ცოტა ხნის წინ სკოლის მოსწავლის დედა მირეკავს, ვისთანაც ვსწავლობ, ბავშვს მათემატიკა აუხსნის, რადგან არ ესმის, მაგრამ უყვირის და შვილთან საუბარი არ გამოდის.

მე არ მაქვს მათემატიკური საწყობიგონება, კრეატიული ხალხიეს არ არის დამახასიათებელი, მაგრამ მე ვთქვი, რომ ვნახავ რას გაივლიან და ვცდილობ. და ასეც მოხდა.

ავიღე A4 ქაღალდის ფურცელი, უბრალო თეთრი, ფლომასტერები, ფანქარი ხელში და დავიწყე იმის ხაზგასმა, რისი გაგება, დამახსოვრება, ყურადღების მიქცევა ღირს. და ასე რომ თქვენ ხედავთ სად მიდის ეს მაჩვენებელი და როგორ იცვლება.

მაგალითების ახსნა მარცხენა მხარეს, on მარჯვენა მხარე.

მაგალითი #1

განტოლების მაგალითი მე-4 კლასისთვის პლუს ნიშნით.

პირველივე ნაბიჯი არის იმის დანახვა, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ ამ განტოლებაში? აქ შეგვიძლია გავამრავლოთ. ვამრავლებთ 80 * 7 მივიღებთ 560. ხელახლა ვწერთ.

X + 320 = 560 (მონიშნეთ რიცხვები მწვანე მარკერით).

X \u003d 560 - 320. ჩვენ ვაყენებთ მინუსს, რადგან როდესაც რიცხვი გადადის, მის წინ ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. გავაკეთოთ გამოკლება.

X = 240 აუცილებლად შეამოწმეთ. შემოწმება აჩვენებს, სწორად გადავჭრით თუ არა განტოლება. შეცვალეთ x თქვენს მიერ მიღებული რიცხვით.

გამოცდა:

240 + 320 \u003d 80 * 7 ჩვენ ვამატებთ რიცხვებს, მეორეს მხრივ ვამრავლებთ.

Სწორია! ასე რომ, ჩვენ სწორად მოვაგვარეთ განტოლება!

მაგალითი #2

განტოლების მაგალითი მე-4 კლასისთვის მინუს ნიშნით.

X - 180 = 240/3

პირველი ნაბიჯი არის იმის დანახვა, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ ამ განტოლებაში? AT ეს მაგალითიშეგვიძლია გავუზიაროთ. 240-ს ვყოფთ 3-ზე და ვიღებთ 80-ს. ხელახლა ჩაწერეთ განტოლება.

X - 180 = 80 (მონიშნეთ რიცხვები მწვანე მარკერით).

ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ გვაქვს x (უცნობი) და რიცხვები, მხოლოდ არა ერთმანეთის გვერდით, არამედ გამოყოფილი ტოლობის ნიშნით. X ერთ მხარეს, რიცხვები მეორე მხარეს.

X \u003d 80 + 180 ჩვენ ვაყენებთ პლუს ნიშანს, რადგან როდესაც რიცხვი გადადის, ნიშანი, რომელიც იყო რიცხვის წინ, იცვლება საპირისპიროდ. ჩვენ განვიხილავთ.

X = 260 გადამოწმების სამუშაო. შემოწმება აჩვენებს, სწორად გადავჭრით თუ არა განტოლება. შეცვალეთ x თქვენს მიერ მიღებული რიცხვით.

გამოცდა:

260 – 180 = 240/3

Სწორია!

მაგალითი #3

400 - x \u003d 275 + 25 დაამატეთ რიცხვები.

400 - x = 300 რიცხვები გამოყოფილი ტოლობის ნიშნით, x არის უარყოფითი. დადებითი რომ იყოს, უნდა გადავიტანოთ ტოლობის ნიშნით, შევკრიბოთ რიცხვები ერთ მხარეს, x მეორეზე.

400 - 300 \u003d x რიცხვი 300 დადებითი იყო, მეორე მხარეს გადატანისას მან შეიცვალა ნიშანი და გახდა მინუსი. ჩვენ განვიხილავთ.

იმის გამო, რომ არ არის ჩვეულებრივი ასე დაწერა და განტოლებაში პირველი უნდა იყოს x, უბრალოდ შეცვალეთ ისინი.

გამოცდა:

400 - 100 = 275 + 25 ჩვენ ვითვლით.

Სწორია!

მაგალითი #4

განტოლების მაგალითი 4 კლასისთვის მინუს ნიშნით, სადაც x არის შუაში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ განტოლების მაგალითი, სადაც x არის უარყოფითი შუაში.

72 - x \u003d 18 * 3 ჩვენ ვასრულებთ გამრავლებას. მაგალითის გადაწერა.

72 - x \u003d 54 ჩვენ ვაწყობთ რიცხვებს ერთი მიმართულებით, x მეორეში. რიცხვი 54 აბრუნებს თავის ნიშანს, რადგან გადახტება ტოლობის ნიშანს.

72 - 54 \u003d x ჩვენ ვითვლით.

18 = x გაცვლა, მოხერხებულობისთვის.

გამოცდა:

72 – 18 = 18 * 3

Სწორია!

მაგალითი #5

განტოლების მაგალითი x-ით გამოკლებით და მიმატებით მე-4 კლასისთვის.

X - 290 = 470 + 230 შეკრება.

X - 290 = 700 ჩვენ დავაყენეთ რიცხვები ერთ მხარეს.

X \u003d 700 + 290 მიგვაჩნია.

გამოცდა:

990 - 290 = 470 + 230 დამატება.

Სწორია!

მაგალითი #6

განტოლების მაგალითი x-ით გამრავლებისა და გაყოფისთვის მე-4 კლასისთვის.

15 * x \u003d 630/70 ჩვენ ვასრულებთ დაყოფას. გადავიწეროთ განტოლება.

15 * x \u003d 90 ეს იგივეა, რაც 15x \u003d 90 დატოვე x ერთ მხარეს, რიცხვები მეორეზე. ეს განტოლება იღებს შემდეგ ფორმას.

X \u003d 90/15 15 რიცხვის გადაცემისას, გამრავლების ნიშანი იცვლება გაყოფაზე. ჩვენ განვიხილავთ.

გამოცდა:

15*6 = 630 / 7 გააკეთეთ გამრავლება და გამოკლება.

Სწორია!

ახლა მოდით გადახედოთ ძირითად წესებს:

1. გამრავლება, დამატება, გაყოფა ან გამოკლება;

   რისი გაკეთებაც შეიძლება, განტოლება ცოტა უფრო მოკლე გახდება.

2. X ერთ მხარეს, რიცხვები მეორე მხარეს.

   უცნობი ცვლადი ერთი მიმართულებით (არა ყოველთვის x, შესაძლოა სხვა ასო), ნომრები მეორე მიმართულებით.

3. x-ის ან ციფრის ტოლობის ნიშნის მეშვეობით გადატანისას, მათი ნიშანი შებრუნებულია.

   თუ რიცხვი დადებითი იყო, მაშინ გადაცემისას მინუს ნიშანს ვუსვამთ ნომრის წინ. და პირიქით, თუ რიცხვი ან x იყო მინუს ნიშნით, მაშინ ტოლების მეშვეობით გადაცემისას ვსვამთ პლუს ნიშანს.

4. თუ ბოლოს განტოლება იწყება რიცხვით, უბრალოდ შეცვალეთ.
5. ჩვენ ყოველთვის ვამოწმებთ!

კეთებისას საშინაო დავალება, საკლასო სამუშაო, ტესტები, ყოველთვის შეგიძლიათ ფურცელი აიღოთ და ჯერ დაწეროთ და შეამოწმოთ.

გარდა ამისა, ჩვენ ვპოულობთ მსგავსი მაგალითებიინტერნეტში, დამატებითი წიგნები, სახელმძღვანელოები. უფრო ადვილია არა ნომრების შეცვლა, არამედ მზა მაგალითების აღება.

Როგორ მეტი ბავშვითავად გადაწყვეტს, თვითონ შეისწავლის, უფრო სწრაფად შეისწავლის მასალას.

თუ ბავშვს არ ესმის მაგალითები განტოლებით, ღირს მაგალითის ახსნა და დანარჩენებს უთხრათ, რომ მიჰყვნენ მოდელს.

მოცემული დეტალური აღწერაროგორ ავუხსნათ x-ით განტოლებები სკოლის მოსწავლეს:

• მშობლები;
• სკოლის მოსწავლეები;
• რეპეტიტორები;
• ბებია და ბაბუა;
• მასწავლებლები;

ბავშვებმა ყველაფერი უნდა გააკეთონ ფერად, სხვადასხვა ფანქრით დაფაზე, მაგრამ სამწუხაროდ, ამას ყველა არ აკეთებს.

ჩემი პრაქტიკიდან

ბიჭი წერდა როგორც უნდოდა, მათემატიკაში არსებული წესების საწინააღმდეგოდ. განტოლების შემოწმებისას იყო სხვადასხვა რიცხვები და ერთი რიცხვი (მარცხნივ) არ უტოლდებოდა მეორეს (მარჯვენა მხარეს), მან დრო დახარჯა შეცდომის ძიებაში.

როცა ჰკითხეს, რატომ აკეთებს ამას? იყო პასუხი, რომლის გამოცნობას და ფიქრს ცდილობდა და უცებ სწორად მოიქცა.

AT ამ საქმესთქვენ უნდა ამოხსნათ მსგავსი მაგალითები ყოველდღე (ყოველ მეორე დღეს). ავტომატიზმამდე რომ მივიყვანოთ ქმედებები და რა თქმა უნდა ყველა ბავშვი განსხვავებულია, შეიძლება პირველი გაკვეთილიდან ვერ მიაღწიოს.

თუ მშობლებს დრო არ აქვთ და ხშირად აქვთ, რადგან მშობლები შოულობენ ნაღდი ფული, მაშინ ჯობია თქვენს ქალაქში მოძებნოთ დამრიგებელი, რომელიც აუხსნის ბავშვს გაშუქებულ მასალას.

ახლა გამოცდის, ტესტების ასაკია, საკონტროლო სამუშაოები, არის დამატებითი კოლექციები და სახელმძღვანელოები. ბავშვისთვის საშინაო დავალების შესრულებისას მშობლებმა უნდა გახსოვდეთ, რომ ისინი სკოლაში გამოცდაზე არ იქნებიან. უმჯობესია ბავშვს 1-ჯერ გარკვევით აუხსნათ, რათა ბავშვმა დამოუკიდებლად ამოხსნას მაგალითები.

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ასოს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

განტოლებებში უცნობი ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ასოებით ლათინური ასო. ყველაზე ხშირად გამოყენებული ასოებია "x" [x] და "y" [y].

• განტოლების ფესვი- ეს არის ასოს მნიშვნელობა, რომლის დროსაც სწორი რიცხვითი ტოლობა მიიღება განტოლებიდან.
• განტოლების ამოხსნა- ნიშნავს იპოვო მისი ყველა ფესვი ან დარწმუნდე, რომ ფესვები არ არსებობს.

განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ყოველთვის ვწერთ ჩეკს პასუხის შემდეგ.

ინფორმაცია მშობლებისთვის

ძვირფასო მშობლებო, გთხოვთ გაითვალისწინოთ დაწყებითი სკოლახოლო მე-5 კლასში ბავშვებმა არ იციან თემა „უარყოფითი რიცხვები“.

ამიტომ, მათ უნდა ამოხსნან განტოლებები მხოლოდ შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენებით. მე-5 კლასისთვის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები მოცემულია ქვემოთ.

ნუ ეცდებით განტოლებების ამოხსნის ახსნას განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე რიცხვებისა და ასოების ნიშნის ცვლილებით.

შეკრებაზე, გამოკლებასთან, გამრავლებასთან და გაყოფასთან დაკავშირებული ცნებების შესახებ ცოდნის განახლება შეგიძლიათ გაკვეთილზე „არითმეტიკის კანონები“.

შეკრებისა და გამოკლების განტოლებების ამოხსნა

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
ვადა

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
minuend

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
სუბტრაჰენდი

უცნობი წევრის საპოვნელად, გამოაკლეთ ცნობილი წევრი ჯამს.

უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად აუცილებელია სხვაობის გამოკლება მინუენდისგან.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
ექსპერტიზა

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
ექსპერტიზა

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
ექსპერტიზა

გამრავლებისა და გაყოფის განტოლებების ამოხსნა

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
ფაქტორი

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
დივიდენდი

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
გამყოფი

Პოვნა უცნობი მულტიპლიკატორი, აუცილებელია პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით.

უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე.

უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი გაყავით კოეფიციენტზე.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
ექსპერტიზა

y:7=2
y = 2 7
y=14
ექსპერტიზა

8:y=4
y=8:4
y=2
ექსპერტიზა

განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს ასოს, რომლის ნიშანიც უნდა მოიძებნოს. განტოლების გამოსავალი არის ასო მნიშვნელობების ნაკრები, რომელიც აქცევს განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში:

შეგახსენებთ, რომ გადაჭრის მიზნით განტოლებააუცილებელია ტოლობის ერთ ნაწილზე გადავიტანოთ ტერმინები უცნობით, ხოლო მეორეზე რიცხვითი, მივიყვანოთ მსგავსი და მივიღოთ შემდეგი ტოლობა:

ბოლო ტოლობიდან უცნობს განვსაზღვრავთ წესით: „ერთ-ერთი ფაქტორი უდრის მეორე ფაქტორზე გაყოფილ კოეფიციენტს“.

როგორც რაციონალური რიცხვი a და b შეიძლება ჰქონდეს იგივე და სხვადასხვა ნიშნები, მაშინ უცნობის ნიშანი განისაზღვრება რაციონალური რიცხვების გაყოფის წესებით.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცედურა

წრფივი განტოლება უნდა გამარტივდეს ფრჩხილების გახსნით და მეორე ეტაპის (გამრავლება და გაყოფა) მოქმედებების შესრულებით.

გადაიტანეთ უცნობები ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო რიცხვები ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს, რათა მიიღოთ მოცემული ტოლობის იდენტური,

მოიყვანეთ ტოლი ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ, ფორმის ტოლობის მიღებით ნაჯახი = ბ.

გამოთვალეთ განტოლების ფესვი (იპოვეთ უცნობი Xთანასწორობიდან x = ბ : ა),

შეასრულეთ ტესტი უცნობის ჩანაცვლებით მოცემული განტოლება.

თუ ვინაობას მივიღებთ რიცხვითი თანასწორობა, მაშინ განტოლება სწორია.

განტოლებების ამოხსნის განსაკუთრებული შემთხვევები

1. Თუ განტოლებამოცემულია 0-ის ტოლი ნამრავლით, შემდეგ მის ამოსახსნელად ვიყენებთ გამრავლების თვისებას: „ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ან ორივე ფაქტორი ნულის ტოლია“.

27 (x - 3) = 0
27 არ არის 0-ის ტოლი, ასე რომ x - 3 = 0

მეორე მაგალითს აქვს განტოლების ორი ამონახსნი, ვინაიდან
ეს არის მეორე ხარისხის განტოლება:

თუ განტოლების კოეფიციენტები არის ჩვეულებრივი წილადები, პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის მნიშვნელების მოშორება. Ამისთვის:

Პოვნა საერთო მნიშვნელი;

განსაზღვრეთ დამატებითი მულტიპლიკატორებიგანტოლების თითოეული წევრისთვის;

გაამრავლეთ წილადებისა და მთელი რიცხვების მრიცხველები დამატებით ფაქტორებზე და ჩაწერეთ განტოლების ყველა პირობა მნიშვნელების გარეშე (საერთო მნიშვნელის გაუქმება შესაძლებელია);

ტოლობის ნიშნიდან გადაიტანეთ უცნობი პირები განტოლების ერთ ნაწილზე, ხოლო რიცხვითი წევრები მეორეზე, ტოლობის ტოლობის მიღებით;

მოიყვანეთ მსგავსი პირობები;

განტოლებების ძირითადი თვისებები

განტოლების ნებისმიერი ნაწილი შეიძლება იყოს მოცემული ტერმინების მსგავსადან გახსენით ფრჩხილები.

განტოლების ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით.

განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ (გაიყოთ) იმავე რიცხვზე, გარდა 0-ისა.

ზემოთ მოცემულ მაგალითში მისი ყველა თვისება გამოყენებული იყო განტოლების ამოსახსნელად.

მარტივი განტოლებების ამოხსნის წესი

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალაში სპეციალური განყოფილება 555.
მათთვის, ვინც ძლიერია „არც ძალიან. »
და მათთვის, ვინც „ძალიან თანაბრად. "")

წრფივი განტოლებები.

წრფივი განტოლებები არ არის საუკეთესო რთული თემა სკოლის მათემატიკა. მაგრამ არსებობს რამდენიმე ხრიკი, რომელსაც შეუძლია გაწვრთნილი სტუდენტიც კი დააბრკოლოს. გავარკვიოთ?)

წრფივი განტოლება ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც ფორმის განტოლება:

არაფერი რთული, არა? მით უმეტეს, თუ ვერ ამჩნევთ სიტყვებს: "სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი". და თუ შეამჩნიე, მაგრამ დაუდევრად იფიქრე?) ბოლოს და ბოლოს, თუ a=0, b=0(ნებისმიერი რიცხვი შესაძლებელია?), შემდეგ მივიღებთ სასაცილო გამოთქმას:

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! თუ, ვთქვათ, a=0,ა b=5,გამოდის რაღაც საკმაოდ აბსურდული:

რაც ამძიმებს და ძირს უთხრის მათემატიკაში ნდობას, დიახ.) განსაკუთრებით გამოცდებზე. მაგრამ ამ უცნაური გამონათქვამებიდან, თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ X! რაც საერთოდ არ არსებობს. და, გასაკვირია, რომ ეს X ძალიან ადვილია. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავაკეთოთ ეს. ამ გაკვეთილზე.

როგორ ამოვიცნოთ წრფივი განტოლება გარეგნულად? დამოკიდებულია რა გარეგნობა.) ხრიკი ისაა, რომ წრფივ განტოლებებს უწოდებენ არა მხოლოდ ფორმის განტოლებებს ნაჯახი + ბ = 0 , არამედ ნებისმიერი განტოლება, რომელიც ამ ფორმამდე მცირდება გარდაქმნებისა და გამარტივების შედეგად. და ვინ იცის, შემცირდა თუ არა?)

ზოგიერთ შემთხვევაში წრფივი განტოლება მკაფიოდ შეიძლება ამოვიცნოთ. ვთქვათ, თუ გვაქვს განტოლება, რომელშიც მხოლოდ პირველი ხარისხის უცნობია, დიახ რიცხვები. და განტოლება არა წილადები გაყოფილი უცნობი , ეს არის მნიშვნელოვანი! და გაყოფა ნომერი,ან რიცხვითი წილადი - ესე იგი! Მაგალითად:

ეს არის წრფივი განტოლება. აქ არის წილადები, მაგრამ არ არის x-ები კვადრატში, კუბში და ა.შ. და არ არის x-ები მნიშვნელებში, ე.ი. არა გაყოფა x-ზე. და აქ არის განტოლება



არ შეიძლება ეწოდოს ხაზოვანი. აქ x ყველა პირველ ხარისხშია, მაგრამ არის დაყოფა გამოსახულებით x-ით. გამარტივების და გარდაქმნების შემდეგ, შეგიძლიათ მიიღოთ წრფივი განტოლება, კვადრატული განტოლება და ყველაფერი, რაც მოგწონთ.

გამოდის, რომ შეუძლებელია წრფივი განტოლების გარკვევა რაიმე რთულ მაგალითში, სანამ მას თითქმის არ ამოხსნით. ეს აღმაშფოთებელია. მაგრამ დავალებებში, როგორც წესი, ისინი არ ეკითხებიან განტოლების ფორმას, არა? ამოცანებში განტოლებები დალაგებულია გადაწყვიტოს.ეს მახარებს.)

წრფივი განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

მთლიანი გამოსავალი წრფივი განტოლებებიშედგება განტოლებათა იდენტური გარდაქმნებისაგან. სხვათა შორის, ეს გარდაქმნები (ორივე!) ეფუძნება გადაწყვეტილებებს მათემატიკის ყველა განტოლება.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გადაწყვეტილება ნებისმიერიგანტოლება იწყება იმავე გარდაქმნებით. წრფივი განტოლებების შემთხვევაში ის (ამოხსნა) ამ გარდაქმნებზე სრულდება სრულფასოვანი პასუხით. აზრი აქვს ბმულს, არა?) მეტიც, არის ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითებიც.

დავიწყოთ უმარტივესი მაგალითით. ყოველგვარი ხარვეზების გარეშე. ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება.

ეს არის წრფივი განტოლება. X-ები ყველა პირველ ხარისხშია, X-ზე არ არის გაყოფა. მაგრამ, რეალურად, ჩვენ არ გვაინტერესებს რა არის განტოლება. ჩვენ უნდა მოვაგვაროთ. აქ სქემა მარტივია. შეაგროვეთ ყველაფერი x-ებით ტოლობის მარცხენა მხარეს, ყველაფერი x-ების (რიცხვების) გარეშე მარჯვნივ.

ამისათვის თქვენ უნდა გადაიტანოთ — 4x მარცხენა მხარეს, ნიშნის ცვლილებით, რა თქმა უნდა, მაგრამ — 3 - მარჯვნივ. სხვათა შორის, ეს არის განტოლებების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.გაკვირვებული? ასე რომ, ისინი არ მიჰყვნენ ბმულს, მაგრამ ამაოდ.) ვიღებთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსს, მიგვაჩნია:

რა გვაკლია სრული ბედნიერება? დიახ, ისე, რომ მარცხნივ არის სუფთა X! ხუთი უშვებს გზას. მოშორება ხუთს ერთად განტოლების მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია.კერძოდ, განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ 5-ზე. ვიღებთ მზა პასუხს:

ელემენტარული მაგალითი, რა თქმა უნდა. ეს გახურებისთვისაა.) არც ისე გასაგებია, რატომ ვარ აქ იდენტური გარდაქმნებიგაიხსენა? ᲙᲐᲠᲒᲘ. ხარს რქებით ვიჭერთ.) რამე უფრო შთამბეჭდავი გადავწყვიტოთ.

მაგალითად, აქ არის ეს განტოლება:



საიდან დავიწყოთ? x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ? შეიძლება ასეც იყოს. პატარა ნაბიჯებით გრძელი გზა. და თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ, უნივერსალური და ძლიერი გზით. თუ, რა თქმა უნდა, თქვენს არსენალში არ არის განტოლებების იდენტური გარდაქმნები.

მე დაგისვამ საკვანძო კითხვას: რა არ მოგწონთ ყველაზე მეტად ამ განტოლებაში?

100-დან 95 ადამიანი უპასუხებს: წილადები ! პასუხი სწორია. მაშ, მოვიშოროთ ისინი. ასე რომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიწყებთ მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია. რა გჭირდებათ მარცხნივ წილადის გასამრავლებლად, რომ მნიშვნელი მთლიანად შემცირდეს? მართალია, 3. და მარჯვნივ? 4-ით. მაგრამ მათემატიკა საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ ორივე მხარე იგივე ნომერი. როგორ გამოვიდეთ? გავამრავლოთ ორივე მხარე 12-ზე! იმათ. საერთო მნიშვნელისკენ. მაშინ სამი შემცირდება და ოთხი. არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული ნაწილი მთლიანად. აი, როგორ გამოიყურება პირველი ნაბიჯი:





Შენიშვნა! მრიცხველი (x+2)ფრჩხილებში ავიღე! ეს იმიტომ, რომ წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მთლიანზე, მთლიანად! ახლა კი შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები და შეამციროთ:

დარჩენილი ფრჩხილების გახსნა:

მაგალითი არა, მაგრამ სრული სიამოვნება!) ახლა გავიხსენებთ შელოცვას ქვედა კლასებიდან: x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ!და გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:

და ორივე ნაწილს ვყოფთ 25-ზე, ე.ი. კვლავ გამოიყენეთ მეორე ტრანსფორმაცია:



Სულ ეს არის. პასუხი: X=0,16

გაითვალისწინეთ: ორიგინალური დამაბნეველი განტოლება სასიამოვნო ფორმამდე რომ მივიყვანოთ, ჩვენ გამოვიყენეთ ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტური გარდაქმნები- თარგმნა მარცხნივ-მარჯვნივ ნიშნის ცვლილებით და განტოლების გამრავლება-გაყოფით იმავე რიცხვზე. ეს არის უნივერსალური გზა! ჩვენ ვიმუშავებთ ამ გზით ნებისმიერი განტოლებები! აბსოლუტურად ნებისმიერი. ამიტომაც მე მუდმივად ვიმეორებ ამ იდენტურ გარდაქმნებს.)

როგორც ხედავთ, წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი მარტივია. ვიღებთ განტოლებას და ვამარტივებთ მას იდენტური გარდაქმნების დახმარებით, სანამ პასუხს არ მივიღებთ. აქ მთავარი პრობლემები გათვლებშია და არა გადაწყვეტის პრინციპში.

მაგრამ. არის ისეთი სიურპრიზები ყველაზე ელემენტარული წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცესში, რომ მათ შეუძლიათ ძლიერ სისულელემდე მიიყვანონ.) საბედნიეროდ, ასეთი სიურპრიზები მხოლოდ ორი შეიძლება იყოს. დავარქვათ მათ განსაკუთრებული შემთხვევები.

სპეციალური შემთხვევები წრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

ჯერ სიურპრიზი.

დავუშვათ, რომ წააწყდებით ელემენტარულ განტოლებას, მსგავსი:

ოდნავ მობეზრებულად გადავდივართ X-ით მარცხნივ, X-ის გარეშე - მარჯვნივ. ნიშნის ცვლილებით ყველაფერი ჩინარია. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ განვიხილავთ და. აუფ. ჩვენ ვიღებთ:

თავისთავად, ეს თანასწორობა არ არის სადავო. ნული ნამდვილად ნულია. მაგრამ X წავიდა! და ჩვენ უნდა დავწეროთ პასუხში, რისი ტოლია x.თორემ გამოსავალი არ ითვლება, კი.) ჩიხი?

დამშვიდდი! ასეთ საეჭვო შემთხვევებში, ყველაზე ზოგადი წესები დაზოგავს. როგორ ამოხსნათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა? Ეს ნიშნავს, იპოვეთ x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელიც, როდესაც ჩანაცვლდება თავდაპირველ განტოლებაში, მოგვცემს სწორ ტოლობას.

მაგრამ ჩვენ გვაქვს სწორი თანასწორობა უკვემოხდა! 0=0, მართლა სად?! რჩება იმის გარკვევა, თუ რა x-ზე მიიღება ეს. x-ის რომელ მნიშვნელობებში შეიძლება შეიცვალოს საწყისიგანტოლება, თუ ეს x-ები ისევ ნულამდე შემცირდება?Მოდი?)

დიახ. Xs შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი!Რა გინდა. მინიმუმ 5, მინიმუმ 0.05, მინიმუმ -220. ისინი მაინც შემცირდებიან. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ.) ჩაანაცვლეთ ნებისმიერი x მნიშვნელობები საწყისიგანტოლება და გამოთვლა. ყოველთვის მიიღება წმინდა ჭეშმარიტება: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 და ასე შემდეგ.

აი შენი პასუხი: x არის ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა მათემატიკური სიმბოლოებით, არსი არ იცვლება. ეს არის სრულიად სწორი და სრული პასუხი.

სიურპრიზი მეორე.

ავიღოთ იგივე ელემენტარული წრფივი განტოლება და შევცვალოთ მასში მხოლოდ ერთი რიცხვი. აი რას გადავწყვეტთ:

იგივე იდენტური გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ რაღაც დამაინტრიგებელს:

Ამგვარად. ამოხსნა წრფივი განტოლება, მიიღო უცნაური ტოლობა. მათემატიკურად რომ ვთქვათ, გვაქვს არასწორი თანასწორობა.და ლაპარაკი უბრალო ენა, ეს არ არის სიმართლე. რავი. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ეს სისულელე საკმაოდ კარგი მიზეზია სწორი გადაწყვეტილებაგანტოლებები.)

ისევ ზოგადი წესების საფუძველზე ვფიქრობთ. რას მოგვცემს x საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას სწორითანასწორობა? დიახ, არცერთი! ასეთი ქსები არ არსებობს. რასაც ჩაანაცვლებ, ყველაფერი შემცირდება, სისულელე დარჩება.)

აი შენი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

ეს ასევე სრულიად სწორი პასუხია. მათემატიკაში ასეთი პასუხები ხშირად გვხვდება.

Ამგვარად. ახლა, იმედი მაქვს, X-ების დაკარგვა ნებისმიერი (არა მხოლოდ წრფივი) განტოლების ამოხსნის პროცესში საერთოდ არ შეგაწუხებთ. საქმე ნაცნობია.)

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ წრფივი განტოლებების ყველა ხარვეზი, აზრი აქვს მათი ამოხსნას.

იქნებიან ისინი გამოცდაზე? - მესმის პრაქტიკული ადამიანების კითხვა. Მე ვპასუხობ. AT სუფთა ფორმა- არა. ზედმეტად ელემენტარული. მაგრამ GIA-ში, ან გამოცდაზე პრობლემების გადაჭრისას, მათ აუცილებლად წააწყდებით! ასე რომ, ჩვენ ვცვლით მაუსს სახელურზე და ვწყვეტთ.









პასუხები მოცემულია უწესრიგოდ: 2,5; არ არის გადაწყვეტილებები; 51; 17.

მოხდა?! გილოცავ! თქვენ გაქვთ კარგი შანსები გამოცდებზე.)

პასუხები არ ემთხვევა? M-დიახ. ეს არ არის სასიამოვნო. ეს არ არის ის თემა, რომლის გარეშეც შეგიძლია. გირჩევთ ეწვიოთ განყოფილებას 555. ის ძალიან დეტალურია, რაგაკეთება და როგორცგააკეთეთ ეს ისე, რომ არ დაიბნეთ ხსნარში. ამ განტოლებების მაგალითზე.

მაგრამ როგორ ამოხსნას განტოლებებიუფრო რთული - ეს შემდეგ თემაშია.

თუ მოგწონთ ეს საიტი.

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

აქ შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ისწავლე ინტერესით!

და აქ შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

წრფივი განტოლებების ამოხსნა მე-7 კლასი

ამისთვის წრფივი განტოლებების ამონახსნებიგამოიყენეთ ორი ძირითადი წესი (თვისებები).

ქონება #1
ან
გადაცემის წესი

განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანისას, განტოლების ტერმინი ცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ.

გადავხედოთ გადაცემის წესს მაგალითით. დავუშვათ, რომ ჩვენ გვჭირდება წრფივი განტოლების ამოხსნა.



შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერ განტოლებას აქვს მარცხენა და მარჯვენა მხარე.



გადავიტანოთ რიცხვი „3“ განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ.

ვინაიდან რიცხვს "3" ჰქონდა "+" ნიშანი განტოლების მარცხენა მხარეს, ეს ნიშნავს, რომ ში მარჯვენა მხარეგანტოლება „3“ გადაიცემა „−“ ნიშნით.



მიღებული რიცხვითი მნიშვნელობა"x = 2" ეწოდება განტოლების ფესვს.

არ დაგავიწყდეთ პასუხის ჩაწერა ნებისმიერი განტოლების ამოხსნის შემდეგ.

განვიხილოთ სხვა განტოლება.

გადაცემის წესის მიხედვით, განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ „4x“-ს, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლას.

მიუხედავად იმისა, რომ არ არის ნიშანი "4x"-მდე, ჩვენ გვესმის, რომ არის "+" ნიშანი "4x"-მდე.

ახლა ვაძლევთ მსგავსებს და ვხსნით განტოლებას ბოლომდე.

ქონება #2
ან
გაყოფის წესი

ნებისმიერ განტოლებაში შეგიძლიათ გაყოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები იმავე რიცხვზე.

მაგრამ უცნობზე ვერ გაყოფ!

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ გამოვიყენოთ გაყოფის წესი წრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

რიცხვს "4", რომელიც დგას "x", ეწოდება უცნობის რიცხვითი კოეფიციენტი.



რიცხვით კოეფიციენტსა და უცნობს შორის ყოველთვის არის გამრავლების მოქმედება.

განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა დავრწმუნდეთ, რომ "x"-ზე არის კოეფიციენტი "1".

დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: "რაზე გჭირდებათ" 4"-ის გაყოფა
მიიღეთ "1"?. პასუხი აშკარაა, თქვენ უნდა გაყოთ "4-ზე".

გამოიყენეთ გაყოფის წესი და გაყავით განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები "4-ზე". არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენ უნდა გაყოთ ორივე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები.



ვიყენებთ წილადების შემცირებას და ვხსნით წრფივ განტოლებას ბოლომდე.



როგორ ამოხსნათ განტოლება, თუ "x" უარყოფითია

ხშირად განტოლებებში არის სიტუაცია, როდესაც არის უარყოფითი კოეფიციენტი "x". როგორც ქვემოთ მოცემულ განტოლებაში.

ასეთი განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ კვლავ ვუსვამთ საკუთარ თავს კითხვას: "რაზე გჭირდებათ "-2"-ზე გაყოფა "1"-ის მისაღებად?". გაყოფა "-2"-ზე.

მარტივი წრფივი განტოლებების ამოხსნა

ამ ვიდეოში გავაანალიზებთ წრფივი განტოლებების მთელ კრებულს, რომლებიც ამოხსნილია ერთი და იგივე ალგორითმის გამოყენებით - ამიტომაც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.

დასაწყისისთვის განვსაზღვროთ: რა არის წრფივი განტოლება და რომელს უნდა ვუწოდოთ უმარტივესი?

წრფივი განტოლება არის ის, რომელშიც მხოლოდ ერთი ცვლადია და მხოლოდ პირველ ხარისხში.

უმარტივესი განტოლება ნიშნავს კონსტრუქციას:

ყველა სხვა წრფივი განტოლება მცირდება უმარტივესამდე ალგორითმის გამოყენებით:

2. გახსენით ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
3. ცვლადის შემცველი ტერმინების გადატანა ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო ტერმინები ცვლადის გარეშე მეორე მხარეს;
4. მიიტანეთ მსგავსი ტერმინები ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ;
5. მიღებული განტოლება გავყოთ $x$ ცვლადის კოეფიციენტზე.

რა თქმა უნდა, ეს ალგორითმი ყოველთვის არ ეხმარება. ფაქტია, რომ ზოგჯერ ამ მაქინაციების შემდეგ $x$ ცვლადის კოეფიციენტი ნულის ტოლი აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი ვარიანტი:

6. განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები. მაგალითად, როცა იღებთ $0\cdot x=8$-ს მსგავსს, ე.ი. მარცხნივ არის ნული, ხოლო მარჯვნივ არის არანულოვანი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულ ვიდეოში განვიხილავთ რამდენიმე მიზეზს, რის გამოც შესაძლებელია ეს სიტუაცია.
7. გამოსავალი არის ყველა რიცხვი. ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც ეს შესაძლებელია, არის განტოლება $0\cdot x=0$ კონსტრუქციამდე. სავსებით ლოგიკურია, რაც არ უნდა $x$-ს ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა "ნული უდრის ნულს", ე.ი. სწორი რიცხვითი ტოლობა.

ახლა კი ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი რეალური პრობლემების მაგალითზე.

განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს წრფივ განტოლებებთან და მხოლოდ უმარტივესთან. ზოგადად, წრფივი განტოლება ნიშნავს ნებისმიერ ტოლობას, რომელიც შეიცავს ზუსტად ერთ ცვლადს და ის მხოლოდ პირველ ხარისხამდე მიდის.

ასეთი კონსტრუქციები წყდება დაახლოებით იმავე გზით:

1. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში (როგორც ჩვენს ბოლო მაგალითი);
2. შემდეგ მოიყვანეთ მსგავსი
3. ბოლოს გამოვყოთ ცვლადი, ე.ი. ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია ცვლადთან - ტერმინები, რომლებშიც ის შეიცავს - გადადის ერთ მხარეს, ხოლო ყველაფერი, რაც მის გარეშე რჩება, მეორე მხარეს.

შემდეგ, როგორც წესი, თქვენ უნდა მოიტანოთ მსგავსი ტოლობის თითოეულ მხარეს და ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ კოეფიციენტზე გაყოფა "x"-ზე და მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

თეორიულად, ეს გამოიყურება ლამაზი და მარტივი, მაგრამ პრაქტიკაში, გამოცდილ საშუალო სკოლის მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ შეურაცხმყოფელი შეცდომები დაუშვან საკმაოდ მარტივ ხაზოვან განტოლებებში. როგორც წესი, შეცდომებს უშვებენ ან ფრჩხილების გახსნისას, ან „პლუსების“ და „მინუსების“ დათვლისას.

გარდა ამისა, ხდება ისე, რომ წრფივ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ან ისე, რომ ამონახსნი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ე.ი. ნებისმიერი ნომერი. ჩვენ გავაანალიზებთ ამ დახვეწილობას დღევანდელ გაკვეთილზე. მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც უკვე მიხვდით, ყველაზე მეტად მარტივი დავალებები.

მარტივი წრფივი განტოლებების ამოხსნის სქემა

დასაწყისისთვის, ნება მომეცით კიდევ ერთხელ დავწერო უმარტივესი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მთელი სქემა:

4. გააფართოვეთ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.
5. გამოყავით ცვლადები, ე.ი. ყველაფერი, რაც შეიცავს "x"-ს, გადადის ერთ მხარეს, ხოლო "x"-ის გარეშე - მეორეზე.
6. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.
7. ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x".

რა თქმა უნდა, ეს სქემა ყოველთვის არ მუშაობს, მას აქვს გარკვეული დახვეწილობა და ხრიკები და ახლა ჩვენ გავეცნობით მათ.

მარტივი წრფივი განტოლებების რეალური მაგალითების ამოხსნა

პირველ ეტაპზე ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ისინი არ არიან ამ მაგალითში, ამიტომ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ეტაპზე. მეორე ეტაპზე ჩვენ უნდა გამოვყოთ ცვლადები. Შენიშვნა: ჩვენ ვსაუბრობთმხოლოდ ინდივიდუალური პირობების შესახებ. Მოდი დავწეროთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს მარცხნივ და მარჯვნივ, მაგრამ ეს უკვე გაკეთდა აქ. მაშასადამე, მივდივართ მეოთხე საფეხურზე: გავყოთ ფაქტორზე:

აქ მივიღეთ პასუხი.

ამ ამოცანაში შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფრჩხილებს, ამიტომ გავაფართოვოთ ისინი:

როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ, ჩვენ ვხედავთ დაახლოებით ერთნაირ კონსტრუქციას, მაგრამ ვიმოქმედოთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. სეკვესტრის ცვლადები:

რა ფესვებზე მუშაობს ეს? პასუხი: ნებისმიერისთვის. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ $x$ არის ნებისმიერი რიცხვი.

მესამე წრფივი განტოლება უკვე უფრო საინტერესოა:

\[\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(12+x \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(3-2x \მარჯვნივ)=15\]

აქ რამდენიმე ფრჩხილია, მაგრამ არაფრით არ მრავლდება, უბრალოდ წინ დგას სხვადასხვა ნიშნები. მოდით დავშალოთ ისინი:

ჩვენ ვასრულებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილ მეორე საფეხურს:

ჩვენ ვასრულებთ ბოლო საფეხურს - ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x"-ზე:

რა უნდა გვახსოვდეს წრფივი განტოლებების ამოხსნისას

თუ ჩვენ უგულებელვყოფთ ძალიან მარტივ დავალებებს, მაშინ მინდა ვთქვა შემდეგი:

8. როგორც ზემოთ ვთქვი, ყველა წრფივ განტოლებას არ აქვს გამოსავალი - ზოგჯერ ფესვები უბრალოდ არ არსებობს;
9. ფესვები რომც იყოს, მათ შორის ნული მოხვდება - ამაში ცუდი არაფერია.

ნული იგივე რიცხვია, რაც დანარჩენი, თქვენ არ უნდა განასხვავოთ იგი ან ჩათვალოთ, რომ თუ თქვენ მიიღეთ ნული, მაშინ რაღაც არასწორად გააკეთეთ.

კიდევ ერთი ფუნქცია დაკავშირებულია ფრჩხილების გაფართოებასთან. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როდესაც მათ წინ არის "მინუსი", ჩვენ მას ვხსნით, მაგრამ ფრჩხილებში ვცვლით ნიშნებს. საწინააღმდეგო. შემდეგ კი შეგვიძლია გავხსნათ სტანდარტული ალგორითმების მიხედვით: მივიღებთ იმას, რაც ვნახეთ ზემოთ გამოთვლებში.

ამის გაგება მარტივი ფაქტიშეგიშლით ხელს გიმნაზიაში სულელური და მავნე შეცდომების დაშვებისგან, როდესაც ასეთი საქმის კეთება თავისთავად მიიღება.

რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

მოდით გადავიდეთ უფრო მეტზე რთული განტოლებები. ახლა კონსტრუქციები გართულდება და სხვადასხვა გარდაქმნების შესრულებისას გამოჩნდება კვადრატული ფუნქცია. ამასთან, ამის არ უნდა შეგეშინდეთ, რადგან თუ ავტორის განზრახვის თანახმად, ჩვენ გადავჭრით წრფივ განტოლებას, მაშინ ტრანსფორმაციის პროცესში აუცილებლად შემცირდება კვადრატული ფუნქციის შემცველი ყველა მონომი.

ცხადია, პირველი ნაბიჯი არის ფრჩხილების გახსნა. მოდით გავაკეთოთ ეს ძალიან ფრთხილად:

ახლა ავიღოთ კონფიდენციალურობა:

ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ამიტომ პასუხში ვწერთ შემდეგნაირად:

ჩვენ ვასრულებთ იგივე ნაბიჯებს. Პირველი ნაბიჯი:

მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი ცვლადით მარცხნივ, ხოლო მის გარეშე - მარჯვნივ:

ცხადია, ამ წრფივ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, ამიტომ ვწერთ მას ასე:

ან ფესვების გარეშე.

ხსნარის ნიუანსი

ორივე განტოლება მთლიანად ამოხსნილია. ამ ორი გამონათქვამის მაგალითზე კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ უმარტივეს წრფივ განტოლებებშიც კი ყველაფერი შეიძლება არც ისე მარტივი იყოს: შეიძლება იყოს ან ერთი, ან არცერთი, ან უსასრულოდ ბევრი. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ განვიხილეთ ორი განტოლება, ორივეში უბრალოდ ფესვები არ არის.

მაგრამ თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო კიდევ ერთ ფაქტზე: როგორ ვიმუშაოთ ფრჩხილებით და როგორ გავხსნათ ისინი, თუ მათ წინ არის მინუს ნიშანი. განვიხილოთ ეს გამოთქმა:

გახსნამდე ყველაფერი უნდა გაამრავლოთ "x"-ზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: გაამრავლეთ თითოეული ინდივიდუალური ტერმინი. შიგნით არის ორი წევრი - შესაბამისად, ორი წევრი და მრავლდება.

და მხოლოდ ამ ერთი შეხედვით ელემენტარული, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანი და საშიში გარდაქმნების დასრულების შემდეგ შეიძლება ფრჩხილის გახსნა იმ თვალსაზრისით, რომ მის შემდეგ არის მინუს ნიშანი. დიახ, დიახ: მხოლოდ ახლა, როდესაც გარდაქმნები კეთდება, გვახსოვს, რომ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი ქვემოთ უბრალოდ ცვლის ნიშანს. ამავდროულად, თავად ფრჩხილები ქრება და, რაც მთავარია, წინა „მინუსიც“ ქრება.

იგივეს ვაკეთებთ მეორე განტოლებით:

შემთხვევითი არ არის, რომ ამ პატარა, ერთი შეხედვით უმნიშვნელო ფაქტებს ვაქცევ ყურადღებას. რადგან განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის თანმიმდევრობაა ელემენტარული გარდაქმნებისადაც ნათლად და კომპეტენტურად შესრულების შეუძლებლობა მარტივი ნაბიჯებიმივყავართ იქამდე, რომ საშუალო სკოლის მოსწავლეები მოდიან ჩემთან და ისევ სწავლობენ ასეთი მარტივი განტოლებების ამოხსნას.

რა თქმა უნდა, დადგება დღე, როცა ამ უნარებს ავტომატიზმამდე მიიყვანთ. ყოველ ჯერზე ამდენი ტრანსფორმაციის შესრულება აღარ მოგიწევთ, ყველაფერს ერთ სტრიქონში დაწერთ. მაგრამ სანამ მხოლოდ სწავლობთ, თქვენ უნდა დაწეროთ თითოეული მოქმედება ცალკე.

კიდევ უფრო რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

რისი გადაჭრას ახლა ვაპირებთ, ძნელად შეიძლება ეწოდოს უმარტივესი ამოცანა, მაგრამ მნიშვნელობა იგივე რჩება.

\[\მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-1 \მარჯვნივ)-21=3\]

მოდით გავამრავლოთ ყველა ელემენტი პირველ ნაწილში:

მოდით გავაკეთოთ უკან დახევა:

მოდით გავაკეთოთ ბოლო ნაბიჯი:

აქ არის ჩვენი საბოლოო პასუხი. და, მიუხედავად იმისა, რომ ამოხსნის პროცესში გვქონდა კვადრატული ფუნქციის მქონე კოეფიციენტები, მაგრამ ისინი ურთიერთგანადგურდნენ, რაც განტოლებას ხდის ზუსტად წრფივ და არა კვადრატს.

\[\მარცხნივ(1-4x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-3x \მარჯვნივ)=6x\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\]

მოდით გავაკეთოთ პირველი ნაბიჯი ფრთხილად: გავამრავლოთ პირველი ფრჩხილის ყველა ელემენტი მეორეში ყველა ელემენტზე. მთლიანობაში, ოთხი ახალი ტერმინი უნდა იქნას მიღებული ტრანსფორმაციის შემდეგ:

ახლა კი ფრთხილად შეასრულეთ გამრავლება თითოეულ წევრში:

მოდით გადავიტანოთ ტერმინები "x"-ით მარცხნივ, ხოლო გარეშე - მარჯვნივ:

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

ჩვენ მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ყველაზე მნიშვნელოვანი შენიშვნა ამ ორ განტოლებასთან დაკავშირებით ასეთია: როგორც კი დავიწყებთ ფრჩხილების გამრავლებას, რომლებშიც მასზე დიდი ტერმინია, მაშინ ეს ხდება მიხედვით. შემდეგი წესი: ვიღებთ პირველ წევრს პირველიდან და ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს; შემდეგ ვიღებთ მეორე ელემენტს პირველიდან და ანალოგიურად ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ოთხ ტერმინს.

ალგებრულ ჯამზე

ბოლო მაგალითში მინდა შევახსენო სტუდენტებს რა არის ალგებრული ჯამი. კლასიკურ მათემატიკაში $1-7$-ში ვგულისხმობთ მარტივ კონსტრუქციას: ერთს ვაკლებთ შვიდს. ალგებრაში ჩვენ ვგულისხმობთ შემდეგს: რიცხვს "ერთი" ვუმატებთ მეორე რიცხვს, კერძოდ "მინუს შვიდს". ეს ალგებრული ჯამი განსხვავდება ჩვეულებრივი არითმეტიკული ჯამისგან.

როგორც კი ყველა გარდაქმნის, ყოველი შეკრებისა და გამრავლების შესრულებისას დაიწყებთ ზემოთ აღწერილი კონსტრუქციების მსგავს კონსტრუქციებს, უბრალოდ არ გექნებათ პრობლემები ალგებრაში მრავალწევრებთან და განტოლებებთან მუშაობისას.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც კიდევ უფრო რთული იქნება, ვიდრე ჩვენ ახლახან შევხედეთ და მათი გადასაჭრელად, ჩვენ ოდნავ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი სტანდარტული ალგორითმი.

განტოლებების ამოხსნა წილადით

ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად, კიდევ ერთი ნაბიჯი უნდა დაემატოს ჩვენს ალგორითმს. მაგრამ პირველ რიგში, მე შევახსენებ ჩვენს ალგორითმს:

10. ცალკე ცვლადები.

სამწუხაროდ, ეს მშვენიერი ალგორითმი, მთელი თავისი ეფექტურობით, არ არის მთლად მიზანშეწონილი, როდესაც ჩვენ წინ გვაქვს წილადები. და რასაც ქვემოთ ვნახავთ, ორივე განტოლებაში გვაქვს წილადი მარცხნივ და მარჯვნივ.

როგორ ვიმუშაოთ ამ შემთხვევაში? დიახ, ეს ძალიან მარტივია! ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ კიდევ ერთი ნაბიჯი ალგორითმში, რომელიც შეიძლება შესრულდეს როგორც პირველ მოქმედებამდე, ასევე მის შემდეგ, კერძოდ, ფრაქციების მოშორება. ამრიგად, ალგორითმი იქნება შემდეგი:

11. მოიშორეთ წილადები.
12. გახსენით ფრჩხილები.
13. მოიყვანეთ მსგავსი.
14. გაყავით ფაქტორზე.

რას ნიშნავს „წილადების მოშორება“? და რატომ არის შესაძლებელი ამის გაკეთება როგორც პირველი სტანდარტული ნაბიჯის შემდეგ, ისე ადრე? სინამდვილეში, ჩვენს შემთხვევაში, ყველა წილადი რიცხვითია მნიშვნელის მიხედვით, ე.ი. ყველგან მნიშვნელი მხოლოდ რიცხვია. მაშასადამე, თუ განტოლების ორივე ნაწილს ამ რიცხვზე გავამრავლებთ, მაშინ მოვიშორებთ წილადებს.

მოვიშოროთ წილადები ამ განტოლებაში:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველაფერი მრავლდება "ოთხზე" ერთხელ, ე.ი. მხოლოდ იმიტომ, რომ თქვენ გაქვთ ორი ფრჩხილები, არ ნიშნავს რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული მათგანი "ოთხზე". Მოდი დავწეროთ:

\[\ მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]

ჩვენ ვასრულებთ ცვლადის გამოყოფას:

ჩვენ ვახორციელებთ მსგავსი პირობების შემცირებას:

\[-4x=-1\მარცხნივ| :\left(-4 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ.\]

Მივიღეთ საბოლოო გადაწყვეტილება, გადავდივართ მეორე განტოლებაზე.

აქ ჩვენ ვასრულებთ ყველა იგივე მოქმედებას:

სინამდვილეში, ეს არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დღეს.

საკვანძო პუნქტები

ძირითადი დასკვნები შემდეგია:

8. იცოდე წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.
9. ფრჩხილების გახსნის შესაძლებლობა.
10. არ ინერვიულოთ, თუ სადმე გაქვთ კვადრატული ფუნქციები, სავარაუდოდ, შემდგომი გარდაქმნების პროცესში ისინი შემცირდება.
11. წრფივი განტოლებების ფესვები, თუნდაც უმარტივესი, სამი ტიპისაა: ერთი ფესვი, მთელი რიცხვითი წრფე არის ფესვი, ფესვები საერთოდ არ არსებობს.

ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ დაეუფლონ მარტივ, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვან თემას ყველა მათემატიკის შემდგომი გაგებისთვის. თუ რამე გაუგებარია, გადადით საიტზე, მოაგვარეთ იქ წარმოდგენილი მაგალითები. თვალყური ადევნეთ, კიდევ ბევრი საინტერესო რამ გელოდებათ!

12. ირაციონალური განტოლება: ამოხსნის სწავლა ფესვის იზოლაციის მეთოდით
13. როგორ ამოხსნათ ბიკვადრატული განტოლება
14. ტესტი გაკვეთილისთვის" რთული გამონათქვამებიწილადებით "(მარტივი)
15. საცდელი გამოცდა 2012 7 დეკემბრიდან. ვარიანტი 1 (ლოგარითმის გარეშე)
16. ვიდეო გაკვეთილი C2 დავალებებზე: მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე
17. მათემატიკის დამრიგებელი: სად წავიყვანოთ სტუდენტები?

ვიდეოს სანახავად შეიყვანეთ თქვენი ელ. ფოსტა და დააჭირეთ ღილაკს "სწავლის დაწყება".

• დამრიგებელი 12 წლიანი გამოცდილებით
• თითოეული სესიის ვიდეო ჩანაწერი
• კლასების ერთჯერადი ღირებულება - 3000 რუბლი 60 წუთის განმავლობაში

ამ ვიდეოში გავაანალიზებთ წრფივი განტოლებების მთელ კრებულს, რომლებიც ამოხსნილია ერთი და იგივე ალგორითმის გამოყენებით - ამიტომაც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.

დასაწყისისთვის განვსაზღვროთ: რა არის წრფივი განტოლება და რომელს უნდა ვუწოდოთ უმარტივესი?

წრფივი განტოლება არის ის, რომელშიც მხოლოდ ერთი ცვლადია და მხოლოდ პირველ ხარისხში.

უმარტივესი განტოლება ნიშნავს კონსტრუქციას:

ყველა სხვა წრფივი განტოლება მცირდება უმარტივესამდე ალგორითმის გამოყენებით:

1. გახსენით ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
2. ცვლადის შემცველი ტერმინების გადატანა ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო ტერმინები ცვლადის გარეშე მეორე მხარეს;
3. მიიტანეთ მსგავსი ტერმინები ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ;
4. მიღებული განტოლება გავყოთ $x$ ცვლადის კოეფიციენტზე.

რა თქმა უნდა, ეს ალგორითმი ყოველთვის არ ეხმარება. ფაქტია, რომ ზოგჯერ ამ მაქინაციების შემდეგ $x$ ცვლადის კოეფიციენტი ნულის ტოლი აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი ვარიანტი:

1. განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები. მაგალითად, როცა იღებთ $0\cdot x=8$-ს მსგავსს, ე.ი. მარცხნივ არის ნული, ხოლო მარჯვნივ არის არანულოვანი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულ ვიდეოში განვიხილავთ რამდენიმე მიზეზს, რის გამოც შესაძლებელია ეს სიტუაცია.
2. გამოსავალი არის ყველა რიცხვი. ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც ეს შესაძლებელია, არის განტოლება დაყვანილი $0\cdot x=0$ კონსტრუქციამდე. სავსებით ლოგიკურია, რაც არ უნდა $x$-ს ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა "ნული უდრის ნულს", ე.ი. სწორი რიცხვითი ტოლობა.

ახლა კი ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი რეალური პრობლემების მაგალითზე.

განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს წრფივ განტოლებებთან და მხოლოდ უმარტივესთან. ზოგადად, წრფივი განტოლება ნიშნავს ნებისმიერ ტოლობას, რომელიც შეიცავს ზუსტად ერთ ცვლადს და ის მხოლოდ პირველ ხარისხამდე მიდის.

ასეთი კონსტრუქციები წყდება დაახლოებით იმავე გზით:

1. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში (როგორც ჩვენს ბოლო მაგალითში);
2. შემდეგ მოიყვანეთ მსგავსი
3. ბოლოს გამოვყოთ ცვლადი, ე.ი. ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია ცვლადთან - ტერმინები, რომლებშიც ის შეიცავს - გადადის ერთ მხარეს, ხოლო ყველაფერი, რაც მის გარეშე რჩება, მეორე მხარეს.

შემდეგ, როგორც წესი, თქვენ უნდა მოიტანოთ მსგავსი ტოლობის თითოეულ მხარეს და ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ კოეფიციენტზე გაყოფა "x"-ზე და მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

თეორიულად, ეს გამოიყურება ლამაზი და მარტივი, მაგრამ პრაქტიკაში, გამოცდილ საშუალო სკოლის მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ შეურაცხმყოფელი შეცდომები დაუშვან საკმაოდ მარტივ ხაზოვან განტოლებებში. როგორც წესი, შეცდომებს უშვებენ ან ფრჩხილების გახსნისას, ან „პლუსების“ და „მინუსების“ დათვლისას.

გარდა ამისა, ხდება ისე, რომ წრფივ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ან ისე, რომ ამონახსნი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ე.ი. ნებისმიერი ნომერი. ჩვენ გავაანალიზებთ ამ დახვეწილობას დღევანდელ გაკვეთილზე. მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც უკვე მიხვდით, უმარტივესი ამოცანებით.

მარტივი წრფივი განტოლებების ამოხსნის სქემა

დასაწყისისთვის, ნება მომეცით კიდევ ერთხელ დავწერო უმარტივესი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მთელი სქემა:

1. გააფართოვეთ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.
2. გამოყავით ცვლადები, ე.ი. ყველაფერი, რაც შეიცავს "x"-ს, გადადის ერთ მხარეს, ხოლო "x"-ის გარეშე - მეორეზე.
3. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.
4. ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x".

რა თქმა უნდა, ეს სქემა ყოველთვის არ მუშაობს, მას აქვს გარკვეული დახვეწილობა და ხრიკები და ახლა ჩვენ გავეცნობით მათ.

მარტივი წრფივი განტოლებების რეალური მაგალითების ამოხსნა

დავალება #1

პირველ ეტაპზე ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ისინი არ არიან ამ მაგალითში, ამიტომ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ნაბიჯს. მეორე ეტაპზე ჩვენ უნდა გამოვყოთ ცვლადები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: საუბარია მხოლოდ ინდივიდუალურ პირობებზე. Მოდი დავწეროთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს მარცხნივ და მარჯვნივ, მაგრამ ეს უკვე გაკეთდა აქ. მაშასადამე, მივდივართ მეოთხე საფეხურზე: გავყოთ ფაქტორზე:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

აქ მივიღეთ პასუხი.

დავალება #2

ამ ამოცანაში შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფრჩხილებს, ამიტომ გავაფართოვოთ ისინი:

როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ, ჩვენ ვხედავთ დაახლოებით ერთნაირ კონსტრუქციას, მაგრამ ვიმოქმედოთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. სეკვესტრის ცვლადები:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

რა ფესვებზე მუშაობს ეს? პასუხი: ნებისმიერისთვის. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ $x$ არის ნებისმიერი რიცხვი.

დავალება #3

მესამე წრფივი განტოლება უკვე უფრო საინტერესოა:

\[\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(12+x \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(3-2x \მარჯვნივ)=15\]

აქ რამდენიმე ფრჩხილია, მაგრამ არაფრით არ მრავლდება, უბრალოდ, წინ სხვადასხვა ნიშნები აქვთ. მოდით დავშალოთ ისინი:

ჩვენ ვასრულებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილ მეორე საფეხურს:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

მოდით გამოვთვალოთ:

ჩვენ ვასრულებთ ბოლო საფეხურს - ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x"-ზე:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

რა უნდა გვახსოვდეს წრფივი განტოლებების ამოხსნისას

თუ ჩვენ უგულებელვყოფთ ძალიან მარტივ დავალებებს, მაშინ მინდა ვთქვა შემდეგი:

• როგორც ზემოთ ვთქვი, ყველა წრფივ განტოლებას არ აქვს გამოსავალი - ზოგჯერ ფესვები უბრალოდ არ არსებობს;
• ფესვები რომც იყოს, მათ შორის ნული მოხვდება - ამაში ცუდი არაფერია.

ნული იგივე რიცხვია, რაც დანარჩენი, თქვენ არ უნდა განასხვავოთ იგი ან ჩათვალოთ, რომ თუ თქვენ მიიღებთ ნულს, მაშინ რაღაც არასწორად გააკეთეთ.

კიდევ ერთი ფუნქცია დაკავშირებულია ფრჩხილების გაფართოებასთან. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როდესაც მათ წინ არის "მინუსი", ჩვენ მას ვხსნით, მაგრამ ფრჩხილებში ვცვლით ნიშნებს. საწინააღმდეგო. შემდეგ კი შეგვიძლია გავხსნათ სტანდარტული ალგორითმების მიხედვით: მივიღებთ იმას, რაც ვნახეთ ზემოთ გამოთვლებში.

ამ მარტივი ფაქტის გაგება დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ სულელური და მავნე შეცდომების დაშვება საშუალო სკოლაში, როცა ასეთი ქმედებების კეთება თავისთავად ითვლება.

რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე. ახლა კონსტრუქციები გართულდება და სხვადასხვა გარდაქმნების შესრულებისას გამოჩნდება კვადრატული ფუნქცია. ამასთან, ამის არ უნდა შეგეშინდეთ, რადგან თუ ავტორის განზრახვის თანახმად, ჩვენ გადავჭრით წრფივ განტოლებას, მაშინ ტრანსფორმაციის პროცესში აუცილებლად შემცირდება კვადრატული ფუნქციის შემცველი ყველა მონომი.

მაგალითი #1

ცხადია, პირველი ნაბიჯი არის ფრჩხილების გახსნა. მოდით გავაკეთოთ ეს ძალიან ფრთხილად:

ახლა ავიღოთ კონფიდენციალურობა:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ამიტომ პასუხში ვწერთ შემდეგნაირად:

\[\ჯიში \]

ან ფესვების გარეშე.

მაგალითი #2

ჩვენ ვასრულებთ იგივე ნაბიჯებს. Პირველი ნაბიჯი:

მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი ცვლადით მარცხნივ, ხოლო მის გარეშე - მარჯვნივ:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

ცხადია, ამ წრფივ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, ამიტომ ვწერთ მას ასე:

\[\არაფერი\],

ან ფესვების გარეშე.

ხსნარის ნიუანსი

ორივე განტოლება მთლიანად ამოხსნილია. ამ ორი გამონათქვამის მაგალითზე კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ უმარტივეს წრფივ განტოლებებშიც კი ყველაფერი შეიძლება არც ისე მარტივი იყოს: შეიძლება იყოს ან ერთი, ან არცერთი, ან უსასრულოდ ბევრი. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ განვიხილეთ ორი განტოლება, ორივეში უბრალოდ ფესვები არ არის.

მაგრამ თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო კიდევ ერთ ფაქტზე: როგორ ვიმუშაოთ ფრჩხილებით და როგორ გავხსნათ ისინი, თუ მათ წინ არის მინუს ნიშანი. განვიხილოთ ეს გამოთქმა:

გახსნამდე ყველაფერი უნდა გაამრავლოთ "x"-ზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: გაამრავლეთ თითოეული ინდივიდუალური ტერმინი. შიგნით არის ორი წევრი - შესაბამისად, ორი წევრი და მრავლდება.

და მხოლოდ ამ ერთი შეხედვით ელემენტარული, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანი და საშიში გარდაქმნების დასრულების შემდეგ შეიძლება ფრჩხილის გახსნა იმ თვალსაზრისით, რომ მის შემდეგ არის მინუს ნიშანი. დიახ, დიახ: მხოლოდ ახლა, როდესაც გარდაქმნები კეთდება, გვახსოვს, რომ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი ქვემოთ უბრალოდ ცვლის ნიშანს. ამავდროულად, თავად ფრჩხილები ქრება და, რაც მთავარია, წინა „მინუსიც“ ქრება.

იგივეს ვაკეთებთ მეორე განტოლებით:

შემთხვევითი არ არის, რომ ამ პატარა, ერთი შეხედვით უმნიშვნელო ფაქტებს ვაქცევ ყურადღებას. იმის გამო, რომ განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის არის ელემენტარული გარდაქმნების თანმიმდევრობა, სადაც მარტივი მოქმედებების მკაფიოდ და კომპეტენტურად შესრულების უუნარობა იწვევს იმ ფაქტს, რომ საშუალო სკოლის მოსწავლეები მოდიან ჩემთან და ისევ სწავლობენ ასეთი მარტივი განტოლებების ამოხსნას.

რა თქმა უნდა, დადგება დღე, როცა ამ უნარებს ავტომატიზმამდე მიიყვანთ. ყოველ ჯერზე ამდენი ტრანსფორმაციის შესრულება აღარ მოგიწევთ, ყველაფერს ერთ სტრიქონში დაწერთ. მაგრამ სანამ მხოლოდ სწავლობთ, თქვენ უნდა დაწეროთ თითოეული მოქმედება ცალკე.

კიდევ უფრო რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

რისი გადაჭრას ახლა ვაპირებთ, ძნელად შეიძლება ეწოდოს უმარტივესი ამოცანა, მაგრამ მნიშვნელობა იგივე რჩება.

დავალება #1

\[\ მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-1 \მარჯვნივ)-21((x)^(2))=3\]

მოდით გავამრავლოთ ყველა ელემენტი პირველ ნაწილში:

მოდით გავაკეთოთ უკან დახევა:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

მოდით გავაკეთოთ ბოლო ნაბიჯი:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

აქ არის ჩვენი საბოლოო პასუხი. და, მიუხედავად იმისა, რომ ამოხსნის პროცესში გვქონდა კვადრატული ფუნქციის მქონე კოეფიციენტები, მაგრამ ისინი ურთიერთგანადგურდნენ, რაც განტოლებას ხდის ზუსტად წრფივ და არა კვადრატს.

დავალება #2

\[\მარცხნივ(1-4x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-3x \მარჯვნივ)=6x\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\]

მოდით გავაკეთოთ პირველი ნაბიჯი ფრთხილად: გავამრავლოთ პირველი ფრჩხილის ყველა ელემენტი მეორეში ყველა ელემენტზე. მთლიანობაში, ოთხი ახალი ტერმინი უნდა იქნას მიღებული ტრანსფორმაციის შემდეგ:

ახლა კი ფრთხილად შეასრულეთ გამრავლება თითოეულ წევრში:

მოდით გადავიტანოთ ტერმინები "x"-ით მარცხნივ, ხოლო გარეშე - მარჯვნივ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

ჩვენ მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ხსნარის ნიუანსი

ყველაზე მნიშვნელოვანი შენიშვნა ამ ორ განტოლებასთან დაკავშირებით არის ეს: როგორც კი დავიწყებთ ფრჩხილების გამრავლებას, რომლებშიც ერთზე მეტია, მაშინ ეს ხდება შემდეგი წესით: ვიღებთ პირველ წევრს პირველიდან და ვამრავლებთ თითოეულ ელემენტს. მეორედან; შემდეგ ვიღებთ მეორე ელემენტს პირველიდან და ანალოგიურად ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ოთხ ტერმინს.

ალგებრულ ჯამზე

ბოლო მაგალითით მინდა შევახსენო მოსწავლეებს რა არის ალგებრული ჯამი. კლასიკურ მათემატიკაში $1-7$-ში ვგულისხმობთ მარტივ კონსტრუქციას: ერთს ვაკლებთ შვიდს. ალგებრაში ჩვენ ვგულისხმობთ შემდეგს: რიცხვს "ერთი" ვუმატებთ მეორე რიცხვს, კერძოდ "მინუს შვიდს". ეს ალგებრული ჯამი განსხვავდება ჩვეულებრივი არითმეტიკული ჯამისგან.

როგორც კი ყველა გარდაქმნის, ყოველი შეკრებისა და გამრავლების შესრულებისას დაიწყებთ ზემოთ აღწერილი კონსტრუქციების მსგავს კონსტრუქციებს, უბრალოდ არ გექნებათ პრობლემები ალგებრაში მრავალწევრებთან და განტოლებებთან მუშაობისას.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც კიდევ უფრო რთული იქნება, ვიდრე ჩვენ ახლახან შევხედეთ და მათი გადასაჭრელად, ჩვენ ოდნავ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი სტანდარტული ალგორითმი.

განტოლებების ამოხსნა წილადით

ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად, კიდევ ერთი ნაბიჯი უნდა დაემატოს ჩვენს ალგორითმს. მაგრამ პირველ რიგში, მე შევახსენებ ჩვენს ალგორითმს:

1. გახსენით ფრჩხილები.
2. ცალკე ცვლადები.
3. მოიყვანეთ მსგავსი.
4. გაყავით ფაქტორზე.

სამწუხაროდ, ეს მშვენიერი ალგორითმი, მთელი თავისი ეფექტურობით, არ არის მთლად მიზანშეწონილი, როდესაც ჩვენ წინ გვაქვს წილადები. და რასაც ქვემოთ ვნახავთ, ორივე განტოლებაში გვაქვს წილადი მარცხნივ და მარჯვნივ.

როგორ ვიმუშაოთ ამ შემთხვევაში? დიახ, ეს ძალიან მარტივია! ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ კიდევ ერთი ნაბიჯი ალგორითმში, რომელიც შეიძლება შესრულდეს როგორც პირველ მოქმედებამდე, ასევე მის შემდეგ, კერძოდ, ფრაქციების მოშორება. ამრიგად, ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. მოიშორეთ წილადები.
2. გახსენით ფრჩხილები.
3. ცალკე ცვლადები.
4. მოიყვანეთ მსგავსი.
5. გაყავით ფაქტორზე.

რას ნიშნავს „წილადების მოშორება“? და რატომ არის შესაძლებელი ამის გაკეთება როგორც პირველი სტანდარტული ნაბიჯის შემდეგ, ისე ადრე? სინამდვილეში, ჩვენს შემთხვევაში, ყველა წილადი რიცხვითია მნიშვნელის მიხედვით, ე.ი. ყველგან მნიშვნელი მხოლოდ რიცხვია. მაშასადამე, თუ განტოლების ორივე ნაწილს ამ რიცხვზე გავამრავლებთ, მაშინ მოვიშორებთ წილადებს.

მაგალითი #1

\[\frac(\left(2x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ))(4)=((x)^(2))-1\]

მოვიშოროთ წილადები ამ განტოლებაში:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \მარჯვნივ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველაფერი მრავლდება "ოთხზე" ერთხელ, ე.ი. მხოლოდ იმიტომ, რომ თქვენ გაქვთ ორი ფრჩხილები, არ ნიშნავს რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული მათგანი "ოთხზე". Მოდი დავწეროთ:

\[\ მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (2x-3 \მარჯვნივ)=\ მარცხენა (((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]

ახლა გავხსნათ:

ჩვენ ვასრულებთ ცვლადის გამოყოფას:

ჩვენ ვახორციელებთ მსგავსი პირობების შემცირებას:

\[-4x=-1\მარცხნივ| :\left(-4 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

მივიღეთ საბოლოო ამონახსნი, გადავდივართ მეორე განტოლებაზე.

მაგალითი #2

\[\frac(\ მარცხნივ(1-x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1+5x \მარჯვნივ))(5)+((x)^(2))=1\]

აქ ჩვენ ვასრულებთ ყველა იგივე მოქმედებას:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \მარჯვნივ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

პრობლემა მოგვარებულია.

სინამდვილეში, ეს არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დღეს.

საკვანძო პუნქტები

ძირითადი დასკვნები შემდეგია:

• იცოდე წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.
• ფრჩხილების გახსნის შესაძლებლობა.
• არ ინერვიულოთ, თუ სადმე გაქვთ კვადრატული ფუნქციები, სავარაუდოდ, შემდგომი გარდაქმნების პროცესში ისინი შემცირდება.
• წრფივი განტოლებების ფესვები, თუნდაც უმარტივესი, სამი ტიპისაა: ერთი ფესვი, მთელი რიცხვითი წრფე არის ფესვი, ფესვები საერთოდ არ არსებობს.

ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ დაეუფლონ მარტივ, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვან თემას ყველა მათემატიკის შემდგომი გაგებისთვის. თუ რამე გაუგებარია, გადადით საიტზე, მოაგვარეთ იქ წარმოდგენილი მაგალითები. თვალყური ადევნეთ, კიდევ ბევრი საინტერესო რამ გელოდებათ!

განტოლებები ერთ-ერთია რთული თემებიასიმილაციისთვის, მაგრამ ამავე დროს საკმარისია ძლიერი ინსტრუმენტიპრობლემების უმეტესობის გადასაჭრელად.

განტოლებები გამოიყენება აღსაწერად სხვადასხვა პროცესებიმიედინება ბუნებაში. განტოლებები ფართოდ გამოიყენება სხვა მეცნიერებებში: ეკონომიკაში, ფიზიკაში, ბიოლოგიასა და ქიმიაში.

AT ეს გაკვეთილიშევეცდებით გავიგოთ უმარტივესი განტოლებების არსი, ვისწავლოთ უცნობის გამოხატვა და რამდენიმე განტოლების ამოხსნა. როგორც თქვენ ისწავლით ახალ მასალებს, განტოლებები უფრო რთული გახდება, ამიტომ საფუძვლების გაგება ძალიან მნიშვნელოვანია.

წინასწარი უნარები გაკვეთილის შინაარსი

რა არის განტოლება?

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც გსურთ იპოვოთ. ეს მნიშვნელობა უნდა იყოს ისეთი, რომ როდესაც იგი შეიცვლება თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა.

მაგალითად, გამოხატულება 2 + 2 = 4 არის ტოლობა. მარცხენა მხარის გამოთვლისას მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა 4 = 4 .

მაგრამ თანასწორობა 2 + x= 4 არის განტოლება, რადგან ის შეიცავს ცვლადს x, რომლის ღირებულებაც შეიძლება მოიძებნოს. მნიშვნელობა უნდა იყოს ისეთი, რომ როდესაც ეს მნიშვნელობა შეიცვლება თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა, სადაც ტოლობის ნიშანი გაამართლებს მის მდებარეობას - მარცხენა მხარე უნდა იყოს მარჯვენა მხარის ტოლი.

განტოლება 2+ x= 4 ელემენტარულია. ცვლადი მნიშვნელობა xუდრის რიცხვს 2. ნებისმიერი სხვა მნიშვნელობა არ იქნება ტოლი

ამბობენ, რომ ნომერი 2 არის ფესვიან განტოლების ამოხსნა 2 + x = 4

ფესვიან განტოლების ამოხსნაარის ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება ხდება ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობა.

შეიძლება იყოს რამდენიმე ფესვი ან საერთოდ არ იყოს. განტოლების ამოხსნანიშნავს მისი ფესვების პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.

განტოლებაში ცვლადი ასევე ცნობილია როგორც უცნობი. თქვენ თავისუფლად შეგიძლიათ დაარქვით მას, როგორც გსურთ. ეს სინონიმებია.

შენიშვნა. თავისთავად მეტყველებს ფრაზა „განტოლების ამოხსნა“. განტოლების ამოხსნა ნიშნავს განტოლების „გათანაბრებას“ - მისი დაბალანსება ისე, რომ მარცხენა მხარე ტოლი იყოს მარჯვენა მხარეს.

გამოხატეთ ერთი მეორის თვალსაზრისით

განტოლებების შესწავლა ტრადიციულად იწყება თანასწორობაში შემავალი ერთი რიცხვის გამოხატვის სწავლით, სხვათა რაოდენობის მიხედვით. ნუ დავარღვევთ ამ ტრადიციას და ასეც მოვიქცეთ.

განვიხილოთ შემდეგი გამოთქმა:

8 + 2

ეს გამოთქმა არის 8 და 2 რიცხვების ჯამი. მნიშვნელობა მოცემული გამოხატულებაუდრის 10-ს

8 + 2 = 10

თანასწორობა მივიღეთ. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ ნებისმიერი რიცხვი ამ ტოლობიდან იმავე ტოლობაში შეტანილი სხვა რიცხვების მიხედვით. მაგალითად, გამოვხატოთ რიცხვი 2.

რიცხვი 2-ის გამოსახატავად, თქვენ უნდა დაისვათ კითხვა: "რა უნდა გაკეთდეს 10 და 8 რიცხვებით, რომ მიიღოთ ნომერი 2". გასაგებია, რომ რიცხვი 2-ის მისაღებად საჭიროა 10-ს გამოკლოთ ნომერი 8.

ასე რომ ჩვენ. ჩავწერთ რიცხვ 2-ს და ტოლობის ნიშნით ვამბობთ, რომ ამ რიცხვის 2-ის მისაღებად, 10-ს გამოვაკლეთ რიცხვი 8:

2 = 10 − 8

რიცხვი 2 გამოვხატეთ 8 + 2 = 10 განტოლებიდან. როგორც მაგალითიდან ხედავთ, ამაში არაფერია რთული.

განტოლებების ამოხსნისას, განსაკუთრებით ერთი რიცხვის სხვების მნიშვნელობით გამოხატვისას, მოსახერხებელია ტოლობის ნიშნის შეცვლა სიტყვით " იქ არის" . ეს უნდა გაკეთდეს გონებრივად და არა თავად გამოხატულებაში.

ასე რომ, 8 + 2 = 10 ტოლობიდან 2 რიცხვის გამოსახატავად მივიღეთ ტოლობა 2 = 10 − 8. ეს განტოლება შეიძლება ასე წაიკითხოთ:

2 იქ არის 10 − 8

ანუ ნიშანი = შეცვალა სიტყვით "არის". უფრო მეტიც, ტოლობა 2 = 10 − 8 შეიძლება ითარგმნოს მათემატიკური ენასრულფასოვანი ადამიანის ენა. შემდეგ მისი წაკითხვა შეიძლება ასე:

ნომერი 2 იქ არისგანსხვავება 10 და 8 შორის

ნომერი 2 იქ არისგანსხვავება 10 და 8 რიცხვს შორის.

მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით ტოლობის ნიშნის სიტყვით "არის" ჩანაცვლებით და მაშინ ამას ყოველთვის არ გავაკეთებთ. ელემენტარული გამონათქვამებიშეიძლება გაიგოს მათემატიკური ენის ადამიანურ ენაზე თარგმნის გარეშე.

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 2 = 10 − 8 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

8 + 2 = 10

ამჯერად გამოვხატოთ რიცხვი 8. რა უნდა გავაკეთოთ დანარჩენ რიცხვებთან, რომ მივიღოთ რიცხვი 8? ეს ასეა, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ნომერი 2 10-ს

8 = 10 − 2

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 8 = 10 − 2 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

8 + 2 = 10

ამჯერად გამოვხატავთ რიცხვს 10. მაგრამ გამოდის, რომ ათეულს არ სჭირდება გამოხატვა, რადგან ის უკვე გამოხატულია. საკმარისია მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეცვლა, შემდეგ მივიღებთ იმას, რაც გვჭირდება:

10 = 8 + 2

მაგალითი 2. განვიხილოთ ტოლობა 8 − 2 = 6

ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 8. რიცხვი 8-ის გამოსახატავად უნდა დაემატოს დანარჩენი ორი რიცხვი:

8 = 6 + 2

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 8 = 6 + 2 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

8 − 2 = 6

ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 2. რიცხვი 2-ის გამოსახატავად 8-ს უნდა გამოვაკლოთ 6.

2 = 8 − 6

მაგალითი 3. განვიხილოთ განტოლება 3 × 2 = 6

გამოთქვით რიცხვი 3. რიცხვი 3-ის გამოსახატავად საჭიროა 6 გაყოთ 2-ზე

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა თავდაპირველ მდგომარეობაში:

3 x 2 = 6

გამოვსახოთ რიცხვი 2 ამ ტოლობიდან, 2-ის გამოსახატავად საჭიროა 3 გაყოთ 6-ზე.

მაგალითი 4. განიხილეთ თანასწორობა

ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 15. რიცხვი 15-ის გამოსახატავად საჭიროა გავამრავლოთ რიცხვები 3 და 5.

15 = 3 x 5

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 15 = 3 × 5 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 5. რიცხვი 5-ის გამოსახატავად საჭიროა 15 გაყოთ 3-ზე.

უცნობების პოვნის წესები

განვიხილოთ უცნობის პოვნის რამდენიმე წესი. შესაძლოა, ისინი თქვენთვის ნაცნობია, მაგრამ მათი გამეორება არაფერ შუაშია. მომავალში, მათი დავიწყება შეიძლება, რადგან ჩვენ ვისწავლით განტოლებების ამოხსნას ამ წესების გამოყენების გარეშე.

დავუბრუნდეთ პირველ მაგალითს, რომელშიც განვიხილეთ წინა თემა, სადაც 8 + 2 = 10 განტოლებაში საჭირო იყო გამოეხატა რიცხვი 2.

განტოლებაში 8 + 2 = 10, რიცხვები 8 და 2 არის წევრები, ხოლო რიცხვი 10 არის ჯამი.

რიცხვი 2-ის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

2 = 10 − 8

ანუ 10-ის ჯამს გამოაკელი 8.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 8 + 2 = 10, 2 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი. x

8 + x = 10

ამ შემთხვევაში, განტოლება 8 + 2 = 10 ხდება განტოლება 8 + x= 10 და ცვლადი x უცნობი ტერმინი



ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ეს უცნობი ტერმინი, ანუ ამოხსნათ განტოლება 8 + x= 10. უცნობი ტერმინის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი წევრის საპოვნელად, გამოაკლეთ ცნობილი წევრი ჯამს.

რაც ძირითადად გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ ეს ორი განტოლებაში 8 + 2 = 10. მე-2 წევრის გამოსასახატავად, 10 ჯამს გამოვაკლეთ კიდევ ერთი წევრი 8

2 = 10 − 8

ახლა კი ვიპოვოთ უცნობი ტერმინი x, ჩვენ უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი 8 ჯამს 10:

x = 10 − 8

თუ გამოთვლით მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარეს, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ რის ტოლია ცვლადი x

x = 2

ჩვენ მოვაგვარეთ განტოლება. ცვლადი მნიშვნელობა xუდრის 2. ცვლადის მნიშვნელობის შესამოწმებლად xგაგზავნილია თავდაპირველ განტოლებაზე 8 + x= 10 და ჩაანაცვლეთ x.სასურველია ამის გაკეთება ნებისმიერი ამოხსნილი განტოლებით, რადგან ვერ იქნებით დარწმუნებული, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი:



Როგორც შედეგი

იგივე წესი მოქმედებდა, თუ უცნობი ტერმინი იყო პირველი ნომერი 8.

x + 2 = 10

ამ განტოლებაში xარის უცნობი წევრი, 2 არის ცნობილი წევრი, 10 არის ჯამი. უცნობი ტერმინის საპოვნელად x, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი 2 ჯამს 10

x = 10 − 2

x = 8



დავუბრუნდეთ წინა თემის მეორე მაგალითს, სადაც 8 − 2 = 6 განტოლებაში საჭირო იყო გამოეხატა რიცხვი 8.

განტოლებაში 8 − 2 = 6, რიცხვი 8 არის მინუენდი, ნომერი 2 არის ქვეტრაჰენდი, რიცხვი 6 არის განსხვავება.

8 რიცხვის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

8 = 6 + 2

ანუ დავამატოთ 6-ის სხვაობა და გამოვაკლოთ 2.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 8 − 2 = 6 8 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი. x

x − 2 = 6

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xროლს იღებს ე.წ უცნობი წუთი



უცნობი მინუსის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.

რაც გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 8 განტოლებაში 8 − 2 = 6. მე-8-ის გამოსახატავად, 6-ის სხვაობას დავამატეთ სუბტრაჰენდი 2.

ახლა კი, იპოვო უცნობი მინუს x, მე-6 სხვაობას უნდა დავუმატოთ ქვეტრაჰენდი 2

x = 6 + 2

თუ გამოთვლით მარჯვენა მხარეს, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ, რის ტოლია ცვლადი x

x = 8

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 8 − 2 = 6, რიცხვის 2-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x

8 − x = 6

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი სუბტრაჰენდი

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდისგან.

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 2 განტოლებაში 8 − 2 = 6. რიცხვი 2-ის გამოსახატავად გამოვაკლეთ სხვაობა 6 შემცირებულ 8-ს.

ახლა კი, ვიპოვოთ უცნობი სუბტრაჰენდი x, თქვენ კვლავ უნდა გამოაკლოთ სხვაობა 6 შემცირებულ 8-ს

x = 8 − 6

გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე და იპოვეთ მნიშვნელობა x

x = 2

დავუბრუნდეთ მესამე მაგალითს წინა თემიდან, სადაც განტოლებაში 3 × 2 = 6 ვცადეთ გამოგვეხატა რიცხვი 3.

განტოლებაში 3 × 2 = 6, რიცხვი 3 არის ნამრავლი, რიცხვი 2 არის მამრავლი, რიცხვი 6 არის ნამრავლი.

რიცხვი 3-ის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

ანუ 6-ის ნამრავლი გავყოთ 2-ზე.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 3 × 2 = 6, 3 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x

x×2=6

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი მრავლობითი.

უცნობი მულტიპლიკატორის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:

Პოვნა უცნობი მრავლობითი, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ფაქტორზე.

რაც გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 3 განტოლებიდან 3 × 2 = 6. 6-ის ნამრავლი გავყავით 2-ზე.

ახლა კი ვიპოვოთ უცნობი მულტიპლიკატორი x 6-ის ნამრავლი უნდა გაყოთ 2-ზე.

მარჯვენა მხარის გამოთვლა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა x

x = 3

იგივე წესი მოქმედებს, თუ ცვლადი xმდებარეობს მულტიპლიკატორის ნაცვლად და არა მულტიპლიკატორის. წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 3 × 2 = 6, 2-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x .

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი მულტიპლიკატორი. უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, იგივეა რაც უცნობი მულტიპლიკატორის პოვნაში, კერძოდ, პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე:

უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა მულტიპლიკანდზე.

რაც გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 2 განტოლებიდან 3 × 2 = 6. შემდეგ რიცხვი 2-ის მისაღებად გავყავით 6-ის ნამრავლი 3-ზე.

ახლა კი უცნობი ფაქტორის პოვნა x 6-ის ნამრავლი გავყავით 3-ის ნამრავლზე.

განტოლების მარჯვენა მხარის გამოთვლა საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, რისი ტოლია x

x = 2

გამრავლებასა და მამრავლს ერთად ფაქტორები ეწოდება. ვინაიდან მულტიპლიკატორისა და მულტიპლიკატორის პოვნის წესები ერთნაირია, შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი წესიუცნობი ფაქტორის პოვნა:

უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე.

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება 9 × x= 18 . ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 18 ცნობილ ფაქტორზე 9

მოდი ამოვხსნათ განტოლება x× 3 = 27. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 27 ცნობილ ფაქტორზე 3

Დაუბრუნდი მეოთხე მაგალითიწინა თემიდან, სადაც ტოლობაში საჭირო იყო გამოეხატა რიცხვი 15. ამ ტოლობაში რიცხვი 15 არის დივიდენდი, რიცხვი 5 არის გამყოფი, რიცხვი 3 არის კოეფიციენტი.



15 რიცხვის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

15 = 3 x 5

ანუ გავამრავლოთ 3-ის კოეფიციენტი 5-ის გამყოფზე.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თანასწორობაში 15 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი დივიდენდი.



უცნობი დივიდენდის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:

უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე.

რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 15 ტოლობიდან. რიცხვი 15-ის გამოსახატავად გავამრავლოთ 3-ის კოეფიციენტი 5-ის გამყოფზე.

ახლა კი უცნობი დივიდენდის პოვნა x, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 3-ის კოეფიციენტი 5-ის გამყოფზე

x= 3 × 5

x .

x = 15

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თანასწორობაში 5 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x .

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი გამყოფი .



უცნობი გამყოფის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:

რაც გავაკეთეთ, როცა ტოლობიდან გამოვხატეთ რიცხვი 5. რიცხვი 5-ის გამოსახატავად, დივიდენდი 15 გავყავით 3-ზე.

ახლა კი ვიპოვოთ უცნობი გამყოფი x, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდი 15 კოეფიციენტზე 3

გამოვთვალოთ მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარე. ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რის ტოლია ცვლადი x .

x = 5

ასე რომ, უცნობის მოსაძებნად, ჩვენ შევისწავლეთ შემდეგი წესები:

• უცნობი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს;
• უცნობი minuend-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი განსხვავებას;
• უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად საჭიროა სხვაობა გამოკლოთ მინუენდისგან;
• უცნობი მრავლობითის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა ფაქტორზე;
• უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა მულტიპლიკანდზე;
• უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე;
• უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე.

კომპონენტები

კომპონენტებს დავარქმევთ ტოლობაში შემავალ რიცხვებსა და ცვლადებს

ასე რომ, დამატების კომპონენტებია ვადებიდა ჯამი



გამოკლების კომპონენტებია minuend, სუბტრაჰენდიდა განსხვავება

გამრავლების კომპონენტებია გამრავლება, ფაქტორიდა მუშაობა

გაყოფის კომპონენტებია დივიდენდი, გამყოფი და კოეფიციენტი.

იმის მიხედვით, თუ რომელ კომპონენტებთან გვაქვს საქმე, გამოყენებული იქნება უცნობის პოვნის შესაბამისი წესები. ეს წესები წინა თემაში შევისწავლეთ. განტოლებების ამოხსნისას სასურველია ეს წესები ზეპირად ვიცოდეთ.

მაგალითი 1. იპოვეთ 45+ განტოლების ფესვი x = 60

45 - ვადა, xუცნობი ტერმინია, 60 არის ჯამი. საქმე გვაქვს დამატებით კომპონენტებთან. შეგახსენებთ, რომ უცნობი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს:

x = 60 − 45

გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მიიღეთ მნიშვნელობა xუდრის 15-ს

x = 15

ასე რომ, განტოლების ფესვი არის 45 + x= 60 უდრის 15-ს.

ყველაზე ხშირად, უცნობი ტერმინი უნდა შემცირდეს ისეთ ფორმამდე, რომლითაც იგი შეიძლება გამოიხატოს.

მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა

აქ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, უცნობი ტერმინი არ შეიძლება დაუყოვნებლივ გამოითქვას, რადგან ის შეიცავს კოეფიციენტს 2. ჩვენი ამოცანაა მივიყვანოთ ეს განტოლება იმ ფორმამდე, რომლითაც შესაძლებელი იქნება გამოხატვა. x

ამ მაგალითში საქმე გვაქვს შეკრების კომპონენტებთან - ტერმინებთან და ჯამთან. 2 xარის პირველი წევრი, 4 არის მეორე წევრი, 8 არის ჯამი.

ამ შემთხვევაში, ტერმინი 2 xშეიცავს ცვლადს x. ცვლადის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგ xვადა 2 xსხვა ფორმას მიიღებს. ამიტომ, ტერმინი 2 xშეიძლება მთლიანად იქნას მიღებული უცნობი ტერმინისთვის:



ახლა ჩვენ ვიყენებთ უცნობი ტერმინის პოვნის წესს. გამოვაკლოთ ცნობილი ტერმინი ჯამს:

გამოვთვალოთ მიღებული განტოლების მარჯვენა მხარე:

გვაქვს ახალი განტოლება. ახლა საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან: გამრავლებასთან, მულტიპლიკატორთან და ნამრავლთან. 2 - მამრავლი, x- მულტიპლიკატორი, 4 - პროდუქტი

ამავე დროს, ცვლადი xეს არ არის უბრალოდ ფაქტორი, არამედ უცნობი ფაქტორი

ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი მულტიპლიკანდზე:

გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მიიღეთ ცვლადის მნიშვნელობა x

ნაპოვნი ფესვის შესამოწმებლად, გაგზავნეთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში და ჩაანაცვლეთ x



მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა 3x+ 9x+ 16x= 56

გამოხატეთ უცნობი xაკრძალულია. ჯერ უნდა მიიყვანოთ ეს განტოლება იმ ფორმამდე, რომლითაც ის შეიძლება გამოიხატოს.

ჩვენ წარმოგიდგენთ ამ განტოლების მარცხენა მხარეს:



საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. 28 - მამრავლი, x- მულტიპლიკატორი, 56 - პროდუქტი. სადაც xუცნობი ფაქტორია. უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი მულტიპლიკანდზე:

აქედან xარის 2

ეკვივალენტური განტოლებები

წინა მაგალითში განტოლების ამოხსნისას 3x + 9x + 16x = 56 , ჩვენ მივეცით მსგავსი ტერმინები განტოლების მარცხენა მხარეს. შედეგი არის ახალი განტოლება 28 x= 56 . ძველი განტოლება 3x + 9x + 16x = 56 და შედეგად მიღებული ახალი განტოლება 28 x= 56 დარეკა ეკვივალენტური განტოლებებირადგან მათი ფესვები ერთნაირია.

განტოლებები ექვივალენტურად ითვლება, თუ მათი ფესვები ერთნაირია.

მოდით შევამოწმოთ. განტოლებისთვის 3x+ 9x+ 16x= 56 ჩვენ ვიპოვეთ ფესვი 2-ის ტოლი. ჩაანაცვლეთ ეს ფესვი ჯერ განტოლებაში 3x+ 9x+ 16x= 56 და შემდეგ 28-ე განტოლებაში x= 56, რაც გამოწვეულია წინა განტოლების მარცხენა მხარეს მსგავსი ტერმინების შემცირებით. უნდა მივიღოთ სწორი რიცხვითი ტოლობები



მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ გამრავლება ხდება:



ჩაანაცვლეთ ფესვი 2 მეორე განტოლებაში 28 x= 56



ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე განტოლებას ერთი და იგივე ფესვები აქვს. ასე რომ, განტოლებები 3x+ 9x+ 16x= 6 და 28 x= 56 მართლაც ექვივალენტია.

განტოლების ამოსახსნელად 3x+ 9x+ 16x= 56 ჩვენ გამოვიყენეთ ერთ-ერთი - მსგავსი ტერმინების შემცირება. განტოლების სწორმა იდენტურმა ტრანსფორმაციამ საშუალება მოგვცა მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება 28x= 56, რომლის ამოხსნაც უფრო ადვილია.

იდენტური გარდაქმნებიდან ამ მომენტშიჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ წილადების შემცირება, მსგავსი ტერმინების მოყვანა, ამოღება საერთო ფაქტორიფრჩხილების გარეთ და გახსენით ფრჩხილები. არის სხვა გარდაქმნები, რომლებიც უნდა იცოდეთ. მაგრამ იმისთვის ზოგადი იდეაგანტოლებათა იდენტური გარდაქმნების შესახებ, ჩვენ მიერ შესწავლილი თემები სავსებით საკმარისია.

განვიხილოთ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება

თუ განტოლების ორივე მხარეს ერთსა და იმავე რიცხვს დაუმატებთ, მიიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას.

და ანალოგიურად:

თუ განტოლების ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი გამოვაკლებთ, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ფესვი არ იცვლება, თუ განტოლებას დაემატება (ან გამოკლდება) იგივე რიცხვი.

მაგალითი 1. განტოლების ამოხსნა

გამოვაკლოთ რიცხვი 10 განტოლების ორივე მხარეს



მივიღე განტოლება 5 x= 10. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. უცნობი ფაქტორის პოვნა x 10-ის ნამრავლი უნდა გაყოთ ცნობილ 5-ზე.

და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნია მნიშვნელობა 2



ჩვენ მივიღეთ სწორი ნომერი. ასე რომ, განტოლება სწორია.

განტოლების ამოხსნა ჩვენ გამოვაკლეთ რიცხვი 10 განტოლების ორივე მხარეს. შედეგი არის ექვივალენტური განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები ასევე უდრის 2-ს

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 4( x+ 3) = 16

გამოვაკლოთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს

მარცხენა მხარე იქნება 4 xდა მარჯვენა მხარეს ნომერი 4

მივიღე განტოლება 4 x= 4. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. უცნობი ფაქტორის პოვნა x, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 4 ცნობილ კოეფიციენტ 4-ზე

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას 4( x+ 3) = 16 და ჩაანაცვლე xნაპოვნია მნიშვნელობა 1



ჩვენ მივიღეთ სწორი ნომერი. ასე რომ, განტოლება სწორია.

განტოლების ამოხსნა 4( x+ 3) = 16 ჩვენ გამოვაკლეთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ექვივალენტური განტოლება 4 x= 4. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები 4( x+ 3) = 16 ასევე უდრის 1-ს

მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა

მოდით გავაფართოვოთ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები:

რიცხვი 8 მივუმატოთ განტოლების ორივე მხარეს

ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს განტოლების ორივე ნაწილში:

მარცხენა მხარე იქნება 2 xდა მარჯვენა მხარეს ნომერი 9

მიღებულ განტოლებაში 2 x= 9 გამოვხატავთ უცნობ ტერმინს x

დაუბრუნდით საწყის განტოლებას და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნი მნიშვნელობა 4.5



ჩვენ მივიღეთ სწორი ნომერი. ასე რომ, განტოლება სწორია.

განტოლების ამოხსნა განტოლების ორივე მხარეს დავამატეთ რიცხვი 8. შედეგად მივიღეთ ეკვივალენტური განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები ასევე უდრის 4,5-ს

შემდეგი წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, შემდეგია

თუ განტოლებაში ტერმინს გადავიტანთ ერთი ნაწილიდან მეორეზე, შევცვლით მის ნიშანს, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას.

ანუ განტოლების ძირი არ შეიცვლება, თუ ტერმინს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ მისი ნიშნის შეცვლით. ეს თვისება არის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი და ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული განტოლებების ამოხსნისას.

განვიხილოთ შემდეგი განტოლება:

ამ განტოლების ფესვი არის 2. ჩანაცვლება ნაცვლად xეს ფესვი და შეამოწმეთ მიღებულია თუ არა სწორი რიცხვითი ტოლობა



გამოდის სწორი თანასწორობა. ასე რომ, რიცხვი 2 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი.

ახლა შევეცადოთ ექსპერიმენტი ჩავატაროთ ამ განტოლების ტერმინებით, გადავიტანოთ ისინი ერთი ნაწილიდან მეორეზე, შევცვალოთ ნიშნები.

მაგალითად, ტერმინი 3 xმდებარეობს განტოლების მარცხენა მხარეს. მოდით გადავიტანოთ იგი მარჯვენა მხარეს, შევცვალოთ ნიშანი საპირისპიროდ:



აღმოჩნდა განტოლება 12 = 9x − 3x . ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს:



xუცნობი ფაქტორია. მოდი ვიპოვოთ ეს ცნობილი ფაქტორი:

აქედან x= 2. როგორც ხედავთ, განტოლების ფესვი არ შეცვლილა. ასე რომ, განტოლებები 12 + 3 x = 9xდა 12 = 9x − 3x ექვივალენტები არიან.

რეალურად, მოცემული ტრანსფორმაციაარის წინა გარდაქმნის გამარტივებული მეთოდი, სადაც ერთი და იგივე რიცხვი დაემატა (ან გამოკლდა) განტოლების ორივე მხარეს.

ჩვენ ვთქვით, რომ განტოლებაში 12 + 3 x = 9xვადა 3 xნიშნის შეცვლით მარჯვენა მხარეს გადავიდა. სინამდვილეში მოხდა შემდეგი: ტერმინი 3 გამოკლდა განტოლების ორივე მხარეს x



შემდეგ მსგავსი ტერმინები იქნა მოცემული მარცხენა მხარეს და მიღებული განტოლება 12 = 9x − 3x. შემდეგ კვლავ მიიღეს მსგავსი ტერმინები, მაგრამ მარჯვენა მხარეს და მიიღეს განტოლება 12 = 6 x.

მაგრამ ეგრეთ წოდებული „გადაცემა“ უფრო მოსახერხებელია ასეთი განტოლებისთვის, რის გამოც იგი ასე გავრცელდა. განტოლებების ამოხსნისას ჩვენ ხშირად გამოვიყენებთ ამ კონკრეტულ ტრანსფორმაციას.

12 + 3 განტოლებები ასევე ეკვივალენტურია x= 9xდა 3x - 9x= −12 . ამჯერად 12 + 3 განტოლებაში x= 9xტერმინი 12 გადავიდა მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინი 9 xმარცხნივ. არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ტრანსფერის დროს შეიცვალა ამ პირობების ნიშნები



შემდეგი წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ექვივალენტური განტოლება, შემდეგია:

თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ფესვები არ იცვლება, თუ ორივე მხარე გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე. ეს ქმედება ხშირად გამოიყენება, როდესაც თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება, რომელიც შეიცავს წილადი გამონათქვამები.

პირველ რიგში, განიხილეთ მაგალითები, რომლებშიც განტოლების ორივე მხარე გამრავლდება იმავე რიცხვზე.

მაგალითი 1. განტოლების ამოხსნა

წილადური გამონათქვამების შემცველი განტოლებების ამოხსნისას, პირველ რიგში, ჩვეულებრივ ხდება ამ განტოლების გამარტივება.

ამ შემთხვევაში სწორედ ასეთ განტოლებასთან გვაქვს საქმე. ამ განტოლების გასამარტივებლად, ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ 8-ზე:



ჩვენ გვახსოვს, რომ , თქვენ უნდა გაამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე. გვაქვს ორი წილადი და თითოეული მათგანი მრავლდება 8-ზე. ჩვენი ამოცანაა წილადების მრიცხველები გავამრავლოთ ამ რიცხვზე 8-ზე.



ახლა ყველაზე საინტერესო ხდება. ორივე წილადის მრიცხველები და მნიშვნელები შეიცავს 8-ის კოეფიციენტს, რომელიც შეიძლება შემცირდეს 8-ით. ეს საშუალებას მოგვცემს თავი დავაღწიოთ წილადის გამოსახულებას:



შედეგად, უმარტივესი განტოლება რჩება

ისე, ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 4

xნაპოვნია მნიშვნელობა 4



გამოდის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.

ამ განტოლების ამოხსნისას მისი ორივე ნაწილი გავამრავლეთ 8-ზე. შედეგად მივიღეთ განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები, არის 4. ასე რომ, ეს განტოლებები ეკვივალენტურია.

მამრავლი, რომლითაც მრავლდება განტოლების ორივე ნაწილი, ჩვეულებრივ იწერება განტოლების ნაწილის წინ და არა მის შემდეგ. ასე რომ, განტოლების ამოხსნით, ორივე ნაწილი გავამრავლეთ 8-ზე და მივიღეთ შემდეგი ჩანაწერი:



აქედან გამომდინარე, განტოლების ფესვი არ შეცვლილა, მაგრამ ეს რომ გაგვეკეთებინა სკოლაში ყოფნისას, შენიშვნას მოგვცემდნენ, რადგან ალგებრაში ჩვეულებრივად არის დაწერილი ფაქტორი იმ გამოსახულებამდე, რომლითაც იგი მრავლდება. მაშასადამე, განტოლების ორივე მხარის 8-ზე გამრავლება სასურველია გადაწეროთ შემდეგნაირად:



მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა



მარცხენა მხარეს მე-15 ფაქტორი შეიძლება შემცირდეს 15-ით, ხოლო მარჯვენა მხარეს 15 და 5 ფაქტორები შეიძლება შემცირდეს 5-ით.



მოდით გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების მარჯვენა მხარეს:

გადავიტანოთ ტერმინი xგანტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. და ტერმინი 15 განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაინაცვლებს მარცხენა მხარეს, ისევ შეცვლით ნიშანს:

ორივე ნაწილში მსგავს ტერმინებს მოვიტანთ, მივიღებთ

საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. ცვლადი x

დაუბრუნდით საწყის განტოლებას და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნია მნიშვნელობა 5



გამოდის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია. ამ განტოლების ამოხსნისას ორივე მხარე გავამრავლეთ 15-ზე. გარდა ამისა, იდენტური გარდაქმნების შესრულებით, მივიღეთ განტოლება 10 = 2 x. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები უდრის 5. ასე რომ, ეს განტოლებები ექვივალენტურია.

მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა



მარცხენა მხარეს ორი სამმაგი შეიძლება შემცირდეს, ხოლო მარჯვენა მხარე 18-ის ტოლი იქნება



უმარტივესი განტოლება რჩება. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. მოდი ვიპოვოთ ეს ცნობილი ფაქტორი:

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და ჩავანაცვლოთ xნაპოვნია მნიშვნელობა 9

გამოდის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.

მაგალითი 4. განტოლების ამოხსნა

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე



გახსენით ფრჩხილები განტოლების მარცხენა მხარეს. მარჯვენა მხარეს, კოეფიციენტი 6 შეიძლება გაიზარდოს მრიცხველზე:



განტოლების ორივე ნაწილში ვამცირებთ იმას, რაც შეიძლება შემცირდეს:



გადავიწეროთ რაც დაგვრჩა:

ჩვენ ვიყენებთ ტერმინების გადაცემას. უცნობის შემცველი ტერმინები x, ჩვენ ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობი ტერმინები - მარჯვნივ:

წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს ორივე ნაწილში:



ახლა იპოვნეთ ღირებულებაცვლადი x. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს 28 ცნობილ კოეფიციენტ 7-ზე

აქედან x= 4.

დაუბრუნდით საწყის განტოლებას და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნია მნიშვნელობა 4



აღმოჩნდა სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.

მაგალითი 5. განტოლების ამოხსნა

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე ნაწილში, სადაც ეს შესაძლებელია:

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე

გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე ნაწილში:

მოდით, განტოლების ორივე ნაწილში შევამციროთ ის, რაც შეიძლება შემცირდეს:



გადავიწეროთ რაც დაგვრჩა:

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები, სადაც ეს შესაძლებელია:

ჩვენ ვიყენებთ ტერმინების გადაცემას. უცნობის შემცველი ტერმინები დაჯგუფებულია განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობი ტერმინები დაჯგუფებულია მარჯვენა მხარეს. არ დაგავიწყდეთ, რომ გადაცემის დროს, პირობები ცვლის მათ ნიშნებს საპირისპიროდ:

ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს განტოლების ორივე ნაწილში:



მოდი ვიპოვოთ ღირებულება x

მიღებულ პასუხში შეგიძლიათ აირჩიოთ მთელი ნაწილი:



დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და ჩავანაცვლოთ xნაპოვნი ღირებულება



საკმაოდ უხერხული გამოთქმა გამოდის. მოდით გამოვიყენოთ ცვლადები. ტოლობის მარცხენა მხარე ჩავსვით ცვლადში ა, და ტოლობის მარჯვენა მხარე ცვლადად ბ



ჩვენი ამოცანაა დავრწმუნდეთ, რომ მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დაამტკიცეთ ტოლობა A = B

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა A ცვლადში.



ცვლადი მნიშვნელობა მაგრამუდრის . ახლა ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა ბ. ანუ ჩვენი თანასწორობის მარჯვენა მხარის ღირებულება. თუ ის უდრის , მაშინ განტოლება გადაიჭრება სწორად



ჩვენ ვხედავთ, რომ ცვლადის მნიშვნელობა ბ, ისევე როგორც A ცვლადის მნიშვნელობა არის . ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლია. აქედან ვასკვნით, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

ახლა შევეცადოთ არა განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ ერთ რიცხვზე, არამედ გავყოთ.

განვიხილოთ განტოლება 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . ჩვენ ვხსნით მას ჩვეულებრივი გზით: ვაჯგუფებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს უცნობებს განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობისაგან თავისუფალი ტერმინებს მარჯვნივ. გარდა ამისა, ცნობილი იდენტური გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას x



შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა 2-ის ნაცვლად xთავდაპირველ განტოლებაში:



ახლა შევეცადოთ გამოვყოთ განტოლების ყველა პირობა 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 რაღაც რიცხვით აღვნიშნავთ, რომ ამ განტოლების ყველა წევრს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2. თითოეულ წევრს ვყოფთ მასზე:

თითოეულ ტერმინში შევამციროთ:



გადავიწეროთ რაც დაგვრჩა:

ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას ცნობილი იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით:



მივიღეთ ფესვი 2. ასე რომ, განტოლებები 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 და 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ექვივალენტები არიან.

განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფა საშუალებას გაძლევთ გაათავისუფლოთ უცნობი კოეფიციენტისგან. წინა მაგალითში, როდესაც მივიღეთ განტოლება 7 x= 14, ჩვენ გვჭირდებოდა ნამრავლი 14 გავყოთ ცნობილ კოეფიციენტ 7-ზე. მაგრამ თუ უცნობის მარცხენა მხარეს 7 კოეფიციენტისგან გავათავისუფლებთ, ფესვი მაშინვე მოიძებნება. ამისათვის საკმარისი იყო ორივე ნაწილის 7-ზე გაყოფა

ამ მეთოდსაც ხშირად გამოვიყენებთ.

გავამრავლოთ მინუს ერთზე

თუ განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია მინუს ერთზე, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.

ეს წესი გამომდინარეობს იქიდან, რომ განტოლების ორივე ნაწილის ერთ რიცხვზე გამრავლების (ან გაყოფის) შედეგად ამ განტოლების ფესვი არ იცვლება. ეს ნიშნავს, რომ ფესვი არ შეიცვლება, თუ მისი ორივე ნაწილი გამრავლდება −1-ზე.

ეს წესი საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ განტოლებაში შემავალი ყველა კომპონენტის ნიშნები. Რისთვის არის? ისევ და ისევ, რომ მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, რომლის ამოხსნაც უფრო ადვილია.

განვიხილოთ განტოლება. Რა უდრის ფესვსეს განტოლება?

მოდით მივუმატოთ რიცხვი 5 განტოლების ორივე მხარეს

აქ არის მსგავსი ტერმინები:



და ახლა გავიხსენოთ ამის შესახებ. რა არის განტოლების მარცხენა მხარე. ეს არის მინუს ერთი და ცვლადის ნამრავლი x

ანუ მინუსი ცვლადის წინ xარ ეხება თავად ცვლადს x, მაგრამ ერთეულზე, რომელსაც ჩვენ ვერ ვხედავთ, რადგან ჩვეულებრივია არ ჩავწეროთ კოეფიციენტი 1. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სინამდვილეში ასე გამოიყურება:

საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. Პოვნა X, თქვენ უნდა გაყოთ ნამრავლი −5 ცნობილ კოეფიციენტზე −1 .

ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე −1-ზე, რაც კიდევ უფრო ადვილია



ასე რომ, განტოლების ფესვი არის 5. შესამოწმებლად, ჩვენ ვცვლით მას თავდაპირველ განტოლებაში. არ დაგავიწყდეთ, რომ თავდაპირველ განტოლებაში, მინუსი ცვლადის წინ xეხება უხილავ ერთეულს



აღმოჩნდა სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.

ახლა შევეცადოთ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე მინუს ერთზე:

ფრჩხილების გახსნის შემდეგ გამოთქმა იქმნება მარცხენა მხარეს, ხოლო მარჯვენა მხარე იქნება 10-ის ტოლი.

ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება, არის 5



ასე რომ, განტოლებები ექვივალენტურია.

მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა

ამ განტოლებაში ყველა კომპონენტი უარყოფითია. უფრო მოსახერხებელია დადებით კომპონენტებთან მუშაობა, ვიდრე უარყოფით კომპონენტებთან, ამიტომ შევცვალოთ განტოლებაში შემავალი ყველა კომპონენტის ნიშნები. ამისათვის გაამრავლეთ ამ განტოლების ორივე მხარე −1-ზე.

ცხადია, რომ −1-ზე გამრავლების შემდეგ ნებისმიერი რიცხვი თავის ნიშანს საპირისპიროდ ცვლის. მაშასადამე, −1-ზე გამრავლებისა და ფრჩხილების გახსნის პროცესი დეტალურად არ არის აღწერილი, მაგრამ საპირისპირო ნიშნების მქონე განტოლების კომპონენტები მაშინვე იწერება.

ასე რომ, განტოლების −1-ზე გამრავლება შეიძლება დეტალურად ჩაიწეროს შემდეგნაირად:



ან შეგიძლიათ უბრალოდ შეცვალოთ ყველა კომპონენტის ნიშნები:



იგივე გამოვა, მაგრამ განსხვავება ის იქნება, რომ ჩვენ დავზოგავთ დროს.

ასე რომ, განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ −1-ზე, მივიღებთ განტოლებას. მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება. გამოვაკლოთ რიცხვი 4 ორივე ნაწილს და გავყოთ ორივე ნაწილი 3-ზე



როდესაც ფესვი იპოვება, ცვლადი ჩვეულებრივ იწერება მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი მნიშვნელობა მარჯვნივ, რაც ჩვენ გავაკეთეთ.

მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე −1-ზე. შემდეგ ყველა კომპონენტი შეცვლის თავის ნიშნებს საპირისპიროდ:



გამოვაკლოთ 2 მიღებულ განტოლებას ორივე მხარეს xდა დაამატეთ მსგავსი ტერმინები:



განტოლების ორივე ნაწილს ვამატებთ ერთიანობას და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:

ნულის ტოლფასი

ახლახან გავიგეთ, რომ თუ განტოლებაში ტერმინს ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ მისი ნიშნის შეცვლით, მივიღებთ მოცემულის ტოლ განტოლებას.

და რა მოხდება, თუ ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ არა ერთ ტერმინს, არამედ ყველა ტერმინს? ასეა, იმ ნაწილში, საიდანაც ყველა ტერმინი იქნა აღებული, ნული დარჩება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აღარაფერი დარჩება.

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. ამ განტოლებას ჩვეულებრივად ვხსნით - ერთ ნაწილში ვაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, მეორეში კი რიცხვით ტერმინებს უცნობებისგან თავისუფალი ვტოვებთ. გარდა ამისა, ცნობილი იდენტური გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვპოულობთ ცვლადის მნიშვნელობას x



ახლა შევეცადოთ ამოხსნათ იგივე განტოლება მისი ყველა კომპონენტის ნულთან გათანაბრებით. ამისათვის ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, ნიშნების შეცვლით:



აქ არის მსგავსი ტერმინები მარცხენა მხარეს:



ორივე ნაწილს მივუმატოთ 77 და გავყოთ ორივე ნაწილი 7-ზე

უცნობების პოვნის წესების ალტერნატივა

ცხადია, განტოლებების იდენტური გარდაქმნების შესახებ ცოდნით, არ შეიძლება უცნობის პოვნის წესების დამახსოვრება.

მაგალითად, განტოლებაში უცნობის საპოვნელად, ნამრავლი 10 გავყავით ცნობილ კოეფიციენტ 2-ზე

მაგრამ თუ განტოლებაში ორივე ნაწილი იყოფა 2-ზე, მაშინვე იპოვება ფესვი. განტოლების მარცხენა მხარეს 2 კოეფიციენტი მრიცხველში და კოეფიციენტი 2 მნიშვნელში შემცირდება 2-ით. ხოლო მარჯვენა მხარე უდრის 5-ს.

ფორმის განტოლებები ამოვხსენით უცნობი ტერმინის გამოსახატავად:

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც დღეს შევისწავლეთ. განტოლებაში ტერმინი 4 შეიძლება გადავიდეს მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით:

განტოლების მარცხენა მხარეს ორი დუუსი შემცირდება. მარჯვენა მხარე იქნება 2-ის ტოლი. აქედან გამომდინარე.

ან შეგიძლიათ გამოაკლოთ 4 განტოლების ორივე მხარეს და მიიღებთ შემდეგს:



ფორმის განტოლების შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით. მოდით შევადაროთ ორივე გამოსავალი:



პირველი გამოსავალი გაცილებით მოკლე და სუფთაა. მეორე გამოსავალი შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს, თუ თქვენ გააკეთებთ დაყოფას თქვენს თავში.

თუმცა, თქვენ უნდა იცოდეთ ორივე მეთოდი და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოიყენოთ ის, რაც ყველაზე მეტად მოგწონთ.

როცა რამდენიმე ფესვია

განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ფესვი. მაგალითად განტოლება x(x + 9) = 0-ს აქვს ორი ფესვი: 0 და −9.



განტოლებაში x(x + 9) = 0 საჭირო იყო ასეთი მნიშვნელობის პოვნა xრომლის მარცხენა მხარე ნულის ტოლი იქნება. ამ განტოლების მარცხენა მხარე შეიცავს გამონათქვამებს xდა (x + 9), რომლებიც ფაქტორებია. პროდუქტის კანონებიდან ვიცით, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ფაქტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია (პირველი ფაქტორი ან მეორე).

ანუ განტოლებაში x(x + 9) = 0 თანასწორობა მიიღწევა თუ xიქნება ნული ან (x + 9)იქნება ნული.

x= 0 ან x + 9 = 0

ამ ორივე გამონათქვამის ნულის ტოლფასი, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები x(x + 9) = 0. პირველი ფესვი, როგორც მაგალითიდან ჩანს, მაშინვე იქნა ნაპოვნი. მეორე ფესვის მოსაძებნად საჭიროა გადაჭრა ელემენტარული განტოლება x+ 9 = 0. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ფესვი არის −9. შემოწმება აჩვენებს, რომ ფესვი სწორია:

−9 + 9 = 0

მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა

ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი: 1 და 2. განტოლების მარცხენა მხარე არის გამონათქვამების ნამრავლი ( x− 1) და ( x− 2) . და ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ფაქტორებიდან ერთი მაინც არის ნულის ტოლი (ან ფაქტორი ( x− 1) ან ფაქტორი ( x − 2) ).

მოდი ვიპოვოთ xრომლის ქვეშ არის გამონათქვამები ( x− 1) ან ( x− 2) გაქრება:



აღმოჩენილ მნიშვნელობებს თავის მხრივ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში და დავრწმუნდებით, რომ ამ მნიშვნელობებით მარცხენა მხარე ნულის ტოლია:



როცა უსაზღვროდ ბევრი ფესვია

განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ფესვი. ანუ ნებისმიერი რიცხვის ასეთ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას.

მაგალითი 1. განტოლების ამოხსნა

ამ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ გახსენით განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები და მოიყვანთ მსგავსი ტერმინები, მაშინ მიიღებთ ტოლობას 14 \u003d 14. ეს თანასწორობა მიიღება ნებისმიერისთვის x



მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა

ამ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ თქვენ გახსნით ფრჩხილებს განტოლების მარცხენა მხარეს, მიიღებთ ტოლობას 10x + 12 = 10x + 12. ეს თანასწორობა მიიღება ნებისმიერისთვის x

როცა ფესვები არ არის

ასევე ხდება, რომ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ანუ არ აქვს ფესვები. მაგალითად, განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x, განტოლების მარცხენა მხარე არ იქნება მარჯვენა მხარის ტოლი. მაგალითად, მოდით. შემდეგ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას



მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა

მოდით გავაფართოვოთ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები:

აქ არის მსგავსი ტერმინები:



ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე არ არის მარჯვენა მხარის ტოლი. და ასე იქნება ნებისმიერი ღირებულებისთვის წ. მაგალითად, მოდით წ = 3 .



ასო განტოლებები

განტოლება შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ რიცხვებს ცვლადებით, არამედ ასოებსაც.

მაგალითად, სიჩქარის პოვნის ფორმულა არის პირდაპირი განტოლება:

ეს განტოლება აღწერს სხეულის სიჩქარეს ერთნაირად აჩქარებულ მოძრაობაში.

სასარგებლო უნარი არის ასოების განტოლებაში შემავალი ნებისმიერი კომპონენტის გამოხატვის უნარი. მაგალითად, განტოლებიდან მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოხატოთ ცვლადი ს .

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე ტ



ცვლადები მარჯვნივ ტშემცირება მიერ ტ



შედეგად განტოლებაში, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები ერთმანეთს ენაცვლება:



ჩვენ მივიღეთ მანძილის პოვნის ფორმულა, რომელიც ადრე შევისწავლეთ.

შევეცადოთ განტოლებიდან განვსაზღვროთ დრო. ამისათვის თქვენ უნდა გამოხატოთ ცვლადი ტ .

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე ტ



ცვლადები მარჯვნივ ტშემცირება მიერ ტდა გადაწერეთ რაც დაგვრჩა:



მიღებულ განტოლებაში v × t = sგაყავით ორივე ნაწილად ვ

ცვლადები მარცხნივ ვშემცირება მიერ ვდა გადაწერეთ რაც დაგვრჩა:

ჩვენ მივიღეთ დროის განსაზღვრის ფორმულა, რომელიც ადრე შევისწავლეთ.

დავუშვათ, რომ მატარებლის სიჩქარე 50 კმ/სთ-ია

ვ= 50 კმ/სთ

ხოლო მანძილი 100 კმ

ს= 100 კმ

შემდეგ წერილი მიიღებს შემდეგ ფორმას

ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ დრო. ამისათვის თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ტ. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უცნობი გამყოფის პოვნის წესი დივიდენდის კოეფიციენტზე გაყოფით და ამით განსაზღვროთ ცვლადის მნიშვნელობა. ტ

ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ იდენტური გარდაქმნები. ჯერ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ტ



შემდეგ ორივე ნაწილი გავყოთ 50-ზე



მაგალითი 2 x

გამოვაკლოთ განტოლების ორივე მხარეს ა



გაყავით განტოლების ორივე მხარე ბ



a + bx = c, მაშინ გვექნება ანაზრაურების გადაწყვეტა. საკმარისი იქნება მასში ჩანაცვლება სასურველი ღირებულებები. ის მნიშვნელობები, რომლებიც შეიცვლება ასოებით ა, ბ, გდაურეკა პარამეტრები. და ფორმის განტოლებები a + bx = cდაურეკა განტოლება პარამეტრებით. პარამეტრებიდან გამომდინარე, ფესვი შეიცვლება.

ამოხსენით განტოლება 2 + 4 x= 10. ის ლიტერატურულ განტოლებას ჰგავს a + bx = c. იდენტური გარდაქმნების ნაცვლად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ მზა გამოსავალი. მოდით შევადაროთ ორივე გამოსავალი:



ჩვენ ვხედავთ, რომ მეორე გამოსავალი გაცილებით მარტივი და მოკლეა.

სრული გადაწყვეტისთვის, თქვენ უნდა გააკეთოთ პატარა შენიშვნა. Პარამეტრი ბარ უნდა იყოს ნული (b ≠ 0), ვინაიდან ნულზე გაყოფა დაუშვებელია.

მაგალითი 3. მოცემულია პირდაპირი განტოლება. გამოხატეთ ამ განტოლებიდან x

გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე ნაწილში

ჩვენ ვიყენებთ ტერმინების გადაცემას. ცვლადის შემცველი პარამეტრები x, ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო ამ ცვლადისგან თავისუფალ პარამეტრებს - მარჯვნივ.

მარცხენა მხარეს ვიღებთ ფაქტორს x

ორივე ნაწილი დაყავით გამოსახულებად ა-ბ



მარცხენა მხარეს, მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს ა-ბ. ასე რომ, ცვლადი საბოლოოდ გამოხატულია x



ახლა, თუ შევხვდებით ფორმის განტოლებას a(x − c) = b(x + d), მაშინ გვექნება მზა გამოსავალი. საკმარისი იქნება მასში საჭირო მნიშვნელობების ჩანაცვლება.

დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს განტოლება 4(x - 3) = 2(x+ 4) . ის ჰგავს განტოლებას a(x − c) = b(x + d). ჩვენ ვხსნით მას ორი გზით: იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით და მზა გადაწყვეტის გამოყენებით:

მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ამოვიღებთ განტოლებიდან 4(x - 3) = 2(x+ 4) პარამეტრის მნიშვნელობები ა, ბ, გ, დ . ეს საშუალებას მოგვცემს არ დავუშვათ შეცდომები ჩანაცვლებისას:



როგორც წინა მაგალითში, აქ მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულის ტოლი ( a - b ≠ 0). თუ შევხვდებით ფორმის განტოლებას a(x − c) = b(x + d)რომელშიც პარამეტრები ადა ბიგივეა, ამოხსნის გარეშე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან განსხვავებაა იგივე ნომრებიუდრის ნულს.

მაგალითად, განტოლება 2(x − 3) = 2(x + 4)არის ფორმის განტოლება a(x − c) = b(x + d). განტოლებაში 2(x − 3) = 2(x + 4)პარამეტრები ადა ბიგივე. თუ მის ამოხსნას დავიწყებთ, მაშინ მივალთ დასკვნამდე, რომ მარცხენა მხარე არ იქნება მარჯვენა მხარის ტოლი:



მაგალითი 4. მოცემულია პირდაპირი განტოლება. გამოხატეთ ამ განტოლებიდან x

განტოლების მარცხენა მხარეს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

გავამრავლოთ ორივე მხარე ა



Მარცხნივ xამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან



ორივე ნაწილს ვყოფთ გამოსახულებით (1 − ა)



წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით

ამ გაკვეთილზე განხილული განტოლებები ე.წ პირველი ხარისხის წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით.

თუ განტოლება მოცემულია პირველ ხარისხში, არ შეიცავს გაყოფას უცნობიდან და ასევე არ შეიცავს ფესვებს უცნობიდან, მაშინ მას შეიძლება ეწოდოს წრფივი. ჩვენ ჯერ არ შეგვისწავლია ხარისხები და ფესვები, ამიტომ იმისათვის, რომ არ გავართულოთ ჩვენი ცხოვრება, ჩვენ გავიგებთ სიტყვას "წრფივი", როგორც "მარტივი".

ამ გაკვეთილზე ამოხსნილი განტოლებების უმეტესობა დასრულდა უმარტივეს განტოლებამდე, რომელშიც პროდუქტი უნდა გაიყოს ცნობილ ფაქტორზე. მაგალითად, განტოლება 2 ( x+ 3) = 16 . მოდი მოვაგვაროთ.

გავხსნათ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები, მივიღებთ 2-ს x+ 6 = 16. ტერმინი 6 გადავიტანოთ მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. შემდეგ მივიღებთ 2-ს x= 16 − 6. გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ 2-ს x= 10. საპოვნელად x, პროდუქტს 10-ზე ვყოფთ ცნობილ კოეფიციენტ 2-ზე. აქედან გამომდინარე x = 5.

განტოლება 2 ( x+ 3) = 16 არის წრფივი. იგი შემცირდა მე-2 განტოლებამდე x= 10, რომლის ფესვის საპოვნელად საჭირო იყო პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით. ეს მარტივი განტოლება ე.წ პირველი ხარისხის წრფივი განტოლება ერთი უცნობით კანონიკური ფორმით. სიტყვა "კანონიკური" სინონიმია სიტყვების "მარტივი" ან "ნორმალური".

პირველი ხარისხის წრფივ განტოლებას ერთი უცნობი კანონიკური ფორმით ეწოდება ფორმის განტოლება. ცული = ბ.

ჩვენი განტოლება 2 x= 10 არის პირველი ხარისხის წრფივი განტოლება ერთი უცნობით კანონიკური ფორმით. ამ განტოლებას აქვს პირველი ხარისხი, ერთი უცნობი, ის არ შეიცავს უცნობზე დაყოფას და არ შეიცავს ფესვებს უცნობიდან და წარმოდგენილია კანონიკური სახით, ანუ უმარტივესი სახით, რომელშიც ადვილია დადგენა ღირებულება x. პარამეტრების ნაცვლად ადა ბჩვენი განტოლება შეიცავს ციფრებს 2 და 10. მაგრამ მსგავსი განტოლება შეიძლება შეიცავდეს სხვა რიცხვებს: დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი.

თუ წრფივ განტოლებაში ა= 0 და ბ= 0, მაშინ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი. მართლაც, თუ აარის ნული და ბუდრის ნულს, შემდეგ წრფივ განტოლებას ნაჯახი= ბიღებს ფორმას 0 x= 0. ნებისმიერი ღირებულებისთვის xმარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლი იქნება.

თუ წრფივ განტოლებაში ა= 0 და ბ≠ 0, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. მართლაც, თუ აარის ნული და ბრაღაც რიცხვის ტოლი ნულითქვით რიცხვი 5, შემდეგ განტოლება ცული=ბიღებს ფორმას 0 x= 5 . მარცხენა მხარე იქნება ნული, ხოლო მარჯვენა მხარე ხუთი. და ნული არ უდრის ხუთს.

თუ წრფივ განტოლებაში ა≠ 0 და ბნებისმიერი რიცხვის ტოლია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. იგი განისაზღვრება პარამეტრის გაყოფით ბთითო პარამეტრზე ა

მართლაც, თუ აუდრის რაღაც არანულოვან რიცხვს, ვთქვათ რიცხვი 3 და ბუდრის რომელიმე რიცხვს, ვთქვათ რიცხვი 6, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას.
აქედან.

არსებობს პირველი ხარისხის წრფივი განტოლების დაწერის სხვა ფორმა ერთი უცნობით. ეს ასე გამოიყურება: ცული − ბ= 0. ეს არის იგივე განტოლება, რაც ცული=ბ

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოგვიერთდით ახალი ჯგუფი Vkontakte და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ

ამისთვის წრფივი განტოლებების ამონახსნებიგამოიყენეთ ორი ძირითადი წესი (თვისებები).

ქონება #1
ან
გადაცემის წესი

განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანისას, განტოლების ტერმინი ცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ.

გადავხედოთ გადაცემის წესს მაგალითით. დავუშვათ, რომ ჩვენ გვჭირდება წრფივი განტოლების ამოხსნა.

შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერ განტოლებას აქვს მარცხენა და მარჯვენა მხარე.



გადავიტანოთ რიცხვი „3“ განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ.

ვინაიდან რიცხვს "3" ჰქონდა "+" ნიშანი განტოლების მარცხენა მხარეს, ეს ნიშნავს, რომ "3" გადაეცემა განტოლების მარჯვენა მხარეს "-" ნიშნით.



შედეგად მიღებული რიცხვითი მნიშვნელობა " x \u003d 2" ეწოდება განტოლების ფესვს.

არ დაგავიწყდეთ პასუხის ჩაწერა ნებისმიერი განტოლების ამოხსნის შემდეგ.

განვიხილოთ სხვა განტოლება.

გადაცემის წესის მიხედვით, განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ „4x“-ს, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლას.

მიუხედავად იმისა, რომ არ არის ნიშანი "4x"-მდე, ჩვენ გვესმის, რომ არის "+" ნიშანი "4x"-მდე.

ახლა ვაძლევთ მსგავსებს და ვხსნით განტოლებას ბოლომდე.

ქონება #2
ან
გაყოფის წესი

ნებისმიერ განტოლებაში შეგიძლიათ გაყოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები იმავე რიცხვზე.

მაგრამ უცნობზე ვერ გაყოფ!

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ გამოვიყენოთ გაყოფის წესი წრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

რიცხვს "4", რომელიც დგას "x", ეწოდება უცნობის რიცხვითი კოეფიციენტი.



რიცხვით კოეფიციენტსა და უცნობს შორის ყოველთვის არის გამრავლების მოქმედება.

განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა დავრწმუნდეთ, რომ "x"-ზე არის კოეფიციენტი "1".

დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: "რაზე გჭირდებათ" 4"-ის გაყოფა
მიიღეთ "1"?. პასუხი აშკარაა, თქვენ უნდა გაყოთ "4-ზე".

გამოიყენეთ გაყოფის წესი და გაყავით განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები "4-ზე". არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენ უნდა გაყოთ ორივე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები.



ვიყენებთ წილადების შემცირებას და ვხსნით წრფივ განტოლებას ბოლომდე.



როგორ ამოხსნათ განტოლება, თუ "x" უარყოფითია

ხშირად განტოლებებში არის სიტუაცია, როდესაც არის უარყოფითი კოეფიციენტი "x". როგორც ქვემოთ მოცემულ განტოლებაში.

ასეთი განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ კვლავ ვუსვამთ საკუთარ თავს კითხვას: "რაზე გჭირდებათ "-2"-ზე გაყოფა "1"-ის მისაღებად?". გაყოფა "-2"-ზე.

წრფივი განტოლებები. პირველი დონე.

გსურთ გამოსცადოთ თქვენი ძალა და გაარკვიოთ რამდენად მზად ხართ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან OGE-სთვის?

1. წრფივი განტოლება

Ეს არის ალგებრული განტოლება, რომელი სრული ხარისხიმისი შემადგენელი მრავალწევრების ტოლია.

2. წრფივი განტოლება ერთი ცვლადითროგორც ჩანს:

სად და არის ნებისმიერი რიცხვი;

3. წრფივი განტოლება ორი ცვლადითროგორც ჩანს:

სად და არის ნებისმიერი რიცხვი.

4. იდენტობის გარდაქმნები

იმის დასადგენად, არის თუ არა განტოლება წრფივი, აუცილებელია იდენტური გარდაქმნების გაკეთება:

• ტერმინების მსგავსად იმოძრავეთ მარცხნივ/მარჯვნივ, არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა;
• გავამრავლოთ/გაყოთ განტოლების ორივე მხარე იმავე რიცხვზე.

რა არის "წრფივი განტოლებები"

ან შიგნით ზეპირი- სამ მეგობარს ვაშლი აჩუქეს, იმის გათვალისწინებით, რომ ვასიას სულ ვაშლი აქვს.

და ახლა თქვენ გადაწყვიტეთ წრფივი განტოლება
ახლა მოდით მივცეთ ამ ტერმინის მათემატიკური განმარტება.

წრფივი განტოლება – არის ალგებრული განტოლება, რომლის შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი არის. ეს ასე გამოიყურება:

სად და არის ნებისმიერი რიცხვი და

ვასიასთან და ვაშლებთან დაკავშირებით ჩვენ დავწერთ:

- "თუ ვასია სამივე მეგობარს ერთნაირი რაოდენობის ვაშლს აძლევს, მას ვაშლი აღარ დარჩება"

„დამალული“ წრფივი განტოლებები, ანუ იდენტური გარდაქმნების მნიშვნელობა

იმისდა მიუხედავად, რომ ერთი შეხედვით ყველაფერი ძალიან მარტივია, განტოლებების ამოხსნისას ფრთხილად უნდა იყოთ, რადგან წრფივ განტოლებებს უწოდებენ არა მხოლოდ ფორმის განტოლებებს, არამედ ნებისმიერ განტოლებას, რომელიც ამ ფორმამდე მცირდება გარდაქმნებისა და გამარტივების შედეგად. Მაგალითად:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ის არის მარჯვნივ, რაც, თეორიულად, უკვე მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლება არ არის წრფივი. უფრო მეტიც, თუ ფრჩხილებს გავხსნით, კიდევ ორ ტერმინს მივიღებთ, რომელშიც იქნება, მაგრამ ნუ ჩქარობ დასკვნებს! სანამ ვიმსჯელებთ, არის თუ არა განტოლება წრფივი, აუცილებელია ყველა გარდაქმნის გაკეთება და ამით გამარტივება ორიგინალური მაგალითი. ამ შემთხვევაში, გარდაქმნებს შეუძლიათ შეცვალონ გარეგნობა, მაგრამ არა განტოლების არსი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს გარდაქმნები უნდა იყოს იდენტურიან ექვივალენტი. არსებობს მხოლოდ ორი ასეთი ტრანსფორმაცია, მაგრამ ისინი თამაშობენ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანი როლიპრობლემების გადაჭრისას. განვიხილოთ ორივე ტრანსფორმაცია კონკრეტულ მაგალითებზე.

გადაადგილეთ მარცხნივ-მარჯვნივ.

ვთქვათ, უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:

ჯერ კიდევ დაწყებით სკოლაში გვითხრეს: "X-ებით - მარცხნივ, X-ების გარეშე - მარჯვნივ". რა გამოხატულებაა x-ით მარჯვნივ? მართალია, არა როგორ არა. და ეს მნიშვნელოვანია, რადგან თუ ეს არასწორად არის გაგებული, როგორც ჩანს მარტივი კითხვა, არასწორ პასუხს იძლევა. და რა არის გამოხატულება x-ით მარცხნივ? სწორად,.

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ ეს, ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს უცნობიებით მარცხნივ, და ყველაფერს, რაც ცნობილია მარჯვნივ, გვახსოვდეს, რომ თუ, მაგალითად, რიცხვის წინ არ არის ნიშანი, მაშინ რიცხვი დადებითია, არის, მას წინ უძღვის ნიშანი "".

გადავიდა? Რა მიიღე?

ყველაფერი რაც რჩება გასაკეთებელი არის მსგავსი პირობების შემოტანა. წარმოგიდგენთ:

ასე რომ, ჩვენ წარმატებით გავაანალიზეთ პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია, თუმცა დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ უკვე იცოდით და აქტიურად იყენებდით ჩემს გარეშე. მთავარია - ნუ დაივიწყებთ რიცხვების ნიშნებს და ტოლობის ნიშნით გადატანისას შეცვალეთ ისინი საპირისპიროდ!

გამრავლება-გაყოფა.

დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით

ვუყურებთ და ვფიქრობთ: რა არ მოგვწონს ამ მაგალითში? უცნობი ყველაფერი ერთ ნაწილშია, ცნობილი მეორეში, მაგრამ რაღაც გვაჩერებს... და ეს არის რაღაც - ოთხი, რადგან ის რომ არ იყოს, ყველაფერი იდეალური იქნებოდა - X რიცხვის ტოლია- როგორც ჩვენ გვინდა!

როგორ შეიძლება მისგან თავის დაღწევა? ჩვენ არ შეგვიძლია გადავიტანოთ მარჯვნივ, რადგან მაშინ ჩვენ გვჭირდება მთელი მულტიპლიკატორის გადატანა (ჩვენ არ შეგვიძლია მისი აღება და ჩამოგლეჯა) და მთელი მულტიპლიკატორის გადატანას ასევე აზრი არ აქვს ...

დროა გავიხსენოთ დაყოფა, რასთან დაკავშირებითაც ჩვენ ყველაფერს დავყოფთ! ყველა - ეს ნიშნავს როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარეს. ასე და მხოლოდ ასე! რას ვიღებთ?

ახლა გადავხედოთ სხვა მაგალითს:

გამოიცანით რა უნდა გააკეთოთ ამ შემთხვევაში? ასეა, გაამრავლე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები! რა პასუხი მიიღეთ? სწორად. .

რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე იცოდით ყველაფერი იდენტური გარდაქმნების შესახებ. ჩათვალეთ, რომ ჩვენ ახლახან განვაახლეთ ეს ცოდნა თქვენს მეხსიერებაში და დროა კიდევ რაღაცისთვის - მაგალითად, ჩვენი დიდი მაგალითის გადასაჭრელად:

როგორც ადრე ვთქვით, რომ შევხედოთ, ვერ იტყვით, რომ ეს განტოლება წრფივია, მაგრამ ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები და შევასრულოთ იდენტური გარდაქმნები. ასე რომ, დავიწყოთ!

დასაწყისისთვის გავიხსენებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს, კერძოდ, ჯამის კვადრატს და სხვაობის კვადრატს. თუ არ გახსოვთ, რა არის და როგორ იხსნება ფრჩხილები, გირჩევთ წაიკითხოთ თემა „გამრავლების შემცირებული ფორმულები“, რადგან ეს უნარები გამოგადგებათ გამოცდაზე ნაპოვნი თითქმის ყველა მაგალითის ამოხსნისას.
გამოვლინდა? შეადარეთ:

ახლა დროა მოიტანოთ მსგავსი პირობები. გახსოვთ როგორ ვართ ერთნაირად დაწყებითი სკოლათქვეს "ბუზებს კატლეტებით არ ვსვამთ"? აი ამას შეგახსენებთ. ყველაფერს ცალკე ვამატებთ - ფაქტორებს, რომლებსაც აქვთ, ფაქტორებს, რომლებსაც აქვთ და სხვა ფაქტორებს, რომლებსაც არ აქვთ უცნობი. მსგავსი ტერმინების მოტანისას გადაიტანეთ ყველა უცნობი მარცხნივ და ყველაფერი რაც ცნობილია მარჯვნივ. Რა მიიღე?

როგორც ხედავთ, x-კვადრატი გაქრა და ჩვენ ვხედავთ სრულიად ჩვეულებრივს წრფივი განტოლება. რჩება მხოლოდ პოვნა!

და ბოლოს, კიდევ ერთს ვიტყვი ძალიან მნიშვნელოვანი რამიდენტური გარდაქმნების შესახებ - იდენტური გარდაქმნები გამოიყენება არა მხოლოდ წრფივი განტოლებისთვის, არამედ კვადრატული, წილადი რაციონალური და სხვა. თქვენ უბრალოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ ტოლობის ნიშნით ფაქტორების გადაცემისას ჩვენ ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ, ხოლო რომელიმე რიცხვზე გაყოფისას ან გამრავლებისას განტოლების ორივე მხარეს ვამრავლებთ/ვყოფთ იმავე რიცხვზე.

კიდევ რა ამოიღეთ ამ მაგალითიდან? განტოლების დათვალიერებისას ყოველთვის არ არის შესაძლებელი პირდაპირ და ზუსტად განსაზღვრო არის თუ არა ის წრფივი. ჯერ სრულად უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა და მხოლოდ ამის შემდეგ განსაჯოთ რა არის.

წრფივი განტოლებები. მაგალითები.

აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი, რომ დამოუკიდებლად ივარჯიშოთ - დაადგინეთ, არის თუ არა განტოლება წრფივი და თუ ასეა, იპოვეთ მისი ფესვები:

პასუხები:

1. არის.

2. Არ არის.

გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი ტერმინები:

მოდით გავაკეთოთ იდენტური ტრანსფორმაცია - მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებად ვყოფთ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლება არ არის წრფივი, ამიტომ არ არის საჭირო მისი ფესვების ძებნა.

3. არის.

მოდით გავაკეთოთ იდენტური ტრანსფორმაცია - გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, რომ თავი დავაღწიოთ მნიშვნელს.

დაფიქრდით, რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი? თუ თქვენ იცით ამ კითხვაზე პასუხი, გადავდივართ განტოლების შემდგომ გადაწყვეტაზე, თუ არა, აუცილებლად გადახედეთ თემას "ODZ", რათა მეტი შეცდომა არ დაუშვათ. რთული მაგალითები. სხვათა შორის, როგორც ხედავთ, სიტუაცია, სადაც ეს შეუძლებელია. რატომ?
მოდით წავიდეთ წინ და გადავაწყოთ განტოლება:

თუ თქვენ გაართვით თავი ყველაფერს სირთულეების გარეშე, მოდით ვისაუბროთ წრფივ განტოლებებზე ორი ცვლადით.

წრფივი განტოლებები ორი ცვლადით

ახლა გადავიდეთ ოდნავ უფრო რთულზე - წრფივ განტოლებაზე ორი ცვლადით.

წრფივი განტოლებებიორი ცვლადით ასე გამოიყურება:

სად, და არის ნებისმიერი რიცხვი და.

როგორც ხედავთ, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ განტოლებას ემატება კიდევ ერთი ცვლადი. ასე რომ, ყველაფერი იგივეა - არ არის x კვადრატი, არ არის გაყოფა ცვლადზე და ა.შ. და ა.შ.

რომელი მოგიტანდა ცხოვრების მაგალითი. ავიღოთ იგივე ვასია. დავუშვათ, რომ მან გადაწყვიტა, რომ თავის 3 მეგობარს მისცემს თითოეულს იმავე რაოდენობის ვაშლს და შეინახავს ვაშლებს თავისთვის. რამდენი ვაშლი უნდა იყიდოს ვასიას, თუ თითოეულ მეგობარს ვაშლს აჩუქებს? რაც შეეხება? რა მოხდება, თუ?

ვაშლების რაოდენობის დამოკიდებულება, რომელსაც თითოეული ადამიანი მიიღებს სულშესასყიდი ვაშლი გამოსახული იქნება განტოლებით:

• - ვაშლების რაოდენობა, რომელსაც ადამიანი მიიღებს (, ან, ან);
• - ვაშლების რაოდენობა, რომელსაც ვასია თავისთვის აიღებს;
• - რამდენი ვაშლი უნდა იყიდოს ვასიას, ერთ ადამიანზე ვაშლების რაოდენობის გათვალისწინებით.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად მივიღებთ, რომ თუ ვასია ერთ მეგობარს ვაშლს აძლევს, მაშინ მას სჭირდება ნაჭრების ყიდვა, თუ ვაშლს აძლევს და ა.შ.

და ზოგადად რომ ვთქვათ. ჩვენ გვაქვს ორი ცვლადი. რატომ არ დახატოთ ეს დამოკიდებულება გრაფიკზე? ჩვენ ვაშენებთ და აღვნიშნავთ ჩვენს მნიშვნელობას, ანუ წერტილებს, კოორდინატებით და!



როგორც ხედავთ და ერთმანეთზე ვართ დამოკიდებული ხაზოვანი, აქედან მოდის განტოლებების სახელწოდება - " ხაზოვანი».

ვაშლიდან აბსტრაციას ვახდენთ და გრაფიკულად განვიხილავთ სხვადასხვა განტოლებები. ყურადღებით დააკვირდით ორ აგებულ გრაფიკს - სწორი ხაზი და პარაბოლა, რომლებიც მოცემულია თვითნებური ფუნქციებით:



იპოვნეთ და მონიშნეთ შესაბამისი წერტილები ორივე ფიგურაზე.
Რა მიიღე?



ამას ხედავთ პირველი ფუნქციის გრაფიკზე მარტოშეესაბამება ერთი, ანუ და წრფივად დამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე, რაც არ შეიძლება ითქვას მეორე ფუნქციაზე. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გააპროტესტოთ, რომ მეორე გრაფიკზე x ასევე შეესაბამება - , მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი წერტილია, ანუ განსაკუთრებული შემთხვევა, რადგან მაინც შეგიძლიათ იპოვოთ ის, რომელიც ემთხვევა ერთზე მეტს. და აგებული გრაფიკი არანაირად არ ჰგავს ხაზს, მაგრამ არის პარაბოლა.

ვიმეორებ, კიდევ ერთხელ: წრფივი განტოლების გრაფიკი უნდა იყოს სწორი ხაზი.

იმის გამო, რომ განტოლება არ იქნება წრფივი, თუ რაიმე ზომით მივდივართ - ეს გასაგებია პარაბოლის მაგალითის გამოყენებით, თუმცა შეგიძლიათ კიდევ რამდენიმე ააგოთ თქვენთვის. მარტივი გრაფიკებიმაგალითად ან. მაგრამ გარწმუნებთ - არცერთი მათგანი არ იქნება სწორი ხაზი.

Არ დაიჯერო? ააშენე და მერე შეადარე რაც მივიღე:



და რა მოხდება, თუ რამეს გავყოფთ, მაგალითად, რაღაც რიცხვზე? იქნება ეს ხაზოვანი დამოკიდებულებადა? ჩვენ არ ვიკამათებთ, მაგრამ ავაშენებთ! მაგალითად, დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი.



რატომღაც არ ჰგავს აგებულ სწორ ხაზს ... შესაბამისად, განტოლება არ არის წრფივი.
შევაჯამოთ:

1. წრფივი განტოლება −არის ალგებრული განტოლება, რომელშიც მისი შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი ტოლია.
2. წრფივი განტოლებაერთი ცვლადით ასე გამოიყურება:
   , სად და არის ნებისმიერი რიცხვი;
   წრფივი განტოლებაორი ცვლადით:
   , სად და არის ნებისმიერი რიცხვი.
3. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი დაუყოვნებლივ დადგინდეს, არის თუ არა განტოლება წრფივი. ზოგჯერ ამის გასაგებად საჭიროა იდენტური გარდაქმნების შესრულება, მსგავსი ტერმინების გადატანა მარცხნივ/მარჯვნივ, არ უნდა დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, ან განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება/გაყოფა იმავე რიცხვზე.

კომენტარები

მასალების დამტკიცების გარეშე გავრცელება ნებადართულია, თუ არსებობს dofollow ბმული წყაროს გვერდზე.

Კონფიდენციალურობის პოლიტიკა

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

შეიძლება მოგთხოვონ თქვენი პირადი ინფორმაციანებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

4. როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

5. ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
6. დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
7. ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
8. თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

9. საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
10. რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მადლობა შეტყობინებისთვის!

თქვენი კომენტარი მიღებულია, მოდერაციის შემდეგ ის გამოქვეყნდება ამ გვერდზე.

გსურთ იცოდეთ რა იმალება ჭრილის ქვეშ და მიიღოთ ექსკლუზიური მასალები OGE-სა და USE-სთვის მომზადებისთვის? დატოვეთ ელექტრონული ფოსტა

განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს ასოს, რომლის ნიშანიც უნდა მოიძებნოს. განტოლების გამოსავალი არის ასო მნიშვნელობების ნაკრები, რომელიც აქცევს განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში:

შეგახსენებთ, რომ გადაჭრის მიზნით განტოლებააუცილებელია ტოლობის ერთ ნაწილზე გადავიტანოთ ტერმინები უცნობით, ხოლო მეორეზე რიცხვითი, მივიყვანოთ მსგავსი და მივიღოთ შემდეგი ტოლობა:

ბოლო ტოლობიდან უცნობს განვსაზღვრავთ წესით: „ერთ-ერთი ფაქტორი უდრის მეორე ფაქტორზე გაყოფილ კოეფიციენტს“.

ვინაიდან რაციონალურ რიცხვებს a და b შეიძლება ჰქონდეთ იგივე და განსხვავებული ნიშნები, უცნობის ნიშანი განისაზღვრება რაციონალური რიცხვების გაყოფის წესებით.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცედურა

წრფივი განტოლება უნდა გამარტივდეს ფრჩხილების გახსნით და მეორე ეტაპის (გამრავლება და გაყოფა) მოქმედებების შესრულებით.

გადაიტანეთ უცნობები ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო რიცხვები ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს, რათა მიიღოთ მოცემული ტოლობის იდენტური,

მოიყვანეთ ტოლი ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ, ფორმის ტოლობის მიღებით ნაჯახი = ბ.

გამოთვალეთ განტოლების ფესვი (იპოვეთ უცნობი Xთანასწორობიდან x = ბ : ა),

ტესტი უცნობის მოცემულ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

თუ რიცხვით ტოლობაში იდენტობას მივიღებთ, მაშინ განტოლება სწორად ამოხსნილია.

განტოლებების ამოხსნის განსაკუთრებული შემთხვევები

1. Თუ განტოლებამოცემულია 0-ის ტოლი ნამრავლით, შემდეგ მის ამოსახსნელად ვიყენებთ გამრავლების თვისებას: „ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ან ორივე ფაქტორი ნულის ტოლია“.

27 (x - 3) = 0
27 არ არის 0-ის ტოლი, ასე რომ x - 3 = 0

მეორე მაგალითს აქვს განტოლების ორი ამონახსნი, ვინაიდან
ეს არის მეორე ხარისხის განტოლება:

თუ განტოლების კოეფიციენტები ჩვეულებრივი წილადია, მაშინ უპირველეს ყოვლისა თქვენ უნდა მოიცილოთ მნიშვნელები. Ამისთვის:

იპოვნეთ საერთო მნიშვნელი;

განტოლების თითოეული წევრის დამატებითი ფაქტორების განსაზღვრა;

გაამრავლეთ წილადებისა და მთელი რიცხვების მრიცხველები დამატებით ფაქტორებზე და ჩაწერეთ განტოლების ყველა პირობა მნიშვნელების გარეშე (საერთო მნიშვნელის გაუქმება შესაძლებელია);

ტოლობის ნიშნიდან გადაიტანეთ უცნობი პირები განტოლების ერთ ნაწილზე, ხოლო რიცხვითი წევრები მეორეზე, ტოლობის ტოლობის მიღებით;

მოიყვანეთ მსგავსი პირობები;

განტოლებების ძირითადი თვისებები

განტოლების ნებისმიერ ნაწილში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსი ტერმინები ან გახსნათ ფრჩხილი.

განტოლების ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით.

განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ (გაიყოთ) იმავე რიცხვზე, გარდა 0-ისა.

ზემოთ მოცემულ მაგალითში მისი ყველა თვისება გამოყენებული იყო განტოლების ამოსახსნელად.

წრფივი განტოლებები. წრფივი განტოლებების ამოხსნა. ტერმინი გადაცემის წესი.

ტერმინი გადაცემის წესი.

განტოლებების ამოხსნისა და გარდაქმნისას ხშირად ხდება საჭირო ტერმინის გადატანა განტოლების მეორე მხარეს. გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინს შეიძლება ჰქონდეს როგორც პლუსის, ასევე მინუს ნიშანი. წესის მიხედვით, ტერმინის განტოლების სხვა ნაწილზე გადატანისას, თქვენ უნდა შეცვალოთ ნიშანი საპირისპიროდ. გარდა ამისა, წესი ასევე მუშაობს უთანასწორობებზე.

მაგალითებივადის გადაცემა:

ჯერ გადარიცხვა 5x

გაითვალისწინეთ, რომ "+" ნიშანი შეიცვალა "-"-ით და "-" ნიშანი "+". ამ შემთხვევაში არ აქვს მნიშვნელობა გადატანილი ტერმინი რიცხვია თუ ცვლადი, თუ გამოხატულება.

გადავიტანთ 1-ლი წევრი განტოლების მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ტერმინი არის გამოხატულება (−3x 2 (2+7x)). ამიტომ, მისი ცალკე გადატანა შეუძლებელია. (−3x2)და (2+7x), რადგან ეს ტერმინის კომპონენტებია. ამიტომაც არ იტანენ (-3x2 ⋅ 2) და (7x). თუმცა, ჩვენ მოდემი ვხსნით ფრჩხილებს და ვიღებთ 2 ტერმინს: (-3x-⋅ 2) და (−3×2⋅ 7x). ეს 2 ტერმინი შეიძლება განხორციელდეს ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად.

უტოლობები გარდაიქმნება იმავე გზით:

ჩვენ ვაგროვებთ თითოეულ ნომერს ერთ მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

განტოლების მე-2 ნაწილები განსაზღვრებით იგივეა, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ ერთი და იგივე გამონათქვამები განტოლების ორივე ნაწილს და ტოლობა ჭეშმარიტი დარჩება. თქვენ უნდა გამოაკლოთ გამოხატულება, რომელიც საბოლოოდ უნდა გადაიტანოთ მეორე მხარეს. შემდეგ "=" ნიშნის ერთ მხარეს ის შემცირდება იმით, რაც იყო. და თანასწორობის მეორე მხარეს, გამონათქვამი, რომელიც ჩვენ გამოვაკლეთ, გამოჩნდება "-" ნიშნით.

ეს წესი ხშირად გამოიყენება წრფივი განტოლებების ამოსახსნელად. სხვა მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად.

ალგებრის საფუძვლები / ტერმინის გადაცემის წესი

გადავიტანოთ პირველი წევრი განტოლების მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

გადავიტანოთ ყველა რიცხვი ერთი მიმართულებით. შედეგად, ჩვენ გვაქვს:

მტკიცებულების ამსახველი მაგალითები Edit

განტოლებისთვის რედაქტირება

ვთქვათ, გვინდა ყველა x-ის გადატანა განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს. გამოვაკლოთ ორივე ნაწილს 5 x

ახლა ჩვენ უნდა შევამოწმოთ, არის თუ არა განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები. მოდით შევცვალოთ უცნობი ცვლადი მიღებული შედეგით:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ მსგავსი ტერმინები:

ჯერ გადავიტანოთ 5 xგანტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ:

ახლა გადავიტანოთ რიცხვი (−6) მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ:

გაითვალისწინეთ, რომ პლუს ნიშანი შეიცვალა მინუსზე, ხოლო მინუს ნიშანი შეიცვალა პლუსზე. უფრო მეტიც, არ აქვს მნიშვნელობა გადატანილი ტერმინი არის რიცხვი, ცვლადი თუ მთელი გამოხატულება.

განტოლების ორი მხარე განსაზღვრებით ტოლია, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოკლოთ განტოლების ორივე მხარეს იგივე გამოხატულებადა თანასწორობა რჩება ჭეშმარიტი. თანასწორობის ნიშნის ერთ მხარეს ის იკუმშება იმასთან, რაც იყო. განტოლების მეორე მხარეს, ჩვენ მიერ გამოკლებული გამოხატულება გამოჩნდება მინუს ნიშნით.

დადასტურებულია განტოლების წესი.

უტოლობებისთვის რედაქტირება

მაშასადამე, 4 არის 5x+2=7x-6 განტოლების ფესვი. მას შემდეგ, რაც იდენტობა დადასტურდა მისთვის, ასევე, უთანასწორობისთვისაც, განსაზღვრებით.

განტოლებების ამოხსნა, ტერმინების გადაცემის წესი

გაკვეთილის მიზანი

გაკვეთილის საგანმანათლებლო ამოცანები:

— შეძლოს ტერმინების გადაცემის წესის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას;

გაკვეთილის დავალებების შემუშავება:

- განვითარდეს დამოუკიდებელი საქმიანობასტუდენტები;

- განავითაროს მეტყველება (გასცეს სრული პასუხები კომპეტენტურ, მათემატიკური ენაზე);

გაკვეთილის საგანმანათლებლო ამოცანები:

- რვეულებში და დაფაზე ჩანაწერების სწორად გაკეთების უნარის აღზრდა;

?მოწყობილობა:

11. მულტიმედია
12. ინტერაქტიული დაფა

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
"გაკვეთილი განტოლების ამოხსნა 6 უჯრედი"

მათემატიკის გაკვეთილი 6 კლასი

მასწავლებელი: ტიმოფეევა M.A.

გაკვეთილის მიზანი: განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეში ტერმინების გადატანის წესის შესწავლა.

გაკვეთილის საგანმანათლებლო ამოცანები:

შეძლოს ტერმინების გადაცემის წესის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას;

გაკვეთილის დავალებების შემუშავება:

მოსწავლეთა დამოუკიდებელი საქმიანობის განვითარება;

მეტყველების განვითარება (სრული პასუხების გაცემა კომპეტენტურ, მათემატიკური ენით);

გაკვეთილის საგანმანათლებლო ამოცანები:

რვეულებში და დაფაზე ჩანაწერების სწორად გაკეთების უნარის გამომუშავება;

გაკვეთილის ძირითადი ეტაპები

1. საორგანიზაციო მომენტი, გაკვეთილის მიზნისა და მუშაობის ფორმის კომუნიკაცია

"თუ გინდა ისწავლო ცურვა,

შემდეგ თამამად შედი წყალში,

თუ გსურთ ისწავლოთ განტოლებების ამოხსნა,

2. დღეს ვიწყებთ თემის შესწავლას: „განტოლებების ამოხსნა“ (სლაიდი 1)

მაგრამ თქვენ უკვე ისწავლეთ განტოლებების ამოხსნა! მერე რის შესწავლას ვაპირებთ?

— განტოლებების ამოხსნის ახალი გზები.

3. გავიმეოროთ დაფარული მასალა ( ზეპირი სამუშაო) (სლაიდი 2)

3). 7მ + 8ნ - 5მ - 3ნ

4). – 6a + 12b – 5a – 12b

5). 9x - 0.6y - 14x + 1.2y

განტოლება დადგა
ბევრი საიდუმლო მოუტანა

რა გამონათქვამებია განტოლებები?(სლაიდი 3)

4. რას ჰქვია განტოლება?

განტოლება არის ტოლობის შემცველი უცნობი ნომერი. (სლაიდი 4)

რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა?

განტოლების ამოხსნანიშნავს მისი ფესვების პოვნას ან მათი არარსებობის დამტკიცებას.

ზეპირად ამოვხსნათ განტოლებები. (სლაიდი 5)

რა წესს ვიყენებთ ამოხსნისას?

- უცნობი ფაქტორის პოვნა.

მოდით ჩავწეროთ რამდენიმე განტოლება რვეულში და ამოხსნათ ისინი უცნობი და შემცირებული ტერმინის პოვნის წესების გამოყენებით: (სლაიდი 7)

როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება?

x + 5 = - 2x - 7 (სლაიდი 8)

ჩვენ არ შეგვიძლია გავამარტივოთ, რადგან მსგავსი ტერმინები არსებობს სხვადასხვა ნაწილებიგანტოლებები, ამიტომ აუცილებელია მათი გადატანა.

ფანტასტიკური ფერები იწვის
და რაც არ უნდა ბრძენი უფროსი
ჯერ კიდევ გჯერა ზღაპრების?
ამბავი ყოველთვის მართალია.

ოდესღაც 2 მეფე იყო: შავი და თეთრი. შავი მეფე ცხოვრობდა შავ სამეფოში მდინარის მარჯვენა სანაპიროზე, ხოლო თეთრი მეფე ცხოვრობდა თეთრ სამეფოში მარცხენა სანაპიროზე. სამეფოებს შორის ძალიან მღელვარე და საშიში მდინარე მოედინებოდა. ამ მდინარის გადალახვა შეუძლებელი იყო არც ცურვით და არც ნავით. ჩვენ გვჭირდებოდა ხიდი! ხიდის მშენებლობას ძალიან დიდი დრო დასჭირდა და ახლა, ბოლოს და ბოლოს, ხიდი აშენდა. ყველა გაიხარებდა და ესაუბრებოდა ერთმანეთს, მაგრამ უბედურება ისაა: თეთრ მეფეს არ უყვარდა შავი, მისი სამეფოს ყველა მცხოვრებს ეცვა მსუბუქი ტანსაცმელი, ხოლო შავ მეფეს არ უყვარდა. თეთრი ფერიდა, მისი სამეფოს მცხოვრებნი ეცვათ მუქი ფერის სამოსი. თუ ვინმე შავი სამეფოდან გადავიდა თეთრ სამეფოში, მაშინ ის მაშინვე გამოვარდა თეთრი მეფის კეთილგანწყობაში, ხოლო თუ ვინმე თეთრი სამეფოდან გადავიდა შავ სამეფოში, მაშინ ის კარგავს შავკანიან მეფეს. სამეფოების მაცხოვრებლებს რაღაც უნდა მოეფიქრებინათ, რათა არ გაებრაზებინათ თავიანთი მეფეები. როგორ ფიქრობთ, რა მოიგონეს?