ჩვენ ახლა გადავხედავთ ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამების კონვერტაციას საერთო პოზიციები. აქ ჩვენ გავაანალიზებთ არა მხოლოდ გამონათქვამების გარდაქმნას ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, არამედ განვიხილავთ გამონათქვამების გარდაქმნას ლოგარითმებით. ზოგადი ხედი, რომელიც შეიცავს არა მხოლოდ ლოგარითმებს, არამედ ხარისხებს, წილადებს, ფესვებს და ა.შ. ჩვეულებისამებრ, ჩვენ მოვაწოდებთ ყველა მასალას ტიპიური მაგალითებითან დეტალური აღწერილობებიგადაწყვეტილებები.
გვერდის ნავიგაცია.
გამონათქვამები ლოგარითმებით და ლოგარითმული გამოსახულებებით
წილადებთან მოქმედებების შესრულება
წინა პარაგრაფში გავაანალიზეთ ძირითადი გარდაქმნები, რომლებიც ლოგარითმების შემცველი ცალკეული წილადებით ხორციელდება. ეს გარდაქმნები, რა თქმა უნდა, შეიძლება განხორციელდეს თითოეულ ცალკეულ წილადთან, რომელიც უფრო დიდის ნაწილია რთული გამოხატულება, მაგალითად, წარმოადგენს ჯამს, სხვაობას, ნამრავლს და კოეფიციენტს მსგავსი წილადები. მაგრამ ცალკეულ წილადებთან მუშაობის გარდა, გამონათქვამების ტრანსფორმაცია მითითებული ტიპიხშირად გულისხმობს წილადებზე შესაბამისი ოპერაციების შესრულებას. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ წესებს, რომლითაც ეს ქმედებები ხორციელდება.
მე-5-6 კლასებიდან ვიცით წესები, რომლითაც . სტატიაში ზოგადი ხედიწილადებთან ოპერაციებისთვისჩვენ გავავრცელეთ ეს წესები ჩვეულებრივი წილადები A/B ზოგადი ფორმის წილადებად, სადაც A და B ზოგიერთი რიცხვია, პირდაპირი გამონათქვამებიან გამონათქვამები ცვლადებით, და B არის იდენტურად არა ნულოვანი. ცხადია, რომ ლოგარითმებით წილადები ზოგადი წილადების განსაკუთრებული შემთხვევებია. და ამ მხრივ, ცხადია, რომ წილადებთან მოქმედებები, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმებს მათ ჩანაწერებში, ხორციელდება იმავე წესების მიხედვით. კერძოდ:
- ორი წილადის შეკრება ან გამოკლება იგივე მნიშვნელები, აუცილებელია მრიცხველების შეკრება ან გამოკლება და მნიშვნელის იგივე დატოვება.
- ორი წილადის შეკრება ან გამოკლება სხვადასხვა მნიშვნელი, ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელიდა შეასრულეთ შესაბამისი მოქმედებები წინა წესის მიხედვით.
- ორი წილადის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ წილადი, რომლის მრიცხველი არის ორიგინალური წილადების მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი.
- წილადის წილადზე გაყოფა, გასაყოფი წილადიგავამრავლოთ გამყოფის საპირისპიროზე, ანუ იმ წილადზე, სადაც მრიცხველი და მნიშვნელი გადალაგებულია.
აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი ლოგარითმების შემცველი წილადებით მოქმედებების შესასრულებლად.
მაგალითი.
შეასრულეთ მოქმედებები ლოგარითმების შემცველ წილადებთან: ა), ბ) 
, შიგნით) 
, გ) 
.
გამოსავალი.
ა) დამატებული წილადების მნიშვნელები აშკარად ერთნაირია. მაშასადამე, ერთიდაიგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრების წესის მიხედვით, ვამატებთ მრიცხველებს, ხოლო მნიშვნელს იგივე ვტოვებთ: 
.
ბ) აქ მნიშვნელები განსხვავებულია. ამიტომ, პირველ რიგში გჭირდებათ წილადების მიყვანა ერთსა და იმავე მნიშვნელთან. ჩვენს შემთხვევაში, მნიშვნელები უკვე წარმოდგენილია როგორც პროდუქცია და ჩვენთვის რჩება ავიღოთ პირველი წილადის მნიშვნელი და დავუმატოთ მას გამოტოვებული ფაქტორები მეორე წილადის მნიშვნელიდან. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ფორმის საერთო მნიშვნელს 
. ამ შემთხვევაში, გამოკლებული წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელის გამოყენებით დამატებითი მულტიპლიკატორებილოგარითმის და გამოხატვის სახით x 2 ·(x+1), შესაბამისად. ამის შემდეგ რჩება იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება, რაც არ არის რთული.
ასე რომ, გამოსავალი არის: 
გ) ცნობილია, რომ წილადების გამრავლების შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი, მაშასადამე. 
ადვილი მისახვედრია, რომ ეს შესაძლებელია წილადის შემცირებაორისთვის და ათობითი ლოგარითმი, შედეგად გვაქვს 
.
დ) წილადების გაყოფიდან გადავდივართ გამრავლებაზე, წილად-გამყოფს ვცვლით მისი ორმხრივი. Ისე 
მიღებული წილადის მრიცხველი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 
, საიდანაც ნათლად ჩანს საერთო ფაქტორიმრიცხველი და მნიშვნელი - x ფაქტორი, შეგიძლიათ წილადის შემცირება: 
პასუხი:
ა), ბ) 
, შიგნით) 
, გ) 
.
უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადებთან მოქმედებები ხორციელდება მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობის გათვალისწინებით: ჯერ გამრავლება და გაყოფა, შემდეგ შეკრება და გამოკლება, ხოლო თუ არის ფრჩხილები, მაშინ ჯერ შესრულებულია მოქმედებები ფრჩხილებში.
მაგალითი.
შეასრულეთ მოქმედებები წილადებით 
.
გამოსავალი.
ჯერ ვაკეთებთ წილადების დამატებას ფრჩხილებში, რის შემდეგაც განვახორციელებთ გამრავლებას: 
პასუხი:
ამ ეტაპზე, რჩება ხმამაღლა ვთქვათ სამი საკმაოდ აშკარა, მაგრამ ამავე დროს მნიშვნელოვანი პუნქტი:
გამონათქვამების კონვერტაცია ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით
ყველაზე ხშირად, გამონათქვამების გარდაქმნა ლოგარითმებით გულისხმობს იდენტობების გამოყენებას, რომლებიც გამოხატავენ ლოგარითმის განმარტებას და
ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები ზუსტად არ არის ჩვეულებრივი ნომრები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.
ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე, არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემა. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.
ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება
განვიხილოთ ორი ლოგარითმი იგივე საფუძველი: ჟურნალი ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:
- ჟურნალი ა x+ლოგი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
- ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).
ასე რომ, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიაქ - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!
ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულებამაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:
ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.
ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.
საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
ჟურნალი 2 48 - ჟურნალი 2 3 = ჟურნალი 2 (48: 3) = ჟურნალი 2 16 = 4.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.
ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტიდან გამომდინარე, ბევრი ტესტის ფურცლები. დიახ, რა არის კონტროლი - მსგავსი გამონათქვამებიმთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად უცვლელი) შემოთავაზებულია გამოცდაზე.
მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან
ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:
ამის დანახვა ადვილია ბოლო წესიმიჰყვება პირველ ორს. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.
რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ დაცულია ODZ ლოგარითმი: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .
მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12
Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
[სურათის წარწერა]
გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 72. Ჩვენ გვაქვს:
[სურათის წარწერა] ვფიქრობ, რომ ბოლო მაგალითიდაზუსტებაა საჭირო. სად წავიდა ლოგარითმები? მთელი გზა ბოლო მომენტიჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.
ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველს და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.
ახალ საძირკველზე გადასვლა
ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:
მიეცეს ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:
[სურათის წარწერა]
კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:
[სურათის წარწერა]
მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.
ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. შესაძლებელია შეაფასოთ რამდენად მოსახერხებელია ისინი მხოლოდ გადაწყვეტილების მიღებისას ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები.
თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:
Დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.
გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;
ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:
[სურათის წარწერა]ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.
Დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.
პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:
[სურათის წარწერა]ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:
[სურათის წარწერა]ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:
პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტის გამომხატველი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.
მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა.
მართლაც, რა მოხდება, თუ ნომერი ბძალაუფლებაზე აყვანა ისე, რომ ბამ ზომით იძლევა რიცხვს ა? მართალია: ეს იგივე რიცხვია ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".
ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.
Დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
[სურათის წარწერა]
გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:
[სურათის წარწერა]თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო ნამდვილი დავალება გამოცდიდან :)
ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული
დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებიც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.
- ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე აამ ფუძიდან თავად უდრის ერთს.
- ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია - ლოგარითმი ნული! რადგან ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.
ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.
მისი განმარტებიდან გამომდინარე. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებლით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).
ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას ცული=ბ.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ცხადია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული რიცხვის სიმძლავრის თემასთან.
ლოგარითმებით, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.
ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.
აიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: ჟურნალი xდა შესვლა y. შემდეგ ამოღება შესაძლებელია შეკრების და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ჟურნალი x 1 + ჟურნალი x 2 + ჟურნალი x 3 + ... + log a x k.
დან კოეფიციენტის ლოგარითმის თეორემებიშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად,
ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.
ასე რომ, არის თანასწორობა:
log a 1 / b = - log a b.
ორი ურთიერთშებრუნებული რიცხვის ლოგარითმებიიმავე საფუძველზე ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან. Ისე:
ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, მნიშვნელობების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, წარმოებული, ინტეგრალი, გაფართოება დენის სერიადა წარმოადგენს ln x ფუნქციას რთული რიცხვების მიხედვით.
განმარტება
ბუნებრივი ლოგარითმიარის ფუნქცია y = n x, ინვერსიული მაჩვენებლის, x \u003d e y , და რომელიც არის ლოგარითმი e რიცხვის ფუძის მიმართ: ln x = ჟურნალი e x.
ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, რადგან მის წარმოებულს აქვს უმარტივესი ფორმა: (ln x)′ = 1/ x.
დაფუძნებული განმარტებები, ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი ე:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
y = ფუნქციის გრაფიკი n x.
ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკი (ფუნქციები y = n x) მიიღება მაჩვენებლის დიაგრამიდან სარკისებური გამოსახულებასწორი ხაზის მიმართ y = x.
ბუნებრივი ლოგარითმი განისაზღვრება დადებითი ღირებულებებიცვლადი x. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების სფეროზე.
როგორც x → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა ( - ∞ ).
როგორც x → + ∞, ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა ( + ∞ ). დიდი x-ისთვის ლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x a დადებითი მაჩვენებლით a იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი.
ბუნებრივი ლოგარითმის თვისებები
განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება
ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.
ln x მნიშვნელობები
ჟურნალი 1 = 0
ძირითადი ფორმულები ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის
შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე ფორმულები:
ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები
ბაზის შეცვლის ფორმულა
ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმებით ბაზის ცვლილების ფორმულის გამოყენებით:
ამ ფორმულების მტკიცებულებები წარმოდგენილია "ლოგარითმის" განყოფილებაში.
ინვერსიული ფუნქცია
ბუნებრივი ლოგარითმის ორმხრივი მაჩვენებელია.
თუ, მაშინ
თუ , მაშინ .
წარმოებული ln x
ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >
ინტეგრალური
ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით:
.
Ისე,
გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით
განვიხილოთ z რთული ცვლადის ფუნქცია:
.
გამოვხატოთ რთული ცვლადი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ
:
.
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
.
ან
.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დავაყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვა n-სთვის.
Ამიტომაც ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.
დენის სერიის გაფართოება
იყიდება, გაფართოება ხდება:
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
ინსტრუქცია
ჩაწერეთ მოცემული ლოგარითმული გამოხატულება. თუ გამოთქმა იყენებს 10-ის ლოგარითმს, მაშინ მისი აღნიშვნა მცირდება და ასე გამოიყურება: lg b არის ათობითი ლოგარითმი. თუ ლოგარითმს საფუძვლად აქვს რიცხვი e, მაშინ გამოთქმა იწერება: ln b არის ბუნებრივი ლოგარითმი. გასაგებია, რომ ნებისმიერის შედეგი არის ძალა, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს საბაზისო რიცხვი, რომ მიიღოთ რიცხვი b.
ჯამიდან ორი ფუნქციის პოვნისას თქვენ უბრალოდ უნდა განასხვავოთ ისინი სათითაოდ და დაამატოთ შედეგები: (u+v)" = u"+v";
ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებულის პოვნისას აუცილებელია პირველი ფუნქციის წარმოებული გავამრავლოთ მეორეზე და დავუმატოთ მეორე ფუნქციის წარმოებული, გამრავლებული პირველ ფუნქციაზე: (u*v)" = u"* v+v"*u;
ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, საჭიროა დივიდენდის წარმოებულის ნამრავლს გამყოფ ფუნქციაზე გამრავლებული გამოვაკლოთ გამყოფის წარმოებულის ნამრავლი გამრავლებულ ფუნქციაზე და გავყოთ. ეს ყველაფერი გამყოფი ფუნქციის კვადრატში. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
თუ მიცემულია რთული ფუნქცია, მაშინ აუცილებელია მისი წარმოებულის გამრავლება შიდა ფუნქციახოლო გარედან წარმოებული. მოდით y=u(v(x)), შემდეგ y"(x)=y"(u)*v"(x).
ზემოაღნიშნულის გამოყენებით შეგიძლიათ განასხვავოთ თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია. ასე რომ, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ასევე არსებობს დავალებები წარმოებულის გამოთვლის წერტილში. მოცემული იყოს ფუნქცია y=e^(x^2+6x+5), თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=1 წერტილში.
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემული წერტილი y"(1)=8*e^0=8
Მსგავსი ვიდეოები
ისწავლეთ ელემენტარული წარმოებულების ცხრილი. ეს დაზოგავს დიდ დროს.
წყაროები:
- მუდმივი წარმოებული
მაშ, რა განსხვავებაა მათ შორის რაციონალური განტოლებარაციონალურიდან? თუ უცნობი ცვლადი არის ნიშნის ქვეშ კვადრატული ფესვი, მაშინ განტოლება ითვლება ირაციონალურად.
ინსტრუქცია
ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდი ორივე ნაწილის ამაღლების მეთოდია განტოლებებიმოედანზე. თუმცა. ეს ბუნებრივია, პირველი ნაბიჯი არის ნიშნის მოშორება. ტექნიკურად, ეს მეთოდი არ არის რთული, მაგრამ ზოგჯერ შეიძლება გამოიწვიოს პრობლემები. მაგალითად, განტოლება v(2x-5)=v(4x-7). ორივე მხარის კვადრატში მიიღებთ 2x-5=4x-7. ასეთი განტოლება არ არის რთული ამოსახსნელი; x=1. მაგრამ ნომერი 1 არ იქნება მოცემული განტოლებები. რატომ? შეცვალეთ ერთეული განტოლებაში x მნიშვნელობის ნაცვლად და მარჯვენა და მარცხენა მხარეები შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებსაც აზრი არ აქვს, ანუ. ასეთი მნიშვნელობა არ მოქმედებს კვადრატული ფესვისთვის. ამიტომ 1 არის უცხო ფესვი და ამიტომ მოცემული განტოლებაფესვები არ აქვს.
Ისე, ირაციონალური განტოლებაიხსნება მისი ორივე ნაწილის კვადრატის მეთოდით. და განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია აუცილებლად გათიშვა უცხო ფესვები. ამისათვის შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში.
განიხილეთ კიდევ ერთი.
2x+vx-3=0
რა თქმა უნდა, ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია იმავე განტოლების გამოყენებით, როგორც წინა. გადაცემის ნაერთები განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ კვადრატული ფესვი, მარჯვენა მხარედა შემდეგ გამოიყენეთ კვადრატის მეთოდი. ამოხსნათ მიღებული რაციონალური განტოლება და ფესვები. მაგრამ კიდევ ერთი, უფრო ელეგანტური. შეიყვანეთ ახალი ცვლადი; vx=y. შესაბამისად, თქვენ მიიღებთ განტოლებას, როგორიცაა 2y2+y-3=0. ანუ ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება. იპოვნეთ მისი ფესვები; y1=1 და y2=-3/2. შემდეგი, გადაწყვიტეთ ორი განტოლებები vx=1; vx \u003d -3/2. მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს, პირველიდან ვხვდებით, რომ x=1. არ დაივიწყოთ ფესვების შემოწმების აუცილებლობა.
პირადობის ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. ეს მოითხოვს გაკეთებას იდენტური გარდაქმნებისანამ მიზანს მიაღწევს. ამრიგად, მარტივი დახმარებით არითმეტიკული მოქმედებებიამოცანა მოგვარდება.
დაგჭირდებათ
- - ქაღალდი;
- - კალამი.
ინსტრუქცია
უმარტივესი ასეთი გარდაქმნებია ალგებრული შემოკლებული ნამრავლები (როგორიცაა ჯამის კვადრატი (განსხვავება), კვადრატების სხვაობა, ჯამი (განსხვავება), ჯამის კუბი (განსხვავება)). გარდა ამისა, ბევრია ტრიგონომეტრიული ფორმულები, რომლებიც არსებითად იგივე იდენტობებია.
მართლაც, ორი წევრის ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატსპირველი პლუსის ორჯერ ნამრავლი პირველის და მეორეს პლუს მეორის კვადრატი, ანუ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.
გაამარტივეთ ორივე
გადაწყვეტის ზოგადი პრინციპები
გაიმეორეთ სახელმძღვანელო მათემატიკური ანალიზიან უმაღლესი მათემატიკა, რომელიც განსაზღვრული ინტეგრალია. მოგეხსენებათ, გამოსავალი განსაზღვრული ინტეგრალიარის ფუნქცია, რომლის წარმოებული მისცემს ინტეგრანდს. ეს ფუნქციაპრიმიტიულს უწოდებენ. ამ პრინციპის მიხედვით აგებულია ძირითადი ინტეგრალები.განსაზღვრეთ ტიპის მიხედვით ინტეგრანდ, რომელი მაგიდის ინტეგრალებიჯდება ამ საქმეს. ამის დაუყოვნებლივ დადგენა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ხშირად, ტაბულური ფორმა შესამჩნევი ხდება მხოლოდ რამდენიმე გარდაქმნის შემდეგ, ინტეგრადის გასამარტივებლად.
ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი
თუ ინტეგრანტი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის რამდენიმე პოლინომი, შემდეგ სცადეთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება. ამისათვის შეცვალეთ პოლინომი ინტეგრადის არგუმენტში ახალი ცვლადით. ახალ და ძველ ცვლადს შორის თანაფარდობიდან გამომდინარე, განსაზღვრეთ ინტეგრაციის ახალი საზღვრები. დიფერენციაცია მოცემული გამოხატულებაიპოვნეთ ახალი დიფერენციალი. ამრიგად თქვენ მიიღებთ ახალი სახეობაყოფილი ინტეგრალი, ახლო ან თუნდაც რომელიმე ცხრილის შესაბამისი.მეორე სახის ინტეგრალების ამოხსნა
თუ ინტეგრალი არის მეორე ტიპის ინტეგრალი, ინტეგრანის ვექტორული ფორმა, მაშინ დაგჭირდებათ ამ ინტეგრალებიდან სკალარზე გადასვლის წესების გამოყენება. ერთ-ერთი ასეთი წესია ოსტროგრადსკი-გაუსის თანაფარდობა. ეს კანონისაშუალებას იძლევა გადავიდეს რომელიმე ვექტორული ფუნქციის როტორის ნაკადიდან სამმაგ ინტეგრალზე მოცემული ვექტორული ველის დივერგენციაზე.ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება
ანტიდერივატივის პოვნის შემდეგ აუცილებელია ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, შეცვალეთ ზედა ზღვრის მნიშვნელობა ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში. მიიღებთ რაღაც ნომერს. შემდეგ, გამოკლეთ მიღებულ რიცხვს სხვა რიცხვი, შედეგად ქვედა ზღვარი ანტიწარმოებულს. თუ ინტეგრაციის ერთ-ერთი ლიმიტი არის უსასრულობა, მაშინ ჩანაცვლება მასში ანტიდერივატიული ფუნქციააუცილებელია ზღვარზე წასვლა და იმის პოვნა, რისკენ მიდრეკილია გამოხატვა.თუ ინტეგრალი არის ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი, მაშინ თქვენ მოგიწევთ წარმოადგინოთ ინტეგრაციის გეომეტრიული საზღვრები, რათა გაიგოთ როგორ გამოვთვალოთ ინტეგრალი. ბოლოს და ბოლოს, ვთქვათ, სამგანზომილებიანი ინტეგრალის შემთხვევაში, ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება იყოს მთლიანი სიბრტყეები, რომლებიც ზღუდავს ინტეგრირებულ მოცულობას.
