किसी समीकरण को गुणा या भाग करने का नियम। सरल समीकरणों को हल करने का नियम

हाल ही में, एक स्कूली बच्चे की माँ, जिसके साथ मैं पढ़ती हूँ, फोन करती है और बच्चे को गणित समझाने के लिए कहती है, क्योंकि उसे समझ में नहीं आता है, लेकिन वह उस पर चिल्लाती है और उसके बेटे के साथ बातचीत नहीं होती है।

मैं नहीं गणितीय गोदाममन, सर्जनात्मक लोगयह विशिष्ट नहीं है, लेकिन मैंने कहा कि मैं देखूंगा कि वे क्या करते हैं और कोशिश करते हैं। और यही हुआ।

मैंने ए 4 पेपर की एक शीट ली, सादे सफेद, महसूस-टिप पेन, मेरे हाथों में एक पेंसिल और जो समझने, याद रखने, ध्यान देने योग्य है उसे हाइलाइट करना शुरू कर दिया। और ताकि आप देख सकें कि यह आंकड़ा कहां जाता है और कैसे बदलता है।

बाईं ओर के उदाहरणों की व्याख्या, पर दाईं ओर.

उदाहरण 1

कक्षा 4 के लिए धन चिह्न के साथ समीकरण का एक उदाहरण।

सबसे पहला कदम यह देखना है कि हम इस समीकरण में क्या कर सकते हैं? यहां हम गुणा कर सकते हैं। हम 80 * 7 को गुणा करते हैं, हमें 560 मिलता है। हम इसे फिर से लिखते हैं।

X + 320 = 560 (एक हरे रंग के मार्कर के साथ संख्याओं पर प्रकाश डाला)।

एक्स \u003d 560 - 320. हम माइनस सेट करते हैं क्योंकि जब नंबर ट्रांसफर होता है, तो उसके सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। आइए घटाव करते हैं।

एक्स = 240 जांचना सुनिश्चित करें। जाँच से पता चलेगा कि क्या हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है। x को उस नंबर से बदलें जो आपको मिला है।

इंतिहान:

240 + 320 \u003d 80 * 7 हम संख्याएँ जोड़ते हैं, दूसरी ओर हम गुणा करते हैं।

ये सही है! तो हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है!

उदाहरण #2

ऋण चिह्न के साथ कक्षा 4 के समीकरण का एक उदाहरण।

एक्स - 180 = 240/3

पहला कदम यह देखना है कि हम इस समीकरण में क्या कर सकते हैं? पर यह उदाहरणहम साझा कर सकते हैं। हम 240 को 3 से विभाजित करते हैं और 80 प्राप्त करते हैं। समीकरण को फिर से लिखें।

X - 180 = 80 (एक हरे रंग के मार्कर के साथ संख्याओं पर प्रकाश डाला गया)।

अब हम देखते हैं कि हमारे पास x (अज्ञात) और संख्याएँ हैं, न केवल कंधे से कंधा मिलाकर, बल्कि एक समान चिह्न द्वारा अलग की गई हैं। एक तरफ एक्स, दूसरी तरफ नंबर।

X \u003d 80 + 180 हम प्लस चिन्ह लगाते हैं क्योंकि जब संख्या स्थानांतरित होती है, तो संख्या के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। हमें विचार विमर्श करना है।

एक्स = 260 सत्यापन कार्य. जाँच से पता चलेगा कि क्या हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है। x को उस नंबर से बदलें जो आपको मिला है।

इंतिहान:

260 – 180 = 240/3

ये सही है!

उदाहरण #3

400 - x \u003d 275 + 25 संख्याओं को जोड़ें।

400 - x = 300 संख्याएँ एक समान चिह्न द्वारा अलग की जाती हैं, x ऋणात्मक है। इसे सकारात्मक बनाने के लिए, हमें इसे समान चिह्न के माध्यम से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, एक तरफ संख्याएं एकत्र करें, दूसरी तरफ x।

400 - 300 \u003d x संख्या 300 सकारात्मक थी, जब दूसरी तरफ स्थानांतरित किया गया, तो यह संकेत बदल गया और एक ऋण बन गया। हमें विचार विमर्श करना है।

क्योंकि यह इस तरह लिखने के लिए प्रथागत नहीं है, और समीकरण में पहला x होना चाहिए, बस उन्हें स्वैप करें।

इंतिहान:

400 - 100 = 275 + 25 हम गिनते हैं।

ये सही है!

उदाहरण #4

कक्षा 4 के लिए एक ऋण चिह्न के साथ समीकरण का एक उदाहरण, जहां x मध्य में है, दूसरे शब्दों में एक समीकरण का उदाहरण जहां x बीच में ऋणात्मक है।

72 - x \u003d 18 * 3 हम गुणा करते हैं। उदाहरण को फिर से लिखना।

72 - x \u003d 54 हम संख्याओं को एक दिशा में, x को दूसरी दिशा में पंक्तिबद्ध करते हैं। संख्या 54 अपने चिन्ह को उलट देती है, क्योंकि यह बराबर चिह्न पर कूदता है।

72 - 54 \u003d x हम गिनते हैं।

18 = x स्वैप, सुविधा के लिए।

इंतिहान:

72 – 18 = 18 * 3

ये सही है!

उदाहरण #5

ग्रेड 4 के लिए घटाव और जोड़ के साथ x वाले समीकरण का एक उदाहरण।

एक्स - 290 = 470 + 230 जोड़ें।

एक्स - 290 = 700 हम संख्याओं को एक तरफ सेट करते हैं।

एक्स \u003d 700 + 290 हम विचार करते हैं।

इंतिहान:

990 - 290 = 470 + 230 जोड़ना।

ये सही है!

उदाहरण #6

गुणन के लिए x के साथ समीकरण का एक उदाहरण और ग्रेड 4 के लिए भाग।

15 * x \u003d 630/70 हम विभाजन करते हैं। आइए समीकरण को फिर से लिखें।

15 * x \u003d 90 यह 15x के समान है \u003d 90 एक तरफ x छोड़ दें, दूसरी तरफ संख्याएँ। यह समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है।

X \u003d 90/15 संख्या 15 को स्थानांतरित करते समय, गुणन का चिन्ह विभाजन में बदल जाता है। हमें विचार विमर्श करना है।

इंतिहान:

15*6 = 630/7 गुणा और घटाव करें।

ये सही है!

अब आइए बुनियादी नियमों पर चलते हैं:

गुणा करें, जोड़ें, विभाजित करें या घटाएं;
जो किया जा सकता है उसे करते हुए समीकरण थोड़ा छोटा हो जाएगा।
एक तरफ एक्स, दूसरी तरफ नंबर।
एक दिशा में एक अज्ञात चर (हमेशा x नहीं, शायद एक अलग अक्षर), दूसरे में संख्याएं।
x या किसी अंक को समान चिह्न से स्थानांतरित करते समय, उनका चिह्न उल्टा हो जाता है।
यदि संख्या सकारात्मक थी, तो स्थानांतरित करते समय, हम संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं। और इसके विपरीत, यदि संख्या या x ऋण चिह्न के साथ था, तो बराबर के माध्यम से स्थानांतरित करते समय, हम एक प्लस चिह्न लगाते हैं।
यदि अंत में समीकरण एक संख्या से शुरू होता है, तो बस स्वैप करें।
हम हमेशा जाँच करते हैं!

ये करते समय घर का पाठ, कक्षा कार्य, परीक्षण, आप हमेशा एक शीट ले सकते हैं और उस पर पहले लिख सकते हैं और एक जांच कर सकते हैं।

इसके अतिरिक्त, हम पाते हैं इसी तरह के उदाहरणइंटरनेट में, अतिरिक्त पुस्तकें, मैनुअल। संख्याओं को बदलना आसान नहीं है, बल्कि तैयार उदाहरण लेना आसान है।

कैसे और बच्चेवह स्वयं निर्णय करेगा, स्वयं अध्ययन करेगा, वह सामग्री को उतनी ही तेजी से सीखेगा।

यदि बच्चा समीकरण के साथ उदाहरणों को नहीं समझता है, तो यह उदाहरण की व्याख्या करने और बाकी को मॉडल का पालन करने के लिए कहने लायक है।

दिया गया विस्तृत विवरणएक स्कूली छात्र को x के साथ समीकरणों की व्याख्या कैसे करें:

अभिभावक;
स्कूली बच्चे;
शिक्षक;
दादा दादी;
शिक्षकों की;

बच्चों को बोर्ड पर अलग-अलग क्रेयॉन के साथ रंग में सब कुछ करने की ज़रूरत है, लेकिन अफसोस, हर कोई ऐसा नहीं करता है।

मेरे अभ्यास से

गणित में मौजूदा नियमों के विपरीत लड़के ने जैसा चाहा वैसा ही लिखा। समीकरण की जाँच करते समय, अलग-अलग संख्याएँ थीं और एक संख्या (बाईं ओर) दूसरी (दाईं ओर वाली) के बराबर नहीं थी, उसने एक त्रुटि की तलाश में समय बिताया।

यह पूछे जाने पर कि वह ऐसा क्यों करते हैं? एक जवाब था कि वह अनुमान लगाने और सोचने की कोशिश कर रहा था, और अचानक वह इसे सही कर देगा।

पर इस मामले मेंआपको हर दिन (हर दूसरे दिन) इसी तरह के उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता है। स्वचालितता में क्रियाओं को लाने के लिए और निश्चित रूप से सभी बच्चे अलग हैं, यह पहले पाठ से नहीं पहुंच सकता है।

यदि माता-पिता के पास समय नहीं है, और अक्सर वे करते हैं, क्योंकि माता-पिता कमाते हैं नकद, तो बेहतर होगा कि आप अपने शहर में एक ऐसे ट्यूटर की तलाश करें जो बच्चे को कवर की गई सामग्री की व्याख्या कर सके।

अब परीक्षा का युग है, परीक्षा का, नियंत्रण कार्य, अतिरिक्त संग्रह और मैनुअल हैं। बच्चे के लिए होमवर्क करते समय, माता-पिता को याद रखना चाहिए कि वे स्कूल में परीक्षा में नहीं होंगे। बच्चे को 1 बार स्पष्ट रूप से समझाना बेहतर है, ताकि बच्चा स्वतंत्र रूप से उदाहरणों को हल कर सके।

एक समीकरण एक समानता है जिसमें एक अक्षर होता है जिसका मूल्य पाया जाना है।

समीकरणों में, अज्ञात को आमतौर पर लोअरकेस द्वारा दर्शाया जाता है लैटिन अक्षर. सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले अक्षर "x" [x] और "y" [y] हैं।

समीकरण का मूल- यह उस अक्षर का मान है, जिस पर समीकरण से सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।
प्रश्न हल करें- इसका अर्थ है इसकी सभी जड़ों को खोजना या यह सुनिश्चित करना कि कोई जड़ें नहीं हैं।

समीकरण को हल करने के बाद, हम हमेशा उत्तर के बाद चेक लिखते हैं।

माता-पिता के लिए सूचना

प्रिय माता-पिता, कृपया ध्यान दें कि प्राथमिक स्कूलऔर 5वीं कक्षा में, बच्चे "नकारात्मक संख्या" विषय को नहीं जानते हैं।

इसलिए, उन्हें केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना चाहिए। कक्षा 5 के समीकरणों को हल करने की विधियाँ नीचे दी गई हैं।

संकेतों के परिवर्तन के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में संख्याओं और अक्षरों को स्थानांतरित करके समीकरणों के समाधान की व्याख्या करने का प्रयास न करें।

आप "अंकगणित के नियम" पाठ में जोड़, घटाव, गुणा और भाग से संबंधित अवधारणाओं पर अपने ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं।

जोड़ और घटाव के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
अवधि

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोज्य

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोजक

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाना आवश्यक है।

एक्स + 9 = 15
एक्स = 15 - 9
एक्स = 6
इंतिहान

एक्स - 14 = 2
एक्स = 14 + 2
एक्स = 16
इंतिहान

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - एक्स = 3
एक्स = 5 - 3
एक्स = 2
इंतिहान

गुणा और भाग के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
कारक

अज्ञात को कैसे खोजें
लाभांश

अज्ञात को कैसे खोजें
विभक्त

ढूँढ़ने के लिए अज्ञात गुणक, उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना आवश्यक है।

अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, भाज्य को भागफल से भाग दें।

वाई 4 = 12
वाई=12:4
वाई = 3
इंतिहान

वाई:7=2
वाई = 2 7
वाई = 14
इंतिहान

8:y=4
वाई=8:4
वाई = 2
इंतिहान

एक समीकरण एक समीकरण होता है जिसमें वह अक्षर होता है जिसका चिन्ह खोजना होता है। समीकरण का हल अक्षर मानों का समुच्चय है जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है:

याद रखें कि हल करने के लिए समीकरणसमानता के एक हिस्से में अज्ञात के साथ शर्तों को स्थानांतरित करना आवश्यक है, और संख्यात्मक शर्तों को दूसरे में स्थानांतरित करना, समान लोगों को लाना और निम्नलिखित समानता प्राप्त करना आवश्यक है:

अंतिम समानता से, हम अज्ञात को नियम द्वारा निर्धारित करते हैं: "कारकों में से एक दूसरे कारक से विभाजित भागफल के बराबर है।"

जैसा परिमेय संख्याए और बी में समान हो सकता है और विभिन्न संकेत, तो अज्ञात का चिन्ह परिमेय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया

कोष्ठक खोलकर और दूसरे चरण (गुणा और भाग) की क्रियाओं को निष्पादित करके रैखिक समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए।

अज्ञात को समान चिह्न के एक तरफ और संख्याओं को समान चिह्न के दूसरी तरफ ले जाएं, दी गई समानता के समान हो,

समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान लाएँ, रूप की समानता प्राप्त करें कुल्हाड़ी = बी.

समीकरण की जड़ की गणना करें (अज्ञात खोजें एक्ससमानता से एक्स = बी : ए),

अज्ञात को प्रतिस्थापित करके एक परीक्षण करें दिया गया समीकरण.

अगर हमें में एक पहचान मिलती है संख्यात्मक समानता, तो समीकरण सही है।

समीकरणों को हल करने के विशेष मामले

यदि एक समीकरण 0 के बराबर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, फिर इसे हल करने के लिए हम गुणन की संपत्ति का उपयोग करते हैं: "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से एक या दोनों कारक शून्य के बराबर हैं।"

27 (एक्स - 3) = 0
27 0 के बराबर नहीं है, इसलिए एक्स - 3 = 0

दूसरे उदाहरण में समीकरण के दो हल हैं, क्योंकि
यह दूसरी डिग्री का समीकरण है:

यदि समीकरण के गुणांक हैं साधारण अंश, पहली बात यह है कि भाजक से छुटकारा पाएं। इसके लिए:

ढूँढ़ने के लिए आम विभाजक;

परिभाषित करना अतिरिक्त गुणकसमीकरण के प्रत्येक पद के लिए;

भिन्नों और पूर्णांकों के अंशों को अतिरिक्त कारकों से गुणा करें और हर के बिना समीकरण के सभी पदों को लिख लें (सामान्य हर को छोड़ दिया जा सकता है);

अज्ञात के साथ पदों को समीकरण के एक भाग में ले जाएं, और संख्यात्मक शब्दों को समान चिह्न से दूसरे में स्थानांतरित करें, एक समान समानता प्राप्त करें;

समान शर्तें लाओ;

समीकरणों के मूल गुण

समीकरण का कोई भी भाग दिया जा सकता है समान शब्दया खुले कोष्ठक।

समीकरण के किसी भी पद को इसके चिह्न को विपरीत में बदलकर समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

समीकरण के दोनों पक्षों को 0 को छोड़कर एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है।

उपरोक्त उदाहरण में, समीकरण को हल करने के लिए इसके सभी गुणों का उपयोग किया गया था।

सरल समीकरणों को हल करने का नियम

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
में सामग्री विशेष खंड 555.
उन लोगों के लिए जो मजबूत हैं "बहुत नहीं। »
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम। "")

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरण सबसे अच्छे नहीं हैं कठिन विषय स्कूल गणित. लेकिन कुछ तरकीबें ऐसी हैं जो एक प्रशिक्षित छात्र को भी पहेली बना सकती हैं। क्या हम इसका पता लगाएंगे?)

एक रैखिक समीकरण को आमतौर पर फॉर्म के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? खासकर यदि आप शब्दों पर ध्यान नहीं देते हैं: "जहां ए और बी कोई संख्या है". और अगर आप नोटिस करते हैं, लेकिन इसके बारे में लापरवाही से सोचते हैं?) आखिरकार, अगर ए = 0, बी = 0(कोई संख्या संभव है?), तो हमें एक अजीब अभिव्यक्ति मिलती है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर कहें, ए = 0,ए ख = 5,यह काफी बेतुका कुछ पता चला है:

जो गणित में आत्मविश्वास को कम करता है, हां।) खासकर परीक्षाओं में। लेकिन इन अजीबोगरीब भावों में से, आपको X को भी खोजना होगा! जिसका कोई वजूद ही नहीं है। और, आश्चर्यजनक रूप से, यह X खोजना बहुत आसान है। हम सीखेंगे कि यह कैसे करना है। इस पाठ में।

दिखने में रैखिक समीकरण को कैसे पहचानें? यह निर्भर करता है क्या उपस्थिति।) चाल यह है कि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी + बी = 0 , बल्कि ऐसे समीकरण भी जो रूपांतरणों और सरलीकरणों द्वारा इस रूप में कम हो जाते हैं। और कौन जानता है कि यह कम हुआ है या नहीं?)

कुछ मामलों में एक रैखिक समीकरण को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है। मान लीजिए, यदि हमारे पास एक समीकरण है जिसमें पहली डिग्री में केवल अज्ञात हैं, तो हाँ संख्याएँ। और समीकरण नहीं है द्वारा विभाजित अंश अनजान , क्या यह महत्वपूर्ण है! और विभाजन द्वारा संख्या,या एक संख्यात्मक अंश - बस! उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। यहाँ भिन्न हैं, लेकिन वर्ग में, घन आदि में कोई x नहीं है, और हर में कोई x नहीं है, अर्थात। नहीं x . द्वारा विभाजन. और यहाँ समीकरण है

रैखिक नहीं कहा जा सकता। यहाँ x सभी पहली डिग्री में हैं, लेकिन वहाँ है x . के साथ व्यंजक द्वारा विभाजन. सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद, आप एक रैखिक समीकरण, और एक द्विघात समीकरण, और अपनी पसंद की कोई भी चीज़ प्राप्त कर सकते हैं।

यह पता चला है कि जब तक आप इसे लगभग हल नहीं कर लेते, तब तक किसी जटिल उदाहरण में एक रैखिक समीकरण का पता लगाना असंभव है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन असाइनमेंट में, एक नियम के रूप में, वे समीकरण के रूप के बारे में नहीं पूछते हैं, है ना? कार्यों में, समीकरणों का आदेश दिया जाता है निर्णय करना।यह मझे खुश करता है।)

रैखिक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

संपूर्ण समाधान रेखीय समीकरणसमीकरणों के समान परिवर्तनों से मिलकर बनता है। वैसे, ये परिवर्तन (जितना दो तक!) समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।दूसरे शब्दों में, निर्णय कोई भीसमीकरण इन्हीं परिवर्तनों के साथ शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, इन परिवर्तनों पर यह (समाधान) पूर्ण उत्तर के साथ समाप्त होता है। लिंक का पालन करना समझ में आता है, है ना?) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण भी हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरण से शुरू करें। बिना किसी झंझट के। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

यह एक रैखिक समीकरण है। एक्स सभी पहली शक्ति के लिए हैं, एक्स द्वारा कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हमें परवाह नहीं है कि समीकरण क्या है। हमें इसे हल करने की जरूरत है। यहां योजना सरल है। समानता के बाईं ओर x के साथ सब कुछ एकत्र करें, दाईं ओर x (संख्या) के बिना सब कुछ।

ऐसा करने के लिए, आपको स्थानांतरित करने की आवश्यकता है — 4x बाईं ओर, संकेत के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, लेकिन — 3 - दांई ओर। वैसे, यह है समीकरणों का पहला समान परिवर्तन।हैरान? इसलिए, उन्होंने लिंक का अनुसरण नहीं किया, लेकिन व्यर्थ।) हमें मिलता है:

हम समान देते हैं, हम मानते हैं:

हमारे पास क्या कमी है पूरी खुशी? हाँ, ताकि बाईं ओर एक साफ़ X हो! रास्ते में पांच हो जाता है। साथ पांच से छुटकारा पाएं समीकरणों का दूसरा समान परिवर्तन।अर्थात्, हम समीकरण के दोनों भागों को 5 से विभाजित करते हैं। हमें एक तैयार उत्तर मिलता है:

एक प्रारंभिक उदाहरण, बिल्कुल। यह गर्मजोशी के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मैं यहाँ क्यों हूँ समान परिवर्तनयाद आई? ठीक है। हम बैल को सींगों से पकड़ते हैं।) चलो कुछ और प्रभावशाली तय करते हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ यह समीकरण है:

हम कहाँ शुरू करें? x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर? ऐसा हो सकता है। छोटे चरणों में लंबी सड़क. और आप तुरंत, एक सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके से कर सकते हैं। जब तक, निश्चित रूप से, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन नहीं होते हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: आप इस समीकरण के बारे में सबसे ज्यादा क्या नापसंद करते हैं?

100 में से 95 लोग जवाब देंगे: अंशों ! उत्तर सही है। तो चलिए इनसे छुटकारा पाते हैं। तो हम तुरंत शुरू करते हैं दूसरा समान परिवर्तन. आपको बाईं ओर के अंश को किससे गुणा करने की आवश्यकता है ताकि हर पूरी तरह से कम हो जाए? यह सही है, 3. और दाईं ओर? 4. लेकिन गणित हमें दोनों पक्षों को से गुणा करने की अनुमति देता है वही नंबर. हम कैसे निकलते हैं? आइए दोनों पक्षों को 12 से गुणा करें! वे। एक आम भाजक के लिए। तब तीन कम हो जाएंगे, और चार। यह न भूलें कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करने की आवश्यकता है पूरी तरह से. यहाँ पहला कदम कैसा दिखता है:

टिप्पणी! मीटर (एक्स+2)मैंने कोष्ठक में लिया! ऐसा इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय अंश को पूर्ण से गुणा किया जाता है! और अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं और कम कर सकते हैं:

शेष कोष्ठक खोलना:

एक उदाहरण नहीं, लेकिन सरासर खुशी!) अब हम निचले ग्रेड से जादू को याद करते हैं: x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर!और इस परिवर्तन को लागू करें:

और हम दोनों भागों को 25 से विभाजित करते हैं, अर्थात्। दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें:

बस इतना ही। जवाब: एक्स=0,16

ध्यान दें: मूल भ्रमित करने वाले समीकरण को सुखद रूप में लाने के लिए, हमने दो (केवल दो!) समान परिवर्तन- एक ही संख्या से समीकरण के चिह्न और गुणन-विभाजन के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं अनुवाद। यह सार्वभौमिक तरीका है! हम इस तरह से काम करेंगे कोई भी समीकरण! बिल्कुल कोई। इसलिए मैं इन समान परिवर्तनों को हर समय दोहराता रहता हूं।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और उत्तर प्राप्त होने तक समान परिवर्तनों की सहायता से इसे सरल बनाते हैं। यहां मुख्य समस्याएं गणना में हैं, न कि समाधान के सिद्धांत में।

लेकिन। सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसे आश्चर्य होते हैं कि वे एक मजबूत स्तब्धता में ड्राइव कर सकते हैं।) सौभाग्य से, ऐसे केवल दो आश्चर्य हो सकते हैं। आइए उन्हें विशेष मामले कहते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

पहले आश्चर्य।

मान लीजिए कि आप एक प्रारंभिक समीकरण में आते हैं, कुछ इस तरह:

थोड़ा ऊब गया, हम एक्स के साथ बाईं ओर, एक्स के बिना - दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। संकेत परिवर्तन के साथ, सब कुछ चिनार है। हम पाते हैं:

हम मानते हैं और। उफ़। हम पाते हैं:

यह समानता अपने आप में आपत्तिजनक नहीं है। शून्य वास्तव में शून्य है। लेकिन एक्स चला गया है! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x किसके बराबर है।अन्यथा, समाधान मायने नहीं रखता, हाँ।) गतिरोध?

शांत! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे सामान्य नियम बचाते हैं। समीकरण कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब, x के सभी मान ज्ञात कीजिए जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही समानता मिलेगी।

लेकिन हमारे पास सही समानता है पहले से हीहो गई! 0 = 0, वास्तव में कहाँ ?! यह पता लगाना बाकी है कि यह किस x से प्राप्त होता है। x के किन मानों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है मूलसमीकरण अगर ये x's अभी भी शून्य हो गया है?आ जाओ?)

हां। Xs को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई भी!आप क्या चाहते हैं। कम से कम 5, कम से कम 0.05, कम से कम -220। वे अभी भी सिकुड़ेंगे। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप इसे देख सकते हैं।) किसी भी x मान को में बदलें मूलसमीकरण और गणना। हर समय शुद्ध सत्य प्राप्त होगा: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 इत्यादि।

यहाँ आपका उत्तर है: x कोई संख्या है।

उत्तर विभिन्न गणितीय प्रतीकों में लिखा जा सकता है, सार नहीं बदलता है। यह पूरी तरह से सही और पूर्ण उत्तर है।

दूसरा आश्चर्य।

आइए एक ही प्राथमिक रैखिक समीकरण लें और उसमें केवल एक संख्या बदलें। यह हम तय करेंगे:

समान परिवर्तनों के बाद, हमें कुछ दिलचस्प मिलता है:

इस प्रकार सं. एक रैखिक समीकरण हल किया, एक अजीब समानता प्राप्त की। गणितीय रूप से बोलते हुए, हमारे पास है गलत समानता।और बोलना सरल भाषा, यह सच नहीं है। बड़बड़ाना। लेकिन फिर भी, यह बकवास काफी अच्छा कारण है सही निर्णयसमीकरण।)

फिर से, हम सामान्य नियमों के आधार पर सोचते हैं। मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x हमें क्या देगा? सहीसमानता? हाँ, कोई नहीं! ऐसे कोई एक्स नहीं हैं। आप जो कुछ भी प्रतिस्थापित करेंगे, सब कुछ कम हो जाएगा, बकवास रहेगा।)

यहाँ आपका उत्तर है: कोई समाधान नहीं हैं।

यह भी पूरी तरह से मान्य उत्तर है। गणित में, ऐसे उत्तर अक्सर होते हैं।

इस प्रकार सं. अब, मुझे आशा है, किसी भी (न केवल रैखिक) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में Xs की हानि आपको बिल्कुल भी परेशान नहीं करेगी। बात जानी-पहचानी है।)

अब जब हमने रैखिक समीकरणों के सभी नुकसानों को हल कर लिया है, तो उन्हें हल करना समझ में आता है।

क्या वे परीक्षा में होंगे? - मैं व्यावहारिक लोगों का सवाल सुनता हूं। मैं जवाब देता हुँ। पर शुद्ध फ़ॉर्म- नहीं। बहुत प्राथमिक। लेकिन जीआईए में, या परीक्षा में समस्याओं को हल करते समय, आप निश्चित रूप से उनके सामने आएंगे! तो, हम माउस को हैंडल में बदलते हैं और निर्णय लेते हैं।

उत्तर अव्यवस्था में दिए गए हैं: 2.5; कोई समाधान नहीं; 51; 17.

हो गई?! बधाई हो! आपके पास परीक्षा में अच्छे मौके हैं।)

उत्तर मेल नहीं खाते? एम-हाँ। यह सुखद नहीं है। यह ऐसा विषय नहीं है जिसके बिना आप कर सकते हैं। मेरा सुझाव है कि आप धारा 555 पर जाएँ। यह बहुत विस्तृत है, क्याकरने के लिए और जैसाऐसा करें ताकि निर्णय में भ्रमित न हों। इन समीकरणों के उदाहरण पर।

लेकिन समीकरणों को कैसे हल करेंअधिक कठिन - यह अगले विषय में है।

अगर आपको यह साइट पसंद है।

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

यहां आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। रुचि के साथ सीखें!

और यहां आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

रेखीय समीकरणों को हल करना ग्रेड 7

के लिए रैखिक समीकरणों के समाधानदो बुनियादी नियमों (गुणों) का उपयोग करें।

संपत्ति #1
या
स्थानांतरण नियम

जब समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, तो समीकरण का पद इसके चिह्न को विपरीत में बदल देता है।

आइए एक उदाहरण के साथ स्थानांतरण नियम को देखें। मान लीजिए कि हमें एक रैखिक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

याद रखें कि किसी भी समीकरण का एक बायां पक्ष और एक दायां पक्ष होता है।

आइए संख्या "3" को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं।

चूंकि संख्या "3" में समीकरण के बाईं ओर "+" चिह्न था, इसका मतलब है कि in दाईं ओरसमीकरण "3" को "-" चिह्न के साथ स्थानांतरित किया जाएगा।

प्राप्त हुआ अंकीय मूल्य"x = 2" को समीकरण का मूल कहा जाता है।

किसी भी समीकरण को हल करने के बाद उत्तर लिखना न भूलें।

आइए एक और समीकरण पर विचार करें।

स्थानांतरण नियम के अनुसार, हम "4x" को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करेंगे, संकेत को विपरीत में बदल देंगे।

भले ही "4x" से पहले कोई चिन्ह नहीं है, हम समझते हैं कि "4x" से पहले "+" चिन्ह है।

अब हम समान देते हैं और समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

संपत्ति #2
या
विभाजन नियम

किसी भी समीकरण में, आप बाएँ और दाएँ पक्षों को समान संख्या से विभाजित कर सकते हैं।

लेकिन आप अज्ञात से विभाजित नहीं कर सकते!

आइए एक उदाहरण देखें कि रैखिक समीकरणों को हल करते समय विभाजन नियम का उपयोग कैसे करें।

संख्या "4", जो "x" पर खड़ा होता है, अज्ञात का संख्यात्मक गुणांक कहलाता है।

संख्यात्मक गुणांक और अज्ञात के बीच हमेशा गुणन की क्रिया होती है।

समीकरण को हल करने के लिए, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि "x" पर एक गुणांक "1" हो।

आइए अपने आप से यह प्रश्न पूछें: "आपको" 4 "से" को विभाजित करने की क्या आवश्यकता है?
"1" प्राप्त करें?. उत्तर स्पष्ट है, आपको "4" से विभाजित करने की आवश्यकता है।

विभाजन नियम का प्रयोग करें और समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को "4" से विभाजित करें। यह मत भूलो कि आपको बाएँ और दाएँ दोनों भागों को विभाजित करने की आवश्यकता है।

हम भिन्नों की कमी का उपयोग करते हैं और रैखिक समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

समीकरण को कैसे हल करें यदि "x" ऋणात्मक है

अक्सर समीकरणों में ऐसी स्थिति होती है जब "x" पर ऋणात्मक गुणांक होता है। जैसे नीचे समीकरण में।

इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, हम फिर से खुद से सवाल पूछते हैं: "1" प्राप्त करने के लिए आपको "-2" को विभाजित करने की क्या आवश्यकता है? "-2" से विभाजित करें।

सरल रैखिक समीकरणों को हल करना

इस वीडियो में, हम एक ही एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किए गए रैखिक समीकरणों के एक पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया जाता है:

खुले कोष्ठक, यदि कोई हों;
एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव होता है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया जाता है। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।

और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे . में है) अंतिम उदाहरण);
फिर समान लाओ
अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गिनती करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे अधिक सरल कार्य.

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:

कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम छोड़ देते हैं यह अवस्था. दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। टिप्पणी: हम बात कर रहे हेकेवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में। चलो लिखते है:

हम बाईं ओर और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:

यहां हमें जवाब मिला।

इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:

\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]

यहाँ कुछ कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जाता है, वे बस उनके सामने खड़े होते हैं विभिन्न संकेत. आइए उन्हें तोड़ दें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:

हम अंतिम चरण करते हैं - हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं:

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।

जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप किसी भी तरह से इसमें भेदभाव नहीं करना चाहिए या यह मान लेना चाहिए कि यदि आपको शून्य मिला है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इसे समझना साधारण तथ्यहाई स्कूल में आपको बेवकूफी भरी और हानिकारक गलतियाँ करने से रोकेगा, जब ऐसी चीजें करना हल्के में लिया जाता है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए आगे बढ़ते हैं जटिल समीकरण. अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की मंशा के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता लेते हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:

हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:

आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:

या कोई जड़ नहीं।

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ नहीं है।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम करना है और अगर उनके सामने ऋण चिह्न है तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।

और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हां, हां: केवल अब, जब परिवर्तन किए जाते हैं, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ सिर्फ संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा एक क्रम होता है प्राथमिक परिवर्तनजहां स्पष्ट और सक्षम रूप से प्रदर्शन करने में असमर्थता सरल कदमइस तथ्य की ओर जाता है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और ऐसे सरल समीकरणों को फिर से हल करना सीखते हैं।

बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21=3\]

आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए एक रिट्रीट करें:

आइए अंतिम चरण करें:

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से सत्यानाश कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।

\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]

आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले ब्रैकेट में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल मिलाकर चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:

और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:

आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:

यहाँ समान शब्द हैं:

हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी इस प्रकार है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें इससे बड़ा एक पद होता है, तो यह इस प्रकार किया जाता है अगला नियम: हम पहले पद से पहला पद लेते हैं और दूसरे से प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।

बीजगणितीय योग पर

पिछले उदाहरण में, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि क्या है बीजीय योग. शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों की तुलना में और भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए, हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:

अलग चर।

काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, दोनों समीकरणों में हमारे पास बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

अंशों से छुटकारा पाएं।
कोष्ठक खोलें।
समान लाओ।
एक कारक से विभाजित करें।

"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:

\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(-1 \दाएं)\cdot 4\]

हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:

हम समान शर्तों को कम करते हैं:

\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

हमें मिला अंतिम निर्णय, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।

यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:

वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
कोष्ठक खोलने की क्षमता।
अगर आपके पास कहीं है तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!

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एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

खुले कोष्ठक, यदि कोई हों;
एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया गया हो। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।

और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
फिर समान लाओ
अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में बात कर रहे हैं। चलो लिखते है:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

यहां हमें जवाब मिला।

कार्य #2

इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

कार्य #3

तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:

\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]

यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज से गुणा नहीं किया जाता है, उनके सामने बस अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणना करें:

हम अंतिम चरण करते हैं - हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।

जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

इस सरल तथ्य को समझने से आपको हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और हानिकारक गलतियाँ करने से बचने में मदद मिलेगी, जब इस तरह के कार्यों को हल्के में लिया जाता है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं। अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की मंशा के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।

उदाहरण 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता लेते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:

\[\विविधता \]

या कोई जड़ नहीं।

उदाहरण #2

हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:

आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:

\[\varnothing\],

या कोई जड़ नहीं।

समाधान की बारीकियां

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां सरल क्रियाओं को स्पष्ट और सक्षम रूप से करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और ऐसे सरल समीकरणों को फिर से हल करना सीखते हैं।

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

कार्य 1

\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए एक रिट्रीट करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

आइए अंतिम चरण करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

कार्य #2

\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]

और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:

आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी यह है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें एक पद से अधिक है, तो यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: हम पहले से पहला पद लेते हैं और प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं दूसरे से; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।

बीजगणितीय योग पर

अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

कोष्ठक खोलें।
अलग चर।
समान लाओ।
एक कारक से विभाजित करें।

अंशों से छुटकारा पाएं।
कोष्ठक खोलें।
अलग चर।
समान लाओ।
एक कारक से विभाजित करें।

उदाहरण 1

\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\बाएं(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]

अब इसे खोलते हैं:

हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:

हम समान शर्तों को कम करते हैं:

\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें अंतिम समाधान मिल गया है, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।

उदाहरण #2

\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या सुलझ गयी।

वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
कोष्ठक खोलने की क्षमता।
चिंता न करें अगर कहीं आपके पास द्विघात कार्य हैं, तो सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।

समीकरणों में से एक हैं कठिन विषयआत्मसात करने के लिए, लेकिन साथ ही वे पर्याप्त हैं शक्तिशाली उपकरणअधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए।

समीकरणों का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है विभिन्न प्रक्रियाएंप्रकृति में बह रहा है। अन्य विज्ञानों में समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: अर्थशास्त्र, भौतिकी, जीव विज्ञान और रसायन विज्ञान में।

पर यह सबकहम सरलतम समीकरणों के सार को समझने की कोशिश करेंगे, अज्ञात को व्यक्त करना सीखेंगे और कई समीकरणों को हल करेंगे। जैसे-जैसे आप नई सामग्री सीखते हैं, समीकरण अधिक जटिल होते जाएंगे, इसलिए मूल बातें समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

प्रारंभिक कौशल

पाठ सामग्री

एक समीकरण क्या है?

एक समीकरण एक समानता है जिसमें एक चर होता है जिसका मूल्य आप खोजना चाहते हैं। यह मान ऐसा होना चाहिए कि जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाए, तो सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 + 2 = 4 एक समानता है। बाईं ओर की गणना करते समय, सही संख्यात्मक समानता 4 = 4 प्राप्त होती है।

लेकिन समानता 2 + एक्स= 4 एक समीकरण है क्योंकि इसमें एक चर शामिल है एक्स, जिसका मूल्य पाया जा सकता है। मान ऐसा होना चाहिए कि जब इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाए, तो सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो।

दूसरे शब्दों में, हमें एक ऐसा मान ढूँढ़ने की ज़रूरत है जहाँ समान चिह्न अपने स्थान को सही ठहराएगा - बायाँ भाग दाएँ पक्ष के बराबर होना चाहिए।

समीकरण 2+ एक्स= 4 प्राथमिक है। परिवर्तनीय मूल्य एक्ससंख्या 2 के बराबर है। कोई अन्य मान बराबर नहीं होगा

संख्या 2 को कहा जाता है जड़या समीकरण का हल 2 + एक्स = 4

जड़या समीकरण का हलचर का वह मान है जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता बन जाता है।

कई जड़ें हो सकती हैं या बिल्कुल भी नहीं हो सकती हैं। प्रश्न हल करेंइसका अर्थ है इसकी जड़ों को खोजना या यह साबित करना कि जड़ें नहीं हैं।

समीकरण में चर को के रूप में भी जाना जाता है अनजान. आप इसे जो चाहें कॉल करने के लिए स्वतंत्र हैं। ये पर्यायवाची हैं।

टिप्पणी. वाक्यांश "समीकरण हल करें" अपने लिए बोलता है। एक समीकरण को हल करने का अर्थ है किसी समीकरण को "समान" करना - इसे संतुलित करना ताकि बायाँ पक्ष दाईं ओर के बराबर हो।

एक को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें

समीकरणों का अध्ययन परंपरागत रूप से समानता में शामिल एक संख्या को कई अन्य के रूप में व्यक्त करना सीखने के साथ शुरू होता है। आइए इस परंपरा को न तोड़ें और ऐसा ही करें।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

8 + 2

यह व्यंजक संख्या 8 और 2 का योग है। मान दी गई अभिव्यक्ति 10 . के बराबर

8 + 2 = 10

हमें समानता मिली है। अब आप इस समानता से किसी भी संख्या को समान समानता में शामिल अन्य संख्याओं के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 2 को व्यक्त करें।

संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको प्रश्न पूछने की आवश्यकता है: "संख्या 2 प्राप्त करने के लिए संख्या 10 और 8 के साथ क्या करने की आवश्यकता है।" यह स्पष्ट है कि संख्या 2 प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या 8 को संख्या 10 से घटाना होगा।

तो हम करते हैं। हम संख्या 2 लिखते हैं और समान चिह्न से हम कहते हैं कि यह संख्या 2 प्राप्त करने के लिए हमने संख्या 10 में से संख्या 8 घटा दी:

2 = 10 − 8

हमने संख्या 2 को समीकरण 8 + 2 = 10 से व्यक्त किया। जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है।

समीकरणों को हल करते समय, विशेष रूप से एक संख्या को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करते समय, समान चिह्न को शब्द से बदलना सुविधाजनक होता है " वहाँ है" . यह मानसिक रूप से किया जाना चाहिए, न कि अभिव्यक्ति में।

अत: 8 + 2 = 10 से संख्या 2 को व्यक्त करने पर हमें समानता 2 = 10 - 8 प्राप्त होती है। इस समीकरण को इस तरह पढ़ा जा सकता है:

2 वहाँ है 10 − 8

यानी संकेत = शब्द "है" द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। इसके अलावा, समानता 2 = 10 - 8 का अनुवाद . से किया जा सकता है गणितीय भाषासंपूर्णता के लिए मानव भाषा. फिर इसे इस तरह पढ़ा जा सकता है:

संख्या 2 वहाँ है 10 और 8 . के बीच का अंतर

संख्या 2 वहाँ हैसंख्या 10 और संख्या 8 के बीच का अंतर।

लेकिन हम खुद को "है" शब्द के साथ समान चिह्न को बदलने के लिए सीमित कर देंगे, और फिर हम हमेशा ऐसा नहीं करेंगे। प्राथमिक अभिव्यक्तियाँगणितीय भाषा को मानव भाषा में अनुवाद किए बिना समझा जा सकता है।

आइए परिणामी समानता 2 = 10 - 8 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

8 + 2 = 10

आइए इस बार संख्या 8 को व्यक्त करें। 8 संख्या प्राप्त करने के लिए शेष संख्याओं के साथ क्या किया जाना चाहिए? यह सही है, आपको संख्या 2 को संख्या 10 . से घटाना होगा

8 = 10 − 2

आइए परिणामी समानता 8 = 10 - 2 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

8 + 2 = 10

इस बार हम संख्या 10 व्यक्त करेंगे। लेकिन यह पता चला है कि दस को व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही व्यक्त किया गया है। यह बाएँ और दाएँ भागों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है, फिर हमें वह मिलता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

10 = 8 + 2

उदाहरण 2. समानता पर विचार करें 8 - 2 = 6

हम इस समानता से संख्या 8 को व्यक्त करते हैं। संख्या 8 को व्यक्त करने के लिए, अन्य दो संख्याओं को जोड़ा जाना चाहिए:

8 = 6 + 2

आइए परिणामी समानता 8 = 6 + 2 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

8 − 2 = 6

हम इस समानता से संख्या 2 को व्यक्त करते हैं। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमें 8 . में से 6 घटाना होगा

2 = 8 − 6

उदाहरण 3. समीकरण 3 × 2 = 6 . पर विचार करें

संख्या 3 को व्यक्त करें। संख्या 3 को व्यक्त करने के लिए, आपको 6 को 2 . से विभाजित करना होगा

आइए परिणामी समानता को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

3 x 2 = 6

आइए इस समानता से संख्या 2 को व्यक्त करें। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको 3 को 6 . से विभाजित करना होगा

उदाहरण 4. समानता पर विचार करें

हम इस समानता से संख्या 15 को व्यक्त करते हैं। संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, आपको संख्या 3 और 5 . को गुणा करना होगा

15 = 3 x 5

आइए परिणामी समानता 15 = 3 × 5 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

हम इस समानता से संख्या 5 को व्यक्त करते हैं। संख्या 5 को व्यक्त करने के लिए, आपको 15 को 3 . से विभाजित करना होगा

अज्ञात खोजने के नियम

अज्ञात खोजने के लिए कई नियमों पर विचार करें। हो सकता है कि वे आपसे परिचित हों, लेकिन उन्हें दोबारा दोहराने में कोई हर्ज नहीं है। भविष्य में, उन्हें भुलाया जा सकता है, क्योंकि हम इन नियमों को लागू किए बिना समीकरणों को हल करना सीखेंगे।

आइए पहले उदाहरण पर वापस जाएं जिसे हमने देखा था पिछला विषय, जहां समीकरण 8 + 2 = 10 में संख्या 2 को व्यक्त करना आवश्यक था।

समीकरण 8 + 2 = 10 में, संख्याएँ 8 और 2 पद हैं, और संख्या 10 योग है।

संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:

2 = 10 − 8

यानी 10 के योग में से 8 घटाएं।

अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 8 + 2 = 10 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स

8 + एक्स = 10

इस स्थिति में, समीकरण 8 + 2 = 10 समीकरण 8 + . बन जाता है एक्स= 10 , और चर एक्स अज्ञात शब्द

हमारा कार्य इस अज्ञात पद को खोजना है, अर्थात् समीकरण 8 + . को हल करना है एक्स= 10। अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम दिया गया है:

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

जो मूल रूप से हमने तब किया था जब हमने दोनों को समीकरण 8 + 2 = 10 में व्यक्त किया था। पद 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने 10 . के योग से एक और पद 8 घटाया

2 = 10 − 8

और अब अज्ञात शब्द खोजने के लिए एक्स, हमें ज्ञात पद 8 को योग 10 से घटाना चाहिए:

एक्स = 10 − 8

यदि आप परिणामी समानता के दाहिने पक्ष की गणना करते हैं, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि चर किसके बराबर है एक्स

एक्स = 2

हमने समीकरण हल कर लिया है। परिवर्तनीय मूल्य एक्स 2 के बराबर। एक चर के मान की जाँच करने के लिए एक्समूल समीकरण 8 + . पर भेजा गया एक्स= 10 और के स्थानापन्न एक्स।किसी भी हल किए गए समीकरण के साथ ऐसा करना वांछनीय है, क्योंकि आप यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है:

नतीजतन

वही नियम लागू होगा यदि अज्ञात शब्द पहला नंबर 8 था।

एक्स + 2 = 10

इस समीकरण में एक्सअज्ञात पद है, 2 ज्ञात पद है, 10 योग है। अज्ञात शब्द खोजने के लिए एक्स, आपको ज्ञात पद 2 को योग 10 . से घटाना होगा

एक्स = 10 − 2

एक्स = 8

आइए पिछले विषय से दूसरे उदाहरण पर वापस आते हैं, जहां समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 8 को व्यक्त करना आवश्यक था।

समीकरण 8 - 2 = 6 में, संख्या 8 न्यूनतम अंत है, संख्या 2 सबट्रेंड है, संख्या 6 अंतर है

संख्या 8 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:

8 = 6 + 2

यानी 6 और घटाए गए 2 के अंतर को जोड़ें।

अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 8 के स्थान पर एक चर है एक्स

एक्स − 2 = 6

इस मामले में, चर एक्सतथाकथित की भूमिका निभाता है अज्ञात

अज्ञात मिन्यूएंड को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

जब हमने 8 - 2 = 6 के समीकरण में संख्या 8 को व्यक्त किया तो हमने यही किया। न्यूनतम 8 को व्यक्त करने के लिए, हमने सबट्रेंड 2 को 6 के अंतर में जोड़ा।

और अब, अज्ञात minuend को खोजने के लिए एक्स, हमें सबट्रेंड 2 को अंतर 6 . में जोड़ना होगा

एक्स = 6 + 2

यदि आप दाईं ओर की गणना करते हैं, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि चर किसके बराबर है एक्स

एक्स = 8

अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स

8 − एक्स = 6

इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात सबट्रेंड

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मिन्यूएंड से अंतर घटाना होगा।

हमने यही किया जब हमने समीकरण 8 - 2 = 6 में संख्या 2 को व्यक्त किया। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने घटाए गए 8 से अंतर 6 घटाया।

और अब, अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए एक्स, आपको घटाए गए 8 . में से अंतर 6 को फिर से घटाना होगा

एक्स = 8 − 6

दाईं ओर की गणना करें और मान ज्ञात करें एक्स

एक्स = 2

आइए पिछले विषय से तीसरे उदाहरण पर लौटते हैं, जहां समीकरण 3 × 2 = 6 में हमने संख्या 3 को व्यक्त करने का प्रयास किया।

समीकरण 3 × 2 = 6 में, संख्या 3 गुणक है, संख्या 2 गुणक है, संख्या 6 गुणनफल है

संख्या 3 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:

अर्थात्, 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से भाग दें।

अब कल्पना कीजिए कि समीकरण 3 × 2 = 6 में संख्या 3 के स्थान पर एक चर है एक्स

एक्स×2=6

इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात गुणक.

अज्ञात गुणक को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम दिया गया है:

ढूँढ़ने के लिए अज्ञात गुणक, आपको उत्पाद को एक कारक से विभाजित करने की आवश्यकता है।

जब हमने समीकरण 3 × 2 = 6 से संख्या 3 को व्यक्त किया तो हमने यही किया। हमने 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से विभाजित किया है।

और अब अज्ञात गुणक को खोजने के लिए एक्स, आपको 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से विभाजित करने की आवश्यकता है।

दाईं ओर की गणना हमें चर के मूल्य का पता लगाने की अनुमति देती है एक्स

एक्स = 3

वही नियम लागू होता है यदि चर एक्सगुणक के स्थान पर स्थित है, गुणक के स्थान पर नहीं। कल्पना कीजिए कि समीकरण 3 × 2 = 6 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स ।

इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात गुणक. एक अज्ञात कारक को खोजने के लिए, एक अज्ञात गुणक को खोजने के लिए प्रदान किया जाता है, अर्थात् उत्पाद को एक ज्ञात कारक से विभाजित करना:

अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणन द्वारा गुणनफल को विभाजित करने की आवश्यकता है।

जब हमने समीकरण 3 × 2 = 6 से संख्या 2 को व्यक्त किया तो हमने यही किया। फिर, संख्या 2 प्राप्त करने के लिए, हमने 6 के गुणनफल को गुणक 3 से भाग दिया।

और अब अज्ञात कारक को खोजने के लिए एक्सहमने 6 के गुणनफल को 3 के गुणक से भाग दिया।

समीकरण के दाईं ओर की गणना करने से आप यह पता लगा सकते हैं कि x किसके बराबर है

एक्स = 2

गुणक और गुणक को मिलाकर गुणनखंड कहा जाता है। चूंकि गुणक और गुणक को खोजने के नियम समान हैं, इसलिए हम सूत्र बना सकते हैं सामान्य नियमअज्ञात कारक ढूँढना:

अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 9 × . को हल करें एक्स= 18. चर एक्सएक अज्ञात कारक है। इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद 18 को ज्ञात कारक 9 . से विभाजित करना होगा

आइए समीकरण हल करें एक्स× 3 = 27। चर एक्सएक अज्ञात कारक है। इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल 27 को ज्ञात गुणनखंड से विभाजित करना होगा

वापस चौथा उदाहरणपिछले विषय से, जहां समानता में संख्या 15 को व्यक्त करना आवश्यक था। इस समानता में, संख्या 15 लाभांश है, संख्या 5 भाजक है, संख्या 3 भागफल है।

संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित किया:

15 = 3 x 5

अर्थात्, 3 के भागफल को 5 के भाजक से गुणा करें।

अब कल्पना कीजिए कि समानता में संख्या 15 के बजाय एक चर है एक्स

इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात लाभांश.

अज्ञात लाभांश खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

हमने यही किया जब हमने संख्या 15 को समानता से व्यक्त किया। संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, हमने 3 के भागफल को 5 के भाजक से गुणा किया है।

और अब, अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए एक्स, आपको 3 के भागफल को 5 . के भाजक से गुणा करना होगा

एक्स= 3 × 5

एक्स .

एक्स = 15

अब कल्पना कीजिए कि समानता में, संख्या 5 के बजाय, एक चर है एक्स .

इस मामले में, चर एक्सभूमिका निभाता है अज्ञात भाजक .

अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम दिया गया है:

हमने यही किया जब हमने समानता से संख्या 5 को व्यक्त किया। संख्या 5 को व्यक्त करने के लिए, हमने लाभांश 15 को भागफल 3 से विभाजित किया है।

और अब अज्ञात भाजक को खोजने के लिए एक्स, आपको लाभांश 15 को भागफल 3 . से विभाजित करना होगा

आइए हम परिणामी समानता के दाईं ओर की गणना करें। तो हमें पता चलता है कि चर किसके बराबर है एक्स .

एक्स = 5

इसलिए, अज्ञात को खोजने के लिए, हमने निम्नलिखित नियमों का अध्ययन किया:

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा;
अज्ञात मिन्यूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा;
अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मिन्यूएंड से अंतर घटाना होगा;
अज्ञात गुणक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणनखंड से विभाजित करना होगा;
अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणन द्वारा गुणनफल को विभाजित करने की आवश्यकता है;
अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा;
एक अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, आपको भाज्य को भागफल से विभाजित करना होगा।

अवयव

अवयव हम समानता में शामिल संख्याओं और चरों को बुलाएंगे

तो, जोड़ के घटक हैं शर्तेंऔर जोड़

घटाव घटक हैं वियोज्य, वियोजकऔर अंतर

गुणन के घटक हैं गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जाय, कारकऔर काम

विभाजन के घटक लाभांश, भाजक और भागफल हैं।

हम किन घटकों के साथ काम कर रहे हैं, इसके आधार पर अज्ञात खोजने के लिए संबंधित नियम लागू होंगे। इन नियमों का अध्ययन हम पिछले विषय में कर चुके हैं। समीकरणों को हल करते समय, इन नियमों को दिल से जानना वांछनीय है।

उदाहरण 1. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए 45+ एक्स = 60

45 - अवधि, एक्सअज्ञात शब्द है, 60 योग है। हम अतिरिक्त घटकों के साथ काम कर रहे हैं। हमें याद है कि अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा:

एक्स = 60 − 45

दाईं ओर की गणना करें, मान प्राप्त करें एक्स 15 . के बराबर

एक्स = 15

अतः समीकरण का मूल 45 + . है एक्स= 60 बराबर 15.

अक्सर, अज्ञात शब्द को उस रूप में कम किया जाना चाहिए जिसमें इसे व्यक्त किया जा सके।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

यहां, पिछले उदाहरण के विपरीत, अज्ञात शब्द को तुरंत व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसमें गुणांक 2 है। हमारा कार्य इस समीकरण को उस रूप में लाना है जिसमें व्यक्त करना संभव होगा। एक्स

इस उदाहरण में, हम जोड़ के घटकों के साथ काम कर रहे हैं - शर्तें और योग। 2 एक्सपहला पद है, 4 दूसरा पद है, 8 योग है।

इस मामले में, शब्द 2 एक्सएक चर शामिल है एक्स. चर का मान ज्ञात करने के बाद एक्सटर्म 2 एक्सअलग रूप धारण कर लेगा। इसलिए, पद 2 एक्सअज्ञात शब्द के लिए पूरी तरह से लिया जा सकता है:

अब हम अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए नियम लागू करते हैं। योग से ज्ञात पद घटाएं:

आइए परिणामी समीकरण के दाईं ओर की गणना करें:

हमारे पास एक नया समीकरण है। अब हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं: गुणक, गुणक और उत्पाद। 2 - गुणक, एक्स- गुणक, 4 - उत्पाद

उसी समय, चर एक्सकेवल एक कारक नहीं है, बल्कि एक अज्ञात कारक है

इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणक से विभाजित करना होगा:

दाईं ओर की गणना करें, चर का मान प्राप्त करें एक्स

पाए गए रूट की जांच करने के लिए, इसे मूल समीकरण में भेजें और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्स

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56

अज्ञात व्यक्त करें एक्सयह वर्जित है। सबसे पहले आपको इस समीकरण को उस रूप में लाना होगा जिसमें इसे व्यक्त किया जा सके।

हम इस समीकरण के बाईं ओर प्रस्तुत करते हैं:

हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। 28 - गुणक, एक्स- गुणक, 56 - गुणनफल। जिसमें एक्सएक अज्ञात कारक है। अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणन द्वारा गुणनफल को विभाजित करने की आवश्यकता है:

यहां से एक्स 2 . है

समतुल्य समीकरण

पिछले उदाहरण में, समीकरण को हल करते समय 3एक्स + 9एक्स + 16एक्स = 56 , हमने समीकरण के बाईं ओर समान पद दिए हैं। परिणाम एक नया समीकरण 28 . है एक्स= 56। पुराना समीकरण 3एक्स + 9एक्स + 16एक्स = 56 और परिणामी नया समीकरण 28 एक्स= 56 कहा जाता है समतुल्य समीकरणक्योंकि उनकी जड़ें एक ही हैं।

समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके मूल समान हों।

चलो पता करते हैं। समीकरण के लिए 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 हमने जड़ को 2 के बराबर पाया। इस मूल को पहले समीकरण में रखें 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 , और फिर समीकरण 28 . में एक्स= 56 , जो पिछले समीकरण के बाईं ओर समान पदों की कमी के परिणामस्वरूप हुआ। हमें सही संख्यात्मक समानताएँ प्राप्त करनी चाहिए

संचालन के क्रम के अनुसार, गुणा पहले किया जाता है:

दूसरे समीकरण 28 . में मूल 2 को रखें एक्स= 56

हम देखते हैं कि दोनों समीकरणों के मूल समान हैं। तो समीकरण 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 6 और 28 एक्स= 56 वास्तव में समतुल्य हैं।

समीकरण को हल करने के लिए 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 हमने समान पदों में से एक का प्रयोग किया है। समीकरण के सही पहचान परिवर्तन ने हमें प्राप्त करने की अनुमति दी समतुल्य समीकरण 28एक्स= 56, जिसे हल करना आसान है।

समान परिवर्तनों से . तक इस पलहम केवल भिन्नों को कम कर सकते हैं, समान पद ला सकते हैं, निकाल सकते हैं सामान्य अवयवकोष्ठक के बाहर, और कोष्ठक खोलें। ऐसे अन्य परिवर्तन हैं जिनसे आपको अवगत होना चाहिए। लेकिन के लिए सामान्य विचारसमीकरणों के समान परिवर्तनों के बारे में, हमने जिन विषयों का अध्ययन किया है, वे काफी हैं।

कुछ परिवर्तनों पर विचार करें जो हमें एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देते हैं

यदि आप समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

और इसी तरह:

यदि समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटा दी जाए, तो दिए गए समीकरण के समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा।

दूसरे शब्दों में, यदि समान संख्या को समीकरण में जोड़ा जाता है (या दोनों पक्षों से घटाया जाता है) तो समीकरण का मूल नहीं बदलता है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 10 घटाएं

समीकरण 5 एक्स= 10। हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। अज्ञात कारक को खोजने के लिए एक्स, आपको 10 के गुणनफल को ज्ञात गुणनखंड 5 से भाग देना होगा।

और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया मूल्य 2

हमें सही नंबर मिला है। तो समीकरण सही है।

समीकरण हल करना हमने समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 10 घटाई। परिणाम एक समान समीकरण है। इस समीकरण की जड़, समीकरणों की तरह भी 2 . के बराबर है

उदाहरण 2. समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16

समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 12 घटाएं

बाईं ओर 4 . होगा एक्स, और दाईं ओर संख्या 4

समीकरण 4 एक्स= 4। हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। अज्ञात कारक को खोजने के लिए एक्स, आपको गुणनफल 4 को ज्ञात गुणनखंड 4 से भाग देना होगा

आइए मूल समीकरण 4 पर वापस जाएं ( एक्स+ 3) = 16 और इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करें एक्सपाया मूल्य 1

हमें सही नंबर मिला है। तो समीकरण सही है।

समीकरण को हल करना 4( एक्स+ 3) = 16 हमने समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 12 घटा दी है। परिणामस्वरूप, हमें एक तुल्य समीकरण 4 . प्राप्त हुआ एक्स= 4। इस समीकरण की जड़, साथ ही समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16 भी 1 . के बराबर है

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 8 जोड़ें

हम समीकरण के दोनों भागों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं:

बाईं ओर 2 . होगा एक्स, और दाईं ओर संख्या 9

परिणामी समीकरण में 2 एक्स= 9 हम अज्ञात पद को व्यक्त करते हैं एक्स

मूल समीकरण पर वापस जाएं और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया गया मान 4.5

हमें सही नंबर मिला है। तो समीकरण सही है।

समीकरण हल करना हमने समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 8 जोड़ दी। परिणामस्वरूप, हमें एक तुल्य समीकरण प्राप्त हुआ। इस समीकरण की जड़, समीकरणों की तरह 4.5 . के बराबर भी है

अगला नियम, जो आपको एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है, इस प्रकार है

यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, तो उसका चिन्ह बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है।

अर्थात्, यदि हम पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में उसके चिह्न को बदलकर स्थानान्तरित करते हैं तो समीकरण का मूल नहीं बदलेगा। यह गुण सबसे महत्वपूर्ण में से एक है और समीकरणों को हल करने में सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है।

निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

इस समीकरण का मूल 2 है। के स्थान पर प्रतिस्थापित कीजिए एक्सयह जड़ और जाँच करें कि क्या सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई है

यह सही समानता का पता लगाता है। तो संख्या 2 वास्तव में समीकरण की जड़ है।

अब आइए इस समीकरण की शर्तों के साथ प्रयोग करने का प्रयास करें, उन्हें एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हुए, संकेतों को बदलते हुए।

उदाहरण के लिए, पद 3 एक्ससमीकरण के बाईं ओर स्थित है। आइए इसे दाईं ओर ले जाएं, संकेत को विपरीत में बदलते हुए:

यह समीकरण निकला 12 = 9एक्स − 3एक्स . इस समीकरण के दाईं ओर:

एक्सएक अज्ञात कारक है। आइए इस ज्ञात कारक को खोजें:

यहां से एक्स= 2। जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण की जड़ नहीं बदली है। अतः समीकरण 12 + 3 एक्स = 9एक्सऔर 12 = 9एक्स − 3एक्स समकक्ष हैं।

वास्तव में, दिया गया परिवर्तनपिछले परिवर्तन की एक सरलीकृत विधि है, जहां समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी गई (या घटाई गई)।

हमने कहा कि समीकरण 12 + 3 . में एक्स = 9एक्सटर्म 3 एक्सचिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया गया। वास्तव में, निम्नलिखित हुआ: पद 3 को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाया गया एक्स

फिर बाईं ओर समान पद दिए गए और समीकरण प्राप्त हुआ 12 = 9एक्स − 3एक्स। फिर इसी तरह के शब्द फिर से दिए गए, लेकिन दाईं ओर, और समीकरण 12 = 6 प्राप्त हुआ एक्स।

लेकिन तथाकथित "स्थानांतरण" ऐसे समीकरणों के लिए अधिक सुविधाजनक है, यही वजह है कि यह इतना व्यापक हो गया है। समीकरणों को हल करते समय, हम अक्सर इस विशेष परिवर्तन का उपयोग करेंगे।

समीकरण 12 + 3 भी समतुल्य हैं एक्स= 9एक्सऔर 3एक्स - 9एक्स= −12 . इस बार समीकरण 12 + 3 . में एक्स= 9एक्सपद 12 को दाईं ओर ले जाया गया, और पद 9 एक्सबांई ओर। यह नहीं भूलना चाहिए कि स्थानांतरण के दौरान इन शर्तों के संकेत बदल गए थे

अगला नियम, जो आपको एक समान समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है, इस प्रकार है:

यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा।

दूसरे शब्दों में, एक समीकरण के मूल नहीं बदलते हैं यदि दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है। इस क्रिया का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब आपको एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है भिन्नात्मक भाव.

सबसे पहले, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा किया जाएगा।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाले समीकरणों को हल करते समय, इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे पहले प्रथागत है।

इस मामले में, हम ऐसे ही एक समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को 8 से गुणा किया जा सकता है:

हमें याद है कि इसके लिए आपको दी गई भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा। हमारे पास दो भिन्न हैं और उनमें से प्रत्येक को संख्या 8 से गुणा किया जाता है। हमारा कार्य भिन्नों के अंशों को इस संख्या 8 से गुणा करना है।

अब सबसे दिलचस्प बात होती है। दोनों भिन्नों के अंश और हर में 8 का गुणनखंड होता है, जिसे 8 से घटाया जा सकता है। यह हमें भिन्नात्मक व्यंजक से छुटकारा पाने की अनुमति देगा:

नतीजतन, सबसे सरल समीकरण रहता है

खैर, यह अनुमान लगाना आसान है कि इस समीकरण का मूल 4 . है

एक्सपाया मूल्य 4

यह सही संख्यात्मक समानता का पता लगाता है। तो समीकरण सही है।

इस समीकरण को हल करते समय, हमने इसके दोनों भागों को 8 से गुणा किया। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त हुआ। इस समीकरण का मूल, समीकरणों की तरह, 4 है। अतः ये समीकरण समतुल्य हैं।

वह गुणक जिसके द्वारा समीकरण के दोनों भागों को गुणा किया जाता है, आमतौर पर समीकरण के भाग से पहले लिखा जाता है, न कि उसके बाद। इसलिए, समीकरण को हल करते हुए, हमने दोनों भागों को 8 के कारक से गुणा किया और निम्नलिखित प्रविष्टि प्राप्त की:

इससे समीकरण की जड़ नहीं बदली है, लेकिन अगर हमने स्कूल में ऐसा किया होता, तो हम पर टिप्पणी की जाती, क्योंकि बीजगणित में जिस व्यंजक से गुणा किया जाता है, उससे पहले गुणनखंड लिखने की प्रथा है। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 8 के गुणनखंड से गुणा करने पर निम्नानुसार फिर से लिखना वांछनीय है:

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

बाईं ओर, कारक 15 को 15 से कम किया जा सकता है, और दाईं ओर, कारक 15 और 5 को 5 से कम किया जा सकता है।

आइए समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलें:

आइए शब्द को आगे बढ़ाएं एक्सचिह्न को बदलकर समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर। और समीकरण के दायीं ओर से पद 15 को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाएगा, फिर से चिन्ह बदल जाएगा:

हम दोनों भागों में समान पदों को लाते हैं, हमें प्राप्त होता है

हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। चर एक्स

मूल समीकरण पर वापस जाएं और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया मूल्य 5

यह सही संख्यात्मक समानता का पता लगाता है। तो समीकरण सही है। इस समीकरण को हल करते समय, हमने दोनों पक्षों को 15 से गुणा किया। इसके अलावा, समान परिवर्तन करते हुए, हमने समीकरण 10 = 2 . प्राप्त किया एक्स. इस समीकरण की जड़, समीकरणों की तरह 5 के बराबर। तो ये समीकरण बराबर हैं।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

बाईं ओर, दो ट्रिपल कम किए जा सकते हैं, और दाईं ओर 18 . के बराबर होगा

सबसे सरल समीकरण रहता है। हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। चर एक्सएक अज्ञात कारक है। आइए इस ज्ञात कारक को खोजें:

आइए मूल समीकरण पर लौटते हैं और . के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपाया मूल्य 9

यह सही संख्यात्मक समानता का पता लगाता है। तो समीकरण सही है।

उदाहरण 4. प्रश्न हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों को 6 . से गुणा करें

समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलें। दाईं ओर, गुणनखंड 6 को अंश तक बढ़ाया जा सकता है:

हम समीकरणों के दोनों भागों में कम करते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है:

आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:

हम शर्तों के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं। अज्ञात युक्त शर्तें एक्स, हम समीकरण के बाईं ओर समूहित करते हैं, और अज्ञात से मुक्त शब्द - दाईं ओर:

हम दोनों भागों में समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

अभी मूल्य खोजेंचर एक्स. ऐसा करने के लिए, हम गुणनफल 28 को ज्ञात गुणनखंड 7 से विभाजित करते हैं

यहां से एक्स= 4.

मूल समीकरण पर वापस जाएं और इसके बजाय स्थानापन्न करें एक्सपाया मूल्य 4

यह सही संख्यात्मक समानता निकला। तो समीकरण सही है।

उदाहरण 5. प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों भागों में जहां संभव हो, कोष्ठक खोलें:

समीकरण के दोनों पक्षों को 15 . से गुणा करें

आइए समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें:

आइए समीकरण के दोनों भागों में कम करें, क्या कम किया जा सकता है:

आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:

आइए जहां संभव हो कोष्ठक खोलें:

हम शर्तों के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं। अज्ञात वाले शब्दों को समीकरण के बाईं ओर समूहीकृत किया जाता है, और अज्ञात से मुक्त शब्दों को दाईं ओर समूहीकृत किया जाता है। यह मत भूलो कि स्थानांतरण के दौरान, शर्तें अपने संकेतों को विपरीत में बदल देती हैं:

हम समीकरण के दोनों भागों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं:

आइए मूल्य ज्ञात करें एक्स

परिणामी उत्तर में, आप पूरे भाग का चयन कर सकते हैं:

आइए मूल समीकरण पर लौटते हैं और . के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपाया मूल्य

यह एक बोझिल अभिव्यक्ति के रूप में सामने आता है। आइए चर का उपयोग करें। हम समानता के बाईं ओर एक चर में डालते हैं ए, और एक चर में समानता का दाहिना भाग बी

हमारा काम यह सुनिश्चित करना है कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर है। दूसरे शब्दों में, समानता सिद्ध कीजिए A = B

चर A में व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

परिवर्तनीय मूल्य लेकिनबराबर। आइए अब वेरिएबल का मान ज्ञात करें बी. यानी हमारी समानता के दाहिने हिस्से का मूल्य। यदि यह के बराबर है, तो समीकरण सही ढंग से हल हो जाएगा

हम देखते हैं कि चर का मान बी, साथ ही चर A का मान है। इसका मतलब है कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण को सही ढंग से हल किया गया है।

आइए अब कोशिश करें कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा न करें, बल्कि विभाजित करें।

समीकरण पर विचार करें 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 . हम इसे सामान्य तरीके से हल करते हैं: हम समीकरण के बाईं ओर अज्ञात शब्दों को समूहित करते हैं, और दाईं ओर अज्ञात से मुक्त शब्द। इसके अलावा, ज्ञात समान परिवर्तनों को निष्पादित करते हुए, हम मान पाते हैं एक्स

के स्थान पर पाए गए मान 2 को प्रतिस्थापित करें एक्समूल समीकरण में:

आइए अब समीकरण के सभी पदों को अलग करने का प्रयास करें 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 हम देखते हैं कि इस समीकरण के सभी पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। हम प्रत्येक पद को इससे विभाजित करते हैं:

आइए प्रत्येक अवधि में कम करें:

आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:

हम ज्ञात समान परिवर्तनों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करते हैं:

हमें जड़ 2 मिली। तो समीकरण 15एक्स+ 7एक्स+ 7 = 35एक्स - 20एक्स+ 21 और 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 समकक्ष हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से विभाजित करने से आप अज्ञात को गुणांक से मुक्त कर सकते हैं। पिछले उदाहरण में, जब हमें समीकरण 7 . मिला था एक्स= 14 , हमें गुणनफल 14 को ज्ञात गुणनखंड 7 से विभाजित करने की आवश्यकता है। लेकिन यदि हम अज्ञात को बाईं ओर के गुणांक 7 से मुक्त करते हैं, तो मूल तुरंत मिल जाएगा। ऐसा करने के लिए, दोनों भागों को 7 . से विभाजित करना पर्याप्त था

हम भी अक्सर इस विधि का प्रयोग करेंगे।

माइनस वन से गुणा करें

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को ऋणात्मक एक से गुणा किया जाता है, तो दिए गए समीकरण के समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा।

यह नियम इस तथ्य का अनुसरण करता है कि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) करने से इस समीकरण का मूल नहीं बदलता है। इसका अर्थ है कि यदि इसके दोनों भागों को -1 से गुणा किया जाए तो मूल नहीं बदलेगा।

यह नियम आपको समीकरण में शामिल सभी घटकों के संकेतों को बदलने की अनुमति देता है। यह किस लिए है? फिर से, एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए जिसे हल करना आसान है।

समीकरण पर विचार करें। क्या जड़ के बराबर हैयह समीकरण?

आइए समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 5 जोड़ते हैं

यहाँ समान शब्द हैं:

और अब आइए याद करते हैं। समीकरण के बाईं ओर क्या है। यह माइनस वन और वेरिएबल का गुणनफल है एक्स

यानी वेरिएबल के सामने माइनस एक्सचर को ही संदर्भित नहीं करता है एक्स, लेकिन उस इकाई के लिए, जिसे हम नहीं देखते हैं, क्योंकि यह प्रथागत है कि गुणांक 1 को न लिखें। इसका मतलब है कि समीकरण वास्तव में इस तरह दिखता है:

हम गुणन के घटकों के साथ काम कर रहे हैं। ढूँढ़ने के लिए एक्स, आपको गुणनफल −5 को ज्ञात कारक −1 से विभाजित करना होगा।

या समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से विभाजित करें, जो और भी आसान है

अतः समीकरण का मूल 5 है। जाँच करने के लिए, हम इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह मत भूलो कि मूल समीकरण में, चर के सामने ऋणात्मक है एक्सएक अदृश्य इकाई को संदर्भित करता है

यह सही संख्यात्मक समानता निकला। तो समीकरण सही है।

आइए अब समीकरण के दोनों पक्षों को घटाकर एक से गुणा करने का प्रयास करें:

कोष्ठकों को खोलने के बाद, बाईं ओर व्यंजक बनता है, और दाईं ओर 10 . के बराबर होगा

इस समीकरण की जड़, समीकरण की तरह, 5 . है

तो समीकरण बराबर हैं।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

इस समीकरण में, सभी घटक ऋणात्मक हैं। नकारात्मक घटकों की तुलना में सकारात्मक घटकों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, तो आइए समीकरण में शामिल सभी घटकों के संकेतों को बदलें। ऐसा करने के लिए, इस समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करें।

यह स्पष्ट है कि −1 से गुणा करने पर कोई भी संख्या अपने चिन्ह को विपरीत दिशा में बदल देगी। इसलिए, -1 से गुणा करने और कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है, लेकिन विपरीत संकेतों वाले समीकरण के घटकों को तुरंत लिखा जाता है।

इसलिए, एक समीकरण को −1 से गुणा करने पर विस्तार से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

या आप बस सभी घटकों के संकेत बदल सकते हैं:

यह वही निकलेगा, लेकिन अंतर यह होगा कि हम अपना समय बचाएंगे।

अतः समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है। आइए इस समीकरण को हल करें। संख्या 4 को दोनों भागों से घटाएँ और दोनों भागों को 3 . से भाग दें

जब रूट मिल जाता है, तो वेरिएबल आमतौर पर बाईं ओर लिखा जाता है, और इसका मान दाईं ओर होता है, जो हमने किया।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करें। तब सभी घटक अपने संकेतों को विपरीत में बदल देंगे:

परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाएं एक्सऔर समान शब्द जोड़ें:

हम समीकरण के दोनों भागों में एकता जोड़ते हैं और समान पद देते हैं:

शून्य के बराबर

हमने हाल ही में सीखा है कि यदि किसी समीकरण में हम एक पद को उसके चिह्न को बदलकर एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है।

और क्या होगा यदि हम एक भाग से दूसरे भाग में एक पद नहीं, बल्कि सभी शर्तों को स्थानांतरित करते हैं? यह सही है, जिस हिस्से से सभी शर्तें ली गई हैं, उसमें शून्य रहेगा। दूसरे शब्दों में, कुछ भी नहीं बचेगा।

आइए समीकरण को एक उदाहरण के रूप में लें। हम हमेशा की तरह इस समीकरण को हल करते हैं - हम अज्ञात वाले शब्दों को एक भाग में समूहित करते हैं, और संख्यात्मक शब्दों को अज्ञात से मुक्त छोड़ देते हैं। इसके अलावा, ज्ञात समान परिवर्तनों को निष्पादित करते हुए, हम चर का मान पाते हैं एक्स

आइए अब इसके सभी घटकों को शून्य से बराबर करके समान समीकरण को हल करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम सभी शर्तों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, संकेतों को बदलते हुए:

यहाँ बाईं ओर समान शब्द हैं:

आइए दोनों भागों में 77 जोड़ें, और दोनों भागों को 7 . से विभाजित करें

अज्ञात खोजने के नियमों का एक विकल्प

जाहिर है, समीकरणों के समान परिवर्तनों के बारे में जानकर, अज्ञात खोजने के नियमों को याद नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण में अज्ञात को खोजने के लिए, हमने गुणनफल 10 को ज्ञात कारक 2 . से विभाजित किया है

लेकिन अगर समीकरण में दोनों भागों को 2 से विभाजित किया जाता है, तो मूल तुरंत मिल जाता है। समीकरण के बायीं ओर अंश में गुणनखंड 2 और हर में गुणनखंड 2 को 2 से घटाया जाएगा और दायां पक्ष 5 के बराबर होगा

हमने अज्ञात पद को व्यक्त करके रूप के समीकरणों को हल किया:

लेकिन आप उन्हीं परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं जिनका हमने आज अध्ययन किया है। समीकरण में, पद 4 को चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जा सकता है:

समीकरण के बाईं ओर, दो ड्यूस कम हो जाएंगे। दाहिना भाग 2 के बराबर होगा। अत: ।

या आप समीकरण के दोनों पक्षों में से 4 घटा सकते हैं। तब आपको निम्नलिखित प्राप्त होगा:

प्रपत्र के समीकरणों के मामले में, उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना अधिक सुविधाजनक होता है। आइए दोनों समाधानों की तुलना करें:

पहला समाधान बहुत छोटा और साफ-सुथरा है। यदि आप अपने सिर में विभाजन करते हैं तो दूसरा समाधान काफी छोटा हो सकता है।

हालाँकि, आपको दोनों विधियों को जानने की आवश्यकता है और उसके बाद ही आपको जो सबसे अच्छा लगता है उसका उपयोग करें।

जब कई जड़ें हों

एक समीकरण के कई मूल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए समीकरण एक्स(एक्स + 9) = 0 के दो मूल हैं: 0 और -9।

समीकरण में एक्स(एक्स + 9) = 0 ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक था एक्सजिसके लिए बाईं ओर शून्य के बराबर होगा। इस समीकरण के बाईं ओर के भाव हैं एक्सऔर (एक्स + 9), जो कारक हैं। उत्पाद कानूनों से, हम जानते हैं कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है (या तो पहला कारक या दूसरा)।

यानी समीकरण में एक्स(एक्स + 9) = 0 समानता प्राप्त की जाएगी यदि एक्सशून्य होगा या (एक्स + 9)शून्य होगा।

एक्स= 0 या एक्स + 9 = 0

इन दोनों व्यंजकों को शून्य से बराबर करने पर, हम समीकरण के मूल ज्ञात कर सकते हैं एक्स(एक्स + 9) = 0। पहली जड़, जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, तुरंत मिल गई। दूसरी जड़ खोजने के लिए, आपको हल करना होगा प्रारंभिक समीकरण एक्स+ 9 = 0। यह अनुमान लगाना आसान है कि इस समीकरण का मूल −9 है। जाँच से पता चलता है कि जड़ सही है:

−9 + 9 = 0

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

इस समीकरण के दो मूल हैं: 1 और 2. समीकरण का बायाँ भाग व्यंजकों का गुणनफल है ( एक्स- 1) और ( एक्स- 2)। और गुणनफल शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है (या कारक ( एक्स-1) या कारक ( एक्स − 2) ).

आइए इसे ढूंढते हैं एक्सजिसके तहत भाव ( एक्स- 1) या ( एक्स- 2) गायब हो जाना:

हम पाए गए मानों को मूल समीकरण में बदल देते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि इन मानों के साथ बाईं ओर शून्य के बराबर है:

जब अपरिमित रूप से अनेक जड़ें हों

एक समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल हो सकते हैं। अर्थात् किसी भी संख्या को ऐसे समीकरण में रखने पर हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

इस समीकरण का मूल कोई भी संख्या है। यदि आप समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं और समान पद लाते हैं, तो आपको समानता 14 \u003d 14 मिलती है। यह समानता किसी के लिए भी प्राप्त की जाएगी एक्स

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

इस समीकरण का मूल कोई भी संख्या है। यदि आप समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं, तो आपको समानता मिलती है 10एक्स + 12 = 10एक्स + 12. यह समानता किसी के लिए भी प्राप्त की जाएगी एक्स

जब जड़ें न हों

ऐसा भी होता है कि समीकरण का कोई हल ही नहीं है, अर्थात इसकी कोई जड़ नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि किसी भी मान के लिए एक्स, समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं होगा। उदाहरण के लिए, चलो। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें:

यहाँ समान शब्द हैं:

हम देखते हैं कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर नहीं है। और इसलिए यह किसी भी मूल्य के लिए होगा आप. उदाहरण के लिए, चलो आप = 3 .

पत्र समीकरण

एक समीकरण में न केवल चर वाली संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि अक्षर भी हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, गति ज्ञात करने का सूत्र एक शाब्दिक समीकरण है:

यह समीकरण समान रूप से त्वरित गति में शरीर की गति का वर्णन करता है।

एक उपयोगी कौशल एक अक्षर समीकरण में शामिल किसी भी घटक को व्यक्त करने की क्षमता है। उदाहरण के लिए, समीकरण से दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने की आवश्यकता है एस .

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें टी

दाईं ओर चर टीसे कम टी

परिणामी समीकरण में, बाएँ और दाएँ भाग आपस में बदल जाते हैं:

हमने दूरी ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त किया है, जिसका अध्ययन हम पहले कर चुके हैं।

आइए समीकरण से समय निर्धारित करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने की आवश्यकता है टी .

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें टी

दाईं ओर चर टीसे कम टीऔर जो हमने छोड़ा है उसे फिर से लिखें:

परिणामी समीकरण में वी × टी = एसदोनों भागों को में विभाजित करें वी

बाईं ओर चर वीसे कम वीऔर जो हमने छोड़ा है उसे फिर से लिखें:

हमने समय निर्धारित करने का सूत्र प्राप्त किया है, जिसका अध्ययन हमने पहले किया था।

मान लीजिए कि ट्रेन की गति 50 किमी/घंटा है

वी= 50 किमी/घंटा

और दूरी 100 किमी . है

एस= 100 किमी

फिर पत्र निम्नलिखित रूप लेगा

इस समीकरण से आप समय निकाल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए टी. आप भागफल से भागफल को विभाजित करके अज्ञात भाजक को खोजने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं और इस प्रकार चर का मान निर्धारित कर सकते हैं टी

या आप समान परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं। पहले समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें टी

फिर दोनों भागों को 50 . से भाग दें

उदाहरण 2 एक्स

समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं ए

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें बी

ए + बीएक्स = सी, तो हमारे पास होगा टर्नकी समाधान. इसमें स्थानापन्न करने के लिए पर्याप्त होगा वांछित मूल्य. वे मान जिन्हें अक्षरों से प्रतिस्थापित किया जाएगा ए, बी, सीबुलाया मापदंडों. और फॉर्म के समीकरण ए + बीएक्स = सीबुलाया मापदंडों के साथ समीकरण. मापदंडों के आधार पर, रूट बदल जाएगा।

समीकरण 2 + 4 . हल करें एक्स= 10। यह एक शाब्दिक समीकरण की तरह दिखता है ए + बीएक्स = सी. समान परिवर्तन करने के बजाय, हम तैयार समाधान का उपयोग कर सकते हैं। आइए दोनों समाधानों की तुलना करें:

हम देखते हैं कि दूसरा समाधान बहुत सरल और छोटा है।

एक संपूर्ण समाधान के लिए, आपको करना होगा एक छोटा सा नोट. पैरामीटर बीशून्य नहीं होना चाहिए (बी 0), चूंकि शून्य से विभाजन की अनुमति नहीं है।

उदाहरण 3. एक शाब्दिक समीकरण दिया। इस समीकरण से व्यक्त करें एक्स

आइए समीकरण के दोनों भागों में कोष्ठक खोलें

हम शर्तों के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं। एक चर युक्त पैरामीटर एक्स, हम समीकरण के बाईं ओर समूह करते हैं, और इस चर से मुक्त पैरामीटर - दाईं ओर।

बाईं ओर, हम गुणनखंड निकालते हैं एक्स

दोनों भागों को एक व्यंजक में विभाजित करें ए-बी

बाईं ओर, अंश और हर को कम किया जा सकता है ए-बी. तो चर अंत में व्यक्त किया जाता है एक्स

अब, यदि हम फॉर्म के समीकरण में आते हैं ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी), तो हमारे पास एक तैयार समाधान होगा। इसमें आवश्यक मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त होगा।

मान लीजिए हमें एक समीकरण दिया गया है 4(एक्स - 3) = 2(एक्स+ 4) . यह एक समीकरण की तरह दिखता है ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी). हम इसे दो तरीकों से हल करते हैं: समान परिवर्तनों का उपयोग करना और तैयार समाधान का उपयोग करना:

सुविधा के लिए, हम समीकरण से निकालते हैं 4(एक्स - 3) = 2(एक्स+ 4) पैरामीटर मान ए, बी, सी, डी . यह हमें प्रतिस्थापित करते समय गलतियाँ नहीं करने देगा:

जैसा कि पिछले उदाहरण में है, यहाँ हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए ( ए - बी 0)। अगर हम फॉर्म के समीकरण में आते हैं ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी)जिसमें पैरामीटर एऔर बीसमान हैं, हम इसे हल किए बिना कह सकते हैं कि इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि अंतर वही नंबरशून्य के बराबर।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(x - 3) = 2(x + 4)फॉर्म का एक समीकरण है ए (एक्स - सी) = बी (एक्स + डी). समीकरण में 2(x - 3) = 2(x + 4)विकल्प एऔर बीवही। यदि हम इसे हल करना शुरू करते हैं, तो हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि बाईं ओर दाईं ओर के बराबर नहीं होगा:

उदाहरण 4. एक शाब्दिक समीकरण दिया। इस समीकरण से व्यक्त करें एक्स

हम समीकरण के बाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:

दोनों पक्षों को से गुणा करें ए

बायीं तरफ पर एक्सइसे कोष्ठक से बाहर निकालें

हम दोनों भागों को व्यंजक (1 − .) से विभाजित करते हैं ए)

एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

इस पाठ में जिन समीकरणों पर विचार किया गया है, वे कहलाते हैं एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण.

यदि समीकरण को पहली डिग्री दिया जाता है, जिसमें अज्ञात से विभाजन नहीं होता है, और इसमें अज्ञात से मूल भी नहीं होते हैं, तो इसे रैखिक कहा जा सकता है। हमने अभी तक डिग्री और जड़ों का अध्ययन नहीं किया है, इसलिए अपने जीवन को जटिल न करने के लिए, हम "रैखिक" शब्द को "सरल" समझेंगे।

इस पाठ में हल किए गए अधिकांश समीकरण सरलतम समीकरण में सिमट कर रह गए, जिसमें उत्पाद को एक ज्ञात कारक द्वारा विभाजित किया जाना था। उदाहरण के लिए, समीकरण 2( एक्स+ 3) = 16। आइए इसे हल करें।

आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलें, हमें 2 . मिलता है एक्स+ 6 = 16. चिह्न बदलकर पद 6 को दाईं ओर ले जाएं। तब हम 2 . प्राप्त करते हैं एक्स= 16 - 6. दाईं ओर की गणना करें, हमें 2 . मिलता है एक्स= 10. खोजने के लिए एक्स, हम गुणनफल 10 को ज्ञात गुणनखंड 2 से विभाजित करते हैं। इसलिए एक्स = 5.

समीकरण 2( एक्स+ 3) = 16 रैखिक है। यह समीकरण 2 . तक कम हो गया एक्स= 10, जिसका मूल ज्ञात करने के लिए उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना आवश्यक था। इस सरल समीकरण को कहा जाता है विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री का रैखिक समीकरण. "कैनोनिकल" शब्द "सरल" या "सामान्य" शब्दों का पर्याय है।

विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण को फॉर्म का समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी = बी।

हमारा समीकरण 2 एक्स= 10 विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री का एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में पहली डिग्री है, एक अज्ञात है, इसमें अज्ञात से विभाजन नहीं है और इसमें अज्ञात से जड़ें नहीं हैं, और इसे विहित रूप में प्रस्तुत किया गया है, अर्थात सबसे सरल रूप में जिसमें यह निर्धारित करना आसान है मूल्य एक्स. मापदंडों के बजाय एऔर बीहमारे समीकरण में संख्याएँ 2 और 10 हैं। लेकिन एक समान समीकरण में अन्य संख्याएँ हो सकती हैं: धनात्मक, ऋणात्मक, या शून्य के बराबर।

यदि एक रैखिक समीकरण में ए= 0 और बी= 0 है, तो समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक मूल हैं। दरअसल, अगर एशून्य है और बीशून्य के बराबर है, तो रैखिक समीकरण कुल्हाड़ी= बी 0 . का रूप लेता है एक्स= 0। किसी भी मूल्य के लिए एक्सबाईं ओर दाईं ओर के बराबर होगा।

यदि एक रैखिक समीकरण में ए= 0 और बी 0, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। दरअसल, अगर एशून्य है और बीकुछ संख्या के बराबर शून्य, संख्या 5 कहें, फिर समीकरण कुल्हाड़ी = बी 0 . का रूप लेता है एक्स= 5। लेफ्ट साइड जीरो और राइट साइड पांच होगा। और शून्य पांच के बराबर नहीं है।

यदि एक रैखिक समीकरण में ए 0 , और बीकिसी भी संख्या के बराबर है, तो समीकरण का एक मूल होता है। यह पैरामीटर को विभाजित करके निर्धारित किया जाता है बीप्रति पैरामीटर ए

दरअसल, अगर एकुछ गैर-शून्य संख्या के बराबर है, संख्या 3 कहें, और बीकिसी संख्या के बराबर है, मान लीजिए कि संख्या 6 है, तो समीकरण का रूप ले लेगा।
यहां से।

एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण लिखने का एक और रूप है। यह इस तरह दिख रहा है: कुल्हाड़ी - बी= 0। यह वही समीकरण है कुल्हाड़ी = बी

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के लिए रैखिक समीकरणों के समाधानदो बुनियादी नियमों (गुणों) का उपयोग करें।

संपत्ति #1
या
स्थानांतरण नियम

याद रखें कि किसी भी समीकरण का एक बायां पक्ष और एक दायां पक्ष होता है।

आइए संख्या "3" को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं।

चूंकि संख्या "3" में समीकरण के बाईं ओर "+" चिह्न था, इसका मतलब है कि "3" को "-" चिह्न के साथ समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जाएगा।

परिणामी संख्यात्मक मान " x \u003d 2 " को समीकरण का मूल कहा जाता है।

किसी भी समीकरण को हल करने के बाद उत्तर लिखना न भूलें।

आइए एक और समीकरण पर विचार करें।

भले ही "4x" से पहले कोई चिन्ह नहीं है, हम समझते हैं कि "4x" से पहले "+" चिन्ह है।

अब हम समान देते हैं और समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

संपत्ति #2
या
विभाजन नियम

लेकिन आप अज्ञात से विभाजित नहीं कर सकते!

संख्या "4", जो "x" पर खड़ा होता है, अज्ञात का संख्यात्मक गुणांक कहलाता है।

संख्यात्मक गुणांक और अज्ञात के बीच हमेशा गुणन की क्रिया होती है।

समीकरण को हल करने के लिए, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि "x" पर एक गुणांक "1" हो।

हम भिन्नों की कमी का उपयोग करते हैं और रैखिक समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

समीकरण को कैसे हल करें यदि "x" ऋणात्मक है

रेखीय समीकरण। प्रथम स्तर।

क्या आप अपनी ताकत का परीक्षण करना चाहते हैं और परिणाम का पता लगाना चाहते हैं कि आप एकीकृत राज्य परीक्षा या ओजीई के लिए कितने तैयार हैं?

1. रैखिक समीकरण

ये है बीजीय समीकरण, कौन-सा पूर्ण डिग्रीइसके घटक बहुपद के बराबर है।

2. एक चर के साथ रैखिक समीकरणकी तरह लगता है:

कोई संख्या कहां और हैं;

3. दो चरों के साथ रैखिक समीकरणकी तरह लगता है:

कहां, और कोई संख्या है।

4. पहचान परिवर्तन

यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण रैखिक है या नहीं, समान परिवर्तन करना आवश्यक है:

बाएँ/दाएँ समान पदों पर जाएँ, चिह्न बदलना न भूलें;
समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा/भाग दें।

"रैखिक समीकरण" क्या हैं

या में मौखिक- तीन दोस्तों को सेब दिए गए, इस तथ्य के आधार पर कि वास्या के पास कुल सेब हैं।

और अब आपने तय कर लिया है रेखीय समीकरण
आइए अब इस शब्द को गणितीय परिभाषा दें।

रेखीय समीकरण – एक बीजीय समीकरण है जिसके घटक बहुपदों की कुल घात है. यह इस तरह दिख रहा है:

कोई संख्या कहां और कहां हैं और

वास्या और सेब के मामले में हम लिखेंगे:

- "अगर वास्या तीनों दोस्तों को समान संख्या में सेब देती है, तो उसके पास कोई सेब नहीं बचेगा"

"छिपे हुए" रैखिक समीकरण, या समान परिवर्तनों का महत्व

इस तथ्य के बावजूद कि पहली नज़र में सब कुछ बेहद सरल है, समीकरणों को हल करते समय, आपको सावधान रहने की आवश्यकता है, क्योंकि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है, बल्कि किसी भी समीकरण को परिवर्तन और सरलीकरण द्वारा इस रूप में कम किया जाता है। उदाहरण के लिए:

हम देखते हैं कि यह दाईं ओर है, जो, सिद्धांत रूप में, पहले से ही इंगित करता है कि समीकरण रैखिक नहीं है। इसके अलावा, यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें दो और पद मिलेंगे जिनमें यह होगा, लेकिन निष्कर्ष पर मत पहुंचो! यह तय करने से पहले कि क्या समीकरण रैखिक है, सभी परिवर्तनों को करना और इस प्रकार सरल बनाना आवश्यक है मूल उदाहरण. इस मामले में, परिवर्तन उपस्थिति को बदल सकते हैं, लेकिन समीकरण का सार नहीं।

दूसरे शब्दों में, ये परिवर्तन होना चाहिए सदृशया समकक्ष. ऐसे केवल दो परिवर्तन हैं, लेकिन वे बहुत खेलते हैं, बहुत महत्वपूर्ण भूमिकासमस्याओं को हल करते समय। आइए ठोस उदाहरणों पर दोनों परिवर्तनों पर विचार करें।

बाएं-दाएं ले जाएं।

मान लें कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

प्राथमिक विद्यालय में वापस, हमें बताया गया था: "Xs के साथ - बाईं ओर, Xs के बिना - दाईं ओर।" x के साथ कौन सा व्यंजक दायीं ओर है? ठीक है, कैसे नहीं। और यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि अगर इसे गलत समझा जाता है, तो ऐसा लगता है आसान सवाल, गलत उत्तर देता है। और बाईं ओर x के साथ व्यंजक क्या है? सही ढंग से, .

अब जब हमने इसे निपटा लिया है, तो हम अज्ञात के साथ सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं, और जो कुछ भी ज्ञात है उसे दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, यह याद करते हुए कि यदि संख्या के सामने कोई संकेत नहीं है, उदाहरण के लिए, तो संख्या सकारात्मक है, अर्थात्, यह चिन्ह "" से पहले है।

ले जाया गया? तुम्हें क्या मिला?

जो कुछ किया जाना बाकी है वह समान शर्तों को लाना है। हम उपस्थित है:

इसलिए, हमने पहले समान परिवर्तन को सफलतापूर्वक पार्स किया है, हालांकि मुझे यकीन है कि आप इसे पहले से ही जानते थे और मेरे बिना सक्रिय रूप से इसका इस्तेमाल करते थे। मुख्य बात - संख्याओं के संकेतों के बारे में मत भूलना और समान चिह्न के माध्यम से स्थानांतरित करते समय उन्हें विपरीत में बदलें!

गुणा - भाग।

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू करें

हम देखते हैं और सोचते हैं: इस उदाहरण में हमें क्या पसंद नहीं है? अज्ञात सब एक भाग में है, दूसरे में ज्ञात है, लेकिन कुछ हमें रोक रहा है ... और यह कुछ है - एक चार, क्योंकि अगर यह नहीं होता, तो सब कुछ परिपूर्ण होता - X संख्या के बराबर है- जैसा हम चाहते हैं वैसा ही!

आप इससे कैसे छुटकारा पा सकते हैं? हम दाईं ओर स्थानांतरित नहीं कर सकते, क्योंकि तब हमें पूरे गुणक को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है (हम इसे नहीं ले सकते हैं और इसे इससे दूर कर सकते हैं), और पूरे गुणक को स्थानांतरित करने का भी कोई मतलब नहीं है ...

यह उस विभाजन के बारे में याद रखने का समय है, जिसके संबंध में हम सब कुछ विभाजित करेंगे! सब - इसका अर्थ है बाएँ और दाएँ दोनों ओर। तो और केवल इतना! हमें क्या मिलता है?

आइए अब एक और उदाहरण देखें:

सोचो इस मामले में क्या करना है? यह सही है, बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करें! आपको क्या जवाब मिला? सही ढंग से। .

निश्चित रूप से आप पहले से ही समान परिवर्तनों के बारे में सब कुछ जानते थे। विचार करें कि हमने इस ज्ञान को आपकी स्मृति में ताज़ा कर दिया है और यह कुछ और करने का समय है - उदाहरण के लिए, हमारे बड़े उदाहरण को हल करने के लिए:

जैसा कि हमने पहले कहा, इसे देखते हुए, आप यह नहीं कह सकते कि यह समीकरण रैखिक है, लेकिन हमें कोष्ठक खोलने और समान परिवर्तन करने की आवश्यकता है। तो चलो शुरू करते है!

आरंभ करने के लिए, हम संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करते हैं, विशेष रूप से, योग का वर्ग और अंतर का वर्ग। यदि आपको यह याद नहीं है कि यह क्या है और कोष्ठक कैसे खोले जाते हैं, तो मैं दृढ़ता से "कम गुणन सूत्र" विषय को पढ़ने की सलाह देता हूं, क्योंकि परीक्षा में पाए गए लगभग सभी उदाहरणों को हल करते समय ये कौशल आपके लिए उपयोगी होंगे।
प्रकट किया? तुलना करना:

अब समान शर्तें लाने का समय आ गया है। क्या आपको याद है कि हम उसी में कैसे हैं प्राथमिक स्कूलक्या उन्होंने कहा "हम कटलेट के साथ मक्खियाँ नहीं डालते"? यहां मैं आपको इसकी याद दिला रहा हूं। हम सब कुछ अलग-अलग जोड़ते हैं - कारक जो हैं, कारक हैं, और अन्य कारक जिनके पास अज्ञात नहीं है। जैसे ही आप समान शब्द लाते हैं, सभी अज्ञात को बाईं ओर ले जाएं, और जो कुछ भी ज्ञात है उसे दाईं ओर ले जाएं। तुम्हें क्या मिला?

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्स-स्क्वायर गायब हो गया है, और हम पूरी तरह से सामान्य देखते हैं रेखीय समीकरण. ढूँढना ही रह जाता है !

और अंत में, मैं एक और बहुत कुछ कहूंगा खास बातसमान परिवर्तनों के बारे में - समान परिवर्तन न केवल रैखिक समीकरणों के लिए, बल्कि वर्ग, भिन्नात्मक परिमेय और अन्य के लिए भी लागू होते हैं। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि समान चिह्न के माध्यम से कारकों को स्थानांतरित करते समय, हम संकेत को विपरीत में बदलते हैं, और किसी संख्या से विभाजित या गुणा करते समय, हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा / विभाजित करते हैं।

आपने इस उदाहरण से और क्या लिया? कि एक समीकरण को देखते हुए यह हमेशा सीधे और सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं है कि यह रैखिक है या नहीं। आपको पहले अभिव्यक्ति को पूरी तरह से सरल बनाना होगा, और उसके बाद ही यह तय करना होगा कि यह क्या है।

रेखीय समीकरण। उदाहरण।

आपके लिए स्वयं अभ्यास करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं - निर्धारित करें कि क्या समीकरण रैखिक है और यदि ऐसा है, तो इसकी जड़ें खोजें:

उत्तर:

1. एक।

2. क्या नहीं है।

आइए कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

आइए एक समान परिवर्तन करें - हम बाएँ और दाएँ भागों को विभाजित करते हैं:

हम देखते हैं कि समीकरण रैखिक नहीं है, इसलिए इसकी जड़ों को देखने की कोई आवश्यकता नहीं है।

3. एक।

आइए एक समान परिवर्तन करें - हर से छुटकारा पाने के लिए बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करें।

सोचो यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर जानते हैं, तो हम समीकरण के आगे के समाधान के लिए आगे बढ़ते हैं, यदि नहीं, तो "ODZ" विषय पर ध्यान देना सुनिश्चित करें ताकि अधिक गलतियाँ न हों कठिन उदाहरण. वैसे, जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी स्थिति जहां यह असंभव है। क्यों?
तो चलिए आगे बढ़ते हैं और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

यदि आपने बिना किसी कठिनाई के हर चीज का सामना किया है, तो आइए दो चर वाले रैखिक समीकरणों के बारे में बात करते हैं।

दो चर वाले रैखिक समीकरण

अब चलिए थोड़ा अधिक जटिल एक - दो चरों वाले रैखिक समीकरणों पर चलते हैं।

रेखीय समीकरणदो चर के साथ इस तरह दिखते हैं:

कहां, और कोई संख्या है और।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर केवल इतना है कि समीकरण में एक और चर जोड़ा जाता है। और इसलिए सब कुछ समान है - कोई x वर्ग नहीं है, एक चर द्वारा कोई विभाजन नहीं है, आदि। आदि।

कौन आपको लाएगा जीवन उदाहरण. चलो वही वास्या लेते हैं। मान लीजिए कि उसने फैसला किया कि वह अपने 3 दोस्तों में से प्रत्येक को समान संख्या में सेब देगा, और सेब अपने पास रखेगा। यदि वास्या प्रत्येक मित्र को एक सेब देता है तो उसे कितने सेब खरीदने होंगे? व्हाट अबाउट? क्या होगा अगर द्वारा?

प्रत्येक व्यक्ति द्वारा प्राप्त किए जाने वाले सेबों की संख्या की निर्भरता कुलखरीदे जाने वाले सेब को समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाएगा:

- एक व्यक्ति को प्राप्त होने वाले सेबों की संख्या (, या, या);
- सेब की संख्या जो वास्या अपने लिए लेगी;
- प्रति व्यक्ति सेब की संख्या को ध्यान में रखते हुए, वास्या को कितने सेब खरीदने की जरूरत है।

इस समस्या को हल करते हुए, हम पाते हैं कि अगर वास्या एक दोस्त को एक सेब देता है, तो उसे टुकड़े खरीदने की जरूरत है, अगर वह सेब देता है, आदि।

और आम तौर पर बोल रहा हूँ। हमारे पास दो चर हैं। इस निर्भरता को एक ग्राफ पर क्यों नहीं चित्रित करते? हम अपने मूल्य का निर्माण और अंकन करते हैं, अर्थात अंक, निर्देशांक के साथ, और!

जैसा कि आप देख सकते हैं, और एक दूसरे पर निर्भर हैं रैखिक, इसलिए समीकरणों का नाम - " रैखिक».

हम सेब से सार निकालते हैं और रेखांकन पर विचार करते हैं विभिन्न समीकरण. दो निर्मित रेखांकन को ध्यान से देखें - एक सीधी रेखा और एक परवलय, जो मनमाने कार्यों द्वारा दिए गए हैं:

दोनों आकृतियों पर संबंधित बिंदुओं को खोजें और चिह्नित करें।
तुम्हें क्या मिला?

आप देख सकते हैं कि पहले फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर अकेलामेल खाती है एक, अर्थात्, और रैखिक रूप से एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, जिसे दूसरे फ़ंक्शन के बारे में नहीं कहा जा सकता है। बेशक, आप इस बात पर आपत्ति कर सकते हैं कि दूसरे ग्राफ पर, x भी - से मेल खाता है, लेकिन यह केवल एक बिंदु है, अर्थात विशेष मामला, चूंकि आप अभी भी ऐसा कोई ढूंढ सकते हैं जो केवल एक से अधिक से मेल खाता हो। और निर्मित ग्राफ किसी भी तरह से एक रेखा जैसा नहीं है, बल्कि एक परवलय है।

मैं दोहराता हूं, एक बार और: एक रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा होना चाहिए.

इस तथ्य के साथ कि अगर हम किसी भी हद तक जाते हैं तो समीकरण रैखिक नहीं होगा - यह एक परवलय के उदाहरण का उपयोग करके समझ में आता है, हालांकि आप अपने लिए कुछ और बना सकते हैं सरल रेखांकन, उदाहरण के लिए या। लेकिन मैं आपको विश्वास दिलाता हूं - इनमें से कोई भी सीधी रेखा नहीं होगी।

विश्वास नहीं करते? मुझे जो मिला उसके साथ बनाएं और फिर तुलना करें:

और क्या होता है यदि हम किसी चीज़ को, उदाहरण के लिए, किसी संख्या से भाग दें? यह होगा रैखिक निर्भरताऔर? हम बहस नहीं करेंगे, लेकिन हम निर्माण करेंगे! उदाहरण के लिए, आइए एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें।

किसी तरह यह निर्मित सीधी रेखा की तरह नहीं दिखता ... तदनुसार, समीकरण रैखिक नहीं है।
आइए संक्षेप करें:

रैखिक समीकरण -एक बीजीय समीकरण है जिसमें इसके घटक बहुपदों की कुल घात बराबर होती है।
रेखीय समीकरणएक चर के साथ जैसा दिखता है:
, जहां और कोई संख्याएं हैं;
रेखीय समीकरणदो चर के साथ:
, कहाँ, और कोई संख्या है।
यह निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि कोई समीकरण रैखिक है या नहीं। कभी-कभी, इसे समझने के लिए, समान परिवर्तन करना आवश्यक है, समान शब्दों को बाएँ / दाएँ ले जाएँ, चिह्न बदलना न भूलें, या समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा / विभाजित करें।

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चूँकि परिमेय संख्याओं a और b में समान और भिन्न चिह्न हो सकते हैं, अज्ञात का चिह्न परिमेय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया

समीकरण की जड़ की गणना करें (अज्ञात खोजें एक्ससमानता से एक्स = बी : ए),

दिए गए समीकरण में अज्ञात को प्रतिस्थापित करके परीक्षण करें।

यदि हमें संख्यात्मक समानता में एक पहचान मिलती है, तो समीकरण को सही ढंग से हल किया जाता है।

समीकरणों को हल करने के विशेष मामले

यदि एक समीकरण 0 के बराबर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, फिर इसे हल करने के लिए हम गुणन की संपत्ति का उपयोग करते हैं: "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से एक या दोनों कारक शून्य के बराबर हैं।"

27 (एक्स - 3) = 0
27 0 के बराबर नहीं है, इसलिए एक्स - 3 = 0

दूसरे उदाहरण में समीकरण के दो हल हैं, क्योंकि
यह दूसरी डिग्री का समीकरण है:

यदि समीकरण के गुणांक साधारण भिन्न हैं, तो सबसे पहले आपको हर से छुटकारा पाना होगा। इसके लिए:

एक आम भाजक खोजें;

समीकरण के प्रत्येक पद के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करें;

समान शर्तें लाओ;

समीकरणों के मूल गुण

समीकरण के किसी भी भाग में, आप समान पद ला सकते हैं या कोष्ठक खोल सकते हैं।

रेखीय समीकरण। रैखिक समीकरणों का समाधान। टर्म ट्रांसफर नियम।

टर्म ट्रांसफर नियम।

समीकरणों को हल और परिवर्तित करते समय, पद को समीकरण के दूसरी ओर स्थानांतरित करना अक्सर आवश्यक हो जाता है। ध्यान दें कि शब्द में धन चिह्न और ऋण चिह्न दोनों हो सकते हैं। नियम के अनुसार, पद को समीकरण के दूसरे भाग में स्थानांतरित करते समय, आपको संकेत को विपरीत में बदलने की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, नियम असमानताओं के लिए भी काम करता है।

उदाहरणटर्म ट्रांसफर:

पहले ट्रांसफर करें 5x

ध्यान दें कि "+" चिह्न "-" में बदल गया है और "-" चिह्न "+" में बदल गया है। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि स्थानांतरित शब्द एक संख्या है या एक चर, या एक अभिव्यक्ति है।

हम पहले पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। हम पाते हैं:

ध्यान दें कि हमारे उदाहरण में, पद व्यंजक है (−3x 2 (2+7x)). इसलिए इसे अलग से ट्रांसफर नहीं किया जा सकता है। (−3x2)और (2+7x), क्योंकि ये शब्द के घटक हैं। इसलिए ये बर्दाश्त नहीं करते (−3x2 ⋅ 2) और (7x). हालाँकि, हम मॉडेम को कोष्ठक खोलते हैं और 2 पद प्राप्त करते हैं: (−3x-⋅ 2) और (−3×2⋅ 7x). इन 2 शब्दों को एक दूसरे से अलग किया जा सकता है।

असमानताएँ उसी तरह बदल जाती हैं:

हम प्रत्येक नंबर को एक तरफ इकट्ठा करते हैं। हम पाते हैं:

समीकरण के दूसरे भाग परिभाषा के अनुसार समान हैं, इसलिए हम समीकरण के दोनों भागों से समान व्यंजकों को घटा सकते हैं, और समानता सही रहेगी। आपको व्यंजक को घटाना होगा, जिसे अंततः दूसरी तरफ ले जाने की आवश्यकता है। फिर "=" चिन्ह के एक तरफ यह जो था उससे कम हो जाएगा। और समानता के दूसरी ओर, जो व्यंजक हमने घटाया है वह "-" चिह्न के साथ दिखाई देगा।

इस नियम का प्रयोग अक्सर रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है।

बीजगणित की मूल बातें / पद के हस्तांतरण का नियम

आइए पहले पद को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं। हम पाते हैं:

आइए सभी नंबरों को एक दिशा में ले जाएं। परिणामस्वरूप, हमारे पास है:

प्रमाण को दर्शाने वाले उदाहरण संपादित करें

समीकरणों के लिए संपादित करें

मान लीजिए कि हम सभी x को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाना चाहते हैं। दोनों भागों से घटाएं 5 x

अब हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष समान हैं। आइए अज्ञात चर को परिणामी परिणाम से बदलें:

अब हम समान पद जोड़ सकते हैं:

आइए पहले चलते हैं 5 एक्ससमीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर:

अब संख्या (−6) को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं:

ध्यान दें कि धन चिह्न ऋण में बदल गया है, और ऋण चिह्न धन में बदल गया है। इसके अलावा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि स्थानांतरित शब्द एक संख्या, एक चर या एक संपूर्ण अभिव्यक्ति है या नहीं।

परिभाषा के अनुसार समीकरण के दोनों पक्ष समान हैं, इसलिए आप समीकरण के दोनों पक्षों से घटा सकते हैं वही अभिव्यक्ति, और समानता सत्य बनी हुई है। समान चिह्न के एक तरफ, यह जो था, उसके साथ अनुबंध करेगा। समीकरण के दूसरी ओर, हमारे द्वारा घटाया गया व्यंजक ऋण चिह्न के साथ दिखाई देगा।

समीकरणों का नियम सिद्ध होता है।

असमानताओं के लिए संपादित करें

इसलिए, 4 समीकरण 5x+2=7x-6 का मूल है। चूंकि इसके लिए पहचान साबित हुई है, इसलिए असमानताओं के लिए भी, परिभाषा के अनुसार।

समीकरणों को हल करना, पदों के हस्तांतरण का नियम

पाठ का उद्देश्य

पाठ के शैक्षिक कार्य:

- समीकरणों को हल करते समय पदों के हस्तांतरण के नियम को लागू करने में सक्षम हो;

पाठ के कार्यों का विकास करना:

- विकास करना स्वतंत्र गतिविधिछात्र;

- भाषण विकसित करें (एक सक्षम, गणितीय भाषा में पूर्ण उत्तर दें);

पाठ के शैक्षिक कार्य:

- नोटबुक और बोर्ड पर सही ढंग से नोट्स बनाने की क्षमता को शिक्षित करना;

?उपकरण:

मल्टीमीडिया
इंटरैक्टिव बोर्ड

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"पाठ समीकरण 6 कोशिकाओं को हल करना"

गणित पाठ 6 ग्रेड

शिक्षक: टिमोफीवा एम. ए.

पाठ का उद्देश्य: समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों के स्थानांतरण के नियम का अध्ययन।

पाठ के शैक्षिक कार्य:

समीकरणों को हल करते समय पदों के हस्तांतरण के नियम को लागू करने में सक्षम हो;

पाठ के कार्यों का विकास करना:

छात्रों की स्वतंत्र गतिविधि विकसित करना;

भाषण विकसित करें (एक सक्षम, गणितीय भाषा में पूर्ण उत्तर दें);

पाठ के शैक्षिक कार्य:

नोटबुक और बोर्ड पर सही ढंग से नोट्स बनाने की क्षमता विकसित करना;

पाठ के मुख्य चरण

1. आयोजन क्षण, पाठ के उद्देश्य और कार्य के रूप का संचार

"यदि आप तैरना सीखना चाहते हैं,

फिर साहसपूर्वक पानी में प्रवेश करें,

यदि आप समीकरणों को हल करना सीखना चाहते हैं,

2. आज हम इस विषय का अध्ययन शुरू कर रहे हैं: "समीकरणों को हल करना" (स्लाइड 1)

लेकिन आप पहले ही सीख चुके हैं कि समीकरणों को कैसे हल किया जाता है! फिर हम क्या अध्ययन करने जा रहे हैं?

- समीकरणों को हल करने के नए तरीके।

3. आइए कवर की गई सामग्री को दोहराएं ( मौखिक कार्य) (स्लाइड 2)

3))। 7मी + 8एन - 5मी - 3एन

4))। - 6a + 12b - 5a - 12b

5). 9x - 0.6y - 14x + 1.2y

समीकरण आ गया है
बहुत सारे राज लाए

समीकरण कौन से व्यंजक हैं?(स्लाइड 3)

4. समीकरण क्या कहलाता है?

एक समीकरण एक समानता है जिसमें अज्ञात संख्या. (स्लाइड 4)

समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है?

प्रश्न हल करेंइसका अर्थ है इसकी जड़ों को खोजना या यह साबित करना कि वे मौजूद नहीं हैं।

आइए समीकरणों को मौखिक रूप से हल करें। (स्लाइड 5)

हल करते समय हम किस नियम का उपयोग करते हैं?

- अज्ञात कारक ढूँढना।

आइए एक नोटबुक में कई समीकरण लिखें और अज्ञात और कम किए गए शब्द खोजने के लिए नियमों का उपयोग करके उन्हें हल करें: (स्लाइड 7)

ऐसे समीकरण को कैसे हल करें?

x + 5 = - 2x - 7 (स्लाइड 8)

हम सरल नहीं कर सकते, क्योंकि समान पद में हैं विभिन्न भागसमीकरण, इसलिए, उन्हें स्थानांतरित करना आवश्यक है।

शानदार रंग जल रहे हैं
और सिर कितना भी बुद्धिमान क्यों न हो
क्या आप अभी भी परियों की कहानियों में विश्वास करते हैं?
कहानी हमेशा सही होती है।

एक बार की बात है, 2 राजा थे: श्वेत और श्याम। ब्लैक किंग नदी के दाहिने किनारे पर ब्लैक किंगडम में रहता था, और व्हाइट किंग बाएं किनारे पर व्हाइट किंगडम में रहता था। राज्यों के बीच एक बहुत ही अशांत और खतरनाक नदी बहती थी। इस नदी को तैरकर या नाव से पार करना असंभव था। हमें एक पुल की जरूरत थी! पुल के निर्माण में बहुत लंबा समय लगा और अब, आखिरकार, पुल का निर्माण किया गया। हर कोई आनन्दित होगा और एक-दूसरे के साथ संवाद करेगा, लेकिन समस्या यह है: श्वेत राजा को काला पसंद नहीं था, उसके राज्य के सभी निवासी हल्के कपड़े पहनते थे, और काला राजा पसंद नहीं करता था। सफेद रंगऔर, उसके राज्य के निवासियों ने गहरे रंग के वस्त्र पहने थे। अगर ब्लैक किंगडम से कोई व्हाइट किंगडम में चला गया, तो वह तुरंत व्हाइट किंग के पक्ष में गिर गया, और अगर व्हाइट किंगडम से कोई ब्लैक किंगडम में चला गया, तो वह ब्लैक किंग के पक्ष में गिर गया। राज्यों के निवासियों को अपने राजाओं को क्रोधित न करने के लिए कुछ ऐसा करना पड़ा। आपको क्या लगता है कि वे किसके साथ आए?

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

उदाहरण 1

इंतिहान:

उदाहरण #2

इंतिहान:

उदाहरण #3

इंतिहान:

उदाहरण #4

इंतिहान:

उदाहरण #5

इंतिहान:

उदाहरण #6

इंतिहान:

अब आइए बुनियादी नियमों पर चलते हैं:

मेरे अभ्यास से

माता-पिता के लिए सूचना

जोड़ और घटाव के समीकरणों को हल करना

गुणा और भाग के समीकरणों को हल करना

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया

समीकरणों को हल करने के विशेष मामले

समीकरणों के मूल गुण

सरल समीकरणों को हल करने का नियम

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

अगर आपको यह साइट पसंद है।

रेखीय समीकरणों को हल करना ग्रेड 7

संपत्ति #1 या स्थानांतरण नियम

संपत्ति #2 या विभाजन नियम

समीकरण को कैसे हल करें यदि "x" ऋणात्मक है

सरल रैखिक समीकरणों को हल करना

समीकरण हल करने के उदाहरण

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

समाधान की बारीकियां

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

बीजगणितीय योग पर

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

प्रमुख बिंदु

समीकरण हल करने के उदाहरण

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

कार्य #2

कार्य #3

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

उदाहरण 1

उदाहरण #2

समाधान की बारीकियां

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

कार्य 1

कार्य #2

समाधान की बारीकियां

बीजगणितीय योग पर

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

उदाहरण 1

उदाहरण #2

प्रमुख बिंदु

एक समीकरण क्या है?

एक को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें

अज्ञात खोजने के नियम

अवयव

समतुल्य समीकरण

माइनस वन से गुणा करें

शून्य के बराबर

अज्ञात खोजने के नियमों का एक विकल्प

जब कई जड़ें हों

जब अपरिमित रूप से अनेक जड़ें हों

जब जड़ें न हों

पत्र समीकरण

एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

संपत्ति #1 या स्थानांतरण नियम

संपत्ति #2 या विभाजन नियम

समीकरण को कैसे हल करें यदि "x" ऋणात्मक है

रेखीय समीकरण। प्रथम स्तर।

"रैखिक समीकरण" क्या हैं

"छिपे हुए" रैखिक समीकरण, या समान परिवर्तनों का महत्व

संपत्ति #1
या
स्थानांतरण नियम

संपत्ति #2
या
विभाजन नियम

संपत्ति #1
या
स्थानांतरण नियम

संपत्ति #2
या
विभाजन नियम

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"पाठ समीकरण 6 कोशिकाओं को हल करना"