V tomto článku sa dozviete, ako riešiť matematické úlohy, ak neviete, kde začať.

Školáci často pri riešení problémov „upadnú do strnulosti“ - v ich hlave je hmla, myšlienky sa niekde rozptýlili a zdá sa, že ich už nie je možné zbierať.

Chcem príklad riešenia problému z otvorená bankaúlohy ukázať ktoré jednoduché krokyčo musíte urobiť, aby ste zhromaždili svoje myšlienky a ako správne riešiť problémy.

Ako riešiť problémy. Úloha B13 (č. 26582)

Cyklista odišiel konštantná rýchlosť z mesta A do mesta B, vzdialenosť medzi nimi je 98 km. Na druhý deň išiel späť rýchlosťou o 7 km/h vyššou ako predtým. Cestou sa zastavil na 7 hodín. Výsledkom bolo, že na ceste späť strávil toľko času ako na ceste z A do B. Nájdite rýchlosť cyklistu na ceste z A do B. Odpoveď uveďte v km/h.

1. Pozorne si prečítajte problém. Možno niekoľkokrát.

2. Určíme, o aký proces ide a aké vzorce tento proces popisujú. Vypíšeme tieto vzorce. AT tento prípad toto je úloha pre pohyb a vzorec, ktorý opisuje tento proces, je S=vt.

3. Vypíšeme rozmer každej premennej, ktorá je súčasťou rovnice:

• S - vzdialenosť - km
• v - rýchlosť - km/h
• t - čas - h

Znalosť rozmeru nám pomôže pri kontrole výsledných vzorcov.

4. Vypíšeme všetky čísla, ktoré sa nachádzajú v podmienke úlohy, napíšeme, čo znamenajú a ich rozmer:

98 km - vzdialenosť medzi mestami,

7 km / h - toľko ako rýchlosť cyklistu cesta späť viac ako rýchlosť na ceste z mesta A do mesta B,

7 hodín - čas, keď cyklista zastavil (tentokrát nejazdil)

5. Prečítajte si ešte raz problémovú otázku.

6. Rozhodneme sa, akú hodnotu vezmeme za neznáme. Je vhodné brať za neznáme hodnotu, ktorú treba v probléme poznať. V tomto prípade ide o rýchlosť cyklistu na ceste z bodu A do bodu B.

Takže: rýchlosť cyklistu na ceste z A do B nech je x. Potom, keďže rýchlosť cyklistu na ceste späť je o 7 km/h väčšia ako rýchlosť na ceste z mesta A do mesta B, potom sa rovná x+7.

7. Zostavíme rovnicu. Aby sme to dosiahli, vyjadríme tretiu hodnotu pohybovej rovnice (čas) cez prvé dve. potom:

• čas, ktorý cyklistovi trvala cesta z bodu A do bodu B, je 98/x,

• a na ceste z B do A - 98 / (x + 7) + 7 - nezabudnite, že na ceste späť cyklista zastavil 7 hodín, to znamená, že jeho čas jazdy je súčtom času jazdy a parkovania čas.

Rovnica je pre čas. Ešte raz v podmienke problému čítame, že hovorí o čase: V dôsledku toho strávil na ceste späť toľko času ako na ceste z A do B. To znamená, že čas „tam“ sa rovná čas „späť“. Dáme rovnítko medzi čas „tam“ a čas „späť“ Dostaneme rovnicu:

98/x=98/(x+7)+7.

Ešte raz skontrolujeme rozmery veličín, ktoré sú zahrnuté v rovnici – treba sa uistiť, že napríklad k kilometrom nepripočítajte hodiny.

8. Riešime rovnicu. Teraz sa musíme sústrediť na riešenie rovnice. Aby sme to dosiahli, určíme, aký typ tejto rovnice je. Keďže neznáma je v menovateli zlomkov, je to tak racionálna rovnica. Aby ste to vyriešili, musíte posunúť všetky výrazy doľava a priviesť zlomky na spoločný menovateľ. Všimnite si, že čísla 98 a 7 sú násobky 7.

Pre zjednodušenie riešenia vydelíme obe strany rovnice 7. Dostaneme rovnicu: 14/x=14/(x+7)+1

Potom prenesieme všetky členy doľava, zredukujeme na spoločného menovateľa a prirovnáme čitateľa k nule.

Dostaneme sa do čitateľa: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 ako podmienky a vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Jeho korene sú -14 a 7.

Číslo -14 nezodpovedá stavu problému: rýchlosť musí byť kladná.

Ešte raz si prečítame otázku problému a korelujeme ju s hodnotou, ktorú sme našli: pre neznámu sme zobrali rýchlosť cyklistu na ceste z A do B a potrebujeme nájsť rovnakú hodnotu.

Odpoveď: 7 km/h.

Ako riešiť problémy. Výsledok

Všimnite si, že celú cestu riešenia problému sme rozdelili na malé kúsky a v každej časti sme sa zamerali presne na myslenie konkrétnu akciu. A až po vykonaní tejto akcie nasledoval ďalší krok.

Keď nie je jasné, čo robiť, musíte sa rozhodnúť, ktoré malý krok môžete to urobiť hneď teraz, urobte to a potom premýšľajte o ďalšom.

Naučiť sa riešiť typické logické úlohy, jednoduché a neštandardné matematické problémy, je dôležité poznať základné techniky a metódy ich riešenia. Veď v mnohých prípadoch je možné vyriešiť ten istý problém a prísť k správnej odpovedi rôznymi spôsobmi.

Znalosť a pochopenie rôznych metód riešenia vám pomôže určiť, ktorá metóda je najlepšia pre každý konkrétny prípad, aby ste si mohli vybrať najrýchlejší a najjednoduchší spôsob, ako získať odpoveď.

Medzi „klasické“ logické úlohy patria textové úlohy, ktorých účelom je rozpoznávať predmety alebo ich usporiadať v určitom poradí v súlade s danými podmienkami.

Zložitejšie a vzrušujúcejšie typy úloh sú úlohy, v ktorých sú určité tvrdenia pravdivé a iné nepravdivé. Úlohy premiestňovania, presúvania, váženia, nalievania sú najviac svetlé príkladyširoký okruh neštandardné úlohy k logike.

Základné metódy riešenia logických problémov

• spôsob uvažovania;
• používanie pravdivostných tabuliek;
• metóda blokovej schémy;
• prostriedky logickej algebry (výroková algebra);
• grafika (vrátane „stromu logické podmienky“, metóda Eulerovho kruhu);
• metóda matematického biliardu.

Pozrime sa bližšie na príklady troch populárnych spôsobov riešenia logických úloh, ktoré odporúčame používať na základnej škole (deti 6-12 rokov):

• metóda sekvenčného uvažovania;
• druh metódy uvažovania - "od konca";
• tabuľkovým spôsobom.

Metóda postupného uvažovania

Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť jednoduché problémy, je uvažovať postupne pomocou všetkých známych podmienok. Závery z tvrdení, ktoré sú podmienkami problému, postupne vedú k odpovedi na položenú otázku.

Na stole sú Modrá , zelená , Hnedá a Oranžová

Tretia je ceruzka s najväčším počtom písmen v názve. Modrá ceruzka leží medzi Hnedá a oranžová .

Rozložte ceruzky v opísanom poradí.

Riešenie:

My suhlasime. Postupne využívame podmienky úlohy na formulovanie záverov o polohe, na ktorej by mala ležať každá ďalšia ceruzka.

• Väčšina písmen v slove "hnedá", takže leží na treťom mieste.
• Je známe, že modrá ceruzka leží medzi hnedou a oranžovou. Napravo od hnedej je len jedna pozícia, čo znamená, že je možné umiestniť modrú medzi hnedú a ďalšiu ceruzku len naľavo od hnedej.
• Ďalší záver vychádza z predchádzajúceho: modrá ceruzka je na druhej pozícii a oranžová je na prvej.
• Pre zelenú ceruzku, ktorá zostala posledná pozícia- Je štvrtý.

Koncová metóda

Tento spôsob riešenia je akousi metódou uvažovania a je skvelý pre problémy, v ktorých poznáme výsledok určitých akcií a otázkou je obnoviť pôvodný obraz.

Babička upiekla rožky pre svoje tri vnúčatá a nechala ich na stole. Kolja si odbehol najprv zahryznúť. Počítal som všetky rožky, zobral svoj podiel a ušiel.
Anya prišla do domu neskôr. Nevedela, že Kolja už vzal rožky, spočítal ich a rozdelil na tri a vzal si svoj podiel.
Tretí prišiel Geňa, ktorý aj zvyšok pečiva rozdelil na tri a zobral si svoj podiel.
Na stole zostalo 8 rožkov.

Koľko z ôsmich zostávajúcich rožkov by mal každý zjesť, aby jedli všetci rovnako?

Riešenie:

Začnime diskusiu od konca.
Gena nechal 8 rožkov pre Anyu a Kolju (4 pre každého). Ukazuje sa, že on sám zjedol 4 bagely: 8 + 4 = 12.
Anya nechala 12 rožkov pre bratov (každý 6). Takže ona sama zjedla 6 kusov: 12 + 6 = 18.
Kolja nechal pre chlapov 18 rožkov. Sám teda zjedol 9: 18 + 9 = 27.

Babička položila na stôl 27 rožkov v nádeji, že každý dostane 9 kusov. Keďže Kolja už svoj podiel zjedol, Anya musí zjesť 3 a Gena 5 rožkov.

Riešenie logických problémov pomocou tabuliek pravdy

Podstatou metódy je opraviť podmienky problému a výsledky uvažovania v tabuľkách špeciálne zostavených pre daný problém. V závislosti od toho, či je tvrdenie pravdivé alebo nepravdivé, sú príslušné bunky tabuľky vyplnené znakmi "+" a "-" alebo "1" a "0".

Traja športovci ( červená , Modrá a zelená) hral basketbal.
Keď bola lopta v koši, červený zvolal: "Loptu strelil modrý."
Modrý namietal: "Green strelil loptu."
Zeleny povedal: "Nedal som gól."

Kto strelil loptu, ak len jeden z troch klamal?

Riešenie:

Najprv sa zostaví tabuľka: vľavo zapíšu všetky vyhlásenia, ktoré sú obsiahnuté v podmienke, a navrchu - možné možnosti odpoveď.

Potom sa tabuľka vyplní postupne: pravdivé tvrdenia označte znamienkom „+“ a nepravdivé tvrdenia znamienkom „-“.

Zvážte prvú možnosť odpovede („lopta bola hodená červená“), analyzujte vyhlásenia napísané vľavo a vyplňte prvý stĺpec.
Na základe nášho predpokladu („lopta bola hodená červená"), tvrdenie "loptu hodila modrá" je lož. Vložili sme do bunky "-".
Klamstvom je aj tvrdenie „lopta skórovala zelená“. Vyplníme bunku znakom "-".
Zelený výrok „nedal som gól“ je pravdivý. Vložíme do bunky "+".

Zvážte druhú odpoveď (predpokladajte, že lopta hodená zelená) a vyplniť druhý stĺpec.
Výrok „Modrý hodil loptu“ je lož. Vložili sme do bunky "-".
Výrok „lopta skórovala na zeleno « - pravda. Vyplňte bunku znamienkom „+“.
Zelený výrok „nedal som gól“ je lož. Vložili sme do bunky "-".

A nakoniec tretia možnosť: predpokladajme, že „lopta je hodená Modrá«.
Potom výrok „lopta hodená modrá « - pravda. Vložíme do bunky "+".
Výrok „lopta skórovala na zeleno“ je lož. Vyplníme bunku znakom "-". Zelený výrok „nedal som gól“ je pravdivý. Vložíme do bunky "+".

Keďže podľa podmienky klamal iba jeden z troch chlapov, v vyplnenej tabuľke vyberieme takú možnosť odpovede, kde bude len jeden nepravdivý údaj (v stĺpci jeden znak „-“). Tretí stĺpec sedí.

Takže správna odpoveď je, že loptu hodil modrý.

Metóda vývojového diagramu

Zvažuje sa metóda vývojového diagramu najlepšia možnosť na riešenie problémov váženia a nalievania tekutín. Alternatívny spôsob riešenie tohto typu problémov – metóda enumerácie možností – nie je vždy optimálne a je dosť ťažké nazvať ho systémovým.

Postup riešenia problémov pomocou metódy vývojového diagramu je nasledujúci:

• graficky (vývojový diagram) popísať postupnosť operácií;
• určiť poradie ich vykonávania;
• v tabuľke opravíme aktuálne stavy.

Viac o tomto a ďalších spôsoboch riešenia logických problémov s príkladmi a popisom riešenia vám povieme plný kurz LogicAko na rozvoj logického myslenia.

Hádajte, čo sa najviac nazbieralo najmä pre pravidelných čitateľov nášho blogu a študentov LogicLike, riešte logické úlohy online spolu s tisíckami detí a dospelých!

Priemerná všeobecné vzdelanie

Linka UMK G. K. Muravina. Algebra a začiatky matematická analýza(10-11) (hlboká)

Linka UMK Merzlyak. Algebra a začiatky analýzy (10-11) (U)

Matematika

Príprava na skúšku z matematiky (profilová úroveň): úlohy, riešenia a vysvetlenia

S učiteľom rozoberáme úlohy a riešime príklady

Papier na skúšku úroveň profilu trvá 3 hodiny 55 minút (235 minút).

Minimálny prah- 27 bodov.

Skúšobná práca pozostáva z dvoch častí, ktoré sa líšia obsahom, náročnosťou a počtom úloh.

Charakteristickým znakom každej časti práce je forma úloh:

• 1. časť obsahuje 8 úloh (úlohy 1-8) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo koncového desatinného zlomku;
• 2. časť obsahuje 4 úlohy (úlohy 9-12) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo konečného desatinného zlomku a 7 úloh (úlohy 13-19) s podrobnou odpoveďou (úplný záznam rozhodnutia s odôvodnením vykonané akcie).

Panova Svetlana Anatolievna, učiteľ matematiky najvyššej kategórieškoly, 20 rokov praxe:

„Aby absolvent získal vysvedčenie, musí absolvovať dva povinná skúška v USE formulár, z ktorých jedna je matematika. V súlade s Koncepciou rozvoja matematické vzdelanie v Ruská federácia POUŽITIE v matematike je rozdelené do dvoch úrovní: základná a špecializovaná. Dnes zvážime možnosti pre úroveň profilu.

Úloha číslo 1- kontroly s účastníkmi POUŽÍVAJTE zručnosť uplatniť zručnosti získané v priebehu 5-9 ročníka v elementárnej matematike, v praktické činnosti. Účastník musí mať výpočtové schopnosti, vedieť pracovať s racionálnymi číslami, vedieť zaokrúhľovať desatinné miesta byť schopný previesť jednu mernú jednotku na inú.

Príklad 1 V byte, kde Petr býva, bol nainštalovaný merač nákladov studená voda(počítadlo). Na prvého mája meradlo ukazovalo spotrebu 172 metrov kubických. m vody a prvého júna - 177 metrov kubických. Akú sumu má Peter zaplatiť za studenú vodu za máj, ak je cena 1 cu. m studenej vody je 34 rubľov 17 kopejok? Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

Riešenie:

1) Zistite množstvo vody spotrebovanej za mesiac:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Zistite, koľko peňazí zaplatíte za spotrebovanú vodu:

34,17 5 = 170,85 (rub)

odpoveď: 170,85.

Úloha číslo 2- je jednou z najjednoduchších úloh skúšky. Väčšina absolventov sa s ňou úspešne vyrovnáva, čo svedčí o držaní definície pojmu funkcia. Typ úlohy č.2 podľa kodifikátora požiadaviek je úlohou na využitie získaných vedomostí a zručností v praktických činnostiach a Každodenný život. Úloha číslo 2 pozostáva z popisu pomocou funkcií rôznych skutočné závislosti medzi veličinami a interpretáciou ich grafov. Úloha číslo 2 testuje schopnosť extrahovať informácie prezentované v tabuľkách, diagramoch, grafoch. Absolventi musia vedieť určiť hodnotu funkcie podľa hodnoty argumentu kedy rôznymi spôsobmi definovanie funkcie a popis správania a vlastností funkcie podľa jej grafu. Taktiež je potrebné vedieť nájsť z grafu funkcií najväčší resp najmenšia hodnota a zostavte grafy študovaných funkcií. Urobené chyby sú náhodného charakteru pri čítaní podmienok problému, čítaní diagramu.

#ADVERTISING_INSERT#

Príklad 2 Na obrázku je znázornená zmena výmennej hodnoty jednej akcie ťažobnej spoločnosti v prvej polovici apríla 2017. Podnikateľ 7. apríla kúpil 1000 akcií tejto spoločnosti. 10. apríla predal tri štvrtiny nakúpených akcií a 13. apríla predal všetky zvyšné. O koľko prišiel podnikateľ v dôsledku týchto operácií?

Riešenie:

2) 1000 3/4 = 750 (akcie) - tvoria 3/4 všetkých nakúpených akcií.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubľov) - podnikateľ dostal po predaji 1 000 akcií.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubľov) - podnikateľ stratil v dôsledku všetkých operácií.

odpoveď: 15000.

Úloha číslo 3- je úloha Základná úroveň prvá časť testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrické tvary o obsahu kurzu „Planimetria“. V úlohe 3 schopnosť vypočítať plochu obrázku kockovaný papier, schopnosť počítať miera stupňa rohy, vypočítať obvody atď.

Príklad 3 Nájdite plochu obdĺžnika nakreslenú na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm x 1 cm (pozri obrázok). Svoju odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

Riešenie: Na výpočet plochy tohto obrázku môžete použiť vzorec Peak:

Na výpočet plochy daný obdĺžnik Použime Pickov vzorec:

S= B+	G
	2

kde V = 10, G = 6, teda

S = 18 +	6
	2

odpoveď: 20.

Pozri tiež: Jednotná štátna skúška z fyziky: riešenie problémov s vibráciami

Úloha číslo 4- úloha kurzu "Teória pravdepodobnosti a štatistika". Testuje sa schopnosť vypočítať pravdepodobnosť udalosti v najjednoduchšej situácii.

Príklad 4 Na kruhu je 5 červených a 1 modrá bodka. Určte, ktoré polygóny sú väčšie: tie so všetkými červenými vrcholmi alebo tie s jedným z modrých vrcholov. Vo svojej odpovedi uveďte, o koľko viac jedného ako druhého.

Riešenie: 1) Používame vzorec pre počet kombinácií z n prvky podľa k:

ktorého všetky vrcholy sú červené.

3) Jeden päťuholník so všetkými červenými vrcholmi.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygónov so všetkými červenými vrcholmi.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

8) Jeden šesťuholník, ktorého vrcholy sú červené s jedným modrým vrcholom.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygónov, ktoré majú všetky červené vrcholy alebo jeden modrý vrchol.

10) 42 - 16 = 26 polygónov, ktoré používajú modrú bodku.

11) 26 - 16 = 10 polygónov - koľko polygónov, v ktorých jeden z vrcholov je modrý bod, je viac ako polygónov, v ktorých sú všetky vrcholy iba červené.

odpoveď: 10.

Úloha číslo 5- základná úroveň prvej časti testuje schopnosť riešiť najjednoduchšie rovnice (iracionálne, exponenciálne, trigonometrické, logaritmické).

Príklad 5 Vyriešte rovnicu 2 3 + X= 0,453+ X .

Riešenie. Vydeľte obe strany tejto rovnice 5 3 + X≠ 0, dostaneme

2 3 + X	= 0,4 resp		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

z čoho vyplýva, že 3 + X = 1, X = –2.

odpoveď: –2.

Úloha číslo 6 planimetriou nájsť geometrické veličiny(dĺžky, uhly, plochy), modelovanie reálne situácie v jazyku geometrie. Štúdium zostavených modelov pomocou geometrické pojmy a vety. Zdrojom ťažkostí býva neznalosť resp nesprávne uplatnenie potrebné vety planimetrie.

Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 129. DE- stredná čiara, strana rovnobežná AB. Nájdite oblasť lichobežníka POSTEĽ.

Riešenie. Trojuholník CDE podobný trojuholníku TAXÍK na dvoch rohoch, od rohu na vrchole C všeobecný, uhol CDE rovný uhlu TAXÍK ako zodpovedajúce uhly pri DE || AB sekanta AC. Pretože DE je stredná čiara trojuholníka podľa podmienky a potom podľa vlastnosti stredná čiara | DE = (1/2)AB. Koeficient podobnosti je teda 0,5. štvorcov podobné čísla súvisia ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, tak

v dôsledku toho S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Úloha číslo 7- skontroluje aplikáciu derivácie na štúdium funkcie. Pre úspešnej implementácii je potrebné zmysluplné, neformálne vlastníctvo pojmu derivát.

Príklad 7 Ku grafu funkcie r = f(X) v bode s osou x X 0 je nakreslená dotyčnica, ktorá je kolmá na priamku prechádzajúcu bodmi (4; 3) a (3; -1) tohto grafu. Nájsť f′( X 0).

Riešenie. 1) Použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma dané body a nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (4; 3) a (3; -1).

(r – r 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(r 2 – r 1)

(r – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(r – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–r + 3 = –4X+ 16| · (-jedna)

r – 3 = 4X – 16

r = 4X– 13, kde k 1 = 4.

2) Nájdite sklon dotyčnice k 2, ktorý je kolmý na priamku r = 4X– 13, kde k 1 = 4 podľa vzorca:

3) Svah dotyčnica - derivácia funkcie v bode dotyku. znamená, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

odpoveď: –0,25.

Úloha číslo 8- preverí znalosť elementárnej stereometrie u účastníkov skúšky, schopnosť aplikovať vzorce na zisťovanie plôch a objemov útvarov, dihedrálne uhly, porovnávať objemy podobných postáv, vedieť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi atď.

Objem kocky opísanej okolo gule je 216. Nájdite polomer gule.

Riešenie. 1) V kocka = a 3 (kde a je dĺžka hrany kocky), tak

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Keďže guľa je vpísaná do kocky, znamená to, že dĺžka priemeru gule sa rovná dĺžke hrany kocky, teda d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Úloha číslo 9- vyžaduje od absolventa transformáciu a zjednodušenie algebraické výrazy. Úloha číslo 9 pokročilá úroveňŤažkosti s krátkymi odpoveďami. Úlohy zo sekcie „Výpočty a transformácie“ v USE sú rozdelené do niekoľkých typov:

číselné prevody racionálne prejavy;

transformácie algebraických výrazov a zlomkov;

numerické/abecedné prevody iracionálne prejavy;

akcie s titulmi;

transformácia logaritmické výrazy;

1. prevod číselných/písmenových trigonometrických výrazov.

Príklad 9 Vypočítajte tgα, ak je známe, že cos2α = 0,6 a

3π	< α < π.
4

Riešenie. 1) Použime vzorec dvojitý argument: cos2α = 2 cos 2 α – 1 a nájdite

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Z toho vyplýva, že tan 2 a = ± 0,5.

3) Podľa podmienok

3π	< α < π,
4

teda α je uhol druhej štvrtiny a tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

odpoveď: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Úloha číslo 10- preveruje schopnosť žiakov využívať nadobudnuté skoré poznanie a zručnosti v praktických činnostiach a každodennom živote. Môžeme povedať, že ide o problémy vo fyzike, a nie v matematike, ale vo všetkých potrebné vzorce a hodnoty sú uvedené v podmienke. Úlohy sa redukujú na riešenie lineárnej resp kvadratická rovnica, buď lineárne alebo štvorcová nerovnosť. Preto je potrebné vedieť riešiť takéto rovnice a nerovnice a určiť odpoveď. Odpoveď musí byť vo forme celého čísla alebo posledného desatinného zlomku.

Dve telesá hmoty m= 2 kg každý, pohybujúce sa rovnakou rýchlosťou v= 10 m/s pri vzájomnom uhle 2α. Energia (v jouloch) uvoľnená pri ich absolútne nepružnej zrážke je určená výrazom Q = mv 2 hriech 2 α. V akom najmenšom uhle 2α (v stupňoch) sa musia telesá pohybovať, aby sa v dôsledku zrážky uvoľnilo aspoň 50 joulov?
Riešenie. Na vyriešenie úlohy potrebujeme vyriešiť nerovnosť Q ≥ 50 na intervale 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 hriech 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Keďže α ∈ (0°; 90°), budeme len riešiť

Riešenie nerovnosti znázorníme graficky:

Keďže za predpokladu α ​​∈ (0°; 90°), znamená to, že 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Úloha číslo 11- je typický, ale pre žiakov sa ukazuje ako ťažký. Hlavným zdrojom ťažkostí je konštrukcia matematického modelu (zostavenie rovnice). Úloha číslo 11 testuje schopnosť riešiť slovné úlohy.

Príklad 11. Na jarné prázdninyŽiak 11-ky Vasya musel vyriešiť 560 tréningových úloh, aby sa pripravil na skúšku. 18. marca, v posledný deň školy, Vasya vyriešil 5 problémov. Každý deň potom riešil rovnaký počet problémov viac ako predchádzajúci deň. Určte, koľko problémov Vasya vyriešil 2. apríla v posledný deň dovolenky.

Riešenie: Označiť a 1 = 5 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 18. d– denný počet úloh, ktoré rieši Vasya, n= 16 - počet dní od 18. marca do 2. apríla vrátane, S 16 = 560 – Celkomúlohy, a 16 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 2. apríla. S vedomím, že každý deň Vasya vyriešil rovnaký počet úloh viac ako predchádzajúci deň, potom môžete použiť vzorce na nájdenie súčtu aritmetická progresia:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

odpoveď: 65.

Úloha číslo 12- overiť schopnosť študentov vykonávať akcie s funkciami, vedieť aplikovať deriváciu na štúdium funkcie.

Nájdite maximálny bod funkcie r= 10 ln( X + 9) – 10X + 1.

Riešenie: 1) Nájdite doménu funkcie: X + 9 > 0, X> –9, teda x ∈ (–9; ∞).

2) Nájdite deriváciu funkcie:

4) Nájdený bod patrí do intervalu (–9; ∞). Definujeme znamienka derivácie funkcie a znázorňujeme správanie funkcie na obrázku:

Požadovaný maximálny bod X = –8.

Stiahnite si zadarmo pracovný program z matematiky do radu UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10.-11 Stiahnite si bezplatné príručky algebry

Úloha číslo 13- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, ktorá testuje schopnosť riešiť rovnice, najúspešnejšie vyriešené spomedzi úloh s podrobnou odpoveďou zvýšenej úrovne zložitosti.

a) Vyriešte rovnicu 2log 3 2 (2cos X) – 5 log 3 (2kos X) + 2 = 0

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, patriace do segmentu.

Riešenie: a) Nech log 3 (2cos X) = t, potom 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ pretože |cos X| ≤ 1,
	log3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

potom cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Nájdite korene ležiace na segmente .

Z obrázku je to vidieť daný segment patria ku koreňom

11π	a	13π	.
6		6

odpoveď: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Úloha číslo 14- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

Obvodový priemer podstavy valca je 20, tvoriaca čiara valca je 28. Rovina pretína jej základne pozdĺž tetiv dĺžky 12 a 16. Vzdialenosť medzi tetivami je 2√197.

a) Dokážte, že stredy podstav valca ležia na rovnakej strane tejto roviny.

b) Nájdite uhol medzi touto rovinou a rovinou podstavy valca.

Riešenie: a) Tetiva dĺžky 12 je vo vzdialenosti = 8 od stredu základnej kružnice a tetiva dĺžky 16 je podobne vo vzdialenosti 6. Preto vzdialenosť medzi ich priemetmi na rovinu rovnobežnú s základne valcov je buď 8 + 6 = 14, alebo 8 − 6 = 2.

Potom je vzdialenosť medzi akordmi buď

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Podľa stavu bol realizovaný druhý prípad, v ktorom výstupky tetivy ležia na jednej strane osi valca. Os sa teda nepretína danej rovine vo valci, to znamená, že základne ležia na jeho jednej strane. Čo bolo potrebné dokázať.

b) Označme stredy báz O 1 a O 2. Nakreslíme zo stredu podstavy s tetivou dĺžky 12 kolmicu na túto tetivu (má dĺžku 8, ako už bolo uvedené) a zo stredu druhej podstavy na inú tetivu. Ležia v rovnakej rovine β kolmej na tieto tetivy. Nazvime stred menšej tetivy B, väčší ako A, a priemet A na druhú základňu H (H ∈ β). Potom AB,AH ∈ β a teda AB,AH sú kolmé na tetivu, teda na priesečník podstavy s danou rovinou.

Takže požadovaný uhol je

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Úloha číslo 15- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, preveruje schopnosť riešiť nerovnosti, najúspešnejšie vyriešené spomedzi úloh s podrobnou odpoveďou na zvýšenú úroveň zložitosti.

Príklad 15 Vyriešte nerovnosť | X 2 – 3X| denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Riešenie: Oblasťou definície tejto nerovnosti je interval (–1; +∞). Zvážte tri prípady oddelene:

1) Nechajte X 2 – 3X= 0, t.j. X= 0 alebo X= 3. V tomto prípade sa táto nerovnosť stane pravdivou, preto sú tieto hodnoty zahrnuté do riešenia.

2) Nechaj teraz X 2 – 3X> 0, t.j. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). V tomto prípade je možné túto nerovnosť prepísať do tvaru ( X 2 – 3X) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 a vydeliť pozitívny prejav X 2 – 3X. Dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 alebo X≤ -0,5. Ak vezmeme do úvahy doménu definície, máme X ∈ (–1; –0,5].

3) Nakoniec zvážte X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). V tomto prípade sa pôvodná nerovnosť prepíše do tvaru (3 X – X 2) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Po vydelení kladným výrazom 3 X – X 2, dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. S prihliadnutím na oblasť máme X ∈ (0; 1].

Spojením získaných riešení získame X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

odpoveď: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Úloha číslo 16- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

AT rovnoramenný trojuholník ABC s uhlom 120° pri vrchole A je nakreslená os BD. AT trojuholník ABC obdĺžnik DEFH je vpísaný tak, že strana FH leží na segmente BC a vrchol E leží na segmente AB. a) Dokážte, že FH = 2DH. b) Nájdite obsah obdĺžnika DEFH, ak AB = 4.

Riešenie: a)

1) ΔBEF - pravouhlý, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, potom EF = BE kvôli vlastnosti nohy oproti uhlu 30°.

2) Nech EF = DH = X, potom BE = 2 X, BF = X√3 podľa Pytagorovej vety.

3) Od Δ ABC rovnoramenné, takže ∠B = ∠C = 30˚.

BD je osou ∠B, takže ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Uvažujme ΔDBH - obdĺžnikový, pretože DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2(3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

odpoveď: 24 – 12√3.

Úloha číslo 17- úloha s podrobnou odpoveďou, táto úloha preveruje uplatnenie vedomostí a zručností v praktických činnostiach a bežnom živote, schopnosť stavať a skúmať matematické modely. Táto úloha - textová úloha s ekonomickým obsahom.

Príklad 17. Vklad vo výške 20 miliónov rubľov sa plánuje otvoriť na štyri roky. Banka na konci každého roka zvyšuje vklad o 10 % v porovnaní s jeho veľkosťou na začiatku roka. Okrem toho na začiatku tretieho a štvrtého roku vkladateľ každoročne dopĺňa vklad o X miliónov rubľov, kde X - celýčíslo. Nájsť najvyššia hodnota X, pri ktorej banka za štyri roky pripočíta k vkladu necelých 17 miliónov rubľov.

Riešenie: Na konci prvého roka bude príspevok 20 + 20 · 0,1 = 22 miliónov rubľov a na konci druhého roka - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milióna rubľov. Na začiatku tretieho roka bude príspevok (v miliónoch rubľov) (24,2 + X), a na konci - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Na začiatku štvrtého roka bude príspevok (26,62 + 2,1 X) a na konci - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Podľa podmienky musíte nájsť najväčšie celé číslo x, pre ktoré je nerovnosť

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Najväčšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 24.

odpoveď: 24.

Úloha číslo 18- úloha so zvýšenou úrovňou zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je pre konkurenčný výber univerzity s vyššími požiadavkami matematická prípravažiadateľov. Cvičenie vysoký stupeň zložitosť nie je úlohou pre aplikáciu jednej metódy riešenia, ale pre kombináciu rôznych metód. Pre úspešné splnenie úlohy 18 je okrem solídnych matematických vedomostí potrebná aj vysoká úroveň matematickej kultúry.

Pri čom a systém nerovností

	X 2 + r 2 ≤ 2áno – a 2 + 1
	r + a ≤ |X| – a

má presne dve riešenia?

Riešenie: Tento systém je možné prepísať ako

	X 2 + (r– a) 2 ≤ 1
	r ≤ |X| – a

Ak nakreslíme na rovinu množinu riešení prvej nerovnosti, dostaneme vnútro kružnice (s hranicou) s polomerom 1 so stredom v bode (0, a). Množina riešení druhej nerovnice je tá časť roviny, ktorá leží pod grafom funkcie r = | X| – a, a druhý je grafom funkcie
r = | X| , posunuté nadol o a. Riešenie tejto sústavy je priesečníkom množín riešení každej z nerovníc.

Preto dve riešenia tento systém bude mať iba v prípade znázornenom na obr. jeden.

Body dotyku medzi kružnicou a čiarami budú dve riešenia systému. Každá z priamych línií je naklonená k osám pod uhlom 45°. Takže trojuholník PQR- pravouhlý rovnoramenný. Bodka Q má súradnice (0, a) a pointa R– súradnice (0, – a). Okrem toho strihy PR a PQ sa rovnajú polomeru kruhu rovnému 1. Preto,

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

odpoveď: a =	√2	.
	2

Úloha číslo 19- úloha so zvýšenou úrovňou zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená pre konkurenčný výber na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu uchádzačov. Úloha vysokej úrovne zložitosti nie je úlohou na aplikáciu jednej metódy riešenia, ale na kombináciu rôznych metód. Ak chcete úspešne dokončiť úlohu 19, musíte byť schopní hľadať riešenie výberom rôzne prístupy spomedzi známych modifikujúcich študované metódy.

Nechaj sn súčet Pčlenovia aritmetického postupu ( a p). To je známe S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Uveďte vzorec Pčlenom tohto postupu.

b) Nájdite najmenší súčet modulov S n.

c) Nájdite najmenšie P, na ktorom S n bude druhou mocninou celého čísla.

Riešenie: a) Samozrejme, a n = S n – S n- jeden . Použitím tento vzorec, dostaneme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

znamená, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) pretože S n = 2n 2 – 25n, potom zvážte funkciu S(X) = | 2X 2 – 25x|. Jej graf je možné vidieť na obrázku.

Je zrejmé, že najmenšiu hodnotu dosiahneme v celočíselných bodoch umiestnených najbližšie k nulám funkcie. Je jasné, že ide o body. X= 1, X= 12 a X= 13. Keďže S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, potom najmenšia hodnota je 12.

c) Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že sn pozitívny od r n= 13. Odkedy S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), potom zrejmý prípad, keď daný výraz je dokonalý štvorec, sa realizuje, keď n = 2n- 25, teda s P= 25.

Zostáva skontrolovať hodnoty od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ukazuje sa, že pre menšie hodnoty P plné námestie nie je dosiahnuté.

odpoveď: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Od mája 2017 je spoločná vydavateľská skupina "DROFA-VENTANA" súčasťou korporácie " Učebnica ruštiny". Súčasťou korporácie bolo aj vydavateľstvo Astrel a digital vzdelávacia platforma"lecta". CEO vymenoval za absolventa Alexandra Brychkina Finančná akadémia pod vládou Ruskej federácie kandidát ekonomické vedy, supervízor inovatívne projekty Vydavateľstvo DROFA v oblasti digitálneho vzdelávania ( elektronické formuláre učebnice, „Ruská elektronická škola“, digitálna vzdelávacia platforma LECTA). Pred príchodom do vydavateľstva DROFA zastával pozíciu viceprezidenta pre strategický rozvoj a investície vydavateľského holdingu EKSMO-AST. Dnes má Russian Textbook Publishing Corporation najväčšie portfólio učebníc zahrnutých v federálny zoznam- 485 titulov (približne 40 %, okrem učebníc pre nápravná škola). Vydavateľstvá spoločnosti vlastnia najobľúbenejšie ruské školy súbory učebníc fyziky, kreslenia, biológie, chémie, techniky, geografie, astronómie - oblasti vedomostí, ktoré sú potrebné na rozvoj produkčného potenciálu krajiny. Portfólio korporácie zahŕňa učebnice a študijné príručky pre Základná škola udelil prezidentskú cenu za vzdelávanie. Ide o učebnice a príručky o oblastiach, ktoré sú potrebné pre rozvoj vedeckého, technického a priemyselného potenciálu Ruska.

Riešenie problému zvyčajne príde na rad logické uvažovanie a výpočty na nájdenie hodnoty nejakej veličiny. Nájdite napríklad rýchlosť, čas, vzdialenosť, hmotnosť objektu alebo množstvo niečoho.

Tento problém možno vyriešiť pomocou rovnice. Na tento účel je požadovaná hodnota označená pomocou premennej a potom pomocou logického uvažovania zostavia a vyriešia rovnicu. Po vyriešení rovnice skontrolujú, či riešenie rovnice spĺňa podmienky úlohy.

Obsah lekcie

Písanie výrazov obsahujúcich neznáme

Riešenie úlohy je sprevádzané zostavením rovnice pre túto úlohu. Na počiatočná fáza pri štúdiu problémov je žiaduce naučiť sa komponovať doslovné výrazy opisujúci jedno alebo druhé životná situácia. Táto etapa nie je náročná a možno ju študovať v procese riešenia samotného problému.

Zvážte niekoľko situácií, ktoré možno napísať pomocou matematického výrazu.

Úloha 1. Vek otca X rokov. Mama je o dva roky mladšia. Syn mladší ako otec 3 krát. Zaznamenajte vek každého pomocou výrazov.

Riešenie:

Úloha 2. Vek otca X rokov, matka je o 2 roky mladšia ako otec. Syn je 3x mladší ako otec, dcéra 3x mladšia ako matka. Zaznamenajte vek každého pomocou výrazov.

Riešenie:

Úloha 3. Vek otca X rokov, matka je o 3 roky mladšia ako otec. Syn je 3x mladší ako otec, dcéra 3x mladšia ako matka. Koľko rokov má každý všeobecný vek otec, matka, syn a dcera ma 92 rokov?

Riešenie:

Pri tomto probléme je okrem písania výrazov potrebné vypočítať vek každého člena rodiny.

Najprv si pomocou výrazov zapíšeme vek každého člena rodiny. Podľa premennej X zoberme si vek otca a potom pomocou tejto premennej zostavíme zvyšné výrazy:

Teraz určme vek každého člena rodiny. Aby sme to dosiahli, musíme napísať a vyriešiť rovnicu. Všetky zložky rovnice máme pripravené. Zostáva len ich zhromaždiť.

Celkový vek 92 rokov bol získaný sčítaním veku otca, mamy, syna a dcéry:

Pre každý vek máme matematický výraz. Tieto výrazy budú súčasťou našej rovnice. Zostavme našu rovnicu podľa tejto schémy a tabuľky, ktorá bola uvedená vyššie. To znamená, že slová otec, mama, syn, dcéra budú v tabuľke nahradené výrazom, ktorý im zodpovedá:

Výraz pre vek matky x - 3 pre prehľadnosť to bolo brané v zátvorkách.

Teraz poďme vyriešiť výslednú rovnicu. Na začiatok môžete otvoriť zátvorky, ak je to možné:

Ak chcete rovnicu oslobodiť od zlomkov, vynásobte obe strany číslom 3

Výslednú rovnicu riešime pomocou známeho identické premeny:

Zistili sme hodnotu premennej X. Táto premenná bola zodpovedná za vek otca. Takže vek otca je 36 rokov.

Keď poznáte vek otca, môžete vypočítať vek zvyšku rodiny. Ak to chcete urobiť, musíte nahradiť hodnotu premennej X v tých výrazoch, ktoré sú zodpovedné za vek konkrétneho člena rodiny.

V probléme bolo povedané, že matka je o 3 roky mladšia ako otec. Cez výraz sme označili jej vek x-3. Variabilná hodnota X je teraz známy a na výpočet veku matky je potrebné vo výraze x - 3 namiesto X nahradiť zistenú hodnotu 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33-ročná mama.

Podobne sa určuje vek zostávajúcich členov rodiny:

Vyšetrenie:

Úloha 4. Kilogram jabĺk stojí za to X rubľov. Napíšte výraz, ktorý vypočíta, koľko kilogramov jabĺk si môžete kúpiť za 300 rubľov.

Riešenie

Ak stojí kilogram jabĺk X rubľov, potom za 300 rubľov si môžete kúpiť kilogram jabĺk.

Príklad. Kilogram jabĺk stojí 50 rubľov. Potom za 300 rubľov si môžete kúpiť, to znamená 6 kilogramov jabĺk.

Úloha 5. Na X rubľov sa nakúpilo 5 kg jabĺk. Napíšte výraz, ktorý vypočíta, koľko rubľov stojí jeden kilogram jabĺk.

Riešenie

Ak sa platilo za 5 kg jabĺk X rubľov, potom jeden kilogram bude stáť rubľov

Príklad. Za 300 rubľov sa kúpilo 5 kg jabĺk. Potom bude stáť jeden kilogram jabĺk, to znamená 60 rubľov.

Úloha 6. Tom, John a Leo išli počas prestávky do kaviarne a kúpili si sendvič a hrnček kávy. Sendvič stojí za to X rubľov a hrnček kávy - 15 rubľov. Určte náklady na sendvič, ak je známe, že za všetko bolo zaplatených 120 rubľov?

Riešenie

Samozrejme, tento problém je jednoduchý ako tri groše a dá sa vyriešiť bez použitia rovnice. Za týmto účelom odpočítajte náklady na tri šálky kávy (15 × 3) zo 120 rubľov a výsledok vydeľte 3

Ale naším cieľom je napísať rovnicu problému a vyriešiť túto rovnicu. Takže náklady na sendvič X rubľov. Kúpené len tri. Po strojnásobení nákladov teda dostaneme výraz popisujúci, koľko rubľov bolo zaplatených za tri sendviče

3x - náklady na tri sendviče

A náklady na tri šálky kávy možno napísať ako 15 × 3. 15 je cena jednej šálky kávy a 3 je multiplikátor (Tom, John a Leo), ktorý tieto náklady strojnásobí.

Podľa stavu problému sa za všetko zaplatilo 120 rubľov. už máme vzorová schéma, Čo musíme urobiť:

Už máme výrazy popisujúce náklady na tri sendviče a tri šálky kávy. Toto sú výrazy 3 X a 15×3. Pomocou schémy napíšeme rovnicu a vyriešime ju:

Náklady na jeden sendvič sú teda 25 rubľov.

Úloha je správne vyriešená iba vtedy, ak je rovnica pre ňu správne zostavená. Na rozdiel od obyčajných rovníc, pomocou ktorých sa učíme hľadať korene, rovnice na riešenie problémov majú svoje špecifické uplatnenie. Každá zložka takejto rovnice môže byť opísaná v slovesný tvar. Pri zostavovaní rovnice je nevyhnutné pochopiť, prečo do jej zloženia zahrňujeme jednu alebo druhú zložku a prečo je to potrebné.

Je tiež potrebné pamätať na to, že rovnica je rovnosť, po vyriešení ktorej sa ľavá strana bude musieť rovnať pravej strane. Výsledná rovnica by nemala byť v rozpore s touto myšlienkou.

Predstavte si, že rovnica je váha s dvoma miskami a obrazovkou zobrazujúcou stav váhy.

AT tento moment obrazovka zobrazuje znamienko rovnosti. Je jasné, prečo sa ľavá miska rovná pravej - na miskách nič nie je. Stav váh a neprítomnosť niečoho zapíšeme na misky pomocou nasledujúcej rovnosti:

0 = 0

Položme melón na ľavú váhu:

Ľavá miska prevážila pravú misku a na obrazovke sa ozval alarm, pričom sa zobrazilo znamienko nerovná sa (≠). Tento znak znamená, že ľavá miska sa nerovná pravej miske.

Teraz sa pokúsme problém vyriešiť. Nech je potrebné zistiť, koľko váži melón, ktorý leží na ľavej miske. Ale ako to vieš? Naše váhy sú predsa určené len na kontrolu, či sa ľavá miska rovná tej pravej.

Na pomoc prichádzajú rovnice. Pripomeňme, že podľa definície rovnica je rovnosť A, ktorá obsahuje premennú, ktorej hodnotu chcete nájsť. Váhy v tomto prípade zohrávajú úlohu práve tejto rovnice a hmotnosť melónu je premenná, ktorej hodnotu treba nájsť. Naším cieľom je dať túto rovnicu do poriadku. Pochopte, zarovnajte váhy, aby ste mohli vypočítať hmotnosť vodného melónu.

Ak chcete váhu vyrovnať, môžete na správnu misku položiť nejaké závažie. ťažký predmet. Dajme tam napríklad závažie 7 kg.

Teraz, naopak, pravá misa prevážila nad ľavou. Obrazovka stále ukazuje, že misky nie sú rovnaké.

Skúsme dať na ľavú misku závažie 4 kg

Teraz sa misky váh vyrovnali. Obrázok ukazuje, že ľavá miska je na úrovni pravej misky. A na obrazovke sa zobrazí znamienko rovnosti. Tento znak znamená, že ľavá miska sa rovná pravej miske.

Takto sme dostali rovnicu – rovnosť obsahujúcu neznámu. Ľavá panvica je ľavou stranou rovnice, ktorá pozostáva zo 4 zložiek a premennej X(masy melónu), a správna misa je pravá časť rovnica pozostávajúca zo zložky 7.

Nie je ťažké uhádnuť, že koreň rovnice 4 + X\u003d 7 je 3. Hmotnosť melónu je teda 3 kg.

To isté platí pre ostatné úlohy. Ak chcete nájsť nejakú neznámu hodnotu, pridajte na ľavú alebo pravú stranu rovnice rôzne prvky: pojmy, faktory, výrazy. V školských problémoch sú tieto prvky už dané. Zostáva len správne ich štruktúrovať a zostaviť rovnicu. Sme v tom tento príklad zaoberali sa výberom, skúšali závažia rôznych hmotností, aby vypočítali hmotnosť vodného melónu.

Prirodzene, údaje, ktoré sú uvedené v úlohe, musia byť najskôr uvedené do formy, v ktorej môžu byť zahrnuté do rovnice. Preto, ako sa hovorí "Či sa ti to páči alebo nie, musíš premýšľať.".

Zvážte nasledujúci problém. Vek otca rovná veku syn a dcéra spolu. Syn rozpoltený staršia ako dcéra a o dvadsať rokov mladší ako jeho otec. Koľko rokov má každý?

Vek dcéry môže byť vyjadrený ako X. Ak je syn dvakrát starší ako dcéra, jeho vek bude označený ako 2 X. Podmienka problému hovorí, že spolu sa vek dcéry a syna rovná veku otca. Takže vek otca bude označený sumou X + 2X

Do výrazu môžete pridať podobné výrazy. Potom bude vek otca označený ako 3 X

Teraz urobme rovnicu. Potrebujeme získať rovnosť, v ktorej môžeme nájsť neznáme X. Používajme závažia. Na ľavú misku napíšeme vek otca (3 X), a na pravej miske vek syna (2 X)

Je jasné, prečo ľavá misa prevážila nad pravou a prečo sa na obrazovke zobrazuje znak (≠) . Veď je logické, že vek otca je väčší ako vek syna.

Ale potrebujeme vyvážiť misky váh, aby sme vedeli vypočítať neznáme X. Aby ste to dosiahli, musíte do správnej misky pridať nejaké číslo. Aké číslo je uvedené v probléme. Podmienkou bolo, že syn je o 20 rokov mladší ako otec. Takže 20 rokov je rovnaké číslo, ktoré treba položiť na misku váh.

Misky váh sa vyrovnajú, ak týchto 20 rokov pripočítame na pravú stranu váh. Inými slovami, vychovajme syna do veku otca

Teraz sa misky váh vyrovnali. Ukázalo sa rovnice , ktorý sa dá ľahko vyriešiť:

X poznačili sme vek dcérky. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Dcéra 20 rokov.

A nakoniec vypočítame vek otca. Zadanie hovorilo, že on sa rovná súčtu vek syna a dcéry, t.j. (20 + 40) rokov.

Vráťme sa do stredu úlohy a venujme pozornosť jednému bodu. Keď sme na váhu dali vek otca a vek syna, ľavá miska prevážila pravú

Tento problém sme ale vyriešili pridaním ďalších 20 rokov k správnej miske. Tým sa misky váh vyrovnali a dostali sme rovnosť

Ale bolo možné nepripočítať týchto 20 rokov do pravej misky, ale odpočítať ich zľava. V tomto prípade by sme dosiahli rovnosť

Tentoraz platí rovnica . Koreň rovnice je stále 20

Teda rovnice a sú rovnocenné. A pamätáme si to ekvivalentné rovnice korene sa zhodujú. Ak sa pozriete pozorne na tieto dve rovnice, môžete vidieť, že druhá rovnica sa získa prenesením čísla 20 z pravej strany na ľavú opačné znamenie. A táto akcia, ako je uvedené v predchádzajúcej lekcii, nemení korene rovnice.

Treba si dať pozor aj na to, že na začiatku riešenia problému by sa vek každého člena rodiny dal označiť inými výrazmi.

Povedzme, že vek syna je označený X a keďže je o dva starší ako jeho dcéra, potom označte vek dcéry cez (rozumej tak, aby bola mladší ako syn dvakrát). A vek otca, keďže ide o súčet veku syna a dcéry, označujeme výrazom . A nakoniec, aby ste zostavili logicky správnu rovnicu, musíte k veku syna pripočítať číslo 20, pretože otec je o dvadsať rokov starší. Výsledkom je úplne iná rovnica. . Poďme vyriešiť túto rovnicu

Ako vidíte, odpovede na problém sa nezmenili. Môj syn má stále 40 rokov. Dcéry majú ešte roky a otec 40 + 20 rokov.

Inými slovami, problém sa dá vyriešiť rôzne metódy. Preto by sa nemalo zúfať, že nie je možné vyriešiť tento alebo ten problém. Ale treba mať na pamäti, že existuje a jednoduchými spôsobmi riešenie problémov. Dostanete sa do centra mesta rôzne trasy, ale vždy existuje najpohodlnejšia, najrýchlejšia a najbezpečnejšia trasa.

Príklady riešenia problémov

Úloha 1. V dvoch baleniach je 30 zošitov. Ak by sa 2 zošity preniesli z prvého zväzku do druhého, potom by v prvom zväzku bolo dvakrát toľko zápisníkov ako v druhom. Koľko zošitov bolo v každom balení?

Riešenie

Označiť podľa X počet zošitov, ktoré boli v prvom balení. Ak by bolo celkovo 30 zošitov, tak premenná X ide o počet zošitov z prvého balenia, potom počet zošitov v druhom balení označíme výrazom 30 − X. To znamená, že od celkového počtu zošitov odpočítame počet zošitov z prvého balenia a tým získame počet zošitov z druhého balenia.

a pridajte tieto dva zošity do druhého balenia

Skúsme vytvoriť rovnicu z existujúcich výrazov. Oba balíčky zošitov sme položili na váhu

Ľavá misa je ťažšia ako pravá. Dôvodom problému je, že po odobratí dvoch zošitov z prvého zväzku a umiestnení do druhého sa počet zošitov v prvom zväzku zdvojnásobil ako v druhom.

Ak chcete vyrovnať váhy a získať rovnicu, zdvojnásobte pravú stranu. Ak to chcete urobiť, vynásobte ho 2

Ukazuje sa rovnica. My sa rozhodneme daná rovnica:

Prvý balík sme označili premennou X. Teraz sme našli jeho význam. Variabilné X rovných 22. Takže v prvom balení bolo 22 zošitov.

A druhý balík sme označili výrazom 30 − X a keďže hodnota premennej X Teraz vieme, môžeme vypočítať počet notebookov v druhom balení. Je to rovných 30 − 22, teda 8 kusov.

Úloha 2. Dvaja ľudia šúpali zemiaky. Jeden ošúpal dva zemiaky za minútu a druhý tri zemiaky. Spolu vyčistili 400 kusov. Ako dlho pracoval každý, ak druhý pracoval o 25 minút viac ako prvý?

Riešenie

Označiť podľa Xčas prvej osoby. Keďže druhý odpracoval o 25 minút viac ako prvý, jeho čas bude označený výrazom

Prvý robotník ošúpal 2 zemiaky za minútu a keďže pracoval X minút, potom celkovo vymazal 2 X zemiaky.

Druhý ošúpal tri zemiaky za minútu a keďže pracoval minúty, zemiaky ošúpal celkovo.

Spolu ošúpali 400 zemiakov

Z dostupných komponentov zostavíme a vyriešime rovnicu. Na ľavej strane rovnice budú zemiaky olúpané každou osobou a na pravej strane ich súčtu:

Na začiatku riešenia tohto problému cez premennú X označili sme čas práce prvej osoby. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Prvá osoba pracovala 65 minút.

A druhá osoba pracovala minúty a od hodnoty premennej X teraz je to známe, potom môžete vypočítať čas druhej osoby - rovná sa 65 + 25, to znamená 90 minút.

Problém z učebnice algebry Andreja Petroviča Kiseleva. Z odrôd čaju bola vyrobená zmes 32 kg. Kilogram prvého stupňa stojí 8 rubľov a druhého stupňa 6 rubľov. 50 kop. Koľko kilogramov sa odoberie z oboch odrôd, ak kilogram zmesi stojí (bez zisku alebo straty) 7 rubľov. 10 kopejok?

Riešenie

Označiť podľa X veľa čaju prvého ročníka. Potom sa hmotnosť čaju druhej triedy označí výrazom 32 - X

Kilogram čaju prvého stupňa stojí 8 rubľov. Ak sa týchto osem rubľov vynásobí počtom kilogramov čaju prvého stupňa, potom bude možné zistiť, koľko stoja ruble X kg čaju prvého stupňa.

Kilogram čaju druhej triedy stojí 6 rubľov. 50 kop. Ak týchto 6 rubľov. 50 kop. vynásobte 32 − x, potom môžete zistiť, koľko rubľov stojí 32 − x kg čaju druhej triedy.

Podmienka hovorí, že kilogram zmesi stojí 7 rubľov. 10 kop. Celkovo sa pripravilo 32 kg zmesi. Vynásobte 7 rubľov. 10 kop. pri 32 zistíme, koľko stojí 32 kg zmesi.

Výrazy, z ktorých budeme zostavovať rovnicu, majú teraz nasledujúci tvar:

Skúsme vytvoriť rovnicu z existujúcich výrazov. Na ľavú misku váhy dajme cenu zmesí čajov prvej a druhej triedy a na pravú misku dajme cenu 32 kg zmesi, tzn. Celkové náklady zmes, ktorá zahŕňa obe odrody čaju:

Na začiatku riešenia tohto problému cez premennú X určili sme hmotnosť čaju prvého stupňa. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Variabilné X rovná sa 12.8. To znamená, že na prípravu zmesi bolo odobraných 12,8 kg čaju prvého stupňa.

A prostredníctvom výrazu 32 − x označili sme hmotnosť čaju druhého stupňa a od hodnoty zmeny X teraz známe, môžeme vypočítať hmotnosť čaju druhého stupňa. Rovná sa 32 − 12,8, teda 19,2. To znamená, že na prípravu zmesi bolo odobraných 19,2 kg čaju druhého stupňa.

Úloha 3. Cyklista prešiel vzdialenosť rýchlosťou 8 km/h. Späť sa musel vracať inou cestou, ktorá bola o 3 km dlhšia ako prvá, a hoci sa vracal, išiel rýchlosťou 9 km/h, čas využíval viac ako minúty. Aké dlhé boli cesty?

Riešenie

Niektoré úlohy sa môžu týkať tém, ktoré daná osoba možno neštudovala. Táto úloha patrí do tohto okruhu úloh. Zaoberá sa pojmami vzdialenosť, rýchlosť a čas. Preto, aby ste vyriešili takýto problém, musíte mať predstavu o veciach, ktoré sú v probléme povedané. V našom prípade musíme vedieť, aká je vzdialenosť, rýchlosť a čas.

Úlohou je nájsť vzdialenosti dvoch ciest. Musíme napísať rovnicu, ktorá nám umožní vypočítať tieto vzdialenosti.

Zvážte vzťah medzi vzdialenosťou, rýchlosťou a časom. Každú z týchto veličín možno opísať pomocou doslovnej rovnice:

Na zostavenie našej rovnice použijeme pravú stranu jednej z týchto rovníc. Aby ste zistili akého, musíte sa vrátiť k textu úlohy a hľadať, čoho sa môžete chytiť

Môžete zachytiť moment, kedy cyklista na spiatočnej ceste využil čas viac ako minútu. Tento tip nám hovorí, že môžeme použiť rovnicu , konkrétne jej pravá strana. To nám umožní napísať rovnicu, ktorá obsahuje premennú S .

Označme teda dĺžku prvej cesty ako S. Cyklista išiel po tejto ceste rýchlosťou 8 km/h. Čas, za ktorý prešiel túto cestu, označíme výrazom, pretože čas je pomer prejdenej vzdialenosti k rýchlosti

Cesta späť pre cyklistu bola o 3 km dlhšia. Preto bude jeho vzdialenosť označená výrazom S+ 3. Cyklista išiel po tejto ceste rýchlosťou 9 km/h. Takže čas, za ktorý prekonal túto cestu, označíme výrazom .

Teraz urobme rovnicu z existujúcich výrazov

Pravá miska je ťažšia ako ľavá. Problém totiž hovorí, že cyklista strávil viac času na ceste späť.

Ak chcete vyrovnať váhy, pridajte tie isté minúty na ľavú stranu. Najprv však prepočítajme minúty na hodiny, pretože v úlohe sa rýchlosť meria v kilometroch za hodinu a nie v metroch za minútu.

Ak chcete previesť minúty na hodiny, musíte ich vydeliť 60

Minúty robia hodiny. Pridajte tieto hodiny na ľavú stranu rovnice:

Ukazuje sa rovnica . Poďme vyriešiť túto rovnicu. Aby sme sa zbavili zlomkov, môžu sa obe časti časti vynásobiť 72. Ďalej pomocou známych identických transformácií, nájsť hodnotu premenlivý S

Prostredníctvom premennej S označili sme vzdialenosť prvej cesty. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Variabilné S je 15. Čiže vzdialenosť prvej cesty je 15 km.

A vzdialenosť druhej cesty sme označili cez výraz S+ 3 , a keďže hodnota premennej S Teraz vieme, môžeme vypočítať vzdialenosť druhej cesty. Táto vzdialenosť sa rovná súčtu 15 + 3, teda 18 km.

Úloha 4. Dve autá idú po diaľnici rovnakou rýchlosťou. Ak prvý zvýši rýchlosť o 10 km/h a druhý zníži rýchlosť o 10 km/h, tak prvý prejde rovnakú vzdialenosť za 2 hodiny ako druhý za 3 hodiny. autá?

Riešenie

Označiť podľa v rýchlosť každého auta. Ďalej v probléme sú uvedené rady: zvýšte rýchlosť prvého auta o 10 km/h a znížte rýchlosť druhého auta o 10 km/h. Využime túto nápovedu

Ďalej sa uvádza, že pri takýchto rýchlostiach (zvýšenie a zníženie o 10 km/h) prejde prvé auto rovnakú vzdialenosť za 2 hodiny ako druhé za 3 hodiny. Fráza "toľko" možno chápať ako „vzdialenosť prejdená prvým autom bude rovná sa vzdialenosť prejdená druhým autom.

Vzdialenosť, ako si pamätáme, je určená vzorcom. Nás zaujíma pravá strana tejto doslovnej rovnice – umožní nám napísať rovnicu obsahujúcu premennú v .

Takže v rýchlosti v + 10 km/h prejde prvé auto 2(v+10) km, a druhý prejde 3 (v − 10) km. Za tejto podmienky autá prejdú rovnaké vzdialenosti, preto na získanie rovnice stačí tieto dva výrazy spojiť znamienkom rovnosti. Potom dostaneme rovnicu. Poďme to vyriešiť:

V stave problému bolo povedané, že autá idú rovnakou rýchlosťou. Túto rýchlosť sme označili premennou v. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Variabilné v rovná sa 50. Takže rýchlosť oboch áut bola 50 km/h.

Úloha 5. Za 9 hodín po prúde loď prejde rovnakú vzdialenosť ako za 11 hodín proti prúdu. Nájdite rýchlosť člna, ak je rýchlosť rieky 2 km/h.

Riešenie

Označiť podľa v vlastnú rýchlosť lode. Rýchlosť toku rieky je 2 km/h. V priebehu rieky bude rýchlosť lode v + 2 km/h a proti prúdu - (v − 2) km/h.

V podmienke problému sa uvádza, že za 9 hodín prejde loď po rieke rovnakú vzdialenosť ako za 11 hodín proti prúdu. Fráza "Rovnakým spôsobom" možno chápať ako vzdialenosť, ktorú prejde loď pozdĺž rieky za 9 hodín, rovná sa vzdialenosť, ktorú loď prekonala proti prúdu rieky za 11 hodín. To znamená, že vzdialenosti budú rovnaké.

Vzdialenosť je určená vzorcom . Využime pravú stranu tejto doslovnej rovnice na napísanie vlastnej rovnice.

Takže za 9 hodín loď prejde pozdĺž rieky 9 (v + 2) km a o 11 hodín proti prúdu - 11 (v − 2) km. Keďže oba výrazy opisujú rovnakú vzdialenosť, prirovnáme prvý výraz k druhému. V dôsledku toho dostaneme rovnicu . Poďme to vyriešiť:

Prostriedky vlastnú rýchlosť rýchlosť lode je 20 km/h.

Pri riešení problémov dobrý zvyk je vopred určiť, aké riešenie sa pre to hľadá.

Predpokladajme, že úlohou bolo nájsť čas, ktorý chodec potrebuje na prekonanie špecifikovaná cesta. Čas sme označili cez premennú t, potom sme vytvorili rovnicu obsahujúcu túto premennú a našli sme jej hodnotu.

Z praxe vieme, že čas pohybu objektu môže nadobúdať celočíselné hodnoty aj zlomkové hodnoty, napríklad 2 hodiny, 1,5 hodiny, 0,5 hodiny. Potom môžeme povedať, že riešenie tohto problému sa hľadá na nastaviť racionálne čísla Q, pretože každá z hodnôt 2 h, 1,5 h, 0,5 h môže byť vyjadrená ako zlomok.

Preto po neznáme množstvo označené premennou je užitočné uviesť, do ktorej množiny táto hodnota patrí. V našom príklade čas t patrí do množiny racionálnych čísel Q

t ∈ Q

Môžete tiež zaviesť obmedzenie premennej t, čo naznačuje, že môže iba prijať kladné hodnoty. V skutočnosti, ak objekt strávil na ceste určitý čas, potom tento čas nemôže byť záporný. Preto vedľa výrazu t∈ Q uveďte, že jeho hodnota musí byť väčšia ako nula:

t∈ R, t > 0

Ak rovnicu vyriešime, dostaneme negatívny význam pre premennú t, potom bude možné dospieť k záveru, že problém bol vyriešený nesprávne, pretože toto riešenie nespĺňa podmienku t∈ Q , t> 0 .

Ďalší príklad. Ak by sme riešili problém, v ktorom bolo potrebné nájsť počet ľudí na vykonávanie konkrétnej práce, potom by sme toto číslo označili cez premennú X. V takomto probléme by sa riešenie hľadalo na scéne prirodzené čísla

X ∈ N

V skutočnosti je počet ľudí celé číslo, napríklad 2 ľudia, 3 ľudia, 5 ľudí. Ale nie 1,5 (jeden celého človeka a pol osoby) alebo 2,3 (dve celé osoby a ďalšie tri desatiny osoby).

Tu by sa dalo naznačiť, že počet ľudí musí byť väčší ako nula, ale čísla zahrnuté v množine prirodzených čísel N sú samé osebe kladné a väčšie ako nula. Táto sada nie záporné čísla a číslo 0. Preto možno výraz x > 0 vynechať.

Úloha 6. Na opravu školy prišiel tím, v ktorom bolo 2,5-krát viac maliarov ako tesárov. Čoskoro majster zaradil do tímu ďalších štyroch maliarov a dvoch tesárov preložil na iný objekt. Tým pádom bolo na brigáde 4x viac maliarov ako stolárov. Koľko maliarov a koľko tesárov bolo spočiatku na brigáde

Riešenie

Označiť podľa X tesári, ktorí pôvodne prišli na opravu.

Počet tesárov je celé číslo väčšie ako nula. Preto na to upozorňujeme X patrí do množiny prirodzených čísel

X∈N

Maliarov bolo 2,5-krát viac ako tesárov. Preto bude počet maliarov označený ako 2,5x.

A počet maliarov sa zvýši o 4

Teraz sa počet tesárov a maliarov bude označovať nasledujúcimi výrazmi:

Skúsme vytvoriť rovnicu z existujúcich výrazov:

Pravá misa je väčšia, pretože po pridaní ďalších štyroch maliarov do tímu a premiestnení dvoch stolárov na iný objekt sa počet maliarov v tíme ukázal byť 4-krát väčší ako stolárov. Ak chcete vyrovnať váhy, musíte zvýšiť ľavú misku 4-krát:

Mám rovnicu. Poďme to vyriešiť:

Prostredníctvom premennej X bol určený počiatočný počet tesárov. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Variabilné X rovná sa 8. Takže spočiatku bolo v brigáde 8 tesárov.

A počet maliarov bol označený výrazom 2,5 X a keďže hodnota premennej X teraz je to známe, potom môžete vypočítať počet maliarov - rovná sa 2,5 × 8, to znamená 20.

Vrátime sa na začiatok úlohy a presvedčíme sa, že podmienka je splnená X∈ N. Variabilné X sa rovná 8 a prvky množiny prirodzených čísel N toto všetko sú čísla začínajúce 1, 2, 3 a tak ďalej do nekonečna. Rovnaká sada obsahuje číslo 8, ktoré sme našli.

8 ∈N

To isté možno povedať o počte maliarov. Číslo 20 patrí do množiny prirodzených čísel:

20 ∈N

Aby sme pochopili podstatu problému a správna kompilácia rovnice, nie je potrebné použiť maketu s miskami. Môžete použiť iné modely: segmenty, tabuľky, diagramy. Môžete si vymyslieť vlastný model, ktorý by dobre vystihoval podstatu problému.

Úloha 9. Z plechovky sa nalialo 30% mlieka. Výsledkom bolo, že v ňom zostalo 14 litrov. Koľko litrov mlieka bolo pôvodne v plechovke?

Riešenie

Požadovaná hodnota je počiatočný počet litrov v plechovke. Nakreslite počet litrov ako čiaru a označte túto čiaru ako X

Hovorí sa, že 30% mlieka sa vylialo z plechovky. Vyberáme na obrázku približne 30%

Percento je podľa definície jedna stotina niečoho. Ak sa vylialo 30% mlieka, zostávajúcich 70% zostalo v plechovke. Týchto 70 % predstavuje 14 litrov uvedených v probléme. Zvyšných 70 % vyberte na obrázku

Teraz môžete vytvoriť rovnicu. Pripomeňme si, ako nájsť percento z čísla. Za týmto účelom sa celkové množstvo niečoho vydelí 100 a výsledok sa vynásobí požadovaným percentom. Všimnite si, že 14 litrov, čo je 70 %, možno získať rovnakým spôsobom: počiatočný počet litrov X vydeľte 100 a výsledok vynásobte 70. To všetko prirovnajte k číslu 14

Alebo získajte jednoduchšiu rovnicu: napíšte 70% ako 0,70, potom vynásobte X a prirovnajte tento výraz k 14

To znamená, že na začiatku bolo v plechovke 20 litrov mlieka.

Úloha 9. Vzali dve zliatiny zlata a striebra. V jednom je pomer týchto kovov 1:9 a v druhom 2:3. Koľko z každej zliatiny by sa malo odobrať, aby sa získalo 15 kg novej zliatiny, v ktorej by zlato a striebro boli v pomere 1:4?

Riešenie

Skúsme najprv zistiť, koľko zlata a striebra bude obsahovať 15 kg novej zliatiny. Úloha hovorí, že obsah týchto kovov by mal byť v pomere 1: 4, to znamená, že jedna časť zliatiny by mala byť zlato a štyri časti by mali byť striebro. Potom bude celkový počet častí v zliatine 1 + 4 = 5 a hmotnosť jednej časti bude 15: 5 = 3 kg.

Poďme určiť, koľko zlata bude obsiahnuté v 15 kg zliatiny. Za týmto účelom vynásobte 3 kg počtom častí zlata:

3 kg × 1 = 3 kg

Poďme určiť, koľko striebra bude obsiahnuté v 15 kg zliatiny:

3 kg × 4 = 12 kg

To znamená, že zliatina s hmotnosťou 15 kg bude obsahovať 3 kg zlata a 12 kg striebra. Teraz späť k pôvodným zliatinám. Musíte použiť každý z nich. Označiť podľa X hmotnosť prvej zliatiny a hmotnosť druhej zliatiny možno označiť 15 - X

Vyjadrime v percentách všetky vzťahy, ktoré sú v úlohe uvedené a doplňte nimi nasledujúcu tabuľku:

V prvej zliatine je zlato a striebro v pomere 1: 9. Potom budú celkové diely 1 + 9 = 10. Z nich bude zlato a striebro .

Prenesme tieto údaje do tabuľky. 10% sa zapíše do prvého riadku v stĺpci "percento zlata v zliatine", 90 % sa zapíše aj do prvého riadku stĺpca "percento striebra v zliatine" a v poslednom stĺpci "hmotnosť zliatiny" zadajte premennú X, pretože takto sme označili hmotnosť prvej zliatiny:

To isté robíme s druhou zliatinou. Zlato a striebro v ňom sú v pomere 2 : 3. Potom bude celkom 2 + 3 = 5 dielov. Z toho bude zlato a striebro .

Prenesme tieto údaje do tabuľky. 40 % sa zapíše do druhého riadku v stĺpci "percento zlata v zliatine", 60 % sa zapíše aj do druhého riadku stĺpca "percento striebra v zliatine" a v poslednom stĺpci "hmotnosť zliatiny" zadajte výraz 15 − X, pretože takto sme označili hmotnosť druhej zliatiny:

Vyplníme posledný riadok. Výsledná zliatina s hmotnosťou 15 kg bude obsahovať 3 kg zlata, čo je zliatina a striebro bude zliatina. Do posledného stĺpca zapíšeme hmotnosť výslednej zliatiny 15

Teraz môžete pomocou tejto tabuľky písať rovnice. Pamätáme si. Ak samostatne spočítame zlato oboch zliatin a prirovnáme toto množstvo k hmotnosti zlata výslednej zliatiny, môžeme zistiť, aká je hodnota X.

Prvá zliatina zlata mala 0,10 X a v druhej zliatine zlata to bolo 0,40(15 − X). Potom vo výslednej zliatine bude hmotnosť zlata súčtom hmotností zlata prvej a druhej zliatiny a táto hmotnosť je 20 % novej zliatiny. A 20% novej zliatiny sú 3 kg zlata, ktoré sme vypočítali skôr. V dôsledku toho dostaneme rovnicu 0,10X+ 0.40(15 − X) = 3 . Poďme vyriešiť túto rovnicu:

Spočiatku cez X určili sme hmotnosť prvej zliatiny. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej. Variabilné X sa rovná 10. A hmotnosť druhej zliatiny sme označili cez 15 − X, a keďže hodnota premennej X teraz je to známe, potom môžeme vypočítať hmotnosť druhej zliatiny, rovná sa 15 − 10 = 5 kg.

To znamená, že na získanie novej zliatiny s hmotnosťou 15 kg, v ktorej by sa zlato a striebro považovali za 1: 4, musíte vziať 10 kg prvej a 5 kg druhej zliatiny.

Rovnicu je možné vytvoriť pomocou druhého stĺpca výslednej tabuľky. Potom by sme dostali rovnicu 0,90X+ 0.60(15 − X) = 12. Koreň tejto rovnice je tiež 10

Úloha 10. Je tu ruda z dvoch vrstiev s obsahom medi 6 % a 11 %. Koľko rudy nízkej kvality by sa malo odobrať, aby sa získala, keď sa zmieša s bohatými 20 tonami s obsahom medi 8%?

Riešenie

Označiť podľa X hmotnosť chudobnej rudy. Keďže potrebujete získať 20 ton rudy, odoberie sa 20 bohatej rudy − X. Keďže obsah medi v chudobnej rude je 6 %, potom v X ton rudy bude obsahovať 0,06 X ton medi. V bohatej rude je obsah medi 11% a v 20 - X ton bohatej rudy bude obsahovať 0,11 (20 − X) ton medi.

Vo výsledných 20 tonách rudy by mal byť obsah medi 8 %. To znamená, že 20 ton medenej rudy bude obsahovať 20 × 0,08 = 1,6 tony.

Pridajte výrazy 0,06 X a 0,11 (20 - X) a túto sumu prirovnajte k 1,6. Dostaneme rovnicu 0,06x + 0,11(20 − X) = 1,6

Poďme vyriešiť túto rovnicu:

To znamená, že na získanie 20 ton rudy s obsahom medi 8% je potrebné odobrať 12 ton chudobnej rudy. Bohatí si odnesú 20 − 12 = 8 ton.

Úloha 11. Zvyšovanie priemerná rýchlosť z 250 na 300 m/min, športovec začal behať vzdialenosť o 1 minútu rýchlejšie. Aká je dĺžka vzdialenosti?

Riešenie

Dĺžka vzdialenosti (alebo vzdialenosť vzdialenosti) môže byť opísaná nasledujúcou písmenovou rovnicou:

Využime pravú stranu tejto rovnice na napísanie vlastnej rovnice. Spočiatku športovec bežal vzdialenosť rýchlosťou 250 metrov za minútu. Pri tejto rýchlosti bude dĺžka vzdialenosti opísaná výrazom 250 t

Potom športovkyňa zvýšila rýchlosť na 300 metrov za minútu. Pri tejto rýchlosti bude dĺžka vzdialenosti opísaná výrazom 300 t

Všimnite si, že dĺžka vzdialenosti je konštantná hodnota. Zo skutočnosti, že športovec zvýši alebo zníži rýchlosť, zostane dĺžka vzdialenosti nezmenená.

To nám umožňuje prirovnať výraz 250 t na výraz 300 t, keďže oba výrazy opisujú dĺžku rovnakej vzdialenosti

250t = 300t

Úloha však hovorí, že pri rýchlosti 300 metrov za minútu športovec začal behať vzdialenosť o 1 minútu rýchlejšie. Inými slovami, pri rýchlosti 300 metrov za minútu sa čas jazdy skráti o jeden. Preto v rovnici 250 t= 300t na pravej strane sa čas musí skrátiť o jeden:

Pri rýchlosti 250 metrov za minútu prebehne športovec vzdialenosť za 6 minút. Keď poznáte rýchlosť a čas, môžete určiť dĺžku vzdialenosti:

S= 250 × 6 = 1500 m

A rýchlosťou 300 metrov za minútu prebehne športovec vzdialenosť pre t− 1 , teda za 5 minút. Ako už bolo spomenuté, dĺžka vzdialenosti sa nemení:

S= 300 × 5 = 1500 m

Úloha 12. Jazdec predbieha chodca, ktorý je 15 km pred ním. Za koľko hodín jazdec dobehne chodca, ak každú hodinu prvý jazdec prejde 10 km a druhý iba 4 km?

Riešenie

Táto úloha je. Dá sa to vyriešiť určením nájazdovej rýchlosti a vydelením počiatočnej vzdialenosti medzi jazdcom a chodcom touto rýchlosťou.

Rýchlosť zatvárania sa určí odčítaním nižšej rýchlosti od väčšej:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (rýchlosť priblíženia)

Každú hodinu sa vzdialenosť 15 kilometrov skráti o 6 kilometrov. Ak chcete zistiť, kedy sa úplne zníži (keď jazdec dobehne chodca), musíte 15 vydeliť 6

15:6 = 2,5 h

2,5 h sú to celé dve hodiny a pol hodiny. A pol hodina je 30 minút. Takže jazdec predbehne chodca za 2 hodiny a 30 minút.

Vyriešme tento problém pomocou rovnice.

Potom za ním vyrazil na cestu rýchlosťou 10 km/h jazdec. A rýchlosť chôdze je len 4 km/h. To znamená, že jazdec po určitom čase chodca predbehne. Musíme nájsť tento čas.

Keď jazdec dobehne chodca, bude to znamenať, že spolu prešli rovnakú vzdialenosť. Vzdialenosť prejdená jazdcom a chodcom je opísaná nasledujúcou rovnicou:

Využime pravú stranu tejto rovnice na napísanie vlastnej rovnice.

Vzdialenosť, ktorú jazdec prejde, bude opísaná výrazom 10 t. Keďže chodec vyrazil pred jazdcom a podarilo sa mu prekonať 15 km, vzdialenosť ním prejdená bude opísaná výrazom 4. t + 15 .

Kým jazdec dobehne chodca, obaja prejdú rovnakú vzdialenosť. To nám umožňuje porovnávať vzdialenosti, ktoré prejde jazdec a chodec:

Výsledkom je jednoduchá rovnica. Poďme to vyriešiť:

Úlohy na samostatné riešenie

Problém 1. Osobný vlak prichádza z jedného mesta do druhého o 45 minút rýchlejšie ako nákladný vlak. Vypočítajte vzdialenosť medzi mestami, ak rýchlosť osobného vlaku je 48 km/h a rýchlosť nákladného vlaku je 36 km/h.

Riešenie

Rýchlosti vlakov v tomto probléme sa merajú v kilometroch za hodinu. Preto 45 minút uvedených v úlohe prevedieme na hodiny. 45 minút je 0,75 hodiny

Označme čas, za ktorý cez premennú príde nákladný vlak do mesta t. Keďže osobný vlak prichádza do tohto mesta o 0,75 hodiny rýchlejšie, čas jeho pohybu bude označovaný výrazom t - 0,75

Osobný vlak prekonal 48( t - 0,75) km a komodita 36 t km. Pretože rozprávame sa približne v rovnakej vzdialenosti prirovnáme prvý výraz k druhému. V dôsledku toho dostaneme rovnicu 48(t - 0.75) = 36t . Poďme to vyriešiť:

Teraz vypočítajme vzdialenosť medzi mestami. Na tento účel sa rýchlosť nákladného vlaku (36 km / h) vynásobí časom jeho pohybu. t. Variabilná hodnota t teraz známe - rovná sa trom hodinám

36 × 3 = 108 km

Na výpočet vzdialenosti môžete použiť aj rýchlosť osobného vlaku. Ale v tomto prípade hodnota premennej

Variabilná hodnota t rovná sa 1,2. Autá sa teda stretli po 1,2 hodine.

odpoveď: autá sa stretli po 1,2 hodine.

Úloha 3. V troch dielňach závodu je spolu 685 pracovníkov. V druhom obchode je trikrát viac pracovníkov ako v prvom av treťom - o 15 pracovníkov menej ako v druhom obchode. Koľko pracovníkov je v každom obchode?

Riešenie

Nechaj X pracovníci boli v prvom obchode. V druhej dielni ich bolo trikrát viac ako v prvej, takže počet robotníkov v druhej dielni možno označiť výrazom 3. X. Tretia predajňa mala o 15 pracovníkov menej ako druhá. Preto počet pracovníkov v tretej dielni možno označiť výrazom 3 X - 15 .

Úloha hovorí, že robotníkov bolo spolu 685. Preto môžeme výrazy doplniť X, 3X, 3X - 15 a prirovnajte tento súčet k číslu 685. Výsledkom je, že dostaneme rovnicu x + 3x + ( 3X - 15) = 685

Prostredníctvom premennej X bol uvedený počet pracovníkov v prvej dielni. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej, rovná sa 100. Takže v prvom obchode bolo 100 pracovníkov.

V druhom workshope boli 3 X pracovníkov, t.j. 3 × 100 = 300. A v treťom workshope boli 3 X - 15, t.j. 3 × 100 − 15 = 285

odpoveď: v prvej dielni bolo 100 pracovníkov, v druhej - 300, v tretej - 285.

Úloha 4. Dve opravovne do týždňa by mali podľa plánu opraviť 18 motorov. Prvá dielňa splnila plán na 120 % a druhá na 125 %, takže za týždeň bolo opravených 22 motorov. Aký týždenný plán opráv motora mala každá dielňa?

Riešenie

Nechaj X motory mala opraviť prvá dielňa. Potom sa druhá dielňa musela zrekonštruovať 18 − X motory.

Keďže prvá dielňa splnila svoj plán na 120%, znamená to, že opravila 1.2 X motory. A druhá dielňa splnila svoj plán na 125 %, čo znamená, že opravila 1,25 (18 − X) motory.

Úloha hovorí, že bolo opravených 22 motorov. Preto môžeme pridať výrazy 1,2X a 1,25(18 − x) , potom tento súčet prirovnajte k číslu 22. V dôsledku toho dostaneme rovnicu 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Prostredníctvom premennej X bol uvedený počet motorov, ktoré mala opravovať prvá dielňa. Teraz sme našli hodnotu tejto premennej, rovná sa 10. Prvá dielňa teda musela opraviť 10 motorov.

A cez výraz 18 − X bol uvedený počet motorov, ktoré mala opravovať druhá dielňa. Takže druhá dielňa musela opraviť 18 − 10 = 8 motorov.

odpoveď: prvá dielňa mala opraviť 10 motorov a druhá 8 motorov.

Problém 5. Cena tovaru sa zvýšila o 30% a teraz je 91 rubľov. Koľko stál produkt pred zvýšením ceny?

Riešenie

Nechaj X tovar v hodnote rubľov pred zvýšením ceny. Ak sa cena zvýšila o 30 %, znamená to, že sa zvýšila o 0,30 X rubľov. Po zvýšení ceny začal tovar stáť 91 rubľov. Pridajte x s 0,30 X a prirovnajte tento súčet k 91. Výsledkom je, že dostaneme rovnicu Zníženie čísla o 10 % viedlo k 45. Nájdite pôvodnú hodnotu čísla. X -

odpoveď: na získanie 12% roztoku soli je potrebné pridať 0,25 kg 20% ​​roztoku k 1 kg 10% roztoku.

Úloha 12. Sú uvedené dva roztoky soli vo vode, ktorých koncentrácie sú 20 % a 30 %. Koľko kilogramov každého roztoku sa musí zmiešať v jednej nádobe, aby sa získalo 25 kg 25,2 % roztoku?

Riešenie

Nechaj X musí sa odobrať kg prvého roztoku. Keďže je potrebné pripraviť 25 kg roztoku, hmotnosť druhého roztoku možno označiť výrazom 25 − x.

Prvý roztok bude obsahovať 0,20 x kg soli a druhý bude obsahovať 0,30 (25 − x) kg soli. Vo výslednom roztoku bude obsah soli 25 × 0,252 = 6,3 kg. Pridajte výrazy 0,20x a 0,30(25 − x), potom tento súčet prirovnajte k 6,3. V dôsledku toho dostaneme rovnicu

Takže prvé riešenie je potrebné vziať 12 kg a druhé 25 - 12 = 13 kg.

odpoveď: prvé riešenie musíte vziať 12 kg a druhé 13 kg.

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina Vkontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách

Pojem percento sa v našom živote vyskytuje príliš často, preto je veľmi dôležité vedieť, ako problémy s percentami riešiť. V zásade nejde o zložitú záležitosť, hlavnou vecou je pochopiť princíp práce so záujmom.

Čo je to percento

Fungujeme s konceptom 100 percent, a teda jedno percento je stotina určitý počet. A všetky výpočty sú už založené na tomto pomere.

Napríklad 1 % z 50 je 0,5, 15 zo 700 je 7.

Ako sa rozhodnúť

1. S vedomím, že jedno percento je jedna stotina prezentovaného čísla, môžete nájsť ľubovoľný počet požadovaných percent. Aby to bolo jasnejšie, skúsme nájsť 6 percent z čísla 800. To sa robí jednoducho.
   • Najprv nájdeme jedno percento. Ak to chcete urobiť, vydeľte 800 100. Ukázalo sa, že 8.
   • Teraz vynásobíme práve toto jedno percento, teda 8, počtom percent, ktoré potrebujeme, teda 6. Vyjde nám 48.
   • Výsledok opravte opakovaním.

   15 % zo 150. Riešenie: 150/100*15=22.

   28 % z 1582. Riešenie: 1582/100*28=442.

2. Existujú aj iné problémy, keď sú vám dané hodnoty a musíte nájsť percentá. Napríklad viete, že obchod má 5 červené ruže zo 75 bielych a musíte zistiť, koľko percent je šarlátových. Ak toto percento nepoznáme, označíme ho x.

   Existuje na to vzorec: 75 - 100 %

   V tomto vzorci sa čísla vynásobia krížom, to znamená x \u003d 5 * 100/75. Ukazuje sa, že x \u003d 6% Takže percento šarlátových ruží je 6%.

3. Existuje ďalší typ problému s percentami, keď potrebujete zistiť, o koľko percent je jedno číslo väčšie alebo menšie ako iné. Ako v tomto prípade vyriešiť problémy s percentami?

   V triede je 30 žiakov, z toho 16 chlapcov. Otázkou je, o koľko percent je chlapcov viac ako dievčat. Najprv musíte vypočítať, koľko percent žiakov tvoria chlapci, potom musíte zistiť, aké percento dievčat. A nakoniec nájdite rozdiel.

   Tak poďme na to. Robíme podiel 30 účtov. - 100 %

   16 účtov -X %

   Teraz počítame. X=16*100/30, x=53,4 % všetkých žiakov v triede sú chlapci.

   Teraz nájdite percento dievčat v rovnakej triede. 100 – 53,4 = 46,6 %

Teraz zostáva len nájsť rozdiel. 53,4-46,6 = 6,8 %. Odpoveď: chlapcov je viac ako dievčat o 6,8 %.

Kľúčové body pri riešení záujmov

Takže, aby ste nemali problémy s riešením úloh na percentá, nezabudnite na niekoľko základných pravidiel:

1. Aby ste sa nezamotali v problémoch s percentami, buďte vždy ostražití: v prípade potreby prejdite od konkrétnych hodnôt k percentám a naopak. Hlavná vec je nikdy nezamieňať jedno s druhým.
2. Buďte opatrní pri výpočte percent. Je dôležité vedieť, od akej konkrétnej hodnoty treba počítať. Pre následné zmeny hodnôt sa percento vypočítava z poslednej hodnoty.
3. Pred zapísaním odpovede si ešte raz prečítajte celý problém, pretože sa môže stať, že ste našli iba medziodpoveď a musíte vykonať ešte jednu alebo dve akcie.

Riešenie problémov s percentami teda nie je taká zložitá záležitosť, hlavnou vecou je pozornosť a presnosť, ako v skutočnosti vo všetkej matematike. A nezabudnite, že na zlepšenie akejkoľvek zručnosti je potrebná prax. Rozhodnite sa teda viac a všetko bude pre vás v poriadku alebo dokonca vynikajúce.