Solusi persamaan logaritma. Bagian 1.
Persamaan logaritma disebut persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung di bawah tanda logaritma (khususnya, di dasar logaritma).
Protozoa persamaan logaritma seperti:
Memecahkan persamaan logaritmik apa pun melibatkan transisi dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma. Namun, tindakan ini memperluas cakupan nilai yang diizinkan persamaan dan dapat menyebabkan penampilan akar asing. Untuk menghindari munculnya akar asing Anda dapat melakukannya dengan salah satu dari tiga cara:
1. Buat transisi yang setara dari persamaan asli ke sistem termasuk
tergantung pada ketidaksetaraan atau lebih mudah.
Jika persamaan berisi yang tidak diketahui di dasar logaritma:
lalu kita masuk ke sistem:
2. Temukan secara terpisah kisaran nilai persamaan yang dapat diterima, kemudian selesaikan persamaan dan periksa apakah solusi yang ditemukan memenuhi persamaan.
3. Selesaikan persamaan, dan kemudian lakukan pemeriksaan: substitusikan solusi yang ditemukan ke dalam persamaan asli, dan periksa apakah kita mendapatkan persamaan yang benar.
Persamaan logaritmik dari tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya selalu direduksi menjadi persamaan logaritmik yang paling sederhana.
Semua persamaan logaritma dapat dibagi menjadi empat jenis:
1 . Persamaan yang mengandung logaritma pangkat satu saja. Dengan bantuan transformasi dan penggunaan, mereka direduksi menjadi bentuk
Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya:
Samakan ekspresi di bawah tanda logaritma:
Mari kita periksa apakah akar persamaan kita memenuhi:
Ya, itu memuaskan.
Jawabannya: x=5
2 . Persamaan yang mengandung logaritma pangkat selain 1 (khususnya, dalam penyebut pecahan). Persamaan ini diselesaikan menggunakan memperkenalkan perubahan variabel.
Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya:
Mari kita cari persamaan ODZ:
Persamaan tersebut mengandung logaritma kuadrat, sehingga diselesaikan menggunakan perubahan variabel.
Penting! Sebelum memperkenalkan pengganti, Anda perlu "menarik" logaritma yang merupakan bagian dari persamaan menjadi "batu bata" menggunakan sifat-sifat logaritma.
Saat "menarik" logaritma, penting untuk menerapkan sifat-sifat logaritma dengan sangat hati-hati:
Selain itu, ada satu tempat yang lebih halus di sini, dan untuk menghindari kesalahan umum, kami akan menggunakan kesetaraan perantara: kami menulis derajat logaritma dalam bentuk ini:
Juga,
Kami mengganti ekspresi yang diperoleh ke dalam persamaan asli. Kita mendapatkan:
Sekarang kita melihat bahwa yang tidak diketahui terkandung dalam persamaan sebagai bagian dari . Kami memperkenalkan penggantinya: . Karena dapat mengambil nilai riil apa pun, kami tidak memberlakukan batasan apa pun pada variabel.
Video terakhir dari serangkaian pelajaran panjang tentang penyelesaian persamaan logaritmik. Kali ini kami akan bekerja terutama dengan ODZ dari logaritma - karena akuntansi yang salah (atau bahkan mengabaikan) domain definisi, sebagian besar kesalahan terjadi saat menyelesaikan masalah seperti itu.
Dalam video tutorial singkat ini, kami akan menganalisis penerapan rumus penjumlahan dan pengurangan untuk logaritma, serta menangani persamaan rasional pecahan, yang juga banyak dialami oleh siswa.
Apa yang akan dibahas? rumus utama, yang ingin saya tangani, terlihat seperti ini:
log a (f g ) = log a f + log a g
Ini adalah transisi standar dari produk ke jumlah logaritma dan sebaliknya. Anda mungkin mengetahui rumus ini sejak awal mempelajari logaritma. Namun, ada satu halangan di sini.
Selama variabel a , f dan g adalah bilangan biasa, tidak ada masalah. rumus ini bekerja dengan baik.
Namun, segera setelah fungsi muncul alih-alih f dan g, masalah memperluas atau mempersempit domain definisi muncul, tergantung pada cara mana untuk mengkonversi. Nilailah sendiri: dalam logaritma yang ditulis di sebelah kiri, domain definisi adalah sebagai berikut:
fg > 0
Tetapi dalam jumlah yang tertulis di sebelah kanan, domain definisi sudah agak berbeda:
f > 0
g > 0
Serangkaian persyaratan ini lebih ketat daripada yang asli. Dalam kasus pertama, kami akan puas dengan opsi f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 sedang dieksekusi).
Dengan demikian, ketika berpindah dari konstruksi kiri ke konstruksi kanan, domain definisi menjadi lebih sempit. Jika pada awalnya kami memiliki jumlah, dan kami menulis ulang sebagai produk, maka domain definisi diperluas.
Dengan kata lain, dalam kasus pertama, kita bisa kehilangan akar, dan dalam kasus kedua, kita bisa mendapatkan tambahan. Ini harus diperhitungkan ketika memecahkan persamaan logaritmik nyata.
Jadi tugas pertama adalah:
[Keterangan gambar] Di sebelah kiri kita melihat jumlah logaritma di basis yang sama. Oleh karena itu, logaritma ini dapat ditambahkan:
[Keterangan gambar] Seperti yang Anda lihat, di sebelah kanan kami telah mengganti nol dengan rumus:
a = log b b a
Mari kita atur ulang persamaan kita sedikit lagi:
log 4 (x 5) 2 = log 4 1
Di hadapan kita adalah bentuk kanonik dari persamaan logaritma, kita dapat mencoret tanda log dan menyamakan argumennya:
(x 5) 2 = 1
|x−5| = 1
Perhatikan: dari mana modul itu berasal? Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa akar kuadrat persis sama dengan modulus:
[Keterangan gambar] Kemudian kita selesaikan persamaan klasik dengan modul:
|f| = g (g > 0) f = ±g
x 5 = ±1 x 1 = 5 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Berikut adalah dua kandidat untuk jawabannya. Apakah mereka solusi untuk persamaan logaritma asli? Tidak mungkin!
Kita tidak berhak meninggalkan semuanya begitu saja dan menuliskan jawabannya. Lihatlah langkah di mana kita mengganti jumlah logaritma dengan satu logaritma dari produk argumen. Masalahnya adalah bahwa dalam ekspresi asli kita memiliki fungsi. Oleh karena itu, diperlukan:
x(x 5) > 0; (x 5)/x > 0.
Saat kami mengubah produk, mendapatkan kuadrat yang tepat, persyaratan berubah:
(x 5) 2 > 0
Kapan persyaratan ini terpenuhi? Ya, hampir selalu! Kecuali untuk kasus ketika x 5 = 0. Artinya, ketidaksetaraan akan dikurangi menjadi satu titik tertusuk:
x 5 0 x 5
Seperti yang Anda lihat, telah terjadi perluasan domain definisi, yang telah kita bicarakan di awal pelajaran. Oleh karena itu, akar tambahan juga dapat muncul.
Bagaimana mencegah munculnya akar ekstra ini? Ini sangat sederhana: kami melihat akar yang kami peroleh dan membandingkannya dengan domain persamaan asli. Mari berhitung:
x (x 5) > 0
Kami akan menyelesaikannya menggunakan metode interval:
x (x 5) = 0 x = 0; x = 5
Kami menandai nomor yang diterima pada garis lurus. Semua poin tertusuk karena ketidaksetaraan yang ketat. Kami mengambil nomor yang lebih besar dari 5 dan mengganti:
[Keterangan gambar] Kami tertarik pada interval (−∞; 0) (5; ). Jika kita menandai akar kita pada segmen, kita akan melihat bahwa x = 4 tidak cocok untuk kita, karena akar ini terletak di luar domain persamaan logaritmik asli.
Kami kembali ke populasi, mencoret akar x \u003d 4 dan menuliskan jawabannya: x \u003d 6. Ini adalah jawaban terakhir untuk persamaan logaritmik asli. Semuanya, tugas diselesaikan.
Kami meneruskan ke persamaan logaritmik kedua:
[Keterangan gambar] Kami menyelesaikannya. Perhatikan bahwa suku pertama adalah pecahan, dan suku kedua adalah pecahan yang sama, tetapi terbalik. Jangan terintimidasi oleh ekspresi lgx - sederhana logaritma desimal, kita dapat menulis:
lgx = log 10 x
Karena kita memiliki dua pecahan terbalik, saya mengusulkan untuk memasukkan variabel baru:
[Keterangan gambar] Oleh karena itu, persamaan kita dapat ditulis ulang sebagai berikut:
t + 1/t = 2;
t + 1/t 2 = 0;
(t 2 2t + 1)/t = 0;
(t 1) 2 /t = 0.
Seperti yang Anda lihat, pembilang pecahan adalah kuadrat eksak. Pecahan menjadi nol jika pembilangnya nol, dan penyebutnya berbeda dari nol:
(t 1) 2 = 0; t 0
Kami memecahkan persamaan pertama:
t 1 = 0;
t = 1.
Nilai ini memenuhi persyaratan kedua. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa kita telah menyelesaikan persamaan kita sepenuhnya, tetapi hanya terhadap variabel t . Sekarang mari kita ingat apa itu t:
[Keterangan gambar]Kami mendapat rasio:
lgx = 2 lgx + 1
2 lgx lgx = 1
logx = 1
Kami membawa persamaan ini ke bentuk kanonik:
lgx = lg 10 1
x = 10 1 = 0,1
Akibatnya, kami mendapatkan satu-satunya akar, yang, secara teori, adalah solusi untuk persamaan asli. Namun, mari kita tetap bermain aman dan menulis domain dari persamaan asli:
[Keterangan gambar] Oleh karena itu, root kami memenuhi semua persyaratan. Kami telah menemukan solusi untuk persamaan logaritmik asli. Jawab: x = 0,1. Masalah terpecahkan.
Hanya ada satu poin kunci dalam pelajaran hari ini: ketika menggunakan rumus untuk transisi dari produk ke jumlah dan sebaliknya, pastikan untuk mengingat bahwa domain definisi dapat menyempit atau meluas tergantung pada arah mana transisi dibuat.
Bagaimana memahami apa yang terjadi: kontraksi atau ekspansi? Sangat sederhana. Jika sebuah sebelum fungsi dulu bersama-sama, dan sekarang menjadi terpisah, kemudian terjadi penyempitan ruang lingkup definisi (karena persyaratan lebih). Jika pada awalnya fungsi-fungsi itu terpisah, dan sekarang mereka bersama-sama, maka domain definisi diperluas (lebih sedikit persyaratan yang dikenakan pada produk daripada pada faktor individu).
Mengingat pernyataan ini, saya ingin mencatat bahwa persamaan logaritma kedua tidak memerlukan transformasi ini sama sekali, yaitu kita tidak menambahkan atau mengalikan argumen di mana pun. Namun, di sini saya ingin menarik perhatian Anda ke trik luar biasa lainnya yang memungkinkan Anda menyederhanakan solusi secara signifikan. Ini tentang mengubah variabel.
Namun, ingatlah bahwa tidak ada penggantian yang tidak membebaskan kita dari ruang lingkup. Itu sebabnya setelah semua akar ditemukan, kami tidak terlalu malas dan kembali ke persamaan awal untuk menemukan ODZ-nya.
Seringkali ketika mengubah suatu variabel, kesalahan yang menjengkelkan terjadi ketika siswa menemukan nilai t dan berpikir bahwa penyelesaiannya sudah selesai. Tidak mungkin!
Ketika Anda telah menemukan nilai t , Anda perlu kembali ke persamaan awal dan melihat apa yang sebenarnya kami tunjukkan dengan huruf ini. Akibatnya, kita harus menyelesaikan satu persamaan lagi, yang, bagaimanapun, akan jauh lebih sederhana daripada yang asli.
Inilah tepatnya titik memperkenalkan variabel baru. Kami membagi persamaan asli menjadi dua yang menengah, yang masing-masing diselesaikan dengan lebih mudah.
Bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma "bersarang"
Hari ini kita terus mempelajari persamaan logaritma dan menganalisis konstruksi ketika satu logaritma berada di bawah tanda logaritma lain. Kami akan menyelesaikan kedua persamaan menggunakan bentuk kanonik.
Hari ini kita terus mempelajari persamaan logaritma dan menganalisis konstruksi ketika satu logaritma berada di bawah tanda yang lain. Kami akan menyelesaikan kedua persamaan menggunakan bentuk kanonik. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa jika kita memiliki persamaan logaritmik paling sederhana dari bentuk log a f (x) \u003d b, maka untuk menyelesaikan persamaan seperti itu kita lakukan langkah selanjutnya. Pertama-tama, kita perlu mengganti nomor b :
b = log a a b
Perhatikan bahwa a b adalah argumen. Demikian pula, dalam persamaan asli, argumennya adalah fungsi f(x). Kemudian kami menulis ulang persamaan dan mendapatkan konstruksi ini:
log a f(x) = log a a b
Setelah itu, kita dapat melakukan langkah ketiga - singkirkan tanda logaritma dan cukup tulis:
f(x) = a b
Hasilnya, kita mendapatkan persamaan baru. Dalam hal ini, tidak ada batasan yang dikenakan pada fungsi f(x). Misalnya, di tempatnya juga bisa berdiri fungsi logaritma. Dan kemudian kita kembali mendapatkan persamaan logaritmik, yang kita perkecil lagi menjadi yang paling sederhana dan selesaikan melalui bentuk kanonik.
Tapi cukup liriknya. Mari kita selesaikan masalah yang sebenarnya. Jadi tugas nomor 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Seperti yang Anda lihat, kami memiliki persamaan logaritmik sederhana. Peran f(x) adalah konstruksi 1 + 3 log 2 x, dan angka b adalah angka 2 (peran a juga dua). Mari kita tulis ulang keduanya sebagai berikut:
Penting untuk dipahami bahwa dua deuce pertama datang kepada kita dari basis logaritma, yaitu, jika ada 5 dalam persamaan asli, maka kita akan mendapatkan bahwa 2 = log 5 5 2. Secara umum, basis hanya bergantung pada logaritma, yang awalnya diberikan dalam masalah. Dan dalam kasus kami angka ini adalah 2.
Jadi, kami menulis ulang persamaan logaritmik kami, dengan mempertimbangkan fakta bahwa keduanya, yang di sebelah kanan, sebenarnya juga merupakan logaritma. Kita mendapatkan:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Kami lolos ke langkah terakhir dari skema kami - kami menyingkirkan bentuk kanonik. Kita bisa bilang, coret saja tanda-tanda lognya. Namun, dari sudut pandang matematika, tidak mungkin untuk "mencoret log" - lebih tepat untuk mengatakan bahwa kami hanya menyamakan argumen:
1 + 3 log 2 x = 4
Dari sini mudah untuk menemukan 3 log 2 x :
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Kita kembali mendapatkan persamaan logaritma yang paling sederhana, mari kita kembalikan ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kita perlu membuat perubahan berikut:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Mengapa ada deuce di pangkalan? Karena di kami persamaan kanonik di sebelah kiri adalah logaritma tepat ke basis 2. Kami menulis ulang masalah dengan mempertimbangkan fakta ini:
log 2 x = log 2 2
Sekali lagi, kami menghilangkan tanda logaritma, yaitu, kami hanya menyamakan argumen. Kami memiliki hak untuk melakukan ini, karena pangkalannya sama, dan tidak ada lagi tindakan tambahan yang dilakukan di kanan atau di kiri:
Itu saja! Masalah terpecahkan. Kami telah menemukan solusi untuk persamaan logaritmik.
Catatan! Meskipun variabel x ada dalam argumen (yaitu, ada persyaratan untuk domain definisi), kami tidak akan membuat persyaratan tambahan apa pun.
Seperti yang saya katakan di atas, cek ini berlebihan jika variabel hanya muncul dalam satu argumen dari hanya satu logaritma. Dalam kasus kami, x benar-benar hanya dalam argumen dan hanya di bawah satu tanda log. Oleh karena itu, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan.
Namun, jika Anda tidak percaya metode ini, maka Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa x = 2 memang merupakan root. Cukup dengan mensubstitusikan angka ini ke persamaan awal.
Mari kita beralih ke persamaan kedua, ini sedikit lebih menarik:
log 2 (log 1/2 (2x 1) + log 2 4) = 1
Jika kita menyatakan ekspresi di dalam logaritma besar dengan fungsi f (x), kita mendapatkan persamaan logaritma paling sederhana yang digunakan untuk memulai pelajaran video hari ini. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menerapkan bentuk kanonik, yang untuk itu diperlukan untuk mewakili unit dalam bentuk log 2 2 1 = log 2 2.
Menulis ulang persamaan besar kita:
log 2 (log 1/2 (2x 1) + log 2 4) = log 2 2
Kami menyingkirkan tanda logaritma, menyamakan argumen. Kami memiliki hak untuk melakukan ini, karena pangkalan di kiri dan kanan sama. Perhatikan juga bahwa log 2 4 = 2:
log 1/2 (2x 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x 1) = 0
Sebelum kita lagi adalah persamaan logaritma paling sederhana dari bentuk log a f (x) \u003d b. Kami meneruskan ke bentuk kanonik, yaitu kami mewakili nol dalam bentuk log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Kami menulis ulang persamaan kami dan menghilangkan tanda log dengan menyamakan argumen:
log 1/2 (2x 1) = log 1/2 1
2x 1 = 1
Sekali lagi, kami menerima tanggapan langsung. Tidak diperlukan pemeriksaan tambahan, karena dalam persamaan asli, hanya satu logaritma yang berisi fungsi dalam argumen.
Oleh karena itu, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan. Kita dapat dengan aman mengatakan bahwa x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan ini.
Tetapi jika dalam logaritma kedua alih-alih empat akan ada beberapa fungsi x (atau 2x tidak akan ada dalam argumen, tetapi di basis) - maka akan perlu untuk memeriksa domain definisi. Jika tidak, ada kemungkinan besar untuk mendapatkan root tambahan.
Dari mana akar ekstra ini berasal? Poin ini perlu dipahami dengan sangat jelas. Lihatlah persamaan aslinya: di mana-mana fungsi x berada di bawah tanda logaritma. Oleh karena itu, karena kami telah menulis log 2 x , kami secara otomatis menetapkan persyaratan x > 0. Jika tidak, catatan ini tidak masuk akal.
Namun, saat kami menyelesaikan persamaan logaritmik, kami menghilangkan semua tanda log dan mendapatkan konstruksi sederhana. Tidak ada batasan lagi di sini, karena fungsi linear didefinisikan untuk setiap nilai x.
Masalah ini, ketika fungsi akhir didefinisikan di mana-mana dan selalu, dan yang awalnya tidak berarti di mana-mana dan tidak selalu, itulah alasan mengapa akar tambahan sangat sering muncul dalam penyelesaian persamaan logaritmik.
Tetapi saya ulangi sekali lagi: ini hanya terjadi dalam situasi di mana fungsinya ada dalam beberapa logaritma, atau di basis salah satunya. Dalam masalah yang kita bahas hari ini, pada prinsipnya tidak ada masalah dengan perluasan domain definisi.
Kasus dengan alasan berbeda
Pelajaran ini didedikasikan untuk struktur kompleks. Logaritma dalam persamaan hari ini tidak akan lagi diselesaikan "kosong" - pertama-tama Anda perlu melakukan beberapa transformasi.
Kami mulai memecahkan persamaan logaritmik dengan basis yang sama sekali berbeda, yang bukan merupakan pangkat eksak satu sama lain. Jangan terintimidasi oleh tugas-tugas seperti itu - mereka tidak lebih sulit untuk diselesaikan daripada kebanyakan desain sederhana yang telah kita bahas di atas.
Tetapi sebelum melanjutkan langsung ke masalah, izinkan saya mengingatkan Anda tentang rumus untuk menyelesaikan persamaan logaritmik paling sederhana menggunakan bentuk kanonik. Pertimbangkan masalah seperti ini:
log a f(x) = b
Adalah penting bahwa fungsi f (x) hanyalah sebuah fungsi, dan bilangan a dan b harus sama persis dengan bilangan tersebut (tanpa variabel x). Tentu saja, secara harfiah dalam satu menit kami juga akan mempertimbangkan kasus-kasus seperti itu ketika alih-alih variabel a dan b ada fungsi, tetapi ini bukan tentang itu sekarang.
Seperti yang kita ingat, angka b harus diganti dengan logaritma dengan basis yang sama, yaitu di sebelah kiri. Ini dilakukan dengan sangat sederhana:
b = log a a b
Tentu saja, kata-kata "setiap angka b" dan "setiap angka a" berarti nilai-nilai yang memenuhi domain definisi. Secara khusus, di persamaan yang diberikan kita sedang berbicara hanya basis a > 0 dan a 1.
Namun persyaratan ini dilakukan secara otomatis, karena masalah asli sudah berisi logaritma ke basis a - pasti akan lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1. Oleh karena itu, kami melanjutkan solusi persamaan logaritmik:
log a f(x) = log a a b
Notasi seperti itu disebut bentuk kanonik. Kemudahannya adalah kita bisa langsung menghilangkan tanda log dengan menyamakan argumennya:
f(x) = a b
Teknik inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis variabel. Jadi ayo pergi!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Apa berikutnya? Seseorang sekarang akan mengatakan bahwa Anda perlu menghitung logaritma yang benar, atau menguranginya menjadi satu basis, atau sesuatu yang lain. Dan memang, sekarang Anda perlu membawa kedua basis ke bentuk yang sama - baik 2 atau 0,5. Tapi mari kita pelajari aturan berikut ini untuk selamanya:
Jika persamaan logaritma mengandung desimal, pastikan untuk mengubah pecahan ini dari notasi desimal ke dalam biasa. Transformasi semacam itu dapat menyederhanakan solusi secara signifikan.
Transisi semacam itu harus segera dilakukan, bahkan sebelum tindakan dan transformasi apa pun dilakukan. Mari kita lihat:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8
Apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Kami dapat mewakili 1/2 dan 1/8 sebagai kekuatan dengan indikator negatif:
[Keterangan gambar] Kami memiliki bentuk kanonik. Samakan argumennya dan dapatkan yang klasik persamaan kuadrat:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Di depan kita adalah persamaan kuadrat yang diberikan, yang mudah diselesaikan menggunakan rumus Vieta. Anda akan melihat perhitungan serupa di sekolah menengah secara harfiah secara lisan:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Itu saja! Persamaan logaritma asli diselesaikan. Kami memiliki dua akar.
Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk menentukan ruang lingkup di kasus ini tidak diperlukan, karena fungsi dengan variabel x hanya ada dalam satu argumen. Oleh karena itu, ruang lingkup dilakukan secara otomatis.
Jadi persamaan pertama diselesaikan. Mari kita beralih ke yang kedua:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 1
Dan sekarang perhatikan bahwa argumen dari logaritma pertama juga dapat ditulis sebagai pangkat dengan eksponen negatif: 1/2 = 2 1. Kemudian Anda dapat menghilangkan pangkat di kedua sisi persamaan dan membagi semuanya dengan 1:
[Keterangan gambar] Dan sekarang kami telah melakukannya dengan sangat langkah penting dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Mungkin seseorang tidak memperhatikan sesuatu, jadi izinkan saya menjelaskan.
Perhatikan persamaan kita: log ada di kiri dan kanan, tetapi logaritma basis 2 di kiri, dan logaritma basis 3 di kanan. seluruh derajat dua dan sebaliknya: tidak mungkin untuk menulis bahwa 2 adalah 3 pangkat bilangan bulat.
Oleh karena itu, ini adalah logaritma dengan basis yang berbeda, yang tidak direduksi satu sama lain dengan eksponensial sederhana. Satu-satunya jalan memecahkan masalah tersebut adalah untuk menyingkirkan salah satu logaritma ini. Dalam hal ini, karena kami masih mempertimbangkan cukup tugas sederhana, logaritma di sebelah kanan hanya dihitung, dan kami mendapatkan persamaan paling sederhana - persis seperti yang kita bicarakan di awal pelajaran hari ini.
Mari kita nyatakan angka 2 di sebelah kanan sebagai log 2 2 2 = log 2 4. Dan kemudian hilangkan tanda logaritma, setelah itu kita hanya memiliki persamaan kuadrat:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x2 + 9x + 2 = 4
5x2 + 9x 2 = 0
Di depan kita adalah persamaan kuadrat biasa, tetapi tidak dikurangi, karena koefisien pada x 2 berbeda dari satu. Oleh karena itu, kami akan menyelesaikannya menggunakan diskriminan:
D = 81 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2
Itu saja! Kami menemukan kedua akar, yang berarti kami mendapatkan solusi untuk persamaan logaritmik asli. Memang, dalam masalah awal, fungsi dengan variabel x hadir hanya dalam satu argumen. Oleh karena itu, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan pada domain definisi - kedua akar yang kami temukan, tentu saja memenuhi semua batasan yang mungkin.
Ini bisa menjadi akhir dari video tutorial hari ini, tetapi sebagai kesimpulan saya ingin mengatakan lagi: pastikan untuk mengubah semua pecahan desimal menjadi pecahan biasa saat menyelesaikan persamaan logaritmik. Dalam kebanyakan kasus, ini sangat menyederhanakan solusi mereka.
Jarang, sangat jarang, ada masalah di mana menghilangkan pecahan desimal hanya memperumit perhitungan. Namun, dalam persamaan seperti itu, sebagai suatu peraturan, pada awalnya jelas bahwa pecahan desimal tidak perlu dihilangkan.
Dalam kebanyakan kasus lain (terutama jika Anda baru mulai berlatih memecahkan persamaan logaritmik), silakan singkirkan pecahan desimal dan terjemahkan ke dalam pecahan biasa. Karena latihan menunjukkan bahwa dengan cara ini Anda akan sangat menyederhanakan solusi dan perhitungan selanjutnya.
Kehalusan dan trik solusinya
Hari ini kita beralih ke lebih banyak lagi tugas yang kompleks dan kami akan memecahkan persamaan logaritmik, yang tidak didasarkan pada angka, tetapi pada fungsi.
Dan bahkan jika fungsi ini linier, Anda harus menambahkan skema solusi sedikit perubahan, yang artinya adalah persyaratan tambahan ditumpangkan pada domain logaritma.
Tugas yang sulit
Pelajaran ini akan cukup panjang. Di dalamnya, kami akan menganalisis dua persamaan logaritma yang agak serius, yang dalam penyelesaiannya banyak siswa membuat kesalahan. Selama praktik saya sebagai tutor matematika, saya terus-menerus menemukan dua jenis kesalahan:
- Munculnya akar tambahan karena perluasan domain definisi logaritma. Untuk menghindari membuat kesalahan ofensif seperti itu, perhatikan baik-baik setiap transformasi;
- Kehilangan akar karena fakta bahwa siswa lupa mempertimbangkan beberapa kasus "halus" - pada situasi seperti itulah kita akan fokus hari ini.
Ini pelajaran terakhir didedikasikan untuk persamaan logaritmik. Ini akan panjang, kami akan menganalisis persamaan logaritma yang kompleks. Buat diri Anda nyaman, buatkan teh untuk diri sendiri, dan kita akan mulai.
Persamaan pertama terlihat cukup standar:
log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)
Segera, kami mencatat bahwa kedua logaritma adalah salinan terbalik satu sama lain. Mari kita ingat formula yang luar biasa:
log a b = 1/log b a
Namun, rumus ini memiliki sejumlah keterbatasan yang muncul jika alih-alih angka a dan b ada fungsi variabel x:
b > 0
1 a > 0
Persyaratan ini dikenakan pada dasar logaritma. Di sisi lain, dalam pecahan, kita diharuskan memiliki 1 a > 0, karena variabel a tidak hanya dalam argumen logaritma (karenanya, a > 0), tetapi logaritma itu sendiri adalah penyebut dari fraksi. Tetapi log b 1 = 0, dan penyebutnya harus bukan nol, jadi a 1.
Jadi, pembatasan pada variabel a dipertahankan. Tapi apa yang terjadi pada variabel b ? Di satu sisi, b > 0 mengikuti dari basis, di sisi lain, variabel b 1, karena basis logaritma harus berbeda dari 1. Secara total, ini mengikuti dari sisi kanan rumus bahwa 1 b > 0.
Tapi inilah masalahnya: persyaratan kedua (b 1) hilang dari pertidaksamaan pertama pada logaritma kiri. Dengan kata lain, saat melakukan transformasi ini, kita harus periksa secara terpisah bahwa argumen b berbeda dari satu!
Di sini, mari kita periksa. Mari kita terapkan rumus kita:
[Keterangan gambar] 1 x - 0,5 > 0; 1 x + 1 > 0
Jadi, kita dapatkan bahwa persamaan logaritma asli mengikuti bahwa a dan b harus lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1. Jadi, kita dapat dengan mudah membalik persamaan logaritmik:
Saya mengusulkan untuk memperkenalkan variabel baru:
log x + 1 (x 0,5) = t
Dalam hal ini, konstruksi kami akan ditulis ulang sebagai berikut:
(t 2 1)/t = 0
Perhatikan bahwa dalam pembilang kita memiliki selisih kuadrat. Kami mengungkapkan perbedaan kuadrat menggunakan rumus perkalian yang disingkat:
(t 1)(t + 1)/t = 0
Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol. Tetapi pembilangnya berisi produk, jadi kami menyamakan setiap faktor dengan nol:
t1 = 1;
t2 = 1;
t 0.
Seperti yang Anda lihat, kedua nilai variabel t cocok untuk kita. Namun, solusinya tidak berakhir di situ, karena kita perlu mencari bukan t , tetapi nilai x . Kami kembali ke logaritma dan mendapatkan:
log x + 1 (x 0,5) = 1;
log x + 1 (x 0,5) = 1.
Mari kita bawa masing-masing persamaan ini ke bentuk kanonik:
log x + 1 (x 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
Kami menghilangkan tanda logaritma dalam kasus pertama dan menyamakan argumen:
x 0,5 = x + 1;
x - x \u003d 1 + 0,5;
Persamaan tersebut tidak memiliki akar, oleh karena itu, persamaan logaritma pertama juga tidak memiliki akar. Tetapi dengan persamaan kedua, semuanya jauh lebih menarik:
(x 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Kami memecahkan proporsi - kami mendapatkan:
(x 0,5)(x + 1) = 1
Saya mengingatkan Anda bahwa ketika menyelesaikan persamaan logaritmik, jauh lebih mudah untuk memberikan semua pecahan desimal umum, jadi mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai berikut:
(x 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;
x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.
Sebelum kita adalah persamaan kuadrat yang diberikan, itu mudah diselesaikan menggunakan rumus Vieta:
(x + 3/2) (x 1) = 0;
x 1 \u003d -1.5;
x2 = 1.
Kami mendapat dua akar - mereka adalah kandidat untuk menyelesaikan persamaan logaritmik asli. Untuk memahami akar apa yang benar-benar akan masuk ke dalam jawaban, mari kembali ke masalah awal. Sekarang kita akan memeriksa setiap akar kita untuk melihat apakah mereka cocok dengan cakupannya:
1,5 x > 0,5; 0 x > 1.
Persyaratan ini sama dengan ketidaksetaraan ganda:
1 x > 0,5
Dari sini kita langsung melihat bahwa akar x = 1.5 tidak cocok untuk kita, tetapi x = 1 cukup memuaskan. Oleh karena itu x \u003d 1 - keputusan terakhir persamaan logaritma.
Mari kita beralih ke tugas kedua:
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
Pada pandangan pertama, tampaknya semua logaritma alasan yang berbeda dan berbagai argumen. Apa yang harus dilakukan dengan struktur seperti itu? Pertama-tama, perhatikan bahwa angka 25, 5, dan 625 adalah pangkat dari 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Dan sekarang kita akan menggunakan properti logaritma yang luar biasa. Faktanya adalah Anda dapat mengambil derajat dari argumen dalam bentuk faktor:
log a b n = n log a b
pada transformasi yang diberikan pembatasan juga dikenakan dalam hal ada fungsi di tempat b. Tetapi dengan kami b hanyalah sebuah angka, dan tidak ada batasan tambahan yang muncul. Mari kita tulis ulang persamaan kita:
2 log x 5 + log 125 x 5 = 4 log 25 x 5
Kami mendapat persamaan dengan tiga istilah yang mengandung tanda log. Selain itu, argumen dari ketiga logaritma adalah sama.
Saatnya membalik logaritma untuk membawanya ke basis yang sama - 5. Karena variabel b adalah konstanta, tidak ada perubahan dalam ruang lingkup. Kami hanya menulis ulang:
[Keterangan gambar] Seperti yang diharapkan, logaritma yang sama "merangkak" di penyebut. Saya sarankan mengubah variabel:
log 5 x = t
Dalam hal ini, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
Mari kita tulis pembilangnya dan buka tanda kurung:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t 4t 2 12t = t 2 + 12
Kami kembali ke pecahan kami. Pembilangnya harus nol:
[Keterangan gambar] Dan penyebutnya berbeda dari nol:
t 0; t 3; t 2
Persyaratan terakhir terpenuhi secara otomatis, karena semuanya "terikat" dengan bilangan bulat, dan semua jawaban tidak rasional.
Jadi, persamaan rasional pecahan dipecahkan, nilai-nilai variabel t ditemukan. Kami kembali ke solusi persamaan logaritmik dan ingat apa t adalah:
[Keterangan gambar] Kami membawa persamaan ini ke bentuk kanonik, kami mendapatkan angka dengan derajat irasional. Jangan biarkan ini membingungkan Anda - bahkan argumen seperti itu dapat disamakan:
[Keterangan gambar] Kami memiliki dua akar. Lebih tepatnya, dua kandidat jawaban - mari kita periksa kesesuaiannya dengan ruang lingkup. Karena basis logaritma adalah variabel x, kita memerlukan yang berikut:
1 x > 0;
Dengan keberhasilan yang sama, kami menyatakan bahwa x 1/125, jika tidak, basis logaritma kedua akan menjadi satu. Akhirnya, x 1/25 untuk logaritma ketiga.
Secara total, kami mendapat empat batasan:
1 x > 0; x 1/125; x 1/25
Sekarang pertanyaannya adalah: apakah akar kita memenuhi persyaratan ini? Pasti puas! Karena 5 pangkat apa pun akan lebih besar dari nol, dan persyaratan x > 0 otomatis terpenuhi.
Di sisi lain, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 2 , 1/125 = 5 3 , yang berarti bahwa pembatasan ini untuk akar kita (yang, izinkan saya mengingatkan Anda, memiliki bilangan irasional) juga puas, dan kedua jawaban tersebut merupakan solusi untuk masalah tersebut.
Jadi kita punya jawaban akhir. Poin-poin Penting Ada dua tugas dalam tugas ini:
- Berhati-hatilah saat membalikkan logaritma ketika argumen dan basis dibalik. Transformasi semacam itu memaksakan pembatasan yang tidak perlu pada domain definisi.
- Jangan takut untuk mengonversi logaritma: Anda tidak hanya dapat membaliknya, tetapi juga membukanya menggunakan rumus jumlah dan umumnya mengubahnya menggunakan rumus apa pun yang Anda pelajari saat menyelesaikan ekspresi logaritmik. Namun, selalu ingat bahwa beberapa transformasi memperluas cakupan, dan beberapa mempersempitnya.
Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Ini hukum matematika diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, matematikawan Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di mana-mana di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian yang rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.
Definisi dalam matematika
Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari sembarang bilangan non-negatif(yaitu setiap positif) "b" ke basisnya "a" dianggap pangkat "c" di mana basis "a" harus dinaikkan untuk akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 ke tingkat yang diperlukan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan nomor 3! Dan memang benar, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 dalam jawabannya.
Varietas logaritma
Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat-sifatnya dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis tertentu ekspresi logaritma:
- Logaritma natural ln a, dengan basis adalah bilangan Euler (e = 2,7).
- Desimal a, dengan basis 10.
- Logaritma dari setiap nomor b ke basis a>1.
Masing-masing diputuskan dengan cara standar, yang meliputi penyederhanaan, pengurangan, dan pengurangan selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritmik. Menerima nilai yang benar logaritma, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.
Aturan dan beberapa batasan
Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu, mereka tidak perlu didiskusikan dan benar. Misalnya, Anda tidak dapat membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin untuk mengekstrak akarnya derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, yang dengannya Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:
- basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
- jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Misalnya, diberi tugas untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu dengan menaikkan angka sepuluh yang kita dapatkan 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.
Sekarang mari kita bayangkan ekspresi yang diberikan dalam bentuk logaritma. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan praktis bertemu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan angka yang diberikan.
Untuk penentuan nilai yang bebas kesalahan gelar tidak diketahui Anda perlu belajar bagaimana bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:
Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai besar Anda membutuhkan tabel derajat. Itu dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak mengerti apa-apa dalam kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris angka paling atas adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan sel, nilai angka ditentukan, yang merupakan jawabannya (a c = b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan mengerti!
Persamaan dan pertidaksamaan
Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritmik. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 \u003d 1/32 kami menulis dalam bentuk logaritma, kami mendapatkan log 2 (1/32) \u003d -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa ketidaksetaraan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.
Sebuah ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - itu adalah pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari angka yang diinginkan di basis dua lebih besar dari angka tiga.
Perbedaan paling penting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma dari 2 x = 9) menyiratkan satu atau lebih spesifik nilai numerik, sedangkan saat menyelesaikan pertidaksamaan, rentang nilai yang dapat diterima dan titik diskontinuitas dari fungsi ini ditentukan. Akibatnya, jawabannya bukan himpunan sederhana nomor individu seperti pada jawaban persamaan, dan a seri berkelanjutan atau sekumpulan angka.
Teorema dasar tentang logaritma
Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dan diterapkan dengan jelas semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan nanti, mari kita analisa dulu masing-masing properti lebih detail.
- Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
- Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Selain itu, prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusi. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , maka a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang harus dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema dalam bentuk rumus memperoleh tampilan berikutnya: log a q b n = n/q log a b.
Rumus ini disebut "properti derajat logaritma". Ini menyerupai sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.
Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;
tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.
Contoh masalah dan ketidaksetaraan
Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika, Anda perlu tahu bagaimana menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.
Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk memecahkan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, bagaimanapun, untuk masing-masing ketidaksetaraan matematika atau persamaan logaritmik dapat diterapkan aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi dapat disederhanakan atau direduksi menjadi pandangan umum. Sederhanakan panjang ekspresi logaritma Anda bisa, jika Anda menggunakan properti mereka dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.
Saat memecahkan persamaan logaritmik, perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau desimal.
Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusinya bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk solusi logaritma natural perlu melamar identitas logaritma atau properti mereka. Mari kita lihat solusinya dengan contoh. masalah logaritma beda tipe.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.
- Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk memperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan pada pandangan pertama ekspresi yang kompleks dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.
Tugas dari ujian
Logaritma sering ditemukan di tes masuk, terutama banyak masalah logaritmik dalam ujian ( ujian negara untuk semua lulusan SMA). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian uji ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian ini menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "logaritma alami".
Contoh dan solusi masalah diambil dari official GUNAKAN opsi. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.
Diberikan log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan definisi logaritma, kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8.5.
- Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
- Semua ekspresi di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengambil eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.
Ekspresi logaritmik, solusi dari contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Sedangkan untuk USE, logaritma digunakan saat menyelesaikan persamaan, dalam tugas yang diterapkan, juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.
Berikut adalah contoh untuk memahami arti dari logaritma:
Identitas logaritma dasar:
Sifat-sifat logaritma yang harus selalu Anda ingat:
*logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor.
* * *
* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor-faktornya.
* * *
*Logaritma derajat sama dengan produk eksponen ke logaritma basisnya.
* * *
*Transisi ke pangkalan baru
* * *
Lebih banyak properti:
* * *
Komputasi logaritma berkaitan erat dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.
Kami mencantumkan beberapa di antaranya:
esensi properti yang diberikan adalah bahwa ketika memindahkan pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh:
Konsekuensi dari properti ini:
* * *
Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.
* * *
Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sederhana. Hal utama adalah apa yang dibutuhkan latihan yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan dalam transformasi logaritma dasar tidak terbentuk, maka ketika memecahkan tugas sederhana mudah melakukan kesalahan.
Berlatih, pecahkan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi mereka menarik, jangan lewatkan!
Itu saja! Semoga sukses untuk Anda!
Hormat kami, Alexander Krutitskikh
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.
