បញ្ហាជាមួយចំនួនគត់មិនស្គាល់
Pavlovskaya Nina Mikhailovna,
គ្រូ គណិតវិទ្យា MBOU“អនុវិទ្យាល័យ លេខ ៩២
Kemerovo
សមីការពិជគណិត ឬប្រព័ន្ធ សមីការពិជគណិតជាមួយមេគុណចំនួនគត់ មានចំនួនមិនស្គាល់ដែលលើសពីចំនួនសមីការ ហើយសម្រាប់ចំនួនគត់ ឬ ការសម្រេចចិត្តសមហេតុផលបានទទួលឈ្មោះ សមីការ diophantine .
បញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុងសម្រាប់សមីការជាមួយមិនស្គាល់មួយ សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទីមួយ និងសមីការនៃដឺក្រេទីពីរដែលមានពីរមិនស្គាល់។ សម្រាប់សមីការខាងលើដឺក្រេទីពីរជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ពីរ ឬច្រើន សូម្បីតែបញ្ហានៃការបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃ ដំណោះស្រាយចំនួនគត់. លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវបានបញ្ជាក់ថាមិនមានទេ។ ក្បួនដោះស្រាយបង្រួបបង្រួមដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយសមីការ Diophantine បំពានជាចំនួនគត់ក្នុងចំនួនជំហានកំណត់។
- សមីការ Diophantine សាមញ្ញបំផុតគឺជាសមីការនៃទម្រង់
ax + ដោយ = គ , a ≠ 0; b ≠ 0
ប្រសិនបើ ក c = 0 បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយគឺច្បាស់ x = 0, y = 0 ។
ប្រសិនបើ ក គ ≠ ០ និងដំណោះស្រាយ (X 0 ; នៅ 0 ) បន្ទាប់មកចំនួនគត់
ពូថៅ 0 + ដោយ 0 ចែកដោយ d = (a ; b) , នោះហើយជាមូលហេតុដែល ជាមួយ ក៏ត្រូវតែបែងចែកដោយ ការបែងចែកទូទៅ ក និង ខ .
ឧទាហរណ៍: 3x + 6y = 5 មិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ ដោយសារ (3; 6) = 3 ហើយ c = 5 មិនអាចបែងចែកដោយ 3 ដោយគ្មានសល់។
- ប្រសិនបើសមីការ ax + ដោយ = គ មានដំណោះស្រាយ (X 0 ; នៅ 0 ) , និង (a ; b) = 1 បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត x = x 0 +bn; y = y 0 - មួយ, ដែល n ជាដំណោះស្រាយចំនួនគត់។
ឧទាហរណ៍: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1 ដូច្នេះសមីការមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់ X 0 =1; នៅ 0 =2
ទ្រឹស្តីបទ Fermat's Great (ដ៏អស្ចារ្យ) ចែងថា: សមីការនៃទម្រង់មិនមានដំណោះស្រាយជាលេខធម្មជាតិទេ។
ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Pierre Fermat ជាង 300 ឆ្នាំមុន ហើយត្រូវបានបញ្ជាក់តែនៅក្នុងឆ្នាំ 1993 ប៉ុណ្ណោះ។
វិធីសាស្រ្តបំបែកឯកតា .
1) ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់
x + y = xy ។
ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់
(x − 1)(y − 1) = 1 ។
ផលគុណនៃចំនួនគត់ពីរអាចស្មើនឹង 1 ប្រសិនបើទាំងពីរស្មើនឹង 1។ នោះគឺសមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំ
ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ (0,0) និង (2,2) ។
2. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់៖
3x² + 4xy − 7y² = 13.
ដំណោះស្រាយ៖ 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,
3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,
(x - y) (3x + 7y) \u003d ១៣.
ដោយសារ 13 មានផ្នែកចែកចំនួនគត់ ±1 និង ±13។
1. x - y \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,
3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; ពីណា y = 1
2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9.2,
3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; ពេលណា y \u003d - 3.8 ។
3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,
3x + 7y \u003d -13; 3x + 7y = −13; ពីណា y = -1 ។
4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9.2,
3x + 7y \u003d -1; 3x + 7y \u003d -1; ពេលណា y = 3.8 ។
ដូច្នេះសមីការមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ពីរ៖ (2;1) និង (-2;-1)
3 . ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់៖
9x² + 4x - xy + 3y \u003d ៨៨.
ដំណោះស្រាយ៖ 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,
9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)
ចាប់តាំងពី 5 មានផ្នែកចែកចំនួនគត់ ± 1 និង ± 5 បន្ទាប់មក
សមីការក្នុងចំនួនគត់គឺជាសមីការពិជគណិតដែលមានអថេរមិនស្គាល់ពីរ ឬច្រើន និងមេគុណចំនួនគត់។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះគឺជាចំនួនគត់ (ជួនកាលធម្មជាតិ ឬសមហេតុផល) សំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលបំពេញសមីការនេះ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ ថ្នាំ diophantineជាកិត្តិយសរបស់គណិតវិទូក្រិកបុរាណ ដែលបានស្វែងយល់ពីប្រភេទនៃសមីការបែបនេះមុនសម័យរបស់យើង។
យើងជំពាក់រូបមន្តទំនើបនៃបញ្ហា Diophantine ដល់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង។ វាគឺជាគាត់ដែលដាក់មុនគណិតវិទូអឺរ៉ុបនូវសំណួរនៃការដោះស្រាយសមីការមិនកំណត់ត្រឹមតែជាចំនួនគត់។ សមីការដ៏ល្បីល្បាញបំផុតនៅក្នុងចំនួនគត់គឺ ទ្រឹស្តីបទចុងក្រោយរបស់ Fermat: សមីការ
មិនមានដំណោះស្រាយសមហេតុផលដែលមិនមែនជាសូន្យសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ n > 2។
ចំណាប់អារម្មណ៍ទ្រឹស្តីនៅក្នុងសមីការនៅក្នុងចំនួនគត់គឺធំណាស់ ចាប់តាំងពីសមីការទាំងនេះមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។
នៅឆ្នាំ 1970 គណិតវិទូ Leningrad Yuri Vladimirovich Matiyasevich បានបង្ហាញថា វិធីទូទៅដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ដោះស្រាយសមីការ Diophantine តាមអំពើចិត្តជាចំនួនគត់ក្នុងចំនួនកំណត់នៃជំហាន មិនមាន និងមិនអាចមាន។ ដូច្នេះវាគួរតែ ប្រភេទផ្សេងគ្នាសមីការដើម្បីជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។
នៅពេលដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ និងលេខធម្មជាតិ វិធីសាស្ត្រខាងក្រោមអាចត្រូវបានបែងចែកតាមធម្មតា៖
វិធីដើម្បីរាប់ជម្រើស;
ការអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយ Euclid;
តំណាងនៃលេខក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគបន្ត (បន្ត);
កត្តាកត្តា;
ការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ជាការ៉េ (ឬបើមិនដូច្នេះទេ) ទាក់ទងនឹងអថេរមួយចំនួន។
វិធីសាស្រ្តសំណល់;
វិធីសាស្រ្តនៃការចុះចតគ្មានកំណត់។
បញ្ហាជាមួយដំណោះស្រាយ
1. ដោះស្រាយសមីការ x 2 - xy - 2y 2 \u003d 7 ជាចំនួនគត់។
ចូរសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ (x − 2y)(x + y) = 7 ។
ដោយសារ x, y ជាចំនួនគត់ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធទាំងបួនខាងក្រោម៖
1) x − 2y = 7, x + y = 1;
2) x − 2y = 1, x + y = 7;
3) x − 2y = −7, x + y = −1;
4) x − 2y = −1, x + y = −7 ។
ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងនេះ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ៖ (3; -2), (5; 2), (-3; 2) និង (-5; -2) ។
ចម្លើយ៖ (៣; -២), (៥; ២), (-៣; ២), (-៥; -២) ។
ក) 20x + 12y = 2013;
ខ) 5x + 7y = 19;
គ) 201x − 1999y = 12 ។
ក) ដោយសារតម្លៃចំនួនគត់នៃ x និង y ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយពីរ ហើយផ្នែកខាងស្តាំគឺមិនមែនទេ។ ចំនួនគូបន្ទាប់មកសមីការមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ខ) ចូរយើងជ្រើសរើសជាមុនសិន ដំណោះស្រាយជាក់លាក់. អេ ករណីនេះ, វាសាមញ្ញ, ឧទាហរណ៍,
x 0 = 1, y 0 = 2 ។
5x0 + 7y0 = 19,
5(x − x 0) + 7(y - y 0) = 0,
5 (x - x 0) \u003d -7 (y - y 0) ។
ចាប់តាំងពីលេខ 5 និង 7 គឺជា coprime ដូច្នេះ
x - x 0 \u003d 7k, y - y 0 \u003d -5k ។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖
x = 1 + 7k, y = 2 − 5k,
ដែល k ជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។
ចម្លើយ៖ (1+7k; 2–5k) ដែល k ជាចំនួនគត់។
គ) វាពិបាកណាស់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួនដោយការជ្រើសរើសក្នុងករណីនេះ។ ចូរប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid សម្រាប់លេខ 1999 និង 201៖
gcd(1999, 201) = gcd(201, 190) = gcd(190, 11) = gcd(11, 3) = gcd(3, 2) = gcd(2, 1) = 1 ។
តោះសរសេរដំណើរការនេះតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7 (190 – 11 17) =
121 11 - 7 190 = 121(201 - 190) - 7 190 = 121 201 - 128 190 =
121 201 - 128(1999 - 9 201) = 1273 201 - 128 1999 ។
ដូច្នេះ គូ (1273, 128) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 201x - 1999y = 1 ។ បន្ទាប់មក គូនៃលេខ
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 201x − 1999y = 12 ។
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k ដែល k ជាចំនួនគត់
ឬបន្ទាប់ពីប្តូរឈ្មោះ (យើងប្រើវា 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201)
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n ដែល n ជាចំនួនគត់។
ចម្លើយ៖ (1283+1999n, 129+201n) ដែល n ជាចំនួនគត់។
3. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់៖
ក) x 3 + y 3 = 3333333;
ខ) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1) ។
ក) ដោយសារ x 3 និង y 3 អាចផ្តល់ឱ្យនៅសល់តែ 0, 1 និង 8 នៅពេលចែកនឹង 9 (សូមមើលតារាងក្នុងផ្នែក) x 3 + y 3 អាចផ្តល់ឱ្យនៅសល់តែ 0, 1, 2, 7 និង 8។ លេខ 3333333 នៅពេលចែកនឹង 9 ផ្តល់ចំនួនដែលនៅសល់នៃ 3 ។ ដូច្នេះសមីការដើមមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
ខ) សរសេរសមីការដើមឡើងវិញជា (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4 សមីការមិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។
ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។
ក) នៅក្នុងលេខបឋម សមីការ x 2 - 7x - 144 \u003d y 2 - 25y;
ខ) ក្នុងចំនួនគត់ សមីការ x + y \u003d x 2 - xy + y 2 ។
ក) សម្រេចចិត្ត សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាការ៉េដែលទាក់ទងនឹងអថេរ y ។ ទទួលបាន
y \u003d x + 9 ឬ y \u003d 16 - x ។
ចាប់តាំងពីលេខ x + 9 គឺសម្រាប់សេស x ដែលជាគូតែមួយគត់ លេខបឋមដែលបំពេញនូវសមភាពទីមួយគឺ (២; ១១)។
ចាប់តាំងពី x, y គឺសាមញ្ញ, បន្ទាប់មកពីសមភាព y \u003d 16 - x យើងមាន
2 x 16.2 នៅ 16.
ដោយប្រើការរាប់លេខនៃជម្រើស យើងរកឃើញដំណោះស្រាយដែលនៅសល់៖ (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3) ។
ចម្លើយ៖ (២; ១១), (៣; ១៣), (៥; ១១), (១១; ៥), (១៣; ៣)។
ខ) ពិចារណាសមីការនេះជា សមីការការ៉េទាក់ទងនឹង x:
x 2 - (y + 1) x + y 2 - y \u003d 0 ។
ការរើសអើងនៃសមីការនេះគឺ –3y 2 + 6y + 1។ វាវិជ្ជមានសម្រាប់តែ តាមតម្លៃ y: 0, 1, 2. សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ ពីសមីការដើម យើងទទួលបានសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ x ដែលងាយស្រួលដោះស្រាយ។
ចម្លើយ៖ (០; ០), (០; ១), (១; ០), (១; ២), (២; ១), (២; ២)។
5. តើមាន ចំនួនគ្មានកំណត់បីដងនៃចំនួនគត់ x, y, z នោះ x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?
តោះព្យាយាមជ្រើសរើសបីដង ដែល y = –z ។ បន្ទាប់មក y 3 និង z 3 នឹងតែងតែលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយសមីការរបស់យើងនឹងមើលទៅដូច
x2 + 2y2 = x3
ឬបើមិនដូច្នេះទេ
x 2 (x–1) = 2y 2 ។
សម្រាប់ចំនួនគត់មួយគូ (x; y) ដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលចំនួន x–1 ត្រូវជាពីរដងនៃការេនៃចំនួនគត់។ មានលេខបែបនេះច្រើនឥតកំណត់ ពោលគឺពួកវាជាលេខទាំងអស់នៃទម្រង់ 2n 2 +1។ ការជំនួសលេខបែបនេះទៅជា x 2 (x–1) = 2y 2 បន្ទាប់ពីការបំលែងសាមញ្ញ យើងទទួលបាន៖
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n ។
កូនបីទាំងអស់ដែលទទួលបានតាមរបៀបនេះមានទម្រង់ (2n 2 +1; 2n 3 + n; -2n 3 - n) ។
ចម្លើយ៖ មាន។
6. រកចំនួនគត់ x, y, z, u ដូចថា x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu ។
លេខ x 2 + y 2 + z 2 + u 2 គឺគូ ដូច្នេះក្នុងចំណោមលេខ x, y, z, u មានលេខគូនៃលេខសេស។
ប្រសិនបើលេខទាំងបួន x, y, z, u គឺសេស នោះ x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ប៉ុន្តែ 2xyzu មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 - ភាពខុសគ្នាមួយ។
ប្រសិនបើចំនួនពីរពិតប្រាកដ x, y, z, u គឺសេស នោះ x 2 + y 2 + z 2 + u 2 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ប៉ុន្តែ 2xyzu ត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 - ភាពខុសគ្នាម្តងទៀត។
ដូច្នេះលេខទាំងអស់ x, y, z, u គឺគូ។ បន្ទាប់មកគេអាចសរសេរវាបាន
x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,
ហើយសមីការដើមនឹងមានទម្រង់
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 ។
ឥឡូវចំណាំថា (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 នៅពេលចែកនឹង 8 ផ្តល់ចំនួនដែលនៅសល់នៃ 1។ ដូច្នេះប្រសិនបើលេខទាំងអស់ x 1 , y 1 , z 1 , u 1 គឺសេស បន្ទាប់មក x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 8 ។ ហើយប្រសិនបើចំនួនពីរពិតប្រាកដនៃចំនួននេះគឺសេស នោះ x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ក៏មិនអាចត្រូវបានបែងចែកដោយ 4. ដូច្នេះ,
x 1 \u003d 2x 2, y 1 \u003d 2y 2, z 1 \u003d 2z 2, u 1 \u003d 2u 2,
ហើយយើងទទួលបានសមីការ
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 ។
ការធ្វើហេតុផលដដែលម្តងទៀត យើងទទួលបានថា x, y, z, u ត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 n សម្រាប់ n ធម្មជាតិទាំងអស់ ដែលអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ x = y = z = u = 0 ។
ចម្លើយ៖ (0; 0; 0; 0) ។
7. បង្ហាញថាសមីការ
(x − y) 3 + (y - z) 3 + (z − x) 3 \u003d 30
មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
តោះប្រើអត្តសញ្ញាណដូចខាងក្រោម៖
(x − y) 3 + (y − z) 3 + (z − x) 3 \u003d 3 (x − y) (y − z) (z − x)។
បន្ទាប់មកសមីការដើមអាចត្រូវបានសរសេរជា
(x − y) (y − z) (z − x) = 10 .
សម្គាល់ a = x – y, b = y – z, c = z – x ហើយសរសេរសមភាពលទ្ធផលជា
ជាងនេះទៅទៀត វាច្បាស់ណាស់ថា a + b + c = 0. វាងាយមើលថា រហូតដល់ការបំប្លែង វាធ្វើតាមពីសមភាព abc = 10 ដែលលេខ |a|, |b|, |c| គឺ 1, 2, 5, ឬ 1, 1, 10។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីទាំងអស់នេះ សម្រាប់ជម្រើសណាមួយនៃសញ្ញា a, b, c ផលបូក a + b + c គឺមិនមែនសូន្យទេ។ ដូច្នេះសមីការដើមមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
8. ដោះស្រាយសមីការ 1 ក្នុងចំនួនគត់! +2! +. . . +x! = y ២.
វាច្បាស់ណាស់។
ប្រសិនបើ x = 1 បន្ទាប់មក y 2 = 1,
ប្រសិនបើ x = 3 បន្ទាប់មក y 2 = 9 ។
ករណីទាំងនេះត្រូវគ្នានឹងលេខដូចខាងក្រោម៖
x 1 = 1, y 1 = 1;
x 2 \u003d 1, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d 3, y 3 \u003d 3;
x 4 \u003d 3, y 4 \u003d -3 ។
ចំណាំថាសម្រាប់ x = 2 យើងមាន 1! +2! = 3 សម្រាប់ x = 4 យើងមាន 1! +2! + ៣! +៤! = 33 ហើយទាំង 3 ឬ 33 គឺជាចំនួនគត់ការេ។ ប្រសិនបើ x > 5 នោះ ចាប់តាំងពី
៥! +៦! +. . . +x! = 10n,
យើងអាចសរសេរវាបាន
មួយ! +2! + ៣! +៤! +5! +. . . +x! = 33 + 10n ។
ដោយសារ 33 + 10n គឺជាលេខដែលបញ្ចប់ដោយ 3 វាមិនមែនជាការេនៃចំនួនគត់ទេ។
ចម្លើយ៖ (១; ១), (១; -១), (៣; ៣), (៣; -៣)។
9. សម្រេចចិត្ត ប្រព័ន្ធបន្ទាប់សមីការក្នុងលេខធម្មជាតិ៖
a 3 - b 3 - c 3 \u003d 3abc, a 2 \u003d 2 (b + c) ។
3abc> 0 បន្ទាប់មក a 3> b 3 + c 3 ;
ដូច្នេះយើងមាន
ការបន្ថែមវិសមភាពទាំងនេះ យើងទទួលបាននោះ។
ដោយគិតពីវិសមភាពចុងក្រោយ ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាននោះ។
ប៉ុន្តែសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធក៏បង្ហាញថា a គឺជាលេខគូ។ ដូច្នេះ a = 2, b = c = 1 ។
ចម្លើយ៖ (២; ១; ១)
10. រកគូទាំងអស់នៃចំនួនគត់ x និង y ដែលបំពេញសមីការ x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y ។
ដោយរាប់ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះ យើងទទួលបាន៖
x(x+1) = y(y+1)(y 2+1),
x(x+1)=(y 2+y)(y 2+1)
សមភាពបែបនេះអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំស្មើនឹងសូន្យ ឬជាផលគុណនៃចំនួនគត់ពីរជាប់គ្នា។ ដូច្នេះ ស្មើកត្តាមួយចំនួនទៅសូន្យ យើងទទួលបាន 4 គូនៃតម្លៃដែលចង់បាននៃអថេរ៖
x 1 = 0, y 1 = 0;
x 2 \u003d 0, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d -1, y 3 \u003d 0;
x 4 \u003d -1, y 4 \u003d -1 ។
ផលិតផល (y 2 + y) (y 2 + 1) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលគុណនៃចំនួនគត់មិនសូន្យជាប់គ្នាតែនៅពេល y \u003d 2 ។ ដូច្នេះ x (x + 1) \u003d 30, ពេលណា x 5 \ u003d 5, x 6 = −6 ។ នេះមានន័យថាមានចំនួនគត់ពីរគូទៀតដែលបំពេញសមីការដើម៖
x 5 = 5, y 5 = 2;
x 6 \u003d -6, y 6 \u003d ២.
ចម្លើយ៖ (០; ០), (០; -១), (-១; ០), (-១; -១), (៥; ២), (-៦; ២.)
បញ្ហាដែលគ្មានដំណោះស្រាយ
1. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់៖
ក) xy = x + y + 3;
ខ) x 2 + y 2 \u003d x + y + 2 ។
2. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់៖
ក) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;
ខ) 15x 2 - 7y 2 \u003d ៩.
3. ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ៖
ក) 2 x + 1 \u003d y 2;
ខ) 3 2 x + 1 \u003d y 2 ។
4. បង្ហាញថាសមីការ x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz ក្នុងលេខសនិទាន មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់
5. បង្ហាញថាសមីការ x 2 + 5 = y 3 ក្នុងចំនួនគត់មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានដាក់ដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF
វត្ថុនៃការសិក្សា។
ការស្រាវជ្រាវទាក់ទងនឹងផ្នែកមួយដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៃទ្រឹស្តីលេខ - ដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់។
ប្រធានបទនៃការសិក្សា។
ដំណោះស្រាយក្នុងចំនួនគត់នៃសមីការពិជគណិតដែលមានមេគុណចំនួនគត់នៅក្នុងចំនួនមិនស្គាល់ច្រើនជាងមួយ គឺជាវិធីមួយដែលពិបាកបំផុត និងបុរាណបំផុត បញ្ហាគណិតវិទ្យានិងមិនត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អនៅក្នុង វគ្គសិក្សាសាលាគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំខ្ញុំនឹងបង្ហាញឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ ការវិភាគពេញលេញសមីការក្នុងចំនួនគត់ ការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការទាំងនេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ការពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ក៏ដូចជា ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនីមួយៗដើម្បីដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។
គោលដៅ។
រៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។
ភារកិច្ច:
សិក្សាអក្សរសិល្ប៍អប់រំ និងឯកសារយោង;
ប្រមូល សម្ភារៈទ្រឹស្តីដោយវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការ;
វិភាគក្បួនដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនេះ;
ពិពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយ;
ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រទាំងនេះ។
សម្មតិកម្ម៖
ប្រឈមមុខនឹងសមីការក្នុងចំនួនគត់ក្នុងកិច្ចការអូឡាំពិក ខ្ញុំបានសន្មត់ថាការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយវាដោយសារតែការពិតដែលថាមិនមែនគ្រប់វិធីដើម្បីដោះស្រាយវាត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះខ្ញុំទេ។
ភាពពាក់ព័ន្ធ៖
ការសម្រេចចិត្ត ជម្រើសគំរូភារកិច្ចនៃការប្រឡង ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ថាជារឿយៗមានភារកិច្ចសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 1 និងទី 2 ក្នុងចំនួនគត់។ ក្រៅពីនេះ។ កិច្ចការអូឡាំពិក កម្រិតផ្សេងៗក៏មានសមីការនៅក្នុងចំនួនគត់ ឬបញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើជំនាញដើម្បីដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។ សារៈសំខាន់នៃការដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់កំណត់ពីភាពពាក់ព័ន្ធនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំ។
វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ
ការវិភាគទ្រឹស្តី និងព័ត៌មានទូទៅ អក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រអំពីសមីការក្នុងចំនួនគត់។
ការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការក្នុងចំនួនគត់ដោយយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយរបស់វា។
ការវិភាគនិងទូទៅនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។
លទ្ធផលស្រាវជ្រាវ
ក្រដាសពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ ពិចារណាសម្ភារៈទ្រឹស្តីនៃទ្រឹស្តីបទ Fermat ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid បង្ហាញពីឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា និងសមីការនៃកម្រិតផ្សេងៗនៃភាពស្មុគស្មាញ។
2.ប្រវត្តិនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់
Diophantus - អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ - ពិជគណិត ក្រិកបុរាណយោងតាមប្រភពខ្លះ គាត់បានរស់នៅរហូតដល់ឆ្នាំ ៣៦៤ គ.ស.។ អ៊ី គាត់មានជំនាញក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាចំនួនគត់។ ដូច្នេះឈ្មោះ Diophantine សមីការ។ ភាពល្បីល្បាញបំផុតដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយ Diophantus គឺជាបញ្ហានៃ "ការរលួយទៅជាការ៉េពីរ" ។ សមមូលរបស់វាគឺទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរដ៏ល្បីល្បាញ។ ជីវិត និងការងាររបស់ Diophantus បានដំណើរការនៅ Alexandria គាត់បានប្រមូល និងដោះស្រាយបញ្ហាដែលគេស្គាល់ និងបង្កើតបញ្ហាថ្មីៗ។ ក្រោយមកគាត់បានបញ្ចូលពួកវាទៅក្នុង ការងារដ៏អស្ចារ្យហៅថានព្វន្ធ។ ក្នុងចំណោមសៀវភៅចំនួន 13 ក្បាលដែលបង្កើតជានព្វន្ធ មានតែប្រាំមួយក្បាលប៉ុណ្ណោះដែលនៅរស់រានមានជីវិតរហូតដល់យុគសម័យកណ្តាល ហើយបានក្លាយជាប្រភពនៃការបំផុសគំនិតសម្រាប់គណិតវិទូនៃក្រុមហ៊ុន Renaissance ។ Diophantus' Arithmetic គឺជាបណ្តុំនៃបញ្ហា ដែលនីមួយៗមានដំណោះស្រាយ និងការពន្យល់ចាំបាច់មួយ។ ការប្រមូលផ្ដុំរួមមានកិច្ចការជាច្រើន ហើយដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេច្រើនតែចូល សញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុតឆ្លាត។ Diophantus ចាប់អារម្មណ៍តែលើចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងដំណោះស្រាយសមហេតុផលប៉ុណ្ណោះ។ ការសម្រេចចិត្តមិនសមហេតុផលគាត់ហៅថា "មិនអាចទៅរួច" ហើយជ្រើសរើសមេគុណដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយសមហេតុផល និងវិជ្ជមានដែលចង់បាន។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។ ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃភស្តុតាងដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ ការងារជាច្រើនត្រូវបានធ្វើនៅលើភស្តុតាងពេញលេញនៃទ្រឹស្តីបទដ៏អស្ចារ្យ គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញហើយកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងទាំងនេះបាននាំឱ្យមានលទ្ធផលជាច្រើន។ ទ្រឹស្តីទំនើបលេខ។ វាត្រូវបានគេជឿថាទ្រឹស្តីបទគឺស្ថិតនៅលំដាប់ទីមួយទាក់ទងនឹងចំនួននៃភស្តុតាងមិនត្រឹមត្រូវ។
គណិតវិទូជនជាតិបារាំងដ៏ឆ្នើម Pierre Fermat បាននិយាយថា សមីការដែលមានចំនួនគត់ n ≥ 3 មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់នោះទេ។ លេខវិជ្ជមាន X, y, z n = 4 ។
អយល័រនៅឆ្នាំ ១៧៧០ បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ n = 3, Dirichlet និង Legendre ក្នុង 1825 សម្រាប់ n = 5 និង Lame សម្រាប់ n = 7 ។ Kummer បានបង្ហាញថាទ្រឹស្តីបទនេះគឺពិតសម្រាប់ prime n ទាំងអស់តិចជាង 100 ដោយមានករណីលើកលែងដែលអាចធ្វើបាននៃ 37 ។ ៥៩, ៦៧.
នៅទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1980 មាន វិធីសាស្រ្តថ្មី។ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។ ពីការស្មានរបស់ Mordell បង្ហាញដោយ Faltings ក្នុងឆ្នាំ 1983 វាដូចខាងក្រោមថាសមីការ
សម្រាប់ n > 3 អាចមានតែចំនួនកំណត់នៃដំណោះស្រាយ coprime ប៉ុណ្ណោះ។
ជំហានចុងក្រោយ ប៉ុន្តែសំខាន់បំផុតនៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះ ត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1994 ដោយ Wiles ។ ភស្តុតាងចំនួន 130 ទំព័ររបស់គាត់ត្រូវបានបោះពុម្ពនៅក្នុង Annals of Mathematics ។ ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើការសន្មត់របស់គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Gerhard Frei ដែលទ្រឹស្តីបទចុងក្រោយរបស់ Fermat គឺជាផលវិបាកនៃសម្មតិកម្ម Taniyama-Shimura (ការសន្មត់នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ Ken Ribet ដោយមានការចូលរួមពី J.-P. Serra) ។ Wiles បានបោះពុម្ពលើកទីមួយ។ កំណែនៃភស្តុតាងរបស់គាត់ក្នុងឆ្នាំ 1993 (បន្ទាប់ពី 7 ឆ្នាំនៃការខិតខំប្រឹងប្រែង) ប៉ុន្តែគម្លាតដ៏ធ្ងន់ធ្ងរត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវាភ្លាមៗ។ ដោយមានជំនួយពី Richard Lawrence Taylor គម្លាតនេះត្រូវបានបិទយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ កំណែចុងក្រោយត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1995 ។ ថ្ងៃទី 15 ខែមីនា ឆ្នាំ 2016 Andrew Wiles ទទួលបានរង្វាន់ Abel ។ បច្ចុប្បន្ននេះបុព្វលាភគឺ 6 លានក្រូនន័រវេស ពោលគឺប្រហែល 50 លានរូប្លិ៍។ យោងតាមលោក Wiles ពានរង្វាន់នេះបានមកជា "ការភ្ញាក់ផ្អើលពេញលេញ" សម្រាប់គាត់។
3. សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងចំនួនគត់
សមីការលីនេអ៊ែរគឺសាមញ្ញបំផុតនៃសមីការ Diophantine ទាំងអស់។
សមីការនៃទម្រង់ ax=b ដែល a និង b គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ x គឺជាអថេរដែលមិនស្គាល់ ត្រូវបានគេហៅថា សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់មួយ។ នៅទីនេះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតែដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃសមីការ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាប្រសិនបើ a ≠ 0 នោះសមីការនឹងមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់លុះត្រាតែ b ត្រូវបានបែងចែកទាំងស្រុងដោយ a ហើយដំណោះស្រាយនេះគឺ x = b / f ។ ប្រសិនបើ a=0 នោះសមីការនឹងមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៅពេលដែល b=0 ហើយក្នុងករណីនេះ x គឺជាលេខណាមួយ។
ដោយសារតែ 12 ត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយ 4 បន្ទាប់មក
ដោយសារតែ a=o និង b=0 បន្ទាប់មក x ជាលេខណាមួយ។
ដោយសារតែ 7 មិនអាចចែកបានដោយ 10 ទេនោះក៏គ្មានដំណោះស្រាយដែរ។
4. វិធីដើម្បីរាប់ជម្រើស.
នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃការរាប់លេខនៃជម្រើស វាចាំបាច់ក្នុងការគិតគូរពីសញ្ញានៃការបែងចែកលេខ ដើម្បីពិចារណាទាំងអស់គ្នា។ ជម្រើសដែលអាចធ្វើបានសមភាពការរាប់ចំនួនកំណត់។ វិធីនេះអាចប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ៖
№1 ស្វែងរកសំណុំនៃគូទាំងអស់។ លេខធម្មជាតិដែលជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ 49x+69y=602
យើងបង្ហាញពីសមីការ x =,
ដោយសារតែ x និង y គឺជាលេខធម្មជាតិ បន្ទាប់មក x = ≥ 1 គុណសមីការទាំងមូលដោយ 49 ដើម្បីកម្ចាត់ភាគបែង៖
ផ្លាស់ទី 602 ទៅខាងឆ្វេង:
51y ≤ 553, បង្ហាញ y, y = 10
ការរាប់ចំនួនពេញលេញនៃជម្រើសបង្ហាញថាដំណោះស្រាយធម្មជាតិនៃសមីការគឺ x=5, y=7។
ចម្លើយ៖ (៥,៧)។
№2 ដោះស្រាយបញ្ហា
ចាប់ពីលេខ 2, 4, 7 គួរតែបង្កើតលេខបីខ្ទង់ ដែលមិនមែនលេខតែមួយអាចធ្វើម្តងទៀតលើសពី 2 ដងទេ។
ស្វែងរកចំនួនទាំងអស់។ លេខបីខ្ទង់ដែលចាប់ផ្តើមដោយលេខ 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - មាន 8 ក្នុងចំណោមពួកគេ។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញលេខបីខ្ទង់ទាំងអស់ដោយចាប់ផ្តើមដោយលេខ 4 និង 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477) ។
(៧៧២, ៧៧៤, ៧២៧, ៧៤៧, ៧២២, ៧៤៤, ៧២៤, ៧៤២) - ពួកគេក៏មាន ៨ លេខរៀងៗខ្លួនផងដែរ។ មានតែ 24 លេខប៉ុណ្ណោះ។
ចម្លើយ៖ ២៤ ។
5. ប្រភាគបន្ត និងក្បួនដោះស្រាយរបស់អឺគ្លីដ
ប្រភាគបន្តគឺជាកន្សោម ប្រភាគទូទៅជា
ដែល q 1 ជាចំនួនគត់ ហើយ q 2 , … ,qn គឺជាលេខធម្មជាតិ។ កន្សោមបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគបន្ត (បន្តកំណត់) ។ មានប្រភាគបន្តមានកំណត់ និងគ្មានកំណត់។
សម្រាប់ លេខសមហេតុផលប្រភាគបន្តមាន ទិដ្ឋភាពបញ្ចប់. លើសពីនេះ លំដាប់ a i គឺពិតជាលំដាប់នៃកូតាដែលទទួលបានដោយការអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ទៅនឹងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។
ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងប្រភាគបន្ត ខ្ញុំបានចងក្រងជាក្បួនដោះស្រាយទូទៅនៃសកម្មភាពសម្រាប់ វិធីសាស្រ្តនេះ។ដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់។
ក្បួនដោះស្រាយ
1) ចងក្រងសមាមាត្រនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគ
2) បំប្លែងកន្សោមទៅជាប្រភាគដែលមិនត្រឹមត្រូវ។
3) ជ្រើសរើសផ្នែកទាំងមូល ប្រភាគមិនត្រឹមត្រូវ
4) ប្រភាគត្រឹមត្រូវ។ជំនួសវាដោយប្រភាគស្មើគ្នា
5) ធ្វើ 3.4 ជាមួយនឹងប្រភាគខុសដែលទទួលបានក្នុងភាគបែង
6) ធ្វើម្តងទៀត 5 រហូតដល់លទ្ធផលចុងក្រោយ
7) នៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល បោះបង់តំណចុងក្រោយនៃប្រភាគបន្ត បង្វែរប្រភាគបន្តថ្មីលទ្ធផលទៅជាសាមញ្ញមួយ ហើយដកវាចេញពីប្រភាគដើម។
ឧទាហរណ៍#1 ដោះស្រាយសមីការ 127x- 52y+ 1 = 0 ជាចំនួនគត់
ចូរយើងបំប្លែងសមាមាត្រនៃមេគុណនៅក្នុងមិនស្គាល់។
ជាបឋម យើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់នៃប្រភាគដែលមិនសមស្រប។ = 2 +
ជំនួសប្រភាគត្រឹមត្រូវជាមួយប្រភាគស្មើគ្នា។
កន្លែងណា = 2+
ចូរធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នាជាមួយនឹងប្រភាគដែលមិនសមស្របដែលទទួលបានក្នុងភាគបែង។
ឥឡូវនេះប្រភាគដើមនឹងយកទម្រង់៖ ការធ្វើឡើងវិញនូវហេតុផលដូចគ្នាសម្រាប់ប្រភាគ យើងទទួលបាន
យើងទទួលបានកន្សោមមួយហៅថា ប្រភាគបន្ត ឬបន្តចុងក្រោយ។ ដោយបានបោះបង់តំណភ្ជាប់ចុងក្រោយនៃប្រភាគបន្តនេះ - មួយភាគប្រាំ យើងបង្វែរប្រភាគបន្តថ្មីលទ្ធផលទៅជាប្រភាគសាមញ្ញ ហើយដកវាចេញពីប្រភាគដើម៖
យើងនាំយកកន្សោមលទ្ធផលទៅ កត្តាកំណត់រួមហើយទុកវាចោល។
ពេលណា 127∙9-52∙22+1=0។ ពីការប្រៀបធៀបនៃសមភាពដែលទទួលបានជាមួយនឹងសមីការ 127x- 52y + 1 = 0 វាដូចខាងក្រោមនោះ x= 9, y= 22 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម ហើយយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ ដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វានឹងមាននៅក្នុង វឌ្ឍនភាព x= 9+ 52t, y= 22+ 127t, ដែល t=(0; ±1; ±2…..)។ ករណីទូទៅដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការអ័ក្ស + ដោយ + c = 0 វាចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកសមាមាត្រនៃមេគុណនៃមិនស្គាល់ទៅជាប្រភាគបន្ត បោះបង់តំណចុងក្រោយរបស់វា ហើយធ្វើការគណនាស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។
ដើម្បីបញ្ជាក់ការសន្មត់នេះ យើងនឹងត្រូវការលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃប្រភាគបន្ត។
ពិចារណា ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។. សម្គាល់ដោយ q 1 កូតានិងដោយ r 2 នៅសល់នៃការបែងចែក a ដោយ b ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖
បន្ទាប់មក b=q 2 r 2 + r 3 ,
ស្រដៀងគ្នា
r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;
r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;
………………………………..
បរិមាណ q 1 , q 2 ,… ត្រូវបានគេហៅថា quotient មិនពេញលេញ។ ដំណើរការខាងលើនៃការបង្កើតកូតាមិនពេញលេញត្រូវបានគេហៅថា ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid. នៅសល់ពីការបែងចែក r 2 r 3 ... បំពេញវិសមភាព
ទាំងនោះ។ បង្កើតជាស៊េរីនៃការថយចុះចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមាន។
ឧទាហរណ៍ #2 ដោះស្រាយសមីការ 170x+190y=3000 ជាចំនួនគត់
បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយដោយ 10 សមីការមើលទៅដូចនេះ
ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ យើងប្រើការពង្រីកប្រភាគទៅជាប្រភាគបន្ត
ដោយបានដួលរលំប្រភាគចុងក្រោយដែលសមរម្យសម្រាប់វាទៅជាធម្មតា។
ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការនេះមានទម្រង់
X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,
ហើយជាទូទៅត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្ត
x=2700-19k, y=-2400+17k ។
តើនៅពេលណាដែលយើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌនៅលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ k
ទាំងនោះ។ k=142, x=2, y=14 ។ .
6. វិធីសាស្រ្តកត្តា
វិធីសាស្រ្តនៃការរាប់លេខនៃជម្រើសគឺជាវិធីដែលរអាក់រអួលព្រោះមានករណីជាច្រើននៅពេលដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយពេញលេញដោយការរាប់បញ្ចូលចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយបែបនេះ សំណុំគ្មានកំណត់. វិធីសាស្ត្រកត្តាកត្តាជាបច្ចេកទេសគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់ ហើយវាត្រូវបានគេរកឃើញទាំងក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម និងក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។
ខ្លឹមសារមាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ។ អត្ថន័យនៃណាមួយ។ ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ- នេះគឺជាកំណត់ត្រានៃការបញ្ចេញមតិក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នាខណៈពេលដែលរក្សាខ្លឹមសាររបស់វា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ។
№1 ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ y 3 - x 3 = 91.
ដោយប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ យើងបំបែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅជាកត្តា៖
(y − x)(y 2 + xy + x 2) = 91
យើងសរសេរការបែងចែកទាំងអស់នៃលេខ 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± ៩១
ចំណាំថាសម្រាប់ចំនួនគត់ x និង y ជាលេខ
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 − 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,
ដូច្នេះកត្តាទាំងពីរនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវតែជាវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកសមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំប្រព័ន្ធនៃសមីការ៖
ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងជ្រើសរើសឫសទាំងនោះដែលជាចំនួនគត់។
យើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម៖ (៥; ៦), (-៦; -៥); (-៣; ៤), (-៤; ៣) ។
ចម្លើយ៖ (៥; ៦); (-៦; -៥); (-៣; ៤); (-៤; ៣) ។
№2 ស្វែងរកគូទាំងអស់នៃលេខធម្មជាតិដែលបំពេញសមីការ x 2 -y 2 = 69
យើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយសរសេរសមីការជា
ដោយសារតែ ការបែងចែកនៃលេខ 69 គឺជាលេខ 1, 3, 23 និង 69 បន្ទាប់មក 69 អាចទទួលបានតាមពីរវិធី: 69 = 1 69 និង 69 = 3 23 ។ ដោយពិចារណាថា x-y > 0 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការចំនួនពីរ ដោយដោះស្រាយដែលយើងអាចស្វែងរកលេខដែលចង់បាន៖
ដោយបានបង្ហាញពីអថេរមួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងរកឃើញឫសនៃសមីការ។ ប្រព័ន្ធទីមួយមានដំណោះស្រាយ x=35;y=34 ហើយប្រព័ន្ធទីពីរមានដំណោះស្រាយ x=13, y=10។
ចម្លើយ៖ (៣៥; ៣៤), (១៣; ១០)។
№3 ដោះស្រាយសមីការ x + y \u003d xy ជាចំនួនគត់៖
យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់
ចូរយើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ ទទួលបាន
ផលគុណនៃចំនួនគត់ពីរអាចស្មើ 1 តែក្នុងករណីពីរប៉ុណ្ណោះ៖ ប្រសិនបើពួកវាទាំងពីរស្មើនឹង 1 ឬ -1 ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធពីរ៖
ប្រព័ន្ធទីមួយមានដំណោះស្រាយ x=2, y=2 ហើយប្រព័ន្ធទីពីរមានដំណោះស្រាយ x=0, y=0 ចម្លើយ៖ (2; 2), (0; 0)។
№៤ បង្ហាញថាសមីការ (x − y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
យើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 3 ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការ៖
(x − y)(y − z)(z − x) = 10
ការបែងចែក 10 គឺជាលេខ ±1, ±2, ±5, ±10។ ចំណាំផងដែរថាផលបូកនៃកត្តានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺស្មើនឹង 0 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាផលបូកនៃចំនួនបីណាមួយពីសំណុំនៃការបែងចែកលេខ 10 ដែលផ្តល់ឱ្យ 10 នៅក្នុងផលិតផលនឹងមិន ស្មើ 0. ដូច្នេះសមីការដើមមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
7. វិធីសាស្រ្តនៃសំណល់
ភារកិច្ចចម្បងនៃវិធីសាស្ត្រគឺស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសល់នៃការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនគត់ ដោយផ្អែកលើលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ ជាញឹកញាប់ព័ត៌មានដែលទទួលបានកាត់បន្ថយលទ្ធភាពនៃសំណុំដំណោះស្រាយនៃសមីការ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍៖
№1 បង្ហាញថាសមីការ x 2 = 3y + 2 មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
ភស្តុតាង។
ពិចារណាករណីដែល x, y ∈ N. ពិចារណាផ្នែកដែលនៅសល់នៃភាគីទាំងពីរចែកនឹង 3 ។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 2 នៅពេលចែកនឹង 3 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ y ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងដែលជាការេនៃចំនួនធម្មជាតិ នៅពេលដែលចែកនឹង 3 តែងតែផ្តល់នៅសល់នៃ 0 ឬ 1។ ដោយផ្អែកលើនេះ យើងសន្និដ្ឋានថាមិនមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះជាលេខធម្មជាតិទេ។
ពិចារណាករណីនៅពេលដែលលេខមួយស្មើនឹង 0។ បន្ទាប់មក ជាក់ស្តែងមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
ករណីដែល y ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមានមិនមានដំណោះស្រាយទេ ពីព្រោះ ផ្នែកខាងស្តាំនឹងមានអវិជ្ជមាន ចំណែកខាងឆ្វេងនឹងវិជ្ជមាន។
ករណីដែល x ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមានក៏មិនមានដំណោះស្រាយដែរ ពីព្រោះ ស្ថិតក្រោមករណីមួយក្នុងចំណោមករណីដែលបានចាត់ទុកមុនដោយសារការពិតថា (-x) 2 = (x) 2 ។
វាប្រែថាសមីការដែលបានចង្អុលបង្ហាញមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់។
№២ ដោះស្រាយជាចំនួនគត់ ៣ X = 1 + y 2 .
វាមិនពិបាកទេក្នុងការមើលឃើញថា (0; 0) គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។ វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាសមីការមិនមានឫសចំនួនគត់ផ្សេងទៀតទេ។
ពិចារណាករណី៖
1) ប្រសិនបើ x∈N, y∈N នោះ Z ត្រូវបានបែងចែកដោយបីដោយគ្មាននៅសល់ ហើយ 1 + y 2 នៅពេលចែកនឹង 3 ផ្តល់ឱ្យ
នៅសល់គឺ 1 ឬ 2។ ដូច្នេះ សមភាពសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន
តម្លៃនៃ x, y គឺមិនអាចទៅរួចទេ។
2) ប្រសិនបើ x ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន y∈Z បន្ទាប់មក 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и
សមភាពក៏មិនអាចទៅរួចទេ។ ដូច្នេះ (0; 0) គឺតែមួយគត់
ចម្លើយ៖ (០; ០) ។
№3 ដោះស្រាយសមីការ 2x 2 -2xy+9x+y=2 ក្នុងចំនួនគត់៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីសមីការដែលមិនស្គាល់ដែលបញ្ចូលវាត្រឹមតែដឺក្រេទី 1 នោះគឺជាអថេរ y:
2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, មកពីណា
យើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់នៃប្រភាគដោយប្រើក្បួនសម្រាប់បែងចែកពហុធាដោយពហុធា "មុំ" ។ យើងទទួលបាន:
ជាក់ស្តែង ភាពខុសគ្នា 2x-1 អាចទទួលយកបានតែលើតម្លៃ -3, -1, 1, និង 3។
វានៅសល់ដើម្បីរាប់បញ្ចូលករណីទាំងបួននេះ ដែលជាលទ្ធផលដែលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយ៖ (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
ចម្លើយ៖ (១;៩), (២;៨), (០;២), (-១;៣)
8. ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរពីរក្នុងចំនួនគត់ជាការ៉េដែលទាក់ទងនឹងអថេរមួយ
№1 ដោះស្រាយសមីការ 5x ក្នុងចំនួនគត់ 2 +5 ឆ្នាំ 2 + 8xy+2y-2x +2=0
សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រកត្តាកត្តា ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រនេះ ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះសមីការនេះគឺពិបាកណាស់។ ចូរយើងពិចារណាវិធីដែលសមហេតុផលជាងនេះ។
យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ជាចតុកោណ ទាក់ទងនឹងអថេរ x៖
5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0
យើងរកឃើញឫសរបស់វា។
សមីការនេះមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើមានតែអ្នករើសអើង
សមីការនេះ។ សូន្យ, i.e. - 9(y+1) 2=0 ដូច្នេះហើយ y= − 1 ។
ប្រសិនបើ y=-1 នោះ x=1 ។
ចម្លើយ៖ (១; - ១)។
9. ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើសមីការក្នុងចំនួនគត់។
№ 1. ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ : ដែលជាកន្លែងដែល n> m
ចូរបង្ហាញអថេរ n ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរ m៖
ចូរយើងរកផ្នែកចែកនៃលេខ 625: នេះគឺ 1; ៥; ២៥; ១២៥; ៦២៥
1) ប្រសិនបើ m-25 = 1 បន្ទាប់មក m = 26, n = 25 + 625 = 650
2) m-25 = 5 បន្ទាប់មក m = 30, n = 150
3) m-25 = 25 បន្ទាប់មក m = 50, n = 50
4) m-25 = 125 បន្ទាប់មក m = 150, n = 30
5) m-25 = 625 បន្ទាប់មក m = 650, n = 26
ចម្លើយ៖ m=150, n=30
№ 2. ស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ៖ mn +25 = 4m
ដំណោះស្រាយ: mn +25 = 4m
1) បង្ហាញអថេរ 4m នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ n:
2) ស្វែងរកការបែងចែកធម្មជាតិនៃលេខ 25: នេះគឺ 1; ៥; ២៥
ប្រសិនបើ 4-n=1 បន្ទាប់មក n=3, m=25
4-n=5 បន្ទាប់មក n=-1, m=5; 4-n = 25 បន្ទាប់មក n=-21, m=1 (ឫសបរទេស)
ចម្លើយ៖ (២៥; ៣)
បន្ថែមពីលើភារកិច្ចដើម្បីដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ មានភារកិច្ចដើម្បីបញ្ជាក់ការពិតថាសមីការមិនមានឫសចំនួនគត់។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ ចាំបាច់ត្រូវចងចាំនូវលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែកដូចខាងក្រោមៈ
1) ប្រសិនបើ n Z; n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 បន្ទាប់មក n = 2k, k ∈ Z ។
2) ប្រសិនបើ n ∈ Z; n មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ទេបន្ទាប់មក n = 2k + 1, k ∈ Z ។
3) ប្រសិនបើ n ∈ Z; n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 បន្ទាប់មក n = 3k, k ∈ Z ។
4) ប្រសិនបើ n ∈ Z; n មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ទេបន្ទាប់មក n = 3k±1, k ∈ Z ។
5) ប្រសិនបើ n ∈ Z; n មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ទេបន្ទាប់មក n = 4k + 1; n = 4k+2; n = 4k + 3 ។ k ∈ Z ។
6) ប្រសិនបើ n ∈ Z; n(n+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 បន្ទាប់មក n (n+1)(n+2) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 2;3;6។
7) n; n+1 គឺជា coprime ។
№3 បង្ហាញថាសមីការ x 2 - 3y = 17 មិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។
ភស្តុតាង៖
អនុញ្ញាតឱ្យ x; y - ដំណោះស្រាយនៃសមីការ
x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z បន្ទាប់មក y + 6 ∈ Z ដូច្នេះ 3 (y + 6) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះ 3 (y + 6) -1 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះ x 2 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះ x មិនមែនជា ចែកដោយ 3 ដូច្នេះ x = 3k±1, k ∈ Z ។
ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការដើម។
យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា។ នេះមានន័យថាសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទាំងស្រុងទេ ដែលទាមទារឱ្យមានការបញ្ជាក់។
10.Peak Formula
រូបមន្ត Pick ត្រូវបានរកឃើញដោយគណិតវិទូជនជាតិអូទ្រីស Georg Pick ក្នុងឆ្នាំ 1899 ។ រូបមន្តគឺទាក់ទងទៅនឹងសមីការក្នុងចំនួនគត់ ដែលមានតែថ្នាំងចំនួនគត់ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកចេញពីពហុកោណ ក៏ដូចជាចំនួនគត់នៅក្នុងសមីការ។
ដោយប្រើរូបមន្តនេះ អ្នកអាចរកឃើញផ្ទៃនៃតួលេខដែលបានបង្កើតនៅលើសន្លឹកក្នុងក្រឡា (ត្រីកោណ ការ៉េ ចតុកោណកែង ចតុកោណកែង ពហុកោណ)។
នៅក្នុងរូបមន្តនេះ យើងនឹងរកឃើញចំណុចចំនួនគត់នៅខាងក្នុងពហុកោណ និងនៅលើស៊ុមរបស់វា។
នៅក្នុងកិច្ចការដែលនឹងត្រូវប្រឡង មានក្រុមទាំងមូលនៃកិច្ចការដែលពហុកោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើសន្លឹកក្នុងក្រឡាមួយ ហើយមានសំណួរអំពីការស្វែងរកតំបន់នោះ។ មាត្រដ្ឋានក្រឡាគឺមួយសង់ទីម៉ែត្រការ៉េ។
ឧទាហរណ៍ #1
M - ចំនួនថ្នាំងនៅតាមព្រំដែននៃត្រីកោណ (នៅលើជ្រុងនិងបញ្ឈរ)
N គឺជាចំនួនថ្នាំងនៅខាងក្នុងត្រីកោណ។
* នៅក្រោម " knots" យើងមានន័យថាប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណ៖
ចំណាំថ្នាំង៖
M = 15 (បង្ហាញជាពណ៌ក្រហម)
N = 34 (សម្គាល់ជាពណ៌ខៀវ)
ឧទាហរណ៍ #2
ស្វែងរកផ្ទៃនៃពហុកោណ៖ ចំណាំថ្នាំង៖
M = 14 (បង្ហាញជាពណ៌ក្រហម)
N = 43 (សម្គាល់ជាពណ៌ខៀវ)
12. វិធីសាស្រ្តចុះ
វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ - វិធីសាស្រ្តចុះមក - គឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat ។
វិធីសាស្រ្តចុះចូល គឺជាវិធីសាស្រ្តដែលមាននៅក្នុងការសាងសង់ដំណោះស្រាយមួយទៅកាន់លំដាប់នៃដំណោះស្រាយគ្មានដែនកំណត់ ជាមួយនឹងការថយចុះជាវិជ្ជមាន z ។
យើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ 5x + 8y = 39 ។
1) ចូរយើងជ្រើសរើសមិនស្គាល់ដែលមានមេគុណតូចបំផុត (ក្នុងករណីរបស់យើងវាជា x) ហើយបង្ហាញវាក្នុងន័យនៃមិនស្គាល់មួយទៀត៖
2) ជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់៖ ជាក់ស្តែង x នឹងជាចំនួនគត់ ប្រសិនបើកន្សោមប្រែទៅជាចំនួនគត់ ដែលនៅក្នុងវេននឹងកើតឡើងនៅពេលដែលលេខ 4 - 3y ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។
៣) សូមណែនាំអថេរចំនួនគត់បន្ថែម z ដូចតទៅ៖ 4 -3y = 5z ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការនៃប្រភេទដូចគ្នាទៅនឹងប្រភេទដើម ប៉ុន្តែមានមេគុណតូចជាង។
4) យើងដោះស្រាយវារួចហើយទាក់ទងនឹងអថេរ y ដោយប្រកែកយ៉ាងពិតប្រាកដដូចក្នុងកថាខណ្ឌទី 1, 2៖ ការជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់ យើងទទួលបាន៖
5) អំណះអំណាងស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការលើកមុន យើងណែនាំអថេរថ្មី u: 3u = 1 - 2z ។
6) បង្ហាញពីមិនស្គាល់ជាមួយ ហាងឆេងទាបបំផុត។ក្នុងករណីនេះអថេរ z: . ដោយតម្រូវឱ្យវាជាចំនួនគត់ យើងទទួលបាន៖ 1 - u = 2v, wherece u = 1 - 2v ។ មិនមានប្រភាគទៀតទេ ការបន្តគឺចប់ (យើងបន្តដំណើរការរហូតដល់គ្មានប្រភាគដែលនៅសល់ក្នុងកន្សោមសម្រាប់អថេរបន្ទាប់)។
7) ឥឡូវអ្នកត្រូវ "ឡើង" ។ បង្ហាញតាមរយៈអថេរ v ដំបូង z បន្ទាប់មក y ហើយបន្ទាប់មក x:
8) រូបមន្ត x = 3 + 8v និង y = 3 - 5v ដែល v ជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត តំណាងឱ្យដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដើមជាចំនួនគត់។
ដូច្នេះ វិធីសាស្ត្រចុះមកជាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងកន្សោមបន្តបន្ទាប់គ្នានៃអថេរមួយតាមរយៈអថេរមួយទៀត រហូតដល់គ្មានប្រភាគដែលនៅសល់ក្នុងតំណាងនៃអថេរ ហើយបន្ទាប់មក "ឡើង" បន្តបន្ទាប់គ្នាតាមខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដើម្បីទទួលបាន ដំណោះស្រាយទូទៅសមីការ។
12. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ជាលទ្ធផលនៃការសិក្សា សម្មតិកម្មត្រូវបានបញ្ជាក់ថា ការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ គឺដោយសារតែមិនមែនគ្រប់វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយវាត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះខ្ញុំនោះទេ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការស្រាវជ្រាវ ខ្ញុំបានគ្រប់គ្រងដើម្បីស្វែងរក និងពិពណ៌នាអំពីវិធីដែលគេស្គាល់តិចតួចដើម្បីដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ បង្ហាញពួកវាជាមួយឧទាហរណ៍។ លទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំអាចមានប្រយោជន៍ដល់សិស្សទាំងអស់ដែលចាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា។
13. គន្ថនិទ្ទេស
ធនធានសៀវភៅ៖
1. N. Ya. Vilenkin et al., ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា / ថ្នាក់ទី 10, ថ្នាក់ទី 11 / / M. , “Prosveshchenie”, 1998;
2. A. F. Ivanov et al., គណិតវិទ្យា។ សម្ភារៈអប់រំ និងបណ្តុះបណ្តាលសម្រាប់ត្រៀមប្រលង // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007
3. A. O. Gel'fond, គណិតវិទ្យា, ទ្រឹស្ដីលេខ// ដំណោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់// LIBROCOM Book House
ធនធានអ៊ីនធឺណិត៖
4. ជម្រើសសាកល្បងគ្រប់គ្រង សម្ភារៈវាស់បង្រួបបង្រួម ការប្រឡងរដ្ឋនៅក្នុងគណិតវិទ្យា http://fipi.ru/
5. ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់ http://reshuege.ru
6. ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់ http://mat-ege.ru
7.History of Diophantine Equations http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html
8. History of Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- %D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 %D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm
9.History of Diophantine Equationshttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
10. History of Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/
Heinrich G.N. FMSh លេខ 146, Perm
54 ≡ 6 × 5≡ 2 (mod 7),
55 ≡ 2 × 5≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5≡ 1(mod 7) ។
ការបង្កើនថាមពល k យើងទទួលបាន 56k ≡ 1 (mod 7) សម្រាប់ k ធម្មជាតិណាមួយ។ ដូច្នេះ 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7) ។
(តាមធរណីមាត្រ សមភាពនេះមានន័យថាយើងដើរជុំវិញរង្វង់ ដោយចាប់ផ្តើមពី 5 កៅសិបពីរវដ្ត និងលេខបីទៀត)។ ដូច្នេះលេខ 222555 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 6 នៅពេលចែកនឹង 7 ។
ដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់។
ដោយមិនសង្ស័យមួយនៃ ប្រធានបទគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យា - ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Diophantine ។ ប្រធានបទនេះត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 8 ហើយបន្ទាប់មកនៅថ្នាក់ទី 10 និងទី 11 ។
សមីការណាមួយដែលត្រូវដោះស្រាយជាចំនួនគត់ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Diophantine ។ សាមញ្ញបំផុតនៃទាំងនេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់អ័ក្ស + ដោយ \u003d c ដែល a, b និង cÎ Z. នៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ។
ទ្រឹស្តីបទ។ សមីការ Diophantine លីនេអ៊ែរ ax+by=c ដែល a, b និង cÎ Z មានដំណោះស្រាយប្រសិនបើ c ត្រូវបានបែងចែកដោយ gcd នៃលេខ a និង b ។ ប្រសិនបើ d=gcd (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d និង (x0, y0) គឺជាដំណោះស្រាយមួយចំនួននៃសមីការ ax+by=c នោះដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ដោយ x= x0 +b1 t, y = y0 –a1 t ដែល t ជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។
1. ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់៖
3xy–6x2 = y–2x+4; | |||
(x–2)(xy+4)=1; | y–x–xy=2; |
||
2x2 + xy = x + 7; | 3xy+2x+3y=0; |
||
х2 –xy–х+y=1; | |||
x2–3xy=x–3y+2; | 10. x2 – xy – y = 4 ។ |
||
2. ភារកិច្ចខាងក្រោមត្រូវបានពិចារណាជាមួយនិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាលើប្រធានបទនេះ។
មួយ) ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់៖ xy + 3y + 2x + 6 = 13 ។ ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងធ្វើកត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ យើងទទួលបាន:
y(x+3)+2(x+3)=13; | (x+3)(y+2)=13. |
ចាប់តាំងពី x,yО Z យើងទទួលបានសំណុំនៃប្រព័ន្ធសមីការ៖
Heinrich G.N.
ម x + | ||||
ម x + | ||||
ម x + | ||||
ê ì x + |
||||
FMSh លេខ 146, Perm
ម x = | |||||
ម x = | |||||
ម x = | |||||
ê ì x = | |||||
ចម្លើយ៖ (-២; ១១), (១០; -១), (-៤; -១៥), (-១៥, -៣)
២). ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ៖ 3x + 4y \u003d 5z ។
៩). ស្វែងរកគូទាំងអស់នៃលេខធម្មជាតិ m និង n ដែលសមភាព 3m +7 = 2n គឺពិត។
ដប់) ។ ស្វែងរកចំនួនបីនៃចំនួនធម្មជាតិ k, m និង n ដែលសមភាពគឺពិត៖ 2∙k!=m! -2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)
ដប់មួយ) ។ សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់កំណត់គឺជាលេខធម្មជាតិ។ សមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺធំជាង 14 ដង ឬតូចជាង 14 ដង។ ផលបូកនៃពាក្យទាំងអស់នៅក្នុងលំដាប់គឺ 4321។
នៅក្នុងនោះ។ ចំនួនធំបំផុតសមាជិកអាចមានលំដាប់? ដំណោះស្រាយ៖
ក) អនុញ្ញាតឱ្យ a1 = x បន្ទាប់មក a2 = 14x ឬ a1 = 14x បន្ទាប់មក a2 = x ។ បន្ទាប់មក តាមលក្ខខណ្ឌ a1 + a2 = 4321។ យើងទទួលបាន៖ x + 14x = 4321, 15x = 4321 ប៉ុន្តែ 4321 មិនមែនជាពហុគុណនៃ 15 ដែលមានន័យថាមិនអាចមានសមាជិកពីរនៅក្នុងលំដាប់នោះទេ។
ខ) អនុញ្ញាតឱ្យ a1 = x បន្ទាប់មក a2 = 14x, a3 = x ឬ 14x + x + 14x = 4321 ឬ x + 14x + x = 4321 ។ 29x=4321 បន្ទាប់មក x=149, 14x=2086។ ដូច្នេះលំដាប់អាចមានបីពាក្យ។ ក្នុងករណីទីពីរ 16x=4321 ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក x មិនមែនជាលេខធម្មជាតិទេ។
គ្មានចម្លើយ; ខ) បាទ; គ) ៥៧៧.
Heinrich G.N. | FMSh លេខ 146, Perm |
១២). សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់កំណត់គឺជាលេខធម្មជាតិ។ សមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ ចាប់ផ្តើមជាមួយទីពីរ ឬក្នុង 10; ច្រើនដង ឬតិចជាងមុន ១០ ដង។ ផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់គឺ 1860 ។
ក) តើលំដាប់មួយអាចមានសមាជិកពីរនាក់បានទេ? ខ) តើលំដាប់មួយអាចមានសមាជិកបីនាក់បានទេ?
គ) តើចំនួនពាក្យច្រើនបំផុតដែលលំដាប់អាចមាន?
វាច្បាស់ណាស់ដែលមនុស្សម្នាក់អាចនិយាយអំពីការបែងចែកចំនួនគត់ និងពិចារណាបញ្ហាលើប្រធានបទនេះដោយគ្មានទីបញ្ចប់។ ខ្ញុំបានព្យាយាមដោះស្រាយប្រធានបទនេះតាមរបៀបនោះ។ ច្រើនទៀតដើម្បីឱ្យសិស្សចាប់អារម្មណ៍ ដើម្បីបង្ហាញពួកគេពីភាពស្រស់ស្អាតនៃគណិតវិទ្យាពីទស្សនៈនេះ។
Heinrich G.N. | FMSh លេខ 146, Perm |
គន្ថនិទ្ទេស៖
1. A. Ya. Kannel-Belov, A.K. Kovaldzhi ។ តើពួកគេសម្រេចចិត្តយ៉ាងណា? កិច្ចការមិនស្តង់ដារទីក្រុងម៉ូស្គូ MCNMO 2001
2. A.V. Spivak ។ បន្ថែមលើទិនានុប្បវត្តិ Kvant លេខ 4/2000 វិស្សមកាលគណិតវិទ្យា ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 2000
3. A.V. Spivak ។ រង្វង់គណិតវិទ្យា "សាបព្រួស" ឆ្នាំ 2003
4. សាំងពេទឺប៊ឺគរាជវាំងនៃការច្នៃប្រឌិតរបស់យុវជន។ រង្វង់គណិតវិទ្យា។ សៀវភៅបញ្ហានៃឆ្នាំសិក្សាទី 1-2 ។ សាំងពេទឺប៊ឺគ។ ឆ្នាំ ១៩៩៣
5. ពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ។ ការបង្រៀនសម្រាប់សិស្សសាលា និងថ្នាក់ជាមួយ ការសិក្សាស៊ីជម្រៅគណិតវិទ្យា។ កែសម្រួលដោយ N.Ya.Vilenkin ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ ១៩៩៥
6. M.L.Galitsky, A.M.Goldman, L.I.Zvavich ។ ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងពិជគណិតសម្រាប់៨-៩ ថ្នាក់។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សានុសិស្សនៃសាលា និងថ្នាក់រៀនជាមួយការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ការត្រាស់ដឹង។ ឆ្នាំ ១៩៩៤
7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov ។ ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សាលារៀន និងថ្នាក់រៀនជាមួយការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ ២០០១
8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK គណិតវិទ្យាពិជគណិត។ ការចាប់ផ្តើម ការវិភាគគណិតវិទ្យា. កម្រិតទម្រង់។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១១ ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ Binom ។ មន្ទីរពិសោធន៍ចំណេះដឹងឆ្នាំ ២០០៩
9. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev, T.A.Oleynik, T.V.Sokolova ។ UMK គណិតវិទ្យា ពិជគណិត។ ការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ សៀវភៅកិច្ចការកម្រិតប្រវត្តិរូបសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១១។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ Binom ។ មន្ទីរពិសោធន៍ចំណេះដឹងឆ្នាំ ២០០៩
10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova គណិតវិទ្យា។ ការប្រមូលការធ្វើតេស្តយោងទៅតាមផែនការ EGE ឆ្នាំ 2010
11. USE-2010 ។ "Legion-M" ។ Rostov-on-Don ឆ្នាំ ២០០៩
12. EGE EMC "គណិតវិទ្យា។ ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង។ កែសម្រួលដោយ F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov ។ កំពុងរៀបចំសម្រាប់ USE-2011 ។ "Legion-M" ។ Rostov-on-Don ឆ្នាំ 2010
13. UMK "គណិតវិទ្យា។ USE-2010" ។ កែសម្រួលដោយ F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov ។ ការរៀបចំគណិតវិទ្យាសម្រាប់ USE-2010 ។ ការធ្វើតេស្តបណ្តុះបណ្តាល។ "Legion-M" ។ Rostov-on-Don ឆ្នាំ ២០០៩
14. ប្រើ FIPI ។ សម្ភារៈសកលសម្រាប់ការរៀបចំសិស្សគណិតវិទ្យាឆ្នាំ ២០១០មជ្ឈមណ្ឌលបញ្ញាឆ្នាំ ២០១០
15. A.Zh.Zhafarov ។ គណិតវិទ្យា។ USE-2010 ការពិគ្រោះយោបល់រហ័ស។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពសាកលវិទ្យាល័យស៊ីបេរី ឆ្នាំ ២០១០
សេចក្តីផ្តើម
មានបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាច្រើនដែលមានលេខទាំងមូលមួយ ឬច្រើនជាចម្លើយ។ ជាឧទាហរណ៍មានបួន បញ្ហាបុរាណដោះស្រាយជាចំនួនគត់ - បញ្ហាថ្លឹង, បញ្ហានៃការបែងចែកលេខ, បញ្ហានៃការដោះដូរ និងបញ្ហានៃការ៉េបួន។ គួរកត់សម្គាល់ថា ទោះបីជាមានទម្រង់សាមញ្ញនៃបញ្ហាទាំងនេះក៏ដោយ ក៏ពួកគេពិបាកដោះស្រាយខ្លាំងណាស់ ដោយប្រើឧបករណ៍នៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និងឧបករណ៍ផ្សំ។ គំនិតសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាពីរដំបូងជារបស់គណិតវិទូជនជាតិស្វីស Leonhard Euler (1707–1783)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាគច្រើនអ្នកអាចរកឃើញបញ្ហាដែលវាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ (ឬក្នុងធម្មជាតិ)។ សមីការទាំងនេះមួយចំនួនត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយវិធីសាស្ត្រជ្រើសរើស ប៉ុន្តែនេះនាំទៅរក បញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរ- វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញថាដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការនេះត្រូវបានអស់ដោយអ្នកដែលបានជ្រើសរើស (នោះគឺមិនមានដំណោះស្រាយដែលខុសពីអ្នកដែលបានជ្រើសរើសទេ) ។ នេះអាចតម្រូវឱ្យមានបច្ចេកទេសផ្សេងៗគ្នា ទាំងស្តង់ដារ និងសិប្បនិម្មិត។ ការវិភាគលើអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យាបន្ថែមបង្ហាញថា ភារកិច្ចបែបនេះគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងគណិតវិទ្យាអូឡាំពិក។ ឆ្នាំផ្សេងគ្នានិងកម្រិតផ្សេងៗ ក៏ដូចជានៅក្នុងកិច្ចការទី 19 នៃ USE ក្នុងគណិតវិទ្យា ( កម្រិតទម្រង់) ក្នុងពេលជាមួយគ្នានៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា ប្រធានបទនេះមិនត្រូវបានគេពិចារណានោះទេ ដូច្នេះសិស្សសាលាដែលចូលរួមក្នុងកម្មវិធីអូឡាំពិក គណិតវិទ្យា ឬឆ្លងកាត់ ការប្រឡងប្រវត្តិរូបនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាធម្មតាប្រឈមមុខនឹងការលំបាកខ្លាំងក្នុងការអនុវត្តការងារប្រភេទនេះ។ ក្នុងន័យនេះ គួរតែដាក់ចេញនូវប្រព័ន្ធនៃវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ ជាពិសេសដោយសារបញ្ហានេះមិនត្រូវបានពិភាក្សាច្បាស់លាស់នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យាដែលបានសិក្សា។ បញ្ហាដែលបានពិពណ៌នាបានកំណត់គោលបំណងនៃការងារនេះ៖ ដើម្បីរំលេចវិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។ ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅនេះ ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយភារកិច្ចដូចខាងក្រោមៈ
1) វិភាគសមា្ភារៈ Olympiad ក៏ដូចជាសម្ភារៈនៃការប្រឡងប្រវត្តិរូបនៅក្នុងគណិតវិទ្យា;
2) កំណត់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ និងបន្លិចធាតុដែលមានស្រាប់។
3) បង្ហាញលទ្ធផលដែលទទួលបានជាមួយនឹងឧទាហរណ៍;
4) រៀបចំកិច្ចការបណ្តុះបណ្តាលជាច្រើនលើប្រធានបទនេះ;
5) ប្រើប្រាស់កិច្ចការដែលបានបង្កើត កំណត់កម្រិតនៃការត្រៀមខ្លួនរបស់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំបួននៃអនុវិទ្យាល័យ MBOU លេខ 59 ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ និងធ្វើការសន្និដ្ឋានជាក់ស្តែង។
ផ្នែកដ៏សំខាន់
ការវិភាគលើអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យាផ្សេងៗបង្ហាញថា ក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ ចំណុចខាងក្រោមអាចត្រូវបានសម្គាល់ថាជាវិធីសំខាន់ៗ៖
- តំណាងនៃសមីការជាផលិតផលនៃកត្តាជាច្រើនស្មើនឹងចំនួនគត់មួយចំនួន;
- តំណាងនៃសមីការជាផលបូកនៃការ៉េនៃពាក្យជាច្រើន ស្មើនឹងចំនួនគត់មួយចំនួន;
- ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែក, ហ្វាក់តូរីល និងការ៉េពិតប្រាកដ;
- ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទតិចតួច និងអស្ចារ្យរបស់ Fermat;
- វិធីសាស្រ្តនៃការចុះចូលគ្មានកំណត់;
- ការបញ្ចេញមតិរបស់មិនស្គាល់តាមរយៈមួយផ្សេងទៀត;
- ការដោះស្រាយសមីការជាចតុកោណមួយដោយគោរពទៅមួយនៃមិនស្គាល់;
- ការពិចារណាលើចំនួនដែលនៅសល់ពីការបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនមួយចំនួន។
ភ្លាមៗវាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់ពីអ្វីដែលយើងមានន័យដោយវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ។ យើងនឹងហៅវិធីសាស្ត្រដែលប្រើញឹកញាប់បំផុតថាជាវិធីសាស្ត្រចម្បង ដែលជាការពិតណាស់មិនរាប់បញ្ចូលលទ្ធភាពនៃការប្រើវិធីសាស្ត្រ "មិនបានរំពឹងទុក" ថ្មីជាប្រចាំ។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងករណីភាគច្រើនលើសលប់ការផ្សំផ្សេងៗរបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើ នោះគឺវិធីសាស្រ្តជាច្រើនត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។
ជាឧទាហរណ៍នៃការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្ត សូមពិចារណាសមីការដែលបានស្នើឡើងនៅ USE ក្នុងគណិតវិទ្យាក្នុងឆ្នាំ 2013 (កិច្ចការ C6)។
កិច្ចការមួយ។ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ ន! + 5ន + 13 = k 2 .
ដំណោះស្រាយ។ចំណាំថាវាបញ្ចប់ត្រឹមសូន្យ ន> 4. លើសពីនេះ សម្រាប់ n ∈ N ណាមួយ បញ្ចប់ដោយខ្ទង់ 0 ឬដោយលេខ 5។ ដូច្នេះសម្រាប់ ន> 4 ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការបញ្ចប់ដោយលេខ 3 ឬលេខ 8។ ប៉ុន្តែវាក៏ស្មើនឹងការេពិតប្រាកដផងដែរ ដែលមិនអាចបញ្ចប់ដោយលេខទាំងនេះ។ ដូច្នេះមានតែបួនជម្រើសដើម្បីជ្រើសពី: ន = 1, ន = 2, ន = 3, ន = 4.
ដូច្នេះសមីការមានតែមួយ ដំណោះស្រាយធម្មជាតិ ន = 2, k = 5.
បញ្ហានេះបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការ៉េពិតប្រាកដ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃហ្វាក់តូរីយ៉ែល និងនៅសល់នៃការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 10 ។
កិច្ចការ 1 ។ ន 2 - 4y! = 3.
ដំណោះស្រាយ។ ដំបូងយើងសរសេរសមីការដើមឡើងវិញជា ន 2 = 4y! + 3. ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលទំនាក់ទំនងនេះពីទស្សនៈនៃទ្រឹស្តីបទបែងចែកដោយនៅសល់ នោះអ្នកអាចមើលឃើញថាការេពិតប្រាកដនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 3 នៅពេលចែកនឹង 4 ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ . ជាការពិតណាស់ ចំនួនគត់ណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ទាំងបួនខាងក្រោម៖
ដូច្នេះ ការេពិតប្រាកដនៅពេលចែកនឹង 4 ផ្តល់នៅសល់នៃ 0 ឬ 1។ ដូច្នេះ សមីការដើមមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
គំនិតគន្លឹះ- ការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការ៉េពិតប្រាកដ។
កិច្ចការទី 2 ។ 8z 2 = (t!) 2 + 2.
ដំណោះស្រាយ។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់បង្ហាញថា t= 0 និង t= 1 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទេ។ ប្រសិនបើ ក t> 1 បន្ទាប់មក t! គឺជាលេខគូ នោះគឺវាអាចត្រូវបានតំណាងជា t! = 2ស. ក្នុងករណីនេះសមីការអាចត្រូវបានបម្លែងទៅជាទម្រង់ 4 z 2 = 2ស 2+1. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការលទ្ធផលច្បាស់ជាមិនមានដំណោះស្រាយទេ ព្រោះមានលេខគូនៅខាងឆ្វេង និងលេខសេសនៅខាងស្តាំ។
គំនិតគន្លឹះ- ការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់រោងចក្រ។
កិច្ចការទី 3 ។ ដោះស្រាយសមីការ x 2 + y 2 − 2x + 6y + 5 = 0 ជាចំនួនគត់។
ដំណោះស្រាយ។ សមីការដើមអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម: ( x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.
វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌដែល ( x – 1), (y+ 3) ជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះសមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំដូចខាងក្រោម៖
ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរដំណោះស្រាយចំនួនគត់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសមីការ។
កិច្ចការទី 4 ។ ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ zt + t – 2z = 7.
ដំណោះស្រាយ។ សមីការដើមអាចត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់ ( z + 1) (t– 2) = 5. លេខ ( z + 1), (t- 2) ជាចំនួនគត់ ដូច្នេះជម្រើសខាងក្រោមកើតឡើង៖
ដូច្នេះ សមីការមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់បួនយ៉ាងពិតប្រាកដ។
គំនិតគន្លឹះ- តំណាងនៃសមីការក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលស្មើនឹងចំនួនគត់។
កិច្ចការទី 5 ។ ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ ន(ន + 1) = (2k+ 1) ‼
ដំណោះស្រាយ។ លេខ (២ k+ 1) ‼គឺសេសសម្រាប់តម្លៃមិនអវិជ្ជមានទាំងអស់។ kយោងតាមនិយមន័យ (ជាមួយអវិជ្ជមាន kវាមិនត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងទេ) ។ ម៉្យាងទៀតវាស្មើនឹង ន(ន+ 1) ដែលសូម្បីតែសម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់ទាំងអស់។ k. ភាពផ្ទុយគ្នា។
គំនិតគន្លឹះ- ការប្រើប្រាស់ផ្នែកគូ/សេសនៃសមីការ។
កិច្ចការទី 6 ។ ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ xy + x + 2y = 1.
ដំណោះស្រាយ។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ សមីការអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដូចខាងក្រោម៖
ការបំប្លែងនេះមិនបានផ្លាស់ប្តូរ ODZ នៃអ្វីដែលមិនស្គាល់រួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនោះទេ ចាប់តាំងពីការជំនួស y= -1 ចូលទៅក្នុងសមីការដើមនាំឱ្យសមភាពមិនសមហេតុផល -2 = 1. យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ។ xគឺជាចំនួនគត់។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតក៏ជាចំនួនគត់។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកលេខត្រូវតែជាចំនួនគត់។ ប្រភាគគឺជាចំនួនទាំងមូល ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែភាគយកត្រូវបានបែងចែកដោយភាគបែង។ ការបែងចែកលេខ 3: 1.3 -1, -3 ។ ដូច្នេះ មានករណីចំនួន ៤ ដែលអាចកើតមានសម្រាប់អ្នកមិនស្គាល់៖ y = 0, y = 2, y= –2, y = –4 ។ ឥឡូវនេះយើងអាចគណនាតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមិនស្គាល់ x. ដូច្នេះ សមីការមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំនួនបួនយ៉ាងពិតប្រាកដ៖ (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4) ។
គំនិតគន្លឹះគឺជាការបញ្ចេញមតិរបស់មួយដែលមិនស្គាល់ក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។
កិច្ចការទី 7 ។ ម= ន 2 + 2.
ដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើ ក ម= 0 បន្ទាប់មកសមីការយកទម្រង់ ន២=-១. វាមិនមានដំណោះស្រាយទាំងស្រុងទេ។ ប្រសិនបើ ក ម < 0, то левая часть уравнения, а значит, и ននឹងមិនក្លាយជាចំនួនគត់ទេ។ មានន័យថា ម> 0. បន្ទាប់មកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (ក៏ដូចជាផ្នែកខាងឆ្វេង) នឹងជាពហុគុណនៃ 5។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ន 2 នៅពេលចែកនឹង 5 គួរតែផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 3 ដែលមិនអាចទៅរួចទេ (នេះត្រូវបានបង្ហាញដោយវិធីសាស្រ្តនៃការរាប់លេខដែលនៅសល់ដែលត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា 1) ។ ដូច្នេះសមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។
គំនិតគន្លឹះ- ការស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសល់ពីការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន។
កិច្ចការ ៨. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ ( x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .
ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថា ដោយសារនិទស្សន្តគឺស្មើ សមីការគឺស្មើនឹងដូចខាងក្រោម៖ ( x!) 4 + |y – 1| 4 = |z+ ១| បួន . បន្ទាប់មក x!, |y – 1|, |z+ ១| - ចំនួនគត់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទដ៏អស្ចារ្យ Fermat, លេខធម្មជាតិទាំងនេះមិនអាចបំពេញសមីការដើមបានទេ។ ដូច្នេះ សមីការគឺមិនអាចដោះស្រាយបានក្នុងចំនួនគត់។
គំនិតគន្លឹះ- ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទចុងក្រោយរបស់ Fermat ។
កិច្ចការ ៩. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ x 2 + 4y 2 = 16xy.
ដំណោះស្រាយ។ វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះ។ x- ចំនួនគូ។ បន្ទាប់មក x 2 = 4x១២. សមីការត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់ x 1 2 + y 2 = 8x 1 y. វាធ្វើតាមពីនេះថាលេខ x 1 , yមានភាពស្មើគ្នា។ ចូរយើងពិចារណាករណីពីរ។
1 ករណី. អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 , y- ទេ។ លេខគូ. បន្ទាប់មក x 1 = 2t + 1, y = 2ស+ 1. ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន៖
តោះអនុវត្តការបំប្លែងដែលត្រូវគ្នា៖
កាត់បន្ថយទាំងសងខាងនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 2 យើងទទួលបាន?
នៅផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាលេខសេស ហើយនៅខាងស្តាំគឺជាលេខគូ។ ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះ 1 ករណីគឺមិនអាចទៅរួចទេ។
២ ករណី. អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 , y- លេខគូ។ បន្ទាប់មក x 1 = 2x 2 + 1, y = 2yមួយ។ ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន៖
ដូច្នេះ សមីការមួយត្រូវបានទទួល ដូចគ្នានឹងជំហានមុនដែរ។ វាត្រូវបានស៊ើបអង្កេតតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាដូច្នេះ ជំហានបន្ទាប់យើងទទួលបានសមីការ 
ល។ ជាការពិត ការអនុវត្តការបំប្លែងទាំងនេះដោយផ្អែកលើភាពស្មើគ្នានៃមិនស្គាល់ យើងទទួលបានការពង្រីកដូចខាងក្រោម៖ . ប៉ុន្តែបរិមាណ ននិង kមិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដោយសារនៅជំហានណាមួយ (ជាមួយនឹងចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត) យើងនឹងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងជំហានមុន។ នោះគឺ ដំណើរការនេះ។មិនអាចបញ្ឈប់បានទេ។ និយាយម្យ៉ាងទៀតលេខ x, yច្រើនដងមិនអាចកំណត់បានដោយ 2។ ប៉ុន្តែវាកើតឡើងតែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនោះ។ x = y= 0. ដូច្នេះសមីការមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់មួយយ៉ាងពិតប្រាកដ (0; 0)។
គំនិតគន្លឹះ- ការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រចុះចូលគ្មានកំណត់។
កិច្ចការ ១០. ដោះស្រាយសមីការ 5 ក្នុងចំនួនគត់ x 2 – 3xy + y 2 = 4.
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 5 x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. វាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការ៉េដែលទាក់ទងនឹងមិនស្គាល់ x. ចូរយើងគណនាការរើសអើងនៃសមីការនេះ៖
ដើម្បីឱ្យសមីការមានដំណោះស្រាយ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ ពោលគឺពីទីនេះ យើងមានលទ្ធភាពដូចខាងក្រោមសម្រាប់ y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.
ដូច្នេះ សមីការមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ 2 យ៉ាងពិតប្រាកដ៖ (0;2), (0;–2)។
គំនិតគន្លឹះ- ការពិចារណាសមីការជាចតុកោណមួយ ទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់មួយ។
ភារកិច្ចដែលចងក្រងដោយអ្នកនិពន្ធត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលមានដូចខាងក្រោម។ សិស្សានុសិស្សទាំងអស់នៃថ្នាក់ទីប្រាំបួនត្រូវបានផ្តល់ជូននូវភារកិច្ចដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីកំណត់កម្រិតនៃការរៀបចំរបស់កុមារលើប្រធានបទនេះ។ សិស្សម្នាក់ៗត្រូវផ្តល់វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ។ សិស្ស 64 នាក់បានចូលរួមក្នុងការពិសោធន៍។ លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាងទី 1 ។
តារាងទី 1
| លេខការងារ | ចំនួនសិស្សដែលបានបញ្ចប់កិច្ចការ (ភាគរយ) |
សូចនាករទាំងនេះបង្ហាញថាកម្រិតនៃការរៀបចំរបស់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំបួនលើប្រធានបទនេះគឺទាបណាស់។ ដូច្នេះវាហាក់ដូចជាសមហេតុផលក្នុងការរៀបចំវគ្គសិក្សាពិសេស "សមីការក្នុងចំនួនគត់" ដែលនឹងមានគោលបំណងធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងនូវចំណេះដឹងរបស់សិស្សនៅក្នុងតំបន់នេះ។ ជាដំបូង ទាំងនេះគឺជាសិស្សដែលចូលរួមជាប្រព័ន្ធ ការប្រកួតប្រជែងគណិតវិទ្យានិង អូឡាំព្យាដ ហើយក៏គ្រោងនឹងប្រឡងយកប្រវត្តិរូបក្នុងគណិតវិទ្យាផងដែរ។
ការសន្និដ្ឋាន
ក្នុងអំឡុងពេលការងារនេះ៖
1) សម្ភារៈអូឡាំពិកត្រូវបានវិភាគក៏ដូចជា ប្រើសម្ភារៈគណិតវិទ្យា;
2) វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ ហើយអ្វីដែលមានស្រាប់ត្រូវបានគូសបញ្ជាក់។
3) លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានបង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍;
4) ចងក្រង ភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាលសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំបួន;
5) ការពិសោធន៍មួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីកំណត់កម្រិតនៃការរៀបចំលើប្រធានបទនេះរបស់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំបួន។
6) លទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ត្រូវបានវិភាគ ហើយការសន្និដ្ឋានត្រូវបានទាញអំពីភាពងាយស្រួលក្នុងការសិក្សាសមីការក្នុងចំនួនគត់ក្នុងវគ្គសិក្សាពិសេសគណិតវិទ្យា។
លទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សានេះ អាចត្រូវបានប្រើក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រកួតគណិតវិទ្យា Olympiads ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជានៅពេលធ្វើថ្នាក់ក្នុងរង្វង់គណិតវិទ្យាផងដែរ។
គន្ថនិទ្ទេស
1. Gelfond A.O. ដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនគត់។ - M. : Nauka, 1983 - 64 ទំ។
2. Alfutova N.B. Ustinov A.V. ទ្រឹស្តីលេខ និងពិជគណិត។ ការប្រមូលភារកិច្ចសម្រាប់ សាលាគណិតវិទ្យា– អិមៈ MTsNMO ឆ្នាំ ២០០៩ – ៣៣៦ ទំ។
3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. ទីក្រុងម៉ូស្គូ អូឡាំព្យាដគណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅ។ សម្រាប់និស្សិត / Ed ។ A.N. Kolmogorov ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៨៦ - ៣០៣ ទំ។ ឈឺ។
4. Dalinger V.A. បញ្ហានៅក្នុងចំនួនគត់ - Omsk: Amphora, 2010 - 132 ទំ។
5. Yu.A. Gastev និង M. L. Smolyanskii, “A Few Words on Fermat’s Last Theorem,” Kvant, សីហា 1972។
សទ្ទានុក្រម
វិធីសាស្រ្តចុះមិនកំណត់- វិធីសាស្រ្តត្រូវបានបង្កើតឡើង គណិតវិទូបារាំង P. Fermat (1601–1665) ដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នាដោយការបង្កើតលំដាប់នៃចំនួនធម្មជាតិដែលថយចុះជាលំដាប់។ ប្រភេទនៃភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា។
ពិតប្រាកដ (ពេញ) ការ៉េគឺជាការ៉េនៃចំនួនគត់។
Factorial នៃចំនួនធម្មជាតិ ន គឺជាផលនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ចាប់ពីលេខ 1 ដល់ នបញ្ចូលគ្នា។
