Trigonometri - bagian ilmu matematika, yang mempelajari fungsi trigonometri dan penggunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai pada saat itu Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.

Artikel ini adalah tentang konsep dasar dan pengertian trigonometri. Ini membahas definisi utama fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Maknanya dalam konteks geometri dijelaskan dan diilustrasikan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Awalnya, definisi fungsi trigonometri, yang argumennya adalah sudut, diungkapkan melalui rasio sisi-sisi segitiga siku-siku.

Definisi fungsi trigonometri

Sinus suatu sudut (sin ) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut ini dengan sisi miring.

Kosinus sudut (cos ) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Garis singgung sudut (t g ) adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Kotangen sudut (c t g ) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Definisi ini diberikan untuk sudut lancip dari segitiga siku-siku!

Mari kita beri ilustrasi.

PADA segitiga ABC dengan sudut siku-siku C sinus sudut A sama dengan rasio kaki BC ke sisi miring AB.

Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan untuk menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi segitiga yang diketahui.

Penting untuk diingat!

Kisaran nilai sinus dan cosinus: dari -1 hingga 1. Dengan kata lain, sinus dan cosinus mengambil nilai dari -1 hingga 1. Kisaran nilai tangen dan kotangen adalah seluruh garis bilangan, yaitu ini fungsi dapat mengambil nilai apa pun.

Definisi yang diberikan di atas mengacu pada sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi oleh bingkai dari 0 hingga 90 derajat. Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ke + .

Dalam konteks ini, seseorang dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut yang besarnya sewenang-wenang. Bayangkan sebuah lingkaran satuan yang berpusat di asal sistem koordinat Cartesian.

Titik awal A dengan koordinat (1 , 0) diputar mengelilingi pusat lingkaran satuan melalui beberapa sudut dan menuju ke titik A 1 . Definisi tersebut diberikan melalui koordinat titik A 1 (x, y).

Sinus (sin) sudut rotasi

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) dari sudut rotasi

Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). cos = x

Tangen (tg) sudut rotasi

Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. t g = y x

Kotangen (ctg) sudut rotasi

Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. c t g = x y

Sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi. Ini logis, karena absis dan ordinat titik setelah rotasi dapat ditentukan di sembarang sudut. Situasinya berbeda dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak didefinisikan ketika titik setelah rotasi menuju ke titik dengan nol absis (0 , 1) dan (0 , - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g = y x sama sekali tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah bahwa kotangen tidak didefinisikan dalam kasus di mana ordinat titik hilang.

Penting untuk diingat!

Sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut .

Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali = 90° + 180° k , k Z (α = 2 + k , k Z)

Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali = 180° k, k Z (α = k, k Z)

Saat memutuskan contoh praktis jangan katakan "sinus sudut rotasi ". Kata-kata "sudut rotasi" dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang dipertaruhkan.

angka

Bagaimana dengan definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, dan bukan sudut rotasi?

Sinus, kosinus, tangen, kotangen suatu bilangan

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t suatu bilangan disebut, yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di t radian.

Misalnya, sinus 10 sama dengan sinus sudut rotasi 10 rad.

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Mari kita pertimbangkan lebih detail.

Setiap bilangan asli t sebuah titik pada lingkaran satuan bersesuaian dengan titik pusat pada titik asal sistem koordinat kartesius segi empat. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen didefinisikan dalam koordinat titik ini.

Titik awal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1 , 0).

nomor positif t

Angka negatif t sesuai dengan titik di mana titik awal akan bergerak jika bergerak berlawanan arah jarum jam di sepanjang lingkaran dan akan melewati jalan t .

Sekarang hubungan antara angka dan titik pada lingkaran telah dibuat, kita lanjutkan ke definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen.

Sinus (sin) bilangan t

Sinus suatu bilangan t- ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t. sin t = y

Cosinus (cos) dari t

Cosinus suatu bilangan t- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan nomor t. cos t = x

Tangen (tg) dari t

Tangen suatu bilangan t- rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan nomor t. t g t = y x = sin t cos t

Definisi yang terakhir konsisten dengan dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan di awal bagian ini. Titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka t, bertepatan dengan titik yang dilalui titik awal setelah berbelok melalui sudut t radian.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Setiap nilai sudut sesuai dengan nilai tertentu sinus dan cosinus dari sudut ini. Sama seperti semua sudut selain = 90 ° + 180 ° · k , k Z (α = 2 + · k , k Z) sesuai dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, seperti disebutkan di atas, didefinisikan untuk semua , kecuali untuk = 180 ° k , k Z (α = k , k Z).

Kita dapat mengatakan bahwa sin , cos , t g α , c t g adalah fungsi dari sudut alfa, atau fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat berbicara tentang sinus, cosinus, tangen dan kotangen sebagai fungsi argumen numerik. Setiap bilangan asli t sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau cosinus dari suatu bilangan t. Semua angka selain 2 + · k , k Z, sesuai dengan nilai tangen. Kotangen didefinisikan dengan cara yang sama untuk semua bilangan kecuali · k , k Z.

Fungsi dasar trigonometri

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteks argumen mana dari fungsi trigonometri (argumen sudut atau argumen numerik) yang kita hadapi.

Mari kembali ke data di awal definisi dan sudut alfa, yang terletak di kisaran 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, cosinus, tangen dan kotangen sepenuhnya konsisten dengan definisi geometris yang diberikan menggunakan rasio sisi segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.

Ambil lingkaran satuan yang berpusat pada persegi panjang sistem kartesius koordinat. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan menggambar dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y) tegak lurus terhadap sumbu x. Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut belok , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y) . panjang kaki, sudut berlawanan, sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miring sama dengan satu, karena merupakan jari-jari lingkaran satuan.

Sesuai dengan definisi dari geometri, sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

sin \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Ini berarti bahwa definisi sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku melalui aspek rasio setara dengan definisi sinus sudut rotasi , dengan alfa terletak di kisaran 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditunjukkan untuk kosinus, tangen dan kotangen.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Jika kita membuat lingkaran satuan yang berpusat di titik asal dan menetapkan nilai argumen yang berubah-ubah x0 dan hitung dari sumbu Sapi injeksi x 0, maka sudut pada lingkaran satuan ini sesuai dengan beberapa titik A(Gbr. 1) dan proyeksinya ke sumbu Oh akan ada titik M. potong panjang om adalah sama dengan nilai mutlak titik absis A. nilai yang diberikan argumen x0 nilai fungsi yang dipetakan kamu= cos x 0 sebagai absis suatu titik TETAPI. Dengan demikian, intinya PADA(x 0 ;pada 0) termasuk dalam grafik fungsi pada= cos X(Gbr. 2). Jika titik TETAPI terletak di sebelah kanan sumbu OU, tokosin akan positif, jika ke kiri akan negatif. Tapi bagaimanapun juga, intinya TETAPI tidak bisa keluar dari lingkaran. Oleh karena itu, kosinus berkisar dari -1 hingga 1:

-1 = cos x = 1.

Rotasi tambahan ke sudut mana pun, kelipatan 2 p, mengembalikan poin A ke tempat yang sama. Oleh karena itu, fungsi y= karena xp:

karena( x+ 2p) = cos x.

Jika kita mengambil dua nilai argumen yang sama dalam nilai absolut tetapi berlawanan tanda, x dan - x, temukan titik-titik yang bersesuaian pada lingkaran Sebuah x dan Kapak. Seperti yang terlihat pada gambar. 3 proyeksi mereka ke sumbu Oh adalah titik yang sama M. Jadi

karena (- x) = cos( x),

itu. kosinus - fungsi genap, f(–x) = f(x).

Jadi, kita dapat menjelajahi sifat-sifat fungsi kamu= cos X pada segmen , dan kemudian memperhitungkan paritas dan periodisitasnya.

Pada X= 0 poin TETAPI terletak pada poros Oh, absisnya adalah 1, dan karena itu cos 0 = 1. Dengan peningkatan X dot TETAPI bergerak mengelilingi lingkaran ke atas dan ke kiri, proyeksinya, tentu saja, hanya ke kiri, dan untuk x = p/2 kosinus menjadi 0. Titik A saat ini naik ke tinggi maksimum, dan kemudian terus bergerak ke kiri, tetapi sudah menurun. Absisnya terus berkurang hingga mencapai nilai terkecil, sama dengan -1 at X= p. Jadi, pada segmen, fungsi pada= cos X menurun secara monoton dari 1 ke -1 (Gbr. 4, 5).

Ini mengikuti dari paritas kosinus bahwa pada interval [– p, 0], fungsi meningkat secara monoton dari -1 ke 1, mengambil nilai nol di x =–p/2. Jika Anda mengambil beberapa periode, Anda mendapatkan kurva bergelombang (Gbr. 6).

Jadi fungsinya kamu= cos x mengambil nilai nol pada poin X= p/2 + kp, di mana k- bilangan bulat apa pun. Maksimum sama dengan 1 dicapai pada poin X= 2kp, yaitu dengan langkah 2 p, dan minimum sama dengan -1 di titik-titik X= p + 2kp.

Fungsi y \u003d sin x.

Pada lingkaran satuan x 0 sesuai dengan poin TETAPI(Gbr. 7), dan proyeksinya ke sumbu OU akan ada titik N.Z nilai fungsi y 0 = dosa x0 didefinisikan sebagai ordinat titik TETAPI. Dot PADA(injeksi x 0 ,pada 0) termasuk dalam grafik fungsi kamu= dosa x(Gbr. 8). Jelas bahwa fungsi y= dosa x periodik, periodenya adalah 2 p:

dosa( x+ 2p) = dosa ( x).

Untuk dua nilai argumen, X dan - , proyeksi titik-titik yang sesuai Sebuah x dan Kapak per poros OU terletak simetris terhadap titik HAI. Jadi

dosa(- x) = –sin ( x),

itu. sinus adalah fungsi ganjil, f(– x) = –f( x) (Gbr. 9).

Jika titik A berputar pada suatu titik HAI di pojok p/2 berlawanan arah jarum jam (dengan kata lain, jika sudut X meningkat sebesar p/2), maka ordinatnya pada posisi baru akan sama dengan absis pada posisi lama. Yang berarti

dosa( x+ p/2) = cos x.

Jika tidak, sinus adalah kosinus, "terlambat" oleh p/2, karena nilai cosinus apa pun akan "berulang" di sinus ketika argumen bertambah p/2. Dan untuk membangun grafik sinus, cukup menggeser grafik kosinus sebesar p/2 ke kanan (Gbr. 10). Sangat properti penting sinus dinyatakan dengan persamaan

Arti geometris persamaan dapat dilihat dari Gambar. 11. Ini X - ini adalah setengah dari busur AB, dan dosa X - setengah dari akord yang sesuai. Jelas, saat poin mendekat TETAPI dan PADA panjang tali busur semakin mendekati panjang busur. Dari gambar yang sama, mudah untuk mengekstrak ketidaksetaraan

|sin x| x|, berlaku untuk semua X.

Rumus (*) panggilan matematikawan batas yang luar biasa. Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa dosa X» X kecil X.

Fungsi pada=tg x, y=ctg X. Dua fungsi trigonometri lainnya - tangen dan kotangen paling mudah didefinisikan sebagai rasio sinus dan kosinus yang sudah kita ketahui:

Seperti sinus dan kosinus, tangen dan kotangen adalah fungsi periodik, tetapi periodenya sama p, yaitu mereka adalah setengah dari sinus dan cosinus. Alasannya jelas: jika sinus dan cosinus keduanya berubah tanda, maka rasionya tidak akan berubah.

Karena ada kosinus dalam penyebut garis singgung, garis singgung tidak didefinisikan pada titik-titik di mana kosinus adalah 0 - ketika X= p/2 +kp. Di semua titik lain itu meningkat secara monoton. Langsung X= p/2 + kp untuk garis singgung adalah asimtot vertikal. Pada titik kp tangen dan lereng adalah 0 dan 1, masing-masing (Gbr. 12).

Kotangen tidak didefinisikan di mana sinus adalah 0 (ketika x = kp). Di titik lain berkurang secara monoton, dan garis x = kp – miliknya asimtot vertikal. Pada titik x = p/2 +kp kotangen berubah menjadi 0, dan kemiringan pada titik-titik ini adalah -1 (Gbr. 13).

Paritas dan periodisitas.

Suatu fungsi disebut genap jika f(–x) = f(x). Fungsi cosinus dan secan genap, sedangkan fungsi sinus, tangen, kotangen, dan cosecan ganjil:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
detik(-α) = detikα	cosec (–α) = – cosec

Sifat paritas mengikuti dari simetri titik P sebuah dan R-sebuah (Gbr. 14) tentang sumbu X. Dengan simetri seperti itu, ordinat titik berubah tanda (( X;pada) pergi ke ( X; -y)). Semua fungsi - periodik, sinus, cosinus, secan dan cosecan memiliki periode 2 p, dan tangen dan kotangen - p:

dosa (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
tan (α + kπ) = tgα	ctg(α + kπ) = ctgα
detik (α + 2 kπ) = detik	cosec (α + 2 kπ) = cosecα

Periodisitas sinus dan kosinus mengikuti fakta bahwa semua titik P a + 2 kp, di mana k= 0, ±1, ±2,…, bertepatan, dan periodisitas garis singgung dan kotangen disebabkan oleh fakta bahwa titik-titik P sebuah + kp bergantian jatuh menjadi dua secara diametris titik yang berlawanan lingkaran memberikan titik yang sama pada sumbu singgung.

Sifat utama fungsi trigonometri dapat diringkas dalam tabel:

Fungsi	Domain	Banyak nilai	Keseimbangan	Area monoton ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
dosa x	–Ґ x	[–1, +1]	aneh	meningkat dengan x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), berkurang sebagai x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
karena x	–Ґ x	[–1, +1]	bahkan	Meningkat dengan x O((2 k – 1) p, 2kp), berkurang pada x Oh (2 kp, (2k + 1) p)
tg x	x № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	aneh	meningkat dengan x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x	x № p k	(–Ґ , +Ґ )	aneh	berkurang pada x O ( kp, (k + 1) p)
detik x	x № p/2 + p k	(–Ґ , -1] DAN [+1, +Ґ )	bahkan	Meningkat dengan x Oh (2 kp, (2k + 1) p), berkurang pada x O((2 k– 1) p , 2 kp)
menyebabkan x	x № p k	(–Ґ , -1] DAN [+1, +Ґ )	aneh	meningkat dengan x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), berkurang sebagai x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Formula pengecoran.

Menurut rumus ini, nilai fungsi trigonometri dari argumen a, di mana p/2 a p , dapat direduksi menjadi nilai fungsi argumen a , di mana 0 a p /2, keduanya sama dan tambahannya.

Argumen b	- sebuah	+ a	p- sebuah	p+ a	+ a	+ a	2p- sebuah
dosa b	karena	karena	dosa a	–sin a	-cos a	-cos a	–sin a
cosb	dosa a	–sin a	-cos a	-cos a	–sin a	dosa a	karena

Oleh karena itu, dalam tabel fungsi trigonometri, nilai hanya diberikan untuk sudut lancip, dan cukup untuk membatasi diri, misalnya, ke sinus dan tangen. Tabel hanya berisi rumus yang paling umum digunakan untuk sinus dan kosinus. Dari mereka mudah untuk mendapatkan formula untuk tangen dan kotangen. Saat casting fungsi dari argumen formulir kp/2 ± a , dimana k adalah bilangan bulat, ke fungsi dari argumen a :

1) nama fungsi disimpan jika k genap, dan berubah menjadi "pelengkap" jika k aneh;

2) tanda di sisi kanan bertepatan dengan tanda fungsi yang dapat direduksi di titik kp/2 ± a jika sudut a lancip.

Misalnya, saat casting ctg (a - p/ 2) pastikan bahwa - p/2 pada 0 a p /2 terletak di kuadran keempat, di mana kotangennya negatif, dan, menurut aturan 1, kami mengubah nama fungsi: ctg (a - p/2) = –tg a .

Rumus tambahan.

Beberapa rumus sudut.

Rumus ini diturunkan langsung dari rumus tambahan:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

dosa 3a \u003d 3 dosa a - 4 dosa 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

Rumus cos 3a digunakan oleh François Viet ketika memecahkan persamaan kubik. Dia adalah orang pertama yang menemukan ekspresi untuk cos n a dan dosa n a , yang kemudian diperoleh lebih banyak cara sederhana dari rumus De Moivre.

Jika dalam rumus argumen ganda ganti a dengan /2, mereka dapat dikonversi ke rumus setengah sudut:

Rumus substitusi universal.

Menggunakan rumus ini, ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri yang berbeda dari argumen yang sama dapat ditulis ulang sebagai: ekspresi rasional dari satu fungsi tg (a / 2), ini berguna ketika menyelesaikan beberapa persamaan:

Rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah.

Sebelum munculnya komputer, rumus ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. Perhitungan dilakukan menggunakan tabel logaritma, dan kemudian - aturan geser, karena logaritma paling cocok untuk mengalikan angka, jadi semua ekspresi asli direduksi menjadi bentuk yang sesuai untuk logaritma, mis. untuk karya-karya seperti:

2 dosa sebuah sin b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2 karena sebuah karena b= cos ( a-b) + cos ( a+b);

2 dosa sebuah karena b= dosa ( a-b) + dosa ( a+b).

Rumus untuk fungsi tangen dan kotangen dapat diperoleh dari di atas.

Rumus pengurangan derajat.

Dari rumus beberapa argumen, rumus diturunkan:

dosa 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
dosa 3 a \u003d (3 dosa a - dosa 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3 a)/4.

Dengan rumus ini persamaan trigonometri dapat direduksi menjadi persamaan derajat rendah. Dengan cara yang sama, rumus reduksi untuk pangkat sinus dan kosinus yang lebih tinggi dapat diturunkan.

Turunan dan integral fungsi trigonometri
(dosa x)` = cos x;	(karena x)` = -sin x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t dosa x dx= -cos x + C;	t cos x dx= dosa x + C;
t tg x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg x dx = ln|sin x| + C;

Setiap fungsi trigonometri pada setiap titik dari domain definisinya kontinu dan terdiferensiasi tak terhingga. Selain itu, turunan dari fungsi trigonometri adalah fungsi trigonometri, dan ketika terintegrasi, fungsi trigonometri atau logaritmanya juga diperoleh. Integral kombinasi rasional fungsi trigonometri selalu merupakan fungsi dasar.

Representasi fungsi trigonometri dalam bentuk deret pangkat dan hasilkali tak hingga.

Semua fungsi trigonometri dapat diperluas dalam seri daya. Dalam hal ini, fungsi sin x b cos x muncul dalam baris. konvergen untuk semua nilai x:

Deret ini dapat digunakan untuk mendapatkan ekspresi perkiraan untuk sin x dan karena x untuk nilai kecil x:

di | x| hal/2;

di 0x| p

(B n adalah bilangan Bernoulli).

fungsi dosa x dan karena x dapat direpresentasikan sebagai produk tak terbatas:

Sistem trigonometri 1, cos x, dosa x, karena 2 x, dosa 2 x, , cos nx, dosa nx, , terbentuk pada interval [– p, p] sistem fungsi ortogonal, yang memungkinkan untuk merepresentasikan fungsi dalam bentuk deret trigonometri.

didefinisikan sebagai kelanjutan analitik dari fungsi trigonometri yang sesuai dari argumen nyata dalam pesawat yang kompleks. Ya, dosa z dan karena z dapat didefinisikan menggunakan deret untuk sin x dan karena x, jika alih-alih x taruh z:

Deret ini konvergen di seluruh bidang, jadi sin z dan karena z adalah seluruh fungsi.

Tangen dan kotangen ditentukan dengan rumus:

fungsi tg z dan ctg z adalah fungsi meromorfik. tiang tg z dan detik z sederhana (urutan pertama) dan terletak di titik z=p/2 + pn, tiang ctg z dan cosec z juga sederhana dan terletak di titik z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Semua rumus yang valid untuk fungsi trigonometri dari argumen nyata juga valid untuk yang kompleks. Secara khusus,

dosa(- z) = -sin z,

karena (- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

itu. paritas genap dan ganjil dipertahankan. Rumusnya juga disimpan

dosa( z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

itu. periodisitas juga dipertahankan, dan periodenya sama dengan fungsi argumen nyata.

Fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial dari argumen imajiner murni:

Kembali, e iz dinyatakan dalam cos z dan dosa z menurut rumus:

e iz= cos z + saya dosa z

Rumus ini disebut rumus Euler. Leonhard Euler memperkenalkannya pada tahun 1743.

Fungsi trigonometri juga dapat dinyatakan dalam fungsi hiperbolik:

z = –saya SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

di mana sh, ch dan th adalah sinus hiperbolik, cosinus dan tangen.

Fungsi trigonometri dari argumen kompleks z = x + iy, di mana x dan kamu- bilangan real, dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri dan hiperbolik dari argumen nyata, misalnya:

dosa( x+iy) = sin x ch kamu + saya karena x SH kamu;

karena( x+iy) = cos x ch kamu + saya dosa x SH kamu.

Sinus dan kosinus dari argumen yang kompleks dapat mengambil nilai nyata lebih besar dari 1 dalam nilai absolut. Sebagai contoh:

Jika sudut yang tidak diketahui masuk ke persamaan sebagai argumen fungsi trigonometri, maka persamaan tersebut disebut trigonometri. Persamaan seperti itu sangat umum sehingga metodenya solusinya sangat rinci dan dirancang dengan cermat. Dengan Tolong berbagai trik dan rumus, persamaan trigonometri direduksi menjadi persamaan bentuk f(x)=, di mana f- salah satu fungsi trigonometri paling sederhana: sinus, kosinus, tangen atau kotangen. Kemudian nyatakan argumennya x fungsi ini melalui nilainya yang diketahui sebuah.

Karena fungsi trigonometri bersifat periodik, maka sebuah dari rentang nilai ada banyak nilai argumen, dan solusi persamaan tidak dapat ditulis sebagai fungsi tunggal dari sebuah. Oleh karena itu, dalam domain definisi dari masing-masing fungsi trigonometri utama, bagian dipilih di mana ia mengambil semua nilainya, masing-masing hanya sekali, dan ditemukan fungsi yang terbalik di bagian ini. Fungsi tersebut ditunjuk dengan menghubungkan awalan busur (busur) dengan nama fungsi asli, dan disebut trigonometri terbalik fungsi atau hanya fungsi busur.

Fungsi trigonometri terbalik.

Untuk dosa X, karena X, tg X dan ctg X dapat didefinisikan fungsi terbalik. Mereka ditunjuk masing-masing arcsin X(baca "arxin x"), arcos x, arctg x dan arcctg x. Menurut definisi, arcsin X ada nomor seperti itu y, Apa

dosa pada = X.

Hal yang sama berlaku untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya. Tetapi definisi ini mengalami beberapa ketidakakuratan.

Jika kita mencerminkan dosa X, karena X, tg X dan ctg X sehubungan dengan garis bagi kuadran pertama dan ketiga bidang koordinat, maka fungsi karena periodisitasnya menjadi ambigu: sinus yang sama (cosinus, tangen, kotangen) sesuai dengan jumlah sudut yang tak terbatas.

Untuk menghilangkan ambiguitas, bagian kurva dengan lebar p, sementara itu perlu bahwa korespondensi satu-ke-satu diamati antara argumen dan nilai fungsi. Area di dekat asal dipilih. Untuk sinus sebagai "interval satu-ke-satu" diambil segmen [- p/2, p/2], di mana sinus meningkat secara monoton dari -1 menjadi 1, untuk kosinus - segmen , untuk tangen dan kotangen, masing-masing, interval (– p/2, p/2) dan (0, p). Setiap kurva dalam interval tercermin tentang garis bagi dan sekarang Anda dapat menentukan fungsi trigonometri terbalik. Misalnya, biarkan nilai argumen diberikan x 0 , sehingga 0 J x 0 Ј 1. Maka nilai fungsi kamu 0 = arcsin x 0 akan arti tunggal pada 0 , seperti yang - p/2 J pada 0 Ј p/2 dan x 0 = dosa kamu 0 .

Jadi, arcsinus adalah fungsi dari arcsin sebuah, didefinisikan pada interval [-1, 1] dan sama untuk masing-masing sebuah nilai seperti a ,- p/2 a p /2 yang sin a = sebuah. Sangat mudah untuk merepresentasikannya menggunakan lingkaran satuan (Gbr. 15). Kapan | a| 1 ada dua titik pada lingkaran dengan ordinat sebuah, simetris terhadap sumbu y. Salah satunya adalah sudut sebuah= arcsin sebuah, dan yang lainnya adalah sudut p - a. Dengan dengan mempertimbangkan periodisitas larutan sinus persamaan dosa x= sebuah ditulis sebagai berikut:

x =(–1)n busur dosa sebuah + 2p n,

di mana n= 0, ±1, ±2,...

Persamaan trigonometri sederhana lainnya juga diselesaikan:

karena x = sebuah, –1 =sebuah= 1;

x=±arcos sebuah + 2p n,

di mana P= 0, ±1, ±2,... (Gbr. 16);

tg X = sebuah;

x= arctg sebuah + p n,

di mana n = 0, ±1, ±2,... (Gbr. 17);

ctg X= sebuah;

X= arcctg sebuah + p n,

di mana n = 0, ±1, ±2,... (Gbr. 18).

Sifat utama fungsi trigonometri terbalik:

busur dosa X(Gbr. 19): domain definisi adalah segmen [-1, 1]; jangkauan - [- p/2, p/2], fungsi yang meningkat secara monoton;

arccos X(Gbr. 20): domain definisi adalah segmen [-1, 1]; rentang nilai - ; fungsi yang menurun secara monoton;

arctg X(Gbr. 21): domain definisi - semua bilangan real; rentang nilai – interval (– p/2, p/2); fungsi yang meningkat secara monoton; lurus pada= –p/2 dan y \u003d p / 2 - asimtot horizontal;

arcctg X(Gbr. 22): domain definisi - semua bilangan real; rentang nilai - interval (0, p); fungsi yang menurun secara monoton; lurus kamu= 0 dan y = p adalah asimtot horizontal.

,

Untuk siapa saja z = x+iy, di mana x dan kamu adalah bilangan real, ada pertidaksamaan

½| e\ey–e-y| |sin z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| |cos z|≤½( e y +e -y),

di antaranya kamu® formula asimtotik mengikuti (seragam sehubungan dengan x)

|sin z| » 1/2 e |y| ,

| karena z| » 1/2 e |y| .

Fungsi trigonometri muncul untuk pertama kalinya sehubungan dengan penelitian di bidang astronomi dan geometri. Rasio segmen dalam segitiga dan lingkaran, yang pada dasarnya adalah fungsi trigonometri, sudah ditemukan pada abad ke-3. SM e. dalam karya matematikawan Yunani Kuno – Euclid, Archimedes, Apollonius dari Perga dan lainnya, bagaimanapun, rasio ini tidak objek independen studi, sehingga fungsi trigonometri seperti itu tidak dipelajari oleh mereka. Mereka awalnya dianggap sebagai segmen dan dalam bentuk ini digunakan oleh Aristarchus (akhir paruh ke-4 - ke-2 abad ke-3 SM), Hipparchus (abad ke-2 SM), Menelaus (abad ke-1 M). ) dan Ptolemy (abad ke-2 M) ketika memecahkan segitiga bola. Ptolemy menyusun tabel akord pertama untuk sudut lancip melalui 30 "dengan akurasi 10 -6. Ini adalah tabel sinus pertama. Sebagai rasio fungsi dosa a sudah ditemukan di Aryabhata (akhir abad ke-5). Fungsi tg a dan ctg a ditemukan di al-Battani (paruh ke-2 abad ke-9 - awal abad ke-10) dan Abul-Vef (abad ke-10), yang juga menggunakan sec a dan cosec a. Aryabhata sudah mengetahui rumusnya (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, dan juga rumus dosa dan karena setengah sudut, dengan bantuan yang ia buat tabel sinus untuk sudut melalui 3 ° 45 "; berdasarkan nilai yang diketahui dari fungsi trigonometri untuk argumen paling sederhana. Bhaskara (abad ke-12) memberikan metode untuk membangun tabel melalui 1 menggunakan rumus tambahan Rumus untuk mengubah jumlah dan perbedaan fungsi trigonometri dari berbagai Argumen dalam produk diturunkan oleh Regiomontanus (abad ke-15) dan J. Napier sehubungan dengan penemuan logaritma terakhir (1614).Regiomontanus memberikan tabel nilai sinus melalui 1". Perluasan fungsi trigonometri ke dalam deret pangkat diperoleh oleh I. Newton (1669). PADA bentuk modern teori fungsi trigonometri diperkenalkan oleh L. Euler (abad ke-18). Dia memiliki definisi mereka untuk argumen yang nyata dan kompleks, simbolisme yang sekarang diterima, pembentukan koneksi dengan Fungsi eksponensial dan ortogonalitas sistem sinus dan kosinus.

Pada artikel ini, kami akan menunjukkan caranya definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut dan bilangan dalam trigonometri. Di sini kita akan berbicara tentang notasi, memberikan contoh catatan, memberi ilustrasi grafis. Sebagai kesimpulan, kami menggambar paralel antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen

Mari kita ikuti bagaimana konsep sinus, cosinus, tangen dan kotangen terbentuk di kursus sekolah matematika. Dalam pelajaran geometri, definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diberikan. Dan kemudian trigonometri dipelajari, yang mengacu pada sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi dan bilangan. Kami memberikan semua definisi ini, memberikan contoh dan memberikan komentar yang diperlukan.

Sudut lancip pada segitiga siku-siku

Dari mata kuliah geometri, definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diketahui. Mereka diberikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Kami menyajikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

Definisi.

Cosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Definisi.

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Notasi sinus, cosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - masing-masing sin, cos, tg dan ctg.

Sebagai contoh, jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, maka sinus sudut lancip A sama dengan perbandingan kaki depan BC dengan sisi miring AB, yaitu sin∠A=BC/AB.

Definisi ini memungkinkan Anda untuk menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dari panjang sisi segitiga siku-siku yang diketahui, serta dari nilai yang diketahui sinus, cosinus, tangen, kotangen dan panjang salah satu sisi untuk menemukan panjang sisi lainnya. Misalnya, jika kita mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku kaki AC adalah 3 dan sisi miring AB adalah 7 , maka kita dapat menghitung kosinus sudut lancip A dengan definisi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Sudut rotasi

Dalam trigonometri, mereka mulai melihat sudut lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut rotasi. Sudut rotasi, tidak seperti sudut lancip, tidak terbatas pada bingkai dari 0 hingga 90 derajat, sudut rotasi dalam derajat (dan dalam radian) dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari hingga +∞.

Dalam hal ini, definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen bukan lagi sudut lancip, tetapi sudut yang besarnya sewenang-wenang - sudut rotasi. Mereka diberikan melalui koordinat x dan y dari titik A 1 , di mana titik awal yang disebut A(1, 0) lewat setelah berputar melalui sudut di sekitar titik O - awal dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang dan pusat lingkaran satuan.

Definisi.

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 , yaitu sinα=y .

Definisi.

cosinus sudut rotasi disebut absis titik A 1 , yaitu cosα=x .

Definisi.

Tangen sudut rotasi adalah rasio ordinat titik A 1 dengan absisnya, yaitu tgα=y/x .

Definisi.

Kotangen dari sudut rotasi adalah rasio absis titik A 1 dengan ordinatnya, yaitu ctgα=x/y .

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut , karena kita selalu dapat menentukan absis dan ordinat suatu titik, yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut . Dan tangen dan kotangen tidak didefinisikan untuk setiap sudut. Garis singgung tidak didefinisikan untuk sudut seperti itu di mana titik awal menuju ke titik dengan nol absis (0, 1) atau (0, 1) , dan ini terjadi pada sudut 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Memang, pada sudut rotasi seperti itu, ekspresi tgα=y/x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Untuk kotangen, tidak ditentukan untuk sudut di mana titik awal menuju ke titik dengan ordinat nol (1, 0) atau (−1, 0), dan ini adalah kasus sudut 180° k , k Z (π k rad).

Jadi, sinus dan kosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi, garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), dan kotangen adalah untuk semua sudut kecuali 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notasi yang sudah kita ketahui muncul dalam definisi sin, cos, tg dan ctg, mereka juga digunakan untuk menunjukkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi (kadang-kadang Anda dapat menemukan notasi tan dan cot yang sesuai dengan tangen dan kotangens). Jadi sinus sudut rotasi 30 derajat dapat ditulis sebagai sin30°, catatan tg(−24°17′) dan ctgα sesuai dengan tangen sudut rotasi 24 derajat 17 menit dan kotangen sudut rotasi . Ingatlah bahwa ketika menulis ukuran radian suatu sudut, notasi "rad" sering dihilangkan. Misalnya, cosinus dari sudut rotasi tiga pi rad biasanya dilambangkan cos3 .

Sebagai penutup paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa dalam membicarakan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi, frasa “sudut rotasi” atau kata “rotasi” sering dihilangkan. Yaitu, alih-alih frasa "sinus sudut rotasi alfa", frasa "sinus sudut alfa" biasanya digunakan, atau bahkan lebih pendek - "sinus alfa". Hal yang sama berlaku untuk cosinus, dan tangen, dan kotangen.

Katakan juga bahwa definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku konsisten dengan definisi yang diberikan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut rotasi yang berkisar dari 0 hingga 90 derajat. Ini akan kami buktikan.

angka

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t adalah angka yang sama dengan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi masing-masing dalam t radian.

Misalnya, kosinus 8 , menurut definisi, adalah bilangan yang sama dengan kosinus sudut 8 rad. Dan cosinus sudutnya adalah 8 rad sama dengan satu, oleh karena itu, cosinus dari angka 8 sama dengan 1 .

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Ini terdiri dari fakta bahwa setiap bilangan real t dikaitkan dengan titik lingkaran satuan dengan pusat di awal sistem persegi panjang koordinat, dan sinus, cosinus, tangen dan kotangen didefinisikan dalam koordinat titik ini. Mari kita membahas ini secara lebih rinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana korespondensi antara bilangan real dan titik-titik lingkaran ditetapkan:

• angka 0 ditetapkan sebagai titik awal A(1, 0);
• nomor positif t sesuai dengan titik lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak di sepanjang lingkaran dari titik awal berlawanan arah jarum jam dan ayo jalan panjang t;
• angka negatif t sesuai dengan titik lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak mengelilingi lingkaran dari titik awal searah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang |t| .

Sekarang mari kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari bilangan t. Mari kita asumsikan bahwa angka t sesuai dengan titik lingkaran A 1 (x, y) (misalnya, angka &pi/2; sesuai dengan titik A 1 (0, 1) ).

Definisi.

Sinus suatu bilangan t adalah ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan t , yaitu sint=y .

Definisi.

Kosinus suatu bilangan t disebut absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t , yaitu, biaya=x .

Definisi.

Tangen suatu bilangan t adalah rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, tgt=y/x. Dalam formulasi lain yang setara, garis singgung dari angka t adalah rasio sinus dari angka ini dengan kosinus, yaitu, tgt=sint/biaya .

Definisi.

Kotangen suatu bilangan t adalah rasio absis terhadap ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, ctgt=x/y. Rumusan lain adalah sebagai berikut: tangen bilangan t adalah perbandingan kosinus bilangan t dengan sinus bilangan t : ctgt=biaya/sint .

Di sini kami mencatat bahwa definisi yang baru saja diberikan setuju dengan definisi yang diberikan di awal subbagian ini. Memang, titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut t radian.

Penting juga untuk mengklarifikasi poin ini. Katakanlah kita memiliki entri sin3. Bagaimana memahami apakah sinus angka 3 atau sinus sudut rotasi 3 radian yang dimaksud? Ini biasanya jelas dari konteksnya, jika tidak, mungkin tidak masalah.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Menurut definisi yang diberikan dalam paragraf sebelumnya, setiap sudut rotasi sesuai dengan nilai sinα yang terdefinisi dengan baik, serta nilai cosα. Selain itu, semua sudut rotasi selain 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) sesuai dengan nilai tgα , dan selain 180° k , k∈Z (π k rad ) adalah nilai dari ctgα . Oleh karena itu sinα, cosα, tgα dan ctgα adalah fungsi dari sudut . Dengan kata lain, ini adalah fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat berbicara tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari argumen numerik. Memang, setiap bilangan real t sesuai dengan nilai sint , serta biaya yang terdefinisi dengan baik . Selain itu, semua angka selain /2+π·k , k∈Z sesuai dengan nilai tgt , dan angka ·k , k∈Z sesuai dengan nilai ctgt .

Fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteksnya bahwa kita berurusan dengan fungsi trigonometri dari argumen sudut atau argumen numerik. Jika tidak, kita dapat menganggap variabel bebas sebagai ukuran sudut ( argumen sudut), serta argumen numerik.

Namun, sekolah terutama belajar fungsi numerik, yaitu, fungsi yang argumennya, serta nilai fungsi terkaitnya, adalah angka. Oleh karena itu, jika kita sedang berbicara khusus tentang fungsi, adalah bijaksana untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi argumen numerik.

Koneksi definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita mempertimbangkan sudut rotasi dari 0 hingga 90 derajat, maka data dalam konteks trigonometri definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi sepenuhnya konsisten dengan definisi sinus, cosinus , tangen dan kotangen dari sudut akut dalam segitiga siku-siku, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita buktikan ini.

Gambarlah sebuah lingkaran satuan pada sistem koordinat kartesius persegi panjang Oxy. Perhatikan titik awal A(1, 0) . Mari kita putar dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat, kita mendapatkan titik A 1 (x, y) . Mari kita jatuhkan tegak lurus A 1 H dari titik A 1 ke sumbu Ox.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam segitiga siku-siku sudut A 1 OH sama dengan sudut rotasi , panjang kaki OH yang berdekatan dengan sudut ini sama dengan absis titik A 1, yaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 , yaitu |A 1 H|=y , dan panjang sisi miring OA 1 sama dengan satu , karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan. Kemudian, menurut definisi dari geometri, sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku A 1 OH sama dengan rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, yaitu, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Dan menurut definisi dari trigonometri, sinus sudut rotasi sama dengan ordinat titik A 1, yaitu sinα=y. Hal ini menunjukkan bahwa definisi sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan definisi sinus sudut putar untuk dari 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip konsisten dengan definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi .

Bibliografi.

1. Geometri. nilai 7-9: studi. untuk pendidikan umum institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dan lainnya]. - edisi ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 hal.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Prok. untuk 7-9 sel. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - Edisi ke-2 - M.: Pencerahan, 2001. - 224 hal.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Aljabar dan fungsi dasar : tutorial untuk siswa kelas 9 sekolah menengah atas/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Diedit oleh Doktor Ilmu Fisika dan Matematika O.N. Golovin - edisi ke-4. Moskow: Pendidikan, 1969.
4. Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal dari analisis. Kelas 10. Pada 2 hal. Bab 1: tutorial untuk institusi pendidikan (tingkat profil)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-4, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Aljabar dan mulai analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - I.: Pendidikan, 2010. - 368 hal.: Sakit - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

definisi

Definisi fungsi trigonometri diberikan dengan bantuan lingkaran trigonometri, yang dipahami sebagai lingkaran dengan jari-jari satuan yang berpusat di titik asal.

Pertimbangkan dua jari-jari lingkaran ini: tetap (di mana titiknya) dan bergerak (di mana titiknya). Biarkan jari-jari bergerak membentuk sudut dengan yang tetap.

Bilangan yang sama dengan ordinat ujung jari-jari satuan yang membentuk sudut dengan jari-jari tetap disebut sinus sudut : .

Bilangan yang sama dengan absis ujung jari-jari satuan yang membentuk sudut dengan jari-jari tetap disebut cosinus sudut : .

Dengan demikian, titik yang merupakan ujung jari-jari bergerak yang membentuk sudut memiliki koordinat.

Tangen suatu sudut adalah rasio sinus sudut ini dengan cosinusnya: , .

kotangen suatu sudut adalah rasio kosinus sudut ini dengan sinusnya: , .

Arti geometris fungsi trigonometri

Arti geometris sinus dan kosinus pada lingkaran trigonometri jelas dari definisi: ini adalah absis dan ordinat titik persimpangan jari-jari bergerak, yang membuat sudut dengan jari-jari tetap, dan lingkaran trigonometri. yaitu, .

Pertimbangkan sekarang arti geometris dari tangen dan kotangen. Segitiga sebangun di tiga sudut (,), maka hubungannya berlaku. Di sisi lain, di, oleh karena itu.

Juga serupa di tiga sudut (,), maka hubungannya berlaku. Di sisi lain, di, oleh karena itu.

Dengan mempertimbangkan arti geometris dari garis singgung dan kotangen, konsep sumbu garis singgung dan sumbu garis singgung diperkenalkan.

Sumbu garis singgung disebut sumbu, salah satunya menyentuh lingkaran trigonometri di suatu titik dan diarahkan ke atas, yang kedua menyentuh lingkaran di suatu titik dan diarahkan ke bawah.

Sumbu kotangen disebut sumbu, salah satunya menyentuh lingkaran trigonometri pada suatu titik dan mengarah ke kanan, yang kedua menyentuh lingkaran pada suatu titik dan mengarah ke kiri.

Sifat-sifat fungsi trigonometri

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat dasar fungsi trigonometri. Sifat-sifat lainnya akan dibahas pada bagian grafik fungsi trigonometri.

Cakupan dan rentang nilai

Seperti disebutkan sebelumnya, sinus dan cosinus ada untuk setiap sudut, mis. domain definisi fungsi-fungsi ini adalah himpunan bilangan asli. Menurut definisi, tangen tidak ada untuk sudut, tetapi kotangen untuk sudut, .

Karena sinus dan kosinus adalah ordinat dan absis suatu titik pada lingkaran trigonometri, nilainya terletak di antaranya. Kisaran garis singgung dan kotangen adalah himpunan bilangan real (mudah untuk melihat ini dengan melihat sumbu garis singgung dan kotangen).

Bahkan aneh

Pertimbangkan fungsi trigonometri dari dua sudut (yang sesuai dengan jari-jari bergerak) dan (yang sesuai dengan jari-jari bergerak). Karena, maka titik tersebut memiliki koordinat. Oleh karena itu, yaitu sinus - fungsi ganjil; , yaitu kosinus adalah fungsi genap; , yaitu garis singgungnya ganjil; , yaitu kotangennya juga ganjil.

Interval konstan

Tanda-tanda fungsi trigonometri untuk berbagai koordinat perempat ikuti dari definisi fungsi-fungsi ini. Perhatikan bahwa karena tangen dan kotangen adalah rasio sinus dan cosinus, mereka positif ketika sinus dan cosinus suatu sudut adalah tanda identik dan negatif bila berbeda.

Periodisitas

Periodisitas sinus dan kosinus didasarkan pada fakta bahwa sudut yang berbeda dengan bilangan bulat revolusi penuh, sesuai dengan yang sama posisi relatif balok bergerak dan balok tetap. Dengan demikian, koordinat titik potong balok yang bergerak dan lingkaran trigonometri akan sama untuk sudut-sudut yang berbeda bilangan bulat dari putaran penuh. Jadi periode sinus dan cosinus adalah dan di mana.

Jelas, itu juga merupakan periode untuk tangen dan kotangen. Tetapi apakah ada periode yang lebih kecil untuk fungsi-fungsi ini? Kami membuktikan bahwa periode terkecil untuk garis singgung dan kotangen adalah.

Perhatikan dua sudut dan. op pengertian geometris tangen dan kotangen, . Segitiga sama sepanjang sisi dan sudut yang berdekatan dengannya dan, oleh karena itu, sisi-sisinya juga sama, yang berarti dan. Demikian pula, seseorang dapat membuktikan di mana. Jadi, periode tangen dan kotangen adalah.

Fungsi trigonometri sudut dasar

Rumus trigonometri

Untuk solusi sukses soal trigonometri perlu memiliki banyak rumus trigonometri. Namun, tidak perlu menghafal semua rumus. Anda perlu hafal hanya yang paling dasar, dan Anda harus bisa menyimpulkan rumus-rumus lainnya jika perlu.

Utama identitas trigonometri dan konsekuensi dari itu

Semua fungsi trigonometri sudut sewenang-wenang saling berhubungan, yaitu mengetahui satu fungsi, Anda selalu dapat menemukan sisanya. Hubungan ini diberikan oleh rumus yang dipertimbangkan dalam bagian ini.

Teorema 1 (Identitas trigonometri dasar). Untuk apapun, identitasnya

Buktinya terdiri dari penerapan teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku dengan kaki, dan sisi miring.

Teorema yang lebih umum juga benar.

Teorema 2. Agar dua bilangan dapat dianggap sebagai cosinus dan sinus dari sudut nyata yang sama, perlu dan cukup bahwa jumlah kuadratnya sama dengan satu:

Pertimbangkan konsekuensi dari identitas trigonometri utama.

Mari kita nyatakan sinus dalam bentuk kosinus dan kosinus dalam bentuk sinus:

Dalam rumus ini, tanda plus atau minus di depan akar dipilih tergantung pada kuartal di mana sudut itu berada.

Mengganti rumus yang diperoleh di atas ke dalam rumus yang menentukan tangen dan kotangen, kita memperoleh:

Membagi suku identitas trigonometri dasar dengan suku dengan atau kita dapatkan, masing-masing:

Rasio ini dapat ditulis ulang sebagai:

Rumus berikut memberikan hubungan antara tangen dan kotangen. Sejak kapan, dan kapan, maka persamaan itu terjadi:

Cast formula

Dengan bantuan rumus reduksi, nilai fungsi trigonometri sudut arbitrer dapat dinyatakan dalam nilai fungsi sudut lancip. Semua rumus reduksi dapat digeneralisasi menggunakan aturan berikut.

Setiap fungsi trigonometri suatu sudut, dalam nilai mutlak, sama dengan fungsi yang sama dari sudut, jika bilangan genap, dan fungsi kooperatif sudut, jika bilangan ganjil. Apalagi jika fungsi sudut itu positif, bila merupakan sudut positif lancip, maka tanda kedua fungsi itu sama, jika negatif maka berbeda.

Rumus jumlah dan selisih sudut

Teorema 3 . Untuk setiap real dan rumus berikut ini benar:

Pembuktian sisa rumus didasarkan pada rumus reduksi dan genap/ganjil fungsi trigonometri.

Q.E.D.

Teorema 4. Untuk setiap nyata dan semacam itu

1. , rumus berikut ini valid

2. , rumus berikut ini valid

Bukti. Menurut definisi tangen

Transformasi terakhir diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan ini.

Demikian pula untuk kotangen (pembilang dan penyebut dalam hal ini dibagi dengan):

Q.E.D.

Perhatian harus diberikan pada fakta bahwa bagian kanan dan kiri dari persamaan terakhir memiliki daerah yang berbeda nilai yang diizinkan. Oleh karena itu, penggunaan formula ini tanpa batasan nilai yang mungkin sudut dapat menyebabkan hasil yang salah.

Rumus sudut ganda dan setengah

Rumus sudut ganda memungkinkan kita untuk mengekspresikan fungsi trigonometri dari sudut sewenang-wenang dalam hal fungsi dari sudut setengah aslinya. Rumus-rumus ini adalah konsekuensi dari rumus jumlah dua sudut, jika kita menempatkan sudut di dalamnya sama besar.

Rumus terakhir dapat diubah menggunakan identitas trigonometri dasar:

Jadi, untuk kosinus sudut ganda, ada tiga rumus:

Perlu dicatat bahwa rumus yang diberikan hanya berlaku bila

Rumus terakhir berlaku untuk, .

Sama halnya dengan fungsi sudut ganda, fungsi sudut rangkap tiga dapat diperoleh. Di sini rumus-rumus ini diberikan tanpa bukti:

Rumus setengah sudut adalah konsekuensi dari rumus sudut ganda dan memungkinkan Anda untuk menyatakan fungsi trigonometri sudut tertentu dalam bentuk fungsi sudut dua kali lipat aslinya.

1. Fungsi trigonometri adalah fungsi dasar yang argumennya adalah injeksi. Dengan bantuan fungsi trigonometri, hubungan antara sisi dan sudut tajam dalam segitiga siku-siku. Area penerapan fungsi trigonometri sangat beragam. Jadi, misalnya, setiap proses periodik dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari fungsi trigonometri (deret Fourier). Fungsi-fungsi ini sering muncul ketika menyelesaikan persamaan diferensial dan fungsional.

2. Fungsi trigonometri meliputi 6 fungsi berikut: sinus, kosinus, garis singgung,kotangens, garis potong dan kosekans. Untuk masing-masing fungsi yang ditentukan ada fungsi trigonometri terbalik.

3. Definisi geometris fungsi trigonometri diperkenalkan dengan mudah menggunakan lingkaran satuan. Gambar di bawah menunjukkan lingkaran dengan jari-jari r=1. Titik M(x,y) ditandai pada lingkaran. Sudut antara vektor radius OM dan arah positif sumbu Ox adalah .

4. sinus sudut adalah rasio ordinat y dari titik M(x,y) dengan jari-jari r:
sinα=y/r.
Karena r=1, maka sinus sama dengan ordinat titik M(x,y).

5. kosinus sudut adalah rasio absis x titik M(x,y) dengan jari-jari r:
cosα=x/r

6. garis singgung sudut adalah rasio ordinat y dari titik M(x,y) terhadap absisnya x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens sudut adalah perbandingan absis x titik M(x,y) dengan ordinatnya y:
cotα=x/y,y≠0

8. Garis potong sudut adalah rasio jari-jari r terhadap absis x titik M(x,y):
detikα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekans sudut adalah rasio jari-jari r terhadap ordinat y dari titik M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Pada lingkaran satuan, proyeksi x, y dari titik-titik M(x,y) dan jari-jari r membentuk segitiga siku-siku, di yang x,y adalah kaki, dan r adalah sisi miring. Oleh karena itu, definisi fungsi trigonometri di atas diterapkan pada segitiga siku-siku diformulasikan dengan cara ini:
sinus sudut adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.
kosinus sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
garis singgung sudut disebut kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangens sudut disebut kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan.
Garis potong sudut adalah rasio sisi miring terhadap kaki yang berdekatan.
Kosekans sudut adalah rasio sisi miring ke kaki yang berlawanan.

11. grafik fungsi sinus
y=sinx, domain: x∈R, domain: 1≤sinx≤1

12. Grafik fungsi kosinus
y=cosx, domain: x∈R, rentang: 1≤cosx≤1

13. grafik fungsi tangen
y=tanx, domain: x∈R,x(2k+1)π/2, domain:

14. Grafik fungsi kotangen
y=cotx, domain: x∈R,x≠kπ, domain:

15. Grafik fungsi garis potong
y=dtkx, domain: x∈R,x(2k+1)π/2, domain: dtk∈(−∞,−1]∪∪)