Johdanto

1. Teoreettinen osa

1.1 Peruskäsitteet ja määritelmät

1.3 Cardano-kaava

2. Ongelmanratkaisu

Johtopäätös

Johdanto

Yhtälöt. Voidaan sanoa varmasti, ettei ole ainuttakaan henkilöä, joka ei olisi niihin tutustunut. Lapset alkavat jo pienestä pitäen ratkaista "ongelmia X:n kanssa". Edelleen lisää. Totta, monille yhtälöihin tutustuminen päättyy kouluasioihin. Kuuluisa saksalainen matemaatikko Courant kirjoitti: ”Yli kahden tuhannen vuoden ajan jonkin verran, ei liian pinnallista, matematiikan tietämystä oli välttämätöntä. olennainen osa jokaisen henkisessä luettelossa koulutettu henkilö". Ja tämän tiedon joukossa oli kyky ratkaista yhtälöitä.

Jo muinaisina aikoina ihmiset ymmärsivät, kuinka tärkeää on oppia ratkaisemaan muodon algebrallisia yhtälöitä

a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + an = 0

loppujen lopuksi hyvin monet ja hyvin erilaiset käytännön ja luonnontieteen kysymykset rajoittuvat niihin (tässä voidaan tietysti heti olettaa, että a0 ¹ 0, koska muuten yhtälön aste ei itse asiassa ole n, vaan pienempi). Monet tietysti keksivät houkuttelevan idean löytää kaavoja mille tahansa n:n potenssille, joka ilmaisi yhtälön juuret sen kertoimilla, ts. ratkaisisi yhtälön radikaaleilla. "Synkkä keskiaika" osoittautui kuitenkin mahdollisimman synkäksi käsiteltävän ongelman suhteen - seitsemään vuosisataan kukaan ei löytänyt vaadittuja kaavoja! Vasta 1500-luvulla italialaiset matemaatikot onnistuivat siirtymään pidemmälle - löytämään kaavoja n \u003d 3 ja 4. Niiden löytöjen historia ja jopa löydettyjen kaavojen kirjoittaja ovat melko hämäriä tähän päivään asti, emmekä saa selville tässä monimutkainen suhde Ferron, Cardanon, Tartaglian ja Ferrarin välillä, mutta sanotaanpa paremmin matemaattinen olemus asioihin.

Työn tarkoituksena on tutkia erilaisia ​​menetelmiä kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi on suoritettava useita tehtäviä:

-Analyysi tieteellistä kirjallisuutta;

-Kouluoppikirjojen analyysi;

-Ratkaisuesimerkkien valinta;

-Yhtälöiden ratkaisu eri menetelmillä.

Teos koostuu kahdesta osasta. Ensimmäinen käsittelee erilaisia ​​yhtälöiden ratkaisumenetelmiä. Toinen osa on omistettu yhtälöiden ratkaisemiselle eri tavoilla.

1. Teoreettinen osa

1 Peruskäsitteet ja määritelmät

Kuutioyhtälö on muodon kolmannen asteen yhtälö:

Lukua x, joka muuttaa yhtälön identiteetiksi, kutsutaan yhtälön juuriksi tai ratkaisuksi. Se on myös kolmannen asteen polynomin juuri, joka on kanonisen merkinnän vasemmalla puolella.

Kompleksilukujen alalla algebran peruslauseen mukaan kuutioyhtälöllä on aina 3 juuria (kertoimen huomioon ottaen).

Koska jokainen todellinen polynomi ei ole tasainen tutkinto on vähintään yksi todellinen juuri, kaikki mahdolliset kuutioyhtälön juurien koostumuksen tapaukset on käytetty alla kuvatuilla kolmella. Nämä tapaukset on helppo erottaa käyttämällä diskriminanttia

Mahdollisia tapauksia on siis vain kolme:

Jos? > 0, yhtälöllä on kolme erilaista reaalijuurta.

Jos?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Jos? = 0, silloin vähintään kaksi juuria osuu yhteen. Tämä voi olla silloin, kun yhtälöllä on kaksinkertainen reaalijuuri ja toinen eri reaalijuuri; tai kaikki kolme juuria ovat yhteneväisiä, jolloin muodostuu monikertaisyyden 3 juuri. Kuutioyhtälön resultantti ja sen toinen derivaatta auttavat erottamaan nämä kaksi tapausta: polynomilla on kerrannaisjuuri 3, jos ja vain, jos ilmoitettu resultantti on myös nolla.

Kuutioyhtälön juuret liittyvät kertoimiin seuraavasti:

1.2 Menetelmät kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi

Yleisin tapa ratkaista kuutioyhtälöitä on laskentamenetelmä.

Ensinnäkin, luettelemalla löydämme yhden yhtälön juurista. Tosiasia on, että kuutioyhtälöt aina on vähintään yksi oikea juuri, ja kokonaislukukertoimien kuutioyhtälön kokonaislukujuuri on vapaan termin d jakaja. Näiden yhtälöiden kertoimet valitaan yleensä siten, että haluttu juuri on pienten kokonaislukujen joukossa, kuten: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Siksi etsimme juuri näiden lukujen joukosta ja tarkistamme sen korvaamalla sen yhtälö. Tämän lähestymistavan onnistumisprosentti on erittäin korkea. Oletetaan tämä juuri.

Ratkaisun toinen vaihe on polynomin jako binomilla x - x1. Bezoutin lauseen mukaan tämä jako ilman jäännöstä on mahdollista, ja tuloksena saadaan toisen asteen polynomi, joka on rinnastettava nollaan. Ratkaisemalla tuloksena olevan toisen asteen yhtälön löydämme (tai emme) loput kaksi juuria.

Kahden termisen kuutioyhtälön ratkaisu

Kahden termin kuutioyhtälön muoto on (2)

Tämä yhtälö pelkistetään muotoon jakamalla nollasta poikkeavalla kertoimella A. Seuraavaksi sovelletaan kaavaa kuutioiden summan lyhennettyyn kertomiseen:

Ensimmäisestä hakasulkeesta löydämme, ja neliötrinomi on vain monimutkaiset juuret.

Toistuvat kuutioyhtälöt

Käänteiskuutioyhtälöllä on muoto ja B-kertoimet.

Ryhmään:

Ilmeisesti x=-1 on tällaisen yhtälön juuri ja tuloksena olevan neliötrinomin juuret löytyvät helposti diskriminantin kautta.

1.3 Cardano-kaava

AT yleinen tapaus, kuutioyhtälön juuret löytyvät Cardanon kaavasta.

Kuutioyhtälön (1) arvot löydetään käyttämällä substituutiota: x= (2), ja yhtälö pelkistetään muotoon:

epätäydellinen kuutioyhtälö, jossa ei ole termiä, joka sisältää toisen asteen.

Oletetaan, että yhtälöllä on kertoimet kompleksiluvut. Tällä yhtälöllä on aina monimutkaiset juuret.

Merkitään yksi näistä juurista: . Esittelemme tuntemattoman apuarvon u ja tarkastelemme polynomia f(u)=.

Merkitään tämän polynomin juuret läpi? ja?, Vietten lauseen mukaan (katso s. 8):

Korvaamalla yhtälön (3), lausekkeen (4), saamme:

Kohteen (5) toiselta puolelta: (7)

Tästä, eli kaavoista (6), (7), seuraa, että luvut ovat yhtälön juuria:

Viimeisestä yhtälöstä:

Kaksi muuta juuria löydetään kaavasta:

1.4 trigonometrinen kaava Vieta

Tämä kaava löytää ratkaisut pelkistetylle kuutioyhtälölle, eli muodon yhtälölle

Ilmeisesti mikä tahansa kuutioyhtälö voidaan pelkistää muotoa (4) olevaksi yhtälöksi yksinkertaisesti jakamalla se kertoimella a. Joten algoritmi tämän kaavan soveltamiseksi:

Laskea

2. Laske

3. a) Jos, niin laske

Ja yhtälöllämme on 3 juuria (todellista):

b) Jos, vaihda trigonometriset funktiot hyperbolinen.

Laskea

Sitten ainoa juuri (todellinen):

Kuvitteellinen juuret:

C) Jos, yhtälössä on vähemmän kuin kolme erilaisia ​​ratkaisuja:

2. Ongelmanratkaisu

Esimerkki 1. Etsi kuutioyhtälön todelliset juuret

Käytämme kaavaa kuutioiden eron lyhennettyyn kertomiseen:

Ensimmäisestä hakasulkeesta huomaamme, että toisessa sulussa olevalla neliötrinomilla ei ole todellisia juuria, koska diskriminantti on negatiivinen.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö on käänteinen. Ryhmään:

on yhtälön juuri. Neliötrinomin juurien löytäminen

Esimerkki 3. Etsi kuutioyhtälön juuret

Muunnetaan yhtälö pelkistetyksi: kerrotaan molemmilla osilla ja tehdään muuttujan muutos.

Vapaa termi on 36. Kirjataan kaikki sen jakajat:

Korvaamme ne vuorostaan ​​tasa-arvoisiksi, kunnes saamme identiteetin:

Siis juuri. Se sopii

Jaa Hornerin kaavaa käyttäen.

Polynomikertoimet 2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0

Saamme

Etsitään neliötrinomin juuret:

Ilmeisesti, eli sen monijuuri on.

Esimerkki 4. Etsi yhtälön todelliset juuret

on yhtälön juuri. Etsi neliötrinomin juuret.

Koska syrjintä alle nolla, silloin trinomilla ei ole todellisia juuria.

Esimerkki 5. Etsi kuutioyhtälön 2 juuret.

Siten,

Korvataan Cardanon kaavaan:

ottaa kolme arvoa. Kirjoitetaan ne muistiin.

Kun meillä on

Kun meillä on

Kun meillä on

Jaetaan nämä arvot pareiksi, jotka tuotteessa antavat

Ensimmäinen arvopari ja

Toinen arvopari ja

Kolmas arvopari ja

Takaisin Cardanon kaavaan

Täten,

Johtopäätös

kuutiometrinen trinomiyhtälö

Toteutuksen seurauksena tutkielma tutkittiin erilaisia ​​menetelmiä kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, kuten laskentamenetelmä, Caranon kaava, Vietan kaava, käänteisyhtälöiden, kaksitermiyhtälöiden ratkaisumenetelmiä.

Luettelo käytetyistä lähteistä

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Matematiikan käsikirja insinööreille ja teknisten korkeakoulujen opiskelijoille", M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Algebra ja analyysin alku. Opinto-opas 9. luokalle lukio, 1977.

)Omelchenko V.P. Matematiikka: opetusohjelma/ V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n/a.: Phoenix, 2005.- 380s.

Tutorointi

Tarvitsetko apua aiheen oppimisessa?

Asiantuntijamme neuvovat tai tarjoavat tutorointipalveluita sinua kiinnostavista aiheista.
Lähetä hakemus mainitsemalla aiheen juuri nyt saadaksesi selville mahdollisuudesta saada konsultaatio.

Opi ratkaisemaan kuutioyhtälöitä. Tarkastellaan tapausta, jossa yksi juuri tunnetaan. Menetelmät kokonaislukujen ja rationaaliset juuret. Cardano- ja Vieta-kaavojen soveltaminen minkä tahansa kuutioyhtälön ratkaisemiseen.

Tässä tarkastellaan muodon kuutioyhtälöiden ratkaisua
(1) .
Lisäksi oletamme, että näin on todellisia lukuja.

(2) ,
sitten jakamalla se luvulla, saadaan yhtälö muotoa (1) kertoimilla
.

Yhtälöllä (1) on kolme juuria: , ja . Yksi juurista on aina todellinen. Merkitsemme todellisen juuren muodossa . Juuret ja voivat olla joko todellisia tai monimutkaisia ​​konjugaattia. Todelliset juuret voivat olla useita. Esimerkiksi if , sitten ja ovat kaksoisjuuria (tai moninkertaisuuden 2 juuria), ja se on yksinkertainen juuri.

Jos vain yksi juuri tunnetaan

Kerro meille yksi kuutioyhtälön (1) juuri. Merkitse tunnettu juuri kuten . Sitten jakamalla yhtälön (1) :lla saadaan toisen asteen yhtälö. Ratkaisemalla toisen asteen yhtälön löydämme vielä kaksi juuria ja .

Todistuksessa käytämme sitä tosiasiaa, että kuutiopolynomi voidaan esittää seuraavasti:
.
Sitten jakamalla (1) :lla saadaan neliöyhtälö.

Sivulla on esimerkkejä polynomien jaosta
"Polynomin jako ja kertominen polynomilla kulmalla ja sarakkeella".
Sivulla tarkastellaan toisen asteen yhtälöiden ratkaisua
"Neliöyhtälön juuret".

Jos yksi juurista on

Jos alkuperäinen yhtälö on:
(2) ,
ja sen kertoimet , , , ovat kokonaislukuja, niin voit yrittää löytää kokonaisluvun juuren. Jos tällä yhtälöllä on kokonaislukujuuri, se on kertoimen jakaja. Kokonaislukujuurien etsintätapa on se, että etsimme luvun kaikki jakajat ja tarkistamme, päteekö yhtälö (2) niille. Jos yhtälö (2) täyttyy, olemme löytäneet sen juuren. Merkitään se nimellä. Seuraavaksi jaamme yhtälön (2) :lla. Saamme toisen asteen yhtälön. Ratkaisemalla sen löydämme kaksi uutta juurta.

Sivulla on esimerkkejä kokonaislukujuurien määrittämisestä
Esimerkkejä polynomien tekijöistä > > > .

Järkevien juurien löytäminen

Jos yhtälössä (2) , , , ovat kokonaislukuja ja , eikä kokonaislukujuuria ole, niin voit yrittää löytää rationaalisia juuria eli muodon , missä ja ovat kokonaislukuja.

Tätä varten kerromme yhtälön (2) ja teemme korvauksen:
;
(3) .
Seuraavaksi etsitään yhtälön (3) kokonaislukujuuria vapaan termin jakajista.

Jos olemme löytäneet yhtälön (3) kokonaisluvun juuren, palaamme muuttujaan , saamme rationaalinen juuri yhtälöt (2):
.

Cardano- ja Vieta-kaavat kuutioyhtälön ratkaisemiseen

Jos emme tiedä juuria eikä kokonaislukujuuria ole, voimme löytää kuutioyhtälön juuret Cardanon kaavoilla.

Harkitse kuutioyhtälöä:
(1) .
Tehdään vaihto:
.
Sen jälkeen yhtälö pelkistetään epätäydelliseen tai pelkistettyyn muotoon:
(4) ,
missä
(5) ; .

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja for tiedemiehet ja insinöörit, 2012.

Kuutioyhtälö - algebrallinen yhtälö kolmas aste. Yleinen näkymä kuutioyhtälöstä: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

Kun x tässä yhtälössä korvataan uudella tuntemattomalla y:llä, joka liittyy x:ään yhtälöllä x \u003d y - (b / 3a), kuutioyhtälö voidaan pelkistää yksinkertaisempaan (kanoniseen) muotoon: y3 + pу + q \u003d 0, missä p \u003d - b2 + c, q = 2b – bc + d

3a2 a 27a3 3a2 a tämän yhtälön ratkaisu voidaan saada Cardanon kaavalla.

1.1 Kuutioyhtälöiden historia

Termin "kuutioyhtälö" otettiin käyttöön R. Descartes (1619) ja W. Outred (1631).

Ensimmäiset yritykset löytää ratkaisuja kuutioyhtälöihin pelkistämistä koskeviin ongelmiin tehtiin muinaisten matemaatikoiden toimesta (esimerkiksi kuution tuplaamisen ja kulman kolminleikkauksen ongelmat).

Idän keskiajan matemaatikot loivat melkoisen kehitetty teoria(sisään geometrinen muoto) kuutioyhtälöt; se on esitetty yksityiskohtaisimmin tutkielmassa algebran ja almukabalan ongelmien todisteista "Omar Khaya" (noin 1070), jossa kysymys positiiviset juuret 14 tyyppistä kuutioyhtälöä, jotka sisältävät vain termejä, joilla on positiiviset kertoimet molemmissa osissa.

Ensimmäistä kertaa Euroopassa trigonometrinen muoto Ratkaisun yhdelle kuutioyhtälön tapaukselle antoi Viet (1953).

S. Ferro (noin 1515) löysi ensimmäisen ratkaisun yhden kuutioyhtälön tyypeissä radikaaleissa, mutta sitä ei julkaistu. Tartaglia (1535) toisti löydön itsenäisesti, mikä osoitti säännön kahden muun tyyppisen kuutioyhtälön ratkaisemiseksi. Nämä löydöt julkaisi vuonna 1545 G. Cardano, joka mainitsi N. Tartaglian kirjoittajan.

XV vuosisadan lopussa. Rooman ja Milanon yliopistojen matematiikan professori Luca Pacioli kuuluisassa oppikirjassaan "Tietojen summa aritmetiikassa, geometriassa, suhteissa ja suhteellisuudesta" löytää ongelman. yleinen menetelmä kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi hän asetti sen samalle tasolle ympyrän neliöimisen ongelman kanssa. Ja kuitenkin italialaisten algebraistien ponnistelujen avulla tällainen menetelmä löydettiin pian.

Aloitetaan yksinkertaistamisesta

Jos kuutioyhtälö yleisnäkymä ax3 + bx2 + cx + d = 0, missä a ≠ 0, jaettuna a:lla, niin kerroin kohdassa x3 tulee yhtä suureksi kuin 1. Siksi edetään jatkossa yhtälöstä x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)

Sama kuin ratkaisun ytimessä toisen asteen yhtälö on summan neliön kaava, kuutioyhtälön ratkaisu perustuu summan kuution kaavaan:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Jotta kertoimissa ei menisi sekaisin, tässä korvataan a x:llä ja järjestetään termit uudelleen:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

Näemme, että oikealla tavalla b, nimittäin ottamalla b = P/3, voimme saavuttaa sen oikea osa Tämän kaavan kohdat eroavat yhtälön x3 + Px2 + Qx + R = 0 vasemmasta reunasta vain kertoimen x:n ja vapaan termin suhteen. Lisäämme yhtälön x3 + Px2 + Qx + R = 0 ja (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 ja annamme samanlaiset:

(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.

Jos teemme muutoksen tässä y = x + b, saadaan kuutioyhtälö y:lle ilman termiä, jossa y2: y3 + py + q = 0.

Joten olemme osoittaneet, että kuutioyhtälössä x3 + Px2 + Qx + R = 0, käyttämällä sopivaa substituutiota, voit päästä eroon termistä, joka sisältää tuntemattoman neliön. Siksi nyt ratkaisemme yhtälön muodossa x3 + px + q = 0. (3)

1.2 Cardano-kaavan historia

Cardanon kaava on nimetty J. Cardanon mukaan, joka julkaisi sen ensimmäisen kerran vuonna 1545.

Tämän kaavan kirjoittaja on Niccolò Tartaglia. Hän loi tämän ratkaisun vuonna 1535 erityisesti osallistumista varten matemaattiseen kilpailuun, jossa hän tietysti voitti. Tartaglia, joka antaa kaavan (in runollinen muoto) Cardano, esitti vain sen osan kuutioyhtälön ratkaisusta, jossa juurella on yksi (reaali)arvo.

Cardanon tulokset tässä kaavassa viittaavat niin sanotun redusoitumattoman tapauksen tarkasteluun, jossa yhtälöllä on kolme arvoa (todelliset arvot, niinä päivinä ei ollut kuvitteellisia tai edes negatiivisia lukuja, vaikka tässä oli yrityksiä suunta). Toisin kuin Cardano ilmoitti julkaisussaan Tartaglian tekijän, kaavaa kutsutaan nimellä Cardano.

1. 3 Cardano Formula

Katsotaan nyt summakuution kaavaa uudelleen, mutta kirjoitetaan se toisin:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

Vertaa tätä merkintää yhtälöön x3 + px + q = 0 ja yritä muodostaa yhteys niiden välille. Korvaa kaavassamme x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx tai x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

Nyt on jo selvää: yhtälön x3 + px + q = 0 juuren löytämiseksi riittää, että ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q tai

3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,

3 ja ota x:ksi a:n ja b:n summa. Muuttamalla u = a3, v = b3 tämä järjestelmä pelkistetään kokonaan a:ksi selkeä näky: ja + v = - q ja v = - p 3.

Sitten voit toimia eri tavoin, mutta kaikki "tiet" johtavat samaan toisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi Vieta-lauseen mukaan annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin kerroin kohdassa x miinusmerkillä, ja tulo on vapaa termi. Tämä tarkoittaa, että ja ja v ovat yhtälön t2 + qt juuret – (p/3)3 = 0.

Kirjoitetaan nämä juuret: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Muuttujat a ja b ovat yhtä suuria kuin kuutiojuuret kohdista t1 ja t2, ja kuutioyhtälön x3 + px + q = 0 haluttu ratkaisu on näiden juurien summa: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + p 3 .

Tämä kaava tunnetaan Cardanon kaavana.

Yhtälöiden ratkaiseminen

Ennen kuin tarkastelemme työssä Cardanon kaavaa, selitetään kuinka löytää sen muut juuret, jos niitä on, kuutioyhtälön x3 + px + q = 0 yhdestä juuresta.

Tehdään tiedoksi, että yhtälöllämme on juuri h. Sitten sen vasen puoli voidaan hajottaa lineaariseksi ja neliön kertoimet. Tämä tehdään hyvin yksinkertaisesti. Korvaamme vapaan termin lausekkeen juuren q \u003d - h3 - ph kautta yhtälöön ja käytämme kaavaa kuutioiden erolle:

0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).

Nyt voit ratkaista toisen asteen yhtälön x2 + hx + h2 + p = 0 ja löytää loput tämän kuutioyhtälön juuret.

Olemme siis täysin aseistettuja ja näyttäisi siltä, ​​että voimme selviytyä minkä tahansa kuutioyhtälön kanssa. Kokeillaan käsiämme.

1. Aloitetaan yhtälöstä x3 + 6x - 2 = 0

Korvataan Cardanon kaavaan p = 6 ja q = -2 ja yksinkertaisten pelkistysten jälkeen saadaan vastaus: x = 3√4 - 3√2. No, kaava on aika kiva. Vain mahdollisuus ottaa tekijä x - (3√4 - 3√2) yhtälön vasemmalta puolelta ja ratkaista jäljellä oleva toisen asteen yhtälö "hirvittävillä" kertoimilla muiden juurien laskemiseksi ei ole kovin innostava. Yhtälöä tarkemmin tarkasteltuna voimme kuitenkin rauhoittua: vasemman puolen funktio kasvaa jyrkästi ja voi siksi kadota vain kerran. Tämä tarkoittaa, että löydetty luku on yhtälön ainoa todellinen juuri.

v v \u003d x3 + 6x - 2

3√4 – 3√2 x

Riisi. 1 Funktion y \u003d x3 + 6x - 2 kuvaaja ylittää x-akselin yhdessä pisteessä - 3√4 - 3√2.

2. Seuraava esimerkki- yhtälö x3 + 3x - 4 = 0.

Cardanon kaava antaa x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Kuten edellisessä esimerkissä, näemme, että tämä juuri on ainutlaatuinen. Mutta sinun ei tarvitse olla erittäin oivaltava katsoaksesi yhtälöä ja arvataksesi sen juuren: x = 1. Meidän on myönnettävä, että kaava antoi tavallisen yksikön niin oudossa muodossa. Muuten, yksinkertaistaaksesi tätä hankalaa, mutta ei ilman eleganssia algebralliset muunnokset epäonnistuu - sen kuutiometriset järjettömyydet ovat väistämättömiä.

3. Otetaan nyt yhtälö, jolla on ilmeisesti kolme todellista juurta. Se on helppo muodostaa - kerro vain kolme hakasulkea muotoa x - b. Sinun on vain huolehdittava siitä, että juurien summa on nolla, koska mukaan yleinen lause Vieta, se eroaa kertoimesta x2 vain etumerkillä. Yksinkertaisin tällaisten juurien joukko on 0, 1 ja -1.

Sovelletaan Cardanon kaavaa yhtälöön x (x - 1) (x + 1) = 0 tai x3 - x = 0.

Jos siinä oletetaan p = -1 ja q = 0, saadaan x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

v y \u003d x (x - 1) (x + 1)

Riisi. 2 Yhtälöllä x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 on kolme reaalijuurta: -1, 0 ja 1. Vastaavasti funktion y \u003d x (x - 1) (x + 1) kuvaaja leikkaa x-akselin kolmessa pisteessä.

ilmestyi neliöjuuren merkin alle negatiivinen luku. Tämä tapahtuu myös kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä. Mutta toisen asteen yhtälöllä ei tässä tapauksessa ole todellisia juuria, kun taas kuutiossa niitä on kolme!

Tarkempi analyysi osoittaa, että emme pudonneet tähän ansaan vahingossa. Yhtälöllä x3 + px + q = 0 on kolme reaalijuurta silloin ja vain, jos lauseke Δ = (q/2)2 + (p/3)3 neliöjuuri Cardanon kaavassa on negatiivinen. Jos Δ > 0, niin on olemassa yksi todellinen juuri (kuva 3b), ja jos Δ = 0, niin niitä on kaksi (yksi niistä on kaksinkertainen), paitsi tapaus p = q = 0, jolloin kaikki kolme juuret sulautuvat yhteen.

y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3

0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)

Riisi. 3 Kuutioyhtälö x3 + px + q = 0 voidaan esittää muodossa x3 = -px - q. Tämä osoittaa, että yhtälön juuret vastaavat kahden kaavion leikkauspisteiden abskissoja: y \u003d x3 ja y \u003d -px - q. Jos Δ 0 on yksi.

1.4 Vietan lause

Vietan lause. Jos kokonaisluku rationaalinen yhtälö aste n vähennetty arvoon vakionäkymä, on n erilaista todellista juurta x1, x2,. xn, niin ne täyttävät yhtälöt: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.

Kolmannen asteen yhtälön juurille a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, jossa a0 ≠ 0, yhtälöt x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 ovat voimassa.

1. 5 Bezoutin lause. Hornerin suunnitelma

Yhtälöiden ratkaisu liittyy läheisesti polynomien tekijöihin. Siksi yhtälöitä ratkaistaessa kaikki, mikä liittyy polynomin valintaan, on tärkeää lineaariset tekijät, eli polynomin A(x) jaolla binomilla x - α. Polynomin A (x) jakamisesta binomilla x - α on monen tiedon perustana lause, joka kuuluu ranskalainen matemaatikko Etienne Bez (1730-1783) ja hänen nimensä.

Bezoutin lause. Polynomin A(x) jakaminen binomilla x - α on yhtä suuri kuin A(α) (eli polynomin A(x) arvo kohdassa x = α).

Etsi jakojäännös polynomin A(x) = x4 - 6x3 + 8 jakamisen jälkeen x + 2:lla.

Päätös. Bezout-lauseen mukaan x + 2:lla jaon loppuosa on A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.

Kätevä tapa löytää polynomin arvot, kun aseta arvo Muuttujan x esitteli englantilainen matemaatikko Williams George Horner (1786-1837). Tätä menetelmää kutsuttiin myöhemmin Hornerin järjestelmäksi. Se koostuu kahden rivin taulukon täyttämisestä. Esimerkiksi edellisen esimerkin A(-2) laskemiseksi taulukon yläriville luetellaan kertoimet annettu polynomi, kirjoitettu vakiomuodossa x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.

Toistetaan kerroin korkeimmalla tasolla alimmalle riville ja ennen sitä kirjoitetaan muuttujan x = -2 arvo, jolla polynomin arvo lasketaan. Tästä seuraa seuraava taulukko:

Täytämme taulukon tyhjät solut seuraavan säännön mukaisesti: alimman rivin oikeanpuoleisin luku kerrotaan -2:lla ja lisätään tyhjän solun yläpuolelle. Tämän säännön mukaan ensimmäinen tyhjä solu sisältää luvun (-2) 1 + (-6) = -8, toinen solu sisältää luvun (-2) (-8) + 0 = 16, kolmas solu sisältää numero (- 2) 16 + 0 = - 32, tuumaa viimeinen häkki- numero (-2) (-32) + 8 \u003d 72. Hornerin kaavion mukaan täysin täytetty taulukko näyttää tältä:

2 1 -8 16 -32 72

Viimeisessä solussa oleva luku on jakojäännös polynomin jakamisesta x + 2:lla, A(-2) = 72.

Itse asiassa tuloksena olevasta taulukosta, joka on täytetty Hornerin kaavion mukaan, voidaan kirjoittaa paitsi jäännös, myös epätäydellinen osamäärä

Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, koska toisella rivillä oleva luku (ei lasketa viimeiseltä) on polynomin Q (x) kertoimet - x + 2:lla jaon epätäydellinen osamäärä.

Ratkaise yhtälö x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0

Kirjoitetaan kaikki yhtälön vapaan termin jakajat: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x=1, x=-2, x=3

Vastaus: x = 1, x = -2, x = 3

2. PÄÄTELMÄT

Muotoilen tärkeimmät johtopäätökset tehdystä työstä.

Työn aikana tutustuin kolmannen asteen yhtälön ratkaisuongelman kehityksen historiaan. Saatujen tulosten teoreettinen merkitys on siinä, että se syrjäyttää tarkoituksella Cardanon kaavan joidenkin kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisemisessa. Varmistin, että kaava kolmannen asteen yhtälön ratkaisemiseksi on olemassa, mutta vaivalloisuutensa vuoksi se ei ole suosittu eikä kovin luotettava, koska se ei aina saavuta lopputulosta.

Jatkossa voimme pohtia tällaisia ​​kysymyksiä: kuinka saada etukäteen selville, mitkä juuret kolmannen asteen yhtälöllä on; voidaanko kuutioyhtälö ratkaista graafisesti jos mahdollista, miten; kuinka arvioida suunnilleen kuutioyhtälön juuret?

Oppitunnin tavoitteet.

1. Syventää opiskelijoiden tietämystä aiheesta ”Ylemmän asteen yhtälöiden ratkaiseminen” ja tehdä yhteenveto oppimateriaalista.
2. Opiskelija tutustuttaa korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmiin.
3. Opettaa soveltamaan jakoteoriaa korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemisessa.
4. Opettaa opiskelijoille kuinka jakaa polynomi polynomiksi "kulman" avulla.
5. Kehitä taitoja ja kykyjä työskennellä korkeamman asteen yhtälöiden kanssa.

Kehitetään:

1. Opiskelijan huomion kehittäminen.
2. Työn tulosten saavuttamiskyvyn kehittäminen.
3. Kiinnostuksen kehittyminen algebran oppimiseen ja itsenäiseen työskentelyyn.

Hoito:

1. Kollektivismin tunteen kasvattaminen.
2. Vastuutunteen muodostuminen työn tuloksesta.
3. Muodostuminen opiskelijoissa riittävä itsetunto valittaessa arvosanaa työstä oppitunnilla.

Varusteet: tietokone, projektori.

Tuntien aikana

1 työvaihe. Ajan järjestäminen.

2 työvaihetta. Motivaatiota ja ongelmanratkaisua

Yhtälö yksi tärkeimmät käsitteet matematiikka. Yhtälöiden ratkaisumenetelmien kehittäminen alkaen matematiikan tieteenä syntymästä, pitkä aika oli algebran pääaine.

AT koulun kurssi matematiikan opiskelussa kiinnitetään paljon huomiota erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Yhdeksännelle luokalle asti pystyimme ratkaisemaan vain lineaarisia ja toisen asteen yhtälöitä. Kolmannen, neljännen jne. yhtälöt. asteita kutsutaan korkeampien asteiden yhtälöiksi. Yhdeksännellä luokalla tutustuttiin kahteen perusmenetelmään joidenkin kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi: polynomin laskemiseen tekijöiksi ja muuttujan muutoksen käyttöön.

Onko mahdollista ratkaista korkeamman asteen yhtälöitä? Yritämme löytää vastauksen tähän kysymykseen tänään.

3 työvaihetta. Tarkista aiemmin opittu materiaali. Esittele korkeamman asteen yhtälön käsite.

1) Lineaarisen yhtälön ratkaisu.

Lineaarinen on muodon yhtälö, jossa määritelmän mukaan. Tällä yhtälöllä on vain yksi juuri.

2) Neliöyhtälön ratkaisu.

Muodon yhtälö , missä . Juurien lukumäärä ja itse juuret määräytyvät yhtälön diskriminantin mukaan. Sillä yhtälöllä ei ole juuria, sillä sillä on yksi juuri (kaksi identtiset juuret)

, sillä on kaksi eri juurta.

Tarkastetuista lineaarisista ja toisen asteen yhtälöistä näemme, että yhtälön juurien lukumäärä ei ole suurempi kuin sen aste. Korkeamman algebran aikana todistetaan, että -:nnen asteen yhtälöllä ei ole enempää kuin n juuria. Mitä tulee juuriin, tilanne on paljon monimutkaisempi. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille tunnetaan kaavat juurien löytämiseksi. Nämä kaavat ovat kuitenkin erittäin monimutkaisia ​​ja hankalia ja käytännön sovellus Ei ole. Viidennen ja korkeamman asteen yhtälöille yleiset kaavat ei ole olemassa eikä voi olla olemassa (kuten N. Abel ja E. Galois osoittivat 1800-luvulla).

Kutsumme yhtälöitä kolmanneksi, neljänneksi jne. astetta korkeampien asteiden yhtälöillä. Jotkut yhtälöt korkeat asteet voidaan ratkaista käyttämällä kahta päätekniikkaa: ottamalla polynomi tekijöiksi tai käyttämällä muuttujan muutosta.

3) Kuutioyhtälön ratkaisu.

Ratkaistaan ​​kuutioyhtälö

Ryhmittelemme polynomin ehdot yhtälön vasemmalle puolelle ja kerromme sen. Saamme:

Tekijöiden tulo on nolla, jos yksi tekijöistä on nolla. Saamme kolme lineaarista yhtälöä:

Joten tällä kuutioyhtälöllä on kolme juurta: ; ;.

4) Bikvadraattisen yhtälön ratkaisu.

Bikvadraattiset yhtälöt ovat hyvin yleisiä, ja niillä on muoto (eli yhtälöt, jotka ovat neliöllisiä suhteessa ). Niiden ratkaisemiseksi otetaan käyttöön uusi muuttuja.

Me päätämme bikvadraattinen yhtälö.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja ja saadaan toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat luvut ja 4.

Palataan vanhaan muuttujaan ja saadaan kaksi yksinkertaista toisen asteen yhtälöä:

(juuret ja ) (juuret ja )

Joten tällä bikvadraattisella yhtälöllä on neljä juuria:

; ;.

Yritetään ratkaista yhtälö yllä olevilla menetelmillä.

Epäonnistui!!!

4 työvaihetta. Anna joitain väitteitä muodon polynomin juurista, missä polynomi nth astetta

Tässä on joitain lausuntoja muodon polynomin juurista:

1) :nnen asteen polynomilla on korkeintaan juuret (ottaen huomioon niiden kerrannaisuudet). Esimerkiksi kolmannen asteen polynomilla ei voi olla neljää juuria.

2) Parittoman asteen polynomilla on vähintään yksi juuri. Esimerkiksi ensimmäisen, kolmannen, viidennen jne. polynomit. asteilla on vähintään yksi juuri. Parillisen asteen polynomeilla voi olla tai ei ole juuria.

3) Jos janan päissä polynomin arvoilla on eri etumerkit (ts. ), väli sisältää vähintään yhden juuren. Tätä väitettä käytetään laajalti polynomin juurien likimääräiseen laskemiseen.

4) Jos luku on muodon polynomin juuri, niin tämä polynomi voidaan esittää tulona, ​​jossa polynomi (-as aste. Toisin sanoen muodon polynomi voidaan jakaa ilman jäännöstä Tämä mahdollistaa th asteen yhtälön pelkistämisen yhtälöön (-th astetta (vähennä yhtälön aste).

5) Jos yhtälöllä kaikilla kokonaislukukertoimilla (lisäksi vapaalla termillä) on kokonaislukujuuri, niin tämä juuri on vapaan termin jakaja. Tällainen lause antaa sinun valita polynomin koko juuren (jos se on olemassa).

5 työvaihetta. Näytä, kuinka jaotuvuusteoriaa sovelletaan korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseen. Tarkastellaan esimerkkejä korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemisesta, joissa vasen puoli kerrotaan käyttämällä menetelmää jakaa polynomi polynomilla "kulmalla".

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö .

Jos tällä yhtälöllä on kokonaislukujuuri, niin se on vapaan termin (-1) jakaja, ts. on yhtä suuri kuin yksi luvuista: . Tarkistus osoittaa, että yhtälön juuri on luku -1. Näin ollen polynomi voidaan esittää tulona, ​​ts. polynomi voidaan jakaa binomiiksi ilman jäännöstä. Suoritetaan seuraava jako "kulman" mukaan:

Olemme siis itse asiassa jakaneet yhtälön vasemman puolen tekijöiksi:

Tekijöiden tulo on nolla, jos yksi tekijöistä on nolla. Saamme kaksi yhtälöä.

Kuutioyhtälöillä on muoto kirves 3 + bx 2 + cx + d= 0). Menetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on tunnettu useiden vuosisatojen ajan (italialaiset matemaatikot löysivät sen 1500-luvulla). Joidenkin kuutioyhtälöiden ratkaiseminen on melko vaikeaa, mutta oikealla lähestymistavalla (ja hyvä taso teoreettista tietoa) pystyt ratkaisemaan monimutkaisimmatkin kuutioyhtälöt.

Askeleet

Ratkaisu kaavalla toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi

Kuten edellä todettiin, kuutioyhtälöillä on muoto a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), jossa kertoimet c (\displaystyle c) ja d (\näyttötyyli d) voi olla tasa-arvoinen 0 (\displaystyle 0), eli kuutioyhtälö voi koostua vain yhdestä termistä (muuttujan ollessa kolmannessa asteessa). Tarkista ensin, onko sinulle annetulla kuutioyhtälöllä leikkauspiste, eli d (\näyttötyyli d). Jos vapaata termiä ei ole, voit ratkaista tämän kuutioyhtälön käyttämällä kaavaa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi.

• Jos leikkauspiste on, käytä toista ratkaisumenetelmää (katso seuraavat kohdat).

1. Vuodesta lähtien annettu yhtälö ei ole vapaata termiä, silloin kaikki tämän yhtälön ehdot sisältävät muuttujan x (\displaystyle x), joka voidaan sulkea: x (a x 2 + b x + c) (\näyttötyyli x(ax^(2)+bx+c)).

   • Esimerkki. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\näyttötyyli 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Jos kestät x (\displaystyle x) suluissa, saat x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\näyttötyyli x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Huomaa, että suluissa oleva yhtälö on muodon ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), joka voidaan ratkaista kaavalla ((- b +/-√ (). Ratkaise toisen asteen yhtälö ja ratkaiset kuutioyhtälön.

   • Korvaa esimerkissämme kertoimien arvot a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\näyttötyyli 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) kaavaan: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))^(2)) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Ratkaisu 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • Ratkaisu 2: 2 − 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. Muista, että toisen asteen yhtälöillä on kaksi ratkaisua, kun taas kuutioyhtälöillä on kolme ratkaisua. Olet löytänyt kaksi ratkaisua toisen asteen yhtälölle ja siten kuutioyhtälölle. Tapauksissa, joissa laitat "x":n hakasulkeisiin, kolmas ratkaisu on aina 0 (\displaystyle 0).

   • Tämä on totta, koska mikä tahansa luku tai lauseke kerrotaan 0 (\displaystyle 0), on yhtä suuri 0 (\displaystyle 0). Siitä lähtien kun kestit x (\displaystyle x) suluista, olet jakanut kuutioyhtälön kahdeksi tekijäksi ( x (\displaystyle x) ja toisen asteen yhtälö), joista yhden on oltava yhtä suuri kuin 0 (\displaystyle 0) niin, että koko yhtälö on yhtä suuri 0 (\displaystyle 0).

   Kokonaisratkaisujen löytäminen tekijöiden jakamisen avulla

   1. Tarkista, onko sinulle annetussa kuutioyhtälössä leikkauspiste. Edellisessä osassa kuvattu menetelmä ei sovellu kuutioyhtälöiden ratkaisemiseen, joissa on vapaa termi. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä tässä tai seuraavassa osassa kuvattua menetelmää.

      • Esimerkki. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\näyttötyyli 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Tässä, liikuta löysää munaa d = − 6 (\näyttötyyli d = -6) yhtälön vasemmalle puolelle niin, että oikea puoli saada 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\näyttötyyli 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Etsi kerroin kertoimet a (\displaystyle a)(kerroin at x 3 (\displaystyle x^(3))) ja ilmainen jäsen d (\näyttötyyli d). Lukujen tekijät ovat lukuja, jotka kerrottuna antavat alkuperäinen numero. Esimerkiksi luvun tekijät 6 (\displaystyle 6) ovat numerot 1 (\näyttötyyli 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\näyttötyyli 3), 6 (\displaystyle 6) (6 × 1 (\näyttötyyli 6\kertaa 1) ja 2 × 3 (\näyttötyyli 2\kertaa 3)).

      • Meidän esimerkissämme a = 2 (\displaystyle a=2) ja d = 6 (\näyttötyyli d=6). Kertoimet 2 (\displaystyle 2) ovat numeroita 1 (\näyttötyyli 1) ja 2 (\displaystyle 2). Kertoimet 6 (\displaystyle 6) ovat numeroita 1 (\näyttötyyli 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\näyttötyyli 3), ja 6 (\displaystyle 6).

   3. Jakokertoimen kertoimet a (\displaystyle a) vapaan ajan tekijöiden perusteella d (\näyttötyyli d). Saat murto- ja kokonaisluvut. Sinulle annetun kuutioyhtälön kokonaislukuratkaisu on joko yksi näistä kokonaisluvuista tai jonkin näistä kokonaisluvuista negatiivinen arvo.

      • Jaa esimerkissämme tekijät a (\displaystyle a) (1 (\näyttötyyli 1), 2 (\displaystyle 2)) tekijöiden mukaan d (\näyttötyyli d) (1 (\näyttötyyli 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\näyttötyyli 3), 6 (\displaystyle 6)) ja saada: 1 (\näyttötyyli 1), , , , 2 (\displaystyle 2) ja . Lisää nyt tähän numeroriville heidän negatiiviset arvot: 1 (\näyttötyyli 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) ja − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Sinulle annetun kuutioyhtälön kokonaislukuratkaisut ovat tässä lukusarjassa.

   4. Nyt voit löytää kokonaislukuratkaisuja kuutioyhtälöihisi korvaamalla siihen kokonaislukuja löydetyistä lukusarjoista. Mutta jos et halua tuhlata aikaa tähän, käytä. Tämä menetelmä sisältää kokonaislukujen jakamisen arvoiksi a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\näyttötyyli d) annettu kuutioyhtälö. Jos loppuosa on 0 (\displaystyle 0), kokonaisluku on yksi kuutioyhtälön ratkaisuista.

      • Hornerin jako ei ole helppo aihe; saada lisäinformaatio seuraa yllä olevaa linkkiä. Tässä on esimerkki kuinka löytää yksi ratkaisu kuutioyhtälöön, joka on annettu sinulle Hornerin jaolla: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Lopusta lähtien 0 (\displaystyle 0), silloin yksi yhtälön ratkaisuista on kokonaisluku − 1 (\displaystyle -1).

   Diskriminantin käyttö

   1. Tässä menetelmässä työskentelet kerroinarvojen kanssa a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\näyttötyyli d). Siksi on parempi kirjoittaa näiden kertoimien arvot etukäteen.

      • Esimerkki. matematiikka>x^3-3x^2+3x-1. Tässä a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\näyttötyyli b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\näyttötyyli d=-1). Älä unohda sitä milloin x (\displaystyle x) kerrointa ei ole, tämä tarkoittaa, että kerroin on yhtä suuri 1 (\näyttötyyli 1).

   2. Laskea △ = b 2 − 3 a c (\näyttötyyli \kolmio _(0)=b^(2)-3ac). Tämä menetelmä vaatii monimutkaisia ​​laskelmia, mutta jos ymmärrät sen, pystyt ratkaisemaan monimutkaisimmat kuutioyhtälöt. Aloita laskemalla △ 0 (\näyttötyyli \kolmio _(0)), yksi useista tärkeistä määristä, joita tarvitsemme korvaamalla sopivat arvot kaavaan.

      • Esimerkissämme: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3 (1) (3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\kolmio _(0)) 2 (−27) − 9 (−9) + 27 (−1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\näyttötyyli -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\kolmio _(1))

   3. Laske Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Laske nyt yhtälön diskriminantti käyttämällä löydettyjä arvoja Δ0 ja Δ1. Diskriminantti on luku, joka antaa sinulle tietoa polynomin juurista (saatat jo tietää, että toisen asteen yhtälön diskriminantti on b 2 - 4ac). Kuutioyhtälön tapauksessa, jos diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kolme ratkaisua; jos diskriminantti on nolla, yhtälöllä on yksi tai kaksi ratkaisua; jos diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä on vain yksi ratkaisu. Kuutioyhtälöllä on aina vähintään yksi ratkaisu, koska sellaisen yhtälön kuvaaja leikkaa x-akselin vähintään yhdessä pisteessä.

      • Jos korvaat määrien sopivat arvot tähän kaavaan, saat mahdolliset ratkaisut sinulle annettu kuutioyhtälö. Korvaa ne alkuperäiseen yhtälöön ja jos yhtäläisyys täyttyy, niin ratkaisut ovat oikein. Jos esimerkiksi liität arvot kaavaan ja saat 1, liitä 1 kaavaan x 3 - 3x 2 + 3x- 1 ja saa 0. Eli tasa-arvo havaitaan, ja 1 on yksi sinulle annetun kuutioyhtälön ratkaisuista.