"रूसी में Ygrek का अर्थ है अज्ञात,

गणना की जाए"

ई. एस. वेंटज़ेल

प्रत्येक व्यक्ति का जीवन उसके समय को दर्शाता है। और अगर यह एक लंबा जीवन असामान्य है रचनात्मक व्यक्तित्व, तो यह प्रतिबिंब अधिक विशद और आम तौर पर महत्वपूर्ण हो जाता है।

95 साल लंबे ऐलेना सर्गेवना के जीवन ने पूरे अस्तित्व को गले लगा लिया सोवियत सत्ताऔर इक्कीसवीं सदी की शुरुआत में समाप्त हुआ।

वह शिक्षकों के परिवार में रेवेन (अब तेलिन) में पैदा हुई थी।

पिता, सर्गेई फेडोरोविच डोलगिनत्सेव ने गणित पढ़ाया, माँ - साहित्य। परिवार में दो बेटे - इल्या और निकोलाई - और बेटी ऐलेना बड़े हुए। सर्गेई फेडोरोविच का मानना ​​​​था कि उच्च गणित प्राथमिक की तुलना में सरल था और जब वह 7-8 साल की थी, तब उसने अपनी बेटी के साथ इसका अध्ययन किया। जैसा कि लेखक खुद याद करते हैं: “मैं अपने पिता की वजह से गणित में गया। शिक्षा से गणितज्ञ, उन्होंने अपने कम से कम एक बच्चे को अपना काम जारी रखने का सपना देखा। हम में से, तीन बच्चे, मैं शायद इसके लिए सबसे अधिक अनुकूलित था ... ”परिणामस्वरूप, गणित ने ऐलेना सर्गेवना का अधिग्रहण किया। 1923 में, सोलह वर्ष की आयु में, उन्होंने लेनिनग्राद (तब अभी भी पेत्रोग्राद) विश्वविद्यालय में प्रवेश लिया। गणितीय पाठ्यक्रम, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, पुरुषों द्वारा बनाया गया था: 280 लोगों में से केवल पांच लड़कियां थीं।

भौतिकी और गणित संकाय से स्नातक होने के बाद, 1935 में वह मास्को चली गईं। उन्होंने वायु सेना अकादमी में काम किया। मॉस्को इंस्टीट्यूट ऑफ ट्रांसपोर्ट इंजीनियर्स (1968-86) में एन.ई. ज़ुकोवस्की (1935-68); सगाई हो गई व्यावहारिक गणित. गणित में, उन्होंने सबसे काव्य खंड चुना - संभाव्यता का सिद्धांत। विभिन्न प्रकारहथियार, उड़ने वाली वस्तुओं पर शूटिंग, हवाई युद्ध की रणनीति, वायु रक्षा प्रणालियों को व्यवस्थित करने के तरीके। और उनकी पुस्तक द थ्योरी ऑफ़ प्रोबेबिलिटी आज भी इंजीनियरों और छात्रों के लिए सबसे महत्वपूर्ण पाठ्यपुस्तक बनी हुई है।

ई.एस. वेंटजेल के वैज्ञानिक कार्यों की सूची में लगभग सत्तर खुले और साठ बंद कार्य शामिल हैं। सैन्य इंजीनियर, नाविक, आविष्कारक एन। वी। लैप्टसेविच ने उसके बारे में लिखा: "संभाव्यता सिद्धांत और संचालन अनुसंधान पर उनकी पाठ्यपुस्तकें ... उन बहुत दुर्लभ कृतियों से संबंधित हैं, जिनके माध्यम से आप काम करते हैं ... मान्यता की खुशी और लेखक के प्रति कृतज्ञता की भावना ..."।

अकादमी में कैसे के बारे में। ज़ुकोवस्की प्रोफेसर और डॉक्टर तकनीकी विज्ञानई.एस. वेंटजेल व्याख्यान देते हैं, मास्को के सभी गणितीय विश्वविद्यालयों में अफवाहें थीं। उनके द्वारा लिखित संभाव्यता सिद्धांत पर पाठ्यपुस्तक, न केवल वैज्ञानिक, बल्कि में भी आनंद के साथ ली गई थी सार्वजनिक लाइब्रेरी: जो जीतना चाहते थे« स्पोर्टलोटो » , अन्य ग्रहों पर जीवन के अस्तित्व की गणना करें, अपने भाग्य से मिलें।

इंजीनियर विक्टर गैस्टेलो, अब समाचार पत्र संवाददाता« ढाल और तलवार » , बेटा महान पायलटयाद किया:

“शैक्षणिक सामग्री प्रस्तुत करने का उनका एक अजीबोगरीब तरीका था। हमने इसे डाइविंग कहा। वह लगातार दर्शकों को सस्पेंस में रखती थीं। उदाहरण के लिए, संभाव्यता के सिद्धांत के एक खंड की व्याख्या करते हुए, उसने यह कहा: "कल्पना कीजिए कि दर्शकों में सौ बंदर बैठे हैं (और हम में से लगभग सौ श्रोता थे), वे सभी बेतरतीब ढंग से कीबोर्ड पर दस्तक देते हैं। . उनके बड़े लिखने की कितनी संभावना है सोवियत विश्वकोश? (http://www.aif.ru/archive/1636620)।

यदि ऐलेना सर्गेवना गणितज्ञों के बीच श्रोताओं की मूर्ति बन गई, तो लेखकों के बीच युवा लोगों का ध्यान एक निश्चित आई। ग्रीकोवा, उपन्यास "द डिपार्टमेंट" के लेखक, "द विडो स्टीमबोट", "द लेडीज" की कहानियों की ओर आकर्षित हुआ। मास्टर" ... बहुत कम लोग जानते थे कि ई. एस. वेंटजेल और आई. ग्रीकोवा एक ही व्यक्ति हैं।

अद्भुत यादों में विश्व प्रसिद्ध गणितज्ञ अलेक्जेंडर दिमित्रिच वेंटज़ेल, ऐलेना सर्गेवना के बेटे की पत्नी, भाषाविद् एलेक्जेंड्रा अलेक्जेंड्रोवना रस्किना ने एक छद्म नाम के उद्भव का इतिहास दर्ज किया, जिस पर कई पाठकों ने अपना दिमाग लगाया: " जब ट्वार्डोव्स्की अभी भी "गेटवे के पीछे" छापने जा रहे थे, तो छद्म नाम का सवाल उठा। ई.एस. शुरू से ही, उसने अपने इन दो अवतारों - एक लेखक और एक वैज्ञानिक (इसके अलावा, एक सैन्य अकादमी के एक शिक्षक) के बीच सख्ती से अंतर करने का फैसला किया। हम घर बैठे, डाइनिंग रूम में और पूरा परिवार इस समस्या से परेशान था। ऐलेना की ओर से गया था। येलेनिना? येलेंस्काया? तान्या वेंट्ज़ेल ने ट्रोजन ऐलेना को याद किया और कहा: ऐलेना ग्रीकोवा? और फिर ई.एस. अचानक चिल्लाया: "इग्रेकोवा!" और यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि यह ऐसा ही होना चाहिए।"ए.ए. रस्किन "मेरी सास" )

ऐलेना सर्गेवना खुद इसे इस प्रकार याद करती हैं: " हमारे परिवार में साहित्य में पारंपरिक रुचि थी, हम सबने कुछ न कुछ लिखा। मैंने बहुत जल्दी लिखना शुरू किया, देर से प्रकाशित हुआ। ...बाहर से, मैं एक जन्मजात गणितज्ञ था। और आंतरिक रूप से, मैं साहित्य के प्रति अधिक आकर्षित था। इस तरह मेरा भावी जीवनगणित और साहित्य के बीच।

"सार्वजनिक" कार्यों का विमोचन कुछ हद तक फ्रीडा अब्रामोव्ना विगडोरोवा (ए. ए.ए. रस्किना: " कहानी ने हम सभी को बहुत बनाया बहुत अच्छा प्रभाव, और न केवल एक विषय, हालांकि याद रखें: यह साठवें का अंत था - "इवान डेनिसोविच में एक दिन" से दो साल पहले! लेकिन यह अच्छी तरह से लिखा गया था: उदाहरण के लिए, तब से मुझे याद है कि वे ट्रेन में "कोल्ड ब्लूश कोको" परोसते हैं। और यह चला गया। अगली कहानी थी "पीला फूल"। '66 कहानी की किताब में, इसे "अंडर द लैंटर्न" कहा जाता है - बाकी किताब की तरह। और हम सभी को अच्छा भी लगा। लेकिन किसी कारण से - शायद, जड़ता से, पहली कहानी एक सौ प्रतिशत अमुद्रणीय थी! - ऐसी कोई बात नहीं थी कि इसे छापना जरूरी होगा। "येलो फ्लावर" का एक दिलचस्प भाग्य था। ई.एस. कुछ ने उसकी कहानियाँ पढ़ने को दीं। और मेरी माँ, अगर उसे कुछ पसंद आया, तो उसने अपने सभी दोस्तों को पढ़ने के लिए दिया - और उनमें से कई थे। और अब साल 66 आता है (माँ अब नहीं थी ...), इकट्ठा करता है ई.एस. स्टोरीबुक और द येलो फ्लावर नहीं मिल रहा है। चेर्नोविची ई.एस. मैंने इसे कभी भी नहीं रखा, और यहाँ मुझे एक टाइपराइटेड कॉपी नहीं मिली। और यह क्या निकला? जिन लोगों को मेरी माँ ने पढ़ने के लिए कहानी दी, उनमें लेखिका रायसा ओरलोवा भी थीं। उसकी बेटी माशा, जो तब भी एक स्कूली छात्रा थी, को यह कहानी इतनी पसंद आई कि उसने इसे ले लिया और इसे हाथ से एक नोटबुक में कॉपी कर लिया। यह वही है जो कंप्यूटर-मुक्त है, लेकिन वहां क्या है - पूर्व-गुटेनबर्ग, युग हम रहते थे! माशा ने नोटबुक रखी, कहानी किताब में शामिल थी - सामान्य तौर पर, पांडुलिपियां नहीं जलती हैं!

उन्होंने "द एंट्रेंस के लिए" (1969) कहानी के साथ अपनी शुरुआत की, जो कि, उन्होंने अपने दोस्त एफ.ए. विगडोरोवा के लिए लिखी थी। ए.ए.रस्किना: "लेकिन "चौकी के पीछे" कहानी की कहानी क्या है। मैंने अपनी माँ के लिए विशेष रूप से लिखा, जैसा कि वे कहते हैं, आंतरिक उपयोग के लिए, ताकि मेरी माँ उसे, ऐलेना सर्गेवना, पर्यावरण, अपने पसंदीदा वैज्ञानिकों, "तकनीशियनों" के साथ जान सकें। ... ई.एस. इसे लेखक एहरेनबर्ग और इंजीनियर पोलेटेव के बीच "भौतिकविदों और गीतकारों" के विवाद के मद्देनजर लिखा था, जिसने लगभग पूरे देश पर कब्जा कर लिया था। ई.एस., हालांकि वह पहले से ही एक "गीतकार" बन चुकी थी, अपनी आत्मा में "भौतिकविदों" के साथ थी और उन्हें सबसे अच्छे पक्ष से दिखाना चाहती थी: जिस तरह से वह उन्हें पूरे दिल से प्यार करती थी। और इसलिए, जब कहानी छपी, तो उसने इसे लैटिन में एक शिलालेख के साथ एहरेनबर्ग भेजा: "ऑडिअतुर एट अल्टेरा पार्स" - "दूसरे पक्ष को सुना जाए।"

आलोचना ने उन्हें 1960-1970 में आबादी के शिक्षित हिस्से का "विचारों का शासक" कहा। लेखक के प्रत्येक नए काम का बेसब्री से इंतजार था, पुस्तकालयों में पत्रिकाओं के लिए कतारें लगी थीं। कुछ पाठकों को पता था कि लेखक और उनके कार्यों दोनों का भाग्य बहुत कठिन था, लेकिन पिघलना और ठहराव के समय की बहुत विशिष्ट थी। उसने जल्दी लिखना शुरू किया और देर से प्रकाशित किया। कहानी "बियॉन्ड द गेटवे" (1960 में लिखी गई) के प्रकाशन के समय तक, "लेखक की मेज" में पहले से ही "मास्टर्स ऑफ लाइफ" (एक देशी लेनिनग्राडर की कहानी जो "किरोव सेट" में गिर गई थी, की कहानियाँ थीं। शिविर से गुजरा, अपना परिवार खो दिया), " पीला फुलस्टालिन के समय में यहूदियों के भाग्य के बारे में "(" अंडर द लैंटर्न " के रूप में जाना जाता है), "द फर्स्ट रेड", उपन्यास "फ्रेश ट्रेडिशन" (पहला नाम "पीनो कर्व" है)। "द मास्टर्स ऑफ लाइफ" पाठक को 28 साल बाद (1988 में) ज्ञात हो गया, और उपन्यास "फ्रेश ट्रेडिशन" "तीस साल और तीन साल" (1995 में यूएसए में प्रकाशित) की "महाकाव्य" अवधि के लिए मेज पर रखा गया। ) बाद की कहानी "विदाउट स्माइल्स" केवल 16 साल बाद (1986 में) प्रकाश को देखने में सक्षम थी। कहानी "द विडो स्टीमबोट" (1970 के दशक की शुरुआत में लिखी गई, 1981 में प्रकाशित) को प्रकाशित करने में लेखक को 10 साल से अधिक का समय लगा।

पहले की तरह, पाठक के लिए सबसे पसंदीदा काम "द चेयर", "द विडो स्टीमबोट", "द होस्टेस ऑफ द इन" हैं।

आई. ग्रीकोवा की पुस्तकों के आकर्षण का रहस्य यह है कि वे हमेशा लोगों और उनके जीवन की परिस्थितियों के बारे में होती हैं। वे सफल हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, लेकिन वे पीड़ित हैं, लड़ते हैं, विश्वास करते हैं या संदेह करते हैं। और हमेशा मुख्य पंक्ति नैतिक या खोज, या नायकों की पसंद होती है।

यहाँ एस। इट्सकोविच द्वारा दिए गए आई। ग्रीकोवा का मूल्यांकन है: "गणित में कवि और कविता में गणितज्ञ, या यूँ कहें कि गद्य में, लेकिन आखिरकार, उनका गद्य भी काव्यात्मक है। ऐसा लगता है कि पुश्किन के अनुसार, वह बीजगणित के साथ सामंजस्य स्थापित करने में कामयाब रही है: उसकी कहानियों, उपन्यासों, उपन्यासों में हर शब्द को सत्यापित किया जाता है और गणितीय सटीकता के साथ एक सूत्र में एक्स और वाई की तरह रखा जाता है, यही कारण है कि उसका गद्य एक पूरी तरह से ट्यून किए गए संगीत वाद्ययंत्र की तरह लगता है।"

गणितीय सटीकता के साथ भाषा और कथानक का व्यवहार करते हुए, उन्होंने प्रस्तुत किया संकुचित ग्रंथऔर संक्षिप्त चित्र जो पाठकों के लिए असीम रूप से करीब और समझने योग्य थे। और यहां तक ​​​​कि गणितीय शब्दों के रूप में रूपकों ने प्रस्तुत छवि को प्रकट या पूरक किया। उदाहरण के लिए,

“कई लोगों ने सामान को लेकर हंगामा किया। लम्बी महिलापतलून में, दिशा सूचक यंत्रउसके लंबे पैर फैलाए, उपकरणों के साथ बक्सों को ध्यान से घुमाया। I. ग्रीकोवा हमें दिखाता है कि उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है एक बड़ी संख्या कीरूपकों, यदि आप केवल एक सटीक शब्द के साथ प्राप्त कर सकते हैं।

"... यह वह अंतर नहीं था जो यहाँ मारा गया था, लेकिन पहचान<…>और मानो वह यहाँ थी: अपरिवर्तनीय, सदृशखुद, उन दोनों की परेशान करने वाली सुंदरता - महिला और लड़का। दूसरे शब्दों में, समरूप का अर्थ है समान, समान। तो यहाँ, जब एक सैन्य आदमी कथाकार को एक तस्वीर दिखाता है, तो वह तुरंत उसे और उसके बगल की महिला को पहचान लेती है - यह उसकी माँ है, जिसके साथ वह समान दिखता है।

I. ग्रीकोवा स्वयं एक आदर्श लेखक के अवतार थे: उन्होंने उत्कृष्ट भाषाविज्ञान के साथ सामग्री की उत्कृष्ट कमान को जोड़ा। कई पेशेवर लेखकों ने उनकी प्रशंसा की। से गहरी उदासीगद्य लेखक, पत्रिका के गद्य विभाग के प्रमुख, आई. ग्रीकोव की मृत्यु की खबर को स्वीकार किया " नया संसार» रुस्लान किरीव। एक बार उन्होंने, एक महत्वाकांक्षी लेखक, ने पत्रिका को एक नाई के बारे में अपनी कहानी की पेशकश की, यह नहीं जानते हुए कि आई। ग्रीकोवा के "लेडीज मास्टर" को प्रकाशन के लिए पहले ही स्वीकार कर लिया गया था। जब, 15 साल बाद, किरीव का पाठ फिर भी सामने आया, तो पहले से ही प्रसिद्ध आई। ग्रीकोवा ने खुद उसे बुलाया। रुस्लान किरीव के अनुसार, वह हमेशा लेखक की विद्वता से चकित थे, जिन्होंने मूल में प्राउस्ट और शेक्सपियर को पढ़ा, गोगोल के पूरे पन्नों को दिल से उद्धृत किया: “वह एक आदमी था संस्कृति XIXसदी।"

15 अप्रैल 2002 को उनका निधन हो गया। आज उसकी किताबें, अनुवादित विभिन्न भाषाएंदुनिया की दुनिया पहले की तरह ही जल्दी से अलमारियों से गायब हो रही है। आखिरकार, वे सच्चे और महत्वपूर्ण हैं। जब अगली सोवियत पत्रिका में उसकी पांडुलिपि को ठीक करने के लिए कहा गया, तो उसने बस "अपनी संतान को अपनी बांह के नीचे ले लिया और छोड़ दिया, यहां तक ​​​​कि राहत की भावना के साथ - भगवान का शुक्र है, आपको जीवित को काटने, काटने की जरूरत नहीं है। बेशक, अगर मैं साहित्यिक शुल्क पर रहता, तो मैं अधिक मिलनसार होता, ”जैसा कि ऐलेना सर्गेवना ने याद किया। और अपने गिरते वर्षों में, उसने भाग्य को धन्यवाद दिया, जिसने उसे केवल साहित्य में डूबने से बचाया। आखिरकार, उनके अनुसार, "वहां, जैसा कि किसी में भी" मानविकीउस समय, किसी न किसी रूप में "झूठ" होना आवश्यक था। लेकिन हमारे गणितज्ञों के लिए, "झूठ से नहीं जीना" आसान था।

"साहित्य का सुरीला संयोजन और सटीक विज्ञान, त्रुटिहीन व्यावसायिकता और शब्दों में झूठ और समस्या समाधान के लिए वही त्रुटिहीन स्वभाव - यह इस व्यक्ति का ट्रेडमार्क है "- प्रशंसा के शब्द" नेज़ाविसिमाया अखबार", 2002, 19 अप्रैल।

और यहाँ वही है जो डी। बायकोव कहते हैं और आपको, पाठकों को सलाह देते हैं, आज: "आप देखते हैं, ग्रीकोवा, [वेरा] पनोवा की तरह, शैली का ऐसा चमत्कार है, बहुत ही किफायती, बहुत तटस्थ, अनुभवी, शांत, लेकिन एक ही समय में क्षमतावान, और उसके पास पहले से ही एक दिमाग है। तुम्हें पता है, ग्रीकोवा पढ़ना गर्मी में ठंडे स्नान के नीचे खड़े होने जैसा है। लेडीज मास्टर अद्भुत गद्य है, इतना क्षमतावान और सटीक। और यह सबसे महत्वपूर्ण चीज के बारे में है - हर रोज हर रोज अपमान के बारे में। यह बहुत है…"

16 मार्च को एक प्रतिभाशाली लेखक, एक बहादुर पत्रकार और दयालु, फ्रिडा अब्रामोव्ना विगडोरोवा (1915 - 1965) का जन्मदिन था। सहानुभूतिपूर्ण व्यक्ति. केरोनी इवानोविच चुकोवस्की ने उसके बारे में कहा: "सबसे अधिक सर्वश्रेष्ठ महिला". अपनी बेटी विगडोरोवा, साशा को 1966 में प्रकाशित अपनी पुस्तक "द रन ऑफ टाइम" के बारे में बताते हुए, अन्ना अखमतोवा ने फ्रिडा विगडोरोवा को "हम सभी के लिए दया, बड़प्पन, मानवता का सर्वोच्च उदाहरण" कहा। इसके बारे में हमारे ब्लॉग पर पढ़ें« जीवन की राह फ्रिडा विगडोरोव .

प्रतिलिपि

शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय द्वारा अनुशंसित 1 ई.एस. वेंटजेल संभाव्यता सिद्धांत रूसी संघउच्च तकनीकी के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक के रूप में शिक्षण संस्थानोंग्यारहवां संस्करण, स्टीरियोटाइपिकल 2010

2 UDC BBK V29 समीक्षक: G. G. Olkhovsky, सीईओअखिल रूसी थर्मल इंजीनियरिंग संस्थान, संबंधित सदस्य। आरएएस, डॉ. टेक. विज्ञान, प्रो. ए.एम. पेट्रोवा, मास्को के निदेशक पॉलिटेक्निक कॉलेज, कैंडी। अर्थव्यवस्था विज्ञान, टी यू सिमोनोवा, डिप्टी। मॉस्को पॉलिटेक्निक कॉलेज के निदेशक वेंट्ज़ेल ई.एस. B29 संभाव्यता सिद्धांत: पाठ्यपुस्तक / ई.एस. वेंटजेल। 11 वां संस्करण।, स्टर। एम।: नोरस, पी। ISBN पुस्तक संभाव्यता सिद्धांत पर सबसे प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तकों में से एक है और यह उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो से परिचित हैं उच्च गणितऔर संभाव्यता सिद्धांत के तकनीकी अनुप्रयोगों में रुचि रखते हैं। यह उन लोगों के लिए भी रुचिकर है जो अपने में संभाव्यता के सिद्धांत को लागू करते हैं व्यावहारिक गतिविधियाँ. किताब दी गई है बहुत ध्यान देनासंभाव्यता सिद्धांत के विभिन्न अनुप्रयोग (संभाव्य प्रक्रियाओं का सिद्धांत, सूचना सिद्धांत, कतारऔर आदि।)। विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए। वेंटसेल एलेना सर्गेवना संभाव्यता सिद्धांत शहर का स्वच्छता और महामारी विज्ञान निष्कर्ष डी। एड। प्रकाशन के लिए हस्ताक्षरित प्रारूप 60 90/16। हेडसेट "न्यूटनसी"। ऑफसेट प्रिंटिंग। रूपा. तंदूर एल 41.5. उच। ईडी। एल 21.6. संचलन 3000 प्रतियां। आदेश। एलएलसी "नोरस पब्लिशिंग हाउस", मॉस्को, सेंट। बोलश्या पेरेयास्लावस्काया, 46, पी। गोंचारोवा, 14. यूडीसी बीबीके वेंटसेल ई.एस. (वारिस), 2010 सीजेएससी "एमसीएफईआर", 2010 आईएसबीएन एलएलसी "पब्लिशिंग हाउस नोरस", 2010

3 विषयवस्तु प्रस्तावना अध्याय 1. प्रस्तावना 1.1। संभाव्यता संक्षिप्त का विषय ऐतिहासिक जानकारीअध्याय 2. संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ 2.1। आयोजन। एक घटना की संभावना संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना आवृत्ति, या एक घटना की सांख्यिकीय संभावना यादृच्छिक मूल्य व्यावहारिक रूप से असंभव और व्यावहारिक रूप से कुछ घटनाएं। सिद्धांत व्यावहारिक निश्चितताअध्याय 3. संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत 3.1। मुख्य प्रमेयों का उद्देश्य। घटनाओं का योग और गुणनफल प्रायिकता जोड़ प्रमेय प्रायिकता गुणन प्रमेय सूत्र पूर्ण संभावनापरिकल्पना प्रमेय (बेयस सूत्र) अध्याय 4. प्रयोगों की पुनरावृत्ति 4.1. प्रयोगों की पुनरावृत्ति पर विशेष प्रमेय सामान्य प्रमेयप्रयोगों की पुनरावृत्ति के बारे में अध्याय 5. यादृच्छिक चर और वितरण के उनके नियम 5.1। वितरण रेंज। वितरण बहुभुज वितरण फलन किसी दिए गए क्षेत्र में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता वितरण घनत्व संख्यात्मक अभिलक्षण यादृच्छिक चर. उनकी भूमिका और उद्देश्य

4 4 सामग्री 5.6। स्थिति विशेषताएँ (गणितीय अपेक्षा, मोड, माध्यिका) क्षण। फैलाव। औसत मानक विचलनएकसमान घनत्व का नियम पॉइसन का नियम अध्याय 6. सामान्य वितरण नियम 6.1। सामान्य कानून और उसके पैरामीटर क्षण सामान्य वितरणएक यादृच्छिक चर के अधीन होने की संभावना सामान्य कानून, किसी दिए गए क्षेत्र के लिए। सामान्य कार्यवितरण संभावित (माध्यिका) विचलन अध्याय 7. प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों का निर्धारण 7.1. गणितीय आँकड़ों के मूल कार्य सरल सांख्यिकीय जनसंख्या। सांख्यिकीय वितरण समारोह सांख्यिकीय श्रृंखला। हिस्टोग्राम संख्यात्मक विशेषताएं सांख्यिकीय वितरणसंरेखण सांख्यिकीय श्रृंखलाअच्छाई-की-फिट मानदंड अध्याय 8. यादृच्छिक चर के सिस्टम 8.1। यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की अवधारणा दो यादृच्छिक चर की प्रणाली का वितरण कार्य दो यादृच्छिक चर की एक प्रणाली का वितरण घनत्व प्रणाली में शामिल व्यक्तिगत चर के वितरण के कानून। सशर्त वितरण कानून आश्रित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर दो यादृच्छिक चर की प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं। सहसंबंध क्षण। सहसंबंध गुणांक यादृच्छिक चर की एक मनमानी संख्या की प्रणाली कई यादृच्छिक चर की प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं

5 अध्याय 9. यादृच्छिक चर की एक प्रणाली के लिए सामान्य वितरण कानून सामग्री तालिका विमान पर सामान्य कानून बिखरने वाले अंडाकार। विहित रूप में सामान्य कानून की कमी मुख्य प्रकीर्णन कुल्हाड़ियों के समानांतर पक्षों के साथ एक आयत में गिरने की संभावना एक बिखरने वाले दीर्घवृत्त में गिरने की संभावना तीन आयामों के स्थान में सामान्य कानून के मनमाने आकार के क्षेत्र में गिरने की संभावना। सामान्य प्रविष्टियादृच्छिक चर की एक मनमानी संख्या की प्रणाली के लिए सामान्य कानून अध्याय 10। यादृच्छिक चर के कार्यों की संख्यात्मक विशेषताएं एक फ़ंक्शन की गणितीय अपेक्षा। फ़ंक्शन का विचरण संख्यात्मक विशेषताएं ax संख्यात्मक अभिलक्षणों पर प्रमेयों के अनुप्रयोग अध्याय 11. कार्यों का रैखिककरण यादृच्छिक तर्कों के कार्यों के रैखिककरण की विधि एक के कार्य का रैखिककरण यादृच्छिक तर्ककई यादृच्छिक तर्कों के एक फ़ंक्शन का रैखिककरण रैखिककरण विधि अध्याय 12 द्वारा प्राप्त परिणामों का परिशोधन। यादृच्छिक तर्कों के कार्यों के वितरण के नियम दो यादृच्छिक चर के योग का वितरण। वितरण कानूनों की संरचना सामान्य कानूनों की संरचना रैखिक कार्यसामान्य रूप से वितरित तर्कों से विमान पर सामान्य कानूनों की संरचना

6 6 विषय-सूची अध्याय 13. संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय विधि बड़ी संख्याऔर केंद्रीय सीमा प्रमेय चेबीशेव की असमानता बड़ी संख्या का कानून (चेबीशेव के प्रमेय) ने चेबीशेव के प्रमेय को सामान्यीकृत किया। मार्कोव की प्रमेय बड़ी संख्या के कानून के परिणाम: बर्नौली और पोइसन के प्रमेय बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटना और केंद्रीय सीमा प्रमेय विशेषता कार्य समान रूप से वितरित शर्तों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय केंद्रीय व्यक्त करने वाले सूत्र सीमा प्रमेयऔर उससे मिलना व्यावहारिक अनुप्रयोगअध्याय 14. प्रयोगों का प्रसंस्करण सीमित संख्या में प्रयोगों के प्रसंस्करण की विशेषताएं। वितरण कानून के अज्ञात मापदंडों के अनुमान के लिए अनुमान गणितीय अपेक्षाऔर विचरण विश्वास अंतराल। आत्मविश्वास की संभावनासटीक निर्माण के तरीके विश्वास अंतरालसामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए आवृत्ति द्वारा संभाव्यता अनुमान यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अनुमान शूटिंग प्रसंस्करण चौरसाई प्रयोगात्मक निर्भरताविधि के अनुसार कम से कम वर्गोंअध्याय 15 यादृच्छिक कार्ययादृच्छिक चर की एक प्रणाली की अवधारणा के विस्तार के रूप में एक यादृच्छिक कार्य की अवधारणा। यादृच्छिक फलन का वितरण नियम यादृच्छिक फलनों के अभिलक्षण अनुभव से यादृच्छिक फलन की विशेषताओं का निर्धारण

सामग्री की तालिका मूल यादृच्छिक कार्यों की विशेषताओं से रूपांतरित यादृच्छिक कार्यों की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए तरीके रैखिक और गैर-रेखीय ऑपरेटरों। डायनेमिक सिस्टम ऑपरेटर रैखिक परिवर्तनयादृच्छिक कार्य यादृच्छिक कार्यों का जोड़ जटिल यादृच्छिक कार्य अध्याय 16। यादृच्छिक कार्यों का विहित विस्तार विहित विस्तार की विधि का विचार। प्रारंभिक यादृच्छिक कार्यों के योग के रूप में एक यादृच्छिक कार्य का प्रतिनिधित्व एक यादृच्छिक कार्य का विहित विस्तार यादृच्छिक कार्यों के रैखिक परिवर्तन दिए गए हैं विहित विस्तारअध्याय 17 एक अनंत समय अंतराल पर एक स्थिर यादृच्छिक फ़ंक्शन का फैलाव स्पेक्ट्रम वर्णक्रमीय विस्तार। वर्णक्रमीय घनत्वस्थिर यादृच्छिक फलन एक यादृच्छिक फलन का वर्णक्रमीय विस्तार in जटिल रूपएक स्थिर यादृच्छिक फ़ंक्शन का एक स्थिर एक में परिवर्तन रैखिक प्रणालीविश्लेषण और संश्लेषण से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत के अनुप्रयोग गतिशील प्रणालीस्थिर यादृच्छिक कार्यों की एर्गोडिक संपत्ति एक कार्यान्वयन से एक एर्गोडिक स्थिर यादृच्छिक फ़ंक्शन की विशेषताओं का निर्धारण अध्याय 18। सूचना सिद्धांत की मूल अवधारणाएं सूचना सिद्धांत के विषय और कार्य राज्य अनिश्चितता की डिग्री के उपाय के रूप में एन्ट्रॉपी भौतिक प्रणाली

8 8 सामग्री एन्ट्रापी जटिल सिस्टम. एन्ट्रापी जोड़ प्रमेय सशर्त एन्ट्रापी। आश्रित सिस्टम एंट्रोपी और सूचना का संयोजन एक घटना संदेश में निहित सिस्टम के बारे में निजी जानकारी। किसी अन्य घटना के बारे में एक संदेश में निहित एक घटना के बारे में निजी जानकारी एन्ट्रापी और राज्यों के निरंतर सेट वाले सिस्टम के लिए जानकारी संदेश कोडिंग की समस्याएं। शैनन फ़ानो कोड विकृतियों के साथ सूचना का प्रसारण। बैंडविड्थशोर चैनल अध्याय 19। कतार सिद्धांत के तत्व कतार सिद्धांत का विषय राज्यों के एक गणनीय सेट के साथ यादृच्छिक प्रक्रिया घटनाओं का प्रवाह। सबसे सरल प्रवाह और उसके गुण अस्थिर पॉसों प्रवाह सीमित प्रभाव के साथ प्रवाह (पाम प्रवाह) सेवा समय मार्कोव स्टोकेस्टिक प्रक्रिया विफलताओं के साथ कतार प्रणाली। Erlang समीकरण स्थिर सेवा मोड। Erlang सूत्र प्रतीक्षा कतार प्रणाली प्रणाली मिश्रित प्रकारकतार की लंबाई पर एक सीमा के साथ परिशिष्ट सूचकांक

9 प्रस्तावना इस पुस्तक को लेखक द्वारा कई वर्षों से छात्रों को दिए गए संभाव्यता के सिद्धांत पर व्याख्यान के आधार पर लिखा गया है। इंजीनियरिंग अकादमीउन्हें। एन। ई। ज़ुकोवस्की, साथ ही एक ही विषय पर लेखक की पाठ्यपुस्तक। पाठ्यपुस्तक मुख्य रूप से एक इंजीनियर के लिए डिज़ाइन की गई है गणितीय प्रशिक्षणउच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों के सामान्य पाठ्यक्रम की मात्रा में। पुस्तक का संकलन करते समय, लेखक ने पूर्ण गणितीय कठोरता के ढांचे के भीतर खुद को बांधे बिना, विषय को सबसे सरल और स्पष्ट तरीके से प्रस्तुत करने का कार्य निर्धारित किया। इस संबंध में, कुछ प्रावधान बिना प्रमाण के दिए गए हैं (विश्वास सीमा और विश्वास संभावनाओं पर अनुभाग; समझौते की कसौटी से संबंधित ए.एन. कोलमोगोरोव का प्रमेय, और कुछ अन्य); कुछ प्रावधानों को बहुत सख्ती से साबित नहीं किया गया है (वितरण कानूनों के गुणन का प्रमेय; गणितीय अपेक्षा को बदलने के नियम और एक यादृच्छिक कार्य को एकीकृत और विभेदित करते समय सहसंबंध कार्य)। लागू गणितीय उपकरण, मूल रूप से, पाठ्यक्रम से आगे नहीं जाता है उच्च गणित, उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों में कहा गया है; जहां लेखक को कम प्रसिद्ध अवधारणाओं का उपयोग करना पड़ता है (उदाहरण के लिए, अवधारणा रैखिक ऑपरेटर, मैट्रिक्स, द्विघात रूपआदि), इन अवधारणाओं को समझाया गया है। पुस्तक प्रदान की गई है बड़ी मात्राउदाहरण, परिकलित प्रकृति के कुछ मामलों में, जिसमें प्रस्तुत विधियों के अनुप्रयोग को एक विशिष्ट पर चित्रित किया गया है व्यावहारिक सामग्रीऔर एक संख्यात्मक परिणाम के लिए लाया। उदाहरणों के कुछ विशिष्ट चयन के बावजूद, पुस्तक में दी गई निदर्शी सामग्री को काम करने वाले इंजीनियरों के लिए समझा जा सकता है विभिन्न क्षेत्रोंप्रौद्योगिकी, और कोई भी जो अपने काम में संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करता है। लेखक कई मूल्यवान सुझावों के लिए प्रोफेसर ई.बी. डिनकिन और प्रोफेसर वी.एस. पुगाचेव के प्रति बहुत आभारी हैं। ई. वेंटज़ेल

ई.एस. वेंटजेल एल.ए. रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय द्वारा अनुशंसित ओवचारोव संभाव्यता सिद्धांत और इसके इंजीनियरिंग अनुप्रयोग अध्ययन गाइडउच्च तकनीकी के छात्रों के लिए

विषयवस्तु प्रस्तावना परिचय प्रायिकता सिद्धांत अध्याय 1. संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ 1.1। अनुभव और घटना घटनाओं के गुणन का संचालन घटनाओं के जोड़ का संचालन घटनाओं के घटाव का संचालन संचालन

इवानोव्स्की आर। आई। थ्योरी ऑफ़ प्रोबेबिलिटी और गणित के आँकड़े. मथकाड वातावरण में बुनियादी बातों, उदाहरणों और कार्यों के साथ लागू पहलू। सेंट पीटर्सबर्ग: बीएचवी-पीटरबर्ग, 2008. 528 पी.: बीमार। + सीडी-रोम (ट्यूटोरियल) बी

विषयवस्तु परिचय...... 14 भाग एक यादृच्छिक घटनाएँ अध्याय एक। संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ... 17 1. परीक्षण और घटनाएँ... 17 2. यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार... 17 3. क्लासिक परिभाषा

8. अनुशासन में परीक्षा (परीक्षा) की तैयारी के लिए उदाहरण प्रश्न 1. संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ और परिभाषाएँ। यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार। प्रायिकता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषा

पाठ्यपुस्तक अंतर की मात्रा में उच्च गणित के पाठ्यक्रम से परिचित पाठकों के लिए अभिप्रेत है और समाकलन गणितएक चर के कार्य। प्रस्तुत सामग्री में प्राथमिक मुद्दों को शामिल किया गया है

सामग्री भाग एक यादृच्छिक घटनाएँ अध्याय एक। प्रायिकता की परिभाषा .. 8 1. शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषाएंप्रायिकताएँ.. 8 2. ज्यामितीय प्रायिकताएँ... 12 अध्याय दो। मुख्य

अर्थशास्त्रियों के लिए ए.एम. कार्लोव संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी

INDEX वेक्टर, गणितीय अपेक्षा की सीमा के माध्य प्रसरणों का, सीमा मात्रा के मानक विचलन के फलन की सीमा, हाइपर-यादृच्छिक वेक्टर निरंतर 1.2 अदिश 1.2 अंतराल

VE Gmurman प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में समस्याओं को हल करने के लिए गाइड M.: Vyssh। स्कूल, 1979, 400 पृष्ठ। मैनुअल में आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी और सूत्र शामिल हैं, समाधान दिए गए हैं

RPD EN.F.03.08-2005 पेन्ज़ा स्टेट यूनिवर्सिटी फैकल्टी कंप्यूटर विज्ञानविभाग "असतत गणित" संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी कार्य कार्यक्रम शैक्षिक अनुशासन

"कज़ान संघीय विश्वविद्यालय" अर्थशास्त्र और वित्त विभाग गणित और आर्थिक सूचना विज्ञान पद्धतिगत विकासअनुशासन में "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी"

रूस के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय शैक्षिक संस्थाउच्चतर व्यावसायिक शिक्षा"मॉस्को स्टेट इंस्टीट्यूट ऑफ रेडियो इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स एंड ऑटोमेशन (तकनीकी विश्वविद्यालय)"

विषयवस्तु प्राक्कथन 3 परिचय 5 भाग 1। यादृच्छिक घटनाएंऔर उनकी संभावनाएं अध्याय 1. संभाव्यता की अवधारणा 1.1। यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार। प्राथमिक घटनाओं का असतत सेट। अनुभव के कई परिणाम

एन यू अफनासीवा वैज्ञानिक प्रयोग के कम्प्यूटेशनल और प्रायोगिक तरीके एन.ई. बाउमन" एक शिक्षण सहायता के रूप में

दिशा-निर्देशव्यावहारिक (सेमिनार) कक्षाओं के लिए व्यावहारिक कक्षाएं (सेमिनार) तृतीय सेमेस्टर p/p C1 C2 C3 C4 C5 C6 अनुशासन अनुभाग का नाम व्यावहारिक अभ्यास(सेमिनार) कॉम्बिनेटरिक्स:

फेडरल एजुकेशनल एजेंसी स्टेट एजुकेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ हायर प्रोफेशनल एजुकेशन "ट्युमेन स्टेट ऑयल एंड गैस यूनिवर्सिटी" इंस्टीट्यूट ऑफ साइबरनेटिक्स, इंफॉर्मेशन साइंस

B A K A L A V R I A T V.Ya. डेर कार्यात्मक विश्लेषण व्याख्यान और अभ्यास शास्त्रीय में यूएमओ द्वारा अनुमोदित विश्वविद्यालय की शिक्षाविशेषता में पढ़ रहे विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए एक शिक्षण सहायता के रूप में

उच्च व्यावसायिक शिक्षा के गैर-राज्य शैक्षणिक संस्थान "प्रबंधन संस्थान" अर्थशास्त्र विभाग के संकाय सूचना प्रौद्योगिकीतथा व्यावहारिक गणितअनुशासन कार्यक्रम

RPD EN.F.03-2005 कंप्यूटर इंजीनियरिंग विभाग "असतत गणित" संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी शैक्षणिक अनुशासन के कार्य कार्यक्रम के पेन्ज़ा स्टेट यूनिवर्सिटी संकाय

सामग्री 1 शैक्षिक अनुशासन संरचना के कार्यक्रम का पासपोर्ट और शैक्षिक अनुशासन की सामग्री 3 शैक्षिक अनुशासन नियंत्रण के कार्यक्रम के कार्यान्वयन के लिए शर्तें और परिणामों का मूल्यांकन 3 परिणाम

फेडरल एयर ट्रांसपोर्ट एजेंसी फेडरल स्टेट एजुकेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ हायर प्रोफेशनल एजुकेशन "मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी ऑफ सिविल

संघीय संस्थाशिक्षा द्वारा उच्च व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षणिक संस्थान सेंट पीटर्सबर्ग राज्य तकनीकी संस्थान (तकनीकी विश्वविद्यालय)

1. अनुशासन के लक्ष्य और उद्देश्य: प्राप्त करना बुनियादी ज्ञानऔर व्यावहारिक आर्थिक में उत्पन्न होने वाली समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में बुनियादी कौशल का निर्माण

ओ.एस. लिटविंस्काया एन.आई. सूचना प्रसारण के सिद्धांत के चेर्नशेव फंडामेंटल यूएमओ द्वारा विश्वविद्यालय पॉलिटेक्निक शिक्षा के लिए विशेष 230101 में पढ़ने वाले छात्रों के लिए शिक्षण सहायता के रूप में स्वीकृत

प्रशिक्षण और मौसम विज्ञान परिसरपाठ्यक्रम पर "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत" व्याख्यात्मक नोटसंभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत प्राकृतिक विज्ञान के चक्र से संबंधित हैं।

रूसी संघ (पेन्ज़ा शाखा) की सरकार के तहत उच्च शिक्षा वित्तीय विश्वविद्यालय के संघीय राज्य शैक्षिक बजट संस्थान प्रबंधन विभाग, सूचना विज्ञान और

N. I. GUSEVA, N. S. DENISOVA, O. Yu. TESLYA 2 भागों में ज्यामिति में समस्याओं का संग्रह भाग I विशिष्टताओं में UMO द्वारा अनुशंसित शिक्षक की शिक्षाउच्च के छात्रों के लिए एक शिक्षण सहायता के रूप में

भाग 7 संभाव्यता के सिद्धांत के तत्व और स्वचालित नियंत्रण के सिस्टम के अध्ययन में इसके आवेदन अध्याय 22 संभाव्यता के सिद्धांत से बुनियादी जानकारी 22.1। घटना, घटना वर्गीकरण, संभावना

माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा वी.पी. GALAGANOV संघीय द्वारा अनुशंसित सरकारी विभाग « संघीय संस्थानशिक्षा का विकास" शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक के रूप में

3 1. व्याख्यात्मक नोट में गणितीय आँकड़ों की बढ़ती भूमिका के संबंध में आधुनिक विज्ञानऔर प्रौद्योगिकी, ऊर्जा कुशल प्रौद्योगिकियों के क्षेत्र में भविष्य के विशेषज्ञों को सिद्धांत के गंभीर ज्ञान की आवश्यकता है

1. अनुशासन के लक्ष्य और उद्देश्य

प्रायिकता सूत्र I. यादृच्छिक घटनाएँ। मूल सूत्रकॉम्बिनेटरिक्स ए) क्रमपरिवर्तन पी =! = 3 ... ()। बी) प्लेसमेंट ए एम = ()...(एम +)। ए! सी) संयोजन सी = =। पी()!!। क्लासिक परिभाषा

2 सार अनुशासन B2.B3 संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी 1. अनुशासन का अध्ययन करने का उद्देश्य और उद्देश्य ( प्रशिक्षण पाठ्यक्रम) खरीद का उद्देश्य सैद्धांतिक ज्ञानपाठ्यक्रम के मुख्य वर्गों पर, गठन

2 1. अनुशासन के उद्देश्य और उद्देश्य सांख्यिकीय नियमितता,

1. अनुशासन के लक्ष्य और उद्देश्य 1.1 लक्ष्य व्यक्तित्व का निर्माण, बुद्धि का विकास और करने की क्षमता है तार्किक सोच, संचालित करने की क्षमता का विकास अमूर्त वस्तुएं; मिलाना गणितीय तरीके,

सार करने के लिए कार्यक्रमअनुशासन "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी" प्रशिक्षण की दिशा (विशेषता) 38.03.04 राज्य और नागरिक सरकार 1. अनुशासन के लक्ष्य और कार्य

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान "साइबेरियाई राज्य" जियोडेटिक अकादमी»

व्याख्यान 8 निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण व्याख्यान के उद्देश्य: घनत्व कार्यों और यादृच्छिक चर के संख्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए एक समान घातीय सामान्य और गामा वितरण

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी व्लादिवोस्तोक स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ इकोनॉमिक्स एंड सर्विस प्रोबेबिलिटी थ्योरी, मैथमैटिकल स्टैटिस्टिक्स एंड रैंडम प्रोसेसेस प्रशिक्षण कार्यक्रममें अनुशासन

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य" शैक्षणिक विश्वविद्यालयमैक्सिम टैंक के नाम पर "इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज एंड रिट्रेनिंग फैकल्टी ऑफ रिट्रेनिंग एजुकेशन स्पेशलिस्ट डिपार्टमेंट"

सामग्री प्रस्तावना...3 ए. वैक्टर और मैट्रिक्स के बीजगणित की मूल बातें...5 1. रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना...5 1.1। रैखिक समीकरण...5 1.2. रैखिक समीकरणों के निकाय...7 1.3. रैखिक की अनुमत प्रणाली

संचालन के लिए मूल्यांकन निधि मध्यवर्ती प्रमाणीकरणअनुशासन में छात्र (मॉड्यूल) सामान्य जानकारी 1. कुर्सी। तैयारी की दिशा अनुशासन (मॉड्यूल) गणित, भौतिकी और सूचना

ए.आई.किबज़ुन, ई.आर.गोर्यैनोवा, ए.वी.नौमोव, ए.एन.सिरोटिन संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी। उदाहरणों और कार्यों के साथ बुनियादी पाठ्यक्रम एम.: फ़िज़मैटलिट, 2002. - 224 पी। पुस्तक शुरुआती के लिए है

गैर-राज्य उच्च व्यावसायिक शिक्षा संस्थान "समारा मानवीय अकादमी" शाखा टोल्याट्टी अनुमोदन सूची में: उप। एसडी आर.वी. ज़कोमोल्डिन

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान "यूएफए स्टेट एविएशन टेक्निकल"

के लिए संघीय शैक्षिक और कार्यप्रणाली संघ के निर्णय द्वारा अनुमोदित सामान्य शिक्षा(जून 28, 2016 2/16-एच के कार्यवृत्त) उदाहरण माध्यमिक सामान्य शिक्षा के बुनियादी शैक्षिक कार्यक्रम (टुकड़ा)

भूविज्ञान के संकाय, भूभौतिकी और भू-रसायन विज्ञान रूसी राज्य तेल और गैस विश्वविद्यालय। उन्हें। गुबकिना कैलेंडर योजना अनुशासन "संभाव्यता सिद्धांत और गणित के तत्व। आँकड़े” पाठ्यचर्या कुल

अनुशासन में 2 इंटरमीडिएट सत्यापन परीक्षण: अनुशासन "गणित" I सेमेस्टर I तत्वों में परीक्षण के लिए प्रश्नों की सूची लीनियर अलजेब्रा 1. दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की अवधारणा, उनकी गणना और

रज़ात- फ़ु उज़्री मताहा सुल्लारी रस बोल्मस। डी'अलेम्बर्ट मानदंड द्वारा श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें: = 3 + 7. श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें अभिन्न विशेषताकॉची: = 3 3. श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या खोजें: 3

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय अल्ताई स्टेट यूनिवर्सिटी एस.वी. ड्रोन संभाव्यता सिद्धांत: प्राथमिक तरीके, यादृच्छिक चर, सीमा प्रमेय गणित के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक

वी.डी. मार्केटिंग की सेकेरिन मूल बातें शैक्षिक-पद्धतिगत संघअध्ययन करने वाले विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए शिक्षण सहायता के रूप में वाणिज्य और विपणन में शिक्षा में

किस्लोवोडस्क मानवतावादी और तकनीकी संस्थान "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी" अनुशासन पर कार्य कार्यक्रम तकनीकी प्रणाली» किस्लोवोडस्क, 2016

सामग्री की तालिका 1. अनुशासन का उद्देश्य और उद्देश्य... 4 2. बीईपी की संरचना में अनुशासन का स्थान... 4 3. शैक्षणिक अनुशासन में महारत हासिल करने के परिणामों के लिए आवश्यकताएं

बेलारूसी स्टेट यूनिवर्सिटी ने डीन को मंजूरी दी अर्थशास्त्र संकायएम.एम. कोवालेव (हस्ताक्षर) 25 जून, 2009 (अनुमोदन की तिथि) पंजीकरण यूडी -80 / आर। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय

मूल्यांकन उपकरणके लिये वर्तमान नियंत्रणप्रदर्शन, मध्यवर्ती प्रमाणन अनुशासन में महारत हासिल करने के परिणामों के आधार पर और शैक्षिक और पद्धति संबंधी समर्थन स्वतंत्र कामछात्र 1 विकल्प नियंत्रण कार्य

I. संगठनात्मक और कार्यप्रणाली खंड 1.1। अनुशासन का उद्देश्य: बुनियादी गणितीय विधियों को आत्मसात करने और डिजाइन और अनुसंधान की तैयारी के लिए छात्रों की मौलिक तैयारी है

अनुशासन: "संभावना सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी" विशेषता: संकाय: "चिकित्सा-जैविक" शैक्षणिक वर्ष: 016-017 विषय में परीक्षा के लिए प्रश्न "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय

गणितीय सांख्यिकी के तत्व गणितीय आँकड़ों की मूल अवधारणाएँ एक समुच्चय वस्तुओं का एक समुच्चय है (समुच्चय के तत्व) सामान्य सम्पति. जनसंख्या का आयतन संख्या है

वी.ए. कोलेमेव, वी.एन. कलिनिना संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी

2 व्याख्यात्मक नोट पाठ्यक्रम "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी" विशेषता 1-21 06 01-01 "आधुनिक" के लिए विकसित किया गया था विदेशी भाषाएँ" उच्च शिक्षा वाले संस्थान। अध्ययन का उद्देश्य

प्रकाशन और व्यापार निगम दशकोव और के. वी. बाल्डिन, वी. एन. बैशलीकोव, ए. वी. रुकोसुएव संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पाठ्यपुस्तक दूसरा संस्करण जीओयू वीपीओ द्वारा अनुशंसित « स्टेट यूनिवर्सिटी

संघीय राज्य बजटीय उच्च व्यावसायिक शिक्षा संस्थान "निज़नी नोवगोरोड राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय का नाम एन.आई. पुनः। अलेक्सीव परिवहन प्रणाली संस्थान

सन्दर्भ 1. खुसनुतदीनोव, आर. श. संभाव्यता सिद्धांत में एक पाठ्यक्रम। कज़ान: इज़द्वो केएसटीयू, 2000. 200 पी। 2. खुसनुतदीनोव, आर. श्री. गणितीय सांख्यिकी का पाठ्यक्रम। कज़ान: केएसटीयू का पब्लिशिंग हाउस, 2001। 344 पी। 3. खुसनुतदीनोव,

अनुशासन (मॉड्यूल) में छात्रों के अंतरिम प्रमाणन के लिए मूल्यांकन उपकरण का कोष। 1. विभाग सामान्य जानकारी 2. प्रशिक्षण की दिशा 3. अनुशासन (मॉड्यूल) 4. गठन के चरणों की संख्या

संभाव्यता सिद्धांत में समस्याएं और अभ्यास। वेंट्ज़ेल ई.एस., ओवचारोव एल.ए.

5 वां संस्करण।, रेव। - एम.: अकादमी, 2003.- 448 पी..

यह मैनुअल संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं और अभ्यासों का एक व्यवस्थित संग्रह है। सभी समस्याओं के उत्तर दिए जाते हैं, और अधिकांश - समाधान के साथ। प्रत्येक अध्याय की शुरुआत में, मुख्य का सारांश सैद्धांतिक स्थितिऔर समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र।

उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए। इसका उपयोग शिक्षकों, इंजीनियरों और वैज्ञानिकों द्वारा व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए संभाव्य तरीकों में महारत हासिल करने के लिए किया जा सकता है।

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विषयसूची
प्रस्तावना 3
अध्याय 1. बुनियादी अवधारणाएँ। संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना 4
अध्याय 2. प्रायिकताओं के योग और गुणन की प्रमेय 19
अध्याय 3 कुल संभावना फॉर्मूला और बेयस फॉर्मूला 49
अध्याय 4
अध्याय 5. यादृच्छिक चर। वितरण कानून। यादृच्छिक चरों की संख्यात्मक विशेषताएँ 85
अध्याय 6. यादृच्छिक चर के सिस्टम (यादृच्छिक वैक्टर) 124
अध्याय 7. यादृच्छिक चर के कार्यों की संख्यात्मक विशेषताएं 152
अध्याय 8. यादृच्छिक चरों के फलनों के वितरण के नियम। संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय 207
अध्याय 9 यादृच्छिक कार्य 261
अध्याय 10 मार्कोव स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं 317
अध्याय 11 कतारबद्ध सिद्धांत 363
एप्लीकेशन 428
सन्दर्भ 440

नाम:सिद्धांत संभावना। 1969.

पुस्तक उन लोगों के लिए एक पाठ्यपुस्तक है जो नियमित वीटीयूजेड पाठ्यक्रम के दायरे में गणित से परिचित हैं और विशेष रूप से शूटिंग के सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत के तकनीकी अनुप्रयोगों में रुचि रखते हैं। यह पुस्तक अन्य विशिष्टताओं के इंजीनियरों के लिए भी रुचिकर है, जिन्हें अपनी व्यावहारिक गतिविधियों में संभाव्यता के सिद्धांत को लागू करना है।
पाठकों की समान श्रेणी के लिए अभिप्रेत अन्य पाठ्यपुस्तकों से, पुस्तक भिन्न है बहुत ध्यान देनासंभाव्यता सिद्धांत की नई शाखाओं के लिए जो अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं (उदाहरण के लिए, संभाव्य प्रक्रियाओं का सिद्धांत, सूचना सिद्धांत, कतार सिद्धांत, आदि)।

प्रायिकता सिद्धांत है गणितीय विज्ञान, यादृच्छिक परिघटनाओं में पैटर्न का अध्ययन करना।
आइए सहमत हैं कि "यादृच्छिक घटना" से हमारा क्या मतलब है।
पर वैज्ञानिक अनुसंधानविभिन्न भौतिक तकनीकी समस्याओं से अक्सर जूझना पड़ता है विशेष प्रकारऐसी घटनाएँ जिन्हें आमतौर पर यादृच्छिक कहा जाता है। एक यादृच्छिक घटना ऐसी घटना है, जो एक ही अनुभव के बार-बार पुनरुत्पादन के साथ, हर बार थोड़ा अलग तरीके से आगे बढ़ती है।

विषयसूची
दूसरे संस्करण की प्रस्तावना
पहले संस्करण की प्रस्तावना 9
अध्याय 1 परिचय 11
1.1. संभाव्यता सिद्धांत का विषय 11
1.2. संक्षिप्त ऐतिहासिक जानकारी 17
अध्याय 2. संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ 23
2.1. आयोजन। घटना की प्रायिकता 23
2.2. संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना 24
2.3. आवृत्ति, या सांख्यिकीय संभावना, घटनाएँ 28
2.4. यादृच्छिक मूल्य 32
2.5. लगभग असंभव और लगभग निश्चित घटनाएं। व्यावहारिक निश्चितता का सिद्धांत 34
अध्याय 3. संभाव्यता के सिद्धांत के मूल सिद्धांत 37
3.1. मुख्य प्रमेयों का उद्देश्य। घटनाओं का योग और गुणनफल 37
3.2. प्रायिकता योग प्रमेय 40
3.3. प्रायिकता गुणन प्रमेय 45
3.4. कुल संभावना फॉर्मूला 54
3.5. परिकल्पना प्रमेय (बेयस सूत्र) 56
अध्याय 4
4.1. प्रयोगों की पुनरावृत्ति पर विशेष प्रमेय 59
4.2. प्रयोगों की पुनरावृत्ति पर सामान्य प्रमेय 61
अध्याय 5. यादृच्छिक चर और वितरण के उनके नियम 67
5.1. वितरण रेंज। वितरण बहुभुज 67
5.2. वितरण समारोह 72
5.3. किसी दिए गए क्षेत्र में यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता 78
5.4. वितरण घनत्व 80
5.5. यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं। उनकी भूमिका और उद्देश्य 84
5.6. स्थिति विशेषताएँ (गणितीय अपेक्षा, मोड, माध्यिका) 85
5.7. क्षण। फैलाव। औसत मानक विचलन 92
5.8. एकसमान घनत्व का नियम 103
5.9. पॉइसन का नियम। 106
अध्याय 6
6.1. सामान्य कानून और उसके पैरामीटर 116
6.2. सामान्य वितरण क्षण 120
6.3. सामान्य नियम का पालन करने वाला एक यादृच्छिक चर किसी दिए गए क्षेत्र में आने की संभावना है। सामान्य वितरण समारोह 122
6.4. संभावित (माध्यिका) विचलन 127
अध्याय 7. प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों का निर्धारण 131
7.1 गणितीय आँकड़ों के बुनियादी कार्य 131
7.2. एक साधारण आँकड़ा। सांख्यिकीय वितरण समारोह 133
7.3. सांख्यिकीय रेखा। हिस्टोग्राम 133
7.4. सांख्यिकीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं 139
7.5. सपाट सांख्यिकीय श्रृंखला 143
7.6. सहमति मानदंड 149
अध्याय 8. यादृच्छिक चर के सिस्टम 159
8.1. यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की अवधारणा 159
8.2. दो यादृच्छिक चरों की प्रणाली का वितरण फलन 163
8.3. दो यादृच्छिक चरों के एक निकाय का वितरण घनत्व 163
8.4. प्रणाली में शामिल व्यक्तिगत मात्राओं के वितरण के नियम। वितरण के सशर्त नियम 163
8.5. आश्रित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर 171
8.6. दो यादृच्छिक मूल्यों की प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं। सहसंबंध क्षण। सहसंबंध गुणांक 175
8.7. यादृच्छिक चर की एक मनमानी संख्या की प्रणाली 182
8.8. कई यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं 184
अध्याय 9. यादृच्छिक चर की एक प्रणाली के लिए सामान्य वितरण कानून 188
9.1. विमान पर सामान्य कानून 188
9.2. तितर बितर दीर्घवृत्त। सामान्य कानून को विहित रूप में घटाना 193
9.3. मुख्य परिक्षेपण अक्षों के समांतर भुजाओं वाले एक आयत के टकराने की प्रायिकता 196
9.4. परिक्षेपण दीर्घवृत्त से टकराने की प्रायिकता 198
9.5 एक मुक्त-रूप क्षेत्र से टकराने की प्रायिकता 202
9.6. तीन आयामों के अंतरिक्ष में सामान्य कानून। यादृच्छिक चर की एक मनमानी संख्या की प्रणाली के लिए सामान्य कानून का सामान्य संकेतन 205
अध्याय 10. यादृच्छिक चर के कार्यों की संख्यात्मक विशेषताएं 210
10.1. किसी फ़ंक्शन की गणितीय अपेक्षा। फंक्शन विचरण 210
10.2 संख्यात्मक विशेषताओं पर प्रमेय 219
10.3. संख्यात्मक विशेषताओं पर प्रमेयों के अनुप्रयोग 230
अध्याय 11 रैखिक कार्य 252
11.1. यादृच्छिक तर्कों के कार्यों के लिए रैखिककरण विधि 252
11.2. एक यादृच्छिक तर्क के एक समारोह का रैखिककरण 253
11.3. एकाधिक यादृच्छिक तर्कों के एक समारोह को रैखिक करना 255
11.4. रैखिककरण विधि द्वारा प्राप्त परिणामों का शोधन 259
अध्याय 12. यादृच्छिक तर्कों के कार्यों के वितरण के नियम 263
12.1. एक यादृच्छिक तर्क के एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन का वितरण कानून 643
12.2 सामान्य कानून के अधीन तर्क के रैखिक कार्य का वितरण कानून 266
12.3. एक यादृच्छिक तर्क 267 . के एक गैर मोनोटोन फ़ंक्शन का वितरण कानून
12.4. दो यादृच्छिक चरों के फलन के वितरण का नियम 269
12.5. दो यादृच्छिक चर के योग के वितरण का नियम। वितरण के नियमों की संरचना 271
12.6. सामान्य कानूनों की संरचना 275
12.7. सामान्य रूप से वितरित तर्कों के रैखिक कार्य 279
12.8. एक विमान पर सामान्य कानूनों की संरचना 280
अध्याय 13
13.1. बड़ी संख्या का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय 286
13.2. चेबीशेव की असमानता 28713.3। बड़ी संख्या का नियम (चेबीशेव का प्रमेय) 290
13.4. सामान्यीकृत चेबीशेव का प्रमेय। मार्कोव की प्रमेय 292
13.5. बड़ी संख्या के कानून के परिणाम: बर्नौली और पॉइसन प्रमेय 295
13.6. मास यादृच्छिक घटना और केंद्रीय सीमा प्रमेय 297
13.7. विशेषता कार्य 299
13.8. समान रूप से वितरित पदों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय 302
13.9. केंद्रीय सीमा प्रमेय को व्यक्त करने वाले सूत्र और इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग में सामने आए 306
अध्याय 14 प्रसंस्करण अनुभव 312
14.1. सीमित संख्या में प्रयोगों को संसाधित करने की विशेषताएं। वितरण कानून के अज्ञात मापदंडों के लिए अनुमान 312
14.2 उम्मीद और प्रसरण के लिए अनुमान 314
14.3. विश्वास अंतराल। आत्मविश्वास की संभावना 317
14.4. सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीके 324
14.5. बारंबारता प्रायिकता अनुमान 330
14.6 यादृच्छिक चरों की प्रणाली के संख्यात्मक अभिलक्षणों के लिए अनुमान 339
14.7. फायरिंग प्रसंस्करण 347
14.8. कम से कम वर्गों की विधि द्वारा प्रयोगात्मक निर्भरता को चौरसाई करना 351
अध्याय 15. यादृच्छिक कार्यों के सिद्धांत की मूल अवधारणाएं 370
15.1. एक यादृच्छिक कार्य की अवधारणा 370
15.2. यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की अवधारणा के विस्तार के रूप में एक यादृच्छिक कार्य की अवधारणा। यादृच्छिक फलन का वितरण नियम 374
15.3. यादृच्छिक कार्यों के लक्षण 377
15.4. अनुभव से एक यादृच्छिक कार्य की विशेषताओं का निर्धारण 383
15.5. मूल यादृच्छिक कार्यों की विशेषताओं से रूपांतरित यादृच्छिक कार्यों की विशेषताओं को निर्धारित करने के तरीके 385
15.6. रैखिक और गैर-रेखीय ऑपरेटरों। डायनेमिक सिस्टम ऑपरेटर 388
15.7 यादृच्छिक कार्यों के रैखिक परिवर्तन 393
15.8. यादृच्छिक कार्यों का जोड़ 39E
15.9. जटिल यादृच्छिक कार्य 402
अध्याय 16. यादृच्छिक फलनों का विहित विस्तार 405
16.1. विहित विस्तार की विधि का विचार। प्राथमिक यादृच्छिक कार्यों के योग के रूप में एक यादृच्छिक कार्य का प्रतिनिधित्व 406
16.2. यादृच्छिक फलन का विहित प्रसार 410
16.3. विहित विस्तारों द्वारा परिभाषित यादृच्छिक कार्यों के रैखिक परिवर्तन 411
अध्याय 17 स्थिर यादृच्छिक कार्य 419
17.1 एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया की अवधारणा 419
17.2 एक सीमित समय अंतराल पर एक स्थिर यादृच्छिक फ़ंक्शन का वर्णक्रमीय विस्तार। फैलाव स्पेक्ट्रम 427
17.3. एक अनंत समय अंतराल पर एक स्थिर यादृच्छिक फलन का वर्णक्रमीय विस्तार। एक स्थिर यादृच्छिक फलन का वर्णक्रमीय घनत्व 431
17.4. जटिल रूप में एक यादृच्छिक फ़ंक्शन का वर्णक्रमीय विस्तार 438
17.5. एक स्थिर रैखिक प्रणाली द्वारा एक स्थिर यादृच्छिक कार्य का परिवर्तन 447
17.6 गतिशील प्रणालियों के विश्लेषण और संश्लेषण से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत के अनुप्रयोग 454
17.7 स्थिर यादृच्छिक कार्यों की एर्गोडिक संपत्ति 457
17.8. एक कार्यान्वयन से एक ertodic स्थिर यादृच्छिक समारोह की विशेषताओं का निर्धारण 462
अध्याय 18. सूचना सिद्धांत की मूल अवधारणाएं 468
18.1. विषय और कार्य, सूचना सिद्धांत 468
18.2. भौतिक प्रणाली की स्थिति की अनिश्चितता की डिग्री के माप के रूप में एन्ट्रापी 469
18.3. एक जटिल प्रणाली की एन्ट्रापी। एन्ट्रॉपी जोड़ प्रमेय 475
15.1. सशर्त एन्ट्रापी। आश्रित प्रणालियों का संयोजन 477
18.1. एन्ट्रापी एन सूचना 481
18.2. इवेंट संदेश में निहित सिस्टम के बारे में निजी जानकारी। किसी अन्य ईवेंट संदेश में निहित निजी ईवेंट की जानकारी 489
18.7. राज्यों के निरंतर सेट वाले सिस्टम के लिए एन्ट्रॉपी और सूचना 493
18.8 संदेश एन्कोडिंग की समस्याएं। शैनन कोड - फ़ानो 502
18.9. विकृतियों के साथ सूचना का प्रसारण। शोर चैनल क्षमता 509
अध्याय 19
19.1. कतारबद्ध सिद्धांत विषय 515
19.2. राज्यों के एक गणनीय सेट के साथ यादृच्छिक प्रक्रिया 517
19.3. घटनाओं का प्रवाह। सरलतम प्रवाह और उसके गुण 520
19.4. अस्थिर पॉसों प्रवाह 527
19. 5. सीमित प्रभाव के साथ प्रवाह (पाल्मा प्रवाह) 529
16. 6. सेवा समय 534
19. 7. मार्कोव स्टोकेस्टिक प्रक्रिया 537
19. 8. विफलताओं के साथ एक कतार प्रणाली। एरलांग समीकरण 540
19. 9. सेवा का स्थिर तरीका। एरलांग सूत्र 544
19.10. प्रतीक्षा कतार प्रणाली 548
19.11. सीमित कतार लंबाई 557 . के साथ मिश्रित प्रणाली
आवेदन पत्र। टेबल्स 561
साहित्य 573
सूचकांक 574