Tässä artikkelissa opit ratkaisemaan matemaattisia tehtäviä, jos et tiedä mistä aloittaa.

Usein koululaiset "menevät umpikujaan" ongelmia ratkaiseessaan - heidän päässään on sumu, ajatukset ovat hajallaan jonnekin, ja näyttää siltä, ​​​​että niitä ei ole enää mahdollista kerätä.

Haluan esimerkin ongelman ratkaisemisesta avoin pankki tehtäviä näyttääkseen mitkä yksinkertaiset vaiheet sinun on tehtävä kerätäksesi ajatuksesi ja kuinka ratkaista ongelmat oikein.

Kuinka ratkaista ongelmia. Tehtävä B13 (nro 26582)

Pyöräilijä lähti tasainen vauhti kaupungista A kaupunkiin B, niiden välinen etäisyys on 98 km. Seuraavana päivänä hän palasi 7 km/h nopeudella enemmän kuin ennen. Matkalla hän pysähtyi 7 tunniksi. Tämän seurauksena hän vietti yhtä paljon aikaa paluumatkalla kuin matkalla paikasta A paikkaan B. Selvitä pyöräilijän nopeus matkalla paikasta A paikkaan B. Anna vastaus yksikössä km/h.

1. Lue ongelma huolellisesti. Ehkä useita kertoja.

2. Määritämme, mistä prosessista ongelma on kysymys ja mitkä kaavat kuvaavat tätä prosessia. Kirjoitamme nämä kaavat. AT Tämä tapaus tämä on liiketehtävä ja tätä prosessia kuvaava kaava on S=vt.

3. Kirjoitamme jokaisen yhtälöön kuuluvan muuttujan ulottuvuuden:

• S - etäisyys - km
• v - nopeus - km/h
• t - aika - h

Mitan tunteminen auttaa meitä tarkistamaan tuloksena olevat kaavat.

4. Kirjoitamme kaikki luvut, jotka löytyvät ongelman ehdosta, kirjoitamme mitä ne tarkoittavat ja niiden ulottuvuuden:

98 km - kaupunkien välinen etäisyys,

7 km/h - yhtä paljon kuin pyöräilijän nopeus Paluumatkalla enemmän kuin nopeus matkalla kaupungista A kaupunkiin B,

7 tuntia - aika, jolloin pyöräilijä pysähtyi (tällä kertaa hän ei ajanut)

5. Lue ongelmakysymys uudelleen.

6. Päätämme minkä arvon otamme tuntemattomalle. Tuntemattomalle on kätevää ottaa se arvo, joka tehtävässä on tiedettävä. Tässä tapauksessa tämä on pyöräilijän nopeus matkalla paikasta A paikkaan B.

Joten: olkoon pyöräilijän nopeus matkalla paikasta A paikkaan B x. Sitten, koska pyöräilijän nopeus paluumatkalla on 7 km/h suurempi kuin nopeus matkalla kaupungista A kaupunkiin B, niin se on yhtä suuri kuin x+7.

7. Teemme yhtälön. Tätä varten ilmaisemme liikeyhtälön kolmannen arvon (aika) kahden ensimmäisen kautta. Sitten:

• pyöräilijän matkaan A paikkaan B kulunut aika on 98/x,

• ja tiellä B:stä A - 98 / (x + 7) + 7 - muista, että paluumatkalla pyöräilijä pysähtyi 7 tunniksi, eli hänen matka-aikansa on matka-ajan ja pysäköinnin summa aika.

Yhtälö on ajalle. Taas kerran luemme ongelman ehdosta, että se sanoo ajasta: Tämän seurauksena hän vietti yhtä paljon aikaa paluumatkalla kuin matkalla A:sta B:hen. Eli aika "siellä" on yhtä suuri kuin aika "takaisin". Yhdistämme ajan "siellä" ja ajan "takaisin" Saamme yhtälön:

98/x=98/(x+7)+7.

Tarkistamme vielä kerran yhtälöön sisältyvien määrien mitat - sinun on varmistettava, että esimerkiksi tunteja ei lisätä kilometreihin.

8. Ratkaisemme yhtälön. Nyt meidän on keskityttävä yhtälön ratkaisemiseen. Tätä varten määritämme, minkä tyyppinen tämä yhtälö on. Koska tuntematon on murtolukujen nimittäjässä, tämä on rationaalinen yhtälö. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä kaikki termit vasemmalle ja tuotava murtoluvut kohtaan yhteinen nimittäjä. Huomaa, että luvut 98 ja 7 ovat 7:n kerrannaisia.

Ratkaisun yksinkertaistamiseksi jaamme yhtälön molemmat puolet 7:llä. Saamme yhtälön: 14/x=14/(x+7)+1

Sen jälkeen siirrämme kaikki ehdot vasemmalle, vähennämme yhteiseksi nimittäjäksi ja merkitsemme osoittajan nollaan.

Saamme osoittajaan: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 kuten termit ja ratkaise toisen asteen yhtälö.

Sen juuret ovat -14 ja 7.

Numero -14 ei sovi ongelman ehtoon: nopeuden on oltava positiivinen.

Vielä kerran luemme ongelman kysymyksen ja korreloimme sen löytämäämme arvoon: tuntemattomalle otimme pyöräilijän nopeuden matkalla paikasta A paikkaan B, ja meidän on löydettävä sama arvo.

Vastaus: 7 km/h.

Kuinka ratkaista ongelmia. Tulokset

Huomaa, että jaoimme koko ongelman ratkaisupolun pieniin palasiin ja keskityimme jokaisessa osiossa juuri ajatteluun konkreettista toimintaa. Ja vasta tämän toiminnon suorittamisen jälkeen suoritettiin seuraava vaihe.

Kun ei ole selvää, mitä tehdä, sinun on päätettävä, mitä pieni askel voit tehdä sen heti, tehdä se ja sitten ajatella seuraavaa.

Voit oppia ratkaisemaan tyypillisiä loogisia tehtäviä, yksinkertainen ja epästandardi matematiikan ongelmia, on tärkeää tuntea perustekniikat ja -menetelmät niiden ratkaisemiseksi. Loppujen lopuksi monissa tapauksissa on mahdollista ratkaista sama ongelma ja päästä oikeaan vastaukseen eri tavoin.

Eri ratkaisumenetelmien tunteminen ja ymmärtäminen auttaa sinua määrittämään kuhunkin tapaukseen parhaiten sopivan menetelmän, jotta voit valita nopeimman ja helpoimman tavan saada vastaus.

"Klassiset" loogiset tehtävät sisältävät tekstitehtävät, joiden tarkoituksena on tunnistaa esineitä tai järjestää ne tiettyyn järjestykseen annettujen ehtojen mukaisesti.

Monimutkaisempia ja jännittävämpiä tehtäviä ovat tehtäviä, joissa tietyt väitteet ovat totta ja toiset vääriä. Liikunta-, siirto-, punnitus-, kaatamistyötehtävät ovat eniten kirkkaita esimerkkejä laaja valikoima epätyypillisiä tehtäviä logiikkaan.

Perusmenetelmät loogisten ongelmien ratkaisemiseen

• päättelymenetelmä;
• käyttämällä totuustaulukoita;
• lohkokaaviomenetelmä;
• loogisen algebran välineet (propositionalgebra);
• graafinen (mukaan lukien "puu loogisia ehtoja”, Eulerin ympyrämenetelmä);
• matemaattisen biljardin menetelmä.

Katsotaanpa tarkemmin esimerkkejä kolmesta suositusta tavasta ratkaista loogisia ongelmia, joita suosittelemme käyttämään peruskoulussa (6-12-vuotiaat lapset):

• peräkkäisen päättelyn menetelmä;
• eräänlainen päättelymenetelmä - "lopusta";
• taulukkomuodossa.

Jaksottainen päättelymenetelmä

Helpoin tapa ratkaista yksinkertaiset ongelmat on järkeillä peräkkäin käyttäen kaikkia tunnettuja ehtoja. Ongelman ehtoja olevista väitteistä tehdyt johtopäätökset johtavat vähitellen vastaukseen esitettyyn kysymykseen.

Pöydällä ovat Sininen , Vihreä , Ruskea ja Oranssi

Kolmas on kynä, jonka nimessä on eniten kirjaimia. Sininen kynä on välissä Ruskea ja oranssi .

Aseta kynät kuvatussa järjestyksessä.

Päätös:

Riitelemme. Käytämme peräkkäin ongelman ehtoja muotoillaksemme johtopäätöksiä asennosta, jolla jokaisen seuraavan kynän tulisi olla.

• Suurin osa kirjaimista sanassa "ruskea", joten se on kolmas.
• Tiedetään, että sininen kynä on ruskean ja oranssin välissä. Ruskean oikealla puolella on vain yksi asento, mikä tarkoittaa, että on mahdollista sijoittaa sininen ruskean väliin ja toinen kynä vain ruskean vasemmalle puolelle.
• Seuraava johtopäätös perustuu edelliseen: sininen lyijykynä on toisessa asennossa ja oranssi on ensimmäisessä.
• Vihreälle kynälle jäljellä viimeinen asema- Hän on neljäs.

Lopetusmenetelmä

Tämä ratkaisutapa on eräänlainen päättelymenetelmä ja sopii erinomaisesti ongelmiin, joissa tiedämme tiettyjen toimien tuloksen ja kysymys on alkuperäisen kuvan palauttamisesta.

Isoäiti leipoi sämpylöitä kolmelle lapsenlapselleen ja jätti ne pöydälle. Kolya juoksi syömään ensin. Laskin kaikki bagelit, otin osani ja juoksin karkuun.
Anya tuli taloon myöhemmin. Hän ei tiennyt, että Kolya oli jo ottanut sämpylät, laskenut ne ja jakanut ne kolmeen, otti osuutensa.
Kolmanneksi tuli Gena, joka jakoi myös loput taikinasta kolmeen ja otti osansa.
Pöydällä on jäljellä 8 bagelia.

Kuinka monta kahdeksasta jäljellä olevasta bagelista jokaisen tulisi syödä, jotta he kaikki syövät yhtä paljon?

Päätös:

Aloitetaan keskustelu alusta.
Gena jätti 8 bagelia Anyalle ja Kolyalle (4 kullekin). Osoittautuu, että hän itse söi 4 bagelia: 8 + 4 = 12.
Anya jätti 12 bagelia veljille (kukin 6). Joten hän itse söi 6 palaa: 12 + 6 = 18.
Kolya jätti pojille 18 bagelia. Joten hän söi itse 9: 18 + 9 = 27.

Isoäiti laittoi 27 bagelia pöydälle toivoen, että kaikki saisivat 9 palaa. Koska Kolya on jo syönyt osuutensa, Anyan täytyy syödä 3 ja Genan 5 bagelia.

Logiikkaongelmien ratkaiseminen totuustaulukoiden avulla

Menetelmän ydin on ongelman ehtojen ja saatujen päättelytulosten kiinnittäminen ongelmaa varten laadittuihin taulukoihin. Riippuen siitä, onko väite tosi vai epätosi, taulukon vastaavat solut täytetään merkeillä "+" ja "-" tai "1" ja "0".

Kolme urheilijaa ( punainen , sininen ja vihreä) pelannut koripalloa.
Kun pallo oli korissa, punainen huudahti: "Pallon teki sininen."
Sininen vastusti: "Green teki pallon."
Zeleny sanoi: "En tehnyt maaleja."

Kuka teki maalin, jos vain yksi kolmesta valehteli?

Päätös:

Ensin kootaan taulukko: vasemmalle kirjoitetaan kaikki ehtoon sisältyvät lausunnot ja päälle - mahdollisia vaihtoehtoja vastaus.

Sitten taulukko täytetään peräkkäin: oikeita väitteitä merkitse "+"-merkillä ja väärät väitteet "-"-merkillä.

Harkitse ensimmäistä vastausvaihtoehtoa ("pallo heitettiin punainen"), analysoi vasemmalle kirjoitetut väitteet ja täytä ensimmäinen sarakkeessa.
Perustuen oletukseemme ("pallo heitettiin punainen"), väite "sininen heitti pallon" on valhe. Laitamme soluun "-".
Väite "pallo sai vihreän" on myös valhe. Täytämme solun merkillä "-".
Vihreä väite "En tehnyt maaleja" on totta. Laitamme soluun "+".

Harkitse toista vastausta (oletetaan, että vihreäksi heitetty pallo) ja täyttää toinen sarakkeessa.
Väite "Sininen on heittänyt pallon" on valhe. Laitamme soluun "-".
Lausunto "pallo sai vihreän maalin « - totuus. Täytä solu "+"-merkillä.
Vihreä väite "en tehnyt maaleja" on valhe. Laitamme soluun "-".

Ja lopuksi kolmas vaihtoehto: oletetaan, että "pallo heitetään sininen«.
Sitten lause "pallo heitettiin siniseksi « - totuus. Laitamme soluun "+".
Väite "pallo sai vihreän" on valhe. Täytämme solun merkillä "-". Vihreä väite "En tehnyt maaleja" on totta. Laitamme soluun "+".

Koska ehdon mukaan vain yksi kolmesta kaverista valehteli, täytettyyn taulukkoon valitsemme sellaisen vastausvaihtoehdon, jossa se Vain yksi väärä väite (sarakkeessa yksi merkki "-"). Kolmas sarake sopii.

Joten oikea vastaus on, että sininen heitti pallon.

Vuokaaviomenetelmä

Vuokaaviomenetelmää harkitaan paras vaihtoehto nesteiden punnituksen ja kaatamisen ongelmien ratkaisemiseen. Vaihtoehtoinen tapa Tämän tyyppisten ongelmien ratkaiseminen - vaihtoehtojen luettelointimenetelmä - ei ole aina optimaalinen, ja sitä on melko vaikea kutsua systeemiseksi.

Menettely ongelmien ratkaisemiseksi vuokaaviomenetelmällä on seuraava:

• kuvaa graafisesti (vuokaavio) toimintojen järjestystä;
• määrittää niiden täytäntöönpanojärjestyksen;
• taulukossa korjaamme nykyiset tilat.

Kerromme lisää tästä ja muista tavoista ratkaista loogisia ongelmia esimerkkien ja ratkaisun kuvauksen avulla täysi kurssi LogicLike loogisen ajattelun kehittämisestä.

Arvaa kerätyin erityisesti blogimme säännöllisille lukijoille ja LogicLiken opiskelijoille, ratkaise loogisia tehtäviä verkossa tuhansien lasten ja aikuisten kanssa!

Keskimääräinen Yleissivistävä koulutus

UMK linja G. K. Muravina. Algebra ja alku matemaattinen analyysi(10-11) (syvä)

Line UMK Merzlyak. Algebra ja analyysin alku (10-11) (U)

Matematiikka

Valmistautuminen matematiikan tenttiin (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset

Analysoimme tehtäviä ja ratkaisemme esimerkkejä opettajan kanssa

Koepaperi profiilin taso kestää 3 tuntia 55 minuuttia (235 minuuttia).

Minimikynnys- 27 pistettä.

Tenttipaperi koostuu kahdesta osasta, jotka eroavat sisällöltään, monimutkaisuuden ja tehtävien lukumäärän osalta.

Jokaisen työn osan määrittävä piirre on tehtävien muoto:

• osa 1 sisältää 8 tehtävää (tehtävät 1-8), joissa on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa;
• Osa 2 sisältää 4 tehtävää (tehtävät 9-12), joihin on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa, ja 7 tehtävää (tehtävät 13-19), joissa on yksityiskohtainen vastaus (täydellinen pöytäkirja päätöksenteon perusteluineen) suoritetut toimet).

Panova Svetlana Anatolievna, matematiikan opettaja korkein luokka koulut, 20 vuoden työkokemus:

”Saadakseen koulutodistuksen valmistuneen on suoritettava kaksi pakollinen tentti sisään KÄYTÄ lomaketta, joista yksi on matematiikka. Kehityskonseptin mukaisesti matematiikan koulutus sisään Venäjän federaatio Matematiikan KÄYTTÖ on jaettu kahteen tasoon: perus- ja erikoistasoon. Tänään tarkastelemme vaihtoehtoja profiilitasolle.

Tehtävä numero 1- tarkastukset osallistujien kanssa KÄYTÄ taitoa soveltaa perusmatematiikan 5-9 luokalla hankittuja taitoja, in käytännön toimintaa. Osallistujalla tulee olla laskentataitoja, kyky työskennellä rationaalisten lukujen kanssa, pyöristää desimaalit voi muuntaa mittayksikön toiseksi.

Esimerkki 1 Huoneistoon, jossa Petr asuu, asennettiin kulumittari kylmä vesi(laskuri). Toukokuun ensimmäisenä päivänä mittari näytti 172 kuutiometrin kulutusta. m vettä ja ensimmäisenä kesäkuuta - 177 kuutiometriä. m. Kuinka paljon Pietarin pitäisi maksaa kylmästä vedestä toukokuussa, jos hinta on 1 cu. m kylmää vettä on 34 ruplaa 17 kopekkaa? Anna vastauksesi ruplissa.

Päätös:

1) Laske kuukaudessa käytetty vesimäärä:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Selvitä, kuinka paljon käytetystä vedestä maksetaan:

34,17 5 = 170,85 (hankaa)

Vastaus: 170,85.

Tehtävä numero 2- on yksi kokeen yksinkertaisimmista tehtävistä. Suurin osa valmistuneista selviytyy siitä menestyksekkäästi, mikä osoittaa, että funktion käsitteen määritelmä on hallussa. Vaatimusten mukainen tehtävätyyppi nro 2 on tehtävä hankittujen tietojen ja taitojen hyödyntämiseksi käytännön toiminnassa ja Jokapäiväinen elämä. Tehtävä numero 2 koostuu kuvauksesta, jossa käytetään eri toimintoja todellisia riippuvuuksia määrien ja niiden kuvaajien tulkinnan välillä. Tehtävä numero 2 testaa kykyä poimia taulukoissa, kaavioissa, kaavioissa esitettyä tietoa. Valmistuneiden on kyettävä määrittämään funktion arvo argumentin kun arvolla eri tavoilla funktion määrittely ja funktion käyttäytymisen ja ominaisuuksien kuvaaminen sen kaavion mukaisesti. On myös tarpeen pystyä löytämään maksimi tai pienin arvo ja rakentaa kaavioita tutkituista funktioista. Tehdyt virheet ovat luonteeltaan satunnaisia ​​luettaessa ongelman ehtoja, luettaessa kaaviota.

#ADVERTISING_INSERT#

Esimerkki 2 Kuvassa näkyy kaivosyhtiön yhden osakkeen vaihto-arvon muutos huhtikuun 2017 ensimmäisellä puoliskolla. Liikemies osti 7. huhtikuuta 1 000 tämän yhtiön osaketta. Hän myi 10. huhtikuuta kolme neljäsosaa ostetuista osakkeista ja 13. huhtikuuta kaikki loput. Kuinka paljon liikemies menetti näiden toimien seurauksena?

Päätös:

2) 1000 3/4 = 750 (osakkeet) - muodostavat 3/4 kaikista ostetuista osakkeista.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ruplaa) - liikemies sai 1000 osakkeen myynnin jälkeen.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (ruplaa) - liikemies menetti kaikkien toimintojen seurauksena.

Vastaus: 15000.

Tehtävä numero 3- on tehtävä perustaso ensimmäisessä osassa testataan kykyä suorittaa toimintoja geometriset kuviot kurssin "Planimetria" sisällöstä. Tehtävässä 3 kyky laskea kuvion pinta-ala ruudullinen paperi, kyky laskea tutkinnon mittaa kulmat, laskea kehät jne.

Esimerkki 3 Etsi ruudulliselle paperille piirretyn suorakulmion pinta-ala, jonka solukoko on 1 cm x 1 cm (katso kuva). Anna vastauksesi neliösenttimetrinä.

Päätös: Voit laskea tämän kuvan pinta-alan käyttämällä Peak-kaavaa:

Laskemaan pinta-alaa annettu suorakulmio Käytetään Pickin kaavaa:

S= B +	G
	2

missä V = 10, G = 6, siis

S = 18 +	6
	2

Vastaus: 20.

Katso myös: Unified State Examination in Physics: värähtelyongelmien ratkaiseminen

Tehtävä numero 4- kurssin "Todennäköisyyslaskenta ja tilastot" tehtävä. Testataan kykyä laskea tapahtuman todennäköisyys yksinkertaisimmassa tilanteessa.

Esimerkki 4 Ympyrässä on 5 punaista ja 1 sinistä pistettä. Selvitä, mitkä polygonit ovat suurempia: ne, joilla on kaikki punaiset kärjet, vai ne, joilla on yksi sinisistä pisteistä. Ilmoita vastauksessasi, kuinka monta enemmän yhtä kuin toista.

Päätös: 1) Käytämme kaavaa yhdistelmien lukumäärälle alkaen n elementtejä k:

joiden kaikki kärjet ovat punaisia.

3) Yksi viisikulmio, jossa on kaikki punaiset kärjet.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonia, joissa on kaikki punaiset kärjet.

joiden kärjet ovat punaisia ​​tai joilla on yksi sininen kärki.

joiden kärjet ovat punaisia ​​tai joilla on yksi sininen kärki.

8) Yksi kuusikulmio, jonka kärjet ovat punaisia, ja yksi sininen kärki.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonia, joissa on kaikki punaiset tai yksi sininen kärki.

10) 42 - 16 = 26 monikulmiota, jotka käyttävät sinistä pistettä.

11) 26 - 16 = 10 polygonia - kuinka monta polygonia, jonka yksi kärkipisteistä on sininen piste, on enemmän kuin polygoneja, joissa kaikki kärjet ovat vain punaisia.

Vastaus: 10.

Tehtävä numero 5- Ensimmäisen osan perustasolla testataan kykyä ratkaista yksinkertaisimmat yhtälöt (irrationaalinen, eksponentiaalinen, trigonometrinen, logaritminen).

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Päätös. Jaa tämän yhtälön molemmat puolet luvulla 5 3 + X≠ 0, saamme

2 3 + x	= 0,4 tai		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

mistä seuraa, että 3+ x = 1, x = –2.

Vastaus: –2.

Tehtävä numero 6 planimetrialla löytää geometriset suuret(pituudet, kulmat, pinta-alat), mallinnus todellisia tilanteita geometrian kielellä. Tutkimus rakennettuja malleja käyttäen geometrisia käsitteitä ja lauseet. Vaikeuksien lähde on yleensä tietämättömyys tai virheellinen sovellus välttämättömät planimetrian lauseet.

Kolmion pinta-ala ABC vastaa 129. DE- keskiviiva, sivu yhdensuuntainen AB. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala SÄNKY.

Päätös. Kolmio CDE samanlainen kuin kolmio OHJAAMO kahdessa kulmassa, koska kulma kärjessä C yleinen, kulma CDE yhtä suuri kuin kulma OHJAAMO kuten vastaavat kulmat klo DE || AB sekantti AC. Kuten DE on kolmion keskiviiva ehdon, sitten ominaisuuden mukaan keskiviiva | DE = (1/2)AB. Eli samankaltaisuuskerroin on 0,5. neliöitä vastaavia lukuja liittyvät samankaltaisuuskertoimen neliöön, joten

Siten, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tehtävä numero 7- tarkistaa derivaatan soveltamisen funktion tutkimukseen. varten onnistunut toteutus johdannaisen käsitteen mielekäs, epämuodollinen hallussapito on välttämätöntä.

Esimerkki 7 Funktion kaavioon y = f(x) kohdassa, jossa on abskissa x 0 piirretään tangentti, joka on kohtisuorassa tämän kuvaajan pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevaa suoraa vastaan. löytö f′( x 0).

Päätös. 1) Käytämme kahden läpi kulkevan suoran yhtälöä annettuja pisteitä ja löydä pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-yksi)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x-13, missä k 1 = 4.

2) Etsi tangentin kaltevuus k 2, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan y = 4x-13, missä k 1 = 4 kaavan mukaan:

3) Kaltevuus tangentti - funktion derivaatta kosketuspisteessä. tarkoittaa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastaus: –0,25.

Tehtävä numero 8- tarkistaa kokeeseen osallistuvien alkeisstereometrian tietämyksen, kyvyn soveltaa kaavoja kuvioiden pinta-alojen ja tilavuuksien löytämiseen, dihedraaliset kulmat, vertailla samankaltaisten kuvioiden tilavuuksia, pystyä suorittamaan toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla jne.

Pallon ympärille piirretyn kuution tilavuus on 216. Selvitä pallon säde.

Päätös. 1) V kuutio = a 3 (missä a on kuution reunan pituus), joten

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Koska pallo on kirjoitettu kuutioon, se tarkoittaa, että pallon halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin kuution reunan pituus, joten d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tehtävä numero 9- vaatii valmistuneelta muuntamista ja yksinkertaistamista algebrallisia lausekkeita. Tehtävä numero 9 edistynyt taso Vaikeus lyhyillä vastauksilla. Tehtävät osasta "Laskut ja muunnokset" USE:ssa on jaettu useisiin tyyppeihin:

numeerisia muunnoksia rationaalisia ilmaisuja;

algebrallisten lausekkeiden ja murtolukujen muunnokset;

numeeriset/aakkoset muunnokset irrationaalisia ilmaisuja;

toiminnot tutkinnoilla;

muunnos logaritmiset lausekkeet;

1. numeeristen/kirjaimien trigonometristen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki 9 Laske tgα, jos tiedetään, että cos2α = 0,6 ja

3π	< α < π.
4

Päätös. 1) Käytetään kaavaa kaksinkertainen argumentti: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ja löydä

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Näin ollen tan 2 α = ± 0,5.

3) Ehdon mukaan

3π	< α < π,
4

siten α on toisen neljänneksen ja tgα kulma< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastaus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tehtävä numero 10- tarkistaa opiskelijoiden kykyä käyttää hankittua varhainen tieto ja taitoja käytännön toiminnassa ja arjessa. Voimme sanoa, että nämä ovat fysiikan ongelmia, ei matematiikan, vaan kaiken tarvittavat kaavat ja arvot on annettu ehdoissa. Ongelmat rajoittuvat lineaarisen tai toisen asteen yhtälö, joko lineaarinen tai neliön epätasa-arvo. Siksi on välttämätöntä pystyä ratkaisemaan tällaiset yhtälöt ja epäyhtälöt ja määrittämään vastaus. Vastauksen tulee olla kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa.

Kaksi massakappaletta m= 2 kg kukin, liikkuvat samalla nopeudella v= 10 m/s kulmassa 2α toisiinsa nähden. Niiden ehdottoman joustamattoman törmäyksen aikana vapautuva energia (jouleina) määräytyy lausekkeen avulla K = mv 2 sin 2 α. Missä pienimmässä kulmassa 2α (asteina) kappaleiden tulee liikkua, jotta törmäyksen seurauksena vapautuu vähintään 50 joulea?
Päätös. Ongelman ratkaisemiseksi meidän on ratkaistava epäyhtälö Q ≥ 50 välillä 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Koska α ∈ (0°; 90°), ratkaisemme vain

Esitämme epäyhtälön ratkaisun graafisesti:

Koska oletuksella α ∈ (0°; 90°), se tarkoittaa, että 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tehtävä numero 11- on tyypillistä, mutta se osoittautuu opiskelijoille vaikeaksi. Suurin vaikeuksien lähde on matemaattisen mallin rakentaminen (yhtälön laatiminen). Tehtävä numero 11 testaa kykyä ratkaista tekstitehtäviä.

Esimerkki 11. Käytössä kevätloma 11-luokkalainen Vasya joutui ratkaisemaan 560 harjoitustehtävää valmistautuakseen kokeeseen. Maaliskuun 18. päivänä, viimeisenä koulupäivänä, Vasya ratkaisi 5 ongelmaa. Sitten hän ratkaisi joka päivä saman määrän ongelmia enemmän kuin edellisenä päivänä. Selvitä, kuinka monta ongelmaa Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta viimeisenä lomapäivänä.

Päätös: Merkitse a 1 = 5 - tehtävien lukumäärä, jotka Vasya ratkaisi 18. maaliskuuta, d- päivittäinen määrä Vasyan ratkaisemia tehtäviä, n= 16 - päivien lukumäärä 18. maaliskuuta 2. huhtikuuta mukaan lukien, S 16 = 560 – kaikki yhteensä tehtäviä, a 16 - tehtävien määrä, jotka Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta. Kun tiedät, että Vasya ratkaisi joka päivä saman määrän tehtäviä enemmän kuin edellisenä päivänä, voit käyttää kaavoja summan löytämiseen aritmeettinen progressio:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastaus: 65.

Tehtävä numero 12- tarkistaa opiskelijoiden kykyä suorittaa toimintoja funktioilla, osata soveltaa derivaatta funktion tutkimiseen.

Etsi funktion maksimipiste y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Päätös: 1) Etsi funktion toimialue: x + 9 > 0, x> –9, eli x ∈ (–9; ∞).

2) Etsi funktion derivaatta:

4) Löytöpiste kuuluu väliin (–9; ∞). Määrittelemme funktion derivaatan merkit ja kuvaamme funktion käyttäytymistä kuvassa:

Haluttu maksimipiste x = –8.

Lataa ilmaiseksi matematiikan työohjelma UMK G.K:n linjalle. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Lataa ilmaiset algebran käsikirjat

Tehtävä numero 13- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, joka testaa kykyä ratkaista yhtälöitä, menestyksekkäimmin ratkaistuja tehtäviä yksityiskohtaisella vastauksella, jonka monimutkaisuus on lisääntynyt.

a) Ratkaise yhtälö 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, segmenttiin kuuluvaa.

Päätös: a) Olkoon log 3 (2cos x) = t, sitten 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ koska |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

sitten cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Etsi segmentin juuret.

Kuvasta näkee, että annettu segmentti kuuluvat juurille

11π	ja	13π	.
6		6

Vastaus: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tehtävä numero 14- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

Sylinterin pohjan ympäryshalkaisija on 20, sylinterin generatrix on 28. Taso leikkaa kantansa pituudeltaan 12 ja 16 olevia jänteitä pitkin. Painteiden välinen etäisyys on 2√197.

a) Osoita, että sylinterin kantojen keskipisteet ovat samalla puolella tätä tasoa.

b) Laske tämän tason ja sylinterin kannan tason välinen kulma.

Päätös: a) Pituus 12 jänne on etäisyydellä = 8 perusympyrän keskustasta ja jänne, jonka pituus on 16, on vastaavasti etäisyydellä 6. Siksi niiden projektioiden välinen etäisyys tasossa, joka on yhdensuuntainen sylinterien kanta on joko 8 + 6 = 14 tai 8 - 6 = 2.

Silloin sointujen välinen etäisyys on joko

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ehdon mukaan toteutui toinen tapaus, jossa jänteiden projektiot ovat sylinterin akselin toisella puolella. Joten akseli ei leikkaa annettu lentokone sylinterin sisällä, eli pohjat ovat sen toisella puolella. Mitä piti todistaa.

b) Merkitään kantojen keskipisteitä O 1 ja O 2. Piirretään kannan keskeltä jänteellä, jonka pituus on 12, kohtisuora puolittaja tähän jänteeseen (sen pituus on 8, kuten jo todettiin) ja toisen kannan keskustasta toiseen jänteeseen. Ne sijaitsevat samassa tasossa β kohtisuorassa näihin jänteisiin nähden. Kutsutaan pienemmän jänteen B keskipiste, joka on suurempi kuin A, ja A:n projektio toiseen kantaan H (H ∈ β). Tällöin AB,AH ∈ β ja siten AB,AH ovat kohtisuorassa jänteeseen, eli kannan leikkausviivaan annetun tason kanssa.

Tarvittava kulma on siis

∠ABH = arctaani	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tehtävä numero 15- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, tarkistaa kyvyn ratkaista eriarvoisuudet, menestyksekkäimmin ratkaistu tehtävien joukossa yksityiskohtaisella vastauksella, jonka monimutkaisuus on lisääntynyt.

Esimerkki 15 Ratkaise epäyhtälö | x 2 – 3x| loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Päätös: Tämän epäyhtälön määritelmäalue on väli (–1; +∞). Harkitse kolmea tapausta erikseen:

1) Anna x 2 – 3x= 0, ts. X= 0 tai X= 3. Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö tulee todeksi, joten nämä arvot sisällytetään ratkaisuun.

2) Anna nyt x 2 – 3x> 0, ts. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ( x 2 – 3x) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaa positiivinen ilmaisu x 2 – 3x. Saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 tai x≤ -0,5. Kun otetaan huomioon määritelmäalue, meillä on x ∈ (–1; –0,5].

3) Lopuksi harkitse x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Tässä tapauksessa alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon (3 x – x 2) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Positiivisella lausekkeella jakamisen jälkeen 3 x – x 2, saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Pinta-ala huomioon ottaen meillä on x ∈ (0; 1].

Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastaus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tehtävä numero 16- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävässä testataan kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

AT tasakylkinen kolmio ABC, jonka kulma on 120° kärjessä A, piirretään puolittaja BD. AT kolmio ABC suorakulmio DEFH on piirretty siten, että sivu FH on janalla BC ja kärki E on janalla AB. a) Todista, että FH = 2DH. b) Etsi suorakulmion DEFH pinta-ala, jos AB = 4.

Päätös: a)

1) ΔBEF - suorakaiteen muotoinen, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, sitten EF = BE 30° kulmaa vastakkaisen jalan ominaisuuden vuoksi.

2) Olkoon EF = DH = x, niin BE = 2 x, BF = x√3 Pythagoraan lauseen mukaan.

3) Koska Δ ABC tasakylkinen, joten ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B:n puolittaja, joten ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tarkastellaan ΔDBH - suorakulmaista, koska DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Vastaus: 24 – 12√3.

Tehtävä numero 17- tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella, joka testaa tiedon ja taitojen soveltamista käytännön toiminnassa ja arjessa, kykyä rakentaa ja tutkia matemaattiset mallit. Tämä tehtävä - tekstitehtävä taloudellisella sisällöllä.

Esimerkki 17. 20 miljoonan ruplan talletus on tarkoitus avata neljäksi vuodeksi. Pankki kasvattaa talletusta jokaisen vuoden lopussa 10 % vuoden alun kokoon verrattuna. Lisäksi kolmannen ja neljännen vuoden alussa tallettaja täydentää talletuksensa vuosittain mennessä X miljoonaa ruplaa, missä X - koko määrä. löytö korkein arvo X, jossa pankki lisää alle 17 miljoonaa ruplaa talletukseen neljässä vuodessa.

Päätös: Ensimmäisen vuoden lopussa maksu on 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoonaa ruplaa ja toisen vuoden lopussa - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoonaa ruplaa. Kolmannen vuoden alussa panos (miljoonaa ruplaa) on (24,2 + X), ja lopussa - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljännen vuoden alussa panos on (26,62 + 2,1 X), ja lopussa - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Ehdon mukaan sinun on löydettävä suurin kokonaisluku x, jolle epäyhtälö on

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Suurin kokonaislukuratkaisu tälle epäyhtälölle on luku 24.

Vastaus: 24.

Tehtävä numero 18- monimutkaisempi tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella. Tämä tehtävä on tarkoitettu kilpailukykyinen valinta korkeakouluissa, joilla on korkeammat vaatimukset matemaattinen valmistautuminen hakijoita. Harjoittele korkeatasoinen monimutkaisuus ei ole yhden ratkaisumenetelmän soveltamisen tehtävä, vaan eri menetelmien yhdistelmää. Tehtävän 18 onnistunut suorittaminen edellyttää vankan matemaattisen tiedon lisäksi myös korkeaa matemaattisen kulttuurin tasoa.

missä a epätasa-arvojärjestelmä

	x 2 + y 2 ≤ 2voi – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

onko täsmälleen kaksi ratkaisua?

Päätös: Tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Jos piirretään tasolle ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukko, saadaan pisteessä (0, a). Toisen epäyhtälön ratkaisujen joukko on se osa tasosta, joka sijaitsee funktion kuvaajan alla y = | x| – a, ja jälkimmäinen on funktion kuvaaja
y = | x| , siirretty alaspäin a. Tämän järjestelmän ratkaisu on kunkin epäyhtälön ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Siksi kaksi ratkaisua tämä järjestelmä on vain kuvassa esitetyssä tapauksessa. yksi.

Ympyrän ja viivojen kosketuspisteet ovat järjestelmän kaksi ratkaisua. Jokainen suora on kallistettu akseleihin nähden 45° kulmassa. Kolmio siis PQR- suorakaiteen muotoiset tasakylkiset. Piste K on koordinaatit (0, a), ja pointti R– koordinaatit (0, – a). Lisäksi leikkaukset PR ja PQ ovat yhtä kuin ympyrän säde yhtä suuri kuin 1.

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Vastaus: a =	√2	.
	2

Tehtävä numero 19- monimutkaisempi tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä on tarkoitettu kilpailulliseen valintaan yliopistoihin, joissa hakijoiden matemaattista valmistautumista koskevat vaatimukset ovat kohonneet. Monimutkainen tehtävä ei ole yhden ratkaisumenetelmän soveltamisen tehtävä, vaan eri menetelmien yhdistelmä. Jotta voit suorittaa tehtävän 19 onnistuneesti, sinun on pystyttävä etsimään ratkaisua valitsemalla erilaisia ​​lähestymistapoja tunnetuista muuttamalla tutkittuja menetelmiä.

Anna olla sn summa P aritmeettisen progression jäsenet ( a p). On tiedossa, että S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Anna kaava P tämän etenemisen jäsen.

b) Etsi pienin moduulisumma S n.

c) Etsi pienin P, jossa S n on kokonaisluvun neliö.

Päätös a) Ilmeisesti a n = S n – S n- yksi . Käyttämällä tämä kaava, saamme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

tarkoittaa, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) koska S n = 2n 2 – 25n, harkitse sitten toimintoa S(x) = | 2x 2 – 25x|. Hänen kaavionsa näkyy kuvassa.

On selvää, että pienin arvo saavutetaan lähimpänä funktion nollia sijaitsevissa kokonaislukupisteissä. Ilmeisesti nämä ovat pointteja. X= 1, X= 12 ja X= 13. Koska, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, niin pienin arvo on 12.

c) Edellisestä kappaleesta seuraa, että sn positiivinen siitä lähtien n= 13. Alkaen S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), niin ilmeinen tapaus, kun annettu ilmaisu on täydellinen neliö, toteutuu kun n = 2n- 25, eli kanssa P= 25.

On vielä tarkistettava arvot 13-25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Osoittautuu, että pienemmille arvoille P täysi neliö ei saavuteta.

Vastaus: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Toukokuusta 2017 lähtien yhteisjulkaisuryhmä "DROFA-VENTANA" on ollut osa konsernia " Venäjän oppikirja". Yhtiöön kuului myös kustantamo Astrel ja digitaalinen koulutusalusta"lecta". toimitusjohtaja nimitetty Alexander Brychkin, valmistunut Finanssiakatemia Venäjän federaation hallituksen alainen ehdokas taloustieteet, valvoja innovatiivisia hankkeita DROFA kustantamo digitaalisen koulutuksen alalla ( sähköisiä lomakkeita oppikirjat, "Russian Electronic School", digitaalinen koulutusalusta LECTA). Ennen tuloaan DROFA-kustantamoon hän toimi EKSMO-AST-kustannusholdingin strategisesta kehityksestä ja investoinneista vastaavana johtajana. Nykyään Russian Textbook Publishing Corporationilla on suurin oppikirjojen portfolio liittovaltion luettelo- 485 nimikettä (noin 40%, ei sisällä oppikirjoja kuntoutuskoulu). Suosituimmat omistavat yhtiön kustantamot venäläiset koulut fysiikan, piirtämisen, biologian, kemian, tekniikan, maantieteen, tähtitieteen oppikirjoja - tietoalueita, joita tarvitaan maan tuotantopotentiaalin kehittämiseen. Yhtiön portfolio sisältää oppikirjoja ja opinto-oppaat varten peruskoulu palkittiin Presidentin koulutuspalkinnolla. Nämä ovat oppikirjoja ja käsikirjoja aihealueista, jotka ovat välttämättömiä Venäjän tieteellisen, teknisen ja teollisen potentiaalin kehittämiseksi.

Ratkaisu ongelmaan syntyy yleensä looginen päättely ja laskelmat jonkin suuren arvon löytämiseksi. Etsi esimerkiksi kohteen nopeus, aika, etäisyys, massa tai jonkin määrä.

Tämä ongelma voidaan ratkaista käyttämällä yhtälöä. Tätä varten haluttu arvo merkitään muuttujan kautta, minkä jälkeen he loogisen päättelyn avulla muodostavat ja ratkaisevat yhtälön. Ratkaistuaan yhtälön he tarkistavat, täyttääkö yhtälön ratkaisu tehtävän ehdot.

Oppitunnin sisältö

Tuntematonta sisältävien ilmaisujen kirjoittaminen

Tehtävän ratkaisuun liittyy yhtälön laatiminen tälle ongelmalle. Käytössä alkuvaiheessa ongelmia opiskellessaan, on toivottavaa oppia säveltämään kirjaimellisia ilmaisuja kuvailemassa yhtä tai toista elämäntilanne. Tämä vaihe ei ole vaikea, ja sitä voidaan tutkia itse ongelman ratkaisuprosessissa.

Harkitse useita tilanteita, jotka voidaan kirjoittaa käyttämällä matemaattista lauseketta.

Tehtävä 1. Isän ikä x vuotta. Äiti on kaksi vuotta nuorempi. Poika nuorempi kuin isä 3 kertaa. Merkitse jokaisen ikä käyttäen lausekkeita.

Päätös:

Tehtävä 2. Isän ikä x vuotta, äiti on 2 vuotta nuorempi kuin isä. Poika on 3 kertaa nuorempi kuin isä, tytär on 3 kertaa nuorempi kuin äiti. Merkitse jokaisen ikä käyttäen lausekkeita.

Päätös:

Tehtävä 3. Isän ikä x vuotta, äiti on 3 vuotta nuorempi kuin isä. Poika on 3 kertaa nuorempi kuin isä, tytär on 3 kertaa nuorempi kuin äiti. Kuinka vanha kukin on yleinen ikä isä, äiti, poika ja tytär ovat 92-vuotiaita?

Päätös:

Tässä tehtävässä lausekkeiden kirjoittamisen lisäksi on tarpeen laskea jokaisen perheenjäsenen ikä.

Ensin kirjoitetaan jokaisen perheenjäsenen ikä ilmaisujen avulla. Muuttujan mukaan x Otetaan isän ikä, ja tämän muuttujan avulla muodostamme loput lausekkeet:

Nyt määritetään jokaisen perheenjäsenen ikä. Tätä varten meidän on kirjoitettava ja ratkaistava yhtälö. Meillä on kaikki yhtälön komponentit valmiina. Jää vain kerätä ne yhdessä.

Kokonais-ikä 92 vuotta saatiin laskemalla yhteen isän, äidin, pojan ja tyttären iät:

Jokaiselle ikäkaudelle meillä on matemaattinen lauseke. Nämä lausekkeet ovat yhtälömme komponentteja. Kootaan yhtälömme tämän kaavion ja yllä annetun taulukon mukaisesti. Eli sanat isä, äiti, poika, tytär korvataan niitä vastaavalla ilmaisulla taulukossa:

Äidin iän ilmaisu x - 3 selvyyden vuoksi se on otettu suluissa.

Nyt ratkaistaan ​​tuloksena oleva yhtälö. Aluksi voit avata sulut mahdollisuuksien mukaan:

Vapauttaaksesi yhtälön murtoluvuista, kerro molemmat puolet kolmella

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön käyttämällä tunnettua identtisiä muunnoksia:

Löysimme muuttujan arvon x. Tämä muuttuja oli vastuussa isän iästä. Isän ikä on siis 36 vuotta.

Kun tiedät isän iän, voit laskea muun perheen iät. Tätä varten sinun on korvattava muuttujan arvo x niissä ilmaisuissa, jotka ovat vastuussa tietyn perheenjäsenen iästä.

Ongelmassa sanottiin, että äiti on 3 vuotta nuorempi kuin isä. Ilmaisimme hänen ikänsä ilmaisun avulla x−3. Muuttuva arvo x on nyt tiedossa, ja äidin iän laskemiseksi se on välttämätöntä lausekkeessa x - 3 sijasta x korvaa löydetty arvo 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 vuotias äiti.

Vastaavasti määritetään jäljellä olevien perheenjäsenten ikä:

Tutkimus:

Tehtävä 4. Kilo omenoita on sen arvoinen x ruplaa. Kirjoita lauseke, joka laskee kuinka monta kiloa omenoita voit ostaa 300 ruplalla.

Päätös

Jos kilo omenoita maksaa x ruplaa, sitten 300 ruplalla voit ostaa kilogramman omenoita.

Esimerkki. Kilo omenoita maksaa 50 ruplaa. Sitten voit ostaa 300 ruplaa, eli 6 kiloa omenoita.

Tehtävä 5. Käytössä x ruplaa, omenoita ostettiin 5 kg. Kirjoita muistiin lauseke, joka laskee kuinka monta ruplaa yksi kilogramma omenoita maksaa.

Päätös

Jos 5 kg omenoita maksettiin x ruplaa, niin yksi kilo maksaa ruplaa

Esimerkki. 300 ruplalla ostettiin 5 kg omenoita. Sitten yksi kilogramma omenoita maksaa, eli 60 ruplaa.

Tehtävä 6. Tom, John ja Leo menivät kahvilaan tauon aikana ja ostivat voileivän ja kupin kahvia. Voileipä on sen arvoinen x ruplaa ja kuppi kahvia - 15 ruplaa. Määritä voileivän hinta, jos tiedetään, että kaikesta maksettiin 120 ruplaa?

Päätös

Tietenkin tämä ongelma on niin yksinkertainen kuin kolme penniä, ja se voidaan ratkaista turvautumatta yhtälöön. Tee tämä vähentämällä kolmen kahvikupin (15 × 3) hinta 120 ruplasta ja jakamalla tulos kolmella

Mutta tavoitteemme on kirjoittaa yhtälö ongelmalle ja ratkaista tämä yhtälö. Voileivän hinta siis x ruplaa. Ostettu vain kolme. Joten kolminkertaistamalla kustannukset, saamme lausekkeen, joka kuvaa kuinka monta ruplaa maksettiin kolmesta voileivästä

3x - kolmen voileivän hinta

Ja kolmen kahvikupin hinta voidaan kirjoittaa muodossa 15 × 3. 15 on yhden kahvikupin hinta ja 3 on kerroin (Tom, John ja Leo), joka kolminkertaistaa tämän hinnan.

Ongelman tilanteen mukaan kaikesta maksettiin 120 ruplaa. Meillä on jo esimerkillinen kaava, Mitä meidän pitää tehdä:

Meillä on jo ilmaisuja, jotka kuvaavat kolmen voileivän ja kolmen kahvikupin hintaa. Nämä ovat ilmaisuja 3 x ja 15×3. Kaavaa käyttämällä kirjoitamme yhtälön ja ratkaisemme sen:

Joten yhden voileivän hinta on 25 ruplaa.

Ongelma ratkeaa oikein vain, jos sen yhtälö on käännetty oikein. Toisin kuin tavalliset yhtälöt, joiden avulla opimme löytämään juuria, ongelmien ratkaisuyhtälöillä on oma erityinen käyttötarkoituksensa. Jokainen sellaisen yhtälön komponentti voidaan kuvata kohdassa sanallinen muoto. Yhtälöä laadittaessa on välttämätöntä ymmärtää, miksi sisällytämme sen koostumukseen yhden tai toisen komponentin ja miksi sitä tarvitaan.

On myös tarpeen muistaa, että yhtälö on yhtälö, jonka ratkaisemisen jälkeen vasemman puolen on oltava yhtä suuri kuin oikea puoli. Tuloksena olevan yhtälön ei pitäisi olla ristiriidassa tämän ajatuksen kanssa.

Kuvittele, että yhtälö on vaaka, jossa on kaksi kulhoa ja näyttö, joka näyttää vaa'an tilan.

AT Tämä hetki näytössä näkyy yhtäläisyysmerkki. On selvää, miksi vasen kulho on yhtä suuri kuin oikea kulho - kulhoissa ei ole mitään. Kirjoitamme kulhoihin vaa'an tilan ja sen puuttumisen seuraavalla yhtälöllä:

0 = 0

Laitetaan vesimeloni vasemmalle asteikolle:

Vasen kulho painoi oikeanpuoleisen kulhon painoa, ja näytössä soi hälytys, joka näytti epätasa-merkkiä (≠). Tämä merkki osoittaa, että vasen kulho ei ole sama kuin oikea kulho.

Nyt yritetään ratkaista ongelma. Vaaditaan selvittämään, kuinka paljon vesimeloni painaa, joka sijaitsee vasemmassa kulhossa. Mutta mistä sinä tiedät? Loppujen lopuksi vaakamme on suunniteltu vain tarkistamaan, onko vasen kulho yhtä suuri kuin oikea.

Yhtälöt tulevat apuun. Muista, että määritelmän mukaan yhtälö on tasa-arvo A, joka sisältää muuttujan, jonka arvon haluat löytää. Tässä tapauksessa vaa'at ovat juuri tämän yhtälön roolia, ja vesimelonin massa on muuttuja, jonka arvo on löydettävä. Tavoitteemme on saada tämä yhtälö oikeaan. Ymmärrä, kohdista vaaka niin, että voit laskea vesimelonin massan.

Vaa'an tasaamiseksi voit laittaa painoa oikealle kulholle. raskas esine. Laitetaanpa sinne esimerkiksi 7 kg paino.

Nyt päinvastoin oikea kulho painoi vasemman. Näyttö näyttää silti, että kulhot eivät ole samanarvoisia.

Yritetään laittaa 4 kg painoa vasemmalle kulholle

Nyt vaaka on tasoittunut. Kuvasta näkyy, että vasen kulho on oikean kulhon tasolla. Ja näytössä näkyy yhtäläisyysmerkki. Tämä merkki osoittaa, että vasen kulho on yhtä suuri kuin oikea kulho.

Siten olemme saaneet yhtälön - yhtälön, joka sisältää tuntemattoman. Vasen pano on yhtälön vasen puoli, joka koostuu 4 komponentista ja muuttujasta x(massat vesimelonia), ja oikea kulho on oikea osa yhtälö, joka koostuu komponentista 7.

No, ei ole vaikea arvata, että yhtälön juuri on 4 + x\u003d 7 on 3. Vesimelonin massa on siis 3 kg.

Sama pätee muihinkin tehtäviin. Jos haluat löytää tuntemattoman arvon, lisää yhtälön vasemmalle tai oikealle puolelle erilaisia ​​elementtejä: termit, tekijät, lausekkeet. Kouluongelmissa nämä elementit on jo annettu. Jää vain jäsentää ne oikein ja rakentaa yhtälö. Olemme sisällä tämä esimerkki harjoittaa valintaa, kokeilla eri massaisia ​​painoja vesimelonin massan laskemiseksi.

Luonnollisesti tehtävässä annetut tiedot on ensin saatettava sellaiseen muotoon, jossa ne voidaan sisällyttää yhtälöön. Siksi, kuten he sanovat "Pidätpä siitä tai et, sinun on mietittävä".

Harkitse seuraavaa ongelmaa. Isän ikä iän verran poika ja tytär yhdessä. Poika puolittui vanhempi kuin tytär ja kaksikymmentä vuotta nuorempi kuin isänsä. Kuinka vanha kukin on?

Tyttären ikä voidaan ilmaista seuraavasti x. Jos poika on kaksi kertaa vanhempi kuin tytär, hänen ikänsä merkitään 2 x. Ongelman tila kertoo, että yhdessä tyttären ja pojan ikä on yhtä suuri kuin isän ikä. Isän ikä merkitään siis summalla x + 2x

Voit lisätä samankaltaisia ​​termejä lausekkeeseen. Tällöin isän ikää merkitään 3 x

Tehdään nyt yhtälö. Meidän on saatava tasa-arvo, josta voimme löytää tuntemattoman x. Käytetään painoja. Vasemmanpuoleiseen kulhoon laitamme isän iän (3 x), ja oikeassa kulhossa pojan ikä (2 x)

On selvää, miksi vasen kulho painoi oikeanpuoleisen ja miksi näytössä näkyy merkki (≠) . Onhan se loogista, että isän ikä on suurempi kuin pojan ikä.

Mutta meidän on tasapainotettava asteikot, jotta voimme laskea tuntemattoman x. Tätä varten sinun on lisättävä numero oikeaan kulhoon. Mikä numero on ilmoitettu tehtävässä. Ehdossa todettiin, että poika oli 20 vuotta nuorempi kuin isä. 20 vuotta on siis sama luku, joka on asetettava vaa'alle.

Vaa'at tasoittuvat, jos lisäämme nämä 20 vuotta vaa'an oikealle puolelle. Toisin sanoen, kasvatetaan poika isän ikään

Nyt vaaka on tasoittunut. Selvisi yhtälö , joka on helppo ratkaista:

x merkasimme tyttären iän. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Tytär 20 vuotias.

Ja lopuksi laskemme isän iän. Tehtävässä sanottiin, että hän on yhtä suuri kuin summa pojan ja tyttären iät eli (20 + 40) vuotta.

Palataan tehtävän keskelle ja kiinnitetään huomiota yhteen kohtaan. Kun asetimme asteikolle isän ja pojan iän, vasen kulho painoi oikeanpuoleisen.

Mutta ratkaisimme tämän ongelman lisäämällä vielä 20 vuotta oikeaan kulhoon. Tuloksena vaaka tasoittui ja saimme tasa-arvon

Mutta oli mahdollista olla lisäämättä näitä 20 vuotta oikeaan kulhoon, vaan vähentää ne vasemmasta. Tässä tapauksessa saisimme tasa-arvon

Tällä kertaa yhtälö on . Yhtälön juuri on edelleen 20

Eli yhtälöt ja ovat samanarvoisia. Ja me muistamme sen vastaavat yhtälöt juuret vastaavat. Jos tarkastelet näitä kahta yhtälöä tarkasti, voit nähdä, että toinen yhtälö saadaan siirtämällä numero 20 oikealta puolelta vasemmalle vastakkainen merkki. Ja tämä toiminta, kuten edellisessä oppitunnissa todettiin, ei muuta yhtälön juuria.

Sinun on myös kiinnitettävä huomiota siihen, että ongelman ratkaisemisen alussa jokaisen perheenjäsenen iät voitaisiin ilmaista muilla ilmaisuilla.

Oletetaan, että pojan ikä on merkitty x ja koska hän on kaksi vanhempi kuin tyttärensä, määritä sitten tyttären ikä (ymmärrä tehdäksesi hänet poikaa nuorempi kahdesti). Ja isän ikä, koska se on pojan ja tyttären iän summa, ilmaistaan ​​ilmaisulla . Ja lopuksi, rakentaaksesi loogisesti oikean yhtälön, sinun on lisättävä numero 20 pojan ikään, koska isä on kaksikymmentä vuotta vanhempi. Tuloksena on täysin erilainen yhtälö. . Ratkaistaan ​​tämä yhtälö

Kuten näet, vastaukset ongelmaan eivät ole muuttuneet. Poikani on vielä 40-vuotias. Tyttäret ovat vielä vuotiaita ja isä 40+20v.

Toisin sanoen ongelma voidaan ratkaista erilaisia ​​menetelmiä. Siksi ei pitäisi olla epätoivoinen, että tätä tai tätä ongelmaa ei ole mahdollista ratkaista. Mutta on pidettävä mielessä, että on olemassa a yksinkertaisia ​​tapoja ongelmanratkaisu. Pääset kaupungin keskustaan erilaisia ​​reittejä, mutta aina löytyy kätevin, nopein ja turvallisin reitti.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Tehtävä 1. Kahdessa pakkauksessa on 30 muistikirjaa. Jos 2 muistikirjaa siirrettäisiin ensimmäisestä nipusta toiseen, niin ensimmäisessä paketissa olisi kaksi kertaa enemmän muistikirjoja kuin toisessa. Kuinka monta muistikirjaa kussakin paketissa oli?

Päätös

Merkitse x ensimmäisessä pakkauksessa olevien muistikirjojen määrä. Jos muistikirjoja oli yhteensä 30, ja muuttuja x tämä on ensimmäisen pakkauksen muistikirjojen lukumäärä, sitten toisen pakkauksen muistikirjojen lukumäärä merkitään lausekkeella 30 − x. Toisin sanoen muistikirjojen kokonaismäärästä vähennämme muistikirjojen lukumäärän ensimmäisestä pakkauksesta ja saamme siten muistikirjojen määrän toisesta pakkauksesta.

ja lisää nämä kaksi muistikirjaa toiseen pakettiin

Yritetään tehdä yhtälö olemassa olevista lausekkeista. Laitoimme molemmat muistikirjapaketit vaa'alle

Vasen kulho on painavampi kuin oikea. Tämä johtuu siitä, että ongelman tila kertoo, että kun ensimmäisestä nipusta otettiin kaksi muistikirjaa ja asetettiin toiseen, ensimmäisen nipun muistikirjojen määrä kasvoi kaksi kertaa niin suureksi kuin toisessa.

Tasoittaaksesi asteikot ja saadaksesi yhtälön, tuplaa oikea puoli. Voit tehdä tämän kertomalla sen 2:lla

Siitä tulee yhtälö. Me päätämme annettu yhtälö:

Merkitsimme ensimmäisen paketin muuttujalla x. Nyt olemme löytäneet sen merkityksen. Muuttuva x yhtä suuri kuin 22. Ensimmäisessä paketissa oli siis 22 muistikirjaa.

Ja merkitsimme toista pakettia lausekkeella 30 − x ja koska muuttujan arvo x Nyt tiedämme, että voimme laskea muistikirjojen määrän toisessa pakkauksessa. Se on yhtä suuri kuin 30 − 22, eli 8 kappaletta.

Tehtävä 2. Kaksi ihmistä kuori perunoita. Yksi kuori kaksi perunaa minuutissa ja toinen kolme perunaa. Yhdessä he raivasivat 400 kappaletta. Kuinka kauan kukin toimi, jos toinen toimi 25 minuuttia enemmän kuin ensimmäinen?

Päätös

Merkitse x ensimmäisen henkilön aika. Koska toinen henkilö työskenteli 25 minuuttia enemmän kuin ensimmäinen, hänen aikansa merkitään lausekkeella

Ensimmäinen työntekijä kuori 2 perunaa minuutissa, ja siitä lähtien hän työskenteli x minuuttia, sitten yhteensä hän selvitti 2 x perunat.

Toinen henkilö kuori kolme perunaa minuutissa, ja koska hän työskenteli minuutteja, hän kuori perunoita yhteensä.

Yhdessä he kuorivat 400 perunaa

Muodostamme ja ratkaisemme yhtälön käytettävissä olevista komponenteista. Yhtälön vasemmalla puolella on jokaisen henkilön kuorimat perunat ja niiden summan oikealla puolella:

Alussa tämän ongelman ratkaisu muuttujan kautta x merkitsimme ensimmäisen henkilön työajan. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Ensimmäinen henkilö työskenteli 65 minuuttia.

Ja toinen henkilö työskenteli minuutteja, ja muuttujan arvosta lähtien x nyt se tiedetään, niin voit laskea toisen henkilön ajan - se on 65 + 25, eli 90 minuuttia.

Tehtävä Andrei Petrovitš Kiselevin Algebra-oppikirjasta. Teelajikkeista valmistettiin 32 kg sekoitus. Ensimmäisen luokan kilo maksaa 8 ruplaa ja toisen luokan 6 ruplaa. 50 kop. Kuinka monta kiloa molemmista lajikkeista otetaan, jos kilogramma seosta maksaa (ilman voittoa tai tappiota) 7 ruplaa. 10 kopekkaa?

Päätös

Merkitse x paljon ensimmäisen luokan teetä. Sitten toisen luokan teen massa merkitään lausekkeella 32 − x

Kilogramma ensimmäisen luokan teetä maksaa 8 ruplaa. Jos nämä kahdeksan ruplaa kerrotaan ensimmäisen luokan teen kilojen määrällä, on mahdollista selvittää, kuinka paljon rupla maksaa x kg ensimmäisen luokan teetä.

Kilo toisen luokan teetä maksaa 6 ruplaa. 50 kop. Jos nämä 6 ruplaa. 50 kop. kerrotaan 32:lla − x, niin voit selvittää, kuinka monta ruplaa maksaa 32 − x kg toisen luokan teetä.

Ehto sanoo, että kilogramma seosta maksaa 7 ruplaa. 10 kop. Yhteensä valmistettiin 32 kg seosta. Kerro 7 ruplaa. 10 kop. 32-vuotiaana voimme selvittää, kuinka paljon 32 kg seosta maksaa.

Lausekkeet, joista muodostamme yhtälön, ovat nyt seuraavassa muodossa:

Yritetään tehdä yhtälö olemassa olevista lausekkeista. Laitetaan vaa'an vasempaan astiaan ensimmäisen ja toisen luokan teeseosten hinta ja oikeaan astiaan 32 kg seoksen hinta, eli kokonaiskustannukset seos, joka sisältää molemmat teelajikkeet:

Alussa tämän ongelman ratkaisu muuttujan kautta x nimesimme ensimmäisen luokan teemassan. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Muuttuva x on yhtä kuin 12,8. Tämä tarkoittaa, että seoksen valmistukseen otettiin 12,8 kg ensimmäisen luokan teetä.

Ja lausekkeen 32 kautta − x merkitsimme toisen luokan teen massaa ja muutoksen arvoa x nyt tiedossa, voimme laskea toisen luokan teen massan. Se on yhtä suuri kuin 32 − 12,8, eli 19,2. Tämä tarkoittaa, että seoksen valmistukseen otettiin 19,2 kg toisen luokan teetä.

Tehtävä 3. Pyöräilijä kulki matkan 8 km/h nopeudella. Hänen piti palata toista tietä, joka oli 3 km pidempi kuin ensimmäinen, ja vaikka hän palasi, hän kulki 9 km/h nopeudella, hän käytti aikaa yli minuutteja. Kuinka pitkiä tiet olivat?

Päätös

Jotkut tehtävät voivat sisältää aiheita, joita henkilö ei ehkä ole opiskellut. Tämä tehtävä kuuluu tähän tehtäväryhmään. Se käsittelee etäisyyden, nopeuden ja ajan käsitteitä. Vastaavasti tällaisen ongelman ratkaisemiseksi sinulla on oltava käsitys ongelmassa sanotuista asioista. Meidän tapauksessamme meidän on tiedettävä, mikä on matka, nopeus ja aika.

Tehtävänä on löytää kahden tien etäisyydet. Meidän on kirjoitettava yhtälö, jonka avulla voimme laskea nämä etäisyydet.

Harkitse etäisyyden, nopeuden ja ajan välistä suhdetta. Jokainen näistä suureista voidaan kuvata käyttämällä kirjaimellista yhtälöä:

Käytämme yhden näiden yhtälöiden oikeaa puolta yhtälömme laatimiseen. Saadaksesi selville, mikä on, sinun on palattava tehtävän tekstiin ja etsittävä, mitä voit saada kiinni

Voit tarttua hetkeen, jossa pyöräilijä paluumatkalla käytti aikaa yli minuutin. Tämä vihje kertoo meille, että voimme käyttää yhtälöä, nimittäin sen oikea puoli. Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa yhtälön, joka sisältää muuttujan S .

Merkitään siis ensimmäisen tien pituus asteikolla S. Pyöräilijä kulki tätä tietä 8 km/h nopeudella. Aika, jonka hän kulki tämän polun, merkitään lausekkeella, koska aika on kuljetun matkan suhde nopeuteen

Pyöräilijän paluumatka oli 3 km pidempi. Siksi sen etäisyys merkitään lausekkeella S+ 3. Pyöräilijä kulki tällä tiellä 9 km/h nopeudella. Joten aika, jonka hän voitti tämän polun, merkitään lausekkeella .

Tehdään nyt yhtälö olemassa olevista lausekkeista

Oikea kulho on painavampi kuin vasen. Tämä johtuu siitä, että ongelma kertoo, että pyöräilijä vietti enemmän aikaa paluumatkalla.

Tasoittaaksesi asteikot lisäämällä samat minuutit vasemmalle puolelle. Mutta ensin muunnetaan minuutit tunteiksi, koska ongelmassa nopeus mitataan kilometreinä tunnissa, ei metreinä minuutissa.

Muuntaaksesi minuutit tunteiksi, sinun on jaettava ne 60:llä

Minuutteista tulee tunteja. Lisää nämä tunnit yhtälön vasemmalle puolelle:

Selviää yhtälö . Ratkaistaan ​​tämä yhtälö. Murtoluvuista eroon pääsemiseksi osan molemmat osat voidaan kertoa 72:lla. Lisäksi käyttämällä tunnettuja identtisiä muunnoksia, löytää arvo muuttuja S

Muuttujan kautta S merkitsimme ensimmäisen tien etäisyyden. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Muuttuva S on 15. Ensimmäisen tien etäisyys on siis 15 km.

Ja merkitsimme toisen tien etäisyyttä lausekkeen kautta S+ 3 , ja koska muuttujan arvo S Nyt tiedämme, voimme laskea toisen tien etäisyyden. Tämä etäisyys on yhtä suuri kuin summa 15 + 3, eli 18 km.

Tehtävä 4. Kaksi autoa ajaa moottoritiellä samalla nopeudella. Jos ensimmäinen lisää nopeutta 10 km/h ja toinen vähentää nopeutta 10 km/h, niin ensimmäinen ajaa saman matkan 2 tunnissa kuin toinen 3 tunnissa. autoja?

Päätös

Merkitse v kunkin auton nopeus. Edelleen ongelmassa annetaan vihjeitä: nosta ensimmäisen auton nopeutta 10 km/h ja vähennä toisen auton nopeutta 10 km/h. Käytetään tätä vihjettä

Lisäksi todetaan, että tällaisilla nopeuksilla (lisätty ja laskettu 10 km/h) ensimmäinen auto kulkee saman matkan 2 tunnissa kuin toinen 3 tunnissa. Lause "niin monta" voidaan ymmärtää "ensimmäisen auton kulkema matka on on yhtä suuri toisen auton ajettu matka.

Etäisyys, kuten muistamme, määräytyy kaavan mukaan. Meitä kiinnostaa tämän kirjaimellisen yhtälön oikea puoli - sen avulla voimme kirjoittaa yhtälön, joka sisältää muuttujan v .

Siis vauhdilla v + 10 km/h ensimmäinen auto menee ohi 2 (v+10) km, ja toinen menee ohi 3 (v − 10) km. Tässä tilanteessa autot kulkevat samat etäisyydet, joten yhtälön saamiseksi riittää, että yhdistät nämä kaksi lauseketta yhtäläisyysmerkillä. Sitten saamme yhtälön. Ratkaistaan ​​se:

Ongelmatilanteessa sanottiin, että autot kulkevat samaa vauhtia. Merkitsimme tämän nopeuden muuttujalla v. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Muuttuva v on 50. Molempien autojen nopeus oli siis 50 km/h.

Tehtävä 5. 9 tunnissa alavirtaan laiva kulkee saman matkan kuin 11 tunnissa ylävirtaan. Laske veneen nopeus, jos joen nopeus on 2 km/h.

Päätös

Merkitse v laivan oma nopeus. Joen virtausnopeus on 2 km/h. Joen aikana aluksen nopeus on v + 2 km/h, ja virtaa vastaan ​​- (v − 2) km/h.

Ongelman ehtona on, että laiva kulkee 9 tunnissa saman matkan jokea pitkin kuin 11 tunnissa virtausta vastaan. Lause "Samalla tavalla" voidaan ymmärtää veneellä jokea pitkin kulkema matka 9 tunnissa, on yhtä suuri laivan joen virtausta vastaan ​​kulkema matka 11 tunnissa. Eli etäisyydet ovat samat.

Etäisyys määräytyy kaavan mukaan. Käytämme tämän kirjaimellisen yhtälön oikeaa puolta oman yhtälön kirjoittamiseen.

Joten 9 tunnin kuluttua laiva kulkee jokea pitkin 9 (v + 2) km ja 11 tunnin kuluttua ylävirtaan - 11 (v − 2) km. Koska molemmat lausekkeet kuvaavat samaa etäisyyttä, rinnastamme ensimmäisen lausekkeen toiseen. Tuloksena saamme yhtälön. Ratkaistaan ​​se:

Keinot oma nopeus laiva on 20 km/h.

Kun ratkaistaan ​​ongelmia hyvä tapa on määrittää etukäteen, mitä ratkaisua siihen haetaan.

Oletetaan, että tehtävänä oli löytää aika, jonka jalankulkija voi voittaa määritetty polku. Merkitsimme ajan muuttujan kautta t, sitten teimme tämän muuttujan sisältävän yhtälön ja löysimme sen arvon.

Käytännöstä tiedämme, että kohteen liikeaika voi kestää sekä kokonaisluku- että murto-arvoja, esimerkiksi 2 tuntia, 1,5 tuntia, 0,5 tuntia. Silloin voidaan sanoa, että ratkaisua tähän ongelmaan etsitään aseta rationaalisia lukuja K, koska jokainen arvoista 2 h, 1,5 h, 0,5 h voidaan esittää murto-osana.

Siksi sen jälkeen tuntematon määrä muuttujalla, on hyödyllistä osoittaa, mihin joukkoon tämä arvo kuuluu. Esimerkissämme aika t kuuluu rationaalilukujen joukkoon K

t ∈ K

Voit myös asettaa muuttujalle rajoituksen t, mikä osoittaa, että se voi vain hyväksyä positiivisia arvoja. Todellakin, jos esine vietti polulla tietty aika, tämä aika ei voi olla negatiivinen. Siksi lausekkeen vieressä t∈ K määritä, että sen arvon on oltava suurempi kuin nolla:

t∈ R, t > 0

Jos ratkaisemme yhtälön, saamme negatiivinen merkitys muuttujalle t, niin on mahdollista päätellä, että ongelma on ratkaistu väärin, koska tämä ratkaisu ei täytä ehtoa t∈ K , t> 0 .

Toinen esimerkki. Jos ratkaisimme ongelman, jossa vaadittiin tiettyä työtä suorittavien ihmisten lukumäärä, merkitsemme tätä lukua muuttujalla x. Tällaiseen ongelmaan ratkaisua etsittäisiin kuvauspaikalta luonnolliset luvut

x ∈ N

Itse asiassa ihmisten lukumäärä on kokonaisluku, kuten 2 henkilöä, 3 henkilöä, 5 henkilöä. Mutta ei 1,5 (yksi koko ihminen ja puoli henkilöä) tai 2,3 (kaksi kokonaista ihmistä ja vielä kolme kymmenesosaa henkilöstä).

Tässä voitaisiin osoittaa, että ihmisten lukumäärän on oltava suurempi kuin nolla, mutta luvut sisältyvät luonnollisten lukujen joukkoon N ovat itse positiivisia ja suurempia kuin nolla. Tämä sarja ei negatiivisia lukuja ja luku 0. Siksi lauseke x > 0 voidaan jättää pois.

Tehtävä 6. Korjaamaan koulua saapui tiimi, jossa oli 2,5 kertaa enemmän maalareita kuin puuseppiä. Pian työnjohtaja otti tiimiin neljä muuta maalaria ja siirsi kaksi kirvesmiestä toiseen esineeseen. Tämän seurauksena prikaatissa oli 4 kertaa enemmän maalareita kuin kirvesmiehiä. Kuinka monta maalaria ja kuinka monta kirvesmiestä prikaatissa oli alun perin

Päätös

Merkitse x puuseppiä, jotka saapuivat alun perin korjaamaan.

Puuseppien lukumäärä on nollaa suurempi kokonaisluku. Siksi korostamme sitä x kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon

x∈N

Maalajia oli 2,5 kertaa enemmän kuin puuseppiä. Siksi maalaajien lukumäärä merkitään 2,5x.

Ja maalaajien määrä kasvaa neljällä

Nyt puuseppien ja maalareiden lukumäärä merkitään seuraavilla lausekkeilla:

Yritetään tehdä yhtälö olemassa olevista lausekkeista:

Oikea kulho on isompi, sillä kun ryhmään lisättiin neljä maalaria lisää ja kaksi puuseppää siirrettiin toiseen esineeseen, maalareiden määrä joukkueessa osoittautui 4 kertaa enemmän kuin puuseppiä. Tasoittaaksesi vaa'at, sinun on lisättävä vasenta kulhoa 4 kertaa:

Saatiin yhtälö. Ratkaistaan ​​se:

Muuttujan kautta x puuseppien alkuperäinen lukumäärä määrättiin. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Muuttuva x vastaa 8. Joten prikaatissa oli aluksi 8 puuseppää.

Ja maalaajien lukumäärä ilmaistiin lausekkeella 2.5 x ja koska muuttujan arvo x nyt se tiedetään, niin voit laskea maalaajien lukumäärän - se on 2,5 × 8, eli 20.

Palaamme tehtävän alkuun ja varmistamme, että ehto täyttyy x∈ N. Muuttuva x on yhtä suuri kuin 8 ja luonnollisten lukujen joukon alkiot N nämä ovat kaikki numeroita, jotka alkavat 1, 2, 3 ja niin edelleen loputtomiin. Sama sarja sisältää numeron 8, jonka löysimme.

8 ∈N

Samaa voidaan sanoa maalaajien määrästä. Luku 20 kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon:

20 ∈N

Ymmärtääksesi ongelman olemuksen ja oikea kokoonpano yhtälöstä, ei ole tarpeen käyttää pienoismallia kulhojen kanssa. Voit käyttää muita malleja: segmenttejä, taulukoita, kaavioita. Voit keksiä oman mallisi, joka kuvaa hyvin ongelman ydintä.

Tehtävä 9. 30 % maidosta kaadettiin purkista. Seurauksena oli, että siihen jäi 14 litraa. Kuinka monta litraa maitoa oli alun perin tölkissä?

Päätös

Haluttu arvo on tölkin alkuperäinen litramäärä. Piirrä litramäärä viivaksi ja merkitse tämä viiva X:ksi

Sanotaan, että 30% maidosta kaadettiin purkista. Valitsemme kuvasta noin 30 %

Prosentti on määritelmän mukaan sadasosa jostakin. Jos 30% maidosta kaadettiin ulos, loput 70% jäi tölkkiin. Nämä 70 % vastaavat ongelmassa ilmoitettua 14 litraa. Valitse loput 70 % kuvasta

Nyt voit tehdä yhtälön. Muistetaan kuinka löytää luvun prosenttiosuus. Tätä varten jonkin asian kokonaismäärä jaetaan 100:lla ja tulos kerrotaan halutulla prosentilla. Huomaa, että 14 litraa, mikä on 70%, voidaan saada samalla tavalla: alkuperäinen litramäärä X jaa 100:lla ja kerro tulos 70:llä. Yhdistä tämä kaikkiin numeroon 14

Tai hanki yksinkertaisempi yhtälö: kirjoita 70 % arvoksi 0,70, kerro sitten X:llä ja rinnasta tämä lauseke 14:ään

Tämä tarkoittaa, että tölkissä oli alun perin 20 litraa maitoa.

Tehtävä 9. He ottivat kaksi metalliseosta kultaa ja hopeaa. Yhdessä näiden metallien suhde on 1:9 ja toisessa 2:3. Kuinka paljon kutakin metalliseosta tulisi ottaa, jotta saadaan 15 kg uutta metalliseosta, jossa kulta ja hopea olisivat suhteessa 1:4?

Päätös

Yritetään ensin selvittää, kuinka paljon kultaa ja hopeaa on 15 kg:ssa uutta metalliseosta. Tehtävä sanoo, että näiden metallien pitoisuuden tulee olla suhteessa 1: 4, eli yhden osan metalliseoksesta tulee olla kultaa ja neljän osan tulee olla hopeaa. Sitten seoksen osien kokonaismäärä on 1 + 4 = 5 ja yhden osan massa on 15: 5 = 3 kg.

Määritetään kuinka paljon kultaa on 15 kg:ssa metalliseosta. Voit tehdä tämän kertomalla 3 kg kullan osien lukumäärällä:

3 kg × 1 = 3 kg

Määritetään kuinka paljon hopeaa on 15 kg:ssa metalliseosta:

3 kg × 4 = 12 kg

Tämä tarkoittaa, että 15 kg painava metalliseos sisältää 3 kg kultaa ja 12 kg hopeaa. Nyt takaisin alkuperäisiin metalliseoksiin. Sinun on käytettävä jokaista niistä. Merkitse x ensimmäisen lejeeringin massa ja toisen seoksen massa voidaan merkitä 15 − x

Ilmaistaan ​​prosentteina kaikki tehtävässä annetut suhteet ja täytä niillä seuraava taulukko:

Ensimmäisessä lejeeringissä kullan ja hopean suhde on 1:9. Silloin kokonaisosat ovat 1 + 9 = 10. Näistä tulee kultaa , ja hopeaa .

Siirretään nämä tiedot taulukkoon. 10 % syötetään sarakkeen ensimmäiselle riville "kullan prosenttiosuus metalliseoksessa", 90 % syötetään myös sarakkeen ensimmäiselle riville "hopeaprosentti lejeeringissä", ja viimeisessä sarakkeessa "seoksen paino" syötä muuttuja x, koska näin merkitsimme ensimmäisen lejeeringin massaa:

Teemme saman toisen lejeeringin kanssa. Kulta ja hopea siinä ovat suhteessa 2:3. Silloin tulee yhteensä 2 + 3 = 5 osaa. Näistä kulta , ja hopeaa .

Siirretään nämä tiedot taulukkoon. 40 % syötetään sarakkeen toiselle riville "kullan prosenttiosuus metalliseoksessa", 60 % syötetään myös sarakkeen toiselle riville "hopeaprosentti lejeeringissä", ja viimeisessä sarakkeessa "seoksen paino" syötä lauseke 15 − x, koska näin merkitsimme toisen lejeeringin massaa:

Täytetään viimeinen rivi. Tuloksena oleva 15 kg painava seos sisältää 3 kg kultaa, mikä on metalliseos, ja hopea tulee olemaan metalliseos. Viimeiseen sarakkeeseen kirjoitamme tuloksena olevan seoksen 15 massa

Voit nyt kirjoittaa yhtälöitä tämän taulukon avulla. Me muistamme. Jos laskemme erikseen molempien lejeerinkien kullat ja rinnastamme tämän määrän tuloksena olevan lejeeringin kullan massaan, saamme selville, mikä arvo on x.

Ensimmäisessä kultaseoksessa oli 0,10 x, ja toisessa kultaseoksessa se oli 0,40(15 − x) . Sitten tuloksena olevassa lejeeringissä kullan massa on ensimmäisen ja toisen lejeeringin kullan massojen summa, ja tämä massa on 20% uudesta seoksesta. Ja 20% uudesta seoksesta on 3 kg kultaa, jonka olemme aiemmin laskeneet. Tuloksena saamme yhtälön 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Ratkaistaan ​​tämä yhtälö:

Aluksi läpi x olemme määrittäneet ensimmäisen lejeeringin massan. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon. Muuttuva x on yhtä suuri kuin 10. Ja merkitsimme toisen lejeeringin massaa 15 −:n kautta x, ja koska muuttujan arvo x nyt se tiedetään, niin voimme laskea toisen lejeeringin massa, se on 15 − 10 = 5 kg.

Tämä tarkoittaa, että saadaksesi uuden 15 kg painavan seoksen, jossa kultaa ja hopeaa käsitellään suhteessa 1:4, sinun on otettava 10 kg ensimmäistä ja 5 kg toista seosta.

Yhtälö voidaan tehdä käyttämällä tuloksena olevan taulukon toista saraketta. Sitten saisimme yhtälön 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Tämän yhtälön juuri on myös 10

Tehtävä 10. Malmia on kahdesta kerroksesta, joiden kuparipitoisuus on 6 % ja 11 %. Kuinka paljon huonolaatuista malmia tulisi ottaa sen saamiseksi, kun siihen sekoitetaan runsas 20 tonnia kuparia 8 %?

Päätös

Merkitse x huonon malmin massa. Koska sinun on hankittava 20 tonnia malmia, otetaan 20 rikasta malmia − x. Koska kuparipitoisuus huonossa malmissa on 6%, niin in x tonnia malmia sisältää 0,06 x tonnia kuparia. Rikkaassa malmissa kuparipitoisuus on 11%, ja 20 - x tonnia rikasta malmia tulee sisältämään 0,11(20 − x) tonnia kuparia.

Tuloksena syntyvässä 20 tonnissa malmia kuparipitoisuuden tulisi olla 8 %. Tämä tarkoittaa, että 20 tonnia kuparimalmia sisältää 20 × 0,08 = 1,6 tonnia.

Lisää lausekkeita 0.06 x ja 0,11(20 − x) ja rinnasta tämä summa 1,6:een. Saamme yhtälön 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö:

Tämä tarkoittaa, että saadaksesi 20 tonnia malmia, jonka kuparipitoisuus on 8%, sinun on otettava 12 tonnia huonoa malmia. Rikkaat vievät 20–12 = 8 tonnia.

Tehtävä 11. Kasvava keskinopeus 250 - 300 m/min, urheilija alkoi juosta matkaa 1 minuutin nopeammin. Mikä on etäisyyden pituus?

Päätös

Etäisyyden pituus (tai etäisyyden etäisyys) voidaan kuvata seuraavalla kirjainyhtälöllä:

Käytämme tämän yhtälön oikeaa puolta oman yhtälön kirjoittamiseen. Aluksi urheilija juoksi matkan nopeudella 250 metriä minuutissa. Tällä nopeudella matkan pituus kuvataan lausekkeella 250 t

Sitten urheilija nosti nopeuttaan 300 metriin minuutissa. Tällä nopeudella matkan pituus kuvataan lausekkeella 300t

Huomaa, että etäisyyden pituus on vakioarvo. Siitä tosiasiasta, että urheilija lisää nopeutta tai vähentää sitä, matkan pituus pysyy ennallaan.

Tämä mahdollistaa lausekkeen 250 rinnastamisen t lausekkeeseen 300 t, koska molemmat lausekkeet kuvaavat saman etäisyyden pituutta

250t = 300t

Mutta tehtävä sanoo, että nopeudella 300 metriä minuutissa urheilija alkoi juosta matkaa 1 minuutin nopeammin. Toisin sanoen nopeudella 300 metriä minuutissa matka-aika lyhenee yhdellä. Siksi yhtälössä 250 t= 300t oikealla puolella aikaa on vähennettävä yhdellä:

Nopeudella 250 metriä minuutissa urheilija juoksee matkan 6 minuutissa. Kun tiedät nopeuden ja ajan, voit määrittää matkan pituuden:

S= 250 × 6 = 1500 m

Ja 300 metrin nopeudella urheilija juoksee matkan t− 1 eli 5 minuutissa. Kuten aiemmin mainittiin, matkan pituus ei muutu:

S= 300 × 5 = 1500 m

Tehtävä 12. Kuljettaja ohittaa 15 km edellään olevan jalankulkijan. Kuinka monessa tunnissa ratsastaja saavuttaa jalankulkijan, jos joka tunti ensimmäinen ajaa 10 km ja toinen vain 4 km?

Päätös

Tämä tehtävä on. Se voidaan ratkaista määrittämällä lähestymisnopeus ja jakamalla ajajan ja jalankulkijan välinen alkuetäisyys tällä nopeudella.

Sulkemisnopeus määritetään vähentämällä pienempi nopeus suuremmasta:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (lähestymisnopeus)

Joka tunti 15 kilometrin matka lyhenee 6 kilometrillä. Saadaksesi selville, milloin se laskee kokonaan (kun ratsastaja saavuttaa jalankulkijan), sinun on jaettava 15 6:lla

15:6 = 2,5 tuntia

2,5 h se on kaksi kokonaista tuntia ja puoli tuntia. Ja puoli tuntia on 30 minuuttia. Joten ajaja ohittaa jalankulkijan 2 tunnissa ja 30 minuutissa.

Ratkaistaan ​​tämä ongelma yhtälön avulla.

Sen jälkeen hänen jälkeensä ratsastaja lähti tielle nopeudella 10 km / h. Ja kävelynopeus on vain 4 km/h. Tämä tarkoittaa, että ajaja ohittaa jalankulkijan jonkin ajan kuluttua. Meidän on löydettävä tämä aika.

Kun ratsastaja tavoittaa jalankulkijan, se tarkoittaa, että he ovat kulkeneet saman matkan yhdessä. Ratsastajan ja jalankulkijan kulkema matka kuvataan seuraavalla yhtälöllä:

Käytämme tämän yhtälön oikeaa puolta oman yhtälön kirjoittamiseen.

Ratsastajan kulkemaa matkaa kuvataan lausekkeella 10 t. Koska jalankulkija lähti ennen ratsastajaa ja onnistui ylittämään 15 km, hänen kuljettua matkaa kuvataan lausekkeella 4 t + 15 .

Kun ratsastaja saavuttaa jalankulkijan, molemmat ovat kulkeneet saman matkan. Tämän avulla voimme rinnastaa ratsastajan ja kävelijän kulkemat etäisyydet:

Tuloksena on yksinkertainen yhtälö. Ratkaistaan ​​se:

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Tehtävä 1. Matkustajajuna saapuu kaupungista toiseen 45 minuuttia tavarajunaa nopeammin. Laske kaupunkien välinen etäisyys, jos matkustajajunan nopeus on 48 km/h ja tavarajunan nopeus on 36 km/h.

Päätös

Junien nopeudet tässä ongelmassa mitataan kilometreinä tunnissa. Muunnamme siis tehtävässä ilmoitetut 45 minuuttia tunneiksi. 45 minuuttia on 0,75 tuntia

Merkitään muuttujan kautta aika, jonka kuluessa tavarajuna saapuu kaupunkiin t. Koska matkustajajuna saapuu tähän kaupunkiin 0,75 tuntia nopeammin, sen kulkuaika merkitään lausekkeella t - 0,75

Matkustajajuna ylitti 48( t - 0,75) km ja hyödyke 36 t km. Sikäli kuin me puhumme suunnilleen samalla etäisyydellä, rinnastamme ensimmäisen lausekkeen toiseen. Tuloksena saamme yhtälön 48(t - 0.75) = 36t . Ratkaistaan ​​se:

Lasketaan nyt kaupunkien välinen etäisyys. Tätä varten tavarajunan nopeus (36 km / h) kerrotaan sen kulkuajalla t. Muuttuva arvo t nyt tiedetään - se on kolme tuntia

36 × 3 = 108 km

Etäisyyden laskemiseen voidaan käyttää myös matkustajajunan nopeutta. Mutta tässä tapauksessa muuttujan arvo

Muuttuva arvo t on yhtä kuin 1,2. Joten autot kohtasivat 1,2 tunnin kuluttua.

Vastaus: autot kohtasivat 1,2 tunnin kuluttua.

Tehtävä 3. Tehtaan kolmessa työpajassa on yhteensä 685 työntekijää. Toisessa liikkeessä on kolme kertaa enemmän työntekijöitä kuin ensimmäisessä ja kolmannessa - 15 työntekijää vähemmän kuin toisessa. Kuinka monta työntekijää kussakin kaupassa on?

Päätös

Anna olla x Työntekijät olivat ensimmäisessä liikkeessä. Toisessa työpajassa oli kolme kertaa enemmän kuin ensimmäisessä, joten toisen pajan työntekijöiden lukumäärä voidaan ilmaista lausekkeella 3 x. Kolmannessa liikkeessä oli 15 työntekijää vähemmän kuin toisessa. Siksi kolmannen työpajan työntekijöiden lukumäärä voidaan merkitä lausekkeella 3 x - 15 .

Ongelma kertoo, että työntekijöitä oli yhteensä 685. Siksi voimme lisätä lausekkeet x, 3x, 3x - 15 ja rinnasta tämä summa numeroon 685. Tuloksena saamme yhtälön x + 3x + ( 3x - 15) = 685

Muuttujan kautta x ilmoitettiin ensimmäisen työpajan työntekijöiden lukumäärä. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon, se on yhtä kuin 100. Ensimmäisessä liikkeessä oli siis 100 työntekijää.

Toisessa työpajassa oli 3 x työntekijöitä, eli 3 × 100 = 300. Ja kolmannessa työpajassa oli 3 x - 15, eli 3 × 100 - 15 = 285

Vastaus: ensimmäisessä työpajassa oli 100 työntekijää, toisessa - 300, kolmannessa - 285.

Tehtävä 4. Kahden korjaamon tulee viikon sisällä korjata suunnitelman mukaan 18 moottoria. Ensimmäinen korjaamo toteutti suunnitelman 120 % ja toinen 125 %, joten 22 moottoria korjattiin viikossa. Mikä viikoittainen moottorin korjaussuunnitelma kullakin korjaamolla oli?

Päätös

Anna olla x moottorit piti korjata ensimmäisessä korjaamossa. Sitten toinen työpaja joutui remontoimaan 18 − x moottorit.

Koska ensimmäinen korjaamo suoritti suunnitelmansa 120%, tämä tarkoittaa, että se on korjannut 1.2 x moottorit. Ja toinen korjaamo täytti suunnitelmansa 125 %, mikä tarkoittaa, että se korjasi 1,25 (18 − x) moottorit.

Tehtävä kertoo, että 22 moottoria korjattiin. Siksi voimme lisätä lausekkeet 1,2x ja 1,25(18 − x) , rinnasta tämä summa numeroon 22. Tuloksena saamme yhtälön 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Muuttujan kautta x ilmoitettiin niiden moottoreiden lukumäärä, jotka ensimmäisen korjaamon piti korjata. Nyt olemme löytäneet tämän muuttujan arvon, se on yhtä kuin 10. Joten ensimmäinen korjaamo joutui korjaamaan 10 moottoria.

Ja lausekkeen 18 − kautta x ilmoitettiin niiden moottoreiden lukumäärä, jotka toisen korjaamon piti korjata. Joten toisen korjaamon täytyi korjata 18 − 10 = 8 moottoria.

Vastaus: ensimmäinen korjaamo piti korjata 10 moottoria ja toinen 8 moottoria.

Ongelma 5. Tavaran hinta on noussut 30 % ja on nyt 91 ruplaa. Paljonko tuote oli ennen hinnankorotusta?

Päätös

Anna olla x ruplan arvoisia tavaroita ennen hinnankorotusta. Jos hinta on noussut 30 %, se tarkoittaa, että se on noussut 0,30 x ruplaa. Hinnankorotuksen jälkeen tavarat alkoivat maksaa 91 ruplaa. Lisää x 0,30:lla x ja rinnasta tämä summa 91:een. Tuloksena saadaan yhtälö Lukua pienentämällä 10 % saatiin 45. Etsi luvun alkuperäinen arvo. x -

Vastaus: 12-prosenttisen suolaliuoksen saamiseksi sinun on lisättävä 0,25 kg 20-prosenttista liuosta 1 kg:aan 10-prosenttista liuosta.

Tehtävä 12. Annetaan kaksi suolaliuosta vedessä, joiden pitoisuudet ovat 20 % ja 30 %. Kuinka monta kilogrammaa kutakin liuosta on sekoitettava yhdessä astiassa, jotta saadaan 25 kg 25,2-prosenttista liuosta?

Päätös

Anna olla x kg ensimmäistä liuosta on otettava. Koska tarvitaan 25 kg liuosta, voidaan toisen liuoksen massaa merkitä lausekkeella 25 − x.

Ensimmäinen liuos sisältää 0,20 x kg suolaa ja toinen 0,30 (25 − x) kg suolaa. Tuloksena olevan liuoksen suolapitoisuus on 25 × 0,252 = 6,3 kg. Lisää lausekkeet 0,20x ja 0,30(25 − x) ja vertaa tämä summa arvoon 6,3. Tuloksena saamme yhtälön

Joten ensimmäinen ratkaisu on otettava 12 kg ja toinen 25 - 12 = 13 kg.

Vastaus: ensimmäinen ratkaisu sinun on otettava 12 kg ja toinen 13 kg.

Piditkö oppitunnista?
Liity joukkoomme uusi ryhmä Vkontakte ja ala vastaanottaa ilmoituksia uusista oppitunneista

Prosentin käsite esiintyy elämässämme liian usein, joten on erittäin tärkeää osata ratkaista ongelmia prosenttien avulla. Periaatteessa tämä ei ole vaikea asia, tärkeintä on ymmärtää kiinnostuneena työskentelyn periaate.

Mikä on prosentti

Toimimme 100 prosentin käsitteellä ja sen mukaisesti yksi prosentti on sadasosa tietty määrä. Ja kaikki laskelmat perustuvat jo tähän suhteeseen.

Esimerkiksi 1 % 50:stä on 0,5, 15 700:sta on 7.

Miten päättää

1. Kun tiedät, että yksi prosentti on sadasosa esitetystä luvusta, voit löytää minkä tahansa määrän vaadittuja prosenttiosuuksia. Selvyyden vuoksi yritetään löytää 6 prosenttia luvusta 800. Tämä tehdään yksinkertaisesti.
   • Ensin löydämme yhden prosentin. Voit tehdä tämän jakamalla 800 100:lla. Osoittautuu, että 8.
   • Nyt kerromme tämän yhden prosentin, eli 8, tarvitsemallamme prosentilla, eli 6:lla. Siitä tulee 48.
   • Korjaa tulos toistamalla.

   15 % 150:stä. Ratkaisu: 150/100*15=22.

   28 % 1582:sta. Ratkaisu: 1582/100*28=442.

2. On muitakin ongelmia, kun sinulle annetaan arvot, ja sinun on löydettävä prosenttiosuudet. Tiedät esimerkiksi, että kaupassa on 5 punaiset ruusut 75 valkoisesta, ja sinun on selvitettävä, kuinka monta prosenttia on helakanpunaista. Jos emme tiedä tätä prosenttiosuutta, merkitsemme sitä x:llä.

   Tälle on kaava: 75 - 100 %

   Tässä kaavassa luvut kerrotaan ristiin, eli x \u003d 5 * 100/75. Osoittautuu, että x \u003d 6% Joten punaisten ruusujen prosenttiosuus on 6%.

3. Prosentteille on olemassa toisenlainen ongelma, kun sinun on löydettävä kuinka monta prosenttia yksi luku on suurempi tai pienempi kuin toinen. Kuinka ratkaista prosenttiongelmia tässä tapauksessa?

   Luokassa on 30 oppilasta, joista 16 on poikia. Kysymys kuuluu, kuinka monta prosenttia pojista on enemmän kuin tyttöjä. Ensin sinun on laskettava, kuinka suuri prosenttiosuus opiskelijoista on poikia, sitten sinun on selvitettävä, kuinka suuri prosenttiosuus tytöistä. Ja lopulta löytää ero.

   Joten aloitetaan. Teemme osuuden 30 tilistä. - 100 %

   16 tiliä -X %

   Nyt lasketaan. X=16*100/30, x=53,4 % luokan kaikista oppilaista on poikia.

   Etsi nyt samassa luokassa olevien tyttöjen prosenttiosuus. 100-53,4 = 46,6 %

Nyt on vain löydettävä ero. 53,4-46,6 = 6,8 %. Vastaus: poikia on enemmän kuin tyttöjä 6,8 %.

Avainkohdat kiinnostuksen kohteiden ratkaisemisessa

Muista siis muutama perussääntö, jotta sinulla ei ole ongelmia prosenttiongelmien ratkaisemisessa:

1. Jotta et joutuisi hämmentymään prosenttiongelmiin, ole aina valppaana: siirry tarvittaessa tietystä arvoista prosenttiosuuksiin ja päinvastoin. Pääasia, ettei koskaan sekoita toisiaan keskenään.
2. Ole varovainen laskeessasi prosentteja. On tärkeää tietää, mistä tietystä arvosta sinun on laskettava. Peräkkäisissä arvojen muutoksissa prosenttiosuus lasketaan viimeisestä arvosta.
3. Ennen kuin kirjoitat vastauksen muistiin, lue koko tehtävä uudelleen, koska voi olla, että olet löytänyt vain välivastauksen ja sinun on suoritettava vielä yksi tai kaksi toimenpidettä.

Siten ongelmien ratkaiseminen prosenteilla ei ole niin vaikea asia, tärkeintä siinä on tarkkaavaisuus ja tarkkuus, kuten kaikessa matematiikassa. Ja älä unohda, että harjoittelua tarvitaan kaikkien taitojen parantamiseksi. Joten päätä enemmän, niin kaikki on hyvin tai jopa erinomaista sinulle.