Trigonometrie - secțiune stiinta matematica, care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început la acea vreme Grecia antică. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.

Acest articol este despre Noțiuni de bazăși definiții ale trigonometriei. Se discută definițiile principale funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se explică și se ilustrează semnificația lor în contextul geometriei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Definiții ale funcțiilor trigonometrice

Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.

Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Tangenta unghiului (t g α) este raportul catetului opus față de cel alăturat.

Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.

Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!

Să dăm o ilustrare.

LA triunghiul ABC cu unghiul drept C sinusul unghiului A este egal cu raportul catetul BC la ipotenuza AB.

Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.

Important de reținut!

Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.

Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie, este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.

În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.

Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) este rotit în jurul centrului cerc unitar printr-un unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).

Sinus (sin) al unghiului de rotație

Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) al unghiului de rotație

Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) unghiului de rotație

Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x

Cotangente (ctg) a unghiului de rotație

Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.

Important de reținut!

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.

Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

La hotărâre exemple practice nu spune „sinus al unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.

Numerele

Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.

De exemplu, sinusul lui 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.

Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.

Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).

număr pozitiv t

Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic de-a lungul cercului și va trece drumul t .

Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Sinusul (păcatul) al numărului t

Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y

Cosinus (cos) al lui t

Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x

Tangenta (tg) a lui t

Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t

Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Fiecare valoare a unghiului α îi corespunde o anumită valoare sinusul și cosinusul acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.

Funcții de bază ale trigonometriei

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.

De obicei, din context este clar cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.

Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definiții trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt pe deplin în concordanță cu definițiile geometrice date folosind rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.

Luați un cerc unitar centrat pe un dreptunghi Sistemul cartezian coordonatele. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H egal cu unghiul tura α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . lungimea piciorului, colțul opus, este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.

În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dacă construim un cerc unitar centrat la origine și stabilim o valoare arbitrară a argumentului x0și numărați din axă Bou injecţie X 0, atunci acest unghi pe cercul unitar corespunde unui punct A(Fig. 1) și proiecția acesteia pe axă Oh va fi un punct M. Lungimea tăiată OM este egal cu valoare absolută abscisa punctuala A. valoare dată argument x0 valoarea funcției mapate y= cos X 0 ca abscisa unui punct DAR. În consecință, punctul LA(X 0 ;la 0) aparține graficului funcției la= cos X(Fig. 2). Dacă punct DAR situat în dreapta axei OU, tocozina va fi pozitivă, dacă la stânga va fi negativă. Dar, în orice caz, ideea DAR nu poate părăsi cercul. Prin urmare, cosinusul variază de la -1 la 1:

-1 = cos X = 1.

Rotire suplimentară la orice unghi, multiplu de 2 p, returnează un punct A in acelasi loc. Prin urmare, funcția y= cos Xp:

ca ( X+ 2p) = cos X.

Dacă luăm două valori ale argumentului care sunt egale ca valoare absolută, dar opuse ca semn, Xși - X, găsiți punctele corespunzătoare pe cerc A xși Topor. După cum se vede în fig. 3 proiectia lor pe axa Oh este acelasi punct M. Asa de

cos(- X) = cos( X),

acestea. cosinus - chiar funcția, f(–X) = f(X).

Deci, putem explora proprietățile funcției y= cos X pe segment , și apoi să țină cont de paritatea și periodicitatea acestuia.

La X= 0 punct DAR se află pe axă Oh, abscisa sa este 1, deci cos 0 = 1. Cu o crestere X punct DAR se deplasează în jurul cercului în sus și la stânga, proiecția acestuia, desigur, doar la stânga și pentru x = p/2 cosinus devine 0. Punct Aîn acest moment se ridică la inaltime maxima, și apoi continuă să se deplaseze spre stânga, dar deja în scădere. Abscisa ei continuă să scadă până ajunge cea mai mică valoare, egal cu –1 at X= p. Astfel, pe segment, funcția la= cos X scade monoton de la 1 la –1 (Fig. 4, 5).

Din paritatea cosinusului rezultă că pe intervalul [– p, 0], funcția crește monoton de la –1 la 1, luând o valoare zero la x =–p/2. Dacă luați mai multe perioade, obțineți o curbă ondulată (Fig. 6).

Deci funcția y= cos X ia valori zero la puncte X= p/2 + kp, Unde k- orice număr întreg. Maxime egale cu 1 sunt atinse la puncte X= 2kp, adică cu pasul 2 p, iar minimele egale cu –1 la puncte X= p + 2kp.

Funcția y \u003d sin x.

Pe cercul unității X 0 corespunde punctului DAR(Fig. 7), și proiecția acesteia pe axă OU va fi un punct N.W valoarea functiei y 0 = păcat x0 definit ca ordonata unui punct DAR. Punct LA(injecţie X 0 ,la 0) aparține graficului funcției y= păcat X(Fig. 8). Este clar că funcția y= păcat X periodic, perioada sa este 2 p:

păcat( X+ 2p) = păcat ( X).

Pentru valorile a două argumente, Xși - , proiecții ale punctelor lor corespunzătoare A xși Topor pe axă OU situat simetric fata de punct O. Asa de

păcat(- X) = –sin( X),

acestea. sinus este o funcție impară, f(– X) = –f( X) (Fig. 9).

Dacă punctul A rotiți în jurul unui punct O in colt p/2 în sens invers acelor de ceasornic (cu alte cuvinte, dacă unghiul X crestere cu p/2), atunci ordonata ei în noua poziție va fi egală cu abscisa în cea veche. Care înseamnă

păcat( X+ p/2) = cos X.

În caz contrar, sinusul este cosinusul, „întârziat” de p/2, deoarece orice valoare a cosinusului se va „repeta” în sinus atunci când argumentul crește cu p/2. Și pentru a construi un grafic sinus, este suficient să mutați graficul cosinus cu p/2 spre dreapta (Fig. 10). Extrem proprietate importantă sinusul este exprimat prin egalitate

Semnificația geometrică a egalității poate fi văzută din Fig. 11. Aici X - aceasta este jumătate din arc AB, și păcatul X - jumătate din acordul corespunzător. Evident, pe măsură ce punctele se apropie DARși LA lungimea coardei se apropie din ce în ce mai mult de lungimea arcului. Din aceeași cifră, este ușor de extras inegalitatea

|păcat X| x|, valabil pentru orice X.

Formula (*) apelează matematicienii limita minunata. Din aceasta, în special, rezultă acel păcat X» X la mic X.

Funcții la=tg X y=ctg X. Alte două funcții trigonometrice - tangenta și cotangenta sunt cel mai ușor de definit ca rapoarte ale sinusului și cosinusului deja cunoscute de noi:

La fel ca sinusul și cosinusul, tangenta și cotangenta sunt funcții periodice, dar perioadele lor sunt egale p, adică sunt jumătate din cele ale sinusului și cosinusului. Motivul este clar: dacă sinusul și cosinusul își schimbă semnele, atunci raportul lor nu se va schimba.

Deoarece există un cosinus în numitorul tangentei, tangenta nu este definită în acele puncte în care cosinusul este 0 - când X= p/2 +kp. În toate celelalte puncte crește monoton. Direct X= p/2 + kp pentru tangenta sunt asimptotele verticale. La puncte kp tangentă şi pantă sunt 0 și, respectiv, 1 (Fig. 12).

Cotangenta nu este definită acolo unde sinusul este 0 (când x = kp). În alte puncte scade monoton, iar liniile x = kp – a lui asimptote verticale. La puncte x = p/2 +kp cotangenta se întoarce la 0, iar panta în aceste puncte este -1 (Fig. 13).

Paritate și periodicitate.

O funcție este numită chiar dacă f(–X) = f(X). Funcțiile cosinus și secant sunt pare, iar funcțiile sinus, tangentă, cotangentă și cosecantă sunt impare:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

Proprietățile de paritate decurg din simetria punctelor P a si R- A (Fig. 14) în jurul axei X. Cu o astfel de simetrie, ordonata punctului își schimbă semnul (( X;la) merge la ( X; -y)). Toate funcțiile - periodică, sinus, cosinus, secanta și cosecantă au o perioadă de 2 p, și tangentă și cotangentă - p:

păcat (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
bronz (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
sec (α + 2 kπ) = sec	cosec (α + 2 kπ) = cosecα

Periodicitatea sinusului și cosinusului rezultă din faptul că toate punctele P a + 2 kp, Unde k= 0, ±1, ±2,…, coincid, iar periodicitatea tangentei și cotangentei se datorează faptului că punctele P un + kp cad alternativ în două diametral puncte opuse cercuri care dau acelasi punct pe axa tangentei.

Principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice pot fi rezumate într-un tabel:

Funcţie	Domeniu	Multe valori	Paritate	Zone de monotonitate ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
păcat X	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	ciudat	creste cu X O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), scade pe măsură ce X O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
cos X	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	chiar	Creste cu X O((2 k – 1) p, 2kp), scade la X Oh (2 kp, (2k + 1) p)
tg X	X № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	ciudat	creste cu X O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg X	X № p k	(–Ґ , +Ґ )	ciudat	scade la X O ( kp, (k + 1) p)
sec X	X № p/2 + p k	(–Ґ , –1] ȘI [+1, +Ґ )	chiar	Creste cu X Oh (2 kp, (2k + 1) p), scade la X O((2 k– 1) p , 2 kp)
cauză X	X № p k	(–Ґ , –1] ȘI [+1, +Ґ )	ciudat	creste cu X O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), scade pe măsură ce X O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Formule de turnare.

Conform acestor formule, valoarea funcției trigonometrice a argumentului a, unde p/2 a p , poate fi redus la valoarea funcției argumentului a , unde 0 a p /2, atât același cât și suplimentar acestuia.

Argumentul b	- A	+ a	p- A	p+ a	+ a	+ a	2p- A
păcat b	ca a	ca a	păcat a	– păcatul a	-cos a	-cos a	– păcatul a
cosb	păcat a	– păcatul a	-cos a	-cos a	– păcatul a	păcat a	ca a

Prin urmare, în tabelele de funcții trigonometrice, valorile sunt date numai pentru unghiurile ascuțite și este suficient să ne limităm, de exemplu, la sinus și tangentă. Tabelul conține doar cele mai utilizate formule pentru sinus și cosinus. Din ele se obține ușor formule pentru tangentă și cotangentă. Când turnați o funcție dintr-un argument de formă kp/2 ± a , unde k este un întreg, la o funcție din argumentul a :

1) numele funcției este salvat dacă k chiar și se schimbă în „complementar” dacă k ciudat;

2) semnul din partea dreaptă coincide cu semnul funcției reductibile în punct kp/2 ± a dacă unghiul a este ascuțit.

De exemplu, la turnarea ctg (a - p/2) asigurați-vă că un - p/2 la 0 a p /2 se află în al patrulea cadran, unde cotangenta este negativă și, conform regulii 1, schimbăm numele funcției: ctg (a - p/2) = –tg a .

Formule de adunare.

Formule cu mai multe unghiuri.

Aceste formule sunt derivate direct din formulele de adunare:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

Formula pentru cos 3a a fost folosită de François Viet la rezolvare ecuația cubică. El a fost primul care a găsit expresii pentru cos n a şi păcatul n a , care au fost obținute ulterior mai mult calea usoara din formula lui De Moivre.

Dacă în formule dublu argumentînlocuiți a cu a /2, acestea pot fi convertite în formule de jumătate de unghi:

Formule de substituție universală.

Folosind aceste formule, o expresie care implică diferite funcții trigonometrice ale aceluiași argument poate fi rescrisă ca expresie rațională dintr-o funcție tg (a / 2), aceasta este utilă la rezolvarea unor ecuații:

Formule de conversie a sumelor în produse și a produselor în sume.

Înainte de apariția computerelor, aceste formule erau folosite pentru a simplifica calculele. Calculele au fost făcute folosind tabele logaritmice, iar mai târziu - rigla de calcul, deoarece logaritmii sunt cel mai potrivit pentru înmulțirea numerelor, astfel încât toate expresiile originale au fost reduse la o formă convenabilă pentru logaritmi, adică. pentru lucrari precum:

2 păcat A sin b = cos( a-b) – cos( a+b);

2 cos A cos b= cos ( a-b) + cos ( a+b);

2 păcat A cos b= păcat ( a-b) + păcat ( a+b).

Formulele pentru funcțiile tangentă și cotangentă pot fi obținute din cele de mai sus.

Formule de reducere a gradului.

Din formulele unui argument multiplu se derivă formule:

sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a \u003d (3 sin a - sin 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a)/4.

Cu aceste formule ecuații trigonometrice poate fi redus la ecuații grade scăzute. În același mod, pot fi derivate formule de reducere pentru puteri mai mari ale sinusului și cosinusului.

Derivate și integrale ale funcțiilor trigonometrice
(păcat X)` = cos X;	(cos X)` = -sin X;
(tg X)` = ;	(ctg X)` = – ;
t păcat x dx= -cos X + C;	t cos x dx= păcat X + C;
t tg x dx= –ln |cos X| + C;	t ctg x dx = ln|păcat X| + C;

Fiecare funcție trigonometrică în fiecare punct al domeniului său de definiție este continuă și diferențiabilă la infinit. Mai mult, derivatele funcțiilor trigonometrice sunt funcții trigonometrice, iar atunci când sunt integrate, se obțin și funcții trigonometrice sau logaritmii acestora. Integralele combinațiilor raționale de funcții trigonometrice sunt întotdeauna funcții elementare.

Reprezentarea funcțiilor trigonometrice sub formă de serii de puteri și produse infinite.

Toate funcțiile trigonometrice pot fi extinse în serie de puteri. În acest caz, funcțiile sin X b cos X apar pe rânduri. convergent pentru toate valorile X:

Aceste serii pot fi folosite pentru a obține expresii aproximative pentru păcat X si cos X pentru valori mici X:

la | x| p/2;

la 0x| p

(B n sunt numere Bernoulli).

funcţiile păcatului X si cos X pot fi reprezentate ca produse infinite:

Sistem trigonometric 1, cos X, păcat X, cos 2 X, păcatul 2 X, ¼, cos nx, păcat nx, ¼, forme pe intervalul [– p, p] sistem ortogonal de funcții, care face posibilă reprezentarea funcțiilor sub formă de serii trigonometrice.

sunt definite ca continuări analitice ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare ale unui argument real în plan complex. Da, păcat z si cos z poate fi definit folosind seria pentru sin X si cos X, dacă în loc de X a pune z:

Aceste serii converg pe întregul plan, deci păcat z si cos z sunt funcții întregi.

Tangenta și cotangenta sunt determinate de formulele:

funcții tg z si ctg z sunt funcții meromorfe. Stalpi tg z si sec z sunt simple (de ordinul I) și sunt situate la puncte z=p/2 + pn, stâlpi ctg zşi cosec z sunt de asemenea simple și sunt situate în puncte z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Toate formulele care sunt valabile pentru funcțiile trigonometrice ale unui argument real sunt valabile și pentru unul complex. În special,

păcat(- z) = -sin z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

acestea. se păstrează paritatea pară și impară. Formulele sunt de asemenea salvate

păcat( z + 2p) = păcat z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

acestea. se păstrează și periodicitatea, iar perioadele sunt aceleași ca pentru funcțiile unui argument real.

Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate în termenii unei funcții exponențiale a unui argument pur imaginar:

Înapoi, e iz exprimat în termeni de cos zși păcatul z dupa formula:

e iz= cos z + i păcat z

Aceste formule sunt numite formule Euler. Leonhard Euler le-a introdus în 1743.

Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate și în termeni de funcții hiperbolice:

z = –i SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

unde sh, ch și th sunt sinus hiperbolic, cosinus și tangentă.

Funcții trigonometrice ale argumentului complex z = x + iy, Unde Xși y- numerele reale, pot fi exprimate în termeni de funcții trigonometrice și hiperbolice ale argumentelor reale, de exemplu:

păcat( x+iy) = păcat X cap y + i cos X SH y;

ca ( x+iy) = cos X cap y + i păcat X SH y.

Sinusul și cosinusul unui argument complex pot lua valori reale mai mari decât 1 în valoare absolută. De exemplu:

Dacă un unghi necunoscut intră în ecuație ca argument al funcțiilor trigonometrice, atunci ecuația se numește trigonometrică. Astfel de ecuații sunt atât de comune încât metodele lor soluțiile sunt foarte detaliate și atent proiectate. Cu Ajutor diverse trucuri iar formulele, ecuațiile trigonometrice sunt reduse la ecuații de formă f(X)= a, Unde f- oricare dintre cele mai simple funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă sau cotangentă. Apoi exprimă argumentul X această funcție prin valoarea ei cunoscută A.

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, la fel A din gama de valori există infinit de valori ale argumentului, iar soluția ecuației nu poate fi scrisă ca o singură funcție a A. Prin urmare, în domeniul definirii fiecăreia dintre funcțiile trigonometrice principale, se selectează o secțiune în care își ia toate valorile, fiecare o singură dată, și se găsește o funcție care este inversă acesteia în această secțiune. Astfel de funcții sunt desemnate prin atribuirea numelui cu prefix arc (arc). functia originala, și se numesc trigonometric invers funcții sau doar funcții arc.

Funcții trigonometrice inverse.

Pentru păcat X, cos X, tg X si ctg X poate fi definit funcții inverse. Ele sunt desemnate respectiv arcsin X(a se citi „arxine X"), arcos X, arctg Xşi arcctg X. Prin definiție, arcsin X există un astfel de număr y, ce

păcat la = X.

Același lucru este valabil și pentru alte funcții trigonometrice inverse. Dar această definiție suferă de o oarecare inexactitate.

Dacă reflectăm păcatul X, cos X, tg X si ctg Xîn raport cu bisectoarea primului și al treilea cadran plan de coordonate, atunci funcțiile datorate periodicității lor devin ambigue: aceluiași sinus (cosinus, tangentă, cotangentă) îi corespunde un număr infinit de unghiuri.

Pentru a scăpa de ambiguitate, o secțiune a curbei cu o lățime de p, în timp ce este necesar să se observe o corespondență unu-la-unu între argument și valoarea funcției. Sunt selectate zonele din apropierea originii. Pentru sinusuri ca „intervalul unu-la-unu” este luat segmentul [- p/2, p/2], pe care sinusul crește monoton de la –1 la 1, pentru cosinus - segmentul , pentru tangentă și respectiv cotangentă intervalele (– p/2, p/2) și (0, p). Fiecare curbă din interval este reflectată în jurul bisectoarei și acum puteți defini funcții trigonometrice inverse. De exemplu, să fie dată valoarea argumentului x 0 , astfel încât 0 J X 0 Ј 1. Apoi valoarea funcției y 0 = arcsin X 0 voi sens unic la 0 , astfel încât - p/2 J la 0 Ј p/2 și X 0 = păcat y 0 .

Astfel, arcsinusul este o funcție a arcsinusului A, definit pe intervalul [–1, 1] și egal pentru fiecare A o astfel de valoare a, - p/2 a p /2 care sin a = A. Este foarte convenabil să îl reprezentați folosind un cerc unitar (Fig. 15). Când | a| 1 pe cerc sunt două puncte cu ordonată A, simetric față de axă y. Unul dintre ele este unghiul A= arcsin A, iar celălalt este unghiul p - a. Cu tinand cont de periodicitatea solutiei sinusului ecuațiile sin X= A se scrie astfel:

x =(–1)n arc sin A + 2p n,

Unde n= 0, ±1, ±2,...

Se rezolvă și alte ecuații trigonometrice simple:

cos X = A, –1 =A= 1;

x=±arcos A + 2p n,

Unde P= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg X = A;

X= arctg A + p n,

Unde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);

ctg X= A;

X= arcctg A + p n,

Unde n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

Principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice inverse:

arc sin X(Fig. 19): domeniul de definire este segmentul [–1, 1]; gamă - [- p/2, p/2], o funcție crescătoare monoton;

arccos X(Fig. 20): domeniul de definire este segmentul [–1, 1]; interval de valori -; funcția monotonă descrescătoare;

arctg X(Fig. 21): domeniu de definiție - toate numerele reale; interval de valori – interval (– p/2, p/2); funcția crescândă monoton; Drept la= –p/2 și y \u003d p / 2 - asimptote orizontale;

arcctg X(Fig. 22): domeniu de definiție - toate numerele reale; interval de valori - interval (0, p); funcția monotonă descrescătoare; Drept y= 0 și y = p sunt asimptotele orizontale.

,

Pentru oricine z = x+iy, Unde Xși y sunt numere reale, există inegalități

½| e\ey–e-y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

din care y® Urmează formule asimptotice (uniform față de X)

|păcat z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Funcțiile trigonometrice au apărut pentru prima dată în legătură cu cercetările în astronomie și geometrie. Rapoartele segmentelor dintr-un triunghi și un cerc, care sunt în esență funcții trigonometrice, se găsesc deja în secolul al III-lea. î.Hr e. în lucrările matematicienilor din Grecia Antică – Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga și alții, totuși, aceste rapoarte nu au fost obiect independent studii, astfel încât funcțiile trigonometrice ca atare nu au fost studiate de ei. Ele au fost considerate inițial ca segmente și în această formă au fost folosite de Aristarh (sfârșitul secolului al IV-lea - a doua jumătate a secolului al III-lea î.Hr.), Hiparh (secolul al II-lea î.Hr.), Menelau (secolul I d.Hr.) și Ptolemeu (secolul al II-lea d.Hr.) când rezolvarea triunghiurilor sferice. Ptolemeu a alcătuit primul tabel de acorduri pentru unghiuri acute până la 30 ", cu o precizie de 10 -6. Acesta a fost primul tabel de sinusuri. Ca raport funcţia păcatului a se găsește deja în Aryabhata (sfârșitul secolului al V-lea). Funcțiile tg a și ctg a se găsesc la al-Battani (a doua jumătate a secolului IX - începutul secolului al X-lea) și Abul-Vef (secolul al X-lea), care folosește și sec a și cosec a. Aryabhata știa deja formula (sin 2 a + cos 2 a ) = 1 și, de asemenea formule de păcat si cos jumătate de unghi, cu ajutorul cărora a construit tabele de sinusuri pentru unghiuri prin 3 ° 45 "; pe baza valorilor cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru cele mai simple argumente. Bhaskara (secolul al XII-lea) a dat o metodă pentru construirea de tabele prin 1 folosind formule de adunare.Formulele pentru conversia sumei și diferențelor funcțiilor trigonometrice ale diferitelor argumente din produs au fost derivate de Regiomontanus (secolul al XV-lea) și J. Napier în legătură cu inventarea acestor din urmă logaritmi (1614). Regiomontanus a dat un tabel de valorile sinusului până la 1". Extinderea funcţiilor trigonometrice în serii de puteri a fost obţinută de I. Newton (1669). LA formă modernă teoria funcţiilor trigonometrice a fost introdusă de L. Euler (secolul al XVIII-lea). El deține definiția lor pentru argumente reale și complexe, simbolismul acum acceptat, stabilirea unei legături cu functie exponentialași ortogonalitatea sistemului de sinusuri și cosinusuri.

În acest articol, vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de înregistrări, vom da ilustrații grafice. În concluzie, facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmăm cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă curs şcolar matematică. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și a numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Vă prezentăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.

Acolo este introdusă și notația sinus, cosinus, tangente și cotangente - sin, cos, tg și respectiv ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții fac posibilă calcularea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valori cunoscute sinus, cosinus, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi pentru a găsi lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3 și ipotenuza AB este 7 , atunci am putea calcula cosinusul unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Unghiul de rotație

În trigonometrie, încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Unghiul de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitat la cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1 , în care trece așa-numitul punct inițial A(1, 0) după ce se rotește printr-un unghi α în jurul punctului O - începutul unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1 , adică sinα=y .

Definiție.

cosinus al unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1 , adică cosα=x .

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα=y/x .

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y .

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α , deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata unui punct, care se obține prin rotirea punctului de plecare prin unghiul α . Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul inițial merge într-un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) , iar aceasta are loc la unghiurile 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor de 180° k , k ∈Z (π k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notațiile deja cunoscute nouă apar în definițiile sin, cos, tg și ctg, ele sunt folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentele unghiului de rotație (uneori puteți găsi notația tan și cot corespunzătoare tangentei și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, înregistrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, notația „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rads este de obicei notat cos3 π .

În încheierea acestui paragraf, este de remarcat faptul că, vorbind despre sinus, cosinus, tangentă și cotangente ale unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurtă - „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus și tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90. grade. Vom fundamenta acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 π rad. Și cosinusul unghiului este 8 π rad egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este egal cu 1 .

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t îi este asociat un punct al cercului unitar cu centrul la început sistem dreptunghiular coordonatele, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele cercului:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0) ;
• număr pozitiv t corespunde punctului cercului unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și hai sa mergem pe drum lungimea t;
• număr negativ t corespunde punctului cercului unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului din punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum să trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct al cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul unui număr t este ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t , adică sint=y .

Definiție.

Cosinusul unui număr t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t , adică cost=x .

Definiție.

Tangenta unui număr t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost .

Definiție.

Cotangente a unui număr t este raportul dintre abscisă și ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt=x/y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t : ctgt=cost/sint .

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în acord cu definiția dată la începutul acestei subsecțiuni. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare printr-un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegeți dacă sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani este în discuție? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu contează.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definiţiilor date în paragraful precedent, fiecărui unghi de rotaţie α îi corespunde o valoare bine definită sin α , precum şi valoarea cos α . În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) corespund valorilor tgα și altele decât 180° k, k∈Z (π k rad) sunt valorile ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori bine definite a sint , precum și costului . În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k , k∈Z corespund valorilor tgt , iar numerele π·k , k∈Z corespund valorilor ctgt .

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, din context, este clar că avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă ca măsură a unghiului ( argument unghiular), precum și un argument numeric.

Cu toate acestea, școala studiază în principal funcții numerice, adică funcții ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbimîn special despre funcții, este oportun să se considere funcțiile trigonometrice ca funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin în concordanță cu definițiile sinusului, cosinusului , tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să argumentăm acest lucru.

Desenați un cerc unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Observați punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y) . Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opus unghiului este egala cu ordonata punctului A 1 , adica |A 1 H|=y , iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egala cu unu. , deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. pentru invatamantul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: Proc. pentru 7-9 celule. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Iluminismul, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și functii elementare : Tutorial pentru elevii clasei a IX-a liceu/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La 2 p. Ch. 1: un tutorial pentru institutii de invatamant (nivel de profil)/ A. G. Mordkovici, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începe analiză matematică. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Definiții

Definițiile funcțiilor trigonometrice sunt date cu ajutorul unui cerc trigonometric, care este înțeles ca un cerc de rază unitară centrat la origine.

Luați în considerare două raze ale acestui cerc: fixă ​​(unde este punctul) și mobilă (unde este punctul). Lasă raza mobilă să formeze un unghi cu cea fixă.

Numărul egal cu ordonata capătului razei unității care formează un unghi cu rază fixă ​​se numește sinusul unghiului : .

Numărul egal cu abscisa capătului razei unității care formează un unghi cu rază fixă ​​se numește cosinusul unghiului : .

Astfel, punctul care este capătul razei mobile care formează colțul are coordonate.

Tangenta unui unghi este raportul dintre sinusul acestui unghi și cosinusul său: , .

cotangenta unui unghi este raportul dintre cosinusul acestui unghi și sinusul său: , .

Sensul geometric al funcțiilor trigonometrice

Sensul geometric al sinusului și cosinusului pe un cerc trigonometric este clar din definiție: aceasta este abscisa și ordonatele punctului de intersecție al razei mobile, care formează un unghi cu raza fixă ​​și cercul trigonometric. adică .

Luați în considerare acum semnificația geometrică a tangentei și cotangentei. Triunghiurile sunt similare în trei unghiuri (,), atunci relația este valabilă. Pe de altă parte, în, prin urmare.

De asemenea, asemănător în trei colțuri (,), atunci relația este valabilă. Pe de altă parte, în, prin urmare.

Ținând cont de semnificația geometrică a tangentei și cotangentei, se introduce conceptul de axa tangentelor și axa cotangentelor.

Axele tangentelor se numesc axe, dintre care una atinge cercul trigonometric într-un punct și este îndreptată în sus, a doua atinge cercul într-un punct și este îndreptată în jos.

Axele cotangente se numesc axe, dintre care una atinge cercul trigonometric într-un punct și este îndreptată spre dreapta, a doua atinge cercul într-un punct și este îndreptată spre stânga.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice

Să luăm în considerare câteva proprietăți de bază ale funcțiilor trigonometrice. Alte proprietăți vor fi discutate în secțiunea despre graficele funcțiilor trigonometrice.

Domeniul de aplicare și intervalul de valori

După cum am menționat mai devreme, sinusul și cosinusul există pentru orice unghi, adică domeniul de definire a acestor funcţii este mulţimea numere reale. Prin definiție, tangenta nu există pentru unghiuri, ci cotangenta pentru unghiuri, .

Deoarece sinusul și cosinusul sunt ordonatele și abscisa unui punct dintr-un cerc trigonometric, valorile lor se află între ele. Aria de valoare a tangentei și cotangentei este mulțimea numerelor reale (este ușor să vedeți acest lucru privind axele tangentelor și cotangentelor).

Chiar ciudat

Luați în considerare funcțiile trigonometrice a două unghiuri (care corespunde razei mobile) și (care corespunde razei mobile). De atunci, punctul are coordonate. Prin urmare, i.e. sinus - funcție impar; , adică cosinus este o funcție pară; , adică tangenta este impara; , adică cotangenta este de asemenea ciudată.

Intervale de constanță

Semne ale funcțiilor trigonometrice pentru diverse sferturi de coordonate rezultă din definiţia acestor funcţii. Rețineți că, deoarece tangenta și cotangenta sunt rapoarte dintre sinus și cosinus, ele sunt pozitive atunci când sinusul și cosinusul unui unghi sunt semne identiceși negativ când este diferit.

Periodicitate

Periodicitatea sinusului și cosinusului se bazează pe faptul că unghiurile care diferă printr-un număr întreg revoluții complete, corespund aceluiași poziție relativă grinzi mobile și fixe. În consecință, coordonatele punctului de intersecție al fasciculului în mișcare și ale cercului trigonometric vor fi aceleași pentru unghiurile care diferă cu un număr întreg de rotații complete. Deci perioada sinusului și cosinusului este și unde.

Evident, aceasta este și perioada pentru tangentă și cotangentă. Dar există o perioadă mai mică pentru aceste funcții? Demonstrăm că cea mai mică perioadă pentru tangentă și cotangentă este.

Luați în considerare două unghiuri și. op sens geometric tangentă și cotangentă, . Triunghiurile sunt egale de-a lungul laturii și unghiurile adiacente acesteia și, prin urmare, laturile lor sunt, de asemenea, egale, ceea ce înseamnă și. În mod similar, se poate dovedi unde. Astfel, perioada tangentei și cotangentei este.

Funcții trigonometrice ale unghiurilor de bază

Formule de trigonometrie

Pentru solutie de succes probleme trigonometrice trebuie să dețină mai multe formule trigonometrice. Cu toate acestea, nu este nevoie să memorați toate formulele. Trebuie să le știi pe de rost doar pe cele mai elementare și trebuie să poți deduce restul formulelor dacă este necesar.

Principal identitate trigonometricăși consecințele din aceasta

Toate funcțiile trigonometrice unghi arbitrar interconectate, adică cunoscând o funcție, puteți găsi întotdeauna restul. Această legătură este dată de formulele luate în considerare în această secțiune.

Teorema 1 (identitatea trigonometrică de bază). Pentru orice, identitatea

Demonstrația constă în aplicarea teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic cu catete și o ipotenuză.

O teoremă mai generală este, de asemenea, adevărată.

Teorema 2. Pentru ca două numere să fie luate drept cosinus și sinus al aceluiași unghi real, este necesar și suficient ca suma pătratelor lor să fie egală cu unu:

Luați în considerare consecințele identității trigonometrice principale.

Să exprimăm sinusul în termeni de cosinus și cosinus în termeni de sinus:

În aceste formule, semnul plus sau minus din fața rădăcinii se alege în funcție de sfertul în care se află unghiul.

Inlocuind formulele obtinute mai sus in formulele care determina tangenta si cotangenta se obtine:

Împărțind termenul de identitate trigonometric de bază la termen cu sau obținem, respectiv:

Aceste rapoarte pot fi rescrise astfel:

Următoarele formule oferă relația dintre tangentă și cotangentă. De când și când, atunci are loc egalitatea:

Formule turnate

Cu ajutorul formulelor de reducere, se pot exprima valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor arbitrare în termeni de valori ale funcțiilor unui unghi ascuțit. Toate formulele de reducere pot fi generalizate folosind următoarea regulă.

Orice funcție trigonometrică a unghiului, în valoare absolută, este egală cu aceeași funcție a unghiului, dacă numărul este par, și co-funcția unghiului, dacă numărul este impar. În plus, dacă funcția unghiului este pozitivă, când este un unghi ascuțit pozitiv, atunci semnele ambelor funcții sunt aceleași, dacă sunt negative, atunci sunt diferite.

Formule pentru suma și diferența de unghiuri

Teorema 3 . Pentru orice formule reale și următoarele formule sunt adevărate:

Dovada formulelor rămase se bazează pe formulele de reducere și par/impar pentru funcțiile trigonometrice.

Q.E.D.

Teorema 4. Pentru orice real și așa că

1. , sunt valabile următoarele formule

2. , sunt valabile următoarele formule

Dovada. Prin definiția tangentei

Ultima transformare se obține prin împărțirea numărătorului și numitorului acestei fracții.

În mod similar, pentru cotangentă (numărătorul și numitorul în acest caz sunt împărțite la):

Q.E.D.

Trebuie acordată atenție faptului că părțile din dreapta și din stânga ultimelor egalități au zone diferite valori admise. Prin urmare, utilizarea acestor formule fără restricții asupra valori posibile colțurile pot duce la rezultate incorecte.

Formule cu unghi dublu și jumătate

Formule unghi dublu ne permit să exprimăm funcțiile trigonometrice ale unui unghi arbitrar în termeni de funcții ale unui unghi jumătate din original. Aceste formule sunt consecințe ale formulelor pentru suma a două unghiuri, dacă punem unghiurile din ele egale între ele.

Ultima formulă poate fi transformată folosind identitatea trigonometrică de bază:

Astfel, pentru cosinusul unui unghi dublu, există trei formule:

Trebuie remarcat faptul că formula dată valabil numai atunci când

Ultima formulă este valabilă pentru, .

Similar funcțiilor cu unghi dublu, pot fi obținute funcții cu unghi triplu. Aici aceste formule sunt date fără dovezi:

Formulele cu jumătate de unghi sunt consecințe ale formulelor cu dublu unghi și vă permit să exprimați funcțiile trigonometrice ale unui anumit unghi în termeni de funcții ale unui unghi dublu față de cel original.

1. Funcții trigonometrice sunt funcţii elementare al căror argument este injecţie. Cu ajutorul funcţiilor trigonometrice, relaţiile dintre laturi şi colțuri ascuțiteîntr-un triunghi dreptunghic. Domeniile de aplicare a funcțiilor trigonometrice sunt extrem de diverse. Deci, de exemplu, orice proces periodic poate fi reprezentat ca o sumă de funcții trigonometrice (seria Fourier). Aceste funcții apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și funcționale.

2. Funcțiile trigonometrice includ următoarele 6 funcții: sinusurilor, cosinus, tangentă,cotangentă, secantăși cosecant. Pentru fiecare dintre funcții specificate există o funcție trigonometrică inversă.

3. Definiție geometrică funcțiile trigonometrice sunt introduse convenabil folosind cerc unitar. Figura de mai jos prezintă un cerc cu raza r=1. Punctul M(x,y) este marcat pe cerc. Unghiul dintre vectorul rază OM și direcția pozitivă a axei Ox este α.

4. sinusurilor unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și raza r:
sinα=y/r.
Deoarece r=1, atunci sinusul este egal cu ordonata punctului M(x,y).

5. cosinus unghiul α este raportul dintre abscisa x punctului M(x,y) și raza r:
cosα=x/r

6. tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și abscisa sa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa x a punctului M(x,y) și ordonata y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secantă unghiul α este raportul dintre raza r și abscisa x a punctului M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecant unghiul α este raportul dintre raza r și ordonata y a punctului M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. În cercul unitar, proiecțiile x, y ale punctelor M(x,y) și raza r formează un triunghi dreptunghic, în care x,y sunt catete, iar r este ipotenuza. Prin urmare, definițiile de mai sus ale funcțiilor trigonometrice aplicate la triunghi dreptunghic sunt formulate astfel:
sinusurilor unghiul α este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.
cosinus unghiul α este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
tangentă unghiul α se numește catete opus celui alăturat.
Cotangentă unghiul α se numește cateta adiacentă opusului.
Secantă unghiul α este raportul dintre ipotenuză și picior alăturat.
Cosecant unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul opus.

11. graficul funcției sinus
y=sinx, domeniu: x∈R, domeniu: −1≤sinx≤1

12. Graficul funcției cosinus
y=cosx, domeniu: x∈R, interval: −1≤cosx≤1

13. graficul funcției tangente
y=tanx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: −∞

14. Graficul funcției cotangente
y=cotx, domeniu: x∈R,x≠kπ, domeniu: −∞

15. Graficul funcției secante
y=secx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: secx∈(−∞,−1]∪∪)