សេចក្តីផ្តើម

1. ផ្នែកទ្រឹស្តី

1.1 គោលគំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន

1.3 រូបមន្ត Cardano

2. ការដោះស្រាយបញ្ហា

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សេចក្តីផ្តើម

សមីការ។ អាច​និយាយ​បាន​យ៉ាង​ប្រាកដ​ថា​មិន​មាន​មនុស្ស​តែ​ម្នាក់​ដែល​មិន​ស្គាល់​ពួកគេ​នោះ​ទេ។ តាំងពីក្មេងមក កុមារចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហា "ជាមួយ X" ។ បន្ថែមទៀត។ ពិតហើយ សម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ការស្គាល់សមីការបញ្ចប់ដោយកិច្ចការសាលា។ គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីឈ្មោះ Courant បានសរសេរថា “អស់រយៈពេលជាងពីរពាន់ឆ្នាំមកនេះ ការកាន់កាប់របស់មួយចំនួន មិនមែនហួសហេតុពេកទេ ចំណេះដឹងក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាគឺចាំបាច់ណាស់។ ផ្នែកសំខាន់នៅក្នុងសារពើភ័ណ្ឌបញ្ញារបស់នីមួយៗ មនុស្សដែលមានការអប់រំ"។ ហើយក្នុងចំណោមចំណេះដឹងនេះគឺសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។

នៅសម័យបុរាណ មនុស្សបានដឹងថាវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាក្នុងការរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃទម្រង់

a0xn + a1xn ​​​​− 1 + ... + an = 0

យ៉ាងណាមិញ សំណួរជាច្រើន និងចម្រុះនៃការអនុវត្ត និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិត្រូវបានកាត់បន្ថយចំពោះពួកគេ (ជាការពិតណាស់ នៅទីនេះយើងអាចសន្មត់បានភ្លាមៗថា a0 ¹ 0 ព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ កម្រិតនៃសមីការគឺពិតជាមិនមែន n ប៉ុន្តែតិចជាង)។ ជាការពិតណាស់ មនុស្សជាច្រើនបានបង្កើតគំនិតល្បួងដើម្បីស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ថាមពលណាមួយនៃ n ដែលនឹងបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា ពោលគឺនឹងដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ "យុគសម័យកណ្តាលដ៏អាប់អួរ" ប្រែទៅជាអាប់អួរតាមដែលអាចធ្វើទៅបានទាក់ទងនឹងបញ្ហាដែលកំពុងពិភាក្សា - អស់រយៈពេលប្រាំពីរសតវត្សទាំងមូលគ្មាននរណាម្នាក់បានរកឃើញរូបមន្តដែលត្រូវការ! មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 16 ប៉ុណ្ណោះដែលគណិតវិទូអ៊ីតាលីអាចផ្លាស់ទីបន្ថែមទៀត - ដើម្បីស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ n \u003d 3 និង 4 ។ ប្រវត្តិនៃការរកឃើញរបស់ពួកគេនិងសូម្បីតែការនិពន្ធនៃរូបមន្តដែលបានរកឃើញគឺមានភាពស្រពិចស្រពិលរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះហើយយើងនឹងមិនអាចរកឃើញទេ។ នៅទីនេះ ទំនាក់ទំនងស្មុគស្មាញរវាង Ferro, Cardano, Tartaglia និង Ferrari ប៉ុន្តែសូមដាក់វាឱ្យល្អជាង ខ្លឹមសារគណិតវិទ្យាកិច្ចការ។

គោលបំណងនៃការងារគឺដើម្បីស្វែងរកវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបី។

ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅនេះ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តការងារមួយចំនួន៖

-ការវិភាគ អក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រ;

-ការវិភាគ សៀវភៅសិក្សារបស់សាលា;

-ការជ្រើសរើសឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយ;

-ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗ។

ការងារមានពីរផ្នែក។ ទីមួយនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ។ ផ្នែកទីពីរគឺឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការ វិធី​ផ្សេង​គ្នា.

1. ផ្នែកទ្រឹស្តី

1 គំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន

សមីការគូបគឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីបីនៃទម្រង់៖

លេខ x ដែលប្រែសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ឫស ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការ។ វាក៏ជាឫសគល់នៃពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញា Canonical ។

លើវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច យោងតាមទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិត សមីការគូបតែងតែមានឫស 3 (គិតគូរពីគុណ)។

ចាប់តាំងពីគ្រប់ពហុនាមពិតប្រាកដគឺមិនមែនទេ។ សញ្ញាបត្រមានឫសពិតប្រាកដយ៉ាងហោចណាស់មួយ ករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃសមាសភាពនៃឫស សមីការគូបហត់នឿយដោយទាំងបីដែលបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។ ករណីទាំងនេះត្រូវបានសម្គាល់យ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើអ្នករើសអើង

ដូច្នេះមានតែករណីបីដែលអាចកើតមាន៖

បើ​មួយ? > 0 បន្ទាប់មកសមីការមានឫសពិតបីផ្សេងគ្នា។

បើ​មួយ?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

បើ​មួយ? = 0 បន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់ឫសពីរស្របគ្នា។ នេះអាចជាពេលដែលសមីការមានឫសពិតពីរដង និងឫសពិតមួយទៀតខុសពីពួកវា។ ឬឫសទាំងបីស្របគ្នា បង្កើតជាឫសនៃពហុគុណ 3. លទ្ធផលនៃសមីការគូប និងដេរីវេទីពីររបស់វាជួយបំបែកករណីទាំងពីរនេះ៖ ពហុធាមានឫសនៃគុណ 3 ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែលទ្ធផលដែលបានចង្អុលបង្ហាញក៏ សូន្យ.

ឫសគល់នៃសមីការគូបគឺទាក់ទងទៅនឹងមេគុណដូចខាងក្រោម៖

1.2 វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប

វិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបគឺវិធីសាស្ត្ររាប់បញ្ចូល។

ជាដំបូង ដោយការរាប់លេខ យើងរកឃើញឫសគល់មួយនៃសមីការ។ ការពិតគឺថាសមីការគូបតែងតែមាន យ៉ាងហោចណាស់ឫសពិតមួយ ហើយឫសទាំងមូលនៃសមីការគូបដែលមានមេគុណចំនួនគត់ គឺជាអ្នកចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ d ។ មេគុណនៃសមីការទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះឫសដែលចង់បានស្ថិតនៅក្នុងចំណោមចំនួនគត់តូចៗដូចជា៖ 0, ± 1, ± 2, ± 3។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងស្វែងរកឫសក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ ហើយពិនិត្យមើលវាដោយជំនួសវាទៅជា សមីការ។ អត្រាជោគជ័យជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះគឺខ្ពស់ណាស់។ ចូរសន្មត់ថាឫសនេះ។

ដំណាក់កាលទីពីរនៃដំណោះស្រាយគឺការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial x − x1 ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ការបែងចែកនេះដោយគ្មានសល់គឺអាចធ្វើទៅបាន ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ ដែលត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ ទទួលបានដំណោះស្រាយ សមីការ​ការ៉េយើងនឹងរកឃើញ (ឬអត់) ឫសពីរដែលនៅសល់។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបពីររយៈ

សមីការគូបពីរមានទម្រង់ (2)

សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដោយបែងចែកដោយមេគុណមិនសូន្យ A ។ បន្ទាប់មក រូបមន្តសម្រាប់គុណសង្ខេបនៃផលបូកគូបត្រូវបានអនុវត្ត៖

ពីតង្កៀបទីមួយដែលយើងរកឃើញ ហើយត្រីកោណការ៉េមានតែមួយគត់ ឫសស្មុគស្មាញ.

សមីការគូបដែលកើតឡើងដដែលៗ

សមីការគូបទៅវិញទៅមកមានទម្រង់ និង B-coefficients ។

តោះក្រុម៖

ជាក់ស្តែង x=-1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការបែបនេះ ហើយឫសនៃលទ្ធផល ត្រីកោណការ៉េត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលតាមរយៈអ្នករើសអើង។

1.3 រូបមន្ត Cardano

អេ ករណីទូទៅឫសនៃសមីការគូបត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត Cardano ។

សម្រាប់សមីការគូប (1) តម្លៃត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើការជំនួស៖ x= (2) ហើយសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖

សមីការគូបមិនពេញលេញដែលវានឹងមិនមានពាក្យដែលមានសញ្ញាបត្រទីពីរទេ។

យើងសន្មត់ថាសមីការមានមេគុណ លេខស្មុគស្មាញ. សមីការនេះនឹងតែងតែមានឫសស្មុគស្មាញ។

ចូរសម្គាល់ឫសមួយក្នុងចំណោមឫសទាំងនេះ៖ . យើងណែនាំជំនួយមិនស្គាល់ u ហើយពិចារណាពហុនាម f(u)= ។

ចូរកំណត់ឫសគល់នៃពហុនាមនេះតាមរយៈ? និង? យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Viette (សូមមើលទំព័រ 8)៖

ជំនួសក្នុងសមីការ (៣) កន្សោម (៤) យើងទទួលបាន៖

ពីផ្នែកម្ខាងទៀតនៃ (5): (7)

វាធ្វើតាមពីទីនេះ ឧ. ពីរូបមន្ត (៦), (៧) ដែលលេខជាឫសគល់នៃសមីការ៖

ពីសមីការចុងក្រោយ៖

ឫសពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

1.4 រូបមន្តត្រីកោណមាត្រវីតា

រូបមន្តនេះស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគូបដែលបានកាត់បន្ថយ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់

ជាក់ស្តែង សមីការគូបណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃទម្រង់ (4) ដោយគ្រាន់តែបែងចែកវាដោយមេគុណ a ។ ដូច្នេះ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់អនុវត្តរូបមន្តនេះ៖

គណនា

2. គណនា

3. ក) ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកគណនា

ហើយសមីការរបស់យើងមានឫស 3 (ពិត)៖

ខ) ប្រសិនបើបន្ទាប់មកជំនួស អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអ៊ីពែរបូល

គណនា

បន្ទាប់មកឫសតែមួយគត់ (ពិត)៖

ឫសស្រមើលស្រមៃ៖

គ) ប្រសិនបើ នោះសមីការមានតិចជាងបី ដំណោះស្រាយផ្សេងៗ:

2. ការដោះស្រាយបញ្ហា

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការគូប

យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់គុណសង្ខេបនៃភាពខុសគ្នានៃគូប៖

ពីតង្កៀបទីមួយយើងឃើញថាត្រីកោណការ៉េនៅក្នុងតង្កៀបទីពីរមិនមានទេ។ ឫសពិតដោយសារតែអ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ

សមីការនេះគឺទៅវិញទៅមក។ តោះក្រុម៖

គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ

ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកឫសនៃសមីការគូប

ចូរបំប្លែងសមីការទៅជាកាត់បន្ថយមួយ៖ គុណនឹងផ្នែកទាំងពីរ ហើយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

សមាជិកឥតគិតថ្លៃគឺ 36។ ចូរសរសេរការបែងចែករបស់វាទាំងអស់៖

យើងជំនួសពួកគេទៅជាសមភាពរហូតដល់យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ:

ដូច្នេះហើយជាឫសគល់។ វាត្រូវគ្នា។

បែងចែកដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

មេគុណពហុនាម2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

យើង​ទទួល​បាន

ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ៖

ជាក់ស្តែង នោះគឺឫសច្រើនរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការ

គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ។

ចាប់តាំងពីអ្នករើសអើង តិចជាងសូន្យបន្ទាប់មក trinomial មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

ឧទាហរណ៍ 5. រកឫសនៃសមីការគូប 2 ។

អាស្រ័យហេតុនេះ

យើងជំនួសរូបមន្ត Cardano៖

យកតម្លៃបី។ ចូរយើងសរសេរពួកវាចុះ។

នៅពេលដែលយើងមាន

នៅពេលដែលយើងមាន

នៅពេលដែលយើងមាន

ចូរបំបែកតម្លៃទាំងនេះទៅជាគូ ដែលនៅក្នុងផលិតផលផ្តល់ឱ្យ

គូទីមួយនៃតម្លៃនិង

គូទីពីរនៃតម្លៃនិង

គូទីបីនៃតម្លៃនិង

ត្រឡប់ទៅ រូបមន្ត Cardano វិញ

ដូច្នេះ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សមីការត្រីភាគីគូប

ជាលទ្ធផលនៃការប្រតិបត្តិ ក្រដាសពាក្យវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដូចជា វិធីសាស្ត្ររាប់លេខ រូបមន្ត Carano រូបមន្តរបស់ Vieta វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការពីរអាណត្តិ។

បញ្ជីប្រភពដែលបានប្រើ

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស", M., 1986 ។

2)Kolmogorov A.N. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩ វិទ្យាល័យ, 1977.

)Omelchenko V.P. គណិតវិទ្យា៖ ការបង្រៀន/ V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova ។ - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380s ។

ការបង្រៀន

ត្រូវការជំនួយក្នុងការរៀនប្រធានបទមួយ?

អ្នកជំនាញរបស់យើងនឹងផ្តល់ប្រឹក្សា ឬផ្តល់សេវាកម្មបង្រៀនលើប្រធានបទដែលអ្នកចាប់អារម្មណ៍។
ដាក់ស្នើកម្មវិធីបង្ហាញពីប្រធានបទឥឡូវនេះ ដើម្បីស្វែងយល់អំពីលទ្ធភាពនៃការទទួលបានការពិគ្រោះយោបល់។

គោលដៅមេរៀន។

1. ដើម្បីបង្កើនចំណេះដឹងរបស់សិស្សលើប្រធានបទ "ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង" និងសង្ខេបសម្ភារៈអប់រំ។
2. ដើម្បីណែនាំសិស្សអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។
3. ដើម្បីបង្រៀនសិស្សឱ្យអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកនៅពេលដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។
4. ដើម្បីបង្រៀនសិស្សពីរបៀបបែងចែកពហុនាមទៅជាពហុនាមដោយ "ជ្រុង" ។
5. អភិវឌ្ឍជំនាញ និងសមត្ថភាពដើម្បីធ្វើការជាមួយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។

អភិវឌ្ឍន៍៖

1. ការអភិវឌ្ឍការយកចិត្តទុកដាក់របស់សិស្ស។
2. ការអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពដើម្បីសម្រេចបាននូវលទ្ធផលការងារ។
3. ការអភិវឌ្ឍន៍ចំណាប់អារម្មណ៍ក្នុងការរៀនពិជគណិត និងជំនាញការងារឯករាជ្យ។

ការចិញ្ចឹមបីបាច់៖

1. បង្កើនអារម្មណ៍នៃសមូហភាព។
2. ការបង្កើតអារម្មណ៍នៃការទទួលខុសត្រូវចំពោះលទ្ធផលនៃការងារ។
3. ការបង្កើតនៅក្នុងសិស្ស ការគោរពខ្លួនឯងគ្រប់គ្រាន់នៅពេលជ្រើសរើសសញ្ញាសម្គាល់សម្រាប់ការងារនៅក្នុងមេរៀន។

ឧបករណ៍៖ កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ពេលវេលារៀបចំ។

2 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ការលើកទឹកចិត្ត និងការដោះស្រាយបញ្ហា

សមីការមួយនៃ គំនិតសំខាន់បំផុតគណិតវិទ្យា។ ការបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ ចាប់ផ្តើមពីកំណើតនៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ យូរគឺជាប្រធានបទសំខាន់នៃការសិក្សាពិជគណិត។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សាគណិតវិទ្យា ការយកចិត្តទុកដាក់ជាច្រើនត្រូវបានយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការប្រភេទផ្សេងៗ។ រហូតដល់ថ្នាក់ទីប្រាំបួន យើងអាចដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ សមីការទី ៣ ទី ៤ ។ល។ ដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង។ នៅក្នុងថ្នាក់ទីប្រាំបួន យើងបានស្គាល់នូវបច្ចេកទេសជាមូលដ្ឋានចំនួនពីរសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមួយចំនួននៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4៖ កត្តាពហុធាទៅជាកត្តា និងការប្រើប្រាស់ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

តើអាចដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះបានទេ? យើងនឹងព្យាយាមស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរនេះនៅថ្ងៃនេះ។

3 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ពិនិត្យឡើងវិញនូវសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន។ ណែនាំគោលគំនិតនៃសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

1) ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

លីនេអ៊ែរ គឺជាសមីការនៃទម្រង់ ដែលតាមនិយមន័យ។ សមីការនេះមានឫសតែមួយ។

2) ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។

សមីការនៃទម្រង់ កន្លែងណា។ ចំនួនឫស និងឫសខ្លួនឯងត្រូវបានកំណត់ដោយការរើសអើងនៃសមីការ។ សម្រាប់សមីការមិនមានឫសទេ ព្រោះមានឫសមួយ (ពីរ ឫសដូចគ្នា។)

ព្រោះវាមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

ពីសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណដែលបានពិចារណា យើងឃើញថាចំនួនឫសនៃសមីការគឺមិនលើសពីដឺក្រេរបស់វាទេ។ នៅក្នុងវគ្គនៃពិជគណិតខ្ពស់ជាងនេះ វាត្រូវបានបង្ហាញថាសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រ -th មិនមានឫសច្រើនជាង n ទេ។ ចំពោះឫសខ្លួនឯង ស្ថានភាពកាន់តែស្មុគស្មាញ។ សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទីបី និងទីបួន រូបមន្តត្រូវបានគេស្គាល់សម្រាប់ការស្វែងរកឫស។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ រូបមន្តទាំងនេះមានភាពស្មុគស្មាញ និងស្មុគស្មាញខ្លាំង ការអនុវត្តជាក់ស្តែងកុំមាន។ សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទីប្រាំ និងខ្ពស់ជាងនេះ មិនមានរូបមន្តទូទៅ និងមិនអាចមានទេ (ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងសតវត្សទី 19 ដោយ N. Abel និង E. Galois)។

យើងនឹងហៅសមីការទីបី ទីបួន ។ល។ ដឺក្រេដោយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង។ សមីការមួយចំនួន សញ្ញាបត្រខ្ពស់។អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើបច្ចេកទេសសំខាន់ពីរ៖ កត្តាពហុធាទៅជាកត្តា ឬប្រើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

3) ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូប។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការគូប

យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃពហុនាមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយដាក់បញ្ចូលវា។ យើង​ទទួល​បាន:

ផលិតផលនៃកត្តាគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើកត្តាមួយស្មើនឹងសូន្យ។ យើងទទួលបានសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបី៖

ដូច្នេះ សមីការគូបនេះមានឫសបី៖ ; .

4) ដំណោះស្រាយនៃសមីការ biquadratic ។

សមីការ biquadratic គឺជារឿងធម្មតាណាស់ដែលមានទម្រង់ (ឧ. សមីការដែលមានរាងបួនជ្រុងទាក់ទងនឹង )។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកវា អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ។

យើងនឹងសម្រេចចិត្ត សមីការ biquadratic.

សូមណែនាំអថេរថ្មី និងទទួលបានសមីការបួនជ្រុង ដែលឫសរបស់វាជាលេខ និង ៤។

ចូរយើងត្រលប់ទៅអថេរចាស់ ហើយទទួលបានសមីការការ៉េសាមញ្ញពីរ៖

(ឫស និង ) (ឫស និង )

ដូច្នេះ សមីការ​ទ្វេ​ជ្រុង​នេះ​មាន​ឫស​បួន​៖

; ;.

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីខាងលើ។

បរាជ័យ!!!

4 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ ផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខ្លះអំពីឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល ពហុនាម នសញ្ញាបត្រ

នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួនអំពីឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់៖

1) ពហុធានៃសញ្ញាបត្រទី មានឫសភាគច្រើន (ដោយគិតគូរពីគុណរបស់វា)។ ឧទាហរណ៍ ពហុធាដឺក្រេទីបីមិនអាចមានឫសបួនទេ។

2) ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។ ឧទាហរណ៍ ពហុនាមនៃទីមួយ ទីបី ទីប្រាំ ។ល។ ដឺក្រេមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។ ពហុនាមនៃដឺក្រេគូអាចមានឬគ្មានឫស។

3) ប្រសិនបើនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក តម្លៃនៃពហុធាមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា (ឧ។ ) បន្ទាប់មកចន្លោះពេលមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃពហុធា។

4) ប្រសិនបើលេខគឺជាឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់ នោះពហុធានេះអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផល ដែលពហុធា (-th degree ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ពហុនាមនៃទម្រង់អាចបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយសញ្ញាប័ត្រ។ binomial នេះអនុញ្ញាតឱ្យសមីការនៃដឺក្រេទី th ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ (-th degree (កាត់បន្ថយដឺក្រេនៃសមីការ) ។

5) ប្រសិនបើសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ទាំងអស់ (លើសពីនេះទៅទៀត ពាក្យឥតគិតថ្លៃ) មានឫសចំនួនគត់ នោះឫសនេះគឺជាផ្នែកនៃពាក្យសេរី។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជ្រើសរើសឫសទាំងមូលនៃពហុនាម (ប្រសិនបើវាមាន) ។

5 ដំណាក់កាលនៃការងារ។ បង្ហាញពីរបៀបដែលទ្រឹស្ដីបែងចែកត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានបែងចែកដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពហុធាដោយពហុធាដោយ "ជ្រុង" ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ .

ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសចំនួនគត់ នោះវាគឺជាការបែងចែកនៃពាក្យសេរី (-1) ពោលគឺឧ។ ស្មើនឹងចំនួនលេខមួយ៖ . ការត្រួតពិនិត្យបង្ហាញថាឫសនៃសមីការគឺជាលេខ -1 ។ ដូច្នេះពហុនាមអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផល, i.e. ពហុធា​អាច​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ទ្វេ​នាម​ដោយ​គ្មាន​សល់។ ចូរអនុវត្តការបែងចែកខាងក្រោមដោយ "ជ្រុង"៖

ដូច្នេះ យើងពិតជាបានបំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាកត្តា៖

ផលិតផលនៃកត្តាគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើកត្តាមួយស្មើនឹងសូន្យ។ យើងទទួលបានសមីការពីរ។

Simonyan Albina

ក្រដាសនេះពិចារណាអំពីបច្ចេកទេស និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប។ ការអនុវត្តរូបមន្ត Cardano សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យា។

ទាញយក៖

មើលជាមុន៖

MOU DOD វិមាននៃការច្នៃប្រឌិតសម្រាប់កុមារ និងយុវជន

ដុន បណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសម្រាប់អ្នកស្រាវជ្រាវវ័យក្មេង

ផ្នែក៖ គណិតវិទ្យា - ពិជគណិត និងទ្រឹស្តីលេខ

ស្រាវជ្រាវ

"សូមក្រឡេកមើលពិភពនៃរូបមន្ត"

លើប្រធានបទនេះ។ "ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3"

អ្នកគ្រប់គ្រង៖ គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk ឆ្នាំ ២០១០

1. សេចក្តីផ្តើម……………………………………………………………………………….៣
2. ផ្នែកសំខាន់………………………………………………………………… ៤
3. ផ្នែកជាក់ស្តែង…………………………………………………… ១០-១៣
4. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ……………………………………………………………………………… ១៤
5. អក្សរសិល្ប៍…………………………………………………………………..១៥
6. កម្មវិធី

1 ។ សេចក្ដីណែនាំ

ទទួលបានការអប់រំគណិតវិទ្យា សាលាអប់រំទូទៅ, គឺជា សមាសធាតុសំខាន់ ការអប់រំទូទៅនិងវប្បធម៌ទូទៅ បុរសសម័យទំនើប. ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញមនុស្សម្នាក់ត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាក្នុងមធ្យោបាយមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ ប៉ុន្តែ សមិទ្ធិផលថ្មីៗនៅក្នុងរូបវិទ្យា, បច្ចេកវិទ្យា, ព​ត៌​មាន​វិទ្យាទុកឱ្យមានការសង្ស័យថាអ្វីៗនឹងនៅដដែលនាពេលអនាគត។ ដូច្នេះការសម្រេចចិត្តរបស់មនុស្សជាច្រើន ភារកិច្ចជាក់ស្តែងមក​ដល់​ការ​សម្រេច​ចិត្ត ប្រភេទផ្សេងៗសមីការដើម្បីរៀនពីរបៀបដោះស្រាយ។ សមីការលីនេអ៊ែរសញ្ញាបត្រទី 1 យើងត្រូវបានបង្រៀនឱ្យចេះដោះស្រាយនៅថ្នាក់ទី 1 ហើយយើងមិនសូវចាប់អារម្មណ៍នឹងពួកគេទេ។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បន្ថែមទៀត សមីការមិនលីនេអ៊ែរ- សមីការ ដឺក្រេធំជាង. គណិតវិទ្យាបង្ហាញពីសណ្តាប់ធ្នាប់ ស៊ីមេទ្រី និងភាពប្រាកដប្រជា ហើយនេះគឺ ប្រភេទខ្ពស់ជាងស្រស់ស្អាត។

គោលបំណងនៃគម្រោងរបស់ខ្ញុំ "តោះមើលពិភពលោកនៃរូបមន្ត" លើប្រធានបទ "ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបនៃសញ្ញាបត្រទីបី" គឺដើម្បីរៀបចំចំណេះដឹងជាប្រព័ន្ធអំពីរបៀបដោះស្រាយសមីការគូប ដើម្បីបង្កើតការពិតនៃអត្ថិភាពនៃរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរក។ ឫសនៃសមីការនៃដឺក្រេទីបី ក៏ដូចជាទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៅក្នុងសមីការគូប។ នៅក្នុងថ្នាក់រៀន យើងបានដោះស្រាយសមីការ ទាំងគូប និងដឺក្រេខ្ពស់ជាង 3 ។ ការដោះស្រាយសមីការ វិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាយើងបានបន្ថែម ដក គុណ មេគុណបែងចែក លើកពួកវាទៅជាថាមពល និងដកឫសចេញពីពួកវា ក្នុងរយៈពេលខ្លី អនុវត្ត សកម្មភាពពិជគណិត. មានរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ តើ​មាន​រូបមន្ត​សម្រាប់​ដោះស្រាយ​សមីការ​នៃ​សញ្ញាប័ត្រ​ទី​បី​ទេ ឧ. ការចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងលំដាប់មួយណា និងប្រតិបត្តិការពិជគណិតណាមួយត្រូវតែអនុវត្តជាមួយនឹងមេគុណដើម្បីទទួលបានឫស។ វាបានក្លាយជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ខ្ញុំដើម្បីដឹងថាតើគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញព្យាយាមស្វែងរក រូបមន្តទូទៅសាកសមសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប? ហើយ​ប្រសិនបើ​ពួកគេ​ព្យាយាម តើ​ពួកគេ​អាច​ទទួលបាន​ការបញ្ចេញមតិ​នៃ​ឫស​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​មេគុណ​នៃ​សមីការ​ដែរ​ឬ​ទេ?

2. តួសំខាន់:

នៅគ្រាដ៏ឆ្ងាយនោះ ពេលដែលអ្នកប្រាជ្ញចាប់ផ្តើមគិតអំពីសមភាពដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់ ប្រហែលជាមិនមានកាក់ ឬកាបូបនៅឡើយ។ នៅសម័យបុរាណ បញ្ហាគណិតវិទ្យាមេសូប៉ូតាមៀ ឥណ្ឌា ចិន ក្រិក មិនស្គាល់បរិមាណបង្ហាញពីចំនួនសត្វក្ងោកនៅក្នុងសួនច្បារ ចំនួនគោឈ្មោលនៅក្នុងហ្វូង សរុបនៃវត្ថុដែលត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបែងចែកទ្រព្យសម្បត្តិ។ ប្រភពដែលបានចុះមកយើងបង្ហាញថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របុរាណមានមួយចំនួន ល្បិចទូទៅដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយបរិមាណមិនស្គាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនក្រដាសតែមួយទេ មិនមែនតែមួយទេ។ ថេប្លេតដីឥដ្ឋមិនមានការពិពណ៌នាអំពីបច្ចេកទេសទាំងនេះទេ។ ករណីលើកលែងគឺ "នព្វន្ធ" របស់គណិតវិទូជនជាតិក្រិច Diophantus of Alexandria (សតវត្សទី III) - បណ្តុំនៃបញ្ហាសម្រាប់ការចងក្រងសមីការជាមួយនឹងការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មគ្គុទ្ទេសក៍ដោះស្រាយបញ្ហាដំបូងដែលត្រូវទទួល ប្រជាប្រិយភាពយ៉ាងទូលំទូលាយគឺជាស្នាដៃរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របាកដាដនៃសតវត្សទី 9 ។ លោក Muhammad bin Musa al-Khwarizmi ។

ដូច្នេះ​ខ្ញុំ​មាន​គំនិត​ក្នុង​ការ​បង្កើត​គម្រោង "តោះ​មើល​ទៅ​ក្នុង​ពិភព​នៃ​រូបមន្ត..." សំណួរ​មូលដ្ឋាន គម្រោងនេះ។ក្លាយជា៖

1. ការបង្កើតថាតើមានរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប។
2. ក្នុងករណីចម្លើយវិជ្ជមាន ការស្វែងរករូបមន្តដែលបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការគូបក្នុងន័យនៃចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើមេគុណរបស់វា។

ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា និងសៀវភៅផ្សេងទៀតអំពីគណិតវិទ្យា ហេតុផល និងភស្តុតាងភាគច្រើនមិនត្រូវបានអនុវត្តនៅលើ ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង, និងនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅបន្ទាប់មក ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តរកមើលឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ដែលបញ្ជាក់ ឬបដិសេធគំនិតរបស់ខ្ញុំ។ ក្នុងការស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយដែលធ្លាប់ស្គាល់សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ការដោះស្រាយសមីការ x 3 + 2x 2 − 5x −6=0 singled ចេញ គូបពេញអនុវត្តរូបមន្ត (x + ក) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . ដើម្បីជ្រើសរើសគូបពេញពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដែលខ្ញុំបានយក ខ្ញុំបានប្រែក្លាយ 2x ទៅក្នុងវា។ 2 ក្នុង 3x2 និងទាំងនោះ។ ខ្ញុំកំពុងស្វែងរកបែបនេះ ដូច្នេះសមភាពគឺជាការពិត 2x 2 \u003d 3x 2 ក . វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាថា a = . បានផ្លាស់ប្តូរផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះ។ដូចខាងក្រោមៈ x 3 + 2x 2 −5x−6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) − 3x ។ − − 5x − 6 = (x+) ៣ - 6x - 6 ខ្ញុំបានធ្វើការជំនួស y \u003d x +, i.e. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; នៅ 3 - 6y + 4- 6=0; សមីការដើមមានទម្រង់៖ 3 - 6y − 2=0; វាមិនមែនជាសមីការដ៏ស្រស់ស្អាតទេ ព្រោះជំនួសឱ្យមេគុណចំនួនគត់ ឥឡូវនេះខ្ញុំមានប្រភាគ ទោះបីជាពាក្យនៃសមីការដែលមានការេមិនស្គាល់បានបាត់ទៅហើយ! តើខ្ញុំជិតដល់គោលដៅរបស់ខ្ញុំទេ? យ៉ាងណាមិញ ពាក្យ​ដែល​មាន​អំណាច​ដំបូង​របស់​អ្នក​មិន​ស្គាល់​នៅ​តែ​មាន។ ប្រហែលជាចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសគូបពេញលេញដើម្បីឱ្យពាក្យ - 5x បាត់? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . បានរកឃើញអ្វីមួយដូចនេះ 3a 2 x \u003d -5x; ទាំងនោះ។ ទៅ 2 = - ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាបានប្រែទៅជាអាក្រក់ណាស់ - នៅក្នុងសមភាពនេះនៅខាងឆ្វេងគឺ លេខវិជ្ជមានហើយនៅខាងស្តាំគឺអវិជ្ជមាន។ មិនអាចមានសមភាពបែបនេះទេ។ រហូត​មក​ដល់​ពេល​នេះ ខ្ញុំ​មិន​អាច​ដោះស្រាយ​សមីការ​បាន​ទេ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​យក​វា​មក​ដាក់​ក្នុង​ទម្រង់​ប៉ុណ្ណោះ។ 3 - 6y − 2=0 ។

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការងាររបស់ខ្ញុំ ដំណាក់កាលដំបូង៖ អាច​ដក​ពាក្យ​ដែល​មាន​សញ្ញាប័ត្រ​ទីពីរ​ចេញ​ពី​សមីការ​គូប ឧ. ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ សមីការ Canonicalអូ 3 + ក្នុង 2 + cx + d បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការគូបមិនពេញលេញ x 3 +px+q=0។ បន្ទាប់មកធ្វើការជាមួយផ្សេងគ្នា អក្សរសិល្ប៍យោង, ខ្ញុំអាចរកឃើញថាសមីការនៃទម្រង់ x 3 + px \u003d q បានគ្រប់គ្រងដើម្បីដោះស្រាយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Dal Ferro (1465-1526) ។ ហេតុអ្វីសម្រាប់ប្រភេទនេះ និងមិនមែនសម្រាប់ប្រភេទ x 3 + px + q \u003d 0? នេះ​គឺជា ដោយសារតែនៅពេលនោះ លេខអវិជ្ជមានមិនទាន់ត្រូវបានណែនាំទេ ហើយសមីការត្រូវបានពិចារណាតែជាមួយមេគុណវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ហើយចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេទទួលស្គាល់បន្តិចក្រោយមក។ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ៖Dal Ferro បានជ្រើសរើសជម្រើសជាច្រើនដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គាត់បានវែកញែកដូចនេះ៖ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េគឺ - ± i.e. មានទម្រង់៖ x=t ±។ នេះមានន័យថាឫសនៃសមីការគូបគួរតែជាផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខមួយចំនួន ហើយប្រហែលជាក្នុងចំណោមពួកគេគួរតែមានឫសនៃសញ្ញាប័ត្រទីបី។ មួយណាពិតប្រាកដ? ក្នុងចំណោមជម្រើសជាច្រើន មនុស្សម្នាក់បានក្លាយទៅជាជោគជ័យ៖ គាត់បានរកឃើញចម្លើយក្នុងទម្រង់នៃភាពខុសគ្នាមួយ - វាកាន់តែពិបាកក្នុងការទាយថា t និង u គួរតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ = ។ ការជំនួសជំនួសឱ្យ x ភាពខុសគ្នា - និងជំនួសឱ្យ p ផលិតផលបានទទួល៖ (-) ៣ +3 (-) = q ។ តង្កៀបបានបើក៖ t - 3 +3- u+3- 3=q ។ បន្ទាប់ពីនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន៖ t-u=q ។

ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការគឺ៖

t u = () 3 t-u=q ។ ចូរលើកស្តាំ និងឆ្វេងការ៉េផ្នែកនៃសមីការទីមួយ ហើយគុណសមីការទីពីរដោយ 4 ហើយបន្ថែមសមីការទីមួយ និងទីពីរ។ 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 ពី ប្រព័ន្ធថ្មី។ t+u=2 ; t -u=q យើងមាន៖ t = + ; u = - ។ ការជំនួសកន្សោមជំនួសឱ្យ x យើងទទួលបានក្នុងអំឡុងពេលនៃការងារលើគម្រោងនេះខ្ញុំបានរៀនសម្ភារៈដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ វាប្រែថា Dal Ferro មិនបានផ្សព្វផ្សាយវិធីសាស្រ្តដែលគាត់បានរកឃើញនោះទេ ប៉ុន្តែសិស្សរបស់គាត់មួយចំនួនបានដឹងអំពីការរកឃើញនេះហើយមិនយូរប៉ុន្មានក្នុងចំណោមពួកគេគឺ Antonio Fior បានសម្រេចចិត្តប្រើវា។ក្នុង​ឆ្នាំ​នោះ ជម្លោះ​សាធារណៈ​បាន​រីក​រាល​ដាល​យ៉ាង​ខ្លាំង បញ្ហាវិទ្យាសាស្ត្រ. អ្នកឈ្នះនៃវិវាទបែបនេះជាធម្មតាទទួលបានរង្វាន់ដ៏ល្អ ពួកគេតែងតែត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យកាន់តំណែងខ្ពស់។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានៅក្នុង ទីក្រុងអ៊ីតាលី Verona រស់នៅជាគ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យាក្រីក្រម្នាក់ឈ្មោះ Nicolo (1499-1557) ដែលមានឈ្មោះហៅក្រៅថា Tartaglia (មានន័យថា អ្នកនិយាយលេងសើច)។ គាត់​មាន​ទេព​កោសល្យ​ខ្លាំង​ណាស់ ហើយ​អាច​រក​ឃើញ​បច្ចេកទេស​របស់ Dal Ferro ឡើងវិញ (ឧបសម្ព័ន្ធទី ១)។ការប្រយុទ្ធគ្នាបានកើតឡើងរវាង Fiore និង Tartaglia ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌគូប្រជែងបានផ្លាស់ប្តូរបញ្ហាសាមសិបដំណោះស្រាយដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ 50 ថ្ងៃ។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី Fior បានដឹងពីខ្លឹមសារតែមួយគត់នៃបញ្ហា ហើយប្រាកដថា គ្រូខ្លះមិនអាចដោះស្រាយវាបានទេ បន្ទាប់មកបញ្ហាទាំង 30 ប្រែទៅជាប្រភេទដូចគ្នា។ Tartaglia ដោះស្រាយជាមួយពួកគេក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង។ ម្យ៉ាងវិញទៀត Fiore មិនអាចដោះស្រាយកិច្ចការតែមួយដែលស្នើឡើងដោយសត្រូវបានទេ។ ជ័យជំនះនេះបានលើកតម្កើង Tartaglia ពេញប្រទេសអ៊ីតាលី ប៉ុន្តែបញ្ហាមិនត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុងនោះទេ។ .

ទាំងអស់នេះត្រូវបានធ្វើដោយ Gerolamo Cardano ។ រូបមន្តដែលត្រូវបានរកឃើញដោយ Dal Ferro និងបានរកឃើញឡើងវិញដោយ Tartaglia ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Cardano (ឧបសម្ព័ន្ធទី 2) ។

Cardano Girolamo (ថ្ងៃទី 24 ខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1501 ដល់ថ្ងៃទី 21 ខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1576) គឺជាគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី មេកានិក និងជាគ្រូពេទ្យ។ កើតនៅ Pavia ។ គាត់បានសិក្សានៅសាកលវិទ្យាល័យ Pavia និង Padua ។ ក្នុងវ័យកុមារភាពរបស់គាត់គាត់បានអនុវត្តថ្នាំ។ នៅឆ្នាំ ១៥៣៤ បានក្លាយជាសាស្ត្រាចារ្យគណិតវិទ្យានៅទីក្រុង Milan និង Bologna ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឈ្មោះ Cardano ជាធម្មតាត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប ដែលគាត់បានខ្ចីពី N. Tartaglia ។ រូបមន្តនេះត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅក្នុង សិល្បៈដ៏អស្ចារ្យរបស់ Cardano ឬ On the Rules of Algebra (1545)។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក Tartaglia និង Cardano បានក្លាយជាសត្រូវស្លាប់រស់។ សៀវភៅនេះបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនូវវិធីសាស្រ្តទំនើបរបស់ Cardano សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ ភាគច្រើនជាគូប។ Cardano បានបញ្ចប់ ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយសមីការគូបទៅជាទម្រង់មួយដោយឥតគិតថ្លៃពីរយៈពេលនៃដឺក្រេទី 2 ហើយបានចង្អុលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែករវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ ការបែងចែកពហុនាមដោយភាពខុសគ្នា x – a ប្រសិនបើ a គឺ ឫសរបស់វា។ Cardano គឺជាមនុស្សដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលទទួលស្គាល់អត្ថិភាព ឫសអវិជ្ជមានសមីការ។ នៅក្នុងការងាររបស់គាត់បរិមាណស្រមើលស្រមៃលេចឡើងជាលើកដំបូង។ នៅក្នុងមេកានិច Cardano បានសិក្សាទ្រឹស្តីនៃ levers និងទម្ងន់។ មួយនៃចលនានៃផ្នែកនៅតាមបណ្តោយភាគី មុំខាងស្តាំមេកានិចហៅ karda ជាចលនាថ្មី។ ដូច្នេះយោងទៅតាមរូបមន្ត Cardano មនុស្សម្នាក់អាចដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ x 3 + px + q \u003d 0 (ឧបសម្ព័ន្ធទី 3)

វាហាក់ដូចជាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ មានរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប។

នៅទីនេះនាង!

កន្សោមនៅក្រោមឫស -រើសអើង។ ឃ = ( ) ២ + ( ) ៣ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តត្រឡប់ទៅសមីការរបស់ខ្ញុំវិញ ហើយព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cardano៖ សមីការរបស់ខ្ញុំគឺ៖ 3 - 6y − 2=0 ដែល p= − 6=-; q = − 2 = − ។ វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាថា ()៣ ==- និង ( ) ២ == , ( ) ២ + ( ) ៣ ==-=-។ អ្វី​បន្ទាប់? ពីភាគយកនៃប្រភាគនេះ ខ្ញុំបានស្រង់ឫសយ៉ាងងាយស្រួល វាប្រែចេញ 15. ហើយតើត្រូវធ្វើអ្វីជាមួយភាគបែង? មិនត្រឹមតែជា root មិនត្រូវបានស្រង់ចេញទាំងស្រុងនោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការទាញយកវាពី លេខអវិជ្ជមាន! មាន​បញ្ហា​អ្វី? វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាសមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេព្រោះសម្រាប់ D ដូច្នេះ ក្នុង​ដំណើរ​ការ​នៃ​ការ​ធ្វើ​គម្រោង​នេះ ខ្ញុំ​បាន​ជួប​បញ្ហា​មួយ​ទៀត។មាន​បញ្ហា​អ្វី? ខ្ញុំចាប់ផ្តើមសរសេរសមីការដែលមានឫស ប៉ុន្តែមិនមានពាក្យនៃការ៉េដែលមិនស្គាល់៖

1. បានបង្កើតសមីការដែលមានឫស x \u003d - 4 ។

x ៣ + 15x + 124 = 0 ហើយជាការពិត តាមរយៈការពិនិត្យមើលខ្ញុំត្រូវបានគេជឿជាក់ថា -4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

ខ្ញុំបានពិនិត្យថាតើអាចទទួលបានឫសនេះដោយប្រើរូបមន្ត Cardano x=+=+==1- 5 =- 4

បានទទួល, x = −4 ។

1. បានបង្កើតសមីការទីពីរដែលមានឫសពិត x \u003d 1: x 3 + 3x − 4 = 0 ហើយបានពិនិត្យរូបមន្ត។

ហើយក្នុងករណីនេះរូបមន្តបានដំណើរការដោយគ្មានកំហុស។

1. យកសមីការ x 3 +6x+2=0 មាន ir មួយ។ ឫសសនិទាន.

ដោយបានដោះស្រាយសមីការនេះ ខ្ញុំទទួលបានឫសនេះ x = - ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំមានការសន្មត់មួយ៖ រូបមន្តដំណើរការប្រសិនបើសមីការមានឫសតែមួយ។ ហើយសមីការរបស់ខ្ញុំ ដំណោះស្រាយដែលនាំខ្ញុំទៅដល់ទីបញ្ចប់ មានឫសបី! នោះហើយជាកន្លែងដែលអ្នកត្រូវរកមើលមូលហេតុ!ឥឡូវនេះខ្ញុំបានយកសមីការមួយដែលមានឫសបី៖ ១; ២; -៣. x ៣ 7x +6=0 p= −7; q = 6. បានពិនិត្យអ្នករើសអើង៖ D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

ដូចដែលខ្ញុំបានស្នើនៅក្រោមសញ្ញា ឫស​ការេជាថ្មីម្តងទៀតបានប្រែទៅជាលេខអវិជ្ជមាន។ ខ្ញុំបានឈានដល់ការសន្និដ្ឋាន៖ផ្លូវទៅកាន់ឫសទាំងបីនៃសមីការ x 3 +px+q=0 ដឹកនាំតាមរយៈប្រតិបត្តិការដែលមិនអាចទៅរួចនៃការយកឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាន។

1. ឥឡូវនេះវានៅសល់សម្រាប់ខ្ញុំដើម្បីស្វែងរកអ្វីដែលខ្ញុំនឹងប្រឈមមុខនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលសមីការមានឫសពីរ។ ខ្ញុំបានជ្រើសរើសសមីការដែលមានឫសពីរ៖ x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d ១៦.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() ៣ \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. ឥឡូវនេះ វាអាចត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាចំនួនឫសនៃសមីការគូបនៃទម្រង់ x 3 + px + q \u003d 0 អាស្រ័យលើសញ្ញានៃការរើសអើង D = () 2 +() 3 តាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ

ប្រសិនបើ D> 0 នោះសមីការមានដំណោះស្រាយ 1 ។

ប្រសិនបើ D

ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការមានដំណោះស្រាយ 2 ។

ខ្ញុំបានរកឃើញការបញ្ជាក់ពីការសន្និដ្ឋានរបស់ខ្ញុំនៅក្នុងសៀវភៅយោងស្តីពីគណិតវិទ្យា អ្នកនិពន្ធ N.I. Bronshtein ។ ដូច្នេះការសន្និដ្ឋានរបស់ខ្ញុំ: រូបមន្តរបស់ Cardano អាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលយើងប្រាកដថាឫសមានតែមួយគត់។ដល់​ខ្ញុំ គ្រប់គ្រងដើម្បីបង្កើតថាមានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការគូប ប៉ុន្តែសម្រាប់ទម្រង់ x 3 + px + q \u003d 0 ។

3. ផ្នែកជាក់ស្តែង.

ការធ្វើការលើគម្រោង “… បានជួយខ្ញុំច្រើននៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ឧទាហរណ៍:1. សម្រាប់អ្វីដែលជាតម្លៃធម្មជាតិតូចបំផុតនៃសមីការ x 3 −3x+4=a មានដំណោះស្រាយ 1? សមីការត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a ។ តាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវតែមានដំណោះស្រាយ 1 i.e. ឃ>០រក D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

តម្លៃធម្មជាតិតូចបំផុតនៃ a ក្នុងចន្លោះពេលនេះគឺ 1 ។

ចម្លើយ។ មួយ។

2. នៅអ្វី តម្លៃធម្មជាតិធំបំផុតនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a សមីការ x 3 + x 2 -8x+2-a=0 មានឫសបី?

សមីការ x 3 + 3x 2 −24x + 6-3a = 0 យើងនាំមកទម្រង់ y 3 + ru + q=0 ដែល a=1; នៅ = 3; c=-24; d=6-3а ដែល q= - + និង 3 p = q=32-3a; p=-27 ។ សម្រាប់សមីការប្រភេទនេះ D=() 2 + ( ) 3 =( ) 2 +( −9 ) 3 = −729 = ; ឃ 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 និង 1 = ==28, និង 2 == − = −7 ។

+_ . __-___ . _+

7 28

ក (-៧; ២៨)

តម្លៃធម្មជាតិធំបំផុតនៃ a ពីចន្លោះពេលនេះ៖ 28.

ចំលើយ ២៨

3. អាស្រ័យលើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a រកចំនួនឫសនៃសមីការ x 3 - 3x - a \u003d 0

ការសម្រេចចិត្ត។ ក្នុងសមីការ p = -3; q = -a ។ ឃ=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

សម្រាប់ (-∞;-2) (2;∞) សមីការមានដំណោះស្រាយ 1;

នៅពេលដែល a (-2; 2) សមីការមាន 3 ឫស;

នៅពេលដែល \u003d -2; សមីការ 2 មាន ​​2 ដំណោះស្រាយ។

ការធ្វើតេស្ត៖

1. តើសមីការមានឫសប៉ុន្មាន៖

1) x 3 −12x+8=0 ?

ក) ១; ខ) ២; ក្នុង 3; ឃ) ៤

2) x 3 −9x+14=0

ក) ១; ខ) ២; ក្នុង 3; ឃ) ៤

2. នៅតម្លៃណានៃ p សមីការ x 3 +px+8=0 មានឫសពីរ?

ក) ៣; ខ) ៥; ក្នុង 3; ឃ) ៥

ចម្លើយ៖ ១.ឃ) ៤

២.គ) ៣.

៣.គ)-៣

គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Viet (1540-1603) 400 ឆ្នាំមុនយើង (ឧបសម្ព័ន្ធទី 4) អាចបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ និងមេគុណរបស់វា។

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q ។

វាបានក្លាយជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការស្វែងយល់៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបី និងមេគុណរបស់ពួកគេ? បើបាទ/ចាស តើការតភ្ជាប់នេះជាអ្វី? នេះជារបៀបដែលគម្រោងខ្នាតតូចរបស់ខ្ញុំបានកើតឡើង។ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តប្រើជំនាញចតុកោណដែលមានស្រាប់របស់ខ្ញុំ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហារបស់ខ្ញុំ។ ធ្វើសកម្មភាពដោយភាពស្រដៀងគ្នា។ ខ្ញុំបានយកសមីការ x 3 +px 2 +qх+r=0។ ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ឫសនៃសមីការ x 1, x 2, x 3 បន្ទាប់មកសមីការអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ (x-x១) (x-x ២) (x-x ៣ )=0 ពង្រីកតង្កៀប យើងទទួលបាន៖ x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x − x 1 x 2 x 3 \u003d 0 ។ មានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - ទំ;

X 1 x 2 x 3 = − r ។

ដូច្នេះ គេអាចទាក់ទងឫសគល់នៃសមីការនៃសញ្ញាបត្របំពានទៅនឹងមេគុណរបស់វា។តើ​អ្វី​ទៅ​ក្នុង​សំណួរ​ដែល​ខ្ញុំ​ចាប់​អារម្មណ៍ អាច​ដក​ស្រង់​ចេញ​ពី​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta?

1. ផលិតផលនៃឫសទាំងអស់នៃសមីការគឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃពាក្យសេរី។ ប្រសិនបើឫសនៃសមីការគឺជាចំនួនគត់ នោះពួកវាត្រូវតែជាផ្នែកចែកនៃពាក្យសេរី។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ x ។ 3 + 2x 2 −5x−6=0។ ចំនួនគត់ត្រូវតែជារបស់សំណុំ៖ ±1; ±2; ±3; ±6. ការជំនួសលេខជាបន្តបន្ទាប់ទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបានឫស៖ -៣; - មួយ; ២.

2. ប្រសិនបើអ្នកដោះស្រាយសមីការនេះដោយកត្តា ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផ្តល់នូវ "តម្រុយ"៖វាចាំបាច់ដែលនៅពេលចងក្រងក្រុមសម្រាប់ការពង្រីក លេខលេចឡើង - ការបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ វាច្បាស់ណាស់ថាអ្នកប្រហែលជាមិនរៀនភ្លាមៗទេ ព្រោះមិនមែនផ្នែកទាំងអស់សុទ្ធតែជាឫសគល់នៃសមីការនោះទេ។ ហើយ alas, វាប្រហែលជាមិនដំណើរការទាល់តែសោះ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់, ឫសនៃសមីការអាចមិនមែនជាចំនួនគត់។

ដោះស្រាយសមីការ x 3 +2x 2 −5x−6=0 កត្តាកត្តា។ X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) សមីការដើមគឺ ស្មើនឹង៖ (x+2)(x+1)(x-2)=0។ ហើយសមីការនេះមានឫសបី៖ -៣; -១; ២. ដោយប្រើ "គន្លឹះ" នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ខ្ញុំបានដោះស្រាយសមីការដូចខាងក្រោមៈ x 3 −12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -១៦. ការបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖ ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16 ។ X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 ឬ x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d ២. ចម្លើយ។ -៤; ២.

3. ដោយដឹងពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមភាព អ្នកអាចរកឃើញមេគុណដែលមិនស្គាល់នៃសមីការពីឫសនៃសមីការ។.

ការធ្វើតេស្ត៖

1. សមីការ x 3 + px 2 + 19x − 12=0 មានឫស 1, 3, 4. រកមេគុណ p;ចម្លើយ។ ក) ១២; ខ) ១៩; នៅ 12; d) −8 2. សមីការ x 3 - 10 x 2 +41x + r=0 មានឫស 2, 3, 5. រកមេគុណ r;ចម្លើយ។ ក) ១៩; ខ) -១០; គ) 30; ឃ) -៣០ ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ការអនុវត្តលទ្ធផលនៃគម្រោងនេះក្នុងបរិមាណគ្រប់គ្រាន់អាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យសុំនៅសាកលវិទ្យាល័យដែលត្រូវបានកែសម្រួលដោយ M.I.Skanavi ។ ចំណេះដឹងអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អាចជាជំនួយដ៏មានតម្លៃក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ។

№6.354

4. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

1. មានរូបមន្តបង្ហាញពីឫស សមីការពិជគណិតតាមរយៈមេគុណនៃសមីការ៖ដែល D==() 2 + () ៣ D> 0, 1 ដំណោះស្រាយ។ រូបមន្ត Cardano ។

2. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសនៃសមីការគូប

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - ទំ;

X 1 ។ x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = − r ។

ជាលទ្ធផលខ្ញុំបានសន្និដ្ឋានថាមានរូបមន្តដែលបង្ហាញពីឫសនៃសមីការគូបទាក់ទងនឹងមេគុណរបស់វាហើយវាក៏មានទំនាក់ទំនងរវាងឫសនិងមេគុណនៃសមីការផងដែរ។

5. អក្សរសិល្ប៍៖

1. វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ គណិតវិទូវ័យក្មេង. A.P. Savin ។ - អិមៈគរុកោសល្យឆ្នាំ ១៩៨៩ ។

2. ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា - 2004. ភារកិច្ចនិងដំណោះស្រាយ។ V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova និងអ្នកដទៃ Cheboksary ។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព Chuvash ។ អ៊ុនតា ឆ្នាំ ២០០៤។

3. សមីការ និងវិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ V.V. Mochalov, Silvestrov V.V. សមីការ និងវិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។ - Cheboksary: ​​​​គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព Chuvash ។ សាកលវិទ្យាល័យ ឆ្នាំ ២០០៤។

4. បញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យា។ ពិជគណិត។ ជំនួយណែនាំ. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987 ។

5.Reshebnik នៃបញ្ហាប្រកួតប្រជែងទាំងអស់នៅក្នុងគណិតវិទ្យានៃការប្រមូលដែលបានកែសម្រួលដោយ M.I.Skanavi ។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "សព្វវចនាធិប្បាយអ៊ុយក្រែន" បានដាក់ឈ្មោះតាម M.P. Bazhov, 1993 ។

6. នៅពីក្រោយទំព័រនៃសៀវភៅសិក្សាពិជគណិត។ L.F. Pichurin.-M.: Enlightenment, 1990 ។

មើលជាមុន៖

ដើម្បីប្រើការមើលជាមុននៃបទបង្ហាញ សូមបង្កើតគណនីសម្រាប់ខ្លួនអ្នក ( គណនី) Google ហើយចូល៖ https://accounts.google.com

ចំណងជើងស្លាយ៖

សូមក្រឡេកមើលពិភពនៃរូបមន្ត

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់បំផុតនៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ទូទៅរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។ ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញមនុស្សម្នាក់ត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាក្នុងមធ្យោបាយមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ ហើយសមិទ្ធិផលចុងក្រោយបង្អស់ក្នុងវិស័យរូបវិទ្យា បច្ចេកវិទ្យា ពត៌មានវិទ្យា ទុកឱ្យមានការងឿងឆ្ងល់ថា នៅពេលអនាគតស្ថានភាពនៃកិច្ចការនៅតែដដែល។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រភេទផ្សេងៗនៃសមីការដែលត្រូវការរៀនដើម្បីដោះស្រាយ។ សមីការលីនេអ៊ែរនៃសញ្ញាបត្រទី 1 យើងត្រូវបានបង្រៀនឱ្យដោះស្រាយនៅថ្នាក់ទី 1 ហើយយើងមិនបានបង្ហាញចំណាប់អារម្មណ៍ច្រើនចំពោះពួកគេទេ។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះគឺសមីការមិនលីនេអ៊ែរ - សមីការដឺក្រេធំ។ គណិតវិទ្យាបង្ហាញពីសណ្តាប់ធ្នាប់ ស៊ីមេទ្រី និងភាពប្រាកដប្រជា ហើយទាំងនេះគឺជាទម្រង់ខ្ពស់បំផុតនៃភាពស្រស់ស្អាត។ សេចក្តីផ្តើម៖

សមីការមានទម្រង់ (1) យើងបំប្លែងសមីការតាមរបៀបមួយដើម្បីជ្រើសរើសគូបពិតប្រាកដ៖ យើងគុណ (1) សមីការដោយ 3 (2) យើងបំប្លែង (2) សមីការដែលយើងទទួលបាន សមីការខាងក្រោមលើកផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង (3) នៃសមីការទៅអំណាចទីបី ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការគូប

សមីការ quadratic សមីការនៃទម្រង់ដែលការរើសអើង មិនមានឫសគល់ក្នុងចំណោមចំនួនពិត

សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបី

កំណត់សម្គាល់ប្រវត្តិសាស្ត្រ៖ នៅគ្រាឆ្ងាយនោះ ពេលដែលអ្នកប្រាជ្ញចាប់ផ្តើមគិតអំពីសមភាពដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់ ប្រហែលជាមិនមានកាក់ ឬកាបូបនៅឡើយ។ នៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាបុរាណនៃ Mesopotamia ឥណ្ឌា ចិន ក្រិក បរិមាណដែលមិនស្គាល់បានបង្ហាញពីចំនួនសត្វក្ងោកនៅក្នុងសួនច្បារ ចំនួនគោឈ្មោលនៅក្នុងហ្វូង ចំនួនសរុបនៃវត្ថុដែលត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបែងចែកទ្រព្យសម្បត្តិ។ ប្រភពដែលបានចុះមកយើងបង្ហាញថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របុរាណមានវិធីសាស្រ្តទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងបរិមាណដែលមិនស្គាល់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនក្រដាសមួយដុំទេ មិនមែនគ្រាប់ដីឥដ្ឋតែមួយផ្តល់ការពិពណ៌នាអំពីបច្ចេកទេសទាំងនេះទេ។ ករណីលើកលែងគឺ "នព្វន្ធ" របស់គណិតវិទូជនជាតិក្រិច Diophantus of Alexandria (សតវត្សទី III) - បណ្តុំនៃបញ្ហាសម្រាប់ការចងក្រងសមីការជាមួយនឹងការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការងាររបស់អ្នកប្រាជ្ញបាដាដនៃសតវត្សទី 9 បានក្លាយជាសៀវភៅណែនាំដំបូងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ លោក Muhammad bin Musa al-Khwarizmi ។

សមីការមានទម្រង់ (1) យើងអនុវត្តរូបមន្ត 1) ដោយជ្រើសរើសដើម្បីស្វែងរក ហើយដើម្បីឱ្យសមភាពខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ យើងបំលែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ (1) សមីការដូចខាងក្រោម៖ ជ្រើសរើសគូបពេញជា y យើងទទួលបាន សមីការសម្រាប់ y ​​(2) ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ (2) សមីការ (3) នៅក្នុង (3) ពាក្យដែលមានការ៉េនៃមិនស្គាល់បានបាត់ ប៉ុន្តែពាក្យដែលមានអំណាចទីមួយនៃមិនស្គាល់នៅតែមាន 2) ដោយការជ្រើសរើស ស្វែងរកដូច្នេះ ថាសមភាពខាងក្រោមពេញចិត្ត។សមភាពនេះមិនអាចទៅរួចទេព្រោះមានលេខវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង និងលេខអវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង បើយើងដើរតាមផ្លូវនេះត្រូវជាប់គាំង....លើផ្លូវដែលបានជ្រើសរើសយើងនឹងបរាជ័យ។ យើង​មិន​ទាន់​អាច​ដោះស្រាយ​សមីការ​បាន​នៅឡើយ​ទេ។

សមីការគូបនៃសមីការនៃទម្រង់ដែល (1) 1. ចូរសម្រួលសមីការដែលបែងចែកដោយ a បន្ទាប់មកមេគុណនៅ "x" នឹងស្មើនឹង 1 ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបណាមួយគឺផ្អែកលើរូបមន្តគូបសរុប៖ (2) ប្រសិនបើយើងយក នោះសមីការ (1) ខុសពីសមីការ (2) តែមេគុណនៅ x និងពាក្យទំនេរ។ យើងបន្ថែមសមីការ (1) និង (2) ហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា៖ ប្រសិនបើយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៅទីនេះ យើងទទួលបានសមីការគូបទាក់ទងនឹង y ដោយគ្មានពាក្យ៖

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (ថ្ងៃទី 24 ខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1501 ដល់ថ្ងៃទី 21 ខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1576) គឺជាគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី មេកានិក និងជាគ្រូពេទ្យ។ កើតនៅ Pavia ។ គាត់បានសិក្សានៅសាកលវិទ្យាល័យ Pavia និង Padua ។ ក្នុងវ័យកុមារភាពរបស់គាត់គាត់បានអនុវត្តថ្នាំ។ នៅឆ្នាំ ១៥៣៤ បានក្លាយជាសាស្ត្រាចារ្យគណិតវិទ្យានៅទីក្រុង Milan និង Bologna ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឈ្មោះ Cardano ជាធម្មតាត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប ដែលគាត់បានខ្ចីពី N. Tartaglia ។ រូបមន្តនេះត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅក្នុង សិល្បៈដ៏អស្ចារ្យរបស់ Cardano ឬ On the Rules of Algebra (1545)។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក Tartaglia និង Cardano បានក្លាយជាសត្រូវស្លាប់រស់។ សៀវភៅនេះបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនូវវិធីសាស្រ្តទំនើបរបស់ Cardano សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ ភាគច្រើនជាគូប។ Cardano អនុវត្តការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចនាំយកសមីការគូបទៅជាទម្រង់មួយដោយមិនគិតពីសញ្ញាប័ត្រទី 2 គាត់បានចង្អុលបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ ការបែងចែកពហុនាមដោយភាពខុសគ្នា x - a ប្រសិនបើ a គឺជាឫសរបស់វា។ Cardano គឺជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលទទួលស្គាល់អត្ថិភាពនៃឫសអវិជ្ជមាននៃសមីការ។ នៅក្នុងការងាររបស់គាត់បរិមាណស្រមើលស្រមៃលេចឡើងជាលើកដំបូង។ នៅក្នុងមេកានិច Cardano បានសិក្សាទ្រឹស្តីនៃ levers និងទម្ងន់។ ចលនាមួយនៃផ្នែកនៅតាមបណ្តោយជ្រុងនៃមុំខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថាចលនា cardan នៅក្នុងមេកានិច។ ជីវប្រវត្តិរបស់ Cardano Girolamo

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ នៅទីក្រុង Verona នៃប្រទេសអ៊ីតាលី មានគ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យាក្រីក្រម្នាក់ឈ្មោះ Nicolo (1499-1557) ដែលមានឈ្មោះហៅក្រៅថា Tartaglia (មានន័យថា អ្នកនិយាយលេងសើច)។ គាត់​មាន​ទេពកោសល្យ​ខ្លាំង​ណាស់ ហើយ​អាច​រក​ឃើញ​បច្ចេកទេស​របស់ Dal Ferro ឡើងវិញ។ ការប្រយុទ្ធគ្នាបានកើតឡើងរវាង Fiore និង Tartaglia ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌគូប្រជែងបានផ្លាស់ប្តូរបញ្ហាចំនួន 30 ដែលដំណោះស្រាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ 50 ថ្ងៃ។ ប៉ុន្តែដោយសារ Fior ដឹងច្បាស់ពីបញ្ហាតែមួយគត់ ហើយប្រាកដថា គ្រូខ្លះមិនអាចដោះស្រាយបាន នោះបញ្ហាទាំង 30 ប្រែទៅជាប្រភេទដូចគ្នា។ Tartaglia ដោះស្រាយជាមួយពួកគេក្នុងរយៈពេលពីរម៉ោង។ ម្យ៉ាងវិញទៀត Fiore មិនអាចដោះស្រាយកិច្ចការណាមួយដែលស្នើឡើងដោយសត្រូវបានទេ។ ជ័យ​ជម្នះ​លើក​តម្កើង Tartaglia នៅ​ទូទាំង​ប្រទេស​អ៊ីតាលី ប៉ុន្តែ​បញ្ហា​មិន​ត្រូវ​បាន​ដោះ​ស្រាយ​ទាំង​ស្រុង​ទេ។ ល្បិច​សាមញ្ញ​នោះ ដែល​យើង​អាច​ទប់ទល់​នឹង​ពាក្យ​នៃ​សមីការ​ដែល​មាន​ការ៉េ។ តម្លៃមិនស្គាល់(ការជ្រើសរើសគូបពេញលេញ) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយនៃសមីការ ប្រភេទផ្សេងគ្នាមិនត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធទេ។ Fiora ប្រកួតជាមួយ Tartaglia

សមីការនៃទម្រង់ពីសមីការនេះ a យើងគណនាការរើសអើងនៃសមីការនេះ មិនត្រឹមតែឫសនៃសមីការនេះមិនត្រូវបានស្រង់ចេញទាំងស្រុងនោះទេ ប៉ុន្តែវានៅតែត្រូវការដកចេញពីចំនួនអវិជ្ជមាន។ មាន​បញ្ហា​អ្វី? វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាសមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេព្រោះ D

ឫសគល់នៃសមីការគូបអាស្រ័យលើអ្នកបែងចែកសមីការមាន 1 ដំណោះស្រាយ សមីការមាន 3 ដំណោះស្រាយ សមីការមាន 2 ដំណោះស្រាយ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សមីការមានទម្រង់ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត Cardano ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការគូបដោយប្រើរូបមន្ត Cardano

សមីការនៃទម្រង់ (1) ពីសមីការនេះ ហើយចាប់តាំងពីតាមលក្ខខណ្ឌ សមីការនេះគួរតែមានដំណោះស្រាយ 1 បន្ទាប់មកយើងគណនាការរើសអើង (1) នៃសមីការ + - + 2 6 ចម្លើយ៖ តម្លៃធម្មជាតិតូចបំផុត a ពីចន្លោះពេលនេះ គឺ 1 តើអ្វីជាតម្លៃធម្មជាតិតូចបំផុត ដែលសមីការមានដំណោះស្រាយ 1?

ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបដោយវិធីសាស្ត្រ Vieta សមីការមានទម្រង់

ដោះស្រាយសមីការប្រសិនបើគេដឹងថាផលគុណនៃឫសទាំងពីររបស់វាស្មើនឹង 1 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ហើយយើងមានលក្ខខណ្ឌ ឬយើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងសមីការទីមួយ ឬយើងជំនួសតម្លៃពីសមីការទីបីទៅជាទីមួយ។ យើងនឹងរកឃើញឫសនៃសមីការ ឬចម្លើយ៖

អក្សរសិល្ប៍បានប្រើ៖ "គណិតវិទ្យា។ ជំនួយការបង្រៀន» Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov ។ សព្វវចនាធិប្បាយ "ខ្ញុំស្គាល់ពិភពលោក។ គណិតវិទ្យា" - ទីក្រុងម៉ូស្គូ, AST, 1996 ។ " គណិតវិទ្យា។ ជំនួយការបង្រៀន » V.T. លីស៊ីកគីន។ មគ្គុទ្ទេសក៍សម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យ កែសម្រួលដោយ M.I.Skanavi ។ នៅលីវ ការប្រឡងរដ្ឋគណិតវិទ្យា - ២០០៤

សូម​អរគុណ​ចំពោះ​ការ​យកចិត្ត​ទុកដាក់​របស់​លោកអ្នក

សមីការគូបមានទម្រង់ ពូថៅ 3 + bx 2 + cx + ឃ= 0). វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ (វាត្រូវបានគេរកឃើញនៅសតវត្សទី 16 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី)។ ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​គូប​មួយ​ចំនួន​គឺ​ពិបាក​ណាស់ ប៉ុន្តែ​ជាមួយ​នឹង​វិធីសាស្ត្រ​ត្រឹមត្រូវ (និង កម្រិតល្អ។ ចំណេះដឹងទ្រឹស្តី) អ្នកនឹងអាចដោះស្រាយសូម្បីតែសមីការគូបដ៏ស្មុគស្មាញបំផុត។

ជំហាន

ដំណោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើ សមីការគូបមានទម្រង់ a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)ដែលជាកន្លែងដែលមេគុណ c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ)និង d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ)អាចស្មើគ្នា 0 (\រចនាប័ទ្ម 0)នោះគឺសមីការគូបអាចមានតែមួយពាក្យ (ជាមួយអថេរក្នុងដឺក្រេទីបី)។ ជាដំបូង សូមពិនិត្យមើលថាតើសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកមានការស្ទាក់ចាប់ នោះគឺ d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). ប្រសិនបើគ្មានពាក្យឥតគិតថ្លៃទេ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការគូបនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

• ប្រសិនបើមានការស្ទាក់ចាប់ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយផ្សេង (សូមមើលផ្នែកខាងក្រោម)។

1. ចាប់តាំងពីនៅក្នុង សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានពាក្យឥតគិតថ្លៃទេ បន្ទាប់មកពាក្យទាំងអស់នៃសមីការនេះមានអថេរ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ដែលអាចត្រូវបានតង្កៀប៖ x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • ឧទាហរណ៍។ 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). ប្រសិនបើអ្នកស៊ូទ្រាំ x (\ រចនាប័ទ្ម x)តង្កៀបអ្នកទទួលបាន x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. ចំណាំថាសមីការក្នុងតង្កៀបគឺជាសមីការបួនជ្រុងនៃទម្រង់ ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)) ដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត ((- ខ +/-√ (). ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ហើយអ្នកនឹងដោះស្រាយសមីការគូប។

   • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ជំនួសតម្លៃនៃមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ), c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ) (3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), − 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -2), ១៤ (\ ទម្រង់បង្ហាញ ១៤)) ចូលទៅក្នុងរូបមន្ត៖ − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2))\pm (\sqrt (((-2))^(2) )-4(3)(14))))(2(3))))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164))))(6)))
   • ដំណោះស្រាយ 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164))))(6))) 2 + 12.8i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • ដំណោះស្រាយ 2: 2 − 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. សូមចងចាំថាសមីការការ៉េមានដំណោះស្រាយពីរ ចំណែកសមីការគូបមានដំណោះស្រាយបី។អ្នក​បាន​រក​ឃើញ​ដំណោះ​ស្រាយ​ពីរ​ចំពោះ​ចតុកោណ​មួយ ហើយ​ដូច្នេះ​សមីការ​គូប។ ក្នុងករណីដែលអ្នកដាក់ "x" ចេញពីតង្កៀប ដំណោះស្រាយទីបីគឺតែងតែ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0).

   • នេះជាការពិត ពីព្រោះលេខ ឬកន្សោមណាមួយគុណនឹង 0 (\រចនាប័ទ្ម 0), ស្មើ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0). ចាប់តាំងពីអ្នកស៊ូទ្រាំ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ចេញពីតង្កៀប បន្ទាប់មកអ្នកបានបំបែកសមីការគូបទៅជាកត្តាពីរ ( x (\ រចនាប័ទ្ម x)និងសមីការការ៉េ) ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះត្រូវតែស្មើនឹង 0 (\រចនាប័ទ្ម 0)ដូច្នេះសមីការទាំងមូលគឺស្មើនឹង 0 (\រចនាប័ទ្ម 0).

   ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងមូលដោយប្រើកត្តា

   1. ពិនិត្យមើលថាតើសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកមានការស្ទាក់ចាប់ដែរឬទេ។វិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកមុនគឺមិនសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបដែលក្នុងនោះមានពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកនឹងត្រូវប្រើវិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងនេះ ឬផ្នែកបន្ទាប់។

      • ឧទាហរណ៍។ 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). នៅទីនេះ រំកិលក្បាលដោះចេញ d = − 6 (\ displaystyle d=-6)ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដូច្នេះ ផ្នែក​ខាងស្តាំទទួលបាន 0 (\រចនាប័ទ្ម 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. ស្វែងរកមេគុណមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)(មេគុណនៅ x 3 (\ រចនាប័ទ្ម x^(3))) និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). កត្តានៃចំនួនគឺជាលេខដែលនៅពេលគុណនឹងផ្តល់ឱ្យ លេខដើម. ឧទាហរណ៍កត្តានៃចំនួន 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6)គឺជាលេខ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), 3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6) (6 × 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ 6 \ គុណ 1)និង 2 × 3 (\ រចនាប័ទ្ម 2 \ គុណ 3)).

      • នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ a = 2 (\ រចនាប័ទ្ម a = 2)និង d = 6 (\ រចនាប័ទ្ម d = 6). មេគុណ 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2)គឺជាលេខ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1)និង 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2). មេគុណ 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6)គឺជាលេខ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), 3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), និង 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6).

   3. ចែកមេគុណមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a)ដោយកត្តានៃពាក្យសេរី d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគ និងលេខទាំងមូល។ ដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកនឹងក្លាយជាចំនួនគត់មួយក្នុងចំណោមចំនួនគត់ទាំងនេះ ឬតម្លៃអវិជ្ជមាននៃចំនួនគត់មួយក្នុងចំណោមចំនួនគត់ទាំងនេះ។

      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងបែងចែកកត្តា a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a) (1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2)) ដោយកត្តា d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ) (1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), 3 (\ រចនាប័ទ្ម 3), 6 (\ ទម្រង់បង្ហាញ 6)) និងទទួលបាន៖ 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), , , , 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2)និង . ឥឡូវនេះបន្ថែមទៅជួរនៃលេខរបស់ពួកគេ។ តម្លៃអវិជ្ជមាន: 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1), − 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\ រចនាប័ទ្ម 2), − 2 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))))និង − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). ដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកគឺនៅក្នុងស៊េរីនៃលេខនេះ។

   4. ឥឡូវនេះអ្នកអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការគូបរបស់អ្នកដោយជំនួសចំនួនគត់ពីស៊េរីលេខដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា។ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​មិន​ចង់​ខ្ជះខ្ជាយ​ពេល​វេលា​លើ​ការ​នេះ​ប្រើ​។ គ្រោងការណ៍នេះពាក់ព័ន្ធនឹងការបែងចែកចំនួនគត់ទៅជាតម្លៃ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ), c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ), d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ)សមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើនៅសល់ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0), ចំនួនគត់គឺជាផ្នែកមួយនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគូប។

      • ការបែងចែករបស់ Horner មិនមែនជាប្រធានបទងាយស្រួលនោះទេ។ ទទួល ព័​ត៍​មាន​បន្ថែមធ្វើតាមតំណដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃវិធីស្វែងរកដំណោះស្រាយមួយចំពោះសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកដោយប្រើការបែងចែករបស់ Horner: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| ២៧ ៦ 0 ចាប់តាំងពីនៅសល់ 0 (\រចនាប័ទ្ម 0)បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគឺជាចំនួនគត់ − 1 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -1).

   ការប្រើប្រាស់អ្នករើសអើង

   1. នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះអ្នកនឹងធ្វើការជាមួយតម្លៃមេគុណ a (\ រចនាប័ទ្ម​បង្ហាញ a), b (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ខ), c (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម គ), d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ). ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការសរសេរចេញនូវតម្លៃនៃមេគុណទាំងនេះជាមុន។

      • ឧទាហរណ៍។ គណិតវិទ្យា > x^3-3x^2+3x-1. នៅទីនេះ a=1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\ displaystyle b=-3), c = 3 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ c = 3), d = − 1 (\ displaystyle d=-1). កុំភ្លេចថាពេលណា x (\ រចនាប័ទ្ម x)មិនមានមេគុណទេ មានន័យថាមេគុណស្មើនឹង 1 (\ រចនាប័ទ្ម 1).

   2. គណនា △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \ triangle _(0)=b^(2)-3ac). វិធីសាស្រ្តនេះនឹងតម្រូវឱ្យមានការគណនាស្មុគស្មាញមួយចំនួន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់វា អ្នកនឹងអាចដោះស្រាយសមីការគូបដ៏ស្មុគស្មាញបំផុត។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម សូមគណនា △ 0 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម\ត្រីកោណ _(0))ដែលជាបរិមាណដ៏សំខាន់មួយចំនួនដែលយើងនឹងត្រូវការដោយការជំនួសតម្លៃសមស្របទៅក្នុងរូបមន្ត។

      • ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (−3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\ត្រីកោណ _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\ត្រីកោណ _(1))

   3. គណនា Δ = Δ1 2 − 4Δ0 3) ÷ −27 ក 2 . ឥឡូវនេះគណនាការរើសអើងនៃសមីការដោយប្រើតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃ Δ0 និង Δ1 ។ ការរើសអើងគឺជាលេខដែលផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវព័ត៌មានអំពីឫសគល់នៃពហុធា (អ្នកប្រហែលជាដឹងរួចហើយថាការរើសអើងនៃសមីការបួនជ្រុងគឺ ខ 2 - 4អេក) ក្នុងករណីសមីការគូប ប្រសិនបើការរើសអើងគឺវិជ្ជមាន នោះសមីការមានដំណោះស្រាយបី។ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះសមីការមានដំណោះស្រាយមួយ ឬពីរ។ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ សមីការគូបតែងតែមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ ព្រោះក្រាហ្វនៃសមីការបែបនេះកាត់អ័ក្ស x យ៉ាងហោចណាស់មួយចំណុច។

      • ប្រសិនបើអ្នកជំនួសតម្លៃសមស្របនៃបរិមាណទៅក្នុងរូបមន្តនេះ អ្នកទទួលបាន ដំណោះស្រាយដែលអាចកើតមានសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នក។ ជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដើម ហើយប្រសិនបើសមភាពត្រូវបានបំពេញ នោះដំណោះស្រាយគឺត្រឹមត្រូវ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកដោតតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយទទួលបាន 1 សូមដោតលេខ 1 ចូលទៅក្នុង x 3 - 3x 2 + 3x- 1 និងទទួលបាន 0. នោះគឺសមភាពត្រូវបានអង្កេត និង 1 គឺជាដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគូបដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នក។

រៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការគូប។ ករណីនៅពេលដែលឫសមួយត្រូវបានគេដឹងត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្រ្តស្វែងរកចំនួនគត់ និង ឫសសនិទាន. ការអនុវត្តរូបមន្ត Cardano និង Vieta ដើម្បីដោះស្រាយសមីការគូបណាមួយ។

នៅទីនេះយើងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការគូបនៃទម្រង់
(1) .
លើសពីនេះទៀតយើងសន្មតថានេះគឺជា ចំនួនពិត.

(2) ,
បន្ទាប់មកចែកវាដោយ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ (1) ជាមួយមេគុណ
.

សមីការ (១) មានឫសបី៖ , និង . ឫសមួយក្នុងចំណោមឫសគឺតែងតែពិតប្រាកដ។ យើងសម្គាល់ឫសពិតថាជា . ឫស និងអាចជាគូពិត ឬស្មុគស្មាញ។ ឫសពិតអាចមានច្រើន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក និងជាឫសទ្វេ (ឬឫសនៃពហុគុណ 2) និងជាឫសសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើមានតែឫសមួយត្រូវបានគេស្គាល់

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីឫសមួយនៃសមីការគូប (1) ។ បញ្ជាក់ ឫសដែលគេស្គាល់ជា បន្ទាប់មកចែកសមីការ (1) ដោយ យើងទទួលបានសមីការការ៉េ។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ យើងរកឃើញឫសពីរបន្ថែមទៀត និង .

សម្រាប់ភ័ស្តុតាង យើងប្រើការពិតដែលថាពហុនាមគូបអាចត្រូវបានតំណាងជា៖
.
បន្ទាប់មក ចែក (1) ដោយ , យើងទទួលបានសមីការ quadratic ។

ឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកពហុនាមត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ
“ការបែងចែក និងគុណពហុនាមដោយពហុធាដោយជ្រុង និងជួរឈរ”។
ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានពិចារណានៅលើទំព័រ
"ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ" ។

ប្រសិនបើមួយនៃឫសគឺ

ប្រសិនបើសមីការដើមគឺ៖
(2) ,
ហើយមេគុណរបស់វា , , , គឺជាចំនួនគត់ បន្ទាប់មកអ្នកអាចព្យាយាមស្វែងរកឫសចំនួនគត់។ ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសចំនួនគត់ នោះវាគឺជាការបែងចែកនៃមេគុណ។ វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកឫសចំនួនគត់ គឺយើងរកឃើញផ្នែកទាំងអស់នៃចំនួនមួយ ហើយពិនិត្យមើលថាតើសមីការ (2) ជាប់សម្រាប់ពួកវាដែរឬទេ។ ប្រសិនបើសមីការ (2) ពេញចិត្ត នោះយើងបានរកឃើញឫសរបស់វា។ ចូរយើងសម្គាល់វាជា . បន្ទាប់យើងបែងចែកសមីការ (2) ដោយ . យើងទទួលបានសមីការការ៉េ។ ដោះស្រាយវា យើងរកឃើញឫសពីរទៀត។

ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ចំនួនគត់ឫសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​ធ្វើ​ជា​ឯកតា​នៃ​ពហុនាម > > > ។

ការស្វែងរកឫសសនិទាន

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (2) , , , គឺជាចំនួនគត់ និង , ហើយមិនមានឫសចំនួនគត់ នោះអ្នកអាចព្យាយាមស្វែងរកឫសសនិទាន ពោលគឺឫសនៃទម្រង់ , កន្លែងណា និងជាចំនួនគត់។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងគុណសមីការ (2) ដោយ និងធ្វើការជំនួស៖
;
(3) .
បន្ទាប់មក យើងរកមើលឫសចំនួនគត់នៃសមីការ (3) ក្នុងចំណោមផ្នែកចែកនៃពាក្យសេរី។

ប្រសិនបើយើងបានរកឃើញឫសនៃចំនួនគត់នៃសមីការ (3) បន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅអថេរ យើងទទួលបានឫសសមីការនៃសមីការ (2)៖
.

រូបមន្ត Cardano និង Vieta សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូប

ប្រសិនបើយើងមិនស្គាល់ឫសតែមួយ ហើយមិនមានឫសចំនួនគត់ នោះយើងអាចរកឃើញឫសនៃសមីការគូបដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cardano ។

ពិចារណាសមីការគូប៖
(1) .
តោះធ្វើការជំនួស៖
.
បន្ទាប់ពីនោះ សមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មិនពេញលេញ ឬកាត់បន្ថយ៖
(4) ,
កន្លែងណា
(5) ; .

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
G. Korn, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនិងវិស្វករឆ្នាំ 2012 ។