Acum vom arunca o privire la conversia expresiilor care conțin logaritmi din pozitii comune. Aici vom analiza nu numai transformarea expresiilor folosind proprietățile logaritmilor, dar vom lua în considerare transformarea expresiilor cu logaritmi. vedere generala, care conțin nu numai logaritmi, ci și puteri, fracții, rădăcini etc. Ca de obicei, vom furniza tot materialul exemple tipice cu descrieri detaliate solutii.

Navigare în pagină.

Expresii cu logaritmi și expresii logaritmice

Efectuarea de acțiuni cu fracții

În paragraful anterior, am examinat principalele transformări care sunt efectuate cu fracții individuale care conțin logaritmi. Aceste transformări, desigur, pot fi efectuate cu fiecare fracție individuală, care face parte dintr-o mai mare expresie complexă, de exemplu, reprezentând suma, diferența, produsul și coeficientul fracții similare. Dar pe lângă lucrul cu fracții individuale, transformarea expresiilor tipul specificat presupune adesea efectuarea de operaţii adecvate asupra fracţiilor. În continuare, vom lua în considerare regulile prin care se realizează aceste acțiuni.

Din clasele 5-6, știm regulile după care . In articol vedere generala pentru operatii cu fractii am vehiculat aceste reguli cu fracții obișnuiteîn fracții de forma generală A/B, unde A și B sunt unele numerice, expresii literale sau expresii cu variabile, iar B este identic diferit de zero. Este clar că fracțiile cu logaritmi sunt cazuri speciale de fracții generale. Și în acest sens, este clar că acțiunile cu fracții care conțin logaritmi în înregistrările lor se desfășoară după aceleași reguli. Și anume:

• Pentru a adăuga sau scădea două fracții cu aceiași numitori, este necesar să se adună sau, respectiv, să se scadă numărătorii și să se lase numitorul același.
• Pentru a adăuga sau scădea două fracții cu numitori diferiti, trebuie să le aducem la numitor comunși efectuați acțiunile corespunzătoare conform regulii anterioare.
• Pentru a înmulți două fracții, trebuie să scrieți o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor.
• Pentru a împărți o fracție la o fracție, fracție divizibilăînmulțiți cu reciproca divizorului, adică cu fracția cu numărătorul și numitorul rearanjate.

Iată câteva exemple pentru efectuarea de operații cu fracții care conțin logaritmi.

Exemplu.

Efectuați acțiuni cu fracții care conțin logaritmi: a), b) , în) , G) .

Decizie.

a) Numitorii fracțiilor adăugate sunt în mod evident aceiași. Prin urmare, conform regulii de adunare a fracțiilor cu aceiași numitori, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul același: .

b) Aici numitorii sunt diferiți. Prin urmare, mai întâi aveți nevoie aduce fracțiile la același numitor. În cazul nostru, numitorii sunt deja prezentați ca produse și rămâne să luăm numitorul primei fracții și să adăugăm la acesta factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții. Deci obținem un numitor comun al formei . În acest caz, fracțiile scăzute sunt reduse la un numitor comun folosind multiplicatori suplimentari sub forma unui logaritm și respectiv a expresiei x 2 ·(x+1). După aceea, rămâne să scădem fracții cu aceiași numitori, ceea ce nu este dificil.

Deci solutia este:

c) Se știe că rezultatul înmulțirii fracțiilor este o fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor, prin urmare

Este ușor de văzut că este posibil reducerea fracției pentru doi și logaritm zecimal, ca urmare avem .

d) Trecem de la împărțirea fracțiilor la înmulțire, înlocuind divizorul de fracții cu reciproca acestuia. Asa de

Numătorul fracției rezultate poate fi reprezentat ca , din care se vede clar factor comun numărătorul și numitorul - factorul x, puteți reduce fracția cu acesta:

Răspuns:

a), b) , în) , G) .

Trebuie amintit că acțiunile cu fracții sunt efectuate ținând cont de ordinea în care sunt efectuate acțiunile: mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, iar dacă există paranteze, atunci acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi.

Exemplu.

Faceți acțiuni cu fracții .

Decizie.

Mai întâi, efectuăm adunarea fracțiilor dintre paranteze, după care vom efectua înmulțirea:

Răspuns:

În acest moment, rămâne să spunem cu voce tare trei puncte destul de evidente, dar în același timp importante:

Conversia expresiilor folosind proprietățile logaritmilor

Cel mai adesea, transformarea expresiilor cu logaritmi implică utilizarea identităților care exprimă definiția logaritmului și

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar din moment ce logaritmii nu sunt exact numere regulate, există reguli aici, care se numesc proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - fără ele, nici un singur serios problemă logaritmică. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași temeiuri: Buturuga A Xși log A y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. Buturuga A X+jurnal A y= jurnal A (X · y);
2. Buturuga A X−log A y= jurnal A (X : y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Notă: moment cheie Aici - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

log 6 4 + log 6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Pe baza acestui fapt, mulți hârtii de test. Da, care sunt controlul - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori practic neschimbate) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor să vezi asta ultima regula urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

[Figura]

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Noi avem:

[Figura]

cred ca ultimul exemplu este necesară o clarificare. Unde s-au dus logaritmii? Tot drumul ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat jurnal de logaritm A X. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Figura]

În special, dacă punem c = X, primim:

[Figura]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul este la numitor.

Aceste formule sunt rareori întâlnite în mod obișnuit expresii numerice. Este posibil să evaluezi cât de convenabile sunt doar atunci când te hotărăști ecuații logaritmiceși inegalități.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

[Figura]

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

[Figura]

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

[Figura]

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponentul argumentului. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: de bază identitate logaritmică.

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la putere astfel încât bîn această măsură dă un număr A? Așa este: acesta este același număr A. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

[Figura]

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

[Figura]

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examen :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. Buturuga A A= 1 este unitatea logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze A din această bază în sine este egală cu unu.
2. Buturuga A 1 = 0 este zero logaritmic. Baza A poate fi orice, dar dacă argumentul este unul - logaritmul zero! deoarece A 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

derivată din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b prin rațiune A definit ca exponentul la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației ax=b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiectul puterii unui număr.

Cu logaritmi, ca și în cazul oricăror numere, puteți performa operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar având în vedere faptul că logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți de bază.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Luați doi logaritmi cu aceeași bază: log xși log a y. Apoi eliminați este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Din teoreme logaritmului coeficientului mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este bine cunoscut acel jurnal A 1= 0, prin urmare,

Buturuga A 1 /b= jurnal A 1 - jurnal a b= -log a b.

Deci există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproc reciproce pe aceeași bază vor diferi unele de altele numai prin semn. Asa de:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Principalele proprietăți ale logaritmului natural, grafic, domeniu de definiție, set de valori, formule de bază, derivată, integrală, expansiune în serie de puterişi reprezentând funcţia ln x în termeni de numere complexe.

Definiție

logaritmul natural este funcția y = ln x, invers exponentului, x \u003d e y , și care este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică, deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obține din graficul exponentului imagine in oglinda relativ la dreapta y = x .

Logaritmul natural este definit la valori pozitive variabila x. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

Ca x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( - ∞ ).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice functie de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

log 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de schimbare a bazei:

Demonstrațiile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Reciproca logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci .

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulo x:
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Să considerăm o funcție a unei variabile complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul rși argumentare φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru n diferit.

Asa de logaritmul natural, ca o funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Instruire

Notați expresia logaritmică dată. Dacă expresia folosește logaritmul lui 10, atunci notația sa este scurtată și arată astfel: lg b este logaritmul zecimal. Dacă logaritmul are ca bază numărul e, atunci se scrie expresia: ln b este logaritmul natural. Se înțelege că rezultatul oricărei este puterea la care trebuie ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Când găsiți suma a două funcții, trebuie doar să le diferențiați una câte una și să adăugați rezultatele: (u+v)" = u"+v";

Când se află derivata produsului a două funcții, este necesar să se înmulțească derivata primei funcții cu a doua și să se adauge derivata celei de-a doua funcții, înmulțită cu prima funcție: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Pentru a afla derivata coeficientului a doua functii este necesar, din produsul derivatei dividendului inmultit cu functia divizor, sa se scade produsul derivatei divizorului inmultit cu functia divizor si sa se imparta toate acestea prin funcția divizor la pătrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Dacă este dat functie complexa, atunci este necesar să se înmulțească derivata lui funcție internă iar derivatul celui exterior. Fie y=u(v(x)), apoi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Folosind cele obținute mai sus, puteți diferenția aproape orice funcție. Deci, să ne uităm la câteva exemple:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Există, de asemenea, sarcini pentru calcularea derivatei la un punct. Fie dată funcția y=e^(x^2+6x+5), trebuie să găsiți valoarea funcției în punctul x=1.
1) Aflați derivata funcției: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculați valoarea funcției în punct dat y"(1)=8*e^0=8

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Învață tabelul derivatelor elementare. Acest lucru va economisi mult timp.

Surse:

• derivată constantă

Deci, care este diferența între ecuație rațională din rațional? Dacă variabila necunoscută se află sub semnul rădăcină pătrată, atunci ecuația este considerată irațională.

Instruire

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este metoda de ridicare a ambelor părți ecuațiiîntr-un pătrat. In orice caz. acest lucru este firesc, primul pas este să scapi de semn. Din punct de vedere tehnic, această metodă nu este dificilă, dar uneori poate duce la probleme. De exemplu, ecuația v(2x-5)=v(4x-7). Punând la pătrat ambele părți, obțineți 2x-5=4x-7. O astfel de ecuație nu este greu de rezolvat; x=1. Dar numărul 1 nu va fi dat ecuații. De ce? Înlocuiți unitatea din ecuație în loc de valoarea x. Și părțile din dreapta și din stânga vor conține expresii care nu au sens, adică. O astfel de valoare nu este valabilă pentru o rădăcină pătrată. Prin urmare, 1 este o rădăcină străină și, prin urmare ecuația dată nu are rădăcini.

Asa de, ecuație irațională se rezolvă prin metoda punerii la pătrat a ambelor părți ale sale. Și după ce am rezolvat ecuația, este necesar neapărat să tăiați rădăcini străine. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală.

Luați în considerare altul.
2x+vx-3=0
Desigur, această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași ecuație ca cea anterioară. Compuși de transfer ecuații, care nu au rădăcină pătrată, partea dreaptași apoi folosiți metoda pătratului. rezolvați ecuația rațională și rădăcinile rezultate. Dar altul, mai elegant. Introduceți o nouă variabilă; vx=y. În consecință, veți obține o ecuație ca 2y2+y-3=0. Adică de obicei ecuație pătratică. Găsește-i rădăcinile; y1=1 și y2=-3/2. Apoi, rezolvă două ecuații vx=1; vx \u003d -3/2. A doua ecuație nu are rădăcini, din prima constatăm că x=1. Nu uitați de necesitatea de a verifica rădăcinile.

Rezolvarea identităților este destul de ușoară. Acest lucru necesită a face transformări identice până când ținta este atinsă. Astfel, cu ajutorul simplului operatii aritmetice sarcina va fi rezolvată.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - pix.

Instruire

Cele mai simple astfel de transformări sunt înmulțirile algebrice abreviate (cum ar fi pătratul sumei (diferența), diferența de pătrate, suma (diferența), cubul sumei (diferența)). În plus, sunt multe formule trigonometrice, care sunt în esență aceleași identități.

Într-adevăr, pătratul sumei a doi termeni este egală cu pătratul al primului plus de două ori produsul primei și al doilea plus pătratul celui de-al doilea, adică (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.

Simplificați ambele

Principii generale de soluție

Repetați manualul analiză matematică sau matematica superioara, care este o integrală definită. După cum știți, soluția integrala definita există o funcţie a cărei derivată va da un integrand. Această funcție se numeste primitiv. Conform acestui principiu se construiesc integralele de bază.
Definiți după tip integrand, care dintre integrale de tabel se potriveste acest caz. Nu este întotdeauna posibil să determinați acest lucru imediat. Adesea, forma tabulară devine vizibilă numai după mai multe transformări pentru a simplifica integrandul.

Metoda substituției variabile

Dacă integrantul este functie trigonometrica, al cărui argument este un polinom, apoi încercați să utilizați metoda substituției variabilelor. Pentru a face acest lucru, înlocuiți polinomul din argumentul integrandului cu o nouă variabilă. Pe baza raportului dintre variabila nouă și veche, determinați noile limite de integrare. Diferenţiere expresie dată găsiți noul diferențial în . Astfel vei primi noul fel prima integrală, apropiată sau chiar corespunzătoare oricărui tabel.

Rezolvarea integralelor de al doilea fel

Dacă integrala este o integrală de al doilea fel, forma vectorială a integrandului, atunci va trebui să utilizați regulile pentru trecerea de la aceste integrale la cele scalare. O astfel de regulă este raportul Ostrogradsky-Gauss. Această lege permite trecerea de la fluxul rotor al unei funcții vectoriale la o integrală triplă peste divergența unui câmp vectorial dat.

Înlocuirea limitelor integrării

După găsirea antiderivatei, este necesar să se substituie limitele integrării. În primul rând, înlocuiți valoarea limitei superioare în expresia pentru antiderivată. Vei primi un număr. Apoi, scădeți din numărul rezultat un alt număr, limita inferioară rezultată la antiderivată. Dacă una dintre limitele de integrare este infinit, atunci înlocuind-o în funcția antiderivată este necesar să mergem la limită și să găsim spre ce tinde expresia.
Dacă integrala este bidimensională sau tridimensională, atunci va trebui să reprezentați limitele geometrice ale integrării pentru a înțelege cum să calculați integrala. La urma urmei, în cazul, să zicem, a unei integrale tridimensionale, limitele integrării pot fi planuri întregi care limitează volumul care trebuie integrat.