Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Wie man Exponentialgleichungen löst

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, bemühen wir uns, sie auf die Form \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) zu bringen und dann zur Gleichheit der Indikatoren überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik folgen für einen solchen Übergang zwei Anforderungen:
- Nummer ein links und rechts sollten gleich sein;
- Grad links und rechts müssen "rein" sein, das heißt, es sollten keine Multiplikationen, Divisionen usw.

Zum Beispiel:

Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Entscheidung:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). In diesem Sinne wandeln wir die Gleichung um.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Weiter erhalten wir mit der Gradeigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wir wissen auch, dass \(a^b a^c=a^(b+c)\). Wenden wir dies auf die linke Seite an, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Denken Sie jetzt daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in verwendet werden Rückseite: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Wenden wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite an, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		Und jetzt haben wir die Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.
		Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Entscheidung: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Wir verwenden wieder die Gradeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in umgekehrte Richtung. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Mit den Eigenschaften des Grades transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Wir sehen uns die Gleichung genau an und sehen, dass sich hier die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Wir haben jedoch die Werte \(t\) gefunden, und wir brauchen \(x\). Wir kehren zum X zurück und führen die umgekehrte Substitution durch. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Wir transformieren die zweite Gleichung mit der Eigenschaft negativer Grad… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...und löse bis zur Antwort. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antworten : \(-1; 1\). Die Frage bleibt - wie kann man verstehen, wann man welche Methode anwendet? Es kommt mit Erfahrung. In der Zwischenzeit haben Sie es nicht verdient, zu verwenden allgemeine Empfehlung für Lösungen herausfordernde Aufgaben„Wenn du nicht weißt, was du tun sollst, tu, was du kannst.“ Das heißt, suchen Sie nach Möglichkeiten, wie Sie die Gleichung im Prinzip umwandeln können, und versuchen Sie es - was ist, wenn es herauskommt? Die Hauptsache ist, nur mathematisch begründete Transformationen durchzuführen. Exponentialgleichungen ohne Lösungen Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren: - positive Zahl gleich Null hoch, zum Beispiel \(2^x=0\); - positive Zahl hoch gleich negative Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\). Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, dann wird die gesamte Potenz \(2^x\) nur wachsen, wenn x wächst: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Auch vorbei. Es gibt negative x. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie niemals Null erreichen. Der negative Grad hat uns also auch nicht gerettet. Wir kommen zu einem logischen Schluss: Eine positive Zahl hoch beliebiger Potenz bleibt eine positive Zahl. Somit haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen. Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen In der Praxis gibt es manchmal Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen, nicht aufeinander reduzierbaren Basen und gleichzeitig gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind. Zum Beispiel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch einen der Teile der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \ (b ^ (f (x)) \). Zahl ist in jedem Fall positiv (d. h. wir dividieren nicht durch Null). Wir erhalten: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Entscheidung: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier können wir nicht aus einer Fünf eine Drei machen oder umgekehrt (lt wenigstens, ohne Verwendung ). Wir können also nicht auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) kommen. Gleichzeitig sind die Indikatoren gleich. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (das können wir tun, weil wir wissen, dass das Tripel in keinem Grad Null sein wird). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Merken Sie sich jetzt die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in umgekehrter Richtung. Rechts kürzen wir einfach den Bruch. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Es schien nicht besser zu werden. Aber denken Sie an eine andere Eigenschaft des Grades: \(a^0=1\), mit anderen Worten: "jede Zahl in Null Grad gleich \(1\)". Das Gegenteil gilt auch: "Eine Einheit kann als jede Zahl dargestellt werden, die mit Null potenziert wird." Wir verwenden dies, indem wir die Basis auf der rechten Seite mit der auf der linken Seite identisch machen. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Wir werden die Fundamente los. Wir schreiben die Antwort. Antworten : \(-7\). Manchmal ist die "Gleichheit" der Exponenten nicht offensichtlich, aber die geschickte Verwendung der Eigenschaften des Grads löst dieses Problem. Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Entscheidung: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Die Gleichung sieht sehr traurig aus... Nicht nur die Basen lassen sich nicht reduzieren die gleiche Nummer(Sieben wird nicht gleich \(\frac(1)(3)\) sein), also sind auch die Indikatoren unterschiedlich ... Lassen Sie uns jedoch zwei in den linken Gradindikator setzen. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Berücksichtigen Sie die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformieren Sie auf der linken Seite: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft der negativen Potenz \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren nach rechts: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Die Noten sind gleich! Nach dem uns bereits bekannten Schema handelnd, entscheiden wir vor der Antwort. Antworten : \(2\).

Vorlesung: "Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen."

1 . Exponentialgleichungen.

Gleichungen, die Unbekannte im Exponenten enthalten, heißen Exponentialgleichungen. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0 und a ≠ 1.

1) Für b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 Exponentialfunktion, hat keine Lösung.

2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine einzelne Wurzel. Um es zu finden, muss b als b = añ, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.

Exponentialgleichungen durch algebraische Transformationen führen zu Standardgleichung, die mit den folgenden Methoden gelöst werden:

1) Methode der Reduktion auf eine Base;

2) Bewertungsmethode;

3) grafische Methode;

4) die Methode zur Einführung neuer Variablen;

5) Faktorisierungsmethode;

6) indikativ - Potenzgleichungen;

7) Exponential mit einem Parameter.

2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.

Das Verfahren basiert auf folgender Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d.h. es muss versucht werden, die Gleichung auf die Form zu bringen

Beispiele. Löse die Gleichung:

1 . 3x=81;

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 darstellen und die Gleichung schreiben, die dem Original 3 x = 34 entspricht; x = 4. Antwort: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> und gehe zur Gleichung für Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Antwort: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 sind. Lassen Sie uns dies verwenden und die ursprüngliche Gleichung wie folgt umwandeln:

, woher 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.

5. 3x = 5. Nach Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Lassen Sie uns die Gleichung umschreiben als 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.h..png" width="181" height="49 src="> Also x - 4 =0, x = 4. Antwort: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen schreiben wir die Gleichung in der Form zB x+1 = 2, x =1. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 1.

Löse die Gleichung:

Versuch Nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln
	1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test Nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bewertungsmethode.

Der Wurzelsatz: Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, der von f in diesem Intervall angenommen wird, dann hat die Gleichung f (x) = a eine einzelne Wurzel auf dem Intervall I.

Beim Lösen von Gleichungen durch das Schätzverfahren werden dieses Theorem und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.

Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 - x.

Entscheidung. Schreiben wir die Gleichung um als 4x + x = 5.

1. Wenn x \u003d 1, dann 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 wahr ist, dann ist 1 die Wurzel der Gleichung.

Die Funktion f(x) = 4x wächst auf R und g(x) = x wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R als Summe der steigenden Funktionen, x = 1 ist also die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.

2.

Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um .

1. wenn x = -1, dann , 3 = 3-wahr, also ist x = -1 die Wurzel der Gleichung.

2. beweisen, dass es einzigartig ist.

3. Die Funktion f(x) = - nimmt mit R ab, und g(x) = - x - nimmt mit R ab => h(x) = f(x) + g(x) - nimmt mit R ab, als Summe von abnehmenden Funktionen. Nach dem Wurzelsatz ist also x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 2. löse die Gleichung

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Verfahren zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Terme der Gleichung. Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele. R Essensgleichung: 1. .

Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Entscheidung. Schreiben wir die Gleichung anders um:

Bezeichnen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationale Gleichung. Wir notieren das

Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, also ist 2,5 die Wurzel der Gleichung. Antwort: 2.5.

Entscheidung. Lassen Sie uns die Gleichung in der Form umschreiben und beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0 teilen. Wir erhalten die Gleichung

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, also..png" width="118" height="56">

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung - t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Entscheidung . Wir schreiben die Gleichung in die Form um

und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.

Teilen Sie die Gleichung durch 42x, erhalten wir

Ersetzen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Antwort: 0; 0,5.

Aufgabenbank Nr. 3. löse die Gleichung

b)

G)

Prüfung Nr. 3 mit Antwortauswahl. Mindestniveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prüfung Nr. 4 mit Antwortauswahl. Allgemeine Ebene.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln

5. Methode der Faktorisierung.

1. Löse die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösung..png" width="169" height="69"> , woher

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Entscheidung. Nehmen wir 6x auf der linken Seite der Gleichung heraus und 2x auf der rechten Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 für alle x ist, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.

3.

Entscheidung. Wir lösen die Gleichung durch Faktorisieren.

Wir wählen das Quadrat des Binoms

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.

Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test Nr. 6 Allgemeine Ebene.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - Potenzgleichungen.

An die Exponentialgleichungen schließen sich die sogenannten Exponentialgleichungen an, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Wenn bekannt ist, dass f(x) > 0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzen der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.

Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle beim Lösen der Potenzgleichung berücksichtigen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Entscheidung. x2 +2x-8 - macht für jedes x Sinn, weil ein Polynom, also die Gleichung äquivalent zur Menge ist

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponentialgleichungen mit Parametern.

1. Für welche Werte des Parameters p hat die Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1). einzige Entscheidung?

Entscheidung. Führen wir die Änderung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)

Die Diskriminante von Gleichung (2) ist D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Wurzel hat. Dies ist in folgenden Fällen möglich.

1. Wenn D = 0, also p = 1, dann hat Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0, also t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.

2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Menge der Systeme erfüllt die Bedingung des Problems

Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, haben wir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Entscheidung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)

Lassen Sie uns die Werte finden Parameter a, für den mindestens eine Nullstelle von Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.

Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} quadratisches Trinom f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Gleichung (4) hat eine Eindeutigkeit positive Entscheidung, Wenn

D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form an (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Somit hat Gleichung (4) bei a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung

Für ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;

wenn a  0, dann

Vergleichen wir die Methoden zum Lösen der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) sie auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein volles Quadrat ist; somit wurden die Wurzeln von Gleichung (2) sofort durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung berechnet, und dann wurden Schlussfolgerungen bezüglich dieser Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es ratsam, beim Lösen von Gleichung (3) Theoreme über die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms und zu verwenden ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) unter Verwendung des Vieta-Theorems gelöst werden kann.

Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.

Aufgabe 3. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. ODZ: x1, x2.

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis der Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Finden Sie die Werte von a, für die mindestens eine Wurzel von gilt die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwort: wenn a > - 13, a  11, a  5, dann wenn a - 13,

a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.

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M. "Intellekt - Zentrum", 2003

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23. Volovich M. Wie man erfolgreich Mathematik unterrichtet.

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25. Jakimanskaja - orientiertes Lernen in der Schule.

26. Limits arbeiten im Unterricht. M. Wissen, 1975

Erste Ebene

Exponentialgleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Hallo! Heute werden wir mit Ihnen besprechen, wie Sie Gleichungen lösen können, die sowohl elementar sein können (und ich hoffe, dass nach dem Lesen dieses Artikels fast alle für Sie so sein werden) als auch solche, die normalerweise "nachgefüllt" werden. Anscheinend, um vollständig einzuschlafen. Aber ich werde versuchen, mein Bestes zu tun, damit Sie jetzt nicht in Schwierigkeiten geraten, wenn Sie mit dieser Art von Gleichung konfrontiert werden. Ich werde nicht mehr um den heißen Brei herumreden, sondern gleich öffnen kleines Geheimnis: heute werden wir arbeiten Exponentialgleichungen.

Bevor ich mit einer Analyse der Lösungswege fortfahre, werde ich Ihnen sofort einen (ziemlich kleinen) Kreis von Fragen skizzieren, die Sie wiederholen sollten, bevor Sie sich beeilen, dieses Thema zu stürmen. Also zu bekommen bestes Ergebnis, bitte, wiederholen:

1. Eigenschaften und
2. Lösung und Gleichungen

Wiederholt? Tolle! Dann fällt es Ihnen nicht schwer zu erkennen, dass die Wurzel der Gleichung eine Zahl ist. Bist du sicher, dass du verstehst, wie ich es gemacht habe? Wahrheit? Dann machen wir weiter. Nun beantworte mir die Frage, was ist gleich der dritten Potenz? Du hast absolut recht: . Acht ist welche Zweierpotenz? Das ist richtig - der dritte! Weil. Nun, versuchen wir nun folgendes Problem zu lösen: Lass mich die Zahl einmal mit sich selbst multiplizieren und erhalte das Ergebnis. Die Frage ist, wie oft habe ich mich selbst multipliziert? Sie können dies natürlich direkt überprüfen:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ausrichten)

Dann kannst du daraus schließen, dass ich mal mit sich selbst multipliziert habe. Wie kann man das sonst verifizieren? Und so geht's: direkt über die Definition des Abschlusses: . Aber Sie müssen zugeben, wenn ich Sie fragen würde, wie oft zwei mit sich selbst multipliziert werden muss, um beispielsweise zu erhalten, würden Sie mir sagen: Ich mache mir nichts vor und multipliziere mit mir selbst, bis ich blau im Gesicht bin. Und er hätte vollkommen recht. Denn wie kannst du notieren Sie kurz alle Aktionen(und Kürze ist die Schwester des Talents)

wo - das ist das sehr "mal" wenn Sie mit sich selbst multiplizieren.

Ich denke, dass Sie wissen (und wenn Sie es nicht wissen, dringend, sehr dringend die Abschlüsse wiederholen!), dass dann mein Problem in der Form geschrieben wird:

Wie können Sie vernünftigerweise darauf schließen, dass:

Also habe ich in aller Ruhe das Einfachste aufgeschrieben Exponentialgleichung:

Und sogar gefunden Wurzel. Findest du nicht, dass alles ganz trivial ist? Genau das denke ich auch. Hier ist ein weiteres Beispiel für Sie:

Aber was soll man machen? Schließlich kann es nicht als Grad einer (vernünftigen) Zahl geschrieben werden. Lassen Sie uns nicht verzweifeln und bemerken, dass diese beiden Zahlen perfekt in Bezug auf die Potenz derselben Zahl ausgedrückt werden. Was? Recht: . Dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form transformiert:

Von wo, wie Sie bereits verstanden haben, . Lass uns nicht mehr ziehen und aufschreiben Definition:

In unserem Fall bei Ihnen: .

Diese Gleichungen werden gelöst, indem sie auf die Form reduziert werden:

mit anschließender Lösung der Gleichung

Wir haben dies tatsächlich im vorherigen Beispiel getan: Wir haben das bekommen. Und wir haben mit Ihnen die einfachste Gleichung gelöst.

Es scheint nichts Kompliziertes zu sein, oder? Lassen Sie uns zuerst am Einfachsten üben. Beispiele:

Wir sehen wieder, dass die rechte und die linke Seite der Gleichung als Potenz einer Zahl dargestellt werden müssen. Links ist das zwar schon gemacht, aber rechts steht eine Nummer. Aber es ist schließlich in Ordnung, und meine Gleichung auf wundersame Weise wird so umgewandelt:

Was musste ich hier tun? Welche Regel? Power-to-Power-Regel was lautet:

Was, wenn:

Bevor wir diese Frage beantworten, füllen wir mit Ihnen die folgende Tabelle aus:

Es fällt uns nicht schwer zu bemerken, dass je weniger, desto weniger weniger Wert, aber trotzdem sind alle diese Werte größer als Null. UND ES WIRD IMMER SO SEIN!!! Die gleiche Eigenschaft gilt für JEDE BASIS MIT JEDEM INDEX!! (für alle und). Was können wir dann über die Gleichung schließen? Und hier ist einer: es hat keine Wurzeln! So wie jede Gleichung keine Wurzeln hat. Jetzt üben wir und Lassen Sie uns einige einfache Beispiele lösen:

Lass uns das Prüfen:

1. Hier wird von Ihnen nichts verlangt, außer dass Sie die Eigenschaften von Potenzen kennen (um die ich Sie übrigens gebeten habe zu wiederholen!). In der Regel führt alles zur kleinsten Basis: , . Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung der folgenden: Alles, was ich brauche, ist, die Eigenschaften von Potenzen zu verwenden: Beim Multiplizieren von Zahlen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert. Dann bekomme ich: Nun, jetzt gehe ich guten Gewissens von der Exponentialgleichung zur linearen über: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(ausrichten)

2. Beim zweiten Beispiel müssen Sie vorsichtiger sein: Das Problem ist, dass wir auf der linken Seite die gleiche Zahl auch nicht als Potenz darstellen können. In diesem Fall ist es manchmal nützlich Zahlen als Produkt von Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichen Exponenten darstellen:

Die linke Seite der Gleichung nimmt die Form an: Was hat uns das gegeben? Und hier ist was: Zahlen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichem Exponenten können multipliziert werden.In diesem Fall werden die Basen multipliziert, aber der Exponent ändert sich nicht:

Angewandt auf meine Situation ergibt dies:

\begin(ausrichten)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(ausrichten)

Nicht schlecht, oder?

3. Ich mag es nicht, wenn ich zwei Terme auf der einen Seite der Gleichung habe und keine auf der anderen (manchmal ist das natürlich gerechtfertigt, aber das ist jetzt nicht der Fall). Verschieben Sie das Minuszeichen nach rechts:

Ich werde jetzt wie zuvor alles durch die Potenzen des Tripels schreiben:

Ich addiere die Potenzen auf der linken Seite und erhalte eine äquivalente Gleichung

Sie können seine Wurzel leicht finden:

4. Wie in Beispiel drei der Begriff mit einem Minus - eine Stelle auf der rechten Seite!

Links ist bei mir fast alles in Ordnung, außer was? Ja, der „falsche Grad“ der Zwei stört mich. Aber ich kann das leicht beheben, indem ich schreibe: . Eureka - auf der linken Seite sind alle Grundlagen unterschiedlich, aber alle Abschlüsse sind gleich! Wir vermehren uns schnell!

Auch hier ist wieder alles klar: (Falls Sie nicht verstanden haben, wie magisch ich die letzte Gleichheit bekommen habe, machen Sie eine Minute Pause, machen Sie eine Pause und lesen Sie die Eigenschaften des Abschlusses noch einmal genau durch. Wer hat gesagt, dass Sie das überspringen können Grad mit negativer Indikator? Nun, hier bin ich ungefähr dasselbe wie niemand). Jetzt bekomme ich:

\begin(ausrichten)
& ((2)^(4\links((x) -9 \rechts)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(ausrichten)

Hier sind die Aufgaben für Sie zum Üben, zu denen ich nur die Antworten gebe (allerdings in „gemischter“ Form). Löse sie, überprüfe sie und wir werden unsere Forschung fortsetzen!

Bereit? Antworten wie diese:

1. irgendeine Nummer

Okay, okay, ich habe Witze gemacht! Hier sind die Umrisse der Lösungen (einige sind ziemlich kurz!)

Glauben Sie nicht, dass es kein Zufall ist, dass ein Bruch auf der linken Seite ein „umgekehrter“ anderer ist? Es wäre eine Sünde, dies nicht zu verwenden:

Diese Regel wird sehr oft beim Lösen von Exponentialgleichungen verwendet, merken Sie sich das gut!

Dann wird die ursprüngliche Gleichung:

Es lösen quadratische Gleichung, erhalten Sie die folgenden Wurzeln:

2. Eine andere Lösung: beide Teile der Gleichung durch den linken (oder rechten) Ausdruck dividieren. Ich dividiere durch das, was auf der rechten Seite steht, dann erhalte ich:

Wo warum?!)

3. Ich will mich gar nicht wiederholen, alles wurde schon so „gekaut“.

4. Äquivalent zu einer quadratischen Gleichung, den Wurzeln

5. Sie müssen die in der ersten Aufgabe angegebene Formel verwenden, dann erhalten Sie Folgendes:

Die Gleichung hat sich zu einer trivialen Identität entwickelt, die für alle gilt. Dann ist die Antwort eine beliebige reelle Zahl.

Nun, hier sind Sie und geübt, um zu entscheiden die einfachsten Exponentialgleichungen. Jetzt möchte ich dir welche geben Beispiele aus dem Leben, die Ihnen helfen zu verstehen, warum sie im Prinzip benötigt werden. Hier werde ich zwei Beispiele geben. Die eine ist ganz alltäglich, die andere eher von wissenschaftlichem als von praktischem Interesse.

Beispiel 1 (kaufmännisch) Lassen Sie Rubel haben, aber Sie wollen es in Rubel verwandeln. Die Bank bietet Ihnen an, dieses Geld zu einem jährlichen Zinssatz mit einer monatlichen Kapitalisierung der Zinsen (monatliche Ansammlung) von Ihnen zu nehmen. Die Frage ist, für wie viele Monate muss man ein Depot eröffnen, um den gewünschten Endbetrag zu kassieren? Eine ziemlich banale Aufgabe, nicht wahr? Ihre Lösung ist jedoch mit dem Aufbau der entsprechenden Exponentialgleichung verbunden: Seien - die Anfangsmenge, - die Endmenge, - Zinssatz pro Periode, - die Anzahl der Perioden. Dann:

In unserem Fall (wenn der Satz pro Jahr ist, dann wird er pro Monat berechnet). Warum ist es unterteilt in? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage nicht kennen, merken Sie sich das Thema ""! Dann erhalten wir folgende Gleichung:

Diese Exponentialgleichung kann bereits nur mit einem Taschenrechner gelöst werden (seine Aussehen Hinweise darauf, und dies erfordert Kenntnisse über Logarithmen, mit denen wir etwas später vertraut werden), was ich tun werde: ... Um also eine Million zu erhalten, müssen wir einen Monat lang eine Einzahlung tätigen (nicht sehr schnell, oder?).

Beispiel 2 (ziemlich wissenschaftlich). Trotz seiner, etwas „Isolation“, empfehle ich Ihnen, auf ihn zu achten: er rutscht regelmäßig „in die Prüfung rein!! (Aufgabe aus der "echten" Version übernommen) Während des Einsturzes radioaktives Isotop seine Masse nimmt gemäß dem Gesetz ab, wobei (mg) die Anfangsmasse des Isotops ist, (min.) die seit dem Anfangsmoment verstrichene Zeit ist, (min.) die Halbwertszeit ist. BEIM Anfangsmoment Zeit Isotopenmasse mg. Seine Halbwertszeit beträgt min. In wie vielen Minuten ist die Masse des Isotops gleich mg? Es ist in Ordnung: Wir nehmen einfach alle Daten und ersetzen sie in der uns vorgeschlagenen Formel:

Teilen wir beide Teile durch "in der Hoffnung", dass wir links etwas Verdauliches bekommen:

Nun, wir haben großes Glück! Es steht auf der linken Seite, dann gehen wir weiter zur äquivalenten Gleichung:

Wo mind.

Wie Sie sehen können, haben Exponentialgleichungen eine sehr reale Anwendung in der Praxis. Jetzt möchte ich mit Ihnen einen anderen (einfachen) Weg besprechen, um Exponentialgleichungen zu lösen, der darauf basiert, den gemeinsamen Teiler aus Klammern zu nehmen und dann die Terme zu gruppieren. Haben Sie keine Angst vor meinen Worten, Sie sind dieser Methode bereits in der 7. Klasse begegnet, als Sie Polynome studiert haben. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck faktorisieren mussten:

Lassen Sie uns gruppieren: den ersten und dritten Begriff sowie den zweiten und vierten. Es ist klar, dass der erste und der dritte die Differenz der Quadrate sind:

und die zweite und vierte haben gemeinsamer Faktor Top drei:

Dann ist der ursprüngliche Ausdruck äquivalent zu diesem:

Wo man den gemeinsamen Faktor herausnimmt, ist nicht mehr schwierig:

Somit,

Ungefähr so ​​werden wir beim Lösen von Exponentialgleichungen vorgehen: Suchen Sie nach „Gemeinsamkeit“ unter den Begriffen und entfernen Sie sie aus den Klammern, und dann - komme was wolle, ich glaube, wir werden Glück haben =)) Zum Beispiel:

Rechts ist weit von der Siebenerpotenz entfernt (ich habe es überprüft!) Und links - etwas besser - können Sie natürlich den Faktor a vom ersten und vom zweiten Term "abschneiden" und sich dann damit befassen was du hast, aber lass uns vorsichtiger mit dir umgehen. Ich möchte mich nicht mit den Brüchen beschäftigen, die zwangsläufig durch "Selektion" entstehen, also sollte ich nicht besser aushalten? Dann habe ich keine Brüche: Wie sie sagen, sind sowohl die Wölfe voll als auch die Schafe in Sicherheit:

Zählen Sie den Ausdruck in Klammern. Magisch, magisch stellt sich heraus, dass (überraschenderweise, obwohl was können wir anderes erwarten?).

Dann reduzieren wir beide Seiten der Gleichung um diesen Faktor. Wir bekommen: wo.

Hier ist ein komplizierteres Beispiel (eigentlich ziemlich viel):

Hier ist das Problem! Wir haben hier keinen Gemeinsamkeit! Es ist nicht ganz klar, was jetzt zu tun ist. Und tun wir, was wir können: Zuerst bewegen wir die „Vierer“ in eine Richtung und die „Fünfer“ in die andere:

Lassen Sie uns nun das "Common" links und rechts herausnehmen:

So was nun? Was ist der Vorteil einer so dummen Gruppierung? Auf den ersten Blick ist es überhaupt nicht sichtbar, aber schauen wir tiefer:

Nun, jetzt machen wir es so, dass wir links nur den Ausdruck c haben und rechts alles andere. Wie können wir das machen? Und so geht's: Teilen Sie zuerst beide Seiten der Gleichung durch (damit wir den Exponenten rechts loswerden) und teilen Sie dann beide Seiten durch (damit wir den Zahlenfaktor links loswerden). Schließlich erhalten wir:

Unglaublich! Links haben wir einen Ausdruck und rechts - einfach. Dann schließen wir das sofort

Hier ist ein weiteres Beispiel zur Verdeutlichung:

Ich werde ihn bringen kurze Lösung(Ich mache mir nicht wirklich die Mühe, es zu erklären), versuchen Sie, alle „Feinheiten“ der Lösung selbst herauszufinden.

Nun die endgültige Konsolidierung des abgedeckten Materials. Versuchen Sie, die folgenden Probleme selbst zu lösen. Ich werde nur bringen kurze Empfehlungen und Tipps zu deren Lösung:

1. Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:
2. Den ersten Ausdruck stellen wir in der Form dar: , teile beide Teile durch und erhalte das
3. , dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt: Nun, jetzt ein Hinweis - suchen Sie nach, wo wir diese Gleichung bereits gelöst haben!
4. Stellen Sie sich vor, wie, äh, nun, dann dividieren Sie beide Teile durch, so dass Sie die einfachste Exponentialgleichung erhalten.
5. Nimm es aus den Klammern.
6. Nimm es aus den Klammern.

AUSSTELLUNGSGLEICHUNGEN. MITTELSTUFE

Ich gehe davon aus, dass nach dem Lesen des ersten Artikels, was gesagt wurde Was sind Exponentialgleichungen und wie löst man sie? du hast gemeistert notwendiges Minimum Kenntnisse, die zum Lösen einfacher Beispiele erforderlich sind.

Jetzt werde ich eine andere Methode zum Lösen von Exponentialgleichungen analysieren, nämlich

"Methode zur Einführung einer neuen Variablen" (oder Substitution). Er löst die meisten "schwierigen" Probleme zum Thema Exponentialgleichungen (und nicht nur Gleichungen). Diese Methode ist eine der in der Praxis am häufigsten verwendeten. Zunächst empfehle ich Ihnen, sich mit dem Thema vertraut zu machen.

Wie Sie bereits anhand des Namens verstanden haben, besteht die Essenz dieser Methode darin, eine solche Variablenänderung einzuführen, dass sich Ihre Exponentialgleichung auf wundersame Weise in eine verwandelt, die Sie bereits leicht lösen können. Alles, was Ihnen nach dem Lösen dieser sehr „vereinfachten Gleichung“ bleibt, ist eine „umgekehrte Ersetzung“, das heißt, vom Ersetzten zum Ersetzten zurückzukehren. Lassen Sie uns das Gesagte an einem sehr einfachen Beispiel veranschaulichen:

Beispiel 1:

Diese Gleichung wird durch eine „einfache Substitution“ gelöst, wie Mathematiker es abschätzig nennen. In der Tat ist die Substitution hier am offensichtlichsten. Das muss man einfach gesehen haben

Dann wird die ursprüngliche Gleichung:

Wenn wir uns zusätzlich vorstellen, wie, dann ist ziemlich klar, was ersetzt werden muss: natürlich . Was wird dann zur ursprünglichen Gleichung? Und hier ist was:

Sie können seine Wurzeln leicht selbst finden:. Was sollen wir jetzt machen? Es ist Zeit, zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. Was habe ich vergessen einzufügen? Nämlich: Beim Ersetzen eines bestimmten Grades durch eine neue Variable (also beim Ersetzen eines Typs) interessiert mich das nur positive Wurzeln! Warum, können Sie sich leicht selbst beantworten. Wir interessieren uns also nicht für Sie, aber die zweite Wurzel ist für uns durchaus geeignet:

Wo dann.

Antworten:

Wie Sie sehen können, bat der Ersatz im vorherigen Beispiel um unsere Hände. Leider ist dies nicht immer der Fall. Lassen Sie uns jedoch nicht direkt zum Traurigen übergehen, sondern an einem weiteren Beispiel mit einem ziemlich einfachen Ersatz üben

Beispiel 2

Es ist klar, dass höchstwahrscheinlich ersetzt werden muss (dies ist die kleinste der in unserer Gleichung enthaltenen Potenzen), aber bevor eine Ersetzung eingeführt wird, muss unsere Gleichung darauf „vorbereitet“ werden, nämlich: , . Dann können Sie ersetzen, als Ergebnis erhalte ich den folgenden Ausdruck:

Oh Gott: kubische gleichung mit absolut schrecklichen Formeln, um es zu lösen (na ja, allgemein gesprochen). Aber lasst uns nicht sofort verzweifeln, sondern überlegen, was wir tun sollen. Ich schlage Schummeln vor: Wir wissen, dass wir, um eine „schöne“ Antwort zu erhalten, die Form einer Potenz von drei annehmen müssen (warum sollte das sein, huh?). Und versuchen wir, mindestens eine Wurzel unserer Gleichung zu erraten (ich beginne mit dem Raten von Dreierpotenzen).

Erste Vermutung. Ist keine Wurzel. Ach und äh...

.
Die linke Seite ist gleich.
Rechter Teil: !
Es gibt! Erraten die erste Wurzel. Jetzt wird alles einfacher!

Kennen Sie das Aufteilungsschema "Ecke"? Natürlich wissen Sie, dass Sie es verwenden, wenn Sie eine Zahl durch eine andere dividieren. Aber nur wenige wissen, dass man dasselbe mit Polynomen machen kann. Es gibt ein wunderbares Theorem:

Anwendbar auf meine Situation sagt es mir, was ohne Rest durch teilbar ist. Wie erfolgt die Teilung? So geht das:

Ich schaue mir an, welches Monom ich multiplizieren sollte, um Clear zu bekommen, dann:

Ich subtrahiere den resultierenden Ausdruck von, ich bekomme:

Nun, was muss ich multiplizieren, um zu erhalten? Das ist klar, dann bekomme ich:

und subtrahieren Sie den resultierenden Ausdruck erneut vom verbleibenden:

Nun, im letzten Schritt multipliziere ich mit und subtrahiere von dem verbleibenden Ausdruck:

Hurra, die Teilung ist vorbei! Was haben wir privat angesammelt? Selbstverständlich: .

Dann erhalten wir die folgende Erweiterung des ursprünglichen Polynoms:

Lösen wir die zweite Gleichung:

Es hat Wurzeln:

Dann die ursprüngliche Gleichung:

hat drei Wurzeln:

Da verwerfen wir natürlich die letzte Wurzel weniger als Null. Und die ersten beiden nach der umgekehrten Ersetzung geben uns zwei Wurzeln:

Antworten: ..

Ich wollte Sie mit diesem Beispiel keinesfalls erschrecken, sondern wollte zeigen, dass wir wenigstens genug haben einfacher Austausch, dennoch führte es zu recht komplexe Gleichung, deren Lösung einige besondere Fähigkeiten von uns erforderte. Nun, niemand ist davor gefeit. Aber der Ersatz drin dieser Fall war ziemlich offensichtlich.

Hier ist ein Beispiel mit einer etwas weniger offensichtlichen Ersetzung:

Es ist überhaupt nicht klar, was wir tun sollen: Das Problem ist, dass es in unserer Gleichung zwei gibt verschiedene Basen und eine Grundlage wird nicht von einer anderen erhalten, indem man sie auf irgendeinen (natürlich vernünftigen) Grad anhebt. Was sehen wir jedoch? Beide Basen unterscheiden sich nur im Vorzeichen, und ihr Produkt ist die Differenz der Quadrate gleich eins:

Definition:

Daher sind die Zahlen, die in unserem Beispiel Basen sind, konjugiert.

In diesem Fall wäre der kluge Schachzug Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der konjugierten Zahl.

Zum Beispiel an, dann wird die linke Seite der Gleichung gleich und die rechte Seite. Wenn wir einen Ersatz vornehmen, wird unsere ursprüngliche Gleichung mit Ihnen wie folgt aussehen:

seine Wurzeln, aber wenn wir uns daran erinnern, verstehen wir das.

Antworten: , .

In der Regel reicht die Ersetzungsmethode aus, um die meisten Exponentialgleichungen der "Schule" zu lösen. Die folgenden Aufgaben stammen aus dem USE C1 ( erhöhtes Niveau Schwierigkeiten). Sie sind bereits gebildet genug, um diese Beispiele selbst zu lösen. Ich gebe nur den erforderlichen Ersatz.

1. Löse die Gleichung:
2. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:
3. Löse die Gleichung: . Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zu dem Segment gehören:

Nun zu einigen kurzen Erklärungen und Antworten:

1. Hier genügt es, darauf hinzuweisen, dass und. Dann ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu dieser: Diese Gleichung durch Ersetzen gelöst Führen Sie weitere Berechnungen selbst durch. Am Ende reduziert sich Ihre Aufgabe auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichung (je nach Sinus oder Cosinus). Entscheidung ähnliche Beispiele werden wir in anderen Abschnitten untersuchen.
2. Hier kann man sogar auf das Ersetzen verzichten: Es reicht, den Subtrahend nach rechts zu versetzen und beide Basen durch Zweierpotenzen darzustellen: und dann gleich zur quadratischen Gleichung überzugehen.
3. Die dritte Gleichung wird ebenfalls auf eine ziemlich übliche Weise gelöst: Stellen Sie sich vor, wie. Dann erhalten wir durch Ersetzen eine quadratische Gleichung: dann

   Weißt du schon, was ein Logarithmus ist? Nein? Dann lesen Sie dringend das Thema!

   Die erste Wurzel gehört offensichtlich nicht zum Segment und die zweite ist unverständlich! Aber wir werden es sehr bald herausfinden! Denn dann (das ist eine Eigenschaft des Logarithmus!) vergleichen wir:

   Subtrahieren Sie von beiden Teilen, dann erhalten wir:

   Die linke Seite kann dargestellt werden als:

   beide Seiten multiplizieren mit:

   kann dann multipliziert werden

   Dann vergleichen wir:

   seit damals:

   Dann gehört die zweite Wurzel zum gewünschten Intervall

   Antworten:

Wie du siehst, die Auswahl der Wurzeln von Exponentialgleichungen erfordert ausreichend gut fundiertes Wissen Eigenschaften von Logarithmen, daher rate ich Ihnen, beim Lösen von Exponentialgleichungen so vorsichtig wie möglich zu sein. Wie Sie wissen, ist in der Mathematik alles miteinander verbunden! Wie mein Mathelehrer immer sagte: „Mathe kann man nicht über Nacht wie Geschichte lesen.“

In der Regel alle Die Schwierigkeit bei der Lösung von Problemen C1 besteht genau in der Auswahl der Wurzeln der Gleichung.Üben wir mit einem anderen Beispiel:

Es ist klar, dass die Gleichung selbst ganz einfach gelöst wird. Nachdem wir die Substitution vorgenommen haben, reduzieren wir unsere ursprüngliche Gleichung auf Folgendes:

Schauen wir uns zuerst die erste Wurzel an. Vergleiche und: seitdem, damals. (Eigenschaft der logarithmischen Funktion, at). Dann ist klar, dass auch die erste Wurzel nicht zu unserem Intervall gehört. Nun die zweite Wurzel: . Das ist klar (da die Funktion wächst). Es bleibt zu vergleichen und

seitdem, gleichzeitig. Somit kann ich zwischen und "einen Pflock treiben". Dieser Stift ist eine Zahl. Der erste Ausdruck ist kleiner als und der zweite größer als. Dann ist der zweite Ausdruck größer als der erste und die Wurzel gehört zum Intervall.

Antworten: .

Schauen wir uns abschließend ein weiteres Beispiel einer Gleichung an, bei der die Ersetzung eher nicht dem Standard entspricht:

Beginnen wir gleich damit, was Sie tun können und was - im Prinzip können Sie es tun, aber es ist besser, es nicht zu tun. Es ist möglich - alles durch Potenzen von drei, zwei und sechs darzustellen. Wohin führt es? Ja, und wird zu nichts führen: ein Sammelsurium von Abschlüssen, von denen einige ziemlich schwer wegzubekommen sein werden. Was wird dann gebraucht? Beachten wir, dass a Und was wird es uns geben? Und die Tatsache, dass wir die Lösung dieses Beispiels auf die Lösung einer ziemlich einfachen Exponentialgleichung zurückführen können! Zuerst schreiben wir unsere Gleichung um als:

Jetzt teilen wir beide Seiten der resultierenden Gleichung in:

Eureka! Jetzt können wir ersetzen, wir erhalten:

Nun, jetzt sind Sie an der Reihe, Probleme zur Demonstration zu lösen, und ich werde sie nur kurz kommentieren, damit Sie nicht in die Irre gehen! Viel Glück!

1. Das Schwierigste! Hier einen Ersatz zu sehen, ist oh, wie hässlich! Trotzdem lässt sich dieses Beispiel vollständig mit lösen Zuweisung volles Quadrat . Um es zu lösen, genügt es, Folgendes zu beachten:

Also hier ist dein Ersatz:

(Beachten Sie, dass wir hier in unserer Ersetzung nicht verwerfen können negative Wurzel!!! Warum denken Sie?)

Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie nun zwei Gleichungen lösen:

Beide werden durch den "Standardersatz" gelöst (aber der zweite in einem Beispiel!)

2. Beachten Sie dies und nehmen Sie eine Ersetzung vor.

3. Erweitern Sie die Zahl in teilerfremde Faktoren und vereinfachen Sie den resultierenden Ausdruck.

4. Dividieren Sie den Zähler und den Nenner des Bruchs durch (oder, wenn Sie es vorziehen) und nehmen Sie die Substitution oder vor.

5. Beachten Sie, dass die Zahlen und konjugiert sind.

AUSSTELLUNGSGLEICHUNGEN. FORTGESCHRITTENES LEVEL

Schauen wir uns außerdem einen anderen Weg an - Lösung von Exponentialgleichungen nach dem Logarithmusverfahren. Ich kann nicht sagen, dass die Lösung von Exponentialgleichungen durch diese Methode sehr beliebt ist, aber in einigen Fällen kann uns nur sie dazu führen richtige Entscheidung unsere Gleichung. Besonders oft wird es verwendet, um das sogenannte " gemischte Gleichungen ': Das heißt, diejenigen, bei denen es Funktionen unterschiedlichen Typs gibt.

Zum Beispiel eine Gleichung wie:

in Allgemeiner Fall kann nur gelöst werden, indem beide Teile logarithmiert werden (z. B. zur Basis), wobei sich die ursprüngliche Gleichung in die folgende verwandelt:

Betrachten wir das folgende Beispiel:

Es ist klar, dass uns nur die ODZ der logarithmischen Funktion interessiert. Dies folgt jedoch nicht nur aus der ODZ des Logarithmus, sondern aus einem anderen Grund. Ich denke, es wird Ihnen nicht schwer fallen, zu erraten, welche.

Nehmen wir den Logarithmus beider Seiten unserer Gleichung zur Basis:

Wie Sie sehen können, führte uns der Logarithmus unserer ursprünglichen Gleichung schnell zur richtigen (und schönen!) Antwort. Üben wir mit einem anderen Beispiel:

Auch hier brauchen wir uns keine Sorgen zu machen: Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung zur Basis, dann erhalten wir:

Machen wir einen Ersatz:

Allerdings haben wir etwas verpasst! Hast du bemerkt, wo ich einen Fehler gemacht habe? Immerhin dann:

was die Anforderung nicht erfüllt (überlegen Sie, woher es kommt!)

Antworten:

Versuchen Sie, die Lösung der folgenden Exponentialgleichungen aufzuschreiben:

Überprüfen Sie nun Ihre Lösung damit:

1. Wir logarithmieren beide Teile zur Basis, vorausgesetzt dass:

(die zweite Wurzel passt uns wegen der Ersetzung nicht)

2. Logarithmus zur Basis:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck in die folgende Form umwandeln:

AUSSTELLUNGSGLEICHUNGEN. KURZE BESCHREIBUNG UND GRUNDFORMEL

Exponentialgleichung

Gleichung eingeben:

namens die einfachste Exponentialgleichung.

Grad Eigenschaften

Lösungsansätze

• Reduktion auf die gleiche Basis
• Casting zu der gleiche Indikator Grad
• Variable Substitution
• Vereinfachen Sie den Ausdruck und wenden Sie eine der obigen an.

Gleichungen heißen exponentiell, wenn die Unbekannte im Exponenten enthalten ist. Die einfachste Exponentialgleichung hat die Form: a x \u003d a b, wobei a> 0 und 1, x eine Unbekannte ist.

Die Haupteigenschaften der Grade, mit deren Hilfe die Exponentialgleichungen transformiert werden: a>0, b>0.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen werden auch die folgenden Eigenschaften der Exponentialfunktion verwendet: y = a x , a > 0, a1:

Um eine Zahl als Potenz darzustellen, verwenden Sie die Basis logarithmische Identität: b = , a > 0, a1, b > 0.

Aufgaben und Tests zum Thema "Exponentialgleichungen"

• Exponentialgleichungen

  Lektionen: 4 Aufgaben: 21 Tests: 1

• Exponentialgleichungen - Wichtige Themen die Prüfung in Mathematik zu wiederholen

  Aufgaben: 14

• Systeme exponentieller und logarithmischer Gleichungen - Demonstrativ und Logarithmische Funktionen Klasse 11

  Lektionen: 1 Aufgaben: 15 Tests: 1

• §2.1. Lösung von Exponentialgleichungen

  Lektionen: 1 Aufgaben: 27

• §7 Exponential- und Logarithmusgleichungen und Ungleichungen - Abschnitt 5. Exponential- und Logarithmusfunktionen Klasse 10

  Lektionen: 1 Aufgaben: 17

Für erfolgreiche Lösung Exponentialgleichungen Sie müssen die grundlegenden Eigenschaften von Potenzen kennen, die Eigenschaften der Exponentialfunktion, die grundlegende logarithmische Identität.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen werden zwei Hauptmethoden verwendet:

1. Übergang von der Gleichung a f(x) = a g(x) zur Gleichung f(x) = g(x);
2. Einführung neuer Linien.

Beispiele.

1. Aufs Einfachste reduzierende Gleichungen. Sie werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung in eine Potenz mit derselben Basis gebracht werden.

3x \u003d 9x - 2.

Entscheidung:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Antworten: 4.

2. Gleichungen, die durch Einklammern des gemeinsamen Faktors gelöst werden.

Entscheidung:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Antworten: 3.

3. Durch Änderung der Variablen gelöste Gleichungen.

Entscheidung:

2 2x + 2x - 12 = 0
Wir bezeichnen 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y1 = –4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Die Gleichung hat keine Lösungen, weil 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Antworten: Protokoll 2 3.

4. Gleichungen, die Potenzen mit zwei verschiedenen (nicht aufeinander reduzierbaren) Basen enthalten.

3 × 2 × + 1 – 2 × 5 × – 2 \u003d 5 × + 2 × – 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 x 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Antworten: 2.

5. Gleichungen, die bezüglich a x und b x homogen sind.

Generelle Form: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Entscheidung:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Bezeichne (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 \u003d 0,
y1 = 2; y2 = ½.

Antworten: Protokoll 3/2 2; - Protokoll 3/2 2.

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Erinnern wir uns zunächst Grundformeln Grade und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl a n mal auf sich selbst passiert, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. ein n ein m = ein n + m

4. (ein n) m = ein nm

5. ein n b n = (ab) n

7. ein n / ein m \u003d ein n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen- Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

BEIM dieses Beispiel Die Zahl 6 ist die Basis, sie steht immer ganz unten, und die Variable x Grad oder Maß.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Ein solches Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x = 3 ist. Immerhin, damit die linke und rechter Teil gleich sind, müssen Sie anstelle von x die Zahl 3 einsetzen.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung getroffen werden sollte:

2 x = 2 3
x = 3

Um diese Gleichung zu lösen, haben wir entfernt gleiche Gründe(das heißt Zweien) und schrieb auf, was übrig blieb, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Lassen Sie uns nun unsere Lösung zusammenfassen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Basen der Gleichung rechts und links sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Optionen, um dieses Beispiel zu lösen.
2. Nachdem die Basen gleich sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Lassen Sie uns nun einige Beispiele lösen:

Fangen wir einfach an.

Die Basen auf der linken und rechten Seite sind gleich der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.

x+2=4 Die einfachste Gleichung hat sich herausgestellt.
x=4 - 2
x=2
Antwort: x=2

BEIM nächstes Beispiel Es ist ersichtlich, dass die Basen unterschiedlich sind - 3 und 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Zunächst übertragen wir die Neun auf die rechte Seite, wir erhalten:

Jetzt müssen Sie die gleichen Basen herstellen. Wir wissen, dass 9=3 2 . Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Wir erhalten 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 jetzt können Sie das links und sehen rechte Seite die Basen sind gleich und gleich drei, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 hat die einfachste Gleichung
3x-2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Zuerst schauen wir uns die Basen an, die Basen sind zwei und vier unterschiedlich. Und wir müssen gleich sein. Wir transformieren das Quadrupel nach der Formel (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ergänze die Gleichung:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Wir haben aus den gleichen Gründen ein Beispiel gegeben. Aber andere Nummern 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholen, hier ist die Antwort - wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern berechnen:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die ganze Gleichung durch 6:

Stellen Sie sich 4=2 2 vor:

2 2x \u003d 2 2 Basen sind gleich, verwerfen Sie sie und setzen Sie die Grade gleich.
2x \u003d 2 erwies sich als die einfachste Gleichung. Wir teilen es durch 2, wir bekommen
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9x - 12*3x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Die Basen sind für uns gleich, gleich 3. In diesem Beispiel ist zu sehen, dass das erste Tripel einen doppelten (2x) Grad hat als das zweite (nur x). In diesem Fall können Sie entscheiden Substitutionsmethode. Zahl mit geringste Grad ersetzen:

Dann 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen alle Grade durch x in der Gleichung mit t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Zurück zu Variable x.

Wir nehmen t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

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