គោលគំនិតនៃលំដាប់លេខបង្កប់ន័យថាចំនួនធម្មជាតិនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃពិតមួយចំនួន។ ស៊េរីនៃលេខបែបនេះអាចមានទាំងបំពាន និងមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ - វឌ្ឍនភាព។ អេ ករណីចុងក្រោយធាតុបន្តបន្ទាប់គ្នា (សមាជិក) នៃលំដាប់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើធាតុមុន។

ការវិវត្តនព្វន្ធ - លំដាប់ តម្លៃលេខដែលក្នុងនោះសមាជិកជិតខាងរបស់វាខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយលេខដូចគ្នា (ធាតុទាំងអស់នៃស៊េរីចាប់ពីលេខ 2 មានទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នា) ។ លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ- ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកមុន និងបន្ទាប់គឺថេរ ហើយត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព៖ និយមន័យ

ពិចារណា​លំដាប់​ដែល​មាន​តម្លៃ j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​សំណុំ​លេខ​ធម្មជាតិ N. ការ​វិវត្ត​នព្វន្ធ, យោងតាមនិយមន័យរបស់វា គឺជាលំដាប់ ដែល a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = ឃ. តម្លៃនៃ d គឺជាភាពខុសគ្នាដែលចង់បាននៃការវិវត្តនេះ។

d = a(j) - a(j-1) ។

បែងចែក៖

• ការ​រីក​ចម្រើន​កាន់​តែ​ខ្លាំង ដែល​ក្នុង​ករណី d > 0. ឧទាហរណ៍៖ 4, 8, 12, 16, 20, …
• ការថយចុះការវិវត្ត បន្ទាប់មក ឃ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព និងធាតុបំពានរបស់វា។

ប្រសិនបើសមាជិកបំពានចំនួន 2 នៃវឌ្ឍនភាព (i-th, k-th) ត្រូវបានគេស្គាល់ នោះភាពខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់នេះអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយផ្អែកលើទំនាក់ទំនង៖

a(i) = a(k) + (i - k)*d, ដូច្នេះ d = (a(i) - a(k))/(i-k)។

ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព និងរយៈពេលដំបូងរបស់វា។

កន្សោម​នេះ​នឹង​ជួយ​កំណត់​តម្លៃ​ដែល​មិន​ស្គាល់​តែ​ក្នុង​ករណី​ដែល​ចំនួន​នៃ​ធាតុ​លំដាប់​ត្រូវ​បាន​ដឹង។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនិងផលបូករបស់វា។

ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា។ ដើម្បីគណនាតម្លៃសរុបនៃធាតុ j ដំបូងរបស់វា សូមប្រើរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី a(j) = a(1) + d(j − 1) បន្ទាប់មក S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j − 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

កម្រិតដំបូង

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ទ្រឹស្តីលម្អិតជាមួយឧទាហរណ៍ (2019)

លំដាប់លេខ

ដូច្នេះ ចូរយើងអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:
អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយ ហើយអាចមានច្រើនតាមតែអ្នកចូលចិត្ត (ក្នុងករណីរបស់យើង ពួកវា)។ មិនថាយើងសរសេរលេខប៉ុន្មានទេ យើងតែងតែអាចនិយាយបានថាមួយណាជាលេខទីមួយ លេខទីពីរ ហើយបន្តទៅលេខចុងក្រោយ នោះគឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖

លំដាប់លេខ
ឧទាហរណ៍សម្រាប់លំដាប់របស់យើង៖

លេខដែលបានកំណត់គឺជាក់លាក់សម្រាប់លេខលំដាប់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ម៉្យាងទៀតមិនមានលេខទីពីរចំនួនបីនៅក្នុងលំដាប់នោះទេ។ លេខទីពីរ (ដូចជាលេខ -th) គឺតែងតែដូចគ្នា។
លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។

ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

ចូរនិយាយថាយើងមាន លំដាប់លេខដែលក្នុងនោះភាពខុសគ្នារវាងលេខជិតខាងគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។
ឧទាហរណ៍:

ល។
លំដាប់លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការនព្វន្ធ។
ពាក្យ "វឌ្ឍនភាព" ត្រូវបានណែនាំដោយអ្នកនិពន្ធរ៉ូម៉ាំង Boethius នៅដើមសតវត្សទី 6 ហើយត្រូវបានគេយល់បន្ថែមទៀត។ អារម្មណ៍ទូលំទូលាយជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់។ ឈ្មោះ "នព្វន្ធ" ត្រូវបានផ្ទេរពីទ្រឹស្តីនៃសមាមាត្របន្តដែលក្រិកបុរាណបានចូលរួម។

នេះគឺជាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗស្មើនឹងលេខមុន ត្រូវបានបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនិងត្រូវបានសម្គាល់។

ព្យាយាមកំណត់ថាតើលំដាប់លេខមួយណាជាដំណើរការនព្វន្ធ ហើយមួយណាមិនមែនជា៖

ក)
ខ)
គ)
ឃ)

យល់ទេ? ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖
គឺជាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - ខ, គ។
មិន​មែនវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - a, d ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅវឌ្ឍនភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ () ហើយព្យាយាមស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកទី 1 របស់វា។ មាន ពីរវិធីស្វែងរកវា។

1. វិធីសាស្រ្ត

យើង​អាច​បន្ថែម​ទៅ​តម្លៃ​មុន​នៃ​លេខ​ដំណើរ​ការ​រហូត​ដល់​យើង​ឈាន​ដល់​វគ្គ​ទី​មួយ​នៃ​ការ​វិវត្ត។ ជាការល្អដែលយើងមិនមានអ្វីច្រើនដើម្បីសង្ខេប - មានតែតម្លៃបីប៉ុណ្ណោះ៖

ដូច្នេះ សមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានពិពណ៌នាគឺស្មើនឹង។

2. វិធីសាស្រ្ត

ចុះ​បើ​យើង​ត្រូវ​ការ​ស្វែង​រក​តម្លៃ​នៃ​ពាក្យ​ទី​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន? ការបូកសរុបនឹងចំណាយពេលលើសពីមួយម៉ោង ហើយវាមិនមែនជាការពិតដែលថាយើងនឹងមិនមានកំហុសនៅពេលបន្ថែមលេខនោះទេ។
ជាការពិតណាស់ គណិតវិទូបានបង្កើតវិធីមួយដែលអ្នកមិនចាំបាច់បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅនឹងតម្លៃមុននោះទេ។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពដែលបានគូរឲ្យជិត… ប្រាកដណាស់អ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញគំរូជាក់លាក់មួយរួចហើយ ពោលគឺ៖

ជាឧទាហរណ៍ សូមមើលអ្វីដែលបង្កើតតម្លៃនៃសមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ៖


ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

ព្យាយាមស្វែងរកដោយឯករាជ្យតាមវិធីនេះតម្លៃនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ។

គណនា? ប្រៀបធៀបធាតុរបស់អ្នកជាមួយចម្លើយ៖

សូមយកចិត្តទុកដាក់ថា អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រមុន នៅពេលដែលយើងបន្ថែមសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធជាបន្តបន្ទាប់ទៅតម្លៃមុន។
ចូរយើងព្យាយាម "ធ្វើឱ្យខ្លួនឯង" រូបមន្តនេះ។- ចូរនាំវាទៅជាទម្រង់ទូទៅ ហើយទទួលបាន៖

សមីការវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺកើនឡើង ឬថយចុះ។

ការកើនឡើង- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺធំជាងពាក្យមុន។
ឧទាហរណ៍:

ចុះ- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺតិចជាងតម្លៃមុន។
ឧទាហរណ៍:

រូបមន្តដែលទទួលបានគឺត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការគណនាពាក្យទាំងការបង្កើន និងបន្ថយនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលវានៅក្នុងការអនុវត្ត។
យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ចំនួន​ដូច​ខាង​ក្រោម​នេះ​:

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក៖

ដូច្នេះហើយ យើង​ត្រូវ​បាន​គេ​ជឿ​ជាក់​ថា​រូបមន្ត​នេះ​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​ទាំង​ក្នុង​ការ​បន្ថយ និង​ក្នុង​ការ​បង្កើន​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។
ព្យាយាមស្វែងរកសមាជិក -th និង -th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះដោយខ្លួនឯង

តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ - យើងទទួលបានទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ
- វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ, ស្វែងរកតម្លៃ។
វាងាយស្រួលអ្នកនិយាយ ហើយចាប់ផ្តើមរាប់តាមរូបមន្តដែលអ្នកដឹងរួចហើយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ a, បន្ទាប់មក:

ពិត​ជា​ត្រឹម​ត្រូវ។ វាប្រែថាយើងរកឃើញដំបូងបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅលេខដំបូងហើយទទួលបានអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។ ប្រសិនបើការវិវត្តន៍ត្រូវបានតំណាងដោយតម្លៃតូច នោះមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញអំពីវាទេ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវបានផ្តល់លេខនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ? យល់ស្រប វាមានលទ្ធភាពធ្វើកំហុសក្នុងការគណនា។
ឥឡូវនេះគិតថាតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះក្នុងមួយជំហានដោយប្រើរូបមន្តណាមួយ? ជាការពិតណាស់ បាទ ហើយយើងនឹងព្យាយាមយកវាចេញឥឡូវនេះ។

ចូរយើងសម្គាល់ពាក្យដែលចង់បាននៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ដូចដែលយើងដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកវា - នេះគឺជារូបមន្តដូចគ្នាដែលយើងបានមកពីដំបូង៖
បន្ទាប់មក៖

• សមាជិកមុននៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖
• រយៈពេលបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖

ចូរសរុបសមាជិកមុន និងបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព៖

វាប្រែថាផលបូកនៃសមាជិកមុននិងបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺពីរដងនៃតម្លៃនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពដែលមានទីតាំងនៅចន្លោះពួកគេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងតម្លៃដែលបានស្គាល់ពីមុន និងបន្តបន្ទាប់ វាចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមពួកវា និងចែកដោយ។

ត្រូវហើយ យើងទទួលបានលេខដូចគ្នា។ តោះជួសជុលសម្ភារៈ។ គណនាតម្លៃសម្រាប់វឌ្ឍនភាពដោយខ្លួនឯង ព្រោះវាមិនពិបាកទាល់តែសោះ។

ល្អ​ណាស់! អ្នកដឹងស្ទើរតែទាំងអស់អំពីវឌ្ឍនភាព! វានៅសល់ដើម្បីរកឱ្យឃើញនូវរូបមន្តតែមួយគត់ដែលយោងទៅតាមរឿងព្រេងអ្នកគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលគឺ "ស្តេចនៃគណិតវិទូ" - Karl Gauss ងាយស្រួលកាត់ដោយខ្លួនគាត់ ...

នៅពេល Carl Gauss មានអាយុ 9 ឆ្នាំ គ្រូបង្រៀនដែលរវល់ពិនិត្យការងាររបស់សិស្សមកពីថ្នាក់ផ្សេងទៀតបានសួរកិច្ចការខាងក្រោមនៅក្នុងមេរៀន៖ "គណនាផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ចាប់ពី (យោងតាមប្រភពផ្សេងទៀតរហូតដល់) រួមបញ្ចូល។ " អ្វីដែលជាការភ្ញាក់ផ្អើលរបស់គ្រូនៅពេលដែលសិស្សរបស់គាត់ម្នាក់ (វាគឺជាលោក Karl Gauss) បន្ទាប់ពីមួយនាទីបានផ្តល់ចម្លើយត្រឹមត្រូវចំពោះភារកិច្ចខណៈពេលដែលមិត្តរួមថ្នាក់ភាគច្រើននៃអ្នកហ៊ានបន្ទាប់ពីការគណនាយូរបានទទួលលទ្ធផលខុស ...

Young Carl Gauss បានកត់សម្គាល់នូវគំរូមួយដែលអ្នកអាចកត់សម្គាល់បានយ៉ាងងាយស្រួល។
ចូរនិយាយថាយើងមានដំណើរការនព្វន្ធដែលមានសមាជិក -ti៖ យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចបូកសរុបតម្លៃទាំងអស់ដោយដៃ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វានៅក្នុងកិច្ចការ ដូចដែល Gauss កំពុងស្វែងរក?

ចូរយើងពណ៌នាអំពីវឌ្ឍនភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យយើង។ មើលឱ្យជិតនូវលេខដែលបានបន្លិច ហើយព្យាយាមធ្វើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងៗជាមួយពួកគេ។


ព្យាយាម? តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? ត្រឹមត្រូវ! ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា

ឥឡូវ​ឆ្លើយ​ថា តើ​គូ​បែប​នេះ​នឹង​មាន​ប៉ុន្មាន​គូ​ក្នុង​ដំណើរ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ​យើង? ជាការពិតណាស់ ពាក់កណ្តាលនៃចំនួនទាំងអស់ នោះគឺ។
ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាផលបូកនៃសមាជិកពីរនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើគ្នា ហើយគូស្មើគ្នាដូចគ្នា យើងទទួលបាននោះ ចំនួន​សរុបគឺស្មើនឹង៖
.
ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ

ក្នុង​បញ្ហា​ខ្លះ យើង​មិន​ដឹង​ពាក្យ​ទី​ទេ ប៉ុន្តែ​យើង​ដឹង​ពី​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​វិវត្ត។ ព្យាយាមជំនួសក្នុងរូបមន្តបូកដែលជារូបមន្តនៃសមាជិកទី។
តើអ្នកទទួលបានអ្វីខ្លះ?

ល្អ​ណាស់! ឥឡូវនេះសូមត្រលប់ទៅបញ្ហាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យលោក Carl Gauss: គណនាដោយខ្លួនឯងថាតើផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី -th គឺនិងផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី -th ។

តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មាន?
Gauss ប្រែថាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌគឺស្មើគ្នា ហើយផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ។ នោះ​ជា​របៀប​ដែល​អ្នក​សម្រេច​ចិត្ត?

តាមពិតរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Diophantus នៅសតវត្សទី 3 ហើយពេញមួយរយៈពេលនេះ។ មនុស្សឆ្លាតបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយកម្លាំង និងមេ។
ឧទាហរណ៍ស្រមៃ អេ​ស៊ី​ប​បុរាណនិងភាគច្រើន សំណង់ខ្នាតធំនៅពេលនោះ - ការសាងសង់ពីរ៉ាមីត ... តួលេខបង្ហាញផ្នែកម្ខាងរបស់វា។

តើ​ការ​រីក​ចម្រើន​នៅ​ទី​នេះ​អ្នក​និយាយ​នៅ​ត្រង់​ណា? សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយស្វែងរកគំរូក្នុងចំនួនប្លុកខ្សាច់ក្នុងជួរនីមួយៗនៃជញ្ជាំងពីរ៉ាមីត។


ហេតុអ្វីបានជាការវិវត្តនព្វន្ធ? រាប់ចំនួនប្លុកដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងមួយ ប្រសិនបើឥដ្ឋប្លុកត្រូវបានដាក់ក្នុងមូលដ្ឋាន។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងមិនរាប់ដោយការរំកិលម្រាមដៃរបស់អ្នកឆ្លងកាត់ម៉ូនីទ័រ តើអ្នកចាំរូបមន្តចុងក្រោយ និងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបាននិយាយអំពីការវិវត្តនព្វន្ធទេ?

អេ ករណីនេះវឌ្ឍនភាពមើលទៅដូចនេះ៖
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចំនួនសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ចូរជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅជារូបមន្តចុងក្រោយ (យើងរាប់ចំនួនប្លុកជា 2 វិធី)។

វិធីសាស្រ្ត 1 ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។

ហើយឥឡូវនេះអ្នកក៏អាចគណនានៅលើម៉ូនីទ័រផងដែរ៖ ប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបានជាមួយនឹងចំនួនប្លុកដែលមាននៅក្នុងពីរ៉ាមីតរបស់យើង។ តើវាយល់ព្រមទេ? ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកបានស្ទាត់ជំនាញផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទីនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកមិនអាចសង់ពីរ៉ាមីតពីប្លុកនៅមូលដ្ឋានបានទេ ប៉ុន្តែមកពី? ព្យាយាមគណនាចំនួនឥដ្ឋខ្សាច់ដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងដែលមានលក្ខខណ្ឌនេះ។
តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ?
ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺប្លុក៖

ធ្វើការ

ភារកិច្ច:

1. Masha ទទួលបានរូបរាងសម្រាប់រដូវក្តៅ។ ជារៀងរាល់ថ្ងៃនាងបង្កើនចំនួននៃការអង្គុយ។ តើ Masha នឹង​អង្គុយ​ប៉ុន្មាន​ដង​ក្នុង​មួយ​សប្តាហ៍ ប្រសិនបើ​នាង​បាន​អង្គុយ​នៅ​ពេល​ហាត់​លើក​ដំបូង។
2. តើអ្វីជាផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុង។
3. នៅពេលរក្សាទុកកំណត់ហេតុ ឈើច្រត់ជង់ពួកវាតាមរបៀបដែលស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗមានកំណត់ហេតុតិចជាងសន្លឹកមុន។ តើ​ឈើ​មួយ​ដុំ​មាន​ប៉ុន្មាន បើ​គល់​ឈើ​នោះ​ជា​ឈើ ។

ចម្លើយ៖

1. ចូរយើងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ក្នុងករណី​នេះ
   (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។

   ចម្លើយ៖ក្នុងរយៈពេលពីរសប្តាហ៍ Masha គួរតែអង្គុយម្តងក្នុងមួយថ្ងៃ។

2. ទីមួយ លេខសេស, លេខចុងក្រោយ.
   ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
   ចំនួននៃលេខសេសនៅក្នុង - ពាក់កណ្តាល, ពិនិត្យការពិតនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកសមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ:

   លេខមានលេខសេស។
   យើងជំនួសទិន្នន័យដែលមានទៅក្នុងរូបមន្ត៖

   ចម្លើយ៖ផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងគឺស្មើនឹង។

3. រំលឹកពីបញ្ហាអំពីប្រាសាទពីរ៉ាមីត។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង a ចាប់តាំងពីស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយកំណត់ហេតុមួយ មានតែស្រទាប់មួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។
   ជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត៖

   ចម្លើយ៖មានឈើប្រណិតនៅក្នុងឡ។

សង្ខេប

1. - លំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។ វាកំពុងកើនឡើងនិងថយចុះ។
2. ការស្វែងរករូបមន្តសមាជិកទី 1 នៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។
3. ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ- - កន្លែងណា - ចំនួនលេខក្នុងដំណើរការ។
4. ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។អាចរកបានតាមពីរវិធី៖
   
   តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ កម្រិតមធ្យម

លំដាប់លេខ

តោះអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:

អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយក៏បាន ហើយអាចមានច្រើនតាមតែចិត្ត។ ប៉ុន្តែអ្នកតែងតែអាចប្រាប់បានថា មួយណាជាលេខមួយ មួយណាជាលេខទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ គឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​លេខ ដែល​លេខ​នីមួយៗ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លេខ​តែ​មួយ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខនីមួយៗអាចភ្ជាប់ជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិជាក់លាក់មួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ហើយយើងនឹងមិនកំណត់លេខនេះទៅលេខផ្សេងទៀតពីសំណុំនេះទេ។

លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។

ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

វាងាយស្រួលណាស់ប្រសិនបើសមាជិក -th នៃលំដាប់អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍រូបមន្ត

កំណត់​លំដាប់​:

ហើយរូបមន្តមានលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ (ពាក្យទីមួយនៅទីនេះគឺស្មើគ្នា និងភាពខុសគ្នា)។ ឬ (, ភាពខុសគ្នា) ។

រូបមន្តទី 3

យើង​ហៅ​រូបមន្ត​ដែល​កើតឡើង​ដដែលៗ​ដែល​ដើម្បី​រក​ឱ្យ​ឃើញ​នូវ​ពាក្យ -th នោះ​អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ពី​ពាក្យ​មុន​ឬ​ច្រើន​មុន​នេះ៖

ដើម្បីស្វែងរកឧទាហរណ៍ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពដោយប្រើរូបមន្តបែបនេះ យើងត្រូវគណនាលេខប្រាំបួនមុន។ ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យ។ បន្ទាប់មក៖

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ថារូបមន្តគឺជាអ្វី?

នៅក្នុងបន្ទាត់នីមួយៗ យើងបន្ថែមទៅ គុណនឹងចំនួនមួយចំនួន។ ដើម្បីអ្វី? សាមញ្ញណាស់៖ នេះគឺជាចំនួនដកសមាជិកបច្ចុប្បន្ន៖

កាន់តែស្រួលខ្លួនហើយមែនទេ? យើងពិនិត្យ៖

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ សូមស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ហើយស្វែងរកពាក្យទីរយ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

សមាជិកទីមួយគឺស្មើគ្នា។ ហើយ​អ្វី​ជា​ភាព​ខុស​គ្នា? ហើយនេះជាអ្វី៖

(បន្ទាប់ពីទាំងអស់វាត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នាព្រោះវាស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃសមាជិកបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព) ។

ដូច្នេះរូបមន្តគឺ៖

បន្ទាប់មកពាក្យមួយរយគឺ៖

តើផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពីទៅអ្វី?

យោងតាមរឿងព្រេង។ គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ Carl Gauss ដែលជាក្មេងប្រុសអាយុ 9 ឆ្នាំបានគណនាចំនួននេះក្នុងរយៈពេលពីរបីនាទី។ គាត់បានកត់សម្គាល់ឃើញថា ផលបូកនៃលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគឺស្មើគ្នា ផលបូកនៃលេខទីពីរ និងចុងក្រោយគឺដូចគ្នា ផលបូកនៃលេខទីបី និងលេខ 3 ពីចុងគឺដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តើមានគូបែបនេះប៉ុន្មាន? នោះហើយជាត្រឹមត្រូវ ពិតប្រាកដពាក់កណ្តាលនៃចំនួនលេខទាំងអស់ នោះគឺ។ ដូច្នេះ

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ

ឧទាហរណ៍៖
រកផលបូកនៃទាំងអស់។ លេខពីរខ្ទង់, គុណ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

លេខបែបនេះដំបូងគឺនេះ។ បន្ទាប់នីមួយៗទទួលបានដោយការបន្ថែមលេខទៅលេខមុន។ ដូច្នេះចំនួននៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។

រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 4 សម្រាប់វឌ្ឍនភាពនេះគឺ៖

តើ​ពាក្យ​ទាំង​អស់​ត្រូវ​តែ​មាន​ពីរ​ខ្ទង់​ក្នុង​ដំណើរ​ការ​ប៉ុន្មាន​ពាក្យ?

ងាយស្រួលណាស់៖ ។

រយៈពេលចុងក្រោយនៃការវិវត្តនឹងស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកផលបូក៖

ចម្លើយ៖ ។

ឥឡូវសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ជារៀងរាល់ថ្ងៃអត្តពលិករត់បាន 1 ម៉ែត្រច្រើនជាងថ្ងៃមុន។ តើ​គាត់​នឹង​រត់​ប៉ុន្មាន​គីឡូម៉ែត្រ​ក្នុង​មួយ​សប្ដាហ៍ បើ​គាត់​រត់​គីឡូម៉ែត្រ​ក្នុង​ថ្ងៃ​ដំបូង?
2. អ្នកជិះកង់ជិះបានច្រើនម៉ាយក្នុងមួយថ្ងៃជាងអ្នកជិះមុន។ នៅថ្ងៃដំបូងគាត់បានធ្វើដំណើរគីឡូម៉ែត្រ។ តើ​គាត់​ត្រូវ​បើក​ឡាន​ប៉ុន្មាន​ថ្ងៃ​ដើម្បី​គ្រប​មួយ​គីឡូម៉ែត្រ? តើគាត់នឹងធ្វើដំណើរប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រនៅថ្ងៃចុងក្រោយនៃការធ្វើដំណើរ?
3. តម្លៃទូទឹកកកនៅក្នុងហាងត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយចំនួនដូចគ្នាជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ កំណត់ថាតើតម្លៃទូរទឹកកកបានធ្លាក់ចុះប៉ុន្មានក្នុងមួយឆ្នាំ ប្រសិនបើដាក់លក់ក្នុងតម្លៃប្រាក់រូប្លែល ប្រាំមួយឆ្នាំក្រោយមកវាត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃរូប្លិង។

ចម្លើយ៖

1. អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅទីនេះគឺត្រូវទទួលស្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។ អ្នកត្រូវកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនេះ៖
   .
   ចម្លើយ៖
2. នៅទីនេះវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:, វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរក។
   ជាក់ស្តែង អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តបូកដូចក្នុងបញ្ហាមុន៖
   .
   ជំនួសតម្លៃ៖

   ឫសច្បាស់មិនសមទេ ដូច្នេះចម្លើយ។
   ចូរ​គណនា​ចម្ងាយ​ដែល​បាន​ធ្វើ​ដំណើរ​ក្នុង​ថ្ងៃ​ចុងក្រោយ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​នៃ​សមាជិក -th៖
   (គ.ម)។
   ចម្លើយ៖

3. ផ្តល់ឱ្យ: . ដើម្បីស្វែងរក៖ .
   វាមិនងាយស្រួលទេ៖
   (ជូត) ។
   ចម្លើយ៖

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ សង្ខេបអំពីមេ

នេះគឺជាលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។

ដំណើរការនព្វន្ធកំពុងកើនឡើង () និងថយចុះ () ។

ឧទាហរណ៍:

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធ

ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​រូបមន្ត​ដែល​ចំនួន​លេខ​នៅ​ក្នុង​ការ​វិវត្ត។

ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាធ្វើឱ្យមានភាពងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព ប្រសិនបើសមាជិកជិតខាងរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។

ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកផលបូក៖

តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលលេខនីមួយៗធំជាង (ឬតិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។

ប្រធានបទនេះច្រើនតែពិបាក និងមិនអាចយល់បាន។ លិបិក្រមអក្សរ, សមាជិកទីវឌ្ឍនភាព ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព - ទាំងអស់នេះគឺជាការយល់ច្រឡំ បាទ... ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការភ្លាមៗ។ )

គំនិតនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាគំនិតសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។ សង្ស័យ? ដោយឥតប្រយោជន៍។) សូមមើលសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។

ខ្ញុំនឹងសរសេរស៊េរីលេខដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖

1, 2, 3, 4, 5, ...

តើអ្នកអាចពង្រីកខ្សែនេះបានទេ? តើ​លេខ​អ្វី​នឹង​បន្ត​បន្ទាប់​ពី​ប្រាំ? អ្នកទាំងអស់គ្នា... uh... និយាយឱ្យខ្លី គ្រប់គ្នានឹងយល់ថា លេខ 6, 7, 8, 9 ជាដើម។

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ ខ្ញុំផ្តល់លេខស៊េរីដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖

2, 5, 8, 11, 14, ...

អ្នកអាចចាប់លំនាំ ពង្រីកស៊េរី និងឈ្មោះ ទីប្រាំពីរលេខជួរ?

ប្រសិនបើអ្នកគិតថាលេខនេះគឺ 20 - ខ្ញុំសូមអបអរសាទរអ្នក! អ្នកមិនត្រឹមតែមានអារម្មណ៍ប៉ុណ្ណោះទេ ចំណុច​សំខាន់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ,ប៉ុន្តែ​ក៏​បាន​ប្រើ​វា​ដោយ​ជោគជ័យ​ក្នុង​អាជីវកម្ម! បើមិនយល់ សូមអានបន្ត។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកប្រែចំណុចសំខាន់ៗពីអារម្មណ៍ទៅជាគណិតវិទ្យា។)

ចំណុចសំខាន់ដំបូង។

ដំណើរការនព្វន្ធទាក់ទងនឹងស៊េរីលេខ។នេះ​ជា​ការ​យល់​ច្រឡំ​ពី​ដំបូង​។ យើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ការកសាងក្រាហ្វ និងអ្វីៗទាំងអស់ ... ហើយបន្ទាប់មកពង្រីកស៊េរី ស្វែងរកចំនួនស៊េរី ...

មិន​អី​ទេ។ វាគ្រាន់តែថាវឌ្ឍនភាពគឺជាអ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយនឹងសាខាថ្មីនៃគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកត្រូវបានគេហៅថា "ស៊េរី" និងធ្វើការជាមួយស៊េរីនៃលេខនិងកន្សោម។ ស៊ាំនឹងវា។ )

ចំណុចសំខាន់ទីពីរ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ លេខណាមួយខុសពីលេខមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយភាពខុសគ្នានេះគឺមួយ។ លេខណាដែលអ្នកយក វាគឺលេខមួយច្រើនជាងលេខមុន។ នៅក្នុងទីពីរ - បី។ លេខណាមួយគឺធំជាងលេខមុនបីដង។ តាមពិតទៅ វាគឺជាពេលនេះដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីចាប់គំរូ និងគណនាលេខជាបន្តបន្ទាប់។

ចំណុចសំខាន់ទីបី។

ពេលនេះមិនមានភាពទាក់ទាញទេ បាទ... ប៉ុន្តែសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ នៅទីនោះគាត់គឺ៖ គ្នា លេខវឌ្ឍនភាពឈរនៅកន្លែងរបស់វា។មាន​លេខ​ទីមួយ មាន​លេខ​ប្រាំពីរ មាន​លេខ​សែសិប​ប្រាំ ជាដើម។ ប្រសិនបើអ្នកច្រឡំពួកវាដោយចៃដន្យ លំនាំនឹងរលាយបាត់។ ដំណើរការនព្វន្ធក៏នឹងរលាយបាត់ដែរ។ វាគ្រាន់តែជាលេខស៊េរីប៉ុណ្ណោះ។

នោះហើយជាចំណុចទាំងមូល។

ជាការពិតណាស់នៅក្នុង ប្រធានបទថ្មី។ពាក្យ​ថ្មី និង​សញ្ញាណ​បង្ហាញ​ឡើង។ ពួកគេត្រូវដឹង។ បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកនឹងមិនយល់ពីកិច្ចការនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវសម្រេចចិត្តអ្វីមួយដូចជា៖

សរសេរពាក្យប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។

តើវាបំផុសគំនិតទេ?) អក្សរ លិបិក្រមមួយចំនួន... ហើយកិច្ចការនោះ មិនអាចងាយស្រួលជាងនេះទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ និងសញ្ញាណ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើជាម្ចាស់លើបញ្ហានេះហើយត្រឡប់ទៅភារកិច្ចវិញ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺជាស៊េរីលេខដែលលេខនីមួយៗខុសពីលេខមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា . ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងគំនិតនេះឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជាចំនួនដែលលេខដំណើរការណាមួយ។ ច្រើនទៀតមួយមុន។

មួយ។ ចំណុចសំខាន់. សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះពាក្យ "ច្រើនទៀត" ។តាមគណិតវិទ្យា នេះមានន័យថាលេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗត្រូវបានទទួល ការបន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅលេខមុន។

ដើម្បីគណនាសូមនិយាយ ទីពីរលេខនៃជួរ, វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បី ដំបូងចំនួន បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។ សម្រាប់ការគណនា ទីប្រាំ- ភាពខុសគ្នាគឺចាំបាច់ បន្ថែមទៅ ទីបួនផងដែរ ។ល។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រហែល វិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៃស៊េរីនឹងប្រែទៅជាពិតប្រាកដ ច្រើនជាងលើកមុន។វឌ្ឍនភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង។ឧទាហរណ៍:

8; 13; 18; 23; 28; .....

នៅទីនេះលេខនីមួយៗ ការបន្ថែមលេខវិជ្ជមាន +5 ទៅលេខមុន។

ភាពខុសគ្នាអាចជា អវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីនឹងមាន តិចជាងមុន។ការវិវត្តនេះត្រូវបានគេហៅថា (អ្នកនឹងមិនជឿវាទេ!) ថយចុះ។

ឧទាហរណ៍:

8; 3; -2; -7; -12; .....

នៅទីនេះលេខនីមួយៗក៏ត្រូវបានទទួលផងដែរ។ ការបន្ថែមទៅមួយមុនប៉ុន្តែ លេខអវិជ្ជមាន, -5.

ដោយវិធីនេះនៅពេលធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពវាមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការកំណត់លក្ខណៈរបស់វាភ្លាមៗ - ថាតើវាកំពុងកើនឡើងឬថយចុះ។ វាជួយបានច្រើនក្នុងការស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នកក្នុងការសម្រេចចិត្ត ស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នក និងកែតម្រូវវាមុនពេលវាយឺតពេល។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ ឃ.

របៀបស្វែងរក ឃ? សាមញ្ញ​ណាស់។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកលេខណាមួយនៃស៊េរី មុនចំនួន។ ដក។ ដោយវិធីនេះលទ្ធផលនៃការដកត្រូវបានគេហៅថា "ភាពខុសគ្នា") ។

ចូរយើងកំណត់ឧទាហរណ៍ ឃសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធកើនឡើង៖

2, 5, 8, 11, 14, ...

យើងយកលេខណាមួយនៃជួរដេកដែលយើងចង់បាន ឧទាហរណ៍ 11. ដកពីវា។ លេខមុន។, ទាំងនោះ។ ប្រាំបី៖

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធនេះ ភាពខុសគ្នាគឺបី។

អ្នកគ្រាន់តែអាចយក ចំនួននៃដំណើរការណាមួយ,ដោយសារតែ សម្រាប់ដំណើរការជាក់លាក់មួយ។ ឃ-តែងតែដូចគ្នា។យ៉ាងហោចណាស់នៅកន្លែងណាមួយនៅដើមជួរដេក យ៉ាងហោចណាស់នៅកណ្តាល យ៉ាងហោចណាស់កន្លែងណាមួយ។ អ្នកមិនអាចយកតែលេខដំបូងបានទេ។ ដោយសារតែលេខដំបូងបំផុត។ គ្មានពីមុន។)

និយាយអីញ្ចឹងទើបដឹង d=3ការស្វែងរកលេខទីប្រាំពីរនៃការវិវត្តនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ យើងបន្ថែមលេខ 3 ដល់លេខទីប្រាំ - យើងទទួលបានលេខប្រាំមួយ វានឹងមាន 17។ យើងបន្ថែមលេខបីទៅលេខទីប្រាំមួយ យើងទទួលបានលេខទីប្រាំពីរ - ម្ភៃ។

ចូរយើងកំណត់ ឃសម្រាប់ការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

8; 3; -2; -7; -12; .....

ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថាដោយមិនគិតពីសញ្ញាដើម្បីកំណត់ ឃត្រូវការពីលេខណាមួយ។ យកពីមុន។យើងជ្រើសរើសចំនួននៃវឌ្ឍនភាពណាមួយឧទាហរណ៍ -7 ។ លេខមុនរបស់គាត់គឺ -2 ។ បន្ទាប់មក៖

d = −7 − (−2) = −7 + 2 = −5

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាលេខណាមួយ៖ ចំនួនគត់ ប្រភាគ មិនសមហេតុផល ណាមួយ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់ផ្សេងទៀត។

លេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីត្រូវបានហៅ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាព មានលេខរបស់គាត់។លេខ​ត្រូវ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ដោយ​គ្មាន​ល្បិច។ ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ទីបួន ។ល។ ឧទាហរណ៍៖ នៅក្នុងវឌ្ឍនភាព ២, ៥, ៨, ១១, ១៤, ... ពីរគឺសមាជិកទីមួយ ប្រាំគឺទីពីរ ដប់មួយគឺទីបួន អញ្ចឹងអ្នកយល់...) សូមយល់ច្បាស់ - លេខខ្លួនឯងអាចជាដាច់ខាតណាមួយ ទាំងមូល ប្រភាគ អវិជ្ជមាន អ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែ លេខរៀង- តឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់!

របៀបកត់ត្រាវឌ្ឍនភាពនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅ? គ្មាន​បញ្ហា! លេខនីមួយៗក្នុងស៊េរីត្រូវបានសរសេរជាអក្សរ។ ដើម្បីសម្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ ជាក្បួន អក្សរត្រូវបានប្រើ ក. លេខសមាជិកត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលិបិក្រមនៅខាងស្តាំខាងក្រោម។ សមាជិកត្រូវបានសរសេរបំបែកដោយក្បៀស (ឬសញ្ញាក្បៀស) ដូចនេះ៖

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

ក ១គឺជាលេខដំបូង ក ៣- ទីបី។ល។ គ្មានអ្វីពិបាកទេ។ អ្នកអាចសរសេរស៊េរីនេះដោយសង្ខេបដូចនេះ៖ (a n).

មានការវិវឌ្ឍន៍ កំណត់ និងគ្មានកំណត់។

ចុងក្រោយវឌ្ឍនភាពមាន ចំនួនមានកំណត់សមាជិក។ ប្រាំ សាមសិបប្រាំបី អ្វីក៏ដោយ ។ ប៉ុន្តែ​វា​ជា​ចំនួន​កំណត់។

គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាព - មានសមាជិកមិនកំណត់ ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន។)

អ្នកអាចសរសេរការវិវត្តចុងក្រោយតាមរយៈស៊េរីដូចនេះ សមាជិកទាំងអស់ និងចំណុចនៅចុងបញ្ចប់៖

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ។

ឬដូចនេះប្រសិនបើមានសមាជិកច្រើន៖

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 ។

អេ អក្សរកាត់អ្នកនឹងត្រូវបញ្ជាក់ចំនួនសមាជិកបន្ថែម។ ឧទាហរណ៍ (សម្រាប់សមាជិកម្ភៃនាក់) ដូចនេះ៖

(a n), n = ២០

ការវិវឌ្ឍន៍ដែលគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានទទួលស្គាល់ដោយពងក្រពើនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចដោះស្រាយភារកិច្ចរួចហើយ។ ភារកិច្ចគឺសាមញ្ញសុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវកិច្ចការខាងលើ៖

1. សរេសរសកមម ី 6 ននឹ ង ន ឹ ងន ឹ ង (a n) េបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។

យើងផ្ទេរភារកិច្ចទៅ ភាសាដែលអាចយល់បាន។. បានផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធគ្មានកំណត់។ ចំនួនទីពីរនៃដំណើរការនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថា: a 2 = 5 ។ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការដែលគេស្គាល់៖ d = −2.5 ។យើងត្រូវស្វែងរកសមាជិកទីមួយ ទីបី ទីបួន ទីប្រាំ និងទីប្រាំមួយ នៃដំណើរការនេះ។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំនឹងសរសេរជាស៊េរីទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ សមាជិកប្រាំមួយនាក់ដំបូង ដែលសមាជិកទីពីរមានប្រាំនាក់៖

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

ក ៣ = ក ២ + ឃ

យើងជំនួសនៅក្នុងកន្សោម a 2 = 5និង d=-2.5. កុំភ្លេចដក!

ក ៣=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ពាក្យទីបីគឺ តិចជាងមួយវិនាទី. អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺឡូជីខល។ ប្រសិនបើលេខធំជាងលេខមុន។ អវិជ្ជមានតម្លៃ ដូច្នេះលេខខ្លួនឯងនឹងតិចជាងលេខមុន។ វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ។ មិនអីទេ ចូរយើងពិចារណា។) យើងពិចារណាសមាជិកទីបួននៃស៊េរីរបស់យើង៖

ក ៤ = ក ៣ + ឃ

ក ៤=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ក ៥ = ក ៤ + ឃ

ក ៥=0+(-2,5)= - 2,5

ក ៦ = ក ៥ + ឃ

ក ៦=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌពីទីបីដល់ទីប្រាំមួយត្រូវបានគណនា។ នេះបណ្តាលឱ្យមានស៊េរី៖

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូង ក ១នៅលើ ទីពីរដ៏ល្បីល្បាញ. នេះគឺជាជំហានមួយក្នុងទិសដៅផ្សេងទៀតទៅខាងឆ្វេង ឃមិនគួរត្រូវបានបន្ថែមទៅ ក ២, ក យក​ទៅ​ឆ្ងាយ:

ក ១ = ក ២ - ឃ

ក ១=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ ការឆ្លើយតបភារកិច្ច៖

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

នៅក្នុងការឆ្លងកាត់ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាយើងបានដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ កើតឡើងវិញ។វិធី។ នេះ​គឺជា ពាក្យគួរឱ្យខ្លាចមានន័យថា មានតែការស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព ដោយលេខមុន (នៅជាប់គ្នា) ។វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅពេលក្រោយ។

ពីនេះ។ កិច្ចការសាមញ្ញការសន្និដ្ឋានសំខាន់មួយអាចត្រូវបានទាញ។

ចងចាំ៖

ប្រសិនបើយើងស្គាល់យ៉ាងហោចណាស់សមាជិកម្នាក់ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ នោះយើងអាចរកឃើញសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ចាំទេ? ដេរីវេសាមញ្ញនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើន វគ្គសិក្សាសាលាលើប្រធានបទនេះ។ កិច្ចការទាំងអស់វិលជុំវិញ បីសំខាន់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពមួយ ចំនួននៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ។អ្វីគ្រប់យ៉ាង។

ជាការពិតណាស់ពិជគណិតពីមុនទាំងអស់មិនត្រូវបានលុបចោលទេ។) វិសមភាព សមីការ និងរបស់ផ្សេងទៀតត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងការវិវត្ត។ ប៉ុន្តែ នេះបើយោងតាមការវិវត្ត- អ្វីគ្រប់យ៉ាងវិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្របី។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាខ្លះៗ ភារកិច្ចពេញនិយមលើប្រធានបទនេះ។

2. សរសេរការវិវត្តនព្វន្ធចុងក្រោយជាស៊េរី ប្រសិនបើ n=5, d=0.4, និង a 1=3.6។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយ។ អ្នកត្រូវចាំពីរបៀបដែលសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានគណនា រាប់ និងសរសេរចុះ។ គួរតែកុំរំលងពាក្យក្នុងលក្ខខណ្ឌការងារ៖ "ចុងក្រោយ" និង " n=5"។ ដើម្បីកុំឱ្យរាប់រហូតដល់អ្នកមុខពណ៌ខៀវទាំងស្រុង។ ) មានសមាជិកតែ 5 (ប្រាំ) ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុងដំណើរការនេះ:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

ក ៤ = ក ៣ + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

ក ៥ = ក ៤ + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

វានៅសល់ដើម្បីសរសេរចម្លើយ៖

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

កិច្ចការមួយទៀត៖

3. កំណត់ថាតើលេខ 7 នឹងក្លាយជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2 ។

ហ៊ឺ... អ្នកណាដឹង? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់អ្វីមួយ?

How-how... បាទ សរសេរ​ដំណើរ​ការ​ជា​ស៊េរី​មើល​ថា​នឹង​មាន​ប្រាំពីរ​ឬ​អត់! យើងជឿថា៖

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

ក ៤ = ក ៣ + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ឥឡូវ​គេ​មើល​ឃើញ​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា​យើង​មាន​អាយុ​ត្រឹម​តែ​ប្រាំពីរ​នាក់​ប៉ុណ្ណោះ។ បានរអិលឆ្លងកាត់ចន្លោះ 6.5 និង 7.7! លេខប្រាំពីរមិនបានចូលទៅក្នុងស៊េរីនៃលេខរបស់យើងទេ ដូច្នេះហើយ ទាំងប្រាំពីរនឹងមិនជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

ចម្លើយ៖ ទេ។

ហើយនេះគឺជាបញ្ហាផ្អែកលើ កំណែពិត GIA៖

4. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖

... ; ដប់ប្រាំ; X; ប្រាំបួន; ៦; ...

នេះគឺជាស៊េរីដែលគ្មានទីបញ្ចប់ និងការចាប់ផ្តើម។ គ្មាន​លេខ​សមាជិក មិន​ខុស​គ្នា​ទេ។ ឃ. មិន​អី​ទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ តោះមើលហើយមើលថាតើយើងអាចធ្វើអ្វីបាន។ រកឃើញពីបន្ទាត់នេះ? តើប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗទាំងបីមានអ្វីខ្លះ?

លេខសមាជិក? មិនមានលេខតែមួយនៅទីនេះទេ។

ប៉ុន្តែមានបីលេខហើយ - យកចិត្តទុកដាក់! - ពាក្យ "ជាប់គ្នា"នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​លេខ​ត្រូវ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ដោយ​គ្មាន​ចន្លោះ។ តើមានពីរក្នុងជួរនេះទេ? អ្នកជិតខាង លេខដែលគេស្គាល់? បាទ​ឬ​ចាស​ខ្ញុំ​មាន! ទាំងនេះគឺ 9 និង 6។ ដូច្នេះយើងអាចគណនាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ! យើងដកពីប្រាំមួយ។ មុនលេខ, i.e. ប្រាំបួន៖

នៅសល់កន្លែងទំនេរ។ តើលេខមួយណានឹងជាលេខមុនសម្រាប់ x? ដប់ប្រាំ។ ដូច្នេះ X អាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ការបន្ថែមសាមញ្ញ. ដល់ ១៥ បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

អស់ហើយ។ ចម្លើយ៖ x=12

យើងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង។ ចំណាំ៖ ល្បែងផ្គុំរូបទាំងនេះមិនមែនសម្រាប់រូបមន្តទេ។ សុទ្ធ​តែ​សម្រាប់​ការ​យល់​ពី​អត្ថន័យ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។​) យើង​គ្រាន់​តែ​សរសេរ​ជា​ស៊េរី​នៃ​តួ​លេខ មើល​និង​គិត។

5. ស្វែងរកពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ a 5 = -3; d = 1.1 ។

6. គេដឹងថាលេខ 5.5 គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ដែល a 1 = 1.6; d = 1.3 ។ កំណត់ចំនួន n នៃពាក្យនេះ។

7. គេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1 ។ ស្វែងរក 3 ។

8. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖

... ; ១៥.៦; X; ៣.៤; ...

ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព តំណាងដោយអក្សរ x ។

9. រថភ្លើងបានចាប់ផ្តើមផ្លាស់ប្តូរពីស្ថានីយ៍ ដោយបង្កើនល្បឿនបន្តិចម្តងៗ 30 ម៉ែត្រក្នុងមួយនាទី។ តើ​រថភ្លើង​នឹង​មាន​ល្បឿន​ប៉ុន្មាន​ក្នុង​រយៈពេល​ប្រាំ​នាទី? ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាគីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។

10. គេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 5; a 6 = −5 ។ រក 1.

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7.7; ៧.៥; ៩.៥; ប្រាំបួន; 0.3; ៤.

អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានដំណើរការ? អស្ចារ្យមែន! អ្នកអាចរៀនការវិវត្តនព្វន្ធនៅកម្រិតខ្ពស់ជាងនេះនៅក្នុងមេរៀនខាងក្រោម។

អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? គ្មាន​បញ្ហា។ នៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ល្បែងផ្គុំរូបទាំងអស់នេះត្រូវបានតម្រៀបតាមឆ្អឹង។) ហើយពិតណាស់សាមញ្ញ បច្ចេកទេសជាក់ស្តែងដែល​រំលេច​ដំណោះស្រាយ​ការងារ​បែប​នេះ​ភ្លាម​ៗ​យ៉ាង​ច្បាស់​ក្រឡែត​!

ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងល្បែងផ្គុំរូបអំពីរថភ្លើងមានបញ្ហាពីរដែលមនុស្សជារឿយៗជំពប់ដួល។ មួយ - សុទ្ធសាធដោយវឌ្ឍនភាព និងទីពីរ - ជារឿងធម្មតាសម្រាប់កិច្ចការណាមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យាផងដែរ។ នេះគឺជាការបកប្រែនៃវិមាត្រពីមួយទៅមួយទៀត។ វាបង្ហាញពីរបៀបដែលបញ្ហាទាំងនេះគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យមើលអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំបងរបស់វា។ នេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើប្រធានបទនេះ។ បន្ថែម ឃទៅលេខ សរសេរស៊េរី អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងត្រូវបានសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយម្រាមដៃដំណើរការល្អសម្រាប់បំណែកខ្លីៗនៃស៊េរី ដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។ ប្រសិនបើស៊េរីវែងជាង ការគណនាកាន់តែពិបាក។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាទី 9 ក្នុងសំណួរ សូមជំនួស "រយៈ​ពេល​ប្រាំ​នាទី"នៅ​លើ "សាមសិបប្រាំនាទី"បញ្ហានឹងកាន់តែអាក្រក់ទៅៗ។ )

ហើយក៏មានកិច្ចការដែលមានលក្ខណៈសាមញ្ញផងដែរ ប៉ុន្តែមិនទំនងទាល់តែសោះក្នុងន័យនៃការគណនា ឧទាហរណ៍៖

ដែល​បាន​ឲ្យ​ដំណើរ​ការ​នព្វន្ធ (a n) ។ រក 121 ប្រសិនបើ 1 = 3 និង d = 1/6 ។

ហើយអ្វីដែលយើងនឹងបន្ថែម 1/6 ច្រើនដង?! តើអាចសម្លាប់ខ្លួនឯងបាន!

អ្នកអាច។) ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹង រូបមន្តសាមញ្ញយោងទៅតាមដែលអ្នកអាចដោះស្រាយភារកិច្ចបែបនេះក្នុងមួយនាទី។ រូបមន្តនេះនឹងមាននៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។ ហើយបញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅទីនោះ។ ក្នុង​មួយ​នាទី។)

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

បាទ/ចាស៎៖ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមិនមែនជារបស់លេងសម្រាប់អ្នកទេ :)

ជាការប្រសើរណាស់ មិត្តភ័ក្តិ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះ នោះភស្តុតាងខាងក្នុងប្រាប់ខ្ញុំថា អ្នកនៅតែមិនដឹងថា តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វីនោះទេ ប៉ុន្តែអ្នកពិតជា (អត់ទេ ដូចនេះ៖ SOOOOO!) ចង់ដឹង។ ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើទារុណកម្មអ្នកដោយការណែនាំដ៏វែង ហើយនឹងចុះទៅអាជីវកម្មភ្លាមៗ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមឧទាហរណ៍ពីរបី។ ពិចារណាសំណុំលេខជាច្រើន៖

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\2\sqrt(2);\3\sqrt(2);...$

តើឈុតទាំងអស់នេះមានអ្វីដូចគ្នា? នៅ glance ដំបូង, គ្មានអ្វី។ ប៉ុន្តែតាមពិតមានអ្វីមួយ។ ពោលគឺ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយលេខដូចគ្នា។.

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។ ឈុតទីមួយគ្រាន់តែជាលេខជាប់គ្នា លេខនីមួយៗច្រើនជាងលេខមុន។ ក្នុងករណីទីពីរភាពខុសគ្នារវាង លេខឈរគឺស្មើនឹងប្រាំរួចទៅហើយ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នានេះនៅតែថេរ។ ក្នុងករណីទីបីមានឫសជាទូទៅ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ខណៈពេលដែល $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ក្នុងករណីដែលធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគ្រាន់តែកើនឡើង $\sqrt(2)$ (ហើយកុំខ្លាចថាចំនួននេះមិនសមហេតុផល)។

ដូច្នេះ៖ លំដាប់​ទាំង​អស់​នេះ​គ្រាន់​តែ​ហៅ​ថា​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ៖

និយមន័យ។ លំដាប់នៃលេខដែលនីមួយៗបន្ទាប់ខុសគ្នាពីលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ចំនួន​ដែល​លេខ​ខុស​គ្នា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន ហើយ​ច្រើន​តែ​បង្ហាញ​ដោយ​អក្សរ $d$។

កំណត់សម្គាល់៖ $\left(((a)_(n)) \right)$ គឺជាការវិវត្តខ្លួនវា $d$ គឺជាភាពខុសគ្នារបស់វា។

ហើយគ្រាន់តែពីរបី កំណត់ចំណាំសំខាន់ៗ. ទីមួយការវិវត្តត្រូវបានពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សណ្តាប់ធ្នាប់លំដាប់នៃលេខ៖ ពួកគេត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យអានយ៉ាងតឹងរឹងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ - ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។ អ្នកមិនអាចរៀបចំឡើងវិញ ឬប្តូរលេខបានទេ។

ទីពីរ លំដាប់​ដោយ​ខ្លួន​វា​អាច​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ (1; 2; 3) គឺច្បាស់ជាដំណើរការនព្វន្ធកំណត់។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកសរសេរអ្វីមួយនៅក្នុងវិញ្ញាណ (1; 2; 3; 4; ... ) - នេះគឺរួចទៅហើយ វឌ្ឍនភាពគ្មានកំណត់. រាងពងក្រពើបន្ទាប់ពីទាំងបួនដូចដែលវាត្រូវបានគេណែនាំថាចំនួនច្រើនទៅមុខទៀត។ ច្រើនឥតកំណត់ ជាឧទាហរណ៍។ :)

ខ្ញុំ​ក៏​ចង់​កត់​សម្គាល់​ដែរ​ថា វឌ្ឍនភាព​កំពុង​កើនឡើង និង​ថយ​ចុះ។ យើងបានឃើញការកើនឡើងរួចទៅហើយ - សំណុំដូចគ្នា (1; 2; 3; 4; ... ) ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការថយចុះវឌ្ឍនភាព៖

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\sqrt(5)-1;\sqrt(5)-2;\sqrt(5)-3;...$

យល់ព្រម យល់ព្រម៖ ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញពេក។ ប៉ុន្តែនៅសល់ ខ្ញុំគិតថាអ្នកយល់។ ដូច្នេះ យើងណែនាំនិយមន័យថ្មី៖

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា៖

1. ការកើនឡើងប្រសិនបើធាតុបន្ទាប់នីមួយៗធំជាងធាតុមុន;
2. ការថយចុះ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ ធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺតិចជាងធាតុមុន។

លើសពីនេះទៀតមានអ្វីដែលគេហៅថា "ស្ថានី" លំដាប់ - ពួកគេមានលេខដដែលៗ។ ឧទាហរណ៍ (៣; ៣; ៣; ...)។

មានតែសំណួរមួយប៉ុណ្ណោះ៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់ការវិវត្តដែលកើនឡើងពីការថយចុះមួយ? ជាសំណាងល្អ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅទីនេះអាស្រ័យតែលើសញ្ញានៃលេខ $d$, i.e. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ៖

1. ប្រសិនបើ $d \gt 0$ នោះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។
2. ប្រសិនបើ $d \lt 0$ នោះការវិវឌ្ឍន៍ជាក់ស្តែងនឹងថយចុះ។
3. ទីបំផុត មានករណី $d=0$ ដែលក្នុងករណីនេះ ដំណើរការទាំងមូលកាត់បន្ថយទៅលំដាប់ស្ថានី លេខដូចគ្នា។: (១; ១; ១; ១; ...) ។ល។

ចូរយើងព្យាយាមគណនាភាពខុសគ្នា $d$ សម្រាប់ដំណើរការថយចុះចំនួនបីខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកធាតុពីរដែលនៅជាប់គ្នា (ឧទាហរណ៍ទីមួយនិងទីពីរ) ហើយដកពីលេខនៅខាងស្តាំលេខនៅខាងឆ្វេង។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$ ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងករណីទាំងបីភាពខុសគ្នាពិតជាប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ហើយឥឡូវនេះ យើងបានរកឃើញនិយមន័យច្រើន ឬតិច វាជាពេលវេលាដើម្បីស្វែងយល់ពីរបៀបដែលវឌ្ឍនភាពត្រូវបានពិពណ៌នា និងលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីដែលពួកគេមាន។

សមាជិក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន និង​រូបមន្ត​ដែល​កើតឡើង​ដដែលៗ

ដោយសារ​ធាតុ​នៃ​លំដាប់​របស់​យើង​មិន​អាច​ផ្លាស់ប្តូរ​គ្នា​បាន ពួកវា​អាច​ត្រូវ​បាន​លេខ​រៀង៖

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]

ធាតុបុគ្គលនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ ពួកវាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញតាមរបៀបនេះដោយមានជំនួយពីលេខមួយ: សមាជិកទីមួយ សមាជិកទីពីរ ជាដើម។

លើសពីនេះទៀត ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយថា សមាជិកជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទាក់ទងគ្នាដោយរូបមន្ត៖

\[(((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

សរុបមក ដើម្បីស្វែងរកពាក្យ $n$th នៃវឌ្ឍនភាព អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យ $n-1$th និងភាពខុសគ្នា $d$។ រូបមន្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងដដែលៗ ពីព្រោះដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចស្វែងរកលេខណាមួយ ដោយគ្រាន់តែដឹងពីលេខមុន (ហើយតាមពិត លេខមុនទាំងអស់)។ នេះគឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំងណាស់ ដូច្នេះមានរូបមន្តដ៏ពិបាកជាងនេះ ដែលកាត់បន្ថយការគណនាណាមួយទៅពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា៖

\[(((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1\right)d\]

អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់ឆ្លងកាត់រូបមន្តនេះពីមុនមក។ ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យវានៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃសៀវភៅយោងនិង reshebniks ។ ហើយ​ក្នុង​សៀវភៅ​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​ដែល​សមហេតុផល​ណាមួយ​នោះ​គឺ​ជា​សៀវភៅ​ដំបូង​គេ​មួយ​។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអនុវត្តបន្តិច។

លេខកិច្ចការ 1 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ដូច្នេះ យើងដឹងពីពាក្យដំបូង $((a)_(1))=8$ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d=-5$។ ចូរប្រើរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ឲ្យ ហើយជំនួស $n=1$, $n=2$ និង $n=3$៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1\right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1\right)d=((a)_(1))+d=8-5= ៣; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1\right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -២. \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ (៨; ៣; -២)

អស់ហើយ! ចំណាំថាការវិវត្តរបស់យើងកំពុងថយចុះ។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ $n=1$ មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​ជំនួស​ឡើយ - យើង​បាន​ដឹង​ហើយ​ពាក្យ​ដំបូង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយការជំនួសឯកតា យើងបានធ្វើឱ្យប្រាកដថា សូម្បីតែសម្រាប់ពាក្យទីមួយ រូបមន្តរបស់យើងដំណើរការ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់មកលេខនព្វន្ធ banal ។

លេខកិច្ចការ 2 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើពាក្យទីប្រាំពីររបស់វាគឺ −40 ហើយពាក្យទីដប់ប្រាំពីររបស់វាគឺ −50។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាក្នុងលក្ខខណ្ឌធម្មតា៖

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ ត្រូវ។\]

ខ្ញុំដាក់សញ្ញានៃប្រព័ន្ធព្រោះតម្រូវការទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ហើយឥឡូវនេះយើងកត់សំគាល់ថាប្រសិនបើយើងដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ (យើងមានសិទ្ធិធ្វើដូច្នេះព្រោះយើងមានប្រព័ន្ធ) យើងទទួលបាននេះ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច​នេះ​ដែរ យើង​បាន​រក​ឃើញ​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន! វានៅសល់ដើម្បីជំនួសលេខដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងទីមួយ៖

\\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \\ ចុះក្រោម \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ក)_(១))=-៤០+៦=-៣៤។ \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា វានៅតែត្រូវស្វែងរកពាក្យទីពីរ និងទីបី៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ក)_(៣))=((ក)_(១))+២d=-៣៤-២=-៣៦។ \\ \end(តម្រឹម)\]

រួចរាល់ហើយ! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ (-៣៤; -៣៥; -៣៦)

យកចិត្តទុកដាក់ ទ្រព្យសម្បត្តិចង់ដឹងចង់ឃើញវឌ្ឍនភាពដែលយើងបានរកឃើញ៖ ប្រសិនបើយើងយកពាក្យ $n$th និង $m$th ហើយដកវាចេញពីគ្នាទៅវិញទៅមក យើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពគុណនឹងចំនួន $n-m$៖

\[(((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

សាមញ្ញ ប៉ុន្តែខ្លាំងណាស់ ទ្រព្យសម្បត្តិមានប្រយោជន៍ដែលអ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹង - ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចបង្កើនល្បឿនដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើនដែលកំពុងដំណើរការ។ នៅទីនេះ ភ្លឺទៅនោះ។ឧទាហរណ៍៖

លេខកិច្ចការ 3 ។ ពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ 8.4 ហើយពាក្យទីដប់របស់វាគឺ 14.4 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយសារ $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ហើយយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(15))$ យើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ក)_(១០))-((ក)_(៥))=៥ឃ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ដូច្នេះ $5d=6$ យើងមាន៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ ២០.៤

អស់ហើយ! យើងមិនចាំបាច់បង្កើតប្រព័ន្ធសមីការណាមួយ ហើយគណនាពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានោះទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចដោយគ្រាន់តែពីរបីបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហាមួយប្រភេទទៀត - ការស្វែងរកសមាជិកអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាននៃវឌ្ឍនភាព។ វាមិនមែនជារឿងសម្ងាត់ទេដែលថា ប្រសិនបើការវិវឌ្ឍន៍កើនឡើង ខណៈពេលដែលពាក្យទីមួយរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន នោះមិនយូរមិនឆាប់ពាក្យវិជ្ជមាននឹងលេចឡើងនៅក្នុងវា។ ហើយផ្ទុយមកវិញ៖ លក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះនៃដំណើរការនឹងឆាប់ឬក្រោយមកក្លាយជាអវិជ្ជមាន។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវានៅឆ្ងាយពីតែងតែអាចរកឃើញពេលនេះ "នៅលើថ្ងាស" ដោយតម្រៀបតាមលំដាប់នៃធាតុ។ ជាញឹកញាប់ បញ្ហាត្រូវបានរៀបចំឡើងតាមរបៀបដែលដោយមិនដឹងពីរូបមន្ត ការគណនានឹងយកសន្លឹកជាច្រើនសន្លឹក យើងនឹងងងុយគេងរហូតដល់យើងរកឃើញចម្លើយ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទាំងនេះ​ឱ្យ​បាន​លឿន​ជាង​មុន ។

លេខកិច្ចការ 4 ។ តើមានពាក្យអវិជ្ជមានប៉ុន្មានក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ -38.5; -៣៥.៨; …?

ការសម្រេចចិត្ត។ ដូច្នេះ $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ដែលយើងរកឃើញភាពខុសគ្នាភ្លាមៗ៖

ចំណាំថាភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។ ពាក្យ​ទីមួយ​គឺ​អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ​នៅ​ពេល​ណាមួយ​យើង​នឹង​ជំពប់​ដួល​លើ​លេខ​វិជ្ជមាន។ សំណួរតែមួយគត់គឺនៅពេលណាដែលរឿងនេះនឹងកើតឡើង។

តោះព្យាយាមស្វែងយល់៖ រហូតដល់ម៉ោងប៉ុន្មាន (ឧ លេខធម្មជាតិ$n$) ភាពអវិជ្ជមាននៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានរក្សាទុក៖

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ត្រឹមត្រូវ។ \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max))=15. \\ \end(តម្រឹម)\]

បន្ទាត់ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ ដូច្នេះយើងដឹងថា $n \lt 15\frac(7)(27)$ ។ ម៉្យាងវិញទៀត មានតែតម្លៃចំនួនគត់នៃចំនួនគត់ដែលសាកសមនឹងយើង (លើសពីនេះទៅទៀត៖ $n\in \mathbb(N)$) ដូច្នេះចំនួនដែលអាចអនុញ្ញាតបានធំបំផុតគឺ $n=15$ ហើយគ្មានករណី 16 ទេ។

កិច្ចការទី 5 ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ។ ស្វែងរកចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនេះ។

នេះពិតជាបញ្ហាដូចគ្នានឹងបញ្ហាមុនដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនដឹង $((a)_(1))$ ទេ។ ប៉ុន្តែពាក្យដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់ថា $((a)_(5))$ និង $((a)_(6))$ ដូច្នេះយើងអាចរកឃើញភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពយ៉ាងងាយស្រួល៖

បន្ថែមពីលើនេះ ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញពាក្យទីប្រាំនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទីមួយ និងភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះយើងបន្តដោយការប្រៀបធៀបជាមួយបញ្ហាមុន។ យើងស្វែងយល់ថាតើចំណុចណាខ្លះក្នុងលេខវិជ្ជមានលំដាប់របស់យើងនឹងបង្ហាញ៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \\ gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(តម្រឹម)\]

អប្បបរមា ដំណោះស្រាយចំនួនគត់វិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាលេខ 56 ។

សូមចំណាំ៖ ក្នុង កិច្ចការចុងក្រោយអ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់ចុះមក វិសមភាពដ៏តឹងរឹងដូច្នេះជម្រើស $n=55$ នឹងមិនសមនឹងយើងទេ។

ឥឡូវ​យើង​បាន​រៀន​ពី​របៀប​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​សាមញ្ញ​ហើយ​ យើង​បន្ត​ទៅ​កាន់​បញ្ហា​ស្មុគស្មាញ​ទៀត។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀតនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន និងកោសិកាមិនស្មើគ្នានាពេលអនាគត។ :)

មធ្យមនព្វន្ធ និងការចូលបន្ទាត់ស្មើគ្នា

ពិចារណាលក្ខខណ្ឌជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធកើនឡើង $\left(((a)_(n)) \right)$ ។ តោះព្យាយាមសម្គាល់ពួកវានៅលើបន្ទាត់លេខ៖

សមាជិកវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនៅលើបន្ទាត់លេខ

ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ជាពិសេសអំពីសមាជិកបំពាន $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, និងមិនមែន $((a)_(1)) , \((a)_(2)),\((a)_(3))$ ។ល។ ដោយសារតែច្បាប់ដែលខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកឥឡូវនេះ ដំណើរការដូចគ្នាសម្រាប់ "ផ្នែក" ណាមួយ។

ហើយច្បាប់គឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងចងចាំរូបមន្តដដែលៗ ហើយសរសេរវាចុះសម្រាប់សមាជិកដែលបានសម្គាល់ទាំងអស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(តម្រឹម)\]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញខុសគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(តម្រឹម)\]

អញ្ចឹងតើអ្វីទៅ? ប៉ុន្តែការពិតដែលពាក្យ $((a)_(n-1))$ និង $((a)_(n+1))$ ស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពី $((a)_(n))$ . ហើយចម្ងាយនេះគឺស្មើនឹង $d$ ។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីពាក្យ $((a)_(n-2))$ និង $((a)_(n+2))$ - ពួកគេក៏ត្រូវបានដកចេញពី $((a)_(n) ផងដែរ។ )$ ដោយចម្ងាយដូចគ្នាស្មើនឹង $2d$ ។ អ្នកអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែរូបភាពបង្ហាញអត្ថន័យបានយ៉ាងល្អ

សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីមជ្ឈមណ្ឌល

តើនេះមានន័យយ៉ាងណាចំពោះយើង? នេះមានន័យថាអ្នកអាចស្វែងរក $((a)_(n))$ ប្រសិនបើលេខដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

យើងបានកាត់ចេញនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏អស្ចារ្យមួយ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង! លើសពីនេះទៅទៀត យើងអាចបង្វែរពី $((a)_(n))$ របស់យើងទៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំ មិនមែនមួយជំហានទេ ប៉ុន្តែដោយជំហាន $k$ — ហើយនៅតែរូបមន្តនឹងត្រឹមត្រូវ៖

\[(((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+(((a)_(n+k)))(2)\]

ទាំងនោះ។ យើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួល $((a)_(150))$ ប្រសិនបើយើងដឹង $((a)_(100))$ និង $((a)_(200))$ ព្រោះ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$ ។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាថាការពិតនេះមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីដែលមានប្រយោជន៍។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការជាច្រើនត្រូវបាន "ធ្វើឱ្យច្បាស់" ពិសេសសម្រាប់ការប្រើប្រាស់មធ្យមនព្វន្ធ។ សូមក្រឡេកមើល៖

លេខកិច្ចការ 6 ។ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ $x$ ដូចជាលេខ $-6((x)^(2))$, $x+1$ និង $14+4((x)^(2))$ គឺជាសមាជិកជាប់គ្នានៃ ដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់ជាក់លាក់) ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ដរាបណា លេខដែលបានចង្អុលបង្ហាញគឺជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព ពួកគេបំពេញលក្ខខណ្ឌមធ្យមនព្វន្ធ៖ ធាតុកណ្តាល $x+1$ អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុជិតខាង៖

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(២))+x-៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

វាប្រែជាបុរាណ សមីការ​ការ៉េ. ឫសរបស់វា៖ $x=2$ និង $x=-3$ គឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ -៣; ២.

លេខកិច្ចការ 7 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $$ ដែលលេខ $-1;4-3;(()^(2))+1$ បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់នោះ)។

ការសម្រេចចិត្ត។ សូមបញ្ជាក់ម្តងទៀត សមាជិកកណ្តាលតាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង៖

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \\ cdot 2 \\ ស្តាំ។ \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(២))-៧x+៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

សមីការ​ការ៉េ​មួយ​ទៀត។ ហើយម្តងទៀតឫសពីរ៖ $x=6$ និង $x=1$ ។

ចម្លើយ៖ ១; ៦.

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកទទួលបានលេខដ៏ឃោរឃៅមួយចំនួន ឬអ្នកមិនប្រាកដទាំងស្រុងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយដែលបានរកឃើញនោះ មានល្បិចដ៏អស្ចារ្យមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើល៖ តើយើងបានដោះស្រាយបញ្ហាត្រឹមត្រូវទេ?

ចូរនិយាយថានៅក្នុងបញ្ហាទី 6 យើងទទួលបានចម្លើយ -3 និង 2 ។ តើយើងអាចពិនិត្យមើលថាចម្លើយទាំងនេះត្រឹមត្រូវដោយរបៀបណា? ចូរយើងគ្រាន់តែដោតពួកវាទៅក្នុងស្ថានភាពដើម ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងមានលេខបី ($-6()^(2))$, $+1$ និង $14+4(()^(2))$) ដែលគួរតែបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។ ជំនួស $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៥០។ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានលេខ -54; −២; 50 ដែលខុសគ្នាដោយ 52 គឺពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ រឿងដដែលនេះកើតឡើងសម្រាប់ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៣០។ \end(តម្រឹម)\]

ការវិវត្តម្តងទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 27 ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចពិនិត្យមើលកិច្ចការទីពីរដោយខ្លួនឯង ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនិយាយភ្លាមៗ៖ អ្វីៗក៏ត្រឹមត្រូវនៅទីនោះដែរ។

ជាទូទៅ ពេលដោះស្រាយកិច្ចការចុងក្រោយ យើងបានជំពប់ដួលលើកិច្ចការមួយទៀត ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលត្រូវចងចាំផងដែរ៖

ប្រសិនបើលេខបីគឺដូចនោះ ទីពីរគឺជាមធ្យម នព្វន្ធជាមុនសិននិងចុងក្រោយ លេខទាំងនេះបង្កើតបានជាដំណើរការនព្វន្ធ។

នៅពេលអនាគត ការយល់ដឹងអំពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើង "សាងសង់" តាមព្យញ្ជនៈនូវការវិវត្តចាំបាច់ដោយផ្អែកលើស្ថានភាពនៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែមុនពេលយើងចូលរួមក្នុង "ការសាងសង់" បែបនេះយើងគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយទៀតដែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីអ្វីដែលបានពិចារណារួចហើយ។

ការដាក់ជាក្រុម និងផលបូកនៃធាតុ

ចូរយើងត្រលប់ទៅ អ័ក្សលេខ. យើងកត់សំគាល់ថាមានសមាជិកមួយចំនួននៃវឌ្ឍនភាព រវាងនោះ ប្រហែលជា។ មានតម្លៃសមាជិកផ្សេងទៀតជាច្រើន៖

ធាតុ 6 ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខ

តោះព្យាយាមបង្ហាញ "កន្ទុយឆ្វេង" ក្នុងន័យ $((a)_(n))$ និង $d$ និង "កន្ទុយស្តាំ" ក្នុងន័យ $((a)_(k))$ និង $ d$។ វាសាមញ្ញណាស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវចំណាំថាផលបូកខាងក្រោមគឺស្មើគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ស; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ស. \end(តម្រឹម)\]

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាជាធាតុចាប់ផ្តើមពីរនៃវឌ្ឍនភាព ដែលសរុបស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន $S$ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមបោះជំហានពីធាតុទាំងនេះទៅ ភាគីផ្ទុយ(ឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមកឬច្រាសមកវិញដើម្បីដកចេញ) បន្ទាប់មក ផលបូកនៃធាតុដែលយើងនឹងជំពប់ដួលក៏នឹងស្មើគ្នាដែរ។$S$។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អបំផុតតាមក្រាហ្វិក៖

ការចូលបន្ទាត់ដូចគ្នាផ្តល់ផលបូកស្មើគ្នា

ការយល់ដឹង ការពិតនេះ។នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមូលដ្ឋានបន្ថែមទៀត កម្រិតខ្ពស់ភាពស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

លេខកិច្ចការ 8 ។ កំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធដែលពាក្យទីមួយគឺ 66 ហើយផលគុណនៃពាក្យទីពីរ និងដប់ពីរគឺតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ការសម្រេចចិត្ត។ តោះសរសេរអ្វីទាំងអស់ដែលយើងដឹង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min ។ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះ យើង​មិន​ដឹង​ពី​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន $d$ ទេ។ តាមពិត ដំណោះស្រាយទាំងមូលនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងជុំវិញភាពខុសគ្នា ដោយសារផលិតផល $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2)) \\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \\right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ &=11 \\ cdot ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) ។ \end(តម្រឹម)\]

សម្រាប់អ្នកនៅក្នុងធុង: ខ្ញុំបានយកចេញ កត្តាទូទៅ 11 ពីតង្កៀបទីពីរ។ ដូច្នេះផលិតផលដែលចង់បានគឺជាមុខងារបួនជ្រុងដែលទាក់ទងនឹងអថេរ $d$ ។ ដូច្នេះ សូមពិចារណាមុខងារ $f\left(d\right)=11\left(d+66\right)\left(d+6\right)$ - ក្រាហ្វរបស់វានឹងក្លាយជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាងឡើង ពីព្រោះ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបយើងទទួលបាន៖

\[\begin(align) & f\left(d\right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមេគុណនៅពាក្យខ្ពស់បំផុតគឺ 11 - នេះគឺ លេខវិជ្ជមានដូច្នេះយើងពិតជាកំពុងដោះស្រាយជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាង៖

កាលវិភាគ មុខងារបួនជ្រុង- ប៉ារ៉ាបូឡា

ចំណាំ៖ តម្លៃអប្បបរមាប៉ារ៉ាបូឡានេះយក $((d)_(0))$ នៅចំនុចកំពូលរបស់វាជាមួយ abscissa ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចគណនា abscissa នេះតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ (មានរូបមន្ត $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) ប៉ុន្តែវានឹងសមហេតុផលជាងនេះទៅទៀត។ ចំណាំថាចំនុចកំពូលដែលចង់បានស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដូច្នេះចំនុច $((d)_(0))$ គឺស្មើគ្នាពីឫសនៃសមីការ $f\left(d\right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11 \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) = ០; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(តម្រឹម)\]

នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំមិនប្រញាប់ដើម្បីបើកតង្កៀប: នៅក្នុងទម្រង់ដើមឫសគឺងាយស្រួលរកណាស់។ ដូច្នេះ abscissa គឺស្មើនឹងមធ្យម លេខនព្វន្ធ-៦៦ និង -៦៖

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

តើអ្វីផ្តល់ឱ្យយើងនូវលេខដែលបានរកឃើញ? ជាមួយវាផលិតផលដែលត្រូវការត្រូវចំណាយពេល តម្លៃតូចបំផុត។(ដោយវិធីនេះ យើងមិនបានគណនា $((y)_(\min ))$ - យើងមិនតម្រូវឱ្យធ្វើដូចនេះទេ)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះចំនួននេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តដំបូង, i.e. យើងបានរកឃើញចម្លើយ។ :)

ចម្លើយ៖ -៣៦

លេខកិច្ចការ 9 ។ បញ្ចូលលេខបីនៅចន្លោះលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac(1)(6)$ ដូច្នេះរួមជាមួយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពួកវាបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ការសម្រេចចិត្ត។ តាមពិតយើងត្រូវធ្វើលំដាប់លេខប្រាំ ដោយលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគេដឹងរួចហើយ។ សម្គាល់លេខដែលបាត់ដោយអថេរ $x$, $y$ និង $z$៖

\[\left(((a)_(n)) \\right)=\left\(-\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

ចំណាំថាលេខ $y$ គឺជា "កណ្តាល" នៃលំដាប់របស់យើង - វាស្មើគ្នាពីលេខ $x$ និង $z$ និងពីលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac (1)(6)$។ ហើយប្រសិនបើពីលេខ $x$ និង $z$ យើងចូល ពេលនេះយើងមិនអាចទទួលបាន $y$ ទេ បន្ទាប់មកស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយនឹងការបញ្ចប់នៃដំណើរការ។ ចងចាំអត្ថន័យនព្វន្ធ៖

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងថា $y$ យើងនឹងរកឃើញលេខដែលនៅសល់។ ចំណាំថា $x$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $-\frac(1)(2)$ និង $y=-\frac(1)(3)$ ទើបរកឃើញ។ ដូច្នេះ

ប្រកែកស្រដៀងគ្នានេះ យើងរកឃើញចំនួនដែលនៅសល់៖

រួចរាល់ហើយ! យើងបានរកឃើញលេខទាំងបី។ ចូរសរសេរពួកវាចុះក្នុងចំលើយតាមលំដាប់លំដោយ ដែលគួរបញ្ចូលរវាងលេខដើម។

ចម្លើយ៖ $-\frac(5)(12);\-\frac(1)(3);\-\frac(1)(4)$

លេខកិច្ចការ 10 ។ នៅចន្លោះលេខ 2 និង 42 បញ្ចូលលេខជាច្រើនដែលរួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើគេដឹងថាផលបូកនៃលេខទីមួយ ទីពីរ និងចុងក្រោយនៃលេខដែលបានបញ្ចូលគឺ 56។

ការសម្រេចចិត្ត។ ជាង​នេះ​ទៅទៀត កិច្ចការលំបាកដែលទោះជាយ៉ាងណា វាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងវិធីមុនៗដែរ - តាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធ។ បញ្ហា​គឺ​យើង​មិន​ដឹង​ច្បាស់​ថា​ចំនួន​ប៉ុន្មាន​ត្រូវ​បញ្ចូល។ ដូច្នេះសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសន្មត់ថាបន្ទាប់ពីការបញ្ចូលវានឹងមានចំនួន $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយលេខទីមួយគឺ 2 ហើយចុងក្រោយគឺ 42។ ក្នុងករណីនេះ ការវិវត្តនព្វន្ធដែលចង់បានអាចត្រូវបានតំណាងជា៖

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(2;((a)_(2));((a)_(3));...;((( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណាំថាលេខ $((a)_(2))$ និង $((a)_(n-1))$ ត្រូវបានទទួលពីលេខ 2 និង 42 ដែលឈរនៅគែមដោយមួយជំហានឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក។ , ឧ.. ទៅកណ្តាលនៃលំដាប់។ ហើយនេះមានន័យថា

\[(((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកកន្សោមខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \\right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ក)_(៣))=៥៦-៤៤=១២។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ដោយដឹងថា $((a)_(3))$ និង $((a)_(1))$ យើងអាចស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការបានយ៉ាងងាយស្រួល៖

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1\right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10 ព្រួញស្ដាំ d=5 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

វានៅសល់តែដើម្បីស្វែងរកសមាជិកដែលនៅសល់៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះហើយនៅជំហានទី 9 យើងនឹងមកដល់ចុងខាងឆ្វេងនៃលំដាប់ - លេខ 42 ។ សរុបមកមានតែ 7 លេខប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបញ្ចូល: 7; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧.

ចម្លើយ៖ ៧; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧

អត្ថបទកិច្ចការជាមួយវឌ្ឍនភាព

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាពីរបី កិច្ចការសាមញ្ញ. ជាការប្រសើរណាស់ ដូចជារឿងសាមញ្ញៗ៖ សម្រាប់សិស្សភាគច្រើនដែលសិក្សាគណិតវិទ្យានៅសាលា ហើយមិនបានអានអ្វីដែលបានសរសេរខាងលើ កិច្ចការទាំងនេះអាចហាក់ដូចជាកាយវិការមួយ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ វា​ជា​កិច្ចការ​ដែល​កើត​ឡើង​ក្នុង​ OGE និង USE ក្នុង​គណិតវិទ្យា ដូច្នេះ​ខ្ញុំ​សូម​ណែនាំ​ឱ្យ​អ្នក​ស្គាល់​ខ្លួន​អ្នក​ជាមួយ​ពួកគេ។

លេខកិច្ចការ 11 ។ ក្រុមនេះផលិតបាន 62 ផ្នែកក្នុងខែមករា ហើយក្នុងមួយៗ ខែក្រោយផលិត 14 ផ្នែកច្រើនជាងផ្នែកមុន។ តើកងពលតូចផលិតបានប៉ុន្មានផ្នែកក្នុងខែវិច្ឆិកា?

ការសម្រេចចិត្ត។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃផ្នែកដែលត្រូវបានលាបពណ៌តាមខែ នឹងក្លាយជាការរីកចំរើនផ្នែកនព្វន្ធ។ និង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1\right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

ខែវិច្ឆិកា គឺជាខែទី 11 នៃឆ្នាំ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ដូច្នេះ 202 ផ្នែកនឹងត្រូវបានផលិតនៅក្នុងខែវិច្ឆិកា។

លេខកិច្ចការ 12 ។ សិក្ខាសាលាចងសៀវភៅបានចងសៀវភៅចំនួន 216 ក្បាលក្នុងខែមករា ហើយជារៀងរាល់ខែវាបានចងសៀវភៅ 4 ក្បាលច្រើនជាងខែមុន។ តើសិក្ខាសាលាបានចងសៀវភៅប៉ុន្មានក្បាលក្នុងខែធ្នូ?

ការសម្រេចចិត្ត។ ដូចគ្នា​ទាំងអស់:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1\right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ខែធ្នូគឺជាខែចុងក្រោយនៃឆ្នាំទី 12 ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរក $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

នេះគឺជាចម្លើយ - សៀវភៅចំនួន 260 ក្បាលនឹងត្រូវបានចងនៅខែធ្នូ។

ជាការប្រសើរណាស់, ប្រសិនបើអ្នកបានអានឆ្ងាយនេះ, ខ្ញុំប្រញាប់ដើម្បីអបអរសាទរអ្នក: "ពិតណាស់ អ្នកប្រយុទ្ធវ័យក្មេង» ដោយដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកបានឆ្លងកាត់ដោយជោគជ័យ។ អ្នកអាចបន្តទៅមេរៀនបន្ទាប់ដោយសុវត្ថិភាព ដែលយើងនឹងសិក្សារូបមន្តផលបូកនៃវឌ្ឍនភាព ក៏ដូចជាសារៈសំខាន់ និងខ្លាំងណាស់ ផលវិបាកដែលមានប្រយោជន៍មកពី​នាង។

មនុស្សជាច្រើនបានលឺអំពីដំណើរការនព្វន្ធ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់គ្នាសុទ្ធតែដឹងច្បាស់ថាវាជាអ្វីនោះទេ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យដ៏សមស្របមួយ ហើយក៏ពិចារណាផងដែរអំពីសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ និងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

និយមន័យគណិតវិទ្យា

អញ្ចឹង​បើ យើងកំពុងនិយាយអំពីដំណើរការនព្វន្ធ ឬពិជគណិត (គោលគំនិតទាំងនេះកំណត់រឿងដូចគ្នា) បន្ទាប់មកនេះមានន័យថាមានមួយចំនួន ស៊េរីលេខពេញចិត្ត ច្បាប់បន្ទាប់៖ រាល់លេខដែលនៅជាប់គ្នាពីរក្នុងស៊េរីខុសគ្នាដោយចំនួនដូចគ្នា។ តាមគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

នៅទីនេះ n មានន័យថាចំនួននៃធាតុ a n ក្នុងលំដាប់ ហើយលេខ d គឺជាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ (ឈ្មោះរបស់វាធ្វើតាមរូបមន្តដែលបានបង្ហាញ)។

តើការដឹងពីភាពខុសគ្នាមានន័យដូចម្តេច? តើលេខដែលនៅជាប់គ្នាឆ្ងាយប៉ុណ្ណា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណេះដឹងអំពី ឃ គឺចាំបាច់ ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់ (ស្តារ) ដំណើរការទាំងមូល។ អ្នកត្រូវដឹងពីចំនួនមួយបន្ថែមទៀតដែលអាចជាធាតុណាមួយនៃស៊េរីដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណាឧទាហរណ៍ a 4, a10 ប៉ុន្តែតាមក្បួនលេខទីមួយត្រូវបានប្រើ នោះគឺ a 1 ។

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ធាតុនៃវឌ្ឍនភាព

ជាទូទៅ ព័ត៌មានខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់រួចហើយ ដើម្បីបន្តទៅការសម្រេច ភារកិច្ចជាក់លាក់. យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ មុន​នឹង​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ហើយ​វា​នឹង​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក​ភាព​ខុស​គ្នា​របស់​វា យើង​បង្ហាញ​គូ រូបមន្តមានប្រយោជន៍ដោយហេតុនេះជួយសម្រួលដល់ដំណើរការជាបន្តបន្ទាប់នៃការដោះស្រាយបញ្ហា។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាធាតុណាមួយនៃលំដាប់ដែលមានលេខ n អាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ឃ

ជាការពិតណាស់ អ្នកគ្រប់គ្នាអាចពិនិត្យមើលរូបមន្តនេះដោយការរាប់លេខសាមញ្ញមួយ៖ ប្រសិនបើអ្នកជំនួស n=1 នោះអ្នកទទួលបានធាតុទីមួយ ប្រសិនបើអ្នកជំនួស n=2 នោះកន្សោមផ្តល់ផលបូកនៃលេខទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ .

ល័ក្ខខ័ណ្ឌនៃបញ្ហាជាច្រើនត្រូវបានចងក្រងតាមរបៀបដែលសម្រាប់គូដែលស្គាល់លេខដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំដាប់ផងដែរវាចាំបាច់ក្នុងការស្ដារស៊េរីលេខទាំងមូល (ស្វែងរកភាពខុសគ្នានិងធាតុទីមួយ) ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហានេះតាមរបៀបទូទៅ។

ដូច្នេះ ចូរនិយាយថាយើងត្រូវបានផ្តល់ធាតុពីរដែលមានលេខ n និង m ។ ដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានខាងលើ យើងអាចបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ឃ;

a m = a 1 + (m − 1) * ឃ

សម្រាប់ការស្វែងរក បរិមាណមិនស្គាល់តោះប្រើរបស់ល្បី ល្បិចសាមញ្ញដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះ៖ យើងដកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំជាគូ ខណៈពេលដែលសមភាពនៅតែមានសុពលភាព។ យើង​មាន:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ឃ;

a n - a m = (n − 1) * d - (m − 1) * d = d * (n - m)

ដូច្នេះ យើង​បាន​លុប​បំបាត់​មួយ​ដែល​មិន​ស្គាល់ (a 1)។ ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរកន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់កំណត់ d:

d = (a n - a m) / (n - m), ដែល n > m

យើងទទួលបានរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត៖ ដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នា ឃ ស្របតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីយកសមាមាត្រនៃភាពខុសគ្នារវាងធាតុខ្លួនឯង និងរបស់ពួកវា។ លេខស៊េរី. ការយកចិត្តទុកដាក់គួរត្រូវបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះចំណុចសំខាន់មួយ៖ ភាពខុសគ្នាត្រូវបានយករវាងសមាជិក "ជាន់ខ្ពស់" និង "តូច" ពោលគឺ n\u003e m ("ជាន់ខ្ពស់" - មានន័យថាឈរបន្ថែមទៀតពីការចាប់ផ្តើមនៃលំដាប់។ តម្លៃ​ដាច់ខាតអាចធំជាង ឬតិចជាងធាតុ "ក្មេងជាង")។

កន្សោមសម្រាប់ភាពខុសគ្នា d នៃវឌ្ឍនភាពគួរតែត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការណាមួយនៅដើមដំបូងនៃដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃពាក្យទីមួយ។

នៅក្នុងយុគសម័យនៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់យើង។ បច្ចេកវិទ្យា​កុំព្យូទ័រសិស្សសាលាជាច្រើនព្យាយាមស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់កិច្ចការរបស់ពួកគេនៅលើអ៊ីនធឺណិត ដូច្នេះសំណួរនៃប្រភេទនេះតែងតែកើតឡើង៖ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធតាមអ៊ីនធឺណិត។ តាមការស្នើសុំបែបនេះ ម៉ាស៊ីនស្វែងរកនឹងបង្ហាញទំព័របណ្ដាញមួយចំនួន ដោយចូលទៅកាន់នោះ អ្នកនឹងត្រូវបញ្ចូលទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌ (វាអាចជាសមាជិកពីរនាក់នៃវឌ្ឍនភាព ឬផលបូកនៃពួកវាខ្លះ) ហើយទទួលបានចម្លើយភ្លាមៗ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ វិធីសាស្ត្រ​ក្នុង​ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​បែប​នេះ​គឺ​មិន​មាន​ផល​ផ្លែ​ក្នុង​ន័យ​នៃ​ការ​អភិវឌ្ឍ​សិស្ស​និង​ការ​យល់​ដឹង​ពី​ខ្លឹមសារ​នៃ​កិច្ចការ​ដែល​បាន​ប្រគល់​ឱ្យ​គាត់។

ដំណោះស្រាយដោយមិនប្រើរូបមន្ត

ចូរដោះស្រាយបញ្ហាទីមួយខណៈពេលដែលយើងនឹងមិនប្រើរូបមន្តខាងលើណាមួយឡើយ។ សូមឱ្យធាតុនៃស៊េរីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: a6 = 3, a9 = 18. ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ធាតុដែលគេស្គាល់គឺនៅជិតគ្នាជាប់ៗគ្នា។ តើត្រូវបន្ថែមភាពខុសគ្នាប៉ុន្មានដងទៅលេខតូចបំផុតដើម្បីទទួលបានធំបំផុត? បីដង (លើកទីមួយបន្ថែម ឃ យើងទទួលបានធាតុទី 7 លើកទីពីរ - ទីប្រាំបី ចុងក្រោយ លើកទីបី - ទីប្រាំបួន) ។ តើ​លេខ​មួយ​ណា​ត្រូវ​បន្ថែម​បី​ដង​ដើម្បី​ទទួល​បាន 18? នេះគឺជាលេខប្រាំ។ ពិតជា៖

ដូច្នេះភាពខុសគ្នាដែលមិនស្គាល់គឺ d = 5 ។

ជាការពិតណាស់ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើរូបមន្តសមស្រប ប៉ុន្តែនេះមិនត្រូវបានធ្វើឡើងដោយចេតនានោះទេ។ ការពន្យល់លម្អិតការដោះស្រាយបញ្ហាគួរតែច្បាស់លាស់ ឧទាហរណ៍សំខាន់មួយ។តើអ្វីជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ភារកិច្ចស្រដៀងនឹងកិច្ចការមុន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសម្រេចចិត្ត ភារកិច្ចស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែផ្លាស់ប្តូរទិន្នន័យបញ្ចូល។ ដូចនេះ អ្នកគួរតែរកប្រសិនបើ a3=2, a9=19។

ជាការពិតណាស់អ្នកអាចងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ម្តងទៀត។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីធាតុនៃស៊េរីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលមានចម្ងាយឆ្ងាយពីគ្នាវិធីសាស្ត្របែបនេះមិនងាយស្រួលទេ។ ប៉ុន្តែការប្រើរូបមន្តលទ្ធផលនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយយ៉ាងរហ័ស៖

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

នៅទីនេះយើងបានបង្គត់លេខចុងក្រោយ។ តើការបង្គត់នេះនាំឱ្យមានកំហុសប៉ុន្មានអាចត្រូវបានវិនិច្ឆ័យដោយពិនិត្យមើលលទ្ធផល៖

a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

លទ្ធផលនេះខុសគ្នាត្រឹមតែ 0.1% ប៉ុណ្ណោះពីតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ ដូច្នេះ ការ​បង្គត់​ទៅ​ខ្ទង់​រយ​អាច​ត្រូវ​បាន​ពិចារណា ជម្រើសជោគជ័យ.

ភារកិច្ចសម្រាប់អនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់សមាជិក

ពិចារណា ឧទាហរណ៍បុរាណភារកិច្ចសម្រាប់កំណត់ d ដែលមិនស្គាល់៖ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រសិនបើ a1 = 12, a5 = 40 ។

នៅពេលដែលលេខមិនស្គាល់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ លំដាប់ពិជគណិតហើយមួយក្នុងចំនោមពួកគេគឺជាធាតុ a 1 បន្ទាប់មកអ្នកមិនចាំបាច់គិតយូរទេ ប៉ុន្តែអ្នកគួរតែអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់សមាជិក n ភ្លាមៗ។ ក្នុងករណីនេះយើងមាន៖

a 5 = a 1 + d * (5 − 1) => d = (a 5 − a 1) / 4 = (40 − 12) / 4 = 7

យើងទទួលបាន ចំនួនពិតប្រាកដនៅពេលបែងចែក ដូច្នេះវាគ្មានន័យទេក្នុងការត្រួតពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលដែលបានគណនា ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុននេះ។

ចូរដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នាមួយទៀត៖ យើងគួរតែស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រសិនបើ a1 = 16, a8 = 37 ។

យើងប្រើវិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងវិធីមុន ហើយទទួលបាន៖

a 8 = a 1 + d * (8 − 1) => d = (a 8 − a 1) / 7 = (37 − 16) / 7 = 3

តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកគួរដឹងអំពីការវិវត្តនព្វន្ធ

បន្ថែមពីលើភារកិច្ចស្វែងរក ភាពខុសគ្នាមិនស្គាល់ឬធាតុបុគ្គល ជារឿយៗវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃលំដាប់មួយ។ ការពិចារណាលើបញ្ហាទាំងនេះគឺហួសពីវិសាលភាពនៃប្រធានបទនៃអត្ថបទនេះ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ភាពពេញលេញនៃព័ត៌មាន យើងបង្ហាញជូន។ រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃលេខ n នៃស៊េរី៖

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2