1 Primär und sekundär berufliche Bildung M. I. Bashmakov
2 PRIMÄRE UND SEKUNDÄRE BERUFLICHE BILDUNG M. I. BASHMAKOV MATHEMATIK Empfohlen von der föderalen staatlichen Institution „ Bundesanstalt Bildungsentwicklung" als Lehrbuch für den Einsatz in Bildungsprozess Bildungsinstitutionen Durchführung von Programmen der primären und sekundären Berufsbildung Review Registrierungsnummer 174 vom 28. April 2009 FGU "FIRO" 5. Ausgabe, korrigiert von academ "a Moscow Publishing Center "Academy" 2012
3 LBC 22.1ya722 B336 Gutachter: Lehrer der Staatlichen Bildungseinrichtung Moskau Polytechnische Hochschule N. A. Kharitonova; Lehrer für Mathematik und Statistik GOU SPO Moskau Staatliche Technische Schule Technik, Wirtschaft und Recht ihnen. L. B. Krasina, T. N. Sinilova; Lehrer für Mathematik GOU SPO College of Automation und Informationstechnologien 20 Moskau T.G. Kononenko B 336 Bashmakov M.I. Mathematik: ein Lehrbuch für Institutionen Anfang. und durchschn. Prof. Bildung / M. I. Bashmakov. 5. Aufl., rev. M.: Verlagszentrum "Akademie", p. ISBN Das Lehrbuch wurde gemäß dem Lehrplan für das Studium der Mathematik in Einrichtungen der beruflichen Grund- und Sekundarbildung verfasst und deckt alle Hauptthemen ab: Zahlentheorie, Wurzeln, Potenzen, Logarithmen, Linien und Ebenen, räumliche Körper sowie die Grundlagen von Trigonometrie, Analysis, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Für Studenten in Einrichtungen der primären und sekundären Berufsbildung. UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 Das Originallayout dieser Veröffentlichung ist Eigentum des Academy Publishing Center, und jede Vervielfältigung ohne Zustimmung des Urheberrechtsinhabers ist untersagt. Verlagszentrum "Akademie", 2010
4 Grundlegende Notation Allgemeine mathematische Symbole ein Betrag (Modul) der Zahl a [a] ganzer Teil Zahlen a = gleich a ungefähr gleich > größer als< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>Folglich<=>ist genau dann äquivalent, wenn Kombinatorik ha! Fakultät Eine Anzahl von Anordnungen von r bis r C Anzahl von Kombinationen von r bis m Pn Anzahl von Permutationen von n Elementen Mengen 0 leere Menge N natürliche Zahlen Y. ganze Zahlen Q rationale Zahlen R reelle Zahlen C komplexe Zahlen AUfi Vereinigung von Mengen APW-Schnitt der Mengen aea a gehört zur Menge A a "a a gehört nicht zur Menge A g f Zusammensetzung der Abbildungen fug Komplexe Zahlen i imaginäre Einheit z komplex konjugiert zu K Z \r\ Betrag (Modul) der komplexen Zahl z Geometrie A(x; y) , AB Punkt A mit den Koordinaten x und y gerade Ebenen Linie a ist parallel zu Linie b Linie a schneidet Linie b Gerade a steht senkrecht auf Gerade b Gerade a schneidet Ebene a im Punkt P Ebene a parallel zur Ebene p Ebene a senkrecht zur Ebene p Vektor Folge und Funktionen K ) A/ df f\x) b \f(x)d . x Folge Inkrement der Funktion f Differential der Funktion) Ableitung der Funktion 1 am Punkt x Stammfunktion oder unbestimmtes Integral der Funktion / bestimmtes Integral der Funktion f von a nach b
5 Vorwort Die Mathematik hat in den 2500 Jahren ihres Bestehens das reichhaltigste Werkzeug für das Studium der Welt um uns herum angesammelt. Wie der Akademiemitglied A. N. Krylov, ein herausragender russischer Mathematiker und Schiffbauer, feststellte, wendet sich eine Person jedoch der Mathematik zu, "um nicht unzählige Schätze zu bewundern". Zunächst müsse er sich mit „jahrhundertelang erprobten Werkzeugen vertraut machen und lernen, sie richtig und gekonnt einzusetzen“. Dieses Buch wird Ihnen beibringen, wie man mathematische Werkzeuge wie Funktionen und ihre Graphen verwendet, geometrische Figuren, Vektoren und Koordinaten, Ableitung und Integral. Während Ihnen die meisten dieser Konzepte bereits früher vorgestellt wurden, werden sie in diesem Buch erneut eingeführt. Das ist praktisch für diejenigen, die den bisher gelernten Stoff ein wenig vergessen haben, und ist für alle nützlich, da selbst vertraute Dinge neue Aspekte und Zusammenhänge offenbaren. Um die Arbeit mit dem Lehrbuch zu erleichtern, sind die wichtigsten Bestimmungen und Formulierungen hervorgehoben. Illustrationen spielen eine wichtige Rolle, daher ist es notwendig, die zum Text gehörige Zeichnung sorgfältig zu betrachten, um den Text besser zu verstehen (sogar in der Antike benutzten sie diese Methode des Mathematikstudiums, um eine Zeichnung zu zeichnen und zu sagen: „Schau!“ ). Neben dem unbestrittenen praktischer Wert des erworbenen mathematischen Wissens hinterlässt das Studium der Mathematik einen unauslöschlichen Eindruck in der Seele eines jeden Menschen. Mit Mathematik verbinden viele Objektivität und Ehrlichkeit, den Wunsch nach Wahrheit und den Triumph der Vernunft. Viele Menschen haben ein Leben lang Selbstvertrauen, das entstand, als sie die unbestrittenen Schwierigkeiten überwanden, auf die sie beim Studium der Mathematik stießen. Schließlich sind die meisten von Ihnen offen für die Wahrnehmung der Harmonie und Schönheit der Welt, die die Mathematik aufgenommen hat, also sollten Sie nicht jede Seite des Lehrbuchs, jede Aufgabe mit einer Einschätzung angehen, ob sie im neuen Leben verwendet wird erwartet Sie nach dem Abschluss. Themen, denen das Lehrbuch gewidmet ist, Zahlentheorie, Raumkörper, Esnovs mathematische Analyse, haben die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht nur angewandter Wert. Sie enthalten reiche Ideen, deren Einarbeitung für jeden Menschen notwendig ist. Ich möchte hoffen, dass das Studium der Mathematik, das / Lehrbuch helfen sollte, es Ihnen ermöglicht, dies zu überprüfen hohes Level ihrer Fähigkeiten werden den Wunsch stärken, sich weiterzubilden, und viele freudige Momente der Gemeinschaft mit "unerschütterlichen Gesetzen, die die gesamte Ordnung des Universums kennzeichnen", bringen.
6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись natürliche Zahlen hat eine lange Geschichte. Die moderne Gesellschaft verwendet ein Dezimalsystem, in das 10 Ziffern eingegeben werden: 1,2 \u003d 1 + 1,3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 und 0. Die Zahl nach der Zahl 9 wird als 10 geschrieben. Weiter , beim Zählen in Zehnern, Hundertern (10 x 10), Tausendern usw. wird jede natürliche Zahl als a0 + + a ak10 k (ak f 0) dargestellt, wobei 0 ist< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в verschiedene Systeme Dezimalsystem 2010 Römisches System MMX Hieroglyphisches System der alten Ägypter (= 3000 v. Chr.) O n 2010 = 2 X Babylonisches (hexadezimales) System ("3500 v. Chr.) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10
7 oder Einheiten; m mal genommen ist der n-te Bruchteil der Einheit (die Art der natürlichen Zahlen) eine rationale Zahl. Es kann als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden. Derselbe Betrag kann mit verschiedenen Anteilen erzielt werden. Zum Beispiel ist klar, dass Piroge und Piroge dasselbe sind. ^ ^ Zwei gewöhnliche Brüche und sind untereinander gleich Щ n2 (d. h. sie sind Aufzeichnungen derselben rationalen Zahl), wenn und nur wenn die natürlichen Zahlen ml t9 txn2 und t2nx übereinstimmen: - = -<=>tgp2 = t2Hz. Пп 2 Nachdem positive rationale Zahlen gebildet wurden, werden negative Einsen und Nullen auf die übliche Weise hinzugefügt. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben Q bezeichnet. Ganze Zahlen m werden mit Brüchen identifiziert. 1 Es gibt Inklusionen N mit Z mit Q. 4. In der Menge der rationalen Zahlen Q sind zwei Rechenoperationen, Addition und Multiplikation, gehorsam definiert bekannte Gesetze kommutativ, assoziativ, distributiv. Warum brauchen Menschen Zahlen? Zunächst einmal für das Konto. Um die Anzahl der Objekte zu vergleichen, wurden zunächst einige Standardobjekte (Finger, Kieselsteine, Stöcke) verwendet. Dann wurden Symbole erfunden, um die Anzahl in Sets (Sammlungen, Sets) anzuzeigen, die gleiche Elemente haben. Eine weitere Quelle der Entwicklung des Zahlbegriffs war das Problem der Messung. Wenn Sie eine Maßeinheit für eine Menge (z. B. Länge) auswählen, können Sie damit vergleichen. In diesem Fall können Sie nicht nur die gesamte Einheit verwenden, sondern auch deren Bruchteile.
8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il gewöhnliche Brüche beim Rechnen mit rationalen Zahlen? I^UITIIVId Wie bereits erwähnt, kann dieselbe rationale Zahl in verschiedenen Brüchen geschrieben werden. Die Verbindung zwischen ihnen wird durch den folgenden Satz beschrieben., _ tl t9 t9 t3 Satz. Wenn \u003d - und \u003d - W "s Beweis. W "s dann Es ist erforderlich, zu beweisen, dass jj ^ die Definition der Gleichheit von Brüchen dafür müssen Sie die Gleichheit von ganzen Zahlen überprüfen: m ^ n3 \u003d m3ni. Wir verwenden diese Gleichungen: m1p2 = m2px und m2p3 = m3p2 Multiplizieren Sie die erste mit n3 und die zweite mit n1. Wir erhalten mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Die ganzen Zahlen m2p1p3 und m2p3nx sind einander gleich; wir nutzen die Eigenschaft der Transitivität ganzer Zahlen: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. Wir schreiben die Gleichheit der ganzen Zahlen m1p2p3 = m3p2nx um als n2(m1p3 - m3rii) = 0. Die Zahl n2 (der Nenner des mittleren Bruchs) kann nicht gleich Null sein. Wenn jedoch das Produkt zweier ganzer Zahlen Null ist, dann muss mindestens eine von ihnen Null sein. Wir erhalten, dass txp3 - t3p1 = 0, d.h. mxn3 = m3nx, was zu beweisen war. Wie führt man Rechenoperationen mit gemeinsamen Brüchen durch? 1. Fraktionsreduktion. 28 Drucker. Der Anteil kann reduziert werden. Dieses Tortendiagramm zeigt die Stimmenverteilung im Parlament zwischen den drei Parteien Blau, Grau und Weiß. Diese Verteilung kann als Bruch geschrieben werden: = 180 Gesamtzahl setzt; " " 4 Als Gesamtanteil können Sie wählen ^: 12 Welcher Teil des Volumens des Kolbens wird gefüllt, wenn Flüssigkeiten aus zwei identischen Kolben abgelassen werden? kann sequentiell durchgeführt werden, wobei die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner gefunden und durch sie dividiert werden:
9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 Subtraktion m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 Multipliziere wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg Nenner zu ihrem größten gemeinsamer Teiler(ggT): T_ "Der Bruch ist irreduzibel. Sein Zähler und 15 Nenner sind teilerfremde Zahlen. 2. Addition (Subtraktion) von Brüchen. 5 3 Beispiel Für die Addition müssen Sie Brüche auf bringen gemeinsamer Nenner. Dazu ist es bequem, die Nenner in Primfaktoren zu zerlegen und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) zu nehmen: 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ Multiplikation (Division) von Brüchen "Beispiel. ( ):. Wir schreiben das Re- Und * V25 63J 7 Ergebnis in Form eines einzelnen Bruchs und kürzen: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Fragen und Aufgaben 1. Welche der folgenden Ausdrücke haben einen Wert gleich 1: 14 und mittel ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) EIN \u003d)) EIN \u003d 2,36-1,12-0,88 + 0,64; 7) EIN =? 4) L. ". C Der Wareneinsatz wurde beim ersten Mal um a %, beim zweiten Mal um b % des Neupreises reduziert. In welchen Fällen betrugen die Warenkosten dadurch 60 % des ursprünglichen Preises: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10? O 2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; acht
10 t numerische Ausdrücke: 1) die Anzahl der „glücklichen“ Bustickets: IT" " 2) die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Klasse von 30 Personen übereinstimmende Geburtstage gibt: \100% J, l d 180 1, Schätzen Sie, welche der folgenden Zahlen am nächsten am nächsten liegt Zahl: )0,001; 2) 0,01; 3) 0,1; 4)1. 5. Die Tabelle zeigt die Schmelzpunkte von Eis und Siedepunkte von Wasser in vier Temperaturskalen Celsius (C), Fahrenheit (F), Kelvin (K) und Réaumur (R). Unter der Annahme, dass die Temperatur des menschlichen Körpers in Grad Celsius 37 beträgt, berechnen Sie sie in anderen Skalen, wenn die Beziehung zwischen den Skalen linear ist: Indikator Skala C F K R Kochendes Wasser Schmelzendes Eis Lektion 2 Reale Nummern Was versteht man unter einer reellen Zahl? 1. Reelle Zahl. Rationale Zahlen reichten nicht aus, um Messprobleme zu lösen. Dies wurde vor mehr als 2,5 Tausend Jahren von antiken griechischen Mathematikern entdeckt, die bewiesen, dass die Diagonale eines Quadrats mit einer Einheitsseite nicht nur mit rationalen Zahlen gemessen werden kann, während andere damals noch nicht bekannt waren. Für die Einstellung natürlicher Zahlen können Sie bestimmte Gegenstände (Finger, Stöcke) verwenden, und für Messaufgaben können Sie einen Standardwert für die Länge des Segments wählen und die Zahlen geometrisch nach Segmenten bzw. nach ihrem Verhältnis zu den ausgewählten festlegen Einheitssegment (Skaleneinheit). E \- T 4 Allgemeine Maßnahme 3 A 9 4
11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj
Die 12 Zahlen sind die Zahlen V2, von denen oben fünfzehn Dezimalstellen angegeben wurden, oder die Zahl k (das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser): l \u003d 3. Die Menge aller reellen Zahlen wird mit dem Buchstaben R bezeichnet: N c Z c Q c R. Warum brauchten Sie reelle Zahlen, und reichten sie aus, um die Aufgaben zu lösen? Wie bereits erwähnt, wurde das Hinzufügen neuer, irrationaler Zahlen zu den rationalen Zahlen durch die Notwendigkeit verursacht, die Längen beliebiger Segmente zu messen. Mit Hilfe so konstruierter reeller Zahlen hat sich bereits herausgestellt, dass es möglich ist, viele andere Größen zu messen, die Skalar genannt wurden. Das Auftauchen neuer Probleme erforderte eine Weiterentwicklung des Zahlbegriffs, auf die wir später noch eingehen werden. Warum kann die Diagonale eines Quadrats mit einer Seitenlänge von eins nicht durch eine rationale Zahl gemessen werden? Diese Frage enthält die Formulierung des berühmten Satzes, der im VI. Jahrhundert bewiesen wurde. BC. Nachweisen. Nehmen wir an, dass die Länge der Diagonalen des Einheitsquadrats als Bruch geschrieben werden kann, was wir als irreduzibel betrachten werden. Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir die Gleichheit I = I m 1, d.h. I _ m 1 \u003d\n) U oder m 2 \u003d 2n 2. Da rechts eine gerade Zahl steht, sind die Zahl m g links und damit die Zahl m gerade Zahlen: m \u003d 2k . Durch Einsetzen und Reduzieren um 2 erhalten wir: 2k 2 = n 2. Durch die gleiche Überlegung erhalten wir, dass nun auch n eine gerade Zahl sein muss. Die Tatsache, dass der Bruch niuio wiiv ^ vudi galinun von reellen Zahlen Dezimal - \u003d 0, n 2 1, fortgesetzter Bruch - \u003d 2 + L F \u003d Zeile n 2, Kreisdiagramm Punkt auf der Zahlenachse B (-2) 0 1 Liter (2,5) 11
13 Dcjmnnc MdieMdiHKH auf der Zeitachse - 600"" Pythagoras Zähler und Nenner erwiesen sich als gerade Zahlen, was der Bedingung der Irreduzibilität des Bruches widerspricht. Dieser Widerspruch beweist den Satz von Euklid Archimedes Diophantus Al-Khwarizmi Fibonacci Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov Wie arbeiten sie mit reellen Zahlen? Eine unendliche Dezimalzahl ist eine Folge von Annäherungen durch endliche Dezimalstellen an eine gegebene reelle Zahl. Um arithmetische Operationen mit unendlichen Dezimalbrüchen durchzuführen, werden diese Operationen mit endlichen Dezimalbrüchen durchgeführt. Например, будем складывать = 1, Получаем: = 4 1,4 + 3,1 = 4,5 1,41 + 3,14 = 4,55 1,141 = 4,555 1,1415 = 4,5557 1,14159 = 4,55580 usw. Ebenso l 72 \u003d 4. Natürlich müssen solche Berechnungen mit einem Taschenrechner durchgeführt werden, aber gleichzeitig verfolgen, wie viele Stellen des Ergebnisses als korrekt angesehen werden können. Reelle Zahlen lassen sich als Punkte auf dem Zahlenstrahl darstellen. Wenn zwei Zahlen a und b durch die Punkte A(a) und B(b) auf der reellen Achse dargestellt werden, dann ist der Abstand zwischen den Punkten A und B gleich dem Betrag der Differenz zwischen den Zahlen a und b: \AB\ = \b - a\. Der Modul hat zwei wichtigste Eigenschaften: \ab\ = \a\ b( und \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?
14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu ZAHL f 7. Schreiben Sie die folgenden Zahlen als periodische Dezimalbrüche: x> 2.1, 3, 4 , ABER ; 6) Beweisen Sie die Irrationalität der folgenden Zahlen: 1) 0, ; 2) 0, Lektion 3 Annäherungsrechnungen Was ist nützlich über Annäherungsrechnungen zu wissen? 1. L „3 Annäherungen an I 1. Annäherungswert. Sei die Zahl x gegeben. Die Zahl a heißt Näherungswert der Zahl x, berechnet bis auf h > 0, wenn die Ungleichung \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13
15 3. f 16 = 3, Hertz. kg "A.. w -, Ct.. und W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. Unter dem Zeichen der Wurzel steht eine Zahl mit 40 Neunen nach dem Komma V0, Berechnen Sie die Wurzel mit 40 Nachkommastellen. 4. Überprüfen Sie, ob die Rundung der folgenden Zahlen auf die zweite Dezimalstelle korrekt erfolgt ist: 1) a = 1,1683, a ~ 0,17; 3) 72 "1,41; 5) es 2 "9,86. 2) a = 0,2309, a ~ 0,23; 4) ^1 0,86; 2 5. Stimmt es, dass der relative Fehler der Berechnung weniger als 1 % beträgt: 1) n «3,16; 3) Bereich eines Radiuskreises) ^ "21; 2) 2 10 "1000; etwa gleich; 5) 9 11 a 3 Yu 10? Lektion 4 Komplexe Zahlen Grafische Darstellung komplexer Zahlen m r = a + s M (a; b) Was ist eine komplexe Zahl und wie werden Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchgeführt? 1. Komplexe Zahlen. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind, a i ein Symbol ist, das als imaginäre Einheit bezeichnet wird. 16
18 Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet man mit dem Buchstaben C. Die reelle Zahl a identifiziert man mit der komplexen Zahl a + 0 r. Damit erweitern wir die Inklusionskette verschiedener Zahlenmengen: N c Z c Q c R c C Jede komplexe Zahl z ist ein Symbol der Form a + b.i. Die Zahl a heißt Realteil der Zahl z und die Zahl b ist ihr Imaginärteil. Die Definition der Addition zeigt, dass beim Addieren komplexer Zahlen deren Real- und Imaginärteil getrennt addiert werden. 2. Regeln zur Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. Komplexe Zahlen werden nach folgender Regel addiert: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Nach der Multiplikationsregel i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, d.h. das Quadrat der imaginären Einheit ist gleich der reellen Zahl -1. Öffnen Sie beim Multiplizieren komplexer Zahlen einfach die Klammern nach den üblichen Regeln und ersetzen Sie r 2 durch -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- that nicht nur z 2 = = -1, sondern auch (-i) 2 = konjugierte komplexe Zahlen. Die komplexen Zahlen a + bi und a - bi heißen zueinander konjugiert. Ihr Produkt ist gleich einer reellen positiven Zahl a 2 + b 2. Wenn z \u003d a + N f 0, dann a 2 + b 2 f 0 und wir können die Identität schreiben: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Daraus ist ersichtlich, dass die Zahl 2 + b 2 ist. a 2 + b 2 ist die Umkehrung der Zahl a + bi. Rechnen können reziproke Zahl, können Sie eine komplexe Zahl durch eine andere (außer Null) dividieren. 4. Bild komplexer Zahlen. Die Zahl z = a + bi kann durch einen Punkt in der Ebene mit den Koordinaten (a, b) dargestellt werden (z. B. M(a, b)). Bei einem solchen Bild entspricht die Addition komplexer Zahlen 2 + z Reelle Achse Konjugierte Zahlen z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ë = \om\ Komplexe Zahl Modul 17
19 Addition komplexer Zahlen Einige Interpretationen der Multiplikation komplexer Zahlen werden im Kapitel über Rotation und trigonometrische Funktionen diskutiert. Konjugierte Zahlen z \u003d a + bi und z \u003d a - bi werden durch Punkte dargestellt, die symmetrisch zur Abszissenachse sind. Die Zahl l/a 2 + b 2, also der Abstand von dem Punkt, der die Zahl z darstellt (sie sagen einfach vom Punkt z), zum Ursprung, wird Modul der komplexen Zahl genannt und mit \r\ bezeichnet. Wir notieren einfache Identitäten: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z<=>reelle Zahl. Gegenteil komplexe Zahl Subtrahieren komplexer Zahlen I = 2 Wozu brauchen wir komplexe Zahlen? Mit der Verwendung komplexer Zahlen haben Mathematiker neue Möglichkeiten. Werfen wir einen Blick auf einige von ihnen. 1. Es wurde möglich, die Wurzeln aller zu finden algebraische Gleichungen. Der Satz von Gauß, der als Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet wird, besagt, dass jede algebraische Gleichung mindestens eine komplexe Wurzel hat. 2. Ebenentransformationen (Paralleltranslation, Rotation, Homothetie, Achsensymmetrie und ihre Kombinationen) werden als einige einfache Operationen an komplexen Zahlen geschrieben. 3. Schwingungsvorgänge in Mechanik und Physik (Ausbreitung von Schall- und Lichtwellen, elektromagnetische Phänomene, Eigenschaften von Wechselstrom) werden viel einfacher mit komplexen Zahlen untersucht. Der folgende Satz erscheint jedem Ingenieur sehr aussagekräftig: "Betrachten Sie einen Leiter, durch den ein Strom mit einer Kraft von I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (amps) fließt", obwohl auf den ersten Blick das Auftreten eines "imaginären" Strom kann keine physikalische Bedeutung haben. achtzehn
20 I IV/ J - komplexe zahlen ist es bequem, geometrische figuren in die ebene zu stellen? Dies basiert auf der folgenden einfachen Regel. Satz. Der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten, die diese Zahlen darstellen. Die Abbildung zeigt, dass die Vektoren, die den Punkt z2 mit dem Punkt zu und den Ursprung mit dem Punkt + (~z2) verbinden, einander gleich sind. Daher ist die Zahl zx - z2\, die gleich dem Abstand vom Punkt + (~z2) zum Ursprung ist, gleich dem Abstand zwischen den Punkten und z2, was zu beweisen war. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ Der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen Wie wird mit komplexen Zahlen gerechnet? 1. Rechenoperationen: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i = r; ich _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ ich 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + ich; (1 + i) 4 = ((1 + if = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Schreiben der Gleichungen verschiedener Kurven unter Verwendung der geometrischen Interpretation des Moduls der Differenz zweier komplexer Zahlen: 1 ) ein Kreis mit Radius R, zentriert am Koordinatenursprung: r = R. 2) ein Kreis mit Radius R, zentriert am Punkt r0: z - Zq\ = R; 3) Eine Ellipse ist definiert als die Ortskurve von Punkten in einer Ebene, deren Summe der Abstände zu zwei Punkten in der Ebene konstant ist: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Ellipse mit Brennpunkten.fi(-1; 0) und F2(l; 0) 19
21 Fragen und Aufgaben 1. Berechnen Sie: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r)(; 5) r 3 ; 7) -; ich 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. Erweitere in lineare Faktoren: 1) a 2 + 4b 2 ; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a4 - b4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x Zeichnen Sie in der Ebene die Menge komplexer Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllen: 1) \r\ \u003d 3; 3) gg< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >eines; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >b. Erstellen von Lösungen für diese Gleichung
22 ganze Zahlen (und Null). Eine Gleichung der Form ax = b, wobei a und b ganze Zahlen sind und a Ф 0, hat ebenfalls nicht immer ganzzahlige Lösungen. Durch die Einführung rationaler Zahlen erhalten wir die Möglichkeit, die Lösungen dieser Gleichung für beliebige ganze Zahlen a und b (mit der gleichen Einschränkung a Ä 0) aufzuschreiben. Die Unlösbarkeit der Gleichung x 2 = 2 in rationalen Zahlen führte zum Auftreten reeller Zahlen, die wir uns heute in Form von unendlichen Dezimalbrüchen vorstellen. Unter ihnen vor allem diejenigen, die durch Radikale ausgedrückt wurden, d.h. durch die Wurzeln von Gleichungen der Form x n = a (a > 0). Auf diese Zahlen gehen wir in Kap. 2. Natürlich mit Hilfe Quadratwurzeln gelang es, das Problem der Lösung quadratischer Gleichungen zu untersuchen. Al-Khwarizmis Methode zur Bestimmung der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Die kubische Gleichung wurde im 16. Jahrhundert von italienischen Mathematikern mit Radikalen gelöst. Lösung der kubischen Gleichung x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 algebraische Notation komplexe Wurzeln einer quadratischen Gleichung geometrisches Bild der Wurzeln der Gleichung x 3 \u003d 1 Es ist bemerkenswert, dass in dem Fall, in dem die Gleichung drei reelle Wurzeln hat, eine negative Zahl unter dem Quadratradikal und steht echte Wurzel geschrieben als Summe konjugiert komplexer Zahlen. Also zurück ins 16. Jahrhundert. Mathematiker kamen auf die Notwendigkeit, "imaginäre" Zahlen einzuführen. Die Italiener reduzierten schnell die Gleichung vierten Grades Kubische Methode seine von L. Ferrari vorgeschlagene Lösung wurde 1545 von D. Cardano in seinem berühmten Buch Ars Magna veröffentlicht. 21
23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () Cardanos Formel zum Finden der Wurzeln der Gleichung x 3 + px + q = 0: Es dauerte fast dreihundert Jahre bis zum nächsten Schritt, als der norwegische Mathematiker N. Henrik Abel (parallel zum Italiener P. Ruffini) hat bewiesen, dass es das nicht gibt allgemeine Formel um die Gleichung fünften Grades zu lösen. Eine vollständige Beschreibung von Gleichungen, deren Wurzeln durch arithmetische Operationen und Wurzelziehen durch ihre Koeffizienten ausgedrückt werden können, wurde etwa zur gleichen Zeit von der Bemerkenswerten gegeben Französischer Mathematiker E. Galois. Er lebte nur 21 Jahre und starb 1832 in einem Duell, aber mit seinem Namen ist die Geburt der modernen Algebra verbunden. Die tiefen Werke von Galois wurden erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts verstanden. Wir haben also kurz eine Linie nachgezeichnet, um die Wurzeln des Polynoms zu finden, den Ausdruck der Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten unter Verwendung von arithmetischen Operationen. Eine andere Linie ist stärker mit der mathematischen Analyse verbunden. Die Frage nach dem Verschwinden einer durch ein Polynom definierten Funktion ist eine typische Frage der Funktionentheorie. Dass reelle Zahlen nicht ausreichen, um die Wurzeln eines Polynoms zu beschreiben, wurde auch nach den Arbeiten der Italiener im 16. Jahrhundert deutlich. Die natürliche Frage, ob es genügend komplexe Zahlen gibt, um die Wurzel eines Polynoms zu finden, ob es notwendig ist, einige neue Zahlen zu den komplexen Zahlen hinzuzufügen, wurde vom deutschen Mathematiker K. F. Gauß gelöst und Ende des 18. Jahrhunderts veröffentlicht. Er bewies, dass jede Gleichung (auch mit komplexen Koeffizienten) eine komplexe Wurzel hat. Axiome Der konstruktive Weg, den wir beschrieben haben, um die Frage zu beantworten: „Was ist eine Zahl?“ ist nicht der einzige. Anstatt diese Frage zu beantworten, schlägt die moderne Mathematik vor, genauer zu formulieren, was ist
24 Eigenschaften von Zahlen, welche Operationen mit ihnen durchgeführt werden können. Unterschiedliche Zahlensysteme haben unterschiedliche Eigenschaften dieser Operationen. Das reichste System ist das Feld. Ein Zahlensystem bildet einen Körper, wenn beide Operationen (Addition und Multiplikation) die Durchführung der Umkehroperationen (Subtraktion und Division) erlauben. Jedes Zahlensystem mit zwei Operationen, für die neun Axiome gelten, heißt Körper. Die Mengen Q der rationalen Zahlen, R der reellen Zahlen sind Körper. Die Mengen der natürlichen Zahlen N, ganzen Zahlen Z, positiven Zahlen R* sind keine Körper. Die Feldaxiome beschreiben nicht alle Eigenschaften reeller Zahlen, die wir brauchen. Sie reden nur darüber Rechenoperationenüber ihnen. Es gibt auch eine umfangreiche Gruppe von Eigenschaften, die mit den Konzepten der Ungleichheit und des Abstands zwischen Zahlen verbunden sind. Wir werden auf diese Eigenschaften beim Studium der Prinzipien der mathematischen Analyse zurückkommen (siehe Kapitel 9). Neben den „Standard“-Feldern Q und R gibt es noch viele weitere Felder. Besonders wichtig unter ihnen sind die sogenannten endlichen Körper, d.h. Systeme, die aus endlich vielen Elementen bestehen und gleichzeitig Felder sind. Wenn wir eine beliebige Primzahl p nehmen und die Reste betrachten, nachdem wir eine andere beliebige ganze Zahl durch p dividiert haben (es wird genau p geben: 0, 1, 2, ..., p - 1), dann können wir Addition und Multiplikation von Resten definieren auf so natürliche Weise, dass sie ein Feld bilden. Dazu müssen Sie die üblichen Operationen mit den Resten wie mit ganzen Zahlen durchführen und die resultierende Zahl durch den Rest der Division durch p ersetzen (man sagt: berechne modulo p). An den Resten der Division durch 5 können Sie beispielsweise alle Operationen ausführen: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, d.h. -3 = 2 und -2 = 3 und so weiter. Axiome 1. Addition und Multiplikation sind kommutativ und assoziativ, d.h. die folgenden Identitäten gelten: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc). 2. Addition und Multiplikation haben neutrale Elemente (Null für Addition und Eins für Multiplikation): 5) a + 0 = a; 6) 1 ein = ein. 3. Die Umkehroperationen sind möglich: 7) für jede Zahl a existiert gegensätzliche Nummer(-und diese. a++(-a) = 0; 8) zu jeder Zahl a Ф 0 gibt es eine inverse Zahl a -1, d.h. a-a" 1 = Distributivgesetz: 9) a(b + c) = ab + ac.
25 n n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 natürliche Zahl; aber eine willkürliche Zahl. Dann ein "Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist: a 2 \u003d a-ein Quadrat der Zahl a; a 3 \u003d a-a-a Würfel der Zahl a. p 2" Natürliche Zahlen werden sequentiell bestimmt, beginnend bei eins (N \u003d 1 , 2, 3 ...). Wenn wir eine Zahl n kennen, dann ist die nächste Zahl n + 1. Auf die gleiche Weise können wir die Grade nacheinander mit bestimmen natürlicher Indikator: Wir glauben, dass a 1 = a; Wenn wir a kennen, setzen wir a n + 1 = a p a. 2. Verallgemeinerung des Gradbegriffs auf beliebige ganzzahlige Exponenten. Für jede Zahl a * 0 definieren wir a p = a p, wobei p eine natürliche Zahl ist. Fügen Sie die Definition von a hinzu Grad mit einem Exponenten: a 0 = a"" = 1, a * O. a" Null 24
26 3. Eigenschaften von Graden mit ganzzahligen Lücken: Multiplikation: a t a n = a m + n; Division: ein t: ein n = ein t ~ n; Potenzierung: (a n) n = a mp. 4. Geometrische Progression. Eine geometrische Progression ist eine Folge, die durch den ersten Term a1 und die Wiederholungsbeziehung an+1 = an q gegeben ist, die es einem erlaubt, jeden ihrer Terme zu berechnen, wenn man den vorherigen kennt. Die konstante Zahl q heißt der Nenner der Progression. Allgemeine Begriffsformel: ap \u003d ax q p ~ 1. Die Summe von n Mitgliedern: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1). q-1 5. Leistungsabhängigkeiten und Funktionen. Wenn man eine beliebige ganze Zahl m wählt, kann man eine Potenzfunktion y = kx m konstruieren, die für alle x definiert ist, wenn m eine natürliche Zahl ist, und für alle x außer Null, wenn m ist< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х quadratische Funktion y \u003d X 2 Kubische Funktion (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. Beim Potenzieren werden die Exponenten multipliziert, beim Multiplizieren der Potenzen werden sie addiert 2. Sortieren Sie die Abschlüsse in aufsteigender Reihenfolge:
27 rat / un fupptspp bei lp reduzieren wir alle Grade auf eine Basis: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. Da die Zahl 2 > 1 und 2 * > 0 für jede ganze Zahl k, dann 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k für jede ganze Zahl k. Deshalb ordnen wir die Exponenten in aufsteigender Reihenfolge: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. Bestimme den ersten Term aus der Formel -eines]. x Das Diagramm zeigt, dass die Funktion y im angegebenen Intervall abnimmt. Daher nimmt es den größten Wert von M am linken 1_ 1 Ende des Intervalls: M = -2 ~ 2 5. Bestimmen Sie die Höhe des Beitrags. Der Bank fallen jährlich x % auf die Einlage an. Am Ende des Jahres wird die Einlage verzinst. Wie hoch wird der Beitrag in n Jahren sein? Lassen Sie uns den anfänglichen Beitrag mit A bezeichnen. In conx (wird er am Ende des Jahres gleich A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^, so dass der Beitrag in einem Jahr durch Multiplikation mit erhalten wird die Zahl ^ = 1 x Jqq "Geometrische Progression A , Aq, Aq 2,... ergibt die Folge der Beiträge für jedes Jahr.26
28 Formel für den Beitrag An nach n Jahren Lp =.A^l + j heißt Zinseszinsformel. Zinseszinsformel À =À Fragen und Aufgaben 1. Berechnen Sie: 1) 2 10 ; 3) "2.3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0.1) "6 - (4-3) - 2. Vereinfachen: 5 "IttI: 3. Welche der Zahlen ist größer: 1) oder Z 20; 2) a 3) Z99 3 oder () 3; 2) oder; 4. Finden Sie x aus der Gleichung: 4) 9 "2 oder) 2 x \u003d 2) 10 2d:" 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) Der erste Term der geometrischen Folge (a) ist gleich 1 und der Nenner q \u003d 1,1.Bei welchem kleinsten n wird der Term an mehr als zwei?6. Bestimmen Sie aus dem Diagramm, für welches x die Werte der Funktion y \u003d 2x 2 größer oder gleich den Werten der Funktion y \u003d X sind s. 7. Was ist die Wertemenge? \u200b\u200bder Funktionen y \u003d x k für k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. Finden Sie das kleinste und größten Wert Funktionen y \u003d x ~ 2 im Intervall [-3; -2]. _8_ 27 "Lektion 2 Wurzel nter Grad Was ist eine wurzel nter Grad und was sind seine eigenschaften? 1. Definition. Sei n > 1 eine natürliche Zahl; aber eine willkürliche Zahl. Eine n-te Wurzel von a ist eine Zahl b mit b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a für a\u003e 0 \/a "\u003d y / a für a\ u003e 0 27
29 p sfn 2 1,41 3 1,24 6 2,45 7 2,65 8 2,16 Würfelkante /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv Quadratdiagonale Zum Beispiel ist die Zahl 3 die Wurzel des 4. Grades aus der Zahl 81, da Z 4 \u003d 81. Die Zahl -3 ist auch die 4. Wurzel der Zahl 81, da (-3) 4 auch 81 ist. In der Sprache der Gleichungen können wir sagen, dass die n-te Wurzel der Gleichung aus der Zahl a die ist Wurzel x n = a. 2. Existenz. Für a > 0 gibt es für jede natürliche Zahl n > 1 eine Eindeutigkeit positive Wurzel n-ter Grad von Nummer a. Es wird durch das Wurzelzeichen bezeichnet: Für a > 0 ist y/a eine Zahl b, so dass b > 0 und b n = a. Die Notation \[a erstreckt sich auf a = 0: \/0 = 0 und auf a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, natürliche Zahl) hat folgende Anzahl Wurzeln: 1) n ist gerade: es gibt keine Wurzeln für a< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n ist ungerade: eine Wurzel l/a für jedes a. 4. Eigenschaften von Radikalen: 1) = a, b > 0; Diagonale des Würfels 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^ ein. Warum eingeführt werden Wurzeln des n Grad? Die n-te Wurzel finden oder, wie man traditionell sagt, die Wurzel ziehen n-vi Grad Dies ist die umgekehrte Operation zum Potenzieren einer positiven Zahl:
30 ein p = b<=>ein = "
31 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke, die Radikale enthalten:. Vl-2^3+^9. Unter der Quadratwurzel steht volles Quadrat I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. Beim Ziehen der Quadratwurzel aus a 2 haben wir das Vorzeichen von a berücksichtigt: 1_z / z<0=>^/3-1>0. Also: l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. und IVUTUpUi "U pauii" * "" wissen wir, dass eine solche Zahl eindeutig ist. Prüfen wir, ob die Zahl y[a diese Bedingungen erfüllt. Sie ist positiv (als Produkt zweier positiver Zahlen) und ihre nter Grad gleich ab ist: (Va Ä)У = (Ta)" (Tfc)" = a b. Wie werden Probleme mit Wurzeln gelöst? Gegeben: Die Frequenzfolge der Töne bildet eine geometrische Folge; ag = ein; a10 = 2a. Suche: q. Lösung: da a10 \u003d axq 9, dann erfüllt q die Gleichung 2a \u003d a q g, d.h. q g \u003d 2 und \u003d V (= 1/3-1; 1 "Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit dem unvollständigen Quadrat der Summe der Zahlen und 1 (n/2 + 1) und wir erhalten Zahlen unter dem Vorzeichen der Wurzel, durch Potenzen Primzahlen und Gebrauch) \J ^/2-l/z 5 ^ Fragen und Aufgaben 1. Welche der folgenden Zahlen sind rational: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) + ; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Sind Gleichheiten immer wahr 1) = à 3 ; 2) = eine 4? 3. Berechnen: 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-Vl25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. dreißig
32 1),/0,999 oder 0,999; 3) 3/10000 oder 21; 2) ^2009 oder 2^2008; 1 + V2 4) ^ + oder 2^2-3? 5. Vereinfachen Sie den Ausdruck: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 „3) 1-4/2“ 4) V2 + V3 + V5 „Lektion 3 Grade Was versteht man unter einem Grad mit beliebigem Exponenten? 1. Grade a x für verschiedene Zuordnungen der Zahl x. Sei eine positive Zahl a gegeben werden.Wie potenziert man sie mit x?Die Antwort hängt davon ab, wie die Zahl x gegeben ist: 1) x ist eine ganze Zahl ist eine rationale Zahl, geschrieben in k als x-, pral, wobei u k eine ganze Zahl ist, n per Definition a n = \ak ist, gegeben durch eine Folge rationaler Näherungen x0, x1, x2,..., xn, ... Die Zahlen xt sind rational, sie lassen sich k als gewöhnliche Brüche x, = schreiben, dann sind die Zahlen h eindeutig bestimmt ]Ji=a Xi =a Die Folge y0, yi..., yk1 ist eine Folge von Annäherungen an eine bestimmte Zahl y, die als Potenz von ax genommen wird. Ihre Abschlüsse. Die Eigenschaften von Graden mit ganzzahligen Exponenten werden auf Grad mit beliebigen Exponenten übertragen: Geschichtlicher Bezug Positive Bruchindikatoren waren die ersten, die vom französischen Wissenschaftler N. Orem () verwendet wurden. Null und ganze Zahlen negative Indikatoren erschien mehr als 100 Jahre später und auch in Frankreich (N. Shuke). Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Bruchexponenten Beispiel Um den Grad von 2 n zu berechnen, stellen wir die Zahl ts als unendlichen Dezimalbruch dar l \u003d 3, Wir schreiben eine Folge von Dezimalannäherungen an die Zahl l in der Form XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000 usw. "31
33 Betrachten Sie dann die Zahlen 2 x "= 8, 2*i = 8,574, 2*2= 10^2 iit = 8,815 usw. Diese Folge definiert eine Zahl y, die die Potenz der Zahl 2 ist". Die ersten Dezimalstellen der Zahl 2 "sind wie folgt: 2" \u003d 8, Eigenschaften der Grade (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a in b 3! l U 3 J g "b 12 Beispiele, wenn Exponenten auf Grad angehoben werden, werden multipliziert; Z 2 Z 3 \u003d \u003d Z 5, wenn multipliziert wird, werden die Exponenten hinzugefügt. In der Tat, wenn r \u003d \u003d \u003d, TO Ajrtg \u003d "2 P 1-" 2 Einerseits und r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32
34 2) Wenn wir die Folge der rationalen Approximationen auf dieselbe Zahl ändern, nähern sich die entsprechenden Folgen von Potenzen derselben Zahl an? 3. Eigenschaften von Graden mit rationalen Exponenten werden anhand von Eigenschaften von Radikalen bewiesen und dann auf beliebige Exponenten übertragen. Wie werden Abschlüsse mit einem willkürlichen Indikator zur Lösung von Problemen verwendet? 1. Gradberechnung durch Wurzeln: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. Reduktion auf eine Basis: 1 z Wir schreiben die Zahlen 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I als Potenzen der Zahl 3 mit einem rationalen Exponenten: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (З 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = h! 3. Umwandlung von Ausdrücken 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. Die Lösung der einfachsten Gleichungen: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1 ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. Bernoullis Ungleichung Beim Vergleich von Potenzen muss man oft verschiedene Ungleichungen verwenden. nützliche Ungleichheit(ein Sonderfall der berühmten Bernoulli-Ungleichung): sei x > 0, n > 1, dann (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. Es bleibt die Ungleichung für n = 2 zu prüfen. Tatsächlich gilt die Bernoulli-Ungleichung nicht nur für x > 0, sondern auch für -1< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r und a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8 "r - 1) und s-r
35 Fragen und Aufgaben 1. Schreiben Sie als Abschluss mit rationalem Indikator auf: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; in"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>ICH); j) Tanne. 3. Gehen Sie wie folgt vor: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. Ordnen Sie die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 Std.; s L 5 5) Tsa 2) s J ; 6) "1" 93 2) I z I ; s; 9 Z; 34; 3) 2 4 ; ; (-3) 4 ; ; J1 4) Z 3 ; (-2) 3 ; 2 e. 5. Beweise Ungleichheit:)< ;) 33 >4^ >55; 4) >1. 6. Lösen Sie die Gleichungen, indem Sie Potenzfunktionen (oder deren Kombinationen) links davon und auftragen richtige Teile: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 m 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2
36 Lektion 4 Logarithmen Was ist ein Logarithmus? 1. Definition. Der Logarithmus einer Zahl c zur Basis a ist eine Zahl b, so dass a b = c, d.h. der Exponent, zu dem die Basis erhoben werden muss, um c zu erhalten: b = logac. Die Basis und die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus müssen positiv sein. Außerdem wird angenommen, dass a Ф 1. Wenn die Basis a \u003d 10 ist, wird ein solcher Logarithmus der Zahl c als Dezimal bezeichnet und mit lgc bezeichnet, d.h. lgc = log10c. 2. Eigenschaften von Logarithmen. Die Eigenschaften von Grad und Logarithmus sind miteinander verbunden: Historischer Hintergrund Die ersten Logarithmentafeln wurden tatsächlich von dem deutschen Mathematiker M. Stiefel () erstellt. Der schottische Mathematiker J. Napier skizzierte in seiner Arbeit „Description of the Amazing Table of Logarithms“ (1614) die Eigenschaften von Logarithmen, die Regeln für die Verwendung der Tabelle und gab Rechenbeispiele. Seitdem wurden Logarithmen lange Zeit als "Nicht-Peer" bezeichnet. Eigenschaften von Kräften Logarithmen log(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga mit n 3. Einfache logarithmische Identität. Die Gleichheiten a b = c und b = logac drücken dieselbe Beziehung zwischen den Zahlen a, b und c aus. Wenn wir in die Gleichheit a b = c die Darstellung der Zahl b in Form eines Logarithmus einsetzen, erhalten wir die logarithmische Hauptidentität: a log c = c. Setzen wir die Potenzdarstellung von c in die Gleichheit b = logac ein, erhalten wir eine weitere Identität: logaa ft = b. 4. Übergang zu einer neuen Basis. Der Logarithmus der Zahlen ist aus verschiedenen Gründen proportional zueinander: J. Napier () Unabhängig von J. Napier veröffentlichte der Schweizer Mathematiker, Astronom und Uhrmacher I. Burgi (), der mit dem großen I. Kepler arbeitete, 1620 ähnliches , wenn auch weniger perfekte, logarithmische Tabellen. Die grundlegende logarithmische Identität logax = fclogbx. analog C _c
37 Anwendungen von Logarithmen 1. Flug einer Rakete mit variabler Masse. Ziolkowskis Formel setzt die Geschwindigkeit der Rakete und ihre Masse m in Beziehung: v = kvx\g, m wobei v1 die Geschwindigkeit der austretenden Gase ist; m0 Startmasse der Rakete; k-Koeffizient. Die Gasaustrittsgeschwindigkeit Wj bei der Brennstoffverbrennung ist gering (aktuell kleiner oder gleich 2 km/s). Der Logarithmus wächst sehr langsam, und um die Raumgeschwindigkeit zu erreichen, ist es notwendig, das Verhältnis groß zu machen, d. h. Geben Sie fast die gesamte Startmasse für Kraftstoff. 2. Schallschutzwände. Der Schalldämmungskoeffizient von Wänden wird nach folgender Formel gemessen: wobei p0 der Schalldruck vor der Absorption ist; p ist der Schalldruck, der die Wand durchdringt; Und eine Konstante, die in den Berechnungen gleich 20 dB genommen wird. Wenn der Schalldämmungskoeffizient D a 20 dB beträgt, dann lg ^ - \u003d 1 und P p0 \u003d Yur, d. H. Die Wand reduziert den Schalldruck um das 10-fache (eine Holztür hat eine solche Schalldämmung). Ð Eigenschaften von Logarithmen anwenden 1. Berechnung von Logarithmen. log2256 = log22 8 = 8; lg0,001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Der Proportionalitätskoeffizient k wird wie folgt berechnet: k = log, a oder k = logab. Er wird als Übergangsmodul von einer Basis des bezeichnet Logarithmus ineinander. Insbesondere logax = log!-, rx da loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C Warum braucht man Logarithmen? Leben der Astronomen. In der Tat der erste Zweck von Logarithmen sollte komplexe Berechnungen vereinfachen, bei denen die Multiplikation mit Logarithmen durch Addition ersetzt wurde Bis vor kurzem trug jeder Ingenieur einen Rechenschieber in der Tasche, mit dem man verschiedene Berechnungen durchführen konnte, die heute auf einem Taschenrechner durchgeführt werden Logarithmen ist es möglich, Probleme zu lösen, die invers zur Potenzierung sind: Wenn a x = b, dann lässt sich das unbekannte x als logab schreiben, wobei es hier nicht auf die Möglichkeit ankommt, sich selbst zu schreiben, sondern auf die Tatsache, dass durch Ändern von b, d.h. unter Berücksichtigung von x = loga & als Funktion von bj entdecken wir ein neues ha funktionale Abhängigkeit. Logarithmische Funktionen haben den Bestand an relativ verfügbaren Abhängigkeiten erheblich aufgefüllt einfaches Studium. Warum haben Logarithmen so praktische Eigenschaften? 1. Beweis der Regeln für Logarithmen. Alle Logarithmusregeln werden anhand der Potenzeigenschaften bewiesen. Beweisen wir zum Beispiel die Regel für den Logarithmus eines Produkts: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen. 36
38 Logac bezeichnen! = bly logac2 = b2. Gemäß der logarithmischen Hauptidentität haben wir Y \u003d cx, a h \u003d c2- Multiplizieren Sie diese Gleichheiten: abiabz \u003d CiC2\u003e Gemäß der Eigenschaft der Grade a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, d. H. Clc2 \u003d a bl + b2 Durch die Definition des Logarithmus bz + + b2 = loga(cic2), dann l0ga(c!c2) = logac! + logac2, was wir beweisen wollten, woher loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta Diese Formel wird oft wie folgt gelesen: Der Logarithmus einer Zahl zur neuen Basis ist der Logarithmus der Zahl zur alten Basis geteilt durch den Logarithmus der neuen Basis zur alten Basis. Der Proportionalitätsfaktor kann sein geschrieben als k = log ab, da logai > logba = 1 (setze x = b in die Formel) 2. Logarithmus 2 f Gegeben: A = (looa 3 &j. Finde: lga. Lösung. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. Potenzierung (Suchen des Ausdrucks durch seinen Logarithmus) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 =log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Übergang zu einer Basis. Gegeben: A = logj a - log^a og8a. 4 Gehen Sie zu Basis 2. Lösung. Beachten Sie, dass log22* = k dies Ihnen hilft, den Übergangsmodul verbal zu finden. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" P ] 6 log2a. ^ Fragen und Aufgaben 1. Berechne: 1) log a, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3 ; 1 ein f? gegebenen Ausdruck in Basis a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab
39 3. Finden Sie den Ausdruck A durch den Logarithmus: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - In cos L; (In ist der Logarithmus mit der Basis e (e "2,71828), genannt natürlicher Logarithmus); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Bestimmen Sie, welche der Zahlen größer ist: 5) log34 oder 1; 1) log32 oder 0; 2) log j 3 oder 0; 6) anmelden! oder 1; n 8 9) anmelden! 7 oder Protokoll, 10; 10) log, ODER log!. Z 5 Z 7 3) logs-oder 7) log23 oder log25; 4) logx oder 0; 8) log27 oder l g2-; 5. Ersetzen Sie die Logarithmen log, a, log8a, log! a, log2a, log3a in Basislogarithmen Finden: 1) logg9 wenn logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915 wenn log 25 = a; Lektion 5 Exponential- und Logarithmusfunktionen Sieben arithmetische Operationen Addition Multiplikation Exponentiation a + b = c Subtraktion Division Wurzel ziehen Logarithmus c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logac = b Welche neuen Potenzen und Logarithmen ergeben sich für die Studium der Funktionen? 1. Eine Abhängigkeit drei Funktionen. Betrachten wir drei Variablen x, y und z, die durch die Abhängigkeit z x = y verbunden sind. Legen wir den Wert der Variablen r = a fest, indem wir fordern, dass die Bedingungen a > 0 und Φ 1 erfüllt sind.Wir können die Beziehung zwischen den beiden anderen Variablen schreiben als y = ax. Indem wir x willkürlich ändern, erhalten wir eine Exponentialfunktion oder Exponentialfunktion. Lassen Sie uns die Variable x als Funktion von y aus der gleichen Beziehung y = ax: x = logay ausdrücken. Indem wir y als Argument ändern, erhalten wir eine logarithmische Funktion. Wenn wir im gleichen Verhältnis r x = y den Index x = k festlegen, erhalten wir die bereits bekannte Potenzfunktion y = z k. Mehr Software
40 erhält man eine Potenzfunktion, 1 z bis y \ z = y k. Natürlich muss man bei all diesen Übergängen die Beschränkungen beachten, die den Variablen auferlegt werden. Das haben wir bereits für die Exponentialfunktion y = a x gemacht, vorausgesetzt, dass a > 0 und Φ 1 ist. Für die logarithmische Funktion x = logay müssen wir zusätzlich fordern, dass y positiv ist, da a x > 0, und x aus der bestimmen Die Beziehung a x = y ist notwendig, damit y größer als 0 ist. Überlegen Sie selbst, welche Einschränkungen Sie Variablen auferlegen müssen, um Potenzfunktionen zu berücksichtigen. 2. Eigenschaften und Graph der Exponentialfunktion y \u003d a x: Definitionsbereich: die Menge aller reellen Zahlen R; Monotonie: Für a > 1 nimmt die Funktion y \u003d a x zu, für 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; Intervalle mit konstantem Vorzeichen: - für a> 1 y = 0 für x = 1; bei< 0 при 0 < х < 1; у >0 für x > 1; - bei 0< а < 1 у < 0 при х >eines; y > 0 bei 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 nimmt über den gesamten Definitionsbereich bei 0 zu< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2
41 Radioaktiver Zerfall Bevölkerungszunahme Barometrische Formel Logarithmentabelle a log2a log a 2 1 0,47712 bis 1,01030 (Finden Sie Zusammenhänge zwischen den Zahlen in dieser Tabelle!) vorherige Lektion). radioaktiver Zerfall. Die Massenänderung des radioaktiven Stoffes erfolgt nach der Formel m(t) = m0-2~ s, wobei m0 die Masse des Stoffes zum Anfangszeitpunkt t = 0 ist; t ist die Masse der Materie zum Zeitpunkt t; k ist eine Konstante (Halbwertszeit). Bevölkerungswachstum. Die Veränderung der Bevölkerung des Landes in einem kurzen Zeitraum wird mit guter Genauigkeit durch die Formel N = N02 at beschrieben, wobei N0 die Anzahl der Personen bei t = 0 ist; N ist die Anzahl der Personen zum Zeitpunkt t; aber einige konstant. Eine ähnliche Formel wird verwendet, um die Veränderung der Anzahl der Individuen in Tierpopulationen unter bestimmten Bedingungen zu berechnen (z. B. wenn genügend Nahrung vorhanden ist und keine äußeren Feinde vorhanden sind). barometrische Formel. Der Luftdruck nimmt mit der Höhe ab (bei konstanter Temperatur) gemäß dem Gesetz p = p0e n, wobei p0 der Druck auf Meereshöhe ist (h = 0); p Druck in Höhe h; H ist eine gewisse Konstante in Abhängigkeit von der Temperatur. Bei einer Temperatur von 20 CJ - 7,7 km. 2. Rolle der Stiftung a. Müssen Exponential- und Logarithmusfunktionen für verschiedene Basen von a betrachtet werden? Tatsächlich würde es ausreichen, uns auf eine Basis zu beschränken, zum Beispiel a = 10 zu nehmen. Tatsächlich ist a* = 10**, wobei k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10 **, k \u003d lga Nach der Formel für den Übergang zu einer anderen Basis erhalten wir loga * = k \ gx, wobei k \u003d!. lga Daher anstelle von Funktionen der Form y \u003d a x wir kann Funktionen mit der gleichen Basis betrachten, aber mit einem Koeffizienten beim Wert des Arguments: y = 10** Ähnlich für logarithmische Funktionen 40
42 Wir betrachten Funktionen mit fester Basis, aber mit einem Koeffizienten am Wert der Funktion: y = k\gx. Einige Basen a spielen eine besondere Rolle: a \u003d 10 (Dezimallogarithmus). Da wir Zahlen in Dezimalschreibweise schreiben, hilft das Schreiben einer Zahl in der Form A \u003d Yu "unit, die Reihenfolge der Zahl A zu verstehen. Beachten Sie, dass für eine natürliche Zahl A die Zahl + 1 die Anzahl der Ziffern in der Dezimalschreibweise der Zahl A ([a] bezeichnet den ganzzahligen Teil der Zahl a); a \u003d 2 (binärer Logarithmus. In der Informatik wird das binäre Zahlensystem verwendet; a \u003d e (natürlicher Logarithmus). Diese Zahl ist nach L. Euler benannt, sie ist irrational und ungefähr gleich 2,7 Warum sind die aufgeführten Eigenschaften exponentiell und 1. Monotonie der Exponentialfunktion Nehmen Sie die Basis a > 1. Wir beweisen, dass xx< х2 =>ein * 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 für x > 0 (überlege warum). Als nächstes führen Sie die Transformation durch: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). Beide Faktoren in diesem Produkt sind positiv, also a* 2 > a* 1. Wenn wir a durch ersetzen, erhalten wir den Beweis von a, dass y = a x bei 0 ist< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. Beweisen wir, dass 0< < х2 =>Logax!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 für x > 1 (überlege warum). Führen wir die Transformation durch: loga x2 - loga xr = => 0, da 0< хг < х2 =>> a durch ersetzen, dann 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41
43 Graphen der Funktionen y \u003d a "und y \u003d logax und Definitionen. 3. Symmetrie der Graphen der Funktionen y \u003d a x und y \u003d loga; t. Die Graphen dieser Funktionen sind in Bezug auf die symmetrisch zueinander gerade Linie y \u003d x. Nehmen wir einen Punkt P(c; d) auf dem Graphen der Funktion y \u003d a x. Nach Bedingung d = a. Dann ist c = logad und der Punkt Q(d; c) liegt auf dem Graphen der Funktion y = \ogax. Die Punkte PhQ sind bezüglich der Geraden y = x zueinander symmetrisch. Wie werden die Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen zur Problemlösung genutzt? Vergleich der Werte numerischer Ausdrücke a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, a< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. Die Funktion nimmt auf der gesamten reellen Achse zu, also für beliebige Zahlen xx und x2, so dass xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Wir haben Monotonie verwendet Machtfunktion y \u003d x 4 für x\u003e 0: für jede 0< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. Also 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). Antwort: X< 0 и х >4, oder x e (-oo; 0) und u (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). Nun müssen gleichzeitig zwei Ungleichungen erfüllt werden (x > 0; s d.h. D: x > 4. x-4> 0, 42
44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. Ermitteln des Bereichs (OZ) einer im Intervall angegebenen Funktion: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x 2 Die Funktion y - 2 x wächst entlang der gesamten Zahlenachse 2. Ihr kleinster Wert auf dem Intervall wird am linken Ende erreicht, also bei x = 0 (mit y = -), der größte Wert am rechten Ende 2 x = 2 => y \u003d 2. Wenn sich x von 0 auf 2 ändert, füllen die Werte der Funktion y die Lücke von bis 2. 2 Antwort:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0 und F 1; a > 1, x1< х2 =>a * ich< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a > 1,0<х1<х2=>=> anmelden*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo «a* = x log X log x logs a logax = log X a ^ Fragen und Aufgaben 1. Geben Sie an, welche der folgenden Exponentialfunktionen auf der ganzen Zahlenachse steigen und welche fallen: 1) g/ = 5*; 3) j, = fjj ; 5) y = 2x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. Erstellen Sie Diagramme der folgenden Funktionen: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3 *; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2* -1; 6) r/ = 4 x Finden Sie die kleinsten und größten Werte der im Intervall angegebenen Funktionen: 1) y = 2 X + 2, [-1; eines]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43
45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x 2);/ = log2(l - x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Finden Sie die Funktionsbereiche, die auf dem Intervall definiert sind: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1), ; 4) y = logx + log2jc, . Lektion 6 Demonstration und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen Beispiele 1. Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen:. 3x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10"g 2<=>x > lg Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichungen: log2x > -1; x>1. SiODZ: x > 0; eines< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >eines; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; zwanzig< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. Was ist beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Exponential- und Logarithmusfunktionen zu beachten? 1. Lösung der einfachsten Exponentialgleichung: (a > 0, a # 1) und x = a k<=>x = k vergleichen wir Potenzen mit gleicher Basis. (a > 0, a Ä 1, b > 0) und x = b<=>x = Logaf. 2. Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichung: (a > 0, a Ф 1), logax = logafe<=>x = k; logax = b<=>x = ein b. 3. Lösung der einfachsten exponentielle Ungleichheit: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >ein k<=>X< k; (а >1, b > 0), während x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0) und x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >b<=>x ist eine beliebige Zahl. 4. Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichung: (a > 1, k > 0), logax > logafe
46 (a > 1), logax< Ь <=>Ö< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>xZx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 Antwort: (-4; -3) und (0; 1). Grafische Lösung exponentieller Ungleichungen Der Indikator ist eine Funktion von x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 oder x = 1 - log25. Anstatt 5 \u003d 2 1o6a5 zu schreiben, können Sie beide Teile der Gleichung in Basis 2 logarithmieren: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. Die Terme unterscheiden sich von 5 x nur durch konstante Faktoren : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1,2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 keine Lösungen => x \u003d 1. -0,37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0,37 45
47 logarithmische Ungleichungen \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3.Nun bewahrt der Übergang nicht die Äquivalenz der Wurzel lineare Gleichung 2 - x = = 5-2x fällt nicht in die ODZ der ursprünglichen Gleichung. Bei x \u003d 3 sind die Werte der Funktionen unter dem Vorzeichen des Logarithmus wirklich gleich: 2-3 \u003d \u003d -1, aber negativ => es gibt keine Wurzeln. 7 Protokoll! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 Fahren wir mit Basis 2 fort: Eine Gleichung der Form 2 nx) \u003d 2 entspricht der Gleichung f (x) \u003d a. Im Allgemeinen wird die Gleichung a 2x + pa x + q \u003d O auf eine quadratische Gleichung y 2 + py + q \u003d O reduziert, indem die Variable a x \u003d y geändert wird. Beim "Potenzieren" der Gleichung, d.h. beim Übergang von der Gleichung zur Gleichung, log2/(x) = a fix) = 2", braucht man sich um die ODZ keine Gedanken zu machen, d.h. man braucht die Bedingung f(x) > 0 nicht zu prüfen, denn für jedes x, das die Gleichung fix) = 2" erfüllt, der Wert von f(x) gleich 2", ist positiv. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Schreiben Sie die Gleichung um: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. Übergänge zu den einfachsten Ungleichungen erfolgen analog zu x<-<^2 2х <2" 2 <^>2<-2<^ х>und log2(2 -x)<0=>2<1=>w>1. Der Übergang war nicht gleich. Wir müssen die Bedingung 2-x>0 hinzufügen<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, x< 2, <=>(2x<1, х>1. Antwort: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46
48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x -5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4x +2 2x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2 "x 17 20) 2x -2 x Lösen Sie die Ungleichungen: 1 1) 2 x< 16; 3) >eines; 2 5) 4 x1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; vier)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > Lösen Sie die Gleichungen: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l - 3x) = 3; 4) log4(2 – x) = log23; 5) log1(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; h 4. Lösen Sie die Ungleichungen: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(11 - x); 9) log3(x – 5) = log3(2 – x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. GESPRÄCH Berechnung von Potenzen und Logarithmen Hintergrund Jetzt, wo sich jeder leicht mit einem Taschenrechner oder einem leistungsfähigeren Rechenwerkzeug ausrüsten kann, ist es schwer vorstellbar, wie viel Ärger das Rechnen einer Person in der Vergangenheit bereitet hat. Die Erfindung der Logarithmen war ein großer Schritt in Richtung Lösung praktische Aufgaben dem Rechnen zugeordnet. Die Fähigkeit, Logarithmen zu verwenden, um die Multiplikation auf die Addition zu reduzieren, und die Konstruktion von 47
49 zur Potenz der Multiplikation war es notwendig, Untertabellen von Logarithmen zu erstellen, die es seit Beginn des 17. Jahrhunderts gibt. Bibliotheken hatten bis vor kurzem dicke Tabellenbände, in denen die Werte von Logarithmen mit vielen Nachkommastellen angegeben waren, eine eigene „Tabelle der vierstelligen Logarithmen“ gehörte zum Pflichtsatz der Schulbücher und wurde von jedem Ingenieur mitgeführt ein Rechenschieber in der Tasche, mit dem eigentlich jedes Schulkind arbeiten können sollte. . Die aufkommende Leichtigkeit, die Berechnungen selbst durchzuführen, verschärfte ein weiteres Problem: ob eine Person versteht, dass sie rechnen möchte, wie man eine Rechenaufgabe für einen Computer oder ein anderes technisches Gerät stellt, wie man diese Aufgabe in eine für dieses Gerät verständliche Sprache übersetzt. Bei der Berechnung von Graden muss man lernen, hinter die verschiedenen Namen und Bezeichnungen ihrer zu sehen gesunder Menschenverstand, spüren Sie die Verbindung zwischen ihnen, gewinnen Sie Erfahrung und das Vertrauen, dass Sie immer (vielleicht mit Hilfe von Büchern und Lehrern) in der Lage sein werden, komplizierte und umständliche Formeln herauszufinden. Logarithmen sind (trotz der Komplexität ihrer Notation) genau darauf ausgelegt, verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Potenzen miteinander zu verbinden. Bei Rechenproblemen kommen Potenzen verschiedener Zahlen vor. (2.1) verschiedene Kombinationen, zum Beispiel bei der Berechnung des Ausdrucks A \u003d 3, ist es notwendig, verschiedene Zahlen zu potenzieren, die Potenzen zu multiplizieren und zu dividieren. Warum so viele Abschlüsse? Kann man mit den Abschlüssen einer einzigen Stiftung auskommen? Ja, das darfst du sicherlich. Um den Ausdruck A mit einem Taschenrechner zu berechnen, der 10 5 *i - K) 10 * 2 10* berechnen kann, müssen alle Zahlen auf die Potenz von 10 reduziert werden: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ wobei ^ k 2n k3 Logarithmen der Zahlen 2,1; 7 und 3 zur Basis 10. Ein aufmerksamer Leser mag zusätzlich bemerken, dass 3 7 2,1 = und Vereinfachungen vornehmen: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, wodurch der Logarithmus der Zahl 2,1 eliminiert wird. Regeln zur Berechnung der Kräfte Die erste Regel. Wähle eine geeignete Basis, zum Beispiel a, und reduziere jede Potenz auf die Basis a, d.h. jede Potenz von c* in der Form a kx für ein k darstellen. Dieser Koeffizient k ist der Logarithmus: c \u003d a log e Wenn wir also logac mit k bezeichnen, erhalten wir: c x \u003d (a "" g " c f \u003d \u003d a kx. Mit dieser Regel können Sie eine Basis verwenden .Bei manchen Problemen ist es praktisch, a = 10 ( Dezimallogarithmen), in anderen (insbesondere diskreten Problemen) a = 2, in anderen die universelle Basis e, was praktisch ist, wenn Sie die Wachstumsrate abschätzen müssen ( Natürliche Logarithmen).
50-Sekunden-Regel. Beim Logarithmieren kannst du auch eine geeignete Basis wählen und alle Logarithmen auf diese Basis reduzieren. Dafür gibt es eine spezielle Formel, die früher hergeleitet wurde. Bei einigen Problemen ist es praktisch, Logarithmen zur Basis 10 zu nehmen (Dezimallogarithmen), bei anderen Problemen werden natürliche Logarithmen nützlich sein, bei dritten (diskreten) Problemen werden sie häufig verwendet binäre logarithmen Logarithmen zur Basis 2. Daher ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Mathematik einen Apparat zur Vereinfachung der Arbeit mit Potenzen geschaffen hat, der es Ihnen ermöglicht, unterschiedlich dargestellte Ausdrücke und Funktionen zu verbinden.
51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50
52 Die Linie und die Ebene haben keine gemeinsamen Punkte: Die Linie ist parallel zur Ebene. 4. Anordnung zweier Linien: Zwei Linien liegen in derselben Ebene. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder sie schneiden sich, d.h. sie haben einen gemeinsamen Punkt, oder sie sind parallel, d.h. keine gemeinsamen Punkte haben (und vergessen Sie nicht, dass in diesem Fall die Linien in derselben Ebene liegen); nicht in der gleichen Ebene liegen. Solche Linien nennt man schneidend. Schräge Linien haben natürlich keine gemeinsamen Punkte, sonst würden sie in der gleichen Ebene liegen. 5. So finden Sie heraus, ob sich zwei Linien schneiden: Finden Sie die Ebene, in der eine dieser Linien liegt, und die zweite diese Ebene schneidet, aber gleichzeitig an einem Punkt, der nicht auf der ersten Linie liegt; Sie müssen wissen, dass sie nicht parallel sind, sondern sich in zwei parallelen Ebenen befinden können. Warum ist die Aufzählung der relativen Position von Linien und Ebenen korrekt? Das ist eine ziemlich schwierige Frage. Aus visueller Sicht ist alles (oder fast alles) des oben Genannten offensichtlich. Es wird jedoch nicht möglich sein, alle oben genannten Tatsachen zu beweisen; sie verwenden einige anfängliche, anfängliche Konzepte eines Punktes, einer geraden Linie, einer Ebene, eines Raumes, und wir können uns auf nichts verlassen, außer auf unsere visuellen Darstellungen und unsere Intuition. Seit Euklid wird die Beziehung zwischen Primärbegriffen durch bestimmte Konventionen von Axiomen beschrieben, aus denen auf logische Weise neue Konsequenzen gezogen werden können. Natürlich wurden zu viele Anfangsvereinbarungen der Axiome getroffen (und einige weitere, auch für strenge Beweise notwendige, wurden nicht formuliert), ihre Zahl könnte reduziert werden. Beweisen wir zum Beispiel das erste Kriterium für schiefe Linien unter Bezugnahme auf die vorherigen Behauptungen. Anordnung einer Geraden und einer Ebene a a Anordnung zweier Geraden a p b = O «IIb 51 I
53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, die Linie enthält und nur einen gemeinsamen Punkt P mit der Linie 12 hat. Es ist notwendig zu beweisen, dass die Linien Zx und 12 sich schneiden, d.h. nicht liegen in der gleichen Ebene. Wenn die Geraden und 12 in irgendeiner Ebene (3) liegen, dann würden die Gerade li und der Punkt P, der nicht auf dieser Geraden liegt, in dieser Ebene liegen.In der Ebene a liegen dieselben Objekte, da es nur eine gibt Ebene, die die Gerade enthält und nicht den ihr zugehörigen Punkt, dann fällt die Ebene p mit der Ebene a zusammen, aber bedingt liegt die Gerade 12 nicht in der Ebene a und hat mit ihr nur einen gemeinsamen Punkt.Der erhaltene Widerspruch beweist Satz Flächen eines Würfels Erstes Zeichen sich schneidender Geraden Gegeben: 12 e a, n a = P, P e 12 Beweis: 1x-12 Betrachte den Würfel ABCDA "B" C "D". Geraden und Ebenen, die durch die Ecken gehen , Kanten oder Flächen des Würfels , werden wir mit Buchstaben angeben, die Eckpunkte bezeichnen. Zum Beispiel eine gerade Linie AB oder eine Ebene AA "BB". Lassen Sie uns eine Kante festlegen, zum Beispiel AA". 1) Welche Kanten sind parallel zu den Kante AA "? Dies sind die Kanten BB", SS", DD". 2) Welche Kanten liegen auf den Schnittlinien der Linie AA"? Dies sind die Kanten AD, AB, A"D" und A"B". 3) Welche Kanten liegen auf den Linien, die sich mit der Linie AA "schneiden? Dies sind die Kanten B "C", C "D", BC und CD. Zum Beweis können Sie das Zeichen der schiefen Linien verwenden. Also die Ebene Ein „B“ BA enthält die Linie AA „ und schneidet sich mit der Linie B „C“. Ähnliche Ebenen können für die verbleibenden drei Kanten gefunden werden. 4) Wie viele Paare paralleler Kanten gibt es? Zu einer Kante gibt es drei parallele Kanten. Es gibt insgesamt 12 Kanten, also 52
54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC parallel zum zweiten) wird 3 12 = 36. Es gibt einfach halb so viele parallele Paare, da jedes doppelt gezählt wird (z. B. AA "BB", BB „AA“). Antwort: 18 Paare. 5) Wie viele Paare sich schneidender Kanten und Paare sich kreuzender Kanten gibt es? Die Berechnung erfolgt auf die gleiche Weise: (4 12) : 2 = 24 und (4 12) : 2 = 24. Prüfen wir, ob alle Kantenpaare berücksichtigt wurden. Insgesamt ist die Anzahl der Paare (1211):2 = 66. Andererseits ist = 66. Jedes der 66 Kantenpaare fiel in genau eine Gruppe von Paaren von parallelen, sich schneidenden oder kreuzenden Kanten. In ähnlicher Weise können wir aus (6-5) berechnen: 2 = 15 Paare von Ebenen, die die Flächen eines Würfels enthalten, es gibt 3 Paare von Parallelen (Paare von gegenüberliegenden Flächen) und 12 Paare von sich schneidenden: (4-6) : 2. Par (Gerade, Ebene) insgesamt gibt es 12-6 = 72. Es gibt 6-4 = 24 solche Paare, bei denen die Gerade in der Ebene liegt, es gibt 6-4 = 24 Paare, bei denen die Gerade liegt Linie parallel zur Ebene ist, und die gleiche Anzahl von Paaren, für die die Gerade die Ebene schneidet. Antwort: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD Fragen und Aufgaben 1. Wie kann man eine Ebene bestimmen? 2. Wie kann man zwei Ebenen orten? 3. Wie kann man eine Gerade und eine Ebene orten? 4. Wie kann man zwei Geraden orten ? 5. Wie finde ich heraus, ob zwei Geraden schief sind? 6. Welche Kantenpaare einer viereckigen Pyramide liegen auf schiefen Geraden? 7. Gegeben sei ein Würfel ABCDA „B“ C „D“. Nenne die Kanten parallel zur Kante AA“ . 8. Würfel ABCDA"B"C"D" ist gegeben. Listen Sie die Kanten auf, die auf den Schnittlinien der Linie AA" liegen. 9. Gegeben ist der Würfel ABCDA"B"C"D". Listen Sie die Kanten auf, die auf den Schnittlinien der Linie AA" liegen. 53
55 außerhalb der Vorderkante MCJJCO otu irimush p schneidet die Ebene BB"D"D entlang einer geraden Linie, die parallel zu MN sein muss (Merkmal 2). Punkt R liegt auf dieser Schnittlinie. Wir werden diese Linie also erhalten, indem wir in der Ebene BB "D" D eine gerade Linie durch den Punkt R ziehen, parallel zur Diagonalen B.D. Diese Linie schneidet die Kanten BB" und DD" an einigen Punkten S und T. Das Fünfeck MSPTN ist der erforderliche Abschnitt. Wenn wir den Punkt P auf der Linie CC "etwas höher als den Punkt C" nehmen, erhalten wir im Schnitt ein Sechseck, dessen eine Seite parallel zu MN ist (Merkmal 3). Wenn dieser Abschnitt durch die Mitte des Würfels verläuft, erhalten Sie ein regelmäßiges Sechseck. Überprüfen Sie diese Aussage und betrachten Sie selbst andere Abschnitte des Würfels, die durch die Linie MN verlaufen. Fragen und Aufgaben 1. Formulieren Sie ein Parallelitätszeichen einer Geraden und einer Ebene. 2. Formulieren Sie ein Parallelitätszeichen zweier Ebenen. 3. Welche Zahlen können im Abschnitt erhalten werden dreieckiges Prisma Flugzeug? 4. Welche Figuren können in einem Schnitt eines Würfels durch ein Flugzeug erhalten werden? 5. Beweisen Sie, dass die Ebenen, die durch die Punkte (A, D", B") und (C", B, D) des Würfels ABCDA"B"D"C" gehen, parallel sind. 6. Welche Kanten des Würfels ABCDA "B"D "C" schneiden sich mit Geraden MN Lektion 3 Winkel zwischen Geraden und Ebenen Winkel zwischen Geraden Wie werden Winkel zwischen Geraden und Ebenen definiert? vertikale Winkel). Um den Winkel zwischen zwei geraden Linien im Raum festzulegen, müssen Sie einen beliebigen Punkt auswählen und Linien parallel zu den Daten durch ihn ziehen. Die Werte der konstruierten Ebenenwinkel hängen nicht von der Wahl des Startpunkts ab. 56
56 Zwei Linien im Raum, die einem rechten Winkel entsprechen, heißen senkrecht. 2. Gerade, senkrecht zur Ebene. Dies ist der Name der Linien, die senkrecht zu einer beliebigen Linie in dieser Ebene stehen. Mit diesem Konzept kann man die orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene definieren. Die Projektion eines nicht in dieser Ebene liegenden Punktes P auf die Ebene a ist ein Punkt P", der zur Ebene a gehört, so dass die Linie PP" senkrecht auf der Ebene a steht. Als dieser Punkt selbst wird die Projektion eines in der Ebene a liegenden Punktes betrachtet. Wenn Sie eine bestimmte Figur auf die Ebene a projizieren wollen, müssen Sie alle Punkte dieser Figur darauf projizieren. 3. Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene. Projizieren wir eine gerade Linie auf eine Ebene. Wenn eine Linie senkrecht zu einer Ebene steht, dann ist ihre Projektion ein Punkt. Wenn nicht, dann ist die Projektion eine gerade Linie. In diesem Fall sagt man, dass die Linie zur Ebene geneigt ist. Der Winkel zwischen einer schiefen Ebene und einer Ebene ist der Winkel zwischen einer geraden Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene. 4. Winkel zwischen zwei Ebenen. Um den Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen zu messen, muss ein Punkt auf der Schnittlinie dieser Ebenen ausgewählt und in jeder Ebene senkrecht zur Schnittlinie eine gerade Linie durch ihn gezogen werden. Der Winkel zwischen diesen Linien wird als Winkel zwischen den Ebenen betrachtet. Zwei Ebenen sind senkrecht, der Winkel zwischen ihnen ist richtig. if Warum brauchen wir das Konzept der Rechtwinkligkeit im Raum? Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene m±n, m±a, mlb, m±c Orthogonale Projektion ^^ Winkel zwischen Ebenen in Mit Hilfe der Rechtwinkligkeit lassen sich verschiedene Abstände im Raum bestimmen und berechnen. 1. Die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene wird als die Länge der von diesem Punkt auf die Ebene fallenden Senkrechten berechnet (die Entfernung von dem gegebenen Punkt zu seiner Projektion auf die Ebene). 57
57 L a ± P Bestimmung von Abständen ta 2. Der Abstand zwischen zwei parallele Ebenen die Länge des Segments der gemeinsamen Senkrechten zu diesen Ebenen, das zwischen diesen Ebenen eingeschlossen ist, wird betrachtet. 3. Wenn eine bestimmte Figur in der Ebene gegeben ist, dann wird die Entfernung von einem beliebigen Punkt im Raum zu dieser Figur als die kleinste unter den Entfernungen von einem gegebenen Punkt zu einem beliebigen Punkt dieser Figur definiert. Projizieren Sie diesen Punkt auf eine Ebene. Dann ist der Punkt der Figur, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt, auch der seiner Projektion am nächsten, und umgekehrt, um den Punkt der Figur zu finden, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt, reicht es aus, den Punkt zu finden, der seiner Projektion am nächsten liegt. 4. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, definiert als der Winkel zwischen einer Geraden und ihrer Projektion, wird der kleinste unter den Winkeln sein, die diese Gerade mit beliebigen Geraden der Ebene bildet. 5. Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden wird als Länge der gemeinsamen Senkrechten berechnet. a-b, ajua, h ± a, h ± b Wie bestimmt und berechnet man vernünftigerweise die Winkel zwischen Linien und Ebenen im Raum? Dazu ist es sinnvoll, die Vektorrechnung und trigonometrische Funktionen zu verwenden. Diese Frage wird weiter diskutiert (siehe Kap. 5). Jetzt als gutes Beispiel Betrachten Sie die Winkel zwischen verschiedenen Linien und Ebenen in einem Würfel. 1. Jede Kante des Würfels, beispielsweise die Kante AA", steht senkrecht auf zwei Seiten des Würfels. Sie steht senkrecht auf allen in diesen Seiten liegenden Linien, insbesondere auf acht Kanten. 2. Jede Seite des Würfels senkrecht zu vier anderen Flächen steht. 3. Betrachten Sie eine beliebige Diagonale des Würfels, zum Beispiel AC ". Seine Projektion auf die Ebene ABCD ist die Diagonale der Basis AC. Der Winkel a der Neigung der Diagonalen AC "zur Ebene der Basis ist der Winkel C" AC. Es ist einfach, trigono-
58 metrische Funktionen des Winkels a unter Verwendung eines rechtwinkligen Dreiecks AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. Betrachten Sie einen Schnitt, der durch zwei gegenüberliegende Kanten eines Würfels verläuft (Diagonalschnitt), zum Beispiel Schnitt AB "C" D. Sein Winkel mit der Basisebene ABCD ist definiert als der Winkel zwischen den Linien C "D und DC. Dieser Winkel ist gleich. Der Winkel A "OA ist der gewünschte, da AO und A" O senkrecht zur Schnittlinie der Ebenen stehen: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ Fragen und Übungen 1. Wie zu bestimmen der Winkel zwischen schiefen Linien im Raum? 2. Welche Linie heißt senkrecht zur Ebene? 3. Wie wird der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmt? 4. Wie wird der Winkel zwischen zwei Ebenen berechnet? 5. Wie wird der Abstand zwischen parallelen Ebenen bestimmt? 6. Wie wird der Abstand zwischen sich schneidenden Linien bestimmt? SH GESPRÄCH Euklids Geometrie Einführung Ein Modell logischer Perfektion seit mehr als zweitausend Jahren ist die Darlegung der Prinzipien der Geometrie, die von Euklid im 3. Jahrhundert unternommen wurde. BC. Man kann sagen, dass diese Darstellung das einzige Beispiel einer strengen mathematischen Theorie in der Geschichte der Menschheit ist, mit der 59
59 Euklid (spätes 43. Jh. v. Chr.) Altgriechischer Mathematiker, Autor des in 13 Büchern verfassten Werkes „Anfänge“, das die Grundlagen der Geometrie, der Zahlentheorie, einer Methode zur Bestimmung von Flächen und Volumina einschließlich Elementen der Grenzlehre u viel mehr. Ich nenne eine Person. Bisher folgen die meisten Geometrie-Lehrbücher dem von Euklid vorgezeichneten Weg, und bis vor kurzem verwendeten beispielsweise englische Schulkinder einfach die moderne Übersetzung von Euklids Elementen als Lehrbuch. Natürlich bis zum Ende des 20. Jahrhunderts. auch andere Ansichten verbreiteten sich. Sie gehören zu verschiedene Sachverhalte. Hier sind einige davon. Ist es möglich (und sinnvoll), Geometrie zu studieren und dabei ihre axiomatische Grundlage aufzugeben? Ist es überhaupt notwendig, sich im Rahmen allgemeiner Bildung und Kultur mit irgendeiner axiomatischen Theorie vertraut zu machen? Wenn ja, ist Euklids Geometrie dafür geeignet und gibt es einfachere und zugänglichere Beispiele? Wie fehlerfrei ist die euklidische Geometrie selbst? Wir werden diese Themen nicht ansprechen. Schon der Aufbau dieses Buches gibt eine positive Antwort auf die Frage, ob es möglich ist, beim Studium der Mathematik auf die Vertrautheit mit der axiomatischen Methode zu verzichten. Aber wir glauben, dass jeder Mann der Kultur sollte mit der Fragegeschichte der euklidischen Geometrie vertraut sein, ohne sie jedoch mit dem eigentlichen Studium der Geometrie oder mit dem Ziel der Beherrschung einer neuen mathematischen Methode zu verbinden. Euklids Axiomatik Die erste Seite von Euklids Elementen (Ausgabe 1505) Euklids Elemente (genauer gesagt jedes der dreizehn Bücher, aus denen dieses Werk besteht) beginnt mit Definitionen grundlegender Konzepte. Hier sind einige Definitionen von der ersten Seite der Anfänge: „Ein Punkt ist das, was keine Teile hat“; „Eine Linie ist Länge ohne Breite. Die Enden der Linie sind Punkte; „Eine Fläche ist das, was nur Länge und Breite hat. Die Enden der Oberfläche der Linie "; „Die Grenze ist das Ende von etwas“; "Eine Figur ist das, was in irgendwelchen Grenzen enthalten ist." Den Definitionen folgen die wichtigsten Bestimmungen, die ohne Beweis akzeptiert werden,
60vj. die Unterscheidung, die Euklid zwischen Postulaten und Axiomen macht, ist nicht sehr klar.) Hier sind einige Beispiele. 1. Von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt kann eine gerade Linie gezogen werden. 2. Bildet eine auf zwei Geraden fallende Gerade auf einer Seite Innenwinkel, deren Summe kleiner als zwei Geraden ist, so schneiden sich diese Geraden bei unendlicher Verlängerung auf dieser Seite. Dies ist das berühmte fünfte Postulat, das dem Axiom der Eindeutigkeit der Parallele entspricht. Dann werden mit Hilfe von Grundbegriffen und Axiomen Theoreme (Sätze) auf rein logische Weise bewiesen. So beweist Euklid im vierten Satz „das erste Zeichen der Gleichheit der Dreiecke“. Natürlich verwendet Euklid viele Dinge, die eigentlich nicht in den Axiomen stehen (z. B. steht nichts über die Superposition von Zahlen, die oft als eine Art Gedankenexperiment verwendet wird). Mit Ausnahme einiger redaktioneller und sprachlicher Details galt Euklids Strenge jedoch bis zum Ende des 19. Jahrhunderts als recht zufriedenstellend. Moderne Axiomatik der euklidischen Geometrie Wie bereits erwähnt, fast alle Schulbücher Geometrien reproduzieren die eine oder andere Axiomatik und in der Regel zu Beginn des Kurses. Gleichzeitig versuchen sie, die Liste so einfach wie möglich und gleichzeitig praktisch für den Beweis von Theoremen zu machen. Vorbild für eine solche Konstruktion ist unter Berücksichtigung der Errungenschaften und der bis Ende des 19. Jahrhunderts entwickelten Sprache der Mathematik das bemerkenswerte (wenn auch nicht ganz einfache) Axiomensystem des deutschen Mathematikers Hilbert, das von ihm im 1899. D. Hilbert unterscheidet drei Systeme von undefinierten (Grund-) Objekten: Punkte, Linien und Ebenen. Dann werden die „Beziehungen“ zwischen ihnen postuliert (Zugehörigkeit, Zwischensein, Gleichheit, Kongruenz). Diese Bestimmungen bilden fünf Gruppen von Axiomen. In die zweite Gruppe der Axiome („Ordnungsaxiome“) fällt beispielsweise die folgende Aussage, auf die der deutsche Geometer G. Pasch 1882 als notwendiges Axiom aufmerksam gemacht hat: „Wenn eine Gerade durch das Innere eines Dreiecks eintritt eine seiner Seiten, aber nicht oben, dann muss es durch die andere Seite herauskommen. Die vierte Gruppe besteht aus einem Parallelitätsaxiom: "Durch jeden Punkt, der außerhalb der Linie a liegt, verläuft höchstens eine Linie parallel zu a." 61
61 d" enthält die fünfte Gruppe zwei Akishmas zur Kontinuität, einschließlich des sogenannten Axioms von Archimedes: "Für beliebige Segmente a und b können Segmente gleich a so oft entlang b gelegt werden, dass sie das Segment b abdecken." Nicht-Euklidische Geometrie Zweitausend Jahre lang zweifelte niemand (und niemand zweifelt bis zum heutigen Tag) am Wert von Euklids Axiomatik. Die einzige Frage, zu dem sowohl professionelle Mathematiker als auch Amateure immer wieder zurückkehrten, lautete: "Ist es nicht möglich, Euklids fünftes Postulat aus den übrigen Axiomen als einen bestimmten Satz zu beweisen?" Tausende von Büchern und Artikeln wurden zu diesem Thema geschrieben, aber das Beste, was getan wurde, ist, das Axiom der Parallelität durch eine andere Aussage zu ersetzen, die viel offensichtlicher schien (und daher oft übersehen wurde), die sich jedoch als genau gleichwertig herausstellte das fünfte Postulat. Mitte des 19. Jahrhunderts. Es wurde deutlich, dass das fünfte Postulat von der übrigen Axiomatik Euklids in dem bemerkenswerten Sinne unabhängig ist, dass, indem es diesem Rest des Systems ein Axiom hinzufügt, das das fünfte Postulat verneint (zum Beispiel in einer solchen Form, dass mindestens zwei Linien durchgehen durch jeden parallelen Punkt zu dem gegebenen), werden wir ein neues, nicht widersprüchliches System erhalten, in dem wir Sätze herausgreifen können, die ebenso entfernt und bedeutsam sind wie diejenigen, die in Euklids Geometrie erhalten wurden. Ein solches System, in dem die angegebene Liste von Axiomen erfüllt ist (einschließlich der Negation des fünften Postulats), wurde als "nicht-euklidische Geometrie" bezeichnet. Zum ersten Mal wurde ein solches System von dem bemerkenswerten russischen Mathematiker N. I. Lobachevsky, der 1826 einen Bericht an der Kasaner Universität lieferte, und vier Jahre später im Detail von Nikolai Ivanovich Lobachevsky () russischer Mathematiker; Autor " Geometrische Forschung zur Theorie paralleler Linien“, übersetzt in deutsche Sprache, Schöpfer der "nicht-euklidischen Geometrie" (Geometrie von Lobatschewski). Er wurde "Copernicus in Geometry" genannt, da er das gesamte bestehende System der Sichtweisen auf die Geometrie komplett umdrehte. Für die Entwicklung der Mathematik waren nicht nur die von Lobatschewski bewiesenen spezifischen Theoreme wichtig, sondern in viel größerem Maße seine Herangehensweise an die Grundlagen der Wissenschaft. Zu ähnlichen Ergebnissen gelangte K. Gauss, aber er hatte nicht den Mut, sie zu vervollständigen und zu veröffentlichen, aber er hatte die wissenschaftliche Ehrlichkeit, Lobatschewski zur Wahl als korrespondierendes Mitglied der Göttinger Wissenschaftlichen Gesellschaft vorzuschlagen und ihn persönlich über die Wahl zu informieren .
62 Der Mathematiker J. Boyai veröffentlichte eine Arbeit mit ähnlichem Inhalt. Nach weiteren 40 Jahren wurden Beispiele von Oberflächen konstruiert, auf denen die Lobachevsky-Geometrie ausgeführt wird. Von der Geometrie zur Logik Die Bedeutung der Bewegung von Euklid zu Lobatschewski und weiter zu Hilbert (oder zumindest eine dieser Bedeutungen) besteht in der Befreiung von der geometrischen Visualisierung. In Hilberts System müssen Sie nicht wissen, wie Punkte und Linien "aussehen". Sie können (und sollten) als Objekte behandelt werden, über die nur das bekannt ist, was in den Axiomen beschrieben ist. Ausgehend von den Axiomen erhalten wir also nur mit Hilfe der Logik neue Ergebnisse. Diese Ansicht wirft zwei neue Fragen auf. Zunächst einmal zur Geometrie selbst. Das Gewinnen einer großen Anzahl hinreichend tiefgehender Aussagen als Konsequenzen der Axiome (wie dies beispielsweise bei Lobatschewski der Fall war) beweist an sich noch nicht die Konsistenz des konstruierten Systems. Bereits Ende des 19. Jahrhunderts. Es wurde deutlich, dass es möglich ist, die Konsistenz neuer Systeme mit Hilfe von Modellen zu beweisen, die die Axiome des Systems implementieren. So zeigt Hilbert ein Modell zur Konstruktion der euklidischen Geometrie mit Hilfe von Zahlen auf. Ein weiteres Thema betrifft die Analyse der Logik selbst, die im 20. Jahrhundert mit großer Intensität betrieben wurde.
63 Kombinatorik Anmerkung 1 Kombinatorische Konstruktionen Morsezeichen Das Alphabet besteht aus zwei Zeichen: einem Punkt und einem Bindestrich. Aufbau von Wörtern Wörter der Länge. 1 Welche Konstruktionen (Konstruktionen) werden in der Kombinatorik am häufigsten verwendet? 1. Aufbau von Wörtern. Betrachten Sie einige Symbole. Diese Symbole werden Buchstaben genannt, und die ganze Gruppe von Buchstaben wird das Alphabet genannt. Wörter der Länge 2 Ein Wort ist eine Folge von Buchstaben in einem bestimmten Alphabet. Wörter der Länge 3 Jeder Buchstabe des Alphabets kann einmal, mehrmals oder gar nicht verwendet werden. Aufgabe 1. Zähle die Anzahl der Wörter der Länge k in einem Alphabet mit n Buchstaben. Es gibt k Stellen in einem Wort der Länge k. Wir setzen einen der n Buchstaben an die erste Stelle. Wenn der nächste Platz besetzt ist, erhöht sich die Anzahl der Möglichkeiten um das n-fache. Antwort: n p... n = n k. Die Anzahl der Wörter der Länge k k mal in einem Alphabet mit n Buchstaben ist gleich n k. 2. Platzierung. Betrachten Sie eine Menge von Objekten. Bereiten Sie eine Reihe vor leere Plätze. Wir unterscheiden zwischen der Reihenfolge der Plätze Erster, Zweiter usw. Eine Reihe auszufüllen bedeutet, an jeder ihrer Stellen einen Gegenstand aus der gegebenen Menge zu platzieren (jeder Gegenstand kann nur einmal verwendet werden). 54
64 Eine mit Objekten einer gegebenen Menge gefüllte Reihe nennt man Platzierung (wir platzieren Objekte an bestimmten Stellen). Die Anzahl der Objekte in der Menge sei gleich n und die Länge der Reihe (die Anzahl der Stellen darin) gleich k. Aufgabe 2. Berechnen Sie die Anzahl A k n der Platzierungen von n Objekten an k Stellen. Im Gegensatz zu Aufgabe 1, wo ein Buchstabe mehr als einmal verwendet werden kann, nehmen wir bei dieser Aufgabe, nachdem wir ein Objekt an einer bestimmten Stelle platziert haben, es aus dem Set (einer Tasche mit Objekten) und wir haben es nicht mehr (es kann nicht erneut erscheinen ) . Wir setzen eines von n Objekten an die erste Stelle. Bei jedem nächsten Schritt verringert sich die Anzahl der Möglichkeiten um eins. Antwort: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h Faktoren + 1). Beachten Sie, dass der letzte Faktor n - (k - 1) = n - k + 1 ist. Beachten Sie, dass wenn k > n, einer der Faktoren sein wird Null, da es unmöglich ist, dass n Objekte eine größere Anzahl von Stellen besetzen als n. 3. Permutation. Betrachten Sie eine Menge mit n Objekten. Wir wollen sie ordnen, d.h. arrangieren. Dies kann durch Nummerieren von Objekten erfolgen. Eine geordnete Menge von Objekten wird als Permutation bezeichnet. Dieser Begriff entstand, weil zunächst Objekte genommen, irgendwie arrangiert wurden und andere Ordnungsweisen eine Neuordnung dieser Objekte erforderten. Aufgabe 3. Berechnen Sie die Anzahl Pn der Permutationen von n Objekten. Es ist klar, dass dieses Problem mit dem Platzierungsproblem zusammenfällt, falls die Anzahl der Objekte mit der Anzahl der Stellen übereinstimmt, wir alle n Objekte unter Verwendung der n verfügbaren Stellen anordnen. Die Wiederholung der Argumentation von Problem 2 führt zu folgender Antwort: n(n - 1) Da die Anzahl der Faktoren n ist, ist die letzte Zahl 1. Es ist bequem, die Faktoren neu anzuordnen und das Ergebnis als Produkt von allen zu schreiben natürliche Zahlen von 1 bis n: n = = n\ (sprich "n Fakultät"). Wörter aus zwei Buchstaben in einem Alphabet aus drei Buchstaben aa ab ac ba bb bc ca s SS Platzierung Platzierung von drei Objekten an zwei Stellen Platzierung von n Objekten an k Stellen Anzahl der Stellen Anzahl möglicher Platzierungen 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 Optionen insgesamt: n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)
65 Designs zum Lösen kombinatorische Probleme? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Beispiele Permutation P4 = 4! = = 24 Platzierung P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)! l! l! l! = = l! (l-l)! Oh! Anagramm cab cabd cadb cdab dcab Wort mit neu angeordneten Buchstaben (Platzierung, Permutation) Die Konstruktion, die Art der Komposition und die Auflistung der Optionen sollten sein analysiert 1. Binäre Antworten Einer Person werden 10 Fragen gestellt, auf die sie jeweils mit „ja“ oder „nein“ antwortet. Verschiedene Optionen Antworten auf alle 10 Fragen? Zur Beantwortung der ersten Frage gibt es 2 Möglichkeiten. Wenn bereits Antworten auf mehrere Fragen erstellt wurden, verdoppelt die Antwort auf die nächste die Anzahl der Optionen. Antwort = 2 10 = Natürlich gab es bei diesem Problem eine Konstruktion, Wörter in einem Alphabet aus zwei Buchstaben zu konstruieren. 2. Multiple-Choice-Tests. Einer Person wurde ein Test mit 6 Fragen angeboten. Jede Frage muss mit einer der 5 Antwortmöglichkeiten beantwortet werden. Wie viele verschiedene Antworten gibt es auf alle 6 Fragen des Tests? Bei der ersten Frage gibt es 5 Antwortmöglichkeiten. Beim Wechsel zur nächsten Frage erhöht sich die Anzahl der Optionen um das Fünffache. Antwort: = 5 6 = Das Design wurde beibehalten. Die Anzahl der Buchstaben im Alphabet hat sich geändert, jetzt sind es Wörter mit unterschiedlichen Buchstaben. Es gibt 10 Buchstaben im Alphabet. Wie viele Wörter der Länge 3 können aus sich nicht wiederholenden Buchstaben gebildet werden? An die erste Stelle setzen wir einen beliebigen der 10 Buchstaben, an die zweite einen beliebigen, außer dem, der bereits an erster Stelle steht. Wir bekommen 10-9 Optionen. An dritter Stelle können Sie einen der 8 unbenutzten Buchstaben setzen. Antwort: = 720. Die Gestaltung der Platzierungen wurde an drei Stellen verwendet (ohne Wiederholungen) 10 Buchstaben wurden platziert. 4. Anagramme von Wörtern mit unterschiedlichen Buchstaben. Wie viele Anagramme gibt es für das Wort KATER? Alle fünf Buchstaben dieses Wortes sind unterschiedlich. Sie können 5 Buchstaben 5 neu anordnen! Wege. Antwort: P5 = 5! =
66 fy Fragen und Aufgaben 1. Was bedeutet ein Wort in diesem Alphabet? 2. Wie viele Wörter der Länge 5 gibt es in einem Alphabet mit 6 Buchstaben? 3. Es gibt ein Alphabet mit n Buchstaben. Es werden Wörter berücksichtigt, die aus m sich nicht wiederholenden Buchstaben bestehen. Welches Konzept der Kombinatorik sollte verwendet werden, um solche Wörter zu beschreiben? 4. Wie viele Wörter der Länge 3 gibt es mit sich nicht wiederholenden Buchstaben in einem Alphabet mit 6 Buchstaben? 5. Was ist eine Permutation? 6. Wie viele Permutationen von 6 Buchstaben gibt es? 7. Wie hängen die Begriffe „Platzierung“ und „Permutation“ zusammen? 8. Wie oft ist die Anzahl der Platzierungen von 10 Objekten an vier Stellen geringer als die Anzahl der Platzierungen derselben Objekte an sechs Stellen? Lektion 2 Regeln der Kombinatorik Was sind die Grundregeln kombinatorischer Rechnungen? 1. Additionsregel. Die Menge A habe m. Elemente und die Menge B n Elemente. Wenn die Mengen A und B keine gemeinsamen Elemente haben, dann ist die Anzahl der Elemente in ihrer Vereinigung m + n. Wir können Folgendes sagen: Wenn zwei Taschen verschiedene Objekte enthalten und wir sie zusammenschütten, dann finden wir ihre Gesamtzahl muss die Anzahl der Gegenstände in jedem der Beutel addieren. Wenn wir für eine endliche Menge X mit X die Anzahl ihrer Elemente bezeichnen, dann kann die Additionsregel wie folgt geschrieben werden: Wenn A n B = 0, dann \A und B\ = \A\ + \B\. Diese Regel kann leicht auf den Fall verallgemeinert werden, wenn die Mengen A und B einen gemeinsamen Teil haben. 2. Die Regel der Einbeziehung einer Ausnahme. Die Mengen A und B haben einen gemeinsamen Teil mit k Elementen. Dann ist bei der Vereinigung der Mengen A und B die Anzahl der Elemente gleich m + n - k, d.h. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. Es ist klar, dass wir durch Hinzufügen des Zahlentyps die gemeinsamen Elemente zweimal zählen. Regeln der Kombinatorik Additionsregel A n B \u003d 0 J] A und B\ \u003d A + B
Die Ausschlussinklusionen A u B\ = A + B - \A n B\ reichen bis zur Vereinigung beliebig vieler Mengen. 3. Multiplikationsregel. Die Anzahl der Paare aus Elementen der Mengen A und B ist gleich dem Produkt der Elemente dieser Mengen. Die Menge der Elementpaare zweier Mengen wird oft mit dem Produktzeichen bezeichnet. Dann kann die Multiplikationsregel wie folgt geschrieben werden: [A x B\ \u003d A x B. Die Multiplikationsregel lässt sich leicht anhand einer Tabelle erklären. Wenn wir eine rechteckige Tabelle erstellen und ihre Zeilen mit Elementen der Menge A und die Spalten mit Elementen der Menge B nummerieren (bezeichnen), dann entsprechen die Zellen der Tabelle den Paaren (a; b), wobei a e A, b e B. Die Anzahl der Zellen in der Tabelle ist offensichtlich gleich dem Produkt aus der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Spalten. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 Multiplikationsregel \A x B = A x B Wie werden die Regeln der Kombinatorik beim Lösen von Problemen angewendet? 1. Anzahl der Begriffe. Betrachten Sie das Produkt (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). Wie viele Monome (vor der Reduktion ähnlicher) erhält man, wenn man „Klammern mit Klammern“ multipliziert? Dieselbe Frage lässt sich wie folgt umformulieren: „Wie viele Paare lassen sich aus den Monomen in der ersten und zweiten Klammer bilden?“ Wir wählen eines der drei Monome in der ersten Klammer und eines der sechs in der zweiten. Die Anzahl der Paare beträgt 3-6 = 18 nach der Multiplikationsregel. 2. Menü. Auf der Speisekarte stehen 5 Vorspeisen, 3 erste Gänge, 4 zweite Gänge und 3 Desserts. Auf wie viele Arten kann ein Vier-Gänge-Menü bestellt werden? Wenn wir über die Bestellung nachdenken, machen wir vier Namen: 1) Snack; 2) erster Kurs; 3) zweiter Kurs; 4) Nachtisch. In die erste Zeile dieser vier geben wir eine der fünf vorgegebenen Optionen ein, in die zweite Zeile eine der drei usw. Die gesamte Anzahl von
68 [=180. Dies ist ein Beispiel für eine Verallgemeinerung der Multiplikationsregel. Wir fertigen nicht nur Paare, sondern auch Sets aus zwei, drei, vier oder mehr Objekten. 3. Kfz-Kennzeichen. Die Autonummer besteht aus drei Buchstaben und drei Zahlen. 20 Buchstaben und alle 10 Ziffern werden verwendet. Eine Nummer, die nur aus 3 Nullen besteht, ist ebenfalls gültig (z. B. A000AA). Wie viele solcher Zahlen können produziert werden? Der Raum hat 6 Sitzplätze. Die erste, fünfte und sechste sind für Buchstaben, die zweite, dritte, vierte für Zahlen. Sitzplätze werden unabhängig voneinander besetzt. Antwort: = Anzahl der Wörter. Es gibt 4 Buchstaben im Alphabet. Wie viele Wörter können aus den Buchstaben dieses Alphabets gebildet werden, die nicht mehr als 3 Buchstaben haben? Die Anzahl der Wörter der Länge k aus einem Alphabet mit 4 Buchstaben ist 4*. Sätze von Wörtern unterschiedlicher Länge haben keine gemeinsamen Elemente. Wir wenden die Additionsregel an. Antwort: = = Anzahl der Studenten. Jeder Schüler lernt in der Klasse eine Sprache. Gleichzeitig lernen 20 Studenten Englisch, 12 Französisch und 7 Studenten beide Sprachen. Wie viele Schüler sind in der Klasse? Wenn wir die Anzahl der Schüler addieren, die Englisch und Französisch lernen, dann zählen wir alle Schüler, aber diejenigen, die zwei Sprachen lernen, werden doppelt gezählt. Wir wenden die Inklusionsregel an. Antwort: = "Mindestens einmal." Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. Wie oft kommt die Zahl 6 mindestens einmal vor? Wir werden alle Fälle in zwei Klassen einteilen: die Zahl 6 fällt nie aus, die Zahl 6 fällt mindestens einmal aus Diese Klassen haben keine gemeinsamen Elemente. Gesamt Optionen, d.h. Die Anzahl der Folgen von zwei Ziffern mit einem Rand von 6 Ziffern beträgt b 2, mit einem Rand von 5 Ziffern (alle außer sechs) beträgt 5 2. Wenden Sie die Additionsregel an: b 2 \u003d x. Antwort: b = 11. Gericht Anzahl Gänge Vorspeise 5 Erste 3 Zweite 4 Dessert 3 Anzahl 4-Gänge-Menüs: = 180. Nummernschilder A000AA Anzahl Zahlen: = Anzahl Wörter Anzahl Buchstaben im Alphabet 4 Wortlänge k Anzahl Wörter 4* k = 3 => Durch Additionsregel: = 84 Anzahl Schüler Anzahl Schüler in der Klasse: = 25 „Mindestens einmal“ Klasse 1: Nie eine 6 gewürfelt. Klasse 2: Mindestens einmal eine 6 gewürfelt 69
69 Fragen und Übungen 1. Wie bestimmt man die Gesamtzahl der Elemente in zwei Mengen, wenn die Anzahl der Elemente in jeder Menge bekannt ist und einige der Elemente gemeinsam sein können? 2. Was ist die Multiplikationsregel? 3. Es gibt vier Beispiele in der Testaufgabe. Es gibt 5 Antworten für jedes Beispiel. Auf wie viele Arten können Sie die Antwort auf die Frage wählen? vier. Würfel zweimal hintereinander geworfen. Zählen Sie für jede mögliche Summe gewürfelter Punkte die Anzahl der möglichen Entscheidungen. Prüfen: Indem Sie die Optionen für jeden möglichen Betrag addieren, sollten Sie die Gesamtzahl der Optionen erhalten. Lektion 3 Die Anzahl der Umlaufbahnen Die Umlaufbahn ist eine Menge identischer (äquivalenter) Optionen Platzierung Eine Platzierung ohne Wiederholungen aus k Elementen mal m Elementen Beispiele Sie können 6 Personen in einer Reihe platzieren 6! (720) Wege; Platz für 6 Personen an einem runden Tisch können 5 sein! (120) Wege; Wenn es 5 Jungen und 5 Mädchen gibt, gibt es 5!5!25 Möglichkeiten, eine Reihe von Jungen-Mädchen-Paaren zu bilden. Wie berücksichtigen kombinatorische Berechnungen Kombinationen, die als gleich angesehen werden? Beim Zählen der Anzahl der Optionen ist es oft notwendig, die Optionen nach einem Attribut gleich zu betrachten (identifizieren). Wenn wir alle Optionen kombinieren, die als gleich betrachtet werden, erhalten wir eine Menge, die als Umlaufbahn bezeichnet wird. 1. Runder Tisch. Wir werden 6 Personen in einer Reihe platzieren. Es kann getan werden 6! Wege. Jetzt stellen wir sie an den runden Tisch. Wir werden die gleichen Möglichkeiten zum Anordnen von Personen betrachten, die durch Drehen des Tisches im Kreis erhalten werden können. Nehmen wir ein Arrangement und wir drehen den Spieß um. Wir erhalten eine Umlaufbahn von sechs Anordnungen. Die Gesamtzahl der Umlaufbahnen ist 6-mal geringer als die Anzahl aller Anordnungen. 6! Antwort: = 5! = Anzahl der Paare. Es sind 5 Jungs und 5 Mädchen. Auf wie viele Arten können sie in einer Reihe von Jungen-Mädchen-Paaren angeordnet werden? Wir betrachten die Spalten, in denen der Junge links oder rechts steht, als gleich. Dann kann die Gesamtzahl der Möglichkeiten wie folgt berechnet werden: Auswahl einer Reihe für Jungen
70 ^V/^y Pille^u ^VDUICIV 5! Wege. Nehmen wir ein Arrangement paarweise und beginnen damit, die linke und rechte Position paarweise zu ändern. Aus einer Anordnung erhalten wir 2 5 = 32 andere (wir ändern die Positionen in jedem Paar unabhängig voneinander). Wenn wir die Optionen zu Umlaufbahnen kombinieren und feststellen, dass die Anzahl der Elemente in jeder Umlaufbahn gleich ist, nämlich 32, erhalten wir das Ergebnis. 1 /.\ Antwort: (5!) V "Anzahl der Kombinationen. Auf wie viele Arten kann eine Teilmenge (ungeordnet!) von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen ausgewählt werden? Wenn wir Personen auf k Stellen setzen würden Reihenfolge erhalten wir die Antwort in der Form n(n - 1)... (n - k + 1) die Anzahl der Platzierungen Kombinieren Sie die Arrangements zu Orbits, indem Sie die ausgewählten k Personen vertauschen (umarrangieren). in k\ Wegen. Die Anzahl der Umlaufbahnen ist n (n-l) -. ..-(n-ft + l) wird gleich sein. Wir haben eine Stichprobe von Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt. Früher Teilmengen wurden Kombinationen genannt, daher heißt die resultierende Zahl "Anzahl der Kombinationen von n bis k" und wird mit c* bezeichnet Notation = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Eigenschaft CS = С""* Kombinationen 4. Anzahl der Anagramme. Wir haben früher die Anzahl der Wortanagramme mit unterschiedlichen Buchstaben gezählt. Wenn die Anzahl der Buchstaben in einem Wort gleich n ist, dann ist diese Zahl gleich der Anzahl der Permutationen von n Elementen, also der Zahl n\. II f und t Anzahl der Untergruppen Auf wie viele Arten kann eine Untergruppe von drei aus einer Gruppe von sechs ausgewählt werden? Zuerst werden wir drei Plätze vorbereiten und drei Personen in Ordnung bringen. Dies kann auf == 120 Arten geschehen. Jetzt fassen wir die Anordnungen, die sich nicht in der Zusammensetzung des Tripels unterscheiden, sondern nur in der Reihenfolge, in der sie gepflanzt werden, zu einer Umlaufbahn zusammen. Es wird 3 in jeder Umlaufbahn geben! = 6 Konstellationen Antwort: 20. 3! (D Beispiel Anzahl der Kombinationen Bei einer gegebenen Menge von Elementen: x \u003d (1, 2, 3). Aus dieser Menge müssen Teilmengen mit zwei Elementen erstellt werden. Es gibt drei davon: (1, 2), ( 1, 3), (2, 3) Aus den Elementen jeder Teilmenge lassen sich 2!-Bahnen der Länge 2 bilden: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) (3, 2), das sind Anordnungen ohne Wiederholung von drei Elementen zwei, und ihre Anzahl ist gleich Al = 3 2 = 6. Andererseits ist diese Anzahl gleich 2! C => a A? Al \u003d 2! C - "3 - 2! 71
71 Anzahl der Kombinationen Zehn Punkte wurden auf der Geraden genommen. Wie viele Segmente wurden erhalten, deren Enden diese Punkte sind? c"=t=th 45 - Newtons Binomial (a + b) n = a"(1 + x) n (in Klammern a" und mit b/a bezeichnet Betrachten Sie die Erweiterung des Binoms (1 + x) n in Potenzen von x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". Die Koeffizienten ak sind durch die Formel k \ gegeben. Wir multiplizieren n Klammern der Form 1 + x miteinander. Um zu erhalten der Grad x k, Sie müssen x aus ihnen in L auswählen, und der Rest n - k 1. Die Anzahl der Optionen zum Auswählen von k Objekten aus n möglichen ist die Anzahl der Kombinationen, die wir von n bis k bestimmt haben, dh die Anzahl C * Der Einfachheit halber nehmen wir = 1 an und schreiben die Binomialformel wie folgt: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. identische Buchstaben. Lassen Sie uns zum Beispiel die Anzahl der Anagramme des Wortes ABOUT finden. Dies ist ein Wort mit acht Buchstaben, in dem der Buchstabe O viermal, K zweimal und die Buchstaben L und T jeweils einmal vorkommen. Lassen Sie uns dieselben Buchstaben anders machen (schreiben Sie sie zum Beispiel andere Schriftart K und K). Jetzt sind alle 8 Buchstaben unterschiedlich und die Anzahl der Anagramme dieses Wortes ist 8!. Kombinieren wir sie zu Umlaufbahnen und identifizieren wir die gleichen, aber unterschiedlich geschriebenen Buchstaben O und K. Neu anordnen unterschiedliche Schreibweisen Buchstaben O (4! Wege) und K (2! Wege), erhalten wir eine Umlaufbahn von 4! 2! = 48 Wörter. Um die Anzahl der Anagramme des ursprünglichen Wortes zu erhalten, benötigen Sie 8! dividiert durch die Bahnlänge. acht! Antwort: = ! Wie potenziert man eine Summe von Monomen? 1. Newtons Binomialformel. Der Ausdruck "Newtons Binom" ist seit langem ein Symbol für die Schwierigkeit und Unverständlichkeit der Mathematik. Tatsächlich fraglichüber eine ziemlich einfache Sache: Wenn Sie ein Binom (Binomial) a + b nehmen, es potenzieren und gleiche Terme addieren, erhalten Sie eine Summe von Monomen der Form a k b l mit einigen Koeffizienten. Die Formel zur Berechnung dieser Koeffizienten ist mit dem Namen I. Newton verbunden, obwohl sie viel früher verwendet wurde. Potenziert man a + b binomial, erhält man die Formel: Sie kennen 2, 3, 4. Die Zahlen C* heißen Binomialkoeffizienten 2. Eigenschaften von Binomialkoeffizienten 1) Sonderfälle Es ist sinnvoll, sich an den ersten zu erinnern Koeffizienten: _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72
72 a) uu/iato h-krkz fiktiriyl. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - kann in eine symmetrischere Form k\ transformiert werden, indem Zähler und Nenner mit (ga - A;)! multipliziert werden. Im Zähler werden alle Zahlen von 1 bis ha wiederhergestellt. Wir erhalten die Formel C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Sonne) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = Für 2. 2 AC = av3. Antwort: 1) 0; 2) v3. Ausdrücke in Klammern müssen Term für Term multipliziert werden und berücksichtigen, dass i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten AG und A2 im Raum kann mit dem Skalarprodukt berechnet werden:. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. Wir schreiben das skalare Quadrat in Koordinaten: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. Wir erhalten die Formel \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + („2 ~ *i f, was den Satz des Pythagoras für den Raum verallgemeinert.
84 Konzepte in der Sprache der Koordinaten und Vektoren? Dies geschieht, um Berechnungsalgorithmen zum Lösen zu erstellen geometrische Probleme. Grundlage dafür sind die Gleichungen verschiedener Figuren im Raum und vor allem die Gleichungen der Ebene und der Kugel (Kugeloberfläche). 1. Die Gleichung der Ebene. Eine Ebene kann durch einen darin enthaltenen Punkt definiert werden i^oc-^o? Jo! 2 o) und einem Vektor n senkrecht zu dieser Ebene (er wird als Normalenvektor zur Ebene bezeichnet). Notwendig u ausreichender Zustand dass der Punkt P(x; y; d) zur Ebene gehört, lautet wie folgt: [op-op0) 1 n oder in der Form - * Gleichheit PP0 n = 0. Nachdem die Koordinaten der Normalen p(a; B ; C), erhalten wir die Gleichungsebene in Koordinatenform: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. Öffnen Sie die Klammern und bezeichnen Sie die Zahl (Ax0 + + Vy0 + Cz0) bis D erhalten wir Standardgleichung Ebene in der Form Ax + By + Cz + D = = 0. Es ist ein Analogon der bekannten Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Beachten Sie, dass der Normalenvektor n nicht eindeutig definiert ist, sondern mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden kann. 2. Gleichung einer Kugel. Der Punkt P(x; y; r) liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt C(a; b; c) und Radius R, wenn die Bedingung \PC\ 2 = R 2 erfüllt ist, die sich leicht in Koordinaten umschreiben lässt: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. Diese Gleichung verallgemeinert die Kreisgleichung in der Ebene. Produkte in Koordinaten a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 ; 0; 0). Lösung: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. Die Gleichung der Ebene hat die Form: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. Die Gleichung der Kugel ^ Fragen und Übungen 1. Wie wird das Skalarprodukt von Vektoren bestimmt? 2. Wie wird das Skalarprodukt in Koordinaten berechnet? 3. Was sind die Haupteigenschaften des Skalarprodukts? 85
85 Koordinaten? 5. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene auf. 6. Schreiben Sie die Kugelgleichung auf. Lektion 4 Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen Zeichen der Rechtwinkligkeit: eine Linie und eine Ebene 1 t I X t, I ± n, t n n \u003d (0) \u003d\u003e I _L a zwei Ebenen On, Zep \u003d p_La zwei gerade Linien n ± a, t 1 I , li Projektion von I auf a => ij _L t Wie kann man mit Hilfe von Koordinaten und Vektoren die Rechtwinkligkeit von Geraden und Ebenen prüfen? 1. Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene. Per Definition steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht zu einer beliebigen Geraden in dieser Ebene steht. Es ist schwierig, eine solche Aussage zu überprüfen, da unendlich viele Linien in einer Ebene gezeichnet werden können. Es stellt sich heraus, dass es ausreicht, die Rechtwinkligkeit von nur zwei sich schneidenden Linien zu prüfen. Satz (Satz über zwei Senkrechte). Wenn eine Linie senkrecht zu zwei sich schneidenden Linien einer Ebene steht, dann steht sie senkrecht zu jeder anderen Linie dieser Ebene und daher senkrecht zu der Ebene selbst. 2. Rechtwinkligkeit zweier Ebenen. Satz. Wenn eine Ebene durch eine Senkrechte auf eine andere Ebene geht, dann sind diese Ebenen senkrecht. 3. Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Satz (Drei-Senkrechten-Satz). Wenn eine Linie, die nicht in einer Ebene liegt, senkrecht zu einer Linie liegt, die in einer Ebene liegt, dann ist die Projektion der ursprünglichen Linie auf die Ebene auch senkrecht zu dieser Linie. Umgekehrt, wenn die Projektion einer Linie auf eine Ebene senkrecht zu einer in der Ebene liegenden Linie ist, dann steht auch die ursprüngliche Linie senkrecht zu dieser Linie. 86
INHALT1. Zahlen, Funktionen und Graphen 7
§ eines Numerische Achse 7
§ 2 Kartesische Koordinaten in der Ebene 12
§ 3 Funktionsbegriff 19
§ 4 Gleichungen und Ungleichungen 35
Aufgaben und Fragen 42
2. Derivat und seine Anwendung 51
§ 5 Einführung des Derivats 51
§ 6 Berechnung der Ableitung 60
§ 7 Untersuchung einer Funktion mit Hilfe einer Ableitung 69
§ 8 Anwendungen des Derivats 85
§ 9 Differential 91
§ 10 Höchst- und Mindestaufgaben 98
Aufgaben und Fragen 104
3. Parallelität von Linien und Ebenen 114
§ 11 Gegenseitige Anordnung von Linien und Ebenen H4
§ 12 Zeichen der Parallelität 122
§ 13 Axiomatische Konstruktion der Geometrie 130
Aufgaben und Fragen 134
4. Vektoren
§ 14 Gezielte Segmente
§ 15 Vektorkoordinaten
§ 16 Anwendung von Vektoren in der Mechanik § 17 Vektorraum
Aufgaben und Fragen
5. Trigonometrische Funktionen 166
§ 18 Winkel und Wendungen 166
§ 19 Definition trigonometrischer Funktionen 175
§ 20 Studium von Sinus und Cosinus 185
§ 21 Tangens und Kotangens 193
§ 22 Ableitungen trigonometrischer Funktionen 197
§ 23 Reduktionsdiagramme 201
Aufgaben und Fragen 205
6. Skalarprodukt 210
§ 24 Vektorprojektion 210
§ 25 Eigenschaften des Innenprodukts 213
Aufgaben und Fragen 220
7. Trigonometrische Identitäten und Gleichungen 222
§ 26 Additionsformeln 222
§ 27 Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen 230
§ 28 Lösen trigonometrischer Gleichungen 237
Abschnitt 29 Umkehrfunktionen 242
Aufgaben und Fragen 252
8. Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen 259
§ 30 Vektorzuordnung einer Geraden 259
§ 31 Vektorzuordnung einer Ebene 265
§ 32 Diederwinkel 274
Aufgaben und Fragen 278
9. Raumkörper 283
§ 33 Zylinder und Kegel 283
§ 34 Kugel und Kugel 291
§ 35 Prismen und Pyramiden 295
§ 36 Polyeder 303
Aufgaben und Fragen 310
10. Exponential- und Logarithmusfunktionen 320
§ 37 Potenzen und Logarithmen 320
§ 38 Exponentialfunktion 327
§ 39 Logarithmische Funktion 332
§ 40 Exponential- und Logarithmusgleichungen und Ungleichungen 336
Aufgaben und Fragen 342
11. Das Integral und seine Anwendungen 348
§ 41 Definition des Integrals 348
§ 42 Berechnung des Integrals 356
§ 43 Anwendungen des Integrals 362
§ 44 Differentialgleichungen 371
Aufgaben und Fragen 379
12. Flächen und Volumen 384
§ 45 Flächen von ebenen Figuren 384
§ 46 Volumen räumlicher Körper 393
§ 47 Grundfläche 399
Aufgaben und Fragen 401
13. Gleichungen und Ungleichungen 407
§ 48 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten 407
§ 49 Gleichungssysteme 418
§ 50 Aufstellung von Gleichungen 424
Aufgaben und Fragen 434
Nachwort 435
Anlage 441
Antworten 448
Index 460
Gutachter: Laboratorium für Mathematik (Forschungsinstitut für Berufspädagogik der Akademie für Pädagogik der UdSSR); Dr. Phys.-Math. Wissenschaften, Prof. S. V. Vostokov (A. A. Zhdanov Leningrad State University)
Das Handbuch wurde gemäß dem Programm des einheitlichen Mathematikkurses geschrieben, der von einer Gruppe von Leningrader Mathematikern entwickelt wurde.
Algebra, die Anfänge der Analysis und Geometrie werden als ein Fach "Mathematik" vorgestellt. Die Präsentation des Materials wird von einer Vielzahl von Beispielen begleitet. Für Schüler und Lehrer der Berufsbildenden Schulen.
Verlag " Handelshochschule“, 1987
Vorwort
Das Buch ist ein experimenteller Mathematikkurs, der dem Lehrplan der Oberstufe entspricht. Mittelschule, ohne die traditionelle Aufteilung in verschiedene Disziplinen - Algebra und den Beginn der Analysis, Geometrie. Diese Ausgabe basiert auf dem „Experimental Lehrmaterial"(M., Höhere Schule, 1982) und Handbücher "Mathematik" (M., Bildung, 1983).
Im Rahmen des Lehrens eines Experimentalkurses in Mathematik an weiterführenden Berufsschulen in Leningrad und einigen anderen Regionen des Landes in den Jahren 1974-1985. Bestätigung der Richtigkeit der Wahl der Hauptsache gefunden methodische Prinzipien im Programm des einheitlichen Studiengangs Mathematik festgelegt. Die Grundideen dieses Kurses erwiesen sich als gut abgestimmt auf die Hauptrichtungen der Reform der Allgemeinbildung und Berufsschule und zu ihrer praktischen Umsetzung beitragen. Das Programm eines solchen Kurses wurde von einer Gruppe von Leningrader Wissenschaftlern im Rahmen von entwickelt wissenschaftliche Forschung Forschungsinstitut für Berufsbildung der Akademie der Pädagogik der UdSSR.
Die Mitarbeiter des Fachbereichs waren an der Erstellung des Buches beteiligt. höhere Mathematik Leningrader Elektrotechnisches Institut. V. I. Uljanow (Lenin). Ihnen allen sowie seinen zahlreichen Kollegen an Instituten, Schulen und Berufsschulen in Leningrad spricht der Autor seinen aufrichtigen Dank aus.
Einführung des Autors
Lieber Leser!
Du hast ein Experiment Lernprogramm Mathematik. Die Mathematik hat in den 2500 Jahren ihres Bestehens das reichhaltigste Werkzeug für das Studium der Welt um uns herum angesammelt. Wie der Akademiemitglied A. N. Krylov, ein herausragender russischer Mathematiker und Schiffbauer, feststellte, wendet sich eine Person jedoch der Mathematik zu, "um nicht unzählige Schätze zu bewundern". Zunächst müsse er sich mit „jahrhundertelang erprobten Werkzeugen vertraut machen und lernen, sie richtig und gekonnt einzusetzen“.
In diesem Buch lernen Sie den Umgang mit mathematischen Hilfsmitteln wie Funktionen und ihren Graphen, geometrischen Formen, Vektoren und Koordinaten, Ableitungen und Integralen. Während Sie mit den meisten dieser Konzepte bereits zum ersten Mal in Berührung gekommen sind, werden sie Ihnen in diesem Buch aufs Neue vorgestellt. Dies ist praktisch für diejenigen, die den zuvor gelernten Stoff vergessen haben, und nützlich für alle, da selbst vertraute Dinge neue Aspekte und Zusammenhänge offenbaren.
Um die Arbeit mit dem Handbuch zu erleichtern, sind die wichtigsten Bestimmungen und Formulierungen hervorgehoben. Illustrationen spielen eine große Rolle: Wenn Sie den Schulungstext nicht vollständig verstehen, betrachten Sie die dazugehörige Zeichnung genau. Schon in der Antike benutzten sie diese Methode, um Mathematik zu studieren - sie zeichneten eine Zeichnung und sagten: Schau!
Jeder Abschnitt des Buches ist in Absätze unterteilt. Am Ende der Absätze befinden sich Übungen. Diese Übungen reichen natürlich nicht aus, um die notwendigen Fähigkeiten zu beherrschen. Ihr Zweck ist es, die Hauptrichtung des Aufwands aufzuzeigen, der erforderlich ist, um den relevanten Stoff zu beherrschen.
Am Ende jedes Kapitels befindet sich ein ziemlich vollständiger Satz von Aufgaben und Übungen.
SUBJECT INDEX
ABER
Additivität 361 Axiom 118, 131 Axiome der Stereometrie 132 Argument 22 Arkuskosinus 234, 250 Arkuskotangens 236, 251 Arkussinus 232, 233, 250 Arkustangens 236, 251
BEI
Vektor 137, 138, 149, 150, 157 - Null 140
Kollineare Vektoren 260, 262 Г
Funktionsgraph 23, 32, 33 D
Druck 89
Reduktionsdiagramme 201-203 Funktionsdifferential 91, 92 Ableitung 51, 53, 348, 355 Umfang 401
Und
Integral 348-350, 352, 354, 366K
Tangente an Kurve 53 Quadrat 130
Harmonische Schwingungen 191, 22 £ Kegel 285, 289, 290
- abgeschnitten 287
Vektorkoordinaten 148, 149, 151
- Punkte 7, 13, 147
- - Rotierend 175 Arithmetische Wurzeln 321
- Gleichungen 25
- 25 Funktionen
Kosinus 175, 178, 186-189, 191, 197 Kotangens 175, 179, 186, 193, 196, 199, 203
Würfel 305
L
Logarithmus 325
- natur 331
M
Gewicht 368
3 - Stangen 87, 93
Elektrische Ladung 88, 93, 368 Grad Winkelmaß 169
Funktionswert maximal 98 - - Bogenmaß 170
- - Mindestens 98 Gauss Methode 423
- Intervalle 39 Polyeder 303, 308 Modul 138
- Übergang 326
- Zahlen 9
Monotonie der Funktion 29 N
Richtungsvektor der Geraden 259 Irrationale Ungleichungen 413
- entspricht 409
- rational 413 Ungleichheit 35, 407
- Quadrat 37
- die einfachste 339
Ö
Gültiger Bereich 409
- - Funktionen 83
- Funktionsdefinitionen 24, 246 Geltungsbereich 393, 394
- Würfel 393
- Zylinder 393, 395 Oktaeder 307
Orths der Achsen 149 Numerische Achse 7
P
Palette 393
Parallelepiped 299, 300 Stammfunktion 356 Parallelität von Linien 126 Variablen 19 Verschiebung 368 Grenzübergang 56 Periode 185
Periodizität 176, 185 Pyramide 297, 298
Ebenen parallel 120, 124, 125
- Kreuzung 120
- senkrecht 276 Ebene 114, 119, 130
- Tangente 293 Bereich 362
- Kegel 400
- Kreis 90
- Vieleck 388
- Parallelogramm 387
- Untergrafik 389
- Prismen 400
- Dreieck 386-388
- willkürliche Zahlen 389
- Zylinder 400 Titer 87 Kugeloberfläche 400 Genauigkeit 96
Regeln zum Zeichnen von Vektoren 139-141
Polygonregel 140
- Quader 141
- Parallelogramm 140, 141
- drei Punkte 140 Prisma 295, 296
Zeichen der Parallelität zweier Ebenen 124
- - - gerade 123
- Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene 267
- sich kreuzende Linien 117 Zeichen der Parallelität 122 Argumentinkrement 59
- Funktionen 59 Vektorprojektion 211
- orthogonal 272
- Punkte 210
Skalarprodukt 210, 213-216 Arbeitsproduktivität 90 Ableitung 51-53, 57, 60-63, 69 Zahlenintervall 8 Vektorraum 157 Gerade 114, 119, 130 Gerade parallele Linien 114, 132
- Kreuzung 114, 132
- überquerte 114, 126, 132
R
Arbeit 87, 88, 93, 367 Vektorgleichheit 260 Radian 170
Radiusvektor 142, 153 Vektorerweiterung 145, 147 Dimensionen 145, 158, 159
Spannung 140 Körperausdehnung linear 83 Gleichungslösung 37
Mit
Eigenschaften der Rotationsbewegung 172-174
- Integral 360
- Ungleichheiten 35
- Radikale 321
- 324 Grad
Parabelsegment 103 Axialkegelschnitt 287 Sinus 175, 178, 186, 187-189, 191, 197 Geographisches Koordinatensystem 14
- - Kartesisch 12, 147
- inkompatibel 419
- Gelenk 419 Leitungssysteme 422
- symmetrisch 421 Geschwindigkeit 85, 155, 365
- sofort 55, 60, 156
- Funktionswachstum 56
- Durchschnitt 55, 59
- Ecke 229
Dreiecksverhältnisse 167 Arithmetisches Mittel 37
- Geometrisch 37 Grad 323
Integralsummen 350, 351 Sphäre 291
T
Tangente 175, 179, 186, 193-195, 198, 203
Rotationskörper 288 Kosinussatz 216
- Newton-Leibniz 358
- ungefähr drei Senkrechte 270
- Pythagoras 167
- - Räumlich 301, 302
- Euler 305, 308 Wärmekapazität 89 Wärme 88 Punkt 114, 130
- kritisch 75
- lokales Maximum 26
- - mindestens 26
- Spezial 84
- Ende 82
Trigonometrische Identitäten 179, 236
- Gleichungen 230, 237
- Doppelwinkelformeln 224
- - Ergänzungen 240
- Funktionen 249-251
- - halbe Holzkohle 225
Bei
Neigung Tangente 52 Winkel 116, 169, 170
- Dieder 274, 275
- linear 275
- Polyeder 309 Kegelwinkel 287 Gleichung 407
- Bewegungen 372 Vektor 152
- Differential 371, 374
- irrational 413
- harmonische Schwingungen 376, 377
- logarithmisch 336
- über die zweite 373
- - zuerst 373
- Richtwert 337
- gerade 18, 260
- rational 413 Homogene Gleichungen 241
- Protozoen 183
- Äquivalent 37, 409 Beschleunigung 86, 153
Bedingung der Parallelität einer Geraden und einer Ebene 268
- - gerade 262
- Rechtwinkligkeit der Vektoren 217- 219
- - gerade und flach 268
- - gerade 262
- Gleichstellung 140
F
Näherungsformeln 94, 199, 200
- wirft 180, 222
- Ergänzungen 222-224
- trigonometrische Doppelwinkel 224
Funktionen wechselseitig invers 242, 243, 249
- monoton 246
- Rückseite 243, 244, 245
- periodisch 176, 185
- indikativ 327, 329, 341, 375
- trigonometrisch 175, 177, 181 Funktion 22, 70
- logarithmisch 332, 333
- ungerade 81
- sogar 80
C
Zylinder 283, 284, 289
Sogar 178 Nummer 7
- echt 8
-e 330
- irrational 324
- natürlich 8
- negativ 35
- Positiv 35
- vernünftig 8.323
H
Viereck 130
W
Kugel 291, 292
Mathe. Bashmakov M.I.
3. Aufl. - M.: 2017.- 256 S. M.: 2014.- 256 S.
Das Lehrbuch wurde gemäß dem Programm zum Studium der Mathematik in Institutionen der NPO und SPO geschrieben und deckt alle Hauptthemen ab: Zahlentheorie, Wurzeln, Potenzen, Logarithmen, Linien und Ebenen, räumliche Körper sowie die Grundlagen der Trigonometrie, Analysis , Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Für Studenten in Einrichtungen der primären und sekundären Berufsbildung.
Format: pdf(2017, 256s.)
Die Größe: 8,6 MB
Ansehen, herunterladen:drive.google
Format: pdf(2014, 256f.)
Die Größe: 52,6 MB
Ansehen, herunterladen:drive.google
Inhaltsverzeichnis
Grundlegende Notation 3
Vorwort 4
Kapitel 1. ENTWICKLUNG DES KONZEPTS VON NUMMER 7
Lektion 1. Ganze Zahlen und rationale Zahlen 7
Lektion 2. Reelle Zahlen 11
Lektion 3. Ungefähre Berechnungen 15
Lektion 4. Komplexe Zahlen 18
Gespräch. Zahlen und Wurzeln von Gleichungen 22
Kapitel 2
Lektion 1 Wiederholung 26
Lektion 2. n-te Wurzel 29
Lektion 3. Grad 33
Lektion 4. Logarithmen 37
Lektion 5. Exponential- und Logarithmusfunktionen 40
Lektion 6. Exponentielle und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen 46
Gespräch. Potenzen und Logarithmen berechnen 49
Kapitel 3. LINIEN UND FLÄCHEN IM RAUM 52
Lektion 1. Gegenseitige Anordnung von Linien und Ebenen 52
Lektion 2. Parallelität von Linien und Ebenen 56
Lektion 3. Winkel zwischen Linien und Ebenen 58
Gespräch. Geometrie von Euklid 61
Kapitel 4. KOMBINATORIK 66
Lektion 1. Kombinatorische Konstruktionen 66
Lektion 2. Regeln der Kombinatorik 69
Lektion 3. Anzahl der Umlaufbahnen 72
Gespräch. Aus der Geschichte der Kombinatorik 77
Kapitel 5. KOORDINATEN UND VEKTOREN 79
Lektion 1 Wiederholung 79
Lektion 2. Koordinaten und Vektoren im Raum 83
Lektion 3. Skalarprodukt 85
Lektion 4. Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen 88
Gespräch. Vektorraum 90
Kapitel 6. GRUNDLAGEN DER TRIGONOMETRIE 93
Lektion 1. Winkel und Drehbewegung 93
Lektion 2, Trigonometrische Operationen 98
Lektion 3. Transformation trigonometrischer Ausdrücke 103
Lektion 4. Trigonometrische Funktionen 109
Lektion 5. Trigonometrische Gleichungen 114
Gespräch. Aus der Geschichte der Trigonometrie 120
Kapitel 7. FUNKTIONEN UND GRAFIKEN 122
Sitzung 1 Rückblick allgemeine Konzepte 122
Lektion 2. Das Schema des Studiums der Funktion 127
Lektion 3. Funktionstransformationen und Aktionen darauf 131
Lektion 4. Symmetrie von Funktionen und Transformation ihrer Graphen 136
Lektion 5: Funktionskontinuität 139
Gespräch. Entwicklung des Funktionsbegriffs 141
Kapitel 8, Polyeder und runde Körper 143
Lektion 1. Wörterbuch der Geometrie 143
Lektion 2. Parallelepipeds und Prismen 145
Lektion 3. Pyramiden 148
Lektion 4. Runde Körper 151
Lektion 5. Reguläre Polyeder 154
Gespräch. Platonische Körper 157
Kapitel 9. ANFÄNGE DER MATHEMATISCHEN ANALYSE 159
Lektion 1. Prozess und seine Modellierung 159
Lektion 2 Sequenzen 165
Lektion 3. Das Konzept eines Derivats 171
Lektion 4. Differenzierungsformeln 176
Lektion 5. Ableitungen elementarer Funktionen 180
Lektion 6. Anwendung der Ableitung auf das Studium der Funktionen 183
Lektion 7. Angewandte Aufgaben 187
Lektion 8. Stammfunktion 193
Gespräch. Taylor-Formel 195
Kapitel 10. DAS INTEGRAL UND SEINE ANWENDUNGEN 198
Lektion 1. Flächen von ebenen Figuren 198
Lektion 2. Newton-Leibniz-Theorem 201
Lektion 3. Räumliche Körper 207
Gespräch. Ganzzahlige Größen 213
Kapitel 11. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik 219
Lektion 1. Wahrscheinlichkeit und ihre Eigenschaften 219
Lektion 2. Wiederholungen 222
Lektion 3. Zufallsvariable 225
Gespräch. Der Ursprung der Wahrscheinlichkeitstheorie 228
Kapitel 12. GLEICHUNGEN UND UNGLEICHHEITEN 230
Lektion 1 Äquivalenz von Gleichungen 230
Lektion 2. Grundtechniken zum Lösen von Gleichungen 233
Lektion 3 Gleichungssysteme 238
Lektion 4. Ungleichungen lösen 242
Konversation, Lösbarkeit algebraischer Gleichungen 247
Antworten 249
Vorwort
Die Mathematik hat in den 2500 Jahren ihres Bestehens das reichhaltigste Werkzeug für das Studium der Welt um uns herum angesammelt. Wie der Akademiemitglied A. N. Krylov, ein herausragender russischer Mathematiker und Schiffbauer, feststellte, wendet sich eine Person jedoch der Mathematik zu, "um nicht unzählige Schätze zu bewundern". Zunächst müsse er sich mit „jahrhundertelang erprobten Werkzeugen vertraut machen und lernen, sie richtig und gekonnt einzusetzen“.
In diesem Buch lernen Sie den Umgang mit mathematischen Werkzeugen wie Funktionen und ihren Graphen, geometrischen Formen, Vektoren und Koordinaten, Ableitungen und Integralen. Obwohl Sie einige dieser Konzepte vielleicht schon früher zum ersten Mal kennengelernt haben, stellt das Buch x neu vor. Das ist praktisch für diejenigen, die den bisher gelernten Stoff ein wenig vergessen haben, und ist für alle nützlich, da selbst vertraute Dinge neue Aspekte und Zusammenhänge offenbaren.
Um die Arbeit mit dem Lehrbuch zu erleichtern, sind die wichtigsten Bestimmungen und Formulierungen hervorgehoben. Illustrationen spielen eine wichtige Rolle, daher ist es notwendig, die mit dem Text verbundene Zeichnung sorgfältig zu prüfen, um den Text besser zu verstehen (sogar in der Antike verwendeten sie diese Methode, um Mathematik zu studieren - sie zeichneten eine Zeichnung und sagten: „Schauen Sie!“ ).
Neben dem unbestrittenen praktischen Wert der erworbenen mathematischen Kenntnisse hinterlässt das Studium der Mathematik einen unauslöschlichen Eindruck in der Seele eines jeden Menschen. Mit Mathematik verbinden viele Objektivität und Ehrlichkeit, den Wunsch nach Wahrheit und den Triumph der Vernunft. Viele Menschen haben ein Leben lang Selbstvertrauen, das entstand, als sie die unbestrittenen Schwierigkeiten überwanden, auf die sie beim Studium der Mathematik stießen. Schließlich sind die meisten von Ihnen offen für die Wahrnehmung der Harmonie und Schönheit der Welt, die die Mathematik aufgenommen hat, also sollten Sie nicht jede Seite des Lehrbuchs, jede Aufgabe mit einer Einschätzung angehen, ob sie im neuen Leben verwendet wird erwartet Sie nach dem Abschluss.
Die Themen, denen sich das Lehrbuch widmet – Zahlentheorie, Raumkörper, Grundlagen der mathematischen Analysis, Anfänge der Wahrscheinlichkeitstheorie – sind nicht nur von praktischer Bedeutung. Sie enthalten reiche Ideen, deren Einarbeitung für jeden Menschen notwendig ist.
Ich wünsche mir, dass das Studium der Mathematik, das /Lehrbuch helfen soll, Sie vom hohen Niveau Ihrer Fähigkeiten überzeugen lässt, den Wunsch nach Weiterbildung stärkt und viele freudige Minuten der Kommunikation mit „den unerschütterlichen Gesetzen“ beschert die die gesamte Ordnung des Universums kennzeichnen."
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Mark Bashmakov wurde am 10. Februar 1937 in St. Petersburg geboren. Vater, gebürtiger Bauern der Provinz Tver, Mutter stammt aus Winniza. 1954 schloss er die Schule mit einer Goldmedaille ab und trat in die Fakultät für Mathematik und Mechanik der Staatlichen Universität St. Petersburg ein. 1959 wurde er zur Graduiertenschule zugelassen, arbeitete dann als Assistent, außerordentlicher Professor und Professor. Anschließend verteidigte er seine Doktorarbeit.
Bereits als Student begann er mit der aktiven Arbeit mit Schülern und setzte diese Anfang der 1960er Jahre fort. Teilnahme an der Gründung und Arbeit von Kreisen, zuerst an der Fakultät, dann in den Bezirken der Stadt St. Petersburg, dann in einigen Städten des Nordwestens. War unter den Organisatoren der ersten Regionale Olympiade in Mathematik in den Städten Murmansk, Syktyvkar, nahm an der Vorbereitung der ersten All-Union-Olympiade für Schulkinder in Mathematik teil. Parallel zu seiner Arbeit leitete Bashmakov seit 1977 15 Jahre lang die Abteilung für höhere Mathematik an der nach V.I. benannten Staatlichen Elektrotechnischen Universität St. Petersburg. Uljanow.
In den 1980er Jahren unterrichtete er drei Jahre lang an Berufsfachschulen in St. Petersburg. Er schuf ein für seine Zeit innovatives Mathematikprogramm für Berufsfachschulen, das von ihm verfasste Mathematiklehrbuch wurde mehrfach neu aufgelegt und ist bis heute im System der Berufsgrund- und Sekundarbildung gefragt. Ein Beweis für die Anerkennung seiner Verdienste war die Verleihung seines Abzeichens "Ausgezeichneter Arbeiter in der Berufsbildung der UdSSR".
In der Stadt St. Petersburg wurde das Institut 1992 unter der Leitung eines Professors eröffnet Produktives Lernen. In den Folgejahren war das IPO Teilnehmer und Organisator zahlreicher internationaler und nationaler Projekte, deren Ziel die Entwicklung produktiver Lernmethoden und deren Einsatz in der Bildungspraxis war.
Von 2002 bis 2010 leitete er das Productive Learning Laboratory am Institute of Content and Teaching Methods der Russian Academy of Education. 2011 wurde er Leiter des Labors für Produktive Pädagogik des Instituts Lehrer Ausbildung und Erwachsenenbildung RAO.
1993 wurde er zum ordentlichen Mitglied der Russischen Akademie für Bildung gewählt. Später wurde für eine Reihe von Lehrbüchern "Mathematik für alle" der Preis der Regierung der Russischen Föderation im Bereich Bildung und der Titel "Preisträger des Preises der Regierung der Russischen Föderation im Bereich Bildung" verliehen Ausbildung."
Die wissenschaftliche Arbeit und die wesentlichen Ergebnisse des Mathematikers beziehen sich auf Algebra und Zahlentheorie. Die Hauptrichtung der Forschung: die Anwendung des modernen Apparats der Algebra und Topologie zur Lösung klassischer Probleme in der Theorie der diophantischen Gleichungen, Algebraische Theorie Zahlen, algebraische Geometrie.
Der Professor erhielt eine Reihe aufschlussreicher Ergebnisse, die weithin bekannt waren und in Übersichtsmonographien ihren Niederschlag fanden. Die mathematische Weltliteratur enthält solche Konzepte, die seinen Namen tragen, wie „Bashmakovs Theorem“, „Bashmakovs Problem“ und „Bashmakovs Methode“. Er gründete eine wissenschaftliche Schule, aus der eine Reihe bekannter Mathematiker hervorgingen, mehr als zwei Dutzend Kandidaten und Doktoren der physikalischen und mathematischen Wissenschaften.
Basierend auf den Erfahrungen aus der Arbeit an einem Internat hat er sich entwickelt und entwickelt sich weiter pädagogisches Konzept Produktives Lernen. Das Konzept ist pädagogisches System, die implementiert Bildungsprozess mit Hilfe einzelne Strecken, mit Maßnahmen, die persönliches Wachstum, soziale Selbstbestimmung der Teilnehmer, das Wachstum ihrer Rolle bei der Bildung, Umsetzung und Bewertung ihrer Bildungsweg. Die Ansätze erwiesen sich als nah an denen, die in Form des International Network of Productive Schools umgesetzt wurden. Die Aufnahme der russischen Linie in dieses Netzwerk erfolgte auf dem INEPS-Kongress.
Mark Ivanovich ist Autor einer großen Reihe von Lehrbüchern zur Mathematik der neuen Generation. Diese Lehrbücher decken die Grundbedürfnisse des Mathematikstudiums von den Klassen 1 bis 11 einer allgemeinbildenden Schule mit unterschiedlichen Profilen, Einrichtungen der primären und sekundären Berufsbildung ab. Die Reihe umfasst über 20 Lehrbücher Bundesliste Lehrbücher sowie mehr als 30 verschiedene pädagogische Hilfsmaterialien. Aktiver Teilnehmer und Organisator des Systems der All-Union-Olympiaden für Schulkinder, Mitglied der Redaktion der populärwissenschaftlichen Zeitschrift Kvant und der Zeitschrift Mathematik in der Schule.
Im Rahmen der Umsetzung des Konzepts des produktiven Lernens wurde unter seiner Leitung ein System massendidaktischer Spiele und Wettbewerbe geschaffen. Vorbild für solche Wettbewerbe war der Mathematikwettbewerb „Känguru“, an dem Schulen aus mehr als 20 Ländern teilnehmen.
