Data referensi pada fungsi eksponensial diberikan - sifat dasar, grafik, dan rumus. Dipertimbangkan pertanyaan berikutnya: domain definisi, himpunan nilai, monotonisitas, fungsi terbalik, turunan, integral, ekspansi di seri daya dan representasi melalui bilangan kompleks.
Definisi
Fungsi eksponensial
adalah generalisasi dari hasil kali n bilangan yang sama dengan a :
kamu (n) = a n = a a a a,
ke himpunan bilangan real x :
kamu (x) = x.
Di sini a adalah bilangan real tetap, yang disebut dasar dari fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial dengan basis a disebut juga eksponensial ke basis a.
Generalisasi dilakukan sebagai berikut.
Untuk x alami = 1, 2, 3,...
, fungsi eksponensial adalah produk dari x faktor:
.
Selain itu, ia memiliki properti (1,5-8) (), yang mengikuti aturan untuk mengalikan angka. Pada nol dan nilai negatif bilangan bulat , fungsi eksponensial ditentukan oleh rumus (1.9-10). Pada nilai pecahan x = m/n angka rasional, , ditentukan dengan rumus (1.11). Untuk real , fungsi eksponensial didefinisikan sebagai batas urutan:
,
di mana adalah urutan sembarang bilangan rasional konvergen ke x : .
Dengan definisi ini, fungsi eksponensial didefinisikan untuk semua , dan memenuhi sifat (1.5-8), serta untuk x alami .
Formulasi matematis yang ketat tentang definisi fungsi eksponensial dan bukti sifat-sifatnya diberikan pada halaman "Definisi dan bukti sifat-sifat fungsi eksponensial".
Sifat-sifat fungsi eksponensial
Fungsi eksponensial y = a x memiliki sifat-sifat berikut pada himpunan bilangan real () :
(1.1)
didefinisikan dan kontinu, untuk , untuk semua ;
(1.2)
ketika 1
memiliki banyak arti;
(1.3)
meningkat secara ketat pada , menurun secara ketat pada ,
konstan di ;
(1.4)
pada ;
pada ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Formula berguna lainnya
.
Rumus untuk mengonversi ke fungsi eksponensial dengan basis daya yang berbeda:
Untuk b = e , kita mendapatkan ekspresi fungsi eksponensial dalam bentuk eksponen:
Nilai pribadi
, , , , .
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial
kamu (x) = x
untuk empat nilai dasar derajat:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
dan a = 1/8
. Dapat dilihat bahwa untuk > 1
fungsi eksponensial meningkat secara monoton. Bagaimana lebih dasar derajat a , semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0
< a < 1
fungsi eksponensial menurun secara monoton. Semakin kecil eksponen a, semakin besar penurunan yang kuat.
Naik turun
Fungsi eksponensial di sangat monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.
| y = a x , a > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Domain | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Jarak nilai | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Nada datar | meningkat secara monoton | berkurang secara monoton |
| Nol, y= 0 | Tidak | Tidak |
| Titik potong dengan sumbu y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Fungsi terbalik
Kebalikan dari fungsi eksponensial dengan basis derajat a adalah logaritma ke basis a.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.
Diferensiasi fungsi eksponensial
Untuk membedakan fungsi eksponensial, basisnya harus direduksi menjadi angka e, terapkan tabel turunan dan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan properti logaritma
dan rumus dari tabel turunan:
.
Biarkan fungsi eksponensial diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan variabel
Kemudian
Dari tabel turunan yang kita miliki (ganti variabel x dengan z ):
.
Karena adalah konstanta, turunan dari z terhadap x adalah
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.
Turunan dari fungsi eksponensial
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >
Contoh untuk membedakan fungsi eksponensial:
Tentukan turunan dari suatu fungsi
y= 35x
Keputusan
Kami menyatakan basis fungsi eksponensial dalam hal nomor e.
3 = e log 3
Kemudian
.
Kami memperkenalkan variabel
.
Kemudian
Dari tabel turunan kita menemukan:
.
Sejauh 5ln 3 adalah konstanta, maka turunan dari z terhadap x adalah:
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kami memiliki:
.
Menjawab
Integral
Ekspresi dalam bilangan kompleks
Pertimbangkan fungsinya bilangan kompleks z:
f (z) = az
dimana z = x + iy ; saya 2 = - 1
.
Kami menyatakan konstanta kompleks a dalam modulus r dan argumen :
a = r e i
Kemudian
.
Argumen tidak didefinisikan secara unik. PADA pandangan umum
φ = φ 0 + 2 pn,
dimana n adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, fungsi f (z) juga ambigu. Sering dianggap sebagai kepentingan utamanya
.
Ekspansi dalam seri
.
Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
Tanda modulo mungkin merupakan salah satu fenomena paling menarik dalam matematika. Dalam hal ini, banyak anak sekolah memiliki pertanyaan tentang bagaimana membangun grafik fungsi yang berisi modul. Mari kita periksa masalah ini secara rinci.
1. Merencanakan fungsi yang berisi modul
Contoh 1
Gambarkan fungsi y = x 2 – 8|x| + 12.
Keputusan.
Mari kita mendefinisikan paritas fungsi. Nilai y(-x) sama dengan nilai y(x), jadi fungsi yang diberikan bahkan. Maka grafiknya simetris terhadap sumbu Oy. Kami membuat grafik fungsi y \u003d x 2 - 8x + 12 untuk x 0 dan menampilkan grafik secara simetris terhadap Oy untuk x negatif (Gbr. 1).
Contoh 2
Grafik selanjutnya adalah y = |x 2 – 8x + 12|.
– Berapa kisaran dari fungsi yang diusulkan? (y 0).
- Bagaimana grafiknya? (Di atas atau menyentuh sumbu x).
Ini berarti grafik fungsi diperoleh sebagai berikut: mereka memplot fungsi y \u003d x 2 - 8x + 12, membiarkan bagian grafik yang terletak di atas sumbu Ox tidak berubah, dan bagian grafik yang terletak di bawah sumbu absis ditampilkan secara simetris relatif terhadap sumbu Ox (Gbr. 2).
Contoh 3
Untuk memplot fungsi y = |x 2 – 8|x| + 12| melakukan kombinasi transformasi:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Jawaban: gambar 3.
Transformasi yang dipertimbangkan berlaku untuk semua jenis fungsi. Mari kita buat tabel:
2. Merencanakan fungsi yang mengandung "modul bersarang" dalam rumus
Kita telah melihat contoh fungsi kuadrat yang mengandung modulus, serta dengan aturan umum memplot fungsi dari bentuk y = f(|x|), y = |f(x)| dan y = |f(|x|)|. Transformasi ini akan membantu kita ketika mempertimbangkan contoh berikut.
Contoh 4
Pertimbangkan fungsi dari bentuk y = |2 – |1 – |x|||. Ekspresi yang mendefinisikan fungsi berisi "modul bersarang".
Keputusan.
Kami menggunakan metode transformasi geometris.
Mari kita tuliskan rantai transformasi yang berurutan dan buat gambar yang sesuai (Gbr. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Pertimbangkan kasus di mana transformasi simetri dan transfer paralel bukan teknik utama untuk merencanakan grafik.
Contoh 5
Buatlah grafik dari suatu fungsi berbentuk y \u003d (x 2 - 4) / (x + 2) 2.
Keputusan.
Sebelum memplot grafik, kami mengubah rumus yang mendefinisikan fungsi dan mendapatkan yang lain tugas analitis fungsi (Gbr. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Mari kita perluas modul dalam penyebut:
Untuk x > -2, y = x - 2, dan untuk x< -2, y = -(x – 2).
Domain D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Rentang E(y) = (-4; +∞).
Titik-titik di mana grafik berpotongan dengan sumbu koordinat: (0; -2) dan (2; 0).
Fungsi menurun untuk semua x dari interval (-∞; -2), meningkat untuk x dari -2 ke +∞.
Di sini kita harus mengungkapkan tanda modulus dan memplot fungsi untuk setiap kasus.
Contoh 6
Pertimbangkan fungsi y = |x + 1| – |x – 2|.
Keputusan.
Memperluas tanda modul, perlu untuk mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi tanda ekspresi submodul.
Ada empat kemungkinan kasus:
(x + 1 - x + 2 = 3, dengan x -1 dan x 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, dengan x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, untuk x -1 dan x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, dengan x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Kemudian fungsi asli akan terlihat seperti:
(3, untuk x 2;
y = (-3, di x< -1;
(2x – 1, dengan -1 x< 2.
Telah mendapatkan fungsi sepotong-sepotong, yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 6.
3. Algoritma untuk membuat grafik fungsi dari bentuk
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + kapak + b.
Pada contoh sebelumnya, cukup mudah untuk memperluas tanda modul. Jika ada lebih banyak jumlah modul, maka sulit untuk mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda ekspresi submodul. Bagaimana kita dapat membuat grafik fungsi dalam kasus ini?
Perhatikan bahwa grafik adalah polyline, dengan simpul pada titik-titik yang memiliki absis -1 dan 2. Untuk x = -1 dan x = 2, ekspresi submodul sama dengan nol. Secara praktis, kami mendekati aturan untuk membuat grafik seperti itu:
Grafik fungsi berbentuk y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b adalah garis putus-putus dengan tautan ujung tak terbatas. Untuk membangun polyline seperti itu, cukup mengetahui semua simpulnya (absis simpul adalah nol dari ekspresi submodul) dan satu titik kontrol masing-masing di tautan tak terbatas kiri dan kanan. 
Tugas.
Gambarkan fungsi y = |x| + |x – 1| + |x + 1| dan temukan nilai terkecilnya.
Keputusan:
Nol ekspresi submodul: 0; -satu; 1. Simpul dari polyline (0; 2); (-tigabelas); (tigabelas). Titik kontrol di sebelah kanan (2; 6), di sebelah kiri (-2; 6). Kami membangun grafik (Gbr. 7). min f(x) = 2.
Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi dengan modulus?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
ringkasan presentasi lainnya"Tentukan apakah suatu fungsi genap atau ganjil" - Fungsinya ganjil. Tidak aneh. Tidak genap. Grafik fungsi genap. Grafik fungsi ganjil. Fungsi. Simetri terhadap sumbu. Bahkan fungsi. Tidak fungsi genap. Kolom. genap dan fungsi ganjil. Contoh. Apakah fungsinya genap. fungsi ganjil.
""Fungsi eksponensial" Tingkat 11" - Selesaikan persamaan. Definisi. Periksa diri Anda. pertidaksamaan eksponensial. Pada x=0, nilai fungsinya adalah 1. Uji. persamaan eksponensial. Derivatif dan primitif. cara fungsional. Utama sinyal referensi. Fungsi meningkat di seluruh domain definisi. Fungsi eksponensial. Daerah nilai. Sifat derajat dengan indikator rasional. Metode untuk memecahkan persamaan. Sifat-sifat fungsi eksponensial.
"Contoh pertidaksamaan logaritma" - Temukan keputusan yang tepat. Manakah dari fungsi yang meningkat dan yang menurun? Semoga berhasil dalam ujian! Grafik fungsi logaritma. Ringkasan pelajaran. Cluster untuk diisi selama pelajaran: Meningkat. Tugas: memutuskan pertidaksamaan logaritmik, diusulkan dalam tugas USE-2010. Di antara angka m dan n, beri tanda > atau<.(m, n >0). Menurun. Bersiap-siap untuk ujian! Tujuan pelajaran: Aljabar Kelas 11. Temukan ruang lingkup fungsi.
"Membuat grafik fungsi dengan modul" - Grafik fungsi. Konsolidasi pengetahuan tentang fungsi yang dipelajari sebelumnya. Pertanyaan ke kelas. Pengetahuan yang didapat. Y \u003d x2 - 2x - 3. Fungsi plot. Generalisasi. Fungsi linear. Kegiatan proyek. Y = f(x). Pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan. Memperbarui pengetahuan tentang grafik fungsi. Y = lnx. Cobalah untuk membuat grafik Anda sendiri. Y \u003d x - 2. Y \u003d sinx.
"Fungsi daya" Kelas 11 "- Fungsi y \u003d x0. fungsi kubik. Hiperbola. Y = x. Fungsi y=x-3. Grafiknya berbentuk parabola. Fungsi daya dengan indikator alami. Fungsi y \u003d x2n-1. Fungsi y = x2n. Fungsi daya. Fungsi y=x-2. Fungsi y=x4.
"Makna geometris dari turunan suatu fungsi" - Saya melakukannya. Hasil perhitungan. Posisi batas garis potong. Temukan lerengnya. Garis potong. pengertian geometris turunan. Algoritma untuk menyusun persamaan tangen. Definisi. Nilai turunan dari fungsi. Benar ide matematika. Persamaan garis singgung grafik fungsi. Buat pasangan. Persamaan garis lurus dengan faktor kemiringan. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi tersebut.
salinan
1 Wilayah konferensi ilmiah dan praktis pekerjaan pendidikan dan penelitian siswa di kelas 6-11 "Terapan dan pertanyaan mendasar matematika "Aspek metodologis studi matematika Konstruksi grafik fungsi yang mengandung modul Gabova Anzhela Yurievna, kelas 10, MOBU "Gymnasium 3" Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, guru matematika MOBU "Gymnasium 3" Kudymkar Perm, 2016
2 Isi: Pendahuluan...halaman 3 I. Isi utama...halaman 6 1.1 Referensi sejarah.. 6 hal. 2.Definisi dasar dan sifat-sifat fungsi hal. 2.1 fungsi kuadrat..7 hal.2.2 Fungsi linier...8 hal.2.3 Fungsi pecahan-rasional hal.8 3. Algoritma pembuatan grafik dengan modul 9 hal.3.1 Definisi modul..9 hal. fungsi linear with module...9 hal.3.3 Grafik fungsi yang mengandung "modul bersarang" dalam rumus.10 hal.3.5 Algoritma untuk memplot grafik fungsi kuadrat dengan modulus.14 hal.3.6 Algoritma untuk memplot grafik fraksional fungsi rasional dengan modulus. 15p. 4. Perubahan grafik fungsi kuadrat tergantung pada letak tandanya nilai mutlak..17p. II. Kesimpulan ... 26 hal III. Daftar referensi dan sumber...27 hal IV. Aplikasi....28p. 2
3 Pendahuluan Fungsi plotting adalah salah satunya. topik menarik di matematika sekolah. Matematikawan terbesar di zaman kita, Israel Moiseevich Gelfand, menulis: “Proses merencanakan adalah cara mengubah rumus dan deskripsi menjadi gambar geometris. Plotting ini merupakan sarana untuk melihat rumus dan fungsi serta melihat bagaimana fungsi tersebut berubah. Misalnya, jika y \u003d x 2 ditulis, maka Anda segera melihat parabola; jika y = x 2-4, Anda melihat parabola diturunkan empat satuan; jika y \u003d - (x 2 4), maka Anda melihat parabola sebelumnya ditolak. Kemampuan ini untuk melihat formula sekaligus, dan interpretasi geometris penting tidak hanya untuk studi matematika, tetapi juga untuk mata pelajaran lain. Ini adalah keterampilan yang melekat pada Anda seumur hidup, seperti belajar mengendarai sepeda, mengetik, atau mengendarai mobil." Dasar-dasar penyelesaian persamaan dengan modul diperoleh di kelas VI kelas 7. Saya memilih topik khusus ini karena saya percaya bahwa itu membutuhkan studi yang lebih dalam dan menyeluruh. Saya ingin mendapatkan lebih banyak pengetahuan tentang modulus angka, berbagai cara membuat grafik yang memuat tanda nilai mutlak. Ketika persamaan garis "standar", parabola, hiperbola menyertakan tanda modulus, grafiknya menjadi tidak biasa dan bahkan indah. Untuk mempelajari cara membuat grafik semacam itu, Anda perlu menguasai teknik membangun angka dasar, serta mengetahui dan memahami definisi modulus suatu bilangan. PADA kursus sekolah matematika grafik dengan modul tidak dianggap cukup mendalam, itulah sebabnya saya ingin memperluas pengetahuan saya tentang topik ini, untuk melakukan penelitian saya sendiri. Tanpa mengetahui definisi modul, tidak mungkin untuk membangun yang paling banyak grafik sederhana, yang mengandung nilai mutlak. fitur karakteristik grafik fungsi yang berisi ekspresi dengan tanda modulo, 3
4 adalah adanya kekusutan pada titik-titik di mana ekspresi di bawah tanda modul berubah tanda. Tujuan dari pekerjaan: untuk mempertimbangkan konstruksi grafik linier, kuadrat dan fraksional fungsi rasional, yang berisi variabel di bawah tanda modul. Tugas: 1) Mempelajari literatur tentang sifat-sifat nilai mutlak linier, kuadrat dan rasional fraksional fungsi. 2) Selidiki perubahan grafik fungsi tergantung pada lokasi tanda nilai absolut. 3) Belajar memplot grafik persamaan. Objek penelitian: grafik fungsi rasional linier, kuadrat, dan fraksional. Pokok bahasan: perubahan grafik fungsi rasional linier, kuadrat, dan fraksional tergantung pada letak tanda nilai mutlak. Signifikansi praktis pekerjaan saya adalah: 1) dalam menggunakan pengetahuan yang diperoleh pada topik, serta memperdalam dan menerapkannya pada fungsi dan persamaan lain; 2) dalam penggunaan keterampilan pekerjaan penelitian di masa depan Kegiatan Pembelajaran. Relevansi: Tugas pembuatan grafik secara tradisional adalah salah satu yang paling topik yang sulit matematika. Lulusan kami dihadapkan dengan masalah berhasil lulus GIA dan Unified State Examination. Masalah penelitian: memplot fungsi yang mengandung tanda modulus dari bagian kedua GIA. Hipotesis penelitian: aplikasi dikembangkan atas dasar cara umum merencanakan fungsi yang berisi tanda modul, metode untuk menyelesaikan tugas bagian kedua dari GIA akan memungkinkan siswa untuk menyelesaikan tugas-tugas ini 4
5 secara sadar, pilih yang paling banyak metode rasional solusi, terapkan metode yang berbeda keputusan dan berhasil lulus GIA. Metode penelitian yang digunakan dalam pekerjaan: 1. Analisis literatur matematika dan sumber daya internet tentang topik ini. 2. Reproduksi reproduktif dari materi yang dipelajari. 3.Informatif- aktivitas pencarian. 4. Analisis dan perbandingan data dalam mencari solusi masalah. 5. Pernyataan hipotesis dan verifikasinya. 6. Perbandingan dan generalisasi fakta matematika. 7. Analisis hasil yang diperoleh. Saat menulis karya ini, kami menggunakan sumber berikut: sumber daya internet, tes OGE, sastra matematika. 5
6 I. Bagian Utama 1.1 Latar Belakang Sejarah. Pada paruh pertama abad ke-17, gagasan tentang fungsi sebagai ketergantungan satu variabel dari yang lain. Jadi, matematikawan Prancis Pierre Fermat () dan Rene Descartes () membayangkan sebuah fungsi sebagai ketergantungan ordinat titik kurva pada absisnya. Bagaimana dengan bahasa Inggris? ilmuwan Isaac Newton () memahami fungsi sebagai koordinat yang berubah terhadap waktu dari suatu titik yang bergerak. Istilah "fungsi" (dari bahasa Latin fungsi kinerja, komisi) pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan Jerman Gottfried Leibniz (). Dia menghubungkan fungsi dengan gambar geometris (grafik fungsi). Kemudian, matematikawan Swiss Johann Bernoulli () dan anggota Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, matematikawan terkenal abad ke-18 Leonhard Euler () menganggap fungsi sebagai ekspresi analitik. Euler juga memiliki pemahaman bersama berfungsi sebagai ketergantungan satu variabel dengan variabel lainnya. Kata "modul" berasal dari kata Latin "modulus", yang berarti "ukuran" dalam terjemahan. Ini kata polisemantik(homonym), yang memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur, fisika, teknik, pemrograman dan lain-lain. ilmu pasti. Dalam arsitektur, ini adalah unit ukuran awal yang ditetapkan untuk suatu yang diberikan struktur arsitektur dan berfungsi untuk mengekspresikan beberapa rasionya elemen penyusun. Dalam rekayasa, ini adalah istilah yang digunakan dalam berbagai bidang teknologi tanpa nilai universal dan berfungsi untuk menunjuk berbagai koefisien dan besaran-besaran seperti modulus ikatan, modulus elastisitas, dan sejenisnya. 6
7 Modulus Massal (dalam fisika)-rasio tegangan normal dalam bahan terhadap perpanjangan relatif. 2. Definisi dasar dan sifat-sifat fungsi Fungsi adalah salah satu yang paling penting konsep matematika. Fungsi adalah ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai variabel x sesuai dengan arti tunggal variabel y. Cara menyetel suatu fungsi: 1) metode analitis (pengaturan fungsi menggunakan rumus matematika); 2) cara tabel(fungsi diatur menggunakan tabel); 3) metode deskriptif (fungsi diberikan deskripsi lisan); 4) cara grafis(fungsi diatur menggunakan grafik). Grafik suatu fungsi adalah himpunan semua titik bidang koordinat, yang absisnya sama dengan nilai argumen, dan yang ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang sesuai. 2.1 Fungsi kuadrat bilangan asli, dan a = 0, disebut kuadrat. Grafik fungsi y \u003d ax 2 + di + c adalah parabola; sumbu simetri parabola y \u003d ax 2 + di + c adalah garis lurus, untuk a> 0 "cabang" parabola diarahkan ke atas, untuk a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (untuk fungsi satu variabel). Properti utama dari fungsi linier adalah bahwa kenaikan fungsi sebanding dengan kenaikan argumen. Artinya, fungsi tersebut merupakan generalisasi dari proporsionalitas langsung. Grafik fungsi linier adalah garis lurus, maka namanya. Ini menyangkut fungsi nyata dari satu variabel nyata. 1) Di, garis lurus membentuk sudut lancip dengan arah sumbu x positif. 2) Jika, garis membentuk sudut tumpul dengan arah sumbu x positif. 3) merupakan indikator ordinat titik potong garis dengan sumbu y. 4) Ketika, garis melewati titik asal. , 2.3 Fungsi pecahan-rasional adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya polinomial. Ini memiliki bentuk di mana, polinomial dalam sejumlah variabel. Fungsi rasional dari satu variabel adalah kasus khusus: di mana dan adalah polinomial. 1) Ekspresi apa pun yang dapat diperoleh dari variabel menggunakan empat operasi aritmatika adalah fungsi rasional. delapan
9 2) Himpunan fungsi rasional tertutup di bawah operasi aritmatika dan operasi komposisi. 3) Setiap fungsi rasional dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan sederhana - ini digunakan dalam integrasi analitik .., 3. Algoritma grafik dengan modul jika a negatif. a = 3.2 Algoritma untuk membuat grafik fungsi linier dengan modulus Untuk memplot grafik fungsi y= x, Anda perlu mengetahui bahwa untuk x positif kita memiliki x = x. Sehingga untuk nilai positif argumen graf y= x berimpit dengan graf y=x, yaitu bagian graf ini adalah sinar yang keluar dari titik asal membentuk sudut 45 derajat terhadap sumbu absis. untuk x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 Untuk konstruksi, kami mengambil poin (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Sekarang mari kita buat graf y= x-1. Jika A adalah titik graf y= x dengan koordinat (a; a), maka titik grafik y= x-1 dengan nilai ordinat Y yang sama akan menjadi titik A1 (a+1; a). Titik grafik kedua ini dapat diperoleh dari titik A(a; a) grafik pertama dengan menggeser sejajar sumbu Ox ke kanan. Artinya seluruh grafik fungsi y= x-1 diperoleh dari grafik fungsi y= x dengan menggeser sejajar sumbu Ox ke kanan sebesar 1. Mari kita buat grafik: y= x-1 Untuk membangun, kita ambil poin (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Konstruksi grafik fungsi yang mengandung "modul bersarang" dalam rumus Mari kita pertimbangkan algoritma konstruksi menggunakan contoh spesifik.
11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Kami membuat grafik fungsi. 2. Kami menampilkan grafik setengah bidang bawah ke atas secara simetris terhadap sumbu OX dan mendapatkan grafik fungsinya. sebelas
12 3. Kami menampilkan grafik fungsi ke bawah secara simetris terhadap sumbu OX dan mendapatkan grafik fungsi tersebut. 4. Kami menampilkan grafik fungsi ke bawah secara simetris terhadap sumbu OX dan mendapatkan grafik fungsi 5. Menampilkan grafik fungsi terhadap sumbu OX dan mendapatkan grafiknya. 12
13 6. Hasilnya, grafik fungsi terlihat seperti ini 3.4. Algoritma untuk membuat grafik fungsi berbentuk y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. Pada contoh sebelumnya, cukup mudah untuk memperluas tanda modul. Jika ada lebih banyak jumlah modul, maka sulit untuk mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda ekspresi submodul. Bagaimana kita dapat membuat grafik fungsi dalam kasus ini? Perhatikan bahwa grafik adalah polyline, dengan simpul pada titik-titik yang memiliki absis -1 dan 2. Untuk x = -1 dan x = 2, ekspresi submodul sama dengan nol. Secara praktis, kami mendekati aturan untuk membuat grafik seperti itu: Grafik fungsi berbentuk y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b adalah polyline dengan tautan ekstrem tak terbatas. Untuk membangun polyline seperti itu, cukup mengetahui semua simpulnya (absis simpul adalah nol dari ekspresi submodul) dan satu titik kontrol masing-masing di tautan tak terbatas kiri dan kanan. tigabelas
14 Tugas. Plot fungsi y = x + x 1 + x + 1 dan temukan nilai terkecilnya. Solusi: 1. Nol ekspresi submodul: 0; -satu; Titik poliline (0; 2); (-tigabelas); (1; 3) (nol ekspresi submodul disubstitusikan ke dalam persamaan) Kami membangun grafik (Gbr. 7), nilai terkecil dari fungsi adalah Algoritma untuk memplot grafik fungsi kuadrat dengan modul Menyusun algoritma untuk mengubah grafik fungsi. 1.Konstruksi grafik fungsi y= f(x). Menurut definisi modul, fungsi ini didekomposisi menjadi dua set fungsi. Oleh karena itu, grafik fungsi y= f(x) terdiri dari dua grafik: y= f(x) pada setengah bidang kanan, y= f(-x) pada setengah bidang kiri. Berdasarkan ini, kita dapat merumuskan aturan (algoritma). Grafik fungsi y= f(x) diperoleh dari grafik fungsi y= f(x) sebagai berikut: pada x 0 grafik dipertahankan, dan pada x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. Untuk membuat grafik fungsi y= f(x), terlebih dahulu Anda harus membuat grafik fungsi y= f(x) untuk x > 0, kemudian untuk x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 Untuk mendapatkan grafik ini, cukup menggeser grafik yang diperoleh sebelumnya sebanyak tiga satuan ke kanan. Perhatikan bahwa jika penyebut pecahan adalah x + 3, maka kita akan menggeser grafik ke kiri: Sekarang kita perlu mengalikan semua ordinat dengan dua untuk mendapatkan grafik fungsi Akhirnya, kita menggeser grafik ke atas dua satuan : Hal terakhir yang harus kita lakukan , adalah memplot fungsi yang diberikan jika diapit di bawah tanda modulus. Untuk melakukan ini, kami mencerminkan secara simetris ke atas seluruh bagian grafik, yang ordinatnya negatif (bagian yang terletak di bawah sumbu x): Gbr.4 16
17 4. Perubahan grafik fungsi kuadrat tergantung pada letak tanda nilai mutlak. Plot fungsi y \u003d x 2 - x -3 1) Karena x \u003d x pada x 0, grafik yang diperlukan bertepatan dengan parabola y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Jika x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Oleh karena itu, saya menyelesaikan untuk x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
18 Gambar. 4 Grafik fungsi y \u003d f (x) bertepatan dengan grafik fungsi y \u003d f (x) pada himpunan tidak nilai negatif argumen dan simetris terhadapnya sehubungan dengan sumbu y pada himpunan nilai negatif argumen. Bukti: Jika x 0, maka f (x) = f (x), mis. pada himpunan nilai argumen non-negatif, grafik fungsi y = f (x) dan y = f (x) bertepatan. Karena y \u003d f (x) adalah fungsi genap, maka grafiknya simetris terhadap OS. Dengan demikian, grafik fungsi y \u003d f (x) dapat diperoleh dari grafik fungsi y \u003d f (x) sebagai berikut: 1. plotkan fungsi y \u003d f (x) untuk x>0; 2. Untuk x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Untuk x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 Jika x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 dan bagian yang dipantulkan secara simetris y \u003d f (x) di y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, maka f (x) \u003d f (x), yang berarti bahwa di bagian ini grafik fungsi y \u003d f (x) bertepatan dengan grafik fungsi itu sendiri y \u003d f (x). Jika f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 Gbr.5 Kesimpulan: Untuk memplot fungsi y= f(x) 1. Plot fungsi y=f(x) ; 2. Di daerah di mana grafik terletak di setengah bidang bawah, yaitu, di mana f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 Pekerjaan penelitian tentang plot grafik fungsi y \u003d f (x) Menerapkan definisi nilai absolut dan contoh yang dipertimbangkan sebelumnya, kami akan memplot grafik fungsi: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \ u003d x 2-2 dan membuat kesimpulan. Untuk membuat grafik fungsi y = f (x) diperlukan: 1. Buatlah grafik fungsi y = f (x) untuk x>0. 2. Bangun bagian kedua dari grafik, yaitu mencerminkan grafik yang dibangun secara simetris terhadap OS, karena fungsi ini genap. 3. Bagian dari grafik yang dihasilkan terletak di setengah bidang bawah harus dikonversi ke setengah bidang atas secara simetris ke sumbu OX. Buat grafik fungsi y \u003d 2 x - 3 (metode pertama untuk menentukan modul) X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, untuk x>0 b) untuk x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) untuk x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Kami membangun garis lurus simetris dengan yang dibangun sehubungan dengan sumbu OS. 3) Bagian grafik yang terletak di setengah bidang bawah ditampilkan secara simetris terhadap sumbu OX. Membandingkan kedua grafik, kita melihat bahwa keduanya sama. 21
22 Contoh Soal Contoh 1. Perhatikan grafik fungsi y = x 2 6x +5. Karena x dikuadratkan, maka berapa pun tanda bilangan x setelah dikuadratkan akan positif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi y \u003d x 2-6x +5 akan identik dengan grafik fungsi y \u003d x 2-6x +5, yaitu. grafik fungsi yang tidak mengandung tanda nilai mutlak (Gbr. 2). Gbr.2 Contoh 2. Perhatikan grafik fungsi y \u003d x 2 6 x +5. Dengan menggunakan definisi modulus angka, kami mengganti rumus y \u003d x 2 6 x +5 Sekarang kita berurusan dengan penugasan ketergantungan sepotong-sepotong yang kita kenal. Kami akan membuat grafik seperti ini: 1) membangun parabola y \u003d x 2-6x +5 dan lingkari bagian itu, yaitu 22
23 sesuai dengan nilai x non-negatif, mis. bagian di sebelah kanan sumbu y. 2) di bidang koordinat yang sama, kami membuat parabola y \u003d x 2 +6x +5 dan lingkari bagian itu yang sesuai dengan nilai negatif x, mis. bagian di sebelah kiri sumbu y. Bagian parabola yang dilingkari bersama-sama membentuk grafik fungsi y \u003d x 2-6 x +5 (Gbr. 3). Gbr.3 Contoh 3. Pertimbangkan grafik fungsi y \u003d x 2-6 x +5. Karena grafik persamaan y \u003d x 2 6x +5 sama dengan grafik fungsi tanpa tanda modulus (dipertimbangkan dalam contoh 2), maka grafik fungsi y \u003d x 2 6 x +5 identik dengan grafik fungsi y \u003d x 2 6 x +5 , dipertimbangkan dalam contoh 2 (Gbr. 3). Contoh 4. Mari kita buat grafik fungsi y \u003d x 2 6x +5. Untuk melakukan ini, kami membuat grafik fungsi y \u003d x 2-6x. Untuk mendapatkan darinya grafik fungsi y \u003d x 2-6x, Anda perlu mengganti setiap titik parabola dengan ordinat negatif dengan titik dengan absis yang sama, tetapi dengan ordinat (positif) yang berlawanan. Dengan kata lain, bagian parabola yang terletak di bawah sumbu x harus diganti dengan garis simetris terhadap sumbu x. Karena kita perlu membuat grafik fungsi y \u003d x 2-6x +5, kemudian grafik fungsi yang kita anggap y \u003d x 2-6x hanya perlu dinaikkan sepanjang sumbu y sebanyak 5 satuan ke atas (Gbr. .4). 23
24 Gbr.4 Contoh 5. Mari kita buat grafik fungsi y \u003d x 2-6x + 5. Untuk melakukan ini, kami menggunakan fungsi sepotong-sepotong yang terkenal. Temukan nol dari fungsi y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 di. Pertimbangkan dua kasus: 1) Jika, maka persamaannya berbentuk y = x 2 6x -5. Mari kita bangun parabola ini dan lingkari bagian itu di mana. 2) Jika, maka persamaan mengambil bentuk y \u003d x 2 + 6x +5. Mari kita bangun parabola ini dan lingkari bagian itu, yang terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat (Gbr. 5). 24
25 Gbr.5 Contoh6. Mari kita plot fungsi y \u003d x 2 6 x +5. Untuk melakukan ini, kami akan memplot fungsi y \u003d x 2-6 x +5. Kami memplot grafik ini dalam Contoh 3. Karena fungsi kami sepenuhnya di bawah tanda modul, untuk memplot grafik fungsi y \u003d x 2 6 x +5, Anda memerlukan setiap titik grafik fungsi y \u003d x 2 6 x + 5 dengan ordinat negatif, ganti dengan titik dengan absis yang sama, tetapi dengan ordinat (positif) yang berlawanan, mis. bagian parabola yang terletak di bawah sumbu Ox harus diganti dengan garis yang simetris terhadap sumbu Ox (Gbr. 6). Gbr.6 25
26 II Kesimpulan "Informasi matematika dapat digunakan dengan terampil dan menguntungkan hanya jika dikuasai secara kreatif, sehingga siswa melihat sendiri bagaimana mungkin untuk mendapatkannya secara mandiri." SEBUAH. Kolmogorov. Tugas-tugas ini sangat menarik bagi siswa kelas sembilan, karena sangat umum dalam tes OGE. Kemampuan untuk membuat grafik fungsi ini akan memungkinkan Anda untuk lulus ujian dengan lebih berhasil. Matematikawan Prancis Pierre Fermat () dan Rene Descartes () membayangkan fungsi sebagai ketergantungan ordinat titik kurva pada absisnya. Dan ilmuwan Inggris Isaac Newton () memahami fungsi sebagai koordinat titik bergerak yang berubah tergantung waktu. 26
27 III Daftar referensi dan sumber 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Kumpulan soal dalam aljabar untuk kelas 8 9: Proc. tunjangan bagi siswa sekolah. dan kelas dengan pendalaman. belajar Matematika edisi ke-2. M.: Pencerahan, Dorofeev G.V. Matematika. Aljabar. Fungsi. Analisis data. Kelas 9: m34 Proc. untuk studi pendidikan umum. manajer 2nd ed., stereotip. M .: Bustard, Solomonik V.S. Kumpulan pertanyaan dan tugas dalam matematika M .: "Sekolah tinggi", Yashchenko I.V. GIA. Matematika: pilihan ujian khas: Tentang options.m.: "Pendidikan Nasional", hal. 5. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: pilihan ujian khas: Tentang options.m.: "Pendidikan Nasional", hal. 6. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: pilihan ujian khas: Tentang options.m.: "Pendidikan Nasional", hal.
28 Lampiran 28
29 Contoh 1. Gambarkan fungsi y = x 2 8 x Solusi. Mari kita mendefinisikan paritas fungsi. Nilai y(-x) sama dengan nilai y(x), jadi fungsi ini genap. Maka grafiknya simetris terhadap sumbu Oy. Kami membuat grafik fungsi y \u003d x 2 8x + 12 untuk x 0 dan menampilkan grafik secara simetris relatif terhadap Oy untuk x negatif (Gbr. 1). Contoh 2. Berikut grafik bentuk y \u003d x 2 8x Artinya grafik fungsi diperoleh sebagai berikut: mereka membangun grafik fungsi y \u003d x 2 8x + 12, tinggalkan bagian grafik yang terletak di atas sumbu Ox tidak berubah, dan bagian dari grafik yang terletak di bawah sumbu absis, ditampilkan secara simetris terhadap sumbu Ox (Gbr. 2). Contoh 3. Untuk memplot fungsi y \u003d x 2 8 x + 12, kombinasi transformasi dilakukan: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Jawaban : Gambar 3. Contoh 4 Ekspresi yang berdiri di bawah tanda modul, berubah tanda pada titik x=2/3. di x<2/3 функция запишется так: 29
30 Untuk x>2/3, fungsinya akan ditulis sebagai berikut: Yaitu, titik x=2/3 membagi bidang koordinat kita menjadi dua daerah, di salah satunya (di sebelah kanan) kita bangun fungsi dan di lainnya (ke kiri) grafik fungsi Kami membangun: Contoh 5 Selanjutnya grafik juga rusak, tetapi memiliki dua titik putus, karena mengandung dua ekspresi di bawah tanda modul:
31 Perluas modul pada interval pertama: Pada interval kedua: Pada interval ketiga: Jadi, pada interval (- ; 1.5] kita memiliki grafik yang ditulis oleh persamaan pertama, pada interval grafik yang ditulis oleh persamaan kedua, dan pada interval)
