Grundlegendes Lehrbuch der mathematischen Analysis, das viele Auflagen erlebte und in mehrere übersetzt wurde Fremdsprachen, unterscheidet sich einerseits in der systematischen und rigorosen Darstellung, andererseits in einfache Sprache, ausführliche Erläuterungen u zahlreiche Beispiele Veranschaulichung der Theorie.
Der Kurs richtet sich an Studierende von Hochschulen, Pädagogik u technische Universitäten und wird seit langem in verschiedenen verwendet Bildungsinstitutionen als einer der wichtigsten Lehrmittel. Es ermöglicht dem Studenten, nicht nur den theoretischen Stoff zu beherrschen, sondern auch die wichtigsten praktischen Fähigkeiten zu erwerben. Der Kurs wird von Mathematikern als eine einzigartige Sammlung verschiedener Fakten der Analysis hoch angesehen, von denen einige in anderen Büchern auf Russisch nicht zu finden sind.
Die Erstausgabe erschien 1948.
VORWORT DES HERAUSGEBERS
Kurs in Differential- und Integralrechnung Grigory Mikhailovich Fikhtengolts ist ein herausragendes Werk der wissenschaftlichen und pädagogischen Literatur, das viele Auflagen erlebt und in eine Reihe von Fremdsprachen übersetzt wurde. Der Kurs ist in Bezug auf den abgedeckten Umfang beispiellos tatsächlicher Stoff, die Anzahl der verschiedenen Anwendungen allgemeiner Theoreme in Geometrie, Algebra, Mechanik, Physik und Technik. Viele bekannte moderne Mathematiker bemerken, dass es der Kurs von G. M. Fikhtengolz war, der ihnen beigebracht wurde Studentenjahre Geschmack und Liebe zur mathematischen Analyse gaben das erste klare Verständnis dieses Themas.
In den 50 Jahren, die seit der Veröffentlichung der ersten Ausgabe des Kurses vergangen sind, ist sein Text praktisch nicht veraltet und in Mode gekommen dieser Moment kann weiterhin von Studenten der Universitäten genutzt und verwendet werden, sowie verschiedene technische und Pädagogische Hochschulen als eines der wichtigsten Lehrbücher zur mathematischen Analyse und zum Studium der höheren Mathematik. Darüber hinaus trotz der Entstehung neuer gute Lehrbücher, die Leserschaft des Kurses von G. M. Fikhtengolts hat sich während seines Bestehens nur erweitert und umfasst jetzt Studenten aus einer Reihe von Physik- und Mathematik-Lyzeen, Studenten von fortgeschrittenen mathematischen Qualifikationskursen für Ingenieure.
Hohes Niveau Die Nachfrage nach dem Kurs erklärt sich aus seiner einzigartige Eigenschaften. Basic theoretischer Stoff Im Kurs enthalten ist ein klassischer Teil der Moderne mathematische Analyse, die sich schließlich zu Beginn des 20. Jahrhunderts herausbildete (enthält keine Maßtheorie und Allgemeine Theorie Sätze). Dieser Teil der Analyse wird in den ersten beiden Studiengängen der Universitäten gelehrt und ist (ganz oder zu großen Teilen) in den Studiengängen aller technischen und pädagogischen Hochschulen enthalten. Band I der Vorlesung behandelt die Differentialrechnung einer und mehrerer reeller Variablen und ihre Hauptanwendungen, Band II widmet sich der Theorie des Riemannschen Integrals und der Reihentheorie, Band III - den multiplen, krummlinigen und Flächenintegralen, den Stieltjes Integral, Reihen und die Fourier-Transformation.
Große Menge Beispiele und Anwendungen, in der Regel sehr interessant, von denen einige in anderer russischer Literatur nicht zu finden sind, ist eines der Hauptmerkmale des oben bereits erwähnten Kurses.
Ein weiteres wesentliches Merkmal ist die Verfügbarkeit, Detailliertheit und Gründlichkeit der Präsentation des Materials. Ein erhebliches Volumen des Kurses wird nicht zu einem Hindernis für seine Assimilation. Im Gegenteil, es ermöglicht dem Autor, den Motivationen für neue Definitionen und Problemstellungen, detaillierten und gründlichen Beweisen der Haupttheoreme und vielen anderen Aspekten, die dem Leser das Verständnis des Themas erleichtern, ausreichend Aufmerksamkeit zu schenken. Im Allgemeinen besteht das Problem, Klarheit und Strenge der Präsentation zu kombinieren (das Fehlen letzterer führt einfach zu einer Verzerrung mathematische Fakten) ist jedem Lehrer bekannt. Enorm pädagogisches Geschick Grigory Mikhailovich erlaubt ihm während des gesamten Kurses, viele Beispiele zur Lösung dieses Problems zu geben; zusammen mit anderen Umständen macht dies den Kurs zu einem unverzichtbaren Modell für einen angehenden Dozenten und zu einem Forschungsobjekt für Spezialisten in der Methodik des Unterrichts höherer Mathematik.
Ein weiteres Merkmal des Kurses ist die sehr geringe Verwendung von Elementen der Mengenlehre (einschließlich Notation). Gleichzeitig bleibt die volle Strenge der Präsentation gewahrt; Generell erleichtert dieser Ansatz wie vor 50 Jahren einem erheblichen Teil der Leserschaft die anfängliche Bewältigung des Themas.
In der neuen Ausgabe des Kurses von G. M. Fikhtengolts, die dem Leser zur Kenntnis gebracht wird, wurden Tippfehler, die in einer Reihe früherer Ausgaben gefunden wurden, beseitigt. Darüber hinaus ist die Veröffentlichung mit kurzen Kommentaren zu den (sehr wenigen) Stellen im Text versehen, bei deren Arbeit der Leser gewisse Unannehmlichkeiten haben kann; Notizen werden insbesondere in Fällen gemacht, in denen der vom Autor verwendete Begriff oder die Redewendung in irgendeiner Weise von den derzeit gebräuchlichen abweicht. Die Verantwortung für den Inhalt der Hinweise liegt ausschließlich beim Herausgeber der Publikation.
Der Herausgeber ist Professor B. M. Makarov zutiefst dankbar, der die Texte aller Notizen gelesen und eine Reihe wertvoller Meinungen geäußert hat. Mein Dank gilt auch allen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern der Abteilung für Mathematische Analysis der Fakultät für Mathematik und Mechanik der St. staatliche Universität die mit dem Autor dieser Zeilen verschiedene Fragen im Zusammenhang mit den Texten früherer Ausgaben und der Idee einer neuen Ausgabe des Kurses diskutierten.
Die Redaktion dankt im Voraus allen Lesern, die mit ihren Kommentaren die Qualität der Publikation weiter verbessern wollen.
A. A. Florinsky
Fichtengolts G.M. (2003) Kurs der Differential- und Integralrechnung. T.1.
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GM Fikhtengoltz, Kurs der Differential- und Integralrechnung (Band 2)
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Achtes Kapitel. ABLEITFUNKTION (UNBESTIMMTES INTEGRAL)
§ 1. Unbestimmtes Integral und die einfachsten Methoden seiner Berechnung
263. Konzept Stammfunktion(und unbestimmtes Integral)
264. Das Integral und das Gebietsproblem
265. Tabelle der Basisintegrale
266. Die einfachsten Integrationsregeln
267. Beispiele
268. Integration durch Variablenänderung
269. Beispiele
270. Teilweise Integration
271. Beispiele
§ 2. Integration rationale Ausdrücke
272. Erklärung des Problems der Integration in Finale Form
273. einfache Brüche und deren Integration
274. Verfall richtige Brüche in einfach
275. Bestimmung der Koeffizienten. Integration echter Brüche
276. Trennung des rationalen Teils des Integrals
277. Beispiele
§ 3. Integration einiger Ausdrücke, die Radikale enthalten
278. Integration von Ausdrücken
279. Integration binomialer Differentiale. Beispiele
280. Reduktionsformeln
281. Integration von Ausdrücken. Eulersche Substitutionen
282. Geometrische Behandlung von Euler-Substitutionen
283. Beispiele
284. Andere Berechnungsmethoden
285. Beispiele
§ 4. Integration von Ausdrücken, die trigonometrische und Exponentialfunktionen enthalten
286. Integration von Differentialen R(sin x, cos x)
287. Integration von Ausdrücken
288. Beispiele
289. Überprüfung anderer Fälle
§ 5. Elliptische Integrale
290. Allgemeine Bemerkungen und Definitionen
291. Hilfstransformationen
292. Reduktion auf kanonische Form
293. Elliptische Integrale der 1., 2. und 3. Art
KAPITEL NEUN. DEFINITION INTEGRAL
§ 1. Definition und Bedingungen für die Existenz eines bestimmten Integrals
294. Ein weiterer Ansatz für das Gebietsproblem
295. Definition
296. Darboux-Summen
297. Die Bedingung für die Existenz eines Integrals
298. Klassen integrierbarer Funktionen
299. Eigenschaften integrierbarer Funktionen
300. Beispiele und Ergänzungen
301. Untere und obere Integrale als Grenzen
§ 2. Eigenschaften bestimmter Integrale
302. Integral über ein orientiertes Intervall
303. Eigenschaften, die durch Gleichheiten ausgedrückt werden
304. Durch Ungleichungen ausgedrückte Eigenschaften PO
305. Bestimmtes Integral als Funktion der Obergrenze
306. Zweiter Mittelwertsatz
§ 3. Berechnung und Umformung bestimmter Integrale
307 Berechnung mit ganzzahlige Summen
308. Grundformel der Integralrechnung
309. Beispiele
310. Eine weitere Schlussfolgerung Grundformel
311. Reduktionsformeln
312. Beispiele
313. Die Formel für die Veränderung der Variablen in einem bestimmten Integral
314. Beispiele
315. Gauß-Formel. Landen verwandeln
316. Eine andere Ableitung der Formel für die Änderung der Variablen
§ 4. Einige Anwendungen bestimmter Integrale
317. Wallis-Formel
318. Taylor-Formel mit einem zusätzlichen Term
319. Transzendenz der Zahl e
320. Legendre Polynome
321. Integrale Ungleichungen
§ 5. Ungefähre Berechnung von Integralen
322. Darstellung des Problems. Formeln für Rechtecke und Trapeze
323 Parabolische Interpolation
324. Teilen des Integrationsintervalls
325. Zusatzterm der Formel der Rechtecke
326. Zusatzterm der Trapezformel
327. Zusätzlicher Term der Simpson-Formel
328. Beispiele
KAPITEL ZEHN. ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG AUF GEOMETRIE, MECHANIK UND PHYSIK
§ 1. Kurvenlänge
329 Berechnung der Länge einer Kurve
330. Ein weiterer Ansatz zur Definition des Begriffs der Länge einer Kurve und ihrer Berechnung
331. Beispiele
332. natürliche gleichung flache Kurve
333. Beispiele
334. Bogenlänge einer Raumkurve
§ 2. Flächen und Volumen
335. Definition des Flächenbegriffs. Additivitätseigenschaft
336. Fläche als Grenze
337. Klassen von quadrierenden Regionen
338. Flächenausdruck durch Integral
339. Beispiele
340. Definition des Volumenbegriffs. Seine Eigenschaften
341. Klassen von Körpern mit Volumen
342. Ausdruck des Volumens durch ein Integral
343. Beispiele
344. Rotationsfläche
345. Beispiele
346. Platz zylindrische Oberfläche
347. Beispiele
§ 3. Berechnung der mechanischen u physikalische Quantitäten
348. Anwendungsschema eines bestimmten Integrals
349. Bestimmung der statischen Momente und des Schwerpunkts einer Kurve
350. Beispiele
351. Finden von statischen Momenten und Schwerpunkt flache Figur
352. Beispiele
353. mechanische Arbeit
354. Beispiele
355. Die Arbeit der Reibungskraft in einem flachen Absatz
356. Probleme zur Summation infinitesimaler Elemente
§ 4. Die einfachsten Differentialgleichungen
357. Grundbegriffe. Gleichungen erster Ordnung
358. Gleichungen ersten Grades in Bezug auf die Ableitung. Trennung von Variablen
359. Aufgaben
360. Zusammenstellungsnotizen Differentialgleichung
361. Aufgaben
KAPITEL ELF. UNENDLICHE REIHEN MIT STÄNDIGEN MITGLIEDERN
§ 1. Einleitung
362. Grundbegriffe
363. Beispiele
364. Fundamentale Theoreme
§ 2. Konvergenz positiver Reihen
365. Bedingung für die Konvergenz einer positiven Reihe
366. Reihenvergleichstheoreme
367. Beispiele
368. Zeichen von Cauchy und D'Alembert
369. Zeichen von Raabe
370. Beispiele
371. Zeichen von Kummer
372. Gauss-Zeichen
373. Integrales Zeichen von Maclaurin-Cauchy
374. Zeichen von Ermakov
375. Ergänzungen
§ 3. Konvergenz beliebiger Reihen
376. Allgemeine Bedingung für die Konvergenz einer Reihe
377. Absolute Konvergenz
378. Beispiele
379. Potenzreihe, ihr Konvergenzintervall
380. Ausdruck des Konvergenzradius in Form von Koeffizienten
381. abwechselnde Serie
382. Beispiele
383. Abel-Transformation
384. Zeichen von Abel und Dirichlet
385. Beispiele
§ 4. Eigenschaften konvergenter Reihen
386. assoziative Eigenschaft
387. Kommutativgesetz absolut konvergenter Reihen
388. Der Fall nichtabsolut konvergenter Reihen
389. Multiplikation von Zeilen
390. Beispiele
391. Allgemeiner Satz aus der Grenzentheorie
392. Weitere Sätze über die Multiplikation von Reihen
§ 5. Wiederholte und doppelte Reihen
393. Wiederholte Reihen
394. Doppelreihen
395. Beispiele
396 Potenzreihe mit zwei Variablen; Region der Konvergenz
397. Beispiele
398. Mehrere Reihen
§ 6. Unendliche Produkte
399. Grundbegriffe
400. Beispiele
401. Grundlegende Theoreme. Beziehung zu Zeilen
402. Beispiele
§ 7. Erweiterungen elementarer Funktionen
403. Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe; Taylor-Reihe
404. Erweiterung in einer Reihe exponentieller trigonometrischer Grundfunktionen usw.
405. Logarithmische Reihe
406. Stirling-Formel
407. Binomialreihe
408. Zerlegung von Sinus und Cosinus in unendliche Produkte
§ 8. Näherungsrechnungen mit Hilfe von Reihen. Serienumwandlung
409. Allgemeine Bemerkungen
410. Berechnung der Anzahl von tt
411. Berechnung von Logarithmen
412. Berechnung von Wurzeln
413. Euler-Reihentransformation
414. Beispiele
415. Kummers Verwandlung
416. Markov-Transformation
§ 9. Summierung divergierender Reihen
417. Einführung
418. Potenzreihenmethode
419. Satz von Tauber
420. Methode der arithmetischen Mittelwerte
421. Beziehung zwischen Poisson-Abel- und Cesaro-Methoden
422. Satz von Hardy-Landau
423. Anwendung der verallgemeinerten Summierung auf die Multiplikation von Reihen
424. Andere Methoden der verallgemeinerten Summierung von Reihen
425. Beispiele
426. Allgemeine Klasse lineare reguläre Summationsmethoden
KAPITEL ZWÖLF. FUNKTIONELLE ABLÄUFE UND REIHEN
§ 1. Gleichmäßige Konvergenz
427. Einleitende Bemerkungen
428. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz
429. Bedingung für gleichmäßige Konvergenz
430. Kriterien für einheitliche Konvergenz von Reihen
§ 2. Funktionelle Eigenschaften Reihensummen
431. Kontinuität der Summe einer Reihe
432. Eine Bemerkung zur quasi-einheitlichen Konvergenz
433. Übergang zum Limit Laufzeit für Laufzeit
434. Termweise Integration von Serien
435. Begriffsdifferenzierung von Serien
436. Sichtweise der Sequenz
437. Stetigkeit der Summe einer Potenzreihe
438. Integration und Differentiation von Potenzreihen
§ 3. Bewerbungen
439. Beispiele über die Stetigkeit der Summe einer Reihe und über den gliedweisen Übergang zum Grenzwert
440. Beispiele für die Term-für-Term-Integration von Reihen
441. Beispiele für die begriffliche Differenzierung von Reihen
442. Methode sukzessive Annäherungen in der Theorie der impliziten Funktionen
443. Analytische Definition trigonometrische Funktionen
444. Ein Beispiel einer stetigen Funktion ohne Ableitung
§ 4. Weitere Informationenüber Potenzreihen
445. Aktionen auf Potenzreihen
446. Ersetzen einer Reihe in eine Reihe
447. Beispiele
448. Teilung der Potenzreihen
449. Bernoulli-Zahlen und Erweiterungen, in denen sie vorkommen
450. Lösen von Gleichungen in Reihen
451. Potenzreiheninversion
452. Lagrange-Reihe
§ 5. Elementare Funktionen komplexe Variable
453. Komplexe Zahlen
454. Komplexe Variante und ihre Grenze
455. Funktionen einer komplexen Variablen
456. Power-Reihe
457. Exponentialfunktion
458. Logarithmische Funktion
459. Trigonometrische Funktionen und ihre Rückseite
460. Power-Funktion
461. Beispiele
§ 6. Einhüllende und asymptotische Reihen. Euler-Maclaurin-Formel
462. Beispiele
463. Definitionen
464. Grundlegende Eigenschaften asymptotischer Entwicklungen
465. Ableitung der Euler-Maclaurin-Formel
466. Studium eines zusätzlichen Begriffs
467. Beispiele für Berechnungen mit der Euler-Maclaurin-Formel
468. Eine andere Form der Euler-Maclaurin-Formel
469. Sterlings Formel und Reihe
KAPITEL DREIZEHN. Unechte Integrale
§ 1. Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen
470. Definition von Integralen mit unendlichen Grenzen
471. Anwendung der Grundformel der Integralrechnung
472. Beispiele
473. Analogie mit Reihen. Die einfachsten Sätze
474. Konvergenz des Integrals im Fall positive Funktion
475. Konvergenz des Integrals im allgemeinen Fall
476. Zeichen von Abel und Dirichlet
477. Reduzieren eines uneigentlichen Integrals auf eine unendliche Reihe
478. Beispiele
§ 2. Uneigentliche Integrale unbeschränkter Funktionen
479. Definition von Integralen unbeschränkter Funktionen
480. Bemerkung zu singuläre Punkte
481. Anwendung der Grundformel der Integralrechnung Beispiele
482. Bedingungen und Zeichen der Existenz eines Integrals
483. Beispiele
484. Hauptwerte uneigentlicher Integrale
485. Eine Bemerkung über verallgemeinerte Werte divergierender Integrale
§ 3. Eigenschaften und Transformation unechter Integrale
486. Die einfachsten Eigenschaften
487. Mittelwertsätze
488 Partielle Integration bei uneigentlichen Integralen
489. Beispiele
490. Änderung der Variablen in unechte Integrale
491. Beispiele
§ 4. Spezielle Methoden zur Berechnung uneigentlicher Integrale
492. Einige bemerkenswerte Integrale
493. Berechnung unechter Integrale mit Hilfe von Integralsummen. Der Fall von Integralen mit endlichen Grenzen
494. Der Fall von Integralen mit endlose Grenze
495 Frullani-Integrale
496. Integrale von rationale Funktionen zwischen endlosen Grenzen
497. Gemischte Beispiele und Übungen
§ 5. Approximative Berechnung uneigentlicher Integrale
498. Integrale mit endlichen Grenzen; Hervorhebungsfunktionen
499. Beispiele
500. Bemerkung zur approximativen Berechnung von Eigenintegralen
501. Ungefähre Berechnung uneigentlicher Integrale mit unendlichem Grenzwert
502. Verwendung asymptotischer Erweiterungen
KAPITEL VIERZEHN. INTEGRALE ABHÄNGIG VON EINEM PARAMETER
§ ein. elementare Theorie
503. Darstellung des Problems
504. Einheitliches Streben nach Begrenzungsfunktion
505. Permutation von zwei Passagen bis zum Limit
506. Übergang begrenzen unter dem Integralzeichen
507. Differenzierung unter dem integralen Zeichen
508. Integration unter dem Integralzeichen
509. Der Fall, wenn und die Grenzen des Integrals von dem Parameter abhängen
510. Einführung eines nur von x abhängigen Multiplikators
511. Beispiele
512. Gaußscher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
§ 2. Gleichmäßige Konvergenz von Integralen
513. Definition der gleichmäßigen Konvergenz von Integralen
514. Bedingung für gleichmäßige Konvergenz. Beziehung zu Zeilen
515. Ausreichende Zeichen gleichmäßige Konvergenz
516. Ein weiterer Fall gleichmäßiger Konvergenz
517. Beispiele
§ 3. Verwendung der gleichmäßigen Konvergenz von Integralen
518. Überschreiten der Grenze unter dem Integralzeichen
519. Beispiele
520. Stetigkeit und Differenzierbarkeit eines Integrals bezüglich eines Parameters
521. Integration über einen Parameter
522. Anwendung auf die Berechnung gewisser Integrale
523. Beispiele für Differenzierung unter dem Integralzeichen
524. Beispiele für die Integration unter dem Integralzeichen
§ 4. Ergänzungen
525. Arzels Lemma
526. Überschreiten der Grenze unter dem Integralzeichen
527. Differenzierung unter dem integralen Zeichen
528. Integration unter dem Integralzeichen
§ 5. Eulersche Integrale
529. Euler-Integral erster Art
530. Euler-Integral zweiter Art
531. Die einfachsten Eigenschaften der Funktion Γ
532. Eindeutige Definition Funktion Γ durch ihre Eigenschaften
533. Sonstiges funktionales Merkmal G-Funktionen
534. Beispiele
535. Die logarithmische Ableitung der Funktion Г
536. Das Multiplikationstheorem für die Funktion Г
537. Einige Erweiterungen zu Serien und Produkten
538. Beispiele und Ergänzungen
539. Berechnung gewisser bestimmter Integrale
540. Stirling-Formel 9
541 Berechnung der Euler-Konstante
542. Kompilieren einer Tabelle Dezimallogarithmen G-Funktionen
KAPITEL FÜNFZEHN. KURVILINEARE INTEGRALE. Stieltjes-Integral
§ 1. Krummlineare Integrale erster Art 11
543. Definition eines krummlinigen Integrals des ersten Typs 11
544. Reduktion auf das Gewöhnliche bestimmtes Integral 13
545. Beispiele 15
§ 2. Krummlineare Integrale zweiter Art 20
546. Definition der krummlinigen Integrale des zweiten Typs 20
547. Existenz und Berechnung eines krummlinigen Integrals zweiter Art
548. Der Fall eines geschlossenen Stromkreises. Ebenenorientierung 25
549. Beispiele 27
550. Approximation unter Verwendung eines Integrals über einer gestrichelten Linie 30
551 Berechnung von Flächen mit krummlinigen Integralen 32
552. Beispiele 35
553. Beziehung zwischen krummlinigen Integralen beider Typen 38
554. Physikalische Probleme 40 § 3. Bedingungen für die Unabhängigkeit des krummlinigen Integrals vom Weg 45
555. Problemstellung, Zusammenhang mit der Frage nach dem genauen Differential 45
556. Herleitung eines vom Pfad unabhängigen Integrals 46
557. Berechnung des krummlinigen Integrals durch die Stammfunktion 49
558. Test auf ein exaktes Differential und Finden der Stammfunktion im Fall eines rechteckigen Bereichs
559. Verallgemeinerung auf den Fall einer beliebigen Region 52
560. Endgültige Ergebnisse 55
561 Integrale mit geschlossener Schleife 56
562. Der Fall einer nicht einfach zusammenhängenden Region oder das Vorhandensein singulärer Punkte 57
563. Gaußsches Integral 62
564. Dreidimensionaler Fall 64
565. Beispiele 67
566. Anhang zu körperliche Aufgaben 71
§ 4. Funktionen mit begrenzter Variation 74
567. Funktionsdefinition mit begrenzter Änderung 74
568. Klassen von Funktionen mit begrenzter Variation 76
569. Eigenschaften von Funktionen mit begrenzter Variation 79
570. Kriterien für Funktionen mit begrenzter Änderung 82
571. Kontinuierliche Funktionen mit begrenzter Änderung 84
572 Korrigierbare Kurven 87
§ 5. Das Stieltjes-Integral 89
573. Definition des Stieltjes-Integrals 89
574. Allgemeine Geschäftsbedingungen Existenz des Stieltjes-Integrals 91
575. Klassen von Fällen der Existenz des Stieltjes-Integrals 92
576 Eigenschaften des Stieltjes-Integrals 95
577. Teilweise Integration 97
578 Reduktion des Stieltjes-Integrals auf das Riemann-Integral 98
579 Berechnung von Stieltjes-Integralen 100
580. Beispiele 104
581. Geometrische Darstellung des Stieltjes-Integrals 111
582. Mean Theorem, Schätzungen 112
583 Grenzübertritt unter dem Vorzeichen des Stieltjes-Integrals 114
584. Beispiele und Ergänzungen 115
585. Reduktion eines krummlinigen Integrals zweiter Art auf ein Stieltjes-Integral
KAPITEL SECHZEHN. DOPPELTE INTEGRALE
§ 1. Definition und elementare Eigenschaften des Doppelintegrals 122
586. Das Problem des Volumens eines zylindrischen Stabes 122
587. Reduktion eines doppelten Integrals zu einem iterierten 123
588. Definition des Doppelintegrals 125
589. Bedingungen für die Existenz eines doppelten Integrals 127
590 Klassen integrierbarer Funktionen 128
591. Untere und obere Integrale als Grenzen 130
592. Eigenschaften integrierbarer Funktionen und Doppelintegrale 131
593. Integral als additive Funktion einer Region; regionale Differenzierung
§ 2. Berechnung des Doppelintegrals 137
594. Reduktion eines doppelten Integrals auf ein iteriertes im Fall einer rechteckigen Region
595. Beispiele 141
596. Reduktion eines doppelten Integrals auf ein iteriertes im Fall einer krummlinigen Region
597. Beispiele 152
598. Mechanische Anwendungen 165
599. Beispiele 167
§ 3. Formel 174 von Green
600. Ableitung von Greens Formel 174
601. Anwendung der Formel von Green auf das Studium krummliniger Integrale
602. Beispiele und Ergänzungen 179
§ 4. Variablenwechsel im Doppelintegral 182
603. Flache Gebiete umwandeln 182
604. Beispiele 184
605. Flächenausdruck in krummlinigen Koordinaten 189
606. Zusätzliche Bemerkungen 192
607. Geometrische Ableitung 194
608. Beispiele 196
609 Variablenwechsel in doppelten Integralen 204
610. Analogie mit einfaches Integral. Integraler überorientierter Bereich
611. Beispiele 207
§ 5. Uneigentliche Doppelintegrale 214
612. Integrale ausgedehnt auf eine unbegrenzte Region 214
613. Der Satz über die absolute Konvergenz eines uneigentlichen Doppelintegrals
614. Reduktion eines doppelten Integrals zu einem iterierten 219
615. Integrale unbeschränkter Funktionen 221
616 Variablenwechsel in uneigentlichen Integralen 223
617. Beispiele 225
Siebzehntes Kapitel. OBERFLÄCHE. OBERFLÄCHENINTEGRAL
§ 1. Zweiseitige Flächen 241
618. Oberflächenseite 241
617. Beispiele 243
620. Orientierung von Flächen und Raum 244
621. Auswahl eines Vorzeichens in Formeln für Richtungskosinusse der Normalen 246
622. Der Fall einer stückweise glatten Oberfläche 247
§ 2. Fläche einer gekrümmten Fläche 248
623. Schwartz-Beispiel 248
624. Bestimmung der Fläche einer gekrümmten Oberfläche 251
625. Bemerkung 252
626. Existenz der Oberfläche und ihre Berechnung 253
627. Annäherung durch eingeschriebene Polyederflächen 258
628. Spezialfälle Bestimmung der Fläche 259
629. Beispiele 260
§ 3. Flächenintegrale erster Art 274
630. Definition eines Oberflächenintegrals des ersten Typs 274
631. Reduktion auf das Gewöhnliche Doppelintegral 275
632. Mechanische Anwendungen von Flächenintegralen erster Art 277
633. Beispiele 279
§ 4. Flächenintegrale zweiter Art 285
634. Definition eines Flächenintegrals zweiter Art 285
635. Die einfachsten Sonderfälle 287
636. Allgemeiner Fall 290
637. Beweisdetail 292
638. Ausdruck des Körpervolumens Oberflächenintegral 293
639. Stokes-Formel 297
640. Beispiele 299
641. Anwendung der Stokes-Formel auf das Studium krummliniger Integrale im Raum
KAPITEL ACHTZEHN. DREIFACHE UND MEHRFACHE INTEGRALE
§ 1. Das dreifache Integral und seine Berechnung 308
642. Das Problem der Berechnung der Masse eines Körpers 308
643. Dreifaches Integral und Bedingungen für seine Existenz 309
644. Eigenschaften integrierbarer Funktionen und Tripelintegrale 310
645. Auswertung des zu einem Parallelepiped erweiterten Dreifachintegrals
646. Berechnung des dreifachen Integrals über eine beliebige Fläche 314
647 Uneigentliche Dreifachintegrale 315
648. Beispiele 316
649. Mechanische Anwendungen 323
650. Beispiele 325
§ 2. Gauß-Ostrogradsky-Formel 333
651. Ostrogradskys Formel 333
652. Anwendung der Ostrogradsky-Formel auf die Untersuchung von Oberflächenintegralen
653 Gauss-Integral 336
654. Beispiele 338
§ 3. Variablenwechsel in Dreifachintegralen 342
655. Transformation von Räumen und krummlinigen Koordinaten 342
656. Beispiele 343
657 Volumen in krummlinigen Koordinaten ausdrücken 345
658. Zusätzliche Bemerkungen 348
659. Geometrische Ableitung 349
660. Beispiele 350
661 Variablenwechsel in Dreifachintegralen 358
662. Beispiele 359
663. Anziehung von der Seite des Körpers und das Potenzial für innerer Punkt 364
§ 4. Elemente der Vektoranalyse 366
664. Skalare und Vektoren 366
665. Skalare und Vektorfelder 367
666. Steigung 368
667 Vektorströmung durch eine Fläche 370
668. Die Formel von Ostrogradsky. Abweichung 371
669. Vektorzirkulation. Stokes-Formel. Wirbelwind 372
670. Spezialgebiete 374
671. Umgekehrtes Problem Vektoranalyse 378
672. Anwendungen 378
§ 5. Mehrfachintegrale 384
673. Das Problem der Anziehung und des Potenzials zweier Körper 384
674. Volumen eines n-dimensionalen Körpers, n-faches Integral 386
675 Änderung der Variablen im n-fachen Integral 388
676. Beispiele 391
KAPITEL NEUNZEHN. DIE FOURIERREIHE
§ 1 Einführung 414
677 Periodische Größen und harmonische Analyse 414
678. Bestimmung von Koeffizienten nach der Euler-Fourier-Methode 417
679. Orthogonale Funktionensysteme 419
680. Trigonometrische Interpolation 424
§ 2. Fourierentwicklung von Funktionen 427
681. Fragestellung. Dirichlet-Integral 427
682. Erstes Hauptlemma 429
683. Das Prinzip der Lokalisierung 432
684. Dini- und Lipschitz-Tests für die Konvergenz der Fourier-Reihe 433
685. Zweites Hauptlemma 436
686. Zeichen von Dirichlet-Jordanien 438
687. Fall nicht periodische Funktion 440
688. Der Fall eines willkürlichen Intervalls 441
689. Erweiterungen nur in Cosinus oder nur in Sinus 442
690. Beispiele 446
691. Zerlegung von In T(x) 461
§ 3. Ergänzungen 463
692. Reihe mit fallenden Koeffizienten 463
693. Summierung trigonometrischer Reihen mit analytische Funktionen komplexe Variable
694. Beispiele 472
695. komplexe Form Fourier-Reihe 477
696. Konjugierte Reihe 480
697 Multiple Fourier-Reihe 483
§ 4. Das Wesen der Konvergenz der Fourier-Reihe 484
698. Einige Zusätze zu den Hauptlemmata 484
699. Tests auf gleichmäßige Konvergenz der Fourier-Reihe 487
700 Verhalten der Fourier-Reihe nahe der Unstetigkeitsstelle; besonderer Fall 490
701. Der Fall einer willkürlichen Funktion 495
702. Singularitäten von Fourier-Reihen; Vorbemerkungen 497
703. Konstruktion von Singularitäten 500
§ 5. Eine Schätzung des Rests in Abhängigkeit von den Differentialeigenschaften einer Funktion 502
704. Zusammenhang zwischen den Fourier-Koeffizienten einer Funktion und ihren Ableitungen 502
705. Wertschätzung Teilbetrag bei eingeschränkter Funktion 503
706. Schätzung des Restes bei einer Funktion mit begrenzt k-th Derivat 505
707. Der Fall einer Funktion mit k-te Ableitung mit begrenztem Wechsel
708. Einfluss von Diskontinuitäten einer Funktion und ihrer Ableitungen auf die Kleinheitsordnung der Fourier-Koeffizienten
709. Der Fall einer im Intervall 514 definierten Funktion
710. Verfahren zum Extrahieren von Merkmalen 516
§ 6. Fourier-Integral 524
711. Das Fourier-Integral als Grenzfall der Fourier-Reihe 524
712. Vorbemerkungen 526
713. Ausreichende Zeichen 527
714. Änderung der Grundannahme 529
715. Verschiedene Arten Fourierformeln 532
716. Fourier-Transformation 534
717. Einige Eigenschaften von Fourier-Transformationen 537
718. Beispiele und Ergänzungen 538
719. Der Fall einer Funktion zweier Variablen 545
§ 7 Anlagen 547
720. Ausdruck der exzentrischen Anomalie eines Planeten in Bezug auf seine mittlere Anomalie
721. Das Problem der Schwingung einer Saite 549
722. Das Problem der Wärmeausbreitung in einem endlichen Stab 553
723. Der Fall eines unendlichen Stabes 557
724. Änderung der Grenzbedingungen 559
725. Wärmeverteilung in einer runden Platte 561
726 Praktische Harmonische Analyse Schema für zwölf Ordinaten
727. Beispiele 565
728. Schema für vierundzwanzig Ordinaten 569
729. Beispiele 570
730. Vergleich von ungefähren und genaue Werte Fourier-Koeffizienten
KAPITEL ZWANZIG. FOURIER-REIHE (Fortsetzung)
§ 1. Operationen auf Fourier-Reihen. Vollständigkeit und Geschlossenheit 574
731. Termweise Integration der Fourier-Reihe 574
732. Begriffsdifferenzierung der Fourier-Reihe 577
733. Vollständigkeit trigonometrisches System 578
734. Einheitliche Approximation von Funktionen. Sätze von Weierstraß 580
735. Approximation von Funktionen im Durchschnitt. Extremale Eigenschaften von Segmenten der Fourier-Reihe
736. Geschlossenheit des trigonometrischen Systems. Satz von Ljapunow 586
737. Verallgemeinerte Abschlussgleichung 589
738. Multiplikation der Fourier-Reihe 592
739. Einige Anwendungen der Schließungsgleichung 593
§ 2. Anwendung verallgemeinerter Summationsverfahren auf die Fourier-Reihe 599
740. Hauptlemma 599
741. Poisson-Abel-Summierung der Fourier-Reihe 601
742. Lösung des Dirichlet-Problems für einen Kreis 605
743. Summation von Fourier-Reihen nach der Ces'aro-Fejér-Methode 607
744. Einige Anwendungen der verallgemeinerten Summation von Fourier-Reihen 609
745. Begriffsdifferenzierung der Fourier-Reihe 611
§ 3. Einzigartigkeit trigonometrische Erweiterung Funktionen 613
746. Hilfssätze über verallgemeinerte Ableitungen 613
747. Riemannsche Summationsmethode trigonometrischer Reihen 616
748. Lemma über die Koeffizienten einer konvergenten Reihe 620
749. Eindeutigkeit der trigonometrischen Entwicklung 621
750. Schlusssätze über Fourier-Reihen 623
751. Verallgemeinerung 626
ZUSATZ. ALLGEMEINER STANDPUNKT ZUR GRENZE
752. Verschiedene Arten von Grenzen, denen man in der Analyse begegnet 631
753. Bestellte Sätze (richtig) 632
754. Geordnete Mengen (in einem verallgemeinerten Sinne) 633
755. Eine geordnete Variable und ihre Grenze 636
756. Beispiele 637
757. Eine Bemerkung über den Grenzwert einer Funktion 639
758. Erweiterung der Theorie der Grenzen 640
759. Gleichgeordnete Variablen 643
760 Bestellung mit numerischem Parameter 644
761. Reduktion auf Variante 645
762. Größte und kleinste Grenzen einer geordneten Variablen 647
