इस विशेषता के अनुसार, मॉडलों को दो व्यापक वर्गों में बांटा गया है:

• सार (मानसिक) मॉडल;
• सामग्री मॉडल.

चावल। 1.1.

अक्सर मॉडलिंग के अभ्यास में मिश्रित, अमूर्त-भौतिक मॉडल होते हैं।

सार पैटर्नकागज या अन्य पर आम तौर पर स्वीकृत संकेतों के कुछ निर्माण हैं सामग्री वाहकया रूप में कंप्यूटर प्रोग्राम.

सार मॉडल, बहुत अधिक विस्तार में जाने के बिना, में विभाजित किया जा सकता है:

• प्रतीकात्मक;
• गणितीय।

प्रतीकात्मक मॉडलएक तार्किक वस्तु है जो प्रतिस्थापित करती है वास्तविक प्रक्रियाऔर संकेतों या प्रतीकों की एक निश्चित प्रणाली की मदद से अपने संबंधों के मुख्य गुणों को व्यक्त करना। यह या तो शब्द है प्राकृतिक भाषा, या संबंधित थिसॉरस के शब्द, ग्राफ़, आरेख, आदि।

प्रतीकात्मक मॉडल हो सकता है स्वतंत्र अर्थ, लेकिन, एक नियम के रूप में, इसका निर्माण है आरंभिक चरणकोई अन्य अनुकरण।

गणितीय मॉडलिंग- यह कुछ गणितीय निर्माण के प्रतिरूपित वस्तु से पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया है, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, और इस मॉडल का अध्ययन, जो प्रतिरूपित वस्तु की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है।

गणितीय मॉडलिंग - मुख्य उद्देश्यऔर अध्ययन किए गए अनुशासन की मुख्य सामग्री।

गणितीय मॉडल हो सकते हैं:

• विश्लेषणात्मक;
• नकल;
• मिश्रित (विश्लेषणात्मक और अनुकरण)।

विश्लेषणात्मक मॉडल- ये कार्यात्मक संबंध हैं: बीजीय, अंतर, पूर्णांक-अंतर समीकरणों की प्रणाली, तार्किक स्थितियां. मैक्सवेल के समीकरण - विश्लेषणात्मक मॉडल विद्युत चुम्बकीय. ओम का नियम विद्युत परिपथ का एक मॉडल है।

के अनुसार गणितीय मॉडल का परिवर्तन ज्ञात कानूनऔर नियमों को प्रयोगों के रूप में देखा जा सकता है। विशेषताओं के विशिष्ट मूल्यों ("में" की परवाह किए बिना, एकल गणना के परिणामस्वरूप विश्लेषणात्मक मॉडल पर आधारित एक समाधान प्राप्त किया जा सकता है सामान्य दृष्टि से")। यह पैटर्न की पहचान करने के लिए दृश्य और सुविधाजनक है। हालांकि, के लिए जटिल प्रणालीएक विश्लेषणात्मक मॉडल बनाना हमेशा संभव नहीं होता है जो वास्तविक प्रक्रिया को पूरी तरह से दर्शाता है। फिर भी, ऐसी प्रक्रियाएं हैं, उदाहरण के लिए, मार्कोव वाले, मॉडलिंग की प्रासंगिकता जिसमें विश्लेषणात्मक मॉडल द्वारा अभ्यास द्वारा सिद्ध किया गया है।

सिमुलेशन. सृष्टि कंप्यूटरगणितीय मॉडल - सिमुलेशन के एक नए उपवर्ग के विकास के लिए नेतृत्व किया।

सिमुलेशन मॉडलिंग में कुछ एल्गोरिदम के रूप में मॉडल का प्रतिनिधित्व शामिल है - एक कंप्यूटर प्रोग्राम - जिसका निष्पादन सिस्टम में बदलते राज्यों के अनुक्रम का अनुकरण करता है और इस प्रकार सिम्युलेटेड सिस्टम के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है।

ऐसे मॉडल बनाने और परीक्षण करने की प्रक्रिया को सिमुलेशन मॉडलिंग कहा जाता है, और एल्गोरिथ्म को ही सिमुलेशन मॉडल कहा जाता है।

सिमुलेशन और विश्लेषणात्मक मॉडल के बीच अंतर क्या है?

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग के मामले में, कंप्यूटर एक शक्तिशाली कैलकुलेटर है, जो मशीन जोड़ता है। विश्लेषणात्मक मॉडल हल कियाएक कंप्यूटर पर।

सिमुलेशन मॉडलिंग के मामले में, सिमुलेशन मॉडल - कार्यक्रम - कार्यान्वितएक कंप्यूटर पर।

सिमुलेशन मॉडल काफी सरलता से यादृच्छिक कारकों के प्रभाव को ध्यान में रखते हैं। विश्लेषणात्मक मॉडल के लिए, यह गंभीर समस्या. यादृच्छिक कारकों की उपस्थिति में, सिम्युलेटेड प्रक्रियाओं की आवश्यक विशेषताओं को सिमुलेशन मॉडल के कई रन (प्राप्ति) द्वारा प्राप्त किया जाता है और आगे सांख्यिकीय प्रसंस्करणसंचित जानकारी। इसलिए, यादृच्छिक कारकों के साथ प्रक्रियाओं के सिमुलेशन मॉडलिंग को अक्सर कहा जाता है सांख्यिकीय मॉडलिंग.

यदि केवल विश्लेषणात्मक या सिमुलेशन मॉडलिंग का उपयोग करके किसी वस्तु का अध्ययन करना मुश्किल है, तो मिश्रित (संयुक्त), विश्लेषणात्मक और सिमुलेशन मॉडलिंग का उपयोग किया जाता है। ऐसे मॉडलों का निर्माण करते समय, वस्तु के कामकाज की प्रक्रियाओं को घटक उपप्रक्रियाओं में विघटित कर दिया जाता है, और जिसके लिए, शायद, विश्लेषणात्मक मॉडल का उपयोग किया जाता है, और शेष उप-प्रक्रियाओं के लिए सिमुलेशन मॉडल बनाए जाते हैं।

सामग्री मॉडलिंगवास्तविक तकनीकी संरचनाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले मॉडलों के उपयोग के आधार पर। यह स्वयं वस्तु या उसके तत्व (प्राकृतिक मॉडलिंग) हो सकते हैं। यह एक विशेष उपकरण हो सकता है - एक मॉडल जिसमें मूल के साथ भौतिक या ज्यामितीय समानता हो। यह एक अलग उपकरण हो सकता है। भौतिक प्रकृतिमूल की तुलना में, लेकिन ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें समान गणितीय संबंधों द्वारा वर्णित किया गया है। यह तथाकथित एनालॉग सिमुलेशन है। इस तरह की सादृश्यता देखी जाती है, उदाहरण के लिए, पवन भार और दोलन के तहत उपग्रह संचार एंटीना के दोलनों के बीच विद्युत प्रवाहविशेष रूप से चयनित विद्युत परिपथ में।

अक्सर बनाया गया सामग्री सार मॉडल. ऑपरेशन का वह हिस्सा जिसे गणितीय रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, भौतिक रूप से तैयार किया गया है, बाकी सार है। उदाहरण के लिए, कमांड-एंड-स्टाफ अभ्यास हैं, जब मुख्यालय का काम एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग होता है, और सैनिकों की कार्रवाई दस्तावेजों में परिलक्षित होती है।

मानदंड के अनुसार वर्गीकरण - मॉडल को लागू करने की विधि - अंजीर में दिखाया गया है। 1.2.

1.3. मॉडलिंग कदम

गणितीय मॉडलिंगकिसी भी अन्य की तरह, इसे एक कला और विज्ञान माना जाता है। सिमुलेशन मॉडलिंग के क्षेत्र में एक प्रसिद्ध विशेषज्ञ रॉबर्ट शैनन ने अपनी पुस्तक को वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग की दुनिया में व्यापक रूप से जाना जाता है: " सिमुलेशन- कला और विज्ञान"। इसलिए, इंजीनियरिंग अभ्यास में मॉडल बनाने के बारे में कोई औपचारिक निर्देश नहीं है। और, फिर भी, मॉडल डेवलपर्स द्वारा उपयोग की जाने वाली तकनीकों का विश्लेषण हमें मॉडलिंग के काफी पारदर्शी चरण को देखने की अनुमति देता है।

प्रथम चरण: मॉडलिंग के लक्ष्यों का स्पष्टीकरण। वास्तव में यह मुख्य मंचकोई गतिविधि। लक्ष्य अनिवार्य रूप से मॉडलिंग के शेष चरणों की सामग्री को निर्धारित करता है। ध्यान दें कि एक साधारण प्रणाली और एक जटिल प्रणाली के बीच का अंतर उनके सार से नहीं, बल्कि शोधकर्ता द्वारा निर्धारित लक्ष्यों से भी उत्पन्न होता है।

आमतौर पर, मॉडलिंग के लक्ष्य हैं:

• नए मोड, कारकों के संयोजन, आदि के तहत वस्तु के व्यवहार का पूर्वानुमान;
• प्रदान करने वाले कारकों के संयोजन और मूल्यों का चयन इष्टतम मूल्यप्रक्रिया प्रदर्शन संकेतक;
• कुछ कारकों में परिवर्तन के लिए प्रणाली की संवेदनशीलता का विश्लेषण;
• विशेषताओं के बारे में विभिन्न परिकल्पनाओं का परीक्षण यादृच्छिक पैरामीटरअध्ययन के तहत प्रक्रिया;
• परिभाषा कार्यात्मक कनेक्शनप्रणाली के व्यवहार ("प्रतिक्रिया") और प्रभावित करने वाले कारकों के बीच, जो व्यवहार या संवेदनशीलता विश्लेषण की भविष्यवाणी में योगदान कर सकते हैं;
• सार का स्पष्टीकरण, अध्ययन की वस्तु की बेहतर समझ, साथ ही एक नकली या ऑपरेटिंग सिस्टम के संचालन के लिए पहले कौशल का गठन।

दूसरा चरण: एक वैचारिक मॉडल का निर्माण। वैचारिक प्रतिरूप(अक्षांश से। गर्भाधान) - परिभाषित विचार के स्तर पर एक मॉडल, जो प्रतिरूपित वस्तु का अध्ययन करते समय बनता है। इस स्तर पर, वस्तु की जांच की जाती है, आवश्यक सरलीकरण और अनुमान स्थापित किए जाते हैं। महत्वपूर्ण पहलुओं की पहचान की जाती है, माध्यमिक को बाहर रखा जाता है। माप की इकाइयाँ और परिवर्तन की सीमाएँ निर्धारित हैं मॉडल चर. हो सके तो वैचारिक प्रतिरूपप्रसिद्ध और अच्छी तरह से विकसित प्रणालियों के रूप में प्रस्तुत किया गया: कतार, नियंत्रण, ऑटो-विनियमन, कुछ अलग किस्म कावेंडिंग मशीन, आदि। वैचारिक प्रतिरूपमॉडलिंग की जा रही वस्तु के डिजाइन प्रलेखन या प्रायोगिक परीक्षा के अध्ययन को पूरी तरह से सारांशित करता है।

दूसरे चरण का परिणाम मॉडल की एक सामान्यीकृत योजना है, जो पूरी तरह से तैयार है गणितीय विवरण- इमारत गणित का मॉडल.

तीसरा चरण: प्रोग्रामिंग या मॉडलिंग भाषा का चुनाव, एल्गोरिथम का विकास और एक मॉडल प्रोग्राम। मॉडल विश्लेषणात्मक या अनुकरण, या दोनों का संयोजन हो सकता है। एक विश्लेषणात्मक मॉडल के मामले में, शोधकर्ता को समाधान विधियों में महारत हासिल करनी चाहिए।

गणित के इतिहास में (और यह, वैसे, का इतिहास है गणितीय मॉडलिंग) ऐसे कई उदाहरण हैं जब विभिन्न प्रकार की प्रक्रियाओं को मॉडल करने की आवश्यकता ने नई खोजों को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, गति का अनुकरण करने की आवश्यकता के कारण की खोज और विकास हुआ अंतर कलन(लीबनिज़ और न्यूटन) और संबंधित समाधान विधियाँ। जहाज की स्थिरता के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग की समस्याओं ने शिक्षाविद ए। एन। क्रायलोव को अनुमानित गणना और एक एनालॉग कंप्यूटर के सिद्धांत का निर्माण करने के लिए प्रेरित किया।

मॉडलिंग के तीसरे चरण का परिणाम मॉडलिंग और अनुसंधान के लिए सबसे सुविधाजनक भाषा में संकलित एक कार्यक्रम है - सार्वभौमिक या विशेष।

चौथा चरण: एक प्रयोग की योजना बनाना। गणित का मॉडलप्रयोग का उद्देश्य है। प्रयोग यथासंभव सूचनात्मक होना चाहिए, बाधाओं को पूरा करना चाहिए, डेटा प्रदान करना चाहिए आवश्यक सटीकताऔर विश्वसनीयता। प्रयोग नियोजन का एक सिद्धांत है, हम इस सिद्धांत के उन तत्वों का अध्ययन करेंगे जिनकी हमें अनुशासन में उपयुक्त स्थान पर आवश्यकता है। GPSS World, AnyLogic, आदि) और स्वचालित रूप से लागू किया जा सकता है। यह संभव है कि प्राप्त परिणामों के विश्लेषण के दौरान, मॉडल को परिष्कृत, पूरक या पूरी तरह से संशोधित किया जा सकता है।

सिमुलेशन परिणामों का विश्लेषण करने के बाद, उनकी व्याख्या की जाती है, अर्थात परिणामों का अनुवाद शब्दों में किया जाता है विषय क्षेत्र. यह आवश्यक है क्योंकि आमतौर पर विषय विशेषज्ञ(जिसे शोध के परिणामों की आवश्यकता है) के पास गणित और मॉडलिंग की शब्दावली नहीं है और वह अपने कार्यों को केवल उन अवधारणाओं के साथ संचालित कर सकता है जो उसे अच्छी तरह से ज्ञात हैं।

यह सिमुलेशन अनुक्रम के विचार को एक बहुत ही बनाकर समाप्त करता है महत्वपूर्ण निष्कर्षप्रत्येक चरण के परिणामों का दस्तावेजीकरण करने की आवश्यकता के बारे में। यह निम्नलिखित कारणों से आवश्यक है।

सबसे पहले, मॉडलिंग एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया है, अर्थात, प्रत्येक चरण से, इस चरण में आवश्यक जानकारी को स्पष्ट करने के लिए पिछले चरणों में से किसी में भी वापसी की जा सकती है, और दस्तावेज़ीकरण पिछले पुनरावृत्ति पर प्राप्त परिणामों को सहेज सकता है।

दूसरे, एक जटिल प्रणाली के अध्ययन के मामले में, इसमें शामिल है बड़ी टीमेंडेवलपर्स, और विभिन्न चरणविभिन्न टीमों द्वारा किया गया। इसलिए, प्रत्येक चरण में प्राप्त परिणाम बाद के चरणों में हस्तांतरणीय होना चाहिए, अर्थात एकीकृत रूपअन्य इच्छुक विशेषज्ञों के लिए प्रस्तुति और समझने योग्य सामग्री।

तीसरा, प्रत्येक चरण का परिणाम अपने आप में एक मूल्यवान उत्पाद होना चाहिए। उदाहरण के लिए, वैचारिक प्रतिरूपएक गणितीय मॉडल में आगे परिवर्तन के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता है, लेकिन एक विवरण हो जो सिस्टम के बारे में जानकारी संग्रहीत करता है, जिसे एक संग्रह के रूप में उपयोग किया जा सकता है, एक सीखने के उपकरण के रूप में, आदि।

गणितीय मॉडलिंग के सार को समझने के लिए, प्रक्रिया की बुनियादी परिभाषाओं, विशेषताओं पर विचार करें।

शब्द का सार

मॉडलिंग एक मॉडल बनाने और लागू करने की प्रक्रिया है। इसे कोई सार या माना जाता है भौतिक वस्तु, जो अध्ययन की प्रक्रिया में अनुकरण की वास्तविक वस्तु को प्रतिस्थापित करता है। एक महत्वपूर्ण बिंदुविषय के पूर्ण विश्लेषण के लिए आवश्यक गुणों का संरक्षण है।

कंप्यूटर मॉडलिंगगणितीय मॉडल पर आधारित ज्ञान का एक प्रकार है। इसका तात्पर्य असमानताओं, समीकरणों, तार्किक संकेत अभिव्यक्तियों की एक प्रणाली है जो किसी घटना या वस्तु की सभी विशेषताओं को पूरी तरह से दर्शाती है।

गणितीय मॉडलिंग में विशिष्ट गणना, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग शामिल है। प्रक्रिया को समझाने के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। यह कार्य कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा सफलतापूर्वक हल किया गया है।

कंप्यूटर सिमुलेशन की विशिष्टता

जटिल प्रणालियों का अध्ययन करने का यह तरीका प्रभावी और कुशल माना जाता है। कंप्यूटर मॉडल का विश्लेषण करना अधिक सुविधाजनक और आसान है, क्योंकि विभिन्न कम्प्यूटेशनल क्रियाएं की जा सकती हैं। यह उन मामलों में विशेष रूप से सच है जहां शारीरिक या भौतिक कारण वास्तविक प्रयोगवांछित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति न दें। ऐसे मॉडलों का तर्क अध्ययन किए गए मूल के मापदंडों को निर्धारित करने वाले मुख्य कारकों को निर्धारित करना संभव बनाता है।

गणितीय मॉडलिंग का यह अनुप्रयोग किसी वस्तु के व्यवहार की पहचान करना संभव बनाता है विभिन्न शर्तेंउसके व्यवहार पर विभिन्न कारकों के प्रभाव की पहचान करना।

कंप्यूटर मॉडलिंग की मूल बातें

इस मॉडलिंग का आधार क्या है? क्या वैज्ञानिक अनुसंधानआईसीटी पर आधारित है? आइए इस तथ्य से शुरू करें कि कोई भी कंप्यूटर सिमुलेशन कुछ सिद्धांतों पर आधारित है:

• अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडलिंग;
• अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं के विस्तृत विचार के लिए नवीन गणितीय मॉडल का अनुप्रयोग।

मॉडलिंग की किस्में

वर्तमान में आवंटित विभिन्न तरीकेगणितीय मॉडलिंग: सिमुलेशन और विश्लेषणात्मक।

विश्लेषणात्मक विकल्प अमूर्त मॉडल के अध्ययन से जुड़ा है वास्तविक वस्तुअंतर के रूप में बीजीय समीकरण, जो एक स्पष्ट कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के कार्यान्वयन के लिए प्रदान करता है जो एक सटीक समाधान दे सकता है।

सिमुलेशन मॉडलिंग में एक विशिष्ट एल्गोरिदम के रूप में गणितीय मॉडल का अध्ययन शामिल है जो सरल गणना और संचालन की प्रणाली के अनुक्रमिक निष्पादन के माध्यम से विश्लेषण प्रणाली के कामकाज को पुन: उत्पन्न करता है।

कंप्यूटर मॉडल बनाने की विशेषताएं

आइए देखें कि यह सिमुलेशन कैसे काम करता है। कंप्यूटर अनुसंधान के चरण क्या हैं? आइए इस तथ्य से शुरू करें कि प्रक्रिया एक स्पष्ट वस्तु या घटना से दूर जाने पर आधारित है जिसका विश्लेषण किया जा रहा है।

इस तरह के मॉडलिंग में दो मुख्य चरण होते हैं: गुणात्मक और मात्रात्मक मॉडल का निर्माण। कंप्यूटर सीखनापर कम्प्यूटेशनल क्रियाओं की एक प्रणाली को अंजाम देने में शामिल हैं निजी कंप्यूटरविश्लेषण किए गए वस्तु के वास्तविक व्यवहार के साथ अध्ययन के परिणामों का विश्लेषण, व्यवस्थितकरण, तुलना करने के उद्देश्य से। यदि आवश्यक हो, तो मॉडल का अतिरिक्त शोधन किया जाता है।

मॉडलिंग कदम

मॉडलिंग कैसे की जाती है? कंप्यूटर अनुसंधान के चरण क्या हैं? इसलिए, हम निर्माण के संबंध में क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम को अलग करते हैं कंप्यूटर मॉडल:

प्रथम चरण। काम के लक्ष्य और उद्देश्यों को निर्धारित करना, मॉडलिंग की वस्तु की पहचान करना। यह डेटा एकत्र करने, एक प्रश्न तैयार करने, लक्ष्यों और अनुसंधान के रूपों की पहचान करने और प्राप्त परिणामों का वर्णन करने के लिए माना जाता है।

चरण 2। प्रणाली का विश्लेषण और अध्ययन। वस्तु का विवरण, सूचना मॉडल का निर्माण, सॉफ्टवेयर का चयन और तकनीकी साधन, गणितीय मॉडलिंग के उदाहरण चुने गए हैं।

चरण 3. एक गणितीय मॉडल में संक्रमण, एक डिजाइन पद्धति का विकास, कार्यों के एक एल्गोरिथ्म का चयन।

चरण 4. मॉडलिंग के लिए प्रोग्रामिंग भाषा या वातावरण का चयन, विश्लेषण विकल्पों की चर्चा, एल्गोरिथम को रिकॉर्ड करना निश्चित भाषाप्रोग्रामिंग।

चरण 5 इसमें कम्प्यूटेशनल प्रयोगों, डिबगिंग गणनाओं और प्राप्त परिणामों को संसाधित करने का एक जटिल कार्य शामिल है। यदि आवश्यक हो, पर यह अवस्थामॉडलिंग को ठीक किया जाता है।

चरण 6 परिणामों की व्याख्या।

सिमुलेशन का विश्लेषण कैसे किया जाता है? क्या सॉफ्टवेयर उत्पादअनुसंधान के लिए? सबसे पहले, पाठ का उपयोग ग्राफिक संपादक, स्प्रेडशीट, गणितीय पैकेज जो आपको प्राप्त करने की अनुमति देते हैं अधिकतम परिणामकिए गए शोध से।

एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग आयोजित करना

गणितीय निदर्शन की सभी विधियाँ प्रयोगों पर आधारित हैं। इनके अंतर्गत किसी मॉडल या वस्तु के साथ किए गए प्रयोगों को समझने की प्रथा है। वे कुछ कार्यों के कार्यान्वयन में शामिल हैं जो आपको प्रस्तावित कार्यों के जवाब में प्रयोगात्मक नमूने के व्यवहार को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।

एक औपचारिक मॉडल के उपयोग से जुड़ी गणनाओं को पूरा किए बिना एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग की कल्पना नहीं की जा सकती है।

गणितीय मॉडलिंग की मूल बातें एक वास्तविक वस्तु के साथ अनुसंधान शामिल हैं, लेकिन इसके साथ कम्प्यूटेशनल क्रियाएं की जाती हैं एक सटीक प्रति(आदर्श)। मॉडल के प्रारंभिक संकेतकों का एक विशिष्ट सेट चुनते समय, कम्प्यूटेशनल चरणों को पूरा करने के बाद, आप प्राप्त कर सकते हैं इष्टतम स्थितियांवास्तविक वस्तु के पूर्ण कामकाज के लिए।

उदाहरण के लिए, होने गणितीय समीकरण, जो विश्लेषण प्रक्रिया के प्रवाह का वर्णन करता है, गुणांक, प्रारंभिक और मध्यवर्ती स्थितियों को बदलते समय, हम वस्तु के व्यवहार को मान सकते हैं। इसके अलावा, कुछ शर्तों के तहत इस वस्तु या प्राकृतिक घटना के व्यवहार का एक विश्वसनीय पूर्वानुमान बनाना संभव है। प्रारंभिक डेटा के एक नए सेट के मामले में, नया करना महत्वपूर्ण है कम्प्यूटेशनल प्रयोग.

प्राप्त आंकड़ों की तुलना

वास्तविक वस्तु या निर्मित गणितीय मॉडल का पर्याप्त सत्यापन करने के साथ-साथ अनुसंधान के परिणामों का मूल्यांकन करने के लिए कंप्यूटर विज्ञानएक पूर्ण पैमाने पर प्रोटोटाइप पर किए गए एक प्रयोग के परिणामों के साथ, शोध परिणामों की तुलना की जाती है।

निर्माण का निर्णय शोध के दौरान प्राप्त जानकारी के बीच विसंगति पर निर्भर करता है। तैयार नमूनाया गणितीय मॉडल को समायोजित करने के बारे में।

इस तरह के प्रयोग से कंप्यूटर प्रौद्योगिकी पर गणना के साथ प्राकृतिक महंगे अनुसंधान को बदलना संभव हो जाता है, किसी वस्तु का कम से कम समय में उपयोग करने की संभावनाओं का विश्लेषण करने के लिए, उसके वास्तविक संचालन के लिए शर्तों की पहचान करना संभव हो जाता है।

वातावरण में मॉडलिंग

उदाहरण के लिए, एक प्रोग्रामिंग वातावरण में, गणितीय मॉडलिंग के तीन चरणों का उपयोग किया जाता है। एक एल्गोरिथ्म और एक सूचना मॉडल बनाने के चरण में, मान निर्धारित किए जाते हैं जो इनपुट पैरामीटर, शोध परिणाम होंगे, और उनके प्रकार का पता चलता है।

यदि आवश्यक हो, तो विशेष ड्रा करें गणितीय एल्गोरिदमएक विशिष्ट प्रोग्रामिंग भाषा में लिखे गए फ़्लोचार्ट के रूप में।

एक कंप्यूटर प्रयोग में गणना में प्राप्त परिणामों का विश्लेषण, उनका सुधार शामिल है। इस तरह के एक अध्ययन के महत्वपूर्ण चरणों में, हम एल्गोरिथ्म के परीक्षण, कार्यक्रम के प्रदर्शन के विश्लेषण पर ध्यान देते हैं।

इसके डिबगिंग में उन त्रुटियों को खोजना और समाप्त करना शामिल है जो एक अवांछनीय परिणाम की ओर ले जाती हैं, गणना में त्रुटियों की उपस्थिति।

परीक्षण में कार्यक्रम के सही कामकाज की जाँच करना, साथ ही इसके व्यक्तिगत घटकों की विश्वसनीयता का आकलन करना शामिल है। प्रक्रिया में कार्यक्रम की संचालन क्षमता, एक निश्चित घटना या वस्तु के अध्ययन के लिए इसकी उपयुक्तता की जाँच करना शामिल है।

स्प्रेडशीट्स

स्प्रैडशीट्स का उपयोग करके मॉडलिंग आपको विभिन्न विषय क्षेत्रों में बड़ी मात्रा में कार्यों को कवर करने की अनुमति देता है। उन्हें माना जाता है सार्वभौमिक उपकरण, जो वस्तु के मात्रात्मक मापदंडों की गणना के श्रमसाध्य कार्य को हल करने की अनुमति देता है।

इस तरह के एक सिमुलेशन विकल्प के मामले में, समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म का कुछ परिवर्तन देखा जाता है, एक कम्प्यूटेशनल इंटरफ़ेस विकसित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उसी समय, एक डिबगिंग चरण होता है, जिसमें डेटा त्रुटियों को हटाने, कोशिकाओं के बीच कनेक्शन की खोज और कम्प्यूटेशनल फ़ार्मुलों की पहचान शामिल होती है।

जैसे-जैसे काम आगे बढ़ता है, अतिरिक्त काम, उदाहरण के लिए परिणाम आउटपुट करना पेपर मीडिया, तर्कसंगत प्रतिनिधित्वकंप्यूटर मॉनीटर पर जानकारी।

अनुक्रमण

मॉडलिंग में किया जाता है स्प्रेडशीटएक निश्चित एल्गोरिथ्म के अनुसार। सबसे पहले, अध्ययन के उद्देश्य निर्धारित किए जाते हैं, मुख्य मापदंडों और संबंधों की पहचान की जाती है, और प्राप्त जानकारी के आधार पर एक विशिष्ट गणितीय मॉडल संकलित किया जाता है।

मॉडल के गुणात्मक विचार के लिए, प्रारंभिक, मध्यवर्ती, साथ ही अंतिम विशेषताओं का उपयोग किया जाता है, चित्र, आरेखों के साथ पूरक। रेखांकन और चार्ट की मदद से, उन्हें कार्य के परिणामों का एक दृश्य प्रतिनिधित्व मिलता है।

DBMS वातावरण में मॉडलिंग

यह आपको निम्नलिखित कार्यों को हल करने की अनुमति देता है:

• जानकारी संग्रहीत करें, इसका समय पर संपादन करें;
• विशिष्ट विशेषताओं के अनुसार उपलब्ध डेटा को व्यवस्थित करें;
• डेटा चयन के लिए विभिन्न मानदंड बनाएं;
• जानकारी को सुविधाजनक तरीके से प्रस्तुत करें।

चूंकि मॉडल को प्रारंभिक डेटा के आधार पर विकसित किया जाता है, इसलिए विशेष तालिकाओं का उपयोग करके वस्तु की विशेषताओं का वर्णन करने के लिए इष्टतम स्थितियां बनाई जाती हैं।

उसी समय, जानकारी को सॉर्ट किया जाता है, डेटा खोजा और फ़िल्टर किया जाता है, और गणना के लिए एल्गोरिदम बनाए जाते हैं। कंप्यूटर सूचना पैनल का उपयोग करके, आप विभिन्न स्क्रीन फॉर्म बना सकते हैं, साथ ही प्रयोग की प्रगति पर मुद्रित पेपर रिपोर्ट प्राप्त करने के विकल्प भी बना सकते हैं।

यदि प्राप्त परिणाम नियोजित विकल्पों के साथ मेल नहीं खाते हैं, तो पैरामीटर बदल दिए जाते हैं, अतिरिक्त अध्ययन किए जाते हैं।

कंप्यूटर मॉडल का अनुप्रयोग

कम्प्यूटेशनल प्रयोग और कंप्यूटर सिमुलेशन नई वैज्ञानिक अनुसंधान विधियां हैं। वे गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले कंप्यूटिंग उपकरण को आधुनिक बनाने, प्रयोगों को संक्षिप्त करने, परिष्कृत करने और जटिल बनाने के लिए संभव बनाते हैं।

सबसे होनहारों में प्रायोगिक उपयोग, एक पूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयोग आयोजित करना शक्तिशाली के लिए रिएक्टरों के डिजाइन पर प्रकाश डालता है परमाणु ऊर्जा संयंत्र. इसके अलावा, इसमें मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक ट्रांसड्यूसर का निर्माण शामिल है विद्युतीय ऊर्जा, साथ ही एक संतुलित परिप्रेक्ष्य योजनादेश, क्षेत्र, उद्योग के लिए।

कंप्यूटर और गणितीय मॉडलिंग की मदद से ही अध्ययन के लिए आवश्यक उपकरणों को डिजाइन करना संभव है थर्मोन्यूक्लियर प्रतिक्रियाएं, रासायनिक प्रक्रियाएं।

कंप्यूटर मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग गणितीय समस्या के निर्माण और समाधान के लिए "गैर-गणितीय" वस्तुओं को कम करना संभव बनाते हैं।

यह खुलता है महान अवसरएक आधुनिक प्रणाली के साथ गणितीय उपकरण को लागू करने के लिए कंप्यूटर प्रौद्योगिकीविकास से संबंधित मुद्दों को संबोधित करने के लिए वाह़य ​​अंतरिक्ष, परमाणु प्रक्रियाओं की "विजय"।

यह मॉडलिंग है जो विभिन्न आसपास की प्रक्रियाओं को समझने के लिए सबसे महत्वपूर्ण विकल्पों में से एक बन गया है और प्राकृतिक घटना. यह ज्ञान एक जटिल और समय लेने वाली प्रक्रिया है, इसमें एक प्रणाली का उपयोग शामिल है विभिन्न प्रकारमॉडलिंग, वास्तविक वस्तुओं के कम किए गए मॉडल के विकास से शुरू होकर, जटिल गणितीय गणनाओं के लिए विशेष एल्गोरिदम के चयन के साथ समाप्त होता है।

किन प्रक्रियाओं या घटनाओं का विश्लेषण किया जाएगा, इसके आधार पर क्रियाओं के कुछ एल्गोरिदम का चयन किया जाता है, गणितीय सूत्रकंप्यूटिंग के लिए। कंप्यूटर सिमुलेशन की अनुमति देता है न्यूनतम लागतवांछित परिणाम प्राप्त करें महत्वपूर्ण जानकारीकिसी वस्तु या घटना के गुणों और मापदंडों के बारे में।

इस पत्र में, हम कंप्यूटर विज्ञान में मॉडलिंग के विषय का विस्तार से विश्लेषण करने का प्रस्ताव करते हैं। इस खंड में है बडा महत्वसूचना प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में भविष्य के विशेषज्ञों के प्रशिक्षण के लिए।

किसी भी समस्या (औद्योगिक या वैज्ञानिक) को हल करने के लिए कंप्यूटर विज्ञान निम्नलिखित श्रृंखला का उपयोग करता है:

यह "मॉडल" की अवधारणा पर विशेष ध्यान देने योग्य है। इस लिंक के बिना समस्या का समाधान संभव नहीं होगा। मॉडल का उपयोग क्यों किया जाता है और इस शब्द का क्या अर्थ है? हम इसके बारे में अगले भाग में बात करेंगे।

आदर्श

कंप्यूटर विज्ञान में मॉडलिंग एक वास्तविक जीवन की वस्तु की एक छवि का संकलन है जो सभी को दर्शाता है आवश्यक सुविधाएंऔर गुण। किसी समस्या को हल करने के लिए एक मॉडल आवश्यक है, क्योंकि वास्तव में इसका उपयोग हल करने की प्रक्रिया में किया जाता है।

पर स्कूल पाठ्यक्रमसूचना विज्ञान, मॉडलिंग के विषय का अध्ययन छठी कक्षा से ही शुरू हो जाता है। बहुत शुरुआत में, बच्चों को एक मॉडल की अवधारणा से परिचित कराने की आवश्यकता होती है। यह क्या है?

• वस्तु की सरलीकृत समानता;
• वास्तविक वस्तु की घटी हुई प्रति;
• किसी घटना या प्रक्रिया की योजना;
• किसी घटना या प्रक्रिया की छवि;
• घटना या प्रक्रिया का विवरण;
• वस्तु का भौतिक एनालॉग;
• सूचना एनालॉग;
• एक प्लेसहोल्डर वस्तु जो वास्तविक वस्तु के गुणों को दर्शाती है, इत्यादि।

मॉडल एक बहुत व्यापक अवधारणा है, क्योंकि यह ऊपर से पहले ही स्पष्ट हो चुका है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सभी मॉडलों को आमतौर पर समूहों में विभाजित किया जाता है:

• सामग्री;
• आदर्श।

एक भौतिक मॉडल को वास्तविक पर आधारित वस्तु के रूप में समझा जाता है मौजूदा सुविधा. यह कोई भी शरीर या प्रक्रिया हो सकती है। इस समूहआगे दो प्रकारों में विभाजित:

• शारीरिक;
• अनुरूप।

ऐसा वर्गीकरण सशर्त है, क्योंकि इन दो उप-प्रजातियों के बीच एक स्पष्ट सीमा खींचना बहुत मुश्किल है।

आदर्श मॉडल को चित्रित करना और भी कठिन है। वह इससे जुड़ी हुई है:

• विचारधारा;
• कल्पना;
• धारणा।

इसमें कला के कार्य (थिएटर, पेंटिंग, साहित्य, आदि) शामिल हैं।

मॉडलिंग लक्ष्य

कंप्यूटर विज्ञान में मॉडलिंग बहुत है मील का पत्थरक्योंकि इसके बहुत सारे लक्ष्य हैं। अब हम आपको उन्हें जानने के लिए आमंत्रित करते हैं।

सबसे पहले, मॉडलिंग हमारे आसपास की दुनिया को समझने में मदद करती है। प्राचीन काल से, लोगों ने अर्जित ज्ञान को संचित किया है और इसे अपने वंशजों को दिया है। इस प्रकार, हमारे ग्रह (ग्लोब) का एक मॉडल दिखाई दिया।

पिछली शताब्दियों में, गैर-मौजूद वस्तुओं को मॉडल किया गया था, जो अब हमारे जीवन (छाता, चक्की, और इसी तरह) में मजबूती से स्थापित हैं। वर्तमान में, मॉडलिंग का उद्देश्य है:

• किसी भी प्रक्रिया के परिणामों की पहचान (भूमिगत रासायनिक कचरे की यात्रा या निपटान की लागत में वृद्धि);
• किए गए निर्णयों की प्रभावशीलता सुनिश्चित करना।

सिमुलेशन कार्य

सूचना मॉडल

अब बात करते हैं स्कूल कंप्यूटर साइंस कोर्स में पढ़े जाने वाले एक अन्य प्रकार के मॉडल की। कंप्यूटर मॉडलिंग, जिसे हर भविष्य के आईटी विशेषज्ञ को मास्टर करने की आवश्यकता होती है, में एक सूचना मॉडल को लागू करने की प्रक्रिया शामिल है कंप्यूटर सुविधाएं. लेकिन यह क्या है, एक सूचना मॉडल?

यह किसी भी वस्तु के बारे में जानकारी की एक सूची है। यह मॉडल क्या वर्णन करता है, और क्या उपयोगी जानकारीवहन करता है:

• मॉडलिंग की जा रही वस्तु के गुण;
• उसकी हालत;
• बाहरी दुनिया के साथ संबंध;
• बाहरी संस्थाओं के साथ संबंध।

सूचना मॉडल के रूप में क्या काम कर सकता है:

• मौखिक विवरण;
• मूलपाठ;
• चित्र;
• टेबल;
• योजना;
• चित्रकारी;
• सूत्र और इतने पर।

सूचना मॉडल की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि इसे छुआ नहीं जा सकता है, चखा नहीं जा सकता है, और इसी तरह। यह एक भौतिक अवतार नहीं लेता है, क्योंकि इसे सूचना के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

एक मॉडल बनाने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण

किस कक्षा में स्कूल के पाठ्यक्रममॉडलिंग की पढ़ाई? सूचना विज्ञान ग्रेड 9 छात्रों को इस विषय से अधिक विस्तार से परिचित कराता है। यह इस कक्षा में है कि बच्चा मॉडलिंग के व्यवस्थित दृष्टिकोण के बारे में सीखता है। आइए इस बारे में थोड़ा और विस्तार से बात करते हैं।

आइए "सिस्टम" की अवधारणा से शुरू करें। यह परस्पर संबंधित तत्वों का एक समूह है जो एक कार्य को पूरा करने के लिए मिलकर काम करते हैं। अक्सर एक मॉडल बनाने के लिए प्रयोग किया जाता है व्यवस्थित दृष्टिकोण, चूंकि वस्तु को कुछ वातावरण में कार्य करने वाली प्रणाली के रूप में माना जाता है। यदि किसी जटिल वस्तु का मॉडल तैयार किया जाता है, तो सिस्टम को आमतौर पर छोटे भागों - सबसिस्टम में विभाजित किया जाता है।

इस्तमाल करने का उद्देश्य

अब हम मॉडलिंग के लक्ष्यों (कंप्यूटर विज्ञान ग्रेड 11) पर विचार करेंगे। पहले यह कहा जाता था कि सभी मॉडलों को कुछ प्रकार और वर्गों में विभाजित किया जाता है, लेकिन उनके बीच की सीमाएँ सशर्त होती हैं। ऐसी कई विशेषताएं हैं जिनके द्वारा मॉडल को वर्गीकृत करने की प्रथा है: उद्देश्य, विशेषज्ञता का क्षेत्र, समय कारक, प्रस्तुति विधि।

लक्ष्यों के लिए, निम्नलिखित प्रकारों को अलग करने की प्रथा है:

• शैक्षिक;
• अनुभव;
• नकल;
• गेमिंग;
• वैज्ञानिक और तकनीकी।

पहले प्रकार में शामिल हैं शिक्षण सामग्री. दूसरे के लिए, वास्तविक वस्तुओं की कम या बढ़ी हुई प्रतियां (एक संरचना का एक मॉडल, एक हवाई जहाज का पंख, और इसी तरह)। आपको किसी घटना के परिणाम की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। सिमुलेशन मॉडलिंग का उपयोग अक्सर दवा में किया जाता है और सामाजिक क्षेत्र. उदाहरण के लिए, क्या मॉडल यह समझने में मदद करता है कि लोग इस या उस सुधार पर कैसे प्रतिक्रिया देंगे? एक व्यक्ति के अंग प्रत्यारोपण के लिए एक गंभीर ऑपरेशन करने से पहले, कई प्रयोग किए गए थे। दूसरे शब्दों में, सिमुलेशन मॉडल आपको परीक्षण और त्रुटि द्वारा समस्या को हल करने की अनुमति देता है। गेम मॉडल एक प्रकार का आर्थिक, व्यावसायिक या सैन्य खेल है। इस मॉडल की मदद से किसी वस्तु के व्यवहार की भविष्यवाणी करना संभव है अलग-अलग स्थितियां. एक प्रक्रिया या घटना का अध्ययन करने के लिए एक वैज्ञानिक और तकनीकी मॉडल का उपयोग किया जाता है (एक उपकरण जो अनुकरण करता है बिजली का निर्वहन, ग्रह गति मॉडल सौर प्रणालीआदि)।

ज्ञान का क्षेत्र

किस कक्षा में विद्यार्थी मॉडलिंग से अधिक परिचित होते हैं? ग्रेड 9 कंप्यूटर विज्ञान अपने छात्रों को उच्च में प्रवेश के लिए परीक्षा के लिए तैयार करने पर केंद्रित है शैक्षणिक संस्थानों. चूंकि टिकट का उपयोग करेंऔर जीआईए मॉडलिंग पर प्रश्नों को पूरा करते हैं, अब इस विषय पर यथासंभव विस्तार से विचार करना आवश्यक है। और इसलिए, ज्ञान के क्षेत्र के अनुसार वर्गीकरण कैसा है? द्वारा दी गई विशेषतानिम्नलिखित प्रकारों में अंतर करें:

• जैविक (उदाहरण के लिए, जानवरों में कृत्रिम रूप से प्रेरित रोग, आनुवंशिक विकार, प्राणघातक सूजन);
• दृढ़ व्यवहार, बाजार मूल्य निर्माण मॉडल, और इसी तरह);
• ऐतिहासिक ( वंश वृक्ष, मॉडल ऐतिहासिक घटनाओं, रोमन सेना का मॉडल और इसी तरह);
• समाजशास्त्रीय (व्यक्तिगत रुचि का मॉडल, नए के अनुकूल होने पर बैंकरों का व्यवहार आर्थिक स्थितियां) आदि।

समय कारक

इस विशेषता के अनुसार, दो प्रकार के मॉडल प्रतिष्ठित हैं:

• गतिशील;
• स्थिर।

पहले से ही, केवल नाम से देखते हुए, यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि पहला प्रकार किसी वस्तु के कामकाज, विकास और समय में परिवर्तन को दर्शाता है। स्थैतिक, इसके विपरीत, किसी विशेष क्षण में किसी वस्तु का वर्णन करने में सक्षम है। इस दृश्य को कभी-कभी संरचनात्मक कहा जाता है, क्योंकि मॉडल वस्तु की संरचना और मापदंडों को दर्शाता है, अर्थात यह इसके बारे में जानकारी का एक टुकड़ा प्रदान करता है।

उदाहरण हैं:

• सूत्रों का एक समूह जो सौर मंडल के ग्रहों की गति को दर्शाता है;
• हवा के तापमान में बदलाव का ग्राफ;
• ज्वालामुखी विस्फोट आदि की वीडियो रिकॉर्डिंग।

एक सांख्यिकीय मॉडल के उदाहरण हैं:

• सौर मंडल में ग्रहों की सूची;
• क्षेत्र का नक्शा और इतने पर।

प्रस्तुति विधि

शुरू करने के लिए, यह कहना बहुत महत्वपूर्ण है कि सभी मॉडलों का एक आकार और रूप होता है, वे हमेशा किसी न किसी तरह से प्रस्तुत या वर्णित होते हैं। इस आधार पर, इसे निम्नानुसार स्वीकार किया जाता है:

• सामग्री;
• अमूर्त

पहले प्रकार में मौजूदा वस्तुओं की भौतिक प्रतियां शामिल हैं। उन्हें छुआ जा सकता है, सूंघा जा सकता है और इसी तरह। वे किसी वस्तु के बाहरी या आंतरिक गुणों, क्रियाओं को दर्शाते हैं। सामग्री मॉडल किसके लिए हैं? इनका उपयोग के लिए किया जाता है प्रयोगात्मक विधिज्ञान (प्रायोगिक विधि)।

हमने पहले गैर-भौतिक मॉडल को भी संबोधित किया था। वे उपयोग करते हैं सैद्धांतिक विधिज्ञान। ऐसे मॉडलों को आदर्श या सार कहा जाता है। इस श्रेणी को कई उप-प्रजातियों में विभाजित किया गया है: काल्पनिक मॉडल और सूचनात्मक।

सूचना मॉडल वस्तु के बारे में विभिन्न सूचनाओं की एक सूची प्रदान करते हैं। सूचना मॉडल टेबल, आंकड़े हो सकते हैं, मौखिक विवरण, आरेख और इतने पर। क्यों यह मॉडलअमूर्त कहा जाता है? बात यह है कि इसे छुआ नहीं जा सकता, क्योंकि इसमें भौतिक अवतार नहीं है। के बीच में सूचना मॉडलसंकेतों और दृश्यों के बीच अंतर करना।

काल्पनिक मॉडल में से एक है रचनात्मक प्रक्रिया, एक व्यक्ति की कल्पना में गुजर रहा है, जो एक भौतिक वस्तु के निर्माण से पहले है।

मॉडलिंग कदम

9वीं कक्षा के कंप्यूटर विज्ञान विषय "मॉडलिंग और औपचारिकता" में है बड़ा वजन. इसका अध्ययन करना आवश्यक है। कक्षा 9-11 में, शिक्षक छात्रों को मॉडल बनाने के चरणों से परिचित कराने के लिए बाध्य है। अब हम यही करेंगे। तो, मॉडलिंग के निम्नलिखित चरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

• समस्या का सार्थक बयान;
• समस्या का गणितीय सूत्रीकरण;
• कंप्यूटर के उपयोग के साथ विकास;
• मॉडल ऑपरेशन;
• एक परिणाम प्राप्त करना।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे आस-पास की हर चीज का अध्ययन करते समय, मॉडलिंग और औपचारिकता की प्रक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान समर्पित विषय है आधुनिक तरीकेसमस्याओं का अध्ययन और समाधान। इसलिए, उन मॉडलों पर जोर दिया जाता है जिन्हें कंप्यूटर का उपयोग करके लागू किया जा सकता है। विशेष ध्यानइस विषय में इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों का उपयोग करके समाधान एल्गोरिदम विकसित करने के बिंदु पर दिया जाना चाहिए।

वस्तुओं के बीच संबंध

अब वस्तुओं के बीच संबंधों के बारे में थोड़ी बात करते हैं। कुल तीन प्रकार हैं:

• एक से एक (ऐसा कनेक्शन एक या दूसरी दिशा में एक तरफा तीर द्वारा इंगित किया जाता है);
• एक-से-अनेक (एकाधिक संबंध एक डबल तीर द्वारा इंगित किए जाते हैं);
• अनेक-से-अनेक (ऐसे संबंध दोहरे तीर द्वारा इंगित किए जाते हैं)।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि रिश्ते सशर्त और बिना शर्त हो सकते हैं। एक बिना शर्त संबंध में किसी वस्तु के प्रत्येक उदाहरण का उपयोग शामिल होता है। और सशर्त में, केवल व्यक्तिगत तत्व शामिल होते हैं।