1 Primer dan sekunder pendidikan profesional M.I. Bashmakov
2 PENDIDIKAN KOPERASI DASAR DAN MENENGAH M. I. MATEMATIKA BASHMAKOV Direkomendasikan oleh Lembaga Negara Federal “ Institut Federal pengembangan pendidikan" sebagai buku teks untuk digunakan dalam proses pendidikan institusi pendidikan pelaksanaan program pendidikan dasar dan menengah kejuruan Review nomor registrasi 174 tanggal 28 April 2009 FGU "FIRO" edisi 5, dikoreksi oleh akademi "a Moscow Publishing Center "Academy" 2012
3 LBC 22.1ya722 B336 Pengulas: guru Lembaga Pendidikan Negeri Moskow perguruan tinggi politeknik N.A. Kharitonova; guru matematika dan statistik GOU SPO Moskow sekolah teknik negeri teknologi, ekonomi dan hukum mereka. L.B.Krasina T.N.Sinilova; guru matematika GOU SPO College of Automation and teknologi Informasi 20 Moskow T.G. Kononenko B 336 Bashmakov M.I. Matematika: buku teks untuk institusi awal. dan rata-rata prof. pendidikan / M.I. Bashmakov. edisi ke-5, rev. M.: Pusat Penerbitan "Akademi", hal. ISBN Buku teks ini ditulis sesuai dengan kurikulum pembelajaran matematika di lembaga pendidikan dasar dan menengah kejuruan dan mencakup semua topik utama: teori bilangan, akar, pangkat, logaritma, garis dan bidang, bangun ruang, serta dasar-dasar trigonometri, analisis, kombinatorik dan teori probabilitas. Untuk siswa di lembaga pendidikan dasar dan menengah kejuruan. UDC 51(075.32) LBC 22.1y722 Tata letak asli dari publikasi ini adalah milik Academy Publishing Center, dan reproduksinya dengan cara apapun tanpa persetujuan dari pemegang hak cipta dilarang. Pusat Penerbitan "Akademi", 2010
4 Notasi Dasar Simbol matematika umum nilai mutlak (modulus) bilangan a [a] seluruh bagian bilangan a = sama dengan a kurang lebih sama dengan > lebih besar dari< меньше лг корень квадратный f корень га-й степени =>karena itu<=>adalah ekuivalen jika dan hanya jika Combinatorics ha! faktorial Banyaknya susunan dari r ke r C jumlah kombinasi dari r ke m Pn jumlah permutasi dari n elemen Himpunan 0 himpunan kosong N bilangan asli Y. bilangan bulat Q bilangan rasional R bilangan real C bilangan kompleks AUfi himpunan himpunan APW-intersection dari himpunan aea a milik himpunan A a "a a bukan milik himpunan A g f komposisi pemetaan fug Bilangan kompleks i satuan imajiner z kompleks konjugasi ke K Z \r\ nilai mutlak (modulus) bilangan kompleks z Geometri A(x; y) , AB titik A dengan koordinat x dan y Bidang-bidang lurus garis a sejajar dengan garis b garis a memotong garis b garis a tegak lurus terhadap garis b garis a memotong bidang a di titik P bidang a sejajar dengan bidang p bidang a tegak lurus bidang p vektor Barisan dan fungsi K ) A/ df f\x) b \f(x)d . x pertambahan barisan fungsi f diferensial fungsi) turunan fungsi 1 pada titik x himpunan antiturunan, atau integral tak tentu fungsi / integral tentu fungsi f dari a ke b
5 Kata Pengantar Matematika selama 2500 tahun keberadaannya telah mengumpulkan alat terkaya untuk mempelajari dunia di sekitar kita. Namun, seperti yang dicatat oleh Akademisi A.N. Krylov, seorang ahli matematika dan pembuat kapal Rusia yang luar biasa, seseorang beralih ke matematika "bukan untuk mengagumi harta yang tak terhitung banyaknya." Pertama-tama, dia perlu berkenalan dengan "alat yang telah terbukti selama berabad-abad dan belajar cara menggunakannya dengan benar dan terampil." Buku ini akan mengajarkan Anda bagaimana menggunakan alat matematika seperti fungsi dan grafiknya, angka geometris, vektor dan koordinat, turunan dan integral. Sementara sebagian besar konsep ini pertama kali diperkenalkan kepada Anda sebelumnya, buku ini memperkenalkannya kembali. Ini nyaman bagi mereka yang sedikit melupakan materi yang dipelajari sebelumnya, dan berguna untuk semua orang, karena bahkan hal-hal yang akrab akan mengungkapkan aspek dan koneksi baru. Untuk memfasilitasi pekerjaan dengan buku teks, ketentuan dan formulasi yang paling penting disorot. Ilustrasi memainkan peran penting, oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan dengan cermat gambar yang terkait dengan teks untuk pemahaman yang lebih baik tentang teks (bahkan di zaman kuno mereka menggunakan metode belajar matematika ini untuk menggambar gambar dan berkata: "Lihat!" ). Selain yang tidak diragukan lagi nilai praktis Dari pengetahuan matematika yang diperoleh, studi matematika meninggalkan bekas yang tak terhapuskan pada jiwa setiap orang. Dengan matematika, banyak yang mengaitkan objektivitas dan kejujuran, keinginan akan kebenaran, dan kemenangan akal. Banyak orang memiliki kepercayaan diri seumur hidup, yang muncul ketika mengatasi kesulitan yang tidak diragukan lagi yang mereka temui dalam studi matematika. Akhirnya, sebagian besar dari Anda terbuka pada persepsi tentang harmoni dan keindahan dunia yang diserap matematika, jadi Anda tidak boleh mendekati setiap halaman buku teks, setiap tugas dengan penilaian apakah itu akan digunakan dalam kehidupan baru itu. menunggu Anda setelah lulus. Topik yang dikhususkan untuk buku teks, teori bilangan, benda spasial, esnovs analisis matematis, prinsip-prinsip teori probabilitas tidak hanya nilai yang diterapkan. Mereka mengandung ide-ide yang kaya, pengenalan yang diperlukan untuk setiap orang. Saya berharap bahwa studi matematika, yang / buku teks akan membantu, akan memungkinkan Anda untuk memverifikasi level tinggi dari kemampuan mereka, akan memperkuat keinginan untuk melanjutkan pendidikan mereka dan membawa banyak momen menyenangkan persekutuan dengan "hukum tak tergoyahkan yang menandai seluruh tatanan alam semesta."
6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись bilangan asli memiliki sejarah yang panjang. Masyarakat modern menggunakan sistem desimal di mana 10 digit dimasukkan: 1.2 \u003d 1 + 1.3 \u003d 2 + 1, ..., 9 \u003d 8 + 1 dan 0. Angka yang mengikuti angka 9 ditulis sebagai 10. Selanjutnya , menghitung dalam puluhan, ratusan (10 x 10), ribuan, dll., setiap bilangan asli direpresentasikan sebagai a0 + + a ak10 k (ak f 0), di mana 0< а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в sistem yang berbeda Sistem desimal 2010 Sistem Romawi MMX Sistem hieroglif Mesir kuno (= 3000 SM) O n 2010 = 2 X Sistem Babilonia (heksadesimal) ("3500 SM) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10
7 atau unit; m kali diambil pecahan ke-n satuan (jenis bilangan asli) adalah bilangan rasional. Dapat ditulis sebagai pecahan biasa. Jumlah yang sama dapat diperoleh dengan menggunakan saham yang berbeda. Misalnya, jelas bahwa pirogue dan pirogue adalah hal yang sama. ^ ^ Dua pecahan biasa dan sama dengan n2 di antara mereka sendiri (yaitu, mereka adalah catatan dari bilangan rasional yang sama) jika dan hanya jika bilangan asli ml t9 txn2 dan t2nx bertepatan: - = -<=>tgp2 = t2Hz. 2 Setelah membangun bilangan rasional positif, negatif dan nol ditambahkan padanya dengan cara biasa. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Bilangan bulat m diidentifikasikan dengan pecahan. 1 Ada penyertaan N dengan Z dengan Q. 4. Dalam himpunan bilangan rasional Q, dua operasi aritmatika, penjumlahan dan perkalian, didefinisikan, mematuhi hukum yang diketahui komutatif, asosiatif, distributif. Mengapa orang membutuhkan angka? Pertama-tama, untuk akun. Untuk membandingkan jumlah benda, beberapa benda standar (jari, kerikil, tongkat) pertama kali digunakan. Kemudian simbol diciptakan untuk menunjukkan jumlah dalam set (koleksi, set) yang memiliki item yang sama. Sumber lain pengembangan konsep bilangan adalah masalah pengukuran. Saat memilih satuan ukuran untuk suatu besaran (misalnya, panjang), menjadi mungkin untuk membandingkannya. Dalam hal ini, Anda tidak hanya dapat menggunakan seluruh unit, tetapi juga pecahannya.
8 I luncmj mumnu i/shsli iiujidjudg i il pecahan biasa ketika menghitung dengan bilangan rasional? I^UITIIVId Seperti disebutkan, bilangan rasional yang sama dapat ditulis dalam pecahan yang berbeda. Hubungan antara mereka dijelaskan oleh teorema berikut., _ tl t9 t9 t3 Teorema. Jika \u003d - dan \u003d - W "s Bukti. W "s maka Diperlukan untuk membuktikan bahwa jj ^ untuk menentukan persamaan pecahan, untuk ini Anda perlu memeriksa persamaan bilangan bulat: m ^ n3 \u003d m3ni. Kami menggunakan persamaan ini: m1p2 = m2px dan m2p3 = m3p2 Kalikan yang pertama dengan n3, dan yang kedua dengan n1. Kami mendapatkan mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Bilangan bulat m2p1p3 dan m2p3nx sama satu sama lain; kita menggunakan sifat transitivitas bilangan bulat: txp2p3 = t2p1p3; t2p3p1 = = t3p2p1 => txp2p3 = t3p2p1. Persamaan bilangan bulat m1p2p3 = m3p2nx ditulis ulang menjadi n2(m1p3 - m3rii) = 0. Angka n2 (penyebut pecahan tengah) tidak boleh sama dengan nol. Namun, jika produk dari dua bilangan bulat adalah nol, maka setidaknya salah satunya harus nol. Kami mendapatkan bahwa txp3 - t3p1 = 0, mis. mxn3 = m3nx, yang harus dibuktikan. Bagaimana cara melakukan operasi aritmatika pada pecahan biasa? 1. Pengurangan pecahan. 28 Penerbit. Fraksi dapat dikurangi. Pie Chart ini menunjukkan distribusi suara di Parlemen antara tiga partai Biru, Abu-abu dan Putih. Distribusi ini dapat ditulis sebagai pecahan: = 180 jumlah total tempat; " " 4 Sebagai fraksi total, Anda dapat memilih ^: 12 Berapa bagian volume labu yang akan terisi jika cairan dikeluarkan dari dua labu yang sama? dapat dilakukan secara berurutan, mencari faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut dan membaginya:
9 ml m2 _ mln2 + m2n1 SC «2 SC2 n2n! TGCPg + TP2Pu SchP2 Pengurangan m1 _ TP2 _ tp1n2 _ m2sh Pj Lg SchP2 TCPb _ TPKhP2 ~ SchP2 penyebut ke terbesarnya pembagi bersama(PBK): T_ "Pecahan tidak dapat disederhanakan. Pembilang dan penyebutnya 15 adalah bilangan koprima. 2. Penjumlahan (pengurangan) dari pecahan. 5 3 Contoh Untuk penjumlahan, Anda perlu membawa pecahan ke faktor persekutuan. Untuk melakukan ini, akan lebih mudah untuk menguraikan penyebut menjadi faktor prima dan mengambil kelipatan persekutuan terkecil (KPK): 12 = 2 2 3; 10 \u003d 2 5. KPK (12; 10) \u003d\u003d 60. b_ Perkalian (pembagian) pecahan "Contoh. ( ):. Kami menulis re- Dan * V25 63J 7 menghasilkan dalam bentuk pecahan tunggal dan kurangi: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Soal dan latihan 1. Manakah dari ekspresi berikut yang memiliki nilai sama dengan 1: 14 dan mid ^ 95 1) A = + + ; 5) A \u003d (12-7X12 + 7) 2) A \u003d f - 1-; 6) A \u003d)) A \u003d 2.36-1.12-0.88 + 0,64; 7) A =? 4) l L. ". C Harga pokok barang untuk pertama kali diturunkan sebesar a%, kedua kalinya sebesar b% dari harga baru. Dalam hal apa, akibatnya, harga pokok barang menjadi 60% dari harga semula: 2 1) a = 20; b = 20; 3) a = 25; b = 20; 5) a = 66-; b = 10? O 2) a = 20; b = 25; 4) a = 40; b = 0; delapan
10 t ekspresi numerik: 1) banyaknya tiket bus yang “beruntung”: IT" " 2) peluang bahwa dalam kelas yang terdiri dari 30 orang terdapat tanggal lahir yang sama: \100% J, l d 180 1, Perkirakan bilangan mana yang paling dekat dengan nomor: )0,001; 2) 0,01; 3) 0,1; 4)1. 5. Tabel menunjukkan titik leleh es dan titik didih air dalam empat skala suhu Celcius (C), Fahrenheit (F), Kelvin (K) dan Réaumur (R). Asumsikan suhu tubuh manusia dalam derajat Celcius adalah 37, hitunglah dalam skala lain, jika hubungan antara skala linier: Skala Indikator C F K R Air mendidih Mencair es Pelajaran 2 Bilangan asli Apa yang dimaksud dengan bilangan real? 1. Nomor asli. Bilangan rasional tidak cukup untuk menyelesaikan masalah pengukuran. Ini ditemukan lebih dari 2,5 ribu tahun yang lalu oleh ahli matematika Yunani kuno, yang membuktikan bahwa diagonal persegi dengan sisi satuan tidak dapat diukur hanya dengan menggunakan bilangan rasional, sementara yang lain tidak diketahui saat itu. Sedangkan untuk pengaturan bilangan asli, Anda dapat menggunakan objek tertentu (jari, tongkat), dan untuk tugas pengukuran, Anda dapat memilih nilai standar untuk panjang segmen dan mengatur angka secara geometris berdasarkan segmen, atau lebih tepatnya dengan hubungannya dengan yang dipilih. unit segmen (satuan skala). E \- T 4 Ukuran umum 3 A 9 4
11 E 3" E 4" 4 A B ~<Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj
Ke-12 angka adalah angka V2, lima belas tempat desimal yang diberikan di atas, atau angka k (perbandingan keliling dengan diameter): l \u003d 3. Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan huruf R: N c Z c Q c R. Mengapa Anda membutuhkan bilangan real, dan apakah itu cukup untuk menyelesaikan soal? Sebagaimana dicatat, penambahan bilangan irasional baru ke bilangan rasional disebabkan oleh kebutuhan untuk mengukur panjang setiap segmen. Dengan bantuan bilangan real yang dibangun dengan cara ini, ternyata dimungkinkan untuk mengukur banyak besaran lain yang disebut skalar. Munculnya masalah baru membutuhkan pengembangan lebih lanjut dari konsep bilangan, yang akan kita bahas nanti. Mengapa diagonal persegi dengan sisi sama dengan satu tidak dapat diukur dengan bilangan rasional? Pertanyaan ini berisi rumusan teorema yang terkenal, terbukti pada abad VI. SM. Bukti. Mari kita asumsikan bahwa panjang diagonal persegi satuan dapat ditulis sebagai pecahan, yang akan kita anggap tidak dapat direduksi. Dengan teorema Pythagoras, kita memperoleh persamaan I = I m 1, yaitu, I _ m 1 \u003d\n) U atau m 2 \u003d 2n 2. Karena ada bilangan genap di sebelah kanan, maka bilangan m g di sebelah kiri, dan karenanya bilangan m, adalah bilangan genap: m \u003d 2k . Mengganti dan mengurangi dengan 2, kita mendapatkan: 2k 2 = n 2. Dengan alasan yang sama, kita mendapatkan bahwa sekarang n juga harus bilangan genap. Fakta bahwa pecahan niuio wiiv ^ vudi galinun bilangan real Desimal - \u003d 0, n 2 1, Pecahan lanjutan - \u003d 2 + L F \u003d Baris n 2, Diagram lingkaran Titik pada sumbu bilangan B (-2) 0 1 L ( 2.5) 11
13 Dcjmnnc MdieMdiHKH pada sumbu waktu - 600"" Pembilang dan penyebut Pythagoras ternyata adalah bilangan genap, yang bertentangan dengan kondisi ireduksi pecahan. Kontradiksi ini membuktikan teorema Euclid Archimedes Diophantus Al-Khwarizmi Fibonacci Descartes Newton, Leibniz, Euler, Gauss Kolmogorov Bagaimana cara kerja bilangan real? Desimal tak hingga adalah barisan aproksimasi dengan desimal hingga ke bilangan real tertentu. Untuk melakukan operasi aritmatika pada pecahan desimal tak hingga, operasi ini dilakukan pada pecahan desimal hingga. Misalnya, kita akan menambahkan = 1, Kita mendapatkan: = 4 1,4 + 3,1 = 4,5 1,41 + 3,14 = 4,55 1,141 = 4,555 1,1415 = 4,5557 1,14159 = 4,55580 dst. Demikian pula, l 72 \u003d 4. Tentu saja, perhitungan seperti itu harus dilakukan menggunakan kalkulator, tetapi pada saat yang sama, lacak berapa banyak digit hasil yang dapat dianggap benar. Bilangan real dapat direpresentasikan sebagai titik pada garis bilangan. Jika dua buah bilangan a dan b ditunjukkan oleh titik A(a) dan B(b) pada sumbu real, maka jarak antara titik A dan B sama dengan modulus selisih antara bilangan a dan b: \AB\ = \b - a\. Modul memiliki dua properti yang paling penting: \ab\ = \a\ b( dan \a + b\< а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?
14, T--- P GLH..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu lollshul ^aij,nuncuibnmiu NOMOR f 7. Tulislah bilangan-bilangan berikut sebagai pecahan desimal periodik: x> 2.1, 3, 4 , TAPI ; 6) Buktikan irasionalitas bilangan-bilangan berikut: 1) 0, ; 2) 0, Pelajaran 3 Perhitungan Perkiraan Apa yang berguna untuk diketahui tentang perhitungan perkiraan? 1. L “3 Perkiraan untuk I 1. Nilai perkiraan. Biarkan nomor x diberikan. Bilangan a disebut nilai aproksimasi dari bilangan x, dihitung sampai h > 0, jika pertidaksamaan \x - a\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13
15 3. f 16 = 3, Hz. kg "A..w -, Ct.. dan W utf"<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ZU/2. 3. Di bawah tanda akar ditulis sebuah angka dengan 40 sembilan setelah titik desimal V0, Hitung akar dengan 40 tempat desimal. 4. Periksa apakah pembulatan bilangan berikut ke tempat desimal kedua dilakukan dengan benar: 1) a = 1.1683, a ~ 0.17; 3) 72" 1,41; 5) itu 2 "9.86. 2) a = 0,2309, a ~ 0,23; 4) ^1 0.86; 2 5. Benarkah kesalahan relatif perhitungan kurang dari 1%: 1) n «3,16; 3) luas lingkaran dengan jari-jari) ^ "21; 2) 2 10 "1000; kira-kira sama; 5) 9 11 a 3 Yu 10? Pelajaran 4 Bilangan kompleks Representasi grafis dari bilangan kompleks m r = a + s M (a; b) Apakah bilangan kompleks dan bagaimana operasi aritmatika dilakukan dengan bilangan kompleks? 1. Bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b adalah bilangan real, a i adalah simbol yang disebut satuan imajiner. enambelas
18 Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan huruf C. Bilangan real a diidentifikasi dengan bilangan kompleks a + 0 r Jadi, kita perluas rantai penyertaan berbagai himpunan bilangan: N c Z c Q c R c C Setiap bilangan kompleks z adalah beberapa simbol dari bentuk a + b.i. Bilangan a disebut bagian real dari bilangan z, dan bilangan b adalah bagian imajinernya. Definisi penjumlahan menunjukkan bahwa ketika menjumlahkan bilangan kompleks, bagian real dan imajinernya ditambahkan secara terpisah. 2. Aturan penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks. Bilangan kompleks ditambahkan menurut aturan berikut: (a! + bxi) + (a2 + b2i) = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Menurut aturan perkalian i i = (0 + r) (0 + i) = = -1, mis. kuadrat dari satuan imajiner sama dengan bilangan real -1. Saat mengalikan bilangan kompleks, cukup buka tanda kurung sesuai aturan biasa dan ganti r 2 dengan -1: (ax + b]1) (a2 + b2i) = axa2 - bf2 + (af2 + a 2^i) i- that tidak hanya z 2 = = -1, tetapi juga (-i) 2 = Bilangan kompleks konjugasi. Bilangan kompleks a + bi dan a - bi disebut saling konjugasi. Produk mereka sama dengan bilangan positif nyata a 2 + b 2. Jika z \u003d a + N f 0, maka a 2 + b 2 f 0 dan kita dapat menulis identitasnya: (a + bi) (a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Dari sini jelas bahwa bilangan adalah 2 + b 2 a 2 + b 2 adalah kebalikan dari bilangan a + bi. Mampu menghitung nomor timbal balik, Anda dapat membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya (selain nol). 4. Gambar bilangan kompleks. Bilangan z = a + bi dapat dilambangkan dengan sebuah titik pada bidang dengan koordinat (a, b) (misalnya, M(a, b)). Dengan gambar seperti itu, penambahan bilangan kompleks sesuai dengan 2 + z Sumbu nyata Bilangan konjugasi z \u003d a + bi z \u003d a - bi O M<->z = \om\ Modulus bilangan kompleks 17
19 Penjumlahan Bilangan Kompleks Beberapa interpretasi perkalian bilangan kompleks akan dibahas pada bab tentang fungsi rotasi dan trigonometri. Bilangan konjugasi z \u003d a + bi dan z \u003d a - bi diwakili oleh titik-titik simetris terhadap sumbu absis. Bilangan l/a 2 + b 2, yang merupakan jarak dari titik yang menyatakan bilangan z (mereka mengatakan hanya dari titik z) ke titik asal, disebut modulus bilangan kompleks dan dilambangkan \r\. Kami mencatat identitas sederhana: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf \u003d a 2 + b 2; 3) \ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z<=>bilangan asli. Bilangan kompleks lawan Pengurangan bilangan kompleks I = 2 Mengapa kita membutuhkan bilangan kompleks? Dengan penggunaan bilangan kompleks, matematikawan memiliki kemungkinan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya. 1. Menjadi mungkin untuk menemukan akar dari apapun persamaan aljabar. Teorema Gauss, yang disebut sebagai teorema dasar aljabar, menyatakan bahwa setiap persamaan aljabar memiliki setidaknya satu akar kompleks. 2. Transformasi bidang (translasi paralel, rotasi, homotetis, simetri aksial dan kombinasinya) ditulis sebagai beberapa operasi sederhana pada bilangan kompleks. 3. Proses osilasi dalam mekanika dan fisika (perambatan gelombang suara dan cahaya, fenomena elektromagnetik, sifat arus bolak-balik) dipelajari jauh lebih sederhana dengan menggunakan bilangan kompleks. Ungkapan berikut tampaknya sangat berarti bagi insinyur mana pun: "Pertimbangkan sebuah konduktor yang melaluinya arus mengalir dengan kekuatan I \u003d / 0 (coscot + isincof) A (amp)", meskipun pada pandangan pertama penampilan "imajiner" arus tidak dapat memiliki arti fisik. delapan belas
20 I IV/ J - bilangan kompleks apakah mudah untuk mengatur bangun geometri pada bidang? Ini didasarkan pada aturan sederhana berikut. Dalil. Modulus selisih dua bilangan kompleks sama dengan jarak antara titik-titik yang mewakili bilangan-bilangan ini. Gambar tersebut menunjukkan bahwa vektor-vektor yang menghubungkan titik z2 dengan titik zu dan titik asal dengan titik + (~z2) adalah sama besar. Oleh karena itu, bilangan zx - z2\, sama dengan jarak dari titik + (~z2) ke titik asal, sama dengan jarak antara titik dan z2, yang harus dibuktikan. \ z i ~ r2\ = \MgM2\ Modulus selisih dua bilangan kompleks Bagaimana perhitungan dilakukan dengan bilangan kompleks? 1. Operasi aritmatika: (3-4d) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i = r; i _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + if = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Menulis persamaan berbagai kurva menggunakan interpretasi geometrik modulus selisih dua bilangan kompleks: 1 ) lingkaran berjari-jari R berpusat di titik asal: r = R 2) lingkaran berjari-jari R berpusat di titik r0: z - Zq\ = R; 3) elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang jumlah jaraknya ke dua titik pada bidang adalah konstan: z - Zi + z - z21 = a. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Elips dengan foci.fi(-1; 0) dan F2(l; 0) 19
21 Soal dan Latihan 1. Hitung: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3d); 3) (2 + r)(; 5) r 3 ; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Ganjil - 0; 6) (i - o 4; 8) i 2. Perluas ke faktor linier: 1) a 2 + 4b 2 ; 3) x 2 + 1; 5) x 4-4; 7) x 6-64; 2) a 4 - b 4; 4) x 2-2x + 2; 6) x 3 + 8; 8) x Gambarlah pada bidang himpunan bilangan kompleks yang memenuhi kondisi berikut: 1) \r\ \u003d 3; 3) g g< 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г >satu; 6) \iz - 1< 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а >b. Membangun solusi untuk persamaan ini
22 bilangan bulat (dan nol). Persamaan berbentuk ax = b, di mana a dan b adalah bilangan bulat, dan a 0, juga tidak selalu memiliki solusi bilangan bulat. Dengan memasukkan bilangan rasional, kita mendapat kesempatan untuk menuliskan solusi persamaan ini untuk sembarang bilangan bulat a dan b (dengan kendala yang sama a 0). Ketidakterpecahan dalam bilangan rasional dari persamaan x 2 = 2 menyebabkan munculnya bilangan real, yang sekarang kita bayangkan dalam bentuk pecahan desimal tak terbatas. Di antara mereka, pertama-tama, yang diekspresikan melalui radikal menonjol, mis. melalui akar-akar persamaan bentuk x n = a (a > 0). Kami akan membahas angka-angka ini secara lebih rinci di Bab. 2. Tentu saja, dengan bantuan akar kuadrat berhasil menyelidiki masalah penyelesaian persamaan kuadrat. Metode Al-Khawarizmi untuk menemukan akar positif dari persamaan kuadrat l: x = 39 (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Persamaan kubik diselesaikan menggunakan radikal oleh matematikawan Italia pada abad ke-16. Solusi persamaan kubik x 3 = 1 (x - 1) (x 2 + X + 1) = 0 notasi aljabar akar kompleks persamaan kuadrat gambar geometris dari akar persamaan x 3 \u003d 1 Sungguh luar biasa bahwa dalam kasus ketika persamaan memiliki tiga akar real, akan ada bilangan negatif di bawah akar kuadrat dan akar asli ditulis sebagai jumlah bilangan kompleks konjugasi. Jadi, kembali pada abad ke-16. matematikawan datang dengan kebutuhan untuk memperkenalkan angka "imajiner". Orang Italia dengan cepat mengurangi persamaan derajat keempat menjadi metode kubik solusi yang diajukan oleh L. Ferrari diterbitkan oleh D. Cardano pada tahun 1545 dalam bukunya yang terkenal Ars Magna. 21
23 D. Cardano () N. X. Abel () E. Galois () Rumus Cardano untuk mencari akar persamaan x 3 + px + q = 0: Butuh hampir tiga ratus tahun untuk langkah berikutnya, ketika matematikawan Norwegia N. Henrik Abel (sejajar dengan P. Ruffini Italia) membuktikan bahwa tidak ada rumus umum untuk menyelesaikan persamaan derajat kelima. Deskripsi lengkap persamaan yang akarnya dapat dinyatakan dalam koefisiennya menggunakan operasi aritmatika dan ekstraksi akar diberikan pada waktu yang hampir bersamaan oleh matematikawan Prancis E. Galoi. Dia hidup hanya 21 tahun dan meninggal dalam duel pada tahun 1832, tetapi dengan namanyalah kelahiran aljabar modern dikaitkan. Karya-karya mendalam Galois baru dipahami menjelang akhir abad ke-19. Jadi, kami menelusuri secara singkat satu baris untuk menemukan akar polinomial, ekspresi akar persamaan melalui koefisiennya menggunakan operasi aritmatika. Garis lain terhubung ke tingkat yang lebih besar dengan analisis matematis. Pertanyaan tentang hilangnya suatu fungsi yang didefinisikan oleh polinomial adalah pertanyaan khas dalam teori fungsi. Fakta bahwa bilangan real tidak cukup untuk menggambarkan akar polinomial menjadi jelas bahkan setelah karya orang Italia pada abad ke-16. Pertanyaan alami apakah ada cukup bilangan kompleks untuk menemukan akar polinomial apa pun, apakah perlu menambahkan beberapa bilangan baru ke bilangan kompleks, diselesaikan oleh matematikawan Jerman K.F. Gauss dan diterbitkan pada akhir abad ke-18. Dia membuktikan bahwa setiap persamaan (bahkan dengan koefisien kompleks) memiliki akar yang kompleks. Aksioma Cara konstruktif yang telah kami jelaskan untuk menjawab pertanyaan: "Apa itu bilangan?" bukanlah satu-satunya. Alih-alih menjawab pertanyaan ini, matematika modern mengusulkan untuk merumuskan lebih tepat apa yang
24 properti angka, operasi apa yang dapat dilakukan dengannya. Sistem bilangan yang berbeda memiliki sifat yang berbeda dari operasi ini. Sistem terkaya adalah lapangan. Suatu sistem bilangan membentuk suatu bidang jika kedua operasi (penjumlahan dan perkalian) memungkinkan operasi kebalikan (pengurangan dan pembagian) dilakukan. Setiap sistem bilangan yang memiliki dua operasi yang memiliki sembilan aksioma disebut medan. Himpunan Q bilangan rasional, R bilangan real adalah bidang. Himpunan bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan positif R* bukan bidang. Aksioma lapangan tidak sepenuhnya menggambarkan semua sifat bilangan real yang kita butuhkan. Mereka hanya berbicara tentang operasi aritmatika diatas mereka. Ada juga sekelompok ekstensif properti yang terkait dengan konsep pertidaksamaan dan jarak antar bilangan. Kita akan kembali ke sifat-sifat ini ketika mempelajari prinsip-prinsip analisis matematis (lihat Bab 9). Selain bidang "standar" Q dan R, ada banyak bidang lainnya. Terutama penting di antara mereka adalah apa yang disebut bidang terbatas, yaitu. sistem yang terdiri dari sejumlah elemen yang terbatas dan berada pada bidang waktu yang sama. Jika kita mengambil satu bilangan prima sembarang p dan mempertimbangkan sisanya setelah membagi bilangan bulat sembarang lainnya dengan p (akan ada tepat p: 0, 1, 2, ..., p - 1), maka kita dapat mendefinisikan penjumlahan dan perkalian sisa sedemikian rupa sehingga membentuk suatu bidang. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan operasi biasa pada sisa seperti pada bilangan bulat, dan mengganti angka yang dihasilkan dengan sisa pembagian dengan p (mereka mengatakan: hitung modulo p). Misalnya, selama sisa pembagian dengan 5, Anda dapat melakukan semua operasi: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, yaitu -3 = 2 dan -2 = 3 dan seterusnya. Aksioma 1. Penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif dan asosiatif, yaitu. identitas berikut berlaku: 1) a + b = b + a; 2) ab = ba; 3) (a + b) + c = a + (b + c); 4) (ab)c = a(bc). 2. Penjumlahan dan perkalian memiliki unsur netral (nol untuk penjumlahan dan satu untuk perkalian): 5) a + 0 = a; 6) 1 a = a. 3. Operasi invers adalah layak: 7) untuk setiap bilangan a, ada berlawanan nomor(-dan itu. a + + (-a) = 0; 8) untuk setiap bilangan a 0 terdapat bilangan invers a -1, yaitu a-a" 1 = hukum distributif: 9) a(b + c) = ab + ac.
25 n m sh m n v shishshshshsh< СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п >1 bilangan asli; tapi angka yang sewenang-wenang. Kemudian "produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a: a 2 \u003d a-a kuadrat dari angka a; a 3 \u003d a-a-a kubus dari angka a. p 2" Bilangan asli ditentukan secara berurutan, mulai dari satu (N \u003d 1 , 2, 3...). Jika kita mengetahui suatu bilangan n, maka bilangan selanjutnya adalah n + 1. Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan derajat secara berurutan dengan indikator alami: kami percaya bahwa a 1 = a; mengetahui a", kita menetapkan a n + 1 = a p a. 2. Generalisasi konsep derajat ke eksponen bilangan bulat arbitrer. Untuk sembarang bilangan a * 0, kita definisikan a p = a p di mana p adalah bilangan asli. Tambahkan definisi a derajat dengan eksponen: a 0 = a"" = 1, a * O. a" nol 24
26 3. Sifat-sifat derajat dengan celah bilangan bulat: perkalian: a t a n = a m + n; pembagian: a t: a n = a t ~ n; eksponensial: (a n) n = a mp. 4. Perkembangan geometris. Deret geometri adalah barisan yang diberikan oleh suku pertama a1 dan relasi perulangan an+1 = an q, yang memungkinkan seseorang menghitung salah satu sukunya, dengan mengetahui suku sebelumnya. Bilangan konstan q disebut penyebut dari deret. Rumus istilah umum: ap \u003d ax q p ~ 1. Jumlah n anggota: Sn \u003d% q n -1 (q 1). q-1 5. Ketergantungan dan fungsi daya. Memilih sembarang bilangan bulat m, seseorang dapat membangun fungsi pangkat y = kx m yang didefinisikan untuk semua x jika m adalah bilangan asli, dan untuk semua x kecuali nol jika m< 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х fungsi kuadrat y \u003d X 2 Fungsi kubik (a 3) "2 (a" 4) "1 \u003d a" 6 + 4 \u003d a "2. Ketika eksponen, eksponen dikalikan, ketika pangkat dikalikan, mereka ditambahkan 2. Atur derajat dalam urutan menaik:
27 rat / un fupptspp di lp kita turunkan semua derajat menjadi satu basis: 2 6, 2 4, 2, 2 "2, 2" 3. Karena angka 2 > 1 dan 2 * > 0 untuk sembarang bilangan bulat k, maka 2- 2 * > 2k => 2k+1 > 2k untuk sembarang bilangan bulat k. Oleh karena itu, kami mengatur eksponen dalam urutan menaik: -3< -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 =>q = 3. Tentukan suku pertama dari rumus -satu]. x Grafik menunjukkan bahwa fungsi y menurun pada interval yang ditentukan. Oleh karena itu, dibutuhkan nilai M terbesar di sebelah kiri 1_ 1 ujung interval: M = -2 ~ 2 5. Tentukan besarnya kontribusi. Bank memperoleh x% per tahun dari deposit. Pada akhir tahun, bunga ditambahkan ke deposito. Berapa kontribusinya dalam n tahun? Mari kita nyatakan kontribusi awal dengan A. Pada akhir tahun akan menjadi sama dengan A + A ^^ = A\ 1 + x ^ 100 J ^ dengan demikian, kontribusi dalam setahun diperoleh dengan mengalikan dengan angka ^ = 1 x Jqq "Deret geometri A , Aq, Aq 2,... memberikan urutan kontribusi untuk setiap tahun.26
28 rumus kontribusi An setelah n tahun Lp =.A^l + j disebut rumus bunga majemuk. Rumus bunga majemuk =А Soal dan latihan 1. Hitung: 1) 2 10 ; 3) "2,3 5); 2) -z; 4) 5; 6) (5 3)" 2 (0,1) "6 - (4-3) - 2. Sederhanakan: 5 "IttI: 3. Manakah dari angka lebih besar: 1) atau Z 20; 2) a 3) Z99 3 atau () 3; 2) atau; 4. Temukan x dari persamaan: 4) 9 "2 atau) 2 x \u003d 2) 10 2d: " 3 \u003d 1; 3) 1 81; 4) Suku pertama deret geometri (a) sama dengan 1, dan penyebutnya q \u003d 1.1. Pada n terkecil berapa suku a menjadi lebih dari dua? Tentukan dari grafik yang x nilai fungsi y \u003d 2x 2 lebih besar dari atau sama dengan nilai fungsi y \u003d X s. 7. Apa himpunan nilai dari fungsi y \u003d x k untuk k \u003d -1; 1; 2; 3? 8. Temukan yang terkecil dan nilai terbesar fungsi y \u003d x ~ 2 pada interval [-3; -2]. _8_ 27 "Pelajaran 2 Akar derajat ke-n Apa itu akar? derajat ke-n dan apa saja sifat-sifatnya? 1. Definisi. Biarkan n > 1 menjadi bilangan asli; tapi angka yang sewenang-wenang. Akar ke-n dari a adalah bilangan b sedemikian sehingga b n = a. a\u003e 0 x 2 \u003d a, x\u003e 0 x \u003d y]a l / a 2 "\u003d a l / a" \u003d a untuk a\u003e 0 \/a "\u003d y / a untuk a\ u003e 0 27
29 p sfn 2 1,41 3 1,24 6 2,45 7 2,65 8 2,16 Ruas kubus /1 / V 1 a V = a 3 a = Vv Diagonal persegi Misalnya, bilangan 3 adalah akar pangkat 4 dari bilangan 81, karena Z 4 \u003d 81. Angka -3 juga merupakan akar ke-4 dari angka 81, karena (-3) 4 juga 81. Dalam bahasa persamaan, kita dapat mengatakan bahwa akar ke-n persamaan dari angka a adalah akar x n = a. 2. Keberadaan. Untuk a > 0, untuk sembarang bilangan asli n > 1, ada satu akar positif derajat ke-n dari angka a. Dilambangkan dengan tanda akar: untuk a > 0, y/a adalah bilangan b sedemikian sehingga b > 0 dan b n = a. Notasi \[a diperluas ke a = 0: \/0 = 0 dan ke a< 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n>1, bilangan asli) memiliki jumlah akar berikut: 1) n genap: tidak ada akar untuk a< 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а >0; 2) n ganjil: satu akar l/a untuk sembarang a. 4. Sifat-sifat radikal: 1) = a, b > 0; Diagonal kubus 3) \u003d m 7a; a > 0; 4) 0< а < b =>^a. Mengapa diperkenalkan? akar dari nth derajat? Menemukan akar ke-n atau, seperti yang mereka katakan secara tradisional, mengekstraksi akar derajat n-vi Ini adalah operasi kebalikan dari menaikkan bilangan positif ke pangkat:
30 a p = b<=>a = "
31 Sederhanakan ekspresi berikut yang mengandung radikal:. Vl-2^3+^9. Di bawah akar kuadrat adalah persegi penuh I-^3) 2 \u003d 1 / 3-1. Saat mengekstrak akar kuadrat dari a 2, kami memperhitungkan tanda a: 1_z / z<0=>^/3-1>0. Jadi: l/l - 2 1/3 + =.XXV..U, G... ^w. dan IVUTUpUi "U pauii" * "" kita tahu bahwa bilangan tersebut unik. Mari kita periksa apakah bilangan y[a memenuhi kondisi ini. Ini positif (sebagai perkalian dua bilangan positif) dan derajat ke-n sama dengan ab: (Va )У = (Ta)" (Tfc)" = a b. Bagaimana masalah diselesaikan menggunakan root? Diberikan: urutan frekuensi suara membentuk deret geometri; ag = a; a10 = 2a. Temukan: q. Solusi: karena a10 \u003d axq 9, maka q memenuhi persamaan 2a \u003d a q g, yaitu q g \u003d 2 dan \u003d V (= 1/3-1; 1 "Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah angka dan 1 (n/2 + 1) dan kami mendapatkan angka di bawah tanda radikal, dengan kekuatan bilangan prima dan gunakan) \J ^/2-l/z 5 ^ Soal dan latihan 1. Manakah dari bilangan berikut yang rasional: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/b4; 3) + ; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Apakah persamaan selalu benar 1) =а 3 ; 2) = 4? 3. Hitung: 1) Tb TG0 h/15; 2) V5-Vl25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. tigapuluh
32 1),/0,999 atau 0,999; 3) 3/10000 atau 21; 2) ^2009 atau 2^2008; 1 + V2 4) ^ + atau 2^2-3? 5. Sederhanakan ekspresi: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr Va yfa+yfb 2) l/5. 2-V5 "3) 1-4/2" 4) V2 + V3 + V5 "Pelajaran 3 Derajat Apa yang dimaksud dengan derajat dengan pangkat sembarang? 1. Derajat a x untuk berbagai penugasan bilangan x. Misalkan bilangan positif a diberikan Bagaimana cara menaikkan pangkat x adalah bilangan rasional, ditulis dalam k sebagai x-, pral.di mana u k adalah bilangan bulat, n adalah menurut definisi a n = \a k. , diberikan oleh urutan pendekatan rasional x0, x1r x2,..., xn,. .. Bilangan xt adalah rasional. Dapat ditulis sebagai k sebagai pecahan biasa x, =. Kemudian Wh menjadi bilangan yang ditentukan secara unik h.] Barisan y0, yi..., yk1 adalah barisan aproksimasi terhadap suatu bilangan y , yang diambil sebagai kekuatan kapak. derajat Anda. Sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat ditransfer ke derajat dengan eksponen apa pun: Referensi sejarah Indikator pecahan positif adalah yang pertama digunakan oleh ilmuwan Prancis N. Orem (). Nol dan bilangan bulat indikator negatif muncul lebih dari 100 tahun kemudian dan juga di Prancis (N. Shuke). Grafik fungsi pangkat dengan eksponen pecahan positif Contoh Untuk menghitung derajat 2 n, kami menyatakan jumlah ts sebagai pecahan desimal tak terbatas l \u003d 3, Kami menulis urutan perkiraan desimal ke angka l dalam bentuk XQ 3, xt 31 10 "3141 Xo \u003d 1000, dll. "31
33 Kemudian perhatikan bilangan 2 x "= 8, 2*i = 8.574, 2*2= 10^2 iit = 8.815, dst. Barisan ini mendefinisikan beberapa bilangan y, yang merupakan pangkat dari bilangan 2". Tempat desimal pertama dari angka 2 "adalah sebagai berikut: 2" \u003d 8, Sifat derajat (ab) " \u003d a" b N b "(a 2 b) 3 \u003d a in b 3! l U 3 J g "b 12 Contoh saat menaikkan ke pangkat eksponen dikalikan; Z 2 Z 3 \u003d \u003d \u003d Z 5 saat dikalikan, eksponen ditambahkan. Memang, jika r \u003d \u003d \u003d, TO Ajrtg \u003d " 2 P 1-" 2 Di satu sisi, dan r \u003d a "< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q >0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32
34 2) jika kita mengubah barisan aproksimasi rasional ke bilangan yang sama, apakah barisan pangkat yang bersesuaian akan mendekati bilangan yang sama? 3. Sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional dibuktikan berdasarkan sifat-sifat radikal, dan kemudian dibawa ke eksponen arbitrer. Bagaimana derajat dengan indikator arbitrer digunakan dalam memecahkan masalah? 1. Perhitungan derajat melalui akar: > J 9 1)) a 6 \u003d a \u003d ay [a. 2. Pengurangan menjadi satu basis: 1 z kita menulis angka 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I sebagai pangkat dari angka 3 dengan eksponen rasional: X X C 93 \u003d (3 2) z \u003d 33, 27 "1 \u003d (Z 3) 1 \u003d Z "3, s II g I 4 * \u003d \u003d SZ" (Z-1) "! G4 = =; 3i, 3 ^81 = = j! 3. Transformasi ekspresi 4 1 /? 2 \ / 2 2 \ X 3 -j / 3 _ -uz Dx3 + y3) 1 1 ~ 1 1 X 3 + 1/3 X 3 + y3 (x 3 - uz) (dsz + uz) (xs + uz) 1 1 x 3 + y3 \u003d - Y 3) (* 3 + Y 3) 4. Solusi persamaan paling sederhana: 4 1) \u003d 2 \u003d\u003e l: \u003d 2 3;) (ls-1 ) "z \u003d 3 \u003d\u003e \u003d 3 2 => = _ 2. Pertidaksamaan Bernoulli Saat membandingkan pangkat, seringkali harus menggunakan pertidaksamaan yang berbeda. ketidaksetaraan yang berguna(kasus khusus dari pertidaksamaan Bernoulli yang terkenal): misalkan x > 0, n > 1, lalu (1 + x) "> 1 + nx; (1 + x)"<1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) >> (1 + nx) (1 + x); 1 + (n + 1)x + nx 2 > > 1 + (n + 1)x. Tetap memeriksa pertidaksamaan untuk n = 2. Faktanya, pertidaksamaan Bernoulli benar tidak hanya untuk x > 0, tetapi juga untuk -1< х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s >r dan a > 1. a "- a r \u003d a r (a 8 "r - 1) dan s-r
35 Soal dan Latihan 1. Tuliskan sebagai gelar dengan indikator rasional: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7z 4) 25/3; di"< 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8>SAYA); j) cemara. 3. Lakukan hal berikut: i l l 1) * 28; 2) \ "; 3) 4) Uz3 / 9 V27; 2 5 a 3 a" a 2 a 3 4. Susun angka dalam urutan menaik: S 4 1) 2 2; -; 2"; 2 jam; s L 5 5) Tsa 2) s J ; 6) "1" 93 2) I z I ; s; 9 Z; 34; 3) 2 4 ; ; (-3) 4 ; ; J1 4) Z 3 ; (-2) 3 ; 2 e. 5. Buktikan ketidaksamaan:)< ;) 33 >4^ >55; 4) >1. 6. Selesaikan persamaan dengan memplot fungsi daya (atau kombinasinya) di sebelah kirinya dan bagian kanan: 1) X 3 \u003d 2 - *; 2) 2x 3 \u003d ~ x + 15; 2 m 3) Zx 3 \u003d \ x - 4; 5) n: 4^ 4 4) x* = 5x + 6; 6) x z \u003d x \ 2
36 Pelajaran 4 Logaritma Apakah logaritma itu? 1. Definisi. Logaritma suatu bilangan c ke basis a adalah bilangan b sedemikian sehingga a b = c, mis. eksponen yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan c: b = logac. Basis dan bilangan di bawah tanda logaritma harus positif. Selain itu, diasumsikan bahwa a 1. Jika basis a \u003d 10, maka logaritma dari angka c disebut desimal dan dilambangkan lgc, mis. lgc = log10c. 2. Sifat-sifat logaritma. Sifat-sifat derajat dan logaritma saling berhubungan: Latar belakang sejarah Tabel logaritma pertama sebenarnya dibuat oleh matematikawan Jerman M. Stiefel (). Matematikawan Skotlandia J. Napier dalam karyanya "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan" (1614) menguraikan sifat-sifat logaritma, aturan untuk menggunakan tabel dan memberikan contoh perhitungan. Sejak itu, untuk waktu yang lama, logaritma disebut "non-Peer". Sifat kekuasaan logaritma(c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga dengan n 3. Identitas logaritma dasar. Persamaan a b = c dan b = logac menyatakan hubungan yang sama antara bilangan a, b dan c. Mensubstitusikan dalam persamaan a b = c representasi bilangan b dalam bentuk logaritma, kita memperoleh identitas logaritma utama: a log c = c. Dengan mensubstitusikan representasi pangkat dari c ke dalam persamaan b = logac, kita memperoleh satu identitas lagi: logaa ft = b. 4. Transisi ke basis baru. Logaritma angka sebanding satu sama lain karena berbagai alasan: J. Napier () Terlepas dari J. Napier, matematikawan Swiss, astronom dan pembuat jam I. Burgi (), yang bekerja dengan I. Kepler yang hebat, diterbitkan pada tahun 1620 serupa , meskipun kurang sempurna, tabel logaritma. Identitas logaritma dasar logax = fclogbx. sama C _c
37 Aplikasi logaritma 1. Penerbangan roket massa variabel. Rumus Tsiolkovsky menghubungkan kecepatan roket dan massanya m: v = kvx\g, m di mana v1 adalah kecepatan gas yang keluar; m0 massa peluncuran roket; koefisien k. Kecepatan aliran keluar gas Wj selama pembakaran bahan bakar rendah (saat ini kurang dari atau sama dengan 2 km/s). Logaritma tumbuh sangat lambat, dan untuk mencapai kecepatan ruang, perlu untuk membuat rasio besar, yaitu, memberikan hampir semua massa awal untuk bahan bakar. 2. Dinding kedap suara. Koefisien isolasi suara dinding diukur dengan rumus berikut: di mana p0 adalah tekanan suara sebelum penyerapan; p adalah tekanan suara yang melewati dinding; Dan beberapa konstanta, yang dalam perhitungan diambil sama dengan 20 dB. Jika koefisien insulasi suara D a adalah 20 dB, maka lg ^ - \u003d 1 dan P p0 \u003d Yur, mis. dinding mengurangi tekanan suara sebanyak 10 kali (pintu kayu memiliki insulasi suara seperti itu). Menerapkan sifat-sifat logaritma 1. Perhitungan logaritma. log2256 = log22 8 = 8; lg0,001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Koefisien proporsionalitas k dihitung sebagai berikut: k = log, a atau k = logab. Disebut modulus konversi dari satu basis logaritma ke yang lain. Secara khusus, logaks = log!-, rx karena loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj.r, l rt,.^C Mengapa logaritma dibutuhkan? kehidupan para astronom. Memang, tujuan pertama logaritma adalah untuk menyederhanakan perhitungan yang rumit, di mana perkalian menggunakan logaritma diganti dengan penjumlahan. Sampai saat ini, setiap insinyur membawa mistar hitung di sakunya, yang dengannya Anda dapat melakukan berbagai perhitungan yang sekarang dilakukan pada kalkulator. Dengan bantuan logaritma adalah mungkin untuk memecahkan masalah yang berbanding terbalik dengan eksponensial: jika a x = b, maka x yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai logab. Dalam hal ini, bukan kemungkinan penulisan yang penting, tetapi fakta bahwa, mengubah b , yaitu dengan mempertimbangkan x = loga & sebagai fungsi dari bj kita menemukan ha baru ketergantungan fungsional. Fungsi logaritmik telah secara signifikan mengisi kembali stok dependensi yang tersedia secara relatif studi sederhana. Mengapa logaritma memiliki sifat yang nyaman? 1. Bukti aturan untuk logaritma. Semua aturan logaritma dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat. Mari kita buktikan, misalnya, aturan untuk logaritma suatu produk: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. 36
38 Menunjukkan logac! = bly logac2 = b2. Menurut identitas logaritmik utama, kami memiliki Y \u003d cx, a h \u003d c2- Kalikan persamaan ini: abiabz \u003d CiC2\u003e Menurut properti derajat a ^ a * "2 \u003d a bl + b2, yaitu Clc2 \u003d a bl + b2. Dengan definisi logaritma bz + + b2 = loga(cic2), maka l0ga(c!c2) = logac! + logac2, yang ingin kita buktikan. dimana loga* log6a = logfcx , log6* logax = logfta Rumus ini sering dibaca sebagai berikut: logaritma suatu bilangan ke basis baru adalah logaritma dari bilangan ke basis lama dibagi dengan logaritma dari basis baru ke basis lama Faktor proporsionalitas dapat ditulis sebagai k = log ab karena logai > logba = 1 (masukkan x = b ke dalam rumus) 2. Logaritma 2 f Diketahui: A = (looa 3 &j. Cari: lga. Solusi. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g& 3. Potensiasi (mencari ekspresi dengan logaritmanya) log2a = log2a - 31og26 => => log2 A = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 =log 2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Transisi ke satu basis. Diketahui: A = logj a - log^a og8a. 4 Pergi ke basis 2. Solusi. Perhatikan bahwa log22* = k ini akan membantu Anda menemukan modulus transisi secara verbal. 1=log2a log2a 2 log2a == log2a! 1 log2v2 log28 th i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" ] 6 log2a. ^ Soal dan latihan 1. Hitung: 1) log a, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3 ; 1 apa? ekspresi yang diberikan di basis a: 1) A \u003d *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab
39 3. Temukan ekspresi A dengan logaritma: 1) log A = ogab; 2) InA \u003d lnsinx - Dalam cos L; (In adalah logaritma dengan basis e (e "2,71828), disebut logaritma natural); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Tentukan angka mana yang lebih besar: 5) log34 atau 1; 1) log32 atau 0; 2) log j 3 atau 0; 6) catat! atau 1; n 8 9) catat! 7 atau log, 10; 10) log, ATAU log!. Z 5 Z 7 3) log-atau 7) log23 atau log25; 4) logx atau 0; 8) log27 atau l g2-; 5. Ganti log logaritma, a, log8a, log! a, log2a, log3a dalam logaritma dasar Temukan: 1) logg9 jika logi218 = a; 3) log , log920 = a, log2 = b. 2) log915 jika log 25 = a; Pelajaran 5 Fungsi eksponensial dan logaritma Tujuh operasi aritmatika Penjumlahan Perkalian Eksponen a + b = c Pembagian Pengurangan Mengekstraksi akar Logaritma c-b = a c-a = b a-b = c I- a b = c c b = a logac = b Apa kekuatan dan logaritma baru yang diberikan untuk mempelajari fungsi? 1. Satu ketergantungan tiga fungsi. Mari kita pertimbangkan tiga variabel x, y dan z, dihubungkan oleh ketergantungan z x = y. Kita menetapkan nilai variabel r = a dengan mensyaratkan bahwa kondisi a > 0 dan 1. Kita dapat menulis hubungan antara dua variabel lainnya sebagai y = ax. Dengan mengubah x sewenang-wenang, kita memperoleh fungsi eksponensial, atau eksponensial. Mari kita nyatakan variabel x sebagai fungsi dari y dari relasi yang sama y = ax: x = logay. Dengan mengubah y sebagai argumen, kita mendapatkan fungsi logaritma. Jika dalam rasio yang sama r x = y kita memperbaiki indeks x = k, maka kita mendapatkan fungsi daya yang sudah dikenal y = z k. Lebih banyak perangkat lunak
40 akan mendapatkan satu fungsi pangkat, 1 z melalui y \ z = y k. Tentu saja, dalam semua transisi ini, seseorang harus mengikuti batasan yang dikenakan pada variabel. Kami telah melakukan ini untuk fungsi eksponensial y \u003d a x, dengan asumsi bahwa a > 0, dan 1. Untuk fungsi logaritmik x \u003d logay, kita juga harus mensyaratkan bahwa y positif, karena a x > 0, dan untuk menentukan x dari relasi a x = y diperlukan agar y lebih besar dari 0. Pikirkan sendiri batasan apa yang perlu Anda terapkan pada variabel untuk mempertimbangkan fungsi pangkat. 2. Properti dan grafik fungsi eksponensial y \u003d a x: domain definisi: himpunan semua bilangan real R; monotonisitas: untuk a > 1, fungsi y \u003d a x meningkat, untuk 0< а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х >0; interval tanda konstan: - untuk a> 1 y = 0 untuk x = 1; pada< 0 при 0 < х < 1; у >0 untuk x > 1; - pada 0< а < 1 у < 0 при х >satu; y > 0 pada 0< х < 1; монотонность: функция у = logax при а >1 meningkat di seluruh domain definisi, pada 0< а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2
41 Peluruhan radioaktif Peningkatan populasi Rumus barometrik Tabel logaritma a log2a log a 2 1 0.47712 hingga 1.01030 (Temukan hubungan antara angka-angka dalam tabel ini!) pelajaran sebelumnya). peluruhan radioaktif. Perubahan massa zat radioaktif terjadi menurut rumus m(t) = m0-2~ s, di mana m0 adalah massa zat pada saat awal t = 0; t adalah massa materi pada waktu t; k adalah suatu konstanta (waktu paruh). Pertumbuhan populasi. Perubahan populasi di negara tersebut selama periode waktu yang singkat dijelaskan dengan akurasi yang baik dengan rumus N = N02 di, di mana N0 adalah jumlah orang pada t = 0; N adalah jumlah orang pada waktu t; tetapi beberapa konstan. Rumus serupa digunakan untuk menghitung perubahan jumlah individu dalam populasi hewan dalam kondisi tertentu (misalnya, ketika ada cukup makanan dan tidak ada musuh eksternal). rumus barometrik. Tekanan udara berkurang dengan ketinggian (pada suhu konstan) menurut hukum p = p0e n, di mana p0 adalah tekanan di permukaan laut (h = 0); tekanan p pada ketinggian h; H adalah beberapa konstan tergantung pada suhu. Pada suhu 20 CJ - 7,7 km. 2. Peran yayasan a. Apakah perlu untuk mempertimbangkan fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis yang berbeda dari a? Sebenarnya, cukup membatasi diri kita pada satu basis, misalnya, mengambil a = 10. Memang, a* = 10**, di mana k = lga: a x = (l0 lga)* = 10 (lga>* = 10**, k \u003d lga.Menurut rumus untuk transisi ke basis lain, kami memperoleh loga * = k\gx, di mana k \u003d!.lga Oleh karena itu, alih-alih fungsi bentuk y \u003d a x, kami dapat mempertimbangkan fungsi dengan basis yang sama, tetapi dengan koefisien pada nilai argumen: y = 10** Demikian pula, untuk fungsi logaritma, 40
42 Kami mempertimbangkan fungsi dengan basis tetap, tetapi dengan koefisien pada nilai fungsi: y = k\gx. Beberapa basis memainkan peran khusus: a \u003d 10 (logaritma desimal). Karena kita menulis angka dalam notasi desimal, menulis angka dalam bentuk A \u003d Yu "satuan membantu untuk memahami urutan angka A. Perhatikan bahwa untuk bilangan asli A, angka + 1 menunjukkan jumlah digit dalam notasi desimal dari angka A ([a] menunjukkan bagian bilangan bulat dari angka a); a \u003d 2 (logaritma biner. Dalam ilmu komputer, sistem bilangan biner digunakan; a \u003d e (logaritma natural). Angka ini dinamai L. Euler, itu irasional dan kira-kira sama dengan 2.7. Mengapa sifat-sifat eksponensial dan 1. Monotonisitas fungsi eksponensial Mari kita ambil basis a > 1. Kami membuktikan bahwa xx< х2 =>a* 1< а Хг. Сначала заметим, что а х >1 untuk x > 0 (pikirkan mengapa). Selanjutnya, lakukan transformasi: a* 2 - a* 1 = = a* 1 (a* 2- * 1-1). Kedua faktor dalam produk ini positif, jadi a* 2 > a* 1. Mengganti a dengan, kita mendapatkan bukti dari a bahwa y = a x pada 0< а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а >1. Mari kita buktikan bahwa 0< < х2 =>logaks!< \ogax2. Сначала заметим, что logax >0 untuk x > 1 (pikirkan mengapa). Mari kita lakukan transformasi: loga x2 - loga xr = => 0, karena 0< хг < х2 =>> Ganti a dengan, lalu 0< < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41
43 grafik fungsi y \u003d a "dan y \u003d logaks dan definisi. 3. Simetri grafik fungsi y \u003d a x dan y \u003d loga; t. Grafik fungsi-fungsi ini simetris satu sama lain sehubungan dengan garis lurus y \u003d x. Ayo ambil poin P(c; d) pada grafik fungsi y \u003d a x. Dengan syarat d = a. Maka c = logad dan titik Q(d; c) terletak pada grafik fungsi y = \ogax. Titik-titik PhQ simetris satu sama lain terhadap garis lurus y = x. Bagaimana sifat-sifat fungsi eksponensial dan logaritma digunakan dalam menyelesaikan masalah? Perbandingan nilai ekspresi numerik a * 1\u003e a "2\u003e x2, a\u003e 1) a *"< а Хг (*! >x2, a< 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 >1. Fungsi bertambah pada seluruh sumbu real, jadi untuk sembarang bilangan xx dan x2 sedemikian hingga xx< х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 >25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Kami menggunakan monotonisitas fungsi daya y \u003d x 4 untuk x\u003e 0: untuk 0 . apa pun< х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х >0. Oleh karena itu 15< 16 =>log215< log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х >0; x 2-4x \u003d x (x - 4). jawaban: x< 0 и х >4, atau x e (-oo; 0) dan u (4; +oo). 2) Y \u003d lg x + lg (x - 4). Sekarang perlu untuk memenuhi secara bersamaan dua pertidaksamaan (x > 0; yaitu D: x > 4. x-4> 0, 42
44 KSHLOKri. JL S t, HJIil L fc: "t-cuj. 3. Menemukan rentang (OZ) dari fungsi yang diberikan pada interval: 1) y \u003d 2 x1, x e, 2 x1 \u003d 2 x -2 1 \u003d 2 x 2 Fungsi y - 2 x bertambah sepanjang sumbu numerik 2. Nilai terkecil pada interval dicapai di ujung kiri, yaitu di x = 0 (dengan y = -), nilai terbesar di ujung kanan 2 x = 2 => y \u003d 2. Ketika x berubah dari 0 ke 2, nilai fungsi y mengisi celah dari ke 2. 2 Jawaban:< и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а >0, dan F1; a > 1, x1< х2 =>a*i< а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 =>i* 1 > a* 2. y = log x le > 0, a > 0, a * 1; a>1.0<х1<х2=>=> masuk*!< log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - =>logaxj > logax2. a i lo "a* = x log X log x log a logax = logi X a ^ Soal dan latihan 1. Tunjukkan fungsi eksponensial mana yang naik dan turun pada sumbu bilangan bulat: 1) g / = 5*; 3) j, = fjj ; 5) y = 2x; 2) y \u003d Z- 1; = ; 6) Y \u003d ^ - 2. Buat grafik dari fungsi-fungsi berikut: 1) y \u003d 2 x; 3) y \u003d 2-10 x; 5) r/=-3 *; 2) y \u003d 3 x + 1; 4) I/ = 2* + 2* -1; 6) r/ \u003d 4 x Temukan nilai terkecil dan terbesar dari fungsi yang ditentukan pada interval: 1) y \u003d 2 X + 2, [-1; satu]; 3) g / \u003d () "C; 1]: 2) y \u003d x, [-2; 1]; 4) y \u003d 2 x + 3 x, [-2; -1]. 43
45 A .. Wuyu ^ uviuuiim V / JIV, ^ J VJ / Jllirv TJTA jrl 1) y \u003d log2 (* - 3); 3) y = log2fi3; 2-x 2);/ = log2(l - x 2); 4) y \u003d lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Temukan rentang fungsi yang didefinisikan pada interval: 1) Y = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) y \u003d 1 - lg; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1), ; 4) y = log x + log2jc, . Pelajaran 6 Demonstrasi dan persamaan logaritma dan pertidaksamaan Contoh 1. Solusi persamaan eksponensial paling sederhana: 10* = 1000; 1000 = 103; 10 x \u003d 10 3 o x \u003d x \u003d 2 "x \u003d lg Solusi dari persamaan logaritma paling sederhana: log2jc \u003d 3 x \u003d 2 3 \u003d Solusi dari pertidaksamaan eksponensial paling sederhana :. 3 x<1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х >2; 2 \u003d 10 lg 2; 10 x > 10" g 2<=>x > lg Solusi dari pertidaksamaan logaritma paling sederhana: log2x > -1; x>1. Si ODZ: x > 0; satu< х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * >satu; GH-1< 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 log x > -1<=>ODZ:* > 0; 20< х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=>( u 2 + 3x > 0. Apa yang perlu diingat ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi eksponensial dan logaritma? 1. Solusi persamaan eksponensial paling sederhana: (a > 0, a #1), dan x = a k<=>x = k kita bandingkan pangkat dengan basis yang sama. (a > 0, a 1, b > 0), dan x = b<=>x = logaf. 2. Penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana: (a > 0, a 1), logax = logafe<=>x = k; logaks = b<=>x = ab. 3. Solusi dari yang paling sederhana pertidaksamaan eksponensial: (a > 1), a x > a k<=>x>k; (0< а < 1), а х >sebuah k<=>X< k; (а >1, b > 0), sedangkan x > b<=>x > logafc; (0< а < 1, Ъ >0), dan x > b<=>X< logab; (b < 0), а х >b<=>x adalah bilangan apa saja. 4. Penyelesaian pertidaksamaan logaritma paling sederhana: (a > 1, k > 0), logax > logafe
46 (a > 1), logaks< Ь <=>HAI< х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=>x Zx-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=>X< -3 или х >0 Jawaban: (-4; -3) dan (0; 1). Solusi grafis dari pertidaksamaan eksponensial Indikator adalah fungsi dari x x = 8 o 2 1x = 2 3 o l - i = 3 o i = x = 5<=> 2 1 -* = <=>1 - x = log25 o x = 1 - log25. Alih-alih menulis 5 \u003d 2 1o6a5, Anda dapat membuat logaritma kedua bagian persamaan dalam basis 2: 1 - x \u003d log x1 + 5 x + 5 x + 1 \u003d 31. Istilahnya berbeda dari 5 x hanya dengan faktor konstan : 5 x "1 \u003d 5" 1 5 x = ; 5 x + 1 = 5 5 x; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* x = 31<=>5x = 5<=>x = 1,2 x< 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 yx = 5, y2 = x = 5, x = 1; 5 x \u003d -4 tidak ada solusi => x \u003d 1. -0,37 log ^ \u003d -1 + log3 2 "-0,37 45
47 pertidaksamaan logaritmik \og2x< 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) =>2-x=5-2x>x=3. Sekarang transisi tidak mempertahankan kesetaraan akar persamaan linier 2 - x = = 5-2x tidak termasuk dalam ODZ persamaan awal. Pada x \u003d 3, nilai fungsi di bawah tanda logaritma benar-benar sama: 2-3 \u003d \u003d -1, tetapi negatif => tidak ada akar. 7 log! x + 21og2 x + log4 x \u003d 3. 2 Mari kita beralih ke basis 2: Persamaan berbentuk 2 nx) \u003d 2 setara dengan persamaan f (x) \u003d a. Secara umum, persamaan a 2x + pa x + q \u003d O direduksi menjadi persamaan kuadrat y 2 + py + q \u003d O dengan mengubah variabel a x \u003d y. Saat "mempotensiasi" persamaan, mis. ketika berpindah dari persamaan ke persamaan, log2/(x) = a fix) = 2", tidak perlu khawatir tentang ODZ, yaitu tidak perlu memeriksa kondisi f(x) > 0, karena untuk setiap x memenuhi perbaikan persamaan) = 2", nilai f(x) sama dengan 2", adalah positif. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Tulis ulang persamaan: ( log2*)^-l lj = 3<=>log2x=3"<=>log2 x = 2<=>x = 4. Transisi ke pertidaksamaan paling sederhana dilakukan dengan cara yang mirip dengan x<-<^2 2х <2" 2 <^>ke-2<-2<^ х>dan log2(2 -x)<0=>ke-2<1=>w>1. Transisi itu tidak seimbang. Kita perlu menambahkan kondisi 2-x>0<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: >0, \x< 2, <=>(2-x<1, х>1. Jawaban: 1< х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46
48 7) 2 = ; 16 8) 3 L1 \u003d 27V3 3 x; 9) 10x = 2; 10) 3 x \u003d 2 2 - *; 11) 2X5X+1 = 100; 12) Z x -5 2x_3 = 45; 13) Z x + 2 - Z x x \u003d 21; 1 14) 4 x +2 2x \u003d 47; X-1 X+1 15) 4 x -3^~ = 3^-2 2x1; 16) 5-2 x \u003d 3 2 x "; 17) 2 X \u003d 80; OO 18) Z x + Z 1 "x \u003d; 3 19) 7 2x x - 7 = 0; 2 x + 2"x 17 20) 2x -2 x Memecahkan pertidaksamaan: 1 1) 2 x< 16; 3) >satu; 2 5) 4 x1 + 1 > 0; 7) Z x + 1-3 x + 3 x 1< 21; 2) 3 1х >27; 4)? 4 6) 27 x > Z x + v; 8) 2 2x x > Selesaikan persamaan: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l - 3x) = 3; 4) log4(2 - x) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; h 4. Selesaikan pertidaksamaan: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); 9) log3(x - 5) = log3(2 - x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1)< 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) >1. PERCAKAPAN Menghitung pangkat dan logaritma Latar Belakang Sekarang setiap orang dapat dengan mudah mempersenjatai diri dengan kalkulator atau alat komputasi yang lebih canggih, sulit untuk membayangkan berapa banyak masalah perhitungan yang telah menyebabkan seseorang di masa lalu. Penemuan logaritma adalah langkah besar menuju pemecahan tugas praktek berhubungan dengan komputasi. Kemampuan menggunakan logaritma untuk mengurangi perkalian ke penjumlahan, dan konstruksi 47
49 untuk kekuatan perkalian, perlu untuk menyusun sub-tabel logaritma, yang telah ada sejak awal abad ke-17. Sampai baru-baru ini, perpustakaan memiliki volume tabel yang tebal di mana nilai-nilai logaritma dengan banyak tempat desimal diberikan, "Tabel Logaritma Empat Digit" yang terpisah dimasukkan dalam set wajib buku pelajaran sekolah, dan setiap insinyur membawa sebuah penggaris di sakunya, yang seharusnya bisa dikerjakan oleh setiap anak sekolah. . Kemudahan yang muncul dalam melakukan perhitungan itu sendiri memperburuk masalah lain: apakah seseorang mengerti bahwa dia ingin menghitung, bagaimana mengatur tugas komputasi untuk komputer atau perangkat teknis lainnya, bagaimana menerjemahkan tugas ini ke dalam bahasa yang dapat dimengerti oleh perangkat ini. Saat menghitung derajat, seseorang harus belajar melihat di balik berbagai nama dan sebutan mereka kewajaran, rasakan hubungan di antara mereka, dapatkan pengalaman dan keyakinan bahwa Anda akan selalu (mungkin dengan bantuan buku dan guru) dapat menemukan rumus yang rumit dan tidak praktis. Logaritma (terlepas dari kompleksitas notasinya) secara tepat disesuaikan untuk menyatukan berbagai masalah yang terkait dengan kekuatan. Dalam masalah komputasi, ada kekuatan angka yang berbeda. (2.1) kombinasi yang berbeda, misalnya, saat menghitung ekspresi A \u003d 3, perlu untuk menaikkan angka yang berbeda menjadi pangkat, mengalikan dan membagi pangkat. Mengapa begitu banyak derajat? Apakah mungkin untuk bertahan dengan tingkat fondasi tunggal? Tentu saja Anda bisa. Untuk menghitung ekspresi A menggunakan kalkulator yang dapat 10 5 *i - K) 10 * 2 menghitung 10*, semua angka harus dikurangi menjadi pangkat 10: A = ^Qi2*a = = 105^+10*2- 12^ di mana ^ k 2n k3 logaritma bilangan 2,1; 7 dan 3 di basis 10. Pembaca yang penuh perhatian mungkin juga memperhatikan bahwa 3 7 2.1 = dan membuat penyederhanaan: A = u -7 * "" 1 " 16 *" -6, menghilangkan logaritma dari angka 2.1. Aturan untuk menghitung kekuatan Aturan pertama. Pilih satu basis yang nyaman, misalnya, a, dan kurangi daya apa pun ke basis a, mis. mewakili kekuatan apa pun c* dalam bentuk a kx untuk beberapa k. Koefisien k ini adalah logaritma: c \u003d a log e, oleh karena itu, dengan menyatakan logac dengan k, kita mendapatkan: c x \u003d (a "" g "c f \u003d \u003d a kx. Aturan ini memungkinkan Anda untuk menggunakan beberapa basis .Dalam beberapa masalah, lebih mudah untuk mengambil a = 10 ( logaritma desimal), dalam kasus lain (terutama masalah diskrit) a = 2, dalam kasus lain, basis universal e, yang sesuai dalam kasus-kasus ketika Anda harus memperkirakan tingkat pertumbuhan ( logaritma natural).
50 Aturan kedua. Saat mengambil logaritma, Anda juga dapat memilih satu basis yang sesuai dan mengurangi semua logaritma ke basis ini. Ada formula khusus untuk ini, yang diturunkan sebelumnya. Dalam beberapa masalah akan lebih mudah untuk mengambil logaritma ke basis 10 (logaritma desimal), dalam masalah lain logaritma natural akan berguna, dalam masalah ketiga (diskrit) yang sering digunakan logaritma biner logaritma basis 2. Jadi, penting untuk diingat bahwa matematika telah menciptakan peralatan untuk menyederhanakan pekerjaan dengan pangkat, yang memungkinkan Anda untuk menghubungkan ekspresi dan fungsi yang direpresentasikan secara berbeda.
51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50
52 garis dan bidang tidak memiliki titik yang sama: garis sejajar dengan bidang. 4. Susunan dua garis: dua garis terletak pada bidang yang sama. Maka ada dua kemungkinan: apakah mereka berpotongan, yaitu mereka memiliki satu titik yang sama, atau mereka sejajar, yaitu. tidak memiliki titik yang sama (dan jangan lupa bahwa dalam hal ini garis-garisnya terletak pada bidang yang sama); tidak terletak pada bidang yang sama. Garis seperti itu disebut berpotongan. Tentu saja, garis miring tidak memiliki titik yang sama, jika tidak mereka akan terletak pada bidang yang sama. 5. Cara mengetahui apakah dua garis berpotongan: temukan bidang di mana salah satu garis ini terletak, dan yang kedua memotong bidang ini, tetapi pada saat yang sama di titik yang tidak terletak pada garis pertama; Anda perlu tahu bahwa mereka tidak sejajar, tetapi dapat ditempatkan di dua bidang paralel. Mengapa penghitungan posisi relatif garis dan bidang benar? Ini adalah pertanyaan yang agak sulit. Dari sudut pandang visual, semua (atau hampir semua) hal di atas sudah jelas. Namun, tidak mungkin untuk membuktikan semua fakta di atas; mereka menggunakan beberapa konsep awal, awal dari suatu titik, garis lurus, bidang, ruang, dan kita tidak dapat mengandalkan apa pun, kecuali representasi visual dan intuisi kita. Sejak zaman Euclid, hubungan antara konsep-konsep utama telah dijelaskan oleh konvensi aksioma tertentu, dari mana konsekuensi baru dapat diperoleh dengan cara yang logis. Tentu saja, terlalu banyak kesepakatan awal aksioma yang telah dibuat (dan beberapa lagi, juga diperlukan untuk pembuktian yang ketat, belum dirumuskan), jumlahnya dapat dikurangi. Mari kita buktikan, misalnya, kriteria pertama untuk garis miring dengan mengacu pada pernyataan sebelumnya. Susunan garis lurus dan bidang a a Susunan dua garis lurus a p b = O «IIb 51 I
53 ujv.lli ^uish ^oi irpshshs Ts I 1-2, UJlUUttUUlD a, memuat garis dan hanya mempunyai satu titik persekutuan P dengan garis 12. Perlu dibuktikan bahwa garis Zx dan 12 berpotongan yaitu tidak berbaring di bidang yang sama. Jika garis dan 12 terletak pada suatu bidang (3), maka garis li dan titik P yang tidak terletak pada garis ini akan terletak pada bidang ini. Benda yang sama terletak pada bidang a. Karena hanya ada satu bidang yang memuat garis dan bukan titik miliknya, maka bidang p berimpit dengan bidang a. Namun, dengan syarat, garis 12 tidak terletak pada bidang a dan hanya mempunyai satu titik yang sama dengannya. Kontradiksi yang diperoleh membuktikan teorema muka kubus Tanda pertama garis berpotongan Diketahui: 12 e a, n a = P, P e 12 Buktikan: 1x-12 Perhatikan kubus ABCDA "B" C "D". Garis dan bidang yang melalui titik sudut , tepi atau wajah kubus , kami akan menunjukkan menggunakan huruf yang menunjukkan simpul. Misalnya, garis lurus AB atau bidang AA "BB". Mari kita perbaiki satu sisi, misalnya, AA". 1) Tepi mana yang sejajar dengan tepi AA"? Ini adalah tepi BB", SS", DD". 2) Apa tepi yang terletak pada garis yang berpotongan dengan garis AA"? Ini adalah tepi AD, AB, A"D" dan A"B". 3) Berapakah rusuk pada garis yang berpotongan dengan garis AA "? Ini adalah rusuk B "C", C "D", BC dan CD. Untuk pembuktiannya bisa menggunakan tanda garis miring. Jadi, bidang A "B" BA berisi garis AA " dan berpotongan dengan garis B "C". Pesawat serupa dapat ditemukan untuk tiga tepi yang tersisa. 4) Ada berapa pasang rusuk sejajar? Untuk satu sisi, ada tiga sisi yang sejajar dengannya. Ada total 12 rusuk, jadi ada 52
54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC sejajar dengan detik) akan menjadi 3 12 = 36. Jumlah pasangan paralel hanya setengah, karena masing-masing dihitung dua kali (misalnya, AA "BB", BB "A A"). Jawaban: 18 pasang. 5) Ada berapa pasang sisi yang berpotongan dan pasang sisi yang bersilangan? Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama: (4 12) : 2 = 24 dan (4 12) : 2 = 24. Mari kita periksa apakah semua pasangan sisi diperhitungkan. Secara total, jumlah pasangan adalah (1211):2 = 66. Sebaliknya, = 66. Masing-masing dari 66 pasang sisi jatuh ke dalam tepat satu kelompok pasangan yang sejajar, berpotongan atau bersilangan. Demikian pula, kita dapat menghitung bahwa dari (6-5) : 2 = 15 pasang bidang yang memuat permukaan-permukaan kubus, terdapat 3 pasang sejajar (pasangan muka berhadapan) dan 12 pasang berpotongan: (4-6) : 2. Par (garis lurus, bidang) berjumlah 12-6 = 72. Ada 6-4 = 24 pasang yang garis lurusnya terletak pada bidang. Ada 6-4 = 24 pasang yang garis lurusnya garis sejajar dengan bidang, dan jumlah pasangan yang sama dengan garis lurus yang memotong bidang. Jawaban: \u003d 72. AA "BB" AA "SS" AA "DD" AA "n AD AA" pav AA "p A"D" AA" p A"B" AA" ^ B"C AA" ^ C " D "AA" ^ BC AA" CD Soal dan Latihan 1. Bagaimana suatu bidang dapat ditentukan? 2. Bagaimana dua buah bidang dapat ditemukan? 3. Bagaimana suatu garis dan suatu bidang dapat ditemukan? 4. Bagaimana letak dua buah garis? ? 5. Bagaimana cara mengetahui dua garis miring? 6. Berapakah pasangan rusuk piramida segi empat yang terletak pada garis miring? 7. Diketahui sebuah kubus ABCDA"B"C"D". Sebutkan rusuk-rusuk yang sejajar dengan rusuk AA" . 8. Kubus ABCDA"B"C"D" diberikan. Sebutkan rusuk-rusuk yang terletak pada garis-garis yang berpotongan dengan garis AA". 9. Diketahui kubus ABCDA"B"C"D". Sebutkan rusuk-rusuk yang terletak pada garis-garis yang berpotongan dengan garis AA". 53
55 di luar leading edge MCJJCO otu irimush p memotong bidang BB"D"D sepanjang beberapa garis lurus, yang harus sejajar dengan MN (fitur 2). Titik R terletak pada garis perpotongan ini. Dengan demikian kita akan memperoleh garis ini dengan menggambar garis lurus pada bidang BB "D" D melalui titik R, sejajar dengan diagonal B.D. Garis ini memotong tepi BB" dan DD" di beberapa titik S dan T. MSPTN segi lima adalah bagian yang diperlukan. Jika kita mengambil titik P pada garis CC "sedikit lebih tinggi dari titik C", maka kita mendapatkan segi enam di bagian yang salah satu sisinya akan sejajar dengan MN (fitur 3). Ketika bagian ini melewati pusat kubus, Anda mendapatkan segi enam biasa. Periksa pernyataan ini dan pertimbangkan sendiri bagian lain dari kubus yang melewati garis MN. Soal dan Latihan 1. Merumuskan tanda kesejajaran garis lurus dan bidang. 2. Merumuskan tanda paralelisme dua bidang. 3. Angka apa yang dapat diperoleh pada bagian? prisma segitiga pesawat terbang? 4. Angka-angka apa yang dapat diperoleh di bagian kubus oleh sebuah pesawat? 5. Buktikan bahwa bidang-bidang yang melalui titik (A, D", B") dan (C", B, D) pada kubus ABCDA"B"D"C" sejajar 6. Sisi mana dari kubus ABCDA "B"D "C" berpotongan dengan garis MN Pelajaran 3 Sudut antara garis dan bidang Sudut antar garis Bagaimana sudut antara garis dan bidang didefinisikan? sudut vertikal). Untuk mengatur sudut antara dua garis lurus dalam ruang, Anda harus memilih titik sembarang dan menggambar garis sejajar dengan data yang melaluinya. Nilai sudut bidang yang dibangun tidak akan tergantung pada pilihan titik awal. 56
56 dua garis dalam ruang yang bersesuaian dengan sudut siku-siku disebut tegak lurus. 2. Garis lurus, tegak lurus bidang. Ini adalah nama garis yang tegak lurus terhadap setiap garis di bidang ini. Dengan menggunakan konsep ini, seseorang dapat menentukan proyeksi ortogonal suatu titik ke bidang. Proyeksi ke bidang a dari suatu titik P yang tidak terletak pada bidang ini adalah titik P" yang termasuk dalam bidang a sedemikian rupa sehingga garis PP" tegak lurus bidang a. Proyeksi suatu titik yang terletak pada bidang a dianggap sebagai titik itu sendiri. Jika Anda ingin memproyeksikan sosok tertentu ke bidang a, Anda harus memproyeksikan semua titik dari gambar ini ke atasnya. 3. Sudut antara garis lurus dan bidang. Mari kita memproyeksikan garis lurus ke pesawat. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang, maka proyeksinya adalah satu titik. Jika tidak, maka proyeksinya akan berupa garis lurus. Dalam hal ini, garis dikatakan condong ke bidang. Sudut antara bidang miring dan bidang adalah sudut antara garis lurus dan proyeksinya ke bidang itu. 4. Sudut antara dua bidang. Untuk mengukur sudut antara bidang yang berpotongan, perlu untuk memilih titik pada garis perpotongan bidang-bidang ini dan menggambar garis lurus melaluinya di setiap bidang, tegak lurus terhadap garis perpotongan. Sudut antara garis-garis ini dianggap sebagai sudut antara bidang. Dua bidang tegak lurus, sudut di antara keduanya siku-siku. jika Mengapa kita membutuhkan konsep tegak lurus dalam ruang? Garis tegak lurus terhadap bidang m±n, m±a, mlb, m±c Proyeksi ortogonal ^^ Sudut antar bidang dalam Dengan bantuan tegak lurus, berbagai jarak dalam ruang dapat ditentukan dan dihitung. 1. Jarak dari suatu titik ke bidang dihitung sebagai panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke bidang (jarak dari titik tertentu ke proyeksinya ke bidang). 57
57 L a ± P Penentuan jarak ta 2. Jarak antara dua bidang paralel panjang segmen tegak lurus bersama terhadap bidang-bidang ini, yang tertutup di antara bidang-bidang ini, dipertimbangkan. 3. Jika suatu angka tertentu diberikan pada bidang, maka jarak dari titik sembarang dalam ruang ke angka ini didefinisikan sebagai jarak terkecil dari titik tertentu ke titik sembarang pada gambar ini. Proyeksikan titik ini ke pesawat. Kemudian titik dari gambar yang paling dekat dengan titik yang diberikan juga akan paling dekat dengan proyeksinya, dan sebaliknya, untuk menemukan titik dari gambar yang paling dekat dengan titik yang diberikan, cukup dengan menemukan titik yang paling dekat dengan proyeksinya. 4. Sudut antara garis lurus dan bidang, didefinisikan sebagai sudut antara garis lurus dan proyeksinya, akan menjadi yang terkecil di antara sudut yang dibentuk oleh garis lurus ini dengan garis lurus sewenang-wenang pada bidang. 5. Jarak antara dua garis yang berpotongan dihitung sebagai panjang tegak lurus bersama. a-b, ajua, h ± a, h ± b Bagaimana cara menentukan dan menghitung sudut antara garis dan bidang dalam ruang? Untuk ini, berguna untuk menggunakan kalkulus vektor dan fungsi trigonometri. Pertanyaan ini akan dibahas lebih lanjut (lihat Bab 5). Sekarang sebagai contoh yang baik mempertimbangkan sudut antara garis dan bidang yang berbeda dalam kubus. 1. Setiap rusuk kubus, misalnya rusuk AA", tegak lurus dengan dua sisi kubus. Tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di permukaan ini, khususnya, dengan delapan sisi. 2. Setiap sisi kubus tegak lurus dengan empat wajah lainnya. 3. Perhatikan salah satu diagonal kubus, misalnya AC ". Proyeksinya pada bidang ABCD akan menjadi diagonal alas AC. Sudut a dari kemiringan diagonal AC "terhadap bidang alas adalah sudut C" AC. Sangat mudah untuk menghitung trigono-
58 fungsi metrik sudut a menggunakan segitiga siku-siku AC "C: sina \u003d i; tga \u003d \u003d\u003e a "35. l / 3 y / 2 4. Pertimbangkan bagian yang melewati dua sisi berlawanan dari sebuah kubus (bagian diagonal), misalnya, bagian AB "C" D. Sudutnya dengan bidang alas ABCD didefinisikan sebagai sudut antara garis C "D dan DC. Sudut ini sama. Sudut A "OA akan menjadi yang diinginkan, karena AO dan A" O tegak lurus terhadap garis perpotongan bidang: tga \u003d y / 2 \u003d\u003e a i 54. ^ Pertanyaan dan latihan 1. Cara menentukan sudut antara garis miring dalam ruang? 2. Garis apa yang disebut tegak lurus bidang? 3. Bagaimana sudut antara garis lurus dan bidang ditentukan? 4. Bagaimana sudut antara dua bidang dihitung? 5. Bagaimana jarak antara bidang sejajar ditentukan? 6. Bagaimana jarak antar garis yang berpotongan ditentukan? PERCAKAPAN SH Geometri Euclid Pengantar Model kesempurnaan logis selama lebih dari dua ribu tahun adalah eksposisi prinsip-prinsip geometri, yang dilakukan oleh Euclid pada abad ke-3. SM. Dapat dikatakan bahwa eksposisi ini adalah satu-satunya contoh teori matematika yang ketat dalam sejarah umat manusia, yang dengannya 59
59 Euclid (akhir abad ke-43 SM) Matematikawan Yunani Kuno, penulis karya "Awal" dalam 13 buku, yang menguraikan dasar-dasar geometri, teori bilangan, metode untuk menentukan luas dan volume, termasuk unsur-unsur teori limit, dan lebih banyak. Saya menyebut seseorang. Sampai sekarang, sebagian besar buku teks geometri mengikuti jalur yang ditunjukkan oleh Euclid, dan, misalnya, hingga saat ini, anak-anak sekolah bahasa Inggris hanya menggunakan terjemahan modern Elemen Euclid sebagai buku teks. Tentu saja, pada akhir abad XX. pandangan lain juga menyebar. Mereka milik berbagai masalah. Berikut adalah beberapa di antaranya. Apakah mungkin (dan apakah berguna) untuk mempelajari geometri, meninggalkan dasar aksiomatiknya? Apakah perlu untuk berkenalan dengan teori aksiomatik sama sekali dalam kerangka pendidikan umum dan budaya? Jika demikian, apakah geometri Euclid cocok untuk ini, dan apakah mungkin untuk menemukan contoh yang lebih sederhana dan lebih mudah diakses? Seberapa sempurna geometri Euclidean itu sendiri? Kami tidak akan menyentuh masalah ini. Struktur buku ini memberikan jawaban positif atas pertanyaan apakah mungkin, dalam mempelajari matematika, untuk dilakukan tanpa terbiasa dengan metode aksiomatik. Tapi kami percaya bahwa semua orang manusia budaya harus akrab dengan sejarah pertanyaan geometri Euclidean, tanpa, bagaimanapun, menghubungkannya baik dengan studi geometri yang sebenarnya, atau dengan tujuan menguasai metode matematika baru. Aksioma Euclid Halaman pertama dari Euclid's Elements (edisi 1505) Euclid's Elements (lebih tepatnya, masing-masing dari tiga belas buku yang membentuk karya ini) dibuka dengan definisi konsep dasar. Berikut adalah beberapa definisi dari halaman pertama dari Permulaan: "Sebuah titik adalah yang tidak memiliki bagian"; “Sebuah garis adalah panjang tanpa lebar. Ujung garis adalah titik; “Permukaan adalah yang hanya memiliki panjang dan lebar. Ujung-ujung permukaan garis "; "Perbatasan adalah apa yang merupakan ujung dari sesuatu"; "Angka adalah apa yang terkandung dalam batas-batas apa pun." Definisi-definisi tersebut diikuti oleh ketentuan-ketentuan utama yang diterima tanpa bukti,
60vj. perbedaan yang dibuat oleh Euclid antara postulat dan aksioma tidak begitu jelas.) Berikut adalah beberapa contoh. 1. Sebuah garis lurus dapat ditarik dari setiap titik ke setiap titik lainnya. 2. Jika sebuah garis yang jatuh pada dua garis membentuk sudut-sudut dalam pada satu sisi, yang jumlahnya kurang dari dua garis, maka, jika diperpanjang tanpa batas, garis-garis ini berpotongan di sisi ini. Ini adalah postulat kelima yang terkenal, setara dengan aksioma keunikan paralel. Kemudian, dengan bantuan konsep dasar dan aksioma, teorema (proposisi) dibuktikan dengan cara yang murni logis. Jadi, sebagai kalimat keempat, Euclid membuktikan "tanda pertama persamaan segitiga." Tentu saja, Euclid menggunakan banyak hal yang sebenarnya tidak ada dalam aksioma (misalnya, tidak ada superposisi angka, yang sering digunakan sebagai semacam eksperimen pemikiran). Namun, dengan pengecualian beberapa detail editorial dan linguistik, tingkat ketelitian Euclid dianggap cukup memuaskan hingga akhir abad ke-19. Aksiomatik Modern Geometri Euclidean Seperti yang telah ditunjukkan, hampir semua buku pelajaran sekolah geometri mereproduksi satu atau lain aksiomatik, dan, sebagai aturan, di awal kursus. Pada saat yang sama, mereka mencoba membuat daftar sesederhana mungkin dan pada saat yang sama nyaman untuk membuktikan teorema. Model untuk konstruksi semacam itu, dengan mempertimbangkan pencapaian dan bahasa matematika yang telah dikembangkan pada akhir abad ke-19, adalah sistem aksioma yang luar biasa (meskipun tidak terlalu sederhana) dari ahli matematika Jerman Hilbert, yang dibuat olehnya di 1899. D. Hilbert membedakan tiga sistem objek (dasar) yang tidak ditentukan: titik, garis, dan bidang. Kemudian "hubungan" di antara mereka didalilkan (milik, berada di antara, menjadi sama, kongruen). Ketentuan ini membentuk lima kelompok aksioma. Misalnya, pernyataan berikut termasuk dalam kelompok aksioma kedua (“aksioma keteraturan”), yang oleh ahli geometri Jerman G. Pasch menarik perhatian pada tahun 1882 sebagai aksioma yang diperlukan: “Jika sebuah garis lurus memasuki bagian dalam segitiga melalui salah satu sisinya, tetapi tidak melalui bagian atasnya, maka ia harus keluar darinya melalui sisi yang lain. Kelompok keempat terdiri dari satu aksioma tentang paralelisme: "Melalui setiap titik yang terletak di luar garis a, melewati paling banyak satu garis sejajar dengan a." 61
61 d" kelompok kelima mencakup dua akishma tentang kontinuitas, termasuk apa yang disebut aksioma Archimedes: "Untuk setiap segmen a dan b, segmen yang sama dengan a dapat diletakkan di sepanjang b berkali-kali sehingga menutupi segmen b." Geometri Non-Euclidean Selama dua ribu tahun, tidak ada yang meragukan (dan tidak ada yang meragukan sampai hari ini) nilai aksioma Euclid. Satu-satunya pertanyaan, yang baik matematikawan profesional dan amatir terus-menerus kembali, adalah sebagai berikut: "Apakah tidak mungkin untuk membuktikan, untuk menyimpulkan postulat kelima Euclid dari sisa aksioma sebagai teorema tertentu." Ribuan buku dan artikel telah ditulis tentang hal ini, tetapi yang terbaik yang telah dilakukan adalah mengganti aksioma paralelisme dengan pernyataan lain yang tampak jauh lebih jelas (dan karena itu sering diabaikan), tetapi ternyata persis sama dengan postulat kelima. Pada pertengahan abad XIX. menjadi jelas bahwa postulat kelima adalah independen dari sisa aksioma Euclid dalam arti yang luar biasa bahwa, dengan menambahkan sisa sistem ini aksioma yang menyangkal postulat kelima (misalnya, dalam bentuk yang setidaknya dua baris lewat melalui titik mana pun yang sejajar dengan titik yang diberikan), kita akan memperoleh sistem non-kontradiksi baru di mana kita dapat memilih teorema yang sama jauh dan bermaknanya dengan yang diperoleh dalam geometri Euclid. Sistem seperti itu, di mana daftar aksioma yang ditunjukkan dipenuhi (termasuk negasi dari postulat kelima), kemudian disebut "geometri non-Euclidean". Untuk pertama kalinya sistem seperti itu dijelaskan dengan jelas oleh matematikawan Rusia yang luar biasa N.I. Lobachevsky, yang menyampaikan laporan di Universitas Kazan pada tahun 1826, dan empat tahun kemudian secara rinci dari Nikolai Ivanovich Lobachevsky () matematikawan Rusia; pengarang " Penelitian Geometris pada teori garis paralel”, diterjemahkan menjadi Jerman, pencipta "geometri non-Euclidean" (geometri Lobachevsky). Dia disebut "Copernicus dalam Geometri", karena dia benar-benar mengubah seluruh sistem pandangan yang ada tentang geometri. Untuk pengembangan matematika, tidak hanya teorema spesifik yang dibuktikan oleh Lobachevsky yang penting, tetapi lebih jauh lagi pendekatannya terhadap dasar-dasar sains. Hasil serupa diperoleh oleh K. Gauss, tetapi dia tidak memiliki keberanian untuk menyelesaikannya dan menerbitkannya, tetapi dia memiliki kejujuran ilmiah untuk mengajukan Lobachevsky untuk pemilihan sebagai anggota yang sesuai dari Masyarakat Ilmiah Göttingen dan secara pribadi memberi tahu dia tentang pemilihan tersebut. .
62 matematikawan J. Boyai menerbitkan makalah dengan konten serupa. Setelah 40 tahun berikutnya, contoh permukaan dibangun di mana geometri Lobachevsky dilakukan. Dari Geometri ke Logika Arti perpindahan dari Euclid ke Lobachevsky dan selanjutnya ke Hilbert (atau setidaknya salah satu dari makna ini) terdiri dari pembebasan dari visualisasi geometris. Dalam sistem Hilbert, Anda tidak perlu tahu bagaimana titik dan garis "terlihat". Mereka dapat (dan harus) diperlakukan sebagai objek yang hanya diketahui oleh apa yang dijelaskan dalam aksioma. Jadi, melanjutkan dari aksioma, kami memperoleh hasil baru hanya dengan bantuan logika. Pandangan ini menimbulkan dua pertanyaan baru. Pertama-tama, tentang geometri itu sendiri. Memperoleh sejumlah besar pernyataan yang cukup dalam sebagai konsekuensi dari aksioma (seperti, misalnya, dilakukan oleh Lobachevsky) tidak dengan sendirinya membuktikan konsistensi sistem yang dibangun. Sudah pada akhir abad XIX. menjadi jelas bahwa adalah mungkin untuk membuktikan konsistensi sistem baru dengan bantuan model yang mengimplementasikan aksioma sistem. Dengan demikian, Hilbert menunjukkan model untuk membangun geometri Euclidean dengan bantuan angka. Masalah lain terkait dengan analisis logika itu sendiri, yang dilakukan dengan intensitas tinggi pada abad ke-20.
63 Kombinatorik Anotasi 1 Konstruksi kombinatorial Kode Morse Alfabet terdiri dari dua karakter: titik dan tanda hubung. Konstruksi kata Kata-kata panjang. 1 Konstruksi (konstruksi) apa yang paling sering digunakan dalam kombinatorik? 1. Konstruksi kata-kata. Pertimbangkan beberapa set simbol. Simbol-simbol ini akan disebut huruf, dan seluruh rangkaian huruf akan disebut alfabet. Kata-kata panjang 2 Sebuah kata adalah urutan huruf dalam alfabet tertentu. Kata-kata panjang 3 Setiap huruf alfabet dapat digunakan sekali, beberapa kali, atau tidak sama sekali. Tugas 1. Hitung jumlah kata dengan panjang k dalam alfabet n huruf. Ada k tempat dalam kata yang panjangnya k. Kami menempatkan salah satu dari n huruf di tempat pertama. Ketika tempat berikutnya terisi, jumlah kemungkinan meningkat n kali. Jawaban: n p... n = n k Banyaknya kata yang panjangnya k k kali dalam abjad yang terdiri dari n huruf sama dengan n k 2. Penempatan. Pertimbangkan satu set objek. Siapkan serangkaian kursi kosong. Kita membedakan urutan tempat pertama, kedua, dan seterusnya. Mengisi baris berarti menempatkan di setiap tempatnya beberapa objek dari himpunan yang diberikan (setiap objek hanya dapat digunakan satu kali). 54
64 Baris yang diisi dengan objek dari himpunan tertentu disebut penempatan (kita menempatkan objek di tempat tertentu). Misalkan jumlah benda dalam himpunan sama dengan n, dan panjang baris (jumlah tempat di dalamnya) sama dengan k Soal 2. Hitung jumlah A k n penempatan n benda di k tempat. Tidak seperti tugas 1, di mana surat dapat digunakan lebih dari satu kali, dalam tugas ini, setelah meletakkan objek di tempat tertentu, kami mengambilnya dari set (sekantong objek) dan kami tidak lagi memilikinya (tidak dapat muncul lagi ) . Kami menempatkan salah satu dari n objek di tempat pertama. Pada setiap langkah berikutnya, jumlah kemungkinan berkurang satu. Jawaban: n(n - 1)(n - 2)... = n(n - 1)... (n - k + h faktor + 1). Perhatikan bahwa faktor terakhir adalah n - (k - 1) = n - k + 1. Perhatikan bahwa jika k > n, maka salah satu faktornya adalah nol, karena tidak mungkin n objek menempati jumlah tempat yang lebih besar dari n. 3. Permutasi. Pertimbangkan satu set yang berisi n objek. Kami ingin mengaturnya, mis. mengatur. Hal ini dapat dilakukan dengan penomoran objek. Himpunan objek yang terurut disebut permutasi. Istilah ini muncul karena pada mulanya objek-objek diambil, entah bagaimana disusun, dan cara-cara pengurutan lainnya diperlukan penataan ulang objek-objek tersebut. Soal 3. Hitung jumlah Pn permutasi dari n objek. Jelas bahwa masalah ini bertepatan dengan masalah penempatan dalam kasus ketika jumlah objek cocok dengan jumlah tempat, kami mengatur semua n objek menggunakan n tempat yang tersedia. Pengulangan alasan Soal 2 mengarah ke jawaban berikut: n(n - 1) Karena jumlah faktor adalah n, angka terakhir adalah 1. Lebih mudah untuk mengatur ulang faktor dan menulis hasilnya sebagai produk dari semua bilangan asli dari 1 sampai n: n = = n\ (baca "n faktorial"). Kata dua huruf dalam abjad tiga huruf aa ab ac ba bb bc ca s SS Penempatan tiga benda di dua tempat Penempatan n benda di k tempat Jumlah tempat Jumlah kemungkinan penempatan 1 n 2 n- 1 3 n - 2 k n - k + 1 Total opsi: n(n - 1) (n - 2)... (n - k + 1)
65 desain untuk dipecahkan masalah kombinatorial? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Contoh Permutasi P4 = 4! = = 24 Penempatan P n\ K = L ft (n-k) \ l! A = ( l-0)!l!l!l! = = l!(l-l)!Oh! Anagram cab cabd cadb cdab dcab word dengan huruf-huruf yang disusun ulang (penempatan, permutasi) Konstruksi, metode penyusunan dan daftar opsi harus dianalisis 1. Respons biner Seseorang ditanya 10 pertanyaan, untuk masing-masing dia menjawab "ya" atau "tidak". berbagai pilihan jawaban untuk semua 10 pertanyaan? Ada 2 pilihan untuk menjawab pertanyaan pertama. Jika jawaban atas beberapa pertanyaan telah dibangun, maka jawaban untuk pertanyaan berikutnya akan menggandakan jumlah opsi. Jawaban = 2 10 = Tentu saja, dalam masalah ini ada konstruksi konstruksi kata dalam alfabet dua huruf. 2. Tes Pilihan Ganda. Seseorang ditawari tes 6 pertanyaan. Setiap pertanyaan harus dijawab dengan salah satu dari 5 kemungkinan jawaban. Berapa banyak jawaban yang berbeda yang ada untuk semua 6 pertanyaan pada tes? Ada 5 kemungkinan jawaban untuk pertanyaan pertama. Saat pindah ke pertanyaan berikutnya, jumlah opsi akan meningkat 5 kali lipat. Jawaban: = 5 6 = Desain telah diawetkan. Jumlah huruf dalam alfabet telah berubah, sekarang menjadi Kata dengan huruf yang berbeda. Ada 10 huruf dalam alfabet. Berapa banyak kata dengan panjang 3 dapat dibangun dengan huruf yang tidak berulang? Di tempat pertama kami meletakkan salah satu dari 10 huruf, di tempat kedua apa saja, kecuali yang sudah diambil terlebih dahulu. Kami mendapatkan 10-9 opsi. Di tempat ketiga, Anda dapat meletakkan salah satu dari 8 huruf yang tidak digunakan. Jawaban: = 720. Rancangan penempatan digunakan di tiga tempat (tanpa pengulangan) ditempatkan 10 huruf. 4. Anagram kata dengan huruf yang berbeda. Ada berapa anagram untuk kata KATER? Semua lima huruf dari kata ini berbeda. Anda dapat mengatur ulang 5 huruf 5! cara. Jawab: P5 = 5! =
66 fy Soal dan Latihan 1. Apa yang dimaksud dengan kata dalam alfabet ini? 2. Berapa banyak kata yang panjangnya 5 dalam abjad yang terdiri dari 6 huruf? 3. Ada alfabet n huruf. Kata-kata yang terdiri dari m huruf yang tidak berulang dianggap. Konsep kombinatorik apa yang harus digunakan untuk menggambarkan kata-kata seperti itu? 4. Berapa banyak kata dengan panjang 3 dengan huruf yang tidak berulang dalam alfabet 6 huruf? 5. Apa itu permutasi? 6. Ada berapa permutasi dari 6 huruf? 7. Bagaimana konsep "penempatan" dan "permutasi" terkait? 8. Berapa kali jumlah penempatan 10 benda di empat tempat lebih sedikit dari jumlah penempatan benda yang sama di enam tempat? Pelajaran 2 Aturan kombinatorik Apa aturan dasar perhitungan kombinatorial? 1. Aturan penjumlahan. Biarkan himpunan A memiliki m.elemen, dan himpunan B n elemen. Jika himpunan A dan B tidak memiliki anggota yang sama, maka jumlah anggota dalam serikat mereka adalah m + n Kita dapat mengatakan ini: jika dua kantong berisi benda yang berbeda dan kita tuangkan bersama-sama, maka untuk menemukan jumlah totalnya, kita harus menambahkan jumlah benda di masing-masing tas. Jika untuk suatu himpunan berhingga X dilambangkan dengan X jumlah anggotanya, maka aturan penjumlahannya dapat ditulis sebagai berikut: jika A n B = 0, maka \A dan B\ = \A\ + \B\. Aturan ini dapat dengan mudah digeneralisasi untuk kasus ketika himpunan A dan B memiliki bagian yang sama. 2. Aturan penyertaan pengecualian. Biarkan himpunan A dan B memiliki bagian yang sama dengan k elemen. Kemudian, dalam penyatuan himpunan A dan B, jumlah elemen sama dengan m + n - k, yaitu. \A u B\ \u003d \A\ + B - \A n B. Jelas bahwa dengan menambahkan jenis angka, kami menghitung elemen umum dua kali. Aturan kombinatorik Aturan penjumlahan A n B \u003d 0 J] A dan B\ \u003d A + B
Inklusi pengecualian A u B\ = A + B - \A n B\ meluas ke penyatuan sejumlah himpunan yang berubah-ubah. 3. Aturan perkalian. Banyaknya pasangan yang terdiri dari elemen-elemen himpunan A dan B sama dengan hasil kali elemen-elemen himpunan tersebut. Himpunan pasangan elemen dari dua himpunan sering dilambangkan dengan tanda produk. Maka aturan perkalian dapat ditulis sebagai berikut: [A x B\ \u003d A x B. Aturan perkalian dapat dijelaskan dengan mudah menggunakan tabel. Jika kita membuat tabel persegi panjang dan nomor (menunjukkan) barisnya dengan elemen himpunan A, dan kolom dengan elemen himpunan B, maka sel-sel tabel akan sesuai dengan pasangan (a; b), di mana a e A, b e B. Jumlah sel dalam tabel jelas sama dengan produk dari jumlah baris dan jumlah kolom. \A + B + C\ = \A\ + B + \C\ - - \A n B\ - \A n C - B n C\ + + A n B n C 68 Aturan perkalian \A x B = A x B Bagaimana aturan kombinatorik diterapkan dalam memecahkan masalah? 1. Jumlah istilah. Pertimbangkan produk (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - be). Berapa banyak monomial (sebelum pengurangan yang serupa) akan diperoleh dengan mengalikan "kurung dengan kurung"? Pertanyaan yang sama dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: “Berapa banyak pasangan yang dapat dibuat dari monomial dalam kurung pertama dan kedua?” Kami memilih salah satu dari tiga monomial di braket pertama dan salah satu dari enam di braket kedua. Banyaknya pasangan adalah 3-6 = 18 menggunakan aturan perkalian. 2. Menu. Daftar menu terdiri dari 5 makanan pembuka, 3 hidangan pertama, 4 hidangan kedua, dan 3 hidangan penutup. Berapa banyak cara memesan makanan empat macam? Saat memikirkan pesanan, kami membuat empat nama: 1) camilan; 2) kursus pertama; 3) kursus kedua; 4) makanan penutup. Di baris pertama dari empat ini kita memasukkan salah satu dari lima opsi yang diberikan, di baris kedua salah satu dari tiga, dll. Jumlah keseluruhan dari
68 [=180. Ini adalah contoh dari generalisasi aturan perkalian. Kami tidak hanya membuat pasangan, tetapi juga set dua, tiga, empat atau lebih objek. 3. Nomor plat mobil. Nomor mobil terdiri dari tiga huruf dan tiga angka. 20 huruf dan semua 10 angka digunakan. Angka yang memiliki semua 3 nol juga valid (misalnya, A000AA). Berapa banyak bilangan yang dapat dihasilkan? Kamar memiliki 6 kursi. Yang pertama, kelima dan keenam untuk huruf, yang kedua, ketiga, keempat untuk angka. Kursi diisi secara independen satu sama lain. Jawaban: = Jumlah kata. Ada 4 huruf dalam alfabet. Berapa banyak kata yang dapat dibuat dari huruf-huruf alfabet ini, yang tidak lebih dari 3 huruf? Banyaknya kata yang panjangnya k dari abjad yang terdiri dari 4 huruf adalah 4*. Kumpulan kata dengan panjang yang berbeda tidak memiliki elemen yang sama. Kami menerapkan aturan penambahan. Jawaban: = = Jumlah siswa. Setiap siswa belajar bahasa di kelas. Pada saat yang sama, 20 siswa belajar bahasa Inggris, 12 bahasa Prancis, dan 7 siswa kedua bahasa. Berapa banyak siswa di kelas? Jika kita menjumlahkan jumlah siswa yang belajar bahasa Inggris dan Prancis, maka kita menghitung semua siswa, tetapi mereka yang belajar dua bahasa akan dihitung dua kali. Kami menerapkan aturan inklusi. Jawaban: = "Setidaknya sekali." Sebuah dadu dilempar dua kali berturut-turut. Berapa kali angka 6 akan muncul setidaknya sekali? Kami akan membagi semua kasus menjadi dua kelas: nomor 6 tidak pernah jatuh, nomor 6 setidaknya keluar satu kali.Kelas-kelas ini tidak memiliki elemen yang sama. Total pilihan, yaitu jumlah urutan dua digit dengan margin 6 digit adalah b 2, dengan margin 5 digit (semua kecuali enam) adalah 5 2. Terapkan aturan penambahan: b 2 \u003d x. Jawaban: b = 11. Hidangan Jumlah kursus Pemula 5 Pertama 3 Kedua 4 Makanan penutup 3 Jumlah pilihan makan malam empat menu: = 180. Plat nomor A000AA Jumlah angka: = Jumlah kata Jumlah huruf dalam alfabet 4 Panjang kata k Jumlah kata 4* k = 3 => Dengan aturan penjumlahan: = 84 Jumlah siswa Jumlah siswa di kelas: = 25 "Setidaknya sekali" Kelas 1: tidak pernah menggulung 6. Kelas 2: menggulung 6 setidaknya sekali 69
69 Soal dan Latihan 1. Bagaimana cara menentukan jumlah anggota dalam dua himpunan, jika jumlah anggota pada setiap himpunan diketahui, dan beberapa anggota dapat bersekutu? 2. Apa aturan perkaliannya? 3. Ada empat contoh dalam tugas tes. Ada 5 jawaban untuk setiap contoh. Berapa banyak cara Anda dapat memilih jawaban untuk pertanyaan itu? 4. Dadu dilemparkan dua kali berturut-turut. Untuk setiap kemungkinan jumlah poin yang digulung, hitung jumlah pilihan yang mungkin. Periksa: Dengan menambahkan opsi untuk setiap jumlah yang memungkinkan, Anda harus mendapatkan jumlah total opsi. Pelajaran 3 Jumlah orbit Orbit adalah himpunan opsi yang identik (setara) Penempatan Penempatan A tanpa pengulangan dari k elemen oleh m elemen Contoh Anda dapat menempatkan 6 orang dalam satu baris 6! (720) cara; tempat duduk 6 orang di meja bundar bisa menjadi 5! (120) cara; Jika ada 5 laki-laki dan 5 perempuan, ada 5.5!2 5 cara untuk membuat kolom pasangan laki-laki-perempuan. Bagaimana perhitungan kombinatorial memperhitungkan kombinasi yang dianggap sama? Saat menghitung jumlah opsi, seringkali perlu untuk mempertimbangkan (mengidentifikasi) opsi yang sama menurut beberapa atribut. Jika kita menggabungkan semua opsi yang dianggap sama, kita mendapatkan himpunan yang disebut orbit. 1. Meja bundar. Kami akan duduk 6 orang berturut-turut. Itu bisa dilakukan 6! cara. Sekarang mari kita letakkan mereka di meja bundar. Kami akan mempertimbangkan cara yang sama untuk mengatur orang, yang dapat diperoleh dengan memutar meja dalam lingkaran. Mari kita ambil satu pengaturan dan kita akan membalikkan keadaan. Kami akan mendapatkan orbit enam pengaturan. Jumlah total orbit akan menjadi 6 kali lebih sedikit dari jumlah semua pengaturan. 6! Jawab: = 5! = Jumlah pasangan Ada 5 laki-laki dan 5 perempuan. Berapa banyak cara mereka dapat diatur dalam kolom yang terdiri dari pasangan anak laki-laki dan perempuan? Kami akan menganggap kolom di mana anak laki-laki itu berdiri di sebelah kiri atau di sebelah kanan adalah sama. Maka jumlah cara dapat dihitung sebagai berikut: memilih baris untuk anak laki-laki
70 ^V/^y pil^u ^VDUICIV 5! cara. Mari kita ambil satu susunan berpasangan dan mulai mengubah posisi kiri dan kanan berpasangan. Dari satu pengaturan kita mendapatkan 2 5 = 32 lainnya (kita mengubah posisi di setiap pasangan secara independen satu sama lain). Menggabungkan opsi ke dalam orbit dan mencatat bahwa jumlah elemen di setiap orbit sama, sama dengan 32, kami mendapatkan hasilnya. 1 /.\ Jawaban: (5!) V "Jumlah kombinasi. Dalam berapa cara suatu himpunan bagian (tidak terurut!) dari k elemen dapat dipilih dari suatu himpunan yang berisi n elemen? Jika kita mendudukkan orang di k tempat di urutannya, kita akan mendapatkan jawaban berupa n(n - 1)... (n - k + 1) jumlah penempatan. Gabungkan susunan ke orbit dengan menukar (mengatur ulang) k orang yang dipilih. Hal ini dapat dilakukan dalam k\ cara. Banyaknya orbit adalah n (n-l) -. ..-(n-ft + l) akan sama. Kami mendapat sampel elemen di mana urutan elemen tidak penting. Sebelumnya, himpunan bagian disebut kombinasi, sehingga bilangan yang dihasilkan disebut "jumlah kombinasi dari n ke k" dan dinotasikan c*.notasi = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Properti CS = ""* kombinasi 4. Jumlah anagram. Kami menghitung sebelumnya jumlah anagram kata dengan huruf yang berbeda. Jika jumlah huruf dalam suatu kata sama dengan n, maka bilangan ini sama dengan banyaknya permutasi dari n unsur, yaitu bilangan n\. II f dan t Banyaknya subgrup Dengan berapa cara suatu subgrup yang terdiri dari tiga orang dapat dipilih dari grup yang beranggotakan enam orang? Pertama, kami akan menyiapkan tiga tempat dan menempatkan tiga orang di dalamnya secara berurutan. Ini dapat dilakukan dengan == 120 cara. Sekarang kami menggabungkan ke dalam satu orbit pengaturan yang tidak berbeda dalam komposisi rangkap tiga, tetapi hanya berbeda dalam urutan penanamannya. Akan ada 3 di setiap orbit! = 6 rasi bintang Jawaban: 20. 3! (D Contoh Jumlah kombinasi Diberikan satu set elemen: x \u003d (1, 2, 3). Dari himpunan ini perlu dibuat dua elemen. Akan ada tiga di antaranya: (1, 2), ( 1, 3), (2, 3) Dari setiap himpunan bagian dapat membentuk 2 orbit dengan panjang 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) (3, 2), yang merupakan susunan tanpa pengulangan tiga unsur dua, dan jumlahnya sama dengan Al = 3 2 = 6. Sebaliknya, bilangan ini sama dengan 2! C => a A? Al \u003d 2! C - "3 - 2! 71
71 Jumlah kombinasi Sepuluh poin diambil pada garis lurus. Berapa banyak segmen yang diperoleh, yang ujung-ujungnya adalah titik-titik ini? c"=t=th 45 - binomial Newton (a + b) n = a"(1 + x) n (dikurung a" dan dilambangkan b/a oleh Pertimbangkan perluasan binomial (1 + x) n dalam pangkat dari x: (1 + x)" = 1 + a^x + a2x an _ "1 + x". Koefisien ak diberikan oleh rumus k \ Kita kalikan n kurung bentuk 1 + x satu sama lain. Untuk mendapatkan derajat x k, Anda harus memilih x dari mereka di L, dan sisanya n - k 1. Banyaknya opsi untuk memilih k objek dari n yang mungkin adalah jumlah kombinasi yang telah kami tentukan dari n ke k, yaitu jumlah C * Untuk memudahkan, kita asumsikan = 1 dan tulis rumus binomial sebagai berikut: (1 + x) l \u003d C + C\x C2~ 1 x n - 1 + CZx n. huruf identik. Misalnya, mari kita cari jumlah anagram dari kata TENTANG. Ini adalah kata dari delapan huruf, dan di dalamnya huruf O muncul 4 kali, K dua kali, dan huruf L dan T masing-masing satu kali. Mari kita membuat huruf yang sama menjadi berbeda (misalnya, menulisnya font yang berbeda K dan K). Sekarang semua 8 huruf berbeda dan jumlah anagram dari kata ini adalah 8!. Mari kita gabungkan mereka ke dalam orbit, mengidentifikasi huruf O dan K yang sama, tetapi berbeda ejaannya. Menata ulang ejaan yang berbeda huruf O (4! cara) dan K (2! cara), kita mendapatkan orbit 4! 2! = 48 kata. Untuk mendapatkan jumlah anagram dari kata aslinya, Anda perlu 8! dibagi dengan panjang orbit. delapan! Jawaban: = ! Bagaimana cara meningkatkan jumlah monomial menjadi kekuatan? 1. Rumus binomial Newton. Ungkapan "Binomial Newton" telah lama menjadi simbol kesulitan dan ketidakpahaman matematika. Sebenarnya dalam pertanyaan tentang hal yang cukup sederhana: jika Anda mengambil binomial (binomial) a + b, naikkan ke pangkat dan menambahkan suku yang sama, Anda mendapatkan jumlah monomial dalam bentuk a k b l dengan beberapa koefisien. Rumus untuk menghitung koefisien ini dikaitkan dengan nama I. Newton, meskipun telah digunakan jauh lebih awal. Saat menaikkan a + b ke pangkat binomial, kita memperoleh rumus: Anda sudah familiar dengan 2, 3, 4. Angka-angka C* disebut koefisien binomial 2. Sifat-sifat koefisien binomial 1) Kasus khusus Berguna untuk mengingat yang pertama koefisien: _ ha(ha-1)(i-2) C n ~ ~ 2 ~ "6 72
72 a) uu/iato h-krkz fiktiriyl. CHUormula ra(ra-l)...(ra-fe + l) C - dapat diubah ke bentuk yang lebih simetris, k\ dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan (ga - A;)!. Di pembilang, semua angka dari 1 hingga ha akan dikembalikan. Kami mendapatkan rumus C* = P. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2k). VA AC + BC AC \u003d 2) \ AC \: - (va + Matahari) AC \u003d \u003d BD AC \u003d 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = (ab + AD)(AB + AD) = = AB AB + 2AB AD + + AD AD = a 2 + 2a 2 x x + a 2 = Untuk 2. 2 AC = av3. Jawaban: 1) 0; 2) av3. Ekspresi dalam kurung harus dikalikan suku dengan suku dan memperhitungkan bahwa i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Jarak. Jarak antara dua titik AG dan A2 dalam ruang dapat dihitung dengan menggunakan produk skalar :. 2 -» IA ^ A21 \u003d AX A2 AX A2. Kami menulis skalar kuadrat dalam koordinat: -\u003e - "2 2 A1A2A1A: 1 \u003d (X2-X1) + (y 2 ~ yx) + + (z2-zxf. Kami mendapatkan rumus \AxAg\ \u003d yj ( x 2 -Xxf + (y 2 ~ Y1 f + (“2 ~ *i f, yang menggeneralisasi teorema Pythagoras untuk ruang.
84 konsep dalam bahasa koordinat dan vektor? Hal ini dilakukan untuk membangun algoritma komputasi untuk pemecahan masalah geometris. Dasar untuk ini adalah persamaan berbagai angka di ruang angkasa dan, di atas semua itu, persamaan bidang dan bola (permukaan bola). 1. Persamaan bidang. Sebuah pesawat dapat didefinisikan oleh satu titik yang terkandung di dalamnya i^oc-^o? J/o! 2 o) dan sebuah vektor n tegak lurus terhadap bidang ini (disebut vektor normal terhadap bidang tersebut). Diperlukan dan kondisi cukup bahwa titik P(x; y; d) yang termasuk dalam bidang adalah sebagai berikut: [op-op0) 1 n atau dalam bentuk - * persamaan PP0 n = 0. Diketahui koordinat p(a; B) normal ; C), kita memperoleh bidang persamaan dalam bentuk koordinat: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) \u003d 0. Membuka tanda kurung dan menunjukkan angka (Ax0 + + Vy0 + Cz0) melalui D, kita dapatkan persamaan standar bidang dalam bentuk Ax + By + Cz + D = = 0. Ini adalah analog dari persamaan garis lurus yang terkenal pada bidang. Perhatikan bahwa vektor normal n tidak didefinisikan secara unik; itu dapat dikalikan dengan angka berapa pun. 2. Persamaan bola. Titik P(x; y; r) terletak pada bola dengan pusat C(a; b; c) dan jari-jari R jika kondisi \PC\ 2 = R 2 terpenuhi.Kondisi ini dapat dengan mudah ditulis ulang dalam koordinat: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d \u003d R 2. persamaan ini menggeneralisasikan persamaan lingkaran pada bidang. produk dalam koordinat a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y1U2 + z l z 2 Persamaan bidang PP01p 1 "Ax + By + Cz + D \u003d 0 Tulis persamaan bidang dalam kondisi berikut: p (1; 2; 3), P0 (1 ; 0; 0). Solusi: PoP ((x-1); y; z) PoP ± n P0P n \u003d (x -1) + 2y + Zr \u003d 0. Persamaan bidang berbentuk: x + 2y + Zr - 1 \u003d 0. Persamaan bola ^ Pertanyaan dan latihan 1. Bagaimana produk skalar vektor ditentukan? 2. Bagaimana produk skalar dihitung dalam koordinat? 3. Apa sifat utama dari produk skalar? 85
85 koordinat? 5. Tuliskan persamaan bidang tersebut. 6. Tuliskan persamaan bola. Pelajaran 4 Tegak lurus garis dan bidang Tanda-tanda tegak lurus: garis dan bidang 1 t I X t, I ± n, t n n \u003d (0) => I _L a dua bidang On, Zep => p_La dua garis n ± a, t 1 I , li proyeksi I ke a => ij _L t Bagaimana cara memeriksa tegak lurus garis dan bidang menggunakan koordinat dan vektor? 1. Tegak lurus garis lurus dan bidang. Menurut definisi, sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis pada bidang tersebut. Sulit untuk memverifikasi pernyataan seperti itu, karena jumlah garis yang tak terbatas dapat ditarik dalam sebuah bidang. Ternyata cukup untuk memeriksa tegak lurus hanya dua garis yang berpotongan. Teorema (teorema tentang dua tegak lurus). Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis lain pada bidang ini, dan karenanya tegak lurus terhadap bidang itu sendiri. 2. Tegak lurus dua bidang. Dalil. Jika sebuah bidang melalui suatu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus. 3. Perpendicularity dari dua garis. Teorema (teorema tiga tegak lurus). Jika sebuah garis yang tidak terletak pada suatu bidang tegak lurus terhadap suatu garis yang terletak pada suatu bidang, maka proyeksi garis asal pada bidang tersebut juga tegak lurus terhadap garis tersebut. Sebaliknya, jika proyeksi suatu garis pada suatu bidang tegak lurus terhadap suatu garis yang terletak pada bidang tersebut, maka garis asalnya juga tegak lurus terhadap garis tersebut. 86
ISI1. Bilangan, Fungsi dan Grafik 7
§ satu Sumbu numerik 7
2 koordinat Cartesian pada bidang 12
3 Konsep fungsi 19
4 Persamaan dan Pertidaksamaan 35
Tugas dan pertanyaan 42
2. Turunan dan Penerapannya 51
5 Pengenalan turunan 51
6 Perhitungan turunan 60
7 Penyelidikan suatu fungsi dengan bantuan turunan 69
8 Aplikasi turunan 85
9 Diferensial 91
10 Maksimum dan minimum tugas 98
Tugas dan pertanyaan 104
3. Paralelisme garis dan bidang 114
11 Saling mengatur garis dan bidang H4
12 Tanda paralelisme 122
13 Konstruksi aksiomatik geometri 130
Tugas dan pertanyaan 134
4. Vektor
14 segmen yang diarahkan
15 Koordinat vektor
16 Penerapan vektor dalam mekanika 17 Ruang vektor
Tugas dan pertanyaan
5. Fungsi trigonometri 166
18 Sudut dan belokan 166
19 Definisi fungsi trigonometri 175
20 Studi sinus dan kosinus 185
21 Tangen dan kotangen 193
22 Turunan fungsi trigonometri 197
23 Diagram reduksi 201
Tugas dan pertanyaan 205
6. Produk titik 210
24 proyeksi Vektor 210
25 Sifat hasil kali dalam 213
Tugas dan pertanyaan 220
7. Identitas trigonometri dan persamaan 222
26 Rumus penjumlahan 222
27 Persamaan trigonometri paling sederhana 230
28 Memecahkan persamaan trigonometri 237
Bagian 29 Fungsi terbalik 242
Tugas dan pertanyaan 252
8. Tegak lurus garis dan bidang 259
30 Penetapan vektor garis lurus 259
31 Penetapan vektor pesawat 265
32 Sudut dihedral 274
Tugas dan pertanyaan 278
9. Badan spasial 283
33 Silinder dan kerucut 283
34 Orb dan bola 291
35 Prisma dan piramida 295
36 Polihedra 303
Tugas dan pertanyaan 310
10. Fungsi eksponensial dan logaritma 320
37 Pangkat dan logaritma 320
38 fungsi eksponensial 327
39 Fungsi logaritma 332
40 Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma 336
Tugas dan pertanyaan 342
11. Integral dan penerapannya 348
41 Definisi integral 348
42 Perhitungan integral 356
43 Penerapan integral 362
44 Persamaan Diferensial 371
Tugas dan pertanyaan 379
12. Luas dan volume 384
45 Luas bangun datar 384
46 Volume badan spasial 393
47 Luas permukaan 399
Tugas dan Pertanyaan 401
13. Persamaan dan Pertidaksamaan 407
48 Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui 407
49 Sistem Persamaan 418
50 Menyusun persamaan 424
Tugas dan pertanyaan 434
Penutup 435
Lampiran 441
Jawaban 448
Indeks 460
Pengulas: Laboratorium Matematika (Lembaga Penelitian Pedagogi Kejuruan Akademi Pedagogik Uni Soviet); Phys.-Matematika. ilmu pengetahuan, prof. S. V. Vostokov (Universitas Negeri A. A. Zhdanov Leningrad)
Manual ini ditulis sesuai dengan program kursus matematika terpadu yang dikembangkan oleh sekelompok ahli matematika Leningrad.
Aljabar, awal mula analisis dan geometri disajikan sebagai salah satu mata pelajaran “Matematika”. Penyajian materi disertai dengan sejumlah besar contoh. Untuk siswa dan guru sekolah menengah kejuruan.
Penerbitan " lulusan sekolah", 1987
Kata pengantar
Buku ini merupakan pelajaran matematika eksperimental, yang sesuai dengan kurikulum sekolah menengah. sekolah Menengah, tanpa pembagian tradisional menjadi berbagai disiplin ilmu - aljabar dan awal analisis, geometri. Edisi ini didasarkan pada "Eksperimental materi pengajaran"(M., Higher School, 1982) dan manual" Matematika "(M., Pendidikan, 1983).
Selama mengajar kursus eksperimental dalam matematika di sekolah menengah kejuruan di Leningrad dan beberapa daerah lain di negara itu pada 1974-1985. menemukan konfirmasi kebenaran pilihan utama prinsip-prinsip metodologis ditetapkan dalam program kursus terpadu matematika. Gagasan pokok mata kuliah ini ternyata terkoordinasi dengan baik dengan arah utama reformasi pendidikan umum dan sekolah Menengah Kejuruan dan berkontribusi pada implementasi praktisnya. Program kursus semacam itu dikembangkan oleh sekelompok ilmuwan Leningrad dalam kerangka penelitian ilmiah Lembaga Penelitian Pendidikan Kejuruan Akademi Pedagogik Uni Soviet.
Staf departemen mengambil bagian dalam persiapan buku. matematika yang lebih tinggi Institut Elektroteknik Leningrad. V.I. Ulyanov (Lenin). Kepada mereka semua, serta kepada banyak koleganya di institut, sekolah, dan sekolah kejuruan di Leningrad, penulis mengucapkan terima kasih yang tulus.
Perkenalan penulis
Pembaca yang budiman!
Anda memiliki eksperimen tutorial matematika. Matematika selama 2500 tahun keberadaannya telah mengumpulkan alat terkaya untuk mempelajari dunia di sekitar kita. Namun, seperti yang dicatat oleh Akademisi A.N. Krylov, seorang ahli matematika dan pembuat kapal Rusia yang luar biasa, seseorang beralih ke matematika "bukan untuk mengagumi harta yang tak terhitung banyaknya." Pertama-tama, dia perlu berkenalan dengan "alat yang telah terbukti selama berabad-abad dan belajar cara menggunakannya dengan benar dan terampil."
Buku ini akan mengajarkan Anda bagaimana menangani alat-alat matematika seperti fungsi dan grafiknya, bentuk geometris, vektor dan koordinat, turunan dan integral. Meskipun Anda pertama kali mengenal sebagian besar konsep ini sebelumnya, buku ini memperkenalkannya kembali kepada Anda. Ini nyaman bagi mereka yang telah melupakan materi yang dipelajari sebelumnya, dan berguna untuk semua orang, karena bahkan hal-hal yang akrab akan mengungkapkan aspek dan koneksi baru.
Untuk memfasilitasi pekerjaan dengan manual, ketentuan dan formulasi yang paling penting disorot. Ilustrasi memainkan peran besar: jika Anda tidak sepenuhnya memahami teks pelatihan, pertimbangkan dengan cermat gambar yang terkait dengannya. Bahkan di zaman kuno mereka menggunakan metode belajar matematika ini - mereka menggambar dan berkata: lihat!
Setiap bagian dari buku ini dibagi menjadi paragraf. Ada latihan di akhir paragraf. Latihan-latihan ini, tentu saja, tidak cukup untuk menguasai keterampilan yang diperlukan. Tujuannya adalah untuk menunjukkan arah utama upaya yang diperlukan untuk menguasai materi yang relevan.
Satu set tugas dan latihan yang cukup lengkap ditempatkan di akhir setiap bab.
INDEKS SUBJEK
TETAPI
Aditivitas 361 Aksioma 118, 131 Aksioma stereometri 132 Argumen 22 Arccosine 234, 250 Arccotangent 236, 251 Arcsine 232, 233, 250 Arctangent 236, 251
PADA
Vektor 137, 138, 149, 150, 157 - nol 140
Vektor collinear 260, 262
Grafik fungsi 23, 32, 33 D
Tekanan 89
Diagram reduksi 201-203 Diferensial fungsi 91, 92 Derivasi 51, 53, 348, 355 Lingkar 401
Dan
Integral 348-350, 352, 354, 366 K
Garis singgung kurva 53 Persegi 130
Osilasi harmonik 191, 22 £ Kerucut 285, 289, 290
- terpotong 287
Koordinat vektor 148, 149, 151
- poin 7, 13, 147
- - Memutar 175 akar Aritmatika 321
- Persamaan 25
- 25 fungsi
Cosinus 175, 178, 186-189, 191, 197 Cotangent 175, 179, 186, 193, 196, 199, 203
Kubus 305
L
Logaritma 325
- alami 331
M
Berat 368
3 - batang 87, 93
Muatan listrik 88, 93, 368 Derajat ukuran sudut 169
Nilai fungsi maksimum 98 - - radian 170
- - sedikitnya 98 metode Gauss 423
- interval 39 Polyhedron 303, 308 Modul 138
- transisi 326
- nomor 9
Monotonisitas fungsi 29 N
Vektor arah garis lurus 259 Pertidaksamaan irasional 413
- setara 409
- rasional 413 Ketimpangan 35, 407
- persegi 37
- yang paling sederhana 339
HAI
Rentang Valid 409
- - fungsi 83
- definisi fungsi 24, 246 Cakupan 393, 394
- kubus 393
- silinder 393, 395 Octahedron 307
Orth dari sumbu 149 Sumbu numerik 7
P
Palet 393
Sejajar 299, 300 Antiturunan 356 Paralelisme garis 126 Variabel 19 Perpindahan 368 Batas transisi 56 Periode 185
Periodisitas 176, 185 Piramida 297, 298
Pesawat paralel 120, 124, 125
- berpotongan 120
- tegak lurus 276 Bidang 114, 119, 130
- Tangen 293 Luas 362
- kerucut 400
- lingkaran 90
- poligon 388
- jajaran genjang 387
- subgrafik 389
- prisma 400
- segitiga 386-388
- angka sewenang-wenang 389
- silinder 400 Kepadatan linier 87 Permukaan bola 400 Akurasi 96
Aturan untuk menggambar vektor 139-141
Aturan Poligon 140
- paralelepiped 141
- jajaran genjang 140, 141
- tiga poin 140 Prisma 295, 296
Tanda paralelisme dua bidang 124
- - - lurus 123
- tegak lurus garis dan bidang 267
- persilangan garis 117 Tanda paralelisme 122 Peningkatan argumen 59
- fungsi 59 Proyeksi vektor 211
- ortogonal 272
- poin 210
Produk skalar 210, 213-216 Produktivitas tenaga kerja 90 Turunan 51-53, 57, 60-63, 69 Interval numerik 8 Ruang vektor 157 Garis lurus 114, 119, 130 Garis sejajar lurus 114, 132
- berpotongan 114, 132
- menyeberang 114, 126, 132
R
Kerjakan 87, 88, 93, 367 Persamaan vektor 260 Radian 170
Vektor radius 142, 153 Ekspansi vektor 145, 147 Dimensi 145, 158, 159
Ketegangan 140 Linear ekspansi tubuh 83 Solusi persamaan 37
dengan
Sifat-sifat gerak rotasi 172-174
- integral 360
- ketidaksetaraan 35
- radikal 321
- 324 derajat
Segmen parabola 103 Bagian kerucut aksial 287 Sinus 175, 178, 186, 187-189, 191, 197 Sistem koordinat geografis 14
- - Kartesius 12, 147
- tidak kompatibel 419
- sambungan 419 Sistem jalur 422
- simetris 421 Kecepatan 85, 155, 365
- instan 55, 60, 156
- pertumbuhan fungsi 56
- rata-rata 55, 59
- sudut 229
Rasio segitiga 167 Rata-rata aritmatika 37
- Geometris 37 Derajat 323
Jumlah integral 350, 351 Bola 291
T
Tangen 175, 179, 186, 193-195, 198, 203
Padatan revolusi 288 Teorema kosinus 216
- Newton - Leibniz 358
- sekitar tiga tegak lurus 270
- Pythagoras 167
- - spasial 301, 302
- Euler 305, 308 Kapasitas panas 89 Panas 88 Titik 114, 130
- kritis 75
- maksimum lokal 26
- - minimal 26
- khusus 84
- ekstrim 82
Identitas trigonometri 179, 236
- persamaan 230, 237
- rumus sudut ganda 224
- - tambahan 240
- fungsi 249-251
- - setengah arang 225
Pada
Lereng Tangen 52 Sudut 116, 169, 170
- dihedral 274, 275
- linier 275
- polihedral 309 Sudut kerucut 287 Persamaan 407
- gerakan 372 vektor 152
- diferensial 371, 374
- irasional 413
- getaran harmonik 376, 377
- logaritma 336
- sekitar 373 kedua
- - 373 pertama
- indikatif 337
- lurus 18, 260
- rasional 413 Persamaan homogen 241
-protozoa 183
- setara 37, 409 Akselerasi 86, 153
Kondisi paralelisme garis lurus dan bidang 268
- - lurus 262
- tegak lurus vektor 217- 219
- - lurus dan datar 268
- - lurus 262
- kesetaraan 140
F
Rumus perkiraan 94, 199, 200
- pemain 180, 222
- tambahan 222-224
- sudut rangkap trigonometri 224
Fungsi saling invers 242, 243, 249
- monoton 246
- mundur 243, 244, 245
- periodik 176, 185
- indikatif 327, 329, 341, 375
- trigonometri 175, 177, 181 Fungsi 22, 70
- logaritmik 332, 333
- ganjil 81
- bahkan 80
C
Silinder 283, 284, 289
Genap 178 Angka 7
- nyata 8
-e 330
- irasional 324
- alami 8
- negatif 35
- positif 35
- rasional 8.323
H
segi empat 130
W
Bola 291, 292
Matematika. Bashmakov M.I.
edisi ke-3 - M.: 2017.- 256 hal. M.: 2014.- 256 hal.
Buku teks ini ditulis sesuai dengan program studi matematika di lembaga NPO dan SPO dan mencakup semua topik utama: teori bilangan, akar, pangkat, logaritma, garis dan bidang, benda spasial, serta dasar-dasar trigonometri, analisis , kombinatorik dan teori probabilitas. Untuk siswa di lembaga pendidikan dasar dan menengah kejuruan.
Format: pdf(2017, 256s.)
Ukuran: 8,6 MB
Tonton, unduh:drive.google
Format: pdf(2014, 256 detik.)
Ukuran: 52,6 MB
Tonton, unduh:drive.google
Daftar Isi
Notasi dasar 3
Kata Pengantar 4
Bab 1. PENGEMBANGAN KONSEP NOMOR 7
Pelajaran 1. Bilangan bulat dan bilangan rasional 7
Pelajaran 2. Bilangan asli 11
Pelajaran 3. Perkiraan perhitungan 15
Pelajaran 4. Bilangan kompleks 18
Percakapan. Bilangan dan akar persamaan 22
Bab 2
Pelajaran 1 Ulasan 26
Pelajaran 2. Akar ke-n 29
Pelajaran 3. Derajat 33
Pelajaran 4. Logaritma 37
Pelajaran 5. Fungsi eksponensial dan logaritma 40
Pelajaran 6. Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma 46
Percakapan. Menghitung pangkat dan logaritma 49
Bab 3. GARIS DAN BIDANG DI RUANG 52
Pelajaran 1. Saling mengatur garis dan bidang 52
Pelajaran 2. Paralelisme garis dan bidang 56
Pelajaran 3. Sudut antara garis dan bidang 58
Percakapan. Geometri Euclid 61
Bab 4. KOMBINATORIK 66
Pelajaran 1. Konstruksi kombinatorial 66
Pelajaran 2. Aturan kombinatorik 69
Pelajaran 3. Jumlah orbit 72
Percakapan. Dari sejarah kombinatorik 77
Bab 5. KOORDINAT DAN VEKTOR 79
Pelajaran 1 Ulasan 79
Pelajaran 2. Koordinat dan vektor dalam ruang 83
Pelajaran 3. Produk titik 85
Pelajaran 4. Tegak lurus garis dan bidang 88
Percakapan. Ruang vektor 90
Bab 6. DASAR-DASAR TRIGONOMETRI 93
Pelajaran 1. Sudut dan gerakan berputar 93
Pelajaran 2, Operasi trigonometri 98
Pelajaran 3. Mengubah ekspresi trigonometri 103
Pelajaran 4. Fungsi trigonometri 109
Pelajaran 5. Persamaan Trigonometri 114
Percakapan. Dari sejarah trigonometri 120
Bab 7. FUNGSI DAN GRAFIK 122
Sesi 1 Ulasan konsep umum 122
Pelajaran 2. Skema studi fungsi 127
Pelajaran 3. Transformasi fungsi dan aksinya 131
Pelajaran 4. Simetri fungsi dan transformasi grafiknya 136
Pelajaran 5: Kontinuitas Fungsi 139
Percakapan. Pengembangan konsep fungsi 141
Bab 8, Polyhedra dan Badan Bulat 143
Pelajaran 1. Kamus geometri 143
Pelajaran 2. Sejajar dan prisma 145
Pelajaran 3. Piramida 148
Pelajaran 4. Tubuh bulat 151
Pelajaran 5. Polihedra biasa 154
Percakapan. Padatan Platonis 157
Bab 9. AWAL ANALISIS MATEMATIKA 159
Pelajaran 1. Proses dan pemodelannya 159
Pelajaran 2 Urutan 165
Pelajaran 3. Konsep turunan 171
Pelajaran 4. Rumus Diferensiasi 176
Pelajaran 5. Turunan dari fungsi dasar 180
Pelajaran 6. Menerapkan turunan pada studi fungsi 183
Pelajaran 7. Tugas yang diterapkan 187
Pelajaran 8. Antiturunan 193
Percakapan. Taylor Formula 195
Bab 10. INTEGRAL DAN APLIKASINYA 198
Pelajaran 1. Luas bangun datar 198
Pelajaran 2. Teorema Newton-Leibniz 201
Pelajaran 3. Benda-benda angkasa 207
Percakapan. Besaran integral 213
Bab 11. UNSUR TEORI PROBABILITAS DAN STATISTIK MATEMATIKA 219
Pelajaran 1. Probabilitas dan sifat-sifatnya 219
Pelajaran 2. tes ulang 222
Pelajaran 3. Variabel acak 225
Percakapan. Asal usul teori probabilitas 228
Bab 12. PERSAMAAN DAN KETIMPANGAN 230
Pelajaran 1 Persamaan Persamaan 230
Pelajaran 2. Teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan 233
Pelajaran 3 Sistem Persamaan 238
Pelajaran 4. Memecahkan ketidaksetaraan 242
Percakapan, Solvabilitas persamaan aljabar 247
Jawaban 249
Kata pengantar
Matematika selama 2500 tahun keberadaannya telah mengumpulkan alat terkaya untuk mempelajari dunia di sekitar kita. Namun, seperti yang dicatat oleh Akademisi A.N. Krylov, seorang ahli matematika dan pembuat kapal Rusia yang luar biasa, seseorang beralih ke matematika "bukan untuk mengagumi harta yang tak terhitung banyaknya." Pertama-tama, dia perlu berkenalan dengan "alat yang telah terbukti selama berabad-abad dan belajar cara menggunakannya dengan benar dan terampil."
Buku ini akan mengajarkan Anda bagaimana menangani alat-alat matematika seperti fungsi dan grafiknya, bentuk geometris, vektor dan koordinat, turunan dan integral. Meskipun Anda mungkin pertama kali mengenal beberapa konsep ini sebelumnya, buku ini menyajikan x baru. Ini nyaman bagi mereka yang sedikit melupakan materi yang dipelajari sebelumnya, dan berguna untuk semua orang, karena bahkan hal-hal yang akrab akan mengungkapkan aspek dan koneksi baru.
Untuk memfasilitasi pekerjaan dengan buku teks, ketentuan dan formulasi yang paling penting disorot. Ilustrasi memainkan peran penting, jadi perlu untuk mempertimbangkan dengan cermat gambar yang terkait dengan teks untuk pemahaman yang lebih baik tentang teks (bahkan di zaman kuno mereka menggunakan metode belajar matematika ini - mereka menggambar dan berkata: "Lihat!" ).
Selain nilai praktis yang tidak diragukan dari pengetahuan matematika yang diperoleh, studi matematika meninggalkan bekas yang tak terhapuskan pada jiwa setiap orang. Dengan matematika, banyak yang mengaitkan objektivitas dan kejujuran, keinginan akan kebenaran, dan kemenangan akal. Banyak orang memiliki kepercayaan diri seumur hidup, yang muncul ketika mengatasi kesulitan yang tidak diragukan lagi yang mereka temui dalam studi matematika. Akhirnya, sebagian besar dari Anda terbuka pada persepsi tentang harmoni dan keindahan dunia yang diserap matematika, jadi Anda tidak boleh mendekati setiap halaman buku teks, setiap tugas dengan penilaian apakah itu akan digunakan dalam kehidupan baru itu. menunggu Anda setelah lulus.
Topik-topik di mana buku teks dikhususkan - teori bilangan, benda spasial, dasar-dasar analisis matematis, permulaan teori probabilitas - tidak hanya penting diterapkan. Mereka mengandung ide-ide yang kaya, pengenalan yang diperlukan untuk setiap orang.
Saya berharap bahwa studi matematika, yang / buku teks akan membantu, akan memungkinkan Anda untuk diyakinkan akan tingkat kemampuan Anda yang tinggi, memperkuat keinginan untuk melanjutkan pendidikan Anda dan membawa banyak menit komunikasi yang menyenangkan dengan "hukum yang tak tergoyahkan yang menandai seluruh tatanan alam semesta."
Persetujuan
Aturan untuk mendaftarkan pengguna di situs "TANDA KUALITAS":
Dilarang mendaftarkan pengguna dengan nama panggilan seperti: 111111, 123456, ytsukenb, lox, dll.;
Dilarang mendaftar ulang di situs (membuat akun duplikat);
Dilarang menggunakan data orang lain;
Dilarang menggunakan alamat email orang lain;
Aturan perilaku di situs, forum, dan di komentar:
1.2. Publikasi data pribadi pengguna lain dalam kuesioner.
1.3. Setiap tindakan destruktif terkait dengan sumber daya ini (skrip yang merusak, tebakan kata sandi, pelanggaran sistem keamanan, dll.).
1.4. Menggunakan kata-kata dan ekspresi cabul sebagai nama panggilan; ekspresi yang melanggar hukum Federasi Rusia, norma etika dan moralitas; kata dan frasa yang mirip dengan nama panggilan administrasi dan moderator.
4. Pelanggaran kategori ke-2: Dapat dihukum dengan larangan mengirim semua jenis pesan hingga 7 hari. 4.1 Penempatan informasi yang termasuk dalam KUHP Federasi Rusia, Kode Administratif Federasi Rusia dan bertentangan dengan Konstitusi Federasi Rusia.
4.2. Propaganda dalam segala bentuk ekstremisme, kekerasan, kekejaman, fasisme, Nazisme, terorisme, rasisme; menghasut kebencian antaretnis, antaragama dan sosial.
4.3. Diskusi yang salah tentang karya dan penghinaan terhadap penulis teks dan catatan yang diterbitkan di halaman "TANDA KUALITAS".
4.4. Ancaman terhadap anggota forum.
4.5. Menempatkan informasi palsu dengan sengaja, fitnah dan informasi lainnya yang mendiskreditkan kehormatan dan martabat pengguna dan orang lain.
4.6. Pornografi dalam avatar, pesan dan kutipan, serta tautan ke gambar dan sumber pornografi.
4.7. Diskusi terbuka tentang tindakan administrasi dan moderator.
4.8. Diskusi publik dan evaluasi aturan yang ada dalam bentuk apapun.
5.1. Tikar dan kata-kata kotor.
5.2. Provokasi (serangan pribadi, pendiskreditan pribadi, pembentukan reaksi emosional negatif) dan pelecehan terhadap peserta dalam diskusi (penggunaan provokasi secara sistematis dalam kaitannya dengan satu atau lebih peserta).
5.3. Memprovokasi pengguna untuk saling berkonflik.
5.4. Kekasaran dan kekasaran terhadap lawan bicara.
5.5. Transisi ke individu dan klarifikasi hubungan pribadi di utas forum.
5.6. Banjir (pesan identik atau tidak berarti).
5.7. Sengaja salah mengeja nama panggilan dan nama pengguna lain dengan cara yang menyinggung.
5.8. Mengedit pesan yang dikutip, mengubah maknanya.
5.9. Publikasi korespondensi pribadi tanpa eksplisit menyatakan persetujuan teman bicara.
5.11. Trolling destruktif adalah transformasi diskusi yang disengaja menjadi pertempuran kecil.
6.1. Mengutip pesan secara berlebihan (excessive quoting).
6.2. Penggunaan font merah, dimaksudkan untuk koreksi dan komentar moderator.
6.3. Kelanjutan pembahasan topik ditutup oleh moderator atau administrator.
6.4. Membuat topik yang tidak membawa konten semantik atau konten yang provokatif.
6.5. Membuat judul topik atau posting secara keseluruhan atau sebagian dengan huruf kapital atau dalam bahasa asing. Pengecualian dibuat untuk judul topik permanen dan topik yang dibuka oleh moderator.
6.6. Membuat caption dengan font yang lebih besar dari font postingan dan menggunakan lebih dari satu warna palet pada caption.
7. Sanksi diterapkan kepada pelanggar Aturan Forum
7.1. Larangan sementara atau permanen pada akses ke Forum.
7.4. Menghapus akun.
7.5. pemblokiran IP.
8. Catatan
8.1 Penerapan sanksi oleh moderator dan administrasi dapat dilakukan tanpa penjelasan.
8.2. Aturan ini dapat berubah, yang akan dilaporkan ke semua anggota situs.
8.3. Pengguna dilarang menggunakan klon selama periode waktu ketika nama panggilan utama diblokir. PADA kasus ini klon diblokir tanpa batas waktu, dan nama panggilan utama akan menerima satu hari tambahan.
8.4 Pesan yang mengandung bahasa cabul dapat diedit oleh moderator atau administrator.
9. Administrasi Administrasi situs "ZNAK QUALITY" berhak untuk menghapus pesan dan topik apapun tanpa penjelasan. Administrasi situs berhak untuk mengedit pesan dan profil pengguna jika informasi di dalamnya hanya sebagian melanggar aturan forum. Kekuasaan ini berlaku untuk moderator dan administrator. Administrasi berhak untuk mengubah atau menambah Aturan ini jika diperlukan. Ketidaktahuan aturan tidak membebaskan pengguna dari tanggung jawab atas pelanggarannya. Administrasi situs tidak dapat memeriksa semua informasi yang diterbitkan oleh pengguna. Semua pesan hanya mencerminkan pendapat penulis dan tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi pendapat semua peserta forum secara keseluruhan. Pesan dari staf situs dan moderator adalah ekspresi mereka opini pribadi dan mungkin tidak sesuai dengan pendapat editor dan manajemen situs.
Mark Bashmakov lahir pada 10 Februari 1937 di St. Petersburg. Ayah, penduduk asli provinsi Tver, ibu berasal dari Vinnitsa. Pada tahun 1954 ia lulus dari sekolah dengan medali emas dan masuk ke Fakultas Matematika dan Mekanika Universitas Negeri St. Petersburg. Pada tahun 1959 ia diterima di sekolah pascasarjana, kemudian bekerja sebagai asisten, profesor dan profesor. Selanjutnya, ia mempertahankan disertasi doktoralnya.
Dia mulai aktif bekerja dengan anak-anak sekolah sebagai siswa dan melanjutkannya pada awal 1960-an. Berpartisipasi dalam penciptaan dan karya lingkaran, pertama di fakultas, kemudian di distrik kota St. Petersburg, kemudian di beberapa kota di Barat Laut. Berada di antara penyelenggara yang pertama olimpiade daerah dalam matematika di kota Murmansk, Syktyvkar, berpartisipasi dalam persiapan Olimpiade All-Union pertama untuk anak sekolah dalam matematika. Sejalan dengan karyanya, sejak 1977, selama 15 tahun, Bashmakov mengepalai departemen matematika tinggi di Universitas Elektroteknik Negeri St. Petersburg dinamai V.I. Ulyanov.
Pada 1980-an, ia mengajar selama tiga tahun di sekolah kejuruan menengah di St. Petersburg. Dia menciptakan sebuah inovasi untuk program waktunya dalam matematika untuk sekolah menengah kejuruan, buku teks matematika yang ditulisnya berulang kali dicetak ulang dan masih diminati dalam sistem pendidikan dasar dan menengah kejuruan. Bukti pengakuan atas jasanya adalah pemberian lencananya "Pekerja luar biasa dalam pendidikan kejuruan USSR."
Di kota St. Petersburg, di bawah bimbingan seorang profesor, Institut dibuka pada tahun 1992 pembelajaran produktif. Pada tahun-tahun berikutnya, IPO menjadi peserta dan penyelenggara sejumlah proyek internasional dan nasional, yang tujuannya adalah pengembangan metode pembelajaran yang produktif dan penggunaannya dalam praktik pendidikan.
Dari 2002 hingga 2010, ia bertanggung jawab atas Laboratorium Pembelajaran Produktif di Institut Konten dan Metode Pengajaran Akademi Pendidikan Rusia. Pada 2011 ia menjadi kepala laboratorium pedagogi produktif Institut pendidikan Guru dan RAO pendidikan orang dewasa.
Dia terpilih sebagai anggota penuh Akademi Pendidikan Rusia pada tahun 1993. Kemudian, untuk satu set buku teks "Matematika untuk Semua" dianugerahi Hadiah Pemerintah Federasi Rusia di bidang pendidikan dan dianugerahi gelar "Peraih Hadiah Pemerintah Federasi Rusia di bidang pendidikan."
Karya ilmiah dan hasil utama matematikawan berkaitan dengan aljabar dan teori bilangan. Arah utama penelitian: penerapan peralatan aljabar dan topologi modern pada solusi masalah klasik dalam teori persamaan Diophantine, teori aljabar bilangan, geometri aljabar.
Profesor menerima sejumlah hasil informatif, yang dikenal luas dan tercermin dalam monografi ulasan. Literatur matematika dunia mencakup konsep-konsep seperti yang menyandang namanya sebagai "teorema Bashmakov", "masalah Bashmakov" dan "metode Bashmakov". Dia menciptakan sekolah ilmiah, dari mana sejumlah matematikawan terkenal keluar, lebih dari dua lusin kandidat dan doktor ilmu fisika dan matematika.
Berdasarkan pengalaman bekerja di pesantren, ia berkembang dan terus berkembang konsep pedagogis pembelajaran yang produktif. Konsepnya adalah sistem pedagogis, yang mengimplementasikan proses pendidikan melalui rute individu, dengan tindakan yang memastikan pertumbuhan pribadi, penentuan nasib sendiri sosial peserta, pertumbuhan peran mereka dalam pembentukan, implementasi dan evaluasi mereka jalur pendidikan. Pendekatan-pendekatan tersebut ternyata dekat dengan yang diimplementasikan dalam bentuk Jaringan Sekolah Produktif Internasional. Dimasukkannya jalur Rusia dalam jaringan ini terjadi di kongres INEPS.
Mark Ivanovich adalah penulis serangkaian besar buku teks tentang matematika generasi baru. Buku teks ini memenuhi kebutuhan dasar belajar matematika dari kelas 1 hingga 11 sekolah pendidikan umum dari berbagai profil, lembaga pendidikan kejuruan dasar dan menengah. Seri ini mencakup lebih dari 20 buku teks yang termasuk dalam daftar federal buku teks, serta lebih dari 30 materi pendukung pendidikan yang berbeda. Peserta aktif dan penyelenggara sistem All-Union Olympiads untuk anak sekolah, anggota dewan redaksi majalah sains populer Kvant dan majalah Mathematics at School.
Sebagai bagian dari implementasi konsep pembelajaran produktif, sistem permainan dan kompetisi didaktik massal dibuat di bawah kepemimpinannya. Model untuk kompetisi semacam itu adalah kompetisi matematika "Kanguru", di mana sekolah-sekolah dari lebih dari 20 negara berpartisipasi.
