ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა. Ნაწილი 1.

ლოგარითმული განტოლებაეწოდება განტოლებას, რომელშიც უცნობი შედის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ (კერძოდ, ლოგარითმის ფუძეში).

პროტოზოა ლოგარითმული განტოლებაროგორც ჩანს:

ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაგულისხმობს ლოგარითმებიდან ლოგარითმების ნიშნით გამონათქვამებზე გადასვლას. თუმცა, ეს ქმედება აფართოებს ფარგლებს დაშვებული ღირებულებებიგანტოლებები და შეიძლება გამოიწვიოს გამოჩენა უცხო ფესვები. ზედმეტი ფესვების გაჩენის თავიდან ასაცილებლადამის გაკეთება შეგიძლიათ სამი გზით:

1. გააკეთეთ ექვივალენტური გადასვლასაწყისი განტოლებიდან სისტემაში ჩათვლით

იმის მიხედვით, თუ რომელი უთანასწორობაა თუ უფრო ადვილი.

თუ განტოლება შეიცავს უცნობს ლოგარითმის ბაზაზე:

შემდეგ გადავდივართ სისტემაზე:

2. ცალკე იპოვეთ განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი, შემდეგ ამოხსენით განტოლება და შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა ნაპოვნი ამონახსნები განტოლებას.

3. ამოხსენით განტოლება და შემდეგ გააკეთე შემოწმება:ჩაანაცვლეთ ნაპოვნი ამონახსნები თავდაპირველ განტოლებაში და შეამოწმეთ მივიღებთ თუ არა სწორ ტოლობას.

ნებისმიერი დონის სირთულის ლოგარითმული განტოლება ყოველთვის საბოლოოდ იკლებს უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებამდე.

ყველა ლოგარითმული განტოლება შეიძლება დაიყოს ოთხ ტიპად:

1 . განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმებს მხოლოდ პირველი ხარისხში. გარდაქმნებისა და გამოყენების დახმარებით ისინი მცირდება ფორმამდე

მაგალითი. მოდით ამოხსნათ განტოლება:

გაათანაბრე გამოთქმები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ:

მოდით შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა განტოლების ჩვენი ფესვი:

დიახ, აკმაყოფილებს.

პასუხი: x=5

2 . განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმებს 1-ის გარდა სხვა ხარისხზე (კერძოდ, წილადის მნიშვნელში). ეს განტოლებები ამოხსნილია გამოყენებით ცვლადის ცვლილების შემოღება.

მაგალითი.მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ვიპოვოთ ODZ განტოლება:

განტოლება შეიცავს ლოგარითმებს კვადრატში, ამიტომ ის წყდება ცვლადის ცვლილების გამოყენებით.

Მნიშვნელოვანი! ჩანაცვლების შემოღებამდე, თქვენ უნდა „გაიყვანოთ“ ლოგარითმები, რომლებიც განტოლების ნაწილია, „აგურებად“ ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით.

ლოგარითმების "გაყვანისას" მნიშვნელოვანია ლოგარითმების თვისებების ძალიან ფრთხილად გამოყენება:

გარდა ამისა, აქ არის კიდევ ერთი დახვეწილი ადგილი და საერთო შეცდომის თავიდან ასაცილებლად, გამოვიყენებთ შუალედურ ტოლობას: ლოგარითმის ხარისხს ვწერთ ამ ფორმით:

ანალოგიურად,

მიღებულ გამონათქვამებს ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ უცნობი შეტანილია განტოლებაში, როგორც ნაწილი. ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: . ვინაიდან მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა, ჩვენ არ ვაწესებთ რაიმე შეზღუდვას ცვლადზე.

გაკვეთილების გრძელი სერიის საბოლოო ვიდეო ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის შესახებ. ამჯერად ჩვენ ვიმუშავებთ უპირველეს ყოვლისა ლოგარითმის ODZ-თან - დეფინიციის დომენის არასწორი აღრიცხვის (ან თუნდაც უგულებელყოფის) გამო, შეცდომების უმეტესობა წარმოიქმნება ასეთი პრობლემების გადაჭრისას.

ამ მოკლე ვიდეო გაკვეთილში ჩვენ გავაანალიზებთ შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებას ლოგარითმებისთვის, ასევე განვიხილავთ წილადის რაციონალურ განტოლებებს, რომლებზეც ბევრ სტუდენტს ასევე აქვს პრობლემები.

რა იქნება განხილული? მთავარი ფორმულა, რომელთანაც მინდა შევეხო, ასე გამოიყურება:

log a (f g ) = log a f + log a g

ეს არის სტანდარტული გადასვლა პროდუქტიდან ლოგარითმების ჯამზე და პირიქით. თქვენ ალბათ იცით ეს ფორმულა ლოგარითმების შესწავლის თავიდანვე. თუმცა, აქ არის ერთი შეფერხება.

სანამ ცვლადები a , f და g არიან რეგულარული ნომრები, არანაირი პრობლემა არ არის. ეს ფორმულამუშაობს მშვენივრად.

თუმცა, როგორც კი ფუნქციები გამოჩნდება f და g-ის ნაცვლად, ჩნდება განმარტების დომენის გაფართოების ან შევიწროების პრობლემა, იმისდა მიხედვით, თუ რომელი გზით უნდა მოხდეს კონვერტაცია. თავად განსაჯეთ: მარცხნივ დაწერილ ლოგარითმში განმარტების დომენი ასეთია:

fg > 0

მაგრამ მარჯვნივ დაწერილ ჯამში, განმარტების დომენი უკვე გარკვეულწილად განსხვავებულია:

f > 0

გ > 0

მოთხოვნების ეს ნაკრები უფრო მკაცრია, ვიდრე ორიგინალი. პირველ შემთხვევაში ჩვენ დავკმაყოფილდებით ვარიანტი f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 სრულდება).

ამრიგად, მარცხენა კონსტრუქციიდან მარჯვნივ გადასვლისას, განმარტების დომენი ვიწროვდება. თუ თავიდან გვქონდა ჯამი და გადავიწეროთ როგორც პროდუქტი, მაშინ განმარტების დომენი გაფართოვდება.

ანუ პირველ შემთხვევაში შეიძლება დაგვეკარგა ფესვები, მეორეში კი ზედმეტი. ეს უნდა იქნას გათვალისწინებული რეალური ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.

ასე რომ, პირველი ამოცანაა:

[სურათის წარწერა]

მარცხნივ ჩვენ ვხედავთ ლოგარითმების ჯამს იმავე ფუძეში. ამრიგად, ეს ლოგარითმები შეიძლება დაემატოს:

[სურათის წარწერა]

როგორც ხედავთ, მარჯვნივ ჩვენ შევცვალეთ ნული ფორმულით:

a = ჟურნალი b b a

მოდით გადავაწყოთ ჩვენი განტოლება ცოტა მეტი:

ჟურნალი 4 (x − 5) 2 = ჟურნალი 4 1

ჩვენს წინაშე არის ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ჩვენ შეგვიძლია გადავკვეთოთ ჟურნალის ნიშანი და გავაიგივოთ არგუმენტები:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

ყურადღება მიაქციეთ: საიდან გაჩნდა მოდული? შეგახსენებთ, რომ ზუსტი კვადრატის ფესვი ზუსტად უდრის მოდულს:

[სურათის წარწერა]

მერე გადავწყვეტთ კლასიკური განტოლებამოდულით:

|ვ| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

აქ არის ორი კანდიდატი პასუხისთვის. ისინი ამონახსნები არიან თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლებისთვის? Არანაირად!

ჩვენ არ გვაქვს უფლება ყველაფერი ასე დავტოვოთ და პასუხი დავწეროთ. დააკვირდით იმ საფეხურს, სადაც ლოგარითმების ჯამს ვცვლით არგუმენტების ნამრავლის ერთი ლოგარითმით. პრობლემა ის არის, რომ ორიგინალურ გამონათქვამებში გვაქვს ფუნქციები. ამიტომ, საჭირო უნდა იყოს:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

როდესაც ჩვენ გადავცვალეთ პროდუქტი, მივიღეთ ზუსტი კვადრატი, მოთხოვნები შეიცვალა:

(x − 5) 2 > 0

როდის სრულდება ეს მოთხოვნა? დიახ, თითქმის ყოველთვის! გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც x − 5 = 0. ანუ, უტოლობა შემცირდება ერთ პუნქციურ წერტილამდე:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

როგორც ხედავთ, გაფართოვდა განმარტების სფერო, რაზეც გაკვეთილის დასაწყისში ვისაუბრეთ. ამიტომ, დამატებითი ფესვებიც შეიძლება გამოჩნდეს.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ამ ზედმეტი ფესვების გაჩენა? ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს მიღებულ ფესვებს და ვადარებთ მათ თავდაპირველი განტოლების დომენს. დავთვალოთ:

x (x − 5) > 0

ჩვენ მოვაგვარებთ ინტერვალის მეთოდით:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

მიღებულ რიცხვებს ვნიშნავთ სწორ ხაზზე. ყველა წერტილი პუნქციაა, რადგან უთანასწორობა მკაცრია. ვიღებთ 5-ზე მეტ ნებისმიერ რიცხვს და ვცვლით:

[სურათის წარწერა]

ჩვენ გვაინტერესებს ინტერვალები (−∞; 0) ∪ (5; ∞). თუ ჩვენს ფესვებს ავნიშნავთ სეგმენტზე, დავინახავთ, რომ x = 4 არ გვერგება, რადგან ეს ფესვი თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლების დომენის გარეთ მდებარეობს.

ჩვენ ვუბრუნდებით პოპულაციას, გადავხაზავთ ფესვს x \u003d 4 და ვწერთ პასუხს: x \u003d 6. ეს არის საბოლოო პასუხი ორიგინალური ლოგარითმული განტოლებისთვის. ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია.

გადავდივართ მეორე ლოგარითმულ განტოლებაზე:

[სურათის წარწერა]

ჩვენ მოვაგვარებთ. გაითვალისწინეთ, რომ პირველი წევრი არის წილადი, ხოლო მეორე არის იგივე წილადი, მაგრამ შებრუნებული. არ შეგაშინოთ lgx გამოთქმა - ეს მარტივია ათობითი ლოგარითმი, შეგვიძლია დავწეროთ:

lgx = log 10 x

ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ორი ინვერსიული წილადი, მე გთავაზობთ ახალი ცვლადის შემოღებას:

[სურათის წარწერა]

ამრიგად, ჩვენი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

როგორც ხედავთ, წილადის მრიცხველი ზუსტი კვადრატია. წილადი არის ნული, როცა მისი მრიცხველია ნულიდა მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

ჩვენ ვხსნით პირველ განტოლებას:

t − 1 = 0;

t = 1.

ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს მეორე მოთხოვნას. მაშასადამე, შეიძლება ითქვას, რომ ჩვენ მთლიანად გადავჭრით ჩვენი განტოლება, მაგრამ მხოლოდ t ცვლადის მიმართ. ახლა გავიხსენოთ რა არის t:

[სურათის წარწერა]

ჩვენ მივიღეთ თანაფარდობა:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = −1

ჩვენ მივყავართ ეს განტოლება კანონიკურ ფორმამდე:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

შედეგად მივიღეთ ერთადერთი ფესვი, რომელიც, თეორიულად, არის საწყისი განტოლების ამოხსნა. თუმცა, მოდით მაინც ვითამაშოთ უსაფრთხოდ და ამოვიწეროთ ორიგინალური განტოლების დომენი:

[სურათის წარწერა]

ამიტომ, ჩვენი ფესვი აკმაყოფილებს ყველა მოთხოვნას. ჩვენ ვიპოვეთ ამონახსნი ორიგინალური ლოგარითმული განტოლებისთვის. პასუხი: x = 0.1. პრობლემა მოგვარებულია.

დღევანდელ გაკვეთილზე მხოლოდ ერთი საკვანძო მომენტია: პროდუქტიდან ჯამზე გადასვლის ფორმულის გამოყენებისას და პირიქით, აუცილებლად გაითვალისწინეთ, რომ განსაზღვრების დომენი შეიძლება ვიწროვდეს ან გაფართოვდეს იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მიმართულებით ხდება გადასვლა.

როგორ გავიგოთ რა ხდება: შეკუმშვა თუ გაფართოება? Ძალიან მარტივი. Თუ ფუნქციის დაწყებამდეერთად იყვნენ და ახლა ცალ-ცალკე გახდნენ, შემდეგ მოხდა განმარტების ფარგლების შევიწროება (რადგან მეტი მოთხოვნებია). თუ თავიდან ფუნქციები ცალკე იყო და ახლა ერთადაა, მაშინ განმარტების დომენი გაფართოვდა (პროდუქტზე ნაკლები მოთხოვნებია დაწესებული, ვიდრე ცალკეულ ფაქტორებზე).

ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, მინდა აღვნიშნო, რომ მეორე ლოგარითმული განტოლება საერთოდ არ მოითხოვს ამ გარდაქმნებს, ანუ არგუმენტებს არსად არ ვამატებთ და არ ვამრავლებთ. თუმცა აქვე მინდა გავამახვილო თქვენი ყურადღება კიდევ ერთ შესანიშნავ ხრიკზე, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ გამოსავალი. საუბარია ცვლადის შეცვლაზე.

თუმცა დაიმახსოვრეთ, რომ არცერთი ჩანაცვლება არ გვათავისუფლებს მოქმედებისგან. სწორედ ამიტომ, მას შემდეგ, რაც ყველა ფესვი იპოვეს, ჩვენ არც ისე ზარმაცი ვიყავით და დავუბრუნდით საწყის განტოლებას, რომ ვიპოვოთ მისი ODZ.

ხშირად ცვლადის შეცვლისას, შემაშფოთებელი შეცდომა ჩნდება, როდესაც სტუდენტები პოულობენ t-ის მნიშვნელობას და ფიქრობენ, რომ გამოსავალი დასრულებულია. Არანაირად!

როდესაც იპოვით t-ის მნიშვნელობას, თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და ნახოთ ზუსტად რას აღვნიშნავთ ამ ასოთი. შედეგად, კიდევ ერთი განტოლება უნდა ამოხსნათ, რომელიც, თუმცა, გაცილებით მარტივი იქნება, ვიდრე ორიგინალი.

ეს არის ზუსტად ახალი ცვლადის შემოღების წერტილი. ჩვენ დავყავით თავდაპირველი განტოლება ორ შუალედად, რომელთაგან თითოეული იხსნება ბევრად უფრო მარტივად.

როგორ ამოხსნათ „ბუდებული“ ლოგარითმული განტოლებები

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და კონსტრუქციების ანალიზს, როდესაც ერთი ლოგარითმი მეორე ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. ორივე განტოლებას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და კონსტრუქციების ანალიზს, როდესაც ერთი ლოგარითმი მეორის ნიშნის ქვეშაა. ორივე განტოლებას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ თუ გვაქვს log a f (x) \u003d b ფორმის უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება, მაშინ ასეთი განტოლების ამოსახსნელად ვასრულებთ შემდეგი ნაბიჯები. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა შევცვალოთ რიცხვი b:

b = log a a b

გაითვალისწინეთ, რომ a b არის არგუმენტი. ანალოგიურად, თავდაპირველ განტოლებაში არგუმენტი არის ფუნქცია f(x). შემდეგ ჩვენ ხელახლა ვწერთ განტოლებას და ვიღებთ ამ კონსტრუქციას:

log a f(x) = log a a b

ამის შემდეგ შეგვიძლია შევასრულოთ მესამე ნაბიჯი - მოვიშოროთ ლოგარითმის ნიშანი და უბრალოდ დავწეროთ:

f(x) = a b

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ განტოლებას. ამ შემთხვევაში f(x) ფუნქციაზე არანაირი შეზღუდვა არ არის დაწესებული. მაგალითად, თავის ადგილზე ასევე შეიძლება დადგეს ლოგარითმული ფუნქცია. და შემდეგ კვლავ ვიღებთ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელსაც კვლავ ვამცირებთ უმარტივესამდე და ვხსნით კანონიკური ფორმის საშუალებით.

მაგრამ საკმარისია ლექსები. მოვაგვაროთ რეალური პრობლემა. ასე რომ, დავალება ნომერი 1:

ჟურნალი 2 (1 + 3 ჟურნალი 2 x ) = 2

როგორც ხედავთ, ჩვენ გვაქვს მარტივი ლოგარითმული განტოლება. f (x)-ის როლი არის კონსტრუქცია 1 + 3 log 2 x, ხოლო b რიცხვი არის რიცხვი 2 (a-ს როლიც არის ორი). მოდით გადავიწეროთ ეს ორი შემდეგნაირად:

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ პირველი ორი დუელი ჩვენამდე მოვიდა ლოგარითმის ფუძიდან, ანუ თავდაპირველ განტოლებაში რომ იყოს 5, მაშინ მივიღებდით, რომ 2 = log 5 5 2. ზოგადად, ბაზა დამოკიდებულია მხოლოდ ლოგარითმზე, რომელიც თავდაპირველად მოცემულია პრობლემაში. და ჩვენს შემთხვევაში ეს რიცხვი არის 2.

ასე რომ, ჩვენ გადავწერთ ჩვენს ლოგარითმულ განტოლებას, იმის გათვალისწინებით, რომ ეს ორი, რომელიც მარჯვნივ არის, სინამდვილეში ასევე ლოგარითმია. ჩვენ ვიღებთ:

ჟურნალი 2 (1 + 3 ჟურნალი 2 x ) = ჟურნალი 2 4

ჩვენ გადავდივართ ჩვენი სქემის ბოლო საფეხურზე - ვიშორებთ კანონიკურ ფორმას. შეგვიძლია ვთქვათ, უბრალოდ გადაკვეთეთ ლოგინის ნიშნები. ამასთან, მათემატიკის თვალსაზრისით, შეუძლებელია „ლოგის ამოღება“ - უფრო სწორია იმის თქმა, რომ ჩვენ უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს:

1 + 3 ჟურნალი 2 x = 4

აქედან ადვილია 3 log 2 x :

3 ჟურნალი 2 x = 3

ჟურნალი 2 x = 1

ჩვენ კვლავ მივიღეთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება, დავუბრუნდეთ მას კანონიკურ ფორმას. ამისათვის ჩვენ უნდა შევიტანოთ შემდეგი ცვლილებები:

1 = ჟურნალი 2 2 1 = ჟურნალი 2 2

რატომ არის ბაზაზე დუი? რადგან ჩვენს კანონიკური განტოლებამარცხნივ არის ლოგარითმი ზუსტად მე-2 ფუძის მიმართ. ჩვენ ამ ფაქტის გათვალისწინებით გადავწერთ პრობლემას:

ჟურნალი 2 x = ჟურნალი 2 2

ისევ ვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს, ანუ უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს. ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან საფუძვლები იგივეა და დამატებითი მოქმედებები არ განხორციელებულა არც მარჯვნივ და არც მარცხნივ:

Სულ ეს არის! პრობლემა მოგვარებულია. ჩვენ ვიპოვეთ გამოსავალი ლოგარითმული განტოლებისთვის.

Შენიშვნა! მიუხედავად იმისა, რომ ცვლადი x არის არგუმენტში (ანუ არის მოთხოვნები განმარტების დომენისთვის), ჩვენ არ დავაყენებთ დამატებით მოთხოვნებს.

როგორც ზემოთ ვთქვი, ეს შემოწმებაზედმეტია, თუ ცვლადი გვხვდება მხოლოდ ერთი ლოგარითმის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. ჩვენს შემთხვევაში, x ნამდვილად არის მხოლოდ არგუმენტში და მხოლოდ ერთი ჟურნალის ნიშნის ქვეშ. ამიტომ, დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო.

თუმცა, თუ არ ენდობით ამ მეთოდით, მაშინ მარტივად შეგიძლიათ დაადასტუროთ, რომ x = 2 ნამდვილად ფესვია. საკმარისია ამ რიცხვის ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში.

გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე, ცოტა უფრო საინტერესოა:

ჟურნალი 2 (ლოგი 1/2 (2x − 1) + ჟურნალი 2 4) = 1

თუ დიდი ლოგარითმის შიგნით გამოსახულებას f (x) ფუნქციით აღვნიშნავთ, მივიღებთ უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებას, რომლითაც დავიწყეთ დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილი. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია გამოვიყენოთ კანონიკური ფორმა, რისთვისაც აუცილებელია ერთეულის წარმოდგენა ფორმაში log 2 2 1 = log 2 2.

ჩვენი დიდი განტოლების გადაწერა:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

ჩვენ ვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს, არგუმენტების გათანაბრებას. ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან ბაზები ერთნაირია მარცხნივ და მარჯვნივ. ასევე, გაითვალისწინეთ, რომ ჟურნალი 2 4 = 2:

ჟურნალი 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

ჟურნალი 1/2 (2x − 1) = 0

ჩვენს წინაშე კვლავ არის უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება ფორმის log a f (x) \u003d b. ჩვენ გადავდივართ კანონიკურ ფორმაზე, ანუ ჩვენ წარმოვადგენთ ნულს ფორმაში log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს განტოლებას და ვაშორებთ ჟურნალის ნიშანს არგუმენტების გათანაბრების გზით:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

ისევ მივიღეთ მყისიერი პასუხი. დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან თავდაპირველ განტოლებაში მხოლოდ ერთი ლოგარითმი შეიცავს ფუნქციას არგუმენტში.

ამიტომ, დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო. თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ x = 1 არის ამ განტოლების ერთადერთი ფესვი.

მაგრამ თუ მეორე ლოგარითმში ოთხის ნაცვლად იქნებოდა x-ის რაიმე ფუნქცია (ან 2x არ იქნებოდა არგუმენტში, არამედ ბაზაში) - მაშინ საჭირო იქნებოდა განსაზღვრების დომენის შემოწმება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ზედმეტი ფესვების გაშვების დიდი შანსია.

საიდან მოდის ეს ზედმეტი ფესვები? ეს წერტილი ძალიან ნათლად უნდა იქნას გაგებული. შეხედეთ თავდაპირველ განტოლებებს: ყველგან ფუნქცია x არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ამიტომ, რადგან ჩვენ დავწერეთ log 2 x, ჩვენ ავტომატურად ვაყენებთ მოთხოვნას x > 0. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამ ჩანაწერს უბრალოდ აზრი არ აქვს.

თუმცა, ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას ჩვენ ვიშორებთ ლოგის ყველა ნიშანს და ვიღებთ მარტივ კონსტრუქციებს. აქ მეტი შეზღუდვა არ არის, რადგან ხაზოვანი ფუნქციაგანსაზღვრულია x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

სწორედ ეს პრობლემაა, როცა საბოლოო ფუნქცია ყველგან და ყოველთვის არის განსაზღვრული, ხოლო საწყისი არავითარ შემთხვევაში არ არის ყველგან და არა ყოველთვის, ამიტომ ლოგარითმული განტოლებების ამონახსნისას ძალიან ხშირად ჩნდება ზედმეტი ფესვები.

მაგრამ კიდევ ერთხელ ვიმეორებ: ეს ხდება მხოლოდ იმ სიტუაციაში, როდესაც ფუნქცია არის ან რამდენიმე ლოგარითმში, ან ერთ-ერთი მათგანის ბაზაზე. იმ პრობლემებში, რომლებსაც დღეს განვიხილავთ, პრინციპში არ არის პრობლემა განმარტების სფეროს გაფართოებასთან დაკავშირებით.

სხვადასხვა საფუძვლის შემთხვევები

ეს გაკვეთილი ეძღვნება რთული სტრუქტურები. დღევანდელ განტოლებებში ლოგარითმები "ცარიელი" აღარ იქნება ამოხსნილი - ჯერ გარკვეული გარდაქმნები უნდა შეასრულოთ.

ჩვენ ვიწყებთ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას სრულიად განსხვავებული საფუძვლებით, რომლებიც არ არის ერთმანეთის ზუსტი სიმძლავრეები. არ შეგაშინოთ ასეთი ამოცანები - მათი გადაჭრა არ არის ყველაზე რთული მარტივი დიზაინებირაც ზემოთ ვისაუბრეთ.

მაგრამ სანამ უშუალოდ პრობლემებზე გადავიდოდეთ, ნება მომეცით შეგახსენოთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ფორმულა კანონიკური ფორმის გამოყენებით. განვიხილოთ ასეთი პრობლემა:

log a f(x) = b

მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქცია f (x) არის მხოლოდ ფუნქცია, ხოლო რიცხვები a და b უნდა იყოს ზუსტად რიცხვები (ცვლადების გარეშე x). რა თქმა უნდა, სიტყვასიტყვით ერთ წუთში ასევე განვიხილავთ ისეთ შემთხვევებს, როდესაც a და b ცვლადების ნაცვლად არის ფუნქციები, მაგრამ ახლა ამაზე არ არის საუბარი.

როგორც გვახსოვს, რიცხვი b უნდა შეიცვალოს ლოგარითმით იმავე a ბაზაზე, რომელიც მარცხნივ არის. ეს კეთდება ძალიან მარტივად:

b = log a a b

რა თქმა უნდა, სიტყვები "ნებისმიერი რიცხვი b" და "ნებისმიერი რიცხვი a" ნიშნავს ისეთ მნიშვნელობებს, რომლებიც აკმაყოფილებს განმარტების დომენს. კერძოდ, ქ მოცემული განტოლება ჩვენ ვსაუბრობთმხოლოდ ფუძე a > 0 და a ≠ 1.

თუმცა ამ მოთხოვნასშესრულებულია ავტომატურად, რადგან თავდაპირველ ამოცანაში უკვე არის a ფუძის ლოგარითმი - ის რა თქმა უნდა 0-ზე მეტი იქნება და არა 1-ის ტოლი. ამიტომ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას:

log a f(x) = log a a b

ასეთ აღნიშვნას კანონიკური ფორმა ეწოდება. მისი მოხერხებულობა ის არის, რომ ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ ჟურნალის ნიშანი არგუმენტების გათანაბრების გზით:

f(x) = a b

სწორედ ამ ტექნიკას გამოვიყენებთ ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად ცვლადი ბაზა. ასე რომ წავიდეთ!

ჟურნალი 2 (x 2 + 4x + 11) = ჟურნალი 0.5 0.125

Რა არის შემდეგი? ვიღაც ახლა იტყვის, რომ თქვენ უნდა გამოთვალოთ სწორი ლოგარითმი, ან შეამციროთ ისინი ერთ ბაზაზე, ან სხვა რამეზე. და მართლაც, ახლა თქვენ უნდა მიიყვანოთ ორივე ბაზა იმავე ფორმაში - ან 2 ან 0.5. მაგრამ ერთხელ და სამუდამოდ ვისწავლოთ შემდეგი წესი:

თუ ლოგარითმული განტოლება შეიცავს ათწილადები, დარწმუნდით, რომ გადააკეთეთ ეს წილადები ათობითი აღნიშვნაჩვეულებრივში. ასეთ ტრანსფორმაციას შეუძლია მნიშვნელოვნად გაამარტივოს გამოსავალი.

ასეთი გადასვლა დაუყოვნებლივ უნდა განხორციელდეს, თუნდაც რაიმე მოქმედებისა და ტრანსფორმაციის განხორციელებამდე. Მოდი ვნახოთ:

ჟურნალი 2 (x 2 + 4x + 11) = ჟურნალი 1/2 1/8

რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ 1/2 და 1/8, როგორც ძალა უარყოფითი მაჩვენებელი:

[სურათის წარწერა]

ჩვენ გვაქვს კანონიკური ფორმა. გააიგივეთ არგუმენტები და მიიღეთ კლასიკური კვადრატული განტოლება:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

ჩვენს წინაშეა მოცემული კვადრატული განტოლება, რომელიც ადვილად ამოხსნილია ვიეტას ფორმულების გამოყენებით. თქვენ უნდა ნახოთ მსგავსი გამოთვლები საშუალო სკოლაში სიტყვასიტყვით ზეპირად:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Სულ ეს არის! თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლება ამოხსნილია. ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი.

შეგახსენებთ, რომ განვსაზღვროთ ფარგლები ქ ამ საქმესარ არის საჭირო, რადგან ფუნქცია x ცვლადით არის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. ამიტომ, სპექტაკლი შესრულებულია ავტომატურად.

ასე რომ, პირველი განტოლება ამოხსნილია. გადავიდეთ მეორეზე:

ჟურნალი 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = ჟურნალი 3 1/9

ჟურნალი 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = ჟურნალი 3 9 −1

ახლა კი გაითვალისწინეთ, რომ პირველი ლოგარითმის არგუმენტი ასევე შეიძლება დაიწეროს ხარისხად უარყოფითი მაჩვენებლით: 1/2 = 2 −1. შემდეგ შეგიძლიათ აიღოთ განტოლების ორივე მხარეს არსებული სიმძლავრეები და გაყოთ ყველაფერი −1-ზე:

[სურათის წარწერა]

ახლა კი ძალიან გავაკეთეთ მნიშვნელოვანი ნაბიჯილოგარითმული განტოლების ამოხსნისას. იქნებ ვინმემ ვერ შეამჩნია რამე, ნება მომეცით აგიხსნათ.

შეხედეთ ჩვენს განტოლებას: ჟურნალი არის მარცხნივ და მარჯვნივ, მაგრამ ბაზის 2 ლოგარითმი არის მარცხნივ, ხოლო ბაზის 3 ლოგარითმი არის მარჯვნივ. მთელი ხარისხიორი და პირიქით: შეუძლებელია დაწერო, რომ 2 არის 3 მთელ ხარისხზე.

მაშასადამე, ეს არის სხვადასხვა ფუძის მქონე ლოგარითმები, რომლებიც არ მცირდება ერთმანეთზე მარტივი გაძლიერებით. Ერთადერთი გზაასეთი პრობლემების გადაჭრა არის ერთ-ერთი ამ ლოგარითმის მოშორება. ამ შემთხვევაში, რადგან ჩვენ ჯერ კიდევ საკმაოდ განვიხილავთ მარტივი დავალებები, მარჯვნიდან ლოგარითმი უბრალოდ გამოითვალა და მივიღეთ უმარტივესი განტოლება - ზუსტად ის, რაზეც ვისაუბრეთ დღევანდელი გაკვეთილის დასაწყისში.

მოდით წარმოვადგინოთ რიცხვი 2, რომელიც არის მარჯვნივ, როგორც log 2 2 2 = log 2 4. და შემდეგ მოვიშოროთ ლოგარითმის ნიშანი, რის შემდეგაც ჩვენ მხოლოდ კვადრატული განტოლება გვაქვს:

ჟურნალი 2 (5x 2 + 9x + 2) = ჟურნალი 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

ჩვენს წინაშე არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება, მაგრამ ის არ არის შემცირებული, რადგან კოეფიციენტი x 2-ზე განსხვავდება ერთიანისგან. ამიტომ, ჩვენ მოვაგვარებთ მას დისკრიმინანტის გამოყენებით:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

Სულ ეს არის! ჩვენ ვიპოვეთ ორივე ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მივიღეთ ამონახსნი საწყისი ლოგარითმული განტოლებისთვის. მართლაც, თავდაპირველ პრობლემაში ფუნქცია x ცვლადთან ერთად არის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. ამიტომ, განმარტების დომენის დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო - ორივე ფესვი, რომელიც აღმოვაჩინეთ, რა თქმა უნდა აკმაყოფილებს ყველა შესაძლო შეზღუდვას.

ეს შეიძლება იყოს დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილის დასასრული, მაგრამ დასასრულს კიდევ ერთხელ მინდა ვთქვა: ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებლად გადააკეთეთ ყველა ათობითი წილადი ჩვეულებრივზე. უმეტეს შემთხვევაში, ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს მათ გადაწყვეტას.

იშვიათად, ძალიან იშვიათად, არის პრობლემები, როდესაც ათობითი წილადების მოშორება მხოლოდ ართულებს გამოთვლებს. თუმცა, ასეთ განტოლებებში, როგორც წესი, თავიდანვე ნათელია, რომ არ არის აუცილებელი ათწილადი წილადების მოშორება.

უმეტეს შემთხვევაში (განსაკუთრებით თუ თქვენ ახლა იწყებთ ვარჯიშს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნაში), თავისუფლად მოიშორეთ ათობითი წილადები და გადათარგმნეთ ისინი ჩვეულებრივ წილადებად. რადგან პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ამ გზით თქვენ მნიშვნელოვნად გაამარტივებთ შემდგომ გადაწყვეტას და გამოთვლებს.

ხსნარის დახვეწილობა და ხრიკები

დღეს ჩვენ უფრო მეტზე გადავდივართ რთული ამოცანებიდა ჩვენ ამოვხსნით ლოგარითმულ განტოლებას, რომელიც ეფუძნება არა რიცხვს, არამედ ფუნქციას.

და მაშინაც კი, თუ ეს ფუნქცია წრფივია, თქვენ მოგიწევთ გადაჭრის სქემაში დამატება მცირე ცვლილებები, რომლის მნიშვნელობაც არის დამატებითი მოთხოვნებილოგარითმის დომენზე ზედმიყენებული.

რთული ამოცანები

ეს გაკვეთილი საკმაოდ გრძელი იქნება. მასში გავაანალიზებთ ორ საკმაოდ სერიოზულ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელთა ამოხსნისას ბევრი სტუდენტი უშვებს შეცდომებს. მათემატიკაში მასწავლებლად მუშაობის დროს გამუდმებით ვაწყდებოდი ორი სახის შეცდომებს:

1. დამატებითი ფესვების გამოჩენა ლოგარითმების განსაზღვრის დომენის გაფართოების გამო. ასეთი შეურაცხმყოფელი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, უბრალოდ დააკვირდით თითოეულ ტრანსფორმაციას;
2. ფესვების დაკარგვა იმის გამო, რომ სტუდენტს დაავიწყდა ზოგიერთი „დახვეწილი“ შემთხვევის განხილვა - სწორედ ასეთ სიტუაციებზე გავამახვილებთ ყურადღებას დღეს.

ის ბოლო გაკვეთილიეძღვნება ლოგარითმულ განტოლებებს. ეს გრძელი იქნება, ჩვენ გავაანალიზებთ რთულ ლოგარითმულ განტოლებებს. იგრძენი თავი კომფორტულად, მოამზადე ჩაი და ჩვენ დავიწყებთ.

პირველი განტოლება საკმაოდ სტანდარტულად გამოიყურება:

ჟურნალი x + 1 (x - 0.5) = ჟურნალი x - 0.5 (x + 1)

მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ ორივე ლოგარითმი ერთმანეთის ინვერსიული ასლია. გავიხსენოთ შესანიშნავი ფორმულა:

log a b = 1/log b a

თუმცა, ამ ფორმულას აქვს მთელი რიგი შეზღუდვები, რომლებიც წარმოიქმნება, თუ a და b რიცხვების ნაცვლად არის x ცვლადის ფუნქციები:

ბ > 0

1 ≠ a > 0

ეს მოთხოვნები დაწესებულია ლოგარითმის საფუძველზე. მეორე მხრივ, წილადში, ჩვენ გვჭირდება 1 ≠ a > 0, რადგან არა მხოლოდ ცვლადი a არის ლოგარითმის არგუმენტში (აქედან გამომდინარე, a > 0), არამედ თავად ლოგარითმი არის მნიშვნელში. ფრაქცია. მაგრამ log b 1 = 0, და მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულოვანი, ამიტომ a ≠ 1.

ასე რომ, შეზღუდვები შენარჩუნებულია a ცვლადზე. მაგრამ რა ემართება b ცვლადს? ერთის მხრივ, b > 0 მოდის ფუძიდან, მეორე მხრივ, ცვლადი b ≠ 1, რადგან ლოგარითმის საფუძველი უნდა განსხვავდებოდეს 1-ისგან. მთლიანობაში, ფორმულის მარჯვენა მხრიდან ირკვევა, რომ 1. ≠ b > 0.

მაგრამ აქ არის პრობლემა: მეორე მოთხოვნა (b ≠ 1) აკლია პირველ უტოლობას მარცხენა ლოგარითმზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ ტრანსფორმაციის შესრულებისას ჩვენ უნდა შეამოწმეთ ცალკერომ არგუმენტი b განსხვავდება ერთისგან!

აი, მოდით შევამოწმოთ. მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ფორმულა:

[სურათის წარწერა]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

ჩვენ მივიღეთ, რომ თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლებიდან უკვე გამომდინარეობს, რომ a და b უნდა იყოს 0-ზე მეტი და არა 1-ის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გადავატრიალოთ ლოგარითმული განტოლება:

მე გთავაზობთ ახალი ცვლადის შემოღებას:

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = t

ამ შემთხვევაში, ჩვენი კონსტრუქცია გადაიწერება შემდეგნაირად:

(t 2 − 1)/t = 0

გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველში გვაქვს კვადრატების განსხვავება. ჩვენ გამოვავლენთ კვადრატების განსხვავებას შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

წილადი არის ნული, როცა მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული. მაგრამ მრიცხველი შეიცავს ნამრავლს, ამიტომ თითოეულ ფაქტორს ვატოლებთ ნულს:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

როგორც ხედავთ, ცვლადის ორივე მნიშვნელობა არ გვერგება. თუმცა, ამოხსნა ამით არ მთავრდება, რადგან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არა t, არამედ x-ის მნიშვნელობა. ჩვენ ვუბრუნდებით ლოგარითმს და ვიღებთ:

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = 1;

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = −1.

მოდით მივიყვანოთ თითოეული ეს განტოლება კანონიკურ ფორმამდე:

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = ჟურნალი x + 1 (x + 1) 1

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = ჟურნალი x + 1 (x + 1) −1

პირველ შემთხვევაში ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:

x − 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0.5;

ასეთ განტოლებას არ აქვს ფესვები, შესაბამისად, პირველ ლოგარითმულ განტოლებას ასევე არ აქვს ფესვები. მაგრამ მეორე განტოლებით, ყველაფერი ბევრად უფრო საინტერესოა:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

ჩვენ ვხსნით პროპორციას - ვიღებთ:

(x − 0.5) (x + 1) = 1

შეგახსენებთ, რომ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას ბევრად უფრო მოსახერხებელია ყველა საერთო ათობითი წილადის მიცემა, ასე რომ, მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

ჩვენს წინაშე არის მოცემული კვადრატული განტოლება, ის ადვილად წყდება ვიეტას ფორმულების გამოყენებით:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი - ისინი კანდიდატები არიან ორიგინალური ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისთვის. იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა ფესვები იქნება რეალურად პასუხში, მოდით დავუბრუნდეთ საწყის პრობლემას. ახლა ჩვენ შევამოწმებთ თითოეულ ჩვენს ფესვს, რათა დავინახოთ, შეესაბამება თუ არა ისინი ფარგლებს:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

ეს მოთხოვნები ორმაგი უთანასწორობის ტოლფასია:

1 ≠ x > 0.5

აქედან მაშინვე ვხედავთ, რომ ფესვი x = −1,5 არ გვიწყობს, მაგრამ x = 1 საკმაოდ კმაყოფილია. ამიტომ x \u003d 1 - საბოლოო გადაწყვეტილებალოგარითმული განტოლება.

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

ერთი შეხედვით, შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ლოგარითმია სხვადასხვა საფუძველიდა სხვადასხვა არგუმენტები. რა უნდა გააკეთოს ასეთ სტრუქტურებთან? პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 25, 5 და 625 არის 5-ის ხარისხები:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

ახლა კი ჩვენ გამოვიყენებთ ლოგარითმის შესანიშნავ თვისებას. ფაქტია, რომ თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ხარისხები არგუმენტიდან ფაქტორების სახით:

log a b n = n ∙ log a b

Ზე მოცემული ტრანსფორმაციაშეზღუდვები დაწესებულია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც ბ-ის ნაცვლად არის ფუნქცია. მაგრამ ჩვენთან b არის მხოლოდ რიცხვი და არანაირი დამატებითი შეზღუდვა არ არსებობს. მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება:

2 ∙ log x 5 + ჟურნალი 125 x 5 = 4 ∙ ჟურნალი 25 x 5

მივიღეთ განტოლება სამი წევრით, რომელიც შეიცავს ჟურნალის ნიშანს. უფრო მეტიც, სამივე ლოგარითმის არგუმენტები ტოლია.

დროა გადავაბრუნოთ ლოგარითმები, რათა მივიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე ფუძემდე - 5. ვინაიდან b ცვლადი მუდმივია, მასშტაბის ცვლილება არ არის. ჩვენ უბრალოდ ვწერთ:

[სურათის წარწერა]

როგორც მოსალოდნელი იყო, იგივე ლოგარითმები მნიშვნელში „გამოიძვრა“. მე გთავაზობთ ცვლადის შეცვლას:

ჟურნალი 5 x = t

ამ შემთხვევაში, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

ამოვიწეროთ მრიცხველი და გავხსნათ ფრჩხილები:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს წილადს. მრიცხველი უნდა იყოს ნული:

[სურათის წარწერა]

და მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

ბოლო მოთხოვნები სრულდება ავტომატურად, რადგან ისინი ყველა "მიბმულია" მთელ რიცხვებთან და ყველა პასუხი ირაციონალურია.

Ისე, წილადი რაციონალური განტოლებაამოხსნილი, ნაპოვნია t ცვლადის მნიშვნელობები. ჩვენ ვუბრუნდებით ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას და გავიხსენოთ რა არის t:

[სურათის წარწერა]

ამ განტოლებას მივყავართ კანონიკურ ფორმამდე, მივიღებთ რიცხვს ირაციონალური ხარისხი. ამან არ დაგაბნიოთ - ასეთი არგუმენტებიც კი შეიძლება გაიგივდეს:

[სურათის წარწერა]

ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი. უფრო ზუსტად, ორი კანდიდატი პასუხებისთვის - მოდით შევამოწმოთ ისინი შესაბამისობის სფეროსთან. ვინაიდან ლოგარითმის საფუძველი არის x ცვლადი, ჩვენ გვჭირდება შემდეგი:

1 ≠ x > 0;

იგივე წარმატებით ვამტკიცებთ, რომ x ≠ 1/125, წინააღმდეგ შემთხვევაში მეორე ლოგარითმის ფუძე გადაიქცევა ერთად. ბოლოს, x ≠ 1/25 მესამე ლოგარითმისთვის.

საერთო ჯამში, ჩვენ მივიღეთ ოთხი შეზღუდვა:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

ახლა ისმის კითხვა: აკმაყოფილებს თუ არა ჩვენი ფესვები ამ მოთხოვნებს? რა თქმა უნდა კმაყოფილი! რადგან 5 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ იქნება ნულზე მეტი და მოთხოვნა x > 0 ავტომატურად სრულდება.

მეორეს მხრივ, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , რაც ნიშნავს, რომ ეს შეზღუდვები ჩვენი ფესვებისთვის (რომელიც, შეგახსენებთ, აქვს ირაციონალური რიცხვი) ასევე კმაყოფილი არიან და ორივე პასუხი პრობლემის გადაწყვეტაა.

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ საბოლოო პასუხი. ძირითადი პუნქტებიამ ერთში ორი ამოცანაა:

1. ფრთხილად იყავით ლოგარითმის შებრუნებისას, როდესაც არგუმენტი და ბაზა შებრუნებულია. ასეთი ტრანსფორმაციები აწესებს არასაჭირო შეზღუდვებს განმარტების სფეროზე.
2. არ შეგეშინდეთ ლოგარითმების გადაქცევა: თქვენ შეგიძლიათ არა მხოლოდ გადაატრიალოთ ისინი, არამედ გახსნათ ისინი ჯამის ფორმულის მიხედვით და ზოგადად შეცვალოთ ისინი ნებისმიერი ფორმულის მიხედვით, რომელიც შეისწავლეთ ლოგარითმული გამონათქვამების ამოხსნისას. თუმცა, ყოველთვის გახსოვდეთ, რომ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია აფართოებს ფარგლებს, ზოგი კი ავიწროებს მას.

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალაუფლებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b * a c = a b + c). ეს მათემატიკური კანონიმიღებული იქნა არქიმედეს მიერ, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც საჭიროა რთული გამრავლების გამარტივება მარტივ შეკრებამდე. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენა.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერის ლოგარითმი. არაუარყოფითი რიცხვი(ანუ ნებისმიერი დადებითი) "b" მის "a" ფუძემდე განიხილება "c"-ის სიძლიერე, რომელზედაც ფუძე "a" უნდა გაიზარდოს, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა "b". გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი ხარისხი, რომ 2-დან საჭირო ხარისხამდე მიიღოთ 8. რამდენიმე გამოთვლების შემდეგ თქვენს გონებაში მივიღებთ რიცხვს 3! და მართალიც ასეა, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხში 8 რიცხვს.

ლოგარითმების ჯიშები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში, ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. არის სამი გარკვეული ტიპებილოგარითმული გამონათქვამები:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც საფუძველი არის ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1 ფუძემდე.

თითოეული მათგანი გადაწყვეტილია სტანდარტული გზით, რომელიც მოიცავს გამარტივებას, შემცირებას და შემდგომ შემცირებას ერთ ლოგარითმზე გამოყენებით ლოგარითმული თეორემები. მისაღებად სწორი ღირებულებებილოგარითმები, თქვენ უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა მათ გადაწყვეტილებებში.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ განხილვას არ ექვემდებარება და ჭეშმარიტია. მაგალითად, არ შეიძლება რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია ფესვის ამოღება ხარისხიც კიდან უარყოფითი რიცხვები. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ თუნდაც გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებით:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და ამავე დროს არ იყოს 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ a > 0, მაშინ a b > 0, გამოდის, რომ "c" უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, მიეცა დავალება, იპოვოთ პასუხი განტოლებაზე 10 x \u003d 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ ასეთი სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2. \u003d 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ მოცემული გამოხატულებალოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმის ამოხსნისას ყველა ქმედება პრაქტიკულად ემთხვევა იმ ხარისხს, რომლითაც უნდა იყოს შეყვანილი ლოგარითმის საფუძველი მოცემული რიცხვის მისაღებად.

მნიშვნელობის უშეცდომოდ განსაზღვრისთვის უცნობი ხარისხითქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ ხარისხების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური აზროვნება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, ამისთვის დიდი ღირებულებებიგჭირდებათ გრადუსების ცხრილი. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვისაც საერთოდ არაფერი ესმის კომპლექსში მათემატიკური თემები. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ფუძე a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. უჯრედებში კვეთაზე განისაზღვრება რიცხვების მნიშვნელობები, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრა 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე რეალური ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში, მაჩვენებელი არის ლოგარითმი. ამიტომ, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული განტოლების სახით. მაგალითად, 3 4 =81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის ლოგარითმი 3-ის ბაზაზე, რომელიც არის ოთხი (log 3 81 = 4). ამისთვის უარყოფითი ძალებიწესები იგივეა: 2 -5 \u003d 1/32 ვწერთ ლოგარითმის სახით, ვიღებთ ჟურნალს 2 (1/32) \u003d -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილებაა „ლოგარითმების“ თემა. განტოლებათა მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ოდნავ დაბლა, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა "x" ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორი ფუძეში მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს ერთ ან მეტ სპეციფიკას. რიცხვითი მნიშვნელობები, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას განისაზღვრება როგორც დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი, ასევე ამ ფუნქციის შეწყვეტის წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის მარტივი ნაკრები ინდივიდუალური ნომრებიროგორც განტოლების პასუხში და ა უწყვეტი სერიაან რიცხვების ნაკრები.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით გავეცნობით, ჯერ უფრო დეტალურად გავაანალიზოთ თითოეული თვისება.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. ის გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. უფრო მეტიც, წინაპირობაარის: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. თქვენ შეგიძლიათ დაასაბუთოთ ლოგარითმების ამ ფორმულის მაგალითები და ამონახსნები. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2 , შემდეგ a f1 = s 1 , a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ხარისხის თვისებები ), და შემდგომ განმარტებით: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებელი იყო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. თეორემა ფორმულის სახით იძენს შემდეგი ხედი: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება რეგულარულ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b \u003d t, გამოდის t \u003d b. თუ ორივე ნაწილს აწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n , შესაბამისად log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმის ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე შედის სავალდებულო ნაწილიმათემატიკის გამოცდები. უნივერსიტეტში ჩასაბარებლად ან ჩასაბარებლად მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, თუმცა, თითოეული მათემატიკური უტოლობაან შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგარითმული განტოლება გარკვეული წესები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგადი ხედი. გამარტივება დიდხანს ლოგარითმული გამონათქვამებიშეგიძლიათ, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ მალე.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განვსაზღვროთ როგორი ლოგარითმი გვაქვს ჩვენს წინაშე: გამოხატვის მაგალითი შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათწილადს.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გადაწყვეტა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თქვენ უნდა დაადგინოთ ის ხარისხი, რომლითაც ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. გადაწყვეტილებისთვის ბუნებრივი ლოგარითმებიუნდა მიმართო ლოგარითმული იდენტობებიან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ გამოსავალს მაგალითებით. ლოგარითმული პრობლემებისხვადასხვა ტიპის.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმებზე ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც საჭიროა გაფართოება დიდი მნიშვნელობარიცხვები b მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ხარისხის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამონათქვამის ამოხსნა. საჭიროა მხოლოდ ბაზის ფაქტორიზაცია და შემდეგ მაჩვენებლების გამოტანა ლოგარითმის ნიშნიდან.

ამოცანები გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღები გამოცდები, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა გამოცდაზე ( სახელმწიფო გამოცდაყველა საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულებისთვის). ჩვეულებრივ, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (უმარტივესი სატესტო ნაწილიგამოცდა), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა გულისხმობს თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“ ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას.

მაგალითები და პრობლემის გადაწყვეტა აღებულია ოფიციალური პირებისგან გამოყენების პარამეტრები. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტათი log 2 (2x-1) = 2 2 , ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4 , შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• ყველა ლოგარითმი საუკეთესოდ დაიყვანება ერთსა და იმავე ფუძემდე, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია დადებითად, შესაბამისად, გამოხატვის მაჩვენებლის მაჩვენებლის ამოღებისას, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და როგორც მისი საფუძველი, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოებისთვის, სამართალდამცავი ორგანოებისთვის ან სხვა საზოგადოებისთვის. მნიშვნელოვანი შემთხვევები.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ ლოგარითმების ამოხსნასთან დაკავშირებულ პრობლემებს. ამოცანები სვამს კითხვას გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის კონცეფცია გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და ძალიან მნიშვნელოვანია მისი მნიშვნელობის გაგება. რაც შეეხება USE-ს, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, in გამოყენებული ამოცანები, ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

აქ მოცემულია მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ:

*პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლიაფაქტორების ლოგარითმები.

* * *

* კოეფიციენტის (წილადის) ლოგარითმი ტოლია ფაქტორების ლოგარითმების სხვაობის.

* * *

*ხარისხის ლოგარითმი უდრის პროდუქტსმისი ფუძის ლოგარითმის მაჩვენებელი.

* * *

* ახალ ბაზაზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდრო კავშირშია ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩვენ ჩამოვთვლით ზოგიერთ მათგანს:

არსი მოცემული ქონებაარის ის, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გადატანისას და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

ამ ქონების შედეგი:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია რა საჭიროა კარგი პრაქტიკა, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, ფორმულების ცოდნა სავალდებულოა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების გარდაქმნის უნარი არ ჩამოყალიბდა, მაშინ ამოხსნისას მარტივი დავალებებიადვილია შეცდომის დაშვება.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. სამომავლოდ აუცილებლად გაჩვენებთ როგორ იხსნება "მახინჯი" ლოგარითმები, გამოცდაზე ასეთი არ იქნება, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.