इस लेख में, आप सीखेंगे कि गणित की समस्याओं को कैसे हल किया जाए यदि आप नहीं जानते कि कहां से शुरू करें।

अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, स्कूली बच्चे "मूर्खता में चले जाते हैं" - उनके सिर में कोहरा होता है, विचार कहीं बिखर जाते हैं, और ऐसा लगता है कि उन्हें इकट्ठा करना अब संभव नहीं है।

मैं से एक समस्या को हल करने का एक उदाहरण चाहता हूँ खुला बैंकदिखाने के लिए कार्य जो सरल कदमअपने विचारों को इकट्ठा करने और समस्याओं को सही तरीके से हल करने के लिए करने की आवश्यकता है।

समस्याओं का समाधान कैसे करें। टास्क बी13 (नंबर 26582)

साइकिल सवार चला गया निरंतर गतिशहर A से शहर B तक, उनके बीच की दूरी 98 किमी है। अगले दिन वह पहले से 7 किमी/घंटा अधिक की गति से वापस चला गया। रास्ते में वह 7 घंटे तक रुका। नतीजतन, उसने वापस रास्ते में उतना ही समय बिताया जितना कि ए से बी के रास्ते में। ए से बी के रास्ते में साइकिल चालक की गति का पता लगाएं। उत्तर किमी / घंटा में दें।

1. समस्या को ध्यान से पढ़ें। शायद कई बार।

2. हम यह निर्धारित करते हैं कि समस्या किस प्रक्रिया के बारे में है, और कौन से सूत्र इस प्रक्रिया का वर्णन करते हैं। हम इन सूत्रों को लिखते हैं। पर इस मामले मेंयह आंदोलन के लिए एक कार्य है, और इस प्रक्रिया का वर्णन करने वाला सूत्र S=vt है।

3. हम प्रत्येक चर के आयाम को लिखते हैं जो समीकरण का हिस्सा है:

• एस - दूरी - किमी
• वी - गति - किमी / घंटा
• टी - समय - एच

आयाम जानने से हमें परिणामी सूत्रों की जाँच करने में मदद मिलेगी।

4. हम उन सभी संख्याओं को लिखते हैं जो समस्या की स्थिति में पाई जाती हैं, हम लिखते हैं कि उनका क्या अर्थ है और उनका आयाम:

98 किमी - शहरों के बीच की दूरी,

7 किमी / घंटा - एक साइकिल चालक की गति के बराबर वापसी का रास्ताशहर A से शहर B के रास्ते में गति से अधिक,

7 घंटे - साइकिल चालक के रुकने का समय (इस बार उसने सवारी नहीं की)

5. समस्या प्रश्न को फिर से पढ़ें।

6. हम तय करते हैं कि हम अज्ञात के लिए क्या मूल्य लेंगे। अज्ञात के लिए उस मूल्य को लेना सुविधाजनक है जिसे समस्या में जानना आवश्यक है। इस मामले में, यह ए से बी के रास्ते में साइकिल चालक की गति है।

तो: माना A से B के रास्ते में साइकिल सवार की गति x है। फिर, चूंकि साइकिल चालक की वापस रास्ते में गति शहर ए से शहर बी के रास्ते की गति से 7 किमी/घंटा अधिक है, तो यह x+7 के बराबर है।

7. हम एक समीकरण बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले दो के माध्यम से गति के समीकरण (समय) के तीसरे मूल्य को व्यक्त करते हैं। फिर:

• साइकिल सवार को A से B तक जाने में लगा समय 98/x है,

• और बी से ए की सड़क पर - 98 / (x + 7) + 7 - याद रखें कि रास्ते में साइकिल चालक ने 7 घंटे के लिए एक स्टॉप बनाया, यानी उसकी यात्रा का समय यात्रा के समय और पार्किंग का योग है समय।

समीकरण समय के लिए है। एक बार फिर हम समस्या की स्थिति में पढ़ते हैं कि यह समय के बारे में कहती है: परिणामस्वरूप, उसने वापस रास्ते में उतना ही समय बिताया जितना कि ए से बी के रास्ते में। यानी "वहां" समय बराबर है वापस समय"। हम समय "वहां" और समय "वापस" की बराबरी करते हैं, हमें समीकरण मिलता है:

98/x=98/(x+7)+7.

एक बार फिर, हम समीकरण में शामिल मात्राओं के आयामों की जांच करते हैं - आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि, उदाहरण के लिए, घंटों को किलोमीटर में न जोड़ें।

8. हम समीकरण हल करते हैं। अब हमें समीकरण को हल करने पर ध्यान देने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, हम यह निर्धारित करते हैं कि यह समीकरण किस प्रकार का है। चूँकि अज्ञात भिन्नों के हर में है, यह है तर्कसंगत समीकरण. इसे हल करने के लिए, आपको सभी पदों को बाईं ओर ले जाना होगा और भिन्नों को पर लाना होगा आम विभाजक. ध्यान दें कि संख्याएँ 98 और 7 7 की गुणज हैं।

समाधान को सरल बनाने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करते हैं। हमें समीकरण मिलता है: 14/x=14/(x+7)+1

उसके बाद, हम सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, एक सामान्य हर को कम करते हैं, और अंश को शून्य के बराबर करते हैं।

हम अंश में प्राप्त करते हैं: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 समान शब्दऔर द्विघात समीकरण को हल करें।

इसकी जड़ें -14 और 7 हैं।

संख्या -14 समस्या की स्थिति के अनुकूल नहीं है: गति सकारात्मक होनी चाहिए।

एक बार फिर हम समस्या के प्रश्न को पढ़ते हैं और इसे उस मूल्य के साथ सहसंबंधित करते हैं जो हमें मिला: अज्ञात के लिए हमने ए से बी के रास्ते में साइकिल चालक की गति ली, और हमें उसी मूल्य को खोजने की जरूरत है।

उत्तर: 7 किमी/घंटा।

समस्याओं का समाधान कैसे करें। नतीजा

ध्यान दें कि हमने समस्या को हल करने के पूरे रास्ते को छोटे-छोटे टुकड़ों में विभाजित किया है, और प्रत्येक खंड में हमने ठीक से सोचने पर ध्यान केंद्रित किया है विशिष्ट क्रिया. और इस क्रिया को करने के बाद ही अगला कदम उठाया।

जब यह स्पष्ट नहीं है कि क्या करना है, तो आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि कौन सा छोटा कदमआप इसे अभी कर सकते हैं, कर सकते हैं और फिर अगले के बारे में सोच सकते हैं।

ठेठ को हल करने का तरीका जानने के लिए तार्किक कार्य, सरल और गैर-मानक गणित की समस्याओं, उन्हें हल करने के लिए बुनियादी तकनीकों और विधियों को जानना महत्वपूर्ण है। दरअसल, कई मामलों में एक ही समस्या को हल करना और अलग-अलग तरीकों से सही उत्तर पर आना संभव है।

विभिन्न समाधान विधियों को जानने और समझने से आपको यह निर्धारित करने में मदद मिलेगी कि प्रत्येक मामले के लिए कौन सी विधि सर्वोत्तम है, ताकि आप उत्तर प्राप्त करने का सबसे तेज़ और आसान तरीका चुन सकें।

"क्लासिक" तार्किक कार्यों में पाठ कार्य शामिल हैं, जिसका उद्देश्य वस्तुओं को पहचानना या उन्हें दी गई शर्तों के अनुसार एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करना है।

अधिक जटिल और रोमांचक प्रकार के कार्य ऐसे कार्य होते हैं जिनमें कुछ कथन सत्य होते हैं और अन्य झूठे होते हैं। हिलने-डुलने, तौलने, डालने का कार्य सबसे अधिक होता है उज्ज्वल उदाहरणविस्तृत श्रृंखला गैर-मानक कार्यतर्क के लिए।

तार्किक समस्याओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

• तर्क करने की विधि;
• सत्य तालिकाओं का उपयोग करना;
• ब्लॉक आरेख विधि;
• तर्क बीजगणित के साधन (प्रस्तावित बीजगणित);
• ग्राफिक ("पेड़ . सहित) तार्किक स्थितियां”, यूलर सर्कल विधि);
• गणितीय बिलियर्ड्स की विधि।

आइए तार्किक समस्याओं को हल करने के तीन लोकप्रिय तरीकों के उदाहरणों के साथ करीब से देखें, जिन्हें हम प्राथमिक विद्यालय (6-12 वर्ष के बच्चे) में उपयोग करने की सलाह देते हैं:

• अनुक्रमिक तर्क की विधि;
• तर्क का एक प्रकार का तरीका - "अंत से";
• सारणीबद्ध तरीका।

अनुक्रमिक तर्क विधि

सरल समस्याओं को हल करने का सबसे आसान तरीका सभी ज्ञात स्थितियों का क्रमिक रूप से उपयोग करना है। कथनों से निष्कर्ष जो समस्या की स्थितियाँ हैं, धीरे-धीरे प्रश्न के उत्तर की ओर ले जाते हैं।

मेज पर हैं नीला , हरा , भूराऔर संतरा

तीसरी पेंसिल है जिसके नाम में सबसे अधिक अक्षर हैं। नीलापेंसिल के बीच स्थित है भूराऔर संतरा .

वर्णित क्रम में पेंसिलों को बिछाएं।

फेसला:

हम बहस। हम लगातार समस्या की स्थितियों का उपयोग उस स्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए करते हैं जिस पर प्रत्येक अगली पेंसिल झूठ बोलनी चाहिए।

• "भूरा" शब्द में अधिकांश अक्षर हैं, इसलिए यह तीसरे स्थान पर है।
• यह ज्ञात है कि एक नीली पेंसिल भूरे और नारंगी रंग के बीच होती है। भूरे रंग के दायीं ओर केवल एक ही स्थिति है, जिसका अर्थ है कि भूरे रंग के बीच नीले रंग को और दूसरी पेंसिल को केवल भूरे रंग के बाईं ओर रखना संभव है।
• अगला निष्कर्ष पिछले एक पर आधारित है: नीली पेंसिल दूसरे स्थान पर है, और नारंगी पहले वाले पर है।
• बची हुई हरी पेंसिल के लिए आखिरी स्थान- वह चौथा है।

समाप्ति विधि

हल करने का यह तरीका एक तरह की तर्क पद्धति है और उन समस्याओं के लिए बहुत अच्छा है जिनमें हम कुछ कार्यों के परिणाम जानते हैं, और सवाल मूल तस्वीर को पुनर्स्थापित करना है।

दादी ने अपने तीन पोते-पोतियों के लिए बैगेल्स बेक किए और उन्हें टेबल पर छोड़ दिया। कोल्या पहले खाने के लिए काटने के लिए दौड़ा। मैंने सारे बैगेल गिने, अपना हिस्सा लिया और भाग गया।
आन्या बाद में घर में आई। वह नहीं जानती थी कि कोल्या ने पहले ही बैगेल ले लिए थे, उन्हें गिन लिया और उन्हें तीन में विभाजित करके अपना हिस्सा ले लिया।
तीसरा गेना आया, जिसने बाकी पेस्ट्री को भी तीन में विभाजित कर दिया और अपना हिस्सा ले लिया।
मेज पर 8 बैगेल बचे हैं।

बचे हुए आठ बैगेल में से, प्रत्येक व्यक्ति को कितने खाने चाहिए ताकि वे सभी समान रूप से खा सकें?

फेसला:

आइए चर्चा को अंत से शुरू करते हैं।
गेना ने अन्या और कोल्या (प्रत्येक के लिए 4) के लिए 8 बैगेल छोड़े। यह पता चला है कि उसने खुद 4 बैगेल खाए: 8 + 4 = 12।
अन्या ने भाइयों (प्रत्येक 6) के लिए 12 बैगेल छोड़े। तो उसने खुद 6 टुकड़े खाए: 12 + 6 = 18।
कोल्या ने लोगों के लिए 18 बैगेल छोड़े। तो उसने खुद 9 खा लिया: 18 + 9 = 27।

दादी ने मेज पर 27 बैगेल रखे, इस उम्मीद में कि सभी को 9 टुकड़े मिलेंगे। चूंकि कोल्या पहले ही अपना हिस्सा खा चुकी है, अन्या को 3 और गेना को 5 बैगेल खाना चाहिए।

ट्रुथ टेबल्स का उपयोग करके लॉजिक प्रॉब्लम्स सॉल्व करना

विधि का सार समस्या की स्थितियों और समस्या के लिए विशेष रूप से संकलित तालिकाओं में तर्क के परिणामों को ठीक करना है। कथन सही है या गलत, इस पर निर्भर करते हुए, तालिका के संबंधित सेल "+" और "-" या "1" और "0" संकेतों से भरे हुए हैं।

तीन एथलीट ( लाल , नीलाऔर हरा) बास्केटबॉल खेला।
जब गेंद टोकरी में थी, तो लाल ने कहा: "गेंद को नीले रंग से बनाया गया था।"
ब्लू ने आपत्ति जताई: "हरे ने गेंद को गोल किया।"
ज़ेलेनी ने कहा, "मैंने स्कोर नहीं किया।"

यदि तीनों में से केवल एक ने झूठ बोला तो गेंद किसने बनाई?

फेसला:

सबसे पहले, एक तालिका संकलित की जाती है: बाईं ओर, वे उन सभी कथनों को लिखते हैं जो स्थिति में निहित हैं, और शीर्ष पर - संभावित विकल्पप्रतिक्रिया।

फिर तालिका क्रमिक रूप से भरी जाती है: सत्य कथनएक "+" चिह्न के साथ चिह्नित करें, और एक "-" चिह्न के साथ गलत बयान।

पहले उत्तर विकल्प पर विचार करें ("गेंद फेंकी गई थी लाल"), बाईं ओर लिखे गए कथनों का विश्लेषण करें, और भरें प्रथमकॉलम।
हमारी धारणा के आधार पर ("गेंद फेंकी गई थी लाल"), कथन "गेंद को नीले रंग से फेंका गया" एक झूठ है। हम सेल "-" में डालते हैं।
"गेंद ने हरा बनाया" कथन भी झूठ है। हम सेल को "-" चिह्न से भरते हैं।
हरा कथन "मैंने स्कोर नहीं किया" सत्य है। हम सेल "+" में डालते हैं।

दूसरे उत्तर पर विचार करें (मान लें कि गेंद हरी फेंकी गई)और भरें दूसराकॉलम।
कथन "ब्लू हैज़ थ्रो द बॉल" झूठ है। हम सेल "-" में डालते हैं।
कथन "गेंद ने हरा स्कोर किया « - सच। सेल में "+" चिन्ह भरें।
हरा कथन "मैंने स्कोर नहीं किया" झूठ है। हम सेल "-" में डालते हैं।

और अंत में, तीसरा विकल्प: मान लीजिए कि "गेंद फेंकी जाती है" नीला«.
तब कथन "गेंद फेंकी गई नीली" « - सच। हम सेल "+" में डालते हैं।
कथन "गेंद ने हरा स्कोर किया" झूठ है। हम सेल को "-" चिह्न से भरते हैं। हरा कथन "मैंने स्कोर नहीं किया" सत्य है। हम सेल "+" में डालते हैं।

चूंकि, शर्त के अनुसार, तीन लोगों में से केवल एक ने झूठ बोला था, पूर्ण तालिका में हम ऐसे उत्तर विकल्प का चयन करते हैं, जहां वह होगा केवल एकगलत बयान (कॉलम में एक चिन्ह "-")। तीसरा कॉलम फिट बैठता है।

तो, सही उत्तर यह है कि गेंद को नीले रंग से फेंका गया था।

फ़्लोचार्ट विधि

फ़्लोचार्ट विधि मानी जाती है सबसे बढ़िया विकल्पवजन और तरल पदार्थ डालने की समस्याओं को हल करने के लिए। वैकल्पिक तरीकाइस प्रकार की समस्या को हल करना - विकल्पों की गणना की विधि - हमेशा इष्टतम नहीं होती है, और इसे व्यवस्थित कहना मुश्किल होता है।

फ़्लोचार्ट विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

• ग्राफिक रूप से (फ्लोचार्ट) संचालन के अनुक्रम का वर्णन करें;
• उनके कार्यान्वयन का क्रम निर्धारित करें;
• तालिका में हम वर्तमान राज्यों को ठीक करते हैं।

इसके बारे में और उदाहरणों के साथ तार्किक समस्याओं को हल करने के अन्य तरीकों और समाधान के विवरण के बारे में, हम बताते हैं पूरा पाठ्यक्रमलॉजिकलाइक तार्किक सोच के विकास पर।

विशेष रूप से हमारे ब्लॉग के नियमित पाठकों और लॉजिकलाइक के छात्रों के लिए सबसे अधिक एकत्रित होने का अनुमान लगाएं, हजारों बच्चों और वयस्कों के साथ तार्किक समस्याओं को ऑनलाइन हल करें!

औसत सामान्य शिक्षा

यूएमके लाइनजी के मुरावीना। बीजगणित और शुरुआत गणितीय विश्लेषण(10-11) (गहरा)

लाइन UMK Merzlyak। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

गणित

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

परीक्षा पत्र प्रोफ़ाइल स्तर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक रहता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक।

परीक्षा पत्र में दो भाग होते हैं, जो सामग्री, जटिलता और कार्यों की संख्या में भिन्न होते हैं।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

• भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
• भाग 2 में एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और एक विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं (निर्णय का पूरा रिकॉर्ड के लिए तर्क के साथ कार्रवाई की गई)।

पनोवा स्वेतलाना अनातोलिवना, गणित शिक्षक उच्चतम श्रेणीस्कूल, 20 साल का कार्य अनुभव:

"स्कूल प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए, स्नातक को दो पास होना चाहिए" अनिवार्य परीक्षामें उपयोग प्रपत्रजिनमें से एक गणित है। विकास अवधारणा के अनुसार गणित शिक्षामें रूसी संघगणित में उपयोग को दो स्तरों में विभाजित किया गया है: बुनियादी और विशिष्ट। आज हम प्रोफ़ाइल स्तर के विकल्पों पर विचार करेंगे।

टास्क नंबर 1- प्रतिभागियों के साथ जांच उपयोग कौशलप्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के पाठ्यक्रम में अर्जित कौशल को लागू करें व्यावहारिक गतिविधियाँ. प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, गोल करने में सक्षम होना चाहिए दशमलवमाप की एक इकाई को दूसरी में बदलने में सक्षम हो।

उदाहरण 1जिस अपार्टमेंट में पेट्र रहता है उस अपार्टमेंट में एक व्यय मीटर स्थापित किया गया था ठंडा पानी(विरोध करना)। पहली मई को मीटर ने 172 क्यूबिक मीटर की खपत दिखाई। पानी की मीटर, और पहली जून को - 177 घन मीटर। मी. पीटर को मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए, यदि कीमत 1 घन मीटर है। ठंडे पानी का मी 34 रूबल 17 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

फेसला:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) ज्ञात कीजिए कि खर्च किए गए पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान किया जाएगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

जवाब: 170,85.

टास्क नंबर 2- परीक्षा के सबसे सरल कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो फ़ंक्शन की अवधारणा की परिभाषा के कब्जे को इंगित करता है। कार्य प्रकार संख्या 2 आवश्यकताओं के अनुसार कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है और रोजमर्रा की जिंदगी. कार्य संख्या 2 में विभिन्न के कार्यों का उपयोग करके विवरण शामिल है वास्तविक निर्भरतामात्राओं और उनके रेखांकन की व्याख्या के बीच। टास्क नंबर 2 टेबल, डायग्राम, ग्राफ में प्रस्तुत जानकारी को निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को तर्क के मूल्य से किसी फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए जब विभिन्न तरीकेएक फ़ंक्शन को परिभाषित करना और उसके ग्राफ के अनुसार फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करना। अधिकतम खोजने में सक्षम होना भी आवश्यक है या सबसे छोटा मानऔर अध्ययन किए गए कार्यों के रेखांकन बनाएं। समस्या की स्थितियों को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक प्रकृति की होती हैं।

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उदाहरण 2यह आंकड़ा अप्रैल 2017 की पहली छमाही में एक खनन कंपनी के एक शेयर के विनिमय मूल्य में बदलाव को दर्शाता है। 7 अप्रैल को व्यवसायी ने इस कंपनी के 1,000 शेयर खरीदे। 10 अप्रैल को, उसने खरीदे गए शेयरों का तीन-चौथाई हिस्सा बेच दिया, और 13 अप्रैल को उसने शेष सभी को बेच दिया। इन कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को कितना नुकसान हुआ?

फेसला:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 बनाते हैं।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - व्यवसायी को 1000 शेयरों की बिक्री के बाद प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - सभी कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को नुकसान हुआ।

जवाब: 15000.

टास्क नंबर 3- एक कार्य है बुनियादी स्तरपहला भाग, के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है ज्यामितीय आकारपाठ्यक्रम "प्लानिमेट्री" की सामग्री पर। कार्य 3 में, एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता चेकर पेपरगणना करने की क्षमता डिग्री उपायकोनों, परिधि की गणना, आदि।

उदाहरण 3 1 सेमी बटा 1 सेमी के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर खींचे गए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें (आकृति देखें)। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दें।

फेसला:इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप पीक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दिया गया आयतआइए पिक के सूत्र का उपयोग करें:

एस= बी +	जी
	2

जहां वी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

जवाब: 20.

यह भी देखें: भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा: कंपन समस्याओं को हल करना

टास्क नंबर 4- पाठ्यक्रम का कार्य "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी"। सरलतम स्थिति में किसी घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 4वृत्त पर 5 लाल और 1 नीले बिंदु हैं। निर्धारित करें कि कौन से बहुभुज बड़े हैं: वे सभी लाल शीर्षों के साथ, या वे जो नीले शीर्षों में से एक के साथ हैं। अपने उत्तर में इंगित करें कि एक में से कितने अधिक हैं।

फेसला: 1) हम से संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एनतत्वों द्वारा क:

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज जिसमें सभी लाल कोने हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसका शीर्ष लाल है और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिनमें सभी लाल शीर्ष या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

11) 26 - 16 = 10 बहुभुज - कितने बहुभुज, जिनमें से एक शीर्ष नीला बिंदु है, बहुभुज से अधिक हैं, जिसमें सभी शीर्ष केवल लाल हैं।

जवाब: 10.

टास्क नंबर 5- पहले भाग का मूल स्तर सरलतम समीकरणों (तर्कहीन, घातीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक) को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 5समीकरण को हल करें 2 3 + एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

फेसला।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + . से भाग दें एक्स 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहाँ से यह इस प्रकार है कि 3 + एक्स = 1, एक्स = –2.

जवाब: –2.

टास्क नंबर 6प्लानिमेट्री द्वारा खोजने के लिए ज्यामितीय मात्रा(लंबाई, कोण, क्षेत्र), मॉडलिंग वास्तविक स्थितियांज्यामिति की भाषा में। निर्मित मॉडलों का अध्ययन ज्यामितीय अवधारणाएँऔर प्रमेय। कठिनाइयों का स्रोत आमतौर पर अज्ञानता है या बुरा प्रयोगप्लानिमेट्री के आवश्यक प्रमेय।

त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 129 के बराबर है। डे- मध्य पंक्ति, पार्श्व समानांतर अब. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर.

फेसला।त्रिकोण सीडीईत्रिभुज के समान टैक्सीदो कोनों पर, शीर्ष पर कोने के बाद से सीसामान्य, कोण सीडीई कोण के बराबर टैक्सीजैसा सभी तरीके सेपर डे || अबकाटनेवाला एसी. जैसा डेस्थिति के अनुसार त्रिभुज की मध्य रेखा है, फिर गुण से मध्य पंक्ति | डे = (1/2)अब. तो समानता गुणांक 0.5 है। वर्गों समान आंकड़ेसमानता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित हैं, इसलिए

इसलिये, स अबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

टास्क नंबर 7- फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के आवेदन की जांच करता है। के लिए सफल कार्यान्वयनएक व्युत्पन्न की अवधारणा का एक सार्थक, अनौपचारिक अधिकार आवश्यक है।

उदाहरण 7फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए आप = एफ(एक्स) एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर एक्स 0 एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो इस आलेख के बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत होती है। पाना एफ′( एक्स 0).

फेसला। 1) हम दो . से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं दिए गए अंकऔर बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

(आप – आप 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(आप 2 – आप 1)

(आप – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(आप – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–आप + 3 = –4एक्स+ 16| · (-एक)

आप – 3 = 4एक्स – 16

आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

2) स्पर्शरेखा का ढाल ज्ञात कीजिए क 2 जो रेखा के लंबवत है आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4, सूत्र के अनुसार:

3) ढलानस्पर्शरेखा - संपर्क के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। माध्यम, एफ′( एक्स 0) = क 2 = –0,25.

जवाब: –0,25.

टास्क नंबर 8- परीक्षा के प्रतिभागियों के बीच प्राथमिक स्टीरियोमेट्री के ज्ञान की जांच करता है, सतह क्षेत्रों और आंकड़ों की मात्रा खोजने के लिए सूत्रों को लागू करने की क्षमता, विकर्ण कोण, समान आकृतियों के आयतनों की तुलना करें, ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांकों और सदिशों आदि के साथ क्रिया करने में सक्षम हों।

एक गोले के चारों ओर परिबद्ध घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

फेसला। 1) वीघन = ए 3 (जहां एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

2) चूँकि गोला एक घन में अंकित है, इसका अर्थ है कि गोले के व्यास की लंबाई घन के किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए डी = ए, डी = 6, डी = 2आर, आर = 6: 2 = 3.

टास्क नंबर 9- स्नातक को बदलने और सरल बनाने की आवश्यकता है बीजीय व्यंजक. टास्क नंबर 9 उन्नत स्तर, उच्च स्तरछोटे उत्तरों में कठिनाई। USE में "गणना और परिवर्तन" अनुभाग के कार्य कई प्रकारों में विभाजित हैं:

संख्यात्मक रूपांतरण तर्कसंगत अभिव्यक्ति;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों के रूपांतरण;

संख्यात्मक/वर्णमाला रूपांतरण अपरिमेय भाव;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

परिवर्तन लघुगणक व्यंजक;

1. संख्यात्मक/अक्षर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 and

3π	< α < π.
4

फेसला। 1) आइए सूत्र का उपयोग करें दोहरा तर्क: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

तन 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही का कोण है और tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

जवाब: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# टास्क नंबर 10- अधिग्रहीत का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता की जाँच करता है प्रारंभिक ज्ञानऔर व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में कौशल। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी में समस्याएं हैं, गणित में नहीं, बल्कि सभी आवश्यक सूत्रऔर मान स्थिति में दिए गए हैं। समस्याओं को एक रेखीय हल करने के लिए कम किया जाता है या द्विघात समीकरण, या तो रैखिक या वर्ग असमानता. इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर पूर्ण संख्या या अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में होना चाहिए।

द्रव्यमान के दो पिंड एम= 2 किग्रा प्रत्येक, समान गति से गति करते हुए वी= 10 m/s एक दूसरे से 2α के कोण पर। उनके पूर्णतः बेलोचदार संघटन के दौरान निर्मुक्त ऊर्जा (जूल में) व्यंजक द्वारा निर्धारित की जाती है क्यू = एमवी 2 पाप 2 α. किस छोटे कोण पर 2α (डिग्री में) पिंडों को चलना चाहिए ताकि टक्कर के परिणामस्वरूप कम से कम 50 जूल निकल सकें?
फेसला।समस्या को हल करने के लिए, हमें असमानता Q ≥ 50 को अंतराल 2α (0°; 180°) पर हल करना होगा।

एमवी 2 पाप 2 α 50

2 10 2 पाप 2 α 50

200 sin2α 50

चूँकि α (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करते हैं:

चूँकि धारणा α (0°; 90°) से, इसका अर्थ है कि 30° α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

टास्क नंबर 11- विशिष्ट है, लेकिन यह छात्रों के लिए मुश्किल साबित होता है। कठिनाइयों का मुख्य स्रोत एक गणितीय मॉडल (एक समीकरण तैयार करना) का निर्माण है। टास्क नंबर 11 शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 11.पर स्प्रिंग ब्रेक 11-ग्रेडर वास्या को परीक्षा की तैयारी के लिए 560 प्रशिक्षण समस्याओं को हल करना था। 18 मार्च को, स्कूल के आखिरी दिन, वास्या ने 5 समस्याओं का समाधान किया। फिर हर दिन उसने पिछले दिन की तुलना में उतनी ही अधिक समस्याओं का समाधान किया। निर्धारित करें कि छुट्टी के आखिरी दिन 2 अप्रैल को वास्या ने कितनी समस्याओं का समाधान किया।

फेसला:निरूपित ए 1 = 5 - 18 मार्च को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या, डी- वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक के दिनों की संख्या को मिलाकर, एस 16 = 560 – कुलकार्य, ए 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या। यह जानते हुए कि हर दिन वास्या ने पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में कार्यों को हल किया, तो आप योग खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं अंकगणितीय प्रगति:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

जवाब: 65.

टास्क नंबर 12- कार्यों के साथ कार्यों को करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करें, फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न लागू करने में सक्षम हों।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें आप= 10 एलएन ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

फेसला: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x (–9; )।

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

4) पाया गया बिंदु अंतराल (-9; ) से संबंधित है। हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं और चित्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाते हैं:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

यूएमके जी.के. की लाइन में गणित में कार्य कार्यक्रम को मुफ्त में डाउनलोड करें। मुरावीना, के.एस. मुराविना, ओ.वी. मुराविना 10-11 मुफ्त बीजगणित मैनुअल डाउनलोड करें

टास्क नंबर 13- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, जो समीकरणों को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

a) समीकरण को हल करें 2log 3 2 (2cos .) एक्स) - 5 लोग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

b) इस समीकरण के सभी मूल ज्ञात कीजिए, खंड से संबंधित.

फेसला: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos .) एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

	log3(2cos एक्स) =	2	⇔		2cos एक्स = 9	⇔		क्योंकि एक्स =	4,5	क्योंकि |cos एक्स| ≤ 1,
	log3(2cos एक्स) =	1			2cos एक्स = √3			क्योंकि एक्स =	√3
		2							2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

	एक्स =	π	+ 2π क
		6
	एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
		6

बी) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि दिया गया खंडजड़ों से संबंधित हैं

11π	और	13π	.
6		6

जवाब:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

टास्क नंबर 14- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

बेलन के आधार के वृत्त का व्यास 20 है, बेलन का जनक 28 है। तल 12 और 16 लंबाई की जीवाओं के अनुदिश अपने आधारों को प्रतिच्छेद करता है। जीवाओं के बीच की दूरी 2√197 है।

a) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही ओर स्थित हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

फेसला: a) लंबाई 12 की एक जीवा आधार वृत्त के केंद्र से = 8 की दूरी पर है, और लंबाई 16 की एक जीवा, इसी तरह, 6 की दूरी पर है। बेलनों का आधार या तो 8 + 6 = 14, या 8 - 6 = 2 है।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

शर्त के अनुसार, दूसरी स्थिति का एहसास हुआ, जिसमें जीवाओं के प्रक्षेपण सिलेंडर के अक्ष के एक तरफ होते हैं। अत: अक्ष प्रतिच्छेद नहीं करता दिया गया विमानबेलन के भीतर, अर्थात् आधार उसके एक ओर स्थित होते हैं। क्या साबित करने की जरूरत थी।

बी) आइए आधारों के केंद्रों को ओ 1 और ओ 2 के रूप में निरूपित करें। आइए हम आधार के केंद्र से 12 लंबाई की एक जीवा के साथ इस जीवा पर लंबवत द्विभाजक (इसकी लंबाई 8 है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरी जीवा तक खींचते हैं। वे इन जीवाओं के लम्बवत एक ही तल में स्थित हैं। आइए छोटी जीवा बी के मध्य बिंदु को ए से बड़ा, और ए के प्रक्षेपण को दूसरे आधार एच (एच β) पर कॉल करें। तब AB,AH β और, इसलिए, AB, AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात दिए गए तल के साथ आधार के प्रतिच्छेदन की रेखा।

अतः अभीष्ट कोण है

एबीएच = आर्कटान	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक 14.
	बिहार		8 – 6

कार्य संख्या 15- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, असमानताओं को हल करने की क्षमता की जाँच करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

उदाहरण 15असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

फेसला:इस असमानता की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-1; +∞) है। तीन मामलों पर अलग से विचार करें:

1) चलो एक्स 2 – 3एक्स= 0, यानी। एक्स= 0 या एक्स= 3. इस मामले में, यह असमानता सच हो जाती है, इसलिए, इन मूल्यों को समाधान में शामिल किया जाता है।

2) चलो अब एक्स 2 – 3एक्स> 0, यानी। एक्स(-1; 0) (3; +∞)। इस मामले में, इस असमानता को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है ( एक्स 2 – 3एक्स) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 और विभाजित करें सकारात्मक अभिव्यक्ति एक्स 2 – 3एक्स. हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ –1, एक्स + 1 ≤ 2 –1 , एक्स 0.5 -1 या एक्स-0.5। परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (–1; –0,5].

3) अंत में, विचार करें एक्स 2 – 3एक्स < 0, при этом एक्स(0; 3)। इस मामले में, मूल असमानता को फॉर्म (3 .) में फिर से लिखा जाएगा एक्स – एक्स 2) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2. एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करने के बाद 3 एक्स – एक्स 2, हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ 1, एक्स + 1 ≤ 2, एक्स 1. क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (0; 1].

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

जवाब: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

टास्क नंबर 16- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

पर समद्विबाहु त्रिकोण ABC, शीर्ष A पर 120° के कोण के साथ, एक समद्विभाजक BD खींचा गया है। पर त्रिभुज एबीसीआयत DEFH खुदा हुआ है ताकि FH खंड BC पर स्थित हो और शीर्ष E खंड AB पर स्थित हो। a) सिद्ध कीजिए कि FH = 2DH है। b) आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि AB = 4 है।

फेसला:ए)

1) BEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, फिर EF = BE 30° के कोण के विपरीत पैर के गुण के कारण।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूंकि एबीसी समद्विबाहु, इसलिए ∠B = ∠C = 30˚।

BD, B का समद्विभाजक है, इसलिए ABD = DBC = 15˚।

4) DBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)		4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - 3

2) एसडीईएफ़एच = ईडी ईएफ = (3 - √3) 2(3 - √3)

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3।

जवाब: 24 – 12√3.

टास्क नंबर 17- एक विस्तृत उत्तर के साथ एक कार्य, यह कार्य व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल के आवेदन, निर्माण और अन्वेषण करने की क्षमता का परीक्षण करता है गणितीय मॉडल. इस कार्य - पाठ कार्यआर्थिक सामग्री के साथ।

उदाहरण 17. 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा राशि को चार साल के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में जमा राशि में 10% की वृद्धि करता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता सालाना जमा की भरपाई करता है एक्समिलियन रूबल, जहां एक्स - पूरा का पूरासंख्या। पाना उच्चतम मूल्य एक्स, जिस पर बैंक चार वर्षों में जमा राशि में 17 मिलियन से कम रूबल जोड़ देगा।

फेसला:पहले वर्ष के अंत में, योगदान 20 + 20 · 0.1 = 22 मिलियन रूबल होगा, और दूसरे के अंत में - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 मिलियन रूबल। तीसरे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (मिलियन रूबल में) होगा (24.2 + .) एक्स), और अंत में - (24.2 + .) एक्स) + (24,2 + एक्स) 0.1 = (26.62 + 1.1 .) एक्स) चौथे वर्ष की शुरुआत में योगदान होगा (26.62 + 2.1 .) एक्स), और अंत में - (26.62 + 2.1 .) एक्स) + (26,62 + 2,1एक्स) 0.1 = (29.282 + 2.31 .) एक्स) शर्त के अनुसार, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक x ज्ञात करना होगा जिसके लिए असमानता

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

जवाब: 24.

टास्क नंबर 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य के लिए है प्रतिस्पर्धी चयनउच्च आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालय गणितीय प्रशिक्षणआवेदक। व्यायाम ऊँचा स्तरजटिलता एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 18 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए ठोस गणितीय ज्ञान के अतिरिक्त उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किस पर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + आप 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1
	आप + ए ≤ |एक्स| – ए

ठीक दो समाधान हैं?

फेसला:इस प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (आप– ए) 2 ≤ 1
	आप ≤ |एक्स| – ए

यदि हम पहली असमानता के समाधान के समुच्चय को समतल पर खींचते हैं, तो हमें बिंदु (0, ए) दूसरी असमानता के समाधान का समुच्चय समतल का वह भाग होता है जो फलन के ग्राफ के नीचे स्थित होता है आप = | एक्स| – ए, और बाद वाला फ़ंक्शन का ग्राफ है
आप = | एक्स| , द्वारा नीचे स्थानांतरित किया गया ए. इस प्रणाली का समाधान प्रत्येक असमानता के समाधान सेट का प्रतिच्छेदन है।

इसलिए, दो समाधान यह प्रणालीकेवल अंजीर में दिखाए गए मामले में होगा। एक।

सर्कल और लाइनों के बीच संपर्क के बिंदु सिस्टम के दो समाधान होंगे। प्रत्येक सीधी रेखा का झुकाव कुल्हाड़ियों से 45° के कोण पर होता है। तो त्रिभुज पीक्यूआर- आयताकार समद्विबाहु। दूरसंचार विभाग क्यूनिर्देशांक हैं (0, ए), और बिंदु आर- निर्देशांक (0, - ए) इसके अलावा, कटौती जनसंपर्कऔर पी क्यू 1 के बराबर वृत्त त्रिज्या के बराबर हैं। इसलिए,

क्यूआर= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

जवाब: ए =	√2	.
	2

टास्क नंबर 19- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 19 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको चुनकर समाधान खोजने में सक्षम होना चाहिए अलग अलग दृष्टिकोणज्ञात, संशोधित अध्ययन विधियों में से।

रहने दो एस.एन.जोड़ पीएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य ( एक पी) ह ज्ञात है कि एस नहीं + 1 = 2एन 2 – 21एन – 23.

ए) सूत्र दें पीइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूल योग खोजें एस नहीं.

सी) सबसे छोटा खोजें पी, जिस पर एस नहींएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

फेसला: ए) जाहिर है, एक = एस नहीं – एस नहीं- एक । का उपयोग करते हुए यह सूत्र, हम पाते हैं:

एस नहीं = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस नहीं – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

बी) क्योंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन, फिर फ़ंक्शन पर विचार करें एस(एक्स) = | 2एक्स 2 – 25एक्स|. उसका ग्राफ चित्र में देखा जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के शून्य के सबसे निकट स्थित पूर्णांक बिंदुओं पर सबसे छोटा मान प्राप्त किया जाता है। जाहिर है ये बिंदु हैं। एक्स= 1, एक्स= 12 और एक्स= 13. चूंकि, एस(1) = |एस 1 | = |2 – 25| = 23, एस(12) = |एस 12 | = |2 144 - 25 12| = 12, एस(13) = |एस 13 | = |2 169 - 25 13| = 13, तो सबसे छोटा मान 12 है।

ग) यह पिछले पैराग्राफ से निम्नानुसार है कि एस.एन.सकारात्मक तब से एन= 13. चूंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन = एन(2एन- 25), तब स्पष्ट मामला जब दी गई अभिव्यक्तिएक पूर्ण वर्ग है, जब का एहसास होता है एन = 2एन- 25, यानी साथ पी= 25.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

एस 13 = 13 1, एस 14 = 14 3, एस 15 = 15 5, एस 16 = 16 7, एस 17 = 17 9, एस 18 = 18 11, एस 19 = 19 13 एस 20 = 20 13, एस 21 = 21 17, एस 22 = 22 19, एस 23 = 23 21, एस 24 = 24 23.

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पी पूर्ण वर्गहासिल नहीं किया जाता है।

जवाब:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

________________

*मई 2017 से, संयुक्त प्रकाशन समूह "DROFA-VENTANA" निगम का हिस्सा रहा है " रूसी पाठ्यपुस्तक". निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और डिजिटल भी शामिल हैं शैक्षिक मंच"लेक्टा"। सीईओअलेक्जेंडर ब्रिचकिन नियुक्त, स्नातक वित्तीय अकादमीरूसी संघ की सरकार के तहत, उम्मीदवार आर्थिक विज्ञान, सुपरवाइज़र अभिनव परियोजनाएंडिजिटल शिक्षा के क्षेत्र में DROFA पब्लिशिंग हाउस ( इलेक्ट्रॉनिक रूपपाठ्यपुस्तकें, "रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल", डिजिटल शैक्षिक मंच LECTA)। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के लिए उपाध्यक्ष का पद संभाला था। आज, रूसी पाठ्यपुस्तक प्रकाशन निगम के पास पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है संघीय सूची- 485 शीर्षक (लगभग 40%, के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर) उपचारात्मक विद्यालय) निगम के प्रकाशन गृह सबसे लोकप्रिय हैं रूसी स्कूलभौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान पर पाठ्यपुस्तकों के सेट - ज्ञान के क्षेत्र जो देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में पाठ्यपुस्तकें शामिल हैं और अध्ययन गाइडके लिए प्राथमिक स्कूलशिक्षा में राष्ट्रपति पुरस्कार से सम्मानित किया गया। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और नियमावली हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।

समस्या का समाधान आमतौर पर नीचे आता है तार्किक विचारऔर कुछ मात्रा के मूल्य को खोजने के लिए गणना। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु की गति, समय, दूरी, द्रव्यमान या किसी वस्तु की मात्रा ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को एक समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, वांछित मान को एक चर के माध्यम से दर्शाया जाता है, फिर, तार्किक तर्क द्वारा, वे एक समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं। समीकरण को हल करने के बाद, वे जाँचते हैं कि क्या समीकरण का हल समस्या की शर्तों को संतुष्ट करता है।

पाठ सामग्री

अज्ञात से युक्त अभिव्यक्तियाँ लिखना

समस्या का समाधान इस समस्या के लिए एक समीकरण के संकलन के साथ है। पर आरंभिक चरणसमस्याओं का अध्ययन करना, यह सीखना वांछनीय है कि कैसे रचना की जाए शाब्दिक भावएक या दूसरे का वर्णन करना जीवन की स्थिति. यह चरण कठिन नहीं है और समस्या को हल करने की प्रक्रिया में ही इसका अध्ययन किया जा सकता है।

ऐसी कई स्थितियों पर विचार करें जिन्हें गणितीय व्यंजक का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

कार्य 1. पिता की उम्र एक्सवर्षों। माँ दो साल छोटी है। बेटा पिता से छोटा 3 बार। व्यंजकों का उपयोग करते हुए प्रत्येक की आयु रिकॉर्ड करें।

फेसला:

टास्क 2. पिता की उम्र एक्सवर्ष, माता पिता से 2 वर्ष छोटी है। बेटा पिता से 3 गुना छोटा है, बेटी माँ से 3 गुना छोटी है। व्यंजकों का उपयोग करते हुए प्रत्येक की आयु रिकॉर्ड करें।

फेसला:

टास्क 3. पिता की उम्र एक्सवर्ष, माता पिता से 3 वर्ष छोटी है। बेटा पिता से 3 गुना छोटा है, बेटी माँ से 3 गुना छोटी है। प्रत्येक की उम्र कितनी है सामान्य आयुपिता, माता, पुत्र और पुत्री 92 वर्ष के हैं?

फेसला:

इस समस्या में भाव लिखने के अलावा परिवार के प्रत्येक सदस्य की उम्र की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले, हम व्यंजकों का उपयोग करते हुए परिवार के प्रत्येक सदस्य की आयु लिखते हैं। प्रति चर एक्सआइए पिता की आयु लें, और फिर इस चर का उपयोग करके हम शेष भावों की रचना करेंगे:

आइए अब परिवार के प्रत्येक सदस्य की आयु निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हमें एक समीकरण लिखना और हल करना होगा। हमारे पास समीकरण के सभी घटक तैयार हैं। यह उन्हें एक साथ इकट्ठा करने के लिए ही रहता है।

पिता, माता, पुत्र और पुत्री की आयु को जोड़कर 92 वर्ष की कुल आयु प्राप्त की गई:

प्रत्येक उम्र के लिए, हमारे पास है गणितीय अभिव्यक्ति. ये व्यंजक हमारे समीकरण के घटक होंगे। आइए इस योजना और ऊपर दी गई तालिका के अनुसार हमारे समीकरण को इकट्ठा करें। अर्थात्, पिताजी, माँ, पुत्र, पुत्री शब्दों को तालिका में उनके अनुरूप अभिव्यक्ति से बदल दिया जाएगा:

माँ की उम्र के लिए अभिव्यक्ति एक्स -3स्पष्टता के लिए, इसे कोष्ठक में लिया गया था।

अब परिणामी समीकरण को हल करते हैं। आरंभ करने के लिए, आप जहां संभव हो वहां कोष्ठक खोल सकते हैं:

समीकरण को भिन्नों से मुक्त करने के लिए, दोनों पक्षों को 3 . से गुणा करें

हम ज्ञात . का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करते हैं समान परिवर्तन:

हमें चर का मान ज्ञात हुआ एक्स. यह चर पिता की आयु के लिए उत्तरदायी था। अतः पिता की आयु 36 वर्ष है।

पिता की उम्र जानकर आप परिवार के बाकी सदस्यों की उम्र की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर के मान को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्सउन भावों में जो परिवार के किसी विशेष सदस्य की उम्र के लिए जिम्मेदार हैं।

समस्या में कहा गया था कि मां पिता से 3 साल छोटी है। हमने उसकी उम्र को अभिव्यक्ति के माध्यम से निरूपित किया एक्स -3।परिवर्तनीय मूल्य एक्सअब ज्ञात है, और माँ की आयु की गणना करने के लिए, अभिव्यक्ति में यह आवश्यक है एक्स -3के बजाय एक्सपाए गए मान को प्रतिस्थापित करें 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 वर्ष की माँ।

इसी प्रकार, परिवार के शेष सदस्यों की आयु निर्धारित की जाती है:

इंतिहान:

टास्क 4. एक किलोग्राम सेब के लायक है एक्सरूबल। एक अभिव्यक्ति लिखिए जो गणना करती है कि आप 300 रूबल के लिए कितने किलोग्राम सेब खरीद सकते हैं।

फेसला

अगर एक किलोग्राम सेब की कीमत है एक्सरूबल, फिर 300 रूबल के लिए आप एक किलोग्राम सेब खरीद सकते हैं।

उदाहरण. एक किलोग्राम सेब की कीमत 50 रूबल है। फिर आप 300 रूबल के लिए, यानी 6 किलोग्राम सेब खरीद सकते हैं।

टास्क 5. पर एक्सरूबल, 5 किलो सेब खरीदे गए। एक अभिव्यक्ति लिखिए जो गणना करती है कि एक किलोग्राम सेब की कीमत कितने रूबल है।

फेसला

अगर 5 किलो सेब के लिए भुगतान किया गया था एक्सरूबल, फिर एक किलोग्राम रूबल खर्च होंगे

उदाहरण. 300 रूबल के लिए, 5 किलो सेब खरीदे गए। फिर एक किलोग्राम सेब की कीमत होगी, यानी 60 रूबल।

टास्क 6. टॉम, जॉन और लियो अवकाश के दौरान कैफेटेरिया गए और एक सैंडविच और एक मग कॉफी खरीदा। सैंडविच लायक है एक्सरूबल, और एक मग कॉफी - 15 रूबल। एक सैंडविच की लागत निर्धारित करें यदि यह ज्ञात है कि हर चीज के लिए 120 रूबल का भुगतान किया गया था?

फेसला

बेशक, यह समस्या तीन पैसे जितनी सरल है और इसे बिना किसी समीकरण का सहारा लिए हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, 120 रूबल से तीन कप कॉफी (15 × 3) की लागत घटाएं, और परिणाम को 3 . से विभाजित करें

लेकिन हमारा लक्ष्य समस्या के लिए एक समीकरण लिखना और इस समीकरण को हल करना है। तो एक सैंडविच की कीमत एक्सरूबल। केवल तीन खरीदा। इसलिए, लागत को तीन गुना करने के बाद, हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसमें बताया गया है कि तीन सैंडविच के लिए कितने रूबल का भुगतान किया गया था

3x - तीन सैंडविच की कीमत

और तीन कप कॉफी का मूल्य 15×3 लिखा जा सकता है। 15 एक मग कॉफी की कीमत है, और 3 एक गुणक (टॉम, जॉन और लियो) है जो इस लागत को तीन गुना करता है।

समस्या की स्थिति के अनुसार, हर चीज के लिए 120 रूबल का भुगतान किया गया था। हमारे पास पहले से है अनुकरणीय योजना, हमें क्या करना है:

हमारे पास पहले से ही तीन सैंडविच और तीन कप कॉफी की लागत का वर्णन करने वाले भाव हैं। ये भाव हैं 3 एक्सऔर 15×3. योजना का उपयोग करते हुए, हम एक समीकरण लिखेंगे और इसे हल करेंगे:

तो, एक सैंडविच की कीमत 25 रूबल है।

समस्या को सही ढंग से तभी हल किया जाता है जब इसके लिए समीकरण सही ढंग से संकलित किया जाता है। साधारण समीकरणों के विपरीत, जिनके द्वारा हम मूल ज्ञात करना सीखते हैं, समस्याओं को हल करने के लिए समीकरणों का अपना विशिष्ट अनुप्रयोग होता है। इस तरह के समीकरण के प्रत्येक घटक का वर्णन किया जा सकता है मौखिक रूप. एक समीकरण को संकलित करते समय, यह समझना अनिवार्य है कि हम इसकी संरचना में एक या दूसरे घटक को क्यों शामिल करते हैं और इसकी आवश्यकता क्यों है।

यह भी याद रखना आवश्यक है कि समीकरण एक समानता है, जिसे हल करने के बाद बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष के बराबर करना होगा। परिणामी समीकरण को इस विचार का खंडन नहीं करना चाहिए।

कल्पना कीजिए कि समीकरण दो कटोरे के साथ एक संतुलन है और संतुलन की स्थिति दिखाने वाली एक स्क्रीन है।

पर इस पलस्क्रीन एक समान चिन्ह दिखाती है। यह स्पष्ट है कि बायाँ कटोरा दाएँ कटोरे के बराबर क्यों है - कटोरे पर कुछ भी नहीं है। हम निम्नलिखित समानता का उपयोग करके तराजू की स्थिति और कटोरे पर कुछ की अनुपस्थिति लिखते हैं:

0 = 0

आइए तरबूज को बाएं पैमाने पर रखें:

बायाँ कटोरा दाएँ कटोरे से अधिक भारी था और स्क्रीन ने अलार्म बजाया, जो समान चिह्न (≠) नहीं दिखा रहा था। यह चिन्ह इंगित करता है कि बायाँ कटोरा दाएँ कटोरे के बराबर नहीं है।

आइए अब समस्या को हल करने का प्रयास करें। यह पता लगाने की आवश्यकता है कि तरबूज का वजन कितना है, जो बाएं कटोरे में है। लेकिन आप कैसे जानते हैं? आखिरकार, हमारे तराजू को केवल यह जांचने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि बायां कटोरा दाएं के बराबर है या नहीं।

समीकरण बचाव के लिए आते हैं। याद रखें कि परिभाषा के अनुसार समीकरण है समानताए जिसमें वेरिएबल है जिसका मूल्य आप खोजना चाहते हैं। इस मामले में तराजू इसी समीकरण की भूमिका निभाते हैं, और तरबूज का द्रव्यमान एक चर है जिसका मूल्य पाया जाना चाहिए। हमारा लक्ष्य इस समीकरण को ठीक करना है। समझें, तराजू को संरेखित करें ताकि आप तरबूज के द्रव्यमान की गणना कर सकें।

तराजू को समतल करने के लिए, आप दाहिने कटोरे पर कुछ भार डाल सकते हैं। भारी वस्तु. उदाहरण के लिए, आइए वहां 7 किलो वजन रखें।

अब, इसके विपरीत, दायां कटोरा बाएं से अधिक भारी था। स्क्रीन अभी भी दिखाती है कि कटोरे बराबर नहीं हैं।

आइए बाएं कटोरे पर 4 किलो वजन डालने की कोशिश करें

अब तराजू समतल हो गए हैं। चित्र से पता चलता है कि बायाँ कटोरा दाएँ कटोरे के स्तर पर है। और स्क्रीन एक समान चिन्ह दिखाती है। यह चिन्ह इंगित करता है कि बायाँ कटोरा दाएँ कटोरे के बराबर है।

इस प्रकार, हमने एक समीकरण प्राप्त किया है - एक समानता जिसमें एक अज्ञात है। बायां पैन समीकरण का बाईं ओर है, जिसमें 4 घटक और चर शामिल हैं एक्स(तरबूज का द्रव्यमान), और दाहिना कटोरा है दाहिना भागसमीकरण, घटक 7 से मिलकर बना है।

खैर, यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि समीकरण 4 + . का मूल है एक्स\u003d 7 3 है। तो तरबूज का द्रव्यमान 3 किलो है।

अन्य कार्यों के लिए भी यही सच है। कुछ अज्ञात मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के बाएँ या दाएँ पक्ष में जोड़ें विभिन्न तत्व: शब्द, कारक, भाव। स्कूल की समस्याओं में, ये तत्व पहले से ही दिए गए हैं। यह केवल उन्हें सही ढंग से संरचित करने और समीकरण बनाने के लिए ही रहता है। में हम हैं यह उदाहरणतरबूज के द्रव्यमान की गणना करने के लिए विभिन्न द्रव्यमानों के वजन का चयन करने में लगे हुए हैं।

स्वाभाविक रूप से, समस्या में दिए गए डेटा को पहले एक ऐसे रूप में लाया जाना चाहिए जिसमें उन्हें समीकरण में शामिल किया जा सके। इसलिए, जैसा कि वे कहते हैं "आप इसे पसंद करें या नहीं, आपको सोचना होगा".

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। पिता की उम्र उम्र के बराबरबेटा और बेटी एक साथ। बेटा आधा बेटी से बड़ीऔर अपने पिता से बीस वर्ष छोटा है। प्रत्येक कितने साल का है?

बेटी की उम्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एक्स. यदि पुत्र की आयु पुत्री से दुगनी है, तो उसकी आयु 2 . के रूप में दर्शाई जाएगी एक्स. समस्या की स्थिति कहती है कि एक साथ बेटी और बेटे की उम्र पिता की उम्र के बराबर है। अतः पिता की आयु को योग द्वारा दर्शाया जाएगा एक्स + 2एक्स

आप व्यंजक में समान पद जोड़ सकते हैं। तब पिता की आयु 3 . के रूप में निरूपित की जाएगी एक्स

आइए अब एक समीकरण बनाते हैं। हमें एक समानता प्राप्त करने की आवश्यकता है जिसमें हम अज्ञात को पा सकें एक्स. आइए वजन का उपयोग करें। बाएँ कटोरे पर हम पिता की आयु (3 .) डालते हैं एक्स), और दाहिने कटोरे में बेटे की उम्र (2 .) एक्स)

यह स्पष्ट है कि क्यों बायां कटोरा दाएं से अधिक भारी था और स्क्रीन क्यों चिन्ह (≠) दिखाती है। आखिरकार, यह तर्कसंगत है कि पिता की आयु पुत्र की आयु से अधिक होती है।

लेकिन हमें तराजू को संतुलित करने की आवश्यकता है ताकि हम अज्ञात की गणना कर सकें एक्स. ऐसा करने के लिए, आपको दाहिने कटोरे में कुछ संख्या जोड़ने की जरूरत है। समस्या में किस संख्या का संकेत दिया गया है। शर्त में कहा गया है कि बेटा पिता से 20 साल छोटा था। तो 20 साल वही संख्या है जिसे तराजू पर रखने की जरूरत है।

यदि हम इन 20 वर्षों को तराजू के दाहिनी ओर जोड़ दें तो तराजू भी निकल जाएगा। दूसरे शब्दों में, आइए बेटे को पिता की उम्र तक बढ़ाएं

अब तराजू समतल हो गए हैं। यह समीकरण निकला , जो आसानी से हल हो जाता है:

एक्सहमने बेटी की उम्र चिह्नित की। अब हमें इस चर का मान मिल गया है। 20 साल की बेटी।

और अंत में, हम पिता की आयु की गणना करते हैं। असाइनमेंट ने कहा कि वह योग के बराबर हैपुत्र और पुत्री की आयु, अर्थात (20 + 40) वर्ष।

आइए कार्य के बीच में लौटते हैं और एक बिंदु पर ध्यान देते हैं। जब हम पिता की आयु और पुत्र की आयु को पैमाने पर रखते हैं, तो बायां कटोरा दाएं से अधिक वजन का होता है

लेकिन हमने सही कटोरे में और 20 साल जोड़कर इस समस्या को हल किया। नतीजतन, तराजू समतल हो गए और हमें समानता मिली

लेकिन यह संभव था कि इन 20 वर्षों को दाहिने कटोरे में न जोड़ा जाए, बल्कि उन्हें बाईं ओर से घटाया जाए। हमें इस मामले में समानता मिलेगी

इस बार समीकरण है . समीकरण की जड़ अभी भी 20 . है

यानी समीकरण और समकक्ष हैं। और हमें याद है कि समतुल्य समीकरणजड़ें मिलती हैं। यदि आप इन दोनों समीकरणों को बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि संख्या 20 को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करके दूसरा समीकरण प्राप्त किया जाता है विपरीत चिन्ह. और यह क्रिया, जैसा कि पिछले पाठ में बताया गया है, समीकरण की जड़ों को नहीं बदलता है।

आपको इस तथ्य पर भी ध्यान देने की आवश्यकता है कि समस्या को हल करने की शुरुआत में, परिवार के प्रत्येक सदस्य की उम्र को अन्य अभिव्यक्तियों के माध्यम से दर्शाया जा सकता है।

मान लीजिए कि पुत्र की आयु किसके द्वारा निरूपित की जाती है? एक्सऔर चूँकि वह अपनी पुत्री से दो बड़ा है, तो उसके द्वारा पुत्री की आयु ज्ञात कीजिए (उसे बनाने के लिए समझिए .) बेटे से छोटादो बार)। और पिता की आयु, चूंकि यह पुत्र और पुत्री की आयु का योग है, अभिव्यक्ति के माध्यम से निरूपित की जाती है। और अंत में, तार्किक रूप से सही समीकरण बनाने के लिए, आपको बेटे की उम्र में संख्या 20 जोड़नी होगी, क्योंकि पिता बीस साल का है। परिणाम एक पूरी तरह से अलग समीकरण है। . आइए इस समीकरण को हल करें

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्या के उत्तर नहीं बदले हैं। मेरा बेटा अभी भी 40 साल का है। बेटियां अभी भी साल की हैं, और पिता की उम्र 40 + 20 साल है।

दूसरे शब्दों में, समस्या का समाधान किया जा सकता है विभिन्न तरीके. इसलिए, किसी को निराश नहीं होना चाहिए कि इस या उस समस्या को हल करना संभव नहीं है। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि वहाँ एक है सरल तरीकेसमस्या को सुलझाना। आप शहर के केंद्र में जा सकते हैं विभिन्न मार्ग, लेकिन हमेशा सबसे सुविधाजनक, सबसे तेज़ और सबसे सुरक्षित मार्ग होता है।

समस्या समाधान के उदाहरण

कार्य 1।दो पैक में 30 नोटबुक हैं। यदि पहले बंडल से 2 नोटबुक को दूसरे बंडल में स्थानांतरित कर दिया जाता है, तो पहले बंडल में दूसरे के रूप में दोगुने नोटबुक होंगे। प्रत्येक पैक में कितनी नोटबुक थीं?

फेसला

द्वारा निरूपित करें एक्सपहले पैक में जितने नोटबुक थे। यदि कुल मिलाकर 30 नोटबुक थे, और चर एक्सयह पहले पैक से नोटबुक्स की संख्या है, फिर दूसरे पैक में नोटबुक्स की संख्या को व्यंजक द्वारा दर्शाया जाएगा 30 - एक्स. अर्थात्, नोटबुक्स की कुल संख्या में से, हम पहले पैक से नोटबुक्स की संख्या घटाते हैं और इस तरह दूसरे पैक से नोटबुक्स की संख्या प्राप्त करते हैं।

और इन दोनों नोटबुक को दूसरे पैक में जोड़ें

आइए मौजूदा व्यंजकों से एक समीकरण बनाने का प्रयास करें। हम नोटबुक के दोनों पैक को तराजू पर रखते हैं

बायां कटोरा दाएं से भारी है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समस्या की स्थिति कहती है कि पहले बंडल से दो नोटबुक लेने और दूसरे में रखने के बाद, पहले बंडल में नोटबुक की संख्या दूसरे की तुलना में दोगुनी हो गई।

तराजू को बराबर करने और समीकरण प्राप्त करने के लिए, दाईं ओर को दोगुना करें। ऐसा करने के लिए, इसे 2 . से गुणा करें

यह एक समीकरण निकलता है। हम तय करेंगे दिया गया समीकरण:

हमने पहले पैक को वेरिएबल द्वारा निरूपित किया एक्स. अब हमें इसका अर्थ मिल गया है। चर एक्स 22 के बराबर। तो पहले पैक में 22 नोटबुक थे।

और हमने दूसरे पैक को व्यंजक 30 − . से निरूपित किया है एक्सऔर चर के मान के बाद से एक्सअब हम जानते हैं, हम दूसरे पैक में नोटबुक्स की संख्या की गणना कर सकते हैं। यह 30 - 22, यानी 8 पीस के बराबर होता है।

टास्क 2. दो लोग आलू छील रहे थे। एक ने एक मिनट में दो आलू छील लिए, और दूसरे ने तीन आलू। उन्होंने मिलकर 400 टुकड़े साफ किए। यदि दूसरा पहले से 25 मिनट अधिक कार्य करता है तो प्रत्येक ने कितने समय तक कार्य किया?

फेसला

द्वारा निरूपित करें एक्सपहले व्यक्ति का समय। चूँकि दूसरा व्यक्ति पहले व्यक्ति से 25 मिनट अधिक कार्य करता है, उसका समय व्यंजक द्वारा दर्शाया जाएगा

पहले कर्मचारी ने प्रति मिनट 2 आलू छीले, और जब से उसने काम किया एक्समिनट, फिर कुल मिलाकर उसने 2 एक्सआलू।

दूसरे व्यक्ति ने प्रति मिनट तीन आलू छीले, और जब से उसने मिनटों तक काम किया, उसने कुल आलू छील दिए।

उन्होंने मिलकर 400 आलू छीले

उपलब्ध घटकों से, हम समीकरण की रचना और समाधान करेंगे। समीकरण के बाईं ओर प्रत्येक व्यक्ति द्वारा छीले गए आलू होंगे, और उनके योग के दाईं ओर:

चर के माध्यम से इस समस्या के समाधान की शुरुआत में एक्सहमने पहले व्यक्ति के काम के समय को चिह्नित किया। अब हमें इस चर का मान मिल गया है। पहले व्यक्ति ने 65 मिनट काम किया।

और दूसरे व्यक्ति ने मिनटों के लिए काम किया, और चर के मूल्य के बाद से एक्सअब यह ज्ञात है, तो आप दूसरे व्यक्ति के समय की गणना कर सकते हैं - यह 65 + 25 के बराबर है, अर्थात 90 मिनट।

एंड्री पेट्रोविच किसेलेव की बीजगणित पाठ्यपुस्तक से समस्या. चाय की किस्मों से 32 किलो का मिश्रण बनाया गया था। पहली कक्षा के एक किलोग्राम की कीमत 8 रूबल और दूसरी श्रेणी के 6 रूबल की है। 50 कोप. दोनों किस्मों के कितने किलोग्राम लिए जाते हैं, यदि एक किलोग्राम मिश्रण की लागत (लाभ या हानि के बिना) 7 रूबल है। 10 कोप्पेक?

फेसला

द्वारा निरूपित करें एक्सपहली कक्षा की बहुत सारी चाय। फिर दूसरी कक्षा की चाय के द्रव्यमान को 32 − . के व्यंजक द्वारा निरूपित किया जाएगा एक्स

पहली कक्षा की एक किलोग्राम चाय की कीमत 8 रूबल है। यदि इन आठ रूबल को पहली कक्षा की किलोग्राम चाय से गुणा किया जाता है, तो यह पता लगाना संभव होगा कि रूबल की लागत कितनी है एक्सपहली कक्षा की चाय का किलो।

एक किलोग्राम द्वितीय श्रेणी की चाय की कीमत 6 रूबल है। 50 कोप. अगर ये 6 रूबल। 50 कोप. 32 . से गुणा करें - एक्स, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि कितने रूबल की कीमत 32 . है - एक्सदूसरी कक्षा की चाय का किलो।

शर्त कहती है कि एक किलोग्राम मिश्रण की कीमत 7 रूबल है। 10 कोप. कुल मिलाकर 32 किलो मिश्रण तैयार किया गया। 7 रूबल गुणा करें। 10 कोप. 32 पर हम पता लगा सकते हैं कि 32 किलो मिश्रण की कीमत कितनी है।

जिन भावों से हम समीकरण की रचना करेंगे, वे अब निम्नलिखित रूप लेते हैं:

आइए मौजूदा व्यंजकों से एक समीकरण बनाने का प्रयास करें। चलो पहली और दूसरी कक्षा की चाय के मिश्रण की लागत तराजू के बाएं पैन पर डालते हैं, और 32 किलो मिश्रण की लागत दाहिने पैन पर डालते हैं, यानी कुल लागतमिश्रण, जिसमें चाय की दोनों किस्में शामिल हैं:

चर के माध्यम से इस समस्या के समाधान की शुरुआत में एक्सहमने पहली कक्षा की चाय का द्रव्यमान निर्दिष्ट किया। अब हमें इस चर का मान मिल गया है। चर एक्स 12.8 के बराबर है। इसका मतलब है कि मिश्रण तैयार करने के लिए पहली कक्षा की 12.8 किलो चाय ली गई।

और व्यंजक द्वारा 32 - एक्सहमने दूसरी कक्षा की चाय के द्रव्यमान को निरूपित किया, और परिवर्तन के मूल्य के बाद से एक्सअब ज्ञात है, हम दूसरी कक्षा की चाय के द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं। यह 32 - 12.8, यानी 19.2 के बराबर है। इसका मतलब है कि मिश्रण तैयार करने के लिए 19.2 किलो सेकेंड ग्रेड चाय ली गई।

टास्क 3. एक साइकिल चालक ने 8 किमी/घंटा की गति से दूरी तय की। उसे दूसरी सड़क से लौटना था, जो पहले की तुलना में 3 किमी लंबी थी, और लौटते हुए, वह 9 किमी / घंटा की गति से यात्रा कर रहा था, उसने मिनटों से अधिक समय का उपयोग किया। सड़कें कितनी लंबी थीं?

फेसला

कुछ कार्यों में ऐसे विषय शामिल हो सकते हैं जिनका उस व्यक्ति ने अध्ययन नहीं किया हो। इस कार्यकार्यों की इस श्रेणी के अंतर्गत आता है। यह दूरी, गति और समय की अवधारणाओं से संबंधित है। तदनुसार, ऐसी समस्या को हल करने के लिए, आपको समस्या में कही गई बातों के बारे में एक विचार होना चाहिए। हमारे मामले में, हमें यह जानना होगा कि दूरी, गति और समय क्या है।

कार्य दो सड़कों की दूरी का पता लगाना है। हमें एक समीकरण लिखना होगा जो हमें इन दूरियों की गणना करने की अनुमति देगा।

दूरी, गति और समय के बीच संबंध पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक मात्रा को एक शाब्दिक समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

हम इनमें से किसी एक समीकरण के दाएँ पक्ष का उपयोग करके अपना समीकरण तैयार करेंगे। कौन सा पता लगाने के लिए, आपको कार्य के पाठ पर वापस जाना होगा और यह देखना होगा कि आप क्या पकड़ सकते हैं

आप उस क्षण को पकड़ सकते हैं जब रास्ते में साइकिल चालक ने एक मिनट से अधिक समय का उपयोग किया। यह संकेत हमें बताता है कि हम समीकरण का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात् इसका दाईं ओर. यह हमें एक समीकरण लिखने की अनुमति देगा जिसमें चर शामिल है एस .

तो आइए पहली सड़क की लंबाई को इस प्रकार निरूपित करें एस. साइकिल चालक ने इस पथ को 8 किमी/घंटा की गति से तय किया। जिस समय के लिए उसने इस पथ को तय किया, वह व्यंजक द्वारा निरूपित किया जाएगा, क्योंकि समय तय की गई दूरी और गति का अनुपात है।

साइकिल सवार के लिए वापसी का रास्ता 3 किमी लंबा था। अत: इसकी दूरी व्यंजक द्वारा निरूपित की जाएगी एस+3. एक साइकिल चालक ने इस सड़क को 9 किमी/घंटा की गति से तय किया। तो जिस समय के लिए उन्होंने इस पथ पर विजय प्राप्त की, उसे अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाएगा।

अब मौजूदा व्यंजकों से एक समीकरण बनाते हैं

दायां कटोरा बाएं से भारी है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समस्या कहती है कि साइकिल चालक ने रास्ते में अधिक समय बिताया।

तराजू को बराबर करने के लिए, इन्हीं मिनटों को बाईं ओर जोड़ें। लेकिन पहले, आइए मिनटों को घंटों में बदलें, क्योंकि समस्या में गति किलोमीटर प्रति घंटे में मापी जाती है, न कि मीटर प्रति मिनट में।

मिनटों को घंटों में बदलने के लिए, आपको उन्हें 60 . से विभाजित करना होगा

मिनट घंटे बनाते हैं। इन घंटों को समीकरण के बाईं ओर जोड़ें:

यह समीकरण निकलता है . आइए इस समीकरण को हल करें। भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए, भाग के दोनों भागों को 72 से गुणा किया जा सकता है। इसके अलावा, ज्ञात समान परिवर्तनों का उपयोग करके, मूल्य खोजेंचर एस

एक चर के माध्यम से एसहमने पहली सड़क की दूरी को चिह्नित किया। अब हमें इस चर का मान मिल गया है। चर एस 15 है। तो पहली सड़क की दूरी 15 किमी है।

और हमने व्यंजक द्वारा दूसरी सड़क की दूरी को निरूपित किया एस+ 3 , और चर के मान के बाद से एसअब हम जानते हैं, हम दूसरी सड़क की दूरी की गणना कर सकते हैं। यह दूरी 15+3 यानी 18 किमी के योग के बराबर होती है।

टास्क 4. हाईवे पर दो कारें समान गति से जा रही हैं। यदि पहला व्यक्ति गति को 10 किमी/घंटा बढ़ा देता है, और दूसरा गति 10 किमी/घंटा कम कर देता है, तो पहला वाला 2 घंटे में उतनी ही दूरी तय करेगा जितना कि दूसरा 3 घंटे में। कारें?

फेसला

द्वारा निरूपित करें वीप्रत्येक कार की गति। आगे समस्या में संकेत दिए गए हैं: पहली कार की गति 10 किमी/घंटा बढ़ाएं, और दूसरी कार की गति 10 किमी/घंटा कम करें। आइए इस संकेत का उपयोग करें

यह आगे कहा गया है कि ऐसी गति (10 किमी / घंटा की वृद्धि और कमी) पर, पहली कार 3 घंटे में दूसरी के समान दूरी 2 घंटे में तय करेगी। वाक्यांश "के रूप में कई" के रूप में समझा जा सकता है "पहली कार द्वारा तय की गई दूरी होगी बराबरीदूसरी कार द्वारा तय की गई दूरी.

दूरी, जैसा कि हम याद करते हैं, सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है। हम इस शाब्दिक समीकरण के दाईं ओर रुचि रखते हैं - यह हमें एक चर युक्त समीकरण लिखने की अनुमति देगा वी .

तो, गति से वी + 10 किमी/घंटापहली कार गुजरेगी 2(वी+10) किमी, और दूसरा बीत जाएगा 3(वी - 10) किमी. इस शर्त के तहत, कारें समान दूरी तय करेंगी, इसलिए, एक समीकरण प्राप्त करने के लिए, इन दोनों भावों को एक समान चिह्न से जोड़ना पर्याप्त है। तब हमें समीकरण मिलता है। आइए इसे हल करें:

समस्या की स्थिति में कहा गया था कि कारें समान गति से चलती हैं। हमने इस गति को चर द्वारा निरूपित किया है वी. अब हमें इस चर का मान मिल गया है। चर वी 50 के बराबर है। तो दोनों कारों की गति 50 किमी/घंटा थी।

टास्क 5. 9 घंटे में जहाज धारा के प्रतिकूल 11 घंटे में समान दूरी तय करता है। नाव की गति ज्ञात कीजिए यदि नदी की गति 2 किमी/घंटा है।

फेसला

द्वारा निरूपित करें वीजहाज की अपनी गति। नदी के प्रवाह की गति 2 किमी/घंटा है। नदी के मार्ग में जहाज की गति होगी वी + 2 किमी/घंटा, और वर्तमान के खिलाफ - (v - 2) किमी/घंटा.

समस्या की स्थिति बताती है कि जहाज 9 घंटे में नदी के किनारे उतनी ही दूरी तय करता है जितनी 11 घंटे में धारा के विपरीत तय करता है। वाक्यांश "उसी तरह"के रूप में समझा जा सकता है 9 घंटे में नदी के किनारे नाव द्वारा तय की गई दूरी, बराबरी 11 घंटे में नदी की धारा के विपरीत जहाज द्वारा तय की गई दूरी. यानी दूरियां समान रहेंगी।

दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है। आइए इस शाब्दिक समीकरण के दाईं ओर का उपयोग करके अपना समीकरण लिखें।

तो 9 घंटे में जहाज नदी के किनारे से गुजरेगा 9(वी + 2) किमी, और 11 घंटे में अपस्ट्रीम - 11(v - 2) किमी. चूँकि दोनों व्यंजक समान दूरी का वर्णन करते हैं, इसलिए हम पहली व्यंजक को दूसरे व्यंजक से समान करते हैं। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है। आइए इसे हल करें:

माध्यम अपनी गतिजहाज 20 किमी / घंटा है।

समस्याओं का समाधान करते समय अच्छी आदतअग्रिम रूप से यह निर्धारित करना है कि इसके लिए कौन सा समाधान मांगा गया है।

मान लीजिए कि कार्य एक पैदल यात्री को पार करने में लगने वाले समय का पता लगाना था निर्दिष्ट पथ. हमने समय को वेरिएबल द्वारा निरूपित किया टी, तो हमने इस चर से युक्त एक समीकरण बनाया और इसका मान ज्ञात किया।

अभ्यास से, हम जानते हैं कि किसी वस्तु की गति का समय पूर्णांक मान और भिन्नात्मक मान दोनों ले सकता है, उदाहरण के लिए, 2 घंटे, 1.5 घंटे, 0.5 घंटे। तब हम कह सकते हैं कि इस समस्या का समाधान मांगा गया है सेट परिमेय संख्या क्यू, चूंकि प्रत्येक मान 2 h, 1.5 h, 0.5 h को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इसलिए, के बाद अज्ञात मात्राएक चर द्वारा निरूपित, यह इंगित करना उपयोगी है कि यह मान किस सेट से संबंधित है। हमारे उदाहरण में, समय टीपरिमेय संख्याओं के समूह के अंतर्गत आता है क्यू

टी ∈ क्यू

आप चर पर एक बाधा भी पेश कर सकते हैं टी, यह दर्शाता है कि यह केवल स्वीकार कर सकता है सकारात्मक मूल्य. दरअसल, अगर पथ पर खर्च की गई वस्तु कुछ समय, तो यह समय ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, व्यंजक के आगे टी∈ क्यूनिर्दिष्ट करें कि इसका मान शून्य से अधिक होना चाहिए:

टी∈ आर, टी > 0

यदि हम समीकरण को हल करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं नकारात्मक अर्थएक चर के लिए टी, तो यह निष्कर्ष निकालना संभव होगा कि समस्या को गलत तरीके से हल किया गया था, क्योंकि यह समाधान शर्त को पूरा नहीं करेगा टी∈ क्यू , टी> 0 .

एक और उदाहरण। यदि हम एक ऐसी समस्या को हल कर रहे थे जिसमें किसी विशेष कार्य को करने के लिए लोगों की संख्या ज्ञात करना आवश्यक था, तो हम इस संख्या को एक चर के माध्यम से निरूपित करेंगे। एक्स. ऐसे में सेट पर मांगा जाएगा समाधान प्राकृतिक संख्याएं

एक्स ∈ एन

दरअसल, लोगों की संख्या एक पूर्णांक है, जैसे 2 लोग, 3 लोग, 5 लोग। लेकिन 1.5 नहीं (एक संपूर्ण व्यक्तिऔर आधा व्यक्ति) या 2.3 (दो पूरे लोग और एक व्यक्ति का तीन दसवां हिस्सा)।

यहां कोई संकेत दे सकता है कि लोगों की संख्या शून्य से अधिक होनी चाहिए, लेकिन संख्याएं प्राकृतिक संख्याओं के सेट में शामिल हैं एनस्वयं धनात्मक हैं और शून्य से अधिक हैं। यह सेट नहीं है ऋणात्मक संख्याऔर संख्या 0. इसलिए, व्यंजक x > 0 को छोड़ा जा सकता है।

टास्क 6. स्कूल की मरम्मत के लिए एक टीम पहुंची जिसमें बढ़ई से 2.5 गुना ज्यादा पेंटर थे। जल्द ही फोरमैन ने टीम में चार और चित्रकारों को शामिल किया, और दो बढ़ई को दूसरी वस्तु में स्थानांतरित कर दिया। नतीजतन, ब्रिगेड में बढ़ई की तुलना में 4 गुना अधिक चित्रकार थे। शुरू में ब्रिगेड में कितने पेंटर और कितने बढ़ई थे

फेसला

द्वारा निरूपित करें एक्सबढ़ई जो शुरू में मरम्मत के लिए पहुंचे।

बढ़ई की संख्या शून्य से बड़ा एक पूर्णांक है। इसलिए, हम बताते हैं कि एक्सप्राकृतिक संख्याओं के समूह के अंतर्गत आता है

एक्स∈एन

बढ़ई की तुलना में 2.5 गुना अधिक चित्रकार थे। इसलिए, चित्रकारों की संख्या को इस प्रकार दर्शाया जाएगा 2.5x.

और चित्रकारों की संख्या में 4 की वृद्धि होगी

अब बढ़ई और चित्रकारों की संख्या को निम्नलिखित व्यंजकों द्वारा निरूपित किया जाएगा:

आइए मौजूदा अभिव्यक्तियों से समीकरण बनाने का प्रयास करें:

दाहिना कटोरा बड़ा है, क्योंकि टीम में चार और चित्रकारों को जोड़ने और दो बढ़ई को दूसरी वस्तु में ले जाने के बाद, टीम में चित्रकारों की संख्या बढ़ई से 4 गुना अधिक निकली। तराजू को बराबर करने के लिए, आपको बाएं कटोरे को 4 गुना बढ़ाना होगा:

एक समीकरण मिला। आइए इसे हल करें:

एक चर के माध्यम से एक्सबढ़ई की प्रारंभिक संख्या निर्दिष्ट की गई थी। अब हमें इस चर का मान मिल गया है। चर एक्सबराबर 8. तो शुरुआत में 8 बढ़ई ब्रिगेड में थे।

और चित्रकारों की संख्या 2.5 . अभिव्यक्ति के माध्यम से इंगित की गई थी एक्सऔर चर के मान के बाद से एक्सअब यह ज्ञात है, तो आप चित्रकारों की संख्या की गणना कर सकते हैं - यह 2.5 × 8, यानी 20 के बराबर है।

हम कार्य की शुरुआत में लौटते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि शर्त पूरी हो गई है एक्स∈ एन।चर एक्सबराबर 8, और प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के अवयव एनये सभी नंबर 1, 2, 3 से शुरू होते हैं और इसी तरह एड इनफिनिटम पर। उसी सेट में 8 नंबर शामिल है, जो हमें मिला।

8 ∈एन

चित्रकारों की संख्या के बारे में भी यही कहा जा सकता है। संख्या 20 प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है:

20 ∈एन

समस्या के सार को समझने के लिए और सही संकलनसमीकरण, कटोरे के साथ स्केल मॉडल का उपयोग करना आवश्यक नहीं है। आप अन्य मॉडलों का उपयोग कर सकते हैं: सेगमेंट, टेबल, आरेख। आप अपने स्वयं के मॉडल के साथ आ सकते हैं जो समस्या के सार का अच्छी तरह से वर्णन करेगा।

टास्क 9. कैन से 30% दूध डाला गया। नतीजतन, इसमें 14 लीटर रह गए। कैन में मूल रूप से कितने लीटर दूध था?

फेसला

वांछित मूल्य कैन में लीटर की प्रारंभिक संख्या है। लीटर की संख्या को एक रेखा के रूप में खीचें और इस रेखा को X . के रूप में लेबल करें

ऐसा कहा जाता है कि 30% दूध कैन से बाहर डाला गया था। हम आंकड़े में लगभग 30% का चयन करते हैं

प्रतिशत, परिभाषा के अनुसार, किसी चीज़ का सौवां हिस्सा है। यदि दूध का 30% बाहर डाल दिया जाता है, तो शेष 70% दूध कैन में रह जाता है। ये 70% 14 लीटर के लिए समस्या का संकेत देते हैं। आकृति में शेष 70% का चयन करें

अब आप एक समीकरण बना सकते हैं। आइए याद करें कि किसी संख्या का प्रतिशत कैसे ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, किसी चीज़ की कुल राशि को 100 से विभाजित किया जाता है और परिणाम को वांछित प्रतिशत से गुणा किया जाता है। ध्यान दें कि 14 लीटर, जो 70% है, उसी तरह प्राप्त किया जा सकता है: लीटर की प्रारंभिक संख्या एक्स 100 से विभाजित करें और परिणाम को 70 से गुणा करें। यह सब संख्या 14 . के बराबर करें

या एक सरल समीकरण प्राप्त करें: 70% को 0.70 के रूप में लिखें, फिर X से गुणा करें और इस व्यंजक को 14 . के बराबर करें

इसका मतलब है कि शुरुआत में कैन में 20 लीटर दूध था।

टास्क 9. उन्होंने सोने और चाँदी की दो मिश्रधातुएँ लीं। एक में इन धातुओं का अनुपात 1:9 है, और दूसरे में 2:3।

फेसला

आइए पहले यह पता लगाने की कोशिश करें कि 15 किलो नए मिश्र धातु में कितना सोना और चांदी होगा। कार्य कहता है कि इन धातुओं की सामग्री 1: 4 के अनुपात में होनी चाहिए, अर्थात मिश्र धातु का एक भाग सोना और चार भाग चांदी का होना चाहिए। तब मिश्रधातु में भागों की कुल संख्या 1 + 4 = 5 होगी, और एक भाग का द्रव्यमान 15: 5 = 3 किग्रा होगा।

आइए निर्धारित करें कि 15 किलो मिश्र धातु में कितना सोना होगा। ऐसा करने के लिए, सोने के भागों की संख्या से 3 किलो गुणा करें:

3 किग्रा × 1 = 3 किग्रा

आइए निर्धारित करें कि 15 किलो मिश्र धातु में कितनी चांदी होगी:

3 किग्रा × 4 = 12 किग्रा

इसका मतलब है कि 15 किलो वजन वाली मिश्र धातु में 3 किलो सोना और 12 किलो चांदी होगी। अब वापस मूल मिश्र धातुओं पर। आपको उनमें से प्रत्येक का उपयोग करने की आवश्यकता है। द्वारा निरूपित करें एक्सपहले मिश्रधातु का द्रव्यमान और दूसरी मिश्रधातु का द्रव्यमान 15 − . द्वारा निरूपित किया जा सकता है एक्स

आइए समस्या में दिए गए सभी संबंधों को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करें और उनके साथ निम्न तालिका भरें:

पहले मिश्रधातु में सोना और चांदी का अनुपात 1:9 है। तब कुल भाग 1 + 9 = 10 होंगे। इनमें से सोना होगा , और चांदी .

आइए इस डेटा को तालिका में स्थानांतरित करें। कॉलम में पहली पंक्ति में 10% दर्ज किया जाएगा "मिश्र धातु में सोने का प्रतिशत", 90% कॉलम की पहली पंक्ति में भी दर्ज किया जाएगा "मिश्र धातु में चांदी का प्रतिशत", और अंतिम कॉलम में "मिश्र धातु का वजन"एक चर दर्ज करें एक्स, चूंकि हमने पहले मिश्र धातु के द्रव्यमान को इस प्रकार निरूपित किया है:

हम दूसरे मिश्र धातु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। इसमें सोना-चांदी का अनुपात 2:3 है। तब कुल मिलाकर 2+3=5 भाग होंगे।इनमें से सोना होगा , और चांदी .

आइए इस डेटा को तालिका में स्थानांतरित करें। कॉलम में दूसरी पंक्ति में 40% दर्ज किया जाएगा "मिश्र धातु में सोने का प्रतिशत", 60% कॉलम की दूसरी पंक्ति में भी दर्ज किया जाएगा "मिश्र धातु में चांदी का प्रतिशत", और अंतिम कॉलम में "मिश्र धातु का वजन"व्यंजक 15 − . दर्ज करें एक्स, क्योंकि इस तरह हमने दूसरे मिश्र धातु के द्रव्यमान को निरूपित किया:

आइए अंतिम पंक्ति भरें। 15 किलो वजन वाले परिणामी मिश्र धातु में 3 किलो सोना होगा, जो है मिश्र धातु, और चांदी होगी मिश्र धातु। अंतिम कॉलम में हम परिणामी मिश्र धातु का द्रव्यमान लिखते हैं 15

अब आप इस तालिका का उपयोग करके समीकरण लिख सकते हैं। हम याद रखते हैं। यदि हम दोनों मिश्र धातुओं के सोने को अलग-अलग जोड़ दें और इस मात्रा को परिणामी मिश्र धातु के सोने के द्रव्यमान के बराबर कर दें, तो हम यह पता लगा सकते हैं कि मूल्य क्या है एक्स.

पहले स्वर्ण मिश्र धातु में 0.10 . था एक्स, और दूसरे स्वर्ण मिश्र धातु में यह 0.40(15 - .) था एक्स) . फिर परिणामी मिश्र धातु में, सोने का द्रव्यमान पहली और दूसरी मिश्र धातुओं के सोने के द्रव्यमान का योग होगा, और यह द्रव्यमान नए मिश्र धातु का 20% है। और नए मिश्र धातु का 20% 3 किलो सोना है, जिसकी गणना हमारे द्वारा पहले की गई थी। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं 0,10एक्स+ 0.40(15 − एक्स) = 3 . आइए इस समीकरण को हल करें:

प्रारंभ में के माध्यम से एक्सहमने पहले मिश्र धातु का द्रव्यमान निर्दिष्ट किया है। अब हमें इस चर का मान मिल गया है। चर एक्स 10 के बराबर है। और हमने दूसरी मिश्रधातु के द्रव्यमान को 15 - . से निरूपित किया है एक्स, और चर के मान के बाद से एक्सअब यह ज्ञात है, तो हम दूसरे मिश्र धातु के द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं, यह 15 - 10 = 5 किलो के बराबर है।

इसका मतलब यह है कि 15 किलो वजन का एक नया मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए जिसमें सोने और चांदी को 1: 4 माना जाएगा, आपको पहले के 10 किलो और दूसरे मिश्र धातु के 5 किलो लेने की जरूरत है।

परिणामी तालिका के दूसरे कॉलम का उपयोग करके समीकरण बनाया जा सकता है। तब हमें समीकरण प्राप्त होगा 0,90एक्स+ 0.60(15 − एक्स) = 12. इस समीकरण का मूल भी 10 . है

टास्क 10. तांबे की मात्रा 6% और 11% के साथ दो परतों से अयस्क है। 8% तांबे की सामग्री के साथ समृद्ध 20 टन के साथ मिश्रित होने पर इसे प्राप्त करने के लिए कितना निम्न-श्रेणी का अयस्क लिया जाना चाहिए?

फेसला

द्वारा निरूपित करें एक्सगरीब अयस्क का द्रव्यमान। चूंकि आपको 20 टन अयस्क प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो 20 समृद्ध अयस्क लिया जाएगा - एक्स. चूंकि खराब अयस्क में तांबे की मात्रा 6% है, तो में एक्सटन अयस्क में 0.06 . होगा एक्सतांबे के टन। समृद्ध अयस्क में तांबे की मात्रा 11% होती है, और 20 में - एक्सटन समृद्ध अयस्क में 0.11(20 − .) होगा एक्स) टन तांबा।

परिणामी 20 टन अयस्क में तांबे की मात्रा 8% होनी चाहिए। इसका मतलब है कि 20 टन तांबे के अयस्क में 20 × 0.08 = 1.6 टन होगा।

व्यंजक जोड़ें 0.06 एक्सऔर 0.11(20 − एक्स) और इस राशि को 1.6 के बराबर करें। हमें समीकरण मिलता है 0,06एक्स + 0,11(20 − एक्स) = 1,6

आइए इस समीकरण को हल करें:

इसका मतलब है कि 8% तांबे की सामग्री के साथ 20 टन अयस्क प्राप्त करने के लिए, आपको 12 टन खराब अयस्क लेने की आवश्यकता है। अमीरों को 20 - 12 = 8 टन लगेगा।

टास्क 11. की बढ़ती औसत गति 250 से 300 मीटर/मिनट की गति से, एथलीट ने 1 मिनट तेजी से दूरी दौड़ना शुरू किया। दूरी की लंबाई क्या है?

फेसला

दूरी की लंबाई (या दूरी की दूरी) को निम्नलिखित अक्षर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

आइए इस समीकरण के दाईं ओर का उपयोग करके अपना समीकरण लिखें। शुरुआत में एथलीट ने 250 मीटर प्रति मिनट की रफ्तार से दूरी तय की। इस गति से दूरी की लंबाई को व्यंजक 250 . द्वारा वर्णित किया जाएगा टी

तब एथलीट ने अपनी गति बढ़ाकर 300 मीटर प्रति मिनट कर दी। इस गति से, दूरी की लंबाई को व्यंजक द्वारा वर्णित किया जाएगा 300t

ध्यान दें कि दूरी की लंबाई एक स्थिर मान है। इस तथ्य से कि एथलीट गति बढ़ाता है या इसे कम करता है, दूरी की लंबाई अपरिवर्तित रहेगी।

यह हमें अभिव्यक्ति 250 . की बराबरी करने की अनुमति देता है टीअभिव्यक्ति के लिए 300 टी, क्योंकि दोनों व्यंजक समान दूरी की लंबाई का वर्णन करते हैं

250टी = 300टी

लेकिन टास्क कहता है कि 300 मीटर प्रति मिनट की रफ्तार से एथलीट 1 मिनट तेज दूरी से दौड़ने लगा। दूसरे शब्दों में, 300 मीटर प्रति मिनट की गति से यात्रा का समय एक से कम हो जाएगा। इसलिए, समीकरण 250 . में टी= 300टीदाईं ओर, समय को एक से कम किया जाना चाहिए:

एथलीट 250 मीटर प्रति मिनट की रफ्तार से 6 मिनट में दूरी तय करता है। गति और समय को जानकर आप दूरी की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं:

एस= 250 × 6 = 1500 मी

और 300 मीटर प्रति मिनट की गति से एथलीट कितनी दूरी तय करता है टी- 1 यानी 5 मिनट में। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, दूरी की लंबाई नहीं बदलती है:

एस= 300 × 5 = 1500 मी

टास्क 12. एक सवार एक पैदल यात्री से आगे निकल जाता है जो उससे 15 किमी आगे है। यदि प्रत्येक घंटे में पहला सवार 10 किमी और दूसरा केवल 4 किमी की यात्रा करता है, तो सवार कितने घंटे में पैदल यात्री को पकड़ लेगा?

फेसला

यह कार्य है। इसे दृष्टिकोण गति निर्धारित करके और सवार और पैदल यात्री के बीच की प्रारंभिक दूरी को इस गति से विभाजित करके हल किया जा सकता है।

समापन गति बड़ी गति से निचली गति को घटाकर निर्धारित की जाती है:

10 किमी/घंटा - 4 किमी/घंटा = 6 किमी/घंटा (दृष्टिकोण की गति)

हर घंटे 15 किलोमीटर की दूरी 6 किलोमीटर कम हो जाएगी। यह पता लगाने के लिए कि यह कब पूरी तरह से कम हो जाएगा (जब सवार पैदल यात्री को पकड़ लेता है), आपको 15 को 6 . से विभाजित करना होगा

15:6 = 2.5h

2,5 एचपूरे दो घंटे और आधा घंटा है। और आधा घंटा 30 मिनट है। तो सवार 2 घंटे 30 मिनट में पैदल यात्री से आगे निकल जाएगा।

आइए समीकरण का उपयोग करके इस समस्या को हल करें।

उसके बाद उसके पीछे एक सवार 10 किमी/घंटा की गति से सड़क पर निकल पड़ा। और चलने की गति केवल 4 किमी/घंटा है। इसका मतलब है कि सवार कुछ समय बाद पैदल यात्री से आगे निकल जाएगा। हमें इस बार खोजने की जरूरत है।

जब सवार पैदल यात्री को पकड़ लेता है, तो इसका मतलब यह होगा कि उन्होंने एक साथ समान दूरी तय की है। सवार और पैदल यात्री द्वारा तय की गई दूरी को निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

आइए इस समीकरण के दाईं ओर का उपयोग करके अपना समीकरण लिखें।

सवार द्वारा तय की गई दूरी को व्यंजक 10 . द्वारा वर्णित किया जाएगा टी. चूंकि पैदल यात्री सवार से पहले निकल गया और 15 किमी की दूरी तय करने में कामयाब रहा, उसके द्वारा तय की गई दूरी को व्यंजक 4 . द्वारा वर्णित किया जाएगा टी + 15 .

जब तक सवार पैदल यात्री को पकड़ता है, तब तक दोनों समान दूरी तय कर चुके होंगे। यह हमें सवार और वॉकर द्वारा तय की गई दूरी की बराबरी करने की अनुमति देता है:

परिणाम एक साधारण समीकरण है। आइए इसे हल करें:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

समस्या 1. एक यात्री ट्रेन एक शहर से दूसरे शहर में मालगाड़ी से 45 मिनट तेज गति से पहुंचती है। शहरों के बीच की दूरी की गणना करें यदि यात्री ट्रेन की गति 48 किमी/घंटा है और मालगाड़ी की गति 36 किमी/घंटा है।

फेसला

इस समस्या में ट्रेन की गति किलोमीटर प्रति घंटे में मापी जाती है। इसलिए, हम कार्य में बताए गए 45 मिनट को घंटों में बदल देंगे। 45 मिनट 0.75 घंटे है

आइए हम उस समय को निरूपित करें जिसके दौरान एक मालगाड़ी चर के माध्यम से शहर में आती है टी. चूंकि यात्री ट्रेन 0.75 घंटे तेजी से इस शहर में आती है, इसलिए इसके चलने का समय अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाएगा टी - 0,75

पैसेंजर ट्रेन ने 48 को मात दी टी - 0.75) किमी, और कमोडिटी 36 टीकिमी. जहां तक ​​कि हम बात कर रहे हेउसी दूरी के बारे में, हम पहली अभिव्यक्ति को दूसरे के बराबर करते हैं। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं 48(टी - 0.75) = 36टी . आइए इसे हल करें:

अब शहरों के बीच की दूरी की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, एक मालगाड़ी की गति (36 किमी / घंटा) को उसके चलने के समय से गुणा किया जाता है टी।परिवर्तनीय मूल्य टीअब ज्ञात - यह तीन घंटे के बराबर है

36 × 3 = 108 किमी

दूरी की गणना करने के लिए, आप यात्री ट्रेन की गति का भी उपयोग कर सकते हैं। लेकिन इस मामले में चर का मान

परिवर्तनीय मूल्य टी 1.2 के बराबर है। इसलिए कारें 1.2 घंटे के बाद मिलीं।

जवाब:कारें 1.2 घंटे के बाद मिलीं।

टास्क 3. प्लांट की तीन वर्कशॉप में कुल 685 कर्मचारी हैं। दूसरी दुकान में पहली की तुलना में तीन गुना अधिक श्रमिक हैं, और तीसरी में - दूसरी दुकान की तुलना में 15 कर्मचारी कम हैं। प्रत्येक दुकान में कितने कर्मचारी हैं?

फेसला

रहने दो एक्सपहली दुकान पर मजदूर थे। दूसरी कार्यशाला में पहली की तुलना में तीन गुना अधिक थी, इसलिए दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या को व्यंजक 3 द्वारा दर्शाया जा सकता है एक्स. तीसरी दुकान में दूसरी की तुलना में 15 कम कर्मचारी थे। इसलिए, तीसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या को अभिव्यक्ति 3 . द्वारा दर्शाया जा सकता है एक्स - 15 .

समस्या कहती है कि कुल 685 कर्मचारी थे। इसलिए, हम भाव जोड़ सकते हैं एक्स, 3एक्स, 3एक्स - 15 और इस योग को संख्या 685 के बराबर करें। परिणामस्वरूप, हम समीकरण प्राप्त करते हैं एक्स + 3एक्स + ( 3एक्स - 15) = 685

एक चर के माध्यम से एक्सपहली कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या का संकेत दिया गया था। अब हमें इस चर का मान मिल गया है, यह 100 के बराबर है। तो पहली दुकान में 100 कर्मचारी थे।

दूसरी कार्यशाला में 3 . थे एक्सश्रमिक, यानी 3 × 100 = 300। और तीसरी कार्यशाला में 3 . थे एक्स - 15, यानी 3 × 100 - 15 = 285

जवाब:पहली कार्यशाला में 100 कर्मचारी थे, दूसरे में - 300, तीसरे में - 285।

टास्क 4। दो मरम्मत की दुकानें एक सप्ताह के भीतर 18 मोटरों की योजना के अनुसार मरम्मत करें। पहली वर्कशॉप ने योजना को 120% और दूसरी को 125% तक पूरा किया, इसलिए एक सप्ताह के भीतर 22 मोटरों की मरम्मत की गई। प्रत्येक कार्यशाला में कौन सी साप्ताहिक इंजन मरम्मत योजना थी?

फेसला

रहने दो एक्सपहले वर्कशॉप से ​​मोटरों की मरम्मत की जानी थी। फिर दूसरी वर्कशॉप का करना पड़ा रेनोवेट 18 − एक्समोटर्स.

चूंकि पहली कार्यशाला ने अपनी योजना को 120% तक पूरा किया, इसका मतलब है कि उसने 1.2 . की मरम्मत की है एक्समोटर और दूसरी कार्यशाला ने अपनी योजना को 125% तक पूरा किया, जिसका अर्थ है कि उसने 1.25 (18 - .) की मरम्मत की एक्स) मोटर्स।

टास्क का कहना है कि 22 मोटरों की मरम्मत की गई। इसलिए, हम भाव जोड़ सकते हैं 1,2एक्सऔर 1.25(18 - एक्स) , फिर इस योग को संख्या 22 के बराबर करें। परिणामस्वरूप, हम समीकरण प्राप्त करते हैं 1,2एक्स + 1,25(18- एक्स) = 22

एक चर के माध्यम से एक्सपहली कार्यशाला की मरम्मत के लिए जिन मोटरों की संख्या का संकेत दिया गया था। अब हमें इस वेरिएबल का मान मिल गया है, यह 10 के बराबर है। इसलिए पहले वर्कशॉप में 10 मोटरों की मरम्मत करनी पड़ी।

और व्यंजक 18 − . द्वारा एक्सदूसरी कार्यशाला की मरम्मत के लिए जिन मोटरों की संख्या का संकेत दिया गया था। तो दूसरी कार्यशाला में 18 - 10 = 8 मोटरों की मरम्मत करनी पड़ी।

जवाब:पहली कार्यशाला 10 मोटरों की मरम्मत करने की थी, और दूसरी 8 मोटरों की।

समस्या 5. माल की कीमत में 30% की वृद्धि हुई है और अब 91 रूबल है। मूल्य वृद्धि से पहले उत्पाद कितना था?

फेसला

रहने दो एक्समूल्य वृद्धि से पहले माल की कीमत रूबल। अगर कीमत में 30% की वृद्धि हुई है तो इसका मतलब है कि इसमें 0.30 . की वृद्धि हुई है एक्सरूबल। मूल्य वृद्धि के बाद, माल की कीमत 91 रूबल होने लगी। 0.30 . के साथ x जोड़ें एक्सऔर इस योग को 91 के बराबर करें। परिणामस्वरूप, हम समीकरण प्राप्त करते हैं संख्या में 10% की कमी करने पर 45 प्राप्त हुआ। संख्या का मूल मान ज्ञात कीजिए। एक्स -

जवाब: 12% नमक का घोल प्राप्त करने के लिए, आपको 10% घोल के 1 किलो में 20% घोल का 0.25 किग्रा मिलाना होगा।

समस्या 12. पानी में नमक के दो घोल दिए गए हैं, जिनकी सांद्रता 20% और 30% है। 25.2% घोल का 25 किलोग्राम प्राप्त करने के लिए एक बर्तन में कितने किलोग्राम प्रत्येक घोल को मिलाया जाना चाहिए?

फेसला

रहने दो एक्सपहले घोल का किलो लेना चाहिए। चूँकि 25 किग्रा विलयन तैयार करने के लिए आवश्यक है, दूसरे विलयन के द्रव्यमान को व्यंजक 25 - x से व्यक्त किया जा सकता है।

पहले घोल में 0.20x किलो नमक होगा, और दूसरे में 0.30 (25 - x) किलो नमक होगा। परिणामी घोल में नमक की मात्रा 25 × 0.252 = 6.3 किग्रा होगी। व्यंजक 0.20x और 0.30(25 - x) जोड़ें, फिर इस योग को 6.3 के बराबर करें। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

तो पहला घोल 12 किलो और दूसरा 25 - 12 = 13 किलो लेना होगा।

जवाब:पहला समाधान आपको 12 किलो और दूसरा 13 किलो लेने की जरूरत है।

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प्रतिशत की अवधारणा हमारे जीवन में बहुत बार आती है, इसलिए यह जानना बहुत जरूरी है कि प्रतिशत के साथ समस्याओं को कैसे हल किया जाए। सिद्धांत रूप में, यह कोई कठिन मामला नहीं है, मुख्य बात रुचि के साथ काम करने के सिद्धांत को समझना है।

प्रतिशत क्या है

हम 100 प्रतिशत की अवधारणा के साथ काम करते हैं, और तदनुसार, एक प्रतिशत सौवां है निश्चित संख्या. और सभी गणनाएं पहले से ही इस अनुपात पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, 50 का 1% 0.5 है, 700 का 15 7 है।

कैसे तय करें

1. यह जानते हुए कि एक प्रतिशत प्रस्तुत संख्या का सौवां हिस्सा है, आप आवश्यक प्रतिशतों की कितनी भी संख्या पा सकते हैं। इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए 800 की संख्या का 6 प्रतिशत ज्ञात करने का प्रयास करें। यह सरलता से किया जाता है।
   • पहले हम एक प्रतिशत पाते हैं। ऐसा करने के लिए, 800 को 100 से विभाजित करें। यह 8 निकला।
   • अब हम इसे उसी एक प्रतिशत से गुणा करते हैं, यानी 8, हमें जितने प्रतिशत की जरूरत है, उससे गुणा करते हैं, यानी 6 से। यह 48 निकलता है।
   • पुनरावृत्ति द्वारा परिणाम को ठीक करें।

   150 का 15%। हल: 150/100*15=22।

   1582 का 28%। हल: 1582/100*28=442।

2. जब आपको मान दिए जाते हैं तो अन्य समस्याएं होती हैं, और आपको प्रतिशत ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, आप जानते हैं कि स्टोर में 5 लाल गुलाब 75 गोरों में से, और आपको यह पता लगाना होगा कि स्कार्लेट कितना प्रतिशत है। यदि हम इस प्रतिशत को नहीं जानते हैं, तो हम इसे x के रूप में निरूपित करेंगे।

   इसके लिए एक सूत्र है: 75 - 100%

   इस सूत्र में, संख्याओं को क्रॉस द्वारा क्रॉस गुणा किया जाता है, अर्थात x \u003d 5 * 100/75। यह पता चला है कि x \u003d 6% तो स्कार्लेट गुलाब का प्रतिशत 6% है।

3. प्रतिशत के लिए एक अन्य प्रकार की समस्या होती है, जब आपको यह ज्ञात करना होता है कि एक संख्या किस प्रतिशत से दूसरी संख्या से बड़ी या कम है। इस मामले में प्रतिशत के साथ समस्याओं को कैसे हल करें?

   कक्षा में 30 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 16 लड़के हैं। सवाल यह है कि लड़कियों की तुलना में कितने प्रतिशत लड़के अधिक हैं। पहले आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि कितने प्रतिशत छात्र लड़के हैं, फिर आपको यह पता लगाना होगा कि लड़कियों का कितना प्रतिशत है। और अंत में अंतर खोजें।

   तो चलो शुरू करते है। हम 30 खातों का अनुपात बनाते हैं। - 100%

   16 खाते -एक्स %

   अब हम गिनते हैं। X=16*100/30, x=53.4% ​​कक्षा के सभी छात्र लड़के हैं।

   अब समान कक्षा में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए। 100-53.4=46.6%

यह अब केवल अंतर खोजने के लिए रह गया है। 53.4-46.6=6.8%। उत्तर लड़कियों की तुलना में लड़कों की संख्या 6.8% अधिक है।

ब्याज समाधान में प्रमुख बिंदु

इसलिए, ताकि आपको प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करने में कोई समस्या न हो, कुछ बुनियादी नियमों को याद रखें:

1. प्रतिशत के साथ समस्याओं में भ्रमित न होने के लिए, हमेशा सतर्क रहें: विशिष्ट मूल्यों से प्रतिशत पर जाएं और यदि आवश्यक हो तो इसके विपरीत। मुख्य बात यह है कि एक को दूसरे के साथ भ्रमित न करें।
2. प्रतिशत की गणना करते समय सावधान रहें। यह जानना महत्वपूर्ण है कि आपको किस विशिष्ट मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। मूल्यों में क्रमिक परिवर्तनों के लिए, प्रतिशत की गणना अंतिम मान से की जाती है।
3. उत्तर लिखने से पहले, पूरी समस्या को दोबारा पढ़ें, क्योंकि हो सकता है कि आपको केवल एक मध्यवर्ती उत्तर मिल गया हो, और आपको एक या दो और क्रियाएं करने की आवश्यकता हो।

इस प्रकार, प्रतिशत के साथ समस्याओं को हल करना इतना कठिन मामला नहीं है, इसमें मुख्य बात सावधानी और सटीकता है, जैसा कि वास्तव में, सभी गणित में। और यह मत भूलो कि किसी भी कौशल को सुधारने के लिए अभ्यास की आवश्यकता होती है। इसलिए अधिक निर्णय लें, और आपके लिए सब कुछ ठीक या उत्कृष्ट होगा।