1 Primar și secundar educatie profesionala M. I. Bashmakov
2 ÎNVĂȚĂMÂNTUL PROFESIONAL PRIMAR ȘI SECUNDAR M. I. BASHMAKOV MATEMATICĂ Recomandat de Instituția Federală de Stat „ Institutul Federal dezvoltarea educației” ca manual de utilizare în proces educațional institutii de invatamant implementarea programelor de învățământ profesional primar și secundar Revizuirea numărul de înregistrare 174 din 28 aprilie 2009 FGU „FIRO” ediția a 5-a, corectată de academia „a Centrul de editură din Moscova „Academia” 2012
3 LBC 22.1ya722 B336 Recenzători: profesor al instituției de învățământ de stat din Moscova colegiul politehnic N.A. Kharitonova; profesor de matematică și statistică GOU SPO Moscova scoala tehnica de stat tehnologie, economie și drept. L.B.Krasina T.N.Sinilova; profesor de matematică GOU SPO Colegiul de Automatizare și tehnologia Informatiei 20 Moscova T.G. Kononenko B 336 Bashmakov M.I. Matematică: un manual pentru instituțiile care încep. și avg. prof. educație / M.I. Bashmakov. Ed. a 5-a, rev. M.: Centrul de editare „Academia”, p. ISBN Manualul a fost redactat în conformitate cu programa de studii pentru studiul matematicii în instituțiile de învățământ profesional primar și secundar și acoperă toate temele principale: teoria numerelor, rădăcini, puteri, logaritmi, drepte și plane, solide spațiale, precum și elementele de bază ale trigonometrie, analiză, combinatorică și teoria probabilităților. Pentru elevii din instituțiile de învățământ profesional primar și secundar. UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 Aspectul original al acestei publicații este proprietatea Academy Publishing Center, iar reproducerea acesteia în orice mod fără acordul deținătorului drepturilor de autor este interzisă. Centrul editorial „Academia”, 2010
4 Notație de bază Simboluri matematice generale o valoare absolută (modul) a numărului a [a] întreaga parte numere a = egal cu a aproximativ egal cu > mai mare decât< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>prin urmare<=>este echivalent dacă și numai dacă Combinatorica ha! factorial Un număr de aranjamente de la r la r C număr de combinații de la r la m Pn număr de permutări din n elemente Mulțimi 0 mulțime goală N numere naturale Y. numere întregi Q numere raționale R numere reale C numere complexe AUfi uniunea mulțimilor APW-intersecție de multimi aea a apartine multimii A a "a a nu apartine multimii A g f alcatuirea cartografiilor fug Numere complexe i unitatea imaginară z complex conjugat la K Z \r\ valoarea absolută (modulul) a numărului complex z Geometrie A(x; y) , AB punctul A cu coordonatele x și y plane drepte linia a este paralelă cu linia b linia a intersectează linia b linia a este perpendiculară pe linia b linia a intersectează planul a în punctul P planul a este paralel cu planul p planul a este perpendicular pe planul p vector Succesiunea și funcțiile K ) A/ df f\x) b \f(x)d . x increment de secvență a funcției f diferența de funcție) derivată a funcției 1 la punctul x set de antiderivate sau integrală nedefinită a funcției / integrală definită a funcției f de la a la b
5 Prefață Matematica timp de 2500 de ani de existență a acumulat cel mai bogat instrument pentru studiul lumii din jurul nostru. Cu toate acestea, după cum a remarcat academicianul A.N. Krylov, un matematician și constructor de nave rus de remarcat, o persoană apelează la matematică „să nu admire nenumărate comori”. În primul rând, trebuie să se familiarizeze cu „secole de instrumente dovedite și să învețe cum să le folosească corect și cu pricepere”. Această carte vă va învăța cum să utilizați instrumente matematice, cum ar fi funcțiile și graficele acestora, figuri geometrice, vectori și coordonate, derivate și integrale. Deși majoritatea acestor concepte v-au fost prezentate pentru prima dată mai devreme, această carte le reintroduce. Acest lucru este convenabil pentru cei care au uitat puțin materialul studiat anterior și este util pentru toată lumea, deoarece chiar și lucrurile familiare vor dezvălui aspecte și conexiuni noi. Pentru a facilita lucrul cu manualul sunt evidențiate cele mai importante prevederi și formulări. Ilustrațiile joacă un rol important, prin urmare, este necesar să luați în considerare cu atenție desenul legat de text pentru o mai bună înțelegere a textului (chiar și în antichitate au folosit această metodă de studiu a matematicii pentru a desena un desen și a spune: „Uite!” ). Pe lângă cele neîndoielnice valoare practică a cunoștințelor matematice obținute, studiul matematicii lasă o amprentă de neșters în sufletul fiecărei persoane. Cu matematica, mulți asociază obiectivitatea și onestitatea, dorința de adevăr și triumful rațiunii. Mulți oameni au o viață întreagă de încredere în sine, care a apărut atunci când au depășit dificultățile neîndoielnice pe care le-au întâmpinat în studiul matematicii. În cele din urmă, cei mai mulți dintre voi sunteți deschiși la percepția asupra armoniei și frumuseții lumii pe care matematica le-a absorbit, așa că nu ar trebui să abordați fiecare pagină a manualului, fiecare sarcină cu o evaluare a faptului dacă va fi folosită în noua viață care te asteapta dupa absolvire. Subiecte cărora le este consacrat manualul, teoria numerelor, corpuri spațiale, esnov-uri analiză matematică, principiile teoriei probabilităților au nu numai valoare aplicată. Ele conțin idei bogate, familiarizarea cu care este necesară pentru fiecare persoană. Aș dori să sper că studiul matematicii, care / manual ar trebui să ajute, vă va permite să verificați nivel inalt a abilităților lor, vor întări dorința de a-și continua educația și vor aduce multe momente vesele de comuniune cu „legi de nezdruncinat care marchează întreaga ordine a universului”.
6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись numere naturale are o istorie lungă. Societatea modernă folosește un sistem zecimal în care sunt introduse 10 cifre: 1,2 \u003d 1 + 1,3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 și 0. Numărul care urmează numărului 9 este scris ca 10. Mai mult , numărând în zeci, sute (10 x 10), mii etc., fiecare număr natural este reprezentat ca a0 + + a ak10 k (ak f 0), unde 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в sisteme diferite Sistem zecimal 2010 Sistem roman MMX Sistem hieroglific al egiptenilor antici (= 3000 î.Hr.) O n 2010 = 2 X Sistem babilonian (hexazecimal) („3500 î.Hr.) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10
7 sau unități; de m ori luată a n-a fracțiune de unitate (tipul numerelor naturale) este un număr rațional. Se poate scrie ca o fracție obișnuită. Aceeași sumă poate fi obținută folosind acțiuni diferite. De exemplu, este clar că piroga și piroga sunt același lucru. ^ ^ Două fracții obișnuite și sunt egale cu Щ n2 între ele (adică sunt înregistrări ale aceluiași număr rațional) dacă și numai dacă numerele naturale ml t9 txn2 și t2nx coincid: - = -<=>tgp2 = t2Hz. Пп 2 După ce au construit numere raționale pozitive, numerele negative și zero li se adaugă în mod obișnuit. Mulțimea numerelor raționale se notează cu litera Q. Numerele întregi m sunt identificate cu fracții. 1 Există incluziuni N cu Z cu Q. 4. În mulțimea numerelor raționale Q se definesc două operații aritmetice, adunarea și înmulțirea, respectând legi cunoscute comutativ, asociativ, distributiv. De ce oamenii au nevoie de numere? În primul rând, pentru cont. Pentru a compara numărul de obiecte, au fost folosite mai întâi câteva obiecte standard (degete, pietricele, bețe). Apoi au fost inventate simboluri pentru a indica numărul în seturi (colecții, seturi) care au elemente egale. O altă sursă de dezvoltare a conceptului de număr a fost problema măsurării. Atunci când alegeți o unitate de măsură pentru o cantitate (de exemplu, lungime), devine posibilă compararea cu aceasta. În acest caz, puteți utiliza nu numai întreaga unitate, ci și fracțiile acesteia.
8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il fracții obișnuite când se calculează cu numere raționale? I^UITIIVId După cum sa menționat, același număr rațional poate fi scris în fracții diferite. Legătura dintre ele este descrisă de următoarea teoremă., _ tl t9 t9 t3 Teorema. Dacă \u003d - și \u003d - W "s Demonstrație. W "s, atunci Este necesar să se demonstreze că jj ^ definiția egalității fracțiilor pentru aceasta trebuie să verificați egalitatea numerelor întregi: m ^ n3 \u003d m3ni. Folosim aceste egalități: m1p2 = m2px și m2p3 = m3p2 Înmulțim prima dintre ele cu n3, iar a doua cu n1. Se obține mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Numerele întregi m2p1p3 și m2p3nx sunt egale între ele; folosim proprietatea tranzitivității numerelor întregi: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. Rescriem egalitatea numerelor întregi m1p2p3 = m3p2nx ca n2(m1p3 - m3rii) = 0. Numărul n2 (numitorul fracției din mijloc) nu poate fi egal cu zero. Totuși, dacă produsul a două numere întregi este zero, atunci cel puțin unul dintre ele trebuie să fie zero. Obținem că txp3 - t3p1 = 0, adică. mxn3 = m3nx, ceea ce urma să fie demonstrat. Cum efectuați operații aritmetice pe fracții comune? 1. Reducerea fracțiilor. 28 Priter. Fracția poate fi redusă. Această diagramă circulară arată distribuția voturilor în Parlament între cele trei partide Albastru, Gri și Alb. Această distribuție poate fi scrisă ca fracții: = 180 numărul total locuri; " " 4 Ca pondere totală, puteți alege ^: 12 Ce parte din volumul balonului va fi umplută atunci când lichidele sunt scurse din două baloane identice? se poate face secvențial, găsind factorii comuni ai numărătorului și numitorului și împărțind la ei:
9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 Scădere m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 Înmulțire wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg numitor la cel mai mare lor divizor comun(GCD): T_ „Fracția este ireductibilă. Numătorul său și numitorul 15 sunt numere coprime. 2. Adunarea (scăderea) fracțiilor. 5 3 Exemplu Pentru adunare, trebuie să aduceți fracțiile la numitor comun. Pentru a face acest lucru, este convenabil să descompuneți numitorii în factori primi și să luați cel mai mic multiplu comun al acestora (MCM): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ Înmulțirea (diviziunea) fracțiilor „Exemplu. ( ):. Scriem rezultatul re- Și * V25 63J 7 sub forma unei singure fracții și reduceți-l: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Întrebări și exerciții 1. Care dintre următoarele expresii au o valoare egală cu 1: 14 și mid ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) A \u003d)) A \u003d 2,36-1,12-0,88 + 0,64; 7) A =? 4) l L. ". C Costul mărfurilor pentru prima dată a fost redus cu a%, a doua oară cu b% din noul preț. În ce cazuri, ca urmare, costul mărfurilor s-a ridicat la 60% din prețul inițial: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10? O2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; opt
10 t expresii numerice: 1) numărul de bilete de autobuz „norocoase”: IT" " 2) probabilitatea ca într-o clasă de 30 de persoane să existe zile de naștere potrivite: \100% J, l d 180 1, Estimați care dintre următoarele numere este cel mai apropiat de număr: )0,001; 2) 0,01; 3) 0,1; 4)1. 5. Tabelul arată punctele de topire ale gheții și punctele de fierbere ale apei la patru scale de temperatură Celsius (C), Fahrenheit (F), Kelvin (K) și Réaumur (R). Presupunând că temperatura corpului uman în grade Celsius este de 37, calculați-o la alte scale, dacă relația dintre scale este liniară: Indicator Scala C F K R Fierberea apei Topirea gheții Lecția 2 Numere reale Ce se înțelege prin număr real? 1. Număr real. Numerele raționale nu au fost suficiente pentru a rezolva problemele de măsurare. Aceasta a fost descoperită în urmă cu mai bine de 2,5 mii de ani de către matematicienii greci antici, care au demonstrat că diagonala unui pătrat cu o latură unitară nu poate fi măsurată folosind doar numere raționale, în timp ce altele nu erau cunoscute atunci. În ceea ce privește setarea numerelor naturale, puteți folosi obiecte specifice (degete, bețe), iar pentru sarcinile de măsurare, puteți alege o valoare standard pentru lungimea segmentului și puteți seta numerele geometric pe segmente, sau mai degrabă prin relația lor cu cel selectat. segment de unitate (unitate de scară). E \- T 4 Măsura generală 3 A 9 4
11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj
Cele 12 numere sunt numerele V2, dintre care cincisprezece zecimale au fost date mai sus sau numărul k (raportul dintre circumferință și diametru): l \u003d 3. Setul tuturor numerelor reale este notat cu litera R: N c Z c Q c R. De ce ai avut nevoie de numere reale și au fost suficiente pentru a rezolva problemele? După cum sa menționat, adăugarea de numere noi, iraționale la numerele raționale a fost cauzată de necesitatea de a măsura lungimile oricăror segmente. Cu ajutorul numerelor reale construite în acest fel, s-a dovedit deja a fi posibil să se măsoare multe alte mărimi care au fost numite scalare. Apariția unor noi probleme a necesitat dezvoltarea în continuare a conceptului de număr, despre care vom discuta mai târziu. De ce nu se poate măsura diagonala unui pătrat cu latura egală cu unu cu un număr rațional? Această întrebare conține formularea celebrei teoreme, dovedită în secolul VI. î.Hr. Dovada. Să presupunem că lungimea diagonalei pătratului unității poate fi scrisă ca o fracție, pe care o vom considera ireductibilă. Prin teorema lui Pitagora, obținem egalitatea I = I m 1, adică, I _ m 1 \u003d\n) U sau m 2 \u003d 2n 2. Deoarece există un număr par la dreapta, atunci numărul m g din stânga și, prin urmare, numărul m, sunt numere pare: m \u003d 2k . Înlocuind și reducând cu 2, obținem: 2k 2 = n 2. Prin același raționament, obținem că acum n trebuie să fie și un număr par. Faptul că fracția niuio wiiv ^ vudi galinun numerelor reale Decimală - \u003d 0, n 2 1, Fracție continuă - \u003d 2 + L F \u003d Rând n 2, Diagramă circulară Punct pe axa numerelor B (-2) 0 1 L (2,5) 11
13 Dcjmnnc MdieMdiHKH pe axa timpului - 600"" Numărătorul și numitorul lui Pitagora s-au dovedit a fi numere pare, ceea ce contrazice condiția de ireductibilitate a fracției. Această contradicție demonstrează teorema lui Euclid Arhimede Diophantus Al-Khwarizmi Fibonacci Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov Cum funcționează ele cu numerele reale? O zecimală infinită este o succesiune de aproximări prin zecimale finite la un număr real dat. Pentru a efectua operații aritmetice pe fracții zecimale infinite, aceste operații sunt efectuate pe fracții zecimale finite. De exemplu, vom adăuga = 1, Se obține: = 4 1.4 + 3.1 = 4.5 1.41 + 3.14 = 4.55 1.141 = 4.555 1.1415 = 4.5557 1.14159 = 4.55580 etc. În mod similar, l 72 \u003d 4. Desigur, astfel de calcule trebuie efectuate folosind un calculator, dar, în același timp, ține evidența câte cifre ale rezultatului pot fi considerate corecte. Numerele reale pot fi reprezentate ca puncte pe linia numerică. Dacă două numere a și b sunt afișate de punctele A(a) și B(b) pe axa reală, atunci distanța dintre punctele A și B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b: \AB\ = \b - a\. Modulul are două proprietăți cele mai importante: \ab\ = \a\ b( și \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?
14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu NUMĂR f 7. Scrieți următoarele numere ca fracții zecimale periodice: x> 2.1, 3, 4 , DAR ; 6) Demonstrați iraționalitatea următoarelor numere: 1) 0, ; 2) 0, Lecția 3 Calcule aproximative Ce este util de știut despre calculele aproximative? 1. L „3 Aproximări la I 1. Valoare aproximativă. Fie dat numărul x. Numărul a se numește valoarea aproximativă a numărului x, calculată până la h > 0, dacă inegalitatea \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13
15 3. f 16 = 3, Hz. kg "A.. w -, Ct.. și W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. Sub semnul rădăcinii este scris un număr cu 40 de nouă după virgulă V0, Calculați rădăcina cu 40 de zecimale. 4. Verificați dacă rotunjirea următoarelor numere la a doua zecimală se face corect: 1) a = 1,1683, a ~ 0,17; 3) 72 "1,41; 5) it 2 "9.86. 2) a = 0,2309, a ~ 0,23; 4) ^1 0,86; 2 5. Este adevărat că eroarea relativă a calculului este mai mică de 1%: 1) n «3.16; 3) aria unui cerc de rază) ^ "21; 2) 2 10 "1000; aproximativ egal; 5) 9 11 a 3 Yu 10? Lecția 4 Numere complexe Reprezentarea grafică a numerelor complexe m r = a + s M (a; b) Ce este un număr complex și cum se efectuează operațiile aritmetice cu numere complexe? 1. Numere complexe. Un număr complex este un număr de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale, a i este un simbol numit unitate imaginară. 16
18 Mulțimea numerelor complexe se notează cu litera C. Numărul real a se identifică cu numărul complex a + 0 r. Astfel, extindem lanțul de incluziuni a diferitelor mulțimi numerice: N c Z c Q c R c C Fiecare număr complex z este un simbol de forma a + b.i. Numărul a se numește partea reală a numărului z, iar numărul b este partea sa imaginară. Definiția adunării arată că atunci când se adună numere complexe, părțile lor reale și imaginare sunt adăugate separat. 2. Reguli de adunare și înmulțire a numerelor complexe. Numerele complexe se adună după următoarea regulă: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Conform regulii înmulțirii i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, adică. pătratul unității imaginare este egal cu numărul real -1. Când înmulțiți numere complexe, deschideți pur și simplu parantezele conform regulilor obișnuite și înlocuiți r 2 cu -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- că nu numai z 2 = = -1, ci și (-i) 2 = Conjugă numere complexe. Numerele complexe a + bi și a - bi sunt numite conjugate între ele. Produsul lor este egal cu un număr pozitiv real a 2 + b 2. Dacă z \u003d a + N f 0, atunci a 2 + b 2 f 0 și putem scrie identitatea: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Din aceasta rezultă clar că numărul este 2 + b 2 a 2 + b 2 este inversul numărului a + bi. Fiind capabil să calculeze număr reciproc, puteți împărți un număr complex la altul (altul decât zero). 4. Imaginea numerelor complexe. Numărul z = a + bi poate fi reprezentat printr-un punct din planul cu coordonatele (a, b) (de exemplu, M(a, b)). Cu o astfel de imagine, adăugarea numerelor complexe corespunde cu 2 + z Axa reală Numerele conjugate z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ы = \om\ Modulul numărului complex 17
19 Adunarea numerelor complexe Unele interpretări ale înmulțirii numerelor complexe vor fi discutate în capitolul privind funcțiile de rotație și trigonometrice. Numerele conjugate z \u003d a + bi și z \u003d a - bi sunt reprezentate prin puncte simetrice față de axa absciselor. Numărul l/a 2 + b 2, care este distanța de la punctul care reprezintă numărul z (se spune simplu de la punctul z) până la origine, se numește modulul numărului complex și se notează \r\. Notăm identităţi simple: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z<=>numar real. Număr complex opus Scăderea numerelor complexe I = 2 De ce avem nevoie de numere complexe? Odată cu utilizarea numerelor complexe, matematicienii au noi posibilități. Să aruncăm o privire la unele dintre ele. 1. A devenit posibil să găsim rădăcinile oricăruia ecuații algebrice. Teorema lui Gauss, care se numește teorema fundamentală a algebrei, afirmă că fiecare ecuație algebrică are cel puțin o rădăcină complexă. 2. Transformările plane (translația paralelă, rotația, homotezia, simetria axială și combinațiile lor) se scriu ca niște operații simple pe numere complexe. 3. Procesele oscilatorii din mecanică și fizică (propagarea undelor sonore și luminoase, fenomene electromagnetice, proprietățile curentului alternativ) sunt studiate mult mai simplu folosind numere complexe. Următoarea frază pare foarte semnificativă oricărui inginer: „Luați în considerare un conductor prin care curge un curent cu o forță de I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (amperi)”, deși la prima vedere aspectul unui „imaginar” curentul nu poate avea un sens fizic. optsprezece
20 I IV/ J - numere complexe este convenabil să așezi figuri geometrice pe plan? Aceasta se bazează pe următoarea regulă simplă. Teorema. Modulul diferenței a două numere complexe este egal cu distanța dintre punctele care reprezintă aceste numere. Figura arată că vectorii care leagă punctul z2 cu punctul zu și originea cu punctul + (~z2) sunt egali între ei. Prin urmare, numărul zx - z2\, egal cu distanța de la punctul + (~z2) la origine, este egal cu distanța dintre puncte și z2, care urma să fie demonstrată. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ Modulul diferenței a două numere complexe Cum se efectuează calculele cu numere complexe? 1. Operații aritmetice: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i = r; i _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + dacă = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Scrierea ecuațiilor diferitelor curbe folosind interpretarea geometrică a modulului diferenței a două numere complexe: 1 ) un cerc de raza R centrat la origine: r = R; 2) un cerc de raza R centrat în punctul r0: z - Zq\ = R; 3) o elipsă este definită ca locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor cărora la două puncte din plan este constantă: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Elipsa cu focare.fi(-1; 0) si F2(l; 0) 19
21 Întrebări și exerciții 1. Calculați: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r)(; 5) r3; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. Expand în factori liniari: 1) a 2 + 4b 2 ; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a 4 - b 4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x Desenați în plan mulțimea numerelor complexe care îndeplinesc următoarele condiții: 1) \r\ \u003d 3; 3) g g< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >unu; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >b. Construirea de soluții la această ecuație
22 de numere întregi (și zero). O ecuație de forma ax = b, unde a și b sunt numere întregi și a Ф 0, de asemenea, nu are întotdeauna soluții întregi. Prin introducerea numerelor raționale, avem posibilitatea de a scrie soluțiile acestei ecuații pentru orice numere întregi a și b (cu aceeași constrângere a Ф 0). Insolubilitatea în numere raționale a ecuației x 2 = 2 a provocat apariția numerelor reale, pe care acum le imaginăm sub formă de fracții zecimale infinite. Dintre acestea s-au remarcat, în primul rând, cele care au fost exprimate prin radicali, adică. prin rădăcinile ecuațiilor de forma x n = a (a > 0). Vom discuta aceste numere mai detaliat în cap. 2. Desigur, cu ajutorul rădăcini pătrate a reuşit să investigheze problema rezolvării ecuaţiilor pătratice. Metoda lui Al-Khwarizmi de a afla rădăcina pozitivă a ecuației pătratice l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Ecuația cubică a fost rezolvată folosind radicali de către matematicienii italieni în secolul al XVI-lea. Rezolvarea ecuației cubice x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 notație algebrică rădăcini complexe ale unei ecuații pătratice imagine geometrică a rădăcinilor ecuației x 3 \u003d 1 Este remarcabil că, în cazul în care ecuația are trei rădăcini reale, va exista un număr negativ sub radicalul pătrat și rădăcină adevărată scris ca suma numerelor complexe conjugate. Deci, în secolul al XVI-lea. matematicienii au ajuns la necesitatea introducerii numerelor „imaginare”. Italienii au redus rapid ecuația gradului al patrulea la metoda cubica soluția sa propusă de L. Ferrari a fost publicată de D. Cardano în 1545 în celebra sa carte Ars Magna. 21
23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () Formula lui Cardano pentru găsirea rădăcinilor ecuației x 3 + px + q = 0: A fost nevoie de aproape trei sute de ani pentru următorul pas, când matematicianul norvegian N. Henrik Abel (în paralel cu italianul P. Ruffini) a demonstrat că nu există formula generala pentru a rezolva ecuația gradului al cincilea. O descriere completă a ecuațiilor ale căror rădăcini pot fi exprimate în termeni de coeficienți folosind operații aritmetice și extragerea rădăcinilor a fost dată aproximativ în același timp de remarcabilul matematician francez E. Galois. A trăit doar 21 de ani și a murit într-un duel în 1832, dar cu numele său este asociată nașterea algebrei moderne. Lucrările profunde ale lui Galois au fost înțelese abia spre sfârșitul secolului al XIX-lea. Deci, am trasat pe scurt o linie de găsire a rădăcinilor polinomului, expresia rădăcinilor ecuației prin coeficienții săi folosind operații aritmetice. O altă linie este conectată într-o măsură mai mare cu analiza matematică. Întrebarea dispariției unei funcții definite de un polinom este o întrebare tipică în teoria funcțiilor. Faptul că numerele reale nu sunt suficiente pentru a descrie rădăcinile unui polinom a devenit clar chiar și după munca italienilor din secolul al XVI-lea. Întrebarea firească dacă există suficiente numere complexe pentru a găsi rădăcina oricărui polinom, dacă este necesară adăugarea unor numere noi la numerele complexe, a fost rezolvată de matematicianul german K.F. Gauss și publicată la sfârșitul secolului al XVIII-lea. El a demonstrat că orice ecuație (chiar și cu coeficienți complexi) are o rădăcină complexă. Axiome Modul constructiv pe care l-am descris pentru a răspunde la întrebarea: „Ce este un număr?” nu este singurul. În loc să răspundă la această întrebare, matematica modernă își propune să formuleze mai precis ce sunt
24 de proprietăți ale numerelor, ce operații pot fi efectuate cu ele. Sistemele de numere diferite au proprietăți diferite ale acestor operații. Cel mai bogat sistem este câmpul. Un sistem numeric formează un câmp dacă ambele operații (adunare și înmulțire) permit efectuarea operațiilor inverse (scăderea și împărțirea). Orice sistem numeric care are două operații pentru care sunt valabile nouă axiome se numește câmp. Mulțimile Q de numere raționale, R de numere reale sunt câmpuri. Mulțimile de numere naturale N, întregi Z, numere pozitive R* nu sunt câmpuri. Axiomele de câmp nu descriu pe deplin toate proprietățile numerelor reale de care avem nevoie. Ei vorbesc doar despre operatii aritmetice deasupra lor. Există, de asemenea, un grup extins de proprietăți asociate conceptelor de inegalitate și distanța dintre numere. Vom reveni asupra acestor proprietăți atunci când studiem principiile analizei matematice (vezi cap. 9). Pe lângă câmpurile „standard” Q și R, există multe alte câmpuri. Deosebit de importante printre ele sunt așa-numitele câmpuri finite, i.e. sisteme formate dintr-un număr finit de elemente şi fiind în acelaşi timp câmpuri. Dacă luăm un număr prim arbitrar p și luăm în considerare resturile după împărțirea unui alt întreg arbitrar la p (va fi exact p: 0, 1, 2, ..., p - 1), atunci putem defini adunarea și înmulțirea resturilor. într-un mod atât de firesc încât vor forma un câmp. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați operațiunile obișnuite asupra resturilor ca pe numere întregi și să înlocuiți numărul rezultat cu restul împărțirii cu p (se spune: calculați modulo p). De exemplu, peste resturile de împărțire cu 5, puteți efectua toate operațiile: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, adică -3 = 2 și -2 = 3 și așa mai departe. Axiome 1. Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, adică. sunt valabile următoarele identități: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc). 2. Adunarea și înmulțirea au elemente neutre (zero pentru adunare și unu pentru înmulțire): 5) a + 0 = a; 6) 1 a = a. 3. Operaţiile inverse sunt fezabile: 7) pentru fiecare număr a, există număr opus(-si acelea. a + + (-a) = 0; 8) pentru fiecare număr a Ф 0 există un număr invers a -1, adică. a-a" 1 = Legea distributivă: 9) a(b + c) = ab + ac.
25 n n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 număr natural; ci un număr arbitrar. Apoi, un „produs al n factori, fiecare dintre care este egal cu a: a 2 \u003d a-a pătrat al numărului a; a 3 \u003d a-a-a cub al numărului a. p 2” Numerele naturale sunt determinate secvenţial, pornind de la unu (N \u003d 1, 2, 3...). Dacă cunoaștem un număr n, atunci următorul număr va fi n + 1. În același mod, putem determina secvenţial gradele cu indicator natural: credem că a 1 = a; cunoscând a", punem a n + 1 = a p a. 2. Generalizarea conceptului de grad la exponenți întregi arbitrari. Pentru orice număr a * 0, definim a p = a p unde p este un număr natural. Adăugați definiția lui a. grad cu un exponent: a 0 = a"" = 1, a * O. a" zero 24
26 3. Proprietăţi ale gradelor cu goluri întregi: înmulţire: a t a n = a m + n; împărțire: a t: a n = a t ~ n; exponentiație: (a n) n = a mp. 4. Progresie geometrică. O progresie geometrică este o succesiune dată de primul termen a1 și relația de recurență an+1 = an q, care ne permite să calculăm oricare dintre termenii săi, cunoscându-l pe cel anterior. Numărul constant q se numește numitorul progresiei. Formula generală a termenului: ap \u003d ax q p ~ 1. Suma n membri: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1). q-1 5. Dependențe și funcții de putere. Alegând orice număr întreg m, se poate construi o funcție de putere y = kx m definită pentru tot x dacă m este un număr natural și pentru tot x, cu excepția zero, dacă m< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х funcţie pătratică y \u003d X 2 Funcție cubică (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. Când sunt exponențiați, exponenții sunt înmulțiți, când puterile sunt înmulțite, se adună 2. Aranjați gradele în ordine crescătoare:
27 rat / un fupptspp la lp reducem toate gradele la o singură bază: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. Deoarece numărul 2 > 1 și 2 * > 0 pentru orice număr întreg k, atunci 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k pentru orice întreg k. Prin urmare, aranjam exponenții în ordine crescătoare: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. Determinați primul termen din formulă -unu]. x Graficul arată că funcția y scade pe intervalul specificat. Prin urmare, se ia cea mai mare valoare a lui M la capătul din stânga 1_ 1 al intervalului: M = -2 ~ 2 5. Determinați valoarea contribuției. Banca acumulează x% anual din depozit. La sfârșitul anului, la depozit se adaugă dobândă. Care va fi contribuția peste n ani? Să notăm contribuția inițială prin A. La sfârșitul anului va deveni egală cu A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ astfel, contribuția într-un an se obține prin înmulțirea cu numărul ^ = 1 x Jqq „Progresia geometrică A , Aq, Aq 2,... oferă succesiunea contribuțiilor pentru fiecare an.26
28 formula pentru contribuția An după n ani Lp =.A^l + j se numește formula dobânzii compuse. Formula dobânzii compuse А =А Întrebări și exerciții 1. Calculați: 1) 2 10 ; 3) "2,3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0,1) "6 - (4-3) - 2. Simplificați: 5 "IttI: 3. Care dintre numere este mai mare: 1) sau Z 20; 2) a 3) Z99 3 sau () 3; 2) sau; 4. Găsiți x din ecuația: 4) 9 "2 sau) 2 x \u003d 2) 10 2d: " 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) Primul termen al progresiei geometrice (a) este egal cu 1, iar numitorul q \u003d 1.1. La ce n cel mai mic termenul an va deveni mai mult de doi? 6. Determinați din grafic pentru care x valorile funcției y \u003d 2x 2 sunt mai mari sau egale cu valorile \u200b\u200ale funcției y \u003d X s. 7. Care este setul de valori \u200b\u200dintre funcțiile y \u003d x k pentru k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. Aflați cel mai mic și cea mai mare valoare funcțiile y \u003d x ~ 2 pe intervalul [-3; -2]. _8_ 27 „Lecția 2 Rădăcină gradul al n-lea Ce este o rădăcină gradul al n-lea si care sunt proprietatile ei? 1. Definiție. Fie n > 1 un număr natural; ci un număr arbitrar. O a n-a rădăcină a lui a este un număr b astfel încât b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a pentru a\u003e 0 \/a "\u003d y / a pentru a\ u003e 0 27
29 p sfn 2 1,41 3 1,24 6 2,45 7 2,65 8 2,16 Muchia cubului /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv Diagonală pătrată De exemplu, numărul 3 este rădăcina gradului al 4-lea din numărul 81, deoarece Z 4 \u003d 81. Numărul -3 este, de asemenea, a patra rădăcină a numărului 81, deoarece (-3) 4 este și 81. În limbajul ecuațiilor, putem spune că rădăcina a n-a a ecuației din numărul a este rădăcină x n = a. 2. Existenta. Pentru a > 0, pentru orice număr natural n > 1, există un unic rădăcină pozitivă gradul al n-lea din numărul a. Se notează prin semnul radical: pentru a > 0, y/a este un număr b astfel încât b > 0 și b n = a. Notația \[a se extinde la a = 0: \/0 = 0 și la a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, număr natural) are următorul număr de rădăcini: 1) n este par: nu există rădăcini pentru a< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n este impar: o rădăcină l/a pentru orice a. 4. Proprietăţile radicalilor: 1) = a, b > 0; Diagonala cubului 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^a. De ce sunt introduse rădăcinile a n-a grade? Găsirea a n-a rădăcină sau, după cum se spune în mod tradițional, extragerea rădăcinii gradul n-vi Aceasta este operația inversă de ridicare a unui număr pozitiv la o putere:
30 a p = b<=>a = "
31 Simplificați următoarele expresii care conțin radicali:. Vl-2^3+^9. Sub rădăcina pătrată se află pătrat plin I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. La extragerea rădăcinii pătrate a lui a 2, am luat în considerare semnul lui a: 1_z / z<0=>^/3-1>0. Astfel: l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. iar IVUTUpUi "U pauii" * "" știm că un astfel de număr este unic. Să verificăm dacă numărul y[a îndeplinește aceste condiții. Este pozitiv (ca produs a două numere pozitive) și gradul al n-lea este egal cu ab: (Va Ф)У = (Ta)" (Tfc)" = a b. Cum se rezolvă problemele folosind rădăcini? Având în vedere: succesiunea de frecvențe ale sunetelor formează o progresie geometrică; ag = a; a10 = 2a. Găsiți: q. Rezolvare: deoarece a10 \u003d axq 9, atunci q satisface ecuația 2a \u003d a q g, adică q g \u003d 2 și \u003d V (= 1/3-1; 1 "Înmulțim numărătorul și numitorul cu pătratul incomplet al suma numerelor și 1 (n/2 + 1) și obținem numere sub semnul radicalului, după puteri numere primeşi folosiţi) \J ^/2-l/z 5 ^ Întrebări şi exerciţii 1. Care dintre următoarele numere sunt raţionale: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) + ; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Egalitățile sunt întotdeauna adevărate 1) =а 3 ; 2) =a 4? 3. Calculaţi: 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-Vl25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. treizeci
32 1),/0,999 sau 0,999; 3) 3/10000 sau 21; 2) ^2009 sau 2^2008; 1 + V2 4) ^ + sau 2^2-3? 5. Simplificați expresia: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 „3) 1-4/2” 4) V2 + V3 + V5 „Lecția 3 Grade Ce se înțelege prin grad cu un exponent arbitrar? 1. Grade a x pentru diferite atribuiri ale numărului x. Fie un număr pozitiv a. Cum se ridică la puterea lui x? Răspunsul depinde de modul în care este dat numărul x: 1) x este un număr întreg. Cum se determină gradul cu un exponent întreg arbitrar, am repetat mai devreme, 2) x este un număr rațional, scris în k ca x-, pral. unde u k este un număr întreg, n este prin definiție a n = \a k. , dat de o succesiune de aproximări raționale x0, x1, x2,..., xn, ... Numerele xt sunt raţionale.Se pot scrie k ca fracţii ordinare x, =.Atunci numerele h devin determinate unic.]Ji=a Xi =a Sirul y0, yi..., yk1 este o succesiune de aproximări la un anumit număr y, care este luat drept puterea ax. diplomele tale. Proprietățile gradelor cu exponenți întregi sunt transferate în grade cu orice exponenți: Referință istorică Indicatorii fracționali pozitivi au fost primii utilizați de omul de știință francez N. Orem (). Zero și numere întregi indicatori negativi a apărut peste 100 de ani mai târziu și, de asemenea, în Franța (N. Shuke). Grafice ale funcțiilor de putere cu exponenți fracționali pozitivi Exemplu Pentru a calcula gradul de 2 n, reprezentăm numărul ts ca o fracție zecimală infinită l \u003d 3, Scriem o succesiune de aproximări zecimale la numărul l sub forma XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000 etc. "31
33 Apoi luați în considerare numerele 2 x „= 8, 2*i = 8,574, 2*2= 10^2 iit = 8,815 etc. Această succesiune definește un număr y, care este puterea numărului 2”. Primele zecimale ale numărului 2 "sunt următoarele: 2" \u003d 8, Proprietățile grade (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a in b 3! l U 3 J g "b 12 Exemplele când se ridică la gradul exponenților sunt înmulțite; Z 2 Z 3 \u003d \u003d Z 5 atunci când sunt înmulțite, exponenții sunt adăugați. Într-adevăr, dacă r \u003d \u003d \u003d, TO Ajrtg \u003d "2 P 1-" 2 Pe de o parte, și r \u003d un "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32
34 2) dacă schimbăm succesiunea de aproximări raționale la același număr, se vor apropia șirul de puteri corespunzătoare de același număr? 3. Proprietățile gradelor cu exponenți raționali sunt dovedite pe baza proprietăților radicalilor și apoi transferate la exponenți arbitrari. Cum sunt utilizate gradele cu un indicator arbitrar în rezolvarea problemelor? 1. Calculul gradelor prin rădăcini: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. Reducerea la o singură bază: 1 z scriem numerele 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I ca puteri ale numărului 3 cu un exponent rațional: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (З 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = h! 3. Transformarea expresiilor 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. Soluția celor mai simple ecuații: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1) ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. Inegalitatea lui Bernoulli Când comparăm puteri, de multe ori trebuie să folosim inegalități diferite. inegalitate utilă(un caz special al celebrei inegalități Bernoulli): fie x > 0, n > 1, apoi (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. Rămâne de verificat inegalitatea pentru n = 2. De fapt, inegalitatea Bernoulli este adevărată nu numai pentru x > 0, ci și pentru -1< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r și a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8 "r - 1) și s-r
35 Întrebări și exerciții 1. Notați ca grad cu indicator rațional: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; în"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>I); j) brad. 3. Faceți următoarele: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. Aranjați numerele în ordine crescătoare: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 h; s L 5 5) Tsa 2) s J ; 6) "1" 93 2) I z I ; s; 9 Z; 34; 3) 2 4 ; ; (-3) 4 ; ; J1 4) Z 3 ; (-2) 3 ; 2 e. 5. Demonstrați inegalitate:)< ;) 33 >4^ >55; 4) >1. 6. Rezolvați ecuațiile trasând funcțiile de putere (sau combinațiile acestora) în stânga și părțile potrivite: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 m 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2
36 Lecția 4 Logaritmi Ce este un logaritm? 1. Definiție. Logaritmul unui număr c la baza a este un număr b astfel încât a b = c, adică. exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține c: b = logac. Baza și numărul de sub semnul logaritmului trebuie să fie pozitive. În plus, se presupune că a Ф 1. Dacă baza a \u003d 10, atunci un astfel de logaritm al numărului c se numește zecimal și se notează lgc, adică. lgc = log10c. 2. Proprietăţile logaritmilor. Proprietățile gradelor și ale logaritmilor sunt interconectate: Context istoric Primele tabele de logaritmi au fost construite de fapt de matematicianul german M. Stiefel (). Matematicianul scoțian J. Napier în lucrarea sa „Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi” (1614) a subliniat proprietățile logaritmilor, regulile de utilizare a tabelului și a dat exemple de calcule. De atunci, pentru o lungă perioadă de timp, logaritmii au fost numiți „non-Peer”. Proprietățile puterilor jurnalul de logaritmi(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga cu n 3. Identitate logaritmică de bază. Egalitățile a b = c și b = logac exprimă aceeași relație între numerele a, b și c. Substituind în egalitatea a b = c reprezentarea numărului b sub forma unui logaritm, obținem identitatea logaritmică principală: a log c = c. Substituind reprezentarea puterii lui c în egalitatea b = logac, obținem încă o identitate: logaa ft = b. 4. Tranziția la o nouă bază. Logaritmul numerelor este proporțional unul cu celălalt din diverse motive: J. Napier () Indiferent de J. Napier, matematicianul, astronomul și ceasornicarul elvețian I. Burgi (), care a lucrat cu marele I. Kepler, a publicat în 1620 similar , deși mai puțin perfecte, tabele logaritmice. Identitatea logaritmică de bază logax = fclogbx. alog C _c
37 Aplicații ale logaritmilor 1. Zborul unei rachete cu masă variabilă. Formula lui Tsiolkovsky raportează viteza rachetei și masa sa m: v = kvx\g, m unde v1 este viteza gazelor care ies; m0 masa de lansare a rachetei; coeficientul k. Viteza de ieșire a gazului Wj în timpul arderii combustibilului este mică (în prezent este mai mică sau egală cu 2 km/s). Logaritmul crește foarte lent și, pentru a atinge viteza spațială, este necesar să măriți raportul, adică dați aproape toată masa de pornire pentru combustibil. 2. Izolarea fonică a pereților. Coeficientul de izolare fonică a pereților se măsoară prin următoarea formulă: unde p0 este presiunea acustică înainte de absorbție; p este presiunea sunetului care trece prin perete; Și unele constante, care în calcule sunt luate egale cu 20 dB. Dacă coeficientul de izolare fonică D a este de 20 dB, atunci lg ^ - \u003d 1 și P p0 \u003d Yur, adică peretele reduce presiunea acustică de 10 ori (o ușă din lemn are o astfel de izolare fonică). Р Aplicarea proprietăților logaritmilor 1. Calculul logaritmilor. log2256 = log22 8 = 8; lg0,001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Coeficientul de proporționalitate k se calculează astfel: k = log, a sau k = logab. Se numește modulul de conversie dintr-o bază a logaritm la altul.În special, logax = log!-, rx deoarece loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C De ce sunt necesari logaritmi?viața astronomilor. Într-adevăr, primul scop de logaritmi a fost de a simplifica calcule complexe, în care înmulțirea folosind logaritmi era înlocuită cu adunarea.Până de curând, fiecare inginer purta în buzunar o regulă de calcul, cu ajutorul căreia puteai efectua diverse calcule care se fac acum pe calculator.Cu ajutorul lui logaritmi este posibil să se rezolve probleme inverse exponențiației: dacă a x = b, atunci necunoscutul x poate fi scris ca logab.În acest caz, nu posibilitatea de a scrie în sine este importantă, ci faptul că, prin schimbând b, adică considerând x = loga & în funcție de bj descoperim un nou ha dependenta functionala. Funcțiile logaritmice au completat semnificativ stocul de dependențe disponibile relativ studiu simplu. De ce au logaritmii proprietăți atât de convenabile? 1. Dovada regulilor pentru logaritmi. Toate regulile de logaritm sunt dovedite folosind proprietățile puterii. Să demonstrăm, de exemplu, regula pentru logaritmul unui produs: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor. 36
38 Indicați logac! = bly logac2 = b2. Conform identității logaritmice principale, avem Y \u003d cx, a h \u003d c2- Înmulțiți aceste egalități: abiabz \u003d CiC2\u003e Conform proprietății gradelor a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, adică Clc2 \u003d a bl + b2. Prin definiția logaritmului bz + + b2 = loga(cic2), atunci l0ga(c!c2) = logac! + logac2, ceea ce am vrut să demonstrăm.de unde loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta Această formulă este adesea citită după cum urmează: logaritmul unui număr la noua bază este logaritmul numărului la vechea bază împărțit la logaritmul noii baze la vechea bază. Factorul de proporționalitate poate fi scris ca k = log ab deoarece logai > logba = 1 (se pune x = b in formula) 2. Logaritmul 2 f Dat: A = (looa 3 &j. Aflati: lga. Solutie. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. Potențiare (găsirea expresiei prin logaritmul său) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 = log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Trecerea la o singură bază. Dat: A = logj a - log^a og8a. 4 Mergeți la baza 2. Soluție. Rețineți că log22* = k, acest lucru vă va ajuta să găsiți verbal modulul de tranziție. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ Întrebări și exerciții 1. Calculați: 1) log a, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3; 1 a f? expresie datăîn baza a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab
39 3. Aflați expresia A prin logaritm: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - În cos L; (In este logaritmul cu baza e (e "2.71828), numit logaritm natural); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Stabiliți care dintre numere este mai mare: 5) log34 sau 1; 1) log32 sau 0; 2) log j 3 sau 0; 6) log! sau 1; n 8 9) log! 7 sau log, 10; 10) log, SAU log!. Z 5 Z 7 3) log-sau 7) log23 sau log25; 4) logx sau 0; 8) log27 sau l g2-; 5. Înlocuiți jurnalul de logaritmi, a, log8a, log! a, log2a, log3a în logaritmii de bază Găsiți: 1) logg9 dacă logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915 dacă log 25 = a; Lecția 5 Funcții exponențiale și logaritmice Șapte operații aritmetice Adunare Înmulțire Exponențiere a + b = c Scădere Împărțire Extragerea rădăcinii Logaritm c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logaritm = b Ce puteri și logaritmi noi dau pentru studiul funcțiilor? 1. O dependență trei funcții. Să considerăm trei variabile x, y și z, legate prin dependența z x = y. Să fixăm valoarea variabilei r = a cerând ca condițiile a > 0 și Φ 1 să fie îndeplinite.Putem scrie relația dintre celelalte două variabile ca y = ax. Schimbând arbitrar x, obținem o funcție exponențială sau exponențială. Să exprimăm variabila x în funcție de y din aceeași relație y = ax: x = logay. Schimbând y ca argument, obținem o funcție logaritmică. Dacă în același raport r x = y fixăm indicele x = k, atunci obținem funcția de putere deja familiară y = z k. Mai mult software
40 va obține o funcție de putere, 1 z prin y \ z = y k. Desigur, în toate aceste tranziții, trebuie respectate restricțiile care sunt impuse variabilelor. Am făcut deja acest lucru pentru funcția exponențială y = a x, presupunând că a > 0 și Φ 1. Pentru funcția logaritmică x = logay, trebuie să cerem suplimentar ca y să fie pozitiv, deoarece a x > 0 și să determinăm x din relația a x = y este necesară pentru ca y să fie mai mare decât 0. Gândiți-vă singur ce restricții trebuie să impuneți variabilelor pentru a lua în considerare funcțiile de putere. 2. Proprietăți și graficul funcției exponențiale y \u003d a x: domeniu de definiție: mulțimea tuturor numerelor reale R; monotonitate: pentru a > 1, funcția y \u003d a x crește, pentru 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; intervale de semn constant: - pentru a> 1 y = 0 pentru x = 1; la< 0 при 0 < х < 1; у >0 pentru x > 1; - la 0< а < 1 у < 0 при х >unu; y > 0 la 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 crește pe întregul domeniu de definiție, la 0< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2
41 Dezintegrarea radioactivă Creșterea populației Formula barometrică Tabelul logaritmilor a log2a log a 2 1 0,47712 la 1,01030 (Găsiți relații între numerele din acest tabel!) lecția anterioară). dezintegrare radioactivă. Modificarea masei substantei radioactive are loc dupa formula m(t) = m0-2~ s, unde m0 este masa substantei in momentul initial t = 0; t este masa materiei la momentul t; k este o constantă (timp de înjumătățire). Creșterea populației. Schimbarea populației din țară într-o perioadă scurtă de timp este descrisă cu bună acuratețe prin formula N = N02 at, unde N0 este numărul de oameni la t = 0; N este numărul de persoane la momentul t; dar unele constante. O formulă similară este utilizată pentru a calcula modificarea numărului de indivizi din populațiile de animale în anumite condiții (de exemplu, când există suficientă hrană și nu există inamici externi). formula barometrică. Presiunea aerului scade cu înălțimea (la temperatură constantă) conform legii p = p0e n, unde p0 este presiunea la nivelul mării (h = 0); p presiune la înălțimea h; H este o constantă în funcție de temperatură. La o temperatură de 20 CJ - 7,7 km. 2. Rolul fundației a. Este necesar să se ia în considerare funcțiile exponențiale și logaritmice cu baze diferite ale lui a? De fapt, ar fi suficient să ne limităm la o singură bază, de exemplu, luând a = 10. Într-adevăr, a* = 10**, unde k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga. Conform formulei pentru tranziția la o altă bază, obținem loga * = k \ gx, unde k \u003d!. lga Prin urmare, în loc de funcții de forma y \u003d a x, avem pot lua în considerare funcții cu aceeași bază, dar cu un coeficient la valoarea argumentului: y = 10** În mod similar, pentru funcțiile logaritmice, 40
42 Considerăm funcții cu bază fixă, dar cu coeficient la valoarea funcției: y = k\gx. Unele baze a joacă un rol special: a \u003d 10 (logaritm zecimal). Deoarece scriem numere în notația zecimală, scrierea unui număr sub forma A \u003d Yu "unitatea ajută la înțelegerea ordinii numărului A. Rețineți că pentru un număr natural A, numărul + 1 arată numărul de cifre din notația zecimală a numărului A ([a] denotă partea întreagă a numărului a); a \u003d 2 (logaritm binar. În informatică, se folosește sistemul de numere binar; a \u003d e (logaritm natural). Acest număr este numit după L. Euler, este irațional și aproximativ egal cu 2.7.De ce sunt enumerate proprietățile exponențiale și 1. Monotonitatea funcției exponențiale Luați baza a > 1. Demonstrăm că xx< х2 =>a* 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 pentru x > 0 (gândiți-vă de ce). Apoi, efectuați transformarea: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). Ambii factori din acest produs sunt pozitivi, deci a* 2 > a* 1. Înlocuind a cu, obținem dovada lui a că y = a x la 0< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. Să demonstrăm că 0< < х2 =>logax!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 pentru x > 1 (gândiți-vă de ce). Să efectuăm transformarea: loga x2 - loga xr = => 0, deoarece 0< хг < х2 =>> Înlocuiți a cu, apoi 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41
43 de grafice ale funcțiilor y \u003d a "și y \u003d logax și definiții. 3. Simetria graficelor funcțiilor y \u003d a x și y \u003d loga; t. Graficele acestor funcții sunt simetrice între ele în raport cu linie dreaptă y \u003d x. Să luăm un punct P(c; d) pe graficul funcției y \u003d a x. Prin condiția d = a. Atunci c = logad și punctul Q(d; c) se află pe graficul funcției y = \ogax. Punctele PhQ sunt simetrice între ele în raport cu dreapta y = x. Cum sunt utilizate proprietățile funcțiilor exponențiale și logaritmice în rezolvarea problemelor? Comparația valorilor expresiilor numerice a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, a< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. Funcția crește pe toată axa reală, deci pentru orice numere xx și x2 astfel încât xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Am folosit monotonitatea functie de putere y \u003d x 4 pentru x\u003e 0: pentru orice 0< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. Prin urmare 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). Raspuns: x< 0 и х >4 sau x e (-oo; 0) și u (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). Acum este necesar să se îndeplinească simultan două inegalități (x > 0; s i.e. D: x > 4. x-4> 0, 42
44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. Găsirea intervalului (OZ) al unei funcții dată pe interval: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x. 2 Funcția y - 2 x crește de-a lungul întregii axe numerice 2. Cea mai mică valoare a intervalului este atinsă la capătul din stânga, adică la x = 0 (cu y = -), cea mai mare valoare la capătul din dreapta 2 x = 2 => y \u003d 2. Când x se schimbă de la 0 la 2, valorile funcției y umplu golul de la la 2. 2 Răspuns:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0 şi F1; a > 1, x1< х2 =>a*i< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a>1,0<х1<х2=>=> jurnal*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo «a* = x log X log x logs a logax = log X a ^ Întrebări şi exerciţii 1. Indicaţi care dintre următoarele funcţii exponenţiale cresc şi care descresc pe axa numărului întreg: 1) g/ = 5*; 3) j, = fjj ; 5) y = 2 x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. Construiți grafice ale următoarelor funcții: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3 *; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2* -1; 6) r/ = 4 x Aflați cele mai mici și cele mai mari valori ale funcțiilor date pe interval: 1) y = 2 X + 2, [-1; unu]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43
45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x 2);/ = log2(l - x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Aflați intervalele de funcții definite pe interval: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1), ; 4) y = log x + log2jc, . Lecția 6 Demonstrație și ecuații logaritmiceși inegalități Exemple 1. Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg Rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d Rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale:. 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" g 2<=>x > lg Rezolvarea celor mai simple inegalități logaritmice: log2x > -1; x>1. Si ODZ: x > 0; unu< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >unu; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; douăzeci< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. Ce este util de reținut când rezolvăm ecuații și inegalități care conțin funcții exponențiale și logaritmice? 1. Rezolvarea celei mai simple ecuații exponențiale: (a > 0, a # 1) și x = a k<=>x = k comparăm puteri cu aceeași bază. (a > 0, a Ф 1, b > 0) și x = b<=>x = logaf. 2. Rezolvarea celei mai simple ecuații logaritmice: (a > 0, a Ф 1), logax = logafe<=>x = k; logax = b<=>x = a b. 3. Rezolvarea celor mai simple inegalitatea exponenţială: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >un k<=>X< k; (а >1, b > 0), în timp ce x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0) și x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >b<=>x este orice număr. 4. Rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice: (a > 1, k > 0), logax > logafe
46 (a > 1), logax< Ь <=>O< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 Răspuns: (-4; -3) și (0; 1). Rezolvarea grafică a inegalităților exponențiale Indicatorul este o funcție a x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 o x = 1 - log25. În loc să scrieți 5 \u003d 2 1o6a5, puteți logaritm ambele părți ale ecuației în baza 2: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. Termenii diferă de 5 x numai prin factori constanți : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1,2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 fără soluții => x \u003d 1. -0,37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0,37 45
47 inegalități logaritmice \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. Acum tranziția nu păstrează echivalența rădăcinii ecuație liniară 2 - x = = 5-2x nu se încadrează în ODZ a ecuației inițiale. La x \u003d 3, valorile funcțiilor sub semnul logaritmului sunt într-adevăr egale: 2-3 \u003d \u003d -1, dar negative => nu există rădăcini. 7 jurnal! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 Să trecem la baza 2: O ecuație de forma 2 nx) \u003d 2 este echivalentă cu ecuația f (x) \u003d a. În general, ecuația a 2x + pa x + q \u003d O este redusă la o ecuație pătratică y 2 + py + q \u003d O prin schimbarea variabilei a x \u003d y. La „potenciarea” ecuației, i.e. la trecerea de la ecuație la ecuație, log2/(x) = o fix) = 2", nu este nevoie să vă faceți griji cu privire la ODZ, adică nu este nevoie să verificați condiția f(x) > 0, deoarece pentru orice x care satisface ecuația fix) = 2", valoarea lui f(x) egală cu 2", este pozitivă. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Rescrieți ecuația: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. Tranzițiile la cele mai simple inegalități se realizează în mod similar cu x<-<^2 2х <2" 2 <^>al 2-lea<-2<^ х>și log2(2 -x)<0=>al 2-lea<1=>w>1. Tranziția nu a fost egală. Trebuie să adăugăm condiția 2-x>0<=>X<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>( 2-x<1, х>1. Răspuns: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46
48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x -5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2 "x 17 20) 2x -2 x Rezolvați inegalitățile: 1 1) 2 x< 16; 3) >unu; 2 5) 4 x1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; patru)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > Rezolvați ecuațiile: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l - 3x) = 3; 4) log4(2 - x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; h 4. Rezolvați inegalitățile: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); 9) log3(x - 5) = log3(2 - x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. CONVERSAȚIA Calcularea puterilor și a logaritmilor Context Acum că fiecare persoană se poate înarma cu ușurință cu un calculator sau cu un instrument de calcul mai puternic, este greu de imaginat cât de multe probleme i-au cauzat calculele unei persoane în trecut. Invenția logaritmilor a fost un pas uriaș spre rezolvare sarcini practice asociate cu calculul. Abilitatea de a folosi logaritmi pentru a reduce înmulțirea la adunare și construcția lui 47
49 la puterea înmulțirii, a fost necesar să se întocmească subtabele de logaritmi, care există încă de la începutul secolului al XVII-lea. Până de curând, bibliotecile aveau volume groase de tabele în care erau date valorile logaritmilor cu multe zecimale, un „Tabel de logaritmi cu patru cifre” separat a fost inclus în setul obligatoriu de manuale școlare și fiecare inginer transporta o regulă de calcul în buzunar, cu care fiecare școlar trebuia să poată lucra... Ușurința emergentă în efectuarea calculelor în sine a exacerbat o altă problemă: dacă o persoană înțelege că vrea să calculeze, cum să seteze o sarcină de calcul pentru un computer sau alt dispozitiv tehnic, cum să traducă această sarcină într-un limbaj pe care acest dispozitiv poate fi înțeles. Când calculezi grade, trebuie să înveți să vezi în spatele diferitelor nume și denumiri ale acestora bun simț, simți legătura dintre ele, câștigă experiență și încredere că vei reuși mereu (poate cu ajutorul cărților și al profesorilor) să-ți dai seama de formule complicate și greoaie. Logaritmii (în ciuda complexității notării lor) sunt adaptați cu precizie pentru a lega împreună diverse probleme asociate puterilor. În problemele de calcul, există puteri de numere diferite în. (2.1) diferite combinații, de exemplu, atunci când se calculează expresia A \u003d 3, este necesar să se ridice diferite numere la o putere, să se înmulțească și să se împartă puterile. De ce atâtea grade? Este posibil să te descurci cu gradele unui singur fond de ten? Da, cu siguranță poți. Pentru a calcula expresia A folosind un calculator care poate 10 5 *i - K) 10 * 2 calcula 10*, toate numerele trebuie reduse la puterea lui 10: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ unde ^ k 2n k3 logaritmii numerelor 2,1; 7 și 3 în baza 10. Un cititor atent poate observa în plus că 3 7 2.1 = și face simplificări: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, scăpând de logaritmul numărului 2.1. Reguli de calcul al puterilor Prima regulă. Alegeți o bază convenabilă, de exemplu, a și reduceți orice putere la baza a, adică. reprezentați orice putere a lui c* sub forma a kx pentru unele k. Acest coeficient k este logaritmul: c \u003d a log e, prin urmare, notând logac cu k, obținem: c x \u003d (a "" g " c f \u003d \u003d a kx. Această regulă vă permite să utilizați o singură bază În unele probleme este convenabil să luați a = 10 ( logaritmi zecimali), în altele (în special problemele discrete) a = 2, în altele, baza universală e, ceea ce este convenabil în cazurile în care trebuie să estimați rata de creștere ( logaritmi naturali).
50 A doua regulă. Când luați logaritmi, puteți alege și o bază convenabilă și puteți reduce toți logaritmii la această bază. Există o formulă specială pentru aceasta, care a fost derivată mai devreme. În unele probleme este convenabil să se ducă logaritmii la baza 10 (logaritmi zecimali), în alte probleme logaritmii naturali vor fi folositori, în a treia probleme (discrete) le folosesc adesea. logaritmi binari logaritmi de bază 2. Astfel, este important să ne amintim că matematica a creat un aparat pentru simplificarea muncii cu puteri, care vă permite să conectați expresii și funcții reprezentate diferit.
51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50
52 linia și planul nu au puncte comune: linia este paralelă cu planul. 4. Aranjarea a două drepte: două drepte se află în același plan. Apoi există două posibilități: fie se intersectează, adică au un punct comun, fie sunt paralele, adică au un singur punct comun. nu au puncte comune (și nu uitați că în acest caz liniile se află în același plan); nu stați în același plan. Astfel de linii se numesc intersectare. Desigur, liniile oblice nu au puncte comune, altfel s-ar afla în același plan. 5. Cum să aflați dacă două drepte se intersectează: găsiți planul în care se află una dintre aceste drepte, iar a doua intersectează acest plan, dar în același timp într-un punct care nu se află pe prima dreaptă; trebuie să știți că nu sunt paralele, ci pot fi amplasate în două plane paralele. De ce este corectă enumerarea poziției relative a dreptelor și a planurilor? Aceasta este o întrebare destul de dificilă. Din punct de vedere vizual, toate (sau aproape toate) cele de mai sus sunt evidente. Cu toate acestea, nu va fi posibil să dovedim toate faptele de mai sus; ele folosesc câteva concepte inițiale, inițiale, de punct, linie dreaptă, plan, spațiu și nu avem nimic pe care să ne bazăm, cu excepția reprezentărilor noastre vizuale și a intuiției. Încă din vremea lui Euclid, relația dintre conceptele primare a fost descrisă prin anumite convenții de axiome, din care pot fi obținute noi consecințe într-un mod logic. Desigur, s-au făcut prea multe acorduri inițiale ale axiomelor (și nu au fost formulate altele, necesare și pentru dovezi riguroase), numărul acestora ar putea fi redus. Să demonstrăm, de exemplu, primul criteriu pentru liniile oblice cu referire la afirmațiile anterioare. Dispunerea unei drepte și a unui plan a a Dispunerea a două drepte a p b = O «IIb 51 I
53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, conţinând dreapta şi având un singur punct comun P cu dreapta 12. Este necesar să se demonstreze că dreptele Zx şi 12 se intersectează, adică nu se intersectează. se află în același plan. Dacă dreptele și 12 se află într-un anumit plan (3), atunci linia li și punctul P, care nu se află pe această dreaptă, s-ar afla în acest plan.Aceleași obiecte se află în planul a. Deoarece există doar unul planul care contine dreapta si nu punctul care ii apartine, atunci planul p coincide cu planul a. Totusi, prin conditie, dreapta 12 nu se afla in planul a si are un singur punct comun cu acesta.Contraditia obtinuta se dovedeste teorema.fețele unui cub?Primul semn al dreptelor care se intersectează Dat: 12 e a, n a = P, P e 12 Demonstrați: 1x-12. Se consideră cubul ABCDA „B” C „D”.Drețele și planele care trec prin vârfuri , muchiile sau fețele cubului , vom indica folosind litere care denotă vârfuri. De exemplu, o linie dreaptă AB sau un plan AA "BB". Să fixăm o muchie, de exemplu, AA". 1) Ce muchii sunt paralele cu marginea AA"? Acestea sunt muchiile BB", SS", DD". 2) Ce muchii se află pe liniile care se intersectează cu linia AA"? Acestea sunt muchiile AD, AB, A"D" și A"B". 3) Ce muchii se află pe liniile care se intersectează cu dreapta AA "? Acestea sunt muchiile B "C", C "D", BC și CD. Pentru dovadă, puteți folosi semnul liniilor oblice. Deci, planul A „B” BA conține linia AA „ și se intersectează cu linia B „C”. Planuri similare pot fi găsite pentru celelalte trei margini. 4) Câte perechi de muchii paralele există? Pentru o margine, există trei margini paralele cu ea. Sunt 12 margini în total. Deci, sunt 52
54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC paralel cu secunda) va fi 3 12 = 36. Vor fi pur și simplu jumătate din câte perechi paralele, deoarece fiecare dintre ele este numărată de două ori (de exemplu, AA „BB”, BB „AA”). Răspuns: 18 perechi. 5) Câte perechi de muchii care se intersectează și câte perechi de muchii care se încrucișează există? Calculul se face în același mod: (4 12) : 2 = 24 și (4 12) : 2 = 24. Să verificăm dacă sunt luate în considerare toate perechile de muchii. În total, numărul de perechi este (1211):2 = 66. Pe de altă parte, = 66. Fiecare dintre cele 66 de perechi de margini a căzut într-un singur grup de perechi de paralele, care se intersectează sau se încrucișează. În mod similar, putem calcula că din (6-5) : 2 = 15 perechi de plane care conțin fețele cubului, există 3 perechi de paralele (perechi de fețe opuse) și 12 perechi de intersectări: (4-6) : 2. Par (linie dreaptă, plană) sunt 12-6 = 72 în total. Există 6-4 = 24 de astfel de perechi pentru care linia se află în plan. Există 6-4 = 24 de perechi pentru care linia este paralel cu planul și același număr de perechi pentru care linia intersectează planul. Răspuns: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD Întrebări și exerciții 1. Cum poate fi specificat un plan? 2. Cum pot fi localizate două avioane? 3. Cum pot fi localizate o dreaptă și un plan? 4. Cum pot fi localizate două linii ? 5. Cum afli dacă două drepte sunt înclinate? 6. Ce perechi de muchii ale unei piramide patrulatere se află pe linii oblice? 7. Dat un cub ABCDA"B"C"D". Numiți muchiile paralele cu muchia AA" . 8. Este dat cubul ABCDA"B"C"D". Enumeraţi muchiile care se află pe liniile care se intersectează cu dreapta AA". 9. Având în vedere cubul ABCDA"B"C"D". Enumeraţi muchiile care se află pe liniile care se intersectează cu dreapta AA". 53
55 în afara muchiei de atac MCJJCO otu irimush p intersectează planul BB"D"D de-a lungul unei linii drepte, care trebuie să fie paralelă cu MN (caracteristica 2). Punctul R se află pe această dreaptă de intersecție. Vom obține astfel această dreaptă trasând o dreaptă în planul BB „D” D prin punctul R, paralel cu diagonala B.D. Această linie intersectează muchiile BB" și DD" în unele puncte S și T. Pentagonul MSPTN este secțiunea necesară. Dacă luăm punctul P pe linia CC „puțin mai sus decât punctul C”, atunci obținem un hexagon în secțiune, una dintre laturile căruia va fi paralelă cu MN (caracteristica 3). Când această secțiune trece prin centrul cubului, obțineți un hexagon obișnuit. Verificați această afirmație și luați în considerare alte secțiuni ale cubului care trec prin linia MN. Întrebări și exerciții 1. Formulați un semn de paralelism al unei drepte și al unui plan. 2. Formulați un semn de paralelism a două plane. 3. Ce cifre se pot obține în secțiune prisma triunghiulara avion? 4. Ce figuri pot fi obținute într-o secțiune a unui cub de un plan? 5. Demonstrați că planele care trec prin punctele (A, D", B") și (C", B, D) ale cubului ABCDA"B"D"C" sunt paralele. 6. Ce muchii ale cubului ABCDA „B”D „C” se intersectează cu dreapta MN Lecția 3 Unghiuri dintre drepte și plane Unghiul dintre drepte Cum se definesc unghiurile dintre drepte și plane? unghiuri verticale). Pentru a seta unghiul dintre două linii drepte în spațiu, trebuie să alegeți un punct arbitrar și să trasați linii paralele cu datele prin acesta. Valorile unghiurilor plane construite nu vor depinde de alegerea punctului de plecare. 56
56 două drepte din spațiu care corespund unui unghi drept se numesc perpendiculare. 2. Linie dreaptă, perpendiculară pe plan. Acesta este numele dreptelor perpendiculare pe orice dreptă din acest plan. Folosind acest concept, se poate defini proiecția ortogonală a unui punct pe un plan. Proiecția pe planul a a unui punct P care nu se află în acest plan este un punct P" aparținând planului a astfel încât dreapta PP" este perpendiculară pe planul a. Proiecția unui punct situat în planul a este considerată a fi acest punct însuși. Dacă doriți să proiectați o anumită figură pe planul a, trebuie să proiectați toate punctele acestei figuri pe ea. 3. Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. Să proiectăm o linie dreaptă pe un plan. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci proiecția sa va fi de un punct. Dacă nu, atunci proiecția va fi o linie dreaptă. În acest caz, se spune că linia este înclinată față de plan. Unghiul dintre un plan înclinat și un plan este unghiul dintre o dreaptă și proiecția acesteia pe acel plan. 4. Unghiul dintre două plane. Pentru a măsura unghiul dintre planele care se intersectează, este necesar să selectați un punct pe linia de intersecție a acestor planuri și să trasați o linie dreaptă prin acesta în fiecare plan, perpendicular pe linia de intersecție. Unghiul dintre aceste drepte este considerat a fi unghiul dintre plane. Două plane sunt perpendiculare, unghiul dintre ele este drept. dacă De ce avem nevoie de conceptul de perpendicularitate în spațiu? Linia este perpendiculară pe planul m±n, m±a, mlb, m±c Proiecție ortogonală ^^ Unghiul dintre plane în Cu ajutorul perpendicularității se pot determina și calcula diferite distanțe în spațiu. 1. Distanța de la un punct la un plan se calculează ca lungimea perpendicularei coborâte din acest punct la plan (distanța de la punctul dat până la proiecția acestuia pe plan). 57
57 L a ± P Determinarea distanţelor ta 2. Distanţa dintre doi plane paralele se are în vedere lungimea segmentului perpendicularei comune pe aceste planuri, închis între aceste planuri. 3. Dacă o anumită cifră este dată pe plan, atunci distanța de la un punct arbitrar din spațiu până la această cifră este definită ca fiind cea mai mică dintre distanțele de la un punct dat la un punct arbitrar al acestei figuri. Proiectați acest punct pe un avion. Atunci punctul figurii cel mai apropiat de punctul dat va fi și cel mai apropiat de proiecția sa și invers, pentru a găsi punctul figurii cel mai apropiat de punctul dat, este suficient să găsiți punctul cel mai apropiat de proiecția sa. 4. Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan, definit ca unghiul dintre o dreaptă și proiecția ei, va fi cel mai mic dintre unghiurile pe care această dreaptă le formează cu drepte arbitrare ale planului. 5. Distanța dintre două drepte care se intersectează se calculează ca lungimea perpendicularei comune. a-b, ajua, h ± a, h ± b Cum să determinați și să calculați în mod rezonabil unghiurile dintre drepte și plane în spațiu? Pentru aceasta, este util să folosiți calculul vectorial și funcțiile trigonometrice. Această întrebare va fi discutată în continuare (vezi cap. 5). Acum ca bun exemplu luați în considerare unghiurile dintre diferite drepte și plane dintr-un cub. 1. Fiecare muchie a cubului, de exemplu, muchia AA", este perpendiculară pe două fețe ale cubului. Este perpendiculară pe orice linii situate pe aceste fețe, în special pe opt muchii. 2. Fiecare față a cubului este perpendiculară pe alte patru fețe. 3. Luați în considerare orice diagonală a cubului, de exemplu, AC ". Proiecția sa pe planul ABCD va fi diagonala bazei AC. Unghiul a de înclinare a diagonalei AC „față de planul bazei este unghiul C” AC. Este ușor de calculat trigono-
58 de funcții metrice ale unghiului a folosind un triunghi dreptunghic AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. Luați în considerare o secțiune care trece prin două muchii opuse ale unui cub (secțiune diagonală), de exemplu, secțiunea AB „C” D. Unghiul său cu planul de bază ABCD este definit ca unghiul dintre liniile C „D și DC. Acest unghi este egal. Unghiul A „OA va fi cel dorit, deoarece AO și A” O sunt perpendiculare pe linia de intersecție a planurilor: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ Întrebări și exerciții 1. Cum se determină unghiul dintre liniile oblice din spațiu? 2. Ce dreptă se numește perpendiculară pe plan? 3. Cum se determină unghiul dintre o dreaptă și un plan? 4. Cum se calculează unghiul dintre două plane? 5. Cum se determină distanța dintre planele paralele? 6. Cum se determină distanța dintre liniile care se intersectează? SH CONVERSAȚIE Geometria lui Euclid Introducere Un model de perfecțiune logică de mai bine de două mii de ani este expunerea principiilor geometriei, întreprinsă de Euclid în secolul al III-lea. î.Hr. Se poate spune că această expunere este singurul exemplu de teorie matematică riguroasă din istoria omenirii, cu care 59
59 Euclid (sfârșitul secolului 43 î.Hr.) Matematician antic grec, autor al lucrării „Începuturi” în 13 cărți, care conturează bazele geometriei, teoria numerelor, o metodă de determinare a ariilor și volumelor, inclusiv elemente ale teoriei limitelor și mult mai mult. numesc o persoană. Până acum, majoritatea manualelor de geometrie urmează calea indicată de Euclid și, de exemplu, până de curând, școlarii englezi pur și simplu foloseau traducerea modernă a Elementelor lui Euclid ca manual. Desigur, până la sfârșitul secolului XX. s-au răspândit și alte opinii. Ei aparțin diverse probleme. Iată câteva dintre ele. Este posibil (și este util) să studiem geometria, abandonând baza ei axiomatică? Este necesar să facem cunoștință cu vreo teorie axiomatică în cadrul educației și culturii generale? Dacă da, este geometria lui Euclid potrivită pentru asta și este posibil să găsim exemple mai simple și mai accesibile? Cât de perfectă este geometria euclidiană în sine? Nu vom atinge aceste probleme. Însăși structura acestei cărți oferă un răspuns pozitiv la întrebarea dacă este posibil, în studiul matematicii, să se facă fără familiarizarea cu metoda axiomatică. Dar credem că toată lumea om de cultură ar trebui să fie familiarizat cu istoria problemei geometriei euclidiene, fără, totuși, să o conecteze nici cu studiul propriu-zis al geometriei, nici cu scopul de a stăpâni o nouă metodă matematică. Axiomatica lui Euclid Prima pagină a Elementelor lui Euclid (ediția 1505) Elementele lui Euclid (mai precis, fiecare dintre cele treisprezece cărți care compun această lucrare) se deschide cu definiții ale conceptelor de bază. Iată câteva definiții din prima pagină a Începuturilor: „Un punct este ceea ce nu are părți”; „O linie este lungimea fără lățime. Capetele liniei sunt puncte; „O suprafață este aceea care are doar lungime și lățime. Capetele suprafeței liniei "; „Hondarul este ceea ce este extremitatea a ceva”; „O cifră este ceea ce este conținut în orice graniță.” Definițiile sunt urmate de principalele prevederi acceptate fără dovezi,
60vj. distincția făcută de Euclid între postulate și axiome nu este foarte clară.) Iată câteva exemple. 1. O linie dreaptă poate fi trasă de la fiecare punct la orice alt punct. 2. Dacă o dreaptă care se încadrează pe două drepte formează pe o latură unghiuri interioare, a căror sumă este mai mică de două drepte, atunci, fiind prelungite la infinit, aceste drepte se intersectează pe această latură. Acesta este celebrul al cincilea postulat, echivalent cu axioma unicității paralelei. Apoi, cu ajutorul conceptelor și axiomelor de bază, teoremele (propozițiile) sunt dovedite într-un mod pur logic. Deci, ca a patra propoziție, Euclid dovedește „primul semn al egalității triunghiurilor”. Desigur, Euclid folosește o mulțime de lucruri care nu sunt de fapt în axiome (de exemplu, nu există nimic despre suprapunerea figurilor, care este adesea folosită ca un fel de experiment de gândire). Cu toate acestea, cu excepția câtorva detalii editoriale și lingvistice, nivelul de rigoare al lui Euclid a fost considerat destul de satisfăcător până la sfârșitul secolului al XIX-lea. Axiomatica modernă a geometriei euclidiene După cum sa subliniat, aproape toate manualele școlare geometriile reproduc una sau alta axiomatică și, de regulă, la începutul cursului. În același timp, ei încearcă să facă lista cât mai simplă și în același timp convenabilă pentru demonstrarea teoremelor. Modelul pentru o astfel de construcție, ținând cont de realizările și limbajul matematicii care se dezvoltase până la sfârșitul secolului al XIX-lea, este remarcabilul (deși nu foarte simplu) sistem de axiome al matematicianului german Hilbert, creat de acesta în 1899. D. Hilbert distinge trei sisteme de obiecte nedefinite (de bază): puncte, drepte și plane. Apoi se postulează „relațiile” dintre ele (apartenere, a fi între, a fi egal, congruent). Aceste prevederi formează cinci grupuri de axiome. De exemplu, următoarea afirmație a intrat în al doilea grup de axiome („axiome de ordine”), asupra căreia geometrul german G. Pasch a atras atenția în 1882 ca axiomă necesară: „Dacă o dreaptă intră în interiorul unui triunghi prin una dintre laturile sale, dar nu prin partea de sus, apoi trebuie să iasă din ea prin cealaltă parte. Al patrulea grup constă dintr-o axiomă despre paralelism: „Prin orice punct situat în afara dreptei a, trece cel mult o dreaptă paralelă cu a”. 61
61 d" al cincilea grup include două akishme despre continuitate, inclusiv așa-numita axiomă a lui Arhimede: „Pentru orice segmente a și b, segmente egale cu a pot fi așezate de-a lungul b de atâtea ori încât să acopere segmentul b." Geometrie non-euclidiană Timp de două mii de ani, nimeni nu s-a îndoit (și nimeni nu se îndoiește până astăzi) de valoarea axiomaticii lui Euclid. Singura intrebare, la care s-au întors constant atât matematicienii profesioniști, cât și amatorii, a fost următorul: „Nu este posibil să se demonstreze, să se deducă postulatul al cincilea al lui Euclid din restul axiomelor ca o anumită teoremă”. S-au scris mii de cărți și articole pe acest subiect, dar cel mai bine s-a făcut este să înlocuim axioma paralelismului cu o altă afirmație care părea mult mai evidentă (și, prin urmare, adesea trecută cu vederea), dar care s-a dovedit a fi exact echivalentă cu al cincilea postulat. Pe la mijlocul secolului al XIX-lea. a devenit clar că al cincilea postulat este independent de restul axiomaticii lui Euclid în sensul remarcabil că, adăugând la acest rest al sistemului o axiomă care neagă postulat al cincilea (de exemplu, într-o asemenea formă încât să treacă cel puțin două linii). prin orice punct paralel cu cel dat), vom obține un sistem nou, necontradictoriu, în care putem evidenția teoreme la fel de îndepărtate și semnificative precum cele obținute în geometria lui Euclid. Un astfel de sistem, în care lista indicată de axiome este satisfăcută (inclusiv negația postulatului al cincilea), a ajuns să fie numit „geometrie non-euclidiană”. Pentru prima dată un astfel de sistem a fost descris clar de remarcabilul matematician rus N.I. Lobachevsky, care a prezentat un raport la Universitatea din Kazan în 1826, iar patru ani mai târziu în detaliu de la Nikolai Ivanovich Lobachevsky () matematician rus; autorul " Cercetare geometrică pe teoria dreptelor paralele”, tradus în limba germana, creator al „geometriei non-euclidiene” (geometria lui Lobachevsky). A fost numit „Copernic în geometrie”, deoarece a transformat complet întregul sistem de vederi existent asupra geometriei. Pentru dezvoltarea matematicii au fost importante nu numai teoremele specifice dovedite de Lobaciovski, ci într-o măsură mult mai mare abordarea lui asupra fundamentelor științei. Rezultate similare au fost obținute de K. Gauss, dar nu a avut curajul să le completeze și să le publice, dar a avut onestitatea științifică să-l prezinte pe Lobaciovski pentru alegere ca membru corespondent al Societății Științifice din Göttingen și să-l anunțe personal despre alegere. .
62 matematicianul J. Boyai a publicat o lucrare cu un conținut similar. După încă 40 de ani, au fost construite exemple de suprafețe pe care se realizează geometria Lobachevsky. De la geometrie la logică Sensul mișcării de la Euclid la Lobachevsky și mai departe la Hilbert (sau cel puțin unul dintre aceste sensuri) constă în eliberarea de vizualizarea geometrică. În sistemul lui Hilbert, nu trebuie să știți cum arată punctele și liniile. Ele pot (și ar trebui) să fie tratate ca obiecte despre care se cunoaște doar ceea ce este descris în axiome. Astfel, plecând de la axiome, obținem rezultate noi doar cu ajutorul logicii. Această viziune ridică două noi întrebări. În primul rând, despre geometria în sine. Obținerea unui număr mare de enunțuri suficient de profunde ca consecințe ale axiomelor (cum a fost, de exemplu, făcut de Lobaciovsky) nu dovedește în sine consistența sistemului construit. Deja la sfârșitul secolului al XIX-lea. a devenit clar că este posibil să se dovedească consistența unor noi sisteme cu ajutorul unor modele care implementează axiomele sistemului. Astfel, Hilbert indică un model de construcție a geometriei euclidiene cu ajutorul numerelor. O altă problemă este legată de analiza logicii în sine, care a fost întreprinsă cu mare intensitate în secolul al XX-lea.
63 Combinatorică Adnotare 1 Construcții combinatorii Cod Morse Alfabetul este format din două caractere: un punct și o liniuță. Construcția cuvintelor Cuvinte de lungime. 1 Ce construcții (construcții) sunt cel mai des folosite în combinatorică? 1. Construirea cuvintelor. Luați în considerare un set de personaje. Aceste simboluri vor fi numite litere, iar întregul set de litere va fi numit alfabet. Cuvinte de lungime 2 Un cuvânt este o succesiune de litere dintr-un anumit alfabet. Cuvinte de lungime 3 Fiecare literă a alfabetului poate fi folosită o dată, de mai multe ori sau deloc. Sarcina 1. Numărați numărul de cuvinte cu lungimea k dintr-un alfabet de n litere. Există k locuri într-un cuvânt de lungime k. Am pus oricare dintre cele n litere pe primul loc. Când locul următor este ocupat, numărul de posibilități crește de n ori. Răspuns: n p... n = n k. Numărul de cuvinte cu lungimea k k ori dintr-un alfabet de n litere este egal cu n k. 2. Plasarea. Luați în considerare un set de obiecte. Pregătiți o serie de locuri goale. Facem distincție între ordinea locurilor primul, al doilea și așa mai departe. A completa un rând înseamnă a plasa în fiecare dintre locurile lui un obiect din setul dat (fiecare obiect poate fi folosit o singură dată). 54
64 Un rând plin cu obiecte dintr-o mulțime dată se numește plasare (așezăm obiecte în anumite locuri). Fie numărul de obiecte din mulțime egal cu n, iar lungimea rândului (numărul de locuri din acesta) egală cu k. Problema 2. Calculați numărul A k n de plasări a n obiecte în k locuri. Spre deosebire de sarcina 1, unde o literă poate fi folosită de mai multe ori, în această sarcină, după ce a plasat un obiect într-un anumit loc, o luăm din set (o pungă de obiecte) și nu o mai avem (nu poate apărea din nou ). Punem oricare dintre n obiecte pe primul loc. La fiecare pas următor, numărul de posibilități scade cu una. Răspuns: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h factori + 1). Rețineți că ultimul factor este n - (k - 1) = n - k + 1. Rețineți că dacă k > n, atunci unul dintre factori va fi zero, deoarece este imposibil ca n obiecte să ocupe un număr de locuri mai mare decât n. 3. Permutarea. Considerăm o mulțime care conține n obiecte. Vrem să le punem în ordine, adică. aranja. Acest lucru se poate face prin numerotarea obiectelor. Un set ordonat de obiecte se numește permutare. Acest termen a apărut pentru că la început erau luate obiecte, aranjate cumva, iar alte moduri de ordonare necesitau rearanjarea acestor obiecte. Problema 3. Calculați numărul Pn de permutări a n obiecte. Este clar că această problemă coincide cu problema de plasare în cazul în care numărul de obiecte se potrivește cu numărul de locuri în care aranjam toate cele n obiecte folosind cele n locuri disponibile. Repetarea raționamentului problemei 2 conduce la următorul răspuns: n(n - 1) Deoarece numărul de factori este n, ultimul număr va fi 1. Este convenabil să rearanjați factorii și să scrieți rezultatul ca produs al tuturor numere naturale de la 1 la n: n = = n\ (a se citi „n factorial”). Cuvinte din două litere într-un alfabet de trei litere aa ab ac ba bb bc ca s SS Plasare Plasarea a trei obiecte în două locuri Plasarea n obiecte în k locuri Număr de locuri Număr de plasări posibile 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 Total opțiuni: n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)
65 de modele de rezolvat probleme combinatorii? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Exemple Permutarea P4 = 4! = = 24 Plasare P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)! l! l! l! = = l! (l-l)! Oh! Anagrama cab cabd cadb cdab dcab cuvânt cu litere rearanjate (plasare, permutare) Construcția, metoda de compunere și listare a opțiunilor ar trebui să fie analizat 1. Răspunsuri binare O persoană i se pun 10 întrebări, la fiecare dintre ele răspunde „da” sau „nu”. diverse opțiuni răspunsuri la toate cele 10 întrebări? Există 2 opțiuni pentru a răspunde la prima întrebare. Dacă au fost deja construite răspunsuri la mai multe întrebări, atunci răspunsul la următoarea va dubla numărul de opțiuni. Răspuns = 2 10 = Desigur, în această problemă a existat o construcție de construire a cuvintelor într-un alfabet de două litere. 2. Teste cu alegere multiplă. O persoană a primit un test de 6 întrebări. La fiecare întrebare trebuie să se răspundă cu unul dintre cele 5 răspunsuri posibile. Câte răspunsuri diferite există pentru toate cele 6 întrebări din test? Există 5 răspunsuri posibile pentru prima întrebare. Când treceți la următoarea întrebare, numărul de opțiuni va crește de 5 ori. Răspuns: = 5 6 = Designul a fost păstrat. Numărul de litere din alfabet s-a schimbat, acum sunt cuvinte cu litere diferite. Există 10 litere în alfabet. Câte cuvinte cu lungimea 3 pot fi construite cu litere care nu se repetă? Pe primul loc punem oricare dintre cele 10 litere, pe al doilea oricare, cu excepția celei care a fost deja luată prima. Avem 10-9 opțiuni. Pe locul al treilea, puteți pune oricare dintre cele 8 litere nefolosite. Răspuns: = 720. Designul plasamentelor a fost folosit în trei locuri (fără repetări) au fost plasate 10 litere. 4. Anagrame de cuvinte cu litere diferite. Câte anagrame există pentru cuvântul KATER? Toate cele cinci litere ale acestui cuvânt sunt diferite. Puteți rearanja 5 litere 5! moduri. Răspuns: P5 = 5! =
66 fy Întrebări și exerciții 1. Ce se înțelege prin cuvânt în acest alfabet? 2. Câte cuvinte cu lungimea de 5 sunt într-un alfabet de 6 litere? 3. Există un alfabet de n litere. Sunt luate în considerare cuvintele formate din m litere care nu se repetă. Ce concept de combinatorie ar trebui folosit pentru a descrie astfel de cuvinte? 4. Câte cuvinte de lungime 3 există cu litere care nu se repetă într-un alfabet de 6 litere? 5. Ce este o permutare? 6. Câte permutări a 6 litere există? 7. Cum sunt legate conceptele de „plasare” și „permutare”? 8. De câte ori este numărul de plasări a 10 obiecte în patru locuri mai mic decât numărul de plasări ale acelorași obiecte în șase locuri? Lecția 2 Reguli de combinatorie Care sunt regulile de bază ale calculelor combinatorii? 1. Regula adunării. Fie mulţimea A să aibă m. elemente, iar mulţimea B n elemente. Dacă mulțimile A și B nu au elemente comune, atunci numărul elementelor în unirea lor este m + n. Putem spune așa: dacă două pungi conțin obiecte diferite și le turnăm împreună, atunci pentru a găsi numărul lor total, vom trebuie să adauge numărul de obiecte din fiecare dintre pungi. Dacă pentru o mulțime finită X notăm cu X numărul elementelor sale, atunci regula adunării se poate scrie astfel: dacă A n B = 0, atunci \A și B\ = \A\ + \B\. Această regulă poate fi generalizată cu ușurință în cazul în care mulțimile A și B au o parte comună. 2. Regula includerii unei excepții. Fie mulțimile A și B să aibă o parte comună cu k elemente. Atunci, în unirea mulțimilor A și B, numărul de elemente este egal cu m + n - k, adică. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. Este clar că prin adăugarea tipului de numere, numărăm elementele comune de două ori. Reguli de combinatorie Regula de adunare A n B \u003d 0 J] A și B\ \u003d A + B
Incluziunile de excludere A u B\ = A + B - \A n B\ se extind la unirea unui număr arbitrar de mulțimi. 3. Regula înmulțirii. Numărul de perechi alcătuite din elemente ale mulțimilor A și B este egal cu produsul elementelor acestor mulțimi. Setul de perechi de elemente a două seturi este adesea notat prin semnul produsului. Apoi, regula înmulțirii poate fi scrisă după cum urmează: [A x B\ \u003d A x B. Regula înmulțirii poate fi explicată cu ușurință folosind un tabel. Dacă facem un tabel dreptunghiular și numărăm (notăm) rândurile acestuia cu elemente ale mulțimii A și coloanele cu elemente ale mulțimii B, atunci celulele tabelului vor corespunde perechilor (a; b), unde a e A, b e B. Numărul de celule din tabel este în mod evident egal cu produsul dintre numărul de rânduri și numărul de coloane. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 Regula înmulțirii \A x B = A x B Cum se aplică regulile combinatoriei în rezolvarea problemelor? 1. Numărul de termeni. Luați în considerare produsul (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). Câte monomii (înainte de reducerea celor similare) se vor obține prin înmulțirea „parantezei cu paranteze”? Aceeași întrebare poate fi reformulată după cum urmează: „Câte perechi pot fi făcute din monomiile din prima și a doua paranteză?” Alegem oricare dintre cele trei monomii din prima paranteză și oricare dintre cele șase din a doua. Numărul de perechi este 3-6 = 18 folosită regula înmulțirii. 2. Meniu. Meniul cuprinde 5 aperitive, 3 primele feluri, 4 feluri secunde si 3 deserturi. În câte moduri poate fi comandată o masă cu patru feluri? Când ne gândim la comandă, facem patru nume: 1) gustare; 2) felul întâi; 3) felul al doilea; 4) desert. În prima linie a acestor patru introducem oricare dintre cele cinci opțiuni date, în a doua linie oricare dintre cele trei etc. Numărul total de
68 [=180. Acesta este un exemplu de generalizare a regulii înmulțirii. Facem nu numai perechi, ci și seturi de două, trei, patru sau mai multe obiecte. 3. Numerele de plăcuță auto. Numărul mașinii este format din trei litere și trei cifre. Sunt folosite 20 de litere și toate cele 10 numere. Un număr care are toate cele 3 zerouri este, de asemenea, valabil (de exemplu, A000AA). Câte astfel de numere pot fi produse? Sala are 6 locuri. Primul, al cincilea și al șaselea sunt pentru litere, al doilea, al treilea, al patrulea pentru numere. Scaunele sunt ocupate independent unul de celălalt. Răspuns: = Numărul de cuvinte. Există 4 litere în alfabet. Câte cuvinte se pot face din literele acestui alfabet, având nu mai mult de 3 litere? Numărul de cuvinte cu lungimea k dintr-un alfabet de 4 litere este 4*. Seturile de cuvinte de diferite lungimi nu au elemente comune. Aplicam regula adunarii. Răspuns: = = Numărul de elevi. Fiecare elev învață o limbă în clasă. În același timp, 20 de studenți studiază engleza, 12 franceză și 7 studenți ambele limbi. Câți elevi sunt în clasă? Dacă adunăm numărul de studenți care învață engleza și franceza, atunci vom număra toți studenții, dar cei care învață două limbi vor fi numărați de două ori. Aplicam regula de includere. Răspuns: = „Cel puțin o dată”. Un zar este aruncat de două ori la rând. De câte ori va apărea numărul 6 măcar o dată? Vom împărți toate cazurile în două clase: numărul 6 nu cade niciodată, cel puțin o dată numărul 6. Aceste clase nu au elemente comune. Total Opțiuni, adică numărul de secvențe de două cifre cu o marjă de 6 cifre este egal cu b 2, cu o marjă de 5 cifre (toate cu excepția șase) este 5 2. Aplicați regula adunării: b 2 \u003d x. Răspuns: b = 11. Felul de mâncare Numărul felurilor Aperitiv 5 Primul 3 Al doilea 4 Desert 3 Numărul opțiunilor de cină cu patru feluri: = 180. Plăcuțele de înmatriculare A000AA Numărul de numere: = Numărul de cuvinte Numărul de litere din alfabet 4 Lungimea cuvântului k Număr de cuvinte 4* k = 3 => Prin regulă de adunare: = 84 Număr de elevi Număr de elevi în clasă: = 25 „Cel puțin o dată” Clasa 1: Nu da niciodată un 6. Nota 2: Da cel puțin o dată un 6. 69
69 Întrebări și exerciții 1. Cum se determină numărul total de elemente din două mulțimi, dacă numărul de elemente din fiecare mulțime este cunoscut, iar unele dintre elemente pot fi comune? 2. Care este regula înmulțirii? 3. Există patru exemple în sarcina de testare. Există 5 răspunsuri pentru fiecare exemplu. În câte moduri poți alege răspunsul la întrebare? patru. Zaruri aruncat de două ori la rând. Pentru fiecare sumă posibilă de puncte acumulate, numărați numărul de opțiuni posibile. Verificați: Adăugând opțiunile pentru fiecare sumă posibilă, ar trebui să obțineți numărul total de opțiuni. Lecția 3 Numărul de orbite Orbita este un set de opțiuni identice (echivalente) Plasare O plasare fără repetări de la k elemente cu m elemente Exemple în care poți așeza 6 persoane la rând 6! (720) moduri; așezați 6 persoane la o masă rotundă poate fi 5! (120) moduri; Dacă sunt 5 băieți și 5 fete, există 5!5!2 5 moduri de a face o coloană de perechi băiat-fată. Cum calculele combinatorii iau în considerare combinațiile care sunt considerate la fel? Când se numără numărul de opțiuni, este adesea necesar să se ia în considerare aceleași (identificare) opțiunile în funcție de un anumit atribut. Dacă combinăm toate opțiunile care sunt considerate la fel, obținem o mulțime care se numește orbită. 1. Masa rotunda. Vom așeza 6 persoane la rând. Se poate face 6! moduri. Acum să le punem la masa rotundă. Vom avea în vedere aceleași modalități de aranjare a oamenilor, care pot fi obținute prin întoarcerea mesei în cerc. Să luăm un singur aranjament și vom întoarce masa. Vom obține o orbită de șase aranjamente. Numărul total de orbite va fi de 6 ori mai mic decât numărul tuturor aranjamentelor. 6! Răspuns: = 5! = Numărul de perechi. Sunt 5 băieți și 5 fete. În câte moduri pot fi aranjate într-o coloană formată din perechi băiat-fată? Vom considera că coloanele în care băiatul stă în stânga sau în dreapta sunt aceleași. Apoi numărul total de moduri poate fi calculat după cum urmează: alegerea unui rând pentru băieți
70 ^V/^y pill^u ^VDUICIV 5! moduri. Să luăm un aranjament în perechi și să începem să schimbăm pozițiile din stânga și din dreapta în perechi. Dintr-un aranjament obținem 2 5 = altele 32 (ne schimbăm pozițiile în fiecare pereche independent unul de celălalt). Combinând opțiunile în orbite și observând că numărul de elemente din fiecare orbită este același, egal cu 32, obținem rezultatul. 1 /.\ Răspuns: (5!) V „Număr de combinații. În ce număr de moduri poate fi selectată o submulțime (neordonată!) de k elemente dintr-o mulțime care conține n elemente? Dacă ar fi să așezăm oamenii în k locuri în ordine, am obține răspunsul în forma n(n - 1)... (n - k + 1) numărul de plasări.Combină aranjamentele în orbite schimbând (rearanjand) k persoane alese.Acest lucru se poate face în k\ moduri. Numărul de orbite este n (n-l) -. ..-(n-ft + l) va fi egal. Am obținut un eșantion de elemente în care ordinea elementelor nu contează. Anterior, submulțimile au fost numite combinații, deci numărul rezultat se numește „numărul de combinații de la n la k” și se notează c*.notație = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Proprietatea CS = С""* combinaţii 4. Numărul de anagrame. Am numărat mai devreme numărul de anagrame de cuvinte cu litere diferite. Dacă numărul de litere dintr-un cuvânt este egal cu n, atunci acest număr este egal cu numărul de permutări a n elemente, adică numărul n\. II f și t Numărul de subgrupe În câte moduri poate fi selectat un subgrup de trei dintr-un grup de șase? Mai întâi, vom pregăti trei locuri și vom pune trei persoane în ele în ordine. Acest lucru se poate face în == 120 de moduri. Acum combinăm într-o singură orbită aranjamentele care nu diferă în compoziția triplei, ci diferă doar în ordinea în care sunt plantate. Vor fi câte 3 pe fiecare orbită! = 6 constelații Răspuns: 20. 3! (D Exemplu Număr de combinații Având în vedere o mulțime de elemente: x = (1, 2, 3). Este necesar să se facă submulțimi de două elemente din această mulțime. Vor fi trei dintre ele: (1, 2), (1 , 3), (2, 3). Din elementele fiecărei submulțimi se pot forma 2! orbite de lungime 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) ( 3, 2), care sunt aranjamente fără repetare a trei elemente două, iar numărul lor este egal cu Al = 3 2 = 6. Pe de altă parte, acest număr este egal cu 2! C => a A? Al \u003d 2 ! C - "3 - 2! 71
71 Numărul de combinații Zece puncte au fost luate pe linie dreaptă. Câte segmente au fost obținute, ale căror capete sunt aceste puncte? c"=t=th 45 - Binomul lui Newton (a + b) n = a"(1 + x) n (între paranteze a" și notat cu b/a Considerăm extinderea binomului (1 + x) n în puteri ale x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". Coeficienții ak sunt dați prin formula k \ Înmulțim n paranteze de forma 1 + x între ele. Pentru a obține gradul x k, trebuie să alegeți x dintre ele în L, iar restul n - k 1. Numărul de opțiuni pentru alegerea k obiecte din n posibile este numărul de combinații pe care le-am determinat de la n la k, adică numărul C *. Pentru comoditate, presupunem = 1 și scriem formula binomială după cum urmează: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. litere identice. De exemplu, să găsim numărul de anagrame ale cuvântului DESPRE. Acesta este un cuvânt de opt litere, iar în el litera O apare de 4 ori, K de două ori și literele L și T o dată fiecare. Să facem aceleași litere diferite (de exemplu, scrieți-le font diferit K și K). Acum toate cele 8 litere sunt diferite și numărul de anagrame ale acestui cuvânt este 8!. Să le combinăm în orbite, identificând aceleași, dar scrise diferit, literele O și K. Rearanjarea ortografii diferite literele O (4! căi) și K (2! căi), obținem o orbită de 4! 2! = 48 de cuvinte. Pentru a obține numărul de anagrame ale cuvântului original, aveți nevoie de 8! împărțit la lungimea orbitei. opt! Raspuns: = ! Cum să ridici o sumă de monomii la o putere? 1. Formula binomială a lui Newton. Expresia „binomul lui Newton” a fost mult timp un simbol al dificultății și incomprehensibilitatii matematicii. De fapt în cauză despre un lucru destul de simplu: dacă luați un binom (binom) a + b, îl ridicați la o putere și adăugați termeni similari, obțineți o sumă de monomii de forma a k b l cu niște coeficienți. Formula de calcul a acestor coeficienți este asociată cu numele lui I. Newton, deși a fost folosită mult mai devreme. Când ridicăm a + b la puterea binomială, obținem formula: Sunteți familiarizat cu 2, 3, 4. Numerele C* se numesc coeficienți binomi 2. Proprietățile coeficienților binomi 1) Cazuri particulare Este util să rețineți primele coeficienți: _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72
72 a) uu/iato h-krkz fiktiriyl. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - se poate transforma intr-o forma mai simetrica, k\ prin inmultirea numaratorului si numitorului cu (ga - A;)!. La numărător, toate numerele de la 1 la ha vor fi restaurate. Obținem formula C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Soare) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = Pentru 2. 2 AC = av3. Răspuns: 1) 0; 2) av3. Expresiile dintre paranteze trebuie înmulțite termen cu termen și ținem cont de faptul că i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Distanța. Distanța dintre două puncte AG și A2 din spațiu poate fi calculată folosind produsul scalar:. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. Scriem pătratul scalar în coordonate: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. Obținem formula \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + („2 ~ *i f, care generalizează teorema lui Pitagora pentru spațiu.
84 de concepte în limbajul coordonatelor și vectorilor? Acest lucru se face pentru a construi algoritmi de calcul pentru rezolvare probleme geometrice. Baza pentru aceasta sunt ecuațiile diferitelor figuri din spațiu și, mai presus de toate, ecuațiile planului și sferei (suprafața bilei). 1. Ecuația planului. Un plan poate fi definit printr-un punct cuprins în el i^oc-^o? J/o! 2 o) și un vector n perpendicular pe acest plan (se numește vector normal pe plan). Necesar și condiție suficientă că punctul P(x; y; d) aparține planului este următorul: [op-op0) 1 n sau sub forma - * egalitate PP0 n = 0. Având în vedere coordonatele normalei p(a; B; ; C), obținem planul ecuației sub formă de coordonate: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. Deschidem parantezele și notăm numărul (Ax0 + + Vy0 + Cz0) prin D, obținem ecuație standard plan sub forma Ax + By + Cz + D = = 0. Este un analog al binecunoscutei ecuații a unei drepte pe un plan. Rețineți că vectorul normal n nu este definit în mod unic; el poate fi înmulțit cu orice număr. 2. Ecuația unei sfere. Punctul P(x; y; r) este situat pe sfera cu centrul C(a; b; c) și raza R dacă este îndeplinită condiția \PC\ 2 = R 2. Această condiție poate fi ușor rescrisă în coordonate: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. Această ecuație generalizează ecuația cercului în plan. produse în coordonate a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 Ecuația planului PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 Compuneți ecuația planului în următoarele condiții: p (1; 2; 3), P0 (1; 0; 0). Rezolvare: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. Ecuația planului are forma: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. Ecuația sferei ^ Întrebări și exerciții 1. Cum se determină produsul scalar al vectorilor? 2. Cum se calculează produsul scalar în coordonate? 3. Care sunt principalele proprietăți ale produsului scalar? 85
85 de coordonate? 5. Notați ecuația planului. 6. Notați ecuația sferei. Lecția 4 Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor Semne de perpendicularitate: o linie și un plan 1 t I X t, I ± n, t n n \u003d (0) \u003d\u003e I _L a două plane On, Zep \u003d p_La două linii drepte n ± a, t 1 I , li proiecția lui I pe a => ij _L t Cum puteți verifica perpendicularitatea dreptelor și a planurilor folosind coordonatele și vectorii? 1. Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. Prin definiție, o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan. Este dificil de verificat o astfel de afirmație, deoarece într-un plan pot fi trase un număr infinit de linii. Se dovedește că este suficient să verificați perpendicularitatea doar a două drepte care se intersectează. Teoremă (teoremă despre două perpendiculare). Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează ale unui plan, atunci este perpendiculară pe orice altă dreaptă a acestui plan și, prin urmare, perpendiculară pe planul însuși. 2. Perpendicularitatea a două plane. Teorema. Dacă un plan trece printr-o perpendiculară pe un alt plan, atunci acele plane sunt perpendiculare. 3. Perpendicularitatea a două drepte. Teorema (teorema celor trei perpendiculare). Dacă o dreaptă care nu se află într-un plan este perpendiculară pe o dreaptă situată într-un plan, atunci proiecția dreptei inițiale pe plan este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă. În schimb, dacă proiecția unei linii pe un plan este perpendiculară pe o linie situată în plan, atunci linia originală este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă. 86
CONŢINUT1. Numere, funcții și grafice 7
§ unu Axa numerica 7
§ 2 Coordonate carteziene pe planul 12
§ 3 Conceptul de funcție 19
§ 4 Ecuații și inegalități 35
Sarcini și întrebări 42
2. Derivatul și aplicarea acestuia 51
§ 5 Introducerea derivatului 51
§ 6 Calculul derivatului 60
§ 7 Investigarea unei funcții cu ajutorul unei derivate 69
§ 8 Aplicații ale derivatului 85
§ 9 Diferenţial 91
§ 10 Sarcini maxime și minime 98
Sarcini și întrebări 104
3. Paralelismul dreptelor și planurilor 114
§ 11 Dispunerea reciprocă a liniilor și planurilor H4
§ 12 Semne de paralelism 122
§ 13 Construcția axiomatică a geometriei 130
Sarcini și întrebări 134
4. Vectori
§ 14 Segmente dirijate
§ 15 Coordonate vectoriale
§ 16 Aplicarea vectorilor în mecanică § 17 Spațiul vectorial
Sarcini și întrebări
5. Funcții trigonometrice 166
§ 18 Unghiuri și ture 166
§ 19 Definirea funcțiilor trigonometrice 175
§ 20 Studiul sinusului și cosinusului 185
§ 21 Tangenta si cotangenta 193
§ 22 Derivate ale funcțiilor trigonometrice 197
§ 23 Diagrame de reducere 201
Sarcini și întrebări 205
6. Produs punctual 210
§ 24 Proiecție vectorială 210
§ 25 Proprietățile produsului interior 213
Sarcini și întrebări 220
7. Identități trigonometriceși ecuațiile 222
§ 26 Formule de adunare 222
§ 27 Cele mai simple ecuații trigonometrice 230
§ 28 Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice 237
Secțiunea 29 Funcții inverse 242
Sarcini și întrebări 252
8. Perpendicularitatea dreptelor și planelor 259
§ 30 Alocarea vectorială a unei linii drepte 259
§ 31 Alocarea vectorială a unui plan 265
§ 32 Unghiuri diedrice 274
Sarcini și întrebări 278
9. Corpuri spațiale 283
§ 33 Cilindri și conuri 283
§ 34 Orb și sfera 291
§ 35 Prisme și piramide 295
§ 36 Poliedre 303
Sarcini și întrebări 310
10. Funcții exponențiale și logaritmice 320
§ 37 Puteri și logaritmi 320
§ 38 funcția exponențială 327
§ 39 Funcția logaritmică 332
§ 40 Ecuații și inegalități exponențiale și logaritmice 336
Sarcini și întrebări 342
11. Integrala și aplicațiile sale 348
§ 41 Definiția integralei 348
§ 42 Calculul integralei 356
§ 43 Aplicații ale integralei 362
§ 44 Ecuații diferențiale 371
Sarcini și întrebări 379
12. Suprafețe și volume 384
§ 45 Arii figurilor plane 384
§ 46 Volumele corpurilor spațiale 393
§ 47 Suprafața 399
Sarcini și întrebări 401
13. Ecuații și inegalități 407
§ 48 Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu o necunoscută 407
§ 49 Sisteme de ecuații 418
§ 50 Întocmirea ecuațiilor 424
Sarcini și întrebări 434
Postfața 435
Anexa 441
Răspunsurile 448
Index 460
Recensori: Laboratorul de Matematică (Institutul de Cercetări de Pedagogie Vocațională al Academiei de Pedagogică a URSS); Dr. Fiz.-Matematică. științe, prof. S. V. Vostokov (Universitatea de Stat A. A. Zhdanov Leningrad)
Manualul este scris în conformitate cu programul cursului unificat de matematică, dezvoltat de un grup de matematicieni din Leningrad.
Algebra, începuturile analizei și geometriei sunt prezentate ca o singură materie „Matematică”. Prezentarea materialului este însoțită de un număr mare de exemple. Pentru elevii și profesorii școlilor secundare profesionale.
Editura " facultate", 1987
cuvânt înainte
Cartea este un curs experimental de matematică, corespunzător curriculum-ului de liceu. școală gimnazială, fără împărțirea tradițională în diferite discipline - algebra și începutul analizei, geometria. Această ediție se bazează pe „Experimental materiale didactice„(M., Liceul, 1982) și manuale „Matematică” (M., Educație, 1983).
În cursul predării unui curs experimental de matematică în școlile secundare profesionale din Leningrad și în alte regiuni ale țării în anii 1974-1985. găsit confirmarea corectitudinii alegerii principalului principii metodologice stabilite în programul cursului unificat de matematică. Ideile principale ale acestui curs s-au dovedit a fi bine coordonate cu direcțiile principale ale reformei învățământului general și scoala Vocationalași să contribuie la implementarea sa practică. Programul unui astfel de curs a fost dezvoltat de un grup de oameni de știință din Leningrad în cadrul cercetare științifică Institutul de Cercetare pentru Învățământul Profesional al Academiei de Pedagogică a URSS.
Personalul departamentului a participat la pregătirea cărții. matematica superioara Institutul Electrotehnic din Leningrad. V. I. Ulyanov (Lenin). Tuturor acestora, precum și numeroșilor săi colegi de la institute, școli și școli profesionale din Leningrad, autorul își exprimă sincera recunoștință.
Introducerea autorului
Draga cititorule!
Ai un experiment tutorial matematică. Matematica timp de 2500 de ani de existență a acumulat cel mai bogat instrument pentru studiul lumii din jurul nostru. Cu toate acestea, după cum a remarcat academicianul A.N. Krylov, un matematician și constructor de nave rus de remarcat, o persoană apelează la matematică „să nu admire nenumărate comori”. În primul rând, trebuie să se familiarizeze cu „secole de instrumente dovedite și să învețe cum să le folosească corect și cu pricepere”.
Această carte vă va învăța cum să vă ocupați de instrumente matematice, cum ar fi funcțiile și graficele acestora, formele geometrice, vectorii și coordonatele, derivatele și integralele. Deși ați avut prima expunere la majoritatea acestor concepte înainte, această carte vi le prezintă din nou. Acest lucru este convenabil pentru cei care au uitat materialul studiat anterior și util pentru toată lumea, deoarece chiar și lucrurile familiare vor dezvălui aspecte și conexiuni noi.
Pentru a facilita lucrul cu manualul, sunt evidențiate cele mai importante prevederi și formulări. Ilustrațiile joacă un rol important: dacă nu înțelegeți pe deplin textul de instruire, luați în considerare cu atenție desenul aferent acestuia. Chiar și în antichitate au folosit această metodă de a studia matematica - au desenat un desen și au spus: uite!
Fiecare secțiune a cărții este împărțită în paragrafe. Există exerciții la sfârșitul paragrafelor. Aceste exerciții, desigur, nu sunt suficiente pentru a stăpâni abilitățile necesare. Scopul lor este de a arăta direcția principală a efortului necesar pentru a stăpâni materialul relevant.
Un set destul de complet de sarcini și exerciții este plasat la sfârșitul fiecărui capitol.
INDEX SUBIECTULUI
DAR
Aditivitate 361 Axiome 118, 131 Axiome de stereometrie 132 Argument 22 Arccosin 234, 250 Arccotangent 236, 251 Arcsin 232, 233, 250 Arctangent 236, 251
LA
Vector 137, 138, 149, 150, 157 - zero 140
Vectori coliniari 260, 262 Г
Graficul funcției 23, 32, 33 D
Presiune 89
Diagrame de reducere 201-203 Diferenţial de funcţie 91, 92 Derivare 51, 53, 348, 355 Circumferinţa 401
Și
Integrale 348-350, 352, 354, 366 K
Tangenta la curba 53 Pătrat 130
Oscilații armonice 191, 22 £ Con 285, 289, 290
- trunchiat 287
Coordonatele vectoriale 148, 149, 151
- pct. 7, 13, 147
- - rotativ 175 Rădăcini aritmetice 321
- Ecuațiile 25
- 25 de funcții
Cosinus 175, 178, 186-189, 191, 197 Cotangent 175, 179, 186, 193, 196, 199, 203
Cubul 305
L
Logaritmul 325
- natural 331
M
Greutate 368
3 - tije 87, 93
Sarcina electrică 88, 93, 368 Unghiul de grade măsoară 169
Valoarea funcției maximă 98 - - radiani 170
- - cel puțin 98 metoda Gauss 423
- intervale 39 Poliedrul 303, 308 Modulul 138
- tranziția 326
- numerele 9
Monotonitatea funcției 29 N
Vectorul direcție al dreptei 259 Inegalități iraționale 413
- echivalentul 409
- rațional 413 Inegalitate 35, 407
- pătratul 37
- cel mai simplu 339
O
Interval valid 409
- - funcții 83
- definițiile funcției 24, 246 Domeniul de aplicare 393, 394
- cubul 393
- cilindrul 393, 395 Octaedrul 307
Orturi de axe 149 Axa numerică 7
P
Paleta 393
Paralelepiped 299, 300 Antiderivat 356 Paralelismul liniilor 126 Variabile 19 Deplasare 368 Tranziție limită 56 Perioada 185
Periodicitatea 176, 185 Piramida 297, 298
Avioane paralele 120, 124, 125
- intersectarea 120
- perpendiculara 276 Planul 114, 119, 130
- Tangenta 293 Zona 362
- con 400
- cercul 90
- poligonul 388
- paralelogramul 387
- subgraficul 389
- prisme 400
- triunghiul 386-388
- cifre arbitrare 389
- cilindru 400 Densitate liniară 87 Suprafața bilei 400 Precizie 96
Reguli pentru desenarea vectorilor 139-141
Regula poligonului 140
- paralelipiped 141
- paralelogramul 140, 141
- trei puncte 140 Prism 295, 296
Semnul paralelismului a două plane 124
- - - drept 123
- perpendicularitatea unei drepte și a unui plan 267
- traversarea liniilor 117 Semne de paralelism 122 Argument increment 59
- funcții 59 Proiecție vectorială 211
- ortogonal 272
- pct. 210
Produs scalar 210, 213-216 Productivitatea muncii 90 Derivată 51-53, 57, 60-63, 69 Interval numeric 8 Spațiu vectorial 157 Linie dreaptă 114, 119, 130 Linie dreaptă paralelă 114, 132
- intersectarea 114, 132
- traversat 114, 126, 132
R
Lucrare 87, 88, 93, 367 Egalitate vectorială 260 Radiani 170
Vector rază 142, 153 Expansiune vectorială 145, 147 Dimensiuni 145, 158, 159
Tensiune 140 Expansiunea corpului liniară 83 Soluția ecuației 37
Cu
Proprietățile mișcării de rotație 172-174
- integral 360
- inegalități 35
- radicali 321
- 324 de grade
Segment parabolic 103 Secțiune conică axială 287 Sinus 175, 178, 186, 187-189, 191, 197 Sistem de coordonate geografice 14
- - Carteziană 12, 147
- incompatibil 419
- îmbinare 419 Sisteme de linie 422
- simetric 421 Speed 85, 155, 365
- instant 55, 60, 156
- creșterea funcției 56
- medie 55, 59
- colțul 229
Raporturi triunghiulare 167 Media aritmetică 37
- Geometric 37 Grad 323
Sume integrale 350, 351 Sfera 291
T
Tangenta 175, 179, 186, 193-195, 198, 203
Solidele de revoluție 288 Teorema cosinusului 216
- Newton - Leibniz 358
- aproximativ trei perpendiculare 270
- Pitagora 167
- - spațial 301, 302
- Euler 305, 308 Capacitate termică 89 Căldură 88 Punct 114, 130
- critic 75
- maxim local 26
- - minim 26
- special 84
- extremul 82
Identități trigonometrice 179, 236
- ecuațiile 230, 237
- formule cu unghi dublu 224
- - completări 240
- funcţiile 249-251
- - jumătate cărbune 225
La
Pantă Tangenta 52 Unghiuri 116, 169, 170
- diedrul 274, 275
- liniar 275
- poliedric 309 Unghiul conului 287 Ecuația 407
- miscari 372 vector 152
- diferential 371, 374
- irațional 413
- vibratii armonice 376, 377
- logaritmic 336
- despre al doilea 373
- - primele 373
- indicativ 337
- dreapta 18, 260
- rațional 413 Ecuații omogene 241
- protozoare 183
- echivalentul 37, 409 Accelerație 86, 153
Condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan 268
- - drept 262
- perpendicularitatea vectorilor 217- 219
- - drept și plat 268
- - drept 262
- egalitate 140
F
Formule de aproximare 94, 199, 200
- gipsuri 180, 222
- adaosurile 222-224
- unghiuri duble trigonometrice 224
Funcții inverse reciproc 242, 243, 249
- monoton 246
- invers 243, 244, 245
- periodic 176, 185
- indicativ 327, 329, 341, 375
- trigonometric 175, 177, 181 Funcția 22, 70
- logaritmic 332, 333
- impar 81
- chiar 80
C
Cilindru 283, 284, 289
Chiar și 178 numărul 7
- real 8
-e 330
- irațional 324
- natural 8
- negativ 35
- pozitiv 35
- rațional 8.323
H
Cadrilaterul 130
W
Bile 291, 292
Matematica. Bashmakov M.I.
a 3-a ed. - M.: 2017.- 256 p. M.: 2014.- 256 p.
Manualul a fost scris în conformitate cu programul de studiere a matematicii în instituțiile NPO și SPO și acoperă toate subiectele principale: teoria numerelor, rădăcini, puteri, logaritmi, linii și planuri, corpuri spațiale, precum și elementele de bază ale trigonometriei, analizei. , combinatorică și teoria probabilităților. Pentru elevii din instituțiile de învățământ profesional primar și secundar.
Format: pdf(2017, 256 sec.)
Marimea: 8,6 MB
Urmăriți, descărcați:drive.google
Format: pdf(2014, 256 sec.)
Marimea: 52,6 MB
Urmăriți, descărcați:drive.google
Cuprins
Notația de bază 3
Prefață 4
Capitolul 1. DEZVOLTAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR 7
Lecția 1. Numere întregi și numere raționale 7
Lecția 2. Numerele reale 11
Lecția 3. Calcule aproximative 15
Lecția 4. Numere complexe 18
Conversaţie. Numerele și rădăcinile ecuațiilor 22
capitolul 2
Lecția 1 Recenzia 26
Lecția 2. a n-a rădăcină 29
Lecția 3. Grade 33
Lecția 4. Logaritmi 37
Lecția 5. Funcții exponențiale și logaritmice 40
Lecția 6. Ecuații și inecuații exponențiale și logaritmice 46
Conversaţie. Calcularea puterilor și a logaritmilor 49
Capitolul 3. LINII ŞI PLANURI ÎN SPAŢIU 52
Lecția 1. Dispunerea reciprocă a liniilor și planurilor 52
Lecția 2. Paralelismul dreptelor și planurilor 56
Lecția 3. Unghiurile dintre drepte și plane 58
Conversaţie. Geometria lui Euclid 61
Capitolul 4. COMBINATORII 66
Lecția 1. Construcții combinatorii 66
Lecția 2. Reguli de combinatorie 69
Lecția 3. Numărul de orbite 72
Conversaţie. Din istoria combinatoriei 77
Capitolul 5. COORDONATE ȘI VECTORI 79
Lecția 1 Recenzie 79
Lecția 2. Coordonate și vectori în spațiu 83
Lecția 3. Produs punctual 85
Lecția 4. Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor 88
Conversaţie. Spațiul vectorial 90
Capitolul 6. BAZELE TRIGONOMETRIEI 93
Lecția 1. Unghiuri și mișcare de rotație 93
Lecția 2, Operații trigonometrice 98
Lecția 3. Transformarea expresiilor trigonometrice 103
Lecția 4. Funcții trigonometrice 109
Lecția 5. Ecuații trigonometrice 114
Conversaţie. Din istoria trigonometriei 120
Capitolul 7. FUNCȚII ȘI GRAFICE 122
Revizuirea sesiunii 1 concepte generale 122
Lecția 2. Schema studiului funcției 127
Lecția 3. Transformări de funcție și acțiuni asupra acestora 131
Lecția 4. Simetria funcțiilor și transformarea graficelor lor 136
Lecția 5: Continuitatea funcției 139
Conversaţie. Dezvoltarea conceptului de funcție 141
Capitolul 8, Poliedre și corpuri rotunde 143
Lecția 1. Dicționar de geometrie 143
Lecția 2. Paralelepipede și prisme 145
Lecția 3. Piramide 148
Lecția 4. Corpuri rotunde 151
Lecția 5. Poliedre regulate 154
Conversaţie. Solidele platonice 157
Capitolul 9. ÎNCEPUTURI ALE ANALIZEI MATEMATICE 159
Lecția 1. Procesul și modelarea acestuia 159
Lecția 2 Secvențe 165
Lecția 3. Conceptul de derivat 171
Lecția 4. Formule de diferențiere 176
Lecția 5. Derivate ale funcțiilor elementare 180
Lecția 6. Aplicarea derivatei la studiul funcțiilor 183
Lecția 7. Sarcini aplicate 187
Lecția 8. Antiderivată 193
Conversaţie. Formula Taylor 195
Capitolul 10. INTEGRALUL ȘI APLICAȚIILE LUI 198
Lecția 1. Arii figurilor plane 198
Lecția 2. Teorema Newton-Leibniz 201
Lecția 3. Corpuri spațiale 207
Conversaţie. Mărimi integrale 213
Capitolul 11. ELEMENTE ALE TEORIEI PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICĂ MATEMATICĂ 219
Lecția 1. Probabilitatea și proprietățile ei 219
Lectia 2. Retestări 222
Lecția 3. Variabila aleatoare 225
Conversaţie. Originea teoriei probabilității 228
Capitolul 12. ECUATII SI INEGUALITATI 230
Lecția 1 Echivalența ecuațiilor 230
Lecția 2. Tehnici de bază pentru rezolvarea ecuațiilor 233
Lecția 3 Sisteme de ecuații 238
Lecția 4. Rezolvarea inegalităților 242
Conversație, Solvabilitatea ecuațiilor algebrice 247
Răspunsuri 249
cuvânt înainte
Matematica timp de 2500 de ani de existență a acumulat cel mai bogat instrument pentru studiul lumii din jurul nostru. Cu toate acestea, după cum a remarcat academicianul A.N. Krylov, un matematician și constructor de nave rus de remarcat, o persoană apelează la matematică „să nu admire nenumărate comori”. În primul rând, trebuie să se familiarizeze cu „secole de instrumente dovedite și să învețe cum să le folosească corect și cu pricepere”.
Această carte vă va învăța cum să manipulați instrumente matematice, cum ar fi funcțiile și graficele lor, forme geometrice, vectori și coordonate, derivate și integrale. Deși este posibil să fi avut prima expunere la unele dintre aceste concepte mai devreme, cartea prezintă x din nou. Acest lucru este convenabil pentru cei care au uitat puțin materialul studiat anterior și este util pentru toată lumea, deoarece chiar și lucrurile familiare vor dezvălui aspecte și conexiuni noi.
Pentru a facilita lucrul cu manualul sunt evidențiate cele mai importante prevederi și formulări. Ilustrațiile joacă un rol important, așa că este necesar să luați în considerare cu atenție desenul legat de text pentru o mai bună înțelegere a textului (chiar și în antichitate au folosit această metodă de a studia matematica - au desenat un desen și au spus: „Uite!” ).
Pe lângă valoarea practică neîndoielnică a cunoștințelor matematice obținute, studiul matematicii lasă o amprentă de neșters în sufletul fiecărei persoane. Cu matematica, mulți asociază obiectivitatea și onestitatea, dorința de adevăr și triumful rațiunii. Mulți oameni au o viață întreagă de încredere în sine, care a apărut atunci când au depășit dificultățile neîndoielnice pe care le-au întâmpinat în studiul matematicii. În cele din urmă, cei mai mulți dintre voi sunteți deschiși la percepția asupra armoniei și frumuseții lumii pe care matematica le-a absorbit, așa că nu ar trebui să abordați fiecare pagină a manualului, fiecare sarcină cu o evaluare a faptului dacă va fi folosită în noua viață care te asteapta dupa absolvire.
Subiectele cărora le este consacrat manualul - teoria numerelor, corpurile spațiale, fundamentele analizei matematice, începuturile teoriei probabilităților - nu au doar importanță aplicativă. Ele conțin idei bogate, familiarizarea cu care este necesară pentru fiecare persoană.
Aș dori să sper că studiul matematicii, pe care /manual ar trebui să ajute, îți va permite să fii convins de nivelul înalt al abilităților tale, să întărească dorința de a-ți continua educația și să aduci multe minute vesele de comunicare cu „legile de nezdruncinat”. care marchează întreaga ordine a universului”.
Acord
Reguli de înregistrare a utilizatorilor pe site-ul „SEMNUL DE CALITATE”:
Este interzisă înregistrarea utilizatorilor cu porecle precum: 111111, 123456, ytsukenb, lox, etc.;
Este interzisă reînregistrarea pe site (crearea de conturi duplicate);
Este interzisă utilizarea datelor altor persoane;
Este interzisă utilizarea adreselor de e-mail ale altor persoane;
Reguli de conduită pe site, forum și în comentarii:
1.2. Publicarea datelor personale ale altor utilizatori în chestionar.
1.3. Orice acțiuni distructive în legătură cu această resursă (scripturi distructive, ghicirea parolei, încălcarea sistemului de securitate etc.).
1.4. Folosind cuvinte și expresii obscene ca poreclă; expresii care încalcă legile Federația Rusă, norme de etică și morală; cuvinte și expresii asemănătoare poreclelor administrației și moderatorilor.
4. Încălcări ale categoriei a 2-a: Se pedepsește cu interzicerea completă a trimiterii oricărui tip de mesaje timp de până la 7 zile. 4.1 Plasarea informațiilor care intră sub incidența Codului penal al Federației Ruse, Codului administrativ al Federației Ruse și contrar Constituției Federației Ruse.
4.2. Propaganda sub orice forma de extremism, violenta, cruzime, fascism, nazism, terorism, rasism; incitarea la ură interetnică, interreligioasă și socială.
4.3. Discuție incorectă asupra lucrării și insulte la adresa autorilor de texte și note publicate pe paginile „SEMNE DE CALITATE”.
4.4. Amenințări la adresa membrilor forumului.
4.5. Plasarea de informații în mod deliberat false, calomnie și alte informații care discreditează onoarea și demnitatea atât a utilizatorilor, cât și a altor persoane.
4.6. Pornografie în avatare, mesaje și citate, precum și link-uri către imagini și resurse pornografice.
4.7. Discuție deschisă a acțiunilor administrației și moderatorilor.
4.8. Discuție publică și evaluare a regulilor existente sub orice formă.
5.1. Mat și blasfemia.
5.2. Provocări (atacuri personale, discreditare personală, formarea unei reacții emoționale negative) și hărțuirea participanților la discuții (folosirea sistematică a provocărilor în raport cu unul sau mai mulți participanți).
5.3. Provocarea utilizatorilor să intre în conflict între ei.
5.4. Nepoliticos și grosolănie față de interlocutori.
5.5. Trecerea la individ și clarificarea relațiilor personale pe firele de forum.
5.6. Flood (mesaje identice sau fără sens).
5.7. Scrierea greșită intenționată a poreclelor și a numelor altor utilizatori într-o manieră ofensatoare.
5.8. Editarea mesajelor citate, denaturarea sensului acestora.
5.9. Publicarea corespondenței personale fără în mod explicit consimțământul expres interlocutor.
5.11. Trollingul distructiv este transformarea intenționată a unei discuții într-o încăierare.
6.1. Mesajele de supracitare (citare excesivă).
6.2. Utilizarea fontului roșu, destinat corecțiilor și comentariilor moderatorilor.
6.3. Continuarea discutiei subiectelor inchise de moderator sau administrator.
6.4. Crearea de subiecte care nu au conținut semantic sau sunt provocatoare în conținut.
6.5. Crearea titlului unui subiect sau postare în întregime sau parțială cu majuscule sau în limbă străină. Se face o excepție pentru titlurile subiectelor permanente și subiectele deschise de moderatori.
6.6. Crearea unei subtitrări într-un font mai mare decât fontul postării și utilizarea mai multor culori ale paletei în legenda.
7. Sancțiuni aplicate celor care încalcă Regulile Forumului
7.1. Interzicerea temporară sau permanentă a accesului la Forum.
7.4. Ștergerea unui cont.
7.5. blocare IP.
8. Note
8.1.Aplicarea sancțiunilor de către moderatori și administrație poate fi efectuată fără explicații.
8.2. Aceste reguli pot fi modificate, care vor fi raportate tuturor membrilor site-ului.
8.3. Utilizatorilor li se interzice utilizarea clonelor în perioada în care porecla principală este blocată. LA acest caz clona este blocată pe termen nelimitat, iar porecla principală va primi o zi suplimentară.
8.4 Un mesaj care conține un limbaj obscen poate fi editat de un moderator sau administrator.
9. Administrare Administrația site-ului „ZNAK QUALITY” își rezervă dreptul de a șterge orice mesaje și subiecte fără explicații. Administrația site-ului își rezervă dreptul de a edita mesajele și profilul utilizatorului dacă informațiile din acestea încalcă doar parțial regulile forumurilor. Aceste puteri se aplică moderatorilor și administratorilor. Administrația își rezervă dreptul de a modifica sau completa aceste Reguli, dacă este necesar. Necunoașterea regulilor nu eliberează utilizatorul de responsabilitatea pentru încălcarea acestora. Administrația site-ului nu este în măsură să verifice toate informațiile publicate de utilizatori. Toate mesajele reflectă doar opinia autorului și nu pot fi folosite pentru a evalua opiniile tuturor participanților la forum în ansamblu. Mesajele personalului site-ului și ale moderatorilor sunt o expresie a acestora opinie personalași poate să nu coincidă cu opinia editorilor și a conducerii site-ului.
Mark Bashmakov s-a născut la 10 februarie 1937 la Sankt Petersburg. Tatăl, originar din țăranii din provincia Tver, mama provine din Vinnitsa. În 1954 a absolvit școala cu o medalie de aur și a intrat la Facultatea de Matematică și Mecanică a Universității de Stat din Sankt Petersburg. În 1959 a fost admis la liceu, apoi a lucrat ca asistent, conferențiar și profesor. Ulterior, și-a susținut teza de doctorat.
A început să lucreze activ cu școlarii ca student și a continuat-o la începutul anilor 1960. A participat la crearea și munca de cercuri, mai întâi la facultate, apoi în raioanele orașului Sankt Petersburg, apoi în unele orașe din Nord-Vest. A fost printre organizatorii primei olimpiade regionale la matematică în orașele Murmansk, Syktyvkar, a participat la pregătirea primei Olimpiade All-Union pentru școlari la matematică. În paralel cu munca sa, din 1977, timp de 15 ani, Bashmakov a condus catedra de matematică superioară la Universitatea Electrotehnică de Stat din Sankt Petersburg, numită după V.I. Ulianov.
În anii 1980, a predat timp de trei ani la școlile secundare profesionale din Sankt Petersburg. A creat pentru timpul său un program inovator de matematică pentru școlile secundare profesionale, manualul de matematică pe care l-a scris a fost retipărit în mod repetat și este încă solicitat în sistemul de învățământ profesional primar și secundar. Dovada recunoașterii meritelor sale a fost acordarea insignei sale „Excelent lucrător în învățământul profesional al URSS”.
În orașul Sankt Petersburg, sub îndrumarea unui profesor, Institutul a fost deschis în 1992 învăţare productivă. În anii următori, IPO a fost participant și organizator al unui număr de proiecte internaționale și naționale, al căror scop a fost dezvoltarea unor metode productive de învățare și utilizarea lor în practica educațională.
Din 2002 până în 2010, a fost responsabil de Laboratorul de Învățare Productivă de la Institutul de Conținut și Metode de Predare al Academiei Ruse de Educație. În 2011 a devenit șeful laboratorului de pedagogie productivă al Institutului formarea profesorilorși educația adulților RAO.
A fost ales membru cu drepturi depline al Academiei Ruse de Educație în 1993. Mai târziu, pentru un set de manuale, „Matematică pentru toți” a fost distins cu Premiul Guvernului Federației Ruse în domeniul educației și a primit titlul de „Laureat al Premiului Guvernului Federației Ruse în domeniul educaţie."
Lucrările științifice și principalele rezultate ale matematicianului se referă la algebră și teoria numerelor. Direcția principală de cercetare: aplicarea aparatului modern de algebră și topologie la soluționarea problemelor clasice din teoria ecuațiilor diofantine, teoria algebrică numere, geometrie algebrică.
Profesorul a primit o serie de rezultate informative, care au fost larg cunoscute și reflectate în monografii de recenzie. Literatura matematică mondială include astfel de concepte care îi poartă numele ca „teorema lui Bașmakov”, „problema lui Bașmakov” și „metoda lui Bașmakov”. A creat o școală științifică, din care au ieșit o serie de matematicieni cunoscuți, peste două duzini de candidați și doctori în științe fizice și matematice.
Pe baza experienței de a lucra la un internat, s-a dezvoltat și continuă să se dezvolte concept pedagogicînvăţare productivă. Conceptul este sistem pedagogic, care implementează proces educațional prin utilizarea rute individuale, cu acțiuni care asigură creșterea personală, autodeterminarea socială a participanților, creșterea rolului acestora în formarea, implementarea și evaluarea acestora. traseu educativ. Abordările s-au dovedit a fi apropiate de cele implementate sub forma Rețelei Internaționale a Școlilor Productive. Includerea liniei ruse în această rețea a avut loc la congresul INEPS.
Mark Ivanovici este autorul unei serii mari de manuale de matematică ale noii generații. Aceste manuale răspund nevoilor de bază ale studierii matematicii din clasele 1 până la 11 ale unei școli de învățământ general de diverse profiluri, instituții de învățământ profesional primar și secundar. Seria include peste 20 de manuale incluse în lista federală manuale, precum și peste 30 de materiale de sprijin educațional diferite. Participant activ și organizator al sistemului de olimpiade All-Union pentru școlari, membru al redacției revistei de știință populară Kvant și al revistei Mathematics at School.
Ca parte a implementării conceptului de învățare productivă, sub conducerea sa a fost creat un sistem de jocuri și concursuri didactice de masă. Un model pentru astfel de competiții a fost concursul de matematică „Cangurul”, la care participă școli din peste 20 de țări.
