ដោយបានដោះស្រាយជាមួយនឹងឯកតារង្វាស់ និងវិមាត្រនោះ ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តទៅការវាស់វែងជាក់ស្តែង។ អេ គណិតវិទ្យាសាលាពីរ ឧបករណ៍វាស់- (1) បន្ទាត់សម្រាប់វាស់ចម្ងាយ និង (2) protractor សម្រាប់វាស់មុំ។

ចំណុច

ចម្ងាយតែងតែត្រូវបានវាស់រវាងចំណុចទាំងពីរ។ តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង ចំណុចគឺជាចំណុចតូចមួយដែលនៅតែមាននៅលើក្រដាស នៅពេលអ្នកចុចវាដោយប្រើខ្មៅដៃ ឬប៊ិច។ វិធីមួយទៀតដែលពេញចិត្តជាងនេះដើម្បីបញ្ជាក់ចំណុចមួយគឺត្រូវគូរឈើឆ្កាងជាមួយបន្ទាត់ស្តើងពីរ ដែលកំណត់ ចំណុចចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ នៅលើគំនូរនៅក្នុងសៀវភៅ ចំណុចជាញឹកញាប់ត្រូវបានបង្ហាញជារង្វង់ខ្មៅតូចមួយ។ ប៉ុន្តែទាំងអស់នេះគ្រាន់តែជាការប៉ាន់ស្មានប៉ុណ្ណោះ។ រូបភាពដែលមើលឃើញប៉ុន្តែនៅក្នុងន័យគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរឹង ចំណុច - វា​គឺ​ជា​វត្ថុ​ស្រមៃ​ដែល​ទំហំ​គ្រប់​ទិស​គឺ​សូន្យ។ សម្រាប់គណិតវិទូ ពិភពលោកទាំងមូលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចំនុច។ ចំណុចមាននៅគ្រប់ទីកន្លែង។ នៅពេលដែលយើងគូសប៊ិចលើក្រដាស ឬគូរឈើឆ្កាង យើងមិនបង្កើតទេ។ ចំណុចថ្មី។ប៉ុន្តែគ្រាន់តែដាក់សញ្ញាសម្គាល់លើវត្ថុដែលមានស្រាប់ ដើម្បីទាក់ទាញការចាប់អារម្មណ៍របស់នរណាម្នាក់មកលើវា។ លុះត្រាតែមានចែងផ្សេងពីនេះ វាត្រូវបានគេយល់ថា ចំណុចទាំងនោះត្រូវបានជួសជុល ហើយមិនត្រូវផ្លាស់ប្តូររបស់ពួកគេឡើយ។ ទីតាំងដែលទាក់ទង. ប៉ុន្តែវាមិនពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលចំណុចផ្លាស់ទីដែលផ្លាស់ទីពីកន្លែងមួយទៅកន្លែងមួយ ដូចជាការបញ្ចូលគ្នាជាមួយមួយ។ ចំណុចថេរបន្ទាប់មកនៅលើផ្សេងទៀត។

ត្រង់

ដោយភ្ជាប់បន្ទាត់មួយទៅពីរចំណុច យើងអាចគូសបន្ទាត់ត្រង់កាត់ពួកវា ហើយលើសពីនេះទៅទៀត វិធី​តែមួយគត់. ការស្រមើលស្រមៃគណិតវិទ្យា ត្រង់គូរតាមបន្ទាត់សមគំនិតស្រមើស្រមៃ មានកម្រាស់សូន្យ និងលាតសន្ធឹងក្នុងទិសដៅទាំងពីរទៅភាពគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងគំនូរពិត ការរចនាស្រមើលស្រមៃនេះយកទម្រង់៖

តាមពិតទៅ អ្វីៗក្នុងរូបភាពនេះគឺខុស។ កម្រាស់នៃបន្ទាត់នៅទីនេះច្បាស់ជាធំជាងសូន្យ ហើយគ្មានវិធីដើម្បីនិយាយថាបន្ទាត់នេះលាតសន្ធឹងដល់កម្រិតគ្មានកំណត់នោះទេ។ យ៉ាង​ណា​មិញ គំនូរ​ដែល​មិន​ត្រឹម​ត្រូវ​បែប​នេះ​មាន​ប្រយោជន៍​ខ្លាំង​ណាស់​សម្រាប់​ជា​ជំនួយ​ដល់​ការ​ស្រមើស្រមៃ ហើយ​យើង​នឹង​ប្រើ​វា​ជា​ប្រចាំ។ ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកចំណុចមួយពីចំណុចមួយទៀត ពួកគេត្រូវបានសម្គាល់ជាធម្មតា អក្សរ​ធំ អក្ខរក្រមឡាតាំង. ឧទាហរណ៍នៅក្នុងតួលេខនេះ ចំនុចត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ កនិង ខ. បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច កនិង ខ, ទទួលបានឈ្មោះដោយស្វ័យប្រវត្តិ "ដោយផ្ទាល់ កខ"។ សម្រាប់ភាពសង្ខេប ការសម្គាល់ ( កខ) ដែលពាក្យ "ត្រង់" ត្រូវបានលុបចោល និង តង្កៀបជុំ. បន្ទាត់ក៏អាចត្រូវបានដាក់ស្លាកផងដែរ។ អក្សរ​តូច. នៅក្នុងរូបភាពខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ កខសម្គាល់ដោយអក្សរ ន.

លើសពីចំនុច កនិង ខនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ នមានចំនួនដ៏ច្រើននៃចំណុចផ្សេងទៀត ដែលនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងថាជាចំនុចប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ផ្សេងទៀត។ បន្ទាត់ជាច្រើនអាចត្រូវបានគូរតាមរយៈចំណុចដូចគ្នា។

ប្រសិនបើយើងដឹងថាមានចំណុចមិនចៃដន្យនៅលើបន្ទាត់មួយ។ ក, ខ, គនិង ឃបន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវមិនត្រឹមតែជា ( AB) ប៉ុន្តែក៏របៀប ( AC), (BD), (ស៊ីឌី) ជាដើម។

ផ្នែកបន្ទាត់។ កាត់ប្រវែង។ ចម្ងាយរវាងចំណុច

ផ្នែកនៃបន្ទាត់ដែលចងដោយចំណុចពីរត្រូវបានគេហៅថា ចម្រៀក. ចំនុចកំណត់ទាំងនេះក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកដែរ ហើយត្រូវបានគេហៅថាវា។ បញ្ចប់. ផ្នែកដែលចំណុចបញ្ចប់គឺនៅចំណុច កនិង ខដែលត្រូវបានតំណាងថាជា "ផ្នែក កខ' ឬខ្លីជាងនេះបន្តិច [ កខ].

ផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈ ប្រវែង- ចំនួន (ប្រហែលជាប្រភាគ) នៃ "ជំហាន" ដែលត្រូវតែយកតាមផ្នែក ដើម្បីទទួលបានពីចុងម្ខាងទៅម្ខាងទៀត។ ក្នុងករណីនេះប្រវែងនៃ "ជំហាន" ខ្លួនវាគឺជាតម្លៃថេរយ៉ាងតឹងរឹងដែលត្រូវបានគេយកជាឯកតារង្វាស់។ ប្រវែងនៃផ្នែកបន្ទាត់ដែលគូរនៅលើសន្លឹកក្រដាសមួយត្រូវបានវាស់យ៉ាងងាយស្រួលបំផុត។ សង់ទីម៉ែត្រ. ប្រសិនបើចំនុចបញ្ចប់នៃផ្នែកធ្លាក់លើចំនុច កនិង ខបន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វាត្រូវបានកំណត់ថាជា | កខ|.

នៅក្រោម ចម្ងាយរវាងចំនុចពីរគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលភ្ជាប់ពួកវា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមពិតវាមិនតម្រូវឱ្យគូរផ្នែកដើម្បីវាស់ចម្ងាយទេ - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីភ្ជាប់បន្ទាត់ទៅនឹងចំណុចទាំងពីរ (នៅលើដាននៃ "ជំហាន" ត្រូវបានសម្គាល់ជាមុន) ។ ដោយសារចំនុចមួយគឺជាវត្ថុប្រឌិតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា គ្មានអ្វីរារាំងយើងពីការស្រមើលស្រមៃរបស់យើងជាបន្ទាត់ដ៏ល្អដែលវាស់ចម្ងាយដោយភាពត្រឹមត្រូវដាច់ខាតនោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គេមិនគួរភ្លេចថា បន្ទាត់ពិតប្រាកដដែលត្រូវបានអនុវត្តទៅលើចំណុច ឬចំណុចកណ្តាលនៃឈើឆ្កាងនៅលើក្រដាសអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ចម្ងាយត្រឹមតែប្រហែលប៉ុណ្ណោះ - ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវមួយមិល្លីម៉ែត្រ។ ចម្ងាយគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន។

ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់មួយ។

សូមឱ្យយើងទទួលបានបន្ទាត់ត្រង់ខ្លះ។ យើងសម្គាល់ចំណុចបំពានលើវា ហើយសម្គាល់វាដោយអក្សរ អូ. ចូរដាក់លេខ 0 នៅជាប់នឹងវា មួយក្នុងចំណោមពីរ ទិសដៅដែលអាចធ្វើបានតាមបន្ទាត់ត្រង់យើងនឹងហៅថា "វិជ្ជមាន" ហើយផ្ទុយពីវា - "អវិជ្ជមាន" ។ ជាធម្មតា ទិសដៅវិជ្ជមានគឺត្រូវយកពីឆ្វេងទៅស្តាំ ឬពីបាតទៅកំពូល ប៉ុន្តែនេះមិនចាំបាច់ទេ។ សម្គាល់ទិសដៅវិជ្ជមានដោយព្រួញមួយ ដូចបង្ហាញក្នុងរូប៖

ឥឡូវនេះសម្រាប់ចំណុចណាមួយដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ យើងអាចកំណត់វាបាន ទីតាំង. ទីតាំងចំណុច កត្រូវបានផ្តល់ដោយតម្លៃដែលអាចជាអវិជ្ជមាន សូន្យឬវិជ្ជមាន។ របស់នាង តម្លៃ​ដាច់ខាតស្មើនឹងចម្ងាយរវាងចំណុច អូនិង ក(នោះគឺប្រវែងនៃផ្នែក អូក) ហើយសញ្ញាត្រូវបានកំណត់ដោយទិសដៅពីចំណុច អូអ្នកត្រូវផ្លាស់ទីដើម្បីទៅដល់ចំណុច ក. ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាននោះសញ្ញាគឺវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើវាអវិជ្ជមាន នោះសញ្ញាគឺអវិជ្ជមាន។ ជំនួស​ឱ្យ​ពាក្យ​«​តំណែង​»​ពាក្យ​ថា​«​តំណែង​»​។ សំរបសំរួល».

លេខមិនសមហេតុផល និងពិត (ពិត)

នៅពេលដែលយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយគំនូរពិត និងកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចពិតនៅលើរន្ធពិតប្រាកដដោយប្រើបន្ទាត់សាលា យើងទទួលបានតម្លៃបង្គត់ទៅមីលីម៉ែត្រដែលនៅជិតបំផុត។ ម្យ៉ាងវិញទៀត លទ្ធផលគឺជាតម្លៃដែលយកចេញពីស៊េរីខាងក្រោម៖

0 ម, 1 ម, −1 ម, 2 ម, −2 ម, 3 ម, −3 មល។

លទ្ធផលមិនអាចស្មើនឹងឧទាហរណ៍ ១/៣ សង់​ទី​ម៉ែ​តពីព្រោះ ដូចដែលយើងដឹង មួយភាគបីនៃសង់ទីម៉ែត្រអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។

0,333333333... សង់​ទី​ម៉ែ​ត,

ដែលបន្ទាប់ពីការបង្គត់គួរតែស្មើនឹង 0.3 សង់​ទី​ម៉ែ​ត.

វា​ជា​បញ្ហា​ខុស​គ្នា​នៅ​ពេល​ដែល​យើង​រៀបចំ​វត្ថុ​គណិតវិទ្យា​ដ៏​ល្អ​បំផុត​ក្នុង​ការ​ស្រមៃ​របស់​យើង។

ទីមួយ ក្នុងករណីនេះ គេអាចបោះចោលឯកតារង្វាស់បានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយដំណើរការទាំងស្រុងជាមួយនឹងបរិមាណគ្មានវិមាត្រ។ បន្ទាប់មកយើងមកសំណង់ធរណីមាត្រដែលយើងបានជួបនៅពេលយើងឆ្លងកាត់ លេខសមហេតុផលហើយដែលយើងដាក់ឈ្មោះ បន្ទាត់លេខ:

ដោយសារពាក្យ "បន្ទាត់" នៅក្នុងធរណីមាត្រត្រូវបាន "ផ្ទុកច្រើន" រួចហើយការសាងសង់ដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ អ័ក្សលេខ ឬសាមញ្ញ អ័ក្ស.

ទីពីរ យើង​អាច​ស្រមៃ​បាន​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​មួយ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តាម​កាលកំណត់ ទសភាគចូលចិត្ត

លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត យើង​អាច​ស្រមៃ​ឃើញ​ថា​គ្មាន​កំណត់ មិនតាមកាលកំណត់ប្រភាគ ដូចជា

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

លេខស្រមើស្រមៃបែបនេះ តំណាងថាជាប្រភាគទសភាគដែលមិនធ្វើម្តងទៀតគ្មានកំណត់ ត្រូវបានគេហៅថា មិនសមហេតុផល. លេខមិនសមហេតុផល រួមជាមួយនឹងលេខសនិទានភាពដែលធ្លាប់ស្គាល់យើងរួចហើយ បង្កើតបានជាអ្វីដែលគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។លេខ។ ជំនួសឱ្យពាក្យ "ត្រឹមត្រូវ" យើងក៏ប្រើពាក្យ " ពិត"។ ទីតាំងដែលអាចយល់បាននៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់មួយអាចត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនពិត។ ហើយផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើយើងត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យចំនួនពិតប្រាកដមួយចំនួន xយើងតែងតែអាចស្រមៃមើលចំណុចមួយ។ Xដែលមុខតំណែងត្រូវបានផ្តល់ដោយលេខ x.

លំអៀង

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក- ចំណុចសំរបសំរួល ក, ក ខ- ចំណុចសំរបសំរួល ខ. បន្ទាប់មកតម្លៃ

v = ខ − ក

គឺជា ការផ្លាស់ទីលំនៅដែលបកប្រែចំណុច កយ៉ាង​ពិតប្រាកដ ខ. នេះកាន់តែច្បាស់ប្រសិនបើសមភាពមុនត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

ខ = ក + v.

ពេលខ្លះជំនួសឱ្យពាក្យ "ការផ្លាស់ទីលំនៅ" ពួកគេប្រើពាក្យ " វ៉ិចទ័រ"។ វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាទីតាំង xចំណុចបំពាន Xគ្មានអ្វីក្រៅពីអុហ្វសិតដែលបកប្រែចំនុចនោះទេ។ អូ(ជាមួយកូអរដោនេស្មើសូន្យ) ដល់ចំណុចមួយ។ X:

x= 0 + x.

ការផ្លាស់ទីលំនៅអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមកក៏ដូចជាដកពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះប្រសិនបើអុហ្វសិត ( ខ − ក) បកប្រែចំណុច កយ៉ាង​ពិតប្រាកដ ខនិងអុហ្វសិត ( គ − ខ) ចំណុច ខយ៉ាង​ពិតប្រាកដ គបន្ទាប់មកអុហ្វសិត

(ខ − ក) + (គ − ខ) = គ − ក

បកប្រែចំណុច កយ៉ាង​ពិតប្រាកដ គ.

ចំណាំ។យោងតាមតក្កវិជ្ជារបស់វត្ថុ វាគួរតែត្រូវបានបញ្ជាក់នៅទីនេះ របៀបបូកនិងដក លេខមិនសមហេតុផលចាប់តាំងពីការលំអៀងប្រហែលជាមិនសមហេតុផល។ ជាការពិតណាស់ គណិតវិទូបានយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នីតិវិធីផ្លូវការដ៏សមស្រប ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង យើងនឹងមិនដោះស្រាយជាមួយនឹងបញ្ហានេះទេ ព្រោះសម្រាប់ដំណោះស្រាយ ភារកិច្ចជាក់ស្តែងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលជាមួយនឹងតម្លៃមូលគឺតែងតែគ្រប់គ្រាន់។ ឥឡូវនេះយើងនឹងទទួលយកវាដោយជំនឿថាគំនិតនៃ "ការបន្ថែម" និង "ដក" - ក៏ដូចជា "គុណ" និង "ការបែងចែក" - ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវសម្រាប់ពីរណាមួយ ចំនួនពិត(យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ការ​ផ្តល់​ថា​វា​មិន​អាច​ចែក​នឹង​សូន្យ​បាន​ទេ)។

នៅទីនេះ ប្រហែលជា វាជាការសមរម្យក្នុងការកត់សម្គាល់ពីភាពខុសគ្នារវាងគំនិតនៃ "ការផ្លាស់ទីលំនៅ" និង "ចម្ងាយ" ។ ចម្ងាយគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន។ វាពិតជាអុហ្វសិតដែលបានយកក្នុងលក្ខខណ្ឌដាច់ខាត។ ដូច្នេះប្រសិនបើអុហ្វសិត

v = ខ − ក

បកប្រែចំណុច កយ៉ាង​ពិតប្រាកដ ខបន្ទាប់មកចម្ងាយ សរវាងចំណុច កនិង ខស្មើ

ស = |v| = |ខ − ក|

សមភាពនេះនៅតែជាការពិត ដោយមិនគិតពីចំនួនពីរណាធំជាង - កឬ ខ.

យន្តហោះ

ក្នុងន័យជាក់ស្តែង យន្តហោះគឺជាក្រដាសមួយសន្លឹកដែលយើងគូររូបធរណីមាត្ររបស់យើង។ ការស្រមើស្រមៃ យន្តហោះគណិតវិទ្យាខុសគ្នាពីសន្លឹកក្រដាសដែលវាមានកម្រាស់សូន្យ និងផ្ទៃគ្មានព្រំដែនដែលលាតសន្ធឹង ភាគីផ្សេងគ្នាទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ លើសពីនេះទៀត មិនដូចក្រដាសមួយសន្លឹកទេ យន្តហោះគណិតវិទ្យាគឺពិតជារឹង៖ វាមិនដែលពត់ ឬជ្រីវជ្រួញឡើយ ទោះបីជាវាត្រូវបានរហែកចេញពីតុ ហើយដាក់ក្នុងលំហក៏ដោយ។

ទីតាំងរបស់យន្តហោះនៅក្នុងលំហគឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយឡែកពីគ្នាដោយបីពិន្ទុ (លុះត្រាតែពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយ)។ ដើម្បី​ឱ្យ​យល់​ឃើញ​កាន់តែ​ច្បាស់ សូម​យើង​គូរ​បី ចំណុចបំពាន, អូ, កនិង ខហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់ពីរកាត់វា។ អូអេនិង OBដូចដែលបានបង្ហាញនៅលើរូបភាព៖

វាងាយស្រួលបន្តិចហើយក្នុងការ "លាតសន្ធឹង" យន្តហោះនៅក្នុងការស្រមើលស្រមៃនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វពីរជាជាង "សង្កត់" វានៅលើបីចំណុច។ ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ យើងនឹងធ្វើការសាងសង់បន្ថែមមួយចំនួនទៀត។ ចូរយើងយកចំនុចមួយចំនួនដោយចៃដន្យ៖ មួយកន្លែងនៅលើបន្ទាត់ អូអេនិងផ្សេងទៀត - គ្រប់ទីកន្លែងនៅលើបន្ទាត់ OB. គូរបន្ទាត់ថ្មីតាមរយៈចំណុចគូនេះ។ បន្ទាប់មក តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា យើងជ្រើសរើសចំណុចមួយគូផ្សេងទៀត ហើយគូសបន្ទាត់ផ្សេងទៀតតាមរយៈពួកគេ។ ដោយធ្វើបែបបទនេះម្តងទៀតច្រើនដង យើងទទួលបានអ្វីមួយដូចជាគេហទំព័រ៖

ការដាក់យន្តហោះនៅលើរចនាសម្ព័ន្ធបែបនេះគឺសាមញ្ញរួចទៅហើយ - ជាពិសេសចាប់តាំងពីបណ្តាញស្រមើស្រមៃនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យក្រាស់ដូច្នេះវានឹងគ្របដណ្តប់យន្តហោះទាំងមូលដោយគ្មានចន្លោះ។

សូមចំណាំថា ប្រសិនបើយើងយកចំនុចមិនស្របគ្នាមួយគូនៅលើយន្តហោះ ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពួកវា នោះបន្ទាត់ត្រង់នេះនឹងចាំបាច់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ។

អរូបី

ចំណុច (ក, ខល។ )៖ វត្ថុស្រមើស្រមៃដែលមានទំហំគ្រប់ទិសគឺសូន្យ។

ត្រង់ (ន, មឬ ( AB)): បន្ទាត់ស្តើងគ្មានកំណត់; ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច ( កនិង ខ) នៅតាមបណ្តោយអ្នកគ្រប់គ្រងតាមរបៀបដែលមិនច្បាស់លាស់; ពង្រីក​ក្នុង​ទិស​ទាំង​ពីរ​ទៅ​ភាព​គ្មាន​កំណត់។

ផ្នែកបន្ទាត់ ([AB]): ផ្នែកនៃបន្ទាត់ដែលចងដោយពីរចំនុច ( កនិង ខ) - ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកផងដែរ។

កាត់ប្រវែង(|AB|): (ប្រភាគ) ចំនួនសង់ទីម៉ែត្រ (ឬឯកតារង្វាស់ផ្សេងទៀត) ដែលសមរវាងចុង ( កនិង ខ).

ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ៖ ប្រវែងនៃផ្នែកបន្ទាត់ដែលបញ្ចប់នៅចំណុចទាំងនេះ។

ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់មួយ។ (សំរបសំរួល): ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅចំណុចកណ្តាលដែលបានជ្រើសរើសជាមុនមួយចំនួន (ក៏ដេកលើបន្ទាត់ត្រង់មួយផងដែរ) ដែលមានសញ្ញាបូក ឬដកដែលត្រូវបានកំណត់ អាស្រ័យលើផ្នែកណាមួយនៃចំណុចកណ្តាលដែលទីតាំងស្ថិតនៅ។

ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ត្រឹមត្រូវ។(ពិត)ចំនួនពោលគឺប្រភាគទសភាគ ដែលអាចជា (1) កំណត់ ឬគ្មានកំណត់ ( លេខសមហេតុផល) ឬ (2) គ្មានកំណត់ មិនមែនតាមកាលកំណត់ ( លេខមិនសមហេតុផល).

លំអៀងដែលបកប្រែចំណុច ក(ជាមួយកូអរដោនេ ក) យ៉ាង​ពិតប្រាកដ ខ(ជាមួយកូអរដោនេ ខ): v = ខ − ក.

ចម្ងាយស្មើនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ យកជាតម្លៃដាច់ខាត៖ | AB| = |ខ − ក|.

យន្តហោះ: សន្លឹកក្រដាសស្តើងគ្មានដែនកំណត់ដែលលាតសន្ធឹងក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នាទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយបីចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើលចំណុច។ សំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ

ចំណុច - វត្ថុអរូបីនៅក្នុងលំហដែលមិនមានលក្ខណៈអាចវាស់វែងបាន (វត្ថុសូន្យវិមាត្រ)។ ចំណុចគឺមួយនៃ គំនិតជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងគណិតវិទ្យា។

ចំណុចនៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean

Euclid បានកំណត់ចំណុចមួយថាជា "វត្ថុដែលគ្មានផ្នែក" ។ នៅក្នុង axiomatics ទំនើបនៃធរណីមាត្រ Euclidean ចំណុចមួយគឺជាគោលគំនិតចម្បងដែលកំណត់ដោយបញ្ជីនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាតែប៉ុណ្ណោះ - axioms ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលដែលបានជ្រើសរើស ចំនុចណាមួយនៃលំហ Euclidean ពីរវិមាត្រអាចត្រូវបានតំណាងជាគូដែលបានបញ្ជាទិញ ( x; y) ចំនួនពិត។ ដូចគ្នានេះដែរចំណុច ន-dimensional Euclidean space (ក៏ដូចជា vector or affine space) អាចត្រូវបានតំណាងជា tuple ( ក 1 , ក 2 , … , ក ន) ពី នលេខ។

តំណភ្ជាប់

• ចំណុច(ភាសាអង់គ្លេស) នៅលើគេហទំព័រ PlanetMath ។
• Weisstein, Eric W.ចំណុចនៅលើគេហទំព័រ Wolfram MathWorld ។

ចំណុចគឺ៖

ចំណុច នាម, ផងដែរ, ប្រើ ជាញឹកញាប់ សរីរវិទ្យា៖ (ទេ) អ្វី? ចំណុចអ្វី? ចំណុច, (មើល) អ្វី? ចំណុចយ៉ាងម៉េច? ចំណុច, អំពី​អ្វី? អំពីចំណុច; pl. អ្វី? ចំណុច, (ទេ) អ្វី? ពិន្ទុអ្វី? ពិន្ទុ, (មើល) អ្វី? ចំណុចយ៉ាងម៉េច? ចំណុច, អំពី​អ្វី? អំពីចំណុច 1. ចំណុច- នេះ​ជា​ដុំ​មូល​តូច ជា​ដាន​ពី​ការ​ប៉ះ​ជាមួយ​នឹង​អ្វី​ដែល​មុត ឬ​សរសេរ។

លំនាំចំណុច។ | ចំណុចប្រសព្វ។ | ទីក្រុងនៅលើផែនទីត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយចំណុចតូចមួយ និងភាពអាចរកបាន ផ្លូវវាងមនុស្សម្នាក់អាចទាយបាន។

2. ចំណុច- នេះ​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​តូច​ខ្លាំង​មើល​ឃើញ​មិន​ល្អ​ដោយ​សារ​តែ​ការ​ដាច់​ស្រយាល​ឬ​សម្រាប់​ហេតុផល​ផ្សេង​ទៀត​។

ចង្អុលលើផ្តេក។ | នៅពេលដែលបាល់ចូលទៅជិតជើងមេឃនៅភាគខាងលិចនៃមេឃ វាចាប់ផ្តើមថយចុះបន្តិចម្តងៗក្នុងទំហំរហូតដល់វាក្លាយជាចំណុច។

3. ចំណុច- សញ្ញាវណ្ណយុត្តិដែលដាក់នៅខាងចុងប្រយោគ ឬពេលកាត់ពាក្យ។

ដាក់ចំណុចមួយ។ | កុំភ្លេចដាក់ចំនុចនៅចុងបញ្ចប់នៃប្រយោគ

4. ផ្នែកគណិតវិទ្យា ធរណីមាត្រ និងរូបវិទ្យា ចំណុចគឺជាឯកតាដែលមានទីតាំងក្នុងលំហ ព្រំដែននៃផ្នែកបន្ទាត់។

ចំណុចគណិតវិទ្យា។

5. ចំណុចដាក់ឈ្មោះកន្លែងជាក់លាក់មួយនៅក្នុងលំហ នៅលើដី ឬលើផ្ទៃនៃអ្វីមួយ។

ចំណុចដាក់។ | ចំណុចឈឺចាប់។

6. ចំណុចដាក់ឈ្មោះកន្លែងដែលមានទីតាំង ឬអនុវត្ត ថ្នាំងជាក់លាក់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ឬបណ្តាញនៃចំណុចណាមួយ។

ច្រកចេញនីមួយៗត្រូវតែមានសញ្ញាផ្ទាល់ខ្លួន។

7. ចំណុចពួកគេហៅថាដែនកំណត់នៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់អ្វីមួយ កម្រិតជាក់លាក់មួយ ឬពេលនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍។

ណៃ ចំណុចខ្ពស់បំផុត. | ចំណុចក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍។ | ស្ថានភាពនៃកិច្ចការបានឈានដល់ចំណុចសំខាន់មួយ។ | នេះគឺជាចំណុចខ្ពស់បំផុតនៃការបង្ហាញពីអំណាចខាងវិញ្ញាណរបស់មនុស្ស។

8. ចំណុចហៅថាដែនកំណត់សីតុណ្ហភាព ដែលការបំប្លែងសារធាតុពីមួយ។ ស្ថានភាពនៃការប្រមូលផ្តុំចូលទៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត។

ចំណុចរំពុះ។ | ចំណុចត្រជាក់។ | ចំណុច​រលាយ។ | ម៉េច កម្ពស់បន្ថែមទៀតចំណុចរំពុះទាបនៃទឹក។

9. សញ្ញាសម្គាល់ (;)ហៅថា សញ្ញាវណ្ណយុត្តិ ប្រើដើម្បីបំបែក ទូទៅ, ច្រើនទៀត ផ្នែកឯករាជ្យប្រយោគផ្សំ។

អេ ភាសាអង់គ្លេសជាក់ស្តែង សញ្ញាវណ្ណយុត្តិដូចគ្នាត្រូវបានប្រើជាភាសារុស្សី៖ ចំនុច, សញ្ញាក្បៀស, សញ្ញាក្បៀស, សញ្ញា, apostrophe, តង្កៀប, ពងក្រពើ, សួរចម្លើយ និង សញ្ញាឧទាន, សហសញ្ញា។

10. នៅពេលដែលពួកគេនិយាយអំពី ចំណុច​នៃ​ទិដ្ឋភាពមានន័យថា គំនិតរបស់នរណាម្នាក់អំពីបញ្ហាជាក់លាក់មួយ ការក្រឡេកមើលអ្វីៗ។

មិនសូវមានប្រជាប្រិយភាពនៅពេលនេះ គឺជាទិដ្ឋភាពមួយផ្សេងទៀត ដែលពីមុនត្រូវបានទទួលស្គាល់ស្ទើរតែជាសកល។ | គ្មាន​នរណា​ម្នាក់​ចែក​រំលែក​ទស្សនៈ​នេះ​នៅ​ថ្ងៃ​នេះ​ទេ។

11. បើគេនិយាយថាមាន ចំណុចទំនាក់ទំនងដូច្នេះពួកគេមានផលប្រយោជន៍រួម។

យើងប្រហែលជាអាចស្វែងរកមូលដ្ឋានរួម។

12. ប្រសិនបើមានអ្វីត្រូវបានគេនិយាយ ចំណុចទៅចំណុចមានន័យថា ការផ្គូផ្គងពិតប្រាកដ។

ចំណុច​ទៅ​ចំណុច​នៅ​កន្លែង​ដែល​គេ​ចង្អុល​បង្ហាញ មាន​ឡាន​ពណ៌​កាហ្វេ។

13. ប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់ត្រូវបានគេនិយាយថាជា ឈានដល់ចំណុចដែលមានន័យថាគាត់បានឈានដល់ដែនកំណត់ខ្លាំងក្នុងការបង្ហាញពីគុណសម្បត្តិអវិជ្ជមានមួយចំនួន។

យើង​បាន​ដល់​ចំណុច​ហើយ! អ្នកមិនអាចរស់នៅបែបនេះទៀតទេ! | អ្នកមិនអាចប្រាប់គាត់ថាសេវាសម្ងាត់បានឈានដល់ចំណុចក្រោមការដឹកនាំដ៏ឈ្លាសវៃរបស់គាត់។

14. ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ បញ្ចប់នៅក្នុងអាជីវកម្មខ្លះវាមានន័យថាគាត់បញ្ឈប់វា។

បន្ទាប់មកគាត់បានត្រឡប់ពីការធ្វើចំណាកស្រុកទៅស្រុកកំណើតរបស់គាត់ទៅប្រទេសរុស្ស៊ី សហភាព​សូវៀតហើយនេះបញ្ចប់ការស្វែងរក និងគំនិតរបស់គាត់ទាំងអស់។

15. ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ គូស "និង"(ឬ ជាងខ្ញុំ) ដែលមានន័យថាគាត់នាំបញ្ហាទៅការសន្និដ្ឋានឡូជីខលរបស់វា ទុកគ្មានអ្វីនិយាយ។

ចូរគូសចំនុច i's ។ ខ្ញុំមិនដឹងអ្វីទាំងអស់អំពីគំនិតផ្តួចផ្តើមរបស់អ្នក។

16. ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ ឈានដល់ចំណុចមួយ។ដែលមានន័យថាគាត់បានប្រមូលផ្តុំកម្លាំងរបស់គាត់ទាំងអស់ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅមួយ។

នោះហើយជាមូលហេតុដែលរូបភាពរបស់គាត់គឺខុសគ្នាខ្លាំងណាស់; គាត់​តែងតែ​ឈាន​ដល់​ចំណុច​មួយ មិន​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​យក​ទៅ​ឆ្ងាយ​ដោយ​ព័ត៌មាន​លម្អិត​បន្ទាប់បន្សំ​ឡើយ។ | គាត់យល់យ៉ាងច្បាស់ថា អ្វីជាភារកិច្ចនៃអាជីវកម្មរបស់គាត់ ហើយឈានដល់ចំណុចមួយដោយចេតនា។

17. ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ បុកកន្លែងមានន័យថា គាត់និយាយ ឬធ្វើអ្វីដែលចាំបាច់ ទាយវា។

សំបុត្រទីមួយដែលបានមកដល់ជុំបន្ទាប់នៃការប្រកួតប្រជែងបានធ្វើឱ្យអ្នកកែសម្រួលភ្ញាក់ផ្អើល - នៅក្នុងជម្រើសមួយក្នុងចំណោមជម្រើសដែលបានរាយបញ្ជី អ្នកអានរបស់យើងបានសម្គាល់ភ្លាមៗ!

ចំណុច adj.

Acupressure ។

វចនានុក្រមពន្យល់នៃភាសារុស្ស៊ី Dmitriev ។ D.V. Dmitriev ។ ២០០៣។

ចំណុច

ចំណុចអាចមានន័យថា៖

Wiktionary មានអត្ថបទមួយ។ "ចំណុច"

• ចំណុចគឺជាវត្ថុអរូបីនៅក្នុងលំហ ដែលមិនមានលក្ខណៈដែលអាចវាស់វែងបានក្រៅពីកូអរដោណេ។
• ចំណុច - វចនានុក្រមដែលអាចដាក់ខាងលើ ខាងក្រោម ឬនៅកណ្តាលអក្សរ។
• ចំណុច - ឯកតានៃការវាស់វែងចម្ងាយជាភាសារុស្សី និង ប្រព័ន្ធភាសាអង់គ្លេសវិធានការ។
• ចំនុចគឺជាផ្នែកមួយនៃតំណាងនៃសញ្ញាបំបែកទសភាគ។
• ចំណុច (បច្ចេកវិទ្យាបណ្តាញ) - ការកំណត់ដែនឫសក្នុងឋានានុក្រមនៃដែនបណ្តាញសកល។
• Tochka - សង្វាក់នៃហាងលក់គ្រឿងអេឡិចត្រូនិច និងកម្សាន្ត
• Tochka - អាល់ប៊ុមរបស់ក្រុម "Leningrad"
• ចំណុច - ខ្សែភាពយន្តរុស្ស៊ីឆ្នាំ 2006 ផ្អែកលើរឿងដែលមានឈ្មោះដូចគ្នាដោយ Grigory Ryazhsky
• Dot គឺជាអាល់ប៊ុមស្ទូឌីយោទីពីររបស់តារាចម្រៀងរ៉េប Sten ។
• Tochka គឺជាប្រព័ន្ធកាំជ្រួចបែងចែក។
• Tochka - កាសែតយុវជន និងវប្បធម៌នៅ Krasnoyarsk ។
• Tochka គឺជាក្លឹបនិងកន្លែងប្រគុំតន្ត្រីនៅទីក្រុងមូស្គូ។
• ចំនុចគឺជាតួអក្សរមួយនៅក្នុងកូដ Morse ។
• ចំណុច​ជា​កន្លែង​បំពេញ​កាតព្វកិច្ច​ប្រយុទ្ធ។
• ចំណុច (ដំណើរការ) - ដំណើរការនៃម៉ាស៊ីន, ងាក, ធ្វើឱ្យច្បាស់។
• POINT - ព័ត៌មាន និងកម្មវិធីវិភាគនៅលើ NTV ។
• Tochka គឺជាក្រុមតន្រ្តីរ៉ុកមកពីទីក្រុង Norilsk ដែលបានបង្កើតឡើងក្នុងឆ្នាំ 2012។

សព្វនាម

កាហ្សាក់ស្ថាន

• ចំណុច- រហូតដល់ឆ្នាំ ១៩៩២ ឈ្មោះភូមិ Bayash Utepov ក្នុងស្រុក Ulan នៃតំបន់កាហ្សាក់ស្ថានខាងកើត។

ប្រទេស​រុស្ស៊ី

• Tochka គឺជាភូមិមួយនៅក្នុងស្រុក Sheksninsky នៃតំបន់ Vologda ។
• Tochka គឺជាភូមិមួយនៅក្នុងស្រុក Volotovsky នៃតំបន់ Novgorod ។
• Tochka គឺជាភូមិមួយនៅក្នុងស្រុក Lopatinsky នៃតំបន់ Penza ។

តើ​អ្នក​អាច​ឲ្យ​និយមន័យ​នៃ​គោល​គំនិត​ដូច​ជា​ចំណុច​មួយ​និង​បន្ទាត់​បាន​ទេ?

សាលារៀន និងសាកលវិទ្យាល័យរបស់យើងមិនមាននិយមន័យទាំងនេះទេ ទោះបីជាវាជាគន្លឹះនៅក្នុងគំនិតរបស់ខ្ញុំក៏ដោយ (ខ្ញុំមិនដឹងថាតើនេះនៅក្នុងប្រទេសផ្សេងទៀតដោយរបៀបណា)។ យើងអាចកំណត់និយមន័យទាំងនេះថាជា "ជោគជ័យ និងមិនជោគជ័យ" ហើយពិចារណាថាតើវាមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ការគិតដែរឬទេ។

អ្នកចំបាប់

ចម្លែក ប៉ុន្តែយើងត្រូវបានគេផ្តល់និយមន័យនៃចំណុចមួយ។ នេះគឺជាវត្ថុអរូបី (អនុសញ្ញា) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងលំហ ដែលមិនមានវិមាត្រ។ នេះគឺជារឿងដំបូងគេដែលត្រូវបានញញួរចូលទៅក្នុងក្បាលរបស់យើងនៅសាលារៀន - ចំណុចមួយមិនមានវិមាត្រទេវាគឺជាវត្ថុ "សូន្យវិមាត្រ" ។ គំនិតតាមលក្ខខណ្ឌ ដូចជាអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុងធរណីមាត្រ។

បន្ទាត់ត្រង់គឺពិបាកជាង។ ដំបូងបង្អស់វាជាបន្ទាត់។ ទីពីរ វាគឺជាសំណុំនៃចំណុចដែលមានទីតាំងនៅក្នុងលំហ តាមរបៀបជាក់លាក់មួយ។ នៅក្នុងខ្លាំងណាស់ និយមន័យសាមញ្ញវាគឺជាបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយចំណុចពីរដែលវាឆ្លងកាត់។

មេឌីវ

ចំណុចគឺជាប្រភេទនៃវត្ថុអរូបី។ ចំណុច​មួយ​មាន​កូអរដោណេ ប៉ុន្តែ​គ្មាន​ម៉ាស់ ឬ​វិមាត្រ​ទេ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ អ្វីគ្រប់យ៉ាងចាប់ផ្តើមយ៉ាងជាក់លាក់ពីចំណុចមួយ នេះគឺជាការចាប់ផ្តើមនៃតួលេខផ្សេងទៀត។ បន្ទាត់ត្រង់គឺជាចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ។

លោក Leonid Kutny

អ្នកអាចកំណត់អ្វីក៏បាន។ ប៉ុន្តែមានសំណួរមួយ: តើនិយមន័យនេះ "ដំណើរការ" នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រជាក់លាក់មួយទេ? ផ្អែកលើអ្វីដែលយើងមាន វាគ្មានន័យក្នុងការកំណត់ចំណុច បន្ទាត់ និងយន្តហោះទេ។ ខ្ញុំ​ពិត​ជា​ចូលចិត្ត​ការ​លើក​ឡើង​របស់ Arthur ខ្ញុំ​ចង់​បន្ថែម​ថា ចំណុច​មួយ​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ជា​ច្រើន៖ វា​មិន​មាន​ប្រវែង ទទឹង កម្ពស់ គ្មាន​ម៉ាស និង​ទម្ងន់។​ល វត្ថុ, វត្ថុនៅលើយន្តហោះ, ក្នុងលំហ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងត្រូវការចំណុចមួយ! ប៉ុន្តែ អ្នកអានដ៏ឆ្លាតវៃនឹងនិយាយថា សៀវភៅ កៅអី នាឡិកា និងរបស់ផ្សេងទៀតអាចយកមកធ្វើជាចំណុចបាន។ ពិតជាត្រឹមត្រូវមែន! ដូច្នេះ វាគ្មានន័យទេក្នុងការកំណត់ចំណុចមួយ។ ដោយក្តីគោរព L.A. Kutniy

បន្ទាត់ត្រង់គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃធរណីមាត្រ។

រយៈពេលគឺជាសញ្ញាវណ្ណយុត្តិក្នុងការសរសេរជាភាសាជាច្រើន។

ផងដែរ ចំនុចគឺជានិមិត្តសញ្ញាមួយនៃកូដ Morse

និយមន័យជាច្រើន :D

និយមន័យនៃចំណុចមួយ បន្ទាត់ យន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយខ្ញុំត្រឡប់មកវិញនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 80 និងដើមទសវត្សរ៍ទី 90 នៃសតវត្សទី 20 ។ ខ្ញុំផ្តល់តំណ៖

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

នៅក្នុងបរិមាណ 328 ទំព័រ ខ្លឹមសារនៃការយល់ដឹងនៃគោលគំនិតទាំងនេះត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងទិដ្ឋភាពថ្មីទាំងស្រុង ដែលត្រូវបានពន្យល់នៅលើមូលដ្ឋាននៃទិដ្ឋភាពជាក់ស្តែងនៃពិភពលោក និងអារម្មណ៍នៃខ្ញុំមាន ដែលមានន័យថា "ខ្ញុំ" មានដូចជាសកលលោក។ ខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ដែលខ្ញុំមាន។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបានសរសេរនៅក្នុង ការងារ​នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយចំណេះដឹងរបស់មនុស្សអំពីធម្មជាតិ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលបានរកឃើញតាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ ហើយនៅតែត្រូវបានសិក្សា ពេលនេះពេលវេលា។ គណិតវិទ្យាមានភាពស្មុគ្រស្មាញណាស់ក្នុងការយល់ និងយល់ ដើម្បីអនុវត្តរូបភាពអរូបីរបស់វាទៅនឹងការអនុវត្តរបកគំហើញនៃបច្ចេកវិទ្យា។ ដោយបានលាតត្រដាងពីមូលដ្ឋានគ្រឹះ ដែលជាគោលការណ៍គ្រឹះ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពន្យល់សូម្បីតែសិស្ស បឋមសិក្សាហេតុផលដែលបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃសកលលោក។ អានហើយចូលទៅជិតសេចក្តីពិត។ ហ៊ាន, ពិភពលោកដែលយើងមានបានបើកនៅចំពោះមុខអ្នកនៅក្នុងពន្លឺថ្មីមួយ។

តើមាននិយមន័យនៃគំនិតនៃ "ចំណុច" នៅក្នុងគណិតវិទ្យាធរណីមាត្រ។

Mikhail Levin

"គំនិតដែលមិនអាចកំណត់បាន" គឺជានិយមន័យ?

តាមពិតទៅ វាគឺជាភាពមិនប្រាកដប្រជានៃគោលគំនិត ដែលធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តគណិតវិទ្យាទៅវត្ថុផ្សេងៗ។

គណិតវិទូអាចនិយាយបានថា "ដោយចំនុចមួយ ខ្ញុំនឹងមានន័យថា យន្តហោះ Euclidean ដោយយន្តហោះ - ចំណុច Euclidean" - ពិនិត្យមើល axioms ទាំងអស់ និងទទួលបាន ធរណីមាត្រថ្មី។ឬទ្រឹស្តីបទថ្មី។

ចំនុចនោះគឺថាដើម្បីកំណត់ពាក្យ A អ្នកត្រូវប្រើពាក្យ B. ដើម្បីកំណត់ B អ្នកត្រូវការពាក្យ C. ហើយដូច្នេះនៅលើ ad infinitum ។ ហើយ​ដើម្បី​ត្រូវ​បាន​រក្សា​ទុក​ពី​ភាព​គ្មាន​ព្រំដែន​នេះ មួយ​ត្រូវ​ទទួល​យក​ពាក្យ​មួយ​ចំនួន​ដោយ​គ្មាន​ការ​កំណត់​និង​បង្កើត​និយមន័យ​របស់​អ្នក​ដទៃ​លើ​ពាក្យ​ទាំង​នោះ។ ©

Grigory Piven

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ចំណុច Piven Grigory A គឺជាផ្នែកនៃលំហរដែលត្រូវបានថតដោយអរូបី (ឆ្លុះ) ជាផ្នែកប្រវែងអប្បបរមាស្មើនឹង 1 ដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីវាស់ផ្នែកផ្សេងទៀតនៃលំហ។ ដូច្នេះ មនុស្សម្នាក់ជ្រើសរើសមាត្រដ្ឋាននៃចំណុចមួយសម្រាប់ភាពងាយស្រួល សម្រាប់ដំណើរការវាស់វែងប្រកបដោយផលិតភាព៖ 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a ។ e., 1 St. ឆ្នាំ ល។

គោលគំនិតនៃចំណុចសំខាន់មួយអាចត្រូវបានធ្វើជាទូទៅចំពោះករណីនៃការគូសផែនទីដែលអាចបែងចែកបាន និងចំពោះករណីនៃការគូសផែនទីដែលអាចបែងចែកបាននៃ manifolds បំពាន។ f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). ក្នុងករណីនេះ និយមន័យនៃចំណុចសំខាន់មួយគឺថា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស Jacobian នៃការគូសវាស f (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម f)វាមានតិចជាងអតិបរមា តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន, ស្មើនឹង ។

ចំណុចសំខាន់មុខងារនិងផែនទីលេង តួនាទីសំខាន់នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យា ដូចជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ការគណនាបំរែបំរួល ទ្រឹស្ដីស្ថិរភាព និងផ្នែកមេកានិច និងរូបវិទ្យា។ ការសិក្សាអំពីចំណុចសំខាន់ៗនៃការគូសផែនទីដោយរលូន គឺជាសំណួរចម្បងមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីមហន្តរាយ។ គោលគំនិតនៃចំណុចសំខាន់មួយក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ជាទូទៅចំពោះករណីនៃមុខងារដែលបានកំណត់លើចន្លោះមុខងារគ្មានដែនកំណត់។ ការស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារបែបនេះគឺ ផ្នែកសំខាន់ការគណនានៃការប្រែប្រួល។ ចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ (ដែលជាមុខងារ) ត្រូវបានគេហៅថា ជ្រុលនិយម.

និយមន័យផ្លូវការ

រិះគន់(ឬ ពិសេសឬ ស្ថានី) ចំណុចនៃការគូសផែនទីដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់ f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃផែនទីនេះ។ f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x)))គឺជា degenerate ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរចន្លោះតង់សង់ដែលត្រូវគ្នា។ T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))និង T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m))នោះគឺវិមាត្រនៃរូបភាពផ្លាស់ប្តូរ f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))តូចជាង min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). នៅក្នុងសំណេរសំរបសំរួលសម្រាប់ n = m (\displaystyle n=m)នេះមានន័យថា jacobian គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស jacobi នៃការគូសវាស f (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម f)ផ្សំឡើងពីដេរីវេភាគទាំងអស់។ ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i)))))- បាត់នៅចំណុចមួយ។ ចន្លោះ និង R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))នៅក្នុងនិយមន័យនេះអាចត្រូវបានជំនួសដោយពូជ N n (\displaystyle N^(n))និង M m (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម M^(m))វិមាត្រដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Sard

តម្លៃបង្ហាញនៅចំណុចសំខាន់ត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ រិះគន់. យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Sard សំណុំនៃតម្លៃសំខាន់នៃការគូសផែនទីណាមួយដែលរលូនគ្រប់គ្រាន់ f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))មានវិធានការ Lebesgue សូន្យ (ទោះបីជាអាចមានចំណុចសំខាន់ណាមួយក៏ដោយ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ផែនទីដូចគ្នា ចំណុចណាមួយគឺសំខាន់)។

ការធ្វើផែនទីចំណាត់ថ្នាក់ថេរ

ប្រសិនបើនៅជិតចំណុច x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))ចំណាត់ថ្នាក់នៃផែនទីដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់ f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))គឺស្មើនឹងលេខដូចគ្នា។ r (\ រចនាប័ទ្ម r)បន្ទាប់មកនៅជិតចំណុចនេះ។ x 0 (\ រចនាប័ទ្ម x_(0))មាន​កូអរដោណេ​ក្នុង​តំបន់​ដែល​ផ្តោត​ទៅ​លើ x 0 (\ រចនាប័ទ្ម x_(0))ហើយនៅក្នុងសង្កាត់នៃរូបភាពរបស់វា - ចំណុច y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- មានកូអរដោនេក្នុងតំបន់ (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))ផ្តោតលើ f (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម f)ត្រូវបានផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង៖

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ldots,\y_(r)=x_(r) ),\y_(r+1)=0,\ \ldots,\y_(m)=0.)

ជាពិសេសប្រសិនបើ r = n = m (\displaystyle r=n=m)បន្ទាប់មកមានកូអរដោនេក្នុងតំបន់ (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))ផ្តោតលើ x 0 (\ រចនាប័ទ្ម x_(0))និងកូអរដោនេក្នុងតំបន់ (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))ផ្តោតលើ y 0 (\ រចនាប័ទ្ម y_(0))ដែលពួកគេបង្ហាញ f (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម f)គឺដូចគ្នាបេះបិទ។

កើតឡើង ម = 1

ពេលណា​ និយមន័យនេះ។មានន័យថាជម្រាល ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))បាត់នៅចំណុចនេះ។

ចូរសន្មតថាមុខងារ f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R))មានថ្នាក់រលោងយ៉ាងហោចណាស់ C 3 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C^(3)). ចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ fបានហៅ មិន degenerateប្រសិនបើវាមាន Hessian | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))ខុសពីសូន្យ។ នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចសំខាន់ដែលមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ មានកូអរដោនេដែលមុខងារ fមានទម្រង់ធម្មតា quadratic (Lemma របស់ Morse) ។

ជាទូទៅធម្មជាតិនៃ Morse lemma សម្រាប់ degenerate ចំណុចសំខាន់គឺ ទ្រឹស្តីបទ Toujron៖នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចសំខាន់ដែលខូចមុខងារនៃមុខងារ f, ខុសគ្នា ចំនួនគ្មានកំណត់ដង() ពហុគុណកំណត់ µ (\ រចនាប័ទ្ម \\ mu )មានប្រព័ន្ធកូអរដោណេ មុខងាររលូនមានទម្រង់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ μ + 1 (\ ទម្រង់បង្ហាញ \ mu +1)(ដូច P μ + 1 (x) (\ displaystyle P_(\mu +1)(x))គេអាចយកពហុធា Taylor នៃអនុគមន៍ f (x) (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f (x))នៅចំណុចមួយនៅក្នុងកូអរដោណេដើម) ។

នៅ m = 1 (\displaystyle m=1)វាសមហេតុផលក្នុងការសួរអំពីអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារមួយ។ នេះបើយោងតាមសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ល្បីល្បាញ ការវិភាគគណិតវិទ្យាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់ f (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម f)កំណត់ក្នុងចន្លោះទាំងមូល R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))ឬនៅក្នុងផ្នែករងបើករបស់វា អាចទៅដល់ អតិបរមាក្នុងស្រុក(អប្បបរមា) តែនៅចំណុចសំខាន់ ហើយប្រសិនបើចំណុចមិនខូច នោះម៉ាទ្រីស (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j), (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots,n,)ត្រូវតែមាននិយមន័យអវិជ្ជមាន (វិជ្ជមាន) នៅក្នុងវា។ ក្រោយមកទៀតគឺផងដែរ។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់អតិបរមាក្នុងស្រុក (រៀងគ្នាអប្បបរមា) ។

កើតឡើង ន = ម = 2

ពេលណា​ n=m=2យើងមានផែនទី fយន្តហោះនៅលើយន្តហោះមួយ (ឬ manifold ពីរវិមាត្រទៅ manifold ពីរវិមាត្រផ្សេងទៀត) ។ ចូរសន្មតថាការបង្ហាញ fអាចបែងចែកបានចំនួនដងមិនកំណត់ ( C ∞ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម C^(\infty))) ក្នុងករណីនេះ ចំណុចសំខាន់ធម្មតានៃការគូសវាស fគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស Jacobian គឺស្មើនឹងសូន្យ ប៉ុន្តែចំណាត់ថ្នាក់របស់វាស្មើនឹង 1 ដូច្នេះហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការគូសវាស fមានខឺណែលមួយវិមាត្រនៅចំណុចបែបនេះ។ លក្ខខណ្ឌទីពីរនៃភាពធម្មតាគឺថានៅក្នុងសង្កាត់មួយនៃចំណុចដែលបានពិចារណានៅលើយន្តហោះរូបភាពបញ្ច្រាស សំណុំនៃចំណុចសំខាន់បង្កើតជាខ្សែកោងធម្មតា។ សនិងស្ទើរតែគ្រប់ចំណុចនៃខ្សែកោង សស្នូល ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*))មិន​បារម្ភ សខណៈពេលដែលចំនុចដែលមិនមែនជាករណីនេះគឺដាច់ឆ្ងាយពីគ្នា ហើយភាពច្របូកច្របល់ចំពោះពួកគេគឺជាលំដាប់ទីមួយ។ ចំណុចសំខាន់នៃប្រភេទទីមួយត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចប្រទាក់និងប្រភេទទីពីរ ចំណុចប្រមូលផ្តុំ. ផ្នត់ និងផ្នត់ គឺជាប្រភេទឯកវចនៈតែមួយគត់នៃការគូសផែនទីពីយន្តហោះទៅយន្តហោះដែលមានស្ថេរភាពទាក់ទងនឹងការរំខានតូចតាច៖ នៅក្រោមការរំខានតូចមួយ ចំណុចបត់ និងផ្នត់ផ្លាស់ទីតែបន្តិចរួមជាមួយនឹងការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃខ្សែកោង។ សប៉ុន្តែ​មិន​រលត់ មិន​រលត់​ទៅ មិន​រលត់​ទៅ​ក្នុង​ឯកវចនៈ​ដទៃ។

សូមមើលផងដែរ៖ http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Abstraction ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​អស់​រយៈ​ពេល​ពីរ​កន្លះ​សហស្សវត្សរ៍។ ចំណុចគ្មានវិមាត្រដែលផ្ទុយគ្នាមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះ។ ធម្មតាប៉ុន្តែក៏មានចំណេះដឹងអំពីពិភពលោកជុំវិញផងដែរ ដែលទទួលបានដោយវិទ្យាសាស្ត្រដូចជា រូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា។ មេកានិចកង់ទិចនិងព័ត៌មាន។

មិនដូចអរូបីផ្សេងទៀតទេ អរូបីនៃចំណុចគណិតវិទ្យាដែលគ្មានវិមាត្រមិនកំណត់ការពិត ធ្វើឱ្យការយល់ដឹងរបស់វាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែបំប្លែងវាដោយចេតនា ផ្តល់ឱ្យវានូវអត្ថន័យផ្ទុយគ្នា ដែលជាពិសេសធ្វើឱ្យវាមិនអាចយល់បានជាមូលដ្ឋាន និងសិក្សាលំហនៃវិមាត្រខ្ពស់ជាងនេះ!

ការប្រើប្រាស់អរូបីនៃចំនុចគ្មានវិមាត្រក្នុងគណិតវិទ្យាអាចប្រៀបធៀបជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់មូលដ្ឋាន ឯកតារូបិយវត្ថុជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យ។ ជាសំណាងល្អ សេដ្ឋកិច្ចមិនបានគិតពីរឿងនេះទេ។

ចូរយើងបង្ហាញពីភាពមិនសមហេតុផលនៃការអរូបីនៃចំណុចដែលគ្មានវិមាត្រ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ចំណុចគណិតវិទ្យាគឺ voluminous ។

ភស្តុតាង។

តាំងពីក្នុងគណិតវិទ្យា

Point_size = 0,

សម្រាប់ផ្នែកនៃប្រវែងកំណត់ (មិនសូន្យ) យើងមាន

Segment_size = 0 + 0 + ... + 0 = 0 ។

ទំហំសូន្យដែលទទួលបាននៃផ្នែកដែលជាលំដាប់នៃចំណុចធាតុផ្សំរបស់វាផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃប្រវែងកំណត់នៃចម្រៀក។ លើសពីនេះ ទំហំចំនុចសូន្យគឺមិនសមហេតុផលទេ ដែលផលបូកនៃលេខសូន្យមិនអាស្រ័យលើចំនួនពាក្យ ពោលគឺចំនួនចំនុច "សូន្យ" នៅក្នុងផ្នែកមិនប៉ះពាល់ដល់ទំហំនៃផ្នែកនោះទេ។

ដូច្នេះ ការសន្មត់ដើមអំពីទំហំសូន្យនៃចំណុចគណិតវិទ្យាគឺខុស។

ដូច្នេះ គេ​អាច​ប្រកែក​បាន​ថា ចំណុច​គណិតវិទ្យា​មាន​ទំហំ​មិន​សូន្យ (កំណត់)។ ដោយសារចំនុចនោះមិនត្រឹមតែជារបស់ផ្នែកប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលំហដែលផ្នែកស្ថិតនៅ វាមានវិមាត្រនៃលំហ ពោលគឺចំណុចគណិតវិទ្យាគឺ volumetric ។ Q.E.D.

ផលវិបាក។

ភស្តុតាងខាងលើអនុវត្តដោយប្រើឧបករណ៍គណិតវិទ្យា ក្រុមក្មេង មត្តេយ្យជំរុញឱ្យមានមោទនភាពចំពោះប្រាជ្ញាគ្មានព្រំដែននៃពួកបូជាចារ្យ និងអ្នកជំនិតនៃ "មហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់" ដែលបានគ្រប់គ្រងឆ្លងកាត់សហស្សវត្សរ៍ និងថែរក្សាកូនចៅតាមទម្រង់ដើមនៃការបំភាន់មនុស្សជាតិ។

ពិនិត្យ

អាឡិចសាន់ឌឺជាទីគោរព! ខ្ញុំ​មិន​ខ្លាំង​ខាង​គណិត​វិទ្យា​ទេ ប៉ុន្តែ​ប្រហែល​ជា​អ្នក​អាច​ប្រាប់​ខ្ញុំ​ពី​កន្លែង​ណា និង​ដោយ​នរណា​ថា​ចំនុច​ស្មើ​នឹង​សូន្យ? រឿងមួយទៀតនាងមានមិនចេះចប់ ចំនួនតូចរហូតដល់អនុសញ្ញា ប៉ុន្តែមិនមែនសូន្យទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះ ចម្រៀកណាមួយអាចចាត់ទុកថាសូន្យ ព្រោះមានផ្នែកមួយទៀតដែលមាន សំណុំគ្មានកំណត់ផ្នែកដំបូង, ប្រហែលនិយាយ។ ប្រហែលជាយើងមិនគួរច្រឡំគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យាទេ។ គណិតវិទ្យា​គឺ​ជា​វិទ្យាសាស្ត្រ​នៃ​ភាព​ជា, រូបវិទ្យា​គឺ​អំពី​ការ​ដែល​មាន​ស្រាប់​។ ដោយស្មោះ។

ខ្ញុំបានរៀបរាប់លម្អិតអំពី Achilles ពីរដង និងច្រើនដងក្នុងការឆ្លងកាត់៖
"ហេតុអ្វីបានជា Achilles មិនចាប់សត្វអណ្តើក"
"Achilles និងអណ្តើក - ភាពចម្លែកនៅក្នុងគូបមួយ"

ប្រហែលជាដំណោះស្រាយមួយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Zeno គឺថាលំហគឺដាច់ពីគ្នា ហើយពេលវេលាគឺបន្ត។ លោក​បាន​ពិចារណា​តាម​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​សម្រាប់​អ្នក​ថា​ទាំងពីរ​គឺ​ដាច់​ដោយឡែក​ពីគ្នា​។ រាងកាយអាចនៅត្រង់ចំណុចណាមួយក្នុងលំហសម្រាប់ពេលខ្លះ។ ប៉ុន្តែវាមិនអាចនៅកន្លែងផ្សេងគ្នាក្នុងពេលតែមួយក្នុងពេលតែមួយបានទេ។ នេះជាការពិតទាំងអស់ ភាពស្ម័គ្រចិត្ដ ដូចជាការសន្ទនារបស់យើងទាំងមូល។ ដោយស្មោះ។
និយាយអញ្ចឹង ប្រសិនបើចំនុចមួយជា 3D តើវាមានទំហំប៉ុនណា?

ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃពេលវេលាធ្វើតាមឧទាហរណ៍ពី aporia "ព្រួញ" ។ "ក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅកន្លែងផ្សេងៗគ្នា" អាចគ្រាន់តែជាអេឡិចត្រុងសម្រាប់អ្នករូបវិទ្យាដែលតាមគោលការណ៍មិនយល់និងមិនទទួលយកទាំងរចនាសម្ព័ន្ធនៃអេធើរឬរចនាសម្ព័ន្ធនៃអវកាស 4 វិមាត្រ។ ខ្ញុំមិនដឹងអំពីឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតនៃបាតុភូតនេះទេ។ ខ្ញុំ​មិន​ឃើញ​មាន​ពាក្យ​«​ស្ម័គ្រ​ចិត្ត​»​ក្នុង​ការ​សន្ទនា​របស់​យើង​ទេ។ ផ្ទុយទៅវិញ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញបំផុត៖ ចំណុចមួយគឺគ្មានវិមាត្រ ឬមានទំហំ។ និរន្តរភាព និងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ទាំងមាន ឬមិនមាន។ ទីបីមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - ពិតឬមិនពិត! មូលដ្ឋានគ្រឹះជាអកុសល គណិតវិទូត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើ dogmas ក្លែងក្លាយ ដែលទទួលយកចេញពីភាពល្ងង់ខ្លៅកាលពី 2500 ឆ្នាំមុន។

ទំហំចំណុចអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ និងលើភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើឧបករណ៍ត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់ នាឡិកាដៃបន្ទាប់មកភាពត្រឹមត្រូវអាចត្រូវបានកំណត់ដោយទំហំនៃអាតូម ពោលគឺប្រាំបីខ្ទង់ទសភាគ។ អាតូមខ្លួនឯងនៅទីនេះនឹងជា analogue រូបវិទ្យានៃចំណុចគណិតវិទ្យា។ អ្នកអាចត្រូវការភាពជាក់លាក់ 16 តួអក្សរនៅកន្លែងណាមួយ; បន្ទាប់មកតួនាទីនៃចំណុចមួយនឹងត្រូវបានលេងដោយភាគល្អិតនៃអេធើរ។ ចំណាំថាការនិយាយអំពីភាពត្រឹមត្រូវ "គ្មានដែនកំណត់" នៅក្នុងការអនុវត្តបានប្រែទៅជាមិនសមហេតុសមផលព្រៃ ឬដើម្បីដាក់វាឱ្យស្រាល ភាពមិនសមហេតុផល។

ខ្ញុំនៅតែមិនយល់៖ តើមានចំណុចទេ? ប្រសិនបើវាមានកម្មវត្ថុ ដូច្នេះវាមានតម្លៃរូបវន្តជាក់លាក់ ប្រសិនបើវាមានជាកម្មវត្ថុ ក្នុងទម្រង់នៃការអរូបីនៃចិត្តរបស់យើង នោះវាមានតម្លៃគណិតវិទ្យា។ Zero has nothing, it does not exist, នេះគឺជានិយមន័យអរូបីនៃ Non-existence in mathematics or emptiness in physics. ចំណុចមិនមានដោយខ្លួនឯងក្រៅពីទំនាក់ទំនងទេ។ ដរាបណាចំណុចទីពីរលេចឡើង ចម្រៀកមួយនឹងលេចឡើង - អ្វីមួយ។ល។ ប្រធានបទនេះអាចត្រូវបានអភិវឌ្ឍដោយគ្មានទីបញ្ចប់។ ជាមួយ uv ។

វាហាក់ដូចជាខ្ញុំដែលខ្ញុំបាននាំមក ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អប៉ុន្តែប្រហែលជាមិនលម្អិតគ្រប់គ្រាន់ទេ។ តាមគោលបំណង មានពិភពលោកមួយដែលវិទ្យាសាស្រ្តយល់ដឹង ហើយនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះវាយល់ដឹងជាចម្បងដោយវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។ គណិតវិទ្យាយល់ដឹងពិភពលោកដោយការស្ថាបនា គំរូគណិតវិទ្យា. ដើម្បីបង្កើតគំរូទាំងនេះជាមូលដ្ឋាន អរូបីគណិតវិទ្យាជាពិសេស, ដូចជា៖ ចំណុច, បន្ទាត់, បន្ត, ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ អរូបីទាំងនេះគឺជាមូលដ្ឋាន ព្រោះវាលែងមានលទ្ធភាពក្នុងការបំបែកបន្ថែម និងធ្វើឱ្យពួកវាសាមញ្ញ។ អរូបីមូលដ្ឋាននីមួយៗអាចមានលក្ខណៈគ្រប់គ្រាន់ ការពិតគោលបំណង(ពិត) ឬមិនពិត (មិនពិត)។ ការអរូបីទាំងអស់ខាងលើនេះ ជាដំបូងមិនពិត ព្រោះវាផ្ទុយនឹងចំណេះដឹងចុងក្រោយបង្អស់អំពីពិភពពិត។ ដូច្នេះការអរូបីទាំងនេះរារាំង ការយល់ដឹងត្រឹមត្រូវ។ ពិភព​ពិត. មនុស្សម្នាក់អាចដោះស្រាយរឿងនេះបាន ខណៈពេលដែលវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងសិក្សាពិភពលោក 3 វិមាត្រ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការអរូបីនៃចំណុចគ្មានវិមាត្រ និងការបន្តធ្វើឱ្យពិភពលោកទាំងអស់នៃវិមាត្រខ្ពស់មិនអាចដឹងជាគោលការណ៍!

ឥដ្ឋនៃសកលលោក - ចំណុចមួយ - មិនអាចជាមោឃៈទេ។ មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាគ្មានអ្វីមកពីភាពទទេនោះទេ។ អ្នករូបវិទ្យា ប្រកាសថា អេធើរមិនមាន នោះបានបំពេញពិភពលោកដោយភាពទទេ។ ខ្ញុំជឿថា គណិតវិទ្យាដែលមានចំនុចទទេរបស់វា បានរុញច្រានពួកគេទៅរកភាពល្ងង់ខ្លៅនេះ។ ខ្ញុំមិននិយាយអំពីចំណុចអាតូមនៃពិភពលោកដែលមានវិមាត្រខ្ពស់ជាង 4D ទេ។ ដូច្នេះ សម្រាប់វិមាត្រនីមួយៗ តួនាទីនៃចំណុចគណិតវិទ្យាដែលមិនអាចបំបែកបាន (តាមលក្ខខណ្ឌ) ត្រូវបានលេងដោយអាតូមដែលមិនអាចបំបែកបាន (តាមលក្ខខណ្ឌ) នៃពិភពលោកនេះ (លំហ បញ្ហា)។ សម្រាប់ 3D - អាតូមរូបវ័ន្ត សម្រាប់ 4D - ភាគល្អិតអេធើរ សម្រាប់ 5D - អាតូម astral សម្រាប់ 6D - អាតូមផ្លូវចិត្ត ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដោយក្តីគោរព

ដូច្នេះ​ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​ឥដ្ឋ​នៃ​សាកល​លោក​មាន​ខ្លះ​ តម្លៃ​ដាច់ខាត? ហើយ​តើ​វា​តំណាង​ឱ្យ​អ្វី​នៅក្នុង​គំនិត​របស់​អ្នក​នៅក្នុង​ពិភព​ដែល​គ្មាន​វិញ្ញាណ​ឬ​ផ្លូវចិត្ត។ ខ្ញុំខ្លាចក្នុងការសួរអំពីពិភពលោកខ្លួនឯង។ ដោយមានចំណាប់អារម្មណ៍...

ភាគល្អិតអេធើរ (ទាំងនេះមិនមែនជាអាតូម!) គឺជាគូអេឡិចត្រុង-positron ដែលភាគល្អិតខ្លួនឯងបង្វិលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងល្បឿនពន្លឺ។ នេះពន្យល់យ៉ាងពេញលេញអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃ nucleon ទាំងអស់ ការបន្តពូជ លំយោលអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចនិងផលប៉ះពាល់ទាំងអស់នៃអ្វីដែលគេហៅថា ការខ្វះចន្លោះរាងកាយ. រចនាសម្ព័ននៃអាតូមនៃការគិតគឺមិនស្គាល់នរណាម្នាក់ឡើយ។ មានតែភ័ស្តុតាងដែលថាច្រើនបំផុត ពិភពលោកខ្ពស់ជាងសម្ភារៈ ពោលគឺពួកគេមានអាតូមផ្ទាល់ខ្លួន។ រហូត​ដល់​បញ្ហា​របស់ Absolute ។ អ្នក​កំពុង​តែ​ហួសចិត្ត។ ពិត ដង្កូវនិង បន្ទុះតើអ្នកយល់ថាវាគួរឱ្យជឿជាក់ជាងនេះទេ?

អ្វី​ដែល​គួរ​ឲ្យ​ហួសចិត្ត​នៅ​ទី​នេះ គ្រាន់តែ​មាន​ការ​ភ្ញាក់​ផ្អើល​បន្តិច​បន្ទាប់​ពី​មាន​ព័ត៌មាន​លេច​ធ្លាយ។ ខ្ញុំមិនដូចអ្នកទេ ខ្ញុំមិនមែនជាអ្នកជំនាញទេ ហើយខ្ញុំពិបាកនិយាយអ្វីអំពីលំហប្រាំ ឬប្រាំមួយវិមាត្រ។ ខ្ញុំទាំងអស់អំពីចំណុចអត់ធន់របស់យើង... តាមដែលខ្ញុំយល់ អ្នកប្រឆាំងនឹងការបន្តសម្ភារៈ ហើយចំនុចនោះគឺថាអ្នកមានអាតូម "ប្រជាធិបតេយ្យ" ដែលមានស្រាប់។ "ឥដ្ឋនៃសាកលលោក" ។ ប្រហែលជាខ្ញុំមិនបានយកចិត្តទុកដាក់ ប៉ុន្តែនៅតែមិនស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលរចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររូបវន្ត វិមាត្រ។ល។
ហើយ​ក៏​ឆ្លើយ​ថា តើ​អង្គភាព​មាន​នៅ​ក្នុង​ខ្លួន​ឯង​ដូច​នេះ​ក្រៅ​ទំនាក់ទំនង​ដែរ​ឬ​ទេ? សូមអរគុណ។

សាលា MKOOST SANATORIUM - សាលាជិះទូក

ចំណុចនិងរាងធរណីមាត្រ។

ការងារស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា។

បញ្ចប់ដោយ: Anatoly Vasiliev សិស្សថ្នាក់ទី 3

អ្នកគ្រប់គ្រងការងារ៖

Dubovaya Natalya Leonidovna,

គ្រូបឋមសិក្សា។

Tommot, ឆ្នាំ 2013

1. ចំណារពន្យល់សង្ខេប។ ………………………………………….. ................... ២
2. ចំណារពន្យល់។ ………………………………………….. ………………………… ៣
3. អត្ថបទស្រាវជ្រាវ។ ………………………………………….. ...................... ៦
4. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ................................................... ................................................ ៧

គន្ថនិទ្ទេស។

ចំណារពន្យល់សង្ខេប។

ក្រដាសពិភាក្សាអំពីចំណុច និងរាងធរណីមាត្រ៖ បន្ទាត់ កាំរស្មី ចម្រៀក មុំ ត្រីកោណ រាងចតុកោណ រង្វង់ និងរង្វង់ ព្រមទាំងតួនាទីនៃចំណុចនៅក្នុងសមាសភាព និងការសាងសង់នៃតួលេខទាំងនេះ។

ចំណារពន្យល់។

គោលបំណងនៃការសិក្សា៖ស្វែងយល់ពីអត្ថន័យនៃចំណុចមួយ និងទម្រង់ធរណីមាត្រមានដូចជា៖ បន្ទាត់ត្រង់ កាំរស្មី មុំ បួនជ្រុង ត្រីកោណ រង្វង់។

កម្មវត្ថុនៃការសិក្សា៖ចំណុច និងនិយមន័យនៃរាងធរណីមាត្រ៖ បន្ទាត់ កាំរស្មី មុំ បួនជ្រុង ត្រីកោណ រង្វង់។

មុខវិជ្ជាសិក្សា៖ចំណុច និងរាងធរណីមាត្រ៖ បន្ទាត់ត្រង់ កាំរស្មី មុំ បួនជ្រុង ត្រីកោណ រង្វង់។

សម្មតិកម្មស្រាវជ្រាវ៖ចំណុចគឺតែមួយគត់ រូបធរណីមាត្រហើយនៅសល់ទាំងអស់មានសំណុំនៃចំណុច។

គោលបំណងស្រាវជ្រាវ៖

1. សម្ភារៈសិក្សាលើប្រធានបទ៖ "ចំណុច និងរាងធរណីមាត្រ៖ បន្ទាត់ត្រង់ កាំរស្មី មុំ បួនជ្រុង ត្រីកោណ រង្វង់។";
2. ស្វែងរកនិយមន័យនៃចំណុចមួយ បន្ទាត់ត្រង់ បួនជ្រុង ត្រីកោណ មុំ កាំរស្មី រង្វង់មួយ;
3. បង្ហាញការវិភាគ និងការឆ្លុះបញ្ចាំងរបស់ពួកគេលើប្រធានបទ;
4. ធ្វើបទបង្ហាញដោយផ្អែកលើឯកសារស្រាវជ្រាវនេះ។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ៖សិក្សាអក្សរសិល្ប៍ ធ្វើការជាមួយវចនានុក្រម ការវិភាគនៃការសិក្សា ការសន្និដ្ឋាន។

អត្ថបទស្រាវជ្រាវ។

គណិតវិទ្យាមានដើមកំណើតនៅ សម័យបុរាណពីតម្រូវការជាក់ស្តែងរបស់ប្រជាជន។ គ្មាននរណាម្នាក់នឹងប្រកែកអំពីវត្ថុបុរាណនៃគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែមានមតិមួយទៀតអំពីអ្វីដែលជំរុញឱ្យមនុស្សធ្វើវា។ យោងតាមគាត់ គណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាកំណាព្យ គំនូរ តន្ត្រី ល្ខោន និងសិល្បៈ ជាទូទៅត្រូវបាននាំមកជីវិតដោយតម្រូវការខាងវិញ្ញាណរបស់មនុស្ស ប្រហែលជាគាត់មិនទាន់សម្រេចបានពេញលេញនៅឡើយ បំណងប្រាថ្នាសម្រាប់ចំណេះដឹង និងភាពស្រស់ស្អាត។

តើ​អ្នក​ធ្លាប់​គិត​ទេ​ថា​អ្វី​ជា​ចំណុច​មួយ​និង​អ្វី​ដែល​មាន​រាង​ធរណីមាត្រ​?

នៅ glance ដំបូង, អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់នៅទីនេះ: ចំណុចមួយគឺជាចំណុចមួយ, បន្ទាត់ត្រង់គឺជាបន្ទាត់ត្រង់, អ្វីដែលអាចមិនអាចយល់បាននៅទីនេះ? ជាការប្រសើរណាស់, ទាំងអស់ដូចគ្នា, របៀបដើម្បីពន្យល់នេះទៅនរណាម្នាក់ដែលមិនស្គាល់នេះទាំងស្រុងហើយលើសពីនេះទៀត, យល់អ្វីគ្រប់យ៉ាងយ៉ាងពិតប្រាកដ? តើវាសាមញ្ញទេ? វាប្រែថាមិនមែនទាល់តែសោះ!

នៅក្នុងមេរៀនការងារ នៅពេលដែលយើងសិក្សាពីបច្ចេកទេស isothread ខ្ញុំមានការសន្មត់ថារាងធរណីមាត្រទាំងអស់មានចំនុច។ វាគឺចំពោះប្រធានបទនេះ ដែលខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តលះបង់ការងារស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំ។

សូក្រាត​បាន​និយាយ​ថា​៖ «​ខ្ញុំ​ដឹង​ថា​ខ្ញុំ​មិន​ដឹង​អ្វី​ទាំងអស់​» ហើយ​បាន​ព្យាយាម​ស្វែងរក​តាមរយៈ​ការ​សន្ទនា​ជាមួយ​ដៃគូ​សន្ទនា​ពី​អ្វី​ដែល​គាត់​ដឹង​ពិតប្រាកដ​។ អាស្រ័យហេតុនេះ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តស្វែងយល់ជាមុននូវអ្វីដែលខ្ញុំដឹងអំពីរាងធរណីមាត្រ។

ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលនិយមន័យនៃរាងធរណីមាត្រដែលចង្អុលបង្ហាញដោយប្រធានបទនៃការងារស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំ។

1. ចំណុច - នេះគឺជាសញ្ញាសម្គាល់, ដានពីការប៉ះ, ការចាក់ជាមួយនឹងអ្វីដែលមុតស្រួច; speck ជុំតូច speck; អ្វី​ដែល​តូច​ខ្លាំង​មើល​មិន​ឃើញ។ ចំនុចមួយគឺជាតួលេខធរណីមាត្រមូលដ្ឋាន

1. បន្ទាត់- វាជាចំណុចជាច្រើន។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានសម្រាប់ការសាងសង់ធរណីមាត្រគឺជាគោលគំនិតនៃចម្ងាយរវាងចំនុចក្នុងលំហ នោះបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាបន្ទាត់ដែលចម្ងាយរវាងចំនុចទាំងពីរគឺខ្លីបំផុត។ផ្ទាល់ - មាន​បន្ទាត់​មួយ​ដែល​មាន​ទីតាំង​ស្មើគ្នា​ដោយ​គោរព​តាម​ចំណុច​ទាំងអស់​របស់វា។ ពាក្យ "បន្ទាត់" មានប្រភពមកពីឡាតាំងលីនុម - "ក្រណាត់ទេសឯកក្រណាត់អំបោះ" ។

_________________________________________________

1. កាំរស្មី គឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់នេះដែលស្ថិតនៅម្ខាងនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យរបស់វា។

1. ផ្នែកបន្ទាត់ គឺជាផ្នែកនៃបន្ទាត់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់នេះ ដែលស្ថិតនៅចន្លោះចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៅលើវា។

1. ការចាក់- នេះគឺជាតួលេខដែលមានចំណុចកំពូលនៃមុំមួយ និងបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលផ្សេងគ្នាពីរចុះពីចំណុចនេះ ជ្រុងនៃមុំ។

1. បួនជ្រុងគឺជាតួលេខដែលមាន បួនពិន្ទុនិងបួនផ្នែកជាប់គ្នាដែលភ្ជាប់ពួកវា។

1. ត្រីកោណ - តួរលេខ​ដែល​មាន​បី​ចំណុច​ដែល​មិន​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​ដែល​តភ្ជាប់​ដោយ​ផ្នែក។

1. រង្វង់មួយ -

រង្វង់ គឺ​ជា​តួលេខ​ដែល​មាន​ចំណុច​ទាំងអស់​នៃ​យន្តហោះ​ដែល​ស្មើ​ពី​ចំណុច​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ បន្ទាត់បិទជុំវិញរង្វង់មួយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

គោលគំនិតនៃចំណុចមួយ និងបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងជីវិតរបស់យើងនៅគ្រប់ទីកន្លែង និងគ្រប់ទីកន្លែង។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលភាសារុស្សី នោះរយៈពេលគឺជាសញ្ញាវណ្ណយុត្តិ (.) ដែលបំបែកប្រយោគពេញលេញ។ នៅក្នុងភាសារុស្សីក៏មានសញ្ញាវណ្ណយុត្តិដូចជា semicolon, colon, ellipsis ។

នៅក្នុងរូបវិទ្យា ចំណុច - តម្លៃជាក់លាក់បរិមាណ។

នៅក្នុងភូមិសាស្ត្រចំណុចមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាជា កន្លែងជាក់លាក់នៅក្នុងលំហ។

នៅក្នុងជីវវិទ្យានេះគឺជាចំណុចលូតលាស់នៃរុក្ខជាតិ។

នៅក្នុងគីមីវិទ្យា - ចំណុចត្រជាក់, ចំណុចរំពុះ, ចំណុចរលាយ។

នៅក្នុងតន្ត្រី ចំនុចគឺជាសញ្ញាមួយដែលជាធាតុផ្សំជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាណតន្ត្រី។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ចំណុចមួយគឺជាតួលេខធរណីមាត្រមូលដ្ឋាន។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ ព្រំដែននៃផ្នែកបន្ទាត់ ការចាប់ផ្តើមនៃកាំរស្មី។ល។

ដើម្បីកសាងតួលេខណាមួយ យើងត្រូវការចំណុចមួយ។ ផ្អែកលើនិយមន័យនៃបន្ទាត់ត្រង់។បន្ទាត់គឺជាចំណុចជាច្រើន។ហើយតាមនិយមន័យ យើងដឹងថាតួលេខណាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើចំណុច និងបន្ទាត់ ដូច្នេះតួលេខទាំងអស់មានចំណុច។

នៅក្នុងជីវិតរបស់យើង ចំនុចមួយគឺជាផ្លាកសញ្ញាចាក់ថ្នាំ ចំនុចតូចមួយ។

របស់ខ្ញុំ ស្រាវជ្រាវអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាចំណុចគឺជាតួលេខធរណីមាត្រតែមួយគត់។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងចាប់ផ្តើមដោយចំណុចមួយ ហើយបញ្ចប់ដោយវា ហើយវាមិនទាន់ដឹងថាការបើកវានឹងបម្រើអ្វីជាការចាប់ផ្តើមនោះទេ។

អក្សរសិល្ប៍៖

1 .Aksenova M.D. សព្វវចនាធិប្បាយសម្រាប់កុមារ។ ត.១១. - គណិតវិទ្យា, M.: Avanta+, 1999. P. 575 ។

2 .Atanasyan L.S., ធរណីមាត្រ, ៧-៩: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ ស្ថាប័នអប់រំ/ ទី 12 ed ។ - M. : Enlightenment, 2002. Pp ។ ៥, ១៤៦, ១៧៧,១៧៨។

3. Atanasyan L.S., ធរណីមាត្រ, 10-11: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ / 15th ed., បន្ថែម។ - M.: Education, 2006. Pp.5-7.

4 .Vinogradov I.M., សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា / M.: សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត។ ទំព័រ 410, 722 ។

5 .Evgenyeva A.P. វចនានុក្រមនៃភាសារុស្ស៊ី។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ១៩៨៤។

6 .Kabardin O.F. រូបវិទ្យា៖ ឯកសារយោង. - M. : ការអប់រំ, 1991 ។

7 .Kramer G. វិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាស្ថិតិ, បកប្រែពីភាសាអង់គ្លេស, 2nd ed., M., 1975 ។

8 .Lapatukhin M.S. សាលា វចនានុក្រមភាសារុស្សី។ - M. : ការអប់រំ, 1981 ។

9 .Prokhorov A.M. វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ។ - M. : ការអប់រំ, 1998 ។

10. Prokhorov Yu.V. វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។ - M. : ការអប់រំ, 1998 ។

11 .សាវិន A.P. វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ គណិតវិទូវ័យក្មេង. - M. : គរុកោសល្យឆ្នាំ 1985 ទំព័រ 69 ។

12 .Sharygin I.F. ធរណីមាត្រដែលមើលឃើញ។ - M. : ការអប់រំ, 1995 ។