្រាហ្វិកមិនមែនមិនមែននិយាយអំពីកម្មវិធីសម្រាប់ក្រាហ្វិកបីវិមាត្រទេ។ នៅឆ្នាំ 1978 Lauren បានឃើញសៀវភៅ Fractals របស់ Benoit Mandelbrot ដោយចៃដន្យនៅក្នុងហាងមួយ។ អ្វីដែលទាក់ទាញការចាប់អារម្មណ៍របស់គាត់នៅក្នុងសៀវភៅនេះគឺថា Benoist បានផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃទម្រង់ fractal នៅក្នុង ជីវិត​ពិតហើយបានបង្ហាញថាពួកគេអាចពិពណ៌នាដោយកន្សោមគណិតវិទ្យា។

ភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានជ្រើសរើសដោយគណិតវិទូ មិនមែនដោយចៃដន្យទេ។ ការពិតគឺថាភ្លាមៗនៅពេលដែលគាត់បានបោះពុម្ពផ្សាយការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់គាត់ត្រូវតែប្រឈមមុខនឹងការរិះគន់យ៉ាងខ្លាំង។ រឿងចំបងដែលសហសេវិករបស់គាត់ស្តីបន្ទោសគាត់គឺភាពគ្មានប្រយោជន៍នៃទ្រឹស្តីដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ពួកគេបាននិយាយថា "បាទ" ទាំងនេះគឺជារូបភាពដ៏ស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីទៀតទេ។ តម្លៃជាក់ស្តែងទ្រឹស្តីនៃ fractal មិនមានទេ។ វាក៏មានអ្នកដែលជឿជាទូទៅថាគំរូ fractal គ្រាន់តែជាផលចំណេញនៃការងាររបស់ "ម៉ាស៊ីនអារក្ស" ដែលនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 ហាក់ដូចជាមានមនុស្សជាច្រើនថាជាអ្វីដែលស្មុគស្មាញពេក ហើយមិនអាចស្វែងរកបានដែលអាចទុកចិត្តបានទាំងស្រុង។ Mandelbrot បានព្យាយាមស្វែងរកការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីនៃ fractal ប៉ុន្តែជាទូទៅគាត់មិនចាំបាច់ធ្វើរឿងនេះទេ។ អ្នកដើរតាម Benoit Mandelbrot ក្នុងរយៈពេល 25 ឆ្នាំបន្ទាប់ បានបង្ហាញថាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងចំពោះ "ការចង់ដឹងចង់ឃើញគណិតវិទ្យា" ហើយ Lauren Carpenter គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលដាក់វិធីសាស្ត្រ fractal ទៅក្នុងការអនុវត្ត។

ដោយបានសិក្សាសៀវភៅនេះ អ្នកគំនូរជីវចលនាពេលអនាគតបានសិក្សាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់លើគោលការណ៍នៃធរណីមាត្រ fractal ហើយចាប់ផ្តើមស្វែងរកវិធីដើម្បីអនុវត្តវានៅក្នុង ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ. ក្នុងរយៈពេលតែបីថ្ងៃនៃការងារ Lauren អាចស្រមៃបាន។ រូបភាពជាក់ស្តែង ប្រព័ន្ធភ្នំនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក។ និយាយម្យ៉ាងទៀតដោយមានជំនួយពីរូបមន្តគាត់បានគូរទេសភាពភ្នំដែលអាចស្គាល់បានទាំងស្រុង។

គោលការណ៍ដែល Lauren ប្រើដើម្បីសម្រេចបានគោលដៅរបស់នាងគឺសាមញ្ញណាស់។ វាមាននៅក្នុងការបែងចែកតួលេខធរណីមាត្រធំជាងទៅជាធាតុតូចៗ ហើយទាំងនេះត្រូវបានបែងចែកទៅជាតួលេខស្រដៀងគ្នានៃទំហំតូចជាង។

ដោយប្រើត្រីកោណធំជាងនេះ Carpenter បានបំបែកវាទៅជាបួនតូចជាងហើយបន្ទាប់មកធ្វើបែបបទនេះម្តងហើយម្តងទៀតរហូតដល់គាត់មានទេសភាពភ្នំជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះ គាត់​បាន​ក្លាយ​ជា​វិចិត្រករ​ដំបូង​គេ​ដែល​ប្រើ​ក្បួន​ដោះស្រាយ fractal ក្នុង​ក្រាហ្វិក​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​បង្កើត​រូបភាព។ នៅពេលដែលវាត្រូវបានគេស្គាល់អំពីការងារដែលបានធ្វើរួច អ្នកចូលចិត្តជុំវិញពិភពលោកបានចាប់យកគំនិតនេះ ហើយចាប់ផ្តើមប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal ដើម្បីក្លែងធ្វើទម្រង់ធម្មជាតិជាក់ស្តែង។

មួយនៃការបង្ហាញ 3D ដំបូងដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal

ប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមក Lauren Carpenter អាចអនុវត្តសមិទ្ធផលរបស់គាត់នៅក្នុងគម្រោងធំជាងនេះ។ គំនូរជីវចលផ្អែកលើពួកគេនៅលើការបង្ហាញរយៈពេលពីរនាទី Vol Libre ដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅលើ Siggraph ក្នុងឆ្នាំ 1980 ។ វីដេអូ​នេះ​មាន​ការ​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ដល់​អ្នក​រាល់​គ្នា​ដែល​បាន​ឃើញ​វា ហើយ Lauren បាន​ទទួល​ការ​អញ្ជើញ​ពី Lucasfilm។

គំនូរជីវចលនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅលើកុំព្យូទ័រ VAX-11/780 ពីក្រុមហ៊ុន Digital Equipment Corporation ក្នុងល្បឿននាឡិកាប្រាំមេហ្គាហឺត ហើយស៊ុមនីមួយៗចំណាយពេលប្រហែលកន្លះម៉ោងដើម្បីគូរ។

ដោយធ្វើការឱ្យ Lucasfilm Limited អ្នកបង្កើតគំនូរជីវចលបានបង្កើតទេសភាព 3D ដូចគ្នាសម្រាប់លក្ខណៈពិសេសទីពីរនៅក្នុងរឿង Star Trek ។ នៅក្នុង The Wrath of Khan ជាងឈើអាចបង្កើតភពផែនដីទាំងមូលដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នានៃគំរូផ្ទៃប្រភាគ។

បច្ចុប្បន្ន កម្មវិធីពេញនិយមទាំងអស់សម្រាប់បង្កើតទេសភាព 3D ប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នានៃការបង្កើតវត្ថុធម្មជាតិ។ Terragen, Bryce, Vue និងអ្នកកែសម្រួល 3D ផ្សេងទៀតពឹងផ្អែកលើផ្ទៃប្រភាគ និងក្បួនដោះស្រាយគំរូវាយនភាព។

⇡ អង់តែន Fractal៖ តិចគឺល្អជាង ប៉ុន្តែប្រសើរជាង

ជាងពាក់កណ្តាលសតវត្សកន្លងមកនេះ ជីវិតបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ យើងភាគច្រើនទទួលយកភាពជឿនលឿននៃបច្ចេកវិទ្យាទំនើប។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលធ្វើអោយជីវិតកាន់តែមានផាសុកភាព អ្នកឆាប់ប្រើ កម្រមាននរណាម្នាក់សួរសំណួរថា "តើនេះមកពីណា?" និង "តើវាដំណើរការយ៉ាងដូចម្តេច?" ។ ចង្ក្រានមីក្រូវ៉េវកំដៅអាហារពេលព្រឹក - ល្អ អស្ចារ្យ ស្មាតហ្វូនអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកនិយាយជាមួយមនុស្សម្នាក់ទៀត - អស្ចារ្យណាស់។ នេះ​ហាក់​ដូច​ជា​លទ្ធភាព​ជាក់ស្តែង​សម្រាប់​យើង។

ប៉ុន្តែជីវិតអាចខុសគ្នាទាំងស្រុង ប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់មិនស្វែងរកការពន្យល់សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង។ យកឧទាហរណ៍ ទូរស័ព្ទដៃ។ ចងចាំអង់តែនដែលអាចដកបាននៅលើម៉ូដែលដំបូង? ពួកគេបានជ្រៀតជ្រែក, បង្កើនទំហំនៃឧបករណ៍, នៅទីបញ្ចប់, ជាញឹកញាប់បានបែកបាក់។ យើងជឿថាពួកគេបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងការភ្លេចភ្លាំងជារៀងរហូតហើយមួយផ្នែកដោយសារតែនេះ ... fractals ។

គំនូរ Fractal ទាក់ទាញជាមួយលំនាំរបស់ពួកគេ។ ពួកគេប្រាកដជាមើលទៅដូចជារូបភាព។ វត្ថុអវកាស- នេប៊ូឡា ចង្កោមកាឡាក់ស៊ី។ល។ ដូច្នេះ វាជារឿងធម្មតាទេដែលនៅពេលដែល Mandelbrot បញ្ចេញទ្រឹស្ដី Fractal របស់គាត់ ការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់បានជំរុញឱ្យមានចំណាប់អារម្មណ៍កើនឡើងក្នុងចំណោមអ្នកដែលសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ។ អ្នកស្ម័គ្រចិត្តបែបនេះម្នាក់ឈ្មោះ Nathan Cohen បន្ទាប់ពីបានចូលរួមការបង្រៀនដោយ Benoit Mandelbrot នៅទីក្រុង Budapest ត្រូវបានបំផុសគំនិតដោយគំនិតនៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបាន។ ពិតមែន គាត់បានធ្វើវាដោយវិចារណញាណ ហើយឱកាសបានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការរកឃើញរបស់គាត់។ ក្នុងនាមជាអ្នកស្ម័គ្រចិត្តវិទ្យុ Nathan បានស្វែងរកការបង្កើតអង់តែនមួយដែលមានភាពប្រែប្រួលខ្ពស់បំផុត។

មធ្យោបាយតែមួយគត់ដើម្បីកែលម្អប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃអង់តែនដែលត្រូវបានគេស្គាល់នៅពេលនោះគឺដើម្បីបង្កើនវិមាត្រធរណីមាត្ររបស់វា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ម្ចាស់អាផាតមិននៅកណ្តាលទីក្រុងបូស្តុនរបស់ Nathan មានការប្រឆាំងដាច់ខាតចំពោះការដំឡើងឧបករណ៍ដំបូលធំៗ។ បន្ទាប់​មក ណាថាន​បាន​ចាប់​ផ្ដើម​ពិសោធន៍ ទម្រង់ផ្សេងៗអង់តែន, ព្យាយាមដើម្បីទទួលបាន លទ្ធផលអតិបរមាជាមួយនឹងវិមាត្រអប្បបរមា។ Cohen បានបង្កើតគំនិតនៃទម្រង់ fractal ដោយចៃដន្យ ដូចដែលពួកគេនិយាយដោយចៃដន្យបានបង្កើត fractal ដ៏ល្បីល្បាញបំផុតមួយចេញពីខ្សែ - "Koch snowflake" ។ គណិតវិទូជនជាតិស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតខ្សែកោងនេះឡើងវិញនៅឆ្នាំ 1904 ។ វាត្រូវបានទទួលដោយការបែងចែកចម្រៀកជាបីផ្នែក ហើយជំនួសផ្នែកកណ្តាលដោយត្រីកោណសមភាពដោយគ្មានផ្នែកមួយស្របគ្នាជាមួយនឹងផ្នែកនេះ។ និយមន័យគឺពិបាកយល់បន្តិច ប៉ុន្តែតួលេខគឺច្បាស់ និងសាមញ្ញ។

វាក៏មានពូជផ្សេងទៀតនៃ "ខ្សែកោង Koch" ប៉ុន្តែរូបរាងប្រហាក់ប្រហែលនៃខ្សែកោងនៅតែស្រដៀងគ្នា

នៅពេលដែលណាថានភ្ជាប់អង់តែនទៅនឹងអ្នកទទួលវិទ្យុ គាត់មានការភ្ញាក់ផ្អើលយ៉ាងខ្លាំង - ភាពប្រែប្រួលបានកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។ បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍ជាបន្តបន្ទាប់ សាស្ត្រាចារ្យនាពេលអនាគតនៅសាកលវិទ្យាល័យបូស្តុនបានដឹងថា អង់តែនដែលធ្វើឡើងតាមលំនាំ fractal មានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់ និងគ្របដណ្តប់ជួរប្រេកង់ធំទូលាយជាងបើប្រៀបធៀបទៅនឹងដំណោះស្រាយបុរាណ។ លើសពីនេះទៀតរូបរាងនៃអង់តែននៅក្នុងទម្រង់នៃខ្សែកោង fractal អាចកាត់បន្ថយទំហំធរណីមាត្របានយ៉ាងសំខាន់។ Nathan Cohen ថែមទាំងបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទមួយដែលបញ្ជាក់ថា ដើម្បីបង្កើតអង់តែន broadband វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្តល់ឱ្យវានូវរូបរាងនៃខ្សែកោង fractal ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។

អ្នកនិពន្ធបានប៉ាតង់ការរកឃើញរបស់គាត់ ហើយបានបង្កើតក្រុមហ៊ុនមួយសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍ និងការរចនានៃអង់តែន fractal ប្រព័ន្ធអង់តែន Fractal ដោយជឿថានៅពេលអនាគត ដោយសារការរកឃើញរបស់គាត់ ទូរសព្ទនឹងអាចកម្ចាត់អង់តែនសំពីងសំពោង និងកាន់តែបង្រួម។

ជាទូទៅ នោះហើយជាអ្វីដែលបានកើតឡើង។ ពិតហើយ រហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ ណាថានកំពុងស្ថិតក្នុងបណ្តឹងជាមួយសាជីវកម្មធំៗ ដែលប្រើប្រាស់ការរកឃើញរបស់គាត់ដោយខុសច្បាប់ ដើម្បីផលិតឧបករណ៍ទំនាក់ទំនងតូចតាច។ ក្រុមហ៊ុនផលិតល្បី ៗ មួយចំនួន ឧបករណ៍ចល័តដូចជា Motorola បានឈានដល់កិច្ចព្រមព្រៀងសន្តិភាពរួចហើយជាមួយអ្នកបង្កើតអង់តែន fractal ។

⇡ ទំហំប្រភាគ៖ ចិត្តមិនយល់

Benoit បានខ្ចីសំណួរនេះពីអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាមេរិកដ៏ល្បីល្បាញ Edward Kasner ។

អ្នកក្រោយៗទៀត ដូចជាគណិតវិទូល្បីៗជាច្រើននាក់ទៀត ចូលចិត្តប្រាស្រ័យទាក់ទងជាមួយក្មេងៗ សួរសំណួរ និងទទួលបានចម្លើយដែលមិននឹកស្មានដល់។ ជួនកាលនេះនាំឱ្យមានលទ្ធផលគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ក្មួយប្រុសអាយុប្រាំបួនឆ្នាំរបស់ Edward Kasner បានបង្កើតពាក្យ "googol" ដែលល្បីល្បាញនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ដោយតំណាងឱ្យឯកតាដែលមានលេខសូន្យ។ ប៉ុន្តែត្រលប់ទៅ fractal ។ គណិតវិទូជនជាតិអាមេរិកចូលចិត្តសួរសំណួរថាតើប្រវែងប៉ុន្មាន ឆ្នេរសមុទ្រសហរដ្ឋអាមេរិក។ បន្ទាប់​ពី​បាន​ស្តាប់​យោបល់​របស់​អ្នក​ឆ្លើយឆ្លង​រួច លោក Edward ខ្លួន​ឯង​បាន​និយាយ​ចំលើយ​ត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ប្រវែងនៅលើផែនទីជាមួយនឹងផ្នែកដែលខូច នោះលទ្ធផលនឹងមិនត្រឹមត្រូវទេ ព្រោះឆ្នេរសមុទ្រមាន មួយ​ចំនួន​ធំ​នៃភាពមិនប្រក្រតី។ ហើយ​តើ​នឹង​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​អ្នក​វាស់​បាន​ត្រឹម​ត្រូវ​តាម​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន? អ្នកនឹងត្រូវគិតគូរពីប្រវែងនៃភាពមិនស្មើគ្នានីមួយៗ - អ្នកនឹងត្រូវវាស់កំពស់នីមួយៗ ច្រកដាក់ថ្មនីមួយៗ ប្រវែងនៃផ្ទាំងថ្ម ថ្មនៅលើវា គ្រាប់ខ្សាច់ អាតូម។ល។ ដោយសារចំនួននៃភាពមិនប្រក្រតីមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ប្រវែងដែលបានវាស់វែងនៃឆ្នេរសមុទ្រនឹងកើនឡើងដល់កម្រិតគ្មានទីបញ្ចប់ជាមួយនឹងភាពមិនប្រក្រតីថ្មីនីមួយៗ។

រង្វាស់តូចជាងនៅពេលវាស់ ប្រវែងវាស់កាន់តែធំ

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ បន្ទាប់ពីការប្រាប់របស់ Edward កុមារមានភាពរហ័សរហួនជាងមនុស្សពេញវ័យក្នុងការនិយាយចម្លើយត្រឹមត្រូវ ខណៈពេលដែលអ្នកក្រោយមានបញ្ហាក្នុងការទទួលយកចម្លើយដែលមិនគួរឱ្យជឿបែបនេះ។

ដោយប្រើបញ្ហានេះជាឧទាហរណ៍ Mandelbrot បានស្នើឱ្យប្រើវិធីសាស្រ្តថ្មីសម្រាប់ការវាស់វែង។ ដោយសារឆ្នេរសមុទ្រនៅជិតនឹងខ្សែកោង fractal វាមានន័យថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រកំណត់លក្ខណៈ ដែលហៅថាវិមាត្រ fractal អាចត្រូវបានអនុវត្តទៅវា។

អ្វីដែលជាវិមាត្រធម្មតាគឺច្បាស់សម្រាប់នរណាម្នាក់។ ប្រសិនបើវិមាត្រស្មើនឹងមួយ យើងទទួលបានបន្ទាត់ត្រង់មួយ ប្រសិនបើពីរ - រូបសំប៉ែត, បីគឺជាបរិមាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការយល់ដឹងអំពីវិមាត្រក្នុងគណិតវិទ្យាមិនដំណើរការជាមួយខ្សែកោងប្រភាគទេ ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះមានតម្លៃប្រភាគ។ វិមាត្រប្រភាគនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា "រដុប" ។ ភាពរដុបនៃខ្សែកោងកាន់តែខ្ពស់ វិមាត្រ fractal របស់វាកាន់តែធំ។ ខ្សែកោងដែលយោងទៅតាម Mandelbrot មានវិមាត្រ fractal ខ្ពស់ជាងវិមាត្រ topological របស់វាមានប្រវែងប្រហាក់ប្រហែលដែលមិនអាស្រ័យលើចំនួនវិមាត្រ។

ឥឡូវនេះអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងស្វែងរកកាន់តែច្រើនឡើង ៗ តំបន់ច្រើនទៀតដើម្បីអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃ fractal ។ ដោយមានជំនួយពី fractals អ្នកអាចវិភាគការប្រែប្រួលនៃតម្លៃភាគហ៊ុន រុករកគ្រប់ប្រភេទនៃដំណើរការធម្មជាតិ ដូចជាការប្រែប្រួលនៃចំនួនប្រភេទ ឬក្លែងធ្វើថាមវន្តនៃលំហូរ។ ក្បួនដោះស្រាយ Fractal អាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការបង្ហាប់ទិន្នន័យ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការបង្ហាប់រូបភាព។ ហើយដោយវិធីនេះ ដើម្បីទទួលបាន fractal ដ៏ស្រស់ស្អាតនៅលើអេក្រង់កុំព្យូទ័ររបស់អ្នក អ្នកមិនចាំបាច់មានសញ្ញាបត្របណ្ឌិតទេ។

⇡ Fractal នៅក្នុងកម្មវិធីរុករក

ប្រហែលជាមធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតមួយដើម្បីទទួលបានគំរូ fractal គឺត្រូវប្រើកម្មវិធីនិពន្ធវ៉ិចទ័រអនឡាញពីអ្នកសរសេរកម្មវិធីវ័យក្មេងម្នាក់ដែលមានទេពកោសល្យ Toby Schachman ។ កញ្ចប់ឧបករណ៍នៃកម្មវិធីនិពន្ធក្រាហ្វិកសាមញ្ញនេះគឺផ្អែកលើគោលការណ៍ដូចគ្នានៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។

មានតែរាងសាមញ្ញពីរប៉ុណ្ណោះក្នុងការចោលរបស់អ្នក - ការ៉េ និងរង្វង់មួយ។ អ្នកអាចបន្ថែមពួកវាទៅផ្ទាំងក្រណាត់ មាត្រដ្ឋាន (ដើម្បីធ្វើមាត្រដ្ឋានតាមអ័ក្សមួយសង្កត់គ្រាប់ចុចប្តូរ) ហើយបង្វិល។ ការត្រួតលើគ្នាលើគោលការណ៍នៃប្រតិបត្តិការបន្ថែមប៊ូលីន ធាតុសាមញ្ញបំផុតទាំងនេះបង្កើតទម្រង់ថ្មី និងមិនសូវសំខាន់។ លើសពីនេះ ទម្រង់ថ្មីទាំងនេះអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅក្នុងគម្រោង ហើយកម្មវិធីនឹងបន្តបង្កើតរូបភាពទាំងនេះឡើងវិញដោយគ្មានកំណត់។ នៅដំណាក់កាលណាមួយនៃការធ្វើការលើ fractal អ្នកអាចត្រលប់ទៅសមាសធាតុណាមួយ។ រូបរាងស្មុគស្មាញនិងកែសម្រួលទីតាំង និងធរណីមាត្ររបស់វា។ វាជាការសប្បាយជាច្រើន ជាពិសេសនៅពេលដែលអ្នកពិចារណាថាឧបករណ៍តែមួយគត់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីច្នៃប្រឌិតគឺកម្មវិធីរុករក។ ប្រសិនបើអ្នកមិនយល់ពីគោលការណ៍នៃការធ្វើការជាមួយកម្មវិធីនិពន្ធវ៉ិចទ័រ recursive នេះទេ យើងណែនាំអ្នកឱ្យមើលវីដេអូនៅលើគេហទំព័រផ្លូវការរបស់គម្រោង ដែលបង្ហាញយ៉ាងលម្អិតអំពីដំណើរការទាំងមូលនៃការបង្កើត fractal ។

⇡ XaoS: fractals សម្រាប់គ្រប់រសជាតិ

កម្មវិធីកែសម្រួលក្រាហ្វិកជាច្រើនមានឧបករណ៍ភ្ជាប់មកជាមួយសម្រាប់បង្កើតគំរូ fractal ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ឧបករណ៍ទាំងនេះជាធម្មតាជាបន្ទាប់បន្សំ ហើយមិនអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកែសម្រួលលំនាំប្រភាគដែលបានបង្កើតនោះទេ។ ក្នុងករណីដែលចាំបាច់ត្រូវបង្កើត fractal ត្រឹមត្រូវតាមគណិតវិទ្យា នោះ XaoS cross-platform editor នឹងមកជួយសង្គ្រោះ។ កម្មវិធីនេះធ្វើឱ្យវាមិនត្រឹមតែអាចបង្កើតរូបភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងអាចអនុវត្តឧបាយកលផ្សេងៗជាមួយវាបានផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងពេលវេលាជាក់ស្តែង អ្នកអាច "ដើរ" ឆ្លងកាត់ប្រភាគដោយផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋានរបស់វា។ ចលនាដែលមានចលនាតាមបណ្តោយ fractal អាចត្រូវបានរក្សាទុកជាឯកសារ XAF ហើយបន្ទាប់មកចាក់ឡើងវិញនៅក្នុងកម្មវិធីខ្លួនឯង។

XaoS អាចផ្ទុកសំណុំប៉ារ៉ាម៉ែត្រចៃដន្យ ក៏ដូចជាប្រើតម្រងក្រោយដំណើរការរូបភាពផ្សេងៗ - បន្ថែមបែបផែនចលនាមិនច្បាស់ ធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរមុតស្រួចរវាងចំនុចប្រភាគ ក្លែងធ្វើរូបភាព 3D ជាដើម។

⇡ Fractal Zoomer: ម៉ាស៊ីនបង្កើត fractal បង្រួម

បើប្រៀបធៀបទៅនឹងម៉ាស៊ីនបង្កើតរូបភាព fractal ផ្សេងទៀត វាមានគុណសម្បត្តិជាច្រើន។ ទីមួយវាមានទំហំតូចណាស់ ហើយមិនត្រូវការការដំឡើងទេ។ ទីពីរវាអនុវត្តសមត្ថភាពក្នុងការកំណត់ក្ដារលាយពណ៌នៃរូបភាព។ អ្នកអាចជ្រើសរើសស្រមោលជាពណ៌ RGB, CMYK, HVS និង HSL ។

វាក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរក្នុងការប្រើជម្រើសនៃការជ្រើសរើសចៃដន្យនៃស្រមោលពណ៌ និងមុខងារនៃការដាក់បញ្ច្រាសពណ៌ទាំងអស់នៅក្នុងរូបភាព។ ដើម្បីកែតម្រូវពណ៌ មានមុខងារនៃការជ្រើសរើសស្រមោលជារង្វង់ - នៅពេលដែលរបៀបដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបើក កម្មវិធីនេះធ្វើឱ្យរូបភាពមានចលនា ផ្លាស់ប្តូរពណ៌ជារង្វង់នៅលើវា។

Fractal Zoomer អាចមើលឃើញមុខងារ fractal ផ្សេងគ្នាចំនួន 85 ហើយរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងម៉ឺនុយកម្មវិធី។ មានតម្រងសម្រាប់រូបភាពក្រោយដំណើរការនៅក្នុងកម្មវិធី ទោះបីជាក្នុងចំនួនតិចតួចក៏ដោយ។ តម្រងដែលបានកំណត់នីមួយៗអាចត្រូវបានលុបចោលនៅពេលណាក៏បាន។

⇡ Mandelbulb3D៖ កម្មវិធីនិពន្ធប្រភាគ 3D

នៅពេលដែលពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានគេប្រើ វាច្រើនតែមានន័យថាជារូបភាពពីរវិមាត្រ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ធរណីមាត្រ fractal ហួសពីវិមាត្រ 2D ។ នៅក្នុងធម្មជាតិ មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញឧទាហរណ៍ទាំងពីរនៃទម្រង់ fractal រាបស្មើ និយាយថា ធរណីមាត្រនៃផ្លេកបន្ទោរ និងតួលេខបីវិមាត្រ។ ផ្ទៃប្រភាគអាចជា 3D និងជារូបភាពមួយក្នុងចំនោមរូបភាពនៃប្រភាគ 3D នៅក្នុង ជីវិត​ប្រចាំថ្ងៃ- ក្បាលស្ពៃក្តោប។ ប្រហែលជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីមើល fractal គឺនៅក្នុង Romanesco ដែលជាកូនកាត់នៃផ្កាខាត់ណាខៀវ និងផ្កាខាត់ណាខៀវ។

ហើយ fractal នេះអាចត្រូវបានគេបរិភោគ

កម្មវិធី Mandelbulb3D អាចបង្កើតវត្ថុបីវិមាត្រដែលមានរូបរាងស្រដៀងគ្នា។ ដើម្បីទទួលបានផ្ទៃ 3D ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal អ្នកនិពន្ធនៃកម្មវិធីនេះ Daniel White និង Paul Nylander បានបំប្លែងសំណុំ Mandelbrot ទៅជាកូអរដោនេស្វ៊ែរ។ កម្មវិធី Mandelbulb3D ដែលពួកគេបានបង្កើតគឺជាកម្មវិធីនិពន្ធបីវិមាត្រពិតប្រាកដដែលធ្វើគំរូលើផ្ទៃប្រភាគនៃរាងផ្សេងៗ។ ដោយសារយើងសង្កេតឃើញលំនាំ fractal នៅក្នុងធម្មជាតិជាញឹកញាប់ វត្ថុបីវិមាត្រដែលបង្កើតដោយសិប្បនិម្មិតហាក់ដូចជាមានភាពប្រាកដនិយមមិនគួរឱ្យជឿ ហើយសូម្បីតែ "រស់" ។

វាអាចមើលទៅដូចជារុក្ខជាតិ វាអាចស្រដៀងនឹងសត្វចម្លែក ភពផែនដី ឬអ្វីផ្សេងទៀត។ បែបផែននេះត្រូវបានពង្រឹងដោយក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាញកម្រិតខ្ពស់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីទទួលបានការឆ្លុះបញ្ចាំងជាក់ស្តែង គណនាតម្លាភាព និងស្រមោល ក្លែងធ្វើឥទ្ធិពលនៃជម្រៅនៃវាល និងអ្វីៗផ្សេងទៀត។ Mandelbulb3D មានចំនួនច្រើននៃការកំណត់ និងជម្រើសបង្ហាញ។ អ្នកអាចគ្រប់គ្រងស្រមោលនៃប្រភពពន្លឺ ជ្រើសរើសផ្ទៃខាងក្រោយ និងកម្រិតនៃព័ត៌មានលម្អិតនៃវត្ថុដែលបានធ្វើគំរូ។

កម្មវិធីនិពន្ធ incendia fractal គាំទ្រការធ្វើឱ្យរូបភាពទ្វេររលូន មានបណ្ណាល័យនៃ fractal បីវិមាត្រផ្សេងគ្នាហាសិប និងមានម៉ូឌុលដាច់ដោយឡែកសម្រាប់កែសម្រួលរូបរាងមូលដ្ឋាន។

កម្មវិធីប្រើការសរសេរស្គ្រីប fractal ដែលអ្នកអាចពិពណ៌នាដោយឯករាជ្យនូវប្រភេទថ្មីនៃរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ។ Incendia មានកម្មវិធីនិពន្ធវាយនភាព និងសម្ភារៈ និងម៉ាស៊ីនបង្ហាញដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើបែបផែនអ័ព្ទកម្រិតសំឡេង និងឧបករណ៍ស្រមោលផ្សេងៗ។ កម្មវិធីនេះមានជម្រើសមួយដើម្បីរក្សាទុកសតិបណ្ដោះអាសន្នក្នុងអំឡុងពេលការបង្ហាញរយៈពេលវែង ការបង្កើតចលនាត្រូវបានគាំទ្រ។

Incendia អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកនាំចេញគំរូ fractal ទៅជាទម្រង់ក្រាហ្វិក 3D ដ៏ពេញនិយម - OBJ និង STL ។ Incendia រួមបញ្ចូលឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ធរណីមាត្រតូចមួយ ដែលជាឧបករណ៍ពិសេសសម្រាប់រៀបចំការនាំចេញផ្ទៃប្រភាគទៅជាគំរូបីវិមាត្រ។ ដោយប្រើឧបករណ៍ប្រើប្រាស់នេះ អ្នកអាចកំណត់គុណភាពបង្ហាញនៃផ្ទៃ 3D បញ្ជាក់ចំនួននៃការធ្វើឡើងវិញ fractal ។ ម៉ូដែលដែលបាននាំចេញអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងគម្រោង 3D នៅពេលធ្វើការជាមួយកម្មវិធីនិពន្ធ 3D ដូចជា Blender, 3ds max និងផ្សេងទៀត។

អេ ពេលថ្មីៗនេះការងារលើគម្រោង Incendia បានថយចុះបន្តិច។ នៅពេលនេះ អ្នកនិពន្ធកំពុងស្វែងរកអ្នកឧបត្ថម្ភ ដែលអាចជួយគាត់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍កម្មវិធីនេះ។

ប្រសិនបើអ្នកមិនមានការស្រមើលស្រមៃគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគូររូបប្រភាគបីវិមាត្រដ៏ស្រស់ស្អាតនៅក្នុងកម្មវិធីនេះទេ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីនោះទេ។ ប្រើបណ្ណាល័យប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងថតឯកសារ INCENDIA_EX\parameters។ ដោយមានជំនួយពីឯកសារ PAR អ្នកអាចរកឃើញទម្រង់ fractal មិនធម្មតាបំផុតយ៉ាងឆាប់រហ័ស រួមទាំងមានចលនាផងដែរ។

⇡ អូរ៉ាល់៖ របៀបដែលហ្វ្រេថលច្រៀង

ជាធម្មតាយើងមិននិយាយអំពីគម្រោងដែលទើបតែកំពុងដំណើរការនោះទេ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ យើងត្រូវធ្វើការលើកលែង នេះគឺជាកម្មវិធីមិនធម្មតាណាស់។ គម្រោងមួយដែលមានឈ្មោះថា Aural បានកើតឡើងជាមួយនឹងមនុស្សដូចគ្នាជាមួយ Incendia ។ ពិតហើយ លើកនេះ កម្មវិធីនេះមិនឃើញឈុត fractal ទេ ប៉ុន្តែបញ្ចេញសំឡេង ដោយប្រែក្លាយវាទៅជាតន្ត្រីអេឡិចត្រូនិច។ គំនិតនេះគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ជាពិសេសការពិចារណាលើលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតានៃ fractal ។ Aural គឺជាកម្មវិធីនិពន្ធអូឌីយ៉ូដែលបង្កើតបទភ្លេងដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal ពោលគឺតាមពិត វាគឺជាឧបករណ៍សំយោគសំឡេង។

លំដាប់នៃសំឡេងដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកម្មវិធីនេះគឺមិនធម្មតានិង ... ស្រស់ស្អាត។ វាអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការសរសេរចង្វាក់សម័យទំនើប ហើយតាមគំនិតរបស់យើង ជាពិសេសគឺសមល្អសម្រាប់ការបង្កើត បទអូឌីយ៉ូទៅធាតុរក្សាអេក្រង់នៃកម្មវិធីទូរទស្សន៍ និងវិទ្យុ ក៏ដូចជា "រង្វិលជុំ" នៃតន្ត្រីផ្ទៃខាងក្រោយសម្រាប់ហ្គេមកុំព្យូទ័រ។ Ramiro មិន​ទាន់​បាន​ផ្តល់​ជូន​នៅ​ឡើយ​ទេ។ កំណែសាកល្បងនៃកម្មវិធីរបស់គាត់ ប៉ុន្តែសន្យាថានៅពេលដែលគាត់ធ្វើ ដើម្បីធ្វើការជាមួយ Aural គាត់នឹងមិនចាំបាច់សិក្សាទ្រឹស្ដីនៃ fractal ទេ - គ្រាន់តែលេងជុំវិញជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតលំដាប់នៃចំណាំ។ ស្តាប់ពីរបៀបដែល fractal ស្តាប់ទៅ, និង។

Fractals: ការផ្អាកតន្ត្រី

ជាការពិត ហ្វ្រេតូស អាចជួយសរសេរតន្ត្រីបាន ទោះបីជាគ្មានកម្មវិធីក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែនេះអាចត្រូវបានធ្វើបានតែដោយនរណាម្នាក់ដែលជាប់ចិត្តនឹងគំនិតនៃភាពសុខដុមរមនាធម្មជាតិហើយក្នុងពេលតែមួយមិនបានប្រែទៅជា "nerd" អកុសលទេ។ វាសមហេតុផលក្នុងការយកតម្រុយពីតន្ត្រីករម្នាក់ឈ្មោះ Jonathan Coulton ដែលក្នុងចំណោមរឿងផ្សេងទៀត សរសេរការតែងនិពន្ធសម្រាប់ទស្សនាវដ្តី Popular Science ។ ហើយមិនដូចសិល្បករផ្សេងទៀតទេ Colton បោះពុម្ពផ្សាយស្នាដៃរបស់គាត់ទាំងអស់ក្រោមអាជ្ញាប័ណ្ណ Creative Commons Attribution-Noncommercial License ដែល (នៅពេលប្រើសម្រាប់គោលបំណងមិនមែនពាណិជ្ជកម្ម) ផ្តល់ការចម្លង ការចែកចាយ ការផ្ទេរការងារទៅអ្នកដ៏ទៃ ក៏ដូចជាការកែប្រែរបស់វា (ការបង្កើត នៃការងារដេរីវេ) ដើម្បីសម្របវាទៅតាមតម្រូវការរបស់អ្នក។

ជាការពិតណាស់ Jonathan Colton មានបទចម្រៀងអំពី fractals ។

⇡ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

នៅក្នុងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលនៅជុំវិញយើង យើងតែងតែឃើញភាពច្របូកច្របល់ ប៉ុន្តែតាមពិត នេះមិនមែនជាឧបទ្ទវហេតុនោះទេ ប៉ុន្តែជាទម្រង់ដ៏ល្អមួយ ដែល Fractals ជួយយើងឱ្យយល់ច្បាស់។ ធម្មជាតិគឺជាស្ថាបត្យករដ៏ល្អបំផុត អ្នកសាងសង់ និងវិស្វករដ៏ល្អម្នាក់។ វាត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងឡូជីខល ហើយប្រសិនបើកន្លែងណាមួយដែលយើងមិនឃើញគំរូ នេះមានន័យថាយើងត្រូវស្វែងរកវានៅលើមាត្រដ្ឋានផ្សេង។ មនុស្ស​យល់​ពី​ចំណុច​នេះ​កាន់​តែ​ល្អ​ប្រសើរ ដោយ​ព្យាយាម​យក​តម្រាប់​តាម​វិធី​ជា​ច្រើន។ ទម្រង់ធម្មជាតិ. វិស្វកររចនាប្រព័ន្ធបំពងសំឡេងក្នុងទម្រង់ជាសែល បង្កើតអង់តែនជាមួយធរណីមាត្រ ផ្កាព្រិល។ល។ យើងប្រាកដថា Fractals នៅតែរក្សាអាថ៌កំបាំងជាច្រើន ហើយពួកគេជាច្រើនមិនទាន់ត្រូវបានរកឃើញដោយមនុស្សទេ។

ដើមឈើ, ឆ្នេរសមុទ្រ, ពពកឬ សរសៃឈាមនៅក្នុងដៃរបស់យើង? នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាថាវត្ថុទាំងអស់នេះមិនមានអ្វីដូចគ្នាទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតាមការពិតមានទ្រព្យសម្បត្តិមួយនៃរចនាសម្ព័ន្ធដែលមាននៅក្នុងវត្ថុដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់: ពួកវាមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា។ ពីមែកឈើក៏ដូចជាពីដើមរបស់មែកធាងដំណើរការតូចៗបានចាកចេញពីពួកគេ - សូម្បីតែតូចជាងជាដើម នោះគឺសាខាមួយស្រដៀងនឹងដើមឈើទាំងមូល។ ប្រព័ន្ធឈាមរត់ត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា: សរសៃឈាមអាកទែរចេញពីសរសៃឈាមហើយពីពួកគេ - សរសៃឈាមតូចបំផុតដែលអុកស៊ីសែនចូលទៅក្នុងសរីរាង្គនិងជាលិកា។ តោះមើល រូបភាពអវកាស ឆ្នេរសមុទ្រ៖ យើងនឹងឃើញឆ្នេរសមុទ្រ និងឧបទ្វីប; ចូរយើងក្រឡេកមើលវា ប៉ុន្តែពីទិដ្ឋភាពភ្នែករបស់បក្សី៖ យើងនឹងឃើញឆ្នេរសមុទ្រ និងមួក។ ឥឡូវនេះស្រមៃថាយើងកំពុងឈរនៅលើឆ្នេរហើយសម្លឹងមើលជើងរបស់យើង: វាតែងតែមានគ្រួសដែលលាតសន្ធឹងចូលទៅក្នុងទឹកជាងនៅសល់។ នោះគឺឆ្នេរសមុទ្រនៅតែស្រដៀងនឹងខ្លួនវានៅពេលពង្រីក។ គណិតវិទូជនជាតិអាមេរិកលោក Benoit Mandelbrot បានហៅទ្រព្យសម្បត្តិនេះថា fractus របស់វត្ថុ ហើយវត្ថុបែបនេះខ្លួនឯង - fractal (មកពីឡាតាំង fractus - ខូច) ។

គំនិតនេះមិនមាននិយមន័យតឹងរ៉ឹងទេ។ ដូច្នេះ ពាក្យ «ប្រភាគ» មិនមែនជាពាក្យគណិតវិទ្យាទេ។ ជាធម្មតា fractal គឺជាតួលេខធរណីមាត្រដែលបំពេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយ ឬច្រើនខាងក្រោម៖ រចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញនៅការពង្រីកណាមួយ (ឧទាហរណ៍មិនដូចបន្ទាត់ត្រង់ផ្នែកណាមួយដែលជាតួលេខធរណីមាត្រសាមញ្ញបំផុត - ផ្នែកមួយ) ។ វាគឺ (ប្រហែល) ស្រដៀងគ្នា។ វាមានវិមាត្រប្រភាគ Hausdorff (fractal) ដែលធំជាងផ្នែក topological ។ អាចត្រូវបានសាងសង់ជាមួយនឹងនីតិវិធីកើតឡើងវិញ។

ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត

ការសិក្សាអំពី fractal វេននៃ XIXហើយសតវត្សទី 20 គឺមានភាពវិសេសវិសាលជាងប្រព័ន្ធ ពីព្រោះគណិតវិទូសម័យមុនភាគច្រើនសិក្សាវត្ថុ "ល្អ" ដែលអាចធ្វើការស៊ើបអង្កេតដោយប្រើ វិធីសាស្រ្តទូទៅនិងទ្រឹស្តី។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Karl Weierstrass បង្កើតឧទាហរណ៍មួយ។ មុខងារបន្តដែលមិនខុសគ្នាត្រង់ណាឡើយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសាងសង់របស់វាមានលក្ខណៈអរូបី និងពិបាកយល់។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងឆ្នាំ 1904 ស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតជាខ្សែកោងបន្តគ្នា ដែលមិនមានភាពលំអៀងនៅកន្លែងណាមួយ ហើយវាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការគូរវា។ វាបានប្រែក្លាយថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ fractal មួយ។ បំរែបំរួលមួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថា Koch snowflake ។

គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខត្រូវបានជ្រើសរើសដោយជនជាតិបារាំង Paul Pierre Levy ដែលជាអ្នកណែនាំអនាគតរបស់ Benoit Mandelbrot ។ នៅឆ្នាំ 1938 អត្ថបទរបស់គាត់ដែលមានចំណងជើងថា "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកស្រដៀងនឹងទាំងមូល" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះមានប្រភាគមួយទៀតត្រូវបានពិពណ៌នា - ខ្សែកោង Lévy C-curve ។ fractal ទាំងអស់ដែលបានរាយបញ្ជីខាងលើអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈតាមលក្ខខណ្ឌទៅនឹងថ្នាក់មួយនៃ constructive (geometric) fractal ។

ថ្នាក់មួយទៀតគឺថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal ដែលរួមបញ្ចូលសំណុំ Mandelbrot ។ ការស្រាវជ្រាវដំបូងក្នុងទិសដៅនេះបានចាប់ផ្តើមនៅដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Gaston Julia និង Pierre Fatou ។ នៅឆ្នាំ 1918 Julia បានបោះពុម្ពសៀវភៅអនុស្សាវរីយ៍ជិតពីររយទំព័រដែលឧទ្ទិសដល់ការធ្វើឡើងវិញនៃភាពស្មុគស្មាញ មុខងារសមហេតុផលដែលពិពណ៌នាអំពីសំណុំ Julia ដែលជាក្រុមគ្រួសារទាំងមូលនៃ fractals ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ស្នាដៃនេះត្រូវបានប្រគល់រង្វាន់ពីបណ្ឌិតសភាបារាំង ប៉ុន្តែវាមិនមានរូបគំនូរតែមួយទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកោតសរសើរចំពោះភាពស្រស់ស្អាតនៃវត្ថុដែលបានរកឃើញ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាការងារនេះបានធ្វើឱ្យ Julia ល្បីល្បាញក្នុងចំណោមគណិតវិទូសម័យនោះវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ជាថ្មីម្តងទៀតការយកចិត្តទុកដាក់បានងាកទៅរកវាត្រឹមតែពាក់កណ្តាលសតវត្សក្រោយមកជាមួយនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រ: វាគឺជាពួកគេដែលបានធ្វើឱ្យមើលឃើញភាពសម្បូរបែបនិងភាពស្រស់ស្អាតនៃពិភពនៃ fractals ។

វិមាត្រប្រភាគ

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាវិមាត្រ (ចំនួនរង្វាស់) នៃតួលេខធរណីមាត្រគឺជាចំនួនកូអរដោនេដែលចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចដែលស្ថិតនៅលើតួលេខនេះ។
ឧទាហរណ៍ ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេមួយ នៅលើផ្ទៃមួយ (មិនចាំបាច់ជាយន្តហោះទេ) ដោយកូអរដោណេពីរ ក្នុងលំហបីវិមាត្រដោយកូអរដោនេបី។
ជាមួយនឹងទូទៅជាង ចំណុចគណិតវិទ្យាទិដ្ឋភាព យើងអាចកំណត់វិមាត្រតាមវិធីនេះ៖ ការកើនឡើងនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរ និយាយថា ពីរដងសម្រាប់វត្ថុមួយវិមាត្រ (ពីចំណុចខាងលើ) វត្ថុ (ផ្នែក) នាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃទំហំ (ប្រវែង) ដោយកត្តានៃ ពីរសម្រាប់វិមាត្រពីរ (ការេ) ការកើនឡើងដូចគ្នានៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃទំហំ (តំបន់) 4 ដងសម្រាប់បីវិមាត្រ (គូប) - 8 ដង។ នោះគឺវិមាត្រ "ពិត" (ដែលគេហៅថា Hausdorff) អាចត្រូវបានគណនាជាសមាមាត្រនៃលោការីតនៃការកើនឡើងនៃ "ទំហំ" នៃវត្ថុទៅនឹងលោការីតនៃការកើនឡើងនៃទំហំលីនេអ៊ែររបស់វា។ នោះគឺសម្រាប់ផ្នែក D=log (2)/log (2)=1 សម្រាប់យន្តហោះ D=log (4)/log (2)=2 សម្រាប់ volume D=log (8)/log (2 )=៣.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch សម្រាប់ការសាងសង់ដែលផ្នែកឯកតាត្រូវបានបែងចែកជា 3 ផ្នែកស្មើគ្នា ហើយចន្លោះពេលកណ្តាលត្រូវបានជំនួសដោយត្រីកោណសមភាពដោយគ្មានផ្នែកនេះ។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរនៃផ្នែកអប្បបរមាបីដងប្រវែងនៃខ្សែកោង Koch កើនឡើងនៅក្នុងកំណត់ហេតុ (4) / log (3) ~ 1.26 ។ នោះគឺវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch គឺប្រភាគ!

វិទ្យាសាស្ត្រ និងសិល្បៈ

នៅឆ្នាំ 1982 សៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះអ្នកនិពន្ធបានប្រមូល និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវព័ត៌មានស្ទើរតែទាំងអស់អំពី fractal ដែលមាននៅពេលនោះ ហើយបង្ហាញវាក្នុងលក្ខណៈងាយស្រួល និងអាចចូលដំណើរការបាន។ Mandelbrot បានសង្កត់ធ្ងន់ជាចម្បងនៅក្នុងបទបង្ហាញរបស់គាត់ មិនមែនលើរូបមន្តសញ្ជឹងគិត និងការស្ថាបនាគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើវិចារណញាណធរណីមាត្ររបស់អ្នកអាន។ សូមអរគុណដល់កុំព្យូទ័រដែលបានបង្កើតរូបភាព និងរឿងប្រវត្តិសាស្ត្រ ដែលអ្នកនិពន្ធបានបំប្លែងសមាសធាតុវិទ្យាសាស្ត្រនៃអក្សរកាត់យ៉ាងប៉ិនប្រសប់ សៀវភៅនេះបានក្លាយជាសៀវភៅលក់ដាច់បំផុត ហើយ Fractal ត្រូវបានគេស្គាល់ដល់សាធារណជនទូទៅ។ ភាពជោគជ័យរបស់ពួកគេក្នុងចំណោមអ្នកមិនគណិតវិទ្យាគឺភាគច្រើនដោយសារតែការពិតដែលថាដោយមានជំនួយពីសំណង់សាមញ្ញបំផុតនិងរូបមន្តដែលសូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យក៏អាចយល់បានរូបភាពនៃភាពស្មុគស្មាញនិងភាពស្រស់ស្អាតដ៏អស្ចារ្យត្រូវបានទទួល។ ពេលណា​ កុំព្យូទ័រផ្ទាល់ខ្លួនកាន់តែមានថាមពលខ្លាំង សូម្បីតែនិន្នាការសិល្បៈទាំងមូលក៏លេចចេញមកដែរ - ការគូររូបប្រភាគ ហើយស្ទើរតែគ្រប់ម្ចាស់កុំព្យូទ័រអាចធ្វើវាបាន។ ឥឡូវនេះនៅលើអ៊ីនធឺណិតអ្នកអាចរកឃើញគេហទំព័រជាច្រើនយ៉ាងងាយស្រួលដែលឧទ្ទិសដល់ប្រធានបទនេះ។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង Koch

ស​ង្រ្គា​ម​និង​សន្តិភាព

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើវត្ថុធម្មជាតិមួយក្នុងចំណោមវត្ថុធម្មជាតិដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal គឺឆ្នេរសមុទ្រ។ រឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយវា ឬផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការប៉ុនប៉ងវាស់ប្រវែងរបស់វា ដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃអត្ថបទវិទ្យាសាស្ត្ររបស់ Mandelbrot ហើយត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរនៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "The Fractal Geometry of Nature" ។ យើងកំពុងនិយាយអំពីការពិសោធន៍មួយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោក Lewis Richardson ដែលជាគណិតវិទូដ៏ប៉ិនប្រសប់ រូបវិទ្យា និងឧតុនិយម។ ទិសដៅមួយនៃការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់គឺការប៉ុនប៉ងដើម្បីស្វែងរកការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យាអំពីមូលហេតុ និងលទ្ធភាពនៃជម្លោះប្រដាប់អាវុធរវាងប្រទេសទាំងពីរ។ ក្នុង​ចំណោម​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ដែល​លោក​បាន​គិត​គឺ​ប្រវែង​នៃ​ព្រំដែន​រួម​រវាង​ប្រទេស​ដែល​មាន​សង្គ្រាម​ទាំង​ពីរ។ នៅពេលដែលគាត់បានប្រមូលទិន្នន័យសម្រាប់ការពិសោធន៍ជាលេខ គាត់បានរកឃើញថានៅក្នុង ប្រភពផ្សេងៗគ្នាទិន្នន័យនៅលើ ព្រំដែនរួមអេស្ប៉ាញ និងព័រទុយហ្គាល់ មានភាពខុសគ្នាខ្លាំង។ នេះបាននាំឱ្យគាត់មានការរកឃើញដូចខាងក្រោម: ប្រវែងនៃព្រំដែនរបស់ប្រទេសគឺអាស្រ័យលើអ្នកគ្រប់គ្រងដែលយើងវាស់ពួកគេ។ របៀប មាត្រដ្ឋានតូចជាងព្រំដែនកាន់តែយូរ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅការពង្រីកកាន់តែខ្ពស់វាអាចយកទៅក្នុងគណនីពត់កាន់តែច្រើនឡើងនៃឆ្នេរសមុទ្រដែលពីមុនត្រូវបានគេមិនអើពើដោយសារតែភាពរដុបនៃការវាស់វែង។ ហើយប្រសិនបើជាមួយនឹងការពង្រីកនីមួយៗ ខ្សែកោងដែលមិនមានគណនីពីមុនត្រូវបានបើក នោះវាប្រែថាប្រវែងនៃស៊ុមគឺគ្មានកំណត់! ពិតហើយ ការពិតវាមិនកើតឡើងទេ - ភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងរបស់យើងមានកម្រិតកំណត់។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថាឥទ្ធិពល Richardson ។

ស្ថាបនា (ធរណីមាត្រ) fractal

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើត fractal ស្ថាបនានៅក្នុងករណីទូទៅមានដូចខាងក្រោម។ ជាដំបូងយើងត្រូវការរាងធរណីមាត្រដែលសមស្របចំនួនពីរ សូមហៅវាថា មូលដ្ឋាន និងបំណែក។ នៅដំណាក់កាលដំបូង មូលដ្ឋាននៃ fractal នាពេលអនាគតត្រូវបានបង្ហាញ។ បន្ទាប់មកផ្នែកខ្លះរបស់វាត្រូវបានជំនួសដោយបំណែកដែលយកក្នុងមាត្រដ្ឋានសមស្រប - នេះគឺជាការស្ថាបនាឡើងវិញជាលើកដំបូង។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងតួលេខលទ្ធផល ផ្នែកខ្លះម្តងទៀតផ្លាស់ប្តូរទៅជាតួរលេខដែលស្រដៀងនឹងបំណែក ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត។ ប្រសិនបើយើងបន្តដំណើរការនេះដោយគ្មានកំណត់ នោះនៅក្នុងដែនកំណត់យើងទទួលបាន fractal ។

ពិចារណាដំណើរការនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោង Koch (សូមមើលរបារចំហៀងនៅលើទំព័រមុន) ។ ខ្សែកោងណាមួយអាចត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាននៃខ្សែកោង Koch (សម្រាប់ Koch snowflake នេះគឺជាត្រីកោណ) ។ ប៉ុន្តែយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងករណីសាមញ្ញបំផុត - ផ្នែកមួយ។ បំណែកគឺជាបន្ទាត់ដែលខូចដែលបង្ហាញនៅលើកំពូលនៃរូបភាព។ បន្ទាប់ពីការធ្វើឡើងវិញដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយ ក្នុងករណីនេះ ផ្នែកដើមនឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងបំណែក បន្ទាប់មកផ្នែកនីមួយៗនៃធាតុផ្សំរបស់វានឹងត្រូវបានជំនួសដោយបន្ទាត់ដែលខូចស្រដៀងនឹងបំណែក ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តួលេខបង្ហាញពីបួនដំបូង។ ជំហាននៃដំណើរការនេះ។

ភាសានៃគណិតវិទ្យា៖ ថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal

Fractals នៃប្រភេទនេះកើតឡើងនៅក្នុងការសិក្សានៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ (ដូច្នេះឈ្មោះ) ។ ឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមុខងារ nonlinear ស្មុគស្មាញ (ពហុធា) f (z) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចំណុចដំបូងមួយចំនួន z0 នៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ (សូមមើលរបារចំហៀង) ។ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណានូវលំដាប់លំដោយគ្មានកំណត់នៃលេខនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ ដែលនីមួយៗទទួលបានពីលេខមុន៖ z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)។ អាស្រ័យលើចំណុចដំបូង z0 លំដាប់បែបនេះអាចមានឥរិយាបទខុសគ្នា៖ ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដូចជា n -> ∞; បង្រួបបង្រួមទៅចំណុចបញ្ចប់មួយចំនួន; វដ្តយកចំនួននៃតម្លៃថេរមួយ; ជម្រើសស្មុគស្មាញជាងគឺអាចធ្វើទៅបាន។

លេខស្មុគស្មាញ

ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួនដែលមានពីរផ្នែក - ពិត និងស្រមើលស្រមៃ នោះគឺជាផលបូកផ្លូវការ x + iy (x និង y នៅទីនេះ - ចំនួនពិត) ខ្ញុំគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា។ ឯកតាស្រមើលស្រមៃ នោះគឺជាលេខដែលបំពេញសមីការ ខ្ញុំ ^២=-១. លើសចំនួនកុំផ្លិច, មេ ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា- បូក, គុណ, ចែក, ដក (មានតែប្រតិបត្តិការប្រៀបធៀបមិនត្រូវបានកំណត់) ។ ជាញឹកញាប់ប្រើដើម្បីបង្ហាញលេខកុំផ្លិច តំណាងធរណីមាត្រ- នៅលើយន្តហោះ (វាត្រូវបានគេហៅថាស្មុគស្មាញ) ផ្នែកពិតត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស abscissa និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃតាមអ័ក្សតម្រៀប ខណៈដែលចំនួនកុំផ្លិចនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចដែលមានកូអរដោនេ Cartesian x និង y ។

ដូច្នេះ ចំណុច z ណាមួយនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញមានចរិតលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វាក្នុងអំឡុងពេលនៃការធ្វើម្តងទៀតនៃមុខងារ f (z) ហើយយន្តហោះទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក។ លើសពីនេះទៅទៀត ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើព្រំប្រទល់នៃផ្នែកទាំងនេះមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ សម្រាប់ការផ្លាស់ទីលំនៅតូចតាមអំពើចិត្ត ធម្មជាតិនៃអាកប្បកិរិយារបស់ពួកគេបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង (ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាចំណុច bifurcation) ។ ដូច្នេះវាប្រែថាសំណុំនៃចំណុចដែលមានប្រភេទជាក់លាក់មួយនៃឥរិយាបទ ក៏ដូចជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation ជាញឹកញាប់មានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ។ ទាំងនេះគឺជាសំណុំ Julia សម្រាប់មុខងារ f(z)។

គ្រួសារនាគ

ដោយការផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាន និងបំណែក អ្នកអាចទទួលបានភាពខុសគ្នាដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនៃ fractals ស្ថាបនា។
លើសពីនេះទៅទៀតប្រតិបត្តិការបែបនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុង លំហបីវិមាត្រ. ឧទាហរណ៏នៃ fractals volumetric គឺ "អេប៉ុងរបស់ Menger", "ពីរ៉ាមីតរបស់ Sierpinski" និងផ្សេងទៀត។
ក្រុមគ្រួសាររបស់នាគក៏ត្រូវបានគេសំដៅទៅលើ fractals ស្ថាបនាផងដែរ។ ជួនកាលពួកវាត្រូវបានសំដៅលើឈ្មោះរបស់អ្នករកឃើញថាជា "នាគនៃ Heiwei-Harter" (ពួកវាស្រដៀងនឹងនាគចិននៅក្នុងរូបរាងរបស់ពួកគេ) ។ មានវិធីជាច្រើនក្នុងការសាងសង់ខ្សែកោងនេះ។ សាមញ្ញបំផុត និងច្បាស់បំផុតក្នុងចំណោមពួកគេគឺ៖ អ្នកត្រូវយកក្រដាសវែងល្មម (ក្រដាសស្តើងជាងនេះ កាន់តែល្អ) ហើយបត់វាពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់មកម្តងទៀតពត់វានៅពាក់កណ្តាលក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងលើកដំបូង។ បន្ទាប់ពីការផ្នត់ជាច្រើនដង (ជាធម្មតាបន្ទាប់ពីផ្នត់ប្រាំ ឬប្រាំមួយ បន្ទះនឹងក្រាស់ពេកដើម្បីពត់យ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន) អ្នកត្រូវតម្រង់បន្ទះត្រឡប់មកវិញ ហើយព្យាយាមបង្កើតមុំ90˚នៅផ្នត់។ បន្ទាប់មកខ្សែកោងនៃនាគនឹងប្រែជាទម្រង់។ ជាការពិតណាស់ នេះនឹងគ្រាន់តែជាការប៉ាន់ស្មានប៉ុណ្ណោះ ដូចជាការប៉ុនប៉ងរបស់យើងទាំងអស់ដើម្បីពណ៌នាវត្ថុ fractal ។ កុំព្យូទ័រអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពណ៌នាច្រើន។ ជំហានច្រើនទៀតដំណើរការនេះហើយលទ្ធផលគឺជាតួលេខដ៏ស្រស់ស្អាតខ្លាំងណាស់។

ឈុត Mandelbrot ត្រូវបានសាងសង់ខុសគ្នាខ្លះ។ ពិចារណាមុខងារ fc (z) = z 2 +c ដែល c ជា ចំនួនកុំផ្លិច. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលំដាប់នៃអនុគមន៍នេះជាមួយ z0=0 អាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ c វាអាចបង្វែរទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ឬនៅជាប់ព្រំដែន។ លើសពីនេះទៅទៀត តម្លៃទាំងអស់នៃ c ដែលលំដាប់នេះត្រូវបានចងភ្ជាប់ជាសំណុំ Mandelbrot ។ វាត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងលម្អិតដោយ Mandelbrot ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់ និងដោយគណិតវិទូដទៃទៀត ដែលបានរកឃើញមនុស្សជាច្រើន លក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ឈុតនេះ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានិយមន័យនៃសំណុំ Julia និង Mandelbrot គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ តាមពិត ឈុតទាំងពីរនេះមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ពោលគឺសំណុំ Mandelbrot គឺជាតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រស្មុគ្រស្មាញ c ដែល Julia set fc (z) ត្រូវបានតភ្ជាប់ (សំណុំត្រូវបានគេហៅថាតភ្ជាប់ប្រសិនបើវាមិនអាចបែងចែកជាពីរផ្នែកដែលមិនប្រសព្វគ្នាដោយមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែមមួយចំនួន)។

fractal និងជីវិត

សព្វថ្ងៃនេះទ្រឹស្តី fractal រកឃើញ កម្មវិធីធំទូលាយនៅក្នុងតំបន់ផ្សេងៗគ្នា សកម្មភាពរបស់មនុស្ស. បន្ថែមពីលើវត្ថុវិទ្យាសាស្ត្រសុទ្ធសាធសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ និងការគូរគំនូរ fractal ដែលបានរៀបរាប់រួចហើយ fractals ត្រូវបានប្រើក្នុងទ្រឹស្តីព័ត៌មានដើម្បីបង្រួមទិន្នន័យក្រាហ្វិក (នៅទីនេះ ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractals ត្រូវបានប្រើជាចម្បង - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ដើម្បីចងចាំបំណែកតូចមួយ នៃគំនូរ និងការបំប្លែង ដែលអ្នកអាចទទួលបានផ្នែកដែលនៅសល់ វាត្រូវការអង្គចងចាំតិចជាងការរក្សាទុកឯកសារទាំងមូល)។ ដោយការបន្ថែមការរំខានដោយចៃដន្យទៅនឹងរូបមន្តដែលកំណត់ fractal អ្នកអាចទទួលបាន fractal stochastic ដែលបង្ហាញពីវត្ថុពិតមួយចំនួន - ធាតុសង្គ្រោះ ផ្ទៃទឹក រុក្ខជាតិមួយចំនួនដែលត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យក្នុងរូបវិទ្យា ភូមិសាស្ត្រ និងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រដើម្បីសម្រេចបាន។ ភាពស្រដៀងគ្នាកាន់តែច្រើននៃវត្ថុក្លែងធ្វើជាមួយពិត។ នៅក្នុងវិទ្យុអេឡិចត្រូនិក ក្នុងទសវត្សរ៍ចុងក្រោយនេះ ពួកគេបានចាប់ផ្តើមផលិតអង់តែនដែលមានរាងជាប្រភាគ។ ដោយ​ប្រើ​កន្លែង​តិច​តួច ពួកគេ​ផ្តល់​ជូន​យ៉ាង​ល្អ។ ការទទួលភ្ញៀវគុណភាពសញ្ញា។ សេដ្ឋវិទូប្រើ fractals ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូររូបិយប័ណ្ណ (ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានរកឃើញដោយ Mandelbrot ជាង 30 ឆ្នាំមុន) ។ នេះបញ្ចប់ដំណើរកំសាន្តដ៏ខ្លីនេះចូលទៅក្នុងពិភពនៃ fractals ដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសម្បូរបែបរបស់វា។

ជារឿយៗ ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យដែលធ្វើឡើងក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអាចផ្លាស់ប្តូរជីវិតរបស់យើងយ៉ាងខ្លាំង។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ការបង្កើតវ៉ាក់សាំងអាចជួយសង្គ្រោះមនុស្សជាច្រើន ហើយការបង្កើតអាវុធថ្មីនាំទៅរកការសម្លាប់មនុស្ស។ តាមព្យញ្ជនៈកាលពីម្សិលមិញ (តាមមាត្រដ្ឋានប្រវត្តិសាស្ត្រ) មនុស្សម្នាក់ "ជាប់" អគ្គិសនីហើយថ្ងៃនេះគាត់មិនអាចស្រមៃពីជីវិតរបស់គាត់ដោយគ្មានវាទៀតទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយក៏មានការរកឃើញបែបនេះផងដែរដែលដូចដែលពួកគេនិយាយថានៅតែស្ថិតក្នុងស្រមោលហើយទោះបីជាការពិតដែលថាពួកគេក៏មានឥទ្ធិពលខ្លះលើជីវិតរបស់យើងដែរ។ ការរកឃើញមួយក្នុងចំណោមរបកគំហើញទាំងនេះគឺ fractal ។ មនុស្សភាគច្រើនមិនបានឮសូម្បីតែគំនិតបែបនេះ ហើយនឹងមិនអាចពន្យល់អត្ថន័យរបស់វាបានទេ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងព្យាយាមដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណួរនៃអ្វីដែលជា fractal ពិចារណាអត្ថន័យនៃពាក្យនេះពីទស្សនៈនៃវិទ្យាសាស្រ្តនិងធម្មជាតិ។

បញ្ជានៅក្នុងភាពវឹកវរ

ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលជា fractal មួយគួរតែចាប់ផ្តើម debriefing ពីមុខតំណែងនៃគណិតវិទ្យា, ទោះជាយ៉ាងណា, មុននឹងចូលទៅក្នុងវា, យើង philosophize បន្តិច។ មនុស្សគ្រប់រូបមានការចង់ដឹងចង់ឃើញពីធម្មជាតិ អរគុណដែលគាត់បានរៀនពិភពលោកជុំវិញគាត់។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងបំណងប្រាថ្នារបស់គាត់សម្រាប់ចំណេះដឹងគាត់ព្យាយាមធ្វើប្រតិបត្តិការដោយតក្កវិជ្ជាក្នុងការវិនិច្ឆ័យរបស់គាត់។ ដូច្នេះ ការវិភាគដំណើរការដែលកើតឡើងនៅជុំវិញ គាត់ព្យាយាមគណនាទំនាក់ទំនង និងទទួលបានលំនាំជាក់លាក់។ គំនិតដ៏ធំបំផុតនៅលើភពផែនដីកំពុងរវល់ដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។ និយាយដោយប្រយោល អ្នកវិទ្យាសាស្ត្ររបស់យើងកំពុងស្វែងរកគំរូដែលវាមិនមែន និងមិនគួរ។ យ៉ាង​ណា​មិញ សូម្បី​តែ​ក្នុង​ភាព​ចលាចល​ក៏​មាន​ទំនាក់​ទំនង​រវាង​ព្រឹត្តិការណ៍​មួយ​ចំនួន​ដែរ។ ការតភ្ជាប់នេះគឺ fractal ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាមែកឈើដែលបាក់នៅលើផ្លូវ។ បើយើងក្រឡេកមើលវាឱ្យជិត យើងនឹងឃើញថា វាមានមែក និងមែករបស់វា មើលទៅហាក់ដូចជាដើមឈើ។ ភាពស្រដៀងគ្នានៃផ្នែកដាច់ដោយឡែកមួយជាមួយនឹងផ្នែកទាំងមូលផ្តល់សក្ខីកម្មចំពោះអ្វីដែលហៅថាគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលកើតឡើងវិញ។ Fractals នៅក្នុងធម្មជាតិអាចត្រូវបានរកឃើញគ្រប់ពេលវេលា ពីព្រោះទម្រង់អសរីរាង្គ និងសរីរាង្គជាច្រើនត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ទាំងនេះគឺជាពពក និងសំបកសមុទ្រ សំបកខ្យង និងមកុដដើមឈើ និងសូម្បីតែប្រព័ន្ធឈាមរត់។ បញ្ជីនេះអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់។ រាងចៃដន្យទាំងអស់នេះត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងងាយស្រួលដោយក្បួនដោះស្រាយ fractal ។ នៅទីនេះយើងមកពិចារណាពីអ្វីដែល fractal មកពីទស្សនៈនៃវិទ្យាសាស្រ្តពិតប្រាកដ។

ការពិតស្ងួតមួយចំនួន

ពាក្យ "fractal" ត្រូវបានបកប្រែពីឡាតាំងថា "ផ្នែក", "បែងចែក", "បំណែក" ហើយចំពោះខ្លឹមសារនៃពាក្យនេះ ពាក្យបែបនេះមិនមានទេ។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានចាត់ទុកជាសំណុំស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលជាផ្នែកមួយនៃទាំងមូលដែលត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតដោយរចនាសម្ព័ន្ធរបស់វានៅកម្រិតមីក្រូ។ ពាក្យនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សទី 20 ដោយ Benoit Mandelbrot ដែលត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាបិតា។ សព្វថ្ងៃនេះ គំនិតនៃ fractal មានន័យថាតំណាងក្រាហ្វិកនៃរចនាសម្ព័ន្ធជាក់លាក់មួយ ដែលនៅពេលពង្រីកវានឹងស្រដៀងនឹងខ្លួនវាដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មូលដ្ឋានគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការបង្កើតទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានគេដាក់សូម្បីតែមុនពេលកំណើតរបស់ Mandelbrot ខ្លួនគាត់ក៏ដោយ ប៉ុន្តែវាមិនអាចអភិវឌ្ឍរហូតដល់កុំព្យូទ័រអេឡិចត្រូនិចបានបង្ហាញខ្លួន។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ ឬរបៀបដែលវាបានចាប់ផ្តើម

នៅវេននៃសតវត្សទី 19 និងទី 20 ការសិក្សាអំពីធម្មជាតិនៃ fractals គឺជាដំណាក់កាល។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាគណិតវិទូចូលចិត្តសិក្សាវត្ថុដែលអាចត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីទូទៅនិងវិធីសាស្រ្ត។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ K. Weierstrass បានបង្កើតឧទាហរណ៍នៃមុខងារបន្តដែលមិនមានកន្លែងណាខុសគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សំណង់នេះប្រែទៅជាអរូបីទាំងស្រុង និងពិបាកយល់។ បន្ទាប់បានមកដល់ជនជាតិស៊ុយអែត Helge von Koch ដែលក្នុងឆ្នាំ 1904 បានសាងសង់ខ្សែកោងបន្តដែលមិនមានតង់សង់នៅគ្រប់ទីកន្លែង។ វា​គឺ​ជា​ការ​ងាយ​ស្រួល​ណាស់​ក្នុង​ការ​គូរ ហើយ​ដូច​ដែល​វា​បាន​ប្រែ​ក្លាយ វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លក្ខណៈ​ដោយ​លក្ខណៈ​ប្រភាគ។ វ៉ារ្យ៉ង់មួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកនិពន្ធរបស់វា - "ផ្កាព្រិលរបស់ Koch" ។ លើសពីនេះ គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃតួលេខត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអ្នកណែនាំនាពេលអនាគតរបស់ B. Mandelbrot ដែលជាជនជាតិបារាំង Paul Levy ។ នៅឆ្នាំ 1938 គាត់បានបោះពុម្ភក្រដាស "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកដូចជាទាំងមូល"។ នៅក្នុងនោះគាត់បានពិពណ៌នា ប្រភេទថ្មី។- Levy C-curve ។ តួលេខខាងលើទាំងអស់សំដៅលើទម្រង់ដូចជា fractal ធរណីមាត្រ។

ថាមវន្ត ឬពិជគណិត fractal

ឈុត Mandelbrot ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់នេះ។ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Pierre Fatou និង Gaston Julia បានក្លាយជាអ្នកស្រាវជ្រាវដំបូងគេក្នុងទិសដៅនេះ។ នៅឆ្នាំ 1918 Julia បានបោះពុម្ភក្រដាសមួយដោយផ្អែកលើការសិក្សាអំពីការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារស្មុគស្មាញសនិទាន។ នៅទីនេះគាត់បានពិពណ៌នាអំពីក្រុមគ្រួសារនៃ fractal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ទោះបីជាការពិតនោះ។ ការងារ​នេះលើកតម្កើងអ្នកនិពន្ធក្នុងចំណោមគណិតវិទូ នាងត្រូវបានគេបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ហើយត្រឹមតែកន្លះសតវត្សក្រោយមក ដោយសារកុំព្យូទ័រ ការងាររបស់ Julia បានទទួលជីវិតទីពីរ។ កុំព្យូទ័របានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើឱ្យមនុស្សគ្រប់រូបមើលឃើញភាពស្រស់ស្អាតនិងភាពសម្បូរបែបនៃពិភពនៃ fractal ដែលអ្នកគណិតវិទូអាច "មើលឃើញ" ដោយបង្ហាញពួកគេតាមរយៈមុខងារ។ Mandelbrot គឺជាអ្នកដំបូងដែលប្រើកុំព្យូទ័រដើម្បីធ្វើការគណនា (បរិមាណបែបនេះមិនអាចអនុវត្តដោយដៃបានទេ) ដែលធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតរូបភាពនៃតួលេខទាំងនេះ។

បុរសដែលមានការស្រមើលស្រមៃ spatial

Mandelbrot បានចាប់ផ្តើមអាជីពវិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់នៅមជ្ឈមណ្ឌលស្រាវជ្រាវ IBM ។ ដោយសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃការបញ្ជូនទិន្នន័យក្នុងចម្ងាយឆ្ងាយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវប្រឈមមុខនឹងការពិតនៃការបាត់បង់ដ៏ធំដែលកើតឡើងដោយសារតែការរំខានដោយសំឡេង។ Benoit កំពុងស្វែងរកមធ្យោបាយដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ដោយក្រឡេកមើលលទ្ធផលរង្វាស់ គាត់បានទាក់ទាញការចាប់អារម្មណ៍ទៅលើគំរូចម្លែកមួយ ពោលគឺ ក្រាហ្វសំលេងរំខានមើលទៅដូចគ្នានៅលើមាត្រដ្ឋានពេលវេលាខុសៗគ្នា។

រូបភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានគេសង្កេតឃើញទាំងរយៈពេលមួយថ្ងៃ និងរយៈពេលប្រាំពីរថ្ងៃ ឬមួយម៉ោង។ Benoit Mandelbrot ខ្លួនគាត់ជារឿយៗនិយាយម្តងទៀតថាគាត់មិនដំណើរការជាមួយរូបមន្តទេតែលេងជាមួយរូបភាព។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនេះត្រូវបានសម្គាល់ដោយការស្រមើលស្រមៃ គាត់បានបកប្រែបញ្ហាពិជគណិតណាមួយទៅជាតំបន់ធរណីមាត្រ ដែលចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលត្រូវបានសម្គាល់ដោយអ្នកមានហើយបានក្លាយជាឪពុកនៃធរណីមាត្រ fractal ។ យ៉ាងណាមិញ ការយល់ដឹងអំពីតួលេខនេះអាចកើតឡើងបានលុះត្រាតែអ្នកសិក្សាគំនូរ ហើយគិតអំពីអត្ថន័យនៃការបង្វិលចម្លែកទាំងនេះដែលបង្កើតជាគំរូ។ គំនូរ Fractal មិនមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទទេ ប៉ុន្តែពួកវាស្រដៀងគ្នានៅគ្រប់ខ្នាត។

Julia - Mandelbrot

គំនូរមួយក្នុងចំណោមគំនូរដំបូងនៃតួលេខនេះគឺជាការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃឈុតដែលបានកើតមកដោយសារការងាររបស់ Gaston Julia ហើយត្រូវបានបញ្ចប់ដោយ Mandelbrot ។ Gaston កំពុងព្យាយាមស្រមៃមើលថាតើឈុតមួយមើលទៅដូចអ្វី នៅពេលដែលវាត្រូវបានបង្កើតចេញពីរូបមន្តសាមញ្ញ ដែលត្រូវបានធ្វើឡើងវិញដោយរង្វិលជុំមតិត្រឡប់។ ចូរយើងព្យាយាមពន្យល់ពីអ្វីដែលបាននិយាយនៅក្នុងភាសារបស់មនុស្ស ដូច្នេះដើម្បីនិយាយនៅលើម្រាមដៃ។ សម្រាប់ជាក់លាក់ តម្លៃលេខដោយប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរកតម្លៃថ្មី។ យើងជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដូចខាងក្រោម។ លទ្ធផលគឺធំមួយ។ ដើម្បីតំណាងឱ្យសំណុំបែបនេះ អ្នកត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការនេះច្រើនដង៖ រាប់រយ រាប់ពាន់លាន។ នេះជាអ្វីដែល Benoit បានធ្វើ។ គាត់បានដំណើរការលំដាប់ និងផ្ទេរលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ក្រាហ្វិក។ ក្រោយមកគាត់បានដាក់ពណ៌លើតួលេខលទ្ធផល (ពណ៌នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនជាក់លាក់នៃការធ្វើឡើងវិញ)។ រូបភាពក្រាហ្វិកនេះត្រូវបានគេហៅថា Mandelbrot fractal ។

L. Carpenter: សិល្បៈបង្កើតដោយធម្មជាតិ

ទ្រឹស្តីនៃ fractal បានរកឃើញការអនុវត្តជាក់ស្តែងយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ដោយសារវាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការមើលឃើញនៃរូបភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង អ្នកដំបូងដែលទទួលយកគោលការណ៍ និងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសាងសង់ទម្រង់មិនធម្មតាទាំងនេះគឺជាសិល្បករ។ ទីមួយនៃទាំងនេះគឺជាស្ថាបនិកនាពេលអនាគតនៃស្ទូឌីយោ Pixar Lauren Carpenter ។ ពេលកំពុងធ្វើការលើការបង្ហាញគំរូយន្តហោះ គាត់បានបង្កើតគំនិតក្នុងការប្រើប្រាស់រូបភាពភ្នំជាផ្ទៃខាងក្រោយ។ សព្វថ្ងៃនេះ ស្ទើរតែគ្រប់អ្នកប្រើប្រាស់កុំព្យូទ័រទាំងអស់អាចស៊ូទ្រាំនឹងកិច្ចការបែបនេះបាន ហើយនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សចុងក្រោយនេះ កុំព្យូទ័រមិនអាចអនុវត្តដំណើរការបែបនេះបានទេ ដោយសារតែមិនមានកម្មវិធីនិពន្ធក្រាហ្វិក និងកម្មវិធីសម្រាប់ក្រាហ្វិកបីវិមាត្រនៅពេលនោះ។ Loren បានឆ្លងកាត់ Fractals របស់ Mandelbrot: រូបរាង ចៃដន្យ និងវិមាត្រ។ នៅក្នុងនោះ Benois បានផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើន ដោយបង្ហាញថាមាន fractals នៅក្នុងធម្មជាតិ (fyva) គាត់បានពិពណ៌នាអំពីទម្រង់ផ្សេងៗរបស់ពួកគេ ហើយបង្ហាញថាពួកវាត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងងាយស្រួល។ កន្សោមគណិតវិទ្យា. ភាពស្រដៀងគ្នានេះ។គណិតវិទូ​បាន​លើក​ឡើង​ថា​ជា​អំណះអំណាង​អំពី​ប្រយោជន៍​នៃ​ទ្រឹស្ដី​ដែល​គាត់​កំពុង​បង្កើត​ឡើង​ដើម្បី​ឆ្លើយ​តប​នឹង​ការ​រិះគន់​ពី​មិត្ត​រួម​ការងារ​របស់​គាត់។ ពួក​គេ​បាន​លើក​ឡើង​ថា រូប​ប្រភាគ​គឺ​គ្រាន់​តែ​ជា​រូបភាព​ដ៏​ស្រស់​ស្អាត​គ្មាន​តម្លៃ ដែល​ជា​ផល​ផ្លែ​នៃ​ការងារ។ ម៉ាស៊ីនអេឡិចត្រូនិច. ជាងឈើបានសម្រេចចិត្តសាកល្បងវិធីនេះក្នុងការអនុវត្ត។ ដោយបានសិក្សាសៀវភៅនេះយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់ អ្នកគំនូរជីវចលនាពេលអនាគតបានចាប់ផ្តើមស្វែងរកវិធីដើម្បីអនុវត្តធរណីមាត្រ fractal នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ គាត់ចំណាយពេលត្រឹមតែបីថ្ងៃប៉ុណ្ណោះ ដើម្បីបង្ហាញរូបភាពពិតនៃទេសភាពភ្នំនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់គាត់។ ហើយសព្វថ្ងៃនេះគោលការណ៍នេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ ដូចដែលវាបានប្រែក្លាយ ការបង្កើត fractals មិនត្រូវការពេលវេលានិងការខំប្រឹងប្រែងច្រើនទេ។

ការសម្រេចចិត្តរបស់ជាងឈើ

គោលការណ៍ដែលបានប្រើដោយ Lauren ប្រែទៅជាសាមញ្ញ។ វា​មាន​ក្នុង​ការ​បែង​ចែក​ធំ​ជាង​ទៅ​ជា​ធាតុ​តូច​ជាង ហើយ​វា​ទៅ​ជា​ធាតុ​តូច​ស្រដៀង​គ្នា​ជាដើម។ ជាងឈើ​ប្រើ​ឈើ​ជ្រុង​ធំៗ​បុក​ជា​៤​តូច​ៗ​រហូត​ទទួលបាន​ទេសភាព​ភ្នំ​ជាក់ស្តែង​។ ដូច្នេះ គាត់​បាន​ក្លាយ​ជា​វិចិត្រករ​ដំបូង​គេ​ដែល​អនុវត្ត​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ប្រភាគ​ក្នុង​ក្រាហ្វិក​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​បង្កើត​រូបភាព​ដែលត្រូវការ។ សព្វថ្ងៃនេះ គោលការណ៍នេះត្រូវបានប្រើដើម្បីក្លែងធ្វើទម្រង់ធម្មជាតិជាក់ស្តែងផ្សេងៗ។

ការមើលឃើញ 3D ដំបូងដោយផ្អែកលើក្បួនដោះស្រាយ fractal

ប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមក Lauren បានអនុវត្តការងាររបស់គាត់នៅក្នុងគម្រោងខ្នាតធំមួយ ដែលជាវីដេអូគំនូរជីវចល Vol Libre ដែលបង្ហាញនៅលើ Siggraph ក្នុងឆ្នាំ 1980 ។ វីដេអូនេះធ្វើឲ្យមនុស្សជាច្រើនភ្ញាក់ផ្អើល ហើយអ្នកបង្កើតរបស់វាត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យធ្វើការនៅ Lucasfilm។ នៅទីនេះ គំនូរជីវចលអាចដឹងខ្លួនគាត់ទាំងស្រុង គាត់បានបង្កើតទេសភាពបីវិមាត្រ (ភពផែនដីទាំងមូល) សម្រាប់ខ្សែភាពយន្តរឿង "Star Trek" ។ ណាមួយ។ កម្មវិធីទំនើប(Fractals) ឬកម្មវិធីក្រាហ្វិក 3D (Terragen, Vue, Bryce) នៅតែប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នាដើម្បីធ្វើគំរូវាយនភាព និងផ្ទៃ។

លោក Tom Beddard

អតីតអ្នករូបវិទ្យាឡាស៊ែរ និងបច្ចុប្បន្នជាវិចិត្រករ និងវិចិត្រករឌីជីថល លោក Beddard បានបង្កើតស៊េរីនៃរាងធរណីមាត្រដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើន ដែលគាត់ហៅថា ប្រភាគរបស់ Faberge ។ ខាងក្រៅពួកវាស្រដៀងនឹងស៊ុតតុបតែងរបស់គ្រឿងអលង្ការរុស្ស៊ី ពួកគេមានលំនាំស្មុគ្រស្មាញដ៏អស្ចារ្យដូចគ្នា។ Beddard បានប្រើវិធីសាស្ត្រគំរូមួយដើម្បីបង្កើតការបង្ហាញឌីជីថលរបស់គាត់នៃគំរូ។ ផលិតផលលទ្ធផលគឺមានភាពទាក់ទាញនៅក្នុងភាពស្រស់ស្អាតរបស់ពួកគេ។ ទោះបីជាមនុស្សជាច្រើនបដិសេធមិនប្រៀបធៀបផលិតផល ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ជាមួយនឹងកម្មវិធីកុំព្យូទ័រទោះជាយ៉ាងណា ត្រូវតែទទួលស្គាល់ថាទម្រង់លទ្ធផលគឺស្រស់ស្អាតខុសពីធម្មតា។ ការបន្លិចគឺថានរណាម្នាក់អាចបង្កើត fractal បែបនេះដោយប្រើបណ្ណាល័យកម្មវិធី WebGL ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងយល់ពីរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ផ្សេងៗក្នុងពេលវេលាជាក់ស្តែង។

fractal នៅក្នុងធម្មជាតិ

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលយកចិត្តទុកដាក់ ប៉ុន្តែតួលេខដ៏អស្ចារ្យទាំងនេះមាននៅគ្រប់ទីកន្លែង។ ធម្មជាតិ​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​រូប​ភាព​ស្រដៀង​គ្នា​ដោយ​ខ្លួន​ឯង យើង​មិន​បាន​កត់​សម្គាល់​វា​ទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការមើលតាមកញ្ចក់កែវពង្រីកនៅស្បែករបស់យើង ឬស្លឹកឈើ ហើយយើងនឹងឃើញប្រភាគ។ ឬយកឧទាហរណ៍ម្នាស់ឬសូម្បីតែកន្ទុយក្ងោក - ពួកវាមានតួលេខស្រដៀងគ្នា។ ហើយពូជប្រូខូលី Romanescu ជាទូទៅមានភាពទាក់ទាញនៅក្នុងរូបរាងរបស់វា ព្រោះវាពិតជាអាចត្រូវបានគេហៅថាអព្ភូតហេតុនៃធម្មជាតិ។

ការផ្អាកតន្ត្រី

វាប្រែថា fractal មិនត្រឹមតែមានរាងធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះទេពួកគេក៏អាចជាសំឡេងផងដែរ។ ដូច្នេះតន្ត្រីករ Jonathan Colton សរសេរតន្ត្រីដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal ។ គាត់​អះអាង​ថា​ត្រូវ​គ្នា​ទៅ​នឹង​ភាព​សុខដុម​ធម្មជាតិ។ អ្នកតែងបោះពុម្ពផ្សាយស្នាដៃរបស់គាត់ទាំងអស់ក្រោមអាជ្ញាប័ណ្ណ CreativeCommons Attribution-Noncommercial ដែលផ្តល់ការចែកចាយដោយឥតគិតថ្លៃ ការចម្លង ការផ្ទេរស្នាដៃដោយអ្នកដ៏ទៃ។

សូចនាករប្រភាគ

បច្ចេកទេសនេះបានរកឃើញកម្មវិធីដែលមិននឹកស្មានដល់។ នៅលើមូលដ្ឋានរបស់វា ឧបករណ៍សម្រាប់ការវិភាគទីផ្សារភាគហ៊ុនត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយជាលទ្ធផល វាបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់នៅក្នុងទីផ្សារ Forex ។ ឥឡូវនេះ សូចនាករ fractal ត្រូវបានរកឃើញនៅលើវេទិកាពាណិជ្ជកម្មទាំងអស់ ហើយត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងបច្ចេកទេសជួញដូរដែលហៅថា ការបំបែកតម្លៃ។ Bill Williams បានបង្កើតបច្ចេកទេសនេះ។ ដូចដែលអ្នកនិពន្ធបានបញ្ចេញយោបល់លើការច្នៃប្រឌិតរបស់គាត់ ក្បួនដោះស្រាយនេះ។គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ "ទៀន" ជាច្រើនដែលក្នុងនោះចំណុចកណ្តាលឆ្លុះបញ្ចាំងពីអតិបរមា ឬផ្ទុយទៅវិញ ចំណុចខ្លាំងអប្បបរមា។

ទីបំផុត

ដូច្នេះ​ហើយ​បាន​ជា​យើង​បាន​ពិចារណា​ថា​អ្វី​ជា​ប្រភាគ វាប្រែថានៅក្នុងភាពវឹកវរដែលនៅជុំវិញយើងតាមការពិតមានទម្រង់ដ៏ល្អ។ ធម្មជាតិគឺជាស្ថាបត្យករដ៏ល្អបំផុត អ្នកសាងសង់ និងវិស្វករដ៏ល្អម្នាក់។ វាត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងឡូជីខល ហើយប្រសិនបើយើងមិនអាចរកឃើញគំរូមួយ នេះមិនមែនមានន័យថាវាមិនមាននោះទេ។ ប្រហែលជាអ្នកត្រូវមើលមាត្រដ្ឋានផ្សេង។ យើង​អាច​និយាយ​ដោយ​មាន​ទំនុក​ចិត្ត​ថា Fractals នៅ​តែ​រក្សា​អាថ៌កំបាំង​ជា​ច្រើន​ដែល​យើង​មិន​ទាន់​រក​ឃើញ។

សួស្ដី​អ្នក​ទាំងអស់គ្នា! ឈ្មោះ​របស់ខ្ញុំ​គឺ, Ribenek Valeria, Ulyanovsk ហើយថ្ងៃនេះខ្ញុំនឹងបង្ហោះអត្ថបទវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើនរបស់ខ្ញុំនៅលើគេហទំព័រ LCI ។

ទីមួយរបស់ខ្ញុំ អត្ថបទស្រាវជ្រាវប្លុកនេះនឹងផ្តោតលើ ប្រភាគ. ខ្ញុំនឹងនិយាយភ្លាមៗថាអត្ថបទរបស់ខ្ញុំត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់ទស្សនិកជនស្ទើរតែទាំងអស់។ ទាំងនោះ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាពួកគេនឹងចាប់អារម្មណ៍ទាំងសិស្សសាលា និងសិស្ស។

ថ្មីៗនេះខ្ញុំបានរៀនអំពីវត្ថុគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បែបនេះ ពិភពគណិតវិទ្យាដូចជា fractals ។ ប៉ុន្តែពួកវាមានមិនត្រឹមតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ។ ពួកគេនៅជុំវិញយើងគ្រប់ទីកន្លែង។ Fractals គឺជាធម្មជាតិ។ អំពីអ្វីដែល fractal គឺអំពីប្រភេទនៃ fractal អំពីឧទាហរណ៍នៃវត្ថុទាំងនេះនិងកម្មវិធីរបស់ពួកគេខ្ញុំនឹងប្រាប់នៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកដោយសង្ខេបអំពីអ្វីដែលជា fractal ។

ប្រភាគ(lat. fractus - កំទេច, ខូច, ខូច) - នេះគឺជាស្មុគស្មាញមួយ។ រូបធរណីមាត្រដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ពោលគឺវាត្រូវបានផ្សំឡើងដោយផ្នែកជាច្រើន ដែលផ្នែកនីមួយៗមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងរូបទាំងមូលទាំងមូល។ បន្ថែមទៀត អារម្មណ៍ទូលំទូលាយប្រភាគត្រូវបានយល់ថាជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងលំហ Euclidean ដែលមានវិមាត្រម៉ែត្រប្រភាគ (ក្នុងន័យរបស់ Minkowski ឬ Hausdorff) ឬវិមាត្រម៉ែត្រផ្សេងក្រៅពី topological ។ ឧទាហរណ៍ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលរូបភាពនៃ fractal បួនផ្សេងគ្នា។

ខ្ញុំសូមប្រាប់អ្នកបន្តិចអំពីប្រវត្តិនៃ fractals ។ គោលគំនិតនៃធរណីមាត្រ fractal និង fractal ដែលបានលេចឡើងនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 បានក្លាយជាយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់អ្នកគណិតវិទូ និងអ្នកសរសេរកម្មវិធីចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ទី 80 ។ ពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានណែនាំដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ដើម្បីសំដៅទៅលើរចនាសម្ព័ន្ធមិនទៀងទាត់ ប៉ុន្តែស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ដែលគាត់បានសិក្សា។ កំណើតនៃធរណីមាត្រ fractal ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបោះពុម្ពផ្សាយក្នុងឆ្នាំ 1977 នៃសៀវភៅរបស់ Mandelbrot គឺ The Fractal Geometry of Nature ។ ស្នាដៃរបស់គាត់បានប្រើលទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្ររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលធ្វើការនៅកំឡុងឆ្នាំ 1875-1925 ក្នុងវិស័យដូចគ្នា (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) ។ ប៉ុន្តែមានតែនៅក្នុងសម័យរបស់យើងប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ចូលគ្នានូវការងាររបស់ពួកគេទៅជាប្រព័ន្ធតែមួយ។

មានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃ fractal ពីព្រោះ ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយ វានៅជុំវិញយើងគ្រប់ទីកន្លែង។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ សូម្បីតែសកលលោកទាំងមូលរបស់យើងក៏ជាប្រភាគធំមួយ។ យ៉ាងណាមិញ អ្វីៗទាំងអស់នៅក្នុងវា ចាប់ពីរចនាសម្ព័ន្ធអាតូម រហូតដល់រចនាសម្ព័ន្ធនៃសាកលលោកផ្ទាល់ គឺពិតជាកើតឡើងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់មានឧទាហរណ៍ជាក់លាក់បន្ថែមទៀតនៃ fractal ពីតំបន់ផ្សេងៗគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ Fractals មានវត្តមាននៅក្នុងឌីណាមិកស្មុគស្មាញ។ នៅទីនោះពួកវាលេចឡើងដោយធម្មជាតិនៅក្នុងការសិក្សានៃ nonlinear ប្រព័ន្ធថាមវន្ត. ករណីដែលបានសិក្សាច្រើនបំផុតគឺនៅពេលដែលប្រព័ន្ធថាមវន្តត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការធ្វើឡើងវិញ ពហុនាមឬ holomorphic មុខងារនៃស្មុគស្មាញនៃអថេរលើផ្ទៃ។ Fractal ដ៏ល្បីល្បាញបំផុតមួយចំនួននៃប្រភេទនេះគឺសំណុំ Julia, សំណុំ Mandelbrot និងអាង Newton ។ ខាងក្រោមនេះជាលំដាប់ រូបភាពបង្ហាញពី fractal ខាងលើនីមួយៗ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃ fractal គឺខ្សែកោង fractal ។ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការពន្យល់ពីរបៀបបង្កើត fractal ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោង fractal ។ ខ្សែកោង​មួយ​បែប​នោះ​គឺ​គេ​ហៅ​ថា Koch Snowflake។ មាននីតិវិធីសាមញ្ញមួយសម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal នៅលើយន្តហោះ។ យើងកំណត់បន្ទាត់ខូចតាមអំពើចិត្តជាមួយនឹងចំនួនតំណភ្ជាប់កំណត់ ហៅថាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្ទាប់យើងជំនួសផ្នែកនីមួយៗនៅក្នុងវាដោយម៉ាស៊ីនភ្លើង (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតបន្ទាត់ដែលខូចស្រដៀងនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើង) ។ នៅក្នុងបន្ទាត់ដែលខូចជាលទ្ធផលយើងជំនួសផ្នែកនីមួយៗម្តងទៀតដោយម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្តទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ក្នុងដែនកំណត់យើងទទួលបានខ្សែកោង fractal ។ បង្ហាញខាងក្រោមគឺជាផ្កាព្រិល Koch (ឬខ្សែកោង) ។

ខ្សែកោង Fractal ក៏មានផងដែរ។ ហ្វូងមនុស្សដ៏អស្ចារ្យ. ភាពល្បីល្បាញបំផុតគឺ Koch Snowflake ដែលបានរៀបរាប់រួចមកហើយ ក៏ដូចជាខ្សែកោង Levy, ខ្សែកោង Minkowski, នាគដែលខូច, ខ្សែកោងព្យាណូ និងដើមឈើ Pythagorean ។ រូបភាពនៃប្រភាគទាំងនេះ និងប្រវត្តិរបស់វា ខ្ញុំគិតថា ប្រសិនបើអ្នកប្រាថ្នា អ្នកអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួលនៅលើវិគីភីឌា។

ឧទាហរណ៍ទីបី ឬប្រភេទនៃ fractal គឺ stochastic fractal ។ Fractal បែបនេះរួមមានគន្លង ចលនាពណ៌ត្នោតនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ ការវិវត្តន៍របស់ Schramm-Löwner ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃ fractals ចៃដន្យ នោះគឺ fractals ដែលទទួលបានដោយប្រើវិធី recursive ដែលក្នុងនោះប៉ារ៉ាម៉ែត្រចៃដន្យត្រូវបានណែនាំនៅជំហាននីមួយៗ។

ក៏មាន fractal គណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធផងដែរ។ នេះ, ឧទាហរណ៍, កំណត់ Cantor, Menger sponge, Sierpinski triangle និងអ្នកដទៃ។

ប៉ុន្តែប្រហែលជា fractal គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតគឺធម្មជាតិ។ fractal ធម្មជាតិគឺជាវត្ថុនៅក្នុងធម្មជាតិដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ។ ហើយមានបញ្ជីធំរួចហើយ។ ខ្ញុំនឹងមិនរាយបញ្ជីទាំងអស់នោះទេ ព្រោះប្រហែលជាខ្ញុំមិនអាចរាយបញ្ជីទាំងអស់នោះបាន ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងប្រាប់អំពីមួយចំនួន។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងធម្មជាតិដែលរស់នៅ ហ្វ្រេត្រាល់បែបនេះរួមមានប្រព័ន្ធឈាមរត់ និងសួតរបស់យើង។ ហើយក៏មានមកុដ និងស្លឹកឈើផងដែរ។ នៅទីនេះផងដែរ អ្នកអាចរួមបញ្ចូលត្រីផ្កាយ ត្រីសមុទ្រ ផ្កាថ្ម សំបកសមុទ្រ រុក្ខជាតិមួយចំនួន ដូចជាស្ពៃក្តោប ឬផ្កាខាត់ណាខៀវ។ ខាងក្រោមនេះ សារធាតុប្រភាគធម្មជាតិជាច្រើនពីសត្វព្រៃត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់។

ប្រសិនបើយើងពិចារណា ធម្មជាតិគ្មានជីវិតបន្ទាប់មកនៅទីនោះ ឧទាហរណ៍គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ច្រើនជាងការរស់នៅ។ ផ្លេកបន្ទោរ ផ្កាព្រិល ពពក ដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាស្គាល់ លំនាំនៅលើបង្អួចនៅថ្ងៃដ៏ត្រជាក់ គ្រីស្តាល់ ជួរភ្នំ - ទាំងអស់នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃប្រភាគធម្មជាតិពីធម្មជាតិគ្មានជីវិត។

យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍និងប្រភេទនៃ fractal ។ ចំពោះការប្រើប្រាស់ fractal ពួកគេត្រូវបានគេប្រើច្រើនបំផុត តំបន់ផ្សេងគ្នាចំណេះដឹង។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា Fractal កើតឡើងដោយធម្មជាតិនៅពេលដែលធ្វើគំរូនូវដំណើរការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដូចជាលំហូរនៃសារធាតុរាវដែលមានភាពច្របូកច្របល់។ ដំណើរការស្មុគស្មាញ diffusion-adsorption, អណ្តាតភ្លើង, ពពក, ល Fractals ត្រូវបានប្រើក្នុងការធ្វើគំរូសម្ភារៈ porous ឧទាហរណ៍នៅក្នុងគីមីវិទ្យា។ នៅក្នុងជីវវិទ្យា ពួកវាត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូចំនួនប្រជាជន និងដើម្បីពិពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធ។ សរីរាង្គខាងក្នុង(ប្រព័ន្ធសរសៃឈាម) ។ បន្ទាប់ពីការបង្កើតខ្សែកោង Koch វាត្រូវបានស្នើឱ្យប្រើវាក្នុងការគណនាប្រវែងនៃឆ្នេរសមុទ្រ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ fractal ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មនៅក្នុងវិស្វកម្មវិទ្យុ ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ និងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ ទូរគមនាគមន៍ និងសូម្បីតែសេដ្ឋកិច្ច។ ហើយជាការពិតណាស់ ចក្ខុវិស័យ fractal ត្រូវបានប្រើយ៉ាងសកម្មនៅក្នុង សិល្បៈ​សហ​សម័យនិងស្ថាបត្យកម្ម។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយនៃគំនូរ fractal៖

ដូច្នេះហើយ លើរឿងនេះ ខ្ញុំគិតថាដើម្បីបញ្ចប់រឿងរបស់ខ្ញុំអំពីបាតុភូតគណិតវិទ្យាមិនធម្មតាដូចជា fractal ។ ថ្ងៃនេះយើងបានរៀនអំពីអ្វីដែល fractal គឺរបៀបដែលវាលេចឡើងអំពីប្រភេទនិងឧទាហរណ៍នៃ fractal ។ ហើយ​ខ្ញុំ​ក៏បាន​និយាយ​អំពី​ការ​អនុវត្ត​របស់​ពួកគេ និង​បាន​បង្ហាញ​អំពី​ការ​បំប្លែង​ខ្លះ​យ៉ាងច្បាស់។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នករីករាយនឹងដំណើរកំសាន្តដ៏ខ្លីនេះទៅក្នុងពិភពនៃវត្ថុប្រភាគដ៏អស្ចារ្យ និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។