1 Ensisijainen ja toissijainen ammattimainen koulutus M. I. Bashmakov

2 ALUS- JA KESKINEN AMMATTIKOULUTUS M. I. BASHMAKOV MATEMATIIKKA Liittovaltion laitoksen suosittelema Liittovaltion instituutti koulutuksen kehittäminen" oppikirjana käytettäväksi koulutusprosessi koulutusinstituutiot Perusasteen ja toisen asteen ammatillisen koulutuksen ohjelmien toteuttaminen Tarkastuksen rekisteröintinumero 174, 28. huhtikuuta 2009 FGU "FIRO" 5. painos, korjattu akatemia "Moskovan julkaisukeskus "Akatemia" 2012

3 LBC 22.1ya722 B336 Arvostelijat: Moskovan valtion oppilaitoksen opettaja ammattikorkeakoulu N.A. Kharitonova; matematiikan ja tilastotieteen opettaja GOU SPO Moskova valtion teknillinen koulu tekniikka, talous ja laki ne. L.B.Krasina T.N.Sinilova; matematiikan opettaja GOU SPO College of Automation ja tietotekniikat 20 Moskova T.G. Kononenko B 336 Bashmakov M.I. Matematiikka: oppikirja oppilaitoksille aloittaville. ja keskim. prof. koulutus / M.I. Bashmakov. 5. painos, rev. M.: Publishing Center "Academy", s. ISBN Oppikirja on kirjoitettu matematiikan opetussuunnitelman mukaisesti perus- ja toisen asteen ammatillisissa oppilaitoksissa ja kattaa kaikki pääaiheet: lukuteoria, juuret, potenssit, logaritmit, suorat ja tasot, spatiaaliset solidit sekä trigonometrian perusteet , analyysi, kombinatoriikka ja todennäköisyysteoria. Perusasteen ja toisen asteen ammatillisten oppilaitosten opiskelijoille. UDC 51(075.32) LBC 22.1ya722 Tämän julkaisun alkuperäinen ulkoasu on Academy Publishing Centerin omaisuutta, ja sen jäljentäminen millään tavalla ilman tekijänoikeuksien haltijan lupaa on kielletty. Kustannuskeskus "Akatemia", 2010

4 Perusmerkintä Yleiset matemaattiset symbolit luvun a [a] itseisarvo (moduuli) koko osa luvut a = yhtä suuri kuin a suunnilleen yhtä suuri kuin > suurempi kuin< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>Näin ollen<=>on sama, jos ja vain jos Combinatorics ha! kertoimella Useita sijoituksia r:stä r:iin C yhdistelmien lukumäärä r:stä m:ään Pn permutaatioiden määrä n elementistä Joukkoa 0 tyhjää joukkoa N luonnollista lukua Y. kokonaislukuja Q rationaalilukuja R reaalilukuja C kompleksilukuja AUfi joukkojen liitto APW-leikkaus joukoista aea a kuuluu joukkoon A a "a a ei kuulu joukkoon A g f kuvausten koostumus fug Monimutkaiset luvut i imaginaarinen yksikkö z kompleksikonjugaatti K Z \r\ kompleksiluvun z absoluuttinen arvo (moduuli) Geometria A(x; y) , AB-piste A koordinaatilla x ja y suorat tasot viiva a on yhdensuuntainen suoran b kanssa viiva a leikkaa suoran b suora a on kohtisuorassa suoraa b viiva a leikkaa tason a pisteessä P taso a on yhdensuuntainen tason p tason kanssa a on kohtisuorassa tason p vektoria vastaan ​​Jakso ja funktiot K ) A/ df f\x) b \f(x)d . x funktion sekvenssilisäys f funktion differentiaali) funktion 1 derivaatta pisteessä x joukko antiderivaatteja, tai funktion epämääräinen integraali / funktion f määrätty integraali pisteestä a paikkaan b

5 Esipuhe Matematiikka on 2500 vuoden aikana kerännyt rikkaimman työkalun ympäröivän maailman tutkimiseen. Kuitenkin, kuten akateemikko A. N. Krylov, erinomainen venäläinen matemaatikko ja laivanrakentaja, totesi, ihminen kääntyy matematiikan puoleen "ei ihailemaan lukemattomia aarteita". Ensinnäkin hänen on tutustuttava "vuosisatojen todistettuihin työkaluihin ja opittava käyttämään niitä oikein ja taitavasti". Tämä kirja opettaa sinulle kuinka käyttää matemaattisia työkaluja, kuten funktioita ja niiden kaavioita, geometrisia kuvioita, vektorit ja koordinaatit, derivaatta ja integraali. Vaikka useimmat näistä käsitteistä esiteltiin sinulle aiemmin, tässä kirjassa ne esitellään uudelleen. Tämä on kätevä niille, jotka ovat unohtaneet aiemmin opiskelun materiaalin, ja siitä on hyötyä kaikille, koska tututkin asiat paljastavat uusia näkökohtia ja yhteyksiä. Oppikirjan parissa työskentelyn helpottamiseksi tärkeimmät säännökset ja sanamuodot on korostettu. Kuvituksilla on suuri rooli, joten tekstiin liittyvää piirustusta on harkittava huolellisesti tekstin ymmärtämiseksi paremmin (jopa muinaisina aikoina he käyttivät tätä matematiikan opiskelumenetelmää piirustuksen piirtämiseen ja sanomiseen: "Katso!") . Epäilemättömien lisäksi käytännön arvoa saadusta matemaattisesta tiedosta matematiikan opiskelu jättää lähtemättömän jäljen jokaisen ihmisen sieluun. Matematiikkaan monet yhdistävät objektiivisuuden ja rehellisyyden, totuuden halun ja järjen voiton. Monilla ihmisillä on elinikäinen itseluottamus, joka syntyi voittamalla matematiikan opiskelussa kohtaamat kiistattomat vaikeudet. Lopuksi, useimmat teistä ovat avoimia näkemykselle matematiikan imemästä maailman harmoniasta ja kauneudesta, joten sinun ei pitäisi lähestyä oppikirjan jokaista sivua, jokaista tehtävää arvioiden, käytetäänkö sitä uudessa elämässä, odottaa sinua valmistumisen jälkeen. Aiheet, joille oppikirja on omistettu, lukuteoria, tilakappaleet, esnovit matemaattinen analyysi, todennäköisyysteorian periaatteet eivät ole vain sovellettu arvo. Ne sisältävät rikkaita ideoita, joihin perehtyminen on välttämätöntä jokaiselle. Haluaisin toivoa, että matematiikan tutkimus, jonka / oppikirjan pitäisi auttaa, antaa sinun varmistaa korkeatasoinen Heidän kyvyistään, vahvistaa halua jatkaa opintojaan ja tuo monia iloisia hetkiä yhteydenpitoon "järisyttämättömien lakien kanssa, jotka merkitsevät koko maailmankaikkeuden järjestystä".

6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись luonnolliset luvut on pitkä historia. Nyky-yhteiskunta käyttää desimaalijärjestelmää, jossa syötetään 10 numeroa: 1,2 \u003d 1 + 1,3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 ja 0. Numeroa 9 seuraava luku kirjoitetaan 10:ksi. , kun lasketaan kymmenissä, sadoissa (10 x 10), tuhansissa jne., jokainen luonnollinen luku esitetään muodossa a0 + + a ak10 k (ak f 0), missä 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в erilaisia ​​järjestelmiä Desimaalijärjestelmä 2010 Roomalainen järjestelmä MMX Muinaisten egyptiläisten hieroglyfijärjestelmä (= 3000 eKr.) O n 2010 = 2 X Babylonian (heksadesimaali) järjestelmä ("3500 eKr.) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10

7 tai yksikköä; m kertaa yksikön n:s murto-osa (luonnollisten lukujen tyyppi) on rationaalinen luku. Se voidaan kirjoittaa tavallisena murtolukuna. Sama määrä voidaan saada käyttämällä eri osakkeita. On esimerkiksi selvää, että pirogue ja pirogue ovat sama asia. ^ ^ Kaksi tavallista murtolukua ja ovat keskenään yhtä suuria kuin Щ n2 (eli ne ovat saman rationaaliluvun tietueita) jos ja vain jos luonnolliset luvut ml t9 txn2 ja t2nx ovat samat: - = -<=>tgp2 = t2Hz. Пп 2 Kun positiiviset rationaaliluvut on muodostettu, niihin lisätään negatiiviset ykköset ja nolla tavalliseen tapaan. Rationaalilukujen joukkoa merkitään kirjaimella Q. Kokonaisluvut m tunnistetaan murtoluvuilla. 1 On sisällytyksiä N ja Z ja Q. 4. Rationaalilukujen joukossa Q määritellään kaksi aritmeettista operaatiota, yhteen- ja kertolasku, noudattaen tunnetut lait kommutatiivinen, assosiatiivinen, distributiivinen. Miksi ihmiset tarvitsevat numeroita? Ensinnäkin tilille. Esineiden lukumäärän vertailuun käytettiin aluksi joitain vakioesineitä (sormet, kiviä, tikkuja). Sitten keksittiin symbolit osoittamaan numero sarjoissa (kokoelmissa, sarjoissa), joissa on yhtäläiset esineet. Toinen lukukäsitteen kehityslähde oli mittausongelma. Kun valitaan suurelle (esimerkiksi pituudelle) mittayksikkö, on mahdollista verrata siihen. Tässä tapauksessa voit käyttää koko yksikön lisäksi myös sen murto-osia.

8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il tavallisia murtolukuja rationaalisilla luvuilla laskettaessa? I^UITIIVId Kuten todettiin, sama rationaalinen luku voidaan kirjoittaa eri murtolukuina. Niiden välistä yhteyttä kuvaa seuraava lause., _ tl t9 t9 t3 Lause. Jos \u003d - ja \u003d - W "s Todistus. W "s, niin On todistettava, että jj ^ murto-osien tasa-arvon määritelmä tätä varten sinun on tarkistettava kokonaislukujen yhtäläisyys: m ^ n3 \u003d m3ni. Käytämme näitä yhtälöitä: m1p2 = m2px ja m2p3 = m3p2 Kerro ensimmäinen niistä n3:lla ja toinen n1:llä. Saamme mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Kokonaisluvut m2p1p3 ja m2p3nx ovat keskenään yhtä suuret; käytämme kokonaislukujen transitiivisuuden ominaisuutta: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. Kirjoitetaan kokonaislukujen yhtäläisyys m1p2p3 = m3p2nx muotoon n2(m1p3 - m3rii) = 0. Luku n2 (keskimurtoluvun nimittäjä) ei voi olla nolla. Kuitenkin, jos kahden kokonaisluvun tulo on nolla, vähintään yhden niistä on oltava nolla. Saamme, että txp3 - t3p1 = 0, ts. mxn3 = m3nx, mikä oli todistettava. Kuinka suoritat aritmeettisia operaatioita yhteisille murtoluvuille? 1. Fraktion pienennys. 28 Priter. Fraktiota voidaan pienentää. Tämä ympyräkaavio näyttää äänten jakautumisen eduskunnassa kolmen Sinisen, Harmaan ja Valkoisen puolueen välillä. Tämä jakauma voidaan kirjoittaa murtolukuina: = 180 kokonaismäärä paikat; " " 4 Kokonaisosuudeksi voit valita ^: 12 Mikä osa pullon tilavuudesta täyttyy, kun nesteet tyhjennetään kahdesta identtisestä pullosta? voidaan tehdä peräkkäin, etsimällä osoittajan ja nimittäjän yhteiset tekijät ja jakamalla niillä:

9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 Vähennys m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 Kerro wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg nimittäjä suurimpaan yhteinen jakaja(GCD): T_ "Murtoluku on redusoitumaton. Sen osoittaja ja 15 nimittäjä ovat koalkisia lukuja. 2. Murtolukujen yhteenlasku (vähennys). 5 3 Esimerkki Yhteenlaskua varten sinun on tuotava murtoluvut yhteinen nimittäjä. Tätä varten on kätevää jakaa nimittäjät alkutekijöiksi ja ottaa niiden pienin yhteinen kerrannainen (LCM): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ Murtolukujen kerto- (jako) "Esimerkki. ( ):. Kirjoitamme re- Ja * V25 63J 7 tuloksen yksittäisen murtoluvun muodossa ja pienennä sitä: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Millä seuraavista lausekkeista on arvo 1: 14 ja mid ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A = f - 1-; 6) A \u003d)) A = 2,36-1,12-0,88 + 0,64; 7) A =? 4) l L." C Tavaran hintaa alennettiin ensimmäistä kertaa %, toisella kerralla b % uudesta hinnasta. Missä tapauksissa tavaran hinta oli tämän seurauksena 60 % alkuperäisestä hinnasta: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10? O 2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; kahdeksan

10 t numeerisia lausekkeita: 1) "onnekkaiden" bussilippujen määrä: IT" " 2) todennäköisyys, että 30 hengen luokassa on vastaavia syntymäpäiviä: \100 % J, l d 180 1, Arvioi mikä seuraavista luvuista on lähimpänä numero: )0,001; 2) 0,01; 3) 0,1; 4)1. 5. Taulukossa on esitetty jään sulamispisteet ja veden kiehumispisteet neljällä lämpötila-asteikolla Celsius (C), Fahrenheit (F), Kelvin (K) ja Réaumur (R). Olettaen, että ihmiskehon lämpötila Celsius-asteina on 37, laske se muilla asteikoilla, jos asteikkojen välinen suhde on lineaarinen: Indikaattori Asteikko C F K R Kiehuva vesi Jään sulaminen Oppitunti 2 Oikeita lukuja Mitä reaaliluku tarkoittaa? 1. Todellinen luku. Rationaaliset luvut eivät riittäneet ratkaisemaan mittausongelmia. Tämän havaitsivat yli 2,5 tuhatta vuotta sitten muinaiset kreikkalaiset matemaatikot, jotka osoittivat, että neliön, jolla on yksikkösivu, diagonaalia ei voida mitata käyttämällä vain rationaalilukuja, kun taas muita ei silloin tiedetty. Mitä tulee luonnollisten lukujen asettamiseen, voit käyttää tiettyjä esineitä (sormet, tikut) ja mittaustehtävissä voit valita janan pituudelle vakioarvon ja asettaa luvut geometrisesti segmenteiksi tai pikemminkin niiden suhteet valittuun yksikkösegmentti (mittakaavayksikkö). E \- T 4 Yleinen toimenpide 3 A 9 4

11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj

12 numeroa ovat numeroita V2, joista viisitoista desimaalia annettiin yllä, tai luku k (kehän suhde halkaisijaan): l \u003d 3. Kaikkien reaalilukujen joukko on merkitty kirjaimella R: N c Z c Q c R. Mihin tarvitsemme reaalilukuja, ja olivatko ne riittäneet ratkaisemaan tehtävät? Kuten todettiin, uusien irrationaalisten lukujen lisääminen rationaalilukuihin johtui tarpeesta mitata minkä tahansa segmentin pituudet. Tällä tavalla konstruoitujen reaalilukujen avulla on jo osoittautunut mahdolliseksi mitata monia muita skalaariksi kutsuttuja suureita. Uusien ongelmien ilmaantuminen vaati lukukäsitteen edelleen kehittämistä, jota käsittelemme myöhemmin. Miksi neliön, jonka sivu on yhtä suuri, diagonaalia ei voida mitata rationaalisella luvulla? Tämä kysymys sisältää kuuluisan lauseen muotoilun, joka todistettiin VI vuosisadalla. eKr. Todiste. Oletetaan, että yksikköneliön lävistäjän pituus voidaan kirjoittaa murtolukuna, jota pidämme redusoitumattomana. Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö I = I m 1, ts. I _ m 1 \u003d\n) U tai m 2 \u003d 2n 2. Koska oikealla on parillinen luku, niin vasemmalla oleva luku m g ja siten luku m ovat parillisia lukuja: m \u003d 2k . Korvaamalla ja vähentämällä 2:lla saadaan: 2k 2 = n 2. Samalla päättelyllä saadaan, että nyt n:n on myös oltava parillinen luku. Se, että reaalilukujen murto-osa niuio wiiv ^ vudi galinun Desimaali - \u003d 0, n 2 1, Jatkuva murtoluku - \u003d 2 + L F \u003d Rivi n 2, Ympyräkaavio Piste numeroakselilla B (-2) 0 1 litra (2,5) 11

13 Dcjmnnc MdieMdiHKH aika-akselilla - 600"" Pythagoran osoittaja ja nimittäjä osoittautuivat parillisiksi luvuiksi, mikä on ristiriidassa murto-osan pelkistämättömyyden ehdon kanssa. Tämä ristiriita todistaa Euclid Archimedes Diophantus Al-Khwarizmin lauseen Fibonacci Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov Miten ne toimivat reaalilukujen kanssa? Ääretön desimaali on sarja, jossa likiarvoja tehdään äärellisillä desimaaliluvuilla tiettyyn reaalilukuan. Aritmeettisten operaatioiden suorittamiseksi äärettömille desimaalimurtoluvuille nämä toiminnot suoritetaan äärellisille desimaalimurtoluvuille. Esimerkiksi lisäämme = 1, saamme: = 4 1,4 + 3,1 = 4,5 1,41 + 3,14 = 4,55 1,141 = 4,555 1,1415 = 4,5557 1,14159 = 4,55580 jne. Samoin l 72 \u003d 4. Tietenkin tällaiset laskelmat on suoritettava laskimen avulla, mutta samalla pidä kirjaa siitä, kuinka monta numeroa tuloksesta voidaan pitää oikeana. Reaaliluvut voidaan esittää pisteinä numerorivillä. Jos todellisen akselin pisteet A(a) ja B(b) esittävät kaksi lukua a ja b, niin pisteiden A ja B välinen etäisyys on yhtä suuri kuin lukujen a ja b välisen erotuksen moduuli: \AB\ = \b - a\. Moduulilla on kaksi tärkeintä ominaisuutta: \ab\ = \a\ b( ja \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?

14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu NUMERO f 7. Kirjoita seuraavat luvut jaksollisiksi desimaalimurtoiksi: x> 2.1, 3, 4 , MUTTA ; 6) Todista seuraavien lukujen irrationaalisuus: 1) 0, ; 2) 0, oppitunti 3 likimääräiset laskelmat Mitä on hyödyllistä tietää likimääräisistä laskelmista? 1. L “3 likimääräiset arvot I 1. Likimääräinen arvo. Olkoon luku x annettu. Lukua a kutsutaan luvun x likimääräiseksi arvoksi, joka lasketaan aina h > 0 asti, jos epäyhtälö \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13

15 3. f 16 = 3, Hz. kg "A.. w -, Ct.. and W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. Juuren merkin alle kirjoitetaan luku, jossa on 40 yhdeksää desimaalipilkun V0 jälkeen. Laske juuri 40 desimaalin tarkkuudella. 4. Tarkista, että seuraavat numerot on pyöristetty toiseen desimaaliin oikein: 1) a = 1,1683, a ~ 0,17; 3) 72 "1,41; 5) se 2 "9,86. 2) a = 0,2309, a - 0,23; 4) ^1 0,86; 2 5. Onko totta, että laskennan suhteellinen virhe on alle 1 %: 1) n «3,16; 3) sädeympyrän pinta-ala) ^ "21; 2) 2 10 "1000; suunnilleen yhtä suuri; 5) 9 11 a 3 Yu 10? Oppitunti 4 Kompleksiluvut Kompleksilukujen graafinen esitys m r = a + s M (a; b) Mikä on kompleksiluku ja miten aritmeettisia operaatioita suoritetaan kompleksiluvuilla? 1. Kompleksiluvut. Kompleksiluku on a + bi muotoa oleva luku, jossa a ja b ovat reaalilukuja, a i on symboli, jota kutsutaan imaginaariyksiköksi. 16

18 Kompleksilukujoukkoa merkitään kirjaimella C. Reaaliluku a tunnistetaan kompleksiluvulla a + 0 r. Laajennamme siis erilaisten numeeristen joukkojen sulkeumien ketjua: N c Z c Q c R c C Jokainen kompleksiluku z on jokin symboli muodossa a + b.i. Lukua a kutsutaan luvun z reaaliosaksi ja lukua b sen imaginaariosaksi. Summauksen määritelmä osoittaa, että kompleksilukuja lisättäessä niiden reaali- ja imaginaariosa lisätään erikseen. 2. Säännöt kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskulle. Kompleksiluvut lasketaan yhteen seuraavan säännön mukaan: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Kertoussäännön mukaan i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, ts. imaginaariyksikön neliö on yhtä suuri kuin reaaliluku -1. Kun kerrot kompleksilukuja, avaa vain sulut tavallisten sääntöjen mukaisesti ja korvaa r 2 arvolla -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- että ei vain z 2 = = -1, vaan myös (-i) 2 = Konjugoidut kompleksiluvut. Kompleksilukuja a + bi ja a - bi kutsutaan konjugaateiksi toisiinsa. Niiden tulo on yhtä suuri kuin todellinen positiivinen luku a 2 + b 2. Jos z \u003d a + N f 0, niin a 2 + b 2 f 0 ja voimme kirjoittaa identiteetin: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Tästä on selvää, että luku on 2 + b 2 a 2 + b 2 on luvun a + bi käänteis. Osaa laskea vastavuoroinen numero, voit jakaa yhden kompleksiluvun toisella (muulla kuin nollalla). 4. Kuva kompleksiluvuista. Luku z = a + bi voidaan esittää pisteellä tasossa, jonka koordinaatit (a, b) (esim. M(a, b)). Tällaisella kuvalla kompleksilukujen yhteenlasku vastaa 2 + z Reaaliakselin konjugaattilukuja z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ы = \om\ Kompleksilukumoduuli 17

19 Kompleksilukujen yhteenlasku Kompleksilukujen kertolaskujen tulkintaa käsitellään luvussa "Rotaatio ja trigonometriset funktiot". Konjugaattiluvut z \u003d a + bi ja z \u003d a - bi esitetään pisteillä, jotka ovat symmetrisiä abskissa-akselin suhteen. Lukua l/a 2 + b 2, joka on etäisyys lukua z edustavasta pisteestä (sanotaan yksinkertaisesti pisteestä z) alkupisteeseen, kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi ja sitä merkitään \r\. Huomioimme yksinkertaiset identiteetit: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2jz2; 4) z = z<=>oikea numero. Vastakkainen kompleksiluku Kompleksilukujen vähentäminen I = 2 Miksi tarvitsemme kompleksilukuja? Kompleksilukujen käytön myötä matemaatikoille avautuu uusia mahdollisuuksia. Katsotaanpa joitain niistä. 1. Tuli mahdolliseksi löytää juuret minkä tahansa algebralliset yhtälöt. Gaussin lause, jota kutsutaan algebran peruslauseeksi, sanoo, että jokaisella algebrallisella yhtälöllä on vähintään yksi kompleksijuuri. 2. Tasomuunnokset (rinnakkaismuunnos, rotaatio, homoteetisuus, aksiaalisymmetria ja niiden yhdistelmät) kirjoitetaan yksinkertaisina operaatioina kompleksiluvuille. 3. Mekaniikan ja fysiikan värähtelyprosesseja (ääni- ja valoaaltojen leviäminen, sähkömagneettiset ilmiöt, vaihtovirran ominaisuudet) tutkitaan paljon yksinkertaisemmin kompleksilukujen avulla. Seuraava lause näyttää erittäin merkitykselliseltä kenelle tahansa insinöörille: "Ajattele johdinta, jonka läpi virta kulkee voimalla I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (ampeeri)", vaikka ensi silmäyksellä näyttää "kuvitellulta" virralla ei voi olla fyysistä merkitystä. kahdeksantoista

20 I IV/ J - kompleksiluvut onko kätevää asettaa geometrisia lukuja tasoon? Tämä perustuu seuraavaan yksinkertaiseen sääntöön. Lause. Kahden kompleksiluvun eron moduuli on yhtä suuri kuin näitä lukuja edustavien pisteiden välinen etäisyys. Kuvasta näkyy, että vektorit, jotka yhdistävät pisteen z2 pisteeseen zu ja origon pisteeseen + (~z2), ovat keskenään yhtä suuret. Siksi luku zx - z2\, joka on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä + (~z2) origoon, on yhtä suuri kuin pisteiden ja z2:n välinen etäisyys, mikä oli todistettava. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ Kahden kompleksiluvun eron moduuli Miten kompleksiluvuilla lasketaan? 1. Aritmeettiset operaatiot: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4) (-5))i = r; i_ (-5 + 7i)(3 + 4i) _i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + if = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Eri käyrien yhtälöiden kirjoittaminen kahden kompleksiluvun erotusmoduulin geometrista tulkintaa käyttäen: 1 ) ympyrä, jonka säde on R, jonka keskipiste on origossa: r = R 2) ympyrä, jonka säde on R ja jonka keskipiste on pisteessä r0: z - Zq\ = R; 3) ellipsi määritellään tason pisteiden paikaksi, jonka etäisyyksien summa kahteen tason pisteeseen on vakio: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Ellipsi, jossa foci.fi(-1; 0) ja F2(l; 0) 19

21 Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Laske: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r)(; 5) r3; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. Laajenna lineaariset tekijät 1) a2 + 4b2; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a 4 - b 4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x Piirrä tasolle joukko kompleksilukuja, jotka täyttävät seuraavat ehdot: 1) \r\ \u003d 3; 3) g g< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >yksi; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >b. Ratkaisujen rakentaminen tähän yhtälöön

22 kokonaislukua (ja nolla). Myöskään yhtälöllä, jonka muoto on ax = b, jossa a ja b ovat kokonaislukuja ja a Ф 0, ei aina ole kokonaislukuratkaisuja. Ottamalla käyttöön rationaaliluvut, saamme mahdollisuuden kirjoittaa muistiin tämän yhtälön ratkaisut mille tahansa kokonaisluvulle a ja b (samalla rajoituksella a Ф 0). Yhtälön x 2 = 2 rationaalilukujen ratkaisemattomuus aiheutti reaalilukujen ilmaantumisen, jotka nyt kuvittelemme äärettömien desimaalilukujen muodossa. Niistä erottuivat ennen kaikkea radikaalien kautta ilmaistut, ts. muotoa x n = a (a > 0) olevien yhtälöiden juurien kautta. Keskustelemme näistä numeroista tarkemmin luvussa. 2. Tietysti avulla neliöjuuret onnistui tutkimaan toisen asteen yhtälöiden ratkaisuongelmaa. Al-Khwarizmin menetelmä toisen asteen yhtälön l positiivisen juuren löytämiseksi: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Italialaiset matemaatikot ratkaisivat kuutioyhtälön radikaaleilla 1500-luvulla. Kuutioyhtälön ratkaisu x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 algebrallinen merkintä toisen asteen yhtälön monimutkaiset juuret geometrinen kuva yhtälön juurista x 3 \u003d 1 On huomionarvoista, että siinä tapauksessa, että yhtälöllä on kolme reaalijuurta, neliöradikaalin alla on negatiivinen luku ja oikea juuri kirjoitetaan konjugoitujen kompleksilukujen summana. Siis 1500-luvulla. matemaatikot tulivat tarpeeseen ottaa käyttöön "imaginaariset" numerot. Italialaiset pienensivät nopeasti neljännen asteen yhtälön kuutiomenetelmä hänen L. Ferrarin ehdottama ratkaisunsa julkaisi D. Cardano vuonna 1545 kuuluisassa kirjassaan Ars Magna. 21

23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () Cardanon kaava yhtälön x 3 + px + q = 0 juurien löytämiseksi: Seuraava askel kesti lähes kolmesataa vuotta, kun norjalainen matemaatikko N. Henrik Abel (rinnakkaisena italialaisen P. Ruffinin kanssa) osoitti, että ei ole olemassa yleinen kaava viidennen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Täydellisen kuvauksen yhtälöistä, joiden juuret voidaan ilmaista kertoimillaan aritmeettisilla operaatioilla ja juurien erotuksella, antoi suunnilleen samaan aikaan merkittävä ranskalainen matemaatikko E. Galois. Hän eli vain 21 vuotta ja kuoli kaksintaistelussa vuonna 1832, mutta hänen nimeensä liittyy modernin algebran synty. Galoisin syvät teokset ymmärrettiin vasta 1800-luvun lopulla. Seurasimme siis lyhyesti yhtä riviä polynomin juurien löytämiseksi, yhtälön juurien ilmaisun kertoimien kautta aritmeettisten operaatioiden avulla. Toinen linja liittyy enemmän matemaattiseen analyysiin. Kysymys polynomin määrittelemän funktion katoamisesta on tyypillinen kysymys funktioteoriassa. Se, että todelliset luvut eivät riitä kuvaamaan polynomin juuria, tuli selväksi jo italialaisten työn jälkeen 1500-luvulla. Saksalainen matemaatikko K.F. Gauss ratkaisi ja julkaisi 1700-luvun lopulla luonnollisen kysymyksen siitä, onko tarpeeksi kompleksilukuja minkä tahansa polynomin juuren löytämiseksi, onko kompleksilukuihin tarpeen lisätä uusia lukuja. Hän osoitti, että kaikilla yhtälöillä (jopa monimutkaisilla kertoimilla) on monimutkainen juuri. Aksioomit Rakentava tapa vastata kysymykseen: "Mikä on luku?" ei ole ainoa. Sen sijaan, että vastaisi tähän kysymykseen, moderni matematiikka ehdottaa muotoilemaan tarkemmin, mitkä ovat

24 numeroiden ominaisuuksia, mitä operaatioita niillä voi tehdä. Eri numerojärjestelmillä on näiden toimintojen erilaiset ominaisuudet. Rikkain järjestelmä on kenttä. Lukujärjestelmä muodostaa kentän, jos molemmat operaatiot (yhteen- ja kertolasku) sallivat käänteisoperaatioiden (vähennys- ja jakolasku) suorittamisen. Mitä tahansa lukujärjestelmää, jossa on kaksi operaatiota, joihin pätee yhdeksän aksioomia, kutsutaan kentällä. Rationaalilukujen joukot Q, reaalilukujen R ovat kenttiä. Luonnollisten lukujen N, kokonaislukujen Z ja positiivisten lukujen R* joukot eivät ole kenttiä. Kenttäaksioomit eivät täysin kuvaa kaikkia tarvitsemamme reaalilukujen ominaisuuksia. He puhuvat vain asiasta aritmeettiset operaatiot heidän yläpuolellaan. Eriarvoisuuden ja lukujen välisen etäisyyden käsitteisiin liittyy myös laaja joukko ominaisuuksia. Palaamme näihin ominaisuuksiin tutkiessamme matemaattisen analyysin periaatteita (ks. luku 9). "Vakio"-kenttien Q ja R lisäksi on monia muita kenttiä. Erityisen tärkeitä niistä ovat ns. äärelliset kentät, ts. järjestelmät, jotka koostuvat äärellisestä määrästä elementtejä ja ovat samanaikaisesti kenttiä. Jos otetaan yksi mielivaltainen alkuluku p ja otetaan huomioon jäännökset sen jälkeen, kun toinen mielivaltainen kokonaisluku on jaettu p:llä (p: 0, 1, 2, ..., p - 1), niin voimme määritellä jäännösten yhteen- ja kertolaskujen niin luonnollisella tavalla, että ne muodostavat kentän. Tätä varten sinun on suoritettava tavanomaiset toiminnot jäännöksille kuten kokonaisluvuille ja korvattava tuloksena oleva luku p:llä jakojäännöksellä (he sanovat: laske modulo p). Esimerkiksi viidellä jaon jäännöksillä voit suorittaa kaikki toiminnot: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, so. -3 = 2 ja -2 = 3 ja niin edelleen. Aksioomit 1. Yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia, ts. seuraavat identiteetit ovat voimassa: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc). 2. Yhteen- ja kertolaskussa on neutraaleja alkioita (nolla yhteenlaskulle ja yksi kertolaskulle): 5) a + 0 = a; 6) 1 a = a. 3. Käänteisoperaatiot ovat mahdollisia: 7) jokaiselle luvulle a on olemassa vastakkainen numero(-ja nuo. a + + (-a) = 0; 8) jokaiselle luvulle a Ф 0 on käänteisluku a -1, ts. a-a" 1 = Distributiivislaki: 9) a(b + c) = ab + ac.

25 n n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 luonnollinen luku; vaan mielivaltainen luku. Sitten "tulo n:stä tekijästä, joista jokainen on yhtä suuri kuin a: a 2 \u003d a-a neliö luvusta a; 3 \u003d a-a-a kuutio luvusta a. p 2" Luonnolliset luvut määritetään peräkkäin, alkaen yhdestä (N \u003d 1, 2, 3...). Jos tiedämme jonkin luvun n, niin seuraava luku on n + 1. Samalla tavalla voimme määrittää asteet peräkkäin luonnollinen indikaattori: uskomme, että a 1 = a; tietäen a", asetamme a n + 1 = a p a. 2. Asteen käsitteen yleistäminen mielivaltaisiin kokonaislukueksponentteihin. Jokaiselle luvulle a * 0 määritellään p = a p, jossa p on luonnollinen luku. Lisää a:n määritelmä aste eksponentin kanssa: a 0 = a"" = 1, a * O. a" nolla 24

26 3. Asteiden ominaisuudet kokonaislukuvälillä: kertolasku: a t a n = a m + n; jako: a t: a n = a t ~ n; eksponentio: (a n) n = a mp. 4. Geometrinen eteneminen. Geometrinen progressio on ensimmäisellä termillä a1 ja toistuvuusrelaatiolla an+1 = an q antama sekvenssi, jonka avulla voidaan laskea mikä tahansa sen termeistä edellinen tuntemalla. Vakiolukua q kutsutaan etenemisen nimittäjäksi. Yleinen termin kaava: ap \u003d ax q p ~ 1. N jäsenen summa: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1). q-1 5. Tehoriippuvuudet ja funktiot. Valitsemalla mikä tahansa kokonaisluku m, voidaan muodostaa potenssifunktio y = kx m, joka on määritelty kaikille x:ille, jos m on luonnollinen luku, ja kaikille x:ille paitsi nollalle, jos m< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х neliöfunktio y \u003d X 2 Kuutiofunktio (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. Kun eksponentioidaan, eksponentit kerrotaan, kun potenssit kerrotaan, ne lisätään 2. Järjestä asteet nousevaan järjestykseen:

27 rat / un fuptspp lp:ssä vähennämme kaikki asteet yhteen kantaan: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. Koska luku 2 > 1 ja 2 * > 0 mille tahansa kokonaisluvulle k, niin 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k mille tahansa kokonaisluvulle k. Siksi laitamme eksponentit nousevaan järjestykseen: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. Määritä ensimmäinen termi kaavasta -yksi]. x Kaavio osoittaa, että funktio y pienenee määritetyllä aikavälillä. Siksi se ottaa suurimman arvon M intervallin vasemmassa 1_ 1 päässä: M = -2 ~ 2 5. Määritä panoksen määrä. Pankki kerää talletuksesta x % vuosittain. Vuoden lopussa talletukseen lisätään korkoa. Mikä on panos n vuoden kuluttua? Merkitään alkupanos A:lla. Vuoden lopussa se on yhtä suuri kuin A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ joten vuoden panos saadaan kertomalla luvulla ^ = 1 x Jqq "Geometrinen progressio A , Aq, Aq 2,... antaa kunkin vuoden osuuksien sarjan.26

28 Panoksen An kaavaa n vuoden kuluttua Lp =.A^l + j kutsutaan korkokaavaksi. Yhdistelmäkorkokaava А =А Kysymykset ja harjoitukset 1. Laske: 1) 2 10 ; 3) "2,3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0,1) "6 - (4-3) - 2. Yksinkertaista: 5 "IttI: 3. Mikä numeroista on suurempi: 1) tai Z 20; 2) a 3) Z99 3 tai () 3; 2) tai; 4. Etsi x yhtälöstä: 4) 9 "2 tai) 2 x \u003d 2) 10 2d:" 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) Geometrisen progression (a) ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin 1 ja nimittäjä q \u003d 1,1. Millä pienimmällä n:llä termistä an tulee enemmän kuin kaksi? 6. Määritä kaaviosta, minkä x:n funktion y \u003d 2x 2 arvot ovat suurempia tai yhtä suuria kuin funktion y \u003d X s arvot. 7. Mikä on arvojoukko ​​funktioista y \u003d x k k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. Etsi pienin ja suurin arvo funktiot y \u003d x ~ 2 intervallilla [-3; -2]. _8_ 27 "Oppitunti 2, juuri n astetta Mikä on juuri n astetta ja mitkä ovat sen ominaisuudet? 1. Määritelmä. Olkoon n > 1 luonnollinen luku; vaan mielivaltainen luku. A:n n:s juuri on sellainen luku b, että b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a for a\u003e 0 \/a "\u003d y / a for a u003e 0 27

29 p sfn 2 1,41 3 1,24 6 2,45 7 2,65 8 2,16 Kuution reuna /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv Neliön diagonaali Esimerkiksi luku 3 on 4. asteen juuri luvusta 81, koska Z 4 \u003d 81. Luku -3 on myös luvun 81 neljäs juuri, koska (-3) 4 on myös 81. Yhtälöiden kielellä voidaan sanoa, että yhtälön n:s juuri luvusta a on juuri x n = a. 2. Olemassaolo. Jos a > 0, jokaiselle luonnolliselle luvulle n > 1, on yksilöllinen positiivinen juuri n. aste numerosta a. Sitä merkitään radikaalimerkillä: jos a > 0, y/a on luku b siten, että b > 0 ja b n = a. Merkintä \[a ulottuu arvoon a = 0: \/0 = 0 ja arvoon a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, luonnollinen luku) on seuraava määrä juuria: 1) n on parillinen: alle ei ole juuria< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n on pariton: yksi juuri l/a mille tahansa a:lle. 4. Radikaalien ominaisuudet: 1) = a, b > 0; Kuution diagonaali 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^a. Miksi esitellään n:nnen juuret astetta? N:nnen juuren löytäminen tai, kuten perinteisesti sanotaan, juuren poimiminen n-vi astetta Tämä on käänteinen operaatio positiivisen luvun nostamiseksi potenssiin:

30 a p = b<=>a = " ja, o > ja). Esimerkiksi kuution, jonka reuna on a, tilavuus V on yhtä suuri kuin a:n kuutio: V = a 3. Päinvastoin, tilavuuden V kuution reuna a on V:n kuutiojuuri: ​​a = y/v . n. asteen operaatio, positiivisen luvun eksponentioinnin käänteis Miksi juurien ilmoitetut ominaisuudet ovat päteviä? 1. Kysymys juurien olemassaolosta on itse asiassa kysymys uusien lukujen muodostamisesta. Kuten aiemmin todettiin, neliön lävistäjä, jonka sivu on 1, on luvun 2 neliöjuuri. Muinaisten kreikkalaisten matemaatikot joutuivat löytämään luvun n / 2, koska he tiesivät vain rationaaliset luvut ja epäilevät neliön diagonaalin olemassaoloa. eli ottaa huomioon neliöjuuret, ei vain niissä tapauksissa, joissa nämä juuret voitaisiin ilmaista aiemmin tunnetuilla rationaalisilla luvuilla. Laadettuaan kaikkien reaalilukujen joukon esimerkiksi äärettömien desimaalilukujen avulla matemaatikot löysivät y / a:n olemassaolon mille tahansa n:lle ja a > 0. Kun esimerkiksi negatiivisten lukujen neliöjuuret (joita ei voi olla reaalilukujen joukossa) tarvittiin, italialaiset matemaatikot 16 . Minun piti ottaa käyttöön uusia numeroita, joita he alkoivat soittaa kuvitteellisia lukuja. 2. Kysymys juurien lukumäärästä on suhteellisen helppo ratkaista. Se, että positiivisella luvulla ei voi olla enemmän kuin yksi positiivinen juuri, osoitetaan epäyhtälöiden ominaisuuksien avulla. Olkoot b1 ja b2 erillisiä a:n positiivisia n:nneitä juuria. Jos luvut ovat erilaisia, niin toinen niistä on suurempi kuin toinen, esimerkiksi b1 > b2. Kerrotaan epäyhtälöt positiivisilla termeillä, saadaan bf > b2, eli a > a, mikä on väärin. 3. Radikaalien ominaisuudet tarkistetaan asteiden ominaisuuksien avulla. Esimerkiksi kuinka sen voi todistaa Määritelmän mukaan y/ab on positiivinen.. Utelias: luku y/a+y/b, jossa a ja b ovat kokonaislukuja, jotka eivät ole neliöitä, ei voi olla kokonaisluku, mutta se voi olla hyvin lähellä sitä. Harjoitus: sisään desimaalimerkintä numerot l / v viiden desimaalin tarkkuudella ovat seuraavat: ..., Laske tämän luvun kokonaislukuosa laskimella. Esimerkit ^8=^5-1/8=2^/5 radikaalien ensimmäisen ominaisuuden mukaan; Yksinkertaista seuraavat radikaaleja sisältävät lausekkeet:

31 Yksinkertaista seuraavat radikaaleja sisältävät lausekkeet:. Vl-2^3+^9. Neliöjuuren alla on täysi neliö I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. Poimittaessa 2:n neliöjuurta otimme huomioon a:n etumerkin: 1_z / z<0=>^/3-1>0. Siten: l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. ja IVUTUpUi "U pauii" * "" tiedämme, että tällainen luku on ainutlaatuinen. Tarkastetaan, että luku y[a täyttää nämä ehdot. Se on positiivinen (kahden positiivisen luvun tulona) ja sen n astetta on yhtä suuri kuin ab: (Va Ф)У = (Ta) "(Tfc)" = a b. Miten ongelmat ratkaistaan ​​juurien avulla? Annettu: äänten taajuuksien sarja muodostaa geometrisen etenemisen; ag = a; a10 = 2a. Etsi: q. Ratkaisu: koska a10 \u003d axq 9, niin q täyttää yhtälön 2a \u003d a q g, eli q g \u003d 2 ja \u003d V (= 1/3-1; 1 "Kerromme osoittajan ja nimittäjän neliöllä lukujen ja 1:n summa (n/2 + 1) ja saamme luvut radikaalin merkin alla, potenssien mukaan alkuluvut ja käytä) \J ^/2-l/z 5 ^ Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Mitkä seuraavista luvuista ovat rationaalisia: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) + ; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Ovatko yhtälöt aina totta 1) =а 3 ; 2) =a 4? 3. Laske: 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-VI25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. kolmekymmentä

32 1),/0,999 tai 0,999; 3) 3/10000 tai 21; 2) ^2009 tai 2^2008; 1 + V2 4) ^ + vai 2^2-3? 5. Yksinkertaista lauseke: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr ​​Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 "3) 1-4/2" 4) V2 + V3 + V5 "Oppitunti 3 Asteet Mitä tarkoitetaan asteella mielivaltaisella eksponentilla? 1. Asteet a x luvun x erilaisille määrityksille. Olkoon positiivinen luku a. Miten se nostetaan x:n potenssiin?Vastaus riippuu siitä, kuinka luku x annetaan: 1) x on kokonaisluku.Miten aste mielivaltaisella kokonaislukueksponentilla määritetään, toistimme aiemmin, 2) x on rationaalinen luku, joka on kirjoitettu k:ssa x-, pral., jossa ja k on kokonaisluku, n on luonnollinen Määritelmän mukaan a n = \a k. , joka annetaan rationaalisten approksimaatioiden sarjalla x0, x1r x2,..., xn,... Luvut xt ovat rationaalisia. Ne voidaan kirjoittaa k:ksi tavallisina murtolukuina x, =. Silloin Wh:sta tulee yksiselitteisesti määrättyjä lukuja h.] Jono y0, yi..., yk1 on sarja approksimaatioita tietty luku y, joka otetaan ax:n potenssiksi. sinun tutkintosi. Asteiden ominaisuudet kokonaislukueksponenteilla siirretään asteiksi millä tahansa eksponenteilla: Historiallinen viittaus Ranskalainen tiedemies N. Orem () käytti ensimmäisenä positiivisia murto-osoittimia. Nolla ja kokonaisluvut negatiivisia indikaattoreita ilmestyi yli 100 vuotta myöhemmin ja myös Ranskassa (N. Shuke). Potenttifunktioiden kuvaajat positiivisilla murto-osien eksponenteilla Esimerkki 2 n:n potenssin laskemiseksi esitetään luku ts äärettömänä desimaalilukuna l \u003d 3, kirjoitetaan desimaaliapproksimaatiosarja luvulle l muodossa XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000 jne. "31

33 Tarkastellaan sitten lukuja 2 x "= 8, 2*i = 8.574, 2*2= 10^2 iit = 8.815 jne. Tämä sekvenssi määrittelee jonkin luvun y, joka on luvun 2 potenssi". Numeron 2 "ensimmäiset desimaalit ovat seuraavat: 2" \u003d 8, Asteiden ominaisuudet (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a in b 3! l U 3 J g "b 12 Esimerkkejä nostettaessa asteeksponentit kerrotaan; Z 2 Z 3 \u003d \u003d Z 5 kerrottuna, eksponentit lisätään. Todellakin, jos r \u003d \u003d \u003d, TO P3 Ajrtg "2 1-" 2 Toisaalta ja r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32

34 2) jos muutamme rationaalisten approksimaatioiden sarjan samaksi numeroksi, lähestyvätkö vastaavat potenssijonot samaa lukua? 3. Asteiden ominaisuudet rationaalisilla eksponenteilla todistetaan radikaalien ominaisuuksien perusteella ja siirretään sitten mielivaltaisiin eksponenteihin. Miten mielivaltaisella indikaattorilla varustettuja asteita käytetään tehtävien ratkaisemisessa? 1. Asteiden laskenta juurien kautta: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. Pelkistys yhteen kantaan: 1 z kirjoitetaan luvut 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I luvun 3 potenssiina rationaalisen eksponentin kanssa: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (Z 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = h! 3. Lausekkeiden muunnos 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. Yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisu: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1) ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. Bernoullin epäyhtälö Valtuuksia verrattaessa joutuu usein käyttämään erilaisia ​​epäyhtälöitä. hyödyllinen epätasa-arvo(kuuluisan Bernoullin epäyhtälön erikoistapaus): olkoon x > 0, n > 1, sitten (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. On vielä tarkistettava epäyhtälö arvolle n = 2. Itse asiassa Bernoullin epäyhtälö pätee paitsi x > 0:lle myös -1:lle< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r ja a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8 "r - 1) ja s-r 0. Hanki - x a "~ r -1< (1 + дс)" -1<-. п х Окончательно: а" -а г < а г. п Ясно, что за счет выбора большого п разность a s - а г может быть сколь угодно малой. 33

35 Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Kirjoita asteeksi rationaalisen indikaattorin avulla: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; sisään"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>I); j) kuusi. 3. Toimi seuraavasti: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. Järjestä numerot nousevaan järjestykseen: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 h; s L 5 5) Tsa 2) s J; 6) "1" 93 2) I z I ; s; 9 Z; 34; 3) 2 4 ; ; (-3) 4 ; ; J1 4) Z 3 ; (-2) 3 ; 2 e. 5. Todista eriarvoisuus :)< ;) 33 >4^ > 55; 4) >1. 6. Ratkaise yhtälöt piirtämällä potenssifunktiot (tai niiden yhdistelmät) sen vasemmalle ja oikeat osat: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 m 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2

36 Oppitunti 4 Logaritmit Mikä on logaritmi? 1. Määritelmä. Luvun c logaritmi kantaan a on sellainen luku b, että a b = c, ts. eksponentti, johon kanta on nostettava, jotta saadaan c: b = logac. Kantaluvun ja logaritmin etumerkin alla olevan luvun on oltava positiivisia. Lisäksi oletetaan, että a Ф 1. Jos kanta a \u003d 10, niin tällaista luvun c logaritmia kutsutaan desimaaliksi ja sitä merkitään lgc, ts. lgc = log10c. 2. Logaritmien ominaisuudet. Asteiden ja logaritmien ominaisuudet liittyvät toisiinsa: Historiallinen tausta Ensimmäiset logaritmitaulukot rakensi itse asiassa saksalainen matemaatikko M. Stiefel (). Skotlantilainen matemaatikko J. Napier hahmotteli työssään “Description of the amazing table of logaritms” (1614) logaritmien ominaisuudet, taulukon käytön säännöt ja antoi esimerkkejä laskutoimituksista. Siitä lähtien logaritmeja kutsuttiin pitkään "ei-vertaisiksi". Voimien ominaisuudet logaritmien loki(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga jossa n 3. Peruslogaritminen identiteetti. Yhtälöt a b = c ja b = logac ilmaisevat saman suhteen lukujen a, b ja c välillä. Korvaamalla yhtälössä a b = c luvun b esitys logaritmin muodossa, saadaan päälogaritminen identiteetti: a log c = c. Korvaamalla c:n potenssiesitys yhtälöön b = logac, saadaan vielä yksi identiteetti: logaa ft = b. 4. Siirtyminen uuteen tukikohtaan. Lukujen logaritmi on verrannollinen toisiinsa useista syistä: J. Napier () Riippumatta J. Napierista, sveitsiläinen matemaatikko, tähtitieteilijä ja kelloseppä I. Burgi (), joka työskenteli suuren I. Keplerin kanssa, julkaisi vuonna 1620 vastaavan , vaikkakin vähemmän täydellisiä, logaritmisia taulukoita. Peruslogaritminen identiteetti logax = fclogbx. alog C _c

37 Logaritmien sovellukset 1. Vaihtuvamassaisen raketin lento. Tsiolkovskyn kaava vertaa raketin nopeutta ja sen massaa m: v = kvx\g, m missä v1 on ulos lähtevien kaasujen nopeus; m0 raketin laukaisumassa; k kerroin. Kaasun ulosvirtausnopeus Wj polttoaineen palamisen aikana on pieni (tällä hetkellä se on pienempi tai yhtä suuri kuin 2 km/s). Logaritmi kasvaa hyvin hitaasti, ja avaruusnopeuden saavuttamiseksi on välttämätöntä tehdä suhteesta suuri, ts. antaa lähes koko lähtömassan polttoaineelle. 2. Äänieristys seinät. Seinien äänieristyskerroin mitataan seuraavalla kaavalla: missä p0 on äänenpaine ennen absorptiota; p on seinän läpi kulkevan äänen paine; Ja jokin vakio, joka laskelmissa on 20 dB. Jos äänieristyskerroin Da on 20 dB, niin lg ^ - \u003d 1 ja P p0 \u003d Yur, eli seinä vähentää äänenpainetta 10 kertaa (puisella ovella on tällainen äänieristys). Р Logaritmien ominaisuuksien soveltaminen 1. Logaritmien laskenta. log2256 = log22 8 = 8; lg0,001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Suhteellisuuskerroin k lasketaan seuraavasti: k = log, a tai k = logab. Sitä kutsutaan muunnosmoduuliksi logaritmi toiseen. Erityisesti logax = log!-, rx koska loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C Miksi logaritmeja tarvitaan? tähtitieteilijöiden elämä. Todellakin, ensimmäinen tarkoitus logaritmien tarkoituksena oli yksinkertaistaa monimutkaisia ​​laskutoimituksia, joissa logaritmeilla kertominen korvattiin yhteenlaskulla. Viime aikoihin asti jokainen insinööri kantoi taskussaan liukusäädintä, jolla saattoi suorittaa erilaisia ​​laskutoimituksia, joita nyt tehdään laskimella. logaritmeilla voidaan ratkaista tehtäviä, jotka ovat käänteisiä eksponentiolle: jos a x = b, niin tuntematon x voidaan kirjoittaa logabiksi.Tässä tapauksessa ei ole tärkeää kirjoittaa mahdollisuus, vaan se, että b:tä muuttaessa , eli ottaen huomioon x = loga & bj:n funktiona löydämme uuden ha:n toiminnallinen riippuvuus. Logaritmiset funktiot ovat merkittävästi täydentäneet käytettävissä olevien riippuvuussuhteiden määrää yksinkertainen tutkimus. Miksi logaritmeilla on niin käteviä ominaisuuksia? 1. Todiste logaritmien säännöistä. Kaikki logaritmisäännöt on todistettu tehoominaisuuksien avulla. Todistetaan esimerkiksi tuotteen logaritmin sääntö: tulon logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa. 36

38 Merkitse logac! = bly logac2 = b2. Päälogaritmisen identiteetin mukaan meillä on Y \u003d cx, a h \u003d c2- Kerro nämä yhtälöt: abiabz \u003d CiC2\u003e Asteiden ominaisuuden mukaan a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, eli Clc2 \u003d a bl + b2. Logaritmin määritelmän mukaan bz + + b2 = loga(cic2), niin l0ga(c!c2) = logac! + logac2, minkä halusimme todistaa. mistä loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta Tämä kaava luetaan usein seuraavasti: luvun logaritmi uuteen kantaan on luvun logaritmi vanhaan kantaan jaettuna uuden kantaluvun logaritmilla vanhaan kantaan Suhteellisuuskerroin voidaan kirjoitettuna k = log ab, koska logai > logba = 1 (laita x = b kaavaan) 2. Logaritmi 2 f Annettu: A = (looa 3 &j. Etsi: lga. Ratkaisu. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. Potentiaatio (lausekkeen löytäminen logaritmin perusteella) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 = log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Siirtyminen yhteen kantaan. Annettu: A = logj a - log^a og8a. 4 Siirry tukikohtaan 2. Ratkaisu. Huomaa, että log22* = k tämä auttaa sinua löytämään siirtymämoduulin sanallisesti. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Laske: 1) loga, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3; 1 a f? annettu ilmaisu pohjassa a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab

39 3. Etsi lauseke A logaritmin avulla: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - In cos L; (In on logaritmi, jonka kanta on e (e "2,71828), jota kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Päätä kumpi luvuista on suurempi: 5) log34 vai 1; 1) log32 tai 0; 2) log j 3 tai 0; 6) loki! tai 1; n 8 9) loki! 7 tai log, 10; 10) loki, TAI loki!. Z 5 Z 7 3) logs-tai 7) log23 tai log25; 4) logx tai 0; 8) log27 tai 1 g2-; 5. Korvaa logaritmit log, a, log8a, log! a, log2a, log3a peruslogaritmeissa Etsi: 1) logg9 jos logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915, jos log 25 = a; Oppitunti 5 Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot Seitsemän aritmeettista operaatiota Yhteys Kertolasku Eksponentointi a + b = c Vähennysjako Juuren erottaminen Logaritmi c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logac = b Mitä uusia potenssit ja logaritmit antavat funktioiden tutkiminen? 1. Yksi riippuvuus kolme funktiota. Tarkastellaan kolmea muuttujaa x, y ja z, jotka on yhdistetty riippuvuudella z x = y. Korjaamme muuttujan r = a arvon edellyttämällä, että ehdot a > 0 ja Φ 1 täyttyvät. Voimme kirjoittaa kahden muun muuttujan välisen suhteen muodossa y = ax. Muuttamalla x mielivaltaisesti saamme eksponenttifunktion eli eksponenttifunktion. Esitetään muuttuja x y:n funktiona samasta suhteesta y = ax: x = logay. Muuttamalla y:n argumentiksi saamme logaritmisen funktion. Jos samassa suhteessa r x = y kiinnitämme indeksin x = k, niin saadaan jo tuttu potenssifunktio y = z k. Lisää ohjelmistoja

40 saa yhden potenssifunktion, 1 z - y \ z = y k. Tietysti kaikissa näissä siirtymissä on noudatettava muuttujille asetettuja rajoituksia. Olemme jo tehneet tämän eksponentiaaliselle funktiolle y \u003d a x, olettaen, että a > 0 ja Φ 1. Logaritmisen funktion x \u003d logay osalta meidän on lisäksi edellytettävä, että y on positiivinen, koska a x > 0, ja määrittää x relaatiosta a x = y on välttämätön, jotta y olisi suurempi kuin 0. Mieti itse, mitä rajoituksia sinun on asetettava muuttujille potenssifunktioiden huomioimiseksi. 2. Eksponentiaalisen funktion y \u003d a x ominaisuudet ja kuvaaja: määritelmäalue: kaikkien reaalilukujen joukko R; monotonisuus: jos a > 1, funktio y \u003d a x kasvaa, jos 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; vakiomerkin aikavälit: - a> 1 y = 0 x = 1; klo< 0 при 0 < х < 1; у >0 x > 1; - klo 0< а < 1 у < 0 при х >yksi; y > 0 kohdassa 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 kasvaa koko määritelmäalueen yli 0:ssa< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2

41 Radioaktiivinen hajoaminen Väestönkasvu Barometrinen kaava Logaritmitaulukko a log2a log a 2 1 0,47712 - 1,01030 (Etsi tämän taulukon lukujen väliset suhteet!) edellinen oppitunti). radioaktiivinen hajoaminen. Radioaktiivisen aineen massan muutos tapahtuu kaavan m(t) = m0-2~ s mukaan, missä m0 on aineen massa alkuhetkellä t = 0; t on aineen massa hetkellä t; k on jokin vakio (puoliintumisaika). Väestönkasvu. Väestön muutosta maassa lyhyessä ajassa kuvataan hyvällä tarkkuudella kaavalla N = N02 at, missä N0 on ihmisten lukumäärä hetkellä t = 0; N on ihmisten lukumäärä hetkellä t; mutta jotkut jatkuvat. Samanlaista kaavaa käytetään laskettaessa yksilöiden lukumäärän muutosta eläinpopulaatioissa tietyissä olosuhteissa (esimerkiksi kun ruokaa on tarpeeksi eikä ulkoisia vihollisia ole). barometrinen kaava. Ilmanpaine laskee korkeuden myötä (vakiolämpötilassa) lain p = p0e n mukaan, missä p0 on paine merenpinnan tasolla (h = 0); p paine korkeudella h; H on jonkin verran vakio lämpötilasta riippuen. 20 CJ:n lämpötilassa - 7,7 km. 2. Säätiön rooli a. Onko tarpeen tarkastella eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita, joilla on eri a:n kanta? Itse asiassa riittäisi rajoittua yhteen kantaan, esimerkiksi ottamalla a = 10. Todellakin, a* = 10**, missä k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga. Toiseen kantaan siirtymisen kaavan mukaan saamme loga * = k\gx, missä k \u003d!. lga Siksi muotoa y \u003d a x olevien funktioiden sijaan saamme voi ottaa huomioon funktioita, joilla on sama kanta, mutta kertoimella argumentin arvossa: y = 10** Samoin logaritmisille funktioille 40

42 Tarkastellaan funktioita, joilla on kiinteä kanta, mutta joiden kerroin on funktion arvossa: y = k\gx. Joillakin emäksillä a on erityinen rooli: a \u003d 10 (desimaalilogaritmi). Koska kirjoitamme numerot desimaalimuodossa, luvun kirjoittaminen muodossa A \u003d Yu "yksikkö auttaa ymmärtämään luvun A järjestyksen. Huomaa, että luonnollisen luvun A kohdalla luku + 1 näyttää numeroiden lukumäärän luvun A desimaalimerkintä ([a] tarkoittaa luvun a kokonaislukuosaa); a \u003d 2 (binäärilogaritmi. Tietojenkäsittelytieteessä käytetään binäärilukujärjestelmää; a \u003d e (luonnollinen logaritmi). Tämä luku on nimetty L. Eulerin mukaan, se on irrationaalinen ja suunnilleen yhtä suuri kuin 2.7 Miksi luetellut ominaisuudet ovat eksponentiaali- ja 1. Eksponentiaalifunktion monotonisuus Ota kanta a > 1. Osoitamme, että xx< х2 =>a* 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 x > 0 (mieti miksi). Suorita seuraavaksi muunnos: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). Molemmat tekijät tässä tuotteessa ovat positiivisia, joten a* 2 > a* 1. Korvaamalla a by, saamme todisteen a:sta, että y = a x kohdassa 0< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. Todistetaan, että 0< < х2 =>logax!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 x > 1 (mieti miksi). Suoritetaan muunnos: loga x2 - loga xr = => 0, koska 0< хг < х2 =>> Korvaa a ja sitten 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41

43 kuvaajaa funktioista y \u003d a "ja y \u003d logaksi ja määritelmät. 3. Funktioiden y \u003d a x ja y \u003d loga; t kuvaajien symmetria. Näiden funktioiden kaaviot ovat symmetrisiä toistensa suhteen suora y \u003d x. Otetaan kohta P(c; d) funktion y \u003d a x kuvaajassa. Ehdolla d = a. Tällöin c = logad ja piste Q(d; c) on funktion y = \ogax kuvaajassa. Pisteet PhQ ovat symmetrisiä toistensa suhteen suoran y = x suhteen. Miten eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden ominaisuuksia käytetään tehtävien ratkaisussa? Numeeristen lausekkeiden arvojen vertailu a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, a< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. Funktio kasvaa koko reaaliakselilla, joten mille tahansa luvulle xx ja x2 siten, että xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Käytimme monotonisuutta tehotoiminto y \u003d x 4 x\u003e 0: mille tahansa 0:lle< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. Siksi 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). Vastaus: x< 0 и х >4 tai x e (-oo; 0) ja u (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). Nyt on täytettävä samanaikaisesti kaksi epäyhtälöä (x > 0; s eli D: x > 4. x-4> 0, 42

44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. Välillä annetun funktion alueen (OZ) löytäminen: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x. 2 Funktio y - 2 x kasvaa pitkin koko numeerista akselia 2. Sen pienin arvo välissä saavutetaan vasemmassa päässä, eli kohdassa x \u003d 0 (ja y \u003d -), suurin arvo oikea pää 2 x \u003d 2 => y \u003d 2. Kun x muuttuu arvosta 0 arvoon 2, funktion y arvot täyttävät aukon arvosta 2. 2 Vastaus:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0 ja F 1; a > 1, x1< х2 =>a*i< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a>1.0<х1<х2=>=> kirjaudu*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo «a* = x log X log x logaa a logax = log X a ^ Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Ilmoita mitkä seuraavista eksponentiaalisista funktioista kasvavat ja mitkä pienenevät kokonaislukuakselilla: 1) g/ = 5*; 3) j = fjj ; 5) y = 2 x; 2) y \u003d Z-1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. Rakenna kaavioita seuraavista funktioista: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3*; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2*-1; 6) r/ = 4 x Etsi välissä annettujen funktioiden pienin ja suurin arvo: 1) y = 2 X + 2, [-1; yksi]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43

45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2 - x 2);/ = log2(l - x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Etsi välille määritettyjen funktioiden alueet: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1), ; 4) y = log x + log2jc, . Oppitunti 6 Esittely ja logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt Esimerkit 1. Yksinkertaisimpien eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg Yksinkertaisimpien logaritmien yhtälöiden ratkaisu: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d yksinkertaisimpien eksponentiaalien ratkaisu. 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" g 2<=>x > lg Yksinkertaisimpien logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisu: log2x > -1; x>1. Si ODZ: x > 0; yksi< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >yksi; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; kaksikymmentä< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. Mitä kannattaa muistaa, kun ratkaistaan ​​yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka sisältävät eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita? 1. Yksinkertaisimman eksponentiaaliyhtälön ratkaisu: (a > 0, a # 1), ja x = a k<=>x = k vertaamme potenssia samalla kantalla. (a > 0, a Ф 1, b > 0) ja x = b<=>x = logaf. 2. Yksinkertaisimman logaritmisen yhtälön ratkaisu: (a > 0, a Ф 1), logax = logafe<=>x = k; logax = b<=>x = a b. 3. Yksinkertaisimman ratkaisu eksponentiaalinen epätasa-arvo: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >a k<=>X< k; (а >1, b > 0), kun taas x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0) ja x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >b<=>x on mikä tahansa luku. 4. Yksinkertaisimman logaritmisen epäyhtälön ratkaisu: (a > 1, k > 0), logax > logafe x>k; 44

46 (a > 1), logax< Ь <=>O< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 Vastaus: (-4; -3) ja (0; 1). Eksponentiaalisten epäyhtälöiden graafinen ratkaisu Indikaattori on x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5 funktio<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 o x = 1 - log25. Sen sijaan, että kirjoitat 5 \u003d 2 1o6a5, voit logaritoida yhtälön molemmat osat kannassa 2: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. Termit eroavat 5 x:stä vain vakiotekijöillä : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1,2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 ei ratkaisuja => x \u003d 1. -0,37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0,37 45

47 logaritmista epäyhtälöä \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. Nyt siirtymä ei säilytä juuren ekvivalenssia lineaarinen yhtälö 2 - x = = 5-2x ei kuulu alkuperäisen yhtälön ODZ:ään. Kohdassa x \u003d 3 logaritmin etumerkin alla olevien funktioiden arvot ovat todella yhtä suuret: 2-3 \u003d \u003d -1, mutta negatiivinen => juuria ei ole. 7 loki! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 Jatketaan kantaan 2: Yhtälö muotoa 2 nx) \u003d 2 vastaa yhtälöä f (x) \u003d a. Yleensä yhtälö a 2x + pa x + q \u003d O pelkistetään toisen asteen yhtälöksi y 2 + py + q \u003d O muuttamalla muuttujaa a x \u003d y. Kun yhtälöä "potentoi", ts. siirryttäessä yhtälöstä yhtälöön log2/(x) = a fix) = 2", ODZ:stä ei tarvitse huolehtia, eli ehtoa f(x) > 0 ei tarvitse tarkistaa, koska mikä tahansa x, joka täyttää yhtälön fix) = 2", f(x):n arvo on 2", on positiivinen. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Kirjoita yhtälö uudelleen: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. Siirtymät yksinkertaisimpiin epäyhtälöihin suoritetaan samalla tavalla kuin x<-<^2 2х <2" 2 <^>2<-2<^ х>ja log2(2 -x)<0=>2<1=>w>1. Siirtyminen ei ollut tasa-arvoista. Meidän on lisättävä ehto 2-x>0<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>(2<1, х>1. Vastaus: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46

48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x -5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2 x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2 "x 17 20) 2x -2 x Ratkaise epäyhtälöt: 1 1) 2 x< 16; 3) >yksi; 2 5) 4 x 1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; neljä)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > Ratkaise yhtälöt: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l - 3x) = 3; 4) log4(2 - x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3 x +1) = 0; h 4. Ratkaise epäyhtälöt: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); 9) log3(x - 5) = log3(2 - x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. KESKUSTELU Tehojen ja logaritmien laskenta Taustaa Nyt kun jokainen voi helposti varustautua laskimella tai tehokkaammalla laskentatyökalulla, on vaikea kuvitella, kuinka paljon ongelmia laskelmat aiheuttivat ihmiselle menneisyydessä. Logaritmien keksiminen oli valtava askel kohti ratkaisua käytännön tehtäviä liittyvät tietojenkäsittelyyn. Mahdollisuus käyttää logaritmeja vähentämään kertolaskua ja 47:ää

49 kertolaskuvoimaan oli tarpeen koota logaritmien alitaulukot, jotka ovat olleet olemassa 1600-luvun alusta lähtien. Viime aikoihin asti kirjastoissa oli paksuja taulukoita, joissa annettiin logaritmien arvot useilla desimaalipaikoilla, erillinen "nelinumeroisten logaritmien taulukko" sisällytettiin pakollisiin kouluoppikirjoihin ja jokainen insinööri kantoi. taskussa oleva liukusäädin, jonka kanssa jokaisen koululaisen piti pystyä työskentelemään. Itse laskelmien suorittamisen helppous pahensi toista ongelmaa: ymmärtääkö ihminen haluavansa laskea, miten tietokoneelle tai muulle tekniselle laitteelle asetetaan laskentatehtävä, miten tämä tehtävä käännetään tälle laitteelle ymmärrettävälle kielelle. Astioita laskettaessa on opittava näkemään niiden erilaisten nimien ja nimitysten taakse maalaisjärkeä, tunne niiden välinen yhteys, hanki kokemusta ja luottamusta siihen, että pystyt aina (ehkä kirjojen ja opettajien avulla) keksimään monimutkaisia ​​ja hankalia kaavoja. Logaritmit (huolimatta niiden merkintätavan monimutkaisuudesta) on sovitettu täsmällisesti yhdistämään erilaisia ​​tehoihin liittyviä ongelmia. Laskennallisissa tehtävissä on eri lukujen potenssit. (2.1) erilaisia ​​yhdistelmiä, esimerkiksi laskettaessa lauseketta A \u003d 3, on tarpeen nostaa eri luvut potenssiin, kertoa ja jakaa potenssit. Miksi niin monta astetta? Onko mahdollista tulla toimeen yhden perustan tutkinnoilla? Kyllä, voit varmasti. Laskeaksesi lausekkeen A käyttämällä laskinta, joka voi 10 5 *i - K) 10 * 2 laskea 10*, kaikki luvut on vähennettävä potenssiin 10: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ jossa ^ k 2n k3 lukujen 2,1 logaritmia; 7 ja 3 kannassa 10. Huomaavainen lukija voi lisäksi huomata, että 3 7 2.1 = ja tehdä yksinkertaistuksia: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, eroon luvun 2.1 logaritmista. Tehojen laskentasäännöt Ensimmäinen sääntö. Valitse yksi kätevä alusta, esimerkiksi a, ja vähennä alustan a tehoa, ts. edustaa mitä tahansa potenssia c* muodossa a kx jollekin k:lle. Tämä kerroin k on logaritmi: c \u003d a log e, joten, merkitsemällä logakia k:llä, saamme: c x \u003d (a "" g "c f \u003d \u003d a kx. Tämän säännön avulla voit käyttää jotain yhtä kantaa Joissakin tehtävissä on kätevää ottaa a = 10 ( desimaalilogaritmit), toisissa (etenkin diskreetissä tehtävässä) a = 2, toisissa universaali kanta e, mikä on kätevää niissä tapauksissa, joissa on arvioitava kasvunopeus ( luonnolliset logaritmit).

50 Toinen sääntö. Kun otat logaritmeja, voit myös valita yhden sopivan kantakohdan ja pienentää kaikki logaritmit tähän kantaan. Tätä varten on olemassa erityinen kaava, joka johdettiin aiemmin. Joissakin tehtävissä on kätevää viedä logaritmit 10-kantaiseksi (desimaalilogaritmit), toisissa on hyödyllisiä luonnollisia logaritmeja, kolmannessa (diskreetissä) tehtävässä käytetään usein binäärilogaritmit logaritmin kanta 2. On siis tärkeää muistaa, että matematiikassa on luotu potenssien työn yksinkertaistamiseen laite, jonka avulla voidaan yhdistää eri tavoin esitettyjä lausekkeita ja funktioita.

51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50

52 suoralla ja tasolla ei ole yhteisiä pisteitä: suora on yhdensuuntainen tason kanssa. 4. Kahden viivan järjestely: kaksi viivaa on samassa tasossa. Sitten on kaksi mahdollisuutta: joko ne leikkaavat, eli niillä on yksi yhteinen piste, tai ne ovat yhdensuuntaisia, ts. niillä ei ole yhteisiä pisteitä (ja älä unohda, että tässä tapauksessa viivat ovat samassa tasossa); älä makaa samassa tasossa. Tällaisia ​​viivoja kutsutaan leikkaaviksi. Tietenkään vinoilla viivoilla ei ole yhteisiä pisteitä, muuten ne olisivat samassa tasossa. 5. Kuinka selvittää, leikkaavatko kaksi suoraa: etsi taso, jossa toinen näistä suorista on ja toinen leikkaa tämän tason, mutta samalla pisteessä, joka ei ole ensimmäisellä suoralla; sinun on tiedettävä, että ne eivät ole yhdensuuntaisia, vaan ne voivat sijaita kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa. Miksi viivojen ja tasojen suhteellinen sijainti on oikein? Tämä on melko vaikea kysymys. Visuaalisesta näkökulmasta kaikki (tai melkein kaikki) edellä mainitut ovat ilmeisiä. Kaikkia yllä olevia tosiseikkoja ei kuitenkaan voida todistaa, ne käyttävät joitain alku-, alkukäsitteitä pisteestä, suorasta, tasosta, avaruudesta, eikä meillä ole mihinkään luottaa, paitsi visuaalisiin esityksiin ja intuitioon. Eukleideen ajoista lähtien primaarikäsitteiden välistä suhdetta on kuvattu tietyillä aksioomien sopimuksilla, joista voidaan saada loogisella tavalla uusia seurauksia. Tietenkin aksioomien alustavia sopimuksia on tehty liian monta (ja joitain muita, myös tarkkoja todisteita varten tarpeellisia, ei ole muotoiltu), niiden määrää voitaisiin vähentää. Todistakaamme esimerkiksi vinoviivojen ensimmäinen kriteeri edellisiin väitteisiin viitaten. Suoran ja tason asetelma a a Kahden suoran järjestely a p b = O «IIb 51 I

53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, sisältää suoran ja jolla on vain yksi yhteinen piste P suoran 12 kanssa. On todistettava, että suorat Zx ja 12 leikkaavat, ts. eivät makaa samassa tasossa. Jos suorat ja 12 ovat jossain tasossa (3), niin suora li ja piste P, joka ei ole tällä suoralla, olisivat tässä tasossa. Samat kohteet ovat tasossa a. Koska niitä on vain yksi taso, joka sisältää suoran eikä siihen kuuluvaa pistettä, niin taso p osuu yhteen tason a kanssa. Suora 12 ei kuitenkaan ole ehdon mukaan tasossa a ja sillä on vain yksi yhteinen piste sen kanssa. Saatu ristiriita todistaa lause. kuution pinnat? Ensimmäinen merkki risteävistä viivoista Annettu: 12 e a, n a = P, P e 12 Todista: 1x-12 Tarkastellaan kuutiota ABCDA "B" C "D". Piikkien läpi kulkevat suorat ja tasot , kuution reunat tai pinnat, osoitamme kärkipisteitä osoittavilla kirjaimilla. Esimerkiksi suora AB tai taso AA "BB". Kiinnitetään yksi reuna, esimerkiksi AA". 1) Mitkä reunat ovat yhdensuuntaisia reuna AA"? Nämä ovat reunat BB", SS", DD". 2) Mitkä reunat ovat viivoilla, jotka leikkaavat suoran AA"? Nämä ovat reunat AD, AB, A"D" ja A"B". 3) Mitkä reunat ovat viivoilla, jotka leikkaavat suoran AA "? Nämä ovat reunat B "C", C "D", BC ja CD. Todistuksessa voit käyttää vinoviivojen merkkiä. Eli taso "B" BA sisältää suoran AA " ja leikkaa suoran B "C". Samanlaisia ​​tasoja löytyy jäljellä oleville kolmelle reunalle. 4) Kuinka monta paria yhdensuuntaisia ​​reunoja on? Yhdellä reunalla on kolme sen kanssa yhdensuuntaista reunaa. Reunoja on yhteensä 12, joten niitä on 52

54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC toisen rinnalla) on 3 12 = 36. Rinnakkaispareja on yksinkertaisesti puolet vähemmän, koska jokainen niistä lasketaan kahdesti (esim. AA "BB", BB "AA"). Vastaus: 18 paria. 5) Kuinka monta paria risteäviä reunoja ja paria risteäviä reunoja on olemassa? Laskenta suoritetaan samalla tavalla: (4 12) : 2 = 24 ja (4 12) : 2 = 24. Tarkistetaan, onko kaikki reunaparit huomioitu. Yhteensä parien lukumäärä on (1211):2 = 66. Toisaalta = 66. Jokainen 66 reunaparista kuului täsmälleen yhteen yhdensuuntaisten, leikkaavien tai risteävien parien ryhmään. Vastaavasti voimme laskea, että arvosta (6-5): 2 = 15 paria tasoja, jotka sisältävät kuution pinnat, on 3 paria yhdensuuntaisia ​​(paria vastakkaisia ​​pintoja) ja 12 paria leikkaavia: (4-6) : 2. Par (suora, taso) on yhteensä 12-6 = 72. Sellaisia ​​pareja, joiden suora on tasossa, on 6-4 = 24. Paria, joiden suora on 6-4 = 24 viiva on yhdensuuntainen tason kanssa, ja sama määrä pareja, joiden kohdalla suora leikkaa tason. Vastaus: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Kuinka voidaan määrittää taso? 2. Miten voidaan paikantaa kaksi tasoa? 3. Miten viiva ja taso paikantuvat? 4. Miten voidaan paikantaa kaksi suoraa 5. Kuinka selvittää, ovatko kaksi suoraa vinossa? 6. Mitkä nelikulmaisen pyramidin reunaparit ovat vinoilla viivoilla? 7. Annettu kuutio ABCDA"B"C"D". Nimeä reunan AA suuntaiset reunat . 8. Kuutio ABCDA"B"C"D" on annettu. Listaa reunat, jotka ovat viivoilla, jotka leikkaavat suoran AA". 9. Kun on annettu kuutio ABCDA"B"C"D". Listaa reunat, jotka sijaitsevat suoran AA kanssa leikkaavilla viivoilla". 53

55 etureunan ulkopuolella MCJJCO otu irimush p leikkaa tason BB"D"D jollakin suoralla, jonka tulee olla yhdensuuntainen MN:n kanssa (ominaisuus 2). Piste R sijaitsee tällä leikkauslinjalla. Näin ollen saadaan tämä viiva piirtämällä suora viiva tasoon BB "D" D pisteen R läpi, yhdensuuntainen diagonaalin kanssa B.D. Tämä viiva leikkaa reunat BB" ja DD" joissakin pisteissä S ja T. Viisikulmio MSPTN on vaadittu leikkaus. Jos otamme pisteen P suoralta CC "hieman korkeammalle kuin piste C", niin saadaan leikkauspisteeseen kuusikulmio, jonka yksi sivuista on yhdensuuntainen MN:n kanssa (ominaisuus 3). Kun tämä osa kulkee kuution keskustan läpi, saat säännöllisen kuusikulmion. Tarkista tämä väite ja harkitse itse kuution muita osia, jotka kulkevat linjan MN kautta. Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Muotoile merkki suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta. 2. Muotoile kahden tason yhdensuuntaisuuden merkki. 3. Mitä lukuja löytyy osiosta Kolmisivuinen prisma lentokone? 4. Mitä lukuja voidaan saada kuution leikkaukseen tason mukaan? 5. Osoita, että kuution ABCDA"B"D"C" pisteiden (A, D, B") ja (C, B, D) kautta kulkevat tasot ovat yhdensuuntaiset. 6. Mitkä kuution ABCDA reunat "B"D "C" leikkaa suoran MN:n Oppitunti 3 Viivojen ja tasojen väliset kulmat Viivojen välinen kulma Miten viivojen ja tasojen väliset kulmat määritellään? pystysuorat kulmat). Asettaaksesi kahden suoran välisen kulman avaruudessa, sinun on valittava mielivaltainen piste ja piirrettävä sen läpi tiedon kanssa yhdensuuntaiset viivat. Rakennettujen tasokulmien arvot eivät riipu lähtöpisteen valinnasta. 56

56 kahta suoraa avaruudessa olevaa suoraa, jotka vastaavat suoraa kulmaa, kutsutaan kohtisuoraksi. 2. Suora, kohtisuorassa tasoon nähden. Tämä on niiden viivojen nimi, jotka ovat kohtisuorassa mihin tahansa tämän tason suoraan nähden. Tämän käsitteen avulla voidaan määritellä pisteen ortogonaalinen projektio tasolle. Pisteen P, joka ei ole tässä tasossa, projektio tasolle a on tasoon a kuuluva piste P" siten, että suora PP" on kohtisuorassa tasoon a nähden. Tasossa a olevan pisteen projektiota pidetään itsenä tämän pisteena. Jos haluat projisoida tietyn kuvion tasolle a, sinun on heijastettava kaikki tämän kuvion pisteet siihen. 3. Suoran ja tason välinen kulma. Projisoidaan suora viiva tasoon. Jos suora on kohtisuorassa tasoon nähden, sen projektio on yksi piste. Jos ei, projektio on jokin suora. Tässä tapauksessa linjan sanotaan olevan vinossa tasoon nähden. Kaltevan tason ja tason välinen kulma on suoran ja sen tähän tasoon projektion välinen kulma. 4. Kahden tason välinen kulma. Leikkaavien tasojen välisen kulman mittaamiseksi on tarpeen valita piste näiden tasojen leikkauslinjalta ja vetää sen läpi suora viiva jokaisessa tasossa, kohtisuorassa leikkausviivaa vastaan. Näiden viivojen välistä kulmaa pidetään tasojen välisenä kulmana. Kaksi tasoa ovat kohtisuorassa, niiden välinen kulma on oikea. jos Miksi tarvitsemme kohtisuoran käsitettä avaruudessa? Suora on kohtisuorassa tasoon nähden m±n, m±a, mlb, m±c Ortogonaalinen projektio ^^ Tasojen välinen kulma in Kohtisuoran avulla voidaan määrittää ja laskea erilaisia ​​etäisyyksiä avaruudessa. 1. Etäisyys pisteestä tasoon lasketaan tästä pisteestä tasoon pudonneen kohtisuoran pituutena (etäisyys annetusta pisteestä sen projektioon tasoon). 57

57 L a ± P Etäisyyden määrittäminen ta 2. Kahden välinen etäisyys yhdensuuntaiset tasot otetaan huomioon näiden tasojen välissä olevan yhteisen kohtisuoran segmentin pituus. 3. Jos tasossa on annettu tietty luku, niin etäisyys mielivaltaisesta avaruuden pisteestä tähän kuvioon määritellään pienimmäksi etäisyyksistä annetusta pisteestä tämän kuvion mielivaltaiseen pisteeseen. Projisoi tämä piste tasoon. Tällöin kuvion piste, joka on lähinnä annettua pistettä, on myös lähinnä sen projektiota, ja päinvastoin, jotta löydettäisiin annettua pistettä lähinnä oleva kuvion piste, riittää, kun etsit sen projektiota lähinnä olevan pisteen. 4. Suoran ja tason välinen kulma, joka määritellään suoran ja sen projektion väliseksi kulmaksi, on pienin kulmista, jotka tämä suora muodostaa mielivaltaisten tason suorien kanssa. 5. Kahden leikkaavan suoran välinen etäisyys lasketaan yhteisen kohtisuoran pituudeksi. a-b, ajua, h ± a, h ± b Kuinka järkevästi määrittää ja laskea suorien ja tasojen väliset kulmat avaruudessa? Tätä varten on hyödyllistä käyttää vektorilaskentaa ja trigonometrisiä funktioita. Tätä kysymystä käsitellään edelleen (katso luku 5). Nyt kuin hyvä esimerkki harkitse kuution eri viivojen ja tasojen välisiä kulmia. 1. Kukin kuution reuna, esimerkiksi reuna AA", on kohtisuorassa kuution kahteen pintaan nähden. Se on kohtisuorassa näillä pinnoilla oleviin linjoihin, erityisesti kahdeksaan reunaan. 2. Kuution jokainen pinta on kohtisuorassa neljää muuta pintaa vastaan. 3. Tarkastellaan mitä tahansa kuution diagonaalia, esimerkiksi AC ". Sen projektio tasolle ABCD on kannan AC diagonaali. Kulma a diagonaalin AC "kannan tasoon nähden" on kulma C" AC. On helppo laskea trigono-

58 kulman a metristä funktiota käyttämällä suorakulmaista kolmiota AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. Tarkastellaan kuution kahden vastakkaisen reunan läpi kulkevaa leikkausta (lävistysleikkaus), esimerkiksi leikkaus AB "C" D. Sen kulma perustason ABCD kanssa määritellään viivojen C "D ja DC väliseksi kulmaksi. Tämä kulma on yhtä suuri. Kulma A "OA on haluttu, koska AO ja A" O ovat kohtisuorassa tasojen leikkausviivaa vastaan: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Kuinka määrittää vinojen viivojen välinen kulma avaruudessa? 2. Mitä suoraa kutsutaan kohtisuoraksi tasoon nähden? 3. Miten määritetään suoran ja tason välinen kulma? 4. Miten lasketaan kahden tason välinen kulma? 5. Miten yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys määritetään? 6. Miten risteävien viivojen välinen etäisyys määritetään? SH CONVERSATION Euclidin geometria Johdanto Loogisen täydellisyyden malli yli kahden tuhannen vuoden ajalta on geometrian periaatteiden esitys, jonka Euclid toteutti 3. vuosisadalla. eKr. Voidaan sanoa, että tämä esitys on ainoa esimerkki tiukasta matemaattisesta teoriasta ihmiskunnan historiassa, jolla 59

59 Eukleides (43. vuosisadan loppu eKr.) antiikin kreikkalainen matemaatikko, kirjoittanut teoksen "Alku" 13 kirjassa, jossa hahmotellaan geometrian perusteet, lukuteoria, menetelmä pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseksi, mukaan lukien rajateorian elementit ja paljon enemmän. Nimeän henkilön. Tähän asti suurin osa geometrian oppikirjoista kulkee Eukleideen osoittamaa polkua, ja esimerkiksi englanninkieliset koululaiset käyttivät viime aikoihin asti oppikirjana vain nykyaikaista Euklidesin elementtien käännöstä. Tietenkin XX vuosisadan loppuun mennessä. myös muut näkemykset leviävät. Ne kuuluvat erilaisia ​​asioita. Tässä on joitain niistä. Onko mahdollista (ja onko hyödyllistä) opiskella geometriaa sen aksiomaattisesta perustasta luopumalla? Onko yleissivistyksen ja kulttuurin puitteissa ylipäänsä tarpeen tutustua mihinkään aksiomaattiseen teoriaan? Jos on, sopiiko Eukleideen geometria tähän, ja onko mahdollista löytää yksinkertaisempia ja helpommin saavutettavia esimerkkejä? Kuinka virheetöntä itse euklidinen geometria on? Emme koske näihin kysymyksiin. Jo tämän kirjan rakenne antaa positiivisen vastauksen kysymykseen, onko mahdollista matematiikan opiskelussa olla ilman aksiomaattisen menetelmän tuntemista. Mutta uskomme, että kaikki kulttuurin mies Hänen tulee olla perehtynyt euklidisen geometrian kysymyksen historiaan, kuitenkaan yhdistämättä sitä varsinaiseen geometrian tutkimukseen tai uuden matemaattisen menetelmän hallintaan. Euclid's Elements (1505-painos) Euclid's Elements -kirjan ensimmäinen sivu (tarkemmin sanottuna jokainen kolmetoista kirjasta, jotka muodostavat tämän teoksen) avautuu peruskäsitteiden määritelmillä. Tässä on joitain määritelmiä Alkujen ensimmäiseltä sivulta: "Piste on se, jolla ei ole osia"; "Viiva on pituus ilman leveyttä. Viivan päät ovat pisteitä; "Pinta on se, jolla on vain pituus ja leveys. Viivan pinnan päät "; "Raja on se, joka on jonkin ääripää"; "Kuva on se, joka sisältyy mihin tahansa rajoihin." Määritelmiä seuraavat tärkeimmät ilman todisteita hyväksytyt säännökset,

60vj. Eukleideen tekemä ero postulaattien ja aksioomien välillä ei ole kovin selkeä.) Tässä on muutamia esimerkkejä. 1. Jokaisesta pisteestä joka toiseen pisteeseen voidaan vetää suora. 2. Jos kahdelle suoralle putoava suora muodostaa toiselle puolelle sisäkulmia, joiden summa on pienempi kuin kaksi suoraa, niin nämä suorat leikkaavat toiselta puolelta loputtomasti jatkettuaan. Tämä on kuuluisa viides postulaatti, joka vastaa rinnakkaisuuden ainutlaatuisuuden aksioomaa. Sitten peruskäsitteiden ja aksioomien avulla todistetaan lauseet (lauseet) puhtaasti loogisella tavalla. Joten neljäntenä virkkeenä Eukleides todistaa "ensimmäisen merkin kolmioiden tasa-arvosta". Tietenkin Euclid käyttää paljon asioita, jotka eivät todellisuudessa ole aksioomissa (esimerkiksi kuvioiden superpositiosta, jota usein käytetään eräänlaisena ajatuskokeiluna, ei ole mitään). Muutamia toimituksellisia ja kielellisiä yksityiskohtia lukuun ottamatta Eukleideen kurinalaisuutta pidettiin kuitenkin varsin tyydyttävänä 1800-luvun loppuun asti. Euklidisen geometrian moderni aksiomatiikka Kuten huomautettiin, lähes kaikki koulun oppikirjoja geometriat toistavat yhden tai toisen aksiomaattisen ja yleensä kurssin alussa. Samalla he yrittävät tehdä luettelosta mahdollisimman yksinkertaisen ja samalla sopivan lauseiden todistamiseen. Tällaisen konstruktion mallina, ottaen huomioon 1800-luvun loppuun mennessä kehittyneet matematiikan saavutukset ja kieli, on saksalaisen matemaatikon Hilbertin merkittävä (joskaan ei kovin yksinkertainen) aksioomijärjestelmä, jonka hän loi vuonna 1899. D. Hilbert erottaa kolme määrittelemättömien (perus)objektien järjestelmää: pisteet, suorat ja tasot. Sitten niiden väliset "suhteet" oletetaan (kuuluu, on välillä, on tasa-arvoinen, yhteneväinen). Nämä säännökset muodostavat viisi aksioomiryhmää. Esimerkiksi seuraava väite kuului toiseen aksioomien ryhmään ("järjestyksen aksioomat"), johon saksalainen geometri G. Pasch kiinnitti huomiota vuonna 1882 välttämättömänä aksioomana: "Jos suora tulee kolmion sisäpuolelle yksi sen sivuista, mutta ei sen yläosan läpi, niin sen täytyy tulla ulos siitä toisen puolen kautta. Neljäs ryhmä koostuu yhdestä yhdensuuntaisuutta koskevasta aksioomasta: "Mikä tahansa suoran a ulkopuolella sijaitsevan pisteen kautta kulkee korkeintaan yksi a:n suuntainen suora." 61

61 d" viidenteen ryhmään kuuluu kaksi jatkuvuutta koskevaa akishmaa, mukaan lukien ns. Arkhimedesen aksiooma: "Kaikille osille a ja b a:n suuruisia segmenttejä voidaan laskea pitkin b niin monta kertaa, että ne peittävät janan b." Ei-euklidinen geometria Kahden tuhannen vuoden ajan kukaan ei epäillyt (eikä kukaan epäile tähän päivään asti) Eukleideen aksiomaatiikan arvoa. Ainoa kysymys, johon sekä ammattimatemaatikot että amatöörit jatkuvasti palasivat, oli seuraava: "Eikö ole mahdollista todistaa, johtaa Eukleideen viides postulaatti muista aksioomeista tiettynä lauseena." Tästä aiheesta on kirjoitettu tuhansia kirjoja ja artikkeleita, mutta parasta, mitä on tehty, on korvata rinnakkaisuuden aksiooma toisella väitteellä, joka vaikutti paljon ilmeisemmältä (ja siksi usein unohdettu), mutta joka osoittautui täsmälleen vastaavaksi viides postulaatti. XIX vuosisadan puoliväliin mennessä. kävi selväksi, että viides postulaatti on riippumaton muusta Eukleideen aksiomatiikasta siinä merkittävässä mielessä, että lisäämällä tähän järjestelmän loppuosaan aksiooma, joka kieltää viidennen postulaattin (esimerkiksi sellaisessa muodossa, että vähintään kaksi riviä kulkee minkä tahansa pisteen kautta, joka on yhdensuuntainen annetun pisteen kanssa), saamme uuden, ristiriitaisen järjestelmän, jossa voimme erottaa lauseet, jotka ovat yhtä etäisiä ja merkityksellisiä kuin ne, jotka saatiin Eukleideen geometriassa. Sellaista järjestelmää, jossa esitetty aksioomiluettelo täyttyy (mukaan lukien viidennen postulaatin negaatio), alettiin kutsua "ei-euklidiseksi geometriaksi". Ensimmäisen kerran tällaisen järjestelmän kuvasi selvästi merkittävä venäläinen matemaatikko N. I. Lobatševski, joka piti raportin Kazanin yliopistossa vuonna 1826, ja neljä vuotta myöhemmin yksityiskohtaisesti Nikolai Ivanovitš Lobatševski () venäläinen matemaatikko; kirjoittaja" Geometrinen tutkimus yhdensuuntaisten viivojen teoriasta”, käännetty kieleksi Saksan kieli, "ei-euklidisen geometrian" (Lobatševskin geometrian) luoja. Häntä kutsuttiin "Kopernikukseksi geometriassa", koska hän käänsi täysin olemassa olevan geometrian näkemysjärjestelmän. Matematiikan kehitykselle eivät olleet tärkeitä ainoastaan ​​Lobatševskin osoittamat erityiset lauseet, vaan paljon suuremmassa määrin hänen lähestymistapansa tieteen perusteisiin. Samanlaisia ​​tuloksia saavutti K. Gauss, mutta hänellä ei ollut rohkeutta täydentää niitä ja julkaista niitä, mutta hänellä oli tieteellinen rehellisyys esittää Lobatševski Göttingenin tiedeseuran kirjeenvaihtajajäseneksi ja ilmoittaa hänelle henkilökohtaisesti valinnasta. .

62 matemaatikko J. Boyai julkaisi samansisältöisen artikkelin. Toisen 40 vuoden kuluttua rakennettiin esimerkkejä pinnoista, joilla Lobachevsky-geometria suoritetaan. Geometriasta logiikkaan Euklidisesta Lobatševskiin ja edelleen Hilbertiin (tai ainakin yhteen näistä merkityksistä) siirtymisen merkitys koostuu vapautumisesta geometrisesta visualisoinnista. Hilbertin järjestelmässä sinun ei tarvitse tietää, miltä pisteet ja suorat "näyttävät". Niitä voidaan (ja pitäisi) käsitellä esineinä, joista tiedetään vain aksioomissa kuvattu. Siten aksioomista edeten saamme uusia tuloksia vain logiikan avulla. Tämä näkemys herättää kaksi uutta kysymystä. Ensinnäkin itse geometriasta. Suuren määrän riittävän syviä väitteitä saaminen aksioomien seurauksena (kuten esimerkiksi Lobatševski teki) ei sinänsä todista konstruoidun järjestelmän johdonmukaisuutta. Jo XIX vuosisadan lopussa. kävi selväksi, että uusien järjestelmien johdonmukaisuus on mahdollista todistaa järjestelmän aksioomia toteuttavien mallien avulla. Siten Hilbert esittää mallin euklidisen geometrian rakentamiseksi numeroiden avulla. Toinen kysymys liittyy itse logiikan analyysiin, jota tehtiin 1900-luvulla erittäin intensiivisesti.

63 Kombinatoriikka Annotaatio 1 Kombinatoriset rakenteet Morsekoodi Aakkoset koostuu kahdesta merkistä: pisteestä ja yhdestä. Sanojen rakentaminen Pitkät sanat. 1 Mitä konstruktioita (konstruktioita) käytetään useimmiten kombinatoriikassa? 1. Sanojen rakentaminen. Harkitse joitakin symboleja. Näitä symboleja kutsutaan kirjaimiksi, ja koko kirjainjoukkoa kutsutaan aakkosiksi. Sanat, joiden pituus on 2 Sana on tietyn aakkoston kirjainsarja. Sanat, joiden pituus on 3 Jokaista aakkosten kirjainta voidaan käyttää kerran, useita kertoja tai ei ollenkaan. Tehtävä 1. Laske k-pituisten sanojen määrä n kirjaimen aakkostossa. K-pituisessa sanassa on k paikkaa. Laitamme minkä tahansa n-kirjaimista ensimmäiseksi. Kun seuraava paikka täytetään, mahdollisuuksien määrä kasvaa n kertaa. Vastaus: n p... n = n k. K k kertaa pituisten sanojen määrä n kirjaimen aakkosessa on yhtä suuri kuin n k. 2. Sijoitus. Harkitse joukkoa esineitä. Valmista sarja tyhjiä istuimia. Teemme eron paikkojen järjestyksen välillä ensimmäinen, toinen ja niin edelleen. Rivin täyttäminen tarkoittaa, että jokaiselle sen paikalle asetetaan jokin esine annetusta joukosta (jokaista objektia voidaan käyttää vain kerran). 54

64 Tietyn joukon kohteilla täytettyä riviä kutsutaan sijoitukseksi (sijoitamme esineitä tiettyihin paikkoihin). Olkoon objektien lukumäärä joukossa yhtä suuri kuin n ja rivin pituus (paikkojen lukumäärä siinä) k. Tehtävä 2. Laske n kappaleen k paikkojen lukumäärä A k n. Toisin kuin tehtävässä 1, jossa kirjainta voidaan käyttää useammin kuin kerran, tässä tehtävässä, kun esine on asetettu tiettyyn paikkaan, otamme sen joukosta (esineiden pussi) eikä sitä enää ole (se ei voi ilmestyä uudelleen ) . Laitamme minkä tahansa n:stä esineestä ensimmäiseksi. Jokaisessa seuraavassa vaiheessa mahdollisuuksien määrä vähenee yhdellä. Vastaus: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h kertoimet + 1). Huomaa, että viimeinen tekijä on n - (k - 1) = n - k + 1. Huomaa, että jos k > n, niin yksi tekijöistä on nolla, koska on mahdotonta, että n objektia voi olla paikoissa, jotka ovat suurempia kuin n. 3. Permutaatio. Tarkastellaan joukkoa, joka sisältää n objektia. Haluamme laittaa ne järjestykseen, ts. järjestää. Tämä voidaan tehdä numeroimalla objektit. Järjestättyä objektijoukkoa kutsutaan permutaatioksi. Tämä termi syntyi, koska aluksi esineitä otettiin, järjestettiin jotenkin ja muut järjestystavat vaativat näiden esineiden uudelleenjärjestelyä. Tehtävä 3. Laske n kohteen permutaatioiden lukumäärä Pn. On selvää, että tämä ongelma osuu yhteen sijoitusongelman kanssa siinä tapauksessa, että objektien lukumäärä vastaa paikkojen määrää, järjestämme kaikki n objektia käyttämällä n käytettävissä olevaa paikkaa. Tehtävän 2 päättelyn toistaminen johtaa seuraavaan vastaukseen: n(n - 1) Koska tekijöiden lukumäärä on n, viimeinen luku on 1. On kätevää järjestää tekijät uudelleen ja kirjoittaa tulos kaikkien tulona. luonnolliset luvut 1:stä n:ään: n = = n\ (lue "n tekijä"). Kaksikirjaiminen sanat kolmen kirjaimen aakkosessa aa ab ac ba bb bc ca s SS Sijoitus Kolmen kohteen sijoittaminen kahteen paikkaan n kohteen sijoittaminen k paikkaan Paikkojen lukumäärä Mahdollisten sijoitusten lukumäärä 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 Vaihtoehtoja yhteensä: n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)

65 ratkaisua kombinatorisia ongelmia? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Esimerkkejä permutaatiosta P4 = 4! = = 24 Sijoitus P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)! l! l! = = l! ​​(l-l)! Oh! Anagram cab cabd cadb cdab dcab sana uudelleen järjestetyillä kirjaimilla (sijoittelu, permutaatio) Rakenne, kirjoitustapa ja vaihtoehtojen listaus tulisi olla analysoitu 1. Binäärivastaukset Ihmiseltä kysytään 10 kysymystä, joista jokaiseen hän vastaa "kyllä" tai "ei". erilaisia ​​vaihtoehtoja vastaus kaikkiin 10 kysymykseen? Ensimmäiseen kysymykseen on kaksi vastausta. Jos vastaukset useisiin kysymyksiin on jo rakennettu, niin vastaus seuraavaan kaksinkertaistaa vaihtoehtojen määrän. Vastaus = 2 10 = Tietenkin tässä tehtävässä rakennettiin sanoja kahden kirjaimen aakkosissa. 2. Monivalintatestit. Henkilölle tarjottiin 6 kysymyksen testiä. Jokaiseen kysymykseen tulee vastata yhdellä viidestä mahdollisesta vastauksesta. Kuinka monta eri vastausta testin kaikkiin 6 kysymykseen on? Ensimmäiseen kysymykseen on 5 mahdollista vastausta. Kun siirrytään seuraavaan kysymykseen, vaihtoehtojen määrä kasvaa 5-kertaiseksi. Vastaus: = 5 6 = Suunnittelu on säilynyt. Aakkosten kirjainten määrä on muuttunut, nyt ne ovat sanoja eri kirjaimilla. Aakkosissa on 10 kirjainta. Kuinka monta sanaa, joiden pituus on 3, voidaan rakentaa ei-toistuvista kirjaimista? Ensiksi laitamme minkä tahansa 10 kirjaimesta, toiseen mikä tahansa, paitsi se, joka on jo otettu ensin. Meillä on 10-9 vaihtoehtoa. Kolmanneksi voit laittaa minkä tahansa 8 käyttämättömästä kirjaimesta. Vastaus: = 720. Sijoittelusuunnittelua käytettiin kolmessa paikassa (ilman toistoja) 10 kirjainta laitettiin. 4. Anagrammit sanojen eri kirjaimilla. Kuinka monta anagrammia sanalle KATER on? Tämän sanan kaikki viisi kirjainta ovat erilaisia. Voit järjestää 5 kirjainta 5 uudelleen! tavoilla. Vastaus: P5 = 5! =

66 fy Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Mitä sana tarkoittaa tässä aakkostossa? 2. Kuinka monta sanaa, joiden pituus on 5, on 6 kirjaimen aakkosessa? 3. Aakkosissa on n kirjainta. Tarkastellaan sanoja, jotka koostuvat m:stä ei-toistuvasta kirjaimesta. Mitä kombinatoriikan käsitettä tulisi käyttää kuvaamaan tällaisia ​​sanoja? 4. Kuinka monta sanaa, joiden pituus on 3, on 6 kirjaimen aakkosessa, joissa on ei-toistuvia kirjaimia? 5. Mikä on permutaatio? 6. Kuinka monta 6 kirjaimen permutaatiota on olemassa? 7. Miten käsitteet "sijoittelu" ja "permutaatio" liittyvät toisiinsa? 8. Kuinka monta kertaa 10 kohteen sijoitusten määrä neljässä paikassa on pienempi kuin samojen esineiden sijoittelujen määrä kuuteen paikkaan? Oppitunti 2 Kombinatoriikan säännöt Mitkä ovat kombinatoristen laskelmien perussäännöt? 1. Lisäyssääntö. Olkoon joukossa A m alkiota ja joukossa B n alkiota. Jos joukoilla A ja B ei ole yhteisiä alkioita, niin niiden liitossa elementtien lukumäärä on m + n. Voidaan sanoa näin: jos kahdessa pussissa on eri esineitä ja kaadetaan ne yhteen, niin niiden kokonaismäärän selvittämiseksi on lisää kussakin pussissa olevien esineiden määrä. Jos äärelliselle joukolle X merkitsemme sen alkioiden lukumäärää X:llä, niin summaussääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti: jos A n B = 0, niin \A ja B\ = \A\ + \B\. Tämä sääntö on helppo yleistää tapaukseen, jossa joukoilla A ja B on yhteinen osa. 2. Sääntö poikkeuksen sisällyttämisestä. Olkoon joukoilla A ja B yhteinen osa, jossa on k alkiota. Silloin joukkojen A ja B liitossa alkioiden lukumäärä on yhtä suuri kuin m + n - k, ts. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. On selvää, että lisäämällä numerotyypin laskemme yhteiset alkiot kahdesti. Kombinatoriikan säännöt Lisäyssääntö A n B \u003d 0 J] A ja B\ \u003d A + B

Poissulkemissisällytykset A u B\ = A + B - \A n B\ ulottuvat mielivaltaisen määrän joukkoja liittoon. 3. Kertolasääntö. Joukkojen A ja B alkioista koostuvien parien lukumäärä on yhtä suuri kuin näiden joukkojen alkioiden tulo. Kahden joukon elementtiparien joukkoa merkitään usein tuotemerkillä. Sitten kertolasääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti: [A x B\ \u003d A x B. Kertolasääntö voidaan selittää helposti taulukon avulla. Jos teemme suorakaiteen muotoisen taulukon ja numeroitamme (merkitsimme) sen rivit joukon A elementeillä ja sarakkeet joukon B elementeillä, niin taulukon solut vastaavat pareja (a; b), missä a e A, b e B. Taulukon solujen määrä on luonnollisesti yhtä suuri kuin rivien määrän ja sarakkeiden lukumäärän tulo. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 Kertolasääntö \A x B = A x B Miten kombinatoriikan sääntöjä sovelletaan tehtävien ratkaisussa? 1. Termien lukumäärä. Tarkastellaan tuloa (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). Kuinka monta monomia (ennen samankaltaisten pelkistämistä) saadaan kertomalla "sulut hakasulkeilla"? Sama kysymys voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: "Kuinka monta paria voidaan muodostaa ensimmäisessä ja toisessa sulussa olevista monomeista?" Valitsemme minkä tahansa kolmesta monomista ensimmäisessä sulussa ja minkä tahansa kuudesta toisesta. Parien lukumäärä on 3-6 = 18 kertolasääntöä käyttäen. 2. Valikko. Ruokalistalla on 5 alkuruokaa, 3 alkuruokaa, 4 kakkosruokaa ja 3 jälkiruokaa. Kuinka monella tavalla neljän ruokalajin aterian voi tilata? Kun mietimme tilausta, teemme neljä nimeä: 1) välipala; 2) ensimmäinen ruokalaji; 3) toinen ruokalaji; 4) jälkiruoka. Tämän neljän ensimmäiselle riville syötetään mikä tahansa viidestä annetusta vaihtoehdosta, toiselle riville mikä tahansa kolmesta jne. Kokonaismäärä

68 [=180. Tämä on esimerkki kertolaskusäännön yleistyksestä. Teemme parien lisäksi myös kahden, kolmen, neljän tai useamman esineen sarjoja. 3. Auton rekisterinumerot. Auton numero koostuu kolmesta kirjaimesta ja kolmesta numerosta. Käytössä on 20 kirjainta ja kaikki 10 numeroa. Numero, jossa on kaikki 3 nollaa, on myös kelvollinen (esimerkiksi A000AA). Kuinka monta tällaista numeroa voidaan tuottaa? Huoneessa on 6 istumapaikkaa. Ensimmäinen, viides ja kuudes ovat kirjaimia, toinen, kolmas, neljäs numeroita. Istuimet täytetään toisistaan ​​riippumatta. Vastaus: = Sanojen lukumäärä. Aakkosissa on 4 kirjainta. Kuinka monta sanaa voidaan tehdä tämän aakkoston kirjaimista, joissa on enintään 3 kirjainta? K-pituisten sanojen määrä 4 kirjaimen aakkosesta on 4*. Eripituisilla sanajoukoilla ei ole yhteisiä elementtejä. Käytämme lisäyssääntöä. Vastaus: = = Opiskelijoiden määrä. Jokainen oppilas oppii luokassa kielen. Samaan aikaan 20 opiskelijaa opiskelee englantia, 12 ranskaa ja 7 opiskelijaa molempia kieliä. Kuinka monta oppilasta luokassa on? Jos lasketaan yhteen englantia ja ranskaa opiskelevien opiskelijoiden määrä, lasketaan kaikki opiskelijat, mutta kahta kieltä oppivat lasketaan kahdesti. Käytämme sisällyttämistä koskevaa sääntöä. Vastaus: = "Ainakin kerran." Noppia heitetään kahdesti peräkkäin. Kuinka monta kertaa numero 6 tulee esiin ainakin kerran? Jaamme kaikki tapaukset kahteen luokkaan: numero 6 ei koskaan putoa, numero 6 putoaa vähintään kerran. Näillä luokilla ei ole yhteisiä elementtejä. Kaikki yhteensä vaihtoehtoja, eli kahden numeron sekvenssien lukumäärä 6 numeron marginaalilla on yhtä suuri kuin b 2, 5 numeron marginaalilla (kaikki paitsi kuusi) on 5 2. Käytä summaussääntöä: b 2 \u003d x. Vastaus: b = 11. Ruokalaji Annosten määrä Alkuruoka 5 Ensimmäinen 3 Toinen 4 Jälkiruoka 3 Neljän ruokalajin illallisvaihtoehtojen lukumäärä: = 180. Rekisterikilvet A000AA Numeroiden lukumäärä: = Sanojen määrä Kirjainten määrä aakkostossa 4 Sanan pituus k Sanojen määrä 4* k = 3 => Yhteenlaskusäännön mukaan: = 84 Oppilaiden määrä Opiskelijoiden määrä luokassa: = 25 "Vähintään kerran" Arvosana 1: Älä koskaan kirjoita 6:ta. Arvosana 2: Heitä vähintään kerran 6:sta. 69

69 Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Kuinka määrittää kahden joukon alkioiden kokonaismäärä, jos kunkin joukon alkioiden lukumäärä on tiedossa ja osa alkioista voi olla yhteisiä? 2. Mikä on kertolasääntö? 3. Testitehtävässä on neljä esimerkkiä. Jokaisessa esimerkissä on 5 vastausta. Kuinka monella tavalla voit valita vastauksen kysymykseen? neljä. Dice heitetty kahdesti peräkkäin. Laske mahdollisten valintojen määrä jokaista mahdollista heitettyjen pisteiden summaa kohti. Tarkista: Kun lisäät vaihtoehdot jokaiselle mahdolliselle summalle, sinun pitäisi saada vaihtoehtojen kokonaismäärä. Oppitunti 3 Ratamäärät Rata on joukko identtisiä (vastaavia) vaihtoehtoja Sijoitus Sijoitus ilman toistoa k elementistä m elementillä Esimerkkejä voit istua 6 henkilöä peräkkäin 6! (720) tapoja; istumapaikat 6 henkilöä pyöreän pöydän ääressä voi olla 5! (120) tapaa; Jos on 5 poikaa ja 5 tyttöä, on 5!5!2 5 tapaa tehdä sarake poika-tyttö-pareista. Miten kombinatoriset laskelmat ottavat huomioon yhdistelmät, joita pidetään samana? Vaihtoehtoja laskettaessa on usein tarpeen harkita samoja (identifioida) vaihtoehdot jonkin ominaisuuden mukaan. Jos yhdistämme kaikki samana pidetyt vaihtoehdot, saamme joukon, jota kutsutaan kiertoradalla. 1. Pyöreä pöytä. Meille mahtuu 6 henkilöä peräkkäin. Se voidaan tehdä 6! tavoilla. Laitetaan ne nyt pyöreän pöydän ääreen. Harkitsemme samoja tapoja järjestää ihmisiä, jotka voidaan saada kääntämällä pöytää ympyrässä. Otetaan yksi järjestely ja käännämme pöydän. Saamme kuuden järjestelyn kiertoradan. Kiertojen kokonaismäärä on 6 kertaa pienempi kuin kaikkien järjestelyjen lukumäärä. 6! Vastaus: = 5! = Parien lukumäärä. Siellä on 5 poikaa ja 5 tyttöä. Kuinka monella tavalla ne voidaan järjestää poika-tyttö-pareista koostuvaan sarakkeeseen? Pidämme sarakkeita, joissa poika seisoo vasemmalla tai oikealla, olevan samoja. Sitten tapojen kokonaismäärä voidaan laskea seuraavasti: poikien rivin valinta

70 ^V/^y pilleri^u ^VDUICIV 5! tavoilla. Otetaan yksi järjestely pareittain ja aletaan vaihtaa vasenta ja oikeaa asentoa pareittain. Yhdestä järjestelystä saadaan 2 5 = 32 muuta (vaihdamme paikkoja kussakin parissa toisistaan ​​riippumatta). Yhdistämällä vaihtoehdot kiertoradalle ja huomioimalla, että kunkin kiertoradan elementtien lukumäärä on sama eli 32, saadaan tulos. 1 /.\ Vastaus: (5!) V "Yhdistelmiä järjestyksessä, saisimme vastauksen muodossa n(n - 1)... (n - k + 1) sijoittelujen määrä Yhdistä järjestelyt kiertoradalle vaihtamalla (järjestelemällä) valitut k henkilöä Tämä voidaan tehdä k\ tavalla.Ratamäärä on n (n-l) -...-(n-ft + l) on yhtä suuri. Saimme näytteen elementeistä, joissa elementtien järjestyksellä ei ole väliä. Aikaisemmin osajoukot kutsuttiin yhdistelmiksi, joten tuloksena olevaa lukua kutsutaan "yhdistelmien lukumääräksi n:stä k:han" ja sitä merkitään c*. merkintä = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Ominaisuus CS = С""* yhdistelmät 4. Anagrammien lukumäärä. Laskimme aiemmin eri kirjaimilla olevien sanaanagrammien lukumäärän. Jos sanan kirjainten määrä on yhtä suuri kuin n, tämä luku on yhtä suuri kuin n elementin permutaatioiden lukumäärä, eli luku n\. II f ja t Alaryhmien lukumäärä Kuinka monella tavalla kuuden hengen ryhmästä voidaan valita kolmen hengen alaryhmä? Ensin valmistelemme kolme paikkaa ja laitamme niihin kolme henkilöä järjestykseen. Tämä voidaan tehdä == 120 tavalla. Nyt yhdistämme yhdeksi kiertoradalle järjestelyt, jotka eivät eroa kolmikon koostumuksesta, vaan eroavat vain istutusjärjestyksessä. Jokaisella kiertoradalla on 3! = 6 tähtikuviota Vastaus: 20. 3! (D Esimerkki Yhdistelmien lukumäärä Annettu alkiojoukko: x = (1, 2, 3). Tästä joukosta on tarpeen tehdä kaksialkioisia osajoukkoja. Niitä tulee olemaan kolme: (1, 2), (1 , 3), (2, 3). Kunkin osajoukon elementeistä voi muodostua 2 kiertorataa, joiden pituus on 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) ( 3, 2), jotka ovat järjestelyjä, joissa ei toistu kolme elementtiä kaksi, ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin Al = 3 2 = 6. Toisaalta tämä luku on yhtä suuri kuin 2! C => a A? Al \u003d 2 ! C - "3 - 2! 71

71 Yhdistelmien lukumäärä Suoralta otettiin kymmenen pistettä. Kuinka monta segmenttiä saatiin, joiden päät ovat nämä pisteet? c "=t=th 45 - Newtonin binomi (a + b) n = a "(1 + x) n (suluissa a" ja merkitty b / a kautta). Tarkastellaan binomiaalin (1 + x) n laajenemista x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". Kertoimet ak saadaan kaavalla k \ Kerrotaan n muotoa 1 + x olevaa sulkua keskenään. Saadaan aste x k, sinun on valittava niistä x L:ssä ja loput n - k 1. Vaihtoehtojen lukumäärä k objektin valitsemiseksi n:stä mahdollisesta on määrittämiemme yhdistelmien lukumäärä n:stä k:hen, eli luku C *. Mukavuuden vuoksi oletetaan = 1 ja kirjoitetaan binomikaava seuraavasti: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. identtiset kirjaimet. Etsitään esimerkiksi sanan ABOUT anagrammien määrä. Tämä on kahdeksan kirjaimen sana, ja siinä O-kirjain esiintyy 4 kertaa, K kahdesti ja kirjaimet L ja T kerran. Tehdään samoista kirjaimista erilaisia ​​(kirjoitetaan esimerkiksi eri fontti K ja K). Nyt kaikki 8 kirjainta ovat erilaisia ​​ja tämän sanan anagrammien määrä on 8!. Yhdistetään ne kiertoradoiksi, jolloin tunnistetaan samat, mutta eri tavalla kirjoitetut kirjaimet O ja K. Uudelleenjärjestely eri kirjoitusasuja kirjaimet O (4! tapaa) ja K (2! tapaa), saamme kiertoradan 4! 2! = 48 sanaa. Tarvitset 8 saadaksesi alkuperäisen sanan anagrammien määrän! jaettuna kiertoradan pituudella. kahdeksan! Vastaus: =! Kuinka nostaa monomiaalien summa potenssiin? 1. Newtonin binomikaava. Ilmaus "Newtonin binomiaali" on pitkään ollut matematiikan vaikeuden ja käsittämättömyyden symboli. Itse asiassa kysymyksessä melko yksinkertaisesta asiasta: jos otat binomiaalin a + b, nostat sen potenssiin ja lisäät samankaltaisia ​​termejä, saat summan a k b l -muotoisia monomioleja joidenkin kertoimien kera. Näiden kertoimien laskentakaava liittyy I. Newtonin nimeen, vaikka sitä käytettiin paljon aikaisemmin. Kun nostetaan a + b binomiaaliseen potenssiin, saadaan kaava: Tunnet 2, 3, 4. Luvut C* kutsutaan binomikertoimiksi 2. Binomikertoimien ominaisuudet 1) Erityistapaukset On hyödyllistä muistaa ensimmäinen kertoimet: _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72

72 a) uu/iato h-krkz fiktiriyl. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - voidaan muuttaa symmetrisempään muotoon, k\ kertomalla osoittaja ja nimittäjä arvolla (ga - A;)!. Osoittimessa palautetaan kaikki luvut 1:stä hetaan. Saamme kaavan C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Aurinko) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = 2:lle. 2 AC = av3. Vastaus: 1) 0; 2) av3. Suluissa olevat lausekkeet tulee kertoa termeiltä ja ottaa huomioon, että i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Etäisyys. Kahden pisteen AG ja A2 välinen etäisyys avaruudessa voidaan laskea käyttämällä skalaarituloa:. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. Kirjoitamme skalaarineliön koordinaatteina: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. Saamme kaavan \AxAg\ \u003d yj () x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + ("2 ~ *i f, joka yleistää Pythagoraan lauseen avaruudelle.

84 käsitettä koordinaattien ja vektorien kielellä? Tämä tehdään laskennallisten algoritmien rakentamiseksi ratkaisua varten geometrisia ongelmia. Tämän perustana ovat erilaisten avaruushahmojen yhtälöt ja ennen kaikkea tason ja pallon (pallon pinnan) yhtälöt. 1. Tason yhtälö. Taso voidaan määritellä yhdellä sen sisältämällä pisteellä i^oc-^o? J/o! 2 o) ja tähän tasoon nähden kohtisuorassa oleva vektori n (tätä kutsutaan normaalivektoriksi tasoon nähden). Tarpeellinen ja riittävä kunto että piste P(x; y; d) kuuluu tasoon, on seuraava: [op-op0) 1 n tai muodossa - * yhtälö PP0 n = 0. Kun on annettu normaalin p(a; B) koordinaatit ; C), saamme yhtälötason koordinaattimuodossa: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. Avaa sulut ja merkitsee numeroa (Ax0 + + Vy0 + Cz0) D:stä, saamme standardi yhtälö taso muodossa Ax + By + Cz + D = = 0. Se on analogi hyvin tunnetulle tason suoran yhtälölle. Huomaa, että normaalivektori n ei ole yksiselitteisesti määritelty, vaan se voidaan kertoa millä tahansa luvulla. 2. Pallon yhtälö. Piste P(x; y; r) sijaitsee pallolla, jonka keskipiste on C(a; b; c) ja säde R, jos ehto \PC\ 2 = R 2 täyttyy. Tämä ehto voidaan helposti kirjoittaa uudelleen koordinaatteina: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. Tämä yhtälö yleistää ympyräyhtälön tasossa. tulot koordinaateissa a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 Tason yhtälö PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 Laadi tason yhtälö seuraavissa olosuhteissa: p (1; 2; 3), PO (1; 0; 0). Ratkaisu: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. Tason yhtälö on muotoa: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. Pallon yhtälö ^ Kysymyksiä ja harjoituksia 1. Miten vektorien skalaaritulo määritetään? 2. Miten skalaaritulo lasketaan koordinaatteina? 3. Mitkä ovat skalaaritulon pääominaisuudet? 85