ტრიგონომეტრია - განყოფილება მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და მათ გამოყენებას გეომეტრიაში. ტრიგონომეტრიის განვითარება იმ დროს დაიწყო უძველესი საბერძნეთი. შუა საუკუნეებში ამ მეცნიერების განვითარებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ახლო აღმოსავლეთისა და ინდოეთის მეცნიერებმა.

ეს სტატია ეხება ძირითადი ცნებებიდა ტრიგონომეტრიის განმარტებები. განიხილავს ძირითადის განმარტებებს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. მათი მნიშვნელობა გეომეტრიის კონტექსტში არის ახსნილი და ილუსტრირებული.

Yandex.RTB R-A-339285-1

თავდაპირველად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე, გამოისახებოდა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები

კუთხის სინუსი (sin α) არის ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის კოსინუსი (cos α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის ტანგენსი (t g α) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან.

კუთხის კოტანგენსი (c t g α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

ეს განმარტებები მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის!

მოდით მივცეთ ილუსტრაცია.

AT სამკუთხედი ABCსწორი კუთხით A კუთხის C სინუსით თანაფარდობის ტოლიაფეხი BC ჰიპოტენუზა AB-მდე.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები შესაძლებელს ხდის ამ ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლას სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობების დიაპაზონი: -1-დან 1-მდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სინუსი და კოსინუსი იღებენ მნიშვნელობებს -1-დან 1-მდე. ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ანუ ეს ფუნქციებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა.

ზემოთ მოცემული განმარტებები ეხება მახვილ კუთხეებს. ტრიგონომეტრიაში შემოტანილია ბრუნვის კუთხის ცნება, რომლის მნიშვნელობა, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე. ბრუნის კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში გამოიხატება ნებისმიერი რეალური რიცხვით - ∞-დან + ∞-მდე.

ამ კონტექსტში შეიძლება განვსაზღვროთ თვითნებური სიდიდის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. წარმოიდგინეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე.

საწყისი წერტილი A კოორდინატებით (1, 0) ბრუნავს ცენტრის გარშემო ერთეული წრერაღაც კუთხით α და მიდის A 1 წერტილამდე. განმარტება მოცემულია A 1 (x, y) წერტილის კოორდინატების მეშვეობით.

ბრუნვის კუთხის სინუსი (ცოდვა).

α ბრუნვის კუთხის სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. sinα = y

ბრუნვის კუთხის კოსინუსი (cos).

α ბრუნვის კუთხის კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისა. cos α = x

ბრუნვის კუთხის ტანგენტი (ტგ).

α ბრუნვის კუთხის ტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან. t g α = y x

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი (ctg).

α ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან. c t g α = x y

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ბრუნვის ნებისმიერი კუთხისთვის. ეს ლოგიკურია, რადგან ბრუნვის შემდეგ წერტილის აბსცისა და ორდინატი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი კუთხით. განსხვავებული სიტუაციაა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული, როდესაც წერტილი ბრუნვის შემდეგ მიდის ნულოვანი აბსცისის წერტილამდე (0 , 1) და (0 , - 1). ასეთ შემთხვევებში, t g α = y x ტანგენტის გამოხატვას უბრალოდ აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. ანალოგიური სიტუაციაა კოტანგენტთან დაკავშირებით. განსხვავება ისაა, რომ კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ შემთხვევებში, როდესაც წერტილის ორდინატი ქრება.

მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის.

ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

როცა გადაწყვეტს პრაქტიკული მაგალითებიარ თქვათ "α ბრუნვის კუთხის სინუსი". სიტყვები "ბრუნვის კუთხე" უბრალოდ გამოტოვებულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონტექსტიდან უკვე ნათელია, რა არის სასწორზე.

ნომრები

რაც შეეხება რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენსს და კოტანგენსს და არა ბრუნვის კუთხეს?

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ტიწოდება რიცხვი, რომელიც შესაბამისად უდრის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ტრადიანი.

მაგალითად, 10 π-ის სინუსი უდრის ბრუნვის კუთხის სინუსს 10 π rad.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. განვიხილოთ უფრო დეტალურად.

ნებისმიერი რეალური რიცხვი ტმართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავეში ცენტრთან შესაბამისობაში მოთავსებულია წერტილი ერთეულ წრეზე. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატების მიხედვით.

წრეზე საწყისი წერტილი არის A წერტილი კოორდინატებით (1, 0).

დადებითი რიცხვი ტ

უარყოფითი რიცხვი ტშეესაბამება იმ წერტილს, რომელზეც ამოძრავდება საწყისი წერტილი, თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ წრის გასწვრივ და გზას გაივლისტ .

ახლა, როცა წრეზე რიცხვსა და წერტილს შორის კავშირი დამყარდა, მივდივართ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებაზე.

t რიცხვის სინუსი (ცოდვა).

რიცხვის სინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი ტ. sin t = y

ტ-ის კოსინუსი (cos).

რიცხვის კოსინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსციზა ტ. cos t = x

ტ-ის ტანგენსი (ტგ).

რიცხვის ტანგენტი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება ტ. t g t = y x = sin t cos t

ეს უკანასკნელი განმარტებები შეესაბამება და არ ეწინააღმდეგება ამ ნაწილის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მიუთითეთ წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს ტ, ემთხვევა იმ წერტილს, სადაც გადის საწყისი წერტილი კუთხის შემობრუნების შემდეგ ტრადიანი.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

α კუთხის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება გარკვეული ღირებულებაამ კუთხის სინუსი და კოსინუსი. ისევე, როგორც α = 90 ° + 180 ° · k ყველა კუთხის გარდა, k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) შეესაბამება ტანგენტის გარკვეულ მნიშვნელობას. კოტანგენსი, როგორც ზემოთ აღინიშნა, განისაზღვრება ყველა α, გარდა α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ sin α , cos α , t g α , c t g α არის კუთხის ალფა ფუნქციები, ან კუთხოვანი არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე, როგორც ფუნქციებზე რიცხვითი არგუმენტი. ყველა რეალური რიცხვი ტშეესაბამება რიცხვის სინუსის ან კოსინუსის სპეციფიკურ მნიშვნელობას ტ. ყველა რიცხვი, გარდა π 2 + π · k , k ∈ Z, შეესაბამება ტანგენსის მნიშვნელობას. კოტანგენსი ანალოგიურად არის განსაზღვრული ყველა რიცხვისთვის, გარდა π · k , k ∈ Z.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციები

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რომელ არგუმენტთან (კუთხური არგუმენტი თუ რიცხვითი არგუმენტი) გვაქვს საქმე.

დავუბრუნდეთ მონაცემებს განმარტებების დასაწყისშივე და კუთხის ალფა, რომელიც 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონშია. ტრიგონომეტრიული განმარტებებისინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი სრულად შეესაბამება მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდების გამოყენებით მოცემულ გეომეტრიულ განმარტებებს. ვაჩვენოთ.

აიღეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხაზე დეკარტის სისტემაკოორდინატები. ამოვატრიალოთ საწყისი წერტილი A (1, 0) 90 გრადუსამდე კუთხით და მიღებული წერტილიდან A წერტილიდან გავავლოთ 1 (x, y) x ღერძის პერპენდიკულარული. მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედში კუთხე A 1 O H კუთხის ტოლიბრუნი α, ფეხის სიგრძე O H უდრის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისს. ფეხის სიგრძე, მოპირდაპირე კუთხე, უდრის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატს, ხოლო ჰიპოტენუზის სიგრძე უდრის ერთს, ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი.

გეომეტრიის განმარტების შესაბამისად, α კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

ეს ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა ასპექტის თანაფარდობით ექვივალენტურია α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებისა, ალფა დევს 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონში.

ანალოგიურად, განმარტებების შესაბამისობა შეიძლება ნაჩვენები იყოს კოსინუსისთვის, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

თუ ავაშენებთ საწყისზე ორიენტირებულ ერთეულ წრეს და დავაყენებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას x0და დათვალეთ ღერძიდან ოქსიინექცია x 0, მაშინ ეს კუთხე ერთეულ წრეზე შეესაბამება რაღაც წერტილს ა(ნახ. 1) და მისი პროექცია ღერძზე ოჰიქნება წერტილი მ. ჭრის სიგრძე OMუდრის აბსოლუტური მნიშვნელობაწერტილი აბსცისა ა. მოცემული ღირებულებაარგუმენტი x0შედგენილი ფუნქციის მნიშვნელობა წ= cos x 0 როგორც წერტილის აბსცისა მაგრამ. შესაბამისად, წერტილი AT(x 0 ;ზე 0) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს ზე= cos X(ნახ. 2). თუ წერტილი მაგრამმდებარეობს ღერძის მარჯვნივ OU, ტოკოსინი დადებითი იქნება, თუ მარცხნივ უარყოფითი. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, წერტილი მაგრამვერ ტოვებს წრეს. ამრიგად, კოსინუსი მერყეობს -1-დან 1-მდე:

-1 = cos x = 1.

დამატებითი ბრუნვა ნებისმიერ კუთხეზე, 2-ის ჯერადი გვ, აბრუნებს წერტილს აიმავე ადგილას. ამიტომ ფუნქცია y= cos xგვ:

cos ( x+ 2გვ) = cos x.

თუ ავიღებთ არგუმენტის ორ მნიშვნელობას, რომლებიც ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით, xდა - x, იპოვნეთ წრეზე შესაბამისი წერტილები Ნაჯახიდა Ნაჯახი. როგორც ჩანს ნახ. 3 მათი პროექცია ღერძზე ოჰიგივე წერტილია მ. Ისე

cos(- x) = cos ( x),

იმათ. კოსინუსი - ფუნქციაც კი, ვ(–x) = ვ(x).

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ ფუნქციის თვისებები წ= cos Xსეგმენტზე , შემდეგ კი გავითვალისწინოთ მისი პარიტეტი და პერიოდულობა.

ზე X= 0 ქულა მაგრამღერძზე დევს ოჰ, მისი აბსციზა არის 1 და, შესაბამისად, cos 0 = 1. ზრდასთან ერთად Xწერტილი მაგრამმოძრაობს წრის გარშემო ზევით და მარცხნივ, მისი პროექცია, რა თქმა უნდა, მხოლოდ მარცხნივ და x =-ისთვის გვ/2 კოსინუსი ხდება 0. წერტილი აამ მომენტში იზრდება მაქსიმალური სიმაღლე, შემდეგ კი აგრძელებს მოძრაობას მარცხნივ, მაგრამ უკვე მცირდება. მისი აბსციზა მცირდება, სანამ არ მიაღწევს ყველაზე პატარა ღირებულება, უდრის –1 at X= გვ. ამრიგად, სეგმენტზე ფუნქცია ზე= cos Xმონოტონურად მცირდება 1-დან –1-მდე (სურ. 4, 5).

კოსინუსის პარიტეტიდან გამომდინარეობს, რომ ინტერვალზე [- გვ, 0], ფუნქცია მონოტონურად იზრდება –1-დან 1-მდე, იღებს ნულოვან მნიშვნელობას x =–გვ/2. თუ აიღებთ რამდენიმე პერიოდს, მიიღებთ ტალღოვან მრუდს (სურ. 6).

ასე რომ ფუნქცია წ= cos xიღებს ნულოვან მნიშვნელობებს წერტილებში X= გვ/2 + კპ, სადაც კ-ნებისმიერი მთელი რიცხვი. 1-ის ტოლი მაქსიმუმი მიიღწევა წერტილებში X= 2კპ, ე.ი. ნაბიჯი 2-ით გვ, და მინიმალური ტოლია –1 წერტილებში X= გვ + 2კპ.

ფუნქცია y \u003d sin x.

ერთეულ წრეზე x 0 შეესაბამება წერტილს მაგრამ(ნახ. 7), და მისი პროექცია ღერძზე OUიქნება წერტილი ნ.ვფუნქციის მნიშვნელობა y 0 =ცოდვა x0განისაზღვრება როგორც წერტილის ორდინატი მაგრამ. Წერტილი AT(ინექცია x 0 ,ზე 0) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს წ= ცოდვა x(ნახ. 8). გასაგებია, რომ ფუნქცია y=ცოდვა xპერიოდული, მისი პერიოდია 2 გვ:

ცოდვა ( x+ 2გვ) = ცოდვა ( x).

ორი არგუმენტის მნიშვნელობისთვის, Xდა - , მათი შესაბამისი წერტილების პროგნოზები Ნაჯახიდა Ნაჯახითითო ღერძზე OUმდებარეობს სიმეტრიულად წერტილის მიმართ ო. Ისე

ცოდვა (- x) = –ცოდვა( x),

იმათ. სინუსი არის კენტი ფუნქცია, f(- x) = –f( x) (ნახ. 9).

თუ წერტილი აროტაცია ერთი წერტილის შესახებ ოკუთხეში გვ/2 საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ კუთხე Xგაზრდის გვ/2), მაშინ მისი ორდინატი ახალ თანამდებობაზე უდრის აბსცისს ძველში. Რაც ნიშნავს

ცოდვა ( x+ გვ/2) = cos x.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, სინუსი არის კოსინუსი, "დაგვიანებული". გვ/2, ვინაიდან ნებისმიერი კოსინუსის მნიშვნელობა "განმეორდება" სინუსში, როდესაც არგუმენტი გაიზრდება გვ/2. ხოლო სინუს გრაფის ასაგებად, საკმარისია კოსინუს გრაფიკის გადატანა გვ/2 მარჯვნივ (სურ. 10). უკიდურესად მნიშვნელოვანი ქონებასინუსი გამოიხატება თანასწორობით

თანასწორობის გეომეტრიული მნიშვნელობა ჩანს ნახ. 11. აი X -ეს არის რკალის ნახევარი AB, და ცოდვა X -შესაბამისი აკორდის ნახევარი. ცხადია, როგორც ქულები უახლოვდება მაგრამდა ATაკორდის სიგრძე სულ უფრო და უფრო უახლოვდება რკალის სიგრძეს. იგივე ფიგურიდან მარტივია უტოლობის ამოღება

|ცოდვა x| x|, მოქმედებს ნებისმიერისთვის X.

ფორმულა (*) მათემატიკოსები ეძახიან მშვენიერი ლიმიტი. მისგან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ ცოდვა X» Xპატარაზე X.

ფუნქციები ზე= tg x, y=ctg X. ორი სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - ტანგენსი და კოტანგენსი ყველაზე ადვილია ჩვენთვის უკვე ცნობილი სინუსის და კოსინუსის თანაფარდობების განსაზღვრა:

სინუსისა და კოსინუსის მსგავსად, ტანგენსი და კოტანგენსი პერიოდული ფუნქციებია, მაგრამ მათი პერიოდები ტოლია გვ, ე.ი. ისინი ნახევარია სინუსისა და კოსინუსის. ამის მიზეზი ნათელია: თუ სინუსი და კოსინუსი ორივე ცვლის ნიშანს, მაშინ მათი თანაფარდობა არ შეიცვლება.

ვინაიდან ტანგენსის მნიშვნელში არის კოსინუსი, ტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ წერტილებში, სადაც კოსინუსი არის 0 - როცა X= გვ/2 +კპ. ყველა სხვა წერტილში ის მონოტონურად იზრდება. პირდაპირი X= გვ/2 + კპტანგენტისთვის არის ვერტიკალური ასიმპტოტები. წერტილებზე კპტანგენსი და ფერდობზეარის 0 და 1, შესაბამისად (ნახ. 12).

კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იქ, სადაც სინუსი არის 0 (როდის x = კპ). სხვა წერტილებში ის მონოტონურად მცირდება და ხაზები x = კპ – მისი ვერტიკალური ასიმპტოტები. წერტილებზე x = გვ/2 +კპკოტანგენსი უბრუნდება 0-ს და დახრილობა ამ წერტილებში არის -1 (ნახ. 13).

პარიტეტი და პერიოდულობა.

ფუნქცია იწოდება მაშინაც კი, თუ ვ(–x) = ვ(x). კოსინუსი და სეკანტური ფუნქციები ლუწია, ხოლო სინუსური, ტანგენსი, კოტანგენსი და კოსეკანტური ფუნქციები კენტია:

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

პარიტეტული თვისებები გამომდინარეობს წერტილების სიმეტრიიდან პა და რ- ა (სურ. 14) ღერძის გარშემო X. ასეთი სიმეტრიით, წერტილის ორდინატი ცვლის ნიშანს (( X;ზე) მიდის ( X; -y)). ყველა ფუნქციას - პერიოდულს, სინუსს, კოსინუსს, სეკანტს და კოსეკანტს აქვს 2 პერიოდი. გვ, და ტანგენსი და კოტანგენსი - გვ:

ცოდვა (α + 2 კπ) = sinα	cos (α + 2 კπ) = cosα
რუჯი (α + კπ) = tgα	ctg(α + კπ) = ctgα
წმ (α + 2 კπ) = წმ	კოსეკი (α + 2 კπ) = cosecα

სინუსის და კოსინუსის პერიოდულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ყველა წერტილი პ a + 2 კპ, სად კ= 0, ±1, ±2,…, ემთხვევა და ტანგენსის და კოტანგენსის პერიოდულობა განპირობებულია იმით, რომ წერტილები პ a + კპმონაცვლეობით იყოფა ორად დიამეტრულად საპირისპირო წერტილებიწრეები, რომლებიც იძლევა იმავე წერტილს ტანგენტის ღერძზე.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები შეიძლება შეჯამდეს ცხრილში:

ფუნქცია	დომენი	ბევრი ღირებულება	პარიტეტი	ერთფეროვნების სფეროები ( კ= 0, ± 1, ± 2,…)
ცოდვა x	– Ґ x Ґ	[–1, +1]	კენტი	იზრდება ერთად x O((4 კ – 1) გვ /2, (4კ + 1) გვ/2), მცირდება როგორც x O((4 კ + 1) გვ /2, (4კ + 3) გვ/2)
cos x	– Ґ x Ґ	[–1, +1]	თუნდაც	იზრდება ერთად x O((2 კ – 1) გვ, 2კპ), მცირდება xოჰ (2 კპ, (2კ + 1) გვ)
ტგ x	x № გვ/2 + გვ კ	(–Ґ , +Ґ )	კენტი	იზრდება ერთად x O((2 კ – 1) გვ /2, (2კ + 1) გვ /2)
ctg x	x № გვ კ	(–Ґ , +Ґ )	კენტი	მცირდება x O ( კპ, (კ + 1) გვ)
წმ x	x № გვ/2 + გვ კ	(–Ґ , –1] და [+1, +Ґ )	თუნდაც	იზრდება ერთად xოჰ (2 კპ, (2კ + 1) გვ), მცირდება x O((2 კ– 1) გვ, 2 კპ)
მიზეზი x	x № გვ კ	(–Ґ , –1] და [+1, +Ґ )	კენტი	იზრდება ერთად x O((4 კ + 1) გვ /2, (4კ + 3) გვ/2), მცირდება როგორც x O((4 კ – 1) გვ /2, (4კ + 1) გვ /2)

ჩამოსხმის ფორმულები.

ამ ფორმულების მიხედვით a არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა, სადაც გვ/2 a p , შეიძლება შემცირდეს a არგუმენტის ფუნქციის მნიშვნელობამდე, სადაც 0 a p /2, როგორც იგივე, ასევე დამატებითი.

არგუმენტი ბ	– ა	+ ა	გვ– ა	გვ+ ა	+ ა	+ ა	2გვ– ა
სინბ	cos ა	cos ა	ცოდვა ა	-ცოდვა ა	- ა	- ა	-ცოდვა ა
კოსბ	ცოდვა ა	-ცოდვა ა	- ა	- ა	-ცოდვა ა	ცოდვა ა	cos ა

ამიტომ, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილებში მნიშვნელობები მოცემულია მხოლოდ მწვავე კუთხისთვის და საკმარისია შემოვიფარგლოთ, მაგალითად, სინუსში და ტანგენტში. ცხრილი შეიცავს მხოლოდ ყველაზე ხშირად გამოყენებულ ფორმულებს სინუსისა და კოსინუსისთვის. მათგან მარტივია ტანგენტისა და კოტანგენტის ფორმულების მიღება. ფორმის არგუმენტიდან ფუნქციის გადმოცემისას კპ/2 ± a , სადაც კარის მთელი რიცხვი, ფუნქციისთვის არგუმენტიდან a:

1) ფუნქციის სახელი შენახულია თუ კლუწი და იცვლება „შემავსებელად“ თუ კკენტი;

2) მარჯვენა მხარეს ნიშანი ემთხვევა წერტილის შემცირების ფუნქციის ნიშანს კპ/2 ± a თუ კუთხე a მწვავეა.

მაგალითად, ctg-ის ჩამოსხმისას (a - გვ/2) დარწმუნდით, რომ - გვ/2 0 a p /2 დევს მეოთხე კვადრანტში, სადაც კოტანგენსი უარყოფითია და, წესის 1-ის მიხედვით, ვცვლით ფუნქციის სახელს: ctg (a - გვ/2) = –tg a .

დამატების ფორმულები.

მრავალი კუთხის ფორმულები.

ეს ფორმულები მიღებულია უშუალოდ დამატების ფორმულებიდან:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

ცოდვა 3a \u003d 3 ცოდვა ა - 4 ცოდვა 3 ა;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

cos 3a-ს ფორმულა გამოიყენა ფრანსუა ვიეტმა ამოხსნისას კუბური განტოლება. ის იყო პირველი, ვინც იპოვა გამოთქმები cos-ისთვის ნა და ცოდვა ნა , რომლებიც მოგვიანებით უფრო მეტი მოიპოვეს მარტივი გზადე მოივრის ფორმულიდან.

თუ ფორმულებში ორმაგი არგუმენტიშეცვალეთ a /2-ით, ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ნახევარკუთხის ფორმულებად:

უნივერსალური ჩანაცვლების ფორმულები.

ამ ფორმულების გამოყენებით, ერთი და იგივე არგუმენტის სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამოხატულება შეიძლება გადაიწეროს როგორც რაციონალური გამოხატულებაერთი ფუნქციიდან tg (a / 2), ეს სასარგებლოა ზოგიერთი განტოლების ამოხსნისას:

თანხების პროდუქტებად და პროდუქტების ჯამებად გადაქცევის ფორმულები.

კომპიუტერების მოსვლამდე ეს ფორმულები გამოიყენებოდა გამოთვლების გასამარტივებლად. გამოთვლები გაკეთდა ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით, შემდეგ კი - სლაიდის წესი, იმიტომ ლოგარითმები საუკეთესოდ შეეფერება რიცხვების გასამრავლებლად, ამიტომ ყველა ორიგინალური გამონათქვამი შემცირდა ლოგარითმებისთვის მოსახერხებელ ფორმამდე, ე.ი. სამუშაოებისთვის, როგორიცაა:

2 ცოდვა ა sin b = cos ( ა-ბ) – cos( a+b);

2 cos ა cos ბ= cos( ა-ბ) + cos ( a+b);

2 ცოდვა ა cos ბ= ცოდვა ( ა-ბ) + ცოდვა ( a+b).

ტანგენსისა და კოტანგენსების ფუნქციების ფორმულების მიღება შესაძლებელია ზემოაღნიშნულიდან.

ხარისხის შემცირების ფორმულები.

მრავალჯერადი არგუმენტის ფორმულებიდან გამომდინარეობს ფორმულები:

sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
ცოდვა 3 a \u003d (3 ცოდვა - ცოდვა 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3ა)/4.

ამ ფორმულებით ტრიგონომეტრიული განტოლებებიშეიძლება შემცირდეს განტოლებამდე დაბალი გრადუსი. ანალოგიურად, შეიძლება გამოვიდეს შემცირების ფორმულები სინუსისა და კოსინუსის უფრო მაღალი სიმძლავრეებისთვის.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები და ინტეგრალები
(ცოდვა x)` = cos x;	(კოს x)` = -ცოდვა x;
(ტგ x)` = ;	(ctg x)` = – ;
ცოდვა x dx= -cos x + C;	თ კოს x dx= ცოდვა x + C;
ტ ტგ x dx= –ln |cos x| + C;	t ctg x dx = ln|ცოდვა x| + C;

ყოველი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მისი განსაზღვრის დომენის ყველა წერტილში არის უწყვეტი და უსასრულოდ დიფერენცირებადი. უფრო მეტიც, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ხოლო ინტეგრირებისას ასევე მიიღება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ან მათი ლოგარითმები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რაციონალური კომბინაციების ინტეგრალები ყოველთვის ელემენტარული ფუნქციებია.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოდგენა სიმძლავრის სერიებისა და უსასრულო პროდუქტების სახით.

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს დენის სერია. ამ შემთხვევაში ფუნქციები სცოდავს x b cos xგამოჩნდება რიგებში. კონვერგენტული ყველა მნიშვნელობისთვის x:

ეს სერიები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცოდვის სავარაუდო გამონათქვამების მისაღებად xდა cos xმცირე ღირებულებებისთვის x:

ზე | x| p/2;

0x| გვ

(ბ n არის ბერნულის რიცხვები).

ცოდვის ფუნქციები xდა cos xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პროდუქტებით:

ტრიგონომეტრიული სისტემა 1, cos x, ცოდვა x, cos 2 xცოდვა 2 x, ¼, კო nx, ცოდვა nx, ¼, აყალიბებს ინტერვალზე [– გვ, გვ] ფუნქციათა ორთოგონალური სისტემა, რომელიც შესაძლებელს ხდის ფუნქციების წარმოდგენას ტრიგონომეტრიული სერიების სახით.

განისაზღვრება, როგორც რეალური არგუმენტის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ანალიტიკური გაგრძელება რთული თვითმფრინავი. დიახ, ცოდო ზდა cos ზშეიძლება განისაზღვროს ცოდვის სერიების გამოყენებით xდა cos x, თუ ნაცვლად xდადება ზ:

ეს სერიები იყრის თავს მთელ თვითმფრინავზე, ამიტომ ცოდვა ზდა cos ზარის მთელი ფუნქციები.

ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ფორმულებით:

tg ფუნქციები ზდა ctg ზმერომორფული ფუნქციებია. პოლუსები ტგ ზდა წმ ზმარტივია (1 რიგი) და განლაგებულია წერტილებში z=p/2 + pn, ctg ბოძები ზდა კოსეკი ზასევე მარტივია და განლაგებულია წერტილებში ზ = p n, n = 0, ±1, ±2,…

ყველა ფორმულა, რომელიც მოქმედებს რეალური არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის, ასევე მოქმედებს რთული არგუმენტისთვის. Კერძოდ,

ცოდვა (- ზ) = -ცოდვა ზ,

cos(- ზ) = cos ზ,

tg (- ზ) = –ტგ ზ,

ctg (- ზ) = -ctg z,

იმათ. შენარჩუნებულია ლუწი და კენტი პარიტეტი. ფორმულებიც შენახულია

ცოდვა ( ზ + 2გვ) = ცოდვა ზ, (ზ + 2გვ) = cos ზ, (ზ + გვ) = ტგ ზ, (ზ + გვ) = ctg ზ,

იმათ. პერიოდულობაც შენარჩუნებულია და პერიოდები იგივეა რაც რეალური არგუმენტის ფუნქციებისთვის.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება გამოიხატოს წმინდა წარმოსახვითი არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციის მიხედვით:

უკან, e izგამოიხატება cos-ით ზდა ცოდვა ზფორმულის მიხედვით:

e iz= cos ზ + მეცოდვა ზ

ამ ფორმულებს ეილერის ფორმულებს უწოდებენ. ლეონჰარდ ეილერმა ისინი 1743 წელს გააცნო.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ასევე შეიძლება გამოიხატოს თვალსაზრისით ჰიპერბოლური ფუნქციები:

ზ = –მეშ iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

სადაც sh, ch და th არის ჰიპერბოლური სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.

რთული არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები z = x + iy, სად xდა წ- რეალური რიცხვები, შეიძლება გამოიხატოს რეალური არგუმენტების ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ფუნქციებით, მაგალითად:

ცოდვა ( x+iy) = ცოდვა xჩვ წ + მე cos xშ წ;

cos ( x+iy) = cos xჩვ წ + მეცოდვა xშ წ.

რთული არგუმენტის სინუსსა და კოსინუსს შეუძლია მიიღოს რეალური მნიშვნელობები 1-ზე მეტი აბსოლუტური მნიშვნელობით. Მაგალითად:

თუ უცნობი კუთხე შედის განტოლებაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არგუმენტის სახით, მაშინ განტოლებას ტრიგონომეტრიული ეწოდება. ასეთი განტოლებები იმდენად გავრცელებულია, რომ მათი მეთოდები გადაწყვეტილებები არის ძალიან დეტალური და ყურადღებით შემუშავებული. თანდახმარება სხვადასხვა ხრიკებიდა ფორმულები, ტრიგონომეტრიული განტოლებები მცირდება ფორმის განტოლებამდე ვ(x)= ა, სად ვ- ნებისმიერი უმარტივესი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. შემდეგ გამოხატეთ არგუმენტი xეს ფუნქცია მისი ცნობილი მნიშვნელობით ა.

ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია, იგივეა ამნიშვნელობების დიაპაზონიდან არის არგუმენტის უსასრულოდ ბევრი მნიშვნელობა და განტოლების ამოხსნა არ შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც ერთი ფუნქცია. ა. მაშასადამე, თითოეული მთავარი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრის ველში არჩეულია განყოფილება, რომელშიც ის იღებს მის ყველა მნიშვნელობას, თითოეულს მხოლოდ ერთხელ, და ამ სექციაში იპოვება მის საწინააღმდეგო ფუნქცია. ასეთი ფუნქციები მითითებულია სახელის პრეფიქსის რკალის (რკალის) მინიჭებით ორიგინალური ფუნქცია, და უწოდებენ შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულს ფუნქციები ან უბრალოდ რკალი ფუნქციები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ცოდვისთვის X, cos X, ტგ Xდა ctg Xშეიძლება განისაზღვროს შებრუნებული ფუნქციები. ისინი დანიშნულია შესაბამისად arcsin X(წაიკითხეთ "არქსინი x"), არკოსები x, არქტგ xდა arcctg x. განმარტებით, arcsin Xარის ასეთი რიცხვი y,რა

ცოდვა ზე = X.

იგივე ეხება სხვა შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. მაგრამ ეს განმარტება განიცდის გარკვეულ უზუსტობას.

თუ ცოდვას ვისახავთ X, cos X, ტგ Xდა ctg Xპირველი და მესამე კვადრატის ბისექტრის მიმართ საკოორდინაციო თვითმფრინავი, მაშინ მათი პერიოდულობის გამო ფუნქციები ორაზროვანი ხდება: იგივე სინუსი (კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი) შეესაბამება უსასრულო რაოდენობის კუთხეებს.

ბუნდოვანებისგან თავის დასაღწევად მრუდის მონაკვეთი სიგანით გვ, მაშინ როცა აუცილებელია არგუმენტსა და ფუნქციის მნიშვნელობას შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობა დაფიქსირდეს. შერჩეულია წარმოშობის მიმდებარე ტერიტორიები. სინუსისთვის როგორც სეგმენტის „ერთ-ერთზე ინტერვალი“ [- გვ/2, გვ/2], რომელზედაც სინუსი მონოტონურად იზრდება –1-დან 1-მდე, კოსინუსისთვის - სეგმენტი, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის, შესაბამისად, ინტერვალები (– გვ/2, გვ/2) და (0, გვ). ინტერვალში თითოეული მრუდი აისახება ბისექტრის გარშემო და ახლა თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მაგალითად, მიეცით არგუმენტის მნიშვნელობა x 0,ისეთი, რომ 0 ჯ x 0 Ј 1. შემდეგ ფუნქციის მნიშვნელობა წ 0 = რკალი x 0 ნება ერთი მნიშვნელობა ზე 0 , ისეთივე როგორც - გვ/2 ჯ ზე 0 Ј გვ/2 და x 0 = ცოდვა წ 0 .

ამრიგად, არქსინი არის არქსინის ფუნქცია ა, განსაზღვრულია [–1, 1] ინტერვალზე და ტოლია თითოეულისთვის აასეთი მნიშვნელობა a, - გვ/2 a p /2 რომ ცოდვა a = ა.ძალიან მოსახერხებელია მისი წარმოდგენა ერთეული წრის გამოყენებით (სურ. 15). როდის | ა| 1 ორდინატიანი წრეზე არის ორი წერტილი ა, სიმეტრიული ღერძის მიმართ წ.ერთ-ერთი მათგანია კუთხე ა= რკალი ა, და მეორე არის კუთხე პ - ა. თანსინუსური ხსნარის პერიოდულობის გათვალისწინებით ცოდვის განტოლებები x= აიწერება შემდეგნაირად:

x =(–1)ნრკალი ცოდვა ა + 2p n,

სადაც ნ= 0, ±1, ±2,...

სხვა მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებები ასევე ამოხსნილია:

cos x = ა, –1 =ა= 1;

x=±არკოსი ა + 2p n,

სადაც პ= 0, ±1, ±2,... (სურ. 16);

ტგ X = ა;

x= arctg ა + გვ n,

სადაც n = 0, ±1, ±2,... (სურ. 17);

ctg X= ა;

X= arcctg ა + გვ n,

სადაც n = 0, ±1, ±2,... (სურ. 18).

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები:

რკალი ცოდვა X(ნახ. 19): განსაზღვრების დომენი არის სეგმენტი [–1, 1]; დიაპაზონი - [- გვ/2, გვ/2], მონოტონურად მზარდი ფუნქცია;

არკოები X(ნახ. 20): განსაზღვრების დომენი არის სეგმენტი [–1, 1]; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ; მონოტონურად კლებადი ფუნქცია;

arctg X(სურ. 21): განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ინტერვალი (- გვ/2, გვ/2); მონოტონურად მზარდი ფუნქცია; სწორი ზე= –გვ/2 და y \u003d p / 2 -ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;

arcctg X(სურ. 22): განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ინტერვალი (0, გვ); მონოტონურად კლებადი ფუნქცია; სწორი წ= 0 და y = გვარის ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

,

Ვინმესთვის ზ = x+iy, სად xდა წარის რეალური რიცხვები, არის უტოლობა

½| ე\ეი–e-y| ≤|ცოდვა ზ|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|კოს ზ|≤½( e y +e -y),

რომელთაგანაც წ® Ґ ასიმპტომური ფორმულები მოყვება (ერთგვაროვნად x)

|ცოდვა ზ| » 1/2 ე |y| ,

|კოს ზ| » 1/2 ე |y| .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პირველად წარმოიშვა ასტრონომიისა და გეომეტრიის კვლევებთან დაკავშირებით. სამკუთხედისა და წრის სეგმენტების შეფარდება, რომლებიც არსებითად ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია, უკვე III საუკუნეშია ნაპოვნი. ძვ.წ ე. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსთა ნაშრომებში – ევკლიდე, არქიმედეს, პერგას აპოლონიოსი და სხვები, თუმცა ეს თანაფარდობები არ იყო დამოუკიდებელი ობიექტიკვლევები, ისე რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, როგორც ასეთი, მათ მიერ არ იყო შესწავლილი. ისინი თავდაპირველად ითვლებოდა სეგმენტებად და ამ ფორმით იყენებდნენ არისტარქეს (ძვ. წ. IV საუკუნის ბოლოს - III სს. II ნახევარი), ჰიპარქეს (ძვ. წ. II ს.), მენელაოსმა (ახ. წ. I ს.) და პტოლემეოსმა (ახ. წ. II საუკუნე). სფერული სამკუთხედების ამოხსნა. პტოლემემ შეადგინა აკორდების პირველი ცხრილი მწვავე კუთხისთვის 30 "სიზუსტით 10 -6. ეს იყო სინუსების პირველი ცხრილი. თანაფარდობის სახით. ცოდვის ფუნქცია a უკვე გვხვდება არიაბჰატაში (მე-5 საუკუნის ბოლოს). ფუნქციები tg a და ctg a გვხვდება ალ-ბატანში (IX ს. II ნახევარი - მე-10 საუკუნის დასაწყისი) და აბულ-ვეფში (X საუკუნე), რომელიც ასევე იყენებს sec a-ს და cosec a-ს. არიაბჰატამ უკვე იცოდა ფორმულა (sin 2 a + cos 2 a ) = 1 და ასევე ცოდვის ფორმულებიდა cos ნახევარი კუთხე, რომლის დახმარებით მან ააგო სინუსების ცხრილები 3 ° 45-მდე კუთხეებისთვის; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობების საფუძველზე უმარტივესი არგუმენტებისთვის. ბჰასკარამ (მე-12 საუკუნე) მისცა მეთოდი ცხრილების აგებისთვის 1-ით. შეკრების ფორმულების გამოყენებით სხვადასხვა არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების გადაქცევის ფორმულები ნაწარმოებში გამოიღეს რეგიომონტანუსმა (XV საუკუნე) და ჯ. ნაპიერმა ამ უკანასკნელი ლოგარითმების გამოგონებასთან დაკავშირებით (1614). სინუსური მნიშვნელობები 1"-მდე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გაფართოება სიმძლავრის სერიებად მიიღო ი. ნიუტონმა (1669). AT თანამედროვე ფორმატრიგონომეტრიული ფუნქციების თეორია შემოიღო ლ. ეილერმა (XVIII ს.). მას ეკუთვნის მათი განმარტება რეალური და რთული არგუმენტებისთვის, ახლა მიღებული სიმბოლიზმი, კავშირის დამყარება ექსპონენციალური ფუნქციადა სინუსებისა და კოსინუსების სისტემის ორთოგონალობა.

ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ როგორ კუთხისა და რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება ტრიგონომეტრიაში. აქ ვისაუბრებთ აღნიშვნაზე, მოვიყვანთ ჩანაწერების მაგალითებს, მივცეთ გრაფიკული ილუსტრაციები. დასასრულს, ჩვენ ვავლით პარალელს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს შორის ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტება

მოდით მივყვეთ, როგორ ყალიბდება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ცნება სკოლის კურსიმათემატიკა. გეომეტრიის გაკვეთილებზე მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტება. მოგვიანებით კი შესწავლილია ტრიგონომეტრია, რომელიც ეხება ბრუნვის კუთხისა და რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. ჩვენ ვაძლევთ ყველა ამ განმარტებას, ვაძლევთ მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო კომენტარებს.

მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები. ისინი მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობით. წარმოგიდგენთ მათ ფორმულირებებს.

განმარტება.

მახვილი კუთხის სინუსი მართკუთხა სამკუთხედშიარის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის კოსინუსიარის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსიარის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელ ფეხთან.

განმარტება.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსიარის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

იქვეა შემოტანილი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღნიშვნაც - შესაბამისად sin, cos, tg და ctg.

მაგალითად, თუ ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი C მართი კუთხით, მაშინ A მწვავე კუთხის სინუსი უდრის BC მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას AB ჰიპოტენუზასთან, ანუ sin∠A=BC/AB.

ეს განმარტებები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან, აგრეთვე ცნობილი ღირებულებებისინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი და ერთ-ერთი გვერდის სიგრძე მეორე გვერდების სიგრძის საპოვნელად. მაგალითად, თუ ვიცოდით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში AC წვერი არის 3 და ჰიპოტენუზა AB არის 7, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ A მწვავე კუთხის კოსინუსი განმარტებით: cos∠A=AC/AB=3/7.

ბრუნვის კუთხე

ტრიგონომეტრიაში ისინი იწყებენ კუთხის უფრო ფართო თვალიერებას - შემოაქვთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია. ბრუნვის კუთხე, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე, ბრუნის კუთხე გრადუსებში (და რადიანებში) შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი რეალური რიცხვით −∞-დან +∞-მდე.

ამ კუთხით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები აღარ არის მახვილი კუთხე, არამედ თვითნებური სიდიდის კუთხე - ბრუნვის კუთხე. ისინი მოცემულია A 1 წერტილის x და y კოორდინატებით, რომელშიც გადის ეგრეთ წოდებული საწყისი წერტილი A(1, 0) მას შემდეგ, რაც ბრუნავს α კუთხით O წერტილის გარშემო - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი. და ერთეული წრის ცენტრი.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის სინუსიα არის A 1 წერტილის ორდინატი, ანუ sinα=y .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოსინუსიα ეწოდება A 1 წერტილის აბსცისა, ანუ cosα=x.

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის ტანგენსიα არის A 1 წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან, ანუ tgα=y/x .

განმარტება.

ბრუნვის კუთხის კოტანგენსიα არის A 1 წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან, ანუ ctgα=x/y .

სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის, ვინაიდან ყოველთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ წერტილის აბსცისა და ორდინატი, რომელიც მიიღება საწყისი წერტილის α კუთხით ბრუნვით. და ტანგენსი და კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული არცერთი კუთხისთვის. ტანგენსი არ არის განსაზღვრული α კუთხისთვის, რომლებშიც საწყისი წერტილი მიდის ნულოვანი აბსცისის წერტილამდე (0, 1) ან (0, −1) , და ეს ხდება 90°+180° k , k∈Z კუთხით. (π /2+π კ რად). მართლაც, ბრუნის ასეთ კუთხით გამოხატვას tgα=y/x აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. რაც შეეხება კოტანგენტს, ის არ არის განსაზღვრული α კუთხეებისთვის, რომლებზეც საწყისი წერტილი მიდის წერტილამდე ნულოვანი ორდინატით (1, 0) ან (−1, 0), და ეს ეხება 180° k კუთხეებს, k ∈Z (π k rad).

ასე რომ, სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი ბრუნვის კუთხისთვის, ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), ხოლო კოტანგენსი არის ყველა კუთხისთვის, გარდა 180. ° ·k , k∈Z (π·k რად).

ჩვენთვის უკვე ცნობილი აღნიშვნები ჩნდება განმარტებებში sin, cos, tg და ctg, ისინი ასევე გამოიყენება ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის აღსანიშნავად (ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ აღნიშვნა tan და cot, რომლებიც შეესაბამება ტანგენტს და კოტანგენსი). ასე რომ, 30 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხის სინუსი შეიძლება დაიწეროს, როგორც sin30°, ჩანაწერები tg(−24°17′) და ctgα შეესაბამება ბრუნვის კუთხის ტანგენტს −24 გრადუსი 17 წუთი და კოტანგენსს ბრუნვის კუთხის α. . შეგახსენებთ, რომ კუთხის რადიანის ზომის დაწერისას ხშირად გამოტოვებენ აღნიშვნას „რად“. მაგალითად, სამი პი რადის ბრუნვის კუთხის კოსინუსი ჩვეულებრივ აღინიშნება cos3 π.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ბრუნვის კუთხის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე საუბრისას ხშირად გამოტოვებულია ფრაზა „ბრუნის კუთხე“ ან სიტყვა „ბრუნვა“. ანუ ფრაზის ნაცვლად "ალფას ბრუნვის კუთხის სინუსი" ჩვეულებრივ გამოიყენება ფრაზა "ალფას კუთხის სინუსი" ან კიდევ უფრო მოკლე - "ალფას სინუსი". იგივე ეხება კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს.

მოდით ასევე ვთქვათ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება 0-დან 90-მდე ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. გრადუსი. ჩვენ ამას დავამტკიცებთ.

ნომრები

განმარტება.

რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი t არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს t რადიანებში, შესაბამისად.

მაგალითად, 8 π-ის კოსინუსი, განსაზღვრებით, არის რიცხვი, რომელიც უდრის 8 π rad კუთხის კოსინუსს. და კუთხის კოსინუსი არის 8 π rad ერთის ტოლი, შესაბამისად, 8 π რიცხვის კოსინუსი უდრის 1-ს.

არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თითოეული რეალური რიცხვი t ასოცირდება ერთეული წრის წერტილთან ცენტრით დასაწყისში მართკუთხა სისტემაკოორდინატები და სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატების მიხედვით. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

ვნახოთ, როგორ დგინდება შესაბამისობა ნამდვილ რიცხვებსა და წრის წერტილებს შორის:

• რიცხვს 0 ენიჭება საწყისი წერტილი A(1, 0);
• დადებითი რიცხვი t შეესაბამება ერთეული წრის წერტილს, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრის გასწვრივ ამოძრავებთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და წავიდეთ გზაზესიგრძე t;
• უარყოფითი რიცხვი t შეესაბამება ერთეული წრის წერტილს, რომელსაც მივიღებთ, თუ წრის გარშემო ამოვალთ საწყისი წერტილიდან საათის ისრის მიმართულებით და გავივლით |t| სიგრძის ბილიკს. .

ახლა გადავიდეთ t რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებზე. დავუშვათ, რომ რიცხვი t შეესაბამება A 1 წრის წერტილს (x, y) (მაგალითად, რიცხვი &pi/2; შეესაბამება A 1 (0, 1) წერტილს).

განმარტება.

რიცხვის სინუსი t არის t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი, ანუ sint=y.

განმარტება.

რიცხვის კოსინუსი t ეწოდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისა, ანუ ღირებულება=x.

განმარტება.

რიცხვის ტანგენტი t არის ორდინატისა და t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსცისის შეფარდება, ანუ tgt=y/x. სხვა ეკვივალენტურ ფორმულირებაში, t რიცხვის ტანგენსი არის ამ რიცხვის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ანუ tgt=sint/cost .

განმარტება.

რიცხვის კოტანგენსი t არის აბსცისის შეფარდება t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატთან, ანუ ctgt=x/y. კიდევ ერთი ფორმულირება ასეთია: t რიცხვის ტანგენსი არის t რიცხვის კოსინუსის შეფარდება t რიცხვის სინუსთან: ctgt=cost/sint.

აქ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახლახან მოცემული განმარტებები ეთანხმება ამ ქვეგანყოფილების დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მართლაც, t რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილი ემთხვევა წერტილს, რომელიც მიღებულ იქნა საწყისი წერტილის ბრუნვით t რადიანების კუთხით.

ასევე ღირს ამ პუნქტის გარკვევა. ვთქვათ, გვაქვს sin3 ჩანაწერი. როგორ გავიგოთ არის თუ არა კითხვის ნიშნის ქვეშ 3 რიცხვის სინუსი თუ 3 რადიანის ბრუნვის კუთხის სინუსი? ეს, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ალბათ, ამას მნიშვნელობა არ აქვს.

კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

წინა აბზაცში მოცემული განმარტებების მიხედვით, ყოველი ბრუნვის კუთხე α შეესაბამება კარგად განსაზღვრულ sin α მნიშვნელობას, ისევე როგორც cos α მნიშვნელობას. გარდა ამისა, ბრუნვის ყველა კუთხე, გარდა 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) შეესაბამება tgα მნიშვნელობებს და გარდა 180° k , k∈Z (π k rad ) არის ctgα-ს მნიშვნელობები. ამიტომ sinα, cosα, tgα და ctgα არის α კუთხის ფუნქციები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის კუთხური არგუმენტის ფუნქციები.

ანალოგიურად, შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი არგუმენტის სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე. მართლაც, თითოეული რეალური რიცხვი t შეესაბამება sint-ის კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას, ისევე როგორც ღირებულებას. გარდა ამისა, ყველა რიცხვი, გარდა π/2+π·k, k∈Z შეესაბამება tgt მნიშვნელობებს, ხოლო რიცხვები π·k, k∈Z შეესაბამება ctgt მნიშვნელობებს.

ფუნქციებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა, რომ საქმე გვაქვს კუთხოვანი არგუმენტის ან რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ დამოუკიდებელი ცვლადი, როგორც კუთხის საზომი ( კუთხოვანი არგუმენტი), ასევე რიცხვითი არგუმენტი.

თუმცა სკოლა ძირითადად სწავლობს რიცხვითი ფუნქციები, ანუ ფუნქციები, რომელთა არგუმენტები, ისევე როგორც მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები, არის რიცხვები. ამიტომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთფუნქციების შესახებ, მიზანშეწონილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განხილვა, როგორც რიცხვითი არგუმენტების ფუნქციები.

განსაზღვრებების კავშირი გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან

თუ გავითვალისწინებთ α ბრუნვის კუთხეს 0-დან 90 გრადუსამდე, მაშინ მონაცემები ბრუნვის კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტების ტრიგონომეტრიის კონტექსტში სრულად შეესაბამება სინუსის, კოსინუსის განმარტებებს. , მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში, რომლებიც მოცემულია გეომეტრიის კურსში. დავამტკიცოთ ეს.

დახაზეთ ერთეული წრე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy. გაითვალისწინეთ საწყისი წერტილი A(1, 0). მოვატრიალოთ ის α კუთხით, რომელიც მერყეობს 0-დან 90 გრადუსამდე, მივიღებთ წერტილს A 1 (x, y) . მოდით, A 1 H პერპენდიკულარული A 1 წერტილიდან Ox ღერძზე დავტოვოთ.

ადვილი მისახვედრია, რომ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 OH კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის OH სიგრძე უდრის A 1 წერტილის აბსცისას, ანუ |OH. |=x, A 1 H კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ |A 1 H|=y და ჰიპოტენუზის OA 1 სიგრძე უდრის ერთს. , ვინაიდან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი. შემდეგ, გეომეტრიის განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში α მწვავე კუთხის სინუსი A 1 OH უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, ანუ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ხოლო ტრიგონომეტრიის განმარტებით, α ბრუნვის კუთხის სინუსი უდრის A 1 წერტილის ორდინატს, ანუ sinα=y. ეს გვიჩვენებს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განმარტება უდრის α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებას α 0-დან 90 გრადუსამდე.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ α მწვავე კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებები შეესაბამება α ბრუნვის კუთხის კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებებს.

ბიბლიოგრაფია.

1. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სწავლობს. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [ლ. ს. ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვები]. - მე-20 გამოცემა. მ.: განათლება, 2010. - 384გვ.: ავად. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. პოგორელოვი A.V.გეომეტრია: პროკ. 7-9 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A.V. Pogorelov. - მე-2 გამოცემა - მ.: განმანათლებლობა, 2001. - 224 გვ.: ილ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები : სახელმძღვანელომე-9 კლასის მოსწავლეებისთვის უმაღლესი სკოლა/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი O.N. Golovin-ის რედაქტირებულია - 4th ed. მოსკოვი: განათლება, 1969 წ.
4. Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი. 2 p. Ch. 1: გაკვეთილი ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები (პროფილის დონე)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - მე-4 გამოცემა, დაამატეთ. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Ალგებრადა დაიწყე მათემატიკური ანალიზი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები /[იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - I .: განათლება, 2010. - 368გვ.: ავადმყოფი - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

განმარტებები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები მოცემულია ტრიგონომეტრიული წრის დახმარებით, რომელიც გაგებულია, როგორც საწყისზე ორიენტირებული ერთეული რადიუსის წრე.

განვიხილოთ ამ წრის ორი რადიუსი: ფიქსირებული (სად არის წერტილი) და მოძრავი (სად არის წერტილი). მოძრავმა რადიუსმა ჩამოაყალიბოს კუთხე ფიქსირებულთან.

რიცხვი, რომელიც უდრის ერთეული რადიუსის ბოლოს ორდინატს, რომელიც ქმნის კუთხეს ფიქსირებული რადიუსით, ე.წ. კუთხის სინუსი : .

რიცხვი, რომელიც ტოლია ერთეული რადიუსის ბოლოს აბსცისის, რომელიც ქმნის კუთხეს ფიქსირებული რადიუსით, ე.წ. კუთხის კოსინუსი : .

ამრიგად, წერტილს, რომელიც არის მოძრავი რადიუსის დასასრული, რომელიც ქმნის კუთხეს, აქვს კოორდინატები.

კუთხის ტანგენტიარის ამ კუთხის სინუსის შეფარდება მის კოსინუსთან: , .

კუთხის კოტანგენსიარის ამ კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან: , .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გეომეტრიული მნიშვნელობა

ტრიგონომეტრიულ წრეზე სინუსისა და კოსინუსის გეომეტრიული მნიშვნელობა განმარტებიდან ირკვევა: ეს არის მოძრავი რადიუსის გადაკვეთის წერტილის აბსცისა და ორდინატები, რომელიც ქმნის კუთხეს ფიქსირებულ რადიუსთან და ტრიგონომეტრიულ წრესთან. ე.ი.

ახლა განვიხილოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის გეომეტრიული მნიშვნელობა. სამკუთხედები მსგავსია სამ კუთხით (,), მაშინ კავშირი მოქმედებს. მეორეს მხრივ, მაშასადამე.

ასევე მსგავსია სამ კუთხეში (,), მაშინ კავშირი მოქმედებს. მეორეს მხრივ, მაშასადამე.

ტანგენტებისა და კოტანგენტების გეომეტრიული მნიშვნელობის გათვალისწინებით შემოღებულია ტანგენტების ღერძისა და კოტანგენტების ღერძის ცნება.

ტანგენტების ღერძი ეწოდება ღერძებს, რომელთაგან ერთი ეხება ტრიგონომეტრიულ წრეს ერთ წერტილში და მიმართულია ზემოთ, მეორე ეხება წრეს წერტილში და მიმართულია ქვევით.

კოტანგენტურ ღერძებს უწოდებენ ცულებს, რომელთაგან ერთი ეხება ტრიგონომეტრიულ წრეს ერთ წერტილში და მიმართულია მარჯვნივ, მეორე ეხება წრეს წერტილში და მიმართულია მარცხნივ.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები

განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რამდენიმე ძირითადი თვისება. სხვა თვისებები განხილული იქნება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკების განყოფილებაში.

მნიშვნელობების ფარგლები და დიაპაზონი

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სინუსი და კოსინუსი არსებობს ნებისმიერი კუთხისთვის, ე.ი. ამ ფუნქციების განსაზღვრის დომენი არის ნაკრები რეალური რიცხვები. განმარტებით, ტანგენსი არ არსებობს კუთხეებისთვის, მაგრამ კოტანგენსი კუთხეებისთვის, .

ვინაიდან სინუსი და კოსინუსი არის ტრიგონომეტრიული წრის წერტილის ორდინატი და აბსციზა, მათი მნიშვნელობები შუაშია. ტანგენტებისა და კოტანგენტების დიაპაზონი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე (ამის დანახვა ადვილია ტანგენტებისა და კოტანგენტების ღერძების დათვალიერებით).

ლუწი/კენტი

განვიხილოთ ორი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია (რომელიც შეესაბამება მოძრავ რადიუსს) და (რომელიც შეესაბამება მოძრავ რადიუსს). მას შემდეგ, წერტილი აქვს კოორდინატები. ამიტომ, ე.ი. სინუსური - კენტი ფუნქცია; , ე.ი. კოსინუსი არის ლუწი ფუნქცია; , ე.ი. ტანგენსი კენტია; , ე.ი. კოტანგენსი ასევე უცნაურია.

მუდმივი ინტერვალები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები სხვადასხვა საკოორდინაციო კვარტლებიგამომდინარეობს ამ ფუნქციების განმარტებიდან. გაითვალისწინეთ, რომ რადგან ტანგენსი და კოტანგენსი არის სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობა, ისინი დადებითია, როდესაც კუთხის სინუსი და კოსინუსი არის იდენტური ნიშნებიდა უარყოფითი როცა განსხვავებულია.

პერიოდულობა

სინუსის და კოსინუსების პერიოდულობა ემყარება იმ ფაქტს, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდება მთელი რიცხვით სრული რევოლუციები, შეესაბამება იგივეს შედარებითი პოზიციამოძრავი და ფიქსირებული სხივები. შესაბამისად, მოძრავი სხივისა და ტრიგონომეტრიული წრის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები იგივე იქნება იმ კუთხეებისთვის, რომლებიც განსხვავდებიან სრული ბრუნების მთელი რიცხვით. ასე რომ, სინუსის და კოსინუსის პერიოდი არის და სად.

ცხადია, ეს ასევე არის ტანგენტისა და კოტანგენტის პერიოდი. მაგრამ არის ამ ფუნქციებისთვის უფრო მცირე პერიოდი? ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის ყველაზე მცირე პერიოდია.

განვიხილოთ ორი კუთხე და. ოპ გეომეტრიული გრძნობატანგენსი და კოტანგენსი,. სამკუთხედები ტოლია გვერდის და მის მიმდებარე კუთხეების გასწვრივ და, შესაბამისად, მათი გვერდებიც ტოლია, რაც ნიშნავს და. ანალოგიურად, შეიძლება დაამტკიცოს სად. ამრიგად, ტანგენტისა და კოტანგენტის პერიოდი არის.

ძირითადი კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ტრიგონომეტრიის ფორმულები

ამისთვის წარმატებული გადაწყვეტა ტრიგონომეტრიული პრობლემებიუნდა ფლობდეს მრავალჯერადს ტრიგონომეტრიული ფორმულები. თუმცა, არ არის საჭირო ყველა ფორმულის დამახსოვრება. თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ მხოლოდ ყველაზე ძირითადი და საჭიროების შემთხვევაში უნდა შეძლოთ დანარჩენი ფორმულების გამოტანა.

მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტურობადა მისგან მიღებული შედეგები

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია თვითნებური კუთხეურთიერთდაკავშირებული, ე.ი. ერთი ფუნქციის ცოდნით, ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი. ეს კავშირი მოცემულია ამ ნაწილში განხილული ფორმულებით.

თეორემა 1 (ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა). ნებისმიერისთვის, პირადობა

მტკიცებულება მდგომარეობს პითაგორას თეორემის გამოყენებაში მართკუთხა სამკუთხედისთვის, რომელსაც აქვს ფეხები და ჰიპოტენუზა.

უფრო ზოგადი თეორემაც მართალია.

თეორემა 2. იმისათვის, რომ ორი რიცხვი მივიღოთ ერთი და იგივე რეალური კუთხის კოსინუსად და სინუსად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი კვადრატების ჯამი იყოს ერთის ტოლი:

განვიხილოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის შედეგები.

გამოვხატოთ სინუსი კოსინუსის მიხედვით და კოსინუსი სინუსის მიხედვით:

ამ ფორმულებში, პლუს ან მინუს ნიშანი ფესვის წინ არჩეულია იმის მიხედვით, თუ რა კვარტალში მდებარეობს კუთხე.

ზემოთ მიღებული ფორმულების ჩანაცვლებით ფორმულებით, რომლებიც განსაზღვრავენ ტანგენტსა და კოტანგენსს, მივიღებთ:

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის ტერმინის ტერმინზე გაყოფა ან მივიღებთ, შესაბამისად:

ეს კოეფიციენტები შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

შემდეგი ფორმულები იძლევა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის ურთიერთობას. როდიდან და როდის ხდება თანასწორობა:

ჩამოსხმის ფორმულები

შემცირების ფორმულების დახმარებით შეგიძლიათ გამოხატოთ თვითნებური კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები მწვავე კუთხის ფუნქციების მნიშვნელობებით. ყველა შემცირების ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგი წესის გამოყენებით.

კუთხის ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, აბსოლუტური სიდიდით, უდრის კუთხის იგივე ფუნქციას, თუ რიცხვი ლუწია, და კუთხის თანაფუნქციას, თუ რიცხვი კენტია. უფრო მეტიც, თუ კუთხის ფუნქცია დადებითია, როდესაც არის მწვავე დადებითი კუთხე, მაშინ ორივე ფუნქციის ნიშნები ერთნაირია, თუ უარყოფითი, მაშინ ისინი განსხვავებულია.

კუთხეების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

თეორემა 3 . ნებისმიერი რეალურისთვის და შემდეგი ფორმულები მართალია:

დარჩენილი ფორმულების დადასტურება ეფუძნება შემცირების და ლუწი/კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულებს.

ქ.ე.დ.

თეორემა 4. ნებისმიერი რეალური და ისეთი რომ

1. , მოქმედებს შემდეგი ფორმულები

2. , მოქმედებს შემდეგი ფორმულები

მტკიცებულება. ტანგენტის განმარტებით

ბოლო გარდაქმნა მიიღება ამ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფით.

ანალოგიურად კოტანგენსისთვის (მრიცხველი და მნიშვნელი ამ შემთხვევაში იყოფა):

ქ.ე.დ.

ყურადღება უნდა მიექცეს იმ ფაქტს, რომ ბოლო თანასწორობის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები აქვს სხვადასხვა სფეროებში დაშვებული ღირებულებები. ამიტომ, ამ ფორმულების გამოყენება შეზღუდვების გარეშე შესაძლო ღირებულებებიკუთხეებმა შეიძლება გამოიწვიოს არასწორი შედეგები.

ორმაგი და ნახევარკუთხის ფორმულები

ფორმულები ორმაგი კუთხესაშუალებას გვაძლევს გამოვხატოთ თვითნებური კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ორიგინალის ნახევარი კუთხის ფუნქციებით. ეს ფორმულები ორი კუთხის ჯამის ფორმულების შედეგია, თუ მათში კუთხეებს ერთმანეთის ტოლი დავსვამთ.

ბოლო ფორმულა შეიძლება გარდაიქმნას ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით:

ამრიგად, ორმაგი კუთხის კოსინუსისთვის არის სამი ფორმულა:

უნდა აღინიშნოს, რომ მოცემული ფორმულამოქმედებს მხოლოდ მაშინ, როცა

ბოლო ფორმულა მოქმედებს, .

ორმაგი კუთხის ფუნქციების მსგავსად, შესაძლებელია სამმაგი კუთხის ფუნქციების მიღება. აქ მოცემულია ეს ფორმულები მტკიცებულების გარეშე:

ნახევარკუთხის ფორმულები არის ორმაგი კუთხის ფორმულების შედეგი და საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ გარკვეული კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები კუთხის ფუნქციების მიხედვით, რომლებიც ორჯერ აღემატება თავდაპირველს.

1. ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიარის ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა არგუმენტი არის ინექცია. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დახმარებით გვერდებს შორის ურთიერთობები და მკვეთრი კუთხეებიმართკუთხა სამკუთხედში. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების სფეროები უკიდურესად მრავალფეროვანია. მაგალითად, ნებისმიერი პერიოდული პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის სახით (ფურიეს სერია). ეს ფუნქციები ხშირად ჩნდება დიფერენციალური და ფუნქციური განტოლებების ამოხსნისას.

2. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს შემდეგ 6 ფუნქციას: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი,კოტანგენსი, სეკანტიდა კოსეკანტი. თითოეული მათგანისთვის მითითებული ფუნქციებიარსებობს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

3. გეომეტრიული განმარტებატრიგონომეტრიული ფუნქციები მოხერხებულად არის დანერგილი გამოყენებით ერთეული წრე. ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ნაჩვენებია წრე r=1 რადიუსით. წრეზე მონიშნულია წერტილი M(x,y). კუთხე OM რადიუსის ვექტორსა და Ox ღერძის დადებით მიმართულებას შორის არის α.

4. სინუსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის y ორდინატის შეფარდება r რადიუსთან:
sinα=y/r.
ვინაიდან r=1, მაშინ სინუსი უდრის M(x,y) წერტილის ორდინატს.

5. კოსინუსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის x აბსცისის შეფარდება r რადიუსთან:
cosα=x/r

6. ტანგენსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის y ორდინატის შეფარდება მის აბსციზასთან x:
tanα=y/x,x≠0

7. კოტანგენსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის x აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან y:
cotα=x/y,y≠0

8. სეკანტიკუთხე α არის r რადიუსის შეფარდება M(x,y) წერტილის x აბსცისასთან:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. კოზეკანტიკუთხე α არის r რადიუსის შეფარდება M(x,y) წერტილის y ორდინატთან:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. ერთეულ წრეში M(x,y) წერტილების x, y პროექციები და r რადიუსი ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს, ქ. რომელიც x,yარის ფეხები და r არის ჰიპოტენუზა. აქედან გამომდინარე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზემოაღნიშნული განმარტებები გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედიჩამოყალიბებულია ამ გზით:
სინუსიკუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
კოსინუსიკუთხე α არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ტანგენსიკუთხე α-ს ეწოდება მეზობელთან საპირისპირო ფეხი.
კოტანგენსიკუთხე α ეწოდება მოპირდაპირე მხარეს მიმდებარე ფეხს.
სეკანტიკუთხე α არის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხი.
კოზეკანტიკუთხე α არის ჰიპოტენუზის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხთან.

11. სინუსური ფუნქციის გრაფიკი
y=sinx, დომენი: x∈R, დომენი: −1≤sinx≤1

12. კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი
y=cosx, დომენი: x∈R, დიაპაზონი: −1≤cosx≤1

13. ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი
y=tanx, დომენი: x∈R,x≠(2k+1)π/2, დომენი: −∞

14. კოტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი
y=cotx, დომენი: x∈R,x≠kπ, დომენი: −∞

15. სექციური ფუნქციის გრაფიკი
y=secx, დომენი: x∈R,x≠(2k+1)π/2, დომენი: secx∈(−∞,−1]∪∪)