Sekarang kita akan melihat konversi ekspresi yang mengandung logaritma dari posisi umum. Di sini kita akan menganalisis tidak hanya transformasi ekspresi menggunakan properti logaritma, tetapi kita akan mempertimbangkan transformasi ekspresi dengan logaritma pandangan umum, yang tidak hanya berisi logaritma, tetapi juga pangkat, pecahan, akar, dll. Seperti biasa, kami akan menyediakan semua bahan contoh tipikal Dengan deskripsi rinci solusi.

Navigasi halaman.

Ekspresi dengan logaritma dan ekspresi logaritma

Melakukan tindakan dengan pecahan

Pada paragraf sebelumnya, kami menganalisis transformasi utama yang dilakukan dengan pecahan individu yang mengandung logaritma. Transformasi ini, tentu saja, dapat dilakukan dengan setiap fraksi individu, yang merupakan bagian dari yang lebih besar ekspresi kompleks, misalnya, mewakili jumlah, perbedaan, produk, dan hasil bagi pecahan sejenis. Tetapi selain bekerja dengan pecahan individu, transformasi ekspresi jenis yang ditentukan sering melibatkan melakukan operasi yang sesuai pada pecahan. Selanjutnya, kami akan mempertimbangkan aturan di mana tindakan ini dilakukan.

Dari kelas 5-6, kita tahu aturannya. Di dalam artikel pandangan umum untuk operasi pecahan kami telah mengedarkan aturan ini dengan pecahan biasa menjadi pecahan bentuk umum A/B , di mana A dan B adalah beberapa numerik, ekspresi literal atau ekspresi dengan variabel, dan B identik bukan nol. Jelas bahwa pecahan dengan logaritma adalah kasus khusus dari pecahan umum. Dan dalam hal ini, jelas bahwa tindakan dengan pecahan yang mengandung logaritma dalam catatannya dilakukan sesuai dengan aturan yang sama. Yaitu:

• Untuk menjumlahkan atau mengurangi dua pecahan dengan penyebut yang sama, masing-masing pembilangnya perlu ditambah atau dikurangi, dan penyebutnya tetap sama.
• Untuk menjumlahkan atau mengurangi dua pecahan dengan penyebut yang berbeda, kita harus membawa mereka ke faktor persekutuan dan melakukan tindakan yang sesuai sesuai dengan aturan sebelumnya.
• Untuk mengalikan dua pecahan, Anda perlu menulis pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilang dari pecahan aslinya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya.
• Untuk membagi pecahan dengan pecahan, pecahan habis dibagi kalikan dengan kebalikan pembagi, yaitu dengan pecahan yang pembilang dan penyebutnya diatur ulang.

Berikut adalah beberapa contoh untuk melakukan operasi dengan pecahan yang mengandung logaritma.

Contoh.

Lakukan tindakan dengan pecahan yang mengandung logaritma: a), b) , di) , G) .

Larutan.

a) Penyebut dari pecahan yang ditambahkan jelas sama. Oleh karena itu, menurut aturan untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, kami menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya sama: .

b) Di sini penyebutnya berbeda. Karena itu, pertama-tama Anda perlu bawa pecahan ke penyebut yang sama. Dalam kasus kami, penyebut sudah disajikan sebagai produk, dan tetap bagi kami untuk mengambil penyebut pecahan pertama dan menambahkan faktor yang hilang dari penyebut pecahan kedua. Jadi kita mendapatkan penyebut yang sama dari bentuk . Dalam hal ini, pecahan yang dikurangkan direduksi menjadi penyebut yang sama menggunakan pengganda tambahan dalam bentuk logaritma dan ekspresi x 2 ·(x+1), masing-masing. Setelah itu, tetap mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, yang tidak sulit.

Jadi solusinya adalah:

c) Diketahui hasil perkalian pecahan adalah pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya, maka

Sangat mudah untuk melihat bahwa itu mungkin untuk pengurangan pecahan untuk dua dan logaritma desimal, sebagai hasilnya kita memiliki .

d) Kami beralih dari pembagian pecahan ke perkalian, mengganti pembagi pecahan dengan kebalikannya. Jadi

Pembilang pecahan yang dihasilkan dapat dinyatakan sebagai: , dari mana orang dapat melihat dengan jelas faktor umum pembilang dan penyebut - faktor x, Anda dapat mengurangi pecahan dengan itu:

Menjawab:

a), b) , di) , G) .

Harus diingat bahwa tindakan dengan pecahan dilakukan dengan mempertimbangkan urutan tindakan yang dilakukan: pertama perkalian dan pembagian, kemudian penambahan dan pengurangan, dan jika ada tanda kurung, maka tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Contoh.

Lakukan tindakan dengan pecahan .

Larutan.

Pertama, kami melakukan penjumlahan pecahan dalam tanda kurung, setelah itu kami akan melakukan perkalian:

Menjawab:

Pada titik ini, tetap dikatakan dengan lantang tiga hal yang agak jelas, tetapi pada saat yang sama poin-poin penting:

Mengonversi ekspresi menggunakan properti logaritma

Paling sering, transformasi ekspresi dengan logaritma melibatkan penggunaan identitas yang mengungkapkan definisi logaritma dan

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma tidak persis nomor biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tanpa mereka, tidak ada yang serius masalah logaritma. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan alasan yang sama:catatan sebuah x dan log sebuah kamu. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. catatan sebuah x+log sebuah kamu= log sebuah (x · kamu);
2. catatan sebuah x log sebuah kamu= log sebuah (x : kamu).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Catatan: momen penting di sini - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Berdasarkan fakta ini, banyak kertas ujian. Ya, apa kontrolnya - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang-kadang praktis tidak berubah) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihatnya aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: sebuah > 0, sebuah ≠ 1, x> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

[Keterangan gambar]

saya pikir untuk contoh terakhir klarifikasi diperlukan. Ke mana perginya logaritma? Sepanjang perjalanan saat terakhir kami bekerja hanya dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biar dikasih logaritma sebuah x. Kemudian untuk nomor berapa pun c seperti yang c> 0 dan c 1, persamaannya benar:

[Keterangan gambar]

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan di biasa ekspresi numerik. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika memutuskan persamaan logaritma dan ketidaksetaraan.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

[Keterangan gambar]

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

[Keterangan gambar]

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

[Keterangan gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomor n menjadi eksponen argumen. Nomor n bisa benar-benar apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah yang disebut: dasar identitas logaritma.

Memang, apa yang akan terjadi jika nomor b naikkan ke kekuatan sehingga b sejauh ini memberikan nomor sebuah? Itu benar: ini adalah nomor yang sama sebuah. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari ujian :)

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. catatan sebuah sebuah= 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke basis apa pun sebuah dari dasar ini sendiri adalah sama dengan satu.
2. catatan sebuah 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis sebuah bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu - logaritma nol! karena sebuah 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

diturunkan dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Ambil dua logaritma dengan basis yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,

catatan sebuah 1 /b= log sebuah 1 - log a b= -log a b.

Jadi ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dari dua bilangan yang saling berlawanan atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Sifat-sifat utama logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian seri daya dan menyatakan fungsi ln x dalam bilangan kompleks.

Definisi

logaritma natural adalah fungsi y = di x, terbalik dengan eksponen, x \u003d e y , dan yang merupakan logaritma ke basis angka e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari plot eksponen gambar cermin relatif terhadap garis lurus y = x .

Logaritma natural didefinisikan pada nilai positif variabel x . Secara monoton meningkat pada domain definisinya.

Sebagai x → 0 limit dari logaritma natural adalah minus tak terhingga ( - ).

Karena x → + , limit dari logaritma natural adalah plus tak terhingga ( + ). Untuk x besar, logaritma meningkat agak lambat. Setiap fungsi daya x a dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat daripada logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun

Logaritma natural adalah fungsi yang naik secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Sifat-sifat utama dari logaritma natural disajikan dalam tabel.

nilai ln x

log 1 = 0

Rumus dasar untuk logaritma natural

Rumus yang timbul dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus pengganti dasar

Setiap logaritma dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus perubahan dasar:

Bukti dari rumus-rumus ini disajikan di bagian "Logarithm".

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma natural adalah eksponen.

Jika kemudian

Jika kemudian .

Turunan ln x

Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural dari modulo x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >

Integral

Integral dihitung dengan integrasi per bagian:
.
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi dari variabel kompleks z :
.
Mari kita nyatakan variabel kompleks z melalui modul r dan argumen φ :
.
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh:
.
Atau
.
Argumen tidak didefinisikan secara unik. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk n yang berbeda.

Itu sebabnya logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukan fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Petunjuk

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma memiliki angka e sebagai basis, maka ekspresinya ditulis: ln b adalah logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil dari sembarang adalah pangkat yang harus dinaikkan bilangan dasarnya untuk mendapatkan bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menambahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Ketika menemukan turunan dari produk dua fungsi, turunan dari fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan turunan dari fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, dari hasil kali turunan dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangkan produk turunan dari pembagi dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membagi semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi internal dan turunan dari yang terluar. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi dalam poin yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Video yang berhubungan

Saran yang berguna

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat banyak waktu.

Sumber:

• turunan konstan

Jadi, apa perbedaan antara persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

Petunjuk

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode menaikkan kedua bagian persamaan menjadi persegi. Namun. ini wajar, langkah pertama adalah menyingkirkan tanda itu. Secara teknis, metode ini tidak sulit, tetapi terkadang dapat menyebabkan masalah. Misalnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi, Anda mendapatkan 2x-5=4x-7. Persamaan seperti itu tidak sulit untuk dipecahkan; x=1. Tapi nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Substitusikan satuan dalam persamaan sebagai ganti nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai seperti itu tidak valid untuk akar kuadrat. Oleh karena itu 1 adalah akar asing, dan karena itu persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, perlu untuk memotong akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar yang ditemukan dalam persamaan asli.

Pertimbangkan satu lagi.
2x+vx-3=0
Tentu saja, persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti sebelumnya. senyawa transfer persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, sisi kanan dan kemudian menggunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tapi satu lagi, yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vx=y. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan persamaan seperti 2y2+y-3=0. Yaitu, biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak memiliki akar, dari persamaan pertama kita temukan bahwa x=1. Jangan lupa tentang perlunya memeriksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup mudah. Ini membutuhkan melakukan transformasi identik sampai target tercapai. Jadi, dengan bantuan sederhana operasi aritmatika tugas akan terpecahkan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

Petunjuk

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkatan aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri, yang pada dasarnya adalah identitas yang sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua istilah sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali hasil kali yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua, yaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.

Sederhanakan Keduanya

Prinsip umum solusi

Ulangi buku teks analisis matematis atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti yang Anda tahu, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya akan menghasilkan integran. Fungsi ini disebut primitif. Menurut prinsip ini, integral dasar dibangun.
Tentukan berdasarkan jenis integral, yang mana integral tabel cocok dengan kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan ini segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode substitusi variabel

Jika integralnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya berupa polinomial, lalu coba gunakan metode substitusi variabel. Untuk melakukannya, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan rasio antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Diferensiasi ekspresi yang diberikan temukan diferensial baru di . Dengan demikian Anda akan menerima jenis baru mantan integral, dekat atau bahkan sesuai dengan salah satu tabular.

Solusi integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integral tersebut, maka Anda perlu menggunakan aturan untuk berpindah dari integral ini ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah rasio Ostrogradsky-Gauss. hukum ini memungkinkan lewat dari aliran rotor dari beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga melalui divergensi dari medan vektor yang diberikan.

Substitusi limit integrasi

Setelah menemukan antiturunan, perlu untuk mensubstitusikan batas-batas integrasi. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan menerima beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain, batas bawah yang dihasilkan untuk antiturunan. Jika salah satu limit integrasinya adalah tak hingga, maka substitusikan ke dalam fungsi antiturunan perlu untuk pergi ke batas dan menemukan apa ekspresi cenderung.
Jika integralnya adalah dua dimensi atau tiga dimensi, maka Anda harus menyatakan batas geometrik integrasi untuk memahami cara menghitung integral tersebut. Memang, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang akan diintegrasikan.