Telah diperlukan untuk membandingkan nilai dan kuantitas dalam memecahkan masalah praktis sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, kata-kata seperti lebih dan kurang, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll muncul, yang menunjukkan hasil membandingkan jumlah yang homogen.

Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan penghitungan benda, pengukuran dan perbandingan jumlah. Misalnya, matematikawan Yunani kuno tahu bahwa sisi segitiga apa pun lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan terhadap sudut yang lebih besar sisi terpanjang pada segitiga. Archimedes, ketika menghitung keliling lingkaran, menemukan bahwa keliling lingkaran apa pun sama dengan tiga kali diameter dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameter, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh satu diameter.

Tulislah hubungan antara bilangan dan besaran secara simbolis dengan menggunakan tanda > dan b. Entri di mana dua angka dihubungkan oleh salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga bertemu dengan pertidaksamaan numerik dalam nilai yang lebih rendah. Anda tahu bahwa ketidaksetaraan mungkin atau mungkin tidak benar. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) benar ketidaksetaraan numerik, 0,23 > 0,235 - pertidaksamaan numerik salah.

Ketidaksetaraan yang mencakup yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk yang lain. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar untuk x = 3, tetapi salah untuk x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan yang tidak diketahui, Anda dapat mengatur tugas: selesaikan pertidaksamaan. Masalah pemecahan ketidaksetaraan dalam praktek diajukan dan dipecahkan tidak kurang dari masalah pemecahan persamaan. Misalnya, banyak masalah-masalah ekonomi direduksi menjadi studi dan solusi sistem pertidaksamaan linier. Di banyak cabang matematika, ketidaksetaraan lebih umum daripada persamaan.

Beberapa ketidaksetaraan adalah satu-satunya sarana bantu, yang memungkinkan Anda untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan objek tertentu, misalnya, akar persamaan.

Pertidaksamaan numerik

Bisakah kamu membandingkan bilangan bulat? desimal. Ketahui aturan perbandingan pecahan biasa dengan penyebut yang sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama tetapi penyebutnya berbeda. Di sini Anda akan belajar bagaimana membandingkan dua angka dengan menemukan tanda perbedaannya.

Perbandingan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan yang sebenarnya, dokter membandingkan suhu pasien dengan normal, turner membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus seperti itu, beberapa angka dibandingkan. Sebagai hasil dari membandingkan angka, ketidaksetaraan numerik muncul.

Definisi. Angka a lebih besar dari angka b jika perbedaan a-b positif. Nomor a kurang dari angka b jika selisih a-b negatif.

Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk setiap dua bilangan a dan b dari tiga relasi berikut a > b, a = b, a Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.

Dalil. Jika angka yang sama ditambahkan ke kedua sisi pertidaksamaan, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku ini menjadi kebalikannya.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Konsekuensi. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.

Apakah kamu tahu itu persamaan numerik Anda dapat menambahkan dan mengalikan istilah dengan istilah. Selanjutnya, Anda akan belajar bagaimana melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan untuk menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu Anda memecahkan masalah mengevaluasi dan membandingkan nilai ekspresi.

Saat memutuskan berbagai tugas sering kita harus menjumlahkan atau mengalikan suku demi suku bagian kiri dan kanan pertidaksamaan. Kadang-kadang dikatakan bahwa ketidaksetaraan ditambahkan atau dikalikan. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka dapat dikatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka dapat dikatakan luas persegi panjang tersebut kurang dari 65 cm2.

Dalam mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:

Dalil. Saat menjumlahkan pertidaksamaan bertanda sama, kita mendapatkan pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

Dalil. Ketika mengalikan pertidaksamaan bertanda sama, yang bagian kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.

Pertidaksamaan dengan tanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c Berikut pertidaksamaan tegas > dan Pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu dan tidak kurang dari b.

Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tak tegas. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukan pertidaksamaan yang tegas.

Semua sifat pertidaksamaan ketat juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Selain itu, jika untuk pertidaksamaan ketat tanda > dianggap berlawanan dan Anda tahu itu untuk menyelesaikan deret tugas yang diterapkan Anda harus membuat model matematika dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya, Anda akan mengetahui bahwa model matematika untuk memecahkan banyak masalah adalah ketidaksetaraan dengan yang tidak diketahui. Kami akan memperkenalkan konsep penyelesaian pertidaksamaan dan menunjukkan cara memeriksa apakah nomor yang diberikan penyelesaian pertidaksamaan tertentu.

Pertidaksamaan bentuk
\(ax > b, \quad ax dimana a dan b diberi bilangan dan x tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui.

Definisi. Penyelesaian dari pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan yang menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada solusi.

Anda memecahkan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan yang paling sederhana. Demikian pula, ketika memecahkan pertidaksamaan, seseorang cenderung menguranginya dengan bantuan properti ke bentuk pertidaksamaan yang paling sederhana.

Penyelesaian pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel

Pertidaksamaan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \) disebut pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel.

Memecahkan ketidaksetaraan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai menemukan celah di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau nilai negatif Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) terletak di bidang koordinat: di mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah , apakah parabola memotong sumbu x dan jika itu memotongnya, maka di titik apa.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) temukan diskriminannya trinomial persegi\(ax^2+bx+c \) dan cari tahu apakah trinomial tersebut memiliki akar;
2) jika trinomial memiliki akar, maka tandai pada sumbu x dan secara skematis gambar parabola melalui titik-titik yang ditandai, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas di a > 0 atau ke bawah di 0 atau ke bawah di a 3) temukan celah pada sumbu x yang titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0 \)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan
\(ax^2+bx+c Solusi pertidaksamaan dengan metode interval

Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi adalah angka -2, 3, 5. Mereka membagi domain fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) dan \( (5; +\infty)\)

Mari kita cari tahu apa tanda-tanda fungsi ini di setiap interval yang ditunjukkan.

Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah produk dari tiga faktor. Tanda masing-masing faktor ini dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:

Secara umum, biarkan fungsi diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
di mana x adalah variabel, dan x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Di setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol fungsi, tanda fungsi dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.

Sifat ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama

Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.

Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval.

Selesaikan pertidaksamaan:

\(x(0.5-x)(x+4) Jelas, nol dari fungsi f(x) = x(0.5-x)(x+4) adalah titik \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Terapkan ke sumbu numerik nol dari fungsi dan hitung tanda pada setiap interval:

Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.

Menjawab:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

konsep ketidaksetaraan matematika berasal dari zaman kuno. Ini terjadi ketika manusia primitif ada kebutuhan untuk menghitung dan bertindak dengan berbagai item bandingkan jumlah dan ukurannya. Sejak zaman kuno, ketidaksetaraan telah digunakan dalam penalaran mereka oleh Archimedes, Euclid dan ilmuwan terkenal lainnya: matematikawan, astronom, desainer, dan filsuf.

Tetapi mereka, sebagai suatu peraturan, menggunakan terminologi verbal dalam karya-karya mereka. Untuk pertama kalinya tanda-tanda modern untuk menunjukkan konsep "lebih" dan "kurang" dalam bentuk di mana setiap anak sekolah mengenal mereka hari ini, mereka menemukan dan mempraktikkannya di Inggris. Ahli matematika Thomas Harriot memberikan layanan seperti itu kepada keturunannya. Dan itu terjadi sekitar empat abad yang lalu.

Ada banyak jenis ketidaksetaraan. Diantaranya sederhana, mengandung satu, dua atau lebih variabel, kuadrat, pecahan, rasio kompleks, dan bahkan diwakili oleh sistem ekspresi. Dan untuk memahami bagaimana menyelesaikan ketidaksetaraan, yang terbaik adalah menggunakan berbagai contoh.

Jangan ketinggalan kereta

Pertama, bayangkan seorang penduduk pedesaan cepatlah Stasiun kereta, yang terletak pada jarak 20 km dari desanya. Agar tidak ketinggalan kereta yang berangkat pukul 11, ia harus meninggalkan rumah tepat waktu. Pada jam berapa hal ini harus dilakukan jika kecepatan gerakannya adalah 5 km/jam? Solusi untuk ini tugas praktek dikurangi untuk memenuhi kondisi ekspresi: 5 (11 - X) 20, di mana X adalah waktu keberangkatan.

Hal ini dapat dimaklumi, karena jarak yang harus ditempuh seorang penduduk desa ke stasiun sama dengan kecepatan gerak dikalikan dengan jumlah jam di jalan. datang pria sebelumnya mungkin, tapi dia tidak boleh terlambat. Mengetahui bagaimana memecahkan ketidaksetaraan, dan menerapkan keterampilan kita dalam praktik, kita akhirnya akan mendapatkan X 7, yang merupakan jawabannya. Ini berarti bahwa penduduk desa harus pergi ke stasiun kereta api pada pukul tujuh pagi atau sedikit lebih awal.

Kesenjangan angka pada garis koordinat

Sekarang mari kita cari tahu bagaimana memetakan hubungan yang dijelaskan ke pertidaksamaan yang diperoleh di atas tidak ketat. Artinya variabel tersebut dapat mengambil nilai kurang dari 7, dan dapat sama dengan angka tersebut. Mari kita berikan contoh lainnya. Untuk melakukan ini, perhatikan empat gambar di bawah ini dengan cermat.

Pada yang pertama Anda dapat melihat gambar grafis rentang [-7; 7]. Terdiri dari sekumpulan angka yang terletak pada garis koordinat dan terletak antara -7 dan 7, termasuk batas-batasnya. Dalam hal ini, titik-titik pada grafik ditampilkan sebagai lingkaran penuh, dan intervalnya dicatat menggunakan

Gambar kedua adalah representasi grafis ketidaksetaraan yang ketat. Dalam hal ini, batas angka -7 dan 7 yang ditunjukkan dengan titik-titik yang dilubangi (tidak diisi), tidak termasuk dalam set yang ditentukan. Dan interval itu sendiri dicatat dalam tanda kurung sebagai berikut: (-7; 7).

Artinya, setelah menemukan cara menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini, dan menerima jawaban yang serupa, kita dapat menyimpulkan bahwa itu terdiri dari angka-angka yang berada di antara batas-batas yang dipertimbangkan, kecuali untuk -7 dan 7. Dua kasus berikutnya harus dievaluasi dengan cara yang sama. Gambar ketiga menunjukkan gambar celah (-∞; -7] U

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas dan mempertimbangkan tidak hanya polinomial, tetapi juga apa yang disebut pecahan rasional dari bentuk:

di mana $P\left(x \right)$ dan $Q\left(x \right)$ adalah polinomial yang sama dengan bentuk $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, atau produk dari polinomial tersebut.

Ini akan menjadi ketidaksetaraan rasional. Poin fundamentalnya adalah keberadaan variabel $x$ dalam penyebutnya. Misalnya, ini dia - ketidaksetaraan rasional:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \kanan))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \kanan))\ge 0. \\ \end(align)\]

Dan ini bukan ketidaksetaraan yang rasional, tetapi yang paling umum, yang diselesaikan dengan metode interval:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Ke depan, saya akan segera mengatakan: setidaknya ada dua cara untuk menyelesaikan ketidaksetaraan rasional, tetapi semuanya dalam satu atau lain cara direduksi menjadi metode interval yang sudah kita ketahui. Karena itu, sebelum menganalisis metode ini, mari kita mengingat fakta lama, jika tidak, materi baru tidak akan masuk akal.

Apa yang Anda sudah perlu tahu?

Tidak banyak fakta penting. Kami benar-benar hanya membutuhkan empat.

Rumus perkalian yang disingkat

Ya, ya: mereka akan mengikuti kita selamanya kurikulum sekolah matematika. Dan di universitas juga. Ada beberapa formula ini, tetapi kita hanya membutuhkan yang berikut:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \kanan)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\kanan); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\benar). \\ \end(sejajarkan)\]

Perhatikan dua rumus terakhir - ini adalah jumlah dan selisih kubus (dan bukan pangkat tiga dari jumlah atau selisih!). Mereka mudah diingat jika Anda memperhatikan bahwa tanda di kurung pertama sama dengan tanda di ekspresi aslinya, dan di kurung kedua kebalikan dari tanda di ekspresi aslinya.

Persamaan linear

Ini adalah yang paling persamaan sederhana dari bentuk $ax+b=0$, di mana $a$ dan $b$ adalah nomor biasa, dan $a\ne 0$. Persamaan ini mudah diselesaikan:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(sejajarkan)\]

Saya perhatikan bahwa kita berhak membagi dengan koefisien $a$, karena $a\ne 0$. Persyaratan ini cukup logis, karena dengan $a=0$ kita mendapatkan ini:

Pertama, tidak ada variabel $x$ dalam persamaan ini. Ini, secara umum, seharusnya tidak membingungkan kita (ini terjadi, katakanlah, dalam geometri, dan cukup sering), tetapi tetap saja kita bukan lagi persamaan linier.

Kedua, solusi persamaan ini hanya bergantung pada koefisien $b$. Jika $b$ juga nol, maka persamaan kita adalah $0=0$. Kesetaraan ini selalu benar; maka $x$ adalah bilangan apa saja (biasanya ditulis sebagai $x\in \mathbb(R)$). Jika koefisien $b$ bukan nol, maka persamaan $b=0$ tidak pernah terpenuhi, mis. tidak ada jawaban (ditulis $x\in \varnothing $ dan dibaca "set solusi kosong").

Untuk menghindari semua kerumitan ini, kita cukup mengasumsikan $a\ne 0$, yang sama sekali tidak membatasi kita dari refleksi lebih lanjut.

persamaan kuadrat

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa ini disebut persamaan kuadrat:

Di sini di sebelah kiri adalah polinomial derajat kedua, dan lagi $a\ne 0$ (jika tidak, alih-alih persamaan kuadrat kita mendapatkan linier). Persamaan berikut diselesaikan melalui diskriminan:

1. Jika $D \gt 0$, kita mendapatkan dua akar yang berbeda;
2. Jika $D=0$, maka root akan menjadi satu, tetapi dari multiplisitas kedua (jenis multiplisitas itu dan bagaimana memperhitungkannya - lebih lanjut tentang itu nanti). Atau kita dapat mengatakan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar yang identik;
3. Untuk $D \lt 0$ tidak ada akar sama sekali, dan tanda polinomial $a((x)^(2))+bx+c$ untuk setiap $x$ bertepatan dengan tanda koefisien $a $. Ngomong-ngomong, ini sangat fakta yang berguna, yang karena alasan tertentu mereka lupa membicarakannya dalam pelajaran aljabar.

Akar itu sendiri dihitung sesuai dengan rumus terkenal:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Oleh karena itu, dengan cara, pembatasan diskriminan. Lagipula Akar pangkat dua dari angka negatif tidak ada. Mengenai akarnya, banyak siswa memiliki kekacauan yang mengerikan di kepala mereka, jadi saya secara khusus menuliskan seluruh pelajaran: apa yang dimaksud dengan akar dalam aljabar dan bagaimana cara menghitungnya - Saya sangat merekomendasikan untuk membacanya. :)

Operasi pecahan rasional

Semua yang tertulis di atas, Anda sudah tahu jika Anda mempelajari metode interval. Tetapi apa yang akan kita analisis sekarang tidak memiliki analogi di masa lalu - ini adalah fakta yang sama sekali baru.

Definisi. Pecahan rasional adalah ekspresi dari bentuk

\[\frac(P\kiri(x \kanan))(Q\kiri(x \kanan))\]

di mana $P\left(x \right)$ dan $Q\left(x \right)$ adalah polinomial.

Jelas bahwa mudah untuk mendapatkan pertidaksamaan dari pecahan seperti itu - cukup dengan menghubungkan tanda "lebih besar dari" atau "kurang dari" ke kanan. Dan sedikit lebih jauh kita akan menemukan bahwa memecahkan masalah seperti itu menyenangkan, semuanya sangat sederhana di sana.

Masalah dimulai ketika ada beberapa pecahan seperti itu dalam satu ekspresi. Mereka harus dibawa ke faktor persekutuan- dan pada saat inilah diperbolehkan sejumlah besar kesalahan yang memalukan.

Oleh karena itu, untuk solusi sukses persamaan rasional Dua keterampilan yang harus dikuasai dengan kuat:

1. Faktorisasi polinomial $P\left(x \right)$;
2. Sebenarnya, membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Bagaimana cara memfaktorkan polinomial? Sangat sederhana. Biarkan kita memiliki polinomial dari bentuk

Mari kita samakan dengan nol. Kami mendapatkan persamaan derajat $n$-th:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Katakanlah kita memecahkan persamaan ini dan mendapatkan akar $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (jangan khawatir: dalam banyak kasus tidak akan ada lebih dari dua akar ini). Dalam hal ini, polinomial asli kami dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \kanan)\cdot \kiri(x-((x)_(2)) \kanan)\cdot ...\cdot \kiri(x-((x)_( n)) \kanan) \end(sejajarkan)\]

Itu saja! Harap dicatat: koefisien awal $((a)_(n))$ tidak hilang di mana pun - ini akan menjadi faktor terpisah di depan tanda kurung, dan jika perlu, dapat dimasukkan ke dalam tanda kurung mana pun (pertunjukan latihan bahwa dengan $((a)_ (n))\ne \pm 1$ hampir selalu ada pecahan di antara akar-akarnya).

Tugas. Sederhanakan ekspresi:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Keputusan. Pertama, mari kita lihat penyebutnya: semuanya adalah binomial linier, dan tidak ada yang perlu difaktorkan di sini. Jadi, mari kita faktorkan pembilangnya:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\kanan)\kiri(x-1\kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kiri(x+2 \kanan)\kiri(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kiri(x +2 \kanan)\kiri(2-5x \kanan). \\\akhir(sejajarkan)\]

Harap dicatat: dalam polinomial kedua, koefisien senior "2", sesuai sepenuhnya dengan skema kami, pertama kali muncul di depan braket, dan kemudian dimasukkan dalam braket pertama, karena sebagian kecil keluar dari sana.

Hal yang sama terjadi pada polinomial ketiga, hanya saja urutan istilahnya juga membingungkan. Namun, koefisien “−5” akhirnya dimasukkan ke dalam kurung kedua (ingat: Anda dapat memasukkan faktor dalam satu dan hanya satu kurung!), yang menyelamatkan kita dari ketidaknyamanan yang terkait dengan akar pecahan.

Adapun polinomial pertama, semuanya sederhana di sana: akarnya dicari baik dengan cara standar melalui diskriminan, atau menggunakan teorema Vieta.

Mari kembali ke ekspresi awal dan tulis ulang dengan pembilang yang didekomposisi menjadi faktor:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \kanan))(2x-3)-\frac(\kiri(x+2 \kanan)\kiri(2-5x \kanan))(x+2)= \\ =\kiri(x+5 \kanan)-\kiri(x-1 \kanan)-\kiri(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \akhir(matriks)\]

Jawaban: $5x+4$.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sedikit matematika kelas 7-8 dan hanya itu. Inti dari semua transformasi adalah untuk mengubah ekspresi yang kompleks dan menakutkan menjadi sesuatu yang sederhana dan mudah untuk dikerjakan.

Namun, ini tidak akan selalu terjadi. Jadi sekarang kita akan mempertimbangkan masalah yang lebih serius.

Tapi pertama-tama, mari kita cari tahu cara membawa dua pecahan ke penyebut yang sama. Algoritmanya sangat sederhana:

1. Faktorkan kedua penyebutnya;
2. Pertimbangkan penyebut pertama dan tambahkan faktor-faktor yang ada pada penyebut kedua, tetapi tidak ada pada penyebut pertama. Produk yang dihasilkan akan menjadi common denominator;
3. Cari tahu faktor-faktor apa yang tidak dimiliki oleh masing-masing pecahan asal sehingga penyebutnya menjadi sama dengan pecahan biasa.

Mungkin algoritme ini bagi Anda hanya sebuah teks di mana ada "banyak huruf". Jadi mari kita lihat contoh spesifik.

Tugas. Sederhanakan ekspresi:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Keputusan. Tugas besar seperti itu paling baik diselesaikan dalam beberapa bagian. Mari kita tulis apa yang ada di kurung pertama:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Berbeda dengan masalah sebelumnya, di sini penyebutnya tidak begitu sederhana. Mari kita faktorkan masing-masingnya.

Trinomial kuadrat $((x)^(2))+2x+4$ tidak dapat difaktorkan karena persamaan $((x)^(2))+2x+4=0$ tidak memiliki akar (diskriminan negatif) . Kami membiarkannya tidak berubah.

Penyebut kedua, polinomial kubik $((x)^(3))-8$, setelah pemeriksaan lebih dekat adalah perbedaan kubus dan dapat dengan mudah diuraikan menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

Tidak ada lagi yang dapat difaktorkan, karena braket pertama berisi binomial linier, dan braket kedua adalah konstruksi yang sudah kita kenal, yang tidak memiliki akar real.

Akhirnya, penyebut ketiga adalah binomial linier yang tidak dapat diuraikan. Jadi, persamaan kita akan berbentuk:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \kanan))-\frac(1)(x-2)\]

Sangat jelas bahwa $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ akan menjadi penyebut yang sama, dan untuk mengurangi semua pecahan, Anda perlu mengalikan pecahan pertama menjadi $\left(x-2 \right)$, dan yang terakhir menjadi $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Maka tinggal membawa yang berikut ini:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \kanan))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \kanan))= \\ =\frac(x\cdot \kiri(x-2 \kanan)+\kiri(((x)^(2))+8 \kanan)-\kiri(((x) )^(2))+2x+4 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\ kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan)). \\ \akhir(matriks)\]

Perhatikan baris kedua: ketika penyebutnya sudah sama, mis. alih-alih tiga pecahan terpisah, kami menulis satu pecahan besar, Anda tidak boleh segera menyingkirkan tanda kurung. Lebih baik menulis baris tambahan dan perhatikan bahwa, katakanlah, ada minus sebelum pecahan ketiga - dan itu tidak akan pergi ke mana pun, tetapi akan "menggantung" di pembilang di depan tanda kurung. Ini akan menghemat banyak kesalahan.

Nah, pada baris terakhir berguna untuk memfaktorkan pembilangnya. Selain itu, ini adalah kuadrat yang tepat, dan rumus perkalian yang disingkat kembali membantu kami. Kita punya:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sekarang mari kita berurusan dengan braket kedua dengan cara yang sama. Di sini saya hanya akan menulis rantai persamaan:

\[\begin(matriks) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2\cdot \kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan )\cdot \left(x+2 \kanan))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \kanan))(\left(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac((((x)^(2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan) ). \\ \akhir(matriks)\]

Kami kembali ke masalah awal dan melihat produk:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Jawaban: \[\frac(1)(x+2)\].

Arti dari soal ini sama dengan soal sebelumnya: untuk menunjukkan seberapa banyak yang bisa disederhanakan ekspresi rasional, jika Anda mendekati transformasi mereka dengan bijak.

Dan sekarang, setelah Anda mengetahui semua ini, mari beralih ke topik utama pelajaran hari ini - memecahkan ketidaksetaraan rasional pecahan. Selain itu, setelah persiapan seperti itu, ketidaksetaraan itu sendiri akan berbunyi klik seperti kacang. :)

Cara utama untuk menyelesaikan ketidaksetaraan rasional

Setidaknya ada dua pendekatan untuk memecahkan ketidaksetaraan rasional. Sekarang kita akan mempertimbangkan salah satunya - yang diterima secara umum di kursus sekolah matematika.

Tapi pertama-tama, mari kita perhatikan detail penting. Semua ketidaksetaraan dibagi menjadi dua jenis:

1. Ketat: $f\left(x \kanan) \gt 0$ atau $f\left(x \kanan) \lt 0$;
2. Tidak ketat: $f\left(x \right)\ge 0$ atau $f\left(x \right)\le 0$.

Pertidaksamaan jenis kedua dengan mudah direduksi menjadi yang pertama, serta persamaan:

"Penambahan" kecil $f\left(x \right)=0$ ini mengarah ke hal yang tidak menyenangkan seperti poin yang diisi - kami bertemu mereka kembali dalam metode interval. Jika tidak, tidak ada perbedaan antara pertidaksamaan ketat dan tidak tegas, jadi mari kita analisis algoritme universal:

1. Kumpulkan semua elemen bukan nol pada satu sisi tanda pertidaksamaan. Misalnya, di sebelah kiri;
2. Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama (jika ada beberapa pecahan seperti itu), bawa yang serupa. Kemudian, jika memungkinkan, faktorkan pembilang dan penyebutnya. Dengan satu atau lain cara, kita mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, di mana centang adalah tanda pertidaksamaan.
3. Samakan pembilangnya dengan nol: $P\left(x \right)=0$. Kami memecahkan persamaan ini dan mendapatkan akar $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Maka kita membutuhkan bahwa penyebutnya tidak sama dengan nol: $Q\left(x \right)\ne 0$. Tentu saja, pada intinya, kita harus menyelesaikan persamaan $Q\left(x \right)=0$, dan kita mendapatkan akar $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (dalam masalah nyata hampir tidak akan ada lebih dari tiga akar seperti itu).
4. Kami menandai semua akar ini (baik dengan dan tanpa tanda bintang) pada satu garis bilangan, dan akar tanpa bintang dicat, dan akar yang memiliki bintang dilubangi.
5. Kami menempatkan tanda plus dan minus, pilih interval yang kami butuhkan. Jika pertidaksamaan berbentuk $f\left(x \right) \gt 0$, maka jawabannya adalah interval yang diberi tanda "plus". Jika $f\left(x \right) \lt 0$, maka kita melihat interval dengan "minus".

Latihan menunjukkan bahwa poin 2 dan 4 menyebabkan kesulitan terbesar - transformasi yang kompeten dan pengaturan angka yang benar dalam urutan menaik. Nah, pada langkah terakhir, berhati-hatilah: kami selalu menempatkan tanda berdasarkan pertidaksamaan terakhir yang ditulis sebelum melanjutkan ke persamaan. Ini aturan universal, diwarisi dari metode interval.

Jadi, ada skema. Ayo berlatih.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Keputusan. Sebelum kita ketidaksetaraan yang ketat dari bentuk $f\left(x \kanan) \lt 0$. Jelas, poin 1 dan 2 dari skema kami telah selesai: semua elemen ketidaksetaraan dikumpulkan di sebelah kiri, tidak ada yang perlu direduksi menjadi penyebut yang sama. Jadi mari kita beralih ke poin ketiga.

Atur pembilang ke nol:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(sejajarkan)\]

Dan penyebutnya:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(sejajarkan)\]

Di tempat ini, banyak orang terjebak, karena secara teori Anda perlu menuliskan $x+7\ne 0$, seperti yang disyaratkan oleh ODZ (Anda tidak dapat membagi dengan nol, itu saja). Tetapi bagaimanapun juga, di masa depan kami akan menyodok poin yang berasal dari penyebut, jadi Anda tidak perlu memperumit perhitungan Anda sekali lagi - tulis tanda sama dengan di mana-mana dan jangan khawatir. Tidak ada yang akan mengurangi poin untuk ini. :)

Poin keempat. Kami menandai akar yang diperoleh pada garis bilangan:

Semua poin tertusuk karena ketidaksetaraan yang ketat

Catatan: semua titik tertusuk karena ketidaksetaraan asli ketat. Dan di sini tidak penting lagi: poin-poin ini berasal dari pembilang atau dari penyebut.

Nah, perhatikan tanda-tandanya. Ambil sembarang angka $((x)_(0)) \gt 3$. Misalnya, $((x)_(0))=100$ (tetapi Anda bisa saja mengambil $((x)_(0))=3.1$ atau $((x)_(0)) = 1\000\000$). Kita mendapatkan:

Jadi, di sebelah kanan semua akar kita memiliki area positif. Dan ketika melewati setiap akar, tandanya berubah (ini tidak akan selalu terjadi, tetapi lebih lanjut tentang itu nanti). Karena itu, kami melanjutkan ke poin kelima: kami menempatkan tanda dan memilih yang benar:

Kami kembali ke pertidaksamaan terakhir, yaitu sebelum menyelesaikan persamaan. Sebenarnya, ini bertepatan dengan yang asli, karena kami tidak melakukan transformasi apa pun dalam tugas ini.

Karena itu perlu untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk $f\left(x \right) \lt 0$, saya mengarsir interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - itu adalah satu-satunya ditandai dengan tanda minus. Ini adalah jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-7;3 \right)$

Itu saja! Apakah sulit? Tidak, itu tidak sulit. Memang, itu adalah tugas yang mudah. Sekarang mari kita sedikit memperumit misi dan mempertimbangkan ketidaksetaraan yang lebih "mewah". Saat menyelesaikannya, saya tidak akan lagi memberikan perhitungan terperinci seperti itu - saya hanya akan menunjukkan poin kunci. Secara umum, kami akan mengaturnya seperti kami mengaturnya kerja mandiri atau ujian :)

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]

Keputusan. Ini adalah pertidaksamaan tidak tegas dalam bentuk $f\left(x \right)\ge 0$. Semua elemen bukan nol dikumpulkan di sebelah kiri, penyebut yang berbeda tidak. Mari kita beralih ke persamaan.

Pembilang:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Panah kanan ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(sejajarkan)\]

Penyebut:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(sejajarkan)\]

Saya tidak tahu orang mesum macam apa yang membuat masalah ini, tetapi akarnya tidak berjalan dengan baik: akan sulit untuk mengaturnya pada garis bilangan. Dan jika semuanya kurang lebih jelas dengan akar $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ini adalah satu-satunya angka positif - itu akan berada di sebelah kanan), maka $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ dan $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ memerlukan studi lebih lanjut: yang mana lebih besar?

Anda dapat mengetahui ini, misalnya:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Saya harap tidak perlu menjelaskan mengapa pecahan numerik $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Jika perlu, saya sarankan untuk mengingat cara melakukan tindakan dengan pecahan.

Dan kami menandai ketiga akar pada garis bilangan:

Titik-titik dari pembilangnya diarsir, dari penyebutnya dipotong

Kami memasang tanda. Misalnya, Anda dapat mengambil $((x)_(0))=1$ dan mencari tahu tandanya pada titik ini:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Pertidaksamaan terakhir sebelum persamaan adalah $f\left(x \right)\ge 0$, jadi kami tertarik pada tanda plus.

Kami mendapat dua set: satu adalah segmen biasa, dan yang lainnya adalah sinar terbuka pada garis bilangan.

Jawaban: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Catatan penting tentang bilangan yang kita substitusikan untuk mengetahui tanda pada interval paling kanan. Tidak perlu mengganti angka yang dekat dengan akar paling kanan. Anda dapat mengambil miliaran atau bahkan "plus-tak terhingga" - dalam hal ini, tanda polinomial dalam tanda kurung, pembilang atau penyebut hanya ditentukan oleh tanda koefisien utama.

Mari kita lihat lagi fungsi $f\left(x \right)$ dari pertidaksamaan terakhir:

Ini berisi tiga polinomial:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \kanan)=11x+2; \\ & T\kiri(x\kanan)=13x-4. \end(sejajarkan)\]

Semuanya adalah binomial linier, dan semuanya memiliki koefisien positif (angka 7, 11 dan 13). Oleh karena itu, ketika mengganti sangat angka besar polinomial itu sendiri juga akan positif. :)

Aturan ini mungkin tampak terlalu rumit, tetapi hanya pada awalnya, ketika kita menganalisis masalah yang sangat mudah. Dalam pertidaksamaan yang serius, substitusi "plus-tak terhingga" akan memungkinkan kita untuk mengetahui tanda-tandanya jauh lebih cepat daripada $((x)_(0))=100$ standar.

Kami akan segera menghadapi tantangan seperti itu. Tapi pertama-tama, mari kita lihat cara alternatif untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan.

Cara alternatif

Teknik ini disarankan kepada saya oleh salah satu siswa saya. Saya sendiri belum pernah menggunakannya, tetapi praktik telah menunjukkan bahwa lebih mudah bagi banyak siswa untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan cara ini.

Jadi, data aslinya sama. Perlu memutuskan pertidaksamaan rasional pecahan:

\[\frac(P\kiri(x \kanan))(Q\kiri(x \kanan)) \gt 0\]

Mari kita berpikir: mengapa polinomial $Q\left(x \right)$ "lebih buruk" daripada polinomial $P\left(x \right)$? Mengapa kita harus mempertimbangkan kelompok individu akar (dengan dan tanpa tanda bintang), pikirkan tentang titik berlubang, dll.? Sederhana saja: pecahan memiliki domain definisi, yang menurutnya pecahan hanya masuk akal jika penyebutnya berbeda dari nol.

Jika tidak, tidak ada perbedaan antara pembilang dan penyebut: kita juga menyamakannya dengan nol, mencari akarnya, lalu menandainya pada garis bilangan. Jadi mengapa tidak mengganti bilah pecahan (sebenarnya, tanda pembagian) perkalian biasa, dan tulis semua persyaratan ODZ sebagai pertidaksamaan terpisah? Misalnya, seperti ini:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Harap dicatat: pendekatan ini akan memungkinkan Anda untuk mengurangi masalah ke metode interval, tetapi tidak akan memperumit solusi sama sekali. Bagaimanapun, kita akan menyamakan polinomial $Q\left(x \right)$ dengan nol.

Mari kita lihat cara kerjanya pada tugas nyata.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Keputusan. Jadi, mari kita beralih ke metode interval:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pertidaksamaan pertama diselesaikan secara elementer. Cukup atur setiap tanda kurung ke nol:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Panah kanan ((x)_(2))=11. \\ \end(sejajarkan)\]

Dengan ketidaksetaraan kedua, semuanya juga sederhana:

Kami menandai titik $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$ pada garis nyata. Semuanya tertusuk karena ketidaksetaraan yang ketat:

Titik yang tepat ternyata tertusuk dua kali. Ini baik-baik saja.

Perhatikan titik $x=11$. Ternyata itu adalah "dua kali mencungkil": di satu sisi, kami mencungkilnya karena parahnya ketidaksetaraan, di sisi lain, karena persyaratan tambahan ODZ.

Bagaimanapun, itu hanya akan menjadi titik tertusuk. Oleh karena itu, kita berikan tanda pertidaksamaan $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - yang terakhir kita lihat sebelum kita mulai menyelesaikan persamaan:

Kami tertarik pada daerah positif, karena kami menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk $f\left(x \right) \gt 0$, dan kami akan mewarnainya. Tetap hanya untuk menuliskan jawabannya.

Menjawab. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Menggunakan solusi ini sebagai contoh, saya ingin memperingatkan Anda terhadap kesalahan umum di antara siswa pemula. Yaitu: jangan pernah membuka tanda kurung dalam pertidaksamaan! Sebaliknya, cobalah untuk memfaktorkan semuanya - ini akan menyederhanakan solusi dan menghemat banyak masalah.

Sekarang mari kita coba sesuatu yang lebih sulit.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Keputusan. Ini adalah pertidaksamaan tidak tegas dalam bentuk $f\left(x \right)\le 0$, jadi di sini Anda perlu memantau poin-poin yang diisi dengan cermat.

Mari kita beralih ke metode interval:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Mari kita beralih ke persamaan:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Panah kanan ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Panah kanan ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(sejajarkan)\]

Kami mempertimbangkan persyaratan tambahan:

Kami menandai semua akar yang diperoleh pada garis bilangan:

Jika sebuah titik dilubangi dan diisi pada saat yang sama, itu dianggap dilubangi.

Sekali lagi, dua titik "tumpang tindih" satu sama lain - ini normal, akan selalu begitu. Penting untuk dipahami bahwa sebuah titik yang ditandai sebagai dilubangi dan diisi sebenarnya adalah titik yang dilubangi. Itu. "Mencongkel" adalah tindakan yang lebih kuat daripada "melukis".

Ini benar-benar logis, karena dengan menusuk kita menandai titik-titik yang mempengaruhi tanda fungsi, tetapi tidak dengan sendirinya berpartisipasi dalam jawabannya. Dan jika pada titik tertentu jumlahnya tidak lagi sesuai dengan kami (misalnya, itu tidak termasuk dalam ODZ), kami menghapusnya dari pertimbangan hingga akhir tugas.

Secara umum, berhentilah berfilsafat. Kami mengatur tanda dan melukis di atas interval yang ditandai dengan tanda minus:

Menjawab. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Dan sekali lagi saya ingin menarik perhatian Anda pada persamaan ini:

\[\kiri(2x-13 \kanan)\kiri(12x-9 \kanan)\kiri(15x+33 \kanan)=0\]

Sekali lagi: jangan pernah membuka tanda kurung dalam persamaan seperti itu! Kamu hanya mempersulit dirimu sendiri. Ingat: hasil kali adalah nol ketika setidaknya salah satu faktornya nol. Karena itu, persamaan yang diberikan itu hanya "berantakan" menjadi beberapa yang lebih kecil, yang kami pecahkan dalam masalah sebelumnya.

Mempertimbangkan banyaknya akar

Dari masalah sebelumnya mudah untuk melihat bahwa kesulitan terbesar mewakili ketidaksetaraan yang tidak ketat, karena mereka harus melacak poin yang diisi.

Tapi ada kejahatan yang lebih besar di dunia - ini adalah akar ganda dalam ketidaksetaraan. Di sini sudah perlu untuk mengikuti bukan beberapa titik yang diisi di sana - di sini tanda pertidaksamaan mungkin tidak tiba-tiba berubah ketika melewati titik-titik yang sama ini.

Kami belum mempertimbangkan hal seperti ini dalam pelajaran ini (walaupun masalah serupa sering dijumpai dalam metode interval). Jadi mari kita perkenalkan definisi baru:

Definisi. Akar persamaan $((\left(x-a \right))^(n))=0$ sama dengan $x=a$ dan disebut akar dari kelipatan $n$.

Sebenarnya, kami tidak terlalu tertarik nilai yang tepat beragam. Satu-satunya hal yang penting adalah apakah bilangan $n$ ini genap atau ganjil. Karena:

1. Jika $x=a$ adalah akar dari multiplisitas genap, maka tanda fungsi tidak berubah saat melewatinya;
2. Dan sebaliknya, jika $x=a$ adalah akar dari kelipatan ganjil, maka tanda fungsi akan berubah.

Kasus khusus dari akar multiplisitas ganjil adalah semua masalah sebelumnya yang dibahas dalam pelajaran ini: di mana multiplisitas sama dengan satu di mana-mana.

Dan selanjutnya. Sebelum kita mulai memecahkan masalah, saya ingin menarik perhatian Anda pada satu kehalusan yang tampak jelas bagi siswa yang berpengalaman, tetapi membuat banyak pemula menjadi pingsan. Yaitu:

Akar multiplisitas $n$ hanya muncul jika seluruh ekspresi dipangkatkan: $((\left(x-a \right))^(n))$, dan bukan $\left(((x)^( n) )-a\kanan)$.

Sekali lagi: tanda kurung $((\left(x-a \right))^(n))$ memberi kita akar $x=a$ dari multiplisitas $n$, tetapi tanda kurung $\left(((x)^( n)) -a \right)$ atau, seperti yang sering terjadi, $(a-((x)^(n)))$ memberi kita akar (atau dua akar, jika $n$ genap) dari multiplisitas pertama , tidak peduli apa yang sama dengan $n$.

Membandingkan:

\[((\kiri(x-3 \kanan))^(5))=0\Panah kanan x=3\kiri(5k \kanan)\]

Semuanya jelas di sini: seluruh braket dinaikkan ke pangkat kelima, jadi pada output kami mendapatkan akar pangkat lima. Dan sekarang:

\[\kiri(((x)^(2))-4 \kanan)=0\Panah kanan ((x)^(2))=4\Panah kanan x=\pm 2\]

Kami memiliki dua akar, tetapi keduanya memiliki multiplisitas pertama. Atau ini satu lagi:

\[\kiri(((x)^(10))-1024 \kanan)=0\Panah kanan ((x)^(10))=1024\Panah kanan x=\pm 2\]

Dan jangan bingung dengan derajat kesepuluh. Hal utama adalah bahwa 10 adalah bilangan genap, jadi kami memiliki dua akar pada output, dan keduanya kembali memiliki multiplisitas pertama.

Secara umum, berhati-hatilah: multiplisitas hanya terjadi ketika derajat berlaku untuk seluruh braket, bukan hanya variabel.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \kanan))^(3))\left(x+4 \kanan))((\left(x+7 \kanan))^(5)))\ge 0\]

Keputusan. Mari kita coba untuk menyelesaikannya cara alternatif- melalui transisi dari khusus ke produk:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Baik.\]

Kami menangani ketidaksetaraan pertama menggunakan metode interval:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \kanan))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Panah kanan x=0\kiri(2k \kanan); \\ & ((\left(6-x \kanan))^(3))=0\Panah kanan x=6\kiri(3k \kanan); \\ & x+4=0\Panah kanan x=-4; \\ & ((\left(x+7 \kanan))^(5))=0\Panah kanan x=-7\kiri(5k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Selain itu, kami memecahkan ketidaksetaraan kedua. Sebenarnya, kami telah menyelesaikannya, tetapi agar pengulas tidak menemukan kesalahan dengan solusinya, lebih baik untuk menyelesaikannya lagi:

\[((\kiri(x+7 \kanan))^(5))\ne 0\Panah kanan x\ne -7\]

Perhatikan bahwa tidak ada multiplisitas dalam pertidaksamaan terakhir. Memang: apa bedanya berapa kali mencoret titik $x=-7$ pada garis bilangan? Setidaknya sekali, setidaknya lima kali - hasilnya akan sama: titik tertusuk.

Mari kita perhatikan semua yang kita dapatkan pada garis bilangan:

Seperti yang saya katakan, titik $x=-7$ pada akhirnya akan dihilangkan. Perkalian disusun berdasarkan solusi pertidaksamaan dengan metode interval.

Tetap menempatkan tanda-tanda:

Karena titik $x=0$ adalah akar dari multiplisitas genap, tandanya tidak berubah saat melewatinya. Poin yang tersisa memiliki multiplisitas yang aneh, dan semuanya sederhana dengan mereka.

Menjawab. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Perhatikan $x=0$ lagi. Karena multiplisitas yang merata, efek yang menarik muncul: segala sesuatu di sebelah kirinya dilukis, ke kanan - juga, dan titik itu sendiri sepenuhnya dilukis.

Akibatnya, tidak perlu diisolasi saat merekam respons. Itu. anda tidak perlu menulis sesuatu seperti $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (walaupun secara formal jawaban seperti itu juga benar). Sebagai gantinya, kita langsung menulis $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Efek seperti itu hanya mungkin untuk akar multiplisitas genap. Dan dalam tugas berikutnya, kita akan menemukan "manifestasi" kebalikan dari efek ini. Siap?

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(((\kiri(x-3 \kanan))^(4))\kiri(x-4 \kanan))(((\kiri(x-1 \kanan))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]

Keputusan. Kali ini kita akan mengikuti skema standar. Atur pembilang ke nol:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\kiri(x-3 \kanan))^(4))=0\Panah kanan ((x)_(1))=3\kiri(4k \kanan); \\ & x-4=0\Panah kanan ((x)_(2))=4. \\ \end(sejajarkan)\]

Dan penyebutnya:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\kiri(x-1 \kanan))^(2))=0\Panah kanan x_(1)^(*)=1\kiri(2k \kanan); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Panah kanan x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(sejajarkan)\]

Karena kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas dari bentuk $f\left(x \right)\ge 0$, akar dari penyebut (yang memiliki tanda bintang) akan dipotong, dan akar dari pembilang akan dilukis .

Kami mengatur tanda dan menggores area yang ditandai dengan "plus":

Titik $x=3$ terisolasi. Ini adalah bagian dari jawabannya

Sebelum menuliskan jawaban akhir, perhatikan baik-baik gambarnya:

1. Titik $x=1$ memiliki multiplisitas genap, tetapi titik itu sendiri tertusuk. Oleh karena itu, itu harus diisolasi dalam jawaban: Anda perlu menulis $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, dan bukan $x\in \left(-\ infty ;2\kanan)$.
2. Titik $x=3$ juga memiliki multiplisitas genap dan diarsir. Susunan tanda menunjukkan bahwa titik itu sendiri cocok untuk kita, tetapi langkah ke kiri dan kanan - dan kita menemukan diri kita di area yang pasti tidak cocok untuk kita. Titik-titik tersebut disebut terisolasi dan ditulis sebagai $x\in \left\( 3 \right\)$.

Kami menggabungkan semua bagian yang diperoleh menjadi satu set umum dan menuliskan jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definisi. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti tentukan himpunan semua penyelesaiannya, atau buktikan bahwa himpunan ini kosong.

Tampaknya: apa yang tidak bisa dipahami di sini? Ya, faktanya adalah bahwa himpunan dapat ditentukan dengan cara yang berbeda. Mari kita tulis ulang jawaban untuk masalah terakhir:

Kami benar-benar membaca apa yang tertulis. Variabel "x" milik set tertentu, yang diperoleh dengan gabungan (simbol "U") dari empat set terpisah:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, yang secara harfiah berarti "semua bilangan kurang dari satu, tetapi bukan satu itu sendiri";
• Intervalnya adalah $\left(1;2 \right)$, mis. "semua angka antara 1 dan 2, tetapi bukan angka 1 dan 2 itu sendiri";
• Himpunan $\left\( 3 \right\)$, terdiri dari satu angka - tiga;
• Interval $\left[ 4;5 \right)$ berisi semua angka antara 4 dan 5, ditambah 4 itu sendiri, tetapi bukan 5.

Poin ketiga menarik di sini. Tidak seperti interval, yang mendefinisikan himpunan bilangan tak hingga dan hanya menyatakan batas himpunan ini, himpunan $\left\( 3 \kanan\)$ mendefinisikan tepat satu bilangan dengan pencacahan.

Untuk memahami bahwa kami mencantumkan nomor tertentu yang termasuk dalam himpunan (dan tidak menetapkan batas atau apa pun), kurung kurawal digunakan. Misalnya, notasi $\left\( 1;2 \right\)$ berarti persis "satu set yang terdiri dari dua angka: 1 dan 2", tetapi bukan segmen dari 1 hingga 2. Jangan bingung konsep ini .

Aturan penjumlahan multiplisitas

Nah, di akhir pelajaran hari ini, ada sedikit timah dari Pavel Berdov. :)

Siswa yang penuh perhatian mungkin telah bertanya pada diri sendiri pertanyaan: apa yang akan terjadi jika akar yang sama ditemukan pada pembilang dan penyebut? Jadi aturan berikut ini berfungsi:

Multiplisitas akar identik menjumlahkan. Selalu. Bahkan jika akar ini muncul di pembilang dan penyebut.

Terkadang lebih baik memutuskan daripada berbicara. Oleh karena itu, kami memecahkan masalah berikut:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \kanan)\kiri(((x)^(2))+ 9x+14 \kanan))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(sejajarkan)\]

Sejauh ini, tidak ada yang istimewa. Atur penyebut ke nol:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Panah kanan x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Panah kanan x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(sejajarkan)\]

Dua akar identik ditemukan: $((x)_(1))=-2$ dan $x_(4)^(*)=-2$. Keduanya memiliki multiplisitas pertama. Oleh karena itu, kami menggantinya dengan satu root $x_(4)^(*)=-2$, tetapi dengan multiplisitas 1+1=2.

Selain itu, ada juga akar yang identik: $((x)_(2))=-4$ dan $x_(2)^(*)=-4$. Mereka juga merupakan multiplisitas pertama, jadi hanya $x_(2)^(*)=-4$ dari multiplisitas 1+1=2 yang tersisa.

Harap dicatat: dalam kedua kasus, kami meninggalkan akar yang "dipotong", dan membuang yang "dilukis" dari pertimbangan. Karena bahkan di awal pelajaran, kami sepakat: jika sebuah titik dilubangi dan dilukis pada saat yang sama, maka kami masih menganggapnya dilubangi.

Akibatnya, kami memiliki empat akar, dan semuanya ternyata dicungkil:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \kanan); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Kami menandainya pada garis bilangan, dengan mempertimbangkan banyaknya:

Kami menempatkan tanda dan cat di atas area yang kami minati:

Semuanya. Tidak ada poin terisolasi dan penyimpangan lainnya. Anda dapat menuliskan jawabannya.

Menjawab. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

aturan perkalian

Kadang-kadang situasi yang lebih tidak menyenangkan terjadi: persamaan yang memiliki banyak akar itu sendiri dipangkatkan. Ini mengubah multiplisitas semua akar asli.

Hal ini jarang terjadi, sehingga sebagian besar siswa tidak memiliki pengalaman dalam memecahkan masalah tersebut. Dan aturannya di sini adalah:

Ketika sebuah persamaan dipangkatkan $n$, multiplisitas semua akarnya juga meningkat dengan faktor $n$.

Dengan kata lain, menaikkan pangkat menghasilkan mengalikan perkalian dengan pangkat yang sama. Mari kita ambil aturan ini sebagai contoh:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \kanan))^(2))((\left(x-4 \kanan))^(5)) )(((\kiri(2-x \kanan))^(3))((\kiri(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]

Keputusan. Atur pembilang ke nol:

Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Semuanya jelas dengan pengganda pertama: $x=0$. Dan di sinilah masalahnya dimulai:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\kiri(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kiri(2k \kanan)\kiri(2k \kanan) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \kanan) \\ \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, persamaan $((x)^(2))-6x+9=0$ memiliki akar unik dari perkalian kedua: $x=3$. Seluruh persamaan kemudian dikuadratkan. Oleh karena itu, multiplisitas akarnya akan menjadi $2\cdot 2=4$, yang akhirnya kita tulis.

\[((\left(x-4 \kanan))^(5))=0\Panah kanan x=4\kiri(5k \kanan)\]

Tidak ada masalah dengan penyebutnya:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\kiri(2-x \kanan))^(3))=0\Panah kanan x_(1)^(*)=2\kiri(3k \kanan); \\ & ((\kiri(x-1 \kanan))^(2))=0\Panah kanan x_(2)^(*)=1\kiri(2k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Secara total, kami mendapat lima poin: dua pukulan keluar dan tiga diisi. Pembilang dan penyebut tidak memiliki akar yang sama, jadi kita tandai saja pada garis bilangan:

Kami mengatur tanda-tanda dengan mempertimbangkan keragaman dan melukiskan interval yang menarik bagi kami:

Sekali lagi satu titik terisolasi dan satu tertusuk

Karena akar dari multiplisitas, kami kembali menerima beberapa elemen "tidak standar". Ini adalah $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, bukan $x\in \left[ 0;2 \right)$, dan juga titik terisolasi $ x\di \kiri\( 3 \kanan\)$.

Menjawab. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Seperti yang Anda lihat, semuanya tidak begitu sulit. Yang utama adalah perhatian. Bagian terakhir pelajaran ini dikhususkan untuk transformasi - transformasi yang telah kita bahas di awal.

Pra-konversi

Ketidaksetaraan yang akan kita bahas di bagian ini tidak rumit. Namun, tidak seperti tugas sebelumnya, di sini Anda harus menerapkan keterampilan dari teori pecahan rasional - faktorisasi dan pengurangan ke penyebut yang sama.

Kami membahas masalah ini secara rinci di awal pelajaran hari ini. Jika Anda tidak yakin bahwa Anda mengerti tentang apa itu, saya sangat menyarankan Anda kembali dan ulangi. Karena tidak ada gunanya menjejalkan metode untuk memecahkan pertidaksamaan jika Anda "berenang" dalam konversi pecahan.

PADA pekerjaan rumah Ngomong-ngomong, akan ada banyak tugas serupa juga. Mereka ditempatkan di subbagian terpisah. Dan di sana Anda akan menemukan contoh yang sangat tidak sepele. Tapi ini akan menjadi pekerjaan rumah, tapi sekarang mari kita menganalisis beberapa ketidaksetaraan tersebut.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Keputusan. Memindahkan semuanya ke kiri:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Kami membawa ke penyebut yang sama, buka tanda kurung, berikan seperti istilah dalam pembilang:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ kanan))(x\cdot \kiri(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\kiri(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Sekarang kita memiliki pertidaksamaan rasional fraksional klasik, yang penyelesaiannya tidak lagi sulit. Saya mengusulkan untuk menyelesaikannya dengan metode alternatif - melalui metode interval:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(sejajarkan)\]

Jangan lupa kendala yang berasal dari penyebut:

Kami menandai semua angka dan batasan pada garis angka:

Semua akar memiliki multiplisitas pertama. Tidak masalah. Kami hanya menempatkan tanda dan cat di atas area yang kami butuhkan:

Ini semua. Anda dapat menuliskan jawabannya.

Menjawab. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Tentu saja, ini adalah contoh yang sangat sederhana. Jadi sekarang mari kita lihat lebih dekat masalahnya. Dan omong-omong, tingkat tugas ini cukup konsisten dengan independen dan pekerjaan kontrol tentang topik ini di kelas 8.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Keputusan. Memindahkan semuanya ke kiri:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Sebelum membawa kedua pecahan ke penyebut yang sama, kami menguraikan penyebut ini menjadi faktor. Tiba-tiba tanda kurung yang sama akan keluar? Dengan penyebut pertama, mudah:

\[((x)^(2))+8x-9=\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+9 \kanan)\]

Yang kedua sedikit lebih sulit. Jangan ragu untuk menambahkan pengali konstan ke tanda kurung tempat pecahan ditemukan. Ingat: polinomial asli memiliki koefisien bilangan bulat, jadi kemungkinan besar faktorisasi juga akan memiliki koefisien bilangan bulat (sebenarnya, selalu demikian, kecuali jika diskriminannya irasional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Seperti yang kita lihat, ada kurung umum: $\kiri(x-1\kanan)$. Kami kembali ke pertidaksamaan dan membawa kedua pecahan ke penyebut yang sama:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kiri(3x-2\kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\kiri(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+9 \kanan)\kiri(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ \end(sejajarkan)\]

Atur penyebut ke nol:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( meluruskan)\]

Tidak ada multiplisitas dan tidak ada akar yang bertepatan. Kami menandai empat angka pada garis lurus:

Kami menempatkan tanda-tanda:

Kami menuliskan jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ kanan)$.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

>>Matematika: Pertidaksamaan rasional

Pertidaksamaan rasional dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan bentuk - ekspresi rasional, mis. ekspresi aljabar, terdiri dari angka dan variabel x menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan peningkatan ke kekuatan alami. Tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, tetapi dalam matematika, huruf x paling sering lebih disukai.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional, tiga aturan yang dirumuskan di atas dalam 1. Dengan bantuan aturan ini, pertidaksamaan rasional yang diberikan biasanya dikonversi ke bentuk / (x) > 0, di mana / (x) adalah aljabar pecahan (atau polinomial). Selanjutnya, dekomposisi pembilang dan penyebut pecahan f (x) menjadi faktor bentuk x - a (jika, tentu saja, ini mungkin) dan terapkan metode interval, yang telah kami sebutkan di atas (lihat contoh 3 di sebelumnya gugus kalimat).

Contoh 1 Selesaikan pertidaksamaan (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Keputusan. Pertimbangkan ekspresi f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Ternyata 0 pada poin 1,-1,2; tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Garis numerik dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval (Gbr. 6), yang masing-masing dipertahankan oleh ekspresi f (x) tanda permanen. Untuk memverifikasi ini, kami akan melakukan empat argumen (untuk masing-masing interval ini secara terpisah).

Ambil sembarang titik x dari interval (2, Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kanan titik 1 dan di sebelah kanan titik 2. Artinya x> -1, x> 1, x> 2 (Gbr. 7) Tetapi kemudian x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, dan dengan demikian f (x) > 0 (sebagai produk dari pertidaksamaan rasional tiga bilangan positif). Jadi, pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku pada seluruh interval.

Ambil sembarang titik x dari interval (1,2). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik-1, di sebelah kanan titik 1, tetapi di sebelah kiri titik 2. Oleh karena itu, x\u003e -1, x\u003e 1, tetapi x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ambil sembarang titik x dari interval (-1,1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kiri titik 1 dan di sebelah kiri titik 2. Jadi x > -1, tetapi x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (sebagai produk dari dua bilangan negatif dan satu bilangan positif). Jadi, pada interval (-1,1) pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku.

Akhirnya, ambil sembarang titik x dari sinar terbuka (-oo, -1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kiri titik -1, di sebelah kiri titik 1, dan di sebelah kiri titik 2. Artinya x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Mari kita rangkum. Tanda-tanda ekspresi f (x) dalam interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 11. Kami tertarik pada mereka yang memenuhi pertidaksamaan f (x) > 0. Menggunakan model geometrik yang disajikan pada gambar. 11, kami menetapkan bahwa pertidaksamaan f (x) > 0 dipenuhi pada interval (-1, 1) atau pada balok terbuka
Menjawab: -1 < х < 1; х > 2.

Contoh 2 Selesaikan pertidaksamaan
Keputusan. Seperti pada contoh sebelumnya, kita menggambar informasi yang perlu dari gambar. 11, tetapi dengan dua perubahan dibandingkan dengan contoh 1. Pertama, karena kita tertarik pada nilai x yang memenuhi pertidaksamaan f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Kedua, kami juga puas dengan titik-titik di mana persamaan f (x) = 0 terpenuhi Ini adalah poin -1, 1, 2, kami menandainya pada gambar dengan lingkaran hitam dan memasukkannya ke dalam jawaban. pada gambar. 12 menunjukkan model geometris dari respons, dari mana tidak sulit untuk pindah ke catatan analitik.
Menjawab:
CONTOH 3. Selesaikan pertidaksamaan
Keputusan. Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar fx yang terdapat di ruas kiri pertidaksamaan. Di pembilang kami memiliki x 2 - x \u003d x (x - 1).

Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat x 2 - bx ~ 6 yang terdapat pada penyebut pecahan, kita cari akar-akarnya. Dari persamaan x 2 - 5x - 6 \u003d 0 kami menemukan x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Oleh karena itu, (kami menggunakan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Jadi, kita telah mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi bentuk

Pertimbangkan ekspresi:

Pembilang pecahan ini menjadi 0 pada titik 0 dan 1, dan menjadi 0 pada titik -1 dan 6. Mari kita tandai titik-titik tersebut pada garis bilangan (Gbr. 13). Garis numerik dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi lima interval, dan pada setiap interval ekspresi fx) mempertahankan tanda konstan. Berdebat dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahwa tanda-tanda ekspresi fx) dalam interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13. Kami tertarik di mana pertidaksamaan f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 jawaban: -1

Contoh 4 Selesaikan pertidaksamaan

Keputusan. Ketika memecahkan pertidaksamaan rasional, sebagai aturan, mereka lebih suka meninggalkan hanya angka 0 di sisi kanan pertidaksamaan.Oleh karena itu, kami mengubah pertidaksamaan menjadi bentuk

Lebih jauh:

Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, jika sisi kanan pertidaksamaan hanya berisi angka 0, akan lebih mudah untuk bernalar ketika pembilang dan penyebut di sisi kirinya memiliki koefisien awal yang positif. Dan apa yang kita miliki? Kita memiliki segalanya di penyebut pecahan dalam pengertian ini berurutan (koefisien utama, yaitu koefisien pada x 2, adalah 6 - angka positif), tetapi tidak semuanya dalam urutan pembilang - koefisien senior (koefisien pada x) adalah - 4 (bilangan negatif) Mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan -1 dan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi lawannya, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen

Mari kita perbesar pembilang dan penyebutnya pecahan aljabar untuk pengganda. Di pembilang, semuanya sederhana:
Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat yang terdapat pada penyebut suatu pecahan

(kami kembali menggunakan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi).
Jadi, kami telah mengurangi ketidaksetaraan yang diberikan ke bentuk

Perhatikan ekspresi

Pembilang pecahan ini berubah menjadi 0 pada titik dan penyebut - pada titik Kami mencatat titik-titik ini pada garis bilangan (Gbr. 14), yang dibagi dengan titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval, dan pada setiap interval ekspresi f (x) mempertahankan tanda konstan (tanda-tanda ini ditunjukkan pada Gambar. 14). Kami tertarik pada interval di mana pertidaksamaan fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi pertidaksamaan ekuivalen dalam bentuk f (x) > 0 atau f (x)<0,где
Dalam hal ini, jumlah faktor pembilang dan penyebut suatu pecahan bisa berapa saja. Kemudian titik a, b, c, e ditandai pada garis bilangan. dan menentukan tanda-tanda ekspresi f (x) pada interval yang dipilih. Kita perhatikan bahwa di paling kanan interval yang dipilih, pertidaksamaan f (x) > 0 terpenuhi, dan kemudian tanda-tanda ekspresi f (x) bergantian sepanjang interval (lihat Gambar 16a). Pergantian ini dengan mudah diilustrasikan dengan bantuan kurva bergelombang, yang ditarik dari kanan ke kiri dan dari atas ke bawah (Gbr. 166). Pada interval di mana kurva ini (kadang-kadang disebut kurva tanda) terletak di atas sumbu x, pertidaksamaan f (x) > 0 terpenuhi; dimana kurva ini terletak di bawah sumbu x, pertidaksamaan f(x)< 0.

Contoh 5 Selesaikan pertidaksamaan

Keputusan. Kita punya

(kedua bagian dari pertidaksamaan sebelumnya dikalikan 6).
Untuk menggunakan metode interval, tandai titik-titik pada garis bilangan (pada titik-titik ini pembilang pecahan yang terdapat di ruas kiri pertidaksamaan menghilang) dan titik-titik (pada titik-titik ini penyebut pecahan yang ditunjukkan menghilang). Biasanya, titik ditandai secara skematis, dengan mempertimbangkan urutan yang diikuti (yaitu ke kanan, yang ke kiri) dan tidak terlalu memperhatikan skala. Sudah jelas itu Situasinya lebih rumit dengan angka.Perkiraan pertama menunjukkan bahwa kedua angka sedikit lebih besar dari 2,6, dari mana tidak mungkin untuk menyimpulkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Misalkan (secara acak) bahwa Maka
Ternyata ketidaksetaraan yang benar, yang berarti tebakan kami dikonfirmasi: sebenarnya
Jadi,

Kami menandai 5 poin yang ditunjukkan dalam urutan yang ditunjukkan pada garis bilangan (Gbr. 17a). Atur tanda-tanda ekspresi
pada interval yang diperoleh: di paling kanan - tanda +, dan kemudian tanda-tanda bergantian (Gbr. 176). Mari kita menggambar kurva tanda dan memilih (dengan mengarsir) interval-interval yang memenuhi pertidaksamaan f (x) > 0 yang menarik bagi kita (Gbr. 17c). Mari kita akhirnya memperhitungkan bahwa kita sedang berbicara tentang pertidaksamaan tak tegas f (x) > 0, yang berarti bahwa kita juga tertarik pada titik-titik di mana ekspresi f (x) hilang. Ini adalah akar-akar pembilang dari pecahan f (x), yaitu. poin kami menandainya pada Gambar. 17 di lingkaran hitam (dan, tentu saja, sertakan dalam jawabannya). Sekarang inilah picnya. 17c memberikan model geometrik lengkap untuk solusi pertidaksamaan yang diberikan.