ឧទាហរណ៍:

\\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

វិធីដោះស្រាយសមីការលោការីត៖

នៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត អ្នកត្រូវខិតខំបំប្លែងវាទៅជាទម្រង់ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ហើយបន្ទាប់មកធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅជា \(f( x) = g (x) \\) ។

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \\(f(x)=g(x)\) ។

ឧទាហរណ៍៖\\(\log_2⁡(x-2)=3\)

ដំណោះស្រាយ៖ \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \\(x-2=8\) \(x=10\) ការប្រឡង៖\(10>2\) - សមរម្យសម្រាប់ ODZ ចម្លើយ៖\(x=10\)

ODZ៖ \(x-2>0\) \(x>2\)

សំខាន់ណាស់!ការផ្លាស់ប្តូរនេះអាចធ្វើឡើងបានលុះត្រាតែ៖

អ្នកបានសរសេរសម្រាប់សមីការដើម ហើយនៅចុងបញ្ចប់ពិនិត្យមើលថាតើអ្វីដែលបានរកឃើញត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង DPV ដែរឬទេ។ ប្រសិនបើវាមិនត្រូវបានធ្វើទេឫសបន្ថែមអាចលេចឡើងដែលមានន័យថាការសម្រេចចិត្តខុស។

លេខ (ឬកន្សោម) គឺដូចគ្នានៅខាងឆ្វេងនិងស្តាំ;

លោការីត​នៅ​ខាង​ឆ្វេង និង​ស្ដាំ គឺ «សុទ្ធ» ពោល​គឺ​មិន​គួរ​មាន​ទេ គុណ ចែក ។ល។ - មានតែលោការីតឯកកោនៅលើភាគីទាំងពីរនៃសញ្ញាស្មើ។

ឧទាហរណ៍:

ចំណាំថាសមីការ 3 និង 4 អាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយការដាក់ពាក្យ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលចង់បានលោការីត។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

ដំណោះស្រាយ :

		តោះសរសេរ ODZ: \(x>0\) ។
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ៖ \(x>0\)		នៅខាងឆ្វេងនៅពីមុខលោការីតគឺជាមេគុណ ហើយនៅខាងស្តាំគឺជាផលបូកនៃលោការីត។ នេះរំខានយើង។ ចូរផ្ទេរទាំងពីរទៅនិទស្សន្ត \(x\) ដោយលក្ខណសម្បត្តិ៖ \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\) ។ យើងតំណាងឱ្យផលបូកនៃលោការីតជាលោការីតតែមួយដោយលក្ខណសម្បត្តិ៖ \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ហើយសរសេរចុះ ODZ ដែលមានន័យថា យើងអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ \(f (x)=g(x)\)។
		បានកើតឡើង។ យើងដោះស្រាយវាហើយទទួលបានឫស។
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		យើងពិនិត្យមើលថាតើឫសសមនឹងនៅក្រោម ODZ ដែរឬទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅក្នុង \(x>0\) ជំនួសឱ្យ \(x\) យើងជំនួស \(5\) និង \(-5\) ។ ប្រតិបត្តិការនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់មាត់។
\(5>0\), \(-5>0\)		វិសមភាពទីមួយគឺពិត ទីពីរគឺមិនមែនទេ។ ដូច្នេះ \(5\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការ ប៉ុន្តែ \(-5\) មិនមែនទេ។ យើងសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ : \(5\)

ឧទាហរណ៍ ៖ ដោះស្រាយសមីការ \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

ដំណោះស្រាយ :

		តោះសរសេរ ODZ: \(x>0\) ។
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ៖ \(x>0\)		សមីការធម្មតា។, ដោះស្រាយជាមួយ . ជំនួស \\(\log_2⁡x\) ជាមួយ \(t\) ។
\\(t=\log_2⁡x\)
		បានទទួលធម្មតា។ រកមើលឫសរបស់វា។
\\(t_1=2\) \\(t_2=1\)		ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស
\\(\log_2(⁡x)=2\) \\(\log_2(⁡x)=1\)		យើងបំប្លែងផ្នែកដែលត្រឹមត្រូវ តំណាងឱ្យពួកវាជាលោការីត៖ \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) និង \(1=\log_2⁡2\)
\\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \\)		ឥឡូវនេះសមីការរបស់យើងគឺ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ហើយយើងអាចលោតទៅ \(f(x)=g(x)\)។
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		យើងពិនិត្យមើលការឆ្លើយឆ្លងនៃឫសគល់នៃ ODZ ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសឱ្យ \(x\) យើងជំនួស \(4\) និង \(2\) ទៅក្នុងវិសមភាព \(x> 0\) ។
\(4>0\) \(2>0\)		វិសមភាពទាំងពីរគឺជាការពិត។ ដូច្នេះ ទាំង \(4\) និង \(2\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។

ចម្លើយ : \(4\); \(2\).

ថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត ដែលមិនតម្រូវឱ្យមានការបំប្លែងបឋម និងការជ្រើសរើសឫស។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នករៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះ នោះវានឹងកាន់តែងាយស្រួល។

សមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុតគឺជាសមីការនៃទម្រង់បែបបទ a f (x) \u003d b ដែល a, b ជាលេខ (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) គឺជាមុខងារមួយចំនួន។

លក្ខណៈពិសេសប្លែកនៃសមីការលោការីតទាំងអស់គឺវត្តមាននៃអថេរ x នៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីត។ ប្រសិនបើសមីការបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ដំបូងនៅក្នុងបញ្ហានោះ វាត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញបំផុត។ សមីការលោការីតផ្សេងទៀតណាមួយត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញបំផុតដោយការបំប្លែងពិសេស (សូមមើល "លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត")។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ subtleties ជាច្រើនត្រូវតែយកមកពិចារណា៖ ឫសបន្ថែមអាចលេចឡើង ដូច្នេះសមីការលោការីតស្មុគស្មាញនឹងត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ? វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជំនួសលេខនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នាជាមួយនឹងលោការីតក្នុងមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងនៅខាងឆ្វេង។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចកម្ចាត់សញ្ញានៃលោការីត។ យើង​ទទួល​បាន:

កំណត់ហេតុ a f (x) \u003d b ⇒ កំណត់ហេតុ a f (x) \u003d កត់ត្រា a b ⇒ f (x) \u003d a b

យើងទទួលបានសមីការធម្មតា។ ឫសរបស់វាគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ការប្រកាសសញ្ញាបត្រ

ជាញឹកញាប់ សមីការលោការីត ដែលមើលទៅខាងក្រៅមានភាពស្មុគស្មាញ និងគំរាមកំហែង ត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្រាន់តែពីរបីបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនពាក់ព័ន្ធនឹង រូបមន្តស្មុគស្មាញ. ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាអំពីបញ្ហាបែបនេះ ដែលអ្វីៗទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការគឺត្រូវកាត់បន្ថយដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវរូបមន្តទៅជាទម្រង់ Canonical និងមិនមានការភ័ន្តច្រឡំនៅពេលស្វែងរកដែននិយមន័យនៃលោការីត។

ថ្ងៃនេះ ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាទាយពីចំណងជើង យើងនឹងដោះស្រាយសមីការលោការីត ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ Canonical ។ "ល្បិច" សំខាន់នៃមេរៀនវីដេអូនេះនឹងដំណើរការជាមួយដឺក្រេ ឬផ្ទុយទៅវិញ យកសញ្ញាបត្រពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់។ តោះមើលក្បួន៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចដកសញ្ញាបត្រចេញពីមូលដ្ឋាន៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញប្រសិនបើនៅពេលដែលយកដឺក្រេចេញពីអាគុយម៉ង់លោការីតយើងគ្រាន់តែមាន មេគុណបន្ថែមនៅខាងមុខបន្ទាប់មកនៅពេលយកសញ្ញាបត្រចេញពីមូលដ្ឋាន - មិនត្រឹមតែកត្តាមួយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែជាកត្តាបញ្ច្រាស។ នេះត្រូវតែចងចាំ។

ទីបំផុតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានផ្សំ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

ជាការពិតណាស់ នៅពេលអនុវត្តដំណើរផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ មានកំហុសមួយចំនួនដែលទាក់ទងជាមួយ ការពង្រីកដែលអាចកើតមានដែននៃនិយមន័យ ឬផ្ទុយទៅវិញដោយការបង្រួមដែននៃនិយមន័យ។ វិនិច្ឆ័យដោយខ្លួនឯង៖

log 3 x 2 = 2 ∙ កំណត់ហេតុ 3 x

ប្រសិនបើក្នុងករណីទីមួយ x អាចជាលេខណាមួយក្រៅពី 0 ពោលគឺតម្រូវការ x ≠ 0 បន្ទាប់មកក្នុងករណីទីពីរ យើងនឹងពេញចិត្តតែ x ដែលមិនត្រឹមតែមិនស្មើគ្នាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែខ្លាំងជាង 0 ។ ដោយសារតែដែននៃលោការីតគឺថាអាគុយម៉ង់គឺធំជាង 0 ។ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងរំលឹកអ្នកអំពីរូបមន្តដ៏អស្ចារ្យមួយពីវគ្គនៃពិជគណិតនៅថ្នាក់ទី 8-9៖

នោះគឺយើងត្រូវសរសេររូបមន្តរបស់យើងដូចខាងក្រោមៈ

log 3 x 2 = 2 ∙ កំណត់ហេតុ 3 |x |

បន្ទាប់មកគ្មានការបង្រួមដែននៃនិយមន័យនឹងកើតឡើងទេ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការបង្រៀនវីដេអូថ្ងៃនេះនឹងមិនមានការ៉េទេ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលកិច្ចការរបស់យើងអ្នកនឹងឃើញតែឫស។ ដូច្នេះអនុវត្ត ច្បាប់នេះ។យើង​នឹង​មិន​ធ្វើ​ទេ ប៉ុន្តែ​វា​នៅ​តែ​ត្រូវ​រក្សា​ទុក​ក្នុង​ចិត្ត​ដើម្បី​ធ្វើ ពេលត្រឹមត្រូវ។នៅពេលដែលអ្នកឃើញ មុខងារបួនជ្រុងនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ឬមូលដ្ឋាននៃលោការីត អ្នកនឹងចងចាំច្បាប់នេះ ហើយអនុវត្តការបំប្លែងទាំងអស់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះសមីការទីមួយគឺ៖

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យពិនិត្យដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវពាក្យនីមួយៗដែលមាននៅក្នុងរូបមន្ត។

ចូរយើងសរសេរពាក្យទីមួយឡើងវិញជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖

យើងក្រឡេកមើលពាក្យទីពីរ៖ log 3 (1 − x) ។ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើអ្វីនៅទីនេះទេ អ្វីៗត្រូវបានផ្លាស់ប្តូររួចហើយ។

ជាចុងក្រោយ 0, 5. ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅក្នុងមេរៀនមុន នៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងរូបមន្ត ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងឱ្យផ្លាស់ទីពីប្រភាគទសភាគទៅលេខធម្មតា។ តោះ​នាំ​គ្នា​ធ្វើ:

0,5 = 5/10 = 1/2

ចូរយើងសរសេររូបមន្តដើមរបស់យើងឡើងវិញ ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌដែលទទួលបាន៖

កំណត់ហេតុ 3 (1 − x) = 1

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅទម្រង់ Canonical៖

log 3 (1 − x) = log 3 3

កម្ចាត់​សញ្ញា​លោការីត​ដោយ​សមីការ​អាគុយម៉ង់៖

1 − x = 3

-x = ២

x = −2

នោះហើយជាវា យើងបានដោះស្រាយសមីការ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងនៅតែលេងវាដោយសុវត្ថិភាព និងស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ។ ចំពោះបញ្ហានេះសូមត្រលប់ទៅ រូបមន្តដើមហើយ​ឃើញ:

1 − x > 0

-x > -1

x< 1

ឫសរបស់យើង x = −2 បំពេញតម្រូវការនេះ ដូច្នេះ x = −2 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម។ ឥឡូវនេះយើងមានយុត្តិកម្មច្បាស់លាស់យ៉ាងតឹងរឹង។ អ្វីគ្រប់យ៉ាង, ភារកិច្ចត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីពីរ៖

ចូរយើងដោះស្រាយពាក្យនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

យើងសរសេរដំបូង៖

យើងបានកែប្រែពាក្យដំបូង។ យើងធ្វើការជាមួយពាក្យទីពីរ៖

ទីបំផុតពាក្យចុងក្រោយ ដែលនៅខាងស្តាំសញ្ញាស្មើគ្នា៖

យើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ពាក្យនៅក្នុងរូបមន្តលទ្ធផល៖

កំណត់ហេតុ 3 x = 1

យើងឆ្លងទៅទម្រង់ Canonical៖

log 3 x = log 3 ៣

យើងកម្ចាត់សញ្ញានៃលោការីតដោយសមីការអាគុយម៉ង់ ហើយយើងទទួលបាន៖

x=3

ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត គ្រាន់​តែ​ជា​ករណី សូម​ឲ្យ​យើង​លេង​វា​ដោយ​សុវត្ថិភាព ត្រឡប់​ទៅ​សមីការ​ដើម​វិញ​ហើយ​មើល។ នៅក្នុងរូបមន្តដើម អថេរ x មានវត្តមានតែនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះ

x > 0

នៅក្នុងលោការីតទីពីរ x ស្ថិតនៅក្រោមឫស ប៉ុន្តែម្តងទៀតនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះឫសត្រូវតែធំជាង 0 i.e. ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ត្រូវតែធំជាង 0។ យើងមើលលើ root x = 3 របស់យើង។ ជាក់ស្តែង វាបំពេញតម្រូវការនេះ។ ដូច្នេះ x = 3 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលោការីតដើម។ អ្វីគ្រប់យ៉ាង, ភារកិច្ចត្រូវបានដោះស្រាយ។

មាន​ចំណុច​សំខាន់​ពីរ​ក្នុង​វីដេអូ​បង្រៀន​ថ្ងៃ​នេះ៖

1) កុំខ្លាចក្នុងការបំប្លែងលោការីត ហើយជាពិសេសកុំខ្លាចក្នុងការដកដឺក្រេចេញពីសញ្ញាលោការីត ខណៈពេលដែលចងចាំរបស់យើង រូបមន្តមូលដ្ឋាន៖ នៅពេលដកសញ្ញាបត្រចេញពីអាគុយម៉ង់ វាត្រូវបានដកចេញយ៉ាងសាមញ្ញដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរជាកត្តាមួយ ហើយនៅពេលដែលយកសញ្ញាបត្រចេញពីមូលដ្ឋាន ដឺក្រេនេះត្រូវបានបញ្ច្រាស។

2) ចំណុចទី 2 គឺទាក់ទងទៅនឹងទម្រង់បែបបទនៃខ្លួនឯង។ យើងបានអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ Canonical នៅចុងបញ្ចប់នៃការផ្លាស់ប្តូររូបមន្តនៃសមីការលោការីត។ រំលឹករូបមន្តខាងក្រោម៖

a = កំណត់ហេតុ b b a

ជាការពិតណាស់ដោយកន្សោម "លេខណាមួយ ខ" ខ្ញុំមានន័យថាលេខទាំងនោះដែលបំពេញតម្រូវការដែលបានដាក់នៅលើមូលដ្ឋាននៃលោការីតពោលគឺឧ។

1 ≠ b > 0

សម្រាប់ b បែបនេះ ហើយចាប់តាំងពីយើងដឹងពីមូលដ្ឋានរួចហើយ តម្រូវការនេះនឹងត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ខបែបនេះ - ណាមួយដែលពេញចិត្ត តម្រូវការនេះ។- ការផ្លាស់ប្តូរនេះអាចត្រូវបានអនុវត្ត ហើយយើងនឹងទទួលបានទម្រង់ Canonical ដែលយើងអាចកម្ចាត់សញ្ញានៃលោការីត។

ផ្នែកបន្ថែមនៃដែននៃនិយមន័យ និងឫសបន្ថែម

នៅក្នុងដំណើរការនៃការបំប្លែងសមីការលោការីត ការបន្ថែមផ្នែកបន្ថែមនៃដែននៃនិយមន័យអាចកើតឡើង។ ជាញឹកញយ សិស្ស​មិន​បាន​កត់​សម្គាល់​ចំណុច​នេះ​ទេ ដែល​នាំ​ឱ្យ​មាន​កំហុស និង​ចម្លើយ​មិន​ត្រឹមត្រូវ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការរចនាសាមញ្ញបំផុត។ សមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុតមានដូចខាងក្រោម៖

កំណត់ហេតុ a f(x) = b

ចំណាំថា x មានវត្តមាននៅក្នុងអាគុយម៉ង់មួយនៃលោការីតមួយ។ តើយើងដោះស្រាយសមីការបែបនេះដោយរបៀបណា? យើងប្រើទម្រង់ Canonical ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងតំណាងឱ្យលេខ b \u003d កត់ត្រា a b ហើយសមីការរបស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

log a f(x) = កត់ត្រា a b

សញ្ញាណនេះត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ Canonical ។ វាគឺសម្រាប់វាថាសមីការលោការីតណាមួយដែលអ្នកនឹងជួបមិនត្រឹមតែនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងការងារឯករាជ្យនិងការត្រួតពិនិត្យណាមួយគួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីមកទម្រង់ Canonical, បច្ចេកទេសអ្វីដែលត្រូវប្រើ - នេះគឺជាបញ្ហានៃការអនុវត្តរួចទៅហើយ។ រឿងចំបងដែលត្រូវយល់៖ ដរាបណាអ្នកទទួលបានកំណត់ត្រាបែបនេះ យើងអាចសន្មត់ថាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដោយសារតែ ជំហាន​បន្ទាប់នឹងមានធាតុចូល៖

f (x) = a ខ

ម្យ៉ាង​ទៀត យើង​ដក​សញ្ញា​នៃ​លោការីត​ចេញ ហើយ​គ្រាន់​តែ​ធ្វើ​ឲ្យ​សមមូល​នៃ​អាគុយម៉ង់។

ហេតុអ្វីបានជាការនិយាយទាំងអស់នេះ? ការពិតគឺថាទម្រង់ Canonical គឺអាចអនុវត្តមិនត្រឹមតែចំពោះបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងចំពោះបញ្ហាផ្សេងៗទៀតផង។ ជាពិសេសចំពោះអ្នកដែលយើងនឹងនិយាយនៅថ្ងៃនេះ។ សូម​មើល។

កិច្ចការទីមួយ៖

តើសមីការនេះមានបញ្ហាអ្វី? ការពិតដែលថាអនុគមន៍គឺនៅក្នុងលោការីតពីរក្នុងពេលតែមួយ។ បញ្ហាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញបំផុតដោយគ្រាន់តែដកលោការីតមួយពីលោការីតមួយទៀត។ ប៉ុន្តែមានបញ្ហាជាមួយដែននិយមន័យ៖ ឫសបន្ថែមអាចលេចឡើង។ ដូច្នេះ ចូរយើងផ្លាស់ទីលោការីតមួយទៅខាងស្តាំ៖

នៅទីនេះកំណត់ត្រាបែបនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងទម្រង់ Canonical រួចទៅហើយ។ ប៉ុន្តែមានភាពខុសប្លែកគ្នាមួយទៀត៖ នៅក្នុងទម្រង់ Canonical អាគុយម៉ង់ត្រូវតែដូចគ្នា។ ហើយ​យើង​មាន​លោការីត​ទៅ​គោល ៣ នៅ​ខាង​ឆ្វេង ហើយ​លោការីត​ទៅ​គោល ១/៣ នៅ​ខាង​ស្ដាំ។ អ្នកដឹងទេ អ្នកត្រូវនាំយកមូលដ្ឋានទាំងនេះទៅលេខដូចគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងចាំថាតើនិទស្សន្តអវិជ្ជមានអ្វីខ្លះ៖

ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងប្រើនិទស្សន្ត "-1" នៅខាងក្រៅកំណត់ហេតុជាមេគុណ៖

សូម​ចំណាំ៖ ដឺក្រេ​ដែល​ឈរ​នៅ​មូលដ្ឋាន​ត្រូវ​បាន​បង្វែរ​ទៅ​ជា​ប្រភាគ។ យើងទទួលបានសញ្ញាណ Canonical ស្ទើរតែដោយការកម្ចាត់មូលដ្ឋានផ្សេងៗ ប៉ុន្តែយើងទទួលបានកត្តា "−1" នៅខាងស្តាំ។ ចូរយើងដាក់កត្តានេះទៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយបង្វែរវាទៅជាថាមពល៖

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ដោយ​បាន​ទទួល​ទម្រង់ Canonical យើង​ឆ្លង​សញ្ញា​នៃ​លោការីត​យ៉ាង​ក្លាហាន ហើយ​ធ្វើ​ឲ្យ​មាន​អាគុយម៉ង់​ស្មើគ្នា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថានៅពេលដែលបានលើកឡើងទៅថាមពលនៃ "−1" ប្រភាគគ្រាន់តែប្រែទៅជា - សមាមាត្រត្រូវបានទទួល។

ចូរប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសមាមាត្រ ហើយគុណវាឆ្លងកាត់៖

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x2 − 9x + 4 = 3x2 − 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

មុនពេលយើងគឺ សមីការ​ការ៉េដូច្នេះយើងដោះស្រាយវាដោយប្រើរូបមន្ត Vieta៖

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x2 = 2

អស់ហើយ។ តើអ្នកគិតថាសមីការត្រូវបានដោះស្រាយទេ? ទេ! សម្រាប់ដំណោះស្រាយបែបនេះ យើងនឹងទទួលបាន 0 ពិន្ទុ ព្រោះនៅក្នុងសមីការដើមមានលោការីតពីរដែលមានអថេរ x ក្នុងពេលតែមួយ។ ដូច្នេះចាំបាច់ត្រូវគិតគូរពីដែននៃនិយមន័យ។

ហើយនេះគឺជាកន្លែងដែលភាពសប្បាយរីករាយចាប់ផ្តើម។ សិស្សភាគច្រើនមានការភ័ន្តច្រឡំ៖ តើដែនលោការីតជាអ្វី? ជាការពិតណាស់ អាគុយម៉ង់ទាំងអស់ (យើងមានពីរ) ត្រូវតែធំជាងសូន្យ៖

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

វិសមភាពទាំងនេះនីមួយៗត្រូវតែដោះស្រាយ ដោយសម្គាល់លើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ឆ្លងកាត់ - ហើយមានតែបន្ទាប់មកមើលថាតើឫសអ្វីស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វ។

ខ្ញុំនឹងនិយាយដោយស្មោះត្រង់៖ បច្ចេកទេសនេះមានសិទ្ធិមាន វាអាចទុកចិត្តបាន ហើយអ្នកនឹងទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែមានជំហានបន្ថែមច្រើនពេកនៅក្នុងវា។ ដូច្នេះ ចូរយើងឆ្លងកាត់ដំណោះស្រាយរបស់យើងម្តងទៀត ហើយមើលថា តើអ្នកចង់អនុវត្តវិសាលភាពនៅឯណា? ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្នកត្រូវយល់ឱ្យបានច្បាស់នៅពេលឫសបន្ថែមលេចឡើង។

1. ដំបូងយើងមានលោការីតពីរ។ បន្ទាប់មក យើងផ្លាស់ទីមួយក្នុងចំណោមពួកវាទៅខាងស្តាំ ប៉ុន្តែវាមិនប៉ះពាល់ដល់តំបន់និយមន័យទេ។
2. បន្ទាប់មកយើងដកថាមពលចេញពីមូលដ្ឋាន ប៉ុន្តែនៅតែមានលោការីតពីរ ហើយពួកវានីមួយៗមានអថេរ x ។
3. ទីបំផុតយើងឆ្លងកាត់សញ្ញានៃកំណត់ហេតុ និងទទួលបានភាពបុរាណ សមីការប្រភាគប្រភាគ.

វាគឺនៅជំហានចុងក្រោយដែលដែននៃនិយមន័យត្រូវបានពង្រីក! ដរាបណាយើងប្តូរទៅសមីការប្រភាគ កម្ចាត់សញ្ញានៃកំណត់ហេតុ តម្រូវការសម្រាប់អថេរ x បានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង!

ដូច្នេះដែននៃនិយមន័យអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនមែននៅដើមដំបូងនៃដំណោះស្រាយនោះទេ ប៉ុន្តែមានតែនៅជំហានដែលបានរៀបរាប់ប៉ុណ្ណោះ - មុនពេលយើងធ្វើសមតុល្យដោយផ្ទាល់នូវអំណះអំណាង។

នេះគឺជាកន្លែងដែលឱកាសសម្រាប់ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពស្ថិតនៅ។ នៅលើដៃមួយ យើងតម្រូវឱ្យអាគុយម៉ង់ទាំងពីរធំជាងសូន្យ។ ម៉្យាងវិញទៀត យើងបន្ថែមអំណះអំណាងទាំងនេះ។ ដូច្នេះប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺវិជ្ជមាននោះទីពីរក៏នឹងវិជ្ជមានផងដែរ!

ដូច្នេះវាប្រែថាការទាមទារឱ្យមានការបំពេញវិសមភាពពីរក្នុងពេលតែមួយគឺជាការហួសកម្រិត។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការពិចារណាតែប្រភាគមួយក្នុងចំណោមប្រភាគទាំងនេះ។ មួយ​ណា? មួយដែលងាយស្រួលជាង។ ជាឧទាហរណ៍ សូមក្រឡេកមើលប្រភាគត្រឹមត្រូវ៖

(x − 5)/(2x − 1) > 0

នេះគឺជារឿងធម្មតា វិសមភាពសមហេតុសមផលប្រភាគយើងដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដាក់សញ្ញា? តោះយកលេខមួយ។ច្បាស់ជាធំជាងឫសរបស់យើងទាំងអស់។ ឧទាហរណ៍ 1 ពាន់លាន។ ហើយយើងជំនួសប្រភាគរបស់វា។ យើងទទួលបានលេខវិជ្ជមាន i.e. នៅខាងស្តាំឫស x = 5 នឹងមានសញ្ញាបូក។

បន្ទាប់មកសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា ពីព្រោះមិនមានឫសគល់នៃពហុគុណនៅគ្រប់ទីកន្លែង។ យើងចាប់អារម្មណ៍លើចន្លោះពេលដែលមុខងារមានភាពវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងចងចាំចម្លើយ៖ x = 8 និង x = 2 ។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ទាំងនេះមិនទាន់ជាចម្លើយនៅឡើយទេ ប៉ុន្តែមានតែបេក្ខជនសម្រាប់ចម្លើយប៉ុណ្ណោះ។ តើមួយណាជាកម្មសិទ្ធិ សំណុំដែលបានបញ្ជាក់? ជាការពិតណាស់ x = 8. ប៉ុន្តែ x = 2 មិនសមនឹងយើងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃដែននិយមន័យ។

សរុបមក ចម្លើយចំពោះសមីការលោការីតទី 1 នឹងជា x = 8 ។ ឥឡូវនេះ យើងមានដំណោះស្រាយសមហេតុផលដែលមានសមត្ថភាព ដោយគិតគូរអំពីដែននៃនិយមន័យ។

ចូរបន្តទៅសមីការទីពីរ៖

log 5 (x − 9) = log 0.5 4 - log 5 (x − 5) + 3

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ប្រសិនបើមានប្រភាគទសភាគនៅក្នុងសមីការ នោះអ្នកគួរតែកម្ចាត់វាចោល។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតយើងសរសេរឡើងវិញ 0.5 as ប្រភាគធម្មតា។. យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាននេះត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងងាយស្រួល៖

នេះជាពេលវេលាដ៏សំខាន់ណាស់! នៅពេលដែលយើងមានដឺក្រេទាំងមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ យើងអាចដកសូចនាករនៃដឺក្រេទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត៖

យើងត្រឡប់ទៅសមីការលោការីតដើមរបស់យើង ហើយសរសេរវាឡើងវិញ៖

log 5 (x − 9) = 1 - log 5 (x − 5)

យើងទទួលបានសំណង់ដែលនៅជិតទម្រង់ Canonical ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមានការភ័ន្តច្រឡំដោយពាក្យ និងសញ្ញាដកនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើ។ ចូរយើងតំណាងឱ្យការរួបរួមជាលោការីតដល់គោល ៥៖

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 - log 5 (x − 5)

ដកលោការីតនៅខាងស្តាំ (ខណៈពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេត្រូវបានបែងចែក):

កំណត់ហេតុ 5 (x − 9) = កំណត់ហេតុ 5 5/(x − 5)

អស្ចារ្យ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានទម្រង់ Canonical! យើងកាត់ចេញនូវសញ្ញាណសំគាល់ ហើយធ្វើសមតុល្យអាគុយម៉ង់៖

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

នេះគឺជាសមាមាត្រដែលងាយស្រួលដោះស្រាយដោយការគុណឆ្លង៖

(x − 9)(x − 5) = 5 ១

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

ជាក់ស្តែង យើងមានសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្ត Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

យើងមានឫសពីរ។ ប៉ុន្តែទាំងនេះមិនមែនជាចម្លើយចុងក្រោយទេ ប៉ុន្តែមានតែបេក្ខជនប៉ុណ្ណោះ ព្រោះសមីការលោការីតក៏តម្រូវឱ្យពិនិត្យមើលដែនផងដែរ។

ខ្ញុំរំលឹកអ្នក៖ កុំមើលពេលណា គ្នានៃអាគុយម៉ង់នឹងធំជាងសូន្យ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីតម្រូវឱ្យអាគុយម៉ង់មួយ x − 9 ឬ 5 / (x − 5) ធំជាងសូន្យ។ ពិចារណាអំណះអំណាងទីមួយ៖

x − 9 > 0

x > 9

ជាក់ស្តែង មានតែ x = 10 ប៉ុណ្ណោះដែលបំពេញតម្រូវការនេះ។ នេះគឺជាចម្លើយចុងក្រោយ។ បញ្ហាទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយ។

ម្តងទៀត គំនិតសំខាន់ៗមេរៀនថ្ងៃនេះ៖

1. ដរាបណាអថេរ x លេចឡើងក្នុងលោការីតជាច្រើន សមីការឈប់ជាបឋម ហើយសម្រាប់វាចាំបាច់ដើម្បីគណនាដែននៃនិយមន័យ។ បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកអាចសរសេរឫសបន្ថែមយ៉ាងងាយស្រួលក្នុងការឆ្លើយតប។
2. ការធ្វើការជាមួយដែននៃនិយមន័យខ្លួនវាផ្ទាល់អាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងខ្លាំងប្រសិនបើវិសមភាពមិនត្រូវបានសរសេរភ្លាមៗនោះទេប៉ុន្តែពិតប្រាកដនៅពេលយើងកម្ចាត់សញ្ញានៃកំណត់ហេតុ។ យ៉ាងណាមិញ នៅពេលដែលអំណះអំណាងត្រូវបានសមីការគ្នាទៅវិញទៅមក វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីតម្រូវឱ្យមានតែមួយក្នុងចំណោមពួកវាធំជាងសូន្យ។

ជាការពិតណាស់ យើងខ្លួនយើងជ្រើសរើសអំណះអំណាងណាមួយដើម្បីបង្កើតវិសមភាព ដូច្នេះវាសមហេតុសមផលក្នុងការជ្រើសរើសអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុត។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងសមីការទីពីរ យើងជ្រើសរើសអាគុយម៉ង់ (x − 9) − មុខងារលីនេអ៊ែរផ្ទុយទៅនឹងអំណះអំណាងជាប្រភាគទីពីរ។ យល់ស្រប ការដោះស្រាយវិសមភាព x − 9 > 0 គឺងាយស្រួលជាង 5/(x − 5) > 0។ ទោះបីជាលទ្ធផលគឺដូចគ្នាក៏ដោយ។

ការកត់សម្គាល់នេះជួយសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដល់ការស្វែងរក ODZ ប៉ុន្តែត្រូវប្រយ័ត្ន៖ អ្នកអាចប្រើវិសមភាពមួយជំនួសឱ្យពីរបានតែនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់មានភាពជាក់លាក់ ស្មើ​គ្នា។!

ប្រាកដណាស់ អ្នកណាម្នាក់នឹងសួរថាៈ តើមានអ្វីកើតឡើងខុសគ្នា? បាទ​ពេល​ខ្លះ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងជំហានខ្លួនវា នៅពេលដែលយើងគុណអាគុយម៉ង់ពីរដែលមានអថេរ វាមានហានិភ័យនៃឫសបន្ថែម។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ ដំបូងវាត្រូវបានទាមទារថាអាគុយម៉ង់នីមួយៗធំជាងសូន្យ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីគុណវាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលផលិតផលរបស់ពួកគេធំជាងសូន្យ។ ជាលទ្ធផល ករណីនៅពេលដែលប្រភាគនីមួយៗទាំងនេះអវិជ្ជមានត្រូវបានខកខាន។

ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើអ្នកទើបតែចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការលោការីតស្មុគស្មាញ នោះគ្មានករណីណាទេ កុំគុណលោការីតដែលមានអថេរ x - ញឹកញាប់ពេក វានឹងនាំទៅរកឫសបន្ថែម។ យក​មួយ​ជំហាន​បន្ថែម​ទៀត ផ្ទេរ​ពាក្យ​មួយ​ទៅ​ម្ខាង​ទៀត បង្កើត​ទម្រង់ Canonical។

ជាការប្រសើរណាស់, អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើអ្នកមិនអាចធ្វើដោយគ្មានការគុណលោការីតបែបនេះ, យើងនឹងពិភាក្សានៅក្នុងការបង្រៀនវីដេអូបន្ទាប់។ :)

ជាថ្មីម្តងទៀតអំពីអំណាចនៅក្នុងសមីការ

ថ្ងៃនេះ យើងនឹងវិភាគប្រធានបទដ៏រអិលមួយទាក់ទងនឹងសមីការលោការីត ឬផ្ទុយទៅវិញ ការដកអំណាចចេញពីអាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋាននៃលោការីត។

ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា យើងនឹងនិយាយអំពីការដកអំណាចសូម្បីតែមួយ ព្រោះវានៅជាមួយសូម្បីតែអំណាច ដែលការលំបាកភាគច្រើនកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីតពិតប្រាកដ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទម្រង់ Canonical ។ ឧបមាថាយើងមានសមីការដូចជា log a f (x) = b ។ ក្នុងករណីនេះ យើងសរសេរលេខ b ឡើងវិញតាមរូបមន្ត b = log a a b ។ វាប្រែចេញដូចខាងក្រោម:

log a f(x) = កត់ត្រា a b

បន្ទាប់​មក​យើង​ធ្វើ​ការ​ប្រៀបធៀប​អាគុយម៉ង់៖

f (x) = a ខ

រូបមន្តចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ Canonical ។ វាគឺសម្រាប់នាងដែលពួកគេព្យាយាមកាត់បន្ថយសមីការលោការីត ទោះជាវាស្មុគស្មាញ និងគួរឱ្យភ័យខ្លាចយ៉ាងណាក៏ដោយ វាហាក់ដូចជានៅ glance ដំបូង។

នៅទីនេះ តោះសាកល្បង។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការទីមួយ៖

ចំណាំបឋម៖ ដូចខ្ញុំបាននិយាយអញ្ចឹង ទសភាគនៅក្នុងសមីការលោការីត វាជាការប្រសើរក្នុងការបកប្រែវាទៅជាសមីការធម្មតា៖

0,5 = 5/10 = 1/2

ចូរយើងសរសេរសមីការរបស់យើងឡើងវិញជាមួយនឹងការពិតនេះនៅក្នុងចិត្ត។ ចំណាំថាទាំង 1/1000 និង 100 គឺជាអំណាចនៃ 10 ហើយបន្ទាប់មកយើងយកអំណាចចេញពីកន្លែងណាក៏ដោយ៖ ពីអាគុយម៉ង់ និងសូម្បីតែពីមូលដ្ឋាននៃលោការីត៖

ហើយនៅទីនេះសំណួរកើតឡើងសម្រាប់សិស្សជាច្រើន: "តើម៉ូឌុលមកពីណានៅខាងស្តាំ?" ពិតហើយ ហេតុអ្វីមិនគ្រាន់តែសរសេរ (x − 1) ? ជាការពិតណាស់ឥឡូវនេះយើងនឹងសរសេរ (x − 1) ប៉ុន្តែសិទ្ធិក្នុងការកត់ត្រាបែបនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវគណនីនៃដែននិយមន័យ។ យ៉ាងណាមិញ លោការីតផ្សេងទៀតមាន (x − 1) រួចហើយ ហើយកន្សោមនេះត្រូវតែធំជាងសូន្យ។

ប៉ុន្តែនៅពេលដែលយើងដកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋានលោការីត យើងត្រូវទុកម៉ូឌុលនៅមូលដ្ឋាន។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់ពីមូលហេតុ។

ការពិតគឺថា តាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យា ការយកសញ្ញាបត្រគឺស្មើនឹងការយកឬសគល់។ ជាពិសេស នៅពេលដែលកន្សោម (x − 1) 2 មានរាងការ៉េ យើងកំពុងទាញយកឫសនៃដឺក្រេទីពីរយ៉ាងសំខាន់។ ប៉ុន្តែឫសការ៉េគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីម៉ូឌុលទេ។ យ៉ាង​ពិតប្រាកដ ម៉ូឌុលពីព្រោះទោះបីជាកន្សោម x - 1 អវិជ្ជមានក៏ដោយ នៅពេលដែលការេ "ដក" នឹងនៅតែឆេះ។ ការទាញយកឫសបន្ថែមទៀតនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវចំនួនវិជ្ជមាន - រួចទៅហើយដោយគ្មាន minuses ណាមួយឡើយ។

ជាទូទៅ ដើម្បីជៀសវាងកំហុសឆ្គងដែលប្រមាថ សូមចងចាំម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា៖

ឫសនៃដឺក្រេគូពីមុខងារណាមួយដែលត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលដូចគ្នា គឺស្មើនឹងមិនមែនមុខងារខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែចំពោះម៉ូឌុលរបស់វា៖

យើងត្រលប់ទៅសមីការលោការីតរបស់យើង។ និយាយអំពីម៉ូឌុល ខ្ញុំបានប្រកែកថាយើងអាចដកវាចេញដោយគ្មានការឈឺចាប់។ វា​ជា​ការពិត។ ឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងពន្យល់ពីមូលហេតុ។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹងយើងត្រូវពិចារណាជម្រើសពីរ៖

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − ១
2. x − ១< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

ជម្រើសទាំងនេះនីមួយៗនឹងត្រូវដោះស្រាយ។ ប៉ុន្តែមានការចាប់មួយ៖ រូបមន្តដើមមានមុខងារ (x − 1) រួចហើយដោយគ្មានម៉ូឌុល។ ហើយតាមដែននៃនិយមន័យលោការីត យើងអាចសរសេរភ្លាមៗថា x − 1 > 0 ។

តម្រូវការនេះត្រូវតែពេញចិត្តដោយមិនគិតពីម៉ូឌុល និងការបំប្លែងផ្សេងទៀតដែលយើងអនុវត្តនៅក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះវាគ្មានន័យទេក្នុងការពិចារណាជម្រើសទីពីរ - វានឹងមិនកើតឡើងទេ។ ទោះបីជានៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពសាខានេះ យើងទទួលបានលេខមួយចំនួនក៏ដោយ ក៏ពួកគេនៅតែមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចម្លើយចុងក្រោយដែរ។

ឥឡូវនេះ យើងនៅឆ្ងាយមួយជំហានពីទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត។ ចូរតំណាងអង្គភាពដូចខាងក្រោមៈ

១ = កំណត់ហេតុ x − ១ (x − ១) ១

លើសពីនេះទៀត យើងណែនាំកត្តា −4 ដែលនៅខាងស្តាំទៅក្នុងអាគុយម៉ង់៖

កំណត់ហេតុ x − 1 10 −4 = កំណត់ហេតុ x − 1 (x − 1)

មុនពេលយើងគឺជាទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត។ កម្ចាត់សញ្ញាលោការីត៖

10 −4 = x − 1

ប៉ុន្តែដោយសារមូលដ្ឋានគឺជាអនុគមន៍ (និងមិនមែនជាលេខបឋម) យើងក៏តម្រូវឱ្យអនុគមន៍នេះធំជាងសូន្យ និងមិនស្មើនឹងមួយ។ ទទួលបានប្រព័ន្ធ៖

ដោយសារតម្រូវការ x − 1 > 0 ត្រូវបានពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ (ព្រោះ x − 1 = 10 −4) វិសមភាពមួយក្នុងចំណោមវិសមភាពអាចត្រូវបានលុបចេញពីប្រព័ន្ធរបស់យើង។ លក្ខខណ្ឌទីពីរក៏អាចកាត់ចេញបានដែរ ព្រោះ x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

នេះគឺជាឫសគល់តែមួយគត់ដែលបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិនូវតម្រូវការទាំងអស់សម្រាប់ដែននៃនិយមន័យនៃលោការីត (ទោះជាយ៉ាងណា តម្រូវការទាំងអស់ត្រូវបានលុបចោលថាត្រូវបានបំពេញដោយដឹងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហារបស់យើង)។

ដូច្នេះសមីការទីពីរគឺ៖

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

តើសមីការនេះមានមូលដ្ឋានខុសគ្នាយ៉ាងណាពីសមីការមុន? យ៉ាងហោចណាស់ការពិតដែលថាមូលដ្ឋាននៃលោការីត - 3x និង 9x - គឺមិនមែនទេ។ សញ្ញាបត្រធម្មជាតិទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះការផ្លាស់ប្តូរដែលយើងបានប្រើនៅក្នុងដំណោះស្រាយពីមុនគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

យ៉ាងហោចណាស់ត្រូវកម្ចាត់ដឺក្រេ។ ក្នុងករណីរបស់យើង អំណាចតែមួយគត់គឺនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ទីពីរ៖

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញាម៉ូឌុលអាចត្រូវបានដកចេញ ពីព្រោះអថេរ x ក៏ស្ថិតនៅក្នុងមូលដ្ឋានដែរ i.e. x > 0 ⇒ |x| = x ។ ចូរសរសេរសមីការលោការីតរបស់យើងឡើងវិញ៖

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

យើងទទួលបានលោការីត ដែលអាគុយម៉ង់គឺដូចគ្នា ប៉ុន្តែ មូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា. តើត្រូវបន្តយ៉ាងដូចម្តេច? មានជម្រើសជាច្រើននៅទីនេះ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាតែពីរប៉ុណ្ណោះដែលជាឡូជីខលបំផុត ហើយសំខាន់បំផុតនោះគឺជាល្បិចរហ័ស និងអាចយល់បានសម្រាប់សិស្សភាគច្រើន។

យើងបានពិចារណាជម្រើសដំបូងរួចហើយ: នៅក្នុងណាមួយ។ ស្ថានភាពដែលមិនអាចយល់បាន។បកប្រែលោការីតពី មូលដ្ឋានអថេរដល់គ្រឹះអចិន្ត្រៃយ៍មួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ទៅ deuce មួយ។ រូបមន្តបំប្លែងគឺសាមញ្ញ៖

ជាការពិតណាស់ លេខធម្មតាគួរតែដើរតួជាអថេរ c: 1 ≠ c > 0 ។ សូមអោយ c = 2 ក្នុងករណីរបស់យើង ឥឡូវនេះយើងមានសមីការប្រភាគប្រភាគធម្មតា។ យើងប្រមូលធាតុទាំងអស់នៅខាងឆ្វេង៖

ជាក់ស្តែង កំណត់ហេតុកត្តា 2 x គឺល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីដកចេញ ព្រោះវាមានវត្តមាននៅក្នុងប្រភាគទីមួយ និងទីពីរ។

កំណត់ហេតុ 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

យើងបំបែកកំណត់ហេតុនីមួយៗជាពីរពាក្យ៖

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយពិចារណាលើការពិតទាំងនេះ៖

3 (កំណត់ហេតុ 2 3 + កំណត់ហេតុ 2 x ) = 4 (កំណត់ហេតុ 2 3 + កំណត់ហេតុ 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីបន្ថែម deuce នៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីត (វានឹងប្រែទៅជាថាមពល: 3 2 \u003d 9):

log 2 9 = log 2 x

មុនពេលយើងជាទម្រង់ Canonical បុរាណ យើងកម្ចាត់សញ្ញាលោការីត ហើយទទួលបាន៖

ដូចដែលបានរំពឹងទុក ឫសនេះប្រែទៅជាធំជាងសូន្យ។ វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលដែននៃនិយមន័យ។ តោះមើលមូលដ្ឋាន៖

ប៉ុន្តែឫស x = 9 បំពេញតម្រូវការទាំងនេះ។ ដូច្នេះ​វា​ជា​ការ​សម្រេច​ចុង​ក្រោយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋានពី ការសម្រេចចិត្តនេះ។សាមញ្ញ៖ កុំខ្លាចការគណនាវែង! វាគ្រាន់តែថានៅដើមដំបូងយើងបានជ្រើសរើសមូលដ្ឋានថ្មីមួយដោយចៃដន្យ - ហើយនេះធ្វើឱ្យដំណើរការស្មុគស្មាញយ៉ាងខ្លាំង។

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសំណួរកើតឡើង: តើអ្វីជាមូលដ្ឋាន ល្អបំផុត? ខ្ញុំនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះតាមវិធីទីពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការដើមរបស់យើងវិញ៖

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

ឥឡូវ​យើង​គិត​បន្តិច​មើល តើ​លេខ ឬ​មុខងារ​ណា​ជា​មូលដ្ឋាន​ដ៏​ល្អ​បំផុត? វាច្បាស់ណាស់។ ជម្រើសដ៏ល្អបំផុតនឹងត្រូវបាន c = x - អ្វីដែលមានរួចហើយនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ ក្នុងករណី​នេះ រូបមន្តកំណត់ហេតុ a b = log c b /log c a ក្លាយជា៖

ម្យ៉ាង​ទៀត កន្សោម​គឺ​ត្រូវ​បាន​បញ្ច្រាស​យ៉ាង​សាមញ្ញ។ ក្នុងករណីនេះអាគុយម៉ង់និងមូលដ្ឋានត្រូវបានបញ្ច្រាស។

រូបមន្តនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ ហើយត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការលោការីតស្មុគស្មាញ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលប្រើរូបមន្តនេះមានរណ្តៅដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយ។ ប្រសិនបើជំនួសឱ្យមូលដ្ឋានយើងជំនួសអថេរ x នោះការរឹតបន្តឹងត្រូវបានដាក់លើវាដែលមិនត្រូវបានគេសង្កេតឃើញពីមុន:

មិនមានការរឹតបន្តឹងបែបនេះនៅក្នុងសមីការដើមទេ។ ដូច្នេះ យើងគួរតែពិនិត្យករណីដោយឡែកពីគ្នានៅពេលដែល x = 1. ជំនួសតម្លៃនេះនៅក្នុងសមីការរបស់យើង៖

3 log 3 1 = 4 log 9 ១

យើងទទួលបានសិទ្ធិ សមភាពលេខ. ដូច្នេះ x = 1 គឺជាឫស។ យើងបានរកឃើញឫសដូចគ្នានៅក្នុងវិធីសាស្រ្តមុននៅដើមដំបូងនៃដំណោះស្រាយ។

ប៉ុន្តែឥឡូវនេះនៅពេលដែលយើងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។ ករណីពិសេសយើងសន្មត់ដោយសុវត្ថិភាពថា x ≠ 1. បន្ទាប់មកសមីការលោការីតរបស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

3 log x 9x = 4 log x 3x

យើងពង្រីកលោការីតទាំងពីរតាមរូបមន្តដូចគ្នាដូចពីមុន។ ចំណាំថាកំណត់ហេតុ x x = 1:

3 (កំណត់ហេតុ x 9 + កំណត់ហេតុ x x) = 4 (កំណត់ហេតុ x 3 + កំណត់ហេតុ x x)

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

នៅទីនេះយើងមកដល់ទម្រង់ Canonical:

log x 9 = log x x 1

x=9

យើងទទួលបានឫសទីពីរ។ វាបំពេញតម្រូវការ x ≠ 1. ដូច្នេះ x = 9 រួមជាមួយនឹង x = 1 គឺជាចម្លើយចុងក្រោយ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបរិមាណនៃការគណនាបានថយចុះបន្តិច។ ប៉ុន្តែនៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីតពិត ចំនួនជំហាននឹងតិចជាងច្រើនផងដែរ ពីព្រោះអ្នកមិនតម្រូវឱ្យពិពណ៌នាជំហាននីមួយៗឱ្យលម្អិតបែបនេះទេ។

ច្បាប់សំខាន់នៃមេរៀនថ្ងៃនេះមានដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើកិច្ចការមាន សញ្ញាបត្រពីអ្វីដែលឫសនៃសញ្ញាបត្រដូចគ្នាត្រូវបានស្រង់ចេញ បន្ទាប់មកនៅទិន្នផលយើងទទួលបានម៉ូឌុលមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ម៉ូឌុលនេះអាចត្រូវបានយកចេញ ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់លើដែននៃនិយមន័យនៃលោការីត។

ប៉ុន្តែត្រូវប្រយ័ត្ន៖ សិស្សភាគច្រើនបន្ទាប់ពីមេរៀននេះគិតថាពួកគេយល់គ្រប់យ៉ាង។ ប៉ុន្តែនៅពេលសម្រេចចិត្ត ភារកិច្ចជាក់ស្តែងពួកគេមិនអាចបង្កើតខ្សែសង្វាក់ឡូជីខលទាំងមូលឡើងវិញបានទេ។ ជាលទ្ធផល សមីការទទួលបានឫសបន្ថែម ហើយចម្លើយគឺខុស។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y)។

មូលដ្ឋានដូចគ្នា។

log6 4 + log6 ៩.

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត

ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a > 0, a ≠ 1, x >

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តគឺ 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ដោយ​ដឹង​ច្បាប់​នេះ​អ្នក​នឹង​ដឹង​ហើយ​ តម្លៃ​ពិតប្រាកដអ្នកតាំងពិព័រណ៍ និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

យកលោការីតនៃកន្សោម

ឧទាហរណ៍ ១
ក) x=10ac^2 (a>0, c>0)។

ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិ 3,5 យើងគណនា

2.

3.

4. កន្លែងណា .

ឧទាហរណ៍ទី 2 ស្វែងរក x ប្រសិនបើ

ឧទាហរណ៍ 3. អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនពិតប្រាកដ លេខធម្មតា។មានច្បាប់នៅទីនេះដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - បើគ្មានពួកគេទេ មិនមែនជារឿងធ្ងន់ធ្ងរទេ។ បញ្ហាលោការីត. លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ លោការីត និងលោការីត។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y)។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ ចំណាំ៖ ពេលសំខាន់នៅទីនេះ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយអ្នកក្នុងការគណនា កន្សោមលោការីតទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "តើលោការីតជាអ្វី")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ចំនួន​ធម្មតា​ពិត​ជា​ចេញ​។ ដោយផ្អែកលើការពិតនេះមនុស្សជាច្រើន ឯកសារសាកល្បង. បាទ តើអ្វីជាការគ្រប់គ្រង កន្សោមស្រដៀងគ្នានៅក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាលអនុវត្តមិនផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

វាងាយស្រួលមើលនោះ។ ច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូង។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញផងដែរ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ: 16 = 24; 49 = 72. យើងមាន៖

ខ្ញុំគិតថា ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយការបញ្ជាក់ត្រូវបានទាមទារ។ តើលោការីតបានទៅណា? វិធី​ទាំងអស់ ពេលចុងក្រោយយើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តលោការីត។ លោការីតគឺជាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។

ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log2 7. ចាប់តាំងពី log2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបាន - 2/4 នឹងនៅតែស្ថិតក្នុងភាគបែង។ យោងតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ c = x យើងទទួលបាន៖

វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្ត​ទាំងនេះ​កម្រ​រក​ឃើញ​ជា​ធម្មតា​ណាស់។ កន្សោមលេខ. វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ឥឡូវ​យើង​ត្រឡប់​លោការីត​ទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

ឥឡូវនេះសូមកម្ចាត់ លោការីតទសភាគផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាដូចនេះ៖

ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកឡើងដល់កម្រិតដែលលេខ b ក្នុងសញ្ញាបត្រនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។

ដូចជារូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី មេ អត្តសញ្ញាណលោការីតពេលខ្លះវាគឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យច្បាប់សម្រាប់ការគុណអំណាចជាមួយ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។, យើង​ទទួល​បាន:

ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មិនស្គាល់ នោះគឺជាកិច្ចការពិតប្រាកដមួយពីការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម🙂

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

1. logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ a ពីមូលដ្ឋាននោះវាស្មើនឹងមួយ។
2. loga 1 = 0 គឺ។ មូលដ្ឋាន a អាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺមួយ - លោការីត សូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

លោការីតនៃលេខ b ទៅមូលដ្ឋាន a តំណាងឱ្យកន្សោម។ ដើម្បីគណនាលោការីតមានន័យថា ស្វែងរកអំណាច x () ដែលសមភាពគឺពិត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើត្រូវតែដឹង ព្រោះថានៅលើមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេ បញ្ហា និងឧទាហរណ៍ស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រនិងអសកម្មដែលនៅសេសសល់អាចទទួលបានដោយឧបាយកលគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងរូបមន្តទាំងនេះ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

នៅពេលគណនារូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃលោការីត (៣.៤) ត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។ អ្វីដែលនៅសល់គឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែនៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួន ពួកគេមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការសម្រួលកន្សោមស្មុគស្មាញ និងគណនាតម្លៃរបស់វា។

ករណីទូទៅនៃលោការីត

លោការីតទូទៅមួយចំនួនគឺជាអ្នកដែលមានមូលដ្ឋានសូម្បីតែដប់ និទស្សន្ត ឬ deuce ។
លោការីតគោលដប់ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលោការីតគោលដប់ ហើយត្រូវបានតំណាងយ៉ាងសាមញ្ញ lg(x)។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីកំណត់ត្រាដែលជាមូលដ្ឋានមិនត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងកំណត់ត្រា។ ឧទាហរណ៍

លោការីតធម្មជាតិគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋានជានិទស្សន្ត (តំណាង ln(x))។

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តគឺ 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។ ដោយដឹងពីច្បាប់នេះ អ្នកនឹងដឹងទាំងតម្លៃពិតប្រាកដនៃនិទស្សន្ត និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ហើយមូលដ្ឋានសំខាន់មួយទៀតលោការីតពីរគឺ

ដេរីវេនៃលោការីតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងមួយបែងចែកដោយអថេរ

លោការីតអាំងតេក្រាល ឬអង្គបដិវត្តត្រូវបានកំណត់ដោយការពឹងផ្អែក

សម្ភារៈខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនទាក់ទងនឹងលោការីត និងលោការីត។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃការយល់ដឹងអំពីសម្ភារៈ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួនពី កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលានិងសាកលវិទ្យាល័យ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

យកលោការីតនៃកន្សោម

ឧទាហរណ៍ ១
ក) x=10ac^2 (a>0, c>0)។

ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិ 3,5 យើងគណនា

2.
ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិខុសគ្នានៃលោការីត យើងមាន

3.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងរកឃើញ

4. កន្លែងណា .

តាមរូបរាង កន្សោមស្មុគស្មាញការ​ប្រើ​ក្បួន​ជា​ស៊េរី​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ឱ្យ​សាមញ្ញ​ទៅ​នឹង​ទម្រង់​បែបបទ

ការស្វែងរកតម្លៃលោការីត

ឧទាហរណ៍ទី 2 ស្វែងរក x ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់ការគណនា យើងអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ 5 និង 13 រហូតដល់ពាក្យចុងក្រោយ

ជំនួសក្នុងកំណត់ត្រា និងកាន់ទុក្ខ

ដោយហេតុថាមូលដ្ឋានស្មើគ្នា នោះយើងស្មើនឹងកន្សោម

លោការីត។ កម្រិតដំបូង។

អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ យកលោការីតនៃអថេរមកសរសេរលោការីតតាមរយៈផលបូកនៃពាក្យ

នេះគ្រាន់តែជាការចាប់ផ្តើមនៃការស្គាល់លោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ អនុវត្តការគណនា បង្កើនជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក - អ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត។ ដោយបានសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ យើងនឹងពង្រីកចំណេះដឹងរបស់អ្នកឱ្យកាន់តែទូលំទូលាយថែមទៀត ប្រធានបទសំខាន់- វិសមភាពលោការីត...

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - គ្មានបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានពួកវាទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ លោការីត និងលោការីត។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y)។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log6 4 + log6 ៩.

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ចំនួន​ធម្មតា​ពិត​ជា​ចេញ​។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ/ចាស ការគ្រប់គ្រង - ការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នាក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាល - ស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។ ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូងរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញផងដែរ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។

វិធីដោះស្រាយលោការីត

នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ: 16 = 24; 49 = 72. យើងមាន៖

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូត​ដល់​ពេល​ចុង​ក្រោយ​បំផុត យើង​ធ្វើ​ការ​តែ​ជាមួយ​ភាគបែង​ប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log2 7. ចាប់តាំងពី log2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបាន - 2/4 នឹងនៅតែស្ថិតក្នុងភាគបែង។ យោងតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ c = x យើងទទួលបាន៖

វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ឥឡូវ​យើង​ត្រឡប់​លោការីត​ទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។

កិច្ចការមួយ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាដូចនេះ៖

ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកឡើងដល់កម្រិតដែលលេខ b ក្នុងសញ្ញាបត្រនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។

ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មិនស្គាល់ នោះគឺជាកិច្ចការពិតប្រាកដមួយពីការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម🙂

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

1. logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ a ពីមូលដ្ឋាននោះវាស្មើនឹងមួយ។
2. loga 1 = 0 គឺ។ គោល a អាច​ជា​អ្វី​ក៏​ដោយ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អាគុយម៉ង់​គឺ​មួយ នោះ​លោការីត​គឺ​សូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

ចូរយើងពិចារណាអំពីប្រភេទនៃសមីការលោការីតមួយចំនួនដែលមិនត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យានៅសាលា ប៉ុន្តែត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការរៀបចំកិច្ចការប្រកួតប្រជែង រួមទាំងសម្រាប់ USE ផងដែរ។

1. សមីការដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រលោការីត

នៅពេលដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរទាំងក្នុងគោល និងក្នុងនិទស្សន្ត វិធីសាស្ត្រលោការីតត្រូវបានប្រើ។ ប្រសិនបើលើសពីនេះ និទស្សន្តមានលោការីត នោះភាគីទាំងពីរនៃសមីការត្រូវតែត្រូវបានបំប្លែងលោការីតទៅមូលដ្ឋាននៃលោការីតនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ៖ x log 2 x + 2 = 8 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងយកលោការីតនៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការក្នុងគោល 2. យើងទទួលបាន

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3 ។

អនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ហេតុ 2 x = t ។

បន្ទាប់មក (t + 2) t = 3 ។

t 2 + 2t − 3 = 0 ។

ឃ \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3 ។

ដូច្នេះកំណត់ហេតុ 2 x \u003d 1 និង x 1 \u003d 2 ឬកំណត់ហេតុ 2 x \u003d -3 និង x 2 \u003d 1/8

ចម្លើយ៖ ១/៨; ២.

2. សមីការលោការីតដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយកំណត់ហេតុសមីការ 2 3 (x 2 − 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 − 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

ដំណោះស្រាយ។

ដែនសមីការ

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > −5 ។

កំណត់ហេតុ 3 (x + 5) = 0 សម្រាប់ x = −4 ។ តាមរយៈការត្រួតពិនិត្យយើងកំណត់វា។ តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ x ទេ។ គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។ ដូច្នេះហើយ យើងអាចបែងចែកសមីការទាំងសងខាងដោយ log 2 3 (x + 5)។

យើងទទួលបានកំណត់ហេតុ 2 3 (x 2 − 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ log 3 (x 2 − 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t ។ បន្ទាប់មក t 2 − 3 t + 2 = 0. ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ 1; 2. ត្រឡប់ទៅអថេរដើមវិញ យើងទទួលបានសំណុំនៃសមីការពីរ

ប៉ុន្តែដោយគិតពីអត្ថិភាពនៃលោការីត មានតែតម្លៃ (0; 9] ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវយកមកពិចារណា។ នេះមានន័យថាកន្សោមនៅខាងឆ្វេងត្រូវចំណាយពេល តម្លៃខ្ពស់បំផុត 2 សម្រាប់ x = 1. សូមពិចារណាឥឡូវនេះ អនុគមន៍ y = 2 x-1 + 2 1-x ។ ប្រសិនបើយើងយក t \u003d 2 x -1 នោះវានឹងយកទម្រង់ y \u003d t + 1 / t ដែល t\u003e 0 ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបែបនេះ វាមានលក្ខណៈពិសេសមួយ ចំណុចសំខាន់ t = 1. នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា។ Y vin \u003d 2. ហើយវាត្រូវបានសម្រេចនៅ x \u003d 1 ។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានពិចារណាអាចប្រសព្វគ្នាតែម្តងគត់នៅចំណុច (1; 2) ។ វាប្រែថា x \u003d 1 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសមីការដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ x = ១.

ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយកំណត់ហេតុសមីការ 2 2 x + (x − 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

ដំណោះស្រាយ។

យើងនឹងសម្រេចចិត្ត សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទាក់ទងទៅនឹងកំណត់ហេតុ 2 x ។ អនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ហេតុ 2 x = t ។ បន្ទាប់មក t 2 + (x − 1) t - 6 + 2x \u003d 0 ។

ឃ \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) ២. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x ។

យើងទទួលបានកំណត់ហេតុសមីការ 2 x \u003d -2 ឬកំណត់ហេតុ 2 x \u003d 3 - x ។

ឫសគល់នៃសមីការទីមួយគឺ x 1 = 1/4 ។

ឫសគល់នៃកំណត់ហេតុសមីការ 2 x \u003d 3 - x នឹងត្រូវបានរកឃើញដោយការជ្រើសរើស។ លេខនេះគឺ 2។ ឫសនេះមានតែមួយ ចាប់តាំងពីមុខងារ y \u003d កំណត់ហេតុ 2 x កំពុងកើនឡើងនៅលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ហើយមុខងារ y \u003d 3 - x កំពុងថយចុះ។

តាមរយៈការពិនិត្យមើលវាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើឱ្យប្រាកដថាលេខទាំងពីរគឺជាឫសគល់នៃសមីការ

ចម្លើយ៖ ១/៤; ២.

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ពិជគណិតថ្នាក់ទី១១

ប្រធានបទ៖ "វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការលោការីត"

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ការអប់រំ៖ ការបង្កើតចំណេះដឹងអំពី វិធី​ផ្សេង​គ្នាការដោះស្រាយសមីការលោការីត សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តពួកវាក្នុងនីមួយៗ ស្ថានភាពជាក់លាក់និងជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តណាមួយដើម្បីដោះស្រាយ;

ការអភិវឌ្ឍន៍៖ ការអភិវឌ្ឍន៍ជំនាញដើម្បីសង្កេត ប្រៀបធៀប អនុវត្តចំណេះដឹងក្នុងស្ថានភាពថ្មី កំណត់គំរូ ទូទៅ។ ការបង្កើតជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងទៅវិញទៅមក និងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង;

ការអប់រំ៖ ការអប់រំអាកប្បកិរិយាប្រកបដោយការទទួលខុសត្រូវ ការងារអប់រំការយល់ឃើញដោយប្រុងប្រយ័ត្ននៃសម្ភារៈនៅក្នុងមេរៀន ភាពត្រឹមត្រូវនៃការរក្សាកំណត់ត្រា។

ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀននៃការស្គាល់ជាមួយសម្ភារៈថ្មី។

"ការបង្កើតលោការីត ដោយកាត់បន្ថយការងាររបស់តារាវិទូ បានធ្វើឱ្យជីវិតរបស់គាត់មានអាយុវែង"។
គណិតវិទូជនជាតិបារាំងនិងតារាវិទូ P.S. ឡាផាស

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

I. ការកំណត់គោលដៅនៃមេរៀន

និយមន័យដែលបានសិក្សានៃលោការីត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត និងអនុគមន៍លោការីត នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការលោការីត។ សមីការលោការីតទាំងអស់ មិនថាវាស្មុគស្មាញយ៉ាងណានោះទេ ត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើ ក្បួនដោះស្រាយបង្រួបបង្រួម. ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយទាំងនេះនៅក្នុងមេរៀន។ មានពួកគេតិចតួចណាស់។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើជាម្ចាស់វា នោះសមីការណាមួយដែលមានលោការីតនឹងអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់អ្នកម្នាក់ៗ។

សរសេរក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នកអំពីប្រធានបទនៃមេរៀន៖ "វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីត" ។ ខ្ញុំ​សូម​អញ្ជើញ​អ្នក​រាល់​គ្នា​ឱ្យ​សហការ។

II. ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាព ចំណេះ​ដឹង​មូលដ្ឋាន

ចូរយើងត្រៀមខ្លួនដើម្បីសិក្សាប្រធានបទនៃមេរៀន។ អ្នកដោះស្រាយកិច្ចការនីមួយៗ ហើយសរសេរចម្លើយ អ្នកមិនអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌបានទេ។ ធ្វើការ​ជា​គូរ។

1) តើ​តម្លៃ x អ្វី​ដែល​មុខងារ​មាន​ន័យ៖

(ចម្លើយត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ស្លាយនីមួយៗ ហើយកំហុសត្រូវបានតម្រៀបចេញ)

2) តើក្រាហ្វមុខងារត្រូវគ្នាទេ?

៣) សរសេរសមភាពឡើងវិញជាសមភាពលោការីត៖

៤) សរសេរលេខជាលោការីតជាមួយគោល ២៖

៥) គណនា៖

6) ព្យាយាមស្តារឬបំពេញធាតុដែលបាត់នៅក្នុងសមភាពទាំងនេះ។

III. ការណែនាំអំពីសម្ភារៈថ្មី។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់៖

"សមីការគឺជាគន្លឹះមាសដែលដោះសោល្ងគណិតវិទ្យាទាំងអស់។"
គណិតវិទូជនជាតិប៉ូឡូញសម័យទំនើប S. Koval

ព្យាយាមបង្កើតនិយមន័យនៃសមីការលោការីត។ (សមីការ​ដែល​មាន​ការ​មិន​ស្គាល់​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​លោការីត)។

ពិចារណា សមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖កំណត់ហេតុកx = ខ(ដែល a> 0, a ≠ 1) ។ ដោយសារតែ មុខងារលោការីតកំពុងកើនឡើង (ឬថយចុះ) នៅលើសំណុំ លេខវិជ្ជមានហើយយកតម្លៃពិតទាំងអស់ បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទឫស វាធ្វើតាមថាសម្រាប់ b ណាមួយ សមីការនេះមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែដំណោះស្រាយមួយប៉ុណ្ណោះ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតគឺវិជ្ជមានមួយ។

ចងចាំនិយមន័យនៃលោការីត។ (លោការីតនៃចំនួន x ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជានិទស្សន្តដែលមូលដ្ឋាន a ត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបានចំនួន x) ។ វាធ្វើតាមភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃលោការីតនោះ។ កក្នុងគឺជាដំណោះស្រាយបែបនេះ។

សរសេរចំណងជើង៖ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីត

1. តាមនិយមន័យលោការីត.

នេះជារបៀបដែលសមីការសាមញ្ញនៃទម្រង់ត្រូវបានដោះស្រាយ។

ពិចារណា លេខ ៥១៤(ក): ដោះស្រាយសមីការ

តើអ្នកស្នើឱ្យដោះស្រាយដោយរបៀបណា? (តាមនិយមន័យលោការីត)

ដំណោះស្រាយ។ , ដូច្នេះ 2x − 4 = 4; x = ៤.

នៅក្នុងកិច្ចការនេះ 2x - 4 > 0 ចាប់តាំងពី > 0 ដូច្នេះ ឫស extraneousមិន​អាច​បង្ហាញ​ខ្លួន​បាន ហើយ​មិន​ចាំបាច់​ត្រូវ​ពិនិត្យ​ទេ។ លក្ខខណ្ឌ 2x - 4 > 0 មិនចាំបាច់សរសេរក្នុងកិច្ចការនេះទេ។

2. សក្តានុពល(ការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីត ការបញ្ចេញមតិទៅនឹងការបញ្ចេញមតិនេះ) ។

ពិចារណា លេខ 519(g)៖ log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់លក្ខណៈពិសេសអ្វី? (គោលគឺដូចគ្នា ហើយលោការីតនៃកន្សោមទាំងពីរគឺស្មើគ្នា)។ តើអាចធ្វើអ្វីបាន? (សក្តានុពល) ។

ក្នុងករណីនេះ វាគួរតែត្រូវបានគេយកទៅពិចារណាថាដំណោះស្រាយណាមួយត្រូវបានផ្ទុកក្នុងចំណោម x ទាំងអស់ដែលកន្សោមលោការីតគឺវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ៖

X2+8>0 វិសមភាពបន្ថែម

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

ពង្រឹងសមីការដើម

យើងទទួលបានសមីការ x2 + 8 = 8x + 8

យើងដោះស្រាយវា៖ x2-8x=0

ចម្លើយ៖ ០; ប្រាំបី

អេ ទិដ្ឋភាពទូទៅ ការផ្លាស់ប្តូរទៅប្រព័ន្ធសមមូល:

សមីការ

(ប្រព័ន្ធ​មាន​លក្ខខណ្ឌ​មិន​ប្រើ​ដដែល​ - វិសមភាព​មួយ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​មិន​អើពើ)។

សំណួរទៅថ្នាក់៖ តើដំណោះស្រាយទាំងបីនេះមួយណាដែលអ្នកពេញចិត្តជាងគេ? (ការពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្រ្ត) ។

អ្នកមានសិទ្ធិសម្រេចចិត្តតាមមធ្យោបាយណាមួយ។

3. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ.

ពិចារណា លេខ 520(g). .

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? (នេះជាសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ log3x) តើមានការណែនាំទេ? (ណែនាំអថេរថ្មី)

ដំណោះស្រាយ។ ODZ៖ x > 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ , បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់ : ។ ការរើសអើង D > 0. ឫសគល់ដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ៖ ឬ .

ការដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត យើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ៖ ២៧;

4. លោការីតនៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ ។

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ៖ x>0 យកលោការីតនៃភាគីទាំងពីរនៃសមីការក្នុងគោល ១០៖

អនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃដឺក្រេ៖

(lgx + 3) lgx = ៤

អនុញ្ញាតឱ្យ lgx = y បន្ទាប់មក (y + 3) y = 4

, (D > 0) ឫសយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta: y1 = -4 និង y2 = 1 ។

ចូរត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ យើងទទួលបាន៖ lgx = -4,; logx = 1, ។

ចម្លើយ៖ ០.០០០១; ដប់។

5. ការកាត់បន្ថយទៅមូលដ្ឋានមួយ។

លេខ ៥២៣(គ)។ ដោះស្រាយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ: x>0. ចូរបន្តទៅមូលដ្ឋាន 3 ។

6. វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកមុខងារ។

№ ៥០៩(ឃ)។ដោះស្រាយសមីការតាមក្រាហ្វិក៖ = 3 − x ។

តើអ្នកស្នើឱ្យដោះស្រាយដោយរបៀបណា? (បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ y \u003d log2x និង y \u003d 3 - x ដោយចំនុច ហើយរកមើល abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ)។

មើលដំណោះស្រាយរបស់អ្នកនៅលើស្លាយ។

តើ​មាន​វិធី​ដើម្បី​ជៀស​វាង​ការ​ធ្វើ​ផែនការ​ទេ? . វាមានដូចខាងក្រោម : ប្រសិនបើមុខងារមួយ។ y = f(x) កើនឡើង និងផ្សេងទៀត។ y = g(x) ថយចុះនៅលើចន្លោះពេល X បន្ទាប់មកសមីការ f(x)=g(x) មានឫសមួយច្រើនបំផុតនៅលើចន្លោះ X.

ប្រសិនបើមានឫសនោះអាចទាយបាន។

ក្នុងករណីរបស់យើង អនុគមន៍កើនឡើងសម្រាប់ x>0 ហើយមុខងារ y \u003d 3 - x ថយចុះសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x រួមទាំង x> 0 ដែលមានន័យថាសមីការមិនមានឫសច្រើនជាងមួយ។ ចំណាំថាសម្រាប់ x = 2 សមីការប្រែទៅជាសមភាពពិត ចាប់តាំងពី .

« ការប្រើប្រាស់ត្រឹមត្រូវ។វិធីសាស្រ្តអាចត្រូវបានរៀន
គ្រាន់តែអនុវត្តពួកវាទៅ ឧទាហរណ៍ផ្សេងៗ».
ប្រវត្តិវិទូជនជាតិដាណឺម៉ាក G. G. Zeiten

ខ្ញុំv. កិច្ចការ​ផ្ទះ

ទំ ៣៩ ពិចារណាឧទាហរណ៍ ៣ ដោះស្រាយលេខ ៥១៤ (ខ) លេខ ៥២៩ (ខ) លេខ ៥២០ (ខ) លេខ ៥២៣ (ខ)

V. សង្ខេបមេរៀន

តើ​យើង​បាន​ពិចារណា​ក្នុង​មេរៀន​អំពី​វិធី​ដោះស្រាយ​សមីការ​លោការីត​អ្វីខ្លះ?

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិនិត្យមើលបន្ថែមទៀត សមីការស្មុគស្មាញ. ដើម្បីដោះស្រាយពួកគេ វិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សាគឺមានប្រយោជន៍។

បង្ហាញស្លាយចុងក្រោយ៖

“តើមានអ្វីលើសពីអ្វីទាំងអស់នៅលើពិភពលោក?
លំហ។
តើអ្វីជាប្រាជ្ញាបំផុត?
ពេលវេលា។
តើ​អ្វី​ដែល​រីករាយ​បំផុត?
សម្រេចបាននូវអ្វីដែលអ្នកចង់បាន។"
ថាលេស

ខ្ញុំចង់ឱ្យមនុស្សគ្រប់គ្នាសម្រេចបាននូវអ្វីដែលពួកគេចង់បាន។ សូមអរគុណចំពោះកិច្ចសហប្រតិបត្តិការ និងការយោគយល់របស់អ្នក។