Sunt date date de referință privind funcția exponențială - proprietăți de bază, grafice și formule. Considerat următoarele întrebări: domeniu de definiție, set de valori, monotonitate, funcție inversă, derivată, integrală, expansiune în serie de puteri iar reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Definiție

Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egal cu a :
y (n) = a n = a a a a,
la multimea numerelor reale x :
y (x) = x.
Aici a este un număr real fix, care este numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponențial la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietățile (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La valorile zero și negative ale numerelor întregi, funcția exponențială este determinată de formulele (1.9-10). La valori fracționale x = m/n numere rationale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x : .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), precum și pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și o demonstrație a proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1) este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2) când a ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) crește strict la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:

Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcția exponențială crește monoton. Cum mai multă bază gradul a , cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcția exponențială este monoton în scădere. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât mai mult scădere puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domeniu	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	Nu	Nu
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funcție inversă

Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea funcției exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul de derivate și regula de diferențiere functie complexa.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivată a funcției exponențiale

.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y= 35 x

Decizie

Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
În măsura în care 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. LA vedere generala
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguu. Adesea considerată importanța sa principală
.

Extindere în serie

.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Semnul modulo este poate unul dintre cele mai interesante fenomene din matematică. În acest sens, mulți școlari se pun întrebarea cum să construiască grafice ale funcțiilor care conțin un modul. Să examinăm această problemă în detaliu.

1. Trasarea funcțiilor care conțin un modul

Exemplul 1

Reprezentați grafic funcția y = x 2 – 8|x| + 12.

Decizie.

Să definim paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci funcţie dată chiar. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Construim un grafic al funcției y \u003d x 2 - 8x + 12 pentru x ≥ 0 și afișăm simetric graficul relativ la Oy pentru x negativ (Fig. 1).

Exemplul 2

Următorul grafic este y = |x 2 – 8x + 12|.

– Care este intervalul funcției propuse? (y ≥ 0).

- Cum este graficul? (Deasupra sau atingând axa x).

Aceasta înseamnă că graficul funcției se obține după cum urmează: ei prezintă funcția y \u003d x 2 - 8x + 12, lasă neschimbată partea graficului care se află deasupra axei Ox și partea din grafic care se află sub axa absciselor este afișată simetric față de axa Ox (fig. 2).

Exemplul 3

Pentru a reprezenta grafic funcția y = |x 2 – 8|x| + 12| efectuați o combinație de transformări:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Răspuns: figura 3.

Transformările considerate sunt valabile pentru toate tipurile de funcții. Să facem un tabel:

2. Trasarea funcțiilor care conțin „module imbricate” în formulă

Am văzut deja exemple de funcție pătratică care conține un modul, precum și cu reguli generale trasarea funcțiilor de forma y = f(|x|), y = |f(x)| și y = |f(|x|)|. Aceste transformări ne vor ajuta atunci când luăm în considerare următorul exemplu.

Exemplul 4

Se consideră o funcție de forma y = |2 – |1 – |x|||. Expresia care definește funcția conține „module imbricate”.

Decizie.

Folosim metoda transformărilor geometrice.

Să notăm un lanț de transformări succesive și să facem desenul corespunzător (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Luați în considerare cazurile în care transformările de simetrie și transfer paralel nu sunt tehnica principală pentru trasarea graficelor.

Exemplul 5

Construiți un grafic al unei funcții de forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Decizie.

Înainte de a trasa un grafic, transformăm formula care definește funcția și obținem alta sarcina analitica funcții (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Să extindem modulul la numitor:

Pentru x > -2, y = x - 2 și pentru x< -2, y = -(x – 2).

Domeniul D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Intervalul E(y) = (-4; +∞).

Puncte în care graficul se intersectează cu axa de coordonate: (0; -2) și (2; 0).

Funcția scade pentru tot x din intervalul (-∞; -2), crește pentru x de la -2 la +∞.

Aici a trebuit să dezvăluim semnul modulului și să trasăm funcția pentru fiecare caz.

Exemplul 6

Se consideră funcția y = |x + 1| – |x – 2|.

Decizie.

Extinderea semnului modulului, este necesar să se ia în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulului.

Există patru cazuri posibile:

(x + 1 - x + 2 = 3, cu x ≥ -1 și x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, cu x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pentru x ≥ -1 și x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, cu x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Apoi functia originala va arata ca:

(3, pentru x ≥ 2;

y = (-3, la x< -1;

(2x – 1, cu -1 ≤ x< 2.

A primit functie pe bucati, al cărui grafic este prezentat în Figura 6.

3. Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + topor + b.

În exemplul anterior, a fost destul de ușor să extinzi semnele modulului. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulelor. Cum putem reprezenta grafic funcția în acest caz?

Rețineți că graficul este o polilinie, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. Pentru x = -1 și x = 2, expresiile submodulului sunt egale cu zero. Într-un mod practic, am abordat regula pentru construirea unor astfel de grafice:

Graficul unei funcții de forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b este o linie întreruptă cu legături de capăt infinite. Pentru a construi o astfel de polilinie, este suficient să cunoașteți toate vârfurile acesteia (abscisele vârfurilor sunt zerouri ale expresiilor submodulelor) și câte un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta.

Sarcină.

Trasează funcția y = |x| + |x – 1| + |x + 1| și găsiți-i cea mai mică valoare.

Decizie:

Zerourile expresiilor submodulului: 0; -unu; 1. Vârfurile poliliniei (0; 2); (-treisprezece); (treisprezece). Punct de control în dreapta (2; 6), în stânga (-2; 6). Construim un grafic (Fig. 7). min f(x) = 2.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să reprezentați grafic o funcție cu un modul?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

rezumatul altor prezentări

„Determină dacă o funcție este pară sau impară” - Funcția este impară. Nu este ciudat. nu este chiar. Graficul unei funcții pare. Graficul unei funcții impare. Funcţie. Simetrie în jurul axei. Chiar și funcții. Nu este chiar funcția. Coloană. Chiar și caracteristici ciudate. Exemplu. Funcția este egală. funcții ciudate.

""Funcția exponențială" Gradul 11" - Rezolvați ecuația. Definiție. Verifică-te. inegalități exponențiale. La x=0, valoarea funcției este 1. Test. ecuații exponențiale. Derivată și primitivă. mod funcțional. Principal semnale de referință. Funcția crește pe întregul domeniu de definiție. Functie exponentiala. Zona valoric. Proprietăți de grad cu indicator rațional. Metode de rezolvare a ecuațiilor. Proprietățile funcției exponențiale.

„Exemple de inegalități logaritmice” - Găsiți decizia corectă. Care dintre funcții sunt în creștere și care sunt în scădere? Mult succes la examen! Grafice funcții logaritmice. Rezumatul lecției. Cluster de completat în timpul lecției: Creștere. Sarcină: decide inegalități logaritmice, propus în sarcinile USE-2010. Între numerele m și n se pune semnul > sau<.(m, n >0). Descendentă. Pregătește-te pentru examen! Obiectivele lecției: Algebră Clasa a 11-a. Găsiți domeniul de aplicare al funcției.

„Reprezentarea grafică a unei funcții cu un modul” - Graficul unei funcții. Cunoștințe consolidate asupra funcțiilor studiate anterior. Întrebare pentru clasă. Cunoștințe dobândite. Y \u003d x2 - 2x - 3. Funcții de trasare. Generalizare. Funcție liniară. Activitatea proiectului. Y = f(x). Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor. Actualizarea cunoștințelor despre graficele funcțiilor. Y = lnx. Încercați să vă construiți propriile grafice. Y \u003d x - 2. Y \u003d sinx.

„Funcții de putere” Gradul 11 ​​„- Funcția y \u003d x0. funcţie cubică. Hiperbolă. Y = x. Funcția y=x-3. Graficul este o parabolă. Puterea functioneaza cu indicator natural. Funcția y \u003d x2n-1. Funcția y = x2n. Funcția de putere. Funcția y=x-2. Funcția y=x4.

„Semnificația geometrică a derivatei unei funcții” - am făcut-o. Rezultatele calculului. Poziția limită a secantei. Găsiți panta. Secantă. sens geometric derivat. Algoritm pentru compilarea ecuației tangentei. Definiție. Valoarea derivatei funcției. corect idee matematică. Ecuația tangentei la graficul funcției. Faceți un cuplu. Ecuația unei drepte cu factor de pantă. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției.

transcriere

1 Regional conferință științifică și practică munca educațională și de cercetare a elevilor din clasele 6-11 „Aplicat și întrebări fundamentale matematică „Aspecte metodologice ale studiului matematicii Construirea graficelor de funcții care conțin modulul Gabova Anzhela Yurievna, clasa a 10-a, MOBU „Gymnasium 3” Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, profesor de matematică MOBU „Gymnasium 3”, Kudymkar Perm.

2 Cuprins: Introducere...pagina 3 I. Corpul principal...pagina 6 1.1 Referință istorică.. 6 p. 2.Definiții de bază și proprietăți ale funcțiilor p. 2.1 funcţie pătratică..7 p. 2.2 Funcția liniară...8 p. 2.3 Funcția fracțională-rațională p. 8 3. Algoritmi de reprezentare grafică cu modulul 9 p. 3.1 Definirea modulului.. 9 p. funcție liniară cu modul...9 p. 3.3 Reprezentarea grafică a funcțiilor care conțin „module imbricate” în formula.10 p. 3.5 Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții pătratice cu modul. 14 p. 3.6 Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții fracționale raționale functioneaza cu modul. 15p. 4. Modificări în graficul unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valoare absolută..17p. II. Concluzie ... 26 p. III. Lista referințelor și surselor...27 p. IV. Aplicație....28p. 2

3 Introducere Trasarea funcțiilor este una dintre ele. subiecte interesanteîn matematica scolara. Cel mai mare matematician al timpului nostru, Israel Moiseevich Gelfand, a scris: „Procesul de a trasa grafice este o modalitate de a transforma formulele și descrierile în imagini geometrice. Acest grafic este un mijloc de a vedea formulele și funcțiile și de a vedea cum se schimbă aceste funcții. De exemplu, dacă se scrie y \u003d x 2, atunci vedeți imediat o parabolă; dacă y = x 2-4, vedeți o parabolă coborâtă cu patru unități; dacă y \u003d - (x 2 4), atunci vedeți parabola anterioară respinsă. Această capacitate de a vedea formula dintr-o dată și ea interpretare geometrică este important nu numai pentru studiul matematicii, ci și pentru alte discipline. Este o abilitate care rămâne cu tine toată viața, cum ar fi să înveți să mergi pe bicicletă, să tastezi sau să conduci o mașină.” Bazele rezolvării ecuațiilor cu module au fost obținute în clasa a VI-a a VII-a. Am ales acest subiect special pentru că cred că necesită un studiu mai profund și mai amănunțit. Vreau să obțin mai multe cunoștințe despre modulul unui număr, diferite căi construirea de grafice care conţin semnul valorii absolute. Când ecuațiile „standard” ale liniilor, parabolelor, hiperbolelor includ semnul modulului, graficele lor devin neobișnuite și chiar frumoase. Pentru a învăța cum să construiți astfel de grafice, trebuie să stăpâniți tehnicile de construire a figurilor de bază, precum și să cunoașteți și să înțelegeți cu fermitate definiția modulului unui număr. LA curs şcolar matematica grafică cu un modul nu sunt luate în considerare suficient de aprofundat, motiv pentru care am vrut să-mi extind cunoștințele pe această temă, să-mi conduc propriile cercetări. Fără a cunoaște definiția modulului, este imposibil să construiești chiar și cel mai mult grafică simplă, care conține o valoare absolută. trăsătură caracteristică grafice de funcții care conțin expresii cu semn modulo, 3

4 este prezența deformărilor în acele puncte în care expresia de sub semnul modulului își schimbă semnul. Scopul lucrării: să ia în considerare construcția unui grafic de liniar, pătratic și fracționar funcții raționale, care conține o variabilă sub semnul modulului. Sarcini: 1) Să studieze literatura de specialitate cu privire la proprietățile valorii absolute a liniare, pătratice și fracționat rațional funcții. 2) Investigați modificările în graficele funcțiilor în funcție de locația semnului valorii absolute. 3) Învățați să reprezentați grafice ecuații. Obiectul de studiu: grafice ale funcțiilor liniare, pătratice și raționale fracționale. Subiect de studiu: modificări ale graficului funcțiilor liniare, pătratice și fracționale raționale în funcție de locația semnului valorii absolute. Semnificație practică munca mea este: 1) în folosirea cunoștințelor dobândite pe această temă, precum și în aprofundarea și aplicarea acestora la alte funcții și ecuații; 2) în utilizarea deprinderilor muncă de cercetareîn viitor activități de învățare. Relevanță: sarcinile de reprezentare grafică sunt în mod tradițional una dintre cele mai multe subiecte dificile matematică. Absolvenții noștri se confruntă cu problema promovării cu succes a GIA și a examenului unificat de stat. Problemă de cercetare: trasarea funcțiilor care conțin semnul modulului din partea a doua a GIA. Ipoteza cercetării: aplicație dezvoltată pe baza moduri comune construirea de grafice ale funcțiilor care conțin semnul modulului, metodele de rezolvare a sarcinilor din partea a doua a GIA vor permite elevilor să rezolve aceste sarcini 4

5 pe o bază conștientă, alegeți cel mai mult metoda rațională soluții, aplicați metode diferite decizie și să treacă cu succes GIA. Metode de cercetare utilizate în lucrare: 1. Analiza literaturii matematice și a resurselor de pe Internet pe această temă. 2. Reproducerea reproductivă a materialului studiat. 3.Informativ- activitate de căutare. 4. Analiza și compararea datelor în căutarea unei soluții la probleme. 5. Enunţarea ipotezelor şi verificarea acestora. 6. Comparație și generalizare fapte matematice. 7. Analiza rezultatelor obtinute. Când am scris această lucrare, am folosit următoarele surse: resurse de internet, teste OGE, literatura matematică. 5

6 I. Partea principală 1.1 Context istoric. În prima jumătate a secolului al XVII-lea, ideea unei funcții ca dependență a uneia variabil de la altul. Asa de, matematicienii francezi Pierre Fermat () și Rene Descartes () au imaginat o funcție ca o dependență a ordonatei unui punct de curbă de abscisa sa. Ce zici de engleză savantul Isaac Newton () a înțeles o funcție ca o coordonată variabilă în timp a unui punct în mișcare. Termenul „funcție” (din latinescul function performance, comision) a fost introdus pentru prima dată de matematicianul german Gottfried Leibniz (). El a asociat o funcție cu o imagine geometrică (un grafic al unei funcții). Mai târziu, matematicianul elvețian Johann Bernoulli () și membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, celebrul matematician al secolului al XVIII-lea Leonhard Euler () a considerat funcția ca expresie analitică. Euler are și el înțelegere comună funcţionează ca dependenţe ale unei variabile faţă de alta. Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură” în traducere. Aceasta este cuvânt polisemantic(omonim), care are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, ci și în arhitectură, fizică, inginerie, programare și altele științe exacte. În arhitectură, aceasta este unitatea de măsură inițială setată pentru un anumit structura arhitecturalași servesc la exprimarea mai multor rapoarte ale acestuia elementele constitutive. În inginerie, acesta este un termen folosit în diverse zone tehnologie fără valoare universală si servind la desemnare diverși coeficiențişi cantităţi cum ar fi modulul de angajare, modulul de elasticitate şi altele asemenea. 6

7 Raportul de modul în vrac (în fizică). tensiune normalăîn material până la alungirea relativă. 2. Definiții de bază și proprietăți ale funcțiilor Funcția este una dintre cele mai importante concepte matematice. O funcție este o astfel de dependență a variabilei y față de variabila x, căreia îi corespunde fiecare valoare a variabilei x sens unic variabila y. Modalități de setare a unei funcții: 1) metoda analitică (funcția este setată folosind formula matematica); 2) mod tabelar(funcția este setată folosind tabelul); 3) metoda descriptivă (funcția este dată descriere verbală); 4) mod grafic(funcția este setată folosind un grafic). Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor plan de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valoarea argumentului și ale căror ordonate sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. 2.1 Funcția pătratică numere reale, iar a = 0, se numește pătratic. Graficul funcției y \u003d ax 2 + in + c este o parabolă; axa de simetrie a parabolei y \u003d ax 2 + in + c este o linie dreaptă, pentru a> 0 „ramurile” parabolei sunt îndreptate în sus, pentru o<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (pentru funcțiile unei variabile). Principala proprietate a funcțiilor liniare este că incrementul funcției este proporțional cu incrementul argumentului. Adică, funcția este o generalizare a proporționalității directe. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă, de unde și numele. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale. 1) At, linia dreaptă formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x. 2) Când, linia formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei x. 3) este un indicator al ordonatei punctului de intersecție a dreptei cu axa y. 4) Când, linia trece prin origine. , 2.3 O funcție fracționară-rațională este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Are forma unde, polinoame în orice număr de variabile. Funcțiile raționale ale unei variabile sunt un caz special: unde și sunt polinoame. 1) Orice expresie care poate fi obținută din variabile folosind patru operații aritmetice este o funcție rațională. opt

9 2) Mulțimea funcțiilor raționale este închisă sub operațiile aritmetice și operația de compunere. 3) Orice funcție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple - aceasta este folosită în integrarea analitică .., 3. Algoritmi pentru construirea de grafice cu un modul dacă a este negativ. a = 3.2 Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții liniare cu un modul Pentru a reprezenta graficele funcțiilor y= x, trebuie să știți că pentru x pozitiv avem x = x. Prin urmare valori pozitive al argumentului graficului y= x coincide cu graficul y=x, adică această parte a graficului este o rază care iese din origine la un unghi de 45 de grade față de axa absciselor. Pentru x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Pentru construcție, luăm punctele (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Acum să construim un grafic y= x-1. Dacă A este un punct grafic y= x cu coordonatele (a; a), atunci punctul grafic y= x-1 cu aceeași valoare a ordonatei Y va fi punctul A1( a+1; a). Acest punct al celui de-al doilea grafic poate fi obținut din punctul A(a; a) al primului grafic prin deplasarea paralelă cu axa Ox la dreapta. Aceasta înseamnă că întregul grafic al funcției y= x-1 se obține din graficul funcției y= x prin deplasarea paralelă cu axa Ox la dreapta cu 1. Să construim grafice: y= x-1 Pentru a construi, luăm punctele (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Trasarea funcțiilor care conțin „module imbricate” în formulă Să luăm în considerare algoritmul de construcție folosind un exemplu specific Trasează graficul unei funcții: 10

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Construim un grafic al funcției. 2. Afișăm graficul semiplanului inferior în sus simetric față de axa OX și obținem graficul funcției. unsprezece

12 3. Afișăm graficul funcției în jos simetric față de axa OX și obținem graficul funcției. 4. Afișăm graficul funcției în jos simetric față de axa OX și obținem graficul funcției 5. Afișăm graficul funcției față de axa OX și obținem graficul. 12

13 6. Drept urmare, graficul funcției arată astfel 3.4. Un algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. În exemplul anterior, a fost destul de ușor să extinzi semnele modulului. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulelor. Cum putem reprezenta grafic funcția în acest caz? Rețineți că graficul este o polilinie, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. Pentru x = -1 și x = 2, expresiile submodulului sunt egale cu zero. Într-un mod practic, am abordat regula pentru construirea unor astfel de grafice: Graficul unei funcții de forma y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b este o polilinie cu legături extreme infinite. Pentru a construi o astfel de polilinie, este suficient să cunoașteți toate vârfurile sale (abscisele vârfurilor sunt zerouri ale expresiilor submodulelor) și câte un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta. treisprezece

14 Sarcină. Trasează funcția y = x + x 1 + x + 1 și află cea mai mică valoare a acesteia. Rezolvare: 1. Zerourile expresiilor submodulelor: 0; -unu; vârfuri polilinii (0; 2); (-treisprezece); (1; 3) (zerourile expresiilor submodulelor sunt substituite în ecuație) Construim un grafic (Fig. 7), cea mai mică valoare a funcției este Algoritmul pentru trasarea graficului unei funcții pătratice cu modulul Elaborarea algoritmilor de conversie a graficelor de funcții. 1.Constructia unui grafic al functiei y= f(x). Conform definiției modulului, această funcție este descompusă într-un set de două funcții. Prin urmare, graficul funcției y= f(x) este format din două grafice: y= f(x) în semiplanul drept, y= f(-x) în semiplanul stâng. Pe baza acesteia, putem formula o regulă (algoritm). Graficul funcției y= f(x) se obține din graficul funcției y= f(x) astfel: la x 0 se păstrează graficul, iar la x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Pentru a construi un grafic al funcției y= f(x), trebuie mai întâi să reprezentați grafic funcția y= f(x) pentru x> 0, apoi pentru x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Pentru a obține acest grafic, este suficient să mutați graficul obținut anterior cu trei unități la dreapta. Rețineți că dacă numitorul fracției ar fi x + 3, atunci am deplasa graficul la stânga: Acum trebuie să înmulțim cu două toate ordonatele pentru a obține graficul funcției În cele din urmă, deplasăm graficul în sus cu două unități. : Ultimul lucru care ne rămâne de făcut este să trasăm funcția dată dacă este inclusă sub semnul modulului. Pentru a face acest lucru, reflectăm simetric în sus întreaga parte a graficului, ale cărui ordonate sunt negative (partea care se află sub axa x): Fig.4 16

17 4. Modificări în graficul unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute. Trasează funcția y \u003d x 2 - x -3 1) Deoarece x \u003d x la x 0, graficul necesar coincide cu parabola y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Dacă x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Prin urmare, completez pentru x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Graficul funcției y \u003d f (x) coincide cu graficul funcției y \u003d f (x) pe mulțimea nu valori negative argument și este simetric față de acesta în raport cu axa y pe setul de valori negative ale argumentului. Dovada: Dacă x 0, atunci f (x) = f (x), adică. pe setul de valori nenegative ale argumentului, graficele funcțiilor y = f (x) și y = f (x) coincid. Deoarece y \u003d f (x) este o funcție pară, atunci graficul său este simetric în raport cu sistemul de operare. Astfel, graficul funcției y \u003d f (x) poate fi obținut din graficul funcției y \u003d f (x) după cum urmează: 1. reprezentați grafic funcția y \u003d f (x) pentru x>0; 2. Pentru x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Pentru x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Dacă x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 și partea reflectată simetric y \u003d f (x) la y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, atunci f (x) \u003d f (x), ceea ce înseamnă că în această parte graficul funcției y \u003d f (x) coincide cu graficul funcției în sine y \u003d f (x). Dacă f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Concluzie: Pentru a reprezenta grafic funcția y= f(x) 1. Trasați funcția y=f(x) ; 2. În zonele în care graficul este situat în semiplanul inferior, adică unde f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Lucrări de cercetare privind trasarea graficelor funcțiilor y \u003d f (x) Aplicând definiția valorii absolute și exemplele considerate anterior, vom reprezenta graficele funcțiilor: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \ u003d x 2-2 și a făcut concluzii. Pentru a construi un grafic al funcției y = f (x) este necesar: 1. Construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru x>0. 2. Construiți a doua parte a graficului, adică reflectați graficul construit simetric în raport cu sistemul de operare, deoarece această funcție este egală. 3. Secțiunile graficului rezultat situate în semiplanul inferior trebuie convertite în semiplanul superior simetric față de axa OX. Construiți un grafic al funcției y \u003d 2 x - 3 (prima metodă pentru determinarea modulului) X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, pentru x>0 b) pentru x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) pentru x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Construim o linie dreaptă simetrică cu cea construită față de axa OS. 3) Secțiunile graficului situate în semiplanul inferior sunt afișate simetric față de axa OX. Comparând ambele grafice, vedem că sunt aceleași. 21

22 Exemple de probleme Exemplul 1. Se consideră graficul funcției y = x 2 6x +5. Deoarece x este pătrat, atunci indiferent de semnul numărului x după pătrat, acesta va fi pozitiv. Rezultă din aceasta că graficul funcției y \u003d x 2-6x +5 va fi identic cu graficul funcției y \u003d x 2-6x +5, adică. graficul unei funcții care nu conține un semn de valoare absolută (Fig. 2). Fig.2 Exemplul 2. Luați în considerare graficul funcției y \u003d x 2 6 x +5. Folosind definiția modulului unui număr, înlocuim formula y \u003d x 2 6 x +5 Acum avem de-a face cu o atribuire pe bucăți a dependenței care ne este bine cunoscută. Vom construi un grafic astfel: 1) construim o parabolă y \u003d x 2-6x +5 și încercuim acea parte a acesteia, care este 22

23 corespunde valorilor x nenegative, i.e. partea din dreapta axei y. 2) în același plan de coordonate, construim o parabolă y \u003d x 2 +6x +5 și încercăm acea parte a acesteia care corespunde valorilor negative ale lui x, adică. partea din stânga axei y. Părțile încercuite ale parabolelor formează împreună un grafic al funcției y \u003d x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Exemplul 3. Luați în considerare graficul funcției y \u003d x 2-6 x +5. pentru că graficul ecuației y \u003d x 2 6x +5 este același cu graficul funcției fără semnul modulului (luat în considerare în exemplul 2), rezultă că graficul funcției y \u003d x 2 6 x +5 este identic cu graficul funcției y \u003d x 2 6 x +5 , considerat în exemplul 2 (Fig. 3). Exemplul 4. Să construim un grafic al funcției y \u003d x 2 6x +5. Pentru a face acest lucru, construim un grafic al funcției y \u003d x 2-6x. Pentru a obține din acesta graficul funcției y \u003d x 2-6x, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonata opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea de parabolă situată sub axa x trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de axa x. pentru că trebuie să construim un grafic al funcției y \u003d x 2-6x +5, apoi graficul funcției pe care am considerat-o y \u003d x 2-6x trebuie doar să fie ridicat de-a lungul axei y cu 5 unități în sus (Fig. . 4). 23

24 Fig.4 Exemplul 5. Să construim un grafic al funcției y \u003d x 2-6x + 5. Pentru a face acest lucru, folosim binecunoscuta funcție pe bucăți. Găsiți zerourile funcției y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 la. Luați în considerare două cazuri: 1) Dacă, atunci ecuația ia forma y = x 2 6x -5. Să construim această parabolă și să încercuim acea parte a ei unde. 2) Dacă, atunci ecuația ia forma y \u003d x 2 + 6x +5. Să construim această parabolă și să încercuim acea parte a ei, care este situată în stânga punctului cu coordonatele (Fig. 5). 24

25 Fig.5 Exemplul6. Să diagramăm funcția y \u003d x 2 6 x +5. Pentru a face acest lucru, vom reprezenta grafic funcția y \u003d x 2-6 x +5. Am trasat acest grafic în Exemplul 3. Deoarece funcția noastră este complet sub semnul modulului, pentru a reprezenta graficul funcției y \u003d x 2 6 x +5, aveți nevoie de fiecare punct al graficului funcției y \u003d x 2 6 x + 5 cu ordonată negativă, înlocuiți cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă), adică. partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de axa Ox (Fig. 6). Fig.6 25

26 II. Concluzie „Informaţia matematică poate fi folosită cu pricepere şi profit numai dacă este stăpânită în mod creativ, astfel încât elevul să vadă singur cum ar fi posibil să ajungă la ea în mod independent”. UN. Kolmogorov. Aceste sarcini sunt de mare interes pentru elevii de clasa a IX-a, deoarece sunt foarte frecvente la testele OGE. Abilitatea de a construi aceste grafice de funcții vă va permite să promovați examenul cu mai mult succes. Matematicienii francezi Pierre Fermat () și Rene Descartes () au imaginat o funcție ca o dependență a ordonatei unui punct de curbă de abscisa acestuia. Iar omul de știință englez Isaac Newton () a înțeles funcția ca o coordonată a unui punct în mișcare care se modifică în funcție de timp. 26

27 III. Lista referințelor și surselor 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Culegere de probleme de algebră pentru clasele a 8-a 9: Proc. indemnizație pentru elevii școlii. si cursuri cu aprofundare. studiu Matematică ed. a II-a. M .: Iluminismul, Dorofeev G.V. Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor. Nota 9: m34 Proc. pentru studii de învăţământ general. manager ed. a 2-a, stereotip. M .: Bustard, Solomonik V.S. Culegere de întrebări și probleme de matematică M .: „Școala superioară”, Yashchenko I.V. GIA. Matematică: opțiuni tipice de examen: Despre opțiuni.m .: „Educația Națională”, p. 5. Iascenko I.V. OGE. Matematică: opțiuni tipice de examen: Despre opțiuni.m .: „Educația Națională”, p. 6. Iascenko I.V. OGE. Matematică: opțiuni tipice de examen: Despre opțiuni.m .: „Educația Națională”, p.

28 Anexa 28

29 Exemplul 1. Reprezentați grafic funcția y = x 2 8 x Soluție. Să definim paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci această funcție este pară. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Construim un grafic al funcției y \u003d x 2 8x + 12 pentru x 0 și afișăm graficul simetric față de Oy pentru x negativ (Fig. 1). Exemplul 2. Următorul grafic de forma y \u003d x 2 8x Aceasta înseamnă că graficul funcției se obține astfel: ei construiesc un grafic al funcției y \u003d x 2 8x + 12, părăsesc partea din grafic care se află deasupra axei Ox neschimbată, iar partea din grafic care se află sub axa absciselor, este afișată simetric față de axa Ox (Fig. 2). Exemplul 3. Pentru a reprezenta grafic funcția y \u003d x 2 8 x + 12, se efectuează o combinație de transformări: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Răspuns : Figura 3. Exemplul 4 Expresia aflată sub semnul modulului, își schimbă semnul în punctul x=2/3. La x<2/3 функция запишется так: 29

30 Pentru x>2/3, funcția se va scrie astfel: Adică punctul x=2/3 împarte planul nostru de coordonate în două regiuni, în una dintre care (în dreapta) construim funcția și în altele (la stânga) graficul funcției Construim: Exemplul 5 În continuare graficul este de asemenea rupt, dar are două puncte de întrerupere, deoarece conține două expresii sub semnele modulului:

31 Extindeți modulele pe primul interval: Pe al doilea interval: Pe al treilea interval: Astfel, pe intervalul (- ; 1.5] avem graficul scris de prima ecuație, pe interval graficul scris de a doua ecuație, si pe interval)