Neste artigo, você aprenderá a resolver problemas de matemática se não souber por onde começar.

Muitas vezes, ao resolver problemas, os alunos "entram em estupor" - há uma névoa em suas cabeças, os pensamentos se espalham em algum lugar e parece que não é mais possível coletá-los.

Eu quero um exemplo de como resolver um problema de banco aberto tarefas para mostrar quais passos simples precisa fazer para reunir seus pensamentos e como resolver problemas corretamente.

Como resolver problemas. Tarefa B13 (Nº 26582)

O ciclista saiu velocidade constante da cidade A à cidade B, a distância entre elas é de 98 km. No dia seguinte ele voltou a uma velocidade de 7 km/h a mais do que antes. No caminho ele fez uma parada por 7 horas. Como resultado, ele gastou tanto tempo no caminho de volta quanto no caminho de A para B. Encontre a velocidade do ciclista no caminho de A para B. Dê a resposta em km/h.

1. Leia o problema com atenção. Talvez várias vezes.

2. Determinamos de que processo se trata o problema e quais fórmulas descrevem esse processo. Escrevemos essas fórmulas. NO este caso esta é uma tarefa para o movimento, e a fórmula que descreve este processo é S=vt.

3. Escrevemos a dimensão de cada variável que faz parte da equação:

• S - distância - km
• v - velocidade - km/h
• t - tempo - h

Conhecer a dimensão nos ajudará a verificar as fórmulas resultantes.

4. Escrevemos todos os números encontrados na condição do problema, escrevemos o que eles significam e sua dimensão:

98 km - distância entre cidades,

7 km/h - tanto quanto a velocidade de um ciclista caminho de volta mais do que a velocidade no caminho da cidade A para a cidade B,

7 horas - o tempo que o ciclista parou (desta vez ele não pedalou)

5. Leia a pergunta do problema novamente.

6. Decidimos que valor tomaremos para a incógnita. É conveniente tomar como desconhecido o valor que precisa ser conhecido no problema. Neste caso, esta é a velocidade do ciclista no caminho de A para B.

Então: seja x a velocidade do ciclista no caminho de A para B. Então, como a velocidade do ciclista na volta é 7 km/h maior que a velocidade no caminho da cidade A para a cidade B, então ela é igual a x+7.

7. Fazemos uma equação. Para fazer isso, expressamos o terceiro valor da equação de movimento (tempo) através dos dois primeiros. Então:

• o tempo que o ciclista levou para viajar de A a B é 98/x,

• e na estrada de B para A - 98 / (x + 7) + 7 - lembre-se que na volta o ciclista fez uma parada de 7 horas, ou seja, seu tempo de viagem é a soma do tempo de viagem e do estacionamento Tempo.

A equação é para o tempo. Mais uma vez lemos na condição do problema que ele diz sobre o tempo: Como resultado, ele gastou tanto tempo no caminho de volta quanto no caminho de A para B. Ou seja, o tempo "lá" é igual ao tempo tempo de volta". Igualamos o tempo "lá" e o tempo "voltar" Obtemos a equação:

98/x=98/(x+7)+7.

Mais uma vez, verificamos as dimensões das quantidades que estão incluídas na equação - você precisa garantir que, por exemplo, não adicione horas aos quilômetros.

8. Resolvemos a equação. Agora precisamos nos concentrar em resolver a equação. Para fazer isso, determinamos de que tipo é essa equação. Como a incógnita está no denominador das frações, isso é equação racional. Para resolvê-lo, você precisa mover todos os termos para a esquerda e trazer as frações para denominador comum. Observe que os números 98 e 7 são múltiplos de 7.

Para simplificar a solução, dividimos ambos os lados da equação por 7. Obtemos a equação: 14/x=14/(x+7)+1

Depois disso, transferimos todos os termos para a esquerda, reduzimos a um denominador comum e igualamos o numerador a zero.

Entramos no numerador: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 termos semelhantes e resolva a equação quadrática.

Suas raízes são -14 e 7.

O número -14 não se enquadra na condição do problema: a velocidade deve ser positiva.

Mais uma vez lemos a questão do problema e correlacionamos com o valor que encontramos: para a incógnita pegamos a velocidade do ciclista no caminho de A para B, e precisamos encontrar o mesmo valor.

Resposta: 7 km/h.

Como resolver problemas. Resultado

Observe que dividimos todo o caminho da solução do problema em pequenos pedaços e, em cada seção, focamos precisamente em pensar ação específica. E só depois que essa ação foi realizada, deu o próximo passo.

Quando não está claro o que fazer, você precisa decidir qual pequeno passo você pode fazê-lo agora, fazê-lo e depois pensar no próximo.

Para aprender a resolver problemas típicos tarefas lógicas, simples e fora do padrão problemas de matemática, é importante conhecer as técnicas e métodos básicos para resolvê-los. Afinal, em muitos casos é possível resolver o mesmo problema e chegar à resposta correta de maneiras diferentes.

Conhecer e entender os vários métodos de solução ajudará você a determinar qual método é melhor para cada caso específico, para que você possa escolher a maneira mais rápida e fácil de obter uma resposta.

As tarefas lógicas "clássicas" incluem tarefas de texto, cujo objetivo é reconhecer objetos ou organizá-los em uma determinada ordem de acordo com determinadas condições.

Tipos de tarefas mais complexos e excitantes são tarefas em que certas afirmações são verdadeiras e outras são falsas. As tarefas de mover, deslocar, pesar, despejar são as mais exemplos brilhantes ampla variedade tarefas não padronizadasà lógica.

Métodos básicos para resolver problemas lógicos

• método de raciocínio;
• usando tabelas verdade;
• método do diagrama de blocos;
• meios de álgebra lógica (álgebra proposicional);
• gráfico (incluindo "árvore condições lógicas”, o método do círculo de Euler);
• método de bilhar matemático.

Vamos dar uma olhada mais de perto com exemplos de três maneiras populares de resolver problemas lógicos que recomendamos usar na escola primária (crianças de 6 a 12 anos):

• método de raciocínio sequencial;
• uma espécie de método de raciocínio - "desde o fim";
• forma tabular.

Método de raciocínio sequencial

A maneira mais fácil de resolver problemas simples é raciocinar sequencialmente usando todas as condições conhecidas. As conclusões das afirmações que são as condições do problema levam gradualmente à resposta à questão colocada.

Na mesa estão Azul , Verde , Marrom e Laranja

O terceiro é o lápis com mais letras em seu nome. Azul o lápis fica entre Marrom e laranja .

Coloque os lápis na ordem descrita.

Solução:

Nós argumentamos. Usamos consistentemente as condições do problema para formular conclusões sobre a posição em que cada próximo lápis deve estar.

• A maioria das letras da palavra "marrom", por isso fica em terceiro lugar.
• Sabe-se que um lápis azul fica entre o marrom e o laranja. Há apenas uma posição à direita do marrom, o que significa que é possível colocar o azul entre o marrom e outro lápis apenas à esquerda do marrom.
• A próxima conclusão é baseada na anterior: o lápis azul está na segunda posição e o laranja na primeira.
• Para o lápis verde deixou última posição- Ele é o quarto.

Método final

Essa forma de resolução é uma espécie de método de raciocínio e é ótima para problemas em que sabemos o resultado de determinadas ações, e a questão é restaurar o quadro original.

Vovó assou bagels para seus três netos e os deixou sobre a mesa. Kolya correu para comer primeiro. Contei todos os bagels, peguei minha parte e fugi.
Anya entrou na casa mais tarde. Ela não sabia que Kolya já havia pegado os bagels, contado e, dividindo-os em três, pegou sua parte.
A terceira veio Gena, que também dividiu o restante da massa em três e ficou com a parte dele.
Restam 8 bagels na mesa.

Dos oito bagels restantes, quantos cada pessoa deve comer para que todos comam igualmente?

Solução:

Vamos começar a discussão do final.
Gena deixou 8 bagels para Anya e Kolya (4 para cada). Acontece que ele mesmo comeu 4 bagels: 8 + 4 = 12.
Anya deixou 12 bagels para os irmãos (cada 6). Então ela mesma comeu 6 pedaços: 12 + 6 = 18.
Kolya deixou 18 bagels para os caras. Então ele comeu 9: 18 + 9 = 27.

A avó colocou 27 bagels na mesa, esperando que todos recebessem 9 pedaços. Como Kolya já comeu sua parte, Anya deve comer 3 e Gena deve comer 5 bagels.

Resolvendo problemas de lógica usando tabelas verdade

A essência do método é fixar as condições do problema e os resultados do raciocínio em tabelas especialmente compiladas para o problema. Dependendo se a afirmação é verdadeira ou falsa, as células correspondentes da tabela são preenchidas com os sinais "+" e "-" ou "1" e "0".

Três atletas ( vermelho , azul e verde) jogava basquete.
Quando a bola estava na cesta, o vermelho exclamou: "A bola foi marcada pelo azul".
Azul se opôs: "Verde marcou a bola."
Zeleny disse: "Eu não marquei".

Quem marcou a bola se apenas um dos três mentiu?

Solução:

Primeiro, uma tabela é compilada: à esquerda, eles anotam todas as declarações contidas na condição e, no topo - opções possíveis resposta.

Em seguida, a tabela é preenchida sequencialmente: declarações verdadeiras marcar com um sinal de “+” e declarações falsas com um sinal de “-”.

Considere a primeira opção de resposta (“a bola foi lançada vermelho"), analise as afirmações escritas à esquerda e preencha o primeiro coluna.
Com base em nossa suposição (“a bola foi lançada vermelho"), a afirmação "a bola foi lançada pelo azul" é mentira. Colocamos na célula "-".
A afirmação "bola marcou verde" também é mentira. Preenchemos a célula com o sinal "-".
A afirmação verde "não marquei" é verdadeira. Colocamos na célula "+".

Considere a segunda resposta (suponha que bola lançada verde) e preenchem segundo coluna.
A afirmação "Azul jogou a bola" é uma mentira. Colocamos na célula "-".
A frase "bola marcou verde « - verdade. Preencha a célula com um sinal "+".
A declaração verde "não marquei" é uma mentira. Colocamos na célula "-".

E, finalmente, a terceira opção: suponha que "a bola é lançada azul«.
Em seguida, a frase "bola jogada azul « - verdade. Colocamos na célula "+".
A afirmação "a bola marcou verde" é uma mentira. Preenchemos a célula com o sinal "-". A afirmação verde "não marquei" é verdadeira. Colocamos na célula "+".

Como, de acordo com a condição, apenas um dos três caras mentiu, na tabela preenchida selecionamos essa opção de resposta, onde será apenas um declaração falsa (na coluna um sinal "-"). A terceira coluna se encaixa.

Então, a resposta correta é que a bola foi lançada pelo azul.

Método de fluxograma

O método do fluxograma é considerado A melhor opção para resolver problemas de pesagem e vazamento de líquidos. Caminho alternativo resolver esse tipo de problema - o método de enumeração de opções - nem sempre é o ideal, e é bastante difícil chamá-lo de sistêmico.

O procedimento para resolver problemas usando o método do fluxograma é o seguinte:

• graficamente (fluxograma) descrever a sequência de operações;
• determinar a ordem de sua implementação;
• na tabela fixamos os estados atuais.

Mais sobre esta e outras formas de resolver problemas lógicos com exemplos e uma descrição da solução, contamos em curso completo LogicLike no desenvolvimento do pensamento lógico.

Adivinhe o mais coletado especialmente para leitores regulares do nosso blog e alunos do LogicLike, resolvam problemas lógicos online junto com milhares de crianças e adultos!

Média Educação geral

Linha UMK G.K. Muravina. Álgebra e começos analise matemática(10-11) (profundo)

Linha UMK Merzlyak. Álgebra e os primórdios da análise (10-11) (U)

Matemáticas

Preparação para o exame de matemática (nível de perfil): tarefas, soluções e explicações

Analisamos tarefas e resolvemos exemplos com o professor

Folha de exame nível do perfil dura 3 horas e 55 minutos (235 minutos).

Limite Mínimo- 27 pontos.

A prova de exame consiste em duas partes, que diferem em conteúdo, complexidade e número de tarefas.

A característica definidora de cada parte do trabalho é a forma de tarefas:

• a parte 1 contém 8 tarefas (tarefas 1-8) com uma resposta curta na forma de um número inteiro ou uma fração decimal final;
• A parte 2 contém 4 tarefas (tarefas 9-12) com uma resposta curta na forma de um número inteiro ou uma fração decimal final e 7 tarefas (tarefas 13-19) com uma resposta detalhada (registro completo da decisão com a justificativa para a ações realizadas).

Panova Svetlana Anatolievna, professor de matemática a categoria mais alta escolas, 20 anos de experiência de trabalho:

“Para receber um certificado escolar, um graduado deve passar por duas exame obrigatório dentro USE formulário, um dos quais é a matemática. De acordo com o Conceito de Desenvolvimento educação matemática dentro Federação Russa O USO em matemática é dividido em dois níveis: básico e especializado. Hoje vamos considerar as opções para o nível do perfil.

Tarefa número 1- verificações com os participantes USE habilidade aplicar as habilidades adquiridas no curso de 5-9 anos em matemática elementar, em atividades práticas. O participante deve ter habilidades computacionais, ser capaz de trabalhar com números racionais, ser capaz de arredondar decimais ser capaz de converter uma unidade de medida para outra.

Exemplo 1 Um medidor de gastos foi instalado no apartamento onde Petr mora água fria(contador). No dia 1º de maio, o medidor apresentava um consumo de 172 metros cúbicos. m de água, e no dia primeiro de junho - 177 metros cúbicos. m. Que quantia Pedro deve pagar pela água fria para maio, se o preço de 1 cu. m de água fria é 34 rublos 17 copeques? Dê sua resposta em rublos.

Solução:

1) Encontre a quantidade de água gasta por mês:

177 - 172 = 5 (m³)

2) Descubra quanto dinheiro será pago pela água gasta:

34,17 5 = 170,85 (esfregar)

Responda: 170,85.

Tarefa número 2- é uma das tarefas mais simples do exame. A maioria dos graduados lida com isso com sucesso, o que indica a posse da definição do conceito de função. O tipo de tarefa nº 2 de acordo com o codificador de requisitos é uma tarefa para usar os conhecimentos e habilidades adquiridos em atividades práticas e Vida cotidiana. A tarefa número 2 consiste em uma descrição usando as funções de vários dependências reais entre quantidades e interpretação de seus gráficos. A tarefa número 2 testa a capacidade de extrair informações apresentadas em tabelas, diagramas, gráficos. Os graduados precisam ser capazes de determinar o valor de uma função pelo valor do argumento quando várias maneiras definir uma função e descrever o comportamento e as propriedades da função de acordo com seu gráfico. Também é necessário ser capaz de encontrar o máximo ou menor valor e construir gráficos das funções estudadas. Os erros cometidos são de natureza aleatória na leitura das condições do problema, lendo o diagrama.

#ADVERTISING_INSERT#

Exemplo 2 A figura mostra a variação do valor de troca de uma ação de uma mineradora na primeira quinzena de abril de 2017. Em 7 de abril, o empresário comprou 1.000 ações desta empresa. Em 10 de abril, ele vendeu três quartos das ações compradas e, em 13 de abril, vendeu todas as ações restantes. Quanto o empresário perdeu com essas operações?

Solução:

2) 1000 3/4 = 750 (ações) - compõem 3/4 de todas as ações compradas.

6) 247.500 + 77.500 = 325.000 (rublos) - o empresário recebeu após a venda de 1.000 ações.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rublos) - o empresário perdeu como resultado de todas as operações.

Responda: 15000.

Tarefa número 3- é uma tarefa nível básico a primeira parte, testa a capacidade de realizar ações com formas geométricas sobre o conteúdo do curso "Planimetria". Na tarefa 3, a capacidade de calcular a área de uma figura em papel quadriculado, capacidade de calcular medidas de grau cantos, calcular perímetros, etc.

Exemplo 3 Encontre a área de um retângulo desenhado em papel quadriculado com um tamanho de célula de 1 cm por 1 cm (veja a figura). Dê sua resposta em centímetros quadrados.

Solução: Para calcular a área desta figura, você pode usar a fórmula Peak:

Para calcular a área retângulo dado Vamos usar a fórmula de Pick:

S= B +	G
	2

onde V = 10, G = 6, portanto

S = 18 +	6
	2

Responda: 20.

Veja também: Exame de Estado Unificado em Física: resolvendo problemas de vibração

Tarefa número 4- a tarefa do curso "Teoria e Estatística das Probabilidades". A capacidade de calcular a probabilidade de um evento na situação mais simples é testada.

Exemplo 4 Há 5 pontos vermelhos e 1 azul no círculo. Determine quais polígonos são maiores: aqueles com todos os vértices vermelhos ou aqueles com um dos vértices azuis. Na sua resposta, indique quantos mais de um do que o outro.

Solução: 1) Usamos a fórmula para o número de combinações de n elementos por k:

todos cujos vértices são vermelhos.

3) Um pentágono com todos os vértices vermelhos.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polígonos com todos os vértices vermelhos.

cujos vértices são vermelhos ou com um vértice azul.

cujos vértices são vermelhos ou com um vértice azul.

8) Um hexágono cujos vértices são vermelhos com um vértice azul.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polígonos que possuem todos os vértices vermelhos ou um vértice azul.

10) 42 - 16 = 26 polígonos que usam o ponto azul.

11) 26 - 16 = 10 polígonos - quantos polígonos, em que um dos vértices é um ponto azul, são mais do que polígonos, em que todos os vértices são apenas vermelhos.

Responda: 10.

Tarefa número 5- o nível básico da primeira parte testa a capacidade de resolver as equações mais simples (irracional, exponencial, trigonométrica, logarítmica).

Exemplo 5 Resolva a Equação 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Solução. Divida ambos os lados desta equação por 5 3 + X≠ 0, obtemos

2 3 + x	= 0,4 ou		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

daí segue que 3 + x = 1, x = –2.

Responda: –2.

Tarefa número 6 por planimetria para encontrar quantidades geométricas(comprimentos, ângulos, áreas), modelagem situações reais na linguagem da geometria. Estudo de modelos construídos usando conceitos geométricos e teoremas. A fonte das dificuldades é geralmente a ignorância ou má aplicação teoremas necessários de planimetria.

Área de um triângulo abcé igual a 129. DE- linha do meio, lado paralelo AB. Encontre a área do trapézio ABED.

Solução. Triângulo CDE semelhante a um triângulo TÁXI em dois vértices, pois o vértice no vértice C geral, ângulo CDE igual ao ângulo TÁXI Como as ângulos correspondentes no DE || AB secante CA. Porque DEé a linha média do triângulo por condição, então por propriedade linha do meio | DE = (1/2)AB. Portanto, o coeficiente de similaridade é 0,5. quadrados figuras semelhantes estão relacionados como o quadrado do coeficiente de similaridade, então

Consequentemente, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tarefa número 7- verifica a aplicação da derivada ao estudo da função. Por implementação bem-sucedidaé necessária uma posse significativa e não formal do conceito de um derivado.

Exemplo 7 Para o gráfico da função y = f(x) no ponto com a abcissa x 0 desenha-se uma tangente, que é perpendicular à reta que passa pelos pontos (4; 3) e (3; -1) deste gráfico. Achar f′( x 0).

Solução. 1) Usamos a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados e encontre a equação de uma reta que passa pelos pontos (4; 3) e (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, onde k 1 = 4.

2) Encontre a inclinação da tangente k 2 que é perpendicular à linha y = 4x– 13, onde k 1 = 4, de acordo com a fórmula:

3) Declive tangente - a derivada da função no ponto de contato. Significa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Responda: –0,25.

Tarefa número 8- verifica o conhecimento de estereometria elementar entre os participantes do exame, a capacidade de aplicar fórmulas para encontrar áreas de superfície e volumes de figuras, ângulos diedros, comparar os volumes de figuras semelhantes, poder realizar ações com formas geométricas, coordenadas e vetores, etc.

O volume de um cubo circunscrito a uma esfera é 216. Encontre o raio da esfera.

Solução. 1) V cubo = uma 3 (onde umaé o comprimento da aresta do cubo), então

uma 3 = 216

uma = 3 √216

2) Como a esfera está inscrita em um cubo, significa que o comprimento do diâmetro da esfera é igual ao comprimento da aresta do cubo, portanto d = uma, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tarefa número 9- exige que o graduado transforme e simplifique expressões algébricas. Tarefa número 9 nível avançado Dificuldade com respostas curtas. As tarefas da seção "Cálculos e transformações" no USE são divididas em vários tipos:

conversões numéricas expressões racionais;

transformações de expressões algébricas e frações;

conversões numéricas/alfabéticas expressões irracionais;

ações com graus;

transformação expressões logarítmicas;

1. conversão de expressões trigonométricas numéricas/letras.

Exemplo 9 Calcule tgα se for conhecido que cos2α = 0,6 e

3π	< α < π.
4

Solução. 1) Vamos usar a fórmula argumento duplo: cos2α = 2 cos 2 α – 1 e encontre

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Assim, tan 2 α = ± 0,5.

3) Por condição

3π	< α < π,
4

portanto α é o ângulo do segundo quarto e tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Responda: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tarefa número 10- verifica a capacidade dos alunos de usar o adquirido conhecimento inicial e habilidades em atividades práticas e na vida cotidiana. Podemos dizer que estes são problemas de física, e não de matemática, mas todos fórmulas necessárias e os valores são dados na condição. Os problemas são reduzidos a resolver um problema linear ou Equação quadrática, linear ou desigualdade quadrada. Portanto, é necessário ser capaz de resolver tais equações e desigualdades e determinar a resposta. A resposta deve ser na forma de um número inteiro ou uma fração decimal final.

Dois corpos de massa m= 2 kg cada, movendo-se com a mesma velocidade v= 10 m/s em um ângulo de 2α entre si. A energia (em joules) liberada durante sua colisão absolutamente inelástica é determinada pela expressão Q = mv 2 sen 2 α. Em que menor ângulo 2α (em graus) os corpos devem se mover para que pelo menos 50 joules sejam liberados como resultado da colisão?
Solução. Para resolver o problema, precisamos resolver a desigualdade Q ≥ 50, no intervalo 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sen 2 α ≥ 50

2 10 2 sen 2 α ≥ 50

200 sen2α ≥ 50

Como α ∈ (0°; 90°), vamos resolver apenas

Representamos a solução da inequação graficamente:

Uma vez que pela suposição α ∈ (0°; 90°), significa que 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tarefa número 11- é típico, mas acaba sendo difícil para os alunos. A principal fonte de dificuldades é a construção de um modelo matemático (elaboração de uma equação). A tarefa número 11 testa a capacidade de resolver problemas de palavras.

Exemplo 11. No férias de primavera Vasya, da 11ª série, teve que resolver 560 problemas de treinamento para se preparar para o exame. Em 18 de março, no último dia de aula, Vasya resolveu 5 problemas. Então, todos os dias ele resolveu o mesmo número de problemas mais do que no dia anterior. Determine quantos problemas Vasya resolveu em 2 de abril no último dia de férias.

Solução: Indicar uma 1 = 5 - o número de tarefas que Vasya resolveu em 18 de março de d– número diário de tarefas resolvidas por Vasya, n= 16 - o número de dias de 18 de março a 2 de abril inclusive, S 16 = 560 – total tarefas, uma 16 - o número de tarefas que Vasya resolveu em 2 de abril. Sabendo que todos os dias Vasya resolveu o mesmo número de tarefas a mais do que no dia anterior, então você pode usar as fórmulas para encontrar a soma progressão aritmética:

560 = (5 + uma 16) 8,

5 + uma 16 = 560: 8,

5 + uma 16 = 70,

uma 16 = 70 – 5

uma 16 = 65.

Responda: 65.

Tarefa número 12- verificar a capacidade dos alunos para realizar ações com funções, ser capaz de aplicar a derivada ao estudo da função.

Encontrar o ponto de máximo de uma função y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Solução: 1) Encontre o domínio da função: x + 9 > 0, x> –9, ou seja, x ∈ (–9; ∞).

2) Encontre a derivada da função:

4) O ponto encontrado pertence ao intervalo (–9; ∞). Definimos os sinais da derivada da função e descrevemos o comportamento da função na figura:

O ponto máximo desejado x = –8.

Baixe gratuitamente o programa de trabalho em matemática para a linha de UMK G.K. Muravina, K. S. Muravina, O. V. Muravina 10-11 Baixe manuais de álgebra gratuitos

Tarefa número 13- um nível de complexidade aumentado com uma resposta detalhada, que testa a capacidade de resolver equações, a mais bem-sucedida entre as tarefas com uma resposta detalhada de um nível de complexidade aumentado.

a) Resolva a equação 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Encontre todas as raízes desta equação, pertencente ao segmento.

Solução: a) Seja log 3 (2cos x) = t, então 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		porque x =	4,5	⇔ porque |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2cos x = √3			porque x =	√3
		2							2

então porque x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Encontre as raízes que se encontram no segmento .

Pode-se ver pela figura que determinado segmento pertencem às raízes

11π	e	13π	.
6		6

Responda: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tarefa número 14- nível avançado refere-se às tarefas da segunda parte com uma resposta detalhada. A tarefa testa a capacidade de realizar ações com formas geométricas. A tarefa contém dois itens. No primeiro parágrafo, a tarefa deve ser comprovada e, no segundo parágrafo, deve ser calculada.

O diâmetro da circunferência da base do cilindro é 20, a geratriz do cilindro é 28. O plano intercepta suas bases ao longo de cordas de comprimento 12 e 16. A distância entre as cordas é 2√197.

a) Prove que os centros das bases do cilindro estão do mesmo lado desse plano.

b) Encontre o ângulo entre este plano e o plano da base do cilindro.

Solução: a) Uma corda de comprimento 12 está a uma distância = 8 do centro do círculo de base, e uma corda de comprimento 16, da mesma forma, está a uma distância de 6. Portanto, a distância entre suas projeções em um plano paralelo ao bases dos cilindros é 8 + 6 = 14, ou 8 − 6 = 2.

Então a distância entre as cordas é

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

De acordo com a condição, foi realizado o segundo caso, no qual as projeções das cordas se encontram em um lado do eixo do cilindro. Então o eixo não se cruza dado avião dentro do cilindro, ou seja, as bases ficam de um lado dele. O que precisava ser comprovado.

b) Vamos denotar os centros das bases como O 1 e O 2. Tracemos do centro da base com uma corda de comprimento 12 a mediatriz a essa corda (ela tem comprimento 8, como já notamos) e do centro da outra base a outra corda. Eles estão no mesmo plano β perpendicular a essas cordas. Vamos chamar o ponto médio da corda menor de B, maior que A, e a projeção de A na segunda base de H (H ∈ β). Então AB,AH ∈ β e, portanto, AB,AH são perpendiculares à corda, ou seja, a linha de interseção da base com o plano dado.

Então o ângulo necessário é

∠ABH = arctan	AH	= arco	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tarefa número 15- um nível de complexidade aumentado com uma resposta detalhada, verifica a capacidade de resolver as desigualdades, a mais bem-sucedida entre as tarefas com uma resposta detalhada de um nível de complexidade aumentado.

Exemplo 15 Resolva a desigualdade | x 2 – 3x| registro 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Solução: O domínio de definição desta desigualdade é o intervalo (–1; +∞). Considere três casos separadamente:

1) Deixe x 2 – 3x= 0, ou seja X= 0 ou X= 3. Nesse caso, essa desigualdade se torna verdadeira, portanto, esses valores são incluídos na solução.

2) Vamos agora x 2 – 3x> 0, ou seja x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Nesse caso, essa desigualdade pode ser reescrita na forma ( x 2 – 3x) registro 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 e divida por expressão positiva x 2 – 3x. Obtemos log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 ou x≤ -0,5. Levando em conta o domínio de definição, temos x ∈ (–1; –0,5].

3) Por fim, considere x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Neste caso, a desigualdade original será reescrita na forma (3 x – x 2) registro 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Depois de dividir por uma expressão positiva 3 x – x 2 , obtemos log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Levando em conta a área, temos x ∈ (0; 1].

Combinando as soluções obtidas, obtemos x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Responda: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tarefa número 16- nível avançado refere-se às tarefas da segunda parte com uma resposta detalhada. A tarefa testa a capacidade de realizar ações com formas geométricas, coordenadas e vetores. A tarefa contém dois itens. No primeiro parágrafo, a tarefa deve ser comprovada e, no segundo parágrafo, deve ser calculada.

NO Triângulo isósceles ABC com um ângulo de 120° no vértice A, desenha-se uma bissetriz BD. NO triângulo ABC o retângulo DEFH está inscrito de modo que o lado FH esteja no segmento BC e o vértice E no segmento AB. a) Prove que FH = 2DH. b) Encontre a área do retângulo DEFH se AB = 4.

Solução: a)

1) ΔBEF - retangular, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, então EF = BE devido à propriedade da perna oposta ao ângulo de 30°.

2) Seja EF = DH = x, então BE = 2 x, BF = x√3 pelo teorema de Pitágoras.

3) Desde Δ ABC isósceles, então ∠B = ∠C = 30˚.

BD é a bissetriz de ∠B, então ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Considere ΔDBH - retangular, pois DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Responda: 24 – 12√3.

Tarefa número 17- uma tarefa com uma resposta detalhada, esta tarefa testa a aplicação de conhecimentos e habilidades em atividades práticas e na vida cotidiana, a capacidade de construir e explorar modelos matemáticos. Esta tarefa - tarefa de texto com conteúdo econômico.

Exemplo 17. O depósito no valor de 20 milhões de rublos está planejado para ser aberto por quatro anos. No final de cada ano, o banco aumenta o depósito em 10% em relação ao seu tamanho no início do ano. Além disso, no início do terceiro e quarto anos, o depositante reabastece anualmente o depósito por X milhões de rublos, onde X - todo número. Achar valor mais alto X, no qual o banco adicionará menos de 17 milhões de rublos ao depósito em quatro anos.

Solução: No final do primeiro ano, a contribuição será de 20 + 20 · 0,1 = 22 milhões de rublos, e no final do segundo - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milhões de rublos. No início do terceiro ano, a contribuição (em milhões de rublos) será (24,2 + X), e no final - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). No início do quarto ano, a contribuição será de (26,62 + 2,1 X), e no final - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Por condição, você precisa encontrar o maior inteiro x para o qual a desigualdade

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

A maior solução inteira para esta desigualdade é o número 24.

Responda: 24.

Tarefa número 18- uma tarefa de maior nível de complexidade com uma resposta detalhada. Esta tarefa é para seleção competitiva universidades com requisitos mais altos treinamento matemático requerentes. Exercício alto nível complexidade não é uma tarefa para aplicar um método de solução, mas para uma combinação de diferentes métodos. Para a conclusão bem-sucedida da tarefa 18, além de sólidos conhecimentos matemáticos, também é necessário um alto nível de cultura matemática.

Em que uma sistema de desigualdades

	x 2 + y 2 ≤ 2ai – uma 2 + 1
	y + uma ≤ |x| – uma

tem exatamente duas soluções?

Solução: Este sistema pode ser reescrito como

	x 2 + (y– uma) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – uma

Se desenharmos no plano o conjunto de soluções para a primeira inequação, obtemos o interior de um círculo (com um contorno) de raio 1 centrado no ponto (0, uma). O conjunto de soluções da segunda desigualdade é a parte do plano que está sob o gráfico da função y = | x| – uma, e o último é o gráfico da função
y = | x| , deslocado para baixo por uma. A solução deste sistema é a intersecção dos conjuntos solução de cada uma das desigualdades.

Portanto, duas soluções este sistema terá apenas no caso mostrado na Fig. 1.

Os pontos de contato entre o círculo e as linhas serão as duas soluções do sistema. Cada uma das linhas retas é inclinada em relação aos eixos em um ângulo de 45°. Então o triângulo PQR- retângulos isósceles. Ponto Q tem coordenadas (0, uma), e o ponto R– coordenadas (0, – uma). Além disso, cortes RP e QP são iguais ao raio do círculo igual a 1. Portanto,

QR= 2uma = √2, uma =	√2	.
	2

Responda: uma =	√2	.
	2

Tarefa número 19- uma tarefa de maior nível de complexidade com uma resposta detalhada. Esta tarefa destina-se à seleção competitiva para universidades com requisitos acrescidos para a preparação matemática dos candidatos. Uma tarefa de alto nível de complexidade não é uma tarefa de aplicação de um método de solução, mas de uma combinação de diferentes métodos. Para concluir a tarefa 19 com sucesso, você deve ser capaz de procurar uma solução escolhendo abordagens diferentes dentre os conhecidos, modificando os métodos estudados.

Deixar sn soma P membros de uma progressão aritmética ( um p). Sabe-se que S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Dê a fórmula Pº membro desta progressão.

b) Encontre a menor soma de módulo S n.

c) Encontre o menor P, em qual S n será o quadrado de um inteiro.

Solução: a) Obviamente, um = S n – S n- 1 . Usando esta fórmula, Nós temos:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

significa, um = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) porque S n = 2n 2 – 25n, então considere a função S(x) = | 2x 2 – 25x|. Seu gráfico pode ser visto na figura.

É óbvio que o menor valor é alcançado nos pontos inteiros localizados mais próximos dos zeros da função. Obviamente são pontos. X= 1, X= 12 e X= 13. Uma vez que, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, então o menor valor é 12.

c) Decorre do número anterior que sn positivo desde n= 13. Desde S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), então o caso óbvio quando dada expressãoé um quadrado perfeito, é realizado quando n = 2n- 25, ou seja, com P= 25.

Resta verificar os valores de 13 a 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Acontece que para valores menores P quadrado cheio não é alcançado.

Responda: a) um = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Desde maio de 2017, o grupo editorial conjunto "DROFA-VENTANA" faz parte da corporação " livro de russo". A corporação também incluiu a editora Astrel e digital plataforma educacional"lecta". CEO nomeado Alexander Brychkin, graduado Academia Financeira sob o governo da Federação Russa, candidato ciências econômicas, Supervisor projetos inovadores Editora DROFA no campo da educação digital ( formulários eletrônicos livros didáticos, "Russian Electronic School", plataforma educacional digital LECTA). Antes de ingressar na editora DROFA, ele ocupou o cargo de vice-presidente de desenvolvimento estratégico e investimentos da holding editorial EKSMO-AST. Hoje, a Russian Textbook Publishing Corporation possui o maior portfólio de livros didáticos incluídos no lista federal- 485 títulos (aproximadamente 40%, excluindo livros didáticos para escola de recuperação). As editoras da corporação possuem os mais populares escolas russas conjuntos de livros didáticos de física, desenho, biologia, química, tecnologia, geografia, astronomia - áreas do conhecimento necessárias para desenvolver o potencial produtivo do país. O portfólio da corporação inclui livros didáticos e guias de estudo por escola primária recebeu o Prêmio Presidencial de Educação. Estes são livros e manuais sobre áreas temáticas que são necessárias para o desenvolvimento do potencial científico, técnico e industrial da Rússia.

A solução para o problema geralmente se resume a raciocínio lógico e cálculos para encontrar o valor de alguma quantidade. Por exemplo, encontre a velocidade, o tempo, a distância, a massa de um objeto ou a quantidade de algo.

Este problema pode ser resolvido usando uma equação. Para isso, o valor desejado é denotado por meio de uma variável, então, por raciocínio lógico, compõe e resolve uma equação. Tendo resolvido a equação, eles verificam se a solução da equação satisfaz as condições do problema.

Conteúdo da lição

Escrevendo Expressões Contendo o Desconhecido

A solução do problema é acompanhada pela compilação de uma equação para este problema. No Estado inicial estudando problemas, é desejável aprender a compor expressões literais descrevendo um ou outro situação de vida. Esta etapa não é difícil e pode ser estudada no próprio processo de resolução do problema.

Considere várias situações que podem ser escritas usando uma expressão matemática.

Tarefa 1. idade do pai x anos. Mamãe é dois anos mais nova. Filho mais novo que o pai Três vezes. Registre a idade de cada um usando expressões.

Solução:

Tarefa 2. idade do pai x anos, a mãe é 2 anos mais nova que o pai. O filho é 3 vezes mais novo que o pai, a filha é 3 vezes mais nova que a mãe. Registre a idade de cada um usando expressões.

Solução:

Tarefa 3. idade do pai x anos, a mãe é 3 anos mais nova que o pai. O filho é 3 vezes mais novo que o pai, a filha é 3 vezes mais nova que a mãe. Quantos anos tem cada idade geral pai, mãe, filho e filha tem 92 anos?

Solução:

Neste problema, além de escrever expressões, é necessário calcular a idade de cada membro da família.

Primeiro, anotamos a idade de cada membro da família usando expressões. Por variável x vamos pegar a idade do pai, e então usando essa variável vamos compor as expressões restantes:

Agora vamos determinar a idade de cada membro da família. Para fazer isso, precisamos escrever e resolver uma equação. Temos todos os componentes da equação prontos. Resta apenas recolhê-los juntos.

A idade total de 92 anos foi obtida somando-se as idades do pai, mãe, filho e filha:

Para cada idade, temos expressão matemática. Essas expressões serão os componentes da nossa equação. Vamos montar nossa equação de acordo com este esquema e a tabela que foi dada acima. Ou seja, as palavras pai, mãe, filho, filha serão substituídas pela expressão correspondente a elas na tabela:

Expressão para a idade da mãe x - 3 para maior clareza, foi colocado entre parênteses.

Agora vamos resolver a equação resultante. Para começar, você pode abrir os colchetes sempre que possível:

Para liberar a equação de frações, multiplique ambos os lados por 3

Resolvemos a equação resultante usando o conhecido transformações idênticas:

Encontramos o valor da variável x. Essa variável foi responsável pela idade do pai. Portanto, a idade do pai é 36 anos.

Sabendo a idade do pai, você pode calcular as idades do resto da família. Para fazer isso, você precisa substituir o valor da variável x naquelas expressões que são responsáveis ​​pela idade de um determinado membro da família.

No problema, foi dito que a mãe é 3 anos mais nova que o pai. Denotamos sua idade através da expressão x−3. Valor da variável xé agora conhecido, e para calcular a idade da mãe, é necessário na expressão x - 3 ao invés de x substituir o valor encontrado 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d mãe de 33 anos.

Da mesma forma, a idade dos restantes membros da família é determinada:

Exame:

Tarefa 4. Um quilo de maçãs vale x rublos. Escreva uma expressão que calcule quantos quilos de maçãs você pode comprar por 300 rublos.

Solução

Se um quilo de maçãs custa x rublos, então por 300 rublos você pode comprar um quilo de maçãs.

Exemplo. Um quilo de maçãs custa 50 rublos. Então, por 300 rublos, você pode comprar, ou seja, 6 quilos de maçãs.

Tarefa 5. No x rublos, 5 kg de maçãs foram comprados. Escreva uma expressão que calcule quantos rublos custa um quilo de maçãs.

Solução

Se por 5 kg de maçãs foi pago x rublos, então um quilo custará rublos

Exemplo. Por 300 rublos, foram comprados 5 kg de maçãs. Então um quilo de maçãs custará, ou seja, 60 rublos.

Tarefa 6. Tom, John e Leo foram ao refeitório durante o recreio e compraram um sanduíche e uma caneca de café. O sanduíche vale a pena x rublos e uma caneca de café - 15 rublos. Determine o custo de um sanduíche se souber que 120 rublos foram pagos por tudo?

Solução

Claro, esse problema é tão simples quanto três centavos e pode ser resolvido sem recorrer a uma equação. Para fazer isso, subtraia o custo de três xícaras de café (15 × 3) de 120 rublos e divida o resultado por 3

Mas nosso objetivo é escrever uma equação para o problema e resolvê-la. Então o custo de um sanduíche x rublos. Comprou apenas três. Então, tendo triplicado o custo, obtemos uma expressão que descreve quantos rublos foram pagos por três sanduíches

3x - custo de três sanduíches

E o custo de três xícaras de café pode ser escrito como 15 × 3. 15 é o custo de uma caneca de café e 3 é um multiplicador (Tom, John e Leo) que triplica esse custo.

De acordo com a condição do problema, 120 rublos foram pagos por tudo. Nós já temos esquema exemplar, O que nós temos que fazer:

Já temos expressões descrevendo o custo de três sanduíches e três xícaras de café. Estas são expressões 3 x e 15×3. Usando o esquema, vamos escrever uma equação e resolvê-la:

Portanto, o custo de um sanduíche é de 25 rublos.

O problema é resolvido corretamente somente se a equação para ele for compilada corretamente. Ao contrário das equações ordinárias, pelas quais aprendemos a encontrar raízes, as equações para resolver problemas têm sua própria aplicação específica. Cada componente de tal equação pode ser descrito em forma verbal. Ao compilar uma equação, é imperativo entender por que incluímos um ou outro componente em sua composição e por que é necessário.

Também é necessário lembrar que a equação é uma igualdade, depois de resolvida qual o lado esquerdo terá que ser igual ao lado direito. A equação resultante não deve contradizer essa ideia.

Imagine que a equação é uma balança com duas tigelas e uma tela mostrando o estado da balança.

NO este momento a tela mostra um sinal de igual. Está claro por que a tigela esquerda é igual à tigela direita - não há nada nas tigelas. Escrevemos o estado da balança e a ausência de algo nas tigelas usando a seguinte igualdade:

0 = 0

Vamos colocar uma melancia na escala da esquerda:

A tigela esquerda superou a tigela direita e a tela soou o alarme, mostrando o sinal de não igual (≠). Este sinal indica que a tigela esquerda não é igual à tigela direita.

Agora vamos tentar resolver o problema. Que seja necessário descobrir quanto pesa a melancia, que fica na tigela esquerda. Mas como você sabe? Afinal, nossas balanças são projetadas apenas para verificar se a tigela da esquerda é igual à da direita.

As equações vêm em socorro. Lembre-se que por definição a equação é igualdade A que contém a variável cujo valor você deseja encontrar. A balança neste caso desempenha o papel dessa mesma equação, e a massa da melancia é uma variável cujo valor deve ser encontrado. Nosso objetivo é acertar essa equação. Entenda, alinhe as escalas para que você possa calcular a massa da melancia.

Para nivelar a balança, você pode colocar algum peso na tigela certa. objeto pesado. Por exemplo, vamos colocar um peso de 7 kg lá.

Agora, pelo contrário, a tigela direita superava a esquerda. A tela ainda mostra que as taças não são iguais.

Vamos tentar colocar um peso de 4 kg na tigela esquerda

Agora a balança se nivelou. A figura mostra que a tigela da esquerda está no nível da tigela da direita. E a tela mostra um sinal de igual. Este sinal indica que a tigela esquerda é igual à tigela direita.

Assim, obtivemos uma equação - uma igualdade contendo uma incógnita. O pan esquerdo é o lado esquerdo da equação, composto pelos 4 componentes e a variável x(massas de melancia), e a tigela certa é parte direita equação, consistindo no componente 7.

Bem, não é difícil adivinhar que a raiz da equação 4 + x\u003d 7 é 3. Portanto, a massa da melancia é de 3 kg.

O mesmo vale para outras tarefas. Para encontrar algum valor desconhecido, adicione ao lado esquerdo ou direito da equação vários elementos: termos, fatores, expressões. Nos problemas escolares, esses elementos já estão dados. Resta apenas estruturá-los corretamente e construir uma equação. Nós estamos em este exemplo engajados na seleção, tentando pesos de diferentes massas para calcular a massa de uma melancia.

Naturalmente, os dados fornecidos no problema devem primeiro ser trazidos para uma forma em que possam ser incluídos na equação. Portanto, como dizem "Quer você goste ou não, você tem que pensar".

Considere o seguinte problema. idade do pai igual a idade filho e filha juntos. Filho dividido pela metade mais velha que filha e vinte anos mais jovem que seu pai. Qual a idade de cada um?

A idade da filha pode ser expressa como x. Se o filho tiver o dobro da idade da filha, sua idade será indicada como 2 x. A condição do problema diz que juntos a idade da filha e do filho é igual à idade do pai. Assim, a idade do pai será denotada pela soma x + 2x

Você pode adicionar termos semelhantes em uma expressão. Então a idade do pai será denotada como 3 x

Agora vamos fazer uma equação. Precisamos obter uma igualdade na qual podemos encontrar a incógnita x. Vamos usar pesos. Na tigela da esquerda colocamos a idade do pai (3 x), e na tigela direita a idade do filho (2 x)

Está claro por que a tigela da esquerda superou a da direita e por que a tela mostra o sinal (≠) . Afinal, é lógico que a idade do pai é maior que a idade do filho.

Mas precisamos equilibrar a balança para podermos calcular a incógnita x. Para fazer isso, você precisa adicionar algum número à tigela certa. Qual o número indicado no problema. A condição dizia que o filho era 20 anos mais novo que o pai. Então 20 anos é o mesmo número que precisa ser colocado na balança.

A balança ficará equilibrada se adicionarmos esses 20 anos ao lado direito da balança. Em outras palavras, vamos criar o filho até a idade do pai

Agora a balança se nivelou. Acabou a equação , que é facilmente resolvido:

x marcamos a idade da filha. Agora encontramos o valor desta variável. Filha 20 anos.

E, finalmente, calculamos a idade do pai. A missão dizia que ele é igual à soma as idades do filho e da filha, ou seja, (20 + 40) anos.

Vamos voltar ao meio da tarefa e prestar atenção a um ponto. Quando colocamos a idade do pai e a idade do filho na balança, a tigela da esquerda superou a da direita

Mas resolvemos esse problema adicionando mais 20 anos à tigela certa. Como resultado, as escalas se nivelaram e obtivemos a igualdade

Mas era possível não adicionar esses 20 anos à tigela da direita, mas subtraí-los da esquerda. Teríamos igualdade neste caso

Desta vez a equação é . A raiz da equação ainda é 20

Ou seja, as equações e são equivalentes. E lembramos que equações equivalentes raízes coincidem. Se você olhar atentamente para essas duas equações, poderá ver que a segunda equação é obtida transferindo o número 20 do lado direito para o esquerdo com sinal oposto. E esta ação, conforme indicado na lição anterior, não altera as raízes da equação.

Você também precisa prestar atenção ao fato de que no início da resolução do problema, as idades de cada membro da família podem ser denotadas por meio de outras expressões.

Digamos que a idade do filho seja denotada por x e como ele é dois mais velho que sua filha, então designe a idade da filha através de (entenda para fazê-la mais novo que filho duas vezes). E a idade do pai, por ser a soma das idades do filho e da filha, é denotada pela expressão . E, finalmente, para construir uma equação logicamente correta, você precisa adicionar o número 20 à idade do filho, porque o pai é vinte anos mais velho. O resultado é uma equação completamente diferente. . Vamos resolver esta equação

Como você pode ver, as respostas para o problema não mudaram. Meu filho ainda tem 40 anos. As filhas ainda têm anos e o pai tem 40 + 20 anos.

Em outras palavras, o problema pode ser resolvido vários métodos. Portanto, não se deve desesperar que não seja possível resolver este ou aquele problema. Mas deve-se ter em mente que existe uma maneiras simples Solução de problemas. Você pode chegar ao centro da cidade várias rotas, mas há sempre o caminho mais conveniente, rápido e seguro.

Exemplos de resolução de problemas

Tarefa 1. São 30 cadernos em dois pacotes. Se 2 cadernos fossem transferidos do primeiro pacote para o segundo, haveria duas vezes mais cadernos no primeiro pacote do que no segundo. Quantos cadernos havia em cada pacote?

Solução

Denotado por x o número de cadernos que estavam no primeiro pacote. Se houvesse 30 cadernos no total, e a variável x este é o número de cadernos do primeiro pacote, então o número de cadernos do segundo pacote será denotado pela expressão 30 − x. Ou seja, do número total de cadernos, subtraímos o número de cadernos do primeiro pacote e assim obtemos o número de cadernos do segundo pacote.

e adicione esses dois notebooks ao segundo pacote

Vamos tentar fazer uma equação a partir das expressões existentes. Colocamos os dois pacotes de cadernos na balança

A tigela esquerda é mais pesada que a direita. Isso ocorre porque a condição do problema diz que depois que dois cadernos foram retirados do primeiro pacote e colocados no segundo, o número de cadernos no primeiro pacote tornou-se duas vezes maior do que no segundo.

Para equalizar as escalas e obter a equação, dobre o lado direito. Para fazer isso, multiplique por 2

Acontece uma equação. Nós vamos decidir dada equação:

Denotamos o primeiro pacote pela variável x. Agora encontramos seu significado. Variável x igual a 22. Então havia 22 cadernos no primeiro pacote.

E denotamos o segundo pacote pela expressão 30 − x e como o valor da variável x Agora que sabemos, podemos calcular o número de cadernos no segundo pacote. É igual a 30 − 22, ou seja, 8 peças.

Tarefa 2. Duas pessoas estavam descascando batatas. Um descascava duas batatas por minuto e o outro três batatas. Juntos, eles limparam 400 peças. Quanto tempo cada um trabalhou se o segundo trabalhou 25 minutos a mais que o primeiro?

Solução

Denotado por x hora da primeira pessoa. Como a segunda pessoa trabalhou 25 minutos a mais que a primeira, seu tempo será denotado pela expressão

O primeiro operário descascava 2 batatas por minuto e, como trabalhava x minutos, então no total ele limpou 2 x batatas.

A segunda pessoa descascou três batatas por minuto e, como trabalhou por minutos, descascou as batatas no total.

Juntos, eles descascaram 400 batatas

A partir dos componentes disponíveis, vamos compor e resolver a equação. No lado esquerdo da equação estarão as batatas descascadas por cada pessoa, e no lado direito da soma:

No início da solução deste problema através da variável x marcamos o tempo de trabalho da primeira pessoa. Agora encontramos o valor desta variável. A primeira pessoa trabalhou 65 minutos.

E a segunda pessoa trabalhou por minutos, e como o valor da variável x agora é conhecido, então você pode calcular o tempo da segunda pessoa - é igual a 65 + 25, ou seja, 90 minutos.

Problema do livro de álgebra de Andrey Petrovich Kiselev. Uma mistura de 32 kg foi feita a partir das variedades de chá. Um quilograma do primeiro grau custa 8 rublos e do segundo grau 6 rublos. 50 kop. Quantos quilos são retirados de ambas as variedades, se um quilograma da mistura custa (sem lucro ou perda) 7 rublos. 10 copeques?

Solução

Denotado por x muito chá da primeira série. Em seguida, a massa de chá do segundo grau será denotada pela expressão 32 − x

Um quilo de chá do primeiro grau custa 8 rublos. Se esses oito rublos forem multiplicados pelo número de quilogramas de chá do primeiro grau, será possível descobrir quanto custam os rublos x kg de chá do primeiro grau.

Um quilo de chá de segunda classe custa 6 rublos. 50 kop. Se estes 6 rublos. 50 kop. multiplique por 32 − x, então você pode descobrir quantos rublos custam 32 − x kg de chá do segundo grau.

A condição diz que um quilo da mistura custa 7 rublos. 10 kop. No total, foram preparados 32 kg da mistura. Multiplique 7 rublos. 10 kop. em 32, podemos descobrir quanto custa 32 kg da mistura.

As expressões a partir das quais vamos compor a equação agora assumem a seguinte forma:

Vamos tentar fazer uma equação a partir das expressões existentes. Vamos colocar o custo das misturas de chás de primeiro e segundo grau no prato esquerdo da balança, e colocar o custo de 32 kg da mistura no prato direito, ou seja custo total mistura, que inclui ambas as variedades de chá:

No início da solução deste problema através da variável x designamos a massa de chá do primeiro grau. Agora encontramos o valor desta variável. Variável xé igual a 12,8. Isso significa que 12,8 kg de chá de primeiro grau foram levados para preparar a mistura.

E através da expressão 32 − x denotamos a massa de chá do segundo grau, e desde o valor da mudança x agora conhecido, podemos calcular a massa de chá do segundo grau. É igual a 32 − 12,8, ou seja, 19,2. Isso significa que 19,2 kg de chá de segundo grau foram levados para preparar a mistura.

Tarefa 3. Um ciclista percorreu uma distância a uma velocidade de 8 km/h. Ele teve que retornar por outra estrada, que era 3 km mais longa que a primeira, e apesar de voltar, estava viajando a uma velocidade de 9 km/h, usou o tempo por mais de minutos. Quanto tempo eram as estradas?

Solução

Algumas tarefas podem abranger tópicos que a pessoa pode não ter estudado. Esta tarefa pertence a esta gama de tarefas. Trata dos conceitos de distância, velocidade e tempo. Assim, para resolver esse problema, você precisa ter uma ideia sobre as coisas que são ditas no problema. No nosso caso, precisamos saber qual é a distância, velocidade e tempo.

A tarefa é encontrar as distâncias de duas estradas. Devemos escrever uma equação que nos permita calcular essas distâncias.

Considere a relação entre distância, velocidade e tempo. Cada uma dessas quantidades pode ser descrita usando uma equação literal:

Usaremos o lado direito de uma dessas equações para elaborar nossa equação. Para descobrir qual, você precisa retornar ao texto da tarefa e procurar o que você pode pegar

Você pode perceber o momento em que o ciclista na volta usou o tempo por mais de um minuto. Esta dica nos diz que podemos usar a equação, ou seja, sua lado direito. Isso nos permitirá escrever uma equação que contém a variável S .

Vamos denotar o comprimento da primeira estrada como S. O ciclista percorreu esse trajeto a uma velocidade de 8 km/h. O tempo pelo qual ele percorreu esse caminho será denotado pela expressão, pois o tempo é a razão entre a distância percorrida e a velocidade

O caminho de volta para o ciclista foi 3 km mais longo. Portanto, sua distância será denotada pela expressão S+ 3. Um ciclista percorreu esta estrada a uma velocidade de 9 km/h. Assim, o tempo pelo qual ele superou esse caminho será denotado pela expressão .

Agora vamos fazer uma equação a partir das expressões existentes

A tigela direita é mais pesada que a esquerda. Isso porque o problema diz que o ciclista passou mais tempo na volta.

Para equalizar as escalas, adicione esses mesmos minutos ao lado esquerdo. Mas primeiro vamos converter minutos para horas, já que no problema a velocidade é medida em quilômetros por hora, e não em metros por minuto.

Para converter minutos em horas, você precisa dividi-los por 60

Minutos fazem horas. Adicione essas horas ao lado esquerdo da equação:

Acontece que a equação . Vamos resolver esta equação. Para se livrar das frações, ambas as partes da parte podem ser multiplicadas por 72. Além disso, usando as transformações idênticas conhecidas, encontre o valor variável S

Através de uma variável S marcamos a distância da primeira estrada. Agora encontramos o valor desta variável. Variável Sé 15. Então a distância da primeira estrada é de 15 km.

E denotamos a distância da segunda estrada através da expressão S+ 3 , e como o valor da variável S Agora que sabemos, podemos calcular a distância da segunda estrada. Essa distância é igual à soma de 15 + 3, ou seja, 18 km.

Tarefa 4. Dois carros percorrem a estrada com a mesma velocidade. Se o primeiro aumentar a velocidade em 10 km/h e o segundo reduzir a velocidade em 10 km/h, então o primeiro percorrerá a mesma distância em 2 horas que o segundo em 3 horas. carros vão?

Solução

Denotado por v a velocidade de cada carro. Mais adiante no problema, dicas são dadas: aumente a velocidade do primeiro carro em 10 km/h e diminua a velocidade do segundo carro em 10 km/h. Vamos usar esta dica

Afirma-se ainda que em tais velocidades (aumentadas e diminuídas em 10 km / h), o primeiro carro percorrerá a mesma distância em 2 horas que o segundo em 3 horas. Frase "quantos" pode ser entendido como "a distância percorrida pelo primeiro carro será é igual a distância percorrida pelo segundo carro.

A distância, como lembramos, é determinada pela fórmula. Estamos interessados ​​no lado direito desta equação literal - ela nos permitirá escrever uma equação contendo uma variável v .

Então, na velocidade v + 10 km/h o primeiro carro vai passar 2(v+10) km, e o segundo passará 3(v - 10) km. Nessa condição, os carros percorrerão as mesmas distâncias, portanto, para obter uma equação, basta conectar essas duas expressões com um sinal de igual. Então obtemos a equação. Vamos resolver:

Na condição do problema, foi dito que os carros andam na mesma velocidade. Denotamos essa velocidade pela variável v. Agora encontramos o valor desta variável. Variável vé igual a 50. Então a velocidade dos dois carros era de 50 km/h.

Tarefa 5. Em 9 horas a jusante o navio percorre a mesma distância que em 11 horas a montante. Encontre a velocidade do barco se a velocidade do rio for 2 km/h.

Solução

Denotado por v própria velocidade do navio. A velocidade do fluxo do rio é de 2 km/h. No curso do rio, a velocidade do navio será v + 2 km/h, e contra a corrente - (v - 2) km/h.

A condição do problema afirma que em 9 horas o navio percorre a mesma distância ao longo do rio que em 11 horas contra a corrente. Frase "da mesma forma" pode ser entendido como a distância percorrida pelo barco ao longo do rio em 9 horas, é igual a distância percorrida pelo navio contra a corrente do rio em 11 horas. Ou seja, as distâncias serão as mesmas.

A distância é determinada pela fórmula. Vamos usar o lado direito desta equação literal para escrever nossa própria equação.

Assim, em 9 horas, o navio passará pelo rio 9(v + 2) km, e em 11 horas a montante - 11(v - 2) km. Como ambas as expressões descrevem a mesma distância, igualamos a primeira expressão à segunda. Como resultado, obtemos a equação . Vamos resolver:

Significa própria velocidade o navio está a 20 km/h.

Ao resolver problemas bom hábitoé determinar antecipadamente sobre qual solução se busca para ele.

Suponha que a tarefa fosse encontrar o tempo que um pedestre leva para caminho especificado. Denotamos o tempo através da variável t, então fizemos uma equação contendo essa variável e encontramos seu valor.

Da prática, sabemos que o tempo de movimento de um objeto pode levar tanto valores inteiros quanto fracionários, por exemplo, 2 horas, 1,5 horas, 0,5 horas. Então podemos dizer que a solução para esse problema é procurada no definir números racionais Q, pois cada um dos valores 2 h, 1,5 h, 0,5 h pode ser representado como uma fração.

Portanto, após quantidade desconhecida denotado por uma variável, é útil indicar a qual conjunto esse valor pertence. No nosso exemplo, o tempo t pertence ao conjunto dos números racionais Q

t ∈ Q

Você também pode introduzir uma restrição na variável t, indicando que só pode aceitar valores positivos. De fato, se o objeto gasto no caminho certo tempo, então este tempo não pode ser negativo. Portanto, ao lado da expressão t∈ Q especificar que seu valor deve ser maior que zero:

t∈ R, t > 0

Se resolvermos a equação, obtemos significado negativo para uma variável t, então será possível concluir que o problema foi resolvido incorretamente, pois esta solução não satisfará a condição t∈ Q , t> 0 .

Outro exemplo. Se estivéssemos resolvendo um problema em que fosse necessário encontrar o número de pessoas para realizar um determinado trabalho, denotaríamos esse número por meio de uma variável x. Em tal problema, a solução seria buscada no set números naturais

x ∈ N

De fato, o número de pessoas é um número inteiro, como 2 pessoas, 3 pessoas, 5 pessoas. Mas não 1,5 (um pessoa inteira e meia pessoa) ou 2,3 ​​(duas pessoas inteiras e mais três décimos de uma pessoa).

Aqui pode-se indicar que o número de pessoas deve ser maior que zero, mas os números incluídos no conjunto dos números naturais N são eles próprios positivos e maiores que zero. Este conjunto não números negativos e o número 0. Portanto, a expressão x > 0 pode ser omitida.

Tarefa 6. Para consertar a escola, chegou uma equipe na qual havia 2,5 vezes mais pintores do que carpinteiros. Logo o capataz incluiu mais quatro pintores na equipe e transferiu dois carpinteiros para outro objeto. Como resultado, havia 4 vezes mais pintores na brigada do que carpinteiros. Quantos pintores e quantos carpinteiros havia inicialmente na brigada

Solução

Denotado por x carpinteiros que chegaram inicialmente para reparos.

O número de carpinteiros é um número inteiro maior que zero. Por isso, destacamos que x pertence ao conjunto dos números naturais

x∈N

Havia 2,5 vezes mais pintores do que carpinteiros. Portanto, o número de pintores será denotado como 2,5x.

E o número de pintores aumentará em 4

Agora o número de carpinteiros e pintores será denotado pelas seguintes expressões:

Vamos tentar fazer uma equação a partir das expressões existentes:

A tigela da direita é maior, porque depois de adicionar mais quatro pintores à equipe e mover dois carpinteiros para outro objeto, o número de pintores na equipe acabou sendo 4 vezes maior que o de carpinteiros. Para equalizar a balança, você precisa aumentar a tigela esquerda em 4 vezes:

Consegui uma equação. Vamos resolver:

Através de uma variável x o número inicial de carpinteiros foi designado. Agora encontramos o valor desta variável. Variável xé igual a 8. Então 8 carpinteiros estavam na brigada inicialmente.

E o número de pintores foi indicado pela expressão 2,5 x e como o valor da variável x agora é conhecido, então você pode calcular o número de pintores - é igual a 2,5 × 8, ou seja, 20.

Voltamos ao início da tarefa e garantimos que a condição seja atendida x∈ N. Variável xé igual a 8, e os elementos do conjunto dos números naturais N estes são todos os números que começam com 1, 2, 3 e assim por diante até o infinito. O mesmo conjunto inclui o número 8, que encontramos.

8 ∈N

O mesmo pode ser dito sobre o número de pintores. O número 20 pertence ao conjunto dos números naturais:

20 ∈N

Compreender a essência do problema e compilação correta equação, não é necessário usar a maquete com tigelas. Você pode usar outros modelos: segmentos, tabelas, diagramas. Você pode criar seu próprio modelo que descreva bem a essência do problema.

Tarefa 9. 30% do leite foi derramado da lata. Como resultado, 14 litros permaneceram nele. Quantos litros de leite havia na lata originalmente?

Solução

O valor desejado é o número inicial de litros na lata. Desenhe o número de litros como uma linha e rotule esta linha como X

Diz-se que 30% do leite foi derramado da lata. Selecionamos na figura aproximadamente 30%

Uma porcentagem, por definição, é um centésimo de algo. Se 30% do leite foi derramado, os 70% restantes permaneceram na lata. Esses 70% respondem pelos 14 litros indicados no problema. Selecione os 70% restantes na figura

Agora você pode fazer uma equação. Vamos lembrar como encontrar a porcentagem de um número. Para fazer isso, a quantidade total de algo é dividida por 100 e o resultado é multiplicado pela porcentagem desejada. Observe que 14 litros, que é 70%, podem ser obtidos da mesma forma: o número inicial de litros X divida por 100 e multiplique o resultado por 70. Iguale tudo isso ao número 14

Ou obtenha uma equação mais simples: escreva 70% como 0,70, depois multiplique por X e iguale essa expressão a 14

Isso significa que inicialmente havia 20 litros de leite na lata.

Tarefa 9. Eles levaram duas ligas de ouro e prata. Em um, a proporção desses metais é 1:9, e no outro, 2:3. Quanto de cada liga deve ser tomado para obter 15 kg de uma nova liga na qual ouro e prata estariam relacionados como 1:4 ?

Solução

Vamos primeiro tentar descobrir quanto ouro e prata estarão contidos em 15 kg da nova liga. A tarefa diz que o conteúdo desses metais deve estar na proporção de 1: 4, ou seja, o ouro deve ser uma parte da liga e a prata deve ser quatro partes. Então o número total de peças na liga será 1 + 4 = 5, e a massa de uma peça será 15: 5 = 3 kg.

Vamos determinar quanto ouro estará contido em 15 kg de liga. Para fazer isso, multiplique 3 kg pelo número de partes de ouro:

3kg × 1 = 3kg

Vamos determinar quanta prata estará contida em 15 kg de liga:

3kg × 4 = 12kg

Isso significa que uma liga pesando 15 kg conterá 3 kg de ouro e 12 kg de prata. Agora de volta às ligas originais. Você precisa usar cada um deles. Denotado por x a massa da primeira liga e a massa da segunda liga podem ser denotadas por 15 - x

Vamos expressar em porcentagem todas as relações que são dadas no problema e preencher a tabela a seguir com elas:

Na primeira liga, ouro e prata estão na proporção de 1: 9. Então o total de partes será 1 + 9 = 10. Destes, haverá ouro , e prata .

Vamos transferir esses dados para a tabela. 10% serão inseridos na primeira linha da coluna "porcentagem de ouro na liga", 90% também será inserido na primeira linha da coluna "porcentagem de prata na liga", e na última coluna "peso da liga" insira uma variável x, já que é assim que denotamos a massa da primeira liga:

Fazemos o mesmo com a segunda liga. Ouro e prata nele estão na proporção de 2: 3. Então haverá 2 + 3 = 5 partes no total. Destes, o ouro será , e prata .

Vamos transferir esses dados para a tabela. 40% serão inseridos na segunda linha da coluna "porcentagem de ouro na liga", 60% também será inserido na segunda linha da coluna "porcentagem de prata na liga", e na última coluna "peso da liga" digite a expressão 15 − x, porque é assim que denotamos a massa da segunda liga:

Vamos preencher a última linha. A liga resultante pesando 15 kg conterá 3 kg de ouro, que é liga, e prata será Liga. Na última coluna anotamos a massa da liga resultante 15

Agora você pode escrever equações usando esta tabela. Nós lembramos. Se somarmos separadamente o ouro de ambas as ligas e igualarmos essa quantidade à massa de ouro da liga resultante, podemos descobrir qual é o valor x.

A primeira liga de ouro tinha 0,10 x, e na segunda liga de ouro foi de 0,40(15 − x). Então, na liga resultante, a massa de ouro será a soma das massas de ouro da primeira e da segunda liga, e essa massa é 20% da nova liga. E 20% da nova liga são 3 kg de ouro, calculados por nós anteriormente. Como resultado, obtemos a equação 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Vamos resolver esta equação:

Inicialmente através x designamos a massa da primeira liga. Agora encontramos o valor desta variável. Variável xé igual a 10. E denotamos a massa da segunda liga por 15 − x, e como o valor da variável x agora é conhecido, então podemos calcular a massa da segunda liga, é igual a 15 − 10 = 5 kg.

Isso significa que para obter uma nova liga pesando 15 kg em que ouro e prata seriam tratados como 1: 4, você precisa tirar 10 kg da primeira e 5 kg da segunda liga.

A equação pode ser feita usando a segunda coluna da tabela resultante. Então teríamos a equação 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. A raiz desta equação também é 10

Tarefa 10. Há minério de duas camadas com teor de cobre de 6% e 11%. Quanto minério de baixo teor deve ser retirado para obtê-lo quando misturado com 20 toneladas ricas com um teor de cobre de 8%?

Solução

Denotado por x massa de minério pobre. Como você precisa obter 20 toneladas de minério, então 20 minério rico serão retirados - x. Como o teor de cobre no minério pobre é de 6%, então em x toneladas de minério conterão 0,06 x toneladas de cobre. Em minério rico, o teor de cobre é de 11%, e em 20 - x toneladas de minério rico conterão 0,11(20 − x) toneladas de cobre.

Nas 20 toneladas de minério resultantes, o teor de cobre deve ser de 8%. Isso significa que 20 toneladas de minério de cobre conterão 20 × 0,08 = 1,6 toneladas.

Adicionar expressões 0,06 x e 0,11(20 − x) e igualar essa soma a 1,6. Obtemos a equação 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Vamos resolver esta equação:

Isso significa que para obter 20 toneladas de minério com teor de cobre de 8%, você precisa tirar 12 toneladas de minério pobre. Os ricos levarão 20 − 12 = 8 toneladas.

Tarefa 11. Aumentando velocidade média de 250 a 300 m/min, o atleta passou a percorrer a distância 1 minuto mais rápido. Qual é o comprimento da distância?

Solução

O comprimento da distância (ou a distância da distância) pode ser descrito pela seguinte equação de letras:

Vamos usar o lado direito desta equação para escrever nossa própria equação. Inicialmente, o atleta percorria a distância a uma velocidade de 250 metros por minuto. A esta velocidade, o comprimento da distância será descrito pela expressão 250 t

Em seguida, a atleta aumentou sua velocidade para 300 metros por minuto. A esta velocidade, o comprimento da distância será descrito pela expressão 300t

Observe que o comprimento da distância é um valor constante. Pelo fato de o atleta aumentar ou diminuir a velocidade, o comprimento da distância permanecerá inalterado.

Isso nos permite igualar a expressão 250 t para expressão 300 t, uma vez que ambas as expressões descrevem o comprimento da mesma distância

250t = 300t

Mas a tarefa diz que a uma velocidade de 300 metros por minuto, o atleta começou a percorrer a distância 1 minuto mais rápido. Em outras palavras, a uma velocidade de 300 metros por minuto, o tempo de viagem diminuirá em um. Portanto, na equação 250 t= 300t do lado direito, o tempo deve ser reduzido em um:

A uma velocidade de 250 metros por minuto, o atleta percorre a distância em 6 minutos. Conhecendo a velocidade e o tempo, você pode determinar o comprimento da distância:

S= 250 × 6 = 1500 m

E a uma velocidade de 300 metros por minuto, o atleta percorre a distância por t− 1 , ou seja, em 5 minutos. Como mencionado anteriormente, o comprimento da distância não muda:

S= 300 × 5 = 1500 m

Tarefa 12. Um ciclista ultrapassa um pedestre que está 15 km à sua frente. Em quantas horas o ciclista alcançará o pedestre se a cada hora o primeiro ciclista percorre 10 km e o segundo percorre apenas 4 km?

Solução

Esta tarefa é. Pode ser resolvido determinando a velocidade de aproximação e dividindo a distância inicial entre o ciclista e o pedestre por essa velocidade.

A velocidade de fechamento é determinada subtraindo a velocidade mais baixa da maior:

10 km/h - 4 km/h = 6 km/h (velocidade de aproximação)

A cada hora a distância de 15 quilômetros será reduzida em 6 quilômetros. Para descobrir quando diminuirá completamente (quando o ciclista alcança o pedestre), você precisa dividir 15 por 6

15:6 = 2,5h

2,5 h são duas horas inteiras e meia hora. E meia hora são 30 minutos. Assim, o ciclista ultrapassará o pedestre em 2 horas e 30 minutos.

Vamos resolver este problema usando a equação.

Depois disso, atrás dele, um piloto partiu na estrada a uma velocidade de 10 km / h. E a velocidade de caminhada é de apenas 4 km/h. Isso significa que o motociclista ultrapassará o pedestre depois de algum tempo. Precisamos encontrar este tempo.

Quando o ciclista alcança o pedestre, significa que eles percorreram a mesma distância juntos. A distância percorrida pelo ciclista e pelo pedestre é descrita pela seguinte equação:

Vamos usar o lado direito desta equação para escrever nossa própria equação.

A distância percorrida pelo ciclista será descrita pela expressão 10 t. Como o pedestre partiu antes do ciclista e conseguiu ultrapassar 15 km, a distância percorrida por ele será descrita pela expressão 4 t + 15 .

Quando o motociclista alcançar o pedestre, ambos terão percorrido a mesma distância. Isso nos permite igualar as distâncias percorridas pelo ciclista e pelo caminhante:

O resultado é uma equação simples. Vamos resolver:

Tarefas para solução independente

Problema 1. Um trem de passageiros chega de uma cidade a outra 45 minutos mais rápido que um trem de carga. Calcule a distância entre as cidades se a velocidade do trem de passageiros for 48 km/h e a velocidade do trem de carga for 36 km/h.

Solução

As velocidades do trem neste problema são medidas em quilômetros por hora. Portanto, vamos converter os 45 minutos indicados na tarefa em horas. 45 minutos são 0,75 horas

Vamos denotar o tempo durante o qual um trem de carga chega à cidade através da variável t. Como o trem de passageiros chega a esta cidade 0,75 hora mais rápido, o tempo de seu movimento será denotado pela expressão t- 0,75

Trem de passageiros superou 48( t- 0,75) km, e mercadoria 36 t km. Porque o nós estamos falando aproximadamente à mesma distância, igualamos a primeira expressão à segunda. Como resultado, obtemos a equação 48(t- 0.75) = 36t . Vamos resolver:

Agora vamos calcular a distância entre as cidades. Para fazer isso, a velocidade de um trem de carga (36 km/h) é multiplicada pelo tempo de seu movimento t. Valor da variável t agora conhecido - é igual a três horas

36 × 3 = 108 km

Para calcular a distância, você também pode usar a velocidade do trem de passageiros. Mas neste caso o valor da variável

Valor da variável té igual a 1,2. Então os carros se encontraram depois de 1,2 horas.

Responda: os carros se encontraram após 1,2 horas.

Tarefa 3. Há um total de 685 trabalhadores em três oficinas da fábrica. Na segunda loja há três vezes mais trabalhadores do que na primeira e na terceira - 15 trabalhadores a menos que na segunda loja. Quantos trabalhadores há em cada loja?

Solução

Deixar x trabalhadores estavam na primeira loja. Na segunda oficina havia três vezes mais do que na primeira, então o número de trabalhadores na segunda oficina pode ser denotado pela expressão 3 x. A terceira loja tinha 15 trabalhadores a menos que a segunda. Portanto, o número de trabalhadores na terceira oficina pode ser denotado pela expressão 3 x- 15 .

O problema diz que havia 685 trabalhadores no total. Portanto, podemos adicionar as expressões x, 3x, 3x- 15 e igualar esta soma ao número 685. Como resultado, obtemos a equação x + 3x + ( 3x- 15) = 685

Através de uma variável x foi indicado o número de trabalhadores na primeira oficina. Agora encontramos o valor desta variável, é igual a 100. Então havia 100 trabalhadores na primeira loja.

Na segunda oficina foram 3 x trabalhadores, ou seja, 3 × 100 = 300. E na terceira oficina foram 3 x- 15, ou seja, 3 × 100 − 15 = 285

Responda: na primeira oficina havia 100 trabalhadores, na segunda - 300, na terceira - 285.

Tarefa 4. Duas oficinas em uma semana devem consertar 18 motores de acordo com o plano. A primeira oficina completou o plano em 120% e a segunda em 125%, então 22 motores foram reparados em uma semana. Que plano semanal de reparação de motores cada oficina tinha?

Solução

Deixar x os motores deviam ser reparados pela primeira oficina. Então a segunda oficina teve que reformar 18 − x motores.

Desde que a primeira oficina completou seu plano em 120%, isso significa que ela reparou 1,2 x motores. E a segunda oficina cumpriu seu plano em 125%, o que significa que consertou 1,25 (18 − x) motores.

A tarefa diz que 22 motores foram reparados. Portanto, podemos adicionar as expressões 1,2x e 1,25(18 − x) , então iguale essa soma ao número 22. Como resultado, obtemos a equação 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Através de uma variável x foi indicado o número de motores que a primeira oficina deveria reparar. Agora encontramos o valor desta variável, é igual a 10. Então a primeira oficina teve que consertar 10 motores.

E através da expressão 18 − x foi indicado o número de motores que a segunda oficina deveria reparar. Assim, a segunda oficina teve que reparar 18 − 10 = 8 motores.

Responda: a primeira oficina foi reparar 10 motores e a segunda 8 motores.

Problema 5. O preço das mercadorias aumentou 30% e agora é de 91 rublos. Quanto era o produto antes do aumento de preço?

Solução

Deixar x rublos de mercadorias antes do aumento de preço. Se o preço aumentou 30% significa que aumentou 0,30 x rublos. Após o aumento de preço, as mercadorias começaram a custar 91 rublos. Adicione x com 0,30 x e igualar essa soma a 91. Como resultado, obtemos a equação Diminuir o número em 10% resultou em 45. Encontre o valor original do número. x-

Responda: para obter uma solução salina a 12%, você precisa adicionar 0,25 kg de uma solução a 20% a 1 kg de uma solução a 10%.

Problema 12. São dadas duas soluções de sal em água, cujas concentrações são 20% e 30%. Quantos quilogramas de cada solução devem ser misturados em um recipiente para obter 25 kg de uma solução a 25,2%?

Solução

Deixar x kg da primeira solução deve ser tomada. Como é necessário preparar 25 kg de solução, a massa da segunda solução pode ser denotada pela expressão 25 − x.

A primeira solução conterá 0,20x kg de sal e a segunda conterá 0,30(25 − x) kg de sal. Na solução resultante, o teor de sal será 25 × 0,252 = 6,3 kg. Adicione as expressões 0,20x e 0,30(25 − x), então iguale essa soma a 6,3. Como resultado, obtemos a equação

Portanto, a primeira solução precisa ser tomada 12 kg e a segunda 25 - 12 = 13 kg.

Responda: a primeira solução você precisa levar 12 kg e a segunda 13 kg.

Gostou da lição?
Junte-se ao nosso novo grupo Vkontakte e comece a receber notificações sobre novas aulas

O conceito de porcentagem ocorre com muita frequência em nossas vidas, por isso é muito importante saber como resolver problemas com porcentagens. Em princípio, isso não é uma questão difícil, o principal é entender o princípio de trabalhar com interesse.

O que é uma porcentagem

Operamos com o conceito de 100 por cento e, portanto, um por cento é um centésimo certo número. E todos os cálculos já são baseados nessa proporção.

Por exemplo, 1% de 50 é 0,5, 15 de 700 é 7.

Como decidir

1. Sabendo que um por cento é um centésimo do número apresentado, você pode encontrar qualquer número de porcentagens necessárias. Para ficar mais claro, vamos tentar encontrar 6% do número 800. Isso é feito de forma simples.
   • Primeiro encontramos um por cento. Para fazer isso, divida 800 por 100. Acontece 8.
   • Agora, multiplicamos esse mesmo um por cento, ou seja, 8, pelo número de por cento que precisamos, ou seja, por 6. Acabou sendo 48.
   • Corrija o resultado por repetição.

   15% de 150. Solução: 150/100*15=22.

   28% de 1582. Solução: 1582/100*28=442.

2. Existem outros problemas quando você recebe valores e precisa encontrar porcentagens. Por exemplo, você sabe que a loja tem 5 rosas vermelhas de 75 brancos, e você precisa descobrir qual porcentagem é escarlate. Se não soubermos essa porcentagem, a denotaremos como x.

   Existe uma fórmula para isso: 75 - 100%

   Nesta fórmula, os números são multiplicados cruz a cruz, ou seja, x \u003d 5 * 100/75. Acontece que x \u003d 6% Portanto, a porcentagem de rosas escarlates é de 6%.

3. Há outro tipo de problema para porcentagens, quando você precisa descobrir por qual porcentagem um número é maior ou menor que outro. Como resolver problemas com porcentagens neste caso?

   Há 30 alunos na classe, 16 deles são meninos. A questão é quantos por cento dos meninos são mais do que as meninas. Primeiro você precisa calcular qual porcentagem de alunos são meninos, então você precisa descobrir qual porcentagem de meninas. E finalmente encontrar a diferença.

   Então vamos começar. Fazemos uma proporção de 30 contas. - 100%

   16 contas -X%

   Agora contamos. X=16*100/30, x=53,4% de todos os alunos da turma são meninos.

   Agora encontre a porcentagem de meninas na mesma classe. 100-53,4=46,6%

Resta agora apenas encontrar a diferença. 53,4-46,6=6,8%. Resposta: há mais meninos do que meninas em 6,8%.

Pontos-chave na resolução de juros

Então, para que você não tenha problemas em como resolver problemas de porcentagens, lembre-se de algumas regras básicas:

1. Para não se confundir em problemas com porcentagens, fique sempre atento: passe de valores específicos para porcentagens e vice-versa, se necessário. O principal é nunca confundir um com o outro.
2. Tenha cuidado ao calcular porcentagens. É importante saber a partir de qual valor específico você precisa contar. Para mudanças sucessivas nos valores, o percentual é calculado a partir do último valor.
3. Antes de escrever a resposta, leia todo o problema novamente, pois pode ser que você tenha encontrado apenas uma resposta intermediária e precise realizar mais uma ou duas ações.

Assim, resolver problemas com porcentagens não é uma questão tão difícil, o principal é a atenção e a precisão, como, de fato, em toda a matemática. E não se esqueça que a prática é necessária para melhorar qualquer habilidade. Portanto, decida mais, e tudo ficará bem ou até excelente para você.