În acest articol, vei învăța cum să rezolvi probleme de matematică dacă nu știi de unde să începi.

Adesea, atunci când rezolvă probleme, școlarii „intră în stupoare” - le este o ceață în cap, gândurile s-au împrăștiat undeva și se pare că nu mai este posibil să le strângă.

Vreau un exemplu de rezolvare a unei probleme de la bancă deschisă sarcini pentru a arăta care pași simpli trebuie să faceți pentru a vă aduna gândurile și pentru a rezolva corect problemele.

Cum să rezolvi problemele. Sarcina B13 (nr. 26582)

Biciclistul a plecat viteza constanta de la orasul A la orasul B, distanta dintre ele este de 98 km. A doua zi s-a întors cu o viteză cu 7 km/h mai mult decât înainte. Pe drum a făcut o oprire de 7 ore. Ca urmare, a petrecut la întoarcere la fel de mult timp cât a făcut-o pe drumul de la A la B. Aflați viteza biciclistului pe drumul de la A la B. Dați răspunsul în km/h.

1. Citiți cu atenție problema. Poate de mai multe ori.

2. Determinăm despre ce proces este problema și ce formule descriu acest proces. Scriem aceste formule. ÎN acest caz aceasta este o sarcină pentru mișcare, iar formula care descrie acest proces este S=vt.

3. Scriem dimensiunea fiecărei variabile care face parte din ecuație:

• S - distanta - km
• v - viteza - km/h
• t - timp - h

Cunoașterea dimensiunii ne va ajuta în verificarea formulelor rezultate.

4. Scriem toate numerele care se găsesc în starea problemei, scriem ce înseamnă și dimensiunea lor:

98 km - distanța dintre orașe,

7 km/h - cât viteza unui biciclist drumul inapoi mai mult decât viteza pe drumul de la orașul A la orașul B,

7 ore - momentul în care biciclistul s-a oprit (de data aceasta nu a mers)

5. Citiți din nou întrebarea problema.

6. Noi decidem ce valoare vom lua pentru necunoscut. Este convenabil să luăm pentru necunoscut valoarea care trebuie cunoscută în problemă. În acest caz, aceasta este viteza biciclistului pe drumul de la A la B.

Deci: fie viteza biciclistului pe drumul de la A la B x. Apoi, deoarece viteza biciclistului la întoarcere este cu 7 km/h mai mare decât viteza pe drumul de la orașul A la orașul B, atunci este egală cu x+7.

7. Facem o ecuație. Pentru a face acest lucru, exprimăm a treia valoare a ecuației de mișcare (timp) prin primele două. Apoi:

• timpul necesar biciclistului pentru a călători de la A la B este 98/x,

• iar pe drumul de la B la A - 98 / (x + 7) + 7 - amintiți-vă că la întoarcere biciclistul a făcut o oprire de 7 ore, adică timpul său de călătorie este suma timpului de călătorie și a parcării. timp.

Ecuația este pentru timp. Încă o dată citim în condiția problemei că scrie despre timp: Ca urmare, a petrecut la fel de mult timp pe drumul de întoarcere ca și pe drumul de la A la B. Adică timpul „acolo” este egal cu timpul „înapoi”. Echivalăm timpul „acolo” și timpul „înapoi” Obținem ecuația:

98/x=98/(x+7)+7.

Încă o dată, verificăm dimensiunile cantităților care sunt incluse în ecuație - trebuie să vă asigurați că, de exemplu, nu adăugați ore la kilometri.

8. Rezolvăm ecuația. Acum trebuie să ne concentrăm pe rezolvarea ecuației. Pentru a face acest lucru, determinăm de ce tip este această ecuație. Deoarece necunoscuta este în numitorul fracțiilor, aceasta este ecuație rațională. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați toți termenii la stânga și să aduceți fracțiile la numitor comun. Rețineți că numerele 98 și 7 sunt multiplii lui 7.

Pentru a simplifica soluția, împărțim ambele părți ale ecuației la 7. Obținem ecuația: 14/x=14/(x+7)+1

După aceea, transferăm toți termenii la stânga, reducem la un numitor comun și echivalăm numărătorul cu zero.

Obținem la numărător: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 termeni asemănătoriși rezolvați ecuația pătratică.

Rădăcinile sale sunt -14 și 7.

Numărul -14 nu se potrivește cu condiția problemei: viteza trebuie să fie pozitivă.

Încă o dată citim întrebarea problemei și o corelăm cu valoarea pe care am găsit-o: pentru necunoscut am luat viteza biciclistului pe drumul de la A la B și trebuie să găsim aceeași valoare.

Raspuns: 7 km/h.

Cum să rezolvi problemele. Rezultat

Rețineți că am împărțit întreaga cale de rezolvare a problemei în bucăți mici, iar în fiecare secțiune ne-am concentrat tocmai pe gândire acțiune specifică. Și numai după ce această acțiune a fost efectuată, a făcut următorul pas.

Când nu este clar ce să faci, trebuie să decideți care pas mic poți să o faci chiar acum, să o faci și apoi să te gândești la următorul.

Pentru a învăța cum să rezolvi tipic sarcini logice, simplu și non-standard probleme de matematică, este important să cunoașteți tehnicile și metodele de bază pentru rezolvarea acestora. La urma urmei, în multe cazuri este posibil să se rezolve aceeași problemă și să se ajungă la răspunsul corect în moduri diferite.

Cunoașterea și înțelegerea diferitelor metode de soluționare vă va ajuta să determinați care metodă este cea mai bună pentru fiecare caz specific, astfel încât să puteți alege cea mai rapidă și mai ușoară modalitate de a obține un răspuns.

Sarcinile logice „clasice” includ sarcini text, al căror scop este recunoașterea obiectelor sau aranjarea lor într-o anumită ordine în conformitate cu condițiile date.

Tipuri mai complexe și mai interesante de sarcini sunt sarcini în care anumite afirmații sunt adevărate, iar altele sunt false. Sarcinile de mutare, deplasare, cântărire, turnare sunt cele mai multe exemple strălucitoare gamă largă sarcini non-standard la logica.

Metode de bază pentru rezolvarea problemelor logice

• metoda de raționament;
• utilizarea tabelelor de adevăr;
• metoda diagramei bloc;
• mijloace de algebră logică (algebră propozițională);
• grafic (inclusiv „arborele conditii logice”, metoda cercului Euler);
• metoda biliardului matematic.

Să aruncăm o privire mai atentă cu exemple de trei moduri populare de a rezolva probleme logice pe care vă recomandăm să le folosiți în școala elementară (copii 6-12 ani):

• metoda de raționament secvenţial;
• un fel de metodă de raționament – ​​„de la capăt”;
• mod tabelar.

Metoda raționamentului secvenţial

Cel mai simplu mod de a rezolva probleme simple este de a raționa secvențial folosind toate condițiile cunoscute. Concluziile din afirmatiile care sunt conditiile problemei conduc treptat la raspunsul la intrebarea pusa.

Pe masă sunt Albastru , Verde , MaroȘi Portocale

Al treilea este creionul cu cele mai multe litere în numele său. Albastru creionul se află între MaroȘi portocale .

Așezați creioanele în ordinea descrisă.

Soluţie:

Ne certam. Folosim în mod constant condițiile problemei pentru a formula concluzii despre poziția pe care ar trebui să se afle fiecare creion următor.

• Majoritatea literelor din cuvântul „maro”, deci se află al treilea.
• Se știe că un creion albastru se află între maro și portocaliu. Există o singură poziție la dreapta maro, ceea ce înseamnă că este posibil să plasați albastru între maro și un alt creion doar în stânga maro.
• Următoarea concluzie se bazează pe cea anterioară: creionul albastru este în a doua poziție, iar cel portocaliu este în prima.
• Pentru creionul verde rămas ultima pozitie- El este al patrulea.

Metoda finală

Acest mod de rezolvare este un fel de metodă de raționament și este grozav pentru problemele în care cunoaștem rezultatul anumitor acțiuni, iar întrebarea este de a restabili imaginea inițială.

Bunica a copt covrigi pentru cei trei nepoți ai săi și i-a lăsat pe masă. Kolya a alergat să mănânce ceva mai întâi. Am numărat toate covrigile, mi-am luat partea și am fugit.
Anya a intrat în casă mai târziu. Nu știa că Kolya luase deja covrigii, i-a numărat și, împărțindu-i în trei, și-a luat partea ei.
Al treilea a venit Gena, care a împărțit și restul de patiserie în trei și i-a luat partea.
Au mai rămas 8 covrigi pe masă.

Câte dintre cele opt covrigi rămase ar trebui să mănânce fiecare persoană, astfel încât să mănânce toți în mod egal?

Soluţie:

Să începem discuția de la final.
Gena a lăsat 8 covrigi pentru Anya și Kolya (4 pentru fiecare). Se pare că el însuși a mâncat 4 covrigi: 8 + 4 = 12.
Anya a lăsat fraților 12 covrigi (fiecare 6). Deci ea însăși a mâncat 6 bucăți: 12 + 6 = 18.
Kolya le-a lăsat băieților 18 covrigi. Așa că a mâncat el însuși 9: 18 + 9 = 27.

Bunica a pus 27 de covrigi pe masă, sperând că toată lumea va primi 9 bucăți. Deoarece Kolya și-a mâncat deja partea lui, Anya trebuie să mănânce 3, iar Gena trebuie să mănânce 5 covrigi.

Rezolvarea problemelor logice folosind tabele de adevăr

Esența metodei este de a fixa condițiile problemei și rezultatele raționamentului în tabele special compilate pentru problemă. În funcție de faptul că afirmația este adevărată sau falsă, celulele corespunzătoare ale tabelului sunt completate cu semnele „+” și „-” sau „1” și „0”.

Trei sportivi ( roșu , albastruȘi verde) a jucat baschet.
Când mingea era în coș, cel roșu a exclamat: „Mingea a fost marcată de cel albastru”.
Albastru a obiectat: "Green a marcat mingea."
Zeleny spuse: „Nu am marcat”.

Cine a marcat mingea dacă doar unul dintre cei trei a mințit?

Soluţie:

În primul rând, este compilat un tabel: în stânga, ei notează toate declarațiile care sunt conținute în condiție, iar deasupra - opțiuni posibile raspuns.

Apoi tabelul este completat secvenţial: afirmatii adevarate marcați cu semnul „+”, iar afirmațiile false cu semnul „-”.

Luați în considerare prima opțiune de răspuns („Mingea a fost aruncată roșu"), analizați afirmațiile scrise în stânga și completați primul coloană.
Pe baza ipotezei noastre („mingea a fost aruncată roșu”, afirmația „mingea a fost aruncată de albastru” este o minciună. Punem în celula „-”.
Afirmația „minge a marcat verde” este, de asemenea, o minciună. Umplem celula cu semnul „-”.
Afirmația verde „Nu am punctat” este adevărată. Punem în celula „+”.

Luați în considerare al doilea răspuns (presupuneți că minge aruncata verde) si umple al doilea coloană.
Afirmația „Albastru a aruncat mingea” este o minciună. Punem în celula „-”.
Afirmația „Mingea a marcat verde « - adevărul. Completați celula cu semnul „+”.
Afirmația verde „Nu am punctat” este o minciună. Punem în celula „-”.

Și în sfârșit, a treia opțiune: să presupunem că „mingea este aruncată albastru«.
Apoi afirmația „minge aruncată albastră « - adevărul. Punem în celula „+”.
Afirmația „mingea a marcat verde” este o minciună. Umplem celula cu semnul „-”. Afirmația verde „Nu am punctat” este adevărată. Punem în celula „+”.

Deoarece, conform condiției, doar unul dintre cei trei tipi a mințit, în tabelul completat selectăm o astfel de opțiune de răspuns, unde va fi unul singur afirmație falsă (în coloana un semn „-”). A treia coloană se potrivește.

Deci, răspunsul corect este că mingea a fost aruncată de cea albastră.

Metoda diagramei de flux

Se ia în considerare metoda diagramei de flux cea mai bună opțiune pentru rezolvarea problemelor de cântărire și turnare a lichidelor. Mod alternativ rezolvarea acestui tip de probleme - metoda de enumerare a opțiunilor - nu este întotdeauna optimă și este destul de dificil să o numim sistemică.

Procedura de rezolvare a problemelor folosind metoda diagramei de flux este următoarea:

• grafic (organigrama) descrieți succesiunea operațiilor;
• stabilirea ordinii de implementare a acestora;
• în tabel fixăm stările curente.

Mai multe despre aceasta și alte moduri de a rezolva probleme logice cu exemple și o descriere a soluției, vă spunem în curs complet LogicLike despre dezvoltarea gândirii logice.

Ghiciți cele mai colectate în special pentru cititorii obișnuiți ai blogului nostru și studenții de la LogicLike, rezolvați probleme logice online împreună cu mii de copii și adulți!

In medie educatie generala

linia UMK G. K. Muravina. Algebra și începuturile analiză matematică(10-11) (adânc)

Linia UMK Merzlyak. Algebra și începuturile analizei (10-11) (U)

Matematică

Pregătirea pentru examenul de matematică (nivel de profil): sarcini, soluții și explicații

Analizăm sarcini și rezolvăm exemple împreună cu profesorul

Lucrare de examen nivel de profil durează 3 ore 55 minute (235 minute).

Pragul minim- 27 de puncte.

Lucrarea de examen constă din două părți, care diferă ca conținut, complexitate și număr de sarcini.

Caracteristica definitorie a fiecărei părți a lucrării este forma sarcinilor:

• partea 1 conține 8 sarcini (sarcinile 1-8) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale;
• partea 2 conține 4 sarcini (sarcinile 9-12) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale și 7 sarcini (sarcinile 13-19) cu un răspuns detaliat (înregistrarea completă a deciziei cu motivația pentru acțiunile efectuate).

Panova Svetlana Anatolievna, profesor de matematică cea mai înaltă categorieșcoli, 20 de ani de experiență în muncă:

„Pentru a primi un certificat școlar, un absolvent trebuie să treacă două examen obligatoriu V Formularul USE, dintre care una este matematica. În conformitate cu Conceptul de dezvoltare educatie matematica V Federația Rusă USE în matematică este împărțită pe două niveluri: de bază și de specialitate. Astăzi vom lua în considerare opțiunile pentru nivelul de profil.

Sarcina numărul 1- verificări cu participanții UTILIZAȚI abilitate aplica deprinderile dobandite in cursul claselor 5-9 la matematica elementara, in activitati practice. Participantul trebuie să aibă abilități de calcul, să poată lucra cu numere raționale, să poată rotunji zecimale să poată converti o unitate de măsură în alta.

Exemplul 1 Un contor de cheltuieli a fost montat în apartamentul în care locuiește Petr apă rece(tejghea). La 1 mai, contorul arăta un consum de 172 de metri cubi. m de apă, iar la 1 iunie - 177 de metri cubi. m. Ce sumă ar trebui să plătească Petru pentru apă rece pentru luna mai, dacă prețul de 1 cu. m de apă rece este de 34 de ruble 17 copeici? Dați răspunsul în ruble.

Soluţie:

1) Aflați cantitatea de apă cheltuită pe lună:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Aflați câți bani vor fi plătiți pentru apa cheltuită:

34,17 5 = 170,85 (frecare)

Răspuns: 170,85.

Sarcina numărul 2- este una dintre cele mai simple sarcini ale examenului. Majoritatea absolvenților îi fac față cu succes, ceea ce indică deținerea definiției conceptului de funcție. Tipul de sarcină nr. 2 conform codificatorului cerințelor este o sarcină de utilizare a cunoștințelor și abilităților dobândite în activități practice și Viata de zi cu zi. Sarcina numărul 2 constă într-o descriere folosind funcțiile diverselor dependențe realeîntre mărimi şi interpretarea graficelor acestora. Sarcina numărul 2 testează capacitatea de a extrage informații prezentate în tabele, diagrame, grafice. Absolvenții trebuie să fie capabili să determine valoarea unei funcții prin valoarea argumentului când diferite căi definirea unei funcţii şi descrierea comportamentului şi proprietăţilor funcţiei conform graficului acesteia. De asemenea, este necesar să se poată găsi maximul sau cea mai mică valoareși construiți grafice ale funcțiilor studiate. Greșelile făcute sunt de natură aleatorie în citirea condițiilor problemei, citirea diagramei.

#ADVERTISING_INSERT#

Exemplul 2 Figura arată modificarea valorii de schimb a unei acțiuni a unei companii miniere în prima jumătate a lunii aprilie 2017. Pe 7 aprilie, omul de afaceri a achiziționat 1.000 de acțiuni ale acestei companii. Pe 10 aprilie a vândut trei sferturi din acțiunile cumpărate, iar pe 13 aprilie a vândut toate cele rămase. Cât a pierdut omul de afaceri în urma acestor operațiuni?

Soluţie:

2) 1000 3/4 = 750 (acțiuni) - reprezintă 3/4 din toate acțiunile cumpărate.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ruble) - omul de afaceri a primit după vânzarea a 1000 de acțiuni.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (ruble) - omul de afaceri a pierdut ca urmare a tuturor operațiunilor.

Răspuns: 15000.

Sarcina numărul 3- este o sarcină nivel de bază prima parte, testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice asupra conţinutului cursului „Planimetrie”. În sarcina 3, capacitatea de a calcula suprafața unei figuri pe hârtie în carouri, capacitatea de a calcula măsuri de grad colțuri, calculează perimetre etc.

Exemplul 3 Găsiți aria unui dreptunghi desenat pe hârtie în carouri cu o dimensiune a celulei de 1 cm pe 1 cm (vezi figura). Dați răspunsul în centimetri pătrați.

Soluţie: Pentru a calcula aria acestei cifre, puteți utiliza formula de vârf:

Pentru a calcula suprafața dreptunghi dat Să folosim formula lui Pick:

S= B +	G
	2

unde V = 10, G = 6, prin urmare

S = 18 +	6
	2

Răspuns: 20.

Vezi și: Unified State Examination in Physics: rezolvarea problemelor de vibrații

Sarcina numărul 4- sarcina cursului „Teoria probabilității și statistică”. Este testată capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment în cea mai simplă situație.

Exemplul 4 Există 5 puncte roșii și 1 albastru pe cerc. Determinați care poligoane sunt mai mari: cele cu toate vârfurile roșii sau cele cu unul dintre vârfurile albastre. În răspunsul dvs., indicați câte mai mulți dintre unul decât celălalt.

Soluţie: 1) Folosim formula pentru numărul de combinații de la n elemente prin k:

toate ale căror vârfuri sunt roșii.

3) Un pentagon cu toate vârfurile roșii.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligoane cu toate vârfurile roșii.

ale căror vârfuri sunt roșii sau cu un vârf albastru.

ale căror vârfuri sunt roșii sau cu un vârf albastru.

8) Un hexagon ale cărui vârfuri sunt roșii cu un vârf albastru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 de poligoane care au toate vârfurile roșii sau un vârf albastru.

10) 42 - 16 = 26 de poligoane care folosesc punctul albastru.

11) 26 - 16 = 10 poligoane - câte poligoane, în care unul dintre vârfuri este un punct albastru, sunt mai multe decât poligoane, în care toate vârfurile sunt doar roșii.

Răspuns: 10.

Sarcina numărul 5- nivelul de bază al primei părți testează capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații (iraționale, exponențiale, trigonometrice, logaritmice).

Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Soluţie.Împărțiți ambele părți ale acestei ecuații la 5 3 + X≠ 0, obținem

2 3 + X	= 0,4 sau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

de unde rezultă că 3 + X = 1, X = –2.

Răspuns: –2.

Sarcina numărul 6 prin planimetrie pentru a găsi mărimi geometrice(lungimi, unghiuri, arii), modelare situatii realeîn limbajul geometriei. Studiul modelelor construite folosind concepte geometriceși teoreme. Sursa dificultăților este de obicei ignoranța sau aplicare greșită teoreme necesare de planimetrie.

Aria unui triunghi ABC este egal cu 129. DE- linia de mijloc, latura paralela AB. Găsiți aria trapezului UN PAT.

Soluţie. Triunghi CDE asemănător cu un triunghi TAXI la două colțuri, din moment ce colțul de la vârf C general, unghi CDE egal cu unghiul TAXI Cum unghiurile corespunzătoare la DE || AB secantă AC. Deoarece DE este linia mediană a triunghiului după condiție, apoi după proprietate linia de mijloc | DE = (1/2)AB. Deci coeficientul de similitudine este 0,5. pătrate cifre similare sunt legate ca pătratul coeficientului de similitudine, deci

Prin urmare, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Sarcina numărul 7- verifică aplicarea derivatei la studiul funcţiei. Pentru implementare cu succes este necesară o posesie semnificativă, non-formală, a conceptului de derivat.

Exemplul 7 La graficul funcției y = f(X) în punctul cu abscisa X 0 se trasează o tangentă, care este perpendiculară pe dreapta care trece prin punctele (4; 3) și (3; -1) ale acestui grafic. Găsi f′( X 0).

Soluţie. 1) Folosim ecuația unei drepte care trece prin doi puncte dateși găsiți ecuația unei drepte care trece prin punctele (4; 3) și (3; -1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-1)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, unde k 1 = 4.

2) Aflați panta tangentei k 2 care este perpendicular pe dreapta y = 4X– 13, unde k 1 = 4, după formula:

3) Pantă tangentă - derivata funcției în punctul de contact. Mijloace, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

Răspuns: –0,25.

Sarcina numărul 8- verifică cunoștințele de stereometrie elementară în rândul participanților la examen, capacitatea de a aplica formule pentru găsirea suprafețelor și volumelor de figuri, unghiuri diedrice, să compare volumele unor figuri similare, să poată efectua acțiuni cu forme geometrice, coordonate și vectori etc.

Volumul unui cub circumscris unei sfere este de 216. Aflați raza sferei.

Soluţie. 1) V cub = A 3 (unde A este lungimea muchiei cubului), deci

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Deoarece sfera este înscrisă într-un cub, înseamnă că lungimea diametrului sferei este egală cu lungimea muchiei cubului, prin urmare d = A, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Sarcina numărul 9- cere absolventului să transforme și să simplifice expresii algebrice. Sarcina numărul 9 nivel avansat Dificultate cu răspunsuri scurte. Sarcinile din secțiunea „Calcule și transformări” din USE sunt împărțite în mai multe tipuri:

conversii numerice expresii raționale;

transformări ale expresiilor și fracțiilor algebrice;

conversii numerice/alfabetice expresii iraţionale;

acțiuni cu grade;

transformare expresii logaritmice;

1. conversia expresiilor trigonometrice numerice/litere.

Exemplul 9 Calculați tgα dacă se știe că cos2α = 0,6 și

3π	< α < π.
4

Soluţie. 1) Să folosim formula dublu argument: cos2α = 2 cos 2 α – 1 și găsiți

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Prin urmare, tan 2 α = ± 0,5.

3) După condiție

3π	< α < π,
4

deci α este unghiul celui de-al doilea sfert și tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Răspuns: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Sarcina numărul 10- verifică capacitatea elevilor de a utiliza cele dobândite cunoștințe timpuriiși abilități în activități practice și viața de zi cu zi. Putem spune că acestea sunt probleme de fizică, și nu de matematică, ci toate formulele necesare iar valorile sunt date în condiție. Problemele se reduc la rezolvarea unui liniar sau ecuație pătratică, fie liniară, fie inegalitatea pătratului. Prin urmare, este necesar să puteți rezolva astfel de ecuații și inegalități și să determinați răspunsul. Răspunsul trebuie să fie sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale.

Două corpuri de masă m= 2 kg fiecare, deplasându-se cu aceeași viteză v= 10 m/s la un unghi de 2α unul față de celălalt. Energia (în jouli) eliberată în timpul ciocnirii lor absolut inelastice este determinată de expresie Q = mv 2 sin 2 α. La ce unghi cel mai mic 2α (în grade) trebuie să se miște corpurile astfel încât cel puțin 50 de jouli să fie eliberați ca urmare a coliziunii?
Soluţie. Pentru a rezolva problema, trebuie să rezolvăm inegalitatea Q ≥ 50, pe intervalul 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Deoarece α ∈ (0°; 90°), vom rezolva doar

Reprezentăm grafic soluția inegalității:

Deoarece prin ipoteza α ∈ (0°; 90°), înseamnă că 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Sarcina numărul 11- este tipic, dar se dovedește a fi dificil pentru elevi. Principala sursă de dificultăți este construirea unui model matematic (întocmirea unei ecuații). Sarcina numărul 11 ​​testează capacitatea de a rezolva probleme cu cuvinte.

Exemplul 11. Pe vacanța de primăvară Vasya, elevul de clasa 11, a trebuit să rezolve 560 de probleme de pregătire pentru a se pregăti pentru examen. Pe 18 martie, în ultima zi de școală, Vasya a rezolvat 5 probleme. Apoi în fiecare zi a rezolvat tot atâtea probleme decât în ​​ziua precedentă. Stabiliți câte probleme a rezolvat Vasya pe 2 aprilie în ultima zi de vacanță.

Soluţie: Denota A 1 = 5 - numărul de sarcini pe care Vasya le-a rezolvat pe 18 martie, d– numărul zilnic de sarcini rezolvate de Vasya, n= 16 - numărul de zile din 18 martie până în 2 aprilie inclusiv, S 16 = 560 – total sarcini, A 16 - numărul de sarcini pe care Vasya le-a rezolvat pe 2 aprilie. Știind că în fiecare zi Vasya a rezolvat același număr de sarcini mai mult decât în ​​ziua precedentă, atunci puteți folosi formulele pentru găsirea sumei progresie aritmetică:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Răspuns: 65.

Sarcina numărul 12- verifica capacitatea elevilor de a efectua actiuni cu functii, sa poata aplica derivata la studiul functiei.

Găsiți punctul maxim al unei funcții y= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Soluţie: 1) Găsiți domeniul funcției: X + 9 > 0, X> –9, adică x ∈ (–9; ∞).

2) Aflați derivata funcției:

4) Punctul găsit aparține intervalului (–9; ∞). Definim semnele derivatei funcției și redăm comportamentul funcției în figură:

Punctul maxim dorit X = –8.

Descărcați gratuit programul de lucru în matematică pe linia UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Descărcați manuale gratuite de algebră

Sarcina numărul 13- un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, care testează capacitatea de a rezolva ecuații, cea mai rezolvată cu succes dintre sarcinile cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

a) Rezolvați ecuația 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații, aparţinând segmentului.

Soluţie: a) Fie log 3 (2cos X) = t, apoi 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ pentru că |cos X| ≤ 1,
	log3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

apoi cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Aflați rădăcinile situate pe segmentul .

Din figură se poate observa că segment dat aparțin rădăcinilor

11π	Și	13π	.
6		6

Răspuns: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Sarcina numărul 14- nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice. Sarcina conține două elemente. În primul paragraf, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea paragraf trebuie calculată.

Diametrul circumferinței bazei cilindrului este de 20, generatria cilindrului este de 28. Planul își intersectează bazele de-a lungul coardelor de lungime 12 și 16. Distanța dintre coarde este de 2√197.

a) Demonstrați că centrele bazelor cilindrului se află pe aceeași parte a acestui plan.

b) Aflați unghiul dintre acest plan și planul bazei cilindrului.

Soluţie: a) O coardă cu lungimea 12 se află la o distanță = 8 de centrul cercului de bază, iar o coardă cu lungimea 16, în mod similar, se află la o distanță de 6. Prin urmare, distanța dintre proiecțiile lor pe un plan paralel cu bazele cilindrilor este fie 8 + 6 = 14, fie 8 − 6 = 2.

Atunci distanța dintre acorduri este fie

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Conform condiției, a fost realizat cel de-al doilea caz, în care proiecțiile coardelor se află pe o parte a axei cilindrului. Deci axa nu se intersectează avion datîn interiorul cilindrului, adică bazele se află pe o parte a acestuia. Ceea ce trebuia dovedit.

b) Să notăm centrele bazelor ca O 1 și O 2. Să desenăm din centrul bazei cu o coardă de lungime 12 bisectoarea perpendiculară pe această coardă (are lungimea de 8, după cum s-a menționat deja) și din centrul celeilalte baze la o altă coardă. Ele se află în același plan β perpendicular pe aceste coarde. Să numim punctul de mijloc al coardei mai mici B, mai mare decât A, și proiecția lui A pe baza a doua H (H ∈ β). Atunci AB,AH ∈ β și, prin urmare, AB,AH sunt perpendiculare pe coardă, adică linia de intersecție a bazei cu planul dat.

Deci unghiul necesar este

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Sarcina numărul 15- un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, verifică capacitatea de a rezolva inegalitățile, cel mai bine rezolvat dintre sarcini cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

Exemplul 15 Rezolvați inegalitatea | X 2 – 3X| jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Soluţie: Domeniul de definire al acestei inegalități este intervalul (–1; +∞). Luați în considerare trei cazuri separat:

1) Lasă X 2 – 3X= 0, adică X= 0 sau X= 3. În acest caz, această inegalitate devine adevărată, prin urmare, aceste valori sunt incluse în soluție.

2) Lasă acum X 2 – 3X> 0, adică X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). În acest caz, această inegalitate poate fi rescrisă sub forma ( X 2 – 3X) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 și împărțiți la expresie pozitivă X 2 – 3X. Obținem jurnalul 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 sau X≤ -0,5. Ținând cont de domeniul definiției, avem X ∈ (–1; –0,5].

3) În cele din urmă, luați în considerare X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). În acest caz, inegalitatea inițială va fi rescrisă sub forma (3 X – X 2) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. După împărțirea la o expresie pozitivă 3 X – X 2, obținem log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Tinand cont de zona, avem X ∈ (0; 1].

Combinând soluțiile obținute, obținem X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Răspuns: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sarcina numărul 16- nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice, coordonate și vectori. Sarcina conține două elemente. În primul paragraf, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea paragraf trebuie calculată.

ÎN triunghi isoscel ABC cu un unghi de 120° la vârful A, este trasată o bisectoare BD. ÎN triunghiul ABC dreptunghiul DEFH este înscris astfel încât latura FH se află pe segmentul BC și vârful E pe segmentul AB. a) Demonstrați că FH = 2DH. b) Aflați aria dreptunghiului DEFH dacă AB = 4.

Soluţie: A)

1) ΔBEF - dreptunghiular, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, apoi EF = BE datorită proprietății catetei opus unghiului de 30°.

2) Fie EF = DH = X, atunci BE = 2 X, BF = X√3 prin teorema lui Pitagora.

3) Deoarece Δ ABC isoscel, deci ∠B = ∠C = 30˚.

BD este bisectoarea lui ∠B, deci ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Se consideră ΔDBH - dreptunghiular, deoarece DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Răspuns: 24 – 12√3.

Sarcina numărul 17- o sarcină cu un răspuns detaliat, această sarcină testează aplicarea cunoștințelor și abilităților în activități practice și viața de zi cu zi, capacitatea de a construi și explora modele matematice. Aceasta sarcina - sarcină text cu continut economic.

Exemplul 17. Depozitul în valoare de 20 de milioane de ruble este planificat să fie deschis timp de patru ani. La sfârșitul fiecărui an, banca mărește depozitul cu 10% față de mărimea acestuia la începutul anului. În plus, la începutul celui de-al treilea și al patrulea an, deponentul completează anual depozitul până la X milioane de ruble, unde X - întreg număr. Găsi cea mai mare valoare X, la care banca va adăuga mai puțin de 17 milioane de ruble la depozit în patru ani.

Soluţie: La sfârșitul primului an, contribuția va fi de 20 + 20 · 0,1 = 22 de milioane de ruble, iar la sfârșitul celui de-al doilea - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milioane de ruble. La începutul celui de-al treilea an, contribuția (în milioane de ruble) va fi (24,2 + X), iar la sfârșit - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). La începutul celui de-al patrulea an, contribuția va fi (26,62 + 2,1 X), iar la sfârșit - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). După condiție, trebuie să găsiți cel mai mare număr întreg x pentru care inegalitatea

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Cea mai mare soluție întreagă a acestei inegalități este numărul 24.

Răspuns: 24.

Sarcina numărul 18- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este pentru selecție competitivă universități cu cerințe mai mari pregătire matematică solicitanții. Exercițiu nivel inalt complexitatea nu este o sarcină pentru aplicarea unei metode de soluție, ci pentru o combinație de metode diferite. Pentru îndeplinirea cu succes a sarcinii 18, pe lângă cunoștințe matematice solide, este necesar și un nivel înalt de cultură matematică.

La ce A sistem de inegalități

	X 2 + y 2 ≤ 2Ay – A 2 + 1
	y + A ≤ |X| – A

are exact doua solutii?

Soluţie: Acest sistem poate fi rescris ca

	X 2 + (y– A) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – A

Dacă desenăm pe plan mulțimea soluțiilor primei inegalități, obținem interiorul unui cerc (cu graniță) de raza 1 centrat în punctul (0, A). Mulțimea soluțiilor celei de-a doua inegalități este partea de plan care se află sub graficul funcției y = | X| – A, iar acesta din urmă este graficul funcției
y = | X| , deplasat în jos de A. Soluția acestui sistem este intersecția mulțimilor de soluții ale fiecăreia dintre inegalități.

Prin urmare, două soluții acest sistem va avea numai în cazul prezentat în Fig. 1.

Punctele de contact dintre cerc și linii vor fi cele două soluții ale sistemului. Fiecare dintre liniile drepte este înclinată față de axe la un unghi de 45°. Deci triunghiul PQR- isoscel dreptunghiular. Punct Q are coordonatele (0, A), și punctul R– coordonate (0, – A). În plus, tăieturi relatii cu publiculȘi PQ sunt egale cu raza cercului egală cu 1. Prin urmare,

QR= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Răspuns: A =	√2	.
	2

Sarcina numărul 19- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive către universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. O sarcină de un nivel ridicat de complexitate nu este o sarcină pentru aplicarea unei metode de soluție, ci pentru o combinație de metode diferite. Pentru a finaliza cu succes sarcina 19, trebuie să puteți căuta o soluție prin alegere abordări diferite dintre cele cunoscute, modificând metodele studiate.

Lăsa sn sumă P membrii unei progresii aritmetice ( a p). Se știe că S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Dați formula P al-lea membru al acestei progresii.

b) Aflați cea mai mică sumă modulo S n.

c) Găsiți cel mai mic P, la care S n va fi pătratul unui număr întreg.

Soluţie: a) Evident, un n = S n – S n- 1 . Folosind această formulă, primim:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Mijloace, un n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) pentru că S n = 2n 2 – 25n, apoi luați în considerare funcția S(X) = | 2X 2 – 25x|. Graficul ei poate fi văzut în figură.

Este evident că cea mai mică valoare este atinsă în punctele întregi situate cel mai aproape de zerourile funcției. Evident, acestea sunt puncte. X= 1, X= 12 și X= 13. Din moment ce, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, atunci cea mai mică valoare este 12.

c) Din paragraful precedent rezultă că sn pozitiv din moment ce n= 13. Din moment ce S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), apoi cazul evident când expresie dată este un pătrat perfect, se realizează când n = 2n- 25, adică cu P= 25.

Rămâne de verificat valorile de la 13 la 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Se pare că pentru valori mai mici P pătrat plin nu este realizat.

Răspuns: A) un n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Din mai 2017, grupul mixt de editare „DROFA-VENTANA” face parte din corporație „ manual de rusă". Corporația include și editura Astrel și digital platformă educațională„lecta”. CEO l-a numit pe Alexander Brychkin, absolvent Academia Financiară sub Guvernul Federației Ruse, candidat stiinte economice, supraveghetor proiecte inovatoare Editura DROFA în domeniul educației digitale ( formulare electronice manuale, „Școala electronică rusă”, platforma educațională digitală LECTA). Înainte de a se alătura editurii DROFA, a ocupat funcția de Vicepreședinte pentru Dezvoltare Strategică și Investiții al holdingului de editură EKSMO-AST. Astăzi, Russian Textbook Publishing Corporation are cel mai mare portofoliu de manuale incluse în lista federală- 485 de titluri (aproximativ 40%, excluzând manualele pentru scoala de recuperare). Editurile corporației dețin cele mai populare scoli rusesti seturi de manuale de fizică, desen, biologie, chimie, tehnologie, geografie, astronomie - domenii de cunoaștere care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului de producție al țării. Portofoliul corporației include manuale și ghiduri de studiu Pentru scoala elementara a primit Premiul Prezidenţial pentru Educaţie. Acestea sunt manuale și manuale pe domenii care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului științific, tehnic și industrial al Rusiei.

Soluția problemei se rezumă de obicei la raționament logicși calcule pentru a găsi valoarea unei cantități. De exemplu, găsiți viteza, timpul, distanța, masa unui obiect sau cantitatea de ceva.

Această problemă poate fi rezolvată folosind o ecuație. Pentru a face acest lucru, valoarea dorită se notează printr-o variabilă, apoi, prin raționament logic, ei compun și rezolvă o ecuație. După ce au rezolvat ecuația, ei verifică dacă soluția ecuației îndeplinește condițiile problemei.

Conținutul lecției

Scrierea expresiilor care conțin necunoscutul

Rezolvarea problemei este însoțită de compilarea unei ecuații pentru această problemă. Pe stadiul inițial studiind probleme, este de dorit să înveți cum să compui expresii literale descriind una sau alta situatie de viata. Această etapă nu este dificilă și poate fi studiată în procesul de rezolvare a problemei în sine.

Luați în considerare mai multe situații care pot fi scrise folosind o expresie matematică.

Sarcina 1. Vârsta tatălui X ani. Mama este cu doi ani mai mică. fiule mai tânăr decât tatăl De 3 ori. Înregistrați vârsta fiecăruia folosind expresii.

Soluţie:

Sarcina 2. Vârsta tatălui X ani, mama este cu 2 ani mai mică decât tatăl. Fiul este de 3 ori mai mic decât tatăl, fiica este de 3 ori mai mică decât mama. Înregistrați vârsta fiecăruia folosind expresii.

Soluţie:

Sarcina 3. Vârsta tatălui X ani, mama este cu 3 ani mai mică decât tatăl. Fiul este de 3 ori mai mic decât tatăl, fiica este de 3 ori mai mică decât mama. Câți ani are fiecare varsta generala tatăl, mama, fiul și fiica au 92 de ani?

Soluţie:

În această problemă, pe lângă scrierea expresiilor, este necesar să se calculeze vârsta fiecărui membru al familiei.

În primul rând, notăm vârsta fiecărui membru al familiei folosind expresii. Pe variabilă X să luăm vârsta tatălui și apoi folosind această variabilă vom compune expresiile rămase:

Acum să stabilim vârsta fiecărui membru al familiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să scriem și să rezolvăm o ecuație. Avem toate componentele ecuației pregătite. Rămâne doar să le colectăm împreună.

Vârsta totală de 92 de ani a fost obținută prin adăugarea vârstelor tatălui, mamei, fiului și fiicei:

Pentru fiecare vârstă, avem expresie matematică. Aceste expresii vor fi componentele ecuației noastre. Să asamblam ecuația noastră conform acestei scheme și tabelului care a fost dat mai sus. Adică, cuvintele tată, mamă, fiu, fiică vor fi înlocuite cu expresia corespunzătoare acestora din tabel:

Expresie pentru vârsta mamei x − 3 pentru claritate, a fost luat între paranteze.

Acum să rezolvăm ecuația rezultată. Pentru început, puteți deschide parantezele acolo unde este posibil:

Pentru a elibera ecuația de fracții, înmulțiți ambele părți cu 3

Rezolvăm ecuația rezultată folosind cunoscutul transformări identice:

Am găsit valoarea variabilei X. Această variabilă a fost responsabilă de vârsta tatălui. Deci vârsta tatălui este de 36 de ani.

Cunoscând vârsta tatălui, puteți calcula vârsta restului familiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea variabilei Xîn acele expresii care sunt responsabile de vârsta unui anumit membru al familiei.

În problemă, se spunea că mama este cu 3 ani mai mică decât tatăl. Am desemnat vârsta ei prin expresie x−3. Valoare variabilă X este acum cunoscut, iar pentru a calcula vârsta mamei este necesar în expresie x − 3în loc de Xînlocuiți valoarea găsită 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 de ani mamă.

În mod similar, vârsta membrilor familiei rămași este determinată:

Examinare:

Sarcina 4. Un kilogram de mere valorează X ruble. Scrieți o expresie care calculează câte kilograme de mere puteți cumpăra pentru 300 de ruble.

Soluţie

Dacă un kilogram de mere costă X ruble, apoi pentru 300 de ruble puteți cumpăra un kilogram de mere.

Exemplu. Un kilogram de mere costă 50 de ruble. Apoi, pentru 300 de ruble puteți cumpăra, adică 6 kilograme de mere.

Sarcina 5. Pe X ruble, s-au cumpărat 5 kg de mere. Scrieți o expresie care calculează câte ruble costă un kilogram de mere.

Soluţie

Dacă pentru 5 kg de mere se plătea X ruble, atunci un kilogram va costa ruble

Exemplu. Pentru 300 de ruble s-au cumpărat 5 kg de mere. Apoi va costa un kilogram de mere, adică 60 de ruble.

Sarcina 6. Tom, John și Leo au mers la cantină în timpul pauzei și și-au cumpărat un sandviș și o cană de cafea. Sandvișul merită X ruble și o cană de cafea - 15 ruble. Determinați costul unui sandviș dacă se știe că s-au plătit 120 de ruble pentru tot?

Soluţie

Desigur, această problemă este la fel de simplă ca trei bănuți și poate fi rezolvată fără a recurge la o ecuație. Pentru a face acest lucru, scădeți costul a trei cești de cafea (15 × 3) din 120 de ruble și împărțiți rezultatul la 3

Dar scopul nostru este să scriem o ecuație pentru problemă și să rezolvăm această ecuație. Deci costul unui sandviș X ruble. Am cumparat doar trei. Deci, după triplat costul, obținem o expresie care descrie câte ruble s-au plătit pentru trei sandvișuri

3x - costul a trei sandvișuri

Și costul a trei cești de cafea poate fi scris ca 15 × 3. 15 este costul unei cani de cafea, iar 3 este un multiplicator (Tom, John și Leo) care triplează acest cost.

În funcție de starea problemei, s-au plătit 120 de ruble pentru tot. Noi deja avem schema exemplara, Ce trebuie sa facem:

Avem deja expresii care descriu costul a trei sandvișuri și trei cești de cafea. Acestea sunt expresiile 3 Xși 15×3. Folosind schema, vom scrie o ecuație și o vom rezolva:

Deci, costul unui sandviș este de 25 de ruble.

Problema este rezolvată corect numai dacă ecuația pentru aceasta este compilată corect. Spre deosebire de ecuațiile obișnuite, prin care învățăm să găsim rădăcini, ecuațiile pentru rezolvarea problemelor au propria lor aplicație specifică. Fiecare componentă a unei astfel de ecuații poate fi descrisă în forma verbala. La compilarea unei ecuații, este imperativ să înțelegem de ce includem una sau alta componentă în compoziția sa și de ce este necesară.

De asemenea, este necesar să ne amintim că ecuația este o egalitate, după rezolvarea căreia partea stângă va trebui să fie egală cu partea dreaptă. Ecuația rezultată nu ar trebui să contrazică această idee.

Imaginează-ți că ecuația este o balanță cu două boluri și un ecran care arată starea balanței.

ÎN acest moment ecranul arată un semn egal. Este clar de ce bolul din stânga este egal cu cel din dreapta - nu există nimic pe boluri. Scriem starea cântarilor și absența a ceva pe boluri folosind următoarea egalitate:

0 = 0

Să punem un pepene verde pe scara din stânga:

Vasul din stânga a depășit vasul din dreapta și ecranul a sunat alarma, arătând semnul neegal (≠). Acest semn indică faptul că bolul din stânga nu este egal cu bolul din dreapta.

Acum să încercăm să rezolvăm problema. Să fie necesar să se afle cât cântărește pepenele, care se află pe bolul din stânga. Dar de unde știi? La urma urmei, cântarele noastre sunt concepute doar pentru a verifica dacă vasul din stânga este egal cu cel din dreapta.

Ecuațiile vin în ajutor. Amintiți-vă că, prin definiție, ecuația este egalitate A care conține variabila a cărei valoare doriți să găsiți. În acest caz, cântarul joacă chiar rolul acestei ecuații, iar masa pepenelui verde este o variabilă a cărei valoare trebuie găsită. Scopul nostru este să obținem această ecuație corectă. Înțelegeți, aliniați cântarul astfel încât să puteți calcula masa pepenelui verde.

Pentru a nivela cântarul, puteți pune puțină greutate pe bolul din dreapta. obiect greu. De exemplu, să punem acolo o greutate de 7 kg.

Acum, dimpotrivă, castronul din dreapta îl depășea pe cel stâng. Ecranul arată în continuare că bolurile nu sunt egale.

Să încercăm să punem o greutate de 4 kg pe bolul din stânga

Acum cântarul s-a echilibrat. Figura arată că bolul din stânga se află la nivelul bolului din dreapta. Și ecranul arată un semn egal. Acest semn indică faptul că vasul din stânga este egal cu vasul din dreapta.

Astfel, am obținut o ecuație - o egalitate care conține o necunoscută. Pano-ul din stânga este partea stângă a ecuației, constând din cele 4 componente și variabila X(mase de pepene verde), iar castronul potrivit este partea dreaptă ecuația, constând din componenta 7.

Ei bine, nu este greu de ghicit că rădăcina ecuației 4 + X\u003d 7 este 3. Deci masa pepenelui verde este de 3 kg.

Același lucru este valabil și pentru alte sarcini. Pentru a găsi o valoare necunoscută, adăugați în partea stângă sau dreaptă a ecuației diverse elemente: termeni, factori, expresii. În problemele școlare, aceste elemente sunt deja date. Rămâne doar să le structuram corect și să construim o ecuație. Noi suntem in acest exemplu angajat în selecție, încercând greutăți de diferite mase pentru a calcula masa unui pepene verde.

Desigur, datele care sunt date în problemă trebuie mai întâi aduse într-o formă în care să poată fi incluse în ecuație. Prin urmare, după cum se spune „Fie că îți place sau nu, trebuie să te gândești”.

Luați în considerare următoarea problemă. Vârsta tatălui egal cu vârsta fiu și fiică împreună. Fiul înjumătățit mai mare decât fiicași cu douăzeci de ani mai tânăr decât tatăl său. Câți ani are fiecare?

Vârsta fiicei poate fi exprimată ca X. Dacă fiul este de două ori mai în vârstă decât fiica, atunci vârsta lui va fi indicată ca 2 X. Condiția problemei spune că împreună vârsta fiicei și a fiului este egală cu vârsta tatălui. Deci vârsta tatălui va fi notată prin sumă X + 2X

Puteți adăuga termeni similari într-o expresie. Apoi vârsta tatălui va fi notată ca 3 X

Acum să facem o ecuație. Trebuie să obținem o egalitate în care să găsim necunoscutul X. Să folosim greutăți. Pe castronul din stânga punem vârsta tatălui (3 X), iar pe castronul din dreapta vârsta fiului (2 X)

Este clar de ce bolul din stânga l-a depășit pe cel din dreapta și de ce ecranul arată semnul (≠) . La urma urmei, este logic că vârsta tatălui este mai mare decât vârsta fiului.

Dar trebuie să echilibrăm cântarul astfel încât să putem calcula necunoscutul X. Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați un număr în bolul potrivit. Ce număr este indicat în problemă. Condiția spunea că fiul era cu 20 de ani mai mic decât tatăl. Deci 20 de ani este același număr care trebuie pus pe cântar.

Balanța se va uniformiza dacă adăugăm acești 20 de ani în partea dreaptă a cântarilor. Cu alte cuvinte, să creștem fiul la vârsta tatălui

Acum cântarul s-a echilibrat. A rezultat ecuația , care se rezolva usor:

X am marcat vârsta fiicei. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Fiica de 20 de ani.

Și în sfârșit, calculăm vârsta tatălui. Misiunea spunea că el este egală cu suma vârstele fiului și fiicei, adică (20 + 40) ani.

Să revenim la mijlocul sarcinii și să fim atenți la un punct. Când punem pe cântar vârsta tatălui și vârsta fiului, castronul din stânga îl depășește pe cel drept

Dar am rezolvat această problemă adăugând încă 20 de ani în bolul potrivit. Ca urmare, cântarul s-a egalat și am obținut egalitatea

Dar a fost posibil să nu se adauge acești 20 de ani în castronul din dreapta, ci să-i scadă din stânga. Am obține egalitate în acest caz

De data aceasta ecuația este . Rădăcina ecuației este încă 20

Adică ecuațiile Și sunt echivalente. Și ne amintim asta ecuații echivalente rădăcinile se potrivesc. Dacă te uiți cu atenție la aceste două ecuații, poți vedea că a doua ecuație se obține prin transferul numărului 20 din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus. Și această acțiune, așa cum sa indicat în lecția anterioară, nu schimbă rădăcinile ecuației.

De asemenea, trebuie să acordați atenție faptului că la începutul rezolvării problemei, vârstele fiecărui membru al familiei ar putea fi notate prin alte expresii.

Să presupunem că vârsta fiului este notă cu Xși din moment ce el este cu doi mai mare decât fiica lui, atunci desemnați vârsta fiicei prin (înțelegeți să o faceți mai mic decât fiul de două ori). Iar vârsta tatălui, deoarece este suma vârstelor fiului și fiicei, se notează prin expresia . Și, în sfârșit, pentru a construi o ecuație corectă din punct de vedere logic, trebuie să adăugați numărul 20 la vârsta fiului, deoarece tatăl este cu douăzeci de ani mai în vârstă. Rezultatul este o ecuație complet diferită. . Să rezolvăm această ecuație

După cum puteți vedea, răspunsurile la problemă nu s-au schimbat. Fiul meu are încă 40 de ani. Fiicele au încă ani, iar tatăl are 40 + 20 de ani.

Cu alte cuvinte, problema poate fi rezolvată diverse metode. Prin urmare, nu trebuie să disperați că nu este posibil să rezolvați cutare sau cutare problemă. Dar trebuie avut în vedere că există o moduri simple rezolvarea problemelor. Puteți ajunge în centrul orașului diverse rute, dar există întotdeauna ruta cea mai convenabilă, cea mai rapidă și cea mai sigură.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcina 1. Sunt 30 de caiete în două pachete. Dacă ar fi transferate 2 caiete din primul pachet în al doilea, atunci ar fi de două ori mai multe caiete în primul pachet decât în ​​al doilea. Câte caiete erau în fiecare pachet?

Soluţie

Notează prin X numărul de caiete care se aflau în primul pachet. Dacă ar fi 30 de caiete în total, și variabila X acesta este numărul de caiete din primul pachet, apoi numărul de caiete din al doilea pachet va fi notat cu expresia 30 − X. Adică din numărul total de caiete, scădem numărul de caiete din primul pachet și astfel obținem numărul de caiete din al doilea pachet.

și adăugați aceste două caiete la al doilea pachet

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente. Punem ambele pachete de caiete pe cântar

Vasul din stânga este mai greu decât cel din dreapta. Acest lucru se datorează faptului că starea problemei spune că, după ce două caiete au fost luate din primul pachet și puse în al doilea, numărul de caiete din primul pachet a devenit de două ori mai mare decât în ​​al doilea.

Pentru a egaliza scalele și a obține ecuația, dublați partea dreaptă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-l cu 2

Se dovedește o ecuație. Vom decide ecuația dată:

Am notat primul pachet cu variabila X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X egal cu 22. Deci erau 22 de caiete în primul pachet.

Și am notat al doilea pachet prin expresia 30 − X iar din moment ce valoarea variabilei X Acum știm, putem calcula numărul de caiete din al doilea pachet. Este egal cu 30 − 22, adică 8 bucăți.

Sarcina 2. Doi oameni curăţau cartofi. Unul a curățat doi cartofi pe minut, iar ceilalți trei cartofi. Împreună au eliminat 400 de piese. Cât timp a funcționat fiecare dacă al doilea a funcționat cu 25 de minute mai mult decât primul?

Soluţie

Notează prin X timpul primei persoane. Deoarece a doua persoană a lucrat cu 25 de minute mai mult decât prima, timpul său va fi notat prin expresie

Primul muncitor a curățat 2 cartofi pe minut, și de când a lucrat X minute, apoi în total a eliminat 2 X cartofi.

A doua persoană a curățat trei cartofi pe minut și, din moment ce a lucrat minute în șir, a curățat cartofii în total.

Împreună au curățat 400 de cartofi

Din componentele disponibile, vom compune și vom rezolva ecuația. În partea stângă a ecuației vor fi cartofi curățați de fiecare persoană, iar în partea dreaptă a sumei lor:

La începutul rezolvării acestei probleme prin variabilă X am marcat timpul de lucru al persoanei I. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Prima persoană a lucrat 65 de minute.

Și a doua persoană a lucrat minute în șir, și de la valoarea variabilei X acum se știe, atunci puteți calcula timpul celei de-a doua persoane - este egal cu 65 + 25, adică 90 de minute.

Problemă din manualul de algebră al lui Andrey Petrovici Kiselev. Din soiurile de ceai s-a făcut un amestec de 32 kg. Un kilogram din clasa întâi costă 8 ruble, iar din clasa a doua 6 ruble. 50 cop. Câte kilograme se iau din ambele soiuri, dacă un kilogram din amestec costă (fără profit sau pierdere) 7 ruble. 10 copeici?

Soluţie

Notează prin X mult ceai de clasa I. Apoi masa de ceai din clasa a doua va fi notată prin expresia 32 − X

Un kilogram de ceai de clasa întâi costă 8 ruble. Dacă aceste opt ruble sunt înmulțite cu numărul de kilograme de ceai din clasa întâi, atunci va fi posibil să aflați cât costă rublele X kg de ceai de clasa I.

Un kilogram de ceai de clasa a doua costă 6 ruble. 50 cop. Dacă aceste 6 ruble. 50 cop. inmultiti cu 32 − x, apoi puteți afla câte ruble costă 32 − x kg de ceai de clasa a doua.

Condiția spune că un kilogram din amestec costă 7 ruble. 10 cop. În total, s-au preparat 32 kg de amestec. Înmulțiți 7 ruble. 10 cop. la 32 putem afla cat costa 32 kg din amestec.

Expresiile din care vom compune ecuația iau acum următoarea formă:

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente. Să punem costul amestecurilor de ceaiuri de clasa întâi și a doua pe tigaia din stânga a cântarilor și să punem costul a 32 kg de amestec pe tigaia din dreapta, adică cost total amestec, care include ambele soiuri de ceai:

La începutul rezolvării acestei probleme prin variabilă X am desemnat masa de ceai din clasa întâi. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil X este egal cu 12,8. Aceasta înseamnă că 12,8 kg de ceai de prima clasă au fost luate pentru a pregăti amestecul.

Și prin expresia 32 − x am desemnat masa de ceai din clasa a doua și din valoarea schimbării X acum cunoscut, putem calcula masa de ceai din clasa a doua. Este egal cu 32 − 12,8, adică 19,2. Aceasta înseamnă că s-au luat 19,2 kg de ceai de clasa a doua pentru prepararea amestecului.

Sarcina 3. Un biciclist a parcurs o distanţă cu o viteză de 8 km/h. A trebuit să se întoarcă pe un alt drum, care era cu 3 km mai lung decât primul și, deși se întorcea cu o viteză de 9 km/h, a folosit timpul mai mult de minute. Cât de lungi erau drumurile?

Soluţie

Unele sarcini pot acoperi subiecte pe care persoana poate să nu le fi studiat. Aceasta sarcina aparține acestei game de sarcini. Se ocupă de conceptele de distanță, viteză și timp. În consecință, pentru a rezolva o astfel de problemă, trebuie să aveți o idee despre lucrurile care sunt spuse în problemă. În cazul nostru, trebuie să știm care este distanța, viteza și timpul.

Sarcina este de a găsi distanțele a două drumuri. Trebuie să scriem o ecuație care să ne permită să calculăm aceste distanțe.

Luați în considerare relația dintre distanță, viteză și timp. Fiecare dintre aceste mărimi poate fi descrisă folosind o ecuație literală:

Vom folosi partea dreaptă a uneia dintre aceste ecuații pentru a ne elabora ecuația. Pentru a afla care dintre ele, trebuie să vă întoarceți la textul sarcinii și să căutați ce puteți înțelege

Puteți prinde momentul în care biciclistul de la întoarcere a folosit timpul mai mult de un minut. Acest indiciu ne spune că putem folosi ecuația , și anume its partea dreapta. Acest lucru ne va permite să scriem o ecuație care conține variabila S .

Deci, să notăm lungimea primului drum ca S. Biciclistul a parcurs această potecă cu o viteză de 8 km/h. Timpul pentru care a parcurs această cale va fi notat cu expresia, deoarece timpul este raportul dintre distanța parcursă și viteza

Drumul de întoarcere pentru biciclist a fost cu 3 km mai lung. Prin urmare, distanța sa va fi notată prin expresie S+ 3 . Un biciclist a parcurs acest drum cu o viteză de 9 km/h. Deci timpul pentru care a depășit această cale va fi notat prin expresia .

Acum să facem o ecuație din expresiile existente

Vasul din dreapta este mai greu decât cel stâng. Asta pentru că problema spune că biciclistul a petrecut mai mult timp la întoarcere.

Pentru a egaliza cântarul, adăugați aceleași minute în partea stângă. Dar mai întâi, să convertim minutele în ore, deoarece în problemă viteza se măsoară în kilometri pe oră, și nu în metri pe minut.

Pentru a converti minutele în ore, trebuie să le împărțiți la 60

Minutele fac ore. Adăugați aceste ore în partea stângă a ecuației:

Se pare că ecuația . Să rezolvăm această ecuație. Pentru a scăpa de fracții, ambele părți ale piesei pot fi înmulțite cu 72. În plus, folosind transformările identice cunoscute, găsiți valoarea variabil S

Printr-o variabilă S am marcat distanța primului drum. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil S este de 15. Deci distanța primului drum este de 15 km.

Și am notat distanța celui de-al doilea drum prin expresie S+ 3 , iar din moment ce valoarea variabilei S Acum știm, putem calcula distanța celui de-al doilea drum. Această distanță este egală cu suma 15 + 3, adică 18 km.

Sarcina 4. Două mașini merg pe autostradă cu aceeași viteză. Dacă primul crește viteza cu 10 km/h, iar al doilea o reduce cu 10 km/h, atunci primul va parcurge aceeași distanță în 2 ore ca al doilea în 3 ore. mașinile merg?

Soluţie

Notează prin v viteza fiecărei mașini. Mai departe în problemă, sunt oferite indicii: crește viteza primului automobil cu 10 km/h și scădea viteza celui de-al doilea automobil cu 10 km/h. Să folosim acest indiciu

Se mai precizează că la astfel de viteze (creștete și scăzute cu 10 km/h), prima mașină va parcurge aceeași distanță în 2 ore ca a doua în 3 ore. Fraza "ca multi" poate fi înțeles ca „distanța parcursă de prima mașină va fi egală distanța parcursă de al doilea vagon.

Distanța, așa cum ne amintim, este determinată de formulă. Suntem interesați de partea dreaptă a acestei ecuații literale - ne va permite să scriem o ecuație care conține o variabilă v .

Deci, în viteză v + 10 km/h va trece prima mașină 2(v+10) km, iar al doilea va trece 3(v − 10) km. În această condiție, mașinile vor parcurge aceleași distanțe, prin urmare, pentru a obține o ecuație, este suficient să legați aceste două expresii cu semn egal. Apoi obținem ecuația. Hai sa o rezolvam:

În starea problemei, se spunea că mașinile merg cu aceeași viteză. Am notat această viteză prin variabilă v. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil v este egal cu 50. Deci viteza ambelor mașini era de 50 km/h.

Sarcina 5. În 9 ore în aval nava parcurge aceeași distanță ca în 11 ore în amonte. Aflați viteza bărcii dacă viteza râului este de 2 km/h.

Soluţie

Notează prin v viteza proprie a navei. Viteza curgerii râului este de 2 km/h. În cursul râului, viteza navei va fi v + 2 km/h, și împotriva curentului - (v − 2) km/h.

Starea problemei spune că în 9 ore nava parcurge aceeași distanță de-a lungul râului ca în 11 ore împotriva curentului. Fraza "același fel" poate fi înțeles ca distanța parcursă cu barca de-a lungul râului în 9 ore, egală distanța parcursă de navă împotriva curentului râului în 11 ore. Adică distanțele vor fi aceleași.

Distanța este determinată de formula . Să folosim partea dreaptă a acestei ecuații literale pentru a scrie propria noastră ecuație.

Deci, în 9 ore, vasul va trece de-a lungul râului 9(v + 2) km, iar în 11 ore în amonte - 11(v − 2) km. Deoarece ambele expresii descriu aceeași distanță, echivalăm prima expresie cu a doua. Ca rezultat, obținem ecuația . Hai sa o rezolvam:

Mijloace viteza proprie nava este de 20 km/h.

La rezolvarea problemelor obicei bun este de a stabili în prealabil care soluţie se caută pentru aceasta.

Să presupunem că sarcina a fost de a găsi timpul necesar pietonului pentru a-l depăși calea specificată. Am notat timpul prin variabilă t, apoi am făcut o ecuație care conține această variabilă și am găsit valoarea acesteia.

Din practică, știm că timpul de mișcare a unui obiect poate lua atât valori întregi, cât și valori fracționale, de exemplu, 2 ore, 1,5 ore, 0,5 ore.Atunci putem spune că soluția acestei probleme se caută pe a stabilit numere rationale Q, deoarece fiecare dintre valorile 2 h, 1,5 h, 0,5 h poate fi reprezentată ca o fracție.

Prin urmare, după cantitate necunoscută notat printr-o variabilă, este util să indicați cărei set îi aparține această valoare. În exemplul nostru, timpul t aparține mulțimii numerelor raționale Q

t ∈ Q

De asemenea, puteți introduce o constrângere asupra variabilei t, indicând că nu poate decât să accepte valori pozitive. Într-adevăr, dacă obiectul petrecut pe cale anumit timp, atunci de data aceasta nu poate fi negativă. Prin urmare, alături de expresie t∈ Q specificați că valoarea sa trebuie să fie mai mare decât zero:

t∈ R, t > 0

Dacă rezolvăm ecuația, obținem sens negativ pentru o variabilă t, atunci se va putea concluziona că problema a fost rezolvată incorect, deoarece această soluție nu va îndeplini condiția t∈ Q , t> 0 .

Alt exemplu. Dacă am rezolva o problemă în care era necesar să găsim numărul de persoane care să îndeplinească un anumit loc de muncă, atunci am nota acest număr printr-o variabilă X. Într-o astfel de problemă, soluția ar fi căutată pe platoul de filmare numere naturale

X ∈ N

Într-adevăr, numărul de persoane este un întreg, cum ar fi 2 persoane, 3 persoane, 5 persoane. Dar nu 1,5 (unul persoană întreagăși jumătate de persoană) sau 2,3 ​​(două persoane întregi și alte trei zecimi de persoană).

Aici s-ar putea indica că numărul de oameni trebuie să fie mai mare decât zero, dar numerele incluse în setul de numere naturale N sunt ele însele pozitive și mai mari decât zero. Acest set nu numere negative iar numărul 0. Prin urmare, expresia x > 0 poate fi omisă.

Sarcina 6. Pentru a repara școala a sosit o echipă în care erau de 2,5 ori mai mulți zugravi decât dulgheri. Curând, maistrul a inclus încă patru pictori în echipă și a transferat doi dulgheri la un alt obiect. Drept urmare, în brigadă erau de 4 ori mai mulți zugravi decât dulgheri. Câți zugravi și câți dulgheri au fost inițial în brigadă

Soluţie

Notează prin X tâmplari care au sosit la reparaţii iniţial.

Numărul de dulgheri este un număr întreg mai mare decât zero. Prin urmare, subliniem că X aparține mulțimii numerelor naturale

X∈N

Au fost de 2,5 ori mai mulți pictori decât dulgheri. Prin urmare, numărul de pictori va fi notat ca 2,5x.

Iar numărul pictorilor va crește cu 4

Acum numărul de dulgheri și zugravi va fi notat cu următoarele expresii:

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente:

Vasul din dreapta este mai mare, pentru că după ce am adăugat încă patru zugravi în echipă și am mutat doi dulgheri la un alt obiect, numărul pictorilor din echipă s-a dovedit a fi de 4 ori mai mare decât a tâmplarilor. Pentru a egaliza cântarul, trebuie să măriți vasul din stânga de 4 ori:

Am o ecuație. Hai sa o rezolvam:

Printr-o variabilă X a fost desemnat numărul iniţial de dulgheri. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil X este egal cu 8. Deci 8 dulgheri au fost inițial în brigadă.

Iar numărul de pictori era indicat prin expresia 2,5 X iar din moment ce valoarea variabilei X acum se știe, atunci puteți calcula numărul de pictori - este egal cu 2,5 × 8, adică 20.

Ne întoarcem la începutul sarcinii și ne asigurăm că condiția este îndeplinită X∈ N. Variabil X este egal cu 8 și elementele mulțimii numerelor naturale N toate acestea sunt numere care încep cu 1, 2, 3 și așa mai departe la infinit. Același set include și numărul 8, pe care l-am găsit.

8 ∈N

Același lucru se poate spune despre numărul de pictori. Numărul 20 aparține mulțimii numerelor naturale:

20 ∈N

Pentru a înțelege esența problemei și compilare corectă ecuație, nu este necesară utilizarea modelului la scară cu boluri. Puteți folosi și alte modele: segmente, tabele, diagrame. Puteți veni cu propriul model care ar descrie bine esența problemei.

Sarcina 9. 30% din lapte a fost turnat din cutie. Drept urmare, au rămas 14 litri în el. Câți litri de lapte erau inițial în cutie?

Soluţie

Valoarea dorită este numărul inițial de litri din cutie. Desenați numărul de litri sub formă de linie și etichetați această linie cu X

Se spune că 30% din lapte a fost turnat din cutie. Selectăm în figură aproximativ 30%

Un procent, prin definiție, este o sutime din ceva. Dacă 30% din lapte a fost turnat, atunci restul de 70% au rămas în cutie. Aceste 70% reprezintă 14 litri indicați în problemă. Selectați restul de 70% din figură

Acum poți face o ecuație. Să ne amintim cum să găsim procentul unui număr. Pentru a face acest lucru, cantitatea totală a ceva este împărțită la 100 și rezultatul este înmulțit cu procentul dorit. Rețineți că 14 litri, adică 70%, pot fi obținuți în același mod: numărul inițial de litri Xîmpărțiți cu 100 și înmulțiți rezultatul cu 70. Echivalați toate acestea cu numărul 14

Sau obțineți o ecuație mai simplă: scrieți 70% ca 0,70, apoi înmulțiți cu X și echivalați această expresie cu 14

Asta înseamnă că inițial erau 20 de litri de lapte în cutie.

Sarcina 9. Au luat două aliaje de aur și argint. Într-unul, raportul acestor metale este de 1: 9, iar în celălalt, 2: 3. Cât de mult ar trebui luată din fiecare aliaj pentru a obține 15 kg dintr-un aliaj nou în care aurul și argintul ar fi legate ca 1: 4 ?

Soluţie

Să încercăm mai întâi să aflăm cât aur și argint vor fi conținute în 15 kg din noul aliaj. Sarcina spune că conținutul acestor metale ar trebui să fie într-un raport de 1: 4, adică aurul ar trebui să fie o parte din aliaj, iar argintul ar trebui să fie patru părți. Atunci numărul total de piese din aliaj va fi 1 + 4 = 5, iar masa unei piese va fi 15: 5 = 3 kg.

Să stabilim cât aur va fi conținut în 15 kg de aliaj. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 3 kg cu numărul de părți de aur:

3 kg × 1 = 3 kg

Să determinăm cât argint va fi conținut în 15 kg de aliaj:

3 kg × 4 = 12 kg

Aceasta înseamnă că un aliaj cu o greutate de 15 kg va conține 3 kg de aur și 12 kg de argint. Acum revenim la aliajele originale. Trebuie să folosiți fiecare dintre ele. Notează prin X masa primului aliaj, iar masa celui de-al doilea aliaj pot fi notate cu 15 − X

Să exprimăm procentual toate relațiile care sunt date în problemă și să completăm cu ele următorul tabel:

În primul aliaj, aurul și argintul sunt într-un raport de 1: 9. Apoi totalul părților va fi 1 + 9 = 10. Dintre acestea, va fi aur , și argint .

Să transferăm aceste date în tabel. 10% vor fi introduse în primul rând din coloană „procent de aur din aliaj”, 90% vor fi introduse și în prima linie a coloanei „procent de argint din aliaj”, iar în ultima coloană "greutatea aliajului" introduceți o variabilă X, deoarece așa am notat masa primului aliaj:

Facem același lucru cu al doilea aliaj. Aurul și argintul în el sunt într-un raport de 2: 3. Apoi vor fi 2 + 3 = 5 părți în total. Dintre acestea, aurul va fi , și argint .

Să transferăm aceste date în tabel. 40% vor fi introduse în al doilea rând din coloană „procent de aur din aliaj”, 60% vor fi introduse și în a doua linie a coloanei „procent de argint din aliaj”, iar în ultima coloană "greutatea aliajului" introduceți expresia 15 − X, deoarece așa am notat masa celui de-al doilea aliaj:

Să completăm ultimul rând. Aliajul rezultat cu o greutate de 15 kg va conține 3 kg de aur, adică aliaj, iar argintul va fi aliaj. În ultima coloană notăm masa aliajului rezultat 15

Acum puteți scrie ecuații folosind acest tabel. Ne amintim. Dacă adunăm separat aurul ambelor aliaje și echivalăm această cantitate cu masa de aur a aliajului rezultat, putem afla care este valoarea X.

Primul aliaj de aur a avut 0,10 X, iar în al doilea aliaj de aur a fost 0,40(15 − X). Apoi, în aliajul rezultat, masa de aur va fi suma maselor de aur ale primului și celui de-al doilea aliaj, iar această masă este de 20% din noul aliaj. Și 20% din noul aliaj sunt 3 kg de aur, calculat de noi mai devreme. Ca rezultat, obținem ecuația 0,10X+ 0.40(15 − X) = 3 . Să rezolvăm această ecuație:

Inițial prin X am desemnat masa primului aliaj. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil X este egal cu 10. Și am notat masa celui de-al doilea aliaj prin 15 − X, iar din moment ce valoarea variabilei X acum se știe, atunci putem calcula masa celui de-al doilea aliaj, este egală cu 15 − 10 = 5 kg.

Aceasta înseamnă că pentru a obține un aliaj nou cu o greutate de 15 kg în care aurul și argintul ar fi tratate ca 1: 4, trebuie să luați 10 kg din primul aliaj și 5 kg din al doilea aliaj.

Ecuația ar putea fi făcută folosind a doua coloană a tabelului rezultat. Atunci vom obține ecuația 0,90X+ 0.60(15 − X) = 12. Rădăcina acestei ecuații este, de asemenea, 10

Sarcina 10. Există minereu din două straturi cu un conținut de cupru de 6% și 11%. Cât de mult minereu de calitate scăzută trebuie luat pentru a-l obține atunci când este amestecat cu 20 de tone bogate cu un conținut de cupru de 8%?

Soluţie

Notează prin X masa de minereu sărac. Deoarece trebuie să obțineți 20 de tone de minereu, atunci vor fi luate 20 de minereu bogat - X. Deoarece conținutul de cupru din minereul sărac este de 6%, atunci în X tone de minereu va conține 0,06 X tone de cupru. În minereu bogat, conținutul de cupru este de 11%, iar în 20 - X tone de minereu bogat va conține 0,11 (20 − X) tone de cupru.

În cele 20 de tone de minereu rezultate, conținutul de cupru ar trebui să fie de 8%. Aceasta înseamnă că 20 de tone de minereu de cupru vor conține 20 × 0,08 = 1,6 tone.

Adăugați expresiile 0,06 Xși 0,11(20 − X) și echivalează această sumă cu 1,6. Obținem ecuația 0,06x + 0,11(20 − X) = 1,6

Să rezolvăm această ecuație:

Aceasta înseamnă că pentru a obține 20 de tone de minereu cu un conținut de cupru de 8%, trebuie să luați 12 tone de minereu sărac. Bogații vor lua 20 − 12 = 8 tone.

Sarcina 11. Crescând viteza medie de la 250 la 300 m/min, sportivul a început să alerge distanța cu 1 minut mai repede. Care este lungimea distantei?

Soluţie

Lungimea distanței (sau distanța distanței) poate fi descrisă prin următoarea ecuație cu litere:

Să folosim partea dreaptă a acestei ecuații pentru a scrie propria noastră ecuație. Inițial, sportivul a alergat distanța cu o viteză de 250 de metri pe minut. La această viteză, lungimea distanței va fi descrisă prin expresia 250 t

Apoi, sportiva și-a mărit viteza la 300 de metri pe minut. La această viteză, lungimea distanței va fi descrisă prin expresie 300t

Rețineți că lungimea distanței este o valoare constantă. Din faptul că sportivul crește viteza sau o reduce, lungimea distanței va rămâne neschimbată.

Acest lucru ne permite să echivalăm expresia 250 t la expresia 300 t, deoarece ambele expresii descriu lungimea aceleiași distanțe

250t = 300t

Dar sarcina spune că la o viteză de 300 de metri pe minut, sportivul a început să alerge distanța cu 1 minut mai repede. Cu alte cuvinte, la o viteză de 300 de metri pe minut, timpul de călătorie va scădea cu unu. Prin urmare, în ecuația 250 t= 300tîn partea dreaptă, timpul trebuie redus cu una:

Cu o viteză de 250 de metri pe minut, sportivul parcurge distanța în 6 minute. Cunoscând viteza și timpul, puteți determina lungimea distanței:

S= 250 × 6 = 1500 m

Și cu o viteză de 300 de metri pe minut, sportivul aleargă distanța pentru t− 1 , adică în 5 minute. După cum am menționat mai devreme, lungimea distanței nu se modifică:

S= 300 × 5 = 1500 m

Sarcina 12. Un călăreț depășește un pieton care se află la 15 km în fața lui. În câte ore va ajunge călărețul din urmă pe pieton dacă în fiecare oră primul călăreț parcurge 10 km, iar al doilea doar 4 km?

Soluţie

Această sarcină este . Se poate rezolva prin determinarea vitezei de apropiere și împărțirea distanței inițiale dintre călăreț și pieton la această viteză.

Viteza de închidere se determină scăzând viteza inferioară din cea mai mare:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (viteza de apropiere)

În fiecare oră, distanța de 15 kilometri va fi redusă cu 6 kilometri. Pentru a afla când va scădea complet (când călărețul ajunge din urmă cu pietonul), trebuie să împărțiți 15 la 6

15:6 = 2,5 ore

2,5 h sunt două ore întregi și jumătate de oră. Și jumătate de oră înseamnă 30 de minute. Deci, călărețul va depăși pietonul în 2 ore și 30 de minute.

Să rezolvăm această problemă folosind ecuația.

După aceea, după el, un călăreț a pornit pe drum cu o viteză de 10 km/h. Iar viteza de mers este de doar 4 km/h. Aceasta înseamnă că călărețul va depăși pietonul după ceva timp. Trebuie să găsim această dată.

Când călărețul îl ajunge din urmă pe pieton, va însemna că au parcurs aceeași distanță împreună. Distanța parcursă de călăreț și pieton este descrisă de următoarea ecuație:

Să folosim partea dreaptă a acestei ecuații pentru a scrie propria noastră ecuație.

Distanța parcursă de călăreț va fi descrisă prin expresia 10 t. Deoarece pietonul a pornit înaintea călărețului și a reușit să depășească 15 km, distanța parcursă de acesta va fi descrisă prin expresia 4 t + 15 .

Până când călărețul ajunge din urmă cu pietonul, ambii vor fi parcurs aceeași distanță. Acest lucru ne permite să echivalăm distanțele parcurse de călăreț și de mers:

Rezultatul este o ecuație simplă. Hai sa o rezolvam:

Sarcini pentru soluție independentă

Problema 1. Un tren de pasageri ajunge dintr-un oraș în altul cu 45 de minute mai repede decât un tren de marfă. Calculați distanța dintre orașe dacă viteza trenului de pasageri este de 48 km/h și viteza trenului de marfă este de 36 km/h.

Soluţie

Vitezele trenului în această problemă sunt măsurate în kilometri pe oră. Prin urmare, vom converti cele 45 de minute indicate în sarcină în ore. 45 de minute înseamnă 0,75 ore

Să notăm prin variabila timpul în care un tren de marfă ajunge în oraș t. Deoarece trenul de pasageri ajunge în acest oraș cu 0,75 ore mai repede, timpul deplasării sale va fi notat cu expresia t - 0,75

Trenul de pasageri a depășit 48( t - 0,75) km, iar marfa 36 t km. Deoarece vorbim cam la aceeași distanță, echivalăm prima expresie cu a doua. Ca rezultat, obținem ecuația 48(t - 0.75) = 36t . Hai sa o rezolvam:

Acum să calculăm distanța dintre orașe. Pentru a face acest lucru, viteza unui tren de marfă (36 km / h) este înmulțită cu timpul deplasării acestuia t. Valoare variabilă t acum cunoscut - este egal cu trei ore

36 × 3 = 108 km

Pentru a calcula distanța, puteți utiliza și viteza trenului de pasageri. Dar în acest caz valoarea variabilei

Valoare variabilă t este egal cu 1,2. Așa că mașinile s-au întâlnit după 1,2 ore.

Răspuns: mașinile s-au întâlnit după 1,2 ore.

Sarcina 3. Există un total de 685 de lucrători în trei ateliere ale fabricii. În al doilea magazin sunt de trei ori mai mulți lucrători decât în ​​primul, iar în al treilea - cu 15 lucrători mai puțin decât în ​​al doilea magazin. Câți lucrători sunt în fiecare magazin?

Soluţie

Lăsa X muncitorii erau în primul magazin. În al doilea atelier au fost de trei ori mai mulți decât în ​​primul, așa că numărul de muncitori din al doilea atelier poate fi notat cu expresia 3 X. Al treilea magazin avea cu 15 lucrători mai puțini decât al doilea. Prin urmare, numărul de muncitori din al treilea atelier poate fi notat cu expresia 3 X - 15 .

Problema spune că au fost 685 de muncitori în total.De aceea, putem adăuga expresiile X, 3X, 3X - 15 și echivalăm această sumă cu numărul 685. Ca rezultat, obținem ecuația x + 3x + ( 3X - 15) = 685

Printr-o variabilă X a fost indicat numărul muncitorilor din primul atelier. Acum am găsit valoarea acestei variabile, este egală cu 100. Deci erau 100 de muncitori în primul magazin.

În al doilea atelier au fost 3 X muncitori, adică 3 × 100 = 300. Și în al treilea atelier au fost 3 X - 15, adică 3 × 100 − 15 = 285

Răspuns:în primul atelier erau 100 de muncitori, în al doilea - 300, în al treilea - 285.

Sarcina 4. Două ateliere de reparații într-o săptămână ar trebui să repare 18 motoare conform planului. Primul atelier a finalizat planul cu 120%, iar al doilea cu 125%, astfel că 22 de motoare au fost reparate într-o săptămână. Ce plan săptămânal de reparații a motorului avea fiecare atelier?

Soluţie

Lăsa X motoarele urmau să fie reparate de primul atelier. Apoi, al doilea atelier a trebuit să fie renovat 18 − X motoare.

De când primul atelier și-a finalizat planul cu 120%, asta înseamnă că a reparat 1.2 X motoare. Iar al doilea atelier și-a îndeplinit planul cu 125%, ceea ce înseamnă că a reparat 1,25 (18 − X) motoare.

Sarcina spune că au fost reparate 22 de motoare. Prin urmare, putem adăuga expresiile 1,2Xși 1,25 (18 − x) , apoi echivalăm această sumă cu numărul 22. Ca rezultat, obținem ecuația 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Printr-o variabilă X a fost indicat numărul de motoare pe care trebuia să le repare primul atelier. Acum am găsit valoarea acestei variabile, este egală cu 10. Deci primul atelier a trebuit să repare 10 motoare.

Iar prin expresia 18 − X a fost indicat numărul de motoare pe care urma să le repare al doilea atelier. Deci al doilea atelier a trebuit să repare 18 − 10 = 8 motoare.

Răspuns: primul atelier urma să repare 10 motoare, iar al doilea 8 motoare.

Problema 5. Prețul mărfurilor a crescut cu 30% și acum este de 91 de ruble. Cât era produsul înainte de creșterea prețului?

Soluţie

Lăsa X bunuri în valoare de ruble înainte de creșterea prețului. Daca pretul a crescut cu 30% inseamna ca a crescut cu 0,30 X ruble. După creșterea prețului, mărfurile au început să coste 91 de ruble. Adăugați x cu 0,30 Xși echivalăm această sumă cu 91. Ca rezultat, obținem ecuația Scăderea numărului cu 10% a dus la 45. Găsiți valoarea inițială a numărului. X -

Răspuns: pentru a obține o soluție de sare de 12%, trebuie să adăugați 0,25 kg de soluție de 20% la 1 kg de soluție de 10%.

Problema 12. Sunt date două soluții de sare în apă, ale căror concentrații sunt de 20% și 30%. Câte kilograme din fiecare soluție trebuie amestecate într-un singur vas pentru a obține 25 kg dintr-o soluție de 25,2%?

Soluţie

Lăsa X trebuie luate kg din prima soluție. Deoarece este necesar să se pregătească 25 kg de soluție, masa celei de-a doua soluții poate fi notă cu expresia 25 − x.

Prima soluție va conține 0,20x kg de sare, iar a doua va conține 0,30(25 − x) kg de sare. În soluția rezultată, conținutul de sare va fi de 25 × 0,252 = 6,3 kg. Adăugați expresiile 0,20x și 0,30(25 − x), apoi egalați această sumă cu 6,3. Ca rezultat, obținem ecuația

Deci prima soluție trebuie luată 12 kg, iar a doua 25 - 12 = 13 kg.

Răspuns: prima soluție trebuie să luați 12 kg, iar a doua 13 kg.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Conceptul de procent apare prea des in viata noastra, asa ca este foarte important sa stim sa rezolvam problemele cu procente. În principiu, aceasta nu este o chestiune dificilă, principalul lucru este să înțelegeți principiul lucrului cu interes.

Ce este un procent

Operăm cu conceptul de 100 la sută și, în consecință, unu la sută este o sută un anumit număr. Și toate calculele se bazează deja pe acest raport.

De exemplu, 1% din 50 este 0,5, 15 din 700 este 7.

Cum să decizi

1. Știind că un procent este o sutime din numărul prezentat, puteți găsi orice număr de procente necesare. Pentru a fi mai clar, să încercăm să găsim 6 procente din numărul 800. Acest lucru se face simplu.
   • Mai întâi găsim un procent. Pentru a face acest lucru, împărțiți 800 la 100. Se dovedește 8.
   • Acum înmulțim chiar acest un procent, adică 8, cu numărul de procente de care avem nevoie, adică cu 6. Se dovedește 48.
   • Fixați rezultatul prin repetare.

   15% din 150. Rezolvare: 150/100*15=22.

   28% din 1582. Rezolvare: 1582/100*28=442.

2. Există și alte probleme când vi se dau valori și trebuie să găsiți procente. De exemplu, știți că magazinul are 5 trandafiri rosii din 75 de albi și trebuie să aflați ce procent este stacojiu. Dacă nu cunoaștem acest procent, atunci îl vom nota cu x.

   Există o formulă pentru aceasta: 75 - 100%

   În această formulă, numerele sunt înmulțite cruce cu cruce, adică x \u003d 5 * 100/75. Se pare că x \u003d 6% Deci procentul de trandafiri stacojii este de 6%.

3. Există un alt tip de problemă pentru procente, când trebuie să aflați cu ce procent un număr este mai mare sau mai mic decât altul. Cum se rezolvă problemele cu procente în acest caz?

   În clasă sunt 30 de elevi, dintre care 16 sunt băieți. Întrebarea este cât la sută dintre băieți sunt mai mulți decât fete. Mai întâi trebuie să calculați ce procent de elevi sunt băieți, apoi trebuie să aflați ce procent de fete. Și în sfârșit găsiți diferența.

   Asadar, haideti sa începem. Facem o proporție de 30 de conturi. - 100%

   16 conturi -X %

   Acum numărăm. X=16*100/30, x=53,4% din toți elevii clasei sunt băieți.

   Acum găsiți procentul de fete din aceeași clasă. 100-53,4=46,6%

Rămâne acum doar să găsim diferența. 53,4-46,6=6,8%. Răspuns: sunt mai mulți băieți decât fete cu 6,8%.

Puncte cheie în rezolvarea intereselor

Așadar, pentru a nu avea probleme cu modul de rezolvare a problemelor pentru procente, amintiți-vă câteva reguli de bază:

1. Pentru a nu te confunda în problemele cu procente, fii mereu vigilent: treci de la valori specifice la procente și invers dacă este necesar. Principalul lucru este să nu confundați niciodată unul cu celălalt.
2. Aveți grijă când calculați procentele. Este important să știți de la ce valoare specifică trebuie să numărați. Pentru modificări succesive ale valorilor, procentul se calculează din ultima valoare.
3. Înainte de a scrie răspunsul, citiți din nou întreaga problemă, deoarece este posibil să fi găsit doar un răspuns intermediar și să mai aveți nevoie să efectuați una sau două acțiuni.

Astfel, rezolvarea problemelor cu procente nu este o chestiune atât de dificilă, principalul lucru în ea este atenția și acuratețea, ca, într-adevăr, în toată matematica. Și nu uitați că practica este necesară pentru a îmbunătăți orice abilitate. Deci decideți mai mult și totul va fi bine sau chiar excelent pentru dvs.