Sa artikulong ito, matututunan mo kung paano lutasin ang mga problema sa matematika kung hindi mo alam kung saan magsisimula.

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga problema, ang mga mag-aaral ay "napupunta sa isang pagkahilo" - mayroong isang hamog na ulap sa kanilang mga ulo, ang mga kaisipan ay nakakalat sa isang lugar, at tila hindi na posible na kolektahin ang mga ito.

Gusto ko ng isang halimbawa ng paglutas ng problema mula sa bukas na bangko mga gawain upang ipakita kung alin mga simpleng hakbang kailangang gawin upang matipon ang iyong mga iniisip at kung paano malutas ang mga problema nang tama.

Paano malutas ang mga problema. Gawain B13 (No. 26582)

Umalis ang siklista pare-pareho ang bilis mula sa lungsod A hanggang sa lungsod B, ang distansya sa pagitan nila ay 98 km. Kinabukasan bumalik siya sa bilis na 7 km / h higit pa kaysa dati. Sa daan ay huminto siya ng 7 oras. Dahil dito, gumugol siya ng mas maraming oras sa pagbabalik gaya ng ginawa niya sa daan mula A hanggang B. Hanapin ang bilis ng siklista sa daan mula A hanggang B. Ibigay ang sagot sa km/h.

1. Basahing mabuti ang suliranin. Marahil ilang beses.

2. Tinutukoy namin kung tungkol saan ang proseso ang problema, at kung anong mga formula ang naglalarawan sa prosesong ito. Isinulat namin ang mga formula na ito. AT kasong ito ito ay isang gawain para sa paggalaw, at ang formula na naglalarawan sa prosesong ito ay S=vt.

3. Isinulat namin ang dimensyon ng bawat variable na bahagi ng equation:

• S - distansya - km
• v - bilis - km/h
• t - oras - h

Ang pag-alam sa dimensyon ay makakatulong sa amin sa pagsuri sa mga resultang formula.

4. Isinulat namin ang lahat ng mga numero na matatagpuan sa kondisyon ng problema, isinulat namin kung ano ang ibig sabihin nito at ang kanilang sukat:

98 km - distansya sa pagitan ng mga lungsod,

7 km / h - kasing bilis ng isang siklista Pabalik higit sa bilis sa daan mula sa lungsod A patungo sa lungsod B,

7 oras - ang oras na huminto ang siklista (sa oras na ito ay hindi siya sumakay)

5. Basahin muli ang problemang tanong.

6. Kami ang magpapasya kung anong halaga ang aming kukunin para sa hindi alam. Maginhawang kunin para sa hindi alam ang halaga na kailangang malaman sa problema. Sa kasong ito, ito ang bilis ng siklista sa daan mula A hanggang B.

Kaya: hayaang ang bilis ng siklista sa daan mula A hanggang B ay x. Pagkatapos, dahil ang bilis ng siklista sa pagbabalik ay 7 km/h na mas malaki kaysa sa bilis sa daan mula sa lungsod A patungo sa lungsod B, kung gayon ito ay katumbas ng x+7.

7. Gumagawa kami ng equation. Upang gawin ito, ipinapahayag namin ang ikatlong halaga ng equation ng paggalaw (oras) sa pamamagitan ng unang dalawa. Pagkatapos:

• ang oras na kinuha ng siklista sa paglalakbay mula A hanggang B ay 98/x,

• at sa kalsada mula B hanggang A - 98 / (x + 7) + 7 - tandaan na sa pagbabalik ng siklista ay huminto sa loob ng 7 oras, iyon ay, ang kanyang oras ng paglalakbay ay ang kabuuan ng oras ng paglalakbay at paradahan oras.

Ang equation ay para sa oras. Muli nating mababasa sa kalagayan ng problema na sinasabi nito tungkol sa oras: Bilang resulta, gumugol siya ng maraming oras sa pagbabalik gaya ng sa paglalakbay mula A hanggang B. Ibig sabihin, ang oras na "doon" ay katumbas ng oras "bumalik". Tinutumbas namin ang oras "doon" at ang oras na "bumalik" Nakukuha namin ang equation:

98/x=98/(x+7)+7.

Muli, sinusuri namin ang mga sukat ng mga dami na kasama sa equation - kailangan mong tiyakin na, halimbawa, huwag magdagdag ng mga oras sa kilometro.

8. Lutasin namin ang equation. Ngayon kailangan nating tumuon sa paglutas ng equation. Upang gawin ito, tinutukoy namin kung anong uri ang equation na ito. Dahil ang hindi alam ay nasa denominator ng mga fraction, ito ay rational equation. Upang malutas ito, kailangan mong ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwa at dalhin ang mga fraction sa karaniwang denominador. Tandaan na ang mga numero 98 at 7 ay multiple ng 7.

Upang gawing simple ang solusyon, hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 7. Nakukuha namin ang equation: 14/x=14/(x+7)+1

Pagkatapos nito, inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa, bawasan sa isang karaniwang denominator, at itinutumbas ang numerator sa zero.

Nakukuha natin sa numerator: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 parang terms at lutasin ang quadratic equation.

Ang mga ugat nito ay -14 at 7.

Ang numero -14 ay hindi akma sa kondisyon ng problema: ang bilis ay dapat na positibo.

Muli naming binasa ang tanong ng problema at iniugnay ito sa halaga na aming nahanap: para sa hindi kilalang kinuha namin ang bilis ng siklista sa daan mula A hanggang B, at kailangan naming mahanap ang parehong halaga.

Sagot: 7 km/h.

Paano malutas ang mga problema. kinalabasan

Tandaan na hinati namin ang buong landas ng paglutas ng problema sa maliliit na piraso, at sa bawat seksyon ay nakatuon kami nang tumpak sa pag-iisip tiyak na aksyon. At pagkatapos lamang maisagawa ang pagkilos na ito, ginawa ang susunod na hakbang.

Kapag hindi malinaw kung ano ang gagawin, kailangan mong magpasya kung alin maliit na hakbang magagawa mo ito ngayon, gawin ito, at pagkatapos ay isipin ang susunod.

Upang matutunan kung paano lutasin ang tipikal lohikal na mga gawain, simple at hindi karaniwan mga problema sa matematika, mahalagang malaman ang mga pangunahing pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Pagkatapos ng lahat, sa maraming mga kaso posible na malutas ang parehong problema at makarating sa tamang sagot sa iba't ibang paraan.

Ang pag-alam at pag-unawa sa iba't ibang paraan ng solusyon ay makakatulong sa iyong matukoy kung aling paraan ang pinakamainam para sa bawat partikular na kaso, upang mapili mo ang pinakamabilis at pinakamadaling paraan upang makakuha ng sagot.

Kasama sa "klasikong" lohikal na mga gawain ang mga gawaing teksto, ang layunin nito ay kilalanin ang mga bagay o ayusin ang mga ito sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod alinsunod sa mga ibinigay na kundisyon.

Ang mga mas kumplikado at kapana-panabik na uri ng mga gawain ay mga gawain kung saan ang ilang mga pahayag ay totoo at ang iba ay mali. Ang mga gawain ng paglipat, paglilipat, pagtimbang, pagbuhos ay ang pinaka maliwanag na mga halimbawa malawak na saklaw hindi karaniwang mga gawain sa lohika.

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga lohikal na problema

• paraan ng pangangatwiran;
• gamit ang mga talahanayan ng katotohanan;
• paraan ng block diagram;
• paraan ng logic algebra (propositional algebra);
• graphic (kabilang ang "puno lohikal na kondisyon”, ang Euler circle method);
• paraan ng mathematical billiards.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng tatlong sikat na paraan upang malutas ang mga lohikal na problema na inirerekomenda naming gamitin sa elementarya (mga batang 6-12 taong gulang):

• paraan ng sequential reasoning;
• isang uri ng paraan ng pangangatwiran - "mula sa wakas";
• tabular na paraan.

Pamamaraan ng sequential reasoning

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang mga simpleng problema ay ang pangangatuwiran nang sunud-sunod gamit ang lahat ng kilalang kondisyon. Ang mga konklusyon mula sa mga pahayag na mga kondisyon ng problema ay unti-unting humahantong sa sagot sa tanong na ibinibigay.

Nasa mesa ay Bughaw , Berde , kayumanggi at Kahel

Ang pangatlo ay ang lapis na may pinakamaraming letra sa pangalan nito. Bughaw ang lapis ay nasa pagitan kayumanggi at kahel .

Ilatag ang mga lapis sa pagkakasunud-sunod na inilarawan.

Solusyon:

Nagtatalo kami. Sunud-sunod naming ginagamit ang mga kondisyon ng problema upang bumalangkas ng mga konklusyon tungkol sa posisyon kung saan dapat magsinungaling ang bawat susunod na lapis.

• Karamihan sa mga titik sa salitang "kayumanggi", kaya ito ay nasa pangatlo.
• Ito ay kilala na ang isang asul na lapis ay nasa pagitan ng kayumanggi at orange. Mayroon lamang isang posisyon sa kanan ng kayumanggi, na nangangahulugan na posible na ilagay ang asul sa pagitan ng kayumanggi at isa pang lapis sa kaliwa lamang ng kayumanggi.
• Ang susunod na konklusyon ay batay sa nauna: ang asul na lapis ay nasa pangalawang posisyon, at ang orange ay nasa una.
• Para sa berdeng lapis na natitira huling posisyon- Siya ay pang-apat.

Paraan ng pagtatapos

Ang ganitong paraan ng paglutas ay isang uri ng paraan ng pangangatwiran at mahusay para sa mga problema kung saan alam natin ang resulta ng ilang mga aksyon, at ang tanong ay upang maibalik ang orihinal na larawan.

Nagluto si Lola ng mga bagel para sa kanyang tatlong apo at iniwan ang mga ito sa mesa. Tumakbo si Kolya para kumain muna. Binilang ko ang lahat ng bagel, kinuha ang aking bahagi at tumakas.
Maya-maya pa ay pumasok si Anya sa bahay. Hindi niya alam na kinuha na ni Kolya ang mga bagel, binilang ang mga ito at, hinati sila sa tatlo, kinuha ang kanyang bahagi.
Ang pangatlo ay si Gena, na hinati rin ang natitirang pastry sa tatlo at kinuha ang kanyang bahagi.
May 8 bagel na natitira sa mesa.

Ilan sa walong natitirang bagel ang dapat kainin ng bawat isa upang ang lahat ay kumain ng pantay-pantay sa huli?

Solusyon:

Simulan natin ang talakayan mula sa dulo.
Nag-iwan si Gena ng 8 bagel para kina Anya at Kolya (4 para sa bawat isa). Lumalabas na siya mismo ay kumain ng 4 na bagel: 8 + 4 = 12.
Nag-iwan si Anya ng 12 bagel para sa mga kapatid (bawat 6). Kaya siya mismo ay kumain ng 6 na piraso: 12 + 6 = 18.
Nag-iwan si Kolya ng 18 bagel para sa mga lalaki. Kaya kumain siya ng 9 sa kanyang sarili: 18 + 9 = 27.

Naglagay si Lola ng 27 bagel sa mesa, umaasa na lahat ay makakakuha ng 9 na piraso. Dahil nakain na ni Kolya ang kanyang bahagi, dapat kumain si Anya ng 3 at dapat kumain si Gena ng 5 bagel.

Paglutas ng Logic Problems Gamit ang Truth Tables

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay binubuo sa pag-aayos ng mga kondisyon ng problema at ang nakuha na mga resulta ng pangangatwiran sa mga talahanayan na espesyal na pinagsama-sama para sa problema. Depende sa kung ang pahayag ay totoo o mali, ang mga kaukulang mga cell ng talahanayan ay puno ng mga palatandaan na "+" at "-" o "1" at "0".

Tatlong atleta ( pula , bughaw at berde) naglaro ng basketball.
Nang ang bola ay nasa basket, ang pula ay bumulalas: "Ang bola ay naiiskor ng asul."
Tumutol si Blue: "Naka-iskor si Green ng bola."
Sabi ni Zeleny, "Hindi ako naka-score."

Sino ang naghagis ng bola kung isa lang sa tatlo ang nagsisinungaling?

Solusyon:

Una, ang isang talahanayan ay pinagsama-sama: sa kaliwa, isinulat nila ang lahat ng mga pahayag na nakapaloob sa kundisyon, at sa itaas - posibleng mga opsyon tugon.

Pagkatapos ang talahanayan ay punan nang sunud-sunod: mga totoong pahayag markahan ng “+” sign, at maling pahayag na may “-” sign.

Isaalang-alang ang unang pagpipilian sa sagot ("ang bola ay inihagis pula"), suriin ang mga pahayag na nakasulat sa kaliwa, at punan ang una hanay.
Batay sa aming palagay (“ang bola ay inihagis pula"), ang pahayag na "ang bola ay inihagis ng asul" ay isang kasinungalingan. Inilagay namin sa cell ang "-".
Ang pahayag na "ball scored green" ay kasinungalingan din. Pinupuno namin ang cell ng sign na "-".
Ang berdeng pahayag na "Hindi ako nakapuntos" ay totoo. Inilagay namin sa cell ang "+".

Isaalang-alang ang pangalawang sagot (ipagpalagay na bolang inihagis ng berde) at punan pangalawa hanay.
Ang pahayag na "Blue has thrown the ball" ay isang kasinungalingan. Inilagay namin sa cell ang "-".
Ang pahayag na "ball scored green « - katotohanan. Punan ang cell ng "+" sign.
Ang berdeng pahayag na "Hindi ako nakapuntos" ay isang kasinungalingan. Inilagay namin sa cell ang "-".

At sa wakas, ang pangatlong opsyon: ipagpalagay na "ang bola ay itinapon bughaw«.
Pagkatapos ay ang pahayag na "ball thrown blue « - katotohanan. Inilagay namin sa cell ang "+".
Ang pahayag na "ang bola ay nakapuntos ng berde" ay isang kasinungalingan. Pinupuno namin ang cell ng sign na "-". Ang berdeng pahayag na "Hindi ako nakapuntos" ay totoo. Inilagay namin sa cell ang "+".

Dahil, ayon sa kondisyon, isa lamang sa tatlong lalaki ang nagsabi ng kasinungalingan, sa nakumpletong talahanayan ay pipili kami ng isang pagpipilian sa sagot, kung saan ito isa lang maling pahayag (sa hanay ng isang senyas na "-"). Ang pangatlong hanay ay akma.

Kaya, ang tamang sagot ay ang bola ay inihagis ng asul.

Paraan ng flowchart

Ang paraan ng flowchart ay isinasaalang-alang ang pinakamahusay na pagpipilian para sa paglutas ng mga problema ng pagtimbang at pagbuhos ng mga likido. Alternatibong paraan paglutas ng ganitong uri ng problema - ang paraan ng enumeration ng mga pagpipilian - ay hindi palaging optimal, at ito ay sa halip mahirap na tawagan ito systemic.

Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema gamit ang flowchart method ay ang mga sumusunod:

• graphically (flowchart) ilarawan ang pagkakasunod-sunod ng mga operasyon;
• matukoy ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad;
• sa talahanayan ay inaayos namin ang kasalukuyang mga estado.

Higit pa tungkol dito at iba pang mga paraan upang malutas ang mga lohikal na problema na may mga halimbawa at paglalarawan ng solusyon, sasabihin namin sa buong kurso LogicLike sa pagbuo ng lohikal na pag-iisip.

Hulaan ang pinakamaraming nakolekta lalo na para sa mga regular na mambabasa ng aming blog at mga mag-aaral ng LogicLike, lutasin ang mga lohikal na problema online kasama ng libu-libong bata at matatanda!

Katamtaman Pangkalahatang edukasyon

linya ng UMK G. K. Muravina. Algebra at simula pagsusuri sa matematika(10-11) (malalim)

Linya ng UMK Merzlyak. Algebra at ang Simula ng Pagsusuri (10-11) (U)

Math

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika (antas ng profile): mga gawain, solusyon at paliwanag

Sinusuri namin ang mga gawain at nilulutas ang mga halimbawa kasama ng guro

Papel ng pagsusulit antas ng profile tumatagal ng 3 oras 55 minuto (235 minuto).

Minimum na Threshold- 27 puntos.

Ang papel ng pagsusulit ay binubuo ng dalawang bahagi, na naiiba sa nilalaman, pagiging kumplikado at bilang ng mga gawain.

Ang tampok na pagtukoy ng bawat bahagi ng gawain ay ang anyo ng mga gawain:

• bahagi 1 ay naglalaman ng 8 mga gawain (mga gawain 1-8) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling decimal fraction;
• bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain (mga gawain 9-12) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling bahagi ng decimal at 7 mga gawain (mga gawain 13-19) na may isang detalyadong sagot (buong talaan ng desisyon na may katwiran para sa mga aksyon na ginawa).

Panova Svetlana Anatolievna, guro sa matematika pinakamataas na kategorya mga paaralan, 20 taong karanasan sa trabaho:

“Para makatanggap ng school certificate, dapat pumasa ng dalawa ang graduate sapilitang pagsusulit sa GAMITIN ang form, isa na rito ang matematika. Alinsunod sa Konsepto ng Pag-unlad edukasyon sa matematika sa Pederasyon ng Russia Ang PAGGAMIT sa matematika ay nahahati sa dalawang antas: basic at specialized. Ngayon ay isasaalang-alang namin ang mga opsyon para sa antas ng profile.

Gawain bilang 1- mga pagsusuri sa mga kalahok GAMITIN ang kasanayan ilapat ang mga kasanayang nakuha sa kurso ng 5-9 na baitang sa elementarya na matematika, sa praktikal na gawain. Ang kalahok ay dapat magkaroon ng computational skills, marunong gumawa ng mga rational number, marunong mag-round mga decimal magagawang i-convert ang isang yunit ng pagsukat sa isa pa.

Halimbawa 1 Sa apartment kung saan nakatira si Petr, isang flow meter ang na-install malamig na tubig(counter). Noong una ng Mayo, ang metro ay nagpakita ng pagkonsumo ng 172 cubic meters. m ng tubig, at sa una ng Hunyo - 177 metro kubiko. m. Anong halaga ang dapat bayaran ni Peter para sa malamig na tubig para sa Mayo, kung ang presyo ng 1 cu. m ng malamig na tubig ay 34 rubles 17 kopecks? Ibigay ang iyong sagot sa rubles.

Solusyon:

1) Hanapin ang dami ng tubig na ginagastos bawat buwan:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Alamin kung magkano ang babayaran para sa nagastos na tubig:

34.17 5 = 170.85 (kuskusin)

Sagot: 170,85.

Gawain bilang 2- ay isa sa mga pinakasimpleng gawain ng pagsusulit. Ang karamihan ng mga nagtapos ay matagumpay na nakayanan ito, na nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng kahulugan ng konsepto ng pag-andar. Uri ng gawain Blg. 2 ayon sa mga kinakailangan codifier ay isang gawain para sa paggamit ng nakuhang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na gawain at Araw-araw na buhay. Ang gawain bilang 2 ay binubuo ng isang paglalarawan gamit ang mga function ng iba't-ibang tunay na dependencies sa pagitan ng mga dami at interpretasyon ng kanilang mga graph. Ang gawain bilang 2 ay sumusubok sa kakayahang kunin ang impormasyong ipinakita sa mga talahanayan, diagram, mga graph. Kailangang matukoy ng mga nagtapos ang halaga ng isang function sa pamamagitan ng halaga ng argumento kung kailan iba't-ibang paraan pagtukoy sa isang function at paglalarawan ng pag-uugali at katangian ng function ayon sa graph nito. Kinakailangan din na mahanap mula sa function graph ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga at bumuo ng mga graph ng mga pinag-aralan na function. Ang mga pagkakamaling nagawa ay random na kalikasan sa pagbabasa ng mga kondisyon ng problema, pagbabasa ng diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Halimbawa 2 Ipinapakita ng figure ang pagbabago sa halaga ng palitan ng isang bahagi ng isang kumpanya ng pagmimina sa unang kalahati ng Abril 2017. Noong Abril 7, bumili ang negosyante ng 1,000 shares ng kumpanyang ito. Noong Abril 10, ibinenta niya ang tatlong-kapat ng binili na bahagi, at noong Abril 13 ay ibinenta niya ang lahat ng natitira. Magkano ang nawala sa negosyante bilang resulta ng mga operasyong ito?

Solusyon:

2) 1000 3/4 = 750 (shares) - bumubuo sa 3/4 ng lahat ng biniling share.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubles) - natanggap ng negosyante pagkatapos ng pagbebenta ng 1000 na pagbabahagi.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (rubles) - nawala ang negosyante bilang resulta ng lahat ng operasyon.

Sagot: 15000.

Gawain bilang 3- ay isang gawain pangunahing antas ang unang bahagi, sinusubok ang kakayahang magsagawa ng mga aksyon gamit ang mga geometric na hugis sa nilalaman ng kursong "Planimetry". Sa gawain 3, ang kakayahang kalkulahin ang lugar ng isang figure sa checkered na papel, kakayahang magkalkula mga sukat ng antas mga sulok, kalkulahin ang mga perimeter, atbp.

Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng isang rektanggulo na iginuhit sa checkered na papel na may sukat ng cell na 1 cm sa 1 cm (tingnan ang figure). Ibigay ang iyong sagot sa square centimeters.

Solusyon: Upang makalkula ang lugar ng figure na ito, maaari mong gamitin ang formula ng Peak:

Upang kalkulahin ang lugar ibinigay na parihaba Gamitin natin ang formula ng Pick:

S= B +	G
	2

kung saan ang V = 10, G = 6, samakatuwid

S = 18 +	6
	2

Sagot: 20.

Tingnan din ang: Pinag-isang State Examination sa Physics: paglutas ng mga problema sa vibration

Gawain bilang 4- ang gawain ng kursong "Probability Theory and Statistics". Ang kakayahang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan sa pinakasimpleng sitwasyon ay nasubok.

Halimbawa 4 Mayroong 5 pula at 1 asul na tuldok sa bilog. Tukuyin kung aling mga polygon ang mas malaki: yaong may lahat ng pulang vertice, o yaong may isa sa mga asul na vertices. Sa iyong sagot, ipahiwatig kung gaano karami ang isa kaysa sa isa.

Solusyon: 1) Ginagamit namin ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng k:

ang lahat ng mga vertex ay pula.

3) Isang pentagon na may lahat ng pulang vertex.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygons na may lahat ng pulang vertices.

na ang mga vertex ay pula o may isang asul na taluktok.

na ang mga vertex ay pula o may isang asul na taluktok.

8) Isang hexagon na ang mga vertex ay pula na may isang asul na vertex.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygon na mayroong lahat ng pulang vertex o isang asul na vertex.

10) 42 - 16 = 26 polygon na gumagamit ng asul na tuldok.

11) 26 - 16 = 10 polygons - kung gaano karaming mga polygon, kung saan ang isa sa mga vertices ay isang asul na tuldok, ay higit pa sa polygons, kung saan ang lahat ng vertices ay pula lamang.

Sagot: 10.

Gawain bilang 5- ang pangunahing antas ng unang bahagi ay sumusubok sa kakayahang malutas ang pinakasimpleng mga equation (hindi makatwiran, exponential, trigonometric, logarithmic).

Halimbawa 5 Lutasin ang Equation 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 3 + X≠ 0, nakukuha namin

2 3 + x	= 0.4 o		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

kung saan sumusunod na 3 + x = 1, x = –2.

Sagot: –2.

Gawain bilang 6 sa pamamagitan ng planimetry upang mahanap geometric na dami(mga haba, anggulo, lugar), pagmomodelo totoong mga sitwasyon sa wika ng geometry. Pag-aaral ng mga binuo na modelo gamit mga konseptong geometriko at mga teorema. Ang pinagmumulan ng mga paghihirap ay karaniwang kamangmangan o maling paggamit kinakailangang theorems ng planimetry.

Lugar ng isang tatsulok ABC katumbas ng 129. DE- gitnang linya, magkatulad na gilid AB. Hanapin ang lugar ng trapezoid ISANG KAMA.

Solusyon. Tatsulok CDE katulad ng isang tatsulok CAB sa dalawang sulok, dahil ang sulok sa vertex C pangkalahatan, anggulo CDE katumbas ng anggulo CAB paano kaukulang mga anggulo sa DE || AB secant AC. kasi DE ay ang midline ng tatsulok ayon sa kundisyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng ari-arian gitnang linya | DE = (1/2)AB. Kaya ang koepisyent ng pagkakatulad ay 0.5. mga parisukat katulad na mga pigura ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad, kaya

Dahil dito, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Gawain bilang 7- sinusuri ang aplikasyon ng derivative sa pag-aaral ng function. Para sa matagumpay na pagpapatupad isang makabuluhan, di-pormal na pagmamay-ari ng konsepto ng isang derivative ay kinakailangan.

Halimbawa 7 Sa graph ng function y = f(x) sa puntong may abscissa x 0 ang isang tangent ay iguguhit, na patayo sa tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; -1) ng graph na ito. Hanapin f′( x 0).

Solusyon. 1) Ginagamit namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawa binigay na puntos at hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-isa)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4.

2) Hanapin ang slope ng tangent k 2 na patayo sa linya y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4, ayon sa formula:

3) Slope tangent - ang derivative ng function sa punto ng contact. Ibig sabihin, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Sagot: –0,25.

Gawain bilang 8- Sinusuri ang kaalaman ng elementarya na stereometry sa mga kalahok ng pagsusulit, ang kakayahang mag-aplay ng mga formula para sa paghahanap ng mga lugar sa ibabaw at dami ng mga numero, dihedral na mga anggulo, ihambing ang mga volume ng magkatulad na figure, makapagsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na figure, coordinate at vector, atbp.

Ang volume ng isang cube na nakapaligid sa isang sphere ay 216. Hanapin ang radius ng sphere.

Solusyon. 1) V kubo = a 3 (saan a ay ang haba ng gilid ng kubo), kaya

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Dahil ang globo ay nakasulat sa isang kubo, nangangahulugan ito na ang haba ng diameter ng globo ay katumbas ng haba ng gilid ng kubo, samakatuwid d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Gawain bilang 9- nangangailangan ng nagtapos na baguhin at pasimplehin algebraic expression. Gawain bilang 9 advanced na antas Kahirapan sa maikling sagot. Ang mga gawain mula sa seksyong "Mga Pagkalkula at pagbabago" sa USE ay nahahati sa ilang uri:

mga numerong conversion mga makatwirang ekspresyon;

pagbabago ng algebraic expression at fractions;

numeric/alphabetic na mga conversion hindi makatwiran na mga ekspresyon;

mga aksyon na may mga degree;

pagbabago logarithmic expression;

1. conversion ng numeric/letter trigonometriko expression.

Halimbawa 9 Kalkulahin ang tgα kung alam na cos2α = 0.6 at

3π	< α < π.
4

Solusyon. 1) Gamitin natin ang formula dobleng argumento: cos2α = 2 cos 2 α – 1 at hanapin

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Kaya naman, tan 2 α = ± 0.5.

3) Sa kondisyon

3π	< α < π,
4

kaya ang α ay ang anggulo ng ikalawang quarter at tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Sagot: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Gawain bilang 10- sinusuri ang kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang nakuha maagang kaalaman at mga kasanayan sa mga praktikal na gawain at pang-araw-araw na buhay. Maaari nating sabihin na ang mga ito ay mga problema sa pisika, at hindi sa matematika, ngunit lahat mga kinakailangang formula at ang mga halaga ay ibinibigay sa kondisyon. Ang mga problema ay nabawasan sa paglutas ng isang linear o quadratic equation, alinman sa linear o parisukat na hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang malutas ang mga naturang equation at hindi pagkakapantay-pantay, at matukoy ang sagot. Ang sagot ay dapat na nasa anyo ng isang buong numero o isang panghuling decimal fraction.

Dalawang katawan ng masa m= 2 kg bawat isa, gumagalaw sa parehong bilis v= 10 m/s sa isang anggulo na 2α sa bawat isa. Ang enerhiya (sa joules) na inilabas sa panahon ng kanilang ganap na hindi nababanat na banggaan ay tinutukoy ng expression Q = mv 2 kasalanan 2 α. Sa anong pinakamaliit na anggulo 2α (sa digri) dapat gumalaw ang mga katawan upang hindi bababa sa 50 joules ang mailabas bilang resulta ng banggaan?
Solusyon. Upang malutas ang problema, kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na Q ≥ 50, sa pagitan ng 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Dahil α ∈ (0°; 90°), malulutas lamang natin

Kinakatawan namin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay nang graphical:

Dahil sa pag-aakalang α ∈ (0°; 90°), nangangahulugan ito na 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Gawain bilang 11- ay tipikal, ngunit ito ay lumalabas na mahirap para sa mga mag-aaral. Ang pangunahing pinagmumulan ng mga kahirapan ay ang pagbuo ng isang modelo ng matematika (pagguhit ng isang equation). Ang gawain bilang 11 ay sumusubok sa kakayahang malutas ang mga problema sa salita.

Halimbawa 11. Sa bakasyon Ang 11-grader na si Vasya ay kailangang lutasin ang 560 mga problema sa pagsasanay upang maghanda para sa pagsusulit. Noong Marso 18, sa huling araw ng paaralan, nalutas ni Vasya ang 5 mga problema. Pagkatapos araw-araw ay nalutas niya ang parehong bilang ng mga problema nang higit pa kaysa sa nakaraang araw. Tukuyin kung gaano karaming mga problema ang nalutas ni Vasya noong Abril 2 sa huling araw ng bakasyon.

Solusyon: Magpakilala a 1 = 5 - ang bilang ng mga gawain na nalutas ni Vasya noong Marso 18, d– araw-araw na bilang ng mga gawain na nalutas ni Vasya, n= 16 - ang bilang ng mga araw mula Marso 18 hanggang Abril 2 kasama, S 16 = 560 – kabuuan mga gawain, a 16 - ang bilang ng mga gawain na nalutas ni Vasya noong Abril 2. Alam na araw-araw ay nalutas ni Vasya ang parehong bilang ng mga gawain nang higit pa kaysa sa nakaraang araw, pagkatapos ay maaari mong gamitin ang mga formula para sa paghahanap ng kabuuan pag-unlad ng aritmetika:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Sagot: 65.

Gawain bilang 12- suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsagawa ng mga aksyon na may mga function, mailapat ang derivative sa pag-aaral ng function.

Hanapin ang pinakamataas na punto ng isang function y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Solusyon: 1) Hanapin ang domain ng function: x + 9 > 0, x> –9, ibig sabihin, x ∈ (–9; ∞).

2) Hanapin ang derivative ng function:

4) Ang nahanap na punto ay kabilang sa pagitan (–9; ∞). Tinukoy namin ang mga palatandaan ng derivative ng function at inilalarawan ang pag-uugali ng function sa figure:

Ang nais na pinakamataas na punto x = –8.

I-download nang libre ang work program sa matematika sa linya ng UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Mag-download ng mga libreng manual ng algebra

Gawain bilang 13- isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot, na sumusubok sa kakayahang malutas ang mga equation, ang pinakamatagumpay na nalutas sa mga gawain na may isang detalyadong sagot ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado.

a) Lutasin ang equation na 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito, kabilang sa segment.

Solusyon: a) Hayaan ang log 3 (2cos x) = t, pagkatapos 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ kasi |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

tapos cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Hanapin ang mga ugat na nakahiga sa segment .

Makikita sa pigura na ibinigay na segment nabibilang sa mga ugat

11π	at	13π	.
6		6

Sagot: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Gawain bilang 14- Ang advanced na antas ay tumutukoy sa mga gawain ng ikalawang bahagi na may detalyadong sagot. Ang gawain ay sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis. Ang gawain ay naglalaman ng dalawang aytem. Sa unang talata, dapat patunayan ang gawain, at sa pangalawang talata, dapat itong kalkulahin.

Ang circumference diameter ng base ng cylinder ay 20, ang generatrix ng cylinder ay 28. Ang eroplano ay intersects nito bases kasama ang chords ng haba 12 at 16. Ang distansya sa pagitan ng chords ay 2√197.

a) Patunayan na ang mga sentro ng mga base ng silindro ay nasa magkabilang panig ng eroplanong ito.

b) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ito at ng eroplano ng base ng silindro.

Solusyon: a) Ang isang chord na may haba na 12 ay nasa layo na = 8 mula sa gitna ng base na bilog, at ang isang chord na may haba na 16, sa parehong paraan, ay nasa layo na 6. Samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga projection sa isang eroplano na kahanay sa ang mga base ng mga cylinder ay alinman sa 8 + 6 = 14, o 8 − 6 = 2.

Kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga chord ay alinman

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ayon sa kondisyon, ang pangalawang kaso ay natanto, kung saan ang mga projection ng chords ay namamalagi sa isang gilid ng axis ng silindro. Kaya ang axis ay hindi bumalandra binigay na eroplano sa loob ng silindro, iyon ay, ang mga base ay nasa isang gilid nito. Ano ang kailangang patunayan.

b) Tukuyin natin ang mga sentro ng mga base bilang O 1 at O ​​2. Iguhit natin mula sa gitna ng base na may chord na may haba na 12 ang perpendicular bisector sa chord na ito (ito ay may haba na 8, gaya ng nabanggit na) at mula sa gitna ng kabilang base patungo sa isa pang chord. Nakahiga sila sa parehong eroplanong β patayo sa mga chord na ito. Tawagan natin ang midpoint ng mas maliit na chord B, mas malaki kaysa sa A, at ang projection ng A sa pangalawang base H (H ∈ β). Pagkatapos AB,AH ∈ β at, samakatuwid, AB,AH ay patayo sa chord, iyon ay, ang linya ng intersection ng base sa ibinigay na eroplano.

Kaya ang kinakailangang anggulo ay

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Gawain bilang 15- isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot, sinusuri ang kakayahang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang pinakamatagumpay na nalutas sa mga gawain na may isang detalyadong sagot ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Halimbawa 15 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Solusyon: Ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan (–1; +∞). Isaalang-alang ang tatlong kaso nang hiwalay:

1) Hayaan x 2 – 3x= 0, ibig sabihin. X= 0 o X= 3. Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging totoo, samakatuwid, ang mga halagang ito ay kasama sa solusyon.

2) Hayaan ngayon x 2 – 3x> 0, ibig sabihin. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa anyo ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 at hatiin sa positibong pagpapahayag x 2 – 3x. Nakukuha namin ang log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 -1 o x≤ -0.5. Isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, mayroon tayo x ∈ (–1; –0,5].

3) Panghuli, isaalang-alang x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sa kasong ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat sa anyo (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pagkatapos hatiin sa pamamagitan ng positibong ekspresyon 3 x – x 2 , nakakakuha tayo ng log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Kung isasaalang-alang ang lugar, mayroon tayo x ∈ (0; 1].

Ang pagsasama-sama ng mga nakuhang solusyon, nakuha namin x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sagot: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Gawain bilang 16- Ang advanced na antas ay tumutukoy sa mga gawain ng ikalawang bahagi na may detalyadong sagot. Ang gawain ay sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis, coordinate at vectors. Ang gawain ay naglalaman ng dalawang aytem. Sa unang talata, dapat patunayan ang gawain, at sa pangalawang talata, dapat itong kalkulahin.

AT isosceles triangle ABC na may anggulong 120° sa vertex A, iginuhit ang bisector BD. AT tatsulok ABC rectangle DEFH ay nakasulat upang ang gilid ng FH ay nasa segment BC at ang vertex E ay nasa segment AB. a) Patunayan na ang FH = 2DH. b) Hanapin ang lugar ng rectangle DEFH kung AB = 4.

Solusyon: a)

1) ΔBEF - hugis-parihaba, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, pagkatapos ay EF = BE dahil sa katangian ng binti sa tapat ng anggulo na 30°.

2) Hayaan ang EF = DH = x, pagkatapos BE = 2 x, BF = x√3 ng Pythagorean theorem.

3) Dahil Δ ABC isosceles, kaya ∠B = ∠C = 30˚.

Ang BD ay ang bisector ng ∠B, kaya ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Isaalang-alang ang ΔDBH - hugis-parihaba, dahil DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Sagot: 24 – 12√3.

Gawain bilang 17- isang gawain na may detalyadong sagot, ang gawaing ito ay sumusubok sa aplikasyon ng kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na aktibidad at pang-araw-araw na buhay, ang kakayahang bumuo at tuklasin mga modelo ng matematika. Ang gawaing ito - gawaing teksto na may pang-ekonomiyang nilalaman.

Halimbawa 17. Ang deposito sa halagang 20 milyong rubles ay binalak na buksan sa loob ng apat na taon. Sa katapusan ng bawat taon, tinataasan ng bangko ang deposito ng 10% kumpara sa laki nito sa simula ng taon. Bilang karagdagan, sa simula ng ikatlo at ikaapat na taon, taunang pinupunan ng depositor ang deposito sa pamamagitan ng X milyong rubles, kung saan X - buo numero. Hanapin pinakamataas na halaga X, kung saan ang bangko ay magdaragdag ng mas mababa sa 17 milyong rubles sa deposito sa loob ng apat na taon.

Solusyon: Sa pagtatapos ng unang taon, ang kontribusyon ay magiging 20 + 20 · 0.1 = 22 milyong rubles, at sa pagtatapos ng pangalawa - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 milyong rubles. Sa simula ng ikatlong taon, ang kontribusyon (sa milyong rubles) ay magiging (24.2 + X), at sa dulo - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Sa simula ng ikaapat na taon, ang kontribusyon ay magiging (26.62 + 2.1 X), at sa dulo - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Sa pamamagitan ng kundisyon, kailangan mong hanapin ang pinakamalaking integer x kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Ang pinakamalaking integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang numero 24.

Sagot: 24.

Gawain bilang 18- isang gawain ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot. Ang gawaing ito ay para sa mapagkumpitensyang pagpili mga unibersidad na may mas mataas na pangangailangan paghahanda sa matematika mga aplikante. Mag-ehersisyo mataas na lebel Ang pagiging kumplikado ay hindi isang gawain para sa paglalapat ng isang paraan ng solusyon, ngunit para sa isang kumbinasyon ng iba't ibang mga pamamaraan. Para sa matagumpay na pagkumpleto ng gawain 18, bilang karagdagan sa matatag na kaalaman sa matematika, kinakailangan din ang isang mataas na antas ng kultura ng matematika.

sa ano a sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

may eksaktong dalawang solusyon?

Solusyon: Ang sistemang ito ay maaaring muling isulat bilang

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Kung iguguhit natin sa eroplano ang hanay ng mga solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang loob ng isang bilog (na may hangganan) ng radius 1 na nakasentro sa punto (0, a). Ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang bahagi ng eroplano na nasa ilalim ng graph ng function. y = | x| – a, at ang huli ay ang graph ng function
y = | x| , inilipat pababa ng a. Ang solusyon ng sistemang ito ay ang intersection ng mga hanay ng solusyon ng bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Samakatuwid, dalawang solusyon sistemang ito magkakaroon lamang sa kaso na ipinapakita sa Fig. isa.

Ang mga punto ng contact sa pagitan ng bilog at ng mga linya ay ang dalawang solusyon ng system. Ang bawat isa sa mga tuwid na linya ay nakahilig sa mga palakol sa isang anggulo na 45°. Kaya ang tatsulok PQR- hugis-parihaba isosceles. Dot Q may mga coordinate (0, a), at ang punto R– mga coordinate (0, – a). Bilang karagdagan, mga pagbawas PR at PQ ay katumbas ng radius ng bilog na katumbas ng 1. Samakatuwid,

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Sagot: a =	√2	.
	2

Gawain bilang 19- isang gawain ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot. Ang gawaing ito ay inilaan para sa mapagkumpitensyang pagpili sa mga unibersidad na may mas mataas na mga kinakailangan para sa paghahanda sa matematika ng mga aplikante. Ang isang gawain ng isang mataas na antas ng pagiging kumplikado ay hindi isang gawain para sa paglalapat ng isang paraan ng solusyon, ngunit para sa isang kumbinasyon ng iba't ibang mga pamamaraan. Upang matagumpay na makumpleto ang gawain 19, kailangan mong maghanap ng solusyon sa pamamagitan ng pagpili iba't ibang diskarte mula sa mga kilala, binago ang mga pinag-aralan na pamamaraan.

Hayaan sn sum P miyembro ng isang arithmetic progression ( isang p). Ito ay kilala na S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Ibigay ang pormula P ika-isang miyembro ng pag-unlad na ito.

b) Hanapin ang pinakamaliit na modulo sum S n.

c) Hanapin ang pinakamaliit P, Kung saan S n ay magiging parisukat ng isang integer.

Solusyon: a) Malinaw, isang n = S n – S n- isa. Gamit ang formula na ito, nakukuha natin:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

ibig sabihin, isang n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) dahil S n = 2n 2 – 25n, pagkatapos ay isaalang-alang ang function S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ang kanyang graph ay makikita sa figure.

Malinaw na ang pinakamaliit na halaga ay naabot sa mga integer point na matatagpuan na pinakamalapit sa mga zero ng function. Malinaw na ito ay mga punto. X= 1, X= 12 at X= 13. Dahil, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ay 12.

c) Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na sn positibo mula noon n= 13. Dahil S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), saka ang halatang kaso kung kailan ibinigay na pagpapahayag ay isang perpektong parisukat, ay natanto kapag n = 2n- 25, iyon ay, kasama P= 25.

Ito ay nananatiling suriin ang mga halaga mula 13 hanggang 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Lumalabas na para sa mas maliliit na halaga P buong parisukat ay hindi nakakamit.

Sagot: a) isang n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Mula noong Mayo 2017, ang pinagsamang pangkat sa pag-publish na "DROFA-VENTANA" ay naging bahagi ng korporasyon " aklat-aralin sa Ruso". Kasama rin sa korporasyon ang Astrel publishing house at digital platapormang pang-edukasyon"lecta". CEO hinirang si Alexander Brychkin, nagtapos Financial Academy sa ilalim ng Pamahalaan ng Russian Federation, kandidato mga agham pang-ekonomiya, superbisor mga makabagong proyekto DROFA publishing house sa larangan ng digital na edukasyon ( mga elektronikong anyo mga aklat-aralin, "Russian Electronic School", digital educational platform LECTA). Bago sumali sa DROFA publishing house, hinawakan niya ang posisyon ng Vice President for Strategic Development and Investments ng EKSMO-AST publishing holding. Ngayon, ang Russian Textbook Publishing Corporation ay may pinakamalaking portfolio ng mga textbook na kasama sa pederal na listahan- 485 mga pamagat (humigit-kumulang 40%, hindi kasama ang mga aklat-aralin para sa remedial na paaralan). Ang mga publishing house ng korporasyon ang nagmamay-ari ng pinakasikat Mga paaralang Ruso hanay ng mga aklat-aralin sa pisika, pagguhit, biyolohiya, kimika, teknolohiya, heograpiya, astronomiya - mga lugar ng kaalaman na kailangan upang mapaunlad ang potensyal ng produksyon ng bansa. Kasama sa portfolio ng korporasyon ang mga aklat-aralin at mga gabay sa pag-aaral para sa elementarya iginawad ang Presidential Prize sa Edukasyon. Ang mga ito ay mga aklat-aralin at manwal sa mga paksa na kinakailangan para sa pagbuo ng pang-agham, teknikal at pang-industriya na potensyal ng Russia.

Ang solusyon sa problema ay kadalasang bumababa sa lohikal na pangangatwiran at mga kalkulasyon upang mahanap ang halaga ng ilang dami. Halimbawa, hanapin ang bilis, oras, distansya, masa ng isang bagay o ang dami ng isang bagay.

Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang isang equation. Upang gawin ito, ang nais na halaga ay tinutukoy sa pamamagitan ng isang variable, pagkatapos, sa pamamagitan ng lohikal na pangangatwiran, sila ay bumubuo at naglutas ng isang equation. Nang malutas ang equation, sinusuri nila kung ang solusyon ng equation ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Nilalaman ng aralin

Pagsulat ng mga Ekspresyon na Naglalaman ng Hindi Alam

Ang solusyon ng problema ay sinamahan ng pagsasama-sama ng isang equation para sa problemang ito. Sa paunang yugto pag-aaral ng mga problema, ito ay kanais-nais na malaman kung paano bumuo literal na mga pagpapahayag naglalarawan sa isa o iba pa sitwasyon sa buhay. Ang yugtong ito ay hindi mahirap at maaaring pag-aralan sa proseso ng paglutas ng problema mismo.

Isaalang-alang ang ilang mga sitwasyon na maaaring isulat gamit ang isang mathematical expression.

Gawain 1. Ang edad ng ama x taon. Mas bata ng dalawang taon si Nanay. Anak mas bata sa ama 3 beses. Itala ang edad ng bawat isa gamit ang mga expression.

Solusyon:

Gawain 2. Ang edad ng ama x taon, ang nanay ay 2 taon na mas bata kaysa sa ama. Ang anak na lalaki ay 3 beses na mas bata kaysa sa ama, ang anak na babae ay 3 beses na mas bata kaysa sa ina. Itala ang edad ng bawat isa gamit ang mga expression.

Solusyon:

Gawain 3. Ang edad ng ama x taon, si nanay ay 3 taon na mas bata kay ama. Ang anak na lalaki ay 3 beses na mas bata kaysa sa ama, ang anak na babae ay 3 beses na mas bata kaysa sa ina. Ilang taon na ang bawat isa pangkalahatang edad ang ama, ina, anak at anak na babae ay 92 taong gulang?

Solusyon:

Sa problemang ito, bilang karagdagan sa pagsulat ng mga expression, kinakailangan upang kalkulahin ang edad ng bawat miyembro ng pamilya.

Una, isusulat natin ang edad ng bawat miyembro ng pamilya gamit ang mga ekspresyon. Bawat variable x kunin natin ang edad ng ama, at pagkatapos gamit ang variable na ito ay bubuuin natin ang natitirang mga expression:

Ngayon, tukuyin natin ang edad ng bawat miyembro ng pamilya. Upang gawin ito, kailangan nating magsulat at lutasin ang isang equation. Nakahanda na ang lahat ng bahagi ng equation. Ito ay nananatiling lamang upang kolektahin ang mga ito nang sama-sama.

Ang kabuuang edad na 92 ​​taon ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga edad ng tatay, nanay, anak na lalaki at anak na babae:

Para sa bawat edad, mayroon tayo pagpapahayag ng matematika. Ang mga expression na ito ay magiging mga bahagi ng aming equation. Buuin natin ang ating equation ayon sa scheme na ito at sa talahanayan na ibinigay sa itaas. Iyon ay, ang mga salitang tatay, nanay, anak, anak na babae ay papalitan ng ekspresyong naaayon sa kanila sa talahanayan:

Ekspresyon para sa edad ng ina x − 3 para sa kalinawan, ito ay kinuha sa mga bracket.

Ngayon lutasin natin ang nagresultang equation. Upang magsimula, maaari mong buksan ang mga bracket kung posible:

Upang palayain ang equation mula sa mga fraction, i-multiply ang magkabilang panig ng 3

Malulutas namin ang nagresultang equation gamit ang kilala magkatulad na pagbabago:

Natagpuan namin ang halaga ng variable x. Ang variable na ito ay responsable para sa edad ng ama. Kaya ang edad ng ama ay 36 na taon.

Alam ang edad ng ama, maaari mong kalkulahin ang mga edad ng natitirang bahagi ng pamilya. Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang halaga ng variable x sa mga ekspresyong iyon na responsable para sa edad ng isang partikular na miyembro ng pamilya.

Sa problema, mas bata daw ng 3 taon ang ina sa ama. Tinukoy namin ang kanyang edad sa pamamagitan ng ekspresyon x−3. Variable value x ay kilala na ngayon, at upang makalkula ang edad ng ina, ito ay kinakailangan sa pagpapahayag x − 3 sa halip na x palitan ang nahanap na halaga 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 taong gulang na ina.

Katulad nito, ang edad ng mga natitirang miyembro ng pamilya ay tinutukoy:

Pagsusuri:

Gawain 4. Ang isang kilo ng mansanas ay nagkakahalaga x rubles. Isulat ang isang expression na kinakalkula kung gaano karaming kilo ng mansanas ang maaari mong bilhin para sa 300 rubles.

Solusyon

Kung nagkakahalaga ang isang kilo ng mansanas x rubles, pagkatapos ay para sa 300 rubles maaari kang bumili ng isang kilo ng mansanas.

Halimbawa. Ang isang kilo ng mansanas ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Pagkatapos ay para sa 300 rubles maaari kang bumili, iyon ay, 6 na kilo ng mansanas.

Gawain 5. Sa x rubles, 5 kg ng mansanas ang binili. Isulat ang isang expression na kinakalkula kung gaano karaming mga rubles ang halaga ng isang kilo ng mansanas.

Solusyon

Kung para sa 5 kg ng mansanas ay binayaran x rubles, pagkatapos ang isang kilo ay nagkakahalaga ng rubles

Halimbawa. Para sa 300 rubles, 5 kg ng mansanas ang binili. Pagkatapos ang isang kilo ng mansanas ay nagkakahalaga, iyon ay, 60 rubles.

Gawain 6. Pumunta sina Tom, John at Leo sa cafeteria noong recess at bumili ng sandwich at isang mug ng kape. Sulit ang sandwich x rubles, at isang tabo ng kape - 15 rubles. Tukuyin ang halaga ng isang sandwich kung alam na 120 rubles ang binayaran para sa lahat?

Solusyon

Siyempre, ang problemang ito ay kasing simple ng tatlong pennies at maaaring malutas nang hindi gumagamit ng equation. Upang gawin ito, ibawas ang halaga ng tatlong tasa ng kape (15 × 3) mula sa 120 rubles, at hatiin ang resulta ng 3

Ngunit ang aming layunin ay magsulat ng isang equation para sa problema at malutas ang equation na ito. Kaya ang halaga ng isang sandwich x rubles. Tatlo lang ang binili. Kaya, nang na-triple ang gastos, nakakakuha kami ng expression na naglalarawan kung gaano karaming mga rubles ang binayaran para sa tatlong sandwich

3x - halaga ng tatlong sandwich

At ang halaga ng tatlong tasa ng kape ay maaaring isulat bilang 15 × 3. Ang 15 ay ang halaga ng isang mug ng kape, at ang 3 ay isang multiplier (Tom, John at Leo) na triple ang halagang ito.

Ayon sa kondisyon ng problema, 120 rubles ang binayaran para sa lahat. meron na tayo huwarang pamamaraan, Ano ang kailangan nating gawin:

Mayroon na kaming mga expression na naglalarawan sa halaga ng tatlong sandwich at tatlong tasa ng kape. Ito ay mga ekspresyon 3 x at 15×3. Gamit ang scheme, magsusulat kami ng isang equation at lutasin ito:

Kaya, ang halaga ng isang sandwich ay 25 rubles.

Ang problema ay malulutas lamang nang tama kung ang equation para dito ay naipon nang tama. Hindi tulad ng mga ordinaryong equation, kung saan natututo tayong maghanap ng mga ugat, ang mga equation para sa paglutas ng mga problema ay may sariling partikular na aplikasyon. Ang bawat bahagi ng naturang equation ay maaaring ilarawan sa pandiwang anyo. Kapag nag-compile ng isang equation, kinakailangang maunawaan kung bakit namin isinasama ang isa o ibang bahagi sa komposisyon nito at kung bakit ito kinakailangan.

Kinakailangan din na tandaan na ang equation ay isang pagkakapantay-pantay, pagkatapos malutas kung saan ang kaliwang bahagi ay kailangang maging katumbas ng kanang bahagi. Ang resultang equation ay hindi dapat sumalungat sa ideyang ito.

Isipin na ang equation ay isang balanse na may dalawang bowl at isang screen na nagpapakita ng estado ng balanse.

AT sa sandaling ito ang screen ay nagpapakita ng pantay na tanda. Ito ay malinaw kung bakit ang kaliwang mangkok ay katumbas ng kanang mangkok - walang anuman sa mga mangkok. Isinulat namin ang estado ng mga kaliskis at ang kawalan ng isang bagay sa mga mangkok gamit ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

0 = 0

Maglagay tayo ng pakwan sa kaliwang sukat:

Ang kaliwang mangkok ay lumampas sa kanang mangkok at ang screen ay nagpatunog ng alarma, na nagpapakita ng hindi katumbas na senyales (≠). Ang tanda na ito ay nagpapahiwatig na ang kaliwang mangkok ay hindi katumbas ng kanang mangkok.

Ngayon subukan nating lutasin ang problema. Hayaang kailanganin upang malaman kung magkano ang timbang ng pakwan, na namamalagi sa kaliwang mangkok. Pero paano mo malalaman? Pagkatapos ng lahat, ang aming mga kaliskis ay idinisenyo lamang upang suriin kung ang kaliwang mangkok ay katumbas ng kanan.

Ang mga equation ay dumating upang iligtas. Alalahanin na sa pamamagitan ng kahulugan ang equation ay pagkakapantay-pantay A na naglalaman ng variable na ang halaga ay gusto mong hanapin. Ang mga kaliskis sa kasong ito ay gumaganap ng papel ng mismong equation na ito, at ang masa ng pakwan ay isang variable na ang halaga ay dapat matagpuan. Ang aming layunin ay gawing tama ang equation na ito. Unawain, ihanay ang mga kaliskis upang makalkula mo ang masa ng pakwan.

Upang i-level ang mga kaliskis, maaari kang maglagay ng kaunting timbang sa tamang mangkok. mabigat na bagay. Halimbawa, maglagay tayo ng bigat na 7 kg doon.

Ngayon, sa kabaligtaran, ang kanang mangkok ay higit sa kaliwa. Ang screen ay nagpapakita pa rin na ang mga mangkok ay hindi pantay.

Subukan nating maglagay ng timbang na 4 kg sa kaliwang mangkok

Ngayon ang mga kaliskis ay leveled out. Ipinapakita ng figure na ang kaliwang mangkok ay nasa antas ng kanang mangkok. At ang screen ay nagpapakita ng pantay na tanda. Ang tanda na ito ay nagpapahiwatig na ang kaliwang mangkok ay katumbas ng kanang mangkok.

Kaya, nakakuha kami ng isang equation - isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam. Ang kaliwang pan ay ang kaliwang bahagi ng equation, na binubuo ng 4 na bahagi at ang variable x(masa ng pakwan), at ang tamang mangkok ay kanang bahagi equation, na binubuo ng component 7.

Well, hindi mahirap hulaan na ang ugat ng equation 4 + x\u003d 7 ay 3. Kaya ang masa ng pakwan ay 3 kg.

Ang parehong ay totoo para sa iba pang mga gawain. Upang makahanap ng ilang hindi kilalang halaga, idagdag sa kaliwa o kanang bahagi ng equation iba't ibang elemento: mga termino, mga kadahilanan, mga expression. Sa mga problema sa paaralan, ang mga elementong ito ay naibigay na. Ito ay nananatiling lamang upang wastong istraktura ang mga ito at bumuo ng isang equation. Tayo ay nasa halimbawang ito nakikibahagi sa pagpili, sinusubukan ang mga timbang ng iba't ibang masa upang makalkula ang masa ng isang pakwan.

Naturally, ang data na ibinigay sa problema ay dapat munang dalhin sa isang form kung saan maaari silang maisama sa equation. Samakatuwid, tulad ng sinasabi nila "Gustuhin mo man o hindi, kailangan mong mag-isip".

Isaalang-alang ang sumusunod na problema. Ang edad ng ama katumbas ng edad anak na lalaki at anak na babae magkasama. Nangalahati ang anak mas matanda sa anak na babae at mas bata ng dalawampung taon kaysa sa kanyang ama. Ilang taon na ang bawat isa?

Ang edad ng anak na babae ay maaaring ipahayag bilang x. Kung ang anak na lalaki ay dalawang beses na mas matanda kaysa sa anak na babae, ang kanyang edad ay ipahiwatig bilang 2 x. Ang kalagayan ng problema ay nagsasabi na ang edad ng anak na babae at anak na lalaki ay katumbas ng edad ng ama. Kaya ang edad ng ama ay tutukuyin ng kabuuan x + 2x

Maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino sa isang expression. Kung gayon ang edad ng ama ay ituturing na 3 x

Ngayon gumawa tayo ng isang equation. Kailangan nating makakuha ng pagkakapantay-pantay kung saan mahahanap natin ang hindi alam x. Gumamit tayo ng mga timbang. Sa kaliwang mangkok inilalagay namin ang edad ng ama (3 x), at sa kanang mangkok ang edad ng anak na lalaki (2 x)

Malinaw kung bakit mas malaki ang kaliwang mangkok kaysa sa kanan at kung bakit ipinapakita ng screen ang sign (≠) . Pagkatapos ng lahat, lohikal na ang edad ng ama ay mas malaki kaysa sa edad ng anak.

Ngunit kailangan nating balansehin ang mga kaliskis upang makalkula natin ang hindi alam x. Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng ilang numero sa tamang mangkok. Anong numero ang ipinahiwatig sa problema. Nakasaad sa kondisyon na ang anak ay mas bata ng 20 taon sa ama. Kaya ang 20 taon ay ang parehong bilang na kailangang ilagay sa timbangan.

Magiging pantay ang timbangan kung idaragdag natin ang 20 taon na ito sa kanang bahagi ng timbangan. Sa madaling salita, palakihin natin ang anak sa edad ng ama

Ngayon ang mga kaliskis ay leveled out. Ito pala ang equation , na madaling malutas:

x minarkahan namin ang edad ng anak na babae. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Anak na babae 20 taong gulang.

At sa wakas, kinakalkula namin ang edad ng ama. Sinabi ng assignment na siya ay katumbas ng kabuuan ang edad ng anak na lalaki at babae, ibig sabihin. (20 + 40) taon.

Bumalik tayo sa gitna ng gawain at bigyang pansin ang isang punto. Kapag inilagay natin ang edad ng ama at ang edad ng anak sa timbangan, ang kaliwang mangkok ay mas matimbang sa kanan

Ngunit nalutas namin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isa pang 20 taon sa tamang mangkok. Bilang isang resulta, ang mga kaliskis ay tumama at nakuha namin ang pagkakapantay-pantay

Ngunit posible na huwag idagdag ang 20 taon na ito sa kanang mangkok, ngunit ibawas ang mga ito mula sa kaliwa. Makakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay sa kasong ito

Sa pagkakataong ito ang equation ay . Ang ugat ng equation ay 20 pa rin

Iyon ay, ang mga equation at ay katumbas. At naaalala namin iyon katumbas na equation magkatugma ang mga ugat. Kung titingnan mong mabuti ang dalawang equation na ito, makikita mo na ang pangalawang equation ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng numero 20 mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran ng tanda. At ang pagkilos na ito, tulad ng ipinahiwatig sa nakaraang aralin, ay hindi nagbabago sa mga ugat ng equation.

Kailangan mo ring bigyang pansin ang katotohanan na sa simula ng paglutas ng problema, ang edad ng bawat miyembro ng pamilya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng iba pang mga expression.

Sabihin nating ang edad ng anak ay tinutukoy ng x at dahil siya ay dalawang mas matanda sa kanyang anak na babae, pagkatapos ay italaga ang edad ng anak na babae sa pamamagitan ng (unawain na gawin siya mas bata sa anak dalawang beses). At ang edad ng ama, dahil ito ang kabuuan ng mga edad ng anak na lalaki at babae, ay tinutukoy sa pamamagitan ng ekspresyong . At sa wakas, upang makabuo ng isang lohikal na tamang equation, kailangan mong idagdag ang numero 20 sa edad ng anak, dahil ang ama ay dalawampung taong mas matanda. Ang resulta ay isang ganap na naiibang equation. . Lutasin natin ang equation na ito

Tulad ng nakikita mo, ang mga sagot sa problema ay hindi nagbago. 40 years old pa lang ang anak ko. Ang mga anak na babae ay mga taong gulang pa rin, at ang ama ay 40 + 20 taong gulang.

Sa madaling salita, maaaring malutas ang problema iba't ibang pamamaraan. Samakatuwid, hindi dapat mawalan ng pag-asa na hindi posible na malutas ito o ang problemang iyon. Ngunit dapat isaisip na mayroong isang mga simpleng paraan pagtugon sa suliranin. Makakapunta ka sa sentro ng lungsod iba't ibang ruta, ngunit palaging mayroong pinakakombenyente, pinakamabilis at pinakaligtas na ruta.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Gawain 1. Mayroong 30 notebook sa dalawang pakete. Kung inilipat ang 2 notebook mula sa unang bundle patungo sa pangalawa, magkakaroon ng dobleng dami ng notebook sa unang bundle kaysa sa pangalawa. Ilang notebook ang nasa bawat pack?

Solusyon

Tukuyin ng x ang bilang ng mga notebook na nasa unang pack. Kung mayroong 30 notebook sa kabuuan, at ang variable x ito ang bilang ng mga notebook mula sa unang pack, pagkatapos ay ang bilang ng mga notebook sa pangalawang pack ay ilalarawan ng expression na 30 − x. Iyon ay, mula sa kabuuang bilang ng mga notebook, binabawasan namin ang bilang ng mga notebook mula sa unang pack at sa gayon ay nakuha ang bilang ng mga notebook mula sa pangalawang pack.

at idagdag ang dalawang notebook na ito sa pangalawang pakete

Subukan nating gumawa ng equation mula sa mga umiiral na expression. Inilagay namin ang parehong pakete ng mga notebook sa timbangan

Ang kaliwang mangkok ay mas mabigat kaysa sa kanan. Ito ay dahil ang kondisyon ng problema ay nagsasabi na pagkatapos kunin ang dalawang notebook mula sa unang bundle at ilagay sa pangalawa, ang bilang ng mga notebook sa unang bundle ay naging dalawang beses na mas malaki kaysa sa pangalawa.

Upang mapantayan ang mga kaliskis at makuha ang equation, i-double ang kanang bahagi. Upang gawin ito, i-multiply ito ng 2

Ito ay lumiliko ang isang equation. Kami ang magpapasya ibinigay na equation:

Tinukoy namin ang unang pack ng variable x. Ngayon nahanap na natin ang kahulugan nito. Variable x katumbas ng 22. Kaya mayroong 22 na kuwaderno sa unang pakete.

At tinukoy namin ang pangalawang pakete sa pamamagitan ng expression na 30 − x at dahil ang halaga ng variable x Ngayon alam namin, maaari naming kalkulahin ang bilang ng mga notebook sa pangalawang pack. Ito ay katumbas ng 30 − 22, iyon ay, 8 piraso.

Gawain 2. Dalawang tao ang nagbabalat ng patatas. Ang isa ay nagbabalat ng dalawang patatas sa isang minuto, at ang iba pang tatlong patatas. Magkasama silang nag-clear ng 400 piraso. Gaano katagal gumana ang bawat isa kung ang pangalawa ay nagtrabaho ng 25 minuto nang higit sa una?

Solusyon

Tukuyin ng x oras ng unang tao. Dahil ang pangalawang tao ay nagtrabaho ng 25 minuto nang higit sa una, ang kanyang oras ay ilalarawan ng expression

Ang unang manggagawa ay nagbabalat ng 2 patatas kada minuto, at mula noong nagtrabaho siya x minuto, at sa kabuuan ay na-clear niya ang 2 x patatas.

Ang pangalawang tao ay nagbabalat ng tatlong patatas kada minuto, at dahil nagtrabaho siya ng ilang minuto, nagbalat siya ng patatas sa kabuuan.

Sama-sama silang nagbalat ng 400 patatas

Mula sa magagamit na mga bahagi, bubuuin at lutasin namin ang equation. Sa kaliwang bahagi ng equation magkakaroon ng mga patatas na binalatan ng bawat tao, at sa kanang bahagi ng kanilang kabuuan:

Sa simula ng solusyon ng problemang ito sa pamamagitan ng variable x minarkahan namin ang oras ng trabaho ng unang tao. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Ang unang tao ay nagtrabaho ng 65 minuto.

At ang pangalawang tao ay nagtrabaho nang ilang minuto, at dahil ang halaga ng variable x ngayon ito ay kilala, pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang oras ng pangalawang tao - ito ay katumbas ng 65 + 25, iyon ay, 90 minuto.

Problema mula sa Algebra Textbook ni Andrey Petrovich Kiselev. Ang isang halo ng 32 kg ay ginawa mula sa mga varieties ng tsaa. Ang isang kilo ng unang baitang ay nagkakahalaga ng 8 rubles, at sa pangalawang baitang 6 na rubles. 50 kop. Gaano karaming mga kilo ang kinuha ng parehong mga varieties, kung ang isang kilo ng pinaghalong nagkakahalaga (nang walang tubo o pagkawala) 7 rubles. 10 kopecks?

Solusyon

Tukuyin ng x maraming tsaa sa unang baitang. Pagkatapos ang masa ng tsaa ng ikalawang baitang ay ilalarawan sa pamamagitan ng expression na 32 − x

Ang isang kilo ng tsaa ng unang baitang ay nagkakahalaga ng 8 rubles. Kung ang walong rubles na ito ay pinarami ng bilang ng mga kilo ng tsaa ng unang baitang, posible na malaman kung magkano ang halaga ng mga rubles. x kg ng tsaa ng unang baitang.

Ang isang kilo ng pangalawang klase na tsaa ay nagkakahalaga ng 6 na rubles. 50 kop. Kung ito ay 6 na rubles. 50 kop. multiply sa 32 − x, pagkatapos ay maaari mong malaman kung gaano karaming mga rubles ang nagkakahalaga ng 32 − x kg ng tsaa ng ikalawang baitang.

Sinasabi ng kondisyon na ang isang kilo ng halo ay nagkakahalaga ng 7 rubles. 10 kop. Sa kabuuan, 32 kg ng pinaghalong inihanda. Multiply 7 rubles. 10 kop. sa 32 malalaman natin kung magkano ang 32 kg ng pinaghalong halaga.

Ang mga expression kung saan bubuuin natin ang equation ngayon ay nasa sumusunod na anyo:

Subukan nating gumawa ng equation mula sa mga umiiral na expression. Ilagay natin ang halaga ng mga mixtures ng mga tsaa ng una at ikalawang baitang sa kaliwang pan ng kaliskis, at ilagay ang halaga ng 32 kg ng timpla sa kanang kawali, iyon ay kabuuang gastos pinaghalong, na kinabibilangan ng parehong uri ng tsaa:

Sa simula ng solusyon ng problemang ito sa pamamagitan ng variable x itinalaga namin ang masa ng tsaa ng unang baitang. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Variable x katumbas ng 12.8. Nangangahulugan ito na ang 12.8 kg ng tsaa ng unang grado ay kinuha upang ihanda ang timpla.

At sa pamamagitan ng pagpapahayag 32 − x tinukoy namin ang masa ng tsaa ng ikalawang baitang, at dahil ang halaga ng pagbabago x ngayon kilala, maaari naming kalkulahin ang masa ng tsaa ng ikalawang baitang. Ito ay katumbas ng 32 − 12.8, iyon ay, 19.2. Nangangahulugan ito na ang 19.2 kg ng ikalawang baitang tsaa ay kinuha upang ihanda ang timpla.

Gawain 3. Isang siklista ang naglakbay ng layo sa bilis na 8 km/h. Kinailangan niyang bumalik sa pamamagitan ng isa pang kalsada, na mas mahaba ng 3 km kaysa sa una, at kahit na bumalik, naglalakbay siya sa bilis na 9 km / h, gumamit siya ng oras nang higit sa ilang minuto. Gaano katagal ang mga kalsada?

Solusyon

Ang ilang mga gawain ay maaaring sumasaklaw sa mga paksa na maaaring hindi napag-aralan ng tao. Ang gawaing ito kabilang sa hanay na ito ng mga gawain. Ito ay tumatalakay sa mga konsepto ng distansya, bilis at oras. Alinsunod dito, upang malutas ang naturang problema, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa mga bagay na sinasabi sa problema. Sa ating kaso, kailangan nating malaman kung ano ang distansya, bilis at oras.

Ang gawain ay upang mahanap ang mga distansya ng dalawang kalsada. Dapat tayong sumulat ng isang equation na magpapahintulot sa atin na kalkulahin ang mga distansyang ito.

Isaalang-alang ang kaugnayan sa pagitan ng distansya, bilis at oras. Ang bawat isa sa mga dami ay maaaring ilarawan gamit ang isang literal na equation:

Gagamitin namin ang kanang bahagi ng isa sa mga equation na ito upang iguhit ang aming equation. Upang malaman kung alin, kailangan mong bumalik sa teksto ng gawain at hanapin kung ano ang maaari mong makuha

Maaabutan mo ang sandali kung saan ang siklista sa pagbabalik ay gumamit ng oras nang higit sa isang minuto. Ang pahiwatig na ito ay nagsasabi sa amin na maaari naming gamitin ang equation , ibig sabihin nito kanang bahagi. Ito ay magpapahintulot sa amin na magsulat ng isang equation na naglalaman ng variable S .

Kaya't tukuyin natin ang haba ng unang kalsada bilang S. Nilakbay ng siklista ang landas na ito sa bilis na 8 km/h. Ang oras kung kailan niya tinakpan ang landas na ito ay ilalarawan ng expression, dahil ang oras ay ang ratio ng distansya na nilakbay sa bilis.

Ang daan pabalik para sa siklista ay 3 km ang haba. Samakatuwid, ang distansya nito ay ilalarawan ng expression S+ 3 . Isang siklista ang naglakbay sa kalsadang ito sa bilis na 9 km/h. Kaya't ang oras kung kailan niya nalampasan ang landas na ito ay ilalarawan ng ekspresyong .

Ngayon gumawa tayo ng isang equation mula sa mga umiiral na expression

Ang kanang mangkok ay mas mabigat kaysa sa kaliwa. Ito ay dahil ang problema ay nagsasabi na ang siklista ay gumugol ng mas maraming oras sa daan pabalik.

Upang ipantay ang mga kaliskis, idagdag ang parehong mga minuto sa kaliwang bahagi. Ngunit una, i-convert natin ang mga minuto sa mga oras, dahil sa problema ang bilis ay sinusukat sa kilometro bawat oras, at hindi sa metro bawat minuto.

Upang i-convert ang mga minuto sa mga oras, kailangan mong hatiin ang mga ito sa 60

Ang mga minuto ay gumagawa ng mga oras. Idagdag ang mga oras na ito sa kaliwang bahagi ng equation:

Lumalabas ang equation . Lutasin natin ang equation na ito. Upang mapupuksa ang mga fraction, ang parehong bahagi ng bahagi ay maaaring i-multiply sa 72. Dagdag pa, gamit ang mga kilalang magkatulad na pagbabagong-anyo, hanapin ang halaga variable S

Sa pamamagitan ng isang variable S minarkahan namin ang layo ng unang kalsada. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Variable S ay 15. Kaya ang distansya ng unang kalsada ay 15 km.

At tinukoy namin ang distansya ng pangalawang kalsada sa pamamagitan ng expression S+ 3 , at dahil ang halaga ng variable S Ngayon alam na natin, maaari nating kalkulahin ang distansya ng pangalawang kalsada. Ang distansya na ito ay katumbas ng kabuuan ng 15 + 3, iyon ay, 18 km.

Gawain 4. Dalawang kotse ang nagmamaneho sa highway sa parehong bilis. Kung ang una ay nagpapataas ng bilis ng 10 km/h, at ang pangalawa ay bumaba sa bilis ng 10 km/h, ang una ay sasaklawin ang parehong distansya sa loob ng 2 oras gaya ng pangalawa sa loob ng 3 oras. Gaano kabilis ang mga mga sasakyan?

Solusyon

Tukuyin ng v ang bilis ng bawat sasakyan. Higit pa sa problema, ibinibigay ang mga pahiwatig: taasan ang bilis ng unang kotse ng 10 km/h, at bawasan ang bilis ng pangalawang kotse ng 10 km/h. Gamitin natin ang pahiwatig na ito

Ito ay karagdagang nakasaad na sa naturang bilis (nadagdagan at nabawasan ng 10 km / h), ang unang kotse ay sasaklawin ang parehong distansya sa loob ng 2 oras bilang ang pangalawa sa loob ng 3 oras. Parirala "ang dami" maaaring maunawaan bilang "Ang layo na nilakbay ng unang sasakyan ay magiging katumbas distansyang nilakbay ng pangalawang sasakyan.

Ang distansya, tulad ng naaalala natin, ay tinutukoy ng formula. Interesado kami sa kanang bahagi ng literal na equation na ito - magbibigay-daan ito sa amin na magsulat ng equation na naglalaman ng variable v .

Kaya, sa bilis v + 10 km/h dadaan ang unang sasakyan 2(v+10) km, at lilipas ang pangalawa 3(v − 10) km. Sa ilalim ng kondisyong ito, ang mga kotse ay sasaklawin ang parehong mga distansya, samakatuwid, upang makakuha ng isang equation, ito ay sapat na upang ikonekta ang dalawang expression na ito na may pantay na tanda. Pagkatapos makuha namin ang equation. Solusyonan natin ito:

Sa kondisyon ng problema, sinabi na ang mga sasakyan ay tumatakbo sa parehong bilis. Tinukoy namin ang bilis na ito ng variable v. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Variable v katumbas ng 50. Kaya ang bilis ng parehong mga kotse ay 50 km/h.

Gawain 5. Sa 9 na oras sa ibaba ng agos ang barko ay naglalakbay sa parehong distansya tulad ng sa 11 na oras sa itaas ng agos. Hanapin ang bilis ng bangka kung ang bilis ng ilog ay 2 km/h.

Solusyon

Tukuyin ng v sariling bilis ng barko. Ang bilis ng daloy ng ilog ay 2 km/h. Sa daloy ng ilog, ang bilis ng barko v + 2 km/h, at laban sa kasalukuyang - (v − 2) km/h.

Ang kondisyon ng problema ay nagsasaad na sa 9 na oras ang barko ay naglalakbay sa parehong distansya sa kahabaan ng ilog tulad ng sa 11 oras laban sa agos. Parirala "parehong paraan" maaaring maunawaan bilang ang layo na nilakbay ng bangka sa tabi ng ilog sa loob ng 9 na oras, katumbas distansyang nilakbay ng barko laban sa agos ng ilog sa loob ng 11 oras. Iyon ay, ang mga distansya ay magiging pareho.

Ang distansya ay tinutukoy ng formula. Gamitin natin ang kanang bahagi ng literal na equation na ito para isulat ang sarili nating equation.

Kaya, sa loob ng 9 na oras, dadaan ang barko sa ilog 9(v + 2) km, at sa loob ng 11 oras upstream - 11(v − 2) km. Dahil ang parehong mga expression ay naglalarawan ng parehong distansya, itinutumbas namin ang unang expression sa pangalawa. Bilang resulta, nakukuha namin ang equation . Solusyonan natin ito:

ibig sabihin sariling bilis ang barko ay 20 km / h.

Kapag nilulutas ang mga problema magandang ugali ay upang matukoy nang maaga kung aling solusyon ang hinahanap para dito.

Ipagpalagay na ang gawain ay upang mahanap ang oras na kinakailangan para sa isang pedestrian upang magtagumpay tinukoy na landas. Tinukoy namin ang oras sa pamamagitan ng variable t, pagkatapos ay gumawa kami ng isang equation na naglalaman ng variable na ito at natagpuan ang halaga nito.

Mula sa pagsasanay, alam natin na ang oras ng paggalaw ng isang bagay ay maaaring tumagal ng parehong mga halaga ng integer at mga fractional na halaga, halimbawa, 2 oras, 1.5 oras, 0.5 oras. Pagkatapos ay maaari nating sabihin na ang solusyon sa problemang ito ay hinahanap sa itakda mga rational na numero Q, dahil ang bawat isa sa mga halaga 2 h, 1.5 h, 0.5 h ay maaaring katawanin bilang isang fraction.

Samakatuwid, pagkatapos hindi kilalang dami na tinutukoy ng isang variable, ito ay kapaki-pakinabang upang ipahiwatig kung saang set nabibilang ang halagang ito. Sa aming halimbawa, ang oras t nabibilang sa hanay ng mga rational na numero Q

t ∈ Q

Maaari ka ring magpakilala ng isang hadlang sa variable t, na nagpapahiwatig na maaari lamang itong tanggapin mga positibong halaga. Sa katunayan, kung ang bagay na ginugol sa landas tiyak na oras, kung gayon ang oras na ito ay hindi maaaring negatibo. Samakatuwid, sa tabi ng expression t∈ Q tukuyin na ang halaga nito ay dapat na mas malaki kaysa sa zero:

t∈ R, t > 0

Kung malulutas natin ang equation, nakukuha natin negatibong kahulugan para sa isang variable t, pagkatapos ay posible na tapusin na ang problema ay nalutas nang hindi tama, dahil ang solusyon na ito ay hindi masisiyahan ang kundisyon t∈ Q , t> 0 .

Isa pang halimbawa. Kung nilulutas namin ang isang problema kung saan kinakailangan na hanapin ang bilang ng mga tao na magsagawa ng isang partikular na trabaho, kung gayon ay ipahiwatig namin ang numerong ito sa pamamagitan ng isang variable. x. Sa ganitong problema, ang solusyon ay hahanapin sa set natural na mga numero

x ∈ N

Sa katunayan, ang bilang ng mga tao ay isang integer, tulad ng 2 tao, 3 tao, 5 tao. Ngunit hindi 1.5 (isa buong tao at kalahating tao) o 2.3 (dalawang buong tao at isa pang tatlong ikasampu ng isang tao).

Dito maaaring ipahiwatig ng isa na ang bilang ng mga tao ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, ngunit ang mga numero na kasama sa hanay ng mga natural na numero N sila ay positibo at mas mataas sa zero. Ang set na ito ay hindi mga negatibong numero at ang bilang na 0. Samakatuwid, ang expression na x > 0 ay maaaring tanggalin.

Gawain 6. Upang ayusin ang paaralan, dumating ang isang pangkat kung saan mayroong 2.5 beses na mas maraming pintor kaysa sa mga karpintero. Di-nagtagal, isinama ng foreman ang apat pang pintor sa koponan, at inilipat ang dalawang karpintero sa isa pang bagay. Bilang resulta, mayroong 4 na beses na mas maraming pintor sa brigada kaysa sa mga karpintero. Ilang pintor at ilang karpintero ang nasa brigada noong una

Solusyon

Tukuyin ng x mga karpintero na unang dumating para sa pagkukumpuni.

Ang bilang ng mga karpintero ay isang integer na mas malaki sa zero. Samakatuwid, itinuturo namin iyon x nabibilang sa hanay ng mga natural na numero

x∈N

Mayroong 2.5 beses na mas maraming pintor kaysa sa mga karpintero. Samakatuwid, ang bilang ng mga pintor ay ilalarawan bilang 2.5x.

At ang bilang ng mga pintor ay tataas ng 4

Ngayon ang bilang ng mga karpintero at pintor ay ilalarawan ng mga sumusunod na ekspresyon:

Subukan nating gumawa ng equation mula sa mga umiiral na expression:

Ang tamang mangkok ay mas malaki, dahil pagkatapos magdagdag ng apat pang pintor sa koponan, at ilipat ang dalawang karpintero sa isa pang bagay, ang bilang ng mga pintor sa koponan ay naging 4 na beses na higit pa kaysa sa mga karpintero. Upang mapantayan ang mga kaliskis, kailangan mong dagdagan ang kaliwang mangkok ng 4 na beses:

Nakakuha ng equation. Solusyonan natin ito:

Sa pamamagitan ng isang variable x ang unang bilang ng mga karpintero ay itinalaga. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Variable x katumbas ng 8. Kaya 8 karpintero ang nasa brigada noong una.

At ang bilang ng mga pintor ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng ekspresyong 2.5 x at dahil ang halaga ng variable x ngayon ito ay kilala, pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang bilang ng mga pintor - ito ay katumbas ng 2.5 × 8, iyon ay, 20.

Bumalik kami sa simula ng gawain at tinitiyak na natutugunan ang kundisyon x∈ N. Variable x katumbas ng 8, at ang mga elemento ng set ng mga natural na numero N ito ang lahat ng mga numero na nagsisimula sa 1, 2, 3 at iba pa ad infinitum. Kasama sa parehong set ang numero 8, na aming nakita.

8 ∈N

Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa bilang ng mga pintor. Ang numero 20 ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero:

20 ∈N

Upang maunawaan ang kakanyahan ng problema at tamang compilation equation, hindi kinakailangang gamitin ang scale model na may mga bowl. Maaari kang gumamit ng iba pang mga modelo: mga segment, talahanayan, diagram. Maaari kang makabuo ng iyong sariling modelo na maglalarawan nang mabuti sa kakanyahan ng problema.

Gawain 9. 30% ng gatas ay ibinuhos mula sa lata. Bilang isang resulta, 14 litro ang nanatili sa loob nito. Ilang litro ng gatas ang nasa lata sa orihinal?

Solusyon

Ang nais na halaga ay ang paunang bilang ng mga litro sa lata. Iguhit ang bilang ng mga litro bilang isang linya at lagyan ng label ang linyang ito bilang X

Sinasabing 30% ng gatas ang ibinuhos sa lata. Pinipili namin sa figure ang humigit-kumulang 30%

Ang isang porsyento, sa kahulugan, ay isang daan ng isang bagay. Kung ang 30% ng gatas ay ibinuhos, kung gayon ang natitirang 70% ay nanatili sa lata. Ang 70% na ito ay nagkakaloob ng 14 na litro na ipinahiwatig sa problema. Piliin ang natitirang 70% sa figure

Ngayon ay maaari kang gumawa ng isang equation. Tandaan natin kung paano hanapin ang porsyento ng isang numero. Upang gawin ito, ang kabuuang halaga ng isang bagay ay nahahati sa 100 at ang resulta ay pinarami ng nais na porsyento. Tandaan na ang 14 na litro, na 70%, ay maaaring makuha sa parehong paraan: ang paunang bilang ng mga litro X hatiin sa 100 at i-multiply ang resulta sa 70. Ipantay ang lahat ng ito sa bilang na 14

O kumuha ng mas simpleng equation: isulat ang 70% bilang 0.70, pagkatapos ay i-multiply sa X at i-equate ang expression na ito sa 14

Nangangahulugan ito na sa una ay mayroong 20 litro ng gatas sa lata.

Gawain 9. Kumuha sila ng dalawang haluang metal na ginto at pilak. Sa isa, ang ratio ng mga metal na ito ay 1: 9, at sa iba pang 2: 3. Magkano sa bawat haluang metal ang dapat kunin upang makakuha ng 15 kg ng isang bagong haluang metal kung saan ang ginto at pilak ay magkakaugnay bilang 1: 4?

Solusyon

Subukan muna nating alamin kung gaano karaming ginto at pilak ang mapapaloob sa 15 kg ng bagong haluang metal. Sinasabi ng gawain na ang nilalaman ng mga metal na ito ay dapat na nasa isang ratio ng 1: 4, iyon ay, isang bahagi ng haluang metal ay dapat na ginto, at apat na bahagi ay dapat na pilak. Pagkatapos ang kabuuang bilang ng mga bahagi sa haluang metal ay magiging 1 + 4 = 5, at ang masa ng isang bahagi ay magiging 15: 5 = 3 kg.

Alamin natin kung gaano karaming ginto ang makikita sa 15 kg ng haluang metal. Upang gawin ito, i-multiply ang 3 kg sa bilang ng mga bahagi ng ginto:

3 kg × 1 = 3 kg

Tukuyin natin kung gaano karaming pilak ang makikita sa 15 kg ng haluang metal:

3 kg × 4 = 12 kg

Nangangahulugan ito na ang isang haluang metal na tumitimbang ng 15 kg ay naglalaman ng 3 kg ng ginto at 12 kg ng pilak. Ngayon bumalik sa orihinal na mga haluang metal. Kailangan mong gamitin ang bawat isa sa kanila. Tukuyin ng x ang masa ng unang haluang metal, at ang masa ng pangalawang haluang metal ay maaaring tukuyin ng 15 − x

Ipahayag natin bilang isang porsyento ang lahat ng mga relasyon na ibinigay sa problema at punan ang sumusunod na talahanayan sa kanila:

Sa unang haluang metal, ang ginto at pilak ay nasa ratio na 1: 9. Pagkatapos ang kabuuang bahagi ay magiging 1 + 9 = 10. Sa mga ito, magkakaroon ng ginto , at pilak .

Ilipat natin ang data na ito sa talahanayan. 10% ang ilalagay sa unang linya sa column "porsiyento ng ginto sa haluang metal", 90% ay ilalagay din sa unang linya ng column "porsiyento ng pilak sa haluang metal", at sa huling column "bigat ng haluang metal" magpasok ng variable x, dahil ito ay kung paano namin tinukoy ang masa ng unang haluang metal:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang haluang metal. Ang ginto at pilak sa loob nito ay nasa ratio na 2: 3. Pagkatapos ay magkakaroon ng 2 + 3 = 5 bahagi sa kabuuan. Sa mga ito, ang ginto ay magiging , at pilak .

Ilipat natin ang data na ito sa talahanayan. 40% ang ilalagay sa pangalawang linya sa column "porsiyento ng ginto sa haluang metal", 60% din ang ilalagay sa pangalawang linya ng column "porsiyento ng pilak sa haluang metal", at sa huling column "bigat ng haluang metal" ipasok ang expression 15 − x, dahil ito ay kung paano namin tinukoy ang masa ng pangalawang haluang metal:

Punan natin ang huling linya. Ang resultang haluang metal na tumitimbang ng 15 kg ay maglalaman ng 3 kg ng ginto, na haluang metal, at pilak ay magiging haluang metal. Sa huling hanay isinulat namin ang masa ng nagresultang haluang metal 15

Maaari ka na ngayong sumulat ng mga equation gamit ang talahanayang ito. Naaalala namin. Kung hiwalay nating idagdag ang ginto ng parehong mga haluang metal at itumbas ang halagang ito sa masa ng ginto ng nagreresultang haluang metal, malalaman natin kung ano ang halaga x.

Ang unang gintong haluang metal ay may 0.10 x, at sa pangalawang gintong haluang metal ito ay 0.40(15 − x). Pagkatapos sa resultang haluang metal, ang masa ng ginto ay ang kabuuan ng mga masa ng ginto ng una at pangalawang haluang metal, at ang masa na ito ay 20% ng bagong haluang metal. At 20% ng bagong haluang metal ay 3 kg ng ginto, na kinakalkula namin nang mas maaga. Bilang resulta, nakuha namin ang equation 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Lutasin natin ang equation na ito:

Sa una sa pamamagitan ng x itinalaga namin ang masa ng unang haluang metal. Ngayon nahanap na namin ang halaga ng variable na ito. Variable x ay katumbas ng 10. At tinukoy namin ang masa ng pangalawang haluang metal sa pamamagitan ng 15 − x, at dahil ang halaga ng variable x ngayon ito ay kilala, pagkatapos ay maaari naming kalkulahin ang masa ng pangalawang haluang metal, ito ay katumbas ng 15 − 10 = 5 kg.

Nangangahulugan ito na upang makakuha ng bagong haluang metal na tumitimbang ng 15 kg kung saan ang ginto at pilak ay ituturing na 1: 4, kailangan mong kumuha ng 10 kg ng una at 5 kg ng pangalawang haluang metal.

Ang equation ay maaaring gawin gamit ang pangalawang hanay ng resultang talahanayan. Pagkatapos ay makukuha natin ang equation 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Ang ugat ng equation na ito ay 10 din

Gawain 10. Mayroong mineral mula sa dalawang layer na may nilalamang tanso na 6% at 11%. Magkano ang mababang uri ng mineral na dapat kunin upang makuha ito kapag hinaluan ng mayamang 20 tonelada na may nilalamang tanso na 8%?

Solusyon

Tukuyin ng x masa ng mahinang mineral. Dahil kailangan mong makakuha ng 20 tonelada ng ore, pagkatapos ay 20 rich ore ang kukunin − x. Dahil ang nilalaman ng tanso sa mahihirap na ore ay 6%, pagkatapos ay sa x toneladang ore ay maglalaman ng 0.06 x toneladang tanso. Sa mayaman na mineral, ang nilalaman ng tanso ay 11%, at sa 20 - x tonelada ng mayamang mineral ay maglalaman ng 0.11(20 − x) toneladang tanso.

Sa nagresultang 20 tonelada ng ore, ang nilalaman ng tanso ay dapat na 8%. Nangangahulugan ito na ang 20 tonelada ng tansong ore ay maglalaman ng 20 × 0.08 = 1.6 tonelada.

Magdagdag ng mga expression 0.06 x at 0.11(20 − x) at itumbas ang kabuuan na ito sa 1.6. Nakukuha namin ang equation 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Lutasin natin ang equation na ito:

Nangangahulugan ito na upang makakuha ng 20 tonelada ng ore na may nilalamang tanso na 8%, kailangan mong kumuha ng 12 tonelada ng mahihirap na ore. Ang mayayaman ay kukuha ng 20 − 12 = 8 tonelada.

Gawain 11. Tumataas average na bilis mula 250 hanggang 300 m / min, ang atleta ay nagsimulang tumakbo sa distansya ng 1 minuto nang mas mabilis. Ano ang haba ng distansya?

Solusyon

Ang haba ng distansya (o ang distansya ng distansya) ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng sumusunod na equation ng titik:

Gamitin natin ang kanang bahagi ng equation na ito upang isulat ang sarili nating equation. Sa una, ang atleta ay tumakbo sa distansya sa bilis na 250 metro bawat minuto. Sa bilis na ito, ang haba ng distansya ay ilalarawan ng expression na 250 t

Pagkatapos ay pinataas ng atleta ang kanyang bilis sa 300 metro bawat minuto. Sa bilis na ito, ang haba ng distansya ay ilalarawan ng expression 300t

Tandaan na ang haba ng distansya ay isang pare-parehong halaga. Mula sa katotohanan na ang atleta ay nagdaragdag ng bilis o binabawasan ito, ang haba ng distansya ay mananatiling hindi nagbabago.

Nagbibigay-daan ito sa amin na pantayan ang ekspresyong 250 t sa expression 300 t, dahil ang parehong mga expression ay naglalarawan ng haba ng parehong distansya

250t = 300t

Ngunit ang gawain ay nagsasabi na sa bilis na 300 metro bawat minuto, ang atleta ay nagsimulang tumakbo sa distansya ng 1 minuto nang mas mabilis. Sa madaling salita, sa bilis na 300 metro kada minuto, bababa ng isa ang oras ng paglalakbay. Samakatuwid, sa equation 250 t= 300t sa kanang bahagi, ang oras ay dapat bawasan ng isa:

Sa bilis na 250 metro kada minuto, tinatakbuhan ng atleta ang distansya sa loob ng 6 na minuto. Alam ang bilis at oras, matutukoy mo ang haba ng distansya:

S= 250 × 6 = 1500 m

At sa bilis na 300 metro kada minuto, tinatakbuhan ng atleta ang distansya t− 1 , ibig sabihin, sa loob ng 5 minuto. Tulad ng nabanggit kanina, ang haba ng distansya ay hindi nagbabago:

S= 300 × 5 = 1500 m

Gawain 12. Naabutan ng isang rider ang isang pedestrian na nasa unahan niya ng 15 km. Ilang oras kaya maaabutan ng rider ang pedestrian kung bawat oras ang unang sakay ay bumibiyahe ng 10 km, at ang pangalawa ay 4 km lang?

Solusyon

Ang gawaing ito ay . Maaari itong malutas sa pamamagitan ng pagtukoy sa bilis ng diskarte at paghahati ng paunang distansya sa pagitan ng rider at ng pedestrian sa bilis na ito.

Ang bilis ng pagsasara ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagbabawas ng mas mababang bilis mula sa mas malaki:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (bilis ng approach)

Bawat oras ay mababawasan ng 6 na kilometro ang layo na 15 kilometro. Upang malaman kung kailan ito ganap na bababa (kapag naabutan ng rider ang pedestrian), kailangan mong hatiin ang 15 sa 6

15:6 = 2.5h

2,5 h ito ay dalawang buong oras at kalahating oras. At kalahating oras ay 30 minuto. Kaya aabutan ng rider ang pedestrian sa loob ng 2 oras at 30 minuto.

Lutasin natin ang problemang ito gamit ang equation.

Pagkatapos nito, pagkatapos niya, isang rider ang umalis sa kalsada sa bilis na 10 km / h. At ang bilis ng paglalakad ay 4 km/h lang. Nangangahulugan ito na aabutan ng rider ang pedestrian pagkaraan ng ilang oras. Kailangan nating maghanap sa oras na ito.

Kapag naabutan ng rider ang pedestrian, nangangahulugan ito na pareho silang nilakbay nang magkasama. Ang distansyang nilakbay ng rider at ng pedestrian ay inilalarawan ng sumusunod na equation:

Gamitin natin ang kanang bahagi ng equation na ito upang isulat ang sarili nating equation.

Ang layo na nilakbay ng rider ay ilalarawan ng expression 10 t. Dahil ang pedestrian ay umalis sa harap ng rider at nagtagumpay sa 15 km, ang distansya na nilakbay niya ay ilalarawan ng expression 4 t + 15 .

Sa oras na maabutan ng rider ang pedestrian, pareho na silang magtatakbo sa parehong distansya. Nagbibigay-daan ito sa amin na ipantay ang mga distansyang nilakbay ng sakay at ng naglalakad:

Ang resulta ay isang simpleng equation. Solusyonan natin ito:

Mga gawain para sa malayang solusyon

Problema 1. Dumarating ang pampasaherong tren mula sa isang lungsod patungo sa isa pang 45 minuto na mas mabilis kaysa sa isang tren ng kargamento. Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga lungsod kung ang bilis ng pampasaherong tren ay 48 km/h, at ang bilis ng tren ng kargamento ay 36 km/h.

Solusyon

Ang bilis ng tren sa problemang ito ay sinusukat sa kilometro bawat oras. Samakatuwid, gagawin naming oras ang 45 minutong ipinahiwatig sa gawain. Ang 45 minuto ay 0.75 oras

Tukuyin natin ang oras kung kailan dumarating ang isang freight train sa lungsod sa pamamagitan ng variable t. Dahil ang pampasaherong tren ay dumating sa lungsod na ito nang 0.75 oras na mas mabilis, ang oras ng paggalaw nito ay ilalarawan ng expression t - 0,75

Nalampasan ng pampasaherong tren ang 48( t - 0.75) km, at kalakal 36 t km. Dahil ang nag-uusap kami tungkol sa parehong distansya, itinutumbas namin ang unang expression sa pangalawa. Bilang resulta, nakuha namin ang equation 48(t - 0.75) = 36t . Solusyonan natin ito:

Ngayon kalkulahin natin ang distansya sa pagitan ng mga lungsod. Upang gawin ito, ang bilis ng isang tren ng kargamento (36 km / h) ay pinarami ng oras ng paggalaw nito t. Variable value t kilala na ngayon - ito ay katumbas ng tatlong oras

36 × 3 = 108 km

Upang kalkulahin ang distansya, maaari mo ring gamitin ang bilis ng pampasaherong tren. Ngunit sa kasong ito ang halaga ng variable

Variable value t katumbas ng 1.2. Kaya't nagtagpo ang mga sasakyan pagkatapos ng 1.2 oras.

Sagot: nagtagpo ang mga sasakyan pagkatapos ng 1.2 oras.

Gawain 3. May kabuuang 685 manggagawa sa tatlong pagawaan ng planta. Sa pangalawang tindahan mayroong tatlong beses na mas maraming manggagawa kaysa sa una, at sa pangatlo - 15 manggagawa na mas mababa kaysa sa pangalawang tindahan. Ilang manggagawa ang bawat tindahan?

Solusyon

Hayaan x ang mga manggagawa ay nasa unang tindahan. Sa pangalawang pagawaan mayroong tatlong beses na mas marami kaysa sa una, kaya ang bilang ng mga manggagawa sa pangalawang pagawaan ay maaaring tukuyin ng ekspresyong 3 x. Ang ikatlong tindahan ay may 15 mas kaunting manggagawa kaysa sa pangalawa. Samakatuwid, ang bilang ng mga manggagawa sa ikatlong pagawaan ay maaaring tukuyin ng ekspresyong 3 x - 15 .

Ang problema ay nagsasabi na mayroong 685 manggagawa sa kabuuan. Samakatuwid, maaari nating idagdag ang mga expression x, 3x, 3x - 15 at itumbas ang kabuuan na ito sa bilang na 685. Bilang resulta, nakuha natin ang equation x + 3x + ( 3x - 15) = 685

Sa pamamagitan ng isang variable x ang bilang ng mga manggagawa sa unang pagawaan ay ipinahiwatig. Ngayon ay natagpuan na namin ang halaga ng variable na ito, ito ay katumbas ng 100. Kaya mayroong 100 manggagawa sa unang tindahan.

Sa ikalawang workshop ay mayroong 3 x manggagawa, ibig sabihin, 3 × 100 = 300. At sa ikatlong workshop ay mayroong 3 x - 15, ibig sabihin, 3 × 100 − 15 = 285

Sagot: sa unang pagawaan mayroong 100 manggagawa, sa pangalawa - 300, sa pangatlo - 285.

Gawain 4. Dalawang repair shop sa loob ng isang linggo ang dapat magkumpuni ng 18 motor ayon sa plano. Nakumpleto ng unang pagawaan ang plano ng 120%, at ang pangalawa ay 125%, kaya 22 motor ang naayos sa loob ng isang linggo. Anong lingguhang plano sa pag-aayos ng makina ang mayroon ang bawat pagawaan?

Solusyon

Hayaan x ang mga motor ay dapat ayusin ng unang pagawaan. Pagkatapos ang pangalawang pagawaan ay kailangang ayusin 18 − x mga motor.

Dahil natapos ng unang workshop ang plano nito ng 120%, nangangahulugan ito na naayos na nito ang 1.2 x mga motor. At natupad ng pangalawang workshop ang plano nito ng 125%, na nangangahulugang naayos nito ang 1.25 (18 − x) mga motor.

Sinasabi ng gawain na 22 motor ang naayos. Samakatuwid, maaari naming idagdag ang mga expression 1,2x at 1.25(18 − x) , pagkatapos ay i-equate ang kabuuan na ito sa numerong 22. Bilang resulta, nakuha natin ang equation 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Sa pamamagitan ng isang variable x ang bilang ng mga motor na dapat ayusin ng unang pagawaan ay ipinahiwatig. Ngayon ay natagpuan namin ang halaga ng variable na ito, ito ay katumbas ng 10. Kaya ang unang pagawaan ay kailangang ayusin ang 10 motors.

At sa pamamagitan ng expression na 18 − x ang bilang ng mga motor na dapat ayusin ng pangalawang pagawaan ay ipinahiwatig. Kaya ang pangalawang pagawaan ay kailangang ayusin ang 18 − 10 = 8 motors.

Sagot: ang unang pagawaan ay upang ayusin ang 10 motor, at ang pangalawang 8 motor.

Problema 5. Ang presyo ng mga kalakal ay tumaas ng 30% at ngayon ay 91 rubles. Magkano ang produkto bago ang pagtaas ng presyo?

Solusyon

Hayaan x rubles halaga ng mga kalakal bago ang pagtaas ng presyo. Kung ang presyo ay tumaas ng 30% nangangahulugan ito na ito ay tumaas ng 0.30 x rubles. Matapos ang pagtaas ng presyo, ang mga kalakal ay nagsimulang nagkakahalaga ng 91 rubles. Magdagdag ng x na may 0.30 x at itumbas ang kabuuan na ito sa 91. Bilang resulta, nakuha natin ang equation Ang pagbaba ng bilang ng 10% ay nagresulta sa 45. Hanapin ang orihinal na halaga ng numero. x -

Sagot: upang makakuha ng 12% na solusyon sa asin, kailangan mong magdagdag ng 0.25 kg ng isang 20% ​​na solusyon sa 1 kg ng isang 10% na solusyon.

Problema 12. Dalawang solusyon ng asin sa tubig ang ibinibigay, ang mga konsentrasyon nito ay 20% at 30%. Ilang kilo ng bawat solusyon ang dapat ihalo sa isang sisidlan upang makakuha ng 25 kg ng 25.2% na solusyon?

Solusyon

Hayaan x kg ng unang solusyon ay dapat kunin. Dahil kinakailangan upang maghanda ng 25 kg ng solusyon, ang masa ng pangalawang solusyon ay maaaring tukuyin ng expression na 25 − x.

Ang unang solusyon ay maglalaman ng 0.20x kg ng asin, at ang pangalawa ay maglalaman ng 0.30(25 − x) kg ng asin. Sa resultang solusyon, ang nilalaman ng asin ay magiging 25 × 0.252 = 6.3 kg. Idagdag ang mga expression na 0.20x at 0.30(25 − x), pagkatapos ay ipantay ang kabuuan na ito sa 6.3. Bilang resulta, nakuha namin ang equation

Kaya ang unang solusyon ay kailangang kunin ng 12 kg, at ang pangalawang 25 - 12 = 13 kg.

Sagot: ang unang solusyon na kailangan mong kumuha ng 12 kg, at ang pangalawang 13 kg.

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong grupo Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso tungkol sa mga bagong aralin

Ang konsepto ng porsyento ay madalas na nangyayari sa ating buhay, kaya napakahalagang malaman kung paano lutasin ang mga problema gamit ang mga porsyento. Sa prinsipyo, hindi ito isang mahirap na bagay, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang prinsipyo ng pagtatrabaho nang may interes.

Ano ang isang porsyento

Gumagana kami sa konsepto ng 100 porsyento, at naaayon, ang isang porsyento ay isang daan tiyak na numero. At ang lahat ng mga kalkulasyon ay nakabatay na sa ratio na ito.

Halimbawa, 1% ng 50 ay 0.5, 15 ng 700 ay 7.

Paano magdesisyon

1. Alam na ang isang porsyento ay isang daan ng bilang na ipinakita, maaari mong mahanap ang anumang bilang ng mga kinakailangang porsyento. Upang maging mas malinaw, subukan nating hanapin ang 6 na porsyento ng bilang na 800. Ginagawa ito nang simple.
   • Una naming mahanap ang isang porsyento. Upang gawin ito, hatiin ang 800 sa 100. Lumalabas na 8.
   • Ngayon pinarami natin itong isang porsyento, iyon ay, 8, sa bilang ng porsyento na kailangan natin, iyon ay, sa 6. Lumalabas na 48.
   • Ayusin ang resulta sa pamamagitan ng pag-uulit.

   15% ng 150. Solusyon: 150/100*15=22.

   28% ng 1582. Solusyon: 1582/100*28=442.

2. Mayroong iba pang mga problema kapag binigyan ka ng mga halaga, at kailangan mong maghanap ng mga porsyento. Halimbawa, alam mo na ang tindahan ay may 5 Mga pulang rosas sa 75 puti, at kailangan mong malaman kung anong porsyento ang iskarlata. Kung hindi natin alam ang porsyentong ito, ituturing natin ito bilang x.

   Mayroong formula para dito: 75 - 100%

   Sa formula na ito, ang mga numero ay pinarami ng krus sa pamamagitan ng krus, iyon ay, x \u003d 5 * 100/75. Lumalabas na x \u003d 6% Kaya ang porsyento ng mga iskarlata na rosas ay 6%.

3. May isa pang uri ng problema para sa mga porsyento, kapag kailangan mong hanapin sa kung anong porsyento ang isang numero ay mas malaki o mas mababa kaysa sa isa pa. Paano malutas ang mga problema sa mga porsyento sa kasong ito?

   Mayroong 30 estudyante sa klase, 16 sa kanila ay lalaki. Ang tanong ay ilang porsyento ng mga lalaki ang higit sa mga babae. Una kailangan mong kalkulahin kung anong porsyento ng mga mag-aaral ang mga lalaki, pagkatapos ay kailangan mong malaman kung anong porsyento ng mga batang babae. At sa wakas mahanap ang pagkakaiba.

   Kaya simulan na natin. Gumagawa kami ng proporsyon ng 30 account. - 100%

   16 na account -X %

   Ngayon binibilang namin. X=16*100/30, x=53.4% ​​​​ng lahat ng estudyante sa klase ay mga lalaki.

   Ngayon hanapin ang porsyento ng mga batang babae sa parehong klase. 100-53.4=46.6%

Ito ay nananatiling ngayon lamang upang mahanap ang pagkakaiba. 53.4-46.6=6.8%. Sagot: mas marami ang mga lalaki kaysa sa mga babae sa pamamagitan ng 6.8%.

Mga Pangunahing Punto sa Paglutas ng Interes

Kaya, upang hindi ka magkaroon ng mga problema sa kung paano malutas ang mga problema para sa mga porsyento, tandaan ang ilang mga pangunahing patakaran:

1. Upang hindi malito sa mga problema sa mga porsyento, palaging maging mapagbantay: pumunta mula sa mga tiyak na halaga hanggang sa mga porsyento at kabaliktaran, kung kinakailangan. Ang pangunahing bagay ay hindi kailanman malito ang isa sa isa.
2. Mag-ingat sa pagkalkula ng mga porsyento. Mahalagang malaman mula sa kung anong partikular na halaga ang kailangan mong bilangin. Para sa sunud-sunod na pagbabago sa mga halaga, kinakalkula ang porsyento mula sa huling halaga.
3. Bago isulat ang sagot, basahin muli ang buong problema, dahil maaaring intermediate na sagot lang ang nahanap mo, at kailangan mong magsagawa ng isa o dalawa pang aksyon.

Kaya, ang paglutas ng mga problema sa mga porsyento ay hindi isang mahirap na bagay, ang pangunahing bagay dito ay ang pagkaasikaso at katumpakan, tulad ng, sa katunayan, sa lahat ng matematika. At huwag kalimutan na ang pagsasanay ay kinakailangan upang mapabuti ang anumang kasanayan. Kaya't magpasya nang higit pa, at ang lahat ay magiging maayos o maging mahusay para sa iyo.