1 Pangunahin at pangalawa Edukasyong pangpropesyunal M. I. Bashmakov
2 PRIMARY AT SECONDARY VOCATIONAL EDUCATION M. I. BASHMAKOV MATHEMATICS Inirerekomenda ng Federal State Institution “ Federal Institute pag-unlad ng edukasyon" bilang isang aklat-aralin para magamit sa prosesong pang-edukasyon institusyong pang-edukasyon pagpapatupad ng mga programa ng pangunahin at sekundaryong bokasyonal na edukasyon Suriin ang numero ng pagpaparehistro 174 na may petsang Abril 28, 2009 FGU "FIRO" ika-5 edisyon, na itinama ng akademya "isang Moscow Publishing Center "Academy" 2012
3 LBC 22.1ya722 B336 Mga Reviewer: guro ng Moscow State Educational Institution kolehiyo ng politeknik N.A. Kharitonova; guro ng matematika at istatistika GOU SPO Moscow paaralang teknikal ng estado teknolohiya, ekonomiya at batas ang mga ito. L.B.Krasina T.N.Sinilova; guro ng matematika GOU SPO College of Automation at teknolohiya ng impormasyon 20 Moscow T.G. Kononenko B 336 Bashmakov M.I. Matematika: isang aklat-aralin para sa mga institusyong nagsisimula. at avg. ang prof. edukasyon / M.I. Bashmakov. 5th ed., rev. M.: Publishing Center "Academy", p. ISBN Ang aklat-aralin ay isinulat alinsunod sa kurikulum para sa pag-aaral ng matematika sa mga institusyon ng elementarya at sekundaryong bokasyonal na edukasyon at sumasaklaw sa lahat ng mga pangunahing paksa: teorya ng numero, ugat, kapangyarihan, logarithms, linya at eroplano, spatial solids, pati na rin ang mga pangunahing kaalaman ng trigonometrya, pagsusuri, combinatorics at probability theory. Para sa mga mag-aaral sa mga institusyon ng elementarya at sekondaryang bokasyonal na edukasyon. UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 Ang orihinal na layout ng publikasyong ito ay pag-aari ng Academy Publishing Center, at ang pagpaparami nito sa anumang paraan nang walang pahintulot ng may-ari ng copyright ay ipinagbabawal. Publishing Center "Academy", 2010
4 Basic notation Pangkalahatang mathematical na simbolo isang absolute value (modulus) ng numerong a [a] buong bahagi mga numero a = katumbas ng humigit-kumulang katumbas ng > mas malaki kaysa< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>kaya naman<=>ay katumbas kung at kung Combinatorics lamang ha! factorial Isang bilang ng mga pagsasaayos mula r hanggang r C bilang ng mga kumbinasyon mula r hanggang m Pn bilang ng mga permutasyon mula sa r elemento Set 0 empty set N natural na numero Y. integers Q rational number R real number C complex number AUfi unyon ng mga set APW-intersection ng mga set aea a ay kabilang sa set A a "a a ay hindi kabilang sa set A g f komposisyon ng mappings fug Mga kumplikadong numero i imaginary unit z complex number conjugate to K Z \r\ absolute value (modulus) ng complex number z Geometry A(x; y) , AB point A na may mga coordinate x at y straight planes line a ay parallel sa line b line a intersects line b line a ay patayo sa line b line a intersects plane a sa point P plane a ay parallel sa plane p plane a ay patayo sa plane p vector Sequence and functions K ) A/ df f\x) b \f(x) d. x sequence increment ng function f differential of function) derivative ng function 1 sa point x set ng antiderivatives, o indefinite integral ng function / definite integral ng function f mula a hanggang b
5 Preface Mathematics sa loob ng 2500 taon ng pagkakaroon nito ay nakaipon ng pinakamayamang kasangkapan para sa pag-aaral ng mundo sa paligid natin. Gayunpaman, gaya ng sinabi ng Academician na si A.N. Krylov, isang namumukod-tanging Ruso na matematiko at tagagawa ng barko, ang isang tao ay bumaling sa matematika "hindi upang humanga sa hindi mabilang na mga kayamanan." Una sa lahat, kailangan niyang maging pamilyar sa "mga siglo ng napatunayang mga tool at matutunan kung paano gamitin ang mga ito nang tama at may kasanayan." Tuturuan ka ng aklat na ito kung paano gumamit ng mga tool sa matematika tulad ng mga function at kanilang mga graph, mga geometric na numero, mga vector at coordinate, derivative at integral. Habang ang karamihan sa mga konseptong ito ay unang ipinakilala sa iyo nang mas maaga, ang aklat na ito ay muling ipinakilala ang mga ito. Maginhawa ito para sa mga nakalimutan nang kaunti ang naunang pinag-aralan na materyal, at kapaki-pakinabang para sa lahat, dahil kahit na ang mga pamilyar na bagay ay magbubunyag ng mga bagong aspeto at koneksyon. Upang mapadali ang gawain sa aklat-aralin, ang pinakamahalagang mga probisyon at pormulasyon ay naka-highlight. Ang mga ilustrasyon ay may mahalagang papel, samakatuwid, kinakailangan na maingat na isaalang-alang ang pagguhit na nauugnay sa teksto para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto (kahit noong sinaunang panahon ginamit nila ang pamamaraang ito ng pag-aaral ng matematika upang gumuhit ng isang guhit at sabihin: "Tingnan mo!" ). Bilang karagdagan sa hindi mapag-aalinlanganan praktikal na halaga ng kaalamang matematikal na nakuha, ang pag-aaral ng matematika ay nag-iiwan ng hindi maalis na marka sa kaluluwa ng bawat tao. Sa matematika, iniuugnay ng marami ang kawalang-kinikilingan at katapatan, ang pagnanais para sa katotohanan at ang pagtatagumpay ng katwiran. Marami ang may panghabambuhay na tiwala sa sarili, na lumitaw kapag nalampasan ang hindi mapag-aalinlanganang mga paghihirap na kanilang naranasan sa pag-aaral ng matematika. Sa wakas, karamihan sa inyo ay bukas sa pang-unawa ng pagkakaisa at kagandahan ng mundo na hinigop ng matematika, kaya hindi mo dapat lapitan ang bawat pahina ng aklat-aralin, ang bawat gawain ay may pagtatasa kung ito ay gagamitin sa bagong buhay na naghihintay sa iyo pagkatapos ng graduation. Mga paksa kung saan nakatuon ang aklat-aralin, teorya ng numero, mga spatial na katawan, mga esnov pagsusuri sa matematika, ang mga prinsipyo ng probability theory ay hindi lamang inilapat na halaga. Naglalaman ang mga ito ng mayayamang ideya, pamilyar na kung saan ay kinakailangan para sa bawat tao. Nais kong umaasa na ang pag-aaral ng matematika, na / aklat-aralin ay dapat makatulong, ay magbibigay-daan sa iyo upang i-verify mataas na lebel ng kanilang mga kakayahan, ay magpapalakas sa pagnanais na ipagpatuloy ang kanilang pag-aaral at magdadala ng maraming masasayang sandali ng pakikipag-isa sa "hindi matitinag na mga batas na nagmamarka sa buong kaayusan ng sansinukob."
6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись natural na mga numero ay may mahabang kasaysayan. Ang modernong lipunan ay gumagamit ng isang decimal system kung saan 10 digit ang ipinasok: 1.2 \u003d 1 + 1.3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 at 0. Ang numerong sumusunod sa numero 9 ay isinusulat bilang 10. Dagdag pa , pagbibilang sa sampu, daan-daan (10 x 10), libo-libo, atbp., ang bawat natural na numero ay kinakatawan bilang a0 + + a ak10 k (ak f 0), kung saan 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в iba't ibang sistema Decimal system 2010 Roman system MMX Hieroglyphic system ng mga sinaunang Egyptian (= 3000 BC) O n 2010 = 2 X Babylonian (hexadecimal) system ("3500 BC) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10
7 o mga yunit; m beses kinuha ang nth fraction ng pagkakaisa (ang uri ng natural na mga numero) ay isang rational na numero. Maaari itong isulat bilang isang ordinaryong fraction. Ang parehong halaga ay maaaring makuha gamit ang iba't ibang mga pagbabahagi. Halimbawa, malinaw na ang pirogue at pirogue ay pareho. ^ ^ Dalawang ordinaryong fraction at katumbas ng Щ n2 sa kanilang mga sarili (iyon ay, ang mga ito ay mga talaan ng parehong rational number) kung at kung ang mga natural na numero ml t9 txn2 at t2nx ay nagtutugma: - = -<=>tgp2 = t2Hz. Пп 2 Ang pagkakaroon ng pagbuo ng mga positibong rational na numero, ang mga negatibo at zero ay idinagdag sa kanila sa karaniwang paraan. Ang hanay ng mga rational na numero ay tinutukoy ng letrang Q. Ang mga integer m ay nakikilala sa mga fraction. 1 May mga inklusyon na N na may Z na may Q. 4. Sa hanay ng mga rational na numerong Q, dalawang pagpapatakbo ng aritmetika, pagdaragdag at pagpaparami, ay tinukoy, sumusunod mga kilalang batas commutative, associative, distributive. Bakit kailangan ng mga tao ang mga numero? Una sa lahat, para sa account. Upang ihambing ang bilang ng mga bagay, ang ilang karaniwang mga bagay (mga daliri, pebbles, stick) ay unang ginamit. Pagkatapos ay naimbento ang mga simbolo upang ipahiwatig ang numero sa mga hanay (mga koleksyon, hanay) na may pantay na mga item. Ang isa pang mapagkukunan ng pag-unlad ng konsepto ng numero ay ang problema sa pagsukat. Kapag pumipili ng isang yunit ng sukat para sa isang dami (halimbawa, haba), nagiging posible na ihambing dito. Sa kasong ito, maaari mong gamitin hindi lamang ang buong yunit, kundi pati na rin ang mga fraction nito.
8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il ordinary fractions kapag kinakalkula gamit ang mga rational na numero? I^UITIIVID Gaya ng nabanggit, ang parehong rational number ay maaaring isulat sa iba't ibang fraction. Ang koneksyon sa pagitan ng mga ito ay inilalarawan ng sumusunod na teorama., _ tl t9 t9 t3 Teorem. Kung \u003d - at \u003d - W "s Katunayan. W "s pagkatapos Ito ay kinakailangan upang patunayan na jj^ ang kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga fraction para dito kailangan mong suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga integer: m^n3 = m3ni. Ginagamit namin ang mga pagkakapantay-pantay na ito: m1p2 = m2px at m2p3 = m3p2 Multiply ang una sa kanila sa n3, at ang pangalawa sa n1. Nakukuha namin ang mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Ang mga integer na m2p1p3 at m2p3nx ay katumbas ng bawat isa; ginagamit namin ang pag-aari ng transitivity ng mga integer: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. Muli naming isinusulat ang pagkakapantay-pantay ng mga integer m1p2p3 = m3p2nx bilang n2(m1p3 - m3rii) = 0. Ang numerong n2 (ang denominator ng gitnang bahagi) ay hindi maaaring katumbas ng zero. Gayunpaman, kung ang produkto ng dalawang integer ay zero, kung gayon ang isa sa mga ito ay dapat na zero. Nakukuha namin na txp3 - t3p1 = 0, i.e. mxn3 = m3nx, na dapat patunayan. Paano ka nagsasagawa ng mga operasyong aritmetika sa mga karaniwang praksyon? 1. Pagbabawas ng fraction. 28 Priter. Maaaring bawasan ang fraction. Ipinapakita ng Pie Chart na ito ang pamamahagi ng mga boto sa Parliament sa pagitan ng tatlong partidong Blue, Gray at White. Ang distribusyon na ito ay maaaring isulat bilang mga fraction: = 180 kabuuang bilang mga lugar; " " 4 Bilang kabuuang bahagi, maaari kang pumili ^: 12 Anong bahagi ng volume ng prasko ang pupunuin kapag ang mga likido ay pinatuyo mula sa dalawang magkatulad na prasko? maaaring gawin nang sunud-sunod, paghahanap ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator at paghahati sa kanila:
9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 Subtraction m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 Multiply wii /7i2 _ m1m2 Sch p2 PxLg denominator sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor(GCD): T_ "Ang fraction ay hindi mababawasan. Ang numerator at 15 denominator nito ay mga coprime na numero. 2. Pagdaragdag (pagbabawas) ng mga fraction. 5 3 Halimbawa Para sa karagdagan, kailangan mong magdala ng mga fraction sa karaniwang denominador. Upang gawin ito, madaling i-decompose ang mga denominator sa prime factor at kunin ang hindi bababa sa common multiple (LCM): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. LCM (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ Multiplikasyon (dibisyon) ng mga fraction "Halimbawa. ( ):. Sinusulat namin ang re- At * V25 63J 7 na resulta sa anyo ng isang solong fraction at bawasan ito: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Mga tanong at pagsasanay 1. Alin sa mga sumusunod na expression ang may halaga na katumbas ng 1: 14 at mid ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) A \u003d)) A \u003d 2.36-1.12-0.88 + 0.64; 7) A =? 4) l L. ". C Ang halaga ng mga kalakal sa unang pagkakataon ay nabawasan ng a%, sa pangalawang pagkakataon ng b% ng bagong presyo. Sa anong mga kaso, bilang isang resulta, ang halaga ng mga kalakal ay umabot sa 60% ng orihinal na presyo: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10? O 2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; walo
10 t mga numeric na expression: 1) ang bilang ng mga tiket sa bus na “masuwerteng”: IT" " 2) ang posibilidad na sa isang klase ng 30 tao ay mayroong magkatugmang mga kaarawan: \100% J, l d 180 1, Tantyahin kung alin sa mga sumusunod na numero ang pinakamalapit sa numero: )0.001; 2) 0.01; 3) 0.1; 4)1. 5. Ipinapakita ng talahanayan ang mga natutunaw na punto ng yelo at kumukulo ng tubig sa apat na sukat ng temperatura Celsius (C), Fahrenheit (F), Kelvin (K) at Réaumur (R). Ipagpalagay na ang temperatura ng katawan ng tao sa mga digri Celsius ay 37, kalkulahin ito sa ibang mga kaliskis, kung ang ugnayan sa pagitan ng mga kaliskis ay linear: Indicator Scale C F K R Kumukulong tubig Natutunaw na yelo Aralin 2 Mga totoong numero Ano ang ibig sabihin ng totoong numero? 1. Tunay na numero. Ang mga rational na numero ay hindi sapat upang malutas ang mga problema sa pagsukat. Ito ay natuklasan higit sa 2.5 libong taon na ang nakalilipas ng mga sinaunang Greek mathematician, na nagpatunay na ang dayagonal ng isang parisukat na may gilid ng yunit ay hindi masusukat gamit lamang ang mga rational na numero, habang ang iba ay hindi pa kilala noon. Tulad ng para sa pagtatakda ng mga natural na numero, maaari kang gumamit ng mga partikular na bagay (mga daliri, stick), at para sa mga gawain sa pagsukat, maaari kang pumili ng isang karaniwang halaga para sa haba ng segment at itakda ang mga numero sa geometrical na paraan ng mga segment, o sa halip sa pamamagitan ng kanilang kaugnayan sa napiling segment ng yunit (scale unit). E \- T 4 Pangkalahatang sukat 3 A 9 4
11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj
Ang 12 na numero ay ang mga numerong V2, labinlimang decimal na lugar kung saan ibinigay sa itaas, o ang numerong k (ang ratio ng circumference sa diameter): l \u003d 3. Ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay tinutukoy ng titik R: N c Z c Q c R. Bakit kailangan mo ng tunay na mga numero, at sapat ba ang mga ito upang malutas ang mga problema? Gaya ng nabanggit, ang pagdaragdag ng mga bago, hindi makatwiran na mga numero sa mga rational na numero ay sanhi ng pangangailangang sukatin ang mga haba ng anumang mga segment. Sa tulong ng mga tunay na numero na binuo sa ganitong paraan, naging posible na sukatin ang maraming iba pang mga dami na tinatawag na scalar. Ang paglitaw ng mga bagong problema ay nangangailangan ng karagdagang pag-unlad ng konsepto ng numero, na tatalakayin natin mamaya. Bakit hindi masusukat ng rational number ang dayagonal ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng isa? Ang tanong na ito ay naglalaman ng pagbabalangkas ng sikat na teorama, na napatunayan noong ika-6 na siglo. BC. Patunay. Ipagpalagay natin na ang haba ng dayagonal ng square unit ay maaaring isulat bilang isang fraction, na isasaalang-alang natin na hindi mababawasan. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay I = I m 1, ibig sabihin, I _ m 1 \u003d\n) U o m 2 \u003d 2n 2. Dahil mayroong pantay na numero sa kanan, kung gayon ang numerong m g sa kaliwa, at samakatuwid ang numerong m, ay mga kahit na numero: m \u003d 2k . Ang pagpapalit at pagbabawas ng 2, makakakuha tayo ng: 2k 2 = n 2. Sa parehong pangangatwiran, nakukuha natin na ngayon n dapat ay isang even na numero. Ang katotohanan na ang fraction niuio wiiv^vudi galinun ng mga totoong numero Decimal - = 0, n 2 1, Continued fraction - = 2 + L F = Row n 2, Pie chart Point sa number axis B (-2) 0 1 L ( 2.5) 11
13 Dcjmnnc MdieMdiHKH sa axis ng oras - 600"" Pythagoras numerator at denominator ay naging kahit na mga numero, na sumasalungat sa kondisyon ng irreducibility ng fraction. Ang kontradiksyon na ito ay nagpapatunay sa teorama ni Euclid Archimedes Diophantus Al-Khwarizmi Fibonacci Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov Paano sila gumagana sa mga tunay na numero? Ang isang walang katapusang decimal ay isang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya sa pamamagitan ng mga may hangganan na mga decimal sa isang naibigay na tunay na numero. Upang magsagawa ng mga operasyong aritmetika sa mga walang katapusang decimal fraction, ang mga operasyong ito ay ginagawa sa mga finite decimal fraction. Halimbawa, magdaragdag kami ng = 1, Makukuha namin ang: = 4 1.4 + 3.1 = 4.5 1.41 + 3.14 = 4.55 1.141 = 4.555 1.1415 = 4.5557 1.14159 = 4.55580 atbp. Katulad nito, l 72 \u003d 4. Siyempre, ang mga naturang kalkulasyon ay dapat gawin gamit ang isang calculator, ngunit sa parehong oras, subaybayan kung gaano karaming mga digit ng resulta ang maaaring ituring na tama. Ang mga tunay na numero ay maaaring ilarawan bilang mga tuldok sa linya ng numero. Kung ang dalawang numero a at b ay ipinapakita ng mga puntos na A(a) at B(b) sa tunay na aksis, kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga puntong A at B ay katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong a at b: \AB\ = \b - a\. Ang module ay may dalawang pinakamahalagang katangian: \ab\ = \a\ b( at \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?
14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu NUMBER f 7. Isulat ang mga sumusunod na numero bilang periodic decimal fractions: x> 2.1, 3, 4 , PERO ; 6) Patunayan ang irrationality ng mga sumusunod na numero: 1) 0, ; 2) 0, Aralin 3 Tinatayang Pagkalkula Ano ang kapaki-pakinabang na malaman tungkol sa tinatayang mga kalkulasyon? 1. L “3 Approximations to I 1. Tinatayang halaga. Hayaang ibigay ang numerong x. Ang numerong a ay tinatawag na tinatayang halaga ng numerong x, na kinakalkula hanggang h > 0, kung ang hindi pagkakapantay-pantay \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13
15 3. f 16 = 3, Hz. kg "A.. w -, Ct.. at W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. Sa ilalim ng tanda ng ugat ay nakasulat ang isang numero na may 40 siyam pagkatapos ng decimal point V0, Kalkulahin ang ugat na may 40 decimal na lugar. 4. Suriin na ang pag-round ng mga sumusunod na numero sa ikalawang decimal na lugar ay ginawa nang tama: 1) a = 1.1683, a ~ 0.17; 3) 72 "1.41; 5) ito 2 "9.86. 2) a = 0.2309, isang ~ 0.23; 4) ^1 0.86; 2 5. Totoo ba na ang relatibong error ng pagkalkula ay mas mababa sa 1%: 1) n «3.16; 3) lugar ng isang bilog ng radius) ^ "21; 2) 2 10 "1000; humigit-kumulang katumbas; 5) 9 11 at 3 Yu 10? Aralin 4 Mga kumplikadong numero Graphic na representasyon ng mga kumplikadong numero m r = a + s M (a; b) Ano ang kumplikadong numero at paano ginagawa ang mga operasyong aritmetika sa mga kumplikadong numero? 1. Mga kumplikadong numero. Ang kumplikadong numero ay isang numero ng anyong a + bi, kung saan ang a at b ay tunay na mga numero, ang a i ay isang simbolo na tinatawag na imaginary unit. labing-anim
18 Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng letrang C. Ang tunay na numero a ay kinilala sa kumplikadong numero a + 0 r. Kaya, pinalawak namin ang kadena ng mga pagsasama ng iba't ibang mga hanay ng numero: N c Z c Q c R c C Ang bawat complex number z ay ilang simbolo ng anyong a + b.i. Ang numerong a ay tinatawag na tunay na bahagi ng numerong z, at ang bilang b ay ang haka-haka nitong bahagi. Ang kahulugan ng karagdagan ay nagpapakita na kapag nagdaragdag ng mga kumplikadong numero, ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay idinaragdag nang magkahiwalay. 2. Mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga kumplikadong numero. Ang mga kumplikadong numero ay idinaragdag ayon sa sumusunod na panuntunan: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Ayon sa tuntunin ng multiplikasyon i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, i.e. ang parisukat ng haka-haka na yunit ay katumbas ng tunay na bilang -1. Kapag nagpaparami ng mga kumplikadong numero, buksan lamang ang mga bracket ayon sa karaniwang mga panuntunan at palitan ang r 2 ng -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- that hindi lamang z 2 = = -1, kundi pati na rin (-i) 2 = Conjugate complex number. Ang mga kumplikadong numerong a + bi at a - bi ay tinatawag na conjugate sa isa't isa. Ang kanilang produkto ay katumbas ng isang tunay na positibong numero a 2 + b 2. Kung z \u003d a + N f 0, pagkatapos ay a 2 + b 2 f 0 at maaari naming isulat ang pagkakakilanlan: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Mula dito ay malinaw na ang bilang ay 2 + b 2 a 2 + b 2 ay ang kabaligtaran ng bilang na a + bi. Ang kakayahang magkalkula katumbas na numero, maaari mong hatiin ang isang kumplikadong numero sa isa pa (maliban sa zero). 4. Larawan ng mga kumplikadong numero. Ang numerong z = a + bi ay maaaring katawanin ng isang punto sa eroplano na may mga coordinate (a, b) (halimbawa, M(a, b)). Sa ganitong imahe, ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay tumutugma sa 2 + z Real axis Conjugate number z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z Ы = \om\ Complex number modulus 17
19 Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero Ang ilang interpretasyon ng pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay tatalakayin sa kabanata sa pag-ikot at trigonometriko function. Ang mga conjugate na numero z \u003d a + bi at z \u003d a - bi ay kinakatawan ng mga puntos na simetriko tungkol sa abscissa axis. Ang numerong l/a 2 + b 2, na kung saan ay ang distansya mula sa puntong kumakatawan sa bilang na z (sinasabi lang nila mula sa puntong z) hanggang sa pinanggalingan, ay tinatawag na modulus ng kumplikadong numero at tinutukoy na \r\. Napansin namin ang mga simpleng pagkakakilanlan: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z<=>totoong numero. Kabaligtaran ng kumplikadong numero Pagbabawas ng mga kumplikadong numero I = 2 Bakit kailangan natin ng mga kumplikadong numero? Sa paggamit ng mga kumplikadong numero, ang mga mathematician ay may mga bagong posibilidad. Tingnan natin ang ilan sa kanila. 1. Naging posible na mahanap ang mga ugat ng alinman algebraic equation. Ang teorama ni Gauss, na tinatawag na pangunahing teorama ng algebra, ay nagsasaad na ang bawat algebraic equation ay may hindi bababa sa isang kumplikadong ugat. 2. Ang mga pagbabagong-anyo ng eroplano (parallel na pagsasalin, pag-ikot, homothety, axial symmetry at kanilang mga kumbinasyon) ay isinulat bilang ilang simpleng operasyon sa mga kumplikadong numero. 3. Ang mga proseso ng oscillatory sa mechanics at physics (pagpapalaganap ng sound at light waves, electromagnetic phenomena, properties ng alternating current) ay pinag-aaralan nang mas simple gamit ang mga kumplikadong numero. Ang sumusunod na parirala ay tila napakahalaga sa sinumang inhinyero: "Isipin ang isang konduktor kung saan ang isang kasalukuyang dumadaloy na may lakas na I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (amps)", bagaman sa unang sulyap ay ang hitsura ng isang "haka-haka" hindi maaaring magkaroon ng pisikal na kahulugan ang kasalukuyang. labing-walo
20 I IV/ J - kumplikadong mga numero maginhawa bang magtakda ng mga geometric na numero sa eroplano? Ito ay batay sa sumusunod na simpleng tuntunin. Teorama. Ang modulus ng pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga puntos na kumakatawan sa mga numerong ito. Ipinapakita ng figure na ang mga vector na nagkokonekta sa puntong z2 sa puntong zu at sa pinanggalingan na may puntong + (~z2) ay katumbas ng bawat isa. Samakatuwid, ang bilang na zx - z2\, katumbas ng distansya mula sa punto + (~z2) hanggang sa pinanggalingan, ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga puntos at z2, na dapat patunayan. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ Ang modulus ng pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero Paano ginagawa ang mga kalkulasyon sa mga kumplikadong numero? 1. Mga operasyong aritmetika: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i = r; i _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + if = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Pagsulat ng mga equation ng iba't ibang kurba gamit ang geometric na interpretasyon ng modulus ng pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero: 1 ) isang bilog ng radius R na nakasentro sa pinanggalingan: r = R; 2) isang bilog ng radius R na nakasentro sa punto r0: z - Zq\ = R; 3) ang isang ellipse ay tinukoy bilang ang locus ng mga puntos sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya kung saan sa dalawang puntos sa eroplano ay pare-pareho: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Ellipse na may foci.fi(-1; 0) at F2(l; 0) 19
21 Mga tanong at pagsasanay 1. Kalkulahin ang: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r)(; 5) r 3 ; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. Palawakin sa linear na mga kadahilanan: 1) a 2 + 4b 2 ; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a 4 - b 4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x Iguhit sa eroplano ang hanay ng mga kumplikadong numero na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: 1) \r\ \u003d 3; 3) g g< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >isa; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >b. Pagbuo ng mga solusyon sa equation na ito
22 integer (at zero). Ang isang equation ng form na ax = b, kung saan ang a at b ay mga integer, at isang Ф 0, ay hindi rin palaging may mga integer na solusyon. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga rational na numero, nakakakuha tayo ng pagkakataong isulat ang mga solusyon ng equation na ito para sa anumang integers a at b (na may parehong hadlang a Ф 0). Ang kawalan ng kalutasan sa mga rational na numero ng equation x 2 = 2 ay naging sanhi ng paglitaw ng mga tunay na numero, na ngayon ay naiisip natin sa anyo ng mga walang katapusang decimal fraction. Kabilang sa mga ito, una sa lahat, ang mga ipinahayag sa pamamagitan ng mga radikal ay tumayo, i.e. sa pamamagitan ng mga ugat ng mga equation ng anyong x n = a (a > 0). Tatalakayin natin ang mga numerong ito nang mas detalyado sa Chap. 2. Siyempre, sa tulong parisukat na ugat nagtagumpay sa pagsisiyasat sa problema ng paglutas ng mga quadratic equation. Ang pamamaraan ni Al-Khwarizmi sa paghahanap ng positibong ugat ng quadratic equation l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Nalutas ang cubic equation gamit ang mga radical ng mga Italian mathematician noong ika-16 na siglo. Solusyon ng cubic equation x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 algebraic notation kumplikadong mga ugat ng isang quadratic equation geometric na imahe ng mga ugat ng equation x 3 \u003d 1 Kapansin-pansin na sa kaso kapag ang equation ay may tatlong tunay na ugat, magkakaroon ng negatibong numero sa ilalim ng square radical at tunay na ugat isinulat bilang kabuuan ng conjugate complex number. Kaya, noong ika-16 na siglo. Ang mga mathematician ay dumating sa pangangailangan na ipakilala ang "haka-haka" na mga numero. Mabilis na binawasan ng mga Italyano ang equation ng ikaapat na antas sa pamamaraang kubiko ang kanyang solusyong iminungkahi ni L. Ferrari ay inilathala ni D. Cardano noong 1545 sa kanyang tanyag na aklat na Ars Magna. 21
23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () Cardano's formula para sa paghahanap ng mga ugat ng equation x 3 + px + q = 0: Umabot ng halos tatlong daang taon para sa susunod na hakbang, nang ang Norwegian mathematician na si N. Pinatunayan ni Henrik Abel (kaayon ng Italian P. Ruffini) na wala pangkalahatang pormula upang malutas ang equation ng ikalimang antas. Ang isang kumpletong paglalarawan ng mga equation na ang mga ugat ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng kanilang mga coefficient gamit ang mga operasyon ng arithmetic at root extraction ay ibinigay sa halos parehong oras ng kapansin-pansin Pranses na matematiko E. Galois. Nabuhay lamang siya ng 21 taon at namatay sa isang tunggalian noong 1832, ngunit sa kanyang pangalan ay nauugnay ang pagsilang ng modernong algebra. Ang malalim na mga gawa ng Galois ay naunawaan lamang sa pagtatapos ng ika-19 na siglo. Kaya, sa madaling sabi namin nasubaybayan ang isang linya ng paghahanap ng mga ugat ng polynomial, ang pagpapahayag ng mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito gamit ang mga operasyong arithmetic. Ang isa pang linya ay konektado sa isang mas malaking lawak sa mathematical analysis. Ang tanong ng pagkawala ng isang function na tinukoy ng isang polynomial ay isang tipikal na tanong sa teorya ng mga function. Ang katotohanan na ang mga tunay na numero ay hindi sapat upang ilarawan ang mga ugat ng isang polynomial ay naging malinaw kahit na matapos ang gawain ng mga Italyano noong ika-16 na siglo. Ang natural na tanong kung mayroong sapat na kumplikadong mga numero upang mahanap ang ugat ng anumang polynomial, kung kinakailangan upang magdagdag ng ilang mga bagong numero sa kumplikadong mga numero, ay nalutas ng German mathematician na si K.F. Gauss at inilathala sa pagtatapos ng ika-18 siglo. Pinatunayan niya na ang anumang equation (kahit na may mga kumplikadong coefficient) ay may kumplikadong ugat. Axioms Ang nakabubuo na paraan na inilarawan namin upang masagot ang tanong na: "Ano ang isang numero?" ay hindi lamang isa. Sa halip na sagutin ang tanong na ito, ang modernong matematika ay nagmumungkahi na bumalangkas nang mas tiyak kung ano ang mga ito
24 na katangian ng mga numero, anong mga operasyon ang maaaring gawin sa kanila. Ang iba't ibang sistema ng numero ay may iba't ibang katangian ng mga operasyong ito. Ang pinakamayamang sistema ay ang larangan. Ang isang sistema ng numero ay bumubuo ng isang patlang kung ang parehong mga operasyon (pagdaragdag at pagpaparami) ay nagpapahintulot sa mga kabaligtaran na operasyon (pagbabawas at paghahati) na maisagawa. Anumang sistema ng numero na mayroong dalawang operasyon kung saan hawak ang siyam na axiom ay tinatawag na field. Ang mga hanay ng Q ng mga rational na numero, R ng mga tunay na numero ay mga field. Ang mga set ng natural na numero N, integer Z, positibong numero R* ay hindi mga field. Ang mga field axiom ay hindi ganap na naglalarawan ng lahat ng mga katangian ng mga tunay na numero na kailangan natin. Pinag-uusapan lang nila mga operasyon sa aritmetika sa itaas nila. Mayroon ding malawak na pangkat ng mga katangian na nauugnay sa mga konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay at ang distansya sa pagitan ng mga numero. Babalik tayo sa mga katangiang ito kapag pinag-aaralan ang mga prinsipyo ng mathematical analysis (tingnan ang Kabanata 9). Bilang karagdagan sa mga "standard" na mga patlang Q at R, mayroong maraming iba pang mga patlang. Ang partikular na mahalaga sa kanila ay ang tinatawag na finite fields, i.e. mga system na binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga elemento at pagiging magkasabay na mga field. Kung kukuha tayo ng isang di-makatwirang prime number p at isaalang-alang ang mga natitira pagkatapos hatiin ang isa pang arbitrary na integer sa p (magkakaroon ng eksaktong p: 0, 1, 2, ..., p - 1), pagkatapos ay maaari nating tukuyin ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga natitira sa natural na paraan na sila ay bubuo ng isang larangan. Upang gawin ito, kailangan mong isagawa ang karaniwang mga operasyon sa mga natitira tulad ng sa mga integer, at palitan ang nagresultang numero ng natitirang bahagi ng dibisyon ng p (sabi nila: kalkulahin ang modulo p). Halimbawa, sa mga natitirang bahagi ng dibisyon sa pamamagitan ng 5, maaari mong gawin ang lahat ng mga operasyon: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, ibig sabihin. -3 = 2 at -2 = 3 at iba pa. Axioms 1. Ang pagdaragdag at pagpaparami ay commutative at associative, i.e. ang mga sumusunod na pagkakakilanlan ay nagtataglay: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc). 2. Ang pagdaragdag at pagpaparami ay may mga neutral na elemento (zero para sa karagdagan at isa para sa pagpaparami): 5) a + 0 = a; 6) 1 a = a. 3. Ang kabaligtaran na mga operasyon ay magagawa: 7) para sa bawat numero a, mayroong kabaligtaran na numero(-at ang mga. a + + (-a) = 0; 8) para sa bawat numero a Ф 0 mayroong isang kabaligtaran na numero a -1, i.e. a-a" 1 = Batas sa pamamahagi: 9) a(b + c) = ab + ac.
25 n n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 natural na numero; ngunit isang arbitrary na numero. Pagkatapos ay isang "produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a: a 2 \u003d a-a square ng numero a; isang 3 \u003d a-a-a cube ng numero a. p 2" Ang mga natural na numero ay tinutukoy nang sunud-sunod, simula sa isa (N \u003d 1 , 2, 3...). Kung alam natin ang ilang numero n, kung gayon ang susunod na numero ay magiging n + 1. Sa parehong paraan, maaari nating sunud-sunod na matukoy ang mga degree na may natural na tagapagpahiwatig: naniniwala kami na a 1 = a; knowing a", nagtatakda kami ng n + 1 = a p a. 2. Generalization ng konsepto ng degree sa mga arbitrary integer exponents. Para sa anumang numero a * 0, tinutukoy namin ang isang p = a p kung saan ang p ay isang natural na numero. Idagdag ang kahulugan ng isang degree na may exponent: a 0 = a"" = 1, a * O. a" zero 24
26 3. Mga katangian ng mga degree na may integer gaps: multiplikasyon: a t a n = a m + n; dibisyon: a t: a n = a t ~ n; exponentiation: (a n) n = isang mp. 4. Geometric na pag-unlad. Ang geometric progression ay isang sequence na ibinigay ng unang termino a1 at ang recurrence relation an+1 = isang q, na nagpapahintulot sa isa na kalkulahin ang alinman sa mga termino nito, alam ang nauna. Ang pare-parehong numero q ay tinatawag na denominator ng pag-unlad. Pangkalahatang term na formula: ap \u003d ax q p ~ 1. Ang kabuuan ng n miyembro: Sn \u003d% q n -1 (q Ф 1). q-1 5. Mga dependency at function ng kapangyarihan. Kapag pumipili ng anumang integer m, maaaring makabuo ng power function na y = kx m na tinukoy para sa lahat ng x kung ang m ay natural na numero, at para sa lahat ng x maliban sa zero kung m< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х quadratic function y \u003d X 2 Cubic function (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. Kapag na-exponentiate, ang mga exponent ay pinarami, kapag ang mga kapangyarihan ay pinarami, sila ay idinagdag 2. Ayusin ang mga degree sa pataas na pagkakasunod-sunod:
27 rat / un fupptspp at lp binabawasan namin ang lahat ng degree sa isang base: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. Dahil ang numero 2 > 1 at 2 * > 0 para sa anumang integer k, pagkatapos ay 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k para sa anumang integer k. Samakatuwid, inaayos namin ang mga exponents sa pataas na pagkakasunud-sunod: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. Tukuyin ang unang termino mula sa formula -isa]. x Ipinapakita ng graph na bumababa ang function na y sa tinukoy na agwat. Samakatuwid, ito ay tumatagal ng pinakamalaking halaga ng M sa kaliwa 1_ 1 dulo ng pagitan: M = -2 ~ 2 5. Tukuyin ang halaga ng kontribusyon. Ang bangko ay nakakaipon ng x% taun-taon sa deposito. Sa katapusan ng taon, ang interes ay idinagdag sa deposito. Ano ang magiging kontribusyon sa n taon? Tukuyin natin ang unang kontribusyon ng A. Sa pagtatapos ng taon ito ay magiging katumbas ng A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ kaya, ang kontribusyon sa isang taon ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ^ = 1 x Jqq "Geometric progression A , Aq, Aq 2,... ay nagbibigay ng pagkakasunod-sunod ng mga kontribusyon para sa bawat taon.26
28 formula para sa kontribusyon An pagkatapos ng n taon Lp =.A^l + j ay tinatawag na compound interest formula. Compound interest formula А =А Mga tanong at pagsasanay 1. Kalkulahin: 1) 2 10 ; 3) "2.3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0.1) "6 - (4-3) - 2. Pasimplehin: 5 "IttI: 3. Alin sa mga numero ay mas malaki: 1) o Z 20; 2) a 3) Z99 3 o () 3; 2) o; 4. Hanapin ang x mula sa equation: 4) 9 "2 o) 2 x \u003d 2) 10 2d:" 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) Ang unang termino ng geometric progression (a) ay katumbas ng 1, at ang denominator q \u003d 1.1. Sa anong pinakamaliit n magiging higit sa dalawa ang terminong an? 6. Tukuyin mula sa graph kung saan x ang mga halaga ng function na y \u003d 2x 2 ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng mga halaga ng function na y \u003d X s. 7. Ano ang hanay ng mga halaga \u200b\u200bong mga function y \u003d x k para sa k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga mga function y \u003d x ~ 2 sa pagitan [-3; -2]. _8_ 27 "Aralin 2 Ugat nth degree Ano ang ugat nth degree at ano ang mga katangian nito? 1. Kahulugan. Hayaang ang n > 1 ay isang natural na numero; ngunit isang arbitrary na numero. Ang nth root ng a ay isang numerong b na b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a para sa a\u003e 0 \/a "\u003d y / a para sa\ u003e 0 27
29 p sfn 2 1.41 3 1.24 6 2.45 7 2.65 8 2.16 Cube edge /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv Square diagonal Halimbawa, ang numero 3 ay ang ugat ng ika-4 na degree mula sa numerong 81, dahil Z 4 \u003d 81. Ang numerong -3 ay ang ika-4 na ugat din ng numerong 81, dahil ang (-3) 4 ay 81 din. Sa wika ng mga equation, masasabi nating ang ika-n ugat ng equation mula sa numero a ay ang ugat x n = a. 2. Pag-iral. Para sa isang > 0, para sa anumang natural na numero n > 1, mayroong isang natatangi positibong ugat nth degree mula sa numero a. Ito ay tinutukoy ng radical sign: para sa a > 0, ang y/a ay isang numero b na ang b > 0 at b n = a. Ang notasyong \[a ay umaabot sa a = 0: \/0 = 0 at sa a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, natural na numero) ay may sumusunod na bilang ng mga ugat: 1) n ay pantay: walang mga ugat para sa isang< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n ay kakaiba: isang ugat l/a para sa alinmang a. 4. Mga katangian ng mga radikal: 1) = a, b > 0; Diagonal ng kubo 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^a. Bakit ipinakilala ugat ng nth degrees? Paghahanap ng nth root o, gaya ng tradisyonal nilang sinasabi, ang pagkuha ng ugat n-vi degree Ito ang kabaligtaran na operasyon ng pagtaas ng isang positibong numero sa isang kapangyarihan:
30 a p = b<=>a = "
31 Pasimplehin ang mga sumusunod na expression na naglalaman ng mga radical:. Vl-2^3+^9. Sa ilalim ng square root ay buong parisukat I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. Kapag kinukuha ang square root ng isang 2, isinasaalang-alang namin ang tanda ng a: 1_z / z<0=>^/3-1>0. Kaya: l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. at IVUTUpUi "U pauii" * "" alam natin na ang gayong numero ay natatangi. Suriin natin kung ang numerong y[a ay nakakatugon sa mga kundisyong ito. Ito ay positibo (bilang produkto ng dalawang positibong numero) at ang nth degree ay katumbas ng ab: (Va Ф)У = (Ta) "(Tfc)" = a b. Paano nalulutas ang mga problema gamit ang mga ugat? Given: ang pagkakasunod-sunod ng mga frequency ng mga tunog ay bumubuo ng isang geometric na pag-unlad; ag = a; a10 = 2a. Hanapin: q. Solusyon: mula noong a10 \u003d axq 9, pagkatapos ay natutugunan ng q ang equation 2a \u003d a q g, i.e. q g \u003d 2 at \u003d V (= 1/3-1; 1 "I-multiply namin ang numerator at denominator sa hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng mga numero at 1 (n/2 + 1) at nakakakuha tayo ng mga numero sa ilalim ng tanda ng radikal, sa pamamagitan ng mga kapangyarihan mga pangunahing numero at gamitin) \J ^/2-l/z 5 ^ Mga tanong at pagsasanay 1. Alin sa mga sumusunod na numero ang makatwiran: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) + ; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Lagi bang totoo ang mga pagkakapantay-pantay 1) =а 3 ; 2) =a 4? 3. Kalkulahin: 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-Vl25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. tatlumpu
32 1),/0.999 o 0.999; 3) 3/10000 o 21; 2) ^2009 o 2^2008; 1 + V2 4) ^ + o 2^2-3? 5. Pasimplehin ang expression: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 "3) 1-4/2" 4) V2 + V3 + V5 "Lesson 3 Degrees Ano ang ibig sabihin ng degree na may arbitrary exponent? 1. Degrees a x para sa iba't ibang takdang-aralin ng numerong x. Let a positive number a ibibigay. Paano ito itataas sa kapangyarihan ng x? Ang sagot ay depende sa kung paano ibinibigay ang numerong x: 1) x ay isang integer. Paano tinutukoy ang degree na may arbitrary integer exponent, inulit namin kanina, 2) x ay isang rational na numero, na nakasulat sa k bilang x-, pral. kung saan at k ay isang integer, n ay natural Sa pamamagitan ng kahulugan, a n = \a k. , na ibinibigay ng isang sequence ng rational approximations x0, x1, x2,... , xn,... Ang mga numerong xt ay makatwiran. Maaari silang isulat na k bilang mga ordinaryong praksyon x, =. Pagkatapos ang mga numerong h ay nagiging natatanging tinutukoy. ]Ji=a Xi =a Ang pagkakasunod-sunod na y0, yi..., yk1 ay isang pagkakasunud-sunod ng mga approximation sa isang tiyak na numero y, na kinuha bilang ang kapangyarihan ng palakol. iyong mga degree. Ang mga katangian ng mga degree na may mga integer na exponent ay inililipat sa mga degree na may anumang mga exponent: Sanggunian sa kasaysayan Ang mga positibong fractional indicator ay ang unang ginamit ng French scientist na si N. Orem (). Zero at integer mga negatibong tagapagpahiwatig lumitaw higit sa 100 taon mamaya at gayundin sa France (N. Shuke). Mga graph ng mga function ng kapangyarihan na may positibong fractional exponents Halimbawa Upang kalkulahin ang antas ng 2 n, kinakatawan namin ang numero ts bilang isang walang katapusang decimal fraction l \u003d 3, Nagsusulat kami ng isang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya ng decimal sa numero l sa form na XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000, atbp. "31
33 Pagkatapos ay isaalang-alang ang mga numero 2 x "= 8, 2*i = 8.574, 2*2= 10^2 iit = 8.815, atbp. Tinutukoy ng sequence na ito ang ilang numero y, na siyang kapangyarihan ng numero 2". Ang mga unang decimal na lugar ng numero 2 "ay ang mga sumusunod: 2" \u003d 8, Properties of degrees (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a in b 3! l U 3 J g "b 12 Ang mga halimbawa kapag ang pagtaas sa mga degree na exponents ay pinarami; Z 2 Z 3 \u003d \u003d \u003d Z 5 kapag pinarami, ang mga exponent ay idinagdag. Sa katunayan, kung r \u003d \u003d \u003d, SA Ajrtg \u003d " 2 P 1-" 2 Sa isang banda, at r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32
34 2) kung babaguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga makatwirang pagtatantya sa parehong numero, lalapit ba ang katumbas na pagkakasunod-sunod ng mga kapangyarihan sa parehong numero? 3. Ang mga katangian ng mga degree na may mga rational exponents ay pinatunayan sa batayan ng mga katangian ng mga radical, at pagkatapos ay dinadala sa mga di-makatwirang exponent. Paano ginagamit ang mga degree na may arbitrary indicator sa paglutas ng mga problema? 1. Pagkalkula ng mga degree sa pamamagitan ng mga ugat: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. Pagbawas sa isang base: 1 z isinusulat namin ang mga numero 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I bilang mga kapangyarihan ng numero 3 na may rational exponent: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (З 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = h! 3. Pagbabago ng mga ekspresyon 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. Ang solusyon ng pinakasimpleng equation: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1 ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => ЛГ = _ 2. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli Kapag naghahambing ng mga kapangyarihan, madalas na kailangang gumamit ng iba't ibang hindi pagkakapantay-pantay. kapaki-pakinabang na hindi pagkakapantay-pantay(isang espesyal na kaso ng sikat na hindi pagkakapantay-pantay ng Bernoulli): hayaan ang x > 0, n > 1, pagkatapos ay (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. Nananatili itong suriin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa n = 2. Sa katunayan, ang hindi pagkakapantay-pantay ng Bernoulli ay totoo hindi lamang para sa x > 0, kundi pati na rin para sa -1< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r at a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8 "r - 1) at s-r
35 Mga tanong at pagsasanay 1. Isulat bilang antas na may rasyonal na tagapagpahiwatig: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 3/25; sa"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>ako); j) pir. 3. Gawin ang sumusunod: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. Ayusin ang mga numero sa pataas na pagkakasunod-sunod: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 oras; s L 5 5) Tsa 2) s J ; 6) "1" 93 2) I z I ; s; 9 Z; 34; 3) 2 4 ; ; (-3) 4 ; ; J1 4) Z 3 ; (-2) 3 ; 2 e. 5. Patunayan hindi pagkakapantay-pantay :)< ;) 33 >4^ >55; 4) >1. 6. Lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng paglalagay ng mga function ng kapangyarihan (o ang kanilang mga kumbinasyon) sa kaliwa nito at tamang bahagi: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 m 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2
36 Aralin 4 Logarithms Ano ang logarithm? 1. Kahulugan. Ang logarithm ng isang numerong c sa base a ay isang numerong b na ang a b = c, i.e. ang exponent kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang c: b = logac. Ang base at ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm ay dapat na positibo. Bilang karagdagan, ipinapalagay na ang isang Ф 1. Kung ang base a \u003d 10, kung gayon ang gayong logarithm ng numero c ay tinatawag na decimal at tinutukoy ang lgc, i.e. lgc = log10c. 2. Mga katangian ng logarithms. Ang mga katangian ng mga degree at logarithms ay magkakaugnay: Historical background Ang mga unang talahanayan ng logarithms ay aktwal na binuo ng German mathematician na si M. Stiefel (). Ang Scottish mathematician na si J. Napier sa kanyang gawain na "Paglalarawan ng kamangha-manghang talahanayan ng mga logarithms" (1614) ay binalangkas ang mga katangian ng logarithms, ang mga patakaran para sa paggamit ng talahanayan at nagbigay ng mga halimbawa ng mga kalkulasyon. Mula noon, sa mahabang panahon, ang logarithms ay tinawag na "non-Peer". Mga katangian ng mga kapangyarihan logarithms log(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga na may n 3. Basic logarithmic identity. Ang mga pagkakapantay-pantay na a b = c at b = logac ay nagpapahayag ng parehong ugnayan sa pagitan ng mga numerong a, b at c. Ang pagpapalit sa pagkakapantay-pantay a b = c ang representasyon ng numero b sa anyo ng isang logarithm, nakukuha natin ang pangunahing logarithmic identity: isang log c = c. Ang pagpapalit ng representasyon ng kapangyarihan ng c sa pagkakapantay-pantay b = logac, makakakuha tayo ng isa pang pagkakakilanlan: logaa ft = b. 4. Paglipat sa isang bagong base. Ang logarithm ng mga numero ay proporsyonal sa isa't isa sa iba't ibang dahilan: J. Napier () Anuman si J. Napier, ang Swiss mathematician, astronomer at watchmaker na si I. Burgi (), na nagtrabaho kasama ang dakilang I. Kepler, na inilathala noong 1620 katulad , kahit na hindi gaanong perpekto, mga logarithmic na talahanayan. Ang pangunahing logarithmic identity logax = fclogbx. alog C _c
37 Mga aplikasyon ng logarithms 1. Paglipad ng isang variable na mass rocket. Iniuugnay ng pormula ni Tsiolkovsky ang bilis ng rocket at ang masa nito m: v = kvx\g, m kung saan ang v1 ay ang bilis ng mga papalabas na gas; m0 launch mass ng rocket; k koepisyent. Ang bilis ng pag-agos ng gas Wj sa panahon ng pagkasunog ng gasolina ay mababa (kasalukuyang mas mababa ito sa o katumbas ng 2 km/s). Ang logarithm ay lumalaki nang napakabagal, at upang maabot ang bilis ng espasyo, kinakailangan na gawing malaki ang ratio, ibig sabihin, ibigay ang halos lahat ng panimulang masa para sa gasolina. 2. Soundproofing na mga pader. Ang koepisyent ng pagkakabukod ng tunog ng mga dingding ay sinusukat ng sumusunod na formula: kung saan ang p0 ay ang presyon ng tunog bago ang pagsipsip; p ay ang presyon ng tunog na dumadaan sa dingding; At ilang pare-pareho, na sa mga kalkulasyon ay kinuha katumbas ng 20 dB. Kung ang koepisyent ng pagkakabukod ng tunog D a ay 20 dB, pagkatapos ay lg ^ - \u003d 1 at P p0 \u003d Yur, i.e. binabawasan ng dingding ang presyon ng tunog ng 10 beses (isang kahoy na pinto ay may tulad na pagkakabukod ng tunog). Р Paglalapat ng mga katangian ng logarithms 1. Pagkalkula ng logarithms. log2256 = log22 8 = 8; lg0.001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Ang koepisyent ng proporsyonalidad k ay kinakalkula tulad ng sumusunod: k = log, a o k = logab. Ito ay tinatawag na modulus ng paglipat mula sa isang base ng logarithm sa isa pa. Sa partikular, logax = log!-, rx since loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C Bakit kailangan ang logarithms? buhay ng mga astronomo. Sa katunayan, ang unang layunin ng logarithms ay upang pasimplehin ang mga kumplikadong kalkulasyon, kung saan ang pagpaparami gamit ang logarithms ay pinalitan ng karagdagan. Hanggang kamakailan, ang bawat engineer ay may dalang slide rule sa kanyang bulsa, kung saan maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga kalkulasyon na ginagawa na ngayon sa isang calculator. Sa tulong ng logarithms posible na lutasin ang mga problema na kabaligtaran sa exponentiation: kung a x = b, kung gayon ang hindi kilalang x ay maaaring isulat bilang logab. Sa kasong ito, hindi ang posibilidad ng pagsulat mismo ang mahalaga, ngunit ang katotohanan na, sa pamamagitan ng pagbabago ng b, ibig sabihin, isinasaalang-alang ang x = loga at bilang isang function ng bj natutuklasan namin ang isang bagong ha functional dependency. Ang mga logarithmic function ay makabuluhang napunan ang stock ng mga dependency na magagamit nang medyo simpleng pag-aaral. Bakit ang mga logarithms ay may mga maginhawang katangian? 1. Katibayan ng mga patakaran para sa logarithms. Lahat ng logarithm rules ay napatunayan gamit ang power properties. Patunayan natin, halimbawa, ang panuntunan para sa logarithm ng isang produkto: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm. 36
38 Ipahiwatig ang logac! = bly logac2 = b2. Ayon sa pangunahing logarithmic identity, mayroon kaming Y \u003d cx, a h \u003d c2- Multiply ang mga pagkakapantay-pantay na ito: abiabz \u003d CiC2\u003e Ayon sa ari-arian ng mga degree a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, i.e. Clc2 \u003d a bl + b2. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm bz + + b2 = loga(cic2), pagkatapos l0ga(c!c2) = logac! + logac2, na kung ano ang gusto naming patunayan. kung saan ang loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta Ang formula na ito ay madalas na binabasa tulad ng sumusunod: ang logarithm ng isang numero sa bagong base ay ang logarithm ng numero sa lumang base na hinati ng logarithm ng bagong base sa lumang base Ang proportionality factor ay maaaring nakasulat bilang k = log ab since logai > logba = 1 (ilagay ang x = b sa formula) 2. Logarithm 2 f Given: A = (looa 3 &j. Find: lga. Solution. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. Potentiation (paghanap ng expression sa pamamagitan ng logarithm nito) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 =log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Paglipat sa isang base. Ibinigay: A = logj a - log^a og8a. 4 Pumunta sa base 2. Solusyon. Tandaan na ang log22* = k ito ay makakatulong sa iyong pasalita na mahanap ang transition modulus. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ Mga tanong at pagsasanay 1. Kalkulahin: 1) log a, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3; 1 a f? ibinigay na pagpapahayag sa base a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab
39 3. Hanapin ang expression A sa pamamagitan ng logarithm: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - Sa cos L; (In ay ang logarithm na may base e (e "2.71828), na tinatawag na natural na logarithm); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Tukuyin kung alin sa mga numero ang mas malaki: 5) log34 o 1; 1) log32 o 0; 2) log j 3 o 0; 6) log! o 1; n 8 9) log! 7 o log, 10; 10) log, O log!. Z 5 Z 7 3) log-o 7) log23 o log25; 4) logx o 0; 8) log27 o l g2-; 5. Palitan ang logarithms log, a, log8a, log! a, log2a, log3a sa base logarithms Hanapin ang: 1) logg9 kung logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915 kung log 25 = a; Aralin 5 Exponential at logarithmic functions Pitong arithmetic operations Addition Multiplication Exponentiation a + b = c Subtraction Division Extracting the root Logarithm c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logac = b Ano ang ibinibigay ng mga bagong kapangyarihan at logarithm para sa pag-aaral ng mga function? 1. Isang dependency tatlong function. Isaalang-alang natin ang tatlong variable na x, y at z, na konektado ng dependence z x = y. Inaayos namin ang halaga ng variable r = a sa pamamagitan ng pag-aatas na matupad ang mga kundisyon a > 0 at Φ 1. Maaari naming isulat ang relasyon sa pagitan ng iba pang dalawang variable bilang y = ax. Sa pamamagitan ng arbitraryong pagpapalit ng x, nakakakuha tayo ng exponential function, o exponential. Ipahayag natin ang variable na x bilang isang function ng y mula sa parehong kaugnayan y = ax: x = logay. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng y bilang argumento, nakakakuha tayo ng logarithmic function. Kung sa parehong ratio r x = y ayusin namin ang index x = k, pagkatapos ay makuha namin ang pamilyar na function ng kapangyarihan y = z k. Higit pang software
40 ay makakakuha ng isang power function, 1 z hanggang y \ z = y k. Siyempre, sa lahat ng mga transition na ito, dapat sundin ng isa ang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga variable. Nagawa na natin ito para sa exponential function na y = a x, sa pag-aakalang a > 0 at Φ 1. Para sa logarithmic function x = logay, kailangan din nating dagdagan na ang y ay positibo, dahil ang isang x > 0, at upang matukoy ang x mula sa Ang kaugnayan ng a x = y ay kinakailangan para ang y ay mas malaki sa 0. Isipin mo mismo kung anong mga paghihigpit ang kailangan mong ipataw sa mga variable upang isaalang-alang ang mga function ng kapangyarihan. 2. Properties at graph ng exponential function y \u003d a x: domain of definition: ang set ng lahat ng real number R; monotonicity: para sa isang > 1, ang function na y \u003d a x ay tumataas, para sa 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; mga pagitan ng pare-parehong tanda: - para sa a> 1 y = 0 para sa x = 1; sa< 0 при 0 < х < 1; у >0 para sa x > 1; - sa 0< а < 1 у < 0 при х >isa; y > 0 sa 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >Ang 1 ay tumataas sa buong domain ng kahulugan, sa 0< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2
41 Radioactive decay Pagtaas ng populasyon Barometric formula Talaan ng logarithms a log2a log a 2 1 0.47712 hanggang 1.01030 (Hanapin ang mga relasyon sa pagitan ng mga numero sa talahanayang ito!) nakaraang aralin). radioactive decay. Ang pagbabago sa masa ng radioactive substance ay nangyayari ayon sa formula m(t) = m0-2~ s, kung saan ang m0 ay ang masa ng substance sa unang sandali t = 0; t ay ang masa ng bagay sa oras t; k ay ilang pare-pareho (kalahating buhay). Paglaki ng populasyon. Ang pagbabago sa populasyon sa bansa sa loob ng maikling panahon ay inilalarawan nang may mahusay na katumpakan ng formula N = N02 at, kung saan ang N0 ay ang bilang ng mga tao sa t = 0; N ay ang bilang ng mga tao sa oras t; ngunit ilang pare-pareho. Ang isang katulad na formula ay ginagamit upang kalkulahin ang pagbabago sa bilang ng mga indibidwal sa mga populasyon ng hayop sa ilalim ng ilang mga kundisyon (halimbawa, kapag may sapat na pagkain at walang mga panlabas na kaaway). barometric formula. Bumababa ang presyon ng hangin sa taas (sa pare-parehong temperatura) ayon sa batas p = p0e n, kung saan ang p0 ay ang presyon sa antas ng dagat (h = 0); p presyon sa taas h; Ang H ay ilang pare-pareho depende sa temperatura. Sa temperatura na 20 CJ - 7.7 km. 2. Tungkulin ng pundasyon a. Kailangan bang isaalang-alang ang exponential at logarithmic function na may iba't ibang base ng a? Sa katunayan, ito ay sapat na upang limitahan ang ating sarili sa isang base, halimbawa, pagkuha ng a = 10. Sa katunayan, a* = 10**, kung saan k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga. Ayon sa formula para sa paglipat sa isa pang base, nakakakuha kami ng loga * = k \ gx, kung saan k \u003d!. lga Samakatuwid, sa halip na mga function ng form y \u003d a x, kami maaaring isaalang-alang ang mga function na may parehong base, ngunit may isang koepisyent sa halaga ng argumento: y = 10** Katulad nito, para sa logarithmic function, 40
42 Isinasaalang-alang namin ang mga function na may nakapirming base, ngunit may koepisyent sa halaga ng function: y = k\gx. Ang ilang mga base ay gumaganap ng isang espesyal na papel: isang \u003d 10 (decimal logarithm). Dahil sumusulat kami ng mga numero sa decimal notation, ang pagsusulat ng numero sa form A \u003d Yu "unit ay nakakatulong na maunawaan ang pagkakasunud-sunod ng numero A. Tandaan na para sa natural na numero A, ang numero + 1 ay nagpapakita ng bilang ng mga digit sa decimal notasyon ng numerong A ([a] ay tumutukoy sa integer na bahagi ng numero a); a \u003d 2 (binary logarithm. Sa computer science, binary number system ang ginagamit; a \u003d e (natural logarithm). Ang numerong ito ay pinangalanan sa L. Euler, ito ay hindi makatwiran at humigit-kumulang katumbas ng 2.7. Bakit ang mga nakalistang katangian ng exponential at 1. Monotonicity ng exponential function Kunin ang base a > 1. Pinatunayan namin na xx< х2 =>a* 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 para sa x > 0 (isipin kung bakit). Susunod, gawin ang pagbabagong-anyo: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). Ang parehong mga salik sa produktong ito ay positibo, kaya a* 2 > a* 1. Kapag pinapalitan ang a by, makukuha natin ang patunay ng a na y = a x sa 0< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. Patunayan natin na 0< < х2 =>logax!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 para sa x > 1 (isipin kung bakit). Gawin natin ang pagbabagong-anyo: loga x2 - loga xr = => 0, mula noong 0< хг < х2 =>> Palitan ang a ng, pagkatapos ay 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41
43 graph ng mga function y \u003d a "at y \u003d logax at mga kahulugan. 3. Symmetry ng mga graph ng mga function y \u003d a x at y \u003d loga; t. Ang mga graph ng mga function na ito ay simetriko sa isa't isa patungkol sa tuwid na linya y \u003d x. Kumuha tayo ng isang punto P(c; d) sa graph ng function na y \u003d a x. Sa pamamagitan ng kondisyon d = a. Pagkatapos c = logad at ang puntong Q(d; c) ay nasa graph ng function na y = \ogax. Ang mga puntong PhQ ay simetriko sa isa't isa na may paggalang sa tuwid na linya y = x. Paano ginagamit ang mga katangian ng exponential at logarithmic function sa paglutas ng mga problema? Paghahambing ng mga halaga ng mga numerical na expression a * 1\u003e isang "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, a< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. Ang function ay tumataas sa buong tunay na axis, kaya para sa anumang mga numero xx at x2 tulad na xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Ginamit namin ang monotonicity function ng kapangyarihan y \u003d x 4 para sa x\u003e 0: para sa anumang 0< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. Samakatuwid 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). Sagot: x< 0 и х >4, o x e (-oo; 0) at u (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). Ngayon ay kinakailangan upang matupad nang sabay-sabay ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay (x > 0; s i.e. D: x > 4. x-4> 0, 42
44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. Paghahanap ng range (OZ) ng isang function na ibinigay sa pagitan: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x 2 Ang function na y - 2 x ay tumataas kasama ang buong numerical axis 2. Ang pinakamaliit na halaga nito sa pagitan ay naabot sa kaliwang dulo, i.e. sa x \u003d 0 (na may y \u003d -), ang pinakamalaking halaga sa kanang dulo 2 x \u003d 2 => y \u003d 2. Kapag nagbago ang x mula 0 hanggang 2, ang mga halaga ng function na y ay pinupunan ang puwang mula hanggang 2. 2 Sagot:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0, at F 1; a > 1, x1< х2 =>a*i< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a>1.0<х1<х2=>=> log*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo «a* = x log X log x logs a logax = log X a ^ Mga tanong at pagsasanay 1. Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na exponential function ang tumataas at kung alin ang bumababa sa buong numero ng axis: 1) g/ = 5*; 3) j, = fjj ; 5) y = 2 x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. Bumuo ng mga graph ng mga sumusunod na function: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3 *; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2* -1; 6) r/ = 4 x Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng mga function na ibinigay sa pagitan: 1) y = 2 X + 2, [-1; isa]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43
45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x 2);/ = log2(l - x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Hanapin ang mga hanay ng mga function na tinukoy sa pagitan: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1), ; 4) y = log x + log2jc, . Aralin 6 Pagpapakita at logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay Mga Halimbawa 1. Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg Solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d Solusyon ng pinakasimpleng exponential inequalities:. 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" g 2<=>x > lg Solusyon ng pinakasimpleng logarithmic inequalities: log2x > -1; x>1. Si ODZ: x > 0; isa< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >isa; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; 20< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. Ano ang kapaki-pakinabang na tandaan kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga exponential at logarithmic function? 1. Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation: (a > 0, a # 1), at x = a k<=>x = k pinaghahambing namin ang mga kapangyarihan na may parehong base. (a > 0, a Ф 1, b > 0), at x = b<=>x = logof. 2. Solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation: (a > 0, a Ф 1), logax = logafe<=>x = k; logax = b<=>x = a b. 3. Solusyon sa pinakasimpleng exponential inequality: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >isang k<=>X< k; (а >1, b > 0), habang x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0), at x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >b<=>x ay anumang numero. 4. Solusyon ng pinakasimpleng logarithmic inequality: (a > 1, k > 0), logax > logafe
46 (a > 1), logax< Ь <=>O< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 Sagot: (-4; -3) at (0; 1). Graphic na solusyon ng exponential inequalities Ang indicator ay isang function ng x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 o x = 1 - log25. Sa halip na magsulat ng 5 \u003d 2 1o6a5, maaari mong logarithm ang parehong bahagi ng equation sa base 2: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. Ang mga termino ay naiiba sa 5 x sa pamamagitan lamang ng pare-parehong mga kadahilanan : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5 x = 5<=>x = 1.2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 walang solusyon => x \u003d 1. -0.37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0.37 45
47 logarithmic inequalities \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. Ngayon ang paglipat ay hindi nagpapanatili ng pagkakapareho ng ugat linear equation 2 - x = = 5-2x ay hindi nahuhulog sa ODZ ng orihinal na equation. Sa x \u003d 3, ang mga halaga ng mga pag-andar sa ilalim ng tanda ng logarithm ay talagang pantay-pantay: 2-3 \u003d \u003d -1, ngunit negatibo => walang mga ugat. 7 log! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 Lumipat tayo sa base 2: Ang isang equation ng form 2 nx) \u003d 2 ay katumbas ng equation f (x) \u003d a. Sa pangkalahatan, ang equation na a 2x + pa x + q \u003d O ay binabawasan sa isang quadratic equation y 2 + py + q \u003d O sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na a x \u003d y. Kapag "potentiating" ang equation, i.e. kapag pumasa mula sa equation patungo sa equation, log2/(x) = a fix) = 2", hindi na kailangang mag-alala tungkol sa ODZ, ibig sabihin, hindi na kailangang suriin ang kundisyon f(x) > 0, dahil para sa anumang x na nakakatugon sa pag-aayos ng equation) = 2", ang halaga ng f(x) katumbas ng 2", ay positibo. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Isulat muli ang equation: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. Ang mga paglipat sa pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ay ginaganap nang katulad ng x<-<^2 2х <2" 2 <^>ika-2<-2<^ х>at log2(2 -x)<0=>ika-2<1=>w>1. Ang paglipat ay hindi pantay. Kailangan nating idagdag ang kundisyon 2-x>0<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>( 2<1, х>1. Sagot: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46
48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10 x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x -5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2" x 17 20) 2x -2 x Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: 1 1) 2 x< 16; 3) >isa; 2 5) 4 x1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; 4)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > Lutasin ang mga equation: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l - 3x) = 3; 4) log4(2 - x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; h 4. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); 9) log3(x - 5) = log3(2 - x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. PAG-UUSAP Pagkalkula ng mga kapangyarihan at logarithms Background Ngayong madaling hawakan ng bawat tao ang kanyang sarili ng isang calculator o isang mas makapangyarihang tool sa pag-compute, mahirap isipin kung gaano karaming problema ang naidulot ng mga kalkulasyon sa isang tao sa nakaraan. Ang pag-imbento ng logarithms ay isang malaking hakbang patungo sa paglutas mga praktikal na gawain nauugnay sa computing. Ang kakayahang gumamit ng logarithms upang bawasan ang multiplikasyon sa karagdagan, at ang pagbuo ng 47
49 sa kapangyarihan ng pagpaparami, kinakailangan na mag-compile ng mga sub-table ng logarithms, na umiral mula pa noong simula ng ika-17 siglo. Hanggang kamakailan lamang, ang mga aklatan ay may makapal na dami ng mga talahanayan kung saan ang mga halaga ng logarithms na may maraming decimal na lugar ay ibinibigay, isang hiwalay na "Table of Four-Digit Logarithms" ay kasama sa mandatoryong set ng mga aklat-aralin sa paaralan, at bawat engineer ay nagdadala isang slide rule sa kanyang bulsa, na dapat gawin ng bawat mag-aaral. . Ang umuusbong na kadalian sa pagsasagawa ng mga kalkulasyon mismo ay nagpalala ng isa pang problema: kung naiintindihan ng isang tao na gusto niyang kalkulahin, kung paano magtakda ng isang computational na gawain para sa isang computer o iba pang teknikal na aparato, kung paano isalin ang gawaing ito sa isang wika na naiintindihan ng device na ito. Kapag nagkalkula ng mga degree, dapat matutunan ng isa na makita sa likod ng iba't ibang mga pangalan at pagtatalaga ng kanilang bait, pakiramdam ang koneksyon sa pagitan nila, magkaroon ng karanasan at kumpiyansa na palagi mong (marahil sa tulong ng mga libro at guro) ay makakaunawa sa masalimuot at masalimuot na mga formula. Ang mga logarithms (sa kabila ng pagiging kumplikado ng kanilang notasyon) ay tiyak na inangkop upang pagsama-samahin ang iba't ibang mga problema na nauugnay sa mga kapangyarihan. Sa mga problema sa computational, may mga kapangyarihan ng iba't ibang mga numero sa. (2.1) iba't ibang mga kumbinasyon, halimbawa, kapag kinakalkula ang expression A \u003d 3, kinakailangan upang itaas ang iba't ibang mga numero sa isang kapangyarihan, i-multiply at hatiin ang mga kapangyarihan. Bakit napakaraming degree? Posible bang makayanan ang antas ng isang pundasyon? Syempre kaya mo. Upang kalkulahin ang expression A gamit ang isang calculator na maaaring 10 5 *i - K) 10 * 2 kalkulahin ang 10*, ang lahat ng mga numero ay dapat na bawasan sa kapangyarihan ng 10: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ kung saan ^ k 2n k3 logarithms ng mga numero 2,1; 7 at 3 sa base 10. Maaaring mapansin din ng isang matulungin na mambabasa na 3 7 2.1 = at gumawa ng mga pagpapasimple: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, inaalis ang logarithm ng numero 2.1. Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga kapangyarihan Ang unang tuntunin. Pumili ng isang maginhawang base, halimbawa, a, at bawasan ang anumang kapangyarihan sa base a, i.e. kumakatawan sa anumang kapangyarihan c* sa anyong a kx para sa ilang k. Ang coefficient k na ito ay ang logarithm: c \u003d isang log e, samakatuwid, na nagsasaad ng logac ng k, nakukuha namin: c x \u003d (a "" g "c f \u003d \u003d a kx. Ang panuntunang ito ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng isang base Sa ilang mga problema, madaling kumuha ng = 10 ( decimal logarithms), sa iba (lalo na sa mga discrete na problema) a = 2, sa iba, ang unibersal na base e, na maginhawa sa mga kasong iyon kapag kailangan mong tantyahin ang rate ng paglago ( natural logarithms).
50 Pangalawang panuntunan. Kapag kumukuha ng logarithms, maaari ka ring pumili ng isang maginhawang base at bawasan ang lahat ng logarithms sa base na ito. Mayroong isang espesyal na pormula para dito, na nakuha nang mas maaga. Sa ilang mga problema, madaling kunin ang logarithms sa base 10 (decimal logarithms), sa iba pang mga problema, ang natural na logarithms ay magiging kapaki-pakinabang, sa pangatlo (discrete) na mga problema na madalas na ginagamit ng isang tao. binary logarithms base 2 logarithms. Kaya, mahalagang tandaan na ang matematika ay lumikha ng isang apparatus para sa pagpapasimple ng trabaho gamit ang mga kapangyarihan, na nagpapahintulot sa iyo na kumonekta sa iba't ibang kinakatawan na mga expression at function.
51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50
52 ang linya at ang eroplano ay walang karaniwang mga punto: ang linya ay parallel sa eroplano. 4. Pag-aayos ng dalawang linya: dalawang linya ang nasa parehong eroplano. Pagkatapos ay mayroong dalawang mga posibilidad: alinman sila ay nagsalubong, ibig sabihin, mayroon silang isang karaniwang punto, o sila ay parallel, i.e. walang mga karaniwang punto (at huwag kalimutan na sa kasong ito ang mga linya ay nasa parehong eroplano); huwag magsinungaling sa parehong eroplano. Ang ganitong mga linya ay tinatawag na intersecting. Siyempre, ang mga skew na linya ay walang mga karaniwang punto, kung hindi, sila ay magsisinungaling sa parehong eroplano. 5. Paano malalaman kung ang dalawang linya ay nagsasalubong: hanapin ang eroplano kung saan ang isa sa mga linyang ito ay namamalagi, at ang pangalawa ay nagsalubong sa eroplanong ito, ngunit sa parehong oras sa isang punto na hindi nakahiga sa unang linya; kailangan mong malaman na ang mga ito ay hindi parallel, ngunit maaaring matatagpuan sa dalawang parallel na eroplano. Bakit tama ang enumeration ng relatibong posisyon ng mga linya at eroplano? Ito ay isang medyo mahirap na tanong. Mula sa isang visual na pananaw, lahat (o halos lahat) ng nasa itaas ay kitang-kita. Gayunpaman, hindi posibleng patunayan ang lahat ng katotohanan sa itaas; gumagamit sila ng ilang inisyal, paunang konsepto ng isang punto, isang tuwid na linya, isang eroplano, espasyo, at wala tayong maaasahan, maliban sa ating mga visual na representasyon at intuwisyon. Mula noong panahon ni Euclid, ang relasyon sa pagitan ng mga pangunahing konsepto ay inilarawan ng ilang mga kumbensyon ng mga axiom, kung saan ang mga bagong kahihinatnan ay maaaring makuha sa isang lohikal na paraan. Siyempre, napakaraming mga paunang kasunduan ng mga axiom ang ginawa (at ang ilan pa, kailangan din para sa mahigpit na mga patunay, ay hindi pa nabuo), ang kanilang bilang ay maaaring mabawasan. Patunayan natin, halimbawa, ang unang criterion para sa mga skew na linya na may reference sa mga naunang assertion. Pagsasaayos ng isang tuwid na linya at isang eroplano a a Pagsasaayos ng dalawang tuwid na linya a p b = O «IIb 51 I
53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, na naglalaman ng linya at mayroon lamang isang karaniwang puntong P na may linyang 12. Kinakailangang patunayan na ang mga linyang Zx at 12 ay nagsalubong, ibig sabihin, ay hindi humiga sa parehong eroplano. Kung ang mga linya at 12 ay nasa ilang eroplano (3), kung gayon ang linyang li at ang puntong P, na hindi matatagpuan sa linyang ito, ay makikita sa eroplanong ito. Ang parehong mga bagay ay nasa eroplano a. Dahil isa lamang eroplanong naglalaman ng linya at hindi ang puntong pag-aari nito, pagkatapos ang eroplanong p ay sumasabay sa eroplanong a. Gayunpaman, ayon sa kondisyon, ang linya 12 ay hindi namamalagi sa eroplano a at mayroon lamang isang karaniwang punto dito. Ang nakuhang kontradiksyon ay nagpapatunay ang theorem. mga mukha ng isang kubo? Unang tanda ng nagsasalubong na mga linya Ibinigay: 12 e a, n a = P, P e 12 Patunayan: 1x-12. Isaalang-alang ang kubo ABCDA "B" C "D". Mga linya at eroplanong dumadaan sa mga vertices , mga gilid o mukha ng kubo , ipapahiwatig namin gamit ang mga titik na nagsasaad ng mga vertices. Halimbawa, isang tuwid na linya AB o isang eroplanong AA "BB". Ayusin natin ang isang gilid, halimbawa, AA". 1) Aling mga gilid ang kahanay ng gilid AA"? Ito ang mga gilid BB", SS", DD". 2) Anong mga gilid ang namamalagi sa mga linyang nagsa-intersecting sa linyang AA"? Ito ang mga gilid AD, AB, A"D" at A"B". 3) Anong mga gilid ang nakahiga sa mga linyang bumalandra sa linyang AA "? Ito ang mga gilid B "C", C "D", BC at CD. Para sa patunay, maaari mong gamitin ang tanda ng mga skew na linya. Kaya, ang eroplano Ang "B" BA ay naglalaman ng linyang AA " at nag-intersect sa linyang B "C". Ang mga katulad na eroplano ay matatagpuan para sa natitirang tatlong gilid. 4) Ilang pares ng magkatulad na gilid ang mayroon? Para sa isang gilid, mayroong tatlong mga gilid na kahanay nito. Mayroong 12 mga gilid sa kabuuan. Kaya, mayroong 52
54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC na kahanay ng pangalawa) ay magiging 3 12 = 36. Magkakaroon lamang ng kalahati ng maraming magkatulad na pares, dahil ang bawat isa sa kanila ay binibilang nang dalawang beses (halimbawa, AA "BB", BB "AA"). Sagot: 18 pares. 5) Ilang pares ng mga intersecting edge at pares ng crossing edge ang mayroon? Ang pagkalkula ay ginagawa sa parehong paraan: (4 12) : 2 = 24 at (4 12) : 2 = 24. Suriin natin kung ang lahat ng pares ng mga gilid ay isinasaalang-alang. Sa kabuuan, ang bilang ng mga pares ay (1211):2 = 66. Sa kabilang banda, = 66. Ang bawat isa sa 66 na pares ng mga gilid ay nahulog sa eksaktong isang pangkat ng mga pares ng parallel, intersecting o tumatawid. Katulad nito, maaari nating kalkulahin na mula sa (6-5): 2 = 15 pares ng mga eroplano na naglalaman ng mga mukha ng isang kubo, mayroong 3 pares ng parallel (mga pares ng magkasalungat na mukha) at 12 pares ng intersecting: (4-6) : 2. Par (tuwid na linya, eroplano) mayroong 12-6 = 72 sa kabuuan. Mayroong 6-4 = 24 na mga pares kung saan ang tuwid na linya ay nasa eroplano. Mayroong 6-4 = 24 na pares kung saan ang tuwid linya ay parallel sa eroplano, at ang parehong bilang ng mga pares kung saan ang tuwid na linya intersects ang eroplano. Sagot: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD Mga tanong at pagsasanay 1. Paano matutukoy ang isang eroplano? 2. Paano matatagpuan ang dalawang eroplano? 3. Paano matatagpuan ang isang linya at isang eroplano? 4. Paano matatagpuan ang dalawang linya 5. Paano malalaman kung ang dalawang linya ay skew? 6. Anong mga pares ng mga gilid ng isang quadrangular pyramid ang nakahiga sa mga skew na linya? 7. Given a cube ABCDA"B"C"D". Pangalanan ang mga gilid parallel sa gilid AA" . 8. Cube ABCDA"B"C"D" ay ibinigay. Ilista ang mga gilid na nasa mga guhit na nagsasalubong sa linyang AA". 9. Given the cube ABCDA"B"C"D". Ilista ang mga gilid na nasa mga guhit na nagsa-intersect sa linyang AA". 53
55 sa labas ng nangungunang gilid MCJJCO otu irimush p ay nag-intersect sa eroplanong BB"D"D kasama ang ilang tuwid na linya, na dapat ay parallel sa MN (feature 2). Ang point R ay nasa linyang ito ng intersection. Sa gayon ay makukuha natin ang linyang ito sa pamamagitan ng pagguhit ng isang tuwid na linya sa eroplanong BB "D" D hanggang sa puntong R, parallel sa dayagonal B.D. Ang linyang ito ay bumabagtas sa mga gilid na BB" at DD" sa ilang mga puntong S at T. Ang pentagon na MSPTN ang kinakailangang seksyon. Kung kukunin natin ang puntong P sa linyang CC na "bahagyang mas mataas kaysa sa puntong C", pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang heksagono sa seksyon, ang isa sa mga gilid nito ay kahanay sa MN (tampok 3). Kapag ang seksyong ito ay dumaan sa gitna ng kubo, makakakuha ka ng isang regular na hexagon. Suriin ang pahayag na ito at isaalang-alang para sa iyong sarili ang iba pang mga seksyon ng kubo na dumadaan sa linyang MN. Mga tanong at pagsasanay 1. Bumuo ng tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano. 2. Bumuo ng tanda ng parallelism ng dalawang eroplano. 3. Anong mga numero ang maaaring makuha sa seksyon tatsulok na prisma eroplano? 4. Anong mga figure ang maaaring makuha sa isang seksyon ng isang kubo sa pamamagitan ng isang eroplano? 5. Patunayan na ang mga eroplanong dumadaan sa mga punto (A, D", B") at (C", B, D) ng kubo ABCDA"B"D"C" ay magkatulad. 6. Aling mga gilid ng kubo ABCDA Ang "B"D "C" ay bumalandra sa linya MN Aralin 3 Anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano Anggulo sa pagitan ng mga linya Paano tinukoy ang mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano? patayong mga anggulo). Upang itakda ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa espasyo, kailangan mong pumili ng di-makatwirang punto at gumuhit ng mga linya parallel sa data sa pamamagitan nito. Ang mga halaga ng mga itinayong anggulo ng eroplano ay hindi nakasalalay sa pagpili ng panimulang punto. 56
56 dalawang linya sa espasyo na tumutugma sa isang tamang anggulo ay tinatawag na patayo. 2. Tuwid na linya, patayo sa eroplano. Ito ang pangalan ng mga linyang patayo sa anumang linya sa eroplanong ito. Gamit ang konseptong ito, maaaring tukuyin ng isa ang orthogonal projection ng isang punto sa isang eroplano. Ang projection papunta sa eroplano a ng isang puntong P na hindi nakahiga sa eroplanong ito ay isang puntong P" na kabilang sa eroplano a na ang linyang PP" ay patayo sa eroplano a. Ang projection ng isang puntong nakahiga sa eroplano a ay itinuturing na mismong puntong ito. Kung gusto mong i-project ang isang tiyak na figure papunta sa eroplano a, dapat mong i-project ang lahat ng punto ng figure na ito dito. 3. Anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano. I-project natin ang isang tuwid na linya papunta sa isang eroplano. Kung ang isang linya ay patayo sa isang eroplano, ang projection nito ay magiging isang punto. Kung hindi, ang projection ay magiging ilang tuwid na linya. Sa kasong ito, ang linya ay sinasabing inclined sa eroplano. Ang anggulo sa pagitan ng isang hilig na eroplano at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at ang projection nito sa eroplanong iyon. 4. Anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano. Upang sukatin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano, kinakailangan na pumili ng isang punto sa linya ng intersection ng mga eroplanong ito at gumuhit ng isang tuwid na linya sa bawat eroplano, patayo sa linya ng intersection. Ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga eroplano. Dalawang eroplano ay patayo, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tama. kung Bakit kailangan natin ang konsepto ng perpendicularity sa kalawakan? Ang linya ay patayo sa eroplano m±n, m±a, mlb, m±c Orthogonal projection ^^ Anggulo sa pagitan ng mga eroplano sa Sa tulong ng perpendicularity, maaaring matukoy at makalkula ang iba't ibang distansya sa espasyo. 1. Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay kinakalkula bilang ang haba ng patayo na bumaba mula sa puntong ito hanggang sa eroplano (ang distansya mula sa ibinigay na punto hanggang sa projection nito papunta sa eroplano). 57
57 L a ± P Pagpapasiya ng mga distansya ta 2. Ang distansya sa pagitan ng dalawa parallel na eroplano ang haba ng segment ng karaniwang patayo sa mga eroplanong ito, na nakapaloob sa pagitan ng mga eroplanong ito, ay isinasaalang-alang. 3. Kung ang isang tiyak na pigura ay ibinigay sa eroplano, kung gayon ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto sa espasyo hanggang sa figure na ito ay tinukoy bilang ang pinakamaliit sa mga distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang arbitrary na punto ng figure na ito. I-project ang puntong ito sa isang eroplano. Kung gayon ang punto ng figure na pinakamalapit sa ibinigay na punto ay magiging pinakamalapit din sa projection nito, at vice versa, upang mahanap ang punto ng figure na pinakamalapit sa ibinigay na punto, sapat na upang mahanap ang punto na pinakamalapit sa projection nito. 4. Ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano, na tinukoy bilang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at ang projection nito, ang magiging pinakamaliit sa mga anggulo na nabuo ng tuwid na linya na ito gamit ang mga arbitrary na tuwid na linya ng eroplano. 5. Ang distansya sa pagitan ng dalawang intersecting na linya ay kinakalkula bilang haba ng karaniwang patayo. a-b, ajua, h ± a, h ± b Paano makatwirang matukoy at makalkula ang mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano sa kalawakan? Para dito, kapaki-pakinabang na gumamit ng vector calculus at trigonometric function. Ang tanong na ito ay tatalakayin pa (tingnan ang Kabanata 5). Ngayon bilang magandang halimbawa isaalang-alang ang mga anggulo sa pagitan ng iba't ibang linya at eroplano sa isang kubo. 1. Ang bawat gilid ng kubo, halimbawa, ang gilid AA", ay patayo sa dalawang mukha ng kubo. Ito ay patayo sa anumang mga linyang nakahiga sa mga mukha na ito, lalo na, hanggang sa walong gilid. 2. Ang bawat mukha ng kubo ay patayo sa apat na iba pang mukha. 3. Isaalang-alang ang anumang dayagonal ng kubo, halimbawa, AC ". Ang projection nito sa eroplanong ABCD ay magiging dayagonal ng base AC. Ang anggulo a ng pagkahilig ng dayagonal AC "sa eroplano ng base ay ang anggulo C" AC. Madaling kalkulahin ang trigono-
58 metric functions ng anggulo a gamit ang right triangle AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. Isaalang-alang ang isang seksyon na dumadaan sa dalawang magkasalungat na gilid ng isang kubo (diagonal section), halimbawa, section AB "C" D. Ang anggulo nito sa base plane ABCD ay tinukoy bilang anggulo sa pagitan ng mga linya C "D at DC. Ang anggulong ito ay pantay. Ang anggulo A "OA ang magiging ninanais, dahil ang AO at A" O ay patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ Mga tanong at pagsasanay 1. Paano matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga skew na linya sa espasyo? 2. Anong linya ang tinatawag na patayo sa eroplano? 3. Paano tinutukoy ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano? 4. Paano kinakalkula ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano? 5. Paano tinutukoy ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano? 6. Paano tinutukoy ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya? SH CONVERSATION Euclid's Geometry Panimula Isang modelo ng lohikal na pagiging perpekto para sa higit sa dalawang libong taon ay ang paglalahad ng mga prinsipyo ng geometry, na isinagawa ni Euclid noong ika-3 siglo. BC. Masasabing ang paglalahad na ito ay ang tanging halimbawa ng isang mahigpit na teorya sa matematika sa kasaysayan ng sangkatauhan, kung saan 59
59 Euclid (huling bahagi ng ika-43 siglo BC) Sinaunang Griyego na matematiko, may-akda ng akdang "Mga Simula" sa 13 aklat, na binabalangkas ang mga pangunahing kaalaman ng geometry, teorya ng numero, isang paraan para sa pagtukoy ng mga lugar at volume, kabilang ang mga elemento ng teorya ng mga limitasyon, at higit pa. Pangalan ko ang isang tao. Hanggang ngayon, karamihan sa mga aklat-aralin sa geometry ay sumusunod sa landas na ipinahiwatig ni Euclid, at, halimbawa, hanggang kamakailan, ginamit lamang ng mga English schoolchildren ang modernong pagsasalin ng Euclid's Elements bilang isang aklat-aralin. Siyempre, sa pagtatapos ng XX siglo. kumalat din ang ibang pananaw. Nabibilang sila sa iba't ibang isyu. Narito ang ilan sa mga ito. Posible ba (at ito ba ay kapaki-pakinabang) na pag-aralan ang geometry, na iniiwan ang axiomatic na batayan nito? Kailangan bang maging pamilyar sa anumang teorya ng axiomatic sa loob ng balangkas ng pangkalahatang edukasyon at kultura? Kung gayon, angkop ba ang geometry ni Euclid para dito, at posible bang makahanap ng mas simple at mas madaling ma-access na mga halimbawa? Gaano ka flawless ang Euclidean geometry mismo? Hindi namin hawakan ang mga isyung ito. Ang mismong istraktura ng aklat na ito ay nagbibigay ng isang positibong sagot sa tanong kung posible, sa pag-aaral ng matematika, na gawin nang walang pamilyar sa pamamaraang axiomatic. Ngunit naniniwala kami na ang lahat tao ng kultura dapat na pamilyar sa kasaysayan ng tanong ng Euclidean geometry, nang hindi, gayunpaman, ikinonekta ito alinman sa aktwal na pag-aaral ng geometry, o may layuning makabisado ang isang bagong pamamaraan ng matematika. Euclid's axiomatics Ang unang pahina ng Euclid's Elements (1505 edition) Euclid's Elements (mas tiyak, bawat isa sa labintatlong aklat na bumubuo sa gawaing ito) ay bubukas na may mga kahulugan ng mga pangunahing konsepto. Narito ang ilang mga kahulugan mula sa unang pahina ng Mga Simula: "Ang isang punto ay yaong walang mga bahagi"; "Ang isang linya ay haba na walang lapad. Ang mga dulo ng linya ay mga tuldok; “Ang ibabaw ay yaong may lamang haba at lapad. Ang mga dulo ng ibabaw ng linya "; "Ang hangganan ay ang dulo ng isang bagay"; "Ang isang pigura ay yaong nakapaloob sa anumang mga hangganan." Ang mga kahulugan ay sinusundan ng mga pangunahing probisyon na tinanggap nang walang patunay,
60vj. ang pagkakaibang ginawa ni Euclid sa pagitan ng mga postulates at axiom ay hindi masyadong malinaw.) Narito ang ilang mga halimbawa. 1. Ang isang tuwid na linya ay maaaring iguhit mula sa bawat punto hanggang sa bawat iba pang punto. 2. Kung ang isang linya na bumabagsak sa dalawang linya ay bumubuo ng mga panloob na anggulo sa isang gilid, ang kabuuan nito ay mas mababa sa dalawang linya, kung gayon, na pinalawig nang walang katiyakan, ang mga linyang ito ay nagsalubong sa panig na ito. Ito ang sikat na ikalimang postulate, katumbas ng axiom ng uniqueness ng parallel. Pagkatapos, sa tulong ng mga pangunahing konsepto at axiom, ang mga theorems (proposisyon) ay napatunayan sa isang lohikal na paraan. Kaya, bilang pang-apat na pangungusap, pinatunayan ni Euclid ang "unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok." Siyempre, gumagamit si Euclid ng maraming bagay na wala talaga sa mga axiom (halimbawa, walang anuman tungkol sa superposisyon ng mga figure, na kadalasang ginagamit bilang isang uri ng eksperimento sa pag-iisip). Gayunpaman, maliban sa ilang mga detalye ng editoryal at linguistic, ang antas ng pagiging mahigpit ni Euclid ay itinuturing na lubos na kasiya-siya hanggang sa katapusan ng ika-19 na siglo. Modern axiomatics ng Euclidean geometry Tulad ng itinuro, halos lahat mga aklat-aralin sa paaralan ang mga geometries ay nagpaparami ng isa o isa pang axiomatic, at, bilang panuntunan, sa simula ng kurso. Kasabay nito, sinusubukan nilang gawing simple ang listahan hangga't maaari at sa parehong oras na maginhawa para sa pagpapatunay ng mga theorems. Ang modelo para sa naturang konstruksiyon, na isinasaalang-alang ang mga nagawa at ang wika ng matematika na nabuo sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, ay ang kapansin-pansin (bagaman hindi masyadong simple) na sistema ng mga axiom ng Aleman na matematiko na si Hilbert, na nilikha niya noong 1899. Tinutukoy ni D. Hilbert ang tatlong sistema ng hindi natukoy (pangunahing) bagay : mga punto, linya at eroplano. Pagkatapos ay ang "relasyon" sa pagitan ng mga ito ay postulated (pag-aari, pagiging sa pagitan, pagiging pantay-pantay, kapareho). Ang mga probisyong ito ay bumubuo ng limang grupo ng mga axiom. Halimbawa, ang sumusunod na pahayag ay nahulog sa pangalawang pangkat ng mga axiom ("axioms of order"), na binigyang pansin ng German geometer na si G. Pasch noong 1882 bilang isang kinakailangang axiom: "Kung ang isang tuwid na linya ay pumasok sa loob ng isang tatsulok sa pamamagitan ng isa sa mga gilid nito, ngunit hindi sa itaas nito, pagkatapos ay dapat itong lumabas mula dito sa kabilang panig. Ang ika-apat na pangkat ay binubuo ng isang axiom tungkol sa parallelism: "Sa anumang puntong nasa labas ng linya a, may dumadaan sa halos isang linya na kahanay ng a." 61
61 d" ang ikalimang pangkat ay kinabibilangan ng dalawang akishma tungkol sa pagpapatuloy, kabilang ang tinatawag na axiom ng Archimedes: "Para sa anumang mga segment a at b, ang mga segment na katumbas ng a ay maaaring ilatag sa kahabaan ng b nang napakaraming beses na sakop ng mga ito ang segment b." Non-Euclidean Geometry Sa loob ng dalawang libong taon walang nag-alinlangan (at walang nag-aalinlangan hanggang ngayon) sa halaga ng axiomatics ni Euclid. Ang tanging tanong, kung saan ang parehong mga propesyonal na mathematician at amateurs ay patuloy na nagbabalik, ay ang mga sumusunod: "Hindi ba posible na patunayan, na ihinuha ang ikalimang postulate ni Euclid mula sa natitirang mga axiom bilang isang tiyak na teorama." Libu-libong mga libro at artikulo ang naisulat tungkol sa paksang ito, ngunit ang pinakamahusay na nagawa ay ang palitan ang axiom ng parallelism ng isa pang pahayag na tila mas halata (at samakatuwid ay madalas na hindi napapansin), ngunit ito ay naging eksaktong katumbas ng ang ikalimang postulate. Sa kalagitnaan ng siglo XIX. naging malinaw na ang ikalimang postulate ay independiyente sa iba pang axiomatics ni Euclid sa kapansin-pansing kahulugan na, sa pamamagitan ng pagdaragdag sa natitirang bahagi ng sistema ng isang axiom na tumatanggi sa ikalimang postulate (halimbawa, sa ganoong anyo na hindi bababa sa dalawang linya ang pumasa. sa pamamagitan ng anumang puntong kahanay sa ibinigay), makakakuha tayo ng bago, hindi magkasalungat na sistema kung saan maaari nating iisa ang mga teorema na kasing-layo at kasingkahulugan ng mga nakuha sa geometry ni Euclid. Ang ganitong sistema, kung saan ang ipinahiwatig na listahan ng mga axiom ay nasiyahan (kabilang ang negation ng ikalimang postulate), ay tinawag na "non-Euclidean geometry". Sa kauna-unahang pagkakataon ang ganitong sistema ay malinaw na inilarawan ng kahanga-hangang Russian mathematician na si N.I. Lobachevsky, na naghatid ng ulat sa Kazan University noong 1826, at pagkaraan ng apat na taon nang detalyado mula kay Nikolai Ivanovich Lobachevsky () Russian mathematician; may-akda" Geometric na Pananaliksik on the theory of parallel lines”, isinalin sa Aleman, lumikha ng "non-Euclidean geometry" (Lobachevsky's geometry). Siya ay tinawag na "Copernicus sa Geometry", dahil ganap niyang ibinalik ang buong umiiral na sistema ng mga pananaw sa geometry. Para sa pag-unlad ng matematika, hindi lamang ang mga tiyak na theorems na pinatunayan ni Lobachevsky ay mahalaga, ngunit sa isang mas malaking lawak ang kanyang diskarte sa mga pundasyon ng agham. Ang mga katulad na resulta ay nakuha ni K. Gauss, ngunit wala siyang lakas ng loob na kumpletuhin ang mga ito at i-publish ang mga ito, ngunit nagkaroon siya ng siyentipikong katapatan upang iharap si Lobachevsky para sa halalan bilang isang kaukulang miyembro ng Göttingen Scientific Society at personal na ipaalam sa kanya ang halalan .
Inilathala ng 62 mathematician na si J. Boyai ang isang papel na may katulad na nilalaman. Pagkatapos ng isa pang 40 taon, ang mga halimbawa ng mga ibabaw ay itinayo kung saan ginanap ang Lobachevsky geometry. Mula sa Geometry hanggang Logic Ang kahulugan ng paggalaw mula Euclid hanggang Lobachevsky at higit pa kay Hilbert (o kahit isa sa mga kahulugang ito) ay binubuo ng pagpapalaya mula sa geometric visualization. Sa sistema ni Hilbert, hindi mo kailangang malaman kung paano "tumingin" ang mga punto at linya. Maaari silang (at dapat) ituring bilang mga bagay na kung saan ang inilalarawan lamang sa mga axiom ang nalalaman. Kaya, nagpapatuloy mula sa mga axiom, nakakakuha kami ng mga bagong resulta lamang sa tulong ng lohika. Ang pananaw na ito ay nagtataas ng dalawang bagong katanungan. Una sa lahat, tungkol sa geometry mismo. Ang pagkuha ng isang malaking bilang ng mga sapat na malalim na mga pahayag bilang mga kahihinatnan ng mga axiom (tulad ng, halimbawa, ay ginawa ni Lobachevsky) ay hindi mismo nagpapatunay sa pagkakapare-pareho ng itinayong sistema. Nasa pagtatapos ng XIX na siglo. naging malinaw na posibleng patunayan ang pagkakapare-pareho ng mga bagong sistema sa tulong ng mga modelo na nagpapatupad ng mga axiom ng system. Kaya, ipinapahiwatig ni Hilbert ang isang modelo para sa pagbuo ng Euclidean geometry sa tulong ng mga numero. Ang isa pang isyu ay nauugnay sa pagsusuri ng lohika mismo, na isinagawa nang may matinding intensidad noong ika-20 siglo.
63 Combinatorics Annotation 1 Combinatorial constructions Morse code Ang alpabeto ay binubuo ng dalawang character: isang tuldok at isang gitling. Pagbuo ng mga salita Mga salita ng haba. 1 Anong mga constructions (constructions) ang kadalasang ginagamit sa combinatorics? 1. Pagbubuo ng mga salita. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga character. Ang mga simbolo na ito ay tatawaging mga titik, at ang buong hanay ng mga titik ay tatawaging alpabeto. Mga salita na may haba 2 Ang salita ay isang pagkakasunod-sunod ng mga titik sa isang ibinigay na alpabeto. Mga salita na may haba 3 Ang bawat titik ng alpabeto ay maaaring gamitin nang isang beses, ilang beses, o hindi man lang. Gawain 1. Bilangin ang bilang ng mga salita na may haba k sa isang alpabeto ng n titik. May mga k lugar sa isang salita ng haba k. Inilalagay namin ang alinman sa mga n titik sa unang lugar. Kapag ang susunod na lugar ay napunan, ang bilang ng mga posibilidad ay tataas ng n beses. Sagot: n p... n = n k Ang bilang ng mga salita na may haba k k beses sa isang alpabeto ng n titik ay katumbas ng n k 2. Paglalagay. Isaalang-alang ang isang hanay ng mga bagay. Maghanda ng isang serye ng bakanteng upuan. Nakikilala natin ang pagkakasunud-sunod ng mga lugar na una, pangalawa, at iba pa. Upang punan ang isang hilera ay nangangahulugan na ilagay sa bawat isa sa mga lugar nito ang ilang bagay mula sa ibinigay na set (bawat bagay ay maaaring gamitin nang isang beses lamang). 54
64 Ang isang hilera na puno ng mga bagay ng isang ibinigay na hanay ay tinatawag na pagkakalagay (naglalagay kami ng mga bagay sa ilang mga lugar). Hayaang ang bilang ng mga bagay sa hanay ay katumbas ng n, at ang haba ng hilera (ang bilang ng mga lugar sa loob nito) ay katumbas ng k. Suliranin 2. Kalkulahin ang bilang na A k n ng mga pagkakalagay ng n mga bagay sa k lugar. Hindi tulad ng gawain 1, kung saan ang isang liham ay maaaring gamitin nang higit sa isang beses, sa gawaing ito, na inilagay ang isang bagay sa isang tiyak na lugar, kinuha namin ito mula sa set (isang bag ng mga bagay) at wala na ito (hindi na ito maaaring lumitaw muli ). Inilalagay namin ang alinman sa n mga bagay sa unang lugar. Sa bawat susunod na hakbang, ang bilang ng mga posibilidad ay bumababa ng isa. Sagot: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h factor + 1). Tandaan na ang huling salik ay n - (k - 1) = n - k + 1. Tandaan na kung k > n, ang isa sa mga salik ay magiging sero, dahil imposibleng sakupin ng n bagay ang ilang lugar na higit sa n. 3. Permutation. Isaalang-alang ang isang set na naglalaman ng n mga bagay. Gusto naming ayusin ang mga ito, i.e. ayusin. Magagawa ito sa pamamagitan ng pagnunumero ng mga bagay. Ang isang nakaayos na hanay ng mga bagay ay tinatawag na permutation. Ang terminong ito ay lumitaw dahil sa unang mga bagay ay kinuha, kahit papaano ay inayos, at iba pang mga paraan ng pag-order ay nangangailangan ng muling pagsasaayos ng mga bagay na ito. Suliranin 3. Kalkulahin ang bilang ng Pn ng mga permutasyon ng n mga bagay. Malinaw na ang problemang ito ay kasabay ng problema sa paglalagay sa kaso kapag ang bilang ng mga bagay ay tumutugma sa bilang ng mga lugar na inaayos namin ang lahat ng n mga bagay gamit ang n magagamit na mga lugar. Ang pag-uulit ng pangangatwiran ng Problema 2 ay humahantong sa sumusunod na sagot: n(n - 1) Dahil ang bilang ng mga salik ay n, ang huling bilang ay magiging 1. Maginhawang muling ayusin ang mga salik at isulat ang resulta bilang produkto ng lahat. natural na mga numero mula 1 hanggang n: n = = n\ (basahin ang "n factorial"). Dalawang titik na salita sa isang alpabeto ng tatlong titik aa ab ac ba bb bc ca s SS Placement Paglalagay ng tatlong bagay sa dalawang lugar Paglalagay ng n bagay sa k lugar Bilang ng mga lugar Bilang ng posibleng pagkakalagay 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 Kabuuang mga opsyon: n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)
65 mga disenyo upang malutas kombinatoryal na mga problema? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Mga Halimbawa Permutasyon P4 = 4! = = 24 Placement P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)! l! l! l! = = l! (l-l)! Oh! Anagram cab cabd cadb cdab dcab na salita na may muling pagkakaayos ng mga titik (paglalagay, permutasyon) Ang pagbuo, paraan ng pagbuo at paglilista ng mga opsyon ay dapat na nasuri 1. Binary na mga tugon Ang isang tao ay tinanong ng 10 katanungan, bawat isa sa kanila ay sinasagot niya ng "oo" o "hindi". iba't ibang mga pagpipilian sagot sa lahat ng 10 tanong? Mayroong 2 pagpipilian upang sagutin ang unang tanong. Kung ang mga sagot sa ilang tanong ay naitayo na, ang sagot sa susunod ay magdodoble sa bilang ng mga opsyon. Sagot = 2 10 = Siyempre, sa problemang ito ay nagkaroon ng pagbuo ng mga salita sa isang alpabeto ng dalawang titik. 2. Mga Multiple Choice Test. Inalok ang isang tao ng pagsusulit ng 6 na katanungan. Ang bawat tanong ay dapat sagutin ng isa sa 5 posibleng sagot. Ilang magkakaibang sagot ang mayroon para sa lahat ng 6 na tanong sa pagsusulit? Mayroong 5 posibleng sagot para sa unang tanong. Kapag lumipat sa susunod na tanong, ang bilang ng mga opsyon ay tataas ng 5 beses. Sagot: = 5 6 = Ang disenyo ay napanatili. Ang bilang ng mga letra sa alpabeto ay nagbago, ngayon sila ay mga Salita na may iba't ibang mga titik. Mayroong 10 titik sa alpabeto. Ilang salita na may haba 3 ang maaaring buuin gamit ang hindi umuulit na mga titik? Sa unang lugar ay inilalagay namin ang alinman sa 10 mga titik, sa pangalawa ay anuman, maliban sa isa na naunang kinuha. Nakakakuha kami ng 10-9 na pagpipilian. Sa ikatlong lugar, maaari mong ilagay ang alinman sa 8 hindi nagamit na mga titik. Sagot: = 720. Ang disenyo ng mga pagkakalagay ay ginamit sa tatlong lugar (nang walang pag-uulit) 10 letra ang inilagay. 4. Anagrams ng mga salita na may iba't ibang titik. Ilang anagram ang mayroon para sa salitang KATER? Lahat ng limang letra ng salitang ito ay iba. Maaari mong muling ayusin ang 5 titik 5! mga paraan. Sagot: P5 = 5! =
66 fy Mga tanong at pagsasanay 1. Ano ang ibig sabihin ng salita sa alpabeto na ito? 2. Ilang salita ang may haba na 5 sa isang alpabeto na may 6 na letra? 3. May alpabeto ng n titik. Isinasaalang-alang ang mga salitang binubuo ng m hindi umuulit na mga titik. Anong konsepto ng combinatorics ang dapat gamitin para ilarawan ang mga ganitong salita? 4. Ilang salita ang may haba na 3 na may hindi umuulit na mga titik sa isang alpabeto na may 6 na letra? 5. Ano ang permutasyon? 6. Ilang permutations ng 6 na letra ang mayroon? 7. Paano nauugnay ang mga konsepto ng "placement" at "permutation"? 8. Ilang beses mas mababa ang bilang ng mga pagkakalagay ng 10 bagay sa apat na lugar kaysa sa bilang ng mga pagkakalagay ng parehong bagay sa anim na lugar? Aralin 2 Mga Tuntunin ng combinatorics Ano ang mga pangunahing tuntunin ng combinatorial calculations? 1. Panuntunan ng karagdagan. Hayaang ang set A ay may m. elemento, at ang set B n elemento. Kung ang mga set A at B ay walang mga karaniwang elemento, kung gayon ang bilang ng mga elemento sa kanilang unyon ay m + n. Masasabi natin ito: kung ang dalawang bag ay naglalaman ng magkaibang mga bagay at ibinubuhos natin ang mga ito nang magkasama, pagkatapos ay upang mahanap ang kanilang kabuuang bilang, tayo dapat idagdag ang bilang ng mga bagay sa bawat bag. Kung para sa isang may hangganan na set X ay tinutukoy namin sa pamamagitan ng X ang bilang ng mga elemento nito, kung gayon ang tuntunin ng karagdagan ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: kung A n B = 0, pagkatapos ay \A at B\ = \A\ + \B\. Ang panuntunang ito ay madaling gawing pangkalahatan sa kaso kapag ang set A at B ay may isang karaniwang bahagi. 2. Ang tuntunin ng pagsasama ng isang pagbubukod. Hayaang ang set A at B ay magkaroon ng isang karaniwang bahagi na may mga elementong k. Pagkatapos, sa unyon ng set A at B, ang bilang ng mga elemento ay katumbas ng m + n - k, i.e. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. Malinaw na sa pamamagitan ng pagdaragdag ng uri ng mga numero, binibilang namin ang mga karaniwang elemento nang dalawang beses. Mga panuntunan ng combinatorics Panuntunan sa pagdaragdag A n B \u003d 0 J] A at B\ \u003d A + B
Ang mga pagsasama sa pagbubukod A u B\ = A + B - \A n B\ ay umaabot sa unyon ng isang arbitrary na bilang ng mga set. 3. Panuntunan ng pagpaparami. Ang bilang ng mga pares na binubuo ng mga elemento ng set A at B ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng mga set na ito. Ang hanay ng mga pares ng mga elemento ng dalawang set ay madalas na tinutukoy ng sign ng produkto. Pagkatapos ang panuntunan sa pagpaparami ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: [A x B\ \u003d A x B. Ang panuntunan sa pagpaparami ay madaling maipaliwanag gamit ang isang talahanayan. Kung gagawa tayo ng isang hugis-parihaba na talahanayan at numero (ipinapahiwatig) ang mga hilera nito sa pamamagitan ng mga elemento ng set A, at mga hanay ng mga elemento ng set B, kung gayon ang mga cell ng talahanayan ay tumutugma sa mga pares (a; b), kung saan ang a e A, b e B. Ang bilang ng mga cell sa talahanayan ay malinaw na katumbas ng produkto ng bilang ng mga row at bilang ng mga column. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 Panuntunan sa pagpaparami \A x B = A x B Paano inilalapat ang mga tuntunin ng combinatorics sa paglutas ng mga problema? 1. Bilang ng mga termino. Isaalang-alang ang produkto (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). Gaano karaming mga monomial (bago ang pagbabawas ng mga katulad) ay makukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng "mga bracket sa mga bracket"? Ang parehong tanong ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: "Ilang mga pares ang maaaring gawin mula sa monomials sa una at pangalawang bracket?" Pinipili namin ang alinman sa tatlong monomial sa unang bracket at alinman sa anim sa pangalawa. Ang bilang ng mga pares ay 3-6 = 18 ginamit ang multiplication rule. 2. Menu. Ang menu ay naglilista ng 5 appetizer, 3 unang kurso, 4 pangalawang kurso at 3 dessert. Ilang paraan ang maaaring umorder ng apat na kursong pagkain? Kapag nag-iisip sa pagkakasunud-sunod, gumawa kami ng apat na pangalan: 1) meryenda; 2) unang kurso; 3) pangalawang kurso; 4) panghimagas. Sa unang linya ng apat na ito ay ipinapasok namin ang alinman sa limang ibinigay na opsyon, sa pangalawang linya ang alinman sa tatlo, atbp. Ang kabuuang bilang ng
68 [=180. Ito ay isang halimbawa ng generalization ng multiplication rule. Gumagawa kami ng hindi lamang mga pares, kundi pati na rin ang mga hanay ng dalawa, tatlo, apat o higit pang mga bagay. 3. Mga plate number ng sasakyan. Ang numero ng kotse ay binubuo ng tatlong titik at tatlong numero. 20 letra at lahat ng 10 numero ay ginagamit. Ang isang numero na mayroong lahat ng 3 zero ay wasto din (halimbawa, A000AA). Gaano karaming mga numero ang maaaring gawin? May 6 na upuan ang kwarto. Ang una, ikalima at ikaanim ay para sa mga titik, ang pangalawa, pangatlo, ikaapat para sa mga numero. Ang mga upuan ay napuno nang hiwalay sa isa't isa. Sagot: = Bilang ng mga salita. Mayroong 4 na titik sa alpabeto. Gaano karaming mga salita ang maaaring gawin mula sa mga titik ng alpabetong ito, na may hindi hihigit sa 3 mga titik? Ang bilang ng mga salita na may haba k mula sa isang alpabeto na may 4 na letra ay 4*. Ang mga hanay ng mga salita na may iba't ibang haba ay walang mga karaniwang elemento. Inilapat namin ang panuntunan sa pagdaragdag. Sagot: = = Bilang ng mga mag-aaral. Ang bawat mag-aaral ay natututo ng isang wika sa klase. Kasabay nito, 20 mag-aaral ang nag-aaral ng Ingles, 12 Pranses, at 7 mag-aaral na parehong wika. Ilang estudyante ang nasa klase? Kung susumahin namin ang bilang ng mga mag-aaral na nag-aaral ng Ingles at Pranses, binibilang namin ang lahat ng mga mag-aaral, ngunit ang mga natututo ng dalawang wika ay mabibilang nang dalawang beses. Inilapat namin ang panuntunan sa pagsasama. Sagot: = "Kahit isang beses." Ang isang dice ay itinapon ng dalawang beses sa isang hilera. Ilang beses lalabas ang numero 6 kahit isang beses? Hahatiin namin ang lahat ng mga kaso sa dalawang klase: ang numero 6 ay hindi kailanman nahuhulog, ang numero 6 ay bumagsak kahit isang beses. Ang mga klase na ito ay walang mga karaniwang elemento. Kabuuan mga pagpipilian, ibig sabihin. ang bilang ng mga pagkakasunud-sunod ng dalawang digit na may margin na 6 na numero ay katumbas ng b 2, na may margin na 5 digit (lahat maliban sa anim) ay 5 2. Ilapat ang panuntunan sa karagdagan: b 2 \u003d x. Sagot: b = 11. Ulam Bilang ng mga kurso Starter 5 Una 3 Pangalawa 4 Dessert 3 Bilang ng apat na kursong opsyon sa hapunan: = 180. License plates A000AA Bilang ng mga numero: = Bilang ng mga salita Bilang ng mga titik sa alpabeto 4 Haba ng salita k Bilang ng mga salita 4* k = 3 => Ayon sa tuntunin sa pagdaragdag: = 84 Bilang ng mga mag-aaral Bilang ng mga mag-aaral sa klase: = 25 "Kahit isang beses" Baitang 1: hindi kailanman gumulong ng 6. Baitang 2: nilagyan ng 6 kahit isang beses 69
69 Mga tanong at pagsasanay 1. Paano matutukoy ang kabuuang bilang ng mga elemento sa dalawang set, kung ang bilang ng mga elemento sa bawat set ay kilala, at ang ilan sa mga elemento ay maaaring karaniwan? 2. Ano ang tuntunin ng multiplikasyon? 3. Mayroong apat na halimbawa sa pagsusulit na gawain. Mayroong 5 sagot para sa bawat halimbawa. Ilang paraan ang maaari mong piliin ang sagot sa tanong? 4. Dais itinapon ng dalawang beses sa isang hilera. Para sa bawat posibleng kabuuan ng mga puntos na pinagsama, bilangin ang bilang ng mga posibleng pagpipilian. Suriin: Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga opsyon para sa bawat posibleng halaga, dapat mong makuha ang kabuuang bilang ng mga opsyon. Aralin 3 Ang bilang ng mga orbit Ang orbit ay isang hanay ng magkaparehong (katumbas) na mga opsyon Paglalagay Isang paglalagay na walang pag-uulit mula sa mga elemento ng k sa pamamagitan ng m mga elemento Mga halimbawa maaari kang magpaupo ng 6 na tao sa isang hilera 6! (720) paraan; ang pag-upo ng 6 na tao sa isang round table ay maaaring 5! (120) paraan; Kung mayroong 5 lalaki at 5 babae, mayroong 5!5!2 5 paraan upang gumawa ng column ng mga pares na lalaki-babae. Paano isinasaalang-alang ng mga pinagsama-samang kalkulasyon ang mga kumbinasyon na itinuturing na pareho? Kapag binibilang ang bilang ng mga opsyon, kadalasang kinakailangan na isaalang-alang ang pareho (kilalanin) ang mga opsyon ayon sa ilang katangian. Kung pagsasamahin namin ang lahat ng mga opsyon na itinuturing na pareho, makakakuha kami ng isang set na tinatawag na orbit. 1. Round table. Uupo kami ng 6 na tao sa isang hilera. Maaari itong gawin 6! mga paraan. Ngayon, ilagay natin sila sa round table. Isasaalang-alang namin ang parehong mga paraan ng pag-aayos ng mga tao, na maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng talahanayan sa isang bilog. Let's take one arrangement at iikot natin ang table. Makakakuha tayo ng orbit ng anim na kaayusan. Ang kabuuang bilang ng mga orbit ay magiging 6 na beses na mas mababa kaysa sa bilang ng lahat ng mga pagsasaayos. 6! Sagot: = 5! = Bilang ng mga pares. Mayroong 5 lalaki at 5 babae. Sa ilang paraan maaari silang ayusin sa isang hanay na binubuo ng mga pares ng lalaki-babae? Isasaalang-alang namin ang mga haligi kung saan nakatayo ang batang lalaki sa kaliwa o sa kanan upang maging pareho. Pagkatapos ay ang kabuuang bilang ng mga paraan ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod: pagpili ng isang hilera para sa mga lalaki
70 ^V/^y pill^u ^VDUICIV 5! mga paraan. Kumuha tayo ng isang kaayusan sa mga pares at simulan na baguhin ang kaliwa at kanang mga posisyon sa mga pares. Mula sa isang pag-aayos ay makakakuha tayo ng 2 5 = 32 iba pa (nagbabago tayo ng mga posisyon sa bawat pares nang hiwalay sa isa't isa). Ang pagsasama-sama ng mga opsyon sa mga orbit at pagpuna na ang bilang ng mga elemento sa bawat orbit ay pareho, katumbas ng 32, makuha namin ang resulta. 1 /.\ Sagot: (5!) V "Bilang ng mga kumbinasyon. Sa anong bilang ng mga paraan mapipili ang isang subset (hindi ayos!) ng k elemento mula sa set na naglalaman ng n elemento? Kung uupo tayo ng mga tao sa k lugar sa pagkakasunud-sunod, makukuha natin ang sagot sa anyong n(n - 1)... (n - k + 1) ang bilang ng mga pagkakalagay. Pagsamahin ang mga kaayusan sa mga orbit sa pamamagitan ng pagpapalit (muling pagsasaayos) ng mga napiling k tao. Magagawa ito sa k\ na paraan. Ang bilang ng mga orbit ay n (n-l) -. ..-(n-ft + l) ay magiging pantay. Nakakuha kami ng sample ng mga elemento kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay hindi mahalaga. Dati, ang mga subset ay tinatawag na mga kumbinasyon, kaya ang nagreresultang numero ay tinatawag na "bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang k" at ipinapahiwatig ng c*. notation = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Property CS = С""* mga kumbinasyon 4. Bilang ng mga anagram. Binibilang namin kanina ang bilang ng mga anagram ng salita na may iba't ibang letra. Kung ang bilang ng mga titik sa isang salita ay katumbas ng n, kung gayon ang numerong ito ay katumbas ng bilang ng mga permutasyon ng n elemento, ibig sabihin, ang bilang n\. II f at t Bilang ng mga subgroup Sa ilang paraan mapipili ang isang subgroup ng tatlo mula sa isang pangkat ng anim? Una, maghahanda kami ng tatlong lugar at maglalagay ng tatlong tao sa kanila sa pagkakasunud-sunod. Magagawa ito sa == 120 na paraan. Ngayon pinagsama namin sa isang orbit ang mga kaayusan na hindi naiiba sa komposisyon ng triple, ngunit naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod kung saan sila ay nakatanim. Magkakaroon ng 3 sa bawat orbit! = 6 na konstelasyon Sagot: 20. 3! (D Halimbawang Bilang ng mga kumbinasyon Ibinigay ang isang hanay ng mga elemento: x = (1, 2, 3). Kinakailangang gumawa ng dalawang elementong subset mula sa hanay na ito. Magkakaroon ng tatlo sa kanila: (1, 2), (1 , 3), (2, 3). Mula sa mga elemento ng bawat subset ay maaaring bumuo ng 2! orbit na may haba 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) ( 3, 2), na mga pagsasaayos na walang pag-uulit ng tatlong elemento dalawa, at ang kanilang numero ay katumbas ng Al = 3 2 = 6. Sa kabilang banda, ang numerong ito ay katumbas ng 2! C => a A? Al \u003d 2 ! C - "3 - 2! 71
71 Bilang ng mga kumbinasyon Sampung puntos ang kinuha sa tuwid na linya. Gaano karaming mga segment ang nakuha, ang mga dulo nito ay ang mga puntong ito? c "=t=th 45 - Newton's binomial (a + b) n = a "(1 + x) n (bracketed a" and denoted b / a through Isaalang-alang ang pagpapalawak ng binomial (1 + x) n sa mga kapangyarihan ng x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". Ang mga coefficients ak ay ibinibigay ng formula k \ Pinaparami namin ang n bracket ng form na 1 + x sa isa't isa. Upang makakuha ang degree x k, kailangan mong pumili ng x mula sa kanila sa L, at ang natitira n - k 1. Ang bilang ng mga opsyon para sa pagpili ng k mga bagay mula sa n posible ay ang bilang ng mga kumbinasyon na aming natukoy mula sa n hanggang k, ibig sabihin, ang numero C *. Para sa kaginhawahan, ipinapalagay namin = 1 at isulat ang binomial formula tulad ng sumusunod: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. magkaparehong mga titik. Halimbawa, hanapin natin ang bilang ng mga anagram ng salitang ABOUT. Ito ay isang salita na may walong letra, at sa loob nito ang letrang O ay lumilitaw ng 4 na beses, K dalawang beses, at ang mga titik L at T ay isang beses bawat isa. Gawin nating magkaiba ang parehong mga titik (halimbawa, isulat ang mga ito magkaibang font K at K). Ngayon lahat ng 8 titik ay iba at ang bilang ng mga anagram ng salitang ito ay 8!. Pagsamahin natin ang mga ito sa mga orbit, na tinutukoy ang pareho, ngunit magkaiba ang spelling ng mga letrang O at K. Muling pag-aayos iba't ibang spelling letrang O (4! ways) at K (2! ways), nakakakuha tayo ng orbit na 4! 2! = 48 salita. Upang makuha ang bilang ng mga anagram ng orihinal na salita, kailangan mo ng 8! hinati sa haba ng orbit. walo! Sagot: = ! Paano itaas ang isang kabuuan ng monomials sa isang kapangyarihan? 1. Newton's binomial formula. Ang pariralang "Newton's binomial" ay matagal nang simbolo ng kahirapan at hindi maintindihan ng matematika. Sa totoo lang sa tanong tungkol sa isang medyo simpleng bagay: kung kukuha ka ng binomial na a + b, itaas ito sa isang kapangyarihan at magdagdag ng mga katulad na termino, makakakuha ka ng kabuuan ng mga monomial ng anyong a k b l na may ilang mga coefficient. Ang pormula para sa pagkalkula ng mga coefficient na ito ay nauugnay sa pangalan ng I. Newton, kahit na ito ay ginamit nang mas maaga. Kapag tinataas ang a + b sa binomial na kapangyarihan, nakukuha namin ang formula: Pamilyar ka sa 2, 3, 4. Ang mga numerong C* ay tinatawag na binomial coefficients 2. Mga katangian ng binomial coefficients 1) Mga partikular na kaso Kapaki-pakinabang na tandaan ang una coefficients: _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72
72 a) uu/iato h-krkz fiktiriyl. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - maaaring mabago sa isang mas simetriko na anyo, k\ sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa (ga - A;)!. Sa numerator, ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang ha ay ibabalik. Nakukuha namin ang formula C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Sun) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = Para sa 2. 2 AC = av3. Sagot: 1) 0; 2) av3. Ang mga ekspresyon sa mga bracket ay dapat na i-multiply ng termino sa pamamagitan ng termino at isinasaalang-alang na i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Distansya. Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos na AG at A2 sa espasyo ay maaaring kalkulahin gamit ang scalar product:. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. Isinulat namin ang scalar square sa mga coordinate: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. Nakukuha namin ang formula \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + (“2 ~ *i f, na ginagawang pangkalahatan ang Pythagorean theorem para sa espasyo.
84 mga konsepto sa wika ng mga coordinate at vectors? Ginagawa ito upang makabuo ng mga computational algorithm para sa paglutas mga problemang geometriko. Ang batayan para dito ay ang mga equation ng iba't ibang mga figure sa espasyo at, higit sa lahat, ang mga equation ng eroplano at ang globo (ibabaw ng bola). 1. Ang equation ng eroplano. Maaaring tukuyin ang isang eroplano sa pamamagitan ng isang puntong nakapaloob dito i^oc-^o? J/o! 2 o) at isang vector n patayo sa eroplanong ito (tinatawag itong normal na vector sa eroplano). Kailangan at sapat na kondisyon na ang puntong P(x; y; d) ay kabilang sa eroplano ay ang mga sumusunod: [op-op0) 1 n o sa anyo - * pagkakapantay-pantay PP0 n = 0. Ang pagkakaroon ng ibinigay na mga coordinate ng normal na p(a; B ; C), nakukuha namin ang equation plane sa coordinate form: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. Binubuksan ang mga bracket at tinutukoy ang numero (Ax0 + + Vy0 + Cz0) sa pamamagitan ng D, nakukuha namin karaniwang equation eroplano sa anyong Ax + By + Cz + D = = 0. Ito ay isang analogue ng kilalang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Tandaan na ang normal na vector n ay hindi natatanging tinukoy; maaari itong i-multiply sa anumang numero. 2. Equation ng isang globo. Ang puntong P(x; y; r) ay matatagpuan sa globo na may gitnang C(a; b; c) at radius R kung ang kundisyong \PC\ 2 = R 2 ay natutugunan. Ang kundisyong ito ay madaling maisulat muli sa mga coordinate: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. Ang equation na ito ginagawang pangkalahatan ang equation ng bilog sa eroplano. mga produkto sa mga coordinate a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 Equation ng eroplano PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 Bumuo ng equation ng eroplano sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon: p (1; 2; 3), P0 (1 ; 0; 0). Solusyon: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. Ang equation ng eroplano ay may anyo: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. Ang equation ng sphere ^ Mga tanong at pagsasanay 1. Paano tinutukoy ang scalar product ng mga vectors? 2. Paano kinakalkula ang scalar product sa mga coordinate? 3. Ano ang mga pangunahing katangian ng scalar product? 85
85 coordinate? 5. Isulat ang equation ng eroplano. 6. Isulat ang equation ng sphere. Aralin 4 Perpendicularity ng mga linya at eroplano Mga palatandaan ng perpendicularity: isang linya at isang eroplano 1 t I X t, I ± n, t n n \u003d (0) => I _L a dalawang eroplano Naka-on, Zep => p_La dalawang linya n ± a, t 1 I , li projection of I onto a => ij _L t Paano mo masusuri ang perpendicularity ng mga linya at eroplano gamit ang mga coordinate at vectors? 1. Perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa anumang linya sa eroplanong iyon. Mahirap i-verify ang naturang pahayag, dahil ang isang walang katapusang bilang ng mga linya ay maaaring iguguhit sa isang eroplano. Lumalabas na sapat na upang suriin ang perpendicularity ng dalawang intersecting na linya lamang. Theorem (teorem tungkol sa dalawang patayo). Kung ang isang linya ay patayo sa dalawang intersecting na linya ng ilang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa anumang iba pang linya ng eroplanong ito, at samakatuwid ay patayo sa mismong eroplano. 2. Perpendicularity ng dalawang eroplano. Teorama. Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplano ay patayo. 3. Perpendicularity ng dalawang linya. Theorem (tatlong perpendicular theorem). Kung ang isang linya na hindi nakahiga sa isang eroplano ay patayo sa ilang linya na nakahiga sa isang eroplano, kung gayon ang projection ng orihinal na linya papunta sa eroplano ay patayo din sa linyang ito. Sa kabaligtaran, kung ang projection ng isang linya papunta sa isang eroplano ay patayo sa ilang linya na nakahiga sa eroplano, kung gayon ang orihinal na linya ay patayo din sa linyang ito. 86
NILALAMAN1. Mga numero, function at graph 7
§ isa Numerical axis 7
§ 2 Cartesian coordinate sa eroplano 12
§ 3 Konsepto ng function 19
§ 4 Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay 35
Mga gawain at tanong 42
2. Derivative at ang aplikasyon nito 51
§ 5 Panimula ng derivative 51
§ 6 Pagkalkula ng derivative 60
§ 7 Pagsisiyasat ng isang function sa tulong ng isang derivative 69
§ 8 Mga aplikasyon ng derivative 85
§ 9 Differential 91
§ 10 Pinakamataas at pinakamababang gawain 98
Mga gawain at tanong 104
3. Paralelismo ng mga linya at eroplano 114
§ 11 Mutual na pag-aayos ng mga linya at eroplano H4
§ 12 Mga palatandaan ng paralelismo 122
§ 13 Axiomatic construction ng geometry 130
Mga gawain at tanong 134
4. Mga Vector
§ 14 Itinuro ang mga segment
§ 15 Vector coordinate
§ 16 Aplikasyon ng mga vector sa mechanics § 17 Vector space
Mga gawain at tanong
5. Trigonometric functions 166
§ 18 anggulo at lumiliko 166
§ 19 Depinisyon ng trigonometriko function 175
§ 20 Pag-aaral ng sine at cosine 185
§ 21 Tangent at cotangent 193
§ 22 Derivatives ng trigonometric functions 197
§ 23 Mga diagram ng pagbabawas 201
Mga gawain at tanong 205
6. Dot product 210
§ 24 Vector projection 210
§ 25 Mga katangian ng panloob na produkto 213
Mga gawain at tanong 220
7. Mga pagkakakilanlan ng trigonometric at mga equation 222
§ 26 Mga pormula ng karagdagan 222
§ 27 Ang pinakasimpleng trigonometric equation 230
§ 28 Paglutas ng mga trigonometric equation 237
Seksyon 29 Inverse function 242
Mga gawain at tanong 252
8. Perpendicularity ng mga linya at eroplano 259
§ 30 Pagtatalaga ng vector ng isang tuwid na linya 259
§ 31 Pagtatalaga ng vector ng isang eroplano 265
§ 32 Dihedral na anggulo 274
Mga gawain at tanong 278
9. Mga spatial na katawan 283
§ 33 Mga silindro at kono 283
§ 34 Orb at globo 291
§ 35 Prisms at pyramids 295
§ 36 Polyhedra 303
Mga gawain at tanong 310
10. Exponential at logarithmic function 320
§ 37 Mga kapangyarihan at logarithms 320
§ 38 exponential function 327
§ 39 Logarithmic function 332
§ 40 Exponential at logarithmic equation at inequalities 336
Mga gawain at tanong 342
11. Ang integral at mga aplikasyon nito 348
§ 41 Kahulugan ng integral 348
§ 42 Pagkalkula ng integral 356
§ 43 Mga aplikasyon ng integral 362
§ 44 Differential Equation 371
Mga gawain at tanong 379
12. Mga lugar at volume 384
§ 45 Mga lugar ng mga numero ng eroplano 384
§ 46 Mga volume ng spatial body 393
§ 47 Surface area 399
Mga Gawain at Tanong 401
13. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay 407
§ 48 Paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam 407
§ 49 Sistema ng mga Equation 418
§ 50 Pagguhit ng mga equation 424
Mga gawain at tanong 434
Pagkatapos ng salita 435
Apendise 441
Mga sagot 448
Index 460
Mga Reviewer: Laboratory of Mathematics (Research Institute of Vocational Pedagogy ng Academy of Pedagogics ng USSR); Phys.-Math. agham, prof. S. V. Vostokov (A. A. Zhdanov Leningrad State University)
Ang manwal ay isinulat alinsunod sa programa ng pinag-isang kurso ng matematika, na binuo ng isang pangkat ng mga Leningrad mathematician.
Ang algebra, ang simula ng pagsusuri at geometry ay ipinakita bilang isang paksang "Matematika". Ang pagtatanghal ng materyal ay sinamahan ng isang malaking bilang ng mga halimbawa. Para sa mga mag-aaral at guro ng mga sekondaryang bokasyonal na paaralan.
Publishing house" graduate School", 1987
Paunang salita
Ang aklat ay isang pang-eksperimentong kurso sa matematika, na naaayon sa kurikulum ng mataas na paaralan. sekondaryang paaralan, nang walang tradisyonal na paghahati sa iba't ibang mga disiplina - algebra at simula ng pagsusuri, geometry. Ang edisyong ito ay batay sa "Experimental mga materyales sa pagtuturo"(M., Higher School, 1982) at mga manwal" Mathematics "(M., Education, 1983).
Sa kurso ng pagtuturo ng isang eksperimentong kurso sa matematika sa mga sekondaryang bokasyonal na paaralan sa Leningrad at ilang iba pang mga rehiyon ng bansa noong 1974-1985. natagpuan ang kumpirmasyon ng kawastuhan ng pagpili ng pangunahing mga prinsipyong metodolohikal inilatag sa programa ng pinag-isang kurso ng matematika. Ang mga pangunahing ideya ng kursong ito ay naging mahusay na pinag-ugnay sa mga pangunahing direksyon ng reporma ng pangkalahatang edukasyon at Paaralang bokasyonal at mag-ambag sa praktikal na pagpapatupad nito. Ang programa ng naturang kurso ay binuo ng isang pangkat ng mga siyentipiko ng Leningrad sa loob ng balangkas ng siyentipikong pananaliksik Research Institute of Vocational Education ng Academy of Pedagogics ng USSR.
Ang mga kawani ng departamento ay nakibahagi sa paghahanda ng aklat. mas mataas na matematika Leningrad Electrotechnical Institute. V. I. Ulyanov (Lenin). Sa kanilang lahat, pati na rin sa kanyang maraming mga kasamahan sa mga institute, paaralan, at bokasyonal na paaralan sa Leningrad, ang may-akda ay nagpapahayag ng kanyang taos-pusong pasasalamat.
Panimula ng may-akda
Mahal na mambabasa!
May experimental ka pagtuturo matematika. Ang matematika sa loob ng 2500 taon ng pagkakaroon nito ay naipon ang pinakamayamang kasangkapan para sa pag-aaral ng mundo sa paligid natin. Gayunpaman, gaya ng sinabi ng Academician na si A.N. Krylov, isang namumukod-tanging Ruso na matematiko at tagagawa ng barko, ang isang tao ay bumaling sa matematika "hindi upang humanga sa hindi mabilang na mga kayamanan." Una sa lahat, kailangan niyang maging pamilyar sa "mga siglo ng napatunayang mga tool at matutunan kung paano gamitin ang mga ito nang tama at may kasanayan."
Ituturo sa iyo ng aklat na ito kung paano haharapin ang mga tool sa matematika tulad ng mga function at kanilang mga graph, geometric na hugis, vector at coordinate, derivatives at integral. Bagama't nagkaroon ka ng una mong pagkakalantad sa karamihan ng mga konseptong ito noon, ipinakikilala muli ng aklat na ito ang mga ito sa iyo. Maginhawa ito para sa mga nakalimutan ang naunang pinag-aralan na materyal, at kapaki-pakinabang para sa lahat, dahil kahit na ang mga pamilyar na bagay ay magbubunyag ng mga bagong aspeto at koneksyon.
Upang mapadali ang gawain gamit ang manwal, ang pinakamahalagang probisyon at pormulasyon ay binibigyang-diin. Malaki ang papel na ginagampanan ng mga ilustrasyon: kung hindi mo lubos na nauunawaan ang teksto ng pagsasanay, maingat na isaalang-alang ang pagguhit na nauugnay dito. Kahit noong sinaunang panahon ginamit nila ang pamamaraang ito ng pag-aaral ng matematika - gumuhit sila ng isang guhit at sinabi: tingnan mo!
Ang bawat seksyon ng aklat ay nahahati sa mga talata. May mga pagsasanay sa dulo ng mga talata. Ang mga pagsasanay na ito, siyempre, ay hindi sapat upang makabisado ang mga kinakailangang kasanayan. Ang kanilang layunin ay upang ipakita ang pangunahing direksyon ng pagsisikap na kinakailangan upang makabisado ang nauugnay na materyal.
Ang isang medyo kumpletong hanay ng mga gawain at pagsasanay ay inilalagay sa dulo ng bawat kabanata.
SUBJECT INDEX
PERO
Additivity 361 Axiom 118, 131 Axioms ng stereometry 132 Argument 22 Arccosine 234, 250 Arccotangent 236, 251 Arcsine 232, 233, 250 Arctangent 236, 251
AT
Vector 137, 138, 149, 150, 157 - zero 140
Collinear vectors 260, 262 Г
Function graph 23, 32, 33 D
Presyon 89
Reduction diagram 201-203 Function differential 91, 92 Derivation 51, 53, 348, 355 Circumference 401
At
Integral 348-350, 352, 354, 366 K
Tangent sa curve 53 Square 130
Harmonic oscillations 191, 22 £ Cone 285, 289, 290
- pinutol 287
Vector coordinate 148, 149, 151
- puntos 7, 13, 147
- - umiikot 175 Arithmetic roots 321
- Mga Equation 25
- 25 mga function
Cosine 175, 178, 186-189, 191, 197 Cotangent 175, 179, 186, 193, 196, 199, 203
Cube 305
L
Logarithm 325
- natural 331
M
Timbang 368
3 - baras 87, 93
Electric charge 88, 93, 368 Degree na sukat ng anggulo 169
Ang halaga ng function ay maximum na 98 - - radian 170
- - hindi bababa sa 98 Gauss na pamamaraan 423
- mga pagitan 39 Polyhedron 303, 308 Module 138
- paglipat 326
- mga numero 9
Monotonicity ng function 29 N
Vektor ng direksyon ng tuwid na linya 259 Mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay 413
- katumbas ng 409
- makatwiran 413 Hindi pagkakapantay-pantay 35, 407
- parisukat 37
- ang pinakasimpleng 339
O
Wastong Saklaw 409
- - mga function 83
- mga kahulugan ng function 24, 246 Saklaw 393, 394
- kubo 393
- silindro 393, 395 Octahedron 307
Orths of axes 149 Numerical axis 7
P
Palette 393
Parallelepiped 299, 300 Antiderivative 356 Parallelism of lines 126 Variables 19 Displacement 368 Limit transition 56 Period 185
Periodicity 176, 185 Pyramid 297, 298
Mga eroplanong parallel 120, 124, 125
- interseksyon 120
- patayo 276 Plane 114, 119, 130
- Tangent 293 Area 362
- kono 400
- bilog 90
- polygon 388
- paralelogram 387
- subgrapiko 389
- mga prisma 400
- tatsulok 386-388
- di-makatwirang mga numero 389
- cylinder 400 Linear density 87 Ball surface 400 Accuracy 96
Mga panuntunan para sa pagguhit ng mga vector 139-141
Polygon Rule 140
- parallelepiped 141
- paralelogram 140, 141
- tatlong puntos 140 Prism 295, 296
Tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano 124
--- tuwid 123
- perpendicularity ng isang linya at isang eroplano 267
- crossing lines 117 Signs of parallelism 122 Argument increment 59
- mga function 59 Vector projection 211
- orthogonal 272
- puntos 210
Produktong scaler 210, 213-216 Produktibidad sa paggawa 90 Derivative 51-53, 57, 60-63, 69 Numerical interval 8 Vector space 157 Straight line 114, 119, 130 Straight parallel lines 114, 132
- intersecting 114, 132
- tumawid sa 114, 126, 132
R
Trabaho 87, 88, 93, 367 Vector equality 260 Radians 170
Radius vector 142, 153 Pagpapalawak ng vector 145, 147 Mga Dimensyon 145, 158, 159
Tensyon 140 Body expansion linear 83 Equation solution 37
kasama
Mga katangian ng rotational motion 172-174
- integral 360
- hindi pagkakapantay-pantay 35
- mga radikal 321
- 324 degrees
Parabolic segment 103 Axial cone section 287 Sinus 175, 178, 186, 187-189, 191, 197 Geographic coordinate system 14
- - Cartesian 12, 147
- hindi tugma 419
- pinagsamang 419 Line system 422
- simetriko 421 Bilis 85, 155, 365
- instant 55, 60, 156
- paglago ng function 56
- average 55, 59
- sulok 229
Triangle ratios 167 Arithmetic mean 37
- Geometric 37 Degree 323
Integral sums 350, 351 Sphere 291
T
Tangent 175, 179, 186, 193-195, 198, 203
Solids ng rebolusyon 288 Cosine theorem 216
- Newton - Leibniz 358
- mga tatlong patayo 270
- Pythagoras 167
- - spatial 301, 302
- Euler 305, 308 Heat capacity 89 Heat 88 Point 114, 130
- kritikal 75
- lokal na maximum 26
- - pinakamababa sa 26
- espesyal 84
- labis na 82
Mga pagkakakilanlan ng trigonometric 179, 236
- mga equation 230, 237
- mga formula ng dobleng anggulo 224
- - mga karagdagan 240
- mga function 249-251
- - kalahating uling 225
Sa
Slope Tangent 52 Angles 116, 169, 170
- dihedral 274, 275
- linear 275
- polyhedral 309 Cone angle 287 Equation 407
- mga paggalaw 372 vector 152
- kaugalian 371, 374
- hindi makatwiran 413
- harmonic vibrations 376, 377
- logarithmic 336
- tungkol sa pangalawang 373
- - unang 373
- indicative 337
- tuwid na 18, 260
- rational 413 Homogeneous equation 241
- protozoa 183
- katumbas ng 37, 409 Acceleration 86, 153
Kondisyon ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano 268
- - tuwid 262
- perpendicularity ng mga vector 217- 219
- - tuwid at patag 268
- - tuwid 262
- pagkakapantay-pantay 140
F
Mga formula ng pagtatantya 94, 199, 200
- mga cast 180, 222
- mga karagdagan 222-224
- trigonometriko dobleng anggulo 224
Mga function na magkabaligtaran 242, 243, 249
- monotone 246
- baligtarin 243, 244, 245
- panaka-nakang 176, 185
- indicative 327, 329, 341, 375
- trigonometriko 175, 177, 181 Function 22, 70
- logarithmic 332, 333
- kakaiba 81
- kahit 80
C
Silindro 283, 284, 289
Kahit 178 Number 7
- tunay 8
-e 330
- hindi makatwiran 324
- natural 8
- negatibo 35
- positibo 35
- makatwiran 8.323
H
Quadrilateral 130
W
Bola 291, 292
Mathematics. Bashmakov M.I.
ika-3 ed. - M.: 2017.- 256 p. M.: 2014.- 256 p.
Ang aklat-aralin ay isinulat alinsunod sa programa ng pag-aaral ng matematika sa mga institusyon ng NPO at SPO at sumasaklaw sa lahat ng mga pangunahing paksa: teorya ng numero, ugat, kapangyarihan, logarithms, linya at eroplano, spatial na katawan, pati na rin ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya, pagsusuri. , combinatorics at probability theory. Para sa mga mag-aaral sa mga institusyon ng elementarya at sekondaryang bokasyonal na edukasyon.
Format: pdf(2017, 256s.)
Ang sukat: 8.6 MB
Panoorin, i-download:drive.google
Format: pdf(2014, 256s.)
Ang sukat: 52.6 MB
Panoorin, i-download:drive.google
Talaan ng nilalaman
Pangunahing notasyon 3
Paunang Salita 4
Kabanata 1. PAG-UNLAD NG KONSEPTO NG BILANG 7
Aralin 1. Mga integer at rational na numero 7
Aralin 2. Mga totoong numero 11
Aralin 3. Tinatayang mga kalkulasyon 15
Aralin 4. Mga kumplikadong numero 18
Pag-uusap. Mga numero at ugat ng mga equation 22
Kabanata 2
Aralin 1 Balik-aral 26
Aralin 2. n-ika-ugat 29
Aralin 3. Degree 33
Aralin 4. Logarithms 37
Aralin 5. Exponential at logarithmic function 40
Aralin 6. Exponential at logarithmic equation at inequalities 46
Pag-uusap. Pagkalkula ng mga kapangyarihan at logarithms 49
Kabanata 3. MGA LINYA AT EROPLO SA KAPWA 52
Aralin 1. Mutual na pag-aayos ng mga linya at eroplano 52
Aralin 2. Paralelismo ng mga linya at eroplano 56
Aralin 3. Mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano 58
Pag-uusap. Geometry ng Euclid 61
Kabanata 4. COMBINATORICS 66
Aralin 1. Kombinatoryal na mga konstruksyon 66
Aralin 2. Mga Tuntunin ng combinatorics 69
Aralin 3. Bilang ng mga orbit 72
Pag-uusap. Mula sa kasaysayan ng combinatorics 77
Kabanata 5. COORDINATES AT VECTOR 79
Aralin 1 Balik-aral 79
Aralin 2. Mga coordinate at vector sa espasyo 83
Aralin 3. Produktong tuldok 85
Aralin 4. Perpendicularity ng mga linya at eroplano 88
Pag-uusap. Vector space 90
Kabanata 6. MGA BATAYRAN NG TRIGONOMETRI 93
Aralin 1. Anggulo at umiinog na paggalaw 93
Aralin 2, Trigonometric operations 98
Aralin 3. Pagbabago ng mga trigonometrikong ekspresyon 103
Aralin 4. Trigonometric functions 109
Aralin 5. Trigonometric Equation 114
Pag-uusap. Mula sa kasaysayan ng trigonometrya 120
Kabanata 7. MGA FUNCTION AT GRAPHICS 122
Pagsusuri ng Sesyon 1 pangkalahatang konsepto 122
Aralin 2. Ang iskema ng pag-aaral ng function 127
Aralin 3. Pagbabago ng function at pagkilos sa mga ito 131
Aralin 4. Simetrya ng mga function at pagbabago ng kanilang mga graph 136
Aralin 5: Pagpapatuloy ng Function 139
Pag-uusap. Pagbuo ng konsepto ng function 141
Kabanata 8, Polyhedra at mga Bilog na Katawan 143
Aralin 1. Diksyunaryo ng geometry 143
Aralin 2. Parallelepipeds at prisms 145
Aralin 3. Pyramids 148
Aralin 4. Bilog na katawan 151
Aralin 5. Regular na polyhedra 154
Pag-uusap. Platonic Solids 157
Kabanata 9. MGA SIMULA NG MATHEMATICAL ANALYSIS 159
Aralin 1. Proseso at ang pagmomodelo nito 159
Aralin 2 Mga Pagkakasunud-sunod 165
Aralin 3. Ang konsepto ng derivative 171
Aralin 4. Mga formula ng pagkakaiba-iba 176
Aralin 5. Mga derivatives ng elementary functions 180
Aralin 6. Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function 183
Aralin 7. Inilapat na mga gawain 187
Aralin 8. Antiderivative 193
Pag-uusap. Taylor Formula 195
Kabanata 10. ANG INTEGRAL AT MGA APLIKASYON NITO 198
Aralin 1. Mga lugar ng mga numero ng eroplano 198
Aralin 2. Newton-Leibniz theorem 201
Aralin 3. Mga spatial na katawan 207
Pag-uusap. Mga integral na dami 213
Kabanata 11. MGA ELEMENTO NG TEORYA NG PROBABILIDAD AT MATHEMATICAL STATISTICS 219
Aralin 1. Probability at mga katangian nito 219
Aralin 2. Muling pagsubok 222
Aralin 3. Random na baryabol 225
Pag-uusap. Ang pinagmulan ng teorya ng probabilidad 228
Kabanata 12. EQUATIONS AND INEQUALITIES 230
Aralin 1 Pagkakatumbas ng mga Equation 230
Aralin 2. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation 233
Aralin 3 Mga Sistema ng Equation 238
Aralin 4. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay 242
Pag-uusap, Solvability ng algebraic equation 247
Mga sagot 249
Paunang salita
Ang matematika sa loob ng 2500 taon ng pagkakaroon nito ay naipon ang pinakamayamang kasangkapan para sa pag-aaral ng mundo sa paligid natin. Gayunpaman, gaya ng sinabi ng Academician na si A.N. Krylov, isang namumukod-tanging Ruso na matematiko at tagagawa ng barko, ang isang tao ay bumaling sa matematika "hindi upang humanga sa hindi mabilang na mga kayamanan." Una sa lahat, kailangan niyang maging pamilyar sa "mga siglo ng napatunayang mga tool at matutunan kung paano gamitin ang mga ito nang tama at may kasanayan."
Tuturuan ka ng aklat na ito kung paano pangasiwaan ang mga tool sa matematika tulad ng mga function at kanilang mga graph, geometric na hugis, vector at coordinate, derivative at integral. Bagama't maaari kang nagkaroon ng iyong unang pagkakalantad sa ilan sa mga konseptong ito nang mas maaga, ang aklat ay nagpapakita ng x muli. Maginhawa ito para sa mga nakalimutan nang kaunti ang naunang pinag-aralan na materyal, at kapaki-pakinabang para sa lahat, dahil kahit na ang mga pamilyar na bagay ay magbubunyag ng mga bagong aspeto at koneksyon.
Upang mapadali ang gawain sa aklat-aralin, ang pinakamahalagang mga probisyon at pormulasyon ay naka-highlight. Ang mga ilustrasyon ay may mahalagang papel, kaya't kinakailangang maingat na isaalang-alang ang pagguhit na nauugnay sa teksto para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto (kahit na noong sinaunang panahon ginamit nila ang pamamaraang ito ng pag-aaral ng matematika - gumuhit sila ng isang guhit at sinabi: "Tingnan!" ).
Bilang karagdagan sa hindi mapag-aalinlanganang praktikal na halaga ng kaalaman sa matematika na nakuha, ang pag-aaral ng matematika ay nag-iiwan ng isang hindi maalis na marka sa kaluluwa ng bawat tao. Sa matematika, iniuugnay ng marami ang kawalang-kinikilingan at katapatan, ang pagnanais para sa katotohanan at ang pagtatagumpay ng katwiran. Marami ang may panghabambuhay na tiwala sa sarili, na lumitaw kapag nalampasan ang hindi mapag-aalinlanganang mga paghihirap na kanilang naranasan sa pag-aaral ng matematika. Sa wakas, karamihan sa inyo ay bukas sa pang-unawa ng pagkakaisa at kagandahan ng mundo na hinigop ng matematika, kaya hindi mo dapat lapitan ang bawat pahina ng aklat-aralin, ang bawat gawain ay may pagtatasa kung ito ay gagamitin sa bagong buhay na naghihintay sa iyo pagkatapos ng graduation.
Ang mga paksa kung saan nakatuon ang aklat-aralin - ang teorya ng mga numero, mga spatial na katawan, ang mga pundasyon ng pagsusuri sa matematika, ang mga simula ng teorya ng posibilidad - ay hindi lamang ng inilapat na kahalagahan. Naglalaman ang mga ito ng mayayamang ideya, pamilyar na kung saan ay kinakailangan para sa bawat tao.
Nais kong umaasa na ang pag-aaral ng matematika, na dapat makatulong sa aklat-aralin, ay magpapahintulot sa iyo na kumbinsido sa mataas na antas ng iyong mga kakayahan, palakasin ang pagnanais na ipagpatuloy ang iyong pag-aaral at magdala ng maraming masayang minuto ng pakikipag-usap sa "hindi matitinag na mga batas. na nagmamarka sa buong kaayusan ng sansinukob."
Kasunduan
Mga panuntunan para sa pagpaparehistro ng mga user sa site na "QUALITY SIGN":
Ipinagbabawal na irehistro ang mga gumagamit na may mga palayaw tulad ng: 111111, 123456, ytsukenb, lox, atbp.;
Ipinagbabawal na muling magparehistro sa site (lumikha ng mga duplicate na account);
Ipinagbabawal na gumamit ng data ng ibang tao;
Ipinagbabawal na gumamit ng mga e-mail address ng ibang tao;
Mga patakaran ng pag-uugali sa site, forum at sa mga komento:
1.2. Paglalathala ng personal na data ng iba pang mga gumagamit sa palatanungan.
1.3. Anumang mapanirang aksyon na may kaugnayan sa mapagkukunang ito (mapanirang mga script, paghula ng password, paglabag sa sistema ng seguridad, atbp.).
1.4. Paggamit ng malalaswang salita at ekspresyon bilang palayaw; mga ekspresyong lumalabag sa mga batas Pederasyon ng Russia, mga pamantayan ng etika at moralidad; mga salita at parirala na katulad ng mga palayaw ng administrasyon at mga moderator.
4. Mga paglabag sa ika-2 kategorya: Mapaparusahan ng kumpletong pagbabawal sa pagpapadala ng anumang uri ng mga mensahe nang hanggang 7 araw. 4.1 Paglalagay ng impormasyon na nasa ilalim ng Criminal Code ng Russian Federation, Administrative Code ng Russian Federation at salungat sa Konstitusyon ng Russian Federation.
4.2. Propaganda sa anumang anyo ng ekstremismo, karahasan, kalupitan, pasismo, Nazismo, terorismo, rasismo; pag-uudyok ng pagkamuhi sa pagitan ng etniko, magkakaibang relihiyon at panlipunan.
4.3. Maling pagtalakay sa akda at pang-iinsulto sa mga may-akda ng mga teksto at tala na inilathala sa mga pahina ng "QUALITY SIGN".
4.4. Mga banta laban sa mga miyembro ng forum.
4.5. Ang paglalagay ng sadyang maling impormasyon, paninirang-puri at iba pang impormasyon na sumisira sa dangal at dignidad ng mga gumagamit at ng ibang tao.
4.6. Pornograpiya sa mga avatar, mensahe at quote, pati na rin ang mga link sa mga pornograpikong larawan at mapagkukunan.
4.7. Buksan ang talakayan ng mga aksyon ng administrasyon at mga moderator.
4.8. Pampublikong talakayan at pagsusuri ng mga umiiral na panuntunan sa anumang anyo.
5.1. Banig at kalapastanganan.
5.2. Mga provokasyon (mga personal na pag-atake, personal na discrediting, pagbuo ng isang negatibong emosyonal na reaksyon) at panliligalig sa mga kalahok sa mga talakayan (ang sistematikong paggamit ng mga provokasyon na may kaugnayan sa isa o higit pang mga kalahok).
5.3. Pag-udyok sa mga user na magkasalungat sa isa't isa.
5.4. Kabastusan at kabastusan sa mga kausap.
5.5. Ang paglipat sa indibidwal at ang paglilinaw ng mga personal na relasyon sa mga thread ng forum.
5.6. Baha (magkapareho o walang kahulugan na mga mensahe).
5.7. Sinadyang maling spelling ng mga palayaw at pangalan ng iba pang user sa nakakasakit na paraan.
5.8. Pag-edit ng mga sinipi na mensahe, pagbaluktot ng kanilang kahulugan.
5.9. Paglalathala ng personal na sulat nang walang tahasan magpahayag ng pagsang-ayon kausap.
5.11. Ang mapanirang trolling ay ang may layuning pagbabago ng isang talakayan sa isang skirmish.
6.1. Overquoting (sobrang pagsipi) na mga mensahe.
6.2. Paggamit ng pulang font, na nilayon para sa mga pagwawasto at komento ng mga moderator.
6.3. Pagpapatuloy ng talakayan ng mga paksang isinara ng moderator o administrator.
6.4. Paglikha ng mga paksang hindi naglalaman ng semantikong nilalaman o nakakapukaw sa nilalaman.
6.5. Paglikha ng pamagat ng isang paksa o post sa kabuuan o bahagi sa malalaking titik o sa banyagang lengwahe. Ang isang pagbubukod ay ginawa para sa mga pamagat ng permanenteng paksa at paksang binuksan ng mga moderator.
6.6. Paggawa ng caption sa isang font na mas malaki kaysa sa font ng post at paggamit ng higit sa isang kulay ng palette sa caption.
7. Inilapat ang mga parusa sa mga lumalabag sa Mga Panuntunan ng Forum
7.1. Pansamantala o permanenteng pagbabawal sa pag-access sa Forum.
7.4. Pagtanggal ng account.
7.5. Pag-block ng IP.
8. Mga Tala
8.1 Ang paglalapat ng mga parusa ng mga moderator at ng administrasyon ay maaaring isagawa nang walang paliwanag.
8.2. Maaaring magbago ang mga patakarang ito, na iuulat sa lahat ng miyembro ng site.
8.3. Ang mga gumagamit ay ipinagbabawal na gumamit ng mga panggagaya sa panahon ng panahon kung kailan na-block ang pangunahing palayaw. AT kasong ito ang clone ay na-block nang walang katiyakan, at ang pangunahing palayaw ay makakatanggap ng karagdagang araw.
8.4 Ang isang mensahe na naglalaman ng malaswang wika ay maaaring i-edit ng isang moderator o administrator.
9. Pangangasiwa Ang pangangasiwa ng site na "ZNAK QUALITY" ay may karapatan na tanggalin ang anumang mga mensahe at paksa nang walang paliwanag. Inilalaan ng administrasyon ng site ang karapatang mag-edit ng mga mensahe at profile ng gumagamit kung ang impormasyon sa mga ito ay bahagyang lumalabag sa mga patakaran ng mga forum. Nalalapat ang mga kapangyarihang ito sa mga moderator at administrator. Inilalaan ng Administrasyon ang karapatan na baguhin o dagdagan ang Mga Panuntunang ito kung kinakailangan. Ang kamangmangan sa mga patakaran ay hindi nagpapalaya sa gumagamit mula sa responsibilidad para sa kanilang paglabag. Hindi masusuri ng administrasyon ng site ang lahat ng impormasyong nai-publish ng mga user. Ang lahat ng mga mensahe ay sumasalamin lamang sa opinyon ng may-akda at hindi magagamit upang suriin ang mga opinyon ng lahat ng kalahok sa forum sa kabuuan. Ang mga mensahe ng mga tauhan ng site at mga moderator ay isang pagpapahayag ng kanilang Personal na opinyon at maaaring hindi tumugma sa opinyon ng mga editor at pamamahala ng site.
Si Mark Bashmakov ay ipinanganak noong Pebrero 10, 1937 sa St. Petersburg. Si Tatay, isang katutubo ng mga magsasaka ng lalawigan ng Tver, ang ina ay nagmula sa Vinnitsa. Noong 1954 nagtapos siya sa paaralan na may gintong medalya at pumasok sa Faculty of Mathematics and Mechanics ng St. Petersburg State University. Noong 1959 siya ay tinanggap sa graduate school, pagkatapos ay nagtrabaho bilang isang assistant, associate professor at professor. Kasunod nito, ipinagtanggol niya ang kanyang disertasyon ng doktor.
Nagsimula siyang aktibong magtrabaho kasama ang mga mag-aaral bilang isang mag-aaral at ipinagpatuloy ito noong unang bahagi ng 1960s. Lumahok sa paglikha at gawain ng mga lupon, una sa faculty, pagkatapos ay sa mga distrito ng lungsod ng St. Petersburg, pagkatapos ay sa ilang mga lungsod ng North-West. Ay kabilang sa mga organizers ng una panrehiyong olympiad sa matematika sa mga lungsod ng Murmansk, Syktyvkar, ay lumahok sa paghahanda ng unang All-Union Olympiad para sa mga mag-aaral sa matematika. Kaayon ng kanyang trabaho, mula noong 1977, sa loob ng 15 taon, pinamunuan ni Bashmakov ang departamento ng mas mataas na matematika sa St. Petersburg State Electrotechnical University na pinangalanang V.I. Ulyanov.
Noong dekada 1980, nagturo siya ng tatlong taon sa mga sekondaryang bokasyonal na paaralan sa St. Petersburg. Siya ay lumikha ng isang makabagong para sa kanyang oras na programa sa matematika para sa sekundaryong bokasyonal na mga paaralan, ang aklat-aralin sa matematika na kanyang isinulat ay paulit-ulit na nilimbag at hinihiling pa rin sa sistema ng pangunahin at sekundaryong bokasyonal na edukasyon. Ang katibayan ng pagkilala sa kanyang mga merito ay ang paggawad ng kanyang badge na "Mahusay na manggagawa sa bokasyonal na edukasyon ng USSR."
Sa lungsod ng St. Petersburg, sa ilalim ng gabay ng isang propesor, ang Institute ay binuksan noong 1992 produktibong pag-aaral. Sa mga sumunod na taon, ang IPO ay isang kalahok at tagapag-ayos ng isang bilang ng mga internasyonal at pambansang proyekto, ang layunin nito ay ang pagbuo ng mga produktibong pamamaraan ng pag-aaral at ang kanilang paggamit sa pagsasanay ng edukasyon.
Mula 2002 hanggang 2010, namamahala siya sa Productive Learning Laboratory sa Institute of Content and Teaching Methods ng Russian Academy of Education. Noong 2011 siya ay naging pinuno ng laboratoryo ng produktibong pedagogy ng Institute edukasyon ng guro at pang-adultong edukasyon RAO.
Siya ay nahalal bilang isang buong miyembro ng Russian Academy of Education noong 1993. Nang maglaon, para sa isang hanay ng mga aklat-aralin na "Matematika para sa Lahat" ay iginawad ang Gantimpala ng Pamahalaan ng Russian Federation sa larangan ng edukasyon at iginawad ang pamagat ng "Laureate ng Gantimpala ng Pamahalaan ng Russian Federation sa larangan ng edukasyon."
Ang gawaing siyentipiko at ang mga pangunahing resulta ng mathematician ay nauugnay sa algebra at teorya ng numero. Ang pangunahing direksyon ng pananaliksik: ang aplikasyon ng modernong kagamitan ng algebra at topology sa solusyon ng mga klasikal na problema sa teorya ng Diophantine equation, teoryang algebraic mga numero, algebraic geometry.
Nakatanggap ang propesor ng ilang mga resultang nagbibigay-kaalaman, na malawak na kilala at makikita sa mga monograph ng pagsusuri. Ang panitikan sa matematika sa mundo ay kinabibilangan ng mga konseptong nagtataglay ng kanyang pangalan bilang "Bashmakov's theorem", "Bashmakov's problem" at "Bashmakov's method". Lumikha siya ng isang pang-agham na paaralan, kung saan lumabas ang isang kilalang mathematician, higit sa dalawang dosenang kandidato at mga doktor ng pisikal at matematikal na agham.
Batay sa karanasan sa pagtatrabaho sa isang boarding school, siya ay umunlad at patuloy na umuunlad konsepto ng pedagogical produktibong pag-aaral. Ang konsepto ay sistema ng pedagogical, na nagpapatupad prosesong pang-edukasyon sa pamamagitan ng mga indibidwal na ruta, na may mga aksyon na nagtitiyak ng personal na paglago, panlipunang pagpapasya sa sarili ng mga kalahok, ang paglago ng kanilang papel sa pagbuo, pagpapatupad at pagsusuri ng kanilang rutang pang-edukasyon. Ang mga diskarte ay naging malapit sa mga ipinatupad sa anyo ng International Network of Productive Schools. Ang pagsasama ng Russian line sa network na ito ay naganap sa INEPS congress.
Si Mark Ivanovich ang may-akda ng isang malaking serye ng mga aklat-aralin sa matematika ng bagong henerasyon. Ang mga aklat-aralin na ito ay nakakatugon sa mga pangunahing pangangailangan ng pag-aaral ng matematika mula ika-1 hanggang ika-11 na baitang ng isang paaralang pangkalahatang edukasyon ng iba't ibang mga profile, mga institusyon ng elementarya at sekondaryang bokasyonal na edukasyon. Kasama sa serye ang higit sa 20 mga aklat-aralin na kasama sa pederal na listahan mga aklat-aralin, pati na rin ang higit sa 30 iba't ibang materyales sa suportang pang-edukasyon. Aktibong kalahok at tagapag-ayos ng sistema ng All-Union Olympiads para sa mga mag-aaral, miyembro ng mga editoryal na board ng sikat na science magazine na Kvant at ang magazine na Mathematics at School.
Bilang bahagi ng pagpapatupad ng konsepto ng produktibong pag-aaral, isang sistema ng mga mass didactic na laro at kumpetisyon ang nilikha sa ilalim ng kanyang pamumuno. Ang isang modelo para sa naturang mga kumpetisyon ay ang mathematical competition na "Kangaroo", kung saan ang mga paaralan mula sa higit sa 20 mga bansa ay lumahok.
