សេចក្តីផ្តើម

1. ផ្នែកទ្រឹស្តី

1.1 គោលគំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន

1.3 រូបមន្ត Cardano

2. ការដោះស្រាយបញ្ហា

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សេចក្តីផ្តើម

សមីការ។ អាច​និយាយ​បាន​យ៉ាង​ប្រាកដ​ថា​មិន​មាន​មនុស្ស​តែ​ម្នាក់​ដែល​មិន​ស្គាល់​ពួកគេ​នោះ​ទេ។ តាំងពីក្មេងមក កុមារចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហា "ជាមួយ X" ។ បន្ថែមទៀត។ ពិតហើយ សម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ការស្គាល់សមីការបញ្ចប់ដោយកិច្ចការសាលា។ គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីឈ្មោះ Courant បានសរសេរថា “អស់រយៈពេលជាងពីរពាន់ឆ្នាំមកនេះ ការកាន់កាប់របស់មួយចំនួន មិនមែនហួសហេតុពេកទេ ចំណេះដឹងក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាគឺចាំបាច់ណាស់។ ផ្នែកសំខាន់នៅក្នុងសារពើភ័ណ្ឌបញ្ញារបស់នីមួយៗ មនុស្សដែលមានការអប់រំ"។ ហើយក្នុងចំណោមចំណេះដឹងនេះគឺសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។

នៅសម័យបុរាណ មនុស្សបានដឹងថាវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាក្នុងការរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃទម្រង់

a0xn + a1xn ​​​​− 1 + ... + an = 0

យ៉ាងណាមិញ សំណួរជាច្រើន និងចម្រុះនៃការអនុវត្ត និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិត្រូវបានកាត់បន្ថយចំពោះពួកគេ (ជាការពិតណាស់ នៅទីនេះយើងអាចសន្មត់បានភ្លាមៗថា a0 ¹ 0 ព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ កម្រិតនៃសមីការគឺពិតជាមិនមែន n ប៉ុន្តែតិចជាង)។ ជាការពិតណាស់ មនុស្សជាច្រើនបានបង្កើតគំនិតទាក់ទាញដើម្បីស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់អំណាចណាមួយនៃ n ដែលនឹងបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា ពោលគឺនឹងដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ "យុគសម័យកណ្តាលដ៏អាប់អួរ" ប្រែទៅជាអាប់អួរតាមដែលអាចធ្វើទៅបានទាក់ទងនឹងបញ្ហាដែលកំពុងពិភាក្សា - អស់រយៈពេលប្រាំពីរសតវត្សទាំងមូលគ្មាននរណាម្នាក់បានរកឃើញរូបមន្តដែលត្រូវការ! មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 16 ប៉ុណ្ណោះដែលគណិតវិទូអ៊ីតាលីអាចផ្លាស់ទីបន្ថែមទៀត - ដើម្បីស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ n \u003d 3 និង 4 ។ ប្រវត្តិនៃការរកឃើញរបស់ពួកគេនិងសូម្បីតែការនិពន្ធនៃរូបមន្តដែលបានរកឃើញគឺមានភាពស្រពិចស្រពិលរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះហើយយើងនឹងមិនអាចរកឃើញទេ។ នៅទីនេះ ទំនាក់ទំនងស្មុគស្មាញរវាង Ferro, Cardano, Tartaglia និង Ferrari ប៉ុន្តែសូមដាក់វាឱ្យល្អជាង ខ្លឹមសារគណិតវិទ្យាកិច្ចការ។

គោលបំណងនៃការងារគឺដើម្បីស្វែងរកវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបី។

ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅនេះ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តការងារមួយចំនួន៖

-ការវិភាគ អក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រ;

-ការវិភាគសៀវភៅសិក្សា;

-ការជ្រើសរើសឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយ;

-ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗ។

ការងារមានពីរផ្នែក។ ទីមួយនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ។ ផ្នែកទីពីរគឺឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការ វិធី​ផ្សេង​គ្នា.

1. ផ្នែកទ្រឹស្តី

1 គំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន

សមីការគូបគឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីបីនៃទម្រង់៖

លេខ x ដែលប្រែសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ឫស ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការ។ វាក៏ជាឫសគល់នៃពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញា Canonical ។

លើវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច យោងតាមទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិត សមីការគូបតែងតែមានឫស 3 (គិតគូរពីគុណ)។

ចាប់តាំងពីគ្រប់ពហុនាមពិតប្រាកដគឺមិនមែនទេ។ សញ្ញាបត្រមានឫសពិតយ៉ាងហោចណាស់មួយ ករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃសមាសធាតុនៃឫសនៃសមីការគូបត្រូវបានអស់ដោយទាំងបីដែលបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។ ករណីទាំងនេះត្រូវបានសម្គាល់យ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើអ្នករើសអើង

ដូច្នេះមានតែករណីបីដែលអាចកើតមាន៖

បើ​មួយ? > 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតបីផ្សេងគ្នា។

បើ​មួយ?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

បើ​មួយ? = 0 បន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់ឫសពីរស្របគ្នា។ នេះអាចជាពេលដែលសមីការមានឫសពិតពីរដង និងឫសពិតមួយទៀតខុសពីពួកវា។ ឬឫសទាំងបីស្របគ្នា បង្កើតជាឫសនៃពហុគុណ 3. លទ្ធផលនៃសមីការគូប និងដេរីវេទីពីររបស់វាជួយបំបែកករណីទាំងពីរនេះ៖ ពហុធាមានឫសនៃគុណ 3 ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែលទ្ធផលដែលបានចង្អុលបង្ហាញក៏ សូន្យ.

ឫសគល់នៃសមីការគូបគឺទាក់ទងទៅនឹងមេគុណដូចខាងក្រោម៖

1.2 វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប

វិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបគឺវិធីសាស្ត្ររាប់បញ្ចូល។

ជាដំបូង ដោយការរាប់លេខ យើងរកឃើញឫសគល់មួយនៃសមីការ។ ការពិតគឺថា សមីការគូបតែងតែមាន យ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ឫសពិតហើយឫសចំនួនគត់នៃសមីការគូបដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាផ្នែកចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ d ។ មេគុណនៃសមីការទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះឫសដែលចង់បានស្ថិតនៅក្នុងចំណោមចំនួនគត់តូចៗដូចជា៖ 0, ± 1, ± 2, ± 3។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងស្វែងរកឫសក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ ហើយពិនិត្យមើលវាដោយជំនួសវាទៅជា សមីការ។ អត្រាជោគជ័យជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះគឺខ្ពស់ណាស់។ ចូរសន្មត់ថាឫសនេះ។

ដំណាក់កាលទីពីរនៃដំណោះស្រាយគឺការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial x − x1 ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ការបែងចែកនេះដោយគ្មានសល់គឺអាចធ្វើទៅបាន ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ ដែលត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ ដោយការដោះស្រាយសមីការការ៉េជាលទ្ធផល យើងនឹងរកឃើញ (ឬអត់) ឫសពីរដែលនៅសល់។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបពីររយៈ

សមីការគូបពីរមានទម្រង់ (2)

សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដោយបែងចែកដោយមេគុណមិនសូន្យ A ។ បន្ទាប់មក រូបមន្តសម្រាប់គុណសង្ខេបនៃផលបូកគូបត្រូវបានអនុវត្ត៖

ពីតង្កៀបទីមួយដែលយើងរកឃើញ ហើយត្រីកោណការ៉េមានតែមួយគត់ ឫសស្មុគស្មាញ.

សមីការគូបដែលកើតឡើងដដែលៗ

សមីការគូបទៅវិញទៅមកមានទម្រង់ និង B-coefficients ។

តោះក្រុម៖

ជាក់ស្តែង x=-1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការបែបនេះ ហើយឫសនៃលទ្ធផលត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលតាមរយៈអ្នករើសអើង។

1.3 រូបមន្ត Cardano

អេ ករណីទូទៅឫសនៃសមីការគូបត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត Cardano ។

សម្រាប់សមីការគូប (1) តម្លៃត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើការជំនួស៖ x= (2) ហើយសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖

សមីការគូបមិនពេញលេញដែលវានឹងមិនមានពាក្យដែលមានសញ្ញាបត្រទីពីរទេ។

យើងសន្មត់ថាសមីការមានមេគុណ លេខស្មុគស្មាញ. សមីការនេះនឹងតែងតែមានឫសស្មុគស្មាញ។

ចូរសម្គាល់ឫសមួយក្នុងចំណោមឫសទាំងនេះ៖ . យើងណែនាំជំនួយមិនស្គាល់ u ហើយពិចារណាពហុនាម f(u)= ។

ចូរកំណត់ឫសគល់នៃពហុនាមនេះតាមរយៈ? និង? យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Viette (សូមមើលទំព័រ 8)៖

ជំនួសក្នុងសមីការ (៣) កន្សោម (៤) យើងទទួលបាន៖

ពីផ្នែកម្ខាងទៀតនៃ (5): (7)

វាធ្វើតាមពីទីនេះ ឧ. ពីរូបមន្ត (៦), (៧) ដែលលេខជាឫសគល់នៃសមីការ៖

ពីសមីការចុងក្រោយ៖

ឫសពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

1.4 រូបមន្តត្រីកោណមាត្រវីតា

រូបមន្តនេះស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគូបដែលបានកាត់បន្ថយ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់

ជាក់ស្តែង សមីការគូបណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃទម្រង់ (4) ដោយគ្រាន់តែបែងចែកវាដោយមេគុណ a ។ ដូច្នេះ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់អនុវត្តរូបមន្តនេះ៖

គណនា

2. គណនា

3. ក) ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកគណនា

ហើយសមីការរបស់យើងមានឫស 3 (ពិត)៖

ខ) ប្រសិនបើបន្ទាប់មកជំនួស អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអ៊ីពែរបូល

គណនា

បន្ទាប់មកឫសតែមួយគត់ (ពិត)៖

ឫសស្រមើលស្រមៃ៖

គ) ប្រសិនបើ នោះសមីការមានតិចជាងបី ដំណោះស្រាយផ្សេងៗ:

2. ការដោះស្រាយបញ្ហា

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការគូប

យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់គុណសង្ខេបនៃភាពខុសគ្នានៃគូប៖

ពីតង្កៀបទីមួយ យើងឃើញថាត្រីកោណការ៉េនៅក្នុងតង្កៀបទីពីរមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ព្រោះការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ

សមីការនេះគឺទៅវិញទៅមក។ តោះក្រុម៖

គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ

ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកឫសនៃសមីការគូប

ចូរបំប្លែងសមីការទៅជាកាត់បន្ថយមួយ៖ គុណនឹងផ្នែកទាំងពីរ ហើយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

ពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺ 36 ។ ចូរសរសេរការបែងចែករបស់វាទាំងអស់៖

យើងជំនួសពួកគេទៅជាសមភាពរហូតដល់យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ:

ដូច្នេះហើយជាឫសគល់។ វាត្រូវគ្នា។

បែងចែកដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

មេគុណពហុនាម2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

យើង​ទទួល​បាន

ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ៖

ជាក់ស្តែង នោះគឺឫសច្រើនរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការ

គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ។

ចាប់តាំងពីអ្នករើសអើង តិចជាងសូន្យបន្ទាប់មក trinomial មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

ឧទាហរណ៍ 5. រកឫសនៃសមីការគូប 2 ។

អាស្រ័យហេតុនេះ

យើងជំនួសរូបមន្ត Cardano៖

យកតម្លៃបី។ ចូរយើងសរសេរពួកវាចុះ។

នៅពេលដែលយើងមាន

នៅពេលដែលយើងមាន

នៅពេលដែលយើងមាន

ចូរបំបែកតម្លៃទាំងនេះទៅជាគូ ដែលនៅក្នុងផលិតផលផ្តល់ឱ្យ

គូទីមួយនៃតម្លៃនិង

គូទីពីរនៃតម្លៃនិង

គូទីបីនៃតម្លៃនិង

ត្រឡប់ទៅ រូបមន្ត Cardano វិញ

ដូច្នេះ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សមីការត្រីភាគីគូប

ជាលទ្ធផលនៃការប្រតិបត្តិ ក្រដាសពាក្យវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទី 3 ត្រូវបានស៊ើបអង្កេត ដូចជាវិធីសាស្ត្ររាប់លេខ រូបមន្ត Carano រូបមន្តរបស់ Vieta វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការពីរអាណត្តិ។

បញ្ជីប្រភពដែលបានប្រើ

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស", M., 1986 ។

2)Kolmogorov A.N. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩ វិទ្យាល័យ, 1977.

)Omelchenko V.P. គណិតវិទ្យា៖ ការបង្រៀន/ V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova ។ - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380s ។

ការបង្រៀន

ត្រូវការជំនួយក្នុងការរៀនប្រធានបទមួយ?

អ្នកជំនាញរបស់យើងនឹងផ្តល់ប្រឹក្សា ឬផ្តល់សេវាកម្មបង្រៀនលើប្រធានបទដែលអ្នកចាប់អារម្មណ៍។
ដាក់ស្នើកម្មវិធីបង្ហាញពីប្រធានបទឥឡូវនេះ ដើម្បីស្វែងយល់អំពីលទ្ធភាពនៃការទទួលបានការពិគ្រោះយោបល់។

រៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការគូប។ ករណីនៅពេលដែលឫសមួយត្រូវបានគេដឹងត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្រ្តស្វែងរកចំនួនគត់ និង ឫសសនិទាន. ការអនុវត្តរូបមន្ត Cardano និង Vieta ដើម្បីដោះស្រាយសមីការគូបណាមួយ។

នៅទីនេះយើងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបនៃទម្រង់
(1) .
លើសពីនេះទៀតយើងសន្មតថានេះគឺជា ចំនួនពិត.

(2) ,
បន្ទាប់មកចែកវាដោយ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ (1) ជាមួយមេគុណ
.

សមីការ (១) មានឫសបី៖ , និង . ឫសមួយក្នុងចំណោមឫសគឺតែងតែពិតប្រាកដ។ យើងសម្គាល់ឫសពិតថាជា . ឫស និងអាចជាគូពិត ឬស្មុគស្មាញ។ ឫសពិតអាចមានច្រើន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក និងជាឫសទ្វេ (ឬឫសនៃពហុគុណ 2) និងជាឫសសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើមានតែឫសមួយត្រូវបានគេស្គាល់

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីឫសមួយនៃសមីការគូប (1) ។ បញ្ជាក់ ឫសដែលគេស្គាល់ជា បន្ទាប់មកចែកសមីការ (1) ដោយ យើងទទួលបានសមីការការ៉េ។ ការដោះស្រាយសមីការ quadratic យើងរកឃើញឫសពីរបន្ថែមទៀត និង .

សម្រាប់ភ័ស្តុតាង យើងប្រើការពិតដែលថាពហុនាមគូបអាចត្រូវបានតំណាងជា៖
.
បន្ទាប់មក ចែក (1) ដោយ , យើងទទួលបានសមីការ quadratic ។

ឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកពហុនាមត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ
“ការបែងចែក និងគុណពហុនាមដោយពហុធាដោយជ្រុង និងជួរឈរ”។
ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានពិចារណានៅលើទំព័រ
"ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ" ។

ប្រសិនបើមួយនៃឫសគឺ

ប្រសិនបើសមីការដើមគឺ៖
(2) ,
ហើយមេគុណរបស់វា , , , គឺជាចំនួនគត់ បន្ទាប់មកអ្នកអាចព្យាយាមស្វែងរកឫសចំនួនគត់។ ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសចំនួនគត់ នោះវាគឺជាការបែងចែកនៃមេគុណ។ វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកឫសចំនួនគត់ គឺយើងរកឃើញផ្នែកទាំងអស់នៃចំនួនមួយ ហើយពិនិត្យមើលថាតើសមីការ (2) ជាប់សម្រាប់ពួកវាឬអត់។ ប្រសិនបើសមីការ (2) ពេញចិត្ត នោះយើងបានរកឃើញឫសរបស់វា។ ចូរយើងសម្គាល់វាជា . បន្ទាប់យើងបែងចែកសមីការ (2) ដោយ . យើងទទួលបានសមីការការ៉េ។ ដោះស្រាយវា យើងរកឃើញឫសពីរទៀត។

ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ចំនួនគត់ឫសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​ធ្វើ​ជា​ឯកតា​នៃ​ពហុនាម > > > ។

ការស្វែងរកឫសសនិទាន

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (2) , , , គឺជាចំនួនគត់ និង , ហើយមិនមានឫសចំនួនគត់ នោះអ្នកអាចព្យាយាមស្វែងរកឫសសនិទាន ពោលគឺឫសនៃទម្រង់ , កន្លែងណា និងជាចំនួនគត់។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណសមីការ (2) ហើយធ្វើការជំនួស៖
;
(3) .
បន្ទាប់មក យើងរកមើលឫសចំនួនគត់នៃសមីការ (3) ក្នុងចំណោមអ្នកចែកនៃពាក្យសេរី។

ប្រសិនបើយើងបានរកឃើញឫសចំនួនគត់នៃសមីការ (3) បន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅអថេរ យើងទទួលបាន ឫសសនិទានសមីការ (២)៖
.

រូបមន្ត Cardano និង Vieta សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប

ប្រសិនបើយើងមិនស្គាល់ឫសតែមួយ ហើយមិនមានឫសចំនួនគត់ នោះយើងអាចរកឃើញឫសនៃសមីការគូបដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cardano ។

ពិចារណាសមីការគូប៖
(1) .
តោះធ្វើការជំនួស៖
.
បន្ទាប់ពីនោះ សមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មិនពេញលេញ ឬកាត់បន្ថយ៖
(4) ,
កន្លែងណា
(5) ; .

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
G. Korn, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនិងវិស្វករឆ្នាំ 2012 ។

សមីការគូប - សមីការពិជគណិតសញ្ញាបត្រទីបី។ ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃសមីការគូប៖ ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

ការជំនួស x ក្នុងសមីការនេះជាមួយនឹង y មិនស្គាល់ថ្មីដែលភ្ជាប់ជាមួយ x ដោយសមភាព x \u003d y - (b / 3a) សមីការគូបអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ (canonical)៖ y3 + pу + q \u003d 0, ដែល p \u003d - b2 + c , q = 2b - bc + d

3a2 a 27a3 3a2 ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះអាចទទួលបានដោយប្រើរូបមន្ត Cardano ។

1.1 ប្រវត្តិនៃសមីការគូប

ពាក្យ "សមីការគូប" ត្រូវបានណែនាំដោយ R. Descartes (1619) និង W. Outred (1631) ។

ការប៉ុនប៉ងដំបូងដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាកាត់បន្ថយសមីការគូបត្រូវបានធ្វើឡើងដោយគណិតវិទូបុរាណ (ឧទាហរណ៍ បញ្ហានៃការពង្រីកគូបមួយទ្វេ និងកាត់មុំមួយ)។

គណិតវិទូនៃយុគសម័យកណ្តាលនៃបូព៌ាបានបង្កើតយ៉ាងពិតប្រាកដ ទ្រឹស្តីដែលបានអភិវឌ្ឍ(ក្នុង រាងធរណីមាត្រ) សមីការគូប; វាត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាស្តីពីភស្តុតាងនៃបញ្ហានៃពិជគណិត និង almukabala "Omar Haya" (ប្រហែល 1070) ដែលសំណួរនៃការស្វែងរក ឫសវិជ្ជមានសមីការគូប 14 ប្រភេទដែលមានតែពាក្យដែលមានមេគុណវិជ្ជមាននៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរ។

ជាលើកដំបូងនៅអឺរ៉ុប ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រដំណោះស្រាយចំពោះករណីមួយនៃសមីការគូបត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ វៀត (1953) ។

ដំណោះស្រាយដំបូងក្នុងរ៉ាឌីកាល់នៃប្រភេទនៃសមីការគូបមួយត្រូវបានរកឃើញដោយ S. Ferro (ប្រហែលឆ្នាំ 1515) ប៉ុន្តែវាមិនត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយទេ។ ការរកឃើញនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតដោយឯករាជ្យដោយ Tartaglia (1535) ដែលបង្ហាញពីច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបពីរប្រភេទផ្សេងទៀត។ ការរកឃើញទាំងនេះត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1545 ដោយ G. Cardano ដែលបានរៀបរាប់ពីស្នាដៃនិពន្ធរបស់ N. Tartaglia ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី XV ។ សាស្ត្រាចារ្យគណិតវិទ្យានៅសាកលវិទ្យាល័យ Rome និង Milan Luca Pacioli នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ "ផលបូកនៃចំណេះដឹងក្នុងនព្វន្ធ ធរណីមាត្រ ទំនាក់ទំនង និងសមាមាត្រ" បញ្ហានៃការស្វែងរក វិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​គូប គាត់​បាន​ដាក់​វា​ឱ្យ​ស្មើ​នឹង​បញ្ហា​នៃ​ការ​ការ៉េ​រង្វង់។ និងនៅឡើយទេ តាមរយៈការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់អ្នកពិជគណិតអ៊ីតាលី វិធីសាស្ត្របែបនេះត្រូវបានរកឃើញក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយភាពសាមញ្ញ

ប្រសិនបើសមីការគូប ទិដ្ឋភាពទូទៅ ax3 + bx2 + cx + d = 0 ដែល a ≠ 0 ចែកដោយ a បន្ទាប់មកមេគុណនៅ x3 ក្លាយជាស្មើ 1 ។ ដូច្នេះនៅពេលអនាគតយើងនឹងបន្តពីសមីការ x3 + Px2 + Qx + R = 0 ។ (1)

ដូចគ្នានឹងបេះដូងនៃដំណោះស្រាយដែរ។ សមីការ​ការ៉េជារូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបគឺផ្អែកលើរូបមន្តសម្រាប់គូបនៃផលបូក៖

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ។

ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំនៅក្នុងមេគុណ នៅទីនេះយើងជំនួស a ដោយ x ហើយរៀបចំពាក្យឡើងវិញ៖

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 ។ (2)

យើងឃើញថាតាមវិធីត្រឹមត្រូវ b ពោលគឺដោយយក b = P/3 យើងអាចសម្រេចបាន។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្តនេះនឹងខុសគ្នាពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ x3 + Px2 + Qx + R = 0 ដោយមេគុណនៅ x និងពាក្យទំនេរ។ យើងបន្ថែមសមីការ x3 + Px2 + Qx + R = 0 និង (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 ហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា៖

(x + b)3 + (Q − 3b2)x + R − b3 = 0 ។

ប្រសិនបើយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៅទីនេះ y = x + b យើងទទួលបានសមីការគូបសម្រាប់ y ​​ដោយគ្មានពាក្យជាមួយ y2: y3 + py + q = 0 ។

ដូច្នេះយើងបានបង្ហាញថានៅក្នុងសមីការគូប x3 + Px2 + Qx + R = 0 ដោយប្រើការជំនួសដែលសមស្របអ្នកអាចកម្ចាត់ពាក្យដែលមានការ៉េនៃមិនស្គាល់។ ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងនឹងដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ x3 + px + q = 0 ។ (3)

1.2 ប្រវត្តិនៃរូបមន្ត Cardano

រូបមន្ត Cardano ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម J. Cardano ដែលបានបោះពុម្ពវាជាលើកដំបូងនៅឆ្នាំ 1545 ។

អ្នកនិពន្ធរូបមន្តនេះគឺ Niccolò Tartaglia ។ គាត់បានបង្កើតដំណោះស្រាយនេះនៅឆ្នាំ 1535 ជាពិសេសសម្រាប់ការចូលរួមក្នុងការប្រកួតប្រជែងគណិតវិទ្យាដែលជាការពិតគាត់បានឈ្នះ។ Tartaglia ផ្តល់រូបមន្ត (ក្នុង ទម្រង់កំណាព្យ) Cardano បានបង្ហាញតែផ្នែកនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបដែលឫសមានតម្លៃមួយ (ពិតប្រាកដ) ។

លទ្ធផលនៃ Cardano ក្នុងរូបមន្តនេះសំដៅលើការពិចារណានៃករណីដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ដែលសមីការមានតម្លៃបី (តម្លៃពិតក្នុងសម័យនោះគ្មានលេខស្រមើលស្រមៃ ឬសូម្បីតែអវិជ្ជមាន ទោះបីជាមានការប៉ុនប៉ងក្នុងរឿងនេះក៏ដោយ។ ទិសដៅ) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយផ្ទុយទៅនឹងការពិតដែលថា Cardano បានបង្ហាញនៅក្នុងការបោះពុម្ពរបស់គាត់អំពីភាពជាអ្នកនិពន្ធនៃ Tartaglia រូបមន្តត្រូវបានគេហៅថាដោយឈ្មោះរបស់ Cardano ។

1. 3 រូបមន្ត Cardano

ឥឡូវ​យើង​មើល​រូបមន្ត​គូប​បូក​ម្ដង​ទៀត ប៉ុន្តែ​សរសេរ​ខុស​គ្នា៖

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) ។

ប្រៀបធៀបធាតុនេះជាមួយសមីការ x3 + px + q = 0 ហើយព្យាយាមបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងពួកវា។ ជំនួសក្នុងរូបមន្តរបស់យើង x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx ឬ x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ហើយ៖ ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការ x3 + px + q = 0 វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q ឬ

3аb \u003d - ទំ, a3b3 \u003d - ទំ 3,

3 ហើយយកជា x ផលបូកនៃ a និង b ។ ដោយការផ្លាស់ប្តូរ u = a3, v = b3 ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទាំងស្រុង ការ​មើលឃើញ​ច្បាស់: និង + v = − q, និង v = − ទំ ៣.

បន្ទាប់មកអ្នកអាចធ្វើសកម្មភាពតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែ "ផ្លូវ" ទាំងអស់នឹងនាំទៅរកសមីការការ៉េដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងមេគុណនៅ x ដែលមានសញ្ញាដក ហើយផលិតផលស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។ នេះបញ្ជាក់ថា និង និង v គឺជាឫសគល់នៃសមីការ t2 + qt – (p/3)3 = 0 ។

ចូរយើងសរសេរពីឫសទាំងនេះ៖ t1,2 = - q ± q 2 + p 3 ។

អថេរ a និង b គឺស្មើនឹងឫសគូបពី t1 និង t2 ហើយដំណោះស្រាយដែលចង់បាននៃសមីការគូប x3 + px + q = 0 គឺជាផលបូកនៃឫសទាំងនេះ៖ x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + ទំ 3 ។

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជារូបមន្ត Cardano ។

ការដោះស្រាយសមីការ

មុនពេលមើលរូបមន្ត Cardano ក្នុងការងារ ចូរយើងពន្យល់ពីរបៀបស្វែងរកឫសផ្សេងទៀតរបស់វា ប្រសិនបើមាន ពីឫសមួយនៃសមីការគូប x3 + px + q = 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាដឹងថាសមីការរបស់យើងមានឫស h ។ បន្ទាប់មកផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាលីនេអ៊ែរនិង មេគុណការ៉េ. នេះត្រូវបានធ្វើយ៉ាងសាមញ្ញបំផុត។ យើងជំនួសកន្សោមពាក្យសេរីតាមរយៈឫស q \u003d - h3 - ph ទៅក្នុងសមីការ ហើយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប៖

0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p) ។

ឥឡូវអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េ x2 + hx + h2 + p = 0 ហើយស្វែងរកឫសដែលនៅសល់នៃសមីការគូបនេះ។

ដូច្នេះ យើង​មាន​ប្រដាប់​អាវុធ​ពេញលេញ ហើយ​វា​ហាក់​ដូចជា​យើង​អាច​ទប់ទល់​នឹង​សមីការ​គូប​ណាមួយ។ តោះសាកល្បងដៃរបស់យើង។

1. ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការ x3 + 6x − 2 = 0

យើងជំនួស p = 6 និង q = -2 ទៅក្នុងរូបមន្ត Cardano ហើយបន្ទាប់ពីការកាត់បន្ថយសាមញ្ញយើងទទួលបានចម្លើយ: x = 3√4 - 3√2 ។ មែនហើយ រូបមន្តគឺល្អណាស់។ មានតែការរំពឹងទុកនៃការយកកត្តា x - (3√4 - 3√2) ពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយការដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលនៅសល់ជាមួយនឹងមេគុណ "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ដើម្បីគណនាឫសផ្សេងទៀតគឺមិនមែនជាការបំផុសគំនិតខ្លាំងណាស់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្រឡេកមើលសមីការដោយយកចិត្តទុកដាក់បន្ថែមទៀត យើងអាចស្ងប់ស្ងាត់បាន៖ មុខងារនៅផ្នែកខាងឆ្វេងកំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ដូច្នេះហើយអាចបាត់តែម្តង។ នេះមានន័យថាចំនួនដែលបានរកឃើញគឺជាឫសពិតតែមួយគត់នៃសមីការ។

y y \u003d x3 + 6x - 2

3√4 − 3√2 x

អង្ករ។ 1 ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x3 + 6x - 2 កាត់អ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ - 3√4 - 3√2 ។

2. ឧទាហរណ៍បន្ទាប់-សមីការ x3 + 3x − 4 = 0 ។

រូបមន្តរបស់ Cardano ផ្តល់ x = 3 2 + √5 + 3 2 − √5 ។

ដូច​ក្នុង​ឧទាហរណ៍​មុន យើង​ឃើញ​ថា​ឫស​នេះ​មាន​តែ​មួយ​គត់។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់មានការយល់ដឹងខ្ពស់ដើម្បីមើលសមីការ និងទាយឫសរបស់វាទេ៖ x = 1។ យើងត្រូវទទួលស្គាល់ថារូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យចេញឯកតាធម្មតាក្នុងទម្រង់ដ៏ចម្លែកបែបនេះ។ ដោយវិធីនេះ ដើម្បីសម្រួលភាពស្មុគស្មាញនេះ ប៉ុន្តែមិនមែនដោយគ្មានការបញ្ចេញមតិឆើតឆាយនោះទេ។ ការផ្លាស់ប្តូរពិជគណិតបរាជ័យ - ភាពមិនសមហេតុផលគូបនៅក្នុងវាគឺជៀសមិនរួច។

3. ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកសមីការមួយដែលជាក់ស្តែងមានឫសពិតបី។ វាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរវា - គ្រាន់តែគុណបីតង្កៀបនៃទម្រង់ x - b ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការយកចិត្តទុកដាក់ថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងសូន្យព្រោះយោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទទូទៅ Vieta វាខុសគ្នាពីមេគុណនៅ x2 តែនៅក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ។ សំណុំសាមញ្ញបំផុតនៃឫសបែបនេះគឺ 0, 1 និង -1 ។

ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្ត Cardano ទៅនឹងសមីការ x (x − 1) (x + 1) = 0 ឬ x3 − x = 0 ។

សន្មត់ p = −1 និង q = 0 នៅក្នុងវា យើងទទួលបាន x = 3 √ − 1/27 + 3 − √ − 1/27 ។

y y \u003d x (x − 1) (x + 1)

អង្ករ។ 2 សមីការ x (x − 1) (x + 1) \u003d 0 មានឫសពិតចំនួនបី៖ -1, 0 និង 1។ ដូច្នេះហើយ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x (x - 1) (x + 1) កាត់អ័ក្ស x នៅបីចំណុច។

លេចឡើងនៅក្រោមសញ្ញានៃឫសការ៉េ លេខអវិជ្ជមាន. នេះក៏កើតឡើងផងដែរនៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic ។ ប៉ុន្តែសមីការបួនជ្រុងក្នុងករណីនេះមិនមានឫសពិតទេ ខណៈដែលគូបមួយមានបីក្នុងចំណោមពួកគេ!

ការវិភាគកាន់តែជិតស្និទ្ធបង្ហាញថាយើងមិនបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងអន្ទាក់នេះដោយចៃដន្យទេ។ សមីការ x3 + px + q = 0 មានឫសពិតបី ប្រសិនបើកន្សោម Δ = (q/2)2 + (p/3)3 ក្រោម ឫស​ការេនៅក្នុងរូបមន្ត Cardano គឺអវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ Δ > 0 នោះមានឫសពិតមួយ (រូបភាព 3b) ហើយប្រសិនបើ Δ = 0 នោះមានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ (មួយក្នុងចំណោមពួកគេទាំងពីរ) លើកលែងតែករណី p = q = 0 នៅពេលដែលទាំងបី ឫសបញ្ចូលគ្នា។

y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3

0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 ក) ខ)

អង្ករ។ 3 សមីការគូប x3 + px + q = 0 អាចត្រូវបានតំណាងជា x3 = -px - q ។ នេះបង្ហាញថាឫសនៃសមីការនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹង abscissas នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វទាំងពីរ៖ y \u003d x3 និង y \u003d -px - q ។ ប្រសិនបើ Δ 0 គឺមួយ។

1.4 ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ប្រសិនបើចំនួនគត់ សមីការសមហេតុផលដឺក្រេ n កាត់បន្ថយ ទិដ្ឋភាពស្តង់ដារ, មានឫសពិតផ្សេងគ្នា x1, x2, ។ xn បន្ទាប់មកពួកគេបំពេញសមភាព៖ x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn ។

សម្រាប់ឫសនៃសមីការនៃដឺក្រេទីបី a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0 ដែល a0 ≠ 0 សមភាព x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 មានសុពលភាព។

1. 5 ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner

ដំណោះស្រាយនៃសមីការគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងកត្តានៃពហុនាម។ ដូច្នេះនៅពេលដោះស្រាយសមីការ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលភ្ជាប់ជាមួយការជ្រើសរើសនៅក្នុងពហុធាគឺមានសារៈសំខាន់ កត្តាលីនេអ៊ែរឧ. ជាមួយនឹងការបែងចែកពហុនាម A(x) ដោយ binomial x - α។ មូលដ្ឋាននៃចំណេះដឹងជាច្រើនអំពីការបែងចែកពហុធា A(x) ដោយ binomial x - α គឺជាទ្រឹស្តីបទដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Etienne Bez (1730-1783) និងដាក់ឈ្មោះរបស់គាត់។

ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាម A (x) ដោយ binomial x − α គឺស្មើនឹង A (α) ( i.e. តម្លៃនៃពហុនាម A (x) នៅ x = α) ។

រកចំនួនដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាម A(x) = x4 − 6x3 + 8 ដោយ x + 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Bezout នៅសល់នៃការបែងចែកដោយ x + 2 គឺ A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72 ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃពហុធានៅពេលដែល កំណត់តម្លៃអថេរ x ត្រូវបានណែនាំដោយគណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស Williams George Horner (1786-1837) ។ វិធីសាស្រ្តនេះក្រោយមកត្រូវបានគេហៅថាគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ វាមាននៅក្នុងការបំពេញតារាងមួយចំនួននៃបន្ទាត់ពីរ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនា A(-2) ក្នុងឧទាហរណ៍មុន ក្នុងជួរខាងលើនៃតារាង យើងរាយមេគុណ ពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ x4 − 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8 ។

យើងចម្លងមេគុណនៅកម្រិតខ្ពស់បំផុតក្នុងបន្ទាត់ខាងក្រោម ហើយមុននឹងវាយើងសរសេរតម្លៃនៃអថេរ x = -2 ដែលតម្លៃនៃពហុធាត្រូវបានគណនា។ លទ្ធផលនេះនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

យើង​បំពេញ​ក្រឡា​ទទេ​នៃ​តារាង​ដោយ​យោង​ទៅ​តាម​ច្បាប់​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ លេខ​ខាង​ស្ដាំ​បំផុត​នៃ​ជួរ​ដេក​ខាងក្រោម​ត្រូវ​បាន​គុណ​នឹង -2 ហើយ​បន្ថែម​ទៅ​លេខ​ខាង​លើ​ក្រឡា​ទទេ។ យោងតាមច្បាប់នេះ ក្រឡាទទេទីមួយមានលេខ (-2) 1 + (-6) = -8 ក្រឡាទីពីរមានលេខ (-2) (-8) + 0 = 16 ក្រឡាទីបីមាន លេខ (- 2) 16 + 0 = - 32, ក្នុង ទ្រុងចុងក្រោយ- លេខ (-2) (-32) + 8 \u003d 72. តារាងបំពេញទាំងស្រុងតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner មើលទៅដូចនេះ៖

2 1 -8 16 -32 72

លេខក្នុងក្រឡាចុងក្រោយគឺនៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាមដោយ x + 2, A(-2) = 72 ។

ជាការពិត ពីតារាងលទ្ធផលដែលបំពេញដោយយោងតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner មនុស្សម្នាក់អាចសរសេរមិនត្រឹមតែនៅសល់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកូតាមិនពេញលេញផងដែរ។

Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32 ចាប់តាំងពីលេខនៅលើបន្ទាត់ទីពីរ (មិនរាប់ពីលេខចុងក្រោយ) គឺជាមេគុណនៃពហុនាម Q (x) - កូតាមិនពេញលេញនៃការបែងចែកដោយ x + 2 ។

ដោះស្រាយសមីការ x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0

យើងសរសេរចេញពីផ្នែកទាំងអស់នៃពាក្យសេរីនៃសមីការ: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 ។

x=1, x=-2, x=3

ចម្លើយ៖ x = 1, x = −2, x = 3

2. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ខ្ញុំនឹងបង្កើតការសន្និដ្ឋានសំខាន់ៗអំពីការងារដែលបានធ្វើ។

នៅក្នុងដំណើរការនៃការងារខ្ញុំបានស្គាល់ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបី។ សារៈសំខាន់ទ្រឹស្តីនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវាចេតនាជំនួសរូបមន្តរបស់ Cardano ក្នុងការដោះស្រាយសមីការមួយចំនួននៃសញ្ញាបត្រទីបី។ ខ្ញុំ​បាន​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​រូបមន្ត​សម្រាប់​ដោះស្រាយ​សមីការ​សញ្ញាប័ត្រ​ទី​បី​មាន ប៉ុន្តែ​ដោយសារ​ភាព​លំបាក​របស់​វា វា​មិន​សូវ​ពេញ​និយម​និង​មិន​អាច​ទុក​ចិត្ត​បាន​ឡើយ ព្រោះ​វា​មិន​តែងតែ​ឈាន​ដល់​លទ្ធផល​ចុង​ក្រោយ។

នៅពេលអនាគត យើងអាចពិចារណាសំណួរបែបនេះ៖ របៀបស្វែងយល់ជាមុនថាតើសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបីមានឫសគល់អ្វីខ្លះ? តើសមីការគូបអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ក្រាហ្វិកបើអាចធ្វើបាន, របៀប; តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីប៉ាន់ស្មានឫសនៃសមីការគូប?

គោលដៅមេរៀន។

1. ដើម្បីបង្កើនចំណេះដឹងរបស់សិស្សលើប្រធានបទ "ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង" និងសង្ខេបសម្ភារៈអប់រំ។
2. ដើម្បីណែនាំសិស្សអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។
3. ដើម្បីបង្រៀនសិស្សឱ្យអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកនៅពេលដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។
4. ដើម្បីបង្រៀនសិស្សពីរបៀបបែងចែកពហុនាមទៅជាពហុនាមដោយ "ជ្រុង" ។
5. អភិវឌ្ឍជំនាញ និងសមត្ថភាពដើម្បីធ្វើការជាមួយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។

អភិវឌ្ឍន៍៖

1. ការអភិវឌ្ឍការយកចិត្តទុកដាក់របស់សិស្ស។
2. ការអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពដើម្បីសម្រេចបាននូវលទ្ធផលការងារ។
3. ការអភិវឌ្ឍន៍ចំណាប់អារម្មណ៍ក្នុងការរៀនពិជគណិត និងជំនាញការងារឯករាជ្យ។

ការចិញ្ចឹមបីបាច់៖

1. បង្កើនអារម្មណ៍នៃសមូហភាព។
2. ការបង្កើតអារម្មណ៍នៃការទទួលខុសត្រូវចំពោះលទ្ធផលនៃការងារ។
3. ការបង្កើតនៅក្នុងសិស្ស ការគោរពខ្លួនឯងគ្រប់គ្រាន់នៅពេលជ្រើសរើសសញ្ញាសម្គាល់សម្រាប់ការងារនៅក្នុងមេរៀន។

ឧបករណ៍៖ កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ពេលវេលារៀបចំ។

2 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ការលើកទឹកចិត្ត និងការដោះស្រាយបញ្ហា

សមីការមួយនៃ គំនិតសំខាន់បំផុតគណិតវិទ្យា។ ការបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ ចាប់ផ្តើមពីកំណើតនៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ យូរគឺជាប្រធានបទសំខាន់នៃការសិក្សាពិជគណិត។

អេ វគ្គសិក្សាសាលាការ​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​ត្រូវ​បាន​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​ជា​ច្រើន​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​ប្រភេទ​ផ្សេងៗ។ រហូតដល់ថ្នាក់ទីប្រាំបួន យើងអាចដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ សមីការទី ៣ ទី ៤ ។ល។ ដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង។ នៅក្នុងថ្នាក់ទីប្រាំបួន យើងបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានចំនួនពីរសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមួយចំនួននៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4៖ កត្តាពហុធាទៅជាកត្តា និងការប្រើប្រាស់ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

តើអាចដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះបានទេ? យើងនឹងព្យាយាមស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរនេះនៅថ្ងៃនេះ។

3 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ពិនិត្យឡើងវិញនូវសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន។ ណែនាំគោលគំនិតនៃសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

1) ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

លីនេអ៊ែរ គឺជាសមីការនៃទម្រង់ ដែលតាមនិយមន័យ។ សមីការនេះមានឫសតែមួយ។

2) ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។

សមីការនៃទម្រង់ កន្លែងណា។ ចំនួនឫស និងឫសខ្លួនឯងត្រូវបានកំណត់ដោយការរើសអើងនៃសមីការ។ សម្រាប់សមីការមិនមានឫសទេ ព្រោះមានឫសមួយ (ពីរ ឫសដូចគ្នា។)

ព្រោះវាមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

ពីសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណដែលបានពិចារណា យើងឃើញថាចំនួនឫសនៃសមីការគឺមិនលើសពីដឺក្រេរបស់វាទេ។ នៅក្នុងវគ្គនៃពិជគណិតខ្ពស់ជាងនេះ វាត្រូវបានបង្ហាញថាសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រ -th មិនមានឫសច្រើនជាង n ទេ។ ចំពោះឫសខ្លួនឯង ស្ថានភាពកាន់តែស្មុគស្មាញ។ សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទីបី និងទីបួន រូបមន្តត្រូវបានគេស្គាល់សម្រាប់ការស្វែងរកឫស។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ រូបមន្តទាំងនេះមានភាពស្មុគស្មាញ និងស្មុគស្មាញខ្លាំង ការអនុវត្តជាក់ស្តែងកុំមាន។ សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទីប្រាំ និងខ្ពស់ជាងនេះ។ រូបមន្តទូទៅមិនមាន និងមិនអាចមាន (ដូចដែលបានបង្ហាញនៅសតវត្សទី 19 ដោយ N. Abel និង E. Galois)។

យើងនឹងហៅសមីការទីបី ទីបួន ។ល។ ដឺក្រេដោយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង។ សមីការមួយចំនួន សញ្ញាបត្រខ្ពស់។អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើបច្ចេកទេសមូលដ្ឋានចំនួនពីរ៖ កត្តាពហុធាទៅជាកត្តា ឬដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

3) ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូប។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការគូប

យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយដាក់បញ្ចូលវា។ យើង​ទទួល​បាន:

ផលិតផលនៃកត្តាគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើកត្តាមួយស្មើនឹងសូន្យ។ យើងទទួលបានសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបី៖

ដូច្នេះ សមីការគូបនេះមានឫសបី៖ ; .

4) ដំណោះស្រាយនៃសមីការ biquadratic ។

សមីការ biquadratic គឺជារឿងធម្មតាណាស់ដែលមានទម្រង់ (ឧ. សមីការដែលមានរាងបួនជ្រុងទាក់ទងនឹង )។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកវា អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ។

យើងនឹងសម្រេចចិត្ត សមីការ biquadratic.

សូមណែនាំអថេរថ្មី និងទទួលបានសមីការការ៉េ ដែលឫសរបស់វាជាលេខ និង ៤។

ចូរយើងត្រលប់ទៅអថេរចាស់ ហើយទទួលបានសមីការការ៉េសាមញ្ញពីរ៖

(ឫស និង ) (ឫស និង )

ដូច្នេះ សមីការ​ទ្វេ​ជ្រុង​នេះ​មាន​ឫស​បួន​៖

; ;.

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីខាងលើ។

បរាជ័យ!!!

4 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខ្លះអំពីឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល ពហុនាម នសញ្ញាបត្រ

នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួនអំពីឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់៖

1) ពហុធានៃសញ្ញាបត្រទី មានឫសភាគច្រើន (ដោយគិតគូរពីគុណរបស់វា)។ ឧទាហរណ៍ ពហុធាដឺក្រេទីបីមិនអាចមានឫសបួនទេ។

2) ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។ ឧទាហរណ៍ ពហុនាមនៃទីមួយ ទីបី ទីប្រាំ ។ល។ ដឺក្រេមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។ ពហុនាមនៃដឺក្រេគូអាចមានឬគ្មានឫស។

3) ប្រសិនបើនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក តម្លៃនៃពហុធាមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា (ឧ។ ) បន្ទាប់មកចន្លោះពេលមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃពហុធា។

4) ប្រសិនបើលេខគឺជាឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់ នោះពហុធានេះអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផល ដែលពហុធា (-th degree ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ពហុនាមនៃទម្រង់អាចបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយសញ្ញាប័ត្រ។ binomial នេះអនុញ្ញាតឱ្យសមីការនៃដឺក្រេទី th ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ (-th degree (កាត់បន្ថយដឺក្រេនៃសមីការ) ។

5) ប្រសិនបើសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ទាំងអស់ (លើសពីនេះទៅទៀត ពាក្យឥតគិតថ្លៃ) មានឫសចំនួនគត់ នោះឫសនេះគឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យសេរី។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជ្រើសរើសឫសទាំងមូលនៃពហុនាម (ប្រសិនបើវាមាន) ។

5 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ បង្ហាញពីរបៀបដែលទ្រឹស្ដីបែងចែកត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានបែងចែកដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពហុធាដោយពហុធាដោយ "ជ្រុង" ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ .

ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសចំនួនគត់ នោះវាគឺជាការបែងចែកនៃពាក្យសេរី (-1) ពោលគឺឧ។ ស្មើនឹងចំនួនលេខមួយ៖ . ការត្រួតពិនិត្យបង្ហាញថាឫសនៃសមីការគឺជាលេខ -1 ។ ដូច្នេះពហុនាមអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផល, i.e. ពហុធា​អាច​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ទ្វេ​នាម​ដោយ​គ្មាន​សល់។ ចូរអនុវត្តការបែងចែកខាងក្រោមដោយ "ជ្រុង"៖

ដូច្នេះ យើងពិតជាបានបំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាកត្តា៖

ផលិតផលនៃកត្តាគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើកត្តាមួយស្មើនឹងសូន្យ។ យើងទទួលបានសមីការពីរ។

សមីការគូបមានទម្រង់ ពូថៅ 3 + bx 2 + cx + ឃ= 0). វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ (វាត្រូវបានគេរកឃើញនៅសតវត្សទី 16 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី)។ ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​គូប​មួយ​ចំនួន​គឺ​ពិបាក​ណាស់ ប៉ុន្តែ​ជាមួយ​នឹង​វិធីសាស្ត្រ​ត្រឹមត្រូវ (និង កម្រិតល្អ។ ចំណេះដឹងទ្រឹស្តី) អ្នកនឹងអាចដោះស្រាយសូម្បីតែសមីការគូបដ៏ស្មុគស្មាញបំផុត។

ជំហាន

ដំណោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើ សមីការគូបមានទម្រង់ a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)ដែលជាកន្លែងដែលមេគុណ c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ)និង d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ)អាចស្មើគ្នា 0 (\រចនាប័ទ្ម 0)នោះគឺសមីការគូបអាចមានតែមួយពាក្យ (ជាមួយអថេរក្នុងដឺក្រេទីបី)។ ជាដំបូង សូមពិនិត្យមើលថាតើសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកមានការស្ទាក់ចាប់ នោះគឺ d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). ប្រសិនបើគ្មានពាក្យឥតគិតថ្លៃទេ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការគូបនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

• ប្រសិនបើមានការស្ទាក់ចាប់ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយផ្សេង (សូមមើលផ្នែកខាងក្រោម)។

1. ចាប់តាំងពីនៅក្នុង សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានពាក្យឥតគិតថ្លៃទេ បន្ទាប់មកពាក្យទាំងអស់នៃសមីការនេះមានអថេរ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ដែលអាចត្រូវបានតង្កៀប៖ x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • ឧទាហរណ៍។ 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). ប្រសិនបើអ្នកស៊ូទ្រាំ x (\ រចនាប័ទ្ម x)តង្កៀបអ្នកទទួលបាន x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. ចំណាំថាសមីការក្នុងតង្កៀបគឺជាសមីការបួនជ្រុងនៃទម្រង់ ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)) ដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត ((- ខ +/-√ (). ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ហើយអ្នកនឹងដោះស្រាយសមីការគូប។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ជំនួសតម្លៃនៃមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ), c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ) (3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), − 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -2), ១៤ (\ ទម្រង់បង្ហាញ ១៤)) ចូលទៅក្នុងរូបមន្ត៖ − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2))\pm (\sqrt (((-2))^(2) )-4(3)(14))))(2(3))))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164))))(6)))
   • ដំណោះស្រាយ 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164))))(6))) 2 + 12.8i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • ដំណោះស្រាយ 2: 2 − 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. សូមចងចាំថាសមីការការ៉េមានដំណោះស្រាយពីរ ចំណែកសមីការគូបមានដំណោះស្រាយបី។អ្នក​បាន​រក​ឃើញ​ដំណោះ​ស្រាយ​ពីរ​ចំពោះ​ចតុកោណ​មួយ ហើយ​ដូច្នេះ​សមីការ​គូប។ ក្នុងករណីដែលអ្នកដាក់ "x" ចេញពីតង្កៀប ដំណោះស្រាយទីបីគឺតែងតែ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0).

   • នេះជាការពិត ពីព្រោះលេខ ឬកន្សោមណាមួយគុណនឹង 0 (\រចនាប័ទ្ម 0), ស្មើ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0). ចាប់តាំងពីអ្នកស៊ូទ្រាំ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ចេញពីតង្កៀប បន្ទាប់មកអ្នកបានបំបែកសមីការគូបទៅជាកត្តាពីរ ( x (\ រចនាប័ទ្ម x)និងសមីការការ៉េ) ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះត្រូវតែស្មើនឹង 0 (\រចនាប័ទ្ម 0)ដូច្នេះសមីការទាំងមូលគឺស្មើនឹង 0 (\រចនាប័ទ្ម 0).

   ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងមូលដោយប្រើកត្តា

   1. ពិនិត្យមើលថាតើសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកមានការស្ទាក់ចាប់ដែរឬទេ។វិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកមុនគឺមិនសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបដែលក្នុងនោះមានពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកនឹងត្រូវប្រើវិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងនេះ ឬផ្នែកបន្ទាប់។

      • ឧទាហរណ៍។ 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). នៅទីនេះ រំកិលក្បាលដោះចេញ d = − 6 (\ displaystyle d=-6)ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដូច្នេះ ផ្នែក​ខាងស្តាំទទួលបាន 0 (\រចនាប័ទ្ម 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. ស្វែងរកមេគុណមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)(មេគុណនៅ x 3 (\ រចនាប័ទ្ម x^(3))) និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). កត្តានៃចំនួនគឺជាលេខដែលនៅពេលគុណនឹងផ្តល់ឱ្យ លេខដើម. ឧទាហរណ៍កត្តានៃចំនួន 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6)គឺជាលេខ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), 3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6) (6 × 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ 6 \ គុណ 1)និង 2 × 3 (\ រចនាប័ទ្ម 2 \ គុណ 3)).

      • នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ a = 2 (\ រចនាប័ទ្ម a = 2)និង d = 6 (\ រចនាប័ទ្ម d = 6). មេគុណ 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2)គឺជាលេខ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1)និង 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2). មេគុណ 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6)គឺជាលេខ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), 3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), និង 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6).

   3. ចែកមេគុណមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)ដោយកត្តានៃពាក្យសេរី d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគ និងលេខទាំងមូល។ ដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកនឹងក្លាយជាចំនួនគត់មួយក្នុងចំណោមចំនួនគត់ទាំងនេះ ឬតម្លៃអវិជ្ជមាននៃចំនួនគត់មួយក្នុងចំណោមចំនួនគត់ទាំងនេះ។

      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងបែងចែកកត្តា a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a) (1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2)) ដោយកត្តា d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ) (1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), 3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6)) និងទទួលបាន៖ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), , , , 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2)និង . ឥឡូវនេះបន្ថែមទៅជួរនៃលេខរបស់ពួកគេ។ តម្លៃអវិជ្ជមាន: 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), − 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), − 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))))និង − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). ដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកគឺនៅក្នុងស៊េរីនៃលេខនេះ។

   4. ឥឡូវនេះអ្នកអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការគូបរបស់អ្នកដោយជំនួសចំនួនគត់ពីស៊េរីលេខដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា។ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​មិន​ចង់​ខ្ជះខ្ជាយ​ពេល​វេលា​លើ​ការ​នេះ​ប្រើ​។ គ្រោងការណ៍នេះពាក់ព័ន្ធនឹងការបែងចែកចំនួនគត់ទៅជាតម្លៃ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ), c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ), d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ)សមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើនៅសល់ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0), ចំនួនគត់គឺជាផ្នែកមួយនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការគូប។

      • ការបែងចែករបស់ Horner មិនមែនជាប្រធានបទងាយស្រួលនោះទេ។ ទទួល ព័​ត៍​មាន​បន្ថែមធ្វើតាមតំណដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃវិធីស្វែងរកដំណោះស្រាយមួយចំពោះសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកដោយប្រើការបែងចែករបស់ Horner: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| ២៧ ៦ 0 ចាប់តាំងពីនៅសល់ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0)បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគឺជាចំនួនគត់ − 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -1).

   ការប្រើប្រាស់អ្នករើសអើង

   1. នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះអ្នកនឹងធ្វើការជាមួយតម្លៃមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ), c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ), d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការសរសេរចេញនូវតម្លៃនៃមេគុណទាំងនេះជាមុន។

      • ឧទាហរណ៍។ គណិតវិទ្យា > x^3-3x^2+3x-1. នៅទីនេះ a=1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\ displaystyle b=-3), c = 3 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ c = 3), d = − 1 (\ displaystyle d=-1). កុំភ្លេចថាពេលណា x (\ រចនាប័ទ្ម x)មិនមានមេគុណទេ មានន័យថាមេគុណស្មើនឹង 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1).

   2. គណនា △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \ triangle _(0)=b^(2)-3ac). វិធីសាស្រ្តនេះនឹងតម្រូវឱ្យមានការគណនាស្មុគស្មាញមួយចំនួន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់វា អ្នកនឹងអាចដោះស្រាយសមីការគូបដ៏ស្មុគស្មាញបំផុត។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម សូមគណនា △ 0 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម\ត្រីកោណ _(0))ដែលជាបរិមាណដ៏សំខាន់មួយចំនួនដែលយើងនឹងត្រូវការដោយការជំនួសតម្លៃសមស្របទៅក្នុងរូបមន្ត។

      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (−3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\ត្រីកោណ _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\ត្រីកោណ _(1))

   3. គណនា Δ = Δ1 2 − 4Δ0 3) ÷ −27 ក 2 . ឥឡូវនេះគណនាការរើសអើងនៃសមីការដោយប្រើតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃ Δ0 និង Δ1 ។ ការរើសអើងគឺជាលេខដែលផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវព័ត៌មានអំពីឫសគល់នៃពហុធា (អ្នកប្រហែលជាដឹងរួចហើយថាការរើសអើងនៃសមីការបួនជ្រុងគឺ ខ 2 - 4អេក) ក្នុងករណីសមីការគូប ប្រសិនបើការរើសអើងគឺវិជ្ជមាន នោះសមីការមានដំណោះស្រាយបី។ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះសមីការមានដំណោះស្រាយមួយ ឬពីរ។ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ សមីការគូបតែងតែមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ ព្រោះក្រាហ្វនៃសមីការបែបនេះកាត់អ័ក្ស x យ៉ាងហោចណាស់មួយចំណុច។

      • ប្រសិនបើអ្នកជំនួសតម្លៃសមស្របនៃបរិមាណទៅក្នុងរូបមន្តនេះ អ្នកទទួលបាន ដំណោះស្រាយដែលអាចកើតមានសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នក។ ជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដើម ហើយប្រសិនបើសមភាពត្រូវបានបំពេញ នោះដំណោះស្រាយគឺត្រឹមត្រូវ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកដោតតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយទទួលបាន 1 សូមដោតលេខ 1 ចូលទៅក្នុង x 3 - 3x 2 + 3x- 1 និងទទួលបាន 0. នោះគឺសមភាពត្រូវបានអង្កេត និង 1 គឺជាដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នក។