მოცემულია ექსპონენციალური ფუნქციის საცნობარო მონაცემები - ძირითადი თვისებები, გრაფიკები და ფორმულები. განიხილება შემდეგი კითხვები: განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ერთფეროვნება, შებრუნებული ფუნქცია, წარმოებული, ინტეგრალური, გაფართოება დენის სერიადა წარმოდგენა რთული რიცხვების საშუალებით.

განმარტება

ექსპონენციალური ფუნქცია არის n რიცხვის ნამრავლის განზოგადება, რომელიც უდრის a-ს:
წ (n) = a n = a a a a,
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს x:
წ (x) = x.
აქ a არის ფიქსირებული რეალური რიცხვი, რომელსაც ე.წ ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი.
ასევე ეწოდება ექსპონენციალურ ფუნქციას a ფუძით ექსპონენციალური ფუძემდე a.

განზოგადება ხორციელდება შემდეგნაირად.
ბუნებრივი x = 1, 2, 3,... , ექსპონენციალური ფუნქცია არის x ფაქტორების ნამრავლი:
.
უფრო მეტიც, მას აქვს თვისებები (1.5-8) (), რაც გამომდინარეობს რიცხვების გამრავლების წესებიდან. მთელი რიცხვების ნულოვანი და უარყოფითი მნიშვნელობებით, ექსპონენციალური ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულებით (1.9-10). ზე წილადური მნიშვნელობები x = მ/ნ რაციონალური რიცხვი, , იგი განისაზღვრება ფორმულით (1.11). რეალურისთვის, ექსპონენციალური ფუნქცია განისაზღვრება როგორც თანმიმდევრობის ლიმიტი:
,
სად არის რაციონალური რიცხვების თვითნებური თანმიმდევრობა x-თან დაახლოებული: .
ამ განმარტებით, ექსპონენციალური ფუნქცია განისაზღვრება ყველასთვის და აკმაყოფილებს თვისებებს (1.5-8), ისევე როგორც ბუნებრივ x-სთვის.

ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტებისა და მისი თვისებების დადასტურების მკაცრი მათემატიკური ფორმულირება მოცემულია გვერდზე „ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებების განმარტება და დადასტურება“.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები

ექსპონენციალურ ფუნქციას y = a x აქვს შემდეგი თვისებები რეალური რიცხვების სიმრავლეზე () :
(1.1) არის განსაზღვრული და უწყვეტი, ამისთვის, ყველასთვის;
(1.2) როდესაც a ≠ 1 აქვს მრავალი მნიშვნელობა;
(1.3) მკაცრად იზრდება, მკაცრად მცირდება,
მუდმივია;
(1.4) ზე ;
ზე ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

სხვა სასარგებლო ფორმულები
.
განსხვავებული სიმძლავრის ბაზის მქონე ექსპონენციალურ ფუნქციად გადაქცევის ფორმულა:

b = e-სთვის, ჩვენ ვიღებთ ექსპონენციალური ფუნქციის გამოხატვას მაჩვენებლის მიხედვით:

პირადი ღირებულებები

, , , , .

ნახატზე ნაჩვენებია ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკები
წ (x) = x
ოთხი ღირებულებისთვის ხარისხის ბაზები:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . ჩანს, რომ > 1 ექსპონენციალური ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. Როგორ მეტი ბაზა a ხარისხი, მით უფრო ძლიერია ზრდა. ზე 0 < a < 1 ექსპონენციალური ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. რაც უფრო მცირეა a-ის მაჩვენებელი, მით მეტი ძლიერი შემცირება.

Აღმავალი დაღმავალი

ექსპონენციალური ფუნქცია at მკაცრად მონოტონურია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. მისი ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში.

	y = a x, a > 1	y = x, 0 < a < 1
დომენი	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
მონოტონური	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
ნულები, y= 0	არა	არა
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

ინვერსიული ფუნქცია

a ხარისხის ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის რეციპროკული არის ლოგარითმი a ფუძემდე.

თუ, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენციაცია

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენცირებისთვის მისი საფუძველი უნდა შემცირდეს e რიცხვამდე, გამოიყენოს წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესი. რთული ფუნქცია.

ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმების თვისება
და ფორმულა წარმოებულების ცხრილიდან:
.

დაე, მოცემული იყოს ექსპონენციალური ფუნქცია:
.
ჩვენ მივყავართ მას e ბაზაზე:

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს. ამისათვის ჩვენ შემოგვაქვს ცვლადი

მერე

წარმოებულების ცხრილიდან გვაქვს (შეცვალეთ x ცვლადი z-ით):
.
ვინაიდან მუდმივია, z-ის წარმოებული x-ის მიმართ არის
.
რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით:
.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენცირების მაგალითი

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
y= 35 x

გადაწყვეტილება

ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძეს გამოვხატავთ e რიცხვით.
3 = e ჟურნალი 3
მერე
.
შემოგვაქვს ცვლადი
.
მერე

წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
.
Იმდენად, რამდენადაც 5ლნ 3არის მუდმივი, მაშინ z-ის წარმოებული x-ის მიმართ არის:
.
რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით გვაქვს:
.

უპასუხე

ინტეგრალური

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

განიხილეთ ფუნქცია რთული რიცხვი ზ:
ვ (ზ) = აზ
სადაც z = x + iy ; მე 2 = - 1 .
ჩვენ გამოვხატავთ კომპლექსურ მუდმივას a-ს მოდულის r და არგუმენტის φ:
a = r e i φ
მერე


.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. AT ზოგადი ხედი
φ = φ 0 + 2 პნ,
სადაც n არის მთელი რიცხვი. ამიტომ ფუნქცია f (z)ასევე ორაზროვანია. ხშირად განიხილება მისი მთავარი მნიშვნელობა
.

გაფართოება სერიაში

.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.

მოდულის ნიშანი ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო ფენომენია მათემატიკაში. ამასთან დაკავშირებით, ბევრ სკოლის მოსწავლეს აქვს კითხვა, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ მოდულის შემცველი ფუნქციების გრაფიკები. განვიხილოთ ეს საკითხი დეტალურად.

1. მოდულის შემცველი ფუნქციების შედგენა

მაგალითი 1

დახაზეთ ფუნქცია y = x 2 – 8|x| + 12.

გადაწყვეტილება.

მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი. y(-x)-ის მნიშვნელობა იგივეა რაც y(x)-ის მნიშვნელობა, ასე რომ მოცემული ფუნქციათუნდაც. მაშინ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ. ჩვენ ვაშენებთ y \u003d x 2 - 8x + 12 ფუნქციის გრაფიკს x ≥ 0-ზე და სიმეტრიულად ვაჩვენებთ გრაფიკს Oy-თან შედარებით უარყოფითი x-ისთვის (ნახ. 1).

მაგალითი 2

შემდეგი გრაფიკი არის y = |x 2 – 8x + 12|.

– რა არის შემოთავაზებული ფუნქციის დიაპაზონი? (y ≥ 0).

- როგორია სქემა? (X ღერძის ზემოთ ან შეხება).

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება შემდეგნაირად: ისინი ასახავდნენ ფუნქციას y \u003d x 2 - 8x + 12, უცვლელად ტოვებენ გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ, და გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს ქვემოთ. აბსცისის ღერძი ნაჩვენებია სიმეტრიულად Ox ღერძის მიმართ (ნახ. 2).

მაგალითი 3

y = |x 2 – 8|x| ფუნქციის გამოსახატავად + 12| განახორციელეთ ტრანსფორმაციების კომბინაცია:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

პასუხი: სურათი 3.

განხილული ტრანსფორმაციები მოქმედებს ყველა ტიპის ფუნქციისთვის. მოდით გავაკეთოთ ცხრილი:

2. ფორმულაში "ბუდებული მოდულების" შემცველი ფუნქციების დახატვა

ჩვენ უკვე ვნახეთ მოდულის შემცველი კვადრატული ფუნქციის მაგალითები, ისევე როგორც ძირითადი წესები y = f(|x|), y = |f(x)| ფორმის ფუნქციების გამოსახვა და y = |f(|x|)|. ეს გარდაქმნები დაგვეხმარება შემდეგი მაგალითის განხილვისას.

მაგალითი 4

განვიხილოთ y = |2 – |1 – |x||| ფორმის ფუნქცია. გამოთქმა, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას, შეიცავს "ბუდე მოდულებს".

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიყენებთ გეომეტრიული გარდაქმნების მეთოდს.

ჩამოვწეროთ თანმიმდევრული გარდაქმნების ჯაჭვი და გავაკეთოთ შესაბამისი ნახაზი (სურ. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც სიმეტრიის გარდაქმნები და პარალელური გადაცემაარ არის გრაფიკების შედგენის მთავარი ტექნიკა.

მაგალითი 5

შექმენით y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 ფორმის ფუნქციის გრაფიკი.

გადაწყვეტილება.

გრაფიკის დახატვამდე ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას და ვიღებთ მეორეს ანალიტიკური დავალებაფუნქციები (ნახ. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

მოდით გავაფართოვოთ მოდული მნიშვნელში:

x > -2-ისთვის y = x - 2 და x-სთვის< -2, y = -(x – 2).

დომენი D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

დიაპაზონი E(y) = (-4; +∞).

წერტილები, რომლებშიც გრაფიკი კვეთს კოორდინატთა ღერძს: (0; -2) და (2; 0).

ფუნქცია მცირდება ყველა x-ისთვის ინტერვალიდან (-∞; -2), იზრდება x-სთვის -2-დან +∞-მდე.

აქ ჩვენ უნდა გამოგვევლინა მოდულის ნიშანი და გამოვსახოთ ფუნქცია თითოეული შემთხვევისთვის.

მაგალითი 6

განვიხილოთ ფუნქცია y = |x + 1| – |x – 2|.

გადაწყვეტილება.

მოდულის ნიშნის გაფართოებისას აუცილებელია განიხილოს ქვემოდული გამონათქვამების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაცია.

არსებობს ოთხი შესაძლო შემთხვევა:

(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 და x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x-ით< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 და x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x-ით< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

მერე ორიგინალური ფუნქციაასე გამოიყურება:

(3, x ≥ 2-ისთვის;

y = (-3, x-ზე< -1;

(2x – 1, ერთად -1 ≤ x< 2.

მივიღე ცალმხრივი ფუნქცია, რომლის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 6.

3. ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ცული + ბ.

წინა მაგალითში საკმაოდ მარტივი იყო მოდულის ნიშნების გაფართოება. თუ მოდულების მეტი ჯამია, მაშინ პრობლემურია ქვემოდული გამონათქვამების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციის გათვალისწინება. როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია ამ შემთხვევაში?

გაითვალისწინეთ, რომ გრაფიკი არის პოლიწრიული, წვეროებით წერტილებში, რომლებსაც აქვთ აბსცისები -1 და 2. x = -1 და x = 2-ისთვის, ქვემოდულის გამოსახულებები ნულის ტოლია. პრაქტიკული თვალსაზრისით, ჩვენ მივუახლოვდით ასეთი გრაფიკების აგების წესს:

y = a 1 |x – x 1 | ფორმის ფუნქციის გრაფიკი + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ცული + b არის გატეხილი ხაზი უსასრულო ბოლო ბმულებით. ასეთი პოლიხაზის ასაგებად საკმარისია ვიცოდეთ მისი ყველა წვერო (წვეროების აბსციები არის ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები) და თითო საკონტროლო წერტილი მარცხენა და მარჯვენა უსასრულო ბმულებზე.

დავალება.

დახაზეთ ფუნქცია y = |x| + |x – 1| + |x + 1| და იპოვნეთ მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება:

ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები: 0; - ერთი; 1. პოლიხაზის წვეროები (0; 2); (-ცამეტი); (ცამეტი). საკონტროლო წერტილი მარჯვნივ (2; 6), მარცხნივ (-2; 6). ვაშენებთ გრაფიკს (სურ. 7). წთ f(x) = 2.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია მოდულით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

სხვა პრეზენტაციების შეჯამება

"განსაზღვრე ფუნქცია ლუწია თუ კენტი" - ფუნქცია კენტია. არ არის უცნაური. არც კი არის. ლუწი ფუნქციის გრაფიკი. უცნაური ფუნქციის გრაფიკი. ფუნქცია. სიმეტრია ღერძის მიმართ. ფუნქციებიც კი. Არ არის ფუნქციაც კი. სვეტი. თუნდაც და უცნაური ფუნქციები. მაგალითი. ფუნქცია თანაბარია. უცნაური ფუნქციები.

""ექსპონენციალური ფუნქცია" კლასი 11" - ამოხსენით განტოლება. განმარტება. Შეამოწმე შენი თავი. ექსპონენციური უტოლობები. x=0-ზე ფუნქციის მნიშვნელობა არის 1. ტესტი. ექსპონენციალური განტოლებები. წარმოებული და პროტოტიპი. ფუნქციური გზა. მთავარი საცნობარო სიგნალები. ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე. ექსპონენციალური ფუნქცია. ღირებულების არეალი. ხარისხის თვისებები რაციონალური მაჩვენებელი. განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.

„ლოგარითმული უტოლობების მაგალითები“ – იპოვეთ სწორი გადაწყვეტილება. რომელი ფუნქცია იზრდება და რომელი მცირდება? წარმატებებს გისურვებთ გამოცდაზე! გრაფიკები ლოგარითმული ფუნქციები. გაკვეთილის შეჯამება. გაკვეთილის განმავლობაში შესავსი მტევანი: გაზრდა. დავალება: გადაწყვიტე ლოგარითმული უტოლობები, შემოთავაზებული USE-2010 ამოცანებში. m და n რიცხვებს შორის ჩადეთ ნიშანი > ან<.(m, n >0). Დაღმავალი. ვემზადებით გამოცდისთვის! გაკვეთილის მიზნები: ალგებრა მე-11 კლასი. იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები.

"ფუნქციის გრაფიკა მოდულით" - ფუნქციის გრაფიკი. კონსოლიდირებული ცოდნა ადრე შესწავლილ ფუნქციებზე. კითხვა კლასს. შეძენილი ცოდნა. Y \u003d x2 - 2x - 3. შედგენის ფუნქციები. განზოგადება. ხაზოვანი ფუნქცია. პროექტის აქტივობა. Y = f(x). ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი. ცოდნის განახლება ფუნქციის გრაფიკების შესახებ. Y = lnx. შეეცადეთ შექმნათ თქვენი საკუთარი სქემები. Y \u003d x - 2. Y \u003d სინქსი.

"ელექტრო ფუნქციები" კლასი 11 "- ფუნქცია y \u003d x0. კუბური ფუნქცია. ჰიპერბოლა. Y = x. ფუნქცია y=x-3. გრაფიკი არის პარაბოლა. დენის ფუნქციები ერთად ბუნებრივი მაჩვენებელი. ფუნქცია y \u003d x2n-1. ფუნქცია y = x2n. დენის ფუნქცია. ფუნქცია y=x-2. ფუნქცია y=x4.

„ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა“ - გავაკეთე. გაანგარიშების შედეგები. სეკანტის ზღვრული პოზიცია. იპოვნეთ ფერდობი. სეკანტი. გეომეტრიული გრძნობაწარმოებული. ტანგენტის განტოლების შედგენის ალგორითმი. განმარტება. ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა. სწორი მათემატიკური იდეა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება. გააკეთე წყვილი. სწორი ხაზის განტოლება ფერდობის ფაქტორი. ჩაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება.

ტრანსკრიფცია

1 რეგიონალური სამეცნიერო და პრაქტიკული კონფერენციამე-6-11 კლასების მოსწავლეთა საგანმანათლებლო და კვლევითი სამუშაოები „გამოყენებითი და ფუნდამენტური კითხვებიმათემატიკა "მათემატიკის შესწავლის მეთოდოლოგიური ასპექტები გაბოვა ანჟელა იურიევნა მოდულის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგება, მე-10 კლასი, MOBU "გიმნაზია 3" კუდიმკარი, პიკულევა ნადეჟდა ივანოვნა, მათემატიკის მასწავლებელი MOBU "Gymnasium 3" Kudym.

2 შინაარსი: შესავალი...გვერდი 3 I. ძირითადი ნაწილი...გვერდი 6 1.1 ისტორიის მინიშნება.. 6 გვ 2.ფუნქციების ძირითადი განმარტებები და თვისებები გვ 2.1 კვადრატული ფუნქცია..7 გვ 2.2 წრფივი ფუნქცია...8 გვ 2.3 წილადი-რაციონალური ფუნქცია გვ 8 3. გრაფიკული ალგორითმები მოდული 9 გვ 3.1 მოდულის განმარტება.. 9 გვ. ხაზოვანი ფუნქციამოდულით...9 გვ 3.3 ფორმულაში „ბუდებული მოდულების“ შემცველი ფუნქციების გრაფიკა.10 გვ.3.5 მოდულით კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის აგების ალგორითმი 14 გვ 3.6 წილადი რაციონალური გრაფიკის აგების ალგორითმი. ფუნქცია მოდულით. 15 გვ. 4. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ცვლილებები ნიშნის მდებარეობიდან გამომდინარე აბსოლუტური მნიშვნელობა..17გვ. II. დასკვნა ... 26 გვ III. ცნობათა და წყაროების ნუსხა...27 გვ IV. განაცხადი....28გვ. 2

3 შესავალი შედგენის ფუნქციები ერთ-ერთი მათგანია. საინტერესო თემები in სკოლის მათემატიკა. ჩვენი დროის უმსხვილესი მათემატიკოსი, ისრაელ მოისეევიჩ გელფანდი წერდა: „შეთქმულების პროცესი არის ფორმულების და აღწერილობების გეომეტრიულ გამოსახულებებად გადაქცევის გზა. ეს ნახატი არის საშუალება, რომ ნახოთ ფორმულები და ფუნქციები და ნახოთ როგორ იცვლება ეს ფუნქციები. მაგალითად, თუ იწერება y \u003d x 2, მაშინვე ხედავთ პარაბოლას; თუ y = x 2-4, ხედავთ პარაბოლას დაბლა ოთხი ერთეულით; თუ y \u003d - (x 2 4), მაშინ ხედავთ წინა პარაბოლას გადაბრუნებულს. ფორმულის ერთდროულად დანახვის ეს უნარი და მისი გეომეტრიული ინტერპრეტაციამნიშვნელოვანია არა მხოლოდ მათემატიკის შესასწავლად, არამედ სხვა საგნებისთვისაც. ეს არის უნარი, რომელიც რჩება შენთან მთელი ცხოვრების განმავლობაში, მაგალითად, ველოსიპედის ტარება, აკრეფა ან მანქანის მართვა“. მოდულებით განტოლებების ამოხსნის საფუძვლები მიღებული იქნა მე-6 მე-7 კლასში. ეს კონკრეტული თემა ავირჩიე, რადგან მიმაჩნია, რომ ის უფრო ღრმა და საფუძვლიან შესწავლას მოითხოვს. მინდა მეტი ცოდნა მივიღო რიცხვის მოდულის შესახებ, სხვადასხვა გზებიაბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი გრაფიკების აგება. როდესაც ხაზების, პარაბოლების, ჰიპერბოლების "სტანდარტული" განტოლებები მოიცავს მოდულის ნიშანს, მათი გრაფიკები უჩვეულო და ლამაზიც კი ხდება. იმისათვის, რომ ისწავლოთ თუ როგორ უნდა შექმნათ ასეთი გრაფიკები, თქვენ უნდა დაეუფლოთ ძირითადი ფიგურების აგების ტექნიკას, ასევე მტკიცედ იცოდეთ და გესმოდეთ რიცხვის მოდულის განმარტება. AT სკოლის კურსიმოდულით გრაფიკის მათემატიკა საკმარისად სიღრმისეულად არ განიხილება, რის გამოც მინდოდა ამ თემაზე ცოდნის გაფართოება, საკუთარი კვლევის ჩატარება. მოდულის განმარტების ცოდნის გარეშე, შეუძლებელია ყველაზე მეტის აშენებაც მარტივი გრაფიკა, რომელიც შეიცავს აბსოლუტურ მნიშვნელობას. დამახასიათებელი თვისებაფუნქციის გრაფიკები, რომლებიც შეიცავს გამონათქვამებს მოდულის ნიშნით, 3

4 არის ხრახნების არსებობა იმ წერტილებში, რომლებზეც მოდულის ნიშნის ქვეშ გამოხატული ნიშანს ცვლის. სამუშაოს მიზანი: განიხილოს წრფივი, კვადრატული და წილადი გრაფიკის აგება რაციონალური ფუნქციები, რომელიც შეიცავს ცვლადს მოდულის ნიშნის ქვეშ. ამოცანები: 1) ლიტერატურის შესწავლა წრფივი, კვადრატული და აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებების შესახებ ფრაქციულად რაციონალურიფუნქციები. 2) ფუნქციების გრაფიკებში ცვლილებების გამოკვლევა აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის მდებარეობიდან გამომდინარე. 3) ისწავლეთ განტოლებების გრაფიკების შედგენა. კვლევის ობიექტი: წრფივი, კვადრატული და წილადი რაციონალური ფუნქციების გრაფიკები. კვლევის საგანი: წრფივი, კვადრატული და წილადი რაციონალური ფუნქციების გრაფიკის ცვლილებები აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის მდებარეობის მიხედვით. პრაქტიკული მნიშვნელობაჩემი ნამუშევარია: 1) მიღებული ცოდნის გამოყენება თემაზე, ასევე გაღრმავება და სხვა ფუნქციებსა და განტოლებებში გამოყენება; 2) უნარების გამოყენებაში კვლევითი სამუშაომომავალში სასწავლო აქტივობები. შესაბამისობა: გრაფიკული ამოცანები ტრადიციულად ერთ-ერთი ყველაზე მეტადაა რთული თემებიმათემატიკა. ჩვენი კურსდამთავრებულები GIA-სა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარების პრობლემის წინაშე დგანან. საკვლევი პრობლემა: მოდულის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გამოსახვა GIA-ს მეორე ნაწილიდან. კვლევის ჰიპოთეზა: განაცხადის საფუძველზე შემუშავებული საერთო გზებიმოდულის ნიშნის შემცველი ფუნქციების შედგენა, GIA-ს მეორე ნაწილის ამოცანების ამოხსნის მეთოდები საშუალებას მისცემს სტუდენტებს გადაჭრას ეს ამოცანები 4

5 ცნობიერ საფუძველზე, აირჩიე ყველაზე მეტი რაციონალური მეთოდიგადაწყვეტილებები, გამოიყენეთ სხვადასხვა მეთოდებიგადაწყვეტილება და წარმატებით გაიარეთ GIA. ნაშრომში გამოყენებული კვლევის მეთოდები: 1. ამ თემაზე მათემატიკური ლიტერატურისა და ინტერნეტ რესურსების ანალიზი. 2. შესწავლილი მასალის რეპროდუქციული რეპროდუქცია. 3.ინფორმაციული- საძიებო აქტივობა. 4. მონაცემთა ანალიზი და შედარება პრობლემების გადაჭრის ძიებაში. 5. ჰიპოთეზების გამოთქმა და მათი გადამოწმება. 6. შედარება და განზოგადება მათემატიკური ფაქტები. 7. მიღებული შედეგების ანალიზი. ამ ნაწარმოების წერისას ვიყენებდით შემდეგი წყაროები: ინტერნეტ რესურსები, OGE ტესტები, მათემატიკური ლიტერატურა. 5

6 I. ძირითადი ნაწილი 1.1 ისტორიული ფონი. მე-17 საუკუნის პირველ ნახევარში ფუნქციის, როგორც ერთის დამოკიდებულების იდეა ცვლადისხვაგან. Ისე, ფრანგი მათემატიკოსებიპიერ ფერმამ () და რენე დეკარტმა () წარმოიდგინეს ფუნქცია, როგორც მრუდის წერტილის ორდინატის დამოკიდებულება მის აბსცისაზე. რაც შეეხება ინგლისურს მეცნიერი ისააკინიუტონს () ესმოდა ფუნქცია, როგორც მოძრავი წერტილის დროში ცვალებადი კოორდინატი. ტერმინი "ფუნქცია" (ლათინური ფუნქციის შესრულება, კომისია) პირველად შემოიღო გერმანელმა მათემატიკოსმა გოტფრიდ ლაიბნიცმა (). მან ფუნქცია დააკავშირა გეომეტრიულ სურათთან (ფუნქციის გრაფიკი). მოგვიანებით, შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა იოჰან ბერნულიმ () და სანქტ-პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის წევრმა, მე-18 საუკუნის ცნობილმა მათემატიკოსმა ლეონჰარდ ეილერმა () მიიჩნია ფუნქცია, როგორც. ანალიტიკური გამოხატულება. ეილერსაც აქვს საერთო გაგებაფუნქციონირებს როგორც ერთი ცვლადის მეორეზე დამოკიდებულების ფუნქცია. სიტყვა "მოდული" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან "modulus", რაც თარგმანში ნიშნავს "ზომას". Ეს არის პოლისემანტიური სიტყვა(ჰომონიმი), რომელსაც მრავალი მნიშვნელობა აქვს და გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურაში, ფიზიკაში, ინჟინერიაში, პროგრამირებაში და სხვა. ზუსტი მეცნიერებები. არქიტექტურაში ეს არის მოცემულისთვის მითითებული საზომი საწყისი ერთეული არქიტექტურული სტრუქტურადა ემსახურება მისი მრავალი თანაფარდობის გამოხატვას შემადგენელი ელემენტები. ინჟინერიაში ეს არის ტერმინი, რომელიც გამოიყენება სხვადასხვა სფეროებშიტექნოლოგია გარეშე უნივერსალური ღირებულებადა ემსახურება დანიშვნას სხვადასხვა კოეფიციენტებიდა რაოდენობები, როგორიცაა ჩართულობის მოდული, ელასტიურობის მოდული და მსგავსი. 6

7 ნაყარი მოდული (ფიზიკაში) - თანაფარდობა ნორმალური ძაბვამასალაში შედარებით დრეკადობამდე. 2. ფუნქციების ძირითადი განმარტებები და თვისებები ფუნქცია ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანია მათემატიკური ცნებები. ფუნქცია არის y ცვლადის ასეთი დამოკიდებულება x ცვლადზე, რომელშიც x ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ერთი მნიშვნელობაცვლადი y. ფუნქციის დაყენების გზები: 1) ანალიტიკური მეთოდი (ფუნქციის დაყენება ხდება გამოყენებით მათემატიკური ფორმულა); 2) ცხრილის გზა(ფუნქცია დაყენებულია ცხრილის გამოყენებით); 3) აღწერითი მეთოდი (მოყვანილია ფუნქცია სიტყვიერი აღწერა); 4) გრაფიკული გზა(ფუნქცია დაყენებულია გრაფიკის გამოყენებით). ფუნქციის გრაფიკი არის ყველა წერტილის სიმრავლე საკოორდინაციო თვითმფრინავი, რომლის აბსციები უდრის არგუმენტის მნიშვნელობას და რომლის ორდინატები უდრის ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობებს. 2.1 კვადრატული ფუნქცია რეალური რიცხვები, და a = 0, ეწოდება კვადრატული. y \u003d ax 2 + in + c ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა; პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი y \u003d ცული 2 + in + c არის სწორი ხაზი, a> 0-ისთვის პარაბოლის „ტოტები“ მიმართულია ზემოთ, ამისთვის a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (ერთი ცვლადის ფუნქციებისთვის). წრფივი ფუნქციების მთავარი თვისება ის არის, რომ ფუნქციის ზრდა პროპორციულია არგუმენტის ზრდისა. ანუ ფუნქცია არის პირდაპირი პროპორციულობის განზოგადება. წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, აქედან გამომდინარეობს მისი სახელი. ეს ეხება ერთი რეალური ცვლადის რეალურ ფუნქციას. 1) ზე, სწორი ხაზი ქმნის მახვილ კუთხეს x-ღერძის დადებითი მიმართულებით. 2) როდესაც, წრფე ქმნის ბლაგვ კუთხეს x-ღერძის დადებითი მიმართულებით. 3) არის y-ღერძთან წრფის გადაკვეთის წერტილის ორდინატის მაჩვენებელი. 4) როდესაც ხაზი გადის საწყისზე. , 2.3 წილადი-რაციონალური ფუნქცია არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. მას აქვს ფორმა, სადაც, პოლინომები ცვლადების ნებისმიერ რაოდენობაში. ერთი ცვლადის რაციონალური ფუნქციები განსაკუთრებული შემთხვევაა: სადაც და არის პოლინომები. 1) ნებისმიერი გამოხატულება, რომელიც შეიძლება მივიღოთ ცვლადებიდან ოთხი არითმეტიკული მოქმედების გამოყენებით, არის რაციონალური ფუნქცია. რვა

9 2) რაციონალური ფუნქციების სიმრავლე დახურულია არითმეტიკული მოქმედებების და კომპოზიციის მოქმედებით. 3) ნებისმიერი რაციონალური ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მარტივი წილადების ჯამი - ეს გამოიყენება ანალიტიკურ ინტეგრაციაში .., 3. ალგორითმები მოდულით გრაფიკების ასაგებად თუ a უარყოფითია. a = 3.2 ალგორითმი წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად მოდულით y= x ფუნქციების გრაფიკების გამოსასახად, უნდა იცოდეთ, რომ x დადებითისთვის გვაქვს x = x. ასე რომ დადებითი ღირებულებებიგრაფიკის არგუმენტი y= x ემთხვევა y=x გრაფიკს, ანუ გრაფიკის ეს ნაწილი არის სხივი, რომელიც გამოდის საწყისიდან აბსცისის ღერძის მიმართ 45 გრადუსიანი კუთხით. x-სთვის< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 მშენებლობისთვის ვიღებთ ქულებს (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). ახლა ავაშენოთ გრაფიკი y= x-1. თუ A არის გრაფიკის წერტილი y= x კოორდინატებით (a; a), მაშინ გრაფიკის წერტილი y= x-1 Y ორდინატის იგივე მნიშვნელობით იქნება წერტილი A1. (a+1; ა). მეორე გრაფიკის ეს წერტილი შეიძლება მივიღოთ პირველი გრაფიკის A(a;a) წერტილიდან Ox ღერძის მარჯვნივ გადაადგილებით. ეს ნიშნავს, რომ y= x-1 ფუნქციის მთელი გრაფიკი მიიღება y= x ფუნქციის გრაფიკიდან Ox ღერძის პარალელურად მარჯვნივ 1-ით გადანაცვლებით. ავაშენოთ გრაფიკები: y= x-1 ასაგებად, ვიღებთ ქულებს (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 ფორმულაში "ბუდებული მოდულების" შემცველი ფუნქციების დახატვა განვიხილოთ კონსტრუქციის ალგორითმი კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით ფუნქციის გრაფიკის დახატვა: 10

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს. 2. ქვედა ნახევარსიბრტყის გრაფიკს ვაჩვენებთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზევით და ვიღებთ ფუნქციის გრაფიკს. თერთმეტი

12 3. ფუნქციის გრაფიკს ვაჩვენებთ ქვემოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ და ვიღებთ ფუნქციის გრაფიკს. 4. ფუნქციის გრაფიკს ვაჩვენებთ ქვემოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ და ვიღებთ 5-ის ფუნქციის გრაფიკს. აჩვენეთ ფუნქციის გრაფიკი OX ღერძის მიმართ და მიიღეთ გრაფიკი. 12

13 6. შედეგად, ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება 3.4. y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი. წინა მაგალითში საკმაოდ მარტივი იყო მოდულის ნიშნების გაფართოება. თუ მოდულების მეტი ჯამია, მაშინ პრობლემურია ქვემოდული გამონათქვამების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციის გათვალისწინება. როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია ამ შემთხვევაში? გაითვალისწინეთ, რომ გრაფიკი არის პოლიწრიული, წვეროებით წერტილებში, რომლებსაც აქვთ აბსცისები -1 და 2. x = -1 და x = 2-ისთვის, ქვემოდულის გამოსახულებები ნულის ტოლია. პრაქტიკული გზით, ჩვენ მივუახლოვდით ასეთი გრაფიკების აგების წესს: y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b ფორმის ფუნქციის გრაფიკი არის პოლიწრიტი უსასრულო უკიდურესი ბმულებით. ასეთი პოლიხაზის ასაგებად საკმარისია ვიცოდეთ მისი ყველა წვერო (წვეროების აბსციები არის ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები) და თითო საკონტროლო წერტილი მარცხენა და მარჯვენა უსასრულო ბმულებზე. ცამეტი

14 ამოცანა. დახაზეთ ფუნქცია y = x + x 1 + x + 1 და იპოვეთ მისი უმცირესი მნიშვნელობა. ამოხსნა: 1. ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: 0; - ერთი; პოლიხაზის წვეროები (0; 2); (-ცამეტი); (1; 3). (ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები ჩანაცვლებულია განტოლებაში) ვაშენებთ გრაფიკს (ნახ. 7), ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის ალგორითმი კვადრატული ფუნქციის გრაფის დასახვის ალგორითმი მოდულთან ერთად ფუნქციების გრაფიკების გარდაქმნის ალგორითმების შედგენა. 1.y= f(x) ფუნქციის გრაფიკის აგება. მოდულის განმარტების მიხედვით, ეს ფუნქცია დაიშალა ორი ფუნქციის ნაკრებად. მაშასადამე, y= f(x) ფუნქციის გრაფიკი შედგება ორი გრაფიკისაგან: y= f(x) მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში, y= f(-x) მარცხენა ნახევარსიბრტყეში. ამის საფუძველზე შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი (ალგორითმი). y= f(x) ფუნქციის გრაფიკი მიღებულია y= f(x) ფუნქციის გრაფიკიდან შემდეგნაირად: x 0-ზე გრაფიკი შენარჩუნებულია, ხოლო x-ზე.< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. y= f(x) ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად ჯერ უნდა გამოსახოთ ფუნქცია y= f(x) x> 0-ისთვის, შემდეგ x-ისთვის.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 ამ გრაფიკის მისაღებად საკმარისია მხოლოდ ადრე მიღებული გრაფიკი სამი ერთეულით მარჯვნივ გადავიტანოთ. გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მნიშვნელი რომ იყოს x + 3, მაშინ გრაფიკს გადავიტანთ მარცხნივ: ახლა ყველა ორდინატი უნდა გავამრავლოთ ორზე, რომ მივიღოთ ფუნქციის გრაფიკი და ბოლოს, გრაფიკს ზევით ორი ერთეულით გადავწევთ. : ბოლო რაც უნდა გავაკეთოთ არის მოცემული ფუნქციის გამოსახვა, თუ ის მოდულის ნიშნის ქვეშ არის ჩასმული. ამისათვის სიმეტრიულად ზევით ასახავს გრაფიკის მთელ ნაწილს, რომლის ორდინატები უარყოფითია (ნაწილი, რომელიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ): სურ.4 16.

17 4. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ცვლილებები აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის მდებარეობიდან გამომდინარე. დახაზეთ ფუნქცია y \u003d x 2 - x -3 1) ვინაიდან x \u003d x x 0-ზე, საჭირო გრაფიკი ემთხვევა პარაბოლას y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. თუ x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. ბ) მაშასადამე ვავსებ x-ს<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 ნახ. 4 y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი ემთხვევა y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკს კომპლექტში არა უარყოფითი მნიშვნელობებიარგუმენტი და არის მასთან სიმეტრიული არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების სიმრავლის y ღერძის მიმართ. დადასტურება: თუ x 0, მაშინ f (x) = f (x), ე.ი. არგუმენტის არაუარყოფითი მნიშვნელობების სიმრავლეზე, y = f (x) და y = f (x) ფუნქციების გრაფიკები ემთხვევა. ვინაიდან y \u003d f (x) არის ლუწი ფუნქცია, მაშინ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია OS-სთან მიმართებაში. ამრიგად, y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკიდან შემდეგნაირად: 1. დახაზეთ ფუნქცია y \u003d f (x) x>0-ზე; 2. x-სთვის<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. x-სთვის<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 თუ x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 და სიმეტრიულად ასახული ნაწილი y \u003d f (x) y-ზე<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, შემდეგ f (x) \u003d f (x), რაც ნიშნავს, რომ ამ ნაწილში ფუნქციის გრაფიკი y \u003d f (x) ემთხვევა თავად ფუნქციის გრაფიკს y \u003d f (x). თუ f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 სურ.5 დასკვნა: y= f(x) ფუნქციის გამოსახატავად 1. დახაზეთ ფუნქცია y=f(x) ; 2. იმ ადგილებში, სადაც გრაფიკი მდებარეობს ქვედა ნახევარ სიბრტყეში, ანუ სადაც f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 კვლევითი სამუშაო ფუნქციის გრაფიკების გამოსახვაზე y \u003d f (x) აბსოლუტური მნიშვნელობის განმარტებისა და ადრე განხილული მაგალითების გამოყენებით, ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციის გრაფიკებს: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \ u003d x 2-2 და გააკეთეს დასკვნები. y = f (x) ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად საჭიროა: 1. ააგეთ y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი x>0-სთვის. 2. შექმენით გრაფიკის მეორე ნაწილი, ანუ აგებული გრაფიკი ასახეთ სიმეტრიულად OS-სთან მიმართებაში, რადგან ეს ფუნქცია თანაბარია. 3. ქვედა ნახევარსიბრტყეში განლაგებული გრაფის სექციები უნდა გადაკეთდეს ზედა ნახევარ სიბრტყეში OX ღერძის სიმეტრიულად. შექმენით y \u003d 2 x - 3 ფუნქციის გრაფიკი (მოდულის განსაზღვრის პირველი მეთოდი) X< -1,5 и х>1.5 ა) y = 2x - 3, x>0-ისთვის ბ) x-სთვის<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 ბ) x-სთვის<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს სიმეტრიულს, რომელიც აგებულია OS ღერძის მიმართ. 3) ქვედა ნახევარსიბრტყეში მდებარე გრაფის სექციები გამოსახულია სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ. ორივე გრაფიკის შედარება, ჩვენ ვხედავთ, რომ ისინი ერთნაირია. 21

22 ამოცანების მაგალითები მაგალითი 1. განვიხილოთ y = x 2 6x +5 ფუნქციის გრაფიკი. ვინაიდან x არის კვადრატი, მაშინ, მიუხედავად x რიცხვის ნიშნისა, კვადრატში ის დადებითი იქნება. აქედან გამომდინარეობს, რომ y \u003d x 2-6x +5 ფუნქციის გრაფიკი იდენტური იქნება y \u003d x 2-6x +5 ფუნქციის გრაფიკისა, ე.ი. ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც არ შეიცავს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანს (ნახ. 2). ნახ.2 მაგალითი 2. განვიხილოთ y \u003d x 2 6 x +5 ფუნქციის გრაფიკი. რიცხვის მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით ფორმულას y \u003d x 2 6 x +5 ახლა ჩვენ საქმე გვაქვს დამოკიდებულების ცალმხრივ დავალებასთან, რომელიც ჩვენთვის კარგად არის ცნობილი. ჩვენ ავაშენებთ გრაფიკს ასე: 1) ავაშენებთ პარაბოლას y \u003d x 2-6x +5 და შემოხაზეთ მისი ის ნაწილი, რომელიც არის 22

23 შეესაბამება არაუარყოფით x მნიშვნელობებს, ე.ი. ნაწილი y ღერძის მარჯვნივ. 2) იმავე კოორდინატულ სიბრტყეში ვაშენებთ პარაბოლას y \u003d x 2 +6x +5 და შემოვხაზავთ მის იმ ნაწილს, რომელიც შეესაბამება x-ის უარყოფით მნიშვნელობებს, ე.ი. ნაწილი y-ღერძის მარცხნივ. პარაბოლების წრიული ნაწილები ერთად ქმნიან y \u003d x 2-6 x +5 ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 3). ნახ.3 მაგალითი 3. განვიხილოთ y \u003d x 2-6 x +5 ფუნქციის გრაფიკი. იმიტომ რომ y \u003d x 2 6x +5 განტოლების გრაფიკი იგივეა, რაც ფუნქციის გრაფიკი მოდულის ნიშნის გარეშე (განხილულია მაგალითში 2), აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის გრაფიკი y \u003d x 2 6 x +5 იდენტურია y \u003d x 2 6 x +5 ფუნქციის გრაფიკისა, განხილული მაგალით 2-ში (ნახ. 3). მაგალითი 4. ავაშენოთ y \u003d x 2 6x +5 ფუნქციის გრაფიკი. ამისათვის ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს y \u003d x 2-6x. მისგან y \u003d x 2-6x ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად, თქვენ უნდა შეცვალოთ პარაბოლის თითოეული წერტილი უარყოფითი ორდინატით იმავე აბსცისით, მაგრამ საპირისპირო (დადებითი) ორდინატით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პარაბოლის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, უნდა შეიცვალოს x ღერძის მიმართ სიმეტრიული ხაზით. იმიტომ რომ ჩვენ უნდა ავაშენოთ y \u003d x 2-6x +5 ფუნქციის გრაფიკი, შემდეგ ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ჩვენ მივიჩნიეთ y \u003d x 2-6x, უბრალოდ უნდა ამაღლდეს y ღერძის გასწვრივ 5 ერთეულით (ნახ. 4). 23

24 ნახ.4 მაგალითი 5. ავაშენოთ y \u003d x 2-6x + 5 ფუნქციის გრაფიკი. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ცნობილ ნაწილებად ფუნქციას. იპოვეთ y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 ფუნქციის ნულები. განვიხილოთ ორი შემთხვევა: 1) თუ, მაშინ განტოლება იღებს y = x 2 6x -5 ფორმას. ავაშენოთ ეს პარაბოლა და შემოვხაზოთ მისი ის ნაწილი, სადაც. 2) თუ, მაშინ განტოლება იღებს y \u003d x 2 + 6x +5 ფორმას. ავაშენოთ ეს პარაბოლა და შემოვხაზოთ მისი ის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს წერტილის მარცხნივ კოორდინატებით (სურ. 5). 24

25 ნახ.5 მაგალითი6. მოდით დავხატოთ ფუნქცია y \u003d x 2 6 x +5. ამისათვის ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციას y \u003d x 2-6 x +5. ჩვენ დავხატეთ ეს გრაფიკი მაგალითში 3. ვინაიდან ჩვენი ფუნქცია მთლიანად არის მოდულის ნიშნის ქვეშ, ფუნქციის გრაფიკის y \u003d x 2 6 x +5 გამოსაყენებლად, გჭირდებათ ფუნქციის გრაფიკის თითოეული წერტილი y \u003d x 2 6 x. + 5 უარყოფითი ორდინატით, ჩაანაცვლეთ წერტილით იგივე აბსციით, მაგრამ საპირისპირო (დადებითი) ორდინატით, ე.ი. პარაბოლის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს Ox ღერძის ქვემოთ, უნდა შეიცვალოს ხაზით, რომელიც სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ (ნახ. 6). სურ.6 25

26 II. დასკვნა „მათემატიკური ინფორმაციის ოსტატურად და მომგებიანად გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ შემოქმედებითად ათვისების შემთხვევაში, რათა მოსწავლემ თავად ნახოს, როგორ იქნება შესაძლებელი მასზე დამოუკიდებლად მოსვლა“. ა.ნ. კოლმოგოროვი. ეს ამოცანები დიდ ინტერესს იწვევს მეცხრე კლასის მოსწავლეებისთვის, რადგან ისინი ძალიან გავრცელებულია OGE ტესტებში. ფუნქციების ამ გრაფიკების აგების შესაძლებლობა საშუალებას მოგცემთ უფრო წარმატებით ჩააბაროთ გამოცდა. ფრანგმა მათემატიკოსებმა პიერ ფერმამ () და რენე დეკარტმა () წარმოიდგინეს ფუნქცია, როგორც მრუდის წერტილის ორდინატის დამოკიდებულება მის აბსცისაზე. და ინგლისელმა მეცნიერმა ისააკ ნიუტონმა () ესმოდა ფუნქცია, როგორც მოძრავი წერტილის კოორდინატი, რომელიც იცვლება დროის მიხედვით. 26

27 III. ცნობათა და წყაროების სია 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. ამოცანების კრებული ალგებრაში 8 9 კლასებისთვის: პროკ. შემწეობა სკოლის მოსწავლეებისთვის. და კლასები გაღრმავებით. სწავლა მათემატიკა მე-2 გამოცემა. მ .: განმანათლებლობა, დოროფეევი გ.ვ. მათემატიკა. Ალგებრა. ფუნქციები. Მონაცემთა ანალიზი. კლასი 9: m34 პროკ. ზოგადსაგანმანათლებლო სწავლებისთვის. მენეჯერი მე-2 გამოცემა, სტერეოტიპი. M .: Bustard, Solomonik V.S. მათემატიკაში კითხვებისა და ამოცანების კრებული M .: "უმაღლესი სკოლა", იაშჩენკო I.V. GIA. მათემატიკა: ტიპიური გამოცდის ვარიანტები: ვარიანტების შესახებ.მ .: „ეროვნული განათლება“, გვ. 5. იაშჩენკო ი.ვ. OGE. მათემატიკა: ტიპიური გამოცდის ვარიანტები: ვარიანტების შესახებ.მ .: „ეროვნული განათლება“, გვ. 6. იაშჩენკო ი.ვ. OGE. მათემატიკა: ტიპიური გამოცდის ვარიანტები: ვარიანტების შესახებ.მ .: „ეროვნული განათლება“, გვ.

28 დანართი 28

29 მაგალითი 1. დახაზეთ ფუნქცია y = x 2 8 x ამოხსნა. მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი. y(-x)-ის მნიშვნელობა იგივეა რაც y(x)-ის მნიშვნელობა, ამიტომ ეს ფუნქცია ლუწია. მაშინ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ. ჩვენ ვაშენებთ y \u003d x 2 8x + 12 ფუნქციის გრაფიკს x 0-ზე და ვაჩვენებთ გრაფიკს სიმეტრიულად Oy-სთან შედარებით უარყოფითი x-ისთვის (ნახ. 1). მაგალითი 2. y \u003d x 2 8x ფორმის შემდეგი გრაფიკი ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება შემდეგნაირად: ისინი აშენებენ y \u003d x 2 8x + 12 ფუნქციის გრაფიკს, ტოვებენ გრაფიკის ნაწილს. რომელიც დგას Ox ღერძის ზემოთ უცვლელად და გრაფიკის ნაწილი, რომელიც დევს აბსცისის ღერძის ქვეშ, ნაჩვენებია სიმეტრიულად Ox ღერძის მიმართ (ნახ. 2). მაგალითი 3. y \u003d x 2 8 x + 12 ფუნქციის გამოსათვლელად, ხორციელდება გარდაქმნების კომბინაცია: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x პასუხი : ნახაზი 3. მაგალითი 4 მოდულის ნიშნის ქვეშ მდგომი გამოხატულება ცვლის ნიშანს x=2/3 წერტილში. x-ზე<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3-ისთვის ფუნქცია დაიწერება შემდეგნაირად: ანუ წერტილი x=2/3 ყოფს ჩვენს კოორდინატულ სიბრტყეს ორ რეგიონად, რომელთაგან ერთში (მარჯვნივ) ვაშენებთ ფუნქციას და სხვა (მარცხნივ) ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს: მაგალითი 5 შემდეგი გრაფიკი ასევე გატეხილია, მაგრამ აქვს ორი წყვეტის წერტილი, რადგან შეიცავს ორ გამოსახულებას მოდულის ნიშნების ქვეშ:

31 გააფართოვეთ მოდულები პირველ ინტერვალზე: მეორე ინტერვალზე: მესამე ინტერვალზე: ამრიგად, ინტერვალზე (- ; 1.5] გვაქვს პირველი განტოლებით დაწერილი გრაფიკი, ინტერვალზე მეორე განტოლებით დაწერილი გრაფიკი, და ინტერვალით)