Regel zum Multiplizieren oder Dividieren einer Gleichung. Regel zum Lösen einfacher Gleichungen

Kürzlich ruft die Mutter eines Schulkindes, mit dem ich lerne, an und bittet darum, dem Kind Mathematik zu erklären, weil er es nicht versteht, aber sie schreit ihn an und das Gespräch mit ihrem Sohn kommt nicht heraus.

ich habe nicht mathematisches Lager Geist, kreative Leute das ist nicht typisch, aber ich sagte, ich würde sehen, was sie durchmachen und versuchen. Und das ist passiert.

Ich nahm ein Blatt A4-Papier, einfache weiße Filzstifte, einen Bleistift in meine Hände und begann hervorzuheben, was es wert ist, verstanden, erinnert und beachtet zu werden. Und damit Sie sehen können, wohin diese Zahl geht und wie sie sich verändert.

Erläuterung der Beispiele auf der linken Seite, auf rechte Seite.

Beispiel 1

Ein Beispiel einer Gleichung für Klasse 4 mit einem Pluszeichen.

Der allererste Schritt ist zu schauen, was können wir in dieser Gleichung tun? Hier können wir Multiplikationen durchführen. Wir multiplizieren 80 * 7 und erhalten 560. Wir schreiben es erneut um.

X + 320 = 560 (hervorgehoben die Zahlen mit einem grünen Marker).

X \u003d 560 - 320. Wir setzen das Minus, denn wenn die Nummer übertragen wird, ändert sich das Vorzeichen davor in das Gegenteil. Machen wir die Subtraktion.

X = 240 Unbedingt überprüfen. Die Überprüfung zeigt, ob wir die Gleichung richtig gelöst haben. Ersetzen Sie x durch die Zahl, die Sie erhalten haben.

Untersuchung:

240 + 320 \u003d 80 * 7 Wir addieren die Zahlen, andererseits multiplizieren wir.

Alles ist richtig! Also haben wir die Gleichung richtig gelöst!

Beispiel #2

Ein Beispiel einer Gleichung für Klasse 4 mit Minuszeichen.

X - 180 = 240/3

Der erste Schritt ist zu schauen, was können wir in dieser Gleichung tun? BEIM dieses Beispiel wir können teilen. Wir teilen 240 durch 3 und erhalten 80. Schreiben Sie die Gleichung noch einmal um.

X - 180 = 80 (hervorgehoben die Zahlen mit einem grünen Marker).

Jetzt sehen wir, dass wir x (unbekannt) und Zahlen haben, nur nicht nebeneinander, sondern durch ein Gleichheitszeichen getrennt. X auf der einen Seite, Zahlen auf der anderen.

X \u003d 80 + 180 Wir setzen das Pluszeichen, denn wenn die Nummer übertragen wird, ändert sich das Vorzeichen vor der Nummer in das Gegenteil. Wir erwägen.

X = 260 Überprüfungsarbeit. Die Überprüfung zeigt, ob wir die Gleichung richtig gelöst haben. Ersetzen Sie x durch die Zahl, die Sie erhalten haben.

Untersuchung:

260 – 180 = 240/3

Alles ist richtig!

Beispiel #3

400 - x \u003d 275 + 25 Addieren Sie die Zahlen.

400 - x = 300 Zahlen durch Gleichheitszeichen getrennt, x ist negativ. Um es positiv zu machen, müssen wir es durch das Gleichheitszeichen bewegen, die Zahlen auf der einen Seite sammeln, x auf der anderen.

400 - 300 \u003d x Die Zahl 300 war positiv, als sie auf die andere Seite übertragen wurde, änderte sie das Vorzeichen und wurde zu einem Minus. Wir erwägen.

Da es nicht üblich ist, so zu schreiben, und das erste in der Gleichung x sein sollte, tauschen Sie sie einfach aus.

Untersuchung:

400 - 100 = 275 + 25 Wir zählen.

Alles ist richtig!

Beispiel Nr. 4

Ein Beispiel einer Gleichung für Klasse 4 mit Minuszeichen, wobei x in der Mitte steht, also ein Beispiel einer Gleichung, in der x in der Mitte negativ ist.

72 - x \u003d 18 * 3 Wir führen die Multiplikation durch. Umschreiben des Beispiels.

72 - x \u003d 54 Wir richten die Zahlen in einer Richtung aus, x in der anderen. Die Zahl 54 kehrt ihr Vorzeichen um, weil sie das Gleichheitszeichen überspringt.

72 - 54 \u003d x Wir zählen.

18 = x Swap, der Einfachheit halber.

Untersuchung:

72 – 18 = 18 * 3

Alles ist richtig!

Beispiel #5

Ein Beispiel für eine Gleichung mit x mit Subtraktion und Addition für die 4. Klasse.

X - 290 = 470 + 230 Addiere.

X - 290 = 700 Wir setzen die Zahlen auf eine Seite.

X \u003d 700 + 290 Wir überlegen.

Untersuchung:

990 - 290 = 470 + 230 Hinzufügen.

Alles ist richtig!

Beispiel Nr. 6

Ein Beispiel für eine Gleichung mit x für Multiplikation und Division für Klasse 4.

15 * x \u003d 630/70 Wir führen eine Division durch. Schreiben wir die Gleichung um.

15 * x \u003d 90 Dies ist dasselbe wie 15x \u003d 90 Lassen Sie x auf der einen Seite, Zahlen auf der anderen Seite. Diese Gleichung nimmt die folgende Form an.

X \u003d 90/15 Beim Übertragen der Zahl 15 ändert sich das Vorzeichen der Multiplikation in die Division. Wir erwägen.

Untersuchung:

15*6 = 630 / 7 Führen Sie Multiplikation und Subtraktion durch.

Alles ist richtig!

Kommen wir nun zu den Grundregeln:

Multiplizieren, addieren, dividieren oder subtrahieren;
Wenn Sie tun, was getan werden kann, wird die Gleichung ein wenig kürzer.
X auf der einen Seite, Zahlen auf der anderen.
Eine unbekannte Variable in einer Richtung (nicht immer x, vielleicht ein anderer Buchstabe), Zahlen in der anderen.
Beim Übertragen von x oder einer Ziffer durch das Gleichheitszeichen wird deren Vorzeichen umgekehrt.
Wenn die Zahl positiv war, setzen wir beim Überweisen ein Minuszeichen vor die Zahl. Und umgekehrt, wenn die Zahl oder x mit einem Minuszeichen versehen war, setzen wir beim Übertragen durch Gleichheit ein Pluszeichen.
Wenn die Gleichung am Ende mit einer Zahl beginnt, dann einfach tauschen.
Wir prüfen immer!

Währenddessen Hausaufgaben, Klassenarbeit, Tests, Sie können immer zuerst ein Blatt nehmen und darauf schreiben und eine Überprüfung durchführen.

Außerdem finden wir ähnliche Beispiele im Internet, zusätzliche Bücher, Anleitungen. Es ist einfacher, die Zahlen nicht zu ändern, sondern fertige Beispiele zu nehmen.

Wie Mehr Baby wird selbst entscheiden, alleine lernen, desto schneller wird er den Stoff lernen.

Wenn das Kind Beispiele mit einer Gleichung nicht versteht, lohnt es sich, das Beispiel zu erklären und den Rest zu bitten, dem Modell zu folgen.

Gegeben detaillierte Beschreibung wie man einem Schüler Gleichungen mit x erklärt für:

Eltern;
Schulkinder;
Tutoren;
Großeltern;
Lehrer;

Kinder müssen alles in Farbe machen, mit verschiedenen Buntstiften auf der Tafel, aber leider tut das nicht jeder.

Aus meiner Praxis

Der Junge schrieb, wie er wollte, entgegen den bestehenden Regeln in der Mathematik. Als er die Gleichung überprüfte, gab es unterschiedliche Zahlen und eine Zahl (auf der linken Seite) war nicht gleich der anderen (die auf der rechten Seite), er verbrachte Zeit damit, nach einem Fehler zu suchen.

Auf die Frage, warum er das tut? Es gab eine Antwort, die er zu erraten versuchte und dachte, und plötzlich würde er es richtig machen.

BEIM dieser Fall Sie müssen jeden Tag (jeden zweiten Tag) ähnliche Beispiele lösen. Handlungen zum Automatismus zu bringen und natürlich sind alle Kinder unterschiedlich, das reicht vielleicht nicht von der ersten Stunde an.

Wenn Eltern keine Zeit haben, und das haben sie oft, weil Eltern verdienen Geldmittel, dann ist es besser, einen Tutor in Ihrer Stadt zu finden, der dem Kind den behandelten Stoff erklären kann.

Jetzt ist das Alter der Prüfung, Tests, Kontrolle funktioniert, gibt es zusätzliche Sammlungen und Handbücher. Wenn Sie Hausaufgaben für das Kind machen, sollten Eltern daran denken, dass sie nicht an der Prüfung in der Schule teilnehmen werden. Es ist besser, dem Kind 1 Mal klar zu erklären, damit das Kind Beispiele selbstständig lösen kann.

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die einen Buchstaben enthält, dessen Wert gefunden werden soll.

In Gleichungen wird die Unbekannte normalerweise mit Kleinbuchstaben bezeichnet Lateinischer Buchstabe. Die am häufigsten verwendeten Buchstaben sind "x" [x] und "y" [y].

Wurzel der Gleichung- Dies ist der Wert des Buchstabens, bei dem die richtige numerische Gleichheit aus der Gleichung erhalten wird.
löse die Gleichung- bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder sicherzustellen, dass es keine Wurzeln gibt.

Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, schreiben wir den Scheck immer nach der Antwort.

Informationen für Eltern

Liebe Eltern, bitte beachtet das Grundschule und in der 5. Klasse kennen Kinder das Thema „Negative Zahlen“ NICHT.

Daher müssen sie Gleichungen nur mit den Eigenschaften Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lösen. Methoden zum Lösen von Gleichungen für Klasse 5 sind unten angegeben.

Versuchen Sie nicht, die Lösung von Gleichungen zu erklären, indem Sie Zahlen und Buchstaben von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel übertragen.

In der Lektion "Rechengesetze" können Sie Ihr Wissen über die Begriffe Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auffrischen.

Lösen von Gleichungen für Addition und Subtraktion

Wie man das Unbekannte findet
Begriff

Wie man das Unbekannte findet
Minuend

Wie man das Unbekannte findet
Subtrahend

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, muss die Differenz vom Minuend subtrahiert werden.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x=6
Untersuchung

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Untersuchung

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Untersuchung

Lösen von Gleichungen für Multiplikation und Division

Wie man das Unbekannte findet
Faktor

Wie man das Unbekannte findet
Dividende

Wie man das Unbekannte findet
Teiler

Finden Unbekannter Multiplikator, ist es notwendig, das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren.

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Um den unbekannten Teiler zu finden, teilen Sie den Dividenden durch den Quotienten.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Untersuchung

y:7=2
y = 2 7
y=14
Untersuchung

8:y=4
y=8:4
y=2
Untersuchung

Eine Gleichung ist eine Gleichung, die den Buchstaben enthält, dessen Vorzeichen gefunden werden soll. Die Lösung einer Gleichung ist der Satz von Buchstabenwerten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit verwandelt:

Erinnern Sie sich daran, um es zu lösen Gleichung Es ist notwendig, die Terme mit dem Unbekannten auf einen Teil der Gleichheit und die numerischen Terme auf den anderen zu übertragen, ähnliche zu bringen und die folgende Gleichheit zu erhalten:

Aus der letzten Gleichheit bestimmen wir die Unbekannte nach der Regel: "Einer der Faktoren ist gleich dem Quotienten dividiert durch den zweiten Faktor."

Als Rationale Zahlen a und b können das gleiche und haben verschiedene Vorzeichen, dann wird das Vorzeichen der Unbekannten durch die Regeln zur Division rationaler Zahlen bestimmt.

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Die lineare Gleichung muss vereinfacht werden, indem die Klammern geöffnet und die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) ausgeführt werden.

Verschieben Sie die Unbekannten auf eine Seite des Gleichheitszeichens und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens, um mit der angegebenen Gleichheit identisch zu werden.

Bringen Sie like links und rechts vom Gleichheitszeichen, um eine Gleichheit der Form zu erhalten Axt = b.

Berechnen Sie die Wurzel der Gleichung (finden Sie die Unbekannte X von Gleichberechtigung x = b : a),

Führen Sie einen Test durch, indem Sie das Unbekannte durch das ersetzen gegebene Gleichung.

Wenn wir eine Identität bekommen zahlenmäßige Gleichheit, dann stimmt die Gleichung.

Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen

Wenn ein Die gleichung durch ein Produkt gleich 0 gegeben ist, verwenden wir zur Lösung die Eigenschaft der Multiplikation: "Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren gleich Null sind."

27 (x - 3) = 0
27 ist nicht gleich 0, also x - 3 = 0

Das zweite Beispiel hat zwei Lösungen für die Gleichung, da
Dies ist eine Gleichung zweiten Grades:

Wenn die Koeffizienten der Gleichung sind gewöhnliche Brüche, ist das erste, was zu tun ist, die Nenner loszuwerden. Dafür:

Finden gemeinsamer Nenner;

Definieren zusätzliche Multiplikatoren für jeden Term der Gleichung;

Multiplizieren Sie die Zähler von Brüchen und ganzen Zahlen mit zusätzlichen Faktoren und schreiben Sie alle Terme der Gleichung ohne Nenner auf (der gemeinsame Nenner kann verworfen werden);

Verschieben Sie die Terme mit Unbekannten in einen Teil der Gleichung und die numerischen Terme vom Gleichheitszeichen in den anderen, um eine äquivalente Gleichheit zu erhalten.

Bringen Sie ähnliche Begriffe;

Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen

Jeder Teil der Gleichung kann angegeben werden wie Begriffe oder öffnende Klammer.

Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl außer 0 multipliziert (dividiert) werden.

Im obigen Beispiel wurden alle seine Eigenschaften verwendet, um die Gleichung zu lösen.

Regel zum Lösen einfacher Gleichungen

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Materialien hinein Sonderteil 555.
Für diejenigen, die stark sind, "nicht sehr. »
Und für diejenigen, die „sehr gleichmäßig. "")

Lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen sind nicht die besten schwieriges Thema Schulmathematik. Aber es gibt einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Sollen wir es herausfinden?)

Eine lineare Gleichung wird normalerweise als eine Gleichung der Form definiert:

Nichts kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Sie die Worte nicht bemerken: "wobei a und b beliebige Zahlen sind". Und wenn Sie es bemerken, aber unachtsam darüber nachdenken?) Immerhin, wenn a=0, b=0(beliebige Zahlen möglich?), dann bekommen wir einen komischen Ausdruck:

Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a=0, a b=5, es stellt sich etwas ganz Absurdes heraus:

Was das Vertrauen in Mathematik strapaziert und untergräbt, ja.) Vor allem bei Prüfungen. Aber von diesen seltsamen Ausdrücken müssen Sie auch X finden! Was es gar nicht gibt. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, wie es geht. In dieser Lektion.

Wie erkennt man eine lineare Gleichung im Aussehen? Es kommt darauf an, was Aussehen.) Der Trick besteht darin, dass lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden Axt + b = 0 , sondern auch beliebige Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form gebracht werden. Und wer weiß, ob es reduziert ist oder nicht?)

In manchen Fällen ist eine lineare Gleichung deutlich zu erkennen. Sprich, wenn wir eine Gleichung haben, in der es nur Unbekannte ersten Grades gibt, ja Zahlen. Und die Gleichung nicht Brüche dividiert durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Anzahl, oder ein numerischer Bruch - das war's! Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine x im Quadrat, im Würfel usw. und es gibt keine x in den Nennern, d.h. Nein Division durch x. Und hier ist die Gleichung

kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind x alle im ersten Grad, aber es gibt Division durch Ausdruck mit x. Nach Vereinfachungen und Transformationen können Sie eine lineare Gleichung und eine quadratische Gleichung und alles, was Sie möchten, erhalten.

Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, eine lineare Gleichung in einem komplizierten Beispiel zu finden, bis Sie sie fast gelöst haben. Es ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird in der Regel nicht nach der Form der Gleichung gefragt, oder? In Aufgaben werden Gleichungen geordnet entscheiden. Es gefällt.)

Lösung linearer Gleichungen. Beispiele.

Ganze Lösung lineare Gleichungen besteht aus identischen Transformationen von Gleichungen. Diese Transformationen (bis zu zwei!) liegen übrigens den Lösungen zugrunde alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten, die Entscheidung irgendein Die Gleichung beginnt mit denselben Transformationen. Im Fall von linearen Gleichungen endet es (die Lösung) dieser Transformationen mit einer vollwertigen Antwort. Es ist sinnvoll, dem Link zu folgen, oder?) Außerdem gibt es auch Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel. Ohne Fallstricke. Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen.

Dies ist eine lineare Gleichung. Xs stehen alle in der ersten Potenz, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, wie die Gleichung lautet. Wir müssen es lösen. Das Schema hier ist einfach. Sammeln Sie alles mit x auf der linken Seite der Gleichheit, alles ohne x (Zahlen) auf der rechten Seite.

Dazu müssen Sie umbuchen — 4x nach links, natürlich mit Vorzeichenwechsel, aber — 3 - Nach rechts. Das ist übrigens erste identische Transformation von Gleichungen.Überrascht? Also sind sie dem Link nicht gefolgt, aber vergebens.) Wir bekommen:

Wir geben ähnlich, wir betrachten:

Was fehlt uns vollkommenes Glück? Ja, damit links ein sauberes X steht! Fünf steht im Weg. Befreien Sie sich von den fünf mit zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir teilen nämlich beide Teile der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:

Natürlich ein elementares Beispiel. Das ist zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich hier bin identische Transformationen fiel ein? Okay. Wir packen den Stier bei den Hörnern.) Entscheiden wir uns für etwas Beeindruckenderes.

Hier ist zum Beispiel diese Gleichung:

Mit was fangen wir an? Mit x - nach links, ohne x - nach rechts? Könnte so sein. In kleinen Schritten lange Straße. Und das können Sie sofort, auf universelle und kraftvolle Weise. Es sei denn natürlich, in Ihrem Arsenal gibt es identische Transformationen von Gleichungen.

Ich stelle Ihnen eine zentrale Frage: Was missfällt dir an dieser Gleichung am meisten?

95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lasst uns sie loswerden. Also fangen wir gleich an zweite identische Transformation. Womit multiplizierst du den Bruch auf der linken Seite, sodass der Nenner vollständig gekürzt wird? Richtig, 3. Und rechts? Mit 4. Aber Mathe erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer. Wie kommen wir raus? Lass uns beide Seiten mit 12 multiplizieren! Jene. auf einen gemeinsamen Nenner. Dann werden die drei reduziert und die vier. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen komplett. So sieht der erste Schritt aus:

Beachten Sie! Zähler (x+2) Ich habe Klammern genommen! Denn beim Multiplizieren von Brüchen wird der Zähler komplett mit dem Ganzen multipliziert! Und jetzt können Sie Brüche kürzen und kürzen:

Öffnen der restlichen Klammern:

Kein Beispiel, aber reine Freude!) Jetzt erinnern wir uns an den Zauberspruch aus den unteren Klassen: mit x - nach links, ohne x - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:

Und wir teilen beide Teile durch 25, d.h. wenden Sie die zweite Transformation erneut an:

Das ist alles. Antworten: X=0,16

Achtung: Um die ursprünglich verwirrende Gleichung in eine angenehme Form zu bringen, haben wir zwei (nur zwei!) identische Transformationen- Übersetzung von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikationsdivision der Gleichung durch dieselbe Zahl. Das ist der universelle Weg! Wir werden auf diese Weise arbeiten irgendein Gleichungen! Absolut beliebig. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen ständig.)

Wie Sie sehen können, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit Hilfe identischer Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen und nicht im Prinzip der Lösung.

Aber. Beim Lösen der elementarsten linearen Gleichungen gibt es solche Überraschungen, die einen in eine starke Benommenheit treiben können.) Glücklicherweise kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.

Spezialfälle beim Lösen linearer Gleichungen.

Erstmal überraschen.

Angenommen, Sie stoßen auf eine elementare Gleichung, etwa wie folgt:

Etwas gelangweilt wechseln wir mit X nach links, ohne X - nach rechts. Mit einem Vorzeichenwechsel ist alles chinar. Wir bekommen:

Wir betrachten und. Hoppla. Wir bekommen:

An sich ist diese Gleichheit nicht zu beanstanden. Null ist wirklich Null. Aber X ist weg! Und wir müssen in die Antwort schreiben, was x gleich ist. Sonst zählt die Lösung nicht, ja.) Sackgasse?

Ruhig! In solchen Zweifelsfällen gelten die allgemeinsten Regeln. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle Werte von x, die uns, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit geben.

Aber wir haben die richtige Gleichheit bereits passiert! 0=0, wo eigentlich?! Es bleibt herauszufinden, bei welchen x dies erreicht wird. In welche Werte von x können sie eingesetzt werden Initial Gleichung, wenn diese x's immer noch auf null schrumpfen? Komm schon?)

Ja. Xs können ersetzt werden irgendein! Was willst du. Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden trotzdem schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen.) Ersetzen Sie alle x-Werte in Initial gleichsetzen und berechnen. Die ganze Zeit wird die reine Wahrheit erhalten: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 und so weiter.

Hier ist Ihre Antwort: x ist eine beliebige Zahl.

Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, die Essenz ändert sich nicht. Dies ist eine völlig korrekte und vollständige Antwort.

Überraschung an zweiter Stelle.

Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern nur eine Zahl darin. So werden wir entscheiden:

Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Faszinierendes:

So. Eine lineare Gleichung gelöst, eine seltsame Gleichheit erhalten. Mathematisch gesehen haben wir falsche Gleichheit. Und sprechen einfache Sprache, das ist nicht wahr. Rave. Aber nichtsdestotrotz ist dieser Unsinn durchaus ein guter Grund dafür richtige Entscheidung Gleichungen.)

Auch hier denken wir nach allgemeinen Regeln. Was x, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, uns geben wird Korrekt Gleichberechtigung? Ja, keine! Es gibt keine solchen xes. Was auch immer Sie ersetzen, alles wird reduziert, Unsinn bleibt.)

Hier ist Ihre Antwort: es gibt keine lösungen.

Dies ist auch eine vollkommen gültige Antwort. In der Mathematik kommen solche Antworten häufig vor.

So. Nun, ich hoffe, der Verlust von Xs beim Lösen einer (nicht nur linearen) Gleichung wird Sie überhaupt nicht stören. Die Sache ist bekannt.)

Nachdem wir uns nun mit allen Fallstricken in linearen Gleichungen befasst haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.

Werden sie an der Prüfung teilnehmen? - Ich höre die Frage der Praktiker. Ich antworte. BEIM reiner Form- Nein. Zu elementar. Aber im GIA, oder beim Lösen von Aufgaben in der Klausur, stößt man bestimmt auf sie! Also ändern wir die Maus zum Griff und entscheiden.

Die Antworten werden ungeordnet gegeben: 2,5; keine Lösungen; 51; 17.

Passiert?! Herzliche Glückwünsche! Sie haben gute Chancen in Prüfungen.)

Antworten stimmen nicht überein? M-ja. Das ist nicht erfreulich. Dies ist kein Thema, auf das Sie verzichten können. Ich empfehle Ihnen, Abschnitt 555 zu besuchen. Es ist sehr detailliert, was zu tun und als Tun Sie dies, um in der Lösung nicht verwirrt zu werden. Am Beispiel dieser Gleichungen.

SONDERN wie man Gleichungen löst kniffliger - das ist im nächsten Thema.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt.

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Hier können Sie das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Mit Interesse lernen!

Und hier können Sie sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Lineare Gleichungen lösen Klasse 7

Für Lösungen linearer Gleichungen Verwenden Sie zwei Grundregeln (Eigenschaften).

Eigentum Nr. 1
oder
Übertragungsregel

Beim Übertragen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen ändert der Term der Gleichung sein Vorzeichen ins Gegenteil.

Betrachten wir die Übertragungsregel anhand eines Beispiels. Angenommen, wir müssen eine lineare Gleichung lösen.

Denken Sie daran, dass jede Gleichung eine linke und eine rechte Seite hat.

Lassen Sie uns die Zahl "3" von der linken Seite der Gleichung nach rechts verschieben.

Da die Zahl „3“ ein „+“-Zeichen auf der linken Seite der Gleichung hatte, bedeutet dies, dass in rechte Seite Gleichung "3" wird mit dem Vorzeichen "−" übertragen.

Empfangen numerischer Wert"x = 2" heißt Wurzel der Gleichung.

Vergessen Sie nicht, die Antwort nach dem Lösen einer Gleichung aufzuschreiben.

Betrachten wir eine andere Gleichung.

Gemäß der Übertragungsregel übertragen wir "4x" von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil.

Auch wenn vor „4x“ kein Zeichen steht, verstehen wir, dass vor „4x“ ein „+“-Zeichen steht.

Jetzt geben wir ähnliche an und lösen die Gleichung bis zum Ende.

Eigentum Nr. 2
oder
Teilungsregel

In jeder Gleichung kannst du die linke und die rechte Seite durch dieselbe Zahl teilen.

Aber man kann nicht durch das Unbekannte teilen!

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie die Divisionsregel beim Lösen linearer Gleichungen verwendet wird.

Die Zahl „4“, die bei „x“ steht, wird Zahlenkoeffizient der Unbekannten genannt.

Zwischen dem numerischen Koeffizienten und der Unbekannten liegt immer die Aktion der Multiplikation.

Um die Gleichung zu lösen, muss sichergestellt werden, dass bei "x" ein Koeffizient "1" vorhanden ist.

Stellen wir uns die Frage: "Wozu müssen Sie "4" aufteilen
bekomme "1"?. Die Antwort ist offensichtlich, Sie müssen durch "4" teilen.

Verwenden Sie die Divisionsregel und teilen Sie die linke und rechte Seite der Gleichung durch "4". Vergessen Sie nicht, dass Sie sowohl den linken als auch den rechten Teil teilen müssen.

Wir verwenden die Kürzung von Brüchen und lösen die lineare Gleichung zu Ende.

Wie man eine Gleichung löst, wenn "x" negativ ist

In Gleichungen gibt es oft eine Situation, in der es bei "x" einen negativen Koeffizienten gibt. Wie in der Gleichung unten.

Um eine solche Gleichung zu lösen, stellen wir uns wieder die Frage: „Wodurch muss „-2“ geteilt werden, um „1“ zu erhalten?“. Teile durch "-2".

Einfache lineare Gleichungen lösen

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe von linearen Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Lassen Sie uns zunächst definieren: Was ist eine lineare Gleichung und welche davon sollte als die einfachste bezeichnet werden?

Eine lineare Gleichung ist eine, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

Offene Klammern, falls vorhanden;
Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere;
Bringen Sie gleiche Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen;
Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$ .

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise etwas wie $0\cdot x=8$ erhalten, d.h. auf der linken Seite ist Null und auf der rechten Seite ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns einige Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wird. Es ist ziemlich logisch, dass egal, was $x$ wir ersetzen, es immer noch herauskommt „Null ist gleich Null“, d.h. korrekte numerische Gleichheit.

Und nun schauen wir uns am Beispiel echter Probleme an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns mit linearen Gleichungen, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichung, die genau eine Variable enthält, und sie geht nur bis zum ersten Grad.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

Zuerst müssen Sie die Klammern öffnen, falls vorhanden (wie in unserer letztes Beispiel);
Dann ähnliches mitbringen
Isolieren Sie schließlich die Variable, d.h. alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – wird auf die eine Seite übertragen, und alles, was ohne sie bleibt, wird auf die andere Seite übertragen.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Ergebnisse erzielen, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten bei "x" dividieren, und wir erhalten die endgültige Antwort.

Theoretisch sieht das nett und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten in ziemlich einfachen linearen Gleichungen anstößige Fehler machen. Normalerweise werden Fehler entweder beim Öffnen von Klammern oder beim Zählen von "Plus" und "Minus" gemacht.

Außerdem kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, oder dass die Lösung der ganze Zahlenstrahl ist, also irgendeine Nummer. Wir werden diese Feinheiten in der heutigen Lektion analysieren. Aber wir werden, wie Sie bereits verstanden haben, mit den meisten beginnen einfache Aufgaben.

Schema zum Lösen einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen aufschreiben:

Erweitern Sie die Klammern, falls vorhanden.
Trennen Sie Variablen, d.h. alles, was "x" enthält, wird auf die eine Seite übertragen und ohne "x" - auf die andere.
Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
Wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es hat gewisse Feinheiten und Tricks, die wir jetzt kennenlernen werden.

Reale Beispiele einfacher linearer Gleichungen lösen

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Aber sie sind nicht in diesem Beispiel, also überspringen wir diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden nur über einzelne Komponenten. Lass uns schreiben:

Wir geben links und rechts gleiche Begriffe an, aber das wurde hier schon getan. Deshalb fahren wir mit dem vierten Schritt fort: Dividieren durch einen Faktor:

Hier haben wir die Antwort bekommen.

In dieser Aufgabe können wir die Klammern beobachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr die gleiche Konstruktion, aber handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Sequester-Variablen:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für alle. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Es gibt hier ein paar Klammern, aber sie werden mit nichts multipliziert, sie stehen nur davor verschiedene Zeichen. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

Wir führen den letzten Schritt aus - wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x":

Was Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir zu einfache Aufgaben ignorieren, dann möchte ich Folgendes sagen:

Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Nullstellen;
Auch wenn es Wurzeln gibt, kann Null dazwischen kommen - daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest, Sie sollten sie nicht irgendwie diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten haben.

Ein weiteres Merkmal bezieht sich auf die Erweiterung von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn ein „Minus“ davor steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Zeichen in Gegenteil. Und dann können wir es nach Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Dies verstehen einfache Tatsache wird Sie davon abhalten, dumme und verletzende Fehler in der High School zu machen, wenn solche Dinge für selbstverständlich gehalten werden.

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Gehen wir zu mehr über komplexe Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplizierter und es erscheint eine quadratische Funktion, wenn verschiedene Transformationen durchgeführt werden. Sie sollten sich davor jedoch nicht fürchten, denn wenn wir nach der Absicht des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden im Transformationsprozess zwangsläufig alle Monome reduziert, die eine quadratische Funktion enthalten.

Offensichtlich besteht der erste Schritt darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir sehr vorsichtig vor:

Kommen wir nun zum Datenschutz:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, also schreiben wir in der Antwort wie folgt:

Wir führen die gleichen Schritte aus. Erster Schritt:

Lassen Sie uns alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts verschieben:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

oder keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke haben wir noch einmal darauf geachtet, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein kann: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, in beiden gibt es einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern arbeitet und wie man sie erweitert, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit "x" multiplizieren. Achtung: multiplizieren jeden einzelnen Begriff. Darin befinden sich zwei Terme - bzw. zwei Terme und wird multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, darf die Klammer unter dem Gesichtspunkt geöffnet werden, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter nur das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem verschwindet auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementare Transformationen wo die Unfähigkeit, klar und kompetent durchzuführen einfache Schritte führt dazu, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten zum Automatismus verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, Sie schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir ein Retreat:

Machen wir den letzten Schritt:

Hier ist unsere letzte Antwort. Und obwohl wir beim Lösen Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, vernichteten sie sich gegenseitig, wodurch die Gleichung genau linear und nicht quadratisch wird.

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Machen wir den ersten Schritt vorsichtig: Multiplizieren Sie jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten. Insgesamt sollten nach Transformationen vier neue Terme erhalten werden:

Und jetzt führen Sie die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Terme mit "x" nach links und ohne - nach rechts:

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir haben eine definitive Antwort erhalten.

Die wichtigste Bemerkung zu diesen beiden Gleichungen ist folgende: Sobald wir anfangen, Klammern zu multiplizieren, in denen ein größerer Term steht, dann geschieht dies entsprechend nächste Regel: wir nehmen den ersten Term aus dem ersten und multiplizieren mit jedem Element aus dem zweiten; dann nehmen wir das zweite Element aus dem ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element aus dem zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Terme.

Über die algebraische Summe

Im letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was ist algebraische Summe. In der klassischen Mathematik meinen wir mit $1-7$ eine einfache Konstruktion: Wir subtrahieren sieben von eins. In der Algebra verstehen wir darunter folgendes: Zu der Zahl „eins“ fügen wir eine weitere Zahl hinzu, nämlich „minus sieben“. Diese algebraische Summe unterscheidet sich von der üblichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei allen Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie oben beschrieben sehen, werden Sie in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben, wenn Sie mit Polynomen und Gleichungen arbeiten.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir uns gerade angesehen haben, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, muss unserem Algorithmus ein weiterer Schritt hinzugefügt werden. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus daran erinnern:

Separate Variablen.

Leider ist dieser wunderbare Algorithmus bei aller Effizienz nicht ganz angemessen, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen links und rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion ausgeführt werden kann, nämlich Brüche loszuwerden. Somit wird der Algorithmus wie folgt sein:

Befreien Sie sich von Brüchen.
Klammern öffnen.
Ähnliches mitbringen.
Teile durch einen Faktor.

Was bedeutet es, "Brüche loszuwerden"? Und warum ist dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt möglich? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche in Bezug auf den Nenner numerisch, d.h. überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Teile der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

Achtung: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d.h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede von ihnen mit "vier" multiplizieren müssen. Lass uns schreiben:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Wir führen eine Absonderung einer Variablen durch:

Wir führen die Reduzierung ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

Wir haben bekommen endgültige Entscheidung, gehen wir zur zweiten Gleichung über.

Hier führen wir dieselben Aktionen aus:

Das ist eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse lauten wie folgt:

Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
Fähigkeit, Klammern zu öffnen.
Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo haben quadratische Funktionen, höchstwahrscheinlich werden sie im Verlauf weiterer Transformationen reduziert.
Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst die einfachsten: eine einzelne Wurzel, der gesamte Zahlenstrahl ist eine Wurzel, es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es warten noch viele weitere interessante Dinge auf Sie!

Irrationale Gleichung: Lernen, sie mit der Wurzelisolationsmethode zu lösen
Wie löst man eine biquadratische gleichung
Test für den Unterricht " Komplexe Ausdrücke mit Brüchen "(einfach)
Probeprüfung 2012 vom 7. Dezember. Option 1 (keine Logarithmen)
Video-Tutorial zu Aufgaben C2: Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene
Mathematik-Nachhilfe: Wohin mit den Schülern?

Um das Video anzusehen, geben Sie Ihre E-Mail-Adresse ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Training starten“.

Lehrer mit 12 Jahren Erfahrung
Videoaufzeichnung jeder Sitzung
Einzelunterrichtskosten - 3000 Rubel für 60 Minuten

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe von linearen Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Lassen Sie uns zunächst definieren: Was ist eine lineare Gleichung und welche davon sollte als die einfachste bezeichnet werden?

Eine lineare Gleichung ist eine, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

Offene Klammern, falls vorhanden;
Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere;
Bringen Sie gleiche Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen;
Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$ .

Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise etwas wie $0\cdot x=8$ erhalten, d.h. auf der linken Seite ist Null und auf der rechten Seite ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns einige Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass egal, was $x$ wir ersetzen, es immer noch herauskommt „Null ist gleich Null“, d.h. korrekte numerische Gleichheit.

Und nun schauen wir uns am Beispiel echter Probleme an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

Zuerst müssen Sie die Klammern öffnen, falls vorhanden (wie in unserem letzten Beispiel);
Dann ähnliches mitbringen
Isolieren Sie schließlich die Variable, d.h. alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – wird auf die eine Seite übertragen, und alles, was ohne sie bleibt, wird auf die andere Seite übertragen.

Schema zum Lösen einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen aufschreiben:

Erweitern Sie die Klammern, falls vorhanden.
Trennen Sie Variablen, d.h. alles, was "x" enthält, wird auf die eine Seite übertragen und ohne "x" - auf die andere.
Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
Wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es hat gewisse Feinheiten und Tricks, die wir jetzt kennenlernen werden.

Reale Beispiele einfacher linearer Gleichungen lösen

Aufgabe 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. In diesem Beispiel sind sie jedoch nicht vorhanden, daher überspringen wir diesen Schritt. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Bitte beachten Sie: Wir sprechen hier nur von einzelnen Begriffen. Lass uns schreiben:

Wir geben links und rechts gleiche Begriffe an, aber das wurde hier schon getan. Deshalb fahren wir mit dem vierten Schritt fort: Dividieren durch einen Faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

In dieser Aufgabe können wir die Klammern beobachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr die gleiche Konstruktion, aber handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Sequester-Variablen:

Hier sind einige wie:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für alle. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Hier gibt es mehrere Klammern, aber sie werden mit nichts multipliziert, sie haben nur unterschiedliche Zeichen davor. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Rechnen wir:

Wir führen den letzten Schritt aus - wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Was Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir zu einfache Aufgaben ignorieren, dann möchte ich Folgendes sagen:

Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Nullstellen;
Auch wenn es Wurzeln gibt, kann Null dazwischen kommen - daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest, Sie sollten sie nicht irgendwie diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Das Verständnis dieser einfachen Tatsache wird Ihnen helfen, dumme und verletzende Fehler in der High School zu vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Kommen wir zu komplexeren Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplizierter und es erscheint eine quadratische Funktion, wenn verschiedene Transformationen durchgeführt werden. Sie sollten sich davor jedoch nicht fürchten, denn wenn wir nach der Absicht des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden im Transformationsprozess zwangsläufig alle Monome reduziert, die eine quadratische Funktion enthalten.

Beispiel 1

Offensichtlich besteht der erste Schritt darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir sehr vorsichtig vor:

Kommen wir nun zum Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, also schreiben wir in der Antwort wie folgt:

\[\Vielfalt \]

oder keine Wurzeln.

Beispiel #2

Wir führen die gleichen Schritte aus. Erster Schritt:

Lassen Sie uns alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts verschieben:

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern arbeitet und wie man sie erweitert, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit "x" multiplizieren. Achtung: multiplizieren jeden einzelnen Begriff. Darin befinden sich zwei Terme - bzw. zwei Terme und wird multipliziert.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge von elementaren Transformationen, bei denen die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir ein Retreat:

Hier sind einige wie:

Machen wir den letzten Schritt:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Aufgabe Nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Und jetzt führen Sie die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Terme mit "x" nach links und ohne - nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir haben eine definitive Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Bemerkung zu diesen beiden Gleichungen ist folgende: Sobald wir anfangen, Klammern zu multiplizieren, in denen mehr als ein Glied steht, dann geschieht dies nach folgender Regel: Wir nehmen das erste Glied vom ersten und multiplizieren mit jedem Element ab dem zweiten; dann nehmen wir das zweite Element aus dem ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element aus dem zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Terme.

Über die algebraische Summe

Mit dem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit $1-7$ eine einfache Konstruktion: Wir subtrahieren sieben von eins. In der Algebra verstehen wir darunter folgendes: Zu der Zahl „eins“ fügen wir eine weitere Zahl hinzu, nämlich „minus sieben“. Diese algebraische Summe unterscheidet sich von der üblichen arithmetischen Summe.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, muss unserem Algorithmus ein weiterer Schritt hinzugefügt werden. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus daran erinnern:

Klammern öffnen.
Separate Variablen.
Ähnliches mitbringen.
Teile durch einen Faktor.

Befreien Sie sich von Brüchen.
Klammern öffnen.
Separate Variablen.
Ähnliches mitbringen.
Teile durch einen Faktor.

Beispiel 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Achtung: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d.h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede von ihnen mit "vier" multiplizieren müssen. Lass uns schreiben:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Jetzt öffnen wir es:

Wir führen eine Absonderung einer Variablen durch:

Wir führen die Reduzierung ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir haben die endgültige Lösung erhalten, wir gehen zur zweiten Gleichung über.

Beispiel #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir dieselben Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem gelöst.

Das ist eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse lauten wie folgt:

Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
Fähigkeit, Klammern zu öffnen.
Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo quadratische Funktionen haben, höchstwahrscheinlich werden sie im Verlauf weiterer Transformationen reduziert.
Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst die einfachsten: eine einzelne Wurzel, der gesamte Zahlenstrahl ist eine Wurzel, es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Die Gleichungen sind eine von schwierige Themen zur Assimilation, aber gleichzeitig ausreichend leistungsfähiges Werkzeug um die meisten Probleme zu lösen.

Zur Beschreibung werden Gleichungen verwendet verschiedene Prozesse in der Natur fließen. Gleichungen sind in anderen Wissenschaften weit verbreitet: in Wirtschaftswissenschaften, Physik, Biologie und Chemie.

BEIM diese Lektion Wir werden versuchen, die Essenz der einfachsten Gleichungen zu verstehen, lernen, wie man Unbekannte ausdrückt und mehrere Gleichungen löst. Wenn Sie neue Materialien lernen, werden die Gleichungen komplexer, daher ist es sehr wichtig, die Grundlagen zu verstehen.

Vorläufige Fähigkeiten

Unterrichtsinhalt

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die eine Variable enthält, deren Wert Sie finden möchten. Dieser Wert muss so sein, dass, wenn er in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.

Beispielsweise ist der Ausdruck 2 + 2 = 4 eine Gleichheit. Bei der Berechnung der linken Seite ergibt sich die korrekte numerische Gleichheit 4 = 4 .

Aber die Gleichheit 2 + x= 4 ist eine Gleichung, weil sie eine Variable enthält x, dessen Wert gefunden werden kann. Der Wert muss so sein, dass, wenn dieser Wert in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.

Mit anderen Worten, wir müssen einen Wert finden, bei dem das Gleichheitszeichen seine Position rechtfertigen würde – die linke Seite sollte gleich der rechten Seite sein.

Gleichung 2+ x= 4 ist elementar. Variabler Wert x ist gleich der Zahl 2. Alle anderen Werte sind nicht gleich

Die Zahl 2 soll es sein Wurzel oder Lösung der Gleichung 2 + x = 4

Wurzel oder Lösung der Gleichung ist der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine echte numerische Gleichheit wird.

Es können mehrere oder gar keine Wurzeln vorhanden sein. löse die Gleichung bedeutet, seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.

Die Variable in der Gleichung wird auch als bezeichnet Unbekannt. Es steht Ihnen frei, es zu nennen, wie Sie möchten. Das sind Synonyme.

Notiz. Der Satz „Löse die Gleichung“ spricht für sich. Eine Gleichung lösen bedeutet, eine Gleichung „gleichzusetzen“ – sie so auszubalancieren, dass die linke Seite der rechten Seite entspricht.

Drücken Sie das eine durch das andere aus

Das Studium von Gleichungen beginnt traditionell damit, dass man lernt, eine Zahl, die in der Gleichheit enthalten ist, durch eine Reihe anderer auszudrücken. Lassen Sie uns diese Tradition nicht brechen und dasselbe tun.

Betrachten Sie den folgenden Ausdruck:

8 + 2

Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 8 und 2. Der Wert gegebenen Ausdruck gleich 10

8 + 2 = 10

Wir haben Gleichberechtigung. Jetzt können Sie jede Zahl aus dieser Gleichheit durch andere Zahlen ausdrücken, die in derselben Gleichheit enthalten sind. Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahl 2 ausdrücken.

Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie die Frage stellen: "Was muss mit den Zahlen 10 und 8 gemacht werden, um die Zahl 2 zu erhalten?" Es ist klar, dass Sie die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahieren müssen, um die Zahl 2 zu erhalten.

So machen wir es. Wir schreiben die Zahl 2 auf und sagen durch das Gleichheitszeichen, dass wir die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahiert haben, um diese Zahl 2 zu erhalten:

2 = 10 − 8

Wir haben die Zahl 2 aus der Gleichung 8 + 2 = 10 ausgedrückt. Wie Sie dem Beispiel entnehmen können, ist dies nicht kompliziert.

Beim Lösen von Gleichungen, insbesondere beim Ausdrücken einer Zahl durch andere, ist es zweckmäßig, das Gleichheitszeichen durch das Wort " Es gibt" . Dies muss mental erfolgen und nicht im Ausdruck selbst.

Wenn wir also die Zahl 2 aus der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausdrücken, erhalten wir die Gleichheit 2 = 10 − 8 . Diese Gleichung kann wie folgt gelesen werden:

2 Es gibt 10 − 8

Das heißt, das Zeichen = durch das Wort „ist“ ersetzt. Außerdem lässt sich die Gleichheit 2 = 10 − 8 übersetzen mathematische Sprache für einen vollwertigen menschliche Sprache. Dann kann man es so lesen:

Nummer 2 Es gibt Unterschied zwischen 10 und 8

Nummer 2 Es gibt der Unterschied zwischen der Zahl 10 und der Zahl 8.

Aber wir werden uns darauf beschränken, das Gleichheitszeichen durch das Wort „ist“ zu ersetzen, und dann werden wir dies nicht immer tun. Elementare Ausdrücke kann verstanden werden, ohne die mathematische Sprache in die menschliche Sprache zu übersetzen.

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 2 = 10 − 8 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

8 + 2 = 10

Drücken wir diesmal die Zahl 8. Was soll mit den restlichen Zahlen gemacht werden, um die Zahl 8 zu erhalten? Das ist richtig, Sie müssen die Zahl 2 von der Zahl 10 subtrahieren

8 = 10 − 2

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 10 − 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

8 + 2 = 10

Diesmal werden wir die Zahl 10 ausdrücken. Aber es stellt sich heraus, dass die Zehn nicht ausgedrückt werden muss, da sie bereits ausgedrückt wird. Es reicht aus, die linken und rechten Teile zu tauschen, dann bekommen wir, was wir brauchen:

10 = 8 + 2

Beispiel 2. Betrachten Sie die Gleichheit 8 − 2 = 6

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 8. Um die Zahl 8 auszudrücken, müssen die anderen beiden Zahlen hinzugefügt werden:

8 = 6 + 2

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 6 + 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

8 − 2 = 6

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 2. Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen wir 6 von 8 subtrahieren

2 = 8 − 6

Beispiel 3. Betrachten Sie die Gleichung 3 × 2 = 6

Drücken Sie die Zahl 3 aus. Um die Zahl 3 auszudrücken, müssen Sie 6 durch 2 teilen

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

3 x 2 = 6

Lassen Sie uns aus dieser Gleichheit die Zahl 2 ausdrücken. Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie 3 durch 6 teilen

Beispiel 4. Betrachten Sie die Gleichheit

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 15. Um die Zahl 15 auszudrücken, müssen Sie die Zahlen 3 und 5 multiplizieren

15 = 3 x 5

Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 15 = 3 × 5 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:

Aus dieser Gleichheit drücken wir die Zahl 5. Um die Zahl 5 auszudrücken, müssen Sie 15 durch 3 teilen

Regeln zum Finden von Unbekannten

Betrachten Sie mehrere Regeln zum Auffinden von Unbekannten. Vielleicht sind sie Ihnen bekannt, aber es schadet nicht, sie noch einmal zu wiederholen. In Zukunft können sie vergessen werden, da wir lernen werden, Gleichungen zu lösen, ohne diese Regeln anzuwenden.

Gehen wir zurück zum ersten Beispiel, das wir uns angesehen haben vorheriges Thema, wobei in der Gleichung 8 + 2 = 10 die Zahl 2 ausgedrückt werden musste.

In der Gleichung 8 + 2 = 10 sind die Zahlen 8 und 2 Terme und die Zahl 10 ist die Summe.

Um die Zahl 2 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

2 = 10 − 8

Das heißt, subtrahiere 8 von der Summe von 10.

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 8 + 2 = 10 anstelle der Zahl 2 eine Variable steht x

8 + x = 10

In diesem Fall wird die Gleichung 8 + 2 = 10 zur Gleichung 8 + x= 10 und die Variable x unbekannter Begriff

Unsere Aufgabe ist es, diesen unbekannten Term zu finden, dh die Gleichung 8 + zu lösen x= 10 . Um den unbekannten Begriff zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Das haben wir im Grunde getan, als wir die beiden in der Gleichung 8 + 2 = 10 ausgedrückt haben. Um den Term 2 auszudrücken, haben wir einen weiteren Term 8 von der Summe 10 subtrahiert

2 = 10 − 8

Und jetzt den unbekannten Begriff finden x, müssen wir den bekannten Term 8 von der Summe 10 subtrahieren:

x = 10 − 8

Wenn Sie die rechte Seite der resultierenden Gleichheit berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable gleich ist x

x = 2

Wir haben die Gleichung gelöst. Variabler Wert x gleich 2 . Um den Wert einer Variablen zu überprüfen x an die ursprüngliche Gleichung 8 + gesendet x= 10 und Ersatz für x. Es ist wünschenswert, dies bei jeder gelösten Gleichung zu tun, da Sie nicht sicher sein können, dass die Gleichung richtig gelöst wird:

Ergebend

Die gleiche Regel würde gelten, wenn der unbekannte Begriff die erste Zahl 8 wäre.

x + 2 = 10

In dieser Gleichung x ist der unbekannte Term, 2 ist der bekannte Term, 10 ist die Summe. Um den unbekannten Begriff zu finden x, müssen Sie den bekannten Term 2 von der Summe 10 subtrahieren

x = 10 − 2

x = 8

Kehren wir zum zweiten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo in der Gleichung 8 − 2 = 6 die Zahl 8 ausgedrückt werden musste.

In der Gleichung 8 − 2 = 6 ist die Zahl 8 der Minuend, die Zahl 2 der Subtrahend, die Zahl 6 die Differenz

Um die Zahl 8 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

8 = 6 + 2

Das heißt, addiere die Differenz von 6 und die subtrahierte 2.

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 8 eine Variable steht x

x − 2 = 6

In diesem Fall die Variable xübernimmt die Rolle des sog unbekannter Minuend

Um den unbekannten Minuend zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Das haben wir getan, als wir die Zahl 8 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um den Minuend 8 auszudrücken, haben wir den Subtrahend 2 zur Differenz von 6 hinzugefügt.

Und jetzt, um den unbekannten Minuend zu finden x, müssen wir den Subtrahend 2 zur Differenz 6 addieren

x = 6 + 2

Wenn Sie die rechte Seite berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable gleich ist x

x = 8

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable steht x

8 − x = 6

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannter Subtrahend

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Das haben wir getan, als wir die Zahl 2 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 auszudrücken, haben wir die Differenz 6 von der reduzierten 8 subtrahiert.

Und jetzt, um den unbekannten Subtrahend zu finden x, müssen Sie wieder die Differenz 6 von der reduzierten 8 abziehen

x = 8 − 6

Berechne die rechte Seite und finde den Wert x

x = 2

Kehren wir zum dritten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo wir in der Gleichung 3 × 2 = 6 versucht haben, die Zahl 3 auszudrücken.

In der Gleichung 3 × 2 = 6 ist die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt

Um die Zahl 3 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

Das heißt, teilen Sie das Produkt von 6 durch den Faktor 2.

Stellen Sie sich nun vor, dass in der Gleichung 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 3 eine Variable steht x

x×2=6

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannter Multiplikand.

Um den unbekannten Multiplikator zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Finden unbekannter Multiplikand, müssen Sie das Produkt durch einen Faktor dividieren.

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 3 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Wir teilen das Produkt von 6 durch den Faktor 2.

Und jetzt den unbekannten Multiplikator finden x, musst du das Produkt von 6 durch den Faktor 2 teilen.

Die Berechnung der rechten Seite ermöglicht es uns, den Wert der Variablen zu finden x

x = 3

Die gleiche Regel gilt, wenn die Variable x Anstelle des Multiplikators befindet sich nicht der Multiplikand. Stellen Sie sich vor, dass in der Gleichung 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable steht x .

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle Unbekannter Multiplikator. Um einen unbekannten Faktor zu finden, ist dasselbe vorgesehen wie für das Finden eines unbekannten Multiplikators, nämlich das Teilen des Produkts durch einen bekannten Faktor:

Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch den Multiplikanden dividieren.

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 2 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 zu erhalten, teilen wir dann das Produkt von 6 durch den Multiplikanden 3.

Und jetzt, um den unbekannten Faktor zu finden x Wir haben das Produkt von 6 durch den Multiplikator von 3 dividiert.

Wenn Sie die rechte Seite der Gleichung berechnen, können Sie herausfinden, was x gleich ist

x = 2

Der Multiplikand und der Multiplikator zusammen werden als Faktoren bezeichnet. Da die Regeln zum Finden des Multiplikanden und des Multiplikators dieselben sind, können wir formulieren allgemeine Regel Finden des unbekannten Faktors:

Um den unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung 9 × lösen x= 18 . Variable x ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt 18 durch den bekannten Faktor 9 dividieren

Lösen wir die Gleichung x× 3 = 27 . Variable x ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, musst du das Produkt 27 durch den bekannten Faktor 3 dividieren

Zurück zu viertes Beispiel aus dem vorherigen Thema, wo in der Gleichheit die Zahl 15 ausgedrückt werden musste. In dieser Gleichheit ist die Zahl 15 der Dividende, die Zahl 5 der Divisor, die Zahl 3 der Quotient.

Um die Zahl 15 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:

15 = 3 x 5

Das heißt, multiplizieren Sie den Quotienten von 3 mit dem Divisor von 5.

Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 15 eine Variable gibt x

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannte Dividende.

Um einen unbekannten Dividenden zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 15 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 15 auszudrücken, haben wir den Quotienten von 3 mit dem Divisor von 5 multipliziert.

Und jetzt, um die unbekannte Dividende zu finden x, musst du den Quotienten von 3 mit dem Divisor von 5 multiplizieren

x= 3 × 5

x .

x = 15

Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 5 eine Variable gibt x .

In diesem Fall die Variable xübernimmt eine Rolle unbekannter Teiler .

Um den unbekannten Teiler zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:

Das haben wir gemacht, als wir die Zahl 5 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 5 auszudrücken, haben wir den Dividenden 15 durch den Quotienten 3 dividiert.

Und jetzt den unbekannten Teiler finden x, müssen Sie den Dividenden 15 durch den Quotienten 3 teilen

Lassen Sie uns die rechte Seite der resultierenden Gleichheit berechnen. Also finden wir heraus, was die Variable gleich ist x .

x = 5

Um also Unbekannte zu finden, haben wir die folgenden Regeln studiert:

Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren;
Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen;
Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren;
Um den unbekannten Multiplikanden zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Faktor dividieren;
Um den unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren;
Um den unbekannten Dividenden zu finden, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren;
Um einen unbekannten Teiler zu finden, musst du den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Komponenten

Komponenten nennen wir die Zahlen und Variablen, die in der Gleichheit enthalten sind

Also sind die Komponenten der Addition Bedingungen und Summe

Die Subtraktionskomponenten sind Minuend, Subtrahend und Unterschied

Die Komponenten der Multiplikation sind Multiplikand, Faktor und Arbeit

Die Komponenten der Division sind der Dividende, der Divisor und der Quotient.

Je nachdem, mit welchen Bauteilen wir es zu tun haben, werden die entsprechenden Regeln zum Auffinden von Unbekannten angewendet. Wir haben diese Regeln im vorherigen Thema studiert. Beim Lösen von Gleichungen ist es wünschenswert, diese Regeln auswendig zu kennen.

Beispiel 1. Finden Sie die Wurzel der Gleichung 45+ x = 60

45 - Begriff, x ist der unbekannte Term, 60 ist die Summe. Wir haben es mit Zusatzkomponenten zu tun. Wir erinnern uns, dass Sie, um den unbekannten Term zu finden, den bekannten Term von der Summe subtrahieren müssen:

x = 60 − 45

Berechnen Sie die rechte Seite, erhalten Sie den Wert x gleich 15

x = 15

Die Wurzel der Gleichung ist also 45 + x= 60 gleich 15.

Meistens muss der unbekannte Begriff auf eine Form reduziert werden, in der er ausgedrückt werden kann.

Beispiel 2. löse die Gleichung

Anders als im vorherigen Beispiel kann hier der unbekannte Term nicht sofort ausgedrückt werden, da er den Koeffizienten 2 enthält. Unsere Aufgabe ist es, diese Gleichung in die Form zu bringen, in der sie ausgedrückt werden könnte x

In diesem Beispiel haben wir es mit den Additionskomponenten zu tun – den Termen und der Summe. 2 x ist der erste Term, 4 ist der zweite Term, 8 ist die Summe.

In diesem Fall ist der Begriff 2 x enthält eine Variable x. Nachdem Sie den Wert der Variablen gefunden haben x Begriff 2 x wird eine andere Form annehmen. Daher der Begriff 2 x vollständig für den unbekannten Begriff übernommen werden:

Nun wenden wir die Regel zum Finden des unbekannten Terms an. Subtrahiere den bekannten Term von der Summe:

Lassen Sie uns die rechte Seite der resultierenden Gleichung berechnen:

Wir haben eine neue Gleichung. Jetzt beschäftigen wir uns mit den Komponenten der Multiplikation: Multiplikand, Multiplikator und Produkt. 2 - Multiplikator, x- Multiplikator, 4 - Produkt

Gleichzeitig die Variable x ist nicht nur ein Faktor, sondern ein unbekannter Faktor

Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:

Berechnen Sie die rechte Seite, erhalten Sie den Wert der Variablen x

Um die gefundene Nullstelle zu überprüfen, senden Sie sie an die ursprüngliche Gleichung und ersetzen Sie sie stattdessen x

Beispiel 3. löse die Gleichung 3x+ 9x+ 16x= 56

Das Unbekannte ausdrücken x es ist verboten. Zuerst müssen Sie diese Gleichung in die Form bringen, in der sie ausgedrückt werden könnte.

Wir stellen auf der linken Seite dieser Gleichung dar:

Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. 28 - Multiplikator, x- Multiplikator, 56 - Produkt. Dabei x ist ein unbekannter Faktor. Um den unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:

Von hier x ist 2

Äquivalente Gleichungen

Im vorherigen Beispiel beim Lösen der Gleichung 3x + 9x + 16x = 56 , haben wir ähnliche Terme auf der linken Seite der Gleichung angegeben. Das Ergebnis ist eine neue Gleichung 28 x= 56 . alte Gleichung 3x + 9x + 16x = 56 und die resultierende neue Gleichung 28 x= 56 angerufen Äquivalente Gleichungen weil ihre Wurzeln die gleichen sind.

Gleichungen heißen äquivalent, wenn ihre Wurzeln gleich sind.

Lass es uns überprüfen. Für die Gleichung 3x+ 9x+ 16x= 56 Wir haben die Wurzel gleich 2 gefunden. Setze diese Wurzel zuerst in die Gleichung ein 3x+ 9x+ 16x= 56 , und dann in Gleichung 28 x= 56 , was sich aus der Reduktion ähnlicher Terme auf der linken Seite der vorherigen Gleichung ergibt. Wir müssen die richtigen numerischen Gleichungen finden

Entsprechend der Reihenfolge der Operationen wird zuerst die Multiplikation durchgeführt:

Setze die Wurzel 2 in die zweite Gleichung 28 ein x= 56

Wir sehen, dass beide Gleichungen die gleichen Wurzeln haben. Also die Gleichungen 3x+ 9x+ 16x= 6 und 28 x= 56 sind tatsächlich äquivalent.

Um die Gleichung zu lösen 3x+ 9x+ 16x= 56 wir haben eine der – Reduktionen ähnlicher Terme verwendet. Die korrekte Identitätstransformation der Gleichung erlaubte uns zu erhalten äquivalente Gleichung 28x= 56 , was einfacher zu lösen ist.

Von identischen Transformationen zu dieser Moment wir können nur Brüche kürzen, gleiche Terme bringen, herausnehmen gemeinsamer Faktor außerhalb der Klammern und öffnen Sie die Klammern. Es gibt noch andere Transformationen, die Sie kennen sollten. Aber für Grund Ideeüber identische Transformationen von Gleichungen sind die Themen, die wir untersucht haben, völlig ausreichend.

Betrachten Sie einige Transformationen, die es uns ermöglichen, eine äquivalente Gleichung zu erhalten

Wenn Sie auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

und ähnlich:

Wenn von beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl subtrahiert wird, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Mit anderen Worten, die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn die gleiche Zahl zu der Gleichung addiert (oder von beiden Seiten davon subtrahiert) wird.

Beispiel 1. löse die Gleichung

Subtrahiere die Zahl 10 von beiden Seiten der Gleichung

Habe Gleichung 5 x= 10 . Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Um den unbekannten Faktor zu finden x, müssen Sie das Produkt von 10 durch den bekannten Faktor 5 teilen.

und stattdessen ersetzen x Wert gefunden 2

Wir haben die richtige Nummer. Die Gleichung stimmt also.

Lösen der Gleichung Wir haben die Zahl 10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Das Ergebnis ist eine äquivalente Gleichung. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichungen ist auch gleich 2

Beispiel 2. Lösen Sie Gleichung 4( x+ 3) = 16

Subtrahiere die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung

Linke Seite wird 4 sein x, und auf der rechten Seite die Zahl 4

Habe Gleichung 4 x= 4 . Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Um den unbekannten Faktor zu finden x, müssen Sie das Produkt 4 durch den bekannten Faktor 4 dividieren

Gehen wir zurück zur ursprünglichen Gleichung 4( x+ 3) = 16 und ersetzen Sie stattdessen x Wert 1 gefunden

Wir haben die richtige Nummer. Die Gleichung stimmt also.

Gleichung 4 lösen ( x+ 3) = 16 wir haben die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung 4 erhalten x= 4 . Die Wurzel dieser Gleichung, sowie Gleichungen 4( x+ 3) = 16 ist auch gleich 1

Beispiel 3. löse die Gleichung

Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:

Addieren wir die Zahl 8 auf beiden Seiten der Gleichung

Wir präsentieren ähnliche Terme in beiden Teilen der Gleichung:

Linke Seite wird 2 sein x, und auf der rechten Seite die Zahl 9

In der resultierenden Gleichung 2 x= 9 drücken wir den unbekannten Term aus x

Zurück zur ursprünglichen Gleichung und stattdessen ersetzen x gefundener Wert 4,5

Wir haben die richtige Nummer. Die Gleichung stimmt also.

Lösen der Gleichung Wir haben die Zahl 8 auf beiden Seiten der Gleichung hinzugefügt, als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichungen ist ebenfalls gleich 4,5

Die nächste Regel, mit der Sie eine äquivalente Gleichung erhalten, lautet wie folgt

Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen und sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.

Das heißt, die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn wir den Term von einem Teil der Gleichung auf einen anderen übertragen, indem wir sein Vorzeichen ändern. Diese Eigenschaft ist eine der wichtigsten und eine der am häufigsten verwendeten beim Lösen von Gleichungen.

Betrachten Sie die folgende Gleichung:

Die Wurzel dieser Gleichung ist 2. Ersatz statt x diese Wurzel und prüfen Sie, ob die richtige numerische Gleichheit erhalten wird

Es stellt sich die richtige Gleichheit heraus. Die Zahl 2 ist also wirklich die Wurzel der Gleichung.

Versuchen wir nun, mit den Termen dieser Gleichung zu experimentieren, indem wir sie von einem Teil zum anderen übertragen und die Vorzeichen ändern.

Zum Beispiel Term 3 x befindet sich auf der linken Seite der Gleichung. Lassen Sie uns es auf die rechte Seite verschieben und das Vorzeichen in das Gegenteil ändern:

Es stellte sich heraus, die Gleichung 12 = 9x − 3x . auf der rechten Seite dieser Gleichung:

x ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:

Von hier x= 2 . Wie Sie sehen können, hat sich die Wurzel der Gleichung nicht geändert. Also Gleichungen 12 + 3 x = 9x und 12 = 9x − 3x sind gleichwertig.

Tatsächlich, Verwandlung gegeben ist eine vereinfachte Methode der vorherigen Transformation, bei der auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert (oder subtrahiert) wurde.

Das haben wir in der Gleichung 12 + 3 gesagt x = 9x Begriff 3 x wurde durch Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite verschoben. In Wirklichkeit geschah Folgendes: Der Term 3 wurde von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert x

Dann wurden ähnliche Terme auf der linken Seite angegeben und die Gleichung wurde erhalten 12 = 9x − 3x. Dann wurden ähnliche Terme wieder gegeben, aber auf der rechten Seite, und die Gleichung 12 = 6 wurde erhalten x.

Bequemer für solche Gleichungen ist aber der sogenannte „Transfer“, weshalb er so weit verbreitet ist. Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir oft diese spezielle Transformation.

Die Gleichungen 12 + 3 sind ebenfalls äquivalent x= 9x und 3x - 9x= −12 . Diesmal in der Gleichung 12 + 3 x= 9x Term 12 wurde auf die rechte Seite verschoben und Term 9 x Nach links. Es darf nicht vergessen werden, dass die Vorzeichen dieser Begriffe bei der Übertragung geändert wurden

Die nächste Regel, mit der Sie eine äquivalente Gleichung erhalten, lautet wie folgt:

Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Mit anderen Worten, die Wurzeln einer Gleichung ändern sich nicht, wenn beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden. Diese Aktion wird häufig verwendet, wenn Sie eine Gleichung lösen müssen, die enthält Bruchausdrücke.

Betrachten Sie zunächst Beispiele, in denen beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden.

Beispiel 1. löse die Gleichung

Beim Lösen von Gleichungen, die Bruchausdrücke enthalten, ist es üblich, diese Gleichung zunächst zu vereinfachen.

In diesem Fall haben wir es mit einer solchen Gleichung zu tun. Um diese Gleichung zu vereinfachen, können beide Seiten mit 8 multipliziert werden:

Wir erinnern uns, dass Sie für den Zähler eines gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren müssen. Wir haben zwei Brüche und jeder von ihnen wird mit der Zahl 8 multipliziert. Unsere Aufgabe ist es, die Zähler der Brüche mit dieser Zahl 8 zu multiplizieren

Jetzt passiert das Interessanteste. Die Zähler und Nenner beider Brüche enthalten einen Faktor von 8, der um 8 reduziert werden kann. Dadurch können wir den Bruchausdruck loswerden:

Als Ergebnis bleibt die einfachste Gleichung übrig

Nun, es ist leicht zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung 4 ist

x Wert gefunden 4

Es stellt sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Beim Lösen dieser Gleichung haben wir beide Teile davon mit 8 multipliziert. Als Ergebnis haben wir die Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichungen 4. Diese Gleichungen sind also äquivalent.

Der Multiplikator, mit dem beide Teile der Gleichung multipliziert werden, steht normalerweise vor dem Teil der Gleichung und nicht dahinter. Also haben wir beim Lösen der Gleichung beide Teile mit dem Faktor 8 multipliziert und den folgenden Eintrag erhalten:

Dadurch hat sich die Wurzel der Gleichung nicht geändert, aber wenn wir das in der Schule gemacht hätten, wären wir aufgefallen, da es in der Algebra üblich ist, den Faktor vor den Ausdruck zu schreiben, mit dem er multipliziert wird. Daher ist es wünschenswert, beide Seiten der Gleichung mit dem Faktor 8 zu multiplizieren, um sie wie folgt umzuschreiben:

Beispiel 2. löse die Gleichung

Auf der linken Seite können die Faktoren 15 um 15 reduziert werden und auf der rechten Seite können die Faktoren 15 und 5 um 5 reduziert werden

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung:

Verschieben wir den Begriff x von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite, indem Sie das Vorzeichen ändern. Und der Term 15 von der rechten Seite der Gleichung wird auf die linke Seite übertragen, wobei wiederum das Vorzeichen geändert wird:

Bringen wir ähnliche Begriffe in beide Teile, bekommen wir

Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Variable x

Zurück zur ursprünglichen Gleichung und stattdessen ersetzen x Wert gefunden 5

Es stellt sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also. Beim Lösen dieser Gleichung haben wir beide Seiten mit 15 multipliziert. Weiterhin haben wir durch identische Transformationen die Gleichung 10 = 2 erhalten x. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichungen gleich 5. Diese Gleichungen sind also äquivalent.

Beispiel 3. löse die Gleichung

Auf der linken Seite können zwei Tripel reduziert werden, und die rechte Seite entspricht 18

Die einfachste Gleichung bleibt. Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Variable x ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:

Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen Sie statt x gefundener Wert 9

Es stellt sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Beispiel 4. löse die Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6

Öffne die Klammern auf der linken Seite der Gleichung. Auf der rechten Seite lässt sich der Faktor 6 auf den Zähler erhöhen:

Wir reduzieren in beiden Teilen der Gleichungen, was reduziert werden kann:

Schreiben wir um, was wir übrig haben:

Wir verwenden die Übertragung von Begriffen. Begriffe, die das Unbekannte enthalten x, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und die Terme ohne Unbekannte - auf der rechten Seite:

Wir präsentieren ähnliche Begriffe in beiden Teilen:

Jetzt Wert finden Variable x. Dazu dividieren wir das Produkt 28 durch den bekannten Faktor 7

Von hier x= 4.

Zurück zur ursprünglichen Gleichung und stattdessen ersetzen x Wert gefunden 4

Es stellte sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Beispiel 5. löse die Gleichung

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen, wo es möglich ist:

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen:

Lassen Sie uns in beiden Teilen der Gleichung reduzieren, was reduziert werden kann:

Schreiben wir um, was wir übrig haben:

Lassen Sie uns die Klammern öffnen, wo es möglich ist:

Wir verwenden die Übertragung von Begriffen. Die Terme, die die Unbekannte enthalten, sind auf der linken Seite der Gleichung gruppiert, und die Terme ohne Unbekannte sind auf der rechten Seite gruppiert. Vergessen Sie nicht, dass die Begriffe während der Übertragung ihr Vorzeichen in das Gegenteil ändern:

Wir präsentieren ähnliche Terme in beiden Teilen der Gleichung:

Lassen Sie uns den Wert finden x

In der resultierenden Antwort können Sie den gesamten Teil auswählen:

Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen Sie statt x Wert gefunden

Es erweist sich als ziemlich umständlicher Ausdruck. Lassen Sie uns Variablen verwenden. Wir legen die linke Seite der Gleichheit in eine Variable EIN, und die rechte Seite der Gleichheit in eine Variable B

Unsere Aufgabe ist es, sicherzustellen, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Beweisen Sie also die Gleichheit A = B

Finden Sie den Wert des Ausdrucks in Variable A.

Variabler Wert SONDERN gleich . Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen finden B. Das heißt, der Wert der rechten Seite unserer Gleichheit. Wenn es gleich ist, wird die Gleichung korrekt gelöst

Wir sehen, dass der Wert der Variablen B, sowie der Wert der Variablen A ist . Das bedeutet, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Daraus schließen wir, dass die Gleichung richtig gelöst ist.

Versuchen wir nun, nicht beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren, sondern zu dividieren.

Betrachten Sie die Gleichung 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Wir lösen sie auf die übliche Weise: Wir gruppieren die Terme mit Unbekannten auf der linken Seite der Gleichung und die Terme ohne Unbekannte auf der rechten Seite. Weiterhin finden wir den Wert, indem wir die bekannten identischen Transformationen durchführen x

Ersetzen Sie den gefundenen Wert durch 2 statt x in die ursprüngliche Gleichung:

Versuchen wir nun, alle Terme der Gleichung zu trennen 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 durch eine Zahl. Wir stellen fest, dass alle Terme dieser Gleichung einen gemeinsamen Faktor 2 haben. Wir dividieren jeden Term durch ihn:

Lassen Sie uns in jedem Term reduzieren:

Schreiben wir um, was wir übrig haben:

Wir lösen diese Gleichung mit den bekannten identischen Transformationen:

Wir haben die Wurzel 2 . Also die Gleichungen 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 und 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 sind gleichwertig.

Wenn Sie beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl teilen, können Sie die Unbekannte aus dem Koeffizienten befreien. Im vorherigen Beispiel, als wir Gleichung 7 erhalten haben x= 14 , müssten wir das Produkt 14 durch den bekannten Faktor 7 dividieren. Aber wenn wir die Unbekannte vom Koeffizienten 7 auf der linken Seite befreien würden, wäre die Wurzel sofort gefunden. Dazu genügte es, beide Teile durch 7 zu teilen

Wir werden diese Methode auch oft anwenden.

Multipliziere mit minus eins

Wenn beide Seiten der Gleichung mit minus eins multipliziert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Diese Regel folgt aus der Tatsache, dass sich durch Multiplizieren (oder Dividieren) beider Teile der Gleichung mit derselben Zahl die Wurzel dieser Gleichung nicht ändert. Das bedeutet, dass sich die Wurzel nicht ändert, wenn beide Teile mit −1 multipliziert werden.

Mit dieser Regel können Sie die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten ändern. Wofür ist das? Nochmals, um eine äquivalente Gleichung zu erhalten, die einfacher zu lösen ist.

Betrachten Sie die Gleichung. Was ist gleich der Wurzel diese Gleichung?

Addieren wir die Zahl 5 auf beiden Seiten der Gleichung

Hier sind ähnliche Begriffe:

Und jetzt erinnern wir uns an. Was ist die linke seite der gleichung. Dies ist das Produkt aus minus eins und der Variablen x

Das heißt, das Minus vor der Variablen x bezieht sich nicht auf die Variable selbst x, sondern auf die Einheit, die wir nicht sehen, da es üblich ist, den Koeffizienten 1 nicht aufzuschreiben. Das bedeutet, dass die Gleichung tatsächlich so aussieht:

Wir haben es mit den Komponenten der Multiplikation zu tun. Finden X müssen Sie das Produkt −5 durch den bekannten Faktor −1 dividieren.

oder teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch −1, was noch einfacher ist

Die Wurzel der Gleichung ist also 5. Zur Überprüfung setzen wir es in die ursprüngliche Gleichung ein. Vergessen Sie nicht, dass in der ursprünglichen Gleichung das Minus vor der Variablen steht x bezieht sich auf eine unsichtbare Einheit

Es stellte sich die richtige numerische Gleichheit heraus. Die Gleichung stimmt also.

Versuchen wir nun, beide Seiten der Gleichung mit minus eins zu multiplizieren:

Nach dem Öffnen der Klammern wird der Ausdruck auf der linken Seite gebildet und die rechte Seite ist gleich 10

Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichung 5

Die Gleichungen sind also äquivalent.

Beispiel 2. löse die Gleichung

In dieser Gleichung sind alle Komponenten negativ. Es ist bequemer, mit positiven Komponenten zu arbeiten als mit negativen, also ändern wir die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten . Multiplizieren Sie dazu beide Seiten dieser Gleichung mit −1.

Es ist klar, dass nach der Multiplikation mit −1 jede Zahl ihr Vorzeichen ins Gegenteil ändert. Daher wird das Multiplizieren mit −1 und das Öffnen der Klammern nicht im Detail beschrieben, aber die Komponenten der Gleichung mit entgegengesetzten Vorzeichen werden sofort notiert.

Das Multiplizieren einer Gleichung mit −1 kann also im Detail wie folgt geschrieben werden:

oder Sie können einfach die Vorzeichen aller Komponenten ändern:

Es wird dasselbe herauskommen, aber der Unterschied wird sein, dass wir uns Zeit sparen.

Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit −1 multiplizieren, erhalten wir die Gleichung. Lösen wir diese Gleichung. Subtrahiere die Zahl 4 von beiden Teilen und teile beide Teile durch 3

Wenn die Wurzel gefunden ist, wird die Variable normalerweise auf die linke Seite geschrieben und ihr Wert auf die rechte Seite, was wir auch getan haben.

Beispiel 3. löse die Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit −1. Dann ändern alle Komponenten ihr Vorzeichen ins Gegenteil:

Subtrahiere 2 von beiden Seiten der resultierenden Gleichung x und füge ähnliche Begriffe hinzu:

Wir addieren Einheit zu beiden Teilen der Gleichung und geben gleiche Terme an:

Gleich Null

Kürzlich haben wir gelernt, dass wir, wenn wir in einer Gleichung einen Term von einem Teil auf einen anderen übertragen, indem wir sein Vorzeichen ändern, eine Gleichung erhalten, die der gegebenen entspricht.

Und was passiert, wenn wir von einem Teil zum anderen nicht einen Begriff, sondern alle Begriffe übertragen? Das ist richtig, in dem Teil, aus dem alle Terme entnommen wurden, bleibt die Null übrig. Mit anderen Worten, es wird nichts übrig bleiben.

Nehmen wir als Beispiel die Gleichung. Wir lösen diese Gleichung wie üblich - wir gruppieren die Terme, die Unbekannte enthalten, in einem Teil und lassen die numerischen Terme frei von Unbekannten im anderen. Weiterhin finden wir den Wert der Variablen, indem wir die bekannten identischen Transformationen durchführen x

Versuchen wir nun, dieselbe Gleichung zu lösen, indem wir alle ihre Komponenten mit Null gleichsetzen. Dazu übertragen wir alle Begriffe von der rechten Seite auf die linke Seite und ändern dabei die Vorzeichen:

Hier sind die ähnlichen Begriffe auf der linken Seite:

Addieren wir 77 zu beiden Teilen und dividieren beide Teile durch 7

Eine Alternative zu den Regeln zum Finden von Unbekannten

Offensichtlich kann man sich mit dem Wissen um die identischen Transformationen von Gleichungen die Regeln zum Auffinden von Unbekannten nicht merken.

Um beispielsweise die Unbekannte in der Gleichung zu finden, haben wir das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2 dividiert

Aber wenn in der Gleichung beide Teile durch 2 geteilt werden, ist die Wurzel sofort gefunden. Auf der linken Seite der Gleichung werden der Faktor 2 im Zähler und der Faktor 2 im Nenner um 2 reduziert. Und die rechte Seite wird gleich 5 sein

Wir haben Gleichungen der Form gelöst, indem wir den unbekannten Term ausgedrückt haben:

Aber Sie können die identischen Transformationen verwenden, die wir heute studiert haben. In der Gleichung kann der Term 4 durch Änderung des Vorzeichens auf die rechte Seite verschoben werden:

Auf der linken Seite der Gleichung werden zwei Zweien reduziert. Die rechte Seite ist gleich 2. Daher .

Oder du subtrahierst auf beiden Seiten der Gleichung 4. Dann erhälst du Folgendes:

Bei Gleichungen der Form ist es bequemer, das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren. Vergleichen wir beide Lösungen:

Die erste Lösung ist viel kürzer und übersichtlicher. Die zweite Lösung lässt sich deutlich verkürzen, wenn man die Division im Kopf durchführt.

Sie müssen jedoch beide Methoden kennen und nur dann diejenige verwenden, die Ihnen am besten gefällt.

Wenn es mehrere Wurzeln gibt

Eine Gleichung kann mehrere Wurzeln haben. Zum Beispiel Gleichung x(x + 9) = 0 hat zwei Wurzeln: 0 und −9 .

In der Gleichung x(x + 9) = 0 musste ein solcher Wert gefunden werden x wofür die linke Seite gleich Null wäre. Die linke Seite dieser Gleichung enthält die Ausdrücke x und (x + 9), das sind Faktoren. Aus den Produktgesetzen wissen wir, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (entweder der erste Faktor oder der zweite).

Das heißt, in der Gleichung x(x + 9) = 0 Gleichheit ist erreicht, wenn x wird Null sein oder (x + 9) wird Null sein.

x= 0 bzw x + 9 = 0

Wenn wir diese beiden Ausdrücke mit Null gleichsetzen, können wir die Wurzeln der Gleichung finden x(x + 9) = 0 . Die erste Wurzel, wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde sofort gefunden. Um die zweite Wurzel zu finden, müssen Sie lösen elementare gleichung x+ 9 = 0 . Es ist leicht zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung −9 ist. Die Überprüfung zeigt, dass die Wurzel korrekt ist:

−9 + 9 = 0

Beispiel 2. löse die Gleichung

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: 1 und 2. Die linke Seite der Gleichung ist das Produkt von Ausdrücken ( x− 1) und ( x− 2) . Und das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (oder der Faktor ( x− 1) oder Faktor ( x − 2) ).

Lass es uns finden x unter denen die Ausdrücke ( x− 1) oder ( x− 2) verschwinden:

Die gefundenen Werte setzen wir wiederum in die ursprüngliche Gleichung ein und achten darauf, dass bei diesen Werten die linke Seite gleich Null ist:

Wenn es unendlich viele Wurzeln gibt

Eine Gleichung kann unendlich viele Wurzeln haben. Das heißt, durch Einsetzen einer beliebigen Zahl in eine solche Gleichung erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit.

Beispiel 1. löse die Gleichung

Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn Sie die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnen und ähnliche Terme einbringen, erhalten Sie die Gleichheit 14 \u003d 14. Diese Gleichheit wird für alle erhalten x

Beispiel 2. löse die Gleichung

Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn Sie die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnen, erhalten Sie die Gleichheit 10x + 12 = 10x + 12. Diese Gleichheit wird für alle erhalten x

Wenn es keine Wurzeln gibt

Es kommt auch vor, dass die Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, das heißt, sie hat keine Wurzeln. Zum Beispiel hat die Gleichung keine Wurzeln, weil für jeden Wert x, ist die linke Seite der Gleichung nicht gleich der rechten Seite. Lassen Sie zum Beispiel . Dann nimmt die Gleichung die folgende Form an

Beispiel 2. löse die Gleichung

Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir sehen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist. Und so wird es für jeden Wert sein j. Lassen Sie zum Beispiel j = 3 .

Buchstabengleichungen

Eine Gleichung kann nicht nur Zahlen mit Variablen enthalten, sondern auch Buchstaben.

Beispielsweise ist die Formel zum Ermitteln der Geschwindigkeit eine wörtliche Gleichung:

Diese Gleichung beschreibt die Geschwindigkeit des Körpers bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung.

Eine nützliche Fähigkeit ist die Fähigkeit, jede Komponente auszudrücken, die in einer Buchstabengleichung enthalten ist. Um beispielsweise den Abstand aus einer Gleichung zu bestimmen, müssen Sie die Variable ausdrücken s .

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit t

Variablen auf der rechten Seite t um ... verringern t

In der resultierenden Gleichung sind linker und rechter Teil vertauscht:

Wir haben die Formel zum Finden der Entfernung erhalten, die wir zuvor studiert haben.

Versuchen wir, die Zeit aus der Gleichung zu bestimmen. Dazu müssen Sie die Variable ausdrücken t .

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit t

Variablen auf der rechten Seite t um ... verringern t und schreiben Sie um, was wir übrig haben:

In der resultierenden Gleichung v × t = s beide Teile teilen v

Variablen auf der linken Seite v um ... verringern v und schreiben Sie um, was wir übrig haben:

Wir haben die Formel zur Bestimmung der Zeit erhalten, die wir früher studiert haben.

Angenommen, die Geschwindigkeit des Zuges beträgt 50 km/h

v= 50 km/h

Und die Entfernung beträgt 100 km

s= 100km

Dann nimmt der Brief die folgende Form an

Aus dieser Gleichung kannst du die Zeit finden. Dazu müssen Sie die Variable ausdrücken können t. Du kannst die Regel zum Finden eines unbekannten Divisors anwenden, indem du den Dividenden durch den Quotienten dividierst und so den Wert der Variablen bestimmst t

oder Sie können identische Transformationen verwenden. Multiplizieren Sie zuerst beide Seiten der Gleichung mit t

Teile dann beide Teile durch 50

Beispiel 2 x

Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung a

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch b

a + bx = c, dann haben wir schlüsselfertige Lösung. Es wird ausreichen, es zu ersetzen gewünschte Werte. Diese Werte, die durch Buchstaben ersetzt werden a, b, c namens Parameter. Und Gleichungen der Form a + bx = c namens Gleichung mit Parametern. Abhängig von den Parametern ändert sich die Wurzel.

Lösen Sie Gleichung 2 + 4 x= 10 . Es sieht aus wie eine wörtliche Gleichung a + bx = c. Anstatt identische Transformationen durchzuführen, können wir eine vorgefertigte Lösung verwenden. Vergleichen wir beide Lösungen:

Wir sehen, dass die zweite Lösung viel einfacher und kürzer ist.

Für eine vollständige Lösung müssen Sie tun eine kleine Anmerkung. Parameter b darf nicht null sein (b ≠ 0), da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.

Beispiel 3. Gegeben eine wörtliche Gleichung. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus x

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen

Wir verwenden die Übertragung von Begriffen. Parameter, die eine Variable enthalten x, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und die von dieser Variablen freien Parameter - auf der rechten Seite.

Auf der linken Seite nehmen wir den Faktor heraus x

Teilen Sie beide Teile in einen Ausdruck a-b

Auf der linken Seite können Zähler und Nenner um reduziert werden a-b. Damit ist die Variable endlich ausgedrückt x

Wenn wir nun auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d), dann haben wir eine fertige Lösung. Es reicht aus, die erforderlichen Werte darin zu ersetzen.

Angenommen, wir haben eine Gleichung gegeben 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Es sieht aus wie eine Gleichung a(x − c) = b(x + d). Wir lösen es auf zwei Arten: mit identischen Transformationen und mit einer vorgefertigten Lösung:

Der Einfachheit halber extrahieren wir aus der Gleichung 4(x - 3) = 2(x+ 4) Parameterwerte a, b, c, d . Dadurch können wir beim Ersetzen keine Fehler machen:

Wie im vorigen Beispiel soll auch hier der Nenner ungleich Null sein ( a - b ≠ 0) . Wenn wir auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d) in denen die Parameter a und b gleich sind, können wir sagen, ohne sie zu lösen, dass diese Gleichung keine Wurzeln hat, da der Unterschied gleichen Nummern gleich Null ist.

Zum Beispiel die Gleichung 2(x − 3) = 2(x + 4) ist eine Gleichung der Form a(x − c) = b(x + d). In der Gleichung 2(x − 3) = 2(x + 4) Optionen a und b das gleiche. Wenn wir anfangen, es zu lösen, werden wir zu dem Schluss kommen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist:

Beispiel 4. Gegeben eine wörtliche Gleichung. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus x

Wir bringen die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Multiplizieren Sie beide Seiten mit a

Auf der linken Seite x nimm es aus den Klammern

Wir dividieren beide Teile durch den Ausdruck (1 − a)

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Die in dieser Lektion betrachteten Gleichungen werden aufgerufen lineare Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.

Wenn die Gleichung bis zum ersten Grad gegeben ist, keine Division durch das Unbekannte enthält und auch keine Wurzeln aus dem Unbekannten enthält, kann sie als linear bezeichnet werden. Wir haben noch keine Abschlüsse und Wurzeln studiert, um unser Leben nicht zu verkomplizieren, werden wir das Wort „linear“ als „einfach“ verstehen.

Die meisten der in dieser Lektion gelösten Gleichungen wurden schließlich auf die einfachste Gleichung reduziert, in der das Produkt durch einen bekannten Faktor dividiert werden musste. Zum Beispiel Gleichung 2( x+ 3) = 16 . Lösen wir es.

Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung, erhalten wir 2 x+ 6 = 16. Verschieben wir den Term 6 auf die rechte Seite, indem wir das Vorzeichen ändern. Dann bekommen wir 2 x= 16 − 6. Berechnen Sie die rechte Seite, wir erhalten 2 x= 10. Zu finden x teilen wir das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2. Also x = 5.

Gleichung 2 ( x+ 3) = 16 ist linear. Es reduziert sich auf Gleichung 2 x= 10 , um die Wurzel zu finden, musste das Produkt durch einen bekannten Faktor geteilt werden. Diese einfache Gleichung heißt lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Das Wort „kanonisch“ ist gleichbedeutend mit den Wörtern „einfach“ oder „normal“.

Eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in der kanonischen Form heißt Gleichung der Form Axt = b.

Unsere Gleichung 2 x= 10 ist eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Diese Gleichung hat den ersten Grad, eine Unbekannte, sie enthält keine Division durch die Unbekannte und keine Wurzeln aus der Unbekannten, und sie wird in kanonischer Form dargestellt, dh in der einfachsten Form, in der sie leicht zu bestimmen ist Wert x. Statt Parameter a und b unsere Gleichung enthält die Zahlen 2 und 10. Aber eine ähnliche Gleichung kann andere Zahlen enthalten: positiv, negativ oder gleich Null.

Wenn in einer linearen Gleichung a= 0 und b= 0 , dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln. In der Tat, wenn a ist null und b gleich Null ist, dann die lineare Gleichung Axt= b nimmt die Form 0 an x= 0 . Für jeden Wert x die linke Seite wird gleich der rechten Seite sein.

Wenn in einer linearen Gleichung a= 0 und b≠ 0, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. In der Tat, wenn a ist null und b gleich einer Zahl Null, sagen Sie die Zahl 5, dann die Gleichung ax=b nimmt die Form 0 an x= 5 . Die linke Seite ist null und die rechte Seite fünf. Und null ist nicht gleich fünf.

Wenn in einer linearen Gleichung a≠ 0 und b gleich einer beliebigen Zahl ist, dann hat die Gleichung eine Wurzel. Sie wird durch Dividieren des Parameters bestimmt b pro Parameter a

In der Tat, wenn a gleich einer Zahl ungleich Null ist, sagen wir die Zahl 3, und b gleich einer Zahl ist, sagen wir der Zahl 6, dann nimmt die Gleichung die Form an.
Von hier.

Es gibt eine andere Form, eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten zu schreiben. Es sieht aus wie das: Axt - b= 0 . Dies ist die gleiche Gleichung wie ax=b

Hat dir der Unterricht gefallen?
Tritt unser ... bei Neue Gruppe Vkontakte und erhalten Sie Benachrichtigungen über neue Lektionen

Für Lösungen linearer Gleichungen Verwenden Sie zwei Grundregeln (Eigenschaften).

Eigentum Nr. 1
oder
Übertragungsregel

Beim Übertragen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen ändert der Term der Gleichung sein Vorzeichen ins Gegenteil.

Betrachten wir die Übertragungsregel anhand eines Beispiels. Angenommen, wir müssen eine lineare Gleichung lösen.

Denken Sie daran, dass jede Gleichung eine linke und eine rechte Seite hat.

Lassen Sie uns die Zahl "3" von der linken Seite der Gleichung nach rechts verschieben.

Da die Zahl „3“ ein „+“-Zeichen auf der linken Seite der Gleichung hatte, bedeutet dies, dass „3“ mit dem „-“-Zeichen auf die rechte Seite der Gleichung übertragen wird.

Der resultierende Zahlenwert " x \u003d 2 " wird als Wurzel der Gleichung bezeichnet.

Vergessen Sie nicht, die Antwort nach dem Lösen einer Gleichung aufzuschreiben.

Betrachten wir eine andere Gleichung.

Gemäß der Übertragungsregel übertragen wir "4x" von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil.

Auch wenn vor „4x“ kein Zeichen steht, verstehen wir, dass vor „4x“ ein „+“-Zeichen steht.

Jetzt geben wir ähnliche an und lösen die Gleichung bis zum Ende.

Eigentum Nr. 2
oder
Teilungsregel

In jeder Gleichung kannst du die linke und die rechte Seite durch dieselbe Zahl teilen.

Aber man kann nicht durch das Unbekannte teilen!

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie die Divisionsregel beim Lösen linearer Gleichungen verwendet wird.

Die Zahl „4“, die bei „x“ steht, wird Zahlenkoeffizient der Unbekannten genannt.

Zwischen dem numerischen Koeffizienten und der Unbekannten liegt immer die Aktion der Multiplikation.

Um die Gleichung zu lösen, muss sichergestellt werden, dass bei "x" ein Koeffizient "1" vorhanden ist.

Stellen wir uns die Frage: "Wozu müssen Sie "4" aufteilen
bekomme "1"?. Die Antwort ist offensichtlich, Sie müssen durch "4" teilen.

Verwenden Sie die Divisionsregel und teilen Sie die linke und rechte Seite der Gleichung durch "4". Vergessen Sie nicht, dass Sie sowohl den linken als auch den rechten Teil teilen müssen.

Wir verwenden die Kürzung von Brüchen und lösen die lineare Gleichung zu Ende.

Wie man eine Gleichung löst, wenn "x" negativ ist

In Gleichungen gibt es oft eine Situation, in der es bei "x" einen negativen Koeffizienten gibt. Wie in der Gleichung unten.

Um eine solche Gleichung zu lösen, stellen wir uns wieder die Frage: „Wodurch muss „-2“ geteilt werden, um „1“ zu erhalten?“. Teile durch "-2".

Lineare Gleichungen. Erste Ebene.

Du willst deine Kräfte testen und herausfinden, wie fit du für das Einheitliche Staatsexamen oder die OGE bist?

1. Lineare Gleichung

Das algebraische Gleichung, welcher vollen Abschluss seiner konstituierenden Polynome gleich ist.

2. Lineare Gleichung mit einer Variablen sieht aus wie:

Wo und sind irgendwelche Zahlen;

3. Lineare Gleichung mit zwei Variablen sieht aus wie:

Wo und sind irgendwelche Zahlen.

4. Identitätstransformationen

Um festzustellen, ob die Gleichung linear ist oder nicht, müssen identische Transformationen vorgenommen werden:

wie Terme nach links/rechts bewegen, dabei das Vorzeichen nicht vergessen;
beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren/dividieren.

Was sind "lineare Gleichungen"

oder hinein Oral- Drei Freunde bekamen jeweils Äpfel, basierend auf der Tatsache, dass Vasya insgesamt Äpfel hat.

Und jetzt haben Sie sich entschieden Lineargleichung
Geben wir diesem Begriff nun eine mathematische Definition.

Lineargleichung – ist eine algebraische Gleichung, deren Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome ist. Es sieht aus wie das:

Wo und sind irgendwelche Zahlen und

Für unseren Fall mit Vasya und Äpfeln schreiben wir:

- „Wenn Vasya allen drei Freunden die gleiche Anzahl Äpfel gibt, hat er keine Äpfel mehr“

„Versteckte“ lineare Gleichungen oder die Bedeutung identischer Transformationen

Trotz der Tatsache, dass auf den ersten Blick alles sehr einfach ist, müssen Sie beim Lösen von Gleichungen vorsichtig sein, da lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden, sondern auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form reduziert werden. Zum Beispiel:

Wir sehen, dass es rechts ist, was theoretisch bereits darauf hindeutet, dass die Gleichung nicht linear ist. Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir außerdem zwei weitere Begriffe, in denen es sein wird, aber ziehen Sie keine voreiligen Schlüsse! Bevor beurteilt werden kann, ob die Gleichung linear ist, müssen alle Transformationen vorgenommen und somit vereinfacht werden ursprüngliches Beispiel. In diesem Fall können Transformationen das Aussehen ändern, aber nicht das Wesen der Gleichung.

Mit anderen Worten, diese Transformationen müssen sein identisch oder gleichwertig. Es gibt nur zwei solche Transformationen, aber sie spielen sehr, SEHR wichtige Rolle beim Lösen von Problemen. Betrachten wir beide Transformationen an konkreten Beispielen.

Bewegen Sie sich von links nach rechts.

Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen:

Damals in der Grundschule hieß es: „mit X – nach links, ohne X – nach rechts.“ Welcher Ausdruck mit x steht rechts? Richtig, nicht wie nicht. Und das ist wichtig, denn wenn dies missverstanden wird, scheint es einfache Frage, gibt eine falsche Antwort. Und was ist der Ausdruck mit x links? Richtig, .

Nachdem wir uns damit beschäftigt haben, übertragen wir alle Terme mit Unbekannten nach links und alles Bekannte nach rechts, wobei wir uns daran erinnern, dass, wenn beispielsweise kein Vorzeichen vor der Zahl steht, die Zahl positiv ist, das ist, wird ihm das Zeichen „ “ vorangestellt.

Gerührt? Was hast du bekommen?

Es bleibt nur noch, ähnliche Bedingungen zu schaffen. Wir präsentieren:

Wir haben also die erste identische Transformation erfolgreich geparst, obwohl ich sicher bin, dass Sie sie bereits kannten und aktiv ohne mich verwendet haben. Die Hauptsache - vergessen Sie nicht die Zeichen für Zahlen und ändern Sie sie beim Übertragen durch das Gleichheitszeichen in das Gegenteil!

Multiplikation-Division.

Beginnen wir gleich mit einem Beispiel

Wir schauen und denken: Was gefällt uns an diesem Beispiel nicht? Das Unbekannte ist alles in einem Teil, das Bekannte in einem anderen, aber etwas hält uns auf ... Und das ist etwas - eine Vier, denn wenn es nicht da wäre, wäre alles perfekt - X ist gleich der Zahl- so wie wir es wollen!

Wie können Sie es loswerden? Wir können nicht nach rechts übertragen, weil wir dann den gesamten Multiplikator übertragen müssen (wir können ihn nicht nehmen und davon abreißen), und das Übertragen des gesamten Multiplikators macht auch keinen Sinn ...

Es ist an der Zeit, sich an die Aufteilung zu erinnern, in deren Zusammenhang wir alles einfach aufteilen werden! Alle - das bedeutet sowohl die linke als auch die rechte Seite. So und nur so! Was bekommen wir?

Schauen wir uns nun ein weiteres Beispiel an:

Ratet mal, was in diesem Fall zu tun ist? Das ist richtig, multiplizieren Sie den linken und den rechten Teil mit! Welche Antwort hast du bekommen? Korrekt. .

Sicherlich wussten Sie bereits alles über identische Transformationen. Bedenken Sie, dass wir dieses Wissen gerade in Ihrem Gedächtnis aufgefrischt haben und es Zeit für mehr ist - zum Beispiel, um unser großes Beispiel zu lösen:

Wie wir bereits gesagt haben, kann man beim Betrachten nicht sagen, dass diese Gleichung linear ist, aber wir müssen die Klammern öffnen und identische Transformationen durchführen. Also lasst uns anfangen!

Zunächst erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation, insbesondere das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz. Wenn Sie sich nicht erinnern, was es ist und wie Klammern geöffnet werden, empfehle ich dringend, das Thema „Reduzierte Multiplikationsformeln“ zu lesen, da diese Fähigkeiten für Sie beim Lösen fast aller in der Prüfung gefundenen Beispiele nützlich sein werden.
Aufgedeckt? Vergleichen:

Jetzt ist es Zeit, ähnliche Begriffe zu bringen. Erinnerst du dich, wie wir in der gleichen sind Grundschule haben sie gesagt "Wir legen keine Fliegen mit Koteletts"? Hier erinnere ich Sie daran. Wir addieren alles separat – Faktoren, die haben, Faktoren, die haben, und andere Faktoren, die keine Unbekannten haben. Wenn Sie ähnliche Terme bringen, verschieben Sie alle Unbekannten nach links und alles, was bekannt ist, nach rechts. Was hast du bekommen?

Wie Sie sehen können, ist das x-Quadrat verschwunden, und wir sehen ein völlig gewöhnliches Lineargleichung. Es bleibt nur zu finden!

Und zum Schluss sage ich noch eins sehr wichtige Sacheüber identische Transformationen - identische Transformationen gelten nicht nur für lineare Gleichungen, sondern auch für quadratische, gebrochen rationale und andere. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass wir beim Übertragen von Faktoren durch das Gleichheitszeichen das Vorzeichen in das Gegenteil ändern und beim Teilen oder Multiplizieren mit einer Zahl beide Seiten der Gleichung mit der GLEICHEN Zahl multiplizieren / dividieren.

Was haben Sie aus diesem Beispiel noch mitgenommen? Dass es bei einer Gleichung nicht immer möglich ist, direkt und genau zu bestimmen, ob sie linear ist oder nicht. Sie müssen den Ausdruck zuerst vollständig vereinfachen und erst dann beurteilen, was es ist.

Lineare Gleichungen. Beispiele.

Hier sind ein paar weitere Beispiele, die Sie selbst üben können - stellen Sie fest, ob die Gleichung linear ist, und finden Sie gegebenenfalls ihre Nullstellen:

Antworten:

1. Ist ein.

2. Ist nicht.

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe angeben:

Machen wir eine identische Transformation - wir teilen den linken und rechten Teil in:

Wir sehen, dass die Gleichung nicht linear ist, also brauchen wir nicht nach ihren Wurzeln zu suchen.

3. Ist ein.

Machen wir eine identische Transformation - multiplizieren Sie den linken und den rechten Teil mit, um den Nenner loszuwerden.

Denken Sie darüber nach, warum es so wichtig ist? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage kennen, fahren wir mit der weiteren Lösung der Gleichung fort, wenn nicht, schauen Sie sich unbedingt das Thema "ODZ" an, um keine Fehler mehr zu machen schwierige Beispiele. Übrigens, wie Sie sehen können, eine Situation, in der es unmöglich ist. Wieso den?
Also lass uns weitermachen und die Gleichung neu anordnen:

Wenn Sie alles problemlos bewältigt haben, sprechen wir über lineare Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Kommen wir nun zu einer etwas komplizierteren – linearen Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen sehen so aus:

Wo, und sind irgendwelche Zahlen und.

Wie Sie sehen können, besteht der einzige Unterschied darin, dass der Gleichung eine weitere Variable hinzugefügt wird. Und so ist alles gleich - es gibt kein x zum Quadrat, es gibt keine Division durch eine Variable usw. usw.

Welches würde Sie bringen Beispiel aus dem Leben. Nehmen wir dieselbe Vasya. Angenommen, er beschließt, jedem seiner 3 Freunde die gleiche Anzahl Äpfel zu geben und die Äpfel für sich selbst zu behalten. Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn er jedem Freund einen Apfel gibt? Wie wäre es mit? Was wäre, wenn bis?

Die Abhängigkeit von der Anzahl der Äpfel, die jede Person erhält gesamt zu kaufende Äpfel werden durch die Gleichung ausgedrückt:

- die Anzahl der Äpfel, die eine Person erhält (, oder, oder);
- die Anzahl der Äpfel, die Vasya für sich nehmen wird;
- wie viele Äpfel Vasya kaufen muss, unter Berücksichtigung der Anzahl der Äpfel pro Person.

Wenn wir dieses Problem lösen, erhalten wir Folgendes: Wenn Vasya einem Freund einen Apfel gibt, muss er Stücke kaufen, wenn er Äpfel gibt usw.

Und überhaupt. Wir haben zwei Variablen. Warum diese Abhängigkeit nicht grafisch darstellen? Wir bauen und markieren unseren Wert, dh Punkte, mit Koordinaten und!

Wie Sie sehen können, und voneinander abhängen linear, daher der Name der Gleichungen - " linear».

Wir abstrahieren von Äpfeln und betrachten grafisch verschiedene Gleichungen. Schauen Sie sich die beiden konstruierten Graphen genau an - eine gerade Linie und eine Parabel, die durch beliebige Funktionen gegeben sind:

Suchen und markieren Sie die entsprechenden Punkte auf beiden Figuren.
Was hast du bekommen?

Das sieht man am Graphen der ersten Funktion allein entspricht ein, d. h., und hängen linear voneinander ab, was von der zweiten Funktion nicht gesagt werden kann. Natürlich kann man einwenden, dass im zweiten Graphen x auch - entspricht, aber das ist ja nur ein Punkt besonderer Fall, da Sie immer noch einen finden können, der mehr als nur einem entspricht. Und der konstruierte Graph ähnelt in keiner Weise einer Linie, sondern ist eine Parabel.

Ich wiederhole noch einmal: Der Graph einer linearen Gleichung muss eine GERADE Linie sein.

Mit der Tatsache, dass die Gleichung nicht linear sein wird, wenn wir in irgendeiner Weise gehen - dies ist am Beispiel einer Parabel verständlich, obwohl Sie selbst ein paar mehr bauen können einfache Grafiken, zum Beispiel oder. Aber ich versichere Ihnen - keiner von ihnen wird eine GERADE LINIE sein.

Glaubst du nicht? Bauen und dann mit dem vergleichen, was ich habe:

Und was passiert, wenn wir etwas zum Beispiel durch eine Zahl dividieren? Wird es lineare Abhängigkeit und? Wir werden nicht streiten, aber wir werden bauen! Lassen Sie uns zum Beispiel einen Funktionsgraphen zeichnen.

Irgendwie sieht es nicht wie eine gerade gebaute Linie aus ... dementsprechend ist die Gleichung nicht linear.
Fassen wir zusammen:

Lineare Gleichung − ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome gleich ist.
Lineargleichung mit einer Variablen sieht so aus:
, wobei und beliebige Zahlen sind;
Lineargleichung mit zwei Variablen:
, wobei und sind beliebige Zahlen.
Es ist nicht immer sofort möglich festzustellen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. Um dies zu verstehen, ist es manchmal notwendig, identische Transformationen durchzuführen, ähnliche Terme nach links / rechts zu verschieben, das Vorzeichen nicht zu vergessen, oder beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren / zu dividieren.

Bemerkungen

Die Verbreitung von Materialien ohne Genehmigung ist erlaubt, wenn ein Dofollow-Link zur Quellseite vorhanden ist.

Datenschutz-Bestimmungen

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, mit denen eine bestimmte Person identifiziert oder kontaktiert werden kann.

Möglicherweise werden Sie aufgefordert, Ihre bereitzustellen persönliche Informationen jederzeit, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

Wenn Sie eine Bewerbung auf der Website einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer und Ihrer Adresse Email usw.

Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie zu kontaktieren und Sie darüber zu informieren einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen und bevorstehende Veranstaltungen.
Von Zeit zu Zeit können wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden, um Ihnen wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu senden.
Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke wie Audits, Datenanalysen und verschiedene Studien um die von uns angebotenen Dienstleistungen zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Dienstleistungen zu geben.
Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einem ähnlichen Anreiz teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen verwenden, um solche Programme zu verwalten.

Weitergabe an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Falls erforderlich - in Übereinstimmung mit dem Gesetz, einer gerichtlichen Anordnung, in Gerichtsverfahren und / oder aufgrund öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden auf dem Territorium der Russischen Föderation - geben Sie Ihre persönlichen Daten preis. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir feststellen, dass eine solche Offenlegung aus Gründen der Sicherheit, der Strafverfolgung oder aus anderen Gründen des öffentlichen Interesses notwendig oder angemessen ist.
Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den entsprechenden Drittnachfolger übertragen.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Danke für die Nachricht!

Ihr Kommentar wurde akzeptiert, nach der Moderation wird er auf dieser Seite veröffentlicht.

Du willst wissen, was sich unter dem Schnitt verbirgt und exklusive Materialien zur Vorbereitung auf die OGE und die USE erhalten? Hinterlassen Sie eine E-Mail

Aus der letzten Gleichheit bestimmen wir die Unbekannte nach der Regel: "Einer der Faktoren ist gleich dem Quotienten dividiert durch den zweiten Faktor."

Da die rationalen Zahlen a und b gleiche und unterschiedliche Vorzeichen haben können, wird das Vorzeichen der Unbekannten durch die Regeln zur Division rationaler Zahlen bestimmt.

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Die lineare Gleichung muss vereinfacht werden, indem die Klammern geöffnet und die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) ausgeführt werden.

Verschieben Sie die Unbekannten auf eine Seite des Gleichheitszeichens und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens, um mit der angegebenen Gleichheit identisch zu werden.

Bringen Sie like links und rechts vom Gleichheitszeichen, um eine Gleichheit der Form zu erhalten Axt = b.

Berechnen Sie die Wurzel der Gleichung (finden Sie die Unbekannte X von Gleichberechtigung x = b : a),

Testen Sie, indem Sie die Unbekannte in die gegebene Gleichung einsetzen.

Wenn wir eine Identität in numerischer Gleichheit erhalten, dann ist die Gleichung richtig gelöst.

Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen

Wenn ein Die gleichung durch ein Produkt gleich 0 gegeben ist, verwenden wir zur Lösung die Eigenschaft der Multiplikation: "Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren gleich Null sind."

27 (x - 3) = 0
27 ist nicht gleich 0, also x - 3 = 0

Das zweite Beispiel hat zwei Lösungen für die Gleichung, da
Dies ist eine Gleichung zweiten Grades:

Wenn die Koeffizienten der Gleichung gewöhnliche Brüche sind, müssen Sie zuerst die Nenner loswerden. Dafür:

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner;

Bestimmen Sie zusätzliche Faktoren für jeden Term der Gleichung;

Multiplizieren Sie die Zähler von Brüchen und ganzen Zahlen mit zusätzlichen Faktoren und schreiben Sie alle Terme der Gleichung ohne Nenner auf (der gemeinsame Nenner kann verworfen werden);

Verschieben Sie die Terme mit Unbekannten in einen Teil der Gleichung und die numerischen Terme vom Gleichheitszeichen in den anderen, um eine äquivalente Gleichheit zu erhalten.

Bringen Sie ähnliche Begriffe;

Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen

In jeden Teil der Gleichung können Sie ähnliche Terme einbringen oder die Klammer öffnen.

Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl außer 0 multipliziert (dividiert) werden.

Im obigen Beispiel wurden alle seine Eigenschaften verwendet, um die Gleichung zu lösen.

Lineare Gleichungen. Lösung linearer Gleichungen. Die Begriffsübertragungsregel.

Die Begriffsübertragungsregel.

Beim Lösen und Umformen von Gleichungen ist es oft notwendig, den Term auf die andere Seite der Gleichung zu übertragen. Beachten Sie, dass der Begriff sowohl ein Pluszeichen als auch ein Minuszeichen haben kann. Wenn Sie den Term in einen anderen Teil der Gleichung übertragen, müssen Sie gemäß der Regel das Vorzeichen in das Gegenteil ändern. Außerdem funktioniert die Regel auch bei Ungleichheiten.

Beispiele Begriffsübertragung:

Zuerst überweisen 5x

Beachten Sie, dass sich das „+“-Zeichen in „-“ und das „-“-Zeichen in „+“ geändert hat. Dabei spielt es keine Rolle, ob der übergebene Begriff eine Zahl oder eine Variable oder ein Ausdruck ist.

Wir übertragen den 1. Term auf die rechte Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Beachten Sie, dass in unserem Beispiel der Begriff der Ausdruck ist (−3x 2 (2+7x)). Daher kann es nicht separat übertragen werden. (−3x2) und (2+7x), da diese Bestandteile des Begriffs sind. Deshalb vertragen sie es nicht (−3x2 ⋅ 2) und (7x). Wir modemieren jedoch die Klammern auf und erhalten 2 Begriffe: (−3x-⋅ 2) und (−3×2⋅ 7x). Diese 2 Begriffe können getrennt voneinander getragen werden.

Die Ungleichungen werden auf die gleiche Weise transformiert:

Wir sammeln jede Nummer auf einer Seite. Wir bekommen:

Die 2. Teile der Gleichung sind per Definition gleich, sodass wir dieselben Ausdrücke von beiden Teilen der Gleichung subtrahieren können und die Gleichheit wahr bleibt. Sie müssen den Ausdruck subtrahieren, der letztendlich auf die andere Seite verschoben werden muss. Dann wird es auf einer Seite des „=“-Zeichens mit dem reduziert, was es war. Und auf der anderen Seite der Gleichheit erscheint der Ausdruck, den wir subtrahiert haben, mit einem „-“-Zeichen.

Diese Regel wird häufig verwendet, um lineare Gleichungen zu lösen. Andere Methoden werden verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Grundlagen der Algebra / Übertragungsregel des Begriffs

Verschieben wir den ersten Term auf die rechte Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Lassen Sie uns alle Zahlen in eine Richtung bewegen. Als Ergebnis haben wir:

Beispiele zur Veranschaulichung des Beweises Bearbeiten

Für Gleichungen bearbeiten

Nehmen wir an, wir wollen alle x von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite verschieben. Subtrahiere von beiden Teilen 5 x

Jetzt müssen wir prüfen, ob die linke und die rechte Seite der Gleichung gleich sind. Lassen Sie uns die unbekannte Variable durch das resultierende Ergebnis ersetzen:

Jetzt können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Bewegen wir uns zuerst 5 x von der linken Seite der Gleichung nach rechts:

Verschieben wir nun die Zahl (−6) von rechts nach links:

Beachten Sie, dass sich das Pluszeichen in ein Minuszeichen und das Minuszeichen in ein Pluszeichen geändert hat. Dabei spielt es keine Rolle, ob der übergebene Begriff eine Zahl, eine Variable oder ein ganzer Ausdruck ist.

Die beiden Seiten der Gleichung sind per Definition gleich, sodass Sie von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren können gleichen Ausdruck, und die Gleichheit bleibt wahr. Auf der einen Seite des Gleichheitszeichens zieht es sich mit dem zusammen, was es war. Auf der anderen Seite der Gleichung erscheint der von uns subtrahierte Ausdruck mit einem Minuszeichen.

Die Gleichungsregel ist bewiesen.

Für Ungleichungen Bearbeiten

Daher ist 4 die Wurzel der Gleichung 5x+2=7x-6. Da für sie die Identität bewiesen ist, gilt dies per definitionem auch für die Ungleichungen.

Lösen von Gleichungen, die Regel der Übertragung von Begriffen

Der Zweck des Unterrichts

Pädagogische Aufgaben des Unterrichts:

— beim Lösen von Gleichungen die Regel der Termübertragung anwenden können;

Entwickelnde Aufgaben des Unterrichts:

- sich entwickeln selbstständige Tätigkeit Studenten;

- Sprache entwickeln (vollständige Antworten in einer kompetenten, mathematischen Sprache geben);

Pädagogische Aufgaben des Unterrichts:

- die Fähigkeit erziehen, Notizen in Notizbüchern und an der Tafel richtig zu machen;

?Ausrüstung:

Multimedia
interaktive Tafel

Dokumentinhalt anzeigen
"lektion Gleichungen lösen 6 Zellen"

MATH LEKTION 6 KLASSE

Lehrerin: Timofeeva M. A.

Der Zweck des Unterrichts: das Studium der Regel für die Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen.

Pädagogische Aufgaben des Unterrichts:

Beim Lösen von Gleichungen die Regel der Termübertragung anwenden können;

Entwickelnde Aufgaben des Unterrichts:

unabhängige Aktivität der Studenten zu entwickeln;

Sprache entwickeln (vollständige Antworten in einer kompetenten, mathematischen Sprache geben);

Pädagogische Aufgaben des Unterrichts:

die Fähigkeit zu kultivieren, Notizen in Notizbüchern und an der Tafel korrekt zu machen;

Die Hauptphasen des Unterrichts

1. Organisierender Moment, Kommunikation des Unterrichtszwecks und der Arbeitsform

„Wenn du schwimmen lernen willst,

dann geh mutig ins Wasser,

Wenn Sie lernen möchten, wie man Gleichungen löst,

2. Heute beginnen wir mit dem Studium des Themas: "Gleichungen lösen" (Folie 1)

Aber Sie haben bereits gelernt, wie man Gleichungen löst! Was werden wir dann studieren?

— Neue Wege zum Lösen von Gleichungen.

3. Lassen Sie uns das behandelte Material wiederholen ( Mündliche Arbeit) (Folie 2)

3). 7m + 8n - 5m - 3n

4). – 6a + 12b – 5a – 12b

5). 9x - 0,6y - 14x + 1,2y

Die Gleichung ist gekommen
brachte viele Geheimnisse mit sich

Welche Ausdrücke sind Gleichungen?(Folie 3)

4. Was nennt man eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine Gleichheit enthaltend unbekannte Nummer. (Folie 4)

Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?

löse die Gleichung bedeutet, seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es sie nicht gibt.

Lassen Sie uns Gleichungen mündlich lösen. (Folie 5)

Welche Regel verwenden wir beim Lösen?

— Finden des unbekannten Faktors.

Lassen Sie uns mehrere Gleichungen in ein Notizbuch schreiben und sie mit den Regeln zum Finden eines unbekannten und eines reduzierten Terms lösen: (Folie 7)

Wie löst man eine solche Gleichung?

x + 5 = - 2x - 7 (Folie 8)

Wir können nicht vereinfachen, da ähnliche Begriffe in sind verschiedene Teile Gleichungen, daher ist es notwendig, sie zu übertragen.

Fantastische Farben brennen
Und egal wie klug der Kopf ist
Glaubst du noch an Märchen?
Die Geschichte stimmt immer.

Es waren einmal 2 Könige: Schwarz und Weiß. Der Schwarze König lebte im Schwarzen Königreich am rechten Ufer des Flusses, und der Weiße König lebte im Weißen Königreich am linken Ufer. Zwischen den Königreichen floss ein sehr turbulenter und gefährlicher Fluss. Es war unmöglich, diesen Fluss zu schwimmen oder mit dem Boot zu überqueren. Wir brauchten eine Brücke! Der Bau der Brücke hat sehr lange gedauert, und nun wurde die Brücke endlich gebaut. Alle würden sich freuen und miteinander kommunizieren, aber das Problem ist: Der Weiße König mochte kein Schwarz, alle Bewohner seines Königreichs trugen leichte Kleidung, und der Schwarze König mochte es nicht weiße Farbe und die Bewohner seines Königreichs trugen Gewänder von dunkler Farbe. Wenn jemand aus dem Schwarzen Königreich in das Weiße Königreich zog, geriet er beim Weißen König sofort in Ungnade, und wenn jemand aus dem Weißen Königreich in das Schwarze Königreich zog, dann fiel er beim Schwarzen König in Ungnade. Die Bewohner der Königreiche mussten sich etwas einfallen lassen, um ihre Könige nicht zu verärgern. Was denken Sie, was sie sich ausgedacht haben?

Portal für den Studenten. Selbsttraining

Beispiel 1

Untersuchung:

Beispiel #2

Untersuchung:

Beispiel #3

Untersuchung:

Beispiel Nr. 4

Untersuchung:

Beispiel #5

Untersuchung:

Beispiel Nr. 6

Untersuchung:

Kommen wir nun zu den Grundregeln:

Aus meiner Praxis

Informationen für Eltern

Lösen von Gleichungen für Addition und Subtraktion

Lösen von Gleichungen für Multiplikation und Division

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen

Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen

Regel zum Lösen einfacher Gleichungen

Lineare Gleichungen.

Lösung linearer Gleichungen. Beispiele.

Spezialfälle beim Lösen linearer Gleichungen.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt.

Lineare Gleichungen lösen Klasse 7

Eigentum Nr. 1 oder Übertragungsregel

Eigentum Nr. 2 oder Teilungsregel

Wie man eine Gleichung löst, wenn "x" negativ ist

Einfache lineare Gleichungen lösen

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Schema zum Lösen einfacher linearer Gleichungen

Reale Beispiele einfacher linearer Gleichungen lösen

Was Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Nuancen der Lösung

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Über die algebraische Summe

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Wichtige Punkte

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Schema zum Lösen einfacher linearer Gleichungen

Reale Beispiele einfacher linearer Gleichungen lösen

Aufgabe 1

Aufgabe Nr. 2

Aufgabe Nr. 3

Was Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Beispiel 1

Beispiel #2

Nuancen der Lösung

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Aufgabe 1

Aufgabe Nr. 2

Nuancen der Lösung

Über die algebraische Summe

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Beispiel 1

Beispiel #2

Wichtige Punkte

Was ist eine Gleichung?

Drücken Sie das eine durch das andere aus

Regeln zum Finden von Unbekannten

Komponenten

Äquivalente Gleichungen

Multipliziere mit minus eins

Gleich Null

Eine Alternative zu den Regeln zum Finden von Unbekannten

Wenn es mehrere Wurzeln gibt

Wenn es unendlich viele Wurzeln gibt

Wenn es keine Wurzeln gibt

Buchstabengleichungen

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Eigentum Nr. 1 oder Übertragungsregel

Eigentum Nr. 2 oder Teilungsregel

Wie man eine Gleichung löst, wenn "x" negativ ist

Lineare Gleichungen. Erste Ebene.

Was sind "lineare Gleichungen"

„Versteckte“ lineare Gleichungen oder die Bedeutung identischer Transformationen

Eigentum Nr. 1
oder
Übertragungsregel

Eigentum Nr. 2
oder
Teilungsregel

Eigentum Nr. 1
oder
Übertragungsregel

Eigentum Nr. 2
oder
Teilungsregel

Dokumentinhalt anzeigen
"lektion Gleichungen lösen 6 Zellen"