Solusyon ng mga logarithmic equation. Bahagi 1.
Logarithmic equation tinatawag na isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng logarithm (sa partikular, sa base ng logarithm).
Protozoa logarithmic equation mukhang:
Paglutas ng anumang logarithmic equation nagsasangkot ng paglipat mula sa logarithms patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithms. Gayunpaman, pinalalawak ng pagkilos na ito ang saklaw pinahihintulutang halaga equation at maaaring humantong sa hitsura mga panlabas na ugat. Upang maiwasan ang paglitaw ng mga panlabas na ugat magagawa mo ito sa isa sa tatlong paraan:
1. Gumawa ng katumbas na paglipat mula sa orihinal na equation hanggang sa isang sistema kasama ang
depende sa kung aling hindi pagkakapantay-pantay o mas madali.
Kung ang equation ay naglalaman ng hindi alam sa base ng logarithm:
pagkatapos ay pumunta kami sa system:
2. Hiwalay na hanapin ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng equation, pagkatapos ay lutasin ang equation at suriin kung ang mga solusyon na natagpuan ay nakakatugon sa equation.
3. Lutasin ang equation, at pagkatapos gumawa ng tseke: palitan ang mga nahanap na solusyon sa orihinal na equation, at suriin kung nakuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay.
Ang isang logarithmic equation ng anumang antas ng pagiging kumplikado ay palaging bumababa sa pinakasimpleng logarithmic equation.
Ang lahat ng logarithmic equation ay maaaring nahahati sa apat na uri:
1 . Mga equation na naglalaman ng logarithms sa unang kapangyarihan lamang. Sa tulong ng mga pagbabago at paggamit, sila ay nabawasan sa anyo
Halimbawa. Lutasin natin ang equation:
I-equate ang mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm:
Suriin natin kung ang ating ugat ng equation ay nakakatugon:
Oo, ito ay nagbibigay-kasiyahan.
Sagot: x=5
2 . Mga equation na naglalaman ng logarithms sa isang kapangyarihan maliban sa 1 (sa partikular, sa denominator ng isang fraction). Ang mga equation na ito ay nalulutas gamit ang nagpapakilala ng pagbabago ng variable.
Halimbawa. Lutasin natin ang equation:
Hanapin natin ang ODZ equation:
Ang equation ay naglalaman ng logarithms squared, kaya ito ay nalutas gamit ang isang pagbabago ng variable.
Mahalaga! Bago ipasok ang isang kapalit, kailangan mong "hilahin" ang mga logarithms na bahagi ng equation sa "mga brick" gamit ang mga katangian ng logarithms.
Kapag "paghila" ng mga logarithms, mahalagang ilapat ang mga katangian ng logarithms nang maingat:
Bilang karagdagan, mayroong isa pang banayad na lugar dito, at upang maiwasan ang isang karaniwang pagkakamali, gagamit kami ng intermediate equality: isinusulat namin ang antas ng logarithm sa form na ito:
Gayundin,
Pinapalitan namin ang mga nakuhang expression sa orihinal na equation. Nakukuha namin:
Ngayon nakita natin na ang hindi alam ay nakapaloob sa equation bilang bahagi ng . Ipinakilala namin ang kapalit: . Dahil maaari itong tumagal ng anumang tunay na halaga, hindi kami nagpapataw ng anumang mga paghihigpit sa variable.
Ang mga huling video ng mahabang serye ng mga aralin sa paglutas ng mga logarithmic equation. Sa oras na ito, pangunahing gagana tayo sa ODZ ng logarithm - ito ay dahil sa hindi tamang accounting (o kahit na hindi papansin) ng domain ng kahulugan na ang karamihan sa mga error ay nangyayari kapag nilutas ang mga naturang problema.
Sa maikling video tutorial na ito, susuriin namin ang aplikasyon ng mga pormula ng pagdaragdag at pagbabawas para sa mga logarithms, pati na rin ang pakikitungo sa mga fractional rational equation, kung saan maraming mga mag-aaral ang nagkakaroon din ng mga problema.
Ano ang tatalakayin? Pangunahing formula, na gusto kong harapin, ganito ang hitsura:
log a (f g ) = log a f + log a g
Ito ang karaniwang paglipat mula sa produkto patungo sa kabuuan ng logarithms at vice versa. Malamang alam mo ang pormula na ito mula pa sa simula ng pag-aaral ng logarithms. Gayunpaman, mayroong isang hadlang dito.
Hangga't ang mga variable a , f at g ay regular na mga numero, walang problema. Ang formula na ito maayos itong gumagana.
Gayunpaman, sa sandaling lumitaw ang mga function sa halip na f at g, ang problema ng pagpapalawak o pagpapaliit ng domain ng kahulugan ay lumitaw, depende sa kung aling paraan upang mag-convert. Hukom para sa iyong sarili: sa logarithm na nakasulat sa kaliwa, ang domain ng kahulugan ay ang mga sumusunod:
fg > 0
Ngunit sa kabuuan na nakasulat sa kanan, ang domain ng kahulugan ay medyo iba na:
f > 0
g > 0
Ang hanay ng mga kinakailangan na ito ay mas mahigpit kaysa sa orihinal. Sa unang kaso, masisiyahan tayo sa opsyong f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 ay isinasagawa).
Kaya, kapag dumadaan mula sa kaliwang konstruksyon patungo sa kanan, ang domain ng kahulugan ay nagiging mas makitid. Kung sa una ay mayroon kaming isang kabuuan, at muling isinulat namin ito bilang isang produkto, kung gayon ang domain ng kahulugan ay pinalawak.
Sa madaling salita, sa unang kaso, maaari tayong mawalan ng ugat, at sa pangalawa, makakakuha tayo ng mga dagdag. Dapat itong isaalang-alang kapag nilulutas ang mga totoong logarithmic equation.
Kaya ang unang gawain ay:
[Figure caption] Sa kaliwa ay makikita natin ang kabuuan ng logarithms sa parehong base. Samakatuwid, ang mga logarithms na ito ay maaaring idagdag:
[Figure caption] Tulad ng nakikita mo, sa kanan ay pinalitan namin ang zero ng formula:
a = log b b a
Ayusin natin ang ating equation nang kaunti pa:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Sa harap natin ay ang canonical form ng logarithmic equation, maaari nating i-cross out ang log sign at ipantay ang mga argumento:
(x − 5) 2 = 1
|x−5| = 1
Bigyang-pansin: saan nagmula ang modyul? Ipaalala ko sa iyo na ang ugat ng eksaktong parisukat ay eksaktong katumbas ng modulus:
[Figure caption] Then we decide klasikal na equation may module:
|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Narito ang dalawang kandidato para sa sagot. Ang mga ito ba ay mga solusyon sa orihinal na logarithmic equation? Hindi pwede!
Wala tayong karapatang iwanan ang lahat ng ganoon na lang at isulat ang sagot. Tingnan ang hakbang kung saan pinapalitan natin ang kabuuan ng mga logarithm ng isang logarithm ng produkto ng mga argumento. Ang problema ay na sa orihinal na mga expression mayroon kaming mga function. Samakatuwid, dapat itong kinakailangan:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Noong binago namin ang produkto, nakakuha ng eksaktong parisukat, nagbago ang mga kinakailangan:
(x − 5) 2 > 0
Kailan matutugunan ang pangangailangang ito? Oo, halos palagi! Maliban sa kaso kapag x − 5 = 0. Ibig sabihin, ang hindi pagkakapantay-pantay ay mababawasan sa isang punctured point:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Tulad ng makikita mo, nagkaroon ng pagpapalawak ng domain ng kahulugan, na pinag-usapan natin sa simula ng aralin. Samakatuwid, ang mga karagdagang ugat ay maaari ding lumitaw.
Paano maiwasan ang paglitaw ng mga karagdagang ugat na ito? Ito ay napaka-simple: tinitingnan namin ang aming mga nakuhang ugat at inihahambing ang mga ito sa domain ng orihinal na equation. Magbilang tayo:
x (x − 5) > 0
Kami ay malulutas gamit ang paraan ng agwat:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Minarkahan namin ang mga natanggap na numero sa isang tuwid na linya. Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Kumuha kami ng anumang numerong higit sa 5 at pinapalitan ang:
[Figure caption] Interesado kami sa mga pagitan (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Kung markahan natin ang ating mga ugat sa segment, makikita natin na ang x = 4 ay hindi angkop sa atin, dahil ang ugat na ito ay nasa labas ng domain ng orihinal na logarithmic equation.
Bumalik kami sa populasyon, i-cross out ang root x \u003d 4 at isulat ang sagot: x \u003d 6. Ito ang huling sagot sa orihinal na logarithmic equation. Lahat, ang gawain ay nalutas.
Dumaan kami sa pangalawang logarithmic equation:
[Figure caption] Solusyonan natin ito. Tandaan na ang unang termino ay isang fraction, at ang pangalawa ay ang parehong fraction, ngunit baligtad. Huwag matakot sa lgx expression - ito ay simple decimal logarithm, pwede tayong magsulat:
lgx = log 10 x
Dahil mayroon kaming dalawang inverted fraction, iminumungkahi kong magpakilala ng bagong variable:
[Figure caption] Samakatuwid, ang aming equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Tulad ng nakikita mo, ang numerator ng fraction ay isang eksaktong parisukat. Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito sero, at ang denominator ay iba sa zero:
(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0
Malutas namin ang unang equation:
t − 1 = 0;
t = 1.
Ang halagang ito ay nakakatugon sa pangalawang kinakailangan. Samakatuwid, maaari itong mapagtatalunan na ganap nating nalutas ang ating equation, ngunit may kinalaman lamang sa variable t . Ngayon tandaan natin kung ano ang t:
[Figure caption]Nakuha namin ang ratio:
lgx = 2 lgx + 1
2 lgx − lgx = −1
logx = −1
Dinadala namin ang equation na ito sa canonical form:
lgx = lg 10 −1
x = 10 −1 = 0.1
Bilang resulta, nakuha namin ang tanging ugat, na, sa teorya, ay ang solusyon sa orihinal na equation. Gayunpaman, gawin pa rin natin itong ligtas at isulat ang domain ng orihinal na equation:
[Figure caption] Samakatuwid, natutugunan ng aming ugat ang lahat ng mga kinakailangan. Nakakita kami ng solusyon sa orihinal na logarithmic equation. Sagot: x = 0.1. Nalutas ang problema.
Mayroon lamang isang mahalagang punto sa aralin ngayon: kapag ginagamit ang pormula para sa paglipat mula sa produkto patungo sa kabuuan at kabaliktaran, siguraduhing tandaan na ang domain ng kahulugan ay maaaring paliitin o palawakin depende sa kung aling direksyon ang paglipat.
Paano maunawaan kung ano ang nangyayari: pag-urong o pagpapalawak? Napakasimple. Kung ang bago gumana were together, and now naging hiwalay na, tapos nagkaroon ng narrowing of the scope of definition (dahil mas maraming requirements). Kung sa una ang mga pag-andar ay hiwalay, at ngayon sila ay magkasama, kung gayon ang domain ng kahulugan ay pinalawak (mas kaunting mga kinakailangan ang ipinapataw sa produkto kaysa sa mga indibidwal na kadahilanan).
Dahil dito, nais kong tandaan na ang pangalawang logarithmic equation ay hindi nangangailangan ng mga pagbabagong ito, ibig sabihin, hindi namin idinagdag o i-multiply ang mga argumento kahit saan. Gayunpaman, dito nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang gawing simple ang solusyon. Ito ay tungkol sa pagbabago ng isang variable.
Gayunpaman, tandaan na walang pagpapalit ang hindi magpapalaya sa atin mula sa saklaw. Kaya naman pagkatapos na matagpuan ang lahat ng mga ugat, hindi kami masyadong tinatamad at bumalik sa orihinal na equation upang mahanap ang ODZ nito.
Kadalasan kapag nagpapalit ng variable, nangyayari ang nakakainis na pagkakamali kapag nahanap ng mga estudyante ang halaga ng t at iniisip na tapos na ang solusyon. Hindi pwede!
Kapag nahanap mo na ang halaga ng t , kailangan mong bumalik sa orihinal na equation at tingnan kung ano ang eksaktong tinukoy namin ng liham na ito. Bilang resulta, kailangan nating lutasin ang isa pang equation, na, gayunpaman, ay magiging mas simple kaysa sa orihinal.
Ito ang tiyak na punto ng pagpapakilala ng isang bagong variable. Hinati namin ang orihinal na equation sa dalawang intermediate, na ang bawat isa ay mas madaling malutas.
Paano lutasin ang "nested" logarithmic equation
Ngayon ay patuloy nating pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at sinusuri ang mga constructions kapag ang isang logarithm ay nasa ilalim ng sign ng isa pang logarithm. Lutasin natin ang parehong mga equation gamit ang canonical form.
Ngayon ay patuloy nating pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at sinusuri ang mga constructions kapag ang isang logarithm ay nasa ilalim ng tanda ng isa pa. Lutasin natin ang parehong mga equation gamit ang canonical form. Ipaalala ko sa iyo na kung mayroon kaming pinakasimpleng logarithmic equation ng form log a f (x) \u003d b, pagkatapos ay upang malutas ang naturang equation na ginagawa namin mga susunod na hakbang. Una sa lahat, kailangan nating palitan ang numero b :
b = log a a b
Tandaan na ang a b ay isang argumento. Katulad nito, sa orihinal na equation, ang argumento ay ang function na f(x). Pagkatapos ay muling isulat namin ang equation at makuha ang konstruksiyon na ito:
log a f(x) = log a a b
Pagkatapos nito, maaari nating gawin ang pangatlong hakbang - alisin ang tanda ng logarithm at isulat lamang:
f(x) = a b
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng bagong equation. Sa kasong ito, walang mga paghihigpit na ipinapataw sa function na f(x). Halimbawa, sa lugar nito ay maaari ding tumayo logarithmic function. At pagkatapos ay makakakuha tayo muli ng isang logarithmic equation, na muli nating binabawasan sa pinakasimpleng at lutasin sa pamamagitan ng canonical form.
Pero sapat na ang lyrics. Solusyonan natin ang totoong problema. Kaya ang gawain bilang 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Tulad ng nakikita mo, mayroon kaming isang simpleng logarithmic equation. Ang papel na ginagampanan ng f (x) ay ang pagbuo ng 1 + 3 log 2 x, at ang bilang b ay ang bilang 2 (ang tungkulin ng a ay dalawa rin). Muli nating isulat ang dalawang ito tulad ng sumusunod:
Mahalagang maunawaan na ang unang dalawang deuces ay dumating sa amin mula sa base ng logarithm, iyon ay, kung mayroong 5 sa orihinal na equation, pagkatapos ay makukuha natin na 2 = log 5 5 2. Sa pangkalahatan, ang base ay nakasalalay lamang sa logarithm, na unang ibinigay sa problema. At sa aming kaso ang numerong ito ay 2.
Kaya, muling isinulat namin ang aming logarithmic equation, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang dalawa, na nasa kanan, ay talagang isang logarithm din. Nakukuha namin:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Dumaan kami sa huling hakbang ng aming scheme - inaalis namin ang canonical form. Masasabi natin, i-cross out lang ang signs of log. Gayunpaman, mula sa punto ng view ng matematika, imposibleng "strike out log" - mas tama na sabihin na itumbas lang natin ang mga argumento:
1 + 3 log 2 x = 4
Mula dito madaling mahanap ang 3 log 2 x :
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Muli nating nakuha ang pinakasimpleng logarithmic equation, ibalik natin ito sa canonical form. Upang gawin ito, kailangan nating gawin ang mga sumusunod na pagbabago:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Bakit may deuce sa base? Dahil sa ating canonical equation sa kaliwa ay ang logarithm nang eksakto sa base 2. Muli naming isinusulat ang problema na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:
log 2 x = log 2 2
Muli, inaalis natin ang tanda ng logarithm, ibig sabihin, tinutumbasan lang natin ang mga argumento. May karapatan kaming gawin ito, dahil pareho ang mga base, at wala nang mga karagdagang aksyon ang ginawa sa kanan o kaliwa:
Iyon lang! Nalutas ang problema. Nakahanap kami ng solusyon sa logarithmic equation.
Tandaan! Bagama't ang variable na x ay nasa argumento (iyon ay, may mga kinakailangan para sa domain ng kahulugan), hindi kami gagawa ng anumang karagdagang mga kinakailangan.
Gaya ng sinabi ko sa itaas, itong tseke ay kalabisan kung ang variable ay nangyayari sa isang argumento lamang ng isang logarithm. Sa aming kaso, ang x ay talagang nasa argumento lamang at sa ilalim lamang ng isang log sign. Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan.
Gayunpaman, kung hindi ka nagtitiwala ang pamamaraang ito, pagkatapos ay madali mong mapatunayan na ang x = 2 ay talagang isang ugat. Ito ay sapat na upang palitan ang numerong ito sa orihinal na equation.
Lumipat tayo sa pangalawang equation, medyo mas kawili-wili:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Kung tukuyin natin ang expression sa loob ng malaking logarithm sa pamamagitan ng function na f (x), makukuha natin ang pinakasimpleng logarithmic equation kung saan sinimulan natin ang video lesson ngayon. Samakatuwid, posibleng ilapat ang canonical form, kung saan kinakailangan na katawanin ang unit sa form log 2 2 1 = log 2 2.
Muling pagsusulat ng aming malaking equation:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Tinatanggal namin ang tanda ng logarithm, na tinutumbasan ang mga argumento. May karapatan tayong gawin ito, dahil pareho ang mga base sa kaliwa at sa kanan. Gayundin, tandaan na ang log 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Bago sa amin muli ang pinakasimpleng logarithmic equation ng form log a f (x) \u003d b. Dumaan kami sa canonical form, ibig sabihin, kinakatawan namin ang zero sa form na log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Isinulat namin muli ang aming equation at alisin ang log sign sa pamamagitan ng pagpareho sa mga argumento:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Muli, nakatanggap kami ng agarang tugon. Walang kinakailangang karagdagang pagsusuri, dahil sa orihinal na equation, isang logarithm lang ang naglalaman ng function sa argument.
Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan. Ligtas nating masasabi na ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na ito.
Ngunit kung sa pangalawang logarithm sa halip na apat ay magkakaroon ng ilang function ng x (o 2x ay wala sa argumento, ngunit sa base) - kung gayon ito ay kinakailangan upang suriin ang domain ng kahulugan. Kung hindi, mayroong isang malaking pagkakataon na tumakbo sa karagdagang mga ugat.
Saan nagmula ang mga sobrang ugat na ito? Ang puntong ito ay kailangang maunawaan nang napakalinaw. Tingnan ang orihinal na mga equation: kahit saan ang function na x ay nasa ilalim ng sign ng logarithm. Samakatuwid, dahil naisulat namin ang log 2 x , awtomatiko naming itinatakda ang kinakailangan x > 0. Kung hindi, ang tala na ito ay walang kabuluhan.
Gayunpaman, habang nilulutas namin ang logarithmic equation, inaalis namin ang lahat ng mga palatandaan ng log at nakakakuha kami ng mga simpleng constructions. Wala nang restrictions dito, kasi linear function tinukoy para sa anumang halaga ng x.
Ito ang problemang ito, kapag ang pangwakas na pag-andar ay tinukoy sa lahat ng dako at palagi, at ang paunang isa ay hindi sa lahat ng dako at hindi palaging, iyon ang dahilan kung bakit ang mga sobrang ugat ay madalas na lumilitaw sa solusyon ng mga logarithmic equation.
Ngunit inuulit ko muli: ito ay nangyayari lamang sa isang sitwasyon kung saan ang function ay alinman sa ilang logarithms, o sa base ng isa sa mga ito. Sa mga problemang isinasaalang-alang natin ngayon, sa prinsipyo ay walang mga problema sa pagpapalawak ng domain ng kahulugan.
Mga kaso ng iba't ibang batayan
Ang araling ito ay nakatuon sa mga kumplikadong istruktura. Ang logarithms sa mga equation ngayon ay hindi na malulutas ng "blangko" - kailangan mo munang magsagawa ng ilang pagbabago.
Nagsisimula kami sa paglutas ng mga logarithmic equation na may ganap na magkakaibang mga base, na hindi eksaktong kapangyarihan ng bawat isa. Huwag matakot sa mga ganitong gawain - hindi na sila mas mahirap lutasin kaysa sa karamihan mga simpleng disenyo na ating tinalakay sa itaas.
Ngunit bago magpatuloy nang direkta sa mga problema, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation gamit ang canonical form. Isaalang-alang ang isang problema tulad nito:
mag-log a f(x) = b
Mahalaga na ang function na f (x) ay isang function lamang, at ang mga numerong a at b ay dapat na eksaktong mga numero (nang walang anumang mga variable x). Siyempre, literal sa isang minuto ay isasaalang-alang din natin ang mga ganitong kaso kapag sa halip na mga variable a at b ay may mga function, ngunit hindi ito tungkol doon ngayon.
Tulad ng naaalala natin, ang numero b ay dapat mapalitan ng isang logarithm sa parehong base a, na nasa kaliwa. Ginagawa ito nang napakasimple:
b = log a a b
Siyempre, ang mga salitang "anumang numero b" at "anumang numero a" ay nangangahulugang ganoong mga halaga na nakakatugon sa domain ng kahulugan. Sa partikular, sa ibinigay na equation nag-uusap kami tanging ang base a > 0 at a ≠ 1.
Gayunpaman pangangailangang ito ay awtomatikong ginagawa, dahil ang orihinal na problema ay naglalaman na ng logarithm sa base a - tiyak na mas malaki ito sa 0 at hindi katumbas ng 1. Samakatuwid, ipagpatuloy namin ang solusyon ng logarithmic equation:
log a f(x) = log a a b
Ang nasabing notasyon ay tinatawag na canonical form. Ang kaginhawahan nito ay maaari nating agad na maalis ang log sign sa pamamagitan ng pagtutumbas ng mga argumento:
f(x) = a b
Ito ang pamamaraang ito na gagamitin natin ngayon upang malutas ang mga logarithmic equation variable na batayan. Kaya tara na!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125
Anong susunod? May magsasabi na ngayon na kailangan mong kalkulahin ang tamang logarithm, o bawasan ang mga ito sa isang base, o iba pa. At sa katunayan, ngayon kailangan mong dalhin ang parehong mga base sa parehong anyo - alinman sa 2 o 0.5. Ngunit alamin natin ang sumusunod na panuntunan minsan at para sa lahat:
Kung ang logarithmic equation ay naglalaman ng mga decimal, siguraduhing i-convert ang mga fraction na ito mula sa decimal notation sa karaniwan. Ang ganitong pagbabago ay maaaring makabuluhang gawing simple ang solusyon.
Ang ganitong paglipat ay dapat na maisagawa kaagad, kahit na bago pa man maisagawa ang anumang mga aksyon at pagbabago. Tingnan natin:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8
Ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Maaari naming katawanin ang 1/2 at 1/8 bilang isang kapangyarihan na may negatibong tagapagpahiwatig:
[Figure caption] Mayroon kaming canonical form. Ipantay ang mga argumento at kunin ang klasikal quadratic equation:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Nasa harap natin ang ibinigay na quadratic equation, na madaling malutas gamit ang mga formula ng Vieta. Dapat mong makita ang mga katulad na kalkulasyon sa mataas na paaralan na literal na pasalita:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Iyon lang! Ang orihinal na logarithmic equation ay nalutas. Mayroon kaming dalawang ugat.
Hayaan akong ipaalala sa iyo na upang tukuyin ang saklaw sa kasong ito ay hindi kinakailangan, dahil ang function na may variable na x ay naroroon lamang sa isang argumento. Samakatuwid, awtomatikong ginagawa ang saklaw.
Kaya't ang unang equation ay nalutas. Lumipat tayo sa pangalawa:
log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
At ngayon tandaan na ang argumento ng unang logarithm ay maaari ding isulat bilang isang kapangyarihan na may negatibong exponent: 1/2 = 2 −1. Pagkatapos ay maaari mong alisin ang mga kapangyarihan sa magkabilang panig ng equation at hatiin ang lahat sa pamamagitan ng −1:
[Figure caption] At ngayon marami na kaming nagawa mahalagang hakbang sa paglutas ng isang logarithmic equation. Marahil ay may hindi nakapansin, kaya hayaan mo akong magpaliwanag.
Tingnan ang aming equation: ang log ay nasa kaliwa at kanan, ngunit ang base 2 logarithm ay nasa kaliwa, at ang base 3 logarithm ay nasa kanan. buong degree dalawa at kabaligtaran: imposibleng isulat na ang 2 ay 3 sa integer na kapangyarihan.
Samakatuwid, ang mga ito ay logarithms na may iba't ibang mga base, na hindi nababawasan sa bawat isa sa pamamagitan ng simpleng exponentiation. Ang tanging paraan ang paglutas ng mga naturang problema ay ang pag-alis ng isa sa mga logarithms na ito. Sa kasong ito, dahil isinasaalang-alang pa rin namin mga simpleng gawain, ang logarithm sa kanan ay kinakalkula lamang, at nakuha namin ang pinakasimpleng equation - eksakto ang napag-usapan namin sa pinakadulo simula ng aralin ngayon.
Katawanin natin ang numero 2 sa kanan bilang log 2 2 2 = log 2 4. At pagkatapos ay tanggalin ang tanda ng logarithm, pagkatapos nito ay naiwan tayo ng isang quadratic equation lamang:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x2 + 9x + 2 = 4
5x2 + 9x − 2 = 0
Bago sa amin ay ang karaniwang quadratic equation, ngunit hindi ito nabawasan, dahil ang koepisyent sa x 2 ay iba sa pagkakaisa. Samakatuwid, malulutas namin ito gamit ang discriminant:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2
Iyon lang! Natagpuan namin ang parehong mga ugat, na nangangahulugang nakuha namin ang solusyon sa orihinal na logarithmic equation. Sa katunayan, sa orihinal na problema, ang function na may variable na x ay naroroon sa isang argumento lamang. Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri sa domain ng kahulugan ang kinakailangan - parehong mga ugat na aming nakita, tiyak na nakakatugon sa lahat ng posibleng mga paghihigpit.
Maaaring ito na ang katapusan ng video tutorial ngayon, ngunit sa konklusyon gusto kong sabihing muli: siguraduhing i-convert ang lahat ng mga decimal fraction sa mga ordinaryo kapag nilulutas ang mga logarithmic equation. Sa karamihan ng mga kaso, lubos nitong pinapasimple ang kanilang solusyon.
Bihirang, napakabihirang, may mga problema kung saan ang pag-alis ng mga decimal fraction ay nagpapalubha lamang sa mga kalkulasyon. Gayunpaman, sa mga naturang equation, bilang isang panuntunan, sa una ay malinaw na hindi kinakailangan upang mapupuksa ang mga decimal fraction.
Sa karamihan ng iba pang mga kaso (lalo na kung nagsisimula ka pa lang magsanay sa paglutas ng mga logarithmic equation), huwag mag-atubiling tanggalin ang mga decimal fraction at isalin ang mga ito sa mga ordinaryo. Dahil ipinapakita ng pagsasanay na sa paraang ito ay lubos mong pasimplehin ang kasunod na solusyon at mga kalkulasyon.
Mga subtleties at trick ng solusyon
Ngayon lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga gawain at malulutas natin ang isang logarithmic equation, na hindi nakabatay sa isang numero, ngunit sa isang function.
At kahit na linear ang function na ito, kailangan mong magdagdag konting pagbabago, ang kahulugan nito ay karagdagang mga kinakailangan nakapatong sa domain ng logarithm.
Mga mahihirap na gawain
Ang araling ito ay magiging medyo mahaba. Sa loob nito, susuriin namin ang dalawang medyo seryosong logarithmic equation, sa solusyon kung saan maraming mga mag-aaral ang nagkakamali. Sa aking pagsasanay bilang isang tutor sa matematika, palagi akong nakatagpo ng dalawang uri ng mga pagkakamali:
- Ang hitsura ng mga karagdagang ugat dahil sa pagpapalawak ng domain ng kahulugan ng logarithms. Upang maiwasan ang paggawa ng mga nakakasakit na pagkakamali, bantayan lamang ang bawat pagbabago;
- Pagkawala ng mga ugat dahil sa ang katunayan na ang mag-aaral ay nakalimutan na isaalang-alang ang ilang mga "pino" na mga kaso - ito ay sa mga ganitong sitwasyon na ating tututukan ngayon.
Ito ay huling aralin nakatuon sa logarithmic equation. Ito ay magiging mahaba, susuriin natin ang mga kumplikadong logarithmic equation. Gawing komportable ang iyong sarili, magtimpla ng tsaa, at magsisimula na tayo.
Ang unang equation ay mukhang medyo standard:
log x + 1 (x - 0.5) = log x - 0.5 (x + 1)
Kaagad, napansin namin na ang parehong logarithms ay mga baligtad na kopya ng bawat isa. Tandaan natin ang napakagandang formula:
log a b = 1/log b a
Gayunpaman, ang formula na ito ay may ilang bilang ng mga limitasyon na lumitaw kung sa halip na ang mga numero a at b ay mayroong mga function ng variable na x:
b > 0
1 ≠ a > 0
Ang mga kinakailangang ito ay ipinapataw sa base ng logarithm. Sa kabilang banda, sa isang fraction, kailangan nating magkaroon ng 1 ≠ a > 0, dahil hindi lamang ang variable a sa argumento ng logarithm (kaya, a > 0), ngunit ang logarithm mismo ay nasa denominator ng ang fraction. Ngunit ang log b 1 = 0, at ang denominator ay dapat na hindi zero, kaya isang ≠ 1.
Kaya, ang mga paghihigpit sa variable a ay napanatili. Ngunit ano ang mangyayari sa variable b ? Sa isang banda, ang b > 0 ay sumusunod mula sa base, sa kabilang banda, ang variable b ≠ 1, dahil ang base ng logarithm ay dapat na iba sa 1. Sa kabuuan, ito ay sumusunod mula sa kanang bahagi ng formula na 1 ≠ b > 0.
Ngunit narito ang problema: ang pangalawang kinakailangan (b ≠ 1) ay nawawala mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwang logarithm. Sa madaling salita, kapag nagsasagawa ng pagbabagong ito, kailangan natin suriin nang hiwalay na ang argument b ay iba sa isa!
Narito, tingnan natin ito. Ilapat natin ang ating formula:
[Figure caption] 1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Kaya nakuha namin na sumusunod na ito mula sa orihinal na logarithmic equation na ang parehong a at b ay dapat na mas malaki sa 0 at hindi katumbas ng 1. Kaya, madali nating ma-flip ang logarithmic equation:
Iminumungkahi kong ipakilala ang isang bagong variable:
log x + 1 (x − 0.5) = t
Sa kasong ito, muling isusulat ang aming konstruksyon tulad ng sumusunod:
(t 2 − 1)/t = 0
Tandaan na sa numerator mayroon tayong pagkakaiba ng mga parisukat. Inihayag namin ang pagkakaiba ng mga parisukat gamit ang pinaikling formula ng pagpaparami:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero at ang denominator nito ay hindi zero. Ngunit ang numerator ay naglalaman ng produkto, kaya itinutumbas namin ang bawat kadahilanan sa zero:
t1 = 1;
t2 = −1;
t ≠ 0.
Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga halaga ng variable ay nababagay sa amin. Gayunpaman, ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil kailangan nating hanapin hindi t , ngunit ang halaga ng x . Bumalik kami sa logarithm at makuha ang:
log x + 1 (x − 0.5) = 1;
log x + 1 (x − 0.5) = −1.
Dalhin natin ang bawat isa sa mga equation na ito sa canonical form:
log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) −1
Tinatanggal namin ang tanda ng logarithm sa unang kaso at itinutumbas ang mga argumento:
x − 0.5 = x + 1;
x - x \u003d 1 + 0.5;
Ang nasabing equation ay walang mga ugat, samakatuwid, ang unang logarithmic equation ay wala ring mga ugat. Ngunit sa pangalawang equation, ang lahat ay mas kawili-wili:
(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)
Nalutas namin ang proporsyon - nakukuha namin:
(x − 0.5)(x + 1) = 1
Ipinapaalala ko sa iyo na kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, mas maginhawang ibigay ang lahat ng karaniwang decimal fraction, kaya't muling isulat natin ang ating equation gaya ng sumusunod:
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;
x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.
Sa harap natin ay ang ibinigay na quadratic equation, madali itong malutas gamit ang mga formula ng Vieta:
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 \u003d -1.5;
x2 = 1.
Mayroon kaming dalawang ugat - sila ay mga kandidato para sa paglutas ng orihinal na logarithmic equation. Upang maunawaan kung ano talaga ang mga ugat na mapupunta sa sagot, bumalik tayo sa orihinal na problema. Ngayon, susuriin namin ang bawat isa sa aming mga ugat upang makita kung tumutugma ang mga ito sa saklaw:
1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.
Ang mga kinakailangang ito ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay:
1 ≠ x > 0.5
Mula dito makikita natin kaagad na ang ugat na x = −1.5 ay hindi angkop sa atin, ngunit ang x = 1 ay lubos na nasiyahan. Samakatuwid x \u003d 1 - huling desisyon logarithmic equation.
Lumipat tayo sa pangalawang gawain:
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
Sa unang tingin, maaaring mukhang lahat ng logarithms iba't ibang batayan at iba't ibang argumento. Ano ang gagawin sa gayong mga istruktura? Una sa lahat, tandaan na ang mga numero 25, 5, at 625 ay mga kapangyarihan ng 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
At ngayon ay gagamitin natin ang kapansin-pansing pag-aari ng logarithm. Ang katotohanan ay maaari mong kunin ang mga degree mula sa argumento sa anyo ng mga kadahilanan:
log a b n = n ∙ log a b
Sa ibinigay na pagbabago Ang mga paghihigpit ay ipinapataw din sa kaso kapag mayroong isang tungkulin bilang kapalit ng b. Ngunit sa amin ang b ay isang numero lamang, at walang karagdagang mga paghihigpit na lumitaw. Isulat muli natin ang ating equation:
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
Nakakuha kami ng equation na may tatlong termino na naglalaman ng log sign. Bukod dito, ang mga argumento ng lahat ng tatlong logarithms ay pantay.
Panahon na upang i-flip ang logarithms upang dalhin ang mga ito sa parehong base - 5. Dahil ang variable b ay pare-pareho, walang pagbabago sa saklaw. Isusulat lang namin ulit:
[Figure caption] Gaya ng inaasahan, ang parehong logarithms ay "gumapang palabas" sa denominator. Iminumungkahi kong baguhin ang variable:
log 5 x = t
Sa kasong ito, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
Isulat natin ang numerator at buksan ang mga bracket:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Bumalik tayo sa ating fraction. Ang numerator ay dapat na zero:
[Figure caption] At ang denominator ay iba sa zero:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Awtomatikong natutupad ang mga huling kinakailangan, dahil lahat sila ay "nakatali" sa mga integer, at lahat ng mga sagot ay hindi makatwiran.
Kaya, fractional rational equation nalutas, ang mga halaga ng variable t ay matatagpuan. Bumalik kami sa solusyon ng logarithmic equation at tandaan kung ano ang t:
[Figure caption] Dinadala namin ang equation na ito sa canonical form, nakakakuha kami ng isang numero na may di-makatuwirang antas. Huwag hayaang malito ka nito - kahit na ang gayong mga argumento ay maaaring itumbas:
[Figure caption] Mayroon kaming dalawang ugat. Mas tiyak, dalawang kandidato para sa mga sagot - suriin natin sila para sa pagsunod sa saklaw. Dahil ang base ng logarithm ay ang variable na x, kailangan namin ang sumusunod:
1 ≠ x > 0;
Sa parehong tagumpay, iginiit namin na ang x ≠ 1/125, kung hindi, ang base ng pangalawang logarithm ay magiging isa. Panghuli, x ≠ 1/25 para sa ikatlong logarithm.
Sa kabuuan, mayroon kaming apat na paghihigpit:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Ngayon ang tanong ay: natutugunan ba ng ating mga ugat ang mga kinakailangang ito? Siguradong nasiyahan! Dahil ang 5 sa anumang kapangyarihan ay magiging mas malaki kaysa sa zero, at ang kinakailangan x > 0 ay awtomatikong natutupad.
Sa kabilang banda, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , na nangangahulugan na ang mga paghihigpit na ito para sa ating mga ugat (na, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, ay may hindi makatwiran na numero) ay nasisiyahan din, at ang parehong mga sagot ay mga solusyon sa problema.
Kaya nakuha namin ang huling sagot. Pangunahing puntos Mayroong dalawang gawain sa isang ito:
- Mag-ingat kapag binabaligtad ang logarithm kapag ang argumento at base ay binaligtad. Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapataw ng hindi kinakailangang mga paghihigpit sa domain ng kahulugan.
- Huwag matakot na i-convert ang mga logarithms: hindi mo lamang ma-flip ang mga ito, ngunit buksan din ang mga ito ayon sa sum formula at sa pangkalahatan ay baguhin ang mga ito ayon sa anumang mga formula na iyong pinag-aralan kapag nilulutas ang mga logarithmic expression. Gayunpaman, laging tandaan na ang ilang pagbabago ay nagpapalawak ng saklaw, at ang ilan ay nagpapaliit nito.
Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b * a c = a b + c). Ito batas sa matematika ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.
Kahulugan sa matematika
Ang logarithm ay isang pagpapahayag ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng alinmang di-negatibong numero(i.e. anumang positibo) "b" sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan ng "c" kung saan ang batayang "a" ay dapat na itaas upang sa wakas ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, nakuha namin ang numero 3! At tama, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng numero 8 sa sagot.
Mga uri ng logarithms
Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlo ibang mga klase logarithmic expression:
- Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
- Decimal a, kung saan ang base ay 10.
- Ang logarithm ng anumang numero b sa base a>1.
Ang bawat isa sa kanila ay nagpasya sa karaniwang paraan, na kinabibilangan ng pagpapasimple, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit logarithmic theorems. Upang makatanggap mga tamang halaga logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa kanilang mga desisyon.
Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit
Sa matematika, mayroong ilang mga patakaran-limitasyon na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at totoo. Halimbawa, hindi mo maaaring hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang ugat kahit degree mula sa mga negatibong numero. Ang logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano magtrabaho kahit na may mahaba at malawak na logarithmic expression:
- ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
- kung a > 0, pagkatapos ay a b > 0, lumalabas na ang "c" ay dapat na mas malaki sa zero.
Paano malutas ang mga logarithms?
Halimbawa, ibinigay ang gawain upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x \u003d 100. Napakadali, kailangan mong pumili ng gayong kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero ng sampu kung saan nakakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 \u003d 100.
Ngayon isipin natin ibinigay na pagpapahayag sa anyong logarithmic. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nag-solve ng logarithms, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng antas kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.
Para sa isang walang error na pagtukoy sa halaga hindi kilalang degree kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:
Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa multiplication table. Gayunpaman, para sa malalaking halaga kailangan mo ng talahanayan ng mga degree. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikado mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinaas ang numero a. Sa intersection sa mga cell, ang mga halaga ng mga numero ay tinutukoy, na kung saan ay ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinakatunay na humanist ay mauunawaan!
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log 3 81 = 4). Para sa negatibong kapangyarihan ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 \u003d 1/32 sumulat kami sa anyo ng isang logarithm, nakakakuha kami ng log 2 (1/32) \u003d -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.
Ang isang expression ng sumusunod na form ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng tanda ng logarithm. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa numero tatlo.
Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at inequalities ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm ng 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang partikular mga numerong halaga, habang kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, parehong tinutukoy ang hanay ng mga tinatanggap na halaga at ang mga discontinuity point ng function na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay indibidwal na mga numero tulad ng sa sagot ng equation, at a tuloy-tuloy na serye o isang hanay ng mga numero.
Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms
Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm, maaaring hindi alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat pag-aari nang mas detalyado.
- Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
- Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bukod dito, kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaan ang log a s 1 = f 1 at log a s 2 = f 2 , pagkatapos ay a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (degree properties ), at higit pa sa kahulugan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na dapat patunayan.
- Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Nakukuha ng theorem sa anyo ng isang formula susunod na view: log a q b n = n/q log a b.
Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.
Hayaang mag-log a b \u003d t, ito ay lumabas na t \u003d b. Kung itataas mo ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;
ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n , kaya mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Napatunayan na ang theorem.
Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay
Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa obligadong bahagi mga pagsusulit sa matematika. Para sa pagpasok sa unibersidad o pagpasa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga ganitong problema.
Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi kilalang halaga ng logarithm, gayunpaman, para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o maaaring ilapat ang logarithmic equation ilang mga tuntunin. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa pangkalahatang pananaw. Pasimplehin nang mahaba logarithmic expression Magagawa mo, kung gagamitin mo nang tama ang kanilang mga katangian. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.
Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, kinakailangan upang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo sa harap natin: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.
Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon natural logarithms kailangang mag-apply logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga ari-arian. Tingnan natin ang solusyon na may mga halimbawa. mga problemang logarithmic iba't ibang uri.
Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon
Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing theorems sa logarithms.
- Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan na palawakin pinakamahalaga mga numero b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, sa pamamagitan ng paglalapat ng ikaapat na katangian ng antas ng logarithm, nalutas namin sa unang tingin ang isang kumplikado at hindi malulutas na expression. Kinakailangan lamang na i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga halaga ng exponent mula sa tanda ng logarithm.
Mga gawain mula sa pagsusulit
Ang logarithms ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa pagsusulit ( Pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa high school). Karaniwan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadali bahagi ng pagsubok pagsusulit), ngunit pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nagpapahiwatig ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".
Ang mga halimbawa at solusyon sa problema ay kinuha mula sa opisyal GAMITIN ang mga opsyon. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.
Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2 , sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4 , samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.
- Ang lahat ng logarithms ay pinakamahusay na bawasan sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
- Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag kinuha ang exponent ng exponent ng expression, na nasa ilalim ng sign ng logarithm at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, in mga inilapat na gawain, gayundin sa mga gawaing nauugnay sa pag-aaral ng mga function.
Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:
Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:
*Logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ang logarithms ng mga salik.
* * *
* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.
* * *
*Logarithm ng degree ay katumbas ng produkto exponent sa logarithm ng base nito.
* * *
*Transition sa bagong base
* * *
Higit pang mga katangian:
* * *
Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.
Inilista namin ang ilan sa kanila:
kakanyahan ibinigay na ari-arian ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaliktaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:
Bunga ng ari-arian na ito:
* * *
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.
* * *
Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay kung ano ang kailangan magandang pagsasanay, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pagbabagong-anyo ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, pagkatapos ay kapag naglutas mga simpleng gawain madaling magkamali.
Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!
Iyon lang! Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.
