ឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលការបំប្លែងកន្សោមដែលមានលោការីតពី មុខតំណែងទូទៅ. នៅទីនេះយើងនឹងវិភាគមិនត្រឹមតែការបំប្លែងនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាពីការបំប្លែងនៃកន្សោមជាមួយលោការីត។ ទិដ្ឋភាពទូទៅដែលមិនត្រឹមតែមានលោការីតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានអំណាច ប្រភាគ ឫស ជាដើម។ ជាធម្មតាយើងនឹងផ្គត់ផ្គង់សម្ភារៈទាំងអស់។ ឧទាហរណ៍ធម្មតា។ជាមួយ ការពិពណ៌នាលម្អិតដំណោះស្រាយ។
ការរុករកទំព័រ។
កន្សោមជាមួយលោការីត និងកន្សោមលោការីត
អនុវត្តសកម្មភាពជាមួយប្រភាគ
នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន យើងបានវិភាគការបំប្លែងសំខាន់ៗដែលត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រភាគនីមួយៗដែលមានលោការីត។ ការបំប្លែងទាំងនេះ ជាការពិត អាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយប្រភាគនីមួយៗ ដែលជាផ្នែកមួយនៃទំហំធំជាង កន្សោមស្មុគស្មាញឧទាហរណ៍ តំណាងឱ្យផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតា ប្រភាគស្រដៀងគ្នា. ប៉ុន្តែបន្ថែមពីលើការធ្វើការជាមួយប្រភាគបុគ្គលការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោម ប្រភេទដែលបានបញ្ជាក់ជារឿយៗពាក់ព័ន្ធនឹងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការសមស្របលើប្រភាគ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងពិចារណាច្បាប់ដែលសកម្មភាពទាំងនេះត្រូវបានអនុវត្ត។
ចាប់ពីថ្នាក់ទី 5 ដល់ថ្នាក់ទី 6 យើងដឹងពីច្បាប់ដែល . នៅក្នុងអត្ថបទ ទិដ្ឋភាពទូទៅសម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគយើងបានផ្សព្វផ្សាយច្បាប់ទាំងនេះជាមួយ ប្រភាគធម្មតា។ទៅជាប្រភាគនៃទម្រង់ទូទៅ A/B ដែល A និង B ជាលេខមួយចំនួន កន្សោមព្យញ្ជនៈឬកន្សោមជាមួយអថេរ ហើយ B គឺដូចគ្នាបេះបិទមិនសូន្យ។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រភាគដែលមានលោការីតគឺជាករណីពិសេសនៃប្រភាគទូទៅ។ ហើយក្នុងន័យនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាសកម្មភាពជាមួយប្រភាគដែលមានលោការីតនៅក្នុងកំណត់ត្រារបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចគ្នា។ ពោលគឺ៖
- ដើម្បីបន្ថែមឬដកប្រភាគពីរជាមួយ ភាគបែងដូចគ្នា។វាចាំបាច់ក្នុងការបូកឬដកលេខរៀងគ្នា ហើយទុកភាគបែងឱ្យនៅដដែល។
- ដើម្បីបន្ថែមឬដកប្រភាគពីរជាមួយ ភាគបែងផ្សេងគ្នាយើងត្រូវនាំពួកគេទៅ កត្តាកំណត់រួមនិងអនុវត្តសកម្មភាពដែលត្រូវគ្នាដោយយោងតាមច្បាប់មុន។
- ដើម្បីគុណប្រភាគពីរ អ្នកត្រូវសរសេរប្រភាគដែលភាគយកជាផលនៃភាគយកនៃប្រភាគដើម ហើយភាគបែងជាផលនៃភាគបែង។
- ដើម្បីចែកប្រភាគដោយប្រភាគ ប្រភាគដែលអាចបែងចែកបាន។គុណនឹងចំរុះនៃផ្នែកចែក ពោលគឺដោយប្រភាគជាមួយភាគយក និងភាគបែងរៀបចំឡើងវិញ។
នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនសម្រាប់អនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគដែលមានលោការីត។
ឧទាហរណ៍។
អនុវត្តសកម្មភាពជាមួយប្រភាគដែលមានលោការីត៖ ក) ខ) 
, វី) 
, G) 
.
ដំណោះស្រាយ។
ក) ភាគបែងនៃប្រភាគដែលបានបន្ថែមគឺជាក់ស្តែងដូចគ្នា។ ដូច្នេះយោងតាមច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមប្រភាគជាមួយភាគបែងដូចគ្នា យើងបន្ថែមភាគយក ហើយទុកភាគបែងដូចគ្នា៖ 
.
ខ) នៅទីនេះភាគបែងគឺខុសគ្នា។ ដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវការ នាំប្រភាគទៅភាគបែងដូចគ្នា។. ក្នុងករណីរបស់យើង ភាគបែងត្រូវបានបង្ហាញជាផលិតផលរួចហើយ ហើយវានៅសល់សម្រាប់យើងក្នុងការយកភាគបែងនៃប្រភាគទីមួយ ហើយបន្ថែមទៅវានូវកត្តាដែលបាត់ពីភាគបែងនៃប្រភាគទីពីរ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានភាគបែងទូទៅនៃទម្រង់ 
. ក្នុងករណីនេះ ប្រភាគដកត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងទូទៅដោយប្រើ មេគុណបន្ថែមក្នុងទម្រង់លោការីត និងកន្សោម x 2 ·(x+1) រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មក វានៅតែដកប្រភាគជាមួយភាគបែងដដែល ដែលមិនពិបាកទេ។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយគឺ៖ 
គ) គេដឹងថាលទ្ធផលនៃការគុណប្រភាគជាប្រភាគ ភាគយកដែលជាផលនៃភាគយក ហើយភាគបែងជាផលនៃភាគបែង ដូច្នេះ 
វាងាយមើលឃើញថាវាអាចទៅរួច ការកាត់បន្ថយប្រភាគសម្រាប់ពីរនិង លោការីតទសភាគជាលទ្ធផលយើងមាន 
.
ឃ) យើងឆ្លងកាត់ពីការបែងចែកប្រភាគទៅជាគុណ ដោយជំនួសប្រភាគ-ចែកដោយប្រភាគរបស់វា។ ដូច្នេះ 
ភាគយកនៃប្រភាគលទ្ធផលអាចត្រូវបានតំណាងជា 
ដែលអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ កត្តារួមភាគយក និងភាគបែង - កត្តា x អ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគដោយវា៖ 
ចម្លើយ៖
ក) ខ) 
, វី) 
, G) 
.
គួរចងចាំថាសកម្មភាពដែលមានប្រភាគត្រូវបានអនុវត្តដោយគិតគូរពីលំដាប់ដែលសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត៖ គុណ និងចែកដំបូង បន្ទាប់មកបូក និងដក ហើយប្រសិនបើមានតង្កៀប នោះសកម្មភាពក្នុងតង្កៀបត្រូវបានអនុវត្តជាមុនសិន។
ឧទាហរណ៍។
ធ្វើសកម្មភាពដោយប្រភាគ 
.
ដំណោះស្រាយ។
ដំបូងយើងអនុវត្តការបូកប្រភាគនៅក្នុងតង្កៀប បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងអនុវត្តការគុណ៖ 
ចម្លើយ៖
ត្រង់ចំណុចនេះ វានៅតែនិយាយឱ្យខ្លាំងៗចំនួនបីយ៉ាងច្បាស់លាស់ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយចំណុចសំខាន់ៗ៖
ការបំប្លែងកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត
ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមជាមួយលោការីត ពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់អត្តសញ្ញាណដែលបង្ហាញពីនិយមន័យនៃលោការីត និង
លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់វិធីដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនពិតប្រាកដ លេខធម្មតា។មានច្បាប់នៅទីនេះដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.
ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - បើគ្មានពួកគេទេ មិនមែនជារឿងធ្ងន់ធ្ងរទេ។ បញ្ហាលោការីត. លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។
ការបូកនិងដកលោការីត
ពិចារណាលោការីតពីរជាមួយ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។៖ កំណត់ហេតុ ក xនិងកំណត់ហេតុ ក y. បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក ហើយ៖
- កំណត់ហេតុ ក x+ កំណត់ហេតុ ក y= កំណត់ហេតុ ក (x · y);
- កំណត់ហេតុ ក x- កំណត់ហេតុ ក y= កំណត់ហេតុ ក (x : y).
ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ ចំណាំ៖ ពេលសំខាន់នៅទីនេះ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!
រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយអ្នកក្នុងការគណនា កន្សោមលោការីតទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "តើលោការីតជាអ្វី")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖
កំណត់ហេតុ ៦ ៤ + កំណត់ហេតុ ៦ ៩.
ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2 ។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 2 48 − log 2 ៣.
មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4 ។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 3 135 − log 3 5 ។
ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3 ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរចំនួនធម្មតាបានចេញ។ ដោយផ្អែកលើការពិតនេះមនុស្សជាច្រើន ឯកសារសាកល្បង. មែនហើយតើអ្វីទៅជាការគ្រប់គ្រង - កន្សោមស្រដៀងគ្នានៅក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាលអនុវត្តមិនផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។
ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត
ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការបន្តិច។ ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ
វាងាយស្រួលមើលនោះ។ ច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូង។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។
ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានអង្កេត៖ ក > 0, ក ≠ 1, x> 0. ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់ មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងច្រាសមកវិញ i.e. អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតចូលទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ កំណត់ហេតុ ៧ ៤៩ ៦ .
ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖
[រូបភាពចំណងជើង]
ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់មានអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 2 4 ; ៤៩ = ៧២. យើងមាន:
[រូបភាពចំណងជើង] ខ្ញុំគិតថា ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយការបញ្ជាក់ត្រូវបានទាមទារ។ តើលោការីតបានទៅណា? វិធីទាំងអស់ ពេលចុងក្រោយយើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log 2 7. ចាប់តាំងពី log 2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ - 2/4 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងភាគបែង។ យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.
ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។
និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះបើពួកគេមិនមែនជាលេខដូចគ្នា?
រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖
អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កំណត់ហេតុលោការីត ក x. បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ។ គបែបនោះ។ គ> 0 និង គ≠ ១, សមភាពគឺពិត៖
[រូបភាពចំណងជើង]
ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ គ = x, យើងទទួលបាន:
[រូបភាពចំណងជើង]
វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។
រូបមន្តទាំងនេះកម្ររកឃើញជាធម្មតាណាស់។ កន្សោមលេខ. វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកគេមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលសម្រេចចិត្ត សមីការលោការីតនិងវិសមភាព។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 5 16 log 2 25 ។
ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
ឥឡូវយើងត្រឡប់លោការីតទីពីរ៖
[រូបភាពចំណងជើង]ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 9 100 lg ៣.
មូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតទីមួយ គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖
[រូបភាពចំណងជើង]ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖
[រូបភាពចំណងជើង]អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន
ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:
ក្នុងករណីដំបូងលេខ នក្លាយជានិទស្សន្តនៃអាគុយម៉ង់។ ចំនួន នវាអាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីត។
រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលគេហៅថា: មូលដ្ឋាន អត្តសញ្ញាណលោការីត.
ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ ខបង្កើនអំណាចដូច្នេះ ខដល់កម្រិតនេះផ្តល់លេខ ក? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា។ ក. អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។
ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖
[រូបភាពចំណងជើង]
ចំណាំថា log 25 64 = log 5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖
[រូបភាពចំណងជើង]បើអ្នកណាមិនស្គាល់ នោះជាកិច្ចការពិតពីការប្រឡង :)
ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត
សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហាហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលបង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ។
- កំណត់ហេតុ ក ក= 1 គឺជាឯកតាលោការីត។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់: លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ។ កពីមូលដ្ឋាននេះខ្លួនវាស្មើនឹងមួយ។
- កំណត់ហេតុ ក 1 = 0 គឺជាលោការីតសូន្យ។ មូលដ្ឋាន កអាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺមួយ - លោការីត សូន្យ! ដោយសារតែ ក 0 = 1 គឺជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។
នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវអនុវត្តឲ្យបានជាក់ជាមិនខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។
បានមកពីនិយមន័យរបស់វា។ ដូច្នេះលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កបានកំណត់ថាជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ(លោការីតមានសម្រាប់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ)។
ពីរូបមន្តនេះវាធ្វើតាមការគណនា x=log a bស្មើនឹងការដោះស្រាយសមីការ ax=b.ឧទាហរណ៍, កំណត់ហេតុ 2 8 = 3ដោយសារតែ 8 = 2 3 . ការបង្កើតលោការីតធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថាប្រសិនបើ b=a គបន្ទាប់មកលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កស្មើ ជាមួយ. វាក៏ច្បាស់ដែរថាប្រធានបទនៃលោការីតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងប្រធានបទនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ។
ជាមួយនឹងលោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អ្នកអាចអនុវត្តបាន។ ប្រតិបត្តិការបូកដកនិងផ្លាស់ប្តូរតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយមើលឃើញពីការពិតដែលថាលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ ច្បាប់ពិសេសផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្តនៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.
ការបូកនិងដកលោការីត។
យកលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កំណត់ហេតុ xនិង កំណត់ហេតុ a y. បន្ទាប់មកយកវាចេញ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការបូក និងដក៖
log a x+ log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y) ។
កំណត់ហេតុ ក(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = កំណត់ហេតុ x 1 + កំណត់ហេតុ x 2 + កំណត់ហេតុ x 3 + ... + កំណត់ហេតុ a x k.
ពី ទ្រឹស្តីបទលោការីតកូតាទ្រព្យសម្បត្តិមួយបន្ថែមទៀតនៃលោការីតអាចទទួលបាន។ វាត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ថាកំណត់ហេតុ ក 1=0 ដូច្នេះ
កំណត់ហេតុ ក 1 /ខ= កំណត់ហេតុ ក 1 - កំណត់ហេតុ ក ខ= - កំណត់ហេតុ ក ខ.
ដូច្នេះមានភាពស្មើគ្នា៖
log a 1 / b = - log a b ។
លោការីតនៃចំនួនទៅវិញទៅមកពីរនៅលើមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងសញ្ញា។ ដូច្នេះ៖
កំណត់ហេតុ 3 9= - កំណត់ហេតុ 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125 ។
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីតធម្មជាតិ ក្រាហ្វ ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ រូបមន្តមូលដ្ឋាន ដេរីវេ អាំងតេក្រាល ការពង្រីកនៅក្នុង ស៊េរីថាមពលនិងតំណាងឱ្យអនុគមន៍ ln x ក្នុងន័យនៃចំនួនកុំផ្លិច។
និយមន័យ
លោការីតធម្មជាតិគឺជាមុខងារ y = ln xបញ្ច្រាសទៅនិទស្សន្ត x \u003d អ៊ី y និងដែលជាលោការីតទៅមូលដ្ឋាននៃលេខ e៖ ln x = log e x.
លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ពីព្រោះដេរីវេរបស់វាមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖ (ln x)′ = 1/ x.
ផ្អែកលើ និយមន័យមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិគឺជាលេខ អ៊ី:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ln x.
ក្រាហ្វនៃលោការីតធម្មជាតិ (មុខងារ y = ln x) ត្រូវបានទទួលពីគ្រោងនិទស្សន្ត ការឆ្លុះបញ្ចាំងកញ្ចក់ទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = x ។
លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់នៅ តម្លៃវិជ្ជមានអថេរ x ។ វាកើនឡើងដោយឯកឯងនៅលើដែននៃនិយមន័យរបស់វា។
ជា x → 0 ដែនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺដកគ្មានកំណត់ ( - ∞ ) ។
ក្នុងនាម x → + ∞ ដែនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ( + ∞ ) ។ សម្រាប់ x ធំ លោការីតកើនឡើងយឺតបន្តិច។ ណាមួយ។ មុខងារថាមពល x a ដែលមាននិទស្សន្តវិជ្ជមាន a លូតលាស់លឿនជាងលោការីត។
លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតធម្មជាតិ
ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ ភាពខ្លាំង ការកើនឡើង ការថយចុះ
លោការីតធម្មជាតិគឺជាមុខងារដែលកើនឡើងដោយឯកតោភាគី ដូច្នេះហើយវាមិនមានភាពជ្រុលនិយមទេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃលោការីតធម្មជាតិត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាង។
ln x តម្លៃ
កំណត់ហេតុ 1 = 0
រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ
រូបមន្តដែលកើតចេញពីនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស៖
ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត និងផលវិបាករបស់វា។
រូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន
លោការីតណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតធម្មជាតិដោយប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាន៖
ភស្តុតាងនៃរូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "លោការីត" ។
មុខងារបញ្ច្រាស
ចំរាស់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺជានិទស្សន្ត។
បើអញ្ចឹង
ប្រសិនបើ .
ដេរីវេ ln x
ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖
.
ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិនៃម៉ូឌុល x៖
.
ដេរីវេនៃលំដាប់ទី 0:
.
ដេរីវេនៃរូបមន្ត > > >
អាំងតេក្រាល។
អាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖
.
ដូច្នេះ
កន្សោមក្នុងន័យនៃចំនួនកុំផ្លិច
ពិចារណាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ z៖
.
ចូរបង្ហាញពីអថេរស្មុគស្មាញ zតាមរយៈម៉ូឌុល rនិងអាគុយម៉ង់ φ
:
.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត យើងមាន៖
.
ឬ
.
អាគុយម៉ង់φមិនត្រូវបានកំណត់ជាពិសេសទេ។ ប្រសិនបើយើងដាក់
ដែល n ជាចំនួនគត់
បន្ទាប់មកវានឹងជាលេខដូចគ្នាសម្រាប់ n ផ្សេងគ្នា។
នោះហើយជាមូលហេតុដែល លោការីតធម្មជាតិជាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ មិនមែនជាអនុគមន៍តម្លៃតែមួយទេ។
ការពង្រីកស៊េរីថាមពល
សម្រាប់ ការពង្រីកកើតឡើង៖
ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
ការណែនាំ
សរសេរកន្សោមលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើកន្សោមប្រើលោការីត ១០ នោះសញ្ញាណរបស់វាត្រូវបានខ្លី ហើយមើលទៅដូចនេះ៖ lg b គឺជាលោការីតទសភាគ។ ប្រសិនបើលោការីតមានលេខ e ជាគោល នោះកន្សោមត្រូវបានសរសេរ៖ ln b គឺជាលោការីតធម្មជាតិ។ វាត្រូវបានយល់ថាលទ្ធផលនៃណាមួយគឺជាអំណាចដែលលេខមូលដ្ឋានត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ b ។
នៅពេលស្វែងរកផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកពួកវាពីមួយទៅមួយ ហើយបន្ថែមលទ្ធផល៖ (u+v)" = u"+v";
នៅពេលរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីរ ចាំបាច់ត្រូវគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយទីពីរ ហើយបន្ថែមដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរ គុណនឹងអនុគមន៍ទីមួយ៖ (u*v)" = u"* v+v"*u;
ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ គឺចាំបាច់ពីផលគុណនៃដេរីវេនៃភាគលាភគុណនឹងអនុគមន៍ចែក ដើម្បីដកផលគុណនៃដេរីវេនៃមេចែកគុណនឹងអនុគមន៍ចែកចែក។ ទាំងអស់នេះដោយអនុគមន៍ចែកការ៉េ។ (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ មុខងារស្មុគស្មាញបន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដើម្បីគុណដេរីវេនៃ មុខងារខាងក្នុងនិងដេរីវេនៃផ្នែកខាងក្រៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ y=u(v(x)) បន្ទាប់មក y"(x)=y"(u)*v"(x)។
ដោយប្រើដែលទទួលបានខាងលើអ្នកអាចបែងចែកមុខងារស្ទើរតែទាំងអស់។ ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
វាក៏មានភារកិច្ចសម្រាប់ការគណនាដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y=e^(x^2+6x+5) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x=1។
១) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)។
2) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅក្នុង ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ y"(1)=8*e^0=8
វីដេអូពាក់ព័ន្ធ
រៀនតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុបឋម។ នេះនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន។
ប្រភព៖
- ដេរីវេថេរ
ដូច្នេះតើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង សមីការសមហេតុផលមកពីហេតុផល? ប្រសិនបើអថេរមិនស្គាល់គឺស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញា ឫសការេបន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនសមហេតុផល។
ការណែនាំ
វិធីសាស្រ្តសំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើនផ្នែកទាំងពីរ សមីការចូលទៅក្នុងការ៉េមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ នេះគឺជាធម្មជាតិ ជំហានដំបូងគឺត្រូវកម្ចាត់សញ្ញា។ តាមបច្ចេកទេសវិធីនេះមិនពិបាកទេ ប៉ុន្តែពេលខ្លះវាអាចនាំឱ្យមានបញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ សមីការ v(2x-5)=v(4x-7)។ ដោយការកាត់ទាំងសងខាង អ្នកទទួលបាន 2x-5=4x-7 ។ សមីការបែបនេះមិនពិបាកដោះស្រាយទេ។ x=1. ប៉ុន្តែលេខ 1 នឹងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ សមីការ. ហេតុអ្វី? ជំនួសឯកតាក្នុងសមីការជំនួសឱ្យតម្លៃ x ហើយផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនឹងមានកន្សោមដែលមិនសមហេតុផល នោះគឺ។ តម្លៃបែបនេះមិនមានសុពលភាពសម្រាប់ឫសការ៉េទេ។ ដូច្នេះ 1 គឺជា root extraneous ហើយដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសទេ។
ដូច្នេះ សមីការមិនសមហេតុផលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការ squaring ផ្នែកទាំងពីររបស់វា។ ហើយដោយបានដោះស្រាយសមីការវាចាំបាច់ត្រូវកាត់ផ្តាច់ ឫស extraneous. ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសឫសដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការដើម។
ពិចារណាមួយទៀត។
2x+vx-3=0
ជាការពិតណាស់ សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើសមីការដូចគ្នានឹងសមីការមុន។ សមាសធាតុផ្ទេរ សមីការដែលមិនមានឫសការ៉េ ផ្នែកខាងស្តាំហើយបន្ទាប់មកប្រើវិធីសាស្ត្រការ៉េ។ ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផល និងឫសគល់។ ប៉ុន្តែមួយទៀតឆើតឆាយជាង។ បញ្ចូលអថេរថ្មី; vx=y ។ ដូច្នោះហើយ អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដូចជា 2y2+y-3=0។ នោះគឺធម្មតា។ សមីការការ៉េ. ស្វែងរកឫសរបស់វា; y1=1 និង y2=-3/2 ។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយពីរ សមីការ vx=1; vx \u003d -3/2 ។ សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ ពីដំបូងយើងរកឃើញថា x=1។ កុំភ្លេចអំពីតម្រូវការដើម្បីពិនិត្យមើលឫស។
ការដោះស្រាយអត្តសញ្ញាណគឺងាយស្រួលណាស់។ នេះតម្រូវឱ្យធ្វើ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទរហូតដល់គោលដៅត្រូវបានសម្រេច។ ដូច្នេះដោយមានជំនួយពីសាមញ្ញ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធភារកិច្ចនឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។
អ្នកនឹងត្រូវការ
- - ក្រដាស;
- - ប៊ិច។
ការណែនាំ
ការបំប្លែងបែបសាមញ្ញបំផុតគឺគុណលេខអក្សរកាត់ពិជគណិត (ដូចជាការេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) គូបនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា)) ។ លើសពីនេះទៀតមានច្រើន។ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រដែលសំខាន់គឺអត្តសញ្ញាណដូចគ្នា។
ជាការពិត ការេនៃផលបូកនៃពាក្យពីរ គឺស្មើនឹងការ៉េនៃផលបូកទីមួយពីរដងនៃផលគុណទីមួយ និងទីពីរបូកនឹងការេទីពីរ ពោលគឺ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2។
សម្រួលទាំងពីរ
គោលការណ៍ទូទៅនៃដំណោះស្រាយ
ធ្វើសៀវភៅសិក្សាឡើងវិញ ការវិភាគគណិតវិទ្យាឬ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងដែលជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាដំណោះស្រាយ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មានមុខងារមួយដែលដេរីវេនឹងផ្តល់អាំងតេក្រាលមួយ។ មុខងារនេះ។ត្រូវបានគេហៅថាបុព្វកាល។ យោងតាមគោលការណ៍នេះអាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋានត្រូវបានសាងសង់។កំណត់តាមប្រភេទ អាំងតេក្រាល។មួយណា អាំងតេក្រាលតារាងសមទៅនឹង ករណីនេះ. វាមិនតែងតែអាចកំណត់បានភ្លាមៗនោះទេ។ ជាញឹកញាប់ ទម្រង់តារាងក្លាយជាការកត់សម្គាល់បានតែបន្ទាប់ពីការបំប្លែងជាច្រើន ដើម្បីសម្រួលដល់ការរួមបញ្ចូល។
វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាល។ មុខងារត្រីកោណមាត្រអាគុយម៉ង់របស់វាជាពហុនាមមួយចំនួន បន្ទាប់មកសាកល្បងប្រើវិធីជំនួសអថេរ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសពហុនាមនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នៃអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងអថេរថ្មីមួយចំនួន។ ដោយផ្អែកលើសមាមាត្ររវាងអថេរថ្មី និងចាស់ កំណត់ដែនកំណត់ថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល។ ភាពខុសគ្នា ការបញ្ចេញមតិស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលថ្មីនៅក្នុង . ដូច្នេះអ្នកនឹងទទួលបាន ប្រភេទថ្មី។អតីតអាំងតេក្រាល បិទ ឬសូម្បីតែត្រូវគ្នាទៅនឹងតារាងណាមួយ។ដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ ទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃអាំងតេក្រាល នោះអ្នកនឹងត្រូវប្រើច្បាប់សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរពីអាំងតេក្រាលទាំងនេះទៅជាមាត្រដ្ឋាន។ ច្បាប់មួយគឺសមាមាត្រ Ostrogradsky-Gauss ។ ច្បាប់នេះ។អនុញ្ញាតឱ្យឆ្លងកាត់លំហូរ rotor នៃអនុគមន៍វ៉ិចទ័រមួយចំនួនទៅអាំងតេក្រាលបីដងលើភាពខុសគ្នានៃវាលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល
បន្ទាប់ពីរកឃើញ antiderivative វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដំបូង ជំនួសតម្លៃនៃដែនកំណត់ខាងលើទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ antiderivative ។ អ្នកនឹងទទួលបានលេខមួយចំនួន។ បន្ទាប់មក ដកពីលេខលទ្ធផល លេខមួយផ្សេងទៀត ដែលជាលទ្ធផលកម្រិតទាបទៅ អង់ទីឌីវវេទី។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលណាមួយគឺគ្មានកំណត់ នោះការជំនួសវាទៅជា មុខងារ antiderivativeវាចាំបាច់ក្នុងការចូលទៅកាន់ដែនកំណត់ ហើយស្វែងរកអ្វីដែលកន្សោមមាននិន្នាការ។ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមានពីរវិមាត្រ ឬបីវិមាត្រ នោះអ្នកនឹងត្រូវតំណាងឱ្យដែនកំណត់ធរណីមាត្រនៃការរួមបញ្ចូល ដើម្បីយល់ពីរបៀបគណនាអាំងតេក្រាល។ ជាការពិត នៅក្នុងករណីនៃការនិយាយថា អាំងតេក្រាលបីវិមាត្រ ដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្មអាចជាយន្តហោះទាំងមូលដែលកំណត់បរិមាណដែលត្រូវបញ្ចូល។
