ត្រីកោណមាត្រ - ផ្នែក វិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាមុខងារត្រីកោណមាត្រ និងការប្រើប្រាស់របស់វានៅក្នុងធរណីមាត្រ។ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃត្រីកោណមាត្របានចាប់ផ្តើមនៅពេលនោះ។ ប្រទេសក្រិកបុរាណ. ក្នុងអំឡុងយុគសម័យកណ្តាល អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមកពីមជ្ឈិមបូព៌ា និងឥណ្ឌាបានចូលរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រនេះ។

អត្ថបទនេះគឺអំពី គំនិតជាមូលដ្ឋាននិងនិយមន័យនៃត្រីកោណមាត្រ។ វាពិភាក្សាអំពីនិយមន័យនៃមេ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ៖ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ អត្ថន័យរបស់ពួកគេនៅក្នុងបរិបទនៃធរណីមាត្រត្រូវបានពន្យល់និងបង្ហាញ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ដំបូង និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ដែលអាគុយម៉ង់ជាមុំត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈសមាមាត្រនៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ។

និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ស៊ីនុសនៃមុំមួយ (sin α) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខមុំនេះទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

កូស៊ីនុសនៃមុំ (cos α) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

តង់សង់នៃមុំ (t g α) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅម្ខាង។

កូតង់សង់នៃមុំ (c t g α) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងម្ខាង។

និយមន័យទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់សម្រាប់មុំស្រួចនៃត្រីកោណកែង!

ចូរយើងផ្តល់ជាឧទាហរណ៍មួយ។

អេ ត្រីកោណ ABCជាមួយនឹងមុំខាងស្តាំ C ស៊ីនុសនៃមុំ A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រជើង BC ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស AB ។

និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ ធ្វើឱ្យវាអាចគណនាតម្លៃនៃមុខងារទាំងនេះពីប្រវែងដែលគេស្គាល់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ។

សំខាន់ត្រូវចាំ!

ជួរនៃតម្លៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ ពី -1 ដល់ 1។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសយកតម្លៃពី -1 ដល់ 1។ ជួរនៃតម្លៃតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ គឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូល ពោលគឺទាំងនេះ មុខងារអាចយកតម្លៃណាមួយ។

និយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើសំដៅទៅលើមុំស្រួចស្រាវ។ នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ គោលគំនិតនៃមុំបង្វិលត្រូវបានណែនាំ តម្លៃដែលខុសពីមុំស្រួច គឺមិនត្រូវបានកំណត់ដោយស៊ុមពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេទេ។ មុំបង្វិលគិតជាដឺក្រេ ឬរ៉ាដ្យង់ត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនពិតណាមួយពី - ∞ ទៅ + ∞ ។

ក្នុងបរិបទនេះ គេអាចកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំនៃរ៉ិចទ័រតាមអំពើចិត្ត។ ស្រមៃមើលរង្វង់ឯកតាដែលផ្តោតលើប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។

ចំណុចចាប់ផ្តើម A ដែលមានកូអរដោនេ (1 , 0) ត្រូវបានបង្វិលជុំវិញកណ្តាល រង្វង់ឯកតាតាមរយៈមុំមួយ α ហើយទៅចំណុច A 1 ។ និយមន័យត្រូវបានផ្តល់តាមរយៈកូអរដោនេនៃចំនុច A 1 (x, y) ។

ស៊ីនុស (អំពើបាប) នៃមុំបង្វិល

ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​បង្វិល α គឺ​ជា​លំដាប់​នៃ​ចំណុច A 1 (x, y) ។ sinα = y

កូស៊ីនុស (cos) នៃមុំបង្វិល

កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល α គឺជា abscissa នៃចំនុច A 1 (x, y) ។ cos α = x

តង់សង់ (tg) នៃមុំបង្វិល

តង់សង់នៃមុំបង្វិល α គឺជាសមាមាត្រនៃការចាត់តាំងនៃចំណុច A 1 (x, y) ទៅ abscissa របស់វា។ t g α = y x

កូតង់សង់ (ctg) នៃមុំបង្វិល

កូតង់សង់នៃមុំបង្វិល α គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa នៃចំណុច A 1 (x, y) ទៅនឹងការចាត់តាំងរបស់វា។ c t g α = x y

ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំនៃការបង្វិលណាមួយ។ នេះគឺជាឡូជីខលពីព្រោះ abscissa និង ordinate នៃចំណុចបន្ទាប់ពីការបង្វិលអាចត្រូវបានកំណត់នៅមុំណាមួយ។ ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយតង់សង់ និងកូតង់សង់។ តង់សង់​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​នៅ​ពេល​ដែល​ចំណុច​បន្ទាប់​ពី​ការ​បង្វិល​ទៅ​កាន់​ចំណុច​សូន្យ abscissa (0 , 1) និង (0 , - 1) ។ ក្នុងករណីបែបនេះ កន្សោមសម្រាប់តង់សង់ t g α = y x មិនសមហេតុផលទេព្រោះវាមានការបែងចែកដោយសូន្យ។ ស្ថានភាពគឺស្រដៀងគ្នាជាមួយកូតង់សង់។ ភាពខុសប្លែកគ្នានោះគឺថា កូតង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់ក្នុងករណីដែលការចាត់តាំងនៃចំណុចបាត់។

សំខាន់ត្រូវចាំ!

ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំណាមួយ α ។

តង់សង់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

កូតង់សង់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

នៅពេលសម្រេចចិត្ត ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងកុំនិយាយថា "ស៊ីនុសនៃមុំនៃការបង្វិលα" ។ ពាក្យ "មុំនៃការបង្វិល" ត្រូវបានលុបចោលយ៉ាងសាមញ្ញ ដោយបញ្ជាក់ថា ពីបរិបទ វាគឺច្បាស់ណាស់នូវអ្វីដែលជាហានិភ័យ។

លេខ

ចុះ​និយមន័យ​ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និង​កូតង់សង់​នៃ​ចំនួន​មួយ ហើយ​មិន​មែន​ជា​មុំ​បង្វិល?

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ tលេខមួយត្រូវបានហៅ ដែលស្មើនឹងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ក្នុង tរ៉ាដ្យង់។

ឧទាហរណ៍ស៊ីនុសនៃ 10 πគឺស្មើនឹងស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃ 10 π rad ។

មានវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតចំពោះនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ ចូរយើងពិចារណាវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។

លេខពិតណាមួយ។ tចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតាត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយចំណុចកណ្តាលនៅប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ។ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និង​កូតង់សង់​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​នេះ។

ចំណុចចាប់ផ្តើមនៅលើរង្វង់គឺចំណុច A ដែលមានកូអរដោនេ (1 , 0) ។

លេខវិជ្ជមាន t

លេខអវិជ្ជមាន tត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចដែលចំណុចចាប់ផ្តើមនឹងផ្លាស់ទីប្រសិនបើវាផ្លាស់ទីច្រាសទ្រនិចនាឡិកាតាមរង្វង់ និង នឹងឆ្លងកាត់ផ្លូវ t

ឥឡូវនេះការតភ្ជាប់រវាងលេខ និងចំណុចនៅលើរង្វង់ត្រូវបានបង្កើតឡើង យើងបន្តទៅនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។

Sine (អំពើបាប) នៃលេខ t

ស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ។ t- តម្រៀបចំនុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវនឹងលេខ t. sin t = y

កូស៊ីនុស (cos) នៃ t

កូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ។ t- abscissa នៃចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t. cos t = x

តង់សង់ (tg) នៃ t

តង់សង់នៃលេខមួយ។ t- សមាមាត្រនៃការចាត់តាំងទៅ abscissa នៃចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខ t. t g t = y x = sin t cos t

និយមន័យចុងក្រោយគឺស្របនឹង និងមិនផ្ទុយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមផ្នែកនេះទេ។ ចង្អុលលើរង្វង់ដែលត្រូវនឹងលេខ t, ស្របពេលជាមួយនឹងចំណុចដែលចំណុចចាប់ផ្តើមឆ្លងកាត់បន្ទាប់ពីបត់តាមមុំ tរ៉ាដ្យង់។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ និងលេខ

តម្លៃនីមួយៗនៃមុំ α ត្រូវគ្នានឹង តម្លៃជាក់លាក់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំនេះ។ ដូចមុំទាំងអស់ α ក្រៅពី α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់នៃតង់សង់។ កូតង់សង់ ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ α ទាំងអស់ លើកលែងតែ α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z ) ។

យើងអាចនិយាយបានថា sin α , cos α , t g α , c t g α គឺជាមុខងារនៃមុំអាល់ហ្វា ឬមុខងារនៃអាគុយម៉ង់មុំ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចនិយាយអំពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ជាមុខងារ អាគុយម៉ង់លេខ. រាល់ចំនួនពិត tត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់នៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ។ t. លេខទាំងអស់ក្រៅពី π 2 + π · k , k ∈ Z ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃនៃតង់សង់។ កូតង់សង់ត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់លេខទាំងអស់ លើកលែងតែ π · k , k ∈ Z ។

មុខងារជាមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រ

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ គឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។

ជាធម្មតាវាច្បាស់ពីបរិបទដែលអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (អាគុយម៉ង់ជ្រុង ឬអាគុយម៉ង់លេខ) ដែលយើងកំពុងដោះស្រាយ។

ចូរយើងត្រឡប់ទៅទិន្នន័យនៅដើមដំបូងនៃនិយមន័យ និងមុំអាល់ហ្វា ដែលស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។ និយមន័យត្រីកោណមាត្រស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់គឺស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើសមាមាត្រនៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ។ សូមបង្ហាញវា។

យក​រង្វង់​ឯកតា​ដែល​ដាក់​កណ្តាល​លើ​ចតុកោណ ប្រព័ន្ធ Cartesianកូអរដោនេ។ ចូរយើងបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើម A (1, 0) ដោយមុំរហូតដល់ 90 ដឺក្រេ ហើយគូរពីចំនុចលទ្ធផល A 1 (x, y) កាត់កែងទៅអ័ក្ស x ។ នៅក្នុងលទ្ធផលត្រីកោណកែង មុំ A 1 O H ស្មើនឹងមុំវេន α ប្រវែងនៃជើង O H គឺស្មើនឹង abscissa នៃចំណុច A 1 (x, y) ។ ប្រវែងជើង, ជ្រុងទល់មុខ, គឺស្មើនឹងការចាត់តាំងនៃចំណុច A 1 (x, y) ហើយប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងមួយ ព្រោះវាជាកាំនៃរង្វង់ឯកតា។

ដោយអនុលោមតាមនិយមន័យពីធរណីមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំ α គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

នេះមានន័យថានិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំតាមរយៈសមាមាត្រគឺស្មើនឹងនិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα ដោយអាល់ហ្វាស្ថិតនៅចន្លោះពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។

ដូចគ្នានេះដែរ ការឆ្លើយឆ្លងនៃនិយមន័យអាចត្រូវបានបង្ហាញសម្រាប់កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ប្រសិនបើយើងបង្កើតរង្វង់ឯកតាដែលផ្តោតលើប្រភពដើម ហើយកំណត់តម្លៃបំពាននៃអាគុយម៉ង់ x0និងរាប់ពីអ័ក្ស គោជ្រុង x 0, បន្ទាប់មកមុំនេះនៅលើរង្វង់ឯកតាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចមួយចំនួន ក(រូបទី 1) និងការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើអ័ក្ស អូវានឹងមានចំណុចមួយ។ ម. កាត់ប្រវែង អូមគឺស្មើនឹង តម្លៃ​ដាច់ខាតចំណុច abscissa ក. តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យអាគុយម៉ង់ x0តម្លៃមុខងារដែលបានគូសផែនទី y= cos x 0 ដូចជា abscissa នៃចំណុចមួយ។ ប៉ុន្តែ. ដូច្នោះហើយចំណុច អេ(x 0 ;នៅ 0) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វមុខងារ នៅ= cos X(រូបភាពទី 2) ។ ប្រសិនបើចំណុច ប៉ុន្តែដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំនៃអ័ក្ស អូ, តូកូស៊ីនុសនឹងវិជ្ជមាន ប្រសិនបើនៅខាងឆ្វេង វានឹងអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីណាក៏ដោយចំណុច ប៉ុន្តែមិនអាចចាកចេញពីរង្វង់បានទេ។ ដូច្នេះ កូស៊ីនុសមានចាប់ពី -១ ដល់ ១៖

-1 = cos x = 1.

ការបង្វិលបន្ថែមទៅមុំណាមួយ ពហុគុណនៃ 2 ទំ, ត្រឡប់ចំណុចមួយ។ កទៅកន្លែងដដែល។ ដូច្នេះមុខងារ y= cos xទំ:

cos ( x+ 2ទំ) = ខូស x.

បើ​យើង​យក​តម្លៃ​ពីរ​នៃ​អាគុយម៉ង់​ដែល​ស្មើ​ក្នុង​តម្លៃ​ដាច់ខាត ប៉ុន្តែ​ផ្ទុយ​គ្នា​ក្នុង​សញ្ញា។ xនិង - x, ស្វែងរកចំណុចដែលត្រូវគ្នានៅលើរង្វង់ ក xនិង ក-x. ដូចដែលបានឃើញនៅក្នុងរូបភព។ ៣ ការព្យាករណ៍របស់ពួកគេលើអ័ក្ស អូគឺជាចំណុចដូចគ្នា។ ម. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

cos(- x) = cos( x),

ទាំងនោះ។ កូស៊ីនុស - មុខងារសូម្បីតែ, f(–x) = f(x).

ដូច្នេះយើងអាចស្វែងយល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ y= cos Xនៅលើផ្នែក , ហើយបន្ទាប់មកយកទៅក្នុងគណនីភាពស្មើគ្នា និងតាមកាលកំណត់របស់វា។

នៅ X= 0 ពិន្ទុ ប៉ុន្តែស្ថិតនៅលើអ័ក្ស អូ, abscissa របស់វាគឺ 1 ហើយដូច្នេះ cos 0 = 1. ជាមួយនឹងការកើនឡើង Xចំណុច ប៉ុន្តែផ្លាស់ទីជុំវិញរង្វង់ឡើងលើ និងទៅខាងឆ្វេង ការព្យាកររបស់វា ពិតណាស់មានតែទៅខាងឆ្វេង និងសម្រាប់ x = ទំ/2 កូស៊ីនុសក្លាយជា 0. ចំណុច កនៅពេលនេះកើនឡើងដល់ កម្ពស់អតិបរមាហើយបន្ទាប់មកបន្តផ្លាស់ទីទៅខាងឆ្វេង ប៉ុន្តែបានថយចុះរួចហើយ។ abscissa របស់វាបន្តថយចុះរហូតដល់វាឈានដល់ តម្លៃតូចបំផុត។ស្មើនឹង -1 នៅ X= ទំ. ដូច្នេះនៅលើផ្នែក, មុខងារ នៅ= cos Xថយចុះជាឯកតាពី 1 ទៅ –1 (រូបភាព 4, 5) ។

វាធ្វើតាមពីភាពស្មើគ្នានៃកូស៊ីនុស ដែលនៅចន្លោះ [– ទំ, 0] មុខងារកើនឡើងឯកតាពី -1 ដល់ 1 ដោយយកតម្លៃសូន្យនៅ x =–ទំ/២. ប្រសិនបើអ្នកប្រើពេលច្រើនដង អ្នកនឹងទទួលបានខ្សែកោង (រូបភាពទី 6)។

ដូច្នេះមុខងារ y= cos xយកតម្លៃសូន្យនៅចំណុច X= ទំ/2 + kp, កន្លែងណា k-ចំនួនគត់។ អតិបរមាស្មើនឹង 1 ត្រូវបានឈានដល់ចំណុច X= 2kp, i.e. ជាមួយនឹងជំហានទី 2 ទំហើយអប្បបរមាស្មើនឹង -1 នៅចំនុច X= ទំ + 2kp.

មុខងារ y \u003d sin x ។

នៅលើរង្វង់ឯកតា x 0 ត្រូវ​នឹង​ចំណុច ប៉ុន្តែ(រូបទី ៧) និងការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើអ័ក្ស អូវានឹងមានចំណុចមួយ។ ន.Zតម្លៃមុខងារ y 0 =អំពើបាប x0កំណត់​ថា​ជា​ការ​កំណត់​នៃ​ចំណុច​មួយ​ ប៉ុន្តែ. ចំណុច អេ(ជ្រុង x 0 ,នៅ 0) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វមុខងារ y= បាប x(រូបភាពទី 8) ។ វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារ y=អំពើបាប xតាមកាលកំណត់ រយៈពេលរបស់វាគឺ 2 ទំ:

អំពើបាប( x+ 2ទំ) = បាប ( x).

សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ពីរ Xនិង - , ការព្យាករណ៍នៃចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ ក xនិង ក-xក្នុងមួយអ័ក្ស អូដែលមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច អូ. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

អំពើបាប (- x) = -sin( x),

ទាំងនោះ។ ស៊ីនុស​ជា​មុខងារ​សេស f(– x) = –f( x) (រូបភាពទី 9) ។

ប្រសិនបើចំណុច កបង្វិលអំពីចំណុចមួយ។ អូនៅកន្លែង​ជ្រុង ទំ/2 ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា (និយាយម្យ៉ាងទៀតប្រសិនបើមុំ Xកើនឡើងដោយ ទំ/2) បន្ទាប់មកការតែងតាំងរបស់វានៅក្នុងមុខតំណែងថ្មីនឹងស្មើនឹង abscissa នៅក្នុងទីតាំងចាស់។ ដែលមានន័យថា

អំពើបាប( x+ ទំ/2) = cos x.

បើមិនដូច្នោះទេស៊ីនុសគឺជាកូស៊ីនុស "យឺត" ដោយ ទំ/2 ចាប់តាំងពីតម្លៃកូស៊ីនុសណាមួយនឹង "ធ្វើម្តងទៀត" នៅក្នុងស៊ីនុស នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់កើនឡើងដោយ ទំ/២. ហើយដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វស៊ីនុស វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការផ្លាស់ប្តូរក្រាហ្វកូស៊ីនុសដោយ ទំ/2 ទៅខាងស្តាំ (រូបភាព 10) ។ យ៉ាងខ្លាំង ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់ស៊ីនុសត្រូវបានបង្ហាញដោយសមភាព

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃសមភាពអាចមើលឃើញពីរូបភព។ 11. នៅទីនេះ X -នេះគឺជាពាក់កណ្តាលនៃធ្នូ AB, និងអំពើបាប X -ពាក់កណ្តាលនៃអង្កត់ធ្នូដែលត្រូវគ្នា។ ជាក់ស្តែងដូចជាចំណុចខិតជិតមកដល់ ប៉ុន្តែនិង អេប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូកាន់តែខិតទៅជិតប្រវែងនៃធ្នូ។ ពីតួលេខដូចគ្នា វាងាយស្រួលក្នុងការទាញយកវិសមភាព

| បាប x| x|, មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ X.

រូបមន្ត (*) គណិតវិទូហៅ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ. ពីវាជាពិសេសវាធ្វើតាមអំពើបាបនោះ។ X» Xនៅតូច X.

មុខងារ នៅ=tg x, y=ctg X. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពីរផ្សេងទៀត - តង់សង់ និងកូតង់សង់គឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីកំណត់ថាជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលស្គាល់យើងរួចហើយ៖

ដូចជាស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់គឺជាមុខងារតាមកាលកំណត់ ប៉ុន្តែរយៈពេលរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា ទំ, i.e. ពួកគេគឺពាក់កណ្តាលនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ ហេតុផលសម្រាប់នេះគឺច្បាស់លាស់: ប្រសិនបើស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសទាំងពីរផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា នោះសមាមាត្ររបស់ពួកគេនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ដោយសារមានកូស៊ីនុសនៅក្នុងភាគបែងនៃតង់សង់ តង់ហ្សង់មិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចទាំងនោះដែលកូស៊ីនុសគឺ 0 - នៅពេល X= ទំ/2 +kp. នៅចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់វាកើនឡើងឯកតា។ ផ្ទាល់ X= ទំ/2 + kpសម្រាប់តង់សង់គឺជា asymtotes បញ្ឈរ។ នៅចំណុច kpតង់សង់ និង ជម្រាលគឺ 0 និង 1 រៀងគ្នា (រូបភាព 12)។

កូតង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់កន្លែងដែលស៊ីនុសគឺ 0 (ពេលណា x = kp). នៅចំណុចផ្សេងទៀតវាថយចុះ monotonically និងបន្ទាត់ x = kp – របស់គាត់។ asymtotes បញ្ឈរ. នៅចំណុច x = ទំ/2 +kpកូតង់សង់ប្រែទៅជា 0 ហើយជម្រាលនៅចំណុចទាំងនេះគឺ -1 (រូបភាព 13) ។

ភាពស្មើគ្នា និងតាមកាលកំណត់។

មុខងារមួយត្រូវបានហៅទោះបីជា f(–x) = f(x) អនុគមន៍ cosine និង secant គឺស្មើគ្នា ហើយអនុគមន៍ sine, tangent, cotangent និង cosecant គឺសេស៖

sin(-α) = -sinα	tg (–α) = –tg α
cos(-α) = cosα	ctg(-α) = -ctgα
sec(-α) = secα	cosec (–α) = – cosec α

លក្ខណសម្បត្តិ parity ធ្វើតាមពីស៊ីមេទ្រីនៃចំនុច ទំក និង រ-ក (រូបភាពទី 14) អំពីអ័ក្ស X. ជាមួយនឹងស៊ីមេទ្រីបែបនេះ ការចាត់តាំងនៃចំណុចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា (( X;នៅ) ទៅកាន់ ( X; -y)) មុខងារទាំងអស់ - តាមកាលកំណត់, ស៊ីនុស, កូស៊ីនុស, សេកុង និងកូសេសង់មានកំឡុងពេល 2 ទំ, និងតង់សង់ និងកូតង់សង់ - ទំ:

អំពើបាប (α + 2 kπ) = sinα	cos (α + 2 kπ) = cosα
តាន (α + kπ) = tgα	ctg (α + kπ) = ctgα
វិនាទី (α + 2 kπ) = វិ	កូសេក (α + 2 kπ) = cosecα

ភាពទៀងទាត់នៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស កើតឡើងពីការពិតដែលចំណុចទាំងអស់។ ទំ a + 2 kpកន្លែងណា k= 0, ±1, ±2,…, ស្របគ្នា និងតាមកាលកំណត់នៃតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ គឺដោយសារតែចំណុច ទំក + kpឆ្លាស់គ្នាធ្លាក់ចូលទៅក្នុង diametrically ពីរ ចំណុចផ្ទុយរង្វង់ផ្តល់ចំណុចដូចគ្នានៅលើអ័ក្សតង់សង់។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាង៖

មុខងារ	ដែន	តម្លៃជាច្រើន។	ភាពស្មើគ្នា	តំបន់នៃ monotonicity ( k= 0, ± 1, ± 2,…)
អំពើបាប x	-Ґ x Ґ	[–1, +1]	សេស	កើនឡើងជាមួយ xអូ((៤ k – 1) ទំ /2, (4k + 1) ទំ/2) ថយចុះជា xអូ((៤ k + 1) ទំ /2, (4k + 3) ទំ/2)
cos x	-Ґ x Ґ	[–1, +1]	សូម្បីតែ	កើនឡើងជាមួយ xអូ((២ k – 1) ទំ, 2kp), ថយចុះនៅ xអូ (២ kp, (2k + 1) ទំ)
tg x	x № ទំ/2 + ទំ k	(–Ґ , +Ґ )	សេស	កើនឡើងជាមួយ xអូ((២ k – 1) ទំ /2, (2k + 1) ទំ /2)
ctg x	x № ទំ k	(–Ґ , +Ґ )	សេស	ថយចុះនៅ xអូ ( kp, (k + 1) ទំ)
វិ x	x № ទំ/2 + ទំ k	(–Ґ , –1] និង [+1, +Ґ )	សូម្បីតែ	កើនឡើងជាមួយ xអូ (២ kp, (2k + 1) ទំ), ថយចុះនៅ xអូ((២ k– 1) ទំ, 2 kp)
មូលហេតុ x	x № ទំ k	(–Ґ , –1] និង [+1, +Ґ )	សេស	កើនឡើងជាមួយ xអូ((៤ k + 1) ទំ /2, (4k + 3) ទំ/2) ថយចុះជា xអូ((៤ k – 1) ទំ /2, (4k + 1) ទំ /2)

រូបមន្តចាក់។

យោងតាមរូបមន្តទាំងនេះតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់ a, កន្លែងណា ទំ/2 a p អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាតម្លៃនៃមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ a ដែល 0 a p /2 ទាំងដូចគ្នា និងបន្ថែមទៅវា។

អាគុយម៉ង់ ខ	– ក	+ ក	ទំ– ក	ទំ+ ក	+ ក	+ ក	2ទំ– ក
sinb	cos a	cos a	បាប ក	– អំពើបាប ក	-cos ក	-cos ក	– អំពើបាប ក
ខូប	បាប ក	– អំពើបាប ក	-cos ក	-cos ក	– អំពើបាប ក	បាប ក	cos a

ដូច្នេះ ក្នុងតារាងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ តម្លៃត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់តែមុំស្រួចប៉ុណ្ណោះ ហើយវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបង្ខាំងខ្លួនយើង ឧទាហរណ៍ ស៊ីនុស និងតង់សង់។ តារាងមានតែរូបមន្តដែលប្រើជាទូទៅបំផុតសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ ពីពួកវាវាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់តង់សង់និងកូតង់សង់។ នៅពេលបោះអនុគមន៍ពីអាគុយម៉ង់នៃទម្រង់ kp/2 ± a , កន្លែងណា kជាចំនួនគត់ ទៅជាអនុគមន៍ពីអាគុយម៉ង់ a :

1) ឈ្មោះនៃមុខងារត្រូវបានរក្សាទុកប្រសិនបើ k even, និងផ្លាស់ប្តូរទៅជា "បំពេញបន្ថែម" ប្រសិនបើ kសេស;

2) សញ្ញានៅខាងស្តាំស្របគ្នានឹងសញ្ញានៃមុខងារកាត់បន្ថយនៅចំណុច kp/2 ±a ប្រសិនបើមុំ a គឺស្រួច។

ឧទាហរណ៍ ពេល​ចាក់ ctg (a - ទំ/2) ត្រូវប្រាកដថា a - ទំ/2 នៅ 0 a p / 2 ស្ថិតនៅក្នុង quadrant ទី 4 ដែល cotangent គឺអវិជ្ជមាន ហើយយោងទៅតាមច្បាប់ 1 យើងប្តូរឈ្មោះមុខងារ៖ ctg (a - ទំ/2) = –tg a .

រូបមន្តបន្ថែម។

រូបមន្តមុំច្រើន។

រូបមន្តទាំងនេះបានមកដោយផ្ទាល់ពីរូបមន្តបន្ថែម៖

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

រូបមន្តសម្រាប់ cos 3a ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ François Viet នៅពេលដោះស្រាយ សមីការគូប. គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់ cos ន a និងអំពើបាប ន a, ដែលក្រោយមកទទួលបានកាន់តែច្រើន វិធីសាមញ្ញពីរូបមន្តរបស់ De Moivre ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្ត អាគុយម៉ង់ពីរដងជំនួស a ដោយ /2 ពួកគេអាចបំប្លែងទៅជារូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំ៖

រូបមន្តជំនួសជាសកល។

ដោយប្រើរូបមន្តទាំងនេះ កន្សោមដែលពាក់ព័ន្ធនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់ដូចគ្នាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលពីអនុគមន៍មួយ tg (a/2) វាមានប្រយោជន៍នៅពេលដោះស្រាយសមីការមួយចំនួន៖

រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងផលបូកទៅជាផលិតផល និងផលិតផលទៅជាផលបូក។

មុនពេលការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រួលការគណនា។ ការគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើតារាងលោការីត ហើយក្រោយមក - ច្បាប់ស្លាយ, ដោយសារតែ លោការីតគឺសមបំផុតសម្រាប់ការគុណលេខ ដូច្នេះកន្សោមដើមទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ងាយស្រួលសម្រាប់លោការីត ពោលគឺឧ។ សម្រាប់ការងារដូចជា៖

2 អំពើបាប ក sin b = cos ( ក-ខ) - cos ( a+b);

2 សហ ក cos ខ= cos ( ក-ខ) + cos ( a+b);

2 អំពើបាប ក cos ខ= បាប ( ក-ខ) + បាប ( a+b).

រូបមន្តសម្រាប់អនុគមន៍តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់អាចទទួលបានពីខាងលើ។

រូបមន្តកាត់បន្ថយកម្រិត។

ពីរូបមន្តនៃអាគុយម៉ង់ច្រើន រូបមន្តត្រូវបានចេញមក៖

sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a )/2;
sin 3 a \u003d (3 sin a - sin 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos3ក)/៤.

ជាមួយនឹងរូបមន្តទាំងនេះ សមីការត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ ដឺក្រេទាប. នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានេះ រូបមន្តកាត់បន្ថយសម្រាប់អំណាចខ្ពស់នៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសអាចទទួលបាន។

ដេរីវេ និងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
(អំពើបាប x)` = ខូស x;	(cos x)` = -sin x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
t អំពើបាប x dx= -cos x + គ;	t cos x dx= បាប x + គ;
t tg x dx= –ln |cos x| + គ;	t ctg x dx = ln|អំពើបាប x| + គ;

រាល់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅគ្រប់ចំណុចនៃដែននិយមន័យរបស់វាគឺបន្ត និងខុសគ្នាគ្មានដែនកំណត់។ លើសពីនេះទៅទៀត ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ គឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ហើយនៅពេលរួមបញ្ចូលគ្នា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ឬលោការីតរបស់ពួកវាក៏ត្រូវបានទទួលផងដែរ។ អាំងតេក្រាលនៃបន្សំសមហេតុផលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺតែងតែជាអនុគមន៍បឋម។

តំណាងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្នុងទម្រង់នៃស៊េរីថាមពល និងផលិតផលគ្មានកំណត់។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់អាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុង ស៊េរីថាមពល. ក្នុងករណីនេះមុខងារគឺបាប x b cos xលេចឡើងជាជួរ។ convergent សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ x:

ស៊េរីទាំងនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទទួលបានកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់អំពើបាប xនិង cos xសម្រាប់តម្លៃតូច x:

នៅ | x|ទំ/២;

នៅ 0x| ទំ

(ខ n គឺជាលេខ Bernoulli) ។

មុខងារអំពើបាប xនិង cos xអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលគ្មានកំណត់៖

ប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រ 1, cos x, អំពើបាប x, cos 2 x, បាប ២ x, ¼, ខូស nx, អំពើបាប nx, ¼, ទម្រង់នៅលើចន្លោះពេល [– ទំ, ទំ] ប្រព័ន្ធអនុគមន៍អ័រតូហ្គោន ដែលធ្វើឱ្យវាអាចតំណាងឱ្យមុខងារក្នុងទម្រង់ជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។

ត្រូវបានកំណត់ថាជាការបន្តវិភាគនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដមួយនៅក្នុង យន្តហោះស្មុគស្មាញ. បាទ បាប zនិង cos zអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើស៊េរីសម្រាប់អំពើបាប xនិង cos x, ប្រសិនបើជំនួសឱ្យ xដាក់ z:

ស៊េរី​ទាំង​នេះ​ប៉ះ​ពាល់​លើ​យន្តហោះ​ទាំង​មូល ដូច្នេះ​បាប zនិង cos zគឺជាមុខងារទាំងមូល។

តង់សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

មុខងារ tg zនិង ctg zគឺជាមុខងារ meromorphic ។ បង្គោល tg zនិងវិ zគឺសាមញ្ញ (លំដាប់ទី 1) ហើយមានទីតាំងនៅចំណុច z=p/2 + pn,បង្គោល ctg zនិង cosec zក៏សាមញ្ញ ហើយមានទីតាំងនៅចំណុច z = ទំ ន, n = 0, ±1, ±2,…

រូបមន្តទាំងអស់ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ស្មុគស្មាញមួយ។ ជាពិសេស,

អំពើបាប (- z) = -sin z,

cos(- z) = ខូស z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

ទាំងនោះ។ ភាពស្មើគ្នា និងសេសត្រូវបានរក្សាទុក។ រូបមន្តក៏ត្រូវបានរក្សាទុកផងដែរ។

អំពើបាប( z + 2ទំ) = បាប z, (z + 2ទំ) = ខូស z, (z + ទំ) = tg z, (z + ទំ) = ctg z,

ទាំងនោះ។ ភាពទៀងទាត់ក៏ត្រូវបានរក្សាទុក ហើយរយៈពេលគឺដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ៖

ត្រឡប់មកវិញ, អ៊ី អ៊ីសបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ cos zនិងអំពើបាប zយោងតាមរូបមន្ត៖

អ៊ី អ៊ីស= cos z + ខ្ញុំអំពើបាប z

រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអយល័រ។ Leonhard Euler បានណែនាំពួកគេនៅឆ្នាំ 1743 ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក៏អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ មុខងារអ៊ីពែរបូល:

z = –ខ្ញុំ sh អ៊ីស, cos z = ch iz, z = –i th iz ។

ដែល sh, ch និង th គឺជាស៊ីនុសអ៊ីពែរបូល កូស៊ីនុស និងតង់សង់។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ z = x + iyកន្លែងណា xនិង y- ចំនួនពិត អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងអ៊ីពែរបូលនៃអាគុយម៉ង់ពិត ឧទាហរណ៍៖

អំពើបាប( x+iy) = បាប xឆ y + ខ្ញុំ cos x sh y;

cos ( x+iy) = ខូស xឆ y + ខ្ញុំអំពើបាប x sh y.

ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគ្រស្មាញអាចយកតម្លៃពិតធំជាង 1 ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។ ឧទាហរណ៍:

ប្រសិនបើមុំមិនស្គាល់មួយចូលទៅក្នុងសមីការជាអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ នោះសមីការត្រូវបានគេហៅថាត្រីកោណមាត្រ។ សមីការបែបនេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ដែលវិធីសាស្រ្តរបស់ពួកគេ។ ដំណោះស្រាយគឺលម្អិត និងរចនាយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន។ ពីជួយ ល្បិចផ្សេងៗនិងរូបមន្ត សមីការត្រីកោណមាត្រត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃទម្រង់ f(x)= កកន្លែងណា f- អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតណាមួយ៖ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ ឬកូតង់សង់។ បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ xមុខងារនេះតាមរយៈតម្លៃដែលគេស្គាល់ ក.

ដោយសារអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ កពីជួរនៃតម្លៃ វាមានតម្លៃជាច្រើនគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់ ហើយដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនអាចសរសេរជាមុខងារតែមួយនៃ ក. ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់ៗនីមួយៗ ផ្នែកមួយត្រូវបានជ្រើសរើស ដែលវាយកតម្លៃរបស់វាទាំងអស់ តែមួយដងប៉ុណ្ណោះ ហើយមុខងារមួយត្រូវបានរកឃើញដែលបញ្ច្រាស់វានៅក្នុងផ្នែកនេះ។ មុខងារបែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយកំណត់បុព្វបទ ធ្នូ (ធ្នូ) ទៅនឹងឈ្មោះ មុខងារដើមហើយត្រូវបានគេហៅថាត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស មុខងារ ឬគ្រាន់តែមុខងារធ្នូ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

សម្រាប់អំពើបាប X, cos X, tg Xនិង ctg Xអាចត្រូវបានកំណត់ មុខងារបញ្ច្រាស. ពួកវាត្រូវបានកំណត់រៀងៗខ្លួន arcsin X(អាន "arxine x"), arcos x, arctg xនិង arcctg x. តាមនិយមន័យអាកស៊ីន Xមានលេខបែបនេះ yអ្វី

អំពើបាប នៅ = X.

ដូចគ្នាដែរចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសផ្សេងទៀត។ ប៉ុន្តែនិយមន័យនេះទទួលរងពីភាពមិនត្រឹមត្រូវមួយចំនួន។

ប្រសិនបើយើងឆ្លុះបញ្ចាំងពីអំពើបាប X, cos X, tg Xនិង ctg Xទាក់ទងទៅនឹង bisector នៃ quadrants ទីមួយនិងទីបី សំរបសំរួលយន្តហោះបន្ទាប់មកមុខងារដោយសារតែភាពទៀងទាត់របស់ពួកគេក្លាយទៅជាមិនច្បាស់លាស់៖ ស៊ីនុសដូចគ្នា (កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ កូតង់សង់) ត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនមុំគ្មានកំណត់។

ដើម្បីកម្ចាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ផ្នែកនៃខ្សែកោងដែលមានទទឹង ទំខណៈពេលដែលវាចាំបាច់ដែលការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានអង្កេតរវាងអាគុយម៉ង់ និងតម្លៃនៃអនុគមន៍។ តំបន់នៅជិតប្រភពដើមត្រូវបានជ្រើសរើស។ សម្រាប់ប្រហោងឆ្អឹង ជា "ចន្លោះពេលពីមួយទៅមួយ" ផ្នែក [– ទំ/2, ទំ/2] ដែលស៊ីនុស monotonically កើនឡើងពី –1 ទៅ 1 សម្រាប់ cosine - ចម្រៀក សម្រាប់តង់សង់ និង cotangent រៀងគ្នា ចន្លោះពេល (– ទំ/2, ទំ/2) និង (0, ទំ) ខ្សែកោងនីមួយៗក្នុងចន្លោះពេលត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងអំពី bisector ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចកំណត់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ x 0 ,ដូច្នេះ 0 J x 0 Ј 1. បន្ទាប់មកតម្លៃនៃមុខងារ y 0 = អាកស៊ីន x 0 នឹងត្រូវបាន អត្ថន័យតែមួយ នៅ 0 , បែបនោះ - ទំ/2 ច នៅ 0 Ј ទំ/2 និង x 0 = បាប y 0 .

ដូច្នេះ arcsine គឺជាមុខងាររបស់ arcsin ក, បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [–1, 1] និងស្មើគ្នាសម្រាប់នីមួយៗ កតម្លៃបែបនេះ a, - ទំ/2 a p /2 ថា sin a = ក.វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការតំណាងវាដោយប្រើរង្វង់ឯកតា (រូបភាព 15) ។ ពេលណា | ក| 1 មានចំណុចពីរនៅលើរង្វង់ដែលមានការចាត់តាំងមួយ។ ក, ស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y.មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាមុំ ក= អាកស៊ីន ក, ហើយមួយទៀតគឺមុំ ទំ - ក។ ពីដោយគិតគូរពីភាពទៀងទាត់នៃដំណោះស្រាយស៊ីនុស សមីការអំពើបាប x= កត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

x =(–1)នអំពើបាប arc ក + 2ទំ ន,

កន្លែងណា ន= 0, ±1, ±2,...

សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានដោះស្រាយផងដែរ៖

cos x = ក, –1 =ក= 1;

x=± arcos ក + 2ទំ ន,

កន្លែងណា ទំ= 0, ±1, ±2,... (រូបទី 16);

tg X = ក;

x= arctg ក + ទំន,

កន្លែងណា n = 0, ±1, ±2,... (រូបទី 17);

ctg X= ក;

X= arcctg ក + ទំន,

កន្លែងណា n = 0, ±1, ±2,... (រូបភាព 18) ។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស៖

អំពើបាប arc X(រូបភព 19): ដែននៃនិយមន័យគឺផ្នែក [–1, 1]; ជួរ -- [- ទំ/2, ទំ/2] មុខងារបង្កើន monotonically;

អាកកូស X(រូបភាព 20): ដែននៃនិយមន័យគឺផ្នែក [–1, 1]; ជួរនៃតម្លៃ - ; មុខងារកាត់បន្ថយ monotonically;

arctg X(រូបភព ២១)៖ ដែននិយមន័យ - លេខពិតទាំងអស់; ជួរនៃតម្លៃ – ចន្លោះពេល (– ទំ/2, ទំ/2); មុខងារបង្កើន monotonically; ត្រង់ នៅ= –ទំ/2 និង y \u003d ទំ / 2 - asymtotes ផ្ដេក;

arcctg X(រូបទី 22): ដែននៃនិយមន័យ - ចំនួនពិតទាំងអស់; ជួរតម្លៃ - ចន្លោះពេល (0, ទំ); មុខងារកាត់បន្ថយ monotonically; ត្រង់ y= 0 និង y = ទំគឺជារោគសញ្ញាផ្តេក។

,

សម្រាប់នរណាម្នាក់ z = x+iyកន្លែងណា xនិង yជាចំនួនពិត មានវិសមភាព

½| អ៊ី–អ៊ី-y| ≤|បាប z|≤½( អ៊ី y + e-y)

½| អ៊ី y–អ៊ី-y| ≤|cos z|≤½( e y + e -y),

ក្នុង​ចំ​នោម​នោះ y® Ґ រូបមន្ត asymptotic អនុវត្តតាម (ដូចគ្នាទៅនឹង x)

| បាប z| » 1/2 អ៊ី |y| ,

| ខូស z| » 1/2 អ៊ី |y| .

មុខងារត្រីកោណមាត្របានកើតឡើងជាលើកដំបូងទាក់ទងនឹងការស្រាវជ្រាវផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងធរណីមាត្រ។ សមាមាត្រនៃចម្រៀកនៅក្នុងត្រីកោណ និងរង្វង់ដែលជាមុខងារត្រីកោណមាត្រសំខាន់ត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសតវត្សទី 3 ។ BC អ៊ី នៅក្នុងស្នាដៃរបស់គណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិកបុរាណ – Euclid, Archimedes, Apollonius of Perga និងអ្នកផ្សេងទៀត ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សមាមាត្រទាំងនេះមិនមែនទេ។ វត្ថុឯករាជ្យការសិក្សា ដូច្នេះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមិនត្រូវបានសិក្សាដោយពួកវាទេ។ ពួកគេត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាផ្នែកដំបូង ហើយក្នុងទម្រង់នេះត្រូវបានប្រើដោយ Aristarchus (ចុងទី 4 ដល់ពាក់កណ្តាលទី 2 នៃសតវត្សទី 3 មុនគ.ស) Hipparchus (សតវត្សទី 2 មុនគ.ស) Menelaus (សតវត្សទី 1 នៃគ. ដោះស្រាយត្រីកោណស្វ៊ែរ។ Ptolemy បានចងក្រងតារាងទីមួយនៃអង្កត់ធ្នូសម្រាប់មុំស្រួចតាមរយៈ 30 "ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 10 -6 ។ នេះគឺជាតារាងទីមួយនៃស៊ីនុស។ ជាសមាមាត្រ មុខងារអំពើបាប a ត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុង Aryabhata (ចុងសតវត្សទី 5) ។ មុខងារ tg a និង ctg a ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង al-Battani (ពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 9 - ដើមសតវត្សទី 10) និង Abul-Vef (សតវត្សទី 10) ដែលប្រើ sec a និង cosec a ។ Aryabhata បានស្គាល់រូបមន្ត (sin 2 a + cos 2 a) = 1 ហើយ រូបមន្តបាបនិង cos មុំពាក់កណ្តាលដោយមានជំនួយពីការដែលគាត់បានសាងសង់តារាងស៊ីនុសសម្រាប់មុំតាមរយៈ 3 ° 45 "; ដោយផ្អែកលើតម្លៃដែលគេស្គាល់ នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសម្រាប់អាគុយម៉ង់សាមញ្ញបំផុត។ Bhaskara (សតវត្សទី 12) បានផ្តល់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការសាងសង់តារាងតាមរយៈ 1 ។ ដោយប្រើរូបមន្តបន្ថែម។ រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់ផ្សេងៗនៅក្នុងផលិតផលត្រូវបានចេញដោយ Regiomontanus (សតវត្សទី 15) និង J. Napier ទាក់ទងនឹងការបង្កើតលោការីតក្រោយ (1614) Regiomontanus បានផ្តល់តារាងនៃ តម្លៃស៊ីនុសតាមរយៈ 1 "។ ការពង្រីកអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅជាស៊េរីថាមពលត្រូវបានទទួលដោយ I. Newton (1669)។ អេ ទម្រង់ទំនើបទ្រឹស្តីនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានណែនាំដោយ L. Euler (សតវត្សទី 18) ។ គាត់ជាម្ចាស់និយមន័យរបស់ពួកគេសម្រាប់អំណះអំណាងពិតប្រាកដនិងស្មុគ្រស្មាញ, និមិត្តសញ្ញាឥឡូវនេះបានទទួលយក, ការបង្កើតការតភ្ជាប់ជាមួយ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនិង orthogonality នៃប្រព័ន្ធនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀប និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំ និងលេខក្នុងត្រីកោណមាត្រ. នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីការកត់សម្គាល់, ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកំណត់ត្រា, ផ្តល់ឱ្យ រូបភាពក្រាហ្វិក. សរុបសេចក្តីមក យើងគូរប៉ារ៉ាឡែលរវាងនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ក្នុងត្រីកោណមាត្រ និងធរណីមាត្រ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់

ចូរយើងធ្វើតាមរបៀបដែលគំនិតនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានបង្កើតឡើង វគ្គសិក្សាសាលាគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ហើយក្រោយមកទៀត ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានសិក្សា ដែលសំដៅលើស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល និងលេខ។ យើងផ្តល់និយមន័យទាំងអស់នេះ ផ្តល់ឧទាហរណ៍ និងផ្តល់យោបល់ចាំបាច់។

មុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែង

ពីវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្រ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំត្រូវបានគេស្គាល់។ ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ជាសមាមាត្រនៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ។ យើងបង្ហាញទម្រង់របស់ពួកគេ។

និយមន័យ។

ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ស្រួច​ក្នុង​ត្រីកោណ​ស្តាំ​មួយ​គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ស្រួច​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែងគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងជើងទល់មុខ។

សញ្ញាណនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ ក៏ត្រូវបានណែនាំនៅទីនោះផងដែរ - sin, cos, tg និង ctg រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ ABC ជាត្រីកោណកែងដែលមានមុំខាងស្តាំ C នោះស៊ីនុសនៃមុំស្រួច A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខ BC ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស AB នោះគឺ sin∠A=BC/AB។

និយមន័យទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតម្លៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួច ពីប្រវែងដែលគេស្គាល់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ ក៏ដូចជាពី តម្លៃដែលគេស្គាល់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ និងប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាង ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងដឹងថាក្នុងត្រីកោណកែងជើង AC គឺ 3 ហើយអ៊ីប៉ូតេនុស AB គឺ 7 នោះយើងអាចគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំស្រួច A តាមនិយមន័យ៖ cos∠A=AC/AB=3/7 ។

មុំបង្វិល

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រពួកគេចាប់ផ្តើមមើលមុំកាន់តែទូលំទូលាយ - ពួកគេណែនាំគំនិតនៃមុំនៃការបង្វិល។ មុំនៃការបង្វិលមិនដូចមុំស្រួចទេ មិនត្រូវបានកំណត់ដោយស៊ុមពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេទេ មុំបង្វិលគិតជាដឺក្រេ (និងជារ៉ាដ្យង់) អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនពិតណាមួយពី −∞ ទៅ +∞ ។

នៅក្នុងពន្លឺនេះ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ លែងជាមុំស្រួចស្រាវទៀតហើយ ប៉ុន្តែជាមុំនៃរ៉ិចទ័រតាមអំពើចិត្ត - មុំនៃការបង្វិល។ ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈកូអរដោនេ x និង y នៃចំណុច A 1 ដែលចំណុចដំបូងហៅថា A(1, 0) ឆ្លងកាត់បន្ទាប់ពីវាបង្វិលតាមមុំαជុំវិញចំណុច O - ការចាប់ផ្តើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ និងកណ្តាលនៃរង្វង់ឯកតា។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα គឺជាការកំណត់នៃចំនុច A 1 នោះគឺ sinα=y ។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα ត្រូវបានគេហៅថា abscissa នៃចំនុច A 1 នោះគឺ cosα=x ។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃមុំបង្វិលα គឺជាសមាមាត្រនៃចំនុច A 1 ទៅ abscissa របស់វា នោះគឺ tgα = y/x ។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa នៃចំណុច A 1 ទៅនឹងការចាត់តាំងរបស់វា នោះគឺ ctgα = x/y ។

ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំ α ណាមួយ ដោយហេតុថាយើងតែងតែអាចកំណត់ abscissa និង ordinate នៃចំណុច ដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើមដោយមុំα។ ហើយតង់សង់ និងកូតង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំណាមួយឡើយ។ តង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំបែបនេះ α ដែលចំណុចដំបូងទៅចំណុចសូន្យ abscissa (0, 1) ឬ (0, −1) ហើយវាកើតឡើងនៅមុំ 90°+180° k , k∈Z (π / 2 + π k rad) ។ ជាការពិតណាស់ នៅមុំនៃការបង្វិលបែបនេះ កន្សោម tgα=y/x មិនសមហេតុផលទេ ព្រោះវាមានការបែងចែកដោយសូន្យ។ ចំពោះ​កូតង់សង់ វា​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​សម្រាប់​មុំ​ដូច​នេះ α ដែល​ចំណុច​ចាប់​ផ្តើម​ទៅ​កាន់​ចំណុច​មួយ​ដែល​មាន​លេខសូន្យ (1, 0) ឬ (−1, 0) ហើយ​នេះ​ជា​ករណី​សម្រាប់​មុំ 180° k, k ∈Z (π k rad) ។

ដូច្នេះ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំបង្វិលណាមួយ តង់សង់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) ហើយកូតង់សង់គឺសម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ 180 °·k , k∈Z (π·k rad) ។

សញ្ញាណដែលយើងស្គាល់រួចមកហើយ បង្ហាញនៅក្នុងនិយមន័យ sin, cos, tg និង ctg ពួកវាក៏ត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្គាល់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល (ពេលខ្លះអ្នកអាចរកឃើញសញ្ញាណ tan និង cot ដែលត្រូវគ្នានឹងតង់សង់ និង កូតង់សង់) ។ ដូច្នេះស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល 30 ដឺក្រេអាចសរសេរជា sin30° កំណត់ត្រា tg(−24°17′) និង ctgα ត្រូវគ្នាទៅនឹងតង់ហ្សង់នៃមុំបង្វិល −24 ដឺក្រេ 17 នាទី និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα . សូមចាំថានៅពេលសរសេររង្វាស់រ៉ាដ្យង់នៃមុំមួយ សញ្ញា "រ៉ាដ" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល។ ឧទាហរណ៍ កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃបី pi rads ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងឱ្យ cos3 π ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះ វាគឺមានតំលៃកត់សម្គាល់ថាក្នុងការនិយាយអំពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល ឃ្លា "មុំបង្វិល" ឬពាក្យ "បង្វិល" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល។ នោះគឺជំនួសឱ្យឃ្លា "ស៊ីនុសនៃមុំនៃការបង្វិលអាល់ហ្វា" ឃ្លា "ស៊ីនុសនៃមុំអាល់ហ្វា" ជាធម្មតាត្រូវបានគេប្រើឬសូម្បីតែខ្លីជាង - "ស៊ីនុសនៃអាល់ហ្វា" ។ ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះកូស៊ីនុស និងតង់សង់ និងកូតង់សង់។

ចូរនិយាយផងដែរថា និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺស្របនឹងនិយមន័យដែលទើបតែបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលចាប់ពី 0 ដល់ 90។ ដឺក្រេ។ យើងនឹងបញ្ជាក់រឿងនេះ។

លេខ

និយមន័យ។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ t គឺជាលេខដែលស្មើនឹងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលគិតជារ៉ាដ្យង់ t រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ កូស៊ីនុសនៃ 8 π គឺតាមនិយមន័យ លេខស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំ 8 π rad ។ ហើយកូស៊ីនុសនៃមុំគឺ 8 π rad ស្មើនឹងមួយ។ដូច្នេះ កូស៊ីនុសនៃលេខ 8 π គឺស្មើនឹង 1 ។

មានវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតចំពោះនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថាចំនួនពិតនីមួយៗ t ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម ប្រព័ន្ធចតុកោណកូអរដោណេ ហើយស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ ត្រូវបានកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ។ ចូរយើងរស់នៅលើរឿងនេះឱ្យបានលំអិត។

ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលការឆ្លើយឆ្លងរវាងចំនួនពិត និងចំណុចនៃរង្វង់ត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

• លេខ 0 ត្រូវបានកំណត់ចំណុចចាប់ផ្តើម A(1, 0);
• លេខវិជ្ជមាន t ត្រូវបានកំណត់ទៅចំណុចនៃរង្វង់ឯកតា ដែលយើងនឹងទៅដល់ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីជុំវិញរង្វង់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា និង តោះទៅតាមផ្លូវប្រវែង t;
• លេខអវិជ្ជមាន t ត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុចនៃរង្វង់ឯកតា ដែលយើងនឹងទៅដល់ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីជុំវិញរង្វង់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសទ្រនិចនាឡិកា ហើយឆ្លងកាត់ផ្លូវនៃប្រវែង |t| .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃលេខ t ។ ចូរ​យើង​សន្មត​ថា​លេខ t ត្រូវ​នឹង​ចំណុច​នៃ​រង្វង់ A 1 (x, y) (ឧទាហរណ៍ លេខ &pi/2; ត្រូវ​នឹង​ចំណុច A 1 (0, 1))។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃលេខមួយ។ t គឺជាលំដាប់នៃចំណុចរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ sint=y ។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃលេខមួយ។ t ត្រូវបានគេហៅថា abscissa នៃចំនុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ cost = x ។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃលេខមួយ។ t គឺជាសមាមាត្រនៃការចាត់តាំងទៅ abscissa នៃចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ tgt = y / x ។ នៅក្នុងរូបមន្តសមមូលមួយផ្សេងទៀត តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃចំនួននេះទៅនឹងកូស៊ីនុស នោះគឺ tgt=sint/cost ។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃលេខមួយ។ t គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa ទៅនឹងការចាត់តាំងនៃចំណុចរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ ctgt=x/y ។ រូបមន្តមួយទៀតមានដូចខាងក្រោម៖ តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសនៃចំនួន t ទៅស៊ីនុសនៃលេខ t : ctgt=cost/sint ។

នៅទីនេះ យើងកត់សំគាល់ថា និយមន័យដែលទើបតែបានផ្តល់ឱ្យ យល់ស្របជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមផ្នែករងនេះ។ ជាការពិតណាស់ ចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t ស្របគ្នានឹងចំណុចដែលទទួលបានដោយការបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើមតាមរយៈមុំនៃ t រ៉ាដ្យង់។

វាក៏មានតម្លៃក្នុងការបញ្ជាក់ចំណុចនេះផងដែរ។ ចូរនិយាយថាយើងមានធាតុ sin3 ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ថាតើស៊ីនុសនៃលេខ 3 ឬស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃ 3 រ៉ាដ្យង់គឺស្ថិតនៅក្នុងសំណួរ? ជាធម្មតា វាច្បាស់ពីបរិបទ បើមិនដូច្នេះទេ វាប្រហែលជាគ្មានបញ្ហាទេ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ និងលេខ

យោងតាមនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន មុំបង្វិលនីមួយៗ α ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ sin α ក៏ដូចជាតម្លៃ cos α ។ លើសពីនេះ មុំបង្វិលទាំងអស់ក្រៅពី 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ tgα និងផ្សេងទៀតជាង 180° k , k∈Z (π k rad) គឺជាតម្លៃនៃ ctgα ។ ដូច្នេះ sinα, cosα, tgα និង ctgα គឺជាមុខងារនៃមុំα។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ទាំងនេះគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់មុំ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចនិយាយអំពីអនុគមន៍ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃអាគុយម៉ង់ជាលេខ។ ជាការពិតណាស់ លេខពិតនីមួយៗ t ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អនៃ sinnt ក៏ដូចជាតម្លៃផងដែរ។ លើសពីនេះ លេខទាំងអស់ក្រៅពី π/2+π·k , k∈Z ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ tgt ហើយលេខ π·k , k∈Z ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃ ctgt ។

មុខងារស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន.

ជាធម្មតាវាច្បាស់ពីបរិបទដែលយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ ឬអាគុយម៉ង់ជាលេខ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងអាចពិចារណាអថេរឯករាជ្យជារង្វាស់នៃមុំ ( អាគុយម៉ង់ជ្រុង) ក៏ដូចជាអាគុយម៉ង់លេខ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សាលាភាគច្រើនសិក្សា មុខងារលេខនោះគឺជាមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ ក៏ដូចជាតម្លៃមុខងារដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ គឺជាលេខ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ យើងកំពុងនិយាយជាពិសេសអំពីអនុគមន៍ វាសមហេតុផលក្នុងការពិចារណាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់លេខ។

ការតភ្ជាប់នៃនិយមន័យពីធរណីមាត្រ និងត្រីកោណមាត្រ

ប្រសិនបើយើងពិចារណាមុំនៃការបង្វិលαពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ នោះទិន្នន័យនៅក្នុងបរិបទនៃត្រីកោណមាត្រនៃនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលគឺស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស។ តង់សង់ និង​កូតង់សង់​នៃ​មុំស្រួច​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែង ដែល​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​វគ្គ​ធរណីមាត្រ។ ចូរយើងបញ្ជាក់រឿងនេះ។

គូររង្វង់ឯកតាក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណ Oxy ។ ចំណាំចំណុចចាប់ផ្តើម A(1, 0) ។ ចូរបង្វិលវាដោយមុំ α ចាប់ពី 0 ដល់ 90 ដឺក្រេ យើងទទួលបានចំនុច A 1 (x, y) ។ ចូរទម្លាក់កាត់កែង A 1 H ពីចំណុច A 1 ទៅអ័ក្សអុក។

វាងាយមើលឃើញថានៅក្នុងត្រីកោណកែងមុំ A 1 OH ស្មើនឹងមុំបង្វិលα ប្រវែងជើង OH នៅជាប់នឹងមុំនេះគឺស្មើនឹង abscissa នៃចំនុច A 1 នោះគឺ |OH |=x ប្រវែងជើង A 1 H ទល់មុខនឹងមុំគឺស្មើរនឹងចំនុច A 1 នោះគឺ |A 1 H|=y ហើយប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស OA 1 គឺស្មើនឹងមួយ។ ចាប់តាំងពីវាជាកាំនៃរង្វង់ឯកតា។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យពីធរណីមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចα ក្នុងត្រីកោណកែង A 1 OH គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស ពោលគឺ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y ។ ហើយតាមនិយមន័យពីត្រីកោណមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល α គឺស្មើនឹងការចាត់តាំងនៃចំនុច A 1 នោះគឺ sinα=y ។ នេះបង្ហាញថានិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងនិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលαសម្រាប់αពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។

ដូចគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា និយមន័យនៃកូស៊ីនុសតង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចα គឺស្របជាមួយនឹងនិយមន័យនៃកូស៊ីនុសតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα។

គន្ថនិទ្ទេស។

1. ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 7-9៖ ការសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [អិល។ S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev និងអ្នកដទៃ] ។ - ទី 20 ed ។ M.: ការអប់រំ, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8 ។
2. Pogorelov A.V.ធរណីមាត្រ៖ Proc ។ សម្រាប់ 7-9 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A.V. Pogorelov ។ - បោះពុម្ពលើកទី ២ - អិមៈការត្រាស់ដឹង ២០០១ - ២២៤ ទំ។ ៈឈឺ។ - ISBN 5-09-010803-X ។
3. ពិជគណិត និង មុខងារបឋម : ការបង្រៀនសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 9 វិទ្យាល័យ/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; កែសម្រួលដោយបណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា O.N. Golovin - ទី៤ ed. ទីក្រុងម៉ូស្គូ៖ ការអប់រំ ឆ្នាំ ១៩៦៩។
4. ពិជគណិត៖ប្រូក សម្រាប់ 9 កោសិកា។ មធ្យម សាលា / យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; អេដ។ S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc ។ សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn និងអ្នកដទៃ; អេដ។ A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3 ។
6. Mordkovich A.G.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ ថ្នាក់ទី 10 ។ នៅ 2 ទំ. Ch. 1: ការបង្រៀនសម្រាប់ ស្ថាប័នអប់រំ (កម្រិតទម្រង់)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov ។ - ទី 4 ed ។ , បន្ថែម។ - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0 ។
7. ពិជគណិតហើយចាប់ផ្តើម ការវិភាគគណិតវិទ្យា. ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed ។ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - I.: Education, 2010. - 368 p.: I. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc. សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ មធ្យម សាលា - ទី 3 ed ។ - M. : Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4 ។
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

និយមន័យ

និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយជំនួយនៃរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ដែលត្រូវបានគេយល់ថាជារង្វង់នៃកាំឯកតាដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលដើម។

ពិចារណាកាំពីរនៃរង្វង់នេះ៖ ថេរ (កន្លែងណាជាចំណុច) និងអាចចល័តបាន (កន្លែងណាជាចំណុច)។ អនុញ្ញាតឱ្យកាំដែលអាចចលនវត្ថុបង្កើតជាមុំមួយជាមួយនឹងមុំថេរ។

លេខ​ដែល​ស្មើ​នឹង​ការ​ចាត់តាំង​ចុង​កាំ​ឯកតា​ដែល​បង្កើត​មុំ​ជាមួយ​កាំ​ថេរ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា ស៊ីនុសនៃមុំ : .

លេខដែលស្មើនឹង abscissa នៃចុងកាំនៃឯកតាបង្កើតមុំជាមួយកាំថេរត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសនៃមុំ : .

ដូច្នេះចំនុចដែលជាចុងបញ្ចប់នៃកាំដែលអាចចល័តបានដែលបង្កើតជាជ្រុងមានកូអរដោនេ។

តង់សង់នៃមុំមួយ។គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃមុំនេះទៅនឹងកូស៊ីនុសរបស់វា៖ , .

កូតង់សង់នៃមុំមួយ។គឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសនៃមុំនេះទៅនឹងស៊ីនុសរបស់វា៖ , .

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រគឺច្បាស់លាស់ពីនិយមន័យ៖ នេះគឺជា abscissa និង ordinates នៃចំនុចប្រសព្វនៃកាំដែលអាចផ្លាស់ទីបាន ដែលបង្កើតមុំជាមួយនឹងកាំថេរ និងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ នោះគឺ។

ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាអំពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់។ ត្រីកោណគឺស្រដៀងគ្នាក្នុងមុំបី (,) បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងមាន។ ម៉្យាងវិញទៀតនៅក្នុង, ដូច្នេះ។

ស្រដៀងគ្នាផងដែរនៅក្នុងបីជ្រុង (,) បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងមាន។ ម៉្យាងវិញទៀតនៅក្នុង, ដូច្នេះ។

ដោយគិតពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ គោលគំនិតនៃអ័ក្សតង់សង់ និងអ័ក្សនៃកូតង់សង់ត្រូវបានណែនាំ។

អ័ក្សនៃតង់សង់ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស ដែលមួយប៉ះរង្វង់ត្រីកោណមាត្រនៅចំណុចមួយ ហើយត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ទីពីរប៉ះរង្វង់នៅចំណុចមួយ ហើយត្រូវបានដឹកនាំចុះក្រោម។

អ័ក្សកូតង់សង់ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស ដែលមួយប៉ះរង្វង់ត្រីកោណមាត្រនៅចំណុចមួយ ហើយត្រូវបានដឹកនាំទៅខាងស្តាំ ទីពីរប៉ះរង្វង់នៅចំណុចមួយ ហើយត្រូវបានដឹកនាំទៅខាងឆ្វេង។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ចូរយើងពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកនៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

វិសាលភាព និងជួរតម្លៃ

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសមានសម្រាប់មុំណាមួយ ពោលគឺឧ។ ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារទាំងនេះគឺជាសំណុំ ចំនួនពិត. តាមនិយមន័យតង់ហ្សង់មិនមានសម្រាប់មុំទេ ប៉ុន្តែជាកូតង់សង់សម្រាប់មុំ។

ដោយហេតុថាស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស គឺជាតម្រុយ និងអាប់ស៊ីសនៃចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ តម្លៃរបស់ពួកគេស្ថិតនៅចន្លោះ។ តំបន់នៃតម្លៃនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិត (វាងាយស្រួលមើលវាដោយមើលអ័ក្សនៃតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់)។

គូ/សេស

ពិចារណាពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំពីរ (ដែលត្រូវនឹងកាំដែលអាចផ្លាស់ទីបាន) និង (ដែលត្រូវនឹងកាំដែលអាចផ្លាស់ទីបាន)។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកចំណុចមានកូអរដោនេ។ ដូច្នេះ, i.e. ស៊ីនុស - មុខងារសេស; , i.e. កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារតែមួយ។ , i.e. តង់សង់គឺសេស; , i.e. កូតង់សង់ក៏ចម្លែកដែរ។

ចន្លោះពេលថេរ

សញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសម្រាប់ផ្សេងៗ សំរបសំរួលត្រីមាសអនុវត្តតាមនិយមន័យនៃមុខងារទាំងនេះ។ សូមចំណាំថា ដោយសារតង់សង់ និងកូតង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ពួកវាមានភាពវិជ្ជមាននៅពេលដែលស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺ សញ្ញាដូចគ្នា។និងអវិជ្ជមាននៅពេលខុសគ្នា។

វដ្តរដូវ

ភាពទៀងទាត់នៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសគឺផ្អែកលើការពិតដែលថាមុំដែលខុសគ្នាដោយចំនួនគត់ បដិវត្តន៍ពេញលេញ, ត្រូវគ្នាទៅនឹងដូចគ្នា។ ទីតាំងដែលទាក់ទងធ្នឹមចល័តនិងថេរ។ ដូច្នោះហើយកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃធ្នឹមផ្លាស់ទីនិងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រនឹងដូចគ្នាសម្រាប់មុំដែលខុសគ្នាដោយចំនួនគត់នៃបដិវត្តន៍ពេញលេញ។ ដូច្នេះរយៈពេលនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសគឺ និងកន្លែងណា។

ជាក់ស្តែង នោះក៏ជារយៈពេលសម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់។ ប៉ុន្តែតើមានកំឡុងពេលតូចជាងសម្រាប់មុខងារទាំងនេះទេ? យើងបង្ហាញថារយៈពេលតូចបំផុតសម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់គឺ។

ពិចារណាមុំពីរនិង។ អូ អារម្មណ៍ធរណីមាត្រតង់សង់ និងកូតង់សង់, . ត្រីកោណគឺស្មើគ្នានៅតាមបណ្តោយចំហៀងនិងមុំនៅជាប់នឹងវាហើយដូច្នេះភាគីរបស់ពួកគេក៏ស្មើគ្នាដែលមានន័យថានិង។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ គេអាចបញ្ជាក់បានថា នៅឯណា។ ដូច្នេះរយៈពេលនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់គឺ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំមូលដ្ឋាន

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

សម្រាប់ ដំណោះស្រាយជោគជ័យ បញ្ហាត្រីកោណមាត្រត្រូវការជាម្ចាស់ច្រើន។ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនចាំបាច់ទន្ទេញរូបមន្តទាំងអស់នោះទេ។ អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ដោយ​ចិត្ត​ត្រឹម​តែ​រូបមន្ត​មូលដ្ឋាន​បំផុត ហើយ​អ្នក​ត្រូវ​អាច​កាត់​យក​រូបមន្ត​ដែល​នៅ​សល់​បើ​ចាំបាច់។

មេ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនិងផលវិបាកពីវា។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់។ មុំបំពានទាក់ទងគ្នា, i.e. ដោយដឹងពីមុខងារមួយ អ្នកតែងតែអាចស្វែងរកនៅសល់។ ការតភ្ជាប់នេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តដែលបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកនេះ។

ទ្រឹស្តីបទទី១ (អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន). សម្រាប់ណាមួយ អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង​មាន​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean សម្រាប់​ត្រីកោណ​កែង​ជាមួយ​ជើង និង​អ៊ីប៉ូតេនុស។

ទ្រឹស្តីបទទូទៅជាងនេះក៏ជាការពិតដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ដើម្បីឱ្យចំនួនពីរត្រូវបានយកជាកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃមុំពិតដូចគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផលបូកនៃការ៉េរបស់ពួកគេស្មើនឹងមួយ៖

ពិចារណាពីផលវិបាកនៃអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសំខាន់។

ចូរបង្ហាញស៊ីនុសក្នុងន័យនៃកូស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងន័យស៊ីនុស៖

នៅក្នុងរូបមន្តទាំងនេះ សញ្ញាបូក ឬដកនៅពីមុខឫសត្រូវបានជ្រើសរើស អាស្រ័យលើត្រីមាសដែលមុំស្ថិតនៅ។

ការជំនួសរូបមន្តដែលទទួលបានខាងលើទៅក្នុងរូបមន្តដែលកំណត់តង់សង់ និងកូតង់សង់ យើងទទួលបាន៖

ការបែងចែកពាក្យអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានតាមពាក្យដោយ ឬយើងទទួលបានរៀងៗខ្លួន៖

សមាមាត្រទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

រូបមន្តខាងក្រោមផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូតង់សង់។ តាំងពីពេលណា និងពេលណា ទើបសមភាពកើតឡើង៖

រូបមន្តចាក់

ដោយមានជំនួយពីរូបមន្តកាត់បន្ថយមនុស្សម្នាក់អាចបង្ហាញពីតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំបំពាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតម្លៃនៃមុខងារនៃមុំស្រួចមួយ។ រូបមន្តកាត់បន្ថយទាំងអស់អាចត្រូវបានធ្វើជាទូទៅដោយប្រើច្បាប់ខាងក្រោម។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រណាមួយនៃមុំគិតជាតម្លៃដាច់ខាតគឺស្មើនឹងអនុគមន៍ដូចគ្នានៃមុំ ប្រសិនបើចំនួនគឺគូ និងអនុគមន៍នៃមុំ ប្រសិនបើលេខសេស។ ជាងនេះទៅទៀត ប្រសិនបើមុខងារនៃមុំវិជ្ជមាន ពេលណាជាមុំវិជ្ជមានស្រួចស្រាវ នោះសញ្ញានៃមុខងារទាំងពីរគឺដូចគ្នា ប្រសិនបើអវិជ្ជមាន នោះវាខុសគ្នា។

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំ

ទ្រឹស្តីបទ ៣ . សម្រាប់រូបមន្តពិត និងខាងក្រោមណាមួយគឺពិត៖

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តដែលនៅសល់គឺផ្អែកលើរូបមន្តសម្រាប់កាត់បន្ថយ និងគូ/សេសសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

Q.E.D.

ទ្រឹស្តីបទ ៤. សម្រាប់ការពិតណាមួយនិងបែបនោះ។

1. រូបមន្តខាងក្រោមមានសុពលភាព

2. រូបមន្តខាងក្រោមមានសុពលភាព

ភស្តុតាង។ តាមនិយមន័យតង់សង់

ការបំប្លែងចុងក្រោយគឺទទួលបានដោយការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនេះ។

ដូចគ្នាដែរសម្រាប់កូតង់សង់ (ភាគបែង និងភាគបែងក្នុងករណីនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ):

Q.E.D.

ការយកចិត្តទុកដាក់គួរតែត្រូវបានបង់ចំពោះការពិតដែលថាផ្នែកខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេងនៃសមភាពចុងក្រោយមាន តំបន់ផ្សេងគ្នា តម្លៃអនុញ្ញាត. ដូច្នេះការប្រើប្រាស់រូបមន្តទាំងនេះដោយគ្មានការរឹតបន្តឹងលើ តម្លៃដែលអាចធ្វើបានជ្រុងអាចនាំឱ្យមានលទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវ។

រូបមន្តមុំទ្វេនិងពាក់កណ្តាល

រូបមន្ត មុំទ្វេអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំបំពានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃមុំពាក់កណ្តាលនៃដើម។ រូបមន្តទាំងនេះជាផលវិបាកនៃរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំពីរ ប្រសិនបើយើងដាក់មុំក្នុងពួកវាឱ្យស្មើគ្នា។

រូបមន្តចុងក្រោយអាចត្រូវបានបំប្លែងដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន៖

ដូច្នេះ សម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ មានរូបមន្តបី៖

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា រូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសុពលភាពតែនៅពេល

រូបមន្តចុងក្រោយមានសុពលភាពសម្រាប់, .

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងមុខងារមុំទ្វេ មុខងារមុំបីអាចទទួលបាន។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្មានភស្តុតាង៖

រូបមន្តមុំពាក់កណ្តាលគឺជាផលវិបាកនៃរូបមន្តមុំពីរ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំជាក់លាក់មួយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃមុំពីរដងនៃមុំដើមមួយ។

1. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាអនុគមន៍បឋមដែលអាគុយម៉ង់គឺ ជ្រុង. ដោយមានជំនួយពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទំនាក់ទំនងរវាងភាគីនិង ជ្រុងមុតស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែង។ តំបន់នៃការអនុវត្តមុខងារត្រីកោណមាត្រគឺមានភាពចម្រុះណាស់។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ដំណើរការតាមកាលកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (ស៊េរី Fourier)។ មុខងារទាំងនេះច្រើនតែលេចឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងមុខងារ។

2. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមាន 6 មុខងារដូចខាងក្រោមៈ ប្រហោងឆ្អឹង, កូស៊ីនុស, តង់សង់,កូតង់សង់, វិនាទីនិង កូសេកង់. សម្រាប់នីមួយៗ មុខងារដែលបានបញ្ជាក់មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

3. និយមន័យធរណីមាត្រអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានណែនាំយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើ រង្វង់ឯកតា. រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីរង្វង់ដែលមានកាំ r=1។ ចំណុច M (x, y) ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើរង្វង់។ មុំរវាងកាំវ៉ិចទ័រ OM និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុកគឺα។

4. ប្រហោងឆ្អឹងមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃលំដាប់ y ​​នៃចំណុច M (x, y) ទៅកាំ r:
sinα=y/r.
ចាប់តាំងពី r = 1 នោះស៊ីនុសស្មើនឹងការចាត់តាំងនៃចំណុច M (x, y) ។

5. កូស៊ីនុសមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa x នៃចំណុច M (x, y) ទៅកាំ r:
cosα=x/r

6. តង់សង់មុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃការចាត់តាំង y នៃចំណុច M (x, y) ទៅ abscissa x របស់វា៖
tanα=y/x,x≠0

7. កូតង់សង់មុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa x នៃចំណុច M (x, y) ទៅនឹងការចាត់តាំង y របស់វា៖
cotα=x/y,y≠0

8. សេកានមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃកាំ r ទៅ abscissa x នៃចំនុច M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. កូសេកានមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃកាំ r ទៅនឹងចំនុច y នៃចំនុច M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. នៅក្នុងរង្វង់ឯកតា ការព្យាករ x, y នៃចំនុច M(x,y) និងកាំ r បង្កើតជាត្រីកោណកែង ក្នុង ដែល x, yគឺជាជើង ហើយ r គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុស។ ដូច្នេះនិយមន័យខាងលើនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដូចដែលបានអនុវត្ត ត្រីកោណកែងត្រូវបានរៀបចំតាមវិធីនេះ៖
ប្រហោងឆ្អឹងមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។
កូស៊ីនុសមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។
តង់សង់មុំ α ត្រូវបានគេហៅថាជើងផ្ទុយទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។
កូតង់សង់មុំ α ត្រូវបានគេហៅថាជើងដែលនៅជាប់នឹងទល់មុខ។
សេកានមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃអ៊ីប៉ូតេនុសទៅ ជើងជាប់គ្នា។.
កូសេកានមុំ α គឺជាសមាមាត្រនៃអ៊ីប៉ូតេនុសទៅនឹងជើងទល់មុខ។

11. ក្រាហ្វមុខងារស៊ីនុស
y=sinx, domain: x∈R, domain: −1≤sinx≤1

12. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស
y=cosx, ដែន៖ x∈R, ជួរ៖ −1≤cosx≤1

13. ក្រាហ្វមុខងារតង់សង់
y=tanx, ដែន៖ x∈R,x≠(2k+1)π/2, ដែន៖ −∞

14. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍កូតង់សង់
y=cotx, ដែន៖ x∈R,x≠kπ, ដែន៖ −∞

15. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេកុង
y=secx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domain: secx∈(−∞,−1]∪∪)